Principios de Operaciones Unitarias: Libro de Ingeniería Química

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PRINCIPIOS
DE OPERACIONES
UNITARIAS
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PRINCIPIOS ·
DE OPERACIONES
UNITARIAS
Segunda Edición
Alan s. Foust
Professor Emeritus, Lehigh University
Leonard A. Wenzel
Lehigh University
Curtis w. Clum~
Lehigh University
Louis Maus
Science Center,
Rockwell International
L. Bryce Andersen
New Jersey Institute of Technology
DÉCIMA REIMPRESIÓN
MÉXICO , 2006
COMPAÑÍA EDITORIAL CONTINENTAL
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Título original de la obra:
PRINCIPLES OF UNIT OPERATIONS, 2nd. ed.
ISBN 0-471-26897-6
Traducción autorizada por:
Copyright © by John Wiley and Sons, Inc.
Traducción:
Ing. Francisco Torres Roldán
Revisión Técnica:
Ing. Químico Antonio Eroles Gómez, Ph. D.
Principios de operaciones unitarias
Derechos reservados respecto a la edición en español:
© 1987, Alan S. Foust, Leonard A. Wenzel, Curtis W. Clump,
Louis Maus, L. Bryce Andersen / John Wiley and Sons, Inc.
© 1987, COMPAÑÍA EDITORlAL CONTINENTAL, S.A. DE C.V.
© 2000, GRUPO PATRIA CULTURAL, S.A. DE C.V.
bajo el sello de Compañía Editorial Continental
Renacimiento 180, Colonia San Juan Tlihuaca,
Delegación Azcapotzalco, Código Postal 02400, México, D.F.
Miembro de la Cámara Nacional de la Industria Editorial
Registro núm. 43
ISBN 968-26-0776-0
Queda prohibida la reproducción o transmisión total o parcial dél contenido de la presente obra en cualesquiera formas, sean electrónicas o
mecánicas, sin el consentimiento previo y por escrito del editor.
Impreso en México
Printed in Mexico
Primera edición: 1987
Novena reimpresión: 2004
Décima reimpresión: 2006
Esta obra se terminó de imprimir en febrero del 2006
en los talleres de Programas Educativos, S.A. de C.V.
Calzo Chabacano No. 65, Col. Asturias
C.P. 06850, México, D.F.
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y Certificación A.C. bajo la Norma ISO-9002:
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Ingeniería Civil-Sistemas
y Probabilidad
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Ingeniería de Transporte
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Ingeniería Civil-Estructuras
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Contenido
Operaciones Unitarias en la Ingeniería Química
PARTE UNO Operaciones en Etapas
2
3
4
5
6
7
8
27
Operaciones de Transferencia de Masa
29
Relaciones de Fases
45
Cálculos de Etapas de Equilibrio
63
Operaciones de Multietapas a Contracorriente
75
Operaciones de Multietapas a Contracorriente con Reflujo
Métodos Simplificados de Cálculo
109
Operaciones por Etapas con Multicomponentes
133
P ARTE DOS Transporte Molecular y Turbulento
9
10
11
12
13
14
Mecanismo de Transporte Molecular
171
Balances Dife~enciales
de
Masa,
Calor
y
Momento
I
Ecuaciones de Cambio
221
Mecanismo de Transporte Turbulento
241
Fundamentos de los Mecanismos de Transferencia
Transferencia en la Interfase
309
PARTE TRES Aplicaciones al Diseño de Equipo
15
16
17
18
19
20
21
22
17
89
169
199
255
331
Transferencia de Calor
333
Transferencia de Masa
389
Transferencia Simultánea de Calor y Masa-Humidificación
425
Transferencia Simultánea de Calor y Masa-Secado
459
Transferencia Simultánea de Calor y Masa-Evaporación y Cristalización
El Balance de Energía en Sistemas de Flujo
543
Aparatos para Impulsar Fluidos
581
Flujo y Separación de Partículas Sólidas por Medio de la Mecá611
nica de Fluidos
APENDICE A Dimensiones y Unidades, Análisis Dimensional y Teoría de
Modelos
685
APENDICE B Descripción de los Sólidos en Forma de Partículas
697
APENDIGE C Datos para Diseño de Equipo
713
APENDICE D Datos Físicos
725
APENDICE E Ecuaciones de Cambios para Varios Sistemas de
Coordenadas
752
497
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Prefacio
Después de algunos años, aun los libros de texto más elementales en un campo dinámico
deben actualizarse o pierden validez. Este solo hecho obliga a una actualización que permita la
inclusión de nuevas tecnologías, nuevos análisis y conceptos. Aunado a la expectativa de
avances en la tecnología de la ingeniería química, la política impuesta por el gobierno federal
para cambiar al sistema métrico decimal, obliga a los ingenieros químicos a conocer ambos
sistemas. Esto no será una imposición por ahora para los ingenieros químicos, pero la industria requerirá cambiar sus hábitos de cálculo, así como los valores, durante la próxima
generación . Durante algunos años, probablemente se usará una mezcla de SI (Systeme Internationall y Sistema Inglés, por lo que hemos considerado conveniente usar ambos sistemas
en este libro.
Se añadieron dos nuevos capítulos, escritos de tal forma que es posible eliminar uno de
ellos o ambos sin que esto altere la continuidad. En el Cap. 8 se incluye la presentación de las
bases para separaciones en etapas múltiples de mezclas multicomponentes, formuladas de tal
manera que pueden adaptarse para la evaluación en computadora, pero escritas con la intención de que los aspectos del cómputo no empañen a los conceptos básicos de los procesos de
separación. No se hace intento alguno por incorporar técnicas de matrices dispersas que permiten reducir considerablemente el tiempo de computadora que se necesita para llevar a cabo
las evaluaciones . En el Cap. 11 se presentan las ecuaciones de cambio, básicas para aquellos
que deseen cubrir con mayor amplitud ese tópico.
El estudio del texto completo requiere probablemente más horas de curso que el que la mayor parte de las escuelas asignan para la eseñanza de las operaciones unitarias. Por ello, al
igual que en la primera edición, el material se presenta de tal forma, que el profesor pueda
omitir algunos capítulos o bien, utilizar únicamente una o dos de las tres partes que componen el libro.
Hemos minimizado la inclusión de datos en los apéndices cuando la información se encuentra disponible en el "Chemical Engineers Handbook".
El material se encuentra ordenado de la misma forma que en la primera edición para enfatizar las similitudes y ofrecer una posible división para cursos de tres semestres. Estos pueden
separarse en mecánica de fluidos, transferencia de calor y transferencia de masa, para los
cuales la siguiente distribución ha dado buenos resultados:
1. Mecánica de fluidos: Caps. 1,9,10 (partes de mecánica de fluidos), Caps. 11, 13, 14,20,
21 Y 22.
2. Transferencia de calor: Caps . 9, 10, 11, 12, 13, 14 (partes de transferencia de calor),
Caps. 15.
3. Transferencia de masa: Caps. 2,3,4,5,6, 7, 8; revisión breve de los Caps . 9, 10, 11,12,
13 Y 14; también los caps. 16, 17, 18 Y 19.
Este libro ha sido utilizado con éxito en cursos de instrucción autodirigida.
Creemos que esta edición, al igual que la primera, será satisfactoria para aquellos profesores que aprecian las ventajas docentes ofrecidas por un tratamiento de las operaciones unitarias que enfatiza sus principios comunes y su interrelación . La efectividad pedagógica de este
enfoque ha sido ya demostrada.
ALAN S. FOUST
LEONARD A. WENZEL
CURTIS W. CLUMP
LOUIS MAUS
L . BRYCE ANDERSEN
\
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Prefacio
de la Primera Edición
.-
El tratamiento que se les da en este libro a las operaciones unitarias, enfatiza los principios
científicos sobre los que se basan las operaciones y agrupa aquellas que tienen bases físicas
similares para que puedan analizarse juntas. El desarrollo comienza por lo regular con un análisis del comportamiento físico de un sistema y el establecimiento de un modelo físico simplificado. Se expresa una relación matemática básica basada en el modelo y se resuelve. La
expresión general resultante se apl ica entonces a la operación unitaria específica. Con objeto
de mantener la claridad de la presentación a un nivel elemental, es común omitir el refinamiento
de los modelos físicos y las expresiones matemáticas elaboradas para un riguroso tratamiento de
situaciones complejas, y con el propósito de enfatizar las similitudes que existen entre diversas operaciones unitarias, la descripación de los equipos y los métodos de cálculo especializados se presenta en forma condensada. Sin embargo, ya que- la visualización de un equipo .
ayuda a comprender el tratamiento teórico y puesto que el ingeniero joven debe familiarizarse
con los principales tipos de equipo, se muestran las piezas importantes del equipo de proceso
en dibujos y fotografías que se estudian brevemente. Después de desarrollar los principios
fundamentales, se consideran los aspectos más importantes de los métodos especializados
de cálculo para el diseño de procesos.
El concepto tradicional de operaciones unitarias ha sido un factor de gran importancia en el
éxito de los ingenieros químicos y de la ingeniería química en los últimos cincuenta años.
Creemos que la unificación presentada aquí es el paso lógico que sigue en la evolución del
concepto de operaciones unitarias. Ofrecemos este tratamiento porque consideramos que es
más eficiente en la enseñanza, más económico en tiempo, más adecuado en su presentación
de los f undamentos y más efectivo en el entrenamiento necesario para definir y resolver los
problemas relacionados con los procesos químicos. Este libro debe servir como base para un
t rabajo avanzado en la teoría y práctica más especializadas de las operaciones unitarias individuales. El ingeniero educado con este enfoque puede no ser un experto en el manejo de un
procedimiento especializado de cálculo, pero podrá comprender los principios fundamentales, observar las similitudes existentes entre muchas operaciones unitarias y ser más flexible y
original en la solución de nuevos problemas de proceso . En resumen, podrá adaptarse con
mayor facilidad al cambio y al progreso .
El crecimiento rápido y continuo del conocimiento de las operaciones unitarias ha originado
serios problemas en los estudios de esta información dentro del tiempo asignado a los programas de licenciatura . El creciente número de etapas de proceso que pueden considerarse como
operaciones unitarias y la amplitud de su campo de operación, obliga a que la instrucción sea
más sistemática y adaptable a nuevas operaciones. Este tratamiento, con su unificación de
principios para operaciones similares, hace posible mantener un balance entre las operaciones
unitarias y otros aspectos vitales del aprendizaje de la ingeniería química.
Muchos de los cálculos formales que tuvieron ocupados a los ingenieros químicos en el pasado, serán realizados en breve por computadoras electrónicas. Los cálculos para destilación
de multicomponentes y evaporación en múltiple efecto ya pueden programarse para su cálculo en computadora. Se están llevando a cabo estudios para el uso de computadoras en el diseño de reactores químicos, para determinar la dinámica de un sistema durante el arranque, para predecir y optimizar la respuesta de sistemas al control automático y para auxiliar en
muchas otras aplicaciones. El uso de una computadora para hacer en minutos lo que antes tomaba meses-hombre de t iempo de ingeniería ha abierto muchos caminos al desarrollo . Un camino es, por ejemplo , qué problemas complejos de ingeniería, los cuales antes eran resueltos
en forma aproximada y en ocasiones sólo cualitativamente, pueden ahora ser resueltos con
gran precisión . Muchas de estas aplicaciones se encuentran en el campo de la economía de
procesos, como por ejemplo, en la optimización de productos en una refinería de petróleo.
Otro camino puede ser el hecho de que los procedimientos de cálculo rigurosos, aunque te-
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12 PREFACIO DE LA PRIMERA EDlCION
diosos, empiezan a ser más atractivos que los métodos aproximados o abreviados . Esto sucede ya en mayor o menor grado en el campo de la destilación de multicomponentes. Para que
el trabajo de este tipo sea efectivo, el ingeniero químico con un amplio conocimiento del mecanismo del proceso, debe cooperar con el matemático que entiende las posibilidades matemáticas y limitaciones de la computadora. Entonces, se necesitan cada vez más ingenieros
químicos con un amplio conocimiento de las características fundamentales de las operaciones
de proceso, y con antecedentes matemáticos suficientes para poder describir esas operaciones con un modelo matemático. El entrenamiento tradicional en los detalles de un método
de cálculo sólo es importante ahora como una disciplina mental.
Con el conocimiento creciente de los principios fundamentales, es posible clasificar las
operaciones unitarias en grupos de acuerdo con la similitud de sus principios. En este libro se
consideran dos grupos principales: las operaciones en etapas y las operaciones de velocidad.
Las operaciones en etapas se analizan mediante un modelo general que se aplica a todas las
operaciones de transferencia de masa . Las operaciones de velocidad SEl presentan con un estudio de los principios del transporte molecular y turbulento. Después que se describen las similitudes fundamentales de cada grupo, se aplican los principios al análisis de las operaciones
más comunes de cada grupo.
En la Parte 1, se presenta un tratamiento generalizado de las operaciones de transferencia
de masa en etapas. Se desarrolla un método de cálculo basado en el modelo físico de una etapa de equilibrio, sin inovolucrar la naturaleza de las fases en contacto. Se presentan ejemplos
específicos tomados de las diversas operaciones de transferencia de masa. Las operaciones
en etapas se presentan primero debido a que se basan en conceptos simples de
estequiometría y equilibrio y por tanto, siguen en form9 lógica el curso de estequiometría que
por lo general precede a los cursos de operaciones unitarias. La cobertura total de la Parte I requiere al menos de dos horas-semestre.
Los principios fundamentales de las operaciones de velocidad se desarrollan en la Parte 11.
Se incluyen aquellas operaciones en las cuales una propiedad de una fase se difunde o transfiere bajo la influencia de un gradiente. Se considera en detalle el transporte molecular y
turbulento de calor, masa y momento. La turbulencia se explica a un nivel elemental, sin
entrar en conceptos abstractos y rigurosos, necesarios para un estudio más avanzado. La cobertura total del material comprendido en la Parte 11 requiere al menos de tres horas-semestre.
Nuestra experiencia indica que es posible estudiarla en tres horas-semestre sólo si las secciones del Cap. 13 se cubren de manera superficial y se repasan al estudiar las operaciones
correspondientes en la Parte 111.
En la Parte 111 se aplican los principios introducidos en las Partes I y 11, presentando los cálculos involucrados en el diseño de equipo de proceso para las distintas operaciones. Nuestro
objetivo es llevar a cabo una transición del principio a la práctica sin complicar los principios
con un exceso de detalles prácticos y métodos especiales. Debido a que la Parte 111 depende
de la Parte 11 y, en menor grado, de la Parte 1, recomendamos que la Parte 111 sea estudiada sólo después de haber cubierto por completo las otras dos partes anteriores. Todo el material de
la Parte 111 puede cubrirse en cuatro horas-semestre. El orden de presentación de los temas
principales de la Parte 111 es flexible y puede ordenarse de acuerdo con los deseos del profesor.
Por ejemplo, la transferncia de momento (Caps. 20 al 22) puede ser cubierta antes que la
transferencia de calor y de masa (Caps. 15 al 19) . Con esta f lexibilidad, el profesor es libre de
omitir temas a su elección.
En el Apéndice A se estudian las dimensiones, unidades y el análisis dimensional. Estos temas se incluyen en el apéndice para evitar distracciones en el desarrollo de los principios. El
conocimiento de las dimensiones y unidades como se presenta en el Apéndice A es necesario
para la Parte 11. Los conceptos'de análisis dimensional son fundamentales para los principios
que se desarrollan en el Cap. 13. Si estos aspectos no han sido estudiados con anterioridad,
pueden introducirse cuando sea necesario. Es posible presentar material suplementario al de
los apéndices si el profesor así lo considera conveniente.
En el Apéndice B se presentan aspectos relacionados con la medición y descripción de
partículas pequeñas. Este material es relevante para cualquier operación que involucre la presencia de una fase sólida en forma de partículas y en especial, para aquellas que se estudian
en los Caps. 18, 19 y 22. Se omiten otros aspectos sobre la tecnología de partículas pequeñas,
debido a que con frecuencia son temas de cursos especializados.
Se puede cubrir el libro completo en nueve o diez horas-semestre. Con una selección
cuidadosa del material y un análisis abreviado de aquellos temas que el profesor considere menos útiles, es posible cubrir el libro en ocho horas-semestre.
La Parte 11 puede servir como núcleo para un curso básico de' tres horas en operaciones de
transporte para ingenieros, si se seleccionan las aplicaciones de la Parte 111. Un curso de esta
naturaleza va de acuerdo con las recomendaciones de la American Society for Engineering
Education , para un estudio más unificado de la transferencia de calor, masa y momento.
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PREFACIO DE LA PRIMERA EDICION
Este libro es el resultado de muchos años enseñando el enfoque unificado. El manuscrito
se ha utilizado durante más de dos años como libro de texto para estudiantes de los prilT,leros
años de la carrera de ingeniería química en la Lehigh University. La experiencia que se adquirió
al utilizar este manuscrito sirvió de base para revisar el material. Se hizo un esfuerzo para asegurar que el material incluido en este libro es adecuado para estudiantes de ingeniería en el
nivel básico. Nuestra experiencia ha sido que el enfoque generalizado, es al principio más impactante para la mayoría de los estudiantes que el enfoque tradicional; sin embargo, después
de un corto tiempo, el material se hace más claro y el estudiante logra una mayor comprensión de las operaciones unitarias.
En un curso posterior de diseño se puede llevar a cabo la integración de las operaciones
unitarias con los campos de cinética, termodinámica y economía. Las operaciones unitarias
constituyen una de las herramientas más importantes para el ingeniero químico, pero no debe
permitirse que desplacen a otras materias importantes en la carrera de ingeniería química.
Aunque las relaciones humanas rara vez se cursan de manera formal, son tan importantes para el ingeniero químico como lo es su conocimiento de las ciencias físicas y la economía. Por
ello, puede considerarse afortunado el ingeniero joven cuyo educación ha sido lo suficientemente amplia para hacerle ver la importancia de los tres aspectos que forman la terna de la
ingeniería: ciencias físicas, economía y relaciones humanas.
Deseamos expresar nuestro agradecimiento a la administración de la Lehigh University por
su cooperación en la evaluación de este libro. Asimismo deseamos dar las gracias a muchos
grupos de estudiantes con quienes se probaron las versiones preliminares del presente texto.
Su paciencia, cooperación y sugerencias, fueron de gran ayuda para preparar la versión final.
Alan S. Foust
Leonard A. Wenzel
Curtis W. Clump
Louis Maus
L. Bryce Andersen
13
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Principios de .
Operaciones Unitarias
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Esta planta de óxido de etileno es típica entre las plantas
petroquímicas que se encuentran actualrnente en operación. El
etileno se oxida a óxido de etileno como paso inicial para la
elaboración de muchos compuestos. Las torres principales,
partiendo de la izquierda son: agotador de óxido de etileno
(OE), absorbedor de OE, separador del refrigerante, reactor
de OE, absorbedor de CO 2 , agotador de CO 2 • BASFWyanotte opera esta planta con tecnología de Shell Development Co.; construida por Foster-Wheeler Energy Co. Reproducida con permiso.
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Uno
Operaciones Unitarias
en la Ingeniería Química
La ingeniería química se define como 11 • • • la aplicación de los principios de las ciencias físicas, junto con
los principios de economía y relaciones humanas, a
campos que atañen en forma directa a los procesos y
equipo de proceso en los cuales se trata la materia con
el fin de modificar su estado, contenido de energía o
composición ... " (1)* Esta vaga definición es intencionalmente tan amplia e indefinida como el campo al
que se refiere. Es quizá, una definición tan satisfactoria
como la que puede dar cualquier ingeniero químico en
ejercicio de su profesión. Debe observarse el énfasis
que se pone en los procesos y el equipo de proceso. El
trabajo de muchos ingenieros químicos debería ser lIa··
mado ingeniería de procesos.
El proceso puede ser cualquier conjunto de etapas
q.ue impliquen modificaciones de la composición química o ciertos cambios físicos en el material que se va a
preparar, procesar, separar o purificar. El trabajo de muchos ingenieros químicos involucra la selección de las
etapas adecuadas en el orden apropiado para formular
un proceso capaz de conducir a la elaboración de un
producto químico, una separación o una purificación.
Ya que cada una de ias etapas que constituyen un proceso se encuentra sujeta a variaciones, el ingeniero de
proceso debe especificar también las condiciones exactas bajo las cuales debe llevarse a cabo cada etapa.
A medida que el proceso avanza y debe diseñarse el
equipo, el trabajo del ingeniero químico se complementa con el del ingeniero mecánico y el del ingeniero civil.
La transferencia de la responsabilidad principal del
ingeniero de proceso al ingeniero mecánico, puede llevarse a cabo en forma satisfactoria en diversas etapas
del diseño, de tal forma que resulta imposible definir un
punto fijo en el cual termina la responsabilidad del ingeniero químico y comienza la etapa en la que el ingeniero
mecánico es el responsable del equipo.
• Las referencias se encuentran al final de cada capítulo, en orden
alfabético. Los números entre paréntesis indican referencias.
En la época en que se presentó la definición de la
ingeniería química, citada al principio de este capítulo,
las ciencias físicas a las que se refería eran en primera lugar la química y la física clásicas. En la medida que
avanza la comprensión de los modelos matemáticos que
describen a los procesos químicos, el tratamiento de la
química y física del proceso, se expresa en mayor grado
en forma matemática. El creciente uso de la termodinámica, la dinámica de fluidos y las técnicas matemáticas
tales como probabilidad y estadística, manejo de matrices y variables complejas, es característico de la práctica moderna de la ingeniería química. En la mayoría de
los procesos que están siendo desarrollados a gran escala, los aspectos químicos han sido estudiados con anterioridad, mientras que los cambios físicos relacionados con la preparación y purificación de las mezclas de
reacción, requieren de mayor estudio que la reacción
química. Con frecuencia, es necesario aplicar los principios de la física y la fisicoquímica en las etapas de proceso que involucran cambios físicos, tales como vaporización condensación o cristalización. Cuando el proceso
avanza para transformarse en una planta y el trabajo se
~complementa con el de los diseñadores mecánicos, la
ciencia de la mecánica .comienza a cobrar mayor importancia. El ingeniero químico que se especializa en equIpo, debe tener un amplio conocimiento de la mecánica
de materiales.
Todo el trabajo del ingeniero debe ser cuantitativo y
por ello, la matemática constituye una herramienta fundamental de la ingeniería. Por desgracia, nuestra comprensión de la matemática se limita al campo de la matemática lineal y, además, por desgracia también, las moléculas químicas pocas veces se comportan de acuerdo
con las reglas de la matemática lineal. Los cálculos para
el balance de materia y energía, que son fundamentales
para el estudio de cualquier proceso, pueden expresarse
por lo general, · con confianza y precisión, en términos
de matemática lineal si no se consideran los procesos
atómicos y nucleares. En los estudios económicos para
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18
PRINCIPIOS DE OPERACIONES UNITARIAS
determinar qué condiciones de operación son más rentables -y al contabilizar las ventas y la distribución del
ingreso en costos y ganancias, incluyendo el reemplazo
de la planta- los cáclulos matemáticos son universales.
La existencia de un proceso o su posibilidad implica
que habrá usuarios que pagarán por el material producido. Este deberá ser entregado en cantidades, calidades
y precios aceptables para el usuario. En forma simultánea, se deberá pagar por los materiales, el trabajo y el
equipo empleado en la manufactura, reportando ganancias sobre los costos. Muchos materiales producidos
por la industria química se planean, y las plantas se
construyen, antes de desarrollar un mercado potencial
real. En el caso de un producto completamente nuevo,
se deben elaborar estimaciones del tamaño del mercado
con el propósito de escalar la planta en forma proporcional.
El aspecto de las relaciones humanas en la práctica
de la ingeniería no se enfatiza con frecuencia en los
cursos de licenciatura, debido a la gran cantidad de técnicas e información técnica que debe aprender el estudiante. El hecho de que esto puede ser un enfoque engañoso, queda de manifiesto al observar que los fra~a­
sos de los ingenieros jóvenes por problemas de personal
son al menos cinco veces mayores que el número de
problemas originados por un entrenamiento técnico inadecuado. Todos los ingenieros deben comprender que
la industria para la cual trabajan, requiere de un esfuerzo
de grupo por parte de todo el personal. Es posible obtener información valiosa de operadores con pocos estudios que hayan observado procesos similares. La persona que ha "vivido" una operación, tal vez ha observado
acciones y efectos, y ha aprendido métodos de control
detallado que no pueden cubrirse con una sola teoría
formal. El mejor trabajo de ingeniería sólo puede hacerse con una selección correcta de todos los hechos disponibles, sin importar su fuente. Un proceso nuevo o
una mejora técnica a un proceso existente que se diseña
sin tomar en cuenta a los operadores, tiene como destino el fracaso en muchas ocasiones. El arranque de una
planta nueva o la implantación de un cambio técnico
será mucho más sencillo y el costo menor si el personal
operativo comprende los objetivos y se convence de su
validez.
ALGUNOS CONCEPTOS BASICOS
Antes de intentar describir las operaciones que constituyen un proceso químico, es necesario introducir algunos conceptos básicos que deben comprenderse
para dar un mayor sentido a la descripción de las operaciones.
procesos químicos), es igual a cero. Para todas aquellas
combinaciones que no se encuentren en equilibrio, la diferencia de concentración de alguna propiedad entre la
que tiene en la condición existente y la que tendría en
la condición de equilibrio, constituye una fuerza motriz
o una diferencia de potencial, que tiende a alterar el sistema, haciéndolo tender hacia el equilibrio . La tendencia que tiene la energía térmica a fluir de una región de
alta concentración (cuerpo caliente) a una región de
baja concentración (cuerpo frío), es conocida universalmente. De la misma forma, es bien conocida la tendencia de la energía eléctrica a fluir de una región de alto
potencial a una de bajo potencial, de acuerdo con la ley
de Ohm U = E/R). La tendencia del ácido acético a fluir
de una solución formada por ácido acético yagua, hacia
la fase éter, al ser puesta en contacto con ésta, es un
conocimiento menos difundido. La descripción de este
equilibrio es bastante más complicada que el enunciar la
igualdad de temperaturas para describir el equilibrio
energético de las moléculas. Los materiales fluirán de
una región de alta concentración (actividad), a una
región de baja concentración (actividad), de la misma
forma en que el calor y la electricidad fluyen de una concentración alta a una baja, como se mencionó con anterioridad.
La expresión de la condición de equilibrio resulta fa miliar cuando se habla de la energía térmica o eléctrica.
La concentración de dicha energía se expresa directamente como un potencial de voltaje o de temperatura.
De acuerdo con lo anterior, dos cuerpos que tengan el
mismo potencial eléctrico o la misma temperatura, estarán en equilibrio con respecto a esta clase particular de
energía . La curva de presión de vapor que describe el
equilibrio que se observa entre un líquido y su vapor, resulta conocida para un buen número de personas. Esta
curva expresa en unidades de presión, la concentración
de vapor que se encuentra en equilibrio con el líquido
puro, cuando ambas fases tienen la misma temperatura.
En el caso de una mezcla líquida, debe alcanzarse el
equilibrio entre las fases líquida y de vapor para todos y
cada uno de los constituyentes de la·mezcla. Para una
mezcla binaria, una relación relativamente simple describe la concentración o presión de vapor, para cada
uno de los constituyentes de la fase vapor que se encuentra en equilibrio con un líquido de cierta composición, a una temperatura dada. Resulta obvio que, el
vapor tendrá diferentes composiciones cuando esté en
equilibrio con distintas mezclas líquidas. En el caso de
mezclas multicomponentes, las expresiones de equilibrio entre las fases líquida y de vapor, o bien entre dos
fases líquidas, parcialmente solubles, es más complicada. De todas formas, debe satisfacerse la condición de
que el potencial para cada componente sea idéntico en
todas las fases en equilibrio para un sistema particular.
Equilibrio
Fuerza motriz
Existe para todas las combinaciones de fases, una condición llamada equilibrio, para la cual el intercambio neto de propiedades (por lo general, masa o energía en los
Cuando se ponen en contacto dos sustancias o fases
que no están en equilibrio, se observa una tendencia al
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OPERACIONES UNITARIAS EN LA INGENIERIA QUIMICA
cambio que conduce a la condición de equilibrio . La diferencia entre la condición existente y la condición de
equilibrio es la fuerza motriz que origina este cambio. La
diferencia puede expresarse en términos de las concentraciones de diversas propiedades de las sustancias.
Por ejemplo, si se pone en contacto agua líquida de baja
concentración de energía (es decir, baja temperatura),
con vapor de agua de alta concentración energética (es
decir, alta temperatura), se transferirá energía de la fase
vapor a la fase líquida hasta que la concentración energética sea igual para ambas fases. En este caso particular, si la cantidad de líquido es muy grande con respecto
a la cantidad de vapor, este último se condensará al
transferir su energía al agua fría, por lo que al alcanzar el
equilibrio térmico, sólo existirá la fase líquida. La mezcla
final tendrá una cantidad mayor de líquido que la que
había originalmente y su temperatura habrá aumentado,
mientras que la cantidad de vapor habrá disminuido. Esta combinación alcanza el equilibrio rápidamente, a una
temperatura tal que la presión de vapor del agua es igual
a la presión de la fase vapor. El mismo razonamiento
puede aplicarse al caso de dos condensadores eléctricos
cargados a diferentes concentraciones (esto es, voltaje).
Si se ponen en contacto eléctrico, la energía eléctrica
fluirá de la región de mayor a la de menor concentración. Una vez alcanzado el equilibrio, ambos condensadores estarán cargados con el mismo voltaje.
Un tipo de fuerza motriz menos familiar es el que
existe cuando una mezcla de ácido acético yagua se
pone en contacto con éter isopropílico. Estos tres materiales se separan por lo general en dos fases líquidas, cada una de las cuales contiene una cierta cantidad de los
tres componentes. Debe conocerse la concentración de
cada una de las tres sustancias en cada fase para describir la condición de equilibrio. Si se ponen en contacto
dos fases que no se encuentren en equilibrio, ocurrirá
una transferencia análoga a la de la energía térmica o
eléctrica. El resultado será una transferencia de éter
isopropílico a la fase acuosa y la transferencia de agua y
de ácido a la fase éter, hasta que el potencial de cada
constituyente sea idéntico en ambas fases. No hay expresiones simples para el potencial químico; es por ello
que se usa la cantidad por unidad de volumen o la concentración; o bien, la masa en una fase. La concentración de masa no es una definición rigurosa, pero las
otras funciones más precisas y complejas, como la actividad, la fugacidad y energía libre de Gibbs, requieren
de conocimientos más profundos de la fisicoquímica
que los que se espera tengan en este momento. En el
ejemplo anterior, la concentración de masa de un componente es diferente para cada fase en equilibrio.
En todos los casos estudiados hasta ahora, al comparar el potencial (concentración) de una sustancia o
mezcla existente con el potencial en la condición de
equilibrio, se genera una diferencia de potencial que es
una fuerza motriz, la cual tiende a cambiar las condiciones del sistema, dirigiéndolo hacia el equilibrio. Las
fuerzas motrices o diferencias de potencial de energía o
de masa, tenderán a producir un cambio que es directa-
19
mente proporcional a la diferencia de potencial de equilibrio. La velocidad a la cual un sistema tiende al
equilibrio es uno de los temas principales de este libro.
Separaciones
Es obvio que la separación de una solución o de alguna
otra mezcla físicamente homogénea, requiere de una
transferencia preferencial de un constituyente a una segunda fase que pueda-separarse por medios físicos de la
mezcla residual. Ejemplos de ello son la deshumidificación del aire por condensación o por congelamiento
parcial de la humedad, o bien, el uso de un disolvente
líquido que es insoluble en el material no extraido. En
una operación de separación pueden usarse dos fases
cualesquiera que exhiban una distribución preferencial
de constituyentes y que puedan separarse con facilidad.
Dos fases sólidas pueden ser muy difíciles de separar; un
líquido y un gas, o un sólido, por lo general pueden separarse sin dificultad; dos líquidos que tengan una densidad parecida y no presenten tensión interfacial, resisten
prácticamente cualquier forma de separación que no altere alguna de las fases.
Patrones de flujo
En muchas de las operaciones en las que no se transfiere energía o materia de una fase a otra, es necesario
poner en contacto dos corrientes a fin de permitir que
las fases tiendan al equilibrio de energía, materia o ambas. La transferencia puede llevarse a cabo con las dos
corrientes fluyendo en la misma dirección (esto es, flujo
paralelo). Si se usa flujo en paralelo, la cantidad que
puede transferirse está limitada por las condiciones de
equilibrio que se alcanzarán entre las dos corrientes,
que se encuentran en contacto. Si, por el contrario, las
corrientes fluyen en direcciones opuestas, es posible alcanzar una transferencia de mayores cantidades de materia o energía. Este patrón de flujo se conoce como
flujo a contracorriente.
Por ejemplo, si se permite que una corriente de mercurio caliente y una de agua fría alcancen su equilibrio
térmico, es posible predecir la temperatura obtenida por
medio de un balance de calor, que toma en cuenta las
cantidades relativas de las corrientes, sus temperaturas
iniciales y sus capacidades caloríficas. Si las corrientes
fluyen simultáneamente de una misma entrada a un
mismo punto de salida, la temperatura de equilibrio
queda definida y la trayectoria corresponde a la que se
muestra en la Fig. 1-1 a. Si las corrientes fluyen en direcciones opuestas, de tal forma que el mercurio fluya hacia abajo a través de una corriente de agua que fluye
hacia arriba, es posible que el mercurio caliente incremente la temperatura de la corriente de agua hasta un
valor superior al de la temperatura a la cual sale el mercurio del equipo, como se muestra en la Fig. 1-1b. El
principio del flujo a co·ntracorriente se utiliza en muchas
operaciones de ingeniería química a fin de permitir una
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20 PRINCIPIOS DE OPERACIONES UNITARIAS
H2ü. nt
Hg.nt
t!
11
Hg. nt
Temperatura
(a)
Temperatura
(b)
Fig. 1-1 Flujo y temperatura en un equipo de contacto. (a) Paralelo, (b) Contracorriente.
mayor transferencia de una propiedad que la que se tendría en el equilibrio entre las dos corrientes de salida.
Operaciones continuas e intermitentes
En la mayor parte de las operaciones de procesos químicos, resulta más económico mantener una operación
continua y estable del equipo, con un mínimo de alteraciones y paros. Esto no siempre es práctico en algunas operaciones a pequeña escala, en operaciones en
las que prevalecen condiciones extremadamente corrosivas que originan reparaciones frecuentes y en otras,
por diversas razones específicas. Debido a que la operación continua del equipo representa una mayor productividad y por ello menores costos unitarios, es con
frecuencia ventajoso operar el equipo constantemente.
Esto significa que el tiempo no es una variable en el análisis de tales procesos, con excepción de los periodos relativamente cortos de arranque y paro. Las velocidades
de transferencia o de reacción, son importantes en la
determinación del tamaño y capacidad del equipo necesario, pero es de esperarse que la operación sea la misma hoy, mañana o el año próximo, cuando las condiciones de operación permanecen iguales. Las condiciones
no son constantes a través de todo el sistema en cualquier tiempo, pero las de un punto en particular sí son
constantes en el tiempo.
Cuando se van a procesar pequeñas cantidades de
material, con frecuencia resulta más conveniente cargar
la cantidad total de material al equipo, procesarlo y retirar los productos. Esto se conoce con el nombre de operación intermitente.
Una operación que varía con el tiempo recibe el
nombre de transitoria o estado inestable, en contraste
con la operación conocida como estado estable, en el
cual las condiciones no varían con el tiempo. El templar
una pieza de acero para tratamiento térmico y la formación de los cubos de hielo en un refrigerador doméstico,
son ejemplos de operaciones en estado inestable. En las
operaciones intermitentes casi todo el ciclo es un arranque y paro transitorios. En una operación continua, el
tiempo durante el cual existe un arranque trasitorio
puede ser extremadamente pequeño en comparación
con la operación en estado estable. Debido a que en los
procesos químicos las operaciones de estado estable
son muy frecuentes y ofrecen una mayor simplicidad, el
tratamiento introductorio se lleva a cabo en términos de
condiciones que no varían con el tiempo. El análisi!¡
de las operaciones transitorias sólo difiere del de las de
estable en la introducción del tiempo como variable adicional. Esta variable complica el análisis, pero no lo modifica fundamentalmente.
OPERACIONES UNITARIAS
Los procesos químicos pueden consistir en diversas secuencias de etapas, cuyos principios son independientes del material en procesos y de otras características
del sistema particular. En el diseño de un proceso, cada
etapa que se utilice puede estudiarse en forma individual sin pasar por alto ninguna de ellas. Algunas de las
etapas consisten en reacciones químicas, mientras que
otras son cambios físicos. La versatilidad de la ingeniería química se origina en el entrenamiento práctico de la
descomposición de procesos complejos en etapas físicas individuales, las cuales reciben el nombre de operaciones unitarias, y hacia las reacciones químicas. El concepto de operaciones unitarias en la ingeniería química
se basa en la filosofía de que muchas secuencias de etapas pueden reducirse a operaciones o reacciones
simples que tienen fundamentos idénticos, sin importar
qué material vaya a procesarse. Este principio, obvio para los pioneros durante el desarrollo de la industria
química estadounidense, lo expuso con claridad por primera vez A.D . Little en 1915:
Cualquier proceso químico, sin importar la escala, puede resolverse en una serie coordinada de lo que puede llamarse
"acciones unitarias", como pulverización, mezclado, calentamiento, calcinación,,9bsorción, condensación, lixiviación, precipitación, cristalización, filtración, disolución, electrólisis,
etc. El número de estas operaciones unitarias básicas no es
muy grande y, relativamente pocas de ellas, participan en un
proceso particular. La complejidad de la ingenería química se
origina en la variedad de condiciones de temperatura, presión,
etc., bajo las cuales deben llevarse a cabo las acciones unitarias en diferentes procesos, y de las limitaciones en cuanto a
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OPERACIONES UNITARIAS EN LA INGENIERIA QUIMICA
materiales de construcción y diseño de aparatos, que son impuestas por el carácter físico y químico de las sustancias reaccionantes. (2)
La lista original de las operaciones unitarias mencionada con anterioridad, nombra doce acciones, no todas las cuales están consideradas como operaciones
unitarias. A partir de entonces se han diseñado otras,
con una velocidad modesta, durante muchos años, pero acelerada recientemente. El flujo de fluidos, transferencia de calor, destilación, humidificación, absorción
de gases., sedimentación, clasificación, agitación y
centrifugación, se conocen desde hace tiempo . En años
recientes, la mayor comprensión de nuevas técnicas -y
la adaptación de técnicas de separación antiguas, pero
poco utilizadas- ha generado un número creciente de
separaciones, operaciones de proceso o etapas de fabricación que pueden emplearse sin alteraciones significativas en una gran variedad de procesos. Esta es la base
del término "operaciones unitarias", que ahora ofrece
una lista de técnicas que por su extensión no puede ser
incluida en un libro de texto de extensión razonable .
Con mucha frecuencia ocurren cambios químicos en
una material que se está calentando o destilando. En estos casos, la operación física es de gran importancia y si
se verifica un cambio químico en forma simultánea, se
considera, por lo general como una modificación de las
propiedades físicas del material . Cuando se conocen
las velocidades de reacción y el equilibrio, pueden modelarse matemáticamente como parte de los cálculos de
operaciones unitarias.
Las operaciones típicas para la fabricación de productos químicos involucran un número pequeño de
pasos químicos que tal vez resulten sencillos y bien conocidos. Se necesita una gran cantidad de equipo y
operaciones para purificar o preparar las mezclas, a menudo complejas, para su uso como producto final. Por
ello, el trabajo típico de un ingeniero de proceso , se relaciona más con los cambios físicos que con las reacciones químicas. No debe pasarse por alto la importancia de
las reacciones químicas, debido a la transcendencia
económica que tiene el rendimiento de las mismas. En
muchos casos, un incrementeo relativamente pequeño
del rendimiento puede justificar en su aspecto económico una mayor cantidad de equipo y operaciones de proceso.
Todas las operaciones unitarias se basan en principios científicos que han sido aplicados industrialmente a
varios campos de la ingeniería. Por ejemplo, el flujo de
fluidos ha sido estudiado, con amplitud en teoría, bajo el
nombre de hidrodinámica o mecánica de fluidos. Este
aspecto constituye una parte importante del trabajo de
los ingenieros civiles bajo el nombre de hidráulica, así como también es de gran importancia en la ingeniería sanitaria. Los problemas de suministro y control de agua
han estado presentes en todas las civilizaciones.
La transferencia de calor ha sido tema de estudio de
muchas investigaciones teóricas de físicos y matemáticos; tiene un papel importante en la generación de
21
energía a partir de combustibles, tal como la han desarrollado los ingenieros mecánicos. La disipación del
calor en equipo eléctrico constituye una limitante en el
suministro de energía de dicha maquinaria. Otras aplicaciones de importancia son la pirometalurgia y el tratamiento térmico de materiales de construcción y herramientas.
En toda la industria es posible encontrar ejemplos
de muchas operaciones unitarias en aplicaciones que
corresponden a otros campos de la ingeniería. El ingeniero químico debe llevar a cabo muchas operaciones
unitarias en materiales con las más diversas propiedades
físicas y químicas, bajo condiciones extremas de presión , temperatura, etc. Las operaciones unitarias que se
utilizan para separar las mezclas en sus sustancias, más
o menos puras, son exclusivas de la ingeniería química.
Los materiales que van procesarse pueden ser mezclas
naturales o productos de reacciones químicas, que virtualmente nunca llegan a separarse hasta sustancias
puras.
INTEGRACION DE LAS OPERACIONES
UNITARIAS
Los primeros estudios de las operaciones unitarias como etapas independientes, contribuyeron a cimentar el
crecimiento espectacular de la industria química. En una
fabricación compleja, las interacciones de las etapas
obligan a los ingenieros a considerar el proceso o sistema total como una entidad. De manera simultánea, una
mayor comprensión de las interrelaciones de los principios fundamentales, condujo al agrupamiento de operaciones que se ajustan con la misma expresión matemática de acciones o modelo , permitiendo generalizaciones
de gran utilidad.
La presentación tradicional de las operaciones unitarias se compone de una colección de información teórica y práctica sobre cada operación unitaria, en forma de
paquete. En libros de texto anteriores, cada operación
se ha presentado de manera independiente de las otras.
Resulta poco obvia en presentaciones introductorias, el
que muchas operaciones unitarias se traslapan · en sus
fundamentos y se encuentran muy relacionadas una
con otra. Las interrelaciones se hacen más obvias en las
monografías de diversas operaciones unitarias, debido a
que es imposible presentar la teoría de cualquier operación sin considerar por completo la influencia de otras .
Específicamente, la transferencia de calor en un sistema
de flujo, no puede presentarse en forma completa sin
considerar la mecánica de fluidos; la transferencia de
masa no puede divorciarse de la transferencia de calor y
de la mecánica de fluidos.
Con la creciente cantidad de información ha sido más
sencillo reconocer las similitudes básicas. De la misma
forma, el reconocimiento y explotación de las similitudes contribuye a una mayor comprensión de cada operación . Se piensa que la separación de la información
por operaciones unitarias tiende a una repetición inne- '
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22
PRINCIPIOS DE OPERACIONES UNITARIAS
cesaria ya una pérdida de tiempo, mientras que el estu dio de los principio básicos comunes a un grupo de operaciones, conduce a un mejor entendimiento de todas
ellas .
Este libro presenta bajo encabezados simples
aquellas operaciones que tienen fundamentos similares,
por medio de nomenclatura y conceptos generalizados.
Esta presentación resulta en una economía de tiempo
de estudio y se tiene la convicción de que contribuye a
una mayor comprensión de todas las operaciones cuando se entienden las interrelaciones.
Análisis de las operaciones unitarias
Las operaciones unitarias se pueden analizar y agrupar
mediante uno de tres métodos posibles. Una operación
unitaria puede analizarse utilizando un modelo físico
simple que reproduce la acción de la operación; considerando el equipo empleado para la operación; o bien
empleando primero una expresión matemática que describe la acción y la cual se ratifica con datos experimen tales del proceso.
El modelo físico se establece mediante un estudio
cuidadoso del mecanismos físico básico. Entonces el
modelo se aplica a una situación real, ya sea mediante
una expresión matemática o por un medio de una descripción física. Debido a que el modelo es ideal, es necesario efectuar algunas correcciones para aplicarlo a situaciones reales . Este método desarrolla una comprensión de las similitudes básicas entre los principios de diversas operaciones unitarias.
El agrupamiento puede hacerse en términos de las
operaciones que se llevan a cabo en equipos similares o
en los cuales se efectúan funciones similares. Para la
mayor parte de las operaciones, el arte ha precedido a
la comprensión científica y el equipo se construyó y
operó con un conocimiento incompleto de los principios
básicos. Tal como era de 'esperarse algunas innovaciones y refinamientos provinieron del arte y equipo. El
agrupamiento con base en el equipo y su funcionamien to expone al riesgo de perpetuar los errores del pasado.
Una comprensión pormenorizada de las operaciones básicas tiene mayores probabilidades de producir mejoras
en dichas operaciones.
También pueden agruparse las operaciones a la luz
de similitudes en la formulación matemática de la operación. Este tipo de agrupación no resulta satisfactorio debido a que las moléculas desconocen la matemática.
Debido a la falta de linearidad que involucra y a que las
condiciones límite de una fase, por lo general responden
a cambios que ocurren en la fase adyacente, con frecuencia es imposible formular las condiciones límite
para resolver una expresión matemática en términos
manejables.
Todos los sistemas de agrupamiento pueden servir
como base . El modelo físico de la operación fundamental es el enfoque más satisfactorio y es el que se utiliza
en esta presentación. Siempre que es posible, se hace la
descripción matemática del modelo físico y la operación
se expresa con relaciones matemáticas que se derivan
de los principios fundamentales. Esta formulación proporciona la mejor base para comprender y refinar las
operaciones en las que el arte ha avanzado más que la
teoría. Esto es cierto en virtud del hecho de que los modelos están sobresimplificados y que la formulación matemática del comportamiento de un modelo no puede
transformarse perfectamente a una expresión del comportamiento de un prototipo.
Debe resultar obvio que no existe un criterio universal
para dictar una selección particular del método de análisis y que deben considerarse todos los factores que
contribuyen al decidirse por una forma particular, Cual quier agrupamiento requiere algo de selección arbitraria
y siempre quedan algunas operaciones que no se ajustan del todo al esquema general. Estas operaciones deben ser estudiadas de manera individual.
Dos modelos físicos importantes
Un modelo que encuentra gran aplicación en las operaciones unitarias, consiste en un dispositivo en el que se
ponen en contacto dos corrientes o fases, permitiendo
que se alcance el equilibrio, antes de separarse y extraerse . Se supone que las corrientes salen en equilibrio
y este modelo se conoce como etapa de equilibrio. La
evaluación de los cambios que se deben llevar a cabo en
las corrientes para alcanzar el equilibrio, establecen una
medida de la eficiencia final. El equipo real se evalúa
expresando los cambios que en él ocurren, como una
fracción o porcentaje de los cambios que ocurrirían en
una etapa de equilibrio. En otro modelo factible para la
transferencia de una propiedad entre dos corrientes,
se toman en cuenta los conductores de la propiedad , se
evalúan su número y velocidad de migración y se llega a
una expresión de I!I velocidad de transferencia entre dos
corrientes, en un equipo de contacto. Esta velocidad de
transferencia, multiplicada por el tiempo de contacto,
da lugar a una expresión para cuantificar la transferen cia alcanzada. El modelo de etapa de equilibrio puede
expresarse matemáticamente con una ecuación de diferencias finitas, que relacione las concentraciones a la
entrada de cualquier propiedad, con las concentra ciones de equilibrio de esa propiedad, en las corrientes
de salida. Con frecuencia es posible utilizar técnicas gráficas en lugar de una ecuación de diferencias finitas . La
expresión matemática para el modelo de velocidad de
transferencia, es una ecuación diferencial que algunas
veces se debe integrar rigurosamente, pero que con frecuencia puede manejarse en términos de condiciones
promedio. Puesto que un gran número de operaciones de procesos químicos se llevan a cabo en etapas o
por contacto continuo, estos modelos encuentran gran
aplicación en el análisis de operaciones unitarias.
La mayor parte de las operaciones unitarias puede estudiarse sobre cualquiera de estas bases. Muchas de
ellas se llevan a cabo, algunas veces, en equipo de con -
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OPERACIONES UNITARIAS EN LA INGENIERIA QUIMICA 23
tacto continuo y otras veces, en equipo en etapas. En
algunas operaciones, las ventajas de uno y otro sistema
de análisis, pueden ser obvias, en otras, la disponibilidad de los datos y las constantes necesarias determinan
la selección. Los datos de equilibrio son parte de la
aportación de los fisicoquímicos y se encuentran disponibles para un gran número de sustancias bajo diversas
condiciones. Hasta cierto punto, la conveniencia del
análisis se relaciona con el trabajo de los primeros investigadores, ya que sus resultados pueden interpretarse
de tal forma que hacen que un análisis sea más conveniente que otro. La selección de un método de análisis
no restringe de manera necesaria la operación real al
mismo modelo.
Operaciones en etapas
Se considerarán primero, aquellas operaciones que con
frecuencia utilizan contacto en etapas. El modelo es un
dispositivo al cual entran dos corrientes que interactúan
para alcanzar el equilibrio al salir de la etapa. Este modelo se conoce como etapa de equilibrio y se supone que
siempre da lugar a la formación de dos corrientes de
producto que se encuentran en equilibrio. El tratamiento generalizado no requiere una especificación de la propiedad que se transfiere ni de la naturaleza de las fases
puestas en contacto. El análisis práctico se basa en la
fracción de transferencia que se alcanza en la etapa real,
comparada con la etapa de equilibrio. La presentación
se hará en términos tan generales como sea posible, sin
hacer referencia a la naturaleza particular de las fases en
un caso dado.
El contacto en etapas puede ilustrarse con las corrientes de mercurio yagua que se estudiaron con anterioridad. Como se muestra en la Fig. 1-1, las corrientes
de mercurio yagua están en contacto continuo y el calor se transfiere, sin interrupción, de la corriente caliente
a la corriente fría. Para el contacto en etapas, el equipo
se modifica como se describe a continuación. Si las
corrientes de mercurio caliente yagua fría del ejemplo
se mezclan íntimamente y luego se alimentan a un sedimenta dar para separar las fases, las corrientes de salida
tendrán casi la misma temperatura . La temperatura de
equilibrio puede predecirse mediante balances de materia y energía. Supóngase ahora que se cuenta con dos
mezcladores-sedimentadores, uno de los cuales recibe
al mercurio caliente y el otro el agua fría. El mercurio
que sale del calentador mezclador-sedimentador, fluye
hacia el enfriador mezclador-sedimentador, mientras
que el agua que sale de este enfriador fluye hacia el calentador. Estos dos equipos producirán una transferencia mayor que la que se lograría en uno solo de ellos. Si
el número de mezcladores-sedimentadores se incrementa hasta n, es posible extraér mayor cantidad de
energía del mercurio. En este caso, el mercurio pasaría a
través de ellos en el orden 1, 2, 3, ... , n y el agua en el
orden n, ... 3, 2, 1. La introducción de etapas adi-
cionales disminuye la cantidad de calor que se transfiere
por etapa debido a que la diferencia potencial respecto
al equilibrio es más pequeña, aunque la transferencia total es mayor. Nadie efectuaría esta operación en la forma descrita, pero muchas operaciones de transferencia
utilizan contacto en etapas. El contacto en etapas es
una forma común de extraer un componente de una
mezcla líquida, por disolución preferencial de dicho
componente o grupo de componentes, como en el caso
de los aceites lubricantes, de los que es necesario eliminar los componentes que forman sedimentos.
Las operaciones de velocidad
Las operaciones unitarias que involucran un contacto
continuo, dependen de la velocidad de transferencia y
por ello, reciben el nombre de operaciones de velocidad. La transferencia de un gran número de propiedades de un material -como puede ser eléctrica, magnética, térmica, de concentración de masa y de momento- sigue la misma expresión matemática de velocidad
de transferencia en función del gradiente de concentraciones
(1-1)
donde r
e
x
d
concentración de la propiedad que va a
transferirse
tiempo
distancia medida en la dirección del transporte
constante de proporcionalidad para un sistema.
Esta ecuación recibe con frecuencia el nombre de
ecuación de difusión; es una expresión general, que se
reduce a la ley de Ohm para flujo eléctrico en condiciones específicas. El amplio estudio del transporte
eléctrico y magnético constituye la importante "teoría
de campo" del ingeniero eléctrico. Estos dos fenómenos obedecen leyes bien establecidas e involucran factores de proporcionalidad relativamente constantes (como las de la Ec. 1-1). Puesto que, por lo general es posible evaluar las condiciones límite, las soluciones
analíticas se obtienen a partir de cálculos de ingeniería.
Las sustancias químicas tienen un comportamiento menos matemático y las "constantes" de proporcionalidad
son en realidad poco constantes. Las condiciones límite
son más elusivas; por ello, los ingenieros químicos raras
veces pueden aplicar la matemática de manera elegante
y obtener soluciones rigurosas de la ecuación de difusión. Para lograr una solución de la ecuación de difusión, puede simplificarse en incrementos finitos para
condiciones promedio en lugar de resolverse como una
ecuación diferencial.
En los casos más simples, poco usuales en los procesos químicos, la velocidad de transporte es constante
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24
PRINCIPIOS DE OPERACIONES UNITARIAS
con respecto al tiempo y a la posición dentro del sistema. La fuerza motriz puede suponerse constante y
distribuida sobre una trayectoria de longitud definida
y de área constante. Las propiedades físicas de la trayectoria pueden ser constantes, por lo que es posible
suponer que el factor de proporcionalidad d es constante. Estas suposiciones son las simplificaciones que se
introdujeron para deducir la ley de Ohm, en la forma que
se presenta en los cursos introductorios de física. La
equivalencia en el transporte químico es
Velocidad de transporte
fuerza motriz/distancia
unitaria
resistencia/unidad de área
de trayectoria
(1 -2)
Las sustancias químicas no se ajustan muy bien con
las ecuaciones matemáticas, y el equilibrio químico transforma constantemente la exactitud de las formulaciones
para las condiciones límite que permitirían resolver rigurosamente la Ec. 1-1; sin embargo, con objeto de llegar
a la respuesta en un tiempo razonable, es necesario tomar promedios y aproximaciones. Estas simplificaciones sueien aproximarse má~ a la Ec. 1-2 que las
ecuaciones de difusión rigurosas.
Para las operaciones de velocidad, el análisis debe
basarse en la fuerza motriz que origina el cambio, el
tiempo durante el cual se permite que esta fuerza actúe
así como en la cantidad de material sobre la cual ejerce
su acción. La ecuación de difusión mencionada con ant erioridad, expresa el comportamiento transitorio de un
gran número de propiedades, bajo la influencia de una
fuerza motriz, para el transporte de la propiedad. En la
ingeniería química, la masa, el momento y la energía térmica son las tres propiedades cuyo transporte es el más
frecuente. Como se mencionó anteriormente, es muy
conocido que estas tres propiedades, junto con otras
con las que los ingenieros químicos están menos relacionados, tienden a flLiir de regiones de alta concentración a regiones de baja concentración. La predicción exacta de la cantidad de una propiedad que fluye
de la región donante (fuente) a la región receptora (pozo), puede hacerse si se conocen con precisión la fuerza
motriz, el área de la trayectoria y la resistividad unitaria
de la trayectoria (la constante de proporcionalidad utilizada en la Ec. 1-1). El estudio de las operaciones de velocidad hace resaltar la importancia de comprender con
claridad el significado de la palabra concentración. En
cada caso la concentración expresa la cantidad de propiedad por unidad de volumen, de la fase que se está
procesando. Por lo general, la cantidad que se transfiere
puede expresarse en alguna unidad de medición absoluta, tal como las Btu o las libras mol. También puede
expresarse en términos de la disminución de concentración de la propiedad en una cantidad medida de la fase
que tiene capacidad conocida para esta propiedad. Por
ejemplo, una cierta cantidad de energía que sale de un
en
sistema
forma de calor, puede expresarse en términos del número de Btu o calorías de energía, así como
también puede expresarse en términos de la disminución de temperatura de una cantidad conocida de la fase. Estas generalizaciones cobrarán un mayor sentido a
medida que se analicen las diferentes operaciones y las
cantidades transportadas se expresen en términos de
las diferentes unidades posibles. Debido a que los principios básicos del transporte son idénticos para las tres
propiedades, se ofrece un análisis en términos muy generales antes de estudiar una propiedad particular en las
operaciones específicas.
Operación en estado inestable
La ecuación de difusión (Ec. 1-11, es aplicable para la
transferencia unidireccional y es una función del tiempo. Sin embargo, la transferencia puede presentarse en
más de una dirección. La solución rigurosa requiere del
conocimiento de las condiciones límite y la interacción
de las variables. Las técnicas computacionales hacen
más accesibles las soluciones y emplean por lo general
técnicas de diferencias finitas.
CONSIDERACIONES GENERALES
La comprensión de los principios físicos de una operación y la formulación de esos principios en una expresión matemática, son los primeros requerimientos para
la aplicación de los principios de las operaciones unitarias. En la práctica de la ingeniería, siempre deben incorporarse valores numéricos a fin de obtener una respuesta práctica.
El ingeniero de diseño puede encontrar el mismo
problema al especificar el equipo, lo mismo le sucede al
ingeniero de operación al supervisar la operación del
equipo instalado, o a cualquier ingeniero que busque
mejorar la calidad o la cantidad. Por lo anterior es indispensable que se disponga de técnicas matemáticas y/o
gráficas que permitan predecir cualquier respuesta desconocida para un sistema en particular, sin importar que
esa variable desconocida sea la composición, cantidad,
temperatura o número dé etapas necesarias para alcanzar un cierto enriquecimiento de cualquier propiedad seleccionada.
Aunque este libro se dedica exclusivamente a los principios de las operaciones unitarias de la ingeniería
química, debe hacerse hincapié en que las operaciones
unitarias son sólo un sector de la ingeniería química. El
obejtivo real es la ingeniería de los procesos más económicos. Las operaciones unitarias son técnicas para lograr este objetivo, pero no debe permitirse que oscurezcan otros principios científicos importantes que también
en necesario conocer.
El mejor proceso sólo puede diseñarse con la selección apropiada de la química, cinética y termodinámica
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OPERACIONES UNITARIAS EN LA INGENIERIA QUIMICA 25
básicas tomando en cuenta las limitaciones impuestas
por los materiales de construcción y equipos auxiliares
de la planta. El diseño del equipo involucrará el trabajo de
ingenieros con entrenamiento en disciplinas que por lo
general no poseen los ingenieros químicos. El objetivo
final de la ingeniería es la obtención de ganancias de
la operación. El retorno óptimo de utilidades, una vez
deducidos los costos, demanda la utilización al máximo
de todos los factores técnicos involucrados, relaciones
humanas favorab'les entre el equipo de producción y un
conocimiento preciso de la cantidad de producto que
puede venderse con un máximo de utilidades.
REFERENCIAS
1. Constitution of the American Institute of Chemical
Engineers.
2. Little, A D., Report to the Corporatíon of M.I. T., as
quoted in Sílver Anníversary Volume, AI.Ch.E. (1933),
p.7.
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Parte Uno
Operaciones en Etapas
Casi todos los proceso químicos requieren separar un
sólido, un líquido o un gas en los componentes que lo
constituyen. Tales operaciones se llevan a cabo con frecuencia poniendo en contacto tal fase con otra, de tal
forma que algunos de los componentes se transfieren
de fase a fase. En ese momento, las fases se separan
para seguir siendo procesadas.
Las materias primas, corrientes intermedias y productos finales, suelen purificarse mediante un proceso
de separación. Por ejemplo, en la fabricación del hielo
seco, se elimina el bióxido de carbono de una mezcla
con aire, al poner en contacto el gas con un líquido (tal
como una disolución de dietanolamina), que disuelve al
bióxido de carbono pero no al aire. El bióxido de carbono puro se recupera calentando simplemente la solución
de amina.
El término procesos de separación, incluye aquellas
operaciones unitarias que involucran una separación de
componentes por transferencia de masa entre fases.
También puede incluirse la separación completa de fases, así como la filtraGión. Aquí se hará referencia sólo a
las operaciones en las que hay una transferencia de componentes entre fases y se dejará la separación de sistemas heterogéneos de multifases para la Parte 111. Dentro
de esta clase de procesos, la selección de la operación
unitaria a emplear, depende de las propiedades físicas
de la mezcla que va a ser separada. Resulta obvio que la
separación se facilita cuando se basa en una propiedad
física que varía mucho entre los componentes que se
van a separar.
El equipo utilizado en las operaciones de transferencia de masa depende de las fases que van a ser procesadas, según se trata en el Cap. 2. En algunos casos, las
fases se mezclan y se separan repetidas veces al pasar
por el equipo. La etapa de equilibrio es el modelo físico
que se emplea para analizar las operaciones de transferencia de masa en que las fases se ponen en contacto y
se separan, de manera alternada, un cierto número de
veces. El término operaciones de tapas se refiere a .los
procesos de separación que pueden describirse con el
modelo de una etapa de equilibrio. Estas operaciones
contituyen el tema de los siguientes siete capítulos.
En otros tipos de equipo, las dos fases se encuentran
en contacto continuo, por lo que la transferencia de masa depende explícitamente de la velocidad de transferencia y del tiempo de contacto. En este caso, el modelo
físico debe incluir los factores de velocidad de transferencia de masa y tiempo de contacto. Estas operaciones
de velocidad se considerarán en las Partes 11 y 111. En el
Cap. 16, se analizan las operaciones de transferencia de
masa mediante un modelo de contacto continuo.
Los cálculos básicos que se requieren para diseñar el
equipo para diversas operaciones de etapas se basan en
conceptos idénticos. Esta sección considera los conceptos generales involucrados en el diseño de procesos
de separación de multietapas. Cuando se presentan diJere.!;}!:ias. entre las distintas operaciones de etapas, se
-tra!a cada una de ellas con mayor detalle, pero siempre
que es posible, todas las operaciones se desarrollan de
manera unificada. Los procedimientos de cálculo se
ilustran con ejemplos de operaciones en tapas específicas.
El Cap. 2 presenta las diversas operaciones de transferencia de masa y describe el equipo típico que se
emplea en las operaciones. Las interrelaciones de fases
sobre las que se basan los proceso de separación se
consideran en el Cap. 3. Los Caps. 4 al 6 contienen el
desarrollo de un método. de cálculo general para operaciones de etapas en estado estable. En el Cap. 7 se tratan ciertos métodos simplificados y en el Cap. 8 se desarrollan los métodos de cálculo para operaciones de
etapas de multicomponentes.
Al final de la Parte 1, se encuentra una tabulación completa con la notación general y su aplicación a operaciones
de etapa específicas. Se recomienda que el lector se remita a ella con frecuencia y la estudie al leer los próximos capítulos.
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Dos
Operaciones de Transferencia
de Masa
Cuando se ponen en contacto dos fases que tienen diferente composición es posible que ocurra la transferencia
de algunos de los componentes presentes de una fase
hacia la otra y viceversa. Esto constituye la base física
de las operaciones de transferencia de masa. Si se permite que estas dos fases permanezcan en contacto durante un tiempo suficiente, se alcanzará una condición
de equilibrio bajo la cual no habrá ya transferencia neta
de componentes entre las fases. En la mayor parte de
los casos de interés que se presentan en las operaciones
de transferencia de masa, las dos fases tienen una miscibilidad limitada, de tal forma que en el equilibrio exiten
dos fases que pueden separarse una de la otra. Con frecuencia, estas fases tienen composiciones diferentes
entre sí y distintas también de la composición que tenía
cada fase antes de ponerse en contacto con la otra. Como resultado de lo anterior, las cantidades relativas de
cada uno de los componentes que han sido transferidas
entre las fases, son distintas, lográndose de esta forma
una separación. Bajo condiciones adecuadas, la acción
repetida de poner las fases en contacto y separarlas a
continuación, puede conducir a la separación casi completa de los componentes. Las diferencias en composición que presentan las fases en equilibrio, constituyen la
base física para los procesos de separación que utilizan
equipos con etapas múltiples, como las que se aprecian
en la Fig. 2-1.
observa una mayor diferencia entre los componentes ya
que por lo general, cuanto mayor sea la diferencia de alguna propiedad, más fácil y económica será la separación deseada. Resulta evidente que el ingeniero debe
tomar en consideración muchos otros factores al seleccionar una ruta de separación para un proceso. Los requerimientos de energía, el costo y disponibilidad de los
materiales de construcción y de proceso, así como la integración con el resto del proceso químico, son factores
que contribuyen para determinar cuál proceso de separación ofrece un mayor atractivo desde el punto de vista
económico.
Las operaciones unitarias se relacionan con los procesos de separación que se basan en las diferencias que
existen en las propiedades físicas, más que en las químicas. Tales procesos dependen de la diferencia de composición que presentan las fases en equilibrio o bien, en
la diferencia de ve/Deidad de transferencia de masa que
tienen los constituyentes de una mezcla. En el análisis
que se presenta a continuación, se comentan procesos
de separación que utilizan dichas bases físicas. Esta sección está dedicada a los procesos de separación basados en las diferencias de composición de las fases en
equilibrio. Los principios de separaciones basadas en la
velocidad de transferencia se t ratan con mayor amplitud
en la Parte 111.
Destilación
Procesos de separación
Cuando se plantea el problema de separar los componentes que forman una mezcla homogénea, el ingeniero
aprovecha las diferencias que existen en las propiedades de los constituyentes que forman la mezcla para
efectuar su separación. Se analizan las diversas propiedades químicas y físicas de los constituyentes, con el
objeto de determinar en cuáles de esas propiedades se
El proceso de separación m~s utilizado en la industria química es la destilación. Esta operación unitaria también
es conocida como fraccionamiento o destilación fraccionada. La separación de los constituyentes se basa en
las diferencias de volatilidad . En la destilación, una fase
vapor se pone en contacto con una fase líquido, transfiriéndose masa del líquido al vapor y del vapor al líquido.
Por lo general, el líquido y el vapor contienen los mis-
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PRINCIPIOS DE OPERACIONES UNITARIAS
calor. En una solución ideal (por ejemplo; una mezcla de
benceno y tolueno), la volatilidad puede relacionarse directamente con la presión de vapor que tiene cada componente puro. En las soluciones no ideales (tales como
una mezcla de etanol yagua) no existen relaciones
simples. Esto se analiza con mayor amplitud en el Cap.
3. La destilación se utiliza mucho para separar mezclas
líquidas en componentes más o menos puros. Debido a
que la destilación implica evaporación y condensación
de la mezcla, es una operación que necesita grandes
cantidades de energía.
Una gran ventaja de la destilación es que no es necesario añadir componente a la mezcla para efectuar la separación. Como se puede apreciar en el siguiente análisis, muchos otros procesos de separación requieren de
la adición de otro componente, el cual, a su vez, deberá
eliminarse en otra etapa de separación. La temperatura
y el volumen de los materiales sometidos a ebullición
dependen de la presión. Puede utilizarse una presión
elevada para disminuir el volumen y/o incrementar la
temperatura con objeto de facilitar la condensación; en
otros casos será necesario disminuir la presión para llevar al punto de ebullición por debajo de la temperatura
de descomposición térmica.
Fig. 2-1 Procesos de separación en una refinería de petróleo.
El furfural, un líquido orgánico hecho a partir de la cascarilla
de avena, disuelve selectivamente los componentes indeseables
del aceite lubricante. En el proceso ilustrado, el aceite lubricante fluye a través del gran ducto (lado izquierdo de la
fotografía) que entra a la columna de extracción, la cual se encuentra entre las dos columnas de destilación más altas, en la
parte central izquierda. El furfural se alimenta por la parte superior de la columna y sale por el fondo con los componentes
indeseables. El aceite lubricante así purificado sale por el domo. El resto de las columnas que se presentan en la fotografía
se utilizan para destilación y agotamiento, para recuperar el
furfural y para la purificación posterior del producto -el
aceite lubricante deseado-o (Cortesía de Foster Wheeler
Energy Corp.)
mos componentes aunque en distintas proporciones. El
líquido se encuentra a su temperatura de burbuja, *
mientras que el vapor en equilibrio está a su temperatura de rocío. ' En forma simultánea, se transfiere masa
desde el líquido por evaporación y desde el vapor por
condensación. El efecto neto es un incremento en la
concentración de los componentes más volátiles en
la fase vapor y de los menos volátiles en el líquido . La
evaporación y condensación involucran calores latentes
de vaporización de cada componente y por ello, al calcular una destilación deben considerarse los efectos del
• Definidas en el Cap. 3.
Las aplicaciones de la destilación son muy diversas.
El oxígeno puro que se utiliza en la fabricación de acero,
en las naves espaciales y en aplicaciones medicínales,
se produce por destilación del aire previamente licuado. Las fracciones del petróleo (tales como gases ligeros, nafta, gasolina, queroseno, combustóleo, aceite
lubricantes y asfalto) se obtienen en grandes columnas
de destilación a las que se alimenta el crudo. Estas fracciones se procesan después para obtener los productos
finales y, con frecuencia, la destilación también interviene en las etapas intermedias de este proceso .
A menudo la destilación se lleva a cabo en equipo de
etapas múltiples aunque también se utiliza equipo
de contacto continuo.
Absorción y desorción de gases
La absorción de gases involucra la transferencia de un
componente soluble, presente en una fase gaseosa, hacia un líquido absorbente de baja volatilidad. La desorción es el proceso inverso, es decir, eliminación de un
componente de la fase líquida por contacto con una fase gaseosa.
En el caso más simple de absorción de gases, no existe vaporización del líquido absorbente y el gas contiene
sólo un constituyente soluble. Por ejemplo, al poner en
contacto una mezcla de aire y amoníaco con agua líquida a temperatura ambiente, el agua absorbe amoníaco. Este es soluble en agua, mientras que el aire es poco
soluble en ella. A su vez, el agua no se evapora en cantidades apreciables a temperatura ambiente. Como resultado, la única masa que se transfiere es la del amoníaco,
que pasa de la fase gaseosa a la líquida. El amoníaco, al
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OPERACIONES DE TRANSFERENCIA DE MASA
transferirse al líquido, va aumentando su concentración
en este medio hasta que el amoníaco disuelto se encuentra en equilibrio con el que está presente en la fase
gaseosa. En el momento en que se alcanza este equilibrio cesa la transferencia neta de masa.
En los casos de absorción más complejos, pueden
absorberse muchos componentes así como vaporizarse
una parte del líquido absorbente. En el Cap. 8 se describen algunos de estos casos.
En los equipos de absorción, el líquido absorbente se
encuentra a una temperatura inferior a su punto de burbuja, mientras que la fase gaseosa está muy por encima
de su temperatura de r,pcío. Otra diferencia entre la destilación y la absorción de gases es que en esta última,
las fases líquida y gaseosa no contienen por lo general
exactamente los mismos componentes. En la absorción, los efectos caloríficos se deben al calor de disolución del gas absorbido, a diferencia de los calores de
vaporización y condensación involucrados en la destilación.
En las operaciones de absorción, es necesario añadir
un componente al sistema (esto es, el líquido absorbente). En muchos casos, el soluto deberá separarse del absorbente, para lo cual se requerirá una columna de
destilación, un desabsorbedor o algún otro proceso de
separación.
La desorción o agotamiento, es lo opuesto a la absorción. En este caso el gas soluóle se transfiere del líquido
a la fase gaseosa, debido a que la concentración en el
líquido es mayor que la correspondiente al equilibrio con
el gas. Por ejemplo, el amoníaco puede agotarse de una
solución acuosa mediante el burbujeo de aire fresco a
través de la mezcla. El aire que entra no contiene amoníaco, mientras que el líquido sí lo contiene, de tal forma
que la transferencia se verifica del líquido al gas.
La absorción y el agotamiento se utilizan con frecuencia en la industria química. El ácido clorhídrico se
produce por la absorción en agua de cloruro de hidrógeno gaseoso. La fermentación aerobia de los sedimentos
y lodos de aguas negras requieren la absorción de aire.
La carbonatación de refrescos involucra la absorción de
bióxido de carbono; al abrir una botella, disminuye la
presión y se presenta algo de desorción.
Tanto la absorción como el agotamiento se llevan a
cabo en equipo de etapas múltiples y en menor grado,
en equipo de contacto continuo.
Extracción líquido-líquido
\.
En algunas ocasiones, una mezcla líquida puede separarse por cantata con un segundo disolvente líquido.
Los componentes de la mezcla son solubles en distintas
proporciones en el líquido disolvente. En teoría, el componente que va a extraerse es soluble en el disolvente,
mientras que el resto de los componentes son insolubles. Por ello, el soluto es el único componente que se
transfiere de la mezcla inicial a la fase del disolvente. La
mezcla inicial se convierte en el refinado a medida que
31
se agota en el soluto. La fase del disolvente se convierte
en el extracto al enriquecerse en soluto. En la práctica, todos los componentes son solubles hasta cierto
punto y por ello la separación sólo es posible cuando las
solubilidades son suficientemente distintas. En cualquier caso, el componente no extraído debe ser suficientemente insoluble para producir dos fases que puedan separarse.
La extración líquido-líquido también se conoce como
extracción con disolvente. Los principios se ilustran en
los siguientes capítulos, utilizando sistemas de tres componentes: un soluto, un disolvente y un segundo disolvente. La presentación de los principios que en forma
sobresimplificada se hace aquí, será explicada con mayor detalle más adelante. La separación de un componente de una solución homogénea se lleva a cabo
mediante la adición de otro constituyente insoluble; el
disolvente, en el que el constituyente que se desea
extraer de la solución, llamado soluto, es preferencialmente soluble y hacia el cual se difundirá a una velocidad característica, hasta que se logren en ambas fases
las concentraciones de equilibrio del soluto. Por
ejemplo, el ácido acético (soluto), puede separarse de
una solución acuosa por contacto con éter isopropílico
(disolvente). Aunque el agua es ligeramente soluble en
el éter, es en esencia el componente no extaído que forma el refinado.
La extracción con disolvente se utiliza para eliminar
componentes indeseables del aceite lubrican'te y otras
fracciones de petróleo crudo, para separar al niobio del
tantalio, para producir ácido fosfórico concentrado y
muchas otras aplicaciones. Se utiliza tanto equipo de
etapas múltiples como de contacto continuo. En la mayor parte de los casos, es necesario separar al extracto
resultante en sus componentes.
Extracción sólido-líquido
Los componentes de una fase sólida pueden separarse
por disolución selectiva de la parte soluble de un sólido
con un disolvente adecuado. Esta operación se conoce
también como lixiviación o lavado. El sólido debe estar
finamente dividido para que el disolvente líquido pueda
hacer un contacto más completo. Por lo general, el
componente deseable es soluble, mientras que el resto
del sólido es insoluble. El soluto debe recuperarse del
extracto en una etapa adicional de separación.
Un ejemplo cotidiano de extracción sólido-líquido es
la preparación de café. Aquí, los constituyentes solubles del café se separan de los insolubles por disolución en agua caliente. Si se permite que estén en contacto el tiempo suficiente, la solución de café alcanzará
un equilibrio con el sólido remanente . La solución resultante se separa de los sólidos.
La extracción sólido-líquido también se utiliza en la
industria para la producción de café instantáneo con el
fin de extraer el café soluble del grano. Otras aplicaciones industriales incluyen la extracción de aceite de
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32 PRINCIPIOS DE OPERACIONES UNITARIAS
soya, que emplea hexano como disolvente y la recuperación de uranio a partir de minerales pobres por extracción con ácido sulfúrico o soluciones de carbonato de
sodio. Debido a que una de las fases es un sólido que no
fluye, se requieren tipos especiales de equipo para la
extracción sólido-líquido.
Adsorción
La adsorción implica la transferencia de un constituyente de un fluido a la superficie de una fase sólida. Para
completar la separación, el constituyente adsorbido debe separase del sólido. La fase fluida puede ser un gas o
un líquido. Si varios constituyentes se adsorben en distintas proporciones, casi siempre es posible separarlos
en componentes relativamente puros.
Se utilizan muchos adsorbentes sólidos. Estrictamente hablando, el término adsorbente se aplica a un sólido
que retiene al soluto en su superficie por la acción de
fuerzas físicas. Un ejemplo sería la adsorción de vapores
orgánicos en carbón. Las fracciones ligeras del gas natural se separan en la industria mediante un lecho móvil
de adsorbente. Muchos otros procesos industriales utilizan lechos fijos y procesos cíclicos o intermitentes, en lugar de equipo de etapas múltiples, debido a la dificultad
de mover el sólido.
Las mallas moleculares (4) son adsorbentes sintéticos
especiales para separar mezclas por diferencias del tamaño, polaridad o saturación de enlaces carbono de las
moléculas. Por ejemplo, las moléculas de agua son relativamente pequeñas y tienen una polaridad elevada,
por lo que se adsorben en forma preferencial en adsorbentes tales como las mallas moleculares. Estos adsorbentes son útiles para secar gases y líquidos; las
mallas moleculares se utilizan para separar parafinas
normales de corrientes de hidrocarburos en refinerías de
petróleo, que se usan en la fabricación de detergentes
biodegradables.
Los procesos que retienen solutos en sólidos por diferentes medios, están muy relacionados con la adsorción. Uno de dichos procesos es el de intercambio
iónico, donde el soluto se retiene por el efecto de una
reacción química con la resina sólida de intercambio
iónico (1, 6). Como el nombre lo dice, los iones que se
encuentran en una solución pueden eliminarse mediante este proceso, el cual se utiliza mucho para producir
agua de gran pureza. Otras aplicaciones incluyen la recuperación de antibióticos de caldos de fermentación y
la separación de tierras raras.
La formación de clatratos es un fenómeno físico que
se aplica para separar mezclas con base en su forma
molecular. El clatrato sólido atrae y retiene a las moléculas que tienen una forma molecular determinada. Por
ejemplo, por medio de un proceso industrial se separa
paraxileno de metaxileno , mediante un compuesto clatráticos que atrapa al primero. Estos dos compuestos
tienen propiedades físicas y químicas muy parecidas,
por lo que no pueden emplearse técnicas de separación
convencionales. El compuesto clatrático puede considerarse como un tipo particular de adsorbente.
Las resinas de intercambio iónico, las mallas moleculares y los compuestos clatráticos son relativamente costosos si se les compara con adsorbentes de tipo convencional, como son el carbón activado y la sílica gelatinosa. Por ello, estos adsorbentes especiales se emplean en
separaciones que no pueden realizarse por métodos
convencionales . Estas separaciones especiales se llevan
a cabo en procesos intermitentes con adsorbentes de
lecho fijo, en lugar de utilizar equipo de etapas múltiples
o de contacto continuo.
Las operaciones de transferencia de masa que implican la transferencia hacia una fase sólida, se conocen
también como procesos de absorción e incluyen a todos
los tipos de fuerzas de atracción de los sólidos.
Es posible separar una mezcla de varios sol utas adsorbibles utilizando un lecho fijo de adsorbente . Primero, se alimenta un pequeño volumen de la mezcla al
lecho que se adsorbe por completo cerca de la entrada.
Entonces, se pasa un flujo continuo de disolvente a través del lecho. Parte de la mezcla se desabsorbe yavanza con el disolvente. La velocidad a la cual avanza cada
soluto sobre el lecho, depende de su adsorción de equilibrio en el sólido. Si el adsorbente retiene fuertemente a
un componente, éste pasará con lentitud a través del
lecho, mientras que un componente que se adsorbe poco, avanzará con mayor rapidez. Como resultado, los
componentes saldrán del lecho en tiempos diferentes y
podrán separarse. Este proceso de separación recibe el
nombre de cromatografía (8). La separación por
cromatografía es un método de análisis químico para
muestras pequeñas. Tiene pocas aplicaciones a gran escala. La separación de tierras raras por intercambio iónica que se mencionó con anterioridad, es ejemplo de una
separación cromatográfica.
Separaciones por membrana
Algunos procesos de separación involucran la transferencia de masa a través de una membrana plástica delgada
(1). Aunque estas operaciones tienen relativamente
poca aplicación, son promisorias para problemas especiales de separación. La teoría de la separación por
membranas aún no se desarrolla por completo, pero como primera aproximación, puede considerarse que es
un efecto del tamaño molecular. Las moléculas más pequeñas pasan con mayor facilidad a través de los poros
de una membrana. Como resultado, si se utiliza una
fuerza motriz para "empujar" las moléculas a través de
la membrana, las moléculas más pequeñas se separarán
selectivamente. Algunas moléculas mayores también
pasan, por lo que la separación no es perfecta.
La diálisis es un proceso de separación en el que la
masa se transfiere a través de una membrana por efecto
de un gradiente de concentración, que actúa como
fuerza motriz (13). En su mayor aplicación industrial,
que es la fabricación de rayón viscoso, el hidróxido de
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OPERACIONES DE TRANSFERENCIA DE MASA 33
sodio se separa de una solución acuosa que también
contiene hemicelulosa. La solución fluye por un lado de
la membrana, mientras que por el otro fluye agua pura.
La diferencia de concentraciones entre la solución y el
agua pura, obliga al hidróxido de sodio a pasar a través
de la membrana, pero la hemicelulosa se encuentra en
suspensión coloidal en la solución y es demasiado grande para pasar a través de los poros de la membrana. La
diálisis también se utiliza para recuperar ácido sulfúrico
de aguas de desecho en las refinerías de cobre, así como en la purificación de sangre en riñones artificiales.
La electrodiálisis utiliza una diferencia de potencial
eléctrico como fuerza motriz, para iones en solución (5).
Los iones positivos pasan a través de membranas apropiadas al sentir la atracción de la terminal negativa,
mientras que los iones negativos, viajando en dirección
contraria, atraviesan una membrana para llegar a la terminal positiva. De esta forma, pueden eliminarse tanto
los iones positivos como los negativos.
La electrodiálisis se utiliza para recuperar ácido gastado y para eliminar la sal del agua de pozos salobres.
También puede llegar a ser útil en la purificación de
agua de mar, si se reducen los costos de las membranas
y la energía.
Tanto la diálisis como la electrodiálisis implican la
transferencia de masa a través de una membrana, de
una fase a una segunda fase. Son ambas por completo
miscibles, por lo que la membrana también sirve para
evitar que las fases vuelvan a mezclarse.
Un proceso de separación por membrana que se desarrolló recientemente, utiliza una diferencia de presión
para forzar a las moléculas de disolvente a través de la
membrana, mientras que las moléculas del soluto permanecen atrás. Este proceso no involucra la transferencia de masa entre las fases. Se parece más a la filtración, en donde las partículas sólidas en suspensión se
separan de un líquido, al forzar el paso de la mezcla por
un medio filtrante poroso, de tal forma que el líquido
pasa y el sólido queda retenido. El uso de una membrana permite "filtrar" soluciones homogéneas que no podrían separarse con un filtro ordinario. Por esta razón,
se le da el nombre de ultrafiltración. La presión que se
aplica debe exceder a la presión osmótica; en algunas
ocasiones, también se le llama ósmosis inversa a este
proceso (10).
Además de las moléculas grandes, pueden separar
algunas sales iónicas de bajo peso molecular, si se utilizan las membranas iónicas adecuadas. Las cargas de las
membranas sirven entonces para evitar el paso de iones
cargados, permitiendo únicamente el paso del disolvente. La ósmosis inversa se utiliza a gran escala para producir agua pura a partir de agua de mar.
La difusión gaseosa es una proceso de separación
que hace recordar a la ultrafiltración, aunque el mecanismo físico es diferente. En la difusión gaseosa, se
fuerza el paso de una mezcla gaseosa a través de una
barrera metálica porosa (2). El componente gaseoso de
menor peso molecular fluye con mayor rapidez a través
de la barrera, por lo que del otro lado de ésta, el gas se
enriquece en ese componente. Sólo una fracción del
gas que fluye hacia la barrera consigue atravesarla; el
resto, agotado en el componente ligero, se elimina para
un procesamiento posterior. Los costos de energía asociados con la compresión del gas son muy elevados, por
lo que la difusión gaseosa tiene una sola aplicación industrial de importancia: la separación del uranio 235 del
uranio 238. Existen plantas de difusión gaseosa con una
inversión de más de mil millones de dólares, destinadas
a la fabricación de U235 enriquecido, para los reactores
nucleares.
Otros procesos de separación
Un gran número de importantes operaciones unitarias,
involucra la separación de componentes de una mezcla,
pero no se acostumbra agrupar las operaciones con los
procesos usuales de separación.
La evaporación, cristalización y secado, se basan en
la transferencia simultánea de calor y masa. En la evaporación, se concentra una solución líquida al evaporar
parte del disolvente. Los requerimientos de calor son
grandes, puesto que debe suministrarse el calor latente
de vaporación del disolvente. La evaporación tiene
muchas aplicaciones industriales en dondequiera que
sea necesario concentrar soluciones. Lo que comúnmente se conoce como destilación de agua de mar, es
en realidad un proceso de evaporación para recuperar
agua potable.
Si se evapora una solución hasta alcanzar la saturación con el soluto, una evaporación adicional o un
enfriamiento, resulta en una precipitación de cristales
sólidos. Esto constituye la base física de la cristalización, una operación unitaria que se utiliza para separar
solutos de una solución. La cristalización se utiliza en la
industria para la fabricación de muchas sales inorgánicas. También puede usarse para separar mezclas de sales por cristalización fraccionada. La evaporación y cristalización se tratan con mayor detalle en el Cap. 19.
La operación de secado, separa un líquido de un sólido por vaporización del líquido. Esta importante operación unitaria se estudia en el Cap. 18.
La deshumidificación separa un vapor de una fase
gaseosa, mediante el enfriamiento del gas hasta la condensación del vapor. Esta operación de transferencia de
masa es la base para el acondicionamiento de aire; se
trata en el Cap. 17.
Las mezclas de multifases pueden separarse en dos o
más fracciones mediante varias operaciones. En este
caso, la mezcla de fases debe ser heterogénea; esto es,
las fases deben diferenciarse físicamente una de otra,
aun cuando pueden estar finamente divididas e íntimamente mezcladas. Las mezclas de partículas sólidas
pueden separarse en diferentes tamaños por tamizado,
elutriación, criba o clasificación. Las partículas sólidas
pueden separarse de líquidos por filtración, centrifuga-
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34 PRINCIPIOS DE OPERACIONES UNITARIAS
ción O sedimentación. Las fases líquidas in miscibles
también pueden separarse por centrifugación, como en
un separador típico de emulsiones. Los sólidos pueden
separarse de los gases o líquidos y los líquidos de los
gases, mediante separadores de tipo ciclón. Estas operaciones no involucran transferencia de masa en el sen tido usual del término; por ello, no se les considera
como operaciones de transferencia de masa. Los componentes son físicamente distintos, por lo que se requiere un proceso mecánico para separarlos, más que
una operación de transferencia de masa. Las operaciones de separación mecánica se mencionan aquí para
enfatizar la gran variedad de principios físicos en los que
se basan las separaciones. Algunas de ellas se estudian
en el Cap. 22.
En esta sección se han descrito brevemente las operaciones unitarias con las que se separan los componentes de una mezcla. Las separaciones que pueden ser
descritas con el modelo físico de una etapa de equilibrio
se tratan en los siguientes capítulos. En la Parte 111 de
este libro se estudian muchos otros procesos de separación.
El concepto de etapas
Una etapa puede definirse como una unidad de equipo
en la cual se ponen en contacto íntimo dos fases distintas que después se separan mecánicamente. Durante el
contacto, varios componentes de la mezcla se redistribuyen entre las fases. Las dos fases resultantes alcanzan el equilibrio y tienen composiciones diferentes a las
que tenían las fases iniciales. Mediante el contacto y la
separación sucesivas de fases distintas (una operación
de multietapas), son posibles grandes cambios en la
composición de las fases. En una etapa de equilibrio, las
dos fases se mezclan durante un tiempo suficiente para
permitir que se establezca un equilibrio termodinámico
entre las fases que salen de la etapa. En el equilibrio no
existe cambio neto en la composición de las fases para
condiciones de operación fijas. En el equipo industrial
real resulta poco práctico permitir que el contacto dure
un tiempo suficiente y la mezcla sea perfecta para alcanzar el equilibrio. Por ello, una etapa real no produce un
cambio en composición tan grande como el de una etapa de equilibrio. La eficiencia de etapa se define como la
razón del cambio de composición para una etapa real a
la que se obtiene en una etapa de eq'uilibrio. Las eficiencias de etapa para equipos industriales van desde un pequeño porcentaje hasta cerca del 100%. Debido a que
una etapa de equilibrio da el mayor cambio posibe de
composición para un conjunto de condiciones de operación, recibe también el nombre de etapa teórica o ideal.
Aunque rara vez se obtienen las condiciones de equilibrio en el equipo real, el concepto de etapa de equilibrio
es útil en el análisis de operaciones en etapas. Como es
frecuente en el caso de la ingeniería química, el modelo
físico es una versión 'idealizada de una unidad real de
equipo.
El cálculo de los requerimientos de equipo para operaciones industriales de multietapas involucra casi
siempre la determinación del número de etapas de
equilibrio y la aplicación de eficiencias de etapa para determinar el número de etapas reales necesarias. La eficiencia de etapas es un "factor de corrección" para
trasladar el modelo físico de una etapa de equilibrio a la
aplicación práctica de etapas reales en un equipo industrial. Las eficiencias de etapa dependen de la velocidad de transferencia de masa y del tiempo y área de
contacto en una etapa única. Estos factores son funciones complejas de la geometría de la etapa y de las velocidades de flujo de las fases. La evaluación de eficiencias de etapa se estudia en el Cap. 16.
Equipo para operaciones en etapas
Los equipos para operaciones en etapas varían mucho
en tamaño y detalles de construcción, pero hay bastantes similitudes fundamentales. En general, cada etapa
de un equipo mezcla las dos fases que entran, a fin de
que el material pueda transferirse con la mayor rapidez
posible de una fase a la otra. Cada etapa debe separar
las dos fases resultantes, en forma tan completa como
sea posible y pasarlas a las etapas adyacentes. Algunos
equipos industriales pueden consistir en una etapa única, pero son más frecuentes las unidades que emplean
etapas múltiples con flujo a contracorriente de las dos
fases. La operación de multietapas permite mayores
cambios en la composición de las dos fases que la que
se alcanza con una sola etapa.
El equipo para mezclar y separar las dos fases, depende de las características físicas de las fases. La fase
L puede ser un líquido o un sólido finamente dividido; la
fase V puede ser un gas, un vapor o un líquido, dependiendo del proceso de separación. Los gases y líquidos
fluyen con facilidad de etapa a etapa, pero los sólidos
son más difíciles de transferir. Por esta razón, las operaciones de etapas en las que existe un movimiento de sólidos a contracorriente con una fase 11uida son menos
comunes. Los sólidos finamente divididos pueden llegar
a fluir, por lo que también esta técnica se utiliza para
mover sólidos. En otros casos, el sólido debe transferirse mecánicamente de etapa a etapa.
Por razones económicas, las etapas deben verificar el
contacto y la separación en la forma más simple posible ,
Por ejemplo, siempre que es posible se utiliza la fuerza
de gravedad para separar las fases y promover su flujo,
con objeto de evitar la necesidad de contar con equipo
costoso como pueden ser bombas o centrífugas. Por
otra parte, cuando la separación es difícil, el equipo caro
puede ser inevitable.
Contacto gas-líquido
La gran diferencia de densidad entre los gases y los
líquidos hace que la separación de fases sea relativa-
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OPERACIONES DE TRANSFERENCIA DE MASA 35
mente sencilla. Las dos fases pueden mezclarse burbujeando el gas a través del líquido. Las burbujas de gas se
separan del líquido formando una fase gaseosa continua
al alcanzar la superficie del líquido. Las etapas se construyen en una columna vertical, con objeto de que el
líquido tenga un flujo descendente de etapa a etapa por
gravedad. El gas fluye hacia arriba debido a la diferencia
de presión que se mantiene mediante un compresor, un
soplador o una caldera. Las etapas reales en una columna vertical se conocen como platos o platillos.
Se han sugerido, muchos tipos diferentes de platos
pero sólo consideraremos unos cuantos. Por muchos
años, los platos de capuchones fueron los más utilizados en las columnas de destilación y absorción. El capuchón (Fig. 2-2) tiene un diseño que dispersa la fase
gaseosa en pequeñas burbujas que atraviesan la fase
líquida. Evita que el líquido descienda por las entradas
de gas a bajas velocidades de gas. Los capuchones se
fabrican en diversas formas y en varios tamaños.
En la Fig. 2-3 se muestra un patrón de flujo típico en
una columna con capuchones. Aquí, el líquido fluye a
través del plato cayendo por el rebosadero al plato de
abajo. El gas fluye hacia arriba a través de los capuchones y el líquido. La Fig. 2-3 es una representación esquemática simplificada de una columna de capuchones.
En la Fig. 2-4 se muestra un plato de capuchones real.
Vista superior de un plato
Sello
del rebosadero
Rebosadero
Flujo de
líquido
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Flujo de gas
Fig. 2-3 Platos de capuchones con flujo cruzado para el contacto de dos fases líquidas. El gas fluye en el sentido que indican las flechas delgadas. El líquido fluye como lo indican las
flechas gruesas. Los capuchones dispersan el gas en el líquido.
Su disefio minimiza las fugas de liquido a través de las entradas
de gas.
Fig. 2-2 Capuchón desmontado. El tubo ascendente que se
muestra en la parte baja de la fotografía se sujeta al plato. El
gas fluye a través del tubo y llega al capuchón de donde sale
por las rejillas verticales, dispersándose en la fase líquida que
cubre las rejillas del capuchón. (Vulcan Mfg. Co.)
Las columnas de capuchones pueden operarse con alta
eficiencia en un amplio intervalo de velocidades de flujo
de las fases. La cantidad de líquido que puede escaparse a través de los canales de gas es pequeña y la altura
de líquido en cada plato puede mantenerse al nivel deseado . Como resultado, el contacto líquido-gas puede ser
satisfactorio para un amplio intervalo de velocidades de
flujo, de tal manera que es posible mantener eficiencias
relativamente constantes. Debido a que su costo es Ii-
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PRINCIPIOS DE OPERACIONES UNITARIAS
geramente alto, los platos de capuchones e5tán siendo
desplazados por otros tipos nuevos de platos, que se
describen más adelante.
Los platos perforados han alcanzado una gran popularidad en los últimos años debido a su simplicidad y bajo costo. El tipo más común de plato perforado es el plato de malla, tal como el que se muestra en la Fig. 2-5,
con flujo cruzado. Otro patrón de flujo que se emplea en
los platos de malla es el que se muestra en la Fig. 2-6.
Como el nombre lo indica, el plato de malla consiste en
una lámina metálica perforada con cientos de agujeros
redondos. Los agujeros son por lo general de 1/8 a 1/2
Fig. 2-4 Plato de capuchones con flujo cruzado. Las represas
(o vertederos) de lámina metálica que atraviesan el lado izquierdo y el lado derecho del plato que se muestra en la fotografia, mantienen al líquido en un nivel lo suficientemente elevado para cubrir las ranuras de los capuchones. El líquido fluye hacia abajo desde el plato superior cayendo en el lado izquierdo del plato que se muestra. Desde allí fluye por todo el
plato hasta el vertedero del lado derecho. El vertedero de
entrada mantiene el nivel del líquido cubriendo la parte baja
del rebosadero, de tal forma que el gas no puede establecer
cortocircuitos a través del rebosadero. El plato que se muestra
tiene 6 pies de diámetro interno y el material de construcción es
cobre. Se destina a una columna de destilación de 20 platos
que se usa en una planta vitivinícola. (Cortesía de Vulcan Mfg.
Co.)
Vista superior del pla'to
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Rebosadero
Flujo de
líquido
t
t
t
t
t
Fig. 2-5 Plato de malla con flujo cruzado. La fotografia
muestra la parte inferior del plato, con el rebosadero adaptado
al fondo. Los canales que van de la parte superior hasta el fondo proporcionan una mayor resistencia estructural, al igual
que los soportes que cruzan el plato en forma horizontal.
(Cortesía de Vulcan Mfg. Co.)
Flujo
de gas
t
Fig. 2-6 Platos de malla de disco y rosquilla para el contacto
de dos fases fluidas. Las flechas delgadas indican el flujo de
gas, mientras que las gruesas sefialan el flujo del líquido. El gas
se dispersa en el líquido, en cada plato, al pasar a través de los
pequefios agujeros del mismo.
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OPERACIONES DE TRANSFERENCIA DE MASA
plg de diámtero. El líquido fluye a través del plato y las
burbujas de gas suben a través de los agujeros. Cuando
se tienen altas velocidades de gas, el flujo de éste evita
que el Ifquido descienda a través de las perforaciones,
pero cuando la velocidad del gas es baja, es posible que
se produzcan fugas serias. Estas fugas o llanto, pueden
reducir significativamente la eficiencia de la etapa. Esta
es una limitación de las platos de malla que debe considerarse cuidadosamente durante el diseño.
Un desarrollo más reciente de platos perforados es el
de los platos de válvula. Las perforaciones en un plato
37
de válvulas se cubren con capuchones que se elevan, tal
como se muestra en la Fig . 2-7. Los capuchones se elevan cuando el gas sube a través de las perforaciones,
cayendo a su lugar para tapar la perforación cuando el
flujo de gas disminuye . De esta forma, el llanto se reduce de manera significativa cuando el flujo de gas es bajo. Además, los capuchones dirigen al gas en sentido
horizontal hacia el líquido, con lo cual se obtiene un mayor mezclado que en los platos de malla, en donde el
gas pasa directamente hacia arriba a través del líquido .
Las perforaciones en un plato de válvulas son con fre-
Fig.2-7 Capuchones de válvula -se muestrall dos tipos- oA medida que se reduce el flujo
de gas, los capuchones caen hacia la superficie del plato, sellando la abertura para el flujo del
líquido. (a) Modelo A-l. (b) Modelo V-l. (Cortesía de Glitsch, Inc.)
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38
PRINCIPIOS DE OPERACIONES UNITARIAS
Fig. 2-8 Corte de una columna con platos de válvula para
flujo cruzado. (Cortesía de Glitsch, Inc.)
cuencia, mayores que en los platos de malla -tan grandes que llegan a tener un diámetro de 1 % plg .
En la Fig . 2-8 se muestra una columna típica de platos
de válvulas con flujo cruzado. Los platos de válvulas
pueden operar en un intervalo de velocidades de flujo
mayor que el de los platos de malla. Su costo se encuentra entre el de los platos de malla y el de los platos
de capuchones. Las eficiencias de etapa son altas y
aproximadamente constantes para un intervalo amplio
de velocidades de gas. Los platos de malla y de válvulas
han logrado desplazar a los platos de capuchones en
muchas aplicaciones.
El diseño de equipo para el contacto líquido-gas involucra problemas complejos de mecánica de fluidos. Las
Refs, 7, 9 y 12 proporcionan procedimientos detallados
de diseño para columnas de multietapas. Aquí se da
únicamente un breve resumen de los problemas. La función principal de un plato es lograr un contacto íntimo
entre el gas y el líquido. El espacio que se encuentra inmediatamente arriba del plato debe estar lleno de una
mezcla líquido-gas con gran agitación. Por ello, debe
existir un espacio para que las dos fases puedan separarse .
El diámetro de un plato depende en primer lugar del
volumen de la fase gaseosa que sube a través de la
torre. Es poco deseable contar con una velocidad eleva-
da del gas a través de los platos, debido a que origina
una mayor caída de presión para el gas. Una gran caída
de presión puede requerir de una distancia mayor entre
los platos para la carga hidráulica necesaria, destinada al
flujo descendente del líquido de plato a plato. La caída
de presión en la fase gaseosa debe tener un valor especialmente bajo en las columnas que operan al vacío.
El líquido debe fluir a través del plato con una altura
tal que cubra en forma adecuada las salidas de gas para
todas las velocidades de flujo del mismo. Esto puede requerir de patrones de flujo complejos, con varias entradas y salidas en el caso de platos grandes. La Fig. 2-9
muestra un plato de válvulas con flujo dividido, mientras
que la Fig. 2-10 muestra un terraplén en un plato de 40
pies de diámetro, necesario para mantener una altura
del líquido razonablemente uniforme. La altura del
líquido se controla con la velocidad del flujo del mismo y
la altura del vertedero de salida. La caída de presión de
la fase gaseosa, también depende de la altura del líquido
sobre las salidas de gas. Por lo anterior, la altura del
líquido debe ser suficiente para cubrir las salidas, pero
no debe ser excesiva, debido a que puede originar
caídas de presión no deseadas.
El arrastre es el acarreo de gotas de líquido en la fase
gaseosa, hacia el plato superior. Dicho arrastre resulta
indeseable debido a que disminuye la eficiencia de la
etapa. El arrastre ocurre cuando las velocidades de flujo
de gas son muy elevadas, por lo que el diámetro de la
columna debe ajustarse para que la velocidad de gas no
origine arrastre (para un gasto de masa específico). El
arrastre tiende a disminuir la eficiencia de etapa y en
consecuencia, se requieren etapas adicionales para lograr la separación deseada. Para evitar el arrastre puede
ser necesario utilizar una columna de mayor diámetro.
Por ello, resulta necesario establecer un balance económico entre el número de platos y el diámetro de la columna cuando se determina hasta qué grado debe eliminarse el arrastre.
Aunque una espuma en un plato puede dar lugar a un
área mayor de superficie líquido-gas, con la consiguiente alta velocidad de transferencia de ma.sa, la formación
excesiva de espuma puede llegar a llenar el espacio entre los platos, originando un mayor arrastre.
La inundación ocurre cuando existe un arrastre excesivo o bien, cuando se presenta un retroceso excesivo
del líquido en el rebosadero. La inundación resulta
cuando se intenta hacer pasar demasiado líquido o demasiado gas a través de la columna. Evitar la inundación
es un factor importante en la selección del diámetro de
una columna. El espacio entre los platos debe ser suficiente para minimizar el arrastre. En las columnas grandes, el espacio entre los platos debe ser de al menos 2
pies para permitir que el personal de mantenimiento se
meta entre lo platos. Una separación más grande entre
los platos, origina una altura mayor de la columna y en
consecuencia , mayores costos. De nuevo, es necesario
hacer un balance económico entre la separación de las
etapas y el arrastre. Una separación más baja da lugar a
una columna más pequeña y económica, pero causa un
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OPERACIONES DE TRANSFERENCIA DE MASA 39
Fig. 2-9 Plato de válvulas con patrón de flujo dividido. El líquido fluje del plato superior a
través de los rebosaderos, cayendo en las dos áreas rectangulares vacías que se muestran en la
figura. De ahí fluyen hacia los la"os en dirección a las orillas donde se encuentran los vertederos. (Cortesía de Glitsch, Inc.)
Fig. 2-10 Plato de válvulas con terraplén. Este plato tiene un diámetro tan grande (40 pies),
que se necesita un terraplén para asegurar una altura uniforme del líquido. La sección del plato al frente de la fotografía aún no se instala. El rebosadero del plato superior se encuentra
sobre el diámetro central, más allá del cual es posible observar 3 terraplanes de válvulas. La
malla de alambre, instalada y de manera parcial en el lado derecho, ayuda a eliminar las gotas
del líquido arrastradas por el gas del plato inferior. Los platos de este tamafio se utilizan en la
destilación de petróleo crudo. (Cortesía de Glitsch, Inc.)
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40 PRINCIPIOS DE OPERACIONES UNITARIAS
arrastre mayor que obliga a incrementar el número de
platos, así como la altura y el costo de la columna.
En los platos de malla, el tamaño y número de agujeros debe seleccionarse con cuidado. Los agujeros grandes causan caídas de presión más bajas pero producen
una dispersión mala de gas. Una gran área total de agujeros da lugar a una :aída da presión pequeña, pero
también a una velocidad baja de gas, que puede ser la
causa de un llanto excesivo.
Contacto líquido-líquido
En la extracción con disolventes, se deben mezclar y separar dos líquidos. En el contacto líquido-gas, la gran diferencia de densidades entre el líquido y el gas, hace
posible utilizar la fuerza de gravedad para promover el
flujo y dispersar el gas en el líquido; en la extracción, la
diferencia de densidad de las dos fases es pequeña, por
lo que la fuerza de gravedad resulta menos efectiva para
la dispersión de las fases. Los platos de capuchones y
los de válvulas no se utilizan en la extracción líquido-líquido, debido a que el flujo inducido por gravedad no
produce una dispersión adecuada de las fases. La fase
ligera que fluye hacia arriba a tra~és de los platos, no se
divide en burbujas suficientemente pequeñas al pasar
por los capuchones o por las válvulas.
Los platos de malla con rebosadero se utilizan mucho
para el contacto líquido-líquido, aunque la construcción
de la columna es diferente a la que se emplea para el contacto gas-líquido . Puede dispersarse ya sea el líquido
pesado o el ligero. El líquido que moja preferentemente
al plato debe ser la fase continua . De esta forma, la fase
dispersa se desprende del plato con facilidad, formando
pequeñas burbujas. En la Fig. 2-11a se muestra una sección de una columna típica, con la fase ligera dispersa.
Esta columna se asemeja a un equipo con platos de
malla para el contacto gas-líquido, con el líquido ligero
actuando en forma análoga al gas. Una columna en la
que se dispersa la fase pesada, es básicamente (Fig.
2-1 1bl una columna invertida en la que se dispersa la fase ligera. Esta sube por los rebosado res y la fase pesada
se dispersa debajo de cada plato. El diámetro de las perforaciQnes en un plato de malla oscila entre 1/8 y 1/4
plg. El número de perforaciones de un plato está
determinado por la velocidad de flujo total de la fase dispersa. Para lograr una buena dispersión, el líquido debe
tener una gran velocidad al pasar por los agujeros. La altura del líquido en el plato depende de la presión necesaria para alcanzar la velocidad de flujo que se requiere
para pasar por las perforaciones. Por ejemplo, en la Fig.
2-llb, la altura de la fase pasada por encima del plato,
debe ser suficiente para impulsar dicha fase a través de
las perforaciones, a la velocidad requerida para lograr
una buena dispersión. El área del rebosadero se selecciona de tal forma que la velocidad de flujo de la fase
dispersa, sea lo suficientemente baja para prevenir que
caigan en él gotas de la fase dispersa. En la Fig. 2-1 se
muestran dos grandes columnas de extracción de multietapas.
Salida
del líquido
ligero
Salida
del líquido
ligero
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Entrada
del líquido".-----J
pesado
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del líquidopesado
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Entrada
Entrada
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de líquido
ligero
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Salida del líquido
pesado
4
Salida del líquido
pesado
Fig. 2-11 Columnas de platos de malla para la extracción
líquido-líquido. (a) Fase ligera dispersa; (b) fase pesada dispersa.
Se utilizan mezcladores mecánicos para lograr una
mayor dispersión de las fases que la que se logra en
una columna con platos de malla. Después de mezclarse, las dos fases se pasan a un sedimentador en el que
se permite su separación, por medio de una sedimenta ción por gravedad. Estos equipos reciben el nombre de
mezclador-sedimentador, En la Fig. 2-12a se muestra el
diagrama esquemático de uno de estos equipos. Los
mezcladores-sedimentado res se utilizan en serie para
obtener una separación de multietapas (Fig. 2-12bl.
El grado de mezclado puede variar en forma independiente, cambiando la velocidad y forma de impulsor.
Aunque resulta deseable lograr un mezclado total, en
ocasiones, cuando el mezclado es demasiado vigoroso,
se forma una emulsión que no puede separarse por sedimentación. El tamaño del tanque sedimentador se
determina por medio de las velocidades de flujo y la rapidez con que se sedimenta la fase dispersa. Si las densidades de las fases son casi iguales, la sedimentación
es muy lenta, por lo que se requiere usar una centrífuga.
Esta suministra una fuerza mucho mayor que la de gravedad. Las emulsiones también pueden separarse con
centrífugas (véase el Cap. 22).
Se pueden emplear varios sistemas de flujo en los
mezcladores-sedimentado res. Las etapas pueden ordenarse en sentido vertical para un flujo por gravedad de
ambas fases, Un sistema en etapas, como el que se
muestra en la Fig. 2-12b, puede usarse para flujo por
gravedad cuando las unidades son demasiado grandes
para un sistema vertical, Los sistemas horizontales requieren el bombeo de una o ambas fases. El mezclador-
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OPERACIONES DE TRANSFERENCIA DE MASA
Salida de la
fase V
Entrada ' ....----',r---,J
de la fase L
ImpUlso~rEntrada de la fase
- V (fase ligera)
Entrada de
la fase L
..
(fase pesada)
, ~
~~
,~~
~
fase V .
ji
~
-+- Salida de la fase V
Entrada de la
fase V
"
~
\¡
41
\
\
fase L
(a)
Salida de la
fase L
Salida de la fase L
(b)
Fig. 2-12 Mezcladores-sedimentadores para la extracción líquido-líquido. Las dos fases que
entran se mezclan completamente por medio del impulsor. La mezcla flu ye hacia el tanque sedimentador, en donde se permite que las dos fases se separen por la acción de la gravedad. (a)
Etapa simple de un mezclador-sedimentador. (b) Sistema multietapas de mezcladorsedimentador. [Cortesía de B. L. Copian y cols., Chem. Eng. Prog., 50 Págs. 403 (1954).]
sedimentador con "bomba de mezclado" (Fig. 2-13) utiliza al impulsor para mezclar y promover el flujo de etapa a
etapa. Los mezcladores-sedimentadores son populares debido a que cuando se logra una buena mezcla, es
posible obtener altas eficiencias de etapa (90 a 100%).
Sin embargo, el uso de bombas accionadas con motores y de tanques sedimentado res separados, incrementa
el costo por etapa en comparación con los platos de
malla. El diseño de equipo para el contacto líquidolíquido se estudia en fas Refs. 7 y 11.
Alimentación
del sólido granular
¡
Alimentación
del disolvente
fresco
Contacto sólido-fluido
El contacto de un sólido granular con un líquido o un
gas en un sistema continuo de multietapas, se complica
por los problemas que introduce el transporte de una fase sólida de una a otra etapa. El sólido puede moverse
íFlecha del impulsor
)
Extracto intermedio
Extracto final
Fin del sedimento
Fin de mezcla
Fin del sedimento
Fig. 2-13 Mezclador-sedimentador con "bomba de mezclado" . Este corte posterior muestra tres etapas adyacentes. Las
dos fases se mezclan por medio del impulsor de una bomba y
después se permite que se separen en el lado opuesto de la etapa. Para simplificar el patrón del flujo, los impulsores se encuentran en los extremos opuestos de tapas adyacentes. El impulsor no sólo mezcla las fases , sino que también promueve el
flujo de las fases entre las etapas.
Fig. 2-14 Extractor de tipo canasta. El extractor Bollman se
utiliza mucho para extraer el aceite de las semillas (como las de
soya). Las semillas se alimentan a canastas perforadas que rotan en una banda continua. Las canastas se descargan en la
parte más alta del ciclo, inmediatamente antes de volverlas a
llenar. El disolvente fresco fluye a contracorriente de las
canastas que suben del lado izquierdo. El extracto intermedio
se colecta en el fondo en lado izquierdo y se bombea a la parte
superior derecha, en donde se atomiza sobre las canastas descendentes. El flujo del lado derecho es en paralelo. El extracto
final se filtra para eliminar las partículas sólidas. Un extractor
de este tipo sirve para procesar 405 ton/ día de soya. Consta de
38 canastas, cada una de las cuales tienen 6.5 pies de longitud,
2.3 pies de ancho y 1.8 pies de profundidad (3).
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42
PRINCIPIOS DE OPERACIONES UNITARIAS
en canastas, tal como se muestra en la Fig. 2-14. El
patrón de flujo resultante es en etapas, pero sólo la mitada del sistema opera a contracorriente. Un sólido finamente dividido puede fluir como un líquido o gas bajo
condiciones apropiadas, tal como se describe en el Cap.
22. Esto suele implicar un flujo de gas o de líquido a través del sólido, con objeto de "fluidificarlo". El principio
de la fluidificación de sólidos se aplica al diseño de algu~
nos equipos para el contacto sólido-líquido. Un adsorbedor industrial grande utiliza un adsorbente que se
fluidifica con gas en cada una de sus cinco etapas (Fig.
2-15). Para separaciones sólido-líquido a gran escala,
como las que se observan en el enriquecimiento de minerales, se utilizan espesado res continuos (Cap. 22). La
fase sólida sale de la etapa formando una suspensión
con el agua.
Para concluir el estudio sobre el equipo de multietapas, es necesario reiterar que sólo hemos considerado el
equipo en etapas. Muchos de los procesos de separación pueden utilizar también equipo de contacto continuo, que se estudia en el Cap. 16.
REFERENCIAS
Aire a la atmósfera
50-100 ppm Cs,
20 ppm ~S
Transportador
de carbón
l
---3>-
Colector
de polvo.
Adsorbedor
Elevador
de
carbón
Recirculación
de carbón
500001b/h
t
carbón
Entrada de aire
250 000 pies3 /min
1000 ppm Cs,
30 ppm ~S
Enfriador
secador de
carbón
~
Transportador de
carbón
1. A.l.eh.E., Chem. Engr. Prog. Symp. Series, No. 24
(1955).
2. Benedict, M., and T. H. Pigford, Nuclear Chemical
Engineering, McGraw-Hill, New York (1957).
3. Kenyon, R. L., N. F. Kruse, S. P. elark, Ind. Eng.
Chem., 40, p. 186 (1948).
4. Li, N. N., Recent Developments in Separation Science,
eRe Press, eleveland (1972).
5. Mintz, M. S., Ind. Eng. Chem., 55, No. 6, p. 18 (1963).
6. Nachod, F. e., and V. Schubert, eds., Ion Exchange
Technology, Academic Press, New York (1960) .
Fig.2-15 Operación de un adsorbedor de cinco etapas a contracorriente. Este adsorbedor recupera el disulfuro de carbono
del aire de salida de una planta de viscosa. La viscosa se fabrica tratando la celulosa con hidróxido de sodio y di sulfuro de
carbón (CS 2). El aire de la planta contiene 1000 ppm de CS 2 en
volumen, por lo que es necesario adsorberlo en carbón fluidificado para reducir la concentración aSO-lOO ppm. En el diagrama de flujo simplificado, se inchiyen datos de proceso.
En la fotografía, el tanque negro que se encuentra al lado
izquierdo de la estructura, es el tanque de almacenamiento de
carbón. La columna de color claro y gran diámetro que se encuentra debajo de la parte superior de la estructura, es la sección de adsorción. Cada una de las etapas tiene un diámetro de
38 pies y está cubierta con 2 a 3 plg de carbón fluidificado . El
equipo que se encuentra a la derecha del recipiente en el que se
almacena el carbón, utiliza vapor de alta temperatura para eliminar el disulfuro de carbono del carbón sólido. El disulfuro
de carbono se recupera del vapor por condensación, seguida de
una separación mecánica de los líquidos inmiscibles.
En la chimenea alta del lado izquierdo de la estructura se
utiliza el escape del aire de la planta cuando el adsorbedor no
está en operación. Se muestra también el diagrama de flujo del
proceso. (Courtaulds, Ltd., Coventry, Inglaterra.)
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OPERACIONES DE TRANSFERENCIA
7. Perry, R. H., and C. H. Chilton, Chemical Engineers
Handbook, McGraw-Hill, New York (1973).
8. Schoen, H. M. ed ., New Chemical Engineering Separation Techniques, Wiley I nterscience, New York
(1962).
9. Smith, B. D., Design of Equilibrium Stage Processes,
McGraw-Hill, New York (1963).
10. Sourirajan, S., Reverse Osmosis, Academic Press, New
York (1970).
11. Treybal, R. E., Liquid Extraction, 2nd ed., McGrawHill, New York (1968).
12. Van Winkle, M., Distillation, McGraw-Hill, New York
(1967).
13. Vromen, B. H., Ind. Eng. Chem., 54, No. 6, p. 20
(1962).
PROBLEMAS
2.1 . ¿ Cuál es el principal objetivo que se persigue al utilizar
equipo de multietapas para el contacto de dos fases fluidas?
2.2. ¿ Cuál de los siguientes sistemas puede considerarse
como una etapa? Describa cualquier tipo de transferencia de
masa que ocurra.
(a) Tres corrientes de diferentes composiciones alimentan
a un tanque grande, en donde se mezclan por completo. La
mezcla resultante se divide en dos fases que se separan al salir
del tanque.
(b) En un tanque con agitación se introducen por separado agua y sal sólida. La sal se disuelve por completo y la solución resultante se retira con la misma velocidad a la que se
adicionan el agua y la al.
(c) Se alimenta soya molida a un tanque. También se alimenta al tanque un disolvente orgánico, que disuelve el aceite
de la soya. La solución oleaginosa sale por la parte superior del
43
tanque, mientras que el residuo libre de aceite, se retira por el
fondo.
(d) A través de un tanque de agua caliente, se hacen pasar burbujas de aire. El aire que emerge de la superficie del
agua se encuentra saturado con vapor de agua .
2.3. Describa con sus propias palabras, la diferencia que
existe entre la absorción de gases y la destilación.
2.4. ¿Cuál es la diferencia entre la absorción y la adsorción
de gases?
2.5. Describa el equipo que puede emplearse para llevar a
cabo cada una de las siguientes transferencias de masa. Mencione el nombre de cada operación unitaria involucrada.
(a) Se va a eliminar el aceite de la semilla de lino molida,
lavando la semilla con un disolvente organico.
(b) Se va a separar una solución de alcohol metílico y
agua, en componentes más o menos puros, por contacto de
multietapas de las fases líquida y vapor que contienen estos
componentes.
(c) El benceno se elimina del hidrógeno por contacto de la
mezcla gaseosa con un hidrocarburo no volátil.
(d) Se va a eliminar el ácido acético de una solución acuosa, poniendo a ésta en contacto con un líquido orgánico que
disuelve preferencial mente al ácido acético. El líquido orgánico
tiene casi la misma densidad que la solución acuosa.
(e) Se eliminan compuestos de azufre de un aceite lubricante, por contacto del aceite con fenol líquido.
(f) Se elimina sulfuro de hidrógeno del agua, por contacto
de la solución con aire caliente.
2.6. En los últimos años, los platos perforados han desplazado a los platos de capuchones en la mayor parte de las
aplicaciones de la destilación. ¿A qué atribuye usted este importante cambio? ¿Qué posibles desventajas ve en los platos
perforados, en comparación con los platos de capuchones?
¿Qué ventajas?
2.7. Una columna de destilación se encuentra operando a
200 o F cuando la operación se detiene repentinamente. ¿Qué
pasa con el líquido de los platos (Fig. 2-6). ¿Qué le pasa al
vapor que está entre los platos?
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Tres
Relaciones de Fases
Como se comentó en el Cap. 2, la elección de la operación de transferencia de masa que va a utilizarse para
efectuar la separación de una mezcla de multicomponentes depende de la factibilidad de la operación, de la
aplicación de la teoría fisicoquímica y de la economía. El
tamaño de la operación unitaria que se requiere y con
ello, su costo y operabilidad, pueden calcularse partiendo del conocimiento de las limitaciones del equilibrio de
fases y de la velocidad de transferencia que pueda obtenerse. Este capítulo considera las bases teóricas que se
emplean en la predicción de la composición de las fases
en equilibrio, así como también presenta algunas relaciones empíricas que se utilizan para correlacionar datos
de equilibrio de fases, mostrando algunos ejemplos típicos de datos disponibles. A partir de este tipo de información pueden efectuarse los cálculos de diseño. Estos
cálculos requieren con frecuencia, además de las composiciones de equilibrio, el conocimiento de las variaciones que sufren los valores de equilibrio cuando se
modifican la temperatura y la presión.
Gibbs definió al potencial químico en términos de las
funciones termodinámicas fundamentales (11). Cualitativamente, expresa la tendencia del componente a salir
de la fase o estado químico de referencia. Puede decirse
que es una medida de la inestabilidad del componente.
Otros investigadores mostraron posteriormente, que
la fugacidad (definida por la relación ¡.ti = RTln f; +
donde f; tiende a Pi a medida que Pi se aproxima a cero,
y el parámetro
es una función de la temperatura)
puede sustituir al potencial químico; entonces
e,
e
f, , = f, " = f 1 ",
(3-2)
La fugacidad tiene muchas ventajas sobre el potencial
químico, entre las que destaca el hecho de que la fugacidad puede relacionarse con propiedades físicas medibles.
Si el número de variables en un sistema de varios
componentes en equilibrio entre diversas fases se relaciona con el número de ecuaciones que las describen,
tal como se mencionó con anterioridad, el resultado es
BASES GENERALES DEL EQUILmruo
DE FASES
F=C+2-P
(3-3)
donde
Antes de estudiar las relaciones de fases para sistemas
específicos, se resumirán las bases generales del equilibrio de fases. El análisis cuantitativo del equilibrio de fases se basa en el trabajo de J. Willard Gibbs, que se presenta en todos los textos básicos de termodinámica (1,
11, 13). El mostró que el equilibrio entre fases requiere
un balance de todos los potenciales, incluyendo no sólo
P y T, sino también el potencial químico de cada componente en cada fase. Por ello, a P y T constantes, la
restricción de equilibrio para un solo componente es
p,
, = p, " = p, ,,,
(3-1 )
donde
¡.t
= potencial químico; el subíndice se refiere al
componente; el superíndice se refiere a la
f ase.
F = número de variables intensivas que pueden
variar de manera independiente.
e = número de componentes del sistema
P = número de fases en el sistema.
Una fase puede definirse como una porción física distinta y homogénea de un sistema, ya sea un sólido, un
líquido o un gas. Pueden coe~istirmuchas fases sólidas
y líquidas, pero debido a que los gases son totalmente
miscibles entre sí, únicamente puede haber una fase gaseosa. Una variable intensiva es independiente de la
cantidad total de la fase. Por ejemplo, la temperatura,
presión y composición de una fase, son variables intensivas. Por otro lado, el volumen total de la fase depende
de la cantidad y por ello es una variable extensiva. En
forma similar, la composición global de un sistema con
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46
PRINCIPIOS DE OPERACIONES UNITARIAS
varias fases, dependen de la cantidad de cada fase y, en
consecuencia, es una variable extensiva. Para el equilibrio de fases, el número de componentes de una fase
puede definirse como el número mínimo de especies
químicas necesarias o para preparar la fase.
La regla de las fases es útil para predecir el número de
variables intensivas que pueden variar de manera independiente en cualquier sistema. Por ejemplo, considere
el agua líquida. Ya que es pura,
= ,. Para una fase
líquida, P = 1, Y entonces, de acuerdo con la Ec . 3-3, F
= 2. En consecuencia, es posible variar tanto la temperatura con la presión de una fase líquida pura. Al considerar una mezcla de agua y vapor en equilibrio se
observa que
= 1, P = 2 y F = 1. Unicamente puede
variar una propiedad intensiva de manera independiente . Si se especifica la temperatura, la presión queda fija
automáticamente.
Si se aplica la regla de las fases a una mezcla vaporlíquido de etanol yagua en equilibrio, se encuentra que
= 2, P = 2 y F = 2. En este caso, es posible fijar dos
variables. Este par de variables puede ser cualquier
combinación de temperatura, presión y concenlración
de las fases. Por ejemplo, si se especifican la composición y presión de una fase, la temperatura queda fija. La
aplicación de la regla de las fases, será útil para considerar los sistemas específicos que se tratan en el resto de
este capítulo.
El cálculo para la destilación y la absorción de gases,
requiere del conocimiento del equilibrio gas-líquido. De
esta forma, la Ec. 3-2 se transforma en
e
e
nente puro con la fugacidad del componente en una
mezcla de líquidos "ideales" y se define un coeficiente
de actividad y. como el cociente de la fugacidad de a en
una solución real a la que tendría en una solución ideal,
la fugacidad de un líquido es:
(3-4b)
donde
p. = presión de vapor de a a la temperatura de
equilibrio
X
= fracción mol de a en el líquido
Al combinar las Ecs. 3-2a, 3-4a y 3-4b, se obtiene la relación general para el equilibrio vapor líquido.
(3-4)
e
(3-2a)
La fugacidad de la fase gaseosa podría reemplazarse por
la presión parcial de gas a la presión considerada cuando el comportamiento es ideal a presiones muy bajas . Es
conveniente utilizar un término de corrección que relacione el comportamiento real de un gas con este comportamiento ideal. Entocnes.
(3-4a)
donde
Ya = fracción mol * de a en el vapor
(L)·
P r
= razón de la fugacidad de a a la presion
total
P = presión total
La fugacidad de la fase líquida será igual a la fugacidad
de la fase gaseosa a la presión de vapor de a puro, ya
que el equilibrio se establece a esa presión. Si considera
que la fracción mol relaciona la fugacidad del compo-
* La unidad de cantidad molar es el gramo-mol en el sistema métrico tradicional. En el sistema internacional, la cantidad correspondiente es el MOL El apego estricto a esta abreviatura evita la confusión
entre gramo-mol y libra-mol.
Los ingenieros químicos especializados en termodinámica han dedicado una gran parte de sus esfuerzos para
aplicar el conocimiento obtenido de la fisicoquímica con
el fin de predecir la fugacidad del coeficiente (fI PI. así
como el coeficiente de actividad y. para las propiedades
moleculares fundamentales. Este esfuerzo ha tenido
éxito en el caso de componentes simples que no se asocian. Cuando se pueden ignorar las no idealidades de
una fase líquida, por ejemplo, en los componentes no
polares pertenecientes a series homólogas (los hidrocarburos ligeros son un caso típico), y. = 1. Contando con
esta información se procede a determinar el coeficiente
de fugacidad. Debido a que este parámetro es una función de las propiedades de la fase gaseosa, puede calcularse a partir de una ecuación de estado de la fase
gaseosa. Se han desarrollado ecuaciones de estado precisas, por lo que esto puede hacerse sin dificultad (1,
13). Una ventraja particular que resulta de lo anterior, es
que el equilibrio vapor-líquido puede expresarse analíticamente y desarrollarse en programas de computadora.
Cuando hay no idealidades en la fase líquida, es necesario determinar el coeficiente de actividad a partir de
información sobre los campos de fuerza intermoleculares, o bien, correlacionar empíricamente los datos experimentales. Ambos métodos son bastante comunes. Un
enfoque combinado que se emplea con éxito a bajas
temperaturas, es el que presenta Zellner (14). Prausnitz
(11) presenta las bases teóricas de éste y otros trabajos .
Si la fase gaseosa se comporta como un gas ideal,
(fl PI. = 1 y si la fase líquida es una solución ideal, y. =
1. En este caso, la ley de Raoult resulta en
(3-5)
Estas ecuaciones indican que el vapor que se desprende
de una mezcla líquida, será una mezcla de los mismos
componentes que forman el líquido. Por lo general, el
vapor será más rico en el componente que tiene una
mayor presión de vapor a la temperatura en que ocurre
la vaporización. Nunca se evaporará un componente
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RELACIONES DE FASES 47
puro a partir de una mezcla líquida, aunque en el caso
extremo, la presión de vapor de uno de los componentes puede ser tan baja que el componente será no volátil
para fines prácticos.
La ley de Raoult sólo es precisa para predecir el equilibrio vapor-líquido de una solución ideal en equilibrio,
con una mezcla de gases ideales. Las soluciones que
muestran una desviación insignificante de la idealidad,
incluyen aquellas cuyos componentes tienen estructuras y propiedades físicas similares, tales como bencenotolueno, propano-butano y metanol-etanol. La ley de
Raoult muestra que las composiciones de una mezcla
en equilibrio, dependen de la presión total del sistema y
de las presiones de vapor de los componentes. Las presiones de vapor varían con la temperatura, pero no con
la composición o presión total.
En los cálculos de ingeniería, con frecuencia es conveniente expresar el equilibrio de fases mediante la relación.
(3-6)
donde K; es una constante que se determina en forma
experimental. Normalmente, K. sólo depende, parcialmente de la concentración, aun en sistemas que no
obedecen la ley de Raoult; se acostumbra lIamarlo el
"valor K".
En muchos sistemas, la presión de vapor del soluto
en una solución muy diluida puede utilizarse en la fórmula de Raoult como una constante aplicable en un intervalo significativo de concentraciones. Esto es la base
de la ley de Henry, que con frecuencia se expresa.
Pa = H ea
(3-7)
donde
p, = presión parcial de a en el vapor
H = constante de la ley de Henry, medida de
ea
1.0
Q)
e
0.8
Q)
c::
(;
o
c. c.
E t1l
o >
o
Qi
-c
Qi 0.6
c::
(5
.;:::
E
.t1l
Q)
(5
c::
>
'0
~
Acetona-cloroforrnof
rJ>
.t1l
'ü
o
E
'>'!
0.2
0.4
0.6
1.0
0.8
x., fracción mol, del componente más volátil en el líquido
Fig. 3-1 Curvas de equilibrio líquido-vapor a presión atmosférica (5). (Con permiso de la Amer. Chem. Soc.; copyrigth©
1949.) (9). (Con permiso del Amer. Inst. of Chem. Eng.;
copyright © 1953.)
La Ec, 3-9 define la volatilidad relativa (aab) del componente a con respecto a b. Para sistemas que no obedecen la ley de Raoult, la volatilidad relativa se define
como aab = K; / Kb' La volatilidad relativa es constante
cuando se cumplen la ley de Henry o la ley de Haoult. En
otros casos varía con la composición. La Fig. 3-1 muestra datos de composición líquido-vapor para dos sistemas en los que la volatilidad relativa es constante y
también para dos sistemas en los que la volatilidad relativa varía con la composición. Los sistemas que se
muestran en la Fig. 3-1, se encuentran a presión constante, pero la temperatura varía con la composición. La
variación de temperaturas se muestra en las Figs. 3-2
y 3-3.
manera experimental
de a en el líquido.
= concentración
En un sistema binario (dos componentes), el componente que tiene la mayor presión de vapor a una temperatura dada, se conoce como el "componente más volátil", mientras que el componente con menor presión de
vapor se conoce como el "componente menos volátil".
Por convención, la composición de una mezcla binaria
se expresará como la concentración componente más
volátil.
Para sistemas binarios en donde a es el componente
más volátil y b es el componente menos volátil, suponiendo que la ley de Raoult es válida,
.Va Xb
e,
xa Vb
Pb
--=-
= Pa = Olab
Pb
«.
Soluciones.
(a) Las presiones de vapor se obtienen en una tabla de datos físicos (véase Apéndice
D-1)
Presión de vapor del pentano a 40°C
Presión de vapor del butano a 40 ° C
Presión total P
117kN/m2
373 kN/m2
300 kN/m2
(3-8)
Ya que Vb = 1 - Va Y Xb = 1 - Xa,
[Va] [~]
Xa 1 - Va
Ejemplo 3-1 Una mezcla de butano y pentano se
encuentra en equilibrio a 300 kN/m2 de presión y 40 °C.
Calcular las composiciones del líquido y el vapor: (a) utilizando la ley de Raoult y (b) utilizando los valores experimentales de
y la Ec. 3-6.
(3-9)
Para butano:
Ps
373
Vs = p Xs = 300xs
= 1.24xs
Para pentano:
Vp =
e;
117
P Xp = 300xp
= O.39xp
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48 PRINCIPIOSDE OPERACIONES UNITARIAS
Ya que sólo están presentes butano y pentano en el
líquido y en el vapor, XB + Xp = 1 Y YB + Yp = 1. Se
tienen ahora cuatro ecuaciones con cuatro incógnitas.
Resolviendo,
Vapor sobrecalentado
110
230
Ye + yp = 1 = 1.24xe
= 1.24xe
220
100 u
u..
o
~
o
210
lO
Z~
ZlO
Q;
al
a.
E
a.
E
200
al
al
t-
t-
90
Xe = 0.72
Ye = 0.89
Xp = 0.28
yp = 0.11
(b) Los valores experimentales de K a 300 kN/m2 y
40 De son, para butano KB = 1.2 Y para pentano Kp
0.38 (véase Apéndice D-2). Entonces,
Ve = 1.2 Xe
190
180
+ 0.39xp
+ 0.39( 1 - xe), etc.
Líquido subenfriado
y
Vp = 0.38xp
xp = 0.76
Ye = 0.91
Xp = 0.24
yp = 0.09
80
0,2
04
0,6
1.0
0,8
x" fracción mol benceno en el líquido
Va, fracción mol benceno en el vapor
Fig. 3-2 Diagrama composición-temperatura para el equilibrio líquido-vapor de benceno y tolueno a presión atmosférica.
La pequeña diferencia entre los valores de las partes (a)
y (bl, está dentro de la precisión con la que pueden leerse los datos de K y de presión de vapor. Por tanto,
puede decirse que las mezclas de butano y pentano
obedecen la ley de Raoult a una presión de 3 atm. En
general, las desviaciones de la ley de Raoult son mayores a presiones más elevadas.
100r----,-----.----,----,r----,-----.----,-----r---------,
~
90
lO
:;
1ií
Q;
a.
E
~ 80
70L-__ -L
0,1
°
~
_L
04
__~
0,2
0,3
~ __ ~
0,5
0.6
J_
0,7
L___~
0,8
__~
0,9
1.0
Fracción mol isopropanol
(a)
~
'"
Z 140
lO
Q;
a.
E
al
t-130L--L__ J-__ LL-L__~ __ L-~
0.2
0.4
0,6
°
x
__ _L __ ~~
0,8
Va, fracción mol acetona
(b)
Fig. 3-3 Diagrama composición-temperatura para mezclas que forman azeotropos a presión atmosférica (A) Sistema isopropanol-clorurode propileno a presión
atmosférica (5); (B) Cloroformo-acetona (5). (Con permiso de la Amer. Chem.
Soc., copyright © 1949.)
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RELACIONES DE FASES
Ejemplo 3-2 ¿Qué valor tiene la volatilidad relativa
del butano con respecto al pentano a 40 oC y 465
Ib/plg2 abs?
Solución Suponiendo que la ley de Raoult es válida a presiones elevadas, a partir de la Ec. 3-9, donde ~
= 373 kN/m 2 y Pp 117 kN/m 2,
A la temperatura correcta,
0.2 X 106
Ps
----+
49
Xs + XT + Xx = 1.0
0.3 X 105 0.5 X 105
+
= 1
PT
Px
= 373 x 10 = 3.18
s -p 117 X 103
Ahora, si la temperatura está fija, las presiones de vapor
pueden obtenerse del Apéndice D-l, con lo que puede
calcularse el lado izquierdo de la ecuación. Si el lado izquierdo no es igual al, debe probarse con un nuevo
valor de la temperatura.
Utilizando valores experimentales de K a 465Ib/plg2 abs
(Apéndice D-2), KB = 0.27, Kp = 0.10
Suponiendo que T= 40°C: Ps = 24.13 X 103 N/m 2 ;
PT = 7.58 X 103 N/m 2 ; Px = 2.96 X 103 N/m 2 •
0.27
0.10
0.2 x 105
0.30 X 105
- - - - -5 +----~5
0.24 X 10
0.076 X 10
5
+ 0.5x10
=21.67>1
0.0296 x 105
3
cx
CXs-p =--= 2.70
Esto indica que a dicha presión, las mezclas butanopentano muestran una desviación de la ley de Raoult de
aproximadamente 18%.
