Geometría y Trigonometría: Libro de Texto Preuniversitario

Geometría
Trigonometría
Luis Royes Peroz
William Royes Pérez
Javier Rcvatta Romoro
Aldo* Casto Romero
Lumbreras
Editores
■■■■■■
Asociación Fondo de Investigadores y Editores
Geometría
T rigonometría
Indice
GEOMETRÍA
Pág.
Presentación...................................................................................................................................................
7
Capítulo I: Segmentos y ángulos...................................................................................................
11
Capítulo II: Triángulos................................ .....................................................................................
23
Capítulo III: Polígonos.....................................................................................................................
38
Capítulo IV: Cuadriláteros ...............................................................................................................
49
Capítulo V: Circunferencia..............................................................................................................
59
Capítulo VI: Cuadrilátero inscrito en la circunferencia...........................................................
69
Capítulo Vil: Puntos notables asociados a un triángulo .............................................................
79
Capítulo VIII: Proporcionalidad de segmentos............................................................................
90
Capítulo IX: Semejanza de triángulos...........................................................................................
101
Capítulo X: Relaciones métricas....................................................................................................
112
Capítulo XI: Área de regiones planas ...........................................................................................
125
Capítulo XII: Geometría del espacio..............................................................................................
140
Capítulo XIII: Poliedro y poliedros regulares.................................................................................
155
Capítulo XIV: Prisma y cilindro ................................... ;..................................................................
166
Capítulo XV: Pirámide y cono.........................................................................................................
178
Capítulo XVI: Esfera y teorema de Pappus-Guldin......................................................................
192
Capítulo XVII: Geometría analítica escalar ...................................................................................
204
Capítulo XVIII: Circunferencia y parábola.....................................................................................
218
Bibliografía ...................................................................................................................................................... 228
TRIGONOMETRÍA
Capítulo I: Sistemas de medición angular, longitud de un arco de circunferencia
y área de la región de un sector circular ......................................................................... 231
Capítulo II: Razones trigonométricas de un ángulo agudo............................................................. 248
Capítulo III: Ángulos verticales.............................................................................................................
261
Capítulo IV: Razones trigonométricas de un ángulo agudo en posición normal.......................
270
Capítulo V: Circunferencia trigonométrica .......................................................................................... 281
Capítulo VI: Identidades trigonométricas............................................................................................ 295
Capítulo Vil: Identidades trigonométricas de arcos compuestos ................................................. 302
Capítulo VIII: Reducción al primer cuadrante....................................................................................
311
Capítulo IX: Identidades de arcos múltiples (arco doble y arco triple)..........................................
319
Capítulo X: Transformaciones trigonométricas.................................................................................. 332
Capítulo XI: Resolución de triángulos oblicuángulos.......................................................................
340
Capítulo XII: Funciones trigonométricas......................
350
Capítulo XIII: Funciones trigonométricas inversas............................................................................ 362
Capítulo XIV: Ecuaciones trigonométricas ........................................................................................
371
Bibliografía .............................................................................................................................................................. 380
Claves.......................................................................................................................................................................... 381
Presentación
La realidad de la educación en el Perú es hoy algo preocupante. Los distintos
esfuerzos provenientes del Gobierno no se ven reflejados en avances significa­
tivos en este aspecto. Las políticas educativas nos muestran resultados negativos
desde hace ya muchos años, y es poco lo que los estudios y las propuestas han
logrado mejorar en las condiciones del sistema educativo; peor aún, permiten las
desigualdades a nivel socioeconómico en las zonas rurales más alejadas del país;
es decir, los estudiantes reciben una educación de baja calidad y en condiciones
precarias.
En este contexto, los esfuerzos por aportar al desarrollo de la cultura y la
educación en el país serán siempre valorados. Es así que, conscientes de esta
realidad, la Asociación Fondo de Investigadores y Editores (Afined). a través
de su sello Lumbreras Editores, tiene como uno de sus objetivos contribuir al
desarrollo de la educación; ello se cristaliza a través del aporte de los profe­
sores del Instituto de Ciencias y Humanidades, quienes han sistematizado los
materiales de manera didáctica gracias a su amplia experiencia docente que
garantizan un contenido de calidad y. sobre todo, siempre accesible a los sectores
populares, sumado a la presencia de nuestro sello editorial en distintos puntos del
territorio nacional.
En esta ocasión presentamos el libro Geometría y Trigonometría, perteneciente a
la Colección Compendios Académicos, publicación dirigida al estudiante preuniver­
sitario, que constituye una herramienta útil para reforzar sus conocimientos gracias
al trabajo teórico-práctico así como los problemas resueltos y propuestos mostrados
por niveles, que permiten una mejor comprensión del tema. Este libro se constituye
en material de consulta no solo para alumnos sino también para docentes, tanto de
los últimos años del nivel escolar como preuniversitario.
Finalmente, nuestra institución reafirma su compromiso con la educación y la
cultura del país, contribuyendo en la elaboración de libros de calidad, además de
promover el trabajo de investigación, que nos permite acceder a una educación
científica y humanista; todo ello siempre al servicio de los sectores más amplios de
nuestra sociedad.
GEOMETRÍA
Luis Reyes Perez / William Reyes Perez
Segmentos y ángulos
------------------------------------ -------------------------------------------------------- Capítulo I
Objetivos
•
Conocer la definición y los elementos de los segmentos y ángulos.
•
Utilizar las características de los diferentes tipos de ángulos en el cálculo de las medi­
das angulares.
•
Aplicar las teorías de proporciones de magnitudes en el cálculo de las longitudes de
los segmentos, así como también en el cálculo de las medidas angulares.
• Geometría
Es una rama de la matemática cuyo objetivo es el estudio de las figuras geométricas. La geometría ha
sido utilizada empíricamente en todas las culturas antiguas, pero fueron los griegos los que la siste­
matizaron. Actualmente se sabe que en nuestro país, en la ciudad sagrada de Caral, se tenían ciertos
conocimientos de la geometría.
Etimología
La palabra geometría, que tiene origen en dos vocablos griegos (geo, que significa ‘tierra’, y melron,
que significa ‘medida’), se entiende como "medida de la tierra”.
Figura geométrica
Es un conjunto de puntos que adoptan una característica (forma determinada).
Partes de la geometría
La geometría para un mejor estudio se divide en tres partes: las dos primeras están relacionadas con
la geometría clásica y la tercera tiene su origen en la matemática moderna.
I unibmiíju I dltomr.
GooniotHn plano (planimetría)
I •'•ludia las ligara'. geométrica
*.
tiyo.'» punió?. que
l,r. roiiiormaii pcHciieren ,¡ un rni'.iiio plano.
*.
Alguno
*.
ejemplo
de figura
*.
planas son:
í'/rp;*'-
ELEMEfrrOS FUNDAN EfíTALES DE \_A. GEOMETRÍA
Para poder construir y estudiar las figuras georrZ-
Geometría del espacio (estereométria)
Estudia Iíií. figuras geométricas cuyos punios que
las conforman pertenecen a planos distintos.
Algunos ejemplos de figuras espaciales son:
tricas debernos conocer las características /pro­
piedades de los elementos que las constituyen.
Estos elementos no tienen definición. soiarner.le tenernos una idea. Dichos elementos son e.
punto, la reda y el plano.
Recta
Punto
.4
Notación:. A
Se lee “punto 4”.
Notación: #
Se lee “recta
Goomotría analítica
.Se le llama así porque relaciona el álgebra con la
geometría de lal manera que las figuras geomé­
tricas se représenlan a través de ecuaciones li­
neales o cuadráticas.
Notación: OH
Algunas represenlacioncs analíticas de figuras
Se lee “plano Hn.
notables son:
Rayo
Es aquella parte de uria recta determinada al
ubicar un punto en ella y que es el origen.
origen
l(rpr<*M*iil«irlón annlíllcn:
/
• Segmento
• Ángulo
Es una parte de la recta limitada por dos puntos,
denominados extremos.
Es la figura geométrica formada por dos rayos
que tienen el mismo origen y no son colineales.
A
B
*....... *------------- --------- ♦
I---------------- d------------------- 1
Donde Ay B son los extremos del segmento AB.
Notación: AB
Se lee "segmento de extremos A y B".
Notación: AB
Donde OB y OA son lados del ángulo y O es el
vértice.
Se lee “longitud del segmento AB".
Notación: <AOB se lee “ángulo AOB".
En el gráfico, AB=d
Notación: m<AOB se lee “medida del ángulo
4OB”.
Punto medio de un segmento
Es aquel punto de un segmento que determina
dos segmentos de igual longitud.
En el gráfico, m<40fí=a.
A
M
•
•
. . — «B
I-------- C--------- 1-------- P---------1
En el gráfico anterior, M es punto medio de AB
porque AM=MB.
Clasificación
Los ángulos se agruparán según su medida an­
gular, la posición de sus lados y la suma de sus
medidas.
Según su medida angular
a. Ángulo agudo
Operaciones con las longitudes de los
SEGMENTOS
Adición
A
Es aquel ángulo cuya medida se encuentra
entre 0o y 90°.
C
B
0°< a < 90
I------ a------4----------- b------------ 1
AC=AB+BC
AC=a+b
Sustracción
D
b. Ángulo recto
Es aquel ángulo que mide 90°.
E
F
i----------------- — d--------------- —I
DF=DE+EF
d=DE+c
DE=d-c
• . - ’.
3
m<áOB=90°
c.
Ángulo obtuso
c.
Tienen el mismo vértice y los lados de uno
son las prolongaciones del otro.
Es aquel ángulo cuya medida se encuentra
entre 90° y 180°.
Los ángulos COD y AOB son opuestos por el
vértice.
Se cumple:
Según la posición de sus lados
a. Ángulos adyacentes
Son dos ángulos coplanares que tienen un
mismo vértice y un lado en común, tal que
uno está a continuación de otro.
Ángulos opuestos por el vértice
Según la suma de sus medidas
a.
Ángulos complementarios
Son dos ángulos cuya suma de sus medi­
das es 90°.
Notación: Cu
Se lee “complemento del ángulo cuya me­
dida es a”.
Se cumple:
Ca=90°-a
Los ángulos AOB y BOC son adyacentes.
Se cumple:
m<AOC=a+0
__
b. Ángulos consecutivos
Son tres o más ángulos que tienen un mis­
mo vértice y que al ser tomados de dos en
dos son ángulos adyacentes.
Los ángulos AOB, BOC y COD son consecu­
tivos.
■
,
Se cumple: m<4OD=a+p+0
b.
Ángulos suplementarios
Son dos ángulos cuya suma de sus medidas
es 180°.
Notación: Sa
Se lee “suplemento del ángulo cuya medida
es a”.
• Ángulos determinados por dos rectas
Si .Zj // 9"2, se cumple:
paralelas y una recta secante
0+a=l8O° y y+P=180°
Rectas secantes
Son aquellas rectas que tienen un punto en
común. Gráficamente
Ángulos correspondientes
Donde / es el punto de intersección entre
7iy^2-
Si #,// ^2» se cumple:
Rectas paralelas
Son aquellas rectas que se ubican en un mismo
plano y que no presentan ningún punto en co­
mún. Gráficamente
Teorema
1. Ángulo ubicado entre dos rectas paralelas.
__
Donde
Se lee “la recta 3*ies paralela a la recta
ÁNGULOS ALTERNOS
2.
Si
Línea quebrada entre dos rectas paralelas.
//^2, se cumple:
a=P y 0=y
J
Ángulos conjugados
Internos
Si c£x // #2. se cumple:
a+P+9+Y=x+y+z
JZ'2
Se interpreta que la suma de ángulos ubica­
dos a la izquierda es igual a la suma de los
ángulos ubicados a la derecha.
Problemas Resueltos
Problema N.° 1
En una línea se consideran los punios consecu­
tivos A, B y C. S'\ P y R son puntos medios de AB
yAC, respectivamente, calcule PR sabiendo que
BC=12.
UNMSM 2000
Resolución
A
P
B
R
C
I------------- n-------------- 1------------- n
Nos piden x.
Datos:
m<ABC=3m<BAC, AN=NB
Nos piden PR=x.
CM es bisectriz del <BCN
Del gráfico: AP+PR=AR
Por ángulos alternos internos
t+x=n
n\<BAC=vc\<ACT
—> x=n-t
m<SAC=25°
Además AB+BC=AC
Por teorema en rectas paralelas
2z+12=2n
x=(0+25°)+0
—> n-Z=6
/.
x=6
Del segundo dato, AN=NB
0=25° .
Problema N.° 2
En el gráfico 91\ y
(I)
son rectas paralelas,
(II)
Del primer dato
m<M£C=3m<£MC
m<ABC=3m<BAC, AN=BN y CM es bisectriz
del <BCN. Halle el valor de x.
m<A£C=3(25o)
m<ABC=75°
Por teoremas en rectas paralelas (< conjugados)
m<AflC+m<rca=l80°
75°+25°+20=l8O°
-»
0=40°
(II) y (III) en (I)
x=(40°+25°)+25°
x=90°
(III)
Problema N.° 3
Resolución
Si M,N, P,Qy R son puntos consecutivos de una
recta, de modo que NQ+MP+PR=SQ y ^9. -1
MR 3
entonces NQ es
UNMSM 2005-1
Resolución
M
N
P
Q
r
I------------ 2Z?------------ 1
I---------------------------3k--------------------------- 1
Nos piden NQ=x.
Dato:-^ = - -» Si NQ=2k, MR=3k
MR 3
Nos piden x.
Dato: a+0=5x
NQ+MP+PR=50
En el punto P, por ángulos opuestos por el
vértice,
Como MP+PR=MR
-> NQ+MP+PR=SQ -> NQ+MR=SQ
m<BE4=x y m<PB4=a
2¿+3/?=50 -4 Z?=10
En el &APB
/.
x=20
x+x+a=180°
Problema N.° 4
En el gráfico, las rectas 3?, y 2? son paralelas.
(I)
Por propiedad de las paralelas en el punto R.
m<ARF=x+x
Si a+P=5x, calcule el valor de x.
18O°-0=2x
2x+p=180°
(l)+0D
4jt + a + 0 = 360°
9x=360°
UNMSM 2010-11
x=40°
(II)
Problemas Propuestos
NIVEL BÁSICO
1.
5.
En una recta se ubican los puntos consecu­
tivos A, B, C y D, tal que
+ BC + ~- = \2,
A) 30
D) 90
luego se ubican los puntos medios M y N de
AB y CD, respectivamente. Calcule MN.
B) 8
A) 6
D) 12
2.
C) 10
6.
E) 14
En una recta se ubican los puntos consecu­
de BC.
7.
B) 9
C) 36
E) 27
B) 24
C) 20
E) 32
En la prolongación de AB se ubica el punto
,
AC+BC .AB
AB
C, tal que------ ---- = —. Calcule —.
5
.3
BC
C) 10
E) 12
D) 11
3.
B) 45
En el ML y en su prolongación se ubican
los puntos N y T, respectivamente, tal que
;V/¿+/V7’=40. Si 7(A'¿)=3(/WD, calcule MT.
A) 28
D) 12
tivos A, B, C y D, tal que 4(AB)=2(BC)=CD
y AC < 14. Calcule el máximo valor entero
A) 8
Sean los puntos colineales y consecutivos
P, Q. R y T, de modo que 2(/?f)=7(P/?) y
2(QD-7(FQ)=270. Calcule QR.
A)l
D)1
En una recta se ubican los puntos consecu­
tivos A, B, C y D, tal que 3(AC) = 2(BB)=24.
Calcule CD si BC toma su máximo valor
- C) 8
E) 3
entero.
8.
A) 2
B) 3
C) 4
D) 5
A) 30
D) 20
E) 6
4.
En una recta se ubican los puntos consecu­
tivos A,B,C,D,E y F, tal que
AB
2
BC
3
D) 8
9.
C) 7
E) 4
C) 12
E) 15
tivos P, Q y Rt además M es punto medio
de^Ca,CU,e
B) 6
B) 18
En una recta se ubican los puntos consecu­
—
CD
4
(BC)(D£) > 5(DC), yx toma su mínimo valor
entero. Calcule BC.
A) 5
Se tienen los puntos colineales y consecuti­
vos P, Q, R y T. Si M es punto medio de PT,
PR=RM, QR+MT=24 y PQ=6, calcule PM.
A) 2
B) 3
C) 9
D) 4
E) 16
PQ + 3(PM + QM)
PM + PR—
10. En AD se ubka e! punto C y en AC el punto
—
□
10
tai c-e-----.AB
14. En una recta se ubican los puntos consecuti­
vos 4. B. C.D. E. tal que 6(.4C)=3(BD)=2(C£).
D£=3(AB). Calcule —.
CD
<3 \CD.i=5tW)tfiC). Calcule x.
%
A) 2
A) 15
B) 10
E) 5
11. En Lma recta se ubican los puntos colineales
AC
.A. B v C. de modo que —:------- = 5. Calcule
AB-BC
.AB
.4C-BC’
B) 1
/
C)
5
7
3
E)
7
D) 9
i
12. En una recta se consideran los puntos-con­
secutivos .4, B. C. D. E y F, tal que .AB=£F,
BC=DE y CD=3(£f). Si CE=2(AB+DE) y
.4£=14, calcule BD.
A) 4
D) 9
C)
5
2
E)
5
3
C) 12
D) 25
A) 4
o
B) 3
D) 3
2
15. En una recta se ubican los puntos consecu­
tivos .4. B. C, D.E,F y G, tal que
AC=^ = ^ = ^,5(£F)=9(CD) y
—
ó
BF=48 cm. Calcule DA.
A) 16 cm B) 12 cm
D) 14 cm
’
C) 18 cm
E) 15 cm
/
16. Se tienen los ángulos adyacentes AOB
y BOC, tal que 3(m<.4OB)=2(m<BOC).
Luego se traza la bisectriz OM del <AOB y
m<M0C > m<AOC-20°. Calcule el máxi­
mo valor entero de la m< AOB.
A) 38°
D) 41°
B) 39°
z
C) 40°
E) 42°
C) 8
B) 6
/ E) 10
17. Del gráfico,
m<A0C=m<B0D, m<C0D > mcBOC.
13. En una recta se ubican los puntos consecu­
tivos A, B, C, D, E y F, tal que
4D BC CD DE
AB - 2 “ 3 “ 4
Calcule el máximo valor entero de la
m<BOC.
EF
5
(AB)(BC)=(C£-AD). Calcule AB+DF.
A) 20
DJ 35
B) 60
O 30
E) 40
A) 61
D) 58°
B) 60°
C) 59°
E) 46°
NIVEL INTERMEDIO
18. Se tienen los ángulos adyacentes AOB y
BOC. Luego se traza la bisectriz OL del
<AOC, tal que 5(m<BOA)=3(m<CO£) y
(m<AOB) • (m< BOC)=30(m< LOB).
Calcule la m<AOL.
22. Se Lienen los ángulos consecutivos 40fi,
BOC y COD, tal que la suma de sus medídas es equivalente a dos ángulos rectos.
Las bisectrices de los ángulos AOB y COD
determinan un ángulo cuya medida es 140°.
Calcule m<B0C.
A) 40°
A) 2o
D) 6o
B) 3o
C) 4o
E) 8o
19. Se tienen los ángulos consecutivos AOB,
BOC, COD y DOE, tal que
m<40B
m«BOC
m<COD
m<JDOE
Luego se trazan las bisectrices OL y OS de
los ángulos BOC y COD, respectivamente,
tal que <LOS es agudo y la m<AOB toma
su máximo valor entero. Calcule m<DOE.
A) 147°
D) 157°
B) 151°
C) 154°
E) 160°
20. Se tienen los ángulos adyacentes POQ y
QOR, tal que la diferencia entre sus medi­
das angulares es 48°. Se traza OM, el cual es
bisectriz del <POR. Calcule m<M0Q.
A) 24°
D) 21°
B) 42°
C) 16°
E) * 12°
21. En un ángulo se cumple que la mitad del su­
plemento de su medida menos su comple­
mento es igual al complemento del doble
de su medida. Calcule dicha medida.
A) 60°
D) 15°
B) 30°
C) 36°
E) 25°
B) 100°
C) 50°
E) 20°
D) 70°
23. Se lienen los ángulos consecutivos AOB,
BOC y COD, tal que AOD es recto. Si la suma
del complemento de la medida del <AOB
y el suplemento de la medida del < COD es
240°, calcule m<B0C.
A) 30°
B) 60°
C) 45°
E) 90°
D) 15°
24. Se lienen los ángulos consecutivos AOB,
BOC, COD, DOE, tal que A, O y D son coli­
neales y los ángulos BOD y DOE son suple­
mentarios. Si el <COD es recto y
m<COE=10m<AOB, calcule m<A0E.
A) 170°
B) 150°
C) 110°
D) 130°
E) 120°
25. En un ángulo se cumple que la diferencia
entre el suplemento y el complemento
de su medida es igual al quíntuplo de su
medida. Calcule dicha medida.
B) 12°
C) 20°
E) 18°
26. Del gráfico, a+p= 150° y m<AOD=l¡0°.
Calcule m<B0C.
A) 45°
B) 40°
C) 50°
D) 55°
E) 60°
A) 37°
D) 45°
27. Se tienen los ángulos consecutivos AOB,
BOC y COD, tal que A, O y C son colineales
y el <lBOD es recto. Se trazan OM y ON, las
cuales son bisectrices de los ángulos AOB
y COD, respectivamente. Calcule m<M0N.
A) 115°
D) 125°
B) 120°
B) 60°
C) 25°
E) 30°
30. Del gráfico, ^//
a+3+0 < 48°. Calcule
el máximo valor entero de x.
C) 135°
E) 110°
28. Se tienen los ángulos consecutivos AOB,
BOC y COD, tal que
A) 10°
D) 13°
B) IIo
C) 12°
E) 14°
.
m<B0C m<C0D
m<AOB =---- - ---- =----- - ---Además m<AOD=m<AOB+m<COD+50°.
31. Del gráfico, #| // #2 • Si ML = 10, calcule LE.
Calcule m<A0D.
A) 140°
B) 150°
D) 135°
0 130°
E) 120°
29. En el gráfico mostrado
OF es bisectriz del <EOG
OC es bisectriz del <AOF
OD es bisectriz del <BOG
Calcule m<C0D.
A) 6
D) 4
B) 8
C)5
E) 3
32. Del gráfico, a+0=48°, m<MO/V > m<¿O|S
y m<AO1fí=60°. Calcule el mínimo valor
entero de 0.
A) 64°
D) 68°
35. Del gráfico,
ción correcta.
A) 15°
D) 18°
B) 16°
C) 17°
E) 19°
33. Si la suma del doble del suplemento del do­
ble de un ángulo y el complemento del mis­
mo ángulo es igual a la suma del suplemen­
to del doble de ese ángulo y el doble del
complemento de la mitad de dicho ángulo,
calcule el complemento de dicho ángulo.
A) 60°
D) 30°
B) 45°
C) 53°
E) 90°
34. Del gráfico, el <AOB es recto, 0 > a y 0
toma su mínimo valor entero. Calcule el
complemento de 0.
A) 0=a
B) a> 0
C) 0 > a
D) a>0
E) 0£a
B) 66°
C) 67°
E) 70°
&2>x> y- Indique la rela­
Triángulos
Capítulo II
Objetivos
•
Definir al triángulo rectilíneo y conocer sus propiedades.
•
Definir la congruencia de triángulos.
•
Establecer las condiciones para que dos triángulos sean congruentes.
• Definición
Es la figura que se forma al unir tres líneas coplanares mediante tres puntos no colineales.
A continuación se muestran algunos ejemplos.
Triángulo
rectilíneo
Triángulos mixlilíneos
Triángulo rectilíneo
Es aquel que se forma al unir tres puntos no colineales mediante segmentos de recta.
Elementos
•
Vértices: A,B y C
•
Lados: AB, BCyAC
z » NOTA ---------------------------- ----------------------------- X
Notación: ZS.ABC
Se lee “triángulo ABC”.
Por cuestiones didácticas, cuando
nos referimos a un triángulo recti­
líneo, simplemente diremos trián­
gulo.
Perímetro de la región triangular
2PA4flc=c+°+b
Elementos asociados
•
Ángulos internos: <ABC, <BCA y <CAB
•
Ángulos externos: <PAB, <QBCy <RCA
Donde 2p^ABC significa perímetro de la región
triangular ABC (convención)
® Teoremas fundamentales
Regiones determinadas por el triángulo
1.
Suma de las medidas de los ángulos inte­
riores
Se cumple
a+fl+8=180°
2. Suma de las medidas de los ángulos exte­
riores
Como podemos notar, las cuatro regiones mos­
tradas tienen un nombre específico.
Región triangular (R.T.)
3.
R.T=AABC+R.I.
Donde R. I.: región interior del A4J3C.
Cálculo de la medida de un ángulo extenor
4.
Relación de lado-ángulo
Del gráfico adjunto
se cumple
Si a 2> p 2> 0,
se cumple
a¿b>c
Del gráfico adjunto
se cumple
5.
Relación de la existencia A~
cc+y=0+O
SlaZb^c,
se cumple
• Clasificación
a-c <b < a+c
Los triángulos se clasifican teniendo en cuenta
sus lados y sus ángulos. •
Según sus lados
• Teoremas adicionales
Triángulo escaleno
Es aquel que tiene los lados de diferentes Ion
gitudes.
Del gráfico adjunto
se cumple
x=a+p+0
Del gráfico adjunto
se cumple
ot+P=0+íd I
a # b\ b * c; a * c
De lo anterior se concluye que
<■ " J J' ,
-- - ■
P;a
a
0
9
*
;P
Triángulo isósceles
Triángulo oblicuángulo
Es aquel que tiene solamente dos lados de igual
longitud
Es aquel que no tiene ángulo interior que mide 90 •
Triángulo acutángulo
o=c; u
b
*
De lo anterior se
concluye
a=9, u
* p
Se cumple
a < 90°, p < 90°, 0 < 90°
•_______________ _____ ____ ,_________ .
Base:
Triángulo oblusángulo
Lados laterales: AB y BC
Triángulo equilátero
Es aquel que tiene los lados de igual longitud.
a=b=c
De lo anterior se
90° < w <
— ,
concluye
-
Cuando tenemos las longitudes de dos lados, y
la medida del ángulo comprendido es menor o
mayor que 90°, entonces debemos tener pre­
sente lo siguiente:
Según sus ángulos internos
Triángulo rectángulo
Es aquel que tiene un ángulo interior que mide
90°.
Se cumple
Catetos: AB y BC
Hipotenusa: AC
Naturaleza del triángulo
• Lineas notables asociadas al triángulo
Sor cinco Lineas conocidas que se asocian al
Bisectriz interior o exterior
Es la ceviana que biseca a un ángulo interior o
exterior.
Cemana
Es un segmento de recta que tiene por extremos
un \enice y un punto cualquiera del lado
opuesto o de su prolongación.
En el &ABC, BL es bisectriz interior relativa a
ÁC.
En el _1_4BC. B.\l es ceviana interior relativa a
ÁC.
En el &ABC, BS es bisectriz exterior relativa a
ÁC.
Altura
Es la ceviana perpendicular al lado al cual es
relativa.
En el ¿±PQR. QL es ceviana exterior relativa a
PR.
Mediana
Es la ceviana que biseca el lado al cual es re­
lativa.
En el &.ABC, BN es mediana relativa a AC.
En el A4BC, BP es altura relativa a AC.
En el &PQR, QA es altura relativa a PR.
Mediatriz
Es la recta que biseca perpendicularmente a un
3.
En el A4BC:
3? es mediatriz
relativa a 4C.
En el &ABC
♦
4.
En el &PQR:
& es mediatriz
’ relativa a PR.
0 Ángulo entre bisectrices de un triángulo
En el A4BC
BH: altura
BL: bisectriz interior relativa a AC.
;a>0
BH: altura
HL y HS: bisectrices interiores del ^AHB)
ABHC
lados que determinan dicho ángulo son de igual
longitud, respectivamente.
• Congruencia de figuras geométricas
Dos figuras geométricas son congruentes si
tienen la misma forma y el mismo tamaño. En
otras palabras es como si cambiáramos una
figura de una posición a otra.
Si a=n y c=m
¿\ÁBC = &PQR
i
= se lee “es congruente”.
Congruencia de triángulos
Dos triángulos son congruentes si tienen sus án­
gulos interiores, respectivamente, de igual me­
dida y sus lados homólogos correspondientes
de igual longitud.
.
.
-
Criterio 2. Ángulo-lado-ángulo (A-L-A)
Un triángulo es congruente a otro si ambos
tienen un lado de igual longitud y, además, los
ángulos adyacentes a dicho lado son de igual
medida, respectivamente.
Lados homólogos. Son dos lados que se opo­
nen a los ángulos de la misma medida en dos
Si¿?=f
->
Notación: AÁfiC = AÁ'B'C'
Se lee "A4BC es congruente al AA'fl’C’".
A¿BC = APQ/? [
Criterio 3. Lado-lado-lado (L-L-L)
Un triángulo es congruente a otro si ambos tie­
nen sus lados de igual longitud, respectivamente.
Criterios para identificar dos triángulos
CONGRUENTES
Para que dos triángulos sean congruentes, se
deben cumplir ciertas condiciones, las cuales
son:
Criterio 1. Lado-ángulo-lado (L-A-L)
Un triángulo es congruente a otro si ambos tie­
nen un ángulo de igual medida y, además, los
Si a=n, b-m y c=f
->
AAflC = APQ/?
Nota
Dos triángulos rectángulos son congruentes
si tienen la hipotenusa de igual longitud,
y un cateto de uno de los triángulos con
un cateto del otro triángulo tienen igual
longitud.
Si 7’es mediatriz deAB,
se cumple
SA=SB
Teorema de la base media
En lodo triángulo, la base media respecto a un
lado es paralela a dicho lado, y su longitud es
igual a la mitad de la longitud de dicho lado.
&ABC = &PQR
Sib=m a a-( —>
—
'
—------- , -
■
■
X________________
Base media. Es el segmento de recta cuyos ex­
tremos son los puntos medios de dos lados de
un triángulo.
Si MN es base media
respecto a AC,
Aplicaciones de la congruencia de
TRIÁNGULOS
se cumple MN//AC
Teorema de la bisectriz de un ángulo
Todo punto de la bisectriz de un ángulo equidis­
ta de los lados de este.
y
Teorema de la mediana relativa a la hipotenusa
En todo triángulo rectángulo se cumple que la
longitud de la mediana relativa a la hipotenusa
es igual a la mitad de la longitud de dicha hipo­
tenusa.
Si OM es bisectriz del <AOB,
se cumple
PR=PQ
y
OR=OQ
Si BL es mediana relativa a AC,
Teorema de la mediatriz de un segmento
Todo punto de la mediatriz de un segmento
equidista de los extremos de este.
se cumple
Nota
1. En un triángulo isósceles, al trazar la altura relativa a la base, dicha altura es bisectriz interior,
mediana y una parte de la mediatriz.
Si AB-BCyBH es altura, entonces
es mediana y bisectriz interior.
2. En un triángulo, si se traza por el punto medio de un lado una recta paralela a otro lado,
entonces interseca al tercer lado en su punto medio.
S\BM=MA y &//AC
3. En un triángulo, si la mediana relativa a un lado es la mitad de dicho lado, entonces es un
triángulo rectángulo.
Si AL=LC=BL
m<ABC=90°
y
• Triángulos rectángulos notables
24q
4r
7n
Problemas Resueltos
Problema N.° 1
Problema N.° 2
De lodos los triángulos, dos de cuyos lados mi­
den 2 cm y *1 cm. Halle los que poseen la pro­
Del gráfico BH es la altura del triángulo ABC y
BD es bisectriz del ángulo ABC. Calcule el va|Or
piedad de que su tercer lado tenga por longitud
de x.
un número entero y señale usted a qué es igual
la suma de los perímetros de los triángulos ha­
llados.
UNMSM 1991
Resolución
UNMSM 1992
Resolución
Nos piden la suma de los perímetros de A: S.
De la figura, aplicando el teorema de la existen­
cia, en el triángulo ABC.
4-2 < x < 4+2
Nos piden x.
2 <x< 6
Dato: m<ABD=ra<CBD=y
Como del dato x es entero, entonces x puede
ser 3; 4 o 5.
Del ^AHB: 3a+y-x=90°
(I)
DelLCHfi: a+y+x=90°
(ID
Cuandox=3 —> 2p,=2+4+3=9
Cuando x=4 -> 2p2=2+4+4 = 10
Cuandox=5 -> 2p3=2+4+5=ll
5=2p|+2p2+2p3
S=30 cm
Sumando
_
J
,1X
Como podemos notar (1)=UD
3ot+y-x=a+y+x
3a-a=x+x -> 2a=2x
Problema N.° 3
Problema N.° 4
PQR es un triángulo equilátero de lado 16. Por
A punto medio de PQ se traza AB perpendicular
a PR, por B se traza BC perpendicular a QR.
¿Cuánto mide BC?
En el gráfico PS-2 cm y SR=1 cm. Halle PQ.
UNMSM 201M
UNMSM 2000
Resolución
Nos piden PQ=x.
Por sugerencia se traza QL, tal que
Nos piden BC=x.
rñ<LQR=m<LRQ=a
Dato: PQ=Q/?=P/?=I6
QL=LR
^ABP: notable de 30° y 60°
-> PB=4
&BCR. notable de 30° y 60°
BR =
2x 2x43
73 ” 3
Del ¿\PQL se puede notar que QL=PQ-x.
Además
¿/?=Q¿=x y PS=SÍ=2
Ahora se observa de PR
PR=PS+SL+LR
Como PR=16=PB+BR=4
x = ó43
9=2+2+x
x=5 cm
Problemas Propuestos
5.
NIVEL BÁSICO
1.
En un triángulo ABC se ubica el punto
S en la región exterior relativa al lado
AC, tal que m<BCA=m<fiSC, AB=4 y
m<B4C > m<HSC. Calcule el mínimo valor
Del gráfico, a > P y P loma su máximo valor
entero. Calcule x.
A) 44°,
B) 56°30'
C) 47°
D) 49°30'
entero de BS.
E) 51°
B) 6
A) 5
E) 9
D) 8
2.
Del gráfico, a+p+9+y < 240°. Calcule el
mínimo valor entero de x.
En un triángulo ABC se ubican los puntos L y
S en AC y en la región exterior relativa a AC,
tal que LC=2(AL) y AB+BC+CS+SL = ]5.
Calcule el máximo valor entero de LC.
B) 2
A) I
D) 4
3.
C) 7
C) 3
A) 9o
D) 12°
E) 5
En un triángulo ABC, el perímetro de la re­
gión triangular ABC es 14 cm. Calcule el
máximo valor entero de AB.
A) 5 cm
B) 6 cm
C) 7 cm
D) 8cm
Z
E) 9 cm
7.
B) 10°
C) IIo
E) 13°
En un triángulo ABC, m<BAC=2(m<BCá),
Afl=4A'-6 y BC=8. Calcule AB si x loma un
valor entero.
A) 4
B) 5
C) 6
E) 8
D) 7
4.
Del gráfico, calcule el máximo valor entero
8.
Del gráfico, m<BSA=29+a y x > y. Calcule
el mínimo valor entero de x.
A) 26°
D) 29°
B) 27°
C) 28°
A) 59°
E) 30°
D) 44°
C) 61°
B) 60°
•'
E) 46°
o
En un triángulo .ABC se traza la cevia-
13. Del gráfico, las regiones triangulares son
na interior .AL. luego se traza la ceviana
congruentes, BC//KS y BC+CS = 15 cm.
Calcule el máximo valor entero de KC.
interior BS en el triángulo ABL, tal que
BL=AG 13(m<LAC) = A(mc.ACB)=312° y
m<.ABS=14°. Calcule m< BSL.
A) 51°
DÍ 53°
B) 4S°
C) 50°
E) 55°
10. Del gráfico, calcule el mínimo valor entero
de.v.
A) 20”
B) 31°
C) 22°
D) 21°
E) 24°
16 cm
15 cm
14 cm
13 cm
12 cm
AL
C
S
14. En un triángulo ABC se traza la altura
BH (H e AC), tal que m<ABH > rn< CBH y
Á/C= 15 cm. Calcule el mínimo valor entero
de AH.
A) 14 cm
D) J7 cm
C) 18 cm
EÍ 16 cm
B) 19 cm
NIVEL INTERMEDIO
11. En un triángulo rectángulo .ABC, recto en
B. se ubica S en la región interior, tal que
m<ACB=37°, .AS y BC determinan un án­
gulo cuya medida es 60°, m<A$B=90° y
AC=50 cm. Calcule la distancia de S a CB.
A) 5.5 cm
D) 7 cm
A)
B)
C)
D)
E)
B) 6 cm
C) 6,5 cm
E) 7,5 cm
12. En un triángulo .ABC se traza la ceviana inte­
rior BK, donde m<ABK=2(m<BAK), AK=4.
Si BK toma un valor entero, indique qué
triángulo es BKC.
A) equilátero
B) rectángulo
C) aculángulo
DJ obtusángulo
E) isósceles acutángulo
15. En un triángulo ABC se traza la mediatriz de
BC, que interseca en S a CA. Luego se traza
la mediatriz de AL(L es punto medio de BC),
que interseca a AB en K. Si AK+SC= 15 cm
y AS=SC, calcule el máximo valor entero de
KB+SL.
A) 15 cm
D) 12 cm
B) 14 cm
C) 13 cm
E) II cm
16. Del gráfico, AC = 2(AS), BL = LC y AA' = 2.
Calcule BK.
17. Del gráfico, AS=2(AB) y la distancia de C a
DA es 3 cm. Calcule BS.
A) 8 cm
C) 6x/3 cm
B) 10 cm
E)
D) 9cm
B) 9
C) 7
E) 6
19. Del gráfico, £\ll&i. Calculex.
B) 360°
C) 180°
E) 560°
cm
18. En un lriángulo_jsósceles ABC_J.AB^BC)
se ubica N en BC y M, L en AC, tal que
AM=MC= 10, /VC=¿C=6. Calcule el máximo
valor entero de MS si S es punto medio de
LÑ.
A) 10 ’
D) 8
A) 270°
D) 200°
21. En un triángulo isósceles ABC, de base
AC, se traza AR, el cual es una ceviana ex­
terior relativa a CB, R está en la prolonga-
ción de CB, luego en la prolongación de
RA se ubica el punto /V/, tal que MR=RC.
m<RAB
Calcule
m<MCA
A) 2
B) 2
D) 3
C)2
3
E) 3
22. En un triángulo ABD, recto en B, se Iraza la ceviana interior BE, y en el triángulo
BED se traza la ceviana interior EC, tal que
AB=BE=EC=CD. Calcule m<BCE.
A) 90°
D) 45°
B) 60°
C) 75°
E) 30°
23. En un triángulo ABC se traza lá ceviana inte­
rior BR, tal que m<fiRA=60°,
rn<Afi/?=4(m<ACB)=4x y
A) 30°
25°
B) 20°
C) 40°
E) 35°
m < BAR=m < RBC=2z.
Calcule x-z.
20. En el gráfico adjunto, a+P+0=280ü.
Calcule x+y+z.
A)
10°
D) 0°
B) 30°
C) 60°
E) 45°
24. En un triángulo, las longitudes de sus lados
son números pares consecutivos, tal que el
lado intermedio mide x. Calcule el menor
valor entero de x.
A) 6
D) 12
B) 4
C)8
E) 10
25. En un triángulo ABC se trazan AN y CE, al­
tura y bisectriz interior, respectivamente. Si
m<ABC=50° y m<&4C=60°, calcule la me­
dida del ángulo determinado por CEy/UV.
A) 55°
D) 30°
B) 45°
28. En un triángulo ABC se ubican D y
en
AC, y en la prolongación de AB, respec­
tivamente, tal que m<RBC=m<CBD y
m<RDC=m<BDA. Si BC interseca a RD en
el punto Fy m<BFD-m<BAD-75n, calcule
• m<BCD.
A) 15°
D) 50°
B) 25°
C) 5o
E) 10°
29. Del gráfico adjunto, r+/?+0+m=49O o.
Calcule p.
C) 60°
E) 75°
26. Del gráfico, calcule x+y.
A) 45°/2
D) 30°
A) 200°
D) 220°
B) 180°
C) 210°
E) 240°
B) 10°
C) 35°
E) 25°
30. Del gráfico, el triángulo ABC es equilátero.
Calcule x.
27. Del gráfico mostrado, calcule el menor valor
entero de x si 0 < 80°.
A) 41°
D) 40°
B) 30°
O 25°
E) 50°
A) 10°
D) 15°
B) 5o t
C) 20°
E) 12°
ir Polígonos
____________________________________________ ______________ Capitulo lli
Objetivos
• Estudiar la definición, los elementos y la clasificación de los polígonos.
•
Relacionar los elementos de los polígonos a través de los teoremas que permiten
conocer la cantidad de diagonales, la suma de medidas angulares internas y externas,
entre otros.
• Polígono plano
Elementos asociados
Es la figura geométrica que se forma al unir tres
o más puntos no colineales con segmentos de
recta, de tal manera que dos segmentos adya­
centes sean no colineales y limiten una sola re­
gión del plano, a la cual se le denomina región
3/
Ángulos internos
Notación: polígono ABCDEF
<A4AsA6, <^02^3» —
Elementos
•
Vértices: 4, B, C,...
•
Lados: AB, BC, CD,
Ángulos externos
*
<82^2^3
—
Diagonal
' a Nota ____'' _•_____ _ ______
Generalmente al polígono piano se le
conoce simplemente como polígono.
x
Es el segmento que une dos vértices del
gono.
^1^3»
Capítulo III: Polígonos
Diagonal media
Nombre de algunos polígonos
Es el segmento que une los puntos medios de
dos lados del polígono.
N.° de lados
Nombre
3
Triángulo
/ <•» Nota ----------------------- -----------------Hay dos tipos de polígonos, los cuales son:
4
5
Cuadrilátero
.............
......... . ...ri
Pentágono
Polígono convexo. Las medidas de los án­
gulos interiores son menores a 180°.
6
Hexágono
7
Heptágono
8
Octágono
9
Nonágono
10
Decágono
11
Endecágono
12
Dodecágono
15
Pentadecágono
20
Icoságono
Polígono no convexo (polígono cóncavo)
La medida de uno o más ángulos interio• res es mayor a 180°.
Polígono equiángulo
Es aquel polígono cuyos ángulos interiores tie­
nen medidas iguales y sus ángulos exteriores
también tienen medidas iguales.
Todo polígono equiángulo siempre es convexo.
Sea ABCDEF un polígono equiángulo.
Otra manera de reconocer si un polígono
e* convexo o no convexo es trazando una
recta secante al polígono. Si alguna de eslas rectas Interseca a mas de dos lados, se
trata de un polígono no convexo, caso con­
trario será convexo.
1
Luego
/
Lumbreras Editores
Polígono equilátero
Es aquel polígono cuyos lados tienen longitudes
3 Propiedades fundamentales
1.
iguales. Un polígono equilátero puede ser con­
Suma de medidas de los ángulos interiores
Sm</
vexo o cóncavo.
Sm<i=180°(n-2)
Ejemplos
1.
Donde n es número de lados
Polígono equilátero convexo
2.
Suma de medidas de los ángulos exteriores
Sm«e (considerando un ángulo exterior
por cada vértice)
Sm<e=360°
2.
Polígono equilátero cóncavo
3.
Número de diagonales
•
Trazadas a partir de un vértice: #d
#d=n-3
Donde n es número de lados.
•
Polígono regular
Es aquel polígono equiángulo y equilátero a la
vez.
#D = —(n-3)
2
Por los vértices de un polígono regular siempre
es posible trazar una circunferencia cuyo centro
es el centro del polígono.
Ejemplo
Hexágono regular
Trazadas a partir de todos los vértices:
#D
Donde n es número de lados.
4.
Número de diagonales medias
•
Trazadas a partir del punto medio de un
solo lado: dm
#<ln,=n-l
Donde n es número de lados.
•
Trazadas a partir de los puntos niedií
*
de todos los lados: #Dm
O: centro del polígono regular
Donde n es número de lados.
40
Capitulo III: Polígonos
¿ Nota ----------------------------------------------• Sí el polígono es regular o equiángulo, la
medida de un ángulo interior y exterior
se calculará de la siguiente manera:
n.
Irace paralelas a cada lado.
. 180°<n-2)
m</ =------------n
360°
m<e =----n
Donde n es número de lados.
• Medida del ángulo central
En el polígono regular ABCD...
-»
c.
q=p=Y=60o J
El hexágono EMNLTH es equiángulo.
• Construcción de un octágono equiángulo
a. Se inicia con un rectángulo o cuadrado
y se ubican dos puntos en cada lado
del rectángulo o cuadrado. En cada
vértice, los triángulos rectángulos son
notables de 45°.
Donde <AOB es ángulo central y n es el
número de lados.
F
G
• Construcción de un hexágono equiángulo
a.
Construya un triángulo equilátero.
b.
El octágono ABCDEFGH es equiángulo.
Problemas Resueltos
Nos piden x.
En el hexágono regular ABCDEF
Problema N.° 1
La figura muestra un hexágono regular y un
dodecágono regular inscritos ambos en una cir­
cunferencia de radio 4. ¿Cuánto mide el lado del
dodecágono?
AB-BC=CD=DE=EF=FA
mÁB = mBC = mCD = mDE = m£F = rnM
En el dodecágono regular APBQCT’DMENFS
Ap=PB=BQ=QC=CT=TD^DM=ME=EN-NF^FS~^
m AP = mPB = mBQ = mQC =... = mSA =
Por ángulo central
m<BOC = mBC
UNMSM 2000
->
m<BOC=60°
-»
El ¿±BOC es equilátero
En el A isósceles BQC
x, rnQC
m<QBC=-y-
m<QBC=
Trazamos QH Á.BC
BH=HC=2
En el ^QHB: notable de 15° y 75°
x
(2^2 + ^k
2
(2 + j3)k
4^2+ V3
X=“777T
Multiplicamos por la conjugada
L Notable de 15° y 75°
. 4^2+J3 (2-J3)
* (2 + 75) (2-75)
4^2 + 75(2 — 75)
22 — (75)2
-> x = 4¿2+73 (2 - 75)
Capítulo III: Polígonos
f
Usamos un artificio algebraico
-
Por medida del ángulo exterior
360°
e =-----n
x = ^2 + j3>¡(2-/3)2
i
r
i*.
i
(0
x = 47(2 + 73)(2-T3)(2-73)
~r~
En el &BCD isósceles
e=04-0
x = W2-V3
f+e=l80°
Pero se sabe que m< BCD=m< CDE
Problema N.° 2
/=P+ 0+164°
En el gráfico, se representa parte de un polígono
regular de n lados. ¿Cuánto vale n?
l80°-e=e+164°
2e=16°
-> c=8°
GD
Reemplazamos (II) en (1)
/? =
n=45
Problema N.° 3
UNMSM 2003
Calcule la medida de una de las diagonales de
un pentágono regular cuyo lado es 2 cm.
UNMSM 2004-1
Nos piden n.
Donde n es el número de lados.
Dato: ABCDEF... es un polígono regular
D
Nos piden £C-.r.
Problema N.° 4
Ubicamos el pentágono regular en una circun­
Los puntos A, ByC son tres vértices consccuii
vos de un polígono regular de 15 lados. Calcy^
ferencia para observar sus propiedades.
los 2 3 de la nw.ABC.
mAB = mBC » mCD = mD£ = m£A = 72°
UNMSM 200^
Observamos que
m£B = IA4°
->
144°
m<£CB = —=72°
2
Sabemos que EC-EB=x.
Trazamos B.\l. tal que B\f-BC=2 cm.
Completando medidas angulares
m<£BW=m<CBM=36°
En el ¿LEBC, por teorema de semejanza
(m<AfBC=m<B.4C)
Nos piden -v (sea m«.4BC=x)
•J
(BC)2=(£O(.WC)
Dato: polígono regular de 15 lados .ABC...
(2)2=x(x-2)
Cálculo de la medida de un ángulo interioren
4=x2-2x
x2-2x-4=0
De la formula general
~<^2)± v<-2r-4UM-4)
2d)
x = I ± s 5 (No puede ser negativo)
x»(v/5>l)cm
un polígono regular (/).
. 180(n-2)
i - -------------n
Donde n es el numero de lados
En nuestro caso n = 15.
x=
180415-2)
= 156°
15
Problemas Propuestos
I
r
t
NIVEL BÁSICO'
1
5.
2.
3.
A) 45°
D) 135°
B) 9
7.
C) 14
E) 54
/
B) 5
/
C) 9
E) 20
Se tienen dos polígonos. Si la suma de sus
números de lados es 15 y la razón geométri­
ca entre sus números totales de diagonales
es 3, indique el polígono de mayor número
de lados.
B) 90°
C) 60°
E) 75°
En un polígono regular ABCDE..., ABCD y
CDEB son trapecios isósceles congruentes
y BD=AE. Calcule su número de lados.
A) 12
D) 8
B) 10
C) 6
E) 9
Del gráfico, ABCDEF es un hexágono regular
y BPCQR es un pentágono regular. Calcule x.
A) 14°
B) 17°
C) 18°
Se tienen dos polígonos. Si la suma de sus
números de lados es 8 y la diferencia de
sus números de diagonales es 5, calcule el
número total de diagonales de uno de los
polígonos.
A) 2
D) 14
4.
Calcule m< TEF.
6.
En un polígono, el número total de diago­
nales es igual al doble del número de lados
aumentado en 2. Calcule el número total de
diagonales.
A) 5
D) 20
•
ABCDEFGH, CFr>DH={T}
En un polígono, el número total de diago­
nales es igual a la suma de su número de
vértices y el número de ángulos internos.
¿Qué polígono es?
A) pentágono
B) hexágono
C) heptágono
D) octágono
E) nonágono
En un octágono regular
D) 19°
E) 15°
8.
Del gráfico, a+p=36° y ABCDE... es ún po­
lígono equiángulo? Calcule su número de
diagonales.
c
ía______________
Áf
A) pentágono
B) hexágono
C) heptágono
D) octágono
B) nonágono
1
1
1
1
1
A) 170
D) 252
B) 230
C) 189
E) 405
• *
9.
-?
••
.
.
*
•£
En un polígono equiángulo, las bisectrices
correspondientes a dos ángulos internos
13. Del gráfico se muestran dos polígc>IK)s
rpgu.
lares. Calcule x.
adyacentes determinan una medida angular
equivalente a la medida angular interior del
polígono. Calcule el número de diagonales
de dicho polígono.
A) 5
D) 4
B) 9
C) 6
E) 2
10. En un polígono regular ABCD..., la medida
del ángulo determinado por AC y BD es
A) 16°
B) 18°
C) 20°
E) 24°
D) 22°
135°. Calcule su número de lados.
A) 6
D) 10
B) 8
C) 4
E) 12
14. En el gráfico adjunto, ABCDEFGTes un equi­
ángulo, DM=ME y RH = \Í2 +1. Calcule CR.
11. ¿En qué polígono se cumple que el número
de diagonales excede al número de vértices
en 25?
A) dodecágono
B) undecágono
C) decágono
D) octágono
E) icoságono
A) ^2 + 272
B) ^4 + 72
12. Se tienen los polígonos convexos ABCDE
y MNPQRS, tal que M y S pertenecen a ED
y los otros vértices del polígono de mayor
número de lados se ubican en la región in­
terior del otro polígono. Calcule el número
de diagonales trazados desde 4 vértices
c onsecutivos en el polígono no convexo de­
terminado.
C) x/2 + V2
D) -J\ + 2y/2
E) V4 + 2>/2
15. En un dodecágono equiángulo ABCDícalcule la medida del ángulo^determiM1*0
por las mediatrices de AB y DE.
A) 25
D) 37
B) 29
C) 33
A) 45°
E) 40
D) 60°
B) 150°
C) 120°
E) 90°
16. En un P°h8ono s
* cumple que el numero
de diagonales menos el numero de ángulos
rectos, que equivalen a la suma de las me­
didas angulares interiores, es 103. Calcule el
numero de diagonales.
A) 252
D) 135
B) 200
C) 170
E) 104
17. En un polígono equiángulo se cumple que
la medida de un ángulo interior es numéri­
camente igual a veinte veces el número de
lados. Calcule el número de vértices del po­
lígono si es un número par.
B) 4
A) 12
D) 6
C) 10
E) 8
18. En un polígono se cumple que el cuadrado
de su número de lados, menos nueve es
igual al número total de diagonales. Calcule
la suma de sus medidas angulares internas.
B) 360°
C) 540°
E) 900°
19. En un polígono regular, la medida de un án­
gulo exterior es 45 veces el número de diago­
nales de dicho polígono. ¿Qué polígono es?
A) triángulo equilátero
B) cuadrado
C) heptágono regular
D) hexágono regular
E) pentágono regular
20. En un octógono equiángulo ABC DEFGH,
2
+
Calcule FG.
2
B) 5-72
C) 4-72
Ej 8-72
7-V2
21. En una recta 7 se ubica el segmento AB.
A cada lado de la recta y en el mismo
plano se construyen los polígonos regulares
ABCDEF y
AS=4, calcule la
distancia entre DE y SR.
A) 4(75 + 75 + 2)
B) 5 (75 + 75 + 75)
c) 4(75+75+75)
D) 4(73 + 72 + 1)
E) 2(72 + 75 + 2)
22. En el hexágono equiángulo ABCDEF,
NIVEL INTERMEDIO
A) 180°
D) 720°
A) 6 72
= 7 y £f+GH=2.
EF=DC=2yAB=5. Si ED2-BC2=i2,
calcule ED+AF.
A) 5
D) 6
B) 6
C) 8
E) 4
23. En un cuadrilátero regular .ABCD se traza BD
y en él se ubica el punto F.
S\CFr<ÁB = {E}, m<AFD=2n\<AFE,
calcule m<EFB.
A) 45“
D) 36°
B) 72°
C) 54“
E) 60°
24. Se tiene el hexágono regular .ABCDEF. En
la prolongación de B.A se ubica el punto T
y se construye el rectángulo TBDR, tal que
AT~FE. Calcule m< TFR.
A) 150“
D) 154“
B) 100“
C) 136°
E) 120“
25. En un polígono equiángulo, la razón de las
medidas de un ángulo exterior e interior es
de 2 a 7. Calcule el número de diagonales
29. En el gráfico se muestran dos políg0ri
guiares. Si O es el centro de uno de
ellos,
calcule x.
trazados desde un vértice para dicho polí­
gono.
A) 8
B) 7
C) 6
E) 4
D) 5
D
26. En un cuadrado ABCD de centro O se traza
el polígono regular OPQRST, tal que P, Q, R,
SyTestán ubicados en la región exterior de
ABCD. Si OT1 AD, calcule la medida del án­
gulo determinado por PQ y CD.
A) 45°
B) 60°
C) 53°
E) 80°
D) 72°
27. En un decágono regular se trazan dos dia­
gonales que se intersecan en el centro de
dicho polígono. Si de los polígonos parciales
determinados ninguno es triángulo, calcule
el número de diagonales trazados desde
dos vértices consecutivos en el polígono de
mayor número de lados.
A) 82°30’
’ D) 85°30’
B) 83°30’
C) 84°30
*
E) 86°
30. En un nonágono ABCDEFGHl convexo se
traza EK (K es el punto medio de uno de
los lados), tal que los números de lados
de los polígonos determinados son pares.
Calcule el número de triángulos parciales
formados que se determina al trazar las dia­
gonales desde un vértice en el polígono de
mayor número de lados.
A) 4
B) 7
C) 9
E) 12
D) 6
A) 8
D) 5
B) 7
C) 6
E) 4
28. La razón geométrica de las medidas de los
31. En un decágono convexo se trazan dos dia
ángulos centrales de dos polígonos regula­
gonales que se intersecan y determina”
res es de 8 a 9 y la suma de sus números de
cuatro polígonos, donde su número de
dos son consecutivos. Calcule el número i*
lados es 17. Calcule la suma de las medidas
de los ángulos interiores de dichos polígo­
nos.
A) 5400°
D) 2340°
B) 2320°
C) 2230°
Od'jn»
tal de diagonales medios del polígono Q
tiene el mayor número de lados.
A) 9
D) 28
B) 15
C) 21
E) 12
«■
Cuadriláteros
■
------------------------------------------------------------------------------------------------- Capítulo IV
Objetivos
•
Definir el cuadrilátero rectilíneo y conocer sus propiedades.
•
Conocer los tipos de cuadriláteros.
• Definición
Cuadrilátero rectilíneo
Es la figura que se forma al unir cuatro puntos no
Es aquel que se forma al unir cuatro puntos no
colineales mediante segmentos de rectas co­
colineales mediante cuatro líneas coplanares.
A continuación se muestran algunos ejemplos.
planares.
A este cuadrilátero rectilíneo se le denomina,
comúnmente, cuadrilátero.
Notación:
C\ABCD se lee “cuadri
látero convexo ABCD”.
Elementos
•
Vértices: A, B, CyD
•
Lados: AB, BC, CD y AD
V
Cuadriláleros inixtilíneos
Notación:
AMNPQ se lee “cuadrilá­
tero no convexo (cóncavo)
MNPQ”.
Elementos
■■
v
Cuadrilátero
curvilíneo
•
Vértices: M, N,PyQ
•
Lados: MÑ, ÑP, PQ y QM
Trapezoide simétrico
Nota ----------------- ----------- —---------Por cuestiones didácticas, cuando nos refe­
rimos a un cuadrilátero rectilíneo, diremos
simplemente cuadrilátero.
X___________________ —-------------------- -
Es aquel en que solamente una de
diagonales biseca perpendicularmente
otra
• Tipos de cuadriláteros
Cuadrilátero no convexo (cóncavo)
S'\BO=OD y AC1BD
—> C^ABCD es un trapezoide simétrico.
4C: eje de simetría
§5: no es eje de simetría
■
Propiedades: AB=AD,BC=CD ->
■ ■■■
Diagonales: MP y NQ
Propiedad: n?+n+í'+r=360°
1
,
Trapezoide asimétrico
Es aquel que no tiene las propiedades del
trapezoide simétrico.
t: medida angular
Cuadrilátero convexo
AC: no es eje de simetría
BD: no es eje de simetría
Diagonales: AC y BD
Propiedad:
a+p+0+y=36O°
Clasificación de los cuadriláteros convexos
Se clasifican teniendo en cuenta el paralelismo
de sus lados.
b.
