VF PAPER 115 MT1

Proceedings of the 17th Pan-American Conference on Soil Mechanics and Geotechnical
Engineering (XVII PCSMGE), and 2nd Latin-American Regional Conference of the International
Association for Engineering Geology and the Environment (IAEG), La Serena Chile, 2024.
Determinación de los módulos de deformación unitaria dinámicos usando un
equipo triaxial cíclico automatizado. Modelo de Zeevaert.
Determination of dynamic strain moduli using a modified cyclic triaxial equipment
Rigoberto Rivera*, Carmelino Zea*, Osvaldo Flores**, Enrique Gómez**, Alexandra Ossa**, Miriam Arias*,
Enrique Elizalde*
*Facultad de Ingeniería, UNAM, México; [email protected]
**Instituto de Ingeniería, UNAM, México
RESUMEN: Se midieron los módulos de deformación unitaria en probetas de arcilla inalterada de la Ciudad de México, labradas tanto
en sentido normal a la estratificación como paralela a la misma, en condiciones no drenadas, empleando para ello un equipo triaxial
cíclico automatizado en la modalidad de esfuerzo controlado. Una vez que las probetas de arcilla fueron consolidadas al estado de
esfuerzos efectivos equivalente de campo, se sometieron a un esfuerzo normal desviador cíclico, que en las probetas labradas en sentido
perpendicular a la estratificación corresponde al esfuerzo desviador vertical cíclico, en tanto que en las probetas labradas en sentido
paralelo a la estratificación corresponde a un esfuerzo desviador horizontal cíclico. Durante la aplicación de los esfuerzos desviadores
cíclicos se midieron las deformaciones unitarias tanto para la compresión como para el alivio de esfuerzos, estos valores junto con la
relación de Poisson y tomando como base el modelo analítico de Zeevaert, permitieron calcular los módulos de deformación unitaria
correspondientes. Los resultados obtenidos concuerdan bastante bien con los obtenidos por otros investigadores en las arcillas blandas
de la CDMX.
ABSTRACT: The unitary deformation modules were measured in specimens of unaltered clay from Mexico City, worked both normal
to the stratification and parallel to it, in undrained conditions, using automated cyclic triaxial equipment in the stress mode. Once the
clay specimens were consolidated to the state of equivalent effective field stress, they were subjected to a normal cyclic deviator stress,
which in the specimens worked in a perpendicular direction to the stratification corresponds to the normal vertical cyclic deviator stress,
while In the specimens worked parallel to the stratification it corresponds to a horizontal normal stress. During the application of the
cyclic deviatoric stresses, the unitary strains were measured for both compression and stress relief, these values together with the
Poisson's ratio and based on Zeevaert's analytical model, they allowed the corresponding unitary deformation modules to be calculated.
The results obtained agree quite well with those obtained by other researchers in the soft clays of Mexico City.
KEYWORDS: Comportamiento cíclico, Parámetros dinámicos, Modelo de Zeevaert, Esfuerzo controlado, Arcilla de la CDMX.
1
INTRODUCCIÓN
El efecto que las ondas sísmicas producen en el sistema suelocimiento-estructura puede ser estimado, desde el punto de vista de
Ingeniería práctica (Zeevaert 1983, 1989), tomando como base los
Principios Generales de la Mecánica, las ecuaciones de equilibrio
dinámico, las propiedades dinámicas de los suelos y las
condiciones de frontera del problema.
Para visualizar la acción que un temblor genera en el suelo es
necesario analizar el estado de esfuerzos y deformaciones que
producen los diferentes tipos de ondas sísmicas en la superficie del
suelo para cierta aceleración asignada. Para este propósito se
requiere conocer los registros de aceleraciones en la superficie del
suelo en sus tres componentes, pero además resulta fundamental la
determinación de las propiedades dinámicas de los suelos del sitio,
tomando en cuenta, entre otros, su estado de compacidad o
consistencia, el estado de esfuerzos, el grado de anisotropía, y el
nivel de deformaciones que puede causar el evento sísmico (Rivera
R., 1988, 1991 y 1995, Mendoza M.J. y Hernández V.M., (1993).
Durante el paso del tren de ondas el suelo se ve sometido a una
serie de aplicaciones cíclicas, con determinada frecuencia y
amplitud, de esfuerzos y/o deformaciones que dependen de la
aceleración impuesta por el movimiento sísmico. Por esta razón las
pruebas de laboratorio o campo empleadas para determinar las
propiedades dinámicas de los suelos deben de representar en la
medida de lo posible el fenómeno que se quiere estudiar (Jaime, A.,
1980, González C.M. y Romo M.P., 2011).
Se reconoce qué, en el caso de la Ciudad de México, los
períodos naturales de vibración de los depósitos lacustres son del
orden de 1 a 4 s, por lo que las frecuencias correspondientes son
muy bajas, lo cual constituye un fenómeno transitorio de aplicación
de carga cíclica equivalente. De esta manera, es posible estudiar de
manera independiente la acción de todas las ondas generadas por
un evento sísmico, con sus diferentes magnitudes y periodos,
integrado posteriormente el efecto total de todas ellas.
Los parámetros del modelo de Zeevaert (1983, 1989)
relacionados con el comportamiento dinámico de los suelos se
pueden determinar en laboratorio en probetas de suelo inalterado
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sujetas a acciones cíclicas equivalentes, asumiendo las siguientes
hipótesis:



