Tareas de Física Cuántica: Ecuación de Schrödinger y Eigenvalores

RECINTO UNIVERSITARIO RUBÉN DARÍO
ÁREA DEL CONOCIMIENTO EDUCACIÓN, ARTE Y HUMANIDADES
DEPARTAMENTO DE ENSEÑANZA DE LAS CIENCIAS
CARRERA DE FÍSICA -MATEMÁTICA
“2025: EFICIENCIA Y CALIDAD PARA SEGUIR EN VICTORIAS”
Componente: Física Cuántica.
Autores:
Br. Zobeyda Lorena Munguía Zapata
0802-5815
Br. Juan Alberto Bermúdez Medina
2101-4102
Br. Raúl Alfonso Ramírez Miranda
2102-3507
Br. Darwing Ignacio Gutiérrez Cortez
2101-9492
Br. Horacio Isaac Sanchez Narvaez
2001-5950
Br. Marlon Domingo Obando Alvarenga
2102-0780
Tutor:
MSc. José Javier Payan
Managua-Nicaragua 07 de junio del 2025.
¡A la libertad por la universidad!
1). Examine el epígrafe 7.2; DESARROLLO DE LA ECUACIÓN DE
SCHRÖDINGER, luego emplee los procedimientos que conducen a la
ecuación de Schrödinger independiente del tiempo y su posible solución.
2). Analice los epígrafes 7.3 y 7.4; SEPARACIÓN DE LA ECUACIÓN
INDEPENDIENTE DEL TIEMPO Y SOLUCIÓN DE LA ECUACIÓN,
luego;
a. Mediante el uso del esquema de la figura 7.2 transforme las coordenadas
cartesianas a las coordenadas esféricas, de tal forma que por esta vía pueda; a)
2
replantear la ecuación 7.9 correspondiente a la eigenfunción y b) encontrar el
operador laplaciano en coordenadas esféricas.
b. Con lo anterior (a), usted ya puede escribir la ecuación de Schrödinger
independiente del tiempo 7.12.
c. Emplee el método de separación de variables para resolver la ecuación
diferencia parcial 7.12, por esta vía usted llegará a obtener las ecuaciones 7.15
a la 7.17, a las cuales usted deberá resolver para encontrar las soluciones 7.19
a la 7.24, (use ecuaciones diferenciales aplicadas Murray R. Spiegel, Cap. 12
y 14 para una mejor comprensión del método utilizado aquí).
d. En todo este proceso desde a) hasta el c) preste especial atención al
significado físico de los parámetros implicados, particularmente los que
aparecen en las ecuaciones 7.18, 7.20 y 7.23.
3
3. Explica el epígrafe 7.5; EIGENVALORES, NÚMEROS CUÁNTICOS Y
DEGENERACIÓN y extraiga las ideas que le conducen a comprender;
a.
El significado de los eigenvalores.
En física, los eigenvalores (valores propios), los números cuánticos y la
degeneración están estrechamente relacionados. Los eigenvalores
representan los valores permitidos de una observable (como la energía o
el momento angular) en un sistema cuántico. Los números cuánticos son
valores discretos que identifican los estados cuánticos de un sistema,
como la energía, el momento angular y el spin. La degeneración ocurre
cuando varios estados cuánticos tienen el mismo eigenvalor, lo que
implica que diferentes configuraciones pueden tener la misma energía.
Uno de los resultados más importantes de la teoría de Schrödinger del
átomo con un electrón es la predicción de los valores permitidos de la
energía total correspondiente a estados ligados del átomo, dados
2 4
por ( 𝐸𝑛 = (4𝜋𝜖𝜇𝑍)22𝑒 ℏ2𝑛2), comparando los eigenvalores predichos, ( 𝐸𝑛 =
𝜇𝑍2 𝑒 4
)
(4𝜋𝜖0 )2 2 ℏ2 𝑛2
0
13.6 𝑒𝑉
𝑛2
=
)
Con las predicciones del modelo Bohr, se puede comprobar que ambos
métodos conducen a valores idénticos de las energías permitidas.