Trapecio
Es aquel cuadrilátero que tiene dos lados
opuestos paralelos y los otros dos no $on
paralelos.
Existen tres tipos de cuadriláteros convexos y
son los siguientes:
a.
Trapezoide
Es aquel cuadrilátero cuyos lados opuestos
no son paralelos.
AB no es paralelo a CD: AB y CD se den<r
Se clasifica según la simetría que presente.
minan lados laterales o lados oblicuos
BC//AD: BC y AD se denominan bases.
Teoremas
El trapecio se clasifica teniendo en cuenta
las longitudes de los lados laterales.
Trapecio escaleno
Es aquel cuyos lados laterales tienen longi
tudes diferentes.
Si BC//AD//MN y AM=MB,
se cumple
Si BCIIAD y AB * CD,
se cumple
Trapecio isósceles
Es aquel cuyos lados laterales tienen longi­
tudes iguales.
Si BCIIADIIPQ y AP=PC,
se cumple
Si BC//AD y AB=CD,
se cumple
a=P;0=Y
Nota --------------------------------------------
Si un lado lateral de un trapecio escaleno es
perpendicular a las bases, entonces al trape­
cio se le denomina trapecio rectángulo.
BCi/AD, ABLBC, BC # AD
c.
Paralelogramo
Es aquel cuadrilátero cuyos lados opuesto.
El paralelogramo se clasifica teniendo er
cuenta los lados y los ángulos interiores
Romboide
No es equiángulo ni equilátero.
u * b, cz * 9qg
Si ABUCD y BC//AD
_> LJABCD es paralelogramo
Rectángulo
Teoremas
I. Los lados opuestos tienen longitudes
Es aquel paralelogramo que solamente es
equiángulo.
iguales.
/
B
i
C
b
a *b, a=90°
*90°
0
A
0
d
a=c a b=d
2. Los ángulos opuestos tienen medidas
Rombo
Es aquel paralelogramo que solamente es
equilátero.
iguales.
B
C
^3
7
/
/
/«
a=b, ex *90°
0=9OU
D
cc=0 a p=y
Cuadrado
3. Las diagonales se intersecan en su pun­
to medio.
Es el paralelogramo que es equilátero)
equiángulo a la vez.
I------- b------- 1
Problemas Resueltos
Problema N.° 1
Problema N.° 2
En la figura, EFGH es un cuadrado. Halle el valor
En la figura, la razón entre el perímetro del rec­
tángulo ABCD y el perímetro del rombo ECFD es
dex
UNMSM 1997
UNMSM 1996
Resolución
Resolución
Nos piden
1-Pecfd
Del rombo ECFD
Nos piden x.
ra<CFE=n\<DFE=3W3 y
Como EFGH es un cuadrado
m< CEF=m<DEF=30°
m<EHF=n\<GHF=45°
Observamos de L
Sea CF=2k. (En los
m < %/?+m < TLE= 180°
notables de 30° y 60°)
*
2P4BCD=2
+ 2k + 2
*75
+2
*75
m<r¿/?+75o=l80°
%PECFD~%k+26+26+26=86
-> m<71/?=IO5°
Aplicando ÍXJ
x+m < TLR=vc\<RHF+RPH
_>
^Pabcd _ 46(73 4-1)
86
-Pecfd
x+105°=45°+90°
2/j4SCD _ 1 + 73
x=30°
^■Pecfd
2
=4
* (1 + 75)
Problema N.° 4
Problema N.° 3
En la figura, ABCD es un trapecio. CB=CD= l ni,
BD = <3 m y la medida del ángulo BAD es 45 .
En la figura ABCD es un cuadrado de |ad
D;V= 6 m. Halle BM.
0SHij
Halle la medida del ángulo ADB.
Resolución
Resolución
Nos piden m<ADB=x.
Del ¿±DCB
m<CDB=n\<CBD=a
Del dato DC//AB
m<ABD=m<CDB -> m<ABD=a
Nos piden BM=x.
¿±ABD (suma de medidas angulares internas)
Como ABCD es un cuadrado
x+45°+a=180°
(I)
->
A0=£C=CD=DA=9
¿±DCB isósceles es notable
DB = V3DC
-> a=30°
Reemplazamos (II) en (I)
x+45°+30°=180°
x=105°
Completamos las medidas angulares en fe
*
(n)
ción de a.
kCBM==k&4/V(A-L-A)
->
BM=AN
x=3 m
Problemas Propuestos
NIVEL BÁSICO
1.
4.
Del gráfico, n-m < 14°. Calcule el mayor
valor entero de x.
En un trapezoide simétrico ABCD. el perí­
metro de la región triangular equilátera ABD
es 24 cm y BC toma el menor valor entero.
Calcule la m<BCD.
B) 53°
A) 37°
D) 90°
5.
C) 60°
E) 106°
En un trapecio ABCD {BC//AD), AC +BD 14
y AD=2{BC). Calcule el mayor valor entero
de AD.
A) 15°
D) 12°
B) 13°
A) 7
D) 10
C) 14°
E) 11°
6.
Del gráfico, m+n-{a+b) > 96°. Calcule el
menor valor entero de x+y.
A) 51°
D) 48°
3.
B) 50°
*
C) 9
E) 6
En un trapecio isósceles ABCD se ubica
el punto medio K de la base menor BC,
la longitud de la base media relativa a DA
del triángulo AKD es igual a BA y AB=5.
Calcule la longitud de la base media del tra­
pecio ABCD si m< ABK= 127°.
A) 9
D) 6
7.
B) 8
B) 8
^7
E) 5
Del gráfico BC//AD, AL, KD y LK toman va­
lores consecutivos y AD=9. Calcule PQ/MN.
C) 49°
E) 47°
En un cuadrilátero convexo ABCD, donde
m<BAD=90°, AB, BC y CD toman valores
consecutivos, AB+BC+CD=6 y BD toma el
mínimo valor entero. Calcule el perímetro
de la región triangular BCD.
/
A) 5
D) 10
C) 8
E) 11
D) 2,5
/ E) 5/3
8.
En un romboide ABCD se ubican los puntos
L y K en BC, tal que BL=LK=KC. Luegose
ubican los puntos medios S y M de LD y KA.
respectivamente. Calcule la longitud de la
base media de BKSM si AD=6 cm.
A) 4,5 cm
D) 3cm
9.
B) 4 cm
C) 3,5 cm
E) 2,5 cm
En un romboide ABCD se ubican los puntos
K y S en BC, tal que K5=2(BK)=2, BS=SC,
ví\<BAS=vñ<DAS. Calcule el mayor valor
entero de KD.
A) 30°
B) 37°
D) 53°
C) 45°
E) 60°
12. En un cuadrado ABCD. al Prolor^
AD, se ubican los puntos M y 'V* tal que
MN=AB = 2(DM') = 2>/2 cm; luego se
cons.
truye el cuadrado MPNQ. Calcule el
merx¡(
valor de BP.
A) 2 <7 cm
B) v3Ó cm
C) 4v2 cm
D) 735 cm
A) 11
D) 8
B) 10
C) 7
E) 9
10. Del gráfico, ABCD es un rectángulo, PM=2,
PL=3 y /VQ=4. Calcule QS.
E) \'B4 cm
13. En un rectángulo ABCD se ubica Eensu
región interior y se construye el rectán­
gulo DELK, que es congruente al anterior,
m<C£'D = m<ECD, BE=CK, EL = M^
roo
m<£¿C = —. Calcule EC.
2
A) 3
D) 2>/3
B) 4
C) 75
E) 5
14. Del gráfico, CK=2, CS=3 y AM=MK. Calcule
ML si ABCD es un rectángulo.
A) 0,5 .
D) 1,5
B) I
C) 1,2
E) 1,8
11. Del gráfico, AL=3, BL=KL y la longitud de
una diagonal del rectángulo SCDK es 10.
Calcule la n\<BCK.
A) 0,3
D) 0,6
B) 0,4
C) 0.5
E) 0,8
15. Se muestran los cuadrados ABCD y DMNL,
tal que DK=3(MK) y MN=5. Calcule el
menor valor entero del perímetro de la
región cuadrilátera ABCD.
B
/
C
A
D
E
A) 3/2
B) 5/2
C) 2
E) 5/4
D) 4/3
18. Del gráfico, O es el centro del cuadrado y
B£=2(¿C)=4 cm. Calcule la longitud de la
base media del trapecio mayor.
16. Del gráfico, O es el centro del rectángulo,
AL=2(LB), OS=4 y OD toma el menor en­
tero. Calcule x.
A) 5
B) 6
D) 8
C) 7
E) 9
NIVEL INTERMEDIO
A) 5o
D) 8o
B) 6o
C) 7o
E) 9o
19. Sea el cuadrado ABCD. En la prolonga­
ción de AD se ubica el punto Q y se cons­
truye el triángulo equilátero APQt tal que
BCr'ÁP={T},CePQ y TQnCD={£}.
Calcule m<71P.
17. Del gráfico, O es el centro del romboide
ABCE y CD=2(S£)=4. Calcule la distancia
A) 60°
deTa£D.
D) 75°
B) 15°
C) 45°
E) 30°
20. En un trapecio rectángulo ABCD, recto en A
y fí, M es punto medio de CD, BM nAC-L.
Si m<Cfí/Vf=m<6AC+20°=35° y BM=18,
calcule AL.
A) 9
D) 18 -
B) 3v/2
*
C) 2^3
E) 6
21. Sea ABCD un rectángulo. En la región exte­
rior relativa a AD se ubica el punto P, tal que
AC n BP=M. Si m<fíMC=m<fiPD, AM=A y
PD=10, calcule BD.
A) 7
D) 18
B) 6
C) 5
E) 14
22. En un paralelogramo ABCD se traza BH1AD
{HeAD)yBHr>ÁC={L}.
Si m<DCD=3m<CAD, calcule LC/CD.
A) |
B) 1
C)2
25. En un rombo ABCD se traza BH1.AD, H e
tal que 2(AH)=3(HD). Si AC
calcule m<CFD.
A) 75°
26. En un rombo ABCD se ubica el punto Ten CD,
tal que TB r\AC={F}. Si m<CBF-2n\<CAD
y FT = TD, calcule m<BAD.
A) 30°
D) 45°
B) 15°
C) 53°/2
E) 45°/2
27. En un romboide ABCD se traza BH y BM, los
cuales son perpendiculares a AD y DC, res­
pectivamente (H en AD y M en DC). La bi­
sectriz del ángulo ADC interseca al lado BC
en F. Si BH=3, BM=\A, calcule la distancia
de F hacia AB.
E) 3
A) 6
D) 11
23. En un trapecio ABCD, BCHAD,
CD = BC = AB
y AD=BC+CD.
10
11
12
Calcule m<BAD.
A) 16°
D) 74°
B) 30°
B) 7
C) 8
E) 5
28. Sea ABCD un paralelogramo, tal que
AM=MD, BL=b, AH=a y CT=d. Indique la
relación conecta.
C) 53°
E) 37°
24. En un trapecio ABCD, las diagonales trise­
can a la base media. Calcule la razón de las
longitudes de las bases.
A) a=b+d
D) 3
D) 3a=b+d
B) 2a=b+d
C) 2a=b-d
E) t,=a‘wí
L:- Circunferencia
«
Capitulo V
Objetivos
•
Estudiar la definición de la circunferencia y los elementos asociados a ella.
•
Utilizar las diferentes relaciones entre los elementos de una circunferencia para calcu
lar las medidas angulares de los arcos utilizando los ángulos en la circunferencia.
• Definición
• Ángulos asociados a la circunferencia
Es la figura geométrica plana cuyos puntos
equidistan a un punto fijo del mismo plano.
Son aquellos ángulos cuyas medidas guardan
relación con las medidas de los arcos.
El punto del cual equidistan los puntos de una
circunferencia se denomina centro y a la distan­
cia entre él y un punto de la circunferencia se le
denomina radio.
Ángulo central
<AOB’. ángulo central
Se cumple
a=p
ÁNGULO INSCRITO
Elementos asociados
•
Centro: O
•
Radio: 04 (04=/?)
•
Cuerda: MN
•
Diámetro: AB, AB=2R
•
Recta secante: n
•
Recta tangente: m
<AOB: ángulo inscrito
•
•
•
Recta exterior: í
Punto de tangencia: T
Arco AM (parte de una circunferencia): AM
Se cumple
c.
Ángulo semiinscrito
Formado por dos lados tangentes
cunfercncia.
T: punto de tangencia
<ATB: ángulo semi­
inscrito
Se cumple
T y P: puntos de tangencia
O: punto exterior
< TOP: ángulo exterior
Ángulo interior
Se cumple
Además
a+o)=180°
Ángulo exterior
a.
Formado por dos lados secantes a la circun­
ferencia:
O: punto exterior
z
Nota ------------------------------
• En la semicircunferencia (AB)
<AOB: ángulo
exterior
Se cumple
Si P es un punto de la semicircunferen­
cia y AB es diámetro, entonces
b.
Formado por un lado tangente y el otro se­
cante a la circunferencia.
T: punto de tangencia
O: punto exterior
<AOT. ángulo exterior
Se cumple
• En el cuadrante (AB)
• Propiedades fundamentales
También
Si ABHV y Tes
punto de tangencia,
Si T es punto de tan­
gencia, se cumple
a=90°
se cumple
(Z=0
Además
T
L
OT=R
Si 7 y P son puntos
de tangencia, se
cumple
X —
——
OT=OP
Si 0N1AB,
se cumple
Además
AT=TB
Además
P = (D
Nota ---------------------------------------------- s
,
•
Se cumple que
0¡, T y O2 son
colineales.
Si AB=CD,
se cumple
a=P
Además
mAT = mTB
Además
d\=d2
Circunferencias tangentes exteriores
•
Circunferencias tangentes interiores
Se cumple que
°3» O4 y T son
colineales.
4.
Si AB//CD,
se cumple
Además
m7L = m7F
En ambos casos, T es punto de tangencia.
V_______________________ -
.
J
Problemas Resueltos
Problema N.° 2
Problema N.° 1
En la figura, PQ=18 cm_y_CD=6 cm. Calcule la
longitud del diámetro AD de la semicircunfe-
En la figura, BD^BC y la medida del arco ®
igual a 5x. Halle el valor de x.
UNMSM 2009-1
Resolución
Nos piden AD=x.
Dato: PQ=18 cm
Nos piden x.
Datos: mAD = 5x
BD-BC
CD=6 cm
Se sabe que el diámetro
x=2r
Trazamos OHLPQ\ por teorema
En la circunferencia, por ángulo inscrito
5x
,n
“=T
En el A isósceles DBC
PH=HQ
a=p+20°
HQ=9cm
Pero como p=20°
En el ^OHQ, por teorema de Pitágoras,
r2=(6 cm)2+(9 cm)2
{l)
-»
a=40°
Reemplazamos (II) en (1)
(ID
Problema N.° 3
En la figura, los puntos A, B y C son centros de
las circunferencias tangentes. Si el radio de la
circunferencia mayor es 5 cm, halle el períme­
tro del triángulo ABC.
En A.ABC
x=AC+BC+AB
x=5 cm-cz+5 cm-b+a+b
/.
x=10cm
Problema N.° 4
En la figura, A y C son puntos de tangencia.
Calcule la medida del ángulo inscrito ABC en la
circunferencia.
Resolución
Nos piden x.
Donde x es perímetro de la región A ABC.
Dato: R=5 cm
Nos piden x.
Por ángulo inscrito
mAC
Considerando que Q, F y T son puntos de tan­
gencia, sabemos que
Por teoremas, en la circunferencia
T, A y C son colineales
mAC + 40°=180°
Q. B y C son colineales
A.FyB son colineales
-> AC=TC-AT=5cn\-a
->
mAC = 140°
Reemplazamos (II) en (I)
140°
fiC=QC-Qfí=5cm-b
X
AB=a+b
x=70°
2
(II)
Problemas Propuestos
4.
NIVEL BÁSICO
1.
tro AB- Se traza la cuerda CE. tal que C£//¡¡¿
En CE y AE sc ubican los puntos 0 V F 'ev
pectivamente, tal que CDEE es un parai^
En el gráfico, mOfi = 40°. Calcule mAM.
gramo. Si mAC = 40", calcule m<DCF.
A) 40°
B) 20°
C) 50°
D) 60°
E) 30°
A) 70"
B) 20"
C) 50°
E) 40°
D) 30°
5.
2.
Se tiene una semicircunferencia dejjj^
En una circunferencia se traza el diámetro
AB, y las cuerdas TB y AQ, las cuales se in.
En el gráfico, mAM—mBC = 40°. Calcule x.
tersecan en M. Si m< AAfT=60° y el radio de
dicha circunferencia es 6, calcule la distan­
cia del centro de la circunferencia hacia la
cuerda TQ.
A) 6
D) 2s/3
6.
A) 20°
D) 45°
B) 50°
C) 25°
E) 30°
A) 30°
D) 15°
B) 8°
C) 10"
E) 45°/2
B) 3
C) 3^3
E) 73
En el gráfico, m AB = 3a. Calcule x.
7.
Del gráfico, Tes punto de tangencia. Calcule x.
10. Del gráfico, AB//SC, AD//SL,
= m— = a y mA5 > 60°. Si a
2
3
_
toma el mayor valor entero, calcule mDC.
mAB =
A) 52°
B) 54°
C) 56°
D) 58°
. E) 60°
A) 16°
D) 19°
8.
B) 17°
C) 18°
E) 20°
Del gráfico, 2(mAB) = mASB y KL=\. Si KB
toma un valor entero, calcule mAB.
A) 100°
D) 120°
B) 110°
C) 115°
E) 135°
11. Del gráfico, m<KSR = 2ÍmA¿) y cojtiAI.
Calcule el mayor valor entero de la mA¿.
• A) 59°
D) 56°
B) 58°
C) 57°
E) 55°
12. Del gráfico, A y T son puntos de tangencia, y
9.
Del gráfico, AS=8, AC=CB y AC toma el me­
nor valor entero. Calcule m<SKL.
B) 4y/2
13. Del gráfico, S es punió de tangencia, el radio
mayor es 6 cm y el radio menor es 2 cm, y
16. En el gráfico, m.WV = 2mRS = 2x. y Tp
son puntos de tangencia. Calcule x.
OO\=LS. Calcule LK.
A) 37°
B) 72°
C) 60°
D) 74°
E) 90°
A)
B)
C)
D)
E)
14. Del gráfico. mBL = mLT, AB=BO-10 y
87=12. Calcule
17. Si O8=2(8C), calcule mAT-mBM.
LK
LS
A) 3
B) 4
C) 5
D) 6
E) 2
15. Si BF=FO, 2(OM)=3(MN), v(\AB = m8C y
A) 60°
D) 53°
B) 53/°2
C) 37°
E) 37°/2
mDN - m/VE, calcule mCE.
NIVEL INTERMEDIO
18. Desde un punto P exterior a una circunfe­
rencia se trazan los segmentos tangentes/^
y PB (4 y B son puntos de tangencia). Luego
se traza la secante PST, donde 5 y T son los
puntos de intersección. El punto R se ubica en 57, tal que AP=RP. Si m<AKB=l 10°.
calcule mATB.
A) 75°
D) 67°
B) 74°
C) 90°
El 79°
19. Exteriormente al cuadrado ABCD se cons­
truye una semicircunferencia de diámetro
BC. En el arco BC se ubica el punto L. Si
AL=2(BL), calcule m«ALC.
A) 60°
D) 120°
B) 5372
23. Los puntos Q, T, M y P son de tangencia.
Si r = 75, calcule AM.
C) 3772
E) 90°
20. En un cuadrante AB de radios OA y OB se
ubica el punto Nyse traza OM1AN, Me AN
Si MB=5(AM), calcule m<OMB.
A) 30°
D) 16°
B) 37°
C) 74°
E) 53°
A) 275
B) 75-1
D) 1 + 75
C) 3
E) 275-1
24. Sean las circunferencias
y ^2 tangentes
interiores en el punto S. Desde el centro O
de
se trazan los segmentos tangentes OF
y.OP a la otra circunferencia, además FyP
son los puntos de tangencia. Si la razón de
radios es de 3/8, calcule la n\<FOP.
21. Si mAB = a+ 71°, calcule a.
A) 21°
B) 19°
C) 15°
D) 14°
E) 13°
A) 60°
D) 37°
22. Sean F, T y M puntos de tangencia. Si /?=4 y
r=2, calcule FL.
«I
B) 74°
C) 53°
E) 75°
25. Sean T,FyL puntos de tangencia.
OA=4(AM)=4 y AfF=6. Calcule r.
B) 2
26. Se tienen las circunferencias
y
tan’
gentes exteriores, cuyos radios miden 3 y 4,
A) 1
B)
A)
112
°) 2
C) 1,6
E) 2,4
respectivamente. Se traza el segmento tan­
gente común AB (4 y B son puntos de tan­
gencia, respectivamente). Si AO¿ interseca a
la
en el punto M, y O2 es centro de ^2»
29. Se tienen dos circunferencias no ono^
nales «i y r/2 de cenlros °> y °
* ('ue
secantes en A y B. Si la suma de los ra^
de dichas circunferencias es 7, indique la
calcule mAW.
A) 37°
cantidad de valores enteros que puede 10.
mar O\Oz-
B) 53°
C) 60°
E) 30°
D) 37°/2
A) 7
B) 5
D) 4
C) 6
E) 3
27. En el gráfico, TyM son puntos de tangencia.
Si 74=6 y 4Af=4, calcule 71.
30. Se tienen dos circunferencias ortogonales
congruentes que se intersecan en 4
el perímetro de la región triangular 0^40,
es 2(2 + >/2) cm (Oj y O2 son centros de cir­
cunferencias), calcule la distancia éntrelos
centros.
A) 2 cm
B) 3cm
D) 273 cm
A) 5
D) 6
B) 2^6
C) 24
E) 10
28. Del gráfico, los radios de las circunferencias
son de 6 y 2 cm. Calcule la distancia entre
los puntos medios de LO y NO\.
C) 72 an
E) 272 cm
31. Del gráfico, mLS = 2(mCo).
Si mAB - n\KR = 48°, calcule x.
... Cuadrilátero inscrito
en la circunferencia
-----------------------------------------------------------------------------------------------
Capítulo VI
Objetivos
•
Conocer las definiciones del cuadrilátero inscrito e inscriptible.
•
Establecer los principales teoremas del cuadrilátero inscrito e inscriptible.
2.
• Definición
Es aquel cuadrilátero cuyos vértices pertenecen
En todo cuadrilátero inscrito, la medida de
un ángulo interior es igual a la medida del
ángulo exterior opuesto.
a una misma circunferencia.
[Z\ABCD: inscrito en
S¡4,B, C,De
a=0
-> ¿2A4BCD está
inscrito en
Generalmente al cuadrilátero inscrito en una
circunferencia se le llama cuadrilátero inscrito.
Teoremas
1. En todo cuadrilátero inscrito, la suma de las
medidas de dos ángulos internos opuestos
es 180°.
3.
En todo cuadrilátero inscrito, las diagonales
determinan ángulos de igual medida con
los lados opuestos.
«• Cuadrilátero inscriptible
Es aquel cuadrilátero por cuyos vértices puede pasar una misma circunferencia, para ello se
cumplir por lo menos uno de los teoremas del cuadrilátero ins< rito.
Si a+p=180°
*. Las líneas discontinuas representan
-X
-> dABCD es inscriptible.
una circunferencia imaginaria.
Si a=6
-> C\ABCD es inscriptible.
Las líneas discontinuas representan
una circunferencia imaginaria.
3.
Si 0=y
(2\ABCD es inscriptible.
Las líneas discontinuas representan
una circunferencia imaginaria.
Teoremas
dLBSH es inscriptible y
dALSC es inscriptible.
Del gráfico, MN//PQ.
l^XARHT es inscriptible.
dCPHTes inscriptible.
(2XBRHP es inscriptible.
C^ABCD es inscriptible.
6.
Si a=P,
AB=BC y AD
*DC
C^ABCD es inscriptible.
Problemas Resueltos
Problema N.° 1
ComomSCD = 20 -> m«SPD = ~ = e
En la gráfico, BH=8 cm y HP=\2 cm. Halle BC.
&PDS es isósceles (SD=PD)
-> x+8=12
x=4 cm
Problema N.° 2
En el gráfico mAPM = 70°. Halle x.
Nos piden BC=x.
Se prolongan PB y DC hasta S.
m<BAH=m<BSQ
dABCD inscrito en
-»
Nos piden x.
Se sabe que AFI/ED -> m<AFC=x.
n\<BAD=Q=m<BCQ
Como podemos ver, m«SBQ=m<QBC=90°-0
-» BS=BC=x
por < inscrito, n\MC = 2(40°+10°)=100°.
70°+100°
v\-, por < inscrito, x =----- -----/.
x=85°
Problema N.° 3
Problema N.° 4
En el gráfico A, B y D son puntos de tangencia.
Halle el valor de x.
En el gráfico, T es punto de tangencia y
mPR = 60°. Halle x.
Resolución
Nos piden x.
En la circunferencia menor, por teorema
mDB + m< DMB=180°
140°+m<ZWB=180°
60°
Por < inscrito, m< PWR = — = 30°.
l^PTWR inscrito, se traza TR
m<DMB=40°
mAF
Por < semnnscnto, m<FAN=——
d
tx\AF
Por < inscrito: m<A£F=——
-*
Nos piden x.
m<E4/V=m<AEF=a
&MEA: por teorema del < exterior en A
m<TRW=n\<TPW=a
Como m<77?/V=m<TS/V=a
—> EUTNSR es inscriptible, por lo cual
m<r/v/?=m<rs/?=500
A/VWC: < exterior en N
x+a=a+40°
x+30°=50°
x=40°
x=20°
Problemas Propuestos
4.
NIVEL BÁSICO
1.
Del gráfico adjunto, la m.4tí = 40" y
Se tiene el hexágono AfiCDfF inscritor
*nUlk
circunferencia. Si
calcule mcCDE.
9
lamííV = 50o. Calcule x.
A) 120°
B) 110"
E) 125“
D) 135"
5.
C) 70“
En el gráfico, a+mBC = 100”, P+mÁB = |2()a
y los puntos TyP son de tangencia. Calcule,
A) 42
D) 40°
2.
Del gráfico adjunto, calcule x.
A)
B)
C)
D)
E)
3.
A) 80°
D) 75°
B) 70°
C) 65“
E) 40“
Del gráfico adjunto, calcule x.
6.
A) 80°
D) 60°
C) 70°
E) 50°
En el gráfico, six-y=60" y FT=TL, calcule!.
7.
En el gráfico, m AB = 0 y 2a - - = 30°. Calcu-
le mFS.
10. Del gráfico, si a+P+O+y < 80°, mAB = 2p y
mCD = 20. calcule el menor valor entero de x.
A) 30°
B) 15°
C) 45°
D) 60°
E) 15°/2
A) 100°
D) 105°
8.
En una circunferencia se inscribe el rectán­
gulo ABCD. En BC se ubica el punto P y se tra­
za PH1.AD (H e AD\ tal que 3(AH) = 2(HD).
Si PC//BD, calcule m<BCF.
A) 30°
D) 60°
9.
B) 37°/2
C) 53°/2
E) 37°
En el gráfico, m£G = 160°, m<A7'Af=40°,
AB=BC y CD=DE. Calcule x. (A, M y E son
puntos de tangencia).
T
A) 40°
B) 35°
C) 25°
D) 20°
E) 30°
B) 101°
C) 102°
E) 108°
11. Del gráfico adjunto, la m AB = mBC - 70°.
Calcule x.
A) 40°
B) 70°
C) 35°
D) 50°
E) 55°
12. Del gráfico adjunto, la mMN = 50° y
la mAB = 30°. Calcule m<MFH.
A) 25°
13. Del gráfico adjunto, O es el centro del cua­
drado TPQR. Calcule x.
(Ty M son puntos de tangencia)
B) 20°
E> <0°
D) 50°
16
C) 30°
En la región interior de un triángulo ABC *
' ubica el punto P; en los lados AB, BC y £ *
ubican los puntos R, S y T, respectivamente si los cuadriláteros ARPT, BSPR_ySPTc
son inscriptibles, además PT//AR, RP¡^
m<BAC=70°, calcule m<ACB.
A) 20°
B) 70°
C) 35°
E) ,0°
D) 40°
17. En una circunferencia de centro O, el radio
OM y la cuerda AB se intersecan perpen­
dicularmente en el punto T. Se prolonga
14. Del gráfico, ABCD es un romboide. Calcule x.
la cuerda AB y en ella se ubica el punto P,
luego se traza el segmento tangente PHt tal
que MH r>AB={F}. Además se traza OP.
OP1MH = {D}. Si m<7DO=70°, calcule
m<MPF.
A) 70°
B) 20°
D) 40°
A) 2a
D) 90°-a
B) 3a/2
C) 30°+a
E) 60°-a
C) 35°
E) 55°
NIVEL INTERMEDIO
18. Del gráfico, calcule x.
15. Del gráfico adjunto, AD//MN y mAB = 40°
Calcule mCD.
A) 28°
D) 34°
B) 30°
C) 32°
E) 36°
19. Del gráfico, a > 100o. Calcule el mayor valor
entero de x.
A) 37°
D) 40°
B) 38°
C) 39°
E) 45°
22. Del gráfico, K y S son puntos de tangencia.
Calcule x.
A) 45°
D) 50°
B) 46°
C) 48°
E) 52°
23. Del gráfico, AS=SK, DC=4, BC=3 y DB
toma el mayor valor entero impar. Calcule x.
20. Del gráfico, calcule mAfiC.
A) 60°
B) 53°
C) 74°
D) 90°
E) 92°
24. Del gráfico, a+0 < 48° y mSA/V = 6x.
Calcule el menor entero de x.
A) 120°
D) 144°
B) 140°
C) 142°
E) 146°
21. En un cuadrilátero inscrito ABCD en la
circunferencia 4?, la m<BCD > m<CDA y
m«a4D=49°. Calcule el menor valor entero
de la m<ABC.
A) 28°
D) 30°
B) 29°
C) 27°
£) 24°
nn
En un triángulo ABC se trazan las altu,^
v BÑ que se intersecan en K; luego »
MS1CK (S e
Si nt<SMC=2(m<BAAf)y
MC= 10, calcule MS.
A) 6
B) 8
C)5
E)
D) 7
29. Del gráfico, AK// BD y la m fí¿C = 48°
Calcule lam<B/VS.
A) 12°
D) 18°
B) 14°
C) 16°
E) 20°
26. Del gráfico, a+(3=132°. Calcule mKL + mLS.
A) 22°
D) 25°
A) 60°
D) 94°
B) 90°
C) 92°
E) 96°
B) 23°
C) 24°
E) 26°
30. Del gráfico, m¿K = m/VS y n\CKE = 84°.
Calcule x.
27. Del gráfico, a+0 < 132°. Calcule el mayor
entero de x.
A) 130°
D) 133°
B) 131°
C) 132°
E) 134°
A) 42°
D) 45°
B) 43°
C) 44°
E) 46°
..■ ■■ Puntos notables
“ asociados a un triángulo
Capítulo Vil
Objetivos
•
Estudiar las definiciones de los puntos notables, del baricentro, incentro, ortocentro,
circuncentro y excentro.
•
Reconocer su ubicación respecto al triángulo.
•
Relacionar los elementos asociados a través de teoremas de cada punto notable.
• Puntos notables
Se les conoce así a los puntos ubicados ya sea
en el triángulo, en su región interior o en la re­
gión exterior de un triángulo determinados por
las líneas notables.
Baricentro
Es el punto de intersección de las medianas de
un triángulo.
Estas líneas notables asociadas al triángulo son:
•
La mediana, la cual siempre se ubica en la
región triangular.
•
La bisectriz interior, que se encuentra en la
región triangular.
•
•
La bisectriz exterior, la cual se ubica en la
región exterior del triángulo, excepto un
G: baricentro de la región triangular ABC
extremo.
Dicho punto determina en cada mediana dos
segmentos, cuya razón de longitudes es de 2 a 1.
La altura como segmento puede ubicarse
en la región triangular o en la región
exterior, excepto un extremo.
En cambio, una parte de la mediatriz, por ser
una recta, está contenida tanto en la región in­
terior como en la región exterior del triángulo.
Se cumple
BG=2(CM)
AG-2(GN)
CG=2(CQ)
Gráficamente, el incentro pertenece a la
Ortocentro
Es el punto de concurrencia de las alturas o de
triangular.
sus prolongaciones.
Gráficamente, su ubicación depende de! tipo de
triángulo.
El A4fíC es acutángulo.
/: incentro del ¿±ABC
El incentro equidista de los lados del triángulo.
H: ortocentro del triángulo ABC
Se cumple
El AXfiC es obtusángulo, obtuso en B.
Se cumple
m <AJC = 90°+----------2
, Nota--------------------------------------------- ,
Como el incentro equidista de los lados de un
triángulo, también es el centro de una circunfe­
rencia que es tangente a Io6 lados del triángula
T: ortocentro del triángulo ABC
El A4BC es rectángulo, recto en B.
circunferencia inscrita en el triángulo ABC
¿±ABC: circunscrito a W
r: inradio del A4fiC
B: ortocentro del triángulo ABC
ClRCUNCENTRO
Es el punto de concurrencia de las medial^
Incentro
Es el punto de intersección de las bisectrices in­
teriores de un triángulo.
de los lados de un triángulo.
Gráficamente, su ubicación respecto al triángu
dependerá de la naturaleza de dicho triángu
El &ABC es acutángulo.
El A4BC es rectángulo, recto en B.
0: circuncentro del AABC
0: centro de la circunferencia circunscrita al
AABC
R: circunradio del AABC
O: circuncentro del AABC
Se cumple
R: circunradio del A4BC
n\<A0C=2m<ABC
AO=OC=OB
m<A0B=2m<ACB
O: centro de la circunferencia circunscrita ai
A4BC
Se cumple
AO=Ofí=OC
m< BOC=2m< BAC
El AABC es obtusángulo, obtuso en B.
Excentro
Es el punto de concurrencia de dos bisectrices
exteriores y una bisectriz interior trazada desde
el tercer vértice.
Este punto notable se ubica en la región exterior.
El excentro equidista de los lados de un trián­
gulo, por eso es el centro de la circunferencia
exinscrita a dicho triángulo.
O: circuncentro del A4BC
O: centro de la circunferencia circunscrita al
A4BC
R: circunradio del A4BC
Se cumple
circunferencia exinscrita al /\ABC, relativa a BC
m<AOB=2m<ACB
AO=OB=OC
m<B0C=2m<BAC
Ea: excentro del AABC, relativo al lado BC
ra: exradio del AABC, relativo al lado BC
El triángulo tiene un excentro relativo a cada
Circunferencia exinscrita al triángulo
lado, es decir, tiene tres excentros.
Es aquella circunferencia cuyo centro es e| ex
Se cumple
centro del triángulo, y es tangente a un lado y d
la prolongación de dos lados del triángulo.
n\<AEaC -
® Teoremas asociados
Circunferencia inscrita en el triángulo
Es aquella circunferencia cuyo centro es el in­
Donde p es semiperímetro de la región triangu­
lar ABC.
centro del triángulo y es tangente a los lados del
triángulo.
Teorema de J. V. Poncelet
En todo triángulo rectángulo, la suma de las lon­
gitudes de los catetos es igual a la longitud déla
hipotenusa más el diámetro de la circunferen­
cia inscrita en dicho triángulo.
En el í\ABC, r es in radio
Se cumple
a+c=b+2r
I------x-------- 1
I---------------- b------------------1
circunferencia inscrita en el triángulo ABC
M,QyT: puntos de tangencia
Se cumple
TteOREMA DE H. PlTOT
En todo cuadrilátero circunscrito a una circun­
ferencia, la suma de las longitudes de los lados
opuestos son ¡guales.
x=p-a
y=p-b
z=p-c
Donde p es semiperímetro de la región triangu­
lar ABC:
C
n4BCD circunscrito
Se cumple
__
[ ab+cd=bc+áD
Problemas Resueltos
problema N.° 1
Problema N.° 2
En el gráfico, Afí=15 cm y BC=36 cm. Halle la
En el triángulo ABC, calcule la distancia del
baricentro al vértice C, siendo CD diámetro de
la circunferencia, BC = 12-75 m y OD=30 m.
medida del radio de la circunferencia inscrita en
el triángulo ABC.
Resolución
I----------------- 36 cm------------------- 1
Nos piden GC=x.
Donde G es baricentro de la región triangular ABC.
Nos piden r.
Por teorema del baricentro
Por teorema de Poncelet en el LAflC
15 cm+36 cm=/+2r
•
GC=2(GH)
(I)
-> x=2(GH)
- gh = í
Por teorema de Pitágoras en el tsABC
(15 cm)2+(36 cm)2=/2
Observamos en el LCflD
f=39 cm
(11)
BC 12^5 75 _ 1
CD~ 60 ” 5
Reemplazamos (II) en (1)
15 cm+36 cm=39 cm+2r
r=6 cm
—>
53°
En el ^CHB: notable de —, sabemos que
Por teorema
x = 90°CH
1
BC
75
X+f
1275
m<ABC
2
x=
x=45°
T=^s"
Problema N.° 4
x=8 m
En el gráfico, halle x.
Problema N.° 3
¿Cuánto vale el ángulo formado por las bisectri­
ces de los ángulos exteriores adyacentes a los
ángulos agudos de un triángulo rectángulo?
UNMSM 2005-11
Resolución
Resolución
Nos piden x.
Nos piden x.
Datos:
•
AE: bisectriz del ángulo exterior
•
CE: bisectriz del ángulo exterior
Observamos que / es el incentro del AABC.
Por teorema
x = 90° +
m<4BC
2
Observamos que
E es el excentro del A4BC.
x=H8°
J
Problemas Propuestos
NIVEL BÁSICO
1.
A) 45°
D) 59°
Del gráfico, G es baricentro del triángulo
ABC, AB=BC y m<GAC=45°. Calcule x
5.
A) 15°
B) 14°
C) 37°/2
D) 53°/2
E) 16°
En un triángulo ABC de incentro /
3(ni<ABC)=2(m<BCA) y la
Calcule el menor valor entero de la m < ABC.
A) 122°
D) 119°
En el gráfico adjunto, G es baricentro del
¿\ABC,AM=MC,AF=2(MG)y m<AFC=l 10°.
Calcule m<MGC.
3.
B) 20°
C) 55°
E) 40°
7.
B) 121°
C) 120°
E) 118°
Del gráfico, M, N y L son puntos de tangen­
cia, y AK=KO. Calcule x.
A) 76°
D) 48°
A) 70°
D) 35°
C) 58°
E) 60°
m<BIA-m<CIA > 30°.
6.
2.
B) 46°
B) 44°
C) 45°
E) 60°
Del gráfico, R y P son ortocentros de los
triángulos ABM y CMD. Calcule x+y.
En un triángulo ABC se trazan las medianas
AM y BN, las cuales se intersecan en P. Si
AB=2(MB)=2(AN), calcule m<BPM.
A) 30°
D) 60°
B) 45°
C) 37ü
E) 53°
A
4.
En un triángulo ABC se ubica el incentro /,
tal que m<AlC+m<ABC < 180°. Calcule el
mayor entero de m<ABC.
A) 35°
D) 140°
B) 40°
C) 20°
F) 70°
1
I
8.
Si TC=3(M7
*)
y M es ortocentro del A ABC.
calcule x.
12. En un triángulo ABC se ubica el incentro /
tal que m< BIC = 90° + HISdSÉ
2
Si AC=AB, calcule m<AC/.
A) 15°
D) 8o
9.
B) 30°
C) 14°
E) 37°/2
Desde un punto P exterior a una circunfe­
rencia se trazan los segmentos tangentes
PE y PF (E y F son puntos de tangencia). En
el arco EF se ubica el punto M, el cual es el
ortocentro del ¿±PEF. Calcule ra<PME.
A) 137°
B) 60°
C) 153°
B) 10°
C) 20°
E) 30°
13. En un triángulo ABC se traza la ceviana inte­
rior BF; en BF se ubica el circuncentro 0 del
AAfiC. Si OF=FC y m<FfiC=25°, calcule
va<AFB.
A) 80°
D) 100°
B) 50°
C) 75°
E) 65°
E) 120°
D) 45°
10. En un triángulo ABC se traza la bisectriz in­
terior AM y en ella se ubica el incentro P. Si
PC=MC, calcule
A) 80°
D) 100°
14. En el rectángulo ABCD mostrado, 0| y0
*
son circuncentros de los triángulos ABK\
CDK. Si 3(O1O2)=2(fiC), calcule x.
m<ABC
m< ACB'
11. Sea O incentro de los triángulos ABC y PQR.
A) 53°
Si m<ABC+m<PRQ=a, calcule x+y.
D) 45°
B) 37°
C) 60°
E) 75°
15. En un triángulo acutángulo ABC de incentro
/ y circuncentro O, si m<ACB=2m<ABC,
calcule m<A/B+m<ACO.
A) 45°
D) 60°
B) 135°
*
C) 120°
E) 180°
16. Del gráfico se muestra el trapecio ABCD
(AB no paralelo a CD), A es el excentro del
ABCD. Calcule x+y.
NIVEL INTERMEDIO
18. En un triángulo ABC se trazan las medianas
AM y BN, que se intersecan en
luego en
AL se ubica T, tal que AT=LM y, finalmente,
se traza la mediana TK del triángulo BTM,
TKr\BL={S}.S\LS=\4 cm, calculeLN.
A) 14 cm
D) 28 cm
B) 18 cm
C) 21 cm
E) 32 cm
19. Del gráfico, ABCD es un cuadrado, N es
punto de tangencia, KN = -y y
18 cm.
Calcule NO.
A) 60°
D) 50°
B) 70°
C) 90°
E) 75°
17. En el gráfico adjunto, E y F son excentros de
los triángulos MCDy ABM, respectivamente.
Sia-p=110°, calcule x+y.
A) 26 cm
D) 36 cm
B) 30 cm
C) 32 cm
E) 38 cm
20. En un triángulo isósceles ABC de base AC
se ubica el punto medio K de AB, se traza
KP1AC (PeAC), luego la prolongación de
PK interseca en L a la prolongación de CB,
además se ubica el punto medio S de LB y
ASr^¿K={¿/}. Si BK—£>¡ calcule el menor
valor entero de AS.
A) 70°
D) 20°
B) 140°
C) 110°
E) 55°
A) 8
D) 11
B) 10
C) 9
E) 12
21. Del gráfico, calcule el inradio del ^ATB
sifi.W=14 y Ñ=6x/2.
A) 5
D) 8
B) 6
0 7
E) 10
25. En un triángulo acutángulo ABC se
circuncentro O. Si m<BAC > nwABC.ü
*
que la relación correcta.
A) J2
B) 1,5
C) 1
A) m<0CB=m<0CA
B) m<0CB>m<0CA
C) m<OCB < m<OCA
D) 2
E) 2>/2
D) m< OCB > m< OCA
E) m<OCB <m<0CA
22. Sean N, L, F y M puntos de tangencia,
BC+AD=18 y AB+FD=14. Calcule LC.
26. En una circunferencia
de centro 0 se
trazan las cuerdas AB y CD que no son para­
lelas. Respecto a lo anterior, indique la alter­
nativa correcta.
A) AC y BD se intersecan en O.
B) AD y BC se intersecan en O.
C) Las mediatrices de AB y CD no pasan
por O.
D) Las mediatrices de AB y CD pueden pa­
sar por O.
E) Las mediatrices de AB y CD pasan por 0.
A) 1,5
B) 1
•
C)2
E) 4
D) 2,5
23. En un triángulo rectángulo ABC recto en B,
AB=a+2, BC=2¿?+8 y AC=3g+2. Calcule
su inradio.
A) 3
D) 1
B) 4
C) 2
E) 5
24. En un triángulo acutángulo ABC de circuncenlro O se traza 0M1AC (M e AC), tal que
la m<ABC=2(m«0CAf). Si 0Af=4, calcule
el circunradio.
28. En un triángulo ABC se ubica el punto K
en la región exterior relativa a BC, tal que
m<ABC=2(jn<AKC) y
m<ACB=2(jn<AKB'). ¿Qué punto notable
es K del triángulo ABC?
A) 8
D) 5
B) 7
C) 6
E) 4
31. Del gráfico, el cuadrilátero ATNC es inscriptible y mXBS + 2(mAC) = 360°. ¿Qué punto
notable es E del triángulo ABC?
A) baricentro
B) ortocentro
C) incentro
D) circuncentro
E) excentro
29. Del gráfico, AB=3 y AC=5. Calcule el inradio del triángulo KOC (M, L y K son puntos
de tangencia).
A) baricentro
B) ortocentro
C) incentro
D) circuncentro
E) excentro
32. Del gráfico, mMB + 2(m< ABC) = 180° y
m¿C = m/VA. Calcule x.
A) 0,4
B) 0,41
C) 0,42
D) 0,43
E) 0,44
30. En un triángulo ABC se ubica el ortocentro
H, que se encuentra en su región interior,
tal que m<//AC+m<HCA=60° y AB=IO.
Calcule la longitud de la proyección ortogo­
A) 76°
nal de AB sobre BC.
D) 100°
B) 82°
C) 90°
E) 120°
Proporcionalidad de segmentos
________________________________________________ _________
Capítulo VIH
Objetivos
• Establecer la definición de razón de segmentos y segmentos proporcionales.
Reconocer algunos teoremas en los triángulos relacionando segmentos proporcionales.
•
• Razón de dos segmentos
Cuando nos referimos a la razón de dos segmen­
tos, debemos considerar la razón geométrica de
sus longitudes en la misma unidad de medida.
C__________ O
P_______________ Q
I------ 3 m------- 1
I------------ 6 m----------
AB
La razón de AB y CD: —
2
3
Ejemplo
A
B
M__________ N
I— 2 m —|
|-------- 3 m------- 1
AB 2
MN~3
significa que la razón de los
segmentos AB y MN es de 2
a 3.
‘
o
MN 3
AB~ 2
significa que la razón de los
segmentos MN y AB es de 3
a 2.
MN 4 2
La razón de MN y PQ: —— = - = J v PQ 6 3
AB
CD
MN
PQ
Ahora se puede decir que AB y CD son propor­
cionales a MN y PQ.
Teorema de Tales de Mileto
Tres o más rectas paralelas determinan, en do>
rectas secantes cualesquiera, segmentos
Segmentos proporcionales
Dos segmentos son proporcionales a otros dos
si la razón de los dos primeros es igual a la razón
de los otros dos.
Ejemplo
A
B
•
■ *
I—2 m —i
M
/\j
»
__________
i--------- 4 m ------- -j
porcionales.
se cumple
BC
Teorema de la bisectriz interior
En todo triángulo, una bisectriz interior deter­
mina, en el lado al cual es relativa, segmentos
proporcionales a los lados adyacentes a dicha
bisectriz.
QR
pero la relación anterior se puede plantear así
AB BC
AB
PQ~ QR ° AC
PQ
PR'e{C'
Corolario del teorema de Tales o Corolario 1
Si BP es bisectriz interior relativa a AC, se cumple
m_£
n a
Si LS// AC, se cumple
TteOREMA DE LA BISECTRIZ EXTERIOR
En todo triángulo, una bisectriz exterior deter­
mina, en el lado al cual es relativa, segmentos
proporcionales a los lados adyacentes a dicha
BL = LA
BS SC
BL_ BS
LA~ SC
f
bisectriz.
Corolario del teorema de Tales o Corolario 2
/
Si KS//AC, se cumple
kb = sb
BC
BA
o
= BC
SB BA
Si BQ es bisectriz exterior relativa a AC, se
cumple
■
m £
n a
Teorema del incentro
En todo triángulo, la razón de los segmentos
determinados por el incentro en una bisectriz
interna, ubicados a partir del vértice correspon­
diente, es igual a la razón de la suma de las lon­
gitudes de los lados adyacentes a dicha bisectriz
Si 7 es secante al A.4HC, se cumple
Nota
a.
y el tercer lado.
En el gráfico adjunto,
. AB MN
si —
BC
entonces AM, BN y CT no son parale­
los necesariamente; es decir, el teore­
ma de Tales no es recíproco.
Si / es incentro del
se cumple
b.
Bl c +a
IS~ b
Teorema de Menelao
En todo triángulo, al trazar una recta secante
que interseca a dos lados y a la prolongación
del tercer lado, se determinan seis segmentos,
en los cuales se cumple que el producto de las
longitudes de tres segmentos no consecutivos
son iguales.
En el triángulo adjunto,
si
entonces TL // PR necesariamente.
c.
En el triángulo adjunto,
$i
S BC ~ EC
entonces
es decir, BE es bisectriz
interior relativa a AC.
Problemas Resueltos
Problema N.° 1
Problema N.° 2
En el gráfico ABCD es un rectángulo dividido
en cuatro rectángulos de igual área. Si AD mide
En el gráfico, ADEF es un cuadrado y ABC es un
triángulo rectángulo. El lado del cuadrado es
24 cm y trazamos DJ, ¿cuánto mide MF?
Resolución
Nos piden x.
Como AE es bisectriz interior del A&4C, aplica­
mos el teorema de la bisectriz interior.
Nos piden MF=x.
Del dato, AL=LN=NJ=JB=Q.
Como LJ//DF, aplicamos el corolario 2.
x
n
24-x~2n
CE = 2
EB 3
Como EF//AB, aplicamos el corolario 1.
x
2k
3-x_3Z?
3x=2(3-x)
2x=24-x
3x=6-2x
3x=24
5x=6
x=8 cm
x=6/5
Problema N.° 3
Sabiendo que EFHAC, halle x.
UNM*Wi
UNMSM 2002
Resolución
Nos piden AC=x.
Como G es baricentro de ZkAfíC, EG=2(G,V).
Del dato, ~¡G/¡TÑ
Por el corolario (1)
Bl = BG
IT GN
Nos piden x=AO.
Como EF//AC, podemos aplicar el corolario 1.
6
2
L4EO es notable de 45°
x = 9^2 m
Problema N.° 4
&.ABC, por teorema del incentro
Bl AB + BC
IT~
AC
IT "
1
x
Reemplazamos (11) en (I)
5 +8
x
2k
k
En el gráfico, / es incentro y G es baricentro del
triángulo ABC, AB=5 cm, fiC=8 cm e IGIIAC.
Halle AC.
x=6,5 cm
Problemas Propuestos
NIVEL BÁSICO
1.
Del gráfico mostrado, T y S son puntos
de tangencia, CT//BF//AS, ví\TG-33q y
#C=24. Calcule AB.
A) 53°
D) 37°
4.
A) 4
D) 5
2.
B) 3
B) 30°
C) 53°/2
E) 37°/2
Del gráfico, se muestran los cuadrados
ABCD, DEFG y SPQR. Si AD= 10, DG=HP=6,
calcule el perímetro de la región sombreada.
C) 2
E) 6
Del gráfico adjunto, el trapecio isósce­
les ABCD está circunscrito a la circun­
ferencia de centro O y T es punto de tan­
gencia. Si OM//TÑ//CLt BC=4 y AD=12,
A) 8
D) 24
5.
B) 12
C) 20
E) 16
Del gráfico, T y F son puntos de tangencia,
7B=6 y OT=3. Calcule —.
LF
A) 1/3
D) 1/2
3-
B) 2/5
C) 2/3
E) 1/4
Del gráfico, ^//^//^//S^, AB=CD,
A) 6/5
NM=QH, CQ=5 y C/V=8. Calcule x.
D) 7/2
B) 2
C) 5/4
E) 11/7
6.
En un triángulo ABC se ubican M y N en
los lados AB y BC, respectivamente, tal
que MÑ//ÁC. Si AB=9, £C=6, AC=12 y
10. Del gráfico, AM + BC = 9, AB+MC^u y
AP = >/5. Calcule AB2 - BC2.
MB+fi/V=10, calcule MN.
A) 7
B) 9
E) 6
D) 8
7.
C) 10
En el trapecio ABCD mostrado (BCIIAD),
AP=8 y PC=4. Calcule BQ.
A) 40
B) 50
C) 36
E) 27
D) 45
11. Del gráfico, ABCD un cuadrado, TC=6,
CH=9 y AR=4. Calcule HR.
8.
Se tiene el trapecio isósceles ABCD
(BC//AD). Sus diagonales se intersecan
en R y AB=RD. En la prolongación de DC
se ubica el punto M, tal que BM//AR. Si
— = 2, BC n MR = {S}, calcule —.
A) 2
D) 3
9.
B) 1/2
C) 1/3
E) 2/3
En el gráfico mostrado, Ty P son puntos de
A) 6
B) 10
C) H
E) H
D) 12
12. En un cuadrado ABCD se ubica el pm110
en la prolongación de CB. Si
(md r>AB={T}), calcule (.TB'itMD')A) 12
D) 2>/6
B) 12-72
C) 24
E) 24^
13. Del gráfico mostrado, ABCD es un rombo,
AB=6 y DE=2. Calcule ET.
16. Del gráfico, G es el baricentro del triángulo
A) 3,5
D) 4
B) 3
C) 4,5
E) 5,5
14. En el gráfico, AM=MC, LM==4 y TL=2.
Calcule TB.
B
/
/
/
T
Z—c
/
A) 6
B) 5
C) 3
D) 7
E) 3,5
A
i
M
\
17. Del gráfico, B y T son puntos de tangencia y
C
15. Del gráfico, la circunferencia está inscrita
en el triángulo ABC. Si AB-7, BC=8y AC=3,
NIVEL INTERMEDIO
18. Del gráfico, 7,//BC=2(AB), LS=2x,
KS=y+3,y > x.
Calcule el menor valor entero de x.
y.
A) 6
D) 9
21.
A) 2
D) 4
B) 1
C) 3
E) 5
B) 4
C) 8
E) 16
Del gráfico, ^// 72 // 7>3 y
= 2..
Calcule —.
SK
19. Del gráfico, .^//^2//Z3//Z4, MV+PQ=6
2
y CD=2(/VP)=2(AB). Calcule
A) |
A) 5
D) 2
B) 4
C) 3
E) 1
20. Delgráfico, ^|//S2//353//54 y
Calcule x.
|
O |
D) |
E) |
3
6
22. En un triángulo ABC se traza
MÑ//AC (MeAB,Ne BC), 5(AM)=3(MB))
B/V-/VC=8. Calcule (B/V)(WC).
A) 220
D) 280
B) 240
C) 260
E) 320
23 Del gráfico, BL(SC-LS)=4. Calcule LS.
26. Del gráfico, mAC = 4(m<¿EC), C¿=2(Í5) y
AT=EC. Calcule AB/BC.
A) 1/2
B) 3/5
C) 2/5
D) 3/4
E) 2/3
A) 2
D) 6
B) 3
.
C)4
E) 8
27. Del gráfico, ABCD es un cuadrado y BL =LC.
Si
S/V
DS
=í, calcule
NK
DK
24. En un triángulo ABC se prolongan AB y CB
hasta K y S, respectivamente, tal que KS/IAC,
SB=4, BC=7, BK=x+6, BA=y+3 y 2x > y.
Calcule el menor valor entero de x.
A) 29
D) 32
B) 30
C) 31
E) 33
__ __ D'T f/T
25. Del gráfico, AB//CD,
=
Calcule x.
B) 0
A) 20
D) 0/3
C) 0/2
E) 0/4
28. Del gráfico, 5(AB)=3(BC) y AL=LS.
Calcule
CK
KT’
A) 3
B) 9/2
C) 13/3
D) 5/3
E) 12/5
A) 21°
D) 24°
B) 22°
C) 23°
E) 25°
T
29. En un triángulo ABC, donde AB=8, se pro­
longa CB hasta L, tal que m<LBA=m<CBK
(KeAC\ BK-A Calcule el mayor valor en­
tero de AC.
A) 21
D) 24
B) 22
C) 23
E) 25
30. Del gráfico, DC=2, AC=3, AB=BC y
(AD)(CL)=8. Calcule CL.
32. En un triángulo ABC de incentro / r
la bisectriz interior BS. tal que
■' )yei
perímetro de la región triangular Afic
es 21
Calcule AC.
A) 7
D) 5
B) 8
C) 4
E) 6
33. Del gráfico, mfií = m¿C, m.4S = mSC
2(.4fi)=3(fiQ) y 3(fíC)-2(AC)=12.
Calcule AB.
0) 1.2
E) 1,4
31. Del gráfico, B y L son puntos de tangencia,
AC=AB+2, CL=fiC+l. Halle la relación en­
tre AB y BC.
A) 5
D) 9
B) 6
C) 8
E) 10
34. Del gráfico, AS=3(Sfí) y AL=LC.
r . . SK
Calcule —.
KT
A) AB=BC2+\
B) AB=BC2-2
C) AB=BC2+2
D) AB=BC2+3BC
E) AB=BC2-BC
A) 1/2
D) 2/3
B) 3/1
C) 3/4
E) 3/5
:• Semejanza de triángulos
-------------------------------------------------------------------------------------- - --------
Capítulo IX
Objetivos
•
Definir la semejanza de triángulos y conocer los elementos homólogos y su relación.
•
Estudiar los criterios necesarios y suficientes para que dos triángulos sean semejantes.
•
Utilizar la información de un triángulo para calcular los lados o las medidas angulares
de otro triángulo a través de la semejanza.
Donde k es la razón de semejanza o constante
• Definición
Dos triángulos son semejantes si tienen igual
forma y tamaños diferentes.
de proporcionalidad.
Nota -------------------------------------------- .
En dos triángulos, los lados homólogos
son aquellos lados opuestos a los ángulos
de igual medida.
v__________________________ >
Proporcionalidad de elementos homólogos
AABC - APQR
- se lee “es semejante a”.
el gráfico, AB y PQ, BC y QR, AC y PR son
lados homólogos.
^dos homólogos son proporcionales
AB = BC = AC
PQ QR ~ PR
¡1.
Dos triángulos son semejantes si un ¿
lo del primero es de igual medida qu^’
ángulo del segundo y los lados qUe
Qn
terminan son, respectivamente
’ pr°Porc¡o.
nales.
crin
AB^_BC_A£_Blf=AT^ = H£=AH^ = o
~MÑ~ NL~ ML~ NF~ MS FL MF b
Donde k es la razón de semejanza.
