DISEÑO EN C°A°
☣VIGA
Determinar el refuerzo requerido por la viga que se muestra en la figura para resistir
la torsión y la fuerza cortante generadas por las cargas aplicadas sobre ella. El
elemento está sometido a una carga permanente de 2110 kglm (no incluye peso
propio) y una sobrecarga de 1350 kglm. Además, resiste la acción de un torsor
repartido a lo largo de ella. El momento torsor debido a carga permanente es igual
a 1400 kg-dm y el ocasionado por la sobrecarga es 850 kg-dm. El refuerzo
longitudinal está distribuido en una capa y el peralte efectivo de la sección es 54 cm.
Usar f'b280 kg/cm2 y fy=4200 kg/cm2.
D = 2,110 kg
L = 1,350 kg
TD = 1,400 kg-m/m
TL = 850 kg-m/m
f c = 280 kg/cm2
f y = 4,200 kg/cm2
r = 6 cm
El peso propio del elemento es:
Wp =(2400)(0.6x0.20+0.40x0.40) = 672 kg/m = 675 kg/m.
y la carga repartida amplificada que actúa sobre él:
Wu = 1 .2D + 1.6L = (1.2)(2110+675) + (1.6)(1350) = 5502 kg/m
Wu = 5502.00 kg/m
El torsor repartido último es igual a:
Tu=1.2D+1 .6L = (1.2)(1400)+ (1.6)(850)=3040.00 kg-dm
El momento torsor amplificado de diseño se presenta la cara del apoyo y es = a:
Tu=(3040)(6)/(2) – (3040)(0.54) = 7478 = 7478.00 kg-m.
Para que el efecto de la torsión sea considerado en el diseño, el torsor debe ser mayor
que el calculado.
CONCRETO ARMADO
DISEÑO EN C°A°
A continuación se muestran las dimensiones a considerar para el cálculo de los
parámetros Acp y Pcp.
Acp = (60)(20) + (40)(40) = 2800 cm2
Pcp = (2)(60) + (2)(60) = 240 cm
Tu = 0.27.φ.√f c.(Acp2/Pcp)
Tmin = (0.27)(0.75)(16.733)(28002)/240 = 110690 kg-cm =
Tmin < Tu
1,106.90 kg-m < 7,478.00 kg-m. bien
Por lo tanto, la torsión no puede ser despreciada y debe ser considerada en el diseño.
se muestran los diagramas de fuerza cortante y momento torsor de la viga.
La estructura es isostática por lo que no se efectúa ninguna reducción en el torsor
de diseño. La viga se analizará en tres tramos.
Tramo ABC: Las cargas amplificadas de diseño son:
Tu=7478.00 kg-m. y
Vu=13542 kg.
La resistencia al corte del concreto es:
Vc = 0,53.√f c .bw.d
Vc = (0.53)(16.733)(40)(54) = 19,153 kg.
Vu = (13,542)/(0.75) = 18056 kg
Vu < Vc
18,056 kg < 19,153 kg
bien
Por lo tanto, no se requieren estribos para resistir la fuerza cortante.
El refuerzo transversal requerido por torsión se calcula
Aoh = (10)(50) + (40)(30) = 1700 cm2
Ao = (0.85)(1700) = 1445 cm2 bien
CONCRETO ARMADO
DISEÑO EN C°A°
Tn = 2Ao.fy.V.At.cotθ/s
747800/0,75 = 2x1445x4200xAt/s
At/s = 0.082
Si empleamos estribos N°4,
At = 1.29 cm2.
s = 1.29/0.082 = 15.73 ≈ 15 cm.
Se debe verificar que el espaciamiento elegido no exceda el máximo permitido:
Ph = (50)(2) + (50)(2)=200 cm.
s ≤ Ph/8 = 200/8 = 25 cm.
s ≤ 30 cm.
El espaciamiento elegido es conveniente.
A continuación se verifica, el esfuerzo en el concreto comprimido:
((Vu/bw.d) 2 + (Tu.Ph/(1.7Aoh2))2) 0.5 ≤ φ(Vc/bw.d + 2.12√f c)
((13,542/(40)(54))2 + (747800)(200)/(1.7)(1700)2)2)0.5 ≤ (0.75).((19153/40x54) + 2.12x16.73)
31.1 ≤ 33.33
Como se puede apreciar, el esfuerzo en el concreto está por debajo del límite.
