Análisis Sinusoidal Permanente de Circuitos Lineales - Práctica 1 UNAM

Universidad Nacional Autónoma de
México
Facultad de ingeniería
Práctica 1: Análisis Sinusoidal permanente de
circuitos lineales
Fecha de entrega: 30/08/2024
Grupo: 11
Laboratorio de Dispositivos Electrónicos
Brigada 4
Objetivos
● Realizar una introducción en el estudio de la respuesta en frecuencia de un
sistema lineal e invariante en el tiempo.
● Verificar la forma de la respuesta permanente de una red eléctrica lineal e
invariante en el tiempo, cuando la forma de la onda de la señal de entrada es
sinusoidal de frecuencia angular ω.
● Determinar el valor de variables eléctricas que constituyen una red eléctrica,
a partir de la respuesta sinusoidal permanente.
● Inferir el desfase entre el voltaje y la corriente eléctrica en un resistor, en un
inductor y en un capacitor
Introducción
En el estudio de los circuitos eléctricos, es fundamental comprender cómo
responden estos sistemas cuando se les aplica una señal sinusoidal. La presente
práctica se centra en el análisis del estado sinusoidal permanente en circuitos
lineales e invariantes en el tiempo (SCLIE). Este tipo de análisis es esencial para
entender cómo las redes eléctricas manejan señales sinusoidales, que son
comunes en la mayoría de las aplicaciones de corriente alterna.
De igual forma se denotarán las señales de entrada como Vi(t), la señal de salida
permanente como Vo(t), la frecuencia de la señal sinusoidal involucrada como ω, y
la amplitud de la señal de entrada como Am. Se observa que la amplitud de la señal
de salida es el producto de la amplitud de la señal de entrada multiplicada por la
magnitud del complejo H(jω). Además, el corrimiento de fase en la salida es el
argumento del complejo H(jω).
Resultados
Experimento 1
Circuito a realizar
Para este caso se usó un valor en w= 3000π
Y obtuvimos una frecuencia de 1500 [Hz]
El valor del voltaje fue de Vpp= 5 [V]
Y nuestra entrada está definida por una señal senoidal de la siguiente forma
Vi(t) = Vm sen (wt) [V]
Vi(t) = 5 sen (3000πt + 0°) [V]
Verifique que el voltaje de la salida está adelantado con respecto al voltaje
de Vi(t)
Para el voltaje de salida usamos la formula
Vo = Vrms sen (wt + 0°)
Nuestro valor Vrms lo encontramos con:
𝑉𝑟𝑚𝑠 =
𝑉𝑝𝑝
2√2
= 3.3941 [𝑉]
Y nuestro voltaje de salida final queda como
𝑉𝑜 = 3.39 𝑠𝑒𝑛(3000𝜋𝑡)
Mida el ángulo de adelanto φ entre el voltaje de salida vo(t) y el voltaje
Para el ángulo hacemos una regla de 3 donde medimos de cresta a cresta lo que el
periodo de nuestra primera señal y eso representará el 100% y luego medimos el
desfase que se presenta entre la señal de entrada y la señal de salida.
Para la señal de entrada se tiene un periodo de 670 [uS] y para el desfase
presentado entre la señal de entrada y la de salida se tiene un tiempo de 64 [us] con
esto hacemos la regla de 3 y obtenemos el valor del ángulo:
𝜃=
360° ∗ 64𝑢𝑆
= 34.38°
670 𝑢𝑆
Con los valores de la frecuencia angular ω, y de la resistencia e inductancia rL y L
de la bobina que se le proporcionó y el valor de la resistencia R, verifique la
siguiente ecuación.
𝜃 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛(
𝑤𝐿
)
𝑟𝐿 + 𝑅
El valor de la bobina es de 61.8 [mH] y su resistencia rL = 32.4[Ω], para la resistencia
tenemos un valor de 470 [Ω] y la frecuencia un valor de 3000π.
3000𝜋 ∗ 61.8𝑚𝐻
) = 49.22°
𝜃 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛 (
32.4 + 470
d. Si hay discrepancias entre el valor teórico del ángulo φ y su valor medido
experimentalmente, argumente las posibles causas de las diferencias
encontradas
Las discrepancias entre el valor teórico del ángulo ϕ y el valor medido
experimentalmente pueden deberse a varias situaciones. En primer lugar, las
mediciones experimentales pueden estar sujetas a errores debido a la precisión de
los instrumentos utilizados, lo que puede afectar el cálculo del ángulo.
