Distribuciones de Probabilidad Discretas: Presentación

3/03/2025
Distribuciones de Probabilidad
Discretas
Mg. Luigi Lizza Mendoza
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Tabla de Contenidos
• Variable Aleatoria
• Valor Esperado o Media de una Distribución Discreta
• Distribución Binomial
• Distribución de Poisson
• Distribuciones de Probabilidad Discreta en R
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Variable Aleatoria
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3/03/2025
Actividad: Video Youtube
Variable Aleatoria
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El Concepto de Variable Aleatoria
Una Variable Aleatoria es aquella que puede tomar un valor
dentro de un rango determinado de valores, donde cada valor
tiene una probabilidad de ocurrencia.
Una variable aleatoria describe numéricamente el resultado de
un experimento. Pueden ser de dos tipos:
1) Variable aleatoria Discreta
2) Variable aleatoria Continua
5
Ejemplo de Variable Aleatoria Discreta
6
Experimento
Variable aleatoria
Valores posibles V.A
Llamar a cinco clientes
Cantidad de clientes
0,1,2,3,4,5
Inspeccionar un embarque
de 40 chips
Cantidad de chips
defectuosos
0,1,2,….,40
Clientes que asisten a un
restaurante durante un día
Cantidad de clientes
0,1,2,3…….
Pesar lingotes de oro
Peso de lingote de oro en
Kgs.
20,21,22,23,24…….
3/03/2025
Ejemplo de Variable Aleatoria Continua
Experimento
Variable aleatoria
Valores posibles V.A
Atención de clientes en la
ventanilla de un banco
Tiempo en minutos, entre
llegadas de clientes
𝑥≥0
Llenar una lata de bebida
(máx =12.1 onzas)
Cantidad de onzas
0 ≤ 𝑥 ≤ 12.1
Proceso de fabricación
Porcentaje de artículos
defectuosos
0% ≤ 𝑥 ≤ 100%
Ensayar un nuevo proceso
químico
Temperatura cuando se lleva
a cabo la reacción deseada
(min 20º C; máx 120ºC)
20 ≤ 𝑥 ≤ 120
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Función de Probabilidad
• Una variable aleatoria X es una función que asocia a cada suceso del
espacio muestral E de un experimento aleatorio un valor numérico
real:
X :E 
w  X ( w)
• Llamar variable a una función resulta algo confuso, por ello hay que insistir
en que es una función.
• La variable aleatoria puede ser discreta o continua.
8
8
Función de Probabilidad
• Una vez definida una variable aleatoria X, podemos definir una
función de probabilidad asociada a X, de la siguiente forma:
p :   [0,1]
x  p ( x)  P( X  x)
• La función de probabilidad debe cumplir:
(i ) p( x)  0 x  
(ii )  p ( x )  1
(Suma sobre todos los posibles valores
que puede tomar la variable aleatoria).
x
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9
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¿Cómo generar una Función de Probabilidad?
Suponga que le interesa el número de caras que aparecen en tres lanzamientos de una moneda.
Tal es el experimento. Los posibles resultados son: cero caras, una cara, dos caras y tres
caras. ¿Cuál es la distribución de probabilidad del número de caras?
Resultado
posible
1
2
3
4
5
6
7
8
Primero
Segundo
Tercero
S
S
S
S
C
C
C
C
S
S
C
C
S
S
C
C
S
C
S
C
S
C
S
C
Nro. de
caras
0
1
1
2
1
2
2
3
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10
¿Cómo generar una Función de Probabilidad?
Observe que el resultado cero caras ocurre sólo una vez; una cara ocurre tres veces; dos caras, tres veces, y el
resultado tres caras ocurre una sola vez. Es decir, cero caras se presentó una de ocho veces. Por consiguiente, la
probabilidad de cero caras es de un octavo; la probabilidad de una cara es de tres octavos, etc. La distribución de
probabilidad se muestra en la tabla derecha. Como uno de estos resultados debe suceder, el total de probabilidades
de todos los eventos posibles es 1.000.