Además, la concordancia de ambas predicciones con la experimentación
2 4
es excelente. La derivación de la ecuación ( 𝐸𝑛 = (4𝜋𝜖𝜇𝑍)22𝑒 ℏ2𝑛2) por
0
Schrödinger constituyó la primera verificación convincente de su teoría
de la mecánica cuántica. En la figura siguiente se ilustra el potencial de
Coulomb ( 𝑉 ) para el átomo con un electrón y sus eigenvalores ( 𝐸𝑛 ).
4
b.
Otros potenciales ligantes (como los que se estudian en el capítulo 6).
Una diferencia obvia entre los dos casos es que el cálculo mecánicocuántico que conduce a los eigenvalores del potencial de Coulomb es
notablemente más complicado. Sin embargo, el potencial de Coulomb
es una descripción exacta de un sistema tridimensional real.
Los potenciales estudiados son descripciones aproximadas de sistemas
ideales unidimensionales, construidos para simplificar los cálculos. Para
el caso del potencial de Coulomb, las complicaciones se originan, en
parte, debido a su simetría esférica, que obliga a usar coordenadas
polares esféricas en lugar de coordenadas artesianas.
Las semejanzas son mucho más fundamentales que las diferencias. Para
el potencial de Coulomb, como para cualquier otro potencial ligante, las
energías totales permitidas de una particula ligada al potencial, están
discretamente cuantizadas.
c.
Las condiciones que satisfacen los números cuánticos.
A pesar de que los eigenvalores del átomo con un electrón sólo
dependen del número cuántico n, las eigenfunciones (𝑅𝑛(𝑟)), (Θ(𝑙,𝑚𝑙)(𝜃)) y
(Φ𝑚𝑙(𝜙)).
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El hecho de que aparezcan tres números cuánticos es una consecuencia
de que la ecuación de Schorodinger independiente del tiempo contiene
unas variables independientes, una por cada coordenada espacial.
Resumiendo, las condiciones que deben cumplir los números cuánticos,
se tiene que:
(|𝑚𝑙 | = 0, 1, 2, 3, … )
(𝑙 = |𝑚𝑙 |, |𝑚𝑙 | + 1, |𝑚𝑙 | + 2, |𝑚𝑙 | + 3, … )
(𝑛 = 𝑙 + 1, 𝑙 + 2, 𝑙 + 3, … )
d.
La degeneración de las eigenfunciones.
La degeneración también ocurre en mecánica clásica y en la llamada
mecánica cuántica antigua. En el análisis de las órbitas elípticas del
átomo de Bohr-Sommerfeld, la energía total del átomo era
independiente del tamaño del semi-eje menor de la elipse. De esta
manera, el átomo tiene estados con comportamientos muy diferente, es
decir, con los electrones moviéndose en órbitas muy diferentes que de
todas maneras tienen la misma energía total. En el movimiento
planetario ocurre exactamente el mismo fenómeno. Esta degeneración
clásica es comparable con la degeneración del átomo cuántico en 𝑚1
e.
La degeneración clásica cuando se compara con la cuántica.
Tanto en mecánica clásica como en la cuántica, la degeneración resulta
de ciertas propiedades de la función de la energia potencial que describe
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el sistema. En el tratamiento cuántico del átomo con un electrón, la
degeneración respecto del átomo con un electrón, la degeneración
respecto de m1, resulta que la energía potencial, es esféricamente
simétrica y la energia total del átomo es independiente de su orientación
en el espacio. La degeneración respecto a 1, es una consecuencia de la
forma particular en la que el potencial de Coulomb depende de 𝑟.
4) Analiza el epígrafe 7.6; EIGENFUNCIONES, de modo que permita;
a. Establecer comparación entre los tratamientos de Bohr y de
Schrodinger.