Para completar el diseño del refuerzo transversal, se debe verificar que su área sea
mayor que la mínima sugerida por el código:
(Av+2At)min = 0.2√fc.bw.s/fy
(Av+2At)min = (0.2)(16.733)(40)(15)/4200 =0.478
(Av+2At)min = 0.478 cm2 < (2)(1.29) = 2.58 cm2.
(Av+2At) > 3.5 bw.s/fy = (3.5)(40)(15)/4200 = 0.5 cm2
Adicionalmente al refuerzo transversal, la solicitación de torsión requiere refuerzo
longitudinal.
A1 = (At.Pb/s) {fyx/fyl}cot2tt
A1 = (1.29)/(15)(200)(4200)/(4200)(1) = 17,2 cm2
El refuerzo longitudinal mínimo es:
Atmin = 1.33Rfc.Acp/fyl - {A1/s}.Ph.{fyx/fyl}
Atmín = 1.33x16.73x2800/4200-1.29/15x200x1 = -2.37 cm2 < 14.20 cm2
En la expresión anterior, el término:
A/s =1.29/15 = 0.086 no puede ser menor que
1.76.bw/fy = (1.76)(40)/4200=0.017,
bien
El refuerzo longitudinal estará constituido por 9 varillas #5.
Tramo CD: En este tramo, el momento torsor último es
Tu=608000 kg-cm.
No se requiere considerar la fuerza cortante ya que en el tramo ABC donde su efecto
era más crítico, era resistida íntegramente por el concreto.
Siguiendo el mismo procedimiento que en el tramo ABC, se obtiene:
A/s = 608000/(0.75)(2)(1445)(4200) = 0.067
CONCRETO ARMADO
DISEÑO EN C°A°
Al igual que en el tramo ABC, se colocarán estribos #4.
El espaciamiento será:
S=1.29/0.067 = 19 cm.
S < smax= 25 cm.
Se verifican los esfuerzos en el concreto:
((11010/(40)(54)2 + ((608000)(200)/(1.7)(1700)(1700))2) 0.5 = 25,3 < 33.33
y se chequea el refuerzo mínimo por torsión y corte.
(Av+2At)mín = 0.2 Rfc.bw.s/fy = (0.2)(16,73)(40)(19)/4200
(Av+2At)mín = 0.61 cm2 < 2x1.29 = 2.58 cm2.
(Av+2At) > 3 .5bws/fy = (3.5)(40)(19)/4200=0.63 cm2
El refuerzo longitudinal está dado por:
A1 = 1.29/19x200x4200/4200x1 = 13.58 cm2.
Atmin = 1.33x16.73x2800/4200/4200x1 = 13.58 cm2.
Este refuerzo será provisto por 7 varillas #5.
Tramo DE: Este tramo corresponde a la porción de viga que no requiere refuerzo
por torsion. La sección que se encuentra sometida al momento torsor mínimo a
considerar, igual a 1254 kg-m. está ubicada a x del apoyo:
x = (3.3)(125400)/912000 = 2.59 m.
La norma sugiere que el refuerzo por torsión se disponga (b,+d) una longitud
adicional más allá de donde teóricamente se requiere:
b,+d=32+54=86 cm.
Si consideramos que se requiere refuerzo por torsión hasta la sección ubicada a x del
apoyo y que es necesario disponerlo hasta 86 cm. más allá de este punto, llegamos a
la conclusión que la viga requiere ser armada, por torsión, en toda su longitud.
