Cartilla - Tarea 2 - Funciones

Los números reales
La lı́nea recta
Funciones
Algunas funciones especiales
Cálculo Diferencial
Unidad 1: Funciones
Andrés Franco Londoño
Escuela de Ciencias Básicas, Tecnologı́as e Ingenierı́as - ECBTI
Universidad Nacional Abierta y a Distancia - UNAD
Bibliografı́a
Los números reales
La lı́nea recta
Contenido
1
Los números reales
2
La lı́nea recta
3
Funciones
4
Algunas funciones especiales
5
Bibliografı́a
Funciones
Algunas funciones especiales
Bibliografı́a
Los números reales
La lı́nea recta
Funciones
Presentación del curso
Contenido del curso
1
Unidad 1: Funciones.
2
Unidad 2: Lı́mites y continuidad.
3
Unidad 3: Derivadas.
Algunas funciones especiales
Bibliografı́a
Los números reales
La lı́nea recta
Funciones
Algunas funciones especiales
Bibliografı́a
Los números reales R
Los números naturales N
Los números naturales surgen de la necesidad de contar o de enumerar
objetos. El conjunto de los números naturales se denota con el sı́mbolo N, o
también con Z+ , y usualmente se escribe por extensión como
N = {1, 2, 3, . . . }
y
N0 = N ∪ {0} = {0, 1, 2, 3, . . . }.
Observación
La ecuaciones
x−5=3
y
2x + 9 = 17
tienen soluciones en el conjunto N (¿cuáles?).
Sin embargo, la ecuación x + 5 = 3 no tiene solución en N. Esto nos muestra
la necesidad de ampliar el conjunto de los números naturales.
Los números reales
La lı́nea recta
Funciones
Algunas funciones especiales
Bibliografı́a
Los números reales R
Los números naturales N
Los números naturales surgen de la necesidad de contar o de enumerar
objetos. El conjunto de los números naturales se denota con el sı́mbolo N, o
también con Z+ , y usualmente se escribe por extensión como
N = {1, 2, 3, . . . }
y
N0 = N ∪ {0} = {0, 1, 2, 3, . . . }.
Observación
La ecuaciones
x−5=3
y
2x + 9 = 17
tienen soluciones en el conjunto N (¿cuáles?).
Sin embargo, la ecuación x + 5 = 3 no tiene solución en N. Esto nos muestra
la necesidad de ampliar el conjunto de los números naturales.
Los números reales
La lı́nea recta
Funciones
Algunas funciones especiales
Bibliografı́a
Los números reales R
Los números enteros Z
El conjunto de los números enteros, denotado por Z, está formado por los
números naturales, sus inversos aditivos y el cero:
Z = {. . . , −4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, . . . }
Observación
Se usa la letra Z para denotar al conjunto de los números enteros por la
palabra alemana Zahlen, que significa números.
A diferencia de lo que ocurre en N, la resta de dos números enteros es
siempre un número entero.
Es claro que N ⊆ Z.
En Z podemos resolver ecuaciones como x + 3 = 1 y x2 = 16.
Se tiene la siguiente clasificación de los números enteros:
Z = Z− ∪ {0} ∪ Z+ .
Ecuaciones como 2x = 3 y x2 = 25
no tienen solución en Z.
4
Los números reales
La lı́nea recta
Funciones
Algunas funciones especiales
Bibliografı́a
Los números reales R
Los números enteros Z
El conjunto de los números enteros, denotado por Z, está formado por los
números naturales, sus inversos aditivos y el cero:
Z = {. . . , −4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, . . . }
Observación
Se usa la letra Z para denotar al conjunto de los números enteros por la
palabra alemana Zahlen, que significa números.
A diferencia de lo que ocurre en N, la resta de dos números enteros es
siempre un número entero.
Es claro que N ⊆ Z.
En Z podemos resolver ecuaciones como x + 3 = 1 y x2 = 16.
Se tiene la siguiente clasificación de los números enteros:
Z = Z− ∪ {0} ∪ Z+ .
Ecuaciones como 2x = 3 y x2 = 25
no tienen solución en Z.
4
Los números reales
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Funciones
Algunas funciones especiales
Bibliografı́a
Los números reales R
Los números racionales Q
El conjunto de los números racionales, denotado por Q, se puede escribir
por comprensión como:
Q=
m
n
| m, n ∈ Z, con n 6= 0 .
Observación
Se usa la letra Q para denotar al conjunto de los números racionales, ya
que todo racional se puede escribir como un cociente (quotient en inglés)
o razón de enteros.
Todo entero n se puede escribir como el número racional n1 , por lo que
Z ⊆ Q.
Los números racionales admiten una representación decimal finita o infinita periódica. Por ejemplo,
2
10
1
= 0, 4
= 3, 333 . . .
− = −0, 14285714285714 . . .
5
3
7
Ecuaciones como −6x + 7 = −2 tienen solución en Q.
Sin embargo, x2 = 2 no tiene solución en Q.
Los números reales
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Funciones
Algunas funciones especiales
Bibliografı́a
Los números reales R
Los números racionales Q
El conjunto de los números racionales, denotado por Q, se puede escribir
por comprensión como:
Q=
m
n
| m, n ∈ Z, con n 6= 0 .
Observación
Se usa la letra Q para denotar al conjunto de los números racionales, ya
que todo racional se puede escribir como un cociente (quotient en inglés)
o razón de enteros.
Todo entero n se puede escribir como el número racional n1 , por lo que
Z ⊆ Q.
Los números racionales admiten una representación decimal finita o infinita periódica. Por ejemplo,
2
10
1
= 0, 4
= 3, 333 . . .
− = −0, 14285714285714 . . .
5
3
7
Ecuaciones como −6x + 7 = −2 tienen solución en Q.
Sin embargo, x2 = 2 no tiene solución en Q.
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Funciones
Algunas funciones especiales
Bibliografı́a
Los números reales R
Los números irracionales Q∗
El conjunto de los números irracionales, denotado por Q∗ , está formado
por aquellos números que no son racionales, es decir por aquellos números
que no se pueden escribir de la forma m
, con m, n ∈ Z y n 6= 0.
n
Observación
Son ejemplos de números irracionales:
√
2 = 1.4142135623731 . . .
π = 3, 1415926535897 . . .
e = 2.71828182846 . . . (número de Euler)
√
ϕ = 1+2 5 = 1.61803398875 . . . (número de oro)
La representación decimal de los números irracionales es infinita y no
periódica.
En este conjunto se pueden resolver ecuaciones que no se pueden resolver
en√Q, como es el caso de la ecuación x2 = 2, cuyas soluciones son x =
± 2.
Los números reales
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Funciones
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Bibliografı́a
Los números reales R
Los números irracionales Q∗
El conjunto de los números irracionales, denotado por Q∗ , está formado
por aquellos números que no son racionales, es decir por aquellos números
que no se pueden escribir de la forma m
, con m, n ∈ Z y n 6= 0.
n
Observación
Son ejemplos de números irracionales:
√
2 = 1.4142135623731 . . .
π = 3, 1415926535897 . . .
e = 2.71828182846 . . . (número de Euler)
√
ϕ = 1+2 5 = 1.61803398875 . . . (número de oro)
La representación decimal de los números irracionales es infinita y no
periódica.
En este conjunto se pueden resolver ecuaciones que no se pueden resolver
en√Q, como es el caso de la ecuación x2 = 2, cuyas soluciones son x =
± 2.
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Funciones
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Bibliografı́a
Los números reales R
Los números reales R
El conjunto de los números reales, denotado por R, está formado por todos
los números racionales e irracionales. Ası́
R = Q ∪ Q∗
con
Q ∩ Q∗ = ∅
Observación
Se tiene que N ⊆ Z ⊆ Q ⊆ R y Q∗ ⊆ R.
La recta real: los números reales los podemos identificar con los puntos
de una recta. A cada número real le corresponde un único punto de la
recta y, recı́procamente, cada punto representa un único real.
− 31 0
1
2
1
√
2
2
e
3π
R
Los números reales
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Funciones
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Bibliografı́a
Los números reales R
Los números reales R
El conjunto de los números reales, denotado por R, está formado por todos
los números racionales e irracionales. Ası́
R = Q ∪ Q∗
con
Q ∩ Q∗ = ∅
Observación
Se tiene que N ⊆ Z ⊆ Q ⊆ R y Q∗ ⊆ R.
La recta real: los números reales los podemos identificar con los puntos
de una recta. A cada número real le corresponde un único punto de la
recta y, recı́procamente, cada punto representa un único real.
− 31 0
1
2
1
√
2
2
e
3π
R
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Bibliografı́a
Axiomas de campo para R
Axiomas de campo para R
En R existen dos operaciones binarias llamadas suma (+) y multiplicación
(·) que satisfacen las siguientes propiedades o axiomas: si a, b, c son números
reales, entonces
1 a + b es un número real.
6 a · b es un número real.
2
a + b = b + a.
3
(a + b) + c = a + (b + c).
4
Existe un número real, denotado
por 0, tal que:
7
a · b = b · a.
8
(a · b) · c = a · (b · c).
9
Existe un número real, denotado
por 1 6= 0, tal que:
1 · a = a.
a + 0 = a.
10
5
Para cada número real a, existe un real, denotado por −a, tal
que:
Para cada número real a 6= 0,
existe un real, denotado por a−1 ,
tal que:
a · a−1 = 1.
a + (−a) = 0.
11
a · (b + c) = a · b + a · c
(a + b) · c = a · c + b · c.
y
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Funciones
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Bibliografı́a
Axiomas de campo para R
Observación
1
El elemento 0 se llama elemento neutro para la suma o neutro
aditivo.
2
El elemento 1 se llama elemento neutro para la multiplicación o
neutro multiplicativo o identidad.
3
El elemento −a se llama opuesto de a o inverso aditivo de a.
4
Si a 6= 0, el elemento a−1 también se denota por a1 y se llama recı́proco
de a o inverso multiplicativo de a.
5
En lugar de escribir a · b para el producto entre a y b, escribiremos ab.
6
Si a, b ∈ R, la diferencia entre a y b se define como
a − b := a + (−b)
7
Si a, b ∈ R y b 6= 0, el cociente entre a y b se define como
a
:= ab−1
b
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Funciones
Algunas funciones especiales
Bibliografı́a
Consecuencias importantes de los axiomas de campo para R
Teorema
1
El elemento neutro para la suma es único. Es decir, si a + u = a para
todo a ∈ R, entonces u = 0.
2
El elemento neutro para la multiplicación es único. Es decir, si av = a
para todo a ∈ R, entonces v = 1.
3
Si a ∈ R, entonces el inverso aditivo de a es único.
4
Si a ∈ R y a 6= 0, entonces el inverso multiplicativo de a es único.
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Funciones
Algunas funciones especiales
Bibliografı́a
Consecuencias importantes de los axiomas de campo para R
Teorema
1
El elemento neutro para la suma es único. Es decir, si a + u = a para
todo a ∈ R, entonces u = 0.
2
El elemento neutro para la multiplicación es único. Es decir, si av = a
para todo a ∈ R, entonces v = 1.
3
Si a ∈ R, entonces el inverso aditivo de a es único.
4
Si a ∈ R y a 6= 0, entonces el inverso multiplicativo de a es único.
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Funciones
Algunas funciones especiales
Consecuencias importantes de los axiomas de campo para R
Teorema
Para todo a, b ∈ R se cumple que:
1
a · 0 = 0.
2
Si ab = 0, entonces a = 0 ó b = 0.
Teorema (Ley de los signos)
Para todo a, b ∈ R se cumple que:
1
(−1)a = −a.
3
(−a)b = a(−b) = −(ab).
2
−(−a) = a.
4
(−a)(−b) = ab.
Bibliografı́a
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Funciones
Algunas funciones especiales
Consecuencias importantes de los axiomas de campo para R
Teorema
Para todo a, b ∈ R se cumple que:
1
a · 0 = 0.
2
Si ab = 0, entonces a = 0 ó b = 0.
Teorema (Ley de los signos)
Para todo a, b ∈ R se cumple que:
1
(−1)a = −a.
3
(−a)b = a(−b) = −(ab).
2
−(−a) = a.
4
(−a)(−b) = ab.
Bibliografı́a
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Consecuencias importantes de los axiomas de campo para R
Teorema
Sean a, b, c, d ∈ R. Entonces:
1
(Ley cancelativa para la suma) Si a + c = b + c, entonces a = b.
2
(Ley cancelativa para la multiplicación) Si c 6= 0 y ca = cb, entonces
a = b.
3
Si b 6= 0, se tiene que ab = 0 si y sólo si a = 0.
4
Si a 6= 0, entonces (a−1 )−1 = a.
5
1
=
Si a 6= 0 y b 6= 0, entonces (ab)−1 = a−1 b−1 . Equivalentemente, ab
1
1
· b.
a
6
Si b 6= 0, d 6= 0, entonces ab + dc = ad+bc
.
bd
7
Si b 6= 0, d 6= 0, entonces ab · dc = ac
.
bd
8
a
Si b 6= 0, entonces − ab = −a
= −b
.
b
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Bibliografı́a
Axiomas de orden
Axiomas de orden para R
Existe en R un subconjunto no vacı́o, denotado por R+ , tal que:
1
Si a, b ∈ R+ , entonces a + b ∈ R+ y ab ∈ R+ .
2
Para cada a ∈ R, se cumple una y sólo una de las siguientes afirmaciones:
−a ∈ R+
ó
a=0
ó
a ∈ R+
Observación
1
2
3
El subconjunto R+ de R se llama el conjunto de los números reales
positivos.
Los elementos a ∈ R tales que −a ∈ R+ se llaman números reales
negativos. Al conjunto de números reales negativos lo denotaremos por
R− . Es decir,
R− := a ∈ R | −a ∈ R+
El axioma 2 se llama Propiedad de Tricotomı́a, ya que éste divide a
R en tres conjuntos disjuntos, ası́:
R = R− ∪ {0} ∪ R+
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Axiomas de orden
Axiomas de orden para R
Existe en R un subconjunto no vacı́o, denotado por R+ , tal que:
1
Si a, b ∈ R+ , entonces a + b ∈ R+ y ab ∈ R+ .
2
Para cada a ∈ R, se cumple una y sólo una de las siguientes afirmaciones:
−a ∈ R+
ó
a=0
ó
a ∈ R+
Observación
1
2
3
El subconjunto R+ de R se llama el conjunto de los números reales
positivos.
Los elementos a ∈ R tales que −a ∈ R+ se llaman números reales
negativos. Al conjunto de números reales negativos lo denotaremos por
R− . Es decir,
R− := a ∈ R | −a ∈ R+
El axioma 2 se llama Propiedad de Tricotomı́a, ya que éste divide a
R en tres conjuntos disjuntos, ası́:
R = R− ∪ {0} ∪ R+
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Bibliografı́a
Relación de orden en R
Definición
Sean a, b ∈ R.
1
2
Si a − b ∈ R+ , entonces escribimos a > b o b < a, lo cual se lee “a es
mayor que b” o “b es menor que a”, respectivamente.
Si a − b ∈ R+ ∪ {0}, escribimos a ≥ b o b ≤ a, lo cual se lee “a es mayor
o igual que b” o “b es menor o igual que a”, respectivamente.
Observación
1
2
Como caso particular de la definición anterior, se tiene que si a ∈ R+
(es decir, si a − 0 ∈ R+ ), escribimos a > 0. De igual manera, si −a ∈ R+
(es decir, si 0 − a ∈ R+ ), escribimos a < 0.
La Propiedad de Tricotomı́a implica que para a, b ∈ R se tiene una y
sólo una de las siguientes posibilidades:
a<b
ó
a=b
ó
a>b
3
Del ı́tem anterior se sigue que si a ≤ b y b ≤ a, entonces a = b.
4
Cada una de las expresiones a < b, a > b, a ≤ b, a ≥ b se denomina
desigualdad.
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Relación de orden en R
Definición
Sean a, b ∈ R.
1
2
Si a − b ∈ R+ , entonces escribimos a > b o b < a, lo cual se lee “a es
mayor que b” o “b es menor que a”, respectivamente.
Si a − b ∈ R+ ∪ {0}, escribimos a ≥ b o b ≤ a, lo cual se lee “a es mayor
o igual que b” o “b es menor o igual que a”, respectivamente.
Observación
1
2
Como caso particular de la definición anterior, se tiene que si a ∈ R+
(es decir, si a − 0 ∈ R+ ), escribimos a > 0. De igual manera, si −a ∈ R+
(es decir, si 0 − a ∈ R+ ), escribimos a < 0.
La Propiedad de Tricotomı́a implica que para a, b ∈ R se tiene una y
sólo una de las siguientes posibilidades:
a<b
ó
a=b
ó
a>b
3
Del ı́tem anterior se sigue que si a ≤ b y b ≤ a, entonces a = b.
4
Cada una de las expresiones a < b, a > b, a ≤ b, a ≥ b se denomina
desigualdad.
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Funciones
Algunas funciones especiales
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Consecuencias de los axiomas de orden
Teorema
Sean a, b, c números reales.
1
Si a > b y b > c, entonces a > c.
2
Si a > b, entonces a + c > b + c.
3
Si a > b y c > 0, entonces ca > cb.
4
Si a > b y c < 0, entonces ca < cb.
Ejercicio
Enunciar propiedades análogas a las del teorema anterior para la relación
‘<’.
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Consecuencias de los axiomas de orden
Teorema
Sean a, b, c números reales.
1
Si a > b y b > c, entonces a > c.
2
Si a > b, entonces a + c > b + c.
3
Si a > b y c > 0, entonces ca > cb.
4
Si a > b y c < 0, entonces ca < cb.
Ejercicio
Enunciar propiedades análogas a las del teorema anterior para la relación
‘<’.
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Intervalos
Notación
Usaremos la notación a < b < c para las desigualdades simultáneas
a<b y b<c
Las demás desigualdades simultáneas a ≤ b < c, a ≤ b ≤ c y a < b ≤ c se
definen de manera análoga.
Ejemplo
El conjunto
A=
x ∈ R | −1 ≤ x <
1
2
tiene como elementos a todos los números reales x que son mayores o iguales
que −1 y, al mismo tiempo, menores que 21 . Es decir, el conjunto A corresponde a todos los números reales x que están entre −1 y 21 , incluyendo el −1
pero sin incluir el 12 .
Este conjunto lo denotaremos por A = −1, 12
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Intervalos
Notación
Usaremos la notación a < b < c para las desigualdades simultáneas
a<b y b<c
Las demás desigualdades simultáneas a ≤ b < c, a ≤ b ≤ c y a < b ≤ c se
definen de manera análoga.
Ejemplo
El conjunto
A=
x ∈ R | −1 ≤ x <
1
2
tiene como elementos a todos los números reales x que son mayores o iguales
que −1 y, al mismo tiempo, menores que 21 . Es decir, el conjunto A corresponde a todos los números reales x que están entre −1 y 21 , incluyendo el −1
pero sin incluir el 12 .
Este conjunto lo denotaremos por A = −1, 12
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Intervalos
Notación
Sean a y b números reales con a < b. Definimos los siguientes intervalos:
1
(a, b) := {x ∈ R | a < x < b}
5
(a, ∞) := {x ∈ R | x > a}
2
[a, b] := {x ∈ R | a ≤ x ≤ b}
6
[a, ∞) := {x ∈ R | x ≥ a}
3
[a, b) := {x ∈ R | a ≤ x < b}
7
(−∞, b) := {x ∈ R | x < b}
4
(a, b] := {x ∈ R | a < x ≤ b}
8
(−∞, b] := {x ∈ R | x ≤ b}
9
(−∞, ∞) := R
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Funciones
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Bibliografı́a
Intervalos: representación geométrica
Intervalo abierto
El intervalo abierto (a, b) := {x ∈ R | a < x < b} se representa en la recta
real como
a
b
R
Intervalo cerrado
El intervalo cerrado [a, b] := {x ∈ R | a ≤ x ≤ b} se representa en la recta
real como
a
b
R
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Intervalos: representación geométrica
Intervalo abierto
El intervalo abierto (a, b) := {x ∈ R | a < x < b} se representa en la recta
real como
a
b
R
Intervalo cerrado
El intervalo cerrado [a, b] := {x ∈ R | a ≤ x ≤ b} se representa en la recta
real como
a
b
Ejercicio
Realice la interpretación geométrica de los demás intervalos.
R
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Intervalos: representación geométrica
Intervalo abierto
El intervalo abierto (a, b) := {x ∈ R | a < x < b} se representa en la recta
real como
a
b
R
Intervalo cerrado
El intervalo cerrado [a, b] := {x ∈ R | a ≤ x ≤ b} se representa en la recta
real como
a
b
Ejercicio
Realice la interpretación geométrica de los demás intervalos.
R
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Resolver una desigualdad
Resolver una desigualdad
Resolver una desigualdad es encontrar el conjunto de todos los números
reales que hacen que la desigualdad sea verdadera.
Ejemplo
Usar las consecuencias de los axiomas de orden para hallar el conjunto solución de la siguiente desigualdad (o inecuación):
2x − 9 < 4x − 8
Solución:
Sumando 9 a ambos lados de la desigualdad anterior, se obtiene
2x − 9 + 9 < 4x − 8 + 9
es decir
2x < 4x + 1
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Resolver una desigualdad
Resolver una desigualdad
Resolver una desigualdad es encontrar el conjunto de todos los números
reales que hacen que la desigualdad sea verdadera.
Ejemplo
Usar las consecuencias de los axiomas de orden para hallar el conjunto solución de la siguiente desigualdad (o inecuación):
2x − 9 < 4x − 8
Solución:
Sumando 9 a ambos lados de la desigualdad anterior, se obtiene
2x − 9 + 9 < 4x − 8 + 9
es decir
2x < 4x + 1
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Resolver una desigualdad
Ejemplo
Ahora, sumando (−4x) a ambos lados, operando y simplificando, obtenemos
−2x < 1
Finalmente, multiplicando a ambos lados por − 21 y teniendo en cuenta que
al multiplicar por un número negativo cambia el sentido de la desigualdad,
se llega a
− 12 (2x) > − 12 · 1
esto es,
x > − 12
Ası́, los valores de x que satisfacen la desigualdad son todos aquellos que son
mayores que − 12 . Si denotamos por S al conjunto solución de esta desigualdad, entonces este conjunto solución lo podemos escribir, usando la notación
de intervalo, como
S = − 12 , ∞
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Resolver una desigualdad
Ejemplo
Ahora, sumando (−4x) a ambos lados, operando y simplificando, obtenemos
−2x < 1
Finalmente, multiplicando a ambos lados por − 21 y teniendo en cuenta que
al multiplicar por un número negativo cambia el sentido de la desigualdad,
se llega a
− 12 (2x) > − 12 · 1
esto es,
x > − 12
Ası́, los valores de x que satisfacen la desigualdad son todos aquellos que son
mayores que − 12 . Si denotamos por S al conjunto solución de esta desigualdad, entonces este conjunto solución lo podemos escribir, usando la notación
de intervalo, como
S = − 12 , ∞
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Resolver una desigualdad
Ejercicio
Usar las consecuencias de los axiomas de orden para hallar el conjunto solución de la siguiente desigualdad. Escriba éste conjunto solución usando la
notación de intervalo y realice la representación geométrica en la recta real.
−8 ≤ 2x + 6 < 4
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El plano cartesiano
El plano cartesiano
Tomemos en el plano dos copias de la recta real, una horizontal y otra vertical,
de tal manera que se corten en el origen O. Estas rectas se denominan ejes
coordenados. Por convención, al eje horizontal lo llamaremos eje x y al
vertical eje y.
Ası́, cada punto P del plano se puede localizar con un par ordenado de
números reales (a, b), llamados coordenadas cartesianas o coordenadas
rectangulares del punto P . El primer número, a, es la coordenada x (o
abscisa) y el segundo número, b, es la coordenada y (u ordenada).
Notación
Si (a, b) son las coordenadas de un punto P , escribiremos P = (a, b) o P (a, b).
Los números reales
La lı́nea recta
Funciones
Algunas funciones especiales
Bibliografı́a
El plano cartesiano
El plano cartesiano
Tomemos en el plano dos copias de la recta real, una horizontal y otra vertical,
de tal manera que se corten en el origen O. Estas rectas se denominan ejes
coordenados. Por convención, al eje horizontal lo llamaremos eje x y al
vertical eje y.
Ası́, cada punto P del plano se puede localizar con un par ordenado de
números reales (a, b), llamados coordenadas cartesianas o coordenadas
rectangulares del punto P . El primer número, a, es la coordenada x (o
abscisa) y el segundo número, b, es la coordenada y (u ordenada).
