Matemáticas discretas RAMÓN ESPINOSA ARMENTA Matemáticas Discretas preliminares.indd i 2/10/10 11:06:08 AM Matemáticas Discretas RAMÓN ESPINOSA ARMENTA preliminares.indd iii 2/10/10 11:06:08 AM Editor Francisco Javier Rodríguez Cruz [email protected] Gerente editorial Marcelo Grillo Giannetto [email protected] Datos catalográficos Espinosa, Ramón Matemáticas discretas Primera Edición Alfaomega Grupo Editor, S.A. de C.V., México ISBN: Formato: 21 x 24 cm 492 Páginas: 488 Matemáticas discretas Ramón Espinosa Armenta Derechos reservados © Alfaomega Grupo Editor, S.A. de C. V., México. Primera edición: Alfaomega Grupo Editor, México, febrero enero 2010 del 2010 © 2010 Alfaomega Grupo Editor, S.A. de C.V. Pitágoras 1139, Col. Del Valle, 03100, México D.F. Miembro de la Cámara Nacional de la Industria Editorial Mexicana Registro No. 2317 Pág. Web: http://www.alfaomega.com.mx E-mail: [email protected] ISBN: Derechos reservados: Esta obra es propiedad intelectual de su autor y los derechos de publicación en lengua española han sido legalmente transferidos al editor. Prohibida su reproducción parcial o total por cualquier medio sin permiso por escrito del propietario de los derechos del copyright. Nota importante: La información contenida en esta obra tiene un fin exclusivamente didáctico y, por lo tanto, no está previsto su aprovechamiento a nivel profesional o industrial. Las indicaciones técnicas y programas incluidos, han sido elaborados con gran cuidado por el autor y reproducidos bajo estrictas normas de control. ALFAOMEGA GRUPO EDITOR, S.A. de C.V. no será jurídicamente responsable por: errores u omisiones; daños y perjuicios que se pudieran atribuir al uso de la información comprendida en este libro, ni por la utilización indebida que pudiera dársele. Edición autorizada para venta en todo el mundo. Impreso en México. Printed in Mexico. Empresas del grupo: México: Alfaomega Grupo Editor, S.A. de C.V. – Pitágoras 1139, Col. Del Valle, México, D.F. – C.P. 03100. Tel.: (52-55) 5089-7740 – Fax: (52-55) 5575-2420 / 2490. 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Parte I Fundamentos ...................................................................................... Capítulo I xix 1 Lógica, conjuntos e inducción .................................................... 2 1.1 Introducción ............................................................................................ 4 1.2 Lógica ...................................................................................................... 4 1.2.1 Proposiciones y conectivos lógicos ............................................ 4 1.2.2 Tautología y contradicción ......................................................... 7 1.2.3 Implicación y equivalencia lógica .............................................. 8 1.3 1.4 1.2.4 Reglas de inferencia ................................................................... 11 1.2.5 Predicados y cuantificadores ..................................................... 12 1.2.6 Métodos de demostración .......................................................... 13 Conjuntos ................................................................................................ 15 1.3.1 Operaciones con conjuntos ........................................................ 18 1.3.2* MATLAB y operaciones con conjuntos ..................................... 23 1.3.3* Colecciones de conjuntos ........................................................... 23 Números enteros .................................................................................... 24 1.4.1 Propiedades algebraicas ............................................................ 24 1.4.2 Propiedades de orden ................................................................. 26 1.5* Números reales ....................................................................................... 31 1.6 Inducción matemática ............................................................................ 31 1.6.1 El teorema del binomio ............................................................... 38 1.6.2 Principio de inducción modificado ............................................. 41 1.7 Resumen ................................................................................................. 42 1.8 Problemas ............................................................................................... 42 1.9 Contenido interactivo ............................................................................ 51 * Las secciones marcadas con asterisco se encuentran en la Plataforma de contenidos interactivos. MATEMÁTICAS DISCRETAS – RAMÓN ESPINOSA ARMENTA preliminares.indd vii ALFAOMEGA 2/10/10 11:06:09 AM viii CONTENIDO Capítulo II Teoría de números ........................................................................ 52 2.1 Introducción ............................................................................................. 54 2.2 Divisibilidad ............................................................................................. 54 2.3 Números primos ...................................................................................... 58 2.3.1 Teoremas y conjeturas famosas ................................................. 61 2.3.2* Distribución de los números primos .......................................... 62 2.4 Aplicación: cambio de base ................................................................... 62 2.5 Máximo común divisor............................................................................ 68 2.6 Teorema fundamental de la aritmética ................................................. 73 2.7 Congruencias .......................................................................................... 76 2.8 Aplicación: calendario perpetuo ........................................................... 84 2.9* MATLAB y teoría de números ............................................................... 88 2.10 Resumen .................................................................................................. 88 2.11 Problemas ............................................................................................... 89 2.12 Contenido interactivo ............................................................................ 97 Capítulo III Relaciones y funciones ............................................................... 98 3.1 Introducción ............................................................................................. 100 3.2 Funciones ................................................................................................. 100 3.2.1 Funciones biyectivas ................................................................... 105 3.3 Conjuntos finitos ..................................................................................... 111 3.4* Conjuntos infinitos .................................................................................. 116 3.5 Aplicación: complejidad computacional ............................................... 117 3.5.1* MATLAB y los algoritmos de ordenación ............................................. 121 3.6 Relaciones binarias ................................................................................ 121 3.7 Relaciones de orden ............................................................................... 124 3.7.1 Retículos ...................................................................................... 130 3.8 Resumen .................................................................................................. 133 3.9 Problemas ................................................................................................ 134 3.10 Contenido interactivo ............................................................................ 145 Parte II Estructuras algebraicas discretas ................................................... Capítulo IV ALFAOMEGA preliminares.indd viii Grupos, anillos y campos .......................................................... 147 148 4.1 Introducción ............................................................................................ 150 4.2 Operaciones binarias ............................................................................. 150 4.3 Grupos .................................................................................................... 153 4.3.1* Grupos y problemas de conteo .................................................. 163 MATEMÁTICAS DISCRETAS – RAMÓN ESPINOSA ARMENTA 2/10/10 11:06:10 AM CONTENIDO 4.4 Anillos ..................................................................................................... 164 4.4.1* Anillos ordenados ....................................................................... 169 4.5 Campos ................................................................................................... 170 4.6* Números complejos ................................................................................ 172 4.7 Aritmética modular ................................................................................ 172 4.8 Aplicación: criptografía ......................................................................... 177 4.8.1* MATLAB y el criptosistema RSA ............................................... 182 4.9 Resumen ................................................................................................. 182 4.10 Problemas ............................................................................................... 182 4.11 Contenido interactivo ............................................................................ 193 Capítulo V Polinomios ................................................................................... 194 5.1 Introducción ............................................................................................ 196 5.2 Definición y propiedades ....................................................................... 196 5.3 Divisibilidad ............................................................................................ 199 5.4 Máximo común divisor ........................................................................... 207 5.5 Raíces de polinomios ............................................................................. 211 5.6* Raíces reales y complejas ...................................................................... 213 5.7 Polinomios irreducibles ......................................................................... 213 5.8* El criterio de Eisenstein ......................................................................... 217 5.9* Fracciones parciales ............................................................................... 217 5.10 Resumen ................................................................................................. 217 5.11 Problemas ............................................................................................... 218 5.12 Contenido interactivo ............................................................................ 223 Capítulo VI Matrices ...................................................................................... 224 6.1 Introducción ............................................................................................ 226 6.2 Matrices .................................................................................................. 226 6.2.1 Matrices especiales ..................................................................... 227 6.2.2 Operaciones con matrices .......................................................... 229 6.2.3 Partición de matrices .................................................................. 237 6.3 Sistemas de ecuaciones lineales ........................................................... 238 6.4 Cálculo de inversas ................................................................................ 247 6.5 La matriz de una relación ...................................................................... 254 6.6* Determinantes ........................................................................................ 259 6.7 Resumen ................................................................................................. 260 6.8 Problemas ............................................................................................... 260 6.9 Contenido interactivo ............................................................................ 275 MATEMÁTICAS DISCRETAS – RAMÓN ESPINOSA ARMENTA preliminares.indd ix ix ALFAOMEGA 2/10/10 11:06:10 AM x CONTENIDO Capítulo VII Álgebras booleanas .................................................................. 276 7.1 Introducción ............................................................................................. 278 7.2 ¿Qué es un álgebra booleana? .............................................................. 278 7.3 Propiedades de las álgebras booleanas ............................................... 280 7.4 Orden en álgebras booleanas ................................................................ 282 7.5 Expresiones y funciones booleanas ...................................................... 287 7.6* Simplificación de expresiones booleanas ............................................. 290 7.7 Aplicación: circuitos lógicos .................................................................. 291 7.8* Compuertas lógicas ................................................................................ 294 7.9 Resumen ................................................................................................. 294 7.10 Problemas ............................................................................................... 295 7.11 Contenido interactivo ............................................................................ 301 Parte III Enumeración combinatoria ............................................................ Capítulo VIII Conteo ....................................................................................... 304 8.1 Introducción ............................................................................................ 306 8.2 Permutaciones y combinaciones ........................................................... 306 8.3 Coeficientes multinomiales ................................................................... 311 8.4 Ecuaciones lineales con coeficientes unitarios .................................... 314 8.5 El principio de inclusión-exclusión ....................................................... 316 8.5.1 Funciones suprayectivas ............................................................ 320 8.5.2 La función de Euler ..................................................................... 321 8.5.3 Desórdenes .................................................................................. 321 8.6* Extensión del principio de inclusión-exclusión ................................... 322 8.7 Aplicación: espacios finitos de probabilidad ....................................... 323 8.8 Resumen ................................................................................................. 325 8.9 Problemas ............................................................................................... 326 8.10 Contenido interactivo ............................................................................ 335 Capítulo IX Funciones generadoras y recurrencia ..................................... 336 9.1 Introducción ............................................................................................ 338 9.2 Funciones generadoras ordinarias ....................................................... 338 9.3 Particiones de enteros ........................................................................... 347 9.4 Funciones generadoras exponenciales ................................................ 349 9.5 Relaciones de recurrencia ..................................................................... 