En el gráfico, los triángulos mostrados son
semejantes.
&PQR -&ABC
• Casos notables de triángulos
■ .
.,
semejantes
I.
Dos triángulos son semejantes cuando tie­
nen dos pares de ángulos interiores, res­
pectivamente, de igual medida.
III. Dos triángulos son semejantes si los tres
lados del primero son proporcionales a k»
tres lados del segundo.
b
— bk-------- 1
En el gráfico, los triángulos mostrados son
semejantes.
En el gráfico, los triángulos mostrad0*
semejantes.
ZUSC - &PQR
• Teoremas asociados a la semejanza
de triángulos
Si AB//CD, se cumple
En el gráfico, si m«B4C=m <LBC, se cumple
£ _£ _ /
b~ d~l
Si ABI/PQI/CD, se cumple
Si C\ABCD es inscriptible, se cumple
dc=Qt
-
Si AB//PQ, se cumple
a_m
b~T
Si AB//PQ//CD, se cumple
—----------------- <
crn + dm
x =-------------
.n + rn
Si PQIICD, se cumple
i
m
d" 4
Si CP y AQ son alturas, se cumple
ab=mn
Si AB//CD' se cumple
_ y
n x
Problemas Resueltos
Problema N.° 1
arel gráfico P,QyT son puntos de tangencia,
ayb son los radios de las semicircunferencias.
Determine la distancia del punto T a la recta PQ.
UNMSM 2008-II
Resolución
Nos piden EC=x.
Nos piden TH=x.
Trazamos OP y O'Q
-> C^OPQO' es un trapecio rectángulo
Dato: AAf=4(Af£)
BE=5cm
ABCD es un cuadrado.
Como TH//OP y O’Q, por teorema de semejanza
TX7_(OP)(TO')-h(O'Q)(OT)
ro'+or
Tt4 _ a(b) + b(a)
b+a
a+b
Problema N.° 2
el gráfico, ABCD es un cuadrado, AM=4ME y
fi£í=5cm. Calcule EC.
Como BE/JAD,
n\<EBD-n\<MDA (ángulos alternos)
n\<BEA-n\<MAD (ángulos alternos)
Observamos que
&BEM -&DAM (A-A-A)
BE EM
AD~ MA
5cm
x+5cm
X
4l
Problema N.° 4
Problema N.° 3
En la figura. 4B=5 cm, BC=6 cm y
DÉ/AC v BD=EC, calcule DE.
AC=7 cm. Si
En el triángulo ABC del gráfico, AD =
Halle BC.
UNMSM 2008-H
H
Resolución
Nos piden DE=x.
Datos: AB=5 cm, BC=6 cm, AC=7 cm,
Dato: AD = 4>/3
Trazamos DF, tal que m<FDC=20°.
DÉ//AC y BD=EC=Q
->
Por teorema de semejanza
_A_ = BD
x
7 cm
AB
•
7cm
En el ¿\DFC isósceles trazamos FM1DC.
t
5cm
-»
(I)
Por teorema de Tales en el A4BC
EC
AD
5-í
_ í=3°
11
Reemplazamos (II) en (1)
F
FC=FD=AD=4\Í3
DM=MC=t
Luego trazamos CH1AB
-»
^BHC-^FMD
*
*=
4V3
O)
t
b±DHC es notable de 30° y 60°
CH = ^x/3
-> b = ^>/3
^ = 73
t
shi
i
Reemplazamos (II) en (I)
00
Problemas Propuestos
NIVEL BÁSICO
1.
4.
En el gráfico adjunto, AC=OF, 3(MF)=2(BC)
y CH=&. Calcule FD.
Sea TH//AB y SP//MP. Si T es punto de tan­
gencia, AAf =6 y 7P=8, calcule MT.
A) 8
B) 6
E) 4
D) 12
5.
A) 7
D) 473
2.
B) 5
C) 14
E) 10
En un triángulo rectángulo ABC se traza la
bisectriz interior BD, en AB y BC se ubican
los puntos F y E, respectivamente, tal que
FÉ//AC y m«£DC=45°. Si FB=8 y BC= 10,
C) 5
En un triángulo ABC se traza la cevia­
na interior BL, luego se traza la ceviana
interior LS en el triángulo BLC, BL=BS,
m<BAC=2(m<S¿C) y A¿=2(¿C)=4. Calcu­
le AB.
A) 275
D) 472
B) 275
C) 277
E) 275
A) 475
D) 376
B) 675
C) 576
E) 476
calcule BD.
A) 6
B) 4>/5
D) 20
3.
C) 9
E) 2
En un triángulo rectángulo isósceles ABC,
recto en B, se trazan BH y AM, los cuales son
altura y ceviana interior, respectivamente,
BP
y se intersecan en P. Si — = 4 y AP=I2,
PH
calcule PM.
A) 5
D) 3
B) 6
C) 8
E) 9
Del gráfico,AS=2,SL=3, AÍ-4.AB-6,SC 7
7.
y BC=6(AS). Calcule SK.
A) 5
D) 13/4
B) 14/3
C) 4
E) 11/3
12. Se tiene el rectángulo ABCD. En las prolonga­
8.
9.
En un triángulo ABC se ubica el punto in­
centro /; en AC se ubica el punto M, tal
que BC=9, /C=6 y MC=4. Si m<AAf/=70°,
calcule m<B/C.
ciones de AB y AD se ubican los puntos E y F,
respectivamente, y en DF se ubica el punto 7,
— —
DT
tal que CTUED. Si 2(AB)=3(BE), calcule —
AD
Considere que E, C y F son colineales.
A) 125°
D) 140°
A) 3/7
B) 130°
C) 110°
E) 120°
En un triángulo ABC, AB=7 y BC=8; ade­
más en las prolongaciones de CA y BC
se ubican los puntos R y M, respectiva­
mente. Si 16(/?A) = 11(RC) = 176, RE=14 y
m<ABC=m<CRE (E es punto exterior rela­
tivo a AC del A ABC), calcule m<ECM.
D) 4/3
B) 30°
C) 3772
E) 53°
10. En un triángulo ABC se traza la ceviana in­
terior BM, y en BM se ubica el punto L, tal
que B¿=5(£M)=5 y A¿=3. Si MC=2(AM) y
BC= 10, calcule m<MBC.
A) 53°
D) 37°
B) 3772
C) 5372
E) 30°
C) 3/5
E) 3/4
13. En un cuadrilátero ABCD,
m<BCA=n\<ADB=N°, BDr\AC={R} y
AD=DC. Si AR=7(RC) y BR=2, calcule RD.
A) 5
D) 8
A) 60°
D) 5372
B) 2/3
B) 14
C) 6
E) 7
14. Del gráfico, CB=10, OD=4 y OC=5.
15 Del gráfico,
(•' es Imiicvntio del
y HC«I. Calcule FAZ.
A) 6
D) 7,5
B) 4
C)7
E) 8
16. En un triángulo ABC está inscrito un rectán­
gulo MNLS, donde MScÁC, NL=A, MN=6 y
(AC)/?=32 (ri es la altura del triángulo NBL
relativa a NL). Calcule h.
A) 1
D) 3
B) 2
C) 2,5
E) 3,5
17. Del gráfico, mADC = mDCfí, Q¿=AZ¿+¿F=5,
NLyPL toman valores consecutivos. Calcule
LM.
NIVEL INTERMEDIO
18. Del giáfico. (7)-.!/<= I Calcule AB si /_5= 1,2.
A) I
D) 4
B) 2
C) 3
E) 5
19. En un triángulo isósceles ABC se inscribe el
cuadrado MNPQ (M y Q»en ÁC), MP = 2v 2,
la distancia de B a NP es 5 y AN = PC.
Calcule AC.
A) 2.6
D) 2.8
B) 2.2
C) 2.4
E) 3
20. En un triángulo .ABC se traza MN (.V/ e AC.
AZeBC), tal que AM=4(MC)=8 y AZC=4.
Si BN < 16 y las regiones triangulares .ABC y
MNC son semejantes, calcule BN.
A) I
D) 2.5
B) 1.5
C) 2
E) 3
21. En un triángulo ABC se trazan la ceviana in­
terior A/V y la mediana BM, que se interse­
can en A¿=3(LAZ)=6 y m<fiA5'=m<LBN.
Calcule NC.
A) 2
D) 3
B) 5/2
C) 7/3
E) 10/3
A) 6
D) 9
B) 7
C) 8
E) 10
22. Del gráfico, T es punto de tangencia y
7K=5(M)=5. Calcule AB.
25. Del gráfico, T y N son puntos de tangen
*
y 2(CD=5(rK). Calcule la razón de
tros de las regiones triangulares NLC y T¿
E) 2/7
D) 4/9
V4
E) JÓ
D) J5
26. Del gráfico, 0+a=180°, SN=2 y TC = ^2
—£
23. Si AB=2 y CB=3, calcule MN-2.
A) 2j2
B) J5
C) TÍO
D) 2>/5
E) 2>/3
24. Del gráfico, m<ABM=m<BNM,
AN=3(NM)=3 y AL=2(ÍC). Calcule MC.
A) 3
D) 8/3
B) 5/2
C) 7/2
E) 4
27. En el gráfico adjunto, DC= 10, BC-2 y M-3
Calcule MC.
A) 4
B) 6
C) 9
D) 2>/17
E) 8
A) 5
D) 2
B) 4
C) 3
E) 1
1
28. De» gráfico, 7B=2(fT) y (.Wfi)(Afi)=24,
calcule FH.
A) ZVÍO
B) 5
C) 10
E) 8
D) 6
31. En un_triángulo ABC se traza el MÑ/ÍÁC
(MeAB y NeBC), tal que 8M=3(AM) y
MN+AC=35. Calcule AC-MN.
A) 3
D) 6
B) 4
C) 5
E) 7
32. En un triángulo ABC se prolongan AB y
A) 4
D) 2
B) 6
C) 3
E) 8
CB hasta P y Q, respectivamente, tal que
QP//AC\ además, BQ, BC y BP toman valo­
res consecutivos. Calcule el valor entero de
AB si es menor que 7.
29. Del gráfico, PR=TL, RT=9 y LF=4, calcule
AT
TB
A) 5/3
B) 5/2
C) 6/5
D) 3/2
E) 4/3
A) 3
B) 4
C) 5
E) 7
D) 6
33. Del gráfico, mA¿ = m<75¿ y ¿/V=3(TS).
30. Si fi¿=6 y ¿C=4, calcule AH.
A) 1/3
D) 1/5
B) 2/3
C) 3/4
E) 2/5
í
h- Relaciones métricas
---------------------------------- ------------------------ -------------------------------------- Capitulo X
Objetivos
•
Establecer la relación entre las longitudes de los elementos en una circunferencia, en
un triángulo rectángulo y en un triángulo oblicuángulo.
* Relaciones métricas en la
IfeOREMA DE LA TANGENTE
circunferencia
Si desde un punto exterior a una circunferencia
se trazan una recta tangente y una recta secante
TEOREMA DE LAS CUERDAS
a ella, entonces el cuadrado de la longitud del
Si en una circunferencia se tienen dos cuerdas
segmento tangente será igual al producto de
secantes, se cumple que el producto de las lon­
las longitudes del segmento secante y su parte
externa.
gitudes de los segmentos determinados en una
cuerda es igual al producto de las longitudes de
los segmentos determinados en la otra cuerda.
M
En el gráfico se cumple
En el gráfico se cumple
(AD2=UC)(AB)
TfeOREMA DE LAS SECANTES
Si desde un punto exterior a una circunferencia
se trazan dos rectas secantes a ella, entonces
los productos de las longitudes de un segmento
secante y su parte externa serán iguales^
En el gráfico se cumple
(E4)(PB)=(PD)(PC)
Relaciones métricas en el triángulo
rectángulo
Proyección ortogonal
La proyección ortogonal de un punto sobre Z
es el pie de la perpendicular trazada desde
dicho punto a la recta. Asimismo, la proyección
ortogonal de un segmento sobre Z es el seg­
mento cuyos extremos son las proyecciones or­
togonales de los extremos del segmento dado a
dicha recta.
Si AB es no paralelo a la Z -> A'B' < AB
S\AB//& -> AB'=AB
Del gráfico anterior
P’: proyección ortogonal de P sobre Z
A'B': proyección ortogonal de AB sobre 7
En el triángulo rectángulo
AH: proyección ortogonal de AB sobre AC
HC: proyección ortogonal de BC sobre AC
I.
c2~bm
a2=bn
2.
En todo triángulo rectángulo, la suma de los cuadrados de las longitudes de los catetos es igual
al cuadrado de la longitud de la hipotenusa.
3.
En todo triángulo rectángulo, la longitud de la altura relativa a la hipotenusa es igual al producto
de las longitudes de las proyecciones ortogonales de los catetos sobre dicha hipotenusa.
1
4.
En todo triángulo rectángulo, el producto entre las longitudes de los catetos es igual al
entre las longitudes de la hipotenusa y la altura relativa a la hipotenusa.
•J
** Relaciones métricas en el triángulo
oblicuángulo
Teorema de las proyecciones
En todo triángulo, al trazar la altura relativa a un
lado (el pie de la altura está en el lado o en la
prolongación de dicho lado), se determinan dos
segmentos, en los cuales se cumple que la di­
Del gráfico, BH LAP, entonces
*
2=n • (.
ferencia de los cuadrados de las longitudes de
dichos segmentos es igual a la diferencia de los
cuadrados de las longitudes de los lados adya­
centes a dicha altura.
Del gráfico si T, L y S son puntos de
tangencia, entonces x = 2>ÍRr.
3.
Del gráfico, si 4, L y D son puntos de
tangencia, entonces x2=ú b.
Teorema de Euclides
Primer caso
En todo triángulo, el cuadrado de la longitud del
lado que se opone a un ángulo agudo es igual a
la suma de los cuadrados de las longitudes de
los otros dos menos el doble del producto de las
longitudes de uno de ellos con la proyección or­
togonal del otro sobre aquel.
Teorema de Stewart
En todo triángulo, al trazar una cev¡ana
rior, se cumple que el cuadrado de |a Jo*
de la ceviana por la longitud del lado ai
relativo es igual a la suma del producto d '
cuadrados de las longitudes de los ladn< * *
ceníes a dicha ceviana con la longitud del
mentó parcial opuesto menos el producto
longitudes de los segmentos determinados *
dicha ceviana y la ceviana.
b
En el gráfico, para a < 90°, se cumple
a2=¿r+c2-26m
Segundo caso
En todo triángulo obtusángulo, el cuadrado
de la longitud del lado que se opone al ángulo
obtuso es igual a la suma de cuadrados de las
longitudes de los otros dos más el doble del pro­
ducto de las longitudes de uno de ellos con la
proyección ortogonal del otro sobre aquel.
Del gráfico, BK, que es ceviana interior,
se cumple
x2b=c2n+a2m -mnb
Teorema de la mediana
En todo triángulo, la suma de los cuadrados de
las longitudes de dos lados de un triángulo es
igual al doble del cuadrado de la longitud de la
mediana relativa al tercer lado más la mitad de'
cuadrado de la longitud de dicho tercer lado
Del gráfico, BM, que es mediana, se cunU
En el gráfico, para ó > 90°, se cumple
í/2=¿>2+c2+2&w
c2 + a2 = 2m¿ ♦
.—
•^orema de Herón (cálculo de la altura)
En tod° triángulo, la longitud de una de sus al­
turas es igual al producto entre el doble de la
inversa de la longitud del lado al cual es relativo
con la raíz cuadrada del producto del semiperímetro y las diferencias de este con las longitu­
des de cada uno de los lados.
Del gráfico, BD, que es bisectriz interior,
se cumple
x2=c-a-mn
Del gráfico, BH, que es altura, se cumple
hb=plp(P-a)(p-t>)(p-c)
Cálculo de la bisectriz exterior
En todo triángulo, el cuadrado de la longitud de
una bisectriz exterior es igual a la diferencia en­
tre el producto de las longitudes de los segmen­
tos que dicha bisectriz determina en el lado al
cual es relativo con el producto entre las longi­
tudes de los lados adyacentes a dicha bisectriz.
Donde
a+b+c
(semiperímetro)
2
Cálculo de la bisectriz interior
En todo triángulo, el cuadrado de la longitud de
una bisectriz interior es igual a la diferencia en­
tre el producto de las longitudes de los lados ad­
yacentes a dicha bisectriz con el producto entre
las longitudes de los segmentos determinados
Por dicha bisectriz en el lado al cual es relativo.
Del gráfico, BE, que es bisectriz exterior,
se cumple
x2=m-n-ac
--------------
Problemas Resueltos
Problema N.° 2
Problema N.° 1
Las longitudes de dos circunferencias concén­
tricas son 31,4 ni y 18,84 m. Si se traza una cuer­
da al círculo mayor que sea tangente al círculo
Los lados de un triángulo miden 18 cm, 16
9 cm. ¿Qué longitud igual se debe quitar a
lado para obtener un triángulo rectángulo?
crriy
ca^
menor, entonces la longitud de dicha cuerda es
UNMSM 1993
Resolución
Ahora restando x a cada lado
Nos piden AB=x.
Datos
long. ^=31,4=2^ -> R=5
Nos piden x.
Del LABC, por teorema de Pitágoras
long. ^2=l8,84=2nr —> r=3
(9-x)2+(16-x)2=(18-x)2
x.2- 18x+81+256+x2-32x=324+x2-36x
Por teorema, OTA.AB y AT=TB=x/2
x2-14x4-13=0
Del LATO, por teorema de Pitágoras,
x\^-13
(íí-s!-3’
x=!3 o x=l
x=13 cm: no puede ser porque un lado
**
negativo.
x»8 m
•*.
x=l cm
Problema N. 3
Problema N.° 4
En el gráfico, se muestra un trapecio isósceles
cuyas bases miden a cm y b cm. Halle el radio
de la circunferencia inscrita.
En el gráfico, tenemos CB=BE=x cm, DC=z cm,
AB=y cm, además, AE=ED=a cm. Halle el valor
de z en función de x e y.
Resolución
Resolución
Nos piden r.
I--------- a----------1--------- a
Como MPQN es un trapecio isósceles circuns­
crito a la circunferencia
-4 ML=LP=a/2 y NS=SQ=b/2
Se sabe que 2<x+20=18O° -> a+0=9O°
Nos piden z en función de x e y.
^AEB: T. de Pitágoras x2+o2=y2
LCFD: T. de Pitágoras (2x)2+a2=z2
kPOQ: por relaciones métricas
(altura al cuadrado)
r2 = £.^
-> z2=y2+3x2
z = 73x2 + y2 cm
restando
Problemas Propuestos
A) 6
NIVEL BÁSICO
4.
A) 4
B) 3
C) 6
D) 5
E) 8
2.
C) 8
E) 7
9
Si BC=4, W=3 y ,4M=3(.WC), calcule UV
1.
B) 10
Si W=HF= 1 y (SP)(FP) = 51 calcule x
(T y Q puntos de tangencia)
SeanM,/V, F yR puntos de tangencia,
mMT = mF¿ y (F/V)(7D + DA) = I6.
Calcule (/?F)2.
A)
B)
Q —
2
2
D) 30°
5.
E) 15°
Del gráfico mostrado, £M=3(OE) y
2(AO)=3(OD). Calcule —.
oc
A) 15
D> 17
3.
B) 14
C) 16
E) 13
Si T y Q son puntos de tangencia, AT=5,
TC= 12 y 8r=5Ñ, calcule QT.
5
En un cuadrilátero ABCD. las diagonales
miden 6 y 8, y la diagonal media que tiene
sus extremos ubicados en dos lados opues­
tos mide 5. Calcule la medida angular deter­
minada por sus diagonales.
A) 37°
D) 37° 2
7.
B) 90°
C) 53°
E) 53
*72
Del gráfico mostrado. RB=RE y (AS)(AH) = 18.
Calcule FC.
una semicircunferencia de diámetro AB
y tangente a TP en el punto T. Si fiP=!6 y
AB= 14, calcule la distancia de T hacia AB.
A) 8
D) 6
B) 7
C) 4>/3
E) 2>/3
10. En el cuadrado ABCD se ubica el punto P
en la región interior, tal que APQD es un
romboide m<ABP=45°y (flP)2+(/>D)2=72.
Calcule PC.
A) 12>/2
B) 6^2
C) 12
E) 6
D) 3v2
11. Del gráfico, BMNT es un rombo, AAf=6,
A7=3 y AC=I2. Calcule BN.
A) 4
A) 9 _
D) 2v3
8.
B) 3
C) 6
E) 3^2
Sea T punto de tangencia, (Ofi)(OC)=24.
TM=MC y AC=8. Calcule la distancia de O
hacia AC.
B) 3
^34
E) 5
12. Del gráfico adjunto, AB=2(AC)=4.
Calcule BE.
A) 1
0) 3
B) 4
C) 5
E) 2
Se tiene el triángulo BTP, donde la
rn<^P7=30°> y en la región exterior relativa
7B se ubica el punto A; luego se construye
A) 8
D) 5
B) 3
C) 9
£) 4
13. Sean P, T y C puntos de tangencia, r=2 y
AB=S. Calcule \3(TB)2.
A) 320
D) 292
B) 280
C) 325
E) 282
14. Se tiene el triángulo ABC y se traza la cir­
cunferencia que contiene al vértice y es tan­
gente a AC en su punto medio M. Dicha cir­
cunferencia interseca a los lados AB y BC en
los puntos Q y T, respectivamente. Si AQ=4,
QB=5, TC=3 y BH1AC (H en ÁC), calcule
16. Calcule B/? si 2(BG)(fí£)-(/?7)(TE)=:24
A) 2V6
D) 2V3
B) 76
C)3
E) 8
17. En un triángulo ABC, AB=4, BC=6 y AC=2A
Calcule la altura relativa al lado AC.
A)
B) 766
D) x/22
C)
E) 2Vñ
NIVEL INTERMEDIO
18. Del gráfico, r=2. Calcule TS si T y 0 son pun
tos de tangencia.
15. Del gráfico mostrado, ABCO es un cuadrado
y OC = V3. Calcule (TL)2+(¿B)2.
A) 10
D) 4
B) 9
C) 6
E) 8
A) 275
D) 276
C) 2^
E) J
22. Del gráfico, / es punto de tangencia,
miVIO = mNÓ = 60° y AM = 275.
Calcule MV.
A^-------
A) 75(75+1)
b) 75(75 + 1)
c) 2(75 + 1)
d) 75(75+1)
E) 75(75+1)
/
i\
\
\X
ah\
*/
.----n
oVXz7
N
//
/
23. Del gráfico, /?=3r=6, T y O son puntos de
20. Del gráfico, P¿=¿Q,DAf=2(¿A0,/VC=2(Af¿)
tangencia. Calcule LT.
y (ZA)2-(¿Af)2=PQ. Calcule AP-QB.
A) 75 + 1
B) 2(75-1)
C) 4(72-1)
D) 2(72-1)
E) 3(72-1)
24. Del gráfico, T es punto de tangencia, LB= 1,
AB=3(7B) y MT=2(TB). Calcule NB.
Del gráfico, /VC=^B+l,/W=D/V+2 y
C4/V)(/VC)=32. Calcule DN.
25. Del gráfico, S es punto de tangencia, OLj/KA
y¿4=2(AW). Calcule
K\1
28. Del gráfico, T. S y N son puntos de taño
cia. OL=LK=2. Calcule
*.
ZrfO
A) 3/2
D) 9/8
E) 3
B) 5/3
C) 6/5
E) 9/7
29. Del gráfico, ¿O|=OjM, a+0=9O° y
(AP)2+(4B)2=14. Calcule (CP)2+(CB)2.
26. Del gráfico, OA=LM=\.
Calcule la distancia
deLaOK.
A)
B)
C)
D)
E)
27. Del gráfico,
la m Ai = mSB. Calcule AT.
A) 7
D) 14
B) 9
C) 12
E) 16
un ^ángulo ABC, cuyas longitudes de
los lados 4B, BC y AC son valores consecu­
tivos de forma creciente y el perímetro de
la región ABC es 18, calcule la longitud de la
proyección ortogonal del lado menor sobre
el lado mayor.
A) 6(75-l)
D) 5(^-1)
B) 5(73-1)
C) 6(73-1)
E) 6(72-1)
A) 2
D) 19/7
B) 24/7
C) 21/7
E) 17/5
i:. Área de regiones planas
Capítulo XI
Objetivos
.
Conceptualizar el área de una región plana, específicamente en las regiones triangulares, cuadranglares y circulares.
5
Conocer las expresiones para calcular el área de una región utilizando tanto elemen­
tos principales como elementos secundarios.
Calcular el área de las regiones planas mediante la comparación con otras áreas
cuando tengan algún elemento en común.
® Definición
Fórmula de Herón
Una región plana es aquella porción de un plano
limitada por una línea o conjunto de líneas.
9 Área de regiones triangulares
Fórmula básica
En función del circunradio
Fórmula trigonométrica
En función del inradio
En función del exradio
Donde el semiperímetro es
a + 6+c
P=~2-
Relación de áreas
® Área de regiones cuadranglares
Fórmula trigonométrica
(ACHBD)
_
&ClABCD~ ------------- sen0
2
Para regiones triangulares limitadas por
triángulos semejantes
(AC)(BD)
2
_
^ABCD~ ------------- sene
Del gráfico, A ABC-A.PQR. Entonces
se cumple
^■¿kárc _ (ÁjB)
(gC)2
(AC)2 _K2
(PQ)¿
*)
(Q
2
(W)2
Área de una región trapecial
Donde K es la razón de semejanza entre los
triángulos ABC y PQR.
Para regiones triangulares limitadas por
triángulos rectángulos
Se cumple
BC//AD
Donde la circunferencia mostrada está inscrita
en el triángulo rectángulo.
Teoremas asociados a regiones cuadran8u.
ÁREA DE UNA REGIÓN PARALELOGRÁMICA
lares
a.
En todo cuadrilátero
Área de una región rombal
A-(E=IB'1D
m
(AC)(BD)
1AC7ABCD---------Z------*
Area de una región rectangular
b.
En todo trapecio
^C3ABCD=b'h
~^ACOD
2
AAAOBa(
flOc)(AAA0P)
Area del sector circular
BCIIAD y CM=MD
Área del segmento circular (A^)
^BMA~^^BCM+^AAMD
——------------------———
/-
n
&-C3ABCD
¿n^BMA------- 2------
A^=A0/t0£í-A<40B
s
c.
En todo paralelogramo
Área de la corona circular (Acc)
Acc=n(7?2-r2)
Área del trapecio circular (Atc)
^Área de regiones circulares
Área de la faja circular (Afc)
Área del círculo
Sea BC//AD
Apc—A
Jet AD
BC
Problemas Resueltos
Problema N.° 1
En el A. ABC isósceles, m<48C=120°
El lado del hexágono regular inscrito en una
circunferencia mide 8>/3 cm. Halle el área del
->
AC = AB-j3
2r = AB\Í3
hexágono regular circunscrito.
UNMSM 2008-II
2(873) = 4ñs/3
Resolución
AB=\6=a
(II)
Reemplazamos (II) en (I)
A„C=|(16)2V3
IkHC = 384x/3 cm2
Problema N.° 2
En el gráfico, AB es diámetro del semicírculo y
40=08=2 m. Haciendo centro en 4 y B se ha
trazado los arcos DO y CO, respectivamente.
Halle el área de la región sombreada.
Nos piden IkHC=x.
Donde JkHC es el área del hexágono regular cir­
cunscrito.
Dato: El lado del hexágono regular inscrito mide
873.
Sabemos que en el hexágono regular
Resolución
Por teorema, mPQ = 60°.
-> PQ=r
ñj3=r
Observamos
AC=TN
-»
XC = 16>/3
130
•4
4
Resolución
Nos piden K.
Trazamos BC, luego se observa que en ^ACB
m<CAB=M°
En ±ABC
X+WL=&^abc
•
0)
Pero, por ser radios de igual longitud,
Z+Y=área de una región cuadrantal.
Z+tf = -n(2)2
4
-4 2+tf=n
(H)
Donde &s~^aabo+^&omcp
■
(0
En AABM, BO es mediana.
Reemplazamos (II) en (I)
“>
w
(BC)UC)
S + n =-----------2
^A40O=AA5O.W=2Z
Trazamos OC (OM es mediana de ASOC).
S + n=®í^)
2
“* ^abo.w==^ao.wc=^
K = (2>/3 -7t)m2
En £±ABC, BP es ceviana interior.
Problema N.° 3
^A/lBO _ ^¿.AOP
En el gráfico, BM=MCy AO=OM. ¿Qué parte del
I&A.BOC
^AOPC
área del triángulo ABC es el área de la región
A=®- -> IM = 2D
2Z IM
sombreada?
(II)
ComoXO=OA/
ID+IM=Z
ID+2ID=Z
UNMSM 2009-1
3JD=ZZ
OH)
Datos: CD=4(OC)=4(PD)
De (I). (¡I) y (III)
/3A7=A/C y AN=ND
As=E+2Z+lM=8n)
Trazamos MN. (Como M y N son puntos
tedios
deácy/ÍD).
Como AA4Wc=3Z+n>+IM,
AA.A/JC-l’¿n)
8ID
•V”l9ID
_> MN//AB
Por teorema
4
Problema N.° 4
En el gráfico, ABCD es un rectángulo y
OC = PD = -CD. Si M y N son puntos medios de
4
BC y AD, respectivamente, halle la razón entre
el área de la región sombreada y el área de la
región no sombreada.
4/ + 2Z
Z = —~— ^-CDNMCD
ES4BCo]
3
3
Z = -AE=JWCD=-
2= g^CZUBCD
De (!) y (II)
Y + TL = At3a/ficp- +1 Asjabcd
4
o
UNMSM 2010-1
Y + 2Z = — Ih-ttABCD
De la región no sombreada
2Ans = A ctabcD ” g A &ABCD
BBABCD
(III)-0V)
As
’ 5
8A"^cd
^NS
3 2^ — ABCD
8
Donde As-A^/Mfop/V (As: área sombreada)
ans=A—abcd-^s (A^ área no sombreada)
132
Problemas Propuestos
NIVEL BÁSICO
Del gráfico, calcule el área de la región trian­
gular ABC si t toma su mínimo valor entero.
4.
A) 8,6 cm2
B) 8,8 cm2
E) 9,6 cm2
D) 9,4 cm2
A) 4JÍ5
D) 3715
B) 715
C) 6715
■
E) 2sÍ3
7.
/
5.
C) 9,2 cm2
Del gráfico, T es punto de tangencia,
AC=3(R4)=6 cm. Calcule el área de la re­
En un triángulo ABC, las longitudes de los
lados AB, BC y AC toman valores conse­
cutivos, tal que el perímetro de la región
triangular ABC es 18. Calcule el área de la
región triangular ABC.
gión triangular LAT.
A) 5^6
D) 376
8.
B) 676
C) 673
E) 476
Del gráfico, ABCD es un cuadrado de
centro O. Si fíG=2(GC), calcule la razón de
áreas de las regiones ABCD y EFGD.
A) 4(2 + V2)cm2
B) 4(2+V3)cm2
C) 3(3 + \/2)cm2
. D) 2(4 + V2)cm2
E) 2(3+V2)cm2
6-
D?l gráfico, m7B = 2(mAT),
=
y S£=3(¿E)=6 cm.
Calcule el área de la región triangular LTS si
^es punto de tangencia.
c) 7
9.
Del gráfico, AC = 3v'I0 y DE+EF=3. Calcule
el área de la región rombal ABCD.
A) 16
B) 4
D) 10
C) 12
9
12. Del gráfico, S y T son puntos de tangenciay|a
m£M = 120°. Si AB=57 y BC=76, calcule OH
A) 18
D) 15
B) 12
C) 6V10
E) 2V10
10. Del gráfico, MT=2 y AC=8. Calcule el área
¿ de la región sombreada.
A) 18
D) 25
B) 12
C) 24
E) 28
13. Del gráfico, T, S, £, Q, M y N son puntos de
tangencia. Si 2(AS)=3(CM)=6r y 5D=C,
calcule ~^‘ABD •
A) 15
D) 13
B) 14
C) 16
E) 12
11. Del gráfico, m<£RZ=75° y EH=G. Calcule
el área de la región triangular ZEA.
Capítulo XI: Área de regiones planas
14 Del gráfico, 3(/IS)=2(Z?C). Calcule la razón
de áreas de las regiones mostradas.
17. Del gráfico, mAPB + vc\ATB = 450°. Calcule
la razón de las áreas de las regiones circu­
lares mostradas.
15. Del gráfico, el área de la región triangular
ABC es IM. Calcule la diferencia de las áreas
de las regiones sombreadas si AT=2(TB).
18. En el gráfico, §| = 7, §2=2 Y §3=represen­
tan las áreas de las regiones sombreadas. Si
ABCD es un paralelogramo, calcule BM/MA.
16. Del gráfico, m4B = 53°. Calcule la razón de
las áreas de las regiones sombreadas.
19. Del gráfico, mAAf = 60°, LK=CK+1, BK=B y
AK=8. Calcule el área de la región triangular
22. Del gráfico, AM=MF y la razón óp
de las regiones triangulares ATM
como de 3 a 5, respectivamente
Calcule
&4MTBF
A-aamc
A) 15,572
B) 15,573
C) 16,572
E) 17,573
D) 16,573
20. En un triángulo ABC se encuentra inscrita
una circunferencia que es tangente en A/, A'
y P a los lados AB, BC y AC, respectivamen­
te, tal que las longitudes de MB, NC y PA se
encuentran en forma consecutiva creciente
y son pares; además, AP=2(BAQ. Calcule el
inradio del triángulo ABC.
A) |76
B) 176
23. En un triángulo ABC se traza la ceviana in­
terior BL, luego en el triángulo BLC se tra­
za la ceviana interior LS, tal que LC=3(A¿),
BS=2 (SC) y
~&-a.abl = 1 4 cm2- C^cu‘
le el área de la región triangular ABC.
C) 173
A) 14 cm2
E) 175
D) |73
B) 21 cm2
E) 42 cm
D) 35 cm2
NIVEL INTERMEDIO
24
21. En una circunferencia, el diámetro AM y la
cuerda PQ son perpendiculares y se interse­
can en el punto H. Si la razón de las áreas de
las regiones triangulares APH y HQM están
p
n un triánguloASC se trazan las cenata
Priores AN yBK que se intersecan en í,1^
que NC=2(BN), AK=3(KC) y
A^LNCK~~A^ABL=4cm2. Calcule elU
*
en relación de 1 a 4, calcule mAP.
de la región triangular/IBA1.
A) 14°
A) 20 cm2
D) 45°
B) 28°
C) 37° .
E) 53°
C) 28cnV
B) 18 cm2
O
16
12 cm
O) 14 cm2
Capítulo XI: Área de regiones planas
25 Del gráfico, ABCD es un romboide, BL=LC,
AN=3(ND)t BS=SA y A±sbk= ^u2. Calcule
el área de la región romboidal ABCD.
A) 8 cm2
B) 2^3 cm2
E) 3>/6 cm2
D) Vs cm2
A) 116 u2
B) 112 u2
D) 104 u2
C) 108 u2
E) 100 u2
26. Del gráfico, T y K son puntos de tangencia,
TR
•
AT
C) 2^6 cm2
28. En un triángulo equilátero ABC, se ubican
los puntos M, N, P y en AB, BC, AC, respec­
tivamente, tal que BA/=2(AAf)=8, AP=PC
m<A//VC=90°, luego se traza PS1MN (S en
MN). Calcule el área de la región cuadrilá­
tera PSNC.
mTB = 2(m<ASL), BS=3, KS=} y L=- = —.
T
<5
Calcule la razón de áreas de las regiones
A) 19,5x/2
triangulares ATK y LKS.
D) 19,573
B) 20,573
C) 20,572
E) 18,573
29. Del gráfico BL=4, LD=ü, m AS = 120°,
¿C=3(AK)-1. Calcule el área de la región
cuadrilátera ABCD.
A) 4
C) 3
D) 9
E)
9
271 Del gráfico, AK=2 cmy 8C = 2>/6 cm. Calcu­
le el área de la región triangular AKL.
30. Del gráfico, LK=2(7S)=2(SK)=2V5 y NK=2.
Calcule el área de la región cuadrangular
SNLO.
A) 1 u2
B) 1,5 u2
D) 2,5 u2
A
0
C) 2u2
E) 3u2
B
33. Del gráfico, ABCD es un cuadrado; H, I, im
A) 8^5
D) 18
B) 9s/5
C) 9^3
E) 675
son las áreas de las regiones mostradas;
AL=3(ífí)=6 y 9K-32'ST=46 cm2. Calcule M
31. Del gráfico, ABCD es un romboide,
DK=3(CK\ AN=3(ND) y IM+IP=14 cm2.
Calcule IN+Q.
A) 0,5 cm2
D) 2 cm2
B) 1 cm2
.
C) l,5cm2
E) 2,5 cm2
34. Del gráfico, (AO)2+(OC)2=50 y MC-»
*
Calcule el área de la región sombreada.
A) 10 cm2
B) 11 cm2
C) 12 cm2
D) 13 cm2
E) 14 cm2
32. Del gráfico, K es punto de tangencia,
mMOj = 60° y 4W-9(1M+IN)=1O u2. Calcule
el área de la región no sombreada.
35 Del gráfico, AF=b y BF=a. Calcule la razón
de áreas entre la región romboidal AEDC y la
región trapecial isósceles ABCD.
37. Del gráfico, K y S son puntos de tangencia,
y ¿O=4(/V¿)=4. Calcule el área de la región
sombreada.
176tc
A) ir
B) A
a+b
c)
2a
a+b
E)
2b
a+b
36. Del gráfico, L es punto de tangencia,
dx
227t
B) v
A)
D) 166n
rx 155n
c) ir
E) 35k
38. Del gráfico, ABC es un triángulo equilátero y
E, M y O son puntos medios de los lados AB,
AC y BC. Si AC=2, calcule la suma de áreas
de las regiones sombreadas.
2(m£K)+m4í/=180o, KS=O5, AL=4 y ¿B=9.
Calcule el área del círculo mostrado.
•
A) 4n
D) 16n
B) 8n
C) 12n
E) 20ti
A) 4
D) 2n
B) 1
C) 2
E) 73
h- Geometría deí espacio
----------------------------------- --------------------------------------------------------------- Capitulo XII
Objetivos
• Estudiar las figuras geométricas en las que sus puntos no solamente se encuentran en
•
un mismo plano.
Estudiar el teorema de las tres perpendiculares y sus aplicaciones.
3 Definición
Es aquella parte de la geometría que estudia las
figuras geométricas en el espacio.
• Plano
que la pizarra quede fija en la pared, debemos
apoyarla en la pared donde queramos fijarla y
clavar en tres de sus esquinas.
A continuación veamos qué es necesario para
determinar un plano:
El plano se considera como una superficie llana
e ilimitada en toda su extensión, y de espesor
Postulado
Con tres puntos no colineales se determina un
plano.
despreciable.
Representación geométrica de un plano
Tradicionalmente al plano se le representa me­
diante una región paralelográmica; eso no sig­
nifica que no lo podemos representar por cualquier otra región plana.
**
Sean A, B y C puntos no colineales.
Entonces con los puntos A, B y C se determinad
oP.
Teorema 1
.
Con una recta y un punto que no pertenece
Se ubica la letra en una de sus esquinas.
dicha recta se determina un plano.
Notación: aL. Se lee “plano
Determinación de un plano
Significa ubicarlo o fijarlo en un determinado lu-
gar. Para que se entienda mejor, de manera aná­
loga, citaremos un ejemplo real: Si deseamos
SeaCg^’CAyfíG?).
Entonces con C y y se determina el <
a
Recta contenida en el plano
Si los puntos de la recta pertenecen al plano.
Si4,B,... e 7- y 4, B,... eejP
Como 4 y B €
Ay C e W2
WcicjP
Entonces con 3^ y 3?2 se determina el cjP.
Recta secante al plano
Si la recta y el plano tienen un solo punto en co­
mún.
Teorema 3
Con dos rectas paralelas se determina un plano.
Como 4 y B
Ce
Entonces con
y JZ2 se determina el cjP.
y ^2
Si V- r\ cnP-{A}
5? y ejP son secantes
Recta paralela al plano
• Posiciones relativas entre rectas y/o
Si la recta y el plano no tienen un punto o puntos
planos en el espacio
en común.
En el espacio se pueden analizar las posiciones
relativas entre una recta y un plano, entre dos
rectas y entre dos planos, las que explicaremos
8 continuación.
Entre una recta y un plano
Pueden ser una recta contenida, secante o pa­
ralela al plano.
Si A, Be 'PyA.BecrP
3? y &P son paralelos.
Lumbreras Editores
Entre dos rectas
Pueden ser paralelas, secantes o alabeadas
(cruzadas).
Entre dos planos
Pueden ser planos paralelos o secantes.
Planos paralelos
Son aquellos que no tienen ningún punto en co
Rectas paralelas
mún.
—-------------------------------- ^2
S5, y S2 son C°P
*
anares A
n
2 ~$
Rectas secantes
Si r7Pnzz7Í=0
->
crPy ejL son paralelos.
Planos secantes
Son aquellos que tienen en común una recta.
Rectas alabeadas
•^1 y
no son coplanares a
n JZ?2 = $
A continuación se traza un plano que conten­
ga a
e interseca a
para poder visualizarlo
mejor.
Si
a aP y & c\ gjM
-*
aP y bM son secantes.
Recta perpendicular a un plano
Una recta perpendicular a un plano se d
*®
como aquella que es perpendicular a todas
rectas contenidas en dicho plano.
Sean ^2.^3.... contenidas en
Sean,7/j y 7'.¿Czz7//
y zi,72
s¡
Luego 7' será perpendicular a todas las rectas
contenidas en dicho plano.
'J Ángulo entre dos rectas alabeadas o
Condición para que una recta sea perpen­
dicular A UN PLANO
La condición necesaria y suficiente para que
una recta sea perpendicular a un plano es que
debe ser perpendicular a dos rectas secantes
contenidas en dicho plano. Luego de esto po­
demos decir que la recta será perpendicular a
todas las rectas contenidas en dicho plano.
Sean
y
El ángulo entre dos rectas alabeadas es aquel
cuya medida se determina al trazar, por un pun­
to cualquiera del espacio, dos rayos que son pa­
ralelos a las rectas alabeadas.
c sH.
SiSlSj y
•
Luego
cruzadas
Para esto vamos a trazar
a
y que sea secante a
que contenga
por cuestiones
didácticas.
será perpendicular a todas las rectas
contenidas en dicho plano.
Sea P un punto del espacio. Entonces
PL//^2 y PK//fy
Por lo tanto, x es la medida del ángulo entre
3^1 y ^2-
Sea^il^
’
(3 •
. Si
d c tuH
y •£, son ortogonales, entonces
(S'|n«'2 ={P})
#3 J.d (x = 90°)
• El punto P puede ser un punto de una de
las rectas alabeadas o cruzadas.
S Ángulo diedro
El ángulo diedro o simplemente diedro es la
figura geométrica que se forma por la unión de
dos semiplanos que tienen en común la recta
de origen (la cual se denomina arista).
Se sabe que P e
Luego PR/I J?,
Por lo tanto, x es la medida del ángulo entre
7, y72.
\__________________ :_________ :________ /
• Teorema de las tres perpendiculares
Si por el pie de una recta perpendicular a un pla­
no se traza otra recta perpendicular y secante
a una de las rectas contenidas en el plano, en­
tonces por el pie de esta última recta y un pun­
to cualquiera de la primera recta se determina
otra recta perpendicular a dicha recta conteni­
da en el plano mencionado.
Notación
•
Ángulo diedro AB o ángulo diedro
*SOL: ángulo plano o rectilíneo del ángulo
diedro .qg
* med¡da del ángulo diedro AB
(OS IX' y OLI S’, además
OS c
0¿c w.W)
•í Planos perpendiculares
Ángulo entre una recta y un plano
El ángulo entre una recta y un plano se define
como aquel que determina la recta con su res­
pectiva proyección ortogonal sobre el plano.
Sea a M1 ej N.
-> <SOL es recto
(a=90°)
% Proyección ortogonal de un punto,
un segmento y una recta respecto a un
Sea 91 secante al cjH en S.
9\\ proyección ortogonal de 9 sobre cjH
x\ medida del ángulo entre 9 y ejH
• Proyección ortogonal de una región
plana respecto a un plano
El área de la proyección ortogonal de una región
plana sobre un plano dado es igual al producto
del área de dicha región y al coseno del ángulo
diedro determinado por el plano que contiene a
dicha región y al plano dado.
•
P'i proyección ortogonal de P sobre sH
•
A' y B': proyecciones ortogonales de A y B
sobre azH
•
Af y/V: proyecciones ortogonales de M y N
sobre eeH
•
A'B'\ proyección ortogonal de AB sobre
•
3^: proyección ortogonal de 3? sobre aH
J' /i Nota ----------------- - --------- ——x
• A'B' puede ser congruente a AB.
•
■
*
puede ser paralela a JT.
-
■ •
-
y
Sea la región plana R.
. ArP: área de la región plana contenida en
Sean
y #2 alabeadas.
AprOy.: área de la proyección ortogonal de
•
dicha región R sobre cjH
•
a: medida del ángulo diedro determinado
por el zzr/Vy
Nota ------------------ ---------------Cuando cjN /\ czH son paralelos, eni tonces 2^proy=ARP.
® Distancia entre dos rectas alabeadas
La distancia entre dos rectas alabeadas es la
longitud del segmento de recta común que es
perpendicular a dichas rectas.
3?2: proyección ortogonal de 3?2 sobre wH
sobre oH
S: proyección ortogonal de
i
i
i
•
Sean JZ'j y <#2 alabeadas o cruzadas.
SiSTlS, a ST13?2
Entonces ST es la distancia entre
y S2.
Se traza la perpendicular ST a #2
ST=d: distancia entre
y
Método para hallar la distancia entre
DOS RECTAS ALABEADAS
Para hallar la distancia entre dos rectas alabea­
das, se debe trazar un plano perpendicular a
una de las rectas y luego proyectarlas ortogonal­
mente sobre el plano mencionado. Finalmente
la distancia entre las proyecciones (punto y rec­
ta) será la distancia entre las rectas alabeadas.
S:$:’;
Si
y «S?2 son ortogonales, entonces el lia- mado plano de proyección podría ser el plan0
que contiene a uno de dichas rectas.
■ •
• •
d: distancia^
entre íiV’
Problemas Resueltos
Nos piden la medida del < entre LS y AK = ,v.
Como podemos verJSy £S son alabeados,
para lo cual se traza AC//LS.
AK = 7(4C)2 + (6f)2 -» AK = 2>/Í3f
&CBK-. CK = >/(4f)2 + (8Í)2 -> CK = 4>/5(
MSC:4C=10í
AAKC: por teorema de cosenos
(4 75 ()2 = (2V¡3 f )2 + (10f)2 - 2(2>/Í3()(10í)cosx
80 = 52 + 100-40713 cosx
40TÍ3cosx = 72
Nos piden AB=x.
Se sabe que LABP es notable de 15° y 75°
x=(76 - 72)¿ y 46=80 -» x = (T6-72)20
x=2072(73-l)cm
9
5V13
COSX =—f=
9713
cosx=-gT
Problema N.° 2
f97l3T
En un rectángulo ABCD se traza BK perpendicu­
x = árceos
lar al plano del rectángulo, luego se ubican los
__
■ AB BC BK'
puntos medios L y S de AD y DC, — = — = —•
O
T
¿
Calcule la medida del ángulo LS y AK.
Problema N.° 3
UNMSM 2011-11
Resolución
■
Del gráfico, el cuadrado ABCD y la semicircunfe­
rencia de diámetro ÁB se encuentran en planos
perpendiculares, BL = LC = \Í5 y mAS = mSB.
Calcule el área de la región triangular SLD.
Otra forma
Resolución
Nos piden 2ASÍD.
Nos piden
Dato: la semicircunferencia de diámetro AB y el
cuadrado se encuentran en planos perpendicu­
lares.
Como SOL en ABCD
SOLOD
a
Dato: la semicircunferencia de diámetro ABy ei
cuadrado se encuentran en planos perpendicu­
lares.
Se sabe que SO LAB -> SOL en ABCD
Aplicamos el teorema de las 3 perpendiculares
SOLOL
1. a 1:SO
^SOD: m2 = j52 + 52
m = y/3Ó
¡\SOL: zj2 = 752 + V¡02
n = V¡5
2. a 1: OK
->
(m<SKL=90tí)
Se traza OM//AD. Como LÍCD es notable de
5372
-»
Teorema de Euclides
3.a L:SK
m<¿W=12772
75+2$
En el trapecio BLDA: teorema OM = —ñ
^OKM es notable de 5372
OK=3
t±SOKt por teorema de Pitágoras, SK =
V302 = V152 + 52 - 2(5)a
SK = 7Í4
»
(D¿)(SK)
^SLD “-------
2---
148
Problemas Propuestos
%
NIVEL BÁSICO
II. Si 7\, Z2 y
donde solo 7’2 y 7'3 son alabeadas, en­
Indique verdadero (V) o falso (F) según co­
rresponda.
tonces el plano que contiene a 'J'2 siem­
pre es paralelo a Zp
Si una recia no está contenida en un
plano, entonces dicha recta será nece­
sariamente paralela.
I.
III- Si 7\ y .7'., no son paralelas, entonces las
rectas pueden ser secantes o alabeadas.
II. Si una recta es secante a un plano, en­
tonces dicha recta puede ser perpendi­
cular a dicho plano.
III. Si dos rectas no se intersecan, entonces
dichas rectas son alabeadas.
A) FVV
B) FFV
D) VVF
se ubican en el espacio,
A) FVV
D) VFV
4.
B) FFV
Se tiene que 7\ es perpendicular al plano
del triángulo ABC, luego se traza BM perpen­
dicular a dicho plano, A e 3^, m<ACB=90°,
O.} FVF
E) FFF
m<CAB=37° y AfB =
7
Indique verdadero (V) o falso (F) según co­
rresponda.
I.
C) FVF
E) VFF
AC + AB
. Calcule la
3
medida del ángulo entre
Si una recta es secante a dos planos,
entonces dichos planos tienen que ser
A) 37°
D) 53°
y MC.
B) 30°
C) 45°
E) 60°
paralelos.
II. Si una recta es secante a la recta de in­
tersección de dos planos, entonces uno
• de los planos contiene a dicha recta.
•
i
5.
Del gráfico, KLA.zjHt LN=NS,
KL=2(AM)=2WL), m<LNM=45°. Calcule la
medida del ángulo entre AK y MN.
III. Si dos planos son secantes y una recta
es secante a uno de ellos, entonces di­
cha recta es secante al otro plano.
V
X
B) FVF
C) VFF
E) FVV
F
De las siguientes proposiciones, indique ver­
dadero (V) o falso (F) según corresponda.
I.
Si
y
son alabeadas, entonces to­
dos los planos que contienen a
intersecan a
.
no
A) 30° .
D) 75°
B) 45°
C) 60°
E) 76°
6.
Se tiene LA, que es perpendicular al plano
9.
nel gráfico,
CS petpendicu'at 41 fe
del cuadrado ABCD’, luego se ubica el punto
del semicírculo de centro 0,
medio S del LB y m</l¿£=30°. Calcule la
= mKD. BD=LS=20. Calcule la
daentreSKyBS-
medida del ángulo entre AS y LC.
C) 53°
A) árceos
E)
7.
Del gráfico, QS es perpendicular al plano
del círculo de centro O, PL=LQ, AO-2\^,
LO=2 y SQ = 2\Í5. Calcule la distancia entre
AÍyBS.
•
A) 5
B) 6
D) 4
C) 8
E) 10
10. Si en un plano de un triángulo equilátero
ABC, de circuncentro O, se traza la reda
secante SA, tal que O es la proyección or­
togonal de 5 sobre dicho plano, además.
AS=BC, calcule la medida del ángulo entre
A) 1
B) 1,5
D) 2,5
C) 2
E) 75
AS y el plano mencionado.
A) arcsen
8.
En un cuadrado ABCD de centro O se traza
OL perpendicular al plano de dicho cua­
drado, luego se ubican los puntos medios
. M y N en AD y CD, respectivamente, tai que
LO=2 y MN = 2^3. Calcule la distancia entre
B) arctan >/2
C) arctan 73
MN y BÍ.
D) arcsen
A) 1,572
D) 1,573
B) 273
- C) 73
E) 372
E) arctan \Í5
Capítulo XII: Geometría del espacio
11. Del gráfico,
es perpendicular al plano del
círculo de centro O, KA =DA, RN=NK, LA=5,
13. Del gráfico, SA es perpendicular al plano
KD= 12 y mRD = 106°. Calcule la medida del
AC=SA+CR. Calcule el área de la región
ángulo entre LN y el círculo mencionado.
triangularse/? si 45=4.
de la semicircunferencia, 3(AS)=2(C/?) y
A) 10x/3
A) 30°
B) 37°
C) 45°
B) l2>/6
C) 8^5
E) !2>/5
D) 1075
E) 60°
D) 53°
14. En el lado AB de un cuadrado ABCD se ubica
es perpendicular al plano del
S, luego se traza LS perpendicular al plano
cuadrado ABCD, S es punto de tangencia, la
distancia de S a DA es 4 cm y AM - 2\Í5 cm.
de dicho cuadrado, tal que S¿=3 y CD=6.
12. Del gráfico,
Calcule el área de la región triangular LCD.
Calcule la medida del ángulo entre MS y el
plano de dicho cuadrado.
A) 8>/5
B) 975
C) 973
E) 10x/3
D) 1075
15. En un triángulo equilátero ABC de circun-
centro 5 se traza el cuadrante KS de centro
A, que es perpendicular al plano de dicho
triángulo. Si el área de la región equilátera
es 3\/3, calcule el área de la región triangu­
lar KBC.
A) 16°
0) 53°/2
B) 37°/2
C) 14°
E) 30°
A) 738
D) 739
B) 2713
C) 6
E) 749
16. Del gráfico, mS = mSB, SO
ABCD
(ABCD es un cuadrado) y AK=KD. Calcule
la razón de las medidas de los diedros CK
18. En un rectángulo ABCD se traza el
Mángu.
lo ASB isósceles, que es perpendic.
ic“Jar a
plano de dicho rectángulo, AS^SB
CD-fy luego se ubica K en AD,
’’ tal que
m<KCD=45° y BC=11. Calcule la
4 hedida
del diedro determinado por los
trián8ulos
KSCyABD.
yAK.
A) 36°
B) 39°
C) 53°
D) 45°
E) 37°
NIVEL INTERMEDIO
19. Indique la verdad (V) o falsedad (F) de las
siguientes proposiciones.
I.
Si dos rectas son secantes a un plano,
entonces estas rectas siempre son se­
cantes entre sí.
B)
II. Con cuatro puntos se pueden construir
como máximo seis planos.
C) 1
¡II. Si una recta es alabeada a una recta
D)
contenida en un plano, entonces dicha
recta es paralela al plano.
IV. Si una recta es paralela a uno de dos
planos secantes, entonces será paralela
E)
al otro plano.
17. En un rectángulo ABCD se ubica S en AB,
luego se traza el triángulo equilátero AKS
perpendicular al plano de dicho rectángu­
lo, tal que AS=Sfi=4; además, la distancia
—
4>/3
de C a BD es ——Calcule la medida del
ó
diedro BD.
A) 30°
D) 53°
B) 37°
C) 45°
E) 60°
A) FVFV
B) WFF
D) FFFF
C) FFFV
E) FVVF
20. Indique la verdad (V) o falsedad (F) de
siguientes proposiciones.
1. Si por el punto de intersección de
rectas secantes se traza un P,an°’|ar$
tonces una de las rectas siempre
contenida en el plano.
II
Si una recta está contenida en un plano
y otra recta es paralela a la primera,
entonces la segunda recta es paralela a
A) 37°/2
B) 53°
D) 53°/2
C) 37°
E) 74°
dicho plano.
III. Si una recta es perpendicular a dos rec­
tas contenidas en un plano, entonces
dicha recta es perpendicular al plano.
23. Del gráfico, ABCDEF es un hexágono regular,
CM=MD=2 y AT=V73. Calcule la medida
del ángulo determinado por MT y AB.
IV Si tres puntos ubicados en una recta,
la cual es secante a un plano, se pro­
yectan ortogonalmente a dicho plano,
entonces dichas proyecciones pueden
formar un triángulo.
A) FFFV
B) FFFF
C) FFVV
E) VFFF
D) VVFF
21. Del gráfico mostrado, ME=MN, BN=6 y .
AM=2. Calcule AB2-AE2. (E e &H).
A) 53°
B) 127°/2
D) 53°/2
C) 37°
E) 30°
24. Del gráfico, ABCD es un paralelogramo.
Además
la distancia entre las
rectas
alabeadas BC y AE es AB. Si AE=2{BH\
calcule
A) 32
D) 8
B) 12
m<BCA
va<ACE
C) 10
E) 14
22. Del gráfico, EFCD es un rectángulo, EC= 10,
BD=DC y AB= 12. Calcule la medida del án­
gulo determinado por AE y DF.
B) 1/3
C) 1/4
E) 3/4
25. Sea ABCD un cuadrado. Por el punto D se
traza DH, el cual es perpendicular al plano
que contiene al cuadrado. Por// se traza .tf,
la cual es paralela a 4C. Si la distancia entre
& y AC es 6 y AD=8, calcule la distancia
*
27. Del gráfico, AB = CDÍxfi). Calcule la medid
entre BD y «2?.
A) 3
D) 2>/2
B) 4
C) 2
E) 72
del ángulo determinado por la mediana/fo
del triángulo ACD y el plano que
contiene a]
triángulo BCD.
26. Del gráfico, AB es la distancia entre las rec­
tas alabeadas BC y AH, ABCD es un rec­
tángulo (4//)2+(HC)2=36 y AB=3. calcule
m<BCA.
A)
D) 14°
B) 37°
Q 5?
E) 30°
poliedro y poliedros regulares
Objetivos
Estudiar la forma de los poliedros, y reconocer los elementos
principales y secundaríos, así como también la relación que hay entre ellos.
Analizar los poliedros regulares empleando fórmulas que permitan calcular su volu
men y el área de la superficie que los limita.