Y en el modelo teórico también debemos tener en cuenta que se presenta un
comportamiento ideal de los componentes, sin considerar posibles pérdidas de
energía, o variación de la inductancia con la frecuencia, lo cual puede influir en la
medición real.
De las observaciones y mediciones realizadas. ¿Qué puede argumentar sobre
el desfase entre la corriente eléctrica y el voltaje en un resistor y en un
inductor?
En un resistor, el voltaje y la corriente están en fase y no hay desfase entre ellos.
Esto significa que los picos de voltaje y corriente ocurren al mismo tiempo. La razón
es que un resistor puro obedece la ley de Ohm, donde el voltaje y la corriente varían
en proporción directa sin ningún desplazamiento en el tiempo.
Y en el caso contrario en el Inductor el voltaje lidera a la corriente en un desfase de
90 grados en condiciones ideales. Esto significa que el voltaje alcanza su máximo
valor antes que la corriente. Este comportamiento se debe a la propiedad del
inductor de almacenar y liberar energía, lo que es una característica de los
componentes pasivos de almacenamiento de energía
Experimento 2
Se usaron los mismos valores para la frecuencia de 1500 [Hz] y un valor Vpp = 5
[V].
1-Verifiqué que el voltaje de la salida está adelantado con respecto al voltaje
de Vi(t)
Para el voltaje de salida usamos la fórmula
Vo = Vrms sen (wt + 0°)
Nuestro valor Vrms lo encontramos con:
𝑉𝑟𝑚𝑠 =
𝑉𝑝𝑝
2√2
= 1.63 [𝑉]
Y nuestro voltaje de salida final queda como
𝑉𝑜 = 1.63 𝑠𝑒𝑛(3000𝜋𝑡)
2-Mida el ángulo de adelanto φ entre el voltaje de salida vo(t) y el voltaje
Lo hacemos como el ejemplo anterior con regla de 3
Para nuestra primera señal tenemos una diferencia en el periodo de 668.0 [uS]
Y para el desfase entre la primera señal y la segunda tenemos un valor de 76.00
[uS]
𝜃=
360° ∗ 64𝑢𝑆
= 40.95°
670 𝑢𝑆
3-Con los valores de la frecuencia angular ω, y de la resistencia e inductancia
rL y L de la bobina que se le proporcionó y el valor de la resistencia R, verifique
la siguiente ecuación.
En este caso usamos un capacitor con un valor de 0.22 [uF]
𝜃 = 90° −𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛 (𝑤𝐶𝑅) = 45.73°
4-Si hay discrepancias entre el valor teórico del ángulo φ y su valor medido
experimentalmente, argumente las posibles causas de las diferencias
encontradas
En este caso es lo mismo que el experimento anterior donde el valor teórico del
ángulo y su valor medido experimentalmente pueden variar debido a la precisión de
los instrumentos de medición.
El modelo teórico utilizado para calcular el ángulo asume un comportamiento ideal
de los componentes del circuito, pero en la práctica, por ejemplo, un caso es que la
frecuencia cambia el valor un poco al que calculamos entonces esos detalles entre
los valores hace que tengamos un ángulo distinto para cada caso, aunque esta
ocasión el valor fue más cercano ya que ambos están entre los 40 grados.
5- De las observaciones y mediciones realizadas. ¿Qué puede argumentar
sobre el desfase entre la corriente eléctrica y el voltaje en un capacitor?
En un capacitor, la corriente eléctrica adelanta al voltaje en un desfase de 90 grados
esto quiere decir que la corriente alcanza su valor máximo antes que el voltaje. Este
comportamiento se debe a la capacidad del capacitor de almacenar energía en
forma de campo eléctrico.
Cuando se aplica un voltaje a un capacitor, éste inicialmente permite el flujo de
corriente mientras se carga, lo que provoca que la corriente sea máxima cuando el
voltaje comienza a aumentar. A medida que el capacitor se carga, la corriente
disminuye, alcanzando cero cuando el voltaje llega a su valor máximo. Este proceso
causa el desfase observado, donde la corriente está siempre adelantada respecto
al voltaje.
Experimento 3
El capacitor por usar será uno con valor de 0.1 [uF] y el valor de la inductancia es
de
L = 57.56 [mH].