355 9.6 ALFAOMEGA preliminares.indd x 303 Recurrencias lineales homogéneas ...................................................... 360 9.6.1 Raíces distintas ........................................................................... 361 MATEMÁTICAS DISCRETAS – RAMÓN ESPINOSA ARMENTA 2/10/10 11:06:11 AM CONTENIDO 9.6.2 Raíces complejas ......................................................................... 362 9.6.3 Raíz doble .................................................................................... 363 9.7 Solución mediante funciones generadoras .......................................... 365 9.8* Funciones generadoras de probabilidad .............................................. 369 9.9 Resumen ................................................................................................. 370 9.10 Problemas ............................................................................................... 370 9.11 Contenido interactivo ............................................................................ 375 Parte IV Teoría de grafos ............................................................................... Capítulo X 377 Grafos y algoritmos .................................................................... 378 10.1 Introducción ............................................................................................ 380 10.2 Grafos ...................................................................................................... 380 10.3 Árboles .................................................................................................... 386 10.4* Grafos químicos ...................................................................................... 389 10.5 Árboles con raíz ...................................................................................... 390 10.6 Aplicación: notación polaca .................................................................. 393 10.7 Algoritmos de búsqueda ....................................................................... 395 10.7.1 Buscar primero a lo ancho .......................................................... 396 10.7.2 Buscar primero a lo largo ............................................................ 398 10.8 Aplicación: el problema del conector ................................................... 399 10.9 Grafos dirigidos ...................................................................................... 402 10.10 Aplicación: ruta más corta .................................................................... 407 10.11 Resumen ................................................................................................. 410 10.12 Problemas ............................................................................................... 411 10.13 Contenido interactivo ............................................................................ 417 Capítulo XI Temas selectos de grafos .......................................................... 418 11.1 Introducción ............................................................................................ 420 11.2 Grafos bipartitos ..................................................................................... 420 11.3 Grafos isomorfos .................................................................................... 421 11.4 Paseos eulerianos ................................................................................... 425 11.5* Algoritmo de Fleury ............................................................................... 427 11.6 Ciclos hamiltonianos .............................................................................. 428 11.7 Aplicación: problemas NP-completos ................................................... 433 11.8 Planaridad ............................................................................................... 435 11.8.1 Poliedros ...................................................................................... 438 11.8.2 El teorema de Kuratowski .......................................................... 439 MATEMÁTICAS DISCRETAS – RAMÓN ESPINOSA ARMENTA preliminares.indd xi xi ALFAOMEGA 2/10/10 11:06:11 AM xii CONTENIDO 11.9 ALFAOMEGA preliminares.indd xii Coloración de vértices ........................................................................... 440 11.9.1 Grafos perfectos .......................................................................... 445 11.9.2 Polinomios cromáticos ................................................................ 446 11.9.3 El problema de los cuatro colores .............................................. 447 11.10 Grafos orientados .................................................................................. 450 11.11* La fórmula de Cayley ............................................................................. 453 11.12 Resumen ................................................................................................. 453 11.13 Problemas ............................................................................................... 454 11.14 Contenido interactivo ............................................................................ 459 Bibliografía ....................................................................................................... 461 Índice analítico .................................................................................................. 463 MATEMÁTICAS DISCRETAS – RAMÓN ESPINOSA ARMENTA 2/10/10 11:06:11 AM Contenidos interactivos El material marcado con asterisco (*) sólo está disponible para docentes. Capítulo I Lógica, conjuntos e inducción Mapa conceptual Simuladores • Operaciones básicas con conjuntos • Operaciones con conjuntos • Diagramas de Venn Lecturas adicionales • MATLAB y las operaciones con conjuntos • Colecciones de conjuntos • Números reales Respuesta y desarrollo de problemas seleccionados *Presentaciones *Respuesta y desarrollo de problemas Glosario Capítulo II Teoría de números Mapa conceptual Simuladores • Números primos • Cambio de base • Máximo común divisor • Factorización única • Calendario perpetuo Software • Primos • Factores • Criterio Lecturas adicionales • Distribución de los números primos • Los problemas de Hilbert • MATLAB y la teoría de números MATEMÁTICAS DISCRETAS – RAMÓN ESPINOSA ARMENTA preliminares.indd xiii ALFAOMEGA 2/10/10 11:06:12 AM xiv CONTENIDOS INTERACTIVOS Respuesta y desarrollo de problemas seleccionados *Presentaciones *Respuesta y desarrollo de problemas Glosario Capítulo III Relaciones y funciones Mapa conceptual Simuladores • Graficador de funciones • Función de Ulam • Algoritmo burbuja • Ordenación por fusión Lecturas adicionales • Conjuntos infinitos • MATLAB y los algoritmos de ordenación Respuesta y desarrollo de problemas seleccionados *Presentaciones *Respuesta y desarrollo de problemas Glosario Capítulo IV Grupos, anillos y campos Mapa conceptual Simuladores • Generador de claves RSA • Codificador RSA • Decodificador RSA Lecturas adicionales • La fórmula de Burnside • Anillos ordenados • Números racionales • Números complejos • MATLAB y el criptosistema RSA Respuesta y desarrollo de problemas seleccionados *Presentaciones *Respuesta y desarrollo de problemas Glosario ALFAOMEGA preliminares.indd xiv MATEMÁTICAS DISCRETAS – RAMÓN ESPINOSA ARMENTA 2/10/10 11:06:12 AM CONTENIDOS INTERACTIVOS xv Capítulo V Polinomios Mapa conceptual Simulador • Operaciones con polinomios Lecturas adicionales • Raíces reales y complejas • MATLAB y polinomios • El criterio de Eisenstein • Fracciones parciales Respuesta y desarrollo de problemas seleccionados *Presentaciones *Respuesta y desarrollo de problemas Glosario Capítulo VI Matrices Mapa conceptual Simulador • Operaciones con matrices Lecturas adicionales • MATLAB y matrices • Determinantes Respuesta y desarrollo de problemas seleccionados *Presentaciones *Respuesta y desarrollo de problemas Glosario Capítulo VII Álgebras booleanas Mapa conceptual Simulador • Compuertas lógicas Lecturas adicionales • Simplificación de expresiones booleanas • Compuertas lógicas MATEMÁTICAS DISCRETAS – RAMÓN ESPINOSA ARMENTA preliminares.indd xv ALFAOMEGA 2/10/10 11:06:12 AM xvi CONTENIDOS INTERACTIVOS Respuesta y desarrollo de problemas seleccionados *Presentaciones *Respuesta y desarrollo de problemas Glosario Capítulo VIII Conteo Mapa conceptual Simulador • Permutaciones y combinaciones Lectura adicional • Extensión del principio de inclusión-exclusión Respuesta y desarrollo de problemas seleccionados *Presentaciones *Respuesta y desarrollo de problemas Glosario Capítulo IX Funciones generadoras y recurrencia Mapa conceptual Lectura adicional • Funciones generadoras de probabilidad Respuesta y desarrollo de problemas seleccionados *Presentaciones *Respuesta y desarrollo de problemas Glosario Capítulo X Grafos y algoritmos Mapa conceptual Simuladores • Árbol binario • Algoritmo de Kruskal • Algoritmo de Warshall • Algoritmo de Dijkstra Lectura adicional • Grafos químicos ALFAOMEGA preliminares.indd xvi MATEMÁTICAS DISCRETAS – RAMÓN ESPINOSA ARMENTA 2/10/10 11:06:13 AM CONTENIDOS INTERACTIVOS xvii Respuesta y desarrollo de problemas seleccionados *Presentaciones *Respuesta y desarrollo de problemas Glosario Capítulo XI Temas selectos de grafos Mapa conceptual Simulador • Algoritmo de Fleury Lecturas adicionales • Algoritmo de Fleury • La fórmula de Cayley Respuesta y desarrollo de problemas seleccionados *Presentaciones *Respuesta y desarrollo de problemas Glosario MATEMÁTICAS DISCRETAS – RAMÓN ESPINOSA ARMENTA preliminares.indd xvii ALFAOMEGA 2/10/10 11:06:13 AM Plataforma de contenidos interactivos Para tener acceso al material de la plataforma de contenidos interactivos de Matemáticas Discretas, siga los siguientes pasos: 1) Ir a la página http://virtual.alfaomega.com.mx 2) Registrarse como usuario del sitio. 3) Ingresar al apartado de inscripción de libros y registrar la siguiente clave de acceso 4) Para navegar en la plataforma ingrese los nombres de Usuario y Contraseña definidos en el punto dos. ALFAOMEGA preliminares.indd xviii MATEMÁTICAS DISCRETAS – RAMÓN ESPINOSA ARMENTA 2/10/10 11:06:13 AM Prefacio Se dice que un conjunto es discreto, si sus elementos están separados. Los conjuntos finitos y los subconjuntos infinitos de números enteros son conjuntos discretos, mientras que el conjunto de los números reales no es discreto. La matemática discreta es el estudio de estructuras matemáticas definidas sobre conjuntos discretos, y aunque sus orígenes se remontan hasta la antigüedad no ha sido sino en años recientes que ha cobrado importancia por sus aplicaciones a diversos campos, en particular a las ciencias de la computación y a la investigación de operaciones. Acerca del libro Este es un libro de texto para estudiantes de las carreras de ciencias básicas e ingeniería, y su contenido está dividido en cuatro partes: Parte I. Se exponen los fundamentos de las matemáticas discretas: lógica, conjuntos, los enteros, inducción matemática, divisibilidad, congruencias, funciones, conjuntos finitos y relaciones binarias. Parte II. Se estudian estructuras algebraicas discretas: grupos, anillos, campos, aritmética modular, polinomios, matrices y álgebras booleanas. Parte III. Se presenta la enumeración combinatoria, específicamente se estudian permutaciones, combinaciones, el principio de inclusión-exclusión, funciones generadoras ordinarias, partición de enteros, funciones generadoras exponenciales y relaciones de recurrencia. Parte IV. Se expone una introducción a la teoría de grafos, y en ésta se estudian grafos, árboles, árboles con raíz, grafos dirigidos, grafos bipartitos, isomorfismos, paseos eulerianos, ciclos hamiltonianos, planaridad, coloración y grafos orientados. En general, cada tema del libro se expone en forma completa y axiomática, esto es, se plantean las definiciones y axiomas correspondientes y se enuncian y demuestran los teoremas fundamentales. Además, a lo largo de la exposición se presentan problemas resueltos que ilustran la teoría expuesta, y al final de cada capítulo se incluye una lista de problemas propuestos. MATEMÁTICAS DISCRETAS – RAMÓN ESPINOSA ARMENTA preliminares.indd xix ALFAOMEGA 2/10/10 11:06:13 AM xx PREFACIO Otra característica importante de esta obra es que en la mayor parte de los capítulos se presentan aplicaciones de las matemáticas discretas a las ciencias de la computación, y entre éstas se encuentran cambio de base, complejidad computacional, criptografía, circuitos lógicos, espacios finitos de probabilidad, el problema del conector, ruta más corta y problemas NP-completos. Página web del libro En la página web del libro se cuenta con los siguientes recursos. • Simuladores de tres tipos: I) Simuladores que ejemplifican la teoría poniéndola en práctica: Función de Ulam; Algoritmo burbuja; Ordenación por fusión; Compuertas lógicas; Árboles binarios; Algoritmo de Fleury; Algoritmos de Kruskal, de Warshall y de Dijkstra. II) Simuladores relacionados con aplicaciones clásicas de las matemáticas discretas: Números primos; Cambio de base; Factorización única. III) Simuladores relacionados con una de las aplicaciones modernas más importantes (el encriptamiento de información): Generador de claves RSA; Codificador RSA; Decodificador RSA. • Lecturas complementarias de dos tipos: I) Lecturas en las que se exponen temas como números reales, conjuntos infinitos, números complejos, raíces reales y complejas, criterio de irreducibilidad de Eisenstein, fracciones parciales y determinantes. En particular, los primeros seis capítulos del libro junto con estas lecturas constituyen un curso completo (de dos semestres) de álgebra clásica. II) Lecturas en las que se describe la estructura de los simuladores desarrollados con MATLAB • Respuesta y desarrollo de problemas seleccionados. • Recursos para el profesor: I) Solución completa de todos los problemas propuestos en el libro II) Una presentación power point de cada capítulo. ALFAOMEGA preliminares.indd xx MATEMÁTICAS DISCRETAS – RAMÓN ESPINOSA ARMENTA 2/10/10 11:06:14 AM PREFACIO xxi Cursos posibles Tomando en cuenta el contenido del libro y lo incluido en su página web, esta obra contiene material suficiente para dos cursos semestrales, los cuales se pueden organizar considerando el siguiente diagrama que muestra la interdependencia de los distintos capítulos: 1.- Lógica, conjuntos e inducción 2.- Teoría de números 3.- Relaciones y funciones 4.- Grupos, anillos y campos 8.- Conteo 7.- Álgebras booleanas 5.- Polinomios 6.- Matrices 9.- Funciones generadoras y recurrencia 10.- Grafos y algoritmos 11.