MATRICES
Y
DETERMINANTES
Ing. Francisco Barrera García
Concepto de matriz
Es un arreglo rectangular de elementos en forma de renglones y columnas de la forma:
𝑎11 𝑎12 ⋯ 𝑎1𝑛
𝑎21 𝑎22 ⋯ 𝑎2𝑛
𝐴=
⋮
⋮
⋮
⋮
𝑎𝑚1 𝑎𝑚2 ⋯ 𝑎𝑚𝑛
Forma abreviada
𝐴 = 𝑎𝑖𝑗
𝑖 = 1, 2, 3, … , 𝑚
𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 ቊ
𝑗 = 1, 2, 3, … , 𝑛
Donde 𝑎𝑖𝑗 ∈ ℂ y 𝑚, 𝑛 ∈ ℕ. Se dice que la matriz 𝐴 consta de 𝑚 renglones y 𝑛
columnas.
Ing. Francisco Barrera García
Orden de una matriz
El orden de una matriz se indica por medio de la cantidad de renglones y columnas.
Para el caso de la matriz A, se tiene que su orden es:
𝑎11 𝑎12 ⋯ 𝑎1𝑛
𝑎21 𝑎22 ⋯ 𝑎2𝑛
𝐴=
⋮
⋮
⋮
⋮
𝑎𝑚1 𝑎𝑚2 ⋯ 𝑎𝑚𝑛
Orden de A:
𝑚×𝑛
Renglones
Columnas
Cuando el orden es 𝑛 × 𝑛 la matriz recibe el nombre de matriz cuadrada.
Ing. Francisco Barrera García
Igualdad de matrices
Sean 𝐴 = 𝑎𝑖𝑗
y 𝐵 = 𝑏𝑖𝑗
dos matrices del mismo orden, se dice que:
𝑎11 𝑎12 ⋯ 𝑎1𝑛
𝑎21 𝑎22 ⋯ 𝑎2𝑛
𝐴=
⋮
⋮
⋮
⋮
𝑎𝑚1 𝑎𝑚2 ⋯ 𝑎𝑚𝑛
𝐴=𝐵
⟺
𝑏11 𝑏12 ⋯ 𝑏1𝑛
𝑏21 𝑏22 ⋯ 𝑏2𝑛
𝐵=
⋮
⋮
⋮
⋮
𝑏𝑚1 𝑏𝑚2 ⋯ 𝑏𝑚𝑛
𝑎𝑖𝑗 = 𝑏𝑖𝑗 ; ∀ 𝑖, 𝑗
Ing. Francisco Barrera García
Adición de matrices
Dadas dos matrices 𝐴 = 𝑎𝑖𝑗
y 𝐵 = 𝑏𝑖𝑗 del mismo orden, se tiene que la suma
𝐴 + 𝐵 se define como una nueva matriz 𝐶 :
𝐴+𝐵 =𝐶
𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒
𝐶 = 𝑐𝑖𝑗
Tal que:
𝑐𝑖𝑗 = 𝑎𝑖𝑗 + 𝑏𝑖𝑗 ; ∀ 𝑖, 𝑗
Ing. Francisco Barrera García
Sustracción de matrices
Dadas dos matrices 𝐴 = 𝑎𝑖𝑗
y 𝐵 = 𝑏𝑖𝑗
del mismo orden, se tiene que 𝐴 − 𝐵 se
define como una nueva matriz 𝐶 :
𝐴−𝐵 =𝐶
𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒
𝐶 = 𝑐𝑖𝑗
Tal que:
𝑐𝑖𝑗 = 𝑎𝑖𝑗 − 𝑏𝑖𝑗
; ∀ 𝑖, 𝑗
Ing. Francisco Barrera García
Multiplicación de una matriz por un escalar
Sea la matriz 𝐴 = 𝑎𝑖𝑗
y el escalar 𝑘 ∈ ℂ, se tiene que su producto 𝑘𝐴 viene dado
por:
𝑘𝐴 = 𝑘 𝑎𝑖𝑗
; ∀ 𝑖, 𝑗
Nota: Para esta operación no importa el orden de la matriz 𝐴
Ing. Francisco Barrera García
Multiplicación de matrices