El suelo tiene un comportamiento elástico lineal, lo que
conduce a una velocidad de las ondas de cortante que es
función del módulo de rigidez dinámico del suelo (G) al igual
que los periodos naturales de vibración.
Dentro de cierto rango de esfuerzos cíclicos el suelo tiene un
comportamiento elastoplástico durante la compresión y
elástico al producirse el alivio.
El conocimiento de los parámetros dinámicos de los que
dependen las deformaciones unitarias, tanto en compresión
como en tracción, y los alivios correspondientes, permite
estimar los desplazamientos dinámicos producidos por la
acción de las ondas sísmicas, así como las presiones poro
generadas.
Esta investigación está encaminada a la determinación de
módulos horizontales de deformación unitaria dinámicos de
arcillas blandas saturadas, que permitan evaluar la respuesta de la
acción de las ondas de superficie y de cortante en los depósitos de
suelos blandos típicos de la CDMX. Es claro que para lograr este
objetivo se requiere de un equipo de laboratorio donde se puedan
aplicar esfuerzos horizontales de manera cíclica, como puede ser
el caso de la Cámara Holandesa (Zeevaert, 1988). Sin embargo,
una manera práctica de determinar dichos módulos es empleando
la cámara triaxial cíclica convencional, con probetas de suelo
labradas en sentido perpendicular y paralelo a la estratificación.
Haciendo una interpretación de los resultados experimentales
diferente a la tradicional y tomando como base el modelo de
Zeevaert (1988), se determinan todos los parámetros del modelo,
cuyas aplicaciones en la sismo-geodinámica pueden ser muy
variadas, entre otras: capacidad de carga, hundimientos y
licuación de suelos.
Cabe señalar que las presiones de poro generadas durante los
ensayes triaxiales cíclicos realizados, tanto para los fenómenos de
compresión como de tracción, se midieron en la base de la cámara,
pero en el modelo dichas presiones se manejaron como una
incógnita, ya que, en materiales de baja permeabilidad como las
arcillas blandas de la CDMX, las presiones de poro medidas bajo
estas condiciones pueden no ser representativas de toda la probeta
de suelo.
2 MODELO DE ZEEVAERT
Ondas planas de cuerpo de cortante o equivolumétricas. Su
desplazamiento es en sentido normal a la propagación de las
ondas. La amplitud de la componente vertical es muy
pequeña, casi despreciable, a diferencia de la componente
horizontal.
Ondas planas superficiales (tipo Rayleigh). Se originan en la
superficie del suelo y se atenúan rápidamente con la
profundidad, produciendo compresiones y dilataciones en el
sentido de propagación de la onda. Su velocidad de
propagación es prácticamente igual a la de las ondas de cuerpo
de cortante. La compresión y dilatación induce movimientos
de vaivén verticales y horizontales, de ahí que en los registros
acelerográficos son visibles las tres componentes.


2.1
Onda de cuerpo longitudinal o irrotacional
Se asume que en el caso de los suelos lacustres de la Ciudad de
México la base firme es la fuente de las ondas de cuerpo
irrotacionales planas, viajando en sentido vertical a la superficie
del suelo con una velocidad Cd .
Tomando como base la teoría de los materiales elásticos lineales
homogéneos e isótropos, se pueden establecer las ecuaciones de
movimiento para dicha onda en términos de los desplazamientos
generados. Dichas ecuaciones se pueden representar mediante una
sola ecuación, con la siguiente estructura matemática:
Cd2
∂ 2ψ z
∂z
2
=
∂ 2ψ z
(1)
∂t 2
La ecuación 1 se puede satisfacer mediante una función
continua y derivable 𝜓𝜓𝑧𝑧 de la forma (sistema de referencia derecho
XYZ, siendo Z el eje vertical):


ψz =
δ oz cos(2n − 1)
π 
z sen(2n − 1) pd t
2 H 
(2)
Siendo n el modo de vibración, δ oz el desplazamiento máximo
en superficie; H el espesor del depósito de suelo; z la profundidad;
pd la frecuencia circular y t el tiempo.
Para este tipo de movimiento, las deformaciones unitarias son
∆ε x =
0 , ∆ε y =
0 y ∆ε z ≠ 0 .
Para la onda más larga (n=1), la ecuación 2 se reduce a:
Las ondas generadas por un evento sísmico son muy diversas y se
 π 
=
z  sen(2n − 1) pd t
ψ z δ oz 
pueden estudiar a partir de la historia de aceleraciones
(3)
 2H 
(acelerograma) de un cierto sitio, siendo la sismología la disciplina
encargada de ello. Sin embargo, desde el punto de vista de la sismoPara esta última condición, se puede calcular la configuración de
geodinámica de la superficie del suelo son tres los tipos de ondas
∂ψ
fundamentales.
la deformación unitaria como ∆ε z = z , resultando.
∂z

Ondas planas de cuerpo, compresionales o irrotacionales. Su
π
 π 
propagación es en sentido vertical y generan en la superficie
sen(
z)
δ oz 
∆ε z =
(4)

del suelo un efecto trepidatorio. De acuerdo con los registros
2H
 2H 
acelerográficos sus componentes horizontales son, para fines
En esta última ecuación el término entre paréntesis cuadrado
prácticos, despreciables y la componente vertical es muy
pequeña en el caso de suelos saturados, a diferencia de cuando
p
representa la relación d .
el suelo está parcialmente saturado y tiene un comportamiento
Cd
anisótropo.
La velocidad orbital de las partículas está dada por Vd = δ oz pd ,
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continua y derivable de la forma:
de esta manera la ecuación 4 toma la forma:
V
π
∆ε z =
± d sen(
z)
2H
Cd
(5)
Para calcular el desplazamiento máximo en la superficie del
suelo, se integra la ecuación 5, desde z=H hasta z=0, obteniendo:
δ oz = ±
Vd 2 H
Cd π
(6)
Si se conoce la aceleración máxima vertical de la superficie del
suelo av y la frecuencia circular pd de la onda, se puede calcular
la velocidad orbital en la superficie del suelo como Vd = av / pd .
En el caso del periodo, éste puede ser estimado como
n
Td = 4∑ di / Cdi siendo Cdi la velocidad de la onda para cada
1=1
estrato del subsuelo de espesor di .
Tomando en cuenta las relaciones esfuerzo-deformación para
este tipo de ondas, el incremento de esfuerzo total ∆pz se puede
calcular como:
V
1 −ν
π
(2G ) d sen(
∆pz =
z)
1 − 2ν
2H
Cd
La ecuación 7 se puede escribir como:
∆pz =
ρ CdVd sen(
2H
z)
Siendo 𝜌𝜌 la densidad del suelo y:
Cd2 =
1 − ν  2G 