Las técnicas matemáticas empleadas en mecánica cuántica para
2 4
obtener 𝐸𝑛 = (4𝜋𝜖𝜇𝑍)2𝑒2ℎ2𝑛2)
0
Para los eigenvalores del átomo con un electrón, son, desde luego,
mucho más complicadas si se las compara con las usadas en el
modelo de Bohr para obtener la misma ecuación. Haciendo a un lado
cuestiones como la consistencia lógica de los postulados del modelo
de Bohr, aún es razonable preguntarse si todo el trabajo extra que
involucra el tratamiento cuántico del átomo con un electrón se
justifica por los resultados obtenidos.
b. La verificación para una eigenfunción y un eigenvalor típico.
La verificación de una eigenfunción y un eigenvalor implica
demostrar que una función (la eigenfunción) satisface la ecuación
característica de un operador lineal, donde el resultado de aplicar el
operador a la eigenfunción es la eigenfunción misma multiplicada
por un valor (el eigenvalor). Las eigenfunciones poseen una gran
cantidad de información adicional acerca de las propiedades del
átomo. Se sabe que las eigenfunciones se forman tomando el
producto Ψ𝑛𝑙𝑚(𝑟, 𝜃, 𝜑) = 𝑅𝑛𝑙(𝑟) , Θ(1𝑚𝑖) , (0)𝑦Φ𝑡𝑖 (Φ) ) Una eigenfunción (o
función propia) de un operador lineal L es una función f(x) (diferente
de cero) tal que, cuando se aplica el operador L a la función f(x), el
resultado es la función f(x) multiplicada por una constante 7. (el
eigenvalor). Matemáticamente, esto se representa como:
(𝐿[𝑓(𝑥)] = 𝜆𝑓(𝑥))
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5) Examine los detalles que presenta el epígrafe 7.7; DENSIDADES
DE PROBABILIDAD del capítulo 7, de tal manera que pueda
aclarar cualitativa y cuantitativamente:
a. Densidad de probabilidad; capas.
b. La comparación con el átomo de Bohr.
c. Argumentos del principio de incertidumbre para el radio del
estado base.
d. La dependencia con l de la densidad de probabilidad cerca del
núcleo.
e. Dependencia angular de la densidad de probabilidad; superficies
nodales y significado del eje z.
f. Interpretación de la dependencia angular en términos del impulso
angular orbital.
a. Densidad de probabilidad; capas.
La densidad de probabilidad, denotada típicamente como ( |Ψ(𝑟)|2
), representa la probabilidad de encontrar una partícula (como un
electrón) en una región específica del espacio. En el contexto de
átomos, las "capas" se refieren a los niveles de energía
principales (n = 1, 2, 3, ...), y dentro de cada capa, existen
subcapas (determinadas por el número cuántico azimutal ( 𝑙 ) ). La
densidad de probabilidad varía en función de la distancia al
núcleo y de la dirección, dando lugar a diferentes formas de
orbitales (s, p, d, etc.).
 Cualitativamente: La densidad de probabilidad nos dice dónde es
más probable encontrar un electrón.
 Cuantitativamente: ( |Ψ(𝑟)|2𝑑𝑉 ) representa la probabilidad de
encontrar el electrón en un volumen ( 𝑑𝑉 ) alrededor del punto ( 𝑟
).
b. La comparación con el átomo de Bohr.
El modelo de Bohr fue un intento temprano de describir la
estructura atómica, donde los electrones orbitaban el núcleo en
trayectorias circulares con energías cuantizadas. Sin embargo, el
modelo de Bohr es una simplificación y tiene limitaciones
significativas. La mecánica cuántica moderna, con su descripción
de la densidad de probabilidad, ofrece una imagen más precisa.
 Cualitativamente: El modelo de Bohr describe órbitas definidas,
mientras que la mecánica cuántica describe regiones de
probabilidad.
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 Cuantitativamente: El modelo de Bohr asigna energías
específicas a órbitas, mientras que la mecánica cuántica calcula la
densidad de probabilidad a partir de la función de onda, que se
obtiene resolviendo la ecuación de Schrödinger.
c. Argumentos del principio de incertidumbre para el radio del
estado base.