Para encontrar el valor de w usamos la fórmula
𝑤=
𝑤=
1
√𝐿𝐶
1
√(57.56𝑚𝐻)(0.1𝑢𝐹)
= 13180.73
Y para encontrar el valor de la frecuencia obtenemos
𝑓=
𝑤
= 2097.77 [𝐻𝑧]
2𝜋
Para que ambas señales están en fase tuvimos que mover la frecuencia y nos quedó
con un valor de 𝑓 = 3.3 [𝐾𝐻𝑧]
Se dividió en 4 la frecuencia para obtener un valor el cual fuimos sumando durante
3 lecturas y restando en 4 lecturas.
Para la parte de ir sumando 825 Hz a nuestra frecuencia.
● 3.3 [KHz] + 825 [Hz] = 4125 [Hz]
El ángulo que se presenta entre ambas señales es de 36°
● 4125[Hz] + 825 [Hz] = 4950 [Hz]
El ángulo que se presenta entre ambas señales es de 45°
● 4950[Hz] + 825 [Hz] = 5775 [Hz]
El ángulo que se presenta entre ambas señales es de 58.06°
● 5775[Hz] + 825 [Hz] = 6600[Hz]
El ángulo que se presenta entre ambas señales es de 48°
Ahora para la parte de restar a nuestra frecuencia 825 [Hz]
● 3.3[KHz] - 825 [Hz] = 2425 [Hz]
El ángulo que se presenta entre ambas señales es de 46.45°
● 2425[Hz] - 825 [Hz] = 1650 [Hz]
El ángulo que se presenta entre ambas señales es de 83.07°
● 1625[Hz] - 825 [Hz] = 825 [Hz]
El ángulo que se presenta entre ambas señales es de 72°
● 825[Hz] - 825 [Hz] = 0 [Hz]
El ángulo que se presenta entre ambas señales es de 0°
Conclusiones
Hernández Gutiérrez Carlos Mario:
Se cumplió con el objetivo de la práctica y se pudo trabajar con diferentes elementos
pasivos como fue la resistencia y el capacitor, primero se trabajó con una resistencia
y un inductor juntos donde obtuvimos un atraso en la señal. Y luego hicimos uso de
un capacitor y resistencia juntos y se obtuvo a la salida una señal adelantada
respecto al voltaje y aquí pudimos ver las diferencias que se tienen al usar los
diferentes elementos y también conocer el por qué pasa esto es importante si se
requieren realizar circuitos más complejos.
Y por último se hizo un circuito RLC donde fuimos variando las frecuencias que
teníamos para observar que la señal de la salida se iba distorsionando cómo
aumentamos la frecuencia. Con estos experimentos pude comprender mejor el
funcionamiento de estos elementos.
Flores Chávez Marcos Gabriel
Se logró cumplir con los objetivos planteados en la práctica, permitiendo el trabajo
con diferentes elementos pasivos, como resistencias, inductores y capacitores.
Inicialmente, se analizó un circuito compuesto por una resistencia y un inductor,
donde se observó un atraso en la señal de salida respecto a la señal de entrada.
Posteriormente, se estudió un circuito con un capacitor y una resistencia, en el cual
se obtuvo una señal de salida adelantada en comparación con el voltaje de entrada.
Se experimentó con un circuito RLC en el que se variaron las frecuencias de
entrada. Se observó que, al aumentar la frecuencia, la señal de salida se
distorsionaba, lo que ayudó a comprender cómo la frecuencia afecta el
comportamiento de estos componentes en un circuito.
Bibliografía:
● Sánchez Esquivel, V. M. (s. f.). Vademécum de circuitos eléctricos.
Academia de Circuitos Eléctricos. https://dctrl.fib.unam.mx/academias/aca_ace/txt/Texto.pdf
● Circuitos en estado senoidal permanente. (2018, 31 mayo). Tzolkin.
