Lógica Proposicional Bivariada: Ficha de Trabajo IV Secundaria

LÓGICA
PROPOSICIONAL
BIIVARIADA
Ficha VI
IV
Secundaria
ESTUDIANTE:
2025
Lógica Proposicional 2025
LÓGICA PROPOSICIONAL
En el Día de San Patricio, se anima a los estudiantes de una clase a vestir ropa verde en la escuela.
Cosas para pensar:
Para cada una de estas declaraciones, enumere los estudiantes para los cuales la afirmación es
verdadera:
a. Estoy usando una camisa verde.
b. No estoy usando una camisa verde.
c. Estoy usando una camisa verde y pantalones verdes.
d. Estoy usando una camisa verde o pantalones verdes.
e. Estoy usando una camisa verde o pantalones verdes, pero no ambos.
Gottfriend Wilhelm Leibniz fue un filósofo, lógico, matemático, jurista,
bibliotecario y político Alemán. Un gran pensador de los siglos XVII y XVIII, y
se le reconoce como “El último genio universal”. Realizó profundas e
importantes contribuciones en las áreas de Metafísica, epistemología, lógica,
filosofía de la religión, así como en la matemática, física, geología,
jurisprudencia e historia. Incluso Denis Diderot, el filósofo deísta francés del
siglo XVIII, cuyas opiniones no podrían estar en mayor oposición a las de
Leibniz, no podía evitar sentirse sobrecogido ante sus logros, y escribió en la
ENCYCLOPÉDIE: “Quizás nunca haya un hombre que haya leído tanto,
estudiado tanto, meditado más que Leibniz…. Lo que ha elaborado sobre el
mundo, sobre Dios, la naturaleza y el alma es de la más sublime elocuencia.
Si sus ideas hubiesen sido expresadas con el olfato de Platón, el filósofo de
Leipzig no cedería en nada al filósofo de Atenas”
A. LA PROPOSICIÓN
Sean las expresiones:
•
Mario Vargas Llosa escribió “La tía Julia y el escribidor”
(
)
•
•
•
•
5 +3 =8
(
(
(
(
)
)
)
)
2
2
2
Buenos Aires es la capital de Colombia
3 es divisor de 21 y 5 divisor de 30
Si 5 x 4 = 20, entonces 20 : 5 = 4
¿Qué podemos decir de éstas expresiones?____________________________________________
_______________________________________________________________________________
2
Lógica Proposicional 2025
En cambio:
•
•
•
•
•
¿Cómo te llamas?
¡Hola!
¿Cómo estás?
¡Dale U!
¡Arriba Alianza!
¿Qué podemos decir de éstas expresiones?____________________________________________
_______________________________________________________________________________
Por consiguiente podemos definir Proposición:
La proposición son …………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………..
EJEMPLO 1.- ¿Cuáles de las siguientes afirmaciones son proposiciones? Si son proposiciones
cuáles son verdaderas, falsas o indeterminadas.
a)
b)
c)
d)
20 : 4 = 80
25 x 8 = 200
¿Dónde está mi lapicero?
Tus ojos son azules
Analizamos:
a)
b)
c)
d)
…………………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………………..
La negación.Es la operación que contradice a una proposición, cambiándole su valor de verdad. La negación
utiliza las palabras: no, no es cierto, es falso que, no es verdad que, no es el caso que etc.
Ejemplo: Sea la proposición p: Carlos es profesor
Su negación será:
•
•
•
•
Carlos no es profesor
No es cierto que Carlos es profesor
Es falso que Carlos es profesor.
No es el caso que Carlos sea profesor.
TABLA DE VERDAD: “Si la proposición es verdadera, su negación es falsa, y si la negación
es falsa, su negación es verdadera”
p
~p
3
Lógica Proposicional 2025
EJERCICIOS 6A.1
1. ¿Cuáles de las siguientes afirmaciones son proposiciones?. Si son proposiciones cuáles son
verdaderas, falsas o indeterminadas.


a) 11 – 5 = 7
e) 12  impar
b) Un hexágono tiene 6 lados
c) 2  Q
f) ¿Cómo estás?
g) Un rectángulo no es un paralelogramo.
d) 37  números.. primos
h) Los ángulos alternos internos son iguales