1 − 2ν  ρ 
(8)
(9)
∆ωc la presión sísmica en el agua de poro del suelo, la cual puede
ser medida en laboratorio, en campo o bien estimada
analíticamente, como fue el caso de este trabajo para todos los tipos
de ondas cuerpo analizadas.
Onda superficial
La onda plana de compresión-dilatación de superficie tipo
Rayleigh, tiene como ecuación de movimiento:
 ∂ 2ψ
∂ 2ψ x  ∂ 2ψ x
x
=
Cd2 
+
 ∂x 2
∂z 2  ∂t 2

(10)
La ecuación 10 puede ser satisfecha mediante una función
x 

CR 
(11)
Donde:
δ ox : amplitud horizontal de la onda en la dirección X de
propagación.
r: coeficiente de atenuación con la profundidad por la acción de la
onda.
CR = α Cs : velocidad de la onda de superficie (Rayleigh) y Cs la
velocidad de la onda de cortante.
pR = α ps : frecuencia circular de la onda de superficie y ps la
frecuencia circular de la onda de cortante.
x: punto de observación
t: tiempo
Sustituyendo la ecuación 11 en la 10, y despejando el
coeficiente de atenuación, se obtiene:
pR
=
r
CR
Pero
a1 ; a=
1
pR
CR
=
ps
Cs
1−α 2
(1 − 2ν )
2(1 −ν )
. Por lo tanto r =
(12)
ps
Cs
a1 .
La onda de compresión y dilatación produce en el suelo un
incremento máximo de deformación unitaria en el sentido de la
propagación (X), que vale:
∆ε x =
±δ ox
Cuando el suelo está saturado, la presión ∆pz representa la
presión sísmica total inducida por las ondas, por lo que el
incremento de esfuerzo efectivo resulta ∆σ ′z = ∆pz − ∆ωc , siendo
2.2

(7)
Siendo ν la relación de Poisson del suelo y G el módulo
dinámico de rigidez cortante.
π

±δ ox e − rz sen( pR )  t −
ψx =

pR
V
± R e − rz
e − rz =
CR
CR
(13)
Siendo VR la velocidad orbital.
El incremento de esfuerzo total resulta igual a:
2ρ
∆px =
±
(C V )e − rz
1 −ν s s
(14)
Donde Vs es la velocidad orbital para cortante.
De igual forma el incremento de esfuerzo efectivo que provoca
la onda plana de superficie, resulta:
∆σ x = ±∆px  ∆ωc = ±
2ρ
(C V )e − rz  ∆ωc
1 −ν s s
(15)
Siendo ∆ωc el incremento sísmico de la presión del agua de
poro inducida por la presión máxima de la onda.
2.3
Onda de cuerpo cortante o equivolumétrica
Para la onda de cortante la ecuación de movimiento puede ser
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satisfecha con la función continua y derivable dada por:


x 
πz 
±δ oy  cos
ψ yz =

 sen ps  t −
2H 

 Cs 

(16)
Donde:
ψ yz : amplitud horizontal de la onda a la profundidad z, a lo largo
del eje Y.
δ oy : amplitud horizontal de la onda en la superficie del suelo a lo
largo del eje Y, normal a dirección X de propagación de la onda.
La distorsión angular γ yz causada por la onda de cortante de
puede calcular como γ yz =
∂ψ yz
∂x
, resultando:

V
 πz 
x 
± s cos 
γ yz =
 sen ps  t − 
Cs
 2H 


Cs 
(17)

x 
Para z = 0 y ps  t −  =
nπ , la ecuación 17 permite calcular el
 C 
s

esfuerzo cortante τ yz como:
 πz 

 2H 
τ yz = ρ(CsVs )sen 
(18)
Cabe resaltar que el efecto más importante de la onda de
cortante en la superficie del suelo es en el plano XY, paralelo a la
superficie del suelo generándose importantes esfuerzos de tracción
diagonales que pueden provocar el agrietamiento del suelo si se
vence su resistencia última, aunado a un efecto de torsión y
balanceo de la cimentación. El esfuerzo cortante τ xy se calcula de
manera similar al que actúa en el plano YZ, resultando:
 πz 

 2H 
τ xy = ρ(CsVs )cos 
(19)
𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠[𝑝𝑝𝑠𝑠 (𝑡𝑡 − 𝑥𝑥/𝐶𝐶𝑠𝑠 )] = 1
(20)
Si bien en condiciones isótropas la presión sísmica del agua de
0 , en condiciones anisótropas, cuando M cx ≠ M ex
poro es ∆ω =
M
(siendo
cx el módulo de deformación unitaria dinámico en
compresión en sentido X y M ex el módulo de deformación
unitaria dinámico de respuesta en el mismo sentido) resulta
diferente de cero.
De la ecuación 16, se observa que el desplazamiento máximo
horizontal se presenta en la superficie del suelo (z=0), cuando la
longitud de onda 𝜆𝜆 = 4𝐻𝐻, el periodo libre de vibración del suelo
es 𝑇𝑇𝑠𝑠 = 4𝐻𝐻/𝐶𝐶𝑠𝑠 y
Por lo tanto, la ecuación 16 queda como:
ψ yz = ±δ oy  cos