Resultado
posible
1
2
3
4
5
6
7
8
Primero
Segundo
Tercero
S
S
S
S
C
C
C
C
S
S
C
C
S
S
C
C
S
C
S
C
S
C
S
C
Nro. de
caras
0
1
1
2
1
2
2
3
Nro de caras
X
0
1
2
3
Probabilidad del
resultado P(X)
1/8 = 0.250
3/8 = 0.375
3/8 = 0.375
1/8 = 0.250
8/8 = 1.000
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11
¿Cómo generar una Función de Probabilidad?
Presentación gráfica del número de caras que resultan de tres lanzamientos de una
moneda y la probabilidad correspondiente
0.50
3/8
Probabilidad
0.40
3/8
0.30
0.20
1/8
1/8
0.10
0.00
0
1
2
Nro. de caras
12
3
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Función de Probabilidad Discreta
• Sea el experimento “lanzar dos dados”. Definamos el espacio muestral E como: E
= {(1,1),(1,2),...(1,6),...,(5,6),(6,6)}
• Definamos la variable aleatoria discreta X como:
con S = {2,3,...,12} la suma de puntos. Una posible función de probabilidad es:
f :   [0,1]
f (2)  P(X  2 )  P( (1,1) )  1/ 36
f (3)  P(X  3 )  P( (1,2)  (2 ,1) )  2 / 36
f (4)  P(X  4 )  P( (1,3)  (3,1)  (2,2) )  3 / 36
...
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13
Función de Probabilidad Discreta
6/36
P
5/36
5/36
4/36
4/36
3/36
3/36
2/36
2/36
1/36
2
1/36
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
X
Observa que cumple las dos condiciones: es siempre positiva y está normalizada.
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Función de Distribución
• Dada una variable aleatoria discreta X se llama función de
distribución a la función F definida como:
F :   [0,1]
x  F ( x)  P( X  x)
• En nuestro ejemplo de los dos dados:
F(5) = P(X  5) = P(x = 2 ó x = 3 ó x = 4 ó x = 5)
F(5) = 1/36 + 2/36 +3/36 + 4/36 = 10/36
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15
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Función de Distribución
1,0
0,5
0,028
x
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Ejemplo Función de Distribución
Ejemplo: Dibuja la función de probabilidad f(x) y la función de
distribución F(x) de una variable discreta definida como:
X = Número en la cara de un dado.
1
6
1
F(x)
f(x)
X tiene como
posibles valores
x = 1, 2, 3, 4, 5, 6
cada uno con
probabilidad 1/6
0.5
0
1
6
x
Función de probabilidad f(x)
0
1
6
x
Función de distribución F(x)
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Ejemplo Función de Distribución
• Algunos problemas de probabilidad están relacionados con la probabilidad
P(a <X  b) de que X asuma algún valor en un intervalo. Observa que:
P(a < X  b) = F(b) - F(a)
• Los sucesos X  a y a< X  b son mutuamente excluyentes. Entonces:
F(b) = P(X  b) = P(X  a) + P(a < X  b) = F(a) + P(a < X  b)
• En el ejemplo de los dos dados, calcula la probabilidad de que los dos dados sumen al
menos 4 pero no más de 8.
P(3 < X  8) = F(8) - F(3) = 26/36 - 3/36 = 23/36
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Valor Esperado o Media de una
Distribución Discreta
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Valor Esperado
• La media constituye un valor típico para representar la posición
central de una distribución de probabilidad. También es el valor
promedio a la larga de la variable aleatoria.
• La media de una distribución de probabilidad también recibe el
nombre de valor esperado. Se trata de un promedio ponderado en el
que los posibles valores de una variable aleatoria se ponderan con sus
correspondientes probabilidades de ocurrir.
𝜇=
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[𝑥𝑃(𝑥)]
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20
Cálculo del Valor Esperado en el ejemplo de los
dados
𝜇=𝐸 𝑋 =
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𝑝 𝑠 ∗𝑠 =
1
2
3
1
∗2+
∗3+
∗4 +⋯+
∗ 12 = 7
36
36
36
36
21
3/03/2025
Varianza de una Variable
Aleatoria
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Varianza
• La media constituye un valor típico para resumir una distribución de
probabilidad discreta. Sin embargo, no describe el grado de
dispersión (variación) en una distribución.