El principio de incertidumbre de Heisenberg establece que no se
puede conocer con precisión arbitraria tanto la posición como el
momento de una partícula. Para el estado base (el estado de
energía más baja), este principio implica que existe una
incertidumbre mínima en la posición del electrón. Esto está
relacionado con el radio del estado base.
 Cualitativamente: El principio de incertidumbre impide que el
electrón esté localizado en un punto preciso, lo que implica una
extensión espacial.
 Cuantitativamente: ( Δ𝑥 Δ𝑝 ≥ ℏ2 ), donde ( Δ𝑥 ) es la incertidumbre
en la posición, ( Δ𝑝 ) es la incertidumbre en el momento, y ( ℏ) es
la constante de Planck reducida.
d. La dependencia con ( 𝑙 ) de la densidad de probabilidad cerca
del núcleo.
El número cuántico azimutal ( 𝑙 ) determina la forma del orbital.
Para ( 𝑙 = 0 ) (orbitales s), la densidad de probabilidad es máxima
en el núcleo. Para ( 𝑙 > 0 ) (orbitales p, d, etc.), la densidad de
probabilidad es cero en el núcleo.
 Cualitativamente: Los orbitales s tienen mayor probabilidad de
encontrar el electrón en el núcleo, mientras que los orbitales con
( 𝑙 > 0 ) tienen un "nodo" en el núcleo.
 Cuantitativamente: La función de onda radial ( 𝑅(𝑟) ) para ( 𝑙 > 0
) tiende a cero cuando ( 𝑟 ) tiende a cero.
e. Dependencia angular de la densidad de probabilidad; superficies
nodales y significado del eje z.
La dependencia angular de la densidad de probabilidad está determinada
por los armónicos esféricos ( 𝑌𝑙,𝑚 (𝜃, 𝜙) ), donde ( 𝜃 ) y ( 𝜙) son los
ángulos esféricos. Las superficies nodales son regiones donde la
densidad de probabilidad es cero. El eje z es la dirección de
cuantización del momento angular.
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 Cualitativamente: La forma de los orbitales (p, d, etc.) está determinada
por la dependencia angular. Las superficies nodales separan regiones de
probabilidad positiva y negativa.
 Cuantitativamente: La densidad de probabilidad angular es ( |𝑌𝑙,𝑚 (𝜃, 𝜙)|
). El número cuántico ( 𝑚 ) determina la proyección del momento
angular en el eje z.
2
f. Interpretación de la dependencia angular en términos del impulso
angular orbital.
El impulso angular orbital está cuantizado y está relacionado con la
forma de los orbitales. El número cuántico ( 𝑙 ) determina la magnitud
del impulso angular, y el número cuántico ( 𝑚 ) determina la
componente z del impulso angular.
 Cualitativamente: La forma de los orbitales refleja la distribución del
impulso angular del electrón.
 Cuantitativamente: La magnitud del impulso angular es ( √𝑙(𝑙 + 1)ℏ ), y
la componente z del impulso angular es ( 𝑚ℏ ).
6) Escudriñe los argumentos del epígrafe 7.8; IMPULSO ANGULAR
ORBITAL, de modo que pueda emplear los procedimientos que le permiten
deducir en términos cualitativos y cuantitativos los aspectos tales como:
a.
b.
c.
Su papel en la física cuántica; definición clásica.
Operadores asociados; valores de expectación y magnitud de la
componente z.
Descripción geométrica de su comportamiento.
El impulso angular orbital es una propiedad fundamental de las partículas en
la mecánica cuántica, especialmente en el contexto de los átomos y las
moléculas.
a. Su papel en la física cuántica; definición clásica.
 Papel en la física cuántica: En la mecánica cuántica, el impulso angular
orbital no es simplemente una cantidad que se conserva, sino que también está
cuantizado. Esto significa que solo puede tomar ciertos valores discretos. El
impulso angular orbital está relacionado con la forma de los orbitales atómicos
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(s, p, d, f, etc.) y es crucial para entender el comportamiento de los electrones
en los átomos y las moléculas.