• Poliedro
Diagonal
Es el sólido geométrico limitado por cuatro o
Es aquel segmento cuyos extremos son dos
vértices de caras diferentes.
más regiones poligonales denominadas caras
de poliedro.
En todo poliedro se cumple
El lado común a dos caras se denomina arista
y al punto de concurrencia de las aristas se le
denomina vértice del poliedro. Un poliedro se
C+V=A+2
Teorema de Euler
identifica según el número de caras.
donde
N.° de caras
Nombre
4
Tetraedro
V: número de vértices
. 5
Pentaedro
A: número de aristas
6
Hexaedro
7
Heptaedro
8
Octaedro
9
Nonaedro
10
Decaedro
C: número de caras
® Poliedro regular
Un poliedro regular es aquel que tiene por caras
regiones poligonales regulares congruentes en­
tre sí y en cada vértice concurren igual número
de aristas.
Solamente existen cinco poliedros regulares,
los cuales son tetraedro regular, hexaedro re­
gular, octaedro regular, dodecaedro regular y el
icosaedro regular. A continuación analizaremos
los poliedros regulares.
Tetraedro regular
Es aquel poliedro regular que se caracteriza
por tener 4 caras que son regiones triangulares
equiláteras.
Hexaedro regular o cubo
Es aquel poliedro regular limitado por seis regiones cuadradas congruentes entre sí.
Notación:
Tetraedro regular ABCD
Cálculo de la longitud de sU altura
Área de la superficie total (2AST)
Notación:
Hexaedro regular ABCD-EFGH
Diagonal del hexaedro: AGt BH} CEyDF
a: longitud de la arista
Cálculo del volumen (V)
O: centro del hexaedro regular
Cálculo de la diagonal
Desarrollo de la
superficie de un tetraedro
regular
Área de la superficie total (&st)
En la figura se muestra un tetraedro regular cu­
yas caras son de cartón. Al desplegar sus caras y
ubicarlas sobre un plano se observa una super­
ficie triangular equilátera, la cual se denomina
desarrollo de su respectiva superficie.
Cálculo del volumen (V)
íw
p sarroll° de ,a superficie de un hexaedro
•
**
regula
Cálculo del volumen (V)
.
En la f¡8ura se mues,ra una ca,a de carton cuYa
forma es cúbica. Al desplegar sus caras y ubi­
carlas en un plano se obtiene lo que se deno­
mina el desarrollo de su respectiva superficie.
En un octaedro regular, si sus caras son de car­
tón, entonces se podrán desplegar, y al ubicarlas
sobre una mesa (tal corno se ha realizado con
el tetraedro regular y el hexaedro regular) se ob­
tendrán ocho cartones triangulares equiláteras.
A dicho procedimiento se le denomina desarro­
Octaedro regular
Es aquel poliedro regular limitado por ocho
regiones triangulares equiláteras.
llo de la superficie del octaedro regular. Sugeri­
mos al lector realizar el proceso inverso para el
tetraedro regular, hexaedro regular y el octaedro
regular.
Estos procesos se pueden realizar también con
el dodecaedro regular y el icosaedro regular.
Dodecaedro regular
Es el poliedro regular limitado por doce caras,
las cuales son regiones pentagonales regulares
y congruentes entre sí.
N.°de caras: 12
N.° de aristas: 30 •
N.° de vértices: 20
Notación:
Octaedro regular P-ABCD-Q
Diagonal del octaedro regular: AC, BD y PQ
0. centro del octaedro regular
Icosaedro regular
Es el poliedro regular limitado por veinte caras,
las cuales son regiones triangulares equiláteras
Cálculo de la diagonal
congruentes entre sí.
0: longitud de la arista
AC = BD = PQ = aj2
^rea de la superficie tota) (AST)
,
——
= 2a2 \Í3
N.° de caras: 20
N.° de aristas: 30
N.° de vértices: 12
Problemas Resueltos
Reemplazamos (11) en (1)
Problema N.° 1
.
SCn<X=É^
Se tiene un cubo de arista a, desde un vefbce se
traza una de sus diagonales y una dedas d.ag
nales de sus caras. Calcule el seno del ángulo
73
sena = —
que forman dichas diagonales.
UNMSM 2004-I
Problema N.° 2
Resolución
En un cubo de 2 m de arista, se unen 3 vértices
de modo que se forma un triángulo equilátero
Determine el área de dicho triángulo.
UNMSM Mi
Resolución
Nos piden sena.
Donde a es la medida del ángulo que forman las
diagonales de una cara y del cubo.
ABCD-PQRS es un cubo.
Sabemos que por el teorema de las tres perpen­
diculares
QBXUABCD
(1.a!)
balad
(2.a 1)
AQLAD
(3.a 1)
Nos piden Aa4QC.
Dato: cubo ABCD-PQRS
Por la razón seno (LQ4D)
DC=2
sena = —
.QD
Trazamos 4Q, QC y 4C, los cuales son diago^
les de los cuadrados APQB, QRCBy^CD.
senct = _
í
(0
*
-
Ai4QC es equilátero
Pero por el teorema del cubo
d = (2)>/2
(II)
d = 2>/2
Capitulo Xtll:Poliedroypo|iedrosregu]ares
Por fórmula (región triangular equilátera)
lh¿.AQC~
DatoMBPQ-MWTCesuncubo
Observamos
4
(2J2M
^AQC4
.v=/+(+ocm
En el L.AMC notable de 45°
&A.AQC-
m2
r = aV2cm
g¡)
Problema N.° 3
Por diagonal del cubo
En el gráfico, se tiene un cubo cuya arista mide
ocm, donde BC es una diagonal y AC diagonal
de una cara. Calcule el perímetro del triángulo
ABC.
í=(acm)x/3
(III)
Reemplazamos (111) y (II) en (I)
x = aj2 cm + (acm)V3+acm
x = a(l + x/2 + V3)cm
Problema N.° 4
Con una lámina rectangular se construye una
caja sin tapa cortando regiones cuadradas de
4 cm2 de área en cada esquina. Si el perímetro
Resolución
de la lámina es 36 cm y el largo es el doble del
ancho, halle el volumen de la caja.
UNMSM 2012-1
Resolución
Nos piden 2pAXBC=x.
donde
Perímetro de la región triangular ABC
También
CD=a+n+a
6=2+n+2
—>
n=2
Reemplazamos (IV), (III), (II) en (I)
Nos piden V.
V=(2)(8)(2)
V: volumen de la caja
Dato: Las esquinas son regiones cuadradas de
V=32 cm3
área igual a 4.
Problema N.° 5
BC=2(CD)
El perímetro de la lámina es 36 cm.
En la caja
W=abn
En un cubo, cuya diagonal es o, calcule el
lumen.
Resolución
(I)
En la lámina (del perímetro)
2/+r+f+2f=36
-> ¿=6
Nos piden V.
De la región cuadrada
V: volumen del cubo
a2=4
-> 0=2
Se sabe que
(II)
o = (V3 —> 0 = —?=■
v3
Observamos de la lámina
BC=a+b+a
a
a
a
73x73x;/3
12=2+b+2
“* b=3
diag.=arista >/3
(ni)
Problemas Propuestos
NIVEL BÁSICO
j
Indique la verdad (V) o falsedad (F) de las
siguientes proposiciones.
I. Si un poliedro tiene 8 vértices y 12 aris­
tas, entonces es un hexaedro regular.
11. Puede haber un poliedro que tenga 6
caras y 5 vértices.
III. En todo poliedro convexo se cumple
que la cantidad de caras disminuida en
uno más la cantidad de vértices dismi­
D) 4
E) 2
nuida en uno es igual a la cantidad de
aristas.
4.
Un poliedro convexo está limitado por 3 re­
giones triangulares, 4 regiones cuadriláteras
A) FW
y una región pentagonal. Calcule — si se
B) VFF
sabe que A es el número de aristas y V es el
C) FFF
número de vértices de dicho poliedro.
D) WV
A) 2
E) FVF
2. Un poliedro está limitado por dos regiones
hexagonales, dos regiones triangulares y
tres regiones cuadrangulares. Calcule el nú­
mero de vértices.
A) 10
B) 12
D) 8
5.
A+V
á. número de aristas
número de vértices
número de caras
Un poliedro convexo está limitado por 3
regiones triangulares, 5 regiones cuadriláte­
ras, 1 región hexagonal y 1 región heptago­
nal. Calcule A-C si A es el número de aristas
y C es el número de caras.
E) 16
A) 10
D) 13
Del gráfico se muestra un poliedro. Calcule
~~q"~donde
C) |
• E) |
3
D) 2
C) 14
.
B) 1
6.
B) 11
C) 12
E) 14
Un poliedro está limitado por regiones trian­
gulares y tiene una sola diagonal. Calcule el
número de aristas.
A) 12
D) 15
C) 6
E) 18
7.
Se tienen dos tetraedros regulares, en que
en uno de ellos se cumple que el perímetro
y el área de una cara son numéricamente
iguales y, en el otro, el área de la superficie
total y el volumen son numéricamente igua­
les. Calcule la razón de sus alturas.
A) (>V2
Q I8J2
D) 3>/2
E) 1575
10. En el tetraedro regular P-ABC mostrado
es altura, ME es mediatriz de AP y ME -
Calcule PH.
8.
En el tetraedro regular mostrado, M y N son
puntos medios de las aristas indicadas y el
área de la región sombreada es VH. Calcule
el área de la superficie total del sólido.
B) 2
D) 2>/2
A) 9>/3
D) 25^
9.
B) 8^3
Q 1673
E) 12^3
En el tetraedro regular mostrado, MP=2(MÁ),
E) 472
11. En el hexaedro regular ABCD ’EFGH mostra­
do, MR es mediatriz de AFt MR=3 y BRS^Calcule el volumen del hexaedro.
las regiones sombreadas son paralelas y
sus áreas se diferencian en 575. Calcule el
volumen de dicho tetraedro.
A) 27
D) 3j3
12 En un hexaedro regular ABCD-PQRS, O es
el centro de la cara ABCD. Además se ubi­
ca el punto M en OS, tal que A/S=2(/V/O) y
= >/6. Calcule PC.
A) 1273
B) 1075
c) 2073
E) 2473
D) 1276
15. Se tiene el octaedro regular P-ABCD-Q,
A) 272
B) 375
D) 673
C) 472
de centro O. En PO y en CD se ubican sus
E) 672
puntos medios M y /?, respectivamente. Si
MR = 75, calcule su volumen.
13. En el hexaedro regular ABCDEFGH mostra­
A) 675
B) 12
C) 975
do, calcule x.
D)
E) —
3
2
16. En un octaedro regular se ubican los puntos
medios M, N y S de las aristas BR, AD y BC,
respectivamente. Calcule n\<MNS.
A) 30°
B) 45°
C) 60°
53°
2
17. En un octaedro regular R-ABCD-T se cum­
ple que el perímetro de la región triangular
A) 30°
RDC es numéricamente igual al área de la re­
E) 15°
En el hexaedro regular ABCD-EFGH mostra­
gión ABCD. Calcule el área de su superficie.
A). 675
B) 27
D) 18n/3
C) 9
E) 975
do. FC=25 y GL= 10. Calcule EC.
NIVEL INTERMEDIO
18. Se tiene el octaedro regular M-PQRS-N,
en la diagonal PR se ubica el punto T.
Si la suma de las distancias de T hacia MR y
PS es igual a 6, calcule MN.
T
a
A) 6
D) 276
B) 372
C) 76
E) 675
19 En el hexaedro regular mostrado, el perí­
metro de la región triangular LSK es numé­
ricamente igual al «área de 1<> legión cua
drangular KDUG. Calcule la diferencia de
volúmenes entre el hexaedro y la pirámide
A) 7H
A) 3672
B) 1875
C) 54>/2
B) 76-272
C) x/5
D) >/7
E) 18
D) 36
22. En un tetraedro regular VABC se traza la me­
20. Del gráfico, los vértices del octaedro son los
diana AL de la cara AVB, luego se ubica el
centros de las caras del hexaedro regular.
Si O es el centro del octaedro y AP = 2x/2,
punto medio S de AL. Si el área de la super­
ficie total es 36á/3, calcule la distancia de S
calcule el volumen del hexaedro.
a la cara ABC.
23. En un tetraedro regular DABC, se ubican I
puntos L y K en AC y DB, respectiva^’
tal que AL =LC, BK=5(pK), además se uN
*
A) 216
B) 125
D) 48^6
C) 64
el punto medio 5 de LO (O es el cent
*
0
cara ABC). Si KS = 1075, calcule el vd
E) 6473
del tetraedro.
«o..r«F.DC0ry,aar,sladc,oc|a(¡¿
regular mide 2. Calcule OP.
A) 1512^2
D) 121572 ’
B) 1125V2
r-'l 1152'^
ü
E) *
24.
En el gráfico se muestra un tetraedro regular,
^~KD=2 y la línea KSC es la del menor
7. En un hexaedro regular ABCD-ffCH, se ubi­
recorrido. Calcule la longitud de dicha línea.
superficie total es 120 cm2, calcule la distancía de G a la región triangular FCK.
ca el punto medio K de HG. Si el área de la
A) 'T’crn B) ^cm
C) ^cm
D) V7cm
E) 2^2 cm
28. Del gráfico se muestran dos cubos, tal que
EH=3(PH)=G cm. Calcule la distancia entre
A) 3x/6
B) 3>/5
C) 6
E) 2>/6
D) 2^7
25. En un tetraedro regular ABCD, donde una
arista mide 16 cm, se ubica el punto medio
K de AD; luego se trazan KS1DC, SLS.DB
(SeDC y Le DB). Calcule el área de la re­
gión triangular KDL.
A) 4>/2
B) 4^3
A) 4x/3cm2
B) 4>/2 cm2
D) 4>/5 cm2
C) 6>/2 cm2
C) 2>/3 cm
E) 6x/3 cm2
D) 2>/6 cm
E) 9cm
26. En un hexaedro regular ABCD-EFGH se ubi­
ca el punto medio L de BC y ÁC n LD={K}.
Calcule la medida del ángulo entre EK y el
Plano EFGH.
A) arelan^)
29. En un hexaedro regular ABCD-EFGH se
ubican los puntos S y K en AB, y en la cara
ABCD (AS=SB y K es el centro áe^ABCD).
Calcule la medida del ángulo entre ES y GK.
B) are sen [ y-)
A) árceos
0 arelan^ j
C) 53°
D) 750
E) are sen
D) 60°
(1)
i:- Prisma y cilindro
Objetivos
• Identificar las características fundamentales del prisma y del cilindro.
•
Reconocer los elementos básicos para calcular la superficie lateral, la superficie totalI.
el volumen del prisma y del cilindró.
•<
• Prisma
Es un poliedro en el cual dos de sus caras son
regiones poligonales congruentes paralelas
(son las denominadas bases) y las demás caras
son regiones paralelográmicas (son las denomi­
nadas caras laterales).
Arista lateral. Es el segmento común entre dos
caras laterales.
Arista básica. Es el segmento común entre una
cara lateral y una base.
Un prisma es nombrado según el número de la­
dos que tenga una base. Por ejemplo, si la base
tiene 6 lados, se denomina prisma hexagonal.
Este prisma tiene C=7, V=10 y A=15. Comopodemos ver, también cumple el teorema de Euler.
Clasificación
Los prismas se clasifican según la inclinación
de su arista lateral con respecto al plano de su
base.
Prisma oblicuo
Un prisma es oblicuo cuando sus aristas latera­
les no son perpendiculares a las bases.
a.
Sección recta (S.R.)
Es aquella sección plana que se determina
en el prisma por un plano secante y perpen­
dicular a todas las aristas laterales.
Notación:
r
Prisma pentagonal ABCDE-FGH1J
Notación:
fPrisma triangular oblicuo ABC-
A continuación se indicará ios cálculos que
debemos conocer.
Área de la superficie lateral (Asl)
ASL=(2^ba5e)-q~j
Área de la superficie lateral (2ASL)
AsL = (2Ps.R.)a
2Pbase: Perímetro de la base
2Ps.r.: perímetro de la sección recta
Área de la superficie total (Ast)
a: longitud de la arista lateral
Área de la superficie total (Ast)
Abase: área de la base
AsT-^SL+^^base)
Volumen (V)
Atase! área de la base
Volumen (V)
h: altura del prisma (a=h)
h: altura del prisma
a.
Desarrollo de la superficie lateral de un
prisma recto triangular
Prisma recto
Un prisma es recto cuando sus aristas laterales
son perpendiculares a las bases.
Notación: Prisma
recto triangular
ABC-DEF
A continuación se muestra el desarrollo de
la superficie lateral.
A m
J
Notación: Prisma
recto cuadrangular
ABCD-EFGH
B
n
L ---------------
C
(
A
C ------------------------------------- L
r
1
D
E
F
m,ny(¡ pueden ser iguales
Lumbreras Editores
Paralelepípedo
Es aquel prisma cuyas bases son regiones
paralelográmicas.
Paralelepípedo rectangular
Es aquel paralelepípedo cuyas caras son
regiones rectangulares. También se le de­
nomina rectoedro u ortoedro.
Notación:
Prisma cuadrangular
regular ABCD-EFGH
Desarrollo de la superficie lateral de un
PRISMA REGULAR TRIANGULAR
a, b y c son dimensiones del paralelepípedo
rectangular; además tiene 4 diagonales,
las cuales son congruentes y concurrentes.
d2=a¿+b¿+c¿
Área de la superficie lateral (ASL)
—
ASL=2(aO+oc)
Área de la superficie total (AST)
Ast=2(o6+6c+oc)
Volumen (V)
■
—
A continuación se muestra el desarrollo
13
y
•a •
*v ¿
Capítulo XIV: Prisma y cilindro
* Cilindro
a
'lido geométrico comprendido entre dos planos para£saque,s ! ,secanle a una superficie curva cerrada denomina­
dlos entre
y en ¿ichos planos paralelos se determinan
da SUPnes planas congruentes, las cuales se denominan bases.
? Las bases son paralelas y congruentes.
Las generatrices son paralelas y congruentes.
ClUNDRO CIRCULAR RECTO O CILINDRO DE REVOLUCIÓN
Sección axial: Sección plana determinada en el cilindro por un plano que contiene a su eje (OOi)
Desarrollo de la superficie lateral del cilindro de revolución
Es una región plana limitada por un cuadrilátero equiángulo, cuyos dos lados tienen igual longitud
que la circunferencia de una base y los otros dos tienen igual longitud que la generatriz del cilindro.
D
B
fi
I----------------2nr------------- 1
Areade la superficie lateral:
(Asi); ZAsL=2n^
....................
A'Ca
‘a SUperficie ,0,al:
I
(Asr): ZAsT-2nr(g+r)
I I
I
,
turnen:
I cuadrada.
_______ ______ '
.
Problemas Resueltos
Problema N.° 2
Problema N.° 1
SI r es el radio de la base de un cilindro, con
lapa, de volumen I00 cm3, el área del material
usado en la construcción del envase, expresado
m rotar la región sombreada un ángulo de
alrededor de la recta LL’ se obtiene un sól^
cllyo volumen es
en función de r, es
UNMSM 1997
Resolución
Nos piden Amal: área del material
Amai=2nr5+27u
*
2
(i)
Del dato
100=Vcl|=nr2g
Nos piden Vsól¡do
= VSG
generado
^SG
^cono+ Cilindro
Reemplazando en (I)
=n(3)2xQj+Il(3)2x(5)
^mat = 2/tr X
j+ 2nr2
= 12n+45n
Vsc=57nm3
*
•'
•
;■
*
•-r»
<r *•
*•
■ ‘ b *• 9
> XIV: Prisma y cilindro
SÍ ¿i/
Problema N.° 4
Problema
Us dimensiones de un paralelepípedo están
progresión aritmética y suman 24 u. Si el
men
es 440 u3 calcule la dimensión de
longitud.
El gráfico muestra un sólido formado por tres
yor
UNMSM 2006-1
paralelepípedos rectos rectangulares idénticos.
Si en el vértice M se encuentra una hormiga y en
el vértice N su comida, ¿cuál es la longitud del
camino más corto que debe recorrer la hormiga
para llegar a /V?
Resolución
I
1
a
Nos piden la dimensión de mayor longitud.
UNMSM 2009-11
Dato:o+b+c=24
Resolución
fl-ó-c=440
Nos piden la longitud mínima de M a N.
Como las dimensiones están en progresión arit­
mética
Para ello realizamos el desarrollo de la superfi­
cie (sobre todo la parte del recorrido de M a /V).
cmd
T
3 cm
c=(+r
3“---------c
1
í-r+(+(+r=24
“T
0=8
\x
•
Del segundo dato
ln
■
i
r
O l—3 cm3 cm
$-r)(8)(8+r)=440
Del LMON: teorema de Pitágoras
Ahora podemos decir que la dimensión de ma­
yor longitud es c.
c=8+3
x2=62+82
x=10 cm
Problemas Propuestos
t
NIVEL BÁSICO
1.
En un prisma recto4BC-D£F,m</lBC=90 ,
m<BAC=37°, la cara ACFD es una región
B)
cuadrada y el área de la base es numéri­
are sen
camente igual al triple de la arista lateral.
Calcule el área de la superficie lateral.
C) árceos
A) 395
B) 375
C) 365
D) are sen
D) 355
•
E) 345
E) árceos
2.
En un prisma recto ABC-DEF se ubica L en
CF,KenBE{EK=2(KB))y
4.
AB BC CA DA . „ , , , ,
.
— = — = — = — = 1. Calcule la longitud
o
4
5
o
del mínimo recorrido DLK que pasa por dos
caras laterales.
A) 793
D) 797
3.
B) 772
C) 795
A) 32A
AM=5, DL=4(LS), AP=PB. BQ=QC. Calcule
la medida del ángulo determinado entre PQ
y AL.
B) 42A
5.
C) 5A
E) 7A
D) 62A
E) 37ñ
En el prisma recto mostrado, AB-3, AD=4
En un prisma recto ABCDE-A'B'CD'E, las
bases son regiones pentagonales equiláte­
ras, tal que el área de una cara lateral y el
perímetro de una de las bases son numéri­
camente iguales. Si el área de la base es A.
calcule el volumen del prisma.
Se muestra un paralelepípedo, tal que
fiS=2,5, LK=3 y AH=8. Calcule la medida
del ángulo entre AC y LK.
A) 31°
D) 37°
B) 60°
c) 450
E) 53°
6.
En el paralelepípedo ABCD-EFGH, la pro­
yección ortogonal de A sobre la otra base es
A) árceos
su centro 0, m< £40=45°, m<BAD=60° y
Xfl=SC=4. Calcule el volumen del sólido.
A) 46
D) 56
B) 48
C) 52
B) árceos Qj
C) arcsen
E) 60
7, En un paralelepípedo rectangular
ABCD-EFGH se ubica L en EHt AE=3, AB=4,
EH=7 y CL = 5\Í2. Calcule el área de la re­
D) árceos
E)
gión triangular LCO donde O es el centro
del paralelepípedo.
A) 1
B) 1,5
D) 2,5
10. En el prisma regular mostrado, una cara late­
C) 2
E) 3
ral es una región cuadrada, además el área
de la superficie lateral es 12 cm2. Calcule la
longitud del mínimo recorrido de la línea
KLSD.
8. Se muestra un paralelepípedo rectangular.
Si BL=LC=4 y CG = 3\Í2, calcule el área de
la región cuadrilátera ALKS.
A) 5
B) x/26
E) x/29
D) 2x/7
B) 16>/2
A)
16^3
9-
C) 18n/3
E) 14>/2
un prisma regular ABCD-££07/ se ubican
,os puntos medios K y L de ÁB y BC, respec-
C) 3^3
11. En un prisma regular hexagonal
ABCDEF-ABG'D'E'F\ una cara lateral es
una región cuadrada cuya área es 4 cm2.
Calcule la distancia entre BF' y EC'.
lamente, y 3<AE) = V23C4D). Calcule la
hedida del ángulo determinado entre KL
7 AH.
A) 73 cm
D) 1,5 cm
B) V2 cm
C) 2 cm
E) >/5crn
Lumbreras Editores
12. Se muestra un cilindro de revolución, en el
A) V1 + 47T
que BL=LD, la medición del ángulo deter­
minado por AC y LS es 53° y la generatriz
mide 8 cm. Calcule el área de la superficie
B) 2>/l + 4n2
lateral del cilindro.
D) 4a/1 + 2k2
C) 71 + 4n2
E) 271+2n
A) 20V2 cm2
B) 2472 cm2
15. Se tiene un cubo y un cilindro equilátero tal
que son equivalentes. Calcule la razón de la
arista y del radio de la base del cilindro.
C) 24V3ítcm2
D) 2072rccm2
E) 24-/2ncm2
A) x/4rc
B) \Í2
C) xfit
E) xS
D) >/2ñ
13. Se tienen dos cilindros circulares rectos, en
que el radio de uno es igual a la generatriz
del otro y la altura del primero es el radio del
otro. Si el volumen del primero es el doble
. del volumen del segundo y los sólidos son
equivalentes, calcule la razón entre el radio
y la generatriz del primero.
A) 1
D) 3
B) 1/2
16. Se muestra un cilindro circular recto, en el
que m/V¿ = 120°, mKS = 60° y la generatriz
mide 2(1 + \/3). Calcule el área de la región
cuadrilátera NLKS.
L
C) 2
E) 3/2
14. Se muestra un cilindro equilátero, en el que
AC=4. Calcule la longitud del mínimo reco­
rrido de KSA.
S
A) 2x/2(l + V3)
B) 4(1 + 75)
C) 272(1 + 275)
D) 275(2 + 75)
E) 4(3 + 75)
Se muestra un cilindro de revolución y un
cilindro oblicuo. Calcule la razón de volómenes de los dos cilindros.
■»?
D) |
19. En el prisma cuadrangular recto
ABCD-PQRM, T es punto de tangencia. Si
AL=6, calcule el área de la superficie lateral
de dicho prisma.
c)?
E) 6
NIVEL INTERMEDIO
__
__
18. Del gráfico, MC es mediatriz de O/? y O es el
centro de la región cuadrada PABQ. Calcule
el área de la superficie total del prisma recto
A) 36
B) 29
C) 50
E) 40
D) 60
20. Las regiones cuadradas ABCD y MNST son
perpendiculares y de área igual a 36. Calcule
el volumen del prisma recto BHLC-APRD si
PT=TR.
A) 4l2+2j2+3)
D
B) 8(uJ2 + J5)
Q 4^6 + 72+8)
D) 8(2+j2 + >/6)
A) 72
E) 64
D) 216
B) 36
C) 125
E) 108
Lumbreras Editores
21. En el prisma recto DEF-ABC mostrado M, N,
TyP son puntos medios de DF, AC, BN y EB,
respectivamente. Si MP=MT=5, calcule el
volumen del prisma.
A) 8
B) 12
C) 10
E) 24
D) 473
24. Sea el paralelepípedo rectangular
ABCD-EFGH cuyo volumen es 320 y
TR=RD. Calcule el volumen del poliedro
MTRSB - QLHGF mostrado.
22. En el paralelepípedo ABCD-PQRS mostra­
do, AH = \Í39, HS = yf57. Calcule su volu­
men (H pertenece a la base).
A) 240
B) 280
O) 160
.
A) 21675
D) 220,5713
B) 14475
C) 120,5713
E) 34373
C) W
g) 2(M
paralelepípedo rectangular
^'MNLRt la distancia entre AC yMtS
doble de la distancia entre ABy^Ji
rnedida angular determinada por BD}'
es 45° y
= 276. Calcule su volumen-
Se muestra el paralelepípedo TBRM-PADC.
Si el volumen del tetraedro regular B-ACD
es 4, calcule el volumen del paralelepípedo.
A) 125
D) 676
B) 64
C) 16
« 6v5
En un prisma regular ABC-PQRt AP^J}
En el desarrollo de su superficie lateral mos(«da «?=6>/Í9. Calcule el área de dicha
superficie.
A) 7n
D) 12n
B) 8n
30. En el cilindro equilátero mostrado, PM=MQ,
A
BAf2-OAf2=18 y mAQ = 60°. Calcule el área
de la superficie total.
125>/3
C) 6n
E) lOn
B) 100V3
12173
•
C) 8173
E) 216>/3
27. En un prisma regular ABCD-EFGH, la distan­
cia de F hacia BH es 2,4 y AG=5. Calcule el
volumen del prisma.
A) 18
D) 24
B) 27
C) 32
E) 28
Q
A) 54n
D) 48n
B) 36n
C) 16n
E) 25n
28. En un prisma regular ABCD-EFGH, la distan­
cia de E hacia los puntos medios de AG y CG
son 2\/10 y 2V13, respectivamente. Calcule
su volumen.
A) 144
D) 216
B) 96
C) 125
E) 104
29. En el cilindro circular mostrado, DC 3 y
BC-FC=7. Calcule el área de la superficie
lateral del cilindro.
31. Sean PQ=5 y RT=5. Calcule la razón de
volúmenes de los cilindros de revolución
mostrados.
h- Pirámide y cono
Objetivos
• Estudiar la construcción y forma de las pirámides y los conos.
•
Reconocer los elementos y la relación entre ellos, así como también su clasificación
según las características de estos elementos.
•
Identificar la similitud entre estos dos sólidos geométricos, tanto para calcular su
volumen como para calcular el área de la superficie que los limita.
® Ángulo poliedro
Es aquella figura geométrica formada por tres o más regiones angulares (si tomamos dos regiones
adyacentes no deben ser coplanares), que tienen el vértice en común y comparte un lado de
dos en dos.
Los nombres de los ángulos poliedros se debe a las cantidades de regiones angulares, las cuales se
denominan caras del ángulo poliedro.
Gráficamente
Notación: Ángulo triedro O-ABC
Notación: Ángulo tetraedro O-ABCD
a> P y 0: medidas de las caras
a. P, 6 y y: medidas de las caras
Pirámide cuadranglar
Pirámide pentagonal
Elementos de una pirámide
base
Nota ---------------------------------- Una de las características de las pirá­
mides es que no tienen diagonales.
0 Pirámide
Es aquel poliedro que se determina cuando un
ángulo poliedro es intersecado por un plano se­
cante a sus aristas.
Área de la superficie lateral (2ASL)
_ suma de las áreas de
]as caras laterales
Área de la superficie total (AST)
2AsT--^SL+^basc
ZAbase: área de la base
Volumen (V)
(^base)
una pirámide se le nombra de acuerdo a la
Recién plana determinada, a la cual se le llama
ase de la pirámide.
3
h\ longitud de la altura
ap: longitud del apotema de la
(M/V=ap)
Pirámide regular
Es aquella pirámide cuya base está limitada por
un polígono regular (triángulo equilátero, cua­
drado, pentágono regular, etc.), además, todas
ON: longitud del apotema del
guiar ABCDEF.
sus aristas laterales son de igual longitud.
O: centro de la base de la pirámide.
Ejemplos
MO: altura de la pirámide, 0 es el p¡e
dicha altura.
Pirámide triangular regular
•
a: medida del diedro formado por una cara
lateral con la base.
•
0: medida del ángulo formado por una aris­
ta lateral con la base.
LMO/V: aplicando el teorema de Pitágoras
(ap)2=(PN)2+h2
____________________ I
Pirámide cuadrangular regular
h:
longitud de la altura de la pirámide
Nota ---------------------------------------- .
Apotema de la pirámide regular (ap)
Es la perpendicular trazada desde el vérti­
ce de la pirámide hacía una arista básica.
V...
________ :_______________
Área de la superficie lateral (2ASL)
En la siguiente figura se muestra una pirámide
hexagonal regular M-ABCDEF.
Por medio de ella reconoceremos los elementos
de las pirámides regulares.
p: semiperímetro de la base
. Tetraedro regular
Es aquella pirámide regular cuyas cuatro cara^
son regiones triangulares equiláteras.
Notación: Tetraedro regular P-ABC
® Cono
El estudio sistemático de las pirámides, el cono­
cimiento de la circunferencia y algunas otras lí­
Area de la superficie total (AST)
2AST = aV3
neas curvas han conllevado a obtener y estudiar
otras figuras, entre las cuales destaca el cono,
el cual es muy parecido a una pirámide, con la
diferencia de que su base es una región curva
en lugar de una región poligonal.
Volumen (V)
a3V2-
12
a: longitud de la arista
base
Pirámide irregular
Es aquella pirámide que no tiene todas las ca­
racterísticas de una pirámide regular.
Cono de revolución o cono circular recto
Es aquel sólido geométrico generado por una
región triangular rectangular ai girar 360° en
torno a uno de sus catetos.
En el gráfico se muestran las siguientes pirár
des irregulares:
Elementos
•
O: centro de la base del cono
*
Pirámide pentagonal M-ABCDE
*
Pirámide cuadrangular M-ABCF
•
r: radio de la base
*
Pirámide pentagonal M-AFCDE
•
OV: eje
Sección axial
Es la región triangular que tiene como lados a
dos generatrices diametralmente opuestas.
La superficie lateral es equivalente con su
pectivo desarrollo, el cual es un sector cir 7
cuyo centro es el vértice del cono y tiene 1
radio a la generatriz.
^SL “ ^sector
.
Qrcg2
360°
Ángulo de desarrollo de la superficie lateral
&.AVB: sección axial del cono de revolución
Área de la superficie lateral (ASL)
Cono equilátero
ASL=nrg
Es aquel cono de revolución cuyas generatrices
tienen longitudes ¡guales a las del diámetro de
g: longitud de la generatriz
la base (g=2r).
Área de la superficie total (2AST)
■ "1 1 ■ ■
AST=ASL+Abase
^ase: área de la base
Volumen (V)
g: longitud de la generatriz
s
h: longitud de la altura de la pirámide
Desarrollo de la superficie de un cono de
revolución
En la figura se muestra un cono equilátero >
respectivo desarrollo de la superficie.
•plONCO DE CONO DE REVOLUCIÓN
Eslaporciónde un cono de revolución determnada^d05 P,anos Píelos y perpendicufa-
Área de la superficie total
2AST=ASI +Abasc I + Abasc 2
Volumen
Todo
tronco de cono de revolución tiene dn Da■
ses
circulares.
deldepende
área de ladel
superficie
lateral ' io,al
, .
yElelcálculo
volumen
tipo de inf
que se tenga.
P° de'"formación
V = ijtfi2H+|nr2t
3
3
Por semejanza de triángulos (~A)
r
R
n
n+g
t
H .
.
— =------- = — y h = H-n
Área de la superficie lateral
En resumen:
Área de la superficie lateral (ASL)
ASL=n/?(5+n)-nrn
ASL=n/?g+n(/?-r)/7
Por semejanza de triángulos (~A)
n
r
n+8~ R
n(N-r)=gr
En (I)
&st=nRg+nrg
(I)
ASL=n(/?+r)g
Área de la superficie total (AST)
2Asl+71/'?+7t/?2
Volumen (V)
V = -n(r2 + /?2 + /?r)
3
Problemas Resueltos
Pero del dato, ZA.sl =96n
Problema N.° 1
Calcule el volumen de un cono circular recto
cuya área lateral es 96n cm2, sabiendo que el án­
gulo que forma la generatriz con su base es 60°.
UNMSM 2003
—>
2nr2=96n
r = 4j3
(¡i)
Reemplazamos (II) en (I)
Resolución
■
Vcono=192ncm3
Problema N.° 2
Si se duplica, simultáneamente, la medida
del radio de la base y la altura de un cono de
revolución de volumen V, entonces el nuew
volumen es
UNMSM 2007-1
Resolución
Nos piden Vcono,
Donde: Vcono es el volumen del cono
Datos: m<VB4=60° y ASL=96n cm2
De la fórmula del volumen del cono
Cono 1
Cono 2
Vcono=|>tr2/l
Nos piden
Donde:
Del dato
Vcono=^r2(r^) = í^r3
(I)
es el es el volumen del cono 2.
Dato: V es el volumen del cono 1.
El cono 2 tiene el doble de radio y altura resp^10
al cono 1.
De la fórmula del área de la superficie latera| '
ASL=nrg
ASL=^r(2r)
AsL=2nr2
En el cono 2
Vx=\(2r)22h
0)
3
En el cono 1
^ = 1^
00
(1) en 00
Nos piden r.
Dato: flO=OC
^cono=81n cm3
De la fórmula del volumen del cono
O’+r)
^cono ~
(I)
problema N.° 3
gráfico se tiene una esfera inscrita en el
cono de revolución cuyo volumen es 81n cm3 y
En el LfiMC
0O=OC. Halle el radio r de la esfera.
a+a+p=90°
Por teorema, en la circunferencia
a=P
3a=90°
->
ct=30°
En el LOAfC: notable de 30° y 60°
UNMSM 2010
*1
AfC = OAf73
Resolución
-»
R=
->
í=2r
y OC=2(OAf)
00
Reemplazamos (II) en (I) y con el dato del
volumen
81 n =7 n (r>/3) (2r+r)
3
81 = -(3)(r)2(3r)
3
•
r=3 cm
Problemas Propuestos
A) 6V6
NIVEL BÁSICO
1.
B) 2>/7
C)
7
En la pirámide mostrada, DI = 3>/2 y
E)
PV=V7=5. Calcule su volumen.
2
Del gráfico, la pirámide regular P-Abcd
MFST es un cuadrado, FS=8 y LT=4. Calcu'
le el área de la superficie lateral de dicha
pirámide. (O es centro de la base).
A) 6
D) 10
2.
E) 15
Del gráfico, en la pirámide A-DRI mostrada,
AN es la altura, Nl=4, ND=NA=3, NR=5 y N
es baricentro de la base. Calcule el volumen
de la pirámide.
A) !32>/5
25675
D) 21675
12875
Del gráfico, P-ABC es una pirámide regular.
Si la región triangular MBC es equivalente a
la base, Atf=2 y MP=4, calcule el apotema
de dicha pirámide.
A) 15
D) 20
3.
C) 18
E) 24
En una pirámide A-NCR, la arista A/?
pendicular a la base, m< A/V/?=37o,
m<A/VC=53° y m<AC/V=45°. Si AN
calcule el volumen de dicha pirámide.
186
En una pirámide regular P-ABCD se traz
6. una semicircunferencia de diámetro AC |
cual
interseca
a BP
el puntolaMsuperfil
Si BM
/tf-6,
calcule
elen
área.de
C) 673
D) 873
E) 672
lateral de dicha pirámide.
11.
A) >44
0) 120>/2
B) 125
C) 140
Las aristas de una pirámide regular cuadrangular toman valores enteros y la suma
120
de las longitudes de todas sus aristas es
E)
16 cm. Si la altura de la pirámide es mayor
Se tiene una pirámide hexagonal regular
p.ABCDEF, a la que se le traza la altura PH.
frPHse ubica el punto /?, tal que la distan­
cia de R hacia el centro de la base y hacia
el vértice de la base son 15 y 25, respectiva­
mente. Calcule el área de la base.
A) 600J3
B) 600
D) 600^2
C) 200
E) 36 73
8. En una pirámide regular P-ABC se traza la
altura PH, con diámetro HC, luego se cons­
truye una semicircunferencia que interseca
a PC en el punto T. Si PT=5 y BC = &j3,
calcule el volumen de dicha pirámide.
A) 3>/ÍÓ
B) 4>/Í0
que 2 cm, calcule el área de la base de di­
cha pirámide.
A) 4 cm2
B) 5 cm2
D) 3cm2
C) I cm2
E) 2cm2
12. Se tienen dos pirámides regulares cuadran­
glares donde la arista básica de una y la
arista lateral de la otra miden 4 u; además,
la arista lateral de la primera y la arista bási­
ca de la segunda miden 3 u. Calcule la razón
de sus volúmenes.
«i® ». f
9^46
C) 27
32
D) 27VÍ5
E) 27x/5
9. En una pirámide regular P-ABC, el área de
la superficie lateral es §, la distancia del
centro de la base hacia una cara lateral es d.
Calcule el volumen de la pirámide.
0)
13. En el cono de revolución mostrado, el triánguio MR1 es equilátero. Si AR=7 y MIS,
calcule su volumen.
A) 12573n
C)
B) 27T3n
§d
« T
C) 5673n
Las aristas de una pirámide triangular
lar miden 6 y 4. Calcule el menor vo u
de dicha pirámide.
D) 4073n
500^3 r
E)
3
/?/
\
/Va
aT'
/i (----------v»
K r
M
yD
Lumbreras Editores
14. En el cono de revolución mostrado, AN=5
y 71=16. Calcule el área de la superficie
lateral.
A) A
27
A) l¿ov*
-it
2
B) 54-/¡0n
C) 60>/Í0n
B) A
27
D) A
C) A
54
E) A
20
20
E)
D) 100>/5it
17. En un cono de revolución, la distancia del
15. El sector circular sombreado es el desarrollo
de la superficie lateral de un cono de revo­
lución. Si O/?=6y RA=3, calcule el volumen
del cono correspondiente.
centro de la base a una generatriz es la mi­
tad de la distancia a un punto de la circun­
ferencia que limita su base. Calcule la razón
entre las áreas de las sección axial y la su­
perficie total.
A) 43
B) 2-43
E) 3-J3
D) 2
NIVEL INTERMEDIO
A)
B) !8>/2n
C) 9j2n
18. El área de la sección axial es numéricantfn
te igual al volumen de un cono de revolé
ción. Calcule el radio de su base.
D)
E) 10>/3n
16. Del gráfico, A/=2(/S). Calcule la razón de vo­
lúmenes entre el cono de revolución parcial
determinado y el cilindro de revolución.
«l
D) í
5
B) n
En el hexaedro regular ABCD-EFGH mos.
21. En un tetraedro regular P-ABC, M es punto
19. irado, las circunferencias mostradas están
medio de AP. Si Afl=2, calcule el volumen
de un cono de base circular, cuya base está
inscritas. Calcule la razón de volúmenes de
inscrita en la región triangular MBC y su
vértice es P.
los conos.
C)
8)
A)
3
2
2
D) |(2_J3)
E)
.>
ó
22. En una pirámide regular cuadrangular
V-ABCD, AB=S y AV=8. Calcule la distan­
cia del baricentro de la caraXVfí a la base.
A) 7
B) 6-4-72
C)
B)
3
C) 2--J2
2
E) T
20. Del gráfico, el volumen del cilindro de revo
lución es 16n. Calcule la suma de volóme
nes de los conos mostrados si CM=MD.
D) Éü
3
23. Del gráfico se muestra una pirámide regu­
lar V-ABCDEF, en la que CL=LD, FS=SE=2,
O es centro de la base y VO=3. Calcule la
distancia de V a LS.
Lumbreras Editores
24. Del gráfico se muestra una pirámide regu­
lar P-ABCDEF, en la que O es centro de la
base, EF=3 y la suma de las longitudes de
las aristas laterales es 30. Calcule la longitud
de la proyección ortogonal de PO sobre una
arista lateral.
27. En una pirámide V-ABCD, en la que W es
perpendicular a la base, ABCD es un rectán­
gulo, AD=2, DC=4 y AV=6. Calcule el área
de la superficie lateral.
25. En una pirámide V-ABC, VA es perpendicular
A) 16 + 4710 + 3713
a la cara ABC, AB=BC=AC=2 y el área de
la cara VCB es 2. Calcule el volumen de la
pirámide.
B) 16+4710+713
C) 2(10 + 2710 + 713)
D) 2(8 + 2710 + 713)
E) 2(9+2710 + 713)
D) T
E) —
4
26. Se muestran dos pirámides V-ABCD y L-ABD
donde ABCD es un trapecio isósceles y
28. En un cono circular recto, el área
superficie lateral es el triple del área
la base, y el área de la sección a.
872 cm2. Calcule el área de la «'í
*
lateral del cono.
BC
2 =“2~ = DC. Calcule la razón de volúme­
nes de las pirámides mencionadas.
A) 4n
D) lOn
B) 6n
0 3*
E) I2’
En un cono de revolución, la medida del án­
gulo de desarrollo de la superficie lateral es
120“ y el área de la superficie lateral es 27n
B) 8j3n
D) 9^
Se muestra un cono de revolución, en
el que G es baricentro de la región AVB.
. Calcule la razón de volúmenes del cono y
del cilindro circular.
Calcule el volumen del cono.
A) 9^3n
32.
g ifin
E) 9R
X. Se muestra un cono de revolución Si
^^y'a distancia del punto medio
de OS haca EB en 2 cm, calcule la longitud
de la generatriz del cono.
33. Se muestra un cono equilátero, en el que
AS=SL=4. Calcule la longitud del mínimo
recorrido de SEK.
31. En un paralelepípedo rectangular
ABCD-EFGH se encuentra un cono de revo­
lución, cuya base está inscrita en la región .
triangular EFH y su vértice está en la base
ASCO, EF=6, EH=8 y AE=EG. Calcule el volumen del cono.
A) 2/5 + 72
B) 2^4 + 272
A) lOn
C) 273 + 272
B)
C)
3
3
0) 12n
E)
13n
D) 3^5+2^
E) 2^5 + 272
.. Esfera y teorema de
” Pappus-Guldin
Capítulo XVI
Objetivos
• Reconocer la esfera y su superficie esférica para determinar el volumen y el área de
dicha superficie.
•
Calcular el área de una superficie de revolución y el volumen de un sólido de
revolución.
-;.
® Superficie esférica
Es la que se genera cuando una semicircunfe­
rencia gira alrededor de la recta que contiene
al diámetro.
Ahe: área del huso esférico
Esfera
Es la que se genera cuando un semicírculo g|ra
alrededor de la recta que contiene al diámdro
O: centro de la superficie esférica
Ase: área de la superficie esférica
O: centro de la esfera
VE: volumen de la esfera
Capítulo XVI: Esfera v
y teorema de Pappus-Guldin
círculo menor
De una región plana
círculo máximo
A=nr2]
Cuña esférica
Región hexagonal regular
C: centroide
® Superficie de revolución
Es aquella superficie que se genera por la ro­
tación de una línea abierta o cerrada que gira
alrededor de una recta coplanar.
Sea a < 360°
VCE: volumen de la cuña esférica
—Centroide o centro geométrico
De una línea plana
línea abierta
parle de una superficie
de revolución
Segmento
linca cerrada
Triángulo equilátero
parte de una superficie
de revolución
Lumbreras Editores
TEOREMA DE PAPPUS-GULDtN RESPECTO A LA
SUPERFICIE DE REVOLUCIÓN
Dadas una recta y una línea plana no secantes,
contenidas en un plano, al hacer gtrar la línea
plana a dicha recta (denominada eje de gtro),
genera una superficie de revolución, cuya área
región plana
se calcula multiplicando la longitud de la linea
y la longitud de la circunferencia descrita por el
centroide de dicha línea.
Teorema de Pappus-Guldin respecto al
SÓLIDO DE REVOLUCIÓN
Dadas una recta, y una región plana no secantes,
contenidas en un plano, al hacer girar la región
plana a dicha recta (denominada eje de giro), se
genera un sólido de revolución, cuyo volumen
se calcula multiplicando el área de la región y
la longitud de la circunferencia descrita por el
porción de la superficie
de revolución
centroide de dicha región.
<2
ASup g: área de la superficie generada
0: longitud de la línea plana
x: distancia del centroide de la línea al eje de
giro (30
•í Sólido de revolución
r
eje de giro
>
l-jcentroide
porción del sólido
de revolución
Es aquel sólido que se genera por la rotación de
una región plana que gira alrededor de una rec­
ta coplanar.
VSÓJ q: volumen del sólido generado
^mas Resueltos
Problema N.° 1
& d gráfico, todos los triángulos son eouiH,
r0, Los pequeños tienen lados de lonsih á
Si lomamos como eje de revolución H
entonces el volumen del sólido genera/^’3
0 por el
triángulo sombreado es
4
Problema N.° 2
En una esfera de radio R se inscribe un cono de
altura h* y base de radio r. La relación entre r, h
yR es
UNMSM 1994
UNMSM 1995
Resolución
a
____
\
/
\ i
Nos piden el volumen del sólido generado ¡
región AfNP:Vx
Aplicamos el teorema de Pappus-Guldin
Vx=2nxA
G)
Nos piden la relación entre r, /? y R.
^.OSB: por teorema de Pitágoras
2
(distancia del centroide G de la región triang
R2=(h-R)2+r
a la recta Z)
/?2=/r+/?2-2///?+r
A _ o2V3 (área de la región triangular AfNR)
4
r2+!r=2Rh
Lumbreras Editores
Problema N.° 3
En un estuche cilindrico se guardan tres pelotas
de radior=l que encajan exactamente. ¿Cuál es
el volumen del aire dentro del estuche y circun­
dante a las pelotas?
UNMSM 2004-1
Resolución
Nos piden el volumen del aire circundante a las
pelotas (esferas) dentro del cilindro:
Nos piden el volumen de agua que aún queda
Se puede plantear
Se puede notar del gráfico que
en el recipiente cónico: Vx.
= ^cono ~ Í^semiesíera + ^esfera j
Vx=Vcl|-3Vcsf.
\
vx=Ml)2(6)-3[y(D3)
Vx=6n-4n
radio 12
®
radio 3/
L. OPO) es notable de 37° y 53°
Vx=2n
->
OjP=12
L OTS es notable de 37° y 53°
Problema N.° 4
En un recipiente cónico (circular recto) lleno de
agua, se introducen una esfera de radio 3 m y
otra de diámetro 24 m quedando exactamente
la mitad de esta fuera del cono. Las esferas son
tangentes entre sí y quedan ajustadas a la su­
perficie lateral del cono. Calcule el volumen de
->
05=5x3=15
Ahora en (I)
Vx=1t(15)2x^-(fn(12)J4
* (3)S)
agua que aún queda en el recipiente.
UNMSM 2002
••
Vt=3l2n
Capítulo XVI: Esfera y teorema de Pappus-Guldin
?-3’-J.. • 7^ 'r r
Nos piden Vesfera: (V).
problema N.° 5
P, el gráfico, halle el volumen de la esfera si el
....men del cubo es 216(75 + 1) cm3.
4 3
V = 3’r
L PQL\ notable de 53°/2 y 127°/2
PQ=2(QL)
UNMSM 2004
*11
Del dato
Vcub0 = 216(75+ 1)3 = P
.
Resolución
-> f= 6(75 + 1)
Luego igualando
C:r(75 + 1) = 6(75 + 1)
Ahora reemplazando en (1)
V = |n63
3
V=288n cm3
-» r=6
Problemas Propuestos
A) 18n
NIVEL BÁSICO
B) 12n
C) 24n
E) 36ti
D) 27ti
Del gráfico. A.W=,WO, el área del semicírculo
1.
de radio r es 6n. Calcule el área de la super­
4.
ficie total de la semiesfera.
Del gráfico, las superficies esféricas son
tangentes entre sí y tangentes al cilindro de
revolución. Si 5(473=4(77?), calcule la razón
de áreas de las superficies esféricas.
A) 32n
B) 18n
E) 36rt
D) 48n
2.
C) 24n
Una superficie esférica está inscrita en un
cono equilátero. Calcule la razón entre el
área de la superficie lateral de dicho cono y
el área de la superficie esférica.
A) 1/2
D) 1/2
3.
B) 3/2
C) 2
E) 2/3
C) 1/8
E) 2/9
D) 1/4
5.
A) 1
B) 1/16
Del gráfico, la esfera está inscrita_en el cono
de revolución y es tangente a VS. Si ZS=1.
calcule el área de la superficie esférica.
Del gráfico, la mAB = 90°, AB 1MÑ, el volu­
men del cono circular, cuyo vértice es A, es
igual a I8n. Calcule el área de la superficie
esférica correspondiente a la semiesfera.
A) 25n
D) 24rt
B) 9n
C) 12”
E) 36n
ut.www.'K,’-QFWBaíto *v • -¿r?..
Una esfera es tangente a una región cua­
drada ABCD en su centro_O. En Ja esfera
se traza el diámetro OP, y PD interseca a la
superficie
esférica
en el punto
E. Si AD=6
PE=3,
calcule
el volumen
de dicha
esfera. ?
A) 6>/2>r
B) 9V3n
D)9^«
9.
Del gráfico, la región determinada por la in­
tersección entre las dos esferas tiene como
área igual a 3n. Calcule el volumen de una
de las esferas.
c) 3^
E) 2VÍ5„
Las esferas mostradas son tangentes, tal
como se ven en el gráfico, y el cono es equi­
látero. Entonces la relación entre sus volú­
menes son como
A) 3:8:18
B) 2:8:25
C) 8:27:125
D) 4:108:243
E) 2:50:150
*>?
B) 27n
D) 25n
E) 64n
10. En una pirámide regular triangular A-BCD
se inscribe una esfera. Si AC=CD=3V3,
calcule el volumen de dicha esfera.
A) 9J3
B) 2773
miesfera. Indique la razón que hay entre sus
volúmenes.
C) 975/8
E) 972/4
D) 3710
El cilindro equilátero está inscrito en la se-
C) 6n
11. El área de la superficie generada por el
cuadrado ABCD, al girar en torno a JZ', es
6n veces el área de la región cuadrada que
limita ABCD. Calcule x.
A) 30°
D) 31°
B) 45°
C) 37°
E) 53°
Lumbreras Editores
12. Del gráfico, 4fí=2(7M)=4. Calcule el área
de la superficie generada por el arco BFA
14. Se tiene el triángulo equilátero ABC. Por e¡
vértice C se traza la recta í' la cual es co-
planar al plano que «rntiene al triángulo y
al girar en torno a TM. (T es punto de tan­
es perpendicular a AC. Calcule la razón de
gencia).
las áreas de las superficies generadas por
el triángulo ABC al girar en torno a 2 y AC.
A) 76
B) 2s/3
C) 3
E) 73
D)
15. Del gráfico, AB=3t BC=4, además los sóli­
dos de revolución generados por las regio­
nes triangulares, al girar en tomo a
tie­
A) 16t?
D) 18t?
B) 24r?
C) 127?
nen igual volumen. Calcule CH.
E) 33t?
13. Del gráfico, ATLN es un cuadrado,
SAf=/Z=/E=l,2(MÑ)=5(J/?)=10.
Calcule la razón entre las áreas de las
superficies generadas por el triángulo MRI
al girar en torno a AN y AJ.
*’ 8/3
b> isís
m
S IM
D) 9/2
1R
o
r- n
Una re8¡ón trapecial isósceles
AM=A/?=4 y
Se traza 7, la cuate
*
Perpendicular a AR y contiene a /. Calcule
el volumen del sólido generado por la re
8ton trapecial al girar en torno a 7.
A) 96s/3n
D) I25n
B) 25n
C) 36"
E) «•>’
Capítulo XVI: Esfera y teorema de Pappus-Guldin
17. De^gráfico, 4 es punto de tangencia
NIVEL INTERMEDIO
01^=45° y r=v3. Calcule el volumen del
sólido de revolución generado por la región
19. Se tiene un cilindro equilátero y una su­
perficie esférica. La superficie lateral del
cilindro y la superficie esférica son equi­
valentes, y el volumen del cilindro es 54tl
Calcule el área de la superficie esférica.
sombreada al girar en torno a
A) 30n
D) 40n
B) 32n
C) 36tt
F1
20. Del gráfico mostrado, T es punto de tan­
gencia, TM=2(MS)=4, S es punto de la su­
perficie esférica. Calcule el área de dicha
superficie.
A) 271?
D) l^it2
E) 9j3n2
18. Del gráfico, K4=AT y L es punto de tangen­
cia. Calcule la razón de volúmenes de los
sólidos generados por las regiones som­
breadas al girar en torno a NT.
A) 30rc
D) 36n
B) 32n
C) 34ti
E) 39ti
21. Se muestra un prisma regular, en el que L
pertenece a la base, y la superficie esféri­
ca es tangente a las caras laterales y a una
base, además 2(¿K)=3(OK). Si el volumen
del prisma es 84J3, calcule el área de la su­
perficie esférica.
A) lOn
B) 12n
C) 14ti
D) 16n
E) I8n
Lumbreras Editores
22. Se tiene un cono equilátero y una esfera
que son equivalentes. Calcule ( —) si /? es
25. Se muestra un cono equilátero cuyo v
men es 9x/3rc. Calcule el volumen dp i °U
. e
c seiniesfera.
radio de la esfera y r es radio de la base
A) 144n
del cono.
A) 1/2
B) 121n
<3
B) —
V3
C) —
C) 1287c
D) 132n
E) 136ti
E) Y
D) 1/3
23. Se muestra una esfera inscrita es una semiesfera, además, OS=S¿=4 cm. Calcule
el volumen de dicha esfera.
26. Del gráfico se muestra la cuarta parte de
una esfera, en la cual está inscrito un cono
circular. Si O es punto de tangencia, calcu­
le la razón de volúmenes de los dos sólidos.
A) 2
B) 1
C) 3
D) 4
E) 6
A) 32n/3
D) 36n
B) 18n
C) 24n
E) 42ti
24. Del gráfico se muestra un cono de revolu­
ción y una semiesfera que son equivalentes.
27. Se muestra un cilindro circular, cuyo volu­
men es 1 6tc, en que la proyección ortogonal
de L sobre el círculo máximo es 0. Calcule
el área de la superficie de la semiesfera.
Si el área de la superficie lateral del cono es
4n>/5, calcule el volumen de la semiesfera.
A) 5n
B) 8n
C) 12n
D) 9n
E) 16n/3
A) 48n
D) 32n
B) 28n
C) a0"
E) 36»
Capítulo XVI: Esfera y teorema de Pappus-Guldin
4
28-
I gráfico se muestra que e) ■//, es tante en L y 5 a dos esferas tangentes enR 9
lre sí Si - = 4 yla Proyección ortogonal de
sobre el aH mide 12 cm, calcule el
¿rca de la superficie esférica menor.
A) 24
D) 24n
B) 12n
C) 16n
E) 30n
31. Del gráfico, PQLH y MNLS son cuadrados.
¿C=9. Calcule el área de la superfi­
cie generada por el cuadrado menor cuan­
do gira una revolución alrededor de 2T si
LS=2(CK).
A) 108n
D) 16n
B) 144n
C) lOOn
E) 64n
29.
la superficie generada por AB, cuando gira
alrededor de X, con la longitud de AB son
numéricamente iguales. Calcule el área de
A) 239,2n
D) 249,4n
la superficie generada.
B) 256,2n
C) 259,2n
E) 229,2n
32. Del gráfico, AB=2(A¿) y la semicircunferen­
cia mide 6n. Calcule el área de la superficie
que genera la semicircunferencia^cuando
gira una revolución alrededor de S’.