• La varianza sí lo hace. La fórmula de la varianza de una distribución de
probabilidad es:
𝜎 =𝐸 𝑋
− 𝐸(𝑋)
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Ejemplo Cálculo del Valor Esperado y de la
Varianza de una Variable Aleatoria
• Juan Risco vende automóviles nuevos. Por lo general, Juan vende la mayor
cantidad de automóviles el sábado. Desarrolló la siguiente distribución de
probabilidades de la cantidad de automóviles que espera vender un sábado
determinado.
1) ¿De qué tipo de distribución se trata?
2) ¿Cuántos automóviles espera vender Juan un
sábado normal?
3) ¿Cuál es la varianza de la distribución?
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3/03/2025
Ejemplo Cálculo del Valor Esperado y de la
Varianza de una Variable Aleatoria
𝜇=
𝑥𝑃 𝑥
= 0 0.1 + 1 0.2 + 2 0.3 + 3 0.3 + 4(0.1)
𝜇=
𝑥𝑃 𝑥
= 2.10
Se espera que Juan venda un promedio
de 2.1 automóviles los sábados, lo que
significa que si Juan trabaja 50 sábados,
se espera que venda 50(2.10)=105
automóviles sólo los sábados.
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Ejemplo Cálculo del Valor Esperado y de la
Varianza de una Variable Aleatoria
𝜎 =𝐸 𝑋
− 𝐸(𝑥)
𝜎 = 5.7 − 2.1
= 1.290
𝜎 = 1.290 = 1.136
¿Cómo interpretar una desviación estándar de 1.136 automóviles? Si otro vendedor también vendió un
promedio de 2.1 automóviles los sábados y la desviación estándar de sus ventas fue de 1.91 automóviles,
concluiría que hay más variabilidad en las ventas sabatinas del otro vendedor que en las de Juan
(pues 1.91 > 1.136).
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Propiedades del Valor Esperado y de la Varianza
• Valor Esperado: Cuando una
variable se transforma de alguna
manera, se pueden utilizar las
propiedades de la media para
calcular la nueva media.
Consideremos a k y b como dos constantes reales
cualesquiera
i ) E (k )  k
ii ) E ( kX )  kE ( X )
iii ) E ( X  b )  E ( X )  b
• Varianza: Del mismo modo se
puede calcular la nueva varianza
de los valores ya transformados,
utilizando las propiedades de la
Varianza.
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i) V (k )  0
ii ) V ( kX )  k 2V ( X )
iii ) V ( X  b )  V ( X )
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3/03/2025
Distribución Binomial
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Actividad: Video Youtube
Distribución de Probabilidad Binomial
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Distribución Binomial
La distribución binomial de probabilidad es una
distribución discreta de probabilidad que tiene
muchas aplicaciones. Se relaciona con un
experimento de etapas múltiples que llamamos
binomial.
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Propiedades de la Distribución Binomial
• El resultado de cada ensayo de un experimento se clasifica en una de dos
categorías mutuamente excluyentes: éxito o fracaso.
• La probabilidad de un éxito, se representa por p y no cambia de un intento o
ensayo. Por lo tanto la probabilidad de un fracaso se representa por (1-p), que
tampoco cambia de un intento a otro.
• La variable aleatoria permite contar el número de éxitos en una cantidad fija de
ensayos.
• La probabilidad de éxito y fracaso es la misma en cada ensayo.
• Los ensayos son independientes, lo cual significa que el resultado de un ensayo no
influye en el resultado del otro.
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Fórmula Distribución Binomial
𝐵 𝑛, 𝑝 = 𝑝 𝑥 =
𝑛
𝑝 (1 − 𝑝)
𝑥
=
𝑛!
𝑝 (1 − 𝑝)
𝑥! 𝑛 − 𝑥 !
