3. PROBABILIDADES
3.1 IMPORTANCIA DEL ESTUDIO DE LAS
PROBABILIDADES
•
Constituye la base para el estudio
de la Inferencia Estadística.
•
En la vida cotidiana, las personas
constantemente hacen uso de la
acumulación de información en la
experiencia de cada quien, para
evaluar situaciones y tomar
decisiones.
•
Provee los recursos para evaluar
situaciones, tomar decisiones y
realizar análisis más complejos y
confiables.
•
La mayor parte de los problemas
involucran
elementos
de
incertidumbre.
3.2 CONCEPTOS FUNDAMENTALES
Situación
Respuesta
Al lanzar una moneda al aire, ¿qué crees
que es más fácil obtener, cara o cruz?
Al lanzar un dado, ¿qué crees que es más
fácil obtener, 3 ó 6?
Al extraer de una bolsa que contiene dos
naranjas y dos manzanas, ¿qué crees que
es más fácil que salga, una manzana o una
naranja?
¿Qué les parece que es la probabilidad?
Es la medida que expresa la incertidumbre en términos de una escala numérica.
3.2 CONCEPTOS FUNDAMENTALES
• Experimento: Es el proceso
mediante el cual se obtiene
una observación (o una
medida) de un fenómeno.
Notación: ɛ
• Experimento aleatorio: Es
el proceso de colecta de
datos relativos a un
fenómeno que presenta
variabilidad
en
sus
resultados.
3.2 CONCEPTOS FUNDAMENTALES
Ejemplos de experimentos aleatorios
1. Lanzamiento de un dado y se observa el número mostrado en la cara superior.
2. Lanzamiento de moneda cuatro veces y se observa el numero de caras obtenido.
3. Una lámpara es fabricada. En seguida es probada, en cuanto a su duración,
anotando el tiempo (horas) transcurrido desde que es encendida hasta que se quema.
4. Se aparean dos animales y se observa el sexo del primer animal que nace del cruce.
5. Se cuenta el numero de larvas de una determinada especie de insecto en una
planta.
Cuando se tiene un experimento aleatorio, no se puede prever con certeza el
resultado. Sin embargo se puede, describir todos los posibles resultados de ese
experimento.
3.2 CONCEPTOS FUNDAMENTALES
• Espacio Muestral: es el conjunto de todos los posibles
resultados de un experimento aleatorio.
– Notación: Ω
Ejercicio: construya los espacios muestrales de los
experimentos aleatorios del ejemplo anterior
Soluciones
1. Ω = {1,2,3,4,5,6}
2. Ω = {0,1,2,3,4,}
3. Ω = {t/t ≥ 0}
4. Ω = {macho, hembra}
5. Ω = {0,1,2,…}
3.2 CONCEPTOS FUNDAMENTALES
• Evento: Un evento A (relativo a un Ω particular, asociado a un ɛ) es
simplemente, un conjunto de resultados posibles. En
terminología de conjuntos, un evento es un subconjunto de
elementos (puntos muestrales) de un espacio muestral.
– Notación: A, B, C, D…
Ejemplo:
A1 : Sale un número par, A1 = {2,4,6}
A2 : Ocurren dos caras, A2 = {2} o A2 = {C,C}
A3 : La lámpara se quema en menos de 3 horas, A3 = {t/0 ≤ t < 3}
3.3 CLASIFICACIÓN DE LAS PROBABILIDADES
•
Se pueden utilizar varios métodos para asignar las probabilidades a los
resultados experimentales, sin embargo, independiente del método, se
deben satisfacer dos requisitos básicos:
1.
Los valores de probabilidad que se asignen a cada resultado
experimental (punto muestral) debe estar comprendido entre 0 y 1.
0 ≤ P (Ei) ≤ 1, para toda i
1.
La suma de todas las probabilidades de resultados experimentales debe
ser 1.
P( E1 ) P( E2 ) ... P( Ek ) P( Ei ) 1, o sea, P() 1
i 1
3.3 CLASIFICACIÓN DE LAS PROBABILIDADES
3.3 CLASIFICACIÓN DE LAS PROBABILIDADES
En estadística se estudian generalmente dos tipos de probabilidades que
corresponden al campo de la probabilidad objetiva, estas son:
– Probabilidad clásica o a priori.
– Probabilidad a posteriori o como una frecuencia relativa.
3.3 CLASIFICACIÓN DE LAS PROBABILIDADES
• Probabilidad clásica o a priori
El estudio se inicia primeramente en la observación de los juegos de azar y
luego se aplica a otras áreas en dónde es posible establecer probabilidades
sin que los eventos hayan ocurrido.
Si un evento puede ocurrir en n maneras mutuamente excluyentes e
igualmente probables y si m de estas posee una característica E, entonces,
la probabilidad de ocurrencia del evento en E será:
m
P( E )
n
3.3 CLASIFICACIÓN DE LAS PROBABILIDADES
• Ejemplo:
En el lanzamiento de dos dados honestos, calcule las probabilidades de los
siguientes eventos:
A: la suma de los valores es igual a 7
B: Los resultados en los dados son iguales
C: La suma de los valores es 9 ó más
3.3 CLASIFICACIÓN DE LAS PROBABILIDADES
• Método de la frecuencia relativa
Se utiliza cuando se cuenta con información previa sobre la frecuencia con
que ocurren determinados eventos.