- Temas selectos de grafos Luego de haber recorrido cualquiera de las rutas posibles, lo que se espera es que se haya apreciado la belleza y la importancia de las matemáticas discretas, se haya descubierto que éstas son una ciencia viva y en constante desarrollo, además de encontrarse estrechamente vinculada con problemas reales. En fin, se espera que se haya disfrutado el viaje y que en él se encuentre la motivación y preparación para recorrer otros caminos del mundo mágico de las matemáticas. Finalmente, casi todos los libros contienen errores y difícilmente éste será la excepción. Si se detecta algún error, agradeceré que me lo hagan saber escribiendo a la dirección [email protected]. MATEMÁTICAS DISCRETAS – RAMÓN ESPINOSA ARMENTA preliminares.indd xxi ALFAOMEGA 2/10/10 11:06:14 AM Agradecimientos Agradezco al profesor César Rincón por aquellas inolvidables clases de Álgebra Superior, en la Facultad de Ciencias de la UNAM, que me abrieron las puertas al mundo mágico de las matemáticas. Agradezco a Jorge Urrutia por aquella tarde de domingo, hace más de veinte años, cuando me mostró por primera vez la belleza e importancia de las matemáticas discretas. Agradezco a Javier Alfaro y a Marcela González, por casi veinte años de retroalimentación constante acerca de la enseñanza del álgebra y las matemáticas discretas. Agradezco los comentarios elogiosos que alumnos, profesores y amigos hicieron de mi primera obra y que me motivaron a seguir escribiendo. Agradezco a Shyamal Kumar por aquellas tardes en las que compartimos nuestras experiencias acerca del galano arte de escribir. Agradezco a los profesores Alejandro Odgers y Edgar Possani, y al alumno Mauricio González, por sus comentarios y correcciones de algunas partes del texto. Agradezco a Adolfo Torres Cházaro y a Virginia Urrutia, por sus valiosos comentarios acerca de la presentación del material en muchas partes del texto. Agradezco el apoyo de la editorial Alfaomega, en particular a Marcelo Grillo, Gerente editorial, a Alejandro Herrera que apoyó inicialmente este proyecto, y muy especialmente al Editor Francisco Javier Rodríguez Cruz cuyos comentarios y notas enriquecieron el libro; fue un placer trabajar con él. Agradezco a la Gerente de E-Learning de Alfaomega, Luz del Carmen Romero González, a los Programadores Ricardo Martínez Vilchis, Armando Sotelo Soto y Ariel Calzada Solano, y a la Diseñadora María Elena Velasco Rojas, quienes desarrollaron parte de los simuladores que se encuentran en la página web del libro. Agradezco especialmente al Dr. David Báez López por el desarrollo de los simuladores en MATLAB y por las lecturas complementarias correspondientes que escribió. Agradezco especialmente a mi hija Mariana, por haber leído cuidadosamente el libro, señalándome errores y comentando acerca del contenido. Agradezco a mi esposa Ely y a mis hijos David Gibrán y Mariana, por su amor, aliento y apoyo constante. Por último, agradezco el apoyo de la Asociación Mexicana de Cultura, A. C. y del Instituto Tecnológico Autónomo de México, para la realización de esta obra. Ramón Espinosa Armenta Ciudad de México, 2010 ALFAOMEGA preliminares.indd xxii MATEMÁTICAS DISCRETAS – RAMÓN ESPINOSA ARMENTA 2/10/10 11:06:14 AM Parte I Fundamentos capitulo 1.indd 1 12/30/09 12:27:59 PM CAPÍTULO I A n ∑ k =1 Lógica, conjuntos e inducción B X ((p → q) ⇒ [(p ( ∨ r) → (q ∨ s)] ( → q) ⇒ [(p (p ( ∧ r) → (q ∧ s)] ( → q) ⇒ [(q → r) → (p (p ( → r)] 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5* 1.6 1.7 1.8 1.9 Introducción Lógica Conjuntos Números enteros Números reales Inducción matemática Resumen Problemas Contenido interactivo *Ver Plataforma de contenidos interactivos. capitulo 1.indd 2 12/30/09 12:28:00 PM 1+ x + x2 + + xn + x n ∑ccak = c∑ak k =1 1 n 1 Las demostraciones matemáticas, como diamantes, son duras y claras, y no son tocadas por nada que no sea el razonamiento estricto. n +1 = 1− x + x n +1 1− x = 1 − x n +11 + x n 1 − x n + 2 1− x John Locke 1− xn+ 2 = 1− x n n ∑(a + b ) = ∑a + ∑b k k k =1 k k =1 k k =1 Objetivos • • • • capitulo 1.indd 3 Exponer las reglas de inferencia y los métodos de demostración. Presentar la notación y terminología básica de la teoría de conjuntos. Exponer las propiedades fundamentales de los enteros. Discutir el método de inducción matemática y sus variantes. 12/30/09 12:28:05 PM 4 I. LÓGICA, CONJUNTOS E INDUCCIÓN 1.1 Introducción Lo que distingue a las matemáticas de otras disciplinas es que, a excepción de ciertas afirmaciones básicas llamadas axiomas, en matemáticas nada es considerado como verdadero a menos de que haya sido demostrado utilizando un argumento lógico válido. En este capítulo primero se expone una introducción a la lógica simbólica: se explica qué es una proposición y cómo se utilizan los conectivos lógicos para formar nuevas proposiciones, qué es una implicación lógica y qué significa que dos proposiciones sean lógicamente equivalentes, y se describen las principales reglas de inferencia y los métodos de demostración. Luego se expone la notación y terminología básica de teoría de conjuntos: se presentan las nociones de pertenencia y contención, la noción de conjunto vacío, el concepto de conjunto potencia, las operaciones con conjuntos, así como sus propiedades. Por último se plantea una descripción axiomática del sistema de los números enteros y se demuestran algunas propiedades adicionales, además de que se expone el método de inducción matemática. 1.2 Creadores de la lógica A ristóteles (384 a. C.-322 a. C.), uno de los más grandes filósofos de la antigüedad griega, es el creador de la lógica formal expuesta en su obra Organon la cual consta de los libros “Categorías”, “Sobre la interpretación”, “Primeros analíticos”, “Segundos analíticos”, “Tópicos” y “Refutación a los sofistas”. G ottfried Wilhelm Leibniz (16461716) aportó a la lógica su proyecto de crear un álgebra del pensamiento que redujera el razonamiento a un cálculo preciso. “D iestro desde su infancia en el manejo de la lógica escolástica, había quedado seducido por la idea (que se remontaba a Raimundo Lulio) de un método que reduciría todos los conceptos humanos a conceptos primitivos, formando un ‘Alfabeto de los pensamientos humanos’, y volvería a combinarlos de forma casi mecánica para obtener todas las proposiciones verdaderas”1. Continúa... ALFAOMEGA capitulo 1.indd 4 Lógica Uno de los principales propósitos de la lógica consiste en proporcionar reglas por medio de las cuales se pueda determinar si un argumento particular es correcto. La lógica se interesa en cualquier tipo de razonamiento, el cual puede ser, por ejemplo, de carácter legal, matemático o científico, basado en todos los casos en ciertas suposiciones. El filósofo griego Aristóteles fue el primero en realizar un estudio sistemático del razonamiento lógico, sin embargo no fue sino hasta el siglo XVII cuando el filósofo y matemático alemán Gottfried Leibniz concibió la idea de desarrollar un lenguaje simbólico que pudiera ser utilizado como un lenguaje científico universal. El sueño de Leibniz se hizo realidad hasta 1854, cuando el matemático inglés George Boole estableció las bases de la lógica simbólica en su obra An investigation into the laws of thought. Posteriormente, Bertrand Russell y Alfred Whitehead utilizaron la lógica simbólica en su monumental obra Principia Mathematica (1910-1913). Al incorporarse la lógica a las matemáticas, ambas disciplinas se enriquecieron. 1.2.1 Proposiciones y conectivos lógicos Una proposición es una afirmación que puede ser verdadera o falsa, pero no ambas. Si una proposición es verdadera se dice que su valor de verdad es verdadero (V ); si la proposición es falsa se dice que su valor de verdad es falso (F ). 1 Nicolas Bourbaki; Elementos de historia de las matemáticas; Alianza Editorial, Madrid 1976; p. 18. MATEMÁTICAS DISCRETAS – RAMÓN ESPINOSA ARMENTA 12/30/09 12:28:07 PM 1.2 5 LÓGICA Continuación... Ejemplo 1.1 Las siguientes afirmaciones son proposiciones: a) Guadalupe Victoria fue el primer Presidente de México. b) Hay un premio Nobel de Matemáticas. c) Estaba lloviendo en Tenochtitlan el día que murió Lorenzo de Médicis. De las proposiciones anteriores, (a) es verdadera, (b) es falsa y (c) podría ser verdadera o falsa, sin embargo es claro que ese día llovió o no en Tenochtitlan y por lo tanto se puede asegurar que la afirmación es una proposición. Ejemplo 1.2 nes: Las siguientes afirmaciones no son proposicio- a) Cierra la puerta. b) Esta afirmación es falsa. G eorge Boole (1815-1864). “La lógica simbólica nació decididamente con el importantísimo folleto de ochenta y dos páginas de Boole, The mathematical analysis of logic, being an essay toward a calculus of deductive reasonin, 1847. A esto siguió en 1848 un documento de quince páginas, The calculus of logic, y finalmente en 1854 dio Boole una exposición formal de su sistema en su obra maestra An investigation into the laws of thought, on which are founded the mathematical theories of logic and probabilities. ‘‘R ussell ha observado (1901) que las matemáticas puras fueron descubiertas por Boole en una obra que tituló ‘las leyes del pensamiento’… Su obra se ocupaba de la lógica formal, y esto es la misma cosa que las matemáticas. Aunque la identificación de las matemáticas con la lógica formal ha sido discutida entre 1901 y 1945, nadie puso en duda que Boole fuera el verdadero fundador de la lógica simbólica.”2 A La afirmación (a) no es una proposición porque no es verdadera o falsa (es una orden), y la afirmación (b) no es una proposición porque si se supone que es verdadera entonces la afirmación es falsa, análogamente, si se supone que es falsa entonces la afirmación es verdadera. ugustus De Morgan (1806-1871) se interesó especialmente por el álgebra y su contribución a la moderna lógica matemática son las siguientes leyes que llevan su nombre: • La negación de la conjunción es equivalente a la disyunción de las negaciones: ¬(A ∧ B) ↔ (¬A) ∨ (¬B) Las proposiciones se pueden combinar para formar nuevas proposiciones, utilizando conectivos lógicos. Una proposición formada mediante la combinación de otras proposiciones utilizando conectivos lógicos se dice que es una proposición compuesta. Si las proposiciones p1, p2, …, pn se combinan para formar la proposición compuesta p se escribirá p = p (p1, p2, …, pn). TABLAS DE VERDAD Las tablas de verdad fueron desarrolladas por Frege, Peirce y Schröder en la década de 1880, y desde 1920 fueron usadas ampliamente en la literatura, sin embargo su uso se consolidó a partir de la aplicación que hizo Wittgenstein de éstas en su Tractatus logico-philosophicus. Por otro lado, como parte de los conceptos básicos del cálculo proposicional se tienen las tablas de verdad de los principales conectiContinúa... • La negación de la disyunción es equivalente a la conjunción de las negaciones: ¬(A ∨ B) ↔ (¬A) ∧ (¬B) “Al mismo tiempo que Boole, De Morgan dio otro gran paso hacia adelante con su tratado (1847) Formal logic; or, the calculus of inference, necessary and probable. De Morgan fue más allá que Boole iniciando en 1860 la lógica de las relaciones en el cuarto de una famosa serie de cinco documentos (1846-1860) sobre el silogismo.”3 F riedrich Ludwig Gottlob Frege (18481925) es considerado el fundador de la lógica matemática moderna. “Sus obras se caracterizan por una precisión y una minuciosidad extremas en el análisis de los conceptos, lo que le lleva a introducir distinciones que han tenido gran importancia en la lógica moderna: por ejemplo, es el primero en distinguir el enunciado de una proposición y la afirmación de que Continúa... 2 3 E. T. Bell; Historia de las matemáticas; F.C.E., México 1985; p. 569. Ib., p. 570. MATEMÁTICAS DISCRETAS – RAMÓN ESPINOSA ARMENTA capitulo 1.indd 5 ALFAOMEGA 12/30/09 12:28:07 PM 6 I. LÓGICA, CONJUNTOS E INDUCCIÓN Continuación... continuación... dicha proposición es verdadera, entre la relación de pertenencia y la de inclusión, entre un objeto x y el conjunto {x} formado por este único objeto, etcétera.”4 conectivos lógicos (conjunción, disyunción y negación) y de los operadores condicional y bicondicional, así como del operador o excluyente, del operador de Pierce y del operador de Sheffer (véanse los problemas 1.10 a 1.12, respectivamente). B ertrand Russell (1872-1970) publicó en 1910 el primero de tres volúmenes de Principia Mathematica, en colaboración con Alfred North Whitehead. El objetivo general de esta obra era deducir la totalidad de las matemáticas a partir de ciertas nociones básicas de la lógica y la teoría de conjuntos, sin embargo Kurt Gödel demostró que este plan era imposible. A pesar de esto, la obra de Russell y Whitehead contribuyó de manera fundamental en el desarrollo de la lógica, la teoría de conjuntos, la inteligencia artificial y la computación. K urt Gödel (1906-1978) La aportación fundamental de Gödel a la lógica son sus dos teoremas de la incompletitud, publicados en 1931. En el más célebre de sus teoremas establece que para todo sistema axiomático recursivo existen proposiciones verdaderas sobre los naturales que no pueden demostrarse a partir de los axiomas. Para demostrar este teorema desarrolló una técnica denominada ahora como numeración de Gödel, la cual codifica expresiones formales como números naturales. En relación con las aplicaciones las tablas de verdad se usan en la demostración de equivalencias lógicas y en la evaluación de funciones booleanas (véase la sección 7.5 Expresiones y funciones booleanas), así como en la simpliÀcación y diseño de circuitos lógicos (véanse las secciones 7.7 Aplicación: circuitos lógicos y 7.8 Compuertas lógicas). Los valores de verdad de una proposición compuesta p = p (p1, p2, …, pn) pueden describirse por medio de una tabla de verdad, en la cual se listan todas las posibles combinaciones de los valores de verdad para p1, p2, …, pn. A continuación se definen los principales conectivos lógicos. La conjunción de dos proposiciones p y q es la proposición p ∧ q, que se lee “p y q”. La proposición p ∧ q tiene el valor de verdad V cuando tanto p como q tienen el valor de verdad V, en otro caso su valor de verdad es F. La tabla de verdad de la conjunción es la siguiente: A lfred Tarski (1902-1983) Junto con Aristóteles, Frege y Gödel, Tarski es considerado uno de los lógicos más grandes de todos los tiempos. En 1941 publicó Introduction to logic and to the methodology of deductive sciences y contribuyó a la lógica fundando una metodología conjuntista de las teorías deductivas sobre dos bases: • La noción de teoría como conjunto de proposiciones cerrado bajo una noción de derivación mediante aplicación de reglas. 4 capitulo 1.indd 6 q p∧q V V V V F F F V F F F F La disyunción de dos proposiciones p y q es la proposición p ∨ q, que se lee “p ó q”. La proposición p ∨ q tiene el valor de verdad F sólo cuando tanto p como q tienen el valor de verdad F, en otro caso su valor de verdad es V. Hay que observar que el operador ∨ representa un “ó inclusivo”. La tabla de verdad de la disyunción es la siguiente: • El desarrollo de una semántica basada en las nociones de satisfacción, verdad y consecuencia lógica. ALFAOMEGA p p q p∨q V V V V F V F V V F F F Op.cit., Nicolas Bourbaki; p. 23. MATEMÁTICAS DISCRETAS – RAMÓN ESPINOSA ARMENTA 12/30/09 12:28:09 PM 1.2 La negación de una proposición p es la proposición ¬p, que se lee como “no p”. La proposición ¬p tiene el valor de verdad V cuando p tiene el valor de verdad F, y tiene el valor de F cuando p tiene el valor de verdad V. La tabla de verdad de la negación es la siguiente: p ¬p V F F V 7 LÓGICA 1.2.2 Tautología y contradicción Una proposición compuesta p = p(p1, p2, …, pn) es una tautología si p es verdadera para todos los valores de verdad que se asignen a p1, p2, …, pn. Charles Sanders Peirce (1839-1914) N ació en Cambridge, Massachussets, fue filósofo, lógico y científico, y es considerado el fundador del pragmatismo y el padre de la semiótica moderna. Fue profesor de astronomía y matemáticas en Harvard, y aunque se graduó en química en la Universidad de Harvard, nunca logró tener una posición académica permanente a causa de su difícil personalidad (tal vez maniaco-depresiva) y del escándalo que rodeó a su segundo matrimonio después de divorciarse de su primera mujer, Melusina Fay. Desarrolló su carrera profesional como científico en la United Status Coast Survey (18591891), trabajando especialmente en astronomía, en geodesia y en medidas pendulares. Desde 1879 hasta 1884 fue profesor de lógica a tiempo parcial en la Universidad Johns Hopkins. Tras retirarse en 1888 se estableció con su segunda mujer, Juliette Froissy, en Milford, donde murió de cáncer después de 26 años de escritura intensa y prolífica. Se dice que p es una contradicción si es falsa para todos los valores de verdad que se asignen a p1, p2, …, pn. Hay que observar que la negación de una tautología es una contradicción y que la negación de una contradicción es una tautología. Tautologías comunes5 Adición: Ejemplo 1.3 La siguiente tabla de verdad muestra que p ∨ ¬p es una tautología y que p ∧ ¬p es una contradicción. p ⇒ (p ∨ q) Simplificación: ( p ∧ q) ⇒ p Absurdo: ¬p p ∨ ¬p p ∨ ¬p V F V F F V V F p (p → 0) ⇒ p′ Modus ponens: [p ∧ (p → q)] ⇒ q Modus tollens: [(p → q) ∧ q′] ⇒ p′ Transitividad de la bicondicional: [(p ↔ q) ∧ (q ↔ r)] ⇒ (p ↔ r) Transitividad de la condicional: 5 José A. Jiménez Murillo; Matemáticas para la computación; Alfaomega Grupo Editor, México 2009; p. 128. MATEMÁTICAS DISCRETAS – RAMÓN ESPINOSA ARMENTA capitulo 1.indd 7 [(p → q) ∧ (q → r)] ⇒ (p → r) Continúa... ALFAOMEGA 12/30/09 12:28:10 PM 8 I. Continuación... LÓGICA, CONJUNTOS E INDUCCIÓN 1.2.3 Implicación y equivalencia lógica Extensión de la condicional: (p → q) ⇒ [(p ∨ r) → (q ∨ s)] (p → q) ⇒ [(p ∧ r) → (q ∧ s)] (p → q) ⇒ [(q → r) → (p → r)] Dilemas constructivos: [(p → q) ∧ (r → s)] ⇒ [(p ∨ r) → (q ∨ s)] [(p → q) ∧ (r → s)] ⇒ [(p ∧ r) → (q ∧ s)] El operador condicional, denotado por el símbolo →, está deÀnido por la siguiente tabla de verdad: p q p→q V V V V F F F V V F F V La proposición compuesta p → q se llama proposición condicional. En este caso, la proposición p se llama hipótesis (o antecedente) y la proposición q se llama conclusión (o consecuente). La proposición condicional puede expresarse como: si p entonces q p sólo si q, p implica q, p es una condición suficiente para q, q es una condición necesaria para p. Sean p = p (p1, p2, …, pn) y q = q (p1, p2, …, pn) dos proposiciones compuestas, se dice que p implica lógicamente a q si p → q es una tautología. En este caso se escribe p ⇒ q. Ejemplo 1.4 Si p y q son dos proposiciones, p ∧ q → p, como lo muestra la siguiente tabla de verdad. ALFAOMEGA capitulo 1.indd 8 p q p∧q p∧q→p V V V V V F F V F V F V F F F V MATEMÁTICAS DISCRETAS – RAMÓN ESPINOSA ARMENTA 12/30/09 12:28:12 PM 1.2 LÓGICA 9 La recíproca de la proposición condicional p → q es la proposición q → p. Es posible que una proposición condicional sea verdadera, pero que su recíproca sea falsa. El operador bicondicional, denotado por el símbolo ↔, está deÀnido por la siguiente tabla de verdad: p q p↔q V V V V F F F V F F F V Hay que observar que p ↔ q es verdadera sólo cuando los valores de verdad de p y q coinciden. La proposición compuesta (p → q) ∧ (q → p) se llama proposición bicondicional y se denota p ↔ q. Esta proposición se lee “p si y sólo si q”. La abreviación “sii” se utiliza con frecuencia para representar la frase “si y sólo si”. Sean p = p (p1, p2, …, pn) y q = q (p1, p2, …, pn) dos proposiciones compuestas, se dice que p y q son lógicamente equivalentes si p ↔ q es una tautología. En este caso se escribe p ⇔ q. En otras palabras, dos proposiciones compuestas son lógicamente equivalentes si y sólo si sus valores de verdad coinciden. Ejemplo 1.5 La proposición bicondicional p ↔ q es lógicamente equivalente a la proposición (p → q) ∧ (q → p), como lo muestra la siguiente tabla de verdad: p q p→q q→p (p → q) ∧ (q → p) V V V V V V F F V F F V V F F F F V V V Por esta razón la proposición bicondicional p ↔ q también puede expresarse como “p es una condición necesaria y suficiente para q”. MATEMÁTICAS DISCRETAS – RAMÓN ESPINOSA ARMENTA capitulo 1.indd 9 ALFAOMEGA 12/30/09 12:28:13 PM 10 I. LÓGICA, CONJUNTOS E INDUCCIÓN Ejemplo 1.6 La proposición ¬(p → q) es lógicamente equivalente a la proposición p ∧ ¬ q, como lo muestra la siguiente tabla de verdad: Proposiciones equivalentes6 Doble negación: p′′ ≡ p Leyes conmutativas: (p ∨ q) ≡ (q ∨ p) ( p ∧ q) ≡(q ∧ p) (p ↔ q) ≡ (q ↔ p) Leyes asociativas: [(p ∨ q) ∨ r] ≡ [p ∨ (q ∨ r)] [(p ∧ q) ∧ r] ≡ [p ∧ (q ∧ r)] p q ¬q ¬(p → q) p∧¬q V V F F F V F V V V F V F F F F F V F F Leyes distributivas: [p ∨ (q ∧ r)] ≡ [(p ∨ q) ∧ (p ∨ r)] [p ∧ (q ∨ r)] ≡ [(p ∧ q) ∨ (p ∧ r)] Ejemplo 1.7 La contrarrecíproca (o contraposición) de una proposición condicional p → q es la proposición ¬q → ¬p. La siguiente tabla muestra que toda proposición condicional es lógicamente equivalente a su contrarrecíproca: Leyes de idempotencia: (p ∨ p) ≡ p (p ∧ p) ≡ p Leyes de Morgan: (p ∨ q)′ ≡ (p′ ∧ q′) (p ∧ q)′ ≡ (p′ ∨ q′) Contrapositiva: (p → q) ≡ (q′ → p′) Variantes de la condicional: (p → q) ≡ (p′ ∨ q) (p → q) ≡ (p ∧ q′)′ (p ∨ q) ≡ (p′ → q) (p ∧ q) ≡ (p → q′)′ [(p → r) ∧ (q → r)] ≡ [(p ∧ q) → r] [(p → q) ∧ (p → r)] ≡ [p → (q ∧ r)] p q p→q ¬q → ¬p (p → q) ↔ (¬q → ¬p) V V V V V V F F F V F V V V V F F V V V Variantes de la bicondicional: (p ↔ q) ≡ [(p → q) ∧ (q → p)] (p ↔ q) ≡ [(p′ ∨ q) ∧ (q′ ∨ p)] (p ↔ q) ≡ [(p ∧ q) ∨ (p′ ∧ q′)] Ejemplo 1.8 La siguiente tabla muestra que la implicación condicional p → q es lógicamente equivalente a la proposición p ∧ ¬q → c, donde c es una contradicción: Contradicción: (p ∧ p′) ≡ 0 Ley de identidad: (p ∨ 0) ≡ p (p ∨ 1) ≡ 1 (p ∧ 0) ≡ 0 (p ∨ p′) ≡ 1 (p ∧ 1) ≡ p (p ∧ q ∨ q) ≡ q Disyunción exclusiva: (p ⊕ q) ≡ (p ↔ q)′ 6 ALFAOMEGA capitulo 1.indd 10 p q ¬q p ∧ ¬q c p ∧ ¬q → c V V F F F V V F V V F F F V F F F V F F V F F V Op. cit., José A. Jiménez Murillo; pp. 133-135. MATEMÁTICAS DISCRETAS – RAMÓN ESPINOSA ARMENTA 12/30/09 12:28:14 PM 1.2 LÓGICA 11 1.2.4 Reglas de inferencia Un argumento lógico es una sucesión de proposiciones escritas como sigue: p1 p2 pn ∴q Las proposiciones p1, p2, …, pn son llamadas hipótesis o premisas; la proposición q es la conclusión. El símbolo ∴ se lee como “por lo tanto”, o “por consiguiente”, o “se sigue que”, o “de aquí que”. Un argumento lógico se dice que es válido si p1 ∧ p2 ∧…∧ pn ⇒ q se cumple, es decir, p1 ∧ p2 ∧…∧ pn → q es una tautología. Los argumentos lógicos válidos también son llamados reglas de inferencia. Una falacia lógica es un argumento lógico que no es válido. A continuación se describen las principales reglas de inferencia. Adición p ∴p∨q Simplificación p∧q ∴p Silogismo disyuntivo p∨q ¬p ∴q Silogismo hipotético p→q q→r ∴p→r Conjunción p q ∴p∧q MATEMÁTICAS DISCRETAS – RAMÓN ESPINOSA ARMENTA capitulo 1.indd 11 ALFAOMEGA 12/30/09 12:28:15 PM 12 I. LÓGICA, CONJUNTOS E INDUCCIÓN Modus ponens Leyes de De Morgan p p→q 1) La negación de la conjunción es equivalente a la disyunción de las negaciones: ∴q ¬(p ∧ q) ⇔ ¬p ∨ ¬q 2) La negación de la disyunción es equivalente a la conjunción de las negaciones: ¬(p ∨ q) ⇔ ¬p ∧ ¬q Augustus De Morgan (1806-1871) M atemático y lógico inglés nacido en la India que se interesó especialmente por el álgebra, que escribió varias obras de lógica, que definió y aplicó el concepto de inducción matemática y que formuló las leyes que llevan su nombre. En 1847 publicó Formal logic; or, the calculus of inference, necessary and probable que es su trabajo más importante sobre lógica, y en 1849 publicó su obra Trigonometry and double algebra en donde expone su interpretación geométrica de los números complejos. Modus tollens ¬q p→q ∴ ¬p 1.2.5 Predicados y cuantiÀcadores Enunciados como “x es mexicano” o “a es hijo de b”, no son proposiciones ya que no son necesariamente verdaderos o falsos. Sin embargo, cuando se asignan valores a las variables que intervienen en estas afirmaciones éstas se convierten en proposiciones. Este tipo de enunciados son llamados predicados. El predicado “x es mexicano” puede representarse como P(x), análogamente el predicado “a es hijo de b” puede representarse como Q(a, b). Los valores de las variables que aparecen en un predicado deben pertenecer a un conjunto, llamado el universo de discurso (o simplemente universo). Para ser precisos es necesario establecer explícitamente el universo de discurso, sin embargo con frecuencia el universo de discurso se entiende implícitamente. Una manera de convertir un predicado en una proposición es asignar un valor a cada una de las variables. Otra manera, utilizada con frecuencia en matemáticas, es cuantificar las variables para las cuales el predicado es válido. El cuantificador universal ∀ se utiliza para construir proposiciones como ∀ x ∈ X P(x) que se lee “para toda x perteneciente a X la proposición P(x) es verdadera”. La proposición anterior es verdadera sólo si P(x) es verdadera para cualquier valor de x en el universo de discurso X. El símbolo ∀ puede leerse “para todo” o “para cada” o “para cualquier”. El cuantificador existencial ∃ se utiliza para construir proposiciones de la forma ∃ x ∈ X P(x) ALFAOMEGA capitulo 1.indd 12 MATEMÁTICAS DISCRETAS – RAMÓN ESPINOSA ARMENTA 12/30/09 12:28:16 PM 1.2 LÓGICA 13 que significa “existe x ∈ X tal que P(x) es verdadera”. El símbolo ∃ puede leerse “existe” o “para algún” o “para al menos un”. La negación de la proposición ∀x∈X P(x) ∃x∈X ¬P(x) es la proposición Equivalentemente, para mostrar que la proposición ∀ x ∈ X P(x) es falsa, basta exhibir un elemento x ∈ X tal que P(x) sea falso. Tal elemento es llamado un contraejemplo. Análogamente, la negación de la proposición ∃x∈X P(x) ∀x∈X ¬P(x) es la proposición Para mostrar que una afirmación de la forma ∀x∈X P(x) ⇒ Q(x) es falsa, hay que encontrar un elemento x ∈ X para el cual P(x) es verdadera y Q(x) es falsa. Algunas proposiciones involucran más de un cuantificador. Por ejemplo, la negación de la proposición ∀ a ∈ A ∃ b ∈ B P(a, b) La demostración en matemáticas La demostración es el corazón de las matemáticas. Larry W. Cusick es la proposición ∃ a ∈ A ∀ b ∈ B ¬P(a, b). 1.2.6 Métodos de demostración Una demostración es una sucesión de afirmaciones que representan una argumentación de la validez de un enunciado matemático. Algunas de las afirmaciones que se presentan en una demostración pueden considerarse verdades a priori, éstas incluyen axiomas, definiciones o resultados establecidos previamente. Otras MATEMÁTICAS DISCRETAS – RAMÓN ESPINOSA ARMENTA capitulo 1.indd 13 El concepto de demostración en matemáticas se ha ido reÀnando de acuerdo con el desarrollo de las mismas matemáticas. Para entender esto es suÀciente considerar que muchas demostraciones que en su momento fueron aceptadas, sólo con el tiempo se han corregido, lo cual habla del incremento de los estándares para aceptar algo como una verdadera demostración. Continúa... ALFAOMEGA 12/30/09 12:28:16 PM 14 I. Continuación... La teoría de la demostración es una rama de la lógica matemática que considera a las demostraciones como objetos matemáticos. Desde esta perspectiva, las demostraciones suelen presentarse como estructuras de datos inductivamente deÀnidas que se construyen de acuerdo con los axiomas y reglas de inferencia de los sistemas lógicos. David Hilbert es el fundador de la teoría moderna de la demostración, y en lo que se conoce como el programa de Hilbert se planteó como objetivo mostrar que las matemáticas podrían ser formuladas sobre un fundamento sólido y completamente lógico. La convicción de Hilbert era que su programa se podría realizar a partir de 1. Demostrar que todas las matemáticas se deducen de un sistema Ànito de axiomas seleccionados correctamente. 2. Demostrar mediante algún recurso, tal como el cálculo épsilon, que algún sistema de axiomas es probablemente consistente. Por su parte, en 1930 Kurt Gödel demostró sus dos teoremas de incompletez. El primer teorema aÀrma que En cualquier formalización consistente de las matemáticas, que sea lo bastante fuerte para deÀnir el concepto de números naturales, se puede construir una aÀrmación que ni se puede demostrar ni se puede refutar dentro de ese sistema. El segundo teorema dice que Ningún sistema consistente se puede usar para demostrarse a sí mismo. La consecuencia inmediata de este teorema fue la demostración de la imposibilidad del programa de Hilbert. LÓGICA, CONJUNTOS E INDUCCIÓN afirmaciones pueden ser las hipótesis del enunciado, las cuales se suponen verdaderas en el argumento. Por último, algunas afirmaciones pueden ser inferidas de otras afirmaciones cuya validez fue probada al principio de la demostración. Existen varios métodos de demostración, los cuales se describen a continuación. Una demostración directa de un enunciado de la forma “si P entonces Q”, comienza suponiendo que P es verdadera y de ahí concluye que Q es verdadera. La implicación “si P entonces Q” es lógicamente equivalente a la implicación “si no Q entonces no P”. Una demostración indirecta (o por contraposición) de un enunciado de la forma “si P entonces Q”, comienza suponiendo que la negación de Q es verdadera y de ahí concluye que la negación de P es verdadera. Una demostración por contradicción o reducción al absurdo de la veracidad de un enunciado de la forma “si P entonces Q”, comienza suponiendo que Q es falsa y de esta suposición concluye una contradicción. Una proposición matemática cuya veracidad ha sido probada, es llamada teorema. Un lema es un resultado que no es considerado importante, pero que es útil para probar un teorema. Un resultado que puede probarse fácilmente a partir de un teorema es llamado un corolario de ese teorema. Si un teorema es de la forma “P si y sólo si Q”, la demostración usualmente se divide en dos partes, primero se prueba que P es una condición suficiente para Q, es decir, que si P entonces Q, y luego se prueba que P es una condición necesaria para Q, es decir, que si Q entonces P. Para probar un teorema de la forma ∀ x ∈ X P(x), es necesario considerar un elemento arbitrario x ∈ X y mostrar que P(x) es verdadera. No basta verificar que P(x) es verdadera para un elemento particular. Comentario Comprender la demostración de un teorema requiere con frecuencia de un gran esfuerzo. Cada paso de una demostración debe tener una justificación lógica, la cual no siempre es fácil de encontrar. Al leer una demostración, se debe de tratar de entender cuáles son las ideas matemáticas detrás de ese razonamiento, pues sólo así se podrá ser capaz de hacer demostraciones por uno mismo. Al escribir una demostración, o al escribir la solución de un problema matemático, se debe de procurar ser lo más claro, conciso y preciso posible. Las matemáticas no son fáciles (ni siquiera para los matemáticos profesionales), y uno no se debe desilusionar si siente que no puede avanzar tan rápido como quisiera. El trabajo constante y sistemático tarde o temprano comienza a rendir frutos. Con el tiempo se aprende a disfrutar de las matemáticas, de la misma manera que se puede disfrutar de la música o de la literatura. ALFAOMEGA capitulo 1.indd 14 MATEMÁTICAS DISCRETAS – RAMÓN ESPINOSA ARMENTA 12/30/09 12:28:17 PM 1.3 1.3 15 CONJUNTOS Conjuntos Hasta principios del siglo XX, un conjunto era entendido como cualquier colección de objetos de nuestra intuición o imaginación. En 1902 el matemático Gotlob Frege estaba a punto de publicar un monumental trabajo, en el cual la aritmética era construida sobre la base de esta noción de conjunto. En este punto Frege recibió una carta de Bertrand Russell que lo decidió a agregar el siguiente párrafo con el cual termina el segundo volumen de su obra: “No hay menos apetecible para un hombre de ciencia, que el que cuando está a punto de terminar su obra se le derrumben los cimientos. En esta situación me coloca una carta del señor Bertrand Russell, recibida cuando la obra estaba a punto de salir de la imprenta.” En su carta Russell planteaba la siguiente paradoja. Existen dos tipos de conjuntos, los conjuntos regulares y los conjuntos no regulares. Los conjuntos regulares son aquellos que no se contienen a sí mismos como elementos. Un ejemplo de un conjunto no regular es el conjunto de todos los conjuntos describibles con menos de cincuenta palabras en español. Considérese ahora el conjunto R cuyos elementos son todos los conjuntos regulares. Ahora bien, R mismo debe ser un conjunto regular o un conjunto no regular. Si R es regular entonces se contiene a sí mismo como elemento, y por lo tanto es no regular, lo cual es una contradicción. Pero si R es no regular entonces R no se contiene a sí mismo como elemento y es por lo tanto regular, lo cual otra vez es una contradicción. La moraleja es esta: el uso libre de la noción intuitiva de conjunto puede conducir a contradicciones. La noción de conjunto puede servir como base firme para las matemáticas sólo si una aproximación más sofisticada es empleada. En 1908, Ernest Zermelo estableció las bases de una teoría axiomática de conjuntos. Esta teoría fue perfeccionada en 1922 por Abraham Fraenkel. La definición de conjunto no está incluida en esta teoría, en lugar de ello los axiomas describen lo que se puede