A) 96n2
A) 1
°) 5/n
B) 5
C) 5n
E) 1/n
B) 84n2
C) 72n2
D) 144n2
Sráfico mostrado, el área del sector
eircular LOB es n y MNL = 90°. Calcule el
8rea de la superficie generada por la linca
MNLs cuando gira alrededor de AB ■
E) 180rt2
i-- Geometría analítica escalar
■
Capítulo XV||
Objetivos
Definir el plano cartesiano, y en él ubicar y representar un punto a través de 1
coordenadas cartesianas.
’
s
Estudiar los métodos básicos para hallar las coordenadas de un punto seoún
características.
8 n sus
Encontrar la representación de la recta a través de una ecuación lineal utilizando
ello los elementos que la definen.
® Definición
Es la combinación de la geometría con el álgebra
Gráficamente
que se encarga de estudiar las figuras en un
sistema por ejemplo en un plano cartesiano.
® Recta numérica real
Es aquella recta en que a cada punto se le asigna
un número del conjunto de los números reales.
A) punto que se le asigna el número cero se le
conoce como origen, y los números asignados
a dichos puntos en la recta se llaman coordenadas.
La recta horizontal es llamada eje de las X
o ejes de las abscisas y la recta vertical es llama­
da eje de las Y o ejes de las ordenadas.
Gráficamente
ación del punto en el plano cartesiano
{ origen de coordenadas
-4 -3 -2
-1
hacia la izquierda están
los números negativos
^ordenadas de un punto
-i----- 1------- 1-
0
1
2
3
hacia la derecha están
los números positivos
Plano cartesiano
Es el plano determinado por dos rectas numéri­
cas secantes y perpendiculares entre sí.
Por convención, una de ellas es horizontal y, por
ende, la otra será vertical.
204
P nto en el plano cartesiano se representa
«ante dos números reales: el primero es el
d d
*
rePresente Ia proyección ortogonal
gu JCÍ1° PUnt° en eíe de ,as abscisas y el
o es el número que representa la pro)#'
ortogonal de dicho punto en el eje de
ordenadas.
Par ordenado son las coordenadas del
Punto.
Capítulo XVII: Geometna analítica escalar
r
LL
b/ 3........ :p
l-jciseI e*e
|___ proyección ortogonal
hacia el eje X
Entonces
P=(o;W
AP
a
=
donde
o es la abscisa de P y
AP = at>PB = bt
Se cumple que P(xp',y¿
b es la ordenada de P.
Donde
Coordenadas de puntos especiales
a.
Punto medio de un segmento
Las coordenadas del punto medio de un
segmento se calculan promediando, res­
pectivamente, las coordenadas de sus ex­
tremos.
En el gráfico mostrado, M es el punto medio
del segmento PQ.
c.
Baricentro de la región triangular
La abscisa y la ordenada del baricentro de
una región triangular se calculan prome­
diando, respectivamente, las abscisas y las
ordenadas de los vórtices de dicha región
triangular.
Sea G el baricentro de la región triangular
b-
Un punto ubicado en un segmento, dada
la razón en que lo divide
Se cumple que G=(x;y).
Cuando se pide las coordenadas de un punió
f’que pertenece al segmento AB debemos
Donde
conocer las coordenadas de A, B y la razón
AP a
BP^b'
Inclinación de una recta en el plano
cartesiano
• Las coordenadas del origen es (0; 0).
• Los puntos del eje de las abscisas tienen
coordenadas (x; 0).
• Los puntos del eje de las ordenadas lie- ’
I
La inclinación de una recta es el ángulo que fOr.
ma con el eje de las abscisas y se mide a partir
del eje X en sentido antihorario.
nen coordenadas (0; y).
® Cálculo de la distancia entre dos
puntos
Es la raíz cuadrada de la suma de los cuadra­
dos de las diferencias, tanto de las abscisas
como de las ordenadas de dos puntos.
la
a: medida del ángulo de inclinación de
laS2
Pendiente de una recta
La pendiente de una recta es la tangente de su
ángulo de inclinación.
Del gráfico anterior:
Del triángulo rectángulo PSQ
Pendiente de ^r.
1 m—
m^r=tanp j
<0
Como p > 90° ->
• La recta
En la geometría analítica, la recta se representa
a través de una ecuación lineal de dos variables,
r
Ax+By+C=Q
Donde x e y representan la abscisa y la ordena­
da, respectivamente, de cada punto de la recta.
Una recta queda definida en el plano cartesia­
no si se conoce un punto de ella y su ángulo de
inclinación.
Pendiente de
2
m—
-^2
m$r=tana j
Como a < 90° ->
>0
-* 2
, SS Nota ------------------------ -------------- • Las rectas horizontales tienen un»
inclinación de 0o y su pendiente es
cero.
• Las rectas verticales tienen Una indi
nación de 90° y no poseen pendie^J
C«"'"«"tQeom.MamteaeKaKr
s paralelas y perpendiculares
ReCta rectas tienen el mismo ángulo de incliS' d°.S .. no son verticales, se puede decir que
nación y,,v
* en la misma pendiente.
Si
S™1DE “ PENDIENTE DE UNA
CUANDO
SE CONOCEN LAS COORDENADAS DE DOS PUNTOS
continuación indicaremos cómo se calcula la
P^'^te de la recta que contiene a los puntos
^i.yi)yQ(x2;y2),
entonces
En el caso de que dos rectas sean perpendicula­
res (ninguna de ellas es vertical), se cumple que
Del triángulo rectángulo PSQ
el producto de sus pendientes es -1.
x2-xj
Ecuación de la recta
A la ecuación lineal de dos variables, que se in­
dicó al inicio de este tema, se le conoce como
ecuación general de la recta.
>lA+¿3y+C=oj
-L #2« entonces
Dependiendo de los valores que toman A y H,
Ja recta adopta cierta posición en el plano car­
rn
*77? y?
I
2
s,. ......______
? .i Nota____ ____________ _
tesiano.
_
■» ■
'
anterior se cumple si my o my son
frente., de cero.
Nota
-
Si el ángulo de inclinación es diferente
de 0“ y 90” se tendrá que (A)(tt) * 0-
\
Como sabemos, la recta queda definida en el
plano cartesiano con su ángulo de inclinación
y un punto de ella. Pero por las características
que tiene la pendiente, esta última es la que
permitirá hallar la ecuación general de la recta.
Ecuación pendiente-ordenada desde el orlgen
c¡ se conoce la pendiente de una recta y su
denada desde el origen, se podrá hallar su ecua.
ción.
En los siguientes tres casos se muestran ecua­
ciones que darán la forma adecuada para con­
seguir la ecuación general.
Ecuación punto-pendiente
Si se conocen las coordenadas de un punto de
una recta y su pendiente, se puede hallar su
ecuación.
m=tanp: pendiente de &
Hallemos la ecuación punto-pendiente de la
recta «5?.
y-yo="’(x-xo)
Comoy0=b y xo=O -> y-b=m(x-0)
Operando tenemos
Se sabe que m = y
x-x0
->
y=mx+b
I
y-y0=m(x-x0)
Esta es la ecuación de la recta
Esta es la ecuación de la recta en la forma pen­
diente-ordenada desde el origen.
en la forma
punto-pendiente, en que al punto P=(x; y) se le
conoce como punto genérico de la recta.
:L Nota---------------------------------------- x
Si la recta pasa por el al origen de coorde­
nadas, entonces la ordenada (ó) es cero.
Por lo tanto, la ecuación quedaría así:
Capítulo XVII: Geometría analítica escalar
ue el origen
i-pación con coordenadas desde
oí
Nota -- --------------------------------------------------------- x
,
I
Si
se conoce
la el
abscisa
desde
el 0 ’
ordenada
desde
origen de
una rect
Y ,a
,Se Podrá
hallarsu ecuación.
De la ecuación de la recta, en su forma general
Ax+By+C=0.
I
Si despejamos la variable y, tendríamos la
ecuación en su forma pendiente-ordenada al
origen.
9
y=(4H4)
De donde se deduce que la pendiente de la
A
K
recta es —z Y b
Rectas paralelas a los ejes de coordenadas
Recta paralela al eje de las abscisas
Ecuación de
Observamos
P(0;b)eS y Q(q;0)g5
r
Seam la pendiente de .2?. Se sabe que
n
(0;b)
b-0= b • •
0-a
a
n
X
Hallemos la ecuación pendiente-ordenada desde
Recta paralela al eje de las ordenadas
el origen de la recta
Ecuación de .JZ7:
y-y^m^x-x^
b
Comoy0=b,x0=0 y m = -~
[
^reemplazar y-b= --(x-0).
o
Operando tenemos
■■
-
*+£=l
a
b
___________
es la ecuación de la recta %• en la forma
°°rdenadas desde el origen.
¿ NoTA
Ecuaciones de los ejes de coordenadas:
EjcX:y=0
Eje l':x=0
V___________________________ _>
Problemas Resueltos
¿r -■
** •
Trazamos BH1AO
Problema N.° 1
Según el gráfico, calcule la suma de las coorde­
Como/IO=HO
nadas del vértice B si el triángulo ABO es equi-
->
látero.
En el ^.BHO: notable de 30° y 60°
BO=4
HO = ^- -> WO = 1 = 2
-> HO=-=2
2
2
BH = ^U3) -4 BH = Í^ = 2V3
Como B está en el segundo cuadrante
B = (-2; 2j3)
a=-2
b = 2\Í3
a + ó = 2(73-1)
Resolución
Problema N.° 2
Los puntos 4 (-3; 2) y B (1; 6) son los extremos
del segmento AB. Halle la ecuación de la media­
triz de AB.
UNMSM 2007-1
Resolución
Nos piden a+b.
Donde fi=(O; ¿j)
Dato: AAfiO es equilátero
A=(-4; 0)
Nos piden la ecuación de
Capítulo XVII: Geometría analítica escalar
t Dato: y es mediatriz de AB
Nos piden 2Aa.
[
a*(-3:2)
Donde 1Aa es el área de la región triangular de­
f
MI; 6)
terminada por
$2 Y e' e¡e
í Sea Pe#
#f. 3x-4y+6=0
I por teorema de la mediatriz en Afi
S2: 3x+y-9=0
ap=pb
Graficamos
y%
por teorema de la distancia
f^3))2+(y-2)2=J(x-D2+(y-6)2
Para
(x+3)2+(y-2)2=(x-i)2+(y-6)2
x
y
0
3/2
-2
0
—> C==(-2; 0)
/+6x+9+/z-4y+4=x2--2x+l+/y2-12y+36
Para
6x-4y+13=-2x-12y+37
8x-8y-24=0
x
y
0
9
3
0
-> B=(3;0)
?:x-y-3=0
Ubicación de A
(Igualamos las ecuaciones de las rectas)
Problema N.° 3
Calcule el área de la región triangular de­
terminada por las rectas
3x-4y+6=0,
3x+y-9=0 y el eje X.
3x-4y+6=3x+y-9=0
5y=15
-*
y=3
UNMSM 2007-11
Ahora se reemplaza en la ecuación de
Resolución
-» x=2
Por lo cual A=(2; 3)
Aplicando la fórmula básica
2Aa_<^
2
Ahora tabulamos para poder graficar la $
Problema N.° 4
Halle la ecuación de la mediatriz del segmen­
to determinado por la intersección de la recta
X
y
0
6
2x+y-6=0 con los ejes coordenados.
3
0
UNMSM 2010-1
-» A=(0; 6) y B=(3;0)
A continuación ubicamos el punto genérico?
de M.
P=(x\y)
Por teorema de la mediatriz en AB
PA=PB
Por teorema de la distancia
7<x-0)2+(y-6)2 =7(x-3)2+(y-0f
Elevando al cuadrado
Nos piden la ecuación de M.
.X+ y^-12y+ 36 = x^-6x+9 +y2
Dato: M es mediatriz deAB.
-12y+36=-6x+9 -> 6x-12y+27=0
S?:2x+y-6=0
M: 2x - 4y + 9 = 0
Problemas Propuestos
Del gráfico, /V=(-5; 0) y NY=YL. Halle las
coordenadas de P.
A) (1;3)
5. Del gráfico, T es punto de tangencia,
A=(-3; -1) y T=(—6; 0). Halle las coordena­
das de O.
B) (2; 3)
C) (1;2)
E) (2; 4)
D) 0/2; 2)
Del gráfico, ABCO es un cuadrado, (D-a=45°
y Q=(9; 3). Calcule la distancia entre los ba­
ricentros de las regiones triangulares som­
breadas.
8.
A) (-6;-5)
B) (-6;-4)
C) (-6;-3)
A) 5V5
D) (-6;-3,5)
rt
P
.
D
D
B) VÍO
E) (-6;-2)
C) 275
Q
D) 572
8- Del gráfico se tiene el rombo ARON, tal que
a/
___ ~
E) 3>/5
O
A=(39; 27); /?=(5A; n) y /V=(8fe; «). Calcule
.c
X
el área de la región sombreada.
9.
Del gráfico, K=(5; 0), 0JV=8 y M=7. Halle
las coordenadas del incentro del triángulo
NOK.
B) (2;^)
C) (3;V3)
A) 375
D) 125
D) (5; 2)
B) 224
C) 450
E) 150
E) (5; 75)
10. Sean las coordenadas de
4=(1.„) y B=(3nJ). Luego se ubica el pun­
to medio M de AB y O es el origen de co­
ordenadas. Si la pendiente de O.W es 0,75,
calcule la pendiente de AB.
11. Del gráfico, el trapecio IRAS es isósceles,
A)i
C)
Ñ=(4; 6) y S=(14; 0). Si AM=MS, calcule la
D)_|
pendiente de <2?.
14. Del gráfico,
E) -
6), C=(3; 6) y D=(7; 6).
Si CDEM es un paralelogramo, halle la pen­
diente de 1WC.
A) 1/3
B) 1/2
D) 1/4
C) 1/5
p'i o/7
12. Sean las coordenadas de4=(0; r), D=(b; 0)
y «=({; 0), tal que 23(¿>)= 10(0; (b > 0). Si
unacircunferencia de centro / es tangente
a AD en su punto medio N y tangente al
eje de las abscisas en el punto R, calcule la
pendiente de DI.
A) 3/4
B) 1/2
D) 1/4
C) 1/3
E) 3/2
13. Del gráfico, O y c son los
centros de los
cuadrados NATL y VLYD.
c=(-5; fe), calcule la pendiente de
?
214
A) 4
4
B) 4
c) 4
•E) 4
15. En un triángulo ABC, A=(l; 2), y las
trices de AB y BC, que son perpendic^
se intersecan en M=(6; 2). Si B (Oi30
o > 0, halle la pendiente de AfB.
A) 2
D) -2/3
B) -1
C)
E) &
Capitulo XVII: Geometría analítica escalar
gráfico, la circunferencia de centro M
A) x+6y+20=0
16. está inscrita en el triángulo OBC y P=(0; 8).
B) x+7y+23=0
Halle la ecuación de PT.
C) x+8y+21=0
D) 2x+7y+23=0
Y
E) x+5y+20=0
19. Del gráfico, T es punto de tangencia, ZJ=JY
y A^=(3; t). Halle la ecuación de ZN.
A) x+y-8=0
B) x+y-4=0
C) x+2y-3=0
D) x+3y-6=0
E) x+2y-12=0
17. En el plano cartesiano se tienen los puntos
4=(-4; 0),D=(0¡ 8) y/?=(6; 0). Por el punto
R se traza la recta 27?, la cual es perpendicu­
lar a AD e interseca al eje de las ordenadas
A) x-3y=0
C) 2x-V3y = 0
B) x-2y=0
D) x-j3y=0
E) x-4y=0
en /. Halle las coordenadas del punto de in­
tersección de las mediatrices de IR y AD.
A)(2;|)
°) (4; 3)
B) (3;|)
C) (3; 2)
20. Del gráfico, se tiene el hexágono regular
M.ARISB, en que A=(-6; /) yAE=ER. Halle la
ecuación de 7.
E) (3; 1)
18- Del gráfico, D={-4; 2), A=(4; 6), 40=2(0/)
yS(OD)=2(OV). Halle la ecuación de !/'.
A) x->/3y+4 = 0
B) 2x-V3y+2 = 0
C) 2x-v3y + 8 = 0
D) x-3y+4=0
E) .v-s/3)+6 = 0
NIVEL INTERMEDIO
A)
21. Se tiene el paralelogramo ABCD, cuyos vertices son 4(3; 0), B(1; 4), C(-3; 2) y D(a, />).
Calcule el área de la regiónjnangular ALD si
se sabe que L pertenece a BC.
26.
A) 8
D) 15
B) 10
C) 20
E) 12
22. Dadas las rectas
x + 3y + 8 = 0 y
2x+(y-8 = 0, halle C para que
perpendicular a
A) -2
D) -2/3
B) 2/3
Del gráfico, 40=8 y 4S=20. Calcule tana.
sea
C) -1
E) 1
23. Una recta es paralela a otra recta que tiene
por ecuación 5x+8y=12 y dista V89 unida­
des del origen. Halle la ecuación de dicha
recta.
A) 5x+8y-98=0
B) 5x+8y-78=0
C) 5x-8y-89=0
A)Ú
D) i
27. Dados los puntos £(2o; a) y S(-2a-l; 2a+2),
tal que la suma de la abscisa de L y de la
ordenada de S es 10. Halle la distancia entre
D) 8x+5y-89=0
E) 5x+8y-89=0
Ay B.
24. ¿Qué tipo de triángulo es aquel cuyos vérti­
ces son 4(4; -3), B(3; 0) y C(0; 1)?
A) triángulo equilátero
B) triángulo escaleno
C) triángulo rectángulo
D) triángulo isósceles
E) triángulo acutángulo
28
i
v®rt’ces de un triángulo son A=(I<X
~W; 2) y C=(-2; 6). Halle la longitud deb
ase media respecto al ladoBCdel triángulo
.1
4BC.
Halle el punto simétrico A’, del
A) 2713
respecto de 5: 2x+y-12=0. punto 4(3; 2),
D) i/Í5
1
B) 713
•
O 4
0 3jj
Pe! gráfico. OK=2 y la suma de las coor29-
penadas
dp P es 10. Calcule la pendiente
de?-
B) W
C) 7/3
D) 5/3
E) 3/2
30. Del gráfico, el área de la región cuadrada
ABCO es 100 u2, mKA = 37° y S es centro
deABCO. Halle la pendiente de <£.
D)
E)
• 32. Halle la distancia del punto (0; -1) a otro
punto sobre el eje K, que sea equidistante
de (4;-1) y (3;-5).
A)l
D)¡
B) —
8
C)^
E) 3
33. Calcule la medida del ángulo entre
9\: 4x-3y-12 = 0 y #>: x-3y + 6 = 0
A) 31,5°
B) 32,5°
D) 36,5°
31- Del gráfico, mK£ = 30° y CL=NK=2. Halle
las coordenadas de£.
C) 34,5°
E) 22,5°
34. Halle la ecuación de la recta que pasa por
4(4; 4/3) y Por ,a intersección de las rectas
3x-4y-2=0 y 9x-lly-6=0.
A) 6x-15y-2=0
B) 3x-15y-4=0
C) 3x-15y-8=0
D) 6x-15y-4=0
E) 6x-15y-8=0
Circunferencia y parábola
&
------------------------------ ------------------------ --------------------------------------------Capítulo XVlii
,r»- f ■ ■ yj'"
■ • •.
. .
Objetivos
• Estudiar la circunferencia y la parábola en el plano cartesiano.
•
,
Reconocer las propiedades de la circunferencia y la parábola para plantear sus ecua
*
ciones respectivas.
ES
•3 La circunferencia
nota
La ecuación de la ^es
\_
Del gráfico,
es una circunferencia de radio r,
C es el centro de
cuya coordenada es
(/?; ¿) y P es un punto cualquiera de
cuya
coordenada es (x; y).
Del gráfico, al aplicar la distancia entre dos
puntos
Ahora elevando al cuadrado y ordenando
A'a ecuación anteriorsele denomina
ordinaria.
ecuación
8 La parábola
En un plano, si ubicamos el punto fijo F y luego
trazamos una recta fija «S?, entonces los puntos en
dicho plano, que se encuentran igualmente d|S
tanciados del punto F y de la recta
formarán
rin £• recta fija y
parábola
f punto fijo, J' v C: puntos de la con foco F y directriz á?.
’
.
Cf=CC'.
Ce focal: recta que pasajror el foco F y es per­
pendicular a la directriz Sf.
p: parámetro (es un escalar)
f|/=VS: módulo del parámetro
CÓ: cuerda focal
Parábola cuando el eje focal es paralelo
AL EJE y O ES EL EJE/
gráfico F(h; k+p): foco de la parábola
recto: LR=4P
Com° se cumple PF=PQ
^-^Ay-(^p))2=y-(k-p)
^0 al cuadrado
M)2+(y_(
*
+p))2=(y_(*
_ p))2
U~^a(y-(
*-P))
2-(y-(ft+P»2
Aplicando la identidad de Legendre
Parábola cuando el eje focal es paralelo
AL EJE X O ES EL EJE X
En el gráfico F(h+p-t k): foco de la parábola
(y-Zr)2=4p(x-h)
Ecuación ordinaria
Vértice V(h; /?)
p <0
Nota
Lado recto: LR=4p
Como se cumple PF=PQ
x-(h-p) = ^(x-(h + p))2 + (y-k)2
Elevando al cuadrado
(x-(h-p))2 = (x-(/i+p))2 + (y_fe)2
(x-Or-p))2-^-^))2^-^
• •
’z
|
Aplicando la identidad de Legendre
Ecuación ordinaria
Vértice V(/r;/¡)
•
y2=«px
\
|
p<0
La parábola se abre
hacia la izquierda.
p>0
A
220
Problemas Resueltos
i
Resolución
problema N.° 1
parábola es
tiene
un foco
n»directriz
la recta
S!- en el punto
„ F(
w, >' 2)
pación.
°e»erm¡ne
'
Y
-J\>\
UNMSM 1996
•
' X.
\
•
z
\
\
ozl... \
Resolución
(2; 4):
r=4;
5
)
X6;b)
H2;0) )
~x
(x-2)2+(y-4)2 =42
Nos piden la ecuación de «2?.
De la ecuación de la circunferencia
se tiene
que las coordenadas de O son (2; 4) y radio r=4.
(2; a): este punto e ^y la distancia de L y Tal eje
Y es igual al doble de la distancia de O al eje K
Nos piden la ecuación de la parábola
(x-/?)2=4p(y-Z?)
->
í/=0 a o=8, pero por dato u > 0
—>
cr=8
(I)
Del gráfico 2 |p|=4 -> |p|=-2
(6; b): este punto e Z'y la abscisa S es 6, y como
r=4 -> OS//ejeX(m<¿SO=45°)
P < 0 (abierta hacia abajo)
De lo cual p=-2
Ahora calculamos la pendiente de
.Z: m.j = tan!35°=-l
V(-l;4)
Por ecuación punto-pendiente
Reemplazamos en 0)
y-8=-l(x-2)
(x+tf=4(-2)(y-4)
x+y-lO=O
¿+2x+8y-3l=0
Problema N.° 3
tierna H? 2
,
Me la ecuación de la recta Que
e interseca
en
i ton la circunferencia (x-2) + >
q
1 Apunte te a) y (6; b), donde a > wMSM2005-«
Resolución
Nos piden la ecuación de la parábola ^2.
De la ecuación de
x2-16x-8y+32=0, le da­
mos la forma ordinaria (x-4)2=8(y-2) -> p=2
y el vértice V| es (4; 2).
Nos piden la ecuación de la parábola •f’.
Con estos elementos podemos decir que la pa­
rábola 1 se abre hacia arriba.
Como por dato L y S trisecan a BA
F|=(4; 4) es el vértice de ^2
•
V2=F| y p=2 (dato)
-»
(y-4)2=4(2)(x-4)
(y~4)2=8(x-4)
es decir, AL=LS=SB=2.
Como O es el foco de la parábola ./ y sus coor
denadas son (3; 3)
se sabe que 4p=2 —> p=
por lo cual las coordenadas de V: V^3;
Problema N.° 4
(x-/i)2=4p(y-tí
Del gráfico, L y S trisecan a BA y el radio de
es 3. Halle la ecuación de la parábola J». (O es
el foco de .>
*).
(x-3)2=2(y-5)
ias Propuestos
NIVEL BÁSICO
Halle el área de la región triangular cuyos
vértices son el centro de «?, e| simétrico de
dicho
centro respecto
al 2eje
Y y ,_
e]4=0
orine
de coordenadas
(«’: x2+y
_2x+4>
^en
A) 0,5
D) 2
B) 1
C) 1,5
E) 2’5
A) x2+y2-12x-8y+48=0
Del gráfico, T es punto de tangencia, AB=6
B) x2+y2-8x-12y+48=0
OtL=2(AO) y OT=LO\. Halle la ecuación de
C) x2+y2-12x-6y+42=0
la circunferencia.
D) x2+y2-12x-8y+42=0
E) x2+y2-12x-8y+52=0
5.
Halle la ecuación de la circunferencia que
pasa por 4(0; -3), por el simétrico de A res­
pecto al eje X, y que su centro se encuentra
a 4 unidades del origen de coordenadas.
A) x2+y2-6x-8=0
B) x2+y2-8x-9=0
A) x2+y2-10x-8y+16=0
C) x2+y2-8x-12=0
B) x2+y2-4x-5y+9=0
D) x2+y2-8x-10=0
C) x2+y2-8x-10y+18=0
E) x2+y2-6x-9=0
D) x2+y2-6x-5y+!5=0
E) x2+y2-8x-10y+16=0
3.
Halle la ecuación de la circunferencia que
pasa por los puntos A(2; 1), B(-2\ 3) y tiene
su centro sobre el eje X.
A) x2+y2+2x-10=0
B) x2+y2+2x-9=0
C) x2+y2+4x-9=0
0) x2+y2+x-8=0
E) x2+y2+2x-8®0
Del gráfico, KS=8 y SO= 10. Halle la ecua­
ción de la circunferencia.
6. Del gráfico, mSK = 30°. Halle la ecuación de
la circunferencia si L es punto de tangencia.
Del gráfico, N.P, L, S, K y D son pontos de
7.
tangencia, mPK = !20u y el radio mayor
mide 6. Halle la ecuación de la circunferen­
C) (.v-3)2+(y-l)
*=2
O) (.v-3)2+(y-D2»3
E) (x-3)2+O'-')2=>/5
cia menor.
10. Dada la ecuación de la parábola
.v2-8.v+8y=0, halle la suma de la abscisa;
la ordenada del vórtice de dicha parábola.
A) 5
D) 7
B) 6
C)4
E) 8
11. Halle la ecuación de la parábola de directriz
x=-6 y de foco (2; 0).
A) x2+y2-6>/3x-4y+48 = 0
B) x2 + y2-8>/3x-4y+ 52 = 0
C) x2+y2-8>/3x-4y+ 48 = 0
D) x2 + y2-6>/3x-4y + 46 = 0
E) x2+y2-875x-4y+42 = 0
8.
Halle la ecuación de la circunferencia que
pasa por el punto (0; -3), cuyo radio es V5
y cuyo centro está en la bisectriz del tercer
cuadrante.
A) y2-24x+124=0
B) y2-12x+72=0
C) y2-24x+144=0
D) y2-16x-32=0
E) y2-12x+144=0
12. Del gráfico, V es el vértice de P y el centro de
ALSO, además el área de la región cuadranguiar ALSO es 8 u2. Halle la ecuación de la
parábola
si el eje X es la directriz.
A) (x+2)2+(y+2)2=5
B) (x-l)2+(y-l)2=S
C) (x+3)2+(y+3)2=5
D) (x+4)2+(y+4)2=5
E) (x+2)2+(y-2)2=5
9. Halle la ecuación de la circunferencia que
tiene el centro en el punto A(3; 1) y es tangente a la recta x-2y=0.
A) (x-3)2+(y-l)2=i/4
B) Cx-3)2+(y-l)2=l/5
A) x2+4x-4y+8=0
B) x2+4x-4y-8=0
C) x2+4x-8y-12=0
D) x2+4x-2y-6=0
E) x2+4x-4y=0
Capítulo XVIII: Circunferencia y parábola
I gráfico, F y O son el foco y el vértice
A’O = 4^6 y el área de la
13. de la parábola
•ón M’OF es 20^6. Halle la ecuación de
16. Del graneo, F y V son el foco y el vértice de
la parábola .f’, 50=4 y ¿0=3. Halle la ecua­
ción de y.
la parábola #
Y
A) 4x+3y-5=0
A) /+12x=0
B) 4x+3y+5=0
C) 4x+3y-37=0
B) y
*+l6x=0
C) /+24x=0
D) 4x+3y-7=0
D) y2+8x=0
E) 4x+3y-12=0
E) y
*+32x=0
17. Se tiene una parábola y2-16x=0 y una recta
14. Halle la ecuación de la directriz de la pará­
bola y2 - 6y - &v +17 = 0.
A) x+2=0
D) x-l=0 ’
B) x+3=0
C) x+l=0
E) x-2=0
x+y-5=0. Calcule la cuerda determinada
por la recta en la parábola.
A) 24J2
D) 18>/2
B) 20x/2
C) 20
E) 16>/2
15. Halle la ecuación de la recta que pasa por
uno de los puntos comunes entre
y
y Que es perpendicular a la cuerda común;
además
es x2-2y=0 y
esy2-2x=0.
A) x-y-2=0
B) A+y-2=0
C) x+y+4=o
b) A +y=o
x+y-4=0
18. Halle la ecuación de la parábola, cuyo eje es
paralelo al eje Y, de vértice en el eje X y que
pasa por los puntos A(l¡ 25/8) y B(8; 1/2).
A) x2-12x-8y+30=0
B) x2-12x-8y+36=0
C) x2-12x-8y+32=0
D) .v2+12a-8y+36=0
E) x2-12x+8y+36=0
22. Del gráfico, N, A, T y L son puntos <je t
gencia, y RT = 4 + 2^2. Halle la ecuación^
NIVEL INTERMEDIO
19. Una circunferencia tiene su centro en el eje
de abscisas, y contiene al origen de coorde­
nadas y al punto (-1; 5). Halle la ecuación
la circunferencia de mayor radio.
de dicha circunferencia.
A) (x+12)2+y2=144
B) (x-13)2+y2=l69
C) (x+5)2+y2=25
D) (x+13)2+y2=169
E) x2+(y+13)2=169
20. Sea una circunferencia, cuyo diámetro se
ubica en uno de los ejes de coordenadas, y
que contiene a los puntos (-18; 0) y (32; 0).
Calcule la suma de la abscisa y ordenada
de su centro más el radio de dicha circun­
ferencia.
A) 24
D)
B) 32
18
C) 25
E) 50
A)
B)
(x + 4^)2 +(y + 4x/2)2 =32
(x + 2^)2 + (y+2V2)2 =8
C) (x+2)2+(y+2)2=4
D) (x+4)2+(y+4)2=16
E) (x+6)2+(y+6)2=36
23. Halle el área de un círculo cuya circunfe­
21. Del gráfico, B=(0; 1) y M7- = V34. Halle la
ecuación de 1?. (T es punto de tangencia).
rencia correspondiente tiene por ecuación
x2+y2+8x-10y-4=0.
B) 45tc
A) 36n
D) 64n
C) 25rt
E) 16n
-
24. Sean
y
dos circunferencias concén­
tricas. Si el punto A4(2; -2) pertenece a
esx2+y2+Gx-4y+Zf=0, halle la ecuación
X
A) (x-2)2+(y-5)2=20
B) (x+3)2+(y-6)2=16
C) (x-3)2+(y-6)2=25
0) (x-2)2+(y_6)2=29
E) (x-3)2+(y_5)2_25
de
A) x2+y2+6x-4y-24=0
B) x2+y2+6x-4y-10=0
C) x2+y2+6x-4y+24=0
D) x2+y2+6x-4y-28=0
E) x2+y2+6x-4y+10=0
Capítulo XVIII: Circunferencia y parábola
25.
Halle el radio de una circunferencia que
pasa p°r
los puntos (-2; 7), (-4; 3) y (-8; 5).
29. La ecuación de una parábola es
x2-10x-12y-23=0.
Halle la distancia del foco a la directriz.
A) JÍÓ
B) 4
D) 5
C) 9
E) 2
A) 3
D) 2
B) G
C) 5
E) 4
25. Una circunferencia contiene al origen de
coordenadas y su diámetro está contenido
en la S5, cuya pendiente es 0,75. Si las dis­
tancias del origen hacia dicha recta es 4 8
halle la ecuación de dicha circunferencia
30. En una parábola ¿P, el eje Y es la directriz y
su vértice V se ubica en el semieje positivo
de las abscisas. Si la distancia de un punto
Q al vértice y al foco es 6, halle las coorde­
nadas de Q.
A) (x+4)2+(y+3)2=25
B) (x+2)2+(y-l)2=5
C) (x-1)2+(y)2=l
D) (x+4)2+(y-3)2=25
E) (x-4)2+(y-3)2=5
A) (6,6)
D) (4; 4)
B) (6; 4x/2)
•’
C) (3; 3)
E) (6; 3)
31. La ecuación de la parábola í? es x2 =9y y la
ecuación de Si es x-7y+4=0. Calcule a.
27. Halle las coordenadas del centro de una
circunferencia que contiene a los puntos
(_4; _4) y (0; -2) y que dicho centro
pertenece a la recta cuya ecuación es
x-y=0.
A) (-2;-2)
B) (-1;-1)
C) (-4/3;-4/3)
D) (-5/3;-5/3)
E) (-7/3;-7/3)
28. Halle la ecuación de una parábola cuyo vér­
tice es el punto V(-2; 4), su eje es la recta
y=4 y contiene al origen de coordenadas.
A) (x+2)2=-(y-4)
3) (y+2)2=4(x-2)
C) (y+4)2=8(x+2)
(y~4)2=8(x+2)
E) (y-4)2=8(x-2)
A) 30°
D) 3772
B) 15°
C) 5372
E) 4572
32. Una parábola
tiene su vértice V en el
semieje negativo del eje de ordenadas. Ade­
más ./‘contiene a A(-3; 0) y su simétrico
respecto del origen de coordenadas. Halle
la ecuación de ./'si W4 =5.
A) (y+4)2=-jx
B) y2=16x
C) x2 = |(y+4)
E) x2 = |(y-4)
D) O'-4)2=y.v
227
Bibliografía
I
✓
ASOCIACIÓN FONDO DE INVESTIGADORES Y EDITORES. Geometría: una visión de la planimetría
Lima: Lumbreras Editores, 2005.
y
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ASOCIACIÓN FONDO DE INVESTIGADORES Y EDITORES. Solucionarlo Admisión UNMSM 2000-2010-L
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ASOCIACIÓN FONDO DE INVESTIGADORES Y EDITORES. Solucionado Admisión UNMSM 2000-2010-1.
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X
REY PASTOR, Julio y Pedro PUIG ADAM. Elementos de geometría. En colección elemental intuitiva.
Vol. 2. Madrid, 1931.
z
RIBNIKOV, K. Historia de las matemáticas. Moscú: Editorial Mir, 1991.
Z
THOMPSON. James. Geometría. En colección matemáticas al alcance de todos. México: Editorial
Hispanoamericana, 1967.
TRIGONOMETRÍA
Javier Revatta Romero / Alder Casio Romero
Sistemas de medición angular,
longitud de un arco de circunferencia y
¿rea de la región de un sector circular
.——
Capítulo I
Objetivos
: .
Transformar la medida de un ángulo trigonométrico en los diversos sistemas de me­
dición angular.
•
Reconocer, determinar y calcular la longitud de un arco de circunferencia, así como
el área de la región de un sector circular.
•¿Ángulo trigonométrico
i Nota -------------------------------------------
Es aquel ángulo que se genera por la rotación de
un rajo alrededor de un punto fijo llamado vértice
(la rotación se realiza en un mismo plano). Si la
rotación se realiza en sentido antihorario, el án­
gulo generado se considera positivo; en cambio,
si la rotación se realiza en sentido horario, el án­
gulo generado se considera negativo. El ángulo
trigonométrico puede tomar cualquier valor.
I. Cuando a un ángulo trigonométrico se
le invierte su sentido, su signo cambia.
II. Para sumar ángulos trigonométricos
en un gráfico, estos deben tener el mis­
mo sentido.
0: ángulo positivo
o: ángulo negativo
Lumbreras Editores
Equivalencias
Sistema centesimal o francés
Su unidad angular es el grado centesimal o gradián (ls), el cual es equivalente a la 400.a parte
del ángulo de una vuelta.
18
0+0 = 90°
® Sistema de medidas angulares
m<lv = 4008
400
Subunidades
•
Minuto centesimal (lm)
•
Segundo centesimal (l55)
Ángulo de una vuelta
Se genera por la rotación completa de un rayo,
es decir, su posición final coincide con su posi­
ción inicial por primera vez.
Equivalencias
■
——
l8=100m
e?----------- .
18=10 000s
1 V
Sistema sexagesimal o inglés
Su unidad angular es el grado sexagesimal (Io),
el cual es equivalente a la 360.a parte del ángulo
de una vuelta.
/.¿a Observación_______________
I
♦
A°B'C'' <>
B <fi0 A C<60
4sfltnc’<>4g+gm + c$
^^S<l00 A C < 100
■
I
STEMa radial O circular (internacional)
Subunidades
•
•
Minuto sexagesimal (V)
Segundo sexagesimal (V’)
“
nidad
angufar
ánoii|
C1,án
rad) se defíne como la medlda(Íj
ÍQini ° Ceníra* Que subtiende un arco de Ion#
8Ua,al Modela circunferencia.
I: Sistemas de medición angular, longitud de un arco de circunferencia...
1 ’r ■
• /
>•';
L'-. —•*.z.S iiSlIrtiv
Ejemplos
n rad 200g
20 n rad
a = l rad
r Observación
Relación numérica entre sistemas
---------------- x
1
Consideramos un ángulo trigonométrico positivo
tal como se muestra en el gráfico
. n-3,1416-y->/3+>/2
- 1 rad -57° 17'45”
\________________________ /
Ejemplo
84° 45'36” o 4o
84°+45'+36" <> 4o*
84°+45*
donde
S: número de grados sexagesimales
C: número de grados centesimales
R: número de radianes
Lumbreras Editores
Ejemplos
Ejemplos
I.
Siendo AOB sector circular
Si 5 = 36 -4 C=?
•
S’ C
- = — _> C = 40
9 10
Si R = í -» S = ?
4
•
R=
•
= í _> n = 5 -4 S = 45
20 4
Si 2S + C=14
/? = ?
2(9n) + lOn = 14
(=--(3m) -4 í=nm
3
Cálculo de la longitud de un arco de
circunferencia
Se establece que la longitud del arco AB se
calcula mediante la fórmula
15u=(l,5)-r -> r=10u
Cálculo del área de la región de un
sector circular
Deí gráfico que se muestra, AOB es un sector
c,rcular, donde el área de dicho sector se denotó
t=Or
Por§.
donde 0 < 0 £ 2n
además
(: longitud del arco AB
0: número de radianes del ángulo central AOB
r. longitud del radio de la circunferencia
r<
Capitulo I: Sistemas de medición angular, longitud de un arco de circunferencia...
■'
calcula por las siguientes fórmulas
S: área del O AOB
(1)
¿onde (0 < 0 - 2n)
pe(l)se deduce también que
£26
s<t Cálculo del área de un trapecio
circular
Observación - ---------—----------
En (I) si hacemos e=2n tenemos que
el área del círculo es nr2.
-----------------------------------------------
Se llama trapecio circular aquella región circu­
lar formada por la diferencia de dos sectores cir­
culares concéntricos.
Ejemplos
1. Siendo AOB sector circular
§: área del OAOB
g_(l)(4u)2
2
§=8u2
Siendo AOB sector circular
Ar: área del trapecio circular
Problemas Resueltos
Problema
N.°los
1 números que indican la medida
Sean R.CyS
de un iíngulo positivo en los sistemas conocidos,
calcule la medida de dicho ángulo si a y 0 son
complementarios.
2R2¿ ______
.
y 0 =----+
n ' 4
RC R2
a = —+ —
4
R
H
UNMSM 2011-n
Resolución
Resolución
Recordemos
Del gráfico, nos piden la longitud que recorre la
nk2
L
8
2nk2
9nk2
- -1-------------
400
400
49
10
-> k-= 7
K
80 "2
Por lo tanto, el ángulo mide — rad.
Problema N.° 2
El gráfico muestra una esferita de acero sus­
pendida por la cuerda flexible QH. Se impulsa
la esferita en el sentido indicado de tal forma
que manteniéndose siempre tensa la cuerda, la
esferita llega a MN. Calcule la longitud recorrida
por la esferita si Af/V=/VP=PQ=9 cm.
7n+2n+n=10n.
■K g0-' ■
'
■
Capítulo I: Sistemas de —
6 medlció" angU|ar,
■
problema N.° 3
rea de un sector circular cuyo ángulo central
U . 72° es de 45n cm2. Se sabe que si duplica­
dos el radio de dicho sector y disminuimos a
adianes a su ángulo central, el área del nuevo
seclor disminuirá en 1/3. ¿Cuál es el valor de a?
Problema N.° 4
En el gráfico, el área del sector circular AOT es
igual al área del
-1 sector circular MOB.
SiOA = —,
halle la medida del ángulo BOT.
2
UNFV 2011-1
Resolución
Sea el sector circular de ángulo central 72° y
área 45rc cm2.
cm2
Se cumple
2
= 45n cm2
ri = 15cm
Duplicando su radio 2r, y reduciendo el ángulo
central en u rad, su área disminuirá en 1/3.
Nos piden m-xfl07=a rad.
Dato 2A^ 407 = /A
04 = “
m<flOr=a; m<40r=p
De (I) tenemos
0(D2
a(2)2
2
.
,
Sabemos (p+u) rad=7t rad=180°
(4u+a) rad=180°
a rad=36°
Problemas Propuestos
4.
NIVEL BÁSICO
1,
Calcule el valor de la expresión
(0,5)«5m , (0,6)'6"
5m
6"
’
Del gráfico, calcule el valor de x.
A) 1,1
B) 11
E) 96
D) 30
5.
C) 18
Calcule el valor de la expresión
l558+3¡órad
A) 9
D) 12
2.
B) 10
y
C) 11
E) 13
2o
A) 4
B) 5
D) 7
Del gráfico, determine el valor de b.
6.
C) 6
E) 8
Si (x+16)° o (x+74)s, determine el valor
dex.
A) 450
B) 500
D) 506
7.
C) 252
E) 666
Siendo S y C lo convencional para un mismo
ángulo, calcule
5S2+45C
3SC-C2 '
A) -42
D) -45
3.
B) -43
C) -44
E) -41
A) 3
D) 5
B) 3,5
C) 4
E) 4.5
Determine el equivalente en grados, minutos
y segundos sexagesimales de la expresión
8.
Determine el número de grados sew8e5t
males que cumple
ÍSC +
A) 5°42'30"
8) 5°32'30"
C) 23° 54’
O) 5o 24'21"
E) 5°42'3”
t ÍCR =1
V360 \20rc V8n
siendo S, C y R lo conocido para un n
ángulo.
A) 9
D) 1/2
B) 10
C) 12
E) 5
•
-i *
.
•
Capítulo I: Sistemas de medición angular, lonqitud de
un arco de circunferencia...
f
5( C y /? los números de grados sexa9- Sien^a|ps centesimales y radianes de un
gesimaies. v
ángulo que cumplen la igualdad
13. Calcule el valor de la expresión
Qsgm b°b'
on,os +7rtF
*
,0o4--=1.calcule 20/?1799+j c R'
B) —
90
*>í¡
C)
E)
D) 45
A) 160
D) 162
n
B) 13 600
C) 2
E) 161
9
71
14. Si 3840m o a°b'c'\ determine el valor de
18
a-b+c.
A) 30
D) 36
10 Si 52+C2+2SC=25, calcule S-C, siendo 5 y
Clos números de grados sexagesimal y cen­
B) 32
C) 27
E) 39
tesimal de un mismo ángulo.
A) -25
«-I
C)
E)
15. Si a°b' o — rad,
72
determine el ángulo b°(ab+l)’.
19
......................................
D) -5
9
25
A) 30° 1‘
D) 30° 59’
B) 31° T
C) 29° 59'
E) 31°
16. Se crea un nuevo sistema de medición an­
gular, cuya unidad de medida es el grado
A,( Ia). Si se sabe que 3a equivale a la quin­
ceava parte de un ángulo — rad,
exprese Ia en minutos sexagesimales.
1
1
A) 110’
D) 145'
A) —
61
B)J —
58
o
I <>a°6'c",
s(l)
c^Icule el valor de a • b-c.
A) 36
9) 0
6[
B) -40
C) 130'
E) 120'
60
59
E)
60
D)2É
59
12.
C)
B) 115’
17
Determine el número de radianes de un án­
gulo si se sabe que su número de segundos
sexagesimales excede en 4800 a 30 veces su
número de minutos centesimales.
n
A> 5
n
18. Siendo S y C conocidos para un mismo an/z_, cJC-S) í íñ\
guio, tal que cumple
,
determine el número de minutos centesi­
males del ángulo.
A) 250
D) 900
B) 5000
calcule su número de radianes.
20. Siendo S el número de grados sexagesima­
les de un determinado ángulo, que cumple
vS-2,
determine la medida de dicho ángulo en
radianes.
D)J 137 rad
C)
E)
21. Del gráfico, determine la relación
entre a y b.
io^+io8*
- 1
O
A
B
B) 80°
C) 74°
E) 70°
23. Un ángulo es expresado como a8 <>ó°c';
a, byce Z o- Si b-c=3 y a-b=5, determine
el ángulo en radianes.
D) —
10
B) § rad
e,4
“> 4
A) 81°
D) 72°
b>4
A) 20 rad
C) -Ü
*
9
22. Calcule el mayor valor que toma el ángulo9
en el siguiente gráfico.
C) 550
E) 400
19. Siendo S y C los números de grados sexa­
gesimales y centesimales de un mismo án­
gulo que cumplen
C°+10S8=n rad+2°,
«5
B,s
5n
rad
18
8n
15
rad
n
A> SO “d
.
. 1ln
.
B> 33 ”d
TAA 5071
1
D)
racl
23
1111 u
c) Ñrad
E) %d
24. Convierta
p° ( 9' '
V9g ' 9m rad al sistema sexagesimal.
9002
AA 1600°
A) -------n
7n
o«
W 3ir
1600°
® 5T
D)^
que existe
Calcule la suma de los ángulos exp
* 6
n n n
n
~ + —t- — + — +..
3 6 12 24
A) — rad
3
D) ~ rad
240
B) 2n rad
0 3"
*
- .... "
-
~ '
•' '
• * •
Capitulo I: Sistemas de medición angular, longitud de
*4A»«
un arco de circunferencia...
-•
s¡endo5yfl,0 convencional para un mismo
¿guio que cumple
>/2,
A) 70,5
B) 71,5
D) 71
C) 72
E) 72,5
30. Los números que expresan las medidas de
un ángulo en los sistemas sexagesimal y
determine el valor de S.
centesimal cumplen
S=3a-4b y C=2"2b+3°.
C) 40
B) 50
A) 60
D) 30
Determine la menor medida del ángulo en
radianes.
E) 20
27. El número de grados sexagesimales que
mide un ángulo más el número de grados
centesimales que mide otro ángulo es 194
Calcule la medida del menor ángulo en ra­
dianes si se sabe que son suplementarios.
B) yj rad
A) | rad
3n
D) — rad
D
C) £ rad
£)
7n
rad
28. Siendo S el número de grados sexagesimales
y C el número de grados centesimales de un
mismo ángulo, calcule el menor valor que
asume
B) ¿ rad
¿rad
I| +n rad.
B) 60°
C) 61°
E) 63°
29. Siendo 5 y C los números de grados sexa
Resimales y centesimales de un mismo án
Rulo que cumple
<>2C,
determine el número de minutos cent
males de dicho ángulo.
C) ¿ rad
E)irad
31. Determine la longitud de arco de un sector
circular si su ángulo central mide 22° 30’ y
tiene un radio de 56 u.
22
Considere n = —.
7
A) 11 u
D) 14 u
B) 20 u
32. Del gráfico, calcule
o
A) 59°
D) 62°
A) T5 rad
C) 22 u
E) 77 u
35. I >d gráfico, determine el valor que iOrna (J
33. I)cl gráfico, AOH y CHD son sectores drcuLiles. Indique la relación enhe las loiigllud<
*s
de los arcos AH y C¿) cuando Oí’ •(’//.
36. El parabrisas de un automóvil tiene una
longitud de 30 u y barre un ángulo de 120°.
Calcule el área de la superficie limpiada por
el parabrisas.
A)
lOOnu2
D) 400nu2
B) 200nu2
C) 300n u2
E) SOOnu2
37. Calcule el área de la región sombreada.
Capítulo l: Sistemas de medición angular, longitud d^
9 ud de un arco de circunferencia...
.
,
A<AO8
IXlS^o. c^ule —
NIVEL INTERMEDIO
41. Del gráfico, determine el valor de x si AOB
es un sector circular.
C) 0,3
E) 0,5
39. Del gráfico, determine el área de la región
sombreada. (n=3,l).
A)
1
D) 4
42. Del gráfico, 3(OA)=4(Afi)=6(fíC).
A) 62u2
C) 15,5 u2
D) 27,9 u2
E) 34,1 u2
Calcule
+ £2
Z.3-2ÍY
Peí gryico, determine el valor de
representa el área).
C) 16
E) 7
D
43. Indique la longitud de la trayectoria descrita
por la esfera de radio despreciable hasta im-
Determine el valor aproximado del
tro de la región sombreada.
pactar en la superficie CD.
. E) 13n u
44. Del gráfico, se cumple que
•
A)
C)
2 )
\
+
27r
D) —u
25n
C) ----- u
2
d i
. 23rc
B) —u
00
A) 12nu
3(AO) = 2(Lgd) y 2(AS) = ¿~.
D)
Calcule el número de radianes del ángulo
AOD.
46. Del gráfico, B y D son puntos medios de los
segmentos OC y OE, respectivamente, además el área del sector circular EOF es 96 u.
Determine el valor del área del sector circu­
lar AOB.
A)
B)
C)
D)
E)
A) 3u2
D) 8u2
C)
E) 121,2
Capitulo I: Sistemas de medición angular, longitud
deun arco de circunferencia...
¡t•'
■■ * ■
I
•
49. ^Icule el áreade|areg.ónsombreada
II
A) 18 u2
D) 16 u2
32 u2
64 u2
A) 2>/2
50. Sea un sector circular de longitud de arco L,
B) 17
radio r, ángulo central 0 rad y área §. Calcule
el valor de 0 que verifique la igualdad
3Z?
---- + 4nr2 = 19§¡ 0 < 0 < 2n
C) Vs
D)
n
E)
A) y
B) n
C) y
48. Las áreas de los sectores circulares AOB y
COD son proporcionales a 2 y 5, respectiva­
E) |
D) 2n
mente. Calcule
51. Calcule el perímetro de la región sombreada
si m < 408=100°.
A> Vf>
|t) M
A) (n+DK
o
«4
b)
Vio
*
•
m
tt
I» (2k .
8) C2n+l)8
C) (n-2)R
E) l" + 2^
52. En el gráfico, se cumple 2(Afl)-3(CD)~6 y
B) J+V2-1
OC=‘I. Calcule la^relación entre las longi
des de los arcos D\ y AM.
M
E) j + V2 + l
A
c)l
55. En un sector circular de radio R y ángulo
central 20 rad, se inscribe un triángulo equi­
látero con un vértice en el punto medio del
arco. Determine el lado del triángulo.
A)
B)
53. Del gráfico,
Calcule r¡ +r2.
2R
v 3 + tan 0
2R
2>/3 + cot9
= 2 u, L~D - -1 u y L- = 8 u.
C)
2R
2xj'3 + tan 0
D)
2R
tanO-75
E)
2R
cot 0 + >/3
56. Determine la relación de las áreas represen­
tadas porSj y §2.
54. Si AOB es un cuadrante de radio 1 y MBO es
un sector circular, calcule el perimetro de la
región sombreada.
1
1
Caprtuto I: S'Sternas de medCiOn aiigulnr, long.tud
do un arco do circunferencia...
59. En un trapecio circular de perímetro 100 u.
calcule la longitud del lado igual de dicho
trapecio para que el área sea máxima.
A) 10 u
B) 20 u
C) 15 u
D) 25 u
E) 14 u
60. Del gráfico, calcule el área de la región
sombreada si AOB es un sector circular.
OM=O\Q y e = 7o
58. Del gráfico, determine la relación de §x; §j
y Sj- (§: representa el área de los sectores
circulares indicados).
A> SZ+S)=S2
®*a2(S|+S2)
. Razones trigonométricas
” de un ángulo agutí®
___________________________________________________ Capítulo II
Objetivos *
• Conocer los elementos del triángulo rectángulo para definir las razones trigonométricas
de un ángulo agudo.
•
Determinar los valores de las razones trigonométricas de los ángulos notables (30°;
45°; 60°; 37° y 53°) y aplicarlos a situaciones prácticas.
•
Resolver triángulos rectángulos relacionando las longitudes de dos lados de un triángulo
mediante una razón trigonométrica y aplicarlos a situaciones cotidianas.
® Triángulo rectángulo
lfn triángulo tal que uno de sus ángulos sea recto
(90°) se llama triángulo rectángulo. Recuerde
que el lado opuesto al ángulo recto se llama hipo­
tenusa y los lados restantes se llaman catetos.
•"¿Observación -------------
0o < 0 < 90° ; 0o < p < 90°
0 <a<c ; 0<b<c
k______________________ J
TEOREMA DE PlTÁGORAS
a2 + b 2 = c 2
® Definición de las razones
trigonométricas de un ángulo agudo
°:ca,c,° opuesto al ángulo Q
Llamamos razón trigonométrica de un < -
cateto adyacente al ángulo
c • hipotenusa
0; P: ángulos agudos
agudo a cualquiera de los cocientes
longitudes de dos de los lados del trians
tángulo que contiene a este ángulo
tos del gráfico anterior definimos lo
.
Capítulo II: Razonen tr¡r^
/
9 nométncas de un ángu|Q
cateto opuesto al <9 _ q
sen0'
hipotenusa
c
hipotenusa
cateto adyacente al <9
cOS0=
hipotenusa
b
c
cateto opuesto al <9
tan 9 ' cateto adyacente al <9
a
b
cateto adyacente al <9
001cateto opuesto al <9
b
sec8 =
Triángulo aproximado
hipotenusa
cateto adyacente al <9
b
A
hipotenusa
----------c
ese 9= ------------------------------—
cateto opuesto al <9 a
X
• Las razones trigonométricas de un án­
gulo agudo dependerán de la medida
de dicho ángulo y no de los lados del
triángulo rectángulo en el que se ubi­
quen.
• Conociendo el valor de la razón trigo­
nométrica de un ángulo agudo, es
posible calcular el valor de las demás
razones trigonométricas.
V
______ __ _________
, J
De los triángulos rectángulos anteriores se ob­
tiene:
<
30°
60°
37°
53°
45°
sen
1
2
73
4
5
72
2
3
5
a®
1
2
4
5
3
5
72
3
4
4
3
1
4
3
3
4
1
5
4
5
3
J2
5
3
5
4
RT
eos
tan
••Triángulos rectángulos notables
razones trigonométricas de ángulos notab,es se calculan a partir de los siguientes trián-
2
73
3
cot
3
2
2
Sulos rectángulos.
seo
2>/3
2
3
273
ese
2
3
Lumbreras Editores
3 Resolución de triángulos rectángulos
® Propiedades
Razones trigonométricas de ángulos
COMPLEMENTARIOS
Si 0 y P son ángulos agudos, tales que 0+p = 90°.
entonces se cumple
Cuando en un triángulo rectángulo se conoce
no de sus lados y uno de sus ángulos agudos,
osible determinar sus otros lados asi como
nmbién su otro ángulo agudo. Tenga presente
par i resolver un triángulo cualquiera es
necesario conocer sus tres lados y sus tresángulos.
Caso 1
Conocida la hipotenusa (a) y un ángulo agudo
(0), determine x e y del gráfico adjunto.
Ejemplos
•
sen40°=cos50°
•
tan25°=cot65°
•
sec42°=csc48°
•
cos(90°-0)=sen0
•
Si a: agudo y senl0°=cosa
-> 10°+a=90°
Del gráfico, por definición
•
x = cos0 -> x = acos6
—
a
•
y = sen0 -> x = asen6
—
/. a=80°
Razones trigonométricas recíprocas
Si 0 es un ángulo agudo, entonces se cumple
Ejemplos
Ejemplos
•
sen40°-csc40°=l
•
cos50°sec50°=l
•
tanlO°cotlO°=l
•
csc42°-sen42°=l
•
Si P: agudo y senp csc32°=1
->P=32°
10cos20°
agudo
Ejemplos
1.
Caso 2
Conocido un ángulo agudo (e) y su cateto adya­
cente (a), determine x e y del gráfico mostrado.
entonces
Del8ráfico, pOr definición
~=tan9
x = atañe
q-sece
y = asec0
Caso 3
Se incluye
Conocido un ángulo agudo (0) y su cateto
opuesto (a), determine xey del gráfico adjunto.
a
Dei gráfico, por definición
•
— = cotO —> x = acoto
a
•
— = cscO -> x = acscO
a
y
Área de una región triangular (§)
Ejemplos
1.
área de la región triangular
Del gráfico anterior, se cumple
entonces
Ejemplo
Del gráfico mostrado, determine el área de la
región sombreada.
2.
Resolución
§: área de la región triangular ABC
Por teoría se tiene’
§ = ^~-^sen60° -> § =
252
*
••
§=3 u2
Problemas Resueltos
Problema N.° 2
En el gráfico, ABCD es un paralelogramo, AB=b
y BC=a, calcule PQ.
UNMSM 2009-11
Resolución
Datos
Resolución
Nos piden PQ.