2. En cada una de las siguientes proposiciones:
a) Escribe su negación
b) Indica si la proposición o su negación es verdadera
a)
p:Todo rectángulo es un paralelogramo
ii)
r: 7 es un número racional.
iii)
q: 52 : 4 =13
iv)
v)
m: 5 es un número irracional
q: 24 – 13 =12
3. Encuentre la negación de estas proposiciones para x, y  R
a)
x5
b) x  3
c) y < 8
d) y  10
4. Encuentra la negación de:

a) X es un perro, para x  perros , gatos
b)
c)

x  2 para x  N
x  2 para x  Z
5. Encuentra la negación de:
a)
b)
x  5 para x  Z +
x  0 para x  Z
 caballos, ovejas, vacas, cabras, ciervos 
d) X es un estudiante masculino, x  estudiantes
e) X es un estudiante femenino, x   femenino
c) X es una vaca, para x 
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Lógica Proposicional 2025
LA NEGACIÓN Y LOS DIAGRAMAS DE VENN
Muchas proposiciones contienen una variable, algunas pueden ser
verdaderas y otras falsas.
Por ejemplo: Considerar x mayor que 10.
U es el universal, es el conjunto de todos los valores que puede tomar x.
P es el conjunto de valores verdaderos para p
P´ es el conjunto verdadero para la negación de p.
Ejemplo: Considerando que U =
x / 0  x  10, x  N  , y la proposición p, x es un número
primo, encontrar ~p y mostrarlo en el diagrama de Venn
Solución:
P = 2,3,5,7


Por consiguiente P´= 1,4,6,8,9 , en el diagrama de Venn
Ejercicios 6A.2
1) Encontrar el conjunto de verdad en las siguientes afirmaciones. Graficarlos en un diagrama
de Venn.


b. q: x es un número par, y U = x / 1  x  10, x  Z 
a. p: x es un múltiplo de 3, y U = 20  x  30, x  Z
c.
p: x es un factor de 42, para U = Z
 estudiantes en año 11  , M =  Estudiantes que estudian
música  O=  estudiantes que tocan en la orquesta 
2) Supongamos que: U =
Dibuja un diagrama de Venn para representar las siguientes afirmaciones:
a. Todos los estudiantes de música que integran la orquesta escolar.
b. Ninguno de los estudiantes de la orquesta estudia música
3) a) Representa U =
x / 5  x  15, x  N  y p: x<9 en el diagrama de Venn.
b) Lista el conjunto de verdades de ~p
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Lógica Proposicional 2025
B. CLASES DE PROPOSICIONES:
I.
Simples o atómicas.- Son aquellas en las que aparece una afirmación o acción; se
caracterizan porque se expresan mediante oraciones que no utilizan conjunciones
gramaticales, ni el adverbio “no”. Simbólicamente se presentan por las letras: p, q, r, s, t, u,
v, w, llamadas variables proposicionales.
Ejemplos:
p: Carlos es abogado
q: 5 es divisor de 14
➢
➢
II.
r: 45 es múltiplo de 45.
s: 80 : 8 = 11
Si el valor de verdad de una proposición p es verdadera, se escribe V(p) = V
Si el valor de verdad de una proposición q es falsa, se escribe
V(q) = F
Proposiciones compuestas o Moleculares.- Son aquellas que están constituidas por
proposiciones simples, enlazadas entre sí por conjunciones gramaticales, o por la negación
de una proposición simple.
Ejemplos:
Carlos es Abogado y María es profesora.
Miguel trabaja o estudia.
Si Mónica aprueba todos sus cursos, entonces irá de viaje.
➢
El valor de verdad de una proposición compuesta depende de los valores de verdad de las
proposiciones simples que lo conforman y de la forma cómo están enlazadas.
CONECTIVOS LÓGICOS Y OPERACIONES LÓGICAS
Los conectivos son palabras o términos que se usan para enlazar proposiciones o cambiar el
valor de verdad de una proposición. A la asociación de una proposición y un conectivo lógico se
le llama operación lógica.
Las operaciones lógicas son las siguientes: La negación, la conjunción, la disyunción, el
condicional y el bicondicional.
Operación lógica
Conectivo u
operador
Se lee
Esquema
Significado
Negación
~
No
~p
No p
Conjunción

Y
pq
pyq
Disyunción

O
pq
poq
Disyunción fuerte
o exclusiva

O….o….
pq
Opoq
Condicional
→
Si …entonces
p→q
Si p, entonces q
Bicondicional

..si y sólo si…
pq
P, si y sólo si q
6
Lógica Proposicional 2025
a. La conjunción.- Es la operación que enlaza dos proposiciones mediante el conectivo lógico
“y” o alguna expresión equivalente.
Ejemplo: Flor de María es profesora: p
Carmen es Doctora: q
Flor de María es profesora y Carmen
Doctora: p  q
OBSERVACIÓN: Las palabras: “pero”, “además”,
“aunque”, “sin embargo”, “a la vez”, “también”, “no
obstante” etc. Son expresiones conjuntivas.
TABLA DE VERDAD: “La conjunción es VERDADERA cuando las dos componentes son
verdaderas; en los demás casos es FALSA”
p