Para que la multiplicación de dos matrices 𝐴 y 𝐵 pueda efectuarse, es indispensable que
el número de columnas de la primera matriz sea igual al numero de renglones de la
segunda matriz. Si consideramos que la matriz 𝐴 es de orden 𝑚 × 𝑛 y la matriz 𝐵 es
de orden 𝑛 × 𝑞, se tiene que el producto 𝐴𝐵 es una nueva matriz 𝐶 = 𝑐𝑖𝑗 de orden
𝑚 × 𝑞 definida por:
𝑛
𝑖 = 1, 2, 3, … , 𝑚
donde: ቊ
𝑗 = 1, 2 , 3, … , 𝑞
𝑐𝑖𝑗 = 𝑎𝑖𝑘 𝑏𝑘𝑗
𝑘=1
Tal que:
𝐴
𝐵 = 𝐶
𝑚×𝑛 𝑛×𝑞
𝑚×𝑞
Ing. Francisco Barrera García
Multiplicación de matrices
Nota: Cuando el número de columnas de 𝐴 no es igual al número de renglones de 𝐵, se
dice que 𝐴 y 𝐵 no son conformables para la multiplicación.
Ejemplo:
𝐴=
2
1
−1 3
4 −1
2×3
1
𝐵= 2
3
deben ser iguales
1
−1
4
3×2
orden de 𝐴𝐵
Ing. Francisco Barrera García
Matriz identidad
Es aquella matriz cuadrada definida por:
𝐼 = 𝑎𝑖𝑗
𝑎𝑖𝑗 = 1 si 𝑖 = 𝑗
tal que ൝
𝑎𝑖𝑗 = 0 si 𝑖 ≠ 𝑗
Ejemplos:
1
𝐼=
0
0
1
2×2
1
𝐼= 0
0
0 0
1 0
0 1
3×3
Ing. Francisco Barrera García
Matriz inversa
Sea 𝐴 una matriz cuadrada con elementos en ℂ . Se dice que la matriz 𝐴−1 es inversa
de 𝐴, si el producto entre ellas es igual a la matriz identidad.
𝐴𝐴−1 = 𝐴−1 𝐴 = 𝐼
Definición:
Se dice que 𝐴 es una matriz “no singular” si existe 𝐴−1 , en caso contrario se dice que
𝐴 es una matriz “singular”.
Ing. Francisco Barrera García
Cálculo de la matriz inversa por transformaciones
elementales
Para obtener la matriz inversa 𝐴−1 a partir de la matriz 𝐴, se considera el siguiente
arreglo matricial:
𝐴
ቮ
𝐼
Mediante transformaciones elementales se debe modificar la matriz 𝐴, de tal forma que
en su lugar quede la matriz identidad, llegando a definir la matriz inversa en el lado
derecho del arreglo, esto es:
𝐼
ቮ
𝐴−1
Ing. Francisco Barrera García
Propiedades de las operaciones con matrices
Sean 𝐴, 𝐵 y 𝐶 matrices del mismo orden y sea 𝛼 ∈ ℂ un escalar.
Adición
Multiplicación de una matriz
por un escalar
1. 𝐴 + 𝐵 = 𝐵 + 𝐴
1. 𝛼 𝛽𝐴 = 𝛼𝛽 𝐴
2. 𝐴 + 𝐵 + 𝐶 = 𝐴 + 𝐵 + 𝐶
2.