Datos:
•
BC=a
•
ABCD es un paralelogramo
En el triángulo ABC se traza CH1 AB
Por dato
2x/6
lan6 = —
HC = 2V6K y AH=5K
Porel teorema de Pitágoras, en el &AHC
l2V6K)2+(5/c)2 =]42 -> K = 2
Donde
tsBQC: BQ=asena
t±BHQ: HQ=asen¿a
fiw=l2-5K=2
Lu
8°. por el teorema de Pitágoras, en el &BHC
^PHQ: PQ=HQsecfi
_>
pQ=(nsen2«)sec0
(flC)2 = 2^(476)2
asen2a
fic=:10cm
COS0
Problema N.° 3
En el gráfico, se tiene el triángulo rectángulo
BAC que es recto en A. Si CQ=a cm, AB=b cm;
a
halle el valor de -.
b
Problema N.° 4
En el gráfico, el triángulo ABC es recién
recto en A, CP=2 cm, PB=3 cm. Halle lan«8Ul°
UNMSM 201b
Resolución
Resolución
Nos piden —.
Nos piden tana.
b
Datos
Del gráfico
De) gráfico
LC4B
MHP
*
tan 30o= 3^2
2 eos a
2^ = -tana
3
2
Problemas Propuestos
NIVEL BÁSICO
Siendo x e y ángulos agudos, tales que
5.
peí gráfico mostrado, calcule x+y.
, senx=cosy y tanxcoty-1=0, calcule
I sec(x + 15°) + tan2(15°+y).
•L •
A) 1
B) 2
C) 5
D) 4
6.
E) -3
Si P es un ángulo agudo y tanp =
.
B
calcule tan-.
2
O 19
B) 22
*>i
2
Si 6 es un ángulo agudo y sen0 = - calcule
o5
<5(sec0+tan0).
AÍ 5
E) 5
B) 4
D) 2
C) 3
7.
E) 1
8.
B) 5
Si 0 es un ángulo agudo y 3sen20-l=0,
calcule 4tan20+3cos20.
A) 1
O) 5
En un triángulo rectángulo ABC, recto en C,
calcule tanA+tanB si senA=2senfí.
A) |
C) ¿
Del gráfico dado, calcule 3csc0 si AM=MC.
0)372
B) 2>/3
C) 2
E) V¡3
9.
B) 3
C) 2
E)z 4
En un triángulo rectángulo ABC, recto
en B, calcule el valor de cscAcscC si
tanA+tanC=2.
A)' 2
D) 3
A) 4
12
B) 1
C) 1/2
E) 2/3
Del gráfico mostrado, calcule 7sen0 si AM=4.
A) 1
D) 4
B) 2
C) 3
E) 5
*' s •
• *• *
•
'•
•
‘
*. <s
1
Lumbreras Editores
y*'•<’/ •
f"Z.Y
13. En el gráfico, calcule el área de la reg¡ón
triangular.
10. Del gráfico, calcule BC
si 4C = (2 + 2V3)cm.
A)
B)
C)
D)
E)
A) 7J3 u2
4
11. Si ABCD es un cuadrado, calcule cotO.
5V3 2
O — ir
/
D) 2>/3 u2
E) 5>/3u2
14. Del gráfico, calcule BN en términos de 0 y/?.
«4
C) 2-J2
D)
E) J2
12. Del gráfico, calcule x en términos de 0, a
ym.
A) Z?(l+cosO)
B) /?sen0
C) W-COS0)
D) fl(l-senO)
E) /?(l+sen0)
15. Calcule el valor de la siguiente expresión.
r _ tan 45° sec 60°4-2 sen2 45°
4 tan 37° 4-5 sen 53°
A) rnsenOtana
B) msenOcota
C) mcosütana
D) mlanQcota
E) msenOcsca
A)
B)
C)
D)
E)
7
1/4
3/7
3/5
2
Capítulo II: Razones trigonométricas
? •’■ t ' • - ’
a?
de un ángulo agudo
■*
nel gráfico adjunto, calcule AB
^MC,BN=2y/VC=3.
16-
19. Si ABCD es un paralelogramo, halle CD en
términos de m, 6 y «.
A) 2
B) y
-<-S
:
C) VÍ3
E) 1
,
A) msenacscO
B) msenOcsca
C) mtanatanO
D) msenOcosa
E) msenOseca
20. Si 0 es un ángulo agudo y
cote = y, calcule tan ^45°j
17. Si el área de la región sombreada es §,
calcule a b en términos de § y a.
«5
®|
«5
■»!
°l
NIVEL INTERMEDIO
21. Del gráfico, calcule tan20+cot20.
A) Scosa
D) Scota
B) 2§cosa
C) 2§sena
E) 2§cola
Si 0 es un ángulo agudo y
,an0=2senl0°tan20otan70oscc80°,
calcule <5 (sen 9 + cosO).
A) 1
B) 2
0 3
0) 4
E) 5.
22. Si 0 v a son ángulos agudos, tales que
sen9 = - >' tanatanO-cosO==0,
3
calcule s/6Í(sena + cosa).
A) 9
D) 25
B) 11
C) 7
E) 13
257
23. En un triángulo rectángulo ABC, recto.en A,
si cscfí+tanC=2, calcule senC.
A) 1,25
D) 2,5
B) 3,75
•
c) 0,25
E) 1,5
27. Del gráfico dado, calcule
sen(e±a) + tan291anot
cosO
si Tes punto de tangencia.
24. Del gráfico mostrado, calcule tanO
si DC=2AD.
A) 1/2
D) 3
A) 3
D) 5/4
B) 2
C) 3/2
E) 2/3
B) 1
C) 2
E) 0
28. Si tan2x = 0,6 y x e <0°; 45°), calcule el va­
lor de 2cotx-3.
25. Según el gráfico, calcule tanatanO.
A) 75
B) 42
D) V13
O 43
E) 4Í
29. Del gráfico adjunto, calcule - en términos
A) 2 •
D) 4/3
B)’5/2
C) 3/2
E) 2/3
26. En el gráfico, calcule tanx+cotx.
A) sen3p
B) tan3p
C) senPcsc320
D) cos3pcscp
E) sen3Pcosp
«íes Trigonométricas de un ángulo agudo
CD=2, calcule tana en términos
32. Si ABCD es un cuadrado, calcule la distancia
de A al segmento CM en términos de e.
COS0
r *
A) senO+cosQ
B)
l+2sen0
A) tan8+l
D) cotO-2
2sen0
M l+2cos0
r
sene
l+2cos0
2cos0
l+2sen6
31. Calcule BD en términos de a, c y 0.
B) cotO+l
•
C) cotO-l
E) tanO-1
33. En un triángulo ABC, recto en C, se cumple
que 2cosA+cotfícosfi=4.
Calcule senfí+secA.
A) 3
B) 4
D) 6
C) 2
E) 8
34. Calcule el área de la región sombreada en
términos de m si AC=AD=2m.
A) aesenOcosO
8) QsenO+ccosO
Q------- ac
Qsen9 + ccos0
A) m2sen20°sec70°
B) m2sen20°
D) -___ Qc
csen9 + acos6
C) m2csc50°
D) rn2sen20ocsc250o
E) ___ a+c
csen0 + aCOS0 •
E) m2sen20°csc50ü
mmkikp
B) V2 + 1
35. El perímetro del cuadrilátero ABCD es 17.
Calcule í^.-2cos»
C) J2-1
E) 2>/2
sen0
si4fl=4;4D=3yDC=2.
38. Determine el valor de 4cota+7 si AB=BC,
>
AE = 1J2 yy DC = 6j2.
8V2.
A)
B)
C)
D)
36. Determine AB en términos de 0
si EC=ED=a.
A) 12
D) 22
39. En un triángulo isósceles se inscribe una cir­
cunferencia. Calcule su radio en términos
de my a, siendo m y 2a la longitud de su
lado y la medida de su ángulo desigual, res­
pectivamente.
A) 2asen0sen20
B) 2crsen0cos20
C) 2usen0tan20
A) meóla
B) miaña
D) 2asen0sen4O
C) mtan(45°-a)
E) 2asen0sec20
D) rn2tana
E) y tan (45°-a)
37. Del gráfico, calcule tanx si 4S=fic.
40. En Un cuadfado ABCD de área Pm2, se
cu ,StrU^G e* tr*^ ngulo equilátero AED en el
s<? inscribe una circunferencia. Calcule
rea del círculo en términos de P.
A) nP
nP
OT
nP
0 T
i;. Ángulos verticales
Capítulo III
Objetivos
.
Reconocer los elementos que definen un ánm.u
sión y un ángulo de observación.
•
Graíicar correctamente el enunciado dn un «am
gulos para luego plantear la solución empleando adecuadlmentír' “‘ad°S Y á"'
•
C ° evac,on» un ángulo de depre
métricas de un ángulo agudo.
£ Nociones previas
Línea visual
Es aquella línea recta imaginaria que une el
punto de observación con el objeto observado.
Línea horizontal
Es aquella línea recta imaginaria paralela al plano
horizontal.
CI e as raz°nes trígono-
Definición
Los ángulos verticales son aquellos ángulos
agudos contenidos en un plano vertical que es­
tán formados por dos líneas imaginarias llama­
das horizontal y visual.
Clasificación
Ángulo de elevación
Es el ángulo formado por la línea horizontal y la
línea visual cuando el objeto se encuentra por
encima de la línea horizontal.
Ejemplo
Una persona de 1 in de estatura observa la parte
superior de un árbol con un ángulo de elevación
Ejemplo
El piloto de un avión observa una carabela
un ángulo de depresión de 30°.
de 37°.
linca horizontal
a •
línea visual
Observación---------------------------------
:
El ángulo de observación es aquel formado ¡
por dos líneas visuales.
Ángulo de depresión
Es el ángulo formado por la línea horizontal y la
línea visual cuando el objeto se encuentra por
debajo de la línea horizontal.
linca horizontal
k
0- ángulo de observación (no necesariamente está en el plano vertical)
_________>
Nota --------- - -----------------------------
a: ángulo de depresión
El instrumento que nos ayuda a medir los
ángulos verticales es el teodolito, que es
importante en la industria de la construc-
Problemas Resueltos
problema N.° 1
Problema N.° 2
persona observa un poste con un ángulo de
elevación 0, si avanza 6 m hacia el poste su á
Un faro de 15 m de altura está en el borde de un
acantilado desde un punto del plano horizontal
que pasa por la base del acantilado, los ángulos
de elevación de las parles superior e inferior del
faro son a y ó, respectivamente. Determine la al­
tura del acantilado.
gujo de elevación es de 45° y acercándose 4 m
más,
su ángulo
de elevación es de 90o-n■calcule
„ . ,
la
altura
del poste.
UNFV 2012-1
Resolución
Resolución
Graficamos
Graficamos
Ha: altura del acantilado
persona
(despreciando
la abura de la
persona)
DelLí/PW
Ha
(1)
tanb = —UH =
19 67/
tañó
DelMW
_ a+4
lanO = —---10 + a
(0
Del kl/CH
_I5 + Ha
tana-
DelLQ.W/
(ID
tan0=——
a+4
tana
Igualamos (I) y (II)
Ha J5+Ha
taño
Igualamos (I) y (l|)
0
10+o’TÑ
_O
Por lo tanto, la altura del poste es 12 m.
tana
• tan«=15 • tanó+H4 • lañó
// - I5 tanó
4 tan a-tan ó
(ID
problema N.° 4
Desde la parte superior de un poste se observan
los puntos A yB, ubicados en un plano horizontal
con ángulos de depresión de 45° y 37", respecti­
vamente. Halle la mayor distancia entre A y B si
Una persona observa la parte más alta de un
faro con elevación 0. Si camina ti metros hacia
el faro, observaría al punto anterior con eleva­
ción 20 y a otro que está x metros más abajo que
el primero con ángulo de elevación 0. Determine
la altura del poste es 12 in.
una expresión parax.
Resolución
Resolución
Problema N.° 3
Graficamos
dAB=4m
Trazamos QP' y formamos el paralelogramo
que está sombreado.
De lo cual QP’lPP'
Enel^PQP'
2L=lane
d¿fi=28 m
d
Por lo tanto, la máxima distancia entre A y B
es 28 m.
••
x=dtanO
Problemas Propuestos
nivel básico
y 45°. respectivamente. Calcule la distan­
cia que separa a las personas. Considere
>/3 = 1,7.
pesde un punto en el suelo, el ángulo de
1.
elevación para observar la parte más elevada
de una torre es de 30°; avanzando 150 m en
dirección a la torre, se observa nuevamente
A) 108 m
la parte más elevada con un ángulo de ele­
D) 106 m
B) 107 m
C) 105 m
E) 109 m
vación de 60°. Calcule la distancia del primer
punto al pie de la torre.
5.
Una persona observa la parte superior de un
árbol con un ángulo de elevación. Cuando
A) 200 m
B) 230 m
D) 225 m
C) 235 m
la distancia entre la persona y el árbol se
E) 215 m
ha reducido a su tercera parte, el ángulo de
elevación se ha duplicado. Calcule la cotan­
gente del ángulo de elevación inicial.
2. La longitud de la cuerda que sostiene un
cometa en vuelo es de 20^3 m y el ángulo de
A) y
elevación de la cometa es de 60°. Determine
B) -
C) J3
a qué altura del suelo se halla la cometa si la
A) 10 m
B) 15 m
C) 20 m
6.
Dos personas de alturas h y 2h separadas
una distancia d, observan un globo con igual
E) 30 m
D) 25m
E) 2
D) 3
cuerda se mantiene tensa.
ángulo de elevación. Calcule la cotangente
de dicho ángulo si sabemos que la longitud
3. A 20 m de la base de un faro, una persona
de sus líneas visuales están en la relación de
observa su punto más alto con un ángulo de
2 a 1, respectivamente.
elevación 0; además, si se aleja 20 m en línea
recta, ahora el punto más alto se ve con un
B) —
3h
ángulo de elevación a. Si tan0+tana=0,75 y
Apersona mide 1,70 m, determine la altura
D)
del faro.
7.
A) 12,7 m
D) 10,7 m
B) 11,7 m
C) 11 m
E) 10 m
C)á
m
(/
E) —
(i
5//
h
Una gaviota observa un pez en el mar, con
un ángulo de depresión de 60". Si en ese
instante la gaviota volaba a 250^3 m de al­
tura, ¿cuál es la distancia entre la gaviota y
41
personas de 1,60 m de estatura están
el pez?
S|luadas en lados opuestos de una montana
A) 500 m
41,60 m de altura, observan la cima de
'C1 misma con ángulos de elevación de 30'
™
B) 400 m
C) 500¿i...
E) 40073 m
8
al barco en la misma dirección, ahora
Un helicóptero viaja en línea recta y
horizontalmente divisa en tierra un punto
A. con un ángulo de depresión igual a 53 .
un ángulo de depresión a. Si la tan0=05
tana = 0,3. calcule la velocidad del barco
Si luego de recorrer 900 m se encuentra
exactamente por encima del punto A,
A) 106km/h
B) 105km/h C) 103km/h
calcule la longitud de la primera visual.
D) 107km/h
E) 108krrVh
A) 1800 m
D) 1500 m
B) 1700 m
C) 1600 m
12. Desde un hidroavión que está por aterrizar
Q 1100 m
se observa en su misma trayectoria el largo
de un río, al extremo más cercano con un
9.
Desde lo alto de un acantilado de 54 m de
ángulo de depresión de 60° y al extremo
altura, se observa en la misma dirección
dos boyas en el mar, con ángulos de depre­
sión de 60° y 45°. respectivamente. Calcule
la distancia que hay entre las boyas.
más alejado con un ángulo de depresión
de 30°. Determine la longitud que recorrerá
el hidroavión si se encuentra a 600^3 m de
•
altura.
A) 20\/3 m
A) 1300 m
B) I8(3-V3)m
D) 900 m
B) 1200 m
C) 1000 m
E) 800 m
C) 19(3 +73) m
D) l9Í3->/3)m
13. Un avión de guerra que vuela a una altura
E) 18(3 + V3)m
de 120 m observa un tanque enemigo con
un ángulo de depresión de 37°. Si el cañón
del tanque apunta con un ángulo de eleva­
10. Dos botes son observados desde lo alto de
un faro en la misma dirección. El bote más
cercano se observa con un ángulo de depre­
sión 0 y el otro con un ángulo de depresión
de 37°. Si la altura del faro es de 50 m, am­
bos botes están separados por 40 m y el faro
está a 22 m sobre el nivel del mar, calcule el
valor de tanO.
A) 7/6
D) 7/9
B) 6/7
C) 9/7
E) 5/7
ción de 53°, ¿qué distancia deberá recorrer
el avión para que el enemigo dé en el blanco
A) 40 m
D) 80 m
B) 60 m
C) 70m
E) 90m
14. Dos personas de alturas H y h (H > se en
cuentran frente a frente separadas una cié
distancia. La persona de altura h obse^^
cabeza de la otra con un ángulo de e^
ción a y los pies con un ángulo de
siónO. Si tanO=0,17 y tana=0,3, ee
11. Desde la parte rnás elevada de un faro de
12 m sobre el nivel del mar, se observa un
arco que se aleja con un ángulo de depre­
sión 6; 0,4 segundos más tarde se observa
el valor de —.
n
A) 0,5
D) 0,81
B) 0,6
C) 0.36
E) O-9
i
Capítulo III: Ángulos verticales
• .
t •
• -
uón vuela horizontalmente a una altura
15- ^^(anle; antes de pasar sobre dos puntos
00 tierra: M y /V, los observa con ángulos de
depresión de 45° y 37°, respectivamente.
Cuando está sobre N es visto desde M con
un ángulo de elevación 0. ¿Cuál es el valor
19. Para calcular la altura de una montaña un
topógrafo observa la parte más alta de esta
con un ángulo de elevación a, luego se aleja
una distancia d y observa el mismo punto
con un ángulo de elevación p. Calcule la al­
tura de la montaña.
de lanO?
A) 1
D) 4
B) 2
C) 5
E) 3
16 Una hormiga observa la parte superior de
un árbol con un ángulo de elevación. Si la
hormiga se acerca hacia el árbol una distan­
cia igual al doble de la altura del árbol, el
nuevo ángulo de elevación para el mismo
punto es igual al complemento del anterior.
Calcule la cotangente del ángulo de eleva­
ción inicial.
A) J2-1
B) 72 + 1
C) V2
E) 2-72
D) 72+2
17. Desde un punto en el suelo se observa un
pedestal de 12 m de altura, este sostiene
una estatua de 13 m de altura. ¿A qué dis­
tancia del pedestal estará el punto para ver
el pedestal y la estatua con ángulos de ob­
servación iguales?
A) 60 m
D) 20 m
d
tan a-cot p
B)
d
tan p-tan a
C)
d
cot a-cot p
D)
d
cot p - cot a
E) (cota+cotp) d
20. Una persona se dirige a un edificio y obser­
va lo alto del mismo bajo un ángulo de ele­
vación a, después de caminar 10 m observa
la misma altura con un ángulo de elevación
0. Si la altura del edificio es 30 m, calcule el
valor de tana-^cot0 + - j
A) 1
D) 4
B) 2
C) 3
E) 5
NIVEL INTERMEDIO
B) 50 m
C) 40 m
E) 30 rn
18 n
os ed¡ficios separados por una calle de
3íJrn de ancho son observados desde el
Punto medio de la calle con ángulos cuyos
Val°res son complementarios. Determine el
Pr°ducto de sus respectivas alturas.
*) 300rn
D) 225 m
A)
B) 150 m
C) 215 m
E) 175 m
21. Desde lo alto de una torre se ve un punto en
tierra con un ángulo de depresión a y a otro
punto ubicado a la mitad entre el primer
punto y la torre con un ángulo de depresión
90°-a. Calcule tana.
A) 72
O 2V2
E) I
22. Desde un punto en tierra se observa la par­
te más alta de un edificio con un ángulo de
elevación. Si después de avanzar las 2/3 par­
tes de la distancia original que separaba al
observador del pie del edificio, el ángulo do
elevación es el complemento del anterior.
Calcule el ángulo de elevación inicial.
A) 22°30’
D) 60°
B) 15°
C) 45°
E) 30°
23. Un alpinista está descendiendo por una
montaña inclinada con respecto al plano
horizontal un ángulo 0, y observa un objeto
en el suelo alejado de la montaña con un
ángulo de depresión p. Avanzando la mitad
del recorrido observa el mismo objeto con
un ángulo de depresión a. Determine el valor
de (2 • cotp-cot(/.)tanO.
A) 3
B) 2
D) 1/2
C) 1
E) 1/4
superior de la torre con un ángulo «fe
elevación y. Si la torre tiene una altura fe
20 m, calcule la longitud de la antena.
A)
10(tany-2tanx)
tanx
B)
10(coty-2cotx)
cotx
C)
10(coty-2tanx)
tanx
D)
10(coty-2cotx)
tanx
E)
10(2tany-tanx)
cot y
26. Desde un punto del suelo se observa la
parte más alta de un edificio con un ángulo
de elevación 0. Si en la misma dirección nos
acercamos al edificio una distancia igual al
triple de su altura, el ángulo de elevación
es el complemento del anterior. Calcule
tanO+cotO.
24. Dos personas observan la parte superior de
un edificio de altura H con ángulos de ele­
vación a y p. Determine la máxima distancia
que separa a ¡as personas.
A) H(tana+tanp)
B) H(cota+cotP)
C) /7(tanu-tanp)
D) Hfcota-cotP)
A) 3
B) 11
D) 7
E) V¡3
27. Desde la orilla de un río el ángulo de eleva­
ción de un árbol en la ribera opuesta es de
0 y desde un punto 2 u más atrás y en linea
recta, el ángulo de elevación es de f. W
**
mine el ancho del río.
E) H(cotp_cot«)
25. De la parte superior de una torre se observa
A) - 2tanP
tan 0 +tan p
un punto M en el suelo con un ángulo de
depresión x. De otro punto N ubicado en el
punto medio, entre la base de la torre y
el punto M, se observa la parle alta de una
antena, que se encuentra en el extremo
C) V6
2tanP
tan 0-tan p
D)
2S2IL
cot p-tan 0
Capítulo III: Ángulos verticales
¿ IWpersona que se desplaza por una colim
indinada
ángulo
0 con
respecto
a la h
lúontal seun
dmge
hacia
un castillo
y obsenT
Uparte másate con un ángulo de cicy*
clW igual a -0; luego de subir una distan
«de 4 n> hacia
el castillo,
el nuevo ánouln
^actán
mide
20. CalcuieiaalturXl
30. Un árbol, en posición vertical, es visto desde
un punto en tierra con un ángulo de eleva­
ción x. Debido a los años del árbol, este se
A) 4cot0m
B) 4tan0m
C) 2cot0m
D) 2lan0m
E) 2(tanO+cotO) m
29. Desde los extremos del diámetro de una
plaza que tiene forma circular, los ángulos
de elevación para ver el asta de una bandera
levantada en un punto del contorno de la
plaza son a y p. Si el diámetro tiene una lon­
gitud de 10 m, calcule la altura del asta de
la bandera.
desvía desde su base un ángulo Y respecto a
la vertical y hacia el lado del punto de obser­
vación. Desde este mismo punto se observa
el árbol, que no ha perdido su longitud, bajo
un ángulo de observación Z. Calcule cotx.
A) cos(Z-r) sec(Z)
B) sen(Z + r) sec(Z)
C) cos(Z-r) csc(Z)
D) sen(Z-K) csc(Z)
E) lan(Z-V)csc(Z)
31. Un hombre que mide 1,70 ni de estatura, ob­
serva su sombra a las 4 p.m. Asumiendo que
amanece a las 6:00 a.m. y que el sol hace un
círculo sobre el hombre, calcule cuánto mide
su sombra.
A) 1,54 m
D) 2,55 m
B) 1,67 m
C) 2 in
E) 2,94 m
Razones trigonométricas de un
ángulo agudo en posición normal
Capítulo IV
Objetivos
•
Reconocer a los ángulos en posición normal.
•
Calcular los valores de las razones trigonométricas de los ángulos en posición normal
utilizando la definición.
•
Identificar el signo de las razones trigonométricas de los ángulos en posición normal
según el cuadrante.
eje de ordenadas
Nociones previas
segundo
primer
<>
cuadrante
Recta numérica
Es la representación geométrica de los números
reales, donde a cada punto le corresponde un
número real y viceversa.
2
(IIC)
-3
-2
-1
0
(IIIC)
1
2 5 3
+°°
1
2
3
X
cuarto
cuadrante
—3.
0
eje de abscisas
-1tercer
-2 3 -1
(IC)
1-
cuadrante
-3
cuadrante
(IVC)
Donde
O: origen de coordenadas
OX: semieje positivo de las abscisas
Donde
O: origen de la recta numérica
-3: coordenada de P
coordenada de Q
Coordenada de un punto
*
A todo punto del plano cartesiano se
un par ordenado y viceversa. Se le den
P(.v; y).
Y
Plano cartesiano
Es aquel plano que se forma por la intersección
de dos rectas numéricas perpendiculares entre
sí en sus orígenes.
Y 2
Donde
x: abscisa del Punt
y: ordenada del Puí1
Capítulo IV: Razones trigonométricas de un ángulo agudo en posición normal
«vector (r)
ncia del origen de coordenadas a un
1 ^odí,nquiera dGl Plan° CarleSÍan°‘
í
Donde
0: medida del ángulo en posición normal
0 e IIC: la posición final del ángulo nos indica
el cuadrante
r
1
0 > 0: sentido antihorario
®
Definición de las razones trigonomé­
tricas de un ángulo en posición normal
Sea 0 un ángulo en posición normal y P(x; y) un
punto que pertenece a su posición final
0
x
Se cumple
r-y¡^+y2; r>0
® Ángulo en posición normal, canónica
o estándar
Es un ángulo trigonométrico representado en
el plano cartesiano y que cumple las siguientes
características:
t El vértice coincide con el origen de coorde­
nadas.
11 La posición inicial está sobre el eje positivo
de las abscisas.
La posición final posee cualquier ubicación
en el plano cartesiano.
donde
x: abscisa de P
y: ordenada de P
r: radio vector de P
se define
Lumbreras Editores
Ángulo cuadrantal
Nota
Para hallar las .azorre higo---'-" J "
un ángulo en posición nonnal.es n< cesar
conocer las coordenadas de un punió de
posición linal de dicho ángulo.
V ■ ***
_
- - ' ■ ■ ........ .
Es aquel ángulo en posición normal cuya
ción linal coincide con cualquiera de los^'
ejes cartesianos. Estos ángulos no pertenec "
cuadrante alguno.
Cna
Signos de las razones trigonométricas
180°
en los cuadrantes
270°
El signo de una razón trigonométrica depende
del cuadrante al cual pertenece el ángulo en
posición normal.
IC
IIC
IIIC
IVC
seno
+
+
-
-
coseno
+
-
-
+
tangente
+
4-
-
cotangente
..............
+
+
-
secante
+
-
-
+
cosecante
+
+
-
-
Del gráfico, se observa que 0o; 90°; 180°; 270°-90° son ángulos cuadrantales.
i Nota --------------------------------Todo ángulo cuadrantal es múltiplo de
90°, es decir, si 0 es un ángulo cuadrantai, entonces 0=90°n o ^n;ne Z.
k
J
Razones trigonométricas de ángulos
CUADRANTALES
Observación--------- ------------------------ -
Una forma práctica de recordar la regla de
signos de las razones trigonométricas en los
cuadrantes es a partir del esquema mostrado
r
IIC
seno y cosecante
son positivas
Se calculan del siguiente cuadro.
180°
sen
eos
tan
IC
todas las R.T.
son positivas
cot
sec
ese
IIIC
tangente y cotangente
son positivas
IVC
coseno y secante
son positivas
Si Seno < o y taño > O -> Oe |||c
Si COSíZ > O V Cotí/
1
0
ND
0
ND
1
0
-1
-1
0
ND
-1
ND
0
ND
0
n
«.
y
0
“6 IVC
Si lan|) < o y cscl» > o _ |)e „c
*
• ■
ND
5
ND: no definido
Observación --------- -------------• SI 0 es cuadrantal y 0 € (0;2n). etilo***5
A I*
3nl
Oel5:';Tj
Ejemplos
.
0
1
0
ND
1
ND
son ángulos cuadrantaleS
2
2
positivos menores a una vuelta-
Problemas Resueltos
pierna N-°1
Problema N.° 2
c un ángulo a en posición normal, si su
final contiene al punto (-4;-3), calcule
Si«, ó, 0 son ángulos agudos tales que
a 0 0
4 = 5 = 6 y sen(a+<>+0)=l.
^tvcolnUNMSM 2006-11
halle tanpíi?).
polución
UNMSM 2009-11
Resolución
Nos piden tan
Datos
•
a, 0, 0: ángulos agudos
Ó_ 0
5 6
(ID
sen(a+ó+0)=l
(III)
a
4
•
(I)
De (II)
a=4K, <J>=5K; 0=6K
Del gráfico
r=7H)2+(-3)2 =5
De (I) y (III)
Como scn(a+ó+0)=l —> cz+0+O=9O<‘
Por definición (respecto de P)
seca=- = —
x -4
5
4’
pues a; ó; 0: ángulos agudos
Reemplazamos
4K+5K+6K=90" -» 15K=90° -» K=6”
Donde
a=4(6°)=24°; 0=6(6<,)=36"
luego
Luego
j
tan
“ Sec«cot« = z5
3
2
I.U130"
Lumbreras Editores
Problema N.° 3
Como Vían a >0 -> sen a < 0
Del gráfico, calcule coto.
—> ae IIIC v ote IVC
Como x/tana >0 -> tana>0
-> ae IC v ae IIIC
De (I) y (II)
ae IIIC
Problema N.° 5
Resolución
2
Si tanO = - y sen0<0, calcule VÍ3(sen0+eos9).
O
Nos piden coto.
Resolución
Nos piden L = V13(sen 0+eos0).
z>
2
Comotan0 = ->0 y senO < 0 -> 0€IIIC
Consideremos a 0 como un ángulo en posición
normal.
Por definición
-> 4n=2(n-3)
Por dato y definición
tan0 = - = 3
Problema N.° 4
Si
escasee2 e<0, ¿en qué cuadrante se
encuentra a?
Resolución
Comosec20>0 -> Vtanasena<0
x
*
pues
< 0;y < 0
Además
y = -2;x = -3
Problemas Propuestos
NIVEL BÁSICO
aner?¡ne lQ Secuencia correcta de verdad
(V) o falsedad (F) respecto de las siguientes
S¡ p(-2; 3) es un punto que pertenece al
proposiciones.
lado final de un ángulo en posición normal
I. El radio vector es 77.
9 ca]cule VÍ3(senO-eos0).
II. La ordenada del punto A es 2.
A) 5
B) 3
III. tanO =
C)1
2
E) 7
D) 2
A) FW
D) FVF
Del gráfico, calcule senacosp.
B) VW
Q VFV
pep
4.
Del gráfico dado, calcule rcotO.
5.
Calcule n.
4
13
A) I
D) 4
B) 2
C) 3
E) 5
somDreaua.
A) -1
C) -3
B) -2
E) -5
D) -4
X
10. Determine la secuencia correcta de verdad
(V) o falsedad (F) respecto de las siguientes
proposiciones.
I. Si 0 e IIC -> tanO+cotO > 0
II. Si senO < 0 -> 0 e IIIC v IVC
III. Si tanO > 0 y secO < 0 -> Oe IIIC
A) 100 u2
D) 200 u2
7.
B) 140 u2
C) 135 u2
E) 120 u2
Del gráfico dado, calcule 8tana si AB=BC.
A) FFV
D) FVF
C) FFF
E) VFV
B) VVV
11. Si cos20sen0 > 0 y Vtan9 > 0, determine el
cuadrante al cual pertenece 0.
A) IIIC
D) IVC
B) IIC
C) 1C
E) ICvIlC
„ , , sen2 90°+2 eos 180°
12. Calcule-----i-------------------- •
tan' 360°-csc270°
A) 1
D) 2
B) -2
A) -I
D) -4
C) -3
E) -5
B) 0
C) -I
E) -2
13. Reduzca la siguiente expresión.
a2 sen 90°+b¿ eos 180°+ab tan 360°
8.
Si Oe IIC y pe IIIC, determine el signo de
las siguientes expresiones.
I. senO+tanp
a sen 270° +/> eos 0o +a3 eos 270°
A) 1
D) o+d
B) b-a
C) a-b
E) -a~b
II. cscO-secp
14. Calcule el número de ángulos cuadrante
III. senOcosOsecPcscp
comprendidos entre 80° y 800°.
A)
O)
+
+; -
B)
C) +;+; +
E)
A) 4
D) 2
B) 6
A)
m+p
n-q
B) n + fl
m+p
m-p
D) n * q
m+p
n+q
C) —-
E)
ni - p
n-q
20. Si p(-/2un punta que per­
tenece al lado lina! de un ángulo en posi­
ción normal 0. calcule sec20+csc20.
C) 3
10 I
A) 12
D) 16
B) 8
C) H
E) 10
Lumbreras Editores
24. Si x, y g (0; 2n) y
NIVEL INTERMEDIO
21. Del gráfico adjunto, calcule tanacotp.
sen2x+cos2y-2(senx-cosy)+2=0,
calcule cosx+seny.
A) —1/2
D) -2
B) -1
C) 1
E) 0
25. Si 0 y a son ángulos cuadrantales positivos y
menores a una vuelta, tal que
tan20=l+sencz, calcule a-0.
A) n
C) 2n
B) 3 j
E) 0
D) |
A) -42
B) -2
C)
26. Al resolver la ecuación
xsen270°+2x2cosl800=cot90ü-cos0°,
indique el mayor valor de x.
22. Si AB=3 yfíC=15, calcule cota-cotp.
A) -0,5
D) -1,5
B) -1
C) 0,5
E) 1,5
27. Si 0 g (90°; 180°) y a e (0o; 90°), determine
el signo de las siguientes expresiones.
I. sen
eos2 (2a)
II. cos(0+a)
III. (l-cosa)
*tan0
A) 3
B) 5
D) 2
C) 1
E) 4
23. Six e (0; 2n) y cos2x=2cosx-l, calcule
A)
D)
-
B) +;
-
C) +; +; +
E)
28. Si4tair0+lltan0-3=0 yfie II1C,calcule
secO+cscO.
A) 1
D) -42
B) 0
C) -I
E) J2
E) -5^
jonomótricas de un ángulo agudo en posición normal
32. Del gráfico, determine senO+cosO
.
-5
si tana = —.
12
Y
A)
B) 2
0 4-^
01
0
30. Si la ecuación x2+tan(lr+1=0 tiene raíces
iguales y 0 e IIC, calcule secO.
A) -3
B) -2
C) 75
D) 2
E) -75
X
AX
17
A)-ñ
x 17
B) —
7 13
rx 16
D)ñ
33. Del gráfico adjunto, determine
(cosO+l)csc2a.
31. Del gráfico mostrado, determine tanO si so­
bre AD se construye un cuadrado ABCD que
pertenece al segundo cuadrante en donde
A es punto medio de BC y 0 es un ángulo en
posición normal cuyo lado final pasa por M
W punto medio de AN).
34. Del gráfico dado, calcule
Jb I cosa i Blathx.
A) 2
B) -2
(’) -I
A) -5
4
D) 4
3
D) 1
E) 5
7
C)-¡3
7
Lumbreras Editores
35. Si a e IIC y 0 g IIIC, además, se cumple
52seca+3=33tano-2t determine
2x/5 tan a + 3x¿13 secO-
A) -10
D) -18
B) -14
C) -16
E) -12
36. Si se cumple que senx=cscy, determine
sen2A
*+cosx+csc 2y.
A) 1
D) -1
B) 2
C) 0
E) -2
37. Si (sen2a+sena-l)sena > 0, además,
cosa+seca < 0, determine el signo de las
siguientes expresiones.
I. secatana
II. sena+cosa
III. cosfí + a
A) +; B) +; -; +
C) +;±;D) +; +; E) +; ±; +
x 5
A) -g
x
D)
_
13
B)"6
3
x 19
c)-7
2
E)-3
40. En el gráfico, ABCD es un cuadrado de lados
paralelos a los ejes coordenadas. Si las co­
ordenadas de A son (-a; a), calcule
tanatanO-tanp.
38. Del gráfico mostrado, determine tana+cotO.
A) I
D) 4
B) 2
O 3
E) -2
ii. circunferencia trigonométrica
I
----------------------------------------------------------------------------------------------- Capítulo V
■
Objetivos
•
Realizar el estudio de expresiones trigonométricas de arcos dirigidos (números reales).
•
Analizar las variaciones que se dan para el seno, coseno y tangente de un arco.
áK'_.
• ■vL . . '
...
1-
;
• Definición
Es aquella circunferencia inscrita en el plano
cartesiano con centro en el origen de coordenadas
y radio igual a la unidad.
Del gráfico anterior
a y 0: son arcos dirigidos en posición normal
P; extremo del arco 0
Q: extremo del arco a
0: es un arco positivo (sentido antihorario)
a: es un arco negativo (sentido horario)
^0; 0): origen de arcos
Ejemplos
ñ®: 1): origen de complementos
1.
H 0): origen de suplementos
®»-1): sin nombre especial
eje de tangentes
$o^rc°s dirigidos en posición normal
Or*&n de'°S arcos que se 8eneran a Parl¡r
c*ónn K , 3rcos W)» siendo el extremo la posinalde dicho arco.
••u Representación del seno-de un arco
en la circunferencia trigonométrica
Definición
El seno de un arco en la C.T. es la ordenada del
extremo de dicho arco.
Del gráfico, tenemos
yi=senO
—M—.——J
y2=senp
Observación ----------------------------
El seno de un arco dirigido en la C.T. se
representa geométricamente mediante
un segmento dirigido.
Representación del coseno de un
arco en la circunferencia trigonométrica
Definición
El coseno de
*un
arco en la C.T. es la abscisa del
extremo de dicho arco.
Capitulo V: Circunferencia trigonométrica
“ Representación de la tangente de un
arco en la circunferencia trigonométrica
Definición
La tangente de un arco es la ordenada del punto
de intersección entre la prolongación del radio
que pasa por su extremo y la recta tangente a la
C.T. en el punto A.
F Observación ------- - -------------- -------
•
El coseno de un arco dirigido en la C.T.
se representa geométricamente mediante
x
un segmento dirigido.
Y
Del gráfico, tenemos
yi=tanO
y2=tanP
donde
Variación del coseno
tanO > 0 pues 0 e IC
tanp < 0 pues [i e IIC
V 0 e R, se cumple
-1 < COS0 < í
templo
Observación --------------La tangente de un arco en la C.T. se re­
presenta geométricamente mediante un
segmento dirigido.
* Nota
Variación de la tangente
*(2n+1)itf2;ne
V0
Z,
se cumple que
lanO e R o -« < tanO <
La cotangente de un arco es la abscisa
del punto de intersección entre la prolon­
gación del radio que pasa por su extremo
y la recta tangente a la circunferencia en
ei punto S(0; I).
Ejemplos
1.
Representación de la tangente para el arcoO.
En el gráfico mostrado, se cumple
.v=cot()
<____________________
Observación
Si 0 e II1C entonces 0 < tanO < +«.
2.
En el gráfico, se determinan las coordenadas
de P y Q
Problemas Resueltos
problema n» •
O gráfico representa la circunferencia trígono
métrica. Las medidas de los arcos menores AB
^>'£fSon'od°si8llalesaf.Six,yi,sonres;
pecfivamente, las medidas de los arcos trígono
métricos AB, AC y AF, entonces
senx+seny+senz+cosx+cosy+cosj es |guaJ g
Problema N.° 2
De las proposiciones
I.
sen40° < sen50°
II.
cosl90° > cos200°
III. tan60°=tan240°
es correcto afirmar
UNAC 2011-1
UNAC 2011-11
Resolución
Nos piden
P=senx+seny+senz+cosx+cosy+cosz •
Del gráfico
De lo cual
luego
5k + sen-5n
r-sen- + sen—
—+
6
6
3
cos200° > cos290°
Problema N.° 4
Calcule la variación de la siguiente expresión
sen2a-sena + 1;ae^;ll^
Resolución
f
A/=sen2«-sena+l
A/=(senct4) +l
Representamos aejjsll-^ en una circunfe­
rencia trigonométrica.
Por lo tanto, son correctas I y III.
«
1
Problema N.° 3
El número de cuadrantes en los cuales la desi­
gualdad 2cosx < \Í3 presenta solución es
sena
UNAC 2011-11
-1
Resolución
Despejamos el cosx
Del gráfico, obtenemos
73
2cosx<73 -> cosx<—
(I)
-1 < sena < 1
Graficamos en la C.T.
7< M <3
4
Por lo tanto, la desigualdad (I) présenla solución
en los cuatro cuadrantes.
2>/Vl
Problemas Propuestos
NIVEL BÁSICO
A) -tí
t c^uleelvalordey.siP^;^)
pertenece
aUna circunferencia trigonométrica.
2
B)
4
C)
8
E) - —
8
4.
A) 5
/4
f
2.
¿Cuál de los siguientes puntos que se pre­
sentan en las alternativas pertenecen a una
circunferencia trigonométrica?
A) P
C)¿u2
E) |u2
5.
Del gráfico, calcule el valor de 777.
6.
A) -senO
Ordene en forma decreciente los valores de
sen210°; senlOO0; senlO°; sen340°.
A) sen!0°; sen210°; senlOO0; sen340°
B) sen210°; senlOO0; senlO0; sen340°
C) senlOO0; senlO°; sen340°; sen210°
D) sen340°; sen210°; senlOO0; senlO°
E) sen210°; sen340°; sen210°; sen!0°
7.
Determine la expresión que represente el
área de la región sombreada en términos
de 0.
9.
B)
senO
2
C)
senO
4
D)
senO
3
E)
tanOsenO
2
Determine la secuencia correcta de verdad
(V) o falsedad (F) respecto a las siguientes
proposiciones.
I. cos357° < cos2°
II. cosl00° < cos260°
III. cos271° > cos269°
IV. cos350° < senl70°
A) FVFV
D) VFVF
»c
-?
D)
8.
cosO
B)
senO
2
senO
C)
2
B) VVVV
C) FFW
E) VVFF
10. Determine el perímetro de la región som­
breada.
E) -senO
En la circunferencia trigonométrica del grá­
fico, determine el área de la región som­
breada.
A) 2(V2 i I + coso)
B) 2(5/2 4 1-cosO)
C) 2(V2 - 1 +eos0)
D) 4(5/2 - l-cosü)
E) zl(V2 -1 1 senil)
Capítulo V: Circunferencia trigonométrica
Determine el perímetro de la región cuadrangular COMN.
A) 2(tan0+l) B) tan0-2
D) tanO+2
C) 2(tan0-l)
E) 2-tan0
A) -sen0+cos0
B) -2sen0
C) -2cos0
14. Del gráfico, determine el área de la región
sombreada.
.
.
D) -cos0
E) l+cos0
12. En la circunferencia trigonométrica, deter
mine el área de la región sombreada.
A)
B)
C) (tan0-O) u2
2tan0
E) -2tan0
JA-» i i
15. Determine el máximo valor que toma rn en
la siguiente igualdad.
19. Determine para qué valores de a U'i«uicrKe
igualdad se verifica.
tan2(2ft)= 5^ -
sen(0+IO°)=—
A) -1/3
D) 1
13) -1
C) 0
E) 2
16. Si Oe IIIC, calcule el intervalo de variación
de la siguiente expresión.
20. Si a e IIC, determine la variación de b qUe
verifica la igualdad
26-1
tan a = —-—
3* senO-2
4
4
E)
“
17. Indique la secuencia correcta de verdad (V)
o falsedad (F) respecto a las siguientes pro­
posiciones.
21. Si los puntos
<•(-!;«) y b(|: »)
pertenecen a la circunferencia trigonomé­
trica y están ubicados en el IIC y IVC. res­
pectivamente, determine el valor de ab"
A) ^
A) VW
D) FVV
B) VFV
C) FVF
E) FFF
25
B)
18. Si pe IVC y cosp = l^í,
28
determine la variación de x
C) -25y28
28
D) —
35
E)
-2; 1
F.) --V35
28
Capitulo V: Circunferencia trigonométrica
NlVEL INTERMEDIO
24. Del gráfico
§f. área del sector circular QOP
§2: área del sector circular POA
B) V2-1
23. En la circunferencia trigonométrica del grá­
fico, se cumple que
1
m+n=--
D) V2 + 1
25. Del gráfico, calcule la ordenada del punto P.
Calcule la suma de las coordenadas del
punió P.
?\) -sen0‘cosO
B) seii0-cosO
C) cosO-senO
D) -sen0 + cos20
-scnO-cosO
26. Del gráfico, calcule (rn+/?)-ÍP+<7)-
28. Determine la expresión que represeni
aU
longitud (flC)cosO.
A)
B)
C)
D)
E)
A) -2cos0
B) -2sen0
C) 2sen0
D) 2tan0
(l-sen0)(1-cos0)
(l+sen0)(l-cosO)
(sen0-l)(l-cos0)
senOcosO
(1+sen0)(l+cos0)
E) 2cos0
determine la expresión que
29. En la circunferencia trigonométrica del grá­
fico, determine el área de la región som­
breada en términos de 0.
representa el área de la región sombreada.
A)
B)
A) -0,5cot20
B) 0,5-cotO
c) -o,5 cot2e
D) -0,5-tanO
E) 0,5(tan0+cot0)
C)
D)
2
-(1 - sen 0)-cotO
2
(l-cosO)tanO
2
(1-senO) cotO
2
(I~eos0)cotO
Capítulo V: Circunferencia trigonométrica
33. Si ti es un arco que pertenece al segundo
cuadrante, además, es positivo y menor a
2n» determine la variación de
A) -(sen a + tan a)
34. Determine el máximo valor que loma la ex­
presión
g) -(tana-sena)
4
„
« í 5n 3 ni
2-sen20 + l;0e —; — .
112 4 J
C) -^(tana + 2sena)
1
A) 4
D) ^(2sena-tana)
4
mine la variación de x.
B) <—;01
¡
D)h41
42
2
deter-
C)
J3
2
E) 2
D) 1
E) -gitana+ 2sena)
31. Six-sen0=x+senO+l y
)
35. Determine el número de valores enteros
que puede asumir la expresión
1-cosO
2 +cosO'
B) 2
A) 1
D) 4
C) 3
E) 0
36. Calcule la suma del máximo y mínimo valor
que toma la expresión
eos2 0 + 3.e^1 n.5nl
\ 4’ 4 J
2
A)
7
1
D) 2
. 5
B) 2
o I
3
E) -2
-i-. *.*;>• • s‘.
Lumbreras Editores
39. Si Oe(-^.O). determine los valores que
37. Si lele
puede asumir a para que se cumpla |a
nación del eos
igualdad tanO =
a
+ j’
a) <-i; i>
»
d)
variación aproximada de la
40. Determine la
expresión
f rc.37rcl
(
n2
ltan0^)+"
[”4 ; 180 J’
C)
C) 10; 1|
A)
E) <0; 1>
E)
38. Si -1 < cos2« < 4'determine los valores
que toma
la desigualdad.
/7n,ll«\
12/
A) \12
*
para que cumpla con
41. Determine la variación de la expresión
sen2(y-tane); Oe^;^-
a)
4
/2n.m\
B) \ 3 ’ 12 /
B) H]
/5n.lbt\
\ 6 ’ 12 /
C) (0; 1]
/2n. 5rc\
»> r[ftj]
11
C)
D) \ 3 ’ 6 /
E)
/2k \
1 \T: /
e> [|;>]
»
i!, identidades trigonométricas
1____________________________
Capítulo VI
U—MM—MW———_____
Objetivos
.
Conocer ¡as identidades básicas y reconocer las formas equivalentes de cada una.
.
Reducir y simplificar expresiones trigonométricas mediante las identidades trigono­
métricas. .
• Definición
lJ Identidades trigonométricas
Una identidad trigonométrica es una igualdad
entre expresiones trigonométricas que se verifica
para cualquier valor admisible de la variable an­
fundamentales
Identidades trigonométricas por cociente
gular.
senO
cosO
j Observación ---------------------------------Valor admisible es aquel valoi que toma la
variable para que la expresión esté definida.
Expresión
sen0ycos0
Valor admisible
lan0 y secO
Oe R
0€R-|(2/? + l)-^;neZ
cot0ycscO
Oe R-{nn;ne Z}
Ejemplos
templos
•
2
eos2 x
corx =----- t~
sen x
cosx
Sen2x + cos2x=l
sen310°
eos310“
Wx-l=C0S2x
CScjf + COtx=COt2
’ Sen|5
+J
\2 + x J = cosx
.
3sen*-4sen 3jr=sen3x
£2¿^ = cot55°
sen5 5“
Lumbreras Editores
Identidades trigonométricas recíprocas
ese 6 =------scnO
Ejemplos
sec0 + tan0 = 2 <-> secO-tanO-1
2
sen0csc0 = l
2
cscO + cotO = - <-> cscO-cotO = ~
3
2
secO =------- -> cos0sec0 = l
cose
cote = —!—
tanO
tanücotO = l
Identidades trigonométricas auxiliares
Ejemplos
sen20°csc20°=l
•
• —= ese2 e
sen2 6
• sec3*520°=----- 5----eos3 20°
Vosee =
•
Identidades trigonométricas pitagóricas
—
sen20+cos2e=l
Propiedad
l+tan20=sec20
Si a y b son constantes reales y 0 va­
riable real, tal que asen0+bcos0=c y
n •*
o
a +b =c t entonces se cumple que
l+cot20=csc20
,. I
,u
V
Ejemplos
sen0 = — y cos0 = —
c
c
•
l-sen20=cos20
•
l-cos20=sen20
•
sec210°-l=tan2l0°
Ejemplos
•
csc250°-l=cot250°
9
Observación —>—_
3
4
-> sen0 = - ; cos0 = 5
5
_ ______
sec0+ tan o = —
•
<-♦ ese ü-coto = —
ni
Si 3sen()+4cos0=5 y 32+4"-5‘
Si 5sen0-12cos0=13 y 52+(-l2)2==i3
senO = A;cosü = ^
Problemas Resueltos
Reemplazamos
■nP oara qué valor de K, la expresión
^CcosWísen^+cosS)
-M-
L
^dependiente de x
UNMSM 2004
*11
Reducimos
3a
2
Resolución
?to$ piden K.
Dat°
/?=sen6x+cos6x+K(sen4x+cos4x)
Problema N.° 3
Si sec0+tan9=3, calcule cosO.
Por identidades auxiliares
/?=(l-3sen2xcos2x)+K(l-2sen2xcos2x)
Resolución
Nos piden cos9 = —!—
seco
Agrupamos
/?=!+£+(-2K-3)sen2xcos2x
Datos
Luego, la expresión no dependerá de x, cuando
sec9 + tan 9 =3
-2K-3=0
sec9- tañ ó = 3
W
Problema N.° 2
Si senx+cosx=a, halle el valor de
3
o
y+sen x + cosáx
UNMSM 2006-11
Resolución
N°s P
*den
Problema N.° 4
L = ~ + sen3 x + eos3 x
¿
'
(senx+cosx)(l-senxcosx)
D^senx+cosx=a
£|e»andoal cuadrado m- a m
kenx+CosX)2=Q2
Si senOcosO =
calcule sen49+cos49.
4
Resolución
sen40+cos49=l-2sen20cos20
=l-2(senOcos0)2
-^a-Jf+ü^s2x+2senxcosx=a 2
1+2senxcosx=a2
*nxcosr-,Q2-l
2
sen4 9 +eos10 = -
Problemas Propuestos
•;
•••
••
7.
NIVEL BÁSICO
1.
Si tanO=2, calcule el valor de senQ+C0?!?
cosO
A)
B)
C)
D)
E)
1
2
3
4
5
Si senxtanx= 1, calcule sen1x+cosx.
B) 1
A) 0
D) -1
8.
C) 2
E) -2
Si la siguiente igualdad •
sen^-co?x = 4sensx^c
. sen2 x +eos x
es una identidad, calcule A+B+C.
2.
Sea /‘(x)=tanxcot0+cos0secx, calcule f(0).
B) 3
A) 1
A) 1
D) 4
‘ B) 2
C) 3
E) 5
Reduzca la siguiente expresión.
£=sen415°+sen215°cos215°+sen275°
A) 0
D) 1/2
B) -1
C) 2
E) 1
E) 2
D) 7
9.
3.
C) 5
Elimine 0 a partir de
senOcos0=a
sen40+cos40=¿>
A)
B)
4.
C)
Si secO+tan0=2, calcule cosO.
D)
A) 4/5
D) 1
B) 3/5
C) 2/5
E) 1/3
E)
10. Si sen ’ü+cos ’ü=«, calcule sen60+cos60.
5.
Si tanO+cotO=3, calcule el valor de
tan20+cot2O.
A)
A) 3
D) 9
B) 5
B) —íj—
3
C) 7
E) II
Simplifique la siguiente expresión.
sec2 0 + ese2 0
C)
E) 3fl+l
Si 12senx+5cosx=13,
calcule 5tanx.
(tan 0 +coto)’2
A) 10
A) 1
D) senO
B) cosO
C) secO
E) lanO
1))^
12
B) 12
C)
25
® 13
Capítulo VI: Identidades trigonométricas
sjcsc0_cote=3, calcule
11
1 + cosO
scnO
C) -1
B) 3
A) 2
18. Si tanü+cot0=sec60°, calcule
tan80+cot8O.
E) 1/3
D) 1
B) 2
A) i
E) 256
D) 128
Simplifique la siguiente expresión.
13. sccW’O-(tañe+coto)2
C) 2
B) 1
A) 0
E) -2
0) -1
14 Si4OsecO-9cscO=41secOcsc0, determine el
valor de sen0.
C) 4
19. Si cot3x+cot2x+cotx= 1, determine el valor
de cot3x+tanx.
A) 1
D) 4
B) 3
C) 2
E) 5
20. Reduzca la siguiente expresión.
sec x +tanx
-tanx;xe IC
sec x-tanx
A) senx
D) -secx
B) cosx
C) secx
E) tanx
NIVEL INTERMEDIO
15. Si sen 0 +eos 0 = -, calcule
<5
2(l+sen0)(l+cosO)
21. Si f(x)=sen4x+cos4x+asen2xcos2x
es independiente de x, calcule a..
A) 1
D) 4
B) 2
C) 3
* E) -I
22. Si secx+tanx=3, calcule 5senx.
16. Si tan 0 = ^2, calcule
,sen3O + cos30
sen3 0-eos3 0’
A) 2
D) 4
1
7
B) 3
C) 5
E) 2
£'(sen2* - cos2x)(se n4x+eos4x)+cos8x
A) tan8*
D) 0
C) eos8*
E) sen8x
C) 0
E) -2
23. Si cscx+cotx=4, determine el valor de
cscxcotx
Simplifique la siguiente expresión.
B) 1
Lumbreras Editores
r
' r
”
•
* •
24. Encuentre una relación entre a y b a partir de
tan0+cot0=a
secO+cscO=ó
B) 3
C) 4
E) 7
29. Si Vñsen0-eos0 = VñT¡, calcule sec20.
A) b2-a2=2b
B) a2+b2=\
A) n
D) 2n
C) a=b
D) a2=b2+2b
B) n+1
C) n-1
E) 2n-l
30. Reduzca la siguiente expresión.
E) b2=a2+2a
25. Si sen 9 - eos 0 =
A) 2
D) 5
1
1.1.1
-------- 9--- 1---------- 9--- '----------9~ --------l + secz0 1 + csc 0 l + cos¿0 l-hsenz0
calcule senG0+cos60.
A) 1
D) 2
B) 4
C)3
E) -I
31. Si se verifica que
E)
37
64
26. Sisen404-cos4O+senGO+cos6O=a,determine
3 versO + 2cov0 = 5 - VT3,
calcule secO-cscO.
Considere versO=l-cosO; cov0=l-sen6.
sen20cos20 en términos de a.
A) -3c 13
D) —2v43
27. Si senx+cscx=5, calcule sen.v-csc.v.
A) V21
32. Dada la ecuación sen4 p + eos4 p = -,
calcule scn8p+cos8p.
A) 4
B) 8
C) 8
B) -721
« Í
í
D) 5
E) -V21 o <2Í
28. Si sec4.v-tan4A
*=Asec 8A+C
es una identidad, calcule A+B-C.
33. Si sec2x+csc2x=4, determine el valor de
secG.v+c5cbx
A) 12
D) 18
B) ¡4
C) 16
E) 20
Capitulo VI: Identidades tngonométncas
si0elVCy^V’+V«c20-’ =
calcule sen0cos0
38. Calcule el mínimo valor de la expresión
sec4x+2cot2x - tan4x.
I
A)
2
C) -a
a
E)
2
a
B) 2
39. Si cot20=2cot2x+1, calcule
^sec2 0 + ese2 0
sec2 0
35. Si sen4 x + eos4 x = | + sen6 x + eos6 x;
3
D) 1/4
sen3x + cos3x
sen2 x.
B) 4
A)
x€ 1VC, calcule (sen* + cosx)3
C) 3
E) 5
D) 4
C) 1/2
E) 2
40. Simplifique la siguiente expresión.
(sen6 x + eos6 x - l)(tan x + cotx). r e mC
x¿¡ +2 senx cosx + cosx
36. Simplifique la siguiente expresión,
f cos0+tan0 f
B) cot20
C) sen20
E) cos20
37. Simplifique la siguiente expresión.
cos^íx) - cosn>1(x)
.senn_,(x)-senn+1(x)
B) -3cosx
C) 3senx
E) 3cosx
41. Reduzca la siguiente expresión.
sec4 x + tan4 x-l
\l + sen0-sen2 0 /
A) sec20
D) tan20
A) 3
D) -3cosx
•tann(x)
tan2 x
A) 2csc2x
D) 2cos2x
B) 2sen2x
C) 2tan“’x
E) 2sec¿x
42. Si 4sen0=sec0csc0, calcule
COS0
2/x
eos 0 + —y + sen 0.
A) sec3x
B) tan3x
C) cot3x
0) sen3x
E) cos3x
A)
15
16
C)
5^
16
E)
_1_
16
'4r **
W1
.. Identidades trigonométricas
ana
" de arcos compuestos
Capítulo Vil
Objetivos
• Reconocer expresiones trigonométricas para la suma o diferencia de arcos.
•
Calcular el valor de razones trigonométricas de ángulos no conocidos mediante la
utilización de las identidades.