CONCRETO ARMADO
DISEÑO EN C°A°
COLUMNA:
Para la columna cuya sección se muestra, determinar el refuerzo de acero por el
método contorno de carga, sabiendo que:
f’c = 350 kg/cm2
fy = 4200 kg/cm2
b = h =0.50 m
r = 0.xx m
Pu = 100.00 tn
Mux = 25 tn-m
Muy = 09 tn-m
Siguiendo la Metodología del método contorno de carga:
Hallando
b/h = 0.35/0.50 = 0.70
Asumiendo
= 0.65
Calculando
El momento equivalente = Muy/Mux
Muy/Mux = 9/25
Muy/Mux = 0.36
donde b/h > Muy/Mux
0.70 > 0.36
Condición uniaxial
M’ox = Mux +Muy(h/b) ((1- )/ )
M’ox = 25 + 9(050/0.35) ((1-0.65)/0.65) = 28.392 tn-m
Calculo de la Cuantia
Pu/Aq = 100*103/35*50 = 57.143 kg/cm2
Mu/Aq.h = M’ox/Aq.h =
Mu/Aq.h = (28.392)(105)/35*50*50 = 32.448 kg/cm2
= (50 – 10)/50 = 0.80 λ = 0.023
CONCRETO ARMADO
DISEÑO EN C°A°
Cálculando
As = λ.p.h = (0.023)(35)(50) = 40.25 cm2, 8 Ø 1” ≈ 8*5.07 = 40.56 cm2
λo.fy/f c = (0.023)(4200)/(350) = 0.276
Po = (1)(0.80)[(0.85)(350)((35)(50)-40.56) + (4200)(40.56)]
Po = 380189.824 kg = 380.189 ton
Pu/Po = 100/380.189 = 0.2630
= 0.58
Cálculando Mox y Moy
Pu/Aq = 100*103/35*50 = 57.14 kg/cm2 λ = 0.023
Mox/Aq.h = 38
Mox = 38 . Aq.h
Mox = (38)(35*50)(50)
Mox = 332500 kg-cm =33.25 tn-m
Moy/Aqh = 38
Moy = 38 . Aq.h
Moy = (38)(35*50)(35)
Moy = 232750 kg-cm = 23.27 tn-m
Moy/Mox > Muy/Mux
0.36 < 0.70
M’ox = Mux +Muy(Mox/Moy) ((1- )/ )
M’ox = 25 + 9(33.25/23.27) ((1-0.58)/0.58) = 34.31 tn-m
donde: Mox >M’ox
34.31 tn-m > 33.25 tn-m
mal
Calculando
As = λ.p.h = (0.025)(35)(50) = 43.75 cm2, 9 Ø 1” ≈ 9*5.07 = 45.63 cm2
λo.fy/f c = (0.025)(4200)/(350) = 0.30
Po = (0.70)(0.80)[(0.85)(350)((35)(50)-45.63) + (4200)(45.63)]
Po = 391269.802 kg = 391.269 ton
Pu/Po = 100/391.269 = 0.2556
= 0.58
Calculando Mox y Moy
Pu/Aq = 100*103/35*50 = 57.14 kg/cm2 λ = 0.025
Mox/Aqh = 40
Mox = 40 . Aq.h
Mox = (40)(35*50)(50)
Mox = 3500000 kg-cm =35.00 tn-m
CONCRETO ARMADO
DISEÑO EN C°A°
Moy/Aqh = 38
Moy = 40 . Aq.h
Moy = (40)(35*50)(35)
Moy = 2450000 kg-cm = 24.50 tn-m
Moy/Mox > Muy/Mux
0.36 < 0.70
M’ox = Mux +Muy(Mox/Moy) ((1- )/ )
M’ox = 25 + 9(35.00/24.50) ((1-0.58)/0.58) = 34.31 tn-m
donde: Mox >M’ox
35.00 tn-m > 34.31 tn-m
CONCRETO ARMADO
bien
DISEÑO EN C°A°
ZAPATA AISLADA
Diseñar una zapata cuadrada para soportar una columna cuadrada de 50 cm de
lado con una carga muerta de = 100 ton., carga viva = 80 ton., el suelo tiene un
peso volumétrico de 1.8 tn/m3, f’c = 280 kg/cm2, fy = 4200 kg/cm2, qa = 2.4
kg/cm2, El nivel de fundación se encuentra a 1.7 m por debajo del nivel de piso
terminado.