Suponiendo que se tiene un evento E que ocurre m número de veces en un
total de n veces en que ocurren todos los eventos asociados entonces la
probabilidad de E será aproximadamente igual.
m
P( E )
n
Se le denomina a posteriori porque la probabilidad se calcula después de
realizar el experimento.
3.3 CLASIFICACIÓN DE LAS PROBABILIDADES
• Ejemplo:
En un salón de clases hay 44 estudiantes varones y 12 mujeres. Si se escoge
un estudiante al azar. Calcule la probabilidad de que sea
A) Hombre
B) Mujer
Eventos
fi
Fr
Hombre
44
0.786
Mujer
12
0.214
Total
56
1
3.3 CLASIFICACIÓN DE LAS PROBABILIDADES
• Ejercicio:
La ENCA cuenta con profesionales de diferentes ramas de la siguiente manera: 11
Licenciados, 3 doctores, 41 agrónomos y 10 secretarias. Los eventos de profesión de
estas personas son mutuamente excluyentes (Un doctor no puede ser licenciado,
etc.).
A) Cual es la probabilidad de seleccionar un doctor
B) La probabilidad de seleccionar un agrónomo o una secretaria
Eventos
fi
Fr
Licenciado
11
0.169
Doctor
03
0.046
Agrónomo
41
0.631
Secretaria
10
0.154
Total
65
1
Investigar sobre la ley sumativa y multiplicativa en las probabilidades
3.4 TÉCNICAS DE CONTEO
Las Técnicas de conteo son
utilizadas en Probabilidad para
determinar el número total de
resultados probables.
Por ejemplo:
¿Si para ganar una lotería se
requiere elegir 5 números enteros
diferentes entre 1 y 39, la
probabilidad de ganar esa lotería
es?
P (A) = 0.000001736
3.4 TÉCNICAS DE CONTEO
• Principio Multiplicativo
Si un evento E puede ocurrir de m
formas, e independiente de este evento,
un evento F puede ocurrir de n formas,
entonces los eventos juntos pueden
ocurrir un total de m x n formas.
Ejemplo:
En el área de flores se tiene 2 trajes de
protección y 4 mascarillas entonces un
estudiante tiene 2 x 4 = 8 maneras de
combinar un traje y una mascarilla.
Un restaurante ofrece 4 entradas, 5
platos principales y 2 postres. ¿De
cuántas formas un cliente puede
ordenar una comida?
3.4 TÉCNICAS DE CONTEO
• EL FACTORIAL DE UN NÚMERO
El factorial de un número “n” se
representa como n! y es igual a la
multiplicación sucesiva en forma
descendente
de
(n)(n-1)(n-2)(n3)…(1)
Ejemplos:
0! = ??
4! = 4*3*2*1 = 24
6! = 6*5*4*3*2*1 = 720
Se requiere acomodar a 8 personas en una mesa
de honor y se le solicita que haga un listado de las
diferentes formas de ordenar a las personas. Antes
de aceptar la tarea decide investigar cuántas
formas diferentes existen
3.4 TÉCNICAS DE CONTEO
• DIAGRAMA GENERAL DEL ARBOL
Este diagrama nos sirve para
identificar
las
diferentes
combinaciones que pueden formarse
de grupos de interés.
Ejemplo:
Se
tiene
cuatro
estudiantes
identificados únicamente como A, B,
C, D para formar una directiva
conformada por un presidente, un
vicepresidente, un secretario y un
tesorero;
de
cuantas
formas
diferentes puede formarse dicho
grupo.
3.4 TÉCNICAS DE CONTEO
• COMBINACIONES:
Las combinaciones consisten en
arreglos de objetos sin importar el
orden.
El número de combinaciones de n
cosas tomadas r a la vez se determina
por la siguiente función:
n!
nCr
r!(n r )!
3.4 TÉCNICAS DE CONTEO
• De un grupo de 10 estudiantes se quiere extraer una comisión
de 6 estudiantes para que realicen un trabajo sin importar el
orden de elección ¿De cuantas maneras posible se puede
formar este grupo de trabajo?
10!
𝑛𝐶𝑟 =
6! (10 − 6)!
• Se desea realizar un estudio sobre la tenencia de la tierra en
el departamento de Escuintla para lo cual es necesario censar
8 municipios ¿Cuántas maneras diferentes existen de
seleccionar los 8 municipios del total de 13 municipios que
tiene el departamento?
13!
𝑛𝐶𝑟 =
8! (13 − 8)!
3.4 TÉCNICAS DE CONTEO
• PERMUTACIONES:
Una permutación es un arreglo
ordenado de objetos o elementos. El
número de permutaciones posibles se
determina a través de la siguiente
función:
n!
n Pr
(n r )!