Donde:
n= Nro. de intentos
x= Nro. de éxitos
p= Probabilidad de éxito
(1-p)= Probabilidad de fracaso
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Ejemplo Cálculo de Probabilidad para una
Distribución Binomial
• Aerolíneas Perú tiene cinco vuelos diarios de Lima al Cuzco. Suponga que la
probabilidad de que cualquier vuelo llegue tarde sea de 0.20.
• ¿Cuál es la probabilidad de que ninguno de los vuelos llegue tarde hoy?
𝑃 𝑋=0 =
5!
0.20 1 − 0.20
0! 5 − 0 !
= 0.3277
• ¿Cuál es la probabilidad de que exactamente uno de los vuelos llegue tarde hoy?
𝑃 𝑋=1 =
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5!
0.20 1 − 0.20
1! 5 − 1 !
= 0.4096
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3/03/2025
Ejemplo Cálculo de Probabilidad para una
Distribución Binomial
Tabla Binomial de Probabilidades
n=5; x=0…5; p=0.20
Distribución de Probabilidad del Nro. de vuelos retrazados
0.45
0.4096
0.40
0.3277
La distribución de probabilidad
binomial completa con p=0.20 y n=5
aparece en la siguiente gráfica de
barras. Observe que la probabilidad
de que exactamente 3 vuelos
lleguen tarde es de 0.0512, y, del
diagrama de barras, que la
distribución del número de llegadas
demoradas tiene un sesgo positivo.
Probabilidad
0.35
0.30
0.25
0.2048
0.20
0.15
0.10
0.0512
0.05
0.0064
0.0003
0.00
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
5
Nro de vuelos
=DISTR.BINOM.N(num_éxitos;ensayos;prob_éxito;acumulado)
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Esperanza y Varianza de una Distribución
Binomial
Esperanza de una Distribución Binomial
𝐸 𝑋 = 𝜇 = 𝑛𝑝
Varianza de una Distribución Binomial
𝑉𝑎𝑟 𝑋 = 𝑛𝑝(1 − 𝑝)
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Cálculo de la Esperanza y Varianza para una
Distribución Binomial
Calculemos la Esperanza y la Varianza para el ejemplo del
Nro. de vuelos retrasados:
Distribución de Probabilidad del Nro. de vuelos retrazados
0.45
0.4096
𝐸 𝑋 = 𝑛𝑝 = 5 ∗ 0.20 = 1
0.40
0.3277
Probabilidad
0.35
𝑉(𝑋) = 𝑛𝑝𝑞 = 5 ∗ 0.20 ∗ 0.80 = 0.80
0.30
0.25
0.2048
0.20
𝑆(𝑥) = 0.80 = 0.8944
0.15
0.10
0.0512
0.05
0.0064
0.0003
4
5
0.00
0
1
2
3
Nro de vuelos
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36
3/03/2025
Ejercicios Distribución Binomial
Ejemplo 1: En cierta población el 30% de personas prefieren utilizar el
producto A. Si se eligen 12 personas al azar determine las siguientes
probabilidades:
a) Tres de las personas prefieren usar el producto A .
b) A lo mas 3 personas prefieren utilizar el producto A .
c) Por lo menos 7 personas prefieren utilizar el producto A.
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37
Ejercicios Distribución Binomial
Ejercicio 1
p=0.30
q=0.70
n=12
𝑃(𝑋 = 𝑥) =
𝑛!
𝑝 (1 − 𝑝)
𝑥! 𝑛 − 𝑥 !
a) Tres de las personas prefieren usar el producto A .
𝑃 𝑋=3 =
12!
0.30 (0.70)
3! 12 − 3 !
= 0.2397
b) A lo mas 3 personas prefieren utilizar el producto A .
𝑃 𝑋 ≤ 3 = 𝑃 𝑋 = 0 + 𝑃 𝑋 = 1 + 𝑃 𝑋 = 2 + 𝑃(𝑋 = 3)
12!
12!
0.30 (0.70)
+⋯+
(0.30) (0.70)
0! 12 − 0 !
3! 12 − 3 !