hacer con conjuntos. En lo que sigue se presenta la notación y terminología básica de teoría de conjuntos. Un conjunto, como se le entiende intuitivamente, tiene elementos. Si A es un conjunto y x es un elemento de A se escribe x ∈ A. En este caso también se acostumbra decir que x pertenece a A. La notación x ∉ A significa que x no es un elemento de A (o que x no pertenece a A). La propiedad más importante de la pertenencia la establece el siguiente axioma. George Cantor (1846-1918), E ste matemático alemán es el creador de la teoría de conjuntos, en particular destacó la importancia de la correspondencia uno a uno entre conjuntos y estableció los conceptos fundamentales relacionados con los conjuntos infinitos (véase la sección 3.4 Conjuntos infinitos). Al principio la teoría de los números transfinitos de Cantor fue considerada como no intuitiva y encontró resistencia de parte de los matemáticos contemporáneos como Leopold Kronecker y Henri Poincaré, y más tarde de Hermann Weyl y L.E.J. Brouwer, mientras que Ludwig Wittgenstein planteó objeciones filosóficas. Por su parte algunos teólogos cristianos vieron el trabajo de Cantor como un desafío a la singularidad de la infinitud absoluta de la naturaleza de Dios. Las objeciones fueron feroces: Poincaré se refiere a las ideas de Cantor como una “grave enfermedad” que infecta a la disciplina de las matemáticas, y la oposición pública de Kronecker y los ataques personales incluyen la descripción de Cantor como un “charlatán científico”, un “renegado” y “corruptor de la juventud”. En alguna época los episodios recurrentes de depresión de Cantor desde 1884 hasta el final de su vida se achacaron a la actitud hostil de muchos de sus contemporáneos, sin embargo estos episodios pueden ser vistos ahora como probables manifestaciones de un trastorno bipolar. La dura crítica ha ido acompañada de elogios. David Hilbert defendió a Cantor con su ya famosa declaración: “Nadie podrá expulsarnos del Paraíso que Cantor ha creado.” Axioma de extensión Dos conjuntos A y B son iguales si cada elemento de A pertenece a B, y cada elemento de B pertenece a A. En este caso se escribe A = B. MATEMÁTICAS DISCRETAS – RAMÓN ESPINOSA ARMENTA capitulo 1.indd 15 ALFAOMEGA 12/30/09 12:28:17 PM 16 I. LÓGICA, CONJUNTOS E INDUCCIÓN Una manera de describir un conjunto es enlistando sus elementos. Por ejemplo, {3, ♠, b} es el conjunto cuyos elementos son 3, z y b. El orden en que aparecen los elementos es irrelevante, así {3, ♠, b} = {3, b, ♠} = {♠, 3, b} = {♠, b, 3} = {b, 3, z} = {b, ♠, 3}. Si existe un elemento en un conjunto que no pertenece al otro conjunto, se dice que los conjuntos son distintos y se escribe A ≠ B. Por ejemplo {a, b, c} ≠ {a, c} Axioma del conjunto de vacío Existe un conjunto que no tiene elementos. El axioma de extensión implica que sólo puede haber un conjunto sin elementos. Este conjunto se denota por el símbolo ∅ y es llamado el conjunto vacío. Sean A y B dos conjuntos. Se dice que A es un subconjunto de B si todo elemento de A pertenece a B. En este caso se escribe A ⊆ B. También se dice que B contiene a A. Si A ⊆ B pero A ≠ B se dice que A es un subconjunto propio de B y se escribe A ⊂ B. A = B si y sólo si A ⊆ B y B ⊆ A. Ejemplo 1.9 Todo conjunto A es un subconjunto de sí mismo, es decir, A ⊆ A, pero no es un subconjunto propio de sí mismo. Ejemplo 1.10 A ⊂ C. Sean A, B y C tres conjuntos tales que A ⊆ B y B ⊂ C. Probar que Solución Sea a ∈ A, como A ⊆ B se sigue que a ∈ B y como B ⊂ C se tiene que a ∈ C, y por lo tanto A ⊆ C. Por otra parte, como B ⊂ C existe c ∈ C tal que c ∉ B, y por lo tanto c ∉ A. De ahí que A ⊂ C. ALFAOMEGA capitulo 1.indd 16 MATEMÁTICAS DISCRETAS – RAMÓN ESPINOSA ARMENTA 12/30/09 12:28:18 PM 1.3 Teorema 1.1 CONJUNTOS El conjunto vacío es un subconjunto de cualquier conjunto. Demostración Sea A un conjunto. Si ∅ no fuera un subconjunto de A entonces existiría un elemento en el conjunto vacío que no pertenecería a A, lo cual no es posible, porque por definición el conjunto ∅ no tiene elementos. El principio más importante de teoría de conjuntos es el siguiente. Axioma de especiÀcación Dado un conjunto A y un predicado P(x), existe un conjunto cuyos elementos son todos los x ∈ A para los cuales P(x) es verdadera. Se usará la notación {x ∈ A | P(x)}, para describir al conjunto de elementos de A para los cuales P(x) es verdadera. 17 Teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel La teoría de conjuntos de ZermeloFraenkel junto con el axioma de elección, comúnmente abreviada ZFC, es la forma aceptada de la teoría axiomática de conjuntos. En 1908 Ernst Zermelo propuso la primera teoría axiomática de conjuntos, sin embargo ésta no permitía la construcción de los números ordinales además de que uno de los axiomas hacía referencia a un concepto, el de propiedad deÀnida, cuyo signiÀcado operacional no era claro. En 1922 Abraham Fraenkel propuso una deÀnición adecuada de la propiedad deÀnida, así como la sustitución del esquema axiomático de especiÀcación por el esquema axiomático de reemplazo. Además de esto propuso agregar el axioma de regularidad y el axioma de elección, lo cual dio origen a ZFC. Otra manera de describir un conjunto es especificar la forma de sus elementos, a partir de los elementos de otro conjunto. En este caso se escribe Los axiomas de ZFC son los siguientes: {P(x) | x ∈ A}. • Axioma de extensión: dos conjuntos x e y son iguales (lo que se representa por x = y) si contienen los mismos elementos. Axioma del conjunto de potencia Para cualquier conjunto X existe un conjunto cuyos elementos son todos los subconjuntos de X. • Axioma del conjunto vacío: existe un conjunto (representado por ∅) sin elementos. El único conjunto cuyos elementos son todos los subconjuntos de X, es llamado el conjunto potencia de X, y se denota ℘(X). Hay que observar que ∅ ∈ ℘(X) y X ∈ ℘(X). Ejemplo 1.11 Si X = {a, b} entonces ℘(X) = {∅, {a}, {b}, {a, b}} Ejemplo 1.12 Si X = {a, b, c} entonces ℘(X) = {∅, {a}, {b}, {c },{a, b},{a, c },{b, c },{a, b, c }} • Axioma de pares: dados cualesquiera conjuntos x e y, existe otro conjunto, representado por {x, y}, cuyos elementos son únicamente x e y. • Axioma de la unión: dada cualquier colección (conjunto) de conjuntos C, existe un conjunto, representado por C y llamado unión de C, que contiene todos los elementos de cada conjunto de C. • Axioma del conjunto potencia: para cualquier conjunto x existe otro conjunto, representado por P(x), que contiene todos los subconjuntos de x. • Esquema axiomático de especiÀcación: sea ϕ(v) una fórmula de un lenguaje de primer orden que conContinúa... MATEMÁTICAS DISCRETAS – RAMÓN ESPINOSA ARMENTA capitulo 1.indd 17 ALFAOMEGA 12/30/09 12:28:19 PM 18 I. Continuación... tenga una variable libre v. Entonces, para cualquier conjunto x, existe un conjunto y cuyos elementos son aquellos elementos a de x que cumplen ϕ(a). • Esquema axiomático de reemplazo: si ϕ(a, b) es una sentencia tal que para cualquier elemento a de un conjunto x existe el conjunto y = {b | f(a, b)}, entonces existe una función LÓGICA, CONJUNTOS E INDUCCIÓN Ya se ha visto que los elementos de un conjunto pueden ser conjuntos por sí mismos. El siguiente axioma garantiza que, sin embargo, un conjunto no se puede contener a sí mismo como elemento. Axioma de regularidad Todo conjunto no vacío tiene un elemento cuyos elementos no están en el conjunto. 1.3.1 Operaciones con conjuntos f : x →y tal que f (a) = y. • Axioma de inÀnitud: existe un conjunto x tal que ∅ ∈ x y tal que si y ∈ x, entonces y ∪ {y} ∈ x. • Axioma de regularidad: para todo conjunto no vacío x existe un conjunto y ∈ x tal que x ∩ y = ∅. • Axioma de elección: el producto cartesiano de cualquier familia no vacía de conjuntos no vacíos es no vacío. En lo que sigue se supondrá que todos los conjuntos en consideración son subconjuntos de un conjunto X. Para ilustrar la teoría expuesta en esta sección, en los simuladores • OPERACIONES BÁSICAS CON CONJUNTOS • OPERACIONES CON CONJUNTOS se pueden calcular las operaciones entre conjuntos dados, además de que es posible simpliÀcar una operación mediante las leyes de los conjuntos. La unión de dos conjuntos A y B es el conjunto A ∪ B = {x | x ∈ A o x ∈ B} Las siguientes propiedades de la unión son inmediatas a partir de la definición: ALFAOMEGA capitulo 1.indd 18 A∪B = B∪A Conmutatividad A∪A = A Idempotencia A∪∅ = A Identidad A∪ X = X Dominancia ( A ∪ B) ∪ C = A ∪ ( B ∪ C ) Asociatividad MATEMÁTICAS DISCRETAS – RAMÓN ESPINOSA ARMENTA 12/30/09 12:28:19 PM 1.3 19 CONJUNTOS Un diagrama de Venn es una representación esquemática de subconjuntos de X por subconjuntos del plano. El conjunto X usualmente es representado por un rectángulo, y un conjunto A ⊆ X es representado por el interior de una curva simple cerrada dentro del rectángulo. En la siguiente figura se muestra el diagrama de Venn de la unión de dos conjuntos. A B X La intersección de dos conjuntos A y B es el conjunto: A ∩ B = { x | x ∈ A y x ∈ B}. John Venn (1834-1923) F ue un matemático y filósofo británico que creó los diagramas que llevan su nombre y que son usados en teoría de conjuntos, probabilidad, lógica, estadística y ciencias de la computación. Estudiante y más tarde profesor en la Universidad de Cambridge, Venn dio a conocer sus diagramas en 1880 con la publicación de su trabajo De la representación mecánica y diagramática de proposiciones y razonamientos en el Philosophical Magazine and Journal of Science. Aunque la primera forma de representación geométrica de silogismos lógicos se debe a Gottfried Leibniz y luego fue ampliada por George Boole y Augustus De Morgan, el método de Venn superó en claridad y sencillez a los sistemas de representación anteriores, hasta el punto de convertirse con el tiempo en un nuevo estándar. La siguiente figura muestra el diagrama de Venn de la intersección de dos conjuntos. A B X Dos conjuntos A y B se dice que son ajenos si A ∩ B = ∅. MATEMÁTICAS DISCRETAS – RAMÓN ESPINOSA ARMENTA capitulo 1.indd 19 ALFAOMEGA 12/30/09 12:28:21 PM 20 I. LÓGICA, CONJUNTOS E INDUCCIÓN Las siguientes propiedades de la intersección son inmediatas a partir de la definición: A∩B = B∩A Conmutatividad A∩A = A Idempotencia A∩ X = X Identidad A∩∅ = ∅ Dominancia ( A ∩ B) ∩ C = A ∩ ( B ∩ C ) Asociatividad El siguiente resultado establece las propiedades distributivas para conjuntos. Teorema 1.2 a) Si A, B y C son conjuntos, entonces: A ∩ ( B ∪ C ) = ( A ∩ B) ∪ ( B ∩ C ); b) A ∪ ( B ∩ C ) = ( A ∪ B ) ∩ ( B ∪ C ). Demostración (a) x ∈ A ∩ ( B ∪ C ) ⇔ ( x ∈ A ) ∧ ( x ∈ B ∪ C ) ⇔ ( x ∈ A )∧ [( x ∈ B ) ∨ ( x ∈ C )] ⇔ ( x ∈ A ∩ B) ∨ ( x ∈ A ∩ C ) ⇔ x ∈ ( A ∩ B) ∪ ( A ∩ C ). Demostración (b) x ∈ A ∪ ( B ∩ C ) ⇔ ( x ∈ A ) ∨ ( x ∈ B ∩ C ) ⇔ ( x ∈ A ) ∨ [( x ∈ B ) ∧ ( x ∈ C )] ⇔ ( x ∈ A ∪ B) ∧ ( x ∈ A ∪ C ) ⇔ x ∈ ( A ∪ B) ∩ ( A ∪ C ). El complemento de un conjunto A es el conjunto: Ac = {x ∈ X |x ∈ A} En la siguiente figura se muestra el diagrama de Venn del complemento de un conjunto. A X ALFAOMEGA capitulo 1.indd 20 MATEMÁTICAS DISCRETAS – RAMÓN ESPINOSA ARMENTA 12/30/09 12:28:23 PM 1.3 CONJUNTOS 21 Las siguientes propiedades del complemento son inmediatas a partir de la definición: (Ac ) c = A A ∪ Ac = X A ∩ Ac = ∅ Xc = ∅ ∅c = X El siguiente teorema establece las leyes de De Morgan. Teorema 1.3 (Leyes de De Morgan) Si A y B son conjuntos, entonces: a) ( A ∩ B ) = A ∪ B ; c c c b) ( A ∪ B ) = A ∩ B . c c c Demostración (a) x ∈ (A ∩ B )c ⇔ x ∉ A ∩ B ⇔ (x ∉ A ) ∨ (x ∉ B ) ⇔ ( x ∈ Ac ) ∨ (x ∈ B c ) ⇔ x ∈ Ac ∪ Bc. Demostración (b) x ∈( A ∪ B )c ⇔ x ∉ A ∪ B ⇔ (x ∉A ) ∧ ( x ∉ B ) ⇔ (x ∈ Ac ) ∧ (x ∈ Bc ) ⇔ x ∈ Ac ∩ Bc. El complemento de B relativo a A es el conjunto: A − B = {x ∈ A | x ∉ B} Hay que observar que A − B = A ∩ Bc. La siguiente figura muestra el diagrama de Venn del complemento de B relativo a A. A B X MATEMÁTICAS DISCRETAS – RAMÓN ESPINOSA ARMENTA capitulo 1.indd 21 ALFAOMEGA 12/30/09 12:28:24 PM 22 I. LÓGICA, CONJUNTOS E INDUCCIÓN En el simulador DIAGRAMAS DE VENN se presenta el diagrama correspondiente de una serie de operaciones básicas entre conjuntos, y se muestra el efecto gráÀco que se produce sobre cada diagrama al variar la posición y el tamaño de uno de los conjuntos respecto al otro. Las propiedades de las operaciones de conjuntos permiten simplificar algunas expresiones, como lo muestra el siguiente ejemplo. Ejemplo 1.13 Simplificar la expresión (A ∩ B) ∪ (A ∩ B ∩ Cc ∩ D) ∪ (Ac ∩ B) Solución Como la unión es conmutativa se puede escribir: (A ∩ B) ∪ (Ac ∩ B) ∪ (A ∩ B ∩ C c ∩ B) Asociando los dos primeros términos y usando las leyes distributivas se obtiene (A ∪ Ac) ∩ B ∪ (A ∩ B ∩ C c ∩ D) Como A ∪ Ac = X y X ∩ B = B, resulta B ∪ (A ∩ B ∩ C c ∩ D) Por último, como (A ∩ B ∩ C c ∩ D) ⊆ B, la última expresión es igual a B, es decir, (A ∩ B) ∪ (A ∩ B ∩ C c ∩ D) ∪ (Ac ∩ B) = B La diferencia simétrica de A y B es el conjunto A⊕B = A∪B− A∩B ALFAOMEGA capitulo 1.indd 22 MATEMÁTICAS DISCRETAS – RAMÓN ESPINOSA ARMENTA 12/30/09 12:28:25 PM 1.3 CONJUNTOS 23 La figura siguiente muestra el diagrama de Venn de A ⊕ B . A B X Hay que observar que A ⊕ B = ( A − B ) ∪ ( B − A ). Las siguientes propiedades de la diferencia simétrica son inmediatas a partir de la definición: A⊕B = B⊕A A⊕A = ∅ A ⊕ ∅ = A. 1.3.2 MATLAB y operaciones con conjuntos En la lectura adicional MATLAB Y LAS OPERACIONES CON CONJUNTOS se describe la forma en que se usa el programa MATLAB para desarrollar simuladores como Operaciones básicas con conjuntos y Diagramas de Venn. 1.3.3 Colecciones de conjuntos En la lectura adicional COLECCIONES DE CONJUNTOS se deÀnen las operaciones de unión e intersección en el caso de un número arbitrario de conjuntos, y en la sección de problemas de ésta se presentan algunos de los teoremas básicos relacionados con las deÀniciones planteadas. MATEMÁTICAS DISCRETAS – RAMÓN ESPINOSA ARMENTA capitulo 1.indd 23 ALFAOMEGA 12/30/09 12:28:27 PM 24 I. LÓGICA, CONJUNTOS E INDUCCIÓN 1.4 Construcción de los enteros Números enteros Existe un conjunto , cuyos elementos son llamados números enteros y además satisfacen las propiedades algebraicas y de orden que se describen a continuación. Particularmente, el símbolo utilizado para denotar este conjunto proviene de la palabra alemana Zahl, que significa número. 