πz 

2H 
(21)
De esta manera la velocidad orbital máxima de las partículas de
suelo resulta:
𝑉𝑉𝑦𝑦= ± 𝛿𝛿0𝑦𝑦 𝑝𝑝𝑠𝑠
(22)
𝑎𝑎𝑦𝑦= ± 𝛿𝛿0𝑦𝑦 𝑝𝑝𝑠𝑠2
(23)
Finalmente, la aceleración máxima superficial se calcula como:
Si se conoce la aceleración máxima en la superficie del suelo a
partir de registros acelerográficos, se puede estimar el
desplazamiento máximo 𝛿𝛿𝑜𝑜𝑜𝑜 en la superficie del suelo provocado
por el tren de ondas de cortante.
3 DESCRIPCIÓN DE LA CÁMARA TRIAXIAL CÍCLICA
USADA EN LOS ENSAYES
El equipo triaxial cíclico (Foto 3.1), como se puede apreciar en la
Figura 3.1, está compuesta por una cámara de acrílico [A] que aloja
la probeta de suelo protegida por una membrana de látex, las
presiones con las que se confina la probeta (confinamiento) y la
que se aplica al interior de la misma (contrapresión) y el exceso de
presión que se registra durante el ensayo (poro) se registran con
sensores de presión [B], que para nuestro caso tienen un rango de
medición de 0 a 700 kPa, aproximadamente.
El cambio de volumen [C] se registra con un sensor formado
por un cilindro de acrílico que aloja el agua que sale o entra a la
probeta y genera un desplazamiento de un émbolo; el cual, a partir
de esta señal y el área del cilindro, cuantifica el volumen de agua
que entra o sale de la probeta.
Cuenta, además, con un sensor de desplazamiento axial [D] de
50 mm de carrera total, ubicado en la parte superior del equipo y
una celda de carga [E] hidrostáticamente compensada de 100 kg de
capacidad, ubicada en la base de la cámara, en contacto directo con
la probeta de suelo. Estos dos sensores, además de registrar el
deslazamiento y la carga axial que experimenta la probeta, permite
hacer el control del ensayo, con excitación monotónica o cíclica a
desplazamiento o esfuerzo controlada.
El sistema de excitación es de tipo neumático, con el apoyo de
una servo-válvula [F] y un pistón [G] ubicados sobre el marco de
carga del equipo [H]. El sistema servoneumático de control
permite sincronizar el gasto de aire comprimido que pasa por la
servoválvula al pistón para aplicar un patrón de desplazamiento
monotónico o cíclico operando el equipo a desplazamiento o carga
controlada, con el apoyo de los sensores correspondientes.
Tanto los sensores como el sistema servo-neumático se deben
calibrar y verificar experimentalmente para obtenerlas las
constantes de calibración y la precisión de cada sensor.
Las señales recibidas por el equipo, entre otras, la deformación
axial, carga, presiones, son transmitidas a la computadora mediante
un convertidor analógico-digital (Foto 3.2). El módulo de
adquisición de datos es la tarjeta comercial PC-LAB812
Advantech Co., el hardware de esta tarjeta incluye componentes de
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conversión analógica-digital, digital-analógica, entradas y salidas
digitales, contadores y temporizadores, además de ser una tarjeta
de alta velocidad (250 kHz/canal), alto desarrollo y multifuncional.
D
F
H
G
C
A
B
E
Foto 3.1 Equipo de pruebas
Figura. 3.1 Esquema de la Cámara Triaxial Cíclica
4
MODULOS DE DEFORMACIÓN UNITARIA DINÁMICOS
Se han desarrollado diferentes procedimientos para medir las
propiedades dinámicas de los suelos, teniendo en cuenta el rango
de deformaciones que un sismo puede generar en el subsuelo. En
la actualidad son contados los equipos que permiten cubrir todo el
intervalo de deformaciones requerido en los problemas dinámicos,
a excepción del Equipo de Corte Torsionante con cilindro hueco
(Gasparre A., et al., 2007), por lo que es usual desde el punto de
vista de ingeniería practica combinar los equipos disponibles para
cubrir el rango de deformaciones provocadas por un sismo.
En los ensayes triaxiales cíclicos, en condiciones no drenadas,
una de las variables que es necesario conocer durante el desarrollo
del ensaye es la presión de poro que se genera por la aplicación del
esfuerzo desviador, ya que de ella dependen los parámetros
dinámicos del suelo ensayado. Normalmente, dicha presión de
poro se mide mediante un transductor colocado en la base de la
cámara, aceptando que el valor medido es uniforme a lo largo de la