& Identidades para la suma de dos
Del gráfico, se puede observar que
AB=MN+NH
arcos
Tenemos un cuadrante de centro O y radio 1, tal
quem<40A'=a y rn<yVOH=0.
Entonces
sen(a+O)=senacosO+cosasen0
■
También se tiene el coseno y la tangente de la
suma de dos arcos
cos(a+0)=cosacosO - senasenO
tan(a + e) = .tana + tan-eI-tan a tanO
En el triángulo rectángulo ONA
AA'=sena y OAf=cos«
En el triángulo rectángulo NOH
AW=(OAr)senO -> A7/=cosasen0
En el triángulo rectángulo AWV
Identidades para la diferencia de
dos arcos
sen(a - 0)=senacos0-cosasenO
cos(u-0)=cosacosO+senasen0
tan(«-0) = .lyg-|an±8
1 + tanatanO
MV=(4Af)cose -> AW=senacos0
En el triángulo rectángulo ABO
AB=(O4)Sen(«+0) _ 48=serl(a+0)
Ejemplo
sen23°=sen(53o-30°)
sen23°=sen530cos30°-cos530sen300
Ejemplo
3sen x + 4 eos x = V32 + 42 sen (x + 0)
-> 3senx+4cosx=5sen(x+53°)
donde
O Identidades auxiliares
Usamos las identidades auxiliares para reducir
j simplificar expresiones trigonométricas com­
n 4
senO = 5
a
3
cos0 = 5
0=53°
¡;¿ Observación -----------------------
plicadas.
sen(a+0)sen(a-9)=sen2a-sen2e
cos(a+0)cos(a - 0)=cos2a - sen2e
A sen(a + 0)
tan a+tan 0 =----- ------- eos a cose
A sen(a-G)
tan a - tan 0 =---- -------- eos a eos 0
tana+tan0+tan(a+0)tanatan0=tan(a+O)
Sea£=asenx+bcosx;xe R,
entonces se cumple que
-Va2+62 £ £ £ Va2+Zr
donde
Emix. = '¡a2 + bi
¡ £mftL =-Va2+b2
<__________ -•
Ejemplos
Af=3sen«+4cosa
donde
Ejemplos
^Anín.=_*5
sen(20o+x)sen(20°-x)=sen220°-sen2x
«
cos(60°+x)cos(600-x)=cos260°-sen2x
. lanP+tan8O=^ÍPí£l
eospeos8°
cosycos37°
Propiedad 1
N=5sen0-I2cosp
donde
Wmáx.“Í3; /Vmín.— 13
Propiedad 2
Si 4+E+C=l80°, se cumple
tan/l+tan£+lan C=tan/1 • tanB • tanC
cot/VcotB+cot£l-cotC+cot/VcotC=l
Siendo a y b números reales, x variable
reat se cumple
S¡ 4+£+C=90°, se cumple
co14+cot £+col C=col4 • colS • cotC
tan/ltanZ?+tan/?tanC+tan4-tanC=l
I
osenx + 6cosx = va2 + b¿ sen(x + 0)
donde
b
Ejemplos
o
tan20°+tan50"+tanll0°= tan20otan50°lanll0
va2 + b¿
cot 10° • cot50° • col30°= col 10°+ cot50°+cot30ü
sonn~_
cot35° • cot70°+< ot75°- cot70°+cot35°-cot75°= I
tan25°tan55°+tanl0,’-tan25o+tanl0<,tan55o=
Problemas Resueltos
Problema N.° 2
Problema N.° 1
Determine el menor ángulo agudo
Si x € y pertenecen al intervalo ^0;-^, halle m
que Orifica
tan 3x + tan 2x + tan 5x • tan 3x • tan 2x - V3 , 0
en función de x para que se cumpla
UtfVWii
sen(x-y)_cos(x^ = „?^r2Y
senxseny cosxsen y
UNMSM 2013-1
Resolución
Por identidad auxiliar
Resolución
tan 3x + tan 2x + tan 5x • tan 3x • tan 2x = v'3
Haremos uso de las identidades
sen(x-y)=senx • cosy-seny • cosx
Obtenemos
cos(x-y)=cosx • cosy+senx • cosy
tan(3x + 2x) = 73
En el dato
tan 5x = 73
sen(-r-y) _ cos(x-y) = msec2 x
senxseny cosxseny
5x=60°
senxcosy-senycosx í cosx eos y+sen xsen y ]
senxseny
t
cosxseny
)
=msec2x
senxcosy senyeosx ícosxcosy senxseny 1
senxseny senxseny ^cosxseny cosxseny )
/.
x=12°
Problema N.° 3
Sean a, P y Á los ángulos interiores de un trián­
gulo. Si 2tana=tanP+tanX, halle (tanptanX).
=rnsec2x
UNAC 2007-1
coty-cotx-coty-tanx=msec2x
-(tanx+cotx)=/7?sec2x
Resolución
- senx ese x = 777 sec 2 x
Por la propiedad 2
esex
secx
Si a+p+X=l80°
m ---------------
-*
Luego obtenemos
tana + tanP + tanX = tan«• tanP• tanX
v
senx
1
cosx .
m = -cotx
cosx
senx
tana + 2tana = tancrtanp’tanX
3* tana = tana • tanp tan!
tanp-ianX=3
Capítulo Vil: Identidades trigonométricas de -v,
e,ncas de arcos compuestos
Donde
problema N.° 4
I
,, ^presión
^2V3(cos2I3°-cos247o)
-»
^equivalente a
UNMSM 2008-1
0 = ^rad = 45°
4
En (I)
Como
47°+43°=90° -*
75 • sen(l 0o +45° ) = K • eos 35°
cos47°=sen43°
75 sen 55° = K-eos 35°
Reemplazando en la expresión que nos piden,
72.eos 35° = X\cos35ü
leñemos
K = 75
K = 2 73 (eos213°-sen2 43°)
Problema N.°6
-4 A' = 2V3cos(130+430)cos(130-43°)=
En un triángulo ABC si
=275 eos 56° cos(-30°)
sen4=/7senfísenC
cos4=/7cosfícosC
-» K = 275 eos 56° eos 30° =275 eos 56°^^ j
determine tan4.
Resolución
K=3cos56°
De las condiciones
Problemas N.° 5
Calcule K en
scn4=nsenBscnC
(I)
cos4=ncosBcosC
(II)
Restamos (II) a (1)
senIO°+cosl00=K-cos35°.
cos4 -sen4=n[cosHcosC-senfí • senC)
UNFV2005
cos4 - sen4=n • cos(H+C)
Resolución
Cos4-scn4=/? • (-cos4)
$ea el dato de la forma
cos4+ncos4=sen4
cos4(l+n)=scn4
1 senl0°4-l cosl00=K cos35°
sen 4
I + n - ------- r
eos 4
?Orla Propiedad 1
^+?sen(10°+e) = K-cos35°
(0
/.
tan4=n+I
L
Problemas Propuestos
1.
C) -1
Sisena - cosa = A calcule 16- sen(a-45").
A) 1
D) 4
2.
B) -1
A)1
NIVEL BÁSICO
8
IUG •
B) 2
C) 3
E) 8
E) ~
6
D) 1
6.
«f- — = —, calcule coto.
2
1
Simplifique la expresión
2-sen9->/3-sen(6 + 30ü)
cos(30°+e)
B) O
A) <
D) 73
3.
Calcule el valor de la expresión
2 • cos80°+4 • sen70° • senl 0o.
8
A)
V3
D)l
B) -1
C) 1
3
D)
2
7.
cos22x-sen2x
cos3x
E) O
4.
A) senx
Simplifique
B) COSA'
tan A + tan B 1 tan A - tan B
tan(A + Z3)
tan(A-fí)
A) tanA
B) tanfí
C) tanA+tanB
D) 1
E) 2
5.
Simplifique
Sitan(m-n) = - v
2 y
tan(n-p) = 2
<5
calcule tan(m-p).
C) tan2x
D) cot3x
E) sen22x
•
O
Si sen^ + 0
9
}sen(í-o)=K,
calcule un valor que toma cosO.
A) Jk
„cos comwe8los
c,Bl“0 V":
.+v=60°, calcule el valor de
9.
14. Calcule el valor de
\
(tairVJ^Z).
73 sen50°-eos50°
sen25°-eos25° ’
B>í
A)
75
C)
*
A) 72
2
273
73
«T
E)
C) -72
D) -73
E) 2
3
15. Calcule el máximo valor de
l0 fa|cule el valor de la expresión
3-senx+5-cos(53°+x).
sen 50°
t
sen 25°
^20°-eos 30° eos 20°-eos 45°
A) 75
B) V¡0
D) 3
B) 75 + 1
A)
C) 272
E) 10
C) 73-1
16. Calcule la diferencia entre el máximo el y
73 + 3
, 75 + 2
D) —
E)
3
mínimo valor de la expresión
sen(0+37°)-sen(53°-0).
A) 0
11. Calcule el valor de la expresión
tan 23°+tan 22°+tan 23° • tan 22°
C) 5
B) 10
E) 272
D) -272
tan 28°+tan 17o+tan 28° • tan 17o
A) -J2
B) 1
D) 73
2
C)
2
17. Si tan(x+y+z)=0, reduzca
tan x +tan y-Han z
tan x- tan z
E) 2
12. Calcule el valor de x para que se cumpla la
A) col y
B) tan(x+z)
igualdad
Ian5x-tan2x-tan5x • tan3x • tan2x=73.
C) tany
D) tanycoty
E) cot(y+x)
A) 20°
0) 18°
B) 30°
C) 12°
E) 10°
z=90°, calcule el valor de la expre-
18. Si x+y+z
sión
13. Aduzca la expresión
2
— +--------
2
^21+73-eos 20°
eos10°
A) l
A) 73
C) 72
E) 5
J.
1
D) j
B) 2
C) 3
E) 0
$
Lumbreras Editores
tan 40° 4-2 tan 70°
19. Calcule el valor de
tan270°
23. Del gráfico, calcule tanO.
A) tan70°
B) cot40°
C) 2tan40°
D) tan40°
E) tan40° tan70°
20. Si sen30 • cos48=senO, calcule tan40 • cot30.
A) 5
D) 2
B) 4
«-n
C) 3
B) f¡
E) .1
» 'Ti
21. Si 5senx+12cosx= 13, calcule el valor de
sen(* + 5}
24. Del gráfico, calcule cotx si
B) l?^
J 26
C)
1372
cota = — y cot6 = —.
rn
n
25
17^2
°>f
E)
25
22. Si sen4+cos3=x a sen3-cos4=y,
determine el equivalente para el senl.
A)
C)
D)
A)
rn - m
m+n
D)
rn-\
n-\
a 2 + y2-2
2
B)
1 - rnn
rn 4 n
C)
25. Si tanj = 3, calcule co1
Ihw
m-n
"A)
2
x¿ + y2 4-2
2
•) o
X- - y¿ - 2
E)
2
A) 2
B) -2
D) -1
2
C) j
E)
%
C‘P“° “ '°en“M“
nivel intermedio
« -os compuestos
30. Simplifique
pe las condiciones dadas,
$ sCn(x-y) = °»3 a cosysenx=0,5.
cos20+sen2|5-2senp • cosO • sen(0+p).
A) sen2(0-p)+i
Calcule sen(x+y).
B) sen2(0+p)
C) cos2(0-p)
D) cos2(0+p)
E) cos2(0_p)+i
31. Calcule el valor de
tan 38°-Han 16°
+ tan 38° tan 16°.
cot36° •
27. Six2-xl=nrad, calcule
sen(x-X|)
sen(x-x2)
cosx cosx,
cosx-cosx2
A) 0
D) -1
B) 1
A) 1
D) “1
C) -2
E) 2
B) 2
C) 3
E) -2
32. Si sen(o°)+sen(b°)=/77 y
sen(í/°)-sen(b°)=/7,
28 S¡ sen2 x + eos2 y -1 _ 1
l-(sen2x + sen2y)
calcule
3’
calcule cot(x+y) • cot(x-y).
« i
B) -1
0) -3
csc(au~b°')
A) m2n2
D) m2-n2
B) mn
C) 1 +mn
E) \-rnn
O 3
E) |
33. Calcule la suma del máximo y mínimo valor
que toma la expresión
2-sen(x + 45°) + (V7 - /¿)cosx + I.
& Si x+y = ^rad, calcule
4
1!tan x)(l 4- tan y)+1
(1+lan57o)(l-tanl2°)‘
A) 0
D) 4
B) 1
C) 2
E) 6
34. Calcule el máximo valor que asume la ex­
presión 9sen2x-24senxcosx+ I6cos2x.
B) 1
A) 9
D) 25
B) 24
C) 16
E) 49
Lumbreras Editores
35. Reduzca la expresión
sen
(í)+cosl
[í)
37. Calcule el valor de la expresión
tan (a- -10°) + tan (10° -y) + tan (y - X)
tan (x -10°)■ tan (y - x)- tan (10o-yp
eos]g)-sen|
A) -1
B) 0
C)1
A)
8)
38. Calcule el valor de
2
(eos 2o -x/3 sen 2o) +2 (eos 17°+sen 17Ü)2.
O
A) 1
B) 2
C)3
D) 4
E) 5
E) «.(ÍÍS)
39. En un triángulo ABC, se cumple la siguiente
relación.
36. Si A+B+C=90°, determine el equivalente
de cotA+colB+cotC en términos de 0.
3.cotA=4cotfí=7cotC
Calcule tanC-tanB+tan/1.
A) J2
O V3
D) I
E) 712
40. Si se cumplen las condiciones
A) tanO
B) coto
C) tanO+l
A+fi+C=90°
(1)
tanA + tanñ + tanC = 73
00
calcule sec2A+sec2B+sec'!C.
D) colO+1
E) tanO+cotO
A) 1
D) 4
B) 2
C) 3
E) 5
¡i. Reducción al primer cuadrante
I
-
-- -----------------
Capitulo VIII
"
Objetivos
•
Conocer la equivalencia de la razón trigonométrica de ángulos de la forma (90'W ± x)
en los términos de la razón trigonométrica del ángulo x (K e Z).
•
Reducir y simplificar expresiones trigonométricas mediante las identidades de reduc­
ción al primer cuadrante.
Donde el signo (±) que debe anteponerse al re­
sultado dependerá del cuadrante al cual perte­
nece el ángulo a reducir.
t Para ángulos positivos y menores a
una vuelta
En este caso, el ángulo a reducir se descompone
como la suma o diferencia de un ángulo cuadrantal (90°; 180°; 270° o 360°) con un ángulo
quesea agudo, teniendo en cuenta lo siguiente.
Observación
Razón
trigonométrica
(R.T.)
Co-razón
trigonométrica
(CoRT)
seno
coseno
coseno
seno
tangente
cotangente
cotangente
tangente
270°+a | jvc
secante
cosecante
360°-a J
cosecante
secante
Y
90°+«
► I1C
180°-a
X
l80°+a ]
270°-a J
me
/
k__
L'Je8° aplicamos
Ejemplos
.
1
Senl20'’=senU80“-60°)^sen30"=-
IVC
.
tan3|5^^^W)-cot45"=-l
Lumbreras Editores
IVC
•
cos(360°-a)=+cosa
“_________I
1IIC
•
•
.
tan(1440°+a)=tan(360°x4+a)=tana
.
sec(20n+a)=seca
•
csc(255n+a)=csc(254n+7i+a)=
lie
=csc(n+ct).csca
csc(270°-a)=-seca
_________ t
me
cot (íF+1x)=+cota
______ t
® Para ángulos de la forma (-a)
Q Para ángulos mayores que una vuelta
R.T. (360°n+a)=R.T.(a);n e Z
R.T. (2nn+a)=R.T.(a); n g Z
Ejemplos
Aquí se observa que si a un ángulo de una razón
•
sen (-30°) =-sen 30°= ~
•
/?
eos (-45°) = eos 45° = —
2
trigonométrica se le elimina el número entero
de vueltas que contiene, el valor de dicha razón
no varía.
•
Ejemplos
lie
tan(a-1800)=tan|-(1800-a)]=-itani(180°-a)
=-(-tana)
•
•
sen 750°= sen (360“ x2 + 30“) = sen 30“ = 2
cosl560“=cos(360°x4+120“)=cosl20“
= tana
me
•
sec(«-y)=sec[-(^-a)] = sec(y-«)
¡IC
= -csca
=cos( 180° - G0°)=- cos60°
__________ t
•
cot(I0800+a)=cot(360°x3+a)=cota
•
sen(1800ü+«)=sen(360°x5+a)=sena
•
cot(24n-a)=cot(-a)=-cota
•
csc(720°-a)=csc(360°x2-a)
=csc(-a)=-csca
•
•
cos(25n+a)=cos(24n+jt+a)=
lie
=cos(n4-a)= -cosa
cos(— 15600)=cosl5600=cos(3600x4+120<’)
e lie
=cosl20°=cos(Í8Ó^6Ó°)
=-eos 60°=--
Problemas Resueltos
Problema N.° 3
Simplifique la siguiente expresión.
medida del ángulo agudo a.
tan(180°+6)sen(270°+e)
cos(90°+9)csc(180°-9)
_ 3QO^(8QO _
gesoluclón
sen“=
tan(180°+46°)
$cna =
(-sen 30°) (-tan 46°)
tan 46°
Resolución
v,_ tan(180u+e)sen(270°+e)
cos(90°+6)csc(180"-e)
.. tanO(-cosO)
A? =---------- r-----(-senO)cscO
sena = sen30°
sene,
cose ~cose
a=30°
“(_sen9)J_“
sene
Problema N.° 2
-sen9
-1
A/=sen6
Del gráfico, calcule cota.
Problema N.°4
Simplifique la siguiente expresión.
sen
(
+ A )cos (-V - rt) tan (4 rr - a-)
sec(rc+x)tan
H)
sen(x-rc)
Resolución
Resolución
cosía-jr)tan(4n-x)
senÍA - ti)
(eos a )(-eos a )(-tan a)
~ (-secA)í-cot A')(-senA
*)
cosa(-cosa
c°l(360°~a) = 5
Si =
cota =
5
sen a eos v
-I
,U=- sen acosa
Problemas Propuestos
NIVEL BÁSICO
1.
2.
6.
Calcule (senl50o+tan225°)scc3ÍKr
r(a
+ 01 ,
V2sen(
—
A) 5/4
D) 3/4
A)
B) 1/4
C) 9/4
E) 3/2
C)
Simplifique
A) tanx
D) 2senx
V2
E) 72-1
D)
B) 1
C) 2tanx
E) 2cotx
7.
Del gráfico, calcule tanO.
Si tan(180°+0)+xcot(270°-0)=
tan(360°-0)+tan(180°+0), determine el va­
lor de x.
A) 0
D) -1
4.
fa + OA
B)
sen(180o+.v) + cos(270°-.v)
sen (90° +.v) + 2 eos (180° -a)
3.
Del gráfico adjunto, calcule
B) 1
Si /‘(0)=sen0+cos0, calcule
A) -1
D) -2
B) 1
C) 2
E) -2
^50°)
Al
A) ~T
C) 0
E) 2
5.
o>4
8.
Si sen(20n+0)=cot(5n-0),
calcule cos20-cos().
A) 0
D) 1
9.
Si tan
2y0€ ¡IIC,
calcule 75(senO + cos0).
D) -4
C) -3
E) -5
A) -1
D) -5
B) -2
Capitulo VIII: Reducción al primer cuadrante
1O De| gráfico, calcule cote.
A) -5
D) -5/12
B) -12/5
C) -13/5
E) -5/13
16. Si 2se"C,80°—>=4COS<360°-Jr>, calcule sec2x.
11. s¡ a+p+0=5n, calcule el valor de
A) 1
sen(ct + P) t cos(p + e + 7t)
sen(n-G) cos(4rc + a) ’
A) 1
B) 2
D) -2
C) -1
E) 0
B) 1
E) 5
17. Resuelva
cos(2n-x) + sen
+ x2 < 4
x
A) (-1; 1)
C) -2
E) 2
D) -1/2
C) 3
D) 4
Ian0 + sen0
, , .
12. S¡/(0) = --------------- , calcule f
eos 0-cote
A) -1
B) 2
13. Simplifique la siguiente expresión.
B) <-2;0)
C) <0;2>
E) <-2;2)-{0}
D) (-2; 2)
18. Sea la ecuación cuadrática x2-2x+3=0.
cuyas raíces son tana y tanp.
Calcule tan (| - a j- col (2n - p).
sen (-x)-cos (-x) • sec (n - x)
csc(-x)-cot
A) -2
A) tanx
B) 1
D) secxcscx
C) -1
E) senxcosx
B) 3/2
C) 2
E) 1
D) 2/3
19. Elimine 0 a partir de
S‘cos(*
-y)
= ~-cos(y-x),
<5
calcule sen2(x-y).
A) 2/3
D) 24/7
B) 7/24
C) 35/36
E) 36/35
sen(180°-0)sen(270°+0)=a
(D
tan(18Oo+0)-col(36O°-O)=b
(H)
A) l+ab=0
D) «+/>=0
B) aó=l
C) a-ó=0
E) l-«Z>=0
25. Reduzca la siguiente expresión.
20. Simplifique
I sec(2n-x) + tan(n + .x)_ + |an(2„_x);
Jcsc(í+x)+cot(^ + x)
ese
,
' sen
tan(x-Tt) [___
tan(-x)
cos(-20rc-x)
xe IC.
A) -2
i
B) 0
C) 3
E) 1
D) 2
A) 1
D) -cosa'
B) cosx
‘ C) -secx
E) secx
26. Del gráfico mostrado, calcule tanOcota.
NIVEL INTERMEDIO
Y‘
A) 1
B) 5
D) 3
O
3
21. Calcule el mínimo valor de
tan(180°+x)-4tan(270°+x); x e IC.
2
«y
C) 2
E) 4
X
-5)/
22. Determine el intervalo al cual pertenece
Z(0)=3sen(36O°-O)-4sen(9O°+0).
A) -2
D) -8/15
C) -4
E) -4/15
B) -15/4
27. Indique para qué valor de n se cumple la
23. Si sen(5n-0)-cos(-0)=a"1, calcule
tan2
tan(-n-(3)-cot
(t-«)+ tan2(2Orc + 0).
A) a2+l
D) a2-4
B) a2-2
identidad
+n
C) a2
E) o2+2
A) I
D) cscü
24. Si
sen(n-0)+sen(2n-0)+
+sen(3n-O)+... + sen(3ln-0) = 2.
3
calcule tan2(-51n-0).
28. En un triángulo ABC, simplifique
senU + fl)
senC
«I
(’-?) =
Oi
e>5
A) 1
D) 4
tan(n + /3)
—------------- ; +
cot
B) 2
csc(2A + #+^
0 3
E) 5
Capitulo VIII: Reducción al primer cuadrante
s Sicos(-e)+sen(-e) = 2
33. Si se cumple que 0+a=2n, calcule la dife­
rencia entre el máximo y el mínimo valor de
la expresión
M = cos^O +
sen^a+~ |
calcule sec(rt-0)-csc(0-4zt).
A) ^1/3
C) -8/5
B) -5/8
E) -8/3
D)
A) 2
B) -2x/2
30 Del gráfico mostrado, calcule sen0+cos0.
C) 0
D)
Y
242
E) 4
(-3; 4)\
34. Del gráfico, calcule V5sen0 + 13cos2 y.
0X
A) 2/5
B) 1/5
D) -1/5
31. Si tan(-n + 8) = 2-tan^
X
C) 7/5
E) -2/5
—-0 1, determine
2
)
el valor de tan'(2On+0)--cot3C1254n-6).
A) -2
D) 1
B) 0
C) 2
E) -1
. sen0 + cos0 + tan0
Del gráfico, calcule-------------------------- -•
sena-cosa-tan a
35. Del gráfico mostrado, OABC es un cuadrado.
Calcule cota - x/5sena si MB-MC.
A) -2/3
D) -3/2
B) -7/4
C) -2/5
E) -5/2
36. Calcule el valor de la siguiente expresión.
/V = tan
-145n ^cos ( " J )sen
V3
A)
B> 4
“
°
4
D)
2
Si ot + P + 0 = —, calcule
sena+sen(a+P)+cos(p+G)+cosO.
A) 2cos0
B) 0
E)-4
C) -1
D) 2sena
E) 1
37. Si
f (0) = sen2 70 - sen2 30 + sec21 — + sec
calcule f
Calcule el producto del máximo y mínimo
valor de la expresión
L = 4 eos (200/1 + 0) -eos
A) VS-1
C
j +
+4sen(1351n+0).
D) O
A) 5
D) -16
38. Determine
B) 25
C) -5
E) -25
,
(3n
5cos(y
Si tan(n+0)=3 y G e IIIC, calcule sen20.
a partir del gráfico mostrado.
*1
°)-l
c)-l
E)-I
Si sec(2n+a)+tan(-a)=4,
calcule l±.s
* n(25*
-«)
A)i
C) 4/3
E) -3/4
E) -4
J
. Identidades de arcos múltiples
F (arco doble y arco triple)
-—----------------------------------------------------------
Capítulo IX
Objetivos
•
Conocer y desarrollar expresiones trigonométricas que relacionan un arco simple con
un arco doble y triple.
•
Simplificar expresiones donde intervienen arcos o ángulos y sus múltiplos.
-
C Identidades del arco doble
Para determinar la identidad que expresa
sen(20) usamos la identidad del seno de la
suma de dos arcos:
sen(a+P)=senacosP+sen|3 • cosa
- x. .... .
..
> 4
.
Ejemplos
•
cosl2°=cos260-sen26°
•
cosl8°=2cos29°-l
•
cos4x=l-2sen22x
Identidades de degradación
Si a=p=0, se deduce sen20=2sen0-cos0.
2sen2O=l-cos20
Seno del arco doble
2cos20=l+cos2O
sen20=2sen0cos0 j
Ejemplos
Ejemplos
sen20°=2senl0°cosl0°
’
Sen53°=2sen—cos^2
2
sen4x=2sen2xcos2x
C°SEN0 DEL ARCO DOBLE
De forma análoga, se deduce
----------- ---------- -
eos2 0-sen2 0
eos 20 = 2cos20-l
l-2sen20
•
2* cos2(50)=1+cos(1OO)
•
2sen2.v=l-cos2.v
.
|+cos6°=2cos“3°
•
i-cos(3/t) = 2sen
J
Tangente del arco doble
Para hallar la identidad que expresa tan20 en
términos de tanO, usamos la identidad de la tangente de la suma de dos arcos.
tan a + tan P
tan (a + P) - |_tanatanp
En forma análoga, se tiene
Si a=P=0, tenemos
tanO + tanO
tan(0 + 9) = i-tañéis
Por lo tanto, se deduce
Además, se cumple
Z"
tan 29
,
2 tanQ
I - tan2 0
.
colO+tanO=2csc20 ; coto - tanO=2cot2e
Observación ---------------------------- \
Una forma práctica de recordar las iden­
tidades del sen20 y cos20 en términos
de la tanO es
Ejemplos
•
sen415°+cos415°=^ + ^cos60°
4 4
•
r o
sen64°+cosG4°=- + -cosl6°
o
•
l-tan20
sen 20 = 2taOy- : eos 20 = 1 - tan2 0
l + tan20
1+tamO :
2cot32(,=cotl6°-tanl6°
Observación ----------------------------- %
0
6
cscO + cotO = cot- ; ese 8 - cot 0 = tan -
______________________ >
Ejemplos
sen 16°=
o
2 tan 8°
1 +tan2 8o
cos40 =
1-tan2 20
1 + tan2 20
Identidades auxiliares del arco doble
Por identidades trigonométricas fundamentales
se sabe que
Ejemplos
•
csc40+cot4O=cot2ü
•
Ianl5°=csc300-col300
Identidades del arco triple
sen40+cos40=l-2sen20cos20
Seno del arco triple
sen4 0 + eos4 0 = 1-2^ rsenQcos^ J
sen30-sen(0+20)
sen40+cos4O = l-2sen2¿0
-
Ü-cos40)
sen30=»>cn0cos2()+cos0sen20
sen30=sen()( 1 - 2sen20)+cosO(2senOcosO)
sen3()=sen0-2sen30+2sen0cos20
sen30=senü-2sen30+2sen0(1-sen20)
||ieg0 tenemos
Identidades trigonométricas auxiliares
sen30=3sen0-4sen30
DEL ARCO TRIPLE
sen3ü=sen0(2cos2O+l)
(¡emplos
3sen20°- 4sen320°=sen60°
senl5°=3sen5°-4sen35o
Ejemplos
•
sen6°=sen2n(2cos4<’+l)
•
senl8°=sen6°(2cosl2ü+l)
Coseno del arco triple
cos30=cos0(2cos2O-l)
____
cos30=4cos30 - cos0
Ejemplos
Ejemplos
.
4cos3100-3cos10°=cos30°
•
cos450=4cos315°-3cosl5°
•
cos15°=cos5°(2cosl0°-l)
•
cos9°=cos3°(2cos6°-l)
tan 38 = tan 0
Identidades de degradación
4sen30=3sen0-sen39
tan 30°= tan 10°
Ejemplos
4sen38°=3sen8°-sen24°
•
4cos320=3cos20+cos6O
)
Ejemplos
4cos30=3cos0+cos30
•
2 eos 20-t-,1
2cos20-l
2eos20°+1
2eos20°-1
2 eos 40°+1 _ tan 60°
2 eos 40°-1” tan 20°
También se utilizan las siguientes identidades:
Tangente del arco triple
sen30=4sen0sen(6O° - 0)sen(6O°+O)
Cos3O=4cosOcos(6Ou-O)cos(6O°+0)
3tan0-tan30
tan 30 =------------ 5—
l-3tan20
............
i—
tan30=tanfilan(60°-0)tan(60c+0)
Ampios
Ejemplos
•
tan 9o = 3 tan 3o-tan3 3o
.
sen27ü=4scn9°sen5iosen69o
•
4cos20° • cos40° • cos80°=cos60°
•
lanl5”=lan.r)o-tan55,,lan6.r)”
l-3tan23°
3^20°-tan3 20°
l'3tan2 20°
= tan 60°
Problemas Resueltos
Problema N.° 2
Problema N.° 1
En el triángulo BAC de! gráfico, AC=b cm y
BC-AB=k cm, donde b > K} halle tan - l
Simplifique la expresión
sen30 | eos30
cose
senO
UNMSM2013-I
Resolución
Sea la expresión
., sen 30 . eos 30
A7 = -------- H---------cosO
senO
Operando
sen30-sen0 + cos30cosG
A/ - ---------------- 7------ 7-------- eos 0-sen 0
Recordamos la identidad
eos Acosfí+sen 4sen B=cos(4-B)
—>
cos(30-0)
senO-cosO
M =----------------------
Sabemos que sen20=2sen0cos0
v
De las identidades auxiliares del arco doble
csc(«)-cot(a)
Reemplazamos
tan(íÜ
BC
1) bcm
,an(5
Ü
! '
2cos20
2-sen0-cos0
2 eos20
sen 20
A/=2cot20
Problema N.° 3
AB
b cm
Si 0 < 0 < — y tan 20 = - entonces
o
5
!3sen40+5csc40 es igual a
BC-AB
b cm
UNAC201M
i) k cm
■ ' b cm
Resolución
Sabemos de las identidades auxiliares de ángu
*
doble que sen2x = - 2tan^-.
1 + tan2 x
gonces, del dato tenemos
6- eos
Af =
10
5
^n40=26"13
M=6
_ csc46 = y
■
Problema N.° 5
i3-sen49+5,csc40=18
c. tan3x
. .
.
sen3x
Si-------- = m, determine--------- .
tanx
senx
Problema N.° 4
Halle el valor de
Resolución
2n Q
2271
,lf=secy + 8cos y
UNAC 2007-11
Nos piden
sen3x
= 2cos2x +1
senx
Dato
Resolución
Llevando todo a cosenos
l+8cos3^
u________ 9
eos—
9
tan3x
-------- = m
tanx
Usamos la identidad
tan 3x = tanx
2cos2x+1
2cos2x-l
Obtenemos
2cos2x + l _ ffí
2cos2x-l
Por degradación de identidades de arco triple
.
2rc „
2n
1 + 2 eos — + 3cos—
=___ L
3_______ 9_J
2n
eos—
9
Luego
2cos2x =
m+ 1
ni-1
»
■
Problemas Propuestos
6.
ARCO DOBLE
Del gráfico dado, calcule cos20.
NIVEL BÁSICO
Si sen20°=o, calcule senlO°coslO° en tér­
1.
minos de a.
A) 4o
B) a/2
C) a
E) 2a
D) a/4
l
Si senx + cosx = -, determine el valor de
3
sen2x.
2.
A) -2/9 *
B) 2/9
D) 5/9
C) -8/9
E) 1/9
7.
A) 3/4
C) -1/9
D) 1/9
E) -2/3
Si la siguiente igualdad es una identidad
cosnx-sen"x=2cos2x-l,
3.
Si 9x=n, calcule el valor de
calcule cuántos valores toma n; n e Z
*.
cosxcos2xcos4x
A) 1/4
D) 2/3
4.
B) 1
C) 1/2
E) 1/8
Del gráfico, calcule csc20 en términos de a.
A) 4
B) 1
C) 3
E) 5
D) 2
Si tan2x+4lanx-l =0, calcule tan2r.
A) 1/2
B) 1/4
D) 2
C) 1/8
E) 4
Del gráfico, calcule tan2x.
A) 3/a
D) l/2o
5.
C) 2a
E) l/o
Simplifique la siguiente expresión.
eos4 0-sen4 0
eos 20
A) 0
D) 2
0 1
E) l/3
■P '>'•••
10 Reduzca la siguiente expresión.
14. Calcule el míiximo valor de
f(0)=sen0cos0+cos20.
tanx_______
(l-tan2x)(l-tan22x)
A) 72 + 1
B) 1
A) 4cot4.v
B) 72-1
C) V2
C) (an2x
0)^1
tan4.v
D) —
E) 1
E) tan4x
15. Determine el mínimo valor de
11. Si/(O; a)=sen20+cos2a, calcule
112 8/
A) 72 + 73
4-73 + 72
A(0) =------ 1----- .
2cos¿0 + l
A) 2
D) 1
B) 1/3
C) 3
E) 2/3
B)
1
0 73-72
16. Elimine x a partir de
senxcosx=a
(1)
cos4x-sen4x=ó
(II)
D) 1
E)
2
11 Simplifique la siguiente expresión
71-cos2x + 71 + cos2x
J2
A) senx+cosx
B) senx
C) cosx
D) 1
E) senx-cosx
B) 4a2+62=l C) a2+ó2=l
D) Aa2-b2=\
E) 2c/2+b2=l
A) a2-d2=l
c. l-cos20_o
17- s,ü^=2>
2
determine el valor de eos 0.
A) 1/3
D) 1
18 sir(e)s2csc2e-;tan0
18.
2col20+tan©
A) J3
C) 3
F.) 2
B) 2/3
ak.uler
B) 2
C) tan
~u| »
13- Sixe IIC, simplifique la siguiente expresión.
(í)
—
-4 |
4-73 + 72
E) cot
D) 1
^l-sen2x +cosx
19. Simplifique la siguiente expresión.
A) 2cosx
B) senx+2cosx
C) 2senx
cosx
senx
Y<os2.v< I - 2 sen2 .v eos2 x) + sen8 x
B) senKx
C) larr'x
E) sen’x
26. Calcule el máximo valor de
/(O)=cos20 (3+cos4 6)+4sen80.
NIVEL INTERMEDIO
20. Reduzca la siguiente expresión.
csc20°+csc40o+csc80°+tanl0o
A) 4
B) 2
E) 5
D) 1
A) secl0°
D) cosl0°
B) cotlO°
C) tan!0°
E) sen!0°
C) 3
27. Del gráfico, calcule sen20.
21. Si VcscO-cotO + VcscO + cotO = a,
calcule tan
A) 2-a2
D). a2-2
B) a2-l
C) a2+2
E) a2
22. Si tan20-6tan0+1 =0, calcule sen20.
A) 1
D) 1/2
B) 2
C) 3
E) 1/3
23. Si eos 20 = 4, determine el valor de lan20.
4
A) 3
D) 2
B) 3/5
C) 2/5
E) 1
24. Simplifique la siguiente expresión,
tan 0- tan3 0
A) 4/5
D) 9/5
B) 3/2
C) 10/7
E) 7/4
28. Del gráfico mostrado, calcule 49cos20.
A)
B)
C)
D)
E)
29. Simplifique la siguiente expresión.
(l+tan2o)
tan
A) 2sen20
B) 4sen4O
+ tanO
C) 4cos2ü
m sen 40
4
eos 40
25. Si sen6.v+cos6x+sentv+cos\ = 4+Scos4x
es una identidad, calcule A+fl.
A) cscO
D) secO
B) senO
30. Elimine x a partir de
sen x + eos x = Vi + 2a
(I)
(ID
tanx + cotx=b
A) cró=l
D) l=uó
C) cosO
E) tanO
B) 2=ab
C)
E) O2**2*1
*J
Si coi3x-tan3x=8cot32x -l, determine el valor
36. Reduzca la siguiente expresión.
1-eos 20
tañe
cot2r.
■»!
A) 4
2
D)5
c)
1 +eos 20
cote
2
3
B) I
E)
6
37. Si se tiene la siguiente identidad
32 Calcule el mínimo valor de
1 +sen 20 4-eos 20
14-sen20
/(0)=cos20+sen0.
B) 1
C) 0
33. Calcule el valor de la siguiente expresión.
71-sen 10° 4-sen 5o
Tí4- eos Í0°
B) y
rD) 242
m
E)
—
B) 2
C) 1
E) 4
38. Reduzca la siguiente expresión.
FZL
C) 1
A
14-fitanO’
calcule Ab.
A) 1/2
D) 1/4
A) 42
C) tanO
E) sen0
|l + sen50°
A) 72 sen 50°
B) í/8cos40°
C) 72eos 40°
34. Simplifique la siguiente expresión.
csc20-cot20
2Q
-------------------- sec 0
csc20 + cot 20
A) 0
B) 2
E) 78 eos 10°
C) -2
E) -1
0) 1
D) 78 eos 20°
sen6x4-cos(>.v
39. Si sen’.v 4-eos1.v
determine el valor de 4sec4.v.
& De la siguiente identidad
= A (cot B0 + tan BG)
2
A) -II
D) -I
B) -9
C) -7
E) -2
B) fl-2
C) 204-1
A) </+l
D) a+2
cosz 20
calcule A4-B.
A) 5
D) I
b)
2
O 4
E) 3
E) u
y
■ :• • •
' ‘
------
Lumbreras Editores
» b? C
46. Si 4senx-5cosx=0,
ARCO TRIPLE
calcule el valor de cot3x.
NIVEL BÁSICO
41. Simplifique la siguiente expresión.
,
A
4sen30-3sen0
23
151
17
C)
||
sen 66
E)
A) -|-csc30 B) -|-tan39 C) -^sec30
47. Si eos 6 =
D) ^-sec30
E) - csc3e
2
42. Determine el máximo valor de •
senx(4cos2x-l)+cosx(l-4sen2A').
B) 42
A) 1
D) 2
73
E) 75
3senO-4sen30 + sen 30
(!)-
™
125
D)
d)t
67
o4
49. Calcule el valor de tan30 en la siguiente
igualdad.
3tan0-2=tan30-6tan20
C)
117
B) -2
25
C) -3
E) 1
234
E)
5
Calcule el valor aproximado de tan(79"30’).
a> u
2372
o, 4
44. Calcule senl 1 Io-eos 159°.
A
c)w
E)
A) 4
A) senO
B) sen20
C) 4sen36
D) 2sen30
E) 0
A)
m 12
® 13
48. Si tany=2 ;y e IIIC,
calcule el valor de cosy(l-4sen2y).
43. Reduzca la expresión
2cos0 + 4sen2
calcule el valor que toma sen30.
.. 23
A) 27
C)
—; O g IIC,
3
Calcule sen|3(x+l 20°)|
si se cumple que sen(x + 60°) = ~
B) u
D) --1LÍ
125
Capítulo IX: Identidades de
■ír*
VKPtrJi.AX y,
*»
A) I
51. sise cumplesen^-ej=~
B) sec30
C) 0,5
*csc30
calcule cos30.
D) 2csc3G
E) 0,5-sec30
57. Determine los valores que toma la expresión
sen3x +--------cos3x e
--------senx
cosx
52. Determine la variación de
4sen30-12sen0+15.
A) l-4;4)-{0}
B) <-4;4)-{0}
C) (-4; 4)
A) 10; 30)
B) |-2; 35)
D) |-4; 32]
C) [-1; 31|
E) (-2; 51)
. senGG
2 i
.
S------- = x-1, determinex.
sen 20
A) 2cos20
D) 2tan0
B) 2sen0
E) (-4; 3)
58. Simplifique
sen30cot0-2cos0.
C) 2sen20
E) 2cos0
54. Si eos (60°-x) =
D) (-4; 4)
calcule sec3x.
B) cos60
A) cos30
C) sen30
E) csc30
D) sec30
59. Reduzca la expresión
2cos6x • sen3x+sen3x.
A) sen 12a*
B) sen9x
C) senfíx
D) sen 15a*
55- Calcule
E) sen3x
sen II4° eos 2 Io |(senl4°+cosl4o) 1
sen 38“ + eos 7°
60. Si eos x = ", calcule el valor que torna
ó
A) 1
D) 4
B) 2
C) 3
Ian3x-cotx
E) 5
5
23
A)
Reduzca la expresión
l-sen¿0
W¿ü(cos30 + 2cosÓ)’
A
7
0) 757
B>
u
2
23
5
® 23
Lumbreras Editores
66 si^LL = 3, calcule
cot3x
sec3x
NIVEL INTERMEDIO
61. Calcule el valor de cos42°+4cos374°.
A) 7/25
D) 7/24
B) 20/23
C) 21/25
E) 21/24
A) 1
D) 1/3
B) 72
C)
E)
67. Reduzca la expresión
62. Calcule el valor de
sen3x • esex+seex • sec3n • cos3x.
- -(tan 3x(l - 3 tan2 x) + tan1 x).
3
A) 0
D) 2
A) esex
D) senx
C) -1
E) -2
2-sen39 + sen30
2 +eos 20
cos3ü=ócos0
B) sen20
C) cosO
E) cos30
A) 2a+3b=7
(ID
B) o+í>2=6
64. Si 2senx-cos2x=asen3x+6senx,
calcule b-a.
B)
65. Del gráfico, calcule eos 20- -
C) a2+b2=5
E) a+6=10
D) a-b=2
A) -1
D) 1/2
C) tanx
E) secx
68. Elimine la variable 0 de las siguientes expre­
siones.
sen30=osen0
(0
63. Simplifique la expresión
A) senO
D) sen30
B) colx
Calcule cos20°-cos40°-senl0°.
A) 1/4
D) 1
B) 1/8
C) 1/2
E) 1/16
Reduzca
sec2°-sec62°secl22°.
A) tan28°
D) -2-sec6°
B) 1
C) -Ian42°
E) -4-sec6°
Calcule el valor de
sen50°-sen70° eos80°
tan 20° tan 80° tan 40° ’
B)^
B) 12
9
o íó
A'
Reduzca la expresión
76. De la igualdad
nm°-eos 20°-sen 50°-eos 80°
----------- sen 5°
'
f
e
^c°s- + 3cos
~~4
sen2O2
A)
"■»(?)
calcule rn+n.
4
eos 5°
3)
4
A) 58
0
sen£
4
D) -3/8
D)
coslO°
4
B) “5/8
C) 3/8
E) 4
77. Si senx-73 cosx = ^, calcule sen3x.
sen20o-cos5°
E)
A) -5/8
4
*
B) -3/8
D) -47/64
C) -11/16
E) 9/11
73. Calcule el valor de
í2-tan80o+tan20o J tan 40°
[
tan 80°
78. Calcule
(1 - cosí 56°)(l-cos84°)(l - cos36°) • csc254°.
B)
D) 2^3
75
2
‘
C) 73
E)
3
A) 1/4
4cosl8°-3secl8°
eos320
C) 3
E) 1
?5’ ^termine el valor de
B) 1/2
A) 1
D) 4
B) 2
C) 3
E) 5
80. Determine el equivalente de
2 eos 20+1
2cos0+1
^Üjjo,sen76°
2sen58°+l ‘
A) 1/4
°) 1/3
E) 1/3
D) 2
tanl8°
B) 4
C) 5/3
79. Calcule
cos3e(3cos0 + cos30)-r sen30(3sen0-sen30>
Simplifique
A) 5
D) 2
B) 1/2
C) 1/8
E)
I
A) 2cose
p) 2cos0+l
B) cos0
C) cosO+1
E> 2cos0-l
h- Transformaciones trigonométricas
------------------------------------------------------------------------------------------------- Capítulo X
Objetivos
•
Identificar las equivalencias que transforman sumas o diferencias de senos o cosenos
a producto para simplificar expresiones complicadas.
•
Identificar las equivalencias que nos permiten transformar el producto de senos o
cosenos a una suma o diferencias de los mismos.
De suma o diferencia a producto
•
en
on
o
(60 + 20)
(60-20)
cos60-cos20 = -2sen^—-—jsen^--------- j
= -2scn40scn20
•
r—cz;----------------- 1
cos70°+sen400=cos700+cos500=2cos600co$l0°
1------------------------- l
•
l + 2senl0°=2^ + senl0° j = 2(sen30°+senl0°)
= 2(2sen20ücosl0°)
= 4sen20‘’cosl0o
Propiedad
Ejemplos
Si 4+fí+C=180°, se cumple
sen50°+sen20°=2sen
50° 4-20°
sen 4 + sen B + sen C = 4 eos — eos—cos^
2
2
2
= 2 sen 35° eos 15°
sen 30-sen 0 =
30 + 0
30-0 j
2
2
- 2eos20seno
•
eos 4 + eos fi + eos C = 4 sen — sen—sen - + •
sen24+sen2fi+sen2C=4sen4senflsenC
cos40“+cosl0,,= ■>eos(y,2+l0-)(.l,s[ 40"-l0°
cos24+cos2fi+cos2C=-4cos4cos^cosC-l
= 2 eos 25° eos 15°
EjemPl0S
sen500+sen600+sen700=4cos250cos300cos35o
•
t-
cosl300+cos400+cosl00=4sen650sen200sen5°+]
scn260°+sen70o+sen30o=4senl30osen35osenI5o
cosl00°+cosl400+cosl200=-4cos50° cos70°cos60°-l
9
De producto a suma o diferencia
2senAcosB=sen(A+B)+sen(A-B)
2cosAcosS=cos(A+fí)+cos(A-B)
2senAsenB=scosíA-fi)-cos(A+B)
Ejemplos
.
2sen320cosl00=sen(320+100)+sen(320-!00)=sen420+sen22°
•
2sen0cos30=sen(0+30)+sen(0-30)=sen40-scn20
•
2cos5°cos2°=cos(5°+2°) 4- cos(5° - 2°)=cos7°+cos3°
•
2scn 10°sen8°=cosí 10o - 8°) - cosí 10°+8°)=cos2°- cosí 8°
•
2 sen 70 sen 30 cos4G-cosl00
sen 70 sen 30 =---------- --------- =------------ ---------
•
r—E=’
1
75eos 10° = 2 y- jeos 10o = 2 eos 30° eos 10° = eos 40“ + eos 20‘ ’
.
VC = 4^y
j = 4cos30°cos450 = 2(2cos30045ü)
-2 (cos75‘ ’+ eos 15* ‘)
Aplicación
Muestre sen30=3sen0-4scn30.
Polución
2sen20cosO=sen3ü+sen() -> sen30=2(2sen0cos0)cos0-sen0
sen30=4sen0cos20-senü
sen30= IsenOd-sen20)-sen0
Problemas Resueltos
Resolución
Problema N.° 1
Si a=33°20' y 0=56°4O’, halle el valor de la si­
Dato
lOcos 2a- 13cos3a + 2sen~sen2~o
guiente expresión
pf
“
a
M = eos — + eos- + í
k
2
2/ k2
pf
Seíl 2)
Empleamos transformaciones trigonométricas
I0cos2a-13cos3a+cos2a-cos3a=0
UNMSM 2009-11
Entonces
eos 2a _ 14
eos3a 11
Resolución
Af = ^2cos^±ÉlCoSÍ5^^ +
(n
(a + P)
(a-P)f
H2cos
4
sen
4
J
..
.
Nos piden
P = sec a + sec3a =------- + —!—
cosa eos 3a
p _ eos 3a + eos a
eos a eos 3a
2(a + P) cos2(“-p) +
A/= 4 eos -—
4
44cos2(a+P)sen2(a;P)
4
4
Transformando el numerador a producto
r—1=;—l
p _ 2eos2acosa _ eos2a _ 2fH | de (1)
eos a eos 3a
eos 3a
111/
2(«-P)
2(a“P))
Af = 4cos2 (“+P) 1
cosz ----- — + sen ----- —
4
4 )
4 k
w = 2(2coS2(^)=2^+cos^j
Problema N.° 3
Simplifique la siguiente expresión.
cos(x-120°)+cosx+cos(x+120°)
Como a=33°20’y p=56°40’ -> a+p=90°
Resolución
Sea
/.
A/ = 2(l + cos45°) = 2^1 + yj=2 + V2
£=cos(x -120°)+eos a +cos(a+120°)
Agrupamos de manera conveniente
E=[cos(a+120ü)+cos(a-1200)]+cosx
Problema N.° 2
Si 10eos 2a -13 eos 3a + 2 sen — sen - = 0
2
2
Transformamos a producto
a * (2K +1)^(/? g Z), calcule seca+sec3a.
E = 2cosx(“ J+cosx
UNMSM 2009-11
E=2cos aeos 120°+eos x
/.
E=0
problema N.° 4
Por ángulo doble
S¡nlplifiquelaexpresión sen 5x + sen 3x4-2 eos x
-2 sen2 (2x4-45°)
2(2senOcosO)cos0=a
4sen0cos20=2
(sen 5x 4- sen 3x) + 2 eos x
Por identidades pitagóricas
2sen2(2x4-45°)
4(sen0)(l -sen20)=a
Luego
Transformamos a producto
4(sen0-sen30)=a
2sen4xcosx4-2cosx
1-eos (4x4-90°)
/. sene-sen30 = 4
Usamos la identidad
2sen2O=l-cos20
Problema N°. 6
Calcule el máximo valor de
Obtenemos
_ 2eosx(sen4x4-1) _ 2cosx(sen4x4-l)
l-(-sen4x)
<(x)=2cos(a 4-30°)cos(x - 30°).
14-sen4x
Resolución
Simplificamos
Dato
/(X)=2cos(x4-30°)cos(x-30°)
M=2qosx
Por transformaciones trigonométricas
Problema N°. 5
/(A j = eos 2x + eos 60°= cos2x 4- |
Sisen304-sen0=a, calcule sen0-sen30
en términos de a.
Como x-1 £ cos2x S 1
Resolución
- 4scos2x44
Dato
sen30+sen0=a, por transformación
2sen20cos0=a
• • 'max .j
Problemas Propuestos
A) 65°
NIVEL BÁSICO
6.
B) a.
A) 1-a
D) a+2
2.
C) 2a
* E) a-1
De la siguiente identidad
(cos3O+cosO)(sen5O-sen30)=Asen(fi0),
calcule A+B.
Reduzca la siguiente expresión.
A) 5
sen 60 4-sen 20
eos 60 +eos 20
A) sec40
D) tan40
3.
C) 80°
E) 40°
D) 50°
Si sen20o+sen8°=2acos6°, calcule sen 14°
en términos de a.
1.
B) 60°
•
B) 7
E) 17/2
D) 15/2
B) cot20
C) cot40
E) tan20
7.
C) 11
Simplifique la siguiente expresión.
sen 0 + sen 30 + sen 50
eos 0 + eos 30 + eos 50
Simplifique la siguiente expresión.
eos 0-eos 50
_n
-------- - -------- + eos 30 eos 20
A) tan39
A) sen20
D) secO
B) tanO
D) cot50
C) cosO
E) scnO
8.
4.
Elimine 0 a partir de
sen30+sen0=2a
(I)
sen 30-sen 0
= 2b
eos 20
(ID
B) cot30
C) tan50
E) tan40
Si 70=n, calcule el valor de
sen60 + sen40
sen 30 +sen 0 ’
A) -2
D) 2
B) l
C)
E)
A) 2a=2b3+b
B) a3=2b+\
9.
C) 2a=b+2a3
Calcule el valor de a en la siguiente igualdad.
cos80°+2cos400=r/cosl0°
D) a3+b3=a
E) 2b=a+2b3
5.
A) 2
Del gráfico mostrado, calcule 0.
B) 73
D) 273
C) I
E> T
10. si Z(x)=(cos3x+cosx)cos4x, calcule /(20')-
sen40°+scn20°
sen70°-sen50°
A) 0,225
D) 0,15
B) 0,25
Capitulo
f1 s¡ 73 + 2cosl0°=a, calcule el valor de
sen70°senl00° en términos de a.
A) 0
B) I
D) 3
C) 2
E) -1
A) a
B) 3a
C) 2a
E) a/4
D) a/2
12. Sea la ecuación cuadrática
ax2+bx+c=O, cuyas raíces son cosO y cosa
calcule cos(G+a)+cos(0-a).
17. Del gráfico, calcule x en términos de a.
A) Vita sen 20°
B) ocos20°
C) o V3 eos 20°
D) 2 Vita eos 20°
A) 2c/a
D) ac
B) a/c
C) c/a
E) 2a/c
E) 2acos20°
18. En un triángulo ABC, simplifique
13. Al resolver la siguiente ecuación
(C0S80o+COS40o)(scn40°+sen20O)=(sen70o)^sen20<’
sen A + senfí + senC
ABC
\ cos-cos-cos-
indique el valor de 2x.
A) 1
A) sen!0°
D) tanlO°
B) seclO°
C) csclO°
E) cot 10°
B) 2
C) -2
E) 1/2
D) -1
19. En un triángulo ABC, se cumple
14. Sicos2+cos8=(cos2-cos8)a,
sen2A+sen2B+sen2C=2senásen£L
calcule
.
• a-1
Calcule tanC.
B) 73
A)
A) tan2
B) sen2
D)
C) cos2
¿a
eos 2
eos 8
D) 4
E)
eos 2
En un triángulo ABC, se cumple
cosA+cosB=senC.
B) 60»
D) 120°
E) '
NIVEL INTERMEDIO
20. ¿En qué tipo de triángulo ABC se cumple
Calcule la medida del ángulo A.
A) 30»
C) |
eos4 + eosB + cosC = I ♦ 2 V2sen — sen —?
O 9°
* ’,
A) equilátero
E)
B) aculángulo
C) obtnsangulo
Calcule el valor de
senx+sen(120o+x)-sen(120o-x).
D) escaleno
E) rectángulo
27. SiZ(e) = ^2sen2e + ^cscejtane,
21. Si 2sen20°cosl0°=a, calcule
(sen5°+cos5°)2 en términos de a.
calcule /(20o).
B)
°2+1
D) a
O «4
E) 2a
22. Calcule el valor de la siguiente expresión,
sen 10°cos20°+cos70°cosl 0o
A) 4
D) 2
B) 1/4
A) y
B) 1
C) 73
E) 2
D) -1
28. Reduzca la siguiente expresión.
sen!5xsen!3x_____
sen 19x sen 9x + sen 6x sen 4x
C) 1
E) 1/2
23. Si/r(9) = ^^-2cos20, calcule/fí]
senO
A7 7
A) sen2x
B) -1
D) 1
C) COSA
E) 2
29. Reduzca la expresión
A) 1/2
D) 0
B) -1
C) 1
E) 2
24. Simplifique la siguiente expresión.
sen30cos0 + sen20cos40
sen 50
A) cos0
D) sen50
B) senO
C) sen2°
E) cos5°
26. Simplifique la siguiente expresión.
sen(x+45°)sen(x-45°)+sen2(90°-x)
A) -2
D) 1/2
B) -1
ese 2o
D)
sen 2o
B) csc2°
C) 2csc2°
E) 2sen2°
30. En el gráfico mostrado, sen50°=0,766 y
.40=4. Calcule AB.
sen 6° eos 2o+sen 4o eos 8o
2cos21°-1
B) sen10°
A)
C) cos50
E) 2cos0
25. Reduzca la expresión
A) sen5°
D) cosl0°
2 eos 6o eos 4o- eos 10o
2 sen 5o eos 1° - sen 6o
c) 2
E) j
31-
Calcule el valor de la siguiente expresión.
4cosl00+l-cos40°
1-sen210°
A) -2
determine el equivalente de /(29o)-g(40°).
B) 1
C)2.
A) 4cos210°
D) 8cos2l0°
B) cos210°
C) 6cos210«
E) 16cos219°
E)
0) -1
32. Calcule el máximo valor de la siguiente ex­
presión.
2sen8xsen3x+cosl lx+3sen5x
A) I
B) VÍÓ
E)
sen 10o +1 seo 499° = A + B ese 59°
£
/V=sen(2x+50°)-sen(10°-2x).
B) 2
O 1/4
D) 4
O 75 eos20°
D) 75sen35°
E) 75sen 10°
38. Si la igualdad
33. Halle el máximo valor de
A) 1
37. Reduzca la siguiente expresión.
4sen220osen80o+sen60°
A) 75 eos40°
B) 75eos 10°
C) 4
D)
es una identidad, halle el valor de A+B.
E) -2
A) 9
D) 1/4
34. Elimine a a partir de
3a
a
eos—eos—
2 2
Sean <(0) 2sec49 y g(a)=4seh(a+30°).
a
2
(I)
B) 1/2
C) 2
E) 3/4
39. De la siguiente identidad
(H)
calcule el valor de K.
A) (a-b)2=a+b+2
B) (a+6)2=a+d-2
A) 1/2
D) -2
C) fa+ó)2=a-¿>-2
B) -1
C) 2
E) I
D) (a-b)2=2ab
E) (a-6)2=a+2d
40. Simplifique la siguiente expresión.
cos19-sen’0
^plifique la siguiente expresión.