1.4.1 Propiedades algebraicas Los números enteros se pueden construir como clases de equivalencia de pares ordenados (a, b) de números naturales. El paso básico es establecer que (a, b) significa el resultado de substraer b de a, luego usando esto se define una relación de equivalencia ∼ (véase la sección 3.6 Relaciones binarias) en el conjunto de los pares ordenados mediante la siguiente regla (a, b) ∼ (c, d) si En el conjunto de los números enteros , están definidas una operación +, llamada suma (o adición), y una operación ×, llamada producto (o multiplicación), que satisfacen los siguientes axiomas: a + d = b + c. Entonces la suma y la multiplicación de enteros se definen mediante operaciones equivalentes a las definidas en el conjunto de los números naturales: [(a, b)] + [(c, d)] : = [(a + c, b + d)]. [(a, b)] [(c, d)] : = [(ac + bd, ad +bc)]. Por otro lado, el inverso aditivo de los enteros se obtiene invirtiendo el orden del par: − [(a, b)] : = [(b, a)]. Por tanto, la substracción se define como la adición del inverso aditivo: [(a, b)] − [(c, d)] : = [(a + d, b + c)]. Además de todo esto, el orden en los enteros está dado por: [(a, b)] < [(c, d)] sí y sólo si a + d < b + c. Hay que observar que es fácil verificar que estas definiciones son independientes de la elección de los representantes de las clases de equivalencia. E1) ∀ a, b ∈ , a + b ∈ E2) ∀ a, b , c ∈ , ( a + b ) + c = a + (b + c ) E3) ∀ a, b ∈ , a + b = b + a E4) ∃ 0 ∈ tal que a + 0 = a ∀ a ∈ E5) ∀ a ∈ , existe − a ∈ tal que a + (− a ) = 0 E6) ∀ a, b ∈ , a × b ∈ E7) ∀ a, b , c ∈ , ( a × b ) × c = a × (b × c ) E8) ∀ a, b ∈ , a × b = b × a E9) ∃ 1 ∈ , 1 ≠ 0 , tal que a × 1 = a ∀ a ∈ E10) ∀ a, b ∈ , si a × b = 0 entonces a = 0 o b = 0 E11) ∀ a, b, c ∈ , a × (b + c ) = a × b + a × c Los axiomas E1 y E6 son las leyes de la cerradura de la suma y el producto, respectivamente. Los axiomas E2 y E7 son las leyes asociativas. Los axiomas E3 y E8 son las leyes conmutativas. El axioma E4 establece la existencia de un entero, denotado con el símbolo 0 y llamado cero, que es neutro aditivo. El axioma E5 establece que todo entero a tiene un inverso aditivo, denotado −a. Hay que observar que por definición el inverso aditivo de −a es a, es decir, −(−a) = a. Se acostumbra escribir a − a en lugar de a + (−b). El axioma E10 establece que no existen divisores de 0. El axioma E11 es la ley distributiva. A continuación se muestra cómo, a partir de los axiomas anteriores, se pueden demostrar otras propiedades algebraicas de los números enteros. Por simplicidad en lo que sigue se prescindirá del símbolo × y el producto se denotará como ab. El primer resultado que se establece es la ley de cancelación para la suma. ALFAOMEGA capitulo 1.indd 24 MATEMÁTICAS DISCRETAS – RAMÓN ESPINOSA ARMENTA 12/30/09 12:28:28 PM 1.4 25 NÚMEROS ENTEROS Teorema 1.4 a = b. Para cualesquiera a, b, c ∈ , si a + c = b + c, entonces Demostración Supóngase que a+c=b+c Sumando −c en ambos lados de la ecuación se obtiene que (a + c) + (−c) = (b + c) + (−c) Por el axioma E2 se tiene que a + (c + (−c)) = b + (c + (−c)) De aquí que, por los axiomas E5 y E4, a = b. Enteros y grupos Tomando en cuenta los conceptos de la teoría de grupos, el conjunto de los números enteros junto con los axiomas E1 a E5 es un grupo abeliano bajo la adición (véase la sección 4.3 Grupos). Además de esto, como grupo bajo la adición es un grupo cíclico ya que cualquier entero distinto de cero puede ser escrito como una suma Ànita 1 + 1 + … +1 o bien (−1) + (−1) + … + (−1) También se tiene una ley de cancelación para el producto. Teorema 1.5 a = b. Para cualesquiera a, b, c ∈ , si ac = bc y c ≠ 0, entonces Demostración Supóngase que ac = bc. Sumando −bc en ambos lados de la ecuación se obtiene que ac − bc = 0 Por lo tanto (a − b)c = 0 Como c ≠ 0, se sigue del axioma E10 que a − b = 0 y por lo tanto a = b. El siguiente teorema muestra que al multiplicar cualquier entero por cero el resultado es igual a cero. Teorema 1.6 Para cualquier a ∈ se cumple que a0 = 0. Demostración a0 + 0 = a0 = a(0 + 0) = a0 + a0. Cancelando términos se obtiene que a0 = b. MATEMÁTICAS DISCRETAS – RAMÓN ESPINOSA ARMENTA capitulo 1.indd 25 ALFAOMEGA 12/30/09 12:28:59 PM 26 I. LÓGICA, CONJUNTOS E INDUCCIÓN El siguiente resultado establece las leyes de los signos. Teorema 1.7 Para cualesquiera a, b, c ∈ . 1) a(−b) = −ab = (−a)b 2) (−a)(−b) = ab Demostración 1 Se tiene que ab + a(−b) = a(b + (−b)) = a0 = 0. Por lo tanto a(−b) es el inverso aditivo de ab, es decir, a(−b) = −ab. Análogamente, (−a)b = −ab. Demostración 2 = ab. Por la propiedad anterior: (−a)(−b) = −(−a)b = −(−ab) 1.4.2 Propiedades de orden En el conjunto de los números enteros , está definida una relación de orden ≤ que satisface los siguientes axiomas: E12) ∀ a, b ∈ , a ≤ b o b ≤ a E13) ∀ a, b ∈ , si a ≤ b y b ≤ a entonces a = b E14) ∀ a, b, c ∈ , si a ≤ b y b ≤ c entonces a ≤ c E15) ∀ a, b, c ∈ , si a ≤ b entonces a + c ≤ b + c E16) ∀ a, b , c ∈ , si a ≤ b y 0 ≤ c entonces a c ≤ b c E17) Si A ⊆ es no vacío y existe m ∈ tal que m ≤ x para todo x ∈ A , entonces existe a ∈ A tal que a ≤ x para todo x ∈ A El axioma E12 asegura que el orden es completo, E13 asegura que el orden es antisimétrico, E14 indica que el orden es transitivo, E15 establece que el orden es compatible con la suma y E16 indica que el orden es parcialmente compatible con el producto. Un conjunto A ⊆ se dice que está acotado inferiormente si existe b ∈ tal que b ≤ x para todo x ∈ A; en este caso se dice que b es una cota inferior de A. Una ALFAOMEGA capitulo 1.indd 26 MATEMÁTICAS DISCRETAS – RAMÓN ESPINOSA ARMENTA 12/30/09 12:29:49 PM 1.4 NÚMEROS ENTEROS 27 cota inferior no tiene porque ser única, pues cualquier número menor que b también es cota inferior. Una cota inferior de un conjunto, que además pertenece al conjunto, se dice que es el elemento mínimo de ese conjunto. El axioma E17 establece que todo subconjunto no vacío de los números enteros, acotado inferiormente, tiene un elemento mínimo. Si a ≤ b se dice que a es menor o igual que b o que b es mayor o igual que a. También se puede escribir b ≥ a. Si a ≤ b y a ≠ b se escribe a < b (o b > a) y se dice que a es menor que b (o que b es mayor que a). Teorema 1.8 Para cualesquiera a, b ∈ , se cumple una y solamente una de las siguientes afirmaciones: a<b o a=b o b<a Demostración Por E13 se tiene que a ≤ b o b ≤ a. Si a ≤ b y b ≤ a, entonces a = b. Si a ≤ b y a ≠ b, entonces a < b. Por último, si b ≤ a y a ≠ b entonces b < a. Teorema 1.9 Para cualesquiera a, b ∈ , si a ≤ b entonces −b ≤ −a. Demostración Supóngase que a ≤ b. Sumando −a en ambos lados de la desigualdad se obtiene que a − a ≤ b − a, y por lo tanto 0 ≤ b − a. Si ahora se suma −b en ambos lados de la desigualdad se obtiene −b ≤ (b − a) − b = −a. Corolario 1.1 Para cualesquiera a, b ∈ , si a < b, entonces −b < −a. Teorema 1.10 Para cualesquiera a, b, c ∈ , si a ≤ b y c ≤ 0, entonces bc ≤ ac. MATEMÁTICAS DISCRETAS – RAMÓN ESPINOSA ARMENTA capitulo 1.indd 27 ALFAOMEGA 12/30/09 12:29:55 PM 28 I. LÓGICA, CONJUNTOS E INDUCCIÓN Demostración Como c ≤ 0, se sigue del teorema anterior que 0 ≤ −c. Si se multiplica ambos lados de la desigualdad a ≤ b por −c se obtiene que a(−c) ≤ b(−c) y por lo tanto −ac ≤ −bc Por lo que, por el teorema anterior, bc ≤ ac. Corolario 1.2 bc < ac. Para cualesquiera a, b, c ∈ , si a < b y c < 0 entonces Si a es un entero se escribe a2 en lugar de aa. El número a2 se lee “a al cuadrado”. El siguiente resultado asegura que el cuadrado de cualquier entero distinto de cero tiene que ser mayor que cero. Teorema 1.11 Para cualquier a ∈ , si a ≠ 0 entonces a2 > 0. Demostración Si a > 0 entonces aa > a0 = 0. Si a < 0 entonces −a > 0 y por lo tanto a2 = (−a)(−a) > 0. Un entero a se dice que es positivo si a > 0. Si a < 0 se dice que a es negativo. Los enteros positivos también son llamados números naturales. El conjunto de los números naturales se denota . Se observa que 1 ∈ , pues 1 = 12 ≥ 0. El siguiente resultado muestra que la suma y el producto de números naturales también es un número natural. Teorema 1.12 Si a, b ∈ , entonces a + b ∈ y ab ∈ . Demostración Como 0 < a, se sigue del axioma E15 que 0 + b < a + b. Por otra parte, 0 < b = 0 + b por lo que por el axioma E14, 0 < a + b, es decir, a + b ∈ . Por otra parte, como 0 < a y 0 < b, se sigue del axioma E16 que 0b < ab, y por lo tanto 0 < ab, de ahí que ab ∈ . ALFAOMEGA capitulo 1.indd 28 MATEMÁTICAS DISCRETAS – RAMÓN ESPINOSA ARMENTA 12/30/09 12:29:55 PM 1.4 NÚMEROS ENTEROS 29 El siguiente teorema establece una importante propiedad de los números naturales, conocida como principio del buen orden. Teorema 1.13 (Principio del buen orden) Todo subconjunto no vacío de los números naturales tiene un elemento mínimo. Demostración Todo subconjunto no vacío de los números naturales está acotado inferiormente (por el 0), por lo que el resultado se sigue directamente del axioma E17. Corolario 1.3 1 es el elemento mínimo de los números naturales. Demostración Sea a el elemento mínimo de los números naturales y supóngase que a < 1. Además a > 0, ya que a es un número natural. Por lo tanto 0 < a < 1. De ahí que 0 < a2 < a, lo cual no es posible pues a es el elemento mínimo de . Por lo tanto a = 1. A partir del principio del buen orden, se puede probar otra propiedad importante de los números enteros conocida como principio de inducción matemática. Teorema 1.14 (Principio de inducción matemática) conjunto de los números naturales tal que: (i) 1∈A (ii) Si n ∈ A entonces (n + 1) ∈ A Si A es un sub- Entonces A = . Demostración Sea B = {x ∈ | x ∉ A} y supóngase que B es no vacío. Por lo tanto, por el principio del buen orden B tiene un elemento mínimo, digamos b. Obsérvese que b > 1, pues por (i), 1 ∉ A. Por lo tanto b − 1 es un número natural que no pertenece a B, es decir, (b − 1) ∈ A. Pero por (ii), (b − 1) + 1 = b ∈ A, lo cual no es posible. Por lo tanto B = ∅, y de ahí que A = . MATEMÁTICAS DISCRETAS – RAMÓN ESPINOSA ARMENTA capitulo 1.indd 29 ALFAOMEGA 12/30/09 12:29:56 PM 30 I. LÓGICA, CONJUNTOS E INDUCCIÓN El número 1 + 1 se denota 2; 2 + 1 se denota 3, y así sucesivamente. De esta manera se puede escribir: = {1, 2, 3, 4, 5,…} los tres puntos representan el etcétera matemático. Hay que observar que por el teorema 1.8 se puede escribir = {…, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3,…} Al-Khwarizmi (c. 780 - c. 850) M atemático, astrónomo y geógrafo persa que es considerado como el padre del álgebra y el introductor de nuestro sistema de numeración. Su tratado de álgebra fue traducido al latín por Gerardo de Cremona y se utilizó en las universidades europeas como libro de texto hasta el siglo XVI. En esta obra, luego de presentar los números naturales el autor aborda la cuestión de la solución de las ecuaciones lineales y cuadráticas. De su aritmética sólo se conserva una versión latina del siglo XII, Algoritmi de numero indorum, y en esta obra se describe en detalle el sistema de numeración posicional en base 10 así como métodos para hacer cálculos con él. El sistema posicional decimal que se usa en la actualidad, fue desarrollado en la India en el siglo VI d. C. En este sistema cada número natural se representa a partir de los diez dígitos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 0, 6, 7, 8, 9 Por ejemplo, el símbolo 5203 representa el número 5(103) + 2(102) + 0(101) + 3 El sistema posicional decimal permitió a los matemáticos de la India desarrollar métodos eficientes para sumar y multiplicar números. Estos métodos utilizan los axiomas de los números enteros, en particular la propiedad distributiva. Por ejemplo, la multiplicación 23 × 41 23 92 943 es una disposición concisa del siguiente cálculo: 23[4(10) + 1] = 23(4)(10) + 23(1) = 92(10) + 23 Hay que observar que mover 92 a la izquierda en el cálculo anterior equivale a escribir 92(10). Un conjunto A ⊆ se dice que está acotado superiormente si existe M ∈ A tal que x ≤ M, para toda x ∈ A. En este caso se dice que M es una cota superior de A. Una cota superior de A, que además pertenece a A, se dice que es el elemento máximo de A. ALFAOMEGA capitulo 1.indd 30 MATEMÁTICAS DISCRETAS – RAMÓN ESPINOSA ARMENTA 12/30/09 12:29:56 PM 1.6 31 INDUCCIÓN MATEMÁTICA Teorema 1.15 Si A ⊆ es no vacío y acotado superiormente, entonces A tiene un elemento máximo. Demostración Sea M una cota superior de A. Defínase B = {−x | x ∈ A}. Como x ≤ M para toda x ∈ A, se sigue que −M ≤ −x, para toda x ∈ A. De modo que m = −M es una cota inferior de B. De ahí que, por el axioma E17, B tiene un elemento mínimo, tal como b. Se puede verificar fácilmente que a = −b es elemento máximo de A. Se escribe mín A y máx A para denotar respectivamente el mínimo y el máximo de un conjunto A, en caso de que existan. El conjunto de los números enteros es un subconjunto propio del conjunto de los números reales , el cual se estudia en cursos de Cálculo. De aquí en adelante se supondrá que el lector está familiarizado con las propiedades algebraicas y de orden de los números reales que se exponen en la siguiente sección. 1.5 Números reales En la lectura adicional NÚMEROS REALES se exponen las propiedades algebraicas y de orden de los números reales, y se demuestran algunos de los teoremas básicos que se deducen de estas propiedades. 1.6 Inducción matemática El principio de inducción matemática se utiliza para demostrar que una propiedad P(n) es verdadera para cualquier número natural n, como se establece en el siguiente teorema. Teorema 1.16 (Método de inducción matemática) se puede demostrar que: i) ii) P(1) es verdadera. Suponiendo que P(n) es verdadera se puede probar que P (n + 1) es verdadera. Entonces P(n) es verdadera para todo n ∈. MATEMÁTICAS DISCRETAS – RAMÓN ESPINOSA ARMENTA capitulo 1.indd 31 Supóngase que Inducción matemática El método de inducción matemática está aplicado en forma implícita en la demostración que hace Euclides de que existe un número inÀnito de números primos, y en la demostración del matemático persa Al Karaji (c. 953c. 1029) del teorema del binomio, del triángulo de Pascal y de la fórmula de la suma de cubos de enteros. Continúa... ALFAOMEGA 12/30/09 12:29:57 PM 32 I. LÓGICA, CONJUNTOS E INDUCCIÓN Demostración Sea A = {n ∈ N | P (n ) es verdadera} . Por la hipótesis (i) P(1) es verdadera, por lo tanto 1 ∈ A . Supóngase ahora que n ∈ A. Por definición de A se sigue que P(n) es verdadera, por lo que por la hipótesis (ii), P (n + 1) es verdadera, y de ahí que (n + 1) ∈ A . Por lo que por el principio de inducción matemática A = N , pero esto significa que P(n) es verdadera para todo n ∈. Continuación... Sin embargo, el primer uso explícito del método de inducción matemática que se conoce fue el que hizo el matemático italiano Francesco Maurolico (1494-1575) en su obra Arithmeticorum libri duo (1575) para demostrar que la suma de los primeros n enteros impares es n2. Por otro lado, la primer formulación explícita del principio de inducción matemática fue la de Pascal en su Traité du triangle arithmétique. Ejemplo 1.14 demostrar que Utilizar el método de inducción matemática para 1 + 2 + 3 + ... + n = n ( n + 1) 2 para toda n ∈. La afirmación es cierta para n = 1 , porque Solución 1= 1 (1 + 1) 2 Supóngase ahora que la afirmación es válida para n, es decir, 1 + 2 + 3 + ... + n = n ( n + 1) 2 Por lo tanto n ( n + 1) + (n + 1) 2 (n + 1)(n + 2 ) = 2 1 + 2 + 3 + ... + n + (n + 1) = De modo que la afirmación es cierta para n + 1, y por lo tanto el resultado es verdadero para todo n ∈. Ejemplo 1.15 Utilizar el método de inducción matemática para demostrar que 1 + 3 + 5 + … + (2n − 1) = n2 para toda n ∈N . ALFAOMEGA capitulo 1.indd 32 MATEMÁTICAS DISCRETAS – RAMÓN ESPINOSA ARMENTA 12/30/09 12:29:58 PM 1.6 Solución INDUCCIÓN MATEMÁTICA 33 El resultado es cierto para n = 1, pues (2n − 1) = 1 = 12. Supóngase ahora que el resultado es cierto para n, es decir, 1 + 3 + 5 + … + (2n − 1) = n2 Por lo tanto 1 + 3 + 5 + … + (2n − 1) + (2(n + 1)−1) = n2 + (2(n + 1)−1) = n2 + 2n + 1 = (n + 1)2 De modo que el resultado es cierto para n + 1, y por lo tanto el resultado es verdadero para todo n ∈. Para cada número real a y para cada número natural n se deÀne an de la siguiente manera: a1 = a an + 1 = aan para todo n ≥ 1 El principio de inducción matemática asegura que an está bien definido para todo número natural n. Este es un ejemplo de una definición recursiva. Ejemplo 1.16 (Suma geométrica). Utilizar el método de inducción matemática para demostrar que si x ∈ y x ≠ 1, entonces 1 + x + x 2 + ... + x n = x n +1 − 1 x −1 para toda n ∈. Solución La afirmación es cierta para n = 1, porque 1+ x = (1 + x ) ( x − 1) x 2 − 1 = x −1 x −1 Supóngase ahora que la afirmación es válida para n, es decir, 1 + x + x 2 + ... + x n = MATEMÁTICAS DISCRETAS – RAMÓN ESPINOSA ARMENTA capitulo 1.indd 33 1 − x n +1 1− x ALFAOMEGA 12/30/09 12:29:59 PM 34 I. LÓGICA, CONJUNTOS E INDUCCIÓN De ahí que 1 + x + x 2 + … + x n + x n +1 = 1 − x n +1 + x n +1 1− x = 1 − x n +1 + x n +1 − x n + 2 1− x = 1− xn+ 2 1− x En ocasiones se quiere probar que P(n) es verdadera para todo entero n ≥ b, donde b es un entero fijo no necesariamente igual a 1 (b podría ser cero o un entero mayor que 1). En este caso en la fase (i) del método de inducción matemática se debe verificar que P(b) es verdadera. En la fase (ii) se supone que P(n) es verdadera para n ≥ b, y a partir de esta hipótesis se debe probar que P(n + 1) es verdadera. El siguiente ejemplo ilustra esta modificación del método de inducción matemática. Ejemplo 1.17 Demostrar que 2 n + 1 < 2 n para todo entero n ≥ 3. Solución Si n = 3, entonces 2( 3) + 1 = 7 ≤ 8 = 2 , por lo que la afirmación es cierta para la base de la inducción. 