q
EJERCICIOS 6B.1
1) Escribe de la forma p  q para los siguientes pares de proposiciones
a) p: Carlos es Doctor
b) p: x es mayor que 15,
c) p: Hace viento
q: Shelly es Odontóloga
q: x es menor que 30
q: Está lloviendo
2) En los siguientes pares de proposiciones p y q, determine p  q si es verdadero o falso.
a)
b)
c)
d)
e)
p: 5 es un número impar
q: 5 es un número primo
p: Un cuadrado que tiene 4 lados
q: Un triángulo tiene 5 lados
p: 39 <27
q: 16 > 23
p: 3 es factor de 12, q: 4 es factor de 12.
p: 5 + 8 = 12, q: 6 + 9 =15
3) Sabiendo
U = x / 1  x  12, x  Z  , considere la proposición p: x es un número
compuesto, y q: x es menor que 7.
a) Ilustra los conjuntos de verdad para p y q en la figura de lado.
b) Usa el diagrama de Venn para encontrar el conjunto de verdad
para p  q
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Lógica Proposicional 2025
b. La disyunción.- Es la operación que enlaza dos
proposiciones mediante el conectivo lógico “o”
Ejemplo: Roberto baila: p
Roberto canta: q
Roberto baila o canta: p  q
TABLA DE VERDAD: “La disyunción es VERDADERA cuando por lo menos una de las dos
componentes es verdadera. Es FALSA si las dos componentes son falsas”
p
c.

q
La disyunción fuerte o exclusiva.- En esta operación las proposiciones están unidas por
“O …o..”
Ejemplo: José está en el Cuzco
José está en Lima
O José está en el Cuzco o está en Lima: pq
TABLA DE VERDAD: “La disyunción fuerte o exclusiva es VERDADERA en los casos que
ambas componentes tengan valores de verdad opuestos, y es FALSA, si ambas
componentes tienen el mismo valor de verdad”
p

q
Ejercicios 6B.2
1) Escribe la disyunción p  q en los siguientes pares de proposiciones:
a) p:Tim tiene una bicicleta
b) p: x es un múltiplo de 2
c) p: Danna estudia psicología
q: Tim tiene un scooter.
q: x es un múltiplo de 5
q: Danna estudia Química.
2) En las siguientes proposiciones, determine si p  q es verdadero o falso.
a)
b)
c)
d)
p: 24 es múltiplo de 4
q: 24 es múltiplo de 6
p: Un ángulo recto mide 100° q: Un ángulo lineal tiene 180°
p: – 8 > - 5
q: 5 < 0
p: La media de 5 y 9 es 7
q: La media de 8 y 14 es 10
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Lógica Proposicional 2025
3) Escribe la disyunción exclusiva pq en cada uno de los siguientes pares de proposiciones.
a) p: Meryn visitará Japón el próximo año q: Meryn visitará Singapore el próximo año.
b) p: Ana invitará a Katty a su fiesta
q: Ana invitará a Tracy a su fiesta.
c) p: x es un factor de 56
q: x es un factor de 40
4) En cada uno de los siguientes pares de proposiciones a y b, determine si la disyunción
exclusiva ab es verdadera o falsa.
a) a: 23 es un número primo
b: 29 es un número primo.
b) a: 15 es par
b: 15 es un múltiplo de 3
b: − 8  N
c) a: 4,5  Z
d) a: 2 x 2 = 2
3
4
7
( ) =2
b: 2 8
6
42
5) Considere r: Kelly es un buen conductor, y s : Kelly tiene un buen auto. Escribe en forma
simbólica:
a) Kelly no es un buen conductor
b) Kelly es un buen conductor y tiene un buen auto.
c) Kelly no tiene un buen auto y no es buen conductor.
d) Kelly tiene un buen auto o Kelly es un buen conductor.
6) Considerando x: Sergio no quiere ir a nadar mañana
Y: Sergio le gustaría ir a los bolos mañana
7) Si p  q es verdadero y pq es falso, determine los valores de verdad de p y q.
8) Para U =
x / 1  x  20, x  Z , considerar las proposiciones:
p: x es un múltiplo de 3 y q: x es un número impar.
a) Ilustrar el conjunto de verdades para p y q en el diagrama de ven
b) Usa tu diagrama de Venn para encontrar la verdad:
9) Para U =
x / 1  x  12, x  Z , considerar las proposiciones p: es un número primo y q:
x es un factor de 12.
a) Ilustrar el conjunto de verdad para p y q en el diagrama de Venn.
b) Escribe el significado de:
c) Usa el diagrama de Venn para encontrar los conjuntos:
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Lógica Proposicional 2025
d. El Condicional.- Es la operación que toma dos proposiciones, una primera llamada
antecedente y la segunda llamada consecuente y los une a través del conectivo “si …..
entonces …” o expresiones equivalentes.
Ejemplo:
Carlos aprueba Matemática: p
Carlos irá al cine: q
Si Carlos aprueba Matemática, entonces irá al cine: p → q
TABLA DE VERDAD: “El Condicional es FALSO cuando el antecedente es verdadero y el
consecuente es falso, en los demás casos es VERDADERO”