probeta de suelo.
Es claro que, en suelos muy permeables, puede ser cierta dicha
suposición, sin embargo, en suelos de baja a muy baja
permeabilidad, como las arcillas blandas de la ciudad de México,
es muy cuestionable la hipótesis de uniformidad de la presión de
poro. Una forma de conocer la distribución de esta última a lo largo
de la probeta de suelo es colocando transductores de presión en la
cabeza, base y centro de la probeta, o bien haciendo una estimación
teórica mediante métodos analíticos, como fue el caso de esta
investigación al utilizar el modelo analítico de Zeevaert (1988).
EL Modelo de Zeevaert permite estimar de manera analítica el
incremento de la presión de poro que se genera durante la
aplicación de un esfuerzo desviador cíclico ±∆𝑝𝑝𝑧𝑧 , para lo cual es
necesario conocer las deformaciones unitarias verticales tanto en
compresión como en tracción, la relación de Poisson, el grado de
saturación y el factor de respuesta β, tanto en compresión como en
tracción, asumiendo que durante el corto tiempo de la aplicación
de la carga cíclica no hay disipación de la presión de poro.
Para el esfuerzo vertical cíclico en compresión, +∆𝑝𝑝𝑧𝑧 , la
presión de poro, ∆𝜔𝜔𝑐𝑐 , se puede calcular como:
∆𝜔𝜔𝑐𝑐 = −
𝑏𝑏
𝑏𝑏 2 𝑐𝑐
+ �� � +
2𝑎𝑎
2𝑎𝑎
𝑎𝑎
𝑛𝑛(1−𝑆𝑆)(1−2𝜈𝜈𝛽𝛽 )
𝑐𝑐𝑐𝑐
𝑎𝑎 = 1 − (1+2𝛽𝛽 )(1−2𝜈𝜈)𝛥𝛥𝜀𝜀
(25)
𝑏𝑏 = 𝑝𝑝𝑎𝑎 + �
(26)
𝑐𝑐 =
(27)
𝑐𝑐𝑐𝑐
Foto 3.2 Sistema de adquisición de datos para los ensayes triaxiales
cíclicos.
(24)
𝑧𝑧𝑧𝑧
𝑛𝑛(1 − 𝑆𝑆)
∆𝑝𝑝𝑧𝑧𝑧𝑧
− 1�
1 + 2𝛽𝛽𝑐𝑐𝑐𝑐
(1 − 2𝜈𝜈)𝛥𝛥𝜀𝜀𝑧𝑧𝑧𝑧
𝑝𝑝𝑎𝑎
∆𝑝𝑝
(1 + 2𝛽𝛽𝑐𝑐𝑐𝑐 ) 𝑧𝑧𝑧𝑧
Para el esfuerzo vertical cíclico en tracción, −∆𝑝𝑝𝑧𝑧 , la presión
de poro, ∆𝜔𝜔𝑡𝑡 , se puede calcular como:
∆𝜔𝜔𝑡𝑡 = −
2
𝑏𝑏�
𝑏𝑏�
𝑐𝑐̅
+ �� � +
2𝑎𝑎�
2𝑎𝑎�
𝑎𝑎�
(28)
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𝑎𝑎� = 1 +
𝑏𝑏� = �
𝑐𝑐̅ =
𝑛𝑛(1 − 𝑆𝑆)(1 − 2𝜈𝜈𝛽𝛽𝑒𝑒𝑒𝑒 )
(1 + 2𝛽𝛽𝑒𝑒𝑒𝑒 )(1 − 2𝜈𝜈)𝛥𝛥𝜀𝜀𝑧𝑧𝑧𝑧
𝑛𝑛(1 − 𝑆𝑆)
∆𝑝𝑝𝑧𝑧𝑧𝑧
�
(1 − 2𝜈𝜈)𝛥𝛥𝜀𝜀𝑧𝑧𝑧𝑧 1 + 2𝛽𝛽𝑒𝑒𝑒𝑒
−1
𝑝𝑝 ∆𝑝𝑝
(1 + 2𝛽𝛽𝑒𝑒𝑒𝑒 ) 𝑎𝑎 𝑧𝑧𝑧𝑧
(29)
(30)
obtienen para una segunda probeta de suelo de características
similares a la primera, pero ahora ensayada en sentido paralelo a la
estratificación. Finalmente, los parámetros del modelo son:
𝑀𝑀𝑐𝑐𝑐𝑐 , 𝑀𝑀𝑒𝑒𝑒𝑒 , 𝑀𝑀𝑐𝑐𝑐𝑐 , 𝑀𝑀𝑒𝑒𝑒𝑒 , ∆𝜔𝜔𝑐𝑐 , y ∆𝜔𝜔𝑡𝑡 .
(31)
Conociendo el valor teórico del incremento de presión de poro
∆ωc en compresión y suponiendo un valor de βcz es posible
determinar el módulo de deformación unitaria en compresión,
como:
𝑀𝑀𝑐𝑐𝑐𝑐 =
∆𝜀𝜀𝑧𝑧𝑧𝑧
∆𝑝𝑝𝑧𝑧𝑧𝑧 − (1 − 2𝜈𝜈𝛽𝛽𝑐𝑐𝑐𝑐 )𝛥𝛥𝜔𝜔𝑐𝑐
(32)
En tanto que el módulo de deformación unitaria para la
respuesta en compresión se calcula como:
𝑀𝑀𝑒𝑒𝑒𝑒 =
∆𝜀𝜀𝑧𝑧𝑧𝑧𝑧𝑧
∆𝑝𝑝𝑧𝑧𝑧𝑧 − (1 − 2𝜈𝜈)𝛥𝛥𝜔𝜔𝑐𝑐
(33)
De esta manera el factor de respuesta 𝛽𝛽, se calcula como:
𝛽𝛽𝑐𝑐𝑐𝑐 =
𝑀𝑀𝑒𝑒𝑒𝑒
�𝑀𝑀
𝑐𝑐𝑐𝑐
(34)
Con el valor calculado del factor de respuesta 𝛽𝛽, se repite el
proceso de cálculo con las ecuaciones 24 a 27, hasta que se
satisfagan las ecuaciones 32 y 33.
Para el esfuerzo vertical cíclico en tracción, -∆𝑝𝑝𝑧𝑧 , la presión de
poro, ∆𝜔𝜔𝑡𝑡 , se puede calcular siguiendo un proceso iterativo
similar al descrito para el esfuerzo vertical cíclico a compresión,
pero ahora utilizando las ecuaciones siguientes:
𝑀𝑀𝑒𝑒𝑒𝑒 =
∆𝜀𝜀𝑧𝑧𝑧𝑧
∆𝑝𝑝𝑧𝑧𝑧𝑧 − (1 − 2𝜈𝜈𝛽𝛽𝑒𝑒𝑒𝑒 )Δ𝜔𝜔𝑡𝑡
𝑀𝑀𝑐𝑐𝑐𝑐 =
∆𝜀𝜀𝑧𝑧𝑧𝑧𝑧𝑧
∆𝑝𝑝𝑧𝑧𝑧𝑧 − (1 − 2𝜈𝜈)Δ𝜔𝜔𝑡𝑡
𝛽𝛽𝑒𝑒𝑒𝑒 =
𝑀𝑀𝑐𝑐𝑐𝑐
�𝑀𝑀
𝑒𝑒𝑒𝑒
(35)
(36)
(37)
En la Figura 4.1 se indica el procedimiento para obtener los
parámetros del modelo de Zeevaert, mediante una prueba triaxial
cíclica a esfuerzo controlado para una probeta de suelo ensayada
en sentido normal a la estratificación. Resultados similares se
Figura. 4.1 Definición de los parámetros del modelo de Zeevaert para
un ensaye triaxial cíclico a esfuerzo controlado en una probeta de suelo
en sentido normal a la estratificación. a) Estado de esfuerzos para
compresión; b) Estado de esfuerzos para tracción; c) Curva (±∆𝒑𝒑𝒛𝒛𝒛𝒛 ) −
(±∆𝜺𝜺𝒛𝒛𝒛𝒛 ).
5 ENSAYES REALIZADOS Y RESULTADOS
5.1 Propiedades índice y mecánicas del suelo estudiado (arcilla del
valle de México).
El suelo estudiado proviene de la zona lacustre del valle de México,
conocida como Zona de Lago, caracterizada por la presencia de
potentes estratos de arcilla muy compresible y de baja resistencia
al esfuerzo cortante. Las muestras inalteradas fueron obtenidas con
tubos de pared delgada tipo Shelby, de 10 cm de diámetro, a las
profundidades de 6.0, 7.0, 10.0 y 20.5 m. Se trata de una arcilla de
consistencia muy blanda a blanda (CH), que muestra un cierto
grado de preconsolidación en campo (menores a 2), en colores
verde grisáceo, gris oscuro y café amarillento. El nivel de aguas
freáticas se encontró a una profundidad de 4.70 m.
5.2 Ensayes triaxiales cíclicos y resultados
Para obtener los parámetros del modelo de Zeevaert se hicieron una
serie de ensayes triaxiales cíclicos en probetas de arcillas blandas
de la CDMX, labradas en sentido normal a la estratificación y
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Association for Engineering Geology and the Environment (IAEG), La Serena Chile, 2024.
Las propiedades índices y mecánicas más relevantes de las
probetas ensayadas se reportan en Tabla 1, En dicha tabla, W, es el
contenido natural de agua, 𝛾𝛾 m, el peso volumétrico en estado
natural, Gs, la densidad de sólidos, LL, el límite líquido, IP, el
′
índice de plasticidad, 𝜎𝜎𝑣𝑣𝑣𝑣
, el esfuerzo vertical efectivo equivalente
de campo, (OCR)o el grado de preconsolidación de campo, y su, la
resistencia no drenada del material.
En la Tabla 2 se reportan algunos parámetros del modelo de
Zeevaert obtenidos al interpretar los resultados experimentales de
los ensayes triaxiales cíclicos realizados en la arcilla blanda de la
CDMX, estos resultados se realizaron al 50% de esfuerzo de falla
y seleccionando el ciclo 10.
paralela a ella, no drenados. Las pruebas fueron en la modalidad de
esfuerzo controlado, manejando frecuencias de 0.5 Hz por ser este
un valor representativo de la mayoría de los sismos de la CDMX,
con un número de ciclos de carga N=20.
Una vez que la probeta de arcilla fue consolidada
isotrópicamente al esfuerzo efectivo equivalente de campo (𝜎𝜎𝑐𝑐𝑐𝑐 ),
se aplicaron incrementos de esfuerzo desviador cíclico ±∆𝑝𝑝𝑧𝑧
crecientes hasta llevar a la falla la probeta.
Todas las variables del ensaye de monitorearon mediante un
sistema de adquisición de datos, y se procesaron usando un
software desarrollado en Labview.
Tabla 1. Propiedades índice y mecánicas de las probetas de ensayadas.
Prof.
(m)
No.
Probeta
6.0
1H
6.0
W
(%)
F
(%)
𝛾𝛾 m
(t/m3)
Gs
LL
(%)
IP
(%)
Arcilla gris verdosos, compresible / CH
324.4
99.9
1.16
2.22
341
239
2V
Arcilla gris verdosos oscuro, compresible / CH
397.9
99.9
1.11
2.22
--
7.0
3H
Arcilla, café verdoso, compresible / CH
362.9
99.0
1.15
2.24
7.0
4V
Arcilla, café verdoso, compresible / CH
397.6
99.0
1.15
10.0
5H
Arcilla con arena, gris oscuro, compresible / CH
121.6
74.8
10.0
6V
Arcilla con arena, gris oscuro, compresible / CH
189.2
20.5
7H
Arcilla gris verdoso, compresible / CH
229.2
Descripción / SUCS
′
𝜎𝜎𝑣𝑣𝑣𝑣
(kPa)
(OCR)o
su
( kPa)
38.9
---
33.3
--
30.1
1.78
35.2
365
298
34.8
---
24.0
2.24
--
--
33.9
1.78
23.5
1.35
2.46
195
139
53.9
---
39.2
83.5
1.25
2.54
--
--
53.9
1.52
41.2
99.3
1.28
2.92
251
212
98.0
2.13
19.6
𝛽𝛽𝑐𝑐𝑐𝑐
𝛽𝛽𝑒𝑒𝑒𝑒
Tabla 2. Parámetros del modelo de Zeevaert
Prof.
(m)
No.
Probeta
∆εzc
∆εzcr
∆εzt
∆εzt
(%)
𝑀𝑀𝑒𝑒𝑒𝑒
𝑀𝑀𝑐𝑐𝑐𝑐
𝑀𝑀𝑐𝑐𝑐𝑐
𝑀𝑀𝑒𝑒𝑒𝑒
(1/kPa) (1/kPa) (1/kPa) (1/kPa)
6.0
1H
0.23
0.19
0.23
0.19
1.27
1.77
1.32
1.62
0.72
6.0
2V
0.21
0.18
0.19
0.17
1.70
2.24
1.69
2.00
7.0
3H
0.24
0.22
0.25
0.23
2.10
2.45
2.24
7.0
4V
0.20
0.20
0.17
0.17
2.16
2.16
10.0
5H
0.16
0.13
0.17
0.14
0.56
10.0
6V
0.16
0.13
0.15
0.13
20.5
7H
0.13
0.11
0.11
0.10
(%)
(%)
(%)
∆𝜔𝜔𝑐𝑐
(kPa)
∆𝜔𝜔𝑡𝑡
(kPa)
0.82
5.8
-2.2
0.76
0.84
4.0
-1.5
2.45
0.86
0.90
3.7
-1.5
2.28
2.20
1.00
1.00
2.9
-1.0
0.75
0.57
0.73
0.74
0.79
9.2
-3.7
0.69
0.92
0.70
0.85
0.75
0.83
7.5
-2.8
0.39
0.53
0.37
0.46
0.75
0.82
10.6
-3.8
En la Figuras 5.1, 5.2 y 5.3, se muestran, para un ensaye triaxial
cíclico representativo, la variación del esfuerzo desviador cíclico
(±∆𝑝𝑝𝑧𝑧 ), la deformación axial cíclica (±∆𝜀𝜀𝑧𝑧 ) y la presión de poro
(±∆𝜔𝜔𝑖𝑖 ), en función del tiempo, respectivamente.
Cabe resaltar que las magnitudes de las presiones de poro
medidas y calculadas en todos los ensayes realizados en esta
investigación fueron muy similares, no rebasando los 15 kPa, para
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esfuerzos de confinamiento entre 30 KPa y 100 kPa y niveles de
deformaciones axiales cíclicas menores de 0.5 % (Figura 5.4). La
magnitud máxima de presión de poro se alcanza prácticamente en
el primer ciclo de carga, incrementando ligeramente su valor a
medida que aumenta el número de ciclos y el nivel de deformación.
Resultados similares fueron reportados por Ovando et al (2021), en
arcillas blandas de la CDMX, midiendo la presión de poro en la
base de la probeta.
En la Figura 5.5 se indica la variación del módulo de
compresión unitaria 𝑀𝑀𝑐𝑐𝑐𝑐 en función del nivel de deformación
∆𝜀𝜀𝑐𝑐𝑐𝑐 , (rango de la prueba triaxial cíclica), para el ciclo de carga
N=10. Dichos resultados fueron ajustados con el modelo de
comportamiento de Ovando et al (2021), el cual es función de los
siguientes parámetros: módulos de deformación unitaria mínimo
y máximo, 𝑀𝑀𝑚𝑚í𝑛𝑛 y 𝑀𝑀𝑚𝑚á𝑥𝑥 , respectivamente; la deformación
unitaria de referencia ∆𝜀𝜀𝑟𝑟𝑟𝑟 , valor asociado con el punto de
inflexión de la curva 𝑀𝑀𝑐𝑐𝑐𝑐 − ∆𝜀𝜀𝑐𝑐𝑐𝑐 , ; el nivel de deformación del
ensaye ∆𝜀𝜀𝑐𝑐𝑐𝑐 y de la constante experimental 𝐵𝐵𝑀𝑀 , esta última
siendo función del índice de plasticidad del suelo IP.
En la Figura 5.6 se reporta la variación de los módulos
Mcz (compresión) y Mex (respuesta) en función de la deformación
unitaria ∆𝜀𝜀𝑧𝑧 , para todas las probetas ensayadas en sentido normal
a la estratificación, diferentes profundidades, 50% del esfuerzo de
falla, y ciclo de carga N=10. Se observa en dicha figura que los
módulos referidos no son muy diferentes, tomando en cuenta el
grado de dispersión.
De igual manera en la Figura 5.7 se muestra la variación de los
módulos Mez (tracción) y Mcx (respuesta) en función de la
deformación unitaria ∆𝜀𝜀𝑧𝑧 , para las mismas condiciones de ensaye,
pero en probetas ensayadas en sentido paralelo a la estratificación.
Los resultados que se muestran en dicha figura siguen una cierta
tendencia con un grado de dispersión un poco mayor que en el
caso de la Figura 5.6, sin poder establecer diferencias claras.
En las Figuras 5.8 y 5.9 se muestra la variación de los módulos
de deformación unitaria para compresión y tracción, para el 50 %
del esfuerzo de falla, ciclo de carga N=10, así como sus respuestas
correspondientes, en función del esfuerzo de confinamiento.
Figura. 5.2 Variación de la deformación axial cíclica ( ±∆𝜀𝜀𝑧𝑧 ) en
función del tiempo.
Figura. 5.3 Variación de la presión de poro (±∆𝜔𝜔𝑖𝑖 ), en función del
tiempo t.
N= 10 ciclos
Exp. Compresión
Modelo Z- Compresión
Exp. Tracción
Modelo Z- Tracción
(%)
Figura. 5.1 Variación del esfuerzo desviador cíclico ( ±∆𝑝𝑝𝑧𝑧 ) en
función del tiempo.
Figura. 5.4 Presiones de poro normalizadas ( ±∆𝜔𝜔𝑖𝑖 /𝜎𝜎𝑐𝑐𝑐𝑐 )
experimentales y calculadas (modelo de Zeevaert), en función del nivel
de deformación axial cíclica (±∆𝜀𝜀𝑧𝑧 ).
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Mcz y Mex (kPa-1)x10-4
Mcz (kPa-1) x10-4
4.0
3.5
3.0
2.5
100.0
Mzo= 4.25x10-4 [kPa -1]
para n = 1.0 y σco=0
Mcz
Mex
10.0
1.0
2.0
Mcz
M min (10-4) M max (10-4)
1.5
1.0
0.01
0.10
kPa-1
kPa-1
2.1
208.7
0.1
1.00
∆εzc (%)
4.0
3.5
𝑀𝑀𝑐𝑐𝑐𝑐 en
30
40
50
2.5
2.0
1.5
1.0
80
90
100
110
120
respuesta, en función del esfuerzo de confinamiento, σco, para N =10.
100.0
3.0
70
Figura. 5.8 Variación de los módulos Mcz y Mex en compresión y su
Mcz
Mex
60
σco (kPa)
Mcx y Mez (kPa-1)x10-4
Mcz y Mex (kPa-1)x10-4
Figura 5.5 Variación de los módulos de deformación unitaria
función del nivel de deformación ∆𝜀𝜀𝑧𝑧 .
20
Mzo = 4.28x10-4 [kPa-1 ]
para n = 1.0 y σco=0
Mcx
Mez
10.0
1.0
0.5
0.0
0.05
0.50
-∆εz (%)
Mez y Mcx (kPa-1)x10-4
Figura. 5.6 Variación de los módulos Mcz y Mex en compresión y su
respuesta, en función de la deformación unitaria; probetas labradas en
sentido normal a la estratificación, N=10.
4.0
3.5
Mez
Mcx
3.0
2.5
2.0
1.5
1.0
0.5
0.0
0.05
0.50
-∆εz (%)
Figura. 5.7 Variación de los módulos Mez y Mcx en compresión y su
respuesta en función del esfuerzo de confinamiento, para probetas
labradas en sentido paralelo a la estratificación, para N=10.
0.1
20
30
40
50
60
70
80
90
100
110
120
σco (kPa)
Figura. 5.9 Variación de los módulos Mcx y Mez en tracción y su
respuesta, en función del esfuerzo de confinamiento, para N =10.
Se comprueba que la variación de los módulos de deformación
unitaria en función del esfuerzo de confinamiento sigue una ley
exponencial, del tipo 𝑀𝑀𝑧𝑧 = 𝑀𝑀𝑧𝑧0 𝑒𝑒 −𝜎𝜎𝑐𝑐 𝑛𝑛 (e es la base de los
logaritmos naturales), siendo 𝑀𝑀𝑍𝑍0 y n dos coeficientes
experimentales, cuyos valores se indican en las figuras 5.8 y 5.9.
En la Figura 5.10 se presenta la variación del factor de
respuesta por compresión 𝛽𝛽𝑐𝑐𝑐𝑐 y por tracción 𝛽𝛽𝑒𝑒𝑒𝑒 , en función de
la resistencia no drenada de la arcilla (su), respectivamente. Estos
parámetros son necesarios para estimar teóricamente la presión de
poro generada durante el ensaye cíclico, usando el modelo de
Zeevaert, bajo el supuesto de que dicha presión de poro medida en
la base de la probeta de suelo no es representativa de todo el
espécimen.
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1.0
β
βez
βcz
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
15
20
25
30
35
40
45
50
su (kPa)
Figura. 5.10 Variación del factor de respuesta por compresión 𝛽𝛽𝑐𝑐𝑐𝑐 y
por tracción 𝛽𝛽𝑒𝑒𝑒𝑒 , en función de la resistencia no drenada de la arcilla.
6. CONCLUSIONES
Los módulos dinámicos de deformación unitaria obtenidos para a
arcilla blandas de la CDMX, son comparables con los obtenidos
por otros investigadores (Mendoza M.J., y Hernández V.M., 1994
y Ovando et al., 2021) en arcillas con características similares a la
de esta investigación.
Las presiones de poro medidas durante los ensayes triaxiales
cíclicos, no drenados, son muy pequeñas (menores de 15 kPa),
inclusive para esfuerzos desviadores cíclicos cercanos a la falla.
Su magnitud máxima se presenta para el primer ciclo de carga.,
evolucionando muy poco con el número de ciclos de carga
aplicados (N=20).
Las presiones de poro estimadas con el modelo de Zeevaert
fueron muy similares a las medidas experimentalmente (Figura
5.4), con magnitudes que no rebasaron los 15 kPa, aunque estos
resultados hay que verlos con reserva ya que los niveles de
deformaciones axiales cíclicas generadas durante los ensayes
fueron pequeñas, menores de 0.5%, para esfuerzos de
confinamiento entre 35 y 100 kPa. Estos resultados ponen en
evidencia la importancia de conocer la distribución real de las
presiones de poro a lo largo de la muestra durante la aplicación del
esfuerzo desviador cíclico, para hacer una interpretación más
realista de los resultados experimentales, ya que, en materiales de
baja permeabilidad como las arcillas de la CDMX, la medición de
la presión de poro en la base de la probeta puede ser muy
cuestionable.
La variación de los módulos de deformación unitaria Mcz
(compresión) y Mex (respuesta) en función de la deformación
unitaria ∆𝜀𝜀𝑧𝑧 , para todas las probetas ensayadas en sentido normal
a la estratificación, diferentes profundidades (entre 6.0 y 20.5 m),
50 % del esfuerzo de falla, y ciclo de carga N=10 (Figura 5.6), si
bien siguen una cierta tendencia, no se puede establecer con
claridad una ley de variación para dichos módulos y lo mismo
sucede con los módulos de deformación unitaria Mez (tracción) y
Mcx (respuesta), pero en probetas ensayadas en sentido paralelo a
la estratificación (Figura 5.7).
7. AGRADECIMIENTOS
Los autores de este trabajo desean expresar su más amplio
reconocimiento a la Dirección General de Asuntos del personal
Académico (DGAPA), de la UNAM, por el apoyo económico
recibido, a través del Programa de Apoyo a Proyectos de
Investigación y Desarrollo Tecnológico (PAPIIT), proyecto
IG100324.
De igual manera queremos expresar nuestra gratitud a las
autoridades de la División de Ingenierías Civil y Geomática
(DICyG) y del Instituto de Ingeniería (II), por habernos permitido
participar en este proyecto multidisciplinario cuyo producto final
fue el desarrollo de esta publicación.
No podemos pasar por alto el apoyo incondicional que nos
brindó el personal de Laboratorio de Geotecnia de la DICyG y del
II, tanto en la puesta en marcha del equipo triaxial cíclico
automatizado como durante la etapa experimental.
7. REFERENCIAS
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Congreso Nacional de Ingeniería Estructural, Acapulco, Gro. 16 a 19
de noviembre.