3.4 TÉCNICAS DE CONTEO
• En una oficina existen 6 cubículos numerados que pueden ser
entregados a 9 personas diferentes con la condición de que
un cubículo sólo puede ser ocupado por una persona
¿Cuántas maneras posibles existen de realizar la distribución.
9!
𝑛𝑃𝑟 =
(9 − 6)!
• Una empresa del área de proyectos empresariales está
compuesta por 6 miembros que deben elegir un gerente, un
secretario y un tesorero ¿Cuántas formas existen de integrar
esa directiva?
𝑛𝑃𝑟 =
6!
(6 − 3)!
3.5 CÁLCULO DE PROBABILIDADES
• LEY ADITIVA
Es útil cuando se tienen dos eventos, y se desea conocer la
probabilidad de que ocurra por lo menos uno de ellos. Esto es, con
los eventos A y B nos interesa conocer la probabilidad de que
suceda el evento A, o el evento B, o ambos.
3.5 CÁLCULO DE PROBABILIDADES
1. UNIÓN DE EVENTOS
La unión de A y B es el evento que contiene todos los
puntos muéstrales que pertenecen a A o a B, o a
ambas, y se representa AᴜB
2. INTERSECCIÓN DE EVENTOS
Dados los eventos A y B la interpretación de A y B es
el evento que contiene los puntos muéstrales que
pertenecen simultáneamente a A y a B y se
representa A∩B.
3.5 CÁLCULO DE PROBABILIDADES
• Ejemplo:
Suponga que un espacio muestral es: S={E1, E2, E3, E4, E5, E6, E7} en donde
E1,…,E7 representan los puntos muéstrales. Se aplican las siguientes
asignaciones de probabilidades: P(E1)=0.05, P(E2)=0.20, P(E3)=0.20,
P(E4)=0.25, P(E5)=0.15, P(E6)=0.10, P(E7)=0.05
Sean
A={E1, E4, E6}
B={E2, E4, E7}
Determine:
a) P(A), P(B), P(C)
b) P(AᴜB)
c) P(A∩B)
d) ¿Son mutuamente excluyentes A y C?
C={E2, E3, E5, E7}
a) P(A)= 0.4, P(B)=0.5, P(C)=0.6
b) P(AᴜB)=0.65
c) P(A∩B)=0.25
d) Si
3.5 CÁLCULO DE PROBABILIDADES
• PROBABILIDAD CONDICIONAL
Se define como la probabilidad de un evento, dado que ha
ocurrido otro evento. La probabilidad condicional de A dado B
es:
P( A / B)
P( A B)
, siendo P( B) 0
P( B)
P( B / A)
P( A B)
, siendo P( A) 0
P( A)
3.5 CÁLCULO DE PROBABILIDADES
•
Se sabe que a la fecha, la distribución del número de estudiantes por carrera y
cuatrimestre en la ENCA es la siguiente:
Cuatrimestre Primero
Carrera
Cuarto
Séptimo
Total
Agrónomo
112
114
67
293
Forestal
36
15
23
74
Total
148
129
90
367
a) Probabilidad de que sea seleccionado un Forestal, dado que el estudiante era
de 4to cuatrimestre.
b) La probabilidad de seleccionar un estudiante de 7mo dado que era agrónomo.
c) La probabilidad de seleccionar un agrónomo dado que el seleccionado fue un
estudiante de 1er cuatrimestre.
3.5 CÁLCULO DE PROBABILIDADES
• EVENTOS INDEPENDIENTES
Un evento B es independiente de otro evento A, cuando la probabilidad de
que ocurra A no tienen ningún efecto sobre la probabilidad de ocurrencia de
B, y viceversa, en este caso la probabilidad de B será la misma, ocurra o no
ocurra el evento A y se comprueba de la siguiente manera:
P(A/B) = P(A)
P(B/A) = P(B)
en este caso A y B son independientes.
3.5 CÁLCULO DE PROBABILIDADES
En la finca “Nueva Esperanza” se realizó un estudio para evaluar riesgos de
mastitis en el ganado lechero, el último censo de la finca reveló que se tiene
vacas de 3 razas diferentes distribuidas de la siguiente manera:
Período
Raza
Producción
Secas
Total
Holstein
182
42
224
Jersey
214
68
282
Brown Swiss
46
12
58
Total
442
122
564
3.5 CÁLCULO DE PROBABILIDADES
Si se selecciona una vaca al azar, encuentre la probabilidad que:
a) Sea Holstein.
b) Esté en producción:
c) Sea raza Jersey dado que fue seleccionada una vaca seca.
d) Esté en producción dado que fue de raza Brown Swiss.
e) Sea seca dado que fue una Holstein.
f) Probabilidad de que no sea Jersey.
g) La probabilidad de que no sea Holstein.
h) Cuál es la probabilidad de que sea una vaca Jersey o sea una vaca seca.
i) Cuál es la probabilidad de que sea Brow Swiss o en producción.
j) Cuál es la probabilidad de que esté en producción, dado que no era una
Jersey.
k) La probabilidad de que esté en producción o que no sea Holstein.
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