p
q
e. El Bicondicional.- Es la operación que está compuesta por dos proposiciones unidas por
el conectivo “Si y sólo si” o expresiones equivalentes.
Ejemplo:
María irá a la fiesta: p
María termina sus tareas: q
María irá a la fiesta si y sólo si termina sus tareas: p  q
TABLA DE VERDAD: “El Bicondicional es VERDADERO cuando las dos componentes
tienen igual valor de verdad, en los demás casos es FALSO.
p
→
q
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Lógica Proposicional 2025
C. TABLA DE VERDAD
Los signos de agrupación, paréntesis, corchetes y llaves, se usan en combinación con las
proposiciones y los conectivos para dar coherencia y claridad a las fórmulas facilitando su
correcto entendimiento.
Se denomina ESQUEMA MOLECULAR a la combinación de variables proposicionales y
conectivos lógicos, haciendo uso correcto de los signos de agrupación.
Ejemplo:
( p  q)  p
(
)
~ p  q → ( p  q)
Una tabla de verdad es un esquema de filas y columna que presentan los valores de verdad de
las variables y los conectivos que intervienen en un esquema molecular.
Evaluar un esquema molecular consiste en determinar los valores de verdad del conectivo
principal. Cuando los resultados son:
• Todos verdaderos, el esquema es una TAUTOLOGÍA.
• Todos falsos, el esquema es una CONTRADICCIÓN.
• Algunos son verdaderos y otros falsos, el esquema es una CONTINGENCIA
Ejemplos:
1) Evalúa el siguiente Esquema:
(p → q )  (~p  q )
Resolución:
p
q
(p → q)  (~p
 q)
El esquema es una: ………………………………………………..
2) Evalúa el siguiente esquema:
Resolución:
p
q
( p  q )  q  ~q
( p  q )  q 
~q
El esquema es una: …………………………
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Lógica Proposicional 2025
3) Evalúa el siguiente esquema:
Resolución
p
q
 ~( p  q )  r  →  ~q  ~r 
r
 ~( p  q )  r  →  ~q  ~r 
El esquema es una …………………………………………….
EJERCICIOS 6C
1. Sabiendo que:
V(p) = V ; V(q) = F; V(r) = F, entonces los valores de verdad de:
a. (~p  q ) → (r  ~r)
p →q  qr
b.
(
c.
)
(
)
( (r  ~p)  ~ ( p  q)
2. Si la proposición compuesta ( p  ~q) →
( p → r ) es falsa. ¿Cuál es el valor de verdad de
las proposiciones p, q, r respectivamente?
3. Al evaluar los esquemas, resulta:
a.
( p → q )  p → q
b. (~p → q) 
( p  q)
4. Considera las funciones proposicionales siguientes:
P(x): x es un número irracional.
Q(x): x es un número divisor de 21
R(x): x es primo
Halla el valor de verdad de:
 ~P(4) → Q(9)   R(7)
5. Evalúe los siguientes esquemas:
a.
( p  q ) → (~p  q)
b.
( p → q )  (p  ~q)
6. Sabiendo que: V(p)= F ; V(q) = V ; V(r) =V. Halle el valor de verdad de los siguientes
esquemas moleculares:
(
a. (p  ~q ) → r  p
b.
( p  q )  (q  r )
)
(r → q )  (~p  q )
d. ( ( pq )  (r → ~q)
c.
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Lógica Proposicional 2025
7. Construye una tabla de verdad para cada una de las siguientes proposiciones:
8. En las siguientes proposiciones:
a) Construye la tabla de verdad
b) Determine si la proposición es tautología, contradicción o contingencia
9. Construye la tabla de verdad para cada una de éstas proposiciones compuestas:
Fuente:
•
Haese M., Haese s., Humphries M., Kemp E.,Vollmar P., Mathematics for the international student 8- 10, Second Edition.
Australia: Haese Edition
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