3 Supóngase ahora que 2 n + 1 ≤ 2 , por lo tanto, n 2(n + 1) + 1 = (2n + 1) + 2 ≤ 2n + 2n = 2n+1 Por lo tanto la desigualdad se cumple para todo entero n ≥ 3. El factorial de un entero no negativo n (denotado por el símbolo n!) se deÀne de la siguiente manera: 0! = 1 n ! = n(n − 1)! para todo n ≥ 1. El siguiente ejemplo muestra que el factorial crece muy rápidamente. ALFAOMEGA capitulo 1.indd 34 MATEMÁTICAS DISCRETAS – RAMÓN ESPINOSA ARMENTA 12/30/09 12:30:00 PM 1.6 Ejemplo 1.18 INDUCCIÓN MATEMÁTICA 35 Demostrar que 2 n < n ! para todo entero n ≥ 4 . Solución La afirmación es cierta si n = 4, pues 2 4 = 16 < 24 = 4 ! Supóngase ahora que 2 n < n !, por lo tanto 2n+1 = 2(2n) ≤ 2(n!) ≤ (n + 1)(n!) ≤ (n + 1)! por hipótesis de inducción Por lo tanto la afirmación es válida para todo número natural n mayor o igual que cuatro. Algunas veces se quiere probar una afirmación de la forma P (n, m ), donde tanto n como m son enteros positivos. En esos casos una de las variables se mantiene fija, y se hace inducción sobre la otra variable. Ejemplo 1.19 Sea a ∈Z, probar que a m a n = a m + n , para cualesquiera m, n ∈N . Solución Sea m un entero positivo, arbitrario pero fijo. La demostración se hará por inducción sobre n. Se observa primero que a a = a verdadera si n = 1. m 1 m +1 , por definición, por lo que la afirmación es m n m+n Supóngase ahora que a a = a . Por lo tanto, am an+1 = am(an a) por definición de exponente = (a a )a asociando términos = am+n a por hipótesis de inducción =a por definición de exponente = am+(n+1) asociando términos en el exponente m n (m+n)+1 Por lo tanto el resultado es cierto para todo número natural n. MATEMÁTICAS DISCRETAS – RAMÓN ESPINOSA ARMENTA capitulo 1.indd 35 ALFAOMEGA 12/30/09 12:30:21 PM 36 I. LÓGICA, CONJUNTOS E INDUCCIÓN El siguiente ejemplo, debido al matemático húngaro George Pólya, muestra que hay que tener cuidado cuando se hacen demostraciones por inducción. George Pólya F (1887-1985) ue profesor de matemáticas en la Universidad de Stanford. Además de hacer investigación en una gran variedad de temas, Pólya escribió el libro How to Solve It acerca de cómo plantear y resolver problemas, el cual se ha convertido en un clásico. Ejemplo 1.20 Se probará que en cualquier grupo de n chicas rubias, si al menos una de ellas tiene los ojos azules, entonces todas las chicas del grupo tienen los ojos azules. Solución Si n = 1, el resultado es trivialmente cierto. Supóngase ahora que el resultado es cierto para cualquier grupo de n chicas rubias, y considérese un conjunto { R1 , R2 , … , Rn+1 } de n + 1 chicas rubias, donde al menos una de ellas, digamos R1, tiene los ojos azules. Considérese ahora el conjunto {R1, R2,…, Rn}. Por hipótesis de inducción, todas las chicas de este conjunto tienen ojos azules. Por otra parte, el conjunto { R1 , R2 , … , Rn−1 , Rn+1 } consta también de n chicas rubias. Como R1 tiene ojos azules, se sigue de la hipótesis de inducción, que todas las chicas de este grupo tienen los ojos azules. Por lo tanto todas las chicas del conjunto { R1 , R2 ,…, Rn +1 } tienen los ojos azules, por lo que, por el principio de inducción matemática, el resultado es cierto para cualquier grupo de chicas rubias. Una consecuencia inmediata de este resultado es que todas las chicas rubias tienen los ojos azules, lo cual es falso, como se puede comprobar experimentalmente. ¿Cuál es el error en el argumento anterior? Muchas aplicaciones del método de inducción matemática tienen que ver con sumas, por lo que es conveniente introducir una notación adecuada para poder trabajar con ellas. En lugar de escribir a1 + a2 + + an se escribe n ∑a . k k =1 El símbolo Σ es la letra griega mayúscula sigma, y recuerda que se trata de una suma. Aquí la letra k puede ser sustituida por otra letra cualquiera, excepto n, que ALFAOMEGA capitulo 1.indd 36 MATEMÁTICAS DISCRETAS – RAMÓN ESPINOSA ARMENTA 12/30/09 12:30:21 PM 1.6 INDUCCIÓN MATEMÁTICA 37 indica el número de términos. De esta manera la suma del ejemplo se puede escribir como: n(n + 1) . 2 n ∑k = k =1 Se puede probar por inducción que: n n ∑ca = c∑a k k =1 k k =1 n n n ∑(a + b ) = ∑a + ∑b k k k k =1 k k =1 k =1 Ejemplo 1.21 (Suma aritmética). Mostrar que: n ∑ (a + dk ) = na + k =1 dn(n + 1) 2 Solución n n n k =1 k =1 k =1 = na + dn(n + 1) 2 ∑ (a + dk ) = ∑ a + d ∑ k Ejemplo 1.22 (Suma telescópica). Mostrar que: n ∑ (a − a k k =1 k −1 ) = an − a0 Solución n ∑ (a − a k k =1 n k −1 n ) = ∑ ak − ∑ ak −1 k =1 k =1 n n −1 = ∑ ak − ∑ ak k=0 k =1 n −1 ⎛ ⎞ = a n + ⎜ ∑ a k − ∑ a k ⎟ − a0 ⎝ k =1 ⎠ k =1 n −1 = an − a0 MATEMÁTICAS DISCRETAS – RAMÓN ESPINOSA ARMENTA capitulo 1.indd 37 ALFAOMEGA 12/30/09 12:30:22 PM 38 I. LÓGICA, CONJUNTOS E INDUCCIÓN Así como hay un símbolo para abreviar sumas, también hay un símbolo para abreviar productos. Se escribe n ∏a k k =1 para denotar el producto a1a2…an. El símbolo Π es la letra griega mayúscula pi. Ejemplo 1.23 n ⎛ Probar que 1⎞ n 1 n 1 k k =1 i i≠ j i n ∏ ⎜⎝ 1 − p ⎟⎠ = 1 − ∑ p + ∑ p p − ∑ k =1 j i, j, k distintos 1 (−1)n ++ pi p j pk p1 p2 ... pn Solución Para n = 1 la fórmula es trivialmente cierta. Supongamos ahora que la fórmula es cierta para productos de n términos, por lo tanto, n +1 ⎛ 1⎞ ⎛ 1 ⎞ n ⎛ 1⎞ ⎟⎠ ∏ ⎜⎝ 1 − p ⎟⎠ k =1 n +1 k ∏ ⎜⎝ 1 − p ⎟⎠ = ⎜⎝ 1 − p k =1 k n n ⎛ 1 ⎞⎡ 1 1 (−1)n ⎤ = ⎜1 − 1 − + + + ⎢ ⎥ ∑ ∑ pn+1 ⎟⎠ ⎢⎣ k = 1 pi p1 p2 ... pn ⎥⎦ ⎝ i ≠ j pi p j n +1 n 1 1 +∑ − k = 1 pi i ≠ j pi p j = 1− ∑ n +1 ∑ i, j, k distintos 1 (−1)n ++ pi p j pk p1 p2 ... pn Con lo cual queda demostrada la fórmula. Isaac Newton N (1643-1727) ewton fue un físico y matemático inglés que estableció la ley de la gravitación universal y las leyes de la mecánica clásica, además de los resultados que obtuvo al estudiar la naturaleza de la luz y la óptica. En matemáticas desarrolló el cálculo diferencial e integral, además del llamado teorema del binomio. La obra más importante de Newton es Philosophiae Naturales Principia Matemática. ALFAOMEGA capitulo 1.indd 38 1.6.1 El teorema del binomio Sean n y k dos enteros no negativos, tales que n ≥ k . El coeficiente binomial ⎛ n⎞ ⎜⎝ k ⎟⎠ está definido por: ⎛ n⎞ n! ⎜⎝ k ⎟⎠ = k !(n − k )! . MATEMÁTICAS DISCRETAS – RAMÓN ESPINOSA ARMENTA 12/30/09 12:30:22 PM 1.6 39 INDUCCIÓN MATEMÁTICA Obsérvese que el coeficiente binomial es un entero. Se puede ver fácilmente que: ⎛ n⎞ ⎛ n⎞ ⎜⎝ 0 ⎟⎠ = 1 = ⎜⎝ n ⎟⎠ . El siguiente lema establece otra importante propiedad de los coeficientes binomiales. Lema 1.1 (Fórmula de Pascal). tales que n ≥ k, entonces Si n y k son dos enteros no negativos, Blaise Pascal N ⎛ n ⎞ ⎛ n ⎞ ⎛ n + 1⎞ ⎜⎝ k − 1⎟⎠ + ⎜⎝ k ⎟⎠ = ⎜⎝ k ⎟⎠ (1623-1652) ació en Francia. A los doce años, Pascal había redescubierto muchos teoremas de Euclides. A los 19 construyó la primera máquina de calcular. En 1653 redescubrió el triángulo que lleva su nombre. Aunque conocido por los chinos y los árabes, Pascal fue el primero en probar sus propiedades. Pascal dejó las matemáticas a los 27 años para dedicarse a la teología. Demostración ⎛ n ⎞ ⎛ n⎞ n! n! ⎜⎝ k − 1⎟⎠ + ⎜⎝ k ⎟⎠ = ( k − 1)!(n − k + 1)! + ( k )!((n − k )! n ! k + n !(n − k + 1) ( k )!(n − k + 1)! (n + 1)! = ( k )! (n − k + 1)! = ⎛ n + 1⎞ = ⎜ ⎝ k ⎟⎠ La fórmula anterior permite calcular los coeficientes binomiales por medio del siguiente arreglo, conocido como el triángulo de Pascal. 1 1 1 1 1 1 . 2 3 4 5 . 1 3 6 10 . 1 4 10 . MATEMÁTICAS DISCRETAS – RAMÓN ESPINOSA ARMENTA capitulo 1.indd 39 1 1 5 . 1 . . ALFAOMEGA 12/30/09 12:30:23 PM 40 I. LÓGICA, CONJUNTOS E INDUCCIÓN En el triángulo de Pascal, el número que aparece en la posición n del renglón k ⎛ n⎞ corresponde al coeficiente binomial ⎜ ⎟ . Hay que observar que los números que ⎝ k⎠ aparecen en los lugares primero y último del renglón n son 1. Los números en cada uno de los otros lugares se obtienen sumando los números a los lados de él en el renglón anterior. Teorema 1.17 (Teorema del binomio). Para cualquier entero positivo n se tiene que n ⎛ n⎞ ( a + b )n = ∑ ⎜ ⎟ a n − k b k . k=0 ⎝ k⎠ Demostración La demostración se hará por inducción sobre n. Si n = 1, entonces ⎛1 ⎞ ⎛ 1⎞ (a + b )1 = a + b = ⎜ ⎟ a1 b 0 + ⎜ ⎟ a 0 b1 ⎝ 0⎠ ⎝ 1⎠ Supóngase ahora que la fórmula es cierta para n. Ahora bien (a + b )n +1 = (a + b )(a + b )n n ⎛ n⎞ = (a + b ) ∑ ⎜ ⎟ a n − k b k k =0 ⎝ k⎠ n n ⎛ n⎞ ⎛ n⎞ = ∑ ⎜ ⎟ a n+1− k b k + ∑ ⎜ ⎟ a n− k b k +1 k=0 ⎝ k⎠ k=0 ⎝ k⎠ n n +1 ⎛ n ⎞ n+1− k k ⎛ n⎞ = ∑ ⎜ ⎟ a n+1− k b k + ∑ ⎜ b ⎟a k=0 ⎝ k⎠ k = 1 ⎝ k − 1⎠ n +1 ⎡⎛ n ⎞ ⎛ n ⎞ ⎤ n+1− k k ⎛ n ⎞ n+1 ⎛ n⎞ = ⎜ ⎟ a n+1 + ∑ ⎢⎜ ⎟ + ⎜ b +⎜ ⎟ b ⎥a 0 ⎝ k − 1⎠⎟ ⎦ ⎝ ⎠ ⎝ n⎠ k =1 ⎣⎝ k ⎠ ⎛ n + 1⎞ n+1 n+1 ⎛ n + 1⎞ n+1− k k ⎛ n + 1⎞ n+1 a + ∑⎜ a b +⎜ b =⎜ k ⎟⎠ ⎝ n + 1⎟⎠ ⎝ 0 ⎟⎠ k =1 ⎝ n +1 ⎛ n + 1⎞ n+1− k k = ∑⎜ a b k ⎟⎠ k=0 ⎝ Con lo cual queda demostrado el teorema. ALFAOMEGA capitulo 1.indd 40 MATEMÁTICAS DISCRETAS – RAMÓN ESPINOSA ARMENTA 12/30/09 12:30:23 PM 1.6 INDUCCIÓN MATEMÁTICA 41 1.6.2 Principio de inducción modiÀcado En ocasiones es conveniente utilizar la siguiente modificación del principio de inducción matemática. Teorema 1.18 (Principio de inducción modiÀcado). Sea A un subconjunto de los números naturales tal que: (a) 1 ∈ A (b) Si {1, …, n} ⊆ A entonces (n + 1) ∈ A. Entonces A = . Demostración Sea B = { k ∈ N | {1, … , k } ⊆ A} . Se utiliza el principio de inducción matemática para demostrar que B = . 1 ∈ B, pues por hipótesis 1 ∈ A, y de ahí que {1} ⊆ A. Si n ∈ B, entonces {1, …, n} ⊆ A, y por lo tanto (n + 1) ∈ A, con lo cual se concluye que {1, …, n, n + 1} ⊆ A, lo cual significa que (n + 1) ∈ B. Se sigue entonces que B = . Como además B ⊆ A, se tiene que A = . A partir del principio del buen orden se demuestra el principio de inducción matemática, luego se prueba el principio de inducción modificado a partir del principio de inducción matemática. El siguiente teorema establece que el principio de inducción modificado implica el principio del buen orden. Esto muestra que los tres principios son equivalentes. Teorema 1.19 buen orden. El principio de inducción modificado implica el principio del Demostración Sea A un subconjunto de los números naturales, que no tenga un elemento mínimo. A continuación se prueba que A es necesariamente vacío. Sea B = − A; en primer lugar hay que observar que 1 ∈ B, pues si no fuera así entonces 1 sería el elemento mínimo de B, lo cual no es posible. Supóngase ahora que {1, …, n} ⊆ B. El número (n + 1) no puede pertenecer a A, pues si así fuera sería el elemento mínimo de A, por lo tanto (n + 1) ∈ B, de ahí que, por el segundo principio de inducción matemática, B = , y por lo tanto A = ∅. MATEMÁTICAS DISCRETAS – RAMÓN ESPINOSA ARMENTA capitulo 1.indd 41 ALFAOMEGA 12/30/09 12:30:24 PM 42 I. LÓGICA, CONJUNTOS E INDUCCIÓN El método de inducción matemática y sus variantes serán utilizados con frecuencia en el resto del libro, por lo que se deben de entender bien. 1.7 Resumen En este capítulo se expusieron las principales reglas de inferencia y los métodos de demostración así como la notación y terminología de teoría de conjuntos, la cual será utilizada en el resto del libro. Se planteó una descripción axiomática del sistema de los números enteros, el cual juega un papel fundamental en matemáticas discretas, y por último se expuso el método de inducción matemática y sus variantes: el segundo principio de inducción matemática y el principio del buen orden. En el siguiente capítulo se expone una introducción a la teoría de números, una de las más antiguas y hermosas ramas de las matemáticas, concerniente a las propiedades de los números enteros. 1.8 Problemas Lógica 1.1 ¿Cuáles de las siguientes expresiones son proposiciones? a) Marsella es la capital de Francia. b) ¿Estudias o trabajas? c) Leonardo da Vinci nació en Italia. d) Benito Juárez fue Presidente de México. e) Lee con cuidado este capítulo. 1.2 Construir las tablas de verdad de las siguientes proposiciones compuestas. a) ¬(¬p ∨ ¬q ) b) p ∧ ( p ∨ q) c) ( p ∨ q ) ∧ ¬r ALFAOMEGA capitulo 1.indd 42 MATEMÁTICAS DISCRETAS – RAMÓN ESPINOSA ARMENTA 12/30/09 12:30:24 PM 1.8 PROBLEMAS 43 1.3 Verificar las leyes distributivas. a) p ∧ (q ∨ r ) ⇔ ( p ∧ q ) ∨ ( p ∧ r ) b) p ∨ (q ∧ r ) ⇔ ( p ∨ q ) ∧ ( p ∨ r ) 1.4 Verificar las leyes de De Morgan: a) ¬( p ∧ q ) ⇔ ¬p ∨ ¬q b) ¬( p ∨ q ) ⇔ ¬p ∧ ¬q 1.5 Cierta compañía está analizando dos proyectos de inversión: A y B. Considérense las proposiciones: p : El proyecto A se aprueba. q : El proyecto B se aprueba. Escribir con palabras cada una de las proposiciones equivalentes: a) p → q b) ¬q → ¬p 1.6 Verificar la regla de modus ponens: [ p ∧ ( p → q )] ⇒ q. 1.7 La falacia de afirmar el consecuente puede representarse como: p→q q ∴p Mostrar que el argumento anterior no es válido, es decir, que [( p → q ) ∧ q ] → p no es una tautología. 1.8 La falacia de negar el antecedente puede representarse como: p→q ¬p ∴ ¬p Mostrar que el argumento anterior no es válido. MATEMÁTICAS DISCRETAS – RAMÓN ESPINOSA ARMENTA capitulo 1.indd 43 ALFAOMEGA 12/30/09 12:30:25 PM 44 I. LÓGICA, CONJUNTOS E INDUCCIÓN 1.9 En cierta isla hay dos tribus: A y B. Los habitantes de la tribu A siempre dicen la verdad y los de la tribu B siempre mienten. Un antropólogo visita la isla y se encuentra con dos nativos x y z que afirman lo siguiente: x dice: z es de la tribu A. z dice: x y yo somos de tribus distintas. ¿De qué tribus son x y z? 1.10 El operador o excluyente, denotado por el símbolo ⊕, está definido por la siguiente tabla de verdad: p q p⊕q V V F V F V F V V F F F Mostrar que p ⊕ q es lógicamente equivalente a ( p ∨ q ) ∧ ¬( p ∧ q ). 1.11 El operador de Pierce, denotado por el símbolo ↓, está definido por la siguiente tabla de verdad: p q p↓q V V F V F F F V F F F V Encontrar proposiciones equivalentes a las proposiciones ¬p , p ∨ q , p ∧ q , que sólo utilicen el operador ↓. 1.12 El operador de Sheffer, denotado por el símbolo ↑, está definido por la siguiente tabla de verdad: ALFAOMEGA capitulo 1.indd 44 p q p↑q V V F V F V F V V F F V MATEMÁTICAS DISCRETAS – RAMÓN ESPINOSA ARMENTA 12/30/09 12:30:25 PM 1.8 PROBLEMAS 45 Verificar las siguientes equivalencias lógicas: a) p ↑ q ⇔ ¬( p ∧ q ). b) p ↑ p ⇔ ¬p. c) ( p ↑ p) ↑ (q ↑ q) ⇔ p ∨ q. d) ( p ↑ q ) ↑ ( p ↑ q ) ⇔ p ∧ q. Conjuntos 1.13 En cada inciso indicar si la afirmación es verdadera o falsa: a) ∅ ⊆ { x} b) ∅ ∈{ x} c) ∅ ⊆ ∅ d) ∅ ∈ {∅} 1.14 En cada inciso indicar si la afirmación es verdadera o falsa: a) ∅ ∈∅ b) {∅} ⊆ ∅ c) {∅} ∈ {∅} d) {∅} ⊆ {∅, {∅}} 1.15 Sean A, B y C conjuntos. Demostrar que si A ⊆ C , entonces A ∪ ( B ∩ C ) = ( A ∪ B) ∩ C. 1.16 Sean A y B conjuntos. Demostrar que A = ( A ∩ B ) ∪ ( A − B ) . 1.17 Sean A y B conjuntos. Demostrar que ( A ∩ B ) ∩ ( A − B ) = ∅. 1.18 Sean A, B y C conjuntos. Demostrar que A ∩ ( B − C ) = ( A ∩ B) − ( A ∩ C ). 1.19 Dar ejemplos de conjuntos A, B y C, tales que: A ∪ ( B − C ) ≠ ( A ∪ B) − ( A ∪ C ). MATEMÁTICAS DISCRETAS – RAMÓN ESPINOSA ARMENTA capitulo 1.indd 45 ALFAOMEGA 12/30/09 12:30:25 PM 46 I. LÓGICA, CONJUNTOS E INDUCCIÓN 1.20 Usando los simuladores OPERACIONES BÁSICAS CON CONJUNTOS OPERACIONES CON CONJUNTOS resolver el problema anterior. 1.21 Sean A y B conjuntos ajenos y supongamos que A1 ⊆ A y B1 ⊆ B. Demostrar que A1 y B1 son conjuntos ajenos. 1.22 Sean A y B subconjuntos de un conjunto X. Demostrar que: A ⊆ B ⇔ Bc ⊆ Ac . 1.23 Sean A y B conjuntos. ¿Bajo qué condiciones A ∩ B = A ∪ B . 1.24 Sean A, B y C conjuntos. ¿Es cierto que si A − C = B − C entonces A = B? Justificar la respuesta. 1.25 Dar ejemplos de conjuntos A, B y C, tales que A ∩ B = A ∩ C y B ≠ C . 1.26 Usando los simuladores OPERACIONES BÁSICAS CON CONJUNTOS OPERACIONES CON CONJUNTOS resolver el problema anterior. 1.27 Dar ejemplos de conjuntos A, B y C, tales que A ∪ B = A ∪ C y B ≠ C . 1.28 Usando los simuladores OPERACIONES BÁSICAS CON CONJUNTOS OPERACIONES CON CONJUNTOS resolver el problema anterior. 1.29 Sean A, B y C conjuntos tales que A ⊕ B = A ⊕ C. ¿Es cierto que B = C? Justificar la respuesta. ALFAOMEGA capitulo 1.indd 46 MATEMÁTICAS DISCRETAS – RAMÓN ESPINOSA ARMENTA 12/30/09 12:30:26 PM 1.8 PROBLEMAS 47 1.30 Sean A, B y C conjuntos. Demostrar que si B ∩ C ⊆ A entonces ( B − A) ∩ (C − A) = ∅. 