Cálculo III
Semana 1: Funciones en varias variables
Departamento de Matemática y Ciencia de la Computación
Universidad de Santiago de Chile
(D.M.C.C., USACH)
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Preliminares necesarios
Un primer objetivo de Cálculo III, es implementar de una manera adecuada todas las
nociones vistas en los cursos Cálculos I y Cálculo II; con la diferencia de que las
nociones que en los anteriores cursos estaban basadas en el conjunto R, ahora
buscaremos desarrollarlas en espacios vectoriales euclı́deos Rn .
Por motivo de lo anterior, es requisito prioritario de este curso recordar todos los
conceptos vistos en Álgebra II referentes al espacio euclı́deo Rn , incluidos los
aspectos referentes al producto interno y norma en este espacio.
Particularmente se ha cargado en la plataforma uvirtual un glosario denominado
TOPOLOGÍA DE Rn , que contiene nociones relevantes respecto de los subconjuntos
del espacio Rn importantes en nuestra asignatura.
Ver: https://uvirtual.usach.cl/moodle/mod/folder/view.php?id=1227683 , archivo
GlosarioTop.pdf .
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Funciones de varias variables
Definición 1
Una función de varias variables, es una función f : C Ď Rn ÞÑ Rm donde
m, n P N, n ě 2.
Ejemplos
a) f px, yq “
?
y`
a
25 ´ x2 ´ y 2 .
b) gpx, y, zq “ lnp16 ´ 4x2 ´ 4y 2 ´ z 2 q.
⃗ px, yq “ pcospx ` yq, xq.
c) F
⃗
d) Gpx,
y, zq “ px, y, 3q.
Nota: Si el codominio de la función de varias variables f es R, f también suele llamarse
campo escalar. Si en cambio el codominio es Rm con m P Z, m ě 2, entonces f suele
denominarse campo vectorial.
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Definición 2 (punto lı́mite, definición equivalente al la del glosario)
Dado un subconjunto C Ď Rn , un punto x0 P Rn se dice que es un punto lı́mite de C,
si existe una sucesión de puntos txk ukPN , todos pertenecientes a C pero diferentes de
x0 , tal que txk u es convergente a x0 (convergente en este caso, significa convergente
componente a componente).
Definición 3
Sea f : C Ď Rn Ñ Rm , x0 punto lı́mite de C, ℓ P Rm .
La ecuación
lim f pxq “ ℓ
xÑx0
significa que para todo ϵ ą 0 existe un δ ą 0 tal que si 0 ă }x0 ´ x} ă δ, entonces
}f pxq ´ ℓ} ă ϵ.
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Nota: la anterior definición satisface leyes de los lı́mites similares a las aprendidas en el cálculo de
una variable. Por ejemplo:
lim αf pxq ` βgpxq “ α lim f pxq ` β lim gpxq,
xÑx0
xÑx0
xÑx0
lim f pxqgpxq “ lim f pxq lim gpxq,
xÑx0
y
lim
xÑx0
f pxq
xÑx0 gpxq
xÑx0
lim f pxq
“
xÑx0
lim gpxq
si
xÑx0
lim gpxq ‰ 0.
xÑx0
Un resultado que cobra una importancia mayor en el caso de lı́mites de varias variables, es el
siguiente
Teorema 1 (Teorema de la compresión o teorema del “sandwich”)
Dada una función f : A Ď Rn ÞÑ R, si puede encontrarse una función gpxq tal que
lim gpxq “ 0,
xÑx0
y existe una bola abierta B “ Bpx0 ; ϵq tal que
|f pxq ´ ℓ| ď gpxq para todo x P B,
entonces lim f pxq “ ℓ.
xÑx0
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Observación 1
‚ El teorema de L’Hopital para el cálculo de lı́mites de una variable, no es aplicable
para lı́mites en varias variables.
‚ Por su parte, otros recursos más elementales vistos en el cálculo de lı́mites de una
variable todavı́a podrı́an necesitarse para el cálculo de lı́mites de varias variables.
‚ Existen sin embargo ejemplos que acarrean la necesidad de implementar recursos
nuevos, como los que veremos a continuación.
Ejemplo 1
Calcule su valor, o demuestre que no existe:
x2
lim
px,yqÑp0,0q x2 ` 2y 2
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.
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Solución: Conjeturamos el valor del lı́mite, restringiéndolo a la recta y “ 0 (trayecto
sobre el que podemos tender a p0, 0q):
lim f px, 0q “ lim
xÑ0
x2
xÑ0 x2 ` 2 ¨ 02
x2
“ 1.
xÑ0 x2
(0.1)
“ lim
Sin embargo, también es posible restringir este lı́mite a la recta x “ 0, obteniendo
lim f p0, yq “ lim
yÑ0
02
yÑ0 02 ` 2 ¨ y 2
“ lim 0 “ 0.
(0.2)
yÑ0
Al obtenerse resultados diferentes en (0.1) y (0.2), se concluye que
lim
x2
2
px,yqÑp0,0q x `2y
2
no
existe.
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Ejemplo 2
Calcule su valor, o demuestre que no existe:
x3
lim
px,yqÑp0,0q x2 ` 2y 2
.
Solución Conjeturamos el valor del lı́mite:
x3
xÑ0 x2 ` 2 ¨ 02
x3
“ lim 2 “ lim x “ 0.
xÑ0 x
xÑ0
lim f px, 0q “ lim
xÑ0
Ahora aplicaremos el Teorema del Sandwich. Es necesario que reconozcamos el
paso clave: encontrar gpx, yq tendiente a cero, tal que
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
x3
ˇ
ˇ
ˇ x2 ` 2y 2 ´ 0ˇ ď gpx, yq.
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Pero tenemos que
ˇ ˇ
ˇ
ˇ
ˇ ˇ
ˇ
ˇ
x3
x3
ˇ“ˇ
ˇ
ˇ
´
0
ˇ ˇ x2 ` 2y 2 ˇ
ˇ x2 ` 2y 2
“
ď
x2 |x|
x2 ` 2y 2
x2
x2 ` 2y 2
|x|,
2
x
y x2 `2y
2 ď 1, de donde se concluye que
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
x3
ˇ
ˇ ď |x|.
´
0
ˇ x2 ` 2y 2
ˇ
Hemos encontrado ası́ la función gpx, yq “ |x|, que satisface
lim
px,yqÑp0,0q
gpx, yq “ 0, y
|f px, yq ´ 0| ď gpx, yq, de donde es aplicable el teorema de compresión. Por
x3
consiguiente,
lim
“ 0.
x2 `2y 2
px,yqÑp0,0q
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Definición 4
Dada f : C Ď Rn Ñ Rm , decimos que f es continua en x0 P C si y solo si, para todo
ϵ ą 0 existe un δ ą 0 tal que
x P C y }x ´ x0 } ă δ
ñ
}f pxq ´ f px0 q} ă ϵ.
Además, decimos que f es continua en S Ď C, si f es continua en x0 para todo x0 P S;
y decimos simplemente que f es continua, si f es continua en su dominio C.
Nota: si x0 P C es un punto lı́mite de C, entonces f es continua en x0 si y solo si se
cumplen las tres condiciones
‚ f px0 q existe,
‚ lim f pxq existe, y
xÑx0
‚ lim f pxq “ f px0 q.
xÑx0
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Teoremas sobre continuidad
Teorema 2
la función f : Rn Ñ R dada por f px1 , . . . , xn q “ xi , es continua para todo i “ 1, . . . , n.
Teorema 3
Si fi : C Ď Rn Ñ R, i “ 1, . . . , m son funciones continuas en C, entonces la función
⃗ : C Ď Rn Ñ Rm dada por
F
⃗ pxq “ pf1 pxq, . . . , fm pxqq
F
es una función continua.
Teorema 4
⃗ : A Ď Rn Ñ Rp es continua en x0 P A, y F
⃗ : B Ď Rp Ñ Rm es tal que
Si G
⃗
⃗
⃗ ˝G
⃗ es continua en x0 . En otras
y0 “ Gpx0 q P B, y F es continua en y0 , entonces F
palabras, la composición entre funciones continuas de varias variables es una función
continua.
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Nota: Las propiedades de los lı́mites, junto con los anteriores teoremas, permiten concluir
hechos naturales del álgebra de funciones continuas, tales como: Si f , g : C Ď Rn Ñ R
son funciones continuas en x0 , entonces son continuas en x0 :
λf ` g con λ constante real,
fg
f {g, siempre que gpx0 q ‰ 0.
También se concluye que son continuas las funciones polinómicas, algebraicas,
trascendentes, e inversas de trascendentes, evaluadas en las varias variables
independientes, e igualmente operaciones elementales entre ellas.
Ejemplo 3
Considere la función
xy
si px, yq ‰ p0, 0q,
x2 ` y 2
%
0
si px, yq “ p0, 0q.
$
&
f pxq “
Determine los puntos de R2 donde f es continua.
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Solución: Veremos primero si la función es continua en el conjunto
A “ tpx, yq P R2 : px, yq ‰ p0, 0qu.
Al ser el conjunto A un conjunto abierto (pues su único punto de frontera, p0, 0q, no
xy
y la continuidad
pertenece al conjunto), entonces f px, yq se reduce a gpx, yq “ 2
x ` y2
de f equivale a la continuidad de g. Pero g es el cociente de dos funciones polinómicas, y
por lo tanto, es una función continua en todos los puntos donde el denominador x2 ` y 2
sea no nulo.
Por su parte, f serı́a continua en p0, 0q si y solo si se cumple
lim
px,yqÑp0,0q
f px, yq “ f p0, 0q “ 0.
Sin embargo, si restringimos en lı́mite
lim
px,yqÑp0,0q
lim f pt, tq “ lim
tÑ0
(0.3)
f px, yq a la recta x “ y, obtendremos
t¨t
tÑ0 t2 ` t2
“
1
‰ 0,
2
lo que imposibilita que se satisfaga (0.3).
De este modo, f es continua en R2 ´ tp0, 0qu.
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EJERCICIOS
1
Calcule el lı́mite o demuestre que no existe:
lim
senpxyq
px,yqÑp0,0q sen x sen y
(¿tal vez puede hacerse con lı́mites notables de Cálculo I?)
2
Sean i, j P t1, 2u con i ` j “ 3. Calcule o demuestre que no existe
lim
xi y j
px,yqÑp0,0q x2 ` y 4
para todos los posibles valores de i, j.
3
Calcule si existe o demuestre que no existe:
lim
xyz
px,y,zqÑp0,0,0q x2 ` y 2 ` z 2
4
(ayuda: puede servir la desigualdad de Young : ab ď 12 pa2 ` b2 q).
?
Usando solo que ϕptq “ t es una función continua, y propiedades de los lı́mites,
demuestre que f px, yq “ mintx, yu es una función
continua (ayuda: Demuestre que
?
2 para todo c P R.
mintx, yu “ x`y´|x´y|
y
emplee
que
|c|
“
c
2
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