𝑃 𝑋≤3 =
𝑃 𝑋 ≤ 3 = 0.0138 + 0.0712 + 0.1678 + 0.2397 = 0.4925
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38
Ejercicios Distribución Binomial
Ejercicio 1
p=0.30
q=0.70
n=12
𝑃(𝑋 = 𝑥) =
𝑛!
𝑝 (1 − 𝑝)
𝑥! 𝑛 − 𝑥 !
c) Por lo menos 7 personas prefieren utilizar el producto A.
𝑃 𝑋 ≥ 7 = 1 − 𝑃(𝑋 ≤ 6)
𝑃 𝑋 ≥ 7 = 1 − [𝑃 𝑋 ≤ 3 + 𝑃 𝑋 = 4 + 𝑃 𝑋 = 5 + 𝑃 𝑋 = 6 ]
𝑃 𝑋 ≥ 7 = 1 − 0.4925 + 0.2311 + 0.1585 + 0.0792 = 0.0386
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39
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Ejercicios Distribución Binomial
Ejemplo 2: Un alumno que no ha estudiado, decide resolver un examen
marcando las respuestas al azar. Si el examen consta de 10 preguntas
con 5 posibles respuestas, una de las cuales es la correcta, y para
aprobar el examen se requiere contestar correctamente al menos 7 de
las preguntas, determine la probabilidad de que el mencionado
estudiante apruebe el examen.
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40
Ejercicios Distribución Binomial
p=0.20
q=0.80
n=10
Ejercicio 2
𝑃(𝑋 = 𝑥) =
𝑛!
𝑝 (1 − 𝑝)
𝑥! 𝑛 − 𝑥 !
𝑃 𝑋 ≥ 7 = 𝑃 𝑋 = 7 + 𝑃 𝑋 = 8 + 𝑃 𝑋 = 9 + 𝑃(𝑋 = 10)
𝑃 𝑋≥7 =
10!
0.20 (0.80)
7! 10 − 7 !
+⋯+
10!
(0.20) (0.80)
10! 10 − 10 !
𝑃 𝑋 ≥ 7 = 0.0008 + 0.0001 + 0.0000041 + 0.0000001 = 0.0009
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41
Ejercicios Distribución Binomial
Ejemplo 3: Una marca de tabacos ha calculado que el número de
fumadores en una ciudad es del 35 %. Se escoge al azar una muestra
formada por 10 personas. Calcule la probabilidad que:
a) Ninguno fume
b) Que fumen mas de 3 pero como máximo 6 personas
c) Que por lo menos fumen 8 personas
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42
3/03/2025
Ejercicios Distribución Binomial
p=0.35
q=0.65
n=10
Ejercicio 3
𝑃(𝑋 = 𝑥) =
𝑛!
𝑝 (1 − 𝑝)
𝑥! 𝑛 − 𝑥 !
a) Que ninguno fume
𝑃 𝑋=0 =
10!
0.35 (0.65)
0! 10 − 0 !
= 0.0135
b) Que fumen mas de 3 pero máximo 6 personas.
𝑃 3 <𝑋 ≤6 = 𝑃 𝑋 =4 +𝑃 𝑋 = 5 +𝑃 𝑋 =6
𝑃 3<𝑋≤6 =
10!
0.35 (0.65)
4! 10 − 4 !
+⋯+
10!
(0.35) (0.65)
6! 10 − 6 !
𝑃 3 < 𝑋 ≤ 6 = 0.2377 + 0.1536 + 0.0689 = 0.4601
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43
43
Ejercicios Distribución Binomial
p=0.35
q=0.65
n=10
Ejercicio 3
𝑃(𝑋 = 𝑥) =
𝑛!
𝑝 (1 − 𝑝)
𝑥! 𝑛 − 𝑥 !
c) Que por lo menos 8 fumen
𝑃 𝑋 ≥ 8 = 𝑃 𝑋 = 8 + 𝑃 𝑋 = 9 + 𝑃 𝑋 = 10
𝑃 𝑋≥8 =
10!
0.35 (0.65)
8! 10 − 8 !