_______ ___
(2sen30senO+cos40)2+(2cos40cos20+cos(K+6O))
^==2csc9cos30+sec29sen(2n+40)
A) 2sec220
A) sen29sec0
B)
I
on
D) -sec20
E)
O -jsec 20
2cos20cot0
C) c°s29tan9
cot29sec9
B) scc20
tan20sec0
E) -sec20
4
Resolución de triángulos
oblicuángulos
nun
"
--------------------------------------------------------------------------------------------------- Capítulo XI
Objetivos
•
Aplicar el teorema de senos y cosenos en la resolución de triángulos oblicuángulos.
•
Conocer los teoremas derivados para resolver triángulos y simplificar expresiones que
involucren los elementos del triángulo.
Teorema de senos
En todo triángulo, los lados son proporcionales a los senos de los ángulos opuestos. Es decir, para
cualquier triángulo ABC
se verifica
a _ b _ c
sen A sen/? senC
a=2/?senA
b=2/?sen»
c=2/?senC
A
Capitulo XI: Resolución de triángulos oblicuángulos
<¿ Observación --------------_-------------
El coseno de un ángulo de un triángulo
ABC se puede expresar en función de los
lados.
eos 4 =
62+c2-a2
2bc
fl=2/?senA
tf=2(2)sen60°
Ejemplo
a = 243
8 Teorema de cosenos
El cuadrado de la longitud de cualquier lado de
un triángulo es igual a la suma de los cuadrados
de las longitudes de los otros dos lados, menos
el doble producto de las longitudes de los mis­
mos lados por el coseno del ángulo entre ellos.
Es decir, para cualquier triángulo ABC
(JG)2 +(V2)2-(V3)2
C°SA=
2GW2)
6 + 2-3
cosA=-^r
a2=62+c2-26ccos4
cos4=¿)
b2=a2+c2-2ciccosB
c2=a2+b2-2abcosC
5713
. > —
Ríe.-;’’-'
-
Lumbreras Editores
Teorema de proyecciones
En todo triángulo, se cumple que un lado cual­
quiera es igual a la suma de sus otros dos lados
% Teoremas derivados
Teorema de tangentes
En todo triángulo, la diferencia de dos lados es a
su suma como la tangente de la semidiferencia
multiplicados cada uno por los cosenos de los
ángulos adyacentes a dicho lado.
de los ángulos opuestos a estos lados es a la tan­
gente de la semisuma de dichos ángulos.
B
\a
c/
b
A
C
a=bcosC+ccosB
Ejemplo
b=acosC+ccosA
tan
c=bcosA+acosB
Ejemplo
5=6cosC + 7cosB
6=5 eos C + 7cosA
7=6 eos A + 5cos£3
__
a-b
a+b
tan| V)
2 J
Problemas Resueltos
Problema N.° 2
En un triángulo ABC, se tiene
AB=ct BC=a y AC=b.
el valor de 4Í (cot B - tan B) es
UNAC 2010-11
Resolución
Del dato, obtenemos el gráfico
Resolución
Prolongamos CD hasta H, para Lo cual en el
^AHC aplicamos resolución de triángulos rec­
tángulos.
— = ese 20° -» AC = 6-csc20°; BC=x
6
Operamos el otro dato
u(a-b)+c(b+c)+(b+c)(p-b)=0
ti2 - ab + cb + c2 + bu + ac-b¿ - be = 0
a'+c =b -ac
x
6ese20°
sen 40°
senl10°
Del teorema de cosenos
sen(90°+20°)
a2+¿-=a2+c“-2accosB-oc
___ x
6ese20°
2sen20o-eos20° " cos20°
cos8 = - - —* 5 = 120°
x = 12 sen 20°-ese 20°
Reemplazamos en lo que piden
*=12 cm
/.
x^3 (cot B-tan B) = 2
Lumbreras Editores
Problema N.° 4
Problema N.° 3
En el triángulo del gráfico, se tiene que
En el gráfico, se tiene el triángulo ABC con
(BC)(4C) = 12 u2, (BC)(4B)=8 u2 y
BC=3AC.
(4C)(4B)=6 u2
sen 2a tan (a-0)
Halle el valor de E =
tan(a + 0)sen20
Halle el valor de A/=3cosa+4cosp+6cosy.
UNMSM 2012-11
UNMSM 2008-1
Resolución
Resolución
Del dato, tenemos
Nos piden M.
BC = 3k
AC = k
B£=3
AC 1
Sean AB=C, AC=b, BC=a
Del dato
a-6=12 u2
0)
o-c=8u2
«O
í>-c=6u2
(III)
Multiplicamos (I), (II) y (111)
a6c=24
(IV)
Por el teorema de tangentes
Reemplazamos (1), (II) y (111) en (IV)
.. (20-20)
dn(
2 )_3k-k
> tan(q-e)
[3n^2a + 20j
tan (a+ 9)
3¿ + Z?
1
-»
o=4, d=3yc=2
2
Por el teorema de proyecciones
3cosa+4cosp=2
Por el teorema de senos
k
sen 20
3k
sen 2a
,
sen 2a
sen 29 ~
Por el teorema de cosenos
eos y =
2(3X4)
Multiplicamos (I)x(||)
(V) y (VI) en M
a
M =2?
4
21
-> 6cosy = -r
NIVEL BÁSICO
!
a
En un triángulo ABC, BC = 4Í\ m<ABC=60°
a
yni<ñ4C=45o. Calcúlele.
A) 75
B) 75
C) 72
5.
Sea R circunradio del AABC cuyos lados
son a, b y c, respectivamente. Si se cumple
3/?2=4c2-cos2C, determine m<ACR
2.
En un triángulo acutángulo ABC, el lado
flC=6 u, además, se cumple
A) 15°
D) 30°
43 sen 4 = sen B. Calcule AC. •
A) 273 u
B) 373 u
3.
Del gráfico, sen0 -
C) 50°
E) 24°
C) 473 u
E) 673 u
D) 573 u
B) 16°
6.
Calcule 719-x.
Se tiene un triángulo ABC de lados a,by c,
respectivamente, donde se cumple
3
3
senA + senB = -• senC = - vc=6.
2
4 7
Calcule el perímetro del triángulo.
A) 18
D) 12
7.
’
B) 16
C) 14
E) 20
En un triángulo ABC, de lados a, b y c, res­
pectivamente, determine el equivalente de
la siguiente expresión.
b-c- senA • (col fl+cot C)
m
B) —
19
D) 272
Del gráfico, calcule secO.
C) 475
E) 373
A) 3abc
D) b2
B) abe
C) c2
E) a2
Se tiene un triángulo ABC de lados propor­
cionales a 2; 3 y 4. Calcule el menor valor
del coseno de uno de sus ángulos internos.
A) -5
°>1
»4
«4
0 3
9.
Los lados de un triángulo están en progre­
sión aritmética de razón 4 u. Si su mayor
ángulo interno mide 120°, calcule su perí­
metro.
A) 10 u
D) 25 u
B) 15 u
C) 20 u
E) 30 u
10. En un triángulo, el ángulo intermedio es 60°.
Calcule los lados del triángulo si los dos me­
nores se diferencian en 2 u y los dos mayores
en 1 u.
C) 3
D) 272
14. En un triángulo ABC, donde BC=a, AC=b y
AB=c, se cumple que
c-bJÍ
a-b
. Calcule 2 • sen24.
E) 4
D) 2
A) 7; 9; 10
’ B) 5; 7; 8
D) 4; 6; 7
C) 6; 8; 9
E) 3; 5; 6
15. Dado un triángulo ABC de lados a, b y c, res­
11. Dos fuerzas de 20 N y 25 N actúan sobre un
cuerpo. Si sus direcciones forman un ángulo
de 53°, calcule la resultante en Newton.
A) 5^65
D) 40
B) 30
C) V65
E) 15
12. En un triángulo ABC de lados a, b y c, res­
pectivamente, calcule el equivalente de
pectivamente, reduzca
A) -2
B) -1
E) 2
D) 1
16. En un triángulo ABC de lados a, b y c, res­
pectivamente, se cumple que
a2 + c2 -b2
a2-(c2-b2)
A) tanfl-cotC
B) tanC-cotB
C) tan/3-tanC
D) col B- cotC
E) tanB+tanC
Calcule cot^^J.
A)
13. En un triángulo ABC de lados a, b y c, respec
tivamenle, se cumple 3a2=3b2+3c2-2bc.
Calcule tan4.
C) 0
a-b
a+b
B)
b-a
a+b
17. En un triángulo ABC,
m<a4C=45°;m<SC4=53o;4fl=¿, y Bc=g
21. En un triángulo ABC de lados a, b y c, res­
pectivamente, se cumple que
/ñ
0 = 2j3 + j2,b^243-yÍ2 y cotC = -¿¿
3
Calcule tan
)•
Si se cumple que
^ = tan(a)-cot(0);0 > a
b+a
'
calcule tan(0-a).
A) -1
« 0
C) 1
E) 1/2
D) 2
18 En un triángulo ABC, se tiene que
' m<BCA=60°;BC=3yAC=l.
Calcule tan
22. Reduzca la expresión
(A-B'Á
2 J.
asenBcosB + bcosAsenB
senC
siendo a,byc lados de un triángulo ABC.
J3
A) 273
B) 73
C)
4
d)t
E)
B) b
A) a
D) 1
43
C) c
E) a b
2
23. En un triángulo ABC, cuyos lados son u,byc,
respectivamente. Reduzca la expresión
a(costí+cos C)+b(cosA+cos C)+
19. En un triángulo ABC, se cumple
«#HV)6c"2u
+c(cosA+cosB)
AB=7 u. Calcule tantí.
*>5
b>4
O|
B) 3p
A) 4p
D) p
*4
D) V5
20.
Siendo p: seiniperímetro.
En un triángulo ABC de lados a, b y c, se
C) 2p
E) p/2
NIVEL INTERMEDIO
24. En un triángulo ABC de lados a, b y c, res­
pectivamente, y circunradio igual a 5, se
cumple que m < BAC = 120°.
cumple que
Calcule |
5 e cos A _ tan225°. Calcule sentí
crcosC
«i
0) 73
B) -75
43
c)
E) 1
A) 4
B) f
3
“’l
E) |
*6
•7
Lumbreras Editores
25. En un triángulo ABC de lados a, b y c, res­
pectivamente, determine el equivalente de
la expresión
28. Del gráfico, A¿3=5. Calcule
acosB+C’COsA+¿?’CosA.
b-c-cosA
a + b cosC-c eosB
A)
sen ¿3
2-sen A’
2sen A
senfí
senC
2 sen A
A) 7
D) 10
sen A
2-senB
E)
B) 8
C)9
E) 11
29. Si los lados de un triángulo están en progre­
sión aritmética (a < b < c), calcule
senA-senC
2senZ?
sen A + sen C
sen 8
26. En un triángulo ABC, se cumple que
.
sen>1 = —.
Calcule
b-acosC
asenC
A) 10
D) 1/10
B) 1/4
A) 1/2
D) 2
7>/2
B) 1/7
C) 1
E) 3
30. En un triángulo ABC, se cumple
C) 7
E) 7xÍ2
a
eos A
b
cosB
c
senC
Calcule sen^-
27. En un triángulo ABC, de lados AB=c, BC=a
yAC=b, determine en términos de los lados
la expresión
A) 0,3
B) 0,4
D) 0,6
C) 0,5
E) 0,7
sen(^)
31. Calcule el área de la región triangular de la­
dos 72; 73 y 76.
c
cos-
B)
D)
a
2b-c
c-2b
a
a
O 7- 2b
E)
2b + c
a
2
35. Si a, byc son los lados de un triángulo ABC,
que cumplen
a
c
.
—7 +---- 7 = ’
c-b a-b
calcule tan(2B).
1 calcule 3sena.
32. S¡cos29 = 3’
£*
2u
C
3u
C)
E)
Osen2
)+csen¿ (7)Sl p scm’Penrnelro-
5
5>/3
, 2^3
«T
C) 1
E) 0
36. En un triángulo ABC, si AB =c; AC=b y BC=a,
determine el equivalente de
>/3
3>Í5
A) 5
B) -V3
D) -I
\ 0
ox
A
A) V3
A) p
D) p/2
B) 2p-a
C) p-o
E) 2p
3
37. En un triángulo ABC, se cumple
33. En un triángulo ABC de lados a, b y c, res­
pectivamente, donde
—— = —— = —— = J3R +1.
eos A cosB cosC
Si R: circunradio, calcule /?.
5
(o+b + c)(fl + b-c) = -o-b,
calcule cosC.
A) 3
B) I
C)
&
2
J3
E)
«4
b> 4
c> -S
5
E) -g
0>¡
34- En un triángulo ABC, donde a-30, reduzca
cot(í)
«<•»(¥)
A) 1/3
D) 2
B) 1/2
38. En un triángulo ABC, se cumple
eos
A 1-------eos B 4-------cosC —---c ,
-------abe
ab
Determine el equivalente de
eos A+eos B+eos C.
A)
B)
<’)
C) I
E) 3
D)
E)
3
p- Funciones trigonométricas
'_______________________________ __________________ ______
Capítulo XII
Objetivos
• Analizar y determinar el dominio y el rango de una función a partir de su regla de
•
correspondencia.
Estudiar y analizar definiciones que nos permitan graficar una función (paridad, im­
paridad, creciente, decreciente y periódica).
•
Aplicar el estudio de las funciones trigonométricas a situaciones prácticas de la vida
cotidiana.
•I Definición
Una función f de un conjunto A en otro conjunto
B (f: A —> B) es una correspondencia que asigna
a cada elemento x de A un único elemento y de
B. Esta correspondencia se expresa frecuente­
mente por medio de una ecuación: y=/‘(x).
. Observación -------------------- i ■\
Notación funcional
variable
dependiente "”|
variable
independiente
,y=f(.x)
regla de correspondencia
l________ _
_______________ J
Función real de variable real
f: A —> B es una función real de variable real si
AcR a Bq R
% Dominio de una función
Ejemplo
La ecuación y=senx define una función para la
cual A es el conjunto de todos los números reales
y B es el conjunto [-1; l|. El valor de y asignado
al valor de x se obtiene al hallar el senx.
Sea f'.A—iB una función real de variable real, el
dominio de f está formado por todos los valores
de x g A que garantizan la existencia dcy=^W’
Notación: D/oDorn/-
calculo del dominio de una función
determinar el dominio de una función, no
Tdebe simplificar la regla de correspondencia
51 más evidente que sea, donde se deben esta^cer las restricciones principales.
b.
Por función cociente -1; v
o
x’
c.
Por existencia de radicales de índice par
\/x:x>0 (n: par)
Formas generales de arcos referentes
Observación-------
¿:*>0 (n:par)
\___ ________________/
% Rango de una función
Sea f: A -> B una función real de variable real, el
rango de f está formado por todos los valores de
y e B. Se calcula a partir del dominio.
Notación: R/o RanA
Cálculo del rango de una función
1 ° Determine el dominio de la función (restric­
ciones principales).
2. ° Siempre y cuando se pueda, trate de simpli­
ficar la regla de correspondencia y expre­
sarla en función de un único operador.
3.° Calcule el rango considerando los pasos
anteriores.
Función
Dominio
Rango
y=senx
R
l-l;ll
y=cosx
R
l-i: ll
R- (2n+l)^|
R
R-(nnl
R
y=tanx
y=cotx
y=cscx
y=secx
;/ieZ
Donde n e Z
- .-11> H; *
(-oe;-l)u|l; +«)
Función creciente
•i Análisis de una función
Función par
Una función f es par si para cualquier número x
en su dominio, el número -x está también en el
dominio y se cumple
Una función f es creciente sobre un intervalo /
de su dominio si para cualquier x, yx2 en /, don­
de x, < x2, se tiene que f(x,) < /(x2).
Función decreciente
Una función f es decreciente sobre un intervalo
/ de su dominio si para cualquier x, y x2 en /,
donde Xj < x2, se tiene que /“(x,) > f(x2).
Función periódica
Una función f se dice que es periódica cuando
existe un número real 7>0, tal que
/(x+T)=7(x), V x.x+Tg Dom/
El menor número positivo T se denomina periodo
principal de la función. En general, se puede
calcular el periodo para las siguientes funciones
considerando B > 0 y n e N.
Función
y=sen"(Bx)
Función impar
Una función f es impar si para cualquier número
x en su dominio, el número -x está también en
el dominio y se cumple
7(-x)=-/(x)
y=cscn(Bx)
n par -> T = T
n
2E
impar —> I = ~
y=secn(Bx)
Función
Periodo
y=tan"(Bx)
*£¡ Observación ----------------------------- >
La gráfica de una función impar es simé­
trica respecto al origen de coordenadas.
y=cotn(fix)
Observación
La gráfica de una función periódica es repeti­
tiva a lo largo del eje de abscisas.
Y
1
/(O
*
f(A)
i.
y=cos"(Bx)
Periodo
Á
x
y=senx
0
0
n/2
1
0
Características del senoide
• El dominio de la función es el conjunto de
todos los números reales.
• El rango de la función consiste en todos los
números reales entre -1 y 1.
• El máximo valor de la función es 1.
• El mínimo valor de la función es -1.
• Es una función impar, pues sen(-x)=-senx.
• La función seno es periódica, con periodo 2n.
.Observación ----------------------------------- .
Características de la función coseno
•
El dominio de la función es el conjunto de
todos los números reales.
•
El rango de la función consiste en todos los
números reales entre -1 y 1.
•
El máximo valor de la función es 1.
•
El mínimo valor de la función es -1.
•
Es una función par, pues cos(-x)=cosx.
•
La función coseno es periódica, con perio­
do 2n.
Observación
i
/w=Acos(Bx), A > 0 a fi>0
Qr)=Asen(fix),4 >0 y fi>0 ■
Y
—x- - T------- T - X '
1
\ '
'
\l
•
N
1
n\
\\B\
“A
1
\
-A
1
•1 //
•/
•/
1I
•
I
\\
—\--- »■
x
/■■
f i1
y
•
1
--------------- /
-------------
Características
Características
Máximo valor de la función: A
Mínimo valor de la función: -A
• Máximo valoi de la función: A
• Mínimo valor de la litación. -A
„
Período: T = ~
L
.
. ....
2n
X
Problemas Resueltos
Problema N.° 1
II!. Se calcula el rango como x g R
Calcule el dominio de la función definida por
/■(x)=secx+csc3x+2.
-1 scosx£ 1
-±U 0 < cosx+1 £ 2
Resolución
Í_X 0 < (cosx+1)2 < 4
Restricciones
•
secx: x # |(2n+1)||; n g Z
(I)
2 < (cosx + 1)2+2 < 6
•
(II)
cscx: x * (nn); n e Z
2
£ f(x)
6
Ran/=[2; 6]
De (!) y (II)
x # |(2n + l)í| u {nn}
Problema N.° 3
jt
!
3n 5n
1
r
_
_ ,
Calcule el dominio y el rango de la función de­
finida por
sen2x
cosx
Resolución
I.
Hallamos el dominio de la función
Restricción
cosx * 0 : x *
n 3n 5n
2’2’2’
Domf = R -
neZ
Problema N.° 2
Calcule el rango de la función definida por
/(x)=cos2x+2cosx+3.
Resolución
I.
II.
La función no tiene restricciones
—> xg R: Dom/=R
Se reduce a un solo operador
II.
Cálculo del rango
/(.V) =
= gsenAcosx = 2sen x
cosx
posx
f(x) = cos2x + 2cosx + l + 2
/(x)=(cosx+1)2+2
/(x)=2senx
Capítulo XII: Funciones
cwnox*{<2n+,)f¡:rteZ’enlaCT-
trigonométricas
Resolución
4=4
Del gráfico
~=V
B
3
-1 < senx < 1
B=6
4+fí=10
—-2<2senx<2
r(x)
Ranf=(-2;2)
Problema N.° 5
Calcule el rango de la función definida por
/^.j=tanx+senx; xe
Problema N.° 4
Del gráfico mostrado, calcule A+B.
Resolución
Como Vxe^O;f(x)=tanx+senxes creciente
Por definición de función creciente
it
si 0 < x < 4
•• Ran/r==(/r(o>;'r(j)) = (O;,+^)
Problemas Propuestos
NIVEL BÁSICO
1.
4.
Determine el dominio de la función definida
por
Determine la verdad (V) o falsedad (F) de
las siguientes proposiciones.
I. Si f(x)=sen2x -> Df=R
f(x) = —— + senx; n e Z
lanx
II. Sig(x)=cotx -> Dg=R-{/m;ne Z}
A) R
III. Si/í(x)=sec3x -* D/í=R-|(2n+l)^;nez|
B) R-(r?n}
A) VFF
D) FVF
B) VVV
C) VFV
E) FFF
D) R-|(2r? + l)í|
2.
Sea la función definida por la siguiente
regla de correspondencia f(x)=tanx+cotx.
Calcule el dominio.
A) R
E) R- {(2n+l)7i}
5.
Sea la función f definida por
f(x) = x/senx-1.
B) R$
Calcule su dominio; n e Z.
C) Z
A) {/77l}
D) R-[n|;nez}
E) R-^(2/? + 1)^;hgzJ
C) {(2n+l)n)
3.
D) {(4n+l)|}
Calcule el dominio de la función definida
por
f(x)=senxcscx+3; n e 7.
E) {(4n+3)íj
A) R-{nn}
6.
Halle el dominio de la función definida por
B) R
;xe(0; n).
C) Q
D) R-(ní)
A)
E) R-|(2n + l)í
D)
B)
C)
Capitulo XII: Funciones trigonométricas
Si el dominio máximo de la función
7.
12- Calcu|e el rango de la siguiente función.
/(x) = Vsenx + Vcosx en <0; 2n> es (o; 6];
'(x)-tan x+2|tanx|
calcule sen(a+6).
A) R+
B) O
A) -1/2
D) 1/2
D) Rj
C) -1
E)
C) R-{0}
E) R5
1
13.
8.
B) R"
Determine la secuencia correcta de verdad
Determine el rango de la función definida
por la siguiente regla de correspondencia
f(x)=2sen3x+l sixe (0; n).
(V) o falsedad (F) respecto a las siguientes
proposiciones.
1. Sixe^O;^ -> senxe(0;l)
A) <1;3]
B) <1;3>
D) (1;4>
[n.2nl
II. Sixe l3’ 3]
111. Si x e
14.
C) <1;2J
E) [1;3>
Sea la función /(x)=3senx+4cosx+1.
Calcule la suma del máximo y mínimo de f.
j^O;^ -> tanxe[0;1]
A) VVF
A) 0
D) 3
B) FFF
C) VFV
E) VVV
D) FVF
C) 2
E) 4
B) 1
15. Determine la secuencia correcta de verdad
(V) o falsedad (F) respecto a las siguientes
9.
Calcule el rango de la función f definida por
proposiciones.
7(x)=2senx+l.
I. Si/(x)=senx -*
/es impar
II. Sig(x)=tanx -> g es par
|||.Si/i(x)=senx+cscx -> //es impar
10- Determine el rango de la función / definida
por/(x)=2cos2x+3.
A) VVF
D) FFV
B) FFF
C) VFV
E) VVV
16. Calcule el periodo de las siguientes funciones.
A) |3; 4]
B) (3; 5)
C) 13; 5|
E) 12; 5)
0) [l;31
I. f(.v)=senx
II. g(x)=lanx
Si el rango de la función
^(x)=senxcosx+2 es (a; ü), calcule Aub.
III. /iCv)=cos2.v
A) 2rr;n;|
A) 12
D) 15
B) 13
C) 14
E) 16
D) 2n;n;n
B) 2n;—;n
C) n;n;n
-
Lumbreras Editores
17. Del gráfico mostrado, calcule
Del gráfico adjunto, calcule el área de la re­
gión sombreada.
_
D)
E) ¿u2
2
A)
C)
D)
A) 0
D) 1/2
B) -l
C) 1
E) -1/2
NIVEL INTERMEDIO
Calcule el dominio de la función f, definida
por/(x) = —2x+n
COSX
A) R
A)
C)
D)
; n g Z.
B) R-{nn}
C) R-{(2n+l)n}
D) R-|(2n + 1)í
O »- ?
Capitulo XII: Funcionas trigonométricas
Determine e! dominio de la función A defi­
nida por regla de correspondencia
/(x)=cot3x+cos2x+cscx; n e Z.
25. Calcule el dominio de la función /, cuya re
gla de correspondencia es
f(x) = V2cosx-I; x € (0; n).
A) R
B) R-{mO
•.-{?}
D) R-|(2n + i)^|
E) R-{(2n+l)n}
23. Halle el dominio de la función /, definida por
. senx + cosx. „
/(x) =----------------- ; ne L.
sen x-eos x
A) R-{0}
26. Si el rango de la función
/(x)=2sen2x+5 es [a; ¿>], calcule g-¿>.
B) -3
A) -2
D) 2
27. Calcule el rango de la función /, definida por
. senx + 2
<(*) =---------- Tsenx+5
MH)
B) R-{nn}
C) R-{(2n+l)n}
C) -4
E) 4
B [!
)
*
0) [|;1]
D) R-(nn + ^|
28. Determine el rango de la función
A(x)=tan2x+2 si x e
24. Calcule el dominio de la función A definida
por f(x) = Vsenx-Í + Vl-senx,’ n g Z.
A) (2; 3)
D) (1;2|
B) 12; 3)
C) |2; 31
E) 12; 4)
A) |(4n + l)^|
29. Sea la función definida por
B) {nn}
C¡?)
sen2.v determine el rango.
senx
A) (-2; 2)
»>
B) (-1; I)
C) 1-2; 21
Calcule el dominio y el rango de la función
senx 4-2
fM =
senx + 4'
A) R;
N
L3 J
B) R; 1.3'
l_3 5j
C) R;
34. Determine el número de puntos de intersec­
ción de fM=senx y g(x)=cosxen |0; 2n).
A) 1
D) 4
B) 2
C) 3
E) 5
L3 5j
31. Calcule el mínimo valor de f si
35. Determine la secuencia correcta de verdad
(V) o falsedad (F) respecto a las siguientes
proposiciones.
I. /(x)=senx es creciente en (n/2; 3n/2)
/(x)=tanx+cotx; x e ^0;
II. g(x)=cosx es decreciente en <-n/2; 0)
D) R;
E) R;
III. /?(x)=|senx| es creciente en (n/2; n)
A) 1
D) 73
B) 2
C) V2
E) 1/2
A) FFV
D) VFV
B) FFF
C) FVF
E) VW
32. Analice la paridad e imparidad de las si­
guientes funciones, e indique cuántas son
funciones pares.
I. f(x)=sen3x
II. g(x)=cos(senx)
III. /?(x)=l-sen|x|
IV. F(x)=tan2x
V. G(x)=x+senx
VI. //(x)=ín(cscx)
A) 0
D) 3
B) 1
C) 2
E) 4
33. Determine el periodo de las siguientes fun­
ciones.
37. Calcule el rango de la función definida por
A(x)=tanx-cosx; V x e <0;
I. /(x)=sen2x
II. g(x)=tanx+cotx
A) <0; l>
III. /i(x)=cos(scnx)
A) 2n;n;n
D)
B) 2n; 2n; n
C) -;rc;í
2
2
C)
E)
O)
2
B) <0;V2>
38.
peí gráfico dado, calcule el área de la región
3 ti 2
A). yu
3TC 22
D)-u
B) -u 2
C) — uo2
3jt u?2
E)—
39. De) gráfico dado, calcule las coordenadas
de A.
40. Bosqueje la gráfica de la si
siguiente función.
f(x)=sen2xcscx
Funciones trigonométricas
s’ inversas
i.
DBQ
**
__________ ____________________________________ ___________ Capítulo XIII
Objetivos
♦
Determinar el dominio así como el rango de las funciones trigonométricas inversas.
•
Analizar las gráficas que involucran funciones trigonométricas inversas.
“ Definición de la función arcoseno
Propiedad fundamental
0=arcsen(/?) <-> sen0=Z? a 0g
(y =arcsenx)
La función inversa del seno, denotada por
arcsen, está definida por y=arcsenx si y solo si
Ejemplos
x=seny.
sene = f a ee[-|;|]
-» 0 = arcsen
Definición de la función arcocoseno
(y=arccosx)
La función inversa del coseno, denotada por
árceos, está definida por y=arccosx si y solo si
x=cosy.
Características
•
Dominio de la función: [-1; I]
•
Rango de la función:
•
Es una función creciente.
•
S¡ Xj
[-Í1]
x < x2
<-> arcsen(X|) < arcsen(x) < arcsen(x2)
Capitulo XIII: Funciones trigonométricas inversas
Características
,
,
.
.
Propiedad fundamental
Dominio de la función: [-1; ||
Rango de la función: [0; n|
Es una función decreciente.
Si
w arccosU|) * arccosQr) a arccos(x2)
Ejemplos
Propiedad fundamental
•
tana = 5A0iG^“¡^ -> a = arctan(5)
•
arctan(x,) = -í -» jr,=tan(|)
Ejemplos
•
cos9 = ^ a 0g[0;rc] -> 0 = árceos QJ
•
cosp = y a pe[0;it] -» P = arccosí-|l
® Definición de la función
arcocotangente (y=arccotx)
8 Definición de la función
La función inversa de la cotangente, denotada
por arccot, está definida pory=arccotx si y solo
six=coty.
arcotangente (y=arctanx)
Donde xeRyO<y<n
La función inversa de la tangente, denotada por
arelan, está definida por y=arctanx si y solo si
x=tany.
Características
•
Dominio de la función: R
•
Rango de la función: (0; n)
•
Es una función decreciente.
Dominio de la función: R
•
No es una función periódica.
Rango de Ja función:
•
Si X¡ £ X £ X2
arccotCq) > arccot(.v) > arccot(x2)
Características
*
Es una función creciente.
No es una función periódica.
»
Sixj <.x<x2
** arctan(X|) <, arctan(x) < arelante)
Propiedad fundamental
0=arccot(W <-> cotO=/? a 0 g (0; n} J
*»'
**■
‘ •"
<• -
’7 ' ’ 4
* « >*•.
•1
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Donde
Ejemplos
•
cota=2 a 0 < a < n -> a=arccot(2)
•
xe(-«>;-i]w[l;+~);ye
arccot(x|) = í -> x,=col^
“ Definición de la función arcosecante
(y=arcsecx)
La función inversa de la secante, denotada por
aresee, está definida por y=arcsecx si y solo si
x=secy.
Donde
Características
•
Dominio de la función: (--1]u[l; +
Rango de la función:
Propiedad fundamental
0 = areseek <-> secG = kaGg[O;nj-
Características
•
Dominio de la función: (-<~;-l]w(l;+oo)
•
0=árcese ¿ -» cscO = ¿AOe[-^;^j-{0}
Rango de la función: |0;d-
Definición de la función
arcocosecante (y=arccscx)
La función inversa de la cosecante, denotada
por árcese, está definida pory=arccscx si y solo
six=cscy.
Ejemplos
•
0 = aresee | j
««árcese (5) -> ese a = 5; ex e
Problemas Resueltos
problema N.° 1
Problema N.° 2
Calcule el valor de
Si tan (arcsen 74 - x2) - sen (arctan 2) = 0
entones 3 |x| es igual a
UNAC 2009-I
UNAC 2008-II
Resolución
Resolución
Sea | arctan (|)=e -> tan2e=|
(I)
tan (arcsen 74-x2) = sen (arctan 2)
(|)
Sea 0=arctan(2) -> tan0=2; Oe
senO = ~L
(ID
v5
Por reducción al primer cuadrante
M = tan(í + e)+tan^-e)
Reemplazarnos (¡l) en (1)
tan (arcsen 74-x2) = -i
V5
M = tan^ + 0^+cot
(111)
Sea arcsen 74-x2 = p -> senp = 74-x2 (IV)
Por identidades de arco doble
Af = 2-csc^+2e)
De (111)
M=2sec20
Forma práctica
Forma práctica
(V)
sec20 =
Igualamos (IV) y (V)
M = 2V26
5
^=1
31x1 = 472
Problema N.° 3
Problema N.° 4
Determine el dominio y el rango de la siguiente
Grafique la siguiente función.
/(x)=4-arcsen(x-l)+n
función.
Resolución
fW=T+4arccos(—J
Cálculo del dominio
•
Se conoce -1 <x-l £ 1
’
Resolución
J±> 0<x£2
Dom/=|0; 2]
Determinamos el dominio
Se conoce
•
Cálculo del rango
Se conoce
-4 <2-x<4
- — < arcsen (x -1)
2
-6<-x<2
2
-2n < 4 arcsen(x-l) < 2n
-2<x<6
±!U -n < 4arcsen(x-l) + it < 3n
Dom/M-2; 6]
.-. Ran/M-n; 3n|
Determinamos el rango
Graficamos
<
-2; 6) -> 0< árceos]m r
Dexe [< 4 F
*
i
(2-x\
x n 1
0s4arcco\ 4
3x
*8
/.
K
4
< 3,1 + 1 árceos C
8
8 4
l 4
r.Sjr 5nl
Ranr= —: —
L8 8 J
J
8
Problemas Propuestos
NIVEL BÁSICO
C)
Sea/una función definida por
1.
/(x) = y-arcsen(V3x-l)+1 •
D) (-*>; 0)vj
Calcule su dominio.
A) 10; 1]
D)
[>|]
E) (-°°;-l] u [1; +oo)
»[K] 4H]
* [H]
5.
A) -2
C)
0)1
/W=arccos(¿)
6.
A)
B)
C)
D)
E)
Si /(
)=
*
arcos (x2+1), calcule su rango.
B) (O; 1|
C) {0}
E) (0; 1]
7.
Calcule el rango de la función
8.
Calcule el rango de f.
Si f es la función definida por
f(x)=arcsen(3x-2)+2arccos(2x-3),
calcule su dominio.
B) |l; 2|
C) |-1; II
«">
“ [y1]
4- Calcule el dominio de
/(x) = arccot^-j)
^W = í-arccsc(3x-l)
4
A)
j
B) (-oo;0)u
[]. +<x>)
2
2
E) 1
A) [0; 1)
D) {0; 1}
A) {1}
calcule el
mínimo valor de su dominio.
2. Determine el dominio de
3.
Si /■(%) = arcsen V8x2-!; x < 0,
«M)
® H] °
■» [«i
E)
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9.
Determine el dominio y el rango de la función
A) {1;-|J
B) {0;n>
C) «
/(x)=4-arcsen(2x-5)+n
O) {«-!)
0 {-»-!
A) D/=[2; 3] ; R/=|-n; n)
B) D/=[2; 3] ; Rf=|-n;3n)
C) Df=[-2;2] ; Rf=|-n;0]
14. Del gráfico, determine la regla de corres­
pondencia de la función
D) D/=[-3; 2] ; Rf=(-3n;n]
E) Df=[0; 3) ; Rf=[n;3n|
10. Determine el dominio y el rango de la fun­
ción f(x)=4 'arccsc(2x-5).
A)
B)
C)
D)
D/=R-(-3;3) ; R/=[-rr; n|-{0}
D/=R-<1;3) ; R/=[-n;-2n]-{0}
Df=R-(2;3> ; R/=[-2ít;2n]-{0}
DA=R-<-2;2) ; R/=l-n; 2rt]-{0}
E) Df=R-(-.l; 1) ; Rf=[-n;n)-{0}
A) y=2arccos(x+3)
B) y=3arccos(x-2)
C) y=3arccos(x+2)
D) y=3arccos(x+3)
E) y=2arccos(x-3)
11. Dada la función
/(x) = 3-arccos
calcule Df n Rf
B) [—2; 0]
A) ÍO;3l
D) [-2; ni
C) [0; 3k|
B) (3; 3n]
15. De acuerdo con el gráfico, determine
D
12. Calcule el rango de la función
f(x) = arcsen (4x-l) + arccos(2x-2) +
B) {2n}
A) 00
3n
2
C) [yj
E) {3n}
D) {0}
13. Dada la función
f(.v)=a rcsen(2x -1)+a rccos(2.v+1),
calcule Df
Rf.
D) 2n
E) n/2
Capítulo XIII: Funciones trigonométñ
¡cas inversas
16. Calcule el valor de
arcsen
NIVEL INTERMEDIO
(I) arelan - aresee 2.
+
21. Simplifique
(1)
A)^
sen (aresee 75)
A) 1/4
D) 1
. 71
E) 15
D)íó
17. Calcule el valor de
B) 1/2
C) 1/3
E) 1/5
22. Calcule
Js
árceos—
5
B) 2
A) 1
sen (arelan 75)
C)J —
18
D) 4
sec(arcsec(76 + 75)-arcsec(76 - 75)).
)•
A) 2
D) 1/4
C) 3
B) 4
C) 1/2
E) 1/8
E) 5
23. Calcule cosí) si
18. Calcule el valor de
0 = 2- arccol
j+ arelan [
A) 0
D) 2/3
B) 1
arccsc(-2) + aresee (-75).
A)
AJ
, Un
12
n
C)
12
E)
5n
24.
C) -I
E) -2/3
Determine el valor de
V¿
19. Calcule
A) 1
sec2(arclan4)+csc2(arccol5).
A) 41
B) 42
D) 44
B) |
C) 43
E) 45
25. Calcule el valor de la expresión
20. Reduzca la expresión
scc
arctan (75 -1) + arelan (75 + 1) + arelan (273).
‘>3
“5
B) n
C) arelan®
E) 0
(arcSen(l))1an(arccos(^).
26. Determine el dominio de la función definida
«7
B) T
A) y
por fM = Varcsenx -- arelan x.
E) 0
D) n2
A) (0; 1)
B) (0;
»
° (i;l)
E) (0; 1]
D) [0; 1]
30. Calcule el valor de
/3\
arcsen 5J. arccot (7)
árcese(5)
arelan
arcsenü)
27. Si
arelan 1 — J+ arelan
-J+arc,anh>2’
calcule §ab+ac+3bc.
A) 30
B) 31
A) 1
D) 3
B) 0
C) 2
E) -2
1
1
(n/631. Si-árceos x = [arcsen^- ) arcsen( 4
2
C) 32
calcule x.
E) 34
D) 33
o4
A)
28. Calcule
3-sen jarcian
+■ 4 • eos (2 • arccot (-3))
3
D)^3
6
«7
»|
»5
c> 5
®7
29. Calcule el mínimo valor que asume la ex­
presión
2
[ arcsen xj2 + k • arcsen x+~
32. Sea la función
definida
= arelan
para x > 0. Determine su rango.
B)
D> (tt!
C)
E)
h- Ecuaciones trigonométricas
Capítulo XIV
_nlETfU„
OBJETTVOS
Conocer el fundamento de las ecuaciones trigonométricas estableciendo similitudes
.
y diferencias con otras ecuaciones.
*
.'i
•• •
'•
Aplicar procedimientos algebraicos en la resolución de las ecuaciones
uauiuneb.
•
.... .....
• Definición
Ejemplos
Una ecuación trigonométrica es aquella que
contiene funciones trigonométricas ligadas a
una variable angular y se cumplen para un con­
junto de valores angulares que hace posible la
igualdad original.
•
•
2x
1
eos— = —
3
2
Ejemplos
•
cos2x = 2
•
sec(x + l) = \/2
•
sen2x-cosx=l
•
sen2x-2senx+l=0
•
cos4x-sen4x=l
•
tanx+cotx=2
•
cot3x-27=0
• lan(x“í}"^ = 0
u Ecuación trigonométrica elemental
$°n ecuaciones de la forma
senx=l
’ ,an(Jf-í)=2
s Solución de una ecuación
trigonométrica
Es un número real que satisface la ecuación tri-
gonométrica dada.
Ejemplos
•
Donde
p
función trigonométrica (sen, eos, tan,
Col« sec, ese)
*’ variable angular
6» N: constantes reales (q * 0)
valor admisible
senx = - -> x = -, es solución de la ecua2
6
K 1
ción trigonométrica, pues sen - = -
tan
I _> x = 0, es solución de la
ecuación trigonométrica, pues tan
H)-1
■
r‘.
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í Conjunto solución de una ecuación
Para el coseno
trigonométrica
Es el conjunto formado por todas las soluciones
de la ecuación trigononjétrica dada.
Ejemplos
Si senx=0
•
0; n; 2n; 3n;...}
xe
Ejemplos
cos0 = i -» 0 = 2nn±í neZ
2
ó
soluciones
® = 2nn±"
3
6
cos- =
—3
2
CS={...; 0; n; 2n;...} e {nn}; nel
0 = 6nrt±-^,neZ
Sitanx = l -> xe
cos40 = “ —* 40 = 2n±
soluciones
-
í .ic.5jc.9n, 1
r’4’ 4 ’ 4 ’*"J
„
ni
;ne L
4j
® Solución general para una ecuación
Para la tangente
trigonométrica elemental
Si tan0=/V -> 0=nn ± 0; n e Z
Para el seno
donde tan0=/V, tal que 0 e
Si sen0=/V -> 0=/?n+(-l) 0; n e Z
r 7c ni
donde sen0=/V, tal que 0 e —; L 2 2J
Ejemplos
•
tan0 = l
•
tanÍ0--^l = >/3 -> 0-- = nn + -\
4/
.
4
3
Ejemplos
• sen0 = ^ -> 0=nn+(-l)ní;neZ
*
6
/?
•
__
nn . n
••• 0=T±6:nsZ
sen2e = ¿- -> 2e = nít + (-l)',2E
¿
4
•
fi —
> (
\\W K
0 = nn + ^,nGZ
4
” 0=mt+j^;neZ
•
tan30 = -l —> 30 = hh--7
4
• c. nn n
_
-T,
•j¿ Nota---------------------------- ---------- - •
Para resolver una ecuación trigonométrica,
se debe llevar a su forma elemental y luego
aplicar C.T. o gráficas de funciones trígono
• métricas para calcular las soluciones^^^
Problemas Resueltos
■
* 4
V
problema N.° 1
Reemplazamos en (I)
Halle el número de raíces de la ecuación
$en2x+senx=0; xe[0;2nl
3x = nn + (-i)ní
6
UNMSM 2009-II
Resolución
Llevando a su forma elemental, aplicamos iden­
tidad del ángulo doble
2senxcosx+senx=0
Problema N.° 3
Resuelva la siguiente ecuación trigonométrica,
Factorizando obtenemos
sen x eos x (2 eos2 x -1)=-, x e (0:
8’
\ 2/
senx(2cosx+l)=0
Resolución
-> senx=0 v 2cosx+l=0
Del dato, tenemos
-4 senx=0 v cosx = ~;xe [0; 2jc]
•
Sisenx=0 -> x1=0,x2=n, x3=2n
•
S¡COSX = --
c.
1
-»
2n
4n
x4=y,X5=y
senxcosx(2cos2x-l) = '
,
< g
sen2x
Cos2x
2
2
2-sen2xcos2x = -x2
■----------*--------- ' 8
sen4x = |;4xe(0; 2n)
Por lo tanto, la ecuación tiene 5 raíces.
Como sen4xes positivo, entonces, 4x e 1C v IIC,
analizamos en una circunferencia trigonomé­
Problema N.° 2
trica.
Hállela solución general de la ecuación trigono­
métrica 2 sen 3x-73 = 0.
Resolución
^el dato, tenemos
sen3x = —
2
3-r=/?7t+(-l)',0;nG Z
t
(I)
Del gráfico, se observa que si
sen4x = |;0<4x<2n-»
* 4x = *
-g
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Del gráfico
Problema N.° 4
Resuelva la ecuación trigonométrica
n
xi = 3:*2=
5n
3
2cos2x+3cosx-2=0; x e (0; 2n)
e indique la mayor solución positiva.
Por lo tanto, la mayor solución es -y.
Resolución
Problema N.° 5
Del dato, tenemos
Calcule la menor solución positiva de la ecuación
(senx-cosx)2+cos2x=senx-cosx; x € (0; 2n).
2cos2x+3cosx-2=0
2cosx
cosx
->
.
-1
+2
(2cosx-1)(cosx+2)=0
Resolución
Del dato tenemos
cos2x
—> 2cosx-l=0 v cosx+2=0
1
cosx = - V cosx = -2; x e (0; 2n)
2
Si cosx=-2 -> x g 0, pues -1 £ cosx £ 1
(senx - cosx)2+(cosx - senx) (cosx+senx)=
=senx-cosx
Factorizamos
(senx-cosx)(-2cosx-1)=0
Donde
senx-cosx=0 v -2cosx-l=0
tanx=l
Por lo tanto, la menor solución positiva es
Problemas Propuestos
nivel básico
5.
Indique la secuencia correcta de verdad (V)
1.
o falsedad (F) respecto a las siguientes pro­
ecuación
3cosx-l=0 en <0; 2n>.
posiciones.
A) *5
2
7t
1
Halle la suma de soluciones de la
I. Sisenx-- -> x = - es solución.
C) 71
II. Si tanx=0 -> x=nn; ne Z.
E) 2tc
III. Sicosx = — -> x = íes solución.
6.
B) FVF
A) WF
D) FFV
C) VVV
indique la mayor solución negativa.
E) FFF
Calcule la menor solución positiva de la
ecuación trigonométrica dada.
2.
Ai resolver la ecuación
cos2x-sen2x=sec2x-tan2x,
A) -7T
B) -2n
C)
n
4
E)
3rc
2
2senx-V2 = 0
■» -5
*
«i
B)J —
12
7.
Resuelva la siguiente ecuación.
eos2 x-2cosx + tan- = 0; n e Z
4
3. Al resolver la ecuación
A) |(2n + 1)í| B) {(2n+I)n} C)
(cscx-2)(senx+3)=0,
{2/771}
indique las dos primeras soluciones positivas.
iH} »{£?}
D)
4.
Í5; 5 J
E) jí n . 5nl
-1J2’ 12 J
14 4 J
°>{"1
[k4tc1
8.
E) {nTt}
Calcule el número de soluciones de
sen2x-senx=0 en <0; 2tt).
Dada la ecuación
A) 1
sen í + eos 4=1.
V
2
halle x en (-
\ 2’2/
A>|
“>5
B) 2n
9.
O 3
E) 5
D) 4
’
2)
B) 2
Resuelva |tanx| =5 e indique el número de
soluciones en (0; 2n>.
C) 0
E) “
A) 1
D) 4
B) 2
C) 3
E) 5
14. Calcule la suma de soluciones de la ecua­
10. Resuelva la ecuación
sen4x+sen2x=0 en <0; 7t>.
ción 2cos2|-2sen2| = l en (0; 2n>.
«7
E) 2n
D) n
5nl
6 J
E)
11. Determine la solución general de la ecuación
(2 sen x - 75) (tan2 x +1) (sec2 x + 7) = 0;
Vng Z
15. Determine el número de soluciones de la
ecuación
22sen2x.2senx=sec245o en <0; 27I)
. .
A) 1
D) 4
C) 3
E) 5
B) 2
A)
B)
|mr+(-l)n
16. Si X] y x2 son soluciones de la ecuación
j}
csc2x-cot2x=tan260°; 0 < x¡ < x2 < 2n,
calcule tan
C)
D)
E)
M}
(V)
I
!n7l-(-l)n
B) 72
A) 1
D) O
s)
C) -1
E) 2
17. Resuelva la ecuación trigonométrica
12. Si X| yx2 son soluciones de la ecuación
sen(20n+8x)=sen(14n+6x)
„
«75
sen xcos 2x + eos x sen 2x = —;
e indique la menor solución positiva.
0 < Xj < x2 < -, calcule ¿Ü.
«i
■»£
3
A) 1
D) 4
1
*
B) 2
C) 3
E) 5
13. Calcule la diferencia de las dos primeras so­
luciones positivas de la ecuación
2tanx=l-tan2x.
A)
D)
C)J —
14
«7
18. Resuelva la ecuación trigonométrica dada
sen3x + senx , w
_
----- - ------------ = 1; V n g Z
cos3x + cosx
A)
I'ü'+íl
l 2
4j
J^ + í|
l 2 8j
Rl
\ mt + —
C) l 3
E)
l
8J
0J
'
Calcule la mayor solución negativa de la
ecuación trigonométrica
23. Resuelva la ecuación trigonométrica
3cos2x -1 = 10Í2sen2
.
3,1
(senf+cosf) +cosx = tan
—
E) ~
7n
-1); x € (0; 2n)
Calcule la suma de soluciones.
E) 4n
O) 2n
24. Resuelva la ecuación trigonométrica
(senx+cosx)4=(csc2x-cot2x)6
20. Calcule la suma de soluciones de la ecuación
e indique la suma de soluciones en (0; 2n).
tan3x+tanx+tan4xtan3xtanx=l; x e ^0;
2
OT
A)f
O 4n
B) 2n
A) —
E) 3n
D) 5n
25. Resuelva la ecuación trigonométrica
[cosx(2cos2x-I)]2=cos4xcos2x
e indique la solución general; V n e Z.
NIVEL INTERMEDIO
21.
¿Cuántas soluciones tiene la ecuación
Isenxl+Icos xl = -J2; x e (0; 2n)?
A) 0
B) 1
Al
B) {"" + 7}
+ -1
A) ÍT + 4/
C) {(2n + l)j
)
O
E) {nn}
C) 2
D) 3
E) 4
Determine la solución general de la ecua
ción trigonométrica
Calcule la suma de soluciones de la ecuación
lo8 (sen x) + lOg (eos x) + log (4) = log (73);
taní^-í)= Iog5 + Iog2; VneZ1.3
6>
.
A,
frwr
» {t+t/
C) {...yj
D) {smr + y}
5nl
E) ¡2»
*+^}
27. Resuelva la ecuación trigonométrica
sen (2n + x) eos5 x + sen5 x eos (3n + x) =
31. Determine el número de soluciones de la
ecuación
3 sen2 x - (V5 + 9)sen x + 3>/5 = 0; x e <0; 2n>.
4
Í3it.5nl
15;12J
. í k 5nl
B) 124'24j
ín.5nl
C) 112’ 12Í
írc. 3rcl
E) 17; 7 J
Jn.3nl
18; 8 J
28. Resuelva la ecuación trigonométrica
x
x
sen5x = sen3x - 2sen—eos-;xe <0; 2n)
A) 0
D) 3
C) 2
E) 5
B) 1
32. Calcule las dos primeras soluciones negativas
de la ecuación
4x
75
senx + cos - = —+ sen
4x
e indique el número de soluciones.
A)
0
D)
3
B) T
C) 2
E) 9
*
* 29. Indique la solución-general de la ecuación
senx-tan60°cosx=sen90°; V n g Z
a>
13n 23k|
“12’ 12 J
B)
33. Calcule el número de soluciones de la ecua-
d>
[«.«-n-i.i)
A) 0
D) 3
30.
Calcule la suma de soluciones de la ecuación
2tanx
1-tan x
2cos4xcos3x-cos7x._ /A.
senx
B) 1
C) 2
E) 4
34. Si x,; x2 son soluciones de la ecuación
log(tanx)+log(cot2x)=l en (0; 27i),
—------ y- -- ----------------------------------------------------- ,X 6 (0, 71).
calcule cos(x1-x2).
35 Resuelva la ecuación trigonométrica
fn
A
í 'jx
sen^+xj+cos|
"i
Vne Z.
3
l-2sen2 —)
2/
Halle la solución general.
C).
""‘i}
E) | nn
bO|
D) [2nn + -j
+
B) |»-S)
A)|
ni
39. Resuelva la ecuación trigonométrica
3x
x l
i
sen—sen—= -cosx~e indique la solución general; Vn e Z
36. ¿Cuántas soluciones tiene la siguiente ecua­
ción?
(cosx+cos2x)2=cos2x+cos22x; x e <0; 2n).
A) {(2n+l)n}
B) {2nn}
A) 2
D) 5
B) 3
C) 4
E) 6
C)
(?1
D) {nn}
37. Calcule la suma de los valores de xe [0; 2n]
que verifican la siguiente ecuación.
2 tan x sen x - 2>/3 sen x - tan x + 75 = 0
E)
{(2n+,)¿}
40. Determine el número de soluciones de la
ecuación trigonométrica
D) —
3
El —
tanx+2 , 1-tanx
1-tanx tanx + 2
en<0;4n).
3
38. Indique las soluciones de la ecuación
sen6x+sen‘,x+cos6x+cos4x=2; x e (0; 2ri).
A) 0
D) 3
B) 1
C) 2
E) 4
•
41. Calcule la suma de soluciones de la ecua­
ción sec2xsecx= 1; x e (0; 10n).
A) 8n
D) 25n
B) 20n
C) 15n
E) 18ít
/
ANDREESCU, Titu y Zuming, FENG. 103problemas de trigonometría. Cambridge: Editorial Birkháuser,
2005.
✓
FERILLI, Aldo y Eleonora, VIVIANI. Curso de Trigonometría. Milán: Editorial Ariani, 1986.
s
FLEMING, Walter. Álgebra y trigonometría con geometría analítica. Nueva Yersey: Editorial Prentice
Hall, 1999.
z
HALL, Henry y KNIGHT, Samuel. Trigonometría elemental. México D.F.: Editorial Uteha, 1961.
S . INSTITUTO DE CIENCIAS Y HUMANIDADES. Trigonometría plana y esférica. Lima: Lumbreras
Editores, 1994.
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KUDRIAVTSÉV, L. D. Curso de análisis matemático. Moscú: Editorial Mir, 1983.
7 LA SALLE, Haaser. Análisis matemático. México D. F.: Editorial Trillas, 1973.
z
LEHMANN, Charles H. Geometría analítica. México D. F.: Editorial Limusa, 1978.
z
LEITHOLD, Louis. Álgebra y trigonometría con geometría analítica. México D. F.: Editorial Latinoame­
ricana, 1994.
z
LIDSKI, V. B. Problemas de matemáticas elementales. Moscú: Editorial Mir, 1972.
z
LITVINENKO, V. y A., MORDKOVICH. Álgebra y trigonometría. Moscú:’ Editorial Mir, 1989.
z
SWOKOWSKI, Colé. Álgebra y trigonometría. México D. F.: Editorial Iberoamericana, 1997.
Claves
Geometría
. Capítulo x
5
6
7
3
29 D
Capitulo III
13
14
15
16
E 17 D
E. 18. A
E 19 B
D 20 D
21 D
22 E
23 B
24 E
Capítulo XII
1 • c 4 ,C
2 D 5 C
3 *B'; 6 D
25 C
26 B
27 A
28 D
7
8
9
C 10 B 13 E 16 D 19 D 22 E 25 C
D 11 C 14 B 17 C 20 B 23 B 26 C
C 12 D 15 D 18 E 21 B 24 D 27 C
E
21 D
Capítulo VIII
1
2
3
4
E
E
D
E
5
6
7
8
C 9 C 13 D
D 10 D 14 A
A 11 B 15 C
B 12 C 16 A
17 D
18 A
19 D
20 C
21 D
22 B
23 A
24 C
25 C
26 E
27 B
28 C
E
B
D
A
C
E
C
E
Capítulo xvii
Capitulo IX
2 B
3 C
4 A
5
6
7
8
B
E
B
C
9 A
10 D
11 D
12 C
13-C
14 B
15 E
16 B
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
Capitulo XVIII
C
B
D
C
33 E
1 D
2 E
3 B
4 A
5
6
7
8
B
C
C
A
9 B
10 B
11 D
12 A
Claves
Trigonometría
Capítulo i
1
2
3
4
5
6
7
8
B 9 B 17 C 25 A 33
D 10 E 18 A 26 C 34
A 11 C 19 D 27 B 35
C 12 D 20 A 28 D 36
B 13 A 21 B 29 E 37
D 14 D 22 D 30 A 38
E 15 B 23 C 31 C 39
B 16 E 24 E 32 E 40
1
2
3
4
5
E
A
E
E
C
6 D
7 E
8 A
9 B
10 B
11 E
12 A
13 C
14 D
15 C
16 D
17 E
18 C
19 A
20 E
A
B
D
C
C
A
B
D
21 C
22 B
23 D
24 C
25 E
B
C
C
A
D
E
D
B
49 C
50 E
51 D
52 A
53 C
54 B
55 E
56 A
57
58
59
60
26 D
27 C
28 D
29 D
30 C
31 D
32.C
33 B
34 E
35 D
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
Capítulo IX
51 E
52 C
53 A
Capitulo III
C
B
4 A
5
6
7
8
D
27 C
28 B
A
B
C
D
B
6
7
8
9
10
E
C
E
C
A
11 C 16 C 21 ;E. 26 C 31 E
12 C 17 E 22 B 27 B 32 C
13 E 18 E. 23 A 28 C 33 E
14 E 19 C 24 E 29 C 34 A
15 C 20 D 25 D 30 E 35 0
1
D
E
2
3 B
1
2
3
4
5
A
36 B
37 C
38 A
39 B
40 B
Capítulo V
1
2
3
4
5
6
D
E
A
B
C
C
7 E
8 A
9 D
10 B
11 C
12 A
13 D
14 B
15
16 A
17 C
18 B
19 D
20 D
21 E
22 D
23 A
24 B
25 E
26 :£•
27 A
28 C
29 B
30 C
31 D
32 C
33 B
34 E
35C
36 A
A
E
D
B
E
B
19 C
20 C
21 B
22 D
23 D
24 E
25 E
26 A
27 B
28 D
29 B
30 D
31
32
33
34
35
36
1
2
3
4
5
B
D
C
E
C
6 E
7 A
8 B
9 B
10 B
11 E
12 A
13 C
14 E
15 C
16 A
17 C
18 B
19 D
20 E
47 A
48 E
49 D
50 B
60 E
21 C
22 E
23 C
24 A
25 B
26 D
27 B
28 D
29 A
30 A
31 C 36 D
32 B 37 A
33 C 38 E
34 A 39 E
35 B 40 D
Capítulo XI
1
2
3
4
5
B
E
C
C
D
6
7
8
9
10
A
E
C
E
B
11 •Ái 16 A 21 a: 26 B
12 B 17 C 22 B 27 A
13 D 18 E 23 C 28 B
14 •C’ 19 B 24 E 29 D
15 c 20 D 25 D 30 C
31
32
33
34
35
Capítulo XII
Capítulo VI
1
2
3
4
5
6
C
B
E
A
C
A
7
8
9
10
11
12
B
B
D
B
B
E
13
14
15
16
17
18
E
C
C
D
E
D
Capítulo XIII
38
39
40
41
E‘
E
E
E
1 C
2 A
3 E
4 B
5
6
7
8
C
C
C
A
9 B
10 C
11 A
12 E
13 D
14 B
15 B
16 A
17 E
18 D
19 C
20 B
21 D
22 A
23 C
24 B
25 E
26 D
27 C
28 B
37 D
33 D
39 D
40'E
41 B