Una mezcla no hierve a una sola tempertura si se
mantiene a una presión total constante, en contraste
con el comportamiento de un líquido puro. La temperatura a la cual una mezcla líquida con una composición
dada inicia la vaporización al elevarse la temperatura se
conoce como punto de burbuja. De manera recíproca,
la temperatura a la cual una mezcla de vapor comienza a
condensarse al enfriarla, se conoce como punto de
rocío. Para un líquido puro, el punto de burbuja y el
punto de rocío son idénticos e iguales al punto de ebulli c
ción; un componente puro se evapora o condensa a una
temperatura. Los puntos de rocío y de burbuja para
mezclas ideales, pueden calcularse a partir de la ley de
Raoult. Para otras mezclas, pueden usarse valores K.
Ejemplo 3-3 Calcular el punto de rocío de una
mezcla gaseosa que contiene 20% en mol de benceno,
30% en mol de tolueno y 50% en mol de o-xileno, a 100
kN / m2 de presión.
Solución A esta presión moderada para estos
compuestos similares, la ley de Raoult será suficientemente precisa. La presión de vapor de los tres componentes depende de la temperatura, que es la variable a
determinar. Es necesario entonces usar un procedimiento de prueba y error, ya que las presiones de vapor no
pueden expresarse como funciones matemáticas simples de la temperatura.
Ps
Para benceno: Ys = 1 X 105 Xs = 0.2; Xs =
Para tolueno: YT =
PT
1 x 10
5 XT = 0.3; XT
Px
1 X 10 5
=
0.2 X 10 5
P
s
0.3 X 105
PT
0.5 X 105
Px
Para xileno: Yx = - - - Xx = 0.5; Xx = - - - -
Entonces, la primera prueba de T = 40 oC, resulta muy
baja .
Suponiendo que = 130°C: Ps = 365.4 X 103 N/m 2 ;
PT = 158.6 X 103 N/m 2 ; Px = 72.4 X 103 N/m 2 .
0.2 x 105
0.3 X 105
-----:::- + ------::
3.65 X 105 1.586 X 105
O 5 X 105
+'
= 0.93 < 1
0.724 X 105
Esto significa que la temperatura es menor de 130 oC .
Suponiendo que T= 128°C:Ps = 351.6 x 10 3 N/m 2 ;
PT = 151.7 X 103 N/m 2 ; Px = 67.2 X 103 N/m 2 •
5
0.2 x 10 + 0.3 X 10 5 + .0.5 X 105 = 1 00
3.516 X 105 1.517 X 105 0.672 X 105
.
Dado que la suma de términos a una temperatura de
128 ° C, es suficientemente cercana al, podemos considerar que éste es el punto de rocío de la mezcla.
En el punto de rocío, la primera gota de líquido que se
forma tiene una composición tal, que la presión que
ejerce cada componente de la fase líquida es igual a la
presión parcial del componente en la fase vapor. La
composición de la primera gota que se forma en el
equilibrio al iniciar la condensación a 128 oC es
5
= 0.2 X 10 = 0.057
Xs
3.516 x 105
5
= 0.3x10 =0.198
XT
1.517 x 105
5
= 0.5 X 10 = 0.744
Xx
0.672 x 105
Los cálculos de equilibrio de fases, como los que se
muestran en el Ej. 3-3, pueden hacerse con facilidad
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50
PRINCIPIOS DE OPERACIONES UNITARIAS
mediante una computadora digital. Sin embargo, debe
contarse con una expresión analítica para el equilibrio
de fases. Cuando es posible utilizar la ley de Raoult, es
necesario establecer una relación para la presión de vapor. La ecuación de Antaine resulta satisfactoria en su
concordancia con los datos de la presión de vapor para
un gran número de compuestos.
(3-10)
donde
constante empíricas. (Véase en el
Apéndice D-2e los valores de algunos líquidos comunes.)
La región por debajo de la curva del punto de burbuja, representa la fase líquida. Un líquido que se
encuentra a una temperatura menor que su correspondiente punto de burbuja, se conoce como líquido subenfriado, mientras que si se encuentra a su temperatura
de burbuja, constituye un líquido saturado. En forma similar, un vapor a su temperatura de rocío se llama vapor
saturado. Entre las curvas de punto de burbuja y punto
de rocío, existe una región de dos fases en la que coexisten un líquido y un vapor saturados. Las cantidades
relativas de líquido y vapor en la región de dos fases,
pueden calcularse a partir de un balance de materiales
(véase el Cap. 4). La región que se encuentra por encima de la curva de punto de rocío corresponde a vapor
sobrecalentado.
Si va a determinarse el punto de burbuja para una mezcla ternaria que obedece la ley de Raoult, la combinación del balance de materiales con la ley de Raoult y la
ecuación de Antaine da
Xa(10)Aa+ B a/{C a +T) + X
X
c
b
(10)Ab+ B b/{Cb+T) +
(10)A c +B c /{C c +T) = P
I
Se conocen las constantes de Antaine, así como la
composición inicial del líquido y la presión total, por lo
que esta ecuación puede resolverse para la temperatura
de burbuja, que es la única incógnita. Se requiere de un
procedimiento sistemático de convergencia, tal como el
método de Newton, para llevar a cabo la resolución iterativa.
Los puntos de burbuja y rocío para una mezcla binaria, son funciones de su composición, tal como se
muestra en la Fig. 3-2 para el sistema benceno-tolueno.
Las curvas se trazan a partir de datos de presión de
vapor, suponiendo que la ley de Raoult es válida para el
sistema. Los puntos de burbuja y rocío son idénticos en
los extremos X a, Ya = O Y X a, Ya = 1.0, debido a que estas composiciones representan tolueno y benceno puros, respectivamente. Los valores de la temperatura a
estas composiciones son los puntos de ebullición de los
componentes puros.
Si se calienta una mezcla líquida que contiene una
fracción mol de benceno de 0.4 (como se representa
con la línea vertical ascendente en la Fig. 3-2), la vaporización se iniciará en el punto de burbuja (punto a), que
se encuentra a 203.5 °F. El primer vapor que se forma
en equilibrio también se encuentra a 203.5 o F y su composición (b) es 0.625 fracción mol de benceno. Al elevar
la temperatura (de a a c), se evapora una mayor cantidad de líquido, hasta que la última gota se evapora a 215
o F (d). Durante el proceso de evaporación, la composición de la fase líquida cambia de 0.4 a 0.215 y la del
vapor de 0.625 a 0.4 fracción mol de benceno, pero la
composición global de la mezcla líquido-vapor permanece constante con una fracción mol de benceno igual
a 0.4.
Las soluciones no ideales pueden tener curvas de composición-temperatura sustancialmente distintas a las de
la Fig. 3-2. Por ejemplo, la Fig. 3-3 presenta dos sistemas no ideales, que son isopropanol-cloruro de propilena y cloroformo-acetona. Ambos sistemas forman un
azeótropo - una mezcla en la que el vapor en equilibrio
tiene la misma composición que el líquido- . En la composición azeotrópica, los puntos de burbuja y rocío son
iguales y la mezcla se evapora a una sola temperatura.
La aplicación de la regla de las fases conduce a esta misma conclusión. En un sistema binario líquido-vapor sólo
puede haber dos variables independientes . Por lo general se especifica la presión, por lo que queda una sola
variable. La definición de azeótropo establece que la
composición de las dos fases es la misma y esta restricción elimina la variable independiente que quedaba. Entonces, la temperatura se establece en un valor único.
Por ejemplo, en el sistema isopropanol-cloruro de propilena, las composiciones de equilibrio para el líquido y
vapor corresponden a una fracción mol de isopropanol
igual a 0.68. Ya que el punto de burbuja y el de rocío
también son iguales en esta composición, la mezcla se
evaporará a una sola temperatura, como si fuera un líquido puro. Por esta razón, a los azeótropos se les conoce también como mezclas de ebullición a temperatura
constante. Este azeótropo hierve a una temperatura menor que el punto de ebullición de cualquiera de los dos
componentes puros. Los sistemas de este tipo se conocen como mezclas de ebullición mínima. Por otra parte,
el sistema cloroformo-acetona forma un azeótropo máximo a una fracción mol de acetona de 0.34 (Fig. 3-3b).
La presentación de la información sobre x, Y y T a
presión constante que se muestra en la Fig. 3-2, suele
ser útil; sin embargo, en los cálculos del balance de materiales en relaciones de fases a una presión dada, es
posible que no se pueda especificar la temperatura. Para estos cálculos, es más útil una gráfica de yen función
de x como en la Fig. 3-1. Si es necesario, puede añadirse la gráfica correspondiente de T en función x o y.
En los cálculos de destilación y otros procesos de
transferencia de masa, se requiere efectuar tanto balances de energía como balances de masa. Por tanto, se
necesita una medida de la energía del sistema. Por lo
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RELACIONES
H
20000
/
/
/1
15000
l-
o
-c,
:::J
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o
10000
>
o
o
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5000
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'o
'(3
0.4 ~
0.2
I
O
0.2
!("
0.4
0.6
fracción mal, etanol en líquido
0.8
Fig. 3-4 Diagrama entalpía-composición para mezclas etanol-agua a una presión de 1 atm
(3). Estado de referencia: agua líquida a 32°F, etanollíquido a 32°F. (Con permiso de John
Wiley; copyright© 1950.)
1.0
DE FASES
51
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52
PRINCIPIOS DE OPERACIONES UNITARIAS
general, esta medida es la entalpía, definida como la
energía interna más el producto PV (véase el Cap. 20).
En la Fig. 3-4 se ilustran los e!atos de entalpía-concentración para el sistema etanol-agua y en el Apéndice O, se
pueden encontrar los sistemas amoníaco-agua y nitrógeno-oxígeno. En el eje vertical se grafica la entalpía
molar y en el eje horizontal, la fracción mol del componente más volátil. Cualquier punto del diagrama define
la entalpía y la composición de una mezcla binaria. Es
posible construir gráficas similares mediante composiciones en fracciones masa.
La entalpía de una mezcla binaria se relaciona con
una condición arbitraria de referencia que se escóge para los componentes puros. Por ejemplo, en la Fig. 3-4,
las entalpías del etanol puro en estado líquido a 32 o F y
el agua líquida pura a 32 °F se escogieron como iguales
a cero. Las mezclas de etanol yagua pueden tener entalpías diferentes de cero a 32 °F, debido a los cambios
de entalpía de disolución y de dilución. Para el sistema
etanol-agua, los cambios son pequeños. Las mezclas líquidas a temperturas distintas a 32 o F, tendrán entalpías
diferentes de cero debido al cambio de entalpía de calentamiento que está dictado por la capacidad calorífica
yel cambio de temperatura. Si se evapora una mezcla,
su entalpía aumentará en una cantidad igual al calor latente de vaporización. Se deben considerar todos los
cambios de entalpía al construir un diagrama entalpíacomposición para una sistema binario, utilizando datos
experimentales de capacidades caloríficas, calores de
disolución y vaporización.
En la Fig. 3-4, la curva clasificada H representa vapores en el punto de rocío (vapores saturados) y la curva
clasificada h representa líquidos en el punto de burbuja
(líquidos saturados). La distancia vertical entre las curvas corresponde al calor latente de vaporización de una
mezcla. Entre las dos curvas se encuentra una región líquido-vapor. Para determinar puntos en las curvas de
líquido y vapor saturado que se encuentran en equilibrio
entre sí, se utiliza la curva de equilibrio que está situada
en la parte baja del diagrama. En la curva de entalpía del
vapor (H) puede escogerse un valor de la composición
del vapor Y•. A partir de la curva de equilibrio, puede determinarse el valor de X, en equilibrio con Y•. El valor de
X, puede graficarse en la curva de entalpía del líquido
(h). Puede trazarse una línea de unión conectando los
dos puntos para representar las composiciones que están en equilibrio. Las líneas marcadas con temperaturas
en la región de dos fases son líneas de unión.
Si se da la temperatura de equilibrio, las composiciones del líquido y el vapor se obtienen de un diagrama
temperatura-composición, como el de la Fig. 3-3a para
el sistema ~ H¡ OH-~ 1-\ C~. La región por debajo de la
curva del líquido saturado representa líquidos subenfriados. En esta región se muestran las líneas de temperatura constante (isotermas). En el sistema etanolagua, los calores de disolución y dilución son pequeños,
de tal forma que las isotermas son líneas prácticamente
rectas, lo cual indica una entalpía constante. Por arriba
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Fracción mol etanol de líquido
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Fig. 3-5 Equilibrio líquido-vapor para el sistema etanol-agua
a diferentes presiones constantes (9). (Con permiso del Amer.
Inst. of Chem. copyright© 1953.)
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mol de etanol en líquido
Fig. 3-6 Solución del Ej. 3-4.
de la curva de vapor saturado se encuentra la región de
vapores sobrecalentados.
Típicamente, al aumentar la presión se incrementa la
temperatura de equilibrio vapor-líquido y disminuye el
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RELACIONES DE FASES 53
grado de separación entre las composiciones de líquido
y vapor. Esto se ilustra para el sistema etanol-agua en la
Fig. 3-5. La composición del vapor en equilibrio con un
líquido que contiene una fracción mol de etanol igual a
0.2, podría contener 0.53 fracción mol de etanol a la
presión atmosférica, pero tendría un valor de 0.42 fracción mol de etanol si la presión del sistema fuera de 300
Ib/plg2 abs. Además, la composición del azeótropo
cambia, siendo más rico en etanol a medida que disminuye la presión.
mezcla en equilibrio puede determinarse por referencia
a la Fig. 3-3a. Esta es de aproximadamente 176°F.
Ejemplo 3-5 Determinar las composiciones de las
fases presentes bajo las siguientes condiciones:
(a) Etanol-agua a 177 ° F y 1 atm. La concentración
global es de 50% de etanol.
(b) Amoníaco-agua a 1 atrn, X. = 0.3.
(e) Etanol-agua a 100°F y 1 atm.
(d) Amoniaco-agua a 100 lb/plq? abs, H 10000;
fracción mol global de NH3 = 0.5.
(e) Amoníaco-agua a 100 Ib/plg2 abs, H = 20000;
fracción mol global de amoníaco = 0.4.
Ejemplo 3-4 ¿ Cuál es la composición de un vapor
en equilibrio con un líquido saturado que tiene una fracción mol de etanol de 0.5 y una fracción mol de agua
de 0.57
Soluciones.
(a) Las composiciones se determinan
fácilmente con la Fig. 3-4. La línea de unión a 177 °F intersecta a las líneas de punto de burbuja y de punto de
rocío en las composiciones de equilibrio x. = 0.42, Ya
= 0.63.
(b) A partir de la curva de equilibrio que se encuentra
en el Apéndice D, cuando x. = 0.3, Ya = 0.93.
(e) Ya que no se da la composición, no es posible localizar exactamente la mezcla en la Fig. 3-4. No obstante, a 100 °F, todas las mezclas de etanol yagua son
líquidos subenfriados, como lo indica la isoterma de 100
°F. Por lo anterior, a 100°F y 1 atrn sólo estará presente
la fase líquida, por lo que no hay vapor en equilibrio.
Solución
En la Fig. 3-6 se traza una línea vertical
descendente partiendo de la curva de entalpía del
líquido a x; = 0.5. El valor de equilibrio de Ya se determina por la intersección de la línea vertical con la curva
de equilibrio y puede leerse en el eje vertical del lado derecho como Ya = 0.66. Para traspasar este valor al eje
horizontal, se traza una línea horizontal de la curva de
equilibrio a la diagonal y luego se traza una vertical hasta la curva de entalpía del vapor saturado. El valor en la
curva H puede conectarse con el valor original en la curva h mediante una línea de unión. La temperatura de la
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Concentración
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0.4
0.6
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de UÜz (NÜz ~ en la fase acuosa. 9 mol/litro
~ O
Fíg, 3-7 Distribución del nitrato de uranilo entre una solución de ácido nítrico acuoso y un
disolvente orgánico, a 25°C (4). Disolvente orgánico: 300/0en volumen de fosfato de tributilo
en queroseno CHN03 = g mol g de ácido nítrico por litro de agua. (Con permiso de la Amer.
Chem. Soco Copyright© 1958.)
0.7
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54
PRINCIPIOS DE OPE RAC IONES UNITARIAS
(d) El punto (H = 10000 Btu/lb mol, Za = 0.5) se localiza en el diagrama del Apéndice O. Ya que el punto
cae en la región de dos fases, existirán un líquido y un
vapor en equilibrio . Es necesario determinar una línea de
unión que pase a través del punto. Se hace una primera
aproximación trazando una línea de unión que pase por
el punto, con una pendiente intermedia entre la de las
isotermas de 250 y 200 o F. Los valores de x;, y Ya que se
obtienen por las intersecciones de la línea de unión con
las líneas de entalpía se verifican en el diagrama de
equilibrio de la parte baja. Los valores correctos son Xa
= 0.17, Ya = 0.74.
(e) El punto (H = 20 000 Btu / lb mi, Za = 0.4) se localiza en el diagrama del Apéndice o. Ya que el punto se
encuentra en la región de vapor sobrecalentado, sólo
existirá una fase vapor cuya composición será Ya = 0.4.
Los cálculos de absorción de gases con frecuencia
requieren de datos de equilibrio entre el gas disuelto en
una fase líquida y el de la fase gaseosa. Estos equilibrios
pueden expresarse a menudo mediante la ley de Henry
o la ley de Raoult para el soluto. En los casos en los que
las ecuaciones no son precisas, los datos se pueden
tabular o graficar en un diagrama de equilibrio. Por
ejemplo, en la absorción de amoníaco de una mezcla
aire-amoníaco en agua, la poca solubilidad del aire se
puede despreciar y la concentración del amoníaco en el
líquido puede tabularse como una función de la presión
parcial del amoníaco en el gas (Apéndice O) .
EQUILIBRIOS LIQUIDO-LIQUIDO
En la extracción líquida, un componente de una solución se transfiere a otra fase líquida que es relativamente insoluble en la primera solución. En el caso más
simple, el soluto se reparte entre las dos fases líquidas
insolubles. Los datos de equilibrio para este caso
pueden expresarse como relaciones de pesos de soluto
y disolvente para cada una de las fases en equilibrio . Un
ejemplo de esto es la partición del nitrato de uranilo
entre una solución de ácido nítrico y un disolvente orgánico, como se muestra en la Fig. 3-7.
En muchos casos, los disolventes son parcialmente
solubles entre sí; además, la concentración del soluto
puede afectar a las solubilidades mutuas de los disolventes. En estos casos, los datos de equilibrio deben
graficarse en diagramas de tres componentes. La aplicación de la regla de las fases a sistemas de tres componentes con dos fases, muestra que puede haber tres variables independientes. En este caso, existen cuatro
variables posibles: la temperatura, la presión y las concentraciones de dos componentes. La concentración
del tercer componente no es independiente, debido a
que la determinan las otras dos. Sin embargo, las concentraciones de los dos componentes no son totalmente independientes, puesto que se estipuló que las dos
fases se encuentran en equilibrio. Por ello, se especifi-
can la temperatura, la presión y una concentración, las
otras dos concentraciones quedan fijas.
Los datos para sistemas ternarios se reportan con frecuencia mediante diagramas de triángulos equiláteros;
no obstante, para los cálculos de ingeniería, un triángulo rectángulo resulta más conveniente para reportar los
datos, ya que puede utilizarse papel de gráfica de coordenadas rectangulares para construir el diagrama. Si los
cálculos se basan en concentraciones de soluto relativamente bajas, sólo es necesario graficar dicha parte del
diagrama, usando una escala horizontal ampliada para
lograr una mayor exactitud gráfica.
El sistema ternario éter isopropílico-ácido acético-agua
(Fig. 3-8) es representativo de los sistemas en los que un
par de líquidos son parcialmente miscibles y los otros
dos pares son completamente miscibles. En la Fig. 3-8
cada vértice del triángulo representa un componente
puro: el ángulo recto, agua pura; el vértice superior,
éter isopropílico puro; el vértice del lado derecho, ácido
acético puro. En general, el ángulo recto representa una
fase pura que consiste en el componente principal del
refinado que no se extrae (b); ' el vértice superior, el disolvente puro utilizado en la extracción (e); el vértice del
lado derecho, el soluto puro (a) que va a extraerse
del refinado con el disolvente. El extremo horizontal del
triángulo representa mezclas de soluto y componente
refinado no extraído, sin presencia de disolvente. El
extremo vertical representa mezclas binarias del componente refinado no extraído y de disolvente. Ya que x;, +
Xb + Xc = 1, es necesario graficar las concentraciones
de sólo dos componentes. El tercero puede encontrarse
por diferencia. En el diagrama de triángulo rectángulo,
es más fácil graficar una mezcla de fracción de masa del
soluto (x;, o Ya) Y fracción de masa del disolvente (Xc o
Yc ). La fracción de masa del componente refinado no
extraído (xb o Yb), no necesita graficarse. El lado diagonal del triángulo representa mezclas en las que Xb = O o
Yb = O. El eje coordenado para el componente b, es
realmente perpendicular al lado diagnonal del triángulo
y parte del ángulo recto . Ya que el tercer eje coordenado no se utiliza, se omite.
Cualquier punto dentro del triángulo representa una
mezcla de tres componentes. Ciertas composiciones
globales existen como una fase líquida, mientras que
otras pueden dividirse en dos fases líquidas . La curva
nopqr (Fig . 3-8) separa la región de dos fases (a la izquierda) de la región de una fase (a la derecha) y se conoce como envolvente de fases. Las composiciones de
fases en equilibrio deben caer en esta envolvente. Una
mezcla en la parte baja de la envolvente (como q) contiene una alta concentración del componente no
extraído y se conoce como fase de refinado. Una
mezcla en la parte superior de la envolvente (como o) es
rica en el disolvente y se conoce como el extracto. Las
composiciones de fases que están en equilibrio pueden
conectarse c9n una línea de unión, como la o-q. Alter-
* En adelante, se le llamará componente refinado no extraído.
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RELACIONES DE FASES 55
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x, fracción de masa de ácido acético en la fase acuosa
Fig. 3-8 Sistema éter isopropílico-ácido acético-agua, a 20°C y presión atmosférica
(8). (Con permiso de la Amer. Chem. Soc.; copyright© 1951.)
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Fig. 3-9 Sistema dietilenglicol-estireno-etilbenceno, a 25°C y presión atmosférica (2). (Con
permiso de la Amer. Chem. Soc.; copyright© 1951.)
nativamente, las composiciones de equilibrio pueden
determinarse mediante el uso de una curva de equilibrio
en la parte baja de diagrama. En el punto de infinitud (p)
la línea de unión se ha reducido a un punto en el que el
extracto y el refinado son idénticos. Nótese que la curva
de equilibrio finaliza en el punto de infinitud donde ~
= Ya.
El sistema dietilenglicol-estireno-etilbenceno,
es representativo de sistemas en los que dos de los tres pares
de líquidos son parcialmente solubles (Fig. 3-9). En este
sistema, las fases extracto y refinado se representan
mediante curvas independientes y no hay punto de infinitud. La línea del diagrama para la fase del extracto resulta demasiado corta para cálculos de etapas. Esta si-
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RELACIONES DE FASES
tuación puede remediarse graficando nuevamente los
datos en una base libre de disolvente (Fig. 3-10). En el
eje horizontal se grafica
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masa de soluto + componente refinado no extraído
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En el eje vertical se grafica
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Xc,y.,------~~~~~~~-----masa de soluto + componente refinado no extraído
El denominador para cada una de estas cantidades es
la mezcla que va a separarse, un componente se identifica como el sol uta y el otro como el componente que
no extaerá en grado apreciable. La base para determinar
las medidas de estas composiciones es, entonces una
composición libre de disolvente. Este material no disolvente puede caracterizarse en términos de la concentración de un componente -lógicamente, el solutocomo se hace para )(, y Ya . Puede añadirse cualquier
cantidad de disolvente por unidad de material no disolvente. Con estas definiciones, Xa + X b = 1 y)( puede
tener cualquier valor. En forma similar, Ya + ~ = 1, Y
Y. puede tener cualquier valor. Por ejemplo, para un disolvente puro, y. es infinito.
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Ejemplo 3-6 Calcular los datos dela Fig. 3-10 a partir de la Fig. 3-9.
Solución En la curva de extracto de la Fig. 3-9,
cuando Ya = 0.10, Yo = 0.83. Entonces, Vi, = 0.07. Base: 1 lb de este extracto.
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masa de sol uta
masa de sol uta + componente no extraído
0.10
0.10 + 0.07
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masa de disolvente
masa de soluto + componente no extraído
0.83
0.10 + 0.07
=
4.88
En el punto (Ya = 0.59, Y. = 4.88) puede graficarse como un punto en la curva del extracto de la Fig. 3-10. De
esta forma, pueden calcularse puntos adicionales y así
trazar la curva del extracto. En la curva del refinado de la
Fig. 3-9, en x. = 0.8, x. = 0.022 YXb- = 0.178. Por tanto,
X
a
=
0.8
0.022
= 0.817' X =
= 0.0225
0.8 + 0.178
'e
0.8 + 0.178
Este punto puede graficarse en la curva de refinado de
la Fig. 3-10. Del mismo modo, pueden graficarse puntos
adicionales de la curva del refinado. Puesto que la concentración del disolvente en el refinado es baja, la curva
casi coincide con)( = O, para este sistema.
x"
0.4
0.6
0.8
1.0
relación de masas en el refinado
Fig. 3-10 Sistema dietilenglicol-estireno-etilbenceno, a 25 oC
en base libre de disolvente.
Las dos partes de la Fig. 3-9 requieren de dos partes
para su representación en base libre de disolvente, tal
como se muestra en la Fig. 3-10. La concentración del
soluto en el material no disolvente corresponde al eje
horizontal de cada parte del diagrama. El eje vertical de
una parte es la concentración de sol uta en el extracto y
el eje en la otra, es la cantidad de disolvente por unidad
de material no disolvente.
Las características paralelas del disolvente en la extracción líquido-líquido, del adsorbente sólido en la separación por adsorción y la entalpía en la destilación, se
explorarán en el Cap. 5, indicando las diferencias y similitudes.
El sistema propano-ácido oleico-aceite de semilla de
algodón (Fig. 3-11), demuestra cómo pueden variar con
la temperatura las características de solubilidad de un
sistema. En este caso, un incremento en la tempertura
disminuye las solubilidades mutuas, contrario a la mayor parte de los casos en los que un incremento de la
temperatura origina un aumento de la solubilidad. Los
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58
PRINCIPIOS DE OPERACIONES UNITARIAS
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x., fracción de masa de ácido oleico en la fase de aceite de algodón
0.5
Fig. 3-11 Diagrama de equilibrio temario para propano- ácido oleico-aceite de semilla
de algodón (6). (Con permiso del Arner. Inst, Chern. Eng., copyright © 1942.)
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RELACIONES DE FASES
sistemas que forman dos fases a temperturas bajas pueden ser completamente miscibles a temperaturas más
altas. La Fig. 3-11 también demuestra el uso de un triángulo parcial y un cambio de escala, que suelen ser deseables para lograr una mayor precisión en los cálculos
gráficos. Ninguno de los datos para el sistema se encuentra más allá de x. == 0.5; por ello, el diagrama se
corta en este punto y se amplía la escala para el resto del
diagrama.
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EQUILIBRIOS
SOLIDO-GAS
Se ha observado que la adsorción, que es la forma más
común de equilibrio sólido-gas, se verifica por medio de
mecanismos físicos y químicos. La adsorción física
ocurre cuando las fuerzas intermoleculares de atracción
entre las moléculas del fluido y la superficie sólida, son
mayores que las fuerzas de atracción que tienen las moléculas del fluido entre sí. Las moléculas del fluido se
adhieren a la superficie del adsorbente sólido y se establece un equilibrio entre el fluido que se adsorbe yel
que queda en la fase fluida.
En la Fig. 3-12 se presentan las isotermas de adsorción física, basadas en resultados experimentales, para
algunos vapores de hidrocarburos puros sobre Sílica
Gel. La adsorción de una mezcla de gases resulta en un
adsorbato de composición diferente a la del gas. Debido
a esto, es posible separar mezclas gaseosas por adsorción selectiva. En la Fig. 3-13 se muestran composiciones de equilibrio de fase gaseosa y adsorbato, para
mezclas propano-propileno. Este diagrama de equilibrio
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X., y., lb mol, propano/lb mol
propano + propileno
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X., lb mol propano/lb mol propano
+ propileno en adsorbato
Fig. 3-13 Adsorción simultánea de propano y propileno sobre Sílica Gel, a 25°C (7). (Con permiso de la Amer. Chem.
Soc.; copyright© 1950.)
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se asemeja a los que se emplean en la destilación (Fig.
3-4) y en la extracción líquida (Fig. 3-10). Puede hacerse
una analogía entre el adsorbente en la adsorción, la
entalpía en la destilación y el disolvente en la extacción.
Debe notarse que la fase gaseosa (V) se presenta en Yc
== Oy la fase sólida (L) tiene valores de X mayores de
cero, en contraste con un diagrama análogo para la
extracción líquida, como el de la Fig. 3-9.
Los datos sobre adsorción física pueden expresarse
frecuentemente por medio de una ecuación empírica.
Entre las ecuaciones comunes para isotermas de adsorción se pueden mencionar las siguientes:
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X;.• lb adsorbato/lb sílice gelatinosa
3-12 Isoterma de adsorción de hidrocarburos sobre Sílica Gel
(7). (Con permiso de la Amer. Chem. Soco copyright© 1950.)
Fruendlich:
(3-11)
Langmuir:
(3-12)
k2P para valores pequeños de P
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60 PRINCIPIOS DE OPERACIONES UNITARIAS
1.0
donde
del adsorbato
x= unidadpeso
de peso de adsorbente
~
p = presión parcial del gas que se adsorbe en
(5
n, k 1 , k2 ,
fase gaseosa.
k3 = constantes empíricas
c:
~ 08
en
oc
al
~ 06
en
ro
E
La adsorción química o quimisorción, involucra la in teracción química entre el fluido que se adsorbe y el adsorbente sólido. En muchos casos, la adsorción es irreversible, por lo que es difícil separar el adoarbato del adsorbente. Por esta razón, la adsorción física es la única
que permite una operación continua en etapas.
La adsorción se emplea para procesar líquidos así como gases. Entre los adsorbentes más comunes se encuentra la sílice gelatinosa, el carbón activado, la alúmina, las zeolitas sintéticas y varias arcillas.
Una forma más simple de equilibrio sólido-gas, ocllrre
en la sublimación de un sólido hacia una fase gaseosa o
en la cristalización directa de gas a sólido. Aquí, el concepto de presión de vapor se utiliza exactamentEi en la
misma forma en que se aplicó en las Ecs. 3-4 a 3-7 . Por
lo general, sólo cristaliza o sublima un componente, por
lo que x = 1.0 para la fase condensada.
Otra operación sólido-líquido es el intercambio iónico, aunque se parece más a la adsorción química. La resina sólida de intercambio iónico se fabrica de tal forma
que incluya un ion que será reemplazado por un componente iónico particular de la fase fluida. Un ejemplo común de intercambio iónico es el ablandador de agua de
"zeolita", en el que los iones sodio de la resina se intercambian con los iones calcio del agua. Las operaciones
industriales de intercambio iónico son intermitentes o
de contacto continuo, por lo que se considerarán en un
capítulo posterior.
EQUILIBRIOS SOLIDO-LIQUIDO
En la extracción sólido-líquido se utiliza un disolvente
líquido para disolver un sólido soluble de un sólido insoluble. Una fracción de la solución resultante se
adhiere al residuo insoluble. Una "etapa de equilibrio"
puede definirse como la etapa donde el líquido que se
adhiere a los sólidos que salen, tiene la misma composición que la fase de extracto líquido que sale. Entonces,
es necesario determinar experimentalmente, la masa de
líquido adherido por unidad de masa de sólido insolubles. Estos datos pueden graficarse en un diagrama
ternario, como se muestra en la Fig. 3-14. Las curvas resultantes se conocen como líneas de flujo de salida y no
representan en realidad condiciones de equilibrio . Se
incluyen las curvas para relaciones constantes de disolvente a inertes y solución a inertes, así como una curva
experimental para hígados de hipogloso con éter como
disolvente. El flujo de salida puede considerarse como
una mezcla de sólido inertes y solución. El vértice que
forma un ángulo recto, representa sólidos inertes puros
al
"C
c: 0.4
'0
'13
u
~
>: 0.2 .-_~
0.8
1.0
xa. Ya. fracción de masa de soluto
Fig. 3-14 Composiciones de flujo de salida para una extracción sólido-liquido.
Curva 1 = Relación constante de
masa del disolvente
adherida
masa de inertes
masa de solución
Curva 2 = Relación constante de _ _--=a-=d:..:.he.:;.:r.;.:id:..=a'--__ = 1
masa de inertes
Curva 3 = Curva determinada experimentalmente para
hígados de hipogloso y éter (12).
y la hipotenusa del diagrama ternario representa soluciones clarificadas. Cualquier línea que una a un punto
sobre la hipotenusa con el ángulo recto, intersecta a la
curva de flujo de salida con la composición de flujo,de
salida en equilibrio con la solución clarificada. Entonces,
la porción de la línea que va de la hipotenusa a la curva
de flujo de salida, es una línea de unión entre puntos en
equilibrio. La curva de flujo de salida determina la cantidad relativa de solución que se adhiere a los sólidos inertes. Los datos de la Fig . 3-13 son representativos de una
curva de flujo de salida. Deben usarse datos experimentales siempre que estén disponibles. Cuando los datos
son limitados, pueden emplearse curvas como la 1 y la 2
en forma de aproximación.
REFRENCIAS
1. Balzhiser, R. E., M. R. Sarr:uels, and J. D. Eliassen,
Chemical Engineering Thermodynamics, Prentice Hall,
Englewood Cliffs (1972) .
2. Boobar, M. G., et al., Ind Eng. Chem., 43, p. 2922
(1951 ).
3. Brown, G. G., et al., Unit Operations, John Wiley &
Sons, New York ( 1950).
4. Codding, J. W., W. O. Haas, and F. K. Hermann, Ind.
Eng. Chem., 50, p. 145 (1958).
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RELACIONES DE FASES
5. Fordyce, C. R., and D. R. Simonson, Ind. Eng. Chem.,
41, p. 104 ( 1949).
6. Hixson, A W., and J. B. Bocklemann, Trans. A.1.Ch.E.,
38, p. 891 (1942).
7. Lewis, W. K., et al., J. Am. Chem. Soc., 72, p. 1153
(1950) .
8. Othmer, D. F., R. E. White, and E. Trueger, Ind. Eng.
Chem., 33, p. 1240 (1951).
9. Otsuki, H., and F. C. Williams, Chem. Eng. Progr.
Symposium Ser., Vol. 49, No. 6,55 (1953).
10. Perry, J. H., ed., Chemical Engineers' Handbook, 5th
ed., McGraw-Hill, New York (1974).
11. Prausnitz, John M., Molecular Thermodynamics of
Fluid-Phase Equilibria, Prentice Hall, Englewood Cliffs
(1969).
12. Ravenscroft, E. A., Ind. Eng. Chem., 28, p. 851 (1936).
13. Smith, J. M., and H. C. VanNess, Introduction to
Chemical Engineering Thermodynamics, 3rd ed.,
McGraw-Hill, New York (1975).
14. Zellner, M. G., L. C. Claitor, J. M. Prausnitz, Ind. Eng.
Chem. Fundamentals, 9, pp. 549-563 (1970).
PROBLEMAS
3.1 Calcular el punto de burbuja yel punto de rocío de la siguiente mezcla a una presión total de 300 kN/m 2
n-butano
n-pentano
n-hexano
35% en mol
35% en mol
30% en mol
¿Cuál es la composición de las fases líquida y vapor, así como
la temperatura, cuando la mitad de los moles totales se encuentran en la fase líquida?
3-2 Una mezcla en equilibrio de líquido y vapor tiene una
composición global de 35% en mol de benceno y 65% en mol
de tolueno a 14.7 Ib/plg2 abs y 210°F.
(a) Utilizando datos de presión de vapor y suponiendo como válida la ley de Raoult, calcular las composiciones de las
fracciones de líquido y vapor así como las cantidades de cada
una de estas fases. Compare los valores de la composición con
los de la Fig. 3-2.
.
lb) ¿Qué porcentaje del vapor se condensará si la presión
total se incrementa a 29.4 Ib/plg2 abs?
3-3 Determine las composiciones de las fases que se especifican para cada uno de los siguientes equilibrios líquidovapor:
(a) La fase vapor en equilibrio con un líquido que contiene
21 % en mol de Üz y 79% en mol de Nz , a presión atmosférica.
(b) La fase líquida en equilibrio con un vapor que contiene
50% en mol de a y 50% en mol de b, si la volatilidad relativa de
a con respecto a b es 1.9.
(c) Las fases líquida y vapor para una mezcla de acetona y
cloroformo a 135 ° F Y presión atmosférica.
(d) Las fases líquida y vapor para una mezcla de etanol y
agua con una composición global de 60% en mol de etanol, a
175 ° F Y presión atmosférica.
3-4 Seleccione las dos palabras correctas (una de cada par)
y explique su selección.
(a) "Para una mezcla líquida dada, el punto de rocío es
(por lo general siempre) mayor/menor que el punto de burbuja".
.-"
61
(b) "En una solución ideal, una volatilidad relativa (a;.-b)
mayor que 1.0 significa que el componente puro a hierve a una
temperatura mayor/menor que el componente puro b."
(c) "Considerando una mezcla binaria ideal, el componente más volátil hierve a una temperatura mayor/menor que el
componente menos volátil, cuando ambos se encuentran en
estado puro."
3-5 Un vapor que contiene 35% en mol de propano y 65%
en mol de etano se comprime a O oC.
(a) ¿Qué presión debe aplicarse para condensar la mitad
del vapor (en base molar)?
(b) ¿Cuál es la composición del líquido que se forma en (a)
si el líquido y vapor finales están en equilibrio?
(e) ¿A qué presión desaparecería la última burbuja de vapor?
3~6 Una mezcla líquida con ?5% en mol de benceno y 75%
en mol de tolueno, se calientá a una presión constante de 1
atm hasta una temperatura final de 217 ° F. A esta temperatura
y presión, resulta una mezcla de dos fases. ¿ Cuál es la composición de cada fase y qué cantidad de material inicial se evapora?
3-7 Una mezcla líquida que contiene 30% en mol de
isopropanol y 70% en mol de cloruro de propileno, se calienta
en un recipiente cerrado hasta una temperatura final de 83°C,
a presión atmosférica. ¿ Cuál es la composición de cada una de
las fases a la temperatura final de equilibrio y qué fracción del
líquido o'riginal se evapora?
3-8 Calcular la volatilidad relativa de la acetona con respecto al cloroformo a presión atmosférica, para composiciones de
la fase líquida desde una fracción mol de acetona igual a 0.1
hasta 0.9, a intervalos en fracción mol de 0.1.
3-9 Una libra mol de una mezcla con 60% en mol de etanol
y 40% en mol de agua se encuentra a 60 °F y 14.7Ib/plg2 abs.
(a) ¿ Cuál es la entalpía y el estado físico?
(b) ¿ Cuánto calor debe suministrarse para incrementar la
temperatura a 175 ° F ¿ Cuál es el estado del sistema?
(c) ¿Qué temperatura y estado físico se alcanzarían si se
suministraran 20000 Btu a la mezcla original?
3-10 Dos libras mol de un vapor saturado de agua y
amoníaco existen a 250 °F y presión atmosférica.
(a) ¿ Cuál es la composición del vapor y la composición de
la primera gota de líquido que se condensa al enfriarse?
(b) ¿Cuánto calor debe eliminarse para enfriar al sistema
hasta 200 ° F?
(c) ¿Cuál será la composición de las presentes fases en
equilibrio a 200 ° F?
(d) ¿A qué temperatura se condensará totalmente el sistema?
3-11 Calcular las volatilidades relativas del Nz con respecto
al Üz a una presión de 5 atm y varias composiciones que
cubran todo el intervalo de valores.
3-12 El soluto a es igualmente soluble en los disolventes b
yc cuando los disolventes b y e están en contacto, pero estos
disolventes son completamente in miscibles para todas las concentraciones de a.
(a) Construya el diagrama triangular y la curva de equilibrio
para este sistema.
(b) ¿Podría recuperarse a de una mezcla a-b, utilizando al
disolvente e en un equipo de multietapas? Explique.
3-13 ¿Cuál de las siguientes mezclas formará dos fases y
cuáles serán las composiciones de esas fases?
(a) 25% en masa de ácido acético, 30% en masa de éter
isopropílico en agua, a 20 oC y presión atmosférica.
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62
PRINCIPIOS DE OPERACIONES UNITARIAS
(b) 40% en masa de ácido acético, 40% en masa de éter
isopropílico y 20% en masa de agua, a 20 oC y presión atmosférica.
(c) 30% en masa de ácido acético, 5% en masa de agua en
éter isopropílico, a 20 oC y presión atmosférica.
(d) 60% en masa de estireno, 20% en masa de dietilenglicol y 20% en masa de etilbenceno, a 25 oC y presión atmosférica.
(e) 10% en masa de estireno, 70% en masa de dietilenglicol y 20% en masa de etilbenceno a 25°C y presión atmosférica .
(f) 70% en masa de estireno, 10% en masa de dietilenglicol
y 20% en masa de etilbenceno a 25 oC y presión atmosférica.
(g) 30% en masa de ácido oleico, 60% en masa de propano y 10% en masa de aceite de semilla de algodón a 85 oC y
3420 kN / m 2 de presión .
(h) La misma composición que en (g) pero a 98.5 oC y 4310
kN/m 2.
(i) 0.25 g mol de UQ¡ (N~)2 en un litro de agua conteniendo 3 g mol de HN~ y un litro con 30% en volumen de fosfato
de tributilo en queroseno.
3-14 Determine la composición de las fases que se especifican para cada uno de los siguientes equilibrios de fases :
(a) La fase de disolvente orgánico en equilibrio con 'una solución acuosa de nitrato de uranilo con una concentración de
0.3 g mi de UQ¡ (N~)2 por litro de agua a 25 oC. La solución
acuosa contiene HN03 a una concentración de 1.0 g mol l I de
agua.
(b) La fase rica en éter isopropílico, en equilibrio con la fase rica en agua conteniendo 40% en masa de ácido acético a
20 oC.
(c) La fase de extracto en equilibrio con un refinado que
contiene 0.6 de fracción de masa de estireno/masa de estireno
más etilbenceno, en base libre de glicol a 25 oC .
(d) La concentración de la fase adsorbida en equilibrio con
una fase gaseosa que contiene 50% en mol de propano y 50%
en mol de propileno. El adsorbente es de sílice gelatinosa a 25
oC.
(e) Un lodo de flujo de salida en equilibrio con una solución
que contiene 30% en masa de soluto y 70% en masa de disolvente. El lodo contiene 1.5 lb de solución por libra de material
insoluble .
3-15 ¿Qué cantidad de entalpía debe eliminarse para enfriar
una mezcla compuesta por un 60% de Q¡ y un 40% de ~ (base molar) en forma de vapor en su punto de rocío a 5 atm de
presión , hasta una temperatura tal que no esté presente vapor
al disminuir la presión hasta 1 atm?
3-16 Construir un diagrama temperatura-composición similar al de la Fig. 3-2, para el sistema benceno-o-xileno, a 100
kN / m 2 de presión.
3-17 Convertir las siguientes composiciones a una base
libre de disolvente y trazar un diagrama mostrando dónde se
grafica cada composición en la Fig . 3-10 :
(a) xa = 0.2,
xb= 0.7,
Xc = 0.1
(b) xa = 0.2,
Xb = 0.8,
Xc = 0.0
(c) Xa = 0,
xb = 0,
Xc = 1.0
3-18 400 lb de sílice gelatinosa se mezclan con 2 lb mol de
un gas constituido por un 50% de propano y un 50% de propileno, a 25 oC .
(a) Determinar la composición de la fase gaseosa resultante .
(b) Determinar la fracción mol de propano en el gas que se
adsorbe sobre la sílice gelatinosa.
(c) ¿Cuánto gas se adsorbe?
3-19 Convertir el diagrama éter isopropílico-ácido acéticoagua de la Fig. 3:.l;!, a una base libre de disolvente.
3-20 Grafique las siguientes curvas de flujo de salida, calculando cuatro puntos en cada línea:
(a) Relación de masa constante entre el solvente que se
adhiere y los inertes igual a 0.75.
(b) Relación constante de masa de la solución que se
adhiere a masa de inertes igual a 0.75.
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Cuatro
Cálculos de Etapas de Equilibrio
Un primer paso en el análisis de operaciones de multietapas, es la consideración de una etapa de equilibrio
única. En este capítulo, se desarrollan procedimientos
para el cálculo de las velocidades de flujo de fases y las
composiciones desconocidas de una etapa única, a partir de los datos disponibles. Se desarrollan métodos para el cálculo de sistemas de multietapas.
El conocimiento apropiado del equilibrio de fases para el sistema que se procesa, constituye un requisito
previo para el análisis de una etapa de equilibrio. Debido
a que con frecuencia, estos datos de equilibrio se presentan en forma gráfica, resulta conveniente el uso de
métodos gráficos de cálculo. Los procedimientos que
involucran los cálculos gráficos pueden aplicarse directamente a los cálculos por computadoras digitales.
Muchos de los ejemplos y problemas que se presentan
en los siguientes capítulos, son demasiado simples para
ameritar la solución por computadora. En problemas
más complejos de operaciones en etapas, como los que
se consideran en el Cap. 8 para destilación de multicomponentes, la solución por computadora es casi indispensable. Los cálculos en una computadora digital
requieren que los datos de equilibrio estén disponibles
en una forma tal que puedan alimentarse fácilmente a la
computadora, tales como las constantes de las ecuaciones empíricas.
El siguiente estudio se aplica en forma general a cálculos con diagramas ternarios de entalpía-composición
y base libre de disolvente. Los procedimientos se desarrollan utilizando un diagrama ternario y después se
amplían a otros diagramas.
ETAP A UNICA DE EQUILIBRIO
En una etapa única de equilibrio, entran dos corrientes y
salen dos corrientes (Fig. 4-1). Las corrientes de entrada
se mezclan por completo para dar una suma que puede
designarse por 2. Para que sea útil en un proceso de separación, 2 debe estar en una región en la que resulten
Etapa de
equilibrio
Fig. 4-1
L¡
Etapa única de equilibrio.
dos fases . La pregunta de si la mezcla 2 realmente existe o no en la etapa carece de importancia; es un concepto útil para los cálculos. En forma similar, Z puede definirse como la composición global de la mezcla 2.
Los balances de masa pueden escribirse en términos
de unidades convencionales de masa o en unidades molares, para un sistema ternario que contiene los componentes a, b y e:
Balance total de masa:
Lo + V 2 = L
Balance para el componente a:
Loxao + V2Va2 = LZa
(4-1 )
(4-2)
Balance para el componente e:
Loxco + V2Vc2 = LZc
(4-3)
En estas ecuaciones, 4 y lIz representan a la masa total
de las corrientes, .x;o y X2 son las fracciones de masa respectivas y, 2 Y Z corresponden a la masa y, composición
global de la mezcla resultante. También puede escribirse una ecuación para el componente b, pero no sería independiente debido a que Xb = - Xi, - Xi, • Si se conocen
las cantidades y composiciones de las corrientes que
entran, es posible calcular la suma de la masa (2) y las
composiciones (za, zc ).
La masa se transfiere entre las fases de la mezcla 2
hasta que se alcanza el equilibrio. Entonces se separan
las fases y salen de la etapa L1 y V1 . Las composiciones
de las fases de salida son diferentes a las de entrada.
Las composiciones de las dos fases de salida (.x;1 y Xl )
se determinan por medio del equilibrio de fases; las cantidades (L 1 y V1 ) se determinan por medio de balances
de masa:
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64
PRINCIPIOS DE OPERACIONES UNITARIAS
~ = L,
+ V,
(4-4)
~Za = L,xa, + V, Va'
(4-5)
~Ze = L, X e' + V, Ve'
(4-6)
Las composiciones de las fases de salida de una etapa
de equilibrio dependen no sólo de las relaciones de
eq~ilibrio del sistema, sino también de las composiciones y cantidades relativas de las dos fases que entran
a la etapa. Estas últimas cantidades determinan la composición de la mezcla z, la cual conduce, junto con la relación de equilibrio, a las composiciones de salida. Es
posible escribir ecuaciones de balance de masa similares
a las Ecs., 4-1 a 4-6, para sistemas con cualquier número de componentes. Para dos componentes, como en
una destilación binaria, las Ecs. 4-3 y 4-6 son innecesarias, debido a que no existe un componente c. Por lo general, para un sistema de n componentes, se requieren
n balances de masa para los componentes y las cantidades totales para definir el sistema.
Ejemplo 4-1 Una mezcla líquida equimolar de benceno y tolueno se encuentra inicialmente a 250 o F y 100
Ib/plg2 abs. La presión se reduce a 30 Ib/plg2 abs, manteniendo la temperatura a 250 o F. Calcular la fracción de
líquido que se evapora .
Solución Puede emplearse la ley de Raoult para calcular las composiciones finales del líquido y vapor. Del
Apéndice D-1, a 250 o F, las presiones de vapor son Pb
= 431b/plg2 abs y p, = 20 Ib/plg2 abs. Al usar el método del Ej. 3-1,
43
-
30
20
xb + -
30
(1 -
Xb) = 1
entonces,
Xb = 0.435
y
43
Yb = 30 Xb
= 0.623
En las Ecs., 4-4 Y 4-5, puede usarse L para identificar al
líqllido original, de tal manera que Zb = 0.5. L1 Y V¡ serán las cantidades finales de líquido y vapor, respectivamente. Escogiendo L = 100 lb mol y aplicando las Ecs.
4-4 y 4-5 se obtiene
100 = L, + V,
100(0.5) = 0.435L, + 0.623 V,
Resolviendo las dos ecuaciones se obtiene Ll = 65.4,
v" = 34.6. Entonces se evapora 34.6% del líquido original.
Ejemplo 4-2 l Cuáles son las composiciones y cantidades de las fases de salida de una etapa en equilibrio a
la cual alimentan las siguientes fases?
Fase L: 100 kg de ácido acético, 20 kg de éter
isopropílico, 80 kg de agua.
Fase V: 15 kg de ácido acético, 82 kg de éter
isopropílico, 3 kg de agua.
Solución de los datos expuestos,
Lo = 200, X%o = 0.5, x bO = 0.4, .'Ceo = 0.1
Vi = 100, Ya2 = 0.15, Yb2 = 0.03, Yc2 = 0.82
Por medio de la Ec. 4-1, L = Lo + Vi = 200 + 100
300 Y mediante la Ec. 4-2,
z
~
(200)(0.5) + 100(0.15)
=
300
= 0.383
en forma similar,
z =
e
(200)(0.1) + 100(0.82)
= 0.34
300
y Zb = 1 - 0.383 - 0.34 = 0.277. La composición de esta mezcla puede localizarse en la región de dos fases del
diagrama ternario (Fig. 4-2). La mezcla se divide en dos
fases como se indica con la línea de unión que pasa a
través de z. La línea de unión correcta que pasa a través
de Z se determina por prueba y error tal como se describe en el Cap. 3. Las compasiones de las fases de salida
de la etapa pueden leerse en el diagrama: X al = 0.45,
X b1 = 0.45, XcI = 0.10; Yal = 0.32, Ybl = 0.11, Ycl =
0.57.
Las cantidades de Ll y v" se determinan por medio
de las Ecs., 4-4 y 4-5
300 = L, + V,
(300)(0.383) = L, (0.45) + V, (0.32)
Resolviendo, L, = 146 kg
V, = 154 kg.
Cálculos gráficos
Los cálculos numéricos del Ej. 4-2 también pueden llevarse a cabo gráficamente. Para muchos problemas, los
procedimientos gráficos son más rápidos que los cálculos numéricos; también están sujetos a la imprecisión
inherente a la lectura de gráficas. Si los datos de equilibrio se presentan en forma gráfica, es posible efectuar
los cálculos directamente sobre el diagrama de
equilibrio. El error que involucra la lectura de gráficas
puede no ser mayor que el error experimental de los datos de equilibrio .
Tal vez, la técnica gráfica más importante es la determinación de la composición d.g la mezcla resultante de
la adición de dos mezclas. La siguiente deducción desarrolla las ecuaciones necesarias para justificar la adición gráfica en diagramas de equilibrio. Se muestra que
la composición de una mezcla resultante de la adición
de dos mezclas queda localizada en la línea recta que
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CALCULOS DE ETAPAS DE EQUILIBRIO
1.0
Combinando
nera
las Ecs,
4-7 y 4-8 Y ordenándolas
65
se ge-
o
.s
'5. 0.8
XcO -zc
=
o
C.
XaO - za
o
.~
Zc -
Vc2
(4-9)
za - Va2
(¡j
,O; 0.6
"'
"'E
(/)
~ 04
e
'o
'ü
u
"'
"=,0.2
:s:
1.0
x"' V"' fracción de masa, ácido acético
o
0.6 r-----r---.-----,r+--.--+-,------:>r---,--.-----r---,
recta entre los puntos (~, x ) y (Ya, Yc), tal como se
muestra en la Fig. 4-4. La localización exacta de (z,; zc)
se determina con las cantidades relativas de las fases L y
V. Las Ecs. 4-7 y 4-8 definen la localización. Son expresiones de la regla del brazo de la palanca invertida. La
regla puede expresarse como sigue: si una mezcla Lo se
adiciona a otra mezcla ~, la composición
de la mezcla
"O
'ü
-ro
Q)
L
"O~
~.~ 0.4
"'"o
E "'
~E
e .•..
O
o
'ü e 0.2
u
que se utilizará en el siguiente argumento
geométrico.
Las composiciones
que representan
a 4, ~ y ~
pueden graficarse
en un diagrama ternario como se
muestra en la Fig, 4-3. La composición
z de ~ se
muestra en la Fig. 4-3 como un punto que no necesariamente se encuentra sobre la línea recta que pasa por
x y y, debido a que primero debe mostrarse que el ángulo a es igual al ángulo f3 antes de poder justificar que los
puntos x, y y z se encuentran sobre una línea recta. La
tangente de a es (z, - Yc2 ) / (z, - Ya2 ) Y la tangente de f3 es
(~o - 4 )/(~o - z.). Entonces, a partir de la Ec. 4-9, tan
a = tan f3 y el punto (z, Yc) deben quedar en una línea
Q)
~
1.0
0.2
x, fracción de masa de ácido acético en fase acuosa
i
t.>
Q)
XcO
"O
Fig. 4-2 Solución al Ej. 4-2.
"'
"'E
(/)
Q)
une a las composiciones
de las dos mezclas originales.
Esto se conoce como regla de adición gráfica. Se desarrolla una relación para determinar donde se ubica la
composición
de la mezcla resultante sobre la línea recta:
la regla de brazo de palanca invertida.
Si ~ en la Ec. 4-2 se reemplaza
Ec. 4-1.
por la expresión
Lo
"O
o
o
Zc
E
e
'o
"8
Yc2
V2
~
t
X
----¡:
de la
Ya2
Za
XaO
fracción mol o de masa de a
Fig. 4-3 Prueba de la regla de la adición.
Agrupando
Ordenando
los términos
de Lo Y ~,
se obtiene
Lo(xao
- za) = V2 (z, - Va2)
términos
obtenemos
t.>
Q)
"O
za - Va2
-Lo = --=----=-.:...
V2
~
(4-7)
¡ILO
XcO
E
Q)
XaO - Za
"O
o
La Ec. 4-7 relaciona la composición
de la mezcla resultante para las composiciones
y las masas de las dos
mezclas originales.
Las composiciones
se expresan en
términos del componente
a.
En forma similar, al combinar las Ecs., 4-1 Y 4-3 se
obtiene, para el componente
e,
o
E
e
'o
'ü
u
Zc
L.t"' Yc2
I
V2
Ya2
Lo
Zc - Vc2
-=---V2 XcO -Zc
(4-8)
Za
XaO
Fracción mol o de masa de a
Fig. 4-4 Adición gráfica.
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66
PRINCIPIOS DE OPERACIONES UNITARIAS
resultante 1: cae en un punto sobre la línea recta entre
las composiciones de
y lIí, de tal forma que el coclente z, / lIí es igual a la distancia de lIí a 1: dividido por
la distancia de l¿ a 1:. Esto es,
'-o
Lo ZY2
Z-Y2
-=--=--V2 XOZ Xo-Z
(4-10)
Las distancias entre Lo, V2 y 1: pueden medirse a lo largo de la línea que las conecta, pero es más conveniente
emplear las coordenadas como se indica por la Ec. 4-10.
La condición de la regla del brazo de la palanca invertida
se indica en su definición. Por ejemplo, una cantidad
muy grande de fase lo se adiciona a una pequeña cantidad de fase lIí para dar lugar a una mezcla 1: con una
composición muv parecida a la de
Entonces la composición z de 1: estará muy cerca de la composición x y
y sobre la línea entre x y y. Pueden derivarse otras
formas alternas de la regla del brazo de la palanca invertida.
vente de fases. La Ec. 4-10 puede reescribirse para la
partición de la mezcla 1: en dos fases.
Lo
z-
~
Xo - Y2
V2
Xo -z
~
Xo - Y2
-=
y
-=
Y2
L1
0.34 - 0.57
V1 = 0.10 - 0.34 = 0.96
L1
El error de la lectura gráfica origina que las respuestas
no sean iguales. El valor para b es más preciso debido a
que las diferencias son mayores y menos sensibles a los
errores en la lectura gráfica. Por tanto
L1
L1
'-o
Solución Las composiciones de
y lIí que se dan
en el Ej. 4-2, se grafican en la Fig. 4-2. La composición Z
de la mezcla 1: debe caer en la línea recta entre Xc y Y2 .
Su localización exacta se determina por la Ec. 4-10.
z - Y2 200
---=-=2
Xo - z
100
Entonces, la distancia de Y2 a z es el doble de la distancia de Xc a z y el punto z puede localizarse como se indica. La misma conclusión resulta al aplicar la Ec. 4-11.
Xo - Y2
3
0.38 - 0.32
v;= 0.96
Ejemplo 4-3 Calcular el Ej. 4-2 empleando métodos
gráficos.
2
X1-Z
o para b,
(4-12)
z - Y2
V1
Y1
V1 = 0.45 - 0.38 = 0.86
(4-11 )
Estas ecuaciones son en particular útiles para localizar el
punto z. Las Ecs. 4-10, 4-11 y 4-12 están expresadas sin
los subíndices de los componentes, y se aplican a cada uno
de los tres componentes.
---=-
Z -
El lado derecho de esta ecuación puede evaluarse si se
miden las distancias, o con más facilidad, sustituyendo
las coordenadas. Para a,
'-o.
'-o
L1
-=---
Entonces, el punto z se encuentra a do~ tercios de la
distancia de Y2 a Xc y de la Fig. 4-2, z: = 0.38, Zb =
0.34, z; = 0.28. Estos valores concuerdan con los del
Ej. 4-2 dentro de la precisión de la gráfica.
Para encontrar las cantidades de L1 y \tí , se aplica la
regla del brazo de la palanca invertida a la Ifnea de unión
que pasa a través de z y conecta a Xl con ~ en la envol-
+ V1 = ~ = 300
300
y
V1 = -=
1.96
1531b
L 1 = 300 - 153 = 147 lb
Estos resultados concuerdan con los del Ej. 4-2.
La sustracción de mezclas también puede llevarse a
cabo gráficamente. La diferencia (11) puede expresarse
como
II = L - V para la masa total
llxA
(4-13)
= Lx - Vy para cualquiera de los componentes
(4.14)
Si se reordena la Ec. 4-13, II + V = L, y resulta evidente
que la sustracción gráfica es equivalente a la adición
gráfica y que es aplicable la regla del brazo de la palanca
invertida. En este caso, la composición de la diferencia
XA queda sobre una línea recta que pasa a través de x y y
pero que se extiende más allá de estos puntos. Un examen de la Fig. 4-5, muestra las similitudes entre la adición y la sustracción gráficas.
La separación de la mezcla 1: en L1 y V1 que se estudió con anterioridad, puede considerarse como la
sustracción de \tí de 1: para obtener L1 (o como una
sustracción de L1 de 1: para obtener \tí ). Puede aplicarse cualquiera de las dos partes de la Fig. 4-5 para determinar las masas de L1 y V1. Un nuevo examen del Ej.
4-3, sugiere el procedimiento para resolver problemas
de sustracción en forma gráfica, considerándolos como
problemas de adición.
Los procedimientos gráficos pueden aplicarse a sistemas de dos componentes, en donde todas las composiciones posibles quedan en una sóla línea recta que va de
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CALCULOS DE ETAP AS DE EQUILIBRIO
Adición
V,y
Xc, Yc
¡ ,z
L,x
L+V=¡
y
\
x
Sustracción
L-V=~
L,x
V,y
y
Fig. 4-5 Comparación de la adición y sustracción gráficas.
x;. = 0.0 a Xa = 1.0. La regla de adición gráfica establece que, cuando se adicionan dos mezclas de a y b, la
composición de la mezcla resultante está situada en la
línea recta que pasa a través de Xa = 0.0 y Xa = 1.0.
Puede utilizarse la regla del brazo de la palanca invertida
para determinar el punto sobre la línea en el que queda
situada la composición.
Los métodos gráficos desarrollados en términos de
sistemas ternarios también se aplican a otros sistemas
en los que se conservan las propiedades. Por ejemplo,
en la destilación se conservan tanto la entalpía como la
masa, por lo que es posible efectuar cálculos gráficos en
un diagrama entalpía-composición. Además de la
entalpía inherente de las corrientes que entran y salen
de una etapa de equilibrio, un balance de entalpía debe
incluir también el calor que se agrega o elimina directamente de una etapa. Además de la ecuación del balance
de masa (Ecs. 4-1 y 4-2), es necesario escribir un balance de entalpía para la adición de dos corrientes:
(4-15)
donde ha es la entalpía de la corriente ~, H2 es la
entalpía de ~ y hr. es la entalpía promedio por unidad de
masa de mezcla L. Todas las entalpías se expresan por
unidad de masa de corriente. En los estudios sobre destilación, las masas de las corrientes se expresan en libras
mol, por lo que la entalpía se expresa en Btu/lb mol (o
en joules/mol). El calor que se añade a la mezcla es q en
Btu (o en joules). Si se elimina calor, q tiene un valor numérico negativo, pero también es aplicable la Ec. 4-15.
En los diagramas entalpía-composición, sólo están invo-
67
lucrados dos componentes, por lo que la Ec. 4-3 no es
necesaria. La regla de adición y la regla del brazo de la
palanca invertida están escritas en términos de composición y entalpía. Debido a que la adición de calor no
afecta al balance de masa, las Ecs. 4-10 a 4-12 son aplicables para los componentes a o b. Entonces, las ecuaciones para la regla del brazo de la palanca invertida son
válidas a lo largo del eje de composiciones.
Las relaciones de la regla del brazo de la palanca invertida para el eje de la entalpía se complican por el término de adición de calor q. Si q es cero, la Ec. 4-15 es
comparable directamente con la Ec. 4-3 y la derivación
de las relaciones de la regla del brazo de la palanca invertida es idéntica en forma a la de un sistema ternario.
En este sentido, la entalpía en la destilación puede considerarse como análoga del disolvente e en la extracción. En ésta, se emplea un disolvente e para separar un
componente a más soluble de un componente b menos
soluble. En la destilación, la entalpía se "emplea" para
separar un componente a más volátil de uno b menos
volátil.
Si q no es cero, la entalpía de la mezcla se incrementa
por la adición de calor al sistema. La Ec. 4-15 es el balance de energía correcta, pero es difícil obtener reglas
de adición y del brazo de palanca invertida debido al término q. En el diagrama de entalpía-composición, sólo
pueden graficarse términos de entalpía por unidad de
masa (por ejemplo, Btu/lb mol); pero q es simplemente
calor (Btu). Entonces, q debe expresarse en términos
que permitan su representación gráfica. Suponga que el
proceso de mezclado se divide en dos etapas:
1. Se mezclan ~ y ~ para dar L.
2. Se adicionan a L q unidades de calor.
El balance de entalpía para la etapa 1 es
(4-16)
donde hJ:l es la entalpía de la mezcla antes de adicionar
el calor. El balance de entalpía para la etapa 2 es
(4-17)
donde hr. es la entalpía final después de añadir q. La suma de estas dos ecuaciones conduce a la Ec. 4-15, tal
como se esperaba. La segunda ecuación puede ordenarse para dar
(4-18)
El término (hr. - Hr.) es simplemente el calor que se adiciona a la mezcla por libra mol de mezcla, como se indica en el lado izquierdo de la Ec. 4-18. Esta adición de
calor se identifica con un nuevo símbolo:
(4-19)
Reordenando se obtiene
hr.1=hr.- Q r.
(4-20)
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68
PRINCIPIOS DE OPERACIONES UNITARIAS
El término hr:¡. puede considerarse como una entalpía
ficticia, que se define con la Ec. 4-20.
Las reglas de adición y del brazo de palanca invertida
pueden aplicarse a la Ec. 4-16 para evaluar hr.l ' Ya que la
Ec. 4-16 tiene la misma forma que la Ec. 4-3, las relaciones del brazo de la palanca invertida (Ecs. 4-10 a
4-12) pueden expresarse en términos de entalpías. Por
ejemplo, ha, H2 Y hr:¡. quedan situadas en una lína recta;
la Ec : 4-12 se transforma en
(4-21 )
Esta ecuación puede usarse para evaluar hr:¡. , de tal forma que puedan determinarse, Or. o hr., dependiendo de
cuál se conozca.
La adición de calor podría definirse por libra mol de
L o V, en lugar de ~. Se obtienen así otras ecuaciones
útiles . (Véase el Ej. 4-4).
Ejemplo 4-4 Un líquido saturado que contiene 50%
en mol de etanol y 50% en mol de agua se calienta en
un tanque al vacío y cerrado. El líquido se evapora hasta
que la temperatura del líquido remanente es de 180 o F a
1 atm de presión.
(a) ¿Qué cantidad de líquido original se evapora?
(b) Cuánto calor por libra mol se añadió al sistema
para evaporar el líquido?
Solución (a) Puesto que el líquido se evaporó en un
tanque cerrado, el vapor que se formó permanece en
contacto con el líquido, por lo que existen condiciones
de equilibrio. Entonces, el líquido se encuentra a su
temperatura de burbuja, que es 180 °F. Su composición
debe quedar en la línea de líquido saturado en la curva
de entalpía de la Fig. 4-6, a 180 °F. En consecuencia, el
líquido remanente contiene 26.5% en mol de etanol. El
vapor debe quedar en la curva de vapor saturado a 180
o F, por lo que la fracción mol de etanol en el vapor es
0.565.
o
! 20000
~H~______________~~-----------l
;::::
:::>
Desde este punto de vista, el problema puede resolverse
como una adición o como una sustracción. Para la adición, el líquido original es ~ y el líquido y vapor finales
son L y V, respectivamente, de tal forma que ~ = L +
V. Para la sustracción, el líquido inicial es L, el vapor final V y el líquido remanente IJ.. Es decir, el vapor se
sustrae del líquido original para dar un líquido final (L V = IJ.). Aquí se utiliza la adición dejando la sustracción
como ejercicio (véase el Probo 4-18).
El problema debe plantearse como una adición: se
mezclan el líquido L y el vapor Ven equilibrio; el calor
se elimina hasta que la mezcla total llega a la condición
de líquido saturado. Esto es exactamente lo inverso al
proceso establecido. El calor que se elimina en el proceso inverso .es exactamente igual al que se añade en el
proceso directo. Ahora, pueden emplearse las ecuaciones que se derivaron utilizando los balances de masa y
entalpía para la adición, para resolver el problema. Con
base en la regla del brazo de la palanca invertida (Ec.
4-12):
longitud de la línea ~i
longitud de la línea X¡¡Z2
0.78
o por medio de la Ec. 4-12 para el componente a:
XaO -
Za
0.265 - 0.50
XaO -
Ya2
0.265 - 0.565
---=
=0.78
Entonces, se evaporaron 78% en mol del líquido original.
(b) Base: una libra mol del líquido original (~). Or. es
la cantidad requerida. Esto se calcula más fácilmente
con la Ec. 4-19, suponiendo que pueden determinarse
hr.l Y hr.. Se utiliza la Ec. 4-16 para localizar hr.l' Esta
ecuación requiere que ha , H2 Y hr:¡. formen una línea recta. Puede usarse la regla del brazo de la palanca invertida para determinar el punto sobre la línea en el que
queda hr:¡., pero es más fácil observar que la etapa 2 (Ec .
4-17) no implica la adición de masas, por lo que la composición después de la etapa 1, es la misma que después de la etapa 2. Como resultado, hr:¡. se localiza sobre
la línea recta entre (xa, ha) Y (Y2, H2 ), a Za = 0.5. De la
Fig. 4-6, hr:¡. = 17000. La mezcla ~ es un líquido saturado, por lo que hr. = 3500. Entonces, con la Ec. 4-19
,j)
Qk = 3 500 -
8.ro 15000
>
Esta, Or. es el calor añadido al proceso inverso. Entonces, el calor que se añade al proceso directo es 13 000
Btu/lb mol.
o
o
'O
'S
g
17000 = -13 500 Btu/lb mol
10000
ID
'O
ro
'c.
~
eQ)
5000
Base libre de disolvente
(xo,hol
h
0.2
0.4
0.6
0.8
x., v." fracción mol de etanol
Fig. 4-6
Solución al Ej. 4-4.
1.0
Los datos sobre equilibrio ternario para extracción pueden presentarse en una base libre de disolvente, como
se describe en el Cap. 3; el diagrama resultante puede
utilizarse para cálculos gráficos. Se puede aplicar las
reglas de la adición y del brazo de palanca invertida, pe-
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CA LCU LOS DE ETAPAS DE EQUILIBRIO
ro esta última relación algunas veces es indeterminada .
Al utilizar la base libre de disolvente, pueden encontrarse similitudes entre el disolvente en la extracción y
entalpía en la destilación . Cada uno de ellos puede considerarse como el "agente" que produce la separación.
Los cálculos gráficos con un diagrama de equilibrio con
base libre de disolvente son semejantes a los que se realizan con un diagrama entalpía-composición .
La base libre de disolvente resulta conveniente para
el cálculo, pero es quizá confusa a primera vista. Cuando se considera la masa de una corriente, el disolvente
se ignora y Lmicamente se toman en cuenta la masa de
los componentes a y b. Se utiliza una prima (' ) en los
símbolos de masa para denotar que la corriente se consiera con base libre de disolvente. Entonces, = L' es la
masa de a y b en la corriente L y!!. es el flujo neto de a y
b. Aquí se utilizan relaciones de masas para reportar las
composiciones. Entonces, )( es la masa de e por unidad
de masa de a + b. (Nótese el uso de letras mayúsculas
para la relación de masas.)
La notación y las relaciones son:
L'
69
a partir de un balance de masa:
Za = 0.333, Zb = 0,333, Ze = 0.333
Este punto z puede localizarse con la regla del brazo
de la palanca invertida sobre la línea entre x y y (Fig.
4-7). Por otra parte, en una base libre de disolvente:
L'
= 2000, Xa = 0.5, 3Xb = 0.5
V + O, Y., = 00 (Ya y Yb son indeterminadas)
Entonces L' + V' = L' = 2000 lb de a y b Y
1000
. 2000
1000
2000
1000
2000
Za = -- - = 0.5; Zb = - - = 0.5; Ze = - - = 0,5
Cuando Y,:
00, la regla de adición es correcta, aun
cuando no pueda utilizarse la regla del brazo de la palanca invertida. Y,: puede considerarse como infinito, por lo
que una línea recta desde cualquier otra composición
hacia Y será una vertical. Así, la composición de la su-
= masa de dos componentes (a y b) sin conside-
rar el disolvente (e), en la fase L.
V ' = masa de dos componentes a y b sin considerar
el disolvente (e) , en la fase V.
X
masa de cualquier componente (a, b o e) por
unidad de masa de L' .
y
masa de cualquier componente (a, b o e) por
unidad de masa de V'.
con esta notación,
1, )( puede tener cualquier valor
1, Y., puede tener cualquier valor
1.0
0.9
0.8
0.7
<.>
0.6
',;:;" 0.5
~ 0.4
0.3
0.2
0.1
Y,: es ahora la masa de disolvente por unidad de masa de
material libre de disolvente ( a + b) Y puede tener cualquier valor entre O y oo. Cuando se alimenta disolvente
puro, Y., (N + 1 1 = 00 y las expresiones de la regla del brazo de la palanca invertida que involucran al término Y C(N
+ 1 1 resultan indeterminadas. En este caso, es necesario
llevar a cabo las adiciones en forma numérica en lugar
de utilizar un método gráfico.
Ejemplo 4-5 Se adicionan 1000 kg de e puro a 2000
kg de una mezcla que contiene 50% de a y 50% de b.
Determinar la masa y la composición de la mezcla resultante con base en la masa total y en base libre de disolvente.
0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0
Xa,Ya,Za
5.0
A Yc =00
(V ' =O)
4.0
N 3.0
~
>< 2.0
1.0
Solución Con base en la masa total:
L = 2000, Xa = 0.5, Xb = 0.5
V= 1000, Ve = 1.0
y
L + V= L = 3000
OL--L__L-~~__~~__L--L__~
o 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0
X a. Ya. Z a
Fig. 4-7 Comparación de la adición en una base de masa total y en una base libre de disolvente. (a) base de masa total. (b)
base libre de disolvente.
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70 PRINCIPIOS DE OPERACIONES UNITARIAS
ma Z queda situada en una línea vertical por encima de
X (es decir, una línea recta entre X y Y, donde Y se encuentra en 00) (Fig . 4-7).
Etapa
Etapa
Etapa
3
2
ETAPAS MULTIPLES DE EQUILmruo
Los cálculos gráfico y numérico pueden emplearse en
una serie de etapas de equilibrio. Una serie de etapas,
como la que se muestra en la Fig. 4-8, permite una mayor recuperación del componente deseado que la que es
posible alcanzar con una sola etapa. Por ejemplo, el flu jo de salida de una etapa de extracción sólido-líquido
puede ponerse en contacto nuevamente con disolvente
fresco para eliminar más soluto. El flujo de salida de esta
segunda etapa puede lavarse otra vez con disolvente
fresco en una tercera etapa y continuar añadiendo nuevas etapas. Al añadir etapas, se logra una mayor recuperación de soluto, pero la concentración del soluto en el
extracto se va diluyendo. Si debe recuperarse del extracto, el soluto o el disolVente, la eliminación de grandes cantidades de disolvente podría ser costosa. Los
siguientes capítulos desarrollan métodos para lograr
una mayor recuperación y soluciones concentradas. Por
supuesto, si el soluto carece de valor y no hay necesidad de recuperarlo y si, además, no es un contaminante
objetable, los extractos diluidos dejan de se un problema. Un ejemplo sería el lavado de un pigmento insoluble
para eliminar trazas de la mezcla reaccionante con la
VI
Fig. 4-8 Contacto en etapas múltiples.
que se precipitó el pigmento. Aquí, las trazas de mezcla
reaccionante no tienen un valor de recuperación, pero
es necesario eliminarlas del pigmento. En esta situación,
el pigmento debe lavarse con tres lotes sucesivos de
agua limpia, que produce el sistema que se muestra en
la Fig. 4-8. El agua que se emplea para lavar puede
descartarse.
Ejemplo 4-6 Mil libras de mineral de cobre calcinado, que contienen 10% de CuS04 , 85% de ganga insoluble y 5% de humedad va a extraerse lavándolo tres
veces con lotes formados por 2000 lb de agua fresca. Se
sabe que los sólidos retienen 0.8 lb de solución por libra
de ganga. ¿ Cuál es :a composición de los lodos del flujo
de salida después de tres etapas de lavado 7
Solución La línea de flujo de salida se localiza en la
Fig. 4-9 a partir de los siguientes puntos (base: 1 lb de
ganga):
0.8
o
~
'"'" 0.6
'"E
"e
Q)
'0
'13
u
~
~ 0.4
%3 %2
Localización del f/uj
-
~
0.2
0.02
0.04
0.06
.>c;., Ya, fracción de masa CuS04
Fig. 4-9 Solución del Ej. 4-6.
0.08
d
.
o e salida
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CALCULOS DE ETAPAS DE EQUILIBRIO 71
0.8
= 0.445,
1.8
Fig. 4-9, la composición del flujo de salida de la tercera
etapa es 0.16% de CuS04 • La masa del flujo de salida
(L3 ) es de 1555 lb. De esta forma, el porcentaje de
CuS04 que no se recupera es
En xa = O, XC = Xb = -
1
1.8
= 0.555
(0.0016)( 1555)
(0.10)(1000) = 2.5 %
0.8
- 0.1 = 0.345,
1.8
En xa = 0.1, Xc = -
1
= 0.555
1.8
Xb = -
El proceso se representa en la Fig. 4-8. Las composiciones del mineral que entre (Xo ) y del disolvente fresco
(~) se localizan en la Fig . 4-9
XaO = 0.10, XcO = 0.05; YaO = 0.0, Yco
= 1.0.
En la primera etapa se mezclan 4 y Va; L1 Y \ti salen de
la etapa en equilibrio. Para la lixiviación, el equilibrio
ocurre cuando la solución que se adhiere a la ganga
tiene la misma composición que la solución que sale en
el extracto. Entonces, el flujo de salida está formado por
ganga, que se representa por el ángulo derecho y solución, cuya composición está situada en la diagonal, ya
que no contiene sólidos. Dado que 4 = 1000 Y Va =
2000, la composición de I¡ = 4 + Va se localiza con la
regla del brazo de la palanca invertida. Ahora, I¡ = L1
+ \ti y L1 , consiste de ganga insoluble y solución de
composición Y1' Entonces, puede considerarse que la
mezcla L1 + \ti está formada por ganga y solución. Debido a que la ganga está representada por el ángulo derecho (~ = O, X¡, = 1.0, -x, = 0.0), una línea recta que
pase por X¡, = 1.0 Y Zl localizará a Y1 en la intersección
con la diagonal.
Puesto que L1 = I¡ - \ti, la composición Xl y L1 se
localiza en la intersección de la línea de flujo de salida
con la línea recta que pasa a través de Z~ y Y1. En la segunda etapa, L1 se mezcla con Va y se repite el procedimiento descrito con anterioridad .
Para recuperar el sulfato de cobre de las soluciones que
se obtienen como producto en el Ej. 4-6, es necesario
evaporar una gran cantidad de agua. La cantidad de
agua que se requiere en cada lavado es elevada, por lo
que las soluciones resultantes están muy diluidas. En el
siguiente capítulo se trata un sistema que da lugar a un
extra~to de mayor concentración y requiere una menor
cantidad de disolvente para una recuperación dada de
soluto.
PROBLEMAS
4-1 Un vapor a 90 oC consiste de 30% en mol de propano,
30% en mol de n-butano y 40% en mol de n-pentano. Al
comprimir el vapor.
(a) lA qué presión, se inicia la condensación?
(b) lA qué presión se produce la condensación de la mitad
de los moles?
(c) lA qué presión termina la condensación?
4-2 Un líquido que contiene 40% en mol de n-pentano y
60% en mol de.n-hexano, se encuentra a 180 °F Y 100 Ib/plb2
abs. La temperatura se incrementa hasta que se ha evaporado
el 75% de los moles originales de líquido.lCuál es la temperatura final?
4-3 30 moles de n-heptano se mezclan con 50 moles de
n-octano a 70 oC. Determine la(s) composición(es) de la (s) faseIs) presente(s) a una presión de
(a)
5 000 N/m 2.
(b) 20000 N/m 2 .
(e)
40 000 N/m 2 .
4-4 Demuestre la composición (x.) de la diferencia (11):
Primero, es necesario calcular L1 mediante un balance
con respecto a la primera etapa.
L1
-
V1
Y1Z1
=-=
Z1 X 1
0.0465 - 0.0333
= 1.07
0.0333 - 0.0210
+ \ti = 3000 lb Y entonces, L1 = 1550 lb Y \ti
1450 lb. Para la segunda etapa, I.z se encuentra mediante la regla del brazo de la palanca invertida, con L1 =
1550 Y Va = 2000. Entonces se determina la cantidad de
L1
L2
L2 Y2Z2 0.99 - 0.74
-===
=0.83
V2 Z2X2 0.74 - 0.44
Ya que L2 + Ví = 3550 lb, L2 = 16151b, Ví = 1935 lb.
Para la etapa 3, ~ = L2 + Vo = L3 + 113, etc. De la
A=L- V
queda situada en una línea recta que se extiende entre la composición de las dos corrientes que se mezclan (x y y). Véase la
Fig. 4-5, pero no utilice la regla de la adición para comprobar
esta "regla de sustracción".
4-5 l Podría aplicarse la regla de la adición y la regla del brazo de la palanca invertida a una combinación de mezclas que
contengan cuatro componentes? Explique.
4-6 Derive una regla de adición y una regla del brazo de la
palanca invertida en términos de diagramas de entalpía-composición.
4-7 Realice las cálculos para las siguientes tres mezclas
empleando métodos gráficos. Utilice un diagrama triangular
con ~ en el eje horizontal y ~ en el eje vertical:
Q; 2000 lb: xa = 0.7, xb = 0.2, Xc = 0.1.
R : 1000 lb: xa = 0.3, Xb = 0.5, Xc = 0.2.
s: 3000 lb: xa = 0.1, xb = 0.2, Xc = 0.7.
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72
PRINCIPIOS DE OPERACIONES UNITARIAS
(a) Adicione Q a S y después sustraiga R.
(b) Sustraiga R de S y después adicione Q.
(c) Sustraiga R de Q y después adicione S.
(d) Adicione Q, R Y S.
4-8 Calcular gráficamente la composición de la mezcla resultante de los siguientes procesos. Utilice un diagrama triangular, graficando el agua en el eje vertical, la sal en el eje horizontal y la arena en el eje diagonal.
(a) Se evaporan 100 lb de agua a partir de 1000 lb de la siguiente mezcla: 35% de agua; 20% de sal; 45% de arena.
(b) Se mezclan 2000 lb de agua, 5000 lb de sal y 3000 lb de
arena .
(c) Las siguientes dos mezclas se ponen en contacto y después se retiran 250 lb de arena y se adicionan 250 lb de sal.
Mezclas iniciales:
1000 lb: 40% de arena, 10% de agua, 50% de sal.
200 lb: 10% de arena, 70% de agua, 20% de sal.
(d) Se se separan de la arena insoluble 300 lb de la solución
de la mezcla siguiente:
1000 lb: 35% de arena, 55% de agua, 10% de sal.
(e) Se eliminan de la siguiente mezcla 245 lb de una mezcla
(70% de arena, 20% de agua, 10% de sal):
400 lb: 40% de arena, 10% de agua, 50% de sal.
4-9 Se adicionan las dos siguientes mezclas:
125 kg: Xa = 0.52, X¡, = 0.3,x, = 0.12
82 kg:Xa = 0.25, Xb = 0.05, ~ = 0.70
Determine la composición de la mezcla, empleando gráficamente la regla del brazo de la palanca invertida.
(a) Midiendo la longitud de la línea entre las dos composiciones.
(b) Empleando las coordenadas Xa como medida.
(c) Empleando los coordenadas Xb como medida.
4-10 Se mezclan las siguientes dos fases:
200 lb: 20% ácido oleico, 80% de aceite de semilla de algodón.
100 lb: propano puro.
Determine gráficamente la composición de la mezcla :
(a) Usando la Ec . 4-10.
(b) Usando la Ec . 4-11.
(c) Usando la Ec . 4-12.
4-11 Calcular gráficamente la composicón de la mezcla resultante cuando se mezclan las siguiente tres soluciones:
250 kg : 15% de ácido acético, 85% de agua .
50 kg: éter isopropílico puro.
100 kg: 20% de ácido acético, 78% de agua, 2% de éter
isopropílico.
4-12 Cuarenta libras mol de agua a 1 atm de presión y 60 ° F
se mezclan con 30 lb mol de etanol a su temperatura de rocío y
1 atm. La mezcla resultante se calienta a 185°F Y 1 atm.
(a) ¿ Cuánto calor debe suministrarse a la mezcla?
(b) ¿ Cuáles son las composiciones y cantidades de las fases resultantes?
4-13 Se ponen en contacto los siguientes pares de fases,
permitiendo que se alcance el equilibrio en una sola etapa. Calcular gráficamente la masa y composición de las fases resultantes.
(a) 15 mol de líquido: 0.65 fracción mol de nitrógeno, 0.35
fracción mol de oxígeno a -193 oC y 1 atm .
25 moles de vapor: mezcla nitrógen%xígeno a su temperatura de rocío -185°C y 1 atm.
(b) 250 kg de propano líquido puro a 98.5 oC y 625 Ib / plg2
abs.
100 kg de un líquido: 30% en masa de ácido oleico,
70% en masa de aceite de semilla de algodón, a 98.5 oC y 625
Ib/plg2 abs .
(c) 400 ton de un mineral de cobre calcinado que contiene
12% en masa de CuS04 y 88% en masa de inertes insolubles.
1000 ton de agua.
(Los inertes retienen 1.3 ton de agua por tonelada de inertes.
Desde Luego, algo de CuS04 se disuelve en las 1-3 ton de
agua.)
(d) 1 lb mol de gas formado por 40% de propano y 60% de
propileno, a 25 oC.
300 lb de sílice gelatinosa a 25 oC.
4-14 Derive las Ecs. 4-11 y 4-12, mostrando con un diagrama la utilidad de las ecuaciones en el cálculo gráfico.
4-15 Calcular la cantidad mínima de dietilenglicol que debe
añadirse a 10.0 kg de una solución de 80% en mol de estireno y
20% en mol de etilbenceno, para producir dos fases. ¿ Qué
cantidad adicional de dietilenglicol tendría que añadirse para
producir nuevamente una sola fase?
4-16 El efecto neto de los siguientes procesos de dos etapas es equivalente al proceso descrito por la Ec. 4-15:
1. Se añaden al líquido L, Q Btu de calor.
2. La mezcla resultante se adiciona al vapor V para formar
la mezcla 1:.
(a) Empleando este procedimiento de dos etapas, desarrolle un método de cálculo para evaluar la entalpía y composición final de 1:.
(b) Utilizando un diagrama similar al de la Fig. 4-6, localice
Q, esto es, el calor que es necesario añadir por libra mol de
líquido original.
4-17 Resolver el Probo 4-4 empleando el método que se desarrolló en el Prob o 4-6.
4-18 Resolver el Ej. 4-4 empleando el método de sustracción gráfica.
4-19 Derive una regla de adición gráfica y una regla de brazo de la palanca invertida para usarla en coordenadas libres de
disolvente. Defina con cuidado todos los términos.
4-20 Un cierto tipo de arena de playa contiene 85% de arena insoluble, 12% de sal y 3% de agua. Se van a extraer 1000
lb de esta mezcla, de tal forma que después de secarse contengan solamente 0.2% de sal. ¿ Cuántas etapas de lavado con
lotes de 2000 lb de agua pura se requieren para alcanzar la pureza deseada? La arena retiene 0.51b de agua por libra de arena insoluble.
4-21 Mil libras de un solución que contiene 35% en masa
de ácido acético en agua, van a extraerse con 2000 lb de éter
isopropílico puro. Calcular la fracción de ácido acético que se
elimina de la fase acuosa en cada uno de los siguientes casos.
(a) El éter se divide en cuatro fracciones de 500 lb. La solución acuosa se mezcla con una de las fracciones de 500 lb, se
separa la fase éter y la fase acuosa remanente se lava con la segunda fracción de éter. El proceso continúa hasta utilizar las
cuatro fracciones.
(b) Lo mismo que en la parte (a), pero las fracciones son
sucesivamente de 1000, 500 Y 500 lb.
(c) Lo mismo que en la parte (a), pero se emplean tres fracciones de 667 lb cada una.
(d) Se emplea un sólo enjuague de 2000 lb de éter.
4-22 ¿ Cuánto propano debe agregarse a 1 kg de aceite de
semilla de algodón para que se formen dos fases? ¿ Qué cantidad adicional de propano debe añadirse antes de que la mezcla
retorne a una sola fase?
4-23 Una libra mol de un gas que contiene 50% en mol de
propano y 50% en mol de propileno, se ponen en contacto
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CALCULOS DE ETAPAS DE EQUILIBRIO
con 300 lb de sílice gelatinosa a 25 oC y 1 atm, hasta alcanzar
el equilibrio. Se elimina el gas resultante que se pone en contacto con un lote fresco de 300 lb de sílice gelatinosa. ¿Cuál es
la composición final del gas después del contacto con tres lotes sucesivos de 300 lb de sílice gelatinosa?
4-24 Cien libras de una solución al 30% de ácido acético en
agua, se mezclan completamente con 100 lb de éter isopropílico puro, a 20 oC. Se separan las dos fases resultantes y la fase
acuosa se mezcla con un segundo lote de 100 lb de éter
isopropílico. De nuevo resultan dos fases.
(a) ¿Qué porcentaje del ácido acético de la solución original permanece en la solución acuosa final?
(b) ¿Qué cantidad de agua se transfirió a la fase de éter en
los dos contactos?
4-25 Diez libras mol de una solución equimolar de etanol y
agua, se calienta desde 60°F hasta una temperatura a la cual
se evapora la mitad de la mezcla original (en base molar) . Suponga que el vapor que se forma permanece en contacto con
el líquido remanente.
73
(a) ¿Hasta qué temperatura se calienta la mezcla?
(b) ¿Cuál es la composición del vapor que se forma?
(c) ¿Cuánto calor se adiciona?
4-26 Diez moles de un vapor saturado (79% de ~, 21 %
Üz), se mezclan con 20 mol de un líquido saturado (15% de
~ , 85% de Üz) a presión atmosférica normal.
(a) Calcular las cantidades y composiciones de las fases en
equilibrio resultantes.
(b) ¿Cuál es la temperatura de las fases en equilibrio resultantes?
(c) ¿Cuánta energía tendría que añadirse para convertir la
fase líquida resultante en un vapor saturado?
4-27 Escriba un programa de computadora para resolver el
Ej. 4-5.
(a) El programa debe calcular la recuperación para cualquier-número preestablecido de etapas de lavado.
(b) El programa debe calcular el número de etapas requerido para cualquier recuperación de CuS04 preestablecida .
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Cinco
Operaciones de Multietapas
a Contracorriente
Al diseñar un proceso de separación, el ingeniero se interesa en la separación de los constituyentes de una
mezcla para obtener fracciones más o menos puras. La
recuperación y la pureza que se requieren para un producto, dependen del uso final del mismo; el ingeniero
debe preparse para diseñar una operación de transferencia de masa que sea capaz de dar el producto que se
requiere al menor costo. Rara vez, una etapa única es
suficiente para alcanzar una alta recuperación y pureza
del producto. La mayor separación posible en una etapa
se obtiene cuando las dos fases que salen de ellas se encuentran en equilibrio; sin embargo, por lo general, esta
separación también suele ser inadecuada.
Para obtenet la separación deseada, deben utilizarse
varias etapas en serie. En el Cap. 4 (Fig. 4-8) se trató
uno de los posibles sistemas. Como se ilustra en el Ej.
4-5, este sistema conduce a un alto porcentaje de recuperación para el componente deseado. Un número
adicional de etapas en serie conduciría a una recuperación aun mayor, si esto fuera necesario. Debido a que
en cada etapa se añade disolvente fresco, el soluto recuperado se encuentra muy diluido. En la siguiente etapa del proceso, el soluto puede recuperarse a partir del
disolvente por evaporación. Tal recuperación sería costosa debido a la gran cantidad de calor que es necesario
suministrar para evaporar el disolvente. Además, en
muchos casos, el costo del disolvente es elevado, por lo
que es deseable utilizarlo en pequeñas cantidades.
Para conservar el disolvente y obtener en el extracto
final un producto más concentrado y puro, el extracto de la última etapa (\.S en la Fig. 4-8) puede usarse como disolvente que se alimenta a la penúltima etapa. El
extracto de la última etapa está muy diluido, por lo que
puede considerarse que no es muy distinto al disolvente
puro. Así, el extracto de la penúltima etapa se utiliza como alimentación de disolvente a la etapa previa. Este
sistema continúa a través de todas las etapas, de tal forma que, para cualquier número de etapas, sólo exite
una alimentación de disolvente fresco (a la última etapa)
y un sólo producto que se extrae (de la primera etapa).
Debido a que la fase V fluye ahora en una dirección
opuesta a la de la fase L, el sistema se conoce como flujo a contracorriente. Este sistema se utiliza siempre en
equipo de multietapas. La fuerza motriz para la transferencia de masa sigue activando, debido a que el disolvente fresco que entra tiene contacto con la fase de
refinado más diluida, mientras que el extracto concentrado tiene contacto con la fase de refinado concentrado que entra. La operación de multietapas a contracorriente permite lograr altas recuperaciones y purezas
elevadas.
La absorción, extracción y adsorción utilizan el patrón simple de flujo a contracorriente que se describe.
Un ejemplo de una operación industrial de extracción de
multietapas es el que se muestra en la Fig. 5-1. Aunque
en la destilación se utiliza el flujo a contracorriente, el
patrón de flujo es más complejo. Esto se trata en el
siguiente capítulo. Con fines de ilustración, la mayor
parte del siguiente estudio está en términos de extracción, pero los conceptos que se desarrollan son aplicables a todas las operaciones en etapas. La terminología para distintas operaciones se resume en la Pág. 157.
Los cálculos de operaciones de multietapas por lo general se aplican a problemas de sfntesis o de análisis. En
el diseño de un proceso industrial nuevo, el ingeniero
debe sintetizar una operación en etapas para llevar a
cabo la separación que se especifica. Para operaciones
simples a contracorriente, esto puede involucrar el cálculo del número de etapas que se requieren para llevar a
cabo una separación con una recuperación y pureza de
producto específicas. Tales cálculos requieren de información sobre el equilibrio de fases y las velocidades de
flujo de fases. Después que se determina el número
de etapas de equilibrio, se aplica una eficiencia de etapa
para calcular el número de tapas reales que deben construirse. Entonces, se utilizan las velocidades de flujo de
ambas fases para calcular las dimensiones físicas de cada etapa real. También debe considerarse un buen número de problemas mecánicos.
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76
PRINCIPIOS DE OPERACIONES UNITARIAS
En el análisis de una pieza de equipo existente, puede
consultarse al ingeniero para que determine si es posible
mejorar la recuperación del producto o incrementar la
pureza, si es factible procesar una mayor cantidad de
material o si dicho equipo puede emplearse en una aplicación diferente. En este caso, el número de etapas reales está fijo, por lo que el ingeniero debe calcular la recuperación de producto y la pureza que puede obtenerse
con otras condiciones de operación. Esposible variar las
velocidades de flujo de las fases, pero sólo dentro de
las limitaciones del equipo. Los cambios de temperatura
o presión, pueden afectar favorablemente al equilibrio
de fases para obtener el rendimiento deseado. Un nuevo' disolvente, adsorbente o absorbente, puede mejorar
la recuperación y hacer posible el uso del equipo existente. Además de los principios que se consideran en
este capítulo, la síntesis y el análisis de equipo industrial, requieren de conocimientos de mecánica de
fluidos y diseño mecánico, así como una experiencia
previa considerable.
BALANCES
GLOBALES
Los balances de masa y entalpía con respecto a una serie completa (o cascada) de etapas se conoce como balance global. En un balance global, sólo se consideran
las corrientes que entran o salen del proceso como un
todo.
Los balances globales pueden tomarse con respecto
a una cascada a contracorriente generalizada como la
que se muestra en la Fig. 5-2. Los símbolos L, x y h se
refieren a la masa, composición y entalpía de la fase L
en cualquier punto; los símbolos V, y y H se refieren a la
masa, la composición y entalpía de la fase V. Si la masa
se expresa en libras (o kilogramos), la composición debe
estar en fracción masa y la entalpía en Btu/lb (o J/kg).
Si la masa está en libras mol (o moles), la composición
debe estar en fracción mol y la entalpía en Btu/lb mol (o
J/mol). Los subíndice numéricos (0, 1, ... , N) se refieren a la etapa de la cual fluye una corriente. Cuando
es necesario distinguir entre los componentes, se emplea otro subíndice (a, b o el.
Puede escribirse un balance global para cualquier propiedad que se conserve en la cascada. Entre estas
propiedades se encuentran típicamente la masa total, la
masa de cualquier componente y la entalpía. En estado
Fig. 5-1 Extracción líquida de aceites lubricantes. Las dos
torres que se encuentran en la parte central derecha son equipos de contacto de disco rotatorio, en los que se emplea un disolvente como el propano para separar el aceite lubricante de
los componentes asfálticos indeseables, utilizando una extracción líquido-líquido. El disolvente se alimenta por el fondo de
las torres, que operan en paralelo, mientras que el aceite lubricante se alimenta por el domo.
El extracto que sale por el domo se alimenta a la columna
de agotamiento que se encuentra en la parte central izquierda
de la fotografía, en donde el disolvente es sometido a una evaporación repentino, en una operación de agotamiento con
rehervidor (Cortesía de Foster Wheeler Energy Co.)
Fig. 5-2 Contacto de multietapas a contracorriente. Normalmente, el soluto de interés se transporta en la corrientej., ; debido a esto, se le considera como la corriente de alimentación F.
H2
Y2
H",
H"'+l
Y¡
Y",
Y"'+l
V¡
V2
V:v
VN+1
H¡
Etapa
1
~
Xo
ha
H
"'1
hl
Etapa
2
l' JI< .1
t. ---+-
x,ÓI
h,ÓI
Etapa
N-l
8
Etapa
N
~
X.V_l
xN
hN-1
hN
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OPERACIONES DE MULTIETAPAS A CONTRACORRIENTE
77
estable, que es el que se supone aquí, la cantidad que
entra debe ser exactamente igual a la cantidad que sale:
Balance total de masa:
LO+VN+1=L = LN+V1
(5-1)
Balance de masa por componente:
Xc, Yc
Loxo + VN + 1YN+1 = LZ:E = LNxN + V 1Y1
(5-2)
Balance en entalpía:
Loho + VN + 1 H N + 1 = Lh:E = LNhN + V 1H 1
(5-3)
Este balance de entalpía supone que no se absorbe o elimina calor a través de las paredes de la cascada.
Puede escribirse un balance de componente (Ec. 5-2)
para cada uno de los componentes presentes . Los lados
izquierdo y derecho de las Ecs. 5-1, 5-2 Y 5-3 definen los
balances globales. El término central de todas estas
ecuaciones, es una definición de la masa (~), la composición (z,:l y la entalpía (h,:l de la suma ficticia ~. La suma es ficticia debido a que, por ejemplo, Lo nunca se
suma en realidad a VN + 1 en un sentido físico. Esta suma
es útil para resolver gráficamente balances globales, como se estudia más adelante.
La composición de la suma ficticia se define resolviendo la Ec. 5-2 para z~ y sustituyendo por ~ en la
Ec. 5-1.
Fig. 5-3
Determinación gráfica del balance global de masa.
Así, si se conoce XN , Y1 puede determinarse trazando
una línea recta entre X N yz~ , extendiéndola hasta la intersección con la curva del extracto . Las masas de LN y
V1 pueden determinarse aplicando la regla del brazo de
palanca invertida a línea XNZ~ Y1. Unicamente se necesita la Ec. 5-4 para hacer el balance global de masa para el
sistema de tres componentes de la Fig . 5-3. Por otra
parte, para el cálculo con un diagrama entalpíacomposición, son relevantes tanto la Ec. 5-4 como la
5-5, debido a que deben establecerse tanto los balances
de masa como los de entalpía.
(5-4)
CALCULOS ETAPA POR ETAPA
En forma similar, la entalpía de ~ se obtiene combinando las Ecs. 5-1 y 5-3
Loho + VN + 1 Hn+1
h :E = - - - - - - - Lo + VN + 1
(5-5)
La composición y la entalpía de la suma ficticia pueden representarse como un punto en un diagrama que
muestre el equilibrio de fases para el sistema (como el
de la Fig. 3-4). Este punto sigma puede definirse empleando las coordenadas que se obtienen, en las Ecs.
5-4 y 5-5. Las ecuaciones son simplemente expresiones
analíticas de la regla de la adición que se desarrolló en el
Cap . 4. Al examinar el grupo del lado derecho de la Ec.
5-4, se observa que es simplemente la suma de las masas de un componente, dividida entre la suma de las
masas totales de las dos corrientes, LN y V1 . En forma
similar, la Ec. 5-5 es la suma de las entalpías de las dos
corrientes divididas entre la masa total de las corrientes.
Los cálculos que utilizan las Ecs. 5-4 y 5-5 se llevan a cabo con mayor facilidad gráficamente. El procedimiento
se muestra en la Fig. 5-3. Por ejemplo, suponga que se
conoce la masa y composición de las corrientes Lo y v", + 1 .
Es posible entonces localizar z~, tal como se muestra.
En un cierto tipo de cálculo para un flujo a contracorriente, existe suficiente información disponible para
calcular el balance global de masa descrito con anterioridad. Después de utilizar un balance global de masa
para detrminar las condiciones finales de la cascada,
pueden hacerse cálculos etapas por etapas para determinar el número de etapas de equilibrio que se requiere
para obtener las condiciones finales que se desean.
El cálculo puede iniciarse en cualquier extremo de la
cascada. Si, por ejemplo, se conocen Y1 y H 1 , el uso de
las relaciones de equilibrio conduci rá a Xl y h1 • Es necesario ahora desarrollar una interrelación entre Xl y,h1 Y
Y2' H2 • Las dos corrientes L1 y \1;, se cruzan entre las
etapas 1 y 2. Con objeto de calcular la cantidad y composición de \1; a partir de los datos de L1 , debe introducirse el concepto nuevo de flujo neto. Puesto que no
existe acumulación de un constituyente, una propiedad
o una cantidad total en la cascada, el flujo neto es constante a través de la cascada. El flujo neto es una corriente ficticia; es la diferencia entre dos corrientes que en
realidad no se sustraen una de la otra.
El flujo neto hacia la derecha en la cascada que se
muestra en la Fig. 5-2, se define como la diferencia
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78
PRINCIPIOS DE OPERACIONES UNITARIAS
entre el flujo hacia la derecha y el flujo hacia la izquierda, o bien:
sustrajera V de L. Combinando las Ecs. 5-6 y 5-7 se obtiene
Llx~
Flujo neto total:
X~
(5-6)
=--=
~
Loxo -
V 1 Y1
Lo -
V1
LNxN LN -
Lnxn -
V n +1Yn+1
Ln - V n + 1
V N + 1YN+l
VN+1
Flujo neto por componente:
Llx~ = Loxo -
flujo neto del componente
flujo neto total
V 1Y1 = Lnxn - V n + 1 Yn+1
(5-9)
(5-7)
Flujo neto de entalpía:
t::JJ~ = Loho -
V 1 H 1 = Lnhn -
=LNhN-VN+1HN+1
V n + 1 Hn+1
(5-8)
Las Ecs. 5-6, 5-7 Y 5-8 establecen que el flujo neto es
constante en cualquier punto de la cascada. Por ejemplo, la Ec. 5-6 puede comprobarse mediante el siguiente
desarrollo. El flujo neto total (M de masa en el extremo
izquierdo de la cascada, es igual a la masa que fluye hacia la derecha (Lo ), menos el flujo hacia la izquerda (V¡ ).
En forma similar, en el extremo derecho de la cascada,
el flujo neto total (M es igual a LN - VN + 1 • Por medio de
la Ec. 5-1.
Lo -
V 1 = LN - V N +1
Por tanto, el flujo neto total es el mismo en cualquier
extremo de la cascada. Se puede comprobar fácilmente
que el flujo neto total en cualquier etapa (L n - \1" - 1), es
igual al de cualquier extremo al escribir un balance de
masa entre cualquier extremo y la etapa n. Así, el flujo
neto total es constante en cualquier punto de la cascada. Las Ecs. 5-7 y 5-8 pueden justificarse en forma similar. El concepto de flujo neto es útil debido a que los flujos netos son constantes a lo largo de la cascada. Una
vez que se evalúan en cualquier extremo de la cascada,
los valores pueden utilizarse en cualquier punto. Por lo
general no es necesario determinar los valores reales de
los flujos netos en los cálculos gráficos, pero el concepto es útil en los cálculos etapa por etapa, tal como se
describe en el siguiente estudio.
Los numeradores de la Ec. 5-9 son los flujos netos de
cualquier componente y los denominadores corresponden al flujo neto total. Entonces, si el flujo neto de un
componeñte tiene una dirección opuesta al flujo neto
total, X 4 tendrá un valor negativo para ese componente.
La aplicación de la regla de adición gráfica a las Ecs.
5-6 y 5-7 para la cascada completa, muestra que X 4 debe
quedar en la línea Y1Xo prolongada y también en la linea
recta YN + 1 XN prolongado. Esto se muestra en la Fig. 5-4.
Para el caso que se muestra, x"" y Xa¡, son negativos,
mientras que X 4c es positivo y mayor de 1.0. Esto indica
que los flujos netos del sol uta y el componente principal
del refinado van en dirección opuesta al flujo neto total,
pero el flujo neto de disolvente tiene la misma dirección
que el flujo neto total y es mayor que éste. Aun para la
corriente ficticia. A., Xc + Xb + Xc debe ser igual a 1.0.
Por ello, si Xc y Xb son negativos, Xc debe ser mayor de
1.0. El punto delta, que se localiza mediante el uso de
las concentraciones en los extremos de la cascada, se
usará para calcularla etapa por etapa, tal como se ilustra
en el siguiente estudio.
Las Ecs. 5-6, 5-7 y 5-8 también definen el flujo neto
en cualquier etapa n de la cascada. Puede observarse
Debido a que el flujo neto se define como positivo hacia la derecha, un flujo neto hacia la izquierda tiene un
valor numérico negativo. Por ejemplo, si VN + 1 es mayor
que LN , la Ec. 5-6 indica que el flujo neto total A. tiene un
valor negativo, por lo que el flujo neto total va hacia la
izquierda. En términos físicos, esto significa simplemente que el flujo de masa hacia la izquierda es mayor que el
que va hacia la derecha.
La Ec. 5-7 define el flujo neto de un componente. Por
ejemplo, si se va a extraer sulfato de cobre de un mineral calcinado (Lo) usando agua (VN + 1 ), existirá un flujo
neto de ganga insoluble y sulfato de cobre hacia la derecha y un flujo neto de agua hacia la izquierda. El término X4 es la compOsición ficticia de A. que resultaría si se
Xa,Ya
Fig. 5-4 Determinación gráfica del punto delta y el cálculo
etapa por etapa.
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OPERACIONES DE MULTIETAPAS A CONTRACORRIENTE 79
que el flujo neto para un componente es constante a
través de todas las etapas en estado estable, por lo que
el punto delta (x A ) es válido en cualquier punto de la cascada. Puesto que Il = L 1 - \tí y Ilx A = L1Xl - \tí Y2' el
valor de Y2 queda en la línea recta X AX1 . También debe
localizarse sobre la envolvente de fases, debido a que \tí
fluye desde una etapa de equilibrio. La determinación
de las composiciones de las fases en etapas sucesivas,
puede hacerse también mediante el uso alternado del
punto delta y los datos de equilibrio. La ubicación de Xl
a partir de Yl mediante la línea de unión y de Y2 a partir
de Xl mediante el punto delta, se muestra en la Fig. 5-4.
Una vez que se ubica Y2' puede encontrarse X2 Y continuar así, mediante la aplicación alternada de los datos
de equilibrio y el punto delta, hasta que la composición
Xn de la fase refinado que sale de una etapa, sea igualo
mayor a la composición final deseada, XN • El cálculo etapa por etapa también puede efectuarse en la dirección
opuesta, de XN a Yl . La selección de la dirección depende de la información con que se cuente originalmente.
En algunos casos, se especifica un porcentaje de recuperación de soluto en el extracto. Es posible calcular las
composiciones de salida a partir de esta información.
La combinación de las Ecs. 5-6 y 5-8 resulta en la
coordenada de entalpía para el punto delta
L oh o-V1 H 1
Lo - V 1
Lnhn-Vn+1Hn+1
= ~~--~--~~Ln - V n + 1
LNhN - V + HN+1
N 1
= ----------------LN - VN+1
(5-10)
el cual puede emplearse en diagramas de entalpía-composición junto con la Ec . 5-9, para ubicar el punto delta.
El cálculo de los balances globales de materia y entalpía
y el cálculo etapa por etapa con un diagrama de entalpía-composición, sigue los procedimientos descritos
previamente para diagramas de composición ternaria.
La entalpía puede considerarse como un sustituto del
disolvente.
El procedimiento gráfico para determinar el número
de etapas que se requiere, descrito en párrafos anteriores, se emplea en problemas de síntesis cuando existen suficientes datos disponibles de recuperación y
composiciones de salida. Puede resumirse como sigue:
1. Se utilizan balances globales para determinar las
composiciones de salida que no s~ conocen.
2. Se localiza el punto delta (x A ) en la intersección de
XoYl YX n YN+l'
3. Iniciando con Yl' se recorren las etapas usando las
relaciones de equilibrio para encontrar cualquier Xn de la
Yn correspondiente y se emplea el punto delta para ubicar cualquier Yn + 1 de la Xn correspondiente. El recorrido
de las etapas termina cuando Xn es igual o menor que
JW. Las etapas pueden recorrerse comenzando con XN
esto es, invirtiendo el procedimiento anterior (es decir,
encontrar Yn a partir de Xn y después encontrar Xn - 1 a
partir de Yn , continuando hasta que YN sea igualo mayor
que Yl)'
En problemas de análisis, donde el número de etapas
está fijo y la recuperación va a determinarse, el procedimiento gráfico es por el método de prueba y error. Los
pasos son los siguientes:
1. Se conoce el punto sigma (L = 4
+ VN + 1 ) pero
Yl y XN se desconocen, por lo que el balance está in-
completo. Sin embargo, se sabe que Yl' Zr. Y XN forman
una línea recta.
2. Se supone un valor"para JW, con lo cual se ubica
Yl (con la regla de la adición). Se trazan las etapas a partir de Yl hasta XN •
3.- El número de etapas que resulta del cálculo se
compara contra al número correcto. Si no son iguales,
se supone un nuevo valor de XN , se localiza una vez más
Yl y de nuevo se trazan y comparan las etapas. Se repite
este procedimiento hasta que el valor supuesto de XN
conduce exactamente al número correcto de etapas.
4. La recuperación se calcula a partir de las composiciones de salida correctas.
Existen diferentes variaciones de estos procedimientos básicos pero dichas variaciones se basan en las mismas relaciones fundamentales.
Ejemplo 5-1 Se va a extraer ácido acético de 2000
kg/h de una solución acuosa al 40%, mediante una
extracción a contracorriente con 3000 kg/h de éter
isopropílico puro. La concentración del ácido acético se
reducirá hasta el 3% en el refinado de salida. ¿ Cuántas
etapas de equilibrio se requieren para reducir la concentración del ácido acético al 3%?
Solución La solución completa se da en la Fig. 5-5.
En este caso hay tres componentes a considerar. Por
ello, se utiliza un diagrama de tres componentes (ternario). Se ubica Yl mediante un balance global de masa.
Primero, se ubica Zr. sobre la línea Xo YN + 1 mediante la
regla del brazo de la palanca invertida.
2000
3000
=----=
YN+1 Z-¡; -
Z-¡;
Xo
=
2
3
Entonces, puesto que LN + Vi = L, Yl debe quedar
sobre la envolvente de fases en la prolongación de la
línea XNZr..
El punto delta se localiza ahora sobre la prolongación
de las líneas rectas Xo Yl Y XN YN + 1 • El cálculo de las etapas se puede iniciar ya sea con Yl o con XN' Empezando
con el extracto final (Yl), Xl debe estar en equilibrio con
Yl y el valor de Xl se determina mediante la curva de
equilibrio, como se muestra con la construcción gráfica.
Ya que L1 - \tí = Il, Y2 queda situada en la intersección
de la línea recta X A X1 Y la envolvente de fases. A partir
de los datos de equilibrio, se determina X2 Y la construcción continúa hasta que Xn es igualo menor que XN' Esto ocurre entre x13 Y X 14 • Por consiguiente, se requieren
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80
PRINCIPIOS DE OPERACIONES UNITARIAS
2. Porcentaje de recuperación. Es deseable recuperar tanto como sea posible al componente a. Un VI Yl a o
un LNxNa pequeño da una recuperación alta.
3. Número de etapas. Mientras más etapas se requieran mayor será el costo del equipo.
4. Relación VIL. Una relación VIL alta origina productos en fase V diluidos, pero tiene una recuperación
elevada.
Al especificar cualesquier dos de estas cuatro variables, las otras dos quedan fijas . La selección óptima de
los valores de las variables requiere de un análisis económico, considerando el costo del equipo, los materiales de proceso y las separaciones posteriores cuando
son necesarias. Para esta discusión, se supone que el
componente que se desea está en el producto de la fase
V. Es posible hacer un análisis similar para el caso en el
que el producto que se desea está en la fase L. En
muchos casos, ambas fases contienen productos valiosos que deben recuperarse. Rara vez es posible alcanzar una recuperación alta así como una gran pureza de
ambos productos, con un flujo simple a contracorriente.
Xa
Fig. 5-5
Solución del Ej. 5-1.
aproximadamente 13.5 etapas de equilibrio. Las líneas
discontinuas de la Fig. 5-5, son líneas de unión de
equilibrio para las etapas del ejemplo. Se omiten las
líneas de construcción hasta X A después, de las dos primeras, con el fin de evitar que se confundan las líneas
de unión de las etapas.
Las coordenadas del punto delta pueden leerse de la
Fig. 5-5, o calcularse con la Ec. 5-9 como x. = -0.012,
X b = -0.45, Xc = 1.46. Los valores negativos de x. y X b ,
indican que los flujos netos de ácido acético yagua van
en dirección opuesta al flujo neto total. En este caso, el
flujo neto total va hacia la izquiereda. Por consiguiente,
los flujos netos de ácido acético yagua se dirigen hacia
la derecha. Aun para esta composición ficticia, Xa + Xb
+ Xc = -0.012 + (-0.45) + 1.46,: 1.
VARIABLES DE DISEÑO Y OPERACION
Hay cuatro variables importantes que deben considerarse en las operaciones simples a contracorriente:
1. Pureza del producto . La concentración del componente a debe ser alta, para que no se dificulte una
mayor purificación posterior. Por ejemplo, en la extracción el extracto final debe ser rico en soluto (alto valor
de Yal ), para que la recuperación posterior del sol uta a
partir del extracto no sea costosa.
Ejemplo 5-2 Desarrolle y grafique las relaciones entre las siguientes variables para la mezcla de alimentación y disolvente del Ej. 5-1 .
(a) Pureza del extracto (concentración de soluto en
el extracto Yla)'
(b) Recuperación de soluto en el extracto (porcentaje de soluto que entra y sale con el extracto).
(c) Número de etapas.
(d) Relación VIL.
Solución Este problema puede resolverse por distintos caminos. La solución produce una gráfica de pureza
del extracto y recuperación del sol uta como funciones
de VIL, con el número de etapas como parámetro independiente. Se muestran como ejemplo en detalle los
cálculos para un valor de VI L. Suponga que VI L = 2.0
y que N = 5 etapas. En la Fig. 5-6 se muestra la solución
por el método de prueba y error. Se grafican las composiciones Xo y YI Y se ubica Z:c,. Con VIL = 2.0, Z:c, es 2/ 3
de la distancia entre Xo y YI (esto se mide con facilidad
en el eje vertical donde Zú = 0.667). Se traza una línea
recta a través de Z:c" de tal forma que intersecte tanto a
la curva del extracto como a la del refinado. La intersección con la curva del extracto es YI y la intersección con
la curva del refinado es XN • Estos puntos, junto con Xo y
YI' se utilizan para ubicar X A Y recorrer las etapas empezando por YI . La primera línea recta (Prueba 1 en la Fig.
5-6) dio más de cinco etapas y la Prueba 2 dio menos de
cinco etapas. La Prueba 3 es correcta, puesto que dio
exactamente cinco etapas, tal como se muestra. En
consecuencia Yla = 0.148. Para determinar la recuperación, debe determinarse Vi. Por medio de la regla del
brazo de la palanca invertida en la línea Y¡Z:c,Xo :
V 1 = 6000
0.667 - O
= 5030
0.795 - O
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OPERACIONES DE MULTIETAPAS A CONTRACORRIENTE
Prueba
1
VIL minimo
No siempre puede hacerse una selección arbitraria de
dos de las cuatro variables del proceso. Existen limitaciones impuestas por las propiedades físicas del sistema
que se procesa. Por ejemplo, un examen de la Fig. 5-7,
muestra que es imposible obtener una recuperación del
60% del soluto con un valor de VIL deO.B, debido a
que, incluso con un número infinito de etapas, sólo se
alcanza una recuperación del 31 %. Si se especifica una
recuperación del 60%, el valor mínimo de VIL con el
que se logra tal recuperación es de aproximadamente
0.65, como se muestra en la Fig. 5-7. La línea para N =
00 da el valor mínimo de VIL para cualquier recuperación .especffica y L.
En un problema típico de extracción, al disminuir el
flujo de disolvente (V), se requieren más etapas de
equilibrio para lograr la recuperación de soluto que se
especifica. Por último, se logra un valor de flujo de disolvente para el que se requiere un número infinito de
etapas con el fin de obtener la recuperación. Esto se conoce como flujo mínimo de la fase Vo VIL mínimo.
Aunque el VIL mínimo no tiene usos prácticos, es útil
como valor limitante para el flujo real. Con frecuencia se
1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
0.2
0.1
XOJ
0.3
Ya
0.3
0.2
Ya
0.1
O
81
0.05
O
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
0.4
Xa
Fig.5-6
100
Solución del Ej. 5-2. VIL = 2.0; N = 5.
e
'o
'ü
'C."
Q:;
80
:J
o
e
Entonces,
Recuperación
Q)
"O
=
5030 x 0.148
= 93%
2000 x 0.40
A continuación se calculan otros valores de N para VIL
= 2; con esto, se selecionan otros valores de VIL. Los
resultados finaíes se dan en la Fig. 5-7. El examen de
esta figura muestra' que, para este sistema, es posible
lograr una pureza máxima del 25%, pero que esto
ocurre a bajas recuperaciones. El porcentaje de recuperación aumenta con VIL, pero la pureza del producto
disminuye con VIL. Para altos valores de VIL, la pureza
y la recuperación se aproximan a valores asintóticos,
con la recuperación tendiendo a un valor de 100%,
mientras que la pureza tiende a 0% a medida que VIL
tiende a infinito. En la operación real, debe hacerse un
balance económico entre la recuperación y la pureza. Es
deseable tener una extracción con recuperación alta,
pero entonces, el soluto debe recuperarse de un extracto diluido, por ejemplo, por destilación. Esta recuperación secundaria se dificulta con soluciones diluidas.
Obviamente, es imposible obtener al mismo tiempo una
recuperación alta y una gran pureza con un flujo simple
a contracorriente para este sistema. El siguiente capítulo incluye técnicas para obtener una recuperación alta y
al mismo tiempo una pureza elevada.
60
Q)
'(ij'
e
o
a..o
Q)
40
20
O
1.0
2.0
3.0
2.0
3.0
V
L
0.25
0.20
0.15
~
...,e
0.10
0.05
00
1.0
V
L
Fig.5-7
Resultados del Ej. 5-2.
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82 PRINCIPIOS DE OPERACIONES UNITARIAS
toma el valor real de VIL como igual a un número arbitrario de veces el valor mínimo.
El VIL mínimo se presenta con el valor de V más alto
que da un punto delta en la prolongación de cualquier
línea. Como resultado de esta coincidencia, no existe
cambio en la composición de etapa a etapa y se requiere
de un número infinito de etapas para lograr un cambio
finito de la composición. Debido a que las líneas que
representan las etapas se encuentran muy juntas, el
punto que corresponde a un número infinito de etapas
se conoce como estrechamiento. A valores de VIL menores que el mínimo, la separación no puede efectuarse
aun con un número infinito de etapas. Muchos de los
valores de VIL por debajo del mínimo dan puntos delta
que quedan sobre la prolongación de una línea de unión
y debe enfatizarse que el máximo valor de VIL que da
un punto delta sobre cualquier prolongación de una línea de unión es el VIL mínimo correcto.
Una reducción en el valor de VIL desplaza al punto
delta alejándolo del diagrama triangular; por el contrario
un incremento lo acerca. El VIL mínimo puede determi-
narse prolongando las líneas de unión en la dirección del
punto delta. La primera línea de unión prolongada sobre
la que se sitúe el punto delta al desplazarse alejándose
del diagrama, determina el valor de VIL mínimo. Puede
ser una línea de unión que pase a través de la composición de la alimentación, a través de la composición del
refinado o por cualquier punto intermedio, como se demuestra en el siguiente ejemplo.
La fracción del componente a que no se recupera es
igual a LNxNa/ FZFa, Y por consiguiente, la fracción que se
recupera es 1 - LNxNa / FZFa' Los términos F Y ZFa no
cambian para una alimentación específica, pero tanto
LN como JWa varían al cambiar VIL. El producto LNxNa +
debe mantenerse constante al reducir el valor de VIL
para encontrar el mínimo. Esto no es fácil de hacer. En
algunos casos, es más fácil escoger distintos valores de
VIL y determinar para cada uno, la recupración para un
número infinito de etapas. Si se grafican estas recuperaciones en función de VIL, el valor de VIL para una recuperación particular puede leerse de la gráfica como en la
Fig. 5-7. El procedimiento se muestra en el siguiente
ejemplo.
0.6
Yc
XCI
\
\
\
\
\
XN
0.1
0.2
0.3
Xal
Ya
0.3
0.2
Ya
0.1
O
O
0.1
Xa
0.2
0.3
(a)
Fig. 5-8 (a) Solución del Ej. 5-3 (a) VIL = 2.0.
0.4
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OPERACIONES DE MULTIETAPAS A CONTRACORRIENTE
Ejemplo 5-3 Determinar la recuperación que se obtiene con un número infinito de etapas para (a) VIL =
2.0 Y (b) VIL = 1.0, empleando la alimentación y el disolvente del Ej. 5-1.
Solución (a) Se ubica en la Fig. 5-Sa el punto sigma
(z.:l para VIL = 2.0. El procedimiento consiste en una
búsqueda de la línea de unión sobre la cual cae primero
el punto delta a medida que la línea de balance de masa
gira con respecto a :r. Primero se localizan varias líneas
de unión y se prolongan hacia la parte superior izquierda, debido a que el punto delta queda normalmente en
esta zona. A continuación, se traza una línea de prueba
83
(Prueba 1) y se localiza el punto delta de la
Prueba 1. Ya que este punto queda a la izquierda de
cualquier posible línea de unión en el sistema, la Prueba
1 no requiere de un número infinito de etapas. Se rota
levemente la línea JWZ:rYl en el sentido de las manecillas
del reloj, hasta que el punto delta caiga sobre la prolon gación de una línea de unión. Esto ocurre finalmente en
XNa = 0.0, el eje vertical izquierdo del diagrama. Con XNa
= 0.0, la recuperación de a es obviamente del 100%.
Esto concuerda con la línea N = 00 en la Fig. 5-7.
(b) Se localiza en la Fig. 5-8b el punto sigma para
VIL = 1.0, Y se repite el procedimiento descrito en la
parte (a). En este caso, el punto delta cae por primera
XNZ:rX';
Prueba 1: x •.
x . final
0.6
0.4
0.2
Línea de unión
que determina
el punto delta
mínimo
0.3
0.2
Ya
0.1
0.1
0.2
(b)
Fig. 5-8 (b) Solución del Ej. 5-3 (b) VI L = 1.0.
0.3
0.4
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84 PRINCIPIOS DE OPERACIONES UNITARIAS
vez sobre una línea de unión intermedia, como se muestra en la prueba final. De la Fig. 5-8, Yla = 0.235 Y por la
regla del brazo de la palanca invertida
= 2910 por lo
que
v,.
(2910)(0.235)
Recuperación = (2000) (0.400) = 85.5%
El procedimiento que se emplea en la solución del
ejemplo previo es complejo, debido a que tanto LN como JW varían, mientras que la recupración permanece
constante. Si se mantiene constante la composición de
salida JW en lug-ar de la recuperación, el procedimiento
se simplifica debido a que la línea XN YN + 1 queda ahora fija. En este caso, el valor de VIL mínimo que se requiere
para llegar a XN puede determinarse directamente. Primero se prolonga la línea JW YN + 1 por encima del diagrama. El punto delta mínimo cae sobre algún punto de esta línea. En seguida, se traza una línea de prueba JWZ:rYl
a través de JW. Esto ubica una prueba Z:r y Yl , por lo que
puede localizarse el punto delta. A continuación se determinan varias líneas de unión en el intervalo de Xo a XN
y se prolongan para intersectar la prolongación de la
línea XN YN + 1 . El punto delta de prueba es el punto delta
mínimo correcto sólo si coincide con la línea de unión
que intersecta a la XN YN + 1 más cercana a YN + 1 . A continuación se explica esto.
Con un valor grande de VIL, un número de etapas
pequeño es suficiente para obtener la composición de
salida que se desea, y el punto delta se encuentra relativamente cerca de YN + t : Al disminuir VIL, se requieren
más etapas y el punto delta se aleja del diagrama. Si se
continúa disminuyendo el valor de VIL, al final el punto
delta coincide con la prolongación de una línea de
unión. Este punto delta representa el valor mínimo de
VIL que requiere de un número infinito de etapas para
lograr el valor deseado de XN' Si se reduce VIL por debajo de este valor mínimo, no puede obtenerse el valor
de JW que se desea.
En realidad, no es necesario efectuar muchas pruebas, puesto que el mínimo X6 correcto puede ubicarse
inmediatamente en la intersección de la línea de unión
con XN YN + 1 que quede más cerca de YN + i . como se ilustra en el siguiente ejemplo. El cociente VIL se
evalúa aplicando la regla del brazo de la palanca invertida a la línea YN + 1 Z:rXo •
Debe enfatizarse que puede prolongarse cualquier
conjunto de líneas para encontrar el valor mínimo de
VIL. Estas líneas de unión no representan etapas de
equilibrio específicas. La única limitación es que las
líneas de unión deben encontrarse dentro de un intervalo de composición que realmente exista en la separación
que se pretende efectuar; es decir, las líneas de unión
deben quedar entre Xo y XN •
Resulta instructivo empezar con un punto delta
cercano al diagrama de equilibrio, de tal forma que
se obtenga un número finito de etapas. Entonces el
punto delta, puede alejarse del diagrama para recorrer
un mayor número de etapas. El punto delta se aleja
nuevamente y se calculan las etapas. A medida que se
continúa con el procedimiento, se requieren más y más
etapas, hasta que éstas se encuentran tan juntas que el
procedimiento gráfico resulta prácticamente imposible.
Este procedimiento da una buena aproximación del valor mínimo verdadero de VIL.
Ejemplo 5-4 Determinar la velocidad mínima de disolvente para la alimentación y XN del Ej. 5-1.
Solución La ubicación del punto delta en la Fig. 5-5
es para una velocidad de disolvente de 3000 lb/h. La velocidad mínima de disolvente resultará en un punto delta alejado. En consecuencia, en la Fig. 5-9 se prolongan
varías líneas de unión en la dirección del punto delta. La
línea XN.Y~+l es la misma que en el Ej. 5-1, ya que las
composiciones de dicho ejemplo son las mismas que en
éste. La línea de unión que, al prolongarse, intersecte la
prolongación de la línea XN YN+l más cercana al diagrama, dará el valor mínimo de VIL. Todas las otras prolongaciones de líneas de unión intersectan a la línea
XN YN + 1más lejos del diagrama. El valor de Yl puede deter-
\
\
\
\
\
\
\
\
0.2
\
\
\
\
\
\
\
o
\
\
\
\
\
\
\
\
XN
Xa.Ya
0.3
0.2
Ya
0.1
oo~~-----L--------~------~--------~
0.1
0.2
x"
Fig. 5-9 Solución del Ej. 5-4.
0.3
0.4
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OPERACIONES DE MULTIETAPAS A CONTRACORRIENTE
minarse dibujando la línea X A X o, tal como se muestra.
La cantidad de disolvente (VN + 1 ) se determina mediante
un balance global de materiales. En la intersección de
JI(¡ YN + I Y JW Y1 , se localiza Zr. y se aplica la regla del brazo
de palanca invertida.
85
YN +I 0
(HN + P YN+l)
Lo
=
Z~YN+1
=
13.6 unidades de longitud
10.4 unidades de longitud
1.31
VN + 1 = 1.31 Lo = (1.31)(2000) = 2620 lb
Por tanto, la velocidad mínima de flujo para el disolvente es de 2620 lb/h.
Extracto o
(vapor
saturado)
Xc, Y c
o
(h,H)
I
I
I
Refinado o
(líquido
saturado
I
DIAGRAMAS EN BASE LIBRE
DE DISOLVENTE
Y ENTALPIA-CONCENTRACION
Existe un importante paralelo entre la destilación y la
extracción líquido-líquido. En la destilación, la adición
de entalpía (es decir, energía) a una mezcla líquida, genera una corriente de vapor ascendente que transporta
al componente más volátil. En la extracción, la adición
de un disolvente menos denso, genera una corriente ascendente que transporta al soluto. En consecuencia, la
entalpía en la destilación y el disolvente en la extracción,
desarrollan funciones similares, generando una fase V
que es más rica en el componente a que la fase L que se
encuentra en equilibrio con ella.
El cálculo de la destilación de dos componentes en
un diagrama de entalpía-composición, se asemeja a los
cálculos de extracción en una base libre de disolvente,
como se muestra en la Fig. 5-10. El diagrama se podría
aplicar a un caso hipotético ya fuera de extracción o de
destilación. Por ello, el diagrama identifica tanto de extracción como de destilación (entre paréntesis) para
mostrar tal analogía. La alimentación del disolvente que
se muestra, contiene una pequeña cantidad del componente principal del refinado, de tal forma que YN + 1 no
cae en el infinito. El vapor que se alimenta en la destilación y que corresponde a este punto sería un vapor
sobrecalentado formado por el componente puro menos volátil. La alimentación del refinado contiene una
pequeña cantidad de disolvente (X, ). De manera análoga, el líquido que se alimenta en la destilación "contiene" una pequeña cantidad de entalpía (170). Los cálculos de destilación que se llevan a cabo empleando un
diagrama de entalpía-composición, reciben el nombre
de método de Ponchon-Savarit (1, 2).
El diagrama "libre de adsorbente" que se muestra en
la Fig. 3-13, podría utilizarse para efectuar cálculos en la
forma descrita con anterioridad.
Ejemplo 5-5 Las dos siguientes corrientes se ponen
en contacto en una columna de platos de malla que
opera con flujo simple a contracorriente, equivarente a
cuatro etapas de equilibrio:
I
Xa o Xa
Fig. 5-10 Analogía entre la extracción y la destilación.
200 moles de líquido
saturado:
100 moles de vapor
sobrecalentado:
79% en mol de Nz
21% en mol de Üz
20% en mol de Nz
80% en mol de Üz
h = 8000 J/mol
Calcular las cantidades y composiciones de las fases resultantes.
Solución Se grafican los puntos para VN + 1 Y Lo yel
punto :r se localiza a 2/3 de la distancia entre VN + 1 Y Lo .
La línea que conecta a los puntos Iií y LN pasa a través
del Punto :r, pero se cuenta con poca información para
graficar cualquier corriente de salida. La solución se lleva a cabo por el método de prueba y error, seleccionando
(YI' HI ) Y localizando (JW, hN ). Se determina el punto
delta y se trazan las etapas para ver si cuatro de ellas
conducen exactamente a las dos composiciones de salida. La Fig. 5-11 muestra una prueba que requiere poco
menos de cuatro etapas, pero está suficientemente cerca. De la Fig. XN = 0.31, Y1 = 0.93 Y por la regla del brazo de la palanca invertida para XNZr.Y1 ' Iií = 135, LN
= 165. Note que las cuatro etapas producen una concentración casi tan grande como la que se obtendría
con un número infinito de etapas (Y1 = 0.94), pero
aun con un número infinito de etapas, es imposible producir un oxígeno de alta pureza (xN = 0.30).
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86
PRINCIPIOS DE OPERACIONES UNITARIAS
equilibrio Üz / Nz
8000 ,.....-:"---.....".---.-----,-----,-----,
6000
o
E
:::;- 4000
.e
~
o
1.0
0.8
neto de componentes? ¿Puede tener un valor de cero el flujo
neto total? ¿Qué les pasa a las coordenadas del punto delta si
el flujo neto total es cero?
5-5 Muestre, con la ayuda de ecuaciones y un diagrama,
que el siguiente argumento es verdadero: "una reducción en el
valor de VIL alejará del diagrama al punto delta: un incremento lo acercará."
5-6 Con sus propias palabras describa el procedimiento
que se requiere para determinar un VIL mínimo. ¿Cuál es el
significado físico de este valor?
5-7 Considere la cascada de extracción a contracorriente
que se muestra en la Fig. 5-2. Suponga que se elimina otro
producto de la fase de extracto en alguna etapa 1, que se localiza entre 2 y N -1. ¿Cómo afectaría esta salida al flujo neto?
¿Al punto delta? Desarrolle un procedimiento para calcular el
número de etapas que se requiere para esta situación. Llame al
producto extra Vi y elimínelo del extracto que fluye entre las
etapas 1 y 1- 1.
5-8 Derive las Ecs. 5-7 y 5-8.
5-9 A partir de las ecuaciones que definen al punto delta,
derive
~= V1 x O
V,
0.6
0.4
0.2
1.0
Fig.5-11 Solución del Ej . 5-5.
REFERENCIAS
1. Ponchon, M., Teeh.moderne 13, p. 20 (1921).
2. Savarit, R. , Arts et métiers, pp. 65ft. (1922).
PROBLEMAS
5-1 En un sistema de extracción a contracorriente, (¿es X,3
mayor a menor que x a4 ? Explique.
5-2 Si !J. es una cantidad ficticia, ¿por qué es útil? Explique
el significado físico de x. a con sus propias palabras.
5-3 Desarrolle una expresión para Z" empleando un balance global de materia para las etapas 1 a la n; repita el desarrollo
para las etapas n + 1 a la N. ¿Se relacionan las dos Z" 's? Explique. Lleve a cabo el mismo desarrollo y comparación x •.
5-4 Considere una cascada típica de extracción a contracorriente. ¿Cuál es la dirección usual para el flujo neto de cada
uno de los componentes 8, b Y e? ¿Bajo qué condiciones excepcionales podría uno o varios de estos flujos netos estar en
la dirección opuesta? ¿Es posible predecir la dirección del flujo
neto total, usando las conclusiones preliminares sobre el flujo
xOx~
5-10 Se va a lixiviar con agua el sulfato de cobre de un mineral calcinado, usando una cascada de extracción continua a
contracorriente. Se extraerán 1000 Ib/h de mineral que contienen 10% de sulfato de cobre (CuS04 ) , 85% de ganga insoluble y 5% de humedad. Los lodos finales del flujo de salida
contienen tan sólo 0.15% de CuS04 • Los lodos de flujo de salida retienen 0.8 lb de solución por libra de ganga. Calcular el
número de etapas de equilibrio que se requieren para un flujo
de disolvente de (a) 2000 Ib/h, (b) 4000 lb/h . Compare los resultados con los del Ej. 4-4.