https://sistemastzolkin.com/videos/analisis-de-circuitos-electricos/circuitosen-estado-senoidal-permanente/
Cuestionario previo practica 1: Análisis sinusoidal permanente de circuitos
lineales
1. Demuestre la ecuación (15).
Para un circuito RCL en serie, aplicamos la ley de Kirchhoff de voltajes (KVL):
𝑣𝑖 (𝑡) = 𝑣𝑅 (𝑡) + 𝑣𝐿 (𝑡)
Donde:
• 𝑣𝑅 (𝑡) = 𝑖(𝑡)𝑅
• 𝑣𝑖 (𝑡) = 𝐿
𝑑𝑖(𝑡)
𝑑𝑡
+ 𝑖(𝑡)𝑟𝐿
Si 𝑟𝐿 es una resistencia interna del inductor, entonces la caída de voltaje total en el
inductor seria 𝑣𝐿 (𝑡) = 𝐿
𝑑𝑖(𝑡)
𝑑𝑡
+ 𝑖(𝑡)𝑟𝐿
Entonces la ecuación de voltaje del circuito se convierte en:
𝑣𝑖 (𝑡) = 𝑖(𝑡)𝑅 + 𝐿
𝑑𝑖(𝑡)
+ 𝑖(𝑡)𝑟𝐿
𝑑𝑡
Si asumimos 𝑣0 (𝑡) es voltaje a través de la resistencia R, entonces 𝑣0 (𝑡) =
𝑣 (𝑡)
𝑖(𝑡)𝑅. Ahora asumimos 𝑖(𝑡) = 0
𝑅
𝑣𝑖 (𝑡) =
en la ecuación de Kirchhoff:
𝑣0 (𝑡)
𝐿 𝑑𝑣0 (𝑡)
∗ (𝑅 + 𝑟𝐿 ) +
𝑅
𝑅 𝑑𝑡
Multiplicamos la ecuación por R para eliminar el denominador y dividimos todo
entre R para obtener finalmente nuestra ecuación
⸫
𝐿 𝑑𝑣0 (𝑡) 𝑟𝐿 + 𝑅
+
𝑣0 (𝑡) = 𝑣𝑖 (𝑡)
𝑅 𝑑𝑡
𝑅
2. Demuestre la ecuación (16).
Obtuvimos la ecuación anterior y de esta misma partimos:
𝐿 𝑑𝑣0 (𝑡) 𝑟𝐿 + 𝑅
+
𝑣0 (𝑡) = 𝑣𝑖 (𝑡)
𝑅 𝑑𝑡
𝑅
Tomamos la transformada de Laplace de ambos lados de la ecuación y la
aplicamos obteniendo:
𝐿
𝑟𝐿 + 𝑅
[𝑠𝑉0 (𝑠)] +
𝑉0 (𝑠) = 𝑉𝑖 (𝑠)
𝑅
𝑅
Factorizando 𝑉0 (𝑠) de la ecuación:
𝐿
𝑟𝐿 + 𝑅
𝑉0 (𝑠) [ 𝑠 +
] = 𝑉𝑖 (𝑠)
𝑅
𝑅
A continuación, ocupamos la función de transferencia H(s) la cual se define como
el cociente entre la salida y la entrada en el dominio de Laplace:
𝐻(𝑠) =
𝑉0 (𝑠)
1
=
𝑉𝑖 (𝑠) 𝐿 𝑠 + 𝑟𝐿 + 𝑅
𝑅
𝑅
Finalmente se puede reescribir y obtener la ecuación con ayuda de la función de
transferencia:
1
𝐿
𝑟 +𝑅
𝑠+ 𝐿
𝑅
𝑅
⸫ 𝐻(𝑠) =
3. Demuestre las ecuaciones (18) y (19).
Recordando nuestra función de transferencia que obtuvimos anteriormente:
𝐻(𝑠) =
1
𝐿
𝑟 +𝑅
𝑠+ 𝐿
𝑅
𝑅
Si la entrada 𝑉𝑖 (𝑡) es senoidal, 𝑉𝑖 (𝑡) = 𝑉𝑚 sin (𝜔𝑡), entonces en el dominio de
Laplace, esto se convierte en:
𝑉𝑖 (𝑠) =
𝑉𝑚 𝜔
𝑠2 + 𝜔2
Entonces la salida 𝑉0 (𝑠) es:
𝑉0 (𝑠) = 𝐻(𝑠)𝑉𝑖 (𝑠) =
1
𝑉𝑚 𝜔
∗ 2
𝐿
𝑟 + 𝑅 𝑠 + 𝜔2
𝑠+ 𝐿
𝑅
𝑅
Simplificando la expresión:
𝑉0 (𝑠) =
𝐿
𝑉𝑚 𝜔
∗
𝑅 𝑠 (𝑠 + 𝑟𝐿 + 𝑅 ) (𝑆 2 + 𝜔 2 )
𝐿
Para encontrar la respuesta en el tiempo necesitamos 𝑣𝑝 (𝑡) hacer la transformada
inversa de Laplace. Se busca que este estable, podemos analizar directamente la
respuesta senoidal en la forma:
𝑣𝑝 (𝑡) = |𝐻(𝑗𝜔)|𝑉𝑚 sin (𝜔𝑡 + 𝜙)
Donde:
|𝐻(𝑗𝜔)| = |
𝑅/𝐿
𝑅/𝐿
|=
𝑟 +𝑅
𝑟𝐿 + 𝑅 2
𝑗𝜔 + 𝐿
√
( 𝐿 ) + 𝜔2
𝐿
Y la fase 𝜙 es:
𝜙 = arg(𝐻(𝑗𝜔)) = arg (
𝑅/𝐿
𝑅/𝐿
) = − arctan (
)
𝑟𝐿 + 𝑅
𝑟
+
𝑅
𝐿
𝑗𝜔 +
𝐿
Por lo tanto, la expresión para 𝑣𝑝 (𝑡) en estado estable es:
𝑣𝑝 (𝑡) =
𝑅/𝐿
2
√(𝑟𝐿 + 𝑅) + 𝜔 2
𝐿
𝑉𝑚 sin(𝜔𝑡 − arctan (
𝜔𝐿
))
𝑟𝐿 + 𝑅
Y finalmente obtenemos nuestras ecuaciones demostradas:
𝑅
𝐿
⸫𝑣𝑝 (𝑡) =
𝑉𝑚 sin( 𝜔𝑡 + 𝜙)
2
√(𝑟𝐿 + 𝑅) + 𝜔 2
𝐿
⸫𝜙 = − arctan (
𝜔𝐿
)
𝑟𝐿 + 𝑅
4. Demuestre la ecuación (20).
Para un circuito RC en serie, la Ley de Kirchhoff de Voltajes nos dice que:
𝑣𝑖 (𝑡) = 𝑣𝑅 (𝑡) + 𝑣𝐶 (𝑡)
La corriente del capacitor está dada por:
𝑖(𝑡) = 𝐶
𝑑𝑣𝐶 (𝑡)
𝑑𝑡
Por lo tanto, el voltaje a través de la resistencia (R) puede expresarse como:
𝑣𝑅 (𝑡) = 𝑅 ⋅ 𝐶 ⋅
𝑑𝑣𝑜 (𝑡)
𝑑𝑡
Sustituyendo 𝑣𝑅 (𝑡) y 𝑣𝑐 (𝑡) en la ecuación de Kirchhoff:
𝑣𝑖 (𝑡) = 𝑅𝐶
𝑑
𝑣 (𝑡) + 𝑣𝑜 (𝑡)
𝑑𝑡 𝑜
Derivamos ambos lados con respecto al tiempo:
𝑑2
𝑑
𝑑𝑣𝑖 (𝑡)
𝑅𝐶 2 𝑣𝑜 (𝑡) + 𝑣𝑜 (𝑡) =
𝑑𝑡
𝑑𝑡
𝑑𝑡
Dividimos toda la ecuación por RC:
𝑑2
1 𝑑
1 𝑑𝑣𝑖 (𝑡)
𝑣
(𝑡)
+
𝑣
(𝑡)
=
𝑜
𝑜
𝑑𝑡 2
𝑅𝐶 𝑑𝑡
𝑅𝐶 𝑑𝑡
Finalmente obtenemos nuestra expresión dada:
⸫
𝑑𝑣𝑜 (𝑡)
1
𝑑𝑣𝑖 (𝑡)
+
𝑣𝑜 (𝑡) =
𝑑𝑡
𝑅𝐶
𝑑𝑡
5. Demuestre la ecuación (21).
La ecuación diferencial para el circuito RC es la siguiente:
𝑑𝑣𝑜 (𝑡)
1
𝑑𝑣𝑖 (𝑡)
+
𝑣𝑜 (𝑡) =
𝑑𝑡
𝑅𝐶
𝑑𝑡
Aplicamos la transformada de Laplace a ambos lados de la ecuación:
𝑠𝑉𝑜 (𝑠) − 𝑣𝑜 (0) +
1
𝑉 (𝑠) = 𝑠𝑉𝑖 (𝑠) − 𝑣𝑖 (0)
𝑅𝐶 𝑜
Asumimos condiciones iniciales nulas, lo cual simplifica la ecuación a esto:
𝑠𝑉𝑜 (𝑠) +
1
𝑉 (𝑠) = 𝑠𝑉𝑖 (𝑠)
𝑅𝐶 𝑜
Ahora trabajamos con la función de transferencia que se dé define de la siguiente
manera:
𝐻(𝑠) =
𝑉𝑜 (𝑠)
𝑉𝑖 (𝑠)
Para encontrar 𝐻(𝑠), despejamos 𝑉𝑜 (𝑠) de la ecuación anterior:
𝑉𝑜 (𝑠) (𝑠 +
1
) = 𝑠𝑉𝑖 (𝑠)
𝑅𝐶
Dividimos ambos lados por 𝑉𝑖 (𝑠) y por 𝑠 +
𝐻(𝑠) =
1
𝑅𝐶
𝑉𝑜 (𝑠)
𝑠
=
𝑉𝑖 (𝑠) 𝑠 + 1
𝑅𝐶
De esta forma obtenemos nuestra función de transferencia:
𝐻(𝑠) =
𝑠
𝑠+
1
𝑅𝐶
6. Demuestre las ecuaciones (22) y (23).
Partimos de la señal de transferencia obtenida del anterior inciso:
𝐻(𝑠) =
𝑠
𝑠+
1
𝑅𝐶
Cuando la entrada 𝑣𝑖 (𝑡) es una señal sinusoidal, es común trabajar en el dominio
de la frecuencia, donde 𝑠 = 𝑗𝜔 Por lo tanto, la función de transferencia en el
dominio de la frecuencia es:
𝑗𝜔
𝐻(𝑗𝜔) =
𝑗𝜔 +
1
𝑅𝐶
La magnitud de 𝐻(𝑗𝜔) se calcula como:
|𝐻(𝑗𝜔)| = |
𝑗𝜔
1
𝑗𝜔 +
𝑅𝐶
|
Calculamos la magnitud:
∣ 𝐻(𝑗𝜔) ∣=
𝜔
√𝜔 2 + ( 1 ) 2
𝑅𝐶
La fase 𝐻(𝑗𝜔) esta dada por:
∠𝐻(𝑗𝜔) = ∠ (
𝑗𝜔
1
𝑗𝜔 +
𝑅𝐶
)
Se simplifica a esto:
∠𝐻(𝑗𝜔) = arctan (
1𝜔𝑅𝐶
𝜋
)−
1
2
𝜑 = 90∘ − arctan (𝜔𝑅𝐶)
Para una entrada sinusoidal 𝑣𝑖 (𝑡) = 𝑉𝑚 sin(𝜔𝑡) , la salida en el dominio del
tiempo 𝑣𝑝 (𝑡) estará dada por:
𝑣𝑝 (𝑡) =∣ 𝐻(𝑗𝜔) ∣ 𝑉𝑚 sin (𝜔𝑡 + 𝜑)
Sustituyendo la magnitud y la fase obtenidas:
𝑣𝑝 (𝑡) =
𝜔𝑉𝑚
sin (𝜔𝑡 + (90∘ − arctan (𝜔𝑅𝐶)))
2
√( 1 ) + 𝜔 2
𝑅𝐶
De esta forma obtenemos nuestra ecuación:
⸫𝑣𝑝 (𝑡) =
𝜔𝑉𝑚
2
sin (𝜔𝑡 + 𝜑)
√( 1 ) + 𝜔 2
𝑅𝐶
Y nuestra fase 𝜑 se define como:
⸫𝜑 = 90∘ − arctan (𝜔𝑅𝐶)
7. Demuestre la ecuación (24).
Sumamos las caídas de voltaje alrededor del lazo:
𝑣𝑔 (𝑡) = 𝑣𝑟𝑔 (𝑡) + 𝑣𝐶 (𝑡) + 𝑣𝐿 (𝑡) + 𝑣𝑟𝐿 (𝑡) + 𝑣𝑅 (𝑡)
Donde:
• 𝑣𝑟𝑔 (𝑡) = 𝑟𝑔 ⋅ 𝑖(𝑡)
1
• 𝑣𝐶 (𝑡) = ∫ 𝑖(𝑡) 𝑑𝑡
𝐶
• 𝑣𝐿 (𝑡) = 𝐿
𝑑𝑖(𝑡)
𝑑𝑡
• 𝑣𝑟𝐿 (𝑡) = 𝑟𝐿 ⋅ 𝑖(𝑡)
• 𝑣𝑅 (𝑡) = 𝑅 ⋅ 𝑖(𝑡) = 𝑣𝑜 (𝑡)
La corriente 𝑖(𝑡) es la misma a través de todos los componentes porque es un
circuito en serie, reemplazando los voltajes:
𝑣𝑔 (𝑡) = 𝑟𝑔 𝑖(𝑡) +
Combinando términos de 𝑖(𝑡)
1
𝑑𝑖(𝑡)
∫ 𝑖(𝑡) 𝑑𝑡 + 𝐿
+ 𝑟𝐿 𝑖(𝑡) + 𝑅 𝑖(𝑡)
𝐶
𝑑𝑡
𝑣𝑔 (𝑡) = (𝑟𝑔 + 𝑟𝐿 + 𝑅) 𝑖(𝑡) + 𝐿
𝑑𝑖(𝑡) 1
+ ∫ 𝑖(𝑡) 𝑑𝑡
𝑑𝑡
𝐶
Dado que 𝑣𝑔 (𝑡) = 𝑅𝑖(𝑡), podemos expresar la corriente 𝑖(𝑡) como:
𝑖(𝑡) =
𝑣𝑜 (𝑡)
𝑅
Derivando 𝑣𝑜 (𝑡) con respecto al tiempo:
𝑑𝑖(𝑡) 1 𝑑𝑣𝑜 (𝑡)
=
𝑑𝑡
𝑅 𝑑𝑡
Sustituyendo 𝑖(𝑡), y
𝑑𝑖(𝑡)
𝑑𝑡
en la ecuación original:
𝑣𝑔 (𝑡) = (𝑟𝑔 + 𝑟𝐿 + 𝑅)𝑣𝑜 (𝑡) + 𝐿
1 𝑑𝑣𝑜 (𝑡) 1 𝑣𝑜 (𝑡)
+ ∫
𝑑𝑡
𝑅 𝑑𝑡
𝐶
𝑅
Multiplicando toda la ecuación por R para simplificar:
𝑅𝑣𝑔 (𝑡) = (𝑟𝑔 + 𝑟𝐿 + 𝑅)𝑣𝑜 (𝑡) + 𝐿
𝑑𝑣𝑜 (𝑡) 1
+ ∫ 𝑣𝑜 (𝑡) 𝑑𝑡
𝑑𝑡
𝐶
Derivamos toda la ecuación con respecto al tiempo para eliminar la integral:
𝑑𝑣𝑔 (𝑡)
𝑑𝑣𝑜 (𝑡)
𝑑 2 𝑣𝑜 (𝑡) 1
𝑅
= (𝑟𝑔 + 𝑟𝐿 + 𝑅)
+𝐿
+ 𝑣𝑜 (𝑡)
𝑑𝑡
𝑑𝑡
𝑑𝑡 2
𝐶
Reordenando para obtener la ecuación diferencial de segundo orden:
𝑟𝑔 + 𝑟𝐿 + 𝑅 𝑑𝑣𝑜 (𝑡)
𝑑 2 𝑣𝑜 (𝑡)
1
𝑅 𝑑𝑣𝑖 (𝑡)
⸫
+
+
𝑣
(𝑡)
=
(
)
𝑑𝑡 2
𝐿
𝑑𝑡
𝐿𝐶 𝑜
𝐿 𝑑𝑡
8. Demuestre la ecuación (25).
ℒ {𝑉0 ′′ +
𝑟𝐿 + 𝑅
1
𝑅 𝑑𝑉𝑖
𝑉0 ′ +
𝑉0 } = ℒ {
}
𝐿
𝐿𝐶
𝐿 𝑑𝑡
𝑠 2 𝑉0 (𝑠) +
𝑟𝐿 + 𝑅
1
𝑅
𝑠𝑉0 (𝑠) +
𝑉0 (𝑠) = ( ) 𝑠 𝑉𝑖 (𝑠)
𝐿
𝐿𝐶
𝐿
𝑟𝐿 + 𝑅
1
𝑅
𝑉0 (𝑠)
𝑠 +
] = 𝑠 𝑉𝑖 (𝑠) ; 𝐻(𝑠) =
𝑅
𝐿𝐶
𝐿
𝑉𝑖 (𝑠)
𝑅
𝑠
𝐿
=
𝑟 + 𝑅
1
𝑠2 + 𝐿
𝑠 +
𝑅
𝐿𝐶
𝑉𝑜 (𝑠) [𝑠 2 +
9. Demuestre las ecuaciones (26) y (27).
𝑅𝜔
( 𝐿 ) 𝑉𝑚
𝑉𝑝 (𝑡) =
sin(𝜔𝑡 + ∅)
2
2
√( 1 − 𝜔 2 ) + (𝑟𝐿 + 𝑅 𝜔 )
𝐿𝐶
𝐿
∅ = 90° − 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛 (
(𝑟𝐿 + 𝑅)𝜔
)
1
2
(𝐿𝐶 − 𝜔 ) 𝐿
De la ecuación:
𝑉0 ′′(𝑡) +
𝑟𝐿 + 𝑅
1
𝑅 𝑑𝑉𝑖 (𝑡)
𝑉0 ′(𝑡) +
𝑉0 (𝑡) =
𝐿
𝐿𝐶
𝐿 𝑑𝑡
De la solución de una sonda senoidal:
𝐻(𝑗𝜔) = |𝐻(𝑗𝜔)| 𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑡 + ∡ 𝐻(𝑗𝜔))
Se sabe que: 𝐻(𝑠) = 2
𝑠
𝑅
𝑠
𝐿
𝑟𝐿 + 𝑅
1
+
𝑠+
𝐿
𝐿𝐶
𝑅
𝑅
𝜔𝑗
𝐿
𝐿 𝜔𝑗
𝐻(𝑗𝜔) =
=
𝑟 + 𝑅
1
1
𝑟 + 𝑅
(𝑗𝜔)2 + 𝐿
(𝑗𝜔) +
(𝜔𝑗)
(𝐿𝐶 − 𝜔 2 ) + 𝐿 𝐿
𝐿
𝐿𝐶
2
√(𝑅 𝜔)
𝑅
| 𝜔𝑗|
𝐿
𝐿
|𝐻(𝑗𝜔)| =
=
1
𝑟𝐿 + 𝑅
2
2
2
(𝜔𝑗)|
|
𝐿𝐶 − 𝜔 +
𝐿
√( 1 − 𝜔2 ) + (𝑟𝐿 + 𝑅 (𝜔))
𝐿𝐶
𝐿
𝑟𝐿 + 𝑅
𝜔
)
∡𝐻(𝑗𝜔) = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛 ( 𝐿
1
2
−
𝜔
𝐿𝐶
(𝑟𝐿 + 𝑅)𝜔
)
∡𝐻(𝑗𝜔) = 90° − 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛 (
1
2
(𝐿𝐶 − 𝜔 ) 𝐿
𝑅
𝐿 𝜔
𝑉0 (𝑡) =
√( 1 − 𝜔2 )
𝐿𝐶
2
𝑟 + 𝑅
(𝜔))
+ ( 𝐿𝐿
∅ = 90° − 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛 (
2
sin(𝜔𝑡 + ∅)
(𝑟𝐿 + 𝑅)𝜔
)
1
(𝐿𝐶 − 𝜔 2 ) 𝐿
10. Determine el valor de la frecuencia ω para la cual la amplitud de vp(t),
ecuación (26), del circuito eléctrico RLC serie de la figura 5 es máxima.
De la ecuación: 𝑉𝑝 (𝑡) =
𝑅𝜔
) 𝑉𝑚
𝐿
2
2
√( 1 − 𝜔2 ) +(𝑟𝐿 + 𝑅 𝜔 )
𝐿𝐶
𝐿
(
𝑍𝑒𝑞 = 𝑟𝐿 + 𝑅 + 𝑗𝜔𝐿 +
1
𝑗
𝑗
𝜔𝐶 𝑗̂
sin(𝜔𝑡 + ∅)
𝜔2 𝐿𝑐 − 1
𝑍𝑒𝑞 = (𝑟𝐿 + 𝑅) +
𝑗
𝜔𝐶
𝑥 = (𝑟𝐿 + 𝑅)
𝑦 =
𝜔2 𝐿𝑐 = 1
𝜔2 =
𝜔=
1
𝐿𝑐
1
√𝐿𝑐
𝜔2 𝐿𝑐 − 1
𝜔𝐶
𝑗 = 0