1.31 Sean A y B subconjuntos de un conjunto X. Utilizar las leyes distributivas y las leyes de De Morgan, para simplificar la expresión: ( A ∩ B c ) ∪ ( A c ∩ B) ∪ ( A ∩ B). 1.32 Demostrar o dar un contraejemplo para cada una de las siguientes afirmaciones: a) Si A y B son conjuntos, entonces ℘( A ∪ B ) = ℘( A ) ∪℘( B ) . b) Si A y B son conjuntos, entonces ℘( A ∩ B ) = ℘( A ) ∩℘( B ) . 1.33 A partir de lo expuesto en la lectura complementaria COLECCIONES DE CONJUNTOS demostrar que si {Ai}i∈I es una colección de conjuntos, entonces para cualquier conjunto B se cumple que B ∩ (∪ Ai ) = ∪ (B ∪ Ai ) i ∈I i ∈I ′ 1.34 A partir de lo expuesto en la lectura complementaria COLECCIONES DE CONJUNTOS demostrar que si {Ai}i∈I es una colección de subconjuntos de un conjunto X entonces c ⎛ ⎞ c ⎜⎝ ∩ Ai ⎟⎠ = ∪ Ai i ∈I i ∈I Números enteros 1.35 Un entero a se dice que es par si es de la forma a = 2k para algún entero k. Demostrar que si a y b son pares, entonces a + b es par y ab es par. 1.36 Un entero a se dice que es impar si es de la forma a = 2k + 1 para algún entero k. Demostrar que si a y b son impares, entonces a + b es par y ab es impar. MATEMÁTICAS DISCRETAS – RAMÓN ESPINOSA ARMENTA capitulo 1.indd 47 ALFAOMEGA 12/30/09 12:30:28 PM 48 I. LÓGICA, CONJUNTOS E INDUCCIÓN 1.37 Demostrar que si a es par y b es impar, entonces a + b es impar. 1.38 Demostrar que si a es par, entonces ab es par para todo entero b. 1.39 Demostrar que a2 es par si y sólo si a es par. 1.40 Demostrar que si a es un entero, entonces a2 + a es par. 1.41 Demostrar que si a y b son enteros, tales que 0 < a < b, entonces a2 < b2. 1.42 ¿Cuál es el error en la siguiente “demostración”? Sean a, b enteros, tales que a = b , por lo tanto, a 2 = ab ⇔ a 2 − b 2 = ab − b 2 ⇔ (a − b )(a + b ) = (a − b )b ⇔a+b=b ⇔ 2b = b ⇔ 2 =1 1.43 Sean A = {2 + 3k | k ∈ Z} y B = {3n − 1 | n ∈ Z} . Mostrar que A = B . 1.44 Sean A = {5 k + 1 | k ∈ Z} y B = {a 2 | a ∈ A}. Mostrar que B ⊆ A. Números reales 1.45 A partir de lo expuesto en la lectura complementaria NÚMEROS REALES considérese el siguiente problema. Sean a, b ∈ tales que a > 0 y b > 0. Demostrar que ab = a b . 1.46 A partir de lo expuesto en la lectura complementaria NÚMEROS REALES considérese el siguiente problema. En cada inciso resuélvase la ecuación indicada: a) x2 − x − 2 = 0. b) 2x2 + 3x + 1 = 0. c) 6x2 − x − 1 = 0. ALFAOMEGA capitulo 1.indd 48 MATEMÁTICAS DISCRETAS – RAMÓN ESPINOSA ARMENTA 12/30/09 12:31:11 PM 1.8 PROBLEMAS 49 1.47 A partir de lo expuesto en la lectura complementaria NÚMEROS REALES considérese el siguiente problema. Sea a ∈ . Demostrar que | −a | = | a |. 1.48 A partir de lo expuesto en la lectura complementaria NÚMEROS REALES considérese el siguiente problema. Sean a, b ∈ , con b > 0. Demostrar que | a | < b ⇔ −b < a < b. Inducción matemática 1.49 Demostrar que 1 + 4 + 9 + + n2 = n(n + 1)(2 n + 1) , ∀n ∈ N. 6 1.50 Demostrar que 13 + 2 3 + 33 + + n 3 = n 2 (n + 1)2 , ∀n ∈ N. 4 1.51 Demostrar que 12 + 32 + 5 2 + + (2 n − 1)2 = n(2 n − 1)(2 n + 1) , ∀n ∈ N. 3 1.52 Demostrar que n 1 1 1 1 + + ++ = ∀n ∈ N. n(n + 1) n + 1 1(2 ) 2( 3) 3( 4 ) 1.53 Demostrar que 1(2 ) + 2( 3) + + n(n + 1) = n(n + 1)(n + 2 ) , ∀n ∈ N. 3 1.54 Demostrar que 1( 3) + 2( 4 ) + + n(n + 2 ) = MATEMÁTICAS DISCRETAS – RAMÓN ESPINOSA ARMENTA capitulo 1.indd 49 n(n + 1)(2 n + 7 ) , ∀n ∈ N. 6 ALFAOMEGA 12/30/09 12:31:33 PM 50 I. LÓGICA, CONJUNTOS E INDUCCIÓN 1.55 Demostrar que n < 2 para todo n ∈N . n 1.56 Demostrar que 1 + 2 n ≤ 3n para todo n ∈N. 1.57 Demostrar que 4 n ≤ n 2 − 7 para todo n ≥ 6. 1.58 Demostrar que n 3 < 3n para todo n ≥ 4. 1.59 Demostrar que n 2 < 2 n para todo n ≥ 5. 1.60 Demostrar que n 2 < n ! para todo n ≥ 4. 1.61 ¿Cuál es el error en la “demostración” de que todas las chicas rubias tienen ojos azules? Véase el ejemplo 1.20. 1.62 Demostrar que 1 ⋅ 1! + 2 ⋅ 2 ! + 3 ⋅ 3! + + n ⋅ n ! = (n + 1)! − 1, para todo n ∈N . m n mn 1.63 Sea a ∈R , demostrar que (a ) = a , para cualesquiera m, n ∈N . n n n 1.64 Sean a, b ∈R , demostrar que (ab ) = a b para todo n ∈N. 1.65 Utilizar inducción matemática para demostrar que: n n k =1 k =1 ∑cak = c∑ak . 1.66 Utilizar inducción matemática para demostrar que: n n n ∑(a + b ) = ∑a + ∑b . k k =1 k k k =1 k k =1 1.67 Demostrar que n ! ≤ n n para todo n ∈N. 1.68 Sea x ∈R . Demostrar que si 1 < x , entonces x < x , para todo entero n n ≥ 2. 1.69 Sea x ∈R . Demostrar que si 0 < x < 1, entonces x n < x, para todo entero n ≥ 2. 1.70 Sean a, b ∈R . Demostrar que si 0 < a < b , entonces 0 < a n < b n , para todo n ∈N . n 1.71 Sea x ∈R . Demostrar que si x > −1, entonces (1 + x ) ≥ 1 + nx, para todo n ∈N. ALFAOMEGA capitulo 1.indd 50 MATEMÁTICAS DISCRETAS – RAMÓN ESPINOSA ARMENTA 12/30/09 12:31:35 PM 1.9 1.9 CONTENIDO INTERACTIVO 51 Contenido interactivo El material marcado con asterisco (*) sólo está disponible para docentes. Mapa conceptual Simuladores • Operaciones básicas con conjuntos • Operaciones con conjuntos • Diagramas de Venn Lecturas adicionales • MATLAB y las operaciones con conjuntos • Colecciones de conjuntos • Números reales Respuesta y desarrollo de problemas seleccionados *Presentaciones *Respuesta y desarrollo de problemas Glosario MATEMÁTICAS DISCRETAS – RAMÓN ESPINOSA ARMENTA capitulo 1.indd 51 ALFAOMEGA 12/30/09 12:31:36 PM CAPÍTULO II {2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 61, 89, 107, 127, 521, 607, 1279, 2203, 2281, 3217, 4253, 4423, 9689, 9941, 11213, 19937} Teoría de números n = bq0 + a0 = b(bq1 + a1) = b2(bq2 + a2) + ba1 + a a0 k 1 k− = … = bkqk− k 1 + b ak− k 1 k k 1 k− = akb + ak− +…+ k 1b 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9* 2.10 2.11 2.12 Introducción Divisibilidad Números primos Aplicación: cambio de base Máximo común divisor Teorema fundamental de la aritmética Congruencias Aplicación: calendario perpetuo MATLAB y teoría de números Resumen Problemas Contenido interactivo *Ver Plataforma de contenidos interactivos. capitulo 2.indd 52 12/30/09 12:34:32 PM n = bq0 + a0, 0 ≤ a0 < b, q0 = bq1 + a1, 0 ≤ a1 < b, q1 = bq2 + a2, 0 ≤ a2 < b, . . . . . . qk− = bq + a , 0 ≤ ak− k 2 k 1 k− k 1 k− k 1 < b, qk− 0 ≤ ak < b. k 1 = b0 + ak, La matemática es la reina de las ciencias y la teoría de números es la reina de las matemáticas. Carl Friedrich Gauss ) + a0 = b2q1 + ba1 + a0 a0 = b3q2 + b2a2 + ba1 + + … + ba1 + a0 a1b + a0 Objetivos • • • • • • capitulo 2.indd 53 Exponer la noción de divisibilidad y sus propiedades. Aplicar el algoritmo de la división en la representación de enteros positivos en distintas bases. Presentar la noción de número primo, así como las propiedades y problemas abiertos relacionados con estos números. Explicar la noción de máximo común divisor y sus propiedades. Resolver ecuaciones lineales diofantinas en dos variables. Establecer el teorema fundamental de la aritmética. DeÀnir la noción de congruencia y sus aplicaciones, incluyendo el teorema chino del residuo. 12/30/09 12:34:34 PM 54 II. TEORÍA DE NÚMEROS 2.1 Introducción En la antigua Grecia la palabra número se utilizaba para referirse a lo que ahora se conoce como número natural y al estudio de las propiedades de los números naturales se le llamó aritmética. La palabra mathematika1 se utilizaba para designar las cuatro disciplinas enseñadas por Pitágoras y Platón: aritmética, geometría, música y astronomía. En la edad media las universidades llamaron a estas materias quadrivium, las cuales se enseñaban después del trivium, que consistía en gramática, retórica y lógica. Posteriormente el término aritmética fue sustituido por teoría de números, abarcando la totalidad de los números enteros y no solamente los enteros positivos. En este capítulo se expone una introducción a la teoría de números. Se comienza definiendo la noción de divisibilidad, luego se presenta el algoritmo de la división y se muestra cómo representar enteros en distintas bases, en particular en notación binaria y hexadecimal, las cuales son muy importantes en las ciencias de la computación. Se analiza la noción de número primo, sus propiedades y algunas conjeturas famosas relacionadas con los números primos. Luego se expone la noción de máximo común divisor, el algoritmo de Euclides y se estudian las ecuaciones lineales diofantinas en dos variables. Se demuestra el teorema fundamental de la aritmética y se ven algunas de sus consecuencias, además de que se presenta la noción de congruencia y sus propiedades. Por último, se muestra cómo utilizar los conceptos expuestos para diseñar un calendario perpetuo. 2.2 Divisibilidad Sean a y b dos números enteros, se dice que b divide a a (o que a es divisible entre b) si existe un entero q tal que a = bq. En este caso también se aÀrma que b es un divisor (o un factor) de a, y que a es un múltiplo de b. Se utiliza la notación b | a para indicar que b divide a a, y si b no divide a a se escribe b |⁄ a. Ejemplo 2.1 Para cada entero a se cumple que: 1 | a porque a = 1 (a ) a | a porque a = a (1) a | 0 porque 0 = a (0 ) 1 ALFAOMEGA capitulo 2.indd 54 Derivada de la palabra mathema, que significa estudio de un tema. MATEMÁTICAS DISCRETAS – RAMÓN ESPINOSA ARMENTA 12/30/09 12:34:34 PM 2.2 DIVISIBILIDAD Ejemplo 2.2 Si a y b son enteros y b divide a a, entonces −b también divide a a porque a = bq implica que a = (−b)(−q). 55 Números perfectos En la proposición 36 del libro IX de Los Elementos, Euclides expone un procedimiento para obtener los números perfectos pares. En términos modernos estos números son de la forma (2.1) 2p − 1(2p − 1) Ejemplo 2.3 Un divisor propio de un número natural a, es un número natural b que divide a a pero que no es el propio a. Por ejemplo, los divisores propios de 60 son: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20 y 30. en donde p y 2 − 1 son números primos (véase la sección 2.3 Números primos). En particular para los siguientes valores de p se obtiene un número perfecto par2: p {2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 61, 89, 107, 127, 521, 607, 1279, 2203, 2281, 3217, 4253, 4423, 9689, 9941, 11213, 19937} Ejemplo 2.4 Un número natural se dice que es un número perfecto, si la suma de sus divisores propios es igual al número. Por ejemplo 6 es perfecto, porque 1 + 2 + 3 = 6. Otro número perfecto es el 28 ya que 1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28. Ejemplo 2.5 vo n. Solución Demostrar que 4 | (5n − 1) para todo entero positi- La demostración se hace por inducción sobre n. Primero se observa que 51 − 1 = 4 = 4(1), por lo que la afirmación es cierta para n = 1. Supóngase ahora que 4 | (5n − 1), es decir, 5n − 1 = 4q para algún q ∈ . Por lo tanto 5n+1 − 1 = 5(5n) − 1 = 5(4q + 1) − 1 = 4(5q + 1) con lo cual queda probado que 4 | (5n+1 − 1). 2 Hay que observar que es necesario pero no suÀciente que p sea primo para que 2p − 1 sea primo. Los números primos de la forma 2p − 1 se conocen como números de Mersenne (véase la sección 2.3.1 Teoremas y conjeturas famosas). Mil años después de Euclides, el matemático Alhazen aÀrmó que todo número perfecto par es de la forma (2.1) donde 2p − 1 es primo sin embargo no pudo probar su planteamiento y fue sólo hasta el siglo XVIII que Leonhard Euler demostró esta aÀrmación. De esta manera quedó establecido que existe una correspondencia uno a uno entre los números perfectos pares y los números de Mersenne, resultado que se conoce como el teorema de EuclidesEuler. Hasta septiembre de 2009 sólo se conocen 47 números de Mersenne, lo cual signiÀca que hasta este momento sólo se conocen 47 números perfectos siendo el más grande el número 243112608 (243112609 - 1) con 25956377 dígitos. Finalmente, un problema aún no resuelto es la determinación de la existencia de los números perfectos impares. Véase Tom M. Apostol; Introduction to analytic number theory; Springer Verlag, New York 1976. MATEMÁTICAS DISCRETAS – RAMÓN ESPINOSA ARMENTA capitulo 2.indd 55 ALFAOMEGA 12/30/09 12:34:35 PM 56 II. TEORÍA DE NÚMEROS Teorema 2.1 Si b | a y a ≠ 0, entonces | b | ≤ | a |. Si b | a entonces a = bq para algún entero q ≠ 0, de ahí que | a | = | bq | = | b | | q | ≥ | b |. Demostración Sean a y b dos números enteros, una combinación lineal de a y b es un número de la forma ax + by donde x ∈ y son enteros. El siguiente teorema muestra que si un número divide a otros dos, entonces divide a cualquier combinación lineal de esos números. Teorema 2.2 x, y ∈ . Si c | a y c | b, entonces c | (ax + by) para cualesquiera Demostración Por hipótesis existen q1, q2 tales que a = cq1 y b = cq2, por lo tanto ax + by = cq1x + cq2y = c(q1x + q2y) y de ahí que c | (ax + by). Teorema 2.3 (Algoritmo de la división). Si a y b son enteros y b es mayor que cero, existen dos enteros q y r, únicos, tales que Divisibilidad El concepto de divisibilidad y el algoritmo de la división deÀnidos para elementos del conjunto de los números enteros también se deÀnen para elementos del conjunto de los polinomios (véase la sección 5.3 Divisibilidad). Por otro lado, el contexto adecuado para estudiar la divisibilidad son los dominios enteros, que son generalizaciones de los enteros. EspecíÀcamente un dominio entero es un anillo conmutativo (véase la sección 4.4 Anillos y campos) sin divisores de cero y con una identidad multiplicativa diferente de la identidad aditiva. a = bq + r con 0 ≤ r < b. Demostración Primero se prueba que existen dos enteros q y r tales que a = bq + r con 0≤r<b Si b divide a a entonces basta tomar r = 0 para comprobar que esta afirmación es cierta. Supóngase ahora que b no divide a a y sea A = {n ∈ | n = a − bx, para algún x ∈ } Se observa que este conjunto es no vacío, pues si a > 0 entonces a − b0 = a > 0 y por lo tanto a ∈ A, mientras que si a ≤ 0 entonces a − b(a − 1) = a(1 − b) + b > 0 (porque 1 − b ≤ 0) y por lo tanto a − b(a − 1) ∈ A. Por el principio del buen orden, A tiene un elemento mínimo, digamos r = a − bq. Supóngase que r ≥ b, entonces a − bq ≥ b y por lo tanto a − b(q + 1) ≥ 0. Si a − b(q + 1) = 0 entonces a = b(q + 1) lo cual no es posible pues b no divide ALFAOMEGA capitulo 2.indd 56 MATEMÁTICAS DISCRETAS – RAMÓN ESPINOSA ARMENTA 12/30/09 12:34:36 PM 2.2 DIVISIBILIDAD 57 a a, por lo tanto a − b(q + 1) > 1, lo cual contradice que r es el elemento mínimo de A. Esta contradicción surge de suponer que r ≥ b, por lo tanto r < b. Para ver que esta representación es única, supóngase que q1, q2, r1, r2, son tales que a = bq1 + r1 con 0 ≤ r1 < b y a = bq2 + r2 con 0 ≤ r2 < b Supóngase que r1 ≠ r2. Obsérvese que bq1 + r1 = bq2 + r2 y por lo tanto b(q1 − q2) = r2 − r1. De aquí que b ≤ | r2 − r1 |, lo cual no es posible pues 0 ≤ r1 < b y 0 ≤ r2 < b. Esta contradicción surge de suponer que r1 ≠ r2, por lo tanto r1 = r2 y de ahí que b(q1 − q2) = 0. Como b > 0, se sigue que (q1 − q2) = 0 y por lo tanto q1 = q2. En la expresión a = bq + r, q es llamado el cociente y r el residuo en la división de a entre b. Hay que observar que si r = 0, entonces b divide a a. Ejemplo 2.6 q = 5 y r = 2. Si a = 17 y b = 3, entonces 17 = 3(5) + 2 y de aquí se tiene que Ejemplo 2.7 Si a = 0 y b = 4, entonces 0 = 4(0) + 0 y por lo tanto q = 0 y r = 0. Ejemplo 2.8 Si a = −14 y b = 5, entonces −14 = 5(−3) + 1 y de aquí se tiene que q = −3 y r = 1. MATEMÁTICAS DISCRETAS – RAMÓN ESPINOSA ARMENTA capitulo 2.indd 57 ALFAOMEGA 12/30/09 12:34:37 PM 58 II. TEORÍA DE NÚMEROS 2.3 Números primos Teoría de números La teoría de números es la rama de las matemáticas que estudia las propiedades de los números en general y de los enteros en particular, así como diversos problemas derivados de su estudio. De acuerdo con los métodos empleados y el tipo de problemas que se pretenden resolver, la teoría de números se subdivide en diversas ramas. Teoría elemental de números: se estudian los números enteros sin emplear técnicas procedentes de otros campos de las matemáticas. A esta teoría pertenecen las cuestiones de divisibilidad, el algoritmo de Euclides para calcular el máximo común divisor, