TEORIA
ELECTROMAGNETICA
IET1309
Ing. Iván Sánchez
Bloque 4, Segundo Piso, Sala de profesores
[email protected]
ALGEBRA VECTORIAL
Objetivos de aprendizaje
• Conocer las herramientas matemáticas
fundamentales que se requiere a lo largo del curso
• Conocer los sistemas de coordenadas cartesiano
cilíndrico y esférico que son los mas utilizados para
soluciones analíticas de los problemas de campos.
• Conocer las operaciones diferenciales vectoriales
clásicas
Campos Escalares y
Vectoriales. Notación
Un campo es una función que asigna valor de una
propiedad física o matemática a cada punto en el
espacio
Tipos :
Escalar - ej. Temperatura
Vector – el. Campo Gravitatorio
Cantidades escalares (letra cursiva)
Cantidades Vectoriales (Negrita)
Operaciones con vectores
Suma Algébrica: A+B = C suma algébrica de vectores es otro vector
Operaciones con vectores
Un sistema de coordenadas expresa un vector como suma de sus
componentes:
Vectores coplanares (Pertenecen a un mismo plano)
Vectores tridimensionales, pueden sumarse expresando cada uno en
términos de sus componentes y sumando en términos correspondientes
Regla de la sustracción D = A - B como A + (-B) cambia el sentido del
vector B
Operaciones con vectores
Vector Unitario:
Vector A in Fig. 3-1 has magnitude (or
length) A = |A| and unit vector ˆa:
Operaciones con vectores
Vector A en un sistema
coordenadas cartesianas:
Operaciones con vectores
Los vectores pueden multiplicarse por escalares:
Escalar Positivo: Magnitud del vector cambia pero no su dirección
Escalar Negativo: Se invierte la dirección del vector, magnitud cambia
La División de un vector por un escalar es simplemente multiplicarlo por
el reciproco de dicho escalar
Operaciones con vectores
Vector Posición: Notación de punto fuente a punto campo
Punto Fuente.- mediante este tipo de vectores se puede describir la posición
de las fuentes de campo (e.j cargas) R2
Punto Campo.- Posición del punto que se desea calcular el campo R1
Determinación de vectores Fuente y Campo:
Determinación de la distancia vector posición:
Determinación de la magnitud del vector posición:
Operaciones con vectores
Producto punto de un vector
In Cartesian coordinates:
Vectores ortogonales:
Operaciones con vectores
Producto cruz de un vector: se define como
Propiedades
Regla de la mano derecha
Sistema de coordenadas: Cartesiano,
Cilíndrico y esférico
Sistema Coordenadas Cartesiano o Rectangular:
Un vector se descompone según sus componentes en un sistema referencial cartesiano:
En coordenadas cartesianas, un vector de longitud
diferencial se expresa como:
dS denotaría un diferencial de área:
dV denotaría un diferencial de volumen
Sistema de coordenadas: Cartesiano,
Cilíndrico y esférico
Dados los puntos:
P (1,2,3) y Q (2,-2,1)
Sistema de coordenadas: Cartesiano,
Cilíndrico y esférico
Determinar el vector posición RPQ y su vector unitario:
Sistema de coordenadas: Cartesiano,
Cilíndrico y esférico
Sistema de coordenadas: Cartesiano,
Cilíndrico y esférico
Campos vectoriales
Se define como una función vectorial de un vector posición
En general , la magnitud y dirección de la función cambiaran conforme se
este moviendo en esta región. Si se tiene un vector posición r, entonces
el campo vectorial G se puede expresar en función G(r)
Sistema de coordenadas: Cartesiano,
Cilíndrico y esférico
Sistema de coordenadas: Cartesiano,
Cilíndrico y esférico
Sistema de coordenadas: Cartesiano,
Cilíndrico y esférico
Sistema de coordenadas: Cartesiano,
Cilíndrico y esférico
Sistema Coordenadas Cilíndricas circulares:
Es un sistema en 3D de las coordenadas polares de la geometría analítica plana
En las coordenadas polares de dos dimensiones se localiza un punto en un plano dado sus
distancia ƿ al origen así como el ángulo Ø entre la línea desde el punto de origen y un eje radial
arbitrario.
Un sistema de coordenadas cilíndricas circulares
tridimensional se obtiene de forma similar
Especificando la distancia z del punto con
Respecto a un plano de referencia z=0
Sistema de coordenadas: Cartesiano,
Cilíndrico y esférico
Sistema de coordenadas: Cartesiano,
Cilíndrico y esférico
Unitarios de los vetctores base siguen la relación de la mano derecha
Y los vectores unitarios
y
En coordenadas cilíndricas el vector puede ser exprsado como:
El vector posición
eje r y z como :
como componentes a lo largo del
Modulo:
Sistema de coordenadas: Cartesiano,
Cilíndrico y esférico
Sistema Coordenadas cilíndrico:
Un vector se descompone según sus componentes en un sistema referencial cartesiano:
En coordenadas cilíndricas, un vector de longitud
diferencial se expresa como:
dS denotaría un diferencial de área:
dV denotaría un diferencial de volumen
Sistema de coordenadas: Cartesiano,
Cilíndrico y esférico
Sistema de coordenadas: Cartesiano,
Cilíndrico y esférico
Sistema de coordenadas: Cartesiano,
Cilíndrico y esférico
Sistema de coordenadas: Cartesiano,
Cilíndrico y esférico
Sistema de coordenadas: Cartesiano,
Cilíndrico y esférico
Sistema de coordenadas: Cartesiano,
Cilíndrico y esférico
Sistema Coordenadas esféricas:
No existe un sistema bidimensional que nos ayude a entender el sistema de coordenadas cilíndricas
Se puede utilizar los conocimientos con respecto a la latitud y longitud para colocar un lugar sobre la
superficie.
Se toma como referencia los tres ejes cartesianos, el primero
La distancia ƿ desde el origen a cualquier punto
El segundo es el ángulo que sale del eje z hasta la línea trazada
Y la tercera es el ángulo de giro Ø que es el mismo de coordenadas
cilíndricas
Sistema de coordenadas: Cartesiano,
Cilíndrico y esférico
Coordenadas cilíndricas: la localización de un punto depende de
tres variables R, θ, and Φ
R = R del centro al punto de interes.
θ = define una superficie conica
Φ = Azimuth ángulo similar a las coordenadas cilíndricas.
Rangos: 0 ≤ R < ∞, 0 ≤ θ ≤ π, and 0 ≤ Φ < 2π.
Componentes base ˆR, ˆθ, and ˆΦ
Un vector en componentes
AR, Aθ and Aφ se escribe
como:
U su magnitud:
Sistema de coordenadas: Cartesiano,
Cilíndrico y esférico
Vector A en componentes AR, Aθ and Aφ es escrito como:
Su Magnitud:
Vector posción
Implicitamente en R se encuentran Ø y
Los diferenciales de la longitud en el sistema
esférico:
Sistema de coordenadas: Cartesiano,
Cilíndrico y esférico
Expresiones par los vectores diferenciales dl, vector diferencial
de área ds, y el diferencial de volumen dv :
Sistema de coordenadas: Cartesiano,
Cilíndrico y esférico
Sistema de coordenadas: Cartesiano,
Cilíndrico y esférico
Sistema de coordenadas: Cartesiano,
Cilíndrico y esférico
Sistema de coordenadas: Cartesiano,
Cilíndrico y esférico
Transformar el vectos G= (xz/y) ax a coordenadas esféricas
Sistema de coordenadas: Cartesiano,
Cilíndrico y esférico
Sistema de coordenadas: Cartesiano,
Cilíndrico y esférico
Sistema de coordenadas: Cartesiano,
Cilíndrico y esférico
Sistema de coordenadas: Cartesiano,
Cilíndrico y esférico
Desarrolle una ecuación para el volumen de una esfera de
radio a
Sistema de coordenadas: Cartesiano,
Cilíndrico y esférico
Sistema de coordenadas: Cartesiano,
Cilíndrico y esférico
Sistema de coordenadas: Cartesiano,
Cilíndrico y esférico
GRADIENTE
GRADIENTE
GRADIENTE
GRADIENTE
GRADIENTE
GRADIENTE
Hallar el Gradiente de los siguientes campos
escalares:
a) f(x)= 10x
b) g(x,y,z)= 10x + 15xy + 20xz^2
c) f(r) = 25/r
d) g(ƿ,Ø,z) = 10CosØ - 5ƿzSenØ
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