5-11 Se va a lixiviar con agua sulfato de cobre de un mineral calcinado, usando una cascada de extracción continua a
contracorriente. Se extraerán con agua, 100 ton/día de un mineral que contiene 9% de sulfato de cobre, 86% de ganga insoluble y 5% de humedad. La solución concentrada del
extracto contendrá 10% de CuS04 y 90% de agua. Puesto
que el sulfato de cobre es un constituyente valioso, debe recuperarse el 95% en el extracto. La ganga retiene 1.5 ton de
agua por tonelada de ganga.
(a) Calcular el número de etapas de equilibrio que se re-(
quiere, sin emplear métodos gráficos.
(b) Calcular el número de etapas de equilibrio que se requiere, empleando métodos gráficos.
(c) ¿Cuál es la velocidad de flujo de agua fresca en la cascada?
(d) Calcular el flujo neto total en cada etapa.
(e) ¿Cuáles son las coordenadas del punto delta?
(f) ¿Cuál es la dirección del flujo neto de agua? ¿de los inertes? ¿del sulfato de cobre?
5-12 Se van a extraer con éter 700 kg/h de hígado de mero
usando una cascada a contracorriente, para recuperar el
aceite. El éter, parcialmente purificado, contiene 2% de aceite. Los hígados frescos contienen 20% de aceite y van a extraerse hasta llegar a una composición de 1% de aceite (en base
libre de disolvente). Se van a utilizar 500 kg de disolvente.
(a) ¿Qué porcentaje del aceite que entra con los hígados va
a recuperarse en el extracto?
(b) ¿Cuántas etapas de equilibrio se requieren?
(c) Calcular la masa y la dirección de los flujos netos por
componente y total.
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OPERACIONES DE MULTIETAPAS A CONTRACORRIENTE
(d) Calcular las coordenadas del punto delta. En la Fig.
3-14 se dan los datos para el flujo de salida.
5-13 Se propone separar un líquido a de solución con un
líquido b, por contacto con un disolvente c. Los líquidos b y e
son completamente inmiscibles entre sí para todas las concentraciones de a. El líquido a es soluble en b yc en equilibrio,
de tal forma que la concentración de a en el líquido e es
siempre igual a la de a y b.
Se encuentra disponible una unidad mezclador-sedimentador para la separación. Esta unidad es equivalente a cinco etapas de equilibrio. La solución que se alimenta contiene 20% de
a y 80% de b y va a procesarse a una velocidad de 1000 kg/h.
El disolvente fresco está limitado a 1500 kg/h por el diseño del
equipo.
(a) Grafique un diagrama ternario para el sistema a-b-c.
Trace las líneas de extracto y refinado mostrando las líneas de
unión típicas.
(b) ¿Qué porcentaje del componente a que se alimenta
puede recuperarse en el extracto, empleando la máxima velocidad de flujo de disolvente permisible?
(c) ¿Qué velocidad de flujo de disolvente daría una recuperación de a del 8O%?
(d) Determine las coordenadas del punto delta en las partes (b) y (c). ¿En qué dirección van los flujos netos totales y de
componentes en cada caso?
5-14 Una mezcla gaseosa de 50% en mol de propano y
50% en mol de propileno va a separarse pasándola a contracorriente de sílice gelatinosa, en una columna de platos rotatorios. El gas que sale por el domo de la unidad debe tener un
95% en mol de propano.
(a) ¿Cuántas etapas de equilibrio se requieren si se suministran 350 lb de sílice gel por cada libra mol de gas?
(b) ¿Cuál sería la cantidad mínima de sílice gelatinosa por
libra mol de gas que se necesitaría para obtener un producto
con 95% de propano?
5-15 Una cascada de extracción a contracorriente procesa
una solución acuosa de ácido acético con éter isopropílico puro. Se cuenta con los siguientes datos:
Refinado que entra:
Extracto final:
1000 kg/h
35% de ácido acético
65% de agua
2500 kg/h
12% de ácido acético
¿A cuántas etapas de equilibrio es equivalente esta cascada?
5-16 Se tiene disponible la siguiente información sobre una
unidad de extracción de multietapas para aceite de hígado de
bacalao:
Hígados que entran:
Disolvente:
Flujo mínimo que sale:
Extracto:
1000lb/h
32.6% en masa de aceite
67.4% en masa de inertes
2000 Ib/h
1% en masa de aceite
99% en masa de éter
11801b/h
1.14% en masa de aceite
41 .0% en masa de éter
57.9% en masa de inertes
1820Ib/h
18.3% en masa de aceite
81.7% en masa de éter
Calcular las tres coordenadas del punto delta.
87
5-17 Se va a utilizar éter isopropílico para extraer ácido
acético de una solución acuosa. Se va a usar una columna
existente de extracción a contracorriente, equivalente a cuatro
etapas teóricas .
(a) Determinar la velocidad de flujo del disolvente que se
requiere para las siguientes condiciones:
Velocidad de flujo y alimentación:
Composición de la alimentación:
Composición del extracto:
1000 Ib/h
35% de ácido acético,
65% de agua
10% de ácido acético
(b) ¿Qué porcentaje de recuperación de ácido acético se
logra?
5:18 Se van a extraer 3000 kg/h de harina de tung que contiene 55% en masa de aceite, usando 12 000 kg/h de disolvente. El disolvente contiene 98% de n-hexano y 2% de aceite de
tung. La solución que se adhiere a la harina insoluble en el flujo de salida, se determinó experimentalmente como se tabula a
continuación:
Composición de la
solución que se adhiere,
fracción en masa de aceite
Cantidad de solución,
kg de solución/kg
de inertes
0.0
0.2
0.4
0.6
2.0
2.5
3.0
3.5
La harina de tung está finalmente molida, por lo que parte de
ella sale suspendida con la solución del flujo de salida. Esta
cantidad es igual a 0.05 kg de sólidos por kilogramo de solución. El flujo de salida debe tener una concentración no mayor
del 2% en masa de aceite.
(a) ¿Cuántas etapas de equilibrio se requieren?
(b) ¿Cuál es el porcentaje de recuperación del aceite de
tung que se extrae de la harina?
5-19 Se va a extraer ácido acético de una solución acuosa,
por extracción a contracorriente con éter isopropflico. Se alimentan 10 000 Ib/h de ácido acético al 28%.
(a) Determine el número de etapas de equilibrio que se requieren para una alimentación de disolvente de 30 000 Ib/h Y
una composición del extracto de 8% de ácido acético.
(b) Determine la relación mínima disolvente/alimentación
que dará la misma composición de refinado que en la parte (a).
5-20 Un líquido que contiene 40% de estireno y 60% de
etilbenceno va a extraerse con dietilenglicol en una cascada a
contracorriente. El refinado contendrá 10% de estireno en base libre de disolvente.
(a) Determine la relación mínima disolvente/alimentación .
(b) Utilizando 1.3 veces la relación mínima disolventealimentación calcule el número de etapas de equilibrio que se
requieren, en coordenadas ternarias.
(c) Repita las partes (a) y (b) utilizando coordenadas en base libre de disolvente.
5-21 Una mezcla de 50% de estireno y 50% de etilbenceno
va a extraerse con un equipo mezclador~sedimentador continuo a contracorriente, usando dietilenglicol como disolvente.
Evalúe ciertas limitaciones de diseño, respondiendo a las siguientes preguntas:
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88 PRINCIPIOS DE OPERACIONES UNITARIAS
(a) Si se especifica una composición de 9% de estireno, en
el extracto ¿Cuál es la recuperación 'máxima posible de estireno en el extracto?
(b) ¿Cuál es la máxima concentración posible de estireno
en el extracto?
(e) Para una composición del 9% de estireno en el extracto
y una recuperación de estireno del 90%, ¿cuál será el flujo de
disolvente fresco por cada 100 kg/h de solución que se alimenta?
¿Cuántas etapas se requieren?
5-22 Una mezcla de 50% en mol de etanol y 50% en mol de
agua, contiene una pequeña cantidad de impurezas no volátiles que decoloran la solución. Se propone concentrar y purificar el etanol, separando el etanol de la solución mediante el
suministro de vapor sobrecalentado que se encuentra disponible. La solución fluirá hacia abajo en una columna de capuchones, a contracorriente con el vapor que sube. La solución se encuentra a 70°F Y el vapor a 350 °F Y 1 atm.
(a) ¿Cuál será la concentración máxima de etanol en el vapor que pueda obtenerse con un número infinito de etapas de
equilibrio?
(b) ¿Qué concentración de etanol y qué recuperación en el
vapor se obtienen en una columna equivalente a cinco etapas
de equilibrio, con una relación vapor a etanol de 1:2 mol/mol?
5-23 Considere una columna con platos de malla, a la que
se alimenta etanol puro como líquido saturado por el domo y
agua pura, como vapor saturado, por el fondo. Las velocidades molares de flujo son iguales.
(a) ¿Cuántas etapas de equilibrio se requieren para obtener
un producto en fase vapor con una composición de 80% de
etanol?
(b) ¿Cuál es la composición máxima de vapor que puede
alcanzarse?
(e) Calcular las coordenadas del punto delta para la parte (a).
(d) ¿Cree usted que este proceso sea económicamente
factible para producir una solución de etanol al 80%?
5-24 Se alimentan las dos siguientes corrientes a un equipo
de contacto de multietapas a contracorriente, a presión atmosférica normal:
Líquido saturado:
Vapor saturado:
100 rnol/s, de 79% en mol de
~,21%
en mol de Üz
100 rnol/s, de 30% en mol de
~, 70% en mol de Üz
(a) ¿Cuáles son las composiciones de salida para un equipo
de contacto que equivale a cuatro etapas de equilibrio?
(b) ¿Cuáles son las composiciones de salida para un número infinito de etapas de equilibrio?
(e) Si la velocidad de flujo de vapor cambia a 200 rnol/s,
¿cuáles son las composiciones de salida para un número infinito de etapas?
5-25 Un equipo de extracción con disolvente que se instaló
recientemente, no ha dado los resultados que se esperaban ..
La unidad se diseñó para extraer 10 000 Ib/h de una mezcla de
30% de difenilhexano y 70% de docosano, con 20000 lb/h de
disolvente. Se deseaba producir en la fase extracto un docosano con sólo 1% de difenilhexano, pero la concentración real
que se obtuvo en la corrida de prueba fue más alta. Puesto que
una concentración de difenilhexano en el docosano mayor de
1% es inaceptable, usted debe hacer una recomendación para
que el ingeniero de operación pueda efectuar la separación deseada. Por supuesto, es necesario mantener la velocidad de
alimentación de 10000 Ib/h Y no pueden utilizarse más
de 20 000 Ib/h de disolvente, ya que la unidad no puede manejarlas. El disolvente que se empleó en la prueba era furfural al
98% y 2% de difenilhexano, proveniente del sistema de recuperación del disolvente. La unidad cuenta con 15 etapas reales
y la eficiencia global es de aproximadamente 30%.
(a) Empleando los principios y cálculos de la extracción
líquido-líquido, determine por qué no se logró la separación
deseada en la corrida de prueba.
(b) Sugiera un cambio en las condiciones de operación para lograr la separación que se desea efectuar, sin modificar el
equipo de extracción. Diga qué cálculos haría para determinar
si sus sugerencias son válidas, antes de hacer una prueba.
Su respuesta debe incluir cualquier cálculo que se requiera
y el planteamiento cuidadoso del razonamiento que empleó
para llegar a sus conclusiones.
oxros
DE SOLUBILlDAD PARA EL SISTEMA
DOCOSANO-DIFENILHEXANO-FURFURAL
A 45°C.
Briggs, S. W. y E. W. Comings, Ind. Eng. Chem. Vol. 35
Núm. 4, Págs. 411-417 (1943).
Fracción de masa
de furfural
Envolvente de fase
Fracción de masa
de difenilhexano
Fracción de masa
de docosano
0.0
0.110
0.260
0.375
0.474
0.487
0.468
0.423
0.356
0.274
0.185
0.090
0.0
0.960
0.840
0.670
0.525
0.326
0.213
0.132
0.077
0.044
0.026
0.015
0.010
0.007
0.040
0.050
0.070
0.100
0.200
0.300
0.400
0.500
0.600
0.700
0.800
0.900
0.993
Líneas de unión
{ Fase furfural
Fase docosano
0.891
0.048
0.098
0.100
0.011 } en equi0.852 librio
{ Fase furfural
Fase docosano
0.736
0.065
0.242
0.245
0.022} en equi0.690 librio
{ Fase furfural
Fase docosano
0.523
0.133
0.409
0.426
0.068} en equi0.439 librio
5-26 Las ecuaciones que describen un proceso de lixiviación simple (como las que se incluyen en el Probo 5-11),
pueden resolverse fácilmente empleando una computadora digital. Con la siguiente información, prepare un procedimiento
de cálculo para determinar el número de etapas (N) que se requiere para llevar a cabo una separación específica. Su procedimiento debe listar todas las ecuaciones que se utilizan,
resueltas explícitamente para la variable que va a calcularse.
Además, incluya una descripción paso por paso, que permita
organizar por completo el procedimiento, a fin de que un
programador puede programar y operar el problema, aun sin
tener conocimientos de ingeniería química.
Se conocen:
LO, xo, VN+1, YN+"
Y1
Flujo de salida: m lb disolvente /Ib inertes.
Determine: N, porcentaje de recuperación.
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Seis
Operaciones de Multietapas
a Contracorriente con Reflujo
En muchos procesos de separación, el flujo simple a
contracorriente no puede dar una separación tan completa como se requiere . La mejor separación posible en
flujo simple a contracorriente, se obtiene cuando se utiliza un número infinito de etapas, como se trata en el
Cap. 5. Aun con un número infinito de etapas, por lo
general es imposible obtener al mismo tiempo una pureza y recuperación altas en flujo simple a contracorriente,
como se ilustra en el Ej. 5-2. Un número infinito de etapas puede resultar de la coincidencia de un punto delta
y una línea de unión en cualquier punto dentro del intervalo de composición de Xo a XN • Si por ejemplo, la línea
de unión coincidente es la que pasa a través de Xo, entonces, con un número infinito de etapas la composición de Iii se encuentra en equilibrio con Lo . Esto
conduce a la más alta pureza que puede lograrse en el
producto de la fase V (Iii); debido a que Lo rara vez
tiene una concentración alta, la concentración de V 1
tampoco lo es. Si la coincidencia entre el punto delta y
la línea de unión ocurre en un punto intermedio en el intervalo de composición Xo - JW , la pureza de Iii es menor que en el caso que se estudió con anterioridad.
Sería posible incrementar la pureza de Iii utilizando
una alimentación Lo que fuera más pura, pero por supuesto, la composición de la alimentación se fija por
otras consideraciones. El uso del reflujo involucra el
reemplazo de la alimentación impura Lo, por una
corriente más concentrada, de tal forma que pueda obtenerse un producto Iii con una concentración más alta. Surgen inmediatamente dos preguntas. ¿De dónde
proviene el nuevo Lo? ¿Qué le pasa a la antigua alimentación? El término reflujo proviene del hecho de que la
nueva Lo se produce a partir del producto Iii como se
indica en la Fig. 6-1, de tal forma que parte del producto
retorna a la cascada. La unidad e puede llamarse unidad
de reflujo de /a fase V, en términos generales. Como se
muestra en la Fig . 6-1, esta unidad no es una etapa de
equilibrio. Por lo general elimina la mayor parte del componente que se separa del sistema (componente e) y
retorna una mezcla que consiste básicamente del componente a con una pequeña cantidad de b. Así, la
corriente Lo contiene los mismos componentes que
la alimentación, pero con una mayor concenttación de
a. Esta mayor concentración hace posible producir un
Iii con una concentración de a más alta . El producto de
la fase V se extrae como corriente D, que tiene exactamente la misma composición y propiedades que la
corriente Lo .
La alimentación debe adicionarse a la cascada en una
nueva localización . El mejor lugar para ubicarla, es en
una etapa en la que la corriente que fluye por ella tiene
una composición y propiedades semejantes a las de la
alimentación. Es decir, lo mejor es mezclar la alimentación con una corriente que sea idéntica a ella. De esta
forma ni la alimentación ni la corriente se diluyen. Por lo
general, la alimentación no es igual a una corriente que
fluye entre las etapas, por lo que se adiciona aquella
corriente cuya composición y propiedades se parezcan
más a las de la alimentación. En la Fig. 6-1, se muestra
la adición de la alimentación, indicando a la etapa de alimentación con la letra F.
Ahora, puede dividirse la cascada en dos secciones,
una de la etapa 1 a la etapa F-1 y la otra de la etapa F a la
etapa N. Cada sección es por sí misma una cascada
Sección de
Sección de
enriquecimiento
D
Fig. 6-1
D. _
F
Cascada multietapa con reflujo de la fase L.
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90
PRINCIPIOS DE OPERACIONES UNITARIAS
simple a contracorriente. Debido a que la sección que
va de F-1 a 1 enriquece efectivamente la fase V en el
componente a, recibe el nombre de sección de enriquecimiento. En forma similar, la sección que va de Fa
N, agota al componente a de la fase L y se conoce como
sección de agotamiento. Cualquier etapa en la sección
de enriquecimiento se designa como n y cualquier etapa
en la sección de agotamiento se marca como m. Como
se muestra más adelante, los flujos netos son diferentes
en las dos secciones.
Aplicaciones del reflujo
Si bien el principio de reflujo es aplicable a cualquier
operación de multietapas a contracorriente, se utiliza
con mayor frecuencia en la extracción líquida y en la
destilación .
En la extracción líquida, el reflujo del extracto (Lo)
puede emplearse para obtener una mayor recuperación
del soluto en el extracto. En este caso, el disolvente se
elimina de \tí en el separador de disolvente (e) para producir un líquido (Le ) con baja concentración de disolvente, parte del cual es un producto en fase extracto (D) y
parte se utiliza como reflujo de la fase extracto (Lo ). Por
lo general, el separador del disolvente es una columna
de destilación. El reflujo del extracto es particularmente
benéfico para sistemas líquidos ternarios con dos pares
de componentes parcialmente miscibles, como en el sistema dietilenglicol-estireno-etilbenceno (Fig. 3-9). En
estos sistemas, es posible obtener la separación de un
extracto que contiene una cantidad insignificante del
componente refinado no extraído, así como un refinado
que contiene una cantidad mínima de soluto. Por otro
lado, un sistema con un solo par, miscible parcialmente,
como en el caso del sistema éter isopropílico, ácido
acético-agua (Fig. 3-8), siempre conduce a la formación
de un producto en una fase, que contiene cantidades
considerables tanto de soluto como del componente refinado que no se extrae. En este caso, el reflujo no es
tan benéfico debido a que la separación se hace más
difícil a medida que se aproxima el punto de infinitud .
En la extracción líquida, el disolvente (VN + 1) se adiciona la última etapa (N). El disolvente que se adiciona,
pasa a través de las etapas alcanzando el equilibrio con
el refinado en cada etapa. Al último, el extracto (\tí) de
la primera etapa se envía al separador de disolvente en
donde éste se elimina. Parte (D) del líquido remanente
rico en soluto es el producto de la fase extracto y el resto (Lo) es el reflujo de extracto. Con este sistema, la
concentración de soluto en la fase V se incrementa con
respecto a la que se encuentra en equilibrio con la alimentación en las etapas F-1 a la 1. Así, el producto de
extracto resultante puede tener una concentración mayor de soluto que la que es posible alcanzar con un flujo
simple a contracorriente (Fig. 5-2, alimentación = Lo) .
El reflujo de la fase de refinado es poco útil en la extracción. El equipo que se diseña para utilizar como reflujo
parte del refinado serviría únicamente para mezclar el
componente fresco con el reflujo refinado. Este mezclado simple no difiere del que se presenta en la etapa N.
El reflujo simple de la Fig. 6-1 rara vez se utiliza en la
destilación debido a que requiere de la adición de una
corriente de vapor extraña VN + 1. El reflujo simple se
aplica en ocasiones cuando se va a separar agua de un
componente más volátil; VN + 1 es entonces el vapor de
agua. En la destilación, el reflujo se emplea en ambos
extremos de la cascada, como se indica en la Fig. 6-2, a
fin de producir un destilado (D) y unos fondos (8) de
gran pureza. El reflujo de vapor se produce suministrando calor en el rehervidor (S) a una parte del líquido que
sale de la cascada, para vaporizarlo. El reflujo líquido se
produce eliminando el calor del producto que sale como
vapor, para condensarlo. Todo el vapor puede condensarse en el condensador (e), pero sólo una parte se utiliza como reflujo líquido.
En la destilación, se suministra calor (qs) en el rehervidor (S) para vaporizar parte (4 - 1) del flujo líquido
(LN ) de la etapa inferior. El reflujo de vapor (lis) que se
forma en el rehervidor sube a través de las etapas, alcanzando el equilibrio con el líquido que desciende a cada etapa. Al final, el vapor que sale de la etapa superior
(\tí ) se condensa en el condensador total (e); parte se
elimina como producto destilado (D) y el resto (Lo) es el
reflujo líquido. En la destilación binaria, la sucesión de
etapas por encima de la alimentación enriquece al vapor
en el componente más volátil, mientras que las etapas
por debajo de la alimentación agotan el líquido que desciende del componente más volátil.
Las velocidades de reflujo de las corrientes Lo y lis,
así como el número de etapas de equilibrio, determinan
el grado de separación de los dos componentes que se
-qc
Condensador
D
Sección de
enriquecimiento
Sección de
Agotamiento
B
Rehervidor
(tanque de reposo)
Fig. 6-2 Cascada de multietapas para destilación con reflujo
en ambos extremos.
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OPERACIONES DE MULTIETAPAS A CONTRACORRIENTE CON REFLUJO
encuentran presentes en una alimentación específica.
En la extracción, existe un flujo neto de disolvente que
transporta al soluto que se extrae, de la etapa N a la etapa 1. En forma similar, en la destilación existe un flujo
neto de calor que puede considerarse como el "transporte" del componente más volátil, de la etapa N a la
etapa 1. De la misma manera que en la extracción, debe
considerarse la distribución de la disolvente entre el
extracto y el refinado; en la destilación deben considerarse el contenido de calor (entalpía) del líquido y vapor.
El reflujo puede constituir una fracción importante
del material que llega a los extremos de la cascada. En
consecuencia, los productos pueden ser una pequeña
fracción de las fases que circulan internamente por la
cascada.
El reflujo puede enfriarse en otras operaciones de etapas cuando resulte benéfico. Por ejemplo, ciertas separaciones de absorción y adsorsión de gases pueden
mejorarse mediante el empleo de reflujo. En la Fig. 6-3
Fig. 6-3 Extracción de aromáticos de otros hidrocarburos.
Las grandes columnas gemelas que se encuentran en el centro
de la fotografía, se emplean para separar aromáticos (benceno,
tolueno y xilenos) de otros hidrocarburos, utilizando extracción líquido-líquido. El disolvente (tal como dietilenglicol en
agua) se alimenta por la parte superior de las columnas y los
hidrocarburos se alimentan en un punto intermedio. El reflujo
de hidrocarburos entra por el fondo .
La torre que se ve detrás de la columna de extracción derecha, es un agotador que elimina los aromáticos del disolvente. Las otras torres cercanas a las columnas de extracción
sirven para purificar posteriormente el extracto y el refinado
por extracción y destilación. (Cortesía de Universal Oil Products Company.)
91
se muestra un proceso industrial de separación que
emplea reflujo.
En la destilación, existe una diferencia de densidades
del líquido y el vapor suficiente para establecer un flujo
gravitacional a contracorriente, pero en la extracción
líquido-líquido, no existe un patrón predecible. En la
extracción líquido-líquido, no es raro que se requiera un
bombeo entre las etapas. El dibujo de las cascadas con
orientación horizontal (Fig. 6-1) puede aproximarse a
la realidad en algunos casos de extracción, pero las
cascadas de destilación tienen una orientación vertical
(Fig.6-2)'
CALCULO DE ETAPAS CON REFLUJO
En un cálculo típico de diseño, es posible que se especifique la cantidad y composición de la alimentación y
productos. Si se selecciona una relación de reflujo
(Lo / D), puede calcularse el número de etapas de equilibrio que se requiere para la separación. Otra situación
que ocurre con frecuencia involucra la predicción de la
operación para un equipo existente para la separación
de un sistema nuevo. Por lo general, la construcción de
la cascada permite variar la relación del reflujo en un
cierto intervalo. Así, pueden calcularse las posibles
composiciones del producto para una alimentación específica, con las relaciones de reflujo permisibles.
Primero se desarrollará el procedimiento gráfico para
la extracción líquida con un reflujo simple y después
para la destilación para dos reflujos. De cualquier manera, la cascada con reflujo puede considerase como dos
cascadas simples a contracorriente unidas en la alimentación. La consideración de los flujos netos origina puntos delta para ambas secciones de la cascada. El cálculo
etapa por etapa en cualquier sección, es idéntico a los
procedimientos que se desarrollaron en el Cap. 5. El
punto delta que se determina por consideraciones de
flujo neto en la sección de enriquecimiento, se utiliza
para los cálculos etapa por etapa, partiendo de la etapa
1 hasta que se alcance la composición de la alimentación. En ese punto, se cambia al punto delta para la
sección de agotamiento; los cálculos continúan hasta
que se alcanza la composición final de la fase L. Además de los procedimientos etapa por etapa del Cap. 5,
es necesario desarrollar procedimientos para localizar
los dos puntos delta, a partir de los datos disponibles de
las corrientes que fluyen hacia y desde la cascada.
Extracción líquido-líquido
El número de etapas de equilibrio que se requiere para
una separación específica, puede calcularse empleando
el concepto de flujo neto. Para la extracción, el flujo neto en la sección de enriquecimiento en la Fig. 6-1 es
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92
PRINCIPIOS DE OPERACIONES UNITARIAS
donde n es cualquier etapa en la sección de enriquecimiento. En forma similar, el flujo neto en la sección de
agotamiento es
Ll = LN - V N + 1 = Lm - Vm +1
(6-2)
donde m es cualquier etapa en la sección de agotamiento . La introducción de la alimentación modifica al flujo
neto entre las etapas F -1 Y F.
Con objeto de relacionar el flujo neto IJ. con datos conocidos de las corrientes que salen de la cascada, se
hace un balance de masa alrededor del punto donde
se efectúa el reflujo del extracto (e) :
X c, Yc
(disolvente)
V 1 = Ve + Le
Porque
Le = Lo + D
Xa . Ya
V 1 = Ve + Lo + D
o
(soluto)
L o - V 1 = - (D+ Ve)
Fig. 6-4 Cálculo gráfico de una extracción líquida con -reflujo .
Así que,
~=-(D+Ve)
(6-3)
Un balance global de masa alrededor de la cascada en la
Fig. 6-1 da
F=Ve +D+L N -VN + 1
(6-4)
combinando las Ecs. 6-2 y 8-3 con la Ec. 6-4 da
(6-5)
La Ec. 6-5 relaciona los flujos netos en las dos secciones
de la cascada. La adición de la alimentación incrementa
el flujo neto en una cantidad igual a F. La alimentación
puede consistir en una mezcla de fase L y fase V, como
el líquido y el vapor en la destilación . En esta situación,
la alimentación se dividirá entre la fase L y la fase V
cuando se introduzca a la cascada, pero las Ecs. 6-4 y
6-5 continúan siendo correct as.
Debe enfatizarse que la magnitud de la circulación interna (L y V) no tiene una relación directa con las cantidades F, D Y B. Por lo anterior, es imposible predecir los
valores de L y Va partir únicamente de los valores de la
alimentación y los productos, en contraste con el caso
de una cascada simple a contracorriente . Es necesario
conocer la relación de reflujo a producto , antes de poder evaluar la circulación interna. Por otra parte, los flu jos netos pueden determinarse a partir de las cantidades
y composiciones de las corrientes externas.
El cambio de flujo neto que ocurre en la alimentación,
requiere del uso de un nuevo punto delta. En la sección
de enriquecimiento, se debe usar el punto delta que
implica la Ec. 6-1 para el cálculo etapa por etapa. Para la
sección de agotamiento, debe emplearse el punto delta
de la Ec . 6-2. La Ec. 6-4 indica que las composiciones de
IJ., ~ Y F caen sobre una línea recta, los calculos pue?en
llevarse a cabo en coordenadas ternarias o en base libre
de disolvente. El procedimiento se muestra con coordenadas ternarias en la Fig. 6-4.
Los dos puntos delta pueden localizarse en el diagrama ternario, usando las Ecs. 6-1, 6-2 Y 6-5 si se conoce
la relación de reflujo, pero primero es necesario localizar
las composiciones de varias corrientes sobre el diagrama. El disolvente que entra, VN + 1 , puede contener una
pequeña cantidad de soluto (a) cuando el disolvente se
reutiliza después de retirarlo del separador de disolvente. En forma similar, el disolvente (Ve) que se separa del
extracto en el separador de disolvente, puede contener
pequeña cantidades de a y b como impurezas. Las composiciones YN + 1 Y Ye que se muestran en la Fig . 6-4, indican que Ve Y VN + 1 son disolvent es impuros . Con frecuencia, la corriente Ve se recircula y utiliza como disolvente fresco (VN + 1 ) . Puesto que se pierde una pequeña
cant idad de disolvente (componente e) en el refinado
que sale, debe adicionarse algo de disolvente fresco a
Ve para obtener VN + 1 , por lo que Ye Y YN + 1 no son necesariamente idénticas . La alimentación F puede contener disolvente, pero en la Fig. 6-4 se muestra ZF libre de
disolvente (ZFc = O). En general, la alimentación puede
ser una fase L, una fase Vo una mezcla. Por ello , su
composición se denota por Z en vez de x y y . Debido a
que XN es la composición de una corriente que sale de
una etapa de equilibrio, debe quedar situada en la envolvente de fase, como se muestra en la Fig . 6-4. Las composiciones XD , JCC Y Xo son idént icas, ya que Le se divide
en D y Lo . Si la separación del disolvent e no es completa, Le contiene una pequeña cantidad de disolvente, como se indica por medio de JCC en la Fig. 6-4. Por un balance de masa alrededor del separador de disolvente, es
posible localizar VI - Le + Ve Y YI en la intersección de la
línea recta YeJCC Y la envolvente de fases, ya que \tí sale
de una etapa de equilibrio.
Por medio de las Ecs. 6-1 y 6-3, se muestra que el
punto delta (x.) está sobre la línea Xo YI o la línea XD Ye,
que son coincidentes. La localización exacta se obtiene
por medio de
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OPERACIONES DE MULTIETAPAS A CONTRACORRIENTE CON REFLUJO
Lo
-
D
. (-:)
Xo - y,
y,
y,
Xo - y,
j
(6-6)
La Ec. 6-6a puede escribirse para coordenadas libres
de disolvente.
(6-6a)
Lo' = Y, -XA,
D'
Xo - Y,
-XA
-XA
Xo
• -
(cuando
XA
= O)
y-,
a
Ejemplo 6-1 Se va a separar una mezcla de estireno
y etilbenceno mediante una cascada a contracorriente
con reflujo del extracto, empleando dietilenglicol puro.
La alimentación contiene 40% de estireno y los dos productos deben contener 90% y 5% de estireno (en una
base libre de disolvente). La relación de reflujo de
extracto a producto será de 10/1. El disolvente que sale
del separador de disolvente contiene una cantidad insignificante de estireno y etilbenceno. ¿ Cuánto etapas de
equilibrio se requieren? ¿ Cuál es la velocidad de alimentación de disolvente por 1000 kg de alimentación fresca?
Solución En la Fig. 6-1 se muestra la cascada de
extracción con reflujo del extracto. En la Fig. 6-5 se
muestra la resolución del problema, graficando nuevamente el diagrama de equilibrio de la Fig. 3-10. Las coordenadas libres de disolvente son más adecuadas en
este caso que las coordenadas triangulares (véase el
Probo 6-3). Todas las composiciones y masas deben
darse en una base libre de disolvente.
ZFc
XOa
= 0.40
= 0.90
XOc
=0
=0
XNa
= 0.05
XNc
= valor de equilibrio
= 0.008
=
(6-6b)
,
Estas expresiones pueden derivarse de la Ec. 6-1, junto
con la expresión equivalente para el flujo neto por componente.
Las coordenadas del punto delta (x&) se determinan
con la Ec. 6-6, sustituyendo los valores que se conocen
de la relación de reflujo (4/ D), Y1' >tu !J. y D, resolviendo
para x : Si Yea = O, se utiliza la Ec. 6-6a con (4 /D), Y1a,
Júa Y XDa· El otro punto delta x:a) se localiza empleando
las Ecs. 6-2 y 6-5, que muestran que (x:a se localiza en la
intersección de las líneas JW YN + 1 Y X&ZF. Debido a que
los valores de XN, X&, YN + 1 Y ZF son conocidos, pueden
trazarse las dos líneas y localizar X:a en su intersección.
Después que se localizan los dos puntos delta como se
muestra en la Fig. 6-4, éstos pueden utilizarse junto con
los datos de equilibrio, para calcular el número de etapas de equilibrio que se requieren. Se utiliza x« para el
cálculo de Xv a ZF Y X:a para el de ZF a JW .
El método anterior, también sirve para efectuar los
cálculos con una base libre de disolvente. Pueden reescribirse las ecuaciones apropiadas en términos de relaciones libres de disolvente y relaciones de masa. La
principal diferencia consiste en una corriente de disolvente puro con una composición Yc = oo ,
ZFa
93
La Ec. 6-6b se deriva fácilmente reescribiendo las
Ecs. 6-1 y 6-3 en términos de variables libres de disolvente. El flujo neto "total" es
(6-1a)
El flujo neto por componente es
/.l'XA,
= Lo'Xo - V,'Y,
Debido a que Ve es un disolvente puro, Ve'
Ec.6-3,
/.l' = -D'
Debido a que Ve Y VN + 1 son disolventes puros, Ve'
O, VN + l' = O, Ye = 00 Y YN+1e = 00
(6-3a)
Eliminando v,.' entre las dos primeras de estas tres
ecuaciones y sustituyendo -O por 11 da directamente
la Ec. 6-6b.
La relación 4/D se da como un reflujo de 10, por lo
que 4' /0 = 10 y X &' pueden evaluarse de la Ec. 6-6b
cuando puede deteriminarse ~ . Por un balance de masa alrededor del separador de disolvente.
V ,-e
' - V ' + L e-e
' - V ' + L o ' + D'
Ahora Xea = XDa = YOa = 0.9, por lo que Y1 se localiza
en la intersección de la línea Ye Ye con la curva del
extracto. Nótese que las coordenadas de Ye son (Yea =
0.0, Yec = 00). Este punto queda infinitamente arriba del
diagrama de fases, por lo que cualquier línea que se trace desde el diagrama de fases será paralela al eje vertical. Puesto que Yec = 00, se traza una línea vertical
sobre Xc; donde intersecta a la curva del extracto, se
encuentra Y1.
Después de localizar ~ , la aplicación de la Ec. 6-6b da
así que X&' se localiza midiendo (Y1 - XD) y midiendo
después diez veces esa distancia, por encima de ~ . Este punto delta es válido para calcular las etapas que van
desde 1 hasta F-1, pero la alimentación cambia el flujo
neto para las etapas Fa N.
Puesto que
l..' = /.l' + F'
(6-5a)
los puntos X& " ZF Y X:a' caen sobre una lína recta.
Además
¿sr = LN' - VN+,'
(de la Fig. 3-9)
= O Y por la
(6.-2a)
Pero VN+1' = O y entonces X:aa = XNa Y X: se localizan
en la intersección de la línea X& ~ ZF' y la línea vertical que
pasa a través de XN, como se muestra en la figura. Las
etapas se trazan ahora utilizando X&, de la etapa 1 a la
alimentación Xd:a', de la alimentación hasta el fin de la cascada. En la Fig. 6-5 se muestran once etapas en la sec-
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94
PRINCIPIOS DE OPERACIONES UNITARIAS
40r---¡----,---,----,----,----r---.----r--~--~
Fig. 6-5
Solución del Ej. 6-1.
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OPERACIONES DE MULTIETAPAS A CONTRACORRIENTE CON REFLUJO
ción de enriquecimiento y unas doce etapas en la sección
de agotamiento.
El flujo de disolvente que se requiere puede determinarse ahora con una base de 1000 kg de alimentación
fresca.
Ve' y VN +1' son cero, por lo que un balance de masa
global F' = LN' + fJ'E Aplicando la regla del brazo de
la palanca invertida a este balance de masa:
LN'=XD,ZF'
F'
XD,X N
95
o
Lo - V 1 =-D
Combinando esta expresión con la Ec . 6-1 se obtiene
A =-D
(6-7)
Un análisis similar alrededor del rehervidor da
A=B
(6-8)
Combinando el balance global de masa
0.9 - 0.4
----=0.59
0.9 - 0.05
(6-9)
F=D+B
con las Ecs. 6-7 y 6-8 se obtiene
Entonces
A=A+F
(6-10)
Esta expresión, que es idéntica a la Ec. 6-5, relaciona el
flujo neto en las dos secciones de la cascada.
El flujo neto de entalpía puede definirse con respecto
a la sección de enriquecimiento.
Con la Ec. 6-2a
De la Fig . 6-5,
Xl:.'c = -23.8
t::.ht:. = Loho - V 1 H 1
Entonces, el flujo neto de disolvente = (-23.8)(590)
=
-14030 kg. El disolvente en el refinado es
(590/0.992)0.008 = 4.7 kg. Así, la velocidad de alimentación del disolvente es
donde h d es igual al flujo neto de entalpía por unidad de
flujo neto de masa total. Para usarse en cálculos gráficos, se puede relacionar h d con q e mediante el balance
de entalpía alrededor del condensador (Fig . 6-6). Las
entalpías de las corrientes que entran deben ser iguales
a las entalpías de las corrient es que salen. El condensador es un tipo especial de intercambiador de calor, en
donde el calor que se elimina al condensar el vapor, se
transfiere al líquido de enfriamiento, a través de una pared metálica. Un balance de entalpía para el líquido de
enfriamiento da
VN +1 =4.7 - (-14 030) = 14 035 kg por 1000 kg de
alimentación
En el separador de disolvente, puesto que
A' = -410 kg
Xt:.'c = 34.2
(6-11 )
-qe = entalpía del líquido de enfriamiento que sale
El flujo neto de disolvente = (34.2)(-410) = -14030 kg .
Debido a que no hay disolvente en 4 o D,
Ve = 14030 kg por 1000 kg de alimentación
-entalpía del líquido de enfriamiento que entra
Entonces, con un balance de entalpía alrededor del condensador se obtiene
V 1 H 1 = Loho + Dh D + (-qcl
Destilación
Los cálculos para la destilación se hacen sobre un diagrama entalpía-composición. El calor que se suministra
al sistema se define como q, de acuerdo con la convención usual en la termodinámica. Así, el calor que se
adiciona en el rehervidor o destilador es la carga del
rehervidor (qs) y el calor que se elimina en el condensador es la carga del condensador (-qe).
Los flujos netos de masa se definen con las Ecs . 6-1
y 6-2:
Enriquecimiento:
A = Lo - V 1 = Ln - Vn + 1
(6-1)
Agotamiento:
A = L N - Vs = Lm -- Vm + 1
(6-2)
(6-12)
La cantidad de calor que se adiciona al condensador,
por unidad de masa de destilado Q eD puede definirse
como
(6-13)
El balance de entalpía resulta
(6-14)
Un balance de masa alrededor del condensador (Fig.
6-6) da
Vi = Lo + D
Fig. 6-6 Nomenclatura de entalpía y masa, alrededor del condensador.
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96
PRINCIPIOS DE OPERACIONES UNITARIAS
Combinando esta ecuación con la Ec. 6-11
Resolviendo para la coordenada de entalpía del punto
delta
-D(h o - QCO)
-""-A------''-''- = h o - Oc O
(6-15)
flujo neto de calor
flujo neto de masa total
La coordenada x del punto delta se obtiene de
AXA = Loxo -
V 1 Vl = -Dxo
-D
XA =-xo =xo
(6-16)
A
Las dos coordenadas del punto delta (hA, x A) tal como
las definen las Ecs. 6-15 y 6-16, pueden utilizarse para
localizar el punto delta cuando se conocen la cantidad y
composición del destilado, así como la carga del condensador. Si se conoce la relación de reflujo h. puede
determinarse a partir de ella, en forma análoga a la derivación de la Ec. 6-6 para la extracción. Un balance de
masa alrededor del condensador da
Lo + D = V 1
y un balance de entalpía alrededor del condensador da
Debe considerarse la dirección de los flujos netos en
la columna de destilación. Las columnas de destilación
se construyen en forma vertical con el condensador en
el domo y el rehervidor en el fondo. De esta manera, el
flujo neto se define como positivo en la dirección descendente dentro de una columna vertical de destilación
(Fig. 6-2). La Ec. 6-7 muestra que el flujo neto de masa
total en la sección de enriquecimiento es ascendente y
en consecuencia tiene un valor numérico negativo (-D).
La Ec. 6-8 muestra que el flujo neto total en la sección
de agotamiento es descendente, por lo que tiene un valor numérico positivo (8). Debido a que el calor se suministra en el rehervidor y se elimina en el condensadOr, el
flujo neto de calor es ascendente tanto en la sección de
agotamie.nto como en la de enriquecimiento, por lo que
tiene un valor numérico negativo. Así, h. es siempre positiva mientras que ht. es siempre negativa.
En la Fig. 6-7 se muestra el uso de las ecuaciones que
se derivaron previamente para cálculos gráficos. Para la
ilustración, se supone que se conocen la composición y
condición térmica de la alimentación, los fondos y el
destilado. Además, se conoce la carga del rehervidor o
bien la carga del condensador. La alimentación es un
líquido subenfriado (ZE, HE). El destilado es un líquido a
su temperatura de burbuja (~, hD ) Y el producto del
fondo, es un líquido a su temperatura de burbuja (XB,
hB ). El reflujo es también un líquido a su temperatura de
burbuja (X(¡, ha)· Ya que h. = ho - DcD y x. = Xo = ~,
el punto delta para la sección de enriquecimiento puede
Loho + D(h o - 0CO) = V 1 H 1
Entonces,
Loho + Dh A = V 1 H 1
Lo
hA -
H1
D
H 1 -h o
-=----
(6-17)
La Ec. 6-17 es útil para determinar h. a partir de la relación de reflujo. Los valores de '-o ID, HI Y ho pueden
sustituirse en la Ec. 6-17 para evaluar h., o bien h.
puede ubicarse gráficamente, utilizando la ecuación como una guía. Para un condensador total, ho = ho y ~
= YI·
Un análisis similar para la sección de agotamiento,
conduce a las siguientes relaciones.
H, h
ornr+-r-~-T~-------~+-~
(6-18)
flujo neto de calor
ht,. = h B - OSB = flujo neto de masa total
(6-19)
donde
(6-20)
xt,. =xs
(6-21)
Xa
(6-22)
Fig. 6-7
líquido.
Cálculos para destilación con reflujo de vapor y
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OPERACIONES DE MULTIETAPAS A CONTRACORRIENTE CON REFLUJO 97
determinarse a partir de la carga en el condensador. El
punto delta para la sección de agotamiento se localiza
mediante la prolongación de la línea X/1ZF Y la línea vertical XB = X A• Es posible trazar las etapas desde cualquier
extremo, empleando el punto delta apropiado. En la Fig.
6-7, se trazan las etapas partiendo del domo de la columna, mediante el uso alterno de los datos de equilibrio
y del punto delta. La columna tiene un condensador total Yl = Xo = JCD Y puede localizarse el punto (Yl , Hl ).
Este punto representa al vapor que sale de la primera
etapa. El líquido que sale de la primera etapa se encuentra en equilibrio con este vapor. Por ello, su composición . (Xl) se determina mediante la curva de
equilibrio y su entalpía se determina a partir de su composición y la curva de entalpía para el líquido saturado.
Para localizar (Y2, H2 ), se traza una línea de (Xl' h¡) a
(X/1, h.) Se aplica la relación de equilibrio partiendo de
(Y2 , H2 ), para encontrar (x2 , hz ). Este trazo de etapas se
continúa utilizando (X/1, h/1) hasta llegar a ZF' En ese momento, la construcción cambia al punto delta para la
sección de agotamiento (XA, hA). El cálculo se completa
cuando la composición del líquido es mayor o igual a la
composición de los fondos XB • El cálculo de etapas a través de la etapa de alimentación que se ha descrito, no
es riguroso considerando la entalpía y características de
la fase de alimentación pero es una aproximación suficientemente precisa que se utiliza con frecuencia. Se requiere cerca de 4.6 etapas en la sección de enriquecimiento y alrededor de 4.2 etapas para la sección de agotamiento. Las etapas que resultaron de este cálculo son
idénticas a las que se determinaron en el Ej. 6-1 para la
extracción. La analogía entre las dos operaciones debe
estudiarse con cuidado.
Las Figs. 6-2 y 6-6 muestran un condensador total en
el cual se condensa todo el vapor (\I¡) y se divide en
destilado (D) y reflujo (Lo). Por otro lado, en un condensador parcial, sólo se condensa el reflujo, mientras que
el destilado se extrae como vapor. Dado que el reflujo
líquido y el vapor destilado están en contacto, pueden
alcanzar el equilibrio, dando como resultado una etapa
de equilibrio adicional, como se muestra en la Fig. 6-8.
En la práctica real, es posible que el líquido y el vapor no
tengan un contacto suficiente para llegar al equilibrio,
por lo que un condensador parcial opera como menos
de una etapa de equilibrio.
Las Figs. 6-2 y 6-7 muestran la salida de fondos antes,
del rehervidor, de tal forma que la corriente que entra al
rehervidor corresponde totalmente a fase vapor. En la
mayoría de las torres de destilación, los fondos se
extraen del rehervidor, como se muestra en la Fig. 6-9.
Lo anterior resulta en un rehervidor que puede ser
equivalente a una etapa de equilibrio. En este libro, se
supone que un condensador o un rehervidor parcial son
exactamente iguales a una etapa de equilibrio.
Los rehervidores y condensadores son intercambiadores de calor de diseño especial. Los principios de diseño para intercambiado res de calor se consideran en
capítulos posteriores. En los rehervidores, frecuentemente se utiliza vapor de agua como fluido de calenta-
D
h.H
Xa, Ya
Fig. 6-8 Condensador parcial equivalente a una etapa de
equilibrio.
miento. La temperatura del vapor de agua debe ser lo
suficientemen'te mayor que el punto de burbuja de los
fondos, para lograr una velocidad de transferencia de
calor razonable en el rehervidor.
En los condensadores, el agua es con frecuencia el
fluido de enfriamiento. La temperatura de la gua debe
ser suficientemente menor que el punto de burbuja del
destilado, para lograr una transferencia de calor adecuada hacia el agua de enfriamiento. Cuando las temperaturas no son apropiadas para el agua o el vapor de
agua se utilizan diversos medios de calentamiento y
enfriamiento . La selección del medio se basa en las temperaturas de operación que se pretenden mantener. Por
ejemplo, en el condensador de una columna de purificación de metano de una planta de hidrógeno líquido se
utiliza nitrógeno líquido (-300°F, 40 Ib/plg2 man) como
fluido de enfria miento .
En la práctica, el rehervidor parcial se utiliza con mayor frecuencia que el rehervidor total, debido a que el
primero contribuye a la separación de componentes,
mientras que la vaporización total de un líquido origina
problemas de transferencia de calor. Los condensadores parciales se emplean cuando es difícil condensar todo el vapor de una columna y los componentes son muy
volátiles. También puede emplearse la condensación
parcial cuando- se requiere un producto en fase vapor.
Por otra parte, si se especifica un producto líquido, debe utilizarse un condensador total.
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98
PRINCIPIOS DE OPERACIONES UNITARIAS
q.
/
C; /
.;ti /
/
;:. /
'lI /
~!
Q:' !
!
./
/
/
H, h
~~*=ki============
25000~--------~-+--~~++~~
20000
15000
h,H
10000
(xv' h D ) or
Fig. 6-9 Rehervidor parcial equivalente a una etapa de
equilibrio.
Ejemplo 6-2 100 lb mol/h de una solución compuesta por 30% en mol de alcohol etílico y 70% en mol de
agua, a 140 °F, van a destilarse a presión atmosférica
normal en una columna que tiene un condensador total
y un rehervidor parcial. El destilado tendrá una compOSición de 80% en mol de alcohol etílico y contendrá 95%
del alcohol que se alimenta. Se empleará una relación
de reflujo (Lo / D) de 2.2. l Cuántas etapas de equilibrio
se requieren? l Cuál es la etapa de alimentación? l Cuál
es la carga térmica en el rehervidor? l Cuál es la carga del
condensador?
.
Solución F = 100 lb mol/h, 4- = 0.3, Xo = 0.8. El
alcohol que se obtiene en el destilado es el 95% del que
se alimenta: (0.95) (0.3) (100) = 28.5 lb mol
28.5
0.8
D=-=35.6
'
8 = 64.4,
1.5
'Xs
=-64.4 =0.023
Los puntos (Xo , hD ), (ZF, hF ) Y (Xa , ha ) se localizan en la
Fig. 6-10. Como se muestra, la alimentación es un
líquido subenfriado. El punto (x¿, h¿) se localiza por medio de la Ec. 6-17:
Lo= 2.2 =hA - H,
D
H, - h o
Entonces
hA - H, =2.2(H, - h o)
(xo' h o)
5000
~~~~
O~~====~==========~~
- 5000
-10000
Ya
-15000
-20000
Xa
Fig. 6-10 Solución al Ej. 6-2.
Con la Ec. 6-10, hx se localiza en la intersección de la
línea h ¿hF Y la línea vertical Xx = Xa. Ahora se trazan las
etapas comenzando por el rehervidor. Se utiliza ht. partiendo de Xa hacia ZF Y h¿ partiendo de ZF hacia Xo. Se
requiere de siete etapas (más el rehervidor). La alimentación se localiza en la segunda etapa por encima del
rehervidor.
La carga térmica en el rehervidor se calcula utilizando
las Ecs. 6-19 y 6-20. De la Fig. 6-10. OsB = hB - ht. =
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OPERACIONES DE MULTIETAPAS A CONTRACORRIENTE CON REFLUJO
31 500 Btu/lb mol y Cls = (64.4)(31 500) = 2 028 600
Btu/h. Para la carga del condensador, por la Ec. 6-15,
-QD = h& - hD = 54 400 Btu/lb mol (de la Fig. 6-10).
Utilizando la Ec. 6-13 se obtiene -q = (54 400) ,35.6)
= 1 936600 Btu/h. La carga térmica en el rehervidor es
ligeramente mayor que la carga del condensador debido
a que la alimentación es un líquido subenfriado.
VARIABLES DE DISEÑO Y OPERACION
Aunque el siguiente estudio se refiere principalmente a
la destilación, muchos de los principios se aplican también a la extracción líquida o a cualquier otro proceso de
separación que utilice reflujo. La aplicación a la extracción se menciona después de tratar la destilación.
Para una alimentación con cierta composición y velocidad de flujo, a una presión fija para obtener un producto destilado y un producto de fondos, depende de
las variables hF , ;c¡" ><o, -qc, q" '-o ID y N. Cuando se
especifican cuatro de estas variables, las otras tres
quedan fijas y pueden evaluarse. De las posibles combinaciones de cuatro variables que se especifican, sólo
unas cuantas se emplean en los problemas de ingeniería.
En el diseño de equipo nuevo, el caso más común involucra el conocimiento de hF , ;c¡, y XD • Se selecciona
entonces un valor de '-o ID que produzca la combinación más económica de costos de equipo y de energía.
Los costos de equipo son proporcionales al número de
etapas N, mientras que los costos de energía se relacionan directamente con la carga térmica en el rehervidor (qs l. debido a que representa el vapor que se suministra en el rehervidor. Al aumentar el número de
etapas, la carga térmica del rehervidor disminuye, de tal
forma que es posible asegurar la existencia de un costo
total mínimo de equipo y energía.
Al evaluar la operación de equipo existente o al planear un nuevo uso para él, N casi siempre resulta fija,
mientras que '-o ID, qs Y -Qc , no pueden exceder ciertos
valores dictados por las dimensiones del equipo. Por lo
general se conocen la entalpía y la composición de la alimentación, por lo que deben evaluarse las posibles
composiciones de los productos. Existe una cierta flexibilidad, ya que Lol D, qs Y - qc pueden ajustarse en un intervalo por debajo de sus valores máximos.
Reflujo
'-o ID para valores fijos de ~ , ><o y Yl' el punto delta se
aproxima a Yl ; se necesitan más etapas.
Si se reduce '-o ID hasta un punto en el que la prolongación de una línea de unión pasa a través de cualquier
punto delta, ocurre una infinitud en el que se requiere
de un número infinito de etapas para llevar a cabo esa
separación específica. Este valor de '-o ID se conoce
como relación de reflujo mínimo. Un valor de Lo ID por
debajo del valor mínimo, no puede dar la separación
específica aun con un número infinito de etapas. Una
relación de reflujo mayor que la mínima, necesita un número finito de etapas para una separación específica.
La relación de reflujo mínimo se determina mediante
el siguiente procedimiento esquemático. Primero se localizan varias línea de unión en el intervalo de composición- de XD a;c¡, (Fig. 6-11). Resulta útil seleccionar la
línea de unión que pasa exactamente a través de Z¡, , así
como algunas otras líneas en ambos lados de la alimentación. Las líneas de unión que van de zFaXD , se prolongan hacia arriba para intersectar la línea vertical X& =
X D • Las líneas, de unión que van de Z¡, a;c¡, se prolongan
hacia abajo hasta la intersección con la línea vertical en
Xx = ;c¡, . Los dos puntos delta deben quedar sobre una
línea recta que pase a través de ZF por lo que la compo-
%A
para la
Lo/D
mínima
%6
para la
A medida que disminuye la relación de reflujo ('-o) a producto destilado (O), se requieren más etapas para una
separación específica. Un análisis de la Ec. 6-19, muestra que una reducción de '-o ID para valores fijos de hu y
H1 origina un desplazamiento del punto delta hacia H1 •
A medida que el punto delta se acerca a H1 , se obtiene
un pequeño cambio en la composición entre las etapas,
por lo que se requiere de un mayor número de éstas.
Para la extracción, la Ec. 6-6 muestra que al disminuir
99
Lo/D
mínima
%a
Fig. 6-11
Determinación del valor mínimo de 41D .
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100 PRINCIPIOS DE OPERACIONES UNITARIAS
sición de la alimentación se utiliza como un punto pivote
para una línea que intersecta las verticales Xt. = ~ y Xi
= Xs. Un valor muy grande de Lo / D da lugar a puntos
delta alejados del diagrama de fases y pocas etapas
(Fig. 6-11). Al reducir el valor de Lo / D, la línea que pasa
a través de q. gira en el sentido de las manecillas del reloj originando puntos delta más cercanos al diagrama.
Por último, esta línea intersecta una línea de unión ya
sea en Xt. = ~ o Xi = Xs . La línea de unión que intersecte primero cuando se aproximen al diagrama X t. Y Xi ,
determina el valor mínimo de Lo /D, ya que especifica el
menor Lo / D que da lugar a la separación que se desea
efectuar. En el caso que se muestra en la Fig. 6-11, la
línea de unión que pasa a través de la alimentación determina la Lo /D mínima. En general, cualquier línea de
unión puede ser determinante, dependiendo de la forma
de la curva de equilibrio.
Al aumentar el reflujo, disminuye el número de etapas que se requiere para llevar a cabo una separación
específica. A reflujo total, no se extraen los productos
(D = O, B = O), no se suministra alimentación (F = O)
ni se requiere de un número mínimo de etapas para una
separación específica. En tal caso, Lo / D = 00 y lis / B =
oo. En esta condición, los dos puntos delta caen en el infinito y las líneas de construcción hacia el punto delta
son verticales; en otra palabras, Yn + 1 = ~ Y Y m + 1 =
Xm •
Las columnas de destilación pueden operarse realmente a reflujo total. Algunas veces se arranca una columna cargando suficiente alimentación de líquido para
llenar todos los platos de la columna. El rehervidor evapora el líquido que fluye hacia él y el vapor resultante su be a través de la columna hasta llegar al condensador. El
líquido que se condensa fluye hacia abajo, de plato en
plato. Por último, todas las etapas se encuentran llenas
de líquido. Si no se adiciona una mayor cantidad de alimentación y no se extraen fondos o producto destilado,
la columna operará a reflujo total. Cuando se conoce el
número de etapas, es posible calcular la composición de
estado estable del domo y el líquido del fondo, como se
enunció anteriormente. Los datos a reflujo total indican
al operador cuál es la mejor separación posible en la columna . Una vez que la columna alcanza un estado estable a reflujo total, se extraen el destilado y los fondos,
suministrando alimentación a una velocidad que crece
hasta alcanzar la producción que se desea. Al extraer el
destilado y los fondos, la pureza del producto disminuye.
El concepto de reflujo total como se definió aquí, carece de significado cuando se emplea el reflujo en un
solo extremo de la cascada, como en la extracción
líquida, debido a que no hay forma de tener un reflujo
del producto de la fase L.
Los conceptos de reflujo mínimo y número mínimos
de etapas a reflujo total son útiles para estimar la dificultad de separación, para fijar la relación de reflujo de
operación y para analizar la operación de la columna. En
la Fig. 6-12 se muestra cómo puede variar el número de
etapas al cambiar la relación de reflujo. El reflujo mínimo
N
Intervalo
~
orma l de
I
I
I
N mfn
diseño
__ __ L
___ __ =-=::-::-::---:---===-::
I
I
I
Fig. 6-12 Variación del número de etapas con la relación de
reflujo, para una separación específica.
y el número mínimo de etapas sirven como asíntotas de
la curva. Las columnas de destilación se diseñan normalmente evitando las regiones asintóticas de la curva.
En la destilación, un reflujo mayor requiere de un número menor de etapas, pero de mayores cargas térmicas en el rehervidor y condensador. Debido a que el
calor que se suministra en el rehervidor tiene un costo;
un balance económico entre los costos de operación e
iniciales de equipo determinará la mejor relación de
reflujo. En forma similar, en la extracción líquida, una
mayor relación de reflujo da lugar a menos etapas pero
necesita de una mayor velocidad de disolvente y una
mayor carga en el separador de disolvente, incrementándose los costos de operación. Es posible efectuar
una evaluación económica para determinar la combinación óptima de costos de equipo y operación para una
separación específica. En la Fig. 6-13 se muestra una
evaluación típica. El diseño óptimo se presenta en el
punto de costo total mínimo.
Ejemplo 6-3 Determinar la relación mínima de reflujo y el número mínimo de etapas para la separación del
Ej. 6-2.
t
o
tí:;¡
Diseño óptimo a costo
"O
o
C.
Q)
"O
"O
'"
·c
:;¡
"O
oc.
o
tí
o
u
Número de etapas ----.-
Fig. 6-13
Determinación del disefío óptimo en la destilación.
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OPERACIONES DE MULTIETAPAS A CONTRACORRIENTE CON REFLUJO
Solución Del Ej. 6-2, ZF = 0.2, J<B = 0.023, Xv =
0.8, como se observa en la Fig. 6-14. Para encontrar la
relación mínima de reflujo se prolongan las líneas de
unión de la sección de enriquecimiento hasta la intersección con la línea vertical Xn = 0.8. La línea de unión
que intersecta en un punto más alejado del diagrama
determina el valor de h. para la relación mínima (véase
la Fig. 6-14). Por la Ec. 6-17, este valor de h. da lugar a
(Lij /Dmfn = 0.93. Una revisión de las líneas en la sección
de agotamiento, muestra que la línea de unión que se
identificó previamente en la sección de enriquecimiento, determina la relación de reflujo mínimo. Para el
número mínimo de etapas, los dos puntos delta corresponden a infinito. Trazando las etapas a partir de J<B =
0.023 hasta Xn = 0.8, se obtiene Nmfn = 5.2 (Fig. 6-14).
La existencia de un punto de infinitud en la alimentación, como en el Ej. 6-3, es característica de las soluciones ideales. Para muchos sistemas reales, las re-
h~(mínl
Ah~=oo
t
101
laciones de equilibrio producen puntos de cruce
de líneas en otras composiciones. Esto se considerará
nuevamente en el Cap. 7.
Reflujo subenfriado
Un condensador total puede no sólo condensar sino
también enfriar el reflujo líquido por debajo de su temperatura de burbuja. A este reflujo se le conoce como
reflujo subenfriado. Cuando se alimenta un reflujo
subenfriado a una columna de destilación, se condensa
algo del vapor produciendo un flujo descendente de
líquido mayor que el reflujo que se suministra. La relación L/Vse conoce como relación interna de reflujo. Para
un mismo valor en la relación externa de reflujo (Lo / D),
un reflujo subenfriado producirá una relación interna de
reflujo mayor que la de un reflujo a su temperatura
de burbuja. Todas las ecuaciones que se derivaron son
aplicables a un reflujo subenfriado, siempre que ha se
grafique correctamente por debajo de la curva de
entalpía para líquido saturado. Debe notarse que el
reflujo subenfriado no cambia el flujo neto. Un reflujo
subenfriado en la destilación es análogo a un reflujo del
extracto en la extracción, que contiene una cantidad de
disolvente menor que la que daría una composición que
quedara sobre la envolvente de fases.
Sistema etanol-agua
1 atm presión
20000
Arrastre
15000
1
1
00
I I
I 1
10000
h,H
El arrastre se presenta cuando la fase pesada L no se separa por completo de la fase ligera V antes de salir de la
etapa de equilibrio. El arrastre en la fase L resulta en una
composición de la fase V diferente del valor de equilibrio. Si se conoce la relación de la fase L que se arrastra
a la fase V, puede determinarse un nuevo punto para la
fase V y utilizarlo para calcular el número de etapas de
equilibrio que se requiere. Entre los ejemplos de arrastre
de la fase L en la fase V se incluyen el arrastre del líquido
con el vapor en una columna de capuchones en la destilación y el arrastre de sólidos insolubles con el extracto
en la lixiviación. En la extracción líquido-líquido, es posible observar el arrastre tanto del extracto como del refinado en la otra fase.
N
~
5000
140·
100·
60·
O
1.0
Ah~=-oo
-5000
0.8
-10000
0.6
Presión
Ya
0.4
0.2,
~
~
-L
-L
0.2
0.4
0.6
Xa
Fig.6-14 Solución al Ej. 6-3.
~
0.8
-JO
1.0
El diseñador de una columna de destilación puede seleccionar la presión a la cual operará la columna, escogiendo, si es posible, la presión que dé lugar a temperaturas
en el rehervidor y el condensador, en un intervalo que
permita el empleo de medios de calentamiento y enfriamiento con un costo bajo. A menudo se emplea vapor
de baja presión para el calentamiento en el rehervidor,
mientras que como fluido de enfriamiento en el condensador se utiliza aire o agua. Estos materiales son relativamente económicos y de gran disponibilidad. Si se
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102 PRINCIPIOS DE OPERACIONES UNITARIAS
selecciona una presión de tal forma que la columna opere por debajo de la temperatura ambiente, la necesidad
de refrigeración para suministrar el fluido de enfriamiento incrementará notablemente el consumo de energía y
los costos de operación. Algunas veces, el empleo de
refrigeración es inevitable, como en la destilación de gases muy volátiles tales como gas natural o aire. Al fijar la
presión, el diseñador debe considerar también la sensibilidad térmica de los materiales que se van a destilar.
En ocasiones es necesario emplear una presión por debajo de la atmosférica a fin de que la temperatura sea
suficientemente baja para evitar la descomposición térmica. Por ejemplo, en la destilación de petróleo crudo,
la columna que procesa los materiales menos volátiles
opera al vacío.
Control
Las columnas de destilación requieren de un cuidadoso
control para asegurar una operación uniforme y la obtención de los productos con la composición que se desea. Las columnas de destilación a escala industrial se
controlan en forma automática, empleando sistema
eléctricos o neumáticos. Con frecuencia, dichos sistemas de control son extremadamente complejos y re-
Agua de
enfriamiento
r;::====~
Tanque de
reflujo
Io-------iili....".. Producto
destilado
Alimentación
(Velocidad fija)
le
Producto
de fondos
@ Control de flujo
@ Control de nivel
® Control de presión
® Control de temperatura
~--~-L..-Vapor
Condensado
Fig.6-15 Control en una columna de destilación. El sistema
que se muestra es un esquema relativamente simple para mantener la estabilidad de la columna y las purezas de productos
que se desean. La presión de la columna se mantiene a cierto
valor, controlando la temperatura del agua de enfriamiento en
el condensador. Un incremento en el flujo de agua de enfriamiento aumenta de manera notable la velocidad de transferen-
quieren de poca supervisión humana, que por lo regular
la efectúa un operador desde un cuatro central de
control. Los sistemas de control deben ser capaces
de corregir las fluctuaciones inesperadas de las variables
de proceso, que ocurren frecuentemente, aun operando
a estado estable. Por ejemplo, la composición de la alimentación o su condición térmica pueden cambiar debido a fluctuaciones en algún punto del proceso químico.
Una tormenta repentina puede disminuir la temperatura
del ambiente que rodea a una columna sin aislamiento,
modificando las pérdidas de calor de la columna. El
arranque y paro de procesos químicos que tienen unidades de destilación implican problemas de control adicionales. En esos casos puede necesitarse de un control
más dire<::to por parte del operador.
En la Fig. 6-15 se muestra un esquema de control
simple para una columna de destilación. Es posible diseñar sistemas más complejos que, de hecho, se utilizan
con frecuencia . En la Ref. 1 se incluye un estudio más
amplio sobre el control de columnas de destilación.
CORRIEÑTES INTERMEDIAS
En cualquier operación de transferencia de masa es posible tener más de una corriente de alimentación o más
cia de calor en el condensador y disminuye la temperatura de
condensación, que a su vez origina una disminución de la presión.
La pureza del destilado se mantiene midiendo la temperatura en un plato de la sección de enriquecimiento. Para una
mezcla binaria, la temperatura determina la composición. Si la
temperatura se eleva demasiado, aumenta la cantidad del componente menos volátil en la sección de enriquecimiento y entonces, el controlador de temperatura incrementa el reflujo
para mejorar la separación y reducir la concentración del componente menos volátil en el plato de la sección de enriquecimiento.
El líquido que sale del condensador se acumula en un tanque de reflujo. Cuando el nivel del líquido excede un valor preestablecido, el controlador de nivel abre la válvula de producto
destilado hasta un punto tal que se mantenga ese nivel de
líquido en el tanque.
En el fondo de la columna, debe mantenerse un nivel del
líquido para asegurar un funcionamiento correcto del rehervidor. En el rehervidor de termosifón que se muestra, el líquido
hierve dentro de los tubos, calentándose con vapor que se condensa en la chaqueta de los tubos. El líquido fluye hacia el fondo del rehervidor, mientras que una mezcla de líquido y vapor
retorna a la columna. La velocidad de flujo del vapor de agua
se controla a un cierto valor que determina en forma efectiva el
reflujo de vapor en la columna cuando se conoce la velocidad
de flujo de la alimentación. Alternativamente el flujo de vapor de
agua también podría controlarse por la temperatura de un plato en la sección de agotamiento, con objeto de controlar con
mayor precisión la pureza del producto de los fondos .
Aquí se supone que la velocidad de flujo, la composición y
la condición térmica de la alimentación se controlan en algún
otro punto del proceso químico, aunque el sistema de control
que se muestra podría corregir fluctuaciones pequefias en las
condiciones de alimentación.
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OPERACIONES DE MULTIETAPAS A CONTRACORRIENTE CON REFLUJO
D
B
F
1
103
Fig. 6-16 Corriente intermedia para una destilación. Para la extracción líquido-líquido, se
elimina la unidad S y se suministra disolvente en la etapa N en forma de VN + l ' YN + l.
de dos corrientes de productos. Por .ejemplo, en la destilación de petróleo crudo pueden obtenerse gas ligero,
propano~ butano, gasolina, nafta, queroseno, aceites
ligeros, aceite lubricante, aceite combustibles y asfalto,
como productos en distintos puntos de la columna. El
cálculo de la destilación para estas mezclas multicomponentes es muy complejo. Un caso simple de una
corriente intermedia para una destilación binaria o
extracción puede manejarse mediante los métodos que
se han estudiado. En la Fig. 6-16 se muestra un ejemplo
con dos alimentaciones. La introducción o eliminación
de una corriente intermedia (t) cambia el flujo neto. En
consecuencia, debe establecerse un nuevo punto delta.
En la Fig. 6-16 existen tres flujos netos diferentes, que
Xli
originan tres puntos delta: A para las etapas 1 a 1-1, K
para las etapas 1 a la F-l y ¡; para las etapas Fa N.
Las ecuaciones para los flujos netos totales son
~ = Lo -
V1 = Ln - Vn+ 1 = -(O + Vd
3 c: LN - VN+l = Lm - Vm-rl
3 == L¡ - V¡+1
(6-1 )
(6-2)
(6-23)
Xa , Ya
El subíndice i se refiere a cualquier etapa en la sección
intermedia de la columna entre las etapas 1 y F - 1.
El flujo neto en el extremo izquierdo de la cascada es
A. Después de añadir la corriente intermedia (t), el flujo
neto se transforma en
(6-24)
Cuando se suministra la alimentación (A, el flujo neto es
(6-25)
La corriente 1 puede tener un valor positivo (una alimentación) o un valor negativo (un producto). Es posible
calcular otras corrientes intermedias definiendo flujos
netos adicionales.
Hay tres flujos netos diferentes ';'1 en consecuencia,
debe haber tres puntos delta. Para un caso típico la determinación de los tres puntos delta se muestra en la
Fig. 6-17. Si se conoce la relación de reflujo, puede localizarse X~ en la línea X o Yl mediante el uso de la Ec.
6-6a. Una vez que se localiza X~, Xi. puede determinarse
por referencia a las Ecs. 6-2 y 6-25. La Ec. 6-2 implica
que X~ estará en la línea XN YN+l' que se muestra en el
diagrama . La Ec. 6-25 puede emplearse para construir
otra línea que intersecte a Xv YN+l en x ~. Puesto que hay
tres términos en el lado derecho de la Ec. 6-25,la adición
debe llevarse a cabo en dos etapas. Primero, se suman
Fig.6-17 Determinación gráfica de los puntos delta para una
extracción líquida con una corriente intermedia de producto.
gráficamente 1 y F para dar la suma ~. ~ y A pueden sumarse para dar a (es decir, Xi. quedará en la línea recta
X~Z1:). La intersección de esta línea con XN YN+l es X~.
La suma ~ puede considerarse como una "alimentación ficticia". Las secciones de la cascada que se encuentran entre 1 y 1, así como entre Fy N, se comportan
como si hubiera una sola alimentación ~ = 1 + F en algún punto entre 1 y F. Los flujos netos en estas dos secciones pueden determinarse combinando 1 y F en la alimentación ficticia, (~) y considerando la cascada como
un caso norma! de una sola alimentación. Debido a que
en la Fig. 6-16 la corriente 1 era un producto, su valor
numérico es negativo y Z1: queda más allá de q. sobre la
línea Z¡ZF, como en el caso usual de la sustracción. A fin
de determinar x~, se abandona el concepto de alimentación ficticia que es una expresión del flujo neto que va
de 1 a F. El terce. punto delta se localiza con el uso de
las Ecs. 6-24 y 6-25 en la intersección de las líneas
XdZ" y X0.
Ahora es posible trazar las etapas usando el punto
delta adecuado para cada sección de la cascada.
Las corrientes intermedias en la destilación yen otras
operaciones se calculan en forma similar. En la destila-
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104 PRINCIPIOS DE OPERACIONES UNITARIAS
REFERENCIAS
W. L., Pracess Madeling, Simulatian, and Control far Chemical Engineers, McGraw-Hill, New York
1. Luyben,
(1973).
PROBLEMAS
Fig. 6-18 Destilación de petróleo crudo. Esta columna de
destilación atmosférica efectúa la primer separación del petróleo crudo en distintas corrientes de productos. La alimentación
de petróleo crudo se calienta en el horno que se muestra a la izquierda de la base de la columna. La alimentación se evapora
parcialmente y entra a la columna a través de la tubería grande
que se encuentra por encima del soporte de concreto en forma
de anillo. La gasolina y los gases volátiles salen de la columna
por el domo a través de la tubería de gran diámetro y se envían
a un condensador parcial que se encuentra en la base de la columna. El reflujo se bombea hacia el domo de la columna. La
tubería que se encuentra en varios puntos de la altura de la columna indica la presencia de corrientes intermedias incluyendo
nafta, queroseno, diesel ligero y diesel pesado. Los componentes más pesados ( breas y/o asfaltos) salen por el fondo de la
columna, el cual se observa por debajo del soporte de
concreto.
Esta columna, que mide 197 pies de altura y tiene un diámetro de 28 pies, procesa 200 ()()() barriles diarios de crudo. Las
columnas de este tipo utilizan por lo general platos de válvulas
como los que se muestran en la Fig. 2-10. La escala de la
fotografía puede apreciarse en relación con los dos trabajadores que se encuentran a la mitad de la columna. (Cortesía de
Foster Wheeler Energy Co.)
ción, una corriente intermedia puede consistir en tan só-
lo una adición o eliminación de calor. En la Fig. 6-18 se
muestra un ejemplo de destilación con corrientes intermedias.
6-1 Evalúe los flujos netos por componente total en el Ej. 6-1.
6-2 Empleando las mismas velocidades y composiciones
de disolvente y alimentación del Ej. 6-1, determine la máxima
concentración posible de estireno en el punto de extracto de
una cascada simple a contracorriente.
6-3 Loealice los puntos delta del Ej. 6-1 sobre un diagrama
ternario .: Intente trazar el número de tapas que se requiere
sobre este diagrama.
_
6-4 Demuestre que LN'/F' = XdZ';XOXN
6-5 Derive la Ec. 6-6b.
6-6 Derive las Ecs. 6-18 a 6-22.
6-7 Muestre que para una composición específica de alimentación, es posible obtener una mayor recuperación de soluto a y un producto de extracto de mayor concentración mediante el uso de reflujo de extracto (es decir, compare la
extracción con reflujo con la extracción sin reflujo y muestre
las concentraciones limitantes que es posible alcanzar con un
gran número de etapas; esto puede efectuarse con mayor facilidad en una base libre de disolvente).
6-8 Por medio de un diagrama, muestre que el reflujo en
ambos extremos de una columna de destilación puede conducir a una mayor recuperación y pureza de producto que en una
cascada con flujo simple a contracorriente.
6-9 Convertir la Fig. 6-4 a coordenadas libres de disolvente
y describir el procedimiento gráfico de cálculo que se requiere
para el reflujo, empleando coordenadas libres de disolvente.
Escriba todas las ecuaciones en las que se basa el cálculo
gráfico.
6-10 Con una alimentación de composición X. = 0.3, x;,
= 0.7 Y con un disolvente puro:
(a) ¿Cuál es la concentración máxima de a que puede obtenerse en el extracto (en una base libre de disolvente) para el
sistema que se muestra en la Fig. 3-8?
1. Sin reflujo.
2. Con reflujo del extracto.
(b) Repetir el inciso anterior con el sistema de la Fig. 3-9 (o
de la Fig. 3-10).
(e) Compare los resultados de los incisos (a) y (b).
6-11 Describa los cálculos gráficos que se requieren para
determinar el número de etapas en la destilación de una
mezcla de etanol yagua en donde sólo se emplee reflujo para
el destilado. En vez de utilizar un rehervidor, se alimenta vapor
de agua saturado por el fondo de la columna, a contracorriente con el producto de los fondos. Desarrolle cualquier nueva
ecuación que se necesite.
6-12 ¿Cuál es la concentración máxima de etanol que
puede alcanzarse en el producto si se alimenta una solución
acuosa que contiene 30% en mol de etanol? La alimentación es
un líquido saturado:
(a) Sin reflujo.
(b) Con reflujo del destilado.
(e) Con reflujo del destilado y de los fondos.
(d) ¿Qué ventajas ofrece el inciso (e) sobre el (b)?
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OPERACIONES DE MULTIETAPAS A CONTRACORRIENTE CON REFLUJO
6-13 Una solución compuesta por 95% en mol de etanol y
5% de agua se alimenta a una columna de destilación equivalente a un gran número de etapas de equilibrio. Si la columna
se opera con una relación de reflujo alta, estimar las composiciones del producto destilado y del de los fondos.
6-14 ¿Es posible operar una columna de destilación a reflujo total? ¿Por qué puede preferirse operar una columna a reflujo total? ¿Es posible operar una columna a reflujo mínimo?
Explique.
6-15 En una columna de destilación típica con reflujo, ¿cuál
es la dirección del flujo neto de calor? ¿Del componente más
volátil? ¿Del componente menos volátil? ¿Cuál es la dirección
del flujo peto total? Asegúrese de considerar tanto la sección
de agotamiento como la de enriquecimiento.
6-16 ¿Por qué en la Fig. 6-7, h. es negativo mientras que h.
es positivo?
6-17 Indique cómo debe construirse un rehervidor:
(a) De manera que sea equivalente a una etapa de equilibrio.
(b) De manera que no contribuya a formar una fracción de
etapa.
6-18 (a) Se conocen los siguientes datos para un sistema
de extracción líquida para tres componentes:
Curva del extracto: X = 4.0 -X•.
Curva del refinado: X = 1.0 -X .
Curva del equilibrio: Y. = 2XA /(l + X) .
Determine el número de etapas que se requiere para efectuar la siguiente separación:
Alimentación: loo0lb/h;X = 0.4, Xb = 0.6
Producto de extracto: X = 0.8, Xb = 0.2
Producto de fondos: X = 0.05, Xb = 0.95
Disolvente que entra: y. = O, Y. = 4.0, 11,,+1
500 Ib/h
Relación de reflujo del extracto: (L,,/D) = 3.0
(No hay reflujo del refinado).
(b) Se conocen los siguientes datos para una mezcla binaria ideal en fase líquida:
Curva de entalpía del vapor saturado: H = 4000 - loo0x;.
Curva de entalpía del líquido saturado: h = 1000 - 1000x;.
Volatilidad relativa = 3.0.
Determine el número de etapas que se requieren para llevar
a cabo la siguiente separación:
Alimentación: 1000 lb mol/h; Jc;, = 0.4, hF = O.
Destilado: x;. = 0.8
Fondos: x;. = 0.05
Relación de reflujo del destilado (Lo / D) = 3 . O
No hay reflujo de los fondos. Por el fondo de la columna se
alimenta un vapor saturado b a una velocidad de 500 lb mol/h.
6-19 Calcular las velocidades de flujo de líquido y vapor en
cada etapa para el Probo 6-18 (b). ¿Qué generalización puede
inferirse del resultado?
6-20 Una mezcla de 500 Ib/h compuesta por un 50% en
masa de estireno y 50% en masa de etilbenceno va a separarse
en productos con composiciones del 90 y 10% en masa de estireno (base libre de disolvente), por extracción con dietilenglicol puro como disolvente. Se utilizará reflujo de la fase extracto. Se encuentra disponible un sistema mezclador-sedimentador equivalente a 10 etapas de equilibrio.
(a) Determine la relación de reflujo factible, suponiendo
que el disolvente que sale del separador es puro.
(b) Para las condiciones de (a), determine la velocidad de
alimentación de disolvente fresco.
6-21 Una solución de 2000 Ib/h de aceite de semilla de algodón y ácido oleico que contiene 30% de ácido va a extraerse
105
con propano, en una cascada continua a contracorriente que
se encuentra a una temperatura de 98.5 oC, empleando reflujo
del extracto. El producto extracto contendrá 85% de ácido y
tendrá un contenido despreciable de propano. El producto refinado debe contener 3% de ácido. La relación de reflujo del
extracto será de 3.5. Tanto el disolvente fresco como el que se
recupera son propano puro.
(a) Calcular sobre un diagrama triangular el número de etapas de equilibrio que se requiere.
(b) Calcular en coordenadas libres de disolvente, el número de etapas de equilibrio que se requiere.
(c) Determinar la relación mínima de reflujo y el número
mínimo de etapas.
6-22 Una mezcla gaseosa de propano y propileno puede
separarse por adsorción fraccionada utilizando sílice gelatinosa a una presión de 1 atm. La sílice gelatinosa se alimentará
por ·el domo de la columna y pasará a contracorriente con el
gas. En el fondo de la columna, se agotará todo el gas adsorbido en la sílice gelatinosa. Parte del gas se eliminará como producto y parte regresará a la columna como reflujo. La alimentación contiene 60% en mol de propano y las corrientes de
producto deben contener 90% y 5% de propano.
(a) ¿Cuál es la relación mínima de reflujo?
(b)¿ Cuántas etapas de equilibrio se requieren cuando se
emplea una relación de reflujo igual al doble de la mínima?
(c) ¿Qué cantidad de sílice gelatinosa se requiere por libra
mol de alimentación si se utiliza el doble de la relación mínima
de reflujo?
6-23 Una corriente de 100 lb mol/h de un vapor que contiene una fracción mol de 0.4 de NH3 y 0.6 de H2 0, se enriquecerá en amoníaco en una torre de destilación que consiste
en Una sección de enriquecimiento y un condensador total. La
alimentación que entra por el fondo de la columna (a su temperatura de rocío) está a 100 Ib/plg2 abs, que es la presión de
operación. El destilado que sale del condensador total tiene
una composición de 0.9 fracción mol de NH¡. Parte del líquido
que condensa en el condensador total sale como producto
destilado y otra parte retorna a la columna como reflujo; debe
recuperarse el 85% del amoníaco que entra a la columna, en el
producto destilado.
(a) Calcular el número de etapas de equilibrio que se re,
quiere y la relación de reflujo (L" / D).
(b) ¿Cuál es la carga al condensador (calor que se elimina
por hora en el condensador)?
(c) Después de construirse la columna y entrar en operación, un cambio en el proceso modifica la alimentación a una
fracción mol de amoníaco igual a 0.2, a su temperatura de
rocío. ¿Puede emplearse la columna existente de (a)? Es posible ajustar la relación de reflujo para esta nueva alimentación, pero el número de etapas teóricas se encuentra fijo. La
composicíón del destilado y el porcentaje de recuperación de
amoníaco no deben alterarse.
6-24 Una alimentación líquida de etanol-agua va a agotarse
de etanol en una columna de destilación que consiste en una
sección de agotamiento y un rehervidor. El líquido se alimenta,
por el plato superior, mientras que el vapor se genera en el
rehervidor que toma el líquido del plato inferior y lo evapora totalmente. El producto de los fondos también se obtiene del
plato inferior.
(a) Calcular el número de etapas de equilibrio que se requieren para las siguientes condiciones:
Alimentación:
100 lb mol/h, 0.2 fracción
mol de etanol, 0.8 fracción
mol de agua a 100 °F Y 1 atm.
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106
PRINCIPIOS DE OPERACIONES UNITARIAS
Producto en fase vapor:
Producto de fondos:
0.5 fracción mol de etanol.
0.03 fracción mol de etanol.
(b) ¿Cuál es la carga en el rehervidor (Btu/h que se suministra en el rehervidor)?
(c) ¿Es posible obtener un producto en fase vapor de 0.7
fracción mol de etanol con una unidad de agotamiento como
ésta? (Puede emplear más etapas y una relación de reflujo más
alta, pero utilice las mismas composiciones para la alimentación y los fondos.) Explique .
6-25 Se van a examinar varios sistemas para producir oxígeno relativamente puro a partir del aire. Este se encuentra
disponible como un líquido a su temperatura de burbuja (79%
en mol de NH 2 , 21 % en mol de O2), Se desea producir un
oxígeno líquido con una pureza del 99% en mol. La presión es
de 101. 3 kN/m 2.
(a) Suponga que el nitrógeno se agota de la alimentación
en una columna simple a contracorriente (sin reflujo) empleando un vapor de ~/N2 a su temperatura de rocío como agente
de agotamiento. ¿Cuál es la fracción mol mínima de ~ en este
vapor que permitirá recuperar un líquido. con la pureza que se
especificó con anterioridad? Comente la factibilidad práctica
de este proceso.
(b) Suponga que se adiciona un rehervidor a la cascada a
contracorriente de la parte (a), con objeto de contar con la
corriente de vapor necesaria para agotar al nitrógeno de la alimentación. El producto rico en oxígeno sale del rehervidor,
mientras que el vapor de desecho se elimina por la parte superior de la cascada, en donde se alimenta el aire líquido . ¿Cuál
es la velocidad mínima del vapor de desecho que permitirá la
separación si se alimentan 100 mol / s de líquido? ¿Qué porcentaje del oxígeno que se alimenta se recupera en el producto
líquido?
(c) Suponga que se adiciona un condensador parcial a la
cascada de la parte (b) a fin de obtener una mayor recuperación del oxígeno que se alimenta. Con un número infinito de
etapas y una alimentación en el lugar apropiado, ¿cuál es la recuperación máxima posible de oxígeno? Si se desea recuperar
solamente el 95%, ¿cuál es el reflujo mínimo del condensador
para llevar a cabo esta separación?
(d) ¿Cuáles son las ventajas y desventajas comparativas
entre los sistemas (b) y (c)?
6-26 Una mezcla de amoníaco-agua de 72lb mol/h, a 70°F
Y 100 Ib/plg2 abs, conteniendo 25% en mol de amoníaco, va a
fraccionarse en una torre de destilación en un producto que
sale por el domo con un 95% de amoníaco y un producto de
fondos que contiene 4% de amoníaco. El producto del domo
es un vapor que sale en equilibrio con el reflujo de un condensador parcial, mientras que los fondos salen del rehervidor. La
carga en el rehervidor es de 700 000 Btu/h.
(a) ¿Cuál es la carga en el condensador (Btu/h)?
(b) ¿Cuál es la relación de reflujo (4 I D)?
(e) ¿Cuántas etapas de equilibrio se requieren?
(d) ¿Cuál es el flujo neto de calor en la columna?
(e) ¿Cual es la relación mínima de reflujo para esta separación?
(f) ¿Cuál es el número mínimo de etapas que se requiere a
reflujo total?
6-27 Una solución de 100 lb mol/h acuosa que contiene
20% en mol de etanol, va a fraccionarse a 1 atm , para producir
un destilado que contenga 80% en mol de etanol y un producto de fondos con 2% en mol de etanol. El condensador total
tiene una carga de 1 000000 Btu/h. El producto de los fondos
sale por el plato inferior. La alimentación es un líquido a
140 °F.
(a) ¿Cuántas etapas de equilibrio se requieren?
(b) ¿Cuál es la carga en el rehervidor?
(c) Grafique el número de etapas que se requieren para llevar a cabo esta separación, como una función de la relación de
reflujo. La gráfica debe abarcar desde el reflujo mínimo hasta
el reflujo total.
(d) ¿Cuántas etapas se requerirían si la alimentación fuera
una mezcla de líquido y vapor en proporciones iguales?
6-28 Se van a producir oxígeno y nitrógeno por destilación
fraccionada de aire, a una presión de 101.3 kN/m 3 • La alimentación (79% en mol de nitrógeno, 21 % en mol de oxígeno)
está formada por vapor en un 75%. La composición del producto destilado, un vapor que se extrae del condensador, contendrá un 95% en mol de nitrógeno. El producto de los
fondos, un líquido que sale del plato inferior antes del rehervidor, tendrá una composición del 2% en mol de nitrógeno.
(a) ¿Qué porcentaje del oxígeno que se alimenta podría recuperarse en el producto de fondos?
(b) ¿Cuál es la relación mínima de reflujo y el número
mínimo de etapas de equilibrio que se requieren para llevar a
cabo esta separación?
(c) ¿Qué relación de reflujo se requeriría si se emplease una
columna con siete etapas de equilibrio?
(d) Para una alimentación de 100 mol/s, determine las velocidades de flujo para el líquido y el vapor en las secciones de
enriquecimiento y agotamiento de la columna que se indica en
la parte (c) .
(e) ¿Cuál es la temperatura del líquido en el rehervidor? ¿Del
líquido en el condensador?
(f) ¿Cuál es la carga térmica en el rehervidor? ¿Cuál es la
carga en el condensador?
6-29 Una solución acuosa de etanol de 50 lb mol/h que
contiene 23% en mol de etanol va a fraccionarse a 1 atm , utilizando una columna de destilación con un condensador total y
un rehervidor del cual se extrae el producto de fondos . El destilado tendrá una composición del 82% en mol de etanol,
mientras que los fondos contendrán un 3% en mol de etanol. La alimentación se encuentra a su temperatura de burbuja.
(a) Para una relación de reflujo (Lo l D) de 3, ¿cuántas etapas de equilibrio se requieren?
(b) Grafique el número de etapas que se requieren para esta separación, como una función de la relación de reflujo , cubriendo desde el reflujo mínimo hasta el reflujo total.
(e) Grafique la carga térmica en el rehervidor como una función de la relación de reflujo, desde el reflujo mínimo hasta el
reflujo total.
(d) ¿Cuántas etapas de equilibrio se requerirían para una relación de reflujo igual a 3, pero empleando un reflujo subenfriado
30 °F por debajo de su temperatura de burbuja?
6-30 Se va a diseñar una columna de destilación con un condensador total y un rehervidor parcial para producir un destilado que contenga 95% del etanol que se alimenta, con una
composición del destilado del 80% en mol de etanol. La alimentación consiste en 100 lb mol / h de un líquido a su temperatura de burbuja; su composición es de 25% en mol de
etanol.
(a) ¿Cuál es la relación mínima de reflujo? Señaie la línea de
unión crítica.
(b) ¿Cuántas etapas se requieren si la carga térmica en el
condensador es de 1 500000 Btu / h?
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OPERACIONES DE MULTIETAPAS A CONTRACORRIENTE CON REFLUJO
(c) Determine rigurosamente la velocidad del líquido que
fluye de la tercera etapa a partir del domo, para las condiciones de (b).
6-31 Va a emplearse un sistema de destilación existente,
equivalente a 8 etapas de equilibrio para separar una alimentación líquida saturada, que contiene 40% en mol de etanol y
60% en mol de agua. El destilado, que es un líquido saturado,
deberá tener una composición del 80% en mol de etanol,
mientras que el líquido saturado que sale por el fondo contendrá 10% en mol de etanol. El sistema opera a 1 atm de
presión y no tiene pérdidas de calor en ninguna etapa.
(a) Determine la carga térmica en el rehervidor para esta
separación.
(b) ¿Cuál es el porcentaje de recuperación de etanol en el
producto destilado?
6-32 Se va a separar un líquido saturado que contiene 30%
de etanol y 70% de agua, para obtener un destilado cuya composición sea del 80% de etanol. En el destilado deberá recuperarse un 90% del etanol alimentado.
(a) Determine la relación mínima de reflujo y el- número
mínimo de etapas para esta separación .
(b) ¿Cuántas etapas se requieren con una relación de reflujo 20% mayor que la mínima?
(c) ¿Cuál es la carga térmica en el rehervidor para el caso
(b)?
6-33 Una mezcla líquida que se encuentra a una temperatura de 80°F, contiene 30% de etanol y 70% de agua . Va a seapararse en dos productos cuyas composiciones sean 5 y 75%
de etanol. Se encuentra disponible una columna de destilación
existente. Esta equivale a 7 etapas de equilibrio y su rehervidor
puede suministrar hasta 1 000000 Btu/h.
¿Qué cantidad de líquido puede procesarse en una hora,
empleando la columna existente?
6-34 Se va a fraccionar una solución acuosa de amoníaco
que contiene 27% en mo.1 de amoníaco, a 100 Ib/plg2 abs, en
una torre equivaiente a 5 etapas de equilibrio. Se desea recuperar en el destilado 95% del amoníaco, con una concentración de 98% en mol de amoníaco. La solución se alimenta a 20 °F
por debajo de su tempetaruta de burbuja. ¿Qué relación de
reflujo debe emplearse?
6-35 Se va a separar aire para obtener oxígeno y nitrógeno
relativamente puros, mediante una destilación a baja temperatura a la presión atmosférica normal (101 .3 kN/m 3 ). Se alimentan 100 mol / s (79% en mol de N2 y 21 % en mol de O2 ) que
consisten en una mezcla equimolar de líquido y vapor. El producto destilado (97% en mol de N2 ) es un vapor que sale de un
condensador parcial. El producto de fondos (98% en mol de
Üz) sale del rehervidor.
(a) ¿Cuál es el número mínimo de etapas a reflujo total?
(b) ¿Cuál es la relación mínima de reflujo?
(c) Para una relación de reflujo de 1.8, ¿cuántas etapas de
equilibrio se necesitan?
(d) ¿Cuáles son las cargas térmicas para el condensador y
el rehervidor de (c)?
6-36 En la separación de aire para obtener oxígeno de alta
pureza se utiliza una columna de destilación doble como la que
se muestra en la figura. El condensador de la columna de alta
presión sirve como rehervidor para la columna de baja presión,
evitando la necesidad de suministrar un refrigerante externo al
condensador . El líquido a ebullición que se encuentra en el
rehervidor de la columna de baja presión sirve como medio de
enfriamiento para condensar el vapor que forma el reflujo y el
producto destilado en la columna de alta presión. La columna
de baja presión no tiene condensador, mientras que la de alta
107
99%N2
1%02
vap. sat o
e
'0
.¡¡;
~
a.
Subenfriador
1% N2
~~------~99%02
líq. sato
98%N2
2%0,2
líq. sato
líq . sato
79%N2
21% 02
20%líq .
80% vap.
Diagrama de flujo para el Probo 6-36.
presión no tiene rehervidor. Estas columnas operan a una presión de 1 y 5 atm respectivamente.
A la columna de alta presión se alimenta aire parcialmente
licuado y consiste tan sólo de una sección de enriquecimiento .
El vapor que se alimenta forma la corriente ascendente de vapor en la columna, mientras que el líquido se une al que desciende por la columna para dar lugar a los fondos, los cuales
se alimentan a la columna de baja presión después de someterse a una expansión adiabática.
El producto destilado que sale de la columna de alta presión
se subenfría en un intercambiador de calor y después pasa a
través de una válvula de expansión adiabática para transformarse en la corriente líquida que desciende por la columna de
baja presión en lugar del reflujo . Este subenfriamiento es necesario para asegurar que el reflujo descendente del líquido sea
suficiente después de la expansión.
Debido al acoplamiento de las columnas, la carga térmica
en el condensador de la columna de alta presión, 'es igual a la
carga térmica en el rehervidor de la columna de baja presión .
Para una relación de reflujo de 1.5 en la columna de alta
presión y una alimentación a esa columna de 100 mol/s.
(a) Calcular las velocidades de flujo para los productos finales ricos en oxígeno y nitrógeno.
(b) Determine la entalpía del producto destilado en la columna de alta presión después de que se subenfría y expande
(la expansión no modifica su entalpía). Suponga que no hay
pérdidas de calor a través de las paredes de la columna.
(c) Determine del número de etapas de equilibrio que se requieren en cada columna.
6-37 Una cascada simple de extracción a contracorriente
tiene una corriente intermedia de producto extracto. Desarrolle las ecuaciones necesarias y describa el procedimiento
de cálculo para esta situación.
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108 PRINCIPIOS DE OPERACIONES UNITARIAS
J
6-38 Considere una columna de destilación con dos alimentaciones, un condensador total y un rehervidor total. Desarrolle las expresiones para el flujo neto en cada sección de la
columna. Describa el procedimiento gráfico de cálculo para
esta situación, suponiendo que se conocen los componentes
de las alimentaciones, el destilado y los fondos, así como la velocidad de flujo de alimentación. Puede especificarse la relación de reflujo en el domo y calcularse el número de etapas.
6-39 Se va a fraccionar una mezcla para obtener un destilado, un producto de fondos y una corriente intermedia entre la
alimentación y los fondos.
(a) Dibuje un diagrama de flujo para la columna y señale las
corrientes.
(b) Trace un diagrama típico entalpía-concentración y muestre cómo se determina la localización de los puntos delta que
se requieren. 'Suponqa que la relación de reflujo es fija y que se
conocen las cantidades, composiciones y entalpías de F, D, B
e l.
6-40 Se va a separar difenilhexano de docosano, por extracción con furfural en una cascada simple a contracorriente,
a 45 "C. Hay dos fuentes de suministro del furfural que se
emplea como disolvente, una pura y otra que contiene una pequeña cantidad de difenilhexano y docosano. Puesto que se
desea procesar una cantidad máxima de alimentación, es necesario emplear ambos disolventes. Será deseable alimentar el
disolvente impuro, por separado del disolvente puro.
Corriente
Velocidad
de flujo
de masa
Ib/h
Fracción
de masa
furfural
Fracción
de docosano
Fracción de
masa de
defenilhexano
0.00
1.00
0.92
0.70
0.30
5000
3000
Rafinado
que entra
Disolvente 1
Disolvente 2
Extracto
Refinado
O
O
0.05
0.03
0.15
0.01
(e) Determine el número de etapas de equilibrio que se requieren.
(d) ¿En qué etapa debe alimentarse el disolvente impuro?
(Los datos para este sistema se encuentran en el Cap. 5, Probo
5-13.)
6-41 En el Probo 6-27, ¿cuántas etapas de equilibrio se requieren cuando el arrastre del líquido es de 10% en mol del vapor que sale de cada etapa?
6-42 Derive las Ecs. 6-24 y 6-25.
6-43 Se va a extraer aceite de hígado de mero utilizando
como disolvente éter etílico, en una cascada simple a contracorriente. Se cuenta con dos fuentes de hígados de mero: 200
Ib/h de hígados con 10% de aceite y 90% de insolubles;
300 Ib/h de hígados con 35% de aceite y 65% de insolubles. El
éte'r etílico que se emplea como disolvente contiene 2% de
aceite de hígado de mero. El extracto final debe contener 75%
de aceite y 25% de éter, debiendo recuperarse en el extracto el
95% del aceite que se carga con los hígados.
(a) Calcular el número de etapas de equilibrio que se requiere cuando cada fuente de hígados se alimenta a la cascada
en la mejor localización. Los datos para el flujo mínimo se encuentran en la Fig. 3-14.
(b) Calcular el número de etapas de equilibrio que se
requieren cuando se mezclan las dos fuentes de hígados y se
alimentan juntas a la cascada. Use la misma velocidad de disolvente y recuperación que en la parte (a).
6-44 Se va a separar una mezcla de 100 lb mol/h que consiste en 40% en mol de a y un 60% en mol de b, para obtener
un destilado cuya composición sea de 90% en mol de a y unos
fondos con 5% en mol de a. En lugar de utilizar un condensador o rehervidor convencional, se propone lo siguiente:
Cada etapa teórica en la sección de enriquecimiento tendrá
un serpentín de enfriamiento que eliminará 100000 Btu/h del
líquido del plato, mientras que cada plato teórico en la sección
de agotamiento tendrá un serpentín de calentamiento que suministrará 100000 Bth/h para el líquido en el plato.
(a) Calcular el número de etapas de equilibrio que se requiere para llevar a cabo la separación.
Volatilidad relativa:
O'Q-
= 3.0
Entalpía: H = 9000 - 5OO0x;
(a) ¿Que cantidad del refinado que entra puede procesarse
con el disolvente disponible?
Ib) Determine la cantidad de extracto y de refinado que sale.
h
l000x
donde x = fracción mol de a.
(b) ¿Existe alguna ventaja de este sistema con respecto al
condensador y rehervidor convencionales?
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Siete
Métodos Simplificados de Cálculo
Los métodos que se desarrollaron en los tres capítulos
previos, pueden aplicarse al cálculo de procesos de separación de multietapas cuando se tiene disponible un
número suficiente de datos físicos para el sistema que
va a separarse. En muchos casos pueden emplea rse métodos aproximados de cálculo. Los métodos aproximados son por lo general , más rápidos que los que se consideraron previamente y con frecuencia requieren de un
menor número de datos físicos. Los métodos se basan
en modelos físicos simplificados de los sistemas que van
a separarse, por lo que sólo son aplicables a sistemas
que se ajustan a los modelos físicos. Algunos de los métodos aproximados pueden aplicarse a sistemas en donde los datos físicos son insuficientes para emplear los
procedimientos' rigurosos de los capítulos anteriores . En
tales casos, el sistema puede mostrar grandes desviaciones respecto a las suposiciones del modelo físico,
por lo que los resultados pueden ser imprecisos, si bien
útiles para estimaciones aproximadas de ingeniería.
En este capítulo se consideran varios métodos aproximados de cálculo y se presentan sus limitaciones . Se
desarrollan procedimientos gráficos simplificados para
flujo simple a cont racorriente y para flujo a contracorriente con reflujo. Los conceptos cubiertos en los
capítulos precedentes se desarrollan de nuevo empleando procedimientos gráficos simplif icados. Adicionalmente, se consideran ciertos procedimientos analíticos
y ot ros aspectos que se basan en estos métodos simplificados.
CALCULO GRAFICO EN EL DIAGRAMA
DE EQUILIBRIO
En algunos casos de operaciones unitarias, el diagrama
de eq uilibrio x-y, puede ser suficiente para el cálculo
simplif icado del número de etapas de equ ilibrio que se
requiere para una separación específica. La curva de
equilibrio relaciona las composiciones que salen de una
etapa de equ ilibrio, pero una nueva relación reemplaza
al punto delta en el cálculo de etapa a etapa. La relación
se obtiene de un balance de masa en una sección de la
cascada. En los siguientes párrafos se desarrolla la relación y se indica bajo qué condiciones es útil en el cálculo
de operaciones específicas de t ransferencia de masa.
Un balance de masa alrededor de cualquier etapa n y
el extremo izquierdo de la cascada simple a contracorriente de la Fig . 5-2 da el siguiente resultado.
Balance de masa total:
L o + Vn + 1 = L n + V 1
(7-1 )
Balance de masa por componente:
L axo + V n + 1 Yn+ 1 = Lnxn + V 1Y1
(7-2)
Resolviendo la Ec . 7-2 para Yn + 1 da
Ln
V 1Y1 - Laxo
Yn +1 = - - x +
Vn +1 n
Vn +1
(7-3)
La Ec. 7-3 relaciona las composiciones de una fase V,
(Yn + 1) Y una fase L (x., ), que se cruzan en las etapas. Esta relación fue precisamente el propósito del punto delta
que se definió en un capítulo anterior. Si se grafica la
línea que representa a la Ec. 7-3 en coordenadas x-y, se
tendrá la relación para todos los valores posibles de (x n ,
Yn + 1 ). Se conoce normalmente con el nombre de línea
de operación . Si se conoce la composición (x., ) de la fase L en cualquier punto de la cascada, la composición
(Yn + 1) de la fase V que fluye en la dirección opuesta en
el mismo punto, puede determinarse de la gráfica de la
Ec . 7-3 . Si además se grafica la curva de equi librio en el
mismo diagrama x-y, es posible calcular gráficamente
de etapa a etapa .
Un punto en la curva de equilibrio representa a dos
corrientes que salen en equilibrio de una etapa; por
ejemplo, las corrientes que salen de la etapa 3 podrían
represen t arse con un punto sobre la curva de equilibrio
con coordenadas (x3 , Y3) ' Por otra parte, las coordenadas de un punto en la línea de operación representan las
composiciones de dos corrientes que se cruzan entre
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110 PRINCIPIOS DE OPERACIONES UNITARIAS
dos etapas. Por ejemplo, el punto (X3, Y4) representa las
composiciones de las corrientes L y V que fluyen entre
las etapas 3 y 4. Las líneas de construcción horizontales
y verticales que conectan puntos de la curva de equilibrio y de la línea de operación para formar una "escalera", no tienen significado físico; simplemente ayudan a
localizar los puntos que sí lo tienen. Si se conoce x3 ,
puede encontrarse Y3 trazando una vertical en x3 a la
curva de equilibrio. Después, es posible trazar una línea
horizontal por Y3 hasta intersectar la línea de operación
en x4 • El cálculo gráfico puede continuarse de esta forma, utilizando. alternada mente la línea de operación y la
curva de equilibrio. En las siguientes secciones se dan
más detalles sobre el procedimiento de cálculo, pero es
necesario examinar primero el modelo físico para el cual
puede aplicarse adecuadamente la Ec. 7-3 en cálculos
gráficos.
La Ec. 7-3 da lugar a una línea de operación recta
cuando L y V se mantienen constantes a través de la
cascada. Los términos Lo, V1 , Xc Y Yl tienen valores únicos y por ello, si Ves constante, el segundo término de
la Ec. 7-3 es una constante. Si, adicionalmente, L es
constante, la ecuación tiene la forma de una línea recta
con pendiente y ordenada alorigen. Los subíndices de L
y V pueden omitirse dado que estos términos son constantes.
L
Yn+l = V Xn +
VYl - Lxo
V
(7-3a)
La pendiente de la línea de operación es L/V Y la ordenada al origen es el último término de la Ec. 7-3a. La
línea que representa la Ec. 7-3a se grafica fácilmente
cuando se conocen un punto y la pendiente, o bien,
cuando se conocen dos puntos. Si L Y V no son constantes, la línea no es recta y se requiere de mayor detalle
en los cálculos para graficarla.
Para la mayoría de los propósitos, el método simplificado resulta más conveniente sólo cuando la Ec. 7-3
describe una línea recta. Por esta razón, es interesante
analizar varias operaciones de etapa para determinar bajo qué circunstancias L y V son constantes.
En la destilación, si los efectos de calor en la columna
no modifican la velocidad de flujo molar del líquido o del
vapor de etapa a etapa, la Ec. 7-3 describe una línea recta. En una columna de destilación binaria, los flujos de
líquido y vapor son afectados por cuatro factores:
1. El calor molar de vaporización de las mezclas.
2. El calor de mezclado en el vapor y el líquido.
3. El incremento en el calor sensible al aumentar la
temperatura a través de la columna.
4. Las pérdidas de calor a través de las paredes de la
columna. Si los calores molares de vaporización de todas las mezclas son constantes y si los otros factores
son despreciables en comparación con los primeros, por
cada mol de líquido que se evapora, se condensa 1 mol
de vapor, manteniéndose L y V constantes a través de la
cascada. Los calores molares de vaporización constantes dan lugar a líneas paralelas para el líquido y el vapor
en un diagrama de entalpía molar-composición. Puede
mostrarse geométricamente que, bajo esta condición, L
y V no varían. Es posible tener una línea de operación
recta aun en el caso en que los cuatro factores varíen y
tengan influencia, si el efecto neto da lugar a flujos
constantes de líquido y vapor. Muchos sistemas binarios dan velocidades de flujo molar suficientemente
constantes como para permitir el uso de métodos simplificados de cálculo. Cuando se aplican en la destilación, los procedimientos simplificados se conocen
como método de MeCabe- Thiele (3).
En la extracción líquido-líquido, cuando los dos componentes disolventes (b y e) son completamente inmiscibles en las concentraciones de soluto (a) consideradas, los datos pueden reportarse como concentración
(Ya) de a en la fase V que se encuentra en equilibrio con
la concentración (xa ) de a en la fase L. Debido a que los
componentes b y e son insolubles, no es necesario utilizar un diagrama ternario y los datos de equilibrio
pueden presentarse en un diagrama simple x-y. Con la
insolubilidad mutua de los disolventes b y e, el soluto a
se divide simplemente entre las dos fases disolventes, lo
cual es análogo a la partición del componente más volátil a entre las fases vapor y líquido en la destilación. La
velocidad de flujo de masa total del refinado (L) disminuye al transferirse el soluto hacia la fase extracto
( V), incrementando la masa del extracto. En consecuencia, tanto L como V varían, por lo que la Ec. 7-3 no
describe una línea recta. La masa de cada uno de los
dos disolventes no varía de etapa a etapa, por lo que la
Ec. 7-3 origina una línea recta al definir nuevamente los
símbolos en términos de relaciones de masa en lugar de
fracciones de masa:
y
L'
V'
V'Yl -
L'X
- - X +--'--_"::'o
n+l -
n
V'
(7-3bl
donde
V'
masa del componente refinado no
extraído (b), sin incluir el soluto (a)
masa del disolvente extracto (e), sin
incluir el soluto (a)
masa de soluto (a) por unidad de masa
de disolvente (e)
masa de soluto (a) por unidad de masa
de componente refinado que no se
extrae (b)
Los datos de equilibrio para una extracción deben graficarse nuevamente con coordenadas X- Y. Las ecuaciones
que se derivaron subsecuentemente con las dimensiones de la Ec., 7-3 pueden expresarse también en las
dimensiones de la Ec. 7-3b.
En muchos casos de absorción de gases en un líquido
relativamente no volátil se absorbe un gas, para separarlo de otro que no se absorbe. Un ejemplo es la absorción en agua de amoníaco a partir de una mezcla
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METO DOS SIMPLIFICADOS DE CALCULO
aire-amoníaco. Es posible utilizar la Ec. 7-3b para la
cual:
L'
V'
Y..+ l
Xn
moles de líquido absorbente (b)
moles del constituyente gaseoso que no
se absorbe (e)
relación molar: moles de soluto (a) en el
gas por mol de gas que no se absorbe (e)
relación molar: moles de soluto (a) en el
líquido por mol de líquido absorbente (b)
Cuando un gas se adsorbe en un sólido separándolo
de un gas que no se adsorbe, también puede utilizarse la
Ec . 7-3b. Un ejemplo de esto sería la adsorción de vapor
de agua en sílice gelatinosa, a partir de aire húmedo.
Los datos de equilibrio deben expresarse en las unidades apropiadas.
Si el componente a se encuentra diluido en ambas fases, los cambios de L y V serán pequeños a través de la
cascada. Entonces, es posible utilizar la Ec. 7-3 en su
forma original con fracciones molo fracciones de masa
para adsorción, extracción y absorción, suponiendo que
L y V se mantienen constantes en un valor promedio.
Si L y V no son constantes se puede caer en errores
serios.
CALCULO GRAFICO PARA OPERACIONES
SIMPLES A CONTRACORRIENTE
La determinación gráfica del número de etapas de equilibrio involucra el uso alterno de la línea de operación y
de la curva de equilibrio. En la Fig . 7-1 se muestra un
ejemplo de cálculo de et apas para la operación sirnpJea
contracorriente. Es posible graficar la línea de operación
si se conocen las cuatro composiciones en los extremos
de la cascada, o bien, cuando se conocen tres composiciones y la pendiente (L/ V) de la línea de operación. Es
posible ordenar la Ec. 7-3a para obtener
111
L(xn - Xo) = V(Yn+1 - Y1)
(7-3c)
L Yn+1 - Y1
=
V
Xn -Xo
(7-3d)
o
Aun cuando la expresión matemática para la línea de
operación es válida para cualesquier valores de Yn + 1 Y Xn ,
sólo tiene significado físico para las composiciones que
en realidad se presentan en la cascada. Es decir, la línea
de operación real se extiende desde el punto (X¡¡, Yl ) en
un extremo de la cascada, hasta el punto (xN , YN+l ) en el
otro extremo, según se muestra en la Fig . 7-1.
Como también se muestra en la Fig. 7-1, la curva de
equilibrio puede graficarse en el mismo intervalo de x y
y. El procedimiento para trazar las etapas puede iniciarse en cualquier extremo de la cascada. Por ejemplo, si el
cálculo se inicia con la composición (Yl) de la fase V que
sale de la cascada, la composición (Xl) de la fase L que
sale de la primera etapa, se determina trazando una horizontal a través de Yl en el diagrama de equilibrio. Como se muestra, la horizontal interseca a la curva de
equilibrio en el punto Xl . En seguida debe determinarse
la composición Y2 a partir de Xl , empleando la ecuación
para la línea de operación. Esta ecuación puede escribirse específicamente para el flujo entre las etapas 1 y 2
L
VY1 - Lxo
Y2 = V X1 +--V--
(7-3a)
Debido a que la línea de operación es una gráfica de la
forma general de esta ecuación, el valor de Y2 se determina por la intersección de una vertical a través de Xl
con la línea de operación. Ahora X2 se determina por la
intersección de una horizontal en Y2 con la curva de
equilibrio, continuando este cálculo hasta llegar al punto (xN , YN+l). Como se muestra en la Fig. 7-1 , se requieren un poco más de cuatro etapas . La ubicación de
la línea de operación por debajo de la curva de equilibrio
indica que la transferencia neta de masa se lleva a cabo
de la fase L a la fase V. Por otro lado , una línea de operación por encima de la cu rva de equilibrio indica que,
para un flujo simple a contracorriente, la transferencia
neta de masa tiene lugar de la fase Va la fase L.
Curva de equilibrio
Yl ~--------------~~~
Cascada
de multietapas
de operación
=L/V
Xa
Fig. 7-1 Cálculo en un diagrama de equilibrio, para flujo simple a contracorriente con transferencia de la fase L a la fase V.
Variables de operación
Es posible determinar valores limitantes de la relación
L/V para distintos casos. Para la transferencia dela fase
L a la fase V, la relación mínima V / L que da lugar a una
separación específica con un número infinito de etapas,
puede determinarse como se muestra en la Fig. 7-2. Para una recuperación específica de la fase L, el punto (xN ,
YN+l) está fijo. Al reducir la cantidad de la fase V, la
pendiente L/V de la línea de operación que pasa a través del punto (xN , YN+l) se incrementa hasta que la línea
de operación resulta tangente por primera vez a la curva
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112 PRINCIPIOS DE OPERACIONES UNITARIAS
Yl r----------------------k
~r-------------------~
(a)
__
(b)
YN+l~-------~
YN+lr-------------------~
y 1 t--.''--------Y
Y1
(e)
~-------~--~
(d)
Fig.7-2 Valores limitantes de la relación de velocidades de flujo de las fases . (a) Transferencia de la fase L a la fase V. Recuperación específica; Yl por determinarse. (b)
Transferencia de la fase L a la fase V. Se conoce Yl ; XN está por determinarse. (e) Transferencia de la fase Va la fase L. Recuperación fija; XN por determinarse . (ti) Transferencia de la fase Va la fase L. Se conoce XN; Yl está por determinarse.
de equilibrio en un solo punto, como se indica en la Fig.
7-2a. Si se intenta trazarla etapas en esta zona, se observa que se requiere de un número infinito de etapas
para alcanzar un cambio en la composición sobre el
punto de intersección, entre la línea de operación y la
curva de equilibrio. El término infinitud se aplica aquí al
estrechamiento en el punto de intersección. Si se especifica la concentración de la fase V que sale de la cascada, el punto (Xo, Yl) está fijo y la infinitud ocurre como
se presenta en la Fig. 7-2b. No se especifica la recuperación; es decir, XN no está fija. En este caso, la línea de
operación que pasa a través de (Xo, Y1 ) intersecando
por primera vez a la curva de equilibrio, da lugar al valor
limitante de VIL, que es un valor máximo.
Las relaciones limitantes de LIV pueden determinarse en forma similar para el caso en el que la transferencia de masa tenga lugar de la fase Va la fase L, como en
la absorción de gases . Para la transferencia de la fase V
a la fase L, la línea de operación se encuentra arriba de
la curva de equilibrio. Cuando se especifica la recuperación del componente a, se establece el valor Yl' puesto
que se conoce el de YN+l . La composición Xo de la fase L
que entra, generalmente se conoce, de tal forma que el
punto (Xo, Yl) está fijo; la limitante de LI V se localiza
como se indica en la Fig. 7-2c. En este caso, la limitante
de L I V es un mínimo . Por otro lado, cuando se conocen
Xo y YN+l en lugar de la recuperación, puede especificarse XN . Entonces, el punto (xN , YN+l) está fijo y la limitante de LIVse determina como se muestra en la Fig. 7-2d.
Esta relación limitante es un máximo.
Ejemplo 7-1 Se va a lavar una mezcla benceno-aire
en una torre de absorción sillJple a contracorriente, empleando como disolvente un hidrocarburo líquido no volátil. El gas que entra contiene 5% de benceno y el flujo
de gas es de 600 lb mol/h. La solubilidad del benceno en
el aceite obedece a la ley de Raoult. La torre opera isotérmicamente a 80 o F. El peso molecular promedio del
aceite es 200 y la presión de la torre es de 1 atm.
(a) ¿Cuál es la velocidad mínima del aceite (lb/h) que
se necesita para recuperar 90% del benceno que entra?
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METODOS SIMPLIFICADOS DE CALCULO
(b) ¿Cuántas etapas teóricas se requieren si la velocidad del aceite es 1.5 veces la mínima?
Solución Puesto que se especifica la recuperación
y la transferencia de masa tienen lugar de la fase V hacia
la fase L, la relación limitante L/V se determinará como
se muestra en la Fig. 7.2c. Para asegurar una línea de
operación recta, deben emplearse relaciones molares.
Para ello es necesario calcular la curva de equilibrio en
coordenadas de relación mol.
Ya
Pa
=-¡;
xa
a 80°F, Pa = 103 mm Hg; P= 760 mm Hg.
La introducción de reflujo en uno o ambos extremos de
una cascada a contracorriente, resulta en dos flujos
netos y por ello, en dos líneas de operación (Figs. 6-1 y
6-2). En esta sección, se derivan y aplican ecuaciones
generales para las dos líneas de operación y para su intersección. Un balance de masa del extremo rico en soluto hasta una etapa cualquiera n en la sección de enriquecimiento (Fig. 6-1) da
103
Ya = - - Xa = 0.136xa
760
Ya que
~=0.136
1 + Ya
X
a
Las etapas pueden trazarse a partir de cualquier
extremo. Se requ[eren alrededor de 5.3 etapas para una
velocidad de líquido igual a 15600 Ib/h tal como se
muestra en la Fig. 7-3. El uso de coordenadas en fracciones mol, suponiendo que L/V permanece constante
en este problema, resultaría en un error significativo.
Aunque la fase gaseosa está diluida, la fase líquida no lo
está. La curva de equilibrio muestra una curvatura apreciable.
FLUJO A CONTRACORRIENTE
CON REFLUJO
para benceno
y
Xa
1 +Xa
=---
Xa
1 + Xa
Ln
DXD + VcYc
Yn+1 = - - xn +
Vn + 1
Vn + 1
0.05
0.539
Estos valores se encuentran en la gráfica de la Fig. 7-3.
0.05
YN+1 = - - = 0.0526
0.95
Para una recuperación del 90%, el benceno que sale
en el gasa es (0.10)(0.05)(600) = 3.0 lb mol. Entoces, Y1
= 3.0/570 = 0.00526 lb mol de benceno/lb mol de
aire, puesto que V1' = VN +1 ' = (0.95)(600) = 570 lb mol
de aire. Las condiciones en el extremo superior de la torre
se encuentran fijas y pueden graficarse: Xo = O, Y¡ =
0.00526. La velocidad mínima del líquido se presenta
cuando la línea de operación que pasa a través de (Xo ,
Y¡) toca por primera vez a la curva de equilibrio en
un punto, tal como se muestra. La pendiente de esta línea es
(~)
V'
min
_ 0.0526 - 0.00526 _
0.52 _ O
- 0.091
-
Entonces, la velocidad mínima de aceite es
(0.091 )(570)(200) = 10,390 Ib/h
a
La línea de operación real tiene una pendiente de 0.137
y se determina que XN = 0.345.
L
DXD + VcYc
V
V
Yn+1=-X n +
(7-4a)
Un balance de masa entre una etapa cualquiera m en la
sección de agotamiento y el extremo de la cascada
pobre en soluto (Fig. 6-1) da
Lm - 1
Ym=----v;:--Xm - 1 -
LNxN -
V N +1 YN+ 1
(7-5)
V
m
Los valores de L y V pueden cambiar en el punto de alimentación. Entonces,
(7-5a)
donde L Y V son valores constantes del flujo en las fases
L y V para la sección de agotamiento. Las Ecs. 7-4a y
7-5a describen líneas de operación rectas para usarlas
cuando existe reflujo en el extremo rico en soluto de una
cascada de extracción, pero sin reflujo en el extremo
pobre en soluto, como se muestra en la Fig. 6-1. En cálculos de destilación ~ = O Y la Ec. 7-4a se transforma en
L
(L'/V')actual = 1.5(L'/V')mín = (1.5)(0.091)
=0.137,
L' = (0.137)(570)(200) = 15,600 Ib/h
(7-4)
Cuando L Y V son constantes, los subíndices pueden
omitirse.
V = 600 lb mol/h
X o = 0.0,
113
D
Yn+1 = V x n + V XD
(7-4b)
o
L
D
Yn+1 = L + D x n + L + D XD
(7-4c)
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114 PRINCIPIOS DE OPERACIONES UNITARIAS
0.06
r--,--.,--,-----,----¡--r--,--,---,---,----,---,
0.05
~
0.04
'iij
'O
E
:9
<,
o
e
'u
"
e
.o
'"
'O
E
:9
-
>-"
0.3
0.5
0.6
XA lb mol benceno/lb mol de aceite absorbente
Fig. 7-3 Solución al Ej. 7-1.
Un análisis de la ecuación para la línea de operación de
la sección de enriquecimiento (Ec, 7-4b) muestra que se
trata de una línea recta cuando L y V son constantes. La
pendiente de la línea es LI V Y su intersección en x = O
es y =DxD/V. Además, la línea de operación interseca
la diagonal en X. = Yn+l = ~. En forma similar, la Ec.
7-5a puede emplearse en la destilación cuando no hay
reflujo de un rehervidor y en cambio se suministra una
corriente de vapor externo (VN+1) por el fondo de la columna. Es más frecuente observar la presencia de un
rehervidor (Fig. 6-2) Y la existencia de reflujo en ambos
extremos. Entonces, un balance de masa entre una etapa cualquiera m de la sección de agotamiento y el fondo
de la columna da lugar a
(7-5b)
Esta línea de operación para la sección de agotamiento
tiene una pendiente DVy una intersección con el eje y
en - BXB / V. Interseca a la diagonal en xm-1 = Ym = XB'
El método para graficar las dos líneas de operación depende de la información que se conozca. Comúnmente
se utilizan las intersecciones con la diagonal y las pendientes o, bien, las ordenadas ,~I origen.
Las dos líneas de operación pueden graficarse sobre
el diagrama de equilibrio si se cuenta con suficiente información disponible. La Ec. 7-4 o 7-4b da una línea de
operación recta para la sección de enriquecimiento de la
cascada, en la medida en que los flujos de la fase L y
la fase V se mantienen constantes, pero la adición de la
alimentación puede modificar las velocidades de flujo de
ambas fases. Esto resulta en una nueva línea de operación con una pendiente diferente para la sección de
agotamiento, como se indica por la Ec. 7-5a o 7-5b. El
cambio de los flujos de las fases L y V depende de la
cantidad y propiedades de la alimentación. La siguiente
derivación planteará la interrelación de las dos líneas de
operación con las características de la alimentación para
una cascada de destilación como la de la Fig. 6-2, con
reflujo en ambos extremos. La intersección de las dos
líneas de operación ocurre propiamente en la etapa de
alimentación.
Se resolverán simultáneamente
las
ecuaciones para las dos líneas de operación, con objeto
de desarrollar una ecuación que proporcione, en forma
general, la relación de todos los valores posibles de
composiciones en la intersección. Esta ecuación se usará con amplitud para ubicar líneas de operación sobre el
diagrama de equilibrio. La siguiente derivación muestra
que la relación de las intersecciones puede expresarse
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METODOS SIMPLIFICADOS DE CALCULO
en términos de las propiedades de la alimentación únicamente.
En la intersección de las dos líneas de operación, un
punto de una línea debe ser idéntico a un punto de la
otra línea, de tal forma que xm = x; = x, y Ym = Yi
= Yn + i . donde los subíndices ; se refieren al valor en la
intersección. En sus intersecciones, las Ecs. 7-4a y 7-5a
se transforman en
VYi = LXi + DXD
(7-6)
i7Yi = Lx, - Bxs
(7-7)
El concepto de una línea; se desarrolló en el campo
de la destilación donde se utiliza con frecuencia. También es posible desarrollar una línea; para la extracción
con reflujo, únicamente para el extremo rico en soluto,
comenzando con las Ecs. 7-4 7-5. En la destilación, la
entalpía de la alimentación determina el valor de z. Utilizando la Ec. 7-15 y efectuando un balance de entalpía
alrededor del plato de alimentación, puede derivarse la
siguiente definición de i:
calor que se requiere para convertir
(i7 - V) Yi = ([ - L)Xi - Bxs - DXD
(7-9)
y
(7-10)
Combinando la Ec. 7-8 con la Ec. 7-9 da
V)Yi
(7-15b)
(7-8)
Esta ocupación puede simplificarse combinándola con un
balance de masa alrededor de la cascada completa
(Fig.6-2),
F=B+D
; = __ u_n_a_m--"o_1
_d..'-e_a_li_m_e,--n....:t_ac_i...o.ó_n_a_v-,ap,,-o,,-
saturado calor latente de vaporización
para una mol de alimentación
Restando la Ec. 7-6 de la Ec. 7-7 se obtiene
(I. - L)Xi - FZF = (i7 -
115
(7-11)
De las consideraciones de flujo neto
i7=[-í5.=[-B
(7-12)
V=L-t1=L+D
(7-13)
La Ec. 7-15b es una expresión equivalente a la definición
original de; (Ec. 7-15). La variación de i, así como de la
pendiente de la línea; de acuerdo con la condición térmica de la alimentación, se presentan en la Fig. 7-4.
Por lo general, el método gráfico simplificado para la
destilación no emplea datos de entalpía, ya que supone
que el calor latente de vaporización es constante para
todas las mezclas, pero que debe tomarse en consideración la condición térmica de la alimentación. Por ejemplo, si la alimentación es un líquido subenfriado, debe
asimilar calor al entrar a la cascada, ya que todos los
líquidos de la cascada deben ser saturados. Recolecta
calor a expensas de la condensación de algo de vapor, y
de este modo incrementa el flujo descendente del líquido. Entonces, (~L) > F y; > 1, como se muestra en la
Fig. 7-4. La pendiente de la línea; es ;/(;-1) y en consecuencia, la pendiente para un líquido subenfriado será
positiva. Otros casos que se muestran en la Fig. 7-4
Sustituyendo en la Ec. 7-11 los valores de V y V de las
Ecs. 7-12 y 7-13 da
([ - L)Xi - FZF = ([ - L -B-D)Yi
= ([ y
l·
(5)
(4)
(3)
L - F)Yi de la Ec. 7-10
[-L
[[-L]
-F--1
-F-Xi-ZF=
Yi
1(7-14)
La relación; se define ahora como el incremento en el
flujo total de la fase L por unidad de alimentación, en
el punto en que ésta se introduce, o
[-L
i=-F
(7-15)
(2)
------:r
(1)
La Ec. 7-4 se convierte en
Fig. 7-4 Localización de las líneas i en la destilación.
i
1
Yi =-. -1 x¡ --o -1 zF
1-
(7-16)
1-
que es la ecuación que sirve de relación para todas las
intersecciones posibles de las dos líneas de operación.
La línea; que define la Ec. 7-16, puede graficarse cuando se conocen; y la composición de la alimentación. La
línea tiene una pendiente de ;/(;-1) e intersecta a la
diagonal en ZF'
(1) Vapor sobrecalentado
(2) Vapor saturado
(3) Líquido y vapor
(4) Líquído a su temperatura de
burbuja
(5) Líquido por debajo
de la temperatura de burbuja
i
Pendiente
de la línea i
<O
+
O
Oa 1
O
00
>1
+
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116 PRINCIPIOS DE OPERACIONES UNITARIAS
pueden tratarse mediante un análisis similar al anterior.
También debe considerarse un reflujo subenfriado proveniente del condensador y un reflujo de vapor sobrecalentado que se obtenga en el rehervidor durante el
desarrollo de los cálculos sobre un diagrama de equilibrio. Un reflujo subenfriado da lugar a un flujo descendente de líquido en la columna (L) que excede al reflujo
externo (Lo ).
Aunque la línea i se ubica utilizando la composición
de la alimentación, no es necesario añadir la alimentación real en la etapa que se localiza en la intersección de
las dos líneas de operación y la línea i. En realidad, la
línea i representa la intersección de las dos líneas de
operación. Una vez que se localizan las líneas de operación con ayuda de la línea i, se trazan las etapas empleando la línea de operación correcta. El trazo de las
etapas cambia de una línea de operación a la otra en la
etapa en la cual se suministra la alimentación sin importar que esta etapa esté o no cerca de la intersección
de las líneas de operación. Sin embargo, en el diseño de
una columna se requerirán menos etapas si el cambio se
efectúa lo más cercano posible a la intersección de las
líneas de operación y la alimentación se adiciona en la
etapa que resulta. Si la alimentación se efectúa en
otra etapa, se requerirán más etapas y en ocasiones se
dice que la alimentación está mal ubicada.
Como se estudió en el Cap. 6, un condensador parcial o un rehervidor pueden contribuir a formar una etapa de equilibrio. Las ecuaciones para las líneas de
operación pueden derivarse a partir de balances de materiales y entalpía para estos casos.
Es posible eliminar el rehervidor favoreciendo la adición directa de calor en forma de vapor de agua, en las
destilaciones donde el agua es uno de los componentes.
La alimentación directa de vapor de agua por el fondo
de una columna de destilación se conoce como "vapor
directo". Es posible derivar las ecuaciones para la línea
de operación de la sección de agotamiento con vapor
directo, a partir de balances de materia alrededor de la
parte inferior de la columna.
Ejemplo 7-2 Se va a separar una mezcla de 35% en
mol de 8 y 65% en mol de b, en una torre de destilación.
La concentración de 8 en el destilado es de 93% en mol,
recuperándose 96% de 8 en el destilado. La alimentación se compone de un 50% de vapor y la relación de
reflujo (Lo ID) será de 4. La volatilidad relativa de 8 con
respecto a b es Cl'.-b = 2. ¿ Cuántas etapas de equilibrio
se requieren en cada sección de la columna?
Solución En la Fig. 7-5 se tiene un diagrama x-y para Cl'.-b = 2.
Xa
O
0.50
0.60
1.0
Va
O
0.667
0.75
1.0
1
ZF
= 0.35
!
;=-=1
1
2
Pendiente de la línea i =
_!- = -1
!- 1
Xo = 0.93
Lo = 40
D
.
Pendiente de la línea de operación en la zona de enriquecimiento
Lo
L
D
=--=--=-=08
L +D
4
Lo
5
-+ 1
.
D
Para determinar x..: Base: 100 moles de alimentación
Moles de 8 en la alimentación = 35
Moles de 8 en el destilado = (35)(0.96) = 33.6
Moles de 8 en los fondos = 1.4
Moles totales en el destilado = 33.6/0.93 = 36.1
Moles totales en los fondos = 100 - 36.1 = 63.9
Entonces,
1.4
Xs
= 63.9 = 0.0219
La línea de operación para la sección de enriquecimiento se localiza con el punto XD = 0.93 = Y1 Y la pendiente = 0.8. De otra forma, la línea de operación para la
sección de enriquecimiento, también puede graficarse
con el punto Xo = 0.93 = Y1 Y la intersección x = O en
Dxo
V=
0.93
Xo
V = ( Lo)
-
D
+1
= 4 + 1 = 0.186
La línea de operación para la sección de agotamiento
es una línea recta que va de la intersección de la línea de
enriquecimiento con la línea i, al punto x.. = 0.0219 =
Ys. Las etapas pueden trazarse partiendo de x.. o xD• Ya
que no se cuenta con información sobre el rehervidor y
el condensador, se supone que ninguno de ellos contribuye a la separación. Hay 9.5 etapas en la sección de
agotamiento y 7.5 etapas en la sección de enriquecimiento.
Variables de operación
Al reducir la relación de reflujo, la pendiente de la línea
de operación para la sección de enriquecimiento, disminuye hasta que una de las líneas de operación interseca
por primera vez a la curva de equilibrio en un solo punto. Esta primera intersección determina la relación mínima de reflujo, la cual requiere de un número infinito de
etapas para lograr la separación que se desea obtener.
Para sistemas con volatilidad relativa constante, esta intersección se encuentra en la alimentación. En la Fig.
7-68 se muestra un caso en el que la alimentación tiene
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METODOS SIMPLIFICADOS DE CALCULO
117
1.0 r---¡---r----,---,...-----,--..,------,---,-----,---..,.
0.8
0.6
0.4
0.8
Fig. 7-5
1.0
Solución al Ej. 7-2.
una localización óptima, en la intersección de las dos
líneas de operación. Para sistemas en donde la volatilidad relativa no es constante, el punto de intersección
que determina al reflujo mínimo, puede ocurrir en cualquier lugar entre XD Y JVJ, como se muestra en la Fig.
7-6b. Al disminuir la relación de reflujo acercándose al
mínimo, las etapas se agrupan entre las líneas de operación y la curva de equilibrio; el número de etapas que se
requiere aumenta rápidamente. Con un número muy
grande de etapas, las composiciones del vapor y líquido
cambian muy poco; por ello, esta región se conoce como zona de composición constante.
A reflujo total, L = V = L = V, de tal forma que las
pendientes de las dos líneas de operación son iguales a
1.0; las líneas de operación coinciden con la diagonal (x
= y). El número de etapas a reflujo total se determina
Fig.7-6 Determinación del reflujo mínimo en un diagrama x-y. (a) Infinitud en la sección de enriquecimiento.
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118 PRINCIPIOS DE OPERACIONES UNITARIAS
Ya
Zl
ZE (Alimentación ficticia)
Fig. 7-7 Determinación del número mínimo de etapas a reflujo total.
Fig. 7-8 Alimentación ficticia para una corriente intermedia.
trazando etapas desde Xv hasta )(¡¡, entre la curva de
equilibrio y la diagonal, como se muestra en la Fig. 7-7.
El número de etapas que se requiere a reflujo total, es el
mínimo para la separación específica.
CORRIENTES INTERMEDIAS
El razonamiento que se empleó al calcular las corrientes
intermedias en el diagrama de equilibrio x-y, es el mismo que se usó en los diagramas de tres variables que se
consideraron en el Cap. 6. La adición o eliminación de
una corriente, modifica las velocidades de flujo de las
fases L y V Y origina una nueva línea de operación. Hay
dos métodos disponibles para localizar la nueva línea de
operación en la sección intermedia de la cascada que se
muestra en la Fig. 6-16.
Es posible graficar la línea; para la corriente intermedia sin importar que la corriente sea un producto o una
alimentación. Si se da la relación de reflujo en el domo,
puede trazarse la línea de operación superior, desde XD
hasta la intersección con la línea; de la corriente intermedia. La línea de operación continúa más allá de la intersección pero con una nueva pendiente que ajusta'
para la adición o eliminación de la corriente intermedia.
La línea de operación intermedia interseca a la línea; de
la alimentación, cambia su pendiente y continúa hacia
)(¡¡. En este caso, sólo se presenta una corriente intermedia. En general, es posible calcular cualquier número de
corrientes intermedias en la forma descrita.
El segundo método de cálculo, define una alimentación ficticia (~), que es la suma algebraica de la alimentación (F) y la corriente intermedia (/). Esto se muestra
en la Fig. 7-8. La cascada con una alimentación ficticia
equivale a una cascada con una alimentación sin
corrientes intermedias, de tal forma que es posible
emplear los métodos de cálculo que se desarrollaron
con anterioridad para una alimentación. Primero, se
grafican las tres líneas ;. La línea correspondiente a la
alimentación ficticia se calcula a partir de las propieda-
des de las dos corrientes que la componen. La pendiente de la línea de operación de la sección de enriquecimiento se determina por lo general fijando la relación de
reflujo en el domo. Se traza esta línea de operación y se
continúa hasta la intersección con la línea; de la alimentación ficticia (~). La línea de operación para la sección
de agotamiento se localiza trazando una línea recta
desde esta intersección hasta)(¡¡ = y. Pero la línea de
operación para la sección de enriquecimiento sólo tiene
significado físico hasta la adición de 1; la línea de operación de la sección de agotamiento es válida únicamente
desde)(¡¡ hasta la línea; de la alimentación. La línea de
operación entre las líneas; de F y 1 se localiza con facilidad según se muestra con la línea recta que conecta las
intersecciones de las líneas; con las líneas de operación
de las secciones de agotamiento y enriquecimiento. Es
posible ampliar este método para corrientes intermedias
múltiples, pero en este caso resulta menos conveniente
que el primer método descrito.