3. ∃ 0 | 𝐴 + 0 = 0 + 𝐴 = 𝐴
3. 𝛼 𝐴 + 𝐵 = 𝛼𝐴 + 𝛼𝐵
4. ∀ 𝐴 ∃ −𝐴 | 𝐴 + (−𝐴) = 0
4. ∃ 1 ∈ ℂ | 1 ∙ 𝐴 = 𝐴
𝛼 + 𝛽 𝐴 = 𝛼𝐴 + 𝛽𝐴
Ing. Francisco Barrera García
Propiedades de las operaciones con matrices
Multiplicación de matrices
1. La multiplicación de matrices no es conmutativa.
2. 𝐴 𝐵𝐶 = 𝐴𝐵 𝐶
3. 𝐴 𝐵 + 𝐶 = 𝐴𝐵 + 𝐴𝐶
o
𝐴 + 𝐵 𝐶 = 𝐴𝐶 + 𝐵𝐶
4. Existe la matriz idéntica multiplicativa (matriz identidad), siempre y cuando la matriz
original sea cuadrada.
5. Existe la matriz inversa multiplicativa, si 𝐴 es una matriz cuadrada tal que:
∀ 𝐴 𝐷𝑒𝑡(𝐴) ≠ 0 ;
∃ 𝐴−1
𝐴−1 𝐴 = 𝐴𝐴−1 = 𝐼
Ing. Francisco Barrera García
Propiedades de la matriz inversa
Sean 𝐴 y 𝐵 dos matrices no singulares y sea 𝛼 ∈ ℂ un escalar.
1. 𝐴−1 es única
2.
𝐴−1 −1 = 𝐴
3.
𝐴𝐵 −1 = 𝐵−1 𝐴−1
1
4. (𝛼𝐴)−1 = 𝛼 𝐴−1
; si 𝛼 ≠ 0
Ing. Francisco Barrera García
Ecuaciones matriciales
Las ecuaciones matriciales pueden resolverse siguiendo el mismo procedimiento que se
emplea para resolver ecuaciones planteadas con números; esto es, tratando de
despejar la incógnita en términos de los otros elementos que intervienen en la
ecuación. Sin embargo, debemos tener especial cuidado en que los pasos efectuados
en el despeje sean válidos en el álgebra de matrices.
Ing. Francisco Barrera García
Solución de sistemas de ecuaciones con matrices
Sea el sistema de ecuaciones lineales:
𝑎11 𝑥1 + 𝑎12 𝑥2 + ⋯ + 𝑎1𝑛 𝑥𝑛 = 𝑏1
𝑎21 𝑥1 + 𝑎22 𝑥2 + ⋯ + 𝑎2𝑛 𝑥𝑛 = 𝑏2
⋮
𝑎𝑚1 𝑥1 + 𝑎𝑚2 𝑥2 + ⋯ + 𝑎𝑚𝑛 𝑥𝑛 = 𝑏𝑚
Representación matricial:
𝑎11 𝑎12 ⋯ 𝑎1𝑛
𝑎21 𝑎22 ⋯ 𝑎2𝑛
⋮
⋮
⋮
⋮
𝑎𝑚1 𝑎𝑚2 ⋯ 𝑎𝑚𝑛
𝐴
𝑥1
𝑏1
𝑥2
𝑏2
⋮ = ⋮
𝑥𝑛 𝑏𝑚
𝑋
𝐴 → Matriz de coeficientes
𝑋 → Matriz de incógnitas
𝐵 → Matriz de términos independientes
𝐵
𝐴𝑋 = 𝐵
Ing. Francisco Barrera García
Solución de sistemas de ecuaciones con matrices
Si el sistema de ecuaciones es cuadrado, es decir, que el número de ecuaciones es igual al
número de incógnitas, entonces 𝐴 es una matriz cuadrada y si existe 𝐴−1 , entonces la
solución al sistema se puede obtener de la siguiente forma:
𝐴𝑋 = 𝐵
Ecuación matricial
𝐴−1 𝐴𝑋 = 𝐴−1 𝐵
𝑋 = 𝐴−1 𝐵
Ing. Francisco Barrera García
Clasificación de matrices
Esta clasificación se hará de acuerdo a la naturaleza y disposición de los elementos
de las tres regiones señaladas. Sea la matriz cuadrada 𝐴 de orden 𝑛 × 𝑛.
A=
𝑎11 𝑎12 ⋯ 𝑎1𝑛
𝑎21 𝑎22 ⋯ 𝑎2𝑛
⋮
⋮
⋮
⋮
𝑎𝑛1 𝑎𝑛2 ⋯ 𝑎𝑛𝑛
Triángulo
inferior
Triángulo
superior
Diagonal
principal
Ing. Francisco Barrera García
1. Matriz triangular
Sea la matriz cuadrada 𝐴 = 𝑎𝑖𝑗
de orden 𝑛 × 𝑛. Se tienen dos tipos de
matrices triangulares:
1.1 Matriz triangular superior
𝑎𝑖𝑗 = 0 si 𝑖 > 𝑗
1
A= 0
0
0
3
4
0
0
−1 2
2 1
0 −5
0
3
1.2 Matriz triangular inferior
𝑎𝑖𝑗 = 0 si 𝑖 < 𝑗
1
A= 2
1
7
0
0
8
1
0 0
0 0
5 0
−6 1
Ing. Francisco Barrera García
2. Matriz diagonal
Sea la matriz 𝐴 = 𝑎𝑖𝑗
donde 𝑎𝑖𝑗 = 0
si
2
A= 0
0
0
𝑖≠𝑗
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
3
Propiedades de las matrices diagonales
1. La suma de dos matrices diagonales es una matriz diagonal.
2. Si A es una matriz diagonal, entonces αA también es una matriz diagonal.
3. El producto de dos matrices diagonales es una matriz diagonal.
4. Si A es una matriz diagonal no singular:
2 0 0
A= 0 5 0
0 0 4
⟹
1
2
0
0
𝐴−1 = 0
1
5
0
0 0
1
4
Ing. Francisco Barrera García
3. Matriz transpuesta
Es una matriz asociada a otra que se obtiene al transformar los renglones en
columnas, esto es, dada una matriz 𝐴 = 𝑎𝑖𝑗 se tiene que su correspondiente matriz
transpuesta es 𝐴𝑇 = 𝑎𝑗𝑖 . Ejemplo: Si
1 −4 −3 1
A= 0 5
2 5
7 0
1 3
⟹
1
𝐴𝑇 = −4
−3
1
0
5
2
5
7
0
1
3
Propiedades
1. (𝐴𝑇 )𝑇 = 𝐴
2. (𝛼𝐴)𝑇 = 𝛼𝐴𝑇 𝑐𝑜𝑛
3. (𝐴 + 𝐵)𝑇 = 𝐴𝑇 + 𝐵𝑇
𝛼∈ℂ
4. (𝐴𝐵)𝑇 = 𝐵𝑇 𝐴𝑇
Ing. Francisco Barrera García
4. Matriz conjugada
Es una matriz asociada a otra matriz que se obtiene al conjugar cada uno de los
elementos de dicha matriz, esto es, dada una matriz 𝐴 = 𝑎𝑖𝑗 se tiene que su
correspondiente matriz conjugada es 𝐴 = 𝑎𝑖𝑗 . Ejemplo:
A=
−𝑖
3+𝑖
−2 2 + 2𝑖
4𝑖
1
⟹
𝐴=
𝑖
3−𝑖
−2
−4𝑖
2 − 2𝑖
1
Propiedades de la conjugación de una matriz
1.
𝐴 =𝐴
3.
𝐴+𝐵 =𝐴+𝐵
2.
𝛼𝐴 = 𝛼 𝐴 𝑐𝑜𝑛 𝛼 ∈ ℂ
4.
𝐴𝐵 = 𝐴 𝐵
Ing. Francisco Barrera García
5. Matriz Conjugada-Transpuesta
Sea 𝐴 = 𝑎𝑖𝑗 una matriz de orden 𝑚 × 𝑛. Se llama Conjugada-Transpuesta de 𝐴, y
se representa con 𝐴∗ , a la matriz de orden 𝑛 × 𝑚 definida por:
𝐴∗ = 𝐴𝑇 =
𝑖
A= 1
−4𝑖
2 + 3𝑖
1−𝑖
0
⟹
𝐴
𝑇
𝐴∗ =
−𝑖
2 − 3𝑖
1
1+𝑖
4𝑖
0
Propiedades de la conjugada-transpuesta
1. (𝐴∗ )∗ = 𝐴
3. (𝐴 + 𝐵)∗ = 𝐴∗ + 𝐵∗
2. (𝛼𝐴)∗ = 𝛼𝐴∗ 𝑐𝑜𝑛 𝛼 ∈ ℂ
4. (𝐴𝐵)∗ = 𝐵∗ 𝐴∗
Ing. Francisco Barrera García
Tipos especiales de matrices
Existen tipos especiales de matrices definidos en términos de las operaciones:
Transpuesta (𝑀𝑇 ), Conjugada (𝑀) y Conjugada-Transpuesta (𝑀∗ ).
Nombre
Elementos
Matricial
M. Hermitiana
ℂ
𝑴 = 𝑴∗
M. Simétrica
ℝ
𝑴 = 𝑴𝑻
M. Antihermitiana
ℂ
𝑴 = −𝑴∗
M. Antisimétrica
ℝ
𝑴 = −𝑴𝑻
M. Unitaria
ℂ
𝑴𝑴∗ = I
M. Ortogonal
ℝ
𝑴 𝑴𝑻 = I
Ing. Francisco Barrera García
Potencia de una matriz
De manera similar al caso de los números, se define como potencia n-ésima de una
matriz cuadrada, al producto enésimo de dicha matriz, esto es:
𝐴𝑛 = 𝐴 ∙ 𝐴 ∙ 𝐴 ∙ … ∙ 𝐴
𝑛 factores
Propiedades de la potencia de una matriz
1. 𝐴0 = 𝐼
3.
2. 𝐴𝑚 𝐴𝑛 = 𝐴𝑚+𝑛
4. (𝑘𝐴)𝑛 = 𝑘 𝑛 𝐴𝑛 𝑐𝑜𝑛
𝐴𝑛 𝑚 = 𝐴𝑛 𝑚
𝑘∈ℂ
Ing. Francisco Barrera García
Traza de una matriz
Sea 𝐴 = 𝑎𝑖𝑗 una matriz de orden 𝑛 × 𝑛 . La traza es un concepto definido
exclusivamente para matrices cuadradas, en términos de la suma de los elementos de la
diagonal principal, esto es:
𝑇𝑟 𝐴 = 𝑎11 + 𝑎22 + ⋯ + 𝑎𝑛𝑛
Propiedades de la traza
1. 𝑇𝑟 𝐴 + 𝐵 = 𝑇𝑟 𝐴 + 𝑇𝑟(𝐵)
3. 𝑇𝑟 𝐴𝐵 = 𝑇𝑟 𝐵𝐴
2. 𝑇𝑟 𝛼𝐴 = 𝛼 𝑇𝑟(𝐴) 𝑐𝑜𝑛
4. 𝑇𝑟 𝐴𝑇 = 𝑇𝑟(𝐴)
𝛼∈ℂ
Ing. Francisco Barrera García
Determinante de una matriz
Sea el sistema de ecuaciones:
𝑎11 𝑥1 + 𝑎12 𝑥2 = 𝑏1
ቊ
𝑎21 𝑥1 + 𝑎22 𝑥2 = 𝑏2
Se tiene que:
𝑎22 𝑎11 𝑥1 + 𝑎12 𝑥2 = 𝑏1
ቊ
−𝑎12 𝑎21 𝑥1 + 𝑎22 𝑥2 = 𝑏2
De donde:
𝑎11 𝑎22 𝑥1 + 𝑎12 𝑎22 𝑥2 = 𝑎22 𝑏1
ቊ
−𝑎12 𝑎21 𝑥1 −𝑎12 𝑎22 𝑥2 = −𝑎12 𝑏2
(1)
(2)
Ing. Francisco Barrera García
Determinante de una matriz
Sumando (1) y (2) tenemos:
𝑎11 𝑎22 𝑥1 − 𝑎12 𝑎21 𝑥1 = 𝑎22 𝑏1 − 𝑎12 𝑏2
factorizando 𝑥1 :
(𝑎11 𝑎22 − 𝑎12 𝑎21 )𝑥1 = 𝑎22 𝑏1 − 𝑎12 𝑏2
de donde se tiene:
𝑎22 𝑏1 −𝑎12 𝑏2
𝑥1 =
𝑎11 𝑎22 −𝑎12 𝑎21
(3)
𝑎11 𝑏2 −𝑎21 𝑏1
𝑥2 =
𝑎11 𝑎22 −𝑎12 𝑎21
(4)
Ing. Francisco Barrera García
Determinante de una matriz
Al número:
𝑎11 𝑎22 − 𝑎12 𝑎21
se le conoce como el determinante de la matriz A, siendo A la matriz de
coeficientes del sistema de ecuaciones.
Si
𝑎11 𝑎12
A= 𝑎
, entonces:
𝑎
21
22
𝑎11 𝑎12
Det (A) = 𝑎
= 𝑎11 𝑎22 − 𝑎12 𝑎21
𝑎
21
22
(5)
Ing. Francisco Barrera García
Determinante de una matriz
Si consideramos los numeradores de las expresiones (3) y (4), tenemos:
𝑏1
𝑎22 𝑏1 − 𝑎12 𝑏2 =
𝑏2
𝑎12
𝑎22
(6)
𝑎11
𝑎11 𝑏2 − 𝑎21 𝑏1 =
𝑎21
𝑏1
𝑏2
(7)
Ing. Francisco Barrera García
Determinante de una matriz
Sustituyendo (5), (6) y (7) en (3) y (4) tenemos:
𝑏1 𝑎12
𝑏2 𝑎22
𝑥1 = 𝑎11 𝑎12
𝑎21 𝑎22
𝑎11 𝑏1
𝑎21 𝑏2
𝑥2 = 𝑎11 𝑎12
𝑎21 𝑎22
Como puede apreciarse los valores de 𝑥1 y 𝑥2 pueden obtenerse como el cociente
de dos determinantes. A este método de solución de un sistema de ecuaciones, se le
conoce como Regla de Cramer.
Ing. Francisco Barrera García
Propiedades de los determinantes
Sea 𝐴 = 𝑎𝑖𝑗
una matriz de orden 𝑛 × 𝑛.
1. Si la matriz A tiene una fila (renglón o columna) de ceros, entonces el det(A) = 0.
2. Si en la matriz A hay dos filas paralelas proporcionales o iguales, entonces el
det(A) = 0.
3. Si en la matriz A se intercambian de lugar dos filas cualesquiera, entonces su
determinante cambia de signo.
4. Si en la matriz A a una de sus filas se le suma el resultado de otra fila paralela
multiplicada por una constante, entonces el valor de su determinante no cambia.
Ing. Francisco Barrera García
Propiedades de los determinantes
5. Si en una matriz 𝐴 se multiplica una de sus filas por una constante 𝛼, entonces el
determinante se multiplica por esa misma constante 𝛼.
6. det 𝐴𝑇 = det(𝐴)
7. det 𝛼𝐴 = 𝛼 𝑛 det 𝐴
siendo 𝑛 el número de renglones de la matriz 𝐴
8. det 𝐴𝐵 = det(𝐴) det(𝐵)
9. det 𝐴𝐵 = det(𝐵𝐴)
10. det 𝐴−1
1
=
det(𝐴)
Ing. Francisco Barrera García
Métodos para el cálculo de determinantes
Ing. Francisco Barrera García
1. Regla de Sarrus
Este método sólo es aplicable a determinantes de 2 × 2 y 3 × 3, de acuerdo con el
siguiente criterio:
3×3
2×2
𝑎11
𝑎21
𝑎12
𝑎22
(−)
= 𝑎11 𝑎22 − 𝑎21 𝑎12
(+)
(−)
𝑎11
𝑎21
𝑎31
𝑎11
𝑎21
𝑎12
𝑎22
𝑎32
𝑎12
𝑎22
𝑎13
𝑎23
𝑎33
𝑎13
𝑎23
(−)
(−)
= 𝑎11 𝑎22 𝑎33 + 𝑎21 𝑎32 𝑎13 + 𝑎31 𝑎12 𝑎23
−𝑎31 𝑎22 𝑎13 − 𝑎11 𝑎32 𝑎23 − 𝑎21 𝑎12 𝑎33
(+)
(+)
(+)
Ing. Francisco Barrera García
2. Método de cofactores
Se conoce como cofactor de un elemento de una matriz, al determinante que se
obtiene al eliminar el renglón y la columna de dicho elemento. A este determinante se
le conoce como el “menor” del elemento en cuestión. Este cofactor tiene asociado un
signo que se define al elevar el numero (−1) a la suma de los subíndices del elemento
al que pertenece el cofactor.
Ejemplo:
𝑎11
𝐴 = 𝑎21
𝑎31
𝑎12
𝑎22
𝑎32
𝑎13
𝑎23
𝑎33
𝑎12
Cof 𝑎21 = (−1) 𝑎
32
3
𝑎13
𝑎33
El determinante de una matriz se puede obtener al sumar los productos de los
elementos de una línea cualquiera por sus respectivos cofactores.
Ing. Francisco Barrera García
3. Método de condensación
Este método consiste en hacer ceros los elementos de una línea, excepto uno de
ellos, al que llamaremos pivote. Los ceros en la línea se lograrán aplicando
transformaciones elementales, teniendo presentes las propiedades de los
determinantes.
Una vez que se logre lo anterior, deberá aplicarse el método de cofactores a la
matriz equivalente, seleccionando la línea que ha sido modificada.
Ing. Francisco Barrera García
4. Método de la matriz triangular
Mediante el uso de transformaciones elementales, se buscará transformar la matriz
original a una matriz triangular, puede ser superior o inferior, según convenga dadas
las características de la matriz.
Una vez obtenida la matriz triangular, el valor del determinante viene dado por el
producto de los elementos de la diagonal principal.
Ing. Francisco Barrera García
Cálculo de la inversa por medio de la adjunta
Dada una matriz cuadrada 𝐴 no singular de orden 𝑛 × 𝑛 , se tiene que su
correspondiente matriz inversa viene dada por la expresión:
𝐴−1 =
1
det 𝐴
𝐴𝐷𝐽(𝐴)
Donde la matriz 𝐴𝐷𝐽(𝐴) conocida como matriz adjunta de 𝐴, se define como la matriz
de cofactores de los elementos de 𝐴𝑇 , esto es:
𝐴𝐷𝐽 𝐴 = 𝐶𝑂𝐹(𝐴𝑇 )
Es importante aclarar que en dicha matriz de cofactores no interviene producto alguno
del elemento por su cofactor respectivo. La matriz 𝐴𝐷𝐽 𝐴 considera exclusivamente a
los cofactores de 𝐴𝑇 .
Ing. Francisco Barrera García
Regla de Cramer
Es un procedimiento que permite obtener la solución de un sistema de ecuaciones
compatible determinado, mediante el uso de determinantes. Este método consiste en
considerar (𝑛 + 1) determinantes, siendo 𝑛 el número de ecuaciones en las que
existen 𝑛 incógnitas. El primer determinante es el de la matriz de coeficientes, en
tanto que los demás, conocidos como determinantes asociados a una variable, se
obtienen al cambiar la columna de los coeficientes de dicha variable, por la columna de
términos independientes. De acuerdo con lo anterior se tiene la expresión:
det( 𝑥𝑖 )
𝑥𝑖 =
det( 𝐴)
Donde:
𝑥𝑖
det( 𝑥𝑖 )
det( 𝐴)
Incógnita
Determinante asociado a la variable 𝑥𝑖
Determinante de la matriz de coeficientes
Ing. Francisco Barrera García
0