f’c = 280 kg/cm2
fy = 4200 kg/cm2
qa = 2.4 kg/cm2
hf = 1.7 m
PD = 100 tn
PL = 80 tn
s = 1.8 tn/m3
a = 0.50 m
r = 0.10 m
Asumiendo: t
Para t=0.60m
qe = qa- s.hf- c.t=
qe = (24)-(1.8)(1.15)-(2.4)(0.60) = 20.49 tn/cm2
qe = 20.49 ton/cm2
Calculando: A
A = B2 = P/qe = (100 + 80)/20.49 = 8.78 m2
B2 = 8.78 m2 B = √8.78 = 2.96 m
B ≈ 3.00 m
Verificando:
Por corte y flexión, donde d > dnecesario
qu = (1.5PD + 1.8PL)/B2 = ((1.5)(100) +(1.8)(80))/8.78
qu = 33.48 ton/m2 = 3.348 kg/cm2
L = B/2 – b/2 – d = 3.00/2 – 0.50/2 – (0.60 – 0.10) = 0.75 m
L = 0.75 m
CONCRETO ARMADO
DISEÑO EN C°A°
dnecesario = (qu.L.100) /(φ.0.53.√f c) =
dnecesario = (3.348)(0.75)(100)/((0.85)(0.53)(16.73)) =
dnecesario = 33.31 cm
d > dnecesario:
t – r > dnecesario
0.50 – 0.10 > dnecesario
50 cm > 33.31 cm
bien
Por punzonamiento, donde d > dnecesario
A’ = A – Aα = (3.00)2 – (0.50 + 0.50)2 = 9.00 – 1.00 =
A’ = 8.00 m2 = 80,000.00 cm2
bo = (0.50 + 0.50)(4) = 4.00 m = 400 cm
dnecesario = (qu.A’.)/(φ.1.1.√f c.bo)
dnecesario = (3.348)(80,000)/(0.85.1.1.√280.400) =
dnecesario = 42.798 cm = 42.80 cm
d > dnecesario
t – r > dnecesario
0.50 – 0.10 > dnecesario
50 cm > 42.80 cm
bien
Calculando:
El acero
Para ello hallamos Mu
Mu = qu.L’2/2 = (3.451)(0.50+0.75)2/2 = 2.69609375 tn-m
Mu = 2.696 tn-m = 26960.9375 kg-m
Iterando:
para α = 0.04 m = 4.00 cm
As = Mu/(φ.fy.(d-α/2)) = 26960.9375/((0.90)(4200)(0.50-0.04/2))
As = 14.859 cm2
α = (As.fy)/(φ.f c.b) = (14.85)(4200)/((0.85)(280)(100) =
α = 2.62 cm
para α = 0.026 m = 2.60 cm
As = Mu/(φ.fy.(d-α/2)) = 26960.9375/((0.90)(4200)(0.50-0.026/2))
As = 26960.9375/((0.90)(4200)(0.50-0.026/2)) = 14.646 cm2
As ≈ 14.65 cm2
α = (As.fy)/(φ.f c.b) = (14.646)(4200)/((0.85)(280)(100) =
α = 2.58 cm
α = 2.60 cm
bien
Verificando:
El acero mínimo
Asmin = (0.7)(√f c).b.d/fy = (0.7)(√280)(100)(50)/4200
Asmin = 13.94 cm2
As > Asmin
CONCRETO ARMADO
DISEÑO EN C°A°
14.65 cm2 > 13.94 cm2
bien,
Acero y Espaciamiento, alternativas:
*
Ø ¾” @ = 2.85*100/14.65 = 19.49 cm ≈ 20.00 cm
n = (3.00-0.20)/0.20 = 14.00
n=15 As= (14+1)(2.85) =42.75 cm2
*
Ø ⅝” @ = 1.98*100/14.65 = 13.51 cm ≈ 15.00 cm
n = (3.00-0.20)/0.15 = 18.66
n=18 As= (18+1)(1.98) =37.62 cm2
*
Ø ½” @ = 1.27*100/14.65 = 8.66 cm ≈ 10.00 cm
n = (3.00-0.20)/0.10 = 28.00
n=28 As= (28+1)(1.27) =36.83 cm2
*
*
*
El acero de temperatura
Ast = (0.0018)(100)(t)
Ast = (0.0018)(100)(50) = 9.00 cm2
Ast = 9.00 cm2,
Temperatura y Espaciamiento, alternativas:
Ø ¾” @ = 2.85*100/9.00 = 31.66 cm ≈ 30.00 cm
n = (3.00-0.20)/0.30 = 09.33
n=9 As= (9+1)(2.85) =28.50 cm2
Ø ⅝” @ = 1.98*100/9.00 = 22.00 cm ≈ 20.00 cm
n = (3.00-0.20)/0.20 = 14.00
n=20 As= (14+1)(1.98) =29.70 cm2
Ø ½” @ = 1.27*100/9.00 = 14.11 cm ≈ 15.00 cm
n = (3.00-0.20)/0.15 = 18.66
n=18 As= (18+1)(1.27) =24.13 cm2
Escogiendo:
Acero y Espaciamiento:
Ø ⅝” @ = 1.98*100/14.65 = 13.51 cm ≈ 15.00 cm
Acero de temperatura y espaciamiento:
Ø ⅝” @ = 1.98*100/9.00 = 22.00 cm ≈ 20.00 cm
CONCRETO ARMADO
0