+⋯+
10!
(0.35) (0.65)
10! 10 − 10 !
𝑃 𝑋 ≥ 8 = 0.0043 + 0.00005 + 0.00003 = 0.0048
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Distribución de Poisson
45
44
3/03/2025
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Distribución de Probabilidad Poisson
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Distribución de Poisson
La distribución de probabilidad de Poisson
describe el número de veces que se presenta
un evento durante un intervalo específico. El
intervalo puede ser de tiempo, distancia,
área o volumen.
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47
Distribución de Poisson
• La variable aleatoria es el número de veces que ocurre
un evento durante un intervalo definido.
• La probabilidad de que ocurra el evento es
proporcional al tamaño del intervalo.
• Los intervalos no se superponen y son independientes.
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48
3/03/2025
Función de Probabilidad Distribución de
Poisson
𝑃 𝑋=𝑥 =
Donde:
𝜆 𝑒
𝑥!
x=0,1,2,3,……..
P(x) = Probabilidad de x ocurrencias en un intervalo
λ = valor esperado o número medio de ocurrencias en un intervalo
e = 2.71828
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Esperanza y Varianza de una Distribución de
Poisson
Esperanza de una Distribución de Poisson
𝐸 𝑥 = 𝜇 =λ
Varianza de una Distribución de Poisson
𝑉𝑎𝑟 𝑥 = 𝜎 =λ
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50
Ejemplo
• Por información histórica se sabe que en promedio llegan 10 clientes
a un cajero automático colocado dentro de un centro comercial en un
lapso de 15 minutos. En base a esta información se pide calcular la
probabilidad de:
a) Que lleguen 5 clientes en un lapso de 15 minutos.
b) Que llegue 1 cliente en un lapso de 3 minutos
c) Si la probabilidad de que lleguen más de 2 clientes al cajero en un
lapso de 3 minutos es mayor a 0.45; entonces el banco decidirá
colocar un cajero automático mas en el centro comercial. ¿Instalará
el banco un cajero adicional?
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51
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Ejemplo
a) Que lleguen 5 clientes en un lapso de 15 minutos
𝜆 = 10
𝑃 𝑥=5 =
𝜆 𝑒
𝑥!
=
10 𝑒
5!
= 0.0378
b) Que llegue 1 cliente en un lapso de 3 minutos
15 𝑚𝑖𝑛𝑢𝑡𝑜𝑠 → 𝜆 = 10
𝑃 𝑥=1 =
3 𝑚𝑖𝑛𝑢𝑡𝑜𝑠 → 𝜆 =? ?
3 ∗ 10
𝜆=
= 2 𝑐𝑙𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠
15
𝜆 𝑒
𝑥!
=
2 𝑒
1!
= 0.2707
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Ejemplo
c) Si la probabilidad de que lleguen mas de 2 clientes al cajero en un lapso de 3
minutos es mayor a 0.45; entonces el banco decidirá colocar un cajero automático
mas en el centro comercial. ¿Instalará el banco un cajero adicional?
𝜆=2
𝑃 𝑋 > 2 = 1 − 𝑃(𝑋 ≤ 2)
𝑃 𝑋 > 2 = 1 − [𝑃 𝑋 = 0 + 𝑃 𝑋 = 1 + 𝑃(𝑋 = 2)]]
𝑃 𝑋>2 =1−
2 𝑒
0!
𝑃 𝑋 > 2 = 0.3233
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+
2 𝑒
1!
+
2 𝑒
2!
El Banco NO instalará un cajero
adicional, debido a que la
probabilidad de que llegue más
de 2 clientes al cajero en un
lapso de 3 minutos es 0.3233, lo
cual es menor a la probabilidad
limite indicada de 0.45
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Distribuciones de Probabilidad
Discretas en R
MBA Luigi Lizza Mendoza
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3/03/2025
Cálculo de Probabilidades con R
• Ejecutar los siguientes scripts:
• 16-Distribución de Probabilidad Binomial.R
• 17-Distribución de Probabilidad Poisson.R
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¿Preguntas?
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