 Definición clásica: Clásicamente, el impulso angular ( 𝐿⃗ ) de una partícula con
respecto a un punto de referencia se define como el producto vectorial de su
posición ( 𝑟 ) y su momento lineal ( 𝑝 ): ( ( 𝐿⃗ = 𝑟 × 𝑝 ) 𝐷𝑜𝑛𝑑𝑒 ( 𝑝 = 𝑚 𝑣) ) (masa
por velocidad). Clásicamente, el impulso angular puede tomar cualquier valor
continuo.
 Cualitativamente: En la física clásica, el impulso angular es una medida de la
"rotación" de un objeto. En la física cuántica, esta rotación está cuantizada y
asociada a la forma de los orbitales.
 Cuantitativamente: En la física cuántica, el impulso angular orbital está
cuantizado y se describe mediante los números cuánticos ( 𝑙 ) (número
cuántico azimutal) y ( 𝑚𝑙 ) (número cuántico magnético).
b. Operadores asociados; valores de expectación y magnitud de la
componente ( z ).
 Operadores asociados: En la mecánica cuántica, cada observable físico tiene
un operador asociado. Para el impulso angular orbital, tenemos los operadores
( 𝐿´2) y ( 𝐿´𝑧 ).
 Magnitud de la componente ( z ): La magnitud de la componente ( z ) del
impulso angular orbital es ( 𝑚𝑙ℏ ), donde ( 𝑚𝑙 ) puede tomar valores enteros
desde ( −𝑙 ) hasta ( +𝑙 ), incluyendo 0.
 Cualitativamente: Los operadores cuánticos nos permiten calcular los valores
promedio de las propiedades físicas. La componente ( z ) del impulso angular
está cuantizada.
 Cuantitativamente: Los valores de expectación y la magnitud de la
componente ( z ) están dados por las fórmulas mencionadas anteriormente
c. Descripción geométrica de su comportamiento.
 Descripción geométrica: El impulso angular orbital se puede visualizar como
un vector cuya magnitud está dada por ( √𝑙(𝑙 + 1)ℏ ) y cuya componente ( z )
está dada por ( 𝑚𝑙ℏ ). Debido a la cuantización, este vector solo puede apuntar
en ciertas direcciones con respecto al eje ( z ). Esto se conoce como
cuantización espacial. El vector del impulso angular precesa alrededor del eje
( z ), manteniendo constante su componente ( z ).
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 Cualitativamente: La cuantización del impulso angular implica que la
"rotación" del electrón en un átomo no puede tener cualquier orientación
arbitraria, sino solo ciertas orientaciones permitidas.
 Cuantitativamente: La descripción geométrica se basa en los valores de ( 𝑙 ) y
( 𝑚𝑙 ), que determinan la magnitud y la orientación del vector del impulso
angular
7) Lea el epígrafe 7.9; ECUACIÓN DE EIGENVALORES, luego aclare el
significado de;
Los valores de expectación de una cantidad fluctuante; ausencia de
fluctuaciones en la magnitud y componente z del impulso angular
orbital.
b. La ecuación general de eigenvalores.
c. El operador hamiltoniano.
a.
La ecuación de eigenvalores es una ecuación fundamental en la mecánica
cuántica que relaciona un operador con sus eigenvalores y eigenvectores.
a. Los valores de expectación de una cantidad fluctuante; ausencia de
fluctuaciones en la magnitud y componente ( z ) del impulso angular orbital.
 Valores de expectación de una cantidad fluctuante: En general, cuando
se mide una cantidad física en un sistema cuántico, el resultado no es
siempre el mismo. Los valores de expectación representan el valor
promedio que se obtendría si se realizaran muchas mediciones en
sistemas idénticos. Una "cantidad fluctuante" es aquella cuyo valor
varía de una medición a otra.
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8) Entre las páginas 311 a la 314 se encuentran situaciones problémicas de
cortes cualitativos y cuantitativos; el docente hará la asignación a cada grupo.
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