Notación
Si (a, b) son las coordenadas de un punto P , escribiremos P = (a, b) o P (a, b).
Los números reales
La lı́nea recta
Funciones
Algunas funciones especiales
Ejemplo
y
4
(−5, 3)
3
(3, 2)
2
1
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
-1
-2
-3
-4
(1, −4)
(a) Sistema de coordenadas rectangulares
4
5
x
Bibliografı́a
Los números reales
La lı́nea recta
Funciones
Algunas funciones especiales
Bibliografı́a
La lı́nea recta
Definición (Pendiente de una recta)
Sea L una lı́nea recta que pasa por los puntos P = (x1 , y1 ) y Q = (x2 , y2 )
con x1 6= x2 . La pendiente m de L se define como
m=
y2 − y1
elevación
=
x2 − x1
avance
y
Q(x2 , y2 )
y2 − y1
P (x1 , y1 )
x2 − x1
x
Los números reales
La lı́nea recta
Funciones
Algunas funciones especiales
Bibliografı́a
Pendiente de una recta
Ejemplo
Calcule la pendiente de la recta que pasa por los puntos P = (−2, 4) y
Q = (5, 1). Grafique la recta e interprete el valor de la pendiente.
Solución:
Usando la fórmula dada en la definición de pendiente, tenemos que la pendiente de la recta que pasa por los puntos P y Q está dada por
m=
1−4
−3
3
=
=−
5 − (−2)
7
7
Los números reales
La lı́nea recta
Funciones
Algunas funciones especiales
Bibliografı́a
Pendiente de una recta
Ejemplo
Calcule la pendiente de la recta que pasa por los puntos P = (−2, 4) y
Q = (5, 1). Grafique la recta e interprete el valor de la pendiente.
Solución:
Usando la fórmula dada en la definición de pendiente, tenemos que la pendiente de la recta que pasa por los puntos P y Q está dada por
m=
1−4
−3
3
=
=−
5 − (−2)
7
7
A continuación se muestra la gráfica de la recta que pasa por P y Q.
Los números reales
La lı́nea recta
Funciones
Algunas funciones especiales
Bibliografı́a
Pendiente de una recta
Ejemplo
Calcule la pendiente de la recta que pasa por los puntos P = (−2, 4) y
Q = (5, 1). Grafique la recta e interprete el valor de la pendiente.
Solución:
Usando la fórmula dada en la definición de pendiente, tenemos que la pendiente de la recta que pasa por los puntos P y Q está dada por
m=
1−4
−3
3
=
=−
5 − (−2)
7
7
A continuación se muestra la gráfica de la recta que pasa por P y Q.
Los números reales
La lı́nea recta
Funciones
Algunas funciones especiales
Bibliografı́a
Pendiente de una recta
Ejemplo
La interpretación del valor de la pendiente es la siguiente: que la pendiente
sea − 37 , significa que, cuando se avanza 3 unidades en el eje x, se baja 7
unidades en el eje y.
Los números reales
La lı́nea recta
Funciones
Algunas funciones especiales
Bibliografı́a
Forma punto–pendiente
Teorema (Forma punto–pendiente)
La ecuación de la recta que pasa por un punto fijo de coordenadas (x1 , y1 ) y
tiene pendiente m está dada por
y − y1 = m(x − x1 )
A esta forma de la ecuación de la recta se le llama forma punto–pendiente.
Los números reales
La lı́nea recta
Funciones
Algunas funciones especiales
Bibliografı́a
Forma punto–pendiente
Ejemplo
Determine la ecuación de la recta que pasa por A = (−4, 2) y B = (6, −1).
Solución:
Usando un procedimiento análogo al del ejemplo anterior, obtenemos que la
pendiente de la recta que pasa por los puntos A y B es
3
m = − 10
Ahora, usando la forma punto–pendiente para la ecuación de la recta con el
punto fijo A = (−4, 2) = (x1 , y1 ), tenemos
3
(x − (−4))
y − 2 = − 10
Simplificando, se llega a que la ecuación de la recta que pasa por A y B es
3
y = − 10
x + 54
Los números reales
La lı́nea recta
Funciones
Algunas funciones especiales
Bibliografı́a
Forma punto–pendiente
Ejemplo
Determine la ecuación de la recta que pasa por A = (−4, 2) y B = (6, −1).
Solución:
Usando un procedimiento análogo al del ejemplo anterior, obtenemos que la
pendiente de la recta que pasa por los puntos A y B es
3
m = − 10
Ahora, usando la forma punto–pendiente para la ecuación de la recta con el
punto fijo A = (−4, 2) = (x1 , y1 ), tenemos
3
(x − (−4))
y − 2 = − 10
Simplificando, se llega a que la ecuación de la recta que pasa por A y B es
3
y = − 10
x + 54
Los números reales
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Funciones
Algunas funciones especiales
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Forma punto–pendiente
Ejercicio
1
Comprobar que la ecuación de la recta anterior es equivalente a
3x + 10y − 8 = 0
2
En el ejemplo anterior, halle la ecuación de la recta usando el punto B
en lugar del punto A y compruebe que se obtiene la misma ecuación (o
una ecuación equivalente). Esto muestra que el punto que se elija para
trabajar con la forma punto–pendiente no es relevante.
Los números reales
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Algunas funciones especiales
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Forma pendiente–intersección
Teorema (Forma pendiente–intersección)
La ecuación de la recta con pendiente m y que interseca al eje y en y = b
está dada por
y = mx + b
A esta forma de la ecuación de la recta se le llama forma pendiente–
intersección.
Los números reales
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Funciones
Algunas funciones especiales
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Forma pendiente–intersección
Ejemplo
En el ejemplo anterior vimos que la ecuación de la recta que pasa por los
puntos A = (−4, 2) y B = (6, −1) es
3
y = − 10
x + 54
Como la ecuación está escrita en la forma y = mx + b, podemos deducir que
3
la pendiente de la recta es m = − 10
y que la recta corta al eje y en y = 54 .
Los números reales
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Algunas funciones especiales
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Rectas verticales
Ecuación de una recta vertical
De lo anterior tenemos que una recta vertical no tiene pendiente definida. La
ecuación de cualquier recta vertical tiene la forma
x=k
donde k es una constante
y
x=2
4
3
2
1
-5
-4
-3
-2
-1
1
-1
-2
-3
-4
2
3
4
5
x
Los números reales
La lı́nea recta
Funciones
Algunas funciones especiales
Bibliografı́a
La forma Ax + By + C = 0
Forma general de la ecuación de la recta
La ecuación de la recta en su forma general está dada por
Ax + By + C = 0
donde A, B, C ∈ R y A y B no son cero simultáneamente.
Observación
Toda ecuación lineal en las variables x y y como la anterior representa una
lı́nea recta. Recı́procamente, la ecuación de cualquier recta se puede escribir
en esta forma. (Verificarlo con las rectas de los ejemplos anteriores).
Los números reales
La lı́nea recta
Funciones
Algunas funciones especiales
Bibliografı́a
La forma Ax + By + C = 0
Forma general de la ecuación de la recta
La ecuación de la recta en su forma general está dada por
Ax + By + C = 0
donde A, B, C ∈ R y A y B no son cero simultáneamente.
Observación
Toda ecuación lineal en las variables x y y como la anterior representa una
lı́nea recta. Recı́procamente, la ecuación de cualquier recta se puede escribir
en esta forma. (Verificarlo con las rectas de los ejemplos anteriores).
Los números reales
La lı́nea recta
Funciones
Algunas funciones especiales
Bibliografı́a
Rectas paralelas
Definición
Sean L1 y L2 dos rectas en el plano. Decimos que L1 y L2 son paralelas,
lo que denotamos como L1 k L2 , si se cumple alguna de las siguientes dos
condiciones:
1
L1 = L2 .
2
L1 y L2 no tienen puntos en común, es decir L1 ∩ L2 = ∅.
Teorema
Sean L1 y L2 dos rectas no verticales con pendientes m1 y m2 , respectivamente. Entonces L1 k L2 si y sólo si m1 = m2 .
Los números reales
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Funciones
Algunas funciones especiales
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Rectas paralelas
Definición
Sean L1 y L2 dos rectas en el plano. Decimos que L1 y L2 son paralelas,
lo que denotamos como L1 k L2 , si se cumple alguna de las siguientes dos
condiciones:
1
L1 = L2 .
2
L1 y L2 no tienen puntos en común, es decir L1 ∩ L2 = ∅.
Teorema
Sean L1 y L2 dos rectas no verticales con pendientes m1 y m2 , respectivamente. Entonces L1 k L2 si y sólo si m1 = m2 .
Los números reales
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Algunas funciones especiales
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Rectas perpendiculares
Teorema
Sean L1 y L2 dos rectas no verticales con pendientes m1 y m2 , respectivamente. Entonces L1 y L2 son perpendiculares si y sólo si m1 · m2 = −1.
Notación
Si dos rectas L1 y L2 son perpendiculares, esto lo denotamos como L1 ⊥ L2 .
Los números reales
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Funciones
Algunas funciones especiales
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Rectas perpendiculares
Teorema
Sean L1 y L2 dos rectas no verticales con pendientes m1 y m2 , respectivamente. Entonces L1 y L2 son perpendiculares si y sólo si m1 · m2 = −1.
Notación
Si dos rectas L1 y L2 son perpendiculares, esto lo denotamos como L1 ⊥ L2 .
Los números reales
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Funciones
Algunas funciones especiales
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Rectas perpendiculares
Ejemplo
Encuentre la ecuación de la recta que pasa por Q = (3, −3) y es perpendicular
a la recta cuya ecuación es 2x − y + 5 = 0.
Solución:
Hallemos primero la pendiente de la recta dada 2x − y + 5 = 0. Para esto,
escribimos esta última ecuación en la forma y = mx+b, despejando la variable
y. Se obtiene
y = 2x + 5
de donde se deduce que la pendiente de la recta dada es m1 = 2. Como
la recta que se pide debe ser perpendicular a la recta dada, entonces debe
cumplirse que m1 · m2 = −1, donde m2 es la pendiente de la recta que
debemos hallar. Ası́, m2 = − 21 .
Los números reales
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Funciones
Algunas funciones especiales
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Rectas perpendiculares
Ejemplo
Finalmente, usando la forma punto–pendiente con m2 = − 12 y Q = (3, −3)
obtenemos
y − (−3) = − 21 (x − 3)
Los números reales
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Algunas funciones especiales
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Rectas perpendiculares
Ejercicio
1
Encuentre la ecuación de la recta que pasa por el punto de intersección
de las rectas con ecuaciones 3x + 4y = 8 y 6x − 10y = 7 y que es
perpendicular a la primera de estas rectas.
2
Demuestre que el triángulo cuyos vértices son (−2, 4), (4, 0) y (−6, −2)
es un triángulo rectángulo.
Los números reales
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Funciones
Algunas funciones especiales
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Definición de función
Definición (Función)
Sean A y B conjuntos no vacı́os. Una función de A en B es una regla
de correspondencia que asocia a cada elemento x ∈ A un único elemento
y = f (x) ∈ B.
Observación
1. El conjunto A se llama dominio de la función y se denota por Dom(f ).
Es decir, A = Dom(f ) = {x : existe y ∈ B tal que f (x) = y}.
Los números reales
La lı́nea recta
Funciones
Algunas funciones especiales
Bibliografı́a
Definición de función
Definición (Función)
Sean A y B conjuntos no vacı́os. Una función de A en B es una regla
de correspondencia que asocia a cada elemento x ∈ A un único elemento
y = f (x) ∈ B.
Observación
1. El conjunto A se llama dominio de la función y se denota por Dom(f ).
Es decir, A = Dom(f ) = {x : existe y ∈ B tal que f (x) = y}.
2. El conjunto B se denomina codominio de f .
Los números reales
La lı́nea recta
Funciones
Algunas funciones especiales
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Definición de función
Definición (Función)
Sean A y B conjuntos no vacı́os. Una función de A en B es una regla
de correspondencia que asocia a cada elemento x ∈ A un único elemento
y = f (x) ∈ B.
Observación
1. El conjunto A se llama dominio de la función y se denota por Dom(f ).
Es decir, A = Dom(f ) = {x : existe y ∈ B tal que f (x) = y}.
2. El conjunto B se denomina codominio de f .
3. El único elemento y ∈ B tal que f (x) = y se llama imagen de x bajo
f . En este caso también decimos que x es una preimagen para y.
Los números reales
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Funciones
Algunas funciones especiales
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Definición de función
Definición (Función)
Sean A y B conjuntos no vacı́os. Una función de A en B es una regla
de correspondencia que asocia a cada elemento x ∈ A un único elemento
y = f (x) ∈ B.
Observación
1. El conjunto A se llama dominio de la función y se denota por Dom(f ).
Es decir, A = Dom(f ) = {x : existe y ∈ B tal que f (x) = y}.
2. El conjunto B se denomina codominio de f .
3. El único elemento y ∈ B tal que f (x) = y se llama imagen de x bajo
f . En este caso también decimos que x es una preimagen para y.
4. El conjunto formado por todas las imágenes se llama rango (o imagen)
de f y se denota por Ran(f ). Es decir,
Ran(f ) = {y ∈ B : existe x ∈ A tal que f (x) = y} = {f (x) : x ∈ A}.
Obsérvese entonces que el rango de f es un subconjunto del codominio
de f .
Los números reales
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Funciones
Algunas funciones especiales
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Definición de función
Definición (Función)
Sean A y B conjuntos no vacı́os. Una función de A en B es una regla
de correspondencia que asocia a cada elemento x ∈ A un único elemento
y = f (x) ∈ B.
Observación
1. El conjunto A se llama dominio de la función y se denota por Dom(f ).
Es decir, A = Dom(f ) = {x : existe y ∈ B tal que f (x) = y}.
2. El conjunto B se denomina codominio de f .
3. El único elemento y ∈ B tal que f (x) = y se llama imagen de x bajo
f . En este caso también decimos que x es una preimagen para y.
4. El conjunto formado por todas las imágenes se llama rango (o imagen)
de f y se denota por Ran(f ). Es decir,
Ran(f ) = {y ∈ B : existe x ∈ A tal que f (x) = y} = {f (x) : x ∈ A}.
Obsérvese entonces que el rango de f es un subconjunto del codominio
de f .
Los números reales
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Funciones
Algunas funciones especiales
Bibliografı́a
Definición de función
Observación
5. Si f es una función de A en B usaremos la notación:
f:
A −→ B
x 7−→ y = f (x)
A la variable x se le llama variable independiente y a y se le llama
variable dependiente.
6. En este curso estamos interesados en funciones tales que A ⊆ R y B ⊆ R,
es decir, en funciones de variable real y de valor real.
Los números reales
La lı́nea recta
Funciones
Algunas funciones especiales
Bibliografı́a
Definición de función
Observación
5. Si f es una función de A en B usaremos la notación:
f:
A −→ B
x 7−→ y = f (x)
A la variable x se le llama variable independiente y a y se le llama
variable dependiente.
6. En este curso estamos interesados en funciones tales que A ⊆ R y B ⊆ R,
es decir, en funciones de variable real y de valor real.
7. Cuando no se especifica el dominio de una función de variable real, suponemos que es el conjunto más grande de números reales para el cual la
regla de asignación tiene sentido. Este conjunto será llamado dominio
natural de la función.
Los números reales
La lı́nea recta
Funciones
Algunas funciones especiales
Bibliografı́a
Definición de función
Observación
5. Si f es una función de A en B usaremos la notación:
f:
A −→ B
x 7−→ y = f (x)
A la variable x se le llama variable independiente y a y se le llama
variable dependiente.
6. En este curso estamos interesados en funciones tales que A ⊆ R y B ⊆ R,
es decir, en funciones de variable real y de valor real.
7. Cuando no se especifica el dominio de una función de variable real, suponemos que es el conjunto más grande de números reales para el cual la
regla de asignación tiene sentido. Este conjunto será llamado dominio
natural de la función.
Los números reales
La lı́nea recta
Funciones
Algunas funciones especiales
y
R+ −→ R
x 7−→ x2
Ejemplos
Ejemplo
Para las funciones
f:
R −→ R
x 7−→ x2
se tiene que:
Dom(f ) = R, Ran(f ) = R+ ∪ {0}.
Dom(g) = R+ , Ran(g) = R+ .
g:
Bibliografı́a
Los números reales
La lı́nea recta
Funciones
Algunas funciones especiales
y
R+ −→ R
x 7−→ x2
Ejemplos
Ejemplo
Para las funciones
f:
R −→ R
x 7−→ x2
g:
se tiene que:
Dom(f ) = R, Ran(f ) = R+ ∪ {0}.
Dom(g) = R+ , Ran(g) = R+ .
Pregunta: ¿las funciones f y g son iguales?
Bibliografı́a
Los números reales
La lı́nea recta
Funciones
Algunas funciones especiales
y
R+ −→ R
x 7−→ x2
Ejemplos
Ejemplo
Para las funciones
f:
R −→ R
x 7−→ x2
g:
se tiene que:
Dom(f ) = R, Ran(f ) = R+ ∪ {0}.
Dom(g) = R+ , Ran(g) = R+ .
Pregunta: ¿las funciones f y g son iguales?
Bibliografı́a
Los números reales
La lı́nea recta
Funciones
Algunas funciones especiales
y
R+ −→ R
x 7−→ x2
Ejemplos
Ejemplo
Para las funciones
f:
R −→ R
x 7−→ x2
g:
se tiene que:
Dom(f ) = R, Ran(f ) = R+ ∪ {0}.
Dom(g) = R+ , Ran(g) = R+ .
Pregunta: ¿las funciones f y g son iguales?
Bibliografı́a
Los números reales
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Funciones
Algunas funciones especiales
Bibliografı́a
Gráficas de funciones
Definición
Sea f : A ⊆ R −→ B ⊆ R una función de variable real y valor real. La gráfica
de f es el conjunto de puntos (x, f (x)) del plano tales que x pertenece al
dominio de f . Es decir,
Gráfica de f = (x, y) ∈ R2 : y = f (x), x ∈ Dom(f ) .
Ejemplo
Bosqueje las gráficas de las funciones:
1
f (x) = x2 − 1.
2
2
g(x) = x−1
.
Los números reales
La lı́nea recta
Funciones
Algunas funciones especiales
Bibliografı́a
Gráficas de funciones
Definición
Sea f : A ⊆ R −→ B ⊆ R una función de variable real y valor real. La gráfica
de f es el conjunto de puntos (x, f (x)) del plano tales que x pertenece al
dominio de f . Es decir,
Gráfica de f = (x, y) ∈ R2 : y = f (x), x ∈ Dom(f ) .
Ejemplo
Bosqueje las gráficas de las funciones:
1
f (x) = x2 − 1.
2
2
g(x) = x−1
.
Solución:
A continuación se presenta la gráfica de ambas funciones, las cuales se pueden comprobar fácilmente haciendo una tabla de valores o con el software
GeoGebra:
Los números reales
La lı́nea recta
Funciones
Algunas funciones especiales
Bibliografı́a
Gráficas de funciones
Definición
Sea f : A ⊆ R −→ B ⊆ R una función de variable real y valor real. La gráfica
de f es el conjunto de puntos (x, f (x)) del plano tales que x pertenece al
dominio de f . Es decir,
Gráfica de f = (x, y) ∈ R2 : y = f (x), x ∈ Dom(f ) .
Ejemplo
Bosqueje las gráficas de las funciones:
1
f (x) = x2 − 1.
2
2
g(x) = x−1
.
Solución:
A continuación se presenta la gráfica de ambas funciones, las cuales se pueden comprobar fácilmente haciendo una tabla de valores o con el software
GeoGebra:
Los números reales
La lı́nea recta
Funciones
Algunas funciones especiales
Gráfica de f (x) = x2 −f1
6
5
4
3
2
1
−4
−3
−2
−1
1
−1
−2
2
3
4
Bibliografı́a
Los números reales
La lı́nea recta
Funciones
Algunas funciones especiales
2
Gráfica de g(x) = x−1
4
3
2
1
−4
−3
−2
−1
1
−1
−2
−3
−4
2
3
4
5
Bibliografı́a
Los números reales
La lı́nea recta
Funciones
Algunas funciones especiales
Función constante
Función constante
Es una función de la forma
−→
7−→
f :R
x
R
f (x) = c
donde c es una constante real. En este caso Ran(f ) = {c}.
3
f (x) = 2
2
1
−3
−2
−1
−1
−2
−3
1
2
3
4
Bibliografı́a
Los números reales
La lı́nea recta
Funciones
Algunas funciones especiales
Bibliografı́a
Función lineal
Función lineal
Es una función de la forma
f :R
x
−→
7−→
R
f (x) = mx + b
que corresponde a la recta con pendiente m e intercepto b con el eje y. Si
m 6= 0, entonces Ran(f ) = R. ¿Qué ocurre si m = 0?
2
f (x) = − 12 x − 1
1
−4
−3
−2
−1
−1
−2
−3
1
2
3
4
Los números reales
La lı́nea recta
Funciones
Algunas funciones especiales
Bibliografı́a
Función cuadrática
Función cuadrática
Es una función de la forma
f :R
x
−→
7−→
R
f (x) = ax2 + bx + c
donde a, b, c ∈ R y a 6= 0. Su gráfica es una curva denominada parábola.
Ésta abre hacia arriba si a > 0 y abre hacia abajo si a < 0.
3
2
1
−4
−3
−2
−1
1
2
3
−1
−2
−3
f (x) = 2x2 + 3x − 2
Los números reales
La lı́nea recta
Funciones
Algunas funciones especiales
Bibliografı́a
Función polinomial
Función polinomial de grado n
Es una función f : R −→ R dada por
f (x) = an xn + an−1 xn−1 + · · · + a1 x + a0
donde an , an−1 , . . . , a1 , a0 son números reales y an 6= 0.
Observación
Las funciones constantes, lineales y cuadráticas son casos particulares de
funciones polinomiales
Los números reales
La lı́nea recta
Funciones
Algunas funciones especiales
Bibliografı́a
Función polinomial
Función polinomial de grado n
Es una función f : R −→ R dada por
f (x) = an xn + an−1 xn−1 + · · · + a1 x + a0
donde an , an−1 , . . . , a1 , a0 son números reales y an 6= 0.
Observación
Las funciones constantes, lineales y cuadráticas son casos particulares de
funciones polinomiales
Ejercicio
Otro caso particular de función polinomial, es la función cúbica o función
polinómica de grado 3. Realice la gráfica de f (x) = x3 . Especifique el dominio
natural y el rango de f .
Los números reales
La lı́nea recta
Funciones
Algunas funciones especiales
Bibliografı́a
Función polinomial
Función polinomial de grado n
Es una función f : R −→ R dada por
f (x) = an xn + an−1 xn−1 + · · · + a1 x + a0
donde an , an−1 , . . . , a1 , a0 son números reales y an 6= 0.
Observación
Las funciones constantes, lineales y cuadráticas son casos particulares de
funciones polinomiales
Ejercicio
Otro caso particular de función polinomial, es la función cúbica o función
polinómica de grado 3. Realice la gráfica de f (x) = x3 . Especifique el dominio
natural y el rango de f .
Los números reales
La lı́nea recta
Funciones
Algunas funciones especiales
Función polinomial de grado 4
6
5
4
3
2
1
−4
−3
−2
−1
1
−1
2
3
f (x) = x4 − 3x + 2
4
Bibliografı́a
Los números reales
La lı́nea recta
Funciones
Algunas funciones especiales
Función valor absoluto
Función valor absoluto
Es una función de la forma
f :R
x
−→
7−→
R
f (x) = |x|
El rango de esta función es Ran(f ) = R+ ∪ {0} = [0, ∞).
3
f (x) = |x|
2
1
−4
−3
−2
−1
−1
−2
1
2
3
4
5
Bibliografı́a
Los números reales
La lı́nea recta
Funciones
Algunas funciones especiales
Función raı́z cuadrada
Función raı́z cuadrada
Es una función de la forma
f : [0, ∞)
x
−→
7−→
R
√
f (x) = x
El rango de esta función es Ran(f ) = R+ ∪ {0} = [0, ∞).
2
f (x) =
1
−1
−1
1
2
3
4
√
x
5
6
Bibliografı́a
Los números reales
La lı́nea recta
Funciones
Algunas funciones especiales
Bibliografı́a
Bibliografı́a
Leithold, L., El Cálculo, séptima edición. México : Oxford University
Press, 1998.
Purcell, E., Varberg, D., Rigdon, S., Cálculo, novena edición. México: Pearson Education, 2007.
Zill, D., Wright, W., Cálculo: trascendentes tempranas, cuarta edición. México: McGraw-Hill Educación, 2011.