INTERRELACION ENTRE LOS CONCEPTOS
DE LINEAS DE OPERACION y PUNTOS
DELTA
Aunque el cálculo en un diagrama de equilibrio x-y resulta más ventajoso cuando se presentan líneas de operación rectas, el método puede aplicarse a casos de
líneas de operación curvas. Las líneas de operación curvas resultan cuando las suposiciones que se efectuaron
al principio de este capítulo no son válidas. Por ejemplo,
una variación del flujo molar en una destilación, que se
origine por calores latentes de vaporización que no son
constantes o por cambios significativos del calor sensible, daría lugar a una pendiente variable de las líneas
de operación. En forma similar, en el caso de una extracción líquida, una solubilidad parcial variable de los
dos disolventes resultaría en líneas curvas de operación.
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METODOS SIMPLIFICADOS DE CALCULO
Tanto el punto delta como la línea de operación se
utilizan para relacionar las composiciones de las corrientes que fluyen entre dos etapas. Para una etapa cualquiera n (Fig. 7-9a) es posible utilizar, ya sea el punto
delta o bien la línea de operación para determinar Yn a
partir de Xn-l o viceversa; o bien, para determinar Yn+l
a partir de x, o viceversa. En la Fig. 7-9b se muestra la
construcción que se requiere para ubicar el punto (Xn,
Yn+l) en la línea de operación, utilizando el punto delta.
Las composiciones x, y Yn de las corrientes que fluyen
desde la etapa n son conocidas y grafican sobre el
diagrama superior. Una línea recta que va de XA a través
de x, sitúa a Yn+l en su intersección con la línea de la fase V, según se muestra. Ahora, se conocen los valores
de x; y Yn+l • Para cálculos que se efectúan en el diagrama de equilibrio, la Ec. 7-3 muestra que el punto (x;"
Yn+l ) debe estar en la línea de operación. Los valores de
x;, y Yn+l que se encuentran en el diagrama superior,
pueden transferirse al diagrama de equilibrio, tal como
lo indican las líneas de construcción, estableciendo así
119
un punto en la línea de operación. Es posible determinar
puntos adicionales en la línea de operación empleando
el mismo método para entonces, trazar la línea curva de
operación, según se indica. No es necesario utilizar
corrientes. que fluyan realmente entre las etapas de
equilibrio para determinar la línea de operación. Una
línea recta que parta del punto delta corta las curvas de
las fases L y V en composiciones que representan un
punto de la línea de operación.
La determinación completa de líneas curvas de operación se muestra en la Fig. 7-10 para un caso de destilación en el que los calores latentes varían. A fin de ilustrar la localización de las líneas curvas de operación, se
muestran las líneas de construcción para cada etapa.
Las etapas que se encuentran entre las curvas de equilibrió y las líneas curvas de operación no son tan sólo
líneas de construcción para el diagrama entalpía-composición, sino que también representan las etapas de
equilibrio que se determinan para este caso, en el que L
Yn+ 1
v.,.
v;
Etapa n
Ln
Ln-l
Xn
Xn-l
(a)
s;
Yn+ 1
/
I
I~
Etapa n
/
/
I
f
I
H,h
OF-+-~+--+--~~~------------~
Línea de
operación
(b)
Fig. 7-9 Interrelación entre el punto delta y la línea de operación.
Fig. 7-10 Determinación de líneas curvas de operación.
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120 PRINCIPIOS DE OPERACIONES UNITARIAS
y V no se mantienen constantes. Para el sistema de la
Fig. 7-10, la variación del calor latente de vaporización
es grande, pero las líneas de operación son ligeramente
curvas. Si se hubiera supuesto en este caso que los flujos molares eran constantes, empleando líneas rectas de
operación, se obtendría aproximadamente una etapa
de equilibrio menos que las que se determinaron con las
líneas curvas de operación en la Fig. 7-10. En algunas
aplicaciones de ingeniería, un error de esta magnitud
puede ser tolerable, por lo que a menudo se suponen
flujos molares constantes, en especial cuando se tienen
disponibles pocos o ningún dato de entalpía.
APLICACIONES DE LOS METODOS
GRAFlCOS SIMPLIFICADOS
En muchos casos de operaciones en etapas, no se cuenta con datos físicos suficientes que permitan el cálculo
riguroso basado en los métodos de los capítulos previos. En tales casos, pueden emplearse los métodos
descritos en este capítulo, con un mínimo de datos físicos, aun cuando el sistema físico no cumpla con las
suposiciones que con fines de simplicidad se hacen al
principio de este capítulo. El error que se introduce
suele ser pequeño y puede incluirse en el diseño un factor de seguridad suficiente. Por ejemplo, la destilación
de sistemas amoníaco-agua puede evaluarse con los
métodos de este capítulo, aUn cuando los calores latentes, y en consecuencia, las velocidades de flujo de las
fases, no son constantes.
Es posible alcanzar un grado intermedio de precisión
cuando se tiene disponible un conjunto parcial de datos
para las fases en el intervalo de composiciones consideradas. Por ejemplo, en la destilación, si sólo se conocen
los calores de vaporización para los componentes puros, pueden graficarse en un diagrama entalpía-composición para trazar una línea recta entre los dos valores de
la entalpía del vapor saturado, obteniendo así una curva
de entalpía aproximada para el vapor en el intervalo de
composiciones. Este método toma en cuenta al calor latente de vaporización, pero desprecia otros efectos
caloríficos que normalmente son de menor magnitud.
Puede lograrse una mejor precisión con el procedimiento simplificado, calculando nuevamente el diagrama de
equilibrio mediante el uso de un peso molecular ficticio
para uno de los componentes, de tal forma que las velocidade::; molares de flujo permanezcan constantes.
OPERACION A ESTADO INESTABLE
Los métodos de cálculo que se desarrollaron hasta este
punto, se aplican para operaciones a estado estable,
donde las composiciones y velocidades de flujo no varían con el tiempo . En estos casos, la alimentación se
suministra y los productos se separan en forma continua, pudiendo variar las velocidades de flujo de un pun-
to a otro en el equipo, pero sin mostrar cambios con el
tiempo en un punto específico. Un estado estable o proceso transitorio involucra cambios de las variables con
el tiempo. Existen muchas operaciones transitorias en
los procesos químicos. Todos los procesos de separación intermitentes implican un cambio de composición
con el tiempo.
Para producir cantidades relativamente grandes durante largos periodos, se seleccionan por lo regular procesos continuos que operan a estado estable pero para
cantidades pequeñas de materiales que no se producen
con frecuencia, los procesos intermitentes son más
apropiados. Los procesos continuos pasan a través de
un periodo de operación a estado inestable durante el
arranque -de los mismos. Incluso en las operaciones
continuas, existen algunas fluctuaciones transitorias
que en promedio, resultan en estado estable.
El análisis riguroso de la operación a estado inestable
es extremadamente complejo y va mtts allá del alcance
de este libro. En la bibliografía sobre dinámica y control de
proceso (como en la Ref. 2), se puede encontrar un tratamiento más completo. En esta sección se consideran
algunos ejemplos simples de operaciones a estado estable.
Arranque de equipo continuo
En el arranque de equipo de multietapas, las composiciones y velocidades de flujo pueden variar con el tiempo. El periodo que se necesita después del arranque
para alcanzar una operación estable es una consideración de importancia en la operación de procesos. Este
tiempo depende de la velocidad a la que pasan las dos
fases a través del equipo y de la velocidad de transferencia de masa. La velocidad de paso depende del volumen
de material que se introduce al equipo y de las velocidades de flujo.
En el arranque de una columna de destilación, se suministra una alimentación a la columtla, que desciende
hasta el rehervidor y vaporiza. El vapor sube hacia el
condensador en donde se condensa antes de regresar a
la columna. Con frecuencia, una columna de destilación
arranca a reflujo total después de una carga inicial de alimentación. Opera a reflujo total durante un tiempo suficiente para permitir que la composición del destilado se
aproxime a la que se desea obtener en la operación de
estado estable. Es posible predecir aproximadamente el
tiempo que requiere en este periodo. Una vez que se
alcanza la composición del destilado a reflujo total,
pueden extraerse productos del destilado y los fondos,
añadiendo la alimentación para completar la transición
hacia la operación de estado estable.
También existe un periodo transitorio durante el
arranque de una cascada simple a contracorriente, como la de una extracción o de una absorción. La longitud
de este periodo dependerá de las velocidades de flujo de
las dos fases, del volumen que se carga al equipo y de la
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METODOS SIMPLIFICADOS DE CALCULO
velocidad con que tiende al equilibrio. El periodo transitorio puede durar desde unos minutos, para equipo
pequeño, hasta varias horas en instalaciones a gran escala, e incluso varios días en algunas aplicaciones especiales.
Operaciones intermitentes
d(Lx) = -y dV
(7-18)
x dL + L dx = -y dV
(7-19)
y
Combinando las Ecs. 7-17 y 7-19 se obtiene
x dL + L dx = y dL
(7-20)
fdL=f~
L
y-x
(7-21 )
y
Cuando se va a procesar una cantidad pequeña de material, es común el uso de métodos intermitentes. Aunque la tendencia que se observa en la industria química
es hacia el uso de procesos continuos siempre que sea
posible, las operaciones intermitentes continúan utilizándose bastante.
Muchas operaciones intermitentes pueden calcularse
empleando los métodos que se desarrollaron en capítulos anteriores. Por ejemplo, una operación intermitente
de una sola etapa, como la extracción en agua caliente
del café a partir de los granos, puede calcularse suponiendo un equilibrio entre las dos fases antes de separarse. Las dos fases (inicialmente agua pura y café en
grano) se mezclan y presentan cambios en su composición a través del tiempo. El tiempo que se requiere para
alcanzar el equilibrio es una variable importante del proceso. Depende de la velocidad de transferencia de masa
y del grado de contacto entre las fases. La composición
de las dos fases de producto en cualquier proceso intermitente de una sola etapa, puede calcularse empleando
los métodos que se desarrollaron en capítulos anteriores
cuando se permite que las dos fases permanezcan en
contacto, hasta que una de ellas se encuentre completamente en equilibrio con la otra. Por otro lado, en algunos casos se puede añadir o eliminar una fase durante el
proceso, como en la destilación diferencial.
Destilación diferencial
En la destilación intermitente en una sola etapa, un líquido vaporiza y el vapor se elimina por contacto con el
líquido que forma. Cada masa diferencial de calor se encuentra en equilibrio con el líquido remanente. La composición del líquido cambia con el tiempo ya que el
vapor que se forma, siempre es más rico en el componente volátil que el líquido a partir del cual se forma. Esto resulta en un empobrecimiento continuo del líquido,
con respecto al componente más volátil.
La composición del líquido cambia y en consecuencia
también varía la composición del vapor en equilibrio. La
composición original de la fase líquida total (L) se representa como x y la de la fase vapor que se forma es y.
Con un balance global de masa para la evaporación de
una cantidad diferencial de líquido,
dL = -dV
121
(7.17)
Si se forman dV moles con una composición promedio
(y) por evaporación, un balance de masa para el componente más volátil da
que se conoce como ecuación de Ray/eigh. Al integrar
sobre un cambio finito del estado 1 al estado 2 da
In
L2
L1
J ~
X2
=
X1
Y- x
(7-22)
Si se conoce la relación de equilibrio entre y y x, puede
integrarse el lado derecho de la Ec. 7-22. Aplicando la
ley de Raoult, y = Kx
y
L2
L1
1
K- 1
X2
In-=--In-
(7-23)
X1
Para una volatilidad relativa constante,
(7-24)
Destilación intermitente
La destilación intermitente se utiliza con frecuencia para
separar pequeñas cantidades de líquidos. Por lo general, el destilador intermitente se emplea para una gran
variedad de separaciones y por lo tanto debe ser versátil. Las destilaciones intermitentes suelen llevarse a cabo
en una columna existente, que equivale a un cierto número de etapas de equilibrio, y por lo que es necesario
determinar la relación de reflujo que se requiere para obtener la pureza deseada del destilado.
En una destilación intermitente típica, el líquido que
va a procesarse se carga a un calderín caliente, sobre la
cual se instala la columna de destilación equipada con
su condensador. Una vez que se carga el líquido inicial,
ya no se suministra más alimentación. El líquido del
calderín hierve y los vapores ascienden por la columna.
Parte del líquido que sale del condensador, se refluja yel
resto se extrae como producto destilado. No se extrae
ningún producto del calderín sino hasta que se completa la corrida.
Debido a que el destilado que se obtiene es más rico
en el componente volátil que el residuo del destilador,
éste se agotará en el componente más volátil a medida
que progresa la destilación. El número de etapas de
equilibrio en la columna es constante y la concentración
del componente más volátil en el destilado disminuye al
reducirse la concentración en el destilador cuando la relación de reflujo se mantiene constante. Esto se muestra
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122 PRINCIPIOS DE OPERACIONES UNITARIAS
o
8xs = (d8)XD
+ (8 - d8)(xs
- dxs)
(7-28)
Despreciando .Ias diferenciales de segundo orden se obtiene
d8
-=
----'=--
dxs
8
XD -xs
(7-29)
Integrando entre las condiciones iniciales y las finales (F
a B) da
(7-30)
Fig. 7-11 Destilación intermitente a reflujo constante. (a)
Línea de operación inicial. (b) Línea de operación final.
en la Fig. 7-11. F es la cantidad de carga original de
composición XF, D es la cantidad de destilado de composición ~ y B es el residuo de composición Xa en el
destilador. En cualquier momento durante la destilación,
(7-25)
F=D+B
FXF = DXD + 8xs
(7-26)
Debido a que la totalidad de la columna es una sección
de enriquecimiento, sólo existe una línea de operación.
Se prolonga al inicio desde XF hasta una composición
inicial del destilador equivalente a (~i)' que se determina con la relación de reflujo. La ecuación de la línea de
operación inicial es
L
Yn+1 = V x;
D
+ V xDi
(7-27)
La columna que se representa en la Fig. 7-11 es equivalente a tres etapas de equilibrio. La composición inicial
del destilado se determina ajustando la línea de operación de una pendiente dada hasta encontrar exactamente
tres etapas que concuerden entre XF Y ~i • Al continuar
la destilación disminuye la concentración del componente más volátil en el destilador hasta un valor final Xa .
La composición del destilado final (xn¡) se determina
con una línea de operación de la misma pendiente y por
el requerimiento de tres etapas de equilibrio exactas.
En cualquier momento durante la destilación, hay B
moles de composición XB en el destilador. Si se eliminan
de las columnas las dB moles de composición Xn , un balance de masa para el componente más volátil da
Componente
más volátil en
las moles originales de B
componente
componente
más volátil en
más volátil en
las dB moles + las (B-dB)
que se elimina
moles remanentes
Esta ecuación tiene la misma forma de la ecuación de
Rayleigh para una destilación diferencial (Ec. 7-22). Se
tiene disponible un número de etapas de equilibrio, por
lo que la relación entre Xn y Xa debe determinarse gráficamente. Entonces, el lado derecho de la Ec. 7-30 se
integra de un modo gráfico, una vez que se han determinado los diversos valores correspondientes de Xn y
Xa • Debe notarse que cuando sólo hay una etapa disponible, la Ec. 7-30 se reduce a la Ec. 7-22.
Ejemplo 7-3 Una mezcla de 100 lb mol que contiene
20% en mol de etanol y 80% en mol de agua, se carga al
destilador de una columna de destilación intermitente,
equivalente a tres etapas de equilibrio. La destilación,
con una relación de reflujo igual a 3 y a la presión atmosférica normal, continúa hasta que el residuo del destilador alcanza una composición de 0.03 fracción mol de
etanol. ¿ Cuáles son la cantidad y la composición promedio del destilado?
Solución (a) La pendiente de la línea de operación
es de 3/4 (Fig. 7-12a). Las tres etapas de la columna
más el destilador dan un total de 4 etapas de equilibrio.
La composición inicial ~ se determina ajustando la línea
de operación con una pendiente de 3/4 hasta encontrar
exactamente cuatro etapas entre XF Y Xn; este procedimiento muestra que Xni = 0.75. Ahora, se seleccionan
arbitrariamente diversos valores de Xn , determinando Xa
de manera gráfica para cada Xn. Entonces, se grafica
1/ (~ - Xa ) en función de Xa y se procede a una integración gráfica (Fig. 7-12b).
(b) Integración gráfica de la Ec. 7-30.
XD
Xs
XD -Xs
0.76
0.75
0.74
0.72
0.70
0.68
0.22
0.20
0.10
0.04
0.03
0.02
1.85
1.80
1.6
1.5
1.5
1.5
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METODOS SIMPLIFICADOS DE CALCULO
123
Los cálculos en este caso son idénticos a los que se
ilustraron previamente, excepto que Xv permanece
constante y la pendiente de la línea de operación (L I V)
de~e cambiar para mantener un número constante de
etapas de equilibrio entre Xv Y.XB .
o
a.
~ 0.8
c:
Q)
oc:
ro
1;) 0.6
Ejemplo 7-4 Una mezcla con 35% en mol de benceno y 65% en mol de tolueno, va a fraccionarse a la presión atmosférica normal en una columna intermitente,
para recuperar 60% del benceno en un destilado con
una composición de 0.95 fracción mol de benceno. La
columna es equivalente a cuatro etapas de equilibrio.
(al ¿Cuál es la relación inicial de reflujo?
(bl ¿Cuál es la relación final de reflujo?
Q)
"O
o
E
.§ 0.4 -
Línea de operación para
Xv 0.7
=
'ü
u
~
';; 0.2
°O~-L~~-L~~~~~~--~--L-~
0.6
0.8
1.0
Xa , fracción mol de etanol en el líquido
(a)
1.80
1.60
Solución (a) La relación inicial de reflujo se determina ajustando la pendiente de la línea de operación a
través del punto Xo = 0.95 = Y hasta completar exactamente cinco etapas entre XF Y Xv. De la Fig. 7-13, la pendiente es 0.8, de tal forma que la relación y inicial de
reflujo es Lo ID = 0.8/(1-0.8) = 4.
(b) Se cargan 100 lb mol: 351b mol de benceno, 651b
mol de tolueno .
Benceno que se recupera en el destilado = (0.60)(35)
=
1.40 '------'---'--'------'--'---........--'-----'---'------'-------'
O
0.2
Tolueno en el destilado
Fig. 7-12 Solución al Ej . 7-3. (a) Determinación de >:B a partir
de ~ . (b) Curva de integración gráfica, Ec. 7-30.
f
dXB
XBf XD -
0.05
0.95
= - - (21.0) = 1.1
Composición final en el destilador benceno
14.0
tolueno = 63.9
(b)
XF
21
= 0.275
XB
100
In-= 0.275
x
14.0
= 63.9+14.0 = 018
Bf
.
La línea de operación gira sobre Xv = 0.95 = Y hasta
ajustar exactamente cinco etapas entre.XB¡ = 0.18 Y Xv
= 0.95. La pendiente es 76/77 y la relación de reflujo es
(76/77) / (1-76/77) = 76. Este valor es cercano al reflujo
total. Una operación con una relación de reflujo tan alta
B
B = 76.2 ,
D = 23.8
Composición promedio del destilado
o
a.
ro
>
(ji
DXD
FXF -
D
D
Bxs
Xo prom = - - = --'-------=-
(100)(0.2) - (76.2)(0.03)
=
23.8
= 0.745
En este caso, la composición promedio del destilado es
cercana a su valor inicial, debido a que el cambio durante la destilación fue pequeño. En otros casos, la composición promedio del destilado puede ser considerablemente menor que su valor inicial.
Es posible mantener una composición constante en
el destilado, en las destilasciones intermitentes, aumentando la relación en forma continua durante la corrida .
c: 0.8
Q)
o
c:
Q)
u
c:
de operación
15 0.6
Q)
"O
(5
E
c: 0.4
'o
'ü
u
~
~ 0.2
0.2
0.4
X a , fracción
0.6
0.8
1.0
mol de benceno en el líquido
Fig. 7-13 Solución al Ej. 7-4.
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124 PRINCIPIOS DE OPERACIONES UNITARIAS
requeriría una gran cantidad de calor por unidad de producto y podría ser injustificable desde el punto de vista
económico. Se recuperaría más benceno, pero la pureza del producto destilado tendría que reducirse.
Con frecuencia, es más fácil mantener constante la
composición del destilado al inicio de una destilación
intermitente. Cuando la relación de reflujo se ha incrementado hasta un límite físico o económico, se
mantiene constante durante el resto de la corrida y
se permite que la composición del destilado disminuya
hasta alcanzar un límite específico, en el cual se suspende la destilación.
En muchas columnas de destilación intermitentes, el
líquido que permanece en cada plato de la columna es
apreciable. Esto debe tomarse en consideración al predecir el rendimiento y la composición del destilado.
EFICIENCIA DE ETAPA
En el equipo real de multietapas a contracorriente, las
dos fases que salen de una etapa no se encuentran en
equilibrio, debido a un tiempo de contacto insuficiente o
a una dispersión inadecuada de las dos fases en la etapa. Como resultado, el cambio de composición para cada fase en una etapa real, es por lo general menor que el
posible en una etapa de equilibrio.
La relación entre el cambio de composición de una
etapa real y el de una etapa de equilibrio se ilustra en la
Fig . 7-14. La línea de operación para una sola etapa se
obtiene escribiendo un balance de masa alrededor de
una etapa (Fig. 7-9a):
L n - 1 x n -1 + V n + 1 Vn+1 = Lnxn + VnVn
Ordenando términos y suponiendo flujos molares constantes,
(7-31 )
Las composiciones de las dos corrientes que entran
(x.- l y Y.+l) tienen valores fijos y tanto L como V son
constantes, por lo que la Ec. 7-31 es una línea recta con
una pendiente (-L/V). La línea comienza en el punto
(x.- l , Y.+l) Y corre hacia la curva de equilibrio. En una
etapa de equilibrio, las corrientes que salen se encuentran en equilibrio entre sí, de tal forma que el punto
(x., Y.) queda situado en la curva de equilibrio, como se
muestra en la Fig. 7-14a. En una etapa real, las corrientes de salida tienden al equilibrio, pero por lo general no
lo alcanzan. El balance de masa de la Ec. 7-31 muestra
que el punto (x. , Y. )eq. queda en una línea recta de pendiente (-L/V), que pasa a través del punto (x.- l , Y.+l).
Esto debe ser cierto tanto para una etapa de equilibrio
como para una etapa real. Por tanto, el punto (x., Y.)
para una etapa real queda en una línea recta que pasa
por (x.- l , Y.+l) y (x., Y. )eq., donde el último punto representa a las composiciones que salen de una etapa de
equilibrio.
Si bien el modelo físico de una etapa de equilibrio es
conveniente para los cálculos antes de construir un
equipo de multietapas, el número resultante de etapas
de equilibrio debe relacionarse con el número de etapas reales. La relación se expresa por lo general como
una eficiencia de etapa. Se han definido varias eficiencias para expresar la imposibilidad de alcanzar el
equilibrio en una etapa real. La operación de una etapa
real depende de muchas variables físicas. La etapa debe
poner en contacto íntimo dos fases y después separarlas. Un contacto más íntimo y un tiempo de contacto
mayor, originan una mayor tendencia al equilibrio en las
corrientes de salida. Entre las variables que afectan se
incluyen el área interfacial entre las fases, la velocidad
de transferencia (por unidad de área) de los componentes entre las fases y el tiempo de contacto. Estas variables dependen a su vez de las características de construcción de las etapas, las propiedades físicas de las
fases y las velocidades de flujo. Debido al efecto
complejo de todas estas variables, no es posible hacer
y n 1-------7Í
(a)
(b)
Fig.7-14 Líneas de operación para una sola etapa. (a) Etapa
de equilibrio. (b) Etapa real.
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METODOS SIMPLIFICADOS DE CALCULO
una predicción puramente teórica de las eficiencias de
etapa. En vez de ello, se usan los datos de eficiencia que
se obtienen con equipos existentes, que se correlacionan para desarrollar relaciones empíricas que pueden
emplearse para predecir eficiencias en equipos nuevos.
Por supuesto, tales correlaciones pueden aplicarse solamente a equipo y sistemas similares a aquellos en los
cuales se obtuvieron los datos originales. Aunque se
han obtenido muchos datos y hecho muchas correlaciones, la eficiencia de etapa represanta la imprecisión
de mayor magnitud en el diseño de un proceso de separación con multietapas. Los desarrollos teóricos han
hecho posible relacionar las eficiencias con las características fundamentales del sistema, pero de todas formas se requieren datos empíricos. En la Ref. 6 se puede
encontrar un análisis completo de eficiencias de etapa
en columnas de destilación.
En esta sección se definen e interrelacionan varias
eficiencias. En el Cap. 16, estas eficiencias se relacionan
con la velocidad de transferencia de masa.
La eficiencia que se se emplea con mayor frecuencia
se define simplemente como el cociente entre el número
de etapas de equilibrio calculado, para una separación
específica y el número de etapas reales que se necesitan
para la separación. Esto se conoce como eficiencia
global:
E.o =
número de etapas de equilibrio
calculadas
(7-32)
número de etapas reales que
se requieren
Aunque es permisible reportar un número fraccionario
de etapas de equilibrio-, es obvio que sólo puede construirse un número entero de etapas reales. La eficiencia
global es fácil de utilizar en el cálculo, pero da poca luz
sobre las variables físicas que determinan su valor. Una
eficiencia con mayor fundamento teórico puede conducir a correlaciones empíricas más adecuadas.
Las eficiencias de etapa de Murphree (5) describen la
eficiencia de una sola etapa. Originalmente se definieron para la destilación, pero pueden aplicarse con
facilidad a otras operaciones de etapas. En la Fig. 7-15
se muestra una representación esquemática de una sola
L-fase
t
o
t
Yn
t
t
o
etapa n
t
t
Yn +l
t
t
Xn
V-fase
Fig. 7-15
Contacto de fases en una sola etapa.
125
etapa. La etapa que se muestra es un plato perforado en
donde las burbujas de la fase ligera V, suben a través de
la fase pesada L (como en la destilación con el vapor
burbujeando en ellíquidol. El siguiente desarrollo puede
aplicarse para cualquier equipo de etapas de contacto.
Se supone que el vapor que llega a una etapa se encuentra totalmente mezclado y tiene una composición
uniforme Yn+l' El vapor que sale de la etapa tiene una
composición promedio Yn' Quizá se encontrará bien
mezclado cuando llegue a la etapa de arriba, pero la
composición del vapor puede variar cerca de la superficie del líquido en la etapa n, debido a que tiene contacto
con un líquido de composición variable. La composición
del vapor y se aplica a un sólo punto sobre la etapa
donae el vapor tiene contacto con un líquido de composición x. El líquido entra a'la etapa con una composición
Xn - 1 Y sale con una composición Xn • Tanto la composición x como la y se refieren al componente a; es decir, al
componente más volátil en la destilación o al soluto en
el caso de absorción o extracción.
La eficiencia de vapor de Murphree se define como o
_Yn-Yn+1
E v-
(7-33)
Yn*-Yn+1
El término Yn * es la composición hipotética de vapor
que estaría en equilibrio con el líquido que sale de la etapa real. Como se muestra en la Fig. 7-14b, el punto (Yn *,
xn ) está situado en la curva de equilibrio, donde Xn es la
composición del líquido que sale de la etapa real. Entonces, Eves la relación del cambio real de la composición
promedio del valor al cambio que ocurriría si todo el vapor estuviera en equilibrio con el líquido que sale realmente de la etapa.
La eficiencia de líquido de Murphree se define por
EL =
xn
*
X n -1 - x n
X n -1 -
(7-34)
La composlclon Xn * corresponde al líquido hipotético
que saldría de la etapa en equilibrio con la composición
promedio del vapor que sale realmente de la etapa.
Las eficiencias de etapa de Murphree pueden exceder de 1.0 cuando existen condiciones cercanas al equilibrio en todos los puntos de la etapa. Por ejemplo, en la
destilación, la composición Yn * está en equilibrio con Xn ,
que es la composición más baja del componente más
volátil (a) en la etapa. Entonces, Yn * puede ser menor
que Yn, debido a que esta última es un promedio de todas las y a través de la etapa. La mayor parte de las
cuales están en contacto con líquidos más ricos en a
que el líquido de salida. Entonces, el numerador de la
Ec. 7-33 sería mayor que el denominador y Evpodría ser
mayor de 1.0.
Se definen también las eficiencias de punto de Murphree debido a que pueden relacionarse mejor con los
mecanismos fundamentales de transferencia de masa
en la etapa, como se demuestra en el Cap. 16.
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126 PRINCIPIOS DE OPERACIONES UNITARIAS
La eficiencia de punto del vapor es
EV
o_Y-Yn+l
-
y * -Yn+l
(7-35)
El término y es la composición del vapor que sale de un
punto de la etapa, en donde la composición del líquido
es x y y* es la composición de un vapor hipotético en
equilibrio con el líquido de composición x (Fig. 7-15).
Las eficiencias de punto no exceden de 1.0 debido a que
y* es el valor máximo de y que puede alcanzarse en el
punto bajo consideración. También es posible definir
una eficiencia de punto para el líquido.
Las eficiencias de punto pueden relacionarse con las
eficiencias de etapa suponiendo un modelo físico para el
mezclado del líquido. Si se supone que todo el líquido
en una etapa se encuentra perfectamente mezclado, de
manera que su composición sea uniforme, entonces x
= Xn a través de toda la etapa, por lo que y = Yn Y y* =
Yn *. Entonces, las eficiencias de punto y de etapa son
iguales: Ev = Evo. Por otro lado, si se supone que no se
mezcla la fase líquida, puede mostrarse (7) que,
(7-36)
donde
L = velocidad del flujo molar del líquido
V = velocidad del flujo molar del vapor
m = pendiente de la ecuación de equilibrio
(y* = mx + b)
Esta ecuación supone que no existe mezclado en la dirección del flujo del líquido y que no hay gradientes de
composición perpendiculares a la dirección del flujo.
También supone una relación lineal de equilibrio en el
intervalo de composiciones que existe en la etapa. Se
supone que Evo será constante en la etapa. Ev puede exceder claramente de 1.0 si el flujo del líquido obedece
este modelo. Por ejemplo, para Evo = 0.9 Y mV/L =
0.5, Ev = 1.12. En una etapa real, el líquido no obedece
con exactitud ninguno de estos modelos; no se encuentra mezclado por completo pero tampoco esta
totalmente sin mezclar. Como resultado, puede ser necesario un modelo intermedio basado en un mezclado
parcial.
En el Cap. 16, Evo se relaciona con la velocidad de
transferencia de masa. En la Ref. 6 se encuentra un resumen más completo de eficiencias de etapas,
específicamente orientado a la destilación. En esta referencia, Ev se relaciona en forma aproximada con Eo . Por
otra parte, también puede emplearse el procedimiento
que se explica en el siguiente párrafo.
La eficiencia de etapa de Murphree puede emplearse
con los métodos descritos en este capítulo para calcular
el número de etapas reales que se requieren para una
separación específica. Considere las líneas de operación
para una sola etapa que se muestran en la Fig. 7-16. La
Fig.7-16 Trazo de etapas reales para una eficiencia de Murphree de vapor del 500/0.
línea de operación para la etapa de equilibrio corre desde las condiciones de entrada (xn- l , Yn+l ) hasta las condiciones de salida (Xn , Yn)' El último punto queda en la
curva de equilibrio debido a que Xn y Yn se encuentran
en equilibrio. En una etapa real (Fig. 7-11b), las condiciones de entrada son las mismas, pero las composiciones (xn y Yn) de las fases que salen no quedan
situadas en la curva de equilibrio, debido a que las fases
no están en equilibrio. Tal como se muestra la composición Yn * está en equilibrio con la composición Xn del
líquido que sale de la etapa real. La definición de la eficiencia de Murphree para la fase V, se puede entender
mejor refiriéndose a la Fig. 7-11b, donde se ve que es la
relación entre las distancias (Yn - Yn+l) y (y" * - Yn+l)'
Cuando se trazan etapas reales entre la curva de
equilibrio y la línea de operación, no se utiliza la dis.tancia vertical completa (Yn * - Yn+l). En su lugar, se determina una fracción de la distancia vertical, empleando
la eficiencia de la etapa antes de trazar las etapas reales.
En la Fig. 7-16 se ilustra un problema típico de destilación con una eficiencia de Murphree de vapor del
50%. Es conveniente trazar una "curva de separación
efectiva" entre la curva de equilibrio y la línea de operación, a una distancia que se determina con la eficiencia.
En este caso, la curva se localiza a la mitad de la distancia vertical entre la curva de equilibrio y la línea de operación, debido a que la eficiencia del vapor es del 50%.
Las etapas se trazan entonces, entre la curva de separación efectiva y la línea de operación.
CALCULO ANALITICO DE ETAPAS
Para el flujo simple a contracorriente en los casos en los
que, tanto la línea de operación como la curva de equilibrio son rectas, el número de etapas de equilibrio puede
calcularse analíticamente. Esta situación se observa en
algunos casos de operaciones tales como la absorción
de gases.
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METODOS SIMPLIFICADOS DE CALCULO
Un balance de material alrededor de la primera etapa
de la Fig. 5-2, da, para gases diluidos (donde L y V son
casi constantes),
Lxo + VY2 = Lx, + Vy,
o
L(xo - x,) = V(y, - Y2)
(7-37)
La curva de eqyilibrio será una línea recta cuando obedece la ley de Henry
YN+l - y,
YN+l - Kxo.
AN+l -A
(7-46)
AN+l - 1
La Ec. 7-46 es útil para calcular la separación cuando se
conocen A y N. Puede derivarse en una forma más directa empleando el método de cálculo con diferencias
finitas (4). La Ec. 7-46 puede resolverse para el número
total de etapas. Multiplicando en cruz se obtiene
AN+1 YN + 1 -A N + 1Yl - YN+l +Yl
= A N + 1 YN + l - A N + 1 Kx o
y, = Kx,
-AYN+l +AKxo
AN ~ l (Yl- Kxo)
Sustituyendo Xl en la·Ec . 7-37 da
L(XO -
=
127
~1) = V(y, - Y2)
=A(YN+l - Kxo) - YN+l + Yl
= (A - l)(y N + 1 - Kx o) + Y 1 - Kx o
y
Y2 +
y, =
L
V Xo
(7-38)
L
-+1
A = (A - 1) (Y 1- Kx O) + ~
KV
y, =
A +1
Y3 1- KAx,
Y3 +Ay,
A +1
A +1
Y,- Kxo
A
Tomando logaritmos en ambos lados de la ecuación da
N=
I09[(~)(YN+l-KXO) +1]
A
y, - Kxo
A
(7-47)
logA
(7-40)
Al sustituir el valor de YI de la Ec. 7-39 en la Ec. 7-40
(A + 1)Y3 + KA2xo
Y2=
A 2 +A+1
A
(7-39)
Un análisis similar para la etapa 2 da
Y2 =
N+
N
El grupo L/KVse conoce como factor de absorción y se
designa por A. La Ec. 7-38 se transforma en
Y2 + KAxo
A N +' = (A _ 1) ( YN + 1 - Kx o ) + 1
y, - Kxo
(7-41)
Al multiplicar la Ec. 7-41 por
(7-42)
La Ec. 7-47 puede emplearse para calcular el número de
etapas que se requiere para un cambio específico de la
composición de la fase gaseosa en la absorción. También puede escribirse la ecuación en dimensiones de relaciones molares, siempre y cuando la curva de equilibrio y la línea de operación sean rectas en coordenadas
de relaciones molares. El uso de la Ec. 7-47 con relaciones molares, requiere de la suposición de soluciones
diluidas para asegurar que la curva de equilibrio sea
recta.
Para columnas de agotamiento en donde la masa se
transfiere de la fase líquida a la fase vapor,
Puede derivarse una expresión para Y3 en forma similar.
Al continuar este proceso hasta la etapa N,
YN =
(AN - l)YN+, +AN(A -l)Kxo
(A N
1)
(7-43)
+' _
Un balance de material con respecto a toda la cascada da
(7-48)
El término (1/ A) se refiere al factor de agotamiento.
(7-44)
Debido a que XN =
YN / K,
la Ec. 7-44 se transforma en
L (xo - r:)= V(y, - YN+')
Eliminando YN entre las Ecs. 7-43 y 7-45,
(7-45)
Cálculo analítico del número mínimo de etapas
a reflujo total
La expresión obtenida por Fenske (1) es útil para determinar analíticamente el número mínimo de etapas que
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128
PRINCIPIOS DE OPERACIONES UNITARIAS
se requieren a reflujo total. El uso de esta ecuaci~n se limita a sistemas con una volatilidad relativa constante.
Por medio de la definición de la volatilidad relativa,
(7-49)
para la última etapa. A reflujo total, la línea de operación
coincide con la diagonal, y YN = XN-l' de tal forma que
(7-50)
Para la etapa N-1
__ YN - 1 = ex
xN - 1 = ex2 XN
1-YN-1
1-XN-1
1-XN
(7-51 )
REFERENCIAS
1. Fenske, M. 'R., Ind. Eng. Chem., 24, p. 482 (1932).
2. Luyben, W. L., Process Modeling, Simulation, and Control for Chemical Engineers, McGraw-Hill, New York
(1973).
3. McCabe, W. L., y E. W. Thiele, Ind. Eng. Chem., 17,
p. 605 (1925).
4. Mickley, H. S., T. K. She:wood, C. E. Reed, Applied
Mathematics in Chemical Engineering, McGraw-Hill,
New York (1957).
5. Murphee, E. V., Ind. Eng. Chem., 17, p. 747 (1925).
6. Schoenborn, E. M., et al., Tray Efficiencies in Distillation Columns, A. 1. Ch. E. (1959).
7. Smith, B. D., Design of Equilibrium Stage Processes,
McGraw-Hill, New York (1963).
Si se continúa con este procedimiento hasta la etapa 1,
PROBLEMAS
(7-52)
Para un condensador total XD = Yl Y para el caso en que
los fondos se extraen en el último plato XB = XN • Entonces
_~=exN xB
1-xo
1-XB
(7-53)
y
Xo (1 - XB)
Iog -=-------"XB (1 - xo)
N = --""----
1(7-54)
log ex
Cálculo con computadoras
Todos los cálculos de este capítulo pueden programarse
para una computadora digital, siempre qlJe se cuente
con los datos de equilibrio en forma de ecuaciones
empíricas o alguna otra forma apropiada para el cálculo
con computadoras. Por ejemplo, los cálculos de etapa
por etapa pueden efectuarse mediante un programa que
aplique alternada mente las ecuaciones para la curva de
equilibrio y la línea de operación. El programa seguiría
los mismos pasos que se requieren para una resolución
gráfica. La disyuntiva entre una resolución con computadora y una resolución gráfica, depende de la precisión
que se necesite y del número de veces que vayan a efectuarse los cálculos. Por ejemplo, la aplicación del método de McCabe-Thiele para determinar el número de
etapas que se requiere para producir un destilado de alta
pureza puede no ser práctico gráficamente, debido a las
imprecisiones que involucra el trazo de las etapas en un
espacio reducido para altas purezas. Aquí, una resolución con computadora podría dar una mayor precisión,
suponiendo que los datos de equilibrio sean precisos.
7-' Con sus propias palabras describa las bases de la derivación y aplicación de la línea de operación.
7-2 ¿ En qué condiciones es conveniente usar una línea de
operación en un diagrama de equilibrio, para determinar las
etapas que se requieren en una extracción líquida? ¿ Es útil la
línea de operación para el sistema que se muestra en la Fig.
3-8? ¿En la Fig. 3-9? Trace el esquema de un diagrama ternario
para un sistema en el que la línea de operación sea de utilidad.
¿Son L y V constantes de etapa a etapa para el sistema de
diagrama? Explique.
7-3 Trace un diagrama entalpía-composición para un sistema binario que pudiera analizarse mediante una línea de operación en un diagrama de equilibrio. ¿Es de esperarse que el
sistema que se muestra en la Fig. 3-4 dé lugar a una línea recta
de operación?
7-4 Con la ayuda de un balance de material alrededor de
una parte de una cascada simple a contracorriente, de la etapa
n + 1 a la etapa N, derive una ecuación para la línea de operación [donde Y"-1 = f(~)]. ¿Cómo puede relacionarse esta
ecuación con la Ec. 7-3?
7-5 El gas a es soluble en el líquido e, pero el gas b es
completamente insoluble. La relación de solubilidad es Ya =
Mx. donde M es la constante de la ley de Henry. Trace líneas
de operación y curvas de equilibrio para las siguientes situaciones y complete los cálculos que se especifican:
(a) Se conocen Lo, \1..+ 1 , Xc¡, YN+! Y >W. Determine N para
una absorción gaseosa.
(b) Repita (a) para el caso de agotamiento .
(c) Para un absorbedor equivalente a N etapas de equilibrio, determine la composición de salida del gas cuando se
dan los valores de Lo, Xc¡, VN+1 , YN+l Y N.
(d) Se conocen Lo, ><Ó, >W Y YN+l' Determine la composición más baja del gas de salida que es posible obtener en una
absorción de gases.
7-6 Siempre es más seguro utilizar una relación molar en
vez de una fracción molar al calcular la absorción de gases,
usando una línea de operación sobre un diagrama de equilibrio. ¿Por qué? ¿Qué desventajas puede tener?
7-7 ¿Puede determinarse un valor mínimo de L/V para un
agotamiento? Explique.
7-8 Resuelva el Probo 5-13(b) y (c) empleando una línea de
operación en un diagrama de equilibrio .
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METODOS SIMPLIFICADOS DE CALCULO
7-9 Resuelva el Probo 5-17 empleando una línea de operación en un diagrama de equilibrio. ¿Qué suposiciones deben
hacerse para asegurar una línea de operación recta? Compruebe la exactitud de sus suposiciones, comparando sus resultados con los del Prob 5-17 resuelto con la ayuda de un diagrama
ternario.
7-10 Resuelva el Probo 5-19 utilizando una línea de operación en un diagrama de equilibrio. ¿Qué suposiciones deben
hacerse para asegurar una línea de operación recta?
Compruebe la exactitud de sus suposiciones comparando sus
resultados con los del Prob o5-19, resuelto con la ayuda de un
diagrama ternario.
7-11 Se va a usar una columna de absorción equivalente a 5
etapas de equilibrio para separar el etano de una mezcla
hidrógeno-etano a 300 Ib/plgZ abs. El líquido absorbente que
entra contiene 99% de hexano y 1% de etano. El gas que entra
contiene 35% de etano y 65% de hidrógeno. La columna se
encuentra a una temperatura constante de 75 ° F. Debido a las
características de flujo del gas en la columna, la relación molar
entre el absorbente y el gas de entrada no puede exceder de 3
a 1, para la velocidad de flujo de gas que se desea tener. ¿Cuál
es la recuperación máxima posible de etano si se utiliza esta
columna?
7-12 Se va a agotar propano de un aceite no volátil, empleando vapor de agua en una torre a contracorriente. Se suministrarán por el fondo de la torre 4 moles de vapor por cada
100 moles de alimentación aceite-propano por la parte superior
de la columna. El aceite contiene originalmente 2.5% en mol
de propano y esta concentración debe reducirse hasta 0.25%
en mol. La torre se mantiene a 280°F y 351b/plgZ abs. El peso
molecular del aceite pesado es 300 y el peso molecular del propano es 44. La relación de equilibrio es y = 33.4x, donde y
= fracción mol de propano en el vapor y x = fracción mol de
propano en el líquido.
(a) ¿Cuántas etapas de equilibrio se requieren?
(b) Si la presión se incrementa hasta 70 Ib/plgZ abs,
¿Cuántas etapas de equilibrio se requerirían?
(c) ¿Qué efecto se observaría al disminuir la temperatura
de agotamiento?
(d) ¿Cuál sería la velocidad de flujo mínima para el vapor de
agua necesaria para alcanzar la misma recuperación de propano?
7-13 Se va a eliminar acetona de una mezcla aire-acetona a
30 oC a la presión atmosférica normal, por adsorción en carbón activado, en una cascada simple a contracorriente . Se
tomaron los siguientes datos de equilibrio para el carbón activado que se va a usar a 30 oC:
Gramos de acetona
adsorbidal gramo de carbón O 0.1
0.2
0.3
Presión parcial de acetona,
kN/m z
O 0.266
1.48
5.60
0.35
12.3
La velocidad de flujo de gas nuevo es de 3.0 m 3 Is estándar y la
velocidad de flujo de carbón es 2.5 kg/s.
(a) Calcular el número de etapas teóricas que se requiere
para reducir una mezcla acetona-aire al 10%, hasta el 1% en
volumen de acetona , a 30 oC y presión atmosférica normal.
(b) ¿Qué efecto tendría un incremento en la presión total?
(c) '¿Qué efecto tendría un incremento en la temperatura?
(d) ¿Cuál es la velocidad de flujo mínimo de carbón activado para las condiciones de la parte (a)?
129
7-14 Se emplean soluciones acuosas de trietanolamina para absorber bióxido de carbono a partir de una mezcla gaseosa, como un paso en la purificación para la fabricación de hielo
seco. El bióxido de carbono se absorbe en la solución de amina, mientras que los otros componentes del gas no se absorben. La solución de trietanolamina se calienta posteriormente
para recuperar el bióxido de carbono puro.
Se va a lavar una mezcla gaseosa que contiene 25% de COz,
con una solución 1 molar de trietanolamina a 25 oC y presión
atmosférica normal.
(a) ¿Cuál es la velocidad de flujo mínima de solución de
trietanolamina que se necesita para reducir 10 mol/s de gas
entrante hasta una concentración de salida del 1% ?
(b) ¿Cuántas etapas de equilibrio se requerirían para 1.5 veces la velocidad de flujo mínimo de amina? (Puede suponerse
que la densidad de la solución es igual a la del agua.)
(el En muchos casos, la solución lavadora contiene una
pequeña cantidad de COz ya que se recircula del agotador de
COz . ¿Cuál sería la velocidad mínima de la solución si entrara
con una concentración de 0.10 moles de COz por mol de amina?
(d) ¿Cuántas etapas se requerirían para 1.5 veces la velocidad mínima de solución, con la solución que entra en la parte
(c)? (Nota: puede usarse la relación molar del COz y la solución,
pero ya que la relación de agua a trietanolamina es constante, puede emplearse directamente el cociente X = moles de
CÜz por mol de amina.)
Datos de equilibrio para trietanolamina 1 molar a 25 oC [Mason
y Dodge, Trans, A. l. Ch. E., 32 Pág. 27 (1936))
Presión parcial de CÜ;¡
engas,kN / m 2
0.1 9
Concentración del
líquido, moles de
CÜ;¡ / mol de amina
1.44
0.0587 0.161
5.79
12.9
3.45
9.63
0.294 0.424 0.612 0.825
7-15 Se va a absorber amoníaco de una mezcla con aire,
por contacto con agua a 20 oC. El gas que entra tiene una
composición del 10% en volumen de amoníaco y el gas de salida debe contener 1% de amoníaco. El fluío de gas que entra es
de 10 mol/s, a 20 oC y presión atmosférica normal.
(a) Determine la velocidad de flujo mínima para el agua que
se necesita a fin de llevar a cabo esta separación.
(b) Determine el número de etapas de equilibrio que se requieren y la composición de salida del líquido, para una velocidad de flujo de agua igual al 125% del mínimo.
(c) Suponga que todo el líquido que sale de la columna de
absorción en (b) se alimenta a la parte superior de una torre de
agotamiento que opera a 20 oC. Por el fondo se alimenta aire
puro a 20 oC, con una velocidad de 9 mol/s. Determine las
composiciones de salida para el gas y el líquido para estas condiciones, suponiendo que el agotador es equivalente al mismo
número de etapas de equilibrio que el absorbedor de (b).
7-16 Para el Probo 6-21, determine el número de etapas de
equilibrio que se requiere, usando un diagrama de equilibrio
con una base libre de disolvente. Suponga que la solubilidad
mutua del aceite de semilla de algodón y del propano no varía
con la concent ración de ácido oleico . ¿Es razonable esta suposición?
7-17 Derive las Ecs . 7-41> y 7-5b, comenzando con una columna de destilación con reflujo en ambos extremos .
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130 PRINCIPIOS DE OPERACIONES UNITARIAS
7-18 Derive la ecuación para la línea i comenzando con el
patrón de flujo típico de una columna de destilación con reflujo en ambos extremos.
7-19 Verifique la lista de valores de i, así como las pendientes de la línea i que se dan en la Fig. 7-4, empleando un diagrama entalpía-composición.
7-20 (a) Para un sistema de destilación con flujos molares
constantes, relacione la Fig. 7-6a con el mismo cálculo sobre
un diagrama entalpía-composición. Muestre la relación entre
los dos procedimientos.
(b) Repita la comparación para la Fig. 7-7.
7-21 Empleando un diagrama entalpía-concentración,
muestre geométricamente que resultan flujos molares constantes cuando los calores latentes de vaporización son iguales
para todas las composiciones. No se tomen en cuenta los
efectos caloríficos distintos al calor latente, pero tampoco se
debe suponer que la entalpía de alguna de las fases es constante.
7-22 Derive una ecuación para la línea de operación de la
sección de enriquecimiento en una destilación con condensador parcial. Dibuje un esquema para mostrar cómo se grafica
esta línea y señale los puntos importantes.
7-23 Derive una ecuación para la línea de operación de la
sección de agotamiento en donde el producto de fondos sale a
través del rehervidor. Dibuje un esquema mostrando una gráfica de la ecuación señalando los puntos importantes.
7-24 Con~ruya un diagrama entlapía-composición mostrando la información que se da en la Fig. 7-8. Muestre cómo
puede localizarse el punto (zx, h x ) en el diagrama entalpía
composición.
7-25 Haga un diagrama similar al de la Fig. 7-8 mostrando
cómo pueden localizarse las líneas de operación para el caso
en el que hay una corriente líquida intermedia de producto
entre la alimentación y los fondos de la columna.
7-26 Resuelva los Probs. 6-23 y 6-24 en un diagrama de
equilibrio, suponiendo flujos molares constantes. ,Para qué
caso resulta más válida la suposición de flujos molares constantes?
7-27 Una mezcla que contiene 30% en mol de ·benceno y
70% en mol de tolueno va a fraccionarse a presión atmosférica
normal en una columna que tiene un condensador total y un
destilador del cual se extraen los fondos. El destilado contendrá 95% en mol de benceno y los fondos 4% en mol de
benceno. La alimentación se encuentra a su temperatura de
rocío.
(a) ,Cuál es la relación mínima de reflujo?
(b) ,Cuál es el número mínimo de etapas de equilibrio que
requiere la columna a reflujO total?
(c) ,Cuántas etapas de equilibrio se requerirían para una
relación de reflujo de 8?
d) ,Cuántas etapas de equilibrio se requerirían para una relación de reflujo de 8 si la alimentación fuera un líquido a su
temperatura de burbuja?
7-28 Resuelva el Probo 6-26 en un diagrama de equilibrio,
suponiendo flujos molares constantes .
7-29 Resuelva el Probo 6-25 en un diagrama x-y.
7-30 Resuelva el Probo 6-28 en un diagrama x-y.
7-31 Una solución acuosa conteniendo 20% en mol de etanol va a fraccionarse a 1 atm, para obtener un destilado con
una composición del 80% en mol de etanol y un desperdicio
con una composición del 3% en mol de etanol. La alimentación se encuentra a 60 °F. Se tiene disponible una columna de
destilación equivalente a 7 platos teóricos. ,Qué relación de
reflujo debe emplearse?
7-32 Resuelva el Probo 6-29(a) y (b) en un diagrama x-y.
7-33 Resuelva el Probo 6-34 en un diagrama de equilibrio
x-y.
7-34 Una mezcla de 30% en mol de etanol y 70% en mol de
agua va a fraccionarse a 1 atm, para obtener un destilado con
82% en mol de etanol y un producto de fondos con 4% en mol
de etanol. Se contará con un condensador total en el domo de
la torre pero en lugar de rehervidor, se alimentará vapor
de agua directamente por el fondo de la columna, para suministrar el calor necesario. La alimentación consiste en un 40%
de vapor y un 60% de líquido.
(a) Dibuje un diagrama de flujo para la torre y señale las corrientes de entrada y salida.
(b) Derive una ecuación de la línea de operación para la
sección de agotamiento.
(c) D~termine el número de etapas de equilibrio que se requiere . .
(d) Determine la relación de reflujo (4 ID).
(e) Determine la velocidad mínima de vapor de agua (por
mol de fondos) que permitiría lograr esta separación.
7-35 Una mezcla equimolar de etanol yagua va a someterse a una destilación fraccionada para producir un destilado
con una composición 0.80 fracción mol de etanol y fondos con
0.05 fracción mol de etanol. La alimentación es un líquido saturado y se cuenta con un condensador y un rehervidor totales.
(a) ,Cuántas etapas de equilibrio se requerirían para una
relación de reflujo de 2.0?
(b) ,Cuántas etapas de equilibrio se requerirían a reflujo
total?
(c) ,Cuál es la realción mínima de reflujo?
(d) ,Qué porcentaje del etanol que se alimenta se recupera
en el destilado?
7-36 Una mezcla líquida saturada con una composición del
40% en mol de etano y 60% en mol de etileno va a separarse
por destilación . La columna de destilación debe operar dentro
del intervalo de temperatura de -20 a + 50 OC. El límite inferior se establece por temperaturas del fluido de enfriamiento
disponible para el condensador. El límite superior está limitado
por la posible reacción del etileno a temperaturas mayores. El
destilado tendrá una composición del 90% en mol de etileno y
debe recuperarse en el destilado un 95% del etanol que se alimenta.
(a) Determine la presión adecuada par~ la operación de la
columna a partir de los datos del Apéndice D.
(b) Determine la relación mínima de reflujo y el número mínimo de etapas a esta presión.
(c) Seleccione una relación de reflujo que permita la operación empleando el doble del número mínimo de etapas. Tendrá (Jn condensador y un rehervidor totales.
7-37 Para el Probo 7-35(a), use los datos de entalpía-composición y puntos delta para construir líneas curvas de operación" sobre el diagrama de equilibrio. Después, determine el
número de etapas que se requiere empleando las líneas curvas
de operación. ,Es correcta la suposición de flujos molares
constantes en el Probo 7-35(a)?
7-38 Se van a fraccionar 1000 lb mol/h de una mezcla al
25% de etanol-agua,a 1 atm, para obtener dos corrientes ricaen etanol con composiciones de 60% y 80% de etanol; un
98% del etanol que se alimenta debe recuperarse en estas dos
corrientes. Es decir, sólo puede salir con los fondos, que se
extraen del rehervidor el 2% del etanol que se alimenta. Se
producirán cantidades iguales en moles, de los productos al
60% y 80%. La alimentación, los fondos y el producto al 60%
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METODOS SIMPLIFICADOS DE CALCULO
son líquidos a su temperatura de burbuja. El producto al 80%
es un vapor saturado que sale de un condensador parcial. La
relación de reflujo (Lo 10) en el domo de la columna será de
3.0. La eficiencia global de platos es del 25% . Suponiendo flujos molares constantes y empleando un diagrama x-y, calcular:
(a) El número de platos reales que se requiere para esta separación.
(b) El plato real en el cual debe introducirse la alimentación.
(e] El plato real del cual debe obtenerse el producto al
60%.
Id) La carga térmica del rehervidor (Btu/hl.
(e) La carga térmica del condensador (Btu/h).
(f) La relación mínima de reflujo en el domo de la columna.
(g) El número mínimo de etapas a reflujo total.
7-39 Derive las Ecs. 7-23 y 7-24.
7-40 Una mezcla líquida con 65% en mol de benceno y
35% en mol de tolueno, se destila extrayendo el vapor tan
pronto como se forma.
(a) ¿Cuál es la composición del líquido cuando se ha evaporado 25% de las moles originales del líquido?
(b) ¿ Qué cantidad del líquido original se ha evaporado
cuando el vapor en equilibrio tiene una composición del 65%
en mol de benceno?
7-41 Una mezcla de vapor que contiene 40% en mol de hexano y 60% en mol de heptano, se condensa lentamente a
presión atmosférica normal y el líquido en equilibrio se extrae
tan pronto como se forma.
(a) ¿Cuál es la composición del vapor cuando se ha condensado 50% de las moles?
(b) Si se permitiera que todo el líquido que se forma permaneciera en contacto con el vapor, ¿cuál sería la composición del vapor después de condensar el 50% de las moles?
7-42 Una mezcla equimolar de benceno y tolueno se carga
a un destilador de una torre de destilación intermitente que
equivale a 6 etapas de equilibrio. La destilación se lleva a cabo
a presión atmosférica normal con una relación de reflujo constante de 3, hasta que la concentración de benceno en el destilador se reduce a 5% en mol.
(a) ¿Cuál es la composición promedio del destilado?
(b) ¿ Cuál es el porcentaje de recuperación global del benceno en el destilado?
(el ¿Cuál es la temperatura en el destilador al inicio y al final de la corrida?
7-43 Debe recuperarse el 95% del etilenglicol que tiene una
mezcla con 20% en mol de etilenglicol y 80% en mol de agua,
en el residuo de una torre de destilación intermitente, equivalente a 3 etapas de equilibrio (incluyendo el destilador), que
opera a 228 mm Hg. Se desea obtener una composición global
en el destilado de 5% en mol de etilenglicol.
(a) Si la composición del destilado se mantiene constante,
¿cuál será la relación de los reflujos inicial y final?
(b) Si la relación de reflujo se mantiene constante, ¿cuál
debe ser su valor? (Los datos de equilibrio se dan al final de estos problemas.)
7-44 Una mezcla que contiene 36% en mol de cloroformo y
64% en mol de benceno va a separarse empleando una torre
de destilación intermitente equivalente a 10 etapas de equilibrio, operando a 760 mm Hg. La composición del destilado se
mantendrá constante al 96% en mol de cloroformo durante la
corrida.
(a) Grafique la relación de reflujo en función del porcentaje
de la carga original que se destila.
131
(b) ¿Cuál es la recuperación teórica máxima de cloroformo
en el destilado del 96%? (Los datos de equilibrio se dan al final
de estos problemas.)
7-45 Dos mezclas de a y b se van a fraccionar a presión
constante en una columna de destilación que cuenta con un
condensador y un rehervidor totales.
Cantidad
Alimentación
Alimentación
Destilado
Fondos
= 4.0
~-b
1
2
Composición
50 moles
100 moles
)(.
Condición
térmica
0.50
0.35
0.9
0.05
Líquido saturado
Vapor saturado
Líquido saturado
Líquido saturado
Relación de reflujo
(LoIO)
= 1.5
La eficiencia de Murphree del vapor varía con la composición de líquido:
Xa
0.05
0.2
0.4
0.6
0.8
0.9
e,
0.67
0.67
0.67
0.50
0.50
0.50
(a) ¿Cuántas etapas reales se requieren?
(b) ¿En qué etapa se introduce la alimentación?
(el ¿Cuál es la eficiencia de etapa global?
7-46 Una solución acuosa que contiene 35% en mol de
amoníaco a 100 Ib/plg2 abs y 150 o F va a fraccionarse en un
destilado con 95% en mol de amoníaco y un producto de fondos con 3% en mol de amoníaco. Hay un condensador total y
el producto de fondos sale por el plato inferior. La relación de
reflujo Lo 10 es 1.
(a) Construya las líneas curvas de operación para esta separación en un diagrama de equilibrio.
Ib) Determine el número de etapas reales que se requiere
para una eficiencia de Murphree del vapor del 25%.
(e) Determine la eficiencia de etapa global.
7-47 En el Cap. 2 se definió la eficiencia de etapa como la
relación del cambio de composición para una etapa real, el
cambio de composición que resultaría en una etapa de equilibrio. Empleando un diagrama similar al de la Fig. 7-14, muestre
como difiere esta definición de la de eficiencia de etapa de
Murphree.
7-48 Determine el número de etapas reales que se requiere
en el Probo 7-27(c) para:
(a) Una eficiencia de etapa global del 60%.
Ib) Una eficiencia de Murphree del vapor del 60%.
(e) Una eficiencia de Murphree del líquido del 60%.
7-49 ¿En qué circunstancia es la eficiencia global de una
columna numéricamente igual a la eficiencia de Murphree del
vapor?
7-50 Se está usando una columna de destilación existente
para "fraccionar una alimentación en un producto destilado y
un producto de fondos. Prediga el efecto que tendría cada uno
de los siguientes cambios sobre la pureza del destilado y los
fondos, cuando las otras variables independientes permanecen sin alteración en la columna. Suponga que la eficiencia de
etapa nunca cambia y que la alimentación puede relocalizarse
en distintos platos en cualquier lado de la boquilla de alimentación original, si esto fuera necesario para mantener una alta
pureza en el destilado y en los fondos.
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132 PRINCIPlOS DE OPERACIONES UNITARIAS
poder calcular las velocidades del destilado y del producto de
fondos, el número de etapas de equilibrio y la localización de la
alimentación. Suponga un condensador y un rehervidor totales.
Utilice su programa para determinar el número de etapas
para las siguientes situaciones:
(a) Se disminuye la volatilidad relativa de la alimentación
(la composición y la entalpía de la composición permanecen
sin alteración)
(b) Aumenta la relación de reflujo ('-o /D).
(e) Se reduce la concentración del componente más volátil.
Id) Se atasca el rehervidor y en consecuencia, la cantidad
de calor que puede suministrar disminuye en forma sustancial.
(e) La alimentación es ahora un vapor en vez de ser un
líquido.
7-51 ¿Qué resultaría de la Ec. 7-46 cuando N=oo? Muestre
que este resultado es equivalente a los cálulos gráficos correspondientes.
7-52 Derive una expresión para (L/V)mfn a partir de la Ec.
7-46. Para el valor mínimo de L/V ¿puede A ser mayor a la unidad?
7-53 Se va a reducir la concentración de amoníaco en una
mezcla aire-amoníaco del 3% al 0.05% en volumen, lavando el
gas con agua en una torre a contracorriente a 90 o F y 1 atm
de presión. La velocidad de flujo del gas a la entrada es de
5000 piest/h (90 o F, 1 atm). En el intervalo de concentraciones
el equilibrio para el amoníaco en solución acuosa se expresa
por medio de y = 0.185x.
(a) Determine gráficamente la velocidad mínima del agua y
el número de etapas que se requiere con el doble de la velocidad mínima del agua.
(b) Determine analíticamente la velocidad mínima del agua
yel número de etapas que se requiere para el doble de esta velocidad.
7-54 Derive la Ec. 7-48.
7-55 ¿En qué forma debería modificarse la Ec. 7-54 para ser
válida en el caso de un condensador parcial y para una salida
de fondos por el rehervidor?
7-56 Resuelva el Prob 7-27(b) en forma analítica.
7-57 Desarrolle un programa de computadora que realice
los cálculos necesarios para diseñar una columna de destilación, capaz de separar mezclas binarias de volatilidad relativa
constante y flujos molares constantes. Utilice como patrón
para su programa los cálculos de etapa por etapa que se desarrollaron en este capítulo, empleando una línea de operación
y una curva de equilibrio. Conociendo la volatilidad relativa, la
velocidad de alimentación, la composición y la condición térmica de la alimentación, la pureza de los productos (destilado
y fondos), así como la relación de reflujo, su programa deberá
DATOS
DE EQUILlBRIO:*
o: = 2.5, F
= 100,ZF = 0.5, q = 1, LolD = 2.0
Xo = 0.95xB
(a)
(b)
= 0.95.
«o = 0.99 xe = 0.99.
«o = 0.999 «e = 0.999.
(e)
7-58 Utilice el programa que desarrolló en el Probo 7-57 para determinar el efecto que causa la variación de la relación de
reflujo (de reflujo total hasta un valor cercano al mínimo) en el
número de etapas que se requiere para la separación del Probo
7-57(a).
7-59 Modifique el programa del Probo 7-57 para que calcule
el reflujo mínimo y después calcule el número de etapas para
un reflujo real en términos de un porcentaje (mayor de 1(0) del
reflujo mínimo. Después, para la separación del Probo 7-57(a),
calcular el número de etapas para una relación de reflujo real
igual a 101, 102, 105, 110 y 200% del reflujo mínimo.
7-60 Desarrolle un programa de computadora para calcular
la relación de reflujo que se requiere para fabricar productos
con una pureza específica a partir de una alimentación cuyas
características se conocen, contando con el número de etapas
de la columna. Suponga que la etapa de alimentación puede
ajustarse a la localización óptima. Use el programa para resolver el siguiente problema. Para una columna equivalente a 40
etapas de equilibrio, qué relación de reflujo debería emplearse
para:
o: = 2.5, F = 100, ZF = 0.5, q = 1, xB = O.99,xo
= 0.99.
7-61 Usando el programa que desarrolló en el Probo 7-60,
determine qué pasa con la relación de reflujo al incrementar la
pureza del producto. Tome varios valores de pureza de producto, suponiendo que el destilado y los fondos son de la misma pureza en su componente principal, comenzando con las
purezas y otras condiciones del Probo 7-60. ¿ Cuál es la pureza
máxima que puede obtenerse para la alimentación y la columna del Probo 7-60?
CLOROFORMO-BENCENO
A 760 mm Hg%
% en mal de cloroformo
Líquido
O
8
15
22
29
36
44
54
66
79
100
Vapor
O
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
80.6
79.8
79.0
78.2
77.3
76.4
75.3
74.0
71.9
68.9
61.4
Temperatura,
°C
* tntemetionet Critical Tables, McGraw-Hill.
Nueva York. Copyright © 1928; con permiso de la Natl. Acad. of. SC.
DATOS DE EQUILlBRIO:*
ETILENGLlCOL-AGUA
A 228 mm Hg
% en mal de etilenglicol
Líquido
O
10
20
30
Vapor
O
0.2
0.4
0.7
1.1
69.5
72.8
75.6
78.8
82.9
Temperatura
°C
40
60
70
80
90
92
95
97
99
100
1.8
2.8
5.0
10.0
21.4
25.5
35.0
46.5
69.0
100
87.7
93.1
100.5
111.2
127.5
132.0
139.5
145.1
152.4
160.6
50
• Trimble y Potts,Ind. Eng. Chem, 27. Pág. 66 (1935). Cortesía de la Amer. Chem. Soco
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Ocho
Operaciones por Etapas
con Multicomponentes
La industria típica de procesos químicos requiere con
frecuencia separar mezclas de varios componentes. Por
ejemplo, la corriente del producto que sale de un reactor
químico puede contener, además del producto de interés, reactivos remanentes y productos de reacciones
laterales. Estos reactivos y subproductos se deben identificar y separar de la corriente del producto con objeto
de obtener un producto de alta pureza. Las mezclas de
multicomponentes, tales como la corriente de producto
que sale del reactor químico, se suelen separar mediante las diferentes operaciones de etapas que se trataron
en los Caps. 2 a 7. En los primeros capítulos, se aplicaron los principios del equilibrio de fases a la separación
de mezclas binarias. Aunque los mismos principios son
aplicables a la separación de mezclas de multicomponentes, los métodos de cálculo son más complejos debido a que los componentes adicionales requieren de un
número mayor de variables intensivas que se ajustan de
manera independiente, como se muestra en la siguiente
sección, con la aplicación de la regla de las fases.
Si bien las mezclas de multicomponentes pueden ser
separadas con cualquiera de las diversas operaciones de
transferencia de masa que se estudiaron en el Cap. 2,
las que se utilizan con mayor frecuencia son la absorción y la destilación. En la industrial petrolera, la destilación y la absorción de multicomponentes cobran especial importancia. El petróleo crudo es una mezcla de
cientos de compuestos orgánicos y la mayoría de los
procesos de esta industria requieren de la separación y
purificación de mezclas de multicomponentes. Las plantas industriales cuyas fotografías se presentan en las
Figs. 6-3 y 8-10, procesan mezclas de multicomponentes. Es común encontrar mezclas de multicomponentes
en la industria, mientras que las mezclas binarias casi
nunca ocurren .
El cálculo riguroso para mezclas multicomponentes es extremadámente complejo e involucra con frecuencia procedimientos interrelacionados de prueba y
error. Antes del advenimiento de las computadoras digi-
tales, se hacían muchas suposIciones con fines de
simplificación y se desarrollaron métodos aproximados
para estimar el número de etapas y las velocidades de
reflujo que se requieren para una separación de multicomponentes. Las computadoras digitales permiten
cálculos étapa por etapa más rigurosos que involucran
iteracciones sucesivas hasta lograr la respuesta correcta. Como resultado, muchos de los métodos cortos
aproximados ya no son necesarios, pero algunos de
ellos son útiles para los cálculos preliminares y serán
presentados más adelante.
En la siguiente sección se aplica la regla de,las fases
para un análisis de operaciones en etapas en multicomponentes. En la sección que le sigue se considera la absorción de multicomponentes. Después se presentan
dos métodos importantes para el cálculo etapa por etapa de una destilación multicomponente.
CONTEO DE VARIABLES
EN LAS OPERACIONES EN ETAPAS
En el capítulo previo sQbre destilación, absorción y
extracción binarias, un cierto número de variables estaban fijas antes de llevar a cabo los cálculos para determinar el resto de las características del sistema. Por
ejemplo, en una cascada simple a contracorriente para
una extracción líquida, operando a cierta temperatura y
presión (Fig . 8-1), las velocidades de flujo y composiciones de la alimentación (4 , ~a 1y del disolvente (VN +1 ,
YN+l ,al suelen estar especificados junto con el porcentaje
de recuperación que se desea obtener para un componente específico en el extracto. Especificando estas
cinco variables independientes, puede calcularse el número de etapas de equilibrio que se requiere para la separación . En este caso, tanto la alimentación como el
disolvente contienen a lo sumo dos componentes cada
uno y se conocen las relaciones de equilibrio de las fa-
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134 PRINCIPIOS DE OPERACIONES UNITARIAS
V n +l
Yn+l,i
Hn+l0 T n+l
Pn+l
L n -l
Xn-l, i
hn-l0 Tn-l
Pn - 1
Fig. 8-1 Variables en una etapa de equilibrio.
ses. Por otro lado, sería posible fijar 4 = JC¡¡., VN +1 ,
YN+l,. yel número de etapas de equilibrio para calcular el
porcentaje de recuperación. De hecho, la especificación
de cinco de estas seis variables independientes permite
calcular la otra.
Suponga ahora que la alimentación tiene tres componentes. En este caso, se adiciona una variable independiente (ya sea ~b o ~c ) yen consecuencia, quedan siete
variables independientes, siendo necesario establecer
seis de ellas para poder evaluar la séptima. Deben efectuarse análisis similares al determinar el número de
etapas que se requiere o la recuperación en la destilación, absorción, lixiviación y otras operaciones en etapas. Para mezclas binarias, el número de variables que
deben especificarse es casi evidente, por lo que se
requiere poca labor mental. Pero para mezclas de multicomponentes, es necesario efectuar un análisis cuidadoso para determinar cuántas y cuáles variables
independientes deben especificarse para definir por
completo el sistema. Esta sección presenta un método
sistemático para determinar el número de variables en
operaciones en etapas Gilliland y Reed (2) desarrollaron
este método, que más tarde ampliaron Kwauk (7) y
Smith (12).
Variables independientes
Una variable independiente es una característica cualquiera de un sistema que en principio, puede variarse directamente al arbitrio del operador. Por ejemplo, en un
cilindro cerrado que cuente con un pistón y contenga en
su interior un gas ideal, pueden variar temperatura, presión o volumen. Podría incrementarse la temperatura
calentando el cilindro. Podría disminuirse el volumen
empujando el pistón, lo cual originaría también un incremento de la presión. Puede verse claramente que las
tres variables no son independientes entre sí. Existe una
relación restrictiva entre ellas. En su forma más simple,
esta relación es la ley de los gases ideales:
PV=nRT
Para el sistema del cilindro, n es constante, por lo que al
fijame dos variables cualesquiera de las tres (P, V, n,
automáticamente se establece la tercera. Por tanto, sólo dos de las tres variables son independientes, debido a
que si se establecen los valores de dos de ellas, no es
posible variar la tercera.
Otro ejemplo común consiste en especificar la composición de una mezcla. Para especificar completamente la composición de una mezcla de C componentes, es
necesario especificar C concentraciones cuando
se expresan en unidades de masa por unidad de volumen; si la composición se expresa en fracciones mol,
fracciones de masa o fracción de volumen, sólo deben
establecerse C-1 valores, ya que la suma de las fracciones es igual a 1. Por ejemplo, en un sistema que contiene los componentes a, b, e y d, las concentraciones
se relacionan por medio de
Ca + Cb + Ce + Cd = Ctotal
(8-1)
en donde cada término puede tener unidades de libras
mol por' pie cúbico. Para definir el sistema es necesario
especificar cuatro de las cinco cantidades que aparecen. Por otro lado, si se divide la Ec. 8-1 entre Ctotal' resulta
(8-2)
donde las x son fracciones mol de cada componente. El
término de la derecha está fijo, de manera que sólo
deben especificarse tres fracciones mol para definir al
sistema y sólo tres pueden variar de manera independiente. Como resultado, en los sistemas cuyas composiciones se expresan como concentraciones, existen C
variables de composición independientes, mientras que
cuando las composiciones se expresan como fracciones
que totalizan 1.0, existen únicamente C - 1 variables de
composición independientes. Debido a que cualquier
conjunto de tres de las cuatro fracciones mol de la Ec.
8-2 sirve para definir al sistema, es posible registrar las
cuatro como variables independientes, pero se entiende
que al especificar tres de ellas, la cuarta deja de ser una
variable independiente ya que la suma de las fracciones
mol debe ser 1.0.
En estos ejemplos simples, el número de variables independientes que debe fijarse para definir al sistema, es
obvio. Sin embargo, en sistemas más complejos, con
muchas corrientes y varias fases (como una columna de
destilación), el número de variables independientes que
puede especificarse deja de ser obvio. En las siguientes
secciones, se usará la regla de las fases, junto con
balances de masa y energía, para analizar sistemas
complejos de operaciones por etapas, a fin de determinar el número de variables independientes que debe
fijarse para definir el sistema. En esos análisis, deben recordarse las consideraciones simples de esta sección.
La regla de las fases
En el Cap. 3 se estudió brevemente la regla de las fases.
Esta regla es una relación que se deriva de la termodinámica (1) y se utiliza para determinar el número de variables intensivas que pueden variar independientemente
en un equilibrio químico. La regla de las fases puede
aplicarse a equilibrios de reaccione~ y a equilibrios de fa-
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OPERACIONES POR ETAPAS CON MULTICOMPONENTES
ses. Las operaciones por etapas involucran tanto fases
simples como el equilibrio de fases, por lo que puede
emplearse la regla de las fases para determinar las relaciones entre las variables intensivas de las corrientes
fluidas. Además, pueden aplicarse balances de masa y
energía para determinar las relaciones entre las variables
extensivas del sistema.
Una variable intensiva no depende de la cantidad total de la fase (o en sistemas de flujo no depende de la
velocidad de flujo de la fase). En operaciones en etapas,
la temperatura, la presión y la composición son por lo
general las variables intensivas de interés. Otra variable
intensiva que aparece con frecuencia es la entalpía por
libra de una cierta fase.
Con ,~ regla de las fases (Ec. 3-3) para una mezcla en
una sola fase, con componentes
e
F=C+2-1=C+1
(8-3)
de tal forma que para definir el sistema es necesario especificar e + 1 variables intensivas. Si se expresan las
composiciones como fracciones de masa o molares
1 composiciones, más cualquier
deben establecerse
conjunto de dos de las tres variables restantes (T, P, h).
En la Fig. 3-4, la presión está fija en un equilibrio líquidovapor, de tal forma que al especificar una sola composición y dos variables de estado intensivas, P y T, se
define el sistema en la región de una fase . Por otra parte, en la región de dos fases para el sistema de dos
componentes,
e-
F=2-2+2=2
de manera que sólo pueden especificarse dos variables.
Si se fija la presión, al establecerse la temperatura, se
define inmediatamente el sistema y se determinan los
valores paré! la entalpía relativa y las composiciones de
ambas fases, tal como se indica en la Fig. 3-4. En general, en las mezclas de dos fases que se encuentran en las
operaciones en etapas
F=C
(8-4)
Estrictamente hablando, la entalpía no es una variable independiente, ya que no existe un método físico
para determinar el valor de la entalpía . Normalmente, la
presión, temperatura y composición puede establecerse
físicamente y esto fija la entalpía, pero algunas veces es
conveniente considerar a la entalpía como una variable
independiente.
Debe enfatizarse que la regla de las fases se aplica
únicamente a variables intensivas. Las variables extensivas, como las velocidades de flujo y la adición de calor
estan dictadas por los balances correspondientes de
masa y energía.
Etapa de equilibrio
El método para determinar el número de variables independientes para una operación en etapas se basa en ba-
135
lances de masa, balances de energía yen las relaciones
de equilibrio de fases, tal como lo describe la regla de las
fases. Estas relaCiones pueden aplicarse a una sola etapa de equilibrio (Fig. 8-1). Las dos corrientes que entran
y las dos corrientes que salen tienen una composición
específica y un valor de entalpía asociado con cada una
de ellas. Además, es posible suministrar o eliminar calor de la etapa. Si q. tiene un valor positivo, se suministra calor; con un valor negativo de q. se elimina calor.
Las dos corrientes que entran no se encuentran en
equilibrio de manera que se consideran por separado .
La aplicación de la regla de las fases a la fase única L.
muestra que la Ec. 8-3 es aplicable y que existen e + 1
posibles variables independientes asociadas con L• . Un
análisis similar muestra que hay
+ 1 variables independientes para v..+ l . Las dos corrientes que salen (L. y
v.. ) están en equilibrio y por consiguiente se consideran
juntas. Para estas corrientes P = 2, de modo que con
variables intensivas indebase en la Ec. 8-4, existen
pendientes que se asocian con la mezcla en equilibrio
que sale de la etapa. El número total de variables intensivas independientes asociados con las corrientes que
fluyen hacia y desde la et apa es (e + 1) + le + 1) + e
e
e
= 3e + 2.
Pueden listarse muchas variables extensivas independientes. Las velocidades de flujo de masa para las cuatro corrientes de entrada y salida (L.- l , V.+ l , L., V.) Y la
velocidad de adición de calor (q.) suman cinco variables
extensivas independientes, que dan lugar a un total de
3e + 7 variables independientes. l Cuántas de estas variables independientes pueden especificarse de manera
arbitraria? El sistema tiene ciertas restricciones y éstas
reducen el número de variables que pueden establecerse de manera independiente. Un balance de masa alrededor de la etapa da lugar a e balances de masa por
componente, más un balance de masa total. Pero el
balance de masa total es igual a la suma de todos los
balances por componente, de tal forma que sólo hay balances de masa independientes. Los e balances de
masa independientes imponen e restricciones a la especificación arbitraria de las 3e + 7 variables independientes. Es decir, no es posible establecer todas las composiciones de entrada y salida sin tomar en cuenta el
balance de masa que debe satisfacerse para cada componente.
Es posible escribir un balance de entalpía alrededor
de la etapa:
e
Ln-1hn-1 + V n +1 Hn+1 + qn = Lnhn - VnHn
(8-5)
y esto implica una restricción adicional. El número de
variables independientes que debe fijarse para determinar por completo la operación de la etapa de equilibrio,
es igual al número total de variables independientes
menos las restricciones que imponen sobre la etapa los
balances de masa y energía, tal como se resume en la
Tabla 8-1.
El análisis de una etapa de equilibrio empleando la
regla de las fases junto con los balances de masa yener-
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136 PRINCIPIOS DE OPERACIONES UNITARIAS
gía, muestra que deben especificarse 2C + 6 variables
para definir por completo la operación de la etapa. La
selección de estas 2C + 6 variables entre las que se
tienen disponibles es arbitraria, pero con frecuencia
se especifican ciertas variables. Con respecto a la Fig. 8-1,
se muestra que después de fijar la presión, las composiciones, velocidades de flujo y temperaturas (o entalpías)
de las cuatro corrientes, pueden especificarse junto con
la velocidad de suministro de calor. Si algún componente no aparece en una corriente específica, su fracción se
fija como cero . A menudo, se especifican las composiciones, entalpías y velocidades de flujo completas de las
dos corrientes de entrada, junto con la presión P y el calor que se adiciona q• . En este caso, las variables que se
especifican son 2( C + 2) + 1 + 1 = 2C + 6, de tal forma que el sistema queda especificado con precisión. No
es posible fijar arbitrariamente otra variable (como la
temperatura de la etapa o las composiciones de las
corrientes que salen). Si se fijara otra variable, las variables especificadas podrían resultar contradictorias.
Tabla 8-1
equilibrio.
Variables y restricciones en una etapa de
Variables independientes
1 Variables ~ntensivas asociadas con las
corrientes fluidas.
2 Variables extensivas asociadas con el
flujo de masa hacia y desde la etapa.
y asociadas con el flujo de energía
hacia y desde la etapa.
- Restricciones:
1 Balances de masa
2 Balances de energía (entalpía)
3C + 2
4
-C
-1
Variables independientes que deben fjjarse para
definir completamente el sistema
3C + 2 + 4 + 1
Solución (a) Para un sistema de tres componentes
2C + 6 = 12, de manera que deben especificarse 12
variables independientes para definir el sistema. De las
12 fracciones de masa que se dan, sólo 8 son independientes (2 para cada corriente), por lo que deben establecerse cuatro variables más. Típicamente, las variables que -se establecen son la temperatura y la presión
en la etapa (lo cual fija las relaciones de equilibrio), más
las velocidades de flujo de L.- 1 y V.+ 1 ).
(b) Este sistema contiene tres componentes, pero no
todos aparecen en cada una de las corrientes que entran. Sin embargo, se considera que las composiciones
de cada corriente tienen C - 1 = 2 variables independientes. Para este sistema de tres componentes, deben
especificarse doce variables. Como se estableció,
cuatro composiciones y dos velocidades de flujo dan un
total de solamente seis variables. Además, pueden establecerse las presiones y temperaturas de las cuatro
corrientes, para dar seis variables adicionales. Nótese
que las presiones y temperaturas de las dos corrientes que
salen deben ser iguales en virtud de que se encuentran
en equilibrio.
(c) En este caso hay 12 variables fijas y 2(2) + 6 =
10 variables deben especificarse. En consecuencia, el
sistem.a tal y como está definido, no puede existir en
equilibrio. Debe eliminarse la especificación de dos
variables (como la velocidad de flujo y la composición
de V.+ 1 •
2C+6
- C- 1
Ejemplo 8-1 Determine si se fijaron suficientes variables independientes para definir cada uno de los
siguientes sistemas:
(a) Una etapa en una columna de destilación
Para
Ln: xa = 0.6,
100 lb mol: 25% etanol, 75% agua.
Vapor que sale:
100 lb mol: 30% etanol, 70% agua.
Líquido que entra:
80 lb mol: 20% etanol, 80% agua.
Temperatura = 90 o C para todas las corrientes.
Presión
= 1 atm para todas las corrientes.
Xb = 0.1,
Xc
= 0.30
Vn + 1 : Va = 0.75, Vb = 0.05, Ve = 0.20
Ln- 1: Xa = 0.50, Xb'= 0.15, X c = 0.35
Vn : Va = 0.68, Vb = 0.10, Ve = 0.22
(b) Una etapa en una cascada de extracción líquida
Para
Ln -1: Xa = 0.6,
Xb = 0.4;
Ln -1 = 1000 Ib/h
Vn + 1 : Ve = 1.0; Vn + 1 = 2000 lb
(c) Una etapa de destilación para etanol yagua
Vapor que entra:
Variables en una cascada de etapas de equilibrio
En muchos casos de extracción líquid~, lixiviación yabsorción de gases, se utiliza una cascada simple·a contracorriente de etapas de equilibrio, sin reflujo (Fig. 8-2).
En la destilación, las secciones de enriquecimiento y
agotamiento pueden considerarse como cascadas a contracorriente separadas, unidas en la etapa de alimentación.
Cada etapa de equilibrio de la cascada que se muestra en la Fig. 8-2, está asociada con 2C + 6 variables
independientes que deben especificarse, como se muestra en la sección previa. Entonces, las N etapas de la
cascada incluyen N(2C + 6) variables independientes.
Además, el número de etapas N es una variable independiente. Por tanto, el número total de variables independientes es N(2C + 6) + 1.
Además de las r~stricciones de cada etapa que se
dan en la sección anterior, al conectar las etapas en serie aparecen varias $stricciones nuevas. Las concentraciones de las dos corrientes que salen de una etapa, son
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OPERACIONES POR ETAPAS CON MULTICOMPONENTES
Pn
LN
XN
hNo TN
PN
~
ql
q2
qn
qN
qN-l
137
Fig. 8-2 Variables en una cascada a contracorriente de etapas de equilibrio.
tas mismas que tienen las corrientes que entran a las
etapas adyacentes. Por ejemplo, L1 tiene la misma composición cuando sale de la etapa 1, que cuando entra a
la etapa 2. Cada corriente que fluye entre las etapas
C t 2 variables independientes asociadas con ella (como
se muestra en la sección anterior). Hay 2(N-1) corrientes que fluyen entre las N etapas, de tal forma que se
imponen a la cascada 2(N-1)( C+2) restricciones. Al restar estas restricciones del número de variables independientes, corrigen efectivamente el conteo inicial de
variables independientes de las corrientes que fluyen
entre las etapas, el cual se duplica: se cuenta una vez al
salir de una etapa y otra vez al entrar a otra. La Tabla 8-2
resume el estudio previo y muestra la evaluación del número de variables independientes que debe fijarse para
definir el sistema.
La elección de las 2C + 2N + 5 variables que deben
fijarse es arbitraria, pero por lo general se especifican
ciertas variables por consideraciones de diseño de equipo. Por ejemplo, a menudo se fijan la presión y el calor
que se adiciona en cada etapa, resultando dos variables
fijas por etapa, para un total de 2N en la cascada. Si
también se especifican la temperatura (o entalpíal, presión, composiciones y velocidades de flujo de las dos
corrientes de alimentación, se fijan 2(C + 2) variables
adicionales. Restando estos dos grupos de variables fijas del total que deben especificarse (Tabla 8-2),
2C + 2N + 5 - 2N - 2(C + 2) = 1
Tabla 8-2 Variables y restricciones en una cascada simple a
contracorriente.
Variables independientes
1 Variables que van a fijarse para N etapas
N(2e
(2e + 6 por cada etapa)
2 Número total de etapas (una sola variable)
- Restricciones
1 Restricción adicional debido al flujo
entre etapas
-2(N - 1)(
[(e + 2) restricciones para cada una de las
2(N - 1) corrientes que fluyen entre
las etapas]
+ 6)
1
e + 2)
N(2e+6)+1-2(N-1)(e+2)
Ejemplo 8-2 Una columna de absorción equivalente
a 10 etapas de equilibrio va a utilizarse para separar una
mezcla que contiene 20% en mol de propano, empleando un hidrocarburo líquido no volátil como absorbente;
la concentración del etano en el gas que sale será
de 80% en mol. La temperatura en cada etapa será de
60°F y L y VN + 1 están a dicha temperatura. ¿Existen
suficientes datos para definir al sistema?
Solución La figura que se encuentra más adelante
muestra los datos que se dan, designando al metano como a; etano b; propano e; hidrocarburo líquido d. El número total de variables independientes especificadas es
21 (8 composiciones, 12 temperaturas y número de etapas). Para fijar el sistema, deben especificarse 2C + 2N
+ 5 = 2(4) + 2(10) + 5 = 33 variables, de tal forma
que los datos que se dan son insuficientes para definir el
sistema. No es posible calcular los datos restantes a partir de los que se suministran. Deben establecerse 12 variables más. Por ejemplo, la presión en cada etapa, así
como las de 4 y VN+1 serían suficientes para definir por
completo el sistema y permitir la evaluación de las velo-
V1
VN+1
Ya = 0.8
Ya = 0.2
Yb =
?
Yb = 0.3
Ye =
?
Ye = 0.5
Yd = O
el sistema
zc- 2N+ 5
quedando una variable por especificar. Esta sería típicamente el número etapas, la recuperación que se desea
Yd = O
I
10
~ etapas
Lo
= Variables independientes que deben fijarse
para definir completamente
tener del producto o la concentración que se desea del
producto en LN o 1Ií.
Se puede caer en la tentación de incluir los balances
globales de masa y energía alrededor de la cascada
como restricciones adicionales. Sin embargo, se encuentran ya incluidos en las restricciones un balance de
masa y uno de entalpía para cada una de las N etapas, y
el balance global no es independiente ya que resulta de
la suma de los N balances para las etapas individuales.
1-
~
LN
Xa
=O
Xa =
Xb
=O
Xb =
?
Xe
=O
Xe =
?
Xd
= 1.0
Xd=
?
?
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138
PRINCIPIOS DE OPERACIONES UNITARIAS
cidades de flujo, composiciones y transferencia de calor
en cada etapa, que se encuentran sin especificar, suponiendo, desde luego, que se tienen disponibles datos
sobre el equilibrio de fases y la entalpía para el sistema
que contiene metano, etano, propano, aceite hidrocarburo, a la temperatura y presión que se especifican.
Variables en una cascada a contracorriente con reflujo
La adición de reflujo en ambos extremos y la alimentación a la mitad de una cascada, añade a la definición del
sistema tanto variables independientes como restricciones. El sistema se muestra en la Fig. 6-2. El siguiente
análisis se aplicaría típicamente para una destilación y
por ello se escribirá en esos términos, con base en la columna que se muestra en la Fig. 8-3. La columna puede
dividirse para propósitos de análisis en una cascada a
contracorriente con N etapas en la sección de enriquecimiento, una de M etapas en la sección de agotamiento,
una etapa de alimentación, un condensador total y un
rehervidor parcial.
La sección de enriquecimiento es una cascada simple
a contracorriente y en consecuencia tiene 2N + 2C + 5
variables independientes por fijarse, como se indica en
la sección anterior. De manera semajante, la sección de
agotamiento tiene 2M + 2C + 5 variables independientes por especificarse.
Debe analizarse la etapa de alimentación para determinar el número de variables independientes que debe
especificarse. Difiere de una etapa de equilibrio debido a
que tiene una corriente adicional que fluye hacia ella. La
etapa de alimentación puede concebirse como una etapa consistente de un mezclador (donde se mezclan F y
LF - 1 ) Y una etapa de equilibrio, según se indica en la Fig.
8-4. El análisis del mezclador muestra que hay tres
corrientes de una sóla fase que fluyen hacia y desde él,
para un total de 3( C + 2) variables, pudiendo existir
transferencia de calor para dar una variable adicional.
Las restricciones incluyen C balances de masa y un balance de entalpía, por lo que el número de variables independientes que debe fijarse es
3( C + 2) + 1 - (C + 1) ;:: 2C + 6
La etapa ~e equilibrio también tiene 2C + 6 variables independientes especificables. Hay una corriente que fluye del mezclador a la etapa, por lo que deben restarse C
+ 2 variables (puesto que se contaron dos veces, como
se trató con anterioridad). El número neto de variables
independientes que debe especificarse para definir la
etapa de alimentación es
(2C + 6) + (2C + 6) - (C + 2) = 3C + 10
El condensador total tiene una corriente que fluye hacia adentro y otra que fluye hacia afuera para un total de
2(C + 2) variables. También hay una corriente de adición de calor qc , que en este caso tiene un valor numérico negativo. Las restricciones incluyen C balances de
masa, un balance de entalpía y una restricción adicional
debido al calor neto que se elmina, el cual consiste no
solamente de una fuga de calor a través del aislamiento
del condensador, sino que incluye el calor latente de vaporización del vapor que se condensa •.-EI número de variables independientes que se puede especificar es
2(C + 2) + 1 - (C + 2) = C + 3
Sección de enriquecimiento
N-etapas
Etapa de
alimentación
De inmediato después del condensador está el separador de reflujo-destilado, donde entra una corriente y
salen dos, para un total de 3( C + 2) variables. No hay
intercambio de calor. Las restricciones son C balances
de masa y un balance de entalpía. Aparecen restricciones adicionales, debido a que las composiciones,
presiones y temperaturas de las dos corrientes del
producto son idénticas. Esto añade C + 1 restricciones.
Vm=l
Sección de agotamiento
M-etapas
F
Etapa de
equilibrio
TE
Fig. 8-3 Variables en una columna de destilación con un condensador total y un rehervidor parcial.
PE
Fig. 8-4 Variables en la etapa de alimentación.
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OPERACIONES POR ETAPAS CON MULTICOMPONENTES
Aparece una restricción final debido a que la presión del
sistema es igual a la presión de la alimentación. El número de variables independientes que puede especificarse es
3(C + 2) - C - 1 - (C + 1) - 1 = e + 3
El condensador total y el separador pueden combinarse para dar un "condensador total con reflujo".
Debido a que hay una corriente que fluye entre el condensador y el separador, el número de variables independientes especificables es
(C + 3) + (C + 3) - (C + 2) = C + 4
En el rehervidor parcial, entra una corriente de una
sola fase con e + 2 variables y las dos corrientes que
salen contribuyen a un total de
+ 2 variables, debido
a que se encuentran en equilibrio. Aparece una variable
adicional con la adición de calor (qs). Las restricciones
son e balances de masa y un balance de entalpía.
El número resultante de variables independientes especificables es
e
(C + 2) + (C + 2) + 1 - (C + 1) = C + 4
El resultado de este análisis para las diferentes unidades de una columna de destilación se da en la Tabla 8-3.
Es necesario ahora combinar las variables especifica bies
para todas las partes de la columna y restar las restricciones adicionales debidas a las corrientes que fluyen
entre las distintas unidades. Existen ocho de estas corrientes (Lo, \1" = l ' LN , VF , LF , Vm = 1, 4t y ~), considerando al condensador-separador como una unidad.
Entonces, hay 8( e + 2) restricciones adicionales. El
número total de variables independientes especificables
es 2(M + N) + e + 12, como se muestra en la Tabla
8-3. La selección de variables para especificar se efectúa
en función del diseño del equipo y de la información de
proceso, como se indica en el siguiente ejemplo.
Ejemplo 8-3 Van a separarse 100 lb mol/h de una
mezcla líquida que contiene 30% en mol de benceno,
Tabla 8-3 Variables y restricciones para una columna de destilación.
Variables independientes:
1 Sección de enriquecimiento
2 Sección de agotamiento
3 Etapa de alimentación
4 Condensador con reflujo
5 Rehervidor parcial
- Restricciones (adicional):
1 Ocho corrientes intermedias
2N + 2C + 5
2M + 2C + 5
3C + 10
C+4
C+4
-8(C + 2)
= Variables independientes que deben especificarse
para definir completamente el sistema
= 2(M + N) + C + 12
139
50% en mol de tolueno y 20% en mol de o-xileno, a una
atmósfera de presión y 70 o F, en una columna de destilación aislada existente, equivalente a 20 etapas de equilibrio. La columna cuenta con un condensador parcial.
Se desea producir un destilado con una composición de
95% en mol de benceno. La columna opera a 1 atm.
¿ Qué variables pueden ajustarse para alcanzar esta
composición del destilado?
Solución Antes de seleccionar las variables que van
a ajustarse, es necesario determinar la cantidad de variables independientes que se deben especificar para definir el sistema. A partir de los datos, M + N = 20 - 1
= 19 y
= 3, de modo que la Tabla 8-3, 2(19) + 3 +
12 == 53 variables que deben establecerse. Algunas variables se ecuentran ya fijas:
1. La columna con aislamiento fija 21 q a un valor de
O (q de las 20 etapas más el mezclador de la etapa de alimentación, Fig. 8-4).
2. La presión de 20 etapas más el mezclador de alimentación, rehervidor y condensador igual a 1 atm, fijan 23 variables.
3. La velocidad de flujo, composición, temperatura y
presión de la alimentación en una sola fase fijan cinco
variables.
4. El número de etapas (N = 20) establece una variable. El total, quedan fijas cincuenta variables, por lo
que faltan de especificar tres variables.
e
Por lo general, se selecciona el porcentaje de recuperación de benceno junto con la fracción mol de benceno
en el destilado. Estas dos variables fijan efectivamente
D, así como By ><ab de acuerdo con el balance global de
masa. El plato de alimentación se localiza normalmente
de tal forma que el líquido que se encuentra en el plato
tenga aproximadamente la misma composición que la
alimentación, lo que fija una variable adicional. Ahora,
se encuentran fijas suficientes variables para calcular las
restantes (como carga térmica del condensador, relación de reflujo, etc.).
La experiencia en el diseño de las columnas de destilación de multicomponentes muestra que hay más limitaciones al especificar variables que' las que se
estudiaron en esta sección. Esta consideró únicamente
limitaciones impuestas por el equilibrio de fases, los balances de masa y los balances de energía. En el diseño
de equipo, las consideraciones prácticas tales como la
temperatura y disponibilidad económica de agua de enfriamiento y vapor de agua, capacidad de las bombas de
reflujo y tamaños de columnas existentes limitan aún
más la elección de valores para las variables.
ABSORCION DE MULTICOMPONENTES
Un ejemplo de una operación de multicomponentes en
etapas con reflujo es la absorción de gases, que se considera en esta sección. Como se mencionó en los primeros capítulos, la absorción de gases involucra la transferencia de componentes de una fase gaseosa a una fa-
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140 PRINCIPIOS DE OPERACIONES UNITARIAS
se líquida. Por lo general, el absorbente líquido no se
evapora, así que (a diferencia de la destilación) la absorción involucra la transferencia en la interfase en una sola
dirección . No obstante, en algunos casos el absorbente
líquido es ligeramente volátil y esto debe tomarse en
consideración. La desabsorción de gases o agotamiento
es la operación opuesta a la absorción. En el agotamiento, los componentes de la fase líquida se transfieren a
una fase gaseosa. Se "agotan" en el líquido. En el agotamiento, el componente principal de la fase gaseosa
suele ser, insoluble en el líquido. Tanto la absorción
como el agotamiento se utilizan bastante para separar
mezclas de hidrocarburos en la industria petrolera. Se
aplican los mismos conceptos teóricos en ambos casos.
Los métodos de cálculo para una absorción de multicomponentes son prácticamente los mismos que se
cubrieron en los Caps . 5 y 7. Un método riguroso involucraría balances de masa y entalpía de etapa por etapa,
así como la aplicación del equilibrio de fases para determinar el número de etapas que se necesitan para una
separación específica. Un cálculo de este tipo requiere
de datos completos de entalpía y equilibrio de fases para
la mezcla de multicomponentes. Con frecuencia, estos
datos no existen disponibles. Por fortuna, en muchos
sistemas es posible hacer algunas suposiciones simplificativas. Si los calores de disolución y otros efectos
caloríficos son despreciables, la temperatura a lo largo
de la columna de absorción permanece constante, y lo
mismo sucede con las relaciones de equilibrio. La presión también es aproximadamente constante. Como
resultado, pueden emplearse métodos similares a los del
Cap. 7.
Si los calores de disolución no son insignificantes, en
ocasiones se instalan en cada etapa serpentines de en friamiento, para eliminar el exceso de calor y mantener
la columna a temperatura constante; en este caso, también es posible emplear métodos simplificados de cálculo. En los casos en los que los cambios de temperatura
de etapa por etapa son significativos, deben usarse balances rigurosos de masa y entalpía.
En la Tabla 8-2 se muestra que deben especificarse
2C y 2N + 5 variables independientes para definir un
sistema de absorción. Suponiendo que se mantiene una
presión constante y ya sea que no se elimina calor (para
el caso en el que los efectos caloríficos pueden despreciarse) o bien existe un valor específico constante de eliminación de calor en cada etapa (cuando los efectos
caloríficos son importantes y se mantiene la temperatu ra constante), quedan dos variables independientes por
etapa, para un total de 2N. Además, las composiciones,
presiones, temperaturas y velocidades de flujo del gas
que entra y del absorbente que se alimenta, fijan 2C + 4
variables adicionales. Solamente resta una variable
independiente. Por lo general se especifica la recuperación para el diseño de una nueva columna, de tal manera que pueda calcularse el número de etapas. De
manera alternativa, el número de etapas en una columna existente es fijo y es posible calcular la recuperación.
Es interesante notar que si se especifican las composiciones completas de las dos corrientes entrantes, el
número de variables independientes remanente (2N +
7) no depende del número de componentes del sistema.
Más adelante se consideran métodos de cálculos tanto gráficos como analíticos. Primero, los métodos gráficos se presentan para demostrar los principios; después
se ilustran los métodos analíticos que son particularmente útiles para el cálculo con computadoras digitales.
Métodos gráficos (12)
Los procedimientos para la absorción de multicomponentes son idénticos a los que se presentan para mezclas binarias al inicio del Cap. 7. En vez de tener una sola
curva de equilibrio y una línea de operación, hay ahora
una curva de equilibrio y una línea de operación para cada componente que se absorbe del gas. Para un gaS Y
líquido diluidos, las velocidades de flujo de L y V serán
aproximadamente constantes a través de la columna y
los cálculos pueden basarse en una gráfica que utilice
fracciones mol, empleando las Ecs. 3-6 y 7-3a. Aquí se
define un gas "diluido" como consistente, básicamente
en un componente que no se absorbe. Un líquido diluido contiene el absorbente no volátil de forma primordial.
Para fases líquidas o gaseosas concentradas, deben
emplearse el diagrama con relaciones molares y la Ec.
7-3b, junto con las relaciones de equilibrio en unidades
de relaciones molares. Este método da lugar a líneas
de operación rectas, pero la curva de equilibrio debe
ubicarse por prueba y error.
Gas y líquido diluidos
A presiones moderadas, el equilibrio vapor-líquido de
muchos hidrocarburos puede expresarse mediante la ley
de Raoult (Ec. 3-5). A presiones mayores, incluso los
hidrocarburos sufren desviaciones con respecto a la
idealidad que requiere la ley de Raoult, por lo que deben
emplearse relaciones empíricas como la Ec. 3-6, junto
con valores experimentales de K, como los del Apéndice D-2.
Para fines de ilustración, considere un gas con cuatro
componentes de los cuales tres se absorben (a, b, e) y
uno no se absorbe (g), que se pondrá en contacto con
un líquido absorbente no volátil (1) en una cascada a
contracorriente (Fig. 8-2). Se supone que los efectos
caloríficos son despreciables y que se conocen las velocidades de flujo y composiciones de las corrientes que
se alimentan. Entonces, se especifican todas menos
una de las variables independientes. Se considerarán
dos casos: recuperación específica aquí y etapas fijas
después.
Ya que únicamente puede fijarse una variable independiente, sólo puede fijarse la recuperación de un
componente. Es posible calcular la recuperación de los
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OPERACIONES POR ETAPAS CON MULTICOMPONENTES
otros. En este caso, se especificará la recuperación de
b. La recuperación fraccionaria de cualquier componente en una absorción es
R = VVN+1 - VV1 = VN+1 - V1
VVN+1
(8-6)
VN+1
Puesto que se conoce L, V Y Yn+1 .b, al especificar Rb
también se especifica Ylb' La línea de operación para el
componente b puede graficarse al igual que su curva de
equilibrio (Fig. 8-5). La curva de equilibrio es una línea
recta al .usar la ley de Raoult o valores de K. La línea de
operación se localiza con el punto (Xo , Y1 ) Y la pendiente
LI V. La línea de operación corre desde (Xo, Y1) hasta
(XN, YN+1)' Debido a que se conoce YN+1 .b, puede ubicarse el punto terminal de la línea de operación. Ahora,
puede determinarse el número de etapas que se requiere para la recuperación específica, trazando etapas a
partir de cualquier extremo, tal como se indica; se requieren seis etapas.
La recuperación de los componentes a y e puede determinarse mediante el siguiente procedimiento. Se
tienen disponibles exactamente las mismas etapas para
la recuperación de a y e, que las que se requirieron para
la recuperación específica de b . Las líneas de operación
para a y e deben tener la misma pendiente (L I VI que se
6
Yb
Pendiente = L/V
Xb
(a)
141
empleó para b. Además, se conocen Xo y YN + 1 para a y
c . Esta informac'ión es suficiente para localizar las dos
líneas de operación. Por ejemplo, se grafica la curva de
equilibrio para a (Fig. 8-5) Y se insertan líneas en Xoa Y
YN+1.a' A continuación, se trazan varias líneas con pendiente LI V hasta encontrar una que requiera exactamente el mismo número de etapas que la recuperación
de b (Fig. 8-5). Entonces, esta línea fija Y1 y x., , de tal
forma puede determinarse la recuperación de a a partir
de la Ec. 8-6. Se utiliza un procedimiento similar para el
componente c. Para mayor claridad, se separaron las
Figs. 8-5a y 8-5b. Por lo regular, se grafican todas las
curvas de equilibrio y líneas de operación en una sola figura, tal como se muestra en el siguiente ejemplo.
Como en el Cap . 7, puede determinarse una relación
LI V mínima que requiera de un número infinito de etapas para una recuperación específica de los otros componentes .
Ejemplo 8-4 Se van a eliminar metano y etano de un
gas que contiene 80% de ~ 15% de metano y 59 de
etano (en volumen) mediante una absorción en un
aceite pesado, en una columna que opera a 215 Ib/plg2
abs y 80 o F. La relación molar de absorbente a gas en la
entrada es 10 a 1. El absorbente que entra no contiene
metano o etano. Determine el número de etapas de
equilibrio que se requiere para una recuperación de metano del 80%. ¿ Cuál es la recuperación del etano?
Solución Un gas que contiene 20% de componentes que se absorben puede no ser lo suficientemente
"diluido" como para utilizar una gráfica en fracciones
mol. Esto se verificará más adelante. Los datos que se
dan son LI V = 10.0, YN+1.a = 0.15, YN+1 b = 0.05, YN+1. g
= 0.80, X01 = 1.0, donde a = metano, b = etano, g
= hidrógeno, 1 = hidrocarburo líquido . El hidrógeno
no se absorbe en forma apreciable en estas condiciones; los datos de equilibrio se obtienen del Apéndice
D-2. A 2151b/plg2 abs y 80 °F, K. = 11.5, Kb = 2.7. Se
grafican estas dos curvas (Fig. 8-6). El intervalo de.x;, y
Ya para la Fig. 8-6 se determina con los valores extremos
(x." YN+1)' En este caso, sólo se conoce YN+1' por lo que
la curva de equilibrio se grafica hasta este punto de la
Ec. 8-6, para el metano
80 = 100 O. 15 - V1a
0.15
Xa
(b)
Fig. 8-5 Absorción de multicomponentes con gases y líquidos
diluidos. (a) Componente b especificado. (b) Componente a
sin especificar.
Entonces,
La línea de operación para el metano puede graficarse a partir de (Xo, YI) = (0.0, 0.030) y L/V = 10.0. La
línea de operación termina cuando interseca a YN+1 .a =
0.15. Se requieren alrededor de 6.5 etapas para la recuperación de metano que se necesita.
La línea de operación para el etano es paralela a la del
metano y se localiza de tal forma que se ajusten exactamente 6.5 etapas entre YN+1 .b = 0.05 Y XOb = O. Con objeto de permitir 6.5 etapas, la línea de operación se aproxima al origen, así que Y1 b -+ O. El trazo de las etapas
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142 PRINCIPIOS DE OPERACIONES UNITARIAS
mo para suponer un valor constante de L. V varía desde
VN +1 = 10 hasta V¡ = 10 -1.2 -0.5 = 8.3. Esta variación del 17% puede ser muy grande como para justificar la suposición de V constante. Esto se verificará en el
Ej. 8-5.
El agotamiento puede analizarse mediante las mismas técnicas que la absorción. La línea de operación se
define en la misma forma. Pero ahora, Y N+l ,a es menor
que Yla Y JcOa es menor que XNa , mientras que la línea de
operación queda por debajo de la línea de equilibrio, como se muestra en la Fig. 8-7. El componente b es el
componente clave y se requieren 10 etapas. Debido a
que el componente a es más volátil (como lo indica el
valor grande K), la recuperación del componente a está
limitada-por la tendencia al equilibrio entre Yl a Y JcOa • Por
otro lado, Ylc ,: O, debido a que el componente e es menos volátil que el componente b .
0.18
0.16
0.14
Pen- = L/V
diente
0.12
0.10
0.08
0.06
YN+l. b = 0.05
Gases o líquidos concentrados (12)
Fig. 8-6
Solución al Ej . 8-4.
muestra escasamente tres de ellas discernibles debido a
que se alcanza un punto de infinitud cuando Yl b -+ O.
Dentro de la precisión gráfica, Ylb = O Y la recupt:ración
del etano es del 100%. Se esperaba este resultado en
virtud de que el etano es menos volátil que el metano.
Para determinar si L es constante, se calcula LN . Para
100 lb mol de '-o, VN +1 = 10 Y el metano en LN es
(0.8)(0 .15)(10) = 1.2; el etano es 0.5, así que LN = 100
+ 1.2 + 0.5 = 101 .7. Por tanto, el flujo del líquido se
incrementa en 1.7% desde el domo hasta el fondo de la
columna. Esta cantidad es suficientemente pequeña co-
y
Si la fase gaseosa o líquida contienen cantidades apreciables de componentes absorbibles, L y/o V no son
constantes, por lo que el uso de la Ec. 7-3a conduce a
líneas de operación curvas. Por ello, se emplean unidades de relaciones molares con la Ec. 7-3b, pero esto
conduce a líneas de equilibrio curvas que son funciones
de la composición en ambas fases . La resolución gráfica
de estos problemas es por prueba y error. Los símbolos
de la Ec. 7-3b se definen nuevamente:
L'
y n + 1 = V' X n +
V'Y1 - L'Xo
V'
(7-3b)
donde ahora
L' = Libras mol de líquido absorbente no volátil
que se alimenta
V' = Libras mol de gas total que se alimenta =
VN+1
y = Libras mol de cualquier componente por
libra mol de V'
X = Libras mol de cualquier componente (excepto el absorbente) por libra mol de L'
La relación de equilibrio
y¡ = K¡x¡
Yc = K cx c
donde í es cualquier componente que se absorbe, debe
convertirse a estas nuevas unidades de relaciones molares. Para 1 lb mol de absorbente, hay ~x, lb mol de
otros componentes disueltos en él, para un total de
(1 + ~X,) lb mol. Entonces, la fracción mol en cualquier
punto de la columna es
X¡
x. = _ - . . C - _
x
Fig. 8-7 Agotamiento de multicomponentes con gases y líquidos diluidos.
(8-7)
,
1 + 'f,X¡
(8-8)
Para VN +1 lb mol de gas total que entra, hay ~y, lb
mol totales de gas en cualquier punto de la columna.
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OPERACIONES POR ETAPAS CON MULTICOMPONENTES
Entonces,
Ejemplo 8-5 Repetir la resolución del Ej. 8-4 empleando coordenadas de relaciones molares.
Y¡
Yi = LY'
(8-9)
I
Combinando las tres últimas ecuaciones se obtiene
Y¡
LY¡
=
KX¡
(8-10)
1 + LX¡
La Ec. 8-10 puede emplearse para calcular la curva de
equilibrio con coordenadas de relaciones molares. Sin
embargo, IX y IY. dependen de las velocidades de flujo de las fases, así como de las relaciones básicas de
equilibrio. Como resultado, Yi no puede evaluarse directamente a partir de X, sino que debe determinarse por
prueba y error.
Como primer paso, se localiza una curva de equilibrio
aproximada, utilizando la pendiente en el origen y un
punto de alta concentración en el fondo de la columna
(XN, YN). En el origen (Xi = O, Y i = 0), IXi = OyIYi = O,
de manera que la Ec. 8-10 se transforma en
Y¡ = KX¡
(8-11 )
Esto muestra que la pendiente inicial de la curva de
equilibrio es K (Fig. 8-8). Para determinar el punto (XNi ,
YNi ), es necesario estimar Yoi' Si se da la recuperación
de un COmponente, puede estimarse un valor aproximado de Yoi para todos los componentes. Si no se cuenta
con la recuperación, la suposición de que se absorbe la
mitad de todos los componentes absorbibles es un buen
punto inicial de prueba. Un ingeniero con experiencia
puede hacer buenas estimaciones. Una vez que se estima YNi , se grafica el punto X Ni , YNi Y se traza una curva
continua entre la pendiente en el origen yel punto (Fig.
8-8). El proceso se repite para cada componente que se
absorbe. A continuación, se localizan las líneas de operación y se determina el número de etapas o la recuperación. Se comprueban los valores supuestos de Yoi y si
es necesario se trazan nuevas curvas. Para una mayor
precisión, pueden determinarse varios puntos en la curva de equilibrio para el componente que se especifica,
empleando los resultado de la primera prueba, pudiendo
entonces repetir el cálculo de la etapa.
Yi
143
Solución En el origen, la pendiente de la curva de
equilibrio para el metano, es de 11.5 (por la Ec. 8-11). La
recuperación de metano es del 80% y se estima que la recuperación del etano es del 100%, ya que es más volátil
que el metano. Como resultado, IXNi en el fondo de la
columna es
. = (0.80)(0.15) V' + 0.05V' = O 017
LXN ,
10V'
.
Asimismo, YN +1.a = 0.15 Y YN +1 = 1.0. Entonces, por la
Ec. 8-10,
=[ Ya J[1 +LX¡J= (0.15)(1.017)
Xa
LY¡
(1.0)(11 .5)
K
= 0.01327
La curva de equilibrio se grafica con una pendientec
inicial igual a 11.5, a través del punto (0.01327, 0.15)
(véase la Fig. 8-9). En forma similar, la curva del etano
se localiza por medio de la pendiente inicial de 2.7 Y el
punto (Yn+1.b = 0.05, XNb = [(0.05) (1.017)]/[(1.0) (2.7)]
= 0.0189). Ambas curvas de equilibrio son aproximadamente rectas, por lo que no será necesario reevaluarlas
posteriormente. Debido a que L/V = 10/1, L' /V =
10/(0.8) (1) = 12.5.Con esta pendiente y el punto [)«¡a
= O, y"a = (0.2) (0.15) = 0.03]. sólo se requieren 3.4
etapas, en contraste con las 6.5 etapas que se calcularon en el Ej. 8-4. La diferencia se debe al error que involucra el suponer que L y V son constantes en el ejemplo
anterior. Esto conduce a un valor incorrecto de Y¡a y a
una pendiente incorrecta para la línea de operación.
Pendiente
en el
origen = K
curva de
equilibrio
aproximada
Linea de equilibrio
para b
Xi
Fig. 8-8 Determinación aproximada de la curva de equilibrio
con coordenadas de relaciones molares.
0.010
X
Fig. 8-9 Solución al Ej. 8-5.
0.015
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144 PRINCIPIOS DE OPERACIONES UNITARIAS
Para el etano, 3.4 etapas dan una recuperación casi
completa:
0.030, Xo = O, A = 10/11.5 = 0.87, de manera que
log [(
0 05
. o
Rb -- 100 . - 0.0005 =
9916
N=
0.05
Siempre que puedan aplicarse, los métodos analíticos
son preferibles a los métodos gráficos, debido a que son
más rápidos y precisos. Los métodos analíticos pueden
involucrar una sola ecuación que relaciona el número de
etapas con los parámetros del sistema, o bien pueden
basarse en el cálculo de etapa por etapa con una computadora digital, empleando métodos paralelos a los
procedimientos gráficos de la sección precedente.
Con gases y líquidos diluidos, el método gráfico para
los componentes clave descrito en la. sección previa, es
equivalente a la ecuación
2]
lag [(~)(YN+l - KXO) +
A
Yl - Kxo
A
lag A
(7-47)
que se derivó en el Cap. 7. El factor de absorción A =
L/KV, debe ser constante para la Ec. 7-47 sea aplicable,
por lo que se limita su valor a gases y líquidos diluidos
en donde L, Vy K son esencialmente constantes. La Ec.
7-47 es útil para calcular el número de etapas que se requiere para una recuperación específica.
Si se especifica el número de etapas, puede determinarse Yl y en consecuencia la recuperación a partir de
YN+l - Yl
YN+l -Kxo
AN+l -A
A N +l_1
(7-46)
También puede emplearse la Ec. 7-46 para calcular el
valor de L que se requiere para una cierta recuperación y
número de etapas.
La expresión equivalente para el agotamiento es
XO-XN
lag 0.87
= 6.56
La recuperación de etano se determina mediante la Ec.
7-46. Para el etano: YN+ 1 = 0.05, Xo = O, Kb = 2.7, L/V
10, entonces A = 10/2.7 = 3.7
Métodos analíticos
N=
0.87 - 1 )( 0.15 - O )
1]
0.87
0.030 - O + 0.87
_SN+l_S
Xo - YN+l /K- SN+l -K
(8-12)
donde S = l/A = KVIL, de modo que la Ec. 8-12 es
idéntica a la Ec. 7-48. El número de etapas de agotamiento se da por medio de
0.05 - Yl (3.7)7.56 - 3.7
0.05 = (3.7)7.56 -1
=1.0
Resolviendo se obtiene
Yl =0.0
y
Como se esperaba, estos resultados concuerdan con los
del Ej. 8-4, pero son erróneos debido a que suponen que
L y V permanecen constantes (véase el Ej. 8-5) .
Las ecuaciones analíticas pueden modificarse para
tomar en consideración en forma razonable, las variaciones de L y V, definiendo los factores de absorción
y agotamiento para el extremo de alta concentración y
empleando un valor de K a la temperatura promedio del
líquido.
, L'(1 + ¿XN )
A = -----'--'KV'¿YN+l
L' = Lo, y
L'(1 + ¿XN ) = LN
V= VN + 1
y
(8-14)
YN + 1 = 1.0
De manera semejante
s' =
KV'Y 1
L'(1 + X o )
(8-15)
Las Ecs. 7-46 y 7-47 pueden convertirse a unidades de
relaciones molares, mediante la sustitución apropiada
de A' por A, Yl por Yl' etc.; las Ecs. 8-12 y 8-13 pueden
escribirse en forma similar utilizando S', X, etc. Las
ecuaciones resultantes son sólo aproximadas.
Ejemplo 8-7 Resolver analíticamente el Ej. 8-5.
Solución Del Ej. 8-5, suponiendo una recuperación
del 100% para el etano,
XN=0.017,
L'/V'=12.5,
K a =11.5,
K b =2.7
Para la Ec. 8-4, con ¿YN+l = 1.0,
Ejemplo 8-6 Resolver analíticamente el Ej. 8-4.
Solución Para determinar el número de etapas que
se requiere para una recuperación de metano del 80%,
se utiliza la Ec. 7-47. Para el metano: YN+l = 0.15, Yt =
A' = 12.5 (1 + 0.017) = 1.105
11.5
Con la Ec. 7-47 modificada para relaciones molares:
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OPERACIONES POR ETAPAS CON MULTICOMPONENTES
Para a:
145
Y 1 b = 0.00035
binaria. El diseño o análisis de una torre de destilación de multicomponentes utiliza relaciones de equilibrio y balances de masa y entalpía. Con frecuencia, se
hace la suposición de que los flujos molares son constantes, por lo que pueden omitirse los balances de entalpía. Esta suposición es suficientemente correcta para un
gran número de aplicaciones de destilación de petróleo,
pero en algunas otras situaciones no es justificable. En
la Fig. 8-10 se muestra un sistema de destilación de
petróleo crudo.
En una destileción binaria, la especificación de la
presión y la concentración de un componente en una de
la fases es suficiente para definir el equilibrio de fases,
debido a que
y la recuperación es igual al 99.3%. Estos resultados
F=C+2-P=2+2-2=2
N=
1-1.105)(0.15-0)
1 ]
log [( 1.105
0.03 - O + 1.105
log 1.105
= 3.2
Para b, por medio de la Ec. 7-46 modificada:
A' = 12~~5 (1.017) = 4.66
0.05 - Yl (4.66)4 .2 - 4.66
0.05 = (4.66)4.2 _ 1 = 0.993
concuerdan con los del Ej. 8-5.
DESTILACION DE MULTICOMPONENTES
La destilación de multicomponentes se basa en los mismos principios de equilibrio de fases que la destilación
Esta situación se complica para el caso de una destilación de multicomponentes, en donde F = e, de tal forma que deben fijarse e variables para definir el sistema
de equilibrio. La concentración del vapor en equilibrio
de un componente depende no sólo de su concentración en el líquido y la presión, sino también de la concentración de los demás componentes presentes en el
Fig.8-10 Batería para destilación de petróleo crudo. La mezcla de multicomponentes de petróleo crudo
se separa en diversas corrientes de productos como una primera etapa en la refinación de petróleo. El horno que se muestra a la izquierda evapora parcialmente el petróleo crudo y lo alimenta a la columna más alta, que opera a presión atmosférica. La columna pequefta de gran diámetro que se encuentra a su izquierda, opera al vacío, para procesar los fondos de baja volatilidad que salen de la columna atmosférica. La
columna que se encuentra a la derecha de la columna atmosférica, separa los componentes más volátiles de
la gasolina, que salen del domo de la columna atmosférica. La estructura inferior del lado derecho sirve de
soporte para cambiadores de calor, condensadores enfriados con aire y otros equipos auxiliares. (Foster
Wheeler Energy Co.)
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146 PRINCIPIOS DE OPERACIONES UNITARIAS
líquido. Como resultado, es necesario contar con datos
sobre las relaciones de equilibrio para un componente y
el efecto que sobre él tiene la variación de la composición de los demás componentes. Ya que esto podría requerir una gran cantidad de datos, siempre que es posible se hacen suposiciones simplificativas. Cuando los
componentes tienen una estructura química similar (como en los hidrocarburos del petróleo), es posible suponer relaciones de las leyes de Raoult o de Henry. Esta
suposición relaciona la composición del vapor para un
componente específico con su concentración en el
líquido, mediante una constante que no depende de la
variedad o cantidad de los otros componentes presentes. En muchos sistemas, no es válida la suposición de
la ley de Raoult o de Henry (véase el Cap. 3). Por
ejemplo, el objeto de la destilación azeotrópica y de la
extractiva. es adicionar un componente que afectará los
equilibrios vapor-líquido de los otros componentes.
Variables independientes
De las 2(M + NI + C + 12 variables que deben establecerse para definir una columna de destilación, por lo general se fijatl las siguientes:
Etapa de alimentación (presión y
adición de calor, tanto en el
"mezclador" como
en la etapa
de equilibrio)
Etapas (presión y adición de
calor en cada etapa)
Condensador (presión)
Rehervidor (presión)
Alimentación (composición,
presión, temperatura)
Total
4
2(M + NI
1
1
C+2
2(M + NI + C + 8
Entonces, quedan cuatro variables por especificar, sin
importar el número de componentes presentes. En la
destilación binaria, la especificación de la composición y
recuperación de un componente en un extremo de la
columna, la relación de reflujo y la localización de la etapa de alimentación, definen por completo el sistema. En
la destilación de multicomponentes, las mismas especificaciones también definen el sistema, pero no se conocen las composiciones completas en cada extremo de la
columna. Con objeto de efectuar los cálculos de etapa
por etapa para determinar el número de etapas que se
requiere en una separación específica, es necesario suponer las composiciones completas del destilado y los
fondos y así calcular de etapa por etapa hacia el plato de
alimentación. Cuando las determinaciones de las composiciones en el plato de alimentación a partir de cálculos basados en cada extremo no concuerdan, deben
suponerse nuevas composiciones para los fondos y el
destilado antes de repetir al cáloolo. Este método lo su-
girieron por primera vez en 1932 Lewis y Matheson (7) y
otros autores lo modificaron a partir de entonces (4, 5,
6, 9, 10, 13). Este procedimiento largo y tedioso de
prueba y error motivó el desarrollo de métodos abreviados y aproximados. Sin embargo, el desarrollo de
computadoras digitales de alta velocidad redujo el tiempo y el tedio que implican los procedimientos rigurosos
de prueba y error, que en la actualidad se aplican mucho
con algunas modificaciones para hacerlos adecuados al
cálculo con computadora.
Si se va a emplear una columna de destilación existente para separar una nueva alimentación, las cuatro
variables que se especifican son diferentes a las del caso
previo. Ahora se encuentra fijo el número de etapas. La
especificación de la relación de reflujo, la localización de
la etapa de alimentación y la concentración de un componente en uno de los extremos define el sistema, pero
el procedimiento de cálculo también es por prueba y
error. No es posible determinar las composiciones hasta
conocer la temperatura de la etapa, pero la temperatura
de la etapa depende de las composiciones completas de
las fases que se encuentran en la etapa. En un método
propuesto inicialmente por Thiele y Geddes, se supone
un perfil de temperaturas (10). Las composiciones del
destilado y los fondos se estiman con métodos aproximados y los cálculos de etapa por etapa se efectúan desde
cada extremo hacia el plato de alimentación. Si las composiciones de la etapa de alimentación que se calculan a
partir de cada extremo no concuerdan, se ajustan las
composiciones en los extremos y se repite el cálculo.
Por último, cuando las composiciones de la alimentación concuerdan, debe verificarse el perfil de temperaturas supuesto y hacerse los ajustes necesarios. Esta
prueba y error múltiple se sistematizó en un método que
desarrolló Hummel (6).
Los métodos que se estudiaron en los párrafos anteriores tienen muchas modificaciones y procedimientos
especiales que resultan últiles para aplicaciones específicas. No se pretende cubrir estos métodos en esta
introducción elemental. En vez de ello, se aplicarán los
principios del cálculo de etapa por etapa a algunos casos simples de destilación de multicomponentes. El lector que se interese en un estudio con mayor detalle
puede consultar las Refs. 3, 4, 5, y 13, así como la profusa bibliografía sobre destilación de multicomponentes.
Componentes clave
En una columna con una sola alimentación, destilado y
fondos, se separa una mezcla de multicomponentes en
dos fracciones. Los fondos contienen los componentes
"pesados", menos volátiles de la alimentación; el destilado contiene los componentes "ligeros", más volátiles.
Los componentes de volatilidad intermedia aparecen en
ambos productos en cantidades apreciables. Por lo general, los requerimientos de procesos posteriores o usos
finales, conducen a la especificación de una separación
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OPERACIONES POR ETAPAS CON MULTICOMPONENTES
entre dos de los componentes de volatilidad intermedia.
Por ejemplo, la fracción de gasolina del petróleo crudo,
consiste en muchos constituyentes de hidrocarburos de
un amplio intervalo de valores de volatilidad. Para refinar gasolina cruda con objeto de emplearla como combustible para motores, es necesario eliminar los constituyentes más volátiles en una columna de destilación
que se conoce como "estabilizador". Normalmente
deben eliminarse el propano (C3 Ha) y los constituyentes
más ligeros, mientras que el butano (C4 H1o ) Y los constituyentes más pesados se retienen. En este caso, la
mayor parte del propano debería salir en el destilado,
mientras que la mayor parte del butano debe salir por
los fondos.
Los dos componentes entre los cuales se define la
separación se conocen como componentes clave o simplemente como claves. El más volátil de los dos se conoce como componente clave ligero y el menos volátil
es el componente clave pesado. En el ejemplo de estabilización de la gasolina, el propano es el componente
clave ligero yel butano es el componente clave pesado.
Los componentes muy volátiles tienen una concentración extremadamente baja en los fondos, mientras que
los componentes de muy baja volatilidad están a una
concentración extremadamente pequeña en el destilado. Estos constituyentes reciben el nombre de componentes no distribuidos. Por otra parte, los componentes
clave y otros constituyentes de volatilidad intermedia se
"distribuyen" en proporción significativa entre el destilado y los fondos. Algunos procedimientos de cálculo
suponen una concentración de cero para cada componente no distribuido, en el extremo apropiado de la
columna. Otros, en especial los métodos para computadora, suponen una concentración muy pequeña (como
0.00001 fracción mol).
Etapas mínimas
El número mínimo de etapas a reflujo total puede calcularse mediante la ecuación de Fenske (Ec. 7-54)
gurosos, existen varios métodos aproximados de estimación.
Un método para estimar la distribución de componentes se basa en la ecuación de Fenske (Ec. 7-54). La
ecuación es precisa sólo para volatilidades relativas
constantes y un reflujo total. En la práctica, a varía con
la temperatura a través de la columna, pero la variación
suele ser pequeña y en caso necesario puede emplearse
un valor promedio.
Para un componente cualquiera i la Ec. 7-54 puede
escribirse con respecto a otro componente cualquiera j:
XOi
lag -
XO¡
= N lag (Xi¡ + log -
XSi
(8-16)
XS¡
Es conveniente referir la volatilidad relativa de todos los
componentes a la del clave pesado. Por lo general, las
distribuciones del clave ligero y el clave pesado se especifican, por lo que la Ec. 8-16 puede escribirse para el
clave pesado y otro componente cualquiera.
XOi
log -
XO hk
= N log (Xihk + log - -
XSi
(8-17)
XS hk
Con frecuencia, en la estimación inicial se conocen el
número de moles en vez de la fracción mol. Entonces, la
Ec. 8-17 puede escribirse en la forma equivalente
DXOi
DXO hk
BXSi
BXShk
log - - = N lag (Xi¡ + log - -
-
(8-18)
Esta es una ecuación de una línea recta en coordenadas
logarítmicas como se muestra en la Fig. 8-11. La línea se
determina mediante los dos puntos que definen los
componentes clave ligero y clave pesado. Con esta gráfica y los balances de masa por componente alrededor
de la columna, pueden estimarse las distribuciones para
todos los componentes.
La distribución puede estimarse directamente a partir
de las Ecs. 8-17 o 8-18, mediante la evaluacion de la
(7-54)
10.0
donde i y j son dos componentes cualesquiera; por
ejemplo, el componente i puede ser el clave ligero y el j
el clave pesado. aij es un valor promedio de a que se determina como el promedio a las temperaturas del domo
y el fondo de la columna.
1.0
0.1
0.01
Distribución de componentes
La distribución exacta de componentes entre el destilado y los fondos únicamente puede determinarse a partir
de un cálculo ri9uroso de etapa por etapa. Pero debido
a que se necesita una estimación de la distribución
como primer paso de algunos de los procedimientos ri-
147
0.001'--_ _ _--'_ _ _ _---'
0.1
1.0
10.0
aihk
Fig. 8-11
Determinación gráfica de la distribución.
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148 PRINCIPIOS DE OPERACIONES UNITARIAS
pendiente (N) y la interceptación, a partir de los datos
sobre los componentes clave ligero y clave pesado. Las
estimaciones son precisas únicamente a reflujo total,
pero pueden aplicarse con discreción a relaciones de
reflujo finitas como una primera aproximación. Existen
métodos más precisos para relaciones de reflujo finitas
(4, 13).
Ejemplo 8-8 La siguiente mezcla debe separarse
por destilación de modo que el 95% del propano que se
carga, se recupere en el destilado y que el 90% del butano se recupere en los fondos. Estimar la distribución de
los otros componentes a reflujo total para una columna
que opera a 215 Ib/plg2 abs.
Componente
Fórmula
Etano
Propano
n-Butano
n-Pentano
n-Hexano
n-Heptano
~I-\
<;I-\¡
Alimentación
Ib/mol
K a 185 °F
5
20
30
20
20
5
4.9
1.9
0.85
0.35
0.17
0.08
~H¡~
H¡2
C¡¡ H¡4
C¡ H¡6
es
propano el componente clave ligero. Las volatilidades
relativas en la tabulación se refieren al butano.
Olihk
Kbutano
de tal forma que para el butano a es 1.0.
Los valores para el propano y butano se sustituyen en la
Ec. 8-18 para evaluar N
19.0
log-O =Nlog2.2+log1.
3.0
27.0
De modo que N = 6.5. Esta es una estimación inicial
para el número mínimo de etapas que se requiere a
reflujo total; además de que no toma en cuenta el efecto
de todos' los componentes distintos al propano y al butano. La Ec. 8-18 puede emplearse ahora para calcular la
distribución de los otros componentes. Por ejemplo, para el pentano.
3.0
= 6.5 log 0.41 + log -27.0
DX05
log --
BXS5
así que
'l.X05
BXS5
100 Ib/mol
Total
= ---- Ki
= 0.00046
Debido a que
+ BXS5 = FZF5 = 20
DX05 = 0.009
BXS5 = 19.991
DX05
Solución
Para el propano,
y
Para el butano,
y
= (0.95)(20) = 19.0
BXS3 =
20 - 19 = 1.0
DX04 = (0.10)(30) = 3.0
BXS4 = 30 - 3.0 = 27.0
DX03
y
Estos y otros valores se tabulan posteriormente,
Cada valor de a se determina a partir de los valores de K
que se encuentran en el Apéndice 0-2, pero se necesita
una temperatura. Como primera prueba puede emplearse el punto de burbuja de la alimentación como una estimación de la temperatura promedio de la columna. El
punto de burbuja se calcula mediante los métodos descritos en el Cap. 3, con un valor de aproximadamente
185 o F. Los valores de K a esta temperatura y 215
Ib/plg2 abs se tabulan al final de la descripción del ejemplo. Aquí, el butano es el componente clave pesado y el
Componente
(lihk
ZFi
Etano
Propano
n-Butano
5.8
2.2
1.0
0.41
0.20
0.09
0.05
0.20
0.30
0.20
0.20
0.05
n-Pentano
n-Hexano
n-Heptano
donde
ZFi = FZFJ F, etc.
Note que el etano, hexano, heptano y quizá el pentano pueden considerarse componentes no distribuidos.
Los valores de Xvi y JCBi podrían utilizarse como primera
prueba en los cálculos de etapa por etapa que se trataron con anterioridad.
Cálculos de etapa por etapa
Los cálculos de etapa a etapa se basan en las determinaciones de punto de burbuja y puntos de rocío que se de-
DXOi
BXSi
XOi
XSi
4.99945
19.0
3.0
0.009
6 x 10-8
2 x 10-8
0.00055
1.0
27.0
19.991
20.0
-- 5.0
0.185
0.704
0.111
0.0003
2 x 10-6
7 x 10-10
7.5 x 10-6
0.0137
0.370
0.274
0.274
0.0685
0=27.0
B = 73.0
1.0
1.0
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OPERACIONES POR ETAPAS CON MULTICOMPONENTES
sarrollaron en el Cap. 3, junto con los balances de masa
de cada etapa.
Al calcular la composición de equilibrio del vapor y el
líquido en una sola etapa, deben conocerse los valores
de K, pero éstos no pueden determinarse hasta conocer
la temperatura de la etapa. Sin embargo, la temperatura
de la etapa es una función de la composición, por lo que
se requiere un procedimiento de prueba y error. Gran
parte de estos procedimientos de prueba y error puede
eliminarse al emplear la volatilidad relativa en lugar de K,
ya que la primera varía ligeramente con la temperatura.
La volatilidad relativa se refiere a uno de los componentes clave, como en el ejemplo previo. Para el componente i,
X¡
Para los cálculos de etapa por etapa se utiliza un balance de masa entre una etapa cualquiera y un extremo
de la columna. El resultado es una ecuación de línea de
operación idéntica a la que se derivó en el Cap. 7 para
una destilación binaria. Para un componente cualquiera
i en la sección de enriquecimiento
L
y, = K,x,
así que
Y¡
K¡ X¡
X¡
y,
K, x,
x,
- = - -=Ol.¡,-
(8-19)
donde air se define como K / !<r .
La suma de las fracciones mol en el vapor es 1.0.
LY¡=Ya+Yb+Yc+ ... y,=1.0
(8-20)
Dividiendo la Ec. 8-20 entre Yr da
LY¡=Ya+Yb+Yc+. ·.. 1.0= 1.0
y,
y, y, y,
y,
(8-21)
Sustituyendo la Ec. 8-19 en la 8-21 se obtiene
X,
D
Yn+l,i = V x n¡ + V XDi
1.0
y,
de manera que
y, = X,/LOl.¡,X¡
(8-22)
Similarmente, para un componente cualquiera i
(8-23)
La Ec. 8-23 puede emplearse para calcular la composición de un vapor en equilibrio con un cierto líquido,
con la premisa de que se conoce cada a. Una suposición inicial de temperatura permite determinar una volatilidad relativa de prueba y la temperatura se comprueba
después como en un cálculo típico de punto de burbuja.
Una segunda estimación de T se obtiene calculando
K=Y'=--,
x, LOl.¡,X¡
(8-24)
y determinando entonces a qué temperatura Kr tiene el
valor que se calcula.
Para determinar la composición de un líquido en
equilibrio con cierto vapor, un análisis un poco más
simple que el del caso anterior da
(8-26)
Para la sección de agotamiento (de la Ec. 7-5)
L
8
Ym¡= VXm-1,i- VXS¡
y para el componente de referencia
=
(8-25)
Ly¡/Ol.¡,
Y¡ = K¡x¡
LOl.¡,X¡
Y¡/Ol.¡,
= ---'-'"'-
149
(8-27)
D y B se determinan mediante balances globales de
masa de los componentes clave. La Ec. 8-26 se utiliza de
manera alternada con la Ec. 8-21 para cálculos descendentes de etapa por etapa, desde la composición del
destilado hasta la etapa de alimentación. Las Ecs. 8-23 y
8-27 se emplean para cálculos ascendentes, partiendo
por la composición de los fondos.
Los cálculos de etapa por etapa descritos con anterioridad;pueden aplicarse a una gran variedad de problemas. Si se conoce la composición completa en un extremo de la columna, el cálculo de etapa por etapa hacia el
otro extremo es en un solo sentido, como se muestra en
el siguiente ejemplo. Por otro lado, si se estiman las
composiciones del destilado y los fondos, los cálculos
hechos desde el domo y el fondo deben concordar en la
etapa de alimentación. Esto se considerará más adelante.
Ejemplo 8-9 Una mezcla de benceno, tolueno y
o-xileno va a separarse en una columna de destilación
que tiene un condensador total y un rehervidor parcial .
La alimentación es un líquido saturado que contiene
30% de benceno, 45% de tolueno y 25% de o-xileno.
Los fondos contendrán 95% del o-xileno que se alimenta, con una concentración de 0.99 fracción mol de
o-xileno. Determine el número de etapa,s que se requiere a una relación de reflujo de 3.0 y una presión de 1
atm.
Solución
Base: 100 lb/mol de alimentación.
o-xileno en los fondos = (0.95) (25) = 23.75
Fondos totales: B = 23.75
0.99
= 23.99 y D = 76.01
El benceno en los fondos es insignificante, como se
verificará más adelante.
Tolueno en los fondos
= (0.01 )(23.99) = 0.24
Benceno en el destilado
= 30; XDb = 30/76.01 = 0.3947
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150 PRINCIPIOS DE OPERACIONES UNITARIAS
Tolueno en el destilado
0.75 Y D/V = 0.25, de tal forma que ia Ec. 8-26 se
transforma en
= 45 - 0.24 = 44.76; XDt = 0.5889
para el benceno
o-xileno en destilado
= (0.05)(25) = 1.25; XDx = 0.0165
Yn+1,b
La composición completa del destilado se conoce con
precisión, por lo que el cálculo se iniciará con el destilado y se procederá hacia abajo. El vapor que sale de la
primera etapa tiene la misma composición 'que el producto destilado. Se emplea la Ec. 8-25 para determinar
la composición del líquido que sale de la primera etapa.
A esta presión moderada, la ley de Raoult es aplicable
para estos tres compuestos similares, así que se evalúa
cada <X a partir de los datos de presión de vapor. Debe
suponerse una temperatura inicial. Un valor razonable
caería entre los puntos de ebullición del benceno y el tolueno (80-110.6 DC), Se usará el valor promedio de 95
DC.
Con sólo tres componentes, la elección de los componentes clave es algo arbitraria. Se escogen al tolueno
y o-xileno como los claves ligero y pesado, respectivamente. Las volatilidades relativas se calculan con
respecto al tolueno, ya que tiene una volatilidad intermedia. En consecuencia, a para el tolueno se define como 1.0.
Para los otros componentes a es igual a la relación de
la presión de vapor del componente a la del tolueno.
Los datos de presión de vapor pueden obtenerse del
Apéndice D-1 para cálculos manuales, pero para cálculos con computadora las siguientes ecuaciones empíricas son más útiles:
Ps =e17.397-3802.1IT
PT = e17.599-4208
.81T
Px =e17.962-4728.6IT
donde P está en mm Hg y Ten K. Las ecuaciones predicen la presión de vapor en función de la temperatura,
con un error inferior al 0.4% en el intervalo de temperaturas 80-145 DC, a presión atmosférica.
Para la sección de enriquecimiento L + 3D =
228.03. V = L + D = 4D = 304.04, por lo que L/V
= 0.75xnb
+ 0.0987
(A)
= 0.75xnt
+0.1472
(B)
= 0.75xnx
+ 0.0041
(e)
para el tolueno
Yn+1,t
para el o-xileno
Yn+1,x
Estas ecuaciones se utilizan para calcular la composición del vapor que fluye hacia una etapa, a partir de la
composición del líquido que fluye desde la misma etapa.
A continuación se resumen los cálculos.
Para la primera etapa, la temperatura se calcula en
102.7 DC, en vez de los 95 DC, supuestos. En consecuencia, es necesario recalcular la volatilidad relativa a
la nueva temperatura y evaluar de nuevo x y determinar
una segunda temperatura. Esta se aproxima a la primera, de tal forma que los cálculos para la etapa 1 están
completos. Los cálculos para la segunda etapa se inician con la evaluación de Y2 a partir de X¡ , utilizando la
Ec. 8-26. Para el ejemplo
Y2b = 0.75(0.2051)
+ 0.0987 = 0.2525
Debe suponerse una temperatura en la segunda etapa
para evaluar a. Como primera prueba, puede emplearse
la temperatura final de la primera etapa y llevar a cabo
los cálculos en la misma forma.
La temperatura calculada en la segunda etapa es suficientemente diferente del valor supuesto como para
requerir una segunda prueba.
Los cálculos se continúan etapa por etapa hasta que
la relación de los componentes clave en el líquido
que fluye de una etapa sea igual a la del líquido que se
alimenta. En ese punto cambian los balances de masa.
Para una alimentación a su temperatura de burbuja
L=L+F
y
V=V
De manera que, con la Ec. 8.27, con I = 228.03+ 100
= 328.03 Y V= 304.04, L/V= 1.0789, B/V= 0.0789
ETAPA 1
Prueba 1: suponer T = 95 DC
Y1
b 0.3947
t 0.5889
x 0.0165
a
yda
2.468
0.1599
1.000
0.5889
0.3503 0.0471
~Y1 lo: = 0.7959
0.2009
0.7399
0.0592
1.0000
K, = ~Y1/ai,
P, = PK,
y
X1
Prueba 2: Suponer T = 102.7 "C
a
2.410
1.000
0.3605
yda
0.1638
0.5889
0.0458
~Y1 la = 0.7985
X1
0.2051
0.7375
0.0574
1.0000
P, = 606,9
así que P, = (760)(0.7959)
= 601.1 y
T= 102.7 -c
Entonces,
T = 102.9 -c
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OPERACIONES POR ETAPAS CON MULTICOMPONENTES
151
ETAPA 2
Prueba 1: suponer T = 102.9°C
b
t
x
Y2
O'
0.2525
0.7003
0.0472
2.409
1.000
0.3604
Prueba 2: suponer T = 108.4 "C
O'
Y2/0'
0.1048
0.7003
0.1310
"i:,Y2/0' = 0.9361
Y2/0'
X2
2.361
1.000
0.3704
0.1069
0.7003
0.1274
"i:,Y2/0' = 0.9346
0.1140
0.7497
0.1363
1.0000
Pr = 711.4
Pr=710.3
T= 108.4 -c
T= 108.3 °c
Ymb = 1.0789xm_1,b
Ymt = 1.0789xm_1,t
-
0.000789
Ymx = 1.0789xm -1,x
-
0.0781
Estos balances de masa se emplean por debajo de la alimentación y los cálculos se continúan etapa por etapa
hasta que la concentración del o-xileno sea igualo mayor que (x..x = 0.99) en el líquido que fluye de la etapa.
Los resultados se resumen en la Tabla 8-4.
La relación de componentes clave en la alimentación
es Z, / z; = 0.45/0.25 = 1.8. En la etapa 3, x, / Xx = 2.51
y en la etapa 4, X, / Xx = 1.21, por lo que la alimentación
estaría entre la tercera y cuarta etapas de equilibrio. Para este cálculo, el flujo descendente del líquido cambia
después de la etapa 4. En la etapa 10, Xx = 0.9902, que
es ligeramente mayor que la composición que se requiere x..x = 0.99, de modo que se necesitan 10 etapas
(9 etapas de equilibrio más el rehervidor parcial). La
suposición de que el benceno en los fondos es insignificante, se justifica, puesto que, ~b = 9.54 X 10-6• Nótese que ia alimentación se añade cuando la relación de
claves es aproximadamente igual a la que tiene la alimentación, aun cuando la composición real del líquido
en la segunda etapa es muy distinta. La composición
global de la alimentación y la composición del líquido en
la etapa de alimentación rara vez concuerdan en la des-
tilación de multicomponentes. En general, es imposible
lograr una concordancia exacta. La mejor localización
de' alimentación casi siempre coincide con el punto
donde la relación de los componentes clave es la misma.
Las composiciones del líquido se grafican en la Fig.
8-12. Nótese que la concentración del tolueno crece
hasta un máximo y después disminuye con rapidez. La
ocurrencia de un máximo en la concentración de los
componentes intermedios es bastante común.
Este ejemplo se resolvió en pocos segundos empleando un programa simple en una computadora digital. El programa incluye un procedimiento de prueba y
error para evaluar la temperatura de la etapa con una
precisión de 1°C. El programa incluye las pruebas para
la localización del plato de alimentación y la última
etapa.
Variables de operación
Como se estudió con anterioridad, el número mínimo de
etapas puede estimarse mediante la ecuación de Fenske, escrita para el clave pesado y el clave ligero.
O'lk-hk
N _ (XDlk
)(XBhk)
xDhk
xBlk
-
Tabla 8-4 Destilación de tres componentes.
Etapa No.
Temperatura
Composición del líquido
fracción mol
°c
1
2
3
4 (alimentación)
5
6
7
8
9
10 (rehervldor)
102.9
108.3
113.1
118.4
126.9
134.1
138.9
141.7
143.1
143.8
Benceno
Tolueno
o-Xileno
xb
Xt
Xx
0.2083
0.1140
0.0734
0.0537
0.0165
4.28 x 10-3
9.93 x 10-4
2.17xlO-4
4.59 x 10-5
9.54 x 10-6
0.7378
0.7500
0.6621
0.5187
0.3583
0.2055
0.1041
0.0491
0.0222
9.70 x 10-3
0.0569
0.1361
0.2645
0.4276
0.6252
0.7902
0,8948
0.9506
0.9777
0.9903
(8-28)
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152 PRINCIPIOS DE OPERACIONES UNITARIAS
Solución
La Ec.. 8-28 puede emplearse para estimar el número mínimo de etapas. Debe emplearse una
volatilidad relativa promedio. El intervalo de temperaturas en la columna es aproximadamente 100-145 "C, por
lo que CXlk-hk se evalúa a un promedio de 123 "C.
2
<x=2.5
3
Entonces
(2.5)N = (0.5889)(0.99)
4
0.0164
'c."
por lo que Nmín =8.9.
~CI> 5
Alternativamente,
puede emplearse una relación de
reflujo de 100 en la resolución con computadora del Ej.
8-11, para obtener N = 8.87 etapas, que es el mínimo
para propósitos prácticos.
Para un reflujo mínimo, se emplean valores de relación de reflujo sucesivamente menores para la solución
con computadora, empezando con los 3.0 del Ej. 8-11.
Como se muestra en la Fig. 8-13, el reflujo mínimo es
aproximadamente de 0.535. De una relación de reflujo
de 1.0 a una de 100, hay una diferencia de sólo 4.5 etapas. Por debajo de 1.0, el número de etapas que se
requiere crece rápidamente. Las consideraciones económicas quizá sugerirían una operación con una relación de reflujo ligeramente mayor de 1.0.
CI>
""O
o
Q;
.§ 6
z
7
8
9
10~
O
0.01
~
0.2
-L
0.4
~
0.6
L-
~
0.8
1.0
Composición del líquido x
90
Fig.8-12
I
Perfiles de concentración del Ej. 8-11.
Existen varios métodos para estimar el reflujo mínimo
para una separación específica de los componentes clave (3, 4, 5, 13). Antes del advenimiento de las cornputadoras, estos métodos aproximados se usaban con
frecuencia junto con el número mínimo de etapas, para
estimar las etapas que se requieren con una relación de
reflujo finita. Con una computadora, es posible determinar el reflujo mínimo y el número mínimo de etapas, con
tanta precisión como se desee, mediante cálculos de
etapa por etapa. Para determinar el número mínimo
de etapas, puede emplearse una relación de reflujo
extremadamente grande (como 100 o 1000), en un
programa como el que se empleó para resolver el Ej.
8-11. Un valor de 100 o 1000 tiende al valor "real" de infinito, para propósitos de la evaluación del número
mínimo de etapas.
Para el reflujo mínimo, se insertan en el programa de
la computadora, valores de relación de reflujo sucesivamente menores y puede evaluarse el número de etapas que se requiere. Al aproximarse al reflujo mínimo, el
número de etapas aumenta con rapidez y puede seleccionarse un número arbitrario (como 100 o 1000) para
aproximar el número inifinito de etapas.
Ejemplo 8-10 Determine el número mínimo de etapas y el reflujo mínimo para la separación del Ej. 8-11.
I
I
I
I
80
-
70
-
60
-
~50
-
~
c.
al'"
CI>
""O
-
040
Q;
E
.:;¡
z
30
-
20
-
10
Etapas mínimas
~
O
0.5
Reflujo mínimo
I
I
1.0
1.5
I
I
2.0
2.5
Relación de reflujo
I
3.0
100.0
Fig. 8-13 Número de etapas en función del reflujo.
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OPERACIONES POR ETAPAS CON MULTICOMPONENTES
Composiciones desconocidas del destilado y los fondos
En el ejemplo anterior, que involucra la destilación de
una mezcla benceno-tolueno-xileno, se conocía con
precisión la composición completa en un extremo de la
columna. Era posible calcular etapa por etapa desde el
extremo que se conoce hasta el desconocido. Esta
situación es un caso especial, ya que con mayor frecuencia no se cuenta con la composición completa en
ninguno de los extremos. Por ejemplo, la especificación
del número de etapas; la localización de la alimentación,
cantidad y composición; la cantidad del destilado y la
relación de reflujo, junto con la presión de la columna y
el suministro de calor (si existe), son suficientes para definir por completo a la columna. En este caso, ninguna
de las composiciones en los extremos se dan como datos, por lo que el método anterior no es aplicable. Cuando se conoce la composición en los extremos, parece
razonable empezar con la composición de la alimentación y calcular hacia los extremos. Este procedimiento conduce a resultados erróneos. Por lo general, la
composición de la alimentación nunca se duplica exactamente en cualquier punto de la columna. La alimentación se suministra en el punto en el que la composición
de la etapa es similar a la composición de la alimentación, pero no es idéntica.
Debido al gran número de variables que puede especificarse para definir una columna de destilación, es posible tener muchas combinaciones. Una de ellas se citó
en el párrafo anterior y se considerará en detalle a continuación pero en la práctica aparecen muchas otras
combinaciones. Por ejemplo, una separación entre
componentes clave puede especificarse de tal forma
que se conozcan de manera parcial las composiciones
en los extremos. El método descrito aquí, puede aplicarse a las situaciones que se encuentran comúnmente.
Se han desarrollado numerosos métodos para el
cálculo de etapa por etapa, cuando se desconocen las
composiciones en los extremos. La mayor parte de los
métodos se basan en el procedimiento propuesto en
1933 por Thiele y Geddes (10). Según el desarrollo original, su método requiere de la especificación del número
de etapas de equilibrio, por lo que es particularmente
útil para evaluar la operación potencial de una columna
existente. El procedimiento de cálculo comienza con la
elección de una relación de reflujo y la estimación del
perfil de temperaturas en la columna. El perfil de tempe'"
raturas se determina mediante el punto de burbuja del
líquido que no se encuentra. en cada etapa de la columna, pero el punto de burbuja depende de la composición
del líquido, que aún no se conoce. Por esta razón, es
necesario suponer un perfil de temperaturas, calcular
con él las composiciones y por último, determinar un
nuevo perfil de temperaturas. El nuevo perfil se emplea
nuevamente para calcular composiciones; el procedimiento se repite hasta que se presentan cambios de la
temperatura o de la composición entre pruebas diferentes. Un procedimiento repetitivo como éste resulta adecuado para cálculos en computadora.
153
Antes de iniciar los cálculos, es necesario establecer
algunas especificaciones de las composiciones en los
extremos. Para el procedimiento que se describe más
adelante, es conveniente especificar simplemente la
cantidad de destilado D (suponiendo que se conoce
la cantidad de alimentación F) . Esto, junto con la relación
de reflujo y el número de etapas, hace posible calcular
las composiciones en los extremos. En forma alternada
los datos suficientes sobre la separación que se desea
ef ectuar de los dos componentes clave, permitirán una
estimación de las composiciones en los extremos.
Los cálculos proceden etapa por etapa desde cada
extremo hacia el plato de alimentación. Debido a los
errores introducidos en las estimaciones iniciales de
temperaturas y condiciones en los extremos, las compoSiciones en la etapa de alimentación que se calculan a
partir de los extremos, no concordarán. Entonces es necesario, ajustar las temperaturas de las etapas y repetir
los cálculos hasta que las composiciones "engranen"
en el plato de la alimentación.
Un análisis del procedimiento descrito muestra que,
inevitablemente, el cálculo de una destilación de multicomponentes se lleva a cabo por prueba y error; es
necesario suponer un valor para una variable y entonces, verificarlo después. Antes de que se contara con
computadoras, se propusieron muchos métodos para
aligerar y reducir el tedio que involucra su cálculo. Un
método que desarrolló Hummel (6) se basa en el método de Thiele-Geddes; éste se encuentra constituido por
una estimación inicial del perfil de temperaturas mediante cálculos a partir de ambos extremos, en dirección hacia la alimentación, así como el cálculo a una distancia
corta de cada lado de la alimentación. Los datos resultantes del perfil de temperaturas se acoplan y se procede a una verificación con las composiciones en los
extremos. El método puede aplicarse cuando se va a determinar el número de etapas. La aplicación exitosa del
método requiere de una cierta experiencia e intuición.
Método de Thiele-Geddes
El método de cálculo que se describe aquí se basa en el
método original de Thiele-Geddes, que ha sido ampliado y modificado. El procedimiento repetitivo para computadoras es el resultado del trabajo de Lyster y colaboradores (9) . Si bien es posible considerar cambios de
entalpía y por consiguiente, cambios en las velocidades
molares del líquido y el vapor a través de la columna, el
tratamiento simplificado que se presenta aquí supone
velocidades de flujo molar constantes, en la misma forma en que se hizo con el método de McCabe-Thiele para la destilación binaria, en el Cap. 7. Esta suposición es
razonablemente precisa para mezclas de compuestos similares como hidrocarburos del petróleo con un intervalo estrecho de puntos de ebullición. En las Refs. 4 y 12
se tratan procedimientos más rigurosos que incluyen
balances de entalpía. El procedimiento se aplica a una
columna con un condensador tota l y un rehervidor, co-
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154
PRINCIPIOS DE OPERACIONES UNITARIAS
mo la que se muestra en la Fig. 8-3. A continuación se
describe cada etapa del procedimiento.
1. Se especifican el número total de etapas de equilibrio y el plato de alimentación.
2. Se escoge la relación de reflujo (4 / D).
3. Se especifica la fracción de destilado ID/A.
4. Se fija la presión de la columna.
En los primeros cuatro pasos, suele ser necesario
probar diferentes valores de cada variable que se especifica, antes de encontrar la mejor combinación. Esto es
fácil de hacer en una computadora. El procedimiento
que aquí sedescribe requiere que a las variables enumeradas se les asignen valores específicos para cualquier
corrida, y pueden hacerse muchas corridas en la computadora.
5. Se supone un perfil inicial de temperaturas. Se
determina la temperatura en cada etapa mediante el
punto de burbuja del líquido de la etapa; sin embargo,
el punto de burbuja depende de ·Ia composición del
líquido, que aún se desconoce. El punto de burbuja
del destilado debe ser mayor que el punto de burbuja del
componente más volátil que de la alimentación a la presión de la columna, de manera que este punto de ebullición resulta ser una estimación inicial conveniente de la
temperatura en el domo de la columna (en la etapa 1).
De manera semejante, el punto de burbuja del producto
de fondos (8) debe ser menor que el punto de burbuja
del componente menos volátil que se alimenta, por lo
que este punto de ebullición puede emplearse como una
primera estimación de la temperatura en el fondo de la
columna (etapa NI. Para etapas intermedias, la temperatura se determina suponiendo una variación lineal
entre la temperatura del domo y la temperatura del fondo. Este procedimiento da una estimación muy general
del perfil de temperaturas, pero es adecuado para una
primera prueba; se mejorará en pruebas sucesivas.
6. Un balance por componente en la sección de enriquecimiento. Con flujos molares constantes, el balance
da para el componente i (véase el Cap. 7) .
L
D
(8-26)
Vn+l i=-Xni+-XOi
'V
V
Un balance de masa con respecto al condensador da
D = V- L, por lo que la Ec. 8-26 puede escribirse como
Yn+l,i = ~r Xni
-11 1
+
(8-29)
Vn+l,i = K n + 1 ,i X n+1,i
(8-30)
XOi
VLXOi
Para la etapa de equilibrio n + 1
donde Kn +l.¡es la constante de equilibrio para el componente i, evaluada a la temperatura de la etapa n + 1.
Combinando las Ecs. 8-29 y 8-30,
n +1,i
X
1 - [L(Xni
-=-- - - 1 ) +1
XOi
Kn+1 i
V
XOi
1
(8-31 )
En el domo de la columna (donde n = 1), con un
condensador total YI = J4J Y YI = KI Xl , de manera que
Xl / J4J = 1I,KI' La Ec. 8-31 puede emplearse para calcular la relación Xi / J4Ji en la segunda etapa. Este último valor se sustituye en el lado derecho de la Ec. 8-31, para
evaluar la relación de composiciones en la etapa 3. Este
procedimiento se repite hacia abajo para cada etapa,
hasta el plato de alimentación en donde se determina
XFi / J4Ji' Se calcula el valor de K para cada etapa con el
perfil de temperaturas supuesto. Se repite el cálculo
desde el domo hasta el plato de alimentación para cada
componente. Los cocientes resultantes (XFi / )(¡Di se usarán en los pasos 8 y 9 para lograr un "engranaje" en el
plato de alimentación.
7. Se hace un balance por componente en la sección de agotamiento. El procedimiento es similar al que
se detalló en el paso 6 para la sección de enriquecimiento. La derivación comienza por un balance por componente entre el fondo de la columna y una etapa cualquiera m, generando la línea de operación para la sección de agotamiento.
[
B
Ymi= i7Xm-1,i- i7XBi
(8-27)
donde la etapa (m - 1) es la etapa que está arriba de la
etapa m, mientras que L y V son los flujos molares en la
sección de agotamiento . Esta ecuación se sustituye en
(8-32)
Ymi = Kmi Xmi
y se ordena para obtener
m -1 i
X
i7[Kmi X m i -1
--,--'
=-=
XBi
L
1+1
(8-33)
XBi
Esta ecuación se aplica a cada etapa empezando por
el fondo (etapa NI en donde Xmi = JcBi * Y se continúa
hasta el plato de alimentación en donde se evalúa
JCFi / ~i para cada componente. La relación JCFi / ~i se
emplea en los pasos 8 y 9 para lograr el "engranaje" en
el plato de alimentación. Las velocidades de flujo en la
sección de agotamiento (L, Vi pueden relacionarse con
las de la sección de enriquecimiento mediante las Ecs.
7-11 y 7-15, tomando en consideración la condición térmica de la alimentación.
8. Se evalúa la relación ~i / J4Ji . Utilice la Ec. 8-31 para calcular desde el domo hasta el plato de alimentación
para obtener XFi / XDi para cada componente; la aplicación de la Ec. 8-33 para calcular desde el fondo hasta la
alimentación da un conjunto de JCFi / ~i' En la alimentación, JCFi para las dos expresiones que se calcularon debe ser la misma, por lo que
(
XF¡/XOi
XBi)
=---
XOi ca
XF¡/XBi
(8-34)
• Para fines de cálculo se supone J("i = ~ i para los rehervidores,
tanto parcial como total. Para un rehervidor parcial, el número de etapas en la columna será igualo menor que el número calculado .
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OPERACIONES POR ETAPAS CON MULTICOMPONENTES
9. Se calculan la composición y cantidad del destilado. Pueden evaluarse por separado valores de ~i y JeDi ,
a partir de un balance global de masa alrededor de la columna
FZFi = OXOi + BXSi
(8·35)
Que puede escribirse como
FZFi
xo·=-----1
0+ B(XS;!XOi)
(8-36)
donde se conocen F y ZFi , se supuso D y 8 puede evaluarse a partir de 8 = F - D. Las Ecs. 8-34 y 8-36 se
emplean para calcular los JcDi y los ~i .
Debido a la inexactitud del perfil de temperaturas supuesto, la suma de los valores JcDi no es 1.0, como
debería ser. En otras palabras, el valor de D calculado
no es igual al valor supuesto inicialmente:
Dca = O'i:,XOi
10. Se calcula un nuevo perfil de temperaturas utilizando el punto de burbuja del líquido en cada etapa. La
composición del líquido en cada etapa de la sección de
enriquecimiento se calcula a partir de
iteración directa. Su empleo genera perfiles de temperaturas sucesivos que tienden a converger en el perfil
correcto. El método de iteración directa da lugar a una
convergencia lenta, por lo que pueden requerirse
muchas iteraciones. Esto consume tiempo, aun con una
computadora digital. En consecuencia, se desarrollaron
varios métodos para forzar una convergencia más rápida. En la siguiente sección uno de estos métodos se
describe.
Método () de convergencia
e
El método es una modificación del procedimiento de
Thiele-Geddes, descrito en la sección anterior. Este método 'da lugar a una convergencia más rápida que la iteraciÓn directa y puede aplicarse a una gran variedad de
problemas de destilación (4). El procedimiento se inicia
en el paso 9 del método de Thiele-Geddes. El uso del valor que se calcula para (XBi / XVi )ea mediante la Ec. 8-34,
en la Ec. 8-36, conduce a un valor incorrecto de XDi , debido a que (XBi / XDi ~a es incorrecto. Suponga que se
define arbitrariamente una cantidad
para "corregir"
e
(XBi / XDi )ea
[
(8-37)
Se conoce la relación (xmi / ~i ) para cada componenen cada etapa desde la etapa 6.
Para la sección de agotamiento
x
(Xm;!XSi)XSi
,=
mi
'i:, [(Xm;!XSi)XSi]
i
(8-38)
Se conoce la relación (~i / ~i ) para cada componente en cada etapa a partir de la etapa 7.
Con las composiciones del líquido que se determinan
con las Ecs. 7-37 y 7-38, puede calcularse el punto de
burbuja, mediante lós procedimientos que se describen
en el Cap. 3.
El perfil de temperaturas resultante será distinto al
inicialmente supuesto; debido a que las temperaturas
del líquido se evaluaron a partir de las composiciones del líquido, que a su vez se basaron en las témperaturas iniciales supuestas, el nuevo perfil no será el
correcto. Por el común, el nuevo perfil será más aproximado al perfil correcto, que el perfil inicial supuesto.
Para obtener un perfil aún mejor puede repetirse el cálculo completo, empleando el nuevo perfil en lugar del
supuesto. Esta segunda prueba (o iteración) genera un
nuevo perfil que puede emplearse como punto inicial
para una tercera iteración; ElI proceso iterativo puede
continuar hasta que los perfiles de temperatura en dos
pruebas, sean idénticos dentro de la precisión que se
desea obtener. En este punto, el valor que se calcula para D con la Ec. 8-36, coincide con el valor originalmente
supuesto con la precisión especificada. Este procedimiento se conoce como método de convergencia de
155
_1
XS']
=e_1
[XS']
xOi co
(8-39)
XOi ca
El subíndice co se refiere al v¡]lor correcto de la relación, mientas que ca se refiere al valor calculado. Si se
conociera con precisión después de la primera prueba,
sería posible lograr la respuesta correcta en forma inmediata. Por desgracia no se conoce con precisión, pero
puede calcularse mediante iteraciones sucesivas.
La sustitución de (~i /JeDi le. en la Ec. 8-36 da un valor
exacto de JcDi
e
e
(XOi)CO =
(!
0+ B XSi XOi)co
(8-40)
Combinando las Ecs. 8-39 y 8-40.
FZFi
(XOi)co
=0+ Be(XSi!XOi)ca
(8-41 )
La suma de las fracciones mol en el destilado debe
ser igual a 1.0 cuando se logra la respuesta correcta
(8-42)
'i:,(XOi)CO = 1.0
i
Combinando las Ecs. 8-41 y 8-42 se obtiene
FZF'
]
'i:, [
1
-1 = O
i 0+ Be (XS;!XOi)ca
(8-43)
e
Esta ecuación puede resolverse para con el método
de Newton, que puede aplicarse con un procedimiento
iterativo, para obtener la solución correcta.
Para el método de Newton se define una función de
e
FZF'
]
f(e) = 'i:, [
1
i 0+ Be (XS;!XOi)ca
(8-44)
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156 PRINCIPIOS DE OPERACIONES UNITARIAS
y su derivada con respecto a
I
[
f ((n =-~
.
e es
1
B(XB)XOi)eaFzFi
[D + BO(XB)XOi)ea]
i
e
(8-45)
2
Una comparación de las Ecs. 8-43 y 8-44 muestra
que fIel = O cuando se llega al valor correcto de e.
El valor de puede emplearse en una prueba cualquiera t para calcular un mejor valor, de acuerdo con el
método de Newton.
e
(8-46)
e
, I
El procedimiento para determinar
es el siguiente:
1. Se sigue el método de Thiele-Geddes hasta el paso 8, para evaluar un conjunto de (XBi 1XDi )ea, con un valor para cada componente.
2. Se supone un valor inicial de e (como 1.0), yentonces se calcula fIel y ('(e) con las Ecs. 8-44 y 8-45. Se
calcula un nuevo valor de e sustituyendo el valor supuesto en la Ec. 8-46, junto con los valores que se calcularon para f(e) y ('(e).
3. Se utiliza el nuevo valor de para obtener nuevos
valores de fIel y {'(e) se usa entonces la Ec. 8-46 para
encontrar el siguiente valor de e.
4. Se repiten las Ecs. 8-44, 8-45 y8-46 hasta que concuerden dos valores sucesivos de e con la precisión que
se espera obtener (quizá e'+1-e, = 0.0001).
Una vez que se determina el valor de e, se sustituye
en la Ec. 8-41 y se determina un conjunto de (x Di lea. La
composición de los fondos se determina a partir de la
Ec.8-39.
e
= O [XBi]
XOi
(XBi)eo
(8-47)
(XOi)eo
ea
A continuación, se determina la composición
líquido en cada etapa, a partir de
(Xn)XOi)ea
Xni=
(XOi)eo
mejor que la iteración directa para calcular nuevas temperaturas y composiciones, debido a que el método
converge hacia la respuesta correcta con un número
menor de iteraciones. El cálculo se completa cuando el
valor de que se calcula es igual a 1.0, con una precisión especificada.
El método
se diseñó específica mente para resoluciones con computadoras de problemas de destilación
de multicomponentes. Si bien los principios del método
son bastante directos, la determinación repetitiva es demasiado laboriosa para un cálculo manual. Aprender los
principios del método resulta instructivo, si bien al llevar
a cabo el cálculo manual de una iteración requiere de un
tiempo considerable. La programación del método y el
método. de Thiele-Geddes para una computadora digital
no es difícil, una vez que el programador entiende claramente el método. Existen programas disponibles sobre
éste u otros similares, en muchas bibliotecas de programas. El siguiente ejemplo se resolvió empleando una
computadora digital.
e
e
e
Ejemplo 8-11 Una alimentación líquida a su temperatura de burbuja va a fraccionarse en una columna
equivalente a 15 etapas de equilibrio (incluyendo un
condensador total y un rehervidor parcial). La alimentación entra en la octava etapa a partir del domo. La composición de la alimentación en fracciones mol es:
(iC4 H, o)
Isobutano
Butano normal
(nC4H,0)
Isopentano
(iC5 H'2)
Pentano normal
(nC5 H, 2)
Hexano normal
(nCs H14)
0.1
0.3
0.2
0.3
0.1
del
(8-48)
~ [(Xn)XOi)ea(XOi)eo]
La columna opera a 451b/plg2 abs. Para una relación de
reflujo de 3.0 y una relación DI F de 0.4, calcular el porcentaje de recuperación y la concentración de butanos
en el destilado.
i
(8-49)
Solución
Se utiliza la combinación del método de
Thiele-Geddes y el método
Sea F = 100 lb mol como
base, así que D = 40.0.
Primero se aplica el método de Thiele-Geddes:
sección de agotamiento.
Las relaciones
(X"i 1XDi )ea y (xmi 1XBi )ea se calcularon con anterioridad en
los pasos 6 y 7 del método de Thiele-Geddes.
Las nuevas composiciones del líquido que se calcularon mediante las Ecs. 8-48 y 8-49 se emplean en el cálculo de puntos de burbuja para evaluar el nuevo perfil
de temperaturas. En este punto, se regresa al paso 5 del
método de Thiele-Geddes y se emplea el nuevo perfil de
temperaturas para calcular de nuevo los pasos 6, 7 y 8.
Entonces, se encuentra un nuevo valor de
mediante
el uso de los cuatro pasos del método
El cálculo sucesivo procede a través de varias iteraciones, usando en forma alternada el método de ThieleGeddes y el método e. El método e es un procedimiento
1. De los datos que se dan N = 15, y la alimentación
se encuentra en la etapa 8 (a partir del domo).
2. Lo ID = 3.0, así que L/V = 3/4 = 0.75.
3. DIF = 0.4.
4. P = 45 Ib/plg2 abs.
5. Para determinar un perfil inicial de temperaturas se
lee la temperatura de burbuja del isobutano a 451b/plg2
abs, del Apéndice D-1 que es aproximadamente 75 °F.
Este valor se emplea como una primera estimación de la
temperatura en el domo (etapa 1). En forma similar, se
emplea el punto de burbuja del n-hexano a 45 Ib/plg2 abs
(240 o F) como una primera estimación para la temperatura del fondo (etapa N). Estas estimaciones de temperaturas pueden leerse en una gráfica, puesto que no se
requiere de una gran precisión para esta estimación ini-
para la sección de enriquecimiento,
(xm )XBi)ea
Xmi=
y
e.
(XBi)eo
~ [(Xm;!XBi )ea(x Bi )eo]
i
para
la
e.
e,
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OPERACIONES POR ETAPAS CON MULTICOMPONENTES
Domo
157
lr-~~~r--.---.---.---.---'---'---' Con un condensador total, X¡ /><tJ = 1/ K1 • Para el isobutano a 75°F,
2
<,
3
4
<,
<,
5
1589.04
-,
10910 Pv = 5.03458 --40-0-.0-+-7-5
<, <, Perfilsupuesto
6
Pv = 48.891 Ib/plg2 abs
<, {nicialmente
Alimen- 7
tación 8
-,
9
10
11
12
<,
Así que
<,
<,
Perfilfinal <,
(5 íraraclonesl <,
13
-. -,
14
Fondo 15~~~--~~--~--~~~--~--~--~
60 80 100 120 140 160 180 200 220 240
X2
Fig. 8-14 Perfiles de temperatura para el Ej. 8-11.
cial del perfil. Se supone un perfil lineal de temperaturas
entre las temperaturas del domo y el fondo, como se indica en la Fig. 8-14. Entonces, la temperatura en la etapa 2 es de 86.79 °F, etc.
6. Los cálculos proceden desde el domo de la columna hasta la alimentación. Primero, es necesario tener
datos de K a 451b/plg2 abs, en función de la temperatura. A esta presión moderada, es posible suponer que K
= Pv/ PT, de manera que pueden emplearse datos de
presión de vapor. Los datos se obtienen del Apéndice
D-2d en forma de ecuaciones empíricas. Aunque la gráfica del Apéndice D-1 puede ser más conveniente para
cálculos manuales, las ecuaciones empíricas son mejores para cálculos con computadora y son las que se utilizarán aquí.
Se muestra el cálculo en detalle para el n-butano. Para la primera etapa, la Ec. 8-31 es: (con n = 1)
X2
=_1 [~(X1
K2
-1)]
+1
V xo
donde L/V = 0.75.
K1 puede calcularse a partir de los datos de presión
de vapor del apéndice D-2e. Las constantes métricas
que ahí se dan pueden convertirse fácilmente a unidades del sistema inglés que se requieren en este ejemplo:
A' = A - 1.71350
S' = ~S
e' = ~e - 32.000
donde A, B Y C son las constantes métricas que se dan
en el apéndice y A; B' Y C' son las constantes en unidades inglesas que se emplearán con TOF y P; en Ib/plg2
abs. Las constantes en unidades inglesas para los componentes de este ejemplo son:
iC4H10
nC4H10
iC5H12
nC5H12
nC6H14
45
»»
48.891
A'
a'
e'
5.03458
5.11679
5.07617
5.13871
5.16426
1589.040
1702.620
1836.0216
1916.334
2108.754
400.00
400.00
387.575
385.600
371.859
= 0.92041
Ahora, se evalúa Kz = Pv / PT en la segunda etapa, donde Tz = 86.79 °F de manera que Pv = 58.909 Y Kz =
58.909/45 = 1.3091. Entonces
T, °F
x»
X1
-=
<,
Xo
=
~9 [0.75(0.92041 - 1) + 1] = 0.71821
1.3 1
Entonces para la etapa 3, con T
1.5679 Y
1
X3
x-o = 1.5679 [0.75(0.71821 - 1) + 1] = 0.50432
El procedimiento se repite hasta calcular Xg / ><tJ para
el isobutano. Entonces, se repite para los otros cuatro
componentes.
Las relaciones tx, / ~) para cada uno de los 5 componentes se dan en una tabla posterior.
Las relaciones para los dos componentes más volátiles
disminuyen gradualmente del domo hacia la alimentación. Expresado de otra forma, la fase vapor se enriquece en los componentes más volátiles al ascender de
la alimentación hasta el condensador. Mientras tanto, el
componente menos volátil (que se encuentra presente
en muy pequeña cantidad en el destilado) incrementa
rápidamente su concentración a medida que el líquido
desciende del domo hacia la alimentación. Los componentes intermedios pueden mostrar un máximo de
composición (como los pentanos en este caso). Las relaciones para la etapa 8 se emplean en cálculos posteriores para el paso 8.
7. En la sección de agotamiento, la Ec. 8-33 se
emplea para calcular la relación Xmi / Xai para cada componente en cada etapa, desde el rehervidor hasta el
plato de alimentación. El rehervidor parcial puede considerarse en este problema como la etapa Núm. 15, de
manera que X15 = XB para cada componente. Entonces,
para el isobutano 7;.5 = 240 ° F y K15 = 7.91576. V y L
deben calcularse. Debido a que la alimentación es un
líquido a su temperatura de burbuja, i =_1. Ahora, L =
L + iF Y L = 3D = 120, por lo que L = 120 + 100
= 220 V = V - (1 - i) F y V = L/ 0.75 = 160 y V = 160.
Entonces, la Ec. 8-33 da
X14
XB
= 160 [7.91576(1) -1]
+ 1 = 6.02962
220
Para calcular la relación para la etapa 13, se aplica
nuevamente la Ec. 8-33, con 1<t4 = 7.11070 a 7;.4 =
228.21 °F, de manera que
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158
X13
XB
PRINCIPIOS DE OPERACIONES UNITARIAS
Etapa
Núm.
TOF
iC4H10
nC4H10
iCsH12
nCSH12
nC6H14
1
2
3
4
5
6
7
8
75.000
86.786
98.571
110.357
122.143
133.929
145.714
157.500
0.92041
0.71821
0.50432
0.33911
0.23156
0.16664
0.12720
0.10168
1.32095
1.34206
1.12356
0.81479
0.53988
0.34790
0.23161
0.16501
3.51705
8.09337
14.27083
20.13149
23.18194
22.08449
17.60048
11.86212
4.73172
14.15345
32.32769
58.54691
85.85287
103.18182
102.64746
85.2767
16.14411
160.06193
1126.71
6151.83
26409.51
90163.27
247375.44
550777.6
= 160 [7.11070(6.02962) -1] = 31.45429
e.
220
El procedimiento se repite para cada etapa y para cada
componente con objeto de encontrar las relaciones
Xi / Xa que se dan en la tabla siguiente.
Las concentraciones de los dos componentes más
volátiles son muy bajas en los fondos, pero pueden
aumentar rápidamente a medida que los cálculos. avanzan del rehervidor hacia el plato de alimentación. Estos
componentes más volátiles se "agotan" del líquido a
medida que fluye desde la alimentación. Por otro lado,
la concentración del componente menos volátil aumenta de manera gradual en el líquido que fluye desde la alimentación hacia el rehervidor. Los valores de la etapa 8
que se encuentran en la tabla se utilizan en el siguiente
paso.
8. La relación entre las composiciones de los fondos
y el destilado se calculan para cada componente mediante la Ec. 8-34. Por ejemplo, para el isobutano:
e.
e
e.
e
e
e
e.
(XO)eo=
10
40+ (60)(114.9599)(5.07341 x 10-6)
= 0.249781
(XB )eo se evalúa mediante la Ec. 8-47: Para el isobutano
(XB)eo
x 10-6)(0.249781)
= (114.9599)(5.07348
= 0.0001456
Las composiciones correctas para el destilado y los fondos son
XBJ
0.10168 _
-6
[ Xo ea = 20041.6713 - 5.07341 X 10
En este punto, se introduce el método para obtener
el perfil de temperaturas para una segunda prueba. Se
emplean las Ecs. 8-44, 8-45 y 8-46, pero primero se supone un valor inicial de
Por último
debe converger
en 1.0, por lo que este valor parece ser una suposición
razonable para la primera iteración. De manera alternativa, también puede emplearse un valor inicial de 0.0.
Para e" = 1.0, se aplica la Ec. 8-44 con F = 100 Y B =
60. Para evaluar fte) y r(e), se utilizan los cálculos que
se tabulan más adelante.
e
Ahora se usa este nuevo valor de en lugar de 1.0,
para evaluar un siguiente valor de
El procedimiento
continúa hasta que concuerden dos valores sucesivos
de
Empleando una computadora se obtiene
=
114.9599 con una precisión fIel = + 0.0001. (f(e)
debería ser cero cuando
converge al valor ccrrecto.)
La Ec. 8-41 se utiliza para calcular (~i )eo con el valor
final de
Por ejemplo, para el isobutano
(XO)eo
(XB)eo
(xo)eo
(XB)eo
iC4H10
nC4 H1 o
iCsH12
0.249781
0.0001456
0.744280
0.0038126
0.005588
0.329608
nCs H12
nC6 H14
0.000351
0.499766
0.000000
0.166667
A continuación, se emplean las Ecs. 8-48 y 8-49 para
calcular las composiciones de las etapas. Por ejemplo,
para el ¡-butano en la etapa 2, con los datos del paso 6
del método de Thiele-Geddes:
Etapa
Núm.
TOF
iC4HlO
nC4H10
iC4H10
nCsH12
nC6H14
15
14
13
12
11
10
9
8
240.00
228.21
216.43
204.64
192.86
181.07
169.29
157.50
1.0
6.02962
31.45430
145.79394
601.08504
2196.5677
7081.9290
20041.6713
1.0
4.89579
20.44754
75.06254
242.8143
689.9697
1714.0896
3702.8673
1.0
2.55870
5.4143
9.78843
15.23912
20.42914
23.50775
23.11656
1.0
2.19582
3.96064
6.05144
7.89992
8.82299
8.42111
6.86443
1.0
1.11659
1.07899
0.93525
0.75782
0.60243
0.49094
0.41960
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OPERACIONES POR ETAPAS CON MULTICOMPONENTES
159
8(XB l x O)ca Fz F
Componente FZF
iC4H1Q
nC4H1Q
iC5H12
nC5H12
nCSH14
10
30
20
30
10
0+ 88 (xBlxO)ca
(XB 1xO)ca
5.07341 x lO - s
4.45636 x 10- 5
0.513144
12.42298
1312628.4
Suma
[O + 88 (xBlxo)ca 12
0.249997
0.74995
0.28253
0.03820
1.2697 x 10- 7
1.9025 x lO-s
5.01273 x 10- 5
0.12288
0.036253
1.2697 x 10-7
1.32072
0.15918
Así, f(8) = 1.32072 - 1 = 0.32072
f'(8) = -0.15918
y por la-ec. 8-46
82 = 1.0 - 0.32072/(-0.15918) = 3.0148
(0.71249)(0.24978)
[(0.71249)(0.24978) + (1.34206)(0.74428)
+(8.09337)(0.005588) +( 14.15345)(0.000351)
+ (160.06193)(0.000000)]
X2=--------------------------------------
= 0.14603
pa, calculadas mediante las Ecs. 8-37 y 8-38 sumen 1.0
en cada etapa con ± 0.001.
En la Fig. 8-15 se muestran los perfiles finales de
composiciones. Nótese que los componentes intermedios pueden pasar a través de un máximo de concentración en puntos intermedios de la columna.
Para la etapa 2, los otros componentes dan
¡e5 H 12
X2
0.146034
0.813117
X2
0.0040415
0.000000
Variables de diseño
0.0368123
Estos valores de composición se emplean para calcular una nueva temperatura de la etapa 2, usando un cál culo simple de temperatura de burbuja, que se describe
en el Cap. 3. La temperatura resultante (89.47 o F) se
grafica en la Fig. 8-14, junto con las temperaturas para
otras etapas, que se calcularon con las nuevas composiciones evaluadas mediante el mismo procedimiento que
se mencionó para la etapa 2. Este nuevo perfil de temperaturas se usa como punto inicial para una segunda
iteración completa (comenzando en donde se supuso
por primera vez un perfil lineal de temperaturas).
El valor de para esta primera iteración (114.9599) se
encuentra muy alejado de 1.0, debido a que el valor inicial que se supuso para el perfil de temperaturas es
demasiado impreciso. Este alto valor de corrige la relación ()4,¡ 1XDi )ea para dar composiciones más razonables,
con las cuales puede calcularse un segundo perfil de
temperaturas. Se encontró un valor para la segunda
iteración completa igual a 0.3623; para iteradones poses 1.1648 (tercera), 0.9881 (cuarta). Se reteriores,
quieren cinco iteraciones completas para determinar
= 1.0001275, que es suficientemente cercano a 1.0.
Coomo una alternativa, es posible continuar la iteración
hasta que los perfiles de temperaturas concuerden con
una precisión arbitraria (como 0.01 o F). Una tercera alternativa es el requerir que las composiciones de la eta-
e
e
e
e
Un cierto número de variables de diseño tiene influencia
sobre la recuperación y pureza de los productos destilados y de fondos en una destilación de multicomponentes. En esta sección se tratan algunas variables importantes. Para hacer un estudio cuantitativo, se utiliza
como base el sistema del Ej. 8-11 y se efectúan cambios
en las diferentes variables. Se emplea como criterio la
recuperación y pureza de los butanos. Es decir, se supone que el objetivo de la destilación es recuperar en el
destilado una mezcla de isobutano y n -butano. El porcentaje de recuperación de butanos en el destilado deberá ser alto y la concentración de otros componentes
en el destilado será tan baja como resulte posible. Para
aislar el efecto de cada variable, se mantienen constanln-- -, - - r, - - - , - - , , - - -, - - -, -- - , - - ., - - .
2
3
4
5
.§ 6
'u 7
~
55 8
ª
« 9
10
e
15L-__~~L-__LL~~_ _L -_ _L -__L -__L-~
O
0.1
0.2
0.3
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
x
Fig. 8-15
Perfiles de composición para el Ej. 8-11.
http://carlos2524.jimdo.com/
160
PRINCIPIOS DE OPERACIONES UNITARIAS
tes todas las otras variables a los valores del Ej. 8-11.
Por ejemplo, para estudiar el efecto de la variación del
número total de etapas, se mantienen constantes las
otras variables (relación de reflujo, relación D/Fy localizaCión del plato de alimentación). En un diseño real, todas estas y otras variables se considerarían juntas, para
determinar el mejor diseño económico.
Número de etapas
Como se muestra en la Fig. 8-16, las recuperaciones de
ambos butanos y su concentración combinada aumentan a medida que se incrementa el número total de
etapas. Esto era de esperarse, puesto que un número
más alto de etapas da una mayor fraccionación de los
componentes ligeros y pesados. El número de etapas
que se selecciona por último, depende de factores económicos. ¿Compensa la recuperación adicional el gasto
que se hace para un número mayor de etapas? ¿Existen
usuarios potenciales para butanos de alta pureza a un
costo mayor? En el cálculo con computadora de los
datos para esta figura, la etapa de alimentación era la
etapa media en cada columna. Todas las variables con
excepción de N son las mismas que en el Ej. 8-11.
Relación del reflujo
Tanto la recuperación como la concentración de butanos aumenta al incrementar la relación de reflujo, como
se indica en la Fig. 8-17. En esta figura, todas las condiciones son las mismas que en el Ej. 8-11, excepto que
4/ D varía. El uso de relaciones de reflujo mayores para
la misma producción de destilado incrementa las velocidades internas de flujo del líquido y vapor. Esto, a su
vez, incrementa los costos de vapor de agua yagua de
enfriamiento y puede elevar los costos de equipo al requerir un diámetro de columna mayor, para manejar los
flujos más altos. Una vez más, debe lograrse un balance
económico.
Relación DIE
Una menor relación D/ F (es decir, una menor cantidad
de producto destilado por mol de alimentación) conduce a una mayor pureza de butanos, pero reduce el
porcentaje de recuperación de los mismos. En la Fig . 8-18,
aparece un óptimo de 0.4 para la relación D/F, en
donde tanto la pureza como la recuperación son más
altas. En este caso, todas las variables tienen los valores
del Ej. 8-11, con excepción de D / F.
98
Recuperación de i C4
96
Cl
e
Q)
(j' 94
Q)
"O
"O
E 92
eQ)
o 90
84
82
10
12
14
20
80~
N
Fig. 8-16 Variación con el número de etapas, del porcentaje
molar total de butanos en el destilado y el porcentaje de recuperación de butanos.
O
Fig.8-17
__
~
2
____L -_ _
4
~
_ _ _ _ ~_ _ ~_ _ _ _ ~
6
LolD
8
12
Recuperación y concentración en función de Lo/D.
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OPERACIONES POR ETAPAS CON MULTICOMPONENTES
161
1.000 r----,---...,.---,----,-------¡-----,-----,
1.0.---0--0-----0..
0.995
0.8
0.990
xC.
0.6
0.985
0.4
0.980
0.2 L -_ _...l..-_ _- I -_ _----'_ _ _-'--_ _--'
0.975
O
0.970
100.08::-----<>----<>-------
100
e
'o
.~ 99.5
80
~
c.
::l
()
rJ
Q)
~ 99.0
Q)
60
"O
"O
cf!.
e
'o
98.5
'(3
~
~ 40
::l
()
~
9
Q)
"O
10
localización de la etapa de alimentación (conteo total de 15 platos a
partir del domo)
cf!. 20
1.0
Fig. 8-19 Efecto de la localización del plato de alimentación
en la recuperación en D y en la concentración en el destilado.
D/F
Fig. 8-18 Recuperación y concentración de G en D.
Localización del plato de alimentación
En la Fig. 8-19 se muestra que existe un óptimo para la
localización del plato de alimentación. El óptimo ocurre
cerca de la mitad de la columna. La localización cercana
a cualquier extremo reduce tanto la pureza como la recuperación de butano.
Este breve tratado sobre las variables de diseño intenta ilustrar la complejidad de la elección del mejor
diseño. El ingeniero de diseño intenta lograr un óptimo
en un sistema multidimensional.
DESTILACION AZEOTROPICA
y EXTRACTIV A
Muchas mezclas son difíciles de separar por destilación
debido a que sus volatilidades relativas son cercanas a
1.0. Algunas de estas mezclas pueden separarse mediante la adición de otro componente que incremente
las volatilidades relativas de los constituyentes originales. La destilación posterior a la adición de un componente cuyo objetivo es el de incrementar las volatilidades relativas, se conoce como destilación azeotrópica
o destilación extractiva, dependiendo de la naturaleza
del componente que se añade.
En la destilación azeotrópica, el componente que se
añade es relativamente volátil, por lo que aparece en el
destilado. En muchos casos, forma un azeótropo mínimo con uno de los componentes originales; el azeótropo
mínimo sale por el domo con el producto destilado,
mientras que los demás componentes salen por el fondo. Desde luego, es necesario separar el agente azeotrópico del componente original, mediante un proceso
de separación apropiado. La destilación extractiva involucra la adición de un componente con una volatilidad
relativamente baja. El "disolvente" que se añade, desciende de etapa a etapa incrementando las volatilidades
relativas. Por último, sale por el fondo de la columna.
La destilación azeotrópica o extractiva se emplea para separar mezclas tanto binarias como de multicomponentes. Por simplicidad, aquí sólo se discute el caso de
mezclas binarias, pero los principios y cálculos son iguales para mezclas de multicomponentes.
La destilación azeotrópica o extractiva se basa en las
interacciones de los componentes en soluciones no
ideales. El agente azeotrópico o extractivo se selecciona
de tal manera que interactúe más con uno de los com-
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162 PRINCIPIOS DE OPERACIONES UNITARIAS
'1
ponentes que con el otro. Un agente azeotrópico puede
añadirse a una mezcla binaria casi ideal, de baja volatilidad relativa (es decir, los dos componentes tienen puntos de ebullición muy cercanos). Si las estructuras de
los componentes originales son suficientemente distintas, el agente azeotrópico puede interactuar con una de
ellas (por ejemplo, por formación de puentes de hidrógeno), aumentando así su volatilidad relativa.
La solución binaria original puede ser lo suficientemente no ideal, de modo que contenga un azeótropo binario que evite la producción de los componentes puros
por destilación simple. La adición de un agente azeotrópico puede "romper" el azeótropo binario y permitir la
producción de los componentes puros, aunque requiere
de unidades de separación adicionales para recuperar al
agente azeotrópico. Por ejemplo, el etanol y el agua
forman un azeótropo binario con una fracción mol de alcohol de 0.89, de manera que ésta es la solución alcohólica más rica que puede recuperarse por destilación
simple. La adición de benceno como agente azeotrópico, origina un producto destilado consistente en un
azeótropo ternario. Por el fondo de la columna se obtiene etanol puro. En el azeótropo ternario se pierde una
cantidad importante de etanol, que debe recuperarse.
Al condensarse, el azeótropo ternario que se obtiene
como destilado, se divide en dos fases líquidas. La fase
rica en benceno se regresa a la primera columna de destilación, mientras que la fase rica en agua se envía a una
segunda columna. En esta segunda columna, el destilado
es nuevamente el azeótropo ternario, que se condensa
y se envía al separador de fases (junto con el destilado
de la primera columna). Los fondos de la segunda columna son una solución acuosa de alcohol. Se envían a
una tercera columna, que produce un azeótropo alcohol-agua como destilado, mientras que por el fondo sale
agua pura. Este destilado se mezcla con la alimentación
que entra a la primera columna. Entonces, el efecto neto del proceso es la obtención de etanol puro yagua pura, a partir del azeótropo etanol-agua.
Los cálculos para una destilación azeotrópica son similares a los que se utilizan para la destilación simple de
multicomponentes. La adición de un agente azeotrópico a una mezcla binaria produce una mezcla de multicomponentes. Pueden emplearse los métodos de etapa
a etapa que se desarrollaron al principio de este
capítulo, para determinar la separación que es posible
lograr en una columna, o para determinar el número de
etapas que se requieren para una separación específica.
Se presentan dos diferencias. Los datos de equilibrio
son más complejos debido a que para un componente
particular, K es una función no tan sólo de la temperatura y presión, sino también de la naturaleza y concentración de los otros componentes presentes. Por tanto, se
debe contar con datos completos del equilibrio no ideal
para el sistema de interés. La segunda diferencia resulta del hecho de que el agente azeotrópico puede alimentarse en más de un punto de la columna. Los cálculos
deben tomar en consideración estas corrientes intermedias. En la destilación extractiva el disolvente no volátil
se alimenta como una corriente intermedia, cercana al
domo de la columna.
El tratamiento exhaustivo de la destilación azeotrópica y extractiva se encuentra más allá del alcance de este
libro. En la Ref. 12 se presenta un excelente estudio
sobre este tema.
REFERENCIAS
1. Andersen, L. B., and L. A. Wenzel, Introduction to
Chemical Engineering, McGraw-Hill, New York (1961).
2. Gilliland, E. R., and C. E. Reed,lnd. Eng. Chem., 34,
p. 551 (1942).
3. Hengstebeck, R. J., Distillation: PrincipIes and Design
Procedures, Reinhold, New York (1961).
4. Holland, C. D., Multicomponent Distillation, Prentice
Hall, Englewood Cliffs (1963).
5. Holland, C. D., MulticomponentDistillation,Prentice
No. 3, p. 153 (1962)
6. Hummel, H. H., Trans. A. l. Ch. E. , 40, p. 445 (1944).
7. Kwauk, M., A. l. Ch.E. Journal, 2, p. 240 (1956).
8. Lewis, W. K., and G. L. Matheson, Ind. Eng. Chem.,
24, p. 494 (1932).
9. Lyster, W. N., S. L. Sullivan, D. S. Billingsley, C. D.
Holland, Petr. Ref., 38, p. 221 (1959).
10. Thiele, E. W., and R. L. Geddes, Ind. Eng. Chem., 25,
p. 289 (1933).
11. Sherwood, T. K., R. L. Pigford, and C. R. Wilke, Mass
Transfer, McGraw-Hill, New York (1975).
12. Smith, B. D., Design of EquiJibrium Stage Processes,
McGraw-Hill, New York (1963).
13. Van Winkle, M., Distillation, McGraw-Hill, New York
(1967).
14. Wang, J. C., and G. E. Henke, Hydrocarb. Process., 45,
No. 8;p. 155 (1966).
PROBLEMAS
8-1 Intente listar todas las posibles combinaciones de variables independientes que definirían una sola etapa de equilibrio, que procesa una mezcla de tres componentes.
8-2 Determine el número de variables independientes que
deben especificarse para definir un condensador parcial. Sugiera una combinación adecuada de variables.
8-3 Determine el número de variables independientes que
debe especificarse para definir un rehervidor total. Sugiera una
combinación conveniente de variables.
8-4 En algunos sistemas con columnas de destilación
múltiples, el condensador de una columna se combina con el
rehervidor de otra que opera a menor presión, por lo que la
condensación suministra el calor de vaporización. También se
puede suministrar o eliminar calor adicional en forma directa.
Para el sistema que se muestra en la figura, determine el número de variables independientes que deben especificarse para definir el sistema con e componentes.
Reflujo de fase V
Componente
e
o
N
K
L
m
I
h
H
F
F
Ev
E..
Producto de fase V
Eficiencia de etapa de Murphree
de fase L
Eficiencia de etapa de Murphree
de fase V
Alimentación
Grados de libertad
Concentración de entalpía de
la fase vapor
Concentración de entalpía de
la fase líquida
Corriente intermedia
Cambio en el flujo de fase L
por unidad de alimentación
(en intersección de líneas de
operación)
Coeficiente de distribución
Una fase
Cualquier etapa en sección de
agotamiento
Ultima etapa en cascada
Producto de fase L
Componente
B
b
e
Componente
a
Designación
general
Varios
lb o lb mol
Valor K
Líquido
*
*
*
*
*
*
Fase refinado
*
*
*
*
*
Btu/lb o Btu/lb mol
*
*
lb o lb mol
Extracción
líquido-líquido
Extracción
sólido-líquido
*
*
Flujo inferior, lodo
*
Componente
soluto
Soluto
más volátil
Fondos o desperdicio Producto refinado
Componente menos Componente
princi- Inertes insolubles
volátil
pal del refinado
Condensador
Separador de disolvente
(No se define para
Disolvente extracto
Disolvente
destilación binaria)
Destilado o domo
Producto extracto
Eficiencia de líquido Eficiencia de refinado
de Murphree
de Murphree
Eficiencia de vapor Eficiencia de extracto
de Murphree
de Murphree
Destilación
Btu/lb o Btu/lb mol
lb o lb mol
%
lb o lb mol
%
lb o lb mol
Unidades
típicas
*
*
*
*
Constante de la ley lsaterma de adsorción
Henry
Líquido
Fase adsorbente
*
*
Fluido no adsorbldo,
fluido transportador
Producto adsorbente
Adsorbente
Soluto, adsorbato
Adsorción
líquida o
gaseosa
*
*
Eficiencia de líquido
de Murphree
Eficiencia de vapor
de Murphree
Gas inerte, gas
transportador
Aceite rico
Disolvente, líquido
absorbente
Gas soluto
Absorción
gaseosa
Designación Específica
PARTE 1: NOTACION y NOMENCLATURA PARA OPERACIONES POR ETAPAS
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Una fase
Relación de componentes en
fase L
Fracción de cualquier cornponente en
fase L
Relación de componentes en
fase V
Fracción de cualquier cornponente en fase V
Relación de componentes en
corrientes distintas a L o V
(como 1, F, ~)
Fracción de cualquier componente en corrientes distintas en
L o V
Factor de separación
Flujo neto, diferencia
Suma
Número de etapa
Q.D
V
X
lb o lb mol
lb o lb mol
Fracción masa o mol
Relación masa o mol
Fracción masa o mol
Relación masa o mol
Fracción masa o mol
Relación masa o mol
lb o lb mol
Btu/lb o Btu/lb mol
Btu/h
Btu/h
Btu/lb o Btu/lb mol
Unidades
típicas
*
*
*
Volatilidad relativa
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
Flujo superior
fase extracto
*
Extracción
sólido-líquido
*
*
*
*
*
*
Fase extracto
Vapor
*
Mezclador
*
Extracción
líquido-líquido
Rehervidor
o destilador
*
*
*
*
*
Destilación
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
Gas
*
Absorción'
gaseosa
e
-c V. ¡; iguales a L,- V, IJ., pero en la sección de agotamiento (L y Ven la sección.de enriquecimiento cuando se hace la distinción). e ~ ¡; iguales pero entre
*
*
*
*
*
*
*
*
*
Líquido o gas
*
*
Adsorción
liquida o
gaseosa
alimentaciones, L' , V : masas parciales de fases
V (sin contar uno o más componentes).
Subindices
- Muchos de los símbolos que se definen arriba, aparecerán como subíndices. Por ejemplo Xl. se refiere a la concentración de a en la fase L lque fluye de la etapa 3.
Los subíndices de números de etapa siempre denotan la etapa desde la cual fluye la corriente. Así, Lo fluye desde la etapa O (que no existe) a la etapa 1.
Superíndices
* Indica que la designación especifica es idéntica a la designación general. Los espacios en blanco indican que el término no se define para esa operación.
- Indica que el término no tiene dimensiones.
0,1,2
~
a
l!.
z
Z
y
y
x
S
Qc
q,
0..8
n
Cualquier etapa en sección de
enriquecimiento
Calor añadido en rehervidor por
lb o lb mol de fondos
Calor añadido en condensador
por lb o lb mol de destilado
Calor añadido en rehervidor
Calor añadido en condensador
Reflujo de fase L
Designación
general
Designación Específica
PARTE 1: NOTACION y NOMENCLATURA PARA OPERACIONES POR ETAPAS (continued)
>::c
S;
CJ)
~
Z
e
CJ)
rn
Z
O
>o
::c
tI:!
O
"ti
O
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CJ)
O
::¡;
Zo
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~
;;
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OPERACIONES POR ETAPAS CON MULTICOMPONENTES
Columna de baja presión
q
Lo
VI
Columna de mayor presión
8-5 Determine el número de variables independientes que
deben especificarse para definir al sistema de Probl. 6-23.
8-6 Determine el número de variables independientes que
deben especificarse para definir al sistema del Probo 6-24.
8-7 Considere una columna de destilación con dos alimentaciones de tres componentes, un condensador total y un
rehervidor parcial. ¿Cuántas variables deben fijarse para definir
al sistema? Sugiera un conjunto conveniente de variables que
defina al sistema.
8-8 Va a diseñarse una columna de destilación con una
alimentación, un condensador total, un rehervidor total y seis
corrientes de producto (incluyendo D y 8), para procesar una
mezcla de seis componentes. ¿Cuántas variables independientes deben fijarse para definir al sistema? Enumere un conjunto
conveniente de variables.
8-9 Un gas que contiene 90% de metano, 5% de etano,
3% de propano y 2% de butano (en volumen), va a lavarse
con un hidrocarburo líquido no volátil, en una columna de capuchones que opera a 2151b/plg2 y 60 °F. Se va a eliminar el
98% del propano. La alimentación de aceite se encuentra libre
de los componentes presentes en el gas.
(a) Determine gráficamente la relación mínima L/V.
(b) Determine gráficamente el número de etapas que se
requieren y la recuperación para todos los componentes, para
un valor L/V de 0.8.
(c) Determine (a) y (b) analíticamente.
(d) ¿Qué relación L/V debe ·emplearse para mantener la
misma recuperación de propano, con el mismo número de platos que en (b), si se reduce la presión a 44.7 lb I plg2 a 60 ° F?
8-10 Un hidrocarburo líquido que contiene 4% de
n-pentano, 2% de ¡-pentano y 3% de n-hexano, va a agotarse
con un gas inerte para eliminar el 90% del n-pentano. La alimentación es de 100 lb mol/h. La presión de operación es de
44.7Ib/plg2.
(a) Para una temperatura de 160 °F, determine gráficamente el número de etapas que se requiere para una velocidad
de flujo del gas igual al doble de la mínima; determine la recuperación de pentano y hexano.
(b) Se ha construido la columna de la parte (a) que se encuentra en operación. Se va a incrementar la recuperación de
n-pentano hasta el 95%. ¿A qué temperatura deberá operarse
el agotador para un mismo valor de VIL?
(c) Repita (a) en forma analítica.
8-11 Una mezcla gaseosa que contiene 90% de etileno,
6% de etano, 3% de propileno y 1% de propano, se alimenta a
una torre de absorción, equivalente a siete etapas de equilibrio. El gas se alimenta a una velocidad de 50 lb mol/h y se
emplea como absorbente un aceite de hidrocarburo no volátil.
Con ayuda del Apéndice D-2d, determine una temperatura,
una presión y una velocidad de flujo de absorbente, que aseguren una pureza del 99.9% para el etileno que sale por el domo del absorbedor.
8-12 Se va a emplear una columna de absorción equivalente a seis etapas de equilibrio para recuperar 95% del etano
165
de una corriente gaseosa que fluye a una velocidad de 80 lb
mol/h y contiene 78% de metano, 7% de etano y 15% de propano. Como absorbente se emplea un. aceite de hidrocarburo
no volátil. Las condiciones de operación son 465 Ib/plg2 y 20
°F.
(a) ¿Qué velocidad de absorbente deberá emplearse?
(b) ¿Cuál es la composición del gas de salida?
8-13 Van a tratarse 1 000 000 pies 3 /h (medidos a 1 atm y
32°F) de un gas que contiene 79% de metano, 9% de etano,
5% de propano, 4% de n-butano, 2% de isobutano y 1% de
n-pentano, en una columna de absorción que contiene 40 etapas reales. El aceite absorbente (densidad de 49lb/pie 3 ) se suministra a una velocidad de 20000 gal/h. El peso molecular del
aceite es 150. La torre opera a 44.7Ib/plg2 y 70°F. La eficiencia global de la etapa es del 20%. Calcular la recuperación para
cada ~omponente.
.8-14 Un líquido que contiene 3% de metano, 6% de etano, 4% de propano, 3% de isobutano y 2% de n-butano (el
resto es un aceite no volátil), va a agotarse con objeto de eliminar 98% del propano. La columna operará a 44.7Ib/plg2 y 120
°F.
(a) Determine una relación V / L apropiada y el número de
etapas de equilibrio que se requiere para la recuperación .
(b) ¿Cuál es la recuperación de los otros componentes?
8-15 El siguiente líquido saturado va a separarse para obtener un destilado y un producto de fondos, en una columna
de destilación que opera a 2 atm y tiene un condensador total
y un rehervidor parcial.
Alimentación: 60% en mol de benceno
30% en mol de tolueno
10% en mol de o-xileno
El destilado contendrá 98% del benceno que se carga, con una
concentración de 0.99 fracción mol.
(a) Determine el número de etapas que se requiere para
una relación de reflujo de 2.0.
(b) Trace un diagrama de composición en función del número de etapas.
(c) Estimar la relación de reflujo mínimo y el número
mínimo de etapas.
8-16 Van a separarse 100 Ib/mol/h de una mezcla líquida
saturada, con una composición del 50% en mol de benceno,
20% en mol de tolueno y 30% en mol de o-xileno, en un destilado con no más de 0.51b mol de o-xileno, y unos fondos con
menos de 0.5 lb mol de tolueno; la presión es 1 atm .
(a) Para una relación de reflujo de 3.0, ¿cuántas etapas
de equilibrio se requieren?
(b) Trace una gráfica temperatura-número de etapas y
otra de composición número de etapas.
(c) Grafique el número de etapas en función de la relación de reflujo.
8-17 Una mezcla de 50% en mol de benceno, 30% de tolueno y 20% de o-xileno, va a fraccionarse a un destilado que
contenga 99.8% en mol de benceno, 0.2% en mol de tolueno
y una cantidad insignificante de o-xileno. ka composición de
benceno en los fondos es de 0.0030 fracción mol. La columna
de destilación opera a una presión de 1 atm, con un condensador total y un rehervidor parcial.
(a) ¿Cuántas etapas reales se requieren para una relación
de reflujo de 10.0 y una eficiencia global de etapa del 6O%?
(b) Trace un diagrama composición-número de etapas.
Incluya el perfil de temperaturas.
(c) Estime el número mínimo de etapas y el reflujo mínimo.
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166 PRINCIPIOS DE OPERACIONES UNITARIAS
8-18 Una mezcla de isobutano, n-butano, isopentano y
n-pentano, va a fraccionarse en una columna equivalente a 35
etapas de equilibrio, más un conder.sador total y un rehervidor
parcial. El destilado debe tener una composición de 99.0% de
isobutano, con 95% del isobutano en el destilado. La columna
opera a 100 Ib/plg 2/abs. La alimentación es un líquido saturado que contiene 24% de isobutano, 30% de n-butano, 26% de
isopentano y 20% de n-pentano. ¿Qué relación de reflujo se
requiere?
8-19 La alimentación que se da más adelante va a separarse en un destilado que contenga menos de 0.21b mol/h de
propano y unos fondos con menos de 0.5 lb mol/h de propileno.
Alimentación
Propileno (C; H6 )
Propano (C3 He)
lb mol/h
35
n-Butano (NC~Hl0)
40
25
La presión de operación es 250 Ib/plg2 abs. Hay un condensador parcial y un rehervidor total.
(a) Estimar la relación mínima de reflujo yel número mínimo de etapas que se requiere a reflujo total.
(b) Determinar el perfil de temperaturas y el número de
etapas que se requiere para una relación doble a la del reflujo
mínimo.
(c) Grafique las composiciones líquidas en función del
número de etapas para una relación doble del reflujo mínimo.
8-20 La siguiente mezcla líquida saturada va a agotarse
de todos sus constituyentes más ligeros que el butano. No
más del 1% del propano que se carga puede aparecer en los
fondos, mientras que en el destilado puede haber un 2% de
butano.
Alimentación
Metano (CH4 )
Etano (CzH6)
lb mol/h
12
18
Propano (C3 Ha)
10
n-Butano (nC4 H10 )
60
La presión total es de 250 Ib/plg2 abs. Hay un rehervidor total
y un condensador parcial.
(a) ¿Cuántas etapas de equilibrio se requieren para una
relación de reflujo de 3?
(b) Grafique la tempertura y composición como funciones del número de etapas para '-o ID = 3.
(c) Grafique el número de etapa que se requiere como
una función de '-o ID, desde reflujo mínimo hasta reflujo total.
8-21 Una mezcla líquída de 25% de n-hexano, 40%
n-heptano y 35% de n-octano, se alimenta a la etapa apropiada de una columna de destilación, equivalente a 25 etapas.
Los fondos deben contener 98% de n-octano que se carga,
con una concentración de 99%. La presión total es 150 Ib/plg2
abs.
(a) ¿Qué relación de reflujo se requiere?
(b) ¿Qué relación de reflujo se requiere para una recuperación de n-octano del 99%, con una concentración de 99%?
(c) Grafique la temperatura y composición como funciones del número de etapas para una relación de reflujo igual
a la de (a) .
8-22 Una mezcla de n-butano, n-pentano y n-hexano va a
fraccionarse en una columna equivalente a 30 etapas de
equilibrio, a 150 Ib/plg2 abs. Unicamente debe aparecer en el
destilado, 0.5% del hexano que se alimenta, mientras que en
los fondos se pierde menos del 0.5% del n-pentano. La ali-
mentaCión contiene 10% de butano, 40% de pentano y 50%
de hexano.
(a) ¿Qué relación de reflujo se requiere para la separación?
(b) Grafique la temperatura y composición como funciones del número de la etapa.
8-23 Va a producirse propileno esencialmente puro
(99.0%), a partir de la siguiente mezcla:
Propileno
Propano
¡-Butano
n-Butano
n-Pentano
45%
25%
10%
15%
5%
Se va a emplear una columna existente que equivale a 50 etapas de equilibrio. Determine y grafique el porcentaje de recuperación de propileno en el destilado, en función de la relación
de reflujo. La presión es 250 Ib/plg2 abs .
8-24 Se va a recuperar n-butano puro (99.70%) a partir
de la siguiente mezcla:
n-Butano
n-Pentano
n-Hexano
55%
30%
15%
Para una relación de reflujo de 10, grafique el porcentaje de recuperación de butano en el destilado en función del número
total de etapas. La presión es 20 Ib/plg2 abs.
8-25 Verifique los cálculos del Ej. 8-11.
(a) Efectúe los cálculos de etapa por etapa desde los
extremos hasta la alimentación y determina (x" Xo)oa únicamente para el n-pentano.
(b) Empleando el valor de = 3.0148, continúe las iteraciones hasta que converja en 114.9599.
(c) Calcule una segunda prueba de temperatura para la
etapa 3.
8-26 Una mezcla que contiene 25% en mol de n-butano,
35% de n-pentano y 40% de n-hexano, va a fraccionarse para
producir n-butano prácticamente puro. Se tiene disponible
una columna equivalente a 7 etapas de equilibrio, que opera a
presión atmosférica. La etapa de alimentación se encuentra
a la mitad de la columna y puede utilizarse una relación máxima de reflujo de 4.0. Para un DI F de 0.23, ¿qué recuperación y
pureza de n-butano es posible lograr?
8-27 Para el sistema del Prob 8-26, determine un óptimo
de D/F que dé al mismo tiempo una pureza y recuperación
altas.
8-28 Se va a utilizar una columna de destilación existente
que equivale a 12 etapas de equilibrio, para producir propano
puro a partir de la siguiente mezcla:
e
Etano
Propileno
Propano
e
20%
30%
50%
La columna opera a 250 Ib/plg2 abs y se cuenta con boquillas
para la alimentación en la quinta y séptima etapas a partir del
domo. La relación máxima de reflujo es 0.5. ¿Qué porcentaje
de recuperación es posible alcanzar para una pureza de propano del 99%7
8-29 Una mezcla de 30% en mol de n-pentano, 50% en
mol de n-hexano y 20% en mol de n-heptano se alimenta en el
centro de una columna equivalente a 5 etapas de equilibrio,
que opera a presión atmosférica. Para un D/F de 0.25, ¿qué
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OPERACIONES POR ETAPAS CON MULTICOMPONENTES
relación de reflujo (si es que existe) permitirá la obtención de
un destilado con una composición de 0.995 fracción mol de
n-pentano?
8-30 Se desea recuperar el 99% del etano que se encuentra en la siguiente mezcla, en un destilado con 0.995 fracción mol de etano:
Etano
Propileno
Propano
55%
35%
10%
Determine la relación de reflujo y el número de etapas en una
columna que opere a 250 Ib/plg2 abs, que sea capaz de llevar a
cabo esta separación. Suponga que la alimentación se encuentra en la etapa central. (Puede haber más de una respuesta correcta a este problema.) Si el tiempo lo permite, haga un
estudio de los parámetros de la relación de reflujo yel número
167
de etapas, de modo que pueda emplearse en una evaluación
económica del diseño propuesto.
8-31 Diseñe un sistema de columnas de destilación para
separar en fracciones, todos los componentes de la siguiente
mezcla, en donde todas las fracciones deberán tener una pureza del 99%:
Isobutano
n-Butano
n-Pentano
n-HexanCil
25%
25%
25%
25%
Suponga que la columna opera a presión atmosférica y utilice
relaciones de reflujo de 4.0 o menores. Haga cualquier otra suposición razonable que se requiera. Especifique el número de
etapa-s que se necesita en cada columna.
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Parte Dos
Transporte Molecular
y Turbulento
Casi todas las operaciones unitarias involucran el transporte de masa, calor o momento. Este transporte puede
ocurrir dentro de una fase o entre fases. En muchos casos, es necesario conocer la velocidad de transporte de
masa, calor o momento a fin de diseñar o analizar el
equipo industrial para operaciones unitarias. Por ejemplo , en las operaciones por etapas que se cubrieron en
los capítulos anteriores, se supuso que la velocidad de
transferencia de masa entre las fases, era lo suficientemente grande para permitir el establecimiento rápido del
equilibrio. Sin embargo, en realidad la velocidad de
transferencia de masa es un factor importante en la determinación de la eficiencia de etapa, que debe conocerse para determinar el número de etapas reales que se
necesita para una separación dada.
El conocimiento de los principios del transporte de
momento, es indispensable para el diseño adecuado
de sistemas de bombas y tuberías, tan esencial para la
industria química de procesos . En forma similar, el diseño de intercambiado res de calor industriales se basa en
la comprensión del mecanismo fundamental del transporte para la energía térmica.
Los mecanismos fundamentales de transporte de
masa, calor y momento, se encuentran muy relacionados. Las ecuaciones de velocidad para los tres sistemas
de transporte tienen la misma forma y en el caso de al gunas situaciones físicas simples los mecanismos de
transporte son idénticos. El transporte molecular depen-
de del movimiento de las moléculas individuales. El
transporte turbulento resulta del movimiento de grandes grupos o agrupaciones de moléculas.
En los siguientes seis capítulos se estudiarán los mecanismos fundamentales del transporte molecular y turbulento, de masa, calor y momento. Los tres procesos
de transporte se encuentran estrechamente relacionados y se estudiarán en una forma general sifilmpre que
sea posible.
En muchos casos, se usan indistintamente los términos transporte y transferencia. Si se hace una distinción, normalmente se utiliza transporte con referencia al
mecanismo fundamental dentro de una fase simple,
mientras que transferencia se refiere al proceso global.
Una vez que se expliquen los mecanismos de transporte, se considerarán algunas aplicaciones. Se estu diarán los métodos de evaluación de las propiedades de
transporte. Se desarrollarán aplicaciones de los principios del transporte a la transferencia entre fases. Se
mostrará la integración de la ecuación de velocidad, en
donde la concentración varía a lo largo de la trayectoria
de contacto. Por último, una vez que se hayan desarrollado totalmente los fundamentos del sistema de
transporte, se considerarán las aplicaciones al diseño
de equipo industrial, en la Parte Tres de este libro.
Después del Cap. 14, se da una tabla con la notación
que se utiliza en la Parte Dos, junto con las dimensiones
y unidades típicas.
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Nueve
Mecanismo de Transporte
Molecular
El transporte molecular de masa, calor y momento ocurre en gases, líquidos y sólidos. Muchas operaciones
unitarias industriales se basan en este mecanismo físico
elemental. En general, el transporte molecular se debe a
la interacción de las moléculas individuales, aunque el
mecanismo específico depende del estado físico del medio de transporte y de la propiedad que se transporta.
De esta forma, mientras que los mecanismos son similares para la transferencia de masa y calor en un gas, en el
caso de un sólido son muy distintos.
Es posible lograr una comprensión del mecanismo de
transporte molecular a partir de un estudio de la teoría
cinética de los gases y líquidos, o bien con base en consideraciones de la física del estado sólido. Estas materias fundamentales son extremadamente complejas;
ninguna de ellas se considerará aquí con detalle. En su
lugar, se utiliza el modelo físico simplificado de un fluido
para derivar una expresión de la velocidad de transporte, como función de un gradiente de la concentración.
La ecuación general de transporte resultante se amplía a
gases, líquidos y sólidos reales. Se incluye un breve
estudio del mecanismo de transporte en cada estado físico, para destacar la diferencia que existe entre los materiales reales y el modelo físico simple. Por último, se
considera la correlación de datos experimentales para
predecir las propiedades de transporte de gases, líquidos y sólidos.
TRANSPORTE MOLECULAR
Cada molécula de un sistema tiene una cierta cantidad
de masa, energía térmica y momento asociado con ella.
Cuando existe una diferencia de concentraciones para
cualquiera de estas propiedades, desde una región del
sistema hasta otra, las interacciones entre moléculas
pueden producir un transporte neto de masa, energía
térmica o momento . El mecanismo real de transporte difiere en gran medida entre gases, líquidos y sólidos,
debido a las diferencias sustanciales en la estructura
molecular de estos tres estados físicos. Los gases contienen relativamente pocas moléculas por unidad de volumen. Cada molécula tiene pocas vecinas cercanas con
las cuales puede interactuar y las fuerzas moleculares
son relativamente débiles; las moléculas de un gas tienen libertad de moverse a distancias considerables antes de tener colisiones con otras moléculas.
Por su parte, los líquidos contienen una concentración de moléculas mayor por unidad de volumen, de
manera que cada molécula tiene varias vecinas con las •
cuales puede interactuar y las fuerzas intermoleculares
son mayores. Como resultado, el movimiento molecular
se restringe más en un líquido . La migración de moléculas desde una región hacia otra también ocurre en los
líquidos, pero a una velocidad menor que en el caso
de los gases. Las moléculas de un líquido vibran hacia
un lado y otro, sufriendo con frecuencia colisiones con
las moléculas vecinas.
En los sólidos, las moléculas se encuentran más unidas que en los líquidos; el movimiento molecular tiene
mayores restricciones. En muchos sólidos, las fuerzas
intermoleculares son suficientemente grandes para
mantener a las moléculas en una distribución fija que se
conoce como red cristalina. Resulta obvio que la migración molecular tiene mayores restricciones, aunque las
moléculas en la estructura cristatina continúan vibrando
alrededor de sus posiciones fijas.
Al enfriar un cierto material (es decir al eliminar energía), puede pasar de un estado gaseoso con movimiento molecular caótico e intenso, a un estado líquido con
movimiento restringido y una estructura más ordenada,
y después a un estado sólido con poco movimiento molecular de mayor orden. Desde luego, estas grandes
diferencias en el estado físico originan disimilitudes en el
mecanismo de transporte molecular.
Cuando un sistema contiene más de una especie química, puede ocurrir un transporte de masa. Si la
concentración de una de las especies es mayor en una
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172
PRINCIPIOS DE OPERACIONES UNITARIAS
región del sistema que en otra, el movimiento molecular
origina un transporte neto de la especie, desde la región
de mayor concentración hacia la región de menor concentración. Por ejemplo, si se abre una botella de perfume en medio de una habitación con aire sin movimiento, parte del perfume se evapora y las moléculas de
perfume se transportan por movimiento molecular, desde la región de mayor concentración de perfume, cercana a la botella, hacia la región alejada de menor
concentración. Este transporte molecular de masa se
conoce como difusión molecular. Debido a que el transporte molecular de masa necesita de una migración real
de moléculas, la velocidad de transporte de masa es mayor en los gases que en los líquidos; la difusión en sólidos es en extremo lenta para la misma diferencia de
concentración.
El transporte molecular de calor ocurre desde una región de alta temperatura hacia una región de menor
temperatura. Debido a que la temperatura es una medida de la energía interna de una molécula, una temperatura más alta indica una mayor energía interna. En
consecuencia, el calor es energía interna que sé transporta de moléculas de mayor energía a moléculas de
menor energía. Puesto que el calor es energía en tránsito, algunos científicos e ingenieros prefieren emplear
el término transporte de energía en vez de transporte
de calor. No toda la energía de una molécula puede
transportarse a través de la diferencia de temperatura
disponible. La parte de la energía interna que puede
transferirse a través de la diferencia de temperaturas se
conoce en ocasiones como energía térmica. El transporte molecular de calor se llama conducción. El transporte
de calor ocurre no sólo por migración molecular sino
que también se presenta, en forma aún más efectiva,
por colisiones de las moléculas que vibran alrededor de
posiciones relativamente fijas. La energía se transmite
por colisión de las moléculas vibratorias en líquidos y sólidos, en los que hay poca o ninguna migración. Como
resultado, muchos líquidos y sólidos son excelentes
conductores del calor, mientras que los gases son conductores relativamente pobres. Un conductor pobre es,
por definición, un buen aislante. En los metales, el calor
también se transporta por migración electrónica, como
se trata en la siguiente sección.
El transporte de momento ocurre en los gases y
líquidos que fluyen. Bajo fuerzas extremas, algunos sólidos pueden "fluir", pero no en la misma forma que los
líquidos y los gases. Un sólido cristalino puede fracturarse a lo largo de planos cristalinos, en vez de fluir de
manera uniforme. El presente estudio se limita a la mecánica de fluidos de gases y líquidos. En un fluido en
movimiento, una región puede poseer una velocidad
mayor que otra. Por ejemplo, para el flujo en un tubo,
puede demostrarse que la velocidad en el centro alcanza
un máximo, mientras que en la pared es cero. El momento se transporta desde la región de mayor velocidad
de flujo hacia la región de menor velocidad, por medio de
mecanismos de migración y colisión. En un gas, las
fuerzas intermoleculares son débiles, por lo que el trans-
porte de momento ocurre por migración y la posterior
colisión de las moléculas. En un líquido, las fuerzas intermoleculares son mayores, por lo que debe aplicarse
una fuerza sustancial para inducir el flujo de las moléculas. Como resultado, la velocidad de transporte de momento es mayor en los líquidos que en los gases, para
un mismo patrón de velocidad. El transporte molecular
de momento ocurre en el flujo laminar; los dos términos
se utilizan en ocasiones indistintamente.
Las aplicaciones prácticas del transporte de masa,
calor y momento se desarrollaron mucho tiempo antes
de que se entendieran los mecanismos básicos. Los ingenieros que aplicaron los principios de los tres tipos de
transporte no se interesaron en las similitudes que existen entre fos mecanismos de transporte. Como resultado, se desarrollaron tres sistemas distintos de notación
y nomenclatura. De esta forma, el nombre tradicional
para las operaciones unitarias que se basan en el transporte de momento es mecánica de fluidos o flujo de fluidos. La transferencia de calor y la transferencia de masa
también son operaciones unitarias tradicionales. Si
bien, sería deseable, desde un punto de vista fundamental, utilizar un conjunto de notaciones para estudiar
los tres sistemas, un ingeniero que utilice una nomenclatura unificada podría tener problemas de comunicación con la mayoría de los ingenieros de la industria. Por
esta razón, después de derivar la ecuación de velocidad
de transporte empleando una notación completamente
general para mostrar la interrelación, se escribirá de
nuevo con la terminología tradicional del transporte
de masa, calor y momento, para su aplicación a problemas industriales. En este estudio, conviene recordar
que no sólo hay similitudes fundamentales en el mecanismo, sino que también existen diferencias fundamentales.
Ecuación general para el transporte molecular
La derivación de la ecuación general de velocidad para
el transporte molecular requiere primero de la 'postulación de un modelo físico. El estudio anterior indica que
ningún modelo físico simple describe de manera adecuada el transporte en gases, líquidos y sólidos, debido
a las diferencias de estructura y de mecanismo de transporte de los tres estados. En esta sección, se empleará
un modelo físico muy simple que se basa solamente en
la migración molecular, para derivar la ecuación general
de velocidad. Aunque la ecuación de transporte resul tante sólo se puede aplicar estrictamente al modelo,
puede ampliarse a gases, líquidos y sólidos reales. Puesto
que el modelo nada más considera la migración molecular, sin tomar en cuenta el transporte turbulento y
otros mecanismos, se asemeja más a un gas que a un
líquido o a un sólido. En consecuencia, el modelo físico
que aquí se emplea se conoce como modelo simple de
los gases. Se pueden utilizar modelos más complejos
para la derivación, pero para los propósitos presentes, el
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MECANISMO DE TRANSPORTE MOLECULAR
modelo simple puede ilustrar de manera adecuada el enfoque general.
En 1860, J.C. Maxwell derivó por primera vez las
ecuaciones de velocidad para el transporte de masa, calor y momento. La siguiente derivación es una simplificación del enfoque de Maxwell y conduce a las mismas
ecuaciones finales. El modelo simple de los gases se basa en una teoría cinética de los gases ultrasimplificada:
1. El gas está constituido por moléculas, cada una de
las cuales es una esfera perfecta de diámetro a.
2. No existen fuerzas de atracción o repulsión entre
las moléculas del gas.
3. El volumen real de las moléculas es muy pequeño
en comparación con el volumen que hay entre las moléculas.
4. Todas las colisiones entre las moléculas son perfectamente elásticas.
5. Cada molécula tiene un movimiento aleator'¡o con
una velocidad media (e) en la dirección aleatoria.
6. Cada molécula se mueve una distancia 1entre colisiones con otras moléculas. La distancia 1 se conoce como trayectoria libre media.
7. El tiempo que requiere una molécula para recorrer
la trayectoria libre media, viajando a la velocidad media,
es el tiempo medio entre colisiones
Es decir, = I/C.
8. El número de moléculas es suficientemente grande para poder usar valores estadísticos promedio de las
propiedades, para describir todas las moléculas.
e.
e
Este es un esquema molecular de un gas altamente
idealizado. Las moléculas de los gases reales no son esféricas y pueden existir grandes fuerzas de atracción o
de repulsión entre ellas. Además, las moléculas se moverán a diferentes velocidades para diversas distancias
entre colisiones.
En el gas del modelo, todas las moléculas se mueven
que representa un valor medio
a la misma velocidad
de las distintas velocidades presentes en un gas real. En
forma similar, la trayectoria libre media es una cantidad
que comúnmente se define como la media de las diferentes distancias que viajan las moléculas entre colisiones.
La derivación considera que las moléculas del gas
ocupan el volumen que se muestra en la Fig. 9-1. Debido a que las moléculas tienen un movimiento aleatorio,
se mueven en todas las direcciones posibles. Para simplificar la situación, la derivación considera que las moléculas se mueven en direcciones paralelas a los ejes coordenados x, y y z. Así, una sexta parte del número total
de moléculas se mueven en la dirección + x en cualquier momento, una sexta parte en la sección -x, otra
parte en la dirección + y, etc. La atención se centra solamente en las moléculas que se mueven en las direcciones + x o-x. Se supone que las moléculas que se
mueven en las direcciones y y z no interactúan con las
moléculas que se mueven en la dirección x.
Existen ciertas propiedades asociadas con las moléculas individuales. Estas propiedades se transfieren
e,
173
-x
Fig. 9-1
Elemento de volumen del gas del modelo.
de una región de alta concentración hacia una región de
baja concentración. Algunos ejemplos de propiedades
transferibles son la energía térmica de las moléculas, el
momento del flujo de las moléculas o las identidades
químicas de las moléculas en una mezcla de dos componentes. Un pequeño volumen del gas del modelo posee
una cierta concentración de una de las propiedades que
se transfieren, que se designa con la letra griega gama:
r =concentración de la propiedad que va a transferirse, en dimensiones de cantidad de propiedad
que se transfiere por unidad de volumen del gas.
Se postula inicialmente la existencia de un gradiente de
concentración en el elemento de volumen que se
muestra en la Fig. 9-1, en donde dr /dx es el gradiente,
que se define como el aumento en la concentración con
respecto a la distancia en la dirección . + x.
Los tres planos se encuentran separados por una distancia 1 y cada uno de ellos tiene un área áy áz. La concentración en el plano 2 puede relacionarse con la concentración en el plano 1 por medio de:
dr
r 1 =r 2 +-
dx
(-1)
(9-1 )
\ en donde dr /dx es el gradiente y -1 es la distancia desde el plano 2 hasta el plano 1, ya que + x se' define hacia
la derecha.
En forma similar,
(9-2)
El gradiente de concentración se muestra esquemáticamente en la Fig. 9-2a. Se supone que el gradiente es
constante en el elemento de volumen.
En cualquier momento específico, las moléculas cruzarán el plano 2 tanto en la dirección + x como en la
dirección -x. El movimiento total de moléculas en el
plano 2 será la suma vectorial de los movimientos moleculares en estas dos direcciones. Las moléculas que se
mueven en la dirección + x llegarán al plano 2 habiendo
tenido su última colisión en el plano 1. De acuerdo con
esto, se supone que llegan al plano 2 con una concentra-
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174 PRINCIPIOS DE OPERACIONES UNITARIAS
Plano
2
3
Plano
2
3
Pendiente
promedio =
(~n2-3 =
t
r
r
promedio
=
(:;)1--'2 =
%--
%-
(a)
(b)
Fig. 9-2 Gradientes de concentración en el transporte molecular. (a) Gradiente de concentración a estado 'estable. (b) Gradiente de concentración a estado inestable.
clon de la propiedad que se transfiere (por ejemplo,
el momento) característica del plano 1. Estas moléculas
se desplazaron una distancia 1 en un tiempo e:..por ello,
las moléculas viajan con una velocidad l/e. Como
se mencionó con anterioridad, las moléculas que se
mueven en la dirección + x son sólo la sexta parte de la
concentración total de las moléculas en cualquier volumen. El flujo de moléculas que se mueven desde el
plano 1 hasta el plano 2 es entonces, igual a la concentración de moléculas que se mueven en esa dirección
r1 ) multiplicada por la velocidad Uie) y se designa mediante la letra griega psi
(t
(9-3)
El flujo t¡J 11-2) tiene dimensiones de cantidad de propiedad que se transfiere por unidad de tiempo y por unidad de área de transporte.
En forma similar, el flujo desde el plano 2 hasta el pIano 1 es
la dirección -x en un mismo punto o en cualquier región
de flujo uniforme, como la que se encuentra entre los
planos 1 y 2, para evaluar el flujo neto que escribiremos
como t¡J después de la Ec. 9-5.
De las Ecs. 9-3, 4 Y 5,
~ = ~~ + ( -;; 1)
Por otra parte, si la pendiente del gradiente de concentración en esta geometría de placa plana no es constante, como se muestra en la Fig. 9-2b, la acumulación
no es cero y existe un estado inestable. El estado inestable se considera una vez más en el Cap. 11. Puesto
que el flujo se define como constante en tiempo y posición, la Ec. 9-6 es aplicable en forma general y los
subíndices de posición pueden omitirse. Podemos
expresar el tiempo entre colisiones como
-
I
()=-
(9-7)
e
(9-4)
El signo negativo se debe a que el flujo se define como
positivo si se mueve en la dirección + x. Por tanto,
puesto que el flujo desde el plano 2 hasta el plano 1 es
en la dirección -x, el valor numérico de este flujo debe
ser negativo.
El flujo neto es positivo en la dirección + x. Puesto
que se define que este sistema no varía con el tiempo
y que existe un gradiente de concentración constante y
uniforme de la propiedad que se transfiere, podemos
evaluar la suma del flujo en la dirección + x y el flujo en
(9-6)
Sustituyendo en la Ec. 9-6
~
dr
=-i/cdx
(9-8)
Si el gradiente es negativo, como se muetra en la Fig.
9-2a, el flujo será positivo en la dirección + x, debido a
que hay un signo negativo en la Ec. 9-8.
La Ec. 9-8 es el resultado final de la derivación. Establece simplemente que el flujo de la propiedad que se
transfiere es proporcional al gradiente de concentración
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MECANISMO DE TRANSPORTE MOLECULAR
de esa propiedad. Para el gas del modelo, la constante de
proporcionalidad es tIc. Para gases reales, la constante de proporcionalidad se podría evaluar a partir de
datos experimentales o bien calcularse mediante una
teoría cinética más sofisticada. El resultado de esta derivación es por completo general para cualquier transporte que dependa del movimiento molecular aleatorio. Se
aplicará en las siguientes secciones a los casos específicos de transporte de masa, calor y momento.
175
TRANSPORTE DE MASA, CALOR
y MOMENTO
Como se mencionó antes, la terminología para los tres
sistemas de transporte es tradicionalmente diferente. La
notación se da en la Tabla 9-1. También se incluyen las
unidades dimensionales típicas. Al final de la Parte 11 se
dan las definiciones para los términos de los tres sistemas, que se considerarán en detalle más adelante. La
Tabla 9-1 Notación para el transporte de masa, calor y momento.
Notación específica (con dimensiones)
Notación
general
para el
gas
modelo
Flujo de la propiedad que se transfiere
1/1 neto
Concentración de la propiedad que se transfiere
r
Constante de proporcionalidad,
de transporte
Transporte
de masa
Transporte
de energía
térmica
Transporte
de
momento
la difusibidad
v=I:!.(L28¡
p
x
Unidades típicas
Símbolo
No
-;,
Velocidad de transporte de masa
Velocidad de transporte de energía térmica
Esfuerzo cortante sobre el fluido
{J:
Constante dimensional
A
Area de transporte
Concentración
Capacidad calorífica
Temperatura
Velocidad del fluido
Conductividad térmica
Densidad
Viscosidad absoluta*
Difusividad generalizada de
transporte
Difusividad de masa
Difusividad térmica
Difusividad de momento
q
G.
q,
T
v
k
e
/i
d
~
a
v
Inglés de
ingeniería
Métrico
(cqs)
Sistema
Internacional
M/B
Ibmol/h
9 mol/s
mol/s
H/B
F/L"L,
MtfB215
Btu/h
Ib,/pie2
4.18 x lOS
lb pie/h-lb,
pie2
cal/s
dlna/cm-
J/s
'N/m2
1.0
9 crn/s- dina
cm2
1.0
kg rn/Ns!
m2
lb rnol/pie!
Btu/lb °F
°F
pie/h
Btu/h pie2(OF/pie)
lb/pie!
lb/pie h
9 rnol/cm!
cal/g °C
°C
cm/s
cal/s cm2 (OC/cm)
g/cm3
g/cm s
rnol/rn!
J/kg °C
°C o K
mis
J/s m2(OC/m)
kq/rn!
kg/m s
pie2/h
pie2/h
pie2/h
pie2/h
crn-/s
cm2/s
cm2/s
cm2/s
m2/s
m2/s
m2/s
m2/s
Definición
Dimensiones
L"L.
M/L.L"L.
H/MT
T
Ly/B
H /BLyL, (T / L,)
M/L,LyL,
ML'/L"L,B
L,l/B
U/B
L,vB
L,2/B
* La bibliografía de ingeniería química utiliza predominantemente
estas dimensiones de viscosidad que se incluyen a la masa; esta unidad dif.iere de la dimensión estándar del SI, Pa s, por el factor de conversión de fuerza a masa, que en el SI tiene un valor numérico unitario, pero incluye dimensiones.
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176 PRINCIPIOS DE OPERACIONES UNITARIAS
Ec. 9-8 es la ecuación general de transporte para una dimensión. Puede escribirse en los términos que se registran en la Tabla 9-1 para cualquier sistema de transporte
específico. En las siguientes secciones se considerará
por separado el mecanismo de los tres sistemas de
transporte y se examinarán a manera independiente las
tres ecuaciones de transporte específicas. La forma de
cada ecuación es idéntica a la que se empleó para la
ecuación general. Se dará atención especial al significado físico de los flujos y gradientes específicos.
Transporte de masa
Si el gas del modelo consiste en dos diferentes tipos de
moléculas, puede presentarse el transporte de masa. Se
supondrá que el elemento de volumen descrito en la
Fig. 9-1, contiene dos especies diferentes de gas, que se
designan como a y b. El transporte de masa únicamente
ocurrirá si la concentración de la fase gaseosa no es
uniforme. De acuerdo con el modelo original, todas las
moléculas son del mismo tamaño y se mueven a velocidades iguales en una dirección aleatoria. Si en un volumen dado se encuentran presentes más moléculas del
gas a, éstas tenderán a migrar por movimiento molecular aleatorio, hacia una región vecina de menor concentración del gas a. Si se mantiene la diferencia de
concentración, se desplazará un flujo estable del gas a
desde la región de mayor concentración hasta la región
de menor concentración.
Sería posible derivar la ecuación de transporte de
masa considerando moléculas individuales y concentraciones en términos de moléculas por unidad de volumen. Sin embargo, el ingeniero se interesa en las
propiedades promedio de grupos de moléculas, por lo
que es más conveniente expresar la concentración en
términos de moles por unidad de volumen, en donde
Moles del gas a =
concentración del gas a,
lb mol del gas a
pie 3 totales de gas
(9-9)
mientras que las unidades en el SI serían mol/m 3 .
En el elemento de volumen que se presenta en la Fig.
9-1, la concentración del gas a varía de plano a plano.
Se supone que la concentración varía en sentido lineal
del plano 1 al plano 3. Es decir, el gradiente de concentración es constante y existe un estado estable.
A partir de este punto, la derivación procede exactamente como en la Ec. 9-8. El resultado final puede escribirse con referencia a la Ec. 9-8 y a la Tabla 9-1:
Na
dC a
-=-l/cA
"6
dx
e
Na = _~dca
A
dx
(9-11 )
en donde::» es la difusividad de masa con unidades de
pie 2 /h (o m 2 /s).* Con frecuencia se considera a la Ec.
9-11 como punto de partida para el transporte de masa
en gases, líquidos o sólidos. Las difusividades de masa
varían con la temperatura y la presión; la Ec. 9-11 enuncia la ley de Fick, que en realidad no es una ley física
fundamental, sino sólo una definición de ~. La difusividad de masa para gases líquidos y sólidos se determina
experimentalmente o se calcula mediante correlaciones
empíricas, tal como se analiza en una sección posterior.
En la mezcla de gases, las moléculas de b tienen el
mismo movimiento aleatorio que las del gas a. Por tanto, si existe una diferencia en la concentración del gas b
en un volumen dado, el gas se difundirá desde la región
de mayor concentración hasta la de menor concentración. Para el gas b la Ec. 9-10 puede escribirse como
(9-12)
y la Ec. 9-11 puede escribirse para el gas b en la siguiente
forma:
moléculas del gas a
número de Avogadro
En el SI, el número de Avogadro es 6.02 x 1023 moléculas por mol de gas. En ingeniería, la notación para la
concentración en el transporte de masa es
Ca' =
el término NJA es el flujo de masa de un componente a
que resulta del transporte molecular a lo largo de un gradiente de concentración de. Idx.
La Ec. 9-10 es aplicable únicamente al gas simple del
modelo. Es necesario ampliarla ahora a gases, líquidos y
sólidos reales. En los tres estados físicos es posible medir el flujo de masa (N. lA) y el gradiente de concentración (de. Idx), pero la trayectoria libre media I y la velocidad media se postularon como parte del gas simple
del modelo. Entonces, la Ec. 9-10 puede aplicarse a materiales reales reemplazando simplemente el factor tIc
por uno nuevo, determinado de modo empírico,::». La
Ec. 9-10 se transforma en
(9-10)
(9-13)
Para gases reales diluidos o para líquidos, los coeficientes de difusión que se definen en las Ecs . 9-11 y 9-13 son
idénticos.
Las velocidades de difusión de los gases a y b se interrelacionan como se explica en el siguiente párrafo. La
concentración total c, para la mezcla gaseosa es
(9-14)
Si la temperatura y la presión totales son constantes, el
número total de moles por unidad de volumen le,) es
constante. Al diferenciar la Ec. 9-14 con respecto a la
distancia x se obtiene
0= dC a + dCb
dx
dx
* Las unidades entre paréntesis corresponden al SI.
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MECANISMO DE TRANSPORTE MOLECULAR
o
dC
dCb
dx
dx
a
-=
--
(9-15)
Entonces, si existe un gradiente en el gas a, existe un
gradiente en el gas b. El gradiente del gas b es igual pero
de signo contrario al del gas a. Puesto que hay un gradiente para b, debe existir un flujo de masa de b, según
lo establece la Ec. 9-13. La combinación de las Ecs.
9-11,9-13 Y 9-15 da
177
Solución El mecanismo operante es la contradifusión equimolar de los gases a y b . En la Fig. 9-3 se
muestra el gradiente para el estado estable. Se usará la
Ec. 9-18:
A x = O, p. = 0.9, P, donde Pes la presión total, A x =
0.15 m, p. = 0.05 P. Al integrar la Ec. 9-18 entre estos
límites se obtiene
(9-16)
Esto prueba que las velocidades de difusión son iguales
pero tienen direcciones opuestas. La Ec. 9-16 siempre
es válida para mezclas binarias, sin importar qué otros
mecanismos de transferencia de masa puedan operar.
Las velocidades de transferencia de las dos especies por
transporte molecular son siempre iguales pero en direcciones opuestas. Cuando el transporte molecular es el
único mecanismo presente, el proceso de transferencia
global se conoce como contradifusión equimolar. Esta
da perfiles de concentración lineales para estados estables, para las coordenadas rectangulares que se utilizan aquí. En el Cap. 10 se desarrollará otro proceso de
transferencia que involucra dos mecanismos de transporte. Este último conduce a perfiles de concentración
curvos.
La Ec. 9-11 puede ser expresada en términos de la
presión parcial del gas a. De la ley de los gases ideales
p. V = n.RT.
C
a
na Pa
=-=V
RT
A
RT dx
~----_---.:.
A
RT
(0.15-0)
Sustituyendo P = 100 kN/m 2 ,
8.3 144 (N/m 2 ) m3 /mol K
Na
A
--
T = 273.15 K; R =
(1.57 X 10- 5 )(0.05 - 0.9)(105 )
(8.3144)(273.15)(0.15)
= 0.00392 molls m2
Puesto que
A = 7T(O.002)2/4 = 3.142 x 10- 6 m 2
Na = 1.231 X 10- 8 mol/s
Debe mencionarse que para esta ilustración, tanto ~ como A eran constantes. Si sufrieran variaciones con respecto a x o a c., deberán incluirse dentro del signo de
integración cuando se integró la Ec. 9-18.
Transporte de calor
(9-17)
Sustituyendo ~ de la Ec. 9-17 en la Ec. 9-11 da
Na
~ dPa
-=--- --
-Na =- -!!) (0.05 P - 0.9 P)
(9-18)
donde
Po = presión parcial del gas a, atm (o N/m 2 )
T = temperatura absoluta, °R (o K)
R = constante de los gases, pie 3 atm/lb mol °R
[o (N/m 2 )m 3 /mol Kl
Esta ecuación es una forma alterna de la Ec. 9-11.
Ejemplo 9-1 Se conecta un tanque grande lleno de
una mezcla de metano y aire a un segundo tanque, lleno
de una composición diferente de metano y aire. Ambos
tanques se encuentrar. a 100 kN/m 2 y O oC. La conexión
entre los tanques es un tubo de 2 mm de diámetro interno y 150 mm de longitud . Calcular la velocidad de transporte de metano a través del tubo en estado estable,
cuando la concentración de metano es de 90% mol en
un tanque y de 5% mol en el otro. Suponer que el transporte entre los tanques se lleva a cabo por difusión molecular. La difusividad de masa del metano en aire a O oC
y 100 kN/m 2 es 1.57 x 10-5 m 2 /s .
Si las moléculas de un gas que se encuentran en una región poseen una mayor cantidad de energía térmica que
las que se encuentran en una región vecina, parte de la
energía térmica se transporta por medio del movimient o
molecular aleatorio, desde la región de mayor energía
hasta la de menor energía. La energía térmica en transporte se conoce como calor. Mientras mayor sea la
temperatura del sistema, mayor es la concentración de
energía térmica. Entonces, el calor se transportará de la
región de mayor temperatura a la región de menor temperatura.
Puede suponerse que existe un gradiente de temperatura constante a través del elemento de volumen del
gas modelo, descrito en la Fig. 9-1. La concentración
de energía térmica en cada placa de gas es igual a PCp T
Btu/pie3 (o J/m 3 ), en donde P es la densidad, Cp es el
calor específico y T es la temperatura del gas. Esta
0.9 P
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 0.05 P
o
x ~
0.15 m
Fig. 9-3 Gradiente de concentración para el Ej. 9-1.
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178 PRINCIPIOS DE OPERACIONES UNITARIAS
expresión es una medida relativa del contenido de
energía térmica del gas. Se basa en una asignación arbitraria de cero energía térmica, tal como T = O K. Por
lo general T aparece como una diferencial o como una
diferencia, de tal forma que se cancela la asignación arbitraria de temperatura .
La concentración de energía térmica en el plano 1 es
(P CP T)l, la concentración en el plano 2 es (P cp T)2 yen el
plano 3 es (P cp n 3 • La trayectoria libre media y la velocidad media del gas modelo varían con la temperatura. En
este caso, se supondrán valores promedio constantes
para I y e.
La derivación de la ecuación de la velocidad de transporte de calor es similar a la de la Ec. 9-8. El resultado es
!l = -l/e d(pcp T)
A
(9-19)
dx
En la tabla 9-1 se definen los términos de esta expresión.
Es posible aplicar la Ec. 9-19 a gases reales, líquidos y
sólidos mediante el reemplazo del factor le que se derivó para el gas simple del modelo, por una constante
empírica a,
t
q
A
- = -(\'
d(pcp T)
dx
(9-20)
en donde a es la difusividad térmica, con unidades de
pie 2 /h (o m 2 /s). Debido a que el mecanismo de transporte de calor difiere del de transporte de masa, por lo
general a no tiene el mismo valor que ~ en los materiales reales. La Ec. 9-20 se utiliza por lo general en una
forma ligeramente modificada que emplea la conductividad térmica k (ya que a = k/P cp)
q
dT
-=-kA
dx
(9-21)
donde k = conductividad térmica, Btu/h pie 2 (OF/pie)
[o J/s m 2 (OC/m)].
T = temperatura, °F (o OC)
El término q / A es el flujo de calor y dT/ dx es el grdiente
de temperatura. Las propiedades de a, k, P y Cp se deben determinar experimentalmente o predecirse mediante correlaciones empíricas, como se trata en la siguiente sección. La conductividad térmica puede variar
con la temperatura y la presión. Si k no varía con la temperatura, la Ec. 9-21 es un enunciado de la ley de
Fourier. En realidad, esta "Iey" es simplemente una definición de k. La conductividad térmica varía mucho entre los gases, líquidos y sólidos, debido a la importante
diferencia en el mecanismo de transporte de calor en los
tres estados.
Ejemplo 9-2 Determine la velocidad de conducción
a través de una varilla de cobre de 2 mm de diámetro y
150 mm de longitud. La temperatura en un extremo es de
300 yen el otro de 20 OC. La conductividad térmica pro-
medio es 1.36 x 106 J/s m 2 (OC/m). Suponga que el
calor se suministra o elimina únicamente por los extremos.
Solución La integración de la Ec. 9-21 con k constante da
q=-
kA(T2 - T 1 )
X2 -X1
Ahora
A = 7T(0.002)2/4 = 3. 142 x 10- 6 m 2
T1 = 300° C a x 1 = O
T2 =20°Ca x2=0.15m
Entonces
(1.36 x 10- 6 )(3.142 x 10- 6 )(20-300)
q=.=(0.15-0)
= 7980 J/s
Transporte de momento
Debido a que es difícil visualizar físicamente los conceptos de flujo de momento y concentración de momento,
se considerará en detalle el mecanismo de transporte de
momento en el gas del modelo.
Cada molécula del gas modelo tiene una masa m y
una velocidad aleatoria e. Por tanto, cada molécula
tiene un momento
en una dirección aleatoria. El momento de cada molécula se encuentra en una dirección
aleatoria, sin embargo, del mismo modo la suma vectorial de todos los momentos en un volumen dado es cero
y no existe momento en exceso para transferirse. Un
gas posee un momento transferible únicamente si varias
regiones del gas poseen diferentes concentraciones de
momento. Las diferencias de momento se presentan
cuando hay diferencias de velocidad molecular. Las moléculas del gas modelo que se presentan en la Fig. 9-4a,
tienen un movimiento aleatorio con una velocidad e. La
longitud de la flecha que se encuentra sobre cada molécula indica la magnitud de su velocidad, mientras que la
dirección de la flecha indica la dirección de la velocidad.
Cada una de las moléculas que se encuentran en'las tres
placas que se muestran, se mueven a la misma velocidad y por consiguiente, poseen un momento de igual
magnitud a los de todas las otras moléculas. Ya que la
dirección de movimiento es aleatoria, la suma de todos
los momentos es cero .
Por otro lado , como se muestra en la Fig. 9-4b, el
gas modelo tiene adicionalmente una velocidad de flujo
ven la dirección + y. Se puede considerar que cada molécula tiene dos componentes de momento,
en una
dirección aleatoria y mv en la dirección + y. Si la velocidad de flujo fuera constante en las tres placas, la concentración de momento de cada placa sería la misma y
no existiría un transporte neto de momento de placa a
placa. En el gas del dibujo, las velocidades de flujo en
las placas son distintas, como lo indica la longitud de,las
flechas que representan el momento de flujo. Este es un
esquema ideal; las velocidades de flujo dentro de cualquier
me
me
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MECANISMO DE TRANSPORTE MOLECULAR
179
x_
Placa 1
Placa 3
Placa 2
(a)
x_
Placa 2
Placa 1
Placa 3
(b)
Fig. 9-4 Representación vectorial del momento en el gas modelo. (a) Momento del movimiento molecular aleatorio. (b) Momento de flujo sobrepuesto al momento molecular aleatOriO(Vl >V2 >V3)'
placa son supuestamente uniformes. En realidad, las velocidades variarán de modo uniforme en la dirección x.
La velocidad v en la dirección + y es una velocidad
macroscópica o global. Es equivalente a un flujo real del
gas en la dirección + y. Si las moléculas que se encuentran en la placa 1 fluyen a una velocidad 11" cada
molécula tiene dos componentes de momento, me y
ml1,. En forma similar, los componentes del momento
en la placa 2 son me Y mvz , mientras que para la placa 3
son me Y mV3' En el gas modelo me es uniforme a través
del elemento de volumen y la suma vectorial de todos
los me es cero. Por tanto, no contribuye al exceso
de momento necesario para el transporte de momento.
Si las velocidades de flujo de las tres placas no son
iguales, puede existir un exceso de momento en una
placa, en comparación con otra . El momento que causa
el flujo global del gas en la dirección y se transferirá
entre las placas en la dirección x, como se indica en la
Fig.9-4b.
Se considera que el gas del modelo fluye de manera
regular en la dirección + y. Hay grupos promedio de
moléculas que fluyen en direcciones paralelas a los pIanos xy y yz. Entonces, no existe un movimiento aleatorio en lo que concierne al flujo de gas. Por supuesto, las
moléculas individuales continúan moviéndose aleatoriamente en cualquier dirección, pero el movimiento
promedio es uniforme en la dirección del flujo. Este movimiento macroscópico uniforme se conoce como flujo
laminar. Al fujo macroscópico aleatorio mayor, se le conoce como flujo turbulento; éste se estudiará en el Cap. 12.
El gradiente de velocidad entre los planos del gas que
se muestra en la Fig. 9-4b se supone constante. Cada
placa de gas tiene un momento diferente. Las moléculas
individuales que viajan de una placa a otra por movi-
miento aleatorio en la dirección x, llevan con ellas su
momento de flujo y. Esto resulta en el transporte de momento de flujo de una placa a otra.
La concentración de momento para cualquier volumen de gas es igual al momento total que posee el gas
dividido entre el volumen del gas. Si en la placa 1 hay n
moléoulas, la concentración de 'momento es nmvi /A.y
A.z l. Pero nm es igual a la masa total de gas en el volumen A.y A.z l.
Entonces, la densidad del gas es
m
nm
p = V = ~y ¡Uf
donde m = masa total = nm, y la concentración de
momento en la placa 1 se convierte en P Vi • En forma similar, las concentraciones de momento en las otras placas son P Vz y P V3 .
El flujo de momento es igual a la velocidad de transporte de momento dividida entre el área de transporte.
Una expresión general para el flujo de momento es
1 d(mv)
Flujo de momento = - - -
A
de
(9-22)
donde
A = área de transporte
m = masa total que se acelera
v
velocidad
= tiempo
e
A estado estable, el flujo de momento es constante.
Además, en el gas modelo, ves constante para las moléculas que se originan en cualquier placa. Entonces,
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180 PRINCIPIOS DE OPERACIONES UNITARIAS
.
- - = -'-v -Am (9-23)
1 A(mv)
fluJo de momento = -
A
A Aa
Aa
Para el gas modelo, A = Ay Az, MJ = 1J y Am = t p Ay
Az/, puesto que, solamente se mueve en la dirección + x
una sexta parte de las moléculas que se encuentran en
un elemento de volumen. La Ec. 9-23 se transforma en
1 A(mv) (pv) Ay Az I (pv) I
- - --=
= -A Aa
6e Ay Az
6e
(9-24)
A partir de este punto, la derivación es similar a la de
la Ec. 9-8. El resultado para el transporte de momento
correspondiente a la Ec. 9-8 es
~ A(mv) neto = _ 1 re d(pv)
A
Aa
b
dx
(9-25)
El lado izquierdo de la Ec. 9-25 tiene dimensiones de
fuerza por unidad de área, debido a que la fuerza puede
definirse como la velocidad con que se incrementa el
momento con respecto al tiempo. En los siguientes
párrafos se profundiza sobre esta idea.
Es interesante ahora examinar los mecanismos de
transporte de momento con objeto de definir al flujo
de momento en términos convencionales. El flujo de
momento no puede medirse en forma directa, pero est~
relacionado con la fuerza o el esfuerzo cortante que actúa sobre una fase fluida.
En el gas modelo, el intercambio de moléculas y momento entre las placas 1 y 2 resultará en fuerzas de
aceleración entre las placas, como se muestra en la Fig.
9-5. Se supone que V1 es mayor que V2. Las moléculas
que salen de la placa 1 y llegan a la placa 2 se deben
desacelerar, por lo que su momento puede distribuirse
en la placa 2. Esta desaceleración ejerce una fuerza
sobre la placa 2 y el origen de esta fuerza es la placa 1.
La fuerza actúa en la dirección de flujo, que es la dirección y. Esta fuerza puede representarse por el vector de
fuerza F,,1 , que es la fuerza ejercida por la placa 2 sobre
la 1, en el plano que se encuentra entre las mismas.
Mientras tanto, las moléculas que llegan a la placa 1
provenientes de la placa 2 deben acelerarse de V2 a
v¡. Esto crea una fuerza -F,,2 que actúa en la dirección
-y, desde la placa 2 sobre la placa 1, en el plano
limítrofe. (El número de moléculas que se mue~en entre
los planos en las dos direcciones son iguales, por lo que
F,,1 = - F,,2 .)
El signo negativo que aparece con -F,,2 se debe a que
la fuerza actúa en la dirección -y y por convención, todas las fuerzas se definen como positivas en la dirección
+ y. Las dos fuerzas que actúan sobre el fluido en el piano 2 son numéricamente iguales, pero de signo opuesto. Esto es cierto en cualquier plano en el fluido. Por
ejemplo, en el plano 8 que se muestra en la Fig. 9-5, hay
dos fuerzas que se oponen, /="3 y-/="4. En el Cap . 10, se
evaluará la fuerza que actúa sobre un plano del fluido,
empleando un balance de fuerzas con respecto a un volumen de gas. Las fuerzas que actúan sobre un plano
son difíciles de medir directamente y el balance de fuerzas permite su evaluación a partir de otras fuerzas del
sistema. Un balance de fuerzas sobre un elemento de
volumen debe utilizar consistentemente ya sea las fuerzas externas o internas que actúan sobre el elemento de
volumen. Para la placa 2, las fuerzas externas son /="1 y
-/="4. Las fuerzas internas son -/="2 y/="3. El balance de
fuerzas establece que la suma de todas las fuerzas externas es cero
o que la suma de las fuerzas internas es cero,
- F y2 + Fy3 = O
Estas ecuaciones suponen que no existen otras fuerzas
que actúen sobre la placa.
La fuerza que actúa entre dos superficies, como la
que se encuentra en el plano A de la Fig . 9-5, se conoce
como fuerza cortante, debido a que tiende a deformar al
fluido .
La fuerza que actúa sobre una sección de gas, acelera la masa de gas en la misma . Para este caso, las leyes
del movimiento establecen que la fuerza que se requiere
para acelerar una masa m es igual a la masa por la aceleración (Fg e = mal. Con mayor precisión la fuerza cortante que acelera a la masa es igual a la velocidad de
cambio de momento con el tiempo dentro de la placa
(9-26)
Dirección del flujo de momento
Fig. 9-5 Fuerzas de aceleración en la transferencia de momento.
donde m es la masa acelerada. Se incluye el factor de
conversión dimensional (ge) debido a que comúnmente
la fuerza se expresa en dimensiones de libras/fuerza
(lb¡) y la masa en dimensiones de libras masa (lb) . Los
dos sistemas de dimensiones se relacionan por medio
de ge, como se examinan en el Apéndice A.
La fuerza cortante por unidad de área se conoce como esfuerzo cortante y se designa mediante la letra
griega tau. En el plano que se encuentra entre las placas, el esfuerzo cortante es
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MECANISMO DE TRANSPORTE MOLECULAR
Fy
Fy
A
~y ~z
=-=
T
Y
(9-27)
Combinando las Ecs. 9-26 y 9-27 se obtiene
1 d(mv)
Tyg e = A
de
(9-28)
La comparación de las Ecs. 9-22 y 9-28 prueba que el esfuerzo cortante que actúa sobre un plano es idéntico al
flujo neto de momento a través del plano. Por tanto, el
esfuerzo cortante en la dirección + y (Tygc ) puede sustituir al flujo de momento en la dirección + x, en cualquiera de las ecuaciones que se emplearon en esta derivación. Por ejemplo, la Ec. 9-25 se transforma en
d(pv)
Tyg e =
-!te dx
(9-29)
Para gases reales y líquidos, el término tIc que se derivó para el gas simple del modelo, se reemplaza por un
factor empírico v (la letra griega nu), que se conoce como difusividad del momento. Para el gas modelo, la difusividad del momento (v) que se lista en la Tabla 9-1 es
igual a tIc. Para gases reales y líquidos, la difusividad del
momento se define como
d(pv)
T 9 = -v-y e
dx
(9-30)
(c) Determine el flujo de momento en la superficie de
cada placa.
Solución A estado estable, el momento se transfiere a
través del aceite, desde la placa izquierda hasta la placa
derecha; la velocidad del aceite varía en sentido lineal
con la distancia entre las dos placas (Fig. 9-6). La velocidad del aceite en la superficie de la placa que se mueve,
es igual a la velocidad de esa placa. La velocidad del
aceite en la superficie de la placa estacionaria es cero.
(a) La fuerza por unidad de área que se requiere para
mantener la velocidad, es simplemente el esfuerzo cortante que actúa en la interfase entre la placa y el aceite.
El esfuerzo cortante se calcula mediante la Ec. 9-31.
¡..t = 0.1 N s/m 2 = 0.1 kg/m S
La integración de la Ec. 9-31 para un gradiente y viscosidad constantes (y con ello, flujo y esfuerzo cortante
constantes) da
De la Fig. 9-6.
v, = 5 mis en x, = O
V2
(9-31)
donde ¡.t = vP = viscosidad absoluta, Iblpie h o kg/m
s. La viscosidad absoluta puede variar con la temperatura,
presión y gradiente de velocidad. Si ¡.t es constante con
respecto a dv/dx, la Ec. 9-31 es un enunciado de la ley
de Newton. Esta "ley" es tan sólo una definición de la
viscosidad absoluta, con base en un modelo que supone que la viscosidad no varía con el gradiente de velocidad. Si bien este modelo resulta adecuado para gases
reales, muchos líquidos tienen viscosidades que varían
con dv/dx. Se conocen como líquidos no newtonianos,
debido a que no obedecen la Ec. 9-31.
Ejemplo 9-3 Dos placas metálicas verticales paralelas se encuentran separadas por una distancia de 10
mm. La placa del lado izquierdo se mueve a una velocidad de 5 mis y la placa del lado derecho se encuentra fija. El espacio entre las placas está lleno con un aceite
pesado que tiene una viscosidad newtoniana de 0.1 N
= O a X2 = 0.01 m
Entonces
Tyg e =-
La difusividad del momento recibe con frecuencia el
nombre de viscosidad cinemática. La viscosidad absoluta se define por medio de
dv
Tyg e = -¡..t dx
181
(0.1)(0 - 5)
0.01
= 50 kg mis
m2 s
Ahora
ge = 1 kg m/s 2 N
Por tanto,
Ty
= 50 N/m 2
Esta es la fuerza por unidad de área que se requiere para
mantener el movimiento de la placa izquierda.
Flujo de
momento
~
1J,~
Flujo de
momento
~>' t>/~ 1.
C'q
s/m 2 •
(a) Calcular la fuerza por unidad de área que se requiere para mantener el movimiento de la placa del lado
izquierdo.
(b) Calcular la fuerza por unidad de área que ejerce el
aceite sobre la placa del lado derecho.
Fig. 9-6 Transporte de momento entre las dos placas paralelas en el Ej. 9-3.
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182
PRINCIPIOS DE OPERACIONES UNITARIAS
(b) Debido a que el gradiente de velocidad es lineal y
la viscosidad es constante, el esfuerzo cortante en el
aceite es constante, desde una placa hasta la otra. En tonces, la fuerza que ejerce el aceite sobre una unidad
de área de la placa del lado derecho, es simplemente el
esfuerzo cortante del mismo valor que se calculó en la
parte (a).
(c) El flujo de momento en cualquier punto es igual al
esfuerzo cortante. En la placa del lado izquierdo de la
parte (a)
flujo de momento = Tyg c = 50
kg mIs
2
m s
Nótese que las dimensiones son consistentes con la definición de flujo de momento: momento por unidad de
área y por unidad de tiempo. Debido a que existe un estado estable, el flujo de momento es constante, de tal
manera que el flujo en la placa derecha es el mismo que
en la placa izquierda. Obsérvese también que gc podría
omitirse en la Ec. 9-31 si la viscosidad se expresara en
Ns/m 2 • En el SI, gc tiene un valor numérico unitario.
demasiado simple para reflejar la realidad. No obstante,
incluiremos una consideración de las propiedades de
transporte del gas modelo, para compararlas con los gases reales que se analizan en la siguiente sección.
Para el gas modelo simple, se encontró que las difusividades de transporte eran iguales a tIc; es decir,
~ = ~= v =
El gas modelo
Para derivar la forma general de la ecuación de transporte, se utilizó el gas modelo simple, pero el modelo era
(9-32)
Para evaluar las difusividades de transporte, deben
y
desarrollarse expresiones para la velocidad media
para la trayectoria libre media . Tales expresiones provienen de la consideración de la teorfa cinética de los gases. Esta teoría considera modelos físicos de complejidad creciente, que describen a los gases reales con diferentes grados de precisión. Los valores de I y dependen del modelo que se escoja. Para el modelo que se
utilizó con anterioridad con el fin de obtener la Ec. 9-32,
en donde se supuso que todas las moléculas viajan a
la suposición de la ley de los gauna velocidad única
ses ideales y la definición de temperatura de la teoría cinética, conducen a (9)
e
e
e,
e=
TRANSPORTE EN GASES
El término general propiedades de transporte, incluye la
difusividad de masa, la conductividad térmica y la viscosidad absoluta de gases, líquidos y sólidos. Se ha hecho
una gran cantidad de investigaciones en relación con la
evaluación teórica y experimental de las propiedades de
transporte. En esta s~cción se resumirán algunos de los
métodos teóricos y empíricos más útiles para el estudio
de las propiedades de transporte. Aunque muchas de
las derivaciones técnicas involucran conceptos físicos y
matemáticos muy complejos, su aplicación depende por
lo general de la evaluación experimental de ciertos términos, en las ecuaciones finales. En consecuencia, aun
las ecuaciones teóricas requieren de una verificación
empírica antes de poderse utilizar para la predicción de
propiedades de materiales reales. No obstante esto, las
expresiones teóricas son muy valiosas para interrelacionar datos de propiedades de transporte . Por ejemplo,
es posible predecir las difusividades de masa y las conductividades térmicas de ciertos gases reales, a partir de
datos de viscosidad de los mismos.
Aunque los ingenieros pueden utilizar los métodos
para predecir las propiedades de transporte sin dominar
por completo los conceptos teóricos, al estar familiarizados con las teorías de la estructura molecular, podrán
comprender mejor el mecanismo de transporte en el que
se basa un buen número de aplicaciones. Por esta razón, se incluye un breve estudio de la teoría molecular
para cada estado físico.
kle
(3;Ty/2
(9-33)
donde
e
= velocidad molecular, mis
R = constante de los gases, 8.314 J/mol K
T = temperatura absoluta, K
M = peso molecular, kg / mol
Resulta obvio que no todas las moléculas de un gas
viajan a la misma velocidad. Un enfoque más realista
asigna a las moléculas una distribución de velocidades.
Una de tales distribuciones de velocidad es la distribución de Maxwell-Boltzmann (9)
((e) = (~)3/2 e-Mc 2/2R T 47Te 2 (9-34)
27TRT
en donde f(c)dc es la fracción de todas las moléculas
que viajan a velocidades entre c y c + dc. En la Fig. 9-7
se grafica la Ec. 9-34, para el nitrógeno a dos temperaturas. Note que al subir la temperatura, se incrementa la
fracción de moléculas con velocidades mayores. Esto es
razonable puesto que una mayor temperatura indica
una mayor energía molecular. La velocidad media se obtiene por integración sobre todos los posibles valores de
c, habiendo ponderado cada c de acuerdo con la fracción f(C)dc que posee esa velocidad
e = 100 e((e)de
o
= 47T(~)3/2
27TRT
=
(!:Tf/2
foo eMc2/2RT e3de
o
(9-35)
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MECANISMO DE TRANSPORTE MOLECULAR
183
2.5
2.0
G
~ 1.5
~
1.0
0.5
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
10 7 [C, mlsl
Fig. 9-7 Distribución de Maxwell-Boltzmann para el nitrógeno.
en donde [os símbolos se definen de la misma forma que
para la Ec. 9-33. La velocidad media de MaxwellBoltzmann que se da en la Ec. 9-35 difiere ligeramente
en la constante
8/n en comparación con y'3I de la Ec.
9-33, para la que se supuso que todas las moléculas
viajaban a la misma velocidad. Cualquiera de estas dos
expresiones para pueden utilizarse en la Ec. 9-32 para
evaluar las difusividades de transporte.
La trayectoria libre media puede determinarse con
base en la estimación de la velocidad de colisión de una
molécula en el gas simple del modelo. Una molécula
que se mueve en la dirección + x, puede chocar con
moléculas que se mueven en las direcciones -x, ± y y
±z. (No es posible observar colisiones con moléculas
que se mueven en la dirección + x, puesto que todas las
moléculas que se mueven en esta dirección tienen la
misma velocidad.) La velocidad relativa de una molécula
+ x, en comparación con una molécula -x, es de 2e, ya
que cada una de las moléculas se mueve a una velocidad pero en direcciones opuestas. Al desplazarse una
molécula + x, chocará con cualquier molécula cuyo
centro se encuentre dentro de una distancia o de su
centro. Entonces, en un intervalo de tiempo At, una molécula + x de diámetro o puede considerarse que recorre
un volumen cilíndrico que tiene un área transversal de
n02 y una longitud de 2e t. Cualquier molécula -x en este volumen, choca con la molécula + x. Si se encuentran n moléculas por unidad de volumen, sofamente una sexta parte tiene la dirección -x, por lo que la
molécula + x chocará con (in) (n0 2) (2eM) = } nn02e
M -x moléculas en el intervalo de tiempo M. La velocidad de colisión con las moléculas - x es simplemente de
-} = nn02e colisiones por unidad de tiempo. También
ocurren colisiones con las moléculas± y y±z. Debido a
que estas moléculas se mueven perpendicularmente a
1\/
e
e
las moléculas + x, su velocidad relativa es sólo V2 e. Por
ejemplo, una molécula + y con una velocidad
se
mueve a una velocidad de
relativa a la molécula
+ x, que se mueve en dirección perpendicular, a una velocidad e. Así, por el mismo razonamiento que se utilizó
para la molécula -x, la velocidad de colisión para las
moléculas + y es i y'2nn 02e. La velocidad total de colisión, considerando todas las direcciones es entonces
(} + V2) (nn0 2e).
La trayectoria librtl media puede definirse como la
distancia total recorrida en un intervalo de tiempo M, dividida entre el número total de colisiones que ocurren
en este intervalo
V2c
e
f
distancia recorrida
1= --n~ú~m-e-r-o~de--c-o~li~si~o-n-es--
ctl.t
=--------:,-----(1 + h/ 2 )(mra2 c) tl.t
1
(9-36)
De la ley de los gases ideales, el número de moléculas
por unidad de volumen es n = (An/V) = (AP/Rn por
lo que la Ec . 9-36 se transforma en
RT
(! + h(2) APrra2
/ = ------::~-----::-
(9-37)
La Ec. 9-36 se basa en un modelo que supone que
todas las moléculas viajan a la misma velocidad e. Si en
vez de esto se supone la distribución de velocidades de
Maxwell-Boltzmann, el resultado es (10)
RT
/=----V2APrra 2
(9-38)
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184 PRINCIPIOS DE OPERACIONES UNITARIAS
La notación para las Ecs. 9-37 y 9-38 es
número de Avogadro, 6.02 x 1023 moléculas/mol
P = presión, N/m 2
. T = temperatura absoluta, K
a = diámetro molecular de una esfera rígida, m
R = constante de los gases, 8.314 (N/m 2) m 3/mol
K
I = trayectoria libre media, m
A=
Las Ecs. 9-36 y 9-38 difieren por un pequeño factor numérico.
Las difusividades de transporte pueden evaluarse
ahora empleando los dos conjuntos de I y c. Combinando las Ecs. 9-29, 9-30 Y 9-33 se obtiene una expresión
para el gas simple del modelo, con todas las moléculas
moviéndose a una velocidad c.
5.74 X 10- 24 T 3 /2
!2 =cx=v=
2
Po M
1/2
(9-39)
Para un gas modelo cuyas moléculas en forma de esferas rígidas viajan a las velocidades descritas por' la
distribución de Maxwell-Boltzmann
4.81 X 1O - 24 T 3 /2
!2 =cx=v=
21/2
Po M
(9-40)
La notación para las dos últimas ecuaciones es
T = temperatura absoluta, K
P = presión, N/m 2
a = diámetro molecular de una esfera rígida, m.
M =
!2 =
a =
v =
peso molecular, kg/mol
difusividad de masa m2/s
difusividad térmica, m2/s
difusividad de momento, m2/s
vez de la difusividad de mommento (v). Puesto que ¡.t =
v p y p = PM/ RT, de acuerdo con la ley de los gases
ideales, la Ec. 9-40 se transforma en
5.79 x 10 -2
p=
5ViWT
(9-41 )
La constante numérica incluye a R. Es posible determinar la conductividad térmica mediante k =0' pC p • Además, p = PM/RTy C p = 5R/2M para un gas ideal monoatómico. La Ec. 9-41 da lugar a
1.203 X 10- 23 yT!M
k=-----~--
0
2
(9-42)
La constante numérica incluye el valor para R. de esta
expresión, k se obtiene en unidades de J/s m2(OC/m).
Si bien, estas expresiones sólo son aplicables de manera estricta al gas modelo, también pueden utilizarse
para obtener estimaciones aproximadas para gases reales, como se muestra en el siguiente ejemplo.
Ejemplo 9-4 La viscosidad del argón a O oC y presión atmosférica es de 2.096 x 10-5 kg/m s. Suponiendo que .el argón es un gas modelo simple:
(a) Calcular el diámetro molecular equivalente.
(b) Predecir la viscosidad del argón a 400 oC y presión atmosférica.
(c) Predecir la difusividad de masa del argón a O oC y
presión atmosférica.
(d) Predecir la conductividad térmica del argón a O
° C y presión atmosférica.
Solución
(a) El diámetro molecular se obtiene mediante una
forma de la Ec. 9-41 :
0= )5.79 X 10 -
25
'Jif;JT
p
Las Ecs. 9-39 y 9-40 pueden utilizarse para evaluar
propiedades de transporte, si se conoce el diámetro molecular a. Las moléculas de los gases reales no son esferas rígidas, como se supuso en el gas simple del modelo. Por tanto, a no tiene un significado físico real y no se
puede medir directamente. En lugar de esto, debe determinarse a partir de algunas propiedades medibles como la viscosidad. Aun en la teoría cinética más rigurosa,
a menudo la viscosidad se emplea para determinar
"diámetros moleculares" equivalentes de los gases reales. Los valores de a que se encuentran en las tabulaciones sólo deben emplearse con las ecuaciones que se
basan en el modelo a partir del cual se evaluaron originalmente. Por lo anterior, los valores de a que se encuentran en el Apéndice D-6 no pueden utilizarse con
las ecuaciones que se desarrollaron para el gas simple
del modelo.
La Ec. 9-40 se puede escribir para resolverse directamente para las propiedades de transporte. Es más común emplear la conductividad térmica (k) en vez de la
difusividad térmica (a) y la viscosidad absoluta (/. 11 en
Para argón, M = 39.9 X 10- 3 kg/mol, T = 273 K:
_)(5.79 x 10- 25 )Y39.9 x 10- 3 x 273
02.096 X 10- 5
= 3.02 X 10- 10 m
(b) La Ec. 9-41 puede resolverse con T = 673 K,
empleando el valor de a que se calculó en la parte (a) .
Alternativamente, puesto que un análisis de la Ec. 9-41
demuestra que ¡.t varía con T'h .
673) 1/2
Ps 7 3 K = (2.096 x 10 -5) ( 273
= 3.28 x 10- 5 kg/m s
Este valor es considerablemente menor que el valor experimental de 4.11 x 10-5 kg/m s debido a que el modelo simple en el que se basa la Ec. 9-41 no es adecuado.
(e) !2 se calcula de la Ec. 9-40 utilizando la parte (a).
La presión atmosférica es
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MECANISMO DE TRANSPORTE MOLECULAR
~=
(4.81 X 10- 24 )(273)3/2
(1.013x 105 )(3.02 x 1O- 10 )2(39.9x 10-3 )1/2
= 1.17 X 10- 5 m2/s
Esto puede compararse con el valor experimental de
1.62 x 10-5 m 2 /s.
(d) k se calcula de la Ec. 9-42
1.203.x 10- 23 vi 273/39.9 x 10- 3
k = -------------(3.02 X 10-1 °)2
= 1.09 X 10- 2 J/s m 2 (OC/m)
Este valor es de aproximadamente dos tercios del valor
experimental de 1.63 x 10-2 •
La predicción de las propiedades de transporte con
base en el gas simple del modelo, da valores dentro de un
33% de los valores experimentales. Esta concordancia
resulta sorprendentemente buena, si se consideran las
grandes simplificaciones que se hacen en el modelo, pero no es lo bastante precisa para la mayor parte de los
cálculos de ingeniería. Deben emplearse teorías cinéticas más rigurosas para predecir las propiedades de
transporte, como s~ analiza en la siguiente sección
sobre gases reales.
Gases reales
Los gases reales se diferencian en muchos aspectos del
gas simple del modelo. Rara vez, las moléculas de
un gas real son esféricas; con certeza no son rígidas. La
superficie de una molécula no está claramente definida.
Una molécula consiste en uno o más átomos agrupados
por interacciones entre los electrones de los distintos
átomos. Cada átomo consiste en un núcleo muy pequeño rodeado por una nube de electrones que giran
alrededor del núcleo. Así, la superficie de la molécula
consiste en una nube electrónica. Además, los átomos
dentro de una molécula de un gas no ocupan necesariamente posiciones fijas dentro de ella; pueden oscilar
en relación recíproca, causando oscilaciones en la forma de la molécula.
Las moléculas gaseosas poseen un amplio intervalo
de valores de velocidades. Aunque la distribución de
Maxwell-Bolltzmann es una buena primera aproximación de la distribución de velocidades, no es exacta. Un
enfoque más riguroso utiliza la ecuación integrodiferencial de Botzmann, la cual describe la distribución de las
moléculas como una función de la posición, velocidad y
tiempo, así como también toma en cuenta todas las
fuerzas que actúan sobre la molécula. La aplicación de
esta ecuación rigurosa al transporte molecular requiere
del uso de mecánica estadística y matemáticas avanzadas. Se supone que el tamaño molecular es pequeño en
comparación con la distancia que hay entre las moléculas, por lo que la teoría no se aplica a gases densos o a
líquidos, en donde las moléculas se encuentran juntas.
En la Ref. 9 se presenta una introducción a este
complejo tema, mientras que en la Ref. 7 se presenta un
185
tratamiento más profundo. Un último resultado de esta
rigurosa teoría cinética de los gases, es la expresión
para predecir las propiedades de transporte, que se da
en esta sección.
Es probable que el factor más inadecuado del gas
simple del modelo es no tomar en cuenta las fuerzas que
actúan entre las moléculas. Las moléculas de los gases
reales se atraen entre sí cuando se encuentran alejadas
y se repelen cuando están juntas. Aún no se comprende
el mecanismo exacto de estas fuerzas de atracción y repulsión. Incluso en la teoría cinética más rigurosa, es
necesario suponer la forma de estas fuerzas intermoleculares. La fuerza intermolecular se relaciona con la
energía potencial de interacción mediante una expresión simple
F= dcp
dr
(9-43)
en donde F es la fuerza, ~ es la energía potencial y r es la
distancia entre las moléculas. Una fuerza negativa (F)
implica una atracción entre moléculas, mientras que
una fuerza positiva implica una repulsión. No se conoce
la forma de la ecuación que describe la energía potencial
de interacción. Se han propuesto muchas formas empíricas que han sido probadas con datos experimentales.
Una de esas expresiones empíricas, que tiene una
amplia aceptación, es el potencial de Lennard-Jones 6-12:
(9-44)
donde
~
E
=
o
r =
función de energía potencial intermolecular
energía máxima de atracción de dos moléculas
distancia del mayor acercamiento que alcanzan dos moléculas al sufrir una colisión, con
una energía cinética relativa inicial de cero.
distancia entre las moléculas.
En la Fig. 9-8 se grafica esta función para un caso
típico. Se observa de la Ec. 9-43 que la fuerza intermolecular es igual a la pendiente de la curva que se
muestra, con el signo contrario. Entonces, a grandes
distancias, la pendiente es positiva y la fuerza es negativa, por lo que existe una atracción. Un análisis de la
Ec. 9-44 conduce a la misma conclusión.
Para grandes separaciones entre las moléculas, r
es mayor que o, por lo que el segundo término ce la
Ec. 9-44 predomina e indica una fuerza de atracción
entre las moléculas. Cuando las moléculas están juntas,
r es menor que o, el primer término en la Ec. 9-44 es el
dominante y las moléculas se repelen entre sí. Se han
propuesto muchas otras funciones de potencial, pero el
potencial de Lennard-Jones 6-12 ha demostrado su utilidad para predecir propiedades de transporte para
muchos gases no polares. Las constantes E y o deben
evaluarse de datos experimentales. Este potencial no es
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186
PRINCIPIOS DE OPERACIONES UNITARIAS
2.0.-------r-----,---,-----,---,.----,---,.--...,
Atracción intermolecular -+--3*E-
1.0
Repulsión
intermolecular
acuerdo con T1t2. Las constantes a y E./k que se dan en
el Apéndice 0-6 se evaluaron a partir de datos experimentales de viscosidad, por lo que la predicción de viscosidad es excelente. Como se demuestra más adelante
en esta sección, pueden utilizarse estas mismas constantes para predecir la conductividad térmica y la difusividad de masa.
Ejemplo 9-6 Calcular la viscosidad del argón a O oC
y presión atmosférica.
0.01---------,..-+-"-----------j
Solución Para el argón, del Apéndice 0-6a, E./k =
124 K, a = 3.418 x 10-10 m. El peso molecular es 39.9
x 10-3 kg/mol. Entonces T* = 273/124 = 2.20. Del
Apéndice 0-6b a T* = 2.20,
= 1.138. Sustituyendo
estos valores en la Ec. 9-45 se obtiene
º1
-1.6
O
2
3
4
5
6
7
r
Fig. 9-8 Potencial de Lennard-Jones 6-12 para el nitrógeno.
útil para moléculas polares como el agua o moléculas
grandes, moléculas excitadas, radicales libres o iones.
Ei ingeniero debe recurrir a métodos empíricos adicionales para predecir las propiedades de transporte para estas moléculas.
El tratamiento detallado de la teoría cinética rigurosa
utilizando el modelo de Lennard-Jones se encuentra
fuera del alcance de este libro; sin embargo, las
ecuaciones resultantes son útiles para predecir las propiedades de transporte. Se presentarán las ecuaciones y
se aplicarán al cálculo de propiedades de transporte. Para la viscosidad de un gas puro,
(9-45)
en donde
1-1 = viscosidad absoluta, kg/m s
M = peso molecular, kg/mol
a = diámetro de colisión, m (Apéndice 0-6)
= integral de colisión, una función de T *
(Apéndice 0-6)
T = temperatura absoluta, K
T* = temperatura reducida = KT/E.
E./k = parámetro de potencial, K (Apéndice 0-6)
const = número dimensional
º1
Esta expresión puede compararse con la del gas simple
del modelo, que se da en la Ec. 9-41. La integral de colisión se evalúa de una consideración de la mecánica de
colisiones moleculares. Puesto que es una función de la
temperatura; de tal manera que la viscosidad descrita
por la Ec. 9-45 ya no es una función simple de la temperatura, en constraste con el gas modelo en donde variaba de
8.44 X 10- 25 V39.9 X 10- 3 x 273
¡;.=
(3.418 x 10-10 )2(1.138)
= 2.10 x 10-5 kg/m S
Este valor concuerda exactamente con el valor experimental, tal como se esperaba .
Para la conductividad térmica de un gas monoatómico puro
k = 2.63 X 10-23 VT/M
(9-46)
a2 n 1
donde k = conductividad térmica, J/s m 2 (OC/m) y los
otros símbolos tienen el significado que se definió con
anterioridad.
La combinación de las Ecs. 9-45 y 9-46 da lugar a
15 R
k=- -¡;.
(9-47)
4 M
Esta expresión puede emplearse para calcular k a partir
de 1-1, para gases monoatómicos.
Para moléculas poliatómicas, debe modificarse la Ec.
9-47 con el fin de tomar en cuenta los grados de libertad
internos en la molécula. Para moléculas poliatómicas,
k=~ R [~cv +~]¡;.
4 M 15 R
(9-48)
5
en donde C v es la capacidad calorífica molar a volumen
constante.
Ejemplo 9-7 Calcular la conductividad térmica del
bióxido de carbono a 100 oC y presión atmosférica normal.
Solución La Ec. 9-46 puede modificarse para utilizarla en este caso:
k = 2.63 X 10-
23
a2 n 1
v'TTM [.i. Cv + ~]
15 R
5
T = 373 K, Cv = 40.5 J/mol K
(Apéndice 0-13)
R = 8.314 J/mol K, M = 44.0 X 10- 3
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MECANISMO DE TRANSPORTE MOLECULAR
Del Apéndice D-6, para C02, el k = 190 K
a = 3.996 x 10- 10 m,
187
Entonces,
aab =
T* = ~~g = 1.96,
! (3.996 + 3.749)( 10-' o)
= 3.872 X 10- 10 m
.Q1 = 1.184
Eab
3
23
_ 2.63 x 10- Y!373/44 x 10- [~ 40.5 +~]
10
k(3.996 x 10- )21.184
15 8.314 5
= 0.0243 J/s m 2 (OC/m)
Este valor concuerda con el valor experimental de
0.0212.
Para calcular la difusividad de masa, se ha derivado la
siguiente ecuación para mezclas binarias:
k
= Y!190 x 79.8 = 123.0 K
Así que
Tab * = 298/123 = 2.42
Entonces, del Apéndice D-6b,
Ec. 9-49 se obtiene
º2 = 1.010. Utilizando la
!0 = 8.42 X 10-24
r-----------~--------~----
j(298)3(~)(44 \0- + 28 \0X
3
X
3)
x (1.013x 105 )(3.872 x 10-10 )2(1.010)
= 1.53 x 1O~5 m2/s
en donde
~ab = difusividad de masa m2 1s
peso molecular de la especie a,
kg/mol
peso molecular de la especie b,
Mb
kg/mol
p= presión total, N/m 2
T. b* - constantes de Lennard-Jones
M.
O.b
'º2'
Las constantes de Lennard-Jones se evalúan mediante
las siguientes relaciones:
(9-50)
donde o. y Ob son los diámetros de colisión para cada
especie molecular (Apéndice D-6a).
E;b=j~ x~
El valor experimental de la difusividad de masa $ es de
1.65 x 10-5 •
Es posible aplicar un factor de corrección adicional de
orden superior a las Ecs. 9-45, 9-46 Y 9-49, para lograr
una mayor precisión (7). Esta corrección es menor al
\ 1% y se omite aquí.
Como se mencionó con anterioridad, el modelo de
Lénnard-Jones 6-12 no es adecuado para moléculas
polares, radicales libres o moléculas grandes. Dos moléculas polares importantes son el agua y el amoníaco.
Los valores de las propiedades de transporte de estas
moléculas anómalas se correlacionan en algunas ocasiones mediante métodos semiempíricos. Por ejemplo,
las viscosidades pueden correlacionarse con el modelo
de Sutherland (1, Pág. 565); Gilliland desarrolló una
correlación empírica para las difusividades de masa de
muchos gases (5).
La ecuación de Gilliland es
(9-51 )
Los parámetros de potencial individuales se encuentran
en el Apéndice D-6a. Con T. b* = kT/E.ab' se evalúa
empleando el Apéndice D-6b.
º2
Ejemplo 9-9 Calcular la difusividad de masa para la
mezcla de bióxido de carbono y nitrógeno, a 25 oC y
presión atmosférica.
Solución
Ma = 44.0 X 10-3 ,
T= 298 K,
Mb = 28.0 X 10- 3
= 190
= 3.996 x 10- 10
Para el CO 2
Ea
Para el N 2
Ebk = 79.8, ab = 3.749 x 10-
k
'
aa
10
donde Ves el volumen molar, como se da en el Apéndice D-7. El término V1I3 es una medida del diámetro molecular de cada constituyente y es análogo a o. En consecuencia, la forma de la ecuación empírica de GiIIiland
es similar a la de las expresiones teóricas previas para la
difusividad de masa. La constante se evaluó midiendo
las difusividades de muchos gases reales, incluyendo el
vapor de agua.
En el Apéndice D se incluyen tablas de propiedades
de transporte.
Ejemplo 9-10 Calcular la difusividad de masa para
una mezcla de bióxido de carbono y nitrógeno, a 25 oC
y presión atmosférica utilizando la correlación de Gilliland.
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188 PRINCIPIOS DE OPERACIONES UNITARIAS
Solución Del Apéndice 0-7, el volumen molar del
N2 es v;, = 2 x 15.6 = 31.2 x 10-6 m 3 /mol y para CO2 ,
Va = 14.8 + 7.4 + 12 = 34.2 x 10-6 m 3 /mol. M. =
44.0 X 10-3 Y M. = 28.0 X 10-3 .
f!& =
7
~0-3 )
1.38 X 10- )(298)3 (44 X 1 _ 3) + (28 X
10
1
5
3
(1.013 x 10 )(34.2 / + 31.2 1 / 3)2 (10- 6 )2/3
= 1.31 X 10- 5 m2/s
Este resultado no es tan cercano al valor experimental
como en el Ej . 9-9. Por lo general, la correlación de Gilliland debe emplearse sólo cuando no es posible utilizar el
modelo de Lennard-Jones 6-12.
En esta sección se consideraron las propiedades de
transporte de gases puros. La viscosidad de una mezcla
de gases puede calcularse a partir de datos de viscosidad de los componentes puros, utilizando una ecuación
semiempírica desarrollada por Wilke (15). La conductividad térmica de mezclas gaseosas puede calcularse en
una forma análoga a la viscosidad. La difusión en sistemas con más de dos componentes, se describe mediante complejas ecuaciones de transporte (3), que no se
considerarán aquí.
Gases densos
A presiones e!evadas, los gases no obedecen la teoría
cinética sobre la que se basan las ecuaciones de esta
sección, para predecir las propiedades de transporte.
Deben emplearse otros métodos. La teoría cinética de
los gases densos no se ha desarrollado por completo.
Los métodos de mayor éxito para correlacionar los
datos sobre propiedades de transporte a presiones elevadas, se basan en el principio de los estados correspondientes. En las Refs. 3 y 10 se resumen estos métodos.
TRANSPORTE EN LIQUIDOS
La teoría cinética de los gases se encuentra bien desarrollada, de manera que es posible generalizar los datos disponibles y predecir las propiedades de transporte
con una precisión considerable. La teoría cinética de los
líquidos no se encuentra tan bien organizada y ninguna
teoría única tiene aceptación general. Esta falta de desarrollo teórico se debe a la estructura compleja del
líquido, en donde las moléculas se encuentran juntas
y las fuerzas intermoleculares son grandes. Muchas teorías propuestas postulan la existencia de un "espacio
libre" dentro del líquido. En un gas, existe mucho espacio
libre, como resulta evidente por la gran compresibilidad
de un gas cuando se aplica una presión. Los líquidos
son menos compresibles, pero la ligera contracción que
se observa bajo presiones elevadas, concuerda con el
postulado de que existe una cantidad muy limitada de
espacio libre en los líquidos. Varias teorías subdividen
al espacio libre en regiones de tamaño aproximadamente molecular, que reciben el nombre de agujeros.
Los modelos de teorías cinéticas para gases consideran espacios libres continuos a través de los cuales se
distribuyen las moléculas en movimiento. Las moléculas
ocupan solamente una pequeña fracción del volumen
disponible. En contraste, los modelos para líquidos postulan una fase continua de moléculas con una distribución compacta, que se mantienen juntas debido a las
fuerzas intermoleculares. El espacio que se encuentra
entre las moléculas (algo similar a la trayectoria libre media en un gas) es muy pequeño, del orden de la dimensión molecular. Dispersos a través de la fase molecular
continua, se encuentran los agujeros de espacio libre,
como se muestra esquemáticamente en la Fig. 9-9. Una
molécula puede emigrar hacia un agujero vecino, suponiendo que haya una fuerza disponible suficiente para
contrarrestar las fuerzas intermoleculares que la mantienen en su lugar. Al emigrar, la molécula crea un .
nuevo agujero, que puede llenarse con otra moléc'Jla.
Así, es posible que exista migración molecular, pero a
una velocidad menor que en los gases, debido a la mayor resistencia a la migración que tienen los líquidos.
Como resultado, el transporte molecular de masa, que
depende de la migración, es más restringido en los
líquidos. En un líquido, una molécula dada vibra dentro
de un espacio limitado, confinada por las fuerzas de las
moléculas vecinas. La molécula puede tener colisiones
con una vecina, transmitiendo así parte de su energía
térmica sin dejar su posición fija. Este es un mecanismo
para el transporte molecular de calor. Para causar el flujo de un líquido, debe aplicarse una fuerza relativamente
grande para contrarrestar las grandes fuerzas intermoleculares que tienden a mantener a las moléculas en su'lu gar. Como resultado, el coeficiente de transporte de
momento (es decir, la viscosidad absoluta) es mayor en
los líquidos que en los gases.
oodooo
00 A0000
A
AOOOOAO
O 00000
0000 00
00 0000
A
A
A
Fig. 9-9 Modelo simple de un líquido. a es el diámetro molecular; d es la distancia libre entre moléculas; A es un
"agujero" entre moléculas.
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MECANISMO
El análisis de las difusividades de transporte para el
agua, ilustra la importancia relativa de los distintos mecanismos de transporte. A O °C en agua líquida, q; =
1.36 X 10-9, a = 142 x 10-9 y V = 1796 X 10-9, todas
en metros cuadrados por segundo. La difusividad de
masa es el coeficiente para autodifusión (agua en agua).
Los valores indican que la migración molecular limitada
conduce a una baja velocidad de difusión, pero que las colisiones entre moléculas vibrantes dan lugar a una velocidad moderada de conducción de calor; las grandes
fuerzas intermoleculares llevan a una velocidad elevada
de transporte de momento, para un mismo gradiente de
la propiedad que se transfiere. Las difusividades de
transporte pueden compararse con las de los gases, que
son del mismo orden de magnitud. Por ejemplo, para
CO2 a presión atmosférica y 100 ° C, q;.= 1.6 X 10-5, a
= 1.7 X 10-5 Y V = 1.25 X 10-5, todas en metros
cuadrados por segundo.
Debe enfatizarse que la representación de un líquido
que se muestra en la Fig. 9-9, es tan sólo esquemática.
Las moléculas de un líquido real no guardan tan buen
orden. Se puede considerar que los líquidos tienen un
grado de ordenamiento intermedio, entre el desorden
completo de un gas y la configuración regular de los sólidos cristalinos.
Eyring y otros (6) han utilizado el modelo simple de
"agujeros" para líquidos, junto con la teoría de las velocidades absolutas de reacción, para obtener una expresión para la variación de la viscosidad de un líquido con
la temperatura. Toma la forma general
f.l
= CeB1R T
(9-53)
donde T es la temperatura absoluta, R es la constante
de los gases y B Y C son constantes que dependen del
líquido considerado. En realidad, esta forma de ecuación es anterior al desarrollo de Eyring. El problema consiste en evaluar las constantes B y C. Ni siquiera son
siempre constantes. Si se tienen pocos datos experimentales disponibles, puede usarse la Ec. 9-53 para
correlacionar los datos por extrapolación o interpolación, en un intervalo limitado.
Ejemplo 9-11 Se cuenta con los siguientes datos experimentales de la viscosidad del agua:
Temperatura
Viscosidad
°c
kg/m s
DE TRANSPORTE
MOLECULAR
189
tán sujetos al error experimental, por lo que es preferible
utilizar todos ellos. Estos se graficarán como se indica
por la Ec. 9-53.
Si se toma el logaritmo de la Ec. 9-53,
B
Inf.l=-
RT
+ InC
(9-54)
Esta es la ecuación de una línea recta cuando se grafica
In lA como una función de 1/ T. Pueden utilizarse coordenadas semilogarítmicas IOg10 para graficar la línea
recta, notando que la Ec. 9-54 puede escribirse como
1091 of.l =
B
2.303RT
+ 1091 oC
(9-55)
Entonces, la pendiente de la línea recta que resulta al
graficar lA vs. 1/ T en coordenadas semilogarítmicas es
B/2.303R.
1
TK
-
JJ.
T
273
293
313
333
354
0.00366
0.00342
0.00320
0.00300
0.00283
0.001792
0.001005
0.000656
0.000469
0.000357
Estos datos se grafican en coordenadas semilogarítmicas, como se muestra en la Fig. 9-10. Se observa que
los datos no forman una línea recta. Sin embargo, para
evaluar las constantes se traza la mejor línea recta a través de los datos. Mediante la pendiente de la línea recta
pueden evaluarse ahora las constantes B y C de la intercepción (extrapolando a 1/ T = O). Es más conveniente evaluar B y C tomando dos puntos de la línea
recta que pasa a través de los datos.
0.020
O.oJO
0.008
o
20
40
60
80
0.001792
0.001005
0.000656
0.000469
0.000357
0.006
0.005
0.004
0.003
0.002
(a) Evaluar las constantes de la Ec. 9-53 para el agua.
(b) Predecir la viscosidad del agua a 100°C.
Solución
(a) Sería posible emplear cualquier par de puntos, de
los datos que se dan, para evaluar B y C. Los datos es-
0.001 '-:-......l.---J._~---L_-'----L-----I_.....L....---L---l
0.0028
0.0032
0.0034
0.0036
0.0038
itr
Fig. 9-10 Solución al Ej. 9-11.
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190 PRINCIPIOS DE OPERACIONES UNITARIAS
A /1 = 0.0004
1
-=
T 000293
.
A /1 = 0.0015
1
-= 0.00360
Solución El volumen molar a 20 ° C es
18 x 10- 3 kg/mol
6
3
v= 0.998 x 103 kg/m 3 = 18 x 10- m /mol
T
Oe la Ec. 9-40
Entonces
B
In 0.0004 =0.00293 R + In C
Jl=
4 X 10- 10
e(3.8x373/293)
18 x 10- 6
(a)
= 0.0028 kg/m s
B
In 0.0015 = 0.00360 - + In C
R
(b)
Este valor puede compararse con el dato experimental
de 0.0010, mostrando que la Ec. 9-56 resulta inadecuada para líquidos polares.
La teoría de Eyring predice que la difusividad de masa
es una función de la temperatura:
Restando (a) de (b) se obtiene
B
0.0015
R
0.0004
0.00067 - = In - - -
!
~
-=Ae- B1RT
T
= 1970
(9-57)
Se supone que la constante 8 es la misma que en la Ec.
9-53, mientras que la constante A es diferente de C.
Entonces
Combinando las Ecs. 9-53 y 9-57 se obtiene una relación
entre f0 y ¡.¡.
0.0015
/1
C= e B1RT = e(1970)(0.00360)
C= 1.25 x 10-6
(9-58)
Por tanto,
Wilke (7) definió F, una función del volumen molar,
como
/1 = 1.25 x 1O-6(e1970IT)
(b) At T= 100°C = 373 K
F= -
Este es menor que el valor experimental de 0.000284 debido a que la viscosidad real no obedece exactamente a
la Ec. 9-55. Esta ecuación puede utilizarse solamente en
intervalos pequeños de temperatura.
La aplicación de la teoría de Eyring permite una evaluación aproximada de las constantes 8 y C cuando no
existen datos de viscosidad disponibles. La derivación
resulta (2,6) en
4 X 10- 1 0e 3 .8 Tb lT
/1=
v
(9-56)
donde
v=
T =
r;, =
¡.¡ =
volumen molar a la temperatura T, m 3 /mol
temperatura de interés, K
punto de ebullición normal, K
viscosidad kg / m s
Esta ecuación es aproximada. No es adecuada para líquidos polares y moléculas grandes. En el Apéndice 0-7
se presentan datos de volúmenes molares a los puntos
de ebullición normales. Para otra temperatura, es posible calcular los valores a partir de las densidades y pesos moleculares.
Ejemplo 9-12 Estimar la viscosidad del agua líquida
a 20 oC a partir de los siguientes datos:
h = 100°C, P20 e = 0.998 x 10 3 kg/m 3 .
D
T
1
=~ /1
AC
/1 = 1.25 X 10-6 (e 1970/373) = 0.000244 kg/m s
(9-59)
En la teoría de Eyring, las constantes A y C son también
funciones del volumen molar. Wilke correlacionó datos
experimentales para numerosos sistemas de soluciones diluidas de no electrolitos, para obtener F como
una función del volumen molar, como se presenta en el
Apéndice 0-8 . El volumen molar puede calcularse a
partir de datos de densidad o mediante la ley de Kopp,
utilizando los volúmenes atómicos que se dan en el
Apéndice 0-7 . Para obtener el volumen molar, se suman los volúmenes atómicos de acuerdo con la fórmula
química del líquido que se esté considerando.
La función ~ que aparece en el Apéndice 0-8 toma en
cuenta varias propiedades del disolvente, como los enlaces de hidrógeno. Para el agua ~ = 1.0, para metanol
0.82 y para benceno 0.70. Para otros disolventes, se
puede determinar ~ a partir de valores de viscosidad y
difusividad. Si no se tienen datos disponibles, se recomienda un valor de ~ = 0.90. Un trabajo posterior de
Wilke y Chang (11) condujo a una ecuación empírica
correlacionando datos de muchas soluciones acuosas y
no acuosas.
(9-60l
donde
~ =
M =
difusividad de masa, m 2 / s
peso molecular del disolvente, kg/mol
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MECANISMO DE TRANSPORTE MOLECULAR
T = temperatura, K
= viscosidad de la solución, kg/m s
V = volumen molar del so/uta en el punto de
ebullición normal, m 3 /mol
X = parámetro de asociación del disolvente: agua,
X = 2.6; metanol, 1.9; etanol, 1.5; éter, benceno, heptano, otros disolventes no asociados, 1.0.
191
Solución De la Ec. 9-61
¡.t
k = (3.59x 10- 9 )(4.18 x 103)(998) (
998 )1/3
18xlO- 3
= 0.569 J/s mOC
El valor experimental a 20 ° C es 0.598.
Fluidos no newtonianos
Ejemplo 9-13 Calcular la difusividad de masa del
etanol en una solución diluida con agua, a 10 oC.
Solución El volumen molar del sol uta etanol puede
calcularse empleando los datos de volumen atómico del
Apéndice 0-7:
Etanol = C2 H5 OH
2(C) = 2(14.8 x 10-6 ) = 29.6 X 10-6
5(H) = 5(3.7 x 10- 6 ) = 22.2 X 10- 6
1(O) = 7.4 x 10- 6
= 7.4 X 10-6
59.2 X 10-6 m3/mol
Para el agua <1> = 1.0, por lo que, del Apéndice 0-8, F
= 2.4 X 1012 • Entonces, con ¡.t = 0.1308 kg/m s, la
Ec. 9-59 da
~ = T/Fp. = 283/(2.4 x 10 12 )(0.1308)
= 9.0 x 10 -1
° m2/s
Alternativamente, puede utilizarse la Ec. 9-60 con X = 2.6:
~ = 5.88 X 10- 15 (2.6 x 18 x 10 -3) 1/2 (283)
(0.1308)(59.2 x 10- 6 )°.6
~ = 9.5 X 10- 1
° m2/s
El valor experimental a 10 oC es 8.3 x 10-10 m 2 /s.
El siguiente estudio de la predicción de difusividades
de masa, es aplicable únicamente a soluciones diluidas.
En soluciones concentradas, la difusividad de masa es
una función de la concentración del sol uta y no existen
correlaciones adecuadas disponibles.
Aunque se han desarrollado muchos métodos para
predecir la conductividad térmica de los líquidos, todos
ellos son inexactos (10). Una relación simple propuesta
por Weber (13) en 1880, predice k con una precisión del
15%, pero que en ocasiones tiene errores tan grandes
como del 50%:
P)1/3
k = 3.59 x 1O- 9 cpp" ( M
(9-61) .
donde
k =
conductividad térmica, J/s m oC
capacidad calorífica, J/kg oC
P = densidad, kg/m 3
M = peso molecular, kg / mol
(4.
=
Ejemplo 9-14 Calcular la conductividad térmica del
agua líquida a 20 oC, conociendo: P = 998 kg/m 3 , c p
= 4.18 X 10 3 J/kgOC, M = 18.0 X 10- 3 kg/mol.
Las correlaciones para predecir la viscosidad que se
dieron con anterioridad en esta sección, se aplican únicamente a fluidos newtonianos. Un fluido newtoniano
es aquél que obedece la ley de Newton (Ec. 9-31), la
cual supone que la viscosidad absoluta ¡.t es constante a
medida que varía dv/dx y transcurre el tiempo. Una forma común de enunciar esto, consiste en decir que la
viscosidad newtoniana es independiente de la velocidad
de la acción cortante (dv/dx) y del tiempo de aplicación
del esfuerzo cortante. Si la viscosidad varía con la velocidad o el tiempo de la acción cortante se dice que el
fluido es no newtoniano. Todos los gases y líquidos de
bajo peso molecular son newtonianos, así como también lo son las mezclas de líquidos de bajo peso molecular. Entre los fluidos no newtonianos se incluyen las suspensiones de sólidos finamente divididos en líquidos, así
como soluciones líquidas de moléculas de alto peso molecular.
Los fluidos no newtonianos combinan algunas características de los sólidos con otras de los líquidos. Por
ejemplo, una pequeña fuerza que se aplica a una suspensión de arcilla en agua no origina un flujo. La mezcla
se comporta como un sólido al resistir la fuerza, debido
a que es insuficiente para mover de sus posiciones a las
partículas de arcilla que se encuentran formando una
matriz cerrada. En este punto, la suspensión puede considerarse como un sólido muy poroso empapado de un
líquido. Si se incrementa la fuerza, se llega por último a
un valor en el cual la fuerza es suficiente para romper la
estructura que forman las partículas de arcilla. Entonces, la suspensión comienza a fluir, adquiriendo las características de un líquido en el cual se encuentran
suspendidas partículas de un sólido finamente dividido.
Los fluidos que exhiben esta propiedad se conocen como plásticos de Bingham. Otro ejemplo de las características de un sólido y un líquido combinados, son las
soluciones de polímeros de alto peso molecular. A bajas
velocidades de acción cortante, las moléculas del
polímero junto con algunas moléculas de disolvente, se
asocian para crear una estructura de gel, análoga a la
estructura cristalina de los sólidos. A mayores velocidades de acción cortante, la estructura se rompe, por lo
que se observa una disminución aparente eh la viscosidad al aumentar la velocidad de corte.
El flujo no newtoniano se describe cuantitativamente
mediante ecuaciones empíricas que, con frecuencia,
son modificaciones de la ley de Newton. En general, la
forma de la ecuación no se basa en una teoría fundamental, debido a que la teoría aún no se encuentra en
este punto de su desarrollo.
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192 PRINCIPIOS DE OPERACIONES UNITARIAS
Más adelante algunos tipos de fluidos no newtonianos se analizan. La inclusión de un fluido en una categoría específica depende solamente de qué tanto concuerdan los datos del fluido con la ecuación empírica.
Algunos fluidos no cumplen con las ecuaciones que se
enumeran. Aunque existen ecuaciones más complejas
disponibles, su base continúa siendo empírica.
Los fluidos no newtonianos se caracterizan por viscosidades que cambian con la velocidad de la acción cortante o con el tiempo de aplicación del esfuerzo cortante. De las dos clasificaciones, se describirán primero los
fluidos no newtonianos cuyas características dependen
de la velocidad de la acción cortante. Los fluidos no
newtonianos, cuyas características dependen de la velocidad de corte se representan mediante una ecuación
de la forma
Nótese que si cualquier punto sobre la curva de flujo se
une al origen con una línea recta, la pendiente de la línea
es la viscosidad aparente. En la Fig . 9-11 y en el texto
posterior se describen varios tipos de flujo con comportamiento no newtoniano.
Fluidos plásticos de Bingham
Estas sustancias requieren un esfuerzo inicial (Togc ) que
debe excederse antes de que se presente el flujo. Para
los plásticos de Bingham (Fig. 9-11).
(9-65)
y
dv
(9-62)
donde
-=0
dx
SiTyx<TO'
donde
Tyge = esfuerzo cortante en el punto considerado
función del gradiente de velocidad en
</>(dV) =
el punto considerado
dx
Toge = límite plástico aparente, valor inicial del esfuerzo
cortante que debe excederse
/le = definido por la Ec. 9-65
Para plásticos de Bingham
En cualquier punto del sistema, la viscosidad "aparente" resulta útil para caracterizar el comportamiento local. La viscosidad "aparente" puede definirse de la misma forma que la viscosidad newtoniana,
dv
Tyge = -/la dx
(9-63)
Resolviendo simultáneamente las Ecs. 9-62 y 9-63, se
obtiene
</>{dv/dx)
/la = - (dv/dx)
¡.LB~
/la = - - - - -
(9-66)
(~:)
La Ec. 9-66 pone en evidencia que Ji. disminuye con la
velocidad de corte de dv/dx. Algunos ejemplos de plásticos de Bingham son las suspensiones de roca y arcilla
en agua.
(9-64)
Fluidos dilatan tes
Plástico de Bingham
Tyg c - Togc = -
dv
/le -+ Toge
dx
El diagrama de velocidad de esfuerzo cortante (Fig.
9-11) muestra que la ecuación para fluidos dilatantes es
Newtoniano
Tygc = -
¡.L~
dv
Tyge = -K dx
I
In-1 dv
dx
n>1
(9-67)
y
/la = K
(9-68)
Entonces, la velocidad aparente se incrementa al
aumentar la velocidad de corte. Las suspensiones de almidón, las "soluciones" de silicato de potasio y las "soluciones" de goma arábiga, son ejemplos de fluidos dilatantes.
~_ _ _---Seudoplástico
dV)n-l dI'
Tyg c = -K ( C/i
I~: In - 1 ; n>1
dx
n<1
Rapidez de corte o gradiente de velocidad - (dv/dx)
Fig.9-11 Comportamiento de fluidos no newtonianos bajo el
efecto de una acción cortante.
Fluidos seudo plásticos
Esta es probablemente, la clase más grande de fluidos
no newtonianos. El patrón de esfuerzo cortante para
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MECANISMO DE TRANSPORTE MOLECULAR
fluidos seudo plásticos muestra que la ecuación para estos fluidos es
n
dv I Tygc = -K dx
I
1 dv
dx
n <1
(9-69)
y
n
1
dv I J.l.a = K dx
;
I
n<1
(9-70)
Nótese que la viscosidad aparente de los fluidos seudoplásticos decrece al incrementarse la velocidad de corte.
Algunos ejemplos son las soluciones de grandes polímeros, pulpa de papel y mayonesa.
Fluidos newtonianos
En el diagrama de velocidad de esfuerzo cortante (Fig.
9-11), los fluidos newtonianos se representan con una
línea recta que pasa a través del origen. En este caso, la
viscosidad aparente es igual a la viscosidad absoluta en
todas las partes de la curva. Los fluidos newtonianos
pueden representarse mediante las Ecs. 9-67 o 9-69, en
donde n = 1, y, por tanto ¡.L = ¡.La = K.
Las ecuaciones que describen a los fluidos newtonianos, dilatantes y seudoplásticos, son en realidad las
mismas. La diferencia aparece en el valor numérico del
exponente n. Los fluidos dilatantes y seudoplásticos se
combinan algunas veces en un modelo de ley exponencial, descrito por las Ecs. 9-67 o 9-69, en donde n es mayor o menor que 1.0.
Fluidos dependientes del tiempo
Muchos fluidos muestran un cambio en la viscosidad
aparente con el tiempo, bajo la aplicación de un esfuerzo constante (8). Los fluidos reopécticos muestran un
incremento en la viscosidad aparente durante un tiempo
después de que se aplica por primera vez un esfuerzo
constante. Las suspensiones de bentonita y algunos soles son reopécticos. Los fluidos tixotrópicos muestran
un. decremento de la viscosidad aparente con el tiempo,
baJo un esfuerzo constante. El comportamiento tixotrópico se encuentra en las pinturas y en la salsa de tomate, entre otros materiales. Después de permanecer sin la
aplicación de una fuerza, los fluidos reopécticos y tixotrópicos regresan a su condición original.
Las propiedades no newtonianas son deseables algunas veces. Por ejemplo, en las pinturas es deseable el
comportamiento tixotrópico. Durante el trabajo con la
brocha, ciertas pinturas fluyen rápidamente para cubrir
la superficie, pero después regresan a su condición original de alta viscosidad y la pintura no se correrá.
193
los átomos se encuentran en una distribución regular
que se conoce como red cristalina. La mayor parte de
los sólidos son cristalinos, incluyendo a todos los metales y sales. Los metales se distinguen de otros sólidos
cristalinos por una configuración electrónica que permite que los electrones externos de átomo se muevan con
mayor libertad a través del sólido. Estos electrones
libres contribuyen a la gran conductividad térmica y
eléctrica de los metales. Los sólidos amorfos no tienen
una red cristalina, aunque sus átomos tienen una distribución con cierto grado de orden.
Muchos sólidos importantes son amorfos, por ejemplo, el vidrio, los plásticos, la pintura y el hule . No existe
una división clara entre los sólidos amorfos y los
líquidps. Algunos científicos consideran a los sólidos
amorfos como líquidos subenfriados, debido a que no
tienen una estructura cristalina.
La física del estado sólido es un campo basto y bien
desarrollado. No se intenta aquí cubrirlo por completo,
ya que por si solo requeriría un libro mayor que éste. Las
Refs. 11 y 12 son buenas introducciones a la física del
estado sólido. Aquí se da solamente un breve resumen
de los mecanismos pertinentes al transporte molecular.
Viscosidad
Los sólidos pueden deformarse de dos modos al aplicar
una fuerza. La deformación elástica ocurre cuando el
sólido regresa a su forma original después de que se retira la fuerza. La deformación plástica ocurre cuando el
sólido no regresa a su forma original después de que deja de aplicarse la fuerza. La deformación plástica bajo un
esfuerzo en un término grande se conoce como "deslizamiento" y es análogo al flujo en los gases y líquidos.
El flujo en los sólidos ocurre a altas presiones y temperaturas. Por ejemplo, el rolado, estampado y extrusión de
metales involucra un flujo en estado sólido. Aunque no
existe una distinción clara, la deformación plástica se
considera generalmente como parte del campo de la
mecánica de sólidos, en contraste con la mecánica de
fluidos de los gases y líquidos. Los modelos físicos y la
terminología de estos dos campos son diferentes. La
deformación plástica suele involucrar un flujo no newtoniano cuyas características dependen del tiempo, pero
esta terminología no se utiliza normalmente, como tampoco se define una viscosidad aparente. Si se definiera,
la viscosidad aparente sería muy grande, debido al gran
esfuerzo que se requiere para inducir el flujo en los sólidos. El transporte de momento a través de un gradiente
de velocidad específico, también sería muy grande en
los sólidos, en comparación con los líquidos y gases. Se
necesitan grandes esfuerzos debido a las fuerzas intermoleculares que actúan para mantener unidas a las moléculas en los patrones fijos de los sólidos.
TRANSPORTE EN SOLIDOS
Difusividad en masa
La estructura de los sólidos puede caracterizarse ya sea
como cristalina o como amorfa. Eh un sólido cristalino,
En los sólidos, el transporte molecular de masa es extremadamente lento, debido a la inmovilidad de las mo-
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194 PRINCIPIOS DE OPERACIONES UNITARIAS
Tabla 9-2 Difusividades en sólidos a 1 atm*.
Sistema
Temp,oC
~, m2/s
400
400
400
800
400
870
400
0.95 x 10-10
0.316 x 10-6
0.32 x 10-12
0.67 x 10-8
0.81 x 10-16
0.43 x 10-13
0.23 x 10-12
Hz en Ni
Hz en Pd
Üz en Ag
ca en Acero dúctil
He en SiÜz
Au en Ag
Ni en Cu
* Con permiso ·de la National Academy of Sciences, de Int. Crit.
rs«. Vol. V, pág. 76. Copyright©1929.
léculas. Aun en los sólidos cristalinos existen algunos
agujeros, aunque en apariencia, no tantos como en el
modelo de líquidos que se consideró con anterioridad.
La migración molecular es limitada, debido al pequeño
número de agujeros; en consecuencia, las difusividades
moleculares son muy bajas, como se muestra en la
Tabla 9-2. Los valores de la Tabla 9-2 pueden compararse con difusividades de líquidos del orden de 10-9
m2/s. Los dos primeros valores de la tabla 9-2 sugieren
que las moléculas pequeñas de gases se difunden más
rápido en los sólidos que las moléculas grandes de sólidos. Los datos de difusión en sólidos son escasos y no
existen correlaciones generales para predecir las difusividades de masa.
los metales que son buenos conductores del calor también son buenos conductores de la electricidad.
Los sólidos cristalinos con enlaces fuertes (enlaces
iónicos de rango corto y cava lentes) entre átomos, conducen el calor por medio de vibraciones reticulares,
principalmente. Son conductores más pobres que los
metales, debido a que no cuentan con electrones libres
disponibles para el transporte de calor. La estructura
cristalina es suficientemente rígida para permitir el
transporte por vibración reticular.
La colisión molecular es el mecanismo principal para
el transporte de calor en sólidos amorfos, así como en
cristales con enlaces difusos y débiles. En este caso, las
estructuras están desordenadas o son demasiado complejas para desarrollar vibraciones reticulares. Los sólidos que se encuentran en este grupo, son conductores
pobres si se comparan con los que se estudiaron con
anterioridad y que poseen mecanismos más efectivos
para el transporte de calor.
La conductividad térmica efectiva de algunos sólidos
aparentes, depende del estado global de agregación del
material. Por ejemplo, los materiales celulares y fibrosos
pueden incluir gas atrapado y en consecuencia, tener
una baja conductividad térmica efectiva. Por esta razón,
la fibra de vidrio y las espumas plásticas se utilizan como
materiales aislantes.
En el Apéndice D-10c se presentan datos sobre conductividad térmica de diversos sólidos.
OTROS FENOMENOS DE TRANSPORTE
Conductividad térmica
En los sólidos, el transporte de calor puede ocurrir por
medio de tres mecanismos. Las colisiones entre las moléculas vibratorias, resultan en un intercambio de energía relativamente pequeño; la vibración reticular es un
mecanismo importante para el transporte de calor en los
sólidos cristalinos; la transferencia eletrónica de calor es
el mecanismo principal en los metales. La migración
molecular tiene una contribución poco significativa.
Si un átomo vibra con una amplitud mayor, característica de una temperatura más alta que sus vecinos más
cercanos, desarrolla fuerzas periódicas sobre sus vecinos para incrementar. su amplitud. De esta manera, la
energía vibratoria se transmite desde una región de
mayor temperatura, hasta una región de menor temperatura. En la estructura compacta de muchos sólidos
cristalinos, las vibraciones atómicas generan una vibración de la red cristalina completa y la posterior disipación de la energía vibratoria en forma de calor.
En los metales, algunos de los electrones externos
de los átomos, se mueven libremente con respecto al
sólido, llevando con ellos energía térmica desde una región de mayor temperatura hasta una región de menor
temperatura. Este es el mecanismo principal para la
transferencia de calor en los metales, con una pequeña
contribución de la vibración reticular. El transporte
electrónico es un mecanismo particularmente efectivo;
Los tres tipos principales de transporte que se consideran en este capítulo no son los únicos sistemas de
transporte. Por ejemplo, el transporte de masa puede
verificarse por medio de cualquiera de los diversos mecanismos. El transporte a través de un gradiente de concentración es el mecanismo más significativo y se considera en detalle al principio de este capítulo.
El transporte a través de un gradiente de temperatura
se conoce como difusión térmica. Sise aplica un gradiente de temperatura a una mezcla uniforme de gases,
las moléculas más pesadas tenderán a migrar hacia las
temperaturas más bajas, mientras que las moléculas
más ligeras se moverán hacia las temperaturas más
altas. El efecto puede predecirse a partir de la teoría cinética rigurosa de los gases (3, 7) y se ha verificado experimentalmente en muchas ocasiones. La difusión
térmica se ha aplicado a la separación de mezclas
gaseosas y líquidas. Es particularmente útil para la separación de isótopos gaseosos. Por ejemplo, en las primeras investigaciones del programa de energía nuclear durante la Segunda Guerra Mundial (2), se separaron dos
isótopos de uranio por difusión térmica de 235UF6 y 238UF6•
El transporte de masa a través de un gradiente de
presión puede predecirse con la teoría cinética, pero el
efecto es pequeño y aún no se ha investigado en detalle. El transporte de masa bajo la influencia de una
fuerza externa se conoce como difusión forzada (4). Si
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MECANISMO DE TRANSPORTE MOLECULAR
Tabla 9-3 Valores típicos para relaciones de difusibidad.
Núm. de Prandtl
= v/ex
Gas modelo simple
Gases inorgánicos
Agua líquida
Líquidos orgánicos
Metales líquidos
1
0.7-1.1
7
10-1000 o más
0.001-0.1
Núm de Schmidt
= v/ ~
1
0.6-1.1
1200
300-2000
195
más adelante. Las dos relaciones más útiles son los números de Prandtl (N pr = v/a) y de Schmidt (N sc =
v/q))). Para el gas modelo simple, ambas relaciones son
iguales a la unidad y para gases reales simples, son cercanas a la unidad. Para líquidos, las relaciones varían
ampliamente. Las relaciones son útiles para el análisis
cuando ocurren simultáneamente diversos fenómenos
de transporte. En la Tabla 9-3 se presentan valores
característicos de N pr y N sc '
REFERENCIAS
la fuerza actúa uniformemente sobre todas las moléculas del sistema (como lo hace la gravedad), no hay
transporte neto. Por otra parte, un campo electromagnético impuesto sobre una mezcla de gases ionizados
puede causar una difusión forzada.
Es posible separar una mezcla binaria de gases si se
permite que parte del gas pase a través de una barrera que contenga agujeros muy pequeños (diámetro menor que la trayectoria libre media de las moléculas). El
factor de separación es igual a la raíz cuadrada del cociente de los pesos moleculares de los gases. El proceso
se conoce generalmente como difusión gaseosa y se
utiliza para separar 235 U F6 Y m ·U F6 en el programa de
energía nuclear de los EUA en plantas cuyo costo de
construcción supera los $3000 milones (2).
El flujo de energía térmica es la suma de cuatro flujos
(3), Ya se consideró el flujo que origina un gradiente de
temperatura. El flujo de energía también se origina por
la energía intrínseca que se asocia con las moléculas en
el transporte de masa . El transporte de energía térmica
también ocurre a través de un gradiente de concentración. Esto se conoce como "efecto Dufour". Por último, el calor puede transferirse por radiación, tema que
se cubre en un capítulo posterior.
El transporte de partículas subatómicas es importante en diversos campos. Por ejemplo, el transporte electrónico en sólidos, líquidos y gases, es la base para los
desarrollos eléctricos y electrónicos. Las consideraciones sobre el transporte de neutrones son esenciales
para el diseño de reactores nucleares.
Pocos de los fenómenos de transporte descritos en
esta sección, obedecen las relaciones simples flujo-gradiente que se desarrollaron con anterioridad en este
capítulo. Por ejemplo, la difusión térmica depende de la
diferencia de los logaritmos de las temperaturas. Por
otro lado, la difusión de electrones y neutrones obedece
ecuaciones de la forma flujo-gradiente en ciertos casos
elementales. Por ejemplo, la ley (potencial eléCtrico/resistencia) = (corriente), corresponde a la forma flujogradiente.
RELACIONES ADIMENSIONALES DE LAS
DIFUSIBIDADES DE TRANSPORTE
Las relaciones de las difusibidades son muy útiles en el
análisis de fenómenos de transporte, como se mostrará
1. Barrer, R. M., Diffusion in and Through Solids,
Mácmillan, New York (1941).
2. Benedict, Manson, and T. H. Pigford, Nuclear Chemical
Engineering, McGraw-Hill, New York (1957).
3. Bird, R. B., W. E. Stewart, E. N. Lightfoot, Transport
Phenomena, John Wiley & Sons, New York (1960).
4. Chapman, S. and T. G. Cowling, The Mathematical
Theory of Non-Uniform Gases, Cambridge Univ. Press
(1939).
5. Gilliland, E. R., Ind. Eng. Chem., 26, p. 681 (1934).
6. Glasstone, S., K. J. Laidler, H. Eyring, The Theory of
Rateprocesses, McGraw·HiII, New York (1941).
7. Hirschfelder, J. O., C. F. Curtiss, R. B. Bird, Molecular
Theory of Gases and Liquids, John Wiley & Sons, New
York (1954).
8. Metzner, A. B., "Non-Newtonian Technology," Advanees in Chemical Engineering (ed. T. B. Drew and
J. W. Hoopes), Vol. 1, Academic Press, New York
(1956).
9. Present, R. D., Kinetic Theory of Gases, McGraw-Hill,
New York (1958).
10. Reid, R. C., Prausnitz, J. M., and T. K. Sherwood, The
Properties of Gases and Liquids, McGraw-Hill, New
York (1977).
11. Van Vlack, L. H., Elements of Materials Science and
Engineering, Addison Wesley, Reading, Mass. (1967).
.12. Sproull, R. L., Modern Physics, 2nd ed., John Wiley &
Sons, New York (1967).
13. Weber, H. F., Wiedemann's Ann., Ann. Phys. Chem.,
lO, p. 103 (1880).
14. Wilke, C. R., Chem. Eng. Progr.,45, p. 95 (1950).
15. Wilke, C. R.,J. Chem. Phys., 18, p. 517 (1950).
16. Wilke, C. R., and P. Chang, A.1.Ch.E. J. ,. 1, p. 264
(1955).
PROBLEMAS
9-1 Derive la Ec. 9-10, partiendo de un gradiente constante
de la concentración de masa (c,.) y empleando el método que
se utilizó para derivar la Ec. 9-8.
9-2 Calcular el flujo de masa de benceno a través de una capa de aire de 10 mm de espesor, a 25 OC Y 200 kN/m 2 de presión total. La presión parcial del benceno es de 6 kN/m 2 en el
lado izquierdo de la capa y de 1 kN/m 2 en el lado derecho. La
difusividad de masa a esta temperatura y presión es 4.4 x 10-6
m2 /s. Exprese también el 'flujo en unidades inglesas.
9-3 Calcular el flujo de masa de metanol en agua a 77 ° F.
( g¡J = 4.95 X 10-5 pies 2 /h). Las concentraciones de metanol
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196 PRINCIP.IOS DE OPERACIONES UNITARIAS
1"
en dos puntos que se encuentran separados por una distancia
de 0.1 plg son 0.05 y 0.10 lb mol/pie",
9-4 La difusividad del helio en vidrio Pyrex a 20 DC y 100
kN/m2 de presión, es 1.16 x 10-15 m2/s. Calcular la velocidad
de pérdida del helio de un frasco Pyrex, lleno con helio puro, a
una presión de 100 kN/m2 y 20 DC, si los alrededores del frasco
se encuentran libres de helio (a la misma presión). La pared del
frasco tiene un espesor de 2 mm y tiene un área superficial de
0.1 m2•
9-5 La pared de un horno está recubierta de 2 pies de
ladrillo. El ladrillo tiene una conductividad térmica de 0.6
Btu/h pie2 (DF/pie), un calor específico de 0.2 Btu/lb DFy una
densidad de 110 lb/pie". La temperatura en la superficie interna de la pared es 1100 ° F Y en la superficie externa es de 200
DF.
(a) Calcular la difusividad térmica del ladrillo.
(b) Calcular las pérdidas de calor por hora, a través de una
pared de 10 pies de altura y 10 pies de longitud.
(e) Calcular la temperatura del ladrillo en un punto situado
a 4 Y:z plg de la superficie interna.
9-6 Se calienta a 400 °C el extremo de una barra de aluminio, mientras que el otro extremo se mantiene a O °C en un baño de agua-hielo. La barra tiene 20 mm de diámetro y 1 pie de
longitud. Calcular el flujo de calor a través de la barra [para el
aluminio k = 703 J/s m2 (OC/m)].
9-7 Una barra de cobre que tiene un diámetro de 1 plg Y
una longitud de 2 pies, se calienta en un extremo y se enfría en
el otro. El calor se suministra a una velocidad de 40 Btu/h.
¿ Cuál es la diferencia de temperaturas ente los dos extremos
de la barra, suponiendo que no existen pérdidas de calor a través de la superficie cilíndrica de la barra. La conductividad térmica del cobre es 215 Btu/h piel (OF/pie).
9-8 Dos placas horizontales con un área de 2 rrr', se encuentran con una separación de 1 mm. El espacio está lleno
con un aceite lubricsnteIu = 0.03 N s/m2). La placa inferior se
encuentra fija, mientras que se aplica una fuerza de 100 N a la
placa superior.
(a) ¿A qué velocidad se mueve la placa superior?
(b) ¿Cuál es el flujo de momento en la placa inferior?
9-9 Dos placas horizontales tienen una separación de 3 plg.
El espacio entre las placas se encuentra lleno con mercurio a
90 DF. La placa superior se mueve a 3 pies/s y la placa inferior
se mueve en la misma dirección a 1 pie/s.
(a) ¿Por qué varía linealmente la velocidad del líquido entre
las placas?
(b) Calcular el esfuerzo cortante en un plano que se encuentra a 1 plg de la placa que se mueve lentamente.
(e): Calcular el flujo de momento en la superficie de la placa
que se mueve a mayor velocidad.
9-10 Calcular la conductividad térmica, la difusividad de
masa para autodifusión y la viscosidad absoluta para neón a
100 °C y 304 kN/m2.
(a) Suponiendo que el neón es un gas modelo simple.
(b) Suponiendo que el neón obedece el modelo de Lennard-Jones 6-12.
9-11 Convertir la Ec. 9-45 a unidades inglesas de ingeniería,
para usarla con las siguientes unidades:
k:
Btu/h pie2(OF/pie)
M: g/mol
T:R
a: pie
9- 13 Convertir la Ec. 9-49 a unidades inglesas de ingeniería,
para usaría con las siguientes unidades:
~ : pie2/h
M: g/mol
P : Ib/plg2 abs
T :OR
9- 14 Los datos de viscosidad se reportan a menudo en la
unidad métrica centipoise, en donde 1 P = 1 g/cm s. Desarrolle un factor de conversión para transformar la viscosidad
en centipoises a unidades SI (kg/m s) y al sistema inglés de
ingeniería (lb/pie h).
9-15 El metano tiene una viscosidad de 0.0020 kg/m s a
380 °C y de 0.00226 kg/m s a 499 DC, a presión atmosférica
normal (101. 3 kN/m2).
(a) Calcular la viscosidad del metano a 100 °C y a 700 °C,
suponiendo que se trata de un gas modelo simple.
(b) Calcular la viscosidad del metano a 100 °C y a 700 °C,
suponiendo que obedece el modelo de Lennard-Jones 6-12.
(el Calcular la conductividad térmica del metano a 500 °C,
suponiendo que concuerda con el modelo de Lennard-Jones.
(d) Calcular la difusividad de masa del metano en metano a
500 °C, suponiendo que concuerda con el modelo de LennardJones.
9-16 Calcular con precisión, la difusividad de masa del bióxido de carbono en vapor de benceno, a 100 °C y 150 kN/m2.
9-17 Calcular la difusividad de masa del vapor de agua en
nitrógeno, a 200 °C y a 200 kN/m2.
9-18 Calcular la difusividad de masa del hidrógeno en vapor de agua a 25°C y 200 kN/m2.
9-19 Calcular la conductividad térmica del argón (en unidades inglesas de ingeniería), a 70°F Y 100 Ib/plg2.
9-20 A presión atmosférica normal, la conductividad térmica del aire es 1.045 a -100 °F Y 1.782 a 200 °F, ambas en
Btu/h piel (OF/pie)
Calcular la conductividad térmica del aire a O ° F.
9-21 A continuación se da una tabla con las viscosidades
del benceno líquido. Desarrolle una ecuación para predecir la
viscosidad del benceno en este intervalo de temperaturas.
Temperatura
DC
10
20
30
40
50
60
70
80
Viscosidad x 103
kg/m s
0.758
0.652
0.564
0.503
0.442
0.392
0.358
0.329
¡.¡ : lb/pie h
M: g/mol
T:R
a: pie
9-12 Convertir la Ec. 9-46 a unidades inglesas de ingeniería,
para usarla con las siguientes unidades:
9-22 La viscosidad de la acetona líquida es 2.148 cps a
-92.5
y 0.399 cps a O °C. Predecir los valores de viscosidad
a -30°C y a 30°C, para compararlos con los valores experimentales de 0.575 y 0.295 cps, respectivamente.
9-23 Comparar las características de flujo de la mayonesa y
la salsa de tomate. ¿Por qué al sacudir suavemente un bo-
-c
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MECANISMO DE TRANSPORTE MOLECULAR
tella de salsa de tomate durante algunos segundos origina un
flujo mayor que una sola sacudida fuerte?
9-24 Para un fluido seudoplástico, ¿qué unidades SI serían
apropiadas para la constante K (Ec. 9.69)?
9-25 Cuál de las siguientes sustancias cree usted que será
un fluido no newtoniano: un lodo de carbón en agua, miel. puré de manzana, acero fundido, sangre humana o una solución
salina.
9-26 Calcular las difusividades de masa térmica y de momento, para el aire y el agua líquida a O oC y presión atmosférica normal. Compare estos valores. Calcular el número de Schmidt de autodifusión, así como el número de Prandtl a O oC y
197
presión normal atmosférica, para aire y para agua líquida. Analice el significado de estas relaciones adimensionales en términos de un gradiente de concentración unitario. (Calcular la difusividad de masa para la autodifusión.)
9-27 Calcular el número de Prandtl para etanol, agua, mercurio y glicerol puros, a una temperatura de aproximadamente
20 oC. Compare los valores resultantes en términos de las propiedades individuales.
9-28 Discuta las razones de las diferencias en el número de
Prandtl y en el número de Schmidt, para los distintos materiales que se dan en la Tabla 9-3.
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•
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Diez
Balances Diferenciales
de Masa, Calor
y Momento
Las ecuaciones de transporte molecular que se desarrollaron en el Cap. 9 pueden utilizarse en el análisis
de muchos de los problemas que se presentan en las
operaciones unitarias . En este capítulo se desarrollan ·
procedimientos de análisis utilizando situaciones unidimensionales, junto con algunos casos simples en dos y
tres dimensiones. En el siguiente capítulo se extenderán
estos procedimientos para desarrollar las ecuaciones
generalizadas en tres dimensiones.
Las tres ecuaciones básicas de transporte molecular
que se desarrollaron en el Cap. 9 son:
1. Ley de Newton para el transporte de momento:
(9-31 )
2. Ley de Fourier para el transporte de calor:
q
dT
- =- k dx
A
(9-21 )
3. Ley de Fick para el transporte de masa:
Na
dC a
A
dx
- =- ~ ­
(9-11 )
En el Cap. 9 se definen los símbolos para estas tres
ecuaciones. Como se estudió en el capítulo anterior, las
tres expresiones tienen la misma forma, relacionando el
flujo de la propiedad que se transfiere (masa, calor o
momento), con el gradiente de concentración de dicha
propiedad.
En un elemento de volumen dado, el gradiente de
concentración, y por tanto el flujo, pueden variar con la
posición y con el tiempo. Entonces, es necesario integrar las Ecs. 9-11, 9-21 y 9-31, tomando en consideración las variaciones dentro del volumen del sistema considerado. Además, es posible que otros mecanismos,
distintos al transporte molecular, contribuyan al flujo
hacia adentro y hacia afuera de la propiedad en transferencia. En cualquier cálculo completo de transferencia
dentro de un sistema deben considerarse los otros mecanismos. Un análisis completo requiere enunciar todos
los mecanismos de transferencia, combinados para
describir el comportamiento físico del sistema, con tanta precisión como sea pqsible. Con frecuencia, el enfoque más efectivo consiste en expresar un balance de
masa, calor o momento, incluyendo todos los mecanismos de transferencia que actúan sobre un elemento de
volumen de tamaño diferencial. Las ecuaciones diferenciales resultantes pueden integrarse con las condiciones
límite apropiadas, para obtener una expresión final que
describa al sistema global. Aquí se incluirán únicamente
mecanismos de transporte molecular. En los Caps. 12 y
13 se estudian otros mecanismos de transporte.
Es deseable contar con un enfoque sistemático al
expresar los balances de masa, calor y momento, ya
que las propiedades pueden variar con la posición y el
tiempo. La ecuación básica de balance establece que la
entrada, más la generación, debe ser igual a la salida
más la acumulación, para cualquier elemento de volumen;
Velocidad de
ENTRADA
+
Velocidad de
SALIDA
Velocidad de
GENERACION
+
=
Velocidad de
ACUMULACiÓN
(10-4)
La entrada o la salida a un elemento de volumen, puede
darse por transporte molecular o por flujo global, cuando el sistema es un fluido en movimiento. Por ejemplo,
considere una corriente de agua que se calienta con vapor al pasar a través de un tubo enchaquetado. El elemento de volumen puede ser una sección del tubo con
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200
PRINCIPIOS DE OPERACIONES UNITARIAS
una longitud de un pie. Cuando el agua tiene un flujo laminar, el calor se transfiere del tubo caliente al agua,
por transporte molecular. Adicionalmente, el agua que
entra a la sección de un pie de longitud, lleva consigo
una cierta cantidad de energía térmica, determinada por
su temperatura y velocidad de flujo. En forma similar, el
agua que sale de la sección de un pie, transporta
energía térmica.
La propiedad en transferencia puede generarse
dentro del elemento de volumen. Un ejemplo común de
generación interna de calor, es un elemento eléctrico de
calentamiento. El calor se genera dentro del elemento
metálico debido a la resistencia del alambre al flujo de
electricidad. El calor se transfiere a la superficie del elemento por transporte molecular (conducción), en
donde se disipa por calentamiento del aire de los alrededores. Un ejemplo común de generación interna, aunque menos obvio, es un fluido que fluye en un tubo. En
cada punto se genera un momento en el fluido que
transfiere a la pared del tubo. Un ejemplo de generación interna de masa es un reactor nuclear, en donde los
electrones se generan por el proceso de fisión de uranio.
Después de la generación, los neutrones se difunden a
través del cuerpo del reactor, obedeciendo la ecuacián
simple de difusión de masa.
No debe -confundirse el término generación con el de
creación. La ley de conservación de la masa y la
energfa, establece que nada se puede crear o destruir,
aunque es posible transformar la masa en energía y viceversa. Entonces, la masa, el calor o el momento que
se genera dentro del volumen, debe haber estado presente en una forma diferente antes de transformarse en
la forma generada. Por ejemplo, en el elemento que se
calienta eléctricamente, la energía eléctrica se convierte
en energía térmica. En el fluido que fluye, una parte del
incremento de presión, suministrado al fluido, por medio de una bomba, se transforma en momento, el cual
se transfiere a la pared. Durante este proceso, una parte
de la energía mecánica que suministra la bomba, se disipa como calor en el fluido. En un reactor nuclear, el
neutrón era originalmente parte de la masa del núcleo
de uranio. La fisión del núcleo libera no sólo neutrones y
fragmentos de fisión, sino también energía que aparece
como calor. Entonces, la zona central del reactor nuclear es también un ejemplo de transferencia con generación interna de calor.
La velocidad de generación como se da en la Ec. 10-4,
puede tener un valor negativo. Por ejemplo, en la difusión con reacción química, los reactivos se consumen
(para formar otras especies químicas), de manera que la
velocidad de "generación" de reactivos es negativa. Por
otra parte, la velocidad de generación de productos de
la reacción sería positiva.
En la Ec. 10-4, la velocidad de acumulación toma en
cuenta el comportamiento de estado inestable de la
transferencia dentro del elemento de volumen. Si
la concentración de la propiedad que se transfiere en
una posición específica cambia con el tiempo, se da una
acumulación, y por tanto existe un estado inestable. Por
ejemplo, considere un calentador eléctrico inmediata-
mente después de conectar la corriente. Al principio, el
calentador tiene la temperatura ambiente, pero el calor
que se genera por la energía eléctrica disipada por la resistencia, origina que el elemento se caliente. Hay un
incremento en la temperatura en cualquier punto específico del elemento de calentamiento y, por ello, la acumulación de energía térmica tiene un valor positivo en
ese punto. Por último, el elemento de calentamiento alcanza una temperatura suficientemente alta para transferir calor a los alrededores, a la misma velocidad con
que se genera en el elemento, de manera que la temperatura en cualquier punto no cambia con el tiempo.
Entonces, la acumulación es cero y existe un estado
estable. Si la corriente se interrumpe, ya no se genera
calor y el elemento de calentamiento se enfría . La temperatura disminuye dando un valor negativo a la acumulación. Este estado inestable persiste hasta que el
elemento de calentamiento alcanza de nuevo la temperatura de los alrededores. La Ec. 10-4 se puede aplicar al
elemento eléctrico de calentamiento en su totalidad, en
cualquier tiempo durante el calentamiento y enfriamiento descritos antes.
En el resto de este capítulo, se desarrollarán expresiones cuantitativas con base en la Ec. 10-4, para varios
sistemas de transferencia que involucran transporte molecular. Los procedimientos generales se aplican también al transporte turbulento, que se estudia en el
Cap. 12.
METODO DE ANALISIS
Es posible formular un procedimiento general para el
análisis del sistema de transferencia basado en transporte molecular. A continuación se enumeran las etapas individuales.
1. Se formula un modelo ffsico. La especificación
de un modelo físico requiere comprender bien todos los
mecanismos que pueden afectar a la concentración de
la propiedad que se transfiere en el sistema . El modelo
debe apegarse a la realidad física, aunque a menudo se
omiten ciertos fenómenos físicos' cuya influencia
es mínima. Por ejemplo, en un modelo de transporte de
masa, normalmente se omiten la difusión térmica y la difusión forzada debido a que son insignificantes en comparación con la difusión común que resulta de un
gradiente de la concentración de masa. En la práctica, el
modelo físico es, por lo general, un compromiso entre la
exactitud física y la complejidad matemática. Un modelo físico que incluya todos los mecanismos posibles,
conduce con frecuencia a expresiones matemáticas que
son difíciles de usar. Es posible simplificar el modelo
para lograr matemáticas más manejables, pero el modelo simplificado puede no conducir a una descripción
precisa del sistema real. Entonces, es siempre deseable
verificar las expresiones finales que describen al sistema, mediante el uso de datos experimentales obtenidos
del mismo .
2. Se expresan los balances para las propiedades en
transferencia pertinentes. Se obtienen los balances de
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BALANCES DIFERENCIALES DE MASA, CALOR Y MOMENTO
masa, calor y momento, para un elemento de volumen
pequeño y finito, incluyendo todos los mecanismos que
aparecen en el modelo físico. Debido a que tanto la concentración como los mecanismos varían dentro del volumen del sistema, suele ser necesario obtener los
balances para un elemento infinitesimal de volumen. Esto conduce a ecuaciones diferenciales, que se integran
para describir al sistema completo. Para obtener las
ecuaciones diferenciales, los límites de los balances en
un elemento de volumen pequeño y finito, se toman como las dimensiones cuando el elemento de volumen
tiende a cero, con el procedimiento normal de cálculo
diferencial. Si la concentración de la propiedad en
transferencia es una función de más de una variable independiente, es necesaria una ecuación diferencial
parcial. Por ejemplo, en el elemento eléctrico de calentamiento, la temperatura es una función tanto del tiempo como de la posición en el elemento, por lo que se
necesita una ecuación diferencial parcial para relacionar
la temperatura con el tiempo y la posición.
3. Los términos de flujo en las ecuaciones diferenciales de balance se reemplazan por expresiones de
gradiente de concentración. En otras palabras, se
reemplaza tp por -8A(dr / dx) utilizando las Ecs. 9-11,
9-21 o 9-31. Este paso reduce el número de variables en
las ecuaciones diferenciales, eliminando la variable de
flujo.
4. Se integran las ecuaciones diferenciales utilizando
las condiciones límite apropiadas. La integración necesaria puede ser compleja. Algunas veces, las distintas
ecuaciones diferenciales están interrelacionadas, de
manera que pueden resolverse en forma simultánea. En
muchos casos, no es posible integrar las ecuaciones
analíticamente, por lo que es necesario utilizar métodos
numéricos. Las computadoras digitales han hecho que
los métodos numéricos sean más factibles. Se seleccionan las condiciones límite a partir de datos conocidos
del sistema. Por ejemplo, cuando un fluido fluye a través de un tubo, se supone que la velocidad en la pared
del tubo es cero. Podría usarse esta información como
una condición límite para evaluar una constante de integración en una expresión que relacione la velocidad
de flujo y la posición en el tubo .
5. Se verifican las expresiones finales con los datos
experimentales disponibles. Este paso es necesario para comprobar que el modelo que se formuló en el paso
1, describa la realidad física con suficiente precisión.
Por ejemplo, suponga que se consideró que la conductividad térmica y la capacidad calorífica de la barra de
metal eran constantes durante el calentamiento, cuando en realidad sufrieron una variación considerable en el
intervalo de temperaturas en el cual se calentó la barra.
La ecuación final que relaciona a la temperatura con el
tiempo y la posición podría no concordar con los datos experimentales de temperatura, que se tomaron en
distintos tiempos y posiciones en la barra. Si las
expresiones finales no concuerdan con los datos experimentales, deben examinarse tanto el modelo físico
como su descripción matemática, para determinar la
forma en que pueden mejorarse. Con frecuencia, este
201
procedimiento conduce a una mejor comprensión de los
mecanismos físicos que se involucran. No obstante, es
posible que el modelo nunca concuerde con los datos,
debido a una falla significativa de comprensión de la
realidad física. Si los datos son precisos, pueden considerarse como una mejor descripción de la realidad física
que cualquier deducción que se obtenga del modelo
físico.
Los cinco pasos antes descritos son aplicables en el
resto de este capítulo a sistemas de transporte molecular de diferente complejidad. Sólo se describen algunos
sistemas simples para demostrar los procedimientos. Se
han analizado muchos sistemas más complejos (1,5).
Este método de análisis es de gran importancia para un
ingeniero, quien puede solicitar la ayuda de un matemático para la integración en el paso 4, pero que tendrá
que hacer solo los otros pasos.
Consideraciones geométricas
Los sistemas por analizar pueden tener cualquier tamaño o forma. Muchas de esas formas pueden ser difíciles
de describir en forma analítica, por lo que puede ser
necesario recurrir a métodos numéricos aproximados.
Aquí se presentan algunas formas simples que pueden
tratarse analíticamente.
La geometría de placa plana (Fig. 10-1a) se basa en el
sistema de coordenadas rectangulares. En est~ capítulo
se supone que el transporte molecular ocurre únicamente en la dirección x. El área a través de la cual ocurre el
transporte es constante e igual al área del plano perpendicular a la dirección de transporte. El elemento finito de
volumen tiene un área A y un espesor llx.
Para el cilindro (Fig. 10-1b), se supone que la dirección de transporte molecular es a lo largo de un radio.
También se supone que existe una simetría radial, por
lo que las propiedades en un r dado son iguales sin importar la dirección de r. Esto elimina la necesidad de
considerar el componente angular en las coordenadas
cilíndricas.
En la esfera (Fig. 10-1c), se supone que el transporte
es en la dirección radial y que existe una 'simetl'fa con
respecto al punto central. En otras palabras, se supone
que las propiedades en un radio específico son uniformes sin importar el ángulo del radio. Un tratamiento
más general incluiría dos coordenadas angulares
además de la coordenada radial, para tomar en cuenta
las variaciones de las propiedades en las direcciones angulares.
Si la velocidad varía al cambiar el radio, puede presentarse una acumulación y existir un estado inestable.
La velocidad es igual al flujo multiplicada por el área a
través de la cual ocurre el flujo.
Algunas veces es conveniente definir un área media
de transporte, de manera que pueda emplearse un solo
valor del área al integrar la ecuación de transporte. La
forma del área media se determina de la geometría del
sistema, como se demuestra en los siguientes párrafos
para un cilindro.
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202
PRINCIPIOS DE OPERACIONES UNITARIAS
Para el cilindro, de la Fig . 10-1b, A = 2nrL, entonces
(¡J;A)
I dr
r2
-- = -8(r 2 27TL r, r
r 1)
(10-8)
y
(¡J;A)
r2
--In - = -8(r2 - r 1 )
(10-9)
27TL
r1
Se reordena la Ec. 10-9 y se multiplica el lado derecho
r2 -r1
por
r2 - r1
Dirección del
---
transporte_o.---..-~
------?:~~H--:~-------,?,;:~·\
"j' I
1\
'11
I I
\ \
/ 1-1
\ ',_.. / I::J
molecular
(radial)
,1
\ \ II
\ "../
Xl
I
(10-10)
I I
____ _~~.-AIF.. ______ _____ ~'_
X~
(r2 - r1 )L r 2 - r 1
(¡J;A) = 27T - - - - - In(r2/r 1) r2 - r1
~X
El área media se define como el área a través de la
cual la fuerza motriz promedio global (-l1r / M) produciría la velocidad constante hpA).
(¡J;A) =,4
(b)
[-8 r
2
-
r 1]
(10-11)
r2 - r1
Al comparar las Ecs. 10-10 y 10-11 se demuestra que
Dirección del
transporte
_
27T(r2 - r1 )L
A=----
molecular
(radial)
In(r2/r 1 )
(10-12)
Ya que A = 27TrL
_
A2 - A1
A=---In(A 2 /A 1 )
(10-13)
(e)
Esto se conoce como media loaa!ftmica del (A",). Si
Fig. 10-1 Geometrías simples. (a) placa plana: área de transporte = A (constante); volumen del elemento = AAx. (b) Cilindro: área de transporte en el radio r = 2nr(Xi -Xi); volumen
del elemento = 2nr Ar Ax. (e) Esfera: área de transporte en el
radio r = 4nr volumen del elemento t = 4nr Ar.
2T
r1
d d
A
= nrL, entonces r = /j", = I ( / )' en on e r,,,,
2
/j",
n r2 r1
es la media logarítmica del radio en este caso.
Transferencia a estado estable
El área media para el transporte a través de la pared
de un tubo cilíndrico de longitud L, radio interno 'í y radio externo r2 , se determina mediante el siguiente procedimiento .
La ecuación general de transporte para transporte radial, puede expresarse a partir de la Ec. 9-12 Y la Tabla
9-1 como
dr
¡J; = -8 dr
(10-5)
La velocidad de transporte hpA) únicamente para el
transporte molecular es constante con respecto al radio.
La Ec. 10-5 puede multiplicarse por A para dar
dr
(¡J;A) = -8A - = constante
dr
Separando variables e integrando desde (r =
r 2 a r = r2) da
( 10-6)
r1 a r
= r1) a (r =
(10-7)
A estado estable, no existe acumulación de la propiedad que se transfiere en un elemento de volumen,
por lo que la Ec. 10-4 se transforma en
Velocidad de
Velocidad de
Velocidad de
SALIDA (10-14)
ENTRADA + GENERACION =
La transferencia a estado estable puede clasificarse además en base a la presencia o ausencia de generación interna. La transferencia sin generación interna recibe el
nombre de transferencia simple. En las siguientes secciones se consideran varios ejemplos de transferencia
simple y transferencia con generación interna.
TRANSFERENCIA SIMPLE
Cuando no existe generación interna, la Ec. 10-4 se reduce a
Velocidad de
ENTRADA
Velocidad de
SALIDA
(10-15)
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BALANCES DIFERENCIALES DE MASA, CALOR Y MOMENTO
203
En general, la entrada y la salida pueden ser tanto para
transferencia molecular como por flujo del fluido. Si la
entrada y la salida se deben únicamente al transporte
molecular, la aplicación de la Ec. 10-15 al elemento rectangular de volumen que se muestra en la Fig. 10-1a da
(10-16)
Reordenando y dividiendo entre !J.x se obtiene una expresión equivalente:
-x
(~A)x+~x - (~A)x = O
tlx
(10-17)
La Ec. 10-17 se convierte fácilmente a una forma diferencial, al tomar el límite cuando !J.x tiende a cero
lim (~A)x+~x - (~A)x = d(~A)
tlx
dx
~x - O
00-18)
Combinando las Ecs. 10-17 y 10-18 se obtiene
d(~A) = O
dx
(10-19)
Esta ecuación diferencial resulta de los dos primeros pasos del procedimiento de cinco pasos que se estudió anteriormente. Para el primer paso, se escogió el modelo
físico como transporte molecular a estado estable en la
dirección x, sin generación interna. El segundo paso
involucra escribir el balance con respecto a un elemento
finito de volumen (Ec. 10-16), tomando entonces el
límite para obtener una ecuación diferencial (Ec. 10-19),
que es un balance en un elemento dx de espesor infinitesimal.
Los pasos restantes del procedimiento de cinco pasos, se ilustran con los siguientes ejemplos de transferencia de masa, calor y momento.
Fig. 10-2 Patrón de esfuerzos externos en la transferencia
simple de momento.
con velocidades constantes; se requieren fuerzas constantes para contrarrestar la resistencia al flujo que
presenta el fluido entre los planos. A estado estable, un
balance de las fuerzas externas sobre el fluido, establece que la suma algebraica de las fuerzas debe ser cero.
(10-22)
Aquí se definen las fuerzas como positivas cuando
actúan en la dirección + y. En el Cap. 9 se demostró que
una fuerza en la dirección + y representa un flujo de
momento en la dirección + x, fluyendo hacía el plano;
una,fuerza en la dirección -y representa un flujo de momento en la dirección + x, fluyendo hacía afuera del pIano fluido.
Un balance de fuerzas externas en la placa de fluido
que se encuentra entre el plano 1 y el plano en x da
(10-23)
y un balance de fuerzas externas entre el plano 2 y plano
en x + !J.x da
Transferencia de momento
La ecuación de balance de momento para un elemento
rectangular de volumen se escribe a partir de la Ec.
10-19.
(10-20)
Esta puede integrarse para dar
(10-21)
La Ec. 10-21 puede derivarse también de un análisis
de las fuerzas que actúan sobre un fluido que se encuentra entre dos planos paralelos en movimiento. En la
Fig. 10-2 se muestra el patrón de esfuerzos externos que
actúan sobre un fluido . Los planos 1 y 2 se mueven con
velocidades Vl Y Vz como resultado de las fuerzas Fl y
Fz que se aplican a los planos. Los planos se mueven
(10-24)
Combinando las Ecs. 10-22, 10-23 y 10-24 se obtiene
(10-25)
Esta expresión da lugar a la Ec. 10-21, cuando se trata con un procedimiento de límites similar al que se utilizó con la Ec. 10-16. La constante gc puede insertarse en
la forma integrada de la Ec. 10-25 para hacerla idéntica a
la Ec. 10-21. Entonces, para la geometría de placa plana, la expresión básica para la transferencia simple de
momento puede obtenerse de un balance de fuerzas o
de la ecuación generalizada de transporte en coordenadas rectangulares. El balance diferencial se aplica fácilmente a situaciones que involucran flujo laminar en una
trayectoria de línea recta. Si la trayectoria es curva, como en una esfera o en la dirección angular de un ci-
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204
PRINCIPIOS DE OPERACIONES UNITARIAS
lindro, están presentes fuerzas de aceleración que se
originan por la curvatura de la trayectoria y es difícil aplicar el balance diferencial simple. En este caso, es preferible utilizar la ecuación general de movimiento que se
desarrolla en el Cap. 11.
Con el procedimiento de cinco pasos, el flujo Tygc de
la Ec. 10-20 puede reemplazarse por un gradiente, utilizando la Ec. 9-31
d(-JJA dV)
_ _ _ _d_x_=O
dx
(10-26)
Sustituyendo las condiciones límite y el valor de la viscosidad del fluido, se obtiene el esfuerzo sobre cada
placa.
_ -(363)(-2100 - 600) _
-2. 2
'ry - (4.17 x 108)(2/12 _ O) - 1.41 x 10 Ib f/Ple
El esfuerzo es positivo debido a que el momento se
transfiere en la dirección en que disminuye la velocidad.
(b) Los pasos 1, 2 y 3, son iguales que en la parte a.
4.* Se integra la Ec. 9-31 entre (x = Xl' V = 11) y (x
= x y v = v) para dar
Si ¡.¡ y A son constantes, es posible escribir la Ec. 10-26
como
(10-27)
En forma general, la viscosidad puede variar con la
velocidad (en fluidos no newtonianos) y el área de transferencia puede variar con la distancia. Las variaciones
deben expresarse en términos de velocidad o di!itancia
antes de completar la integración.
Ejemplo 10-1 Dos placas planas paralelas se encuentran a una distancia de 2 plg. Una placa se mueve a
una velocidad de 10 pies/min y la otra se mueve en la dirección opuesta a 35 pies/mino La viscosidad del fluido
que se encuentra entre las placas tiene un valor constante de 363 lb/pie h.
(a) Calcular el esfuerzo sobre cada placa.
(b) Calcular la velocidad del fluido a intervalos de 1/2
plg desde una placa hasta la otra.
- - V2 = -35
------------~t-----------X2
t
____________~!___________XX¡
v¡ =
'ryge
- - (x - X1)
V1 = -
(10-29)
J.l.
Eliminando Tygc / ¡.¡ entre las Ecs. 10-28 y 10-29,
V-
V1 :::;: (V2 -
V1 ) (
X -
X1 )
(10-30)
X2 -X1
o bien, la velocidad en un punto cualquiera x para los
valores vl , V2' Xl Y X2 que se especificaron, es
= 10 - (45) (X)
(X/12)
2/12
2
v = 10 + (-35 - 10) Entonces, en
1/2) = -1 .25 pies/min
x = 1/2 plg, v = 10 - (45) ( 2
a
1.5)
.
x = 1.5plg, v= 10 -(45) ( 2
= - 23.75 pies/min
Ejemplo 10-2 Determine el esfuerzo cortante y los
perfiles de velocidad para las condiciones del Ej. 10-1,
cuando el fluido que se encuentra entre las placas es- un
plástico de Bingham no newtoniano, descrito por la Ec.
9-65, con,... = 363 lb/pie h y To = 0.01 Ib¡/pie2.
pies / min
2 plg
v-
10 pies/ min---+
Solución (a)
1. * El modelo físico es para una transferencia simple de momento con una geometría plana y con viscosidad y área de transferencia constantes.
2,3. * La Ec. 9-31 es aplicable directamente
dv
'ryge = -J.l. dx
4. * Las condiciones límite para este sistema son
a x = X2 = 2 plg v = V2 = -35 pies/min = - 2100 pies/h
a x = Xl = Oplg v = Vl = 10 pies/min = 600 pies/h
Solución
1. El modelo físico corresponde a la transferencia
simple de momento en una geometría de placa plana,
con el fluido descrito por la Ec. 9-65.
dv
'ryge - 'roge = -J.l.s dx
2. La Ec. 10-21 se derivó sin considerar las propiedades del fluido, por lo que es aplicable tanto a fluidos
newtonianos como a fluidos no newtonianos.
3. Esta expresión para Tygc se incorpora en la
ecuación de balance (Ec. 10-21).
4. Se integra la ecuación resultante para obtener
V2 -
'ryge - 'roge = -J.l.s
X2 -
pie Ib/h
V1
X1
= 5,880,000
. 3h
pie
La integración de la Ec . 9-31 da
(V2 -
'ryge = - J.l. (x
2
v, )
-x,
)
(10-28)
• Las secciones numeradas en la solución del ejemplo se refieren al
procedimiento de cinco pasos descrito anteriormente. Con frecuencia
el paso 5 es irrelevante .
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y
Ty
-
TO
205
Resolviendo simultáneamente las Ecs. 10-32 y 10-32a,
se obtiene
= 0.0141 lb¡ /pie 2 (véase el Ej. 10-1)
entonces Ty = 0.0141 + 0.01 = 0.0241 1b¡/pie2 • Así, el
esfuerzo cortante es constante, pero tiene un valor mayor que en el Ej. 10-1 para contrarrestar el valor inicial de
'fa. El perfil de velocidades para el plástico de Bingham
es idéntico al de un fluido newtoniano con transferencia
simple.
(10-32b)
y
C2 =-kA(T1 - T 2 - T1 Xl)
X2 -
Xl
(10-33)
'
Sustituyendo C; y ~ en la Ec. 10-31c, se obtiene una relación para la temperatura T en una posición x cualquiera.
Transferencia de calor
Para una transferencia de calor, la Ec. 10-19 se transforma en
dq = O
dx
T = T1 +
T2 -T1
(x - x,)
(10-34)
X2 - X l
Es decir, la velocidad de conducción es constante en la
dirección x. Para el paso 3 del procedimiento de cinco
pasos, la Ec. 10-31 puede combinarse con la Ec. 9-21
para dar
La Ec. 10-34 es la expresión de una línea recta; la
temperatura es una función lineal de la distancia en una
placa plana con una conductividad térmica constante.
El flujo de calor puede determinarse diferenciando la Ec.
10-34 con respecto a x y sustituyendo el resultado en la
Ec. 9-17.
d(-kA dT/dx) = O
dx
dT= T2 - T 1
dx x2 - X l
(10-31 )
(10-31a)
y
Para la geometría de placa plana A es constante con
respecto a x. También puede suponerse que k es constante con respecto a T. Entonces, la Ec. 10-31a se transforma en
(10-31 b)
El paso 4 involucra la integración y aplicación de las
condiciones a límite. Las condiciones a límite típicas para conducción en la placa plana que se muestra en la
Fig. 10-1 a serían
1. A X=Xl
2. A x = X2
Es decir, se conoce la temperatura en ambas superficies. Se necesitan dos condiciones límite, debido a que
la Ec. 10-31b es una ecuación de segundo orden que dará lugar a dos constantes al integrarse. La primera integración da
dT
-kA - = C1
dx
La segunda integración da
-kAT = C1 x + C2
(10-31c)
Utilizando la primera condición límite en la Ec. 10-31c se
obtiene:
.
(10-32)
y la segunda condición límite da
-kAT2 = C1 X 2 + C2
(10-32a)
q = -k T2 - T 1
A
X2 -
(10-35)
Xl
Esto demuestra que q es constante para todos los valores de x entre Xl y X2 .
La Ec. 10-35 puede obtenerse en forma más directa
por integración de la Ec. 10-26, para obtener q = constante, e integrando la Ec. 9-21 con q constante. Se
incluyó el procedimiento más largo debido a que ilustra
un método útil que se empleará posteriormente.
Ejemplo 10-3 Un tubo de vapor de 2 plg de diámetro
externo, tiene una temperatura de 350°F en la superficie externa. El tubo está recubierto con un material de 2
plg de espesor. La conductividad térmica del recubrimiento varía con la temperatura, de tal forma que k =
0.5 + 5 x 10-4 T, en donde Testá en °F y k en Btu/h
pie 2 (OF/pie). La superficie externa del recubrimiento se
encuentra a 100 °F. Calcular las pérdidas de calor por
pie de longitud del tubo.
Solución
1. El modelo físico corresponde a una transferencia
simple de calor (conducción) radial, en coordenadas
cilíndricas.
2. La ecuación de balance para coordenadas cilíndricas es q = constante con respecto al radio.
3. La Ec. 9-21 está escrita para transporte radial y se
sustituye en la ecuación de balance. Se designará con 1
la parte interna del aislamiento y con 2 la parte externa.
4. Las condiciones límite son entonces
A r=rl = 1 plg
Ar=r2 = 3 plg
T= T 1 =350 °F
T=T2 =1()()OF
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206
PRINCIPIOS DE OPERACIONES UNITARIAS
Las variables, y T se separan y la ecuación resultante se
integra con q constante.
q
r 2 dr
J.. T 2
rl
TI
f -A = -
kdT
Puesto que A = 2nrL para L pies de longitud de tubo y k
= 0.5 + 5 x 10-4 T,
q
r2
dr
=J2rrrL '
rl
JT (0.5+5xlO- 4 ndT
2
TI
2
-L(ln r ) == -[(0.5)(T2 - T,)
2rrL
r1
+(
5 x 10 -4 )
2
2 ]
2
(T2 - T 1 )
Estas dos ecuaciones pueden integrarse para dar N. =
constante y IV¡, = constante. Debe enfatizarse que las
Ecs. 10-36 y 10-37 se basan en la Ec. 10-19, por lo que
sólo se aplican cuando el único mecanismo para la
transferencia de masa es el transporte molecular (difusión).
Un balance de masa más general considera el flujo
global así como el transporte molecular. Como el
nombre lo implica, el flujo global involucra al movimiento general de la fase fluida como un todo. Es posible
expresar un balance de masa incluyendo ambos mecanismos, con respecto al elemento de volumen que se
muestra en la Fig. lO-la, como se indica en la Fig. 10-3.
La aplicación de la Ec. 10-15 al elemento de volumen da
Ntf ca
Entonces, para 1 pie de tubo
Ct
2rr[(O.5)(350 - 100)
+ (5 X 10- 4/2)(350 2 - 1002 )]
q = ----------------3/12 )
In ( 1/12
= 877 Btu/h
Este problema podría resolverse empleando un área media. El área media para una geometría cilíndrica se calcula mediante la Ec. 10-12
I + Na I = Ntf Ca I
x
x+Ll.x
en donde
N,f = velocidad de flujo global total, lb mol/h
~ = concentración de a, lb mol/piel
G = concentración molar total, lb mol/piel (una
constante a T y p constantes)
Reordenando, dividiendo entre !J.x y tomando el
límite cuando !J.x -- O, se obtiene
dN
dx
a
-+
In(3/12)
1/12
d(Ntfca/c t )
=0
dx
(10-39)
La integración de la Ec. 10-39 da
0.955 pie 2 por 1 pie de tubo.
Entonces, puesto que k varía con respecto a T
A
I
(10-38)
A = A 1m = 2rrL (r2 -'1 ) (2)(3.14)(3/12 - 1/12)
InC~)
+ Na
Ct x+Ll.x
x
ti + N'fCa / C, = constante
(10-40)
T2
f kdT
TI
y
(0.955) [(0.5)(350 - 100)
+ (5 x 10- 4/2)(350 2 - 1002 )]
El primer término de la Ec. 10-40 es la velocidad de
transporte molecular de a, mientras que el segundo término es la velocidad de flujo global de a. Entonces, la
constante puede identificarse como la velocidad total de
transferencia, por los dos mecanismos (Na)" así que
q = - ---------------(3/12 - 1/12)
= 877 Btu/h
Transferencia de masa
El balance de masa básico para el transporte molecular
se obtiene de la Ec. 10-19. Para la especie a en una
mezcla binaria de a y b
dN
a
-=
0
dx
(10-36)
y para la especie b
(10-41)
Flujo global
de a que sale
en x + Ll.x =
Flujo global
de a que entra
con x = ------,~
N lf
-'flx
N;f -'f-1>o+l1X
Transporte molecular
Transporte molecular
que entra de a ---~
conx =
t---~ de a que sale
en x + Ll.x =
Nal x + Ax
Na\x
~
'X
dNb=O
dx
(10-37)
x + Ll.x
Fig. 10-3 Balance de masa con transporte molecular y flujo
global.
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BALANCES DIFERENCIALES DE MASA, CALOR Y MOMENTO
Un balance similar para el componente b da
207
Esta ecuación se utiliza en el siguiente estudio.
Se definen por lo general dos tipos de transferencia
simple de masa. Cuando sólo existe transporte molecular, el proceso se conoce como contradifusión equimolar. Como se demuestra en el Cap. 9,
La difusión a través de un gas estacionario se presenta
cuando un límite del sistema de difusión es permeable a
un solo componente. Como resultado, no hay un movimiento neto del otro componente, del cual se dice que
se encuentra estacionario, En la absorción gaseosa, la
difusión ocurre a través de un gas estacionario. Por
ejemplo, considere la absorción del amoníaco de una
mezcla aire-amoníaco, con agua. El límite entre el gas y
el agua es permeable únicamente al amoníaco, debido a
que el aire tiene una solubilidad mínima en el agua. Por
tanto, de amoníaco se difunde del gas a través del aire
estacionario, hasta la supérficie del agua, en donde se
absorbe. No existe una transferencia neta de aire.
La difusión a través de un gas estacionario se describe mediante la Ec. 10-45, en donde el componente a es
el que puede pasar a través del límite 2 que se muestra
en la fig. 10-4. Esta figura muestra perfiles típicos de
concentración para dos componentes. Por ejemplo, el
límite 2 puede ser una interfase gas-agua; el componente a, el amoníaco; el componente b, el aire, como se
describe en el párrafo anterior.
El componente b no se transfiere a través del plano
en x2 • Como resultado, un balance de masa para el
componente b, demuestra que su velocidad total de flujo en estado estable en cualquier punto x debe ser cero.
De otra forma, el componente b se acumularía en el
límite impermeable . Entonces,
(9-16)
(10-46)
y de aquí el nombre para este proceso de transferencia.
Las Ecs. 10-36 y 10-37 indican que N. y N, son constantes con respecto a x. Cuando sólo opera un mecanismo
(es decir, no hay flujo global), (N.), = N. Y (Nb), = Nb , de
manera que la Ec. 10-45 se reduce a (N.), = N., como se esperaba.
La contradifusión equimolar puede ocurrir en la destilación. En un plato de una columna de destilación, la
transferencia de masa se verifica entre el líquido de
dicho plato y la burbuja de vapor que sube a través del
líquido. Si los calores latentes de vaporización molares
de las mezclas son constantes y el sistema es adiabático, las moles del componente más volátil que se evapora, deben ser iguales a las moles del componente menos
volátil que se condensan. En tal caso, el componente
más volátil se difunde en dirección opuesta a la del componente menos volátil, pero con la misma velocidad. En el'
Cap. 9 se trató la contradifusión equimolar, demostrándose que si la temperatura y la presión tbtal son constantes,
un gradiente del componente a resultará necesariamente
en un gradiente opuesto para el componente b. El Ej. 9-1
involucra contradifusión equimolar.
El segundo tipo de transferencia simple de masa se
conoce como difusión a través de un gas estacionaría. *
Involucra tanto transporte molecular como flujo global.
Además, un balance de masa para el componente a demuestra que la velocidad total de transferencia de a debe ser constante con respecto a x.
• La mayor parte de los casos de interés involucran gases, pero el siguiente desarrollo también es aplicable a líquidos,
Fig. 10-4 Gradientes de concentración en difusión a través de
un gas estacionario.
(Nb )t = N b + Ntf cb/ct
(10-42)
Si se suman las Ecs. 10-41 y 10-42,
(Na)t + (Nb)t = Na + N b + Ntf{ca + Cb )/c t
(10-43)
Como se demuestra en el Cap. 9, las velocidades de
transporte molecular de las dos especies son iguales,
pero con direcciones opuestas. Entonces, combinando
las Ecs. 9-14, 9-16 Y 10-43, se obtiene
(10-44)
La velocidad de flujo global total es entonces igual a
la suma de las velocidades totales de transferencia de
los dos componentes, con ambos mecanismos.
Las Ecs. 10-41 y 10-44 se combinan para dar la expresión general de transferencia de masa para el componente a.
(10-47)
(N.), = constante
Combinando las Ecs. 10-45, 10-46 Y 10-47 Y resolviendo
para (N.), da
(10-48)
2
et
- - - Difusión' b
ea1r---_ __
Límite permeable
sólo para el
Flujo glob,al de a y b - - componente a
Difusión a __
ea2
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208
PRINCIPIOS DE OPERACIONES UNITARIAS
puede observarse que la velocidad total de transferencia
es mayor que la que se debe al transporte molecular solo. El flujo global aumenta la velocidad de transferencia.
Si se elimina N. entre las Ecs. 9-11 y 10-48, se llega a
una expresión que puede integrarse para dar:
(10-49)
en donde cb2 = Ct -
Ca 2"
La Ec. 10-49 es la expresión básica que describe la difusión a través de un gas estacionario. Debido a su importancia, se derivará una vez más en los párrafos siguientes, a partir de un análisis detallado del mecanismo
físico.
Una derivación alternativa de la Ec. 10-49, considera
el efecto físico de la difusión y el flujo global de ambos
componentes. Al considerar la transferencia del componente a, es útil considerar primero un elemento de volumen del propio gas sin considerar el movimiento del elemento de volumen con respecto a un sistema coordenado estacionario. Si existe un gradiente del componente
a dentro del elemento de volumen, el transporte molecular debe presentarse de acuerdo con la ecuación de
transporte
Na = _flfi dca
A
dx
(9-11 )
El gradiente del componente b que se muestra en la
Fig. 10-4 resulta en la transferencia de b alejándose del
límite 2. Este límite es permeable solamente para a, y b
no puede cruzarlo. En consecuencia, otro mecanismo
de transferencia debe suministrar b a la misma velocidad que se elimina por transporte molecular. Este nuevo
mecanismo es el flujo global, es decir, el movimiento del
elemento de volumen de la mezcla gaseosa hacia el
límite impermeable. Entonces, cualquier molécula del
gas está sujeta a dos movimientos: el transporte molecular normal que se debe al gradiente de concentración y el flujo global en la dirección + x, que se debe al
agotamiento en el límite. El elemento de volumen del
gas está compuesto por una mezcla de a y b, que varía
con la posición. La velocidad de transferencia de b hacia
el límite 2 debe equilibrarse con la velocidad de transferencia desde el límite, para mantener un estado estable.
Es decir,
Velocidad de]
[ flujo global de b = -
[
Velocidad de
]
transporte molecular de b
(10-50)
El signo negativo indica que el flujo global tiene una dirección opuesta al transporte molecular.
Puesto que la velocidad de transporte molecular de b
es Nh , de la Ec. 10-50,
A temperatura y presión total constantes, la concentración total (o densidad molar) (e,) es constante. Entonces, como se demostró en el Cap. 9,
Flujo global de b
Flujo global de b
A
=-~
A
(10-51)
(9-14)
y
dCb
dC a
dx
dx
-=--
(9-15)
La Ec. 9-15 demuestra que debe existir un gradiente en
la concentración del componente b cuando existe también para la concentración del componente a. El gradiente será igual en magnitud, pero con signo contrario
al de a, como se muestra en la Fig. 10-4.
Debido a que existe un gradiente para el componente
b, éste se difundirá en dirección opuesta a la difusión
del componente a. El flujo de b es
Nb = _flfi dcb
A
dx
(9-1 3)
La combinación de las Ecs. 9-11, 9-13 y 9-15 demuestra que para el transporte molecular
(9-19)
para el elemento de volumen del gas. En consecuencia,
la contradifusión equimolar por transporte molecular
ocurre en todos los puntos en el gas. Sin embargo, y
debido a que el límite 2 es impermeable a b, ocurre otro
mecanismo de transferencia para balancear el transporte de b, como se demuestra más adelante.
Sin embargo en la Ec. 10-51, el flujo global de b se consideró que el gas del elemento de volumen está constituido por a y b . De acuerdo con la ley de Dalton,
~
Moles totales de gas
Moles de gas b
(10-52)
Ch
y
Moles de gas a
Moles de gas b
Ca
(10-53)
Ch
La Combinación de las Ecs. 10-51 y 10-52 da
Flujo global de a y b =
(~:) (- :b)
(10-54)
La combinación de las Ecs. 10-51 y 10-53 da
Flujo global de a =
(~:) (_ ~b)
(10-55)
El flujo global del gas en la dirección + x contribuye a la
transferencia de a; entonces, el componente a se transfiere hacia el límite por flujo global, de acuerdo con la
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BALANCES DIFERENCIALES DE MASA, CALOR Y MOMENTO 209
Ec. 10-55 Y por difusión, de acuerdo a la Ec. 9-14. La velocidad total de transferencia de a hacia el límite, es la
suma de las dos
( 10-56)
Con base en la Ec. 9-16, el flujo difusional de b es numéricamente igual, pero opuesto al de a, por lo que la Ec.
10-56 se transforma en
(X2
(Na)
A
-
Xl) =
~Ct In(Cb2) (10-60)
cbl
t
Esta expresión es idéntica a la Ec. 10-49. Es posible desarrollar una forma más convencional de las Ecs. 10-49 y
10-60.
La media logarítmica de la concentración se define
como
(10-6 1)
Combinando las Ecs. 10-60 y 10-61, se obtiene
o
= ~ Ct(Cb2 - cbd
(Na)
A
Cbm(X2-X,}
(10-57)
(10-62)
t
Es importante notar que (NaIA) es el flujo que se debe
al transporte molecular, mientras que, (Na lA), se debe
tanto al transporte como al flujo. Sustituyendo Na lA de
la Ec. 9-11 en la 10-57, da
o
(:a)t -~(:: )(~;)
( 10-58)
=
Esta es la ecuación general para la transferencia a través
de un gas estacionario. Puede demostrarse con un balance simple de masa que (Na lA), es constante. Sin em bargo, Cb varía con Ca, como se demuestra por la Ec.
9-14. La Ec. 10-58 puede integrarse si se conocen las variaciones en ~ y A.
Puede demostrarse que el flujo global total de a y b es
igual a la transferencia total de a y b como sigue. Ya que
Na = -Nb , la Ec. 10-56 puede expresarse como sigue:
e: :b )
(:a ) e: )(-:b) C:)(:a ) (
(:a)
+ 1) ( -
t =
t
=
=
Puesto que Cal + Cbl =
puede escribirse como
C,
= Ca2
+ Cb2, la Ec. 10-62
( 10-63)
Esta ecuación se aplica únicamente cuando f0 y A son
constantes. Debe notarse que a estado estable, (Na),
debe ser constante, pero que para el caso en el que sólo
opera el transporte molecular Na varía con la distancia,
como indican los gradientes curvos de concentración en
la Fig. 10-4.
Ejemplo 10-4 Un tanque abierto de forma cilíndrica
está lleno de metanol puro hasta una altura de 2 pies del
borde superior. El tanque se estrecha en la parte superior, como se indica en la Fig. 10-5. El aire que está
dentro del tanque está estacionario, pero se tiene una
circulación de aire adecuada por encima del tanque, para asegurar que la concentración de metanol en este
punto sea despreciable. El tanque y el aire se en cuentran a una temperatura de 77 o F y 1 at m. La difusividad del metanol en aire a 77 o F y 1 atm es 0.62 pie2 /h.
Calcular la velocidad de pérdida del metanol del tanque,
a estado estable.
1O-59)
Comparando las Ecs. 10-54 y 10-59 se demuestra que el
flujo global de a y b es igual a la transferencia total de a y
que la transferencia a través de un gas estacionario, es
mayor por un factor c, I Cb, que la transferencia por contradifusión equimolar.
La Ec. 10-46 establece que la transferencia total de b,
(Nb)" es cero, No hay transferencia neta de b, debido al
equilibrio entre el flujo global y el transporte molecular.
Para el caso en el que f:2 y A son constantes, la Ec.
10-58 puede integrarse en forma analítica. Puesto que
dcaldx = - dCb/dx, la Ec. 10-58 resulta, al integrar, en
¡ - - 4 pies -------+j
I - - -- - - - - ' - - - - - - - ' k --Nivel del líquido
Metanol
~I
Eé----
rX2 dx= f0 c J dCb
t
(-Na)
A
·x ,
Cbl Cb
6 pies - --
.1
__
Cb2
t
Fig. 10-5 Tanque cilíndrico del Ej . 10-6.
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210 PRINCIPIOS DE OPERACIONES UNITARIAS
Solución
1. Este es un caso en el que el metanol se difunde a
través de 2 pies de aire estacionario, desde la superficie
del metanollíquido hasta la parte superior del tanque. El
área de transferencia varía. La concentración del metanol en el aire en la superficie del líquido, se determina a
partir de datos de la presión de vapor del metanol a 77
°F, que es P. = 135 mm Hg.
2,3. De acuerdo con la ley de los gases ideales c. =
P. / RT, por lo que la Ec. 10-58 puede expresarse como
Na) - -§»P
- -dPa
(A t
RTpb dx
( '0-64)
4. Para integrar esta ecuación, A debe expresarse en
términos de x. Las consideraciones geométricas demuestran que
7r
A = - (6 - X)2
4
en donde x = O corresponde a la superficie del metanol
y x = 2 pies corresponde a la parte superior del tanque.
P - P•. La Ec . 10-64 puede escribirse
Además, Pb
como
TRANSFERENCIA CON GENERACION
INTERNA
Es posible que una parte de la propiedad de transferencia
se genere dentro del sistema. Aquí se supone que la propiedad se genera uniformemente en todos los puntos del
sistema. La propiedad de transferencia se genera
continuamente y debe transferirse en forma continua a
un límite, para mantener un estado estable. Obviamente, la velocidad de transferencia no es constante con la
distancia, sino que se incrementa al acercarse al límite.
En la Fig. 10-6, se muestra un sistema con generación interna. La propiedad de transferencia se genera a
una velocidad uniforme de G unidades de propiedad por
unidad de tiempo y unidad de volumen. Es posible hacer
un balance de la propiedad alrededor del elemento de
volumen cuyo espesor es dx. La velocidad de entrada al
elemento más la velocidad de generación, debe ser igual
a la velocidad de salida, o
(l/IA)x +<;§~V= (l/IA)x+~x
en donde el volumen AV=AAx y A =Ay Az.
La Ec. 10-65 se puede reordenar y dividir entre Ax para obtener
(l/IA)x+~x - (l/IA)x
~--.:.:.-.::~-~....:..:
(N ) [~1
a t
7r
[-'---'J- ~P (P 66X2
Xl
- RT
In
Pa2.)
P - Pa1
Ahora Xl = O, X2 = 2 pies; P.2 = O, P.l = 135 mm Hg; P
= 760 mm Hg, R = 0.7302 piesl atm/lb mol °R, T =
537 °R Y
(0.62)(1)
( 760 - O )
(4) ('\4-6') (0.7302)(537)
In 760 - 135
(Na)t ;
=
y
(Na)t = 0.00286 lb moles/h
(10-65)
= <;§ A
~x
(10-66)
Tomando el límite cuando l\x-+O, se obtiene
d(l/IA) = <;§A
dx
( 10-67)
d(l/IA) = <;§dV
( 10-68)
o
Esta es la ecuación general de balance de la propiedad
de transferencia para generación interna. Con ella se establece simplemente que el incremento en la velocidad
de transferencia en un elemento de volumen es igual a
la velocidad de generación dentro del elemento . Si G es
constante para el volumen total que se encuentra entre
La Ec. 10-59 se puede expresar en términos de presión y reordenarse para dar
Generación
En la superficie del metanol, Pbl
Na =
760-135, así que
r
760 - 135
760
(Na)t = 0.823(Na)t
Casi el 82% de la transferencia de a en la superficie del
metanol se debe al transporte molecular. En la parte superior del tanque Pb2 = 760, de manera que toda la
transferencia de a se debe solamente al transporte molecular.
:1, Lil: -J
k - - - --
-
1
L -----~,
Fig. 10-6 Transferencia con generación interna.
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BALANCES DIFERENCIALES DE MASA, CALOR Y MOMENTO
los planos 1 y 2, la ecuación puede integrarse para obtener
(10-69)
en donde el volumen V = L Ay Az. La propiedad de
transferencia que se genera dentro del volumen puede
salir por ambos planos, como lo determina el gradiente
de la propiedad. Si un plano es impermeable a la propiedad de transferencia, toda la generación interna debe
salir del volumen a través del otro plano.
Es posible integrar la Ec. 10-68 cuando se conocen
las variaciones de A y V. Como se demuestra en las siguientes secciones, puede aplicarse a la transferencia
de masa, calor y momento.
Transferencia de momento
cuentra en el plano x + Ax se mueve a una velocidad
menor que el que está en el plano x y en consecuencia,
existe un gradiente negativo de velocidad para todos los
valores de x dentro del elemento. Este se selecciona de
tal manera que ninguna propiedad cambie con respecto
a z. De acuerdo con el Cap. 9, un esfuerzo en la dirección + y ocurre sobre la cara de un plano hacia el cual se
transfiere el momento. El momento se transfiere hacia la
cara externa del plano x y entonces, está presente una
fuerza (I=,,)x en la dirección + y, sobre el área A = Az Ay.
(10-71 )
En x + Ax, el momento sale de la cara externa del plano
x + Ax y entonces, está presente una fuerza en la dirección -y sobre el área A.
(-F y )x+Ax = (-TyA)x+AX
Cuando un fluido fluye por un ducto, debido a una diferencia de presión en la dirección del flujo, existen fuerzas cortantes entre las capas del fluido, así como en la
superficie del ducto. Estas fuerzas cortantes representan un flujo de momento. Las fuerzas cortantes crecen
desde cero en un eje central, hasta un máximo en la superficie del ducto y el flujo de momento crece desde el
eje hasta la superficie. Este flujo de momento creciente
resulta de la generación interna de momento en el
fluido, a medida que la energía que representa la presión
diferencial, se convierte en momento. Para la transferencia de momento la Ec. 10-68 se transforma en
(10-70)
en donde '§ T es la velocidad volumétrica de generación
de momento. En muchas aplicaciones, el esfuerzo cortante resulta difícil de medir. Por ello, es deseable relacionarlo, al igual que la velocidad de generación, con
una cantidad que sea fácil de medir, como se indica en
el siguiente estudio. Se demostrará también que la velocidad de generación interna se relaciona directamente
con la caída de presión en la dirección de flujo.
En la Fig. 10-7 se muestran las fuerzas externas que
actúan sobre el volumen de fluido. El fluido que se en-
211
(10-72)
En una transferencia simple, se ha demostrado que la
transferencia de momento en un sistema con esta
goemetría, es constante con respecto a x. En este
ejemplo, la velocidad de transferencia en x + Ax es mayor que la transferencia en x, por una cantidad igual a la
velocidad de generación interna. Por ello, en un balance
de momento debe incluirse la generación. Es necesario
obtener una expresión para la generación interna de
momento, en términos de las fuerzas que actúan sobre
el elemento de volumen. Esto se logrará al escribir un
balance de fuerzas.
La presión del fluido en los planos y y y + Ay produce
fuerzas que actúan sobre el elemento de volumen (Fig.
10-7). Se ejerce presión en todas las direcciones, en
cualquier punto del fluido; sin embargo, puede considerarse que la presión que se ejerce sobre una cara
específica de un plano es· direccional. Por ejemplo, la
fuerza de presión que se ejerce sobre la cara externa del
plano y, sobre un área S, es igual a la presión por el área
sobre la cual se aplica dicha presión
(F y)y = (PS)y
(10-73)
y tiene una dirección + y. La fuerza de presión que actúa sobre la cara externa del plano y + Ay es
(10-74)
Dirección de transferencia
de momento
Fig. 10-7 Generación interna de momento.
debido a que tiene la dirección -y. Aquí P = presión del
fluido; S = área sobre la cual se aplica la presión =
AzAx.
No existen otras fuerzas que actúen sobre el elemento de volumen. Nótese que el área de transferencia (A)
es perpendicular el área de flujo (S). La presión actúa en
todas las direcciones en el fluido. Aquí, las Ecs. 10-73 y
10-74 definen las fuerzas externas que se aplican al elemento de volumen seleccionado, por la presencia de
una presión. Las fuerzas externas se equilibran con las
fuerzas internas de presión equivalentes.
Un balance total de fuerzas alrededor del elemento
establece que, la sum"a de las fuerzas externas debe ser
igual a cero, a estado estable. En consecuencia, un ba-
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212 PRINCIPIOS DE OPERACIONES UNITARIAS
lance de las cuatro fuerzas externas que actúan sobre el
elemento de volumen da
(Fy)x + (-Fy)xH.x + (Fy)y + (-Fy)y+ay = O
(10-75)
Sustituyendo las Ecs. 10-71, 10-72, 10-73 y 10-74 en la
Ec . 10-75, da
(TyA)x - (TyA)x+ax + (PS)y - (PS)y+ay = O
(TyA)x+ax - (TyA)x =-[(PS)y+ay - (PS)y]
(10-76)
Cuando dX-+O y dy-O, la Ec. 10-76 se reduce a
d(TyA) = -d(PS)
(10-77)
para las distancias diferenciales dx y dy. Esta ecuación
establece que el cambio en la fuerza cortante (o velocidad de transporte de momento) en la dirección x, a través de un elemento de volumen, es igual al cambio en la
fuerza de presión a través del elemento, en la dirección y.
Si S es constante y el lado derecho de la Ec. 10-77 se
multiplica por dy/dy,
r¡-f!)
v_
)
l.
~I
az
p¡
P2
Fig. 10-8 Transferencia de momento en un fluido con flujo
laminar a través de un tubo circular.
uno de los planos con el mismo resultado, debido a que
con cada plano se asocian dos fuerzas que actúan sobre
los lados opuestos de los planos, iguales en magnitud
pero de dirección opuesta.
La aplicación de transferencia de momento con generación interna que se encuentra con mayor frecuencia, es el flujo de fluidos en un tubo circular. Considere
un tubo con un radio interno 'í y longitud L, con un
fluido newtoniano incompresible, de viscosidad lA (Fig.
10-8). Los manómetros miden la diferencia de presiones
en el fluido, a través de una longitud L. La Ec . 10-81
puede emplearse con las siguientes sustituciones
v =SL = rrr 2 L
~P = P2 - P,
dV= 2rrLr dr
A = 2rrrL
dP
dP
d(T A)=- - Sdy=- - dV
dy
dy
y
en donde Sdy = dV
La combinación de las Ecs. 10-70 y 10-78 da
C§r =
-gc(~~)
~P
(10-78)
C§r = -gc ~y (fluido incompresible)
Entonces
(10-79)
d(-2rrL¡..¡r dV) = dr
~Pgc 2rrLr dr (10-82)
~y
En la primera integración, se obtiene
Esta ecuación demuestra que la velocidad de generación de momento es igual a la disminución de la presión
con la distancia, en la dirección y. En la mayor parte de
los casos, el gradiente de presión puede medirse fácilmente. En la aplicación común de ingeniería de flujo en
tubos, el gradiente de presión se preserva con bombas o
compresores. La pérdida de presión con la distancia,
representa una pérdida de la energía mecánica del fluido,
en ausencia de otros cambios energéticos.
Si el fluido es incomprensible, la densidad y la velocidad serán independientes de la presión y C§r es una
constante
llP
C§r
= -gc ~y
dv
~Pgc
-2rrL¡..¡r - = - - -rrLr 2 + C,
dr
~y
En el centro del tubo, la velocidad alcanza un máximo;
por tanto, cuando r = O, dv/dr = O y con la Ec. 10-83,
c" = O. Reordenando la Ec. 10-83 se obtiene
dv ~Pgc
¡..t-= - - r
dr 2 ~y
~Pgc
(T g ) : : : - -- r
y e
2~y
que puede integrarse si se conocen las variaciones en A y
V.
En la derivación que se trató con anterioridad, se tomó en cuenta la fuerza externa que actúa sobre cada
plano del elemento de volumen. Podría escribirse el balance correspondiente de fuerzas internas sobre cada
( 10-85)
Para el límite en 'í
~Pgc
(10-81 )
(10-84)
la que demuestra que el gradiente de velocidad varía linealmente con la distancia radial . Por sustitución de la
ecuación de transporte, la Ec. 10-84 se transforma en
( 10-80)
La sustitución de la ecuación de transporte en la Ec.
10-70 da
(10-83)
(Tygc )' = - 2 ~y r,
(10-86)
Combinando las Ecs. 10-85 y 10-86 resulta
(10-87)
En consecuencia, el esfuerzo cortante también varía linealmente con el radio. En el centro del tubo es cero.
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BALANCES DIFERENCIALES DE MASA, CALOR Y MOMENTO
Al integrar la Ec. 10-84, se obtiene
APgc r 2
(10-88)
v = 4 Ay p. + C2
Es posible evaluar la constante de integración C; a partir
de la condición límite r = 'í , v = O. Debido a que la pared del tubo mantiene una posición estable, las
partículas de fluido adyacentes deben tener una velocidad cero. Entonces, con esta condición límite
APgc r,2
(a) La caída de presión por pie de longitud de tubo
AA'[Je ( 2
2)
4 Ay p. r, - r
(10-90)
Un análisis de la Ec. 10-90 muestra que la distribución
de velocidades es parabólica.
Con frecuencia es más conveniente medir una velocidad promedio del flujo, en vez de una velocidad de punto como la que se define en la Ec. 10-90. Por definición,
la velocidad promedio de flujo es igual a la velocidad volumétrica de f lujo total entre el área total de flujo (oS¡ ).
Así, la velocidad promedio se define como
v
Ya que S =1'(r2, dS = 21'(r dr,
(b) El esfuerzo en la pared (I~/pie2).
(c) La velocidad en el centro del tubo.
(d) La posición radial a la cual la velocidad de punto
es igual a la velocidad promedio.
Solución El modelo físico incluye transporte radial
de momento con flujo laminar, de un fluido newtoniano
en un tubo cilíndrico. Las ecuaciones necesarias se derivaron en el texto que precede a este ejemplo . La velocidad promedio se calcula dividiendo la velocidad volumétrica de flujo entre el área de flujo.
( 6 ~al) ( 1 pie )(~)
_
mm
7.489al 60 s
3
S,
Jo
Ejemplo 10-5 Un aceite tiene flujo laminar en un tubo de 1/2 plg D .1., a 6 gal / min. La viscosidad del aceite
es de 300 cps y su densidad es 60 Ib/pie 3 • Calcular:
(I~ /plg2 pie)
y la Ec. 10-88 se transforma en
i/S, =
Para fluidos no newtonianos, en donde la viscosidad
varía con el gradiente de velocidad, debe incorporarse
una expresión para la viscosidad en términos de otras
variables antes de poder integrar la Ec. 10-81. Las viscosidades de muchos fluidos no newtonianos, no varían
en una forma simple y muchas de las ecuaciones resultantes, no pueden integrarse analíticamente.
(10-89)
4 Ay p.
v=-
(10-91)
vdS
v=
y S, =1'(r,2
i/(1'(r,2) = f."21'(Vrdr
[¡ (1/2 x 1/12)2 e2]
= 9.8 pies/s
Pi
(10-92)
O
(a) De la Ec. 10-94
Sustituyendo v de la Ec. 10-90 en la Ec. 10-92, se obtiene
AP 32i/p. (32) (9.8) (300 x 0.000672)
- Ay = D 2gc =
(1/2 x 1/12)2(32.2)
= 1130 1~/pie2 por pie de tubo
o
= 7.84I~/plg2 por pie de tubo
(b) De la Ec. 10-86
y
(Tygc )'
(10-93)
-APgc D 2
r,
(1130)(32.2)(1/48)
2
= 380 --p¡er--
(10-94)
Esta ecuación expresa la ley de Poiseuille para flujo laminar en ductos circulares. Es útil para calcular la caída de
presión con flujo laminar y para determinar la viscosidad
de un fluido, empleando un viscosímetro de flujo.
Al combinar las Ecs. 10-90 y 10-93, se obtiene una
ecuación útil para calcular la velocidad de punto a partir
de la velocidad promedio.
)2] (10-95)
_ 2
[ 1~ -2
_ (r,2 - r ) (r2
r,2
2A/
-APg
pie-Ib/s
v = 32 Ay p.
i/
=
=--------------~
Puesto que 'í = D/2, en donde D es el diámetro del tubo,
_
213
r,
y el esfuerzo cortante es
380
Ty
= 32.2 = 1.18 1~/pie2
(c) De la Ec. 10-95, a r = O
v = 2i/ [ 1 - (;,
r]
= (2)(9.8)( 1 - O)
= 19.6 pie/s
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214
PRINCIPIOS DE OPERACIONES UNITARIAS
(d) De la Ec. 10-95 cuando v =
v
Para evaluar Ct, se utiliza la condición límite de máxima velocidad en el centro del tubo: a r = O, dv/dr = O.
Sustituyendo esta expresión en la ecuación anterior
conduce a Ct = O. La ecuación puede reordenarse para
dar
1-(1~4f =~
-dv (_f!.pgc)1In 11n
--=
r
dr
2KAy
r = 0.177 plg
Ejemplo 10-6 Derive una expresión para la velocidad
de flujo laminar en un tubo circular, en función del radio
y la velocidad promedio, para un fluido no newtoniano
que obedece la ley exponencial.
Solución
1. El modelo físico es el de un fluido no newtoniano
incomprensible, descrito por la Ec. 9-67 o 9-69, en donde n puede tener cualquier valor. El fluido tiene un flujo
laminar en un tubo circular, por lo que el momento que
se genera internamente, se transfiere a la pared del tubo
por transporte molecular.
2. Para un transporte molecular con generación
interna, el balance de momento está dado por la Ec.
10-70. Esta expresión se obtuvo de un balance general
en un elemento finito de volumen (Ec. 10-65).
3. La Ec. 10-70 es aplicable al flujo de fluidos newtonianos y no newtonianos. La expresión para el flujo de
momento se obtiene a partir de la Ec. 9-67. En un tubo
circular dv / dr siempre tiene valor numérico negativo, de
manera que la Ec. 9-67 puede simplificarse para flujo en
un ducto cilíndrico:
T Y gc = K
1-:; r
-1 ( -
:;)
Puede insertarse un signo negativo dentro de los
corchetes de valor absoluto, sin cambiar el signo de la
expresión global. Ahora, -dv/dr es siempre positivo para el flujo en un ducto cilíndrico, por lo que ya no es necesario utilizar los corchetes de valor absoluto. Así, la
ecuación anterior se transforma en
Tygc =
K( -
:;r
El término (-Apgc /2KAy) es una constante, de manera
que las variables pueden separarse y la ecuación integrarse a
1
V __ (_f!.pgC)1In r + 11n +
2KAy
1 +- l/n C2
El término que se encuentra entre paréntesis siempre es
positivo, debido a que Ap/Ay siempre es negativo. Los
dos signos negativos no pueden combinarse debido a
que no se especifica el valor de n. Para evaluar Cz, se
utiliza una segunda condición límite (a r = r1' v = O):
C = (-Apgc)1In r1 1 +11n
2
2KAy
1 + 1/n
Esta se sustituye en la ecuación anterior para obtener
1
V=(-APgC)1I n r11+11n _r + 1In
1 + 1/n
2KAy
La velocidad promedio se obtiene al integrar esta expresión de v con respecto al área de flujo:
2rr
(-APg,)1
_....:.....::.=c In (r 1 1 + 1 In _ r 1 + 11 n) r dr
1 + 1/n 2Kt:W
i7 =-------~-~--------rrr1 2
Esta se integra para dar
i7 = - 2n
--
(-Apgc )1 In r11 +11n
2 + 6n 2KAy
Al dividir esta ecuación entre la expresión general de
v da
Esta expresión sustituye a Tygc en la Ec. 10-70 para dar
d [KA (-dv/dr)n] = TdV
4. La integración de esta expresión sigue el mismo
procedimiento que para el fluido newtoniano que se
mostró anteriormente, comenzando con la Ec. 10-81. La
expresión para un fluido de ley exponencial análoga a la
Ec. 10-82 es
-f!.pgc
d[2rrLKr(-dv/dr)n] = - - 2rrLrdr
Ay
La primera integración da
Este es el resultado final. Si n = 1, esta ecuación se reduce a la de un fluido newtoniano (Ec. 10-95), como era
de esperarse.
5. Si se .cuenta con datos de perfiles de velocidad y
caídas de presión, para un flujo en un tubo circular con
un fluido específico, pueden utilizarse para determinar si
el modelo físico de un fluido no newtoniano de ley exponencial concuerda con el fluido real con suficiente precisión, así como para evaluar las constantes n y K. Los
cálculos pueden ser largos, pero puede prepararse fácilmente un programa de computadora.
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BALANCES DIFERENCIALES DE MASA, CALOR Y MOMENTO
Transferencia de calor
dT
(10-100)
-2rrkLr - = rrL <'§qr2 +
dr
La temperatura en el centro del cilindro debe alcanzar
un máximo si el calor se genera de manera uniforme. Por
tanto, una condición límite es, = O, T = To o dTld, = O.
Al sustituir esta condición límite en la Ec. 10-100 se
puede evaluar Cl
e,
Entre los ejemplos de generación interna de calor se
incluyen los elementos combustibles de los reactores
nucleares y las resistencias que se calientan por medio
de la electricidad. La generación no es necesariamente
uniforme dentro del volumen. Cuando la generación no
es uniforme, debe expresarse como una función de la
distancia o de otra variable. Para la transferencia de calor, la ecuación de balance, Ec. 10-68 es
(10-96)
dq = <'§q dV
en donde <'§q es la velocidad de generación interna de
calor, Btu/h pie 3 . Al sustituir qlA de la ecuación de
transporte (Ec. 9-24) se obtiene
d[ -kA
~~] = <'§q dV
( 10-97)
-2rrkLr(0) = rrL rlq (0)2 +
-kA dT
- = <'§q dV+
dx
-
f
k dT =
qr
-k (dT) == rl
dr
2
f
A
dx +
que demuestra que el gradiente de temperaturas (dTldrl
varía en sentido lineal con la distancia en dirección radial. La sustitución de la ecuación de transporte da
2
(10-102)
Combinando las Ecs. 10-102 y 10-103 se obtiene
(q/A)
r
(q/A),
n
(10-104)
Esta expresión demuestra que el flujo varía en sentido
lineal con,. Las Ecs. 10-102, 10-103 Y 10-104 son útiles
para comprender el mecanismo de conducción de calor
con generación interna, pero no nos dicen cómo varía T
con ,.
Una nueva integración de la Ec. 10-101 da
-kT=
rl r 2
-¡- + e
2
o
4
e2
rlqr, 2
A = 2rrrL
e2 = -kT, - -4Sustituyendo esta expresión en lugar de C2 en la Ec.
10-105, da
en donde L es la longitud del cilindro.
La Ec. 10-97 resulta en
'§ (r 2 - r, 2)
-k(T - T,) = - , ! - q - - -
4
(10-99)
(10-106)
Si se empleara la condición límite en el centro se llegaría a
rlq (-r 2 )
que se integra para dar
(10-105)
La constante de integración de C2 puede evaluarse a
partir de la condición límite en el centro (T = lo a, = O)
o la condición límite en la superficie externa (T = Ti a,
= '1)' Si se utiliza la última se llega a
<'§qr, 2
-kT, = - - +
dV= 2rrLrdr
dr
A
A
V= rrr 2 L
dx
<'§qr
(10-103)
Para completar esta integración, deben conocerse las
variaciones de k, A, V Y <'§q, en función de T o x, en
una geometría de placa plana.
Otra geometría de interés es el cilindro. Esta podría
ser un alambre de una resistencia eléctrica o un elemento de combustible nuclear. El calor que se genera uniformente dentro del elemento, se transfiere hacia la superficie en dirección radial. La geometría de este caso es la
misma que la que tiene el flujo de un fluido en un tubo
circular. El modelo general para el transporte molecular
con generación interna es aplicable para ambos casos;
las ecuaciones finales para conducción con generación
interna serán de la misma forma que las de flujo laminar.
Para <'§q y k constantes, puede integrarse la Ec. 10-97.
Para el cilindro, es posible efectuar las siguientes sustituciones en la Ec. 10-97:
dT
q
-=-
fe,- dx
- + e2
(10-98)
dT
(10-101)
la cual demuestra que el flujo también varía linealmente
en dirección radial. El flujo límite es
e,
(f<'§q dV)
e,
Entonces Cl = O.
La Ec. 10-100 puede reescribirse como
Esta ecuación puede integrarse dos veces para una geometría de placa plana.
f
215
-k(To - T) =
4
(10-107)
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216 PRINCIPIOS DE OPERACIONES UNITARIAS
Es posible utilizar ya sea la Ec. 10-106 o la Ec. 10-107,
para calcular la temperatura en cualquier punto del cilindro, dependiendo de los datos disponibles. Estas
ecuaciones demuestran que, en un cilindro con generación interna uniforme, la distribución radial de temperatura es parabólica.
Esto es análogo exactamente a los perfiles parabólicos de velocidad en flujo laminar, con la misma
geometría, que se presentaron en la sección anterior.
Ejemplo 10-7 Un alambre de una resistencia eléctrica
tiene un punto de fusión de 2500 o F. La entrada de
energía eléctrica a un alambre con 10 pies de longitud
1/4 plg de diámetro, da una generación volumétrica
uniforme de calor que totaliza 1 400 000 Btu/h. La temperatura en la superfiCie del alambre es 1500 o F y la
conductividad térmica es 10 Btu/h pie 2 (OF/pie).
(a) ¿Puede utilizarse con seguridad el alambre o alcanzará el centro del alambre su punto de fusión?
(b) Calcular el radio de cualquier zona central fundida que se forme, suponiendo que las propiedades del
metal fundido son las mismas que las del sólido.
Solución
(a) Este es un caso de transferencia de calor con generación interna. La velocidad volumétrica de generación es
I'§
q
=
1 400000
= 4 1 X 108 Btu/h pie 3
(10)(1T/4)(1/4 x 1/12)2
.
Para T = To a , = O, la Ec. 10-106 se transforma en
simultáneamante difusión y reacción químicas o nucleares. Como se mencionó con anterioridad, la generación
y difusión de neutrones en un reactor nuclear ilustran la
transferencia de masa con generación interna. La difusión con reacción química es de mayor interés ¡::¡ara el in geniero químico. Un ejemplo de ésta es la absorción del
bióxido de nitrógeno en agua, para formar ácido nítrico.
La absorción y la reacción ocurren de manera simultánea y amos fenómenos se verifican a una cierta velocidad. El bióxido de nitrógeno se difunde a una pequeña
distancia en el agua líquida antes de reaccionar. Al momento de reaccionar, desaparece. Este es un caso de
transferencia de masa con generación negativa.
Para una transferencia de masa con generación interna, la ecuación general de balance puede reescribirse
como
(10-108)
en dondel'§N = velocidad volumétrica de generación interna de masa y Na = velocidad de transporte. En el caso típico I'§N varía y debe escribirse como una variable,
en términos de la distancia x o de la composición Ca.
Considere el caso de la contradifusión equimolar del
componente a, a través de una región en la cual el componente sufre una descomposición lenta e irreversible
de primer orden (a -+ b). La velocidad de descomposición está determinada por el modelo de primer orden, el
cual establece que la velocidad de variación de la concentración de a, es directamente proporcional a la
concentración de a,
dC a
- = - kc
I'§q (O - r,2)
de
-k(To - T,) = -----'--4-Ya que k = 10 Btu/h pie 2 (OF/pie), T¡
1/96 pie,
= 1500 y'l
-(10)(~o -1500) = (4.1 x 10 )(0 - 1/96)2
.
4
8
y
To = 2612 °F
Por tanto, el alambre se funde en el centro.
(b) La zona central fundida llegará hasta un radio en
el cual T = 2500 o F. Al dividir la Ec. 10-106 entre la Ec.
10-107 se tiene
T - T,
To - T
2
r - r,2 = (r,
-r2
)2 _ 1
,
2500 - 1500 = (1/8)2 -1
2612 - 2500
r
y
, = O.04plg
Transferencia de masa
Algunos ejemplos de transferencia de masa con generación interna corresponden a sistemas en donde ocurren
a
(10-109)
en donde k es una constante que se determina experimentalmente.
El signo negativo indica que la concentración disminuye con el tiempo. El lado izquierdo de la ecuación es
igual al cambio en moles de a por unidad de tiempo y
por unidad de volumen. Esto es exactamente igual a la
velocidad de generación interna de masa ( ~ N)' es
decir,
I'§
_ dC a
N -
de
(10-110)
Por tanto,
(10-111 )
El signo negativo indica una generación negativa, es decir, una descomposición o desaparición .
Al combinar la ecuación de transporte (9-11), con las
Ecs. 10-108 y 10-111 se obtiene
dC a )
d ( - ~A dx = -kca dV
(10-112)
Si se toman como constantes ~ y A, con V = Ax para
una geometría de placa
dCa )
d ( - ~A dx = -kca(A dx)
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BALANCES DIFERENCIALES DE MASA, CALOR Y MOMENTO
y
217
Al combinar las Ecs . 10-117 y 10-118 resulta
~ (dC ) _ k Ca = O
a
~
dx dx
C.2
o
senhk/~} senh (I
C.1
Ca =
d 2 ca
k
dx
~
----C=O
2
a
Ca = C1 eX.) k/~
(10-119)
donde el seno hiperbólico,
senh
+ C 2 e- x .Jk!?j (10-114)
en donde c,. yc; SOn constantes de integración, que deben evaluarse a partir de las condiciones límite.
Las dos constantes de integración se evalúan empleando las condiciones límite:
1. A x = O (plano 1), Ca = Cal.
2. A x = x2 (plano 2), Ca = Ca2'
En la primera condición límite, se fija arbitrariamente
que Xl es igual a cero, para simplificar el resultado final.
Así, X2 se convierte en la distancia que existe entre el
plano 1 y el plano 2. Estas dos condiciones límite se sustituyen en la Ec. 10-114. Para la primera condición,
e + C2 e- o
xl JI)
senh(X2A)
(10-113)
Esta es una ecuación diferencial lineal de segundo
orden, con coeficientes constantes. Con la ayuda de
técnicas analíticas rutinarias, esta ecuación se integra
para dar
X2 -
( Ji)
x
-
~
eX.)k/ [t - e-x.)k/ [t
=--------
2
Es posible utilizar la Ec. 10-119 para calcular la composición Ca, en cualquier punto X entre los planos 1 y 2.
Debido a que el componente a se descompone para
formar el componente b, el componente b tiene generación interna y también se difundirá. Esto podría tratarse
con los métodos que se ilustraron para el componente a.
Si no es posible expresar la velocidad de la reacción
química mediante una ecuación simple de primer orden,
como la Ec. 10-109, la integración de la ecuación diferencial resultante puede ser difícil. En la Ref. 1 puede
encontrarse una discusión adicional sobre difusión y
reacciones químicas.
Ca1 = C1 O
por lo que
C a 1 = C1
TRANSPORTE SIMULTANEO DE MASA,
CALOR Y MOMENTO
+ C2
Para la segunda condición
C 2 = C1eX2.) K/ @
a
+ C2e-X2.)K/ ~
Resolviendo las dos ecuaciones en forma simultánea resulta
(10-115)
y
C1 -
C
a2
-ca1 e-X2~
eX 2.)k/ ~ _ e-x 2.) k/ @
(10-116)
Al sustituir las Ecs. 10-115 y 10-116 en la 10-114 se obtiene, después de reordenar términos,
a 2 (eX~ - e-x.)k/ q¿ )
C
+ ca 1 (e(x 2 - xl .Jk/@ - e- (x 2-xl.) k/@ )
Ca =
(10-117)
Esta ecuación puede expresarse en una forma más breve si se utiliza la definición del seno hiperbólico
(10-118)
En muchos casos, ocurren juntos dos y hasta tres tipos
de transporte. Por ejemplo, si un líquido que fluye se calienta al mismo tiempo en un tubo circular con una
chaqueta de vapor, existe tanto transporte de momento
como transporte de calor. El momento se genera en el
fluido que fluye y se transporte hacia la pared del tubo.
Al mismo tiempo, el calor se transporta desde la pared
caliente hacia el líquido.
Los diversos tipos de transporte pueden interactuar
entre sí, requiriendo por ello de nuevas relaciones cuantitativas que describan el transporte, distintas a las de
cualquier mecanismo de transporte que opere solo. Por
ejemplo, considere el líquido caliente descrito con anterioridad. El líquido está más caliente en la pared que en
el centro del tubo, por lo que existe un gradiente radial
de temperatura. La variación de temperaturas produce
una variación en la viscosidad del líquido. Como resultado, la derivación de la expresión para el perfil de velocidades del líquido podría no suponer una viscosidad
constante, como se hizo al derivar la Ec. 10-90, de manera que esta ecuación no es aplicable a un fluido con
flujo laminar con calentamiento.
La interacción de distintos tipos de transporte puede
producir situaciones físicas muy complejas, que requieren de modelos físicos complicados y profundos
análisis matemáticos. En este libro, se consideran sólo
los casos más simples. Muchos ejemplos de transporte
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218
PRINCIPIOS DE OPERACIONES UNITARIAS
múltiple involucran más de una dirección de transporte,
por lo que se considerarán en el siguiente capítulo.
REFERENCIAS
1. Bird, R. B., W. E. Stewart, E. N. Lightfoot, Transport
Phenomena, John Wiley & Sons, New York (1960).
2. Carslaw, H. S., and J. C. Jaeger, Conduction of Heat in
Solids, 2nd ed., Oxford University Press, New York
(1959).
3. Dusinberre, G. M., Numerical Analysis of Heat Flow,
McGraw-HiII, New York (1949).
4 . Kreith, F., PrincipIes of Heat Transfer, 3d ed., Intext
Press, Scranton (1973).
5. Mickley, H. S., T. K. Sherwood, C. E. Reed, Applied
Mathematics in Chemical Engineering, 2nd ed.,
McGraw-Hill, New York (1957).
6. Wylie, C. R., Advanced Engineerinu. Mathematics, 2nd
ed., McGraw-Hill, New York (1960).
PROBLEMAS
10-1 Calcular el área media de transporte para una coraza
esférica gruesa, de radio interno r1 Yradio externo r2 . Suponga
que el transporte tiene lugar en la dirección radial desde r1 hasta r2.
10-2 Repita la derivación de la Ec . 10-13 para el caso específico de transferencia de calor a través de una coraza
cilíndrica.
10-3 Desarrolle una expresión para el perfil de velocidades
[v=f(x)) para un fluido de ley exponencial (se conocen Ky n)
que llena el espacio entre dos planos que se mueven.
10-4 Repita el Ej. 10-1 en unidades SI. Convierta los datos
originales a unidades SI y después resuélvalo para obtener una
respuesta en unidades SI.
10-5 Derive una expresión equivalente a la Ec. 10-34, para
la transferencia de calor en un cilindro.
10-6 Repita la derivación de la Ec. 10-34 para el caso de
una conductividad térmica variable: k = a + bT + cP, en
donde a, b y e son constantes empíricas para un material particular. Trace el perfil de temperaturas.
10-7 Explique con sus propias palabras la Fig. 10-4. ¿Cuál
es el flujo global de a en X2?
10-8 Se absorbe amoníaco de una mezcla aire-amoníaco,
mediante una solución de ácido sulfúrico . La concentración
del amoníaco en el aire a 1 plg de la superficie del ácido, es
40% en volumen. La concentración en la superficie del ácido
es 0%, debido a que el amoníaco reacciona con el ácido. La
presión total del sistema es 400 mm Hg y la temperatura es de
60 °F.
(a) Calcular la velocidad de absorción del amoníaco a través de 0.5 pie 2 de superficie del ácido.
(b) Calcular la concentración del amoníaco a 1/2 plg de la
superficie del ácido.
(c) Calcular la velocidad de transferencia del amoníaco por
transporte molecular y la velocidad de transferencia por flujo
global, a 1 plg de la superficie del ácido.
(d) Repetir la parte (c) en la superficie del ácido.
10-9 Un pozo que se encuentra en el desierto tiene una
profundidad de 10 m hasta el nivel del agua y 1 m de diámetro.
Tanto el aire estacionario como el agua del pozo se encuentran
a 30 oc y presión atmosférica normal. Una suave brisa de aire
seco sopla por encima del pozo. Calcular la velocidad (kg/s)
de difusión del vapor de agua a estado estable, desde la superficie del agua del pozo. (Suponga que la presión parcial del vapor de agua en el aire, en la superficie del agua es igual a la
presión de vapor del agua a 30 oC.)
10-10 Calcular la velocidad de difusión del cloruro de sodio
a·20 oC, a través de una capa estacionaria de agua de 1 mm de
espesor, cuando las concentraciones son de 20 y 10% en peso,
respectivamente, a cada lado de la capa.
10-11 El ácido sulfúrico se difunde a través del agua líquida
a una velocidad de 8 x 10"-6 mol/m 2 s. ¿Cuál será la concentración del ácido de 3 mm de un punto en donde la concentración del ácido es 5% en masa? (Suponga que la densidad de la solución es igual a la del agua y que la difusión es
unidimensional. La temperatura es de 20 oC.)
10-12 Suponga un ladrillo de chimenea como el que se
muestra en el diagrama. El calor se transfiere del extremo que
mide 3 plg al extremo de 5 plg . El calor no se pierde a través de
otros lados, debido a que esos lados tienen otros ladrillos adyacentes. El lado de 3 plg se encuentra a 800°F en virtud a que
está expuesto a los gases internos de la chimenea. El lado de 5
plg está expuesto a la atmósfera y se encuentra a 200 °F. La
conductividad térmica del ladrillo es 0.4 Bth/h pie 2 (OF/pie).
Calcular las pérdidas de calor por hora a través del ladrillo.
10-13 A través de un tubo de níquel de pared gruesa, fluye
vapor de agua a 260 oC. La temperatura de la superficie externa del tubo es 90 oC. El diámetro interno del tubo es 0.025 m y
el diámetro externo es 0.030 m.
(a) ¿A cuánto asciende la pérdida de calor de 5 m de este
tubo en 24 h?
(b) ¿Cuál es la temperatura a la mitad de la pared del tubo?
10-14 Un horno esférico tiene un radio interno de 3 pies y
un radio externo de 4 pies. La conductividad térmica de la pared es 0.10 Btu/h pie2 (OF/pie). La temperatura interna del horno es 2000 ° F; la temperatura de la superficie externa es de
175°F.
(a) Calcular la pérdida total de calor en 24 h de operación.
(b) ¿Cuál es el flujo de calor y la temperatura en un radio de
3 1/2 pies?
10-15 Se llena un viscosímetro Couette (r1 = 1 plg, r2
= 1.25 plg y longitud = 4 plg), con un fluido cuya viscosidad
es de 3000 cps.
(a) Calcular el momento en el balancín si la copa gira a 20
rpm.
(b) Calcular el momento en el balancín si la copa gira a 20
rpm en el mismo fluido, pero en un tanque grande (r2 = 00).
Nota: El viscosímetro Couette consiste en un balancín
cilíndrico en una copa que contiene al líquido, cuya viscosidad
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BALANCES DIFERENCIALES DE MASA, CALOR Y MOMENTO
va a medirse. Un elemento se mueve a cierta velocidad y se mide el esfuerzo necesario para mantener sin movimiento al otro
elemento. El esfuerzo es una función del área interfacial del
líquido, la separación, la velocidad del elemento móvil y la viscosidad.
10-16 La viscosidad de un líquido va a determinarse con los
siguientes datos, que se tomaron en un viscosímetro Couette:
viscosímetro:'l = 0.003 m,'2 = 0.005 m, longitud = 0.100
m. En el balancín se midió un momento de -0.007 Nm, cuando la copa gira a 30 rpm, ¿cuál es la viscosidad?
10-17 El alambre de una resistencia que se calienta por
electricidad tiene un diámetro de 2 mm y una resistencia de
0.10 Q/pie de alambre. La conductividad térmica del alambre
es 20 J/m 2s (K/m). Para una corriente de 100 A, calcular la diferencia de temperaturas entre el centro y la superficie del
alambre, a estado estable.
10-18 En los reactores nucleares se utilizan placas delgadas
de uranio como elementos combustibles. El calor se genera de
manera uniforme dentro del uranio metálico por fisión. El calor
fluye hacia la superficie del metal y se disipa mediante un
líquido de enfriamiento. Considere un elemento combustible
con un espesor de 3 mm, cuyas superficies se encuentran a
una temperatura de 200 o F. La velocidad volumétrica de generación de calor (
es 2 x 108 Btu/h pie 3 • Calcular y graficar
el perfil de temperaturas a través del espesor de 3 mm, desde
una superficie hasta la otra.
%)
Uranio:
p
Cp
1155Ib/ pie 3 ; k = 17.5 Btu/h pie 2(OF/pie)
0.032 Btu/lb °F
10-19 Dentro de una esfera se genera calor a 2 x 108
Btu /h pie 3 • La esfera tiene 3 plg de diámetro. La temperatura
de a superficie es 200 o F. La conductividad térmica es 200
Btu/h pie 3 (OF/pie).
(a) Calcular la temperatura en el centro de la esfera.
(b) Calcular la. temperatura en , = 3/4 plg.
10-20 Para la generación volumétrica de calor en una placa
plana, cuyas superficies se encuentran a distintas temperaturas según se indica.
(a) Derive una expresión para T en términos de x y las
constantes del sistema.
(b) Derive una expresión para el valor de x a T máxima.
10-21 A través de un tubo de 2 plg de diámetro interno, se
bombea un aceite pesado. La caída de presión a través de 10
pies de tubo es 10 Ib/plg2. La viscosidad del aceite es de 200
cps y la densidad es 50 Ib/pie 3 •
(a) Calcular la velocidad volumétrica de flujo del aceite, a
través del tubo (pie 3 /min).
(b) Calcular y graficar el perfil de flujo de momento a través
del tubo.
10-22 Un fluido de viscosidad 0.0002 kg/m s fluye entre
dos placas planas que se encuentran separadas por una distancia de 10 mm . Las placas tienen un área de 1 m por 1 m . La
velocidad promedio es 1 mIs. Calcular la caída de presión.
219
Graficar la velocidad yel esfuerzo como funciones de la distancia a través del espacio que se encuentra entre las placas.
10-23 20 gal /h de benceno a 70 o F fluyen a través de un tubo de 0.957 plg de diámetro interno.
(a) ¿Cuál es la caída de presión Ob/plg2) a través de 100
pies de tubo?
(b) ¿Cuál es la velocidad (pie/s) en el centro del tubo?
(c) ¿Cuál es el flujo de momento en la pared del tubo?
10-24 Un canal común para el flujo de fluidos es el anillo; el
espacio que se encuentra entre dos tubos circulares concéntricos, como se indica. El interior del anillo tiene un radio'l yel
exterior '2 .
Area
de flujo
(a) Derive una expresión para la velocidad de flujo v en
cualquier radio, dentro del anillo.
(b) Derive una expresión para el radio en el cual la velocidad alcanza un máximo. en términos de'l y'2 .
10-25 Derive una expresión para la velocidad de flujo promedio entre dos placas paralelas, con la forma de la Ec. 10-93.
El canal tiene una altura 2x1 , una longitud l1y y un ancho Az. El
canal tiene un ancho mayor que su altura, por lo que los efectos de las orillas pueden despreciarse.
10-26 La Ec. 9-67 es una ecuación general para líquidos dilatantes, newtonianos y seudoplásticos, dependiendo del valor del exponente n. Considere un líquido que fluye entre dos
placas estables que se encuentran a una distancia de
2 plg.
(a) Grafique el perfil del esfuerzo cortante y de la velocidad, para cada uno de los tres líquidos.
(b) Enumere las dimensiones típicas de K para cada líquido.
Datos: Suponga que la velocidad en el centro (va) es 1 pie/s
y que K = 1 en las dimensiones apropiadas para cada líquido .
Dilatante:
Newtoniano:
Seudoplástico:
n = 2.0
n = 1.0
n
0.5
10-27 Desarrolle una expresión para la velocidad de flujo laminar promedio, de un fluido plástico de Bingham en un tubo
circular, análoga a la Ec. 10-93, que corresponde a un fluido
newtoniano.
10-28 Desarrolle una expresión para la velocidad de flujo laminar, como una función del radio, para fluido de ley exponencial que fluye como una película delgada descendiendo por
el exterior de un tubo circular. La fuerza motriz es la gravedad.
10-29 Determine la caída de presión por 100 m de tubo,
para un puré de manzana que fluye a una velocidad de 2 x
10-3 m 3 /s a través de un tubo con diámetro interno de 0.02
m.Suponga un flujo laminar. El puré de manzana es un fluido
seudoplástico con K= 0.5 N(s) n/m 2 y n = 0.65. Compare este
resultado con un fluido newtoniano de la misma K.
10-30 Demuestre que si no hay reacción (k = O), la Ec .
10-119 se reduce a una expresión para Ca a cualquier valor de x
para una difusión simple, que es
ca -Ca1
x
c a 2 -Ca 1
x2
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Once
Ecuaciones de Cambio
Las ecuaciones generales de los transportes de· masa,
calor y momento que se desarrollaron en el Cap. 10,
pueden ampliarse al caso más general que involucra tres
dimensiones y el tiempo. Estas ecuaciones generales,
que reciben el nombre de ecuaciones de cambio, son diferenciales parciales, que describen las relaciones que
existen entre las variables físicas, tiempo y geometría
del sistema. Las ecuaciones de cambio son:
1. Las ecuaciones de continuidad, que se basan en la
conservación de la masa.
2. La ecuación de movimiento, que se basa en la segunda ley del movimiento de Newton.
3. La ecuación de energía, que se basa en la conservación de la energía.
Estas ecuaciones son algo complejas en su forma general. Con frecuencia, un análisis de la situación física
demuestra que ciertos términos de las ecuaciones
pueden dejarse pasar por alto, dando como resultado
una ecuación que se puede resolver sin matemáticas
complejas. Este capítulo sirve como una introducción a
un tema muy complejo, con un enfoque de los conceptos que va a la zaga del desarrollo de las ecuaciones. Las
aplicaciones a algunos problemas que se encuentran
comúnmente, mostrarán la utilidad de las ecuaciones de
cambio.
El enfoque al análisis de los transportes de masa, calor y momento, que se presenta en este capítulo, contrasta con el que se desarrolló en el Cap. 10. En el
capítulo anterior, se analizó un sistema físico para desarrollar una ecuación de transporte para esa situación
específica. En este capítulo, se desarrollan ecuaciones
que describen los sistemas de transporte en general. Estas ecuaciones generales pueden aplicarse entonces a
sistemas físicos definidos. Un análisis físico del sistema
específico mostrará que ciertos términos pueden dejarse pasar por alto y así es posible simplificar las
ecuaciones generales para describir a ese sistema particular. Al aplicar las ecuaciones generales a los sistemas
físicos simples que se analizaron en el Cap. 10, se logrará una simplificación para generar las mismas ecuacio-
nes que se desarrollaron en forma directa en dicho
capítulo.
Derivadas con respecto al tiempo
Antes de desarrollar las ecuaciones de cambio, es necesario definir las tres diferentes derivadas con respecto al
tiempo, que se utilizan en estas ecuaciones.
En el caso más general, existen cuatro variables independientes: el tiempo (e) y tres variables de posición (x,
y, z)' La concentración de la propiedad de transferencia
(r) puede variar con una o más de estas variables. Entonces, para definir exactamente a r se requiere especificar e, x, y y z. Por tanto, es evidente que
r = f(x, v,z, e)
(11-1)
La derivada parcial describe el incremento de r (la variable dependiente) con respecto a cualquiera de las
cuatro variables independientes. Así, r /
es el incremento de r con el tiempo en una posición fija y se conoce como la derivada parcial con respecto al tiempo.
Algunas veces, la derivada parcial se expresa como
(a r / ae)x. y " en donde los subíndices indican cúáles
variables están fijas. En este texto, no se utilizarán los
subíndices. La derivada parcial con respecto al tiempo
(ar / ae) es la rapidez con que aumenta la concentración con el tiempo, tal como la vería un observador es-
a ae
tacionario.
Si el observador no es estacionario, la rapidez de
cambio de la concentración con respecto al tiempo,
varía con la posición. La rapidez con que aumenta r con
el tiempo, tal y como la ve un observador en movimiento, se conoce como la derivada total con respecto al
tiempo. De la Ec. 11-1, la derivada total es
dr = G:)dX + (:~)dV + (~~ )dZ + G~ )de
(11- 2)
Se entiende que los términos entre paréntesis de la Ec.
11-2, mantienen constantes a las variables apropiadas.
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222
PRINCIPIOS DE OPERACIONES UNITARIAS
Por ejemplo, (a r I a x) es la r I a x) y,z,e' Al dividir la Ec.
11-2 entre de se obtiene
dr
de
=(ar) dx +(ar) dy +(ar) dz +(ar)
ax de ay de \az, de ae
( 11-3)
La Ec. 11-13 establece matemáticamente la derivada
total con respecto al tiempo. En esta ecuación, dx/de,
dy / de y dz/ de son los componentes de velocidad del
observador en movimiento. Así, la derivada total con
respecto al tiempo es la suma de cuatro términos: uno
que resulta de la rapidez con que aumenta r con el tiempo en una posición fija, y tres que resultan del movimiento del observador. Si el observador se detiene, entonces
dx/de, dy/de y dz/de son cero, y dr /de = a r / ae, como se esperaba de la definición de la derivada parcial
con respecto al tiempo.
Se define una tercera derivada con respecto al tiempo al considerar un fluido que fluye, con el observador
moviéndose en la misma dirección y con la misma velocidad de la corriente, al mismo tiempo que observa la
rapidez con que aumenta r con el tiempo. En este caso,
el observador se mueve a la velocidad de la corriente,
cuyos componentes son u, v, W, en las tres direcciones
coordenadas. La Ec. 11-3 describe este proceso, pero
los componentes de la velocidad del observador, son
ahora los mismos que tiene la corriente. Entonces,
Dr
De
=(ar)u+(ar)v+(ar)w+(ar)
ax ay az
ae (11-4)
donde Dr / De es la derivada sustancial con respecto al
tiempo. Algunas veces recibe el nombre de derivada del
movimiento o derivada de Stokes. Cuando la corriente
no se mueve, se obtiene nuevamente la derivada parcial
con respecto al tiempo.
Ejemplo 11-1 Un fluido que fluye a través de un tubo circular, se calienta de manera que exista un gradiente de temperatura entre los extremos del tubo. Este gradiente se expresa por medio de:
Tz = 250 (1 - e- o. 1 z)
en donde T, es la temperatura en oC, en cierto punto z,
medida desde la entrada en la dirección del flujo. La velocidad del fluido en la línea central es 0.3 mis. En un
cierto tiempo, la temperatura del fluido aumenta a una
velocidad de 3 °Cls, en un punto que se encuentra a 1
m de la entrada. Para medir la temperatura se cuenta
con un termopar que puede moverse a lo largo de la
línea central.
Calcular la rapidez de aumento de la temperatura con
respecto al tiempo, midiendo con una pila termoeléctrica que se encuentra en un punto a 1 m de distancia de la
entrada, cuando
(a) La pila termoeléctrica se encuentra fija en el
punto.
(b) La pila termoeléctrica se mueve sobre el punto a
una velocidad de 1 mis.
(c) La pila termoeléctrica se mueve a la velocidad del
fluido.
Solución Se supondrá que el flujo se verifica únicamente en la dirección z.
(a) Una pila termoeléctrica fija mide la derivada parcial con respecto al tiempo T/
que se establece como 3 °Cls en el punto en cuestión.
(b) La pila termoeléctrica se mueve a una velocidad
de 1 mis, independiente de la velocidad del fluido, por
lo que se necesita la derivada parcial con respecto al
tiempo.
Para la dirección z, la Ec. 11-3 resulta en
a ae,
aTlae = 3 °Cls de la parte (a) y dz/de se establece
como 1 mis; además,
aT a
- = - [250(1-e- O. 1z )] = 25e- O. 1z
az
az
az = 1m
Por tanto,
dT
de = (22.62)(1) + 3 = 25.62 °C/s
(c) Se necesita la derivada sustancial con respecto al
tiempo cuando el termopar viaja a la velocidad del
fluido. Para W = 0.3 mis la Ec. 11-4 da
(aT) aT
ae (22.62)(0.3) + 3 9.79 °C/s
DT
De = az w +
=
=
BALANCE DE MASAS
Un balance de masas con respecto al elemento diferencial de volumen que se muestra en la Fig. 11-1, conduce
a una ecuación diferencial que se conoce con frecuencia como ecuación de continuidad. Esta ecuación es la
expresión matemática de la conservación de la masa.
Primero se efectuará el balance para un componente
puro con transferencia simple (no hay generación interna). Para este caso, el único mecanismo de transporte
de masa es el flujo global, debido a que la difusión molecular solamente puede ocurrir en una mezcla de multicomponentes de composición variable.
Como se indica en la Fig. 11-1, se considera que la
masa fluye hacia adentro y hacia afuera del elemento de
volumen, en forma paralela a cada una de las dimensiones coordenadas. En la cara x del cubo, la velocidad
del fluido y su densidad son u y p x' En la cara x + !J.x la
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ECUACIONES DE CAMBIO
223
Al tomar el límite cuando Ax, Ay, llz tienden a cero,
y
ap a
ae ax
a
ay
a
- -- = -- (pu) + -- (pv) + - (pw)
az
(11-8)
La Ec. 11-8 es la ecuación de continuidad, para un
sistema de un solo componente. Todos los sistemas de
flujo deben satisfacerla. Esta ecuación puede escribirse
en forma vectorial:
ap
ae
/------------------------x
- - = - \7'
z
Fig. 11-1
Elemento tridimensional de volumen.
velocidad y la densidad son uk. lk y P k.4x . El producto de
la velocidad y la densidad da el flujo de masa.
(11-5)
( 11-9)
en donde v es el vector de velocidad, cuyos componentes son u, v y w. El símbolo V (nabla) es un operador
vectori.al (2).
Es posible reordenar la Ec. 11-8 para obtener una forma alternativa de la ecuación de continuidad, al diferenciar los productos P v.
ap
ae
ap
ax
au
ax
ap
ay
av
ay
ap
aw
az
az
- - - = u --+ P --+ V--+ p -- + w--+ p -
En otras palabras, el balance de masas en el cubo es
Velocidad de = Velocidad de + Velocidad de acuentrada de masa salida de masa mulación de masa
pv
o
_(a p + u ap + v ap + w ap) = p( au + av + aw)
ae ax ay
az
ax ay az
(11-10)
La velocidad de entrada de masa al cubo es
El lado izquierdo de la Ec. 11-9 es la derivada sustancial con respecto al tiempo. Entonces, es posible escribir la Ec. 11-9 como
Para la dirección x (P u)xllz Ay
Para la dirección y (P v)y llz Ax
Para la dirección z (P w), Ax Ay
Para obtener la velocidad, se multiplica el flujo de
masa por el área apropiada normal al flujo.
La velocidad de salida de masa del cubo es
Para la dirección x (P u)x. 4x llz Ay
Para la dirección y (PIV)y+ A yllz Ax
Para la dirección z (P w),. 4x Ax Ay
o bien, en forma vectorial
Dp
- = - p \7. v
De
La velocidad de acumulación de masa dentro del cubo es
Es necesario usar derivadas parciales debido a que,
en general, P es una función del tiempo y de la posición.
Al aplicar la Ec. 11-5 se obtiene
(pu)xflz fly + (pv)yflz &
+ (pw)zflx fly
= (pu)x+Axflzfly + (PV)Y·+AY& &
ap
Reordenando la Ec. 11-6 y dividiendo entre Ax Ay llz
resulta
ap = (PU)X+AX - (pu)x + -----'----'---------'(PV)Y+AY - (pv)y
- -flx
(PW)Z+AZ - (pw)z
+--------------flz
fly
( 11-7)
(11-12)
También puede desarrollarse la ecuación de continuidad para un sistema binario, considerando un fluido
con dos componentes a y b, que fluye a través del elemento de volumen de la Fig. 11-1. Debido a que pueden
existir gradientes de concentración de a y b a través de
los límites del volumen, tanto la difusión molecular como el flujo global pueden causar la entrada de masa al
elemento de volumen. La ley de Fick describe la difusión
molecular. El flujo molar* de a, que entra por la cara x es
N I I = _~
a
+ (pw)z+ Az flx fly + ae flx fly flz (11-6)
ae
(11-11)
x
ab
aCa
ax
(11-13)
y el flujo molar total de a que entra por la cara x es
(11-14)
El segundo término de la Ec. 11-14 es el flujo de a que
entra al volumen por flujo global. Es posible escribir expresiones similares para las direcciones y y z. La especie
• Por simplicidad, N; = No lA. como se usó en los Caps. 9 y 10.
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224
PRINCIPIOS DE OPERACIONES UNITARIAS
a también puede acumularse dentro del volumen, a través del tiempo.
(11-15)
También es posible que a se genere dentro del volumen por reacción química. Esta generación puede expresarse como
f§ Na Llx Lly Llz
(11-16)
donde <'§ Na es el número de moles de a que se producen por unidad de volumen y por unidad de tiempo.
Al aplicar el principio de conservación (Ec 11-5) al elemento de volumen se obtiene
Es posible desarrollar una forma especial de la ecuación de continuidad para un sistema binario, como sigue. En forma vectorial, la ley de Fick puede escribirse
como
(11-22)
Para un sistema en el que no existe flujo global y no
hay generación, la Ec. 11-20 para el componente a se
transforma en
aCa
-
a(}
Velocidad de salida
de la especie a
+
Velocidad de formación
de la especie a
Velocidad de acumula-
+ ción de la especie a
(Na' +cau)xLly Llz+ (Na' +cav)yLlx Llz
+ (Na' + Ca W) z Lly Llx + '§ NaLlx Lly Llz
= (Na' + CaU)x+axLly Llz
+ (Na' + Cav)y+ayLlX Llz
,
aCa
+ (Na + CaW)z+azLly Llx +
Llx Lly Llz
ae
(11-17)
Reordenando la Ec. 11-17, dividiéndola entre llx lly
llz Y usando el método de límites como se hizo anteriormente (Ecs. 11-7 y 11-8), da
aCa + a(Nax ' + cau) + _--'
a(Nay__
' + ca_v)
_
a(}
ax
ay
+
a(Na/ +CaW)
az
=
'§ N
a
o (11-18)
o
Na' = O
( 11- 23)
La combinación de las Ecs. 11-22 y 11-23 da
- aCa _
Velocidad de
entrada de la especie a
+ \l
a(} - ~ab \l
o
_
2
\l Ca - ~ab \l Ca
( 11-24)
en donde V2 es el operador de Laplace, que se define
como
2
a2Ca a2Ca a2Ca
V C =--+--+-( 11-25)
a
aX2
ay2
az2
En ocasiones, la Ec. 11-24 recibe el nombre de segunda ley de Fick de la difusión. Es aplicable al transporte
de estado inestable en sólidos, así como a un sistema
fluido binario en donde Na = -Nb •
Ejemplo 11-2 Una esfera hueca con paredes sólidas
permeables, mantiene sus superficies interna y externa
a una concentración constante Cai Y Cao , respectivamente. Desarrolle una expresión para el perfil de concentraciones del componente a en la pared en condiciones de
estado estable. ¿ Cuál es el flujo en cada superficie?
Solución El diagrama ilustra la situación física. Debido a la geometría, es preferible utilizar la ecuación de
continuidad con coordenadas esféricas.
o
aC
aNax'
aNav'
aNaz'
a(caU)
a(ca V )
a(CaW)
- <'§N = o
- a+ - - + - - + - - + - - + - a(}
ax
ay
az
ax
ay
+
az
(11-19)
a
Con notación vectorial,
aCa + \lo N ' + \l o (CaV) - <'§N = 0(11-20)
a
a(}
a
Para el componente b resulta una ecuación similar a
la Ec. 11-20
aCb+ \loNb'+\lo(CbV)- <'§Nb=O
a(}
(11-21)
Estas relaciones son las ecuaciones de continuidad
para un componente particular, en un sistema binario.
Del enunciado del problema, en R1 , Ca = Cai yen R2 , Ca
= Cao ' En el Apéndice E, se da la ecuación de continuidad para este caso.
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ECUACIONES DE CAMBIO
Asimismo, del enunciado del problema y debido a la
condición de estado estable, éJc. / é).Q = O Y Ca es una
función del radio únicamente. Entonces,
225
El gradiente de concentraciones se determina a partir
de la primera integración de la ecuación de continuidad.
dC a C1 (caD - c aí)R 1 R 2
-= - = -''-=--~'----'--=
dr
r2
r 2 (R 2 - R 1 )
Entonces
Debido a que Ca es función de r únicamente, no es necesario utilizar derivadas parciales. Así
y
d ( 2 dC a )
dr r dr = O
I
a
Na ' 1r;R 2 = -.@ab -dC
= -.@ab (caD - Ca í)R 1
dr r;R 2
(R 2 - R,)R 2
La primera integración resulta en
dCa
r 2 -=C,
dr
No hay suficiente información en el enunciado del problema para resolver la ecuación para G1 en forma directa, en este momento.
Al separar variables e integrar, se obtiene de nuevo la
solución general
C,
Si cada uno de estos flujos se multiplica por el área
superficial, respectiva, se encuentra que las velocidades
de transferencia de a a través de las superficies interna y
externa, son iguales.
BALANCE DE MOMENTO
Un balance de momento con respecto al elemento de
volumen que se muestra en la Fig. 11-1, conduce a la
ecuación de movimiento y a las expresiones de NavierStokes (7-8). El balance de momento establece que
ca = --+ C2
r
Las condiciones al límite son
1. A r=R,
2. A r=R 2
I
Na' Ir;R¡ = -.@ab dCa
= -.@ab (caD - Ca í)R 2
dr r ; R 1
(R 2 - R,) R 1
Ca=Caí
ca=caD
Empleando ambas condiciones límite, se obtiene
I
Velocidad de entrada
del momento
al elemento
C1
Cal· =--+C
R
2
+
1
y
C1
R2
CaD = -+ C2
Resolviendo estas ecuaciones en forma simultánea,
resulta en
¡
velocidad de salida del ]
momento
del elemento
t
Velocidad de adición
del momento debida a
las fuerzas externas
que actúan sobre el
elemento
I
Velocidad de acumulación del momento
dentro del elemento
¡
( 11-26)
El momento se define como el producto de la masa
de un cuerpo por su velocidad.
y
Momento = mv
R2
C2 = caí + (caD - Caí) --=---
R2 - R 1
Al sustituir estos valores de G1 y Cz en la solución general, es posible obtener la información que se busca,
después de cierto tratamiento algebraico.
_
(caD- Caí)R 2 [r-R 1 ]
ca - Caí + ---''-='-_....::..:._-=-
(R 2 -R 1 )
r
Debido a que no hay movimiento global de a a través
de la pared, la masa se transfiere únicamente por difusión molecular. El flujo molar está dado por la ley
de Fick.
(11-27)
en donde ves el vector de velocidad y en consecuencia,
el momento es un vector. El momento por unidad de volumen tiene un interés más directo en la mecánica de
fluidos y es
Momento
volumen
= Pv = M
(1 1-28)
Debido a que el momento es un vector puede describirse en términos de tres componentes con dirección y
magnitud, es decir,
M.x = pu
My =pv
Mz=pw
l
(11 -29)
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226 PRINCIPIOS DE OPERACIONES UNITARIAS
Se supone que el fluido puede moverse a través de
las seis caras del elemento de volumen de la Fig. 11-1.
Entonces, el momento sale y entra a través de cada cara. Primero, entra al elemento debido al movimiento
global de fluido. El momento con dirección x que entra
por flujo global en x, debido al flujo en la dirección x es
Mxx = (pu)u
(11-30)
Mx es el momento que se transfiere en la dirección x,
como consecuencia del fujo en la dirección x.
Al aplicar la Ec. 11-26, la velocidad de entrada del
momento al elemento con una dirección x por flujo global, es
Para la cara .1y .1z
[(pu)u]x.1y.1z
Para la cara .1x.1z
[(pu)v]y.1x .1z
Para la cara .1x.1y
[(pu)w]z.1x .1y
1
[(pu)u]x+óx.1y.1z
Para la cara .1x.1z
[(pU)(V)]Y+Óy.1x .1z
Para la cara .1x.ó.y
[(pU)(W)]Z+óz.1x .1y
(11-31 )
1
Como se demuestra en el Cap. 10, el momento también entra al elemento por difusión molecular. Así Tij es
el flujo de momento a través de una cara perpendicular
al eje i, para un momento en dirección j. Entonces, para
el elemento de volumen que se muestra en la Fig. 11-2,
la velocidad de entrada de momento que se debe al proceso molecular es
Para la cara .1x .1z
Txx Ix .1y.1z
Tyx Iy .1x .1z
Para la cara .1x .1y
Tzx Iz .1x .1y
1
Para la cara .1x.1z
Txx I x +óx .1y.1z
Tyx l y +óy.1x.1z
Para la cara .1x .1y
Tzx I z + ó z.1x .1y
1
(11-34)
Unicamente se considerarán aquellas fuerzas externas asociadas con la gravedad y la presión del fluido. La
fuerza de gravedad en la dirección x es p gx Ax Ay Ilz.
La fuerza resultante de la presión del fluido en la dirección x es
P Ix .1y.1z
En el plano x +.1x P Ix +óx .1y .1z
La resultante de estas dos fuerzas en la dirección x es
(11-32)
Para la cara .1y .1z
Para la cara .1y .1z
En el plano x
La velocidad del momento en la dirección x que sale
del elemento por flujo global es
Para la cara .1y.1z
La velocidad con que sale el momento del elemento
por proceso molecular es
(P Ix - P Ix +óx).1y .1z + pgx .1x .1y.1z
(11-35)
La acumulación de momento con dirección x, dentro
del elemento de volumen es
a(pu)
¡;¡¡- .1x .1y.1z
(11-36)
La sustitución de las Ecs. 11-31, 11-32, 11-33, 11-34,
11-35 Y 11-36 en la Ec. 11-26, dividiendo entre Ax Ay Ilz Y
tomando el límite cuando Ax Ay y Ilz tienden a cero, nos
da
a(pu)
[ a
a
a
]
---¡;¡= - ax (puu) + ay (puv) + az (puw)
aTxx aTyX aTzx )
ap
- --+--+---+pg
(
ax
ay
az
ax
x
(11-37)
(11-33)
Los componentes y y z, se derivan en una forma similar. Son
a(pv)
[ a
a
a
]
--¡;¡=ax (pvu) + ay (pw) -f az (pvw)
y
~ -ax- +ay- +az- --+pg
ay x
aTXY
aTyy
aTZY)
ap
(11-38)
Tul-x
--1HJ'fml
a(pw)
[a
a
a
]
----¡;¡=- ax (pwu) + ay (pwv) + az (pww)
aT
aTyz
aT
ax
ay
az
)
ap
xz
- ( -+ - + - zz
- --+pg
r----------x
az
z
(11-39)
Al sumar vectorialmente las Ecs. 11-37, 11-38 Y
11-39, se obtiene la ecuación de movimiento en forma
vectorial:
Fig. 11-2 Transporte molecular de momento a través del elemento de volumen.
a(pv)
-- = -
at
"il • pvv -
"il' T -
"ilP + pg
(11-40)
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ECUACIONES DE CAMBIO
Al diferenciar como se indica en las Ecs. 11-37, 11-38
Y 11-39 Y aplicando la Ec. 11-8, resulta
a
ap
Du (aTxx aTyx
Tzx)
- p - = - + - + - +--pg
ax
az
ax
x
De
ay
_p Dv = (aTXY + aTyy + aTZY ) + ap _ pg
De
ax
az
y
ay
ay
_p Dw = (aTxz + aTyz + aTzz ) + ap _ pg
De
ax
az
z
ay
ay
T+ V'P-pg
(11-53)
(11-42)
(11-43)
av aw) (11-45)
ay az
au
(au av aw) (11-46)
T y = - 2Jl -+jJl - + - + y
ay
ax ay az
aw
(au av aw)
Tzz = - 2Jl -+jJl - + - + - (11-47)
az
ax ay az
(au
ax
Txx=-2Jl-+~Jl-+-+-
av)
ay ax
T
= T zy = _1I(av
+ aw)
yz
az ay
Txy = Tyx = _Jl(au +
zx
= Txz =
( 11-49)
-II( aw
+ au)
ax az
(11-50)
fA
La sustitución de las Ecs. 11-45 a la 11-50, en las
ecuaciones de movimiento correspondientes (11-41,
11-42 Y 11-43) da
ap a [
Du
au
]
p - = pgx - - + - 2Jl - - ~ Jl( V' • v)
De
ax ax
ax
a [(au
a [(aw
+Jl - +av)]
- +Jl - +au)]
ay
ay
ax
az
de muchos sistemas de flujo. Su uso se limita a fluidos
newtonianos que fluyen en condiciones de flujo laminar. En su derivación, solamente se consideraron las
fuerzas del cuerpo que se originan como consecuencia
de la gravedad y presión.
Para condiciones de P y lA constantes, la Ec. 11-51 se
transforma en
( 11-54)
Para las otras dos ecuaciones resultan ecuaciones similares, por lo que la suma vectorial da lugar a
Dv
p - = pg De
V"
P + Jl V' 2 v
( 11-55)
Es posible escribir una versión especial de esta
ecuación para el caso donde los efectos de la presión y
gravedad, son pequeños en comparación con los efectos de inercia:
o
( 11-55b)
(11-48)
fA
T
Las Ecs. 11-51, 11-52 Y 11-53 son las ecuaciones de
Navier-Stokes; las cuales describen el comportamiento
( 11-44)
La Ec. 11-44 es un enunciado general de la segunda
ley del movimiento de Newton. Esta ecuación y sus
componentes son útiles, pero no tanto como las ecuaciones en las que los esfuerzos están escritos en términos de gradientes de viscosidad y velocidad.
Para fluidos newtonianos, estas expresiones son (5)
au
ax
)
az
a [ (aw au)] a [(aw av)]
+ ax Jl ax + az
+ ay Jl ay + az
(11-41)
Las tres ecuaciones anteriores son componentes de
la ecuación de movimiento, que muestran las fuerzas
que actúan sobre un elemento de volumen que se
mueve con el fluido. Pueden sumarse vectorialmente
para dar
Dv
-p-= V"
De
a ( aw
Dw
p= pgz - -ap + - 2Jl- - jJl( V' • v)
De
az
az
227
ax
az
Ejemplo 11-3 Partiendo de la ecuación de NavierStokes apropiada, desarrolle el perfil de velocidades para un fluido newtoniano de P y lA constantes, que fluye a
través de un tubo cilíndrico horizontal. Se mantiene un
flujo laminar de estado estable, que se verifica solamente en la dirección z. (Este desarrollo conducirá a la Ec.
10-90.)
Solución Para obtener la expresión deseada, se utilizan las ecuaciones de Navier-Stokes en su forma para
coordenadas cilíndricas (véase el Apéndice E).
El flujo es unidimensional, por lo que Vr = O Y v. = O.
La velocidad en la dirección z no es cero y cambiará con
r desde el centro
y
(11-51)
a [.(av au)] a [(aw av)]
ay + az Jl ay + az
+ ax Jl ax +
(11-52)
del tubo hasta la pared. La aplicación de la ecuación de
continuidad con P constante, demuestra que w no es
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228 PRINCIflIOS DE OPERACIONES UNITARIAS
una función de z. Las ecuaciones de Navier-Stokes
apropiadas para el componente z, son
Cuando, = '1' W
= O, así que
2
R 1 D.P
c2 =
-4J.l.
D.z
Al sustituir ~ en la solución general se obtiene
t:.P
w= - - - (r1 2 - r2 )
4D.zJ.l.
Por tanto, el perfil de velocidades es parabólico, tal y
como se demostró en la Ec . 10-90.
y para el componente,
El procedimiento que se ilustró antes que al aplicar la
ecuación de Navier-Stokes, es típico del proceso de
análisis. A continuación, se presenta un resumen de este procedimiento.
Debido a las suposiciones que se hicieron con anterioridad ya que la gravedad no tiene componente z, la
Ec. E-16 se transforma en
o = - ap + J.l.[ ~ ~ (r aw) 1
az
r ar
ar
y la Ec. E-14 resulta en
ap
0=- ar + pgr
La ecuación anterior establece la forma en que la presión varía con " lo que carece de interés para esta ilustración particular. Unicamente se profundizará en el
análisis de la ecuación que incluye a la velocidad. Es posible expresarla como una ecuación diferencial ordinaria
El lado izquierdo de esta ecuación es una función de z
únicamente, mientras que el lado derecho sólo es función de ,. Esta situación solamente es posible cuando
cada lado es igual a la misma constante. Entonces, si
dP
-
dz
D.P
1. Seleccione un sistema de coordenadas que describa la geometría de la situación física.
2. Analice el problema con respecto a cualesquier
suposiciones o restricciones que sean factibles; por
ejemplo, estado estable, flujo unidimensional, sin gradiente de presiones, simetría, etc.
3. Del Apéndice E, seleccione la ecuación apropiada
de Navier-Stokes y elimine los términos que resulten
inadecuados.
4. Resuelva las ecuaciones diferenciales resultantes,
con ayuda de las condiciones límite apropiadas. Algunas condiciones límite bastante frecuentes son:
(a) En la interfase sólido-líquido, la velocidad del
fluido es igual a la velocidad del sólido. Esta condición
también se conoce como "sin deslizamiento en la
pared" y es una condición que parece ser exacta en muchas ocasiones.
(b) En la interfase líquido-gas, se supone que el gradiente de velocidades en la fase líquida es cero.
(c) En la interfase líquido-líquido, el flujo de momento y los perfiles de velocidad son continuos a través de
la interfase .
Las soluciones de las ecuaciones de Navier-Stokes
con flujos bi y tridimensional, son complejas . En la Ref.
6 se encuentran algunas soluciones clásicas para diversos sistemas de flujo.
= constante = -
t:.z
y de esta manera, la ecuación anterior da lugar a
BALANCE DE ENERGIA
La primera integración da
2
r D.P = r dw + C1
2J.l. D.z
dr
Cuando, = O, la velocidad alcanza un máximo y
Es posible efectuar un balance de energía con respecto al
elemento de volumen que se muestra en la Fig. 11-1. En x,
y, z, 8 la densidad del elemento es P y los componentes
de la velocidad del fluido que fluye a través del elemento
son u, v, wen x, y, z y 8. Para el elemento de volumen,
la ecuación general de energía puede enunciarse como
dwld, = O, por lo que c" = O. Al integrar nuevament~
se obtiente
Velocidad de acumulación
de las energías interna
y cinética
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ECUACIONES DE CAMBIO 229
También se realiza trabajo sobre el elemento de volumen por gravedad:
Velocidad de acumUlaCión)
de las energías interna
(
y cinética
p l:J.x l:J.y l:J.z (ugx + vg y + wgz )
Velocidad neta de entrada) (
Velocidad neta de adiCión)
=
de las energías interna
+ de calor por transporte
(
y cinética por flujo global
molecular
+
(
vel~~i~~~r:~a ~:~~~~~ión) ( _ ~:~~~~~~d ;o~t:1 ~~e~eb:;~)
sobre los alrededores
(11-56)
Por último, el elemento de volumen efectúa un trabajocontra las fuerzas viscosas. Por ejemplo, T yx l1x Ilz es la
fuerza necesaria para producir una velocidad de flujo u,
en una dirección paralela al plano !J.xllz. De esta manera,
el trabajo neto contra las fuerzas viscosas es
[(TxxU + TxyV + TxzW) Ix
- (TxxU + TXYV+ TxzW) Ix + Ax ] l:J.y l:J.z
La velocidad neta de acumulación de las energías interna y cinética dentro del volumen es
a
ae (pU+ EC) l:J.x l:J.y l:J.z
+ [(TyXU + TyyV + TyzW) Iy
- (TyXU + Tyy V + TyzW) l y + Ay ] l:J.x l:J.z
(11-57)
en donde u es la energía interna por unidad de masa del
fluido. La energía interna está asociada con el movimiento y la interacción molecular y depende de la temperatura. EC es la energía cinética del fluido por unidad
de volumen.
La velocidad neta de flujo de las energías interna y cinética hacia el interior del elemento es
(U(pU + EC J Ix - u(pU + EC) Ix + Ax } l:J.y l:J.z
+ (v(pU + EC) Iy - v(pU + EC) ly + Ay } l:J.x l:J.z
+ [(TzxU + TzyV + TzzW) Iz
- (TzxU + TzyV + TzzW) Iz + Az ] l:J.x l:J.y
a
ae (pU+ EC) =
[~ u(pU + EC) + ~ v(pU + EC)
-
ax
( 11-58)
ay
+ ~ w(pU + EC) ]
La velocidad de adición de calor por transporte molecular es
aqx
ax
(qx Ix - qx Ix+Ax ) l:J.y l:J.z + (qy Iy - qy l y+Ay ) l:J.x l:J.z
La generación de energía térmica dentro del volumen
puede verificarse por varios mecanismos. Por ejemplo,
puede provenir de una reacción química exotérmica,
una fuente de calor o una reacción nuclear. La velocidad de generación de energía es
(11-61)
az
+p (ugx + vg y + wgz )
[~(TxxU
+ TxyV + TxzW)
ax
a
-
+ ay (TYXU+TyyV+TyZW)
(11-60)
+ (Pwlz-Pwl z + Az ) l:J.x l:J.y
aqzJ
.q
aa
a
]
- [- (Pu) + - (Pv) + - (Pw)
ax
ay
az
(11-59)
(Pu Ix -Pu Ix + Ax ) l:J.y l:J.z+ (Pv Iy -Pv ly + Ay ) b,x l:J.z
aqy
ay
az
- [ - + - + - + \4
+ (qzlz -qzIZ+AZ) l:J.x l:J.y
El trabajo que el elemento de volumen hace sobre sus
alrededores proviene de distintas fuentes. Cada vez que
se ejerce una fuerza a través de una distancia se realiza
un trabajo, cuya magnitud es igual a la fuerza por la velocidad. La energía se suministra al elemento de volumen a medida que el fluido es impulsado por la presión
en el plano x; el elemento de volumen consume la
energía a medida que el fluido es impulsado hacia afuera
en el plano x + !J.x. Para el elemento, la velocidad neta
de trabajo por presión en el elemento de volumen es
(11-63)
Sustituyendo las Ecs. 11-57, 11-58, 11-59, 11-60, 1161, 11-62 y 11-63 en la Ec. 11-56, ordenando términos,
dividiendo entre !J.x !J.y Ilz, y tomando el límite cuando
!J.x, !J.y y Ilz tienden a cero, se obtiene la ecuación de
energía
+ (w(pU+ EC) Iz - w(pU+ EC) Iz + Az } l:J.x l:J.y
~q l:J.x l:J.y l:J.z
(11-62)
+ a~ (TzxU + TzyV + TzzW) ]
(11-64)
Como se expuso con anterioridad, los términos del
lado derecho de la Ec. 11-64 que involucran a P U y EC
pueden combinarse con el término del lado izquierdo
v 2 )/ De, en donde
para obtener la derivada P DW +
2
EC =
pv • De esta manera la Ec. 11-64 puede expresarse con notación vectorial compacta CGmo
t
t
D(u+~v2}
p
De
=-\l • q + ~q -
\l. Pv + p(v· g) -
\l. (T· v)
( 11-65)
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230 PRINCIPIOS DE OPERACIONES UNITARIAS
La Ec. 11-65 puede expresarse en una forma más útil
reordenándola de la siguiente manera. Primero, se multiplica la Ec. 11-44 por v
Dv
Dv
De
=
D(!v 2 )
De
se sustituye
D(!v2 )
-p
De
= vV'r + vV' P - vpg
(11-72)
En ocasiones, la Ec. 11-72 recibe el nombre de segunda
ley de Fourier. Es útil en el análisis de conducción con
estado inestable.
-v De = VV'T + vV'P - vpg
Entonces, v -
o
(11-66)
En seguida, se expanden los términos de V en las Ecs.
11-65 y 11-66. Por último, se resta la forma expandida
de la Ec. 11-66 de la correspondiente a la Ec. 11-65 para
obtener
DU
p De =-Voq+ <;§'q-P(VoV)-T:V'V (11-67)
El término pDU/D8 representa la rapidez de acumulación de energra interna por unidad de volumen; (- V . q)
es la energía que se añade al volumen por conducción;
(<;§' q) es la generación volumétrica de calor para un
fluido incompresible; (- PV . v) es el incremento de
energía causado por la compresión o expansión del
fluido; y (- T: V v) es el incremento de energía interna
que resulta del consumo friccional de la energía mecánica por fricción, el cual degrada lIa energía mecánica o
trabajo en energía térmica -razón por la que se le conoce como "disipación viscosa" -. Con frecuencia, este
último término es pequeño y puede dejarse pasar por alto excepto para aquellos casos que involucran esfuerzos
cortantes muy grandes.
En el Cap. 10 se demostró que q = -kVTy también
que, para un gas ideal dU = CvdT. Usando esta información es posible escribir la Ec. 11-67, dejando la disipación viscosa, como
Ejemplo 11-3 Desarrolle la ecuación diferencial básica que se usó en el Ej. 10-3, empezando con la forma
apropiada de la ecuación de la energía y efectuando
simplificaciones con base en la situación física.
Solución Es posible utilizar la .Ec. 11 .67 como punto
inicial. Puesto que la transferencia de calor tiene lugar a
estado estable, no existe acumulación por lo que DU/DfJ
= O. No hay generación interna, así que <;§' q = O. El
medio de conducción es un sólido en vez de un fluido,
por lo que los términos de compresión y disipación viscosa también son iguales a cero. Esto deja un sólo término en la Ec. 11-67
Y' o q' = O
en donde q' = q/A.
En coordenadas cilíndricas puede escribirse como
1 a
,
1 aqe'
aqz'
--(rq,) + - - + - = 0
r ar
r ar
az
Las condiciones no varían a lo largo del tubo en la dirección z, así que q: = O y EJq:/ EJz = O. Tampoco existe variación en la dirección angular de manera que
q9' = O, Y EJq/ / EJz = O. Esto conduce a
a( ,
- rq ) = O
ar
'
Al integrar una vez se obtiene
rq,' = C l
Pero q/ = -k
Para gases o líquidos a presión constante, la
ecuación de continuidad establece que V . v = O. Además, para los líquidos de densidad es casi constante en
un amplio intervalo de temperaturas, por lo que V . v =
Opara todos los líquidos. Asimismo, para líquidos, Cv
Cp de manera que la Ec. 11-68 se transforma en
c -DT
2
P P De = kV' T + r;;q
( 11-69)
Para sistemas que no fluyen, la derivada sustancial
puede reemplazarse por la derivada parcial para dar
(11-70)
La Ec. 11-70 es la ecuación general para la transferencia de calor por conducción. Si <;§' q = O,
(11-71)
~~, por lo que
dT C l
-k-=dr
r
Sustituyendo k = 0.5 + 5 x 10-4 T e integrando
nuevamente se obtiene
-0.5T + 2.5 x 10-4 T 2 = Cl In r + C2
Cl Y C2 se evalúan de las condiciones límite
A r = rl
T = Tl
De manera que
Cl =
0.5(T2 - T l ) + 2.5 x 1O- 4 (Tl - T 1 2 )
In r2/rl
dT
Pero q, = -kA dr y A = 2rrrL
(Ej. 10-3)
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ECUACIONES DE CAMBIO 231
De la primera integración
T = oT a 1/«:' O para todas
( 'i"\
dT C1 A
qr = -kA - = - - = 21TLC1
dr
= 21TL [
r
O.5(T2 - T 1 );- 2.5 X 1Q-4(T2 2 - T 1
2 )]
I
I
T=TI@
1/=0
In r2/r1
Esta expresión puede encontrarse en la resolución del
Ej. 10-3 Y la resolución continúa como se indica ahí.
I
~ xl
xli
TRANSFERENCIA A ESTADO INESTABLE
Las ecuaciones de cambio que se desarrollaron hasta
este punto son totalmente generales y al menos desde
un punto de vista conceptual describen muchos procesos físicos que involucran a las transferencias de masa,
calor y momento. Cada una de estas tres ecuaciones se
derivó para el caso en donde la transferencia de una
propiedad depende del tiempo. Son de interés particular
las siguientes
(11-24)
(11-55b)
y
(11-72)
Nótese la similitud de forma que tienen estas tres
ecuaciones. Son idénticas con excepción de los símbolos. Esto significa que las soluciones matemáticas de estas ecuaciones también son idénticas. Los procedimientos analíticos para resolver estas tres ecuaciones diferenciales parciales se pueden encontrar en libros de matemáticas aplicadas (1, 9), por lo que no se cubren en
este libro. En algunos casos, es conveniente utilizar métodos numéricos y gráficos para la resolución. Estos se
tratarán brevemente y puesto que los estudiantes están
familiarizados con la temperatura, se utilizará la Ec.
11-72 para demostrar estos métodos.
Placa plana infinita
Un problema que se encuentra con frecuencia, es la determinación de la variación de temperatura con el tiempo, en una lámina de material en la que el flujo de calor
es prácticamente unidimensional. Se supone que no
existen fuentes o pozos de calor dentro de la lámina y en
consecuencia, se puede aplicar la Ec. 11-72. De acuerdo
con la Fig. 11-3, la lámina tiene dimensiones infinitas en
las direcciones y y z. Para este caso, la Ec. 11-72 resulta
aT
a2 T
ae
ax 2
-=01.--
(11-73)
T=TI@
1/=0
;.X
z
Fig. 11-3 Placa plana infinita.
Las ecuaciones diferenciales de este tipo se resuelven
por un método que se conoce como "separación de variables", el cual se presenta en detalle en las Refs. 1 09.
Para resolver esta ecuación se requieren dos condiciones límite.
CL 1 a e~ O,
CL 2 a e~ O,
T = o T para todas las x*
T = Tl para x = Xl *
La primera condición establece que la lámina se encuentra inicialmente a una temperatura uniforme o T. En
el tiempo cero, ambas superficies externas de la lámina
se encuentran expuestas a una temperatura TI y mantenidas a ese valor. Por ahora se supondrá que Xl alcanza
instantáneamente la temperatura Tl cuando = O. La
resolución de la ecuación involucra una serie de Fourier
del tipo de cosenos.
e
T - T
00
(_1)n
, 2 2 I 2
1TX
- -1 - - = 2 ~
e-(n+,) 7TOI.I/X, cos(n+!)T 1 -oT
n=O 1T(n+~)
X1
(11-74)
Aunque la resolución involucra una serie infinita, la
mangitud de cada término de la serie disminuye rápidamente al aumentar n y con frecuencia sólo se necesitan
los primeros términos para obtener una resolución exacta.
La Ec. 11-74 también es la resolución de las Ecs.
11-24 y 11-55b transformando adecuadamente los
símbolos.
Ejemplo 11-4 Una gran placa plana de acero con un
espesor de 0.300 m se encuentra inicialmente a una
temperatura de 540 oC. Se sumerge en un tanque de
templado que mantiene ambas superficies a una tempe-
• El presubíndice de T denota tiempo y el postsubíndice denota posición .
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232 PRINCIPIOS DE OPERACIONES UNITARIAS
ratura de 100 oC. Determine la temperatura en el plano
central de la placa y a 75 mm del plano central, media
hora después de que comienza el enfriamiento. Suponga que ex tiene un valor constante de 9.0 x 10-6 m 2 /s.
Solución Se utiliza la Ec. 11-74 con o T = 540 oC, Tl
= 1800 s, Xl = 0.15 m y X = O en el plano
central. Se usarán tres términos de la serie infinita, es
decir (n = O, 1, 2).
= 100 oC,
e
T,---T- = -4 [ e- (2
/
2)
1TX
1r a/l 4x¡
cosT, - o T
2x,
11'
__
~ e-(91r 2a/l/4x¡2) cos 31TX
2x,
+ 1 e-(251r 2a/l/4x¡2) COS 51TX + ... J
~
2x,
Para el plano central, x = O por lo que los términos de
cosenos son iguales a 1. Para los datos que se dan,
2
6
1T CXe = (3.14)2(9.0 x 10- )( 1800)
4x,2
= 1.77
(4)(0.15)2
4
T, - O T
1T
---- = -
4
=-
[e-' ,77 _ ~ e-'5.9
+!
+ ... ]
[0.169 - 4.1 x 10-8
De manera que T = 100 - 0.216(100-540) = 195.0 oC.
En este caso, sólo es significativo el primer término de la
serie infinita.
La temperatura a una distancia de 0.075 m del plano
central se calcula de la misma manera, excepto que
ahora intervienen los términos de cosenos. Entonces,
para x = 0.075 m
1T(0.075)
1T
cos = cos
= cos - = 0.707
2x,
2(0.15)
4
De lo que se aprendió en el cálculo para el plano central
respecto al comportamiento de las series infinitas, sólo
se usará el primer término de la serie.
4
T, - o T
1T
(0.15)2
m =O 1
.
n = x/x, = O para el plano central
De la Fig. 11-4a,
+ 5.72 X 10-2' + ... ] = 0.216
T, - T
Solución
x,2
e- 45
1T
1TX
Ejemplo 11-5 Resuelva nuevamente el Ej. 11-4
empleando la Fig. 11-4.
x = cxe = (9.0 x 10-6 )( 1800) = O 72
Entonces,
T, - T
debe tomarse en cuenta la posibilidad de una resistencia
a la transferencia en el límite sólido/fluido. Para el ejemplo anterior, se supuso que la superficie alcanzó una
temperatura T¡ en un instante dado. Esta suposición
significa que no hay resistencia térmica entre el fluido
de templado y la superficie de la placa o bien que el parámetro m de la Tabla 11-1 es cero. En los Caps. 13 y 14
se estudiará más la resistencia a la transferencia. Es posible utilizar la Fig. 11-4 para los transportes de masa,
calor y momento, usando las definiciones de la Tabla
11-1. En la Fig. 11-4 también se presentan las soluciones
gráficas de la ecuación de estado inestable para otras
geometrías. Sólo es posible utilizar las gráficas si se
cumplen las siguientes condiciones: (1) la difusividad es
constante, (2) inicialmente, el cuerpo se encuentra con
una concentración uniforme de la propiedad de transferencia y (3) el límite del cuerpo se lleva a una nueva condición y se mantiene en ésta durante todo el tiempo.
- - - =- [0.169(0.707)] = 0.152
T= 100- 0.152(100-540) = 167.0°C
Para facilitar el cálculo se ha graficado la resolución
de la Ec. 11-74 (Fig. 11-4).* Estas gráficas representan
una resolución más realista de la ecuación debido a que
• Estas figuras tienen la misma formulación que presentaron originalmente Gurney y Lurie (3), Es posible que la única diferencia se base en
el uso de la computadora digital, empleando más valores propios para
y=
T, - T
T, - oT
= 0.23
De manera que T = 100 - 0.23(100-540) = 201 oC.
En la posición que se encuentra a 0.075 m del plano
central
n = 0.075/0.150 = 0.5
y
y= 0.17
Por lo que T = 100 - 0.17 ( 100-540) = 175 o
e
Resoluciones numérica y gráfica
Resolución numérica: Las ecuaciones diferenciales
pueden resolverse en forma aproximada mediante el
uso de métodos de diferencias finitas. Estos métodos
involucran el reemplazo de diferenciales por diferencias
finitas y así se resuelven las ecuaciones resultantes en
forma algebraica. En ciertos casos, las ecuaciones con
diferencias finitas pueden resolverse gráficamente. Para
demostrar las técnicas de diferencias finitas, se considera la forma unidimensional de la ecuación de conducción en ausencia de una fuente o pozo de calor:
aT = cxa2 T
ae
ax 2
-
(11-73)
las sumatorias y más dígitos en cada valor propio calculado por Yenwo ('0). La razón del cambio en las escalas gráficas y el reemplazo de
gráficas por ecuaciones semilogarítmicas lineales para' algunos valores
de las variables adimensionales, es el de mejorar la precisión para el
usuario.
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ECUACIONES
DE CAMBIO
r,
16
1.0
1.0
13\
12)
16
0.9
0.8
0.8
0.7
0.7
Y
Y
0.6 ~
....j
\.
\
0.6
I\ \
y
I
<, \6
0.5
0.4
0.3\
\
O
\
0.1
X
\
1
0.31
0.2
O
,
\
0.1
X
1
0.2
0.1
X
(e)
(b)
(a)
Fig.11-4 Gráficas modificadas de Gurney-Lurie, (Nota: en el Apéndice D-16 se incluye una
ecuación empírica para los valores de X> 0.2 Y Y< 0.3.)
Clave para las Figs. 11-4
Línea
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
Placa (a)
m
n
0.0
0.0
0.5
0.0
0.0
1.0
0.0
0.5
2.0
0.0
2.0
0.5
2.0
5.0
5.0
1.0
0.8
1.0
0.6
0.4
1.0
0.4
0.4
1.0
0.0
0.4
0.0
0.0
1.0
0.0
00
Gil. (b)
m
n
Est. te)
m
n
0.0
0.0
0.0
0.5
0.5
0.0
1.0
2.0
0.5
0.5
1.0
2.0
5.0
1.0
0.8
0.4
1.0
0.8
0.0
1.0
1.0
0.4
0.0
0.0
0.0
0.0
0.0
0.0
0.5
0.0
0.0
0.5
1.0
0.5
2.0
1.0
5/0
2.0
5.0
00
Recalculado de (3); Cortesía de la Amer. Chem. Soco
00
1.0
0.8
1.0
0.4
0.0
0.8
1.0
0.0
1.0
0.0
1.0
0.0
0.0
233
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234 PRINCIPIOS DE OPERACIONES UNITARIAS
Tabla 11-} Notación para las Figs. 11-4a, 11-4b y 11-4c.
Notación Específica
Símbolo
del
parámetro
Notación
general
y
Cambio sin completar
Tiempo relativo
X
Posición relativa
n
Resistencia relativa
Masa
T1-T
ca1 -ca
v1P1 -vp
T1 -oT
ca1 - OCa
v1P1-0vOP
óe
exe
~e
ve
X12
X12
X12
X12
x
x
x
x
X1
x1
x1
x1
s
k
fí)
&X1
hX1
kcX1
h. kc = coeficientes de transferencia
& = coeficiente generalizado de transferencia
T = temperatura
ex = difusividad térmica
e, = concentración
v = velocidad
x = distancia desde el centro
X¡ = radio o mitad de espesor
B = tiempo
k = conductividad térmica
fí) =
difusividad de masa
v = difusividad de momento
ó = difusividad generalizada
Las suposicrones de
la resolución pocas
veces se satisfacen
para el transporte de
momento.
Postsubíndices:
1 = límite
a = componente a
Presubíndice:
O = al tiempo O (condición inicial)
Por lo general, el presubíndice se referirá al tiempo
Momento
r1-r
r1 -or
m
X. Y. m. n son adimensionales
Calor
y el postsubíndice
* Estos términos se definirán en capítulos posteriores.
el Cap. 14.
a la posición.
Para el transporte
de momento
~ = o.
Para este capítulo m = O. El uso de las gráficas para m > O se demostrará en
La Fig. 11-5 representa la trayectoria de la temperatura
de una laja de material que sólo tiene dimensiones finitas en la dirección x, por lo que puede suponerse que la
transferencia de calor es unidimensional, y que la in_terrelación entre el tiempo, la temperatura y la posición se
describe mediante la Ec. 11-73. Suponga que la temperatura de un punto intermedio entre los planos A y B
representa el valor promedio de la "placa" y que los flujos que entran a ese elemento contribuyen a la acumulación dentro del mismo. El gradiente de potencial en
cada límite puede evaluarse en términos del potencial en
la línea central del elemento y del de las líneas centrales
adyacentes. Es posible expresar la acumulación en términos del incremento de temperatura de la línea central
en el intervalo de tiempo correspondiente.
En forma de diferencias finitas, la Ec. 11-73 es
significado de estos términos. En forma de diferencias
finitas, el lado izquierdo de la Ec. 11-73 es
(11-76)
Igualando la Ec. 11-76 con el lado derecho de la Ec.
11-75 y expandiendo los términos A T/ Ax de la Ec. 11-75
en forma de diferencias finitas, se obtiene
l:l.x
(11-77)
en donde
o Tx = temperatura en x y
l:l.(T líneacentral)=
l:l.e
cx[
(~t-(~t ]
l:l.x
0+ 1>.0
(11-75)
en donde (Ae T/ AX)B, (Ae T/ AX)A son los valores del gradiente en los planos B y A, respectivamente. Ambos se
evalúan a
Un examen de la Fig. 11-5 demostrará el
e.
e
Tx = temperatura en x y e + l:l.e
Resolviendo la Ec. 11-77 para 0+ 1>. o T¿ se obtiene
w
(11-78)
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ECUACIONES DE CAMBIO
x -tu
B
x
A
235
(11-81)
Pend o=
(E-.-)
Ax
A
Tx -Tx -~ x
Ax
I
I
T..
~-T,
:
~----ax ----¿~+I<~---ax --~~>~I
x~
(a)
A'
B'
x
x+ax
Entonces, la Ec. 11-81 fija un valor de Tx igual al promedio aritmético de T en cualquier lado de ese punto a un
intervalo de tiempo anterior. El establecer vi{ = 2 se fija
el intervalo de tiempo AB al especificar !lx o se fija !lx al
especificar AB. En la resolución de la Ec. 11-80, puede
seleccionarse y utilizarse cualquier valor de .JI superior a
2. Debe tenerse cuidado al seleccionar !le o !lx a fin de
mantener los errores pequeños, puesto que se está reemplazando una diferencial por una diferencia finita.
Debe emplearse un valor de !lx o !le tan pequeño como
sea posible. Para la resolución gráfica es necesario seleccionar una !lx que divida a la placa en un número en tero de capas y resolver para !le.
Es posible escribir la Ec. 11-81 en términos específicos para
Transferencia de masa:
e Ca,x+ t:.x + e Ca ,x -t:. x
2
e+ a eca ,x =
Superficie
Transferencia de momento:
e Vx+a x + eVx- t:.x
( 11-83)
2
Ax
AX
2 ~~---- u ----~
(b)
Fig. 11-5
( 11-82)
Diferencias fin'itas de la transferencia al tiempo 8.
Se define un módulo .Jt :
(11-79)
Entonces, la sustitución de la Ec. 11-79 en la Ec. 11-78 da
Las tres ecuaciones anteriores pueden utilizarse para
cualquier distribución inicial de concentraciones.
Construcción gráfica: Para el caso unidimensional,
cuando A = 2 es posible obtener una solución gráfica
de las Ecs. 11-24, 11-55b y 11-72. Esta solución gráfica
se conoce como método de Schmidt o Binder (4). Se
basa totalmente en el uso sucesivo de la Ec. 11-81 y se
ilustra en la Fig. 11-6.
La línea continua de la Fig . 11 -6 representa la distribución de temperaturas dentro de una placa a un tiempo
= O. De acuerdo con el método, se determina la
temperatura .. d • T;. mediante la intersección del plano n
y una línea que une a • T.. - 1 con . T..+1 . Entonces la línea
e
T
( 11-80)
Esta ecuación permite predecir la temperatura en una
línea central de una placa a partir de las temperaturas de
ese plano y las líneas centrales de placas adyacentes (o
incrementos) en un tiempo anterior. El término del lado
izquierdo corresponde al tiempo e + !le, mientras que
todos los demás están a e. Entonces, dada una distribución inicial de temperaturas dentro de la placa, es posible calcular la temperatura con respecto al tiempo,
con base en los incrementos de !le asociados con los
incrementos de espesor !lx y la difusividad térmica del
material.
Si se establece que el módulo .JI es igual a 2, la Ec.
11-80 se transforma en
ax
A
B
ax
e
ax
D
Fig. 11-6 Método gráfico de Schmidt.
E
x
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236
PRINCIPIOS DE OPERACIONES UNITARIAS
punteada que conecta a o Tc Yo ~ da 1 Ta, la temperatura
en B a un tiempo !le después. La línea que va de o Tv a
o TB da 1 Te, etc.
Esta útil técnica gráfica se basa en la selección apropiada de inter~alos de tiempo y distancia, de tal manera
que un intervalo de tiempo después, la concentración
en un punto sea igual al promedio de las concentraciones en los dos intervalos de distancia adyacentes al
inicio del intervalo de tiempo. El desarrollo supone que
el volumen completo es homogéneo en todos los aspectos con excepción de la concentración de la propiedad
transferida. En la derivación de la Ec. 11-77, los balances de la propiedad se basan en los flujos a través de los
planos A y B Y la acumulación (expresada como concentración de las propiedades de transferencia) en la
concentración en un punto intermedio entre A y B. Obviamente, el plano A en la superficie (Fig. 11.5) no
sigue el modelo y su concentración no representa la
concentración promedio de la última media placa. Es
necesario usar cierto tratamiento especial cuando se
quiera predecir la temperatura de la superficie para
usarla en un cálculo.
Cuando la temperatura de la superficie de una placa
cambia súbitamente, es necesario contestar la pregunta
de qué temperatura se aplica en = oantes de la construcción gráfica del método de Schmidt. El problema es
que a = O, la temperatura de la superficie puede considerarse igual a la temperatura inicial de la placa, a la
nueva temperatura después de la exposición súbita o
bien, a algún valor entre los dos anteriores.
Una recomendación (efectiva, aunque sin justificación teórica) es usar un promedio aritmético de las dos
condiciones iniciales -es decir, la temperatura ambiente a la cual está expuesta la placa y la temperatura de la
superficie a
= 0- para obtener la temperatura de
la superficie para el valor O =
y después usar la temperatura de la superficie de placa igual a la temperatura
ambiente. Podría obtenerse un valor más riguroso de la
temperatura inicial de la superficie después de la exposición súbita a partir de una resolución analítica de la
ecuación de conducción.
e
e
e
e,
Ejemplo 11.6 Se va a secar un gel coloidal húmedo
con alcohol. El material está empacado en un perol de 2
pies/1 plg de espesor y la cara superior se expone a una
corriente de aire seco. El alcohol se transferirá a través
del gel por transporte molecular, con una difusividad de
masa de 0.00096 pie 2 /h. La concentración inicial del gel
es uniforme con 3% de alcohol en volumen. Determine
el perfil de concentraciones 2 h después de que la superficie del gel se expone al aire libre de alcohol.
Solución La placa tiene una cara impermeable al alcohol (el fondo del perol). Esta cara sería equivalente a
una placa de 2 plg de espesor con ambos lados expuestos al aire. Entonces, el alcohol podría difundirse hacia
ambas caras, pero no podría cruzar el plano central. Alternativamente, es evidente que el gradiente de con-
centraciones en la interfase gel- perol debe ser cero, ya
que no hay transferencia. En la Fig. 11-7 se muestra la placa de 2 plg. Se selecciona un incremento de posición !lx
de 1/3 plg, para obtener un número razonable de incrementos sobre el espesor total para fines de este
ejemplo. Podría obtenerse una mayor precisión con
incrementos más pequeños. Puesto que .11 = 2, es posible evaluar !le:
~X2
.11=-- = 2
q)~e
~e -
(1 x 1 )2
~
TI
(0.00096) (2)
-
o 40 h
.
De manera que se requerirán 2/0.4 = 5.0 incrementos
de tiempo. En la Fig. 11-7a se muestra la condición inicial de la placa. La notación o~2 se refiere a la concentración a un tiempo cero a dos incrementos de distancia de la superficie. El presubíndice denotará generalmente el incremento de tiempo, y el postsubíndice el
incremento de distancia a partir de la superficie de la
placa. El gradiente inicial de concentraciones es horizontal a 3% de alcohol. Sin embargo, al exponerse al
aire seco, la concentración de la superficie disminuye
hasta cero. Justo antes de la exposición es de 3%. En
consecuencia oCaO puede ser Oo 3%. Unicamente para
el primer incremento, es costumbre usar la media aritmética de estos valores (es decir, ocao = 1.5). Después
del primer intervalo de tiempo, se toma OCao como cero.
Para encontrar las concentraciones después de un intervalo de tiempo, se usa la Ec. 11-82. Para 1 Cal se convierte en
OCaO
+ OCa 2
2
Esto puede llevarse a cabo gráficamente conectando los
puntos oCao Yo Ca2 mediante una Íínea recta, como se indica en la Fig. 11-7b. Así, la concentración a 1/3 plg de
la superficie disminuye a 2.25% después de un intervalo
de tiempo de 0.4 h. Las otras concentraciones en el primer intervalo de tiempo se determinan gráficamente en
la misma forma.
1 Ca 2 =
1 Ca3 =
OCa 1
+ OCa 3
2
OCa 2
+ OCa 2
2
Esta última ecuación demuestra la utilidad de la imagen
reflejada de la placa. Se valúa lCa3 utilizando OCa 2 en la
placa y OC a2 en la imagen reflejada. Puesto que OCa2 =
3.0, 1 Ca 3 = 3.0. Además, por la ecuación previa, dado
queocal YOCa 3 = 3.0, lCa2 = 3.0. El gradiente resultante
después de 0.4 h muestra que la placa que se encuentra
junto al perol aún tiene una concentración del 3%, pero
cerca de la superficie la concentración ha disminuido.
Debido a que se tomaron diferencias finitas, el perfil de
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ECUACIONES DE CAMBIO
OCal
OCa2
OCa3
OCa2
OCal
0,1
3.0
0,1
237
01
e
ID
E
:J
(5
> '"
e tí
ID
ID
:J
cf2. c.
x
ID
2.0
:o Qie
'E" c.
'"
ID
Q;
ID
C.
,g -E
.~
l"!
-
J .s OCaO
.-
ID
t.l C.
•..l"!e en
'"
O
O
O
U
:J
ID
ID
"
"e
g
1.0
o
e
O
U
00
~x
~x
~x
2
3
2
\
(a)
OCal
OCa2
~x
~x
2"
O
,
I
rao
2
3
(c)
2
0,1
0,1,2
0,1
Imagen ficticia en el espejo,
de una placa real
OCaS
OCa2
OCal
O
3.0
3,0
O Cao
°
e
ID
E
:J
(5
'" 2.0
> •.•
:E a;
~ ~
1
'"
e
ID
'"
E c.
cft. ~
-
ID
~~
<J ID OCaO
e :~
'0 't
'ti ¡g,
l"! :J
en
.~s
'"
m ~e
u
e
ID
o
e
O
U
2
3
(b)
2
O
1,2,3,4
(d)
Fig. 11-7 Solución del Ej. 11-5. (a) Condiciones iniciales. (b) Después de un incremento
l.M. (e) Después del incremento 2.M. (d) Condiciones finales.
concentraciones no es una curva uniforme. Mientras
menores sean los incrementos de distancia, más uniforme será el perfil resultante,
En la Fig. 11-7e se muestra el perfil después de dos
incrementos de tiempo. Se determinó de la misma manera. Por ejemplo,
1 CaG
valos de tiempo, la concentración en el perol es de 3%,
pero disminuye rápidamente cerca de la superficie.
Como se muestra en la Fig. 11-7b, el cálculo continúa
para cinco intervalos de tiempo. Los puntos marcados
con 5 representan la concentración final. En el perol, la
concentración ha disminuido hasta poco menos del 2%.
+ 1 Ca2
2
Después del primer intervalo, lC.O = 0%, tal como se
indica. Cada punto está marcado solamente con su intervalo de tiempo para abreviar. Después de dos inter-
REFERENCIAS
1. Carslaw, H. S., and J. C. Jaeger, Conduetion of Heat in
Solids, Addison-Wesley,
Cambridge (1955),
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238
PRINCIPIOS DE OPERACIONES UNITARIAS
2. Chambers, L. G., A Course in Vector Analysis,
Halstead Press (1974).
3. Gurney, H. P., and J. Lurie, Ind. Eng. Chem., 15,
p. 1170 (1923).
4. As presented in Jakob, M., Heat Transfer, Vol. 1,
pp. 383-398. John Wiley, (1949).
5. Knudsen, J. G., and D. L. Katz, Fluid Dynamics and
Heat Transfer, McGraw-Hill, New York (1958),
pp. 31-33.
6. Longwell, P. A., Mechanics of Fluid Flow, McGrawHill, New York (1966) pp. 118-126.
7. Navier, M., Mem. Acad. Sci. , 6, p. 389 (1827).
8. Stokes, G. G., Trans. Cambo Phil. Soc., 8, p. 287
(1845).
9. Wylie, C. R., Advanced Engineering Mathematics, 3d
ed ., McGraw-Hill, New York (1966).
10. Yenwo, G., Personal communication (1975).
PROBLEMAS
11-1 Un pasajero que se encuentra sentado en un tren observa a otro pasajero que camina por el pasillo con una velocidad de 3 mi/h hacia la parte posterior del tren. El tren se
mueve hacia adelante a una velocidad de 20 mi/h.
(a) Un observador que se encuentra sobre la plataforma
del tren ve al pasajero que camina. ¿A qué velocidad parece
moverse el pasajero que camina? ¿Qué derivada de posición
con respecto a la velocidad representa esta velocidad?
(b) ¿Qué derivada con respecto al tiempo representa la velocidad 3 mi/h que observa el pasajero sentado?
(c) Un carro viaja a una velocidad de 60 mi/h paralelamente a la dirección del tren en movimiento . ¿Cuál es la velocidad
aparente del carro para el pasajero que va caminando y para el
observador que se encuentra sobre la plataforma? ¿Qué derivadas representan cada una de estas observaciones, considerando la velocidad del tren como la velocidad de flujo?
11-2 Un líquido se calienta en un tubo que tiene una longitud de 60 m. La temperatura varía linealmente desde 80 oC en
la entrada hasta 98 oC en la salida. El líquido fluye con una velocidad de 15 mis. Prevalecen condiciones de estado estable.
(a) ¿Cuál es la derivada de la temperatura con respecto al
tiempo?
(b) ¿Cuál es la derivada total de la temperatura con respecto al tiempo?
(c) ¿Es posible determinar en forma numérica la derivada
total de la temperatura con respecto al tiempo? Explique.
11-3 Utilizando una situación física distinta a las descritas
en este libro, ilustre las diferencias entre las derivadas parcial,
total y sustancial.
11-4 Con sus propias palabras, describa el significado
físico de cada uno de los términos de la Ec. 11-8.
11-5 Derive la Ec. 10-49 a partir de la forma apropiada de la
ecuación de continuidad, justificando la omisión de términos.
11-6 Derive la Ec. 10-99 a partir de la forma apropiada de la
ecuación de energía y justifique la omisión de términos.
11-7 Derive la Ec. 10-108 a partir de la forma apropiada de
la ecuación de continuidad y justifique la omisión de términos.
11-8 Con sus propias palabras, describa el significado
físico de cada uno de los términos de la Ec. 11-40. ¿ Cuál es la
diferencia física de las Ecs. 10-44 y 10-4O?
11-9 Con sus propias palabras, describa el significado
físico de cada término de la Ec. 11-65. ¿Cuál es la diferencia
física entre la ecuación y la Ec. 11-67?
11-10 Resuelva el Probo 10-13, empezando con la ecuación
de cambio apropiada.
11-11 Resuelva el Prob 10-14, empezando con la ecuación
de cambio apropiada.
11-12 Resuelva el Probo 10-15, empezando con la ecuación
de cambio apropiada.
11-13 Resuelva el Probo 10-28, empezando con la ecuación
de cambio apropiada.
11-14 Resuelva el Probo 10-19, empezando con la ecuación
de cambio apropiada.
11-15 Resuelva el Probo 10-24, empezando con la ecuación
de cambio apropiada.
11-16 Para una transferencia en estado inestable ¿por qué
se utiliza la derivada parcial con respecto al tiempo para la difusión (Ec. 11-24) y la conducción (Ec. 11-72), pero se usa la derivada sustancial para el flujo laminar (Ec. 11-55b)?
11-17 Derive la Ec. 11-73, a partir de un balance de calor y
q/A = -k dT/dx.
11-18 Una esfera que tiene un radio de 0.100 m y se encuentra a una temperatura de 400 oC, se introduce repentinamente en un fluido frío de manera que su superficie se encuentra a 50 oC. La difusividad térmica de la esfera es 1.15 x
10-6 m 2 /s. Grafique el perfil radial de temperaturas después de
1 y 2 h.
11-19 Se fabrica un catalizador de platino sumergiendo
píldoras esféricas de alúmina en una solución de ácido cloroplatínico, hasta que se difunde cierta cantidad de ácido hacia
el interior de la píldora . Entonces, se reduce el ácido para obtener platino finamente dividido sobre la alúmina. Al principio,
se humedecen las píldoras con un diámetro de media pulgada
con agua pura. Se sumergen en una solución ácida de manera
que la concentración en la superficie se mantiene en un 50%
de ácido y 50% de agua. La transferencia del ácido se obtiene
por transporte molecular y ~ = 5 X 10-5 pies2 /h.
(a) Calcular la concentración del ácido a 1/8 plg del centro,
después de 3 h de inmersión.
(b) Calcular el tiempo que se requiere para alcanzar una
concentración de ácido del 40% en mol, en el centro.
11-20 Una placa grande de acero que inicialmente tiene
una temperatura de 2000 °F, se tiempla en un aceite que mantiene la temperatura de su superficie a 300 ° F. La placa tiene
un espesor de 6 plg y una superficie de 6 pies 2 • Calcular y graficar el perfil de temperaturas a través del espesor después de
10 y 30 mino Sea a = 0.30 pie 2 /h.
11-21 Se calienta una barra de acero de 1 m de longitud
hasta que la barra tiene un gradiente lineal que va desde 600
° C en un extremo hasta 300 ° C en el otro. La temperatura en el
extremo de 600 oC disminuye súbitamente hasta 100 oC. Los
lados y el otro extremo de la barra se encuentran aislados. Calcular el perfil de temperaturas después de 0.27 Ms. (Sugerencia: debido a que los lados y un extremo están aislados, es
posible considerar a la barra como parte de una placa plana
con el extremo de 600 oC en la superficie de la placa.)
11-22 Calcular el perfil de concentraciones para el gel del
Ej. 11-6, después de 2 h de secado, utilizando la Fig. 11-4.
Compare el resultado con el de la ilustración.
11-23 Calcular el perfil de concentraciones para el gel del
Ej. 11-4, cuatro horas después de iniciar el secado .
11-24 Se calienta un lado de una gran pared de ladrillo que
tiene un espesor de 1 pie y se enfría en el otro lado, de manera
que se establece un gradiente lineal de temperaturas de estado
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ECUACIONES DE CAMBIO
estable. La temperatura varía entre 1500 °F en una cara y 100 °F
en la otra. De repente se invierte el enfriamiento y el calentamiento, de manera que las dos temperaturas de las superficies
se invierten efectivamente. Determine el gradiente de temperaturas resultante, 3 y 6 h después de la inversión. Considere cr
= 0.02 pie 2 /h .
11-25 Las paredes de una casa están construidas con
ladrillo rojo de 13 plg de espesor. Las paredes se calientan hasta 75 o F durante el día y la pared interior se enfría hasta 60 o F
durante la noche, ajustando el termostato. Para un día en el
que la temperatura de la pared externa es O o F,
(a) Calcule las pérdidas de calor con estado estable por
pie 2 de pared, durante el día.
(b) Para la noche, calcule el tiempo después del cambio del
termostato que se requiere para alcanzar el 63% del cambio
esperado.
11-26 Considere una película delgada de un fluido newtoniano que desciende por una superficie plana inclinada a un
ángulo cr con respecto a la horizontal. La película tiene un espesor y una temperatura constantes, así como un flujo laminar. El líquido se alimenta por la parte superior del plano a la
velocidad requerida. La superficie tiene L pies de longitud y W
pies de ancho.
(a) Desarrolle una expresión para la velocidad como una
función del espesor de la película para un punto a lo largo del
plano, suponiendo que se conoce el espesor de la película.
(b) Desarrolle una expresión para el espesor de la película
como función de cr para un flujo volumétrico conocido
(pie 3 /sl.
11-27 Considere una columna de pared mojada en la que
un líquido desciende por el interior de un tubo cilíndrico vertical. El líquido cae en forma de película delgada, mojando por
completo la superficie. El resto de la columna está lleno con un
gas que fluye hacia arriba. La columna tiene un radio interno Rl'
239
(a) Sin tomar en cuenta el efecto del flujo de gas, desarrolle una expresión para la velocidad dentro de la película en
función del radio.
(b) Determine el flujo volumétrico total.
(c) ¿Cuál es el efecto cualitativo del flujo de gas sobre el
flujo del líquido? ¿Puede dejarse pasar por alto este efecto?
11-28 Dos discos similares están separados por una película de aceite de espesor b. Una fuerza Flos mantiene juntos. Se
suministra continuamente aceite a presión a una cámara
central, de la que sale ~n forma radial. Para un aceite de viscosidad 1-1, derive una expresión entre F y valores fijos de 1-1, O, b,
DI Y D2 tal como se muestra en la figura .
11-29 Se genera calor con una velocidad uniforme en la
sección sólida de un cilindro hueco. Las superficies interna y
externa se mantienen a T, y T" respectivamente. Desarrolle
una expresión para la temperatura dentro de la pared. ¿Cuál es
el flujo de calor en cada superficie para condiciones de estado
estable?
11-30 Repita el Probo 11-29 para una esfera hueca.
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Doce
Mecanismo de Transporte
Turbulento
El transporte molecular, que se describió en el Cap. 9,
depende del movimiento aleatorio de las moléculas individuales para los transportes de masa, calor y momento. El transporte turbulento, que se estudia en este
capítulo, se debe al movimiento de grandes grupos de
moléculas. Estos grupos o racimos de moléculas reciben el nombre de vórtices y en algunos casos son lo suficientemente grandes para poderse observar a simple
vista. Tanto la masa así como el calor y el momento,
pueden transferirse por transporte turbulento en cualquier fluido.
En las siguientes secciones se estudiarán las condiciones bajo las cuales se presenta el transporte turbulento. No es posible describir por completo al transporte
turbulento mediante una expresión matemática única,
debido a que el mecanismo es más complejo que el del
transporte molecular. Como resultado, es necesario
combinar la teoría con la evidencia experimental, para
obtener una descripción adecuada de la turbulencia.
Para comprender el transporte turbulento es necesario examinar primero el transporte turbulento de momento en un fluido que fluye. Una vez que se haya
desarrollado un modelo del movimiento turbulento para
el transporte de momento, puede ampliarse a los transportes de calor y masa .
TRANSPORTE TURBULENTO DE MOMENTO
El transporte molecular de momento también se conoce
como flujo laminar, flujo de corriente lineal o flujo viscoso. Como se demostró en el Cap. 9, el movimiento de
un fluido como un todo se presenta únicamente en la dirección y, mientras que el momento se transfiere por
movimiento aleatorio de las moléculas individuales en la
dirección x. Usando este modelo relativamente simple,
en el Cap. 9 se desarrollaron expresiones que relacionan
el esfuerzo cortante, la difusividad y el gradiente de con-
centraciones. En la práctica, el transporte turbulento resulta más importante para el ingeniero químico que el
transporte molecular. Como consecuencia, los conceptos que se desarrollaron para flujo laminar, se aplicarán
ahora al transporte con flujo turbulento.
Calda de presión en el flujo turbulento
Si se mide la caída de presión (- AP) en un tubo para
una velocidad de flujo relativamente alta, se encuentra
que es mayor que el valor predicho por la ecuación de
flujo laminar (Ec. 10-94). Por ejemplo, considere que a
través de un tubo circular sin rugosidades con 1 plg de
D. l., fluye agua a 70°F, con una velocidad media de 10
pies/s. Al calcular la caída de presión por medio de la
Ec. 10-94, su valor por cada 100 pies de tubo sería 0.663
Ib/plg2. Si se prueba físicamente un aparato bajo las
condiciones descritas, la caída de presión medida por
cada 100 pies de tubo sería 15.4lb/plg2. El valor experimental sería igual a 23 veces el valor calculado. Por otra
parte, si el agua fluyera a 0.1 pies/s, el valor experimental y el calculado concordarían exactamente. Esto indica
que, para bajas velocidades, el comportamiento del
fluido es idéntico al del modelo de transporte de momento con flujo laminar seleccionado para derivar la Ec.
10-94. A cierta velocidad media mayor, el comportamiento del fluido es diferente al de régimen laminar. El
propósito de este capítulo es entonces, examinar este
nuevo régimen y describirlo con tanta precisión como
pueda hacerse en este momento.
El experimento de Reynolds
Aún se utiliza un experimento clásico reportado por Osborne Reynolds (10) en 1883, para demostrar las diferencias cualitativas entre los flujos laminar y turbulento.
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242 PRINCIPIOS DE OPERACIONES UNITARIAS
Con~idere un tubo de vidrio por el cual fluye agua
con una velocidad media. En el centro del tubo, se introduce un chorro ligero de tinta soluble en agua a través
de un tubo capilar, de manera que se inyecta un filamento delgado de tinta en la corriente de agua; la velocidad de la corriente de tinta es igual a la del agua en el
punto de introducción. Un análisis de la Fig. 12-1a demuestra que a una velocidad baja del agua, el filamento
de tinta retiene su identidad en esa corriente, tendiendo
a ensancharse ligeramente corriente abajo, debido a la
difusión molecular de la tinta. Para una velocidad media
ligeramente mayor, el filamento de tinta se rompe formando grandes vórtices finitos, como se muestra en la
Fig. 12-1b. Corriente abajo, los vórtices se continúan disolviendo y la tinta que se introdujo tiende a dispersarse
de manera homogénea. A una velocidad sensiblemente
mayor (Fig. 12-1c), la actividad de los vórtices es violenta en extremo y la región con el color homogéneo de la
tinta se aproxima al punto de entrada de la tinta. De una
observación visual resulta evidente que los vórtices en
un flujo normal en tuberías son del orden de la décima
parte del diámetro del tubo y que dichos vórtices se
mueven siguiendo un patrón por completo aleatorio. En
algunos estudios experimentales se ha eliminado la formación d& vórtices mediante un control cuidadoso, de
tal manera que se han mantenido altas velocidades medias con ausencia de vórtices, pero estas condiciones
requieren, por ejemplo, desgasificación del fluido, aislamiento del aparato de cualquier vibración externa y un
acabado en extremo pulido en la fabricación del tubo.
Esta evidencia sirve de apoyo al concepto de que la incidencia de vórtices se debe a imperfecciones externas de
los sistemas que no pueden eliminarse en la práctica. En
Aguja para inyección de colorante
Flujo"'~mza.----------------
(a)
(b)
Zona de
Aguja para inyección
de colorante
Flujo '"-
F1m_. __
~-
""'.
.-r~." ':-
~:;;:_-'_
-
(e)
Fig. 12-1 El experimento de Reynolds (escala vertical exagerada). (o) Patrón de flujo a velocidad media baja con inyección de tinta. (b) Patrón de flujo a una velocidad mayor con
inyección de tinta. (e) Patrón de flujo para alta velocidad con
inyección de tinta.
los experimentos en .los que se mantuvieron altas velocidades en ausencia de vórtices, los datos de caída de
presión se correlacionaron con la Ec. 10-94. Un sistema
que opere a una velocidad anormalmente alta en el flujo
viscoso podría revertirse a flujo turbulento por agitación
física del tubo. Esto indica que el flujo viscoso de alta
velocidad es un estado anormal o metaestable.
También debe notarse que existe un límite superior
para el flujo viscoso, así como un límite inferior para el
flujo turbulento, y que los límites se encuentran separados
por una región de transición. El aparato de Reynolds
y algunos otros medios de estudio (8) indican que la formación de vórtices se inicia en el centro del tubo para
formar un núcleo central de actividad de vórtices. El
diámetro de este núcleo aumenta al incrementarse la velocidad media.
Las conclusiones que pueden obtenerse del experimento de Reynolds son: (1) por encima de cierta velocidad media para un sistema dado, se forman vórtices
relativamente grandes que fluyen cruzando la corriente
con cierto comportamiento aleatorio; (2) estos vórtices
son mayores y más abundantes en el centro del tubo;
(3) un aumento de la velocidad media del fluido ensancha el núcleo turbulento hasta que el tubo se encuentra
prácticamente lleno del núcleo de actividad de vórtices.
Transporte de momento por actividad de vórtices
En el Cap. 9 'se describió el transporte de momento por
moléculas simples que se mueven en forma natural aleatoria. La conclusión que ahí se obtuvo fue que la fracción del total de moléculas que poseían un componente
de velocidad en la dirección transversal con respecto a
la corriente, podría moverse hacia regiones en las que la
velocidad de flujo era diferente a la velocidad original de
la molécula migratoria, con el consecuente transporte
de momento. En ciertos aspectos, el flujo turbulento es
similar al flujo laminar, excepto que la escala de la masa
migratoria es mayor en el flujo turbulento y que existen
dependencias adicionales entre las variables. En el experimento de Reynolds, los vórtices podían distinguirse a
simple vista, lo cual indica la magnitud de éstos. Debido
a que el vórtice tiene un componente aleatorio de flujo
transversal superimpuesto al flujo global, es razonable
suponer que puede transferirse el momento debido al
movimiento de flujo transversal de los vórtices, así
como por movimiento de flujo transversal de las moléculas. Los análisis visibles son suficientes para indicar
que el movimiento de flujo transversal existe en una escala macroscópica.
La falta de concordancia entre los fluidos que se
mueven a velocidades mayores y las ecuaciones cuya
derivación se basa en el modelo de transporte molecular, tal como la Ec. 10-94, es suficiente para indicar que
en este caso opera un mecanismo no evaluado adicional
al transporte molecular. Esto no significa que el transporte molecular esté ausente, ya que en cualquier
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MECANISMO DE TRANSPORTE TURBULENTO
muestra de fluido en la que se presente un gradiente de
velocidad, aun dentro de un vórtice, el movimiento molecular aleatorio transportará algo de momento. Una diferencia importante entre el comportamiento molecular
y el comportamiento de un vórtice resulta evidente en
los experimentos de Reynolds. La actividad de los vórtices es violenta en el centro del tubo y disminuye en intensidad al alejarse del centro. Además, la actividad de
los vórtices se hace más violenta al aumentar la velocidad.
Los desarrollos posteriores intentarán evaluar la
contribución de cada uno de los mecanismos al transporte de momento.
Mecanismo de flujo turbulento
En forma simplificada, el esfuerzo del fluido debido a la
combinación de los flujos laminar y turbulento, puede
representarse mediante la ecuación general
T total
= T molecular
+ T turbulento
(12-1)
El esfuerzo cortante que se deriva de procesos moleculares o laminares se obtiene de la ley de Newton,
como se desarrolló en el Cap. 9. Para evaluar Tturbulenw se
requiere un análisis adicional.
El experimento de Reynolds podría sugerir con certeza que la turbulencia se caracteriza por un movimiento
aleatorio y caótico de las partículas de fluido. Si se usara
un instrumento en extremo sensible para medir la velocidad en un punto de un fluido con flujo turbulento y
si ese instrumento se orientara de tal manera que se midieran los componentes x (radial) y y Iaxiall, resultaría la
curva de respuesta de tiempo que se muestra en la
Fig. 12-2.
Una velocidad promedio con respecto al tiempo (es
decir, el valor promedio de las mediciones del instrumento): puede expresarse
¡j=-
1
t
1
v= t
en donde u y v son las velocidades instantáneas en las
direcciones x y y, medidas en un punto, mientras que ü
y son los valores uniformizados con respecto al tiempo.
Es posible expresar en forma conveniente la velocidad instantánea, como la suma de la velocidad promediada en el tiempo y una velocidad fluctuante; es decir
v
u = ii + u'
donde u' y v' son las velocidades fluctuantes en las direcciones x y y, respectivamente.
De estas definiciones resulta evidente que los valores
promedio de las velocidades fluctuantes con respecto al
tiempo deben ser cero.
Si se utilizara un instrumento sensible para medir la
presión en un punto en función del tiempo, se obtendrían resultados similares a los de las Ecs. 12-2 y 12-3.
La ecuación de continuidad y las ecuaciones de movimiento también son válidas para el flujo turbulento si
se utilizan velocidades y presiones instantáneas. Para
un fluido incompresible de viscosidad constante, la
ecuación de continuidad (Ec. 11-1) es, para los componentes x
a (
~
') +-v+v
a (
ay
-ü+u
') +-w+w)=O
a (
,
~
(12-4)
y la Ec. de movimiento (11-37) (11-54), resulta en
~
ae
p([j + u') = - [~p([j
+ u')(ü + u')
ax
a ([j + u')(v + v')
ay
+-
+~
az
([j
+ u')(w + w')] + J.l.V2([j + u')
a _
ax
í' udt
I'
(12-2)
vdt
O
Velocidad promedio
v en la dirección de
flujo (y) en el radio r
aü av aw = O
ax ay az
Velocidades instantáneas
u' y v + v' en el radio r
u = O~<::::;><:-+-\::.p.~~--""'c:::f--"é-
u en la dirección de,
flujo transversal (x)
en el radio r
Fig. 12-2 Velocidades de punto instantáneas en las direcciones x y y.
,
(12-5)
Debido a que las fluctuaciones turbulentas son aleatortas, es imposible obtener la solución de las Ecs. 12-4
y 12-5.
Aprovechando el hecho de que el valor promedio respecto al tiempo de las velocidades fluctuantes es cero,
es posible determinar este promedio para las Ecs. 12-4 y
12-5, obteniendo
- +- +-
Velocidad promedio
(12-3)
v = v + v'
+pgx--(P-P)
O
243
~
ae
pü = -
(12-6)
afi _ [ ~ pü a + ~ pv a + ~ pü w ]
ax
ay
az
a _, _, + - a pu_, v_, + - a pu_, w_,]
- [ - pu u
ax
ay
az
+ J.l.2Vü+
ax
pgx
(12-7)
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244
PRINCIPIOS DE OPERACIONES UNITARIAS
Los términos que se encuentran en el segundo conjunto de paréntesis de la Ec. 12-7, están asociados con
fluctuaciones turbulentas de la velocidad, por conveniencia sea
(Tturb)xx = piJ' iJ'
(Tturb)xy = piJ' ¡;;'
(Tturb)xz = piJ' W'
Estos términos son los componentes del flujo turbulento de momento. Se conocen como esfuerzos de Reynolds o esfuerzos de vórtice.
La Fig. 12-3 representa una porción de un perfil de
velocidades turbulentas con el flujo medio en la dirección y. En la región 1, la velocidad media es Vl • Como
resultado de una pulsación, una porción del fluido de la
región 1 se acelera hasta V l + v' Y adopta un componente de velocidad de flujo u' transversal u' . Con estos
nuevos componentes de velocidad, se forma un vórtice
en 1. Se supone que este vórtice retiene su identidad en
el flujo transversal a través de una distancia (x2 - Xl)
hasta llegar a la región 2, en donde la velocidad media
es V2 = Vl + V • En este punto, se dice que el vórtice se
ha degenerado o se absorbe en la región huésped o
bien, pierde su identidad.
Es posible relacionar las velocidades en 1 y 2 mediante la expresión
Longitud de mezclado de Prandtl
Sólo es posible resolver las ecuaciones de movimiento
para flujo turbulento cuando se pueden evaluar los esfuerzos de vórtices. El modelo de longitud de mezclado
de Prandtl es un intento para hacer esto (7). Este modelo supone que los vórtices de un fluido se mueven una
distancia transversal definida antes de perder su identidad como consecuencia de su absorción en un nuevo
ambiente, en donde la velocidad promedio es igual a la
velocidad instantánea y fluctuante en el instante en que
el vórtice inició su viaje transfersal. El modelo de Prandtl
no reconoce los efectos del choque del vórtice con
otros vórtices que tienen velocidad distinta. Esta distancia de desplazamiento se conoce como longitud de
mezclado.
Prandtl supuso que los vórtices se mueven en un forma similar a las moléculas. Ya antes se había supuesto
que para la transferencia molecular, las moléculas se
mueven de una región a otra, dentro de un fluido que
las transporta con su momento. Se supuso que estas
moléculas se desplazan a cierta distancia media antes
de perder su momento y confundirse con otras moléculas. La longitud de mezclado de Prandtl es entonces
análoga a la trayectoria libre de las moléculas que se trató en el Cap. 9 para procesos moleculares. Sin embargo, esta analogía no es muy buena debido a que ningún
fluido tiene partículas de vórtices identificables.
V2 = v,
dv
+-
(X2- x,) = v,
dx
+ v'
(12-9)
Si se designa a (X2 - Xl ) como A, la longitud de mezclado de Prandtl, es posible escribir la Ec. 12-9 para cualquier región como
,
dv
v+v =v+Xdx
o
, (dV)
v = X dx
(12-10)
La velocidad de intercambio de masa entre las regiones por unidad de área esP u' . Entonces, el esfuerzo
cortante turbulento medio sobre el fluido es
Tturb = pu'v'
(12-11)
La ecuación de continuidad requiere que u' Y v' sean
del mismo orden de magnitud. De este modo, el esfuerzo de Reynolds se relaciona con la longitud de mezcla
de Prandtl mediante
Tturb = P
dV)2
(X dx
(12-12)
Viscosidad de vórtices
Boussinesq (1) introdujo el concepto de una difusividad
de vórtice de momento E" que es análoga a la viscosidad cinemática definida por la ley de Newton. Se define
por medio de
dv
Tturb = -pEr dx
t
y
(12-13)
Una comparación entre las Ecs. 12-13 y 12-12 demuestra que, en términos de la longitud de mezclado de
Prandtl,
dv
E =X2r
(2)
(1)
x--
Fig. 12-3 Movimiento de un vórtice en flujo transversal.
dx
(12-14)
De la Ec. 12-14 resulta evidente que la viscosidad del
vórtice no es una propiedad física, sino que depende de
la posición y de las condiciones del flujo.
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MECANISMO DE TRANSPORTE TURBULENTO 245
Es posible expresar ahora la Ec. 12-1 en forma más
específica sustituyendo la Ec. 12-13 y utilizando la relación de Newton.
Tt t I = -v d(pv) _ E d(pv)
o a
dx
T
dx
= -(v + E } d(pv)
T
dx
(12-15)
Y, para un fluido de densidad constante
(12-16)
T
tota
1=-
2 dV) dv
( ,.,.I/+p'A -dx -dx
(12-17)
La Ec. 12-15 no implica que ET sea un incremento de
la viscosidad del fluido a velocidad alta. Significa exclusivamente que se transfiere un momento adicional por
encima del que predice exclusivamente el mecanismo
de flujo laminar, y que la transferencia puede representarse mediante la suma de los procesos molecular y turbulento.
ET varía desde cero en la pared hasta valores altos en
la región turbulenta. Debe recordarse que la ecuación
de balance de fuerzas que se desarrolló en el Cap. 10, es
siempre aplicable sin importar el mecanismo del flujo.
Para cualquier sección de un fluido que fluye a través de
un conducto de cualquier forma, la fuerza neta aplicada
a los extremos del tubo a causa de la calda de presión es
(- tJ.PS) y la fuerza de resistencia es TyA.
Estos términos deben ser iguales de acuerdo con el
balance de fuerzas
(12-18)
en donde S y A son el área de sección transversal del
flujo y el área de transferencia. Para el flujo en un cilindro cuyo radio es
r1, S = 1I"r1 2
y A = 211"r1 L; y
-D.P(1I"r12) = T v 1 211"r1 L
(12-19)
T
V
(~) = -(v + E
T
, r1
)
d(pv)
dr
(12-22)
Cuando la densidad es constante y se conoce la relación entre la velocidad y el radio, es posible determinar
ET en distintas posiciones radiales.
Distribución de velocidades con flujo turbulento
Nikuradse (6) midió la velocidad de punto (en la dirección y) de fluidos con flujo turbulento y encontró que el
perfil de velocidades pierde el carácter parabólico
descrito por la Ec. 10-90 y tiende a aproximarse al flujo
tapón, de tal manera que la velocidad del fluido se comporta como si fuera independiente de la posición radial.
La tendencia hacia el flujo tapón aumenta al incrementar la velocidad media para un sistema dado, como se
muestra en la Fig . 12-4. Nótese que, con un incremento
de la velocidad, el "punto" de la parábola se aplana, de
tal forma que cuando -+00, el límite parece ser el perfil
plano del flujo tapón.
Von Karmán (13, 14) propuso representar los datos
de distribución de velocidades de Nikuradse, mediante
tres ecuaciones empíricas separadas, para todos los
fluidos newtonianos que fluyen en tubos "Iisos'" sin importar su densidad, velocidad, esfuerzo en la pared o
viscosidad para cualquier posición radial medida desde
la pared. Obviamente, el perfil de velocidades incluiría
todos estos términos. La distribución generalizada de
velocidades está dada por las Ecs. 12-23, 12-24 y 12-25 y
se presenta en forma gráfica en la Fig. 12-5.
El parámetro y' es una posición generalizada en un
sistema fluido en movimiento, en una posición radial
particular r. El parámetro u' es una velocidad generalizada en un sistema de flujo, incluyendo la velocidad de
punto en y., en donde u· y y. están relacionadas por
medio de las Ecs. 12-23, 12-24 y 12-25, que se presentan
más adelante.
La primera región de un sistema de flujo turbulento
está limitada por y. = O, que se localiza en la pared de
un tubo, y por y. = 5, a corta distancia de la pared. Esta
región se conoce como subcapa laminar. En esta re-
v
Para una parte de la sección tubuJar limitada por cualquier radio r,
( 12-20)
Las Ecs. 12-18, 12-19 y 12-13 son similares a las que
se derivaron en el Cap. 10 para el transporte molecular
con generación interna. Si se divide la Ec. 12-20 entre la
Ec. 12-19,
TV
= T vr, (~ )
(12-21)
de manera que, para un flujo turbulento, el esfuerzo
también varía en forma lineal con el radio. Si se sustituye la Ec . 12-21 en la Ec. 12-15, modificando la derivada
para una geometría cilíndrica,
v_
(a)
(b)
(e)
Fig. 12-4 Distribución de velocidades en los flujos laminar y
turbulento. (a) Flujo laminar de baja velocidad. (b) Flujo turbulento de alta velocidad. (e) Flujo tapón de muy alta velocidad (v -+00 .)
+ "Liso" significa tubo de vidrio o tubo comercial de metal fundido .
El tubo comercial es un poco más rugoso, lo que cambia el perfil de
velocidades.
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246
PRINCIPIOS DE OPERACIONES UNITARIAS
examinará con mayor detalle la Ec. 12-23. A continuación se describe la derivación de esta ecuación. Con sidérese la Ec. 10-90, que define la relación entre la
posición y la velocidad con flujo laminar a través de un
conducto circular.
15
11 10
+;:s
(10-90)
5
De la Ec. 10-86,
(
7 10
y+
20 30 50
= (r
1-
100 200
400
r)u ' p
-AP gc) = (Tygc ),
2 Ay
'1
(10-86)
Sustituyendo la Ec. 10-86 en la Ec. 10-90 se obtiene
¡J
Fig. 12-5 Perfil generalizado de velocidades para flujo turbulento en tubos (14). Con permiso de la ASME; copyright ©
V=('T~:),)(('12
;,2))
(12-26)
1939.
Reordenando y factorizando la Ec. 12-26,
gión, la velocidad de punto y la posición están relacionadas por
(12-23)
La región que se encuentra entre las posiciones radiales
definidas por y+ = 5 Y y+ = 30 se conoce como capa de
amortiguamiento y se representa con la ecuación empírica
u+ = -3.05 + 5.00 In y+
c
V = (Tyg ),
(P('1 - rl)( ('1 +')) ( 12-27)
P
J1
2'1
Si r es aproximadamente igual a rl , como es el caso de
la región cercana a la pared del tubo (y+< 5), entonces
el término (r1 + r)/2r1 puede ser igual a 1. Con esta modificación es posible reordenar la Ec. 12-27 para obtener
(12-24)
La región que se encuentra entre las posiciones radiales
definidas por y+ = 30 Y el centro del tubo, se conoce
como núcleo turbulento y se representa con la ecuación
empírica
u+ = 5.5 + 2.5 Iny+
(12-25)
Las definiciones de los términos que involucran estas
ecuaciones son:
u+ = vi u*, un parámetro de velocidad de punto
con dimensiones vectoriales V L,/ Ly. Cuan do se utilizan dimensiones no vectoriales, es
adimensional .
u* = V (Ty gcl 1 /P conocido como "velocidad de
fricción", con dimensiones V L,. L.I(:JZ
v = velocidad de punto en la dirección r, L,.19
y+ = [(r1 - r)u*P I¡.¡J, un parámetro de posición,
L,. / Lr • En dicon dimensiones vectoriales
mensiones no vectoriales, el parámetro es
adimensional.
rl = radio en el límite, Lr
r = cualquier posición radial , Lr
P = densidad del fluido, MILr 2Ly
¡.t = viscosidad absoluta, M/ L,.9
(TY )l = esfuerzo del fluido en la pared del tubo,
V
Fy / L,. Lr.
Debido a que la naturaleza peculiar de los parámetros
de posición y velocidad resulta un poco complicada, se
Combinando la Ec. 12-28 con las definiciones de u· y y.
se obtiene:
( 12-23)
La Ec. 10-90 se derivó con base en Ty g c = -¡.t(dvldx) y
por tanto, es una ecuación de flujo laminar. En consecuencia, también la Ec. 12-23 es una ecuación de flujo
laminar. En flujo turbulento, se define la subcapa laminar como la región que se extiende entre y. = O (en el
límite) y y. = 5 (a corta distancia del límite). El flujo en
la subcapa laminar es en realidad un flujo laminar. Para
un valor dado de y., el espesor real de la subcapa laminar (r1 - r) depende de u* . Al aumentar el esfuerzo en la
pared Ty l (como sería en caso de que la velocidad
aumentara), el espesor de la subcapa laminar disminuye.
Durante mucho tiempo, se ha discutido la existencia
real de la subcapa laminar" Es muy difícil medir la velocidad real en esta región y siempre ha estado en duda.
Sin embargo, es indudable que la distribución de velocidades en esta región puede expresarse aproximadamente con la Ec. 12-23; entonces, para fines prácticos, la
suposición de flujo laminar en la pequeña región puede
conducir a un error en la teoría, más que a un error en la
predicción de la velocidad de transporte. La capa de
amortiguamiento se extiende desde y. = 5 hasta y. =
+ Véase la teoría de penetración,
Cap. 13.
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MECANISMO DE TRANSPORTE TURBULENTO 247
30. El experimento de Reynolds y algunos otros han demostrado que la actividad de los vórtices es más
pronunciada en el centro del tubo y está ausente* en la
subcapa laminar, de manera que como el nombre lo indica, la capa de amortiguamiento es una región de transición entre la subcapa laminar que no tiene actividad de
vórtices, y la violenta actividad de vórtices en el núcleo
del tubo. Como en el caso de la subcapa laminar, el espesor de la región de amortiguamiento está en función
del esfuerzo en la pared, de tal manera que para un alto
esfuerzo en la pared, el espesor es pequeño. La región
de amortiguamiento se encuentra limitada por un lado
por la región que no tiene actividad de vórtices y por el
otro, por una región que tiene una considerable actividad de los mismos, por lo que es razonable suponer que
existe cierto grado de actividad de vórtices en esta región. La distribución de velocidades en la región de
amortiguamiento puede determinarse de manera experimental con bastante precisión, por lo que existen pocas
dudas de la forma en que los datos concuerdan con la
curva. El grado de concordancia no implica una descripción del mecanismo.
El núcleo turbulento se representa mediante la Ec.
12-25. Es la región de máxima actividad de vórtices. Una
comparación entre la constante 2.5 de la Ec. 12-25 con
la constante 5.0 de la Ec. 12-24 indica una disminución
en la rapidez de cambio del gradiente de velocidades al
aumentar el parámetro de posición o aproximarse al centro del conducto circular. La función logarítmica de posición también indica de manera inherente un gradiente
decreciente. Es en esta región donde tiene lugar el
"aplanamiento" extremo del perfil de velocidades. El
perfil plano es la primera diferencia notable en el patrón
de velocidades entre los flujos laminar y turbulento.
Existe un punto de inconsistencia en la Ec. 12-25. La
función u+ = 5.5 + 2.5 In y+ es continua para todos los
valores positivos de y+ y tendrá un valor finito de la primera derivada, para todos los valores positivos de y+. En
el centro del tubo, r = O Y Yo + = r1 u*P /¡.t. En consecuencia, de acuerdo con la Ec. 12-25, dv/dr debe tener
un valor real distinto de cero en el centro del tubo. Todas las mediciones de velocidad demuestran que dv/dr
es cero en el centro del tubo; por tanto, la Ec. 12-25 es
incorrecta en el centro del tubo y tal vez en la región cercana al centro. En la zona alejada del centro, esta
ecuación constituye una representación empírica razonable de la velocidad en diversos puntos. En realidad,
no es razonable suponer que el, perfil de velocidades deba obedecer a tres ecuaciones distintas; es muy probable que la función correcta sea muy compleja, pero
tal función aun no ha sido propuesta. A pesar de las obvias inconsistencias matemáticas, las tres ecuaciones
sirven como base para el cálculo de resultados válidos.
* Algunos investigadores observaron. de manera visual ciertos movimientos que parecían deberse a la actividad de vórtices cerca de las
paredes (3). Esto conduce a otro modelo de turbulencia, pero éste no
ha sido confirmado. Este tópico se tratará posteriormente como
"teoría de la penetración".
Por ejemplo, aun cuando existen inconsistencias matemáticas serias cuando se utiliza la Ec. 12-25 cerca del
centro, debe recordarse que en esa región se transfiere
muy poca cantidad de momento, de manera que un
error porcentual grande en esa región involucra un error
real muy pequeño al considerar al tubo completo.
En resumen, la información disponible para análisis es:
1. Los experimentos de Reynolds que demuestran la
formación de grandes vórtices que se mueven de manera aleatoria, iniciándose la actividad de vórtices en un
núcleo central, el cual crece en dimensión radial al
aumentar la velocidad media.
2. Los datos del perfil de velocidades de Nikuradse,
que fueron expresados con tres ecuaciones por Van Kárman. Las tres ecuaciones representan tres regiones
separadas de comportamiento del flujo: flujo laminar
cerca de las paredes, actividad limitada de vórtices en la
capa de amortiguamiento y el núcleo turbulento. Las
velocidades de punto se correlacionan en términos de
los esfuerzos en la pared, la geometría, densidad y viscosidad.
Ejemplo 12-1 A través de un tubo de 2 plg 0.1. fluye
agua. La caída de presión es 10 Iq. /pie2 por pie de tubo.
Calcule la velocidad de punto y la difusividad del vórtice
en distintas posiciones entre la pared y el centro del tubo (¡.t = 1.0 cps, P = 62.4 Ib/pie 3 ).
Solución Utilizando los datos de carda de presión y
la geometría, es posible calcular Ty 1 a partir del balance
de fuerzas, Ec. 12-18
{-~P)S1 = {TyA},
Reordenando y sustituyendo datos se obtiene
Ty 1
=
(-~P)S1
(10)'d1/12)2
=
A
21T{1/12)(1)
T y 1 = 0.417 Ib,/pie2
Es posible calcular la velocidad de fricción u* a partir de
los datos de esfuerzo en la pared y la densidad.
u* =
j
T Y 1Uc
= ({0.417)(32.2))'/2
p
(62.4)
u* = 0.464 pie/s
Entonces
y
v
'v
u+ = - i - = - -
u*
0.464
y+ = {r, -r)u*p
/1
Se considera primero una posición en la pared r = r1 , y+
= O. La Ec. 12-23 es aplicable, de manera que u+ = OY
v = O. Esto por supuesto, es una suposición básica del
flujo de fluidos: que la velocidad del fluido en el límite es
igual a la velocidad de dicho límite.
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248 PRINCIPIOS DE OPERACIONES UNITARIAS
Considérese en seguida un punto en y+ = 5. Este punto es el límite superior de la Ec. 12-23 y el límite inferior
de la Ec . 12-24. Utilizando la Ec. 12-23,
dv/ dr en y+
Ec. 12-24.
30. Para evaluar dv/ dr, se diferencia la
du+ 5.0
- -= dy+
y+
u+=y+ = 5
Por medio de la definición de u+
Al diferenciar la definición de u+ se obtiene
v = 5(0.464) = 2.32 pies/s
du+ = dI!
u*
Si se hubiera utilizado la Ec. 12-24,
y al diferenciar la definición de y+ resulta
u+ =: -3.05 + 5.00 In 5
- u*p dr
dy+= - -J..l
Entonces, al combinar estas tres ecuaciones,
u+ = 5.00
v = 2.32 pies/s
La posición real, representada por y'. = 5, puede calcu larse a partir de la definición anterior de y+.
_ r) = y+J..l = (5)(1 x 6.72 x 10-
(r
1
u* P
4
)
dv
- =
dr
- 5.00u*2p
J..ly+
De la definición de u*,
(0.464)(62.4)
U*2 = (Tyg c )1
(r1 - r) = 0.0001162 pie
Esta es la distancia del punto y+ = 5 desde la pared, para las condiciones de este ejemplo. Medida a partir del
centro, la misma posición es
r = (tr - 0.0001162) = 0.0831838 pie
Nótese el número inconveniente de cifras significativas
que se requiere para definir el límite de la subcapa laminar. ¿ Se justifica en este caso la suposición de que (r1
+ r) 12r1 ~ 1, utilizada en la Ec. 12-277 En esta región, la
difusividad de vórtices, E es cero, debido a que por definición, la relación u+ = y+ es una ecuación de flujo viscoso que se basa en su definición original Tygc =
-¡i(dv/dr).
El siguiente punto lógico del análisis es y+ = 30, el
límite superior de la región de amortiguamiento yellímite inferior del núcleo turbulento. Es posible calcular la
velocidad en y+ = 30 a partir de la Ec. 12-24 o 12-25.
Nótese que entre y+ = 5 Y y+ = 30 sólo es aplicable la
Ec. 12-24. Si se utiliza esta ecuación, entonces
P
de manera que
dv
- =
dr
De la Ec. 12-22
r
(Tygch -
r1
y
v = 6.48 .pies / s
Es posible calcular la posición y+ = 30 a partir de la definición de y+ y los valores conocido!, de ¡i, P y u+.
(r1 - r) = 0.000697 pie
r = 0.082603 pie
Con la Ec. 12-25 se llega al mismo resultado, debido a
que y+
30 es un límite válido para las Ecs. 12-24 y
12-25.
u+ = 5.5 + 2.5 In 30 = 14.0
v = 6.5 pies / s
En este punto, la difusividad de vórtices puede calcularse mediante la Ec. 12-22, sup<1tliendo que se conoce
J..ly+
= (v + ET)p (5.00(T+g h)
y c
J..ly
se cancela (Ty g c )l, de manera que al reordenar términos
(rJ..ly+)
(v+E) = --
T,
u+ = -3.05 + 5.00 In 30 = 13.96
-5.00(Ty gc h
(5pr 1)
T
En y+ = 30, r = 0.0826 pie y
(
) = (0.0826)(6.72 x 10- 4 )(30)
+
v
ET
(5.00)(62.4)(0.0833)
(v + ET ) = 6.41 x 10- 5 pies 2/ s
J..l
v =- =
p
6.72 x 10- 4
62.4
= 1.077 X 10- 5 pies2 / s
ET = (6.42 -1.077) x 1O- 5 pies2 / s
ET = 5.33 X 10- 5 pies 2/ s
Nótese que el valor de E es cinco veces el de v. Esto indica que el momento que se transfiere por el mecanismo turbulento es cinco veces el que se transfiere por
mecanismo molecular, en un punto r = 0.0826 pie, definido por el parámetro de posición y+ = 30. Cuando es
posible definir la velocidad en y+ = 30 tanto en la Ec.
12-24 como en la Ec. 12-25, es razonable esperar que ET
tenga el mismo valor sin importar qué ecuación se utilice. Sin embargo, éste no es el caso. Utilizando la Ec.
12-25 para encontrar dv/dr se obtiene
dv
- =
dr
- 2.5u*2 p
J..ly+
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MECANISMO DE TRANSPORTE TURBULENTO
y
(v +
Er) = 12.84 X 10- 5
Er = 11.76 X 10- 5 pies 2/s
Este valor es ligeramente mayor que el doble del valor
que se encontró utilizando la Ec. 12-24. Entonces, los
valores de ET en y+ = 30 son diferentes debido a que las
derivadas de las dos ecuaciones son distintas, aunque
los valores de u+ s'on iguales en y+ = 30. Esta discontinuidad de la función es una falla de esta distribución de
velocidades generalizada empírica, que utiliza tres ecuaciones distintas.
La siguiente posición radial que se considerará es el
punto medio entre , = O Y , + '1 ' En este ejemplo, el
punto se encuentra por completo en el núcleo turbulento y, en consecuencia, puede aplicarse la Ec. 12-25.
En, = '1/2,
y+ =
'1 u* P) = 1795
(---;¡;;-
u+ = 5.5 + 2.5 In 1795
v = 11.22 pies/s
Es posible determinar el valor de ET usando la Ec. 12-22
y el valor dv/d, determinado mediante diferenciación y
reordenamiento de la Ec. 12-25.
('1)
(v + E r )(2.5p)(Tyg c ) 1
(T ygc) 1 (2'1) =
(py+)
(py+)
(v + Er) = (2)(2.5)(p)
(1 x 6.72 x 10- 4 )(1795)
(v + Er) =
(2)(2.5)(62.4)
Er = 386 X 10- 5 -
1.077 X 10- 5
Er = 385 X 10- 5 pies 2 /s
Es evidente que la difusividad de vórtices es aproximadamente 400 veces la difusividad molecular del momento
en el punto, = '1/2.
En el centro del tubo, , = O Y y+ = u* P / ¡J = 3590.
'1
u+ = 5.5 + 2.5 In 3590
v = 12.02 pies/s
Utilizando la Ec. 12-22 en , = O se obtiene
(v+Er)=O
Er = -1.077 X 10- 5
Este resultado muestra otra inconsistencia seria. Los
experimentos de Reynolds indican visualmente que la
actividad de vórtices es máxima en el centro del tubo,
mientras que los cálculos anteriores indican un valor negativo. Este valor negativo implica la existencia de una
transferencia negativa de momento . La diferenciación
de la Ec. 12-25 da lugar a un valor finito de dv/d, en el
249
centro del tubo; sin embargo, la evidencia experimental
indica que dv/d, = Oen el centro del tubo. Si se sustituye dv/d, = O en la Ec. 12-22 para, = O,
(Tygc ), (O) = -(v + Er)p(O)
'1
Esta ecuación es indeterminada, de manera que, al utilizar este método, no puede obtenerse información sobre
la difusividad de vórtices en el centro del tubo.
Todo lo anterior indica que las ecuaciones de distribución de velocidades son inconsistentes en ciertos aspectos. Los datos de velocidad que se derivan de estas
ecuaciones son valores empíricos útiles, pero al parecer,
las formas de las ecuaciones son incorrectas. Si las
ecuaciones fueran correctas, las derivadas de las ecuaciones serían válidas en todos los puntos y dv/d, sería
cero en el centro del tubo.
El Ej. 12-1 arroja cierta luz sobre las dificultades que
se encuentran al trabajar con un régimen de flujo que no
está descrito de manera matemática en forma rigurosa.
Las ecuaciones del perfil de velocidades resultan de la
correlación de datos experimentales sin contar con una
teoría adecuada como fundamento. En consecuencia,
los datos se reportan en una forma metódica conveniente (como u+ y y+) que no es rigurosa. El objetivo general
de los experimentos fue la descripción del perfil de velocidades con atención especial en la condición cercana a
la pared del tubo. No se desarrolló un esfuerzo especial
para describir las condiciones en el centro del tubo y por
ello, se omitió un término en y+ en el centro del mismo .
Todo lo anterior enfatiza que las formulaciones matemáticas empíricas actuales sobre la turbulencia no son
teóricamente adecuadas. A fin de completar el esquema
de la turbulencia se requiere de una representación matemática rigurosa.
Con base en lo anterior, se ha descrito un modelo que
resulta en una definición matemática del flujo turbulento. Existen objeciones intuitivas al modelo que considera partículas grandes del fluido efectuando movimientos
pequeños y esporádicos. Aunque es probable que el
modelo esté sobresimplificado, se puede observar y
analizar, y es consistente con las observaciones.
Es posible derivar un modelo más riguroso si se toma
en cuenta cada pulsación de velocidad y se trata de manera matemática como un caso de estado inestable. En
el Cap. 13 se presenta un intento en este sentido dentro
del tema "Teoría de Penetración". Se han descrito
otros modelos de turbulencia (11, 12, 14, 15).
De la Ec. 12-15, resulta evidente que cualquier punto
en el que se presenta turbulencia se verifica de manera
simultánea y paralela un transporte molecular. En el Ej.
12-1, por lo general el valor de ET fue mayor que v. En
consecuencia, aunque existía el mecanismo molecular,
la magnitud era casi insignificante. En los sistemas con
difusividades de momento elevadas, v puede tener tal
magnitud que una parte significativa del transporte de
momento se puede deber al mecanismo molecular.
No se ha tratado la formación inicial de vórtices. Se
supone en forma general y se comprueba por medio de
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250
PRINCIPIOS DE OPERACIONES UNITARIAS
la experiencia, que la actividad de vórtices es causadapor pequeñas imperfecciones del sistema (5). Los experimentos de Reynolds y de otros confirman lo anterior.
Al iniciarse la actividad de vórtices, los vórtices primarios forman vórtices secundarios, de manera que a
menos que exista algún mecanismo que origine una
degradación, la actividad de vórtices se multipJicará de
manera indefinida. El esfuerzo viscoso del fluido y en
particular la elevada acción cortante que se presenta
cerca de las paredes, tiende a causar una disminución
en los vórtices, de manera que el sistema de vórtices al canza un estado estable a medida que la rapidez de generación de vórtices se iguala a la velocidad de degradación de los vórtices.
Se han efectuado extensas investigaciones sobre el
tamaño de los vórtices y su contenido de energía, con
respecto a la de la corriente global. Puede esperarse que
los estudios detallados de turbulencia, su origen y otros
factores, contribuirán en un futuro a la comprensión
completa del problema. Los desarrollos sobresimplificados de los parámetros correspondientes en los transportes molecular y turbulento , deben presentar un esquema adecuado de las diferencias radicales entre ellos.
De manera simultánea, deben apreciarse la similitud
entre la trayectoria libre media de la molécula y la distancia de desplazamiento de un vórtice antes de perder
su identidad, así como entre la velocidad molecular y la
velocidad de flujo tranversal.
Es necesario recordar la existencia de una capa laminar y un núcleo turbulento, que tienen límites vagos y se
traslapan en una capa de amortiguamiento o transición.
Cuando se conoce el patrón de flujo, la aplicación de los
mismos conceptos a los transportes de calor y masa se
deduce de manera simple y lógica.
TRANSFERENCIAS DE CALOR Y MASA
EN FLUJO TURBULENTO
La actividad de vórtices sirve en la turbulencia como un
mecanismo de transferencia de momento. Además, ya
que las partículas grandes de fluido se mueven con flujo
transversal, esta actividad de vórtices también sirve
como un medio de mezclado físico. El mezclado físico
de fluidos es importante en las transferencias de masa
y de calor. Considérese una pared limitante que es capaz de proporcionar calor o masa al flujo de una corriente. Si la concentración de la propiedad transferida en la
pared es significativamente mayor que la corriente principal del fluido, se establecerá un gradiente en la pared y
ocurrirá una transferencia hacia el fluido. Al prevalecer
la operación de estado estable, se observarán los gradientes de concentraciones en las distintas secciones de
las corrientes del fluido, como se indica en la Fig. 12-6 Y
se describe a continuación.
1. El gradiente a través de la subcapa laminar es
grande, con la mayor parte de la diferencia de concentración estando entre la pared y el centro del fluido
en esta subcapa laminar, que es muy delgada. Se pre-
í.
Subcapa laminar sin mezclado
{, f Región de amortiguamiento
t f mezclado moderado I
I
""
Núcleo turbulento
mezclado intenso
i
I.
Centro de un
r-ducto circular
Límite
r¡
Posición radial (r) ___ O
Fig. 12-6 Transferencias de calor y masa con flujo turbulento. Variación de la concentración de la propiedad transferida
con la posición radial (no está a escala).
senta una transferencia molecular a través de esta capa,
con una velocidad que depende del gradiente y la difusividad molecular.
2. El gradiente a través de la región de amortiguamiento es considerablemente menor que el de la subcapa laminar, con menores diferencias de temperatura o
concentración a través de la región de amortiguamiento
que a través de la subcapa laminar. El movimiento de los
vórtices tiende a transportar (mediante el proceso de
mezclado de masa) algo de la propiedad transferida ,
desde la región de amortiguamiento hacia el núcleo turbulento y para regresar fluido con un menor contenido
de la propiedad o soluto, desde dicho núcleo turbulento. Además, puesto que se encuentra presente un
gradiente, algo de la propiedad se transferirá con
un mecanismo de transporte molecular.
3. El gradiente que existe a través del núcleo turbu lento es muy pequeño si se compara con el de la región
de amortiguamiento. Ocurrirá cierta transferencia debido al mecanismo de transporte molecular, pero la mayor parte del transporte se deberá al mezclado físico de
masas. Cualquier cantidad de calor o soluto que pase a
través de la región de amortiguamiento circulará con rapidez hacia el núcleo turbulento. La circulación rápida
tiende a evitar el establecimiento de un gradiente y el
gradiente pequeño reduce la cantidad de transferencia
que puede presentarse por transporte molecular,
Es posible escribir una ecuación general para la transferencia del régimen turbulento, en términos de la difusividad de vórtices de la propiedad transferida.
df'
1/1 = -(6 + E)dx
(12-29)
en donde E = difusividad de vórtices de la propiedad
transferida. Es posible utilizar esta ecuación para geometrías cilíndricas mediante una modificación del gradiente de concentraciones.
df'
1/I=-(6+E)dr
( 12-30)
Se puede utilizar la Ec. 12-30 en un balance de una propiedad transferida, para desarrollar una relación para el
flujo en cualquier posición, en términos del flujo que
existe en el límite. Considérese una sección de análisis
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MECANISMO DE TRANSPORTE TURBULENTO 251
f.+---
~ Y ---~
'I
Entrada
de flujo
(üS f y )
Salida de flujo
( üS f ,, +ó y )
Salida de Transferencia
1M )
Fig. 12-7 Transferencia con flujo turbulento.
que se extiende desde y hasta y + Ay, de radio 'i (véase
la Fig. 12-7). En la Fig . 12-6, se describió la concentración en todas las posiciones radiales como si fuera casi
constante, excepto en la pequeña región de la subcapa
laminar y de la región de amortiguamiento. Supóngase
que después de pasar a través de esta sección de análisis, el incremento de concentración Ar = ry+A y - ry
es constante en todas las posiciones radiales.+ Como se
indica en la Fig. 12-7, la propiedad transferida que entra
a la sección de flujo en el punto y, es vsry y la propiedad
transferida que sale de la sección de flujo en y + Ay es
vsry + Ay . La propiedad transferida que sale de la sección
de análisis a través de la pared (nótese que la transferencia se considera positiva al incrementarse ,) es lIJA. S es
el área de la sección transversal del tubo por el que pasa
el flujo y A es el área de transferencia. Es posible escribir
la ecuación del balance en términos de una geometría
cilíndrica, para una sección que se extiende desde el
centro hasta un radio " como
La similitud de estas ecuaciones sugiere que la transferencia a través de la pared tiene un comportamiento
similar a la aplicación de la generación interna descrita
antes. En realidad éste es el caso . Si bien el mecanismo
inicial de transferencia a través de la subcapa laminar es
el de una transferencia simple, el intenso mezclado
físico que se observa en la capa de amortiguamiento y
en el núcleo turbulento transfiere la propiedad con suficiente rapidez, de manera que aparece en forma casi
instantánea en todas las partes del núcleo turbulento.
En este sentido, la transferencia rápida tiene un comportamiento similar al de las aplicaciones de generación
interna descritas en el Cap . 10. La transferencia no es
instantánea absolutamente, como puede deducirse por
la existencia de un gradiente pequeño (di" Id,) en el
núcleo turbulento, tal como lo ilustra la Fig. 12-6. El gradiente pequeño indica que existe cierta transferencia
por mecanismo molecular . Ent onces, están operando
dos mecanismos de transferencia paralelos, predomi nando por lo general el mecanismo de transporte debido
a la turbulencia o mezclado físico . Una excepción es el
caso de la transferencia de calor en metales líquidos, en
los que las difusividades térmicas son en extremo elevadas; por tanto, puede ocurrir una transferencia significativa con un gradiente pequeño.
Es posible sustituir la Ec. 12-33 en la Ec. 12-30
1/J1
(!...)
= -(5 + E) dI'
r1
dr
(12-34~
Por analogía, pueden escribirse las expresiones especificas para las transferencias de masa y calor.
Para la transferencia de masa
o bien , reordenando términos,
ilr
I/J = ~y (ry -r y + 6y )
( 12-35)
(12-31)
Es posible escribir la Ec. 12-31 para una sección de análisis desde el centro hasta el límite en
Para la transferencia de calor
-(a + Eq) _d_(p--,cp,--n_
(Aq) (!...)
r1
dr
'1 .
vr1
1/J1 = ~y (ry -
ry + 6y )
=
1
(12-32)
o
= -(k + pCpEq) ddT
(Aq). (!...)
r1
r
Si se divide la Ec. 12-31 entre la Ec. 12-32,
( 12-36)
1
( 12-33)
En la Ec. 12-33 se muestra que el flujo en cualquier
posición radial tiene una relación lineal con el radio, cero
en , = O Y un máximo en , = '1' Esta condición es
exclusiva para la "transferencia con generación interna"
descrita en el Cap. 10 y representada por la Ec. 10-68.
• Para que se cumpla esta cond ición, la concentración en la superf icie tendría que cambiar por Ar en un intervalo Ay. r depende por
lo general de las condiciones externas del tubo y quizá la suposición
no es rigurosa. Sin embargo, el pequeño espesor de fluido involucrado en esa región y la baja velocidad del fluido en la misma, pueden
tener un efecto pequeño en el comportamiento global del sistema.
Las Ecs. 12-35 y 12-36 son ecuaciones de t rabajo
cuando es posible evaluar la difusividad y el gradiente.
En el Cap. 9, la teoría de transporte molecular simple demuestra que las difusividades para la masa, calor y momento son iguales a fel. Utilizando el mismo razonamiento en la transferencia turbulenta, es razonable suponer que EN ~ Eq ~ ET ~ ).,2 Idvldxl; entonces, Eq y EN
pueden evaluarse a partir del conocimiento del esfuerzo
en la pared y del perfil de velocidades. En el siguiente
capítulo se incluirá una evidencia que sustenta esta suposición, al describir las expresiones análogas.
Ejemplo 12-2 A partir de los datos que se dan en el
Ej. 12-1 , calcular dT Id, en la subcapa laminar y también
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252 PRINCIPIOS DE OPERACIONES UNITARIAS
en r = rl /2, cuando el flujo de calor en la pared yen dirección hacia ésta es de 10000 Btu/h pie 2 • Suponga
que las propiedades promedio del fluido son las que se
dan en el Ej. 12-1.
Solución En la subcapa laminar, todo el calor que
pasa a través de la pared debe pasar a través de la subcapa laminar y el mecanismo es de transferencia simple.
Del Ej. 12-1 en y+ = 5, (rl -r) = 0.0001162 pie. La subcapa laminar es delgada en comparación con el
diámetro del tubo, de manera que el cambio del área de
transferencia a través de la subcapa laminar es insignificante; por tanto, de la Ec . 9-43, en donde se considera
que dT/dr es igual a dT/dx, la conductividad térmica
del agua = 0.354 Btu/h pie 2 (OF/pie).
Entonces
dT = _
dr
(.!L)
= _
=
Ak
(0.354)
10000
-28 3000F/pie
Del Ej. 12-1, en r = rl/2, ET = 385 X 10-5 pies 2 /s,
que es el valor supuesto de Eq • Otros datos son: ri = 1
plg,P = 62.4 Ib/pie 3 , Cp = 1 Btu/lb °F. Estos valores
se sustituyen en la Ec. 12-36 en unidades horarias consistentes.
0.5)
110000)
(
:~
= -[0.354 + (62.4)(1)(3600 x 3.85 x 10-3)] dT
dr
podrán llegar a desarrollarse expresiones simples adecuadas para el perfil de velocidades con flujo turbulento. Dichas expresiones adecuadas podrían conducir a
valores correctos de la difusividad de vórtices después
de diferenciarlas, con los métodos descritos en este
capítulo.
En muchos lugares se están llevando a cabo activas
investigaciones y estudios de coordinación concernientes a la turbulencia. La importancia de la escala, intensidad y distribución de cualquier actividad turbulenta
podría indicarse con claridad mediante la Fig. 12-2, con
una función estadística del tiempo y una buena parte
del trabajo intenta evaluar el comportamiento estadístico (4, 9).
Como se ha indicado en todos los estudios, existen
transportes simultáneos de las distintas propiedades,
tanto dentro del fluido como en los límites. Además, el
comportamiento de los surtidores y salidas del agitador
en operaciones de/mezclado, así como gotas flotantes,
pueden invólucrar el mismo fenómeno . Para interpretar
los resultados experimentales y predecir el comportamiento, se ha encontrado que es considerablemente
más efectivo recurrir a expresiones de relación de mecanismos de un fenómeno (2).
Las analogías entre los transportes de momento, calor y masa que constituyen una parte importante de las
operaciones unitarias, se basan en las relaciones de mecanismos para los diferentes transportes que se verifican.
REFERENCIAS
Por consiguiente
dT
dr = -5.78 °F/pie
Este capítulo enfatiza la similitud entre las transferencias de masa, calor y momento, para un punto que se
encuentra entre r = O Y r = r 1 Y entre y = y y
y = y + Ay. En el capítulo siguiente, se integrarán las
funciones descritas aquí con respecto a r, para formar
coeficientes de transferencia que son válidos para cualquier posición axial (y). Junto con esta integración se
estudiará de nuevo el comportamiento análogo.
Las ecuaciones de Van Kármán son relaciones empíricas adecuadas para predecir el perfil de velocidades
con flujo turbulento, en conductos circulares. En este
capítulo, se diferenciaron las ecuaciones a fin de evaluar
la difusividad de vórtices y la longitud de mezclado de
Prandtl. Aunque tal diferenciación es correcta en teoría,
conduce a valores imposibles de la difusividad de vórtices en varias posiciones dentro del canal de flujo. Este
es un ejemplo de la debilidad de las ecuaciones empíricas con bases teóricas inadecuadas. No es posible ampliar a menudo dichas ecuaciones empíricas más allá del
propósito para el cual fueron diseñadas. Se espera que
1. Boussinesq, T. V., Mem. Preso Acad. Scí., 3d ed.,
XXIII, p. 46, Paris (1877).
2. Davies, J. T., Turbulence Phenomena, Academic Press,
New York (1972).
3. Fage, A., and H. C. H. Townend, Proc. Roy. Soc
London, ser. A., 135, p. 656 (1932).
4. Hinze, J. O., Turbulence, 2nd ed., McGraw-HlII, New
York (1975).
5. Knudsen, J. G" and D. L. Katz, Fluid Dynamics and
Heat Transfer, McGraw-Hill, New York (1958) p. 107.
6. Nikuradse, J., VDI-Forschungsheft, 356 (1923).
7. Prandtl, L., Essentials of Fluid Dynamics, Hafner, New
York (1952) p. 118.
8. Prengle, R. S., and R. R. Rothfus, Ind. Eng. Chem., 47,
p. 379 (1955).
9. Reynolds, A. J., Turbulent Flows in Engineering, John
Wiley & Son s, New York (1974).
10. Reynolds, O., Phil. Trans. Roy. Soco London, Ser. A.,
174, p. 935 (1883).
11. Taylor, G. l., Proc. London Math. Soc., 20, p.196
(1921).
.
12. Taylor, G. l., Proc. Roy. Soco London, Ser. A., 151,
p.421 n-IV) (1935).
13. Von Kármán, T., Engineering, 148, pp. 210-213
( 1939).
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MECANISMO DE TRANSPORTE TURBULENTO
14. Von Kármán, T. , Trans. ASME, 61, pp. 705-719
(1939).
15. Von Kármán, T., NACA, Tech. Mem. No. 611 (1921).
16. Von Kármán, T .,J. Aeronaut. Sei. , 1, p. 1 (1934).
PROBLEMAS
12-1 Un fluido newtoniano fluye a través de un conducto
circular de radio R. La distribución de velocidades está dada
por
( r)'
u = umáx 1 - R
/7
¿Cuál es la velocidad promedio? ¿ Cómo se compara este valor
con el de un fluido que fluye con flujo laminar con la misma
umáx? Discuta el efecto que tiene aumentar el exponente de
1/7 a 1/12.
12-2 Es posible escribir la Ec. 12-25 para condiciones en el
centro del tubo en donde la velocidad es máxima. Para esta
condición, desarrolle una expresión para la relación Ü/Umáx'
12-3 Encuentre la posición radial dentro del núcleo turbulento para la cual la difusividad de vórtices alcanza un máximo.
12-4 En un tubo de 3 plg D.1. fluye aire en forma turbulenta. El aire se encuentra a 70 °F y 1 atm y la carda de presión
(-AP) es 0.025 Ib, /pie 2 por pie de tubo.
(a) Calcule y grafique la velocidad en función de la posición
radial, desde la pared hasta el centro del tubo, en coordenadas
lineales.
(b) Calcule y grafique la difusividad de vórtices (E T ) en fun ción de la posición radial, desde la pared hasta el centro del tubo . Analice la gráfica resultante, con atención particular a la
difusividad de vórtices en y+ = 5, en y+ = 30 y en el centro del
tubo.
12-5 La caída de presión para el sodio fundido a 300 o F que
fluye a través de un tubo de 1 plg D.1. es de 230 Ib, /pie 2 , por
cada 10 pies de tubo. El flujo es turbulento.
(a) Calcular el espesor de la subcapa laminar y de la capa
de amortiguamiento.
(b) Calcule y grafique la velocidad en función de la posición radial a partir 'de la pared.
253
(c) Grafique el perfil de velocidades para un flujo laminar
que tenga la misma velocidad máxima que el caso de flujo turbulento de la parte (b).
(d) ¿Podrían los casos (b) y (c) tener la misma velocidad
promedio?
(e) ¿Cuál es la caída de presión en la parte (c)?
12-6 Se puede usar una válvula que se encuentra en una
línea de 2 plg que transporta benceno a 70 o F, para ajustar la
velocidad de flujo. Se mide la caída de presión a través del tubo mediante manómetros, para distintas velocidades de flujo.
Para caídas de presión de 0.01 y 1.0 lb, /pie 2 por pie de tubo:
(a) Calcular y comparar el espesor de la subcapa laminar
para flujo turbulento.
(b) Calcular y graficar la velocidad en función de la posi ~
ción radial, para flujo turbulento.
(c) La caída de presión de 0.01 lb, / pie 2 indica una velocidad suficientemente baja para producir flujo laminar. Calcular
y graficar el perfil de velocidades de flujo laminar para la carda
de presión sobre la misma gráfica de la parte (b).
12-7 Se encontró que la velocidad en el centro de un ducto
de 6 plg es de 40 pies/s para aire a 70 °F y 1 atm. Para esta velocidad existe flujo turbulento.
(a) Calcular el esfuerzo cortante en la pared.
(b) Calcular el espesor de la subcapa laminar.
(c) Calcular la difusividad de vórtices en y+ = 5 Y y+ = 30.
Discutir.
12-8 Analice la aplicabilidad de la longitud de mezclado de
Prandtl cerca del centro del núcleo turbulento .
12-9 Demuestre que, con la suposición u + = y+ en la subcapa laminar, la difusividad de vórtices no es cero desde y+ =
O hasta y+ = 5. Explique la razón y sugiera una corrección de
manera que ET = O para todos los valores de y+ entre O y 5.
12-10 Calcular la difusividad de vórtices y la longitud de
mezclado de Prandtl para las condiciones del Probo 12-5:
(a) En y+ = 2
(b) En y+ = 5
(c) En y + = 20
(d) En y+ = 40
12-11 Calcular el gradiente de temperaturas (dT/dr) para la
transferencia de calor con flujo turbulento. El flujo de calor a
través de la pared es de 500 Btu/h pie 2 •
(a) En la subcapa laminar.
(b) En y+ = 25.
(c) En r = rl/2, para las condiciones del Prob o 12-4.
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Trece
Fundamentos de los Mecanismos
de Transferencia
La turbulencia se estudió en detalle en el Cap. 12, en un
esfuerzo por describir los mecanismos individuales que
operan en cada posición radial a estado estable. La manipulación matemática de velocidades, gradientes y difusividades en los puntos de un sistema, es difícil de
manejar. Para propósitos de diseño, sería conveniente
contar con la misma información en forma de funciones
más simples. Las funciones simples deben responder
con rapidez al tratamiento matemático. Además, los
datos que se requieren para evaluar las funciones no deben ser difíciles de determinar y, si es posible, deben
estar en términos de dimensiones globales, velocidades
medias y las propiedades físicas del sistema . Las
ecuaciones que se expresan en términos de dimensiones globales y velocidades medias son el resultado de
la integración ent re límites, de las ecuaciones que
describen las condiciones de punto , tales como la Ec.
12-15. Las ecuaciones integradas corresponden a condiciones globales en alguna posición a lo largo del
conducto del flujo y definen coeficientes de transferen cia. Algunas de las integraciones no pueden llevarse a
cabo mediante procedimientos analíticos ordinarios, en
cuyo caso, se puede indicar o definir la forma integrada
y después, evaluarse o correlacionarse con métodos
empíricos basados en datos experimentales.
Análisis de la relación de mecanismos
La forma general para las expresiones de transporte de
momento se deriva de las ecuaciones diferenciales que
indican la contribución de cada mecanismo. En el Cap.
11 se derivaron estas ecuaciones diferenciales para ciertos
casos. Aunque en el caso general no es posible integrar
estas ecuaciones, sí producen información valiosa, ya
que se derivan en forma rigurosa de los fundamentos,
los términos deben ser dimensional mente homogéneos.
Cada término expresa la contribución de un mecanismo
en particular. Es posible obtener información útil dividiendo la ecuación entre cada término; cada uno de los
cocientes que se genera expresa en forma adimensional, la relación de las contribuciones de los mecanismos
en el numerador y denominador.
Cuando es posible integrar dichas ecuaciones diferenciales, nada se gana investigando estaS relaciones
adimensionales; si no es posible integrarlas, pero puede
identificarse cada uno de los mecanismos contribuyentes, entonces estos términos de relaciones son útiles
para interpretar la contribución de cada mecanismo.
Si el fenómeno es tan complejo que puede obtenerse
muy poca información al investigar las ecuaciones diferenciales, entonces, existen disponibles procesos empíricos para calcular grupos adimensionales de las variables
involucradas. Los grupos son en extremo útiles para
planear y correlacionar programas experimentales de investigación, o bien en la interpretación de los resultados
de los experimentos . Cuando se puede analizar en forma adecuada el fenómeno para generar tales grupos
adimensionales que expresen la contribución, como en
la Tabla 13-1, dichos grupos pueden ser de gran valor.
Si tan sólo es posible identificar variables individuales,
quizá con cierta incertidumbre, entonces pueden agruparse esas variables identificadas en términos adimensionales que expresan ciertas relaciones en una de las
técnicas de análisis dimensional, como se describe en el
Apéndice A, y deberá recurrirse a esas técnicas.
En forma adicional a la definición y evaluación de los
coeficientes de transferencia, en este capítulo se estu dia el comportamiento análogo de las transferencias de
masa, calor y momento. Otras aplicaciones del transporte de masa, calor y momento, dependen de condiciones distintas a las aquí descritas. Por ejemplo, en
ciertos fenómenos de transferencia de momento, las
distribuciones de velocidad varían con la posición radial, así como con la posición axial, como en el caso de
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256
PRINCIPIOS DE OPERACIONES UNITARIAS
Tabla 13-1 Grupos adimensionales en fenómenos de transporte.
Grupo
uLp
Relación de mecanismos
Nombre
Número de Reynolds
fuerzas de inercia
f uerzas viscosas
P
pu 2
Número de Euler
fuerzas de presión
fuerzas de inercia
u2
Lg
Número de Froude
fuerzas de inercia
fuerzas de gravedad
Número de fricción+
fuerzas de esfuerzo en la pared
fuerzas de inercia
Il
T1/P
u2
Il/P = Cpll
k/Cpp
k
Número de Prandtl
difusividad molecular del momento
difusividad molecular del calor
Número de Stanton
velocidad de transferencia de calor en la pared
transferencia de calor por convección
Número Nusselt
gradiente de temperaturas en un límite
gradiente de temperaturas a través del fluido
hacia el límite
h
Cppu
hL
k
CppuL
k
Número de Peclet
transferencia de calor por convección
transferencia de calor por conducción
Número de Schmidt
difusividad molecular del momento
difusividad molecular
Número Sherwood
gradiente de concentración en un límite
gradiente de concentración a través del
fluido en el límite
Relación psicrométrica
transferencia de calor por convección
transferencia de calor por transferencia de masa .
+ Esta relación define al factor de fricción,
pero no es la que se utiliza con fines de cálculo en este texto .
la entrada a un tubo o alrededor de cuerpos que presentan grandes áreas proyectadas perpendicularmente al
flujo. Estas aplicaciones se analizan en una sección dedicada a la fricción de superficie en la capa límite sobre
una superficie lisa y forma el arrastre debido a las fuerzas de aceleración en los fluidos que fluyen sobre y alrededor de formas abultadas. Además, se consideran
también en este capítulo las transferencias de calor y
masa con flujo laminar, la transferencia de calor asociada con el movimiento debido a la convección natural
más que a la forzada y la transferencia de calor asociada
con los vapores que se condensan y líquidos en ebullición.
En el Apéndice A, se describe el ordenamiento de datos por análisis dimensional. De acuerdo con el análisis
dimensional, se deben conocer o suponer las variables
que tienen influencia sobre un proceso particular, antes
de poder completar el análisis. A menos que se conozca
de manera intuitiva algo acerca del proceso, podrían pasarse por alto algunas variables importantes. Aquí se
utilizan las ecuaciones de movimiento para describir un
proceso que se conoce como análisis de relación de mecanismos. El análisis de relación de mecanismos requiere tan sólo de un conocimiento de los distintos mecanismos involucrados en el proceso. Existen . menos
mecanismos involucrados que variables. Los mecanismos típicos son la transferencia de momento por interacción molecular y la transferencia de calor debida a la
actividad de vórtices. Es más fácil predecir los mecanismos que las variables.
La ecuación de Navier-Stokes (11-55) para un fluido
de viscosidad y densidad constantes, puede escribirse
para la dirección x como
(13- 1)
La Ec. 13-1 es una expresión dimensional mente homogénea, en la que cada t érmino tiene unidades de
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FUNDAMENTOS DE LOS MECANISMOS DE TRANSFERENCIA
(m/s)2/m y la división entre uno de los términos generará relaciones o grupos adimensionales (24). Además,
cada término o grupo de términos, de la ecuación, tiene
un significado físico. El primer término, 8 u/ 8 t, es la
aceleración del fluido en la dirección x. Los siguientes
tres, u8u/8x
+ v8u/8y + w8u/8z, son términos de
inercia. Los términos del lado derecho de la ecuación
representan fuerzas de campo, de presión estática y viscosas, respectivamente. Las variables en la ecuación
son la velocidad, longitud, presión, viscosidad, densidad y gravedad.
El método de utilizar la ecuación diferencial de movimiento para obtener relaciones de mecanismos o grupos adimensionales se ilustra mediante el siguiente
ejemplo.
Ejemplo 13-1 Desarrolle grupos adimensionales a
partir de la ecuación de movimiento, para el flujo de un
fluido viscoso en un tubo horizontal. El flujo es de estado estable y pueden dejarse pasar por alto las fuerzas de
gravedad.
Solución
so como
Es posible escribir la Ec. 13-1 para este ca-
u au + v au + w au = _.1. ap + u (a u + a u + a u)
2
ax
ay
az
p
ax
ax
2
2
2
ay2
az2
A
------B
Item
Mecanismo
Variable
A
8
Fuerzas de inercia
Fuerzas de presión
Fuerzas viscosas
u2/L
P/P L
vu/U
e
e
Si todos los grupos de la ecuación se dividen entre el
término de inercia, se forman dos grupos adimensionales. En términos de las variables descritas con anterioridad, el primer grupo es
P
_
P u2
-
fuerzas de presión
fuerzas de inercia
número de Euler
El segundo grupo es
_v_ = fuerzas viscosas
Lu
fuerzas de inercia
Este último grupo se encuentra con mayor frecuencia
en su forma recíproca, o
uLP
lA
__
fuerzas de inercia
fuerzas viscosas
número de Reynolds
Es posible utilizar la ecuación de movimiento para
formar otros grupos adimensionales. Algunos de éstos
se citan en la Tabla 13-1.
257
EL MODELO DE MEMBRANA
DE ESFUERZOS
Es posible postular un modelo simple de una corriente
turbulenta, a partir de lo tratado en el Cap. 12. La
corriente consiste en una porción laminar del fluido cercano al límite y el núcleo turbulento, que se caracteriza
por la actividad de vórtices. A una velocidad media baja
del fluido, el núcleo turbulento no existe; entonces, por
simplicidad, se examinará primero el flujo laminar. En el
flujo laminar, el fluido se mueve en la dirección del flujo
sin componentes de velocidad en cualquier otra dirección. Se establece el esfuerzo en el fluido de acuerdo
con la expresión ~ = - lA(dv/dx), como se derivó en el
Cap. 9, De este modo, la trayectoria de flujo lineal y el
esfuerzo están interrelacionados, de manera que el esfuerzo mantiene la linearidad del flujo y éste produce el
esfuerzo. Para el caso de flujo laminar a través de tubos,
se puede considerar que el tubo está lleno de un número
infinito de membranas tubulares concéntricas de esfuerzo, cada una de las cuales tiende a confinar al flujo
dentro de los anillos que se forman entre las membranas. La resistencia de las membranas (o el esfuerzo en el
fluido) aumenta lineal mente desde cero en el centro,
hasta un máximo en la pared (véase la Ec. 10-85).
Si se verifican algunos sucesos que formen vórtices,
una parte del fluido puede estar sujeta a una fuerza que
tiende a producir un componente de velocidad en una dirección distinta a y. En oposición a esta fuerza, la membrana de esfuerzo tenderá a confinar al flujo a la forma
ordenada. Si la energía cinética del elemento de fluido
distorsionado es suficientemente alta, puede penetrar
en la membrana de esfuerzo y formar un vórtice verdadero. En este modelo, la región de cero esfuerzo en el
centro del tubo es la parte del tubo que con mayor probabilidad exhibirá actividad de vórtices, lo cual concuerda con la observación. Además, si se forma un vórtice
que penetre a la membrana de esfuerzo, la penetración
continúa hasta encontrar la región de alto esfuerzo, suficientemente alta para contrarrestar la enerqía cinética
del vórtice. En este punto se absorbe el vórtice y de
nuevo se establece un flujo ordenado. La región de mayor esfuerzo es la vecina a la pared, de manera que, en
esta región existe muy poca, si alguna actividad. Esta
hipótesis también concuerda con los hechos experimentales. En la pared, la membrana de esfuerzo esta soportada por la pared, ya que ésta es suficientemente fuerte
como para que no penetre el vórtice. El soporte de la pared se extiende hacia el fluido para formar la subcapa laminar, en la que no existe actividad de vórtices. Esta
hipótesis también concuerda con la observación.
CORRELACION ENTRE LA FRICCION
y EL NUMERO DE REYNOLDS
En el Ej. 13-1, se obtuvo una relación entre las fuerzas
de inercia y las fuerzas viscosas, que se definió como
número de Reynolds. Fue propuesto orlqinalrnente por
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258
PRINCIPIOS DE OPERACIONES UNITARIAS
Sir Osborne Renolds, a mediados del siglo XIX, como
un criterio para caracterizar la naturaleza del flujo en
conductos y tubos. Se han encontrado muchos usos
adicionales para el número de Reynolds en todas las
áreas de fenómenos de transporte. Sin embargo, cualquiera que sea su uso, el significado físico siempre es el
mismo.
El modelo de membrana de esfuerzos puede usarse
para establecer una relación entre el número de Reynolds y los fenómenos de tensión que se producen en el
fluido. Para facilitar el análisis, es deseable utilizar velocidades medias y dimensiones del sistema global.
Consideremos que el flujo se verifica a través de un conducto circular e iniciemos el análisis considerando el
flujo laminar.
En el flujo laminar, la relación entre la velocidad local
y la velocidad media en un conducto circular está dada
por
v = 2v
(1
c - :,22 )
(10-95)
v
en donde es la velocidad promedio y 'i es el radio del
conducto. Es posible diferenciar esta ecuación para obtener
dv
4vr
-=-dr
r1 2
dv 4J,tvr
=-J,t-=-y
dr
r1 2
1'y1 =
(-AP)D
8J,tv
=
4L
D
4(1' 1) = (-AP)D = 32J,tv
L
y
D
En la pared del conducto, 1j, = 1j,1 Y r = 'i, así que
(13-4)
donde O es el diámetro del conducto. Entonces, se
escribe el esfuerzo en la pared en términos de dimensiones medibles con facilidad. La Ec. 13-4 establece que
la transferencia total de momento en la pared, Ty l es
igual a la velocidad de transferencia de momento a través del fluido, debida al transporte molecular. Estos dos
mecanismos son iguales en el flujo laminar debido a que
no opera ningún otro mecanismo en el sistema descrito.
Por lo general, la determinación del esfuerzo en la pared se hace en forma indirecta, pero se relaciona con la
caída de presión por unidad de longitud de tubo, mediante un balance de fuerzas con respecto a un elemento de fluido.
(13-5)
En términos del momento, el balance de fuerzas establece que la velocidad de transferencia de momento
hacia la pared (TyA~ es igual a la velocidad de transferencia de momento desde el fluido (-APIS1 • El balance
de fuerzas representa a las fuerzas totales y por ello, a la
(13-7)
En un sistema en el que también exista flujo turbulento, éste debe incluirse en el análisis. El modelo de membrana de esfuerzos considera un vórtice con una energía
cinética en dirección transversal al flujo, suficiente para
atravesar las membranas de esfuerzos. La energía cinética de una partícula de masa (mI que se mueve en la dirección y a una velocidad v es mv 2 /2. Para fluidos, es
más conveniente utilizar la densidad que la masa; la
energía cinética por unidad de volumen de un elemento
de fluido de volumen dVes d(P v 2 /2)' Si se conoce ven
función de la posición en el conducto del flujo y de la velocidad promedio, puede encontrarse la energía cinética
por unidad de volumen del fluido al integrar con respecto el radio del conducto (62). El resultado es:
EC
v2
V
20'
-=-
( 13-3)
(13-6)
o
( 13-2)
Sustituyendo la Ec. 13-2 en la Ec. 9-31 para flujo laminar
newtoniano da
l'
transferencia total de momento sin importar el mecanismo. Para un conducto cilíndrico, Al = nDL y Sl =
nD2/4 en donde L es la longitud del conducto. Por
tanto, es posible escribir la Ec. 13-5 como
( 13-8)
en donde a es un número entre 0.5 para flujo laminar y
uno para flujo tapón, en el que la velocidad no varía a
través del conducto. Debido a que la actividad de vórtices exhibe un comportamiento aleatorio, la energía cinética media de todos los vórtices con dirección y,
puede suponerse proporcional a la energía cinética del
fluido, representada por Pv2 /2a o múltiplos tales como
PV2/2.+ De este modo, es posible suponer que Pv 2 /2a
es una descripción matemática global del mecanismo de
turbulencia.
Considérese el mecanismo de flujo laminar descrito
por la Ec. 13-7. Al aumentar la velocidad media, se alcanza cierto valor, para el que se iniciará la transferencia
de momento por mecanismo turbulento. Si se divide la
Ec. 13-7 entrePv 2 /2,
81'y 1
pi?-
2(-AP)D
= v2 pL
64J,tvp
= -D-
(13-91
Cada término de la Ec. 13-9 es una relación adimensional de dos mecanismos. Los dos términos de la izquierda representan la relación
transferencia total de momento
transferencia de momento por turbulencia
+ En muchos casos de flujo turbulento a varía desde 0.9 hasta 1.0.
Véase la Fig. 20-2.
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FUNDAMENTOS DE LOS MECANISMOS DE TRANSFERENCIA
l.~
La expresión matemática para esta relación define el
factor de fricción (1), donde
pv2
(13-9a)
v2pL
transferencia de momento por transporte molecular
transferencia de momento por turbulencia
El tratamiento. anterior es otra forma de llegar al número de Hevnolds. como se vio antes en el Ej. 13-1.
Es posible expresar la Ec. 13-9 como
f= 64/NRe
número de Reynolds
DvP
= .........:::..:.._lA
y la ecuación únicamente es válida para flujo laminar.
Puesto que f y NRe representan relaciones adimensionales de dos mecanismos, la Ec. 13-10 puede escribirse en
forma más general como f = ,(NRe), en donde la funcionalidad dependerá de los efectos relativos de los mecanismos molecular y turbulento.
También puede escribirse el número de Reynolds en
una forma muy útil al considerar que el flujo de masa de
un fluido a través de un conducto está dado por
w = pfiS
(13-11)
en donde
w = flujo de masa
= velocidad media
P = densidad del fluido
S = área de la sección transversal del conducto
v
Para el flujo de estado estable a través de un conducto con un área de sección transversal constante,
w
- = fip = constante
S
El producto vp es constante para cualquier fluido
compresible, sin importar los cambios en densidad debidos a los efectos de presión o tempertatura. La velocidad se ajusta a los cambios de densidad. Este útil
producto se conoce como velocidad de masa y da lugar
al símbolo G = vp.
Usando este símbolo, el número de Reynolds se escribe frecuentemente como
N
Re
= Dfip = DG = Dfi
u
J.l
f
5
"'
1'\ •.• A
"-
"-
,.....;
B
-
0.01
8
5
3
2
0.001
102 2 3 5 103 2 3
5
104 2 3
5
1052
3
5
106 2 3
5
107
NRe
Fig. 13-1 Variación del factor de fricción con el número de
Reynolds. (En el Apéndice C-3 se presenta una gráfica más
completa.)
(13-10)
donde
=
8
3
2
El término del lado derecho de la Ec. 13-9 representa
la relación
NRe
5
3
2
0.1
f = 8Tyl = 2(-llP)D
259
(13-12)
7J
ECUACIONES DE FLUJO CON FACTOR
DE FRICCION
La Fig. 13-1 es una gráfica logarítmica del factor de fricción en función del número de Reynolds, en un interva-
lo de números de Reynolds entre 100 y 10000000 para
un flujo en tubos lisos
Se tomaron los datos para la gráfica en un amplio intervalo todas las variables (velocidad, densidad, diámetro de tubo, etc., usando líquidos y gases) en tubos
lisos. El sistema está operando con un flujo bien desarrollado. Esto significa que el patrón de velocidades
en el tubo es el mismo en todos los puntos a lo largo de
la longitud del análisis. Para efectuar las pruebas, se midieron todas las presiones en puntos suficientemente
alejados de la entrada del tubo, de manera que el efecto
de la entrada no contribuya con error alguno. Eltema de
los efectos de entrada se cubre más adelante en este
mismo capítulo, en la sección sobre capas limite. Una
característica importante que debe notarse es que los
datos forman dos curvas distintas separadas por una
brusca discontinuidad en 2100< NRe< 3500. La curva
A de la Fig. 13-1 es continua desde los números de Reynolds bajos y termina en NRe = 2100. Esta curva concuerda exactamente con la Ec. 13-10. Está en el intervalo de los números de Reynolds para los que el flujo es
laminar. De acuerdo con el modelo de la membrana de
esfuerzo, es en esta región en donde ningún vórtice incipiente tiene energía suficiente para traspasar la membrana de esfuerzo. Por encima de NRe = 3500 en tubos
lisos, el fluido se desplaza de manera normal con un flujo turbulento, representado por la curva 8 de la Fig.
13-1. En esta región, la actividad de vórtices es lo bastante violenta para romper la membrana de esfuerzos y
el momento se transfiere tanto por actividad de vórtices
como por transporte molecular.
En el intervalo que se encuentra entre NRe = 2100 Y
NRe = 3500, se presenta un flujo inestable de transición, en donde pueden existir flujo laminar, flujo turbulento o una combinación de ambos. El comportamiento
en la región de transición es una función de las propiedades del fluido, la geometría del sistema, la cinemática
y la historia del sistema. Estos datos son congruentes
con el modelo de la membrana de esfuerzos y con las
observaciones descritas en el Cap. 12 para el experimento de Reynolds. La simplicidad de los datos graficados para una variación amplia de todas las variables,
confirma la utilidad del análisis.
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260 PRINCIPIOS DE OPERACIONES UNITARIAS
Como se trató con anterioridad, el factor de fricción
es proporcional a la relación entre la pérdida de momento del fluido y la pérdida de momento por actividad de
vórtices. La gráfica de correlación entre el factor de fricción y el número de Reynolds (Fig. 13-1) se basa en tubos lisos y, en consecuencia, depende de la fricción de
superficie. Esta es la porción de la fricción del fluido que
está asociada con una fuerza tangencial sobre una superficie lisa con orientación paralela a la dirección del
flujo. Después en este mismo capítulo se hará referencia
a la fricción de forma o arrastre para fuerzas no tangenciales. En contraste con los tubos lisos, la superficie interna de un tubo comercial no es "lisa" en el sentido
que se utiliza aquí la palabra. La fricción para un tubo
comercial nuevo con régimen turbulento, es entre 20 y
30% mayor que para tubos lisos. En el Cap. 20 se estudiará este comportamiento de los tubos con rugosidades variables.
En la bibliografía actual aparecen distintas expresiones del factor de fricción. Ninguna de estas expresiones difiere en el concepto global. La diferencia
aparece en el valor y colocación de una constante. El
factor de fricción que se utiliza en este libro se escribe
como
(~)(z)
f=
(~)
2v2 Lp
En el Apéndice C-5 se grafica también f/8 en función de
N R•• Una ecuación más exacta que es válida para un intervalo más amplio de N R• entre 3000 y 3 000 000 es
f=0.00560+(
(13-14)
0.5
N Re
)0.32
(13-16)
Se pueden postular ecuaciones con otras formas a partir del análisis de la relación de mecanismos. La curvatura de la línea B indica que el primer término de la serie
infinita no es una descripción adecuada de este fenómeno. Es necesario entonces optar por una representación
gráfica o una ecuación más completa.
En las Ecs. 13-15 y 13-16, la velocidad aparece tanto
en el número de Reynolds como en el factor de fricción.
Cuando la velocidad es la variable desconocida, estas
ecuaciones son inconvenientes debido a que se requiere
de una solución por prueba y error. La Ec. 13-17 es otra
forma de expresión para los mismos datos, ordenada de
tal manera que la velocidad aparece únicamente en el
término del lado izquierdo.
1
Vt
(13-13)
~ (13-15)
(N Re )0 .2
-
Los grupos (-IlP/P) y ("v 2 /2) se encontrarán en el Cap.
20 en el balance de energía mecánica para fluidos. Otra
definición del factor de fricción que suele encontrarse
(1) es
l' = (-flPlD
0.184
f=--~
= 2 log10 (N R e
0) - 0.80
(13-17)
Nótese la similitud de formas entre l/Vf y u+ del
Cap. 12, así como entre (NReVfl Y y.
Estas ecuaciones son el resultado del análisis de datos experimentales y por tanto son empíricas, pero los
medios de presentación tienen al menos ciertas bases
teóricas.
Ejemplo 13-1 Calcular la caída de presión a través
de 100 pies de tubo liso, para un aceite que fluye a una
velocidad media de 8 pies/s. El diámetro del tubo es de
3 plg, JJ = 5 cps, P = 60Ib/pies 3 .
Entonces
f= 41'
La diferencia se debe al uso de r como término lineal
en el número de Reynolds y de la cancelación del 2 en la
expresión de la energía cinética. En este libro no se utiliza la forma descrita en la Ec. 13-14. Cuando se utilicen
gráficas factor de fricción-número de Reynolds o las
ecuaciones equivalentes, obsérvese con cuidado la definición de f asociada con esa correlación particular.
Los datos que se reportan en la Fig. 13-1 pueden
expresarse mediante distintas ecuaciones. La curva A,
en la región de flujo laminar, se representa mediante la
Ec. 13-10,
64
f=N Re
Solución Debido a que no se cuenta con información disponible sobre el régimen del flujo, el primer paso
del cáclulo consiste en determinar el número de Reynolds.
N
Dvp
(3/12)(8)(60)
---35700
Re- f.J. -(5x6.72x10- 4 ).
Está en el intervalo turbulento y por tanto, pueden utilizarse la Rg. 13-1 o las Ecs. 13-15 o 13-16. De la Fig. 13-1,
con N Re = 35700
f = 0.023 = 2(-flP)gc D
f¡2Lp
(13-10)
En el Apéndice C-3 también se grafica la Ec. 13-10.
Para la región de flujo turbulento se ofrecen distintas
ecuaciones, todas ellas empíricas; la primera es válida
en el intervalo limitado de N Re entre 5000 y 200 000
Por tanto,
_
= f i¡2Lp = (0.023)(64)(1 00} (60) = 5481 / ie2
(AP) 2g D
(2)(32.2)(3/12)
b¡ p
c
548
(-AP) = = 3 .81 Ib/plg2
144
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FUNDAMENTOS DE LOS MECANISMOS DE TRANSFERENCIA 261
Ejemplo 13-2 Calcular la velocidad de un aceite que
fluye a través de un tubo de 3 plg. La caída de presión a
través del tubo es 548lb¡/pie 2 por 100 pies de tubo. Las
propiedades del aceite son ¡.t = 5 cps, P = 60Ib/pie 3 •
Solución En este problema se desconoce la velocidad. Puesto que la velocidad aparece tanto en N Re como
en t, no es posible evaluar ninguno de estos grupos, de
tal manera que no se pueda obtener una solución directa para el flujo turbulento con la Fig. 13-1 o con las Ecs.
13-15 y 13-16. Con el régimen de flujo viscoso es posible
lograr una solución directa, debido a que puede reordenarse la Ec. 13-10 para obtener la Ec. 13-7, cuya solución es directa.
Suponiendo flujo turbulento, se puede utilizar la Ec.
13-17.
1
Yf = 2 10910 (N R e Yf) - 0.80
Desarrollando t y N R. resulta
j
Para formas de conductos con forma distinta a la cilíndrica, es posible utilizar las ecuaciones anteriores con
las modificaciones apropiadas para la nueva geometría.
La geometría del conducto del flujo se define con el diámetro del tubo en el factor de fricción yen el número de
Reynolds. Para formas distintas a la circular, debe reemplazarse el diámetro por una variable apropiada o por un
grupo de variables, que describan el s¡'stema con una
sola dimensión lineal equivalente en comportamiento a
D. Sise escogiera una variable que no fuera equivalente, las curvas A y B de la Fig. 13-1 y las curvas que se
muestran carecerían de utilidad.
El factor geométrico se introduce en las ecuaciones
del flujo en el balance de fuerzas.
En la geometría cilíndrica, después de sustituir Sl
2{-IlP)gcD
rrD2/4 y Al = rrDL = bL
DilP j2{-IlP)gcD)
-2
- 0.80
/1 .
v Lp
La velocidad en el término del lado derecho puede cancelarse para obtener
DP j2(-IlP)gcD)
Lp
- 0.80
= 2 10910 ( - ; ;
El término del lado derecho puede evaluarse con los datos disponibles.
v2Lp
2{-IlP)gc D = 2
x
10
(
910
(3/12)(60)
(5)(0.000672)
2(548) (32.2) (3/12))
(100)(60)
- 0.80
Entonces
il2 = (6.67)2(2)(548)(32.2)(3/12) = 64
( 100)(60)
y
Formas distintas a la cilíndrica
(-IlP)S1 = (TyA),
v2Lp
= 210 910 ( -
j
N R• es mayor de 2100, de manera que la suposición
inicial es válida.
i7 = 8.0 pies/s
Puede hacerse una verificación de la suposición de flujo turbulento, calculando el número de Reynolds,
_ Dilp _ (3112)(8)(60) _
4
N R e - /1 - (5 X 6.72 X 10 -4) - 3.57 X 10
D=
4{Ty )' L
4S
1
=(-IlP)
b
(13-18)
en donde b es el perímetro húmedo del conducto = rrD.
Para cualquier otra forma, debe desarrollarse una
expresión más general de la Ec. 13·18. Si estuviera presente más de una superficie, como en una sección anular, las diferentes superficies tal vez ejercerían distintos
esfuerzos sobre el fluido, de tal manera que el balance
de fuerzas es
{-IlP)S¡ = T¡A¡ + T2A2 + . ..
(13-19)
Si los esfuerzos no son iguales, la Ec. 13-19 no se reduce a una función simple. Si se utiliza al esfuerzo medio
como una aproximación para reemplazar los diferentes
esfuerzos sobre las diversas superficies, la Ec. 13-19 se
reduce a la eco 13-18. Para las formas que se encuentran
normalmente, la Ec. 13-18 es una aproximación razonable excepto en los extremos, tales como las secciones
anulares constituidas por pequeños filamentos que
corren por el centro de tubos largos.
Para formas distintas a las circulares en sección
transversal, suponiendo que el esfuerzo medio sustituye
de manera satisfactoria al esfuerzo real en la pared, es
posible escribir un término sustituto D eq del factor geométrico D
4S 1
De q =¡;-
( 13-20)
donde Deq = diámetro equivalente.
En otras palabras, el diámetro equivalente es igual a
cuatro veces el área de la sección transversal del conducto dividida entre el perímetro húmedo. Sustituyendo
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262 PRINCIPIOS DE OPERACIONES UNITARIAS
los términos apropiados para la geometría cilíndrica,
puede demostrarse que, para cilindros, Deq = D. No es
de esperarse que el factor de fricción medido para el
caso especial de un tubo redondo concuerde rigurosamente para conductos no circulares de varias configuraciones.
Ejemplo 13-3 Calcular el diámetro equivalente para
un conducto rectangular de 3 pies de altura y 5 pies de
ancho.
Solución Para un conducto rectangular el esfuerzo
en cada punto sobre la pared no es constante. Puesto
que las dimensiones del conducto son aproximadamente del mismo orden, en ausencia de información más
precisa es posible utilizar la Ec. 13-20 como una aproximación para el diámetro equivalente.
O
eq
4S 1 (4)(5 x 3)
=-=
=3.75 pies
b
2(3 + 5)
CAPA LIMITE
El término turbulencia completamente desarrollada que
se mencionó con anterioridad, se refiere a la condición
que ocurre después de que un fluido ha avanzado lo suficiente a través de un conducto, de manera que no
habrá cambios en el patrón de velocidades al continuar
avanzando por dicho conducto. En todos los temas previos se supuso una turbulencia completamente desarrollada. Esta sección examinará el comportamiento
de fluidos antes del desarrollo completo de la turbulen cia. Algunos ejemplos en esta área de estudio son las
secciones de entrada de tubos grandes y los conductos
cortos de gran diámetro. El estudio de este comportamiento de flujo es más importante para el diseño de cascos de buques y superficies aerodinámicas, que para la
ingeniería química.
Considérese una placa plana con un extremo encarando la dirección de flujo. Puede concebirse que la placa plana está suspendida en un conducto infinito, de tal
manera que el volumen de la placa no tiene efecto sobre
la velocidad del fluido en el conducto; es decir, el volumen de la placa es insignificante con respecto al volumen del conducto. La velocidad global del fluido
(corriente libre) se designa como VI" En el instante en
que un elemento diferencial del fluido en movimiento
hace contacto con el extremo inicial de la placa plana, la
velocidad de ese elemento de fluido disminuye de inmediato hasta cero, lo cual es congruente con el concepto
de que no hay deslizamiento en el limite. Cualquier aceleración o desaceleración está asociada con una fuerza;
por tanto, la desaceleración del elemento de fluido genera un esfuerzo en la dirección de flujo en la superficie.
En el extremo inicial de la placa, un elemento diferencial
de volumen del fluido se desacelera en forma instantánea por un área diferencial de la superficie. La desacele-
ración instantánea requiere de una fuerza infinita. Matemáticamente, (Ty l)y = o = oo. El siguiente elemento de
fluido (medido en la dirección x) debería moverse a V =
VI" Las capas sucesivas a partir de la placa se retardarán
a medida que y aumenta y el esfuerzo se distribuye en
una capa de cierto espesor.
A una distancia y a lo largo de la superficie, se establecerá un gradiente finito de velocidad, de tal manera
que a cierta distancia x = d de la superficie, la velocidad del fluido se aproximará (digamos dentro de un
99%) a la velocidad de la corriente libre. La región en la
que la velocidad del fluido es menor del 99% de la velocidad de la corriente libre se define como la capa límite.
Esta va desde el extremo inicial (y = O) de la placa hasta el extremo final de la misma (y = y,) y se extiende
desde la superficie (x = O) hasta el final de la capa
límite (x = dI. En y = 0, d = y d aumenta hasta un
máximo en y = y,. En la Fig. 13-2 se muestra la
geometría de la capa límite. El esfuerzo de punto (o esfuerzo en una posición específica y) sobre la superficie
de la placa, también varía, por lo que el esfuerzo tiene
un máximo en el extremo inicial y disminuye al aumentar y. Puede notarse que una placa como la descrita
puede operar en estado estable, en el sentido de que en
cualquier posición y no existe cambio de cualquier propiedad con el tiempo, pero nunca puede operar con flujo completamente desarrollado, debido a que la capa
límite continúa cambiando sin importar la longitud de la
placa.
Es evidente que cerca del extremo inicial, d es pey
queña; en consecuencia, la distancia entre V =
v = VI' es corta. El gradiente de velocidades debe ser
alto y entonces, el esfuerzo sobre el fluido (Tygc = -1-'
dv/ dx) es grande. Las regiones de alto esfuerzo del
fluido inhiben la formación de vórtices, y por ello puede
esperarse un flujo laminar. Al moverse en la dirección y,
el espesor (d) aumenta, pero VI' permanece constante,
de manera que existe una disminución posterior en el
gradiente y en el esfuerzo del fluido. Bajo estas condiciones de esfuerzo reducido, la mayor parte de la capa
límite puede existir con régimen turbulento. En éste
existe cerca de la pared una subcapa laminar asf como
una región de amortiguamiento. El alto esfuerzo cerca
de la pared y la naturaleza impenetrable del fluido adyacente a la pared, asegura lo anterior.
°
°
Transición
Región de
intensa
~
amortiguamiento
Subcapa
¿(
~YLlaminar
---;o~-- Capa lím ite
turbulenta
Fig. 13-2 Construcción de la capa límite en una plaza plana
(escala vertical amplificada).
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FUNDAMENTOS DE LOS MECANISMOS DE TRANSFERENCIA 263
En muchos libros de texto de mecánica de fluidos
(53), se ofrecen excelentes derivaciones de las ecuaciones de la capa límite. Aquí no se incluirán derivaciones
completas, pero se citarán ciertas relaciones significativas para compararlas con las ecuaciones que ya se conacen. Por ejemplo, es posible utilizar la relación entre
la transferencia de momento por turbulencia y la transferencia de momento por mecanismo molecular, para
escribir un número de Reynolds apropiado para la capa
límite. De manera intuitiva, éste puede escribirse como
(NRe) d = (dv¡sp//l) . El espesor de la capa límite (d) es
difícil de medir; en consecuencia, ya que d es una función de y, es conveniente escribir el número de Reynolds como (N Re)y = (yv¡Sp)/ /l. Ambas formas del
mero de Reynolds, [(NRe)d Y (NRe)y] tienen aplicaciones
específicas.
También es posible escribir una expresión para la capa límite, equivalente al factor de fricción en conductos.
Obsérvese primero que, en un conducto infinito, no es
posible medir la caída de presión, o más exactamente, el
momento perdido por el fluido . De hecho, esta medición sería el resultado de la resta de un número finito, el
momento ganado por la placa, del infinito, el contenido
de momento en el conducto infinito. Esta diferencia es
indeterminada. El momento ganado por la placa, representado por el esfuerzo sobre ella, es una cantidad finita
y medible. Entonces, cualquier equivalente del factor de
fricción para conductos únicamente puede expresarse
en términos del esfuerzo de la superficie. En un conducto de dimensiones finitas a través del cual fluye una cantidad finita de fluido, el término de caída de presión no
es indeterminado. La relación entre el momento total
transferido a la placa y el momento transferido por mecanismo turbulento, puede escribirse como (Tl" lV¡s2P ,
que es de forma idéntica al factor de fricción en conductos de la Ec. 13-9.
Se expresarán algunas ecuaciones para usarse en la
capa límite (81. Existen tres ecuaciones para flujo laminar y tres para flujo turbulento. Todas las ecuaciones
tienen aplicaciones limitadas. Se requiere este gran número de ecuaciones para esta aplicación debido a que d
varía con y y (Ty )l varía con y. Las variables equivalentes
en el flujo completamente desarrollado en conductos
cilíndricos, O y (Ty )l, son constantes con L. Las variables adicionales requieren de una ecuación más
compleja o un número mayor de ecuaciones simples.
En el régimen laminar, es posible determinar el esfuerzo en cualquier punto y en términos del número de
Reynolds basado en el espesor de la capa Irmite en el
mismo punto y.
nú-
V,/p
{N Re }¡¡
mero de Reynolds basado en el mismo punto y.
5
{Ty },
0.65
--=---v,/p (N Re )yO.5
diatamente después de la Ec . 13-26.
( 13-23)
Como se estableció con anterioridad, la capa Irmite es
laminar cerca del extremo inicial y por tanto, se describe
con las Ecs. 13-21 a 13-23. En una placa grande, al
aumentar y, (NRe)y también aumenta. En la posición y
correspondiente a (NRe~ = 10 5 a 10 6 , ocurre la transición y se forma una capa límite turbulenta. Entonces,
cualquier capa límite turbulenta va precedida por una
capa límite laminar cerca del extremo inicial. Más adelante se escriben las ecuaciones para la capa Irmite turbulenta. Las ecuaciones para la capa Irmite turbulenta
que aquí se presentan están escritas como si la totalidad
de la placa estuviera con flujo turbulento.
En el régimen turbulento, el esfuerzo en cualquier
punto y está relacionado con el número de Reynolds basado en el espesor de la capa límite (ó) en el punto y.
(Ty )1y
0.0228
v,/p = (N Re lo°.25
( 13-24)
En el régimen turbulento, el espesor de la capa límite
(d) en cualquier punto y se relaciona con el número de
Reynolds basado en el mismo punto y .
5
0.376
( 13-25)
En el régimen turbulento, el esfuerzo medio sobre la
superficie de la placa entre y = O Y Y = Y está relacionado con el número de Reynolds basado en el mismo
punto y.
(Ty ),
0.037
--=---v,/p (N Re )yO.2
(13-26)
La nomenclatura para las Ecs. 13-21 a la 13-26 es:
5 = espesor de la capa límite (Lx)
y = posición medida a partir del extremo inicial de una placa (y = O) en
la dirección del fl ujo (Ly )
v's = velocidad de la corriente libre
YVf: P)
(NRe)y = ( __5_
fJ.
(N R ) 6 = (
* La nomenclatura para las Ecs. 13-21 a la 13-26 se presenta inme-
( 13-22)
Con régimen laminar, el esfuerzo medio sobre la superficie entre y = OY Y = Y está relacionado con el número de Reynolds basado en y,
(13-21) *
En el régimen laminar, es posible determinar el espesor
de la capa límite (d) en un punto y en términos del nú-
4.64
e
5V
(L" le)
= número de Reynolds basado en la
posición y, adimensional.
fsP) = número de Reynolds basado en el
fJ.
espesor de la capa limite (ó), adimensional.
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264 PRINCIPIOS DE OPERACIONES UNITARIAS
{TV)'V= esfuerzo sobre la placa en un pun to y corriente abajo a partir del
extremo inicial
(T v), = valor medio del esfuerzo entre
y=Oyy=y
(Tv),y
fTl
_ v _1 = factores de fricción para la capa
Vf/P , Vf/P límite
Tanto la eco 13-23 como la Ec. 13-26 suponen que el
régimen de flujo es el mismo entre y = OYY = y. En la
práctica, la capa límite laminar existe desde el extremo
inicial hasta cierto punto crítico, Yo para que el (N Re)y está
entre 105 y 10 6 • Entonces, para determinar el esfuerzo
medio sobre una placa con flujo turbulento, deben usarse las Ecs. 13-23 y 13-26 en los intervalos para los cuales
son aplicables. Considérese una placa de longitud total
y, y ancho Z. Se supone que la transisión de flujo laminar a turbulento ocurre en Ye' Es posible calcular el punto de transición Ye a partir de (NRe)y = 10 5 , tal como se
indica en la Ec. 13-27.
10 5 J,L
Ye= - VfsP
(13-27)
(13-28)
La fuerza sobre un lado de la placa entre y = O Y
Y = Ye es igual al producto del esfuerzo por el área.
-
0. 65v fs 2 PZYe
(10)2.5
(13-29)
La Ec. 13-26 está escrita para una placa con flujo turbulento entre y = O Y Y = y,. Entonces, debe calcularse la fuerza entre Ye y y, y sumarse a la fuerza debida al
flujo laminar entre y = O Y Y = Ye' El esfuerzo medio
entre y = O Y Y = y, se calcula a partir de la Ec. 13-26
(0.037) v's 2 P
(Ty¡' =
r,~,pr2
(13-30)
y la fuerza sobre un lado de la placa entre y = O Y
Y = y" si la totalidad de la placa tiene flujo turbulento
es
___
Fturb=(Tv),ZYt=
O-+Vt
(0.037) v,/ PZYt
02
(13-31)
(Yt:sP) .
El esfuerzo medio para la región que está entre y = O Y
Y = Ye para el flujo turbulento puede calcularse como
(0.037)v,/p
(Tv )l = (10 5)°.2
= (0.0037)v,/p
F turb = (Tv),ZYe = 0.0037v,/PYez
0-+ Ve
(13-32)
(13-33)
La fuerza tangencial neta aplicada a un lado de la placa
es
F neta = Fturb - Fturb + F1am
.
O-+Vt
0--+ Ve
( 13-34)
0-+ Ve
El esfuerzo medio neto(~)neto es igual a la fuerza neta
por unidad de área de placa
--
.
F neta
(Tv)neto= -
-=
Yt Z
Fturb - Fturb + F 1am
o .... Vt
0--+ Ve
Yt Z
o-+Ve
(13-35)
Sustituyendo las Ecs. 13-29, 13-31 y 13-33 en la Ec. 13-35, y
reordenando la ecuación resultante,
-(-)
TV
El esfuerzo medio para la parte laminar de la capa Ifmite,
que queda entre y = O Y Y = Ye puede calcularse a partir
de la Ec. 13-23.
~':~e = (Tv )lYcZ =
La fuerza aplicada a un lado de la placa con flujo turbulento entre y = O Y Y = Ye es
0.037Ytz
0.65Ye Z)
(N) 0.2 - 0.0037Ye z + 102.5
(
neto _
Re V
2
V's 1-
-----~-----------------------
YtZ
0.037
(N Re )V
( 13-36)
Ye
0.2 - 0.0017 -
( 13-37)
Yt
En esta derivación, el punto de transición se tomó de
manera arbitraria como N Re = 10 5, aunque el valor de
transición real se encuentra entre 10 5 y 10 6 • La única
justificación para esta selección arbitraria, se basa en el
hecho de que en el límite inferior de transición (10 5 ), el esfuerzo calculado sobre una placa tiene un factor de seguridad alto.
Ejemplo 13-4 Una placa plana con una longitud de
1.5 m tiene un extremo encarando la dirección del flujo.
Sobre la placa fluye aire a 12 m I s. Las propiedades del
aire son P = 1.2 kg/m 3 y ¡.t = 1.8 X 10-5 N·s / m 2 •
(a) Calcular el espesor de la capa límite a una distancia de 1.5 m a partir del extremo inicial.
(b) Calcular el esfuerzo de punto a 1.5 m del extremo
inicial.
(c) Calcular el esfuerzo promedio sobre la placa desde el extremo inicial hasta un punto situado a 1.5 m del
extremo inicial.
Solución Se realiza un análisis del régimen del flujo.
_ (YVfSP) _ (1.5)( 12)( 1.2) _
6
(NRe)v 5
- 1.20 x 10
p.
1.8 x 10La placa de este problema tiene una parte de flujo turbulento más allá de cierto valor Yer en donde N R• = 10 5 •
La Ec. 13-27 permite calcular el punto de transición.
105 p. (10 5 )1.8 X 10- 5
Ye = - - =
= 0.125 m
V'sP
(12)( 1.2)
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FUNDAMENTOS DE LOS MECANISMOS DE TRANSFERENCIA
265
(a) El espesor de la capa límite en y = 1.5 se calcula
para el flujo turbulento a partir de la Ec. 13-25.
8=
0.376y
(N Re )yO.2
=
(0.376) (1.5)
2
:= 3.45 x 10m
(1 200000)° ·2
(b) El esfuerzo de punto en el régimen turbulento
puede calcularse usando la Ec. 13-24.
2
_ (8VfSP) _ (3.45 x 10- )(12)(1 .2)
(NRelof1
. (1.8xlO- 5 )
. = 2.76 X 104
Vf/ p(0.0228)
(r y) 1 y = (N e)¡¡ 0.25
R
(12)2 (1.2)(0.0228)
(2.76 x 104 )° .25
= 0.306 N/m 2
(c) El esfuerzo medio neto sobre la placa puede calcularse utilizando la Ec. 13-37.
-
_
2 (
0.037
_ 00017 Yc )
)ytO.2
Yt
.
(ry)neto- Vfs P (N
Re
_
2.
(
0.037
- (12) (1.2) (12.0 x 105)°.2
- 0.0017 (0.125))
1.5
= 0.362 N/ m 2
Para este ejemplo particular, la porción laminar de la
capa límite corresponde al primer 8% de la placa. Si se
omite la corrección laminar y se considera a la totalidad
de la placa con régimen turbulento, el esfuerzo medio es
de 0.399 N/m 2 , que es alrededor del 100/0mayor que el
valor sin la corrección.
La longitud de entrada
La longitud de entrada de un tubo es un ejemplo de la
formación de una capa límite. Considérese un tubo suspendido en una región con un flujo de velocidad uniforme (véase la Fig. 13-3). En la entrada inmediata al tubo
se forma una capa límite en la superficie interior del mismo. Se requiere de cierta longitud de tubo a medida que
la capa límite aumenta de espesor, para que todas las
capas límite se encuentren en el centro del tubo. Esta
longitud se conoce como longitud de entrada (Le). Deben hacerse ajustes de la velocidad de la corriente libre
para la longitud de entrada, debido a que la velocidad de
la corriente libre en la entrada, debe ser igual a la velocidad promedio del fluido en el tubo. En este sentido, el
flujo de la capa límite dentro de un conducto finito difiere de la capa límite descrita con anterioridad para un
conducto infinito. Entonces, cualquier flujo dentro de
un tubo se encuentra esencialmente con flujo de capa
límite. En la longitud de entrada, existen dentro del tubo
una capa límite y la corriente libre. La longitud de entra-
Fig. 13-3 Formación de la capa límite en la longitud de entrada.
da termina en el punto donde se encuentran las capas
límite en el centro, después de lo cual se mantiene un
perfil de velocidades constante sin importar la posición
en la dirección y. Después de que las capas límite se encuentran en el centro del conducto, el flujo está
"completamente desarrollado". Todas las ecuaciones
para tubos que se mencionaron antes son aplicables al
flujo completamente desarrollado. Si la capa límite es laminar a través de la longitud de entrada completa, el flu jo en la sección del tubo con "flujo completamente desarrollado" es laminar. Si se desarrolla una turbulencia
en la capa límite dentro de la longitud de entrada, el resto del tubo operará con flujo turbulento .
Como puede esperarse de la consideración de la capa
límite, el esfuerzo en la pared por unidad de longitud de
entrada, es mayor que para el flujo completamente desarrollado, con un máximo en el punto de entrada y un
valor que disminuye al avanzar a lo largo del tubo, hasta
un mínimo en el extremo final de la longitud de entrada.
El valor mínimo al final de la longitud de entrada es igual
al valor en el flujo completamente desarrollado. En un
conducto acotado de dimensiones finitas como el que
aquí se describe, también puede esperarse una caída de
presión. En el conducto infinito descrito en la sección
previa, no era posible medir la caída de presión. En el
conducto acotado, es posible escribir el balance de fuerzas usual relacionando la fuerza tangencial en la pared y
la fuerza debida a la presión sobre el fluido.
Es posible derivar las ecuaciones para la longitud de
entrada a partir de consideraciones de la cap,a límite, pero debe tomarse en cuenta la aceleración del flujo de
corriente libre dentro del conducto finito. Tales derivaciones se encuentran fuera del alcance de este libro,
pero sí se presentan algunas ecuaciones.
En el régimen laminar, se puede predecir la longitud
de entrada a partir de la siguiente ecuación (27):
Le
-
D
= 0.0575(N Re )
(13-38)
donde
Le = longitud de entrada (Ly )
D = diámetro de tubo (L,)
(N Re ) = número de Reynolds basado en la ve-
locidad media usual y en el diámetro
del tubo; adimensional
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266
PRINCIPIOS DE OPERACIONES UNITARIAS
La longitud de entrada para un fluido con flujo turbulento puede predecirse (28) a partir de la ecuación
L
;
= 0.693(NRe )O.25
(13-39)
En forma cualitativa, la caída de presión a través de la
longitud de entrada es bastante mayor que la caída de
presión después de que se ha establecido el flujo por
completo desarrollado. Este incremento es el resultado
de dos efectos. Las ecuaciones de la capa límite revelan
que el esfuerzo local sobre la pared cerca del extremo
inicial es mayor que el esfuerzo local sobre la pared
corriente abajo del extremo inicial. Además, el fluido
que se encuentra en la capa límite se mueve con mayor
lentitud que el fluido de la corriente libre. Si la capa
límite crece como sucede en la entrada del tubo, entonces, para mantener una velocidad de flujo de masa
constante en un conducto acotado, debe acelerarse la
parte del fluido en la corriente 'libre q~e se encuentra en
el tubo. Los efectos dobles de fuerza de aceleración de
la corriente libre y del elevado esfuerzo cerca del extremo inicial incrementan la caída de presión en la longitud
de entrada. Por regla general, la caída de presión en la
longitud de entrada puede tomarse como aproximadamente, entre dos y tres veces el valor para el flujo
completamente desarrollado para un mismo número de
Reynolds.
Ejemplo 13-5 Calcular la longitud de entrada para
agua a 70 o F que fluye a 0.1 pie / s a través de un tubo de
1/2 plg.
Solución Puesto que no se especifica el régimen de
flujo, debe evaluarse el número de Reynolds.
en contacto con un fluido y existe un movimiento relativo entre el fluido y la superficie, se producirá una
fricción de superficie entre el fluido y la superficie. Además, para la fricción de superficie, pueden existir pérdidas por fricción significativas, debido a la aceleración y
desaceleración del fluido. Los efectos acelerativos
ocurren cuando el fluido cambia su trayectoria para pasar alrededor de un cuerpo sólido fijo en la trayectoria
del flujo. Este fenómeno se conoce como arrastre de
forma.
Considérese el cuerpo que se muestra en la Fig.
13-4a. El cuerpo está suspendido en un conducto infinito y está sujeto a una velocidad de corriente libre v,•.
Las líneas de corriente representan la trayectoria de los
elementos de fluido alrededor del cuerpo. La capa límite
se representa con una línea punteada cerca del cuerpo.
El fluido que se aproxima al centro de la cara frontal de
un cuerpo simétrico chocará contra éste y se dividirá en
dos partes y cada mitad se mueve hacia ambos lados del
cuerpo. En el centro exacto del cuerpo, el fluido tendrá
una velocidad cero, IIamándosele a este punto punto de
estancamiento. La capa límite empieza a crecer en el
punto de estancamiento y continúa a través de toda la
superficie. Más allá del extremo final, las capas límite
regresan a la corriente libre. El esfuerzo tangencial sobre
el cuerpo, proveniente de la transferencia de momento,
que origina la disminución de la capa límite es la fricción
de superficie. La capa límite tendrá las mismas características descritas con anterioridad; será laminar a menos
que el número de Reynolds exceda un valor crítico, después del cual la capa límite será turbulenta.
El fluido que se encuentra fuera de la capa límite está
sujeto a la aceleración debida, en parte, al cambio de la
trayectoria y en parte al cambio de velocidad lineal. A
= Dvp = (0.5/12)(0.1 )(62.4) _
N
Re
11
(1)(0.000672)
- 387
Se trata de un flujo laminar; por tanto, es posible utilizar
la Ec. 13-38.
Le
0=
0.0575(NRe ) = 0.0575(387) = 22.3
La velod·
dad de flujo
vo lumétri co es cons-
tante entre
líneas
corriente
y
de
Aceleració:-n- - - - - - - -
Desaceleración
---------~-------------(a)
0.5) (22.3) = 0.927 pie
Le = ( 12
Capa
límite
ARRASTRE DE FORMA
En los ejemplos de fricción de fluidos que se han considerado, la transferencia de momento resultaba en un
esfuerzo tangencial o de arrastre sobre una superficie lisa, que tenía una orientación paralela a la dirección del
flujo. Este fenómeno se conoce tradicionalmente como
fricción de superficie o arrastre de superficie. De lo anterior resulta evidente que, si cualquier superficie está
(b)
límite separada
de la superficie sólida
Fig. 13-4 Flujo alrededor de cuerpos sumergidos. (a) Forma
de líneas de corriente, sin separación. (b) Forma sin líneas de
corriente, separación de la capa límite.
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FUNDAMENTOS DE LOS MECANISMOS DE TRANSFERENCIA
medida que el fluido desvía su trayectoria para pasar
alrededor del cuerpo, el fluido ejerce una fuerza sobre
éste. Nótese que esta fuerza sobre el cuerpo se suma a
la fricción de superficie asociada con la capa límite. No
es una fuerza tangencial, pero está orientada de acuerdo con las geometrías del cuerpo y de las líneas de
corriente. En la Fig. 13-4, el espacio que se encuentra
entre dos líneas de corriente cualesquiera, representa la
sección transversal del conducto ocupada por la misma
velocidad de flujo volumétrico. La posición de las líneas
de corriente alrededor de la parte más ancha del cuerpo,
indica que el fluido se mueve a una velocidad mayor que
II¡s, de manera que la velocidad del fluido aumenta en
esa región. Pasando la parte más ancha del cuerpo, el
fluido está sujeto a una aceleración direccional, opuesta
a la que se presenta en la cara inicial del cuerpo, ya una
desaceleración de la velocidad lineal, a medida que el
fluido regresa al patrón de corriente libre normal después del cuerpo . La suma de todas las fuerzas que actúan sobre el cuerpo por aceleración y desaceleración,
constituye el arrastre de forma del cuerpo.
En la Fig. 13-4a, se selecciona una forma tal que no
existan discontinuidades a lo largo de su longitud. La
capa límite es continua a lo largo del cuerpo, pero resulta obvio que debe adoptar una forma y carácter sujetos
a los cambios de velocidad y dirección del fluido más
allá de sus límites. En la Fig. 13-4b se muestra otra forma con una discontinuidad brusca en la parte posterior.
En la nueva forma se muestra la capa límite así como el
punto de estancamiento. La aceleración del fluido en la
vecindad de la cara frontal es la misma que se observa
en el cuerpo descrito en la Fig. 13-4a. Las capas límite
superior e inferior comienzan en el punto de estancamiento y continúan a lo largo de la superficie del cuerpo. En la parte postertior del cuerpo, después del punto
más ancho, el comportamiento de la capa límite es distinto de manera significativa. Si las líneas de corriente
del fluido se conformaran exactamente a la superficie del
cuerpo, la desaceleración tendría que ser muy rápida.
La capa límite debe conformarse a la superficie y a la
corriente libre. En este caso, en la corriente libre se produce una rápida desaceleración y por tanto, la capa límite también debe desacelerarse. Pero la capa límite se
mueve con mucha lentitud antes de la desaceleración;
por tanto, la desaceleración invierte la dirección de la
capa límite y causa la separación consecuente de la ca\""1
pa límite de la superficie. Como puede observarse en la
Fig. 13-4b, la inversión de la capa límite elimina la necesidad de la desaceleración extrema de las líneas de
corriente al establecer una región de actividad de vórtices después del cuerpo. Esta actividad de vórtices
intensa resulta en una fuerza considerable sobre el cuerpo, sensiblemente mayor que la del cuerpo descrito en
la Fig. 13-4a, en donde está ausente la separación por
vórtices.
De lo anterior, resulta evidente que la geometría de
un sistema constituye un factor determinante para el
grado de fuerza que se produce sobre un cuerpo. La forma de "lágrima" que se muestra en la Fig. 13-4a, produ-
267
ce un arrastre menor que el mismo cuerpo con la cola de
la lágrima eliminada. Por otra parte, la exageración de la
parte posterior puede conducir a una gran cantidad de
superficie con el consecuente incremento en la fricción
de superficie. El arrastre de forma aparece en muchas
aplicaciones de la ingeniería química. Los instrumentos
de medición están diseñados para maximizar o minimizar el arrastre de forma, de acuerdo con los , requerimientos específicos. La rugosidad de un tubo es un
ejemplo del arrastre de forma. Otro ejemplo es la velocidad constante finita a la cual se sedimentan las
partículas en los fluidos. Otras aplicaciones de ingeniería son las estructuras para vientos y flujos de agua sometidos a tensiones.
Las correlaciones de las características de flujo y las
geometrías de los cuerpos en una corriente libre, utilizan
grupos adimensionales cuyo concepto es análogo al
factor de fricción y al número de Reynolds descritos en
las secciones de este capítulo correspondientes al flujo
en tubos y la transferencia de momento a través de la
capa límite. El coeficiente de arrastre (G, l se define
como
2Fo
Co = - -2-
(13-40)
SVfs P
Y el número de Reynolds es
Lo VfsP
N Re = -- -
(13-41 )
/J.
donde
FD = fuerza total ejercida sobre el cuerpo (Fl
S = área proyectada máxima normal al flujo (LxL, l
LD = características de longitud de la geometría (L j l
Vis = velocidad de corriente libre (Ly / el
Estas correlaciones se presentan por lo general en
forma gráfica en coordenadas logarítmicas, con CD como función de N Re • En la Fig . 13-5 se presentan varios
diagramas de arrastre.
Los diagramas son similares a los de las gráficas
f- N Ra , utilizadas para la fricción de superficie en tubos,
pero deben notarse varias diferencias significativas. Por
debajo de N Re = 0.1, todas las formas se representan
mediante una sola línea que puede escribirse en forma
de ecuación como
24
Co = N Re
(13-42)
Esta es la región en donde la capa límite es laminar y los
efectos de aceleración son suficientemente pequeños
para pasar inadvertidos. La Ec. 13-42 es análoga a la Ec.
13-10. En el intervalo 0.1 < N Ro < 10 5 , varios mecanismos distintos contribuyen a la transferencia de momento. Las fuerzas de aceleración alcanzan un valor de importancia suficiente para afectar a la forma de la curva y
además, la capa límite se vuelve turbulenta. En la mayor
parte de los casos, las fuerzas de aceleración comienzan
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268
PRINCIPIOS DE OPERACIONES UNITARIAS
~
DiSC~
cmOdro:::Q
Cilindro
10-1~------~-------+--------}-------~-------1--------t--------l
Fig.13-5 Modelo de arrastre para distintas formas (51,52). (Con permiso de John Wiley &
Sons, Copyright © 1953.)
a operar a números de Reynolds bastante menores que
los que se establecen para una turbulencia significativa .
en las capas límite . Por ejemplo, la discontinuidad en el
diagrama de arrastre para esferas en N Ro 9:: 10 5 es el resultado del cambio en la capa límite desde parcialmente
laminar y en parte turbulento, hasta por completo turbulento. Por encima de N Ro = 10 5 , se considera turbulenta a la capa límite para todas las formas, y predominarán los efectos de aceleración. Es en esta región donde el diagrama de arrastre puede representarse mediante la ecuación
CD = constante
(13-43)
En este aspecto, el diagrama de arrastre difiere de la
correlación f - NRo' Para valores altos del número de
Reynolds, el diagrama f - N Ro aún posee una pendiente
ligeramente negativa, característica de la fricción de superficie . Es posible observar esta misma característica
en las ecuaciones de la capa límite turbulenta, en especial en la Ec. 13-26; por tanto, se puede concluir que,
cuando predominan los efectos de aceleración, el
diagrama de arrastre tenderá con rapidez a la Ec. 13-43.
Esta nivelación aparece en las gráficas f - N Ro para tubos con superficies internas rugosas (Apéndice e-3).
Los valores constantes limitantes de CD aparecen para
varias formas en la Tabla 13-2, junto con las dimensiones que se utilizan para LD y el límite inferior de aplicabilidad de la Ec . 13-43. Para el intervalo de transición,
debe usarse el diagrama.
Tabla 13-2 Valores de G, que deben usarse en la Ee. 13-43.
Límite
interior
de N Ro
Forma
Disco circular, lado plano
perpendicular al flujo
Cilindro, altura infinita,
eje perpendicular al flujo
Esfera
Diámetro, D
103
1.12
Diámetro, D
Diámetro, D
5 x 10 5
3 x 10 5
0.33
0.20
Es posible desarrollar diagramas de arrastre como el
de la Fig. 13-5, para usarlos con formas distintas a las
esferas o cilindros que se especifican en esa figura. La
correlación de datos para el arrastre de formas irregulares ha recibido una atención especial, debido a que los
sólidos involucrados en los procesos químicos, suelen
ser de forma y tamaño irregulares. Dichas correlaciones
requieren de una especificación más complicada del tamaño y la forma, que la que se necesita para las formas
citadas en la Tabla 13-2. Además del parámetro de tamaño como el "diámetro" de las partículas se necesita
un parámetro de forma. Se han desarrollado varios de
esos parámetros, siendo la esfericidad el más común.
La esfericidad {tp) se define como
área superficial de una esfera del mismo volumen que la partícula
1/1= área superficial de la partícula
(13-44)
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FUNDAMENTOS DE LOS MECANISMOS DE TRANSFERENCIA 269
En el apéndice B se tratan los problemas de la caracterización de partículas irregulares.
Ejemplo 13-6 Una chimenea de 100 pies de altura y
5 de diámetro está sujeta a un viento máximo de 100
mi/h. Calcular la fuerza que ejerce el viento sobre la chimenea.
(¡.¡ = 0.Q18 cps, P
= 0.075Ib/pie 3 )
Solución De la Tabla 13-1, el diámetro es la dimensión característica para un cilindro. El régimen de flujo
se determina mediante el número de Reynolds.
(5) [(100 x 88)/(60)] (0.075)
(0.018 x 6.72 x 10- 4 )
= 4 530 000
Este valor está por encima del límite inferior de 5 x 10 5
que se da en la Tabla 13-1, de tal manera que CD =
constante = 0.33. Entonces, mediante la Ec. 13-50,
ducible, con las herramientas analíticas más simples. Al
integrar las ecuaciones de las condiciones de punto que
se introdujeron en el Cap. 12, resultan ecuaciones útiles
que tienen las propiedades mencionadas.
El factor de fricción que se definió con anterioridad
en este capítulo es, por definición, una forma integrada
de las expresiones para las condiciones de punto del flujo turbulento. Sería razonable poder escribir conceptos
y ecuaciones similares para las transferencias de calor y
masa. Por desgracia, no es este el caso. En las primeras
investigaciones sobre el comportamiento de las transferencias de momento, calor y masa, no se tomaron en
cuenta las similitudes que existen entre los tres fenómenos de transferencia . Las distintas formas de ecuaciones que se desarrollaron de manera independiente no
son exactamente similares, pero se puede relacionar el
contenido de las ecuaciones.
La ecuación general de transporte que puede integrarse es
dr
l/J =-(o+E)-
.
2F 9
o 2 e = 0.33
SVfs P
0.33SVf/P
Fo = - - - -
dx
donde
lfI = flujo de una propiedad para cualquier valor
de x
d = difusividad molecular
E = difusividad de vórtices
r = concentración volumétrica de la propiedad
de transferencia
2gc
El área proyectada máxima, normal al flujo, es el área de
un rectángulo de 5 por 100 pies; por tanto, S = 500
pies 2 •
(0.33)(500)( 100 x 88/60)2(0.075)
Fo =
(2)(32.2)
En una geometría cilíndrica, es posible escribir la Ec.
12-29 con las modificaciones apropiadas del gradiente
como
Fo = 4130 Ib f
dr
l/J =-(0 +E)dr
COEFICIENTES DE TRANSFERENCIA
DE CALOR Y MASA PARA REGIMEN
TURBULENTO
En el Cap. 12 se introdujo la transferencia de calor y masa en el régimen turbulento. Los cálculos se basaron en
las concentraciones de la propiedad transferida en diversas posiciones radiales. Las propiedades del flujo turbulento en las diversas posiciones, se definieron en
términos de la difusividad de vórtices, longitudes de mezclado, etc. Aunque el comportamiento de la condición
de punto es útil para comprender el mecanismo de la
turbulencia y su efecto sobre las transferencias de calor
y masa, las resoluciones son tediosas y difíciles. Entonces, es deseable enfocar la evaluación de la transferencia, en términos de las propiedades medias del fluido y
de las dimensiones globales, más que en las condiciones de punto que se usaron en el Cap. 12. Las propiedades medias y las dimensiones globales tienen una
característica deseable adicional; es posible determinar
con precisión los datos experimentales en forma repro-
( 12-29)
(12-30)
En la Ec. 12-33, se demuestra que el flujo es lineal con
respecto al radio y, por tanto, la Ec . 12-30 puede escribirse como
( r) = -(o + E) dr
dr
l/J1 -
( 12-34)
r1
donde
lfIl = flujo en el límite
r1 = radio en el límite
r = cualquier posición radial
También puede escribirse la Ec. 12-34 como las Ecs.
12-36 y 12-35 para las transferencias de calor y masa,
respectivamente. La Ec. 12-34 puede integrarse para estado estable,
(13-45)
o
donde ro y r = son las condiciones en el centro del cilindro, mientras que, r 1 y rl son las condiciones en la
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270 PRINCIPIOS DE OPERACIONES UNITARIAS
pared. Se puede integrar el término del lado derecho de
la Ec. 13-45 para obtener en forma directa -r1 (r1 - ro).
Esta forma está escrita en términos de ro , la concentración de la propiedad de transferencia en el centro del tubo, la cual es difícil de determinar por medios analíticos.
Puesto que es fácil efectuar el análisis, es más deseable
usar el valor medio de la propiedad de transferencia,
que resulta de la integración sobre el conducto completo. Es posible definir el valor medio apropiado como
-r=1 fV' rdV
V1 o
( 13-46)
donde Ves la velocidad volumétrica de flujo en un punto dentro del conducto y v" es la velocidad volumétrica
de flujo total en el conducto .
El valor medio descrito es el resultado de la integración sobre todo el flujo en el conducto. Nótese que
dV = v dS, donde ves la velocidad de punto y S es el
área de flujo aplicable, mientras que, para una geometría cilíndrica, dv = v2nr dr.
Físicamente, es posible determinar el valor medio recolectando y promediando la corriente completa de flujo. Se obtendrá una temperatura media apropiada al
pasar la corriente de flujo completa a través de una cámara de mezclado, de manera que cada elemento del
fluido se encuentre a la misma temperatura; la temperatura resultante será el valor medio en cuestión. Se determinará la velocidad media haciendo que la corriente
de flujo completa pase a través de un instrumento de
medición de volumen, y se considera que la velocidad
volumétrica de flujo pasa a través del conducto con una
velocidad uniforme .
. La proporción y puede definirse como
'Y=
2
Es posible sustituir la Ec. 13-49 en la Ec. 13-48.
¡J;1 r 1'Y
2(8 + E) = -(r1 - r)
( 13-50)
El radio del tubo es'í = D /2. Este valor puede sustituirse en la Ec. 13-50 y después de reordenarla, la ecuación
resulta en
¡J;1
=-
4(8 +E)
'Y D
(r 1 -
t)
(13-51 )
La Ec. 13-51 puede escribirse como una ecuación de velocidad, multiplicando por A,
(¡J;A), = -
4(8 + E)
'Y D
(r 1 - f)A 1
( 13-52)
Se puede definir el coeficiente de transferencia ( C ) como
4(8 + E)
c=--'YD
(13-53)
La Ec. 13-52 resulta en
(¡J;A)1 =-C(r 1 -r)A 1
o
(13-54)
( 13-47)
r 1 - ro
La proporción y es el cociente entre la diferencia de concentraciones de la propiedad de transferencia entre la
pared y un valor medio del fluido, a la diferencia máxima
entre la pared y el centro. La proporción y es una función de la distribución de r con la posición. + Entonces la
Ec. 13-45 puede escribirse como
(8 + E)
r dr
1
f"o rdr=2(8+E)
r1
fo" (8+E)=(8+E)
(13-49)
( ¡J;A)1 =-
r1- r
r dr
--=-r1(r1 -
dad media de vórtices rEí que resulta de la integración
indicada.
r1ro) =--(r
1 - n
'Y
(13-48)
La integración del término del lado izquierdo de la Ec.
13-48 no se llevará a cabo,* pero sí se definirá la difusivi-
La Ec. 13-54 es una forma integrada de la ecuación
diferencial para transferencias (Ec. 12-30). Las variables
que conforman la ecuación pueden evaluarse sin mayores problemas, por lo que resulta conveniente usar esta
ecuación. La forma de la ecuación exige cierta atención.
La integración del gradiente en la ecuación diferencial
resulta en el término (r1 - f) y la velocidad de transferencia es proporcional a este término, que se conoce
como fuerza motriz (o con menor frecuencia, potencial
de transferencia). El término del denominador, (1/ CA)
recibe el nombre de resistencia a la transferencia. La Ec.
13-54 puede escribirse como
Velocidad de transferencia =
+ La Fig . 20-2 es un caso especial de esta proporción para la transferencia de momento . En la figura, y, = v lv mil x' es la relación de la
velocidad media a la velocidad de punto en el centro del tubo. Para un
tubo estacionario V, = O en la pared.
:jo Para la transferencia de momento , se puede efectuar la integración expresando E, en función der ydv Idr, como en la Ec. 12-22. Se
puede escribir la derivada dv Idr , como una función de r, mediante el
uso de las Ecs. 12-23, 12-24 Y 12-25.
fuerza motriz
resistencia
(13-55)
Nótese la analogía exacta entre la transferencia de calor, masa y momento, descrita en la Ec . 13-55 y la transferencia de corriente eléctrica, descrita por la ley de
Ohm
I = Ee = potencial eléctrico (fuerza motriz)
€
R€
resistencia
(13-56)
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FUNDAMENTOS DE LOS MECANISMOS DE TRANSFERENCIA
donde
271
donde
l. = corriente o velocidad de transferencia de
electrones
E. = potencial eléctrico
R. = resistencia
Debido a la existencia de este comportamiento análogo,
todos los principios que se utilizan para la transferencia
eléctrica, son aplicables a las transferencias de masa,
calor y momento. Este hecho es la base de los instrumentos para el cómputo analógico. Se construyen
analogías eléctricas de los fenómenos de transporte, y
con base en el comportamiento de la transferencia
eléctrica se pueden analizar los sistemas de transferencia. La Ec. 13-55 es en extremo útil en cálculos de
ingeniería química, como se demostrará en el Cap. 14.
La definición del coeficiente de transferencia de masa, dada en la Ec. 13-54, demuestra que se trata de una
función compleja de la transferencia por los mecanismos molecular y turbulento, la distribución de concentraciones de la propiedad de transferencia según lo
indica y y la geometría del sistema. También es una fun ción de las características de flujo del sistema, debido a
que la difusividad media de vórtices (E) depende del
comportamiento del flujo. A pesar de la complejidad, es
razonable creer que el coeficiente de transferencia
puede relacionarse con las variables pertinentes mediante el uso del procedimiento de análisis de relación
de mecanismos, descrito en la primera parte de este
capítulo. Este procedimiento se describirá para los coeficientes específicos de transferencia para calor y
masa.
La Ec. 13-54 es una expresión general de la transferencia en forma integrada y puede expresarse para la transferencia de calor sustituyendo las variables apropiadas.
Se puede definir el coeficiente de transferencia de calor
(h) como
-=g
pCp
q
=
4(a+ Eq)
D-Yq
( 13-57)
Las otras variables que se sustituyen son: d = a.
r = P c p T, tpA = q y E = ~, de manera que la
ecuación de transferencia de calor para el flujo turbulento es
(PCPT)1 - (PCPT)l
q1 =-
f
(PCP) hA 1
(13-58)
o, si cp y P no dependen de la temperatura,
-(T1 -
q1 =
f)
(_1)
hA 1
coeficiente de transferencia de calor, con
dimensiones H / Ly L, BT y unidades típicas
Btu/pie 2h °F
La fuerza motriz para la transferencia de calor es la diferencia de temperaturas entre la pared y el fluido global
(TI - TI, y la resistencia a la transferencia es (1/hA).
La Ec. 13-59 es la ecuación de transferencia de calor
característica para el mecanismo de convección. Nótese
la similitud entre ésta y la !;c. 9-43 para una conducción
simple. La única diferencia es que para la conducción,
se conoce la distancia asociada con la resistencia, mientras que para el proceso turbulento de convección, la dimensión de la resistencia se enmascara en el coeficiente
de transferencia de calor.
Mediante el análisis de la relación de mecanismos, es
posible demostrar el significado físico del coeficiente de
transferencia de calor. Para un sistema de flujo en donde la energía se transfiere en forma de calor, contribuyen al proceso cuatro mecanismos. Su contribución
global depende de la importancia relativa de cada mecanismo. Estos son:
1. Transferencia de calor por transporte molecular.
2. Transferencia de calor por transporte turbulento.
3. Transferencia de momento por transporte molecular.
4. Transferencia de momento por transporte turbulento.
Considérese primero la relación
Transferencia total de calor por transporte molecular
y turbulento
transferencia de calor por transporte molecular
Coeficientes de transferencia de calor en flujo
turbulento en tubos
h
h
(13-59)
La transferencia total de calor puede representarse
por medio de (a + E,,)/Yq y la transferencia molecular
de calor, mediante a. Así, la relación entre las dos es
(a + Eq)
(a + Eq) CpP
'Yqa
'Yqk
(13-60)
Si se reordena la Ec. 13-57 y se divide entre k, resulta
idéntica a la Ec. 13-60.
(a+Eq)Cpp
hD
'Yqk
4k
(13-61 )
De acuerdo con esto, si se considera a la constante numérica como parte de una correlación posterior, (hD / k)
es la relación entre la transferencia total de calor por
mecanismos turbulento y molecular, y la transferencia
de calor por mecanismo molecular. Este número sirve
para definir el número de Nusselt.
hD
N Nu -- -k
(13-62)
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272
PRINCIPIOS DE OPERACIONES UNITARIAS
La relación de los dos mecanismos de transferencia
de momento se definió como el número de Reynolds.
Además, en el Cap. 9 se definió al número de Prandtl
como
Transferencia de momento por transporte
molecular
transporte de calor por transporte molecular
(13-63)
Entonces. existen tres mecanismos-proporciones, todos adimensionales, que pueden usarse para describir la
transferencia de calor en un campo de flujo turbulento.
Las primeras correlaciones (37) para la transferencia
de calor por convección para flujo en tubos, eran de la
forma
(13.64)
n = 0.4 cuando el fluido se calienta
n = 0.3 cuando el fluido se enfría
En la Ec. 13-64 se evalúan las propiedades del fluido a la
témperatura media del mismo (
Es importante notarque no se obtiene una ecuación única para el proceso
que se está considerando. ¿Por qué debe haber una dependencia en cuanto a que el fluido se caliente o se
enfríe?
En el Cap. 12 se examinó el perfil de temperaturas del
fluido y la mayor parte del gradiente aparece en la subcapa laminar y en la región de amortiguamiento. Una
gran parte de la resistencia a la transferencia de calor
aparece en esta pequeña capa de resistencia del fluido.
Puesto que la pared está a Tl y el extremo interno de la
capa de resistencia del fluido se encuentra aproximadamente a 7;, el medio de transferencia en la capa de resistencia opera a una cierta temperatura distinta de T.
Puesto que las propiedades del fluido en la Ec. 13-64 se
evalúan a T, la discrepancia entre la temperatura real de
la capa de resistencia real y la temperatura que se utiliza
para la evaluación, sirve como una explicación de la diferencia en las ecuaciones para el calentamiento y
enfriamiento. La presencia del gradiente de temperaturas en la capa de resistencia establece gradientes de
densidad, debidos al cambio de la densidad con la temperatura, de tal manera que, por debajo de N Re = 10
000, algunas corrientes de convección natural alteran el
mecanismo de transferencia. Este tema se estudiará en
detalle más adelante dentro de este mismo capítulo.
Además, el espesor de la capa de resistencia depende
de la viscosidad y la densidad (de la definición de y+ en
el Cap. 12), y la viscosidad de líquidos es muy sensible a
los cambios de temperatura. Se propuso una nueva
ecuación (59) que incluye un término de corrección de
la condición real de la capa de resistencia.
n.
(13.65)
Las propiedades del fluido se evalúan a T, con excepción de /Al' que se evalúa a la temperatura de la pared
Tl . La Ec. 13-65 es válida por encima de N Re = 10000,
para todos los fluidos con números de Prandtl en el intervalo de 0.5 y 100. Esta ecuación no es aplicable a metales líquidos.
Ejemplo 13-7 Un aceite SAE 10 fluye a través de un
tubo de un intercambiador de calor, de 2 plg 0.1., a 400
gal/min. En el punto de análisis, la temperatura media
del aceite (Ti es 120 ° F. Calcular el coeficiente de transferencia de calor y el flujo de calor si la temperatura de la
pared del tubo es (a) 50°F y (b) 170°F.
Datos:
T,oF
¡.t, centipoises
50
120
170
100
20
6
Datos en esta columna a 120°F
56.2 Ib/pie 3
0.465 Btu/lb °F
k = 0.070 Btu/h pie 2 (OF/pie)
p =
Cp =
Solución Se calcula el número de Reynolds para determinar el régimen de flujo, pero primero puede convertirse la velocidad de flujo de gal/min a pies/s.
v=
Dvp
-
J..L
400/(7.42 x 60)
.
[¡r(2/12)2/4] =41.4Ples
(2/12)(41.4)(56.2)
=
=28600
(20 x 6.72 x 10- 4)
A N Re = 28600, el flujo es turbulento.
(a) Si el aceite se está enfriando, se puede usar la Ec.
13-64, pero debido a su mayor precisión en un intervalo
más amplio de variaciones de viscosidad, se prefiere la
Ec. 13-65. No es difícil aplicarla, puesto que se conoce
la temperatura de la pared T;..
De la Ec. 13-65,
(C J..L)0 .33( ~.
)014
J..L1
k
h = 0023 - (N )0.8 ~
.
D
Re
k
0.070
h = O 023 x - - (28 600)°·8
.
(2/12)
x [(0.465)(20 x 2.42)11/3[ 201°.14
(0.070)
h = 193 Btu/h o F pie 2
100
Es posible determinar el flujo de calor a partir de la Ec.
13-59
q =-h(T1 -
A
ñ
q = -( 50 - 120)( 193) = 13 530 Btu/h pie 2
A
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FUNDAMENTOS DE LOS MECANISMOS DE TRANSFERENCIA 273
El signo positivo indica que la transferencia de calor se
lleva a cabo en la dirección radial hacia el exterior (enfriamiento). Para N Re' la velocidad secalculó en pies por
segundo; en consecuencia, ¡.t se convirtió a libras por
pie-segundo. Para N pr , la conductividad térmica k se
expresa en unidades horarias y por consiguiente, ¡.t se
convierte a libras por pie-hora.
(b) La Ec. 13-65 es aplicable tanto para calentamiento, como para enfriamiento. Con excepción de ¡.tl' que
se evalúa a Tl , todas las propiedades se evalúan a f .
h= 0.023
~ {NRe)0 .8{Npr)0.33(:JO.14
(0.070)
h = (0.023) (2/12) (3640)(6.88)
(20)0.14
6
h = 286 Btu/h o F pie 2
~ = -(190 - 120){286) = -20 000 Btu/h pie 2
El signo negativo indica que la transferencia de calor se
lleva a cabo en la dirección radial hacia el interior (calentamiento).
El Ej. 13-7 muestra la diferencia de coeficientes de
transferencia cuando el material que se encuentra en
una condición dada se somete a calentamiento o
enfriamiento . La viscosidad del aceite es en particular
sensible a los cambios de temperatura. Bajo las mismas
condiciones, el agua respondería de una manera similar
pero en menor grado. Las viscosidades de los gases
aumentan con incrementos de temperatura; por tanto,
los gases responderían de una manera opuesta.
Coeficientes de transferencia de masa para flujo
turbulento en tubos
La expresión general para la transferencia en tubos, Ec.
13-54, puede escribirse específicamente para la transferencia de masa sustituyendo las variables apropiadas.
Para una transferencia de masa d = !!), E = 'E. ,
(lIJA) = Na y r = Ca. El coeficiente de transferencia de
masa para contradifusión equimolar se define como
kc' =
4{ g) + EN)
cffN =---~-
D'YN
N
- -(ea 1 - ea )
a1 -
1
(13-68)
A1 k c'
La fuerza motriz para la transferencia de masa es la diferencia de concentración entre el límite y el líquido global, mientras que la resistencia a la transferencia de masa es (1/A l k e ').
Para la evaluación de los coeficientes de transferencia de masa en gases y líquidos con régimen turbulento,
se ha desarrollado una correlación* similar a la de transferencia de calor. Los datos para esta correlación se tomaron en una columna de pared húmeda, consistente
en un tubo vertical, de tal manera que el liquido fluye
hacia abajo por la pared en una película delgada,
mientras que un gas en contacto con la película delgada
del líquido, fluye en forma ascendente por el centro del
tubo. Cuando la película del líquido se mueve con flujo
laminar, se conoce el área de transferencia. La columna
de pared húmeda es útil para analizar los datos de transferencia de masa, pero tiene poco valor comercial en
comparación con las elevadas velocidades de transferencia por unidad de volumen de las columnas empacadas; sin embargo, el área de transferencia de una columna empacada es desconocida. Se han determinado
mediante experimentación velocidades de transferencia
de masa de líquido, permitiendo el flujo de un líquido en
un conducto hecho de un material soluble. La ecuación
para la correlación (61) de todos los datos de líquidos y
gases tiene la forma**
k'D
~ = 0.023{N Re )0 .83{Nsc )0.33
(13-69)
en donde el número de Schmidt (N se) = V / !!) es la relación entre las transferencias de momento y masa, ambas por mecanismo molecular . Los datos sobre transferencia de masa no son tan comunes como los datos
de transferencia de calor; como consecuencia , no es
posible establecer las condiciones precisas de aplicabilidad de esta ecuación con tanta confianza como en el
caso de la transferencia de calor. Es suficiente decir que
esta ecuación es aplicable al caso en el que un fluido
desciende por la columna con flujo laminar y el gas asciende con un flujo turbulento completamente desarrollado.
(13-66)
donde k e' es el coeficiente de transferencia de masa
[M/el"L,(M/Lxl"L,l]' lb mol/h pie 2 (lb mol/pie 3 ).
* El análisis de relación de mecanismos puede escribirse con base
en los cuatro mecanismos de transferencia de masa y momento, por
transporte molecular y turbulento.
Los datos exclusivos de gas se correlacionan (61) mediante
Después de sustituir las variables específicas apropiadas, la ecuación de transferencia de masa se escribe
como
Na1
A= - ke '(ea 1 -e)
a
1
O bien reordenando términos
(13-67)
k 'D
~
= 0.023(NReIO.83(NScIO.44
(13.69al
los datos del gas para esta correlación toman en cuenta variaciones de
N Se entre 0.6 y 2.5 Para los liquidos, N Se se aproxima a 1000. Si se utiliza el exponente 0.44 o 0.33 para gases comunes, la diferencia númerica de k, ' es muy pequeña y puede pasar inadvertida en comparación con el error experimental. Tales diferencias entre los investigadores no son raras.
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274
PRINCIPIOS DE OPERACIONES UNITARIAS
Las características mecánicas de la columna de pared
húmeda son tales que la columna para transferencia de
masa y el tubo para transferencia de calor son casi análogos. Además, las ecuaciones resultantes de la correlación de datos de transferencias de calor y masa son casi
idénticas en forma, y sólo difieren un poco en el exponente del número de Reynolds. La mayor parte del gradiente de concentración existe en la capa de resistencia,
es decir, en el fluido de la región aproximada de la subcapa laminar y la región reguladora. Debido a que un
gradiente de concentración para dos gases de pesos
moleculares distintos resulta en un gradiente de densidad, puede presentarse cierto grado de convección natural en la capa de resistencia. Cualquier convección
natural en esta capa resultará en un incremento del coeficiente de superficie y existe la probabilidad de que las
pequeñas diferencias en las ecuaciones de correlación
puedan atribuirse en forma parcial a este fenómeno de
convección.
En la expresión integrada para la transferencia molecular de masa a través de una película estacionaria (Ec.
10-62), se insertó la relación C,/Cbl m como una corrección a la ecuación de transporte equimolar. Esta corrección para la conversión del coeficiente* en el caso
de difusión del componente a a través del componente
estacionario b es
kc'D
~
cb/m
0--
ct
= 0.023
(Dfi P)0.S3 ( J1 )0.33
-
donde kG'
Pal =
Pa =
(13-71)
coeficiente de transferencia de masa para contradifusión equimolar, para usarlo
con las concentraciones de gas expresadas como presiones parciales, con dimensiones M/Ol"L, ( F/L2) Y unidades
típicas (lb mol/h pie 2 atm)
presión parcial del componente a en la
frontera F/L2 (atm)
valor medio de la presión parcial del
componente a en la corriente fluida F/L2
(atm)
El coeficiente kG' puede relacionarse con k: como sigue. La velocidad de transferencia del componente a
también puede representarse mediante la Ec. 13-68.
/Va
- = -k
Al
,
c
_
(c 1 - C )
a
a
Para los gases ideales, Ca = Poi RT; entonces,
/Va
-kc'
Al = RT (Pal - Pa)
(13-72)
Por análisis de las Ecs. 13-71 y 13-72,
De acuerdo con esto, la ecuación, para este caso se
transforma en
kc D
Na
Al = -k G '(Pal - Pa)
kcD
Ct
--0--=-~
cb/m
~
-
ciones de gas expresadas como presiones parciales, se
define la forma kG' mediante la ecuación
-
P~
J1
(13-70)
donde kc es el coeficiente de transferencia de masa para
el gas a que se difunde a través de un gas b estacionario.
Las Ecs. 13-69 y 13-70 son adecuadas sobre el intervalo de N Ae = 2000 Y N Re = 35000 Y entre N Se = 0.6 Y
N Se = 1000. La velocidad de gas se mide en relación
con el recipiente y no al líquido en movimiento.
Los datos de concentración para gases y líquidos
pueden reportarse en dimensiones distintas a las de moles por unidad de volumen. Estas otras expresiones de
concentración conducen a escribir diversos coeficientes
de transferencia de masa que se utilizan de manera
usual en la bibliografía. Por ejemplo, para concentra* Es posible escribir el coeficiente de transferencia de masa de
acuerdo con la Ec. 13-66 y entonces multiplicarlo por c, !eb / m •
4( ~ + EN)
kc=--~
Ct
D'YN
cb/m
Nótese que esta expresión implica una transferencia turbulenta del
gas a a través de un gas b estacionario. Esta suposición de la existencia de un gas estacionario b en la porción turbulenta del tubo es incorrecta obviamente, pero dado que el gas b no pasa a través del
límite, las correlaciones tradicionales de datos experimentales se han
escrito sobre esta base y hasta que se cuente· con información de mayor utilidad directa, se continuará aquí con esta práctica.
k
,
G
kc'
-- RT
En la Tabla 13-3 se muestran algunas otras formas de
coeficientes de transferencia de masa. Estas formas
pueden relacionarse con kc Y k: .
Ejemplo 13-8 Una columna de pared húmeda de 2
plg 0.1., contiene aire y CO 2 que fluyen a 3 pies/s. En
un punto de la columna, la concentración de CO 2 en el
aire es de 0.1 fracción mol. En el mismo punto de la columna, la concentración de CO 2 en el agua, en la interfase aire-agua es 0.005 fracción mol. La columna opera a
10 atm y 25 oC. Calcular el coeficiente de transferencia
de masa y el flujo de masa en el punto de consideraci6n.
Especifique la dirección de la difusión.
Solución Del Apéndice 0-11, para CO 2 en aire a 25
oC y 1 atm, ~ = 0.164 cm 2 /s y N Se = 0.94. Como se
indica en el Cap. 9, la difusividad de masa de los gases
varía de manera inversa con la presión; entonces,
Pl )
~ 2 = gt) l ( = 0.164 -1 = 0.0164 cm 2 /s
P2
10
Esta respuesta puede convertirse a unidades inglesas de
pie 2 /h
(0.0164)(3600)
2
= 0.0635 pie 2 Ih
( 30.5)
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FUNDAMENTOS DE LOS MECANISMOS DE TRANSFERENCIA
275
Tabla 13-3 Coeficientes de transferencia de masa para diversas expresiones de la fuerza impulsora.
Ecuación general:
Na = _ (fuerza impulsora)
Coefic~ente )
A1
donde Na l A,. = flujo de masa, lb mol / h pie 2
Coeficientes
Expresión para
fuerza impulsora
Un idades de
fuerza impulsora
Transferencia de
a a través de b
estacionario
Contradifusión
equimolar
Unidades del
coeficiente
PARA GASES
lb mol de a transferidas
Ca 1 - ca
lb mol
pie 3
Pa1 - Pa
atm
kG = -
Ya1 - Ya
mol fracción
proporción mol
ky =- -----'RT
h pie 2 (lb mol/pie 3
, kc'
kc
lb mol de a transferidas
RT
h pie 2 atm
kc'P
kcP
lb mol de a transferidas
ky = RT
ky = RT
h pie 2 (fracción mol)
kG=-
RT
,
,
k c 'P(Yb1 )(Yb)
k P(Yb1 )(Yb)
c
k y = -'--"---'-
RT
lb mol de a transferidas
h pie2 (proporción mol)
PARA LlQUIDOS
Ca 1 -ca
lb mol
lb mol de a transferidas
pie 3
h pie 2 (lb mol/volumen)
xa
fracción mol
X a 1 -Xa
proporción mol
Xa1 -
kcp
lb mol de a transferidas
M
h pie 2 (fracción mol)
kx =-.:.-kcP(Xb 1 ) (Xb)
'lb mol de a transferidas
M
h pie2 (proporción mol)
kx=
donde x, y = fracción mol .
X, y = proporción mol, moles de a/ moles de b.
P = densidad promedio de una mezcla de a y b .
1f7i = peso molecular promedio de una mezcla de a y b.
En los gases, el número de Schmidt v/ f!} es independiente de la presión debido a que v y f!} varían con la presión en la misma forma. La presión parcial de CO 2 en la
fase gaseosa es igual al producto de la fracción mol de
CO 2 y la presión total.
Pa1
= (1640)(0.005) = 8.2 atm
Por tanto, suponiendo que las propiedades del aire sean
una aproximación satisfactoria para la mezcla airebióxido de carbono, las propiedades del aire a 25 oC y 10
atm son
Pa =xa P = (0.1)(10) = 1 atm
Debe calcularse el valor de PaI' El enunciado del proble
ma indica que la concentración del CO 2 en e/liquido en
la interfase, es de 0.005 fracción mol. La presión parcial
del CO 2 en la fase gaseosa en la interfase, es igual a la
presión de vapor de equilibrio del CO 2 sobre el líquido.
Para el sistema bióxido de carbono-agua, puede usarse
la constante de la ley de Henry (H), para calcular poI' En
el Apéndice 0-3 a 25 oC, se encuentra la constante de la
ley de Henry H = 1640 atm/unidad de fracción mol de
CO 2 en el líquido. Entonces
Pa1 = HX a 1
JIair. = 0.018 cps
Pairo = 0.0808 Ib/pie 3 en condiciones estándar
p.aire en 10 atm, 25°C = 0.080 (273/298)(10/1)
= 0.74 Ib/pie3 .
Analizando en las condiciones de turbulencia se encuentra que
(Dvp)
(~) (3)(0.74)
N Re = -JI- = (0.018 x 6.72 x 10-4) = 30600
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276 PRINCIPIOS DE OPERACIONES UNITARIAS
con este número de Reynolds el aire se encuentra en
flujo turbulento.
El aire es esencialmente insoluble en el agua, de manera que éste es un ejemplo de difusión a través de un
gas que no-se difunde. En este caso se aplica la Ec. 13-70
Cbml
Pbml
Ct
Pt
ANALOGIAS ENTRE LAS TRANSFERENCIAS
DE MASA, CALOR Y MOMENTO
en donde el subíndice b se refiere al componente estacionario, que en este caso es el aire.
Por definición,
(Pb 1 - Pb)
Pbml =
In(~: 1)
Pb 1 = (Pt - Pa 1 ) = (10 - 8.2) = 1.8 atm
Pb = (Pt - Pa) = (10 - 1) = 9 atm
Pbm I =
(1.8 - 9)
18 =
-7 .2
In (~) -ln(,~8)
= 4.47 atm
Pbml 4.47
- - =-=0.447
Pt
10
Se puede resolver la Ec. 13-70 para obtener kc
kc = 0.023 (~)(p::J(NRe)0.83(Nsc)0.33
~ (0.023)
(0.0635)
1
(,22)
0.447
la presión de vapor de equilibrio del CO 2 sobr~un líquido
o una concentración de 0.005 fracción mol de CO 2 en
agua.
Hasta este punto, se examinaron en forma casi simultánea, las transferencias de masa, calor y momento, destacando siempre la similitud de su comportamiento. En
los Caps. 9 y 10 se estudiaron las similitudes entre los fenómenos de transporte molecular. En el Cap. 12 se presentó la dependencia similar de las transferencias de
masa, calor y momento sobre la actividad de vórtices.
Hasta el momento, parece existir una relación muy
estrecha entre los tres fenómenos de transferencia, en
los regímenes laminar y turbulento. Para este último régimen, existen otras evidencias que demuestran las similitudes en forma más cuantitativa. En la siguiente sección se estudiarán algunas de las muchas analogías que
presentan los fenómenos de transferencia . Se describirán las analogías entre las correlaciones de velocidad de
transferencia que se presentaron antes en este capítulo.
Además, se introducirá información más amplia sobre la
analogía de Martinelli.
Las analogías son herramientas útiles para el estudiante, como una ayuda para la rápida comprensión de
los fenómenos de transferencia y para el profesional como una forma segura de predecir el comportamiento de
sistemas para los que se tiene disponible una cantidad
limitada de datos. En esta sección se usarán las analogías para describir el mecanismo de transferencia.
(30600)°·83(0.94)°·33
100 lb mol/h pie 2 (lb mol/pie 3 )
Se utiliza la Ec. 13-68 para calcular el flujo de masa.
Na /A 1 = -kc(Ca 1 -ca)
Ca = Pa/ RT
R = 0.729 atm pie3 /lb mol °R
T= (298)(1.8) °R
kc
Na /A1 =- RT (Pa1 -Pa)
El coeficiente de transferencia para el momento
El desarrollo de correlaciones de velocidad de transferencia para flujo turbulento muestra una inconsistencia.
La correlación de la velocidad de transferencia de momento utiliza una relación factor de fricción-número de
Reynolds, mientras que para correlacionar velocidades
de transferencia de calor y masa, se usan coeficientes de transferencia. Estas correlaciones son comunes
en la ingeniería.* Si se escribe un coeficiente de superficie
para transporte de momento, tal vez, se descubran
nuevas similitudes. Es posible escribir la Ec. 13-54 para
transferencia de momento, sustituyendo r por pv y (tp)l
por (Ty g c )l'
(13-73)
__
100
(8.2 _ 1)
(0.729) (298) (1.8)
= -1.84 lb mol/h pie 2
El signo negativo indica una transferencia desde la pared hacia el centro del tubo, dado que el flujo es positivo
en la dirección de radio creciente. Esto también es evidente con base en el valor elevado de 8.2 atm para POl'
* Los primeros trabajos sobre transferencia de momento fueron
hechos por ingenieros civiles, que no tenían interés profesional en la
transferencia de calor o masa. Los primeros trabajos sobre transferencia de calor los hicieron ingenieros mecánicos, que tenían poco interés profesional en la tra nsferencia de momento. La transferencia de
masa está situado en el campo de los ingenieros químicos . Estos diversos antecedentes quizá retrasaron el reconocimiento del comportamiento similar de los fenómenos de transferencia .
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FUNDAMENTOS DE LOS MECANISMOS DE TRANSFERENCIA 277
Para el fluido adyacente a un conducto estacionario VI
= O, así que
y
g7=
(T y 9c),
_
pv
(13-74)
Si se divide a la Ec. 13-74 entre V, el resultado puede
sustituirse en la Ec. 13-9a.
!. = (T y 9c)1 = _0_"7
8
¡¡2p
o
Cuando la Ec. 13-80 se ensayó en forma experimental
se encontró que correlaciona datos en forma aproximada, para gases con flujo turbulento. No correlaciona datos experimentales para líquidos con flujo turbulento ni
para cualquier fluido con flujo laminar. Todos los gases
se caracterizan (véase el Cap. 9) mediante valores del
número de Prandtl en el intervalo general de 0.6 a 2.5.
Después de un análisis más crítico se concluyó que la
analogía de Reynolds únicamente es válida para (N Pr) =
1. Por un razonamiento similar, puede escribirse una
expresión con base en el postulado de que la masa y el
momento se transfieren por un mecanismo idéntico. Este postulado puede escribirse como
4(~+EN)
fil
g=7
( 13-75)
8
(13-81 )
Si se sustituyen los coeficientes de transferencia apropiados y la Ec. 13-81 se divide entre V, es posible
expresar una ecuación de analogía:
La analogía de Reynolds
La analogía de Reynolds (48), tiene importancia histórica como el primer reconocimiento del comportamiento
análogo de las velocidades de transferencias de momento y calor. Como tal, sin duda alguna sirvió de guía
para una buena parte del trabajo posterior que se desarrolló en las mismas áreas. Si bien su aplicación es limitada, es útil en cualquier trabajo que involucre gases
comunes y, de hecho, ha sido una de las herramientas
más útiles para estudiar los complejos fenómenos de capa límite en la aerodinámica.
Reynolds postuló que los mecanismos para las transferencias de momento y de calor son idénticos. El postulado puede expresarse como
4(a + Eq)
4(v + E7 )
'YqD
'Y7D
(13-76)
o bien, si se sustituyen los coeficientes,
-
4(V+E'7)
h
cpp
= g7
(13-77)
kc'
f
il
8
-=-
(13-82)
Cuando la Ec. 13-82 se ensayó en forma experimental se
encontró que correlaciona datos en forma aproximada
para gases con flujo turbulento, pero no correlaciona
datos para líquidos con flujo turbulento ni para cualquier
fluido con flujo laminár. Los gases se caracterizan por
valores del número de Schmidt cercanos a la unidad.
Un análisis más cuidadoso reveló que la Ec. 13-82 sólo
es válida (61) para N Se = 1.
Aunque la analogía de Reynolds tiene una utilidad limitada, puede obtenerse una conclusión significativa;
es decir, cuando N pr = N Se = 1, los mecanismos para
las transferencias de masa, calor y momento, son idénticos. Es posible obtener una segunda conclusión; que
para otros fluidos, los procesos de transferencia difieren
de cierta manera, en forma funcional relacionada con el
número de Prandtl o el de Schmidt. En el Ej. 13-9 se presenta una aplicación de la analogía de Reynolds.
v
Se puede dividir la Ec. 13-77 entre y sustituir el factor
de fricción por (j 7 /ii , como en la Ec. 13-75
h
f
--=cppil
8
(13-78)
La Ec. 13-78 es un enunciado matemático de la analogía
de Reynolds. El grupo h/cpp ves el número de Stanton
(N SI)' El número de Stanton se relaciona con los números de Nusselt, Reynolds y Prandtl, como sigue:
NNu
N st = - - " - -
La analogía de Colburn
Colburn (5) estudió las ecuaciones empíricas para las
transferencias de calor y de momento con régimen turbulento y presentó una analogía más general. Si la Ec.
13-65 para transferencia de calor con régimen turbulento, se divide entre el producto (N Re ) (N pr ), entonces
(13-79)
NReN pr
Esta expresión puede reordenarse para obtener
Entonces, la Ec. 13-78 puede escribirse como
( 13-80)
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278
PRINCIPIOS DE OPERACIONES UNITARIAS
En el Apéndice C-5 también se encuentra la gráfica de la
Ec. 13-83. La Ec. 13-15 se puede dividir entre 8 y expresarse como
"8f = 0.023(NRe )-O.2
( 13-84)
En el Apéndice C-5 también se encuentra la gráfica de la
Ec. 13-84. El término 0.023 {N Re )-0.2 se puede eliminar de
las Ecs. 13-83 y 13-84
( 13-85)
El término i. se define como (NSt){N pr )2/3 {¡'¡1/¡.¡)0.14 y se
conoce como el factor "i" para la transferencia de calor.
La Ec. 13-85 puede expresarse como
.
f
Iq
="8
(13-86)
Esta ecuación es un enunciado de la analogía de Colburn entre las transferencias de calor y de momento. La
Ec. 13-86 se deriva de dos ecuaciones que correlacionan
datos experimentales en el intervalo 10000< N Re< 300 000
Y 0.6< Np~ 100. La Ec. 13-85 muestra una relación funcional entre las transferencias de calor y de momento y
el número de Prandtl, como lo predice la analogía de
Reynolds. Nótese que en la Ec. 13-85, si N pr = 1 Y
(¡'¡1/¡.¡) =
1,
f
N st =-
( 13-80)
8
que es la analogía de Reynolds.
Las ecuaciones empíricas para las transferencias de
masa y de momento con régimen turbulento, pueden
compararse de la misma manera. Es posible dividir la Ec.
13-69 entre el producto (N Re){N Se) y reordenarse para
obtener
k'
-:- (Ns e )2/3(N Re )o .03 = 0.023(NRé )-O.2
v
Se pueden combinar las Ecs. 13-86 y 13-90 para dar
(13-91 )
Esta ecuación es aplicable a los siguientes intervalos:
para transferencia de calor, 10000< N R:::' 300000 Y 0.6
< Np~ 100; para transferencia de masa* 2000 < N R:::'
300 000 Y 0.6< N sf. 2500.
Si se sustituyen los coeficientes de transferencia en
cada uno de los términos de la Ec. 13-91, pueden obtenerse algunas conclusiones interesantes. Cuando se
aplica esta sustitución y se cancela la velocidad de cada
término, suponiendo {¡'¡1/¡.¡)0.14 = unidad, entonces
La Ec. 13-92 se puede dividir entre {V)213
h
kc'
tS~
Cpp(ex)2/3 = (9& )2/3 = (V)2/3
(13-93)
Se entiende que la Ec. 13-92 es aplicable para un número de Reynolds constante en todos los fenómenos de
transferencia. La Ec. 13-93 demuestra que la relación
del coeficiente de transferencia a la difusividad molecular, elevada a la potencia 2/3, es una constante. Esta relación simple es válida para las ecuaciones empíricas
que se usaron para la analogía de Colburn y para el
equivalente de ésta en la transferencia de masa, sujeta a
la corrección que se mencionó con anterioridad. Sin
embargo, si se sustituye la definición de mecanismo de
los coeficientes en la Ec. 13-92, usando las Ecs. 13-76,
13-66 y 13-57,
4 (ex+Eq)
-
D 'Yq (ex) 2/3
4 ( 9& +EN )
=-
D 'Y N (9& ) 2 13
4 (v+Eq )
=-
D 'YT (v) 2/3
(13-94)
El término 4/ D se cancela y la Ec. 13-94 puede expresarse como
( 13-87)
Si se toma {N Re)0.03 como unidad*, se puede escribir la
Ec. 13-87 como
k'
-:- (N Se )2/3 = 0.023(N Re )- O.2
(13-88)
v
Es posible eliminar al factor 0.023 {N Re )-0.2 entre las Ecs.
13-88 y 13-84 para dar
k '
V
~(N
f
Se
)2/3=8
(13-89)
El término.h se puede definir como {/(,: /v){N syl3 y llamarlo factor ''i'' para transferencia de masa . Entonces
.
f
IN =-
8
(13-90)
Esta ecuación es un nuevo enunciado de la Ec. 13-92 y
es aplicable mientras el número de Reynolds sea el mismo, a todos los fenómenos de transferencia. El número
de Reynolds puede tener cualquier valor dentro del intervalo de validez de las ecuaciones que se usaron en la
derivación. Las funciones de distribución de concentra-
* El error en la suposición puede ser considerable. En el intervalo
de números de Reynolds para los que se aplica esta suposición
(NRe)o.Ol varía entre 1.32 y 1.46. La superficie del fluido en una columna de pared húmeda puede ser ondulada, lo que puede introducir perturbáciones geométricas y aumentar la velocidad de transferencia de
masa en la fase gaseosa. El exponente más alto del número de Reynolds, puede ser f;ll resultado del ondulamiento de la superficie del
fluido.
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FUNDAMENTOS DE LOS MECANISMOS DE TRANSFERENCIA 279
ción Yq, YN Y YT' tienen por definición un valor máximo
unitario y un valor mínimo quizá no inferior a 0.7. Dentro del intervalo de validez de las ecuaciones de correlación, los coeficientes de transferencia varían en un intervalo de alrededor de 15 veces. Cuando las funciones
de distribución de concentración (Yq, YT Y YN) se consideran, casi iguales, mientras que las difusividades moleculares (a, v y.@) varían en el intervalo de validez de las
ecuaciones empíricas, entonces, en un número de Reynolds dado, las difusividades medias de masa, calor y
momento de los vórtices no serán iguales. En el Cap. 12
se supuso que el valor de punto de la difusividad de vórtices era igual a una velocidad de flujo dada, sin importar qué propiedad se transfiere. No hay inconsistencia
en estas observaciones. La definición de la difusividad
media de vórtices resulta de la Ec. 13-49 y muestra la integración del valor de punto para el conducto completo.
La integración incluye el uso de los gradientes
d(P v) / dr, d(P cp T)I dr y de. / dr. Si para una condición
particular de flujo, las difusividades de punto de los vórtices son iguales, pero los gradientes difieren con la
propiedad que se transfiere, los valores medios que resultan de la integración serán diferentes. En la analogía
de Reynolds, donde a = V = .@, los valores de las difusividades medias de vórtices son iguales, lo que implica
que los gradientes eran iguales; pero por la analogía de
Colburn, donde a "* v "* ~ . Las difusividades medias de
vórtices no son iguales, lo que implica diferencias en el
gradiente para las diferentes propiedades que se
transfieren. En la siguiente sección sobre la analogía de
Martinelli se ampliará este concepto.
vez más puede concluirse que estos problemas desaparecerán cuando se establezca un modelo matemático
completo de la turbulencia. En el Ej. 13-9 aparece una
aplicación de la analogía de Colburn .
Las ecuaciones empíricas de esta sección son válidas
para gases y líquidos dentro del intervalo 0.6 < N Pr < 100 Y
0.6 < N Se < 2500. Este intervalo incluye a la mayor parte
de los fluidos de importancia práctica, con excepción de
los metales líquidos. Existen pocos datos disponibles
para líquidos con números de Prandtl en extremo altos,
debido a que tales líquidos tienen viscosidades muy elevadas, al grado de que no existe equipo de bombeo para
mantener una alta velocidad de flujo turbulento. Los
metales líquidos son una clase importante de fluidos reales, cuyo comportamiento de transferencia de calor no
puede predecirse con las ,ecuaciones empíricas citadas
antes. Estos fluidos se caracterizan por una baja viscosidad (aproximadamente la del agua), pero con conductividades térmicas altas (casi 30-60 veces mayores que la
del agua). Las otras propiedades son tales que el valor
típico para los metales líquidos es N Pr = 0.01. Este valor
se encuentra por completo fuera del intervalo de validez
de las correlaciones empíricas citadas con anterioridad.
Si las ecuaciones empíricas fueran enunciados fidedignos del mecanismo, serían sin duda aplicables en el intervalo completo de números de Prandtl. Esta crítica es
la misma que se hace a las Ecs. 12-23, 12-24 y 12-25, las
ecuaciones de distribución de velocidades con régimen
turbulento. Las ecuaciones son válidas para predecir el
comportamiento, pero no concuerdan en forma fidedigna con el mecanismo de dicho comportamiento. Una
2. En la sección de prueba existe un flujo turbulento
completamente desarrollado.
3. El flujo de calor a través de la pared del tubo es constante para la sección de prueba.
4. Tanto la tensión como el flujo de calor son cero en
el centro del tubo y crecen en forma lineal con el radio,
hasta un valor máximo en la pared (véanse las Ecs. 10104 y 12-33).
5. En cualquier punto Eq = E.
6. Las ecuaciones de distribución de velocidad, Ecs.
12-23, 12-24 y 12-25, son válidas. Las ecuaciones
La analogia de Martinelli
La analogía de Reynolds es¡ una contribución importante, ya que demuestra la sinrilitud del mecanismo de los
fenómenos de transferencia; pero se limita a valores
unitarios de los números de Prandtl y de Schmidt.
La analogía de Reynolds no intenta elucidar el mecanismo. La analogía de Colburn demuestra la similitud numérica entre los fenómenos de transferencia, para un
intervalo más amplio pero aún limitado, de números de
Prandtl y de Schmidt. La analogía de Colburn implica
que las ecuaciones de correlación no son enunciados inf alibles del mecanismo, sin importar su precisión para
predecir valores numéricos de los coeficientes.
Se han establecido otras analogías que pueden aplicarse con distintos grados de precisión al intervalo
completo de números de Prandtl. Estas analogías se basan en el modelo de flujo turbulento descrito en el Cap.
12, cada una de ellas con su propio conjunto de suposiciones. El trabajo de Martinelli (34) es un buen ejemplo
de una analogía entre la transferencia de calor y la de
momento, que puede derivarse a partir de un modelo
más detallado. Martinelli hizo las siguientes suposiciones.
1. La fuerza impulsora de temperatura entre la pared y
el fluido es suficientemente pequeña, por lo que ¡'¡/~1~1.
d(pv)
T
y
= -(v+ E ) - r
(12-15)
dx
y
!!... = _(~ + E ) d(pcp n
A
(12-36)
dx
q
son modificadas de acuerdo con la suposición 4 y escritas para ~na geometría cilíndrica
(T y )'
(r1- r) = -(v +
d(pv)
Er) - -
dr
( 12-22)
y
_(~ +
(A!L) (~)
r1
=
1
Eq) d(pcp
dr
n
(12-30)
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280 PRINCIPIOS DE OPERACIONES UNITARIAS
Las ecuaciones de distribución de velocidad se utilizan para evaluar E en la Ec. 12-15 Y estos valores se
sustituyen en la Ec. 12-36, de acuerdo con la suposición
5. La Ec. 12-36 se integra de tal manera que el valor de
punto de la temperatura se expresa en función de la posición y esta ecuación se convierte a la forma N Nu =
Npr, f). Las ecuaciones son complejas y no se
~(NRe,
presentan aquí. En su lugar, se describen los resultados
en forma de una gráfica de N Nu en función de N Re' con
valores de Npr que varían entre O y 00 en la Fig. 13-6a.
Debido a que la analogía de Martinelli puede aplicarse
al intervalo completo de N Pr, es posible verificarla con
datos experimentales. Lyon (32) predijo la forma de una
ecuación de correlación que es válida para el intervalo
de números de Prandtl de los metales líquidos, mediante un método similar al trabajo de Martinelli, que se verificó con datos experimentales usando aleaciones de sodio y potasio. La ecuación resultante de esta correlación es
( (13-96)
donde Npe
0.1
103 1---+---j~----"I---)&L-/-7,L--h.L-b,L----j.-<---J
0.01
0.005
h~~-;y'S7''--1---:;;ojL--r=---+---j;,.L,...r--t-10.001
0.0005
10 I--,...¡<::--f-----j-'+----"'F'--F=-------==--+..e:::....¡
t::=--!---i----i:---+----t--f=--t--l
0.0001
NPr = O
7
10
11
11
,.
JI
1000
~
I!
I
,•
V
\
(13-97)
Analogla de
100
En el Apéndice C-5 se presenta una gráfica de la Ec. 13-97.
La analogía de Martinelli predice con gran precisión
los valores de N Nu para metales líquidos, y también predice los coeficientes de transferencia de calor para los
fluidos que se encuentran dentro del intervalo válido de
la analogía de Colburn. La concordancia entre esta
analogía y los datos experimentales puede observarse
en las Figs. 13-6b y 13-6c. La fig. 13-6b es una gráfica de
N Nu en función de N Pr r tal como lo predice Martinelli para NRe = 100000. En la misma figura están graficados
los. datos para las mismas condiciones, tomados de las
Ecs. 13-96 y 13-65. La Fig. 13-6c es una gráfica similar
que corresponde a N Re = 10000. Un análisis de estas
gráficas demuestra que la analogía de Martinelli concuerda bien con los datos experimentales, en el intervalo total disponible de números de Prandtl. Por tanto este
trabajo es una contribución importante a la compren-
Fig. 13-6 La analogía de Martinelli. (a) NNu en función de
NRe Y Npr• Comparación de la analogía de Martinelli y
ecuaciones empíricas para: (b) NRe = 100 000, p./P.l :; 1. (e)
NRe 10 000, P./P.l :; 1 (35). (Con permiso de McOraw-Hill
Book Co., copyright © 1954.)
* Esta ecuación no contiene un término (¡.¡fll,) y da mayor importancia al número de Prandtl. Contrastando con los gases, agua y
líquidos orgánicos, los metales fundidos tienen viscosidades relativamente insensibles a la temperatura y una mayor conductividad molecular.
NNU
10
-
~.
/
Martinelli
~ ~
Ec. 13-96 para metales IIquidos
(b)
"
Por conveniencia en el Apéndice C-5 se presenta una
gráfica de la Ec. 13-96.
Los datos para otros metales líquidos, tales como el
mercurio, plomo y bismuto, muestran un número de
Nusselt un poco menor que el predicho por la Ec. 13-96
a valores comparables del número de Peclet. Los valores menores del número de Nusselt se atribuyen en la
actualidad a las características no humectantes de estos
metales líquidos, con respecto al tubo de transferencia
de calor, pero la hipótesis no está establecida con claridad (25). Para el mercurio, plomo y bismuto, se
recomienda la Ec. 13-97 (31).
00
Analoglade
Colburn
.e ~
100
adimensional que se conoce como
número de Peclet. Este grupo es igual al
producto (NRJ(Np)
y representa la relación
.de mecanismos:
Transferencia total (molecular + turbulenta) de momento
transferencia de calor por mecanismo molecular
0.05
(a)
= grupo
1.0
1000
.-::.-
100
10
::-,....
--,-
¿.k.::ade
~
00
Analogla de
Colburn
Martinelli
Ec. 13-96 para metales IIquidos
1.0
0.0001
0.001
0.01
I
I
0.1
Npr
1.0
10
(e)
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FUNDAMENTOS DE LOS MECANISMOS DE TRANSFERENCIA 281
sión del mecanismo de transferencias de calor y momento con régimen turbulento.
Se han establecido analogías para la transferencia de
masa utilizando técnicas similares a las de Martinelli y
otros (56). Los datos experimentales y las analogías
concuerdan en un intervalo amplio, siempre que se utilice la suposición EN = 1.6ET en vez de la igualdad de las
difusividades de vórtices supuesta por Martinelli para la
transferencia de calor. Se ofrece una razón para esta diferencia. Por ejemplo, la superficie del fluido en una columna de pared mojada puede tener ondulaciones y, en
consecuencia, tender a transferir masa en la fase gaseosa debido a un incremento en la turbulencia por las
irregularidades de la superficie. La transferencia de calor
en esta clase de aparatos es de manera invariable mayor
que la que se observa en tubos secos en condiciones similares .
Los datos anteriores constituyen una evidencia impresionante de la utilidad de las analogías para definir un
mecanismo para las transferencias turbulentas de masa,
calor y momento. En resumen, la transferencia depende
del producto de la difusividad molecular y el gradiente
para una parte de la transferencia y del producto de las
difusividades de vórtices y gradiente, para el resto de la
transferencia. Las difusividades de vórtices para masa,
calor y momento, son tal vez iguales en aparatos
físicamente idénticos. Estas observaciones apoyan la
suposición hecha en el Cap. 12 de que E. = EN = E•.
Las difusividades moleculares no son idénticas y el efecto de esta diferencia se demuestra cuando se comparan
las características de transferencia de calor de sustancias tales como el agua y el mercurio. La elevada conductividad térmica del mercurio resulta en mayores coeficientes de transferencia de calor para números de Reynolds constantes. Para el agua, la contribución de la
transferencia molecular a la transferencia total es casi
insignificante, mientras que para el mercurio, la contribución de la transferencia molecular a la transferencia
total es del mismo orden de magnitud que la contribución debida a la turbulencia.
La analogía de Martinelli es un punto inicial útil para
predecir el comportamiento de transferencia con sustancias cuyas propiedades se encuentran fuera del intervalo que se estudió con anterioridad. Por ejemplo, para
cualquier fluido puede predecirse una ecuación de la
forma
En la Fig. 13-6a se puede predecir el comportamiento
de fluidos con números de Prandtl muy altos, en donde
las curvas de N Pr = 100 Y N Pr = 00 tienen una pendiente
de casi 0.8. Las dos curvas coinciden aproximadamente
y, en consecuencia, en la Ec. 13-98, a = 0.8 y b = O.
No es posible hacer predicciones sobre el efecto de la
relación de viscosidades (¡.d¡.t1).
Las analogías también se han utilizado para predecir
el comportamiento de transferencia hacia placas planas
como en la capa límite. En la última parte de este capí-
tulo se muestran esas correlaciones. Si bien las analogías tienen una utilidad definida al predecir el comportamiento más allá del intervalo de datos conocidos, la
ecuación empírica comprobada es aún la fuente más importante de datos de diseño.
Efecto del número de Prandtl sobre el perfil
de temperaturas
La relación y = (r 1 - r)/(r 1 - ro) definida en la Ec.
13-47, puede examinarse de manera cualitativa para la
transferencia de calor. En la Fig. 13-T se grafican datos
de temperatura-posición radial, usando un sistema de
coordenadas que es aplicable a geometrías cilíndricas,
sin importar el tamaño del cilindro y los valores reales de
la temperatura. La función de temperatura es
( T¡ - T) / ( T¡ -Tó ), mientras que la función de posición es
(r¡ - r)/r¡. Los subíndices indican la localización, donde
T¡ Y r1 representan la condición en la pared, Tó representa la condición en el centro del tubo y T y r representan
cualquier posición radial en el conducto. Se incluyen en
la gráfica los perfiles de temperatura para fluidos con
números de Prandtl 4, 0.7 y 0.024. Todos los datos están tomados para sistemas con N Re ~ 40000. Además,
la línea punteada representa el perfil de velocidades
(v/v.,), graficado en función (r1 - r)/r¡ para todos los
fluidos. Los datos de las tres curvas de temperatura se
graficaron en forma cruzada para encontrar la curva del
perfil de temperatura a N pr = 1. Esta curva es congruente con el perfil de velocidad de la línea punteada.
La gráfica puede usarse para predecir en forma cualitativa que Y., la cual se basa en el valor medio de
mezclado r, aumentará al incrementarse el número
de Prandtl, para N Re constante. Un análisis de la Fig . 20-2
demuestra que yT (o en este caso v/v má) crece al incre-
u
vo
1.0
(r¡ - r)/r¡
Fig. 13-7 Perfiles de temperatura y velocidad para N Re
40000 (35) . (Con permiso de McGraw-Hill Book Co.,
copyright © 1954.)
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282
PRINCIPIOS DE OPERACIONES UNITARIAS
mentarse el número de Reynolds. Puede suponerse entonces que yq es una función tanto del número de Reynolds como del número de Prandtl.
No existen datos comparables disponibles para la
transferencia de masa, pero a la luz del comportamiento
análogo, puede suponerse que YN crece al aumentar el
número de Reynolds y el número de Schmidt.
Ejemplo 13-9 Compare el valor del número de Nusselt, dado por la ecuación empírica apropiada, con el
predicho por las analogías de Reynolds, Colburn y Martinelli, para cada una de las siguientes sustancias, para
N Re = 100000. (a) aceite lubricante SAE 10, (b) agua,
(e) aire (1 atm) y (d) mercurio líquido. Considere todas
las sustancias a 100 o F, sujetas a calentamiento con la
pared del tubo a 150 °F.
Datos: Propiedades a 1 atm en Btu, h, pie y lb
11100
11150
(centipoises)
(centipoises)
k100
P100 ep100 (Nprh 00
0.018 0.0157
0.69 0.365 61.9
SAE10 31.
0.071 56.6
84.3
Mercurio 1.45 5.1
Aire
Agua
0.2401 0.71
1.
4.57
47.5
0.45
0.0234
0.33
0.02
0.42
12.
1,40
Sustituyendo por N SI' NNu/(NReNpr)y reordenando, esta
ecuación se convierte en
8"
NNu = (NRe )(Npr )1 /3 ( ')(11)°·14
111
= (105 )(0.71) 1/3 (0.0184) (0.018)0.1 4
8
0.020
NNu = 204
Por la analogía de Martinelli los datos están disponibles en la Fig. 13-6a.
NNu = 170
Solución para el mercurio La Ec. 13-97 es la ecuación empírica apropiada que puede usarse para predecir
el número de Nusselt.
NN u = 0.625(Npe )0.4
(Npe) = (NRe)(N pr ); entonces
NNu = 0.625(10 2 )(0.0234)°.4
NN u = 13.9 (valor más preciso)
,
Por la analogía de Reynolds,
N st = -
A N Re = 100000, t = 0.0184 (de la Ec. 13-15).
8
Solución para el aire Para el aire, la ecuación em-
pírica apropiada es la Ec. 13-65.
NNu = (105)(0.0234) (0.0~84)
0018)0.14
NNu = 0.023(100 000)0.8(0.71)1/3 ( ~.02
= 5.38
Por la analogía de Colbum,
11 1)0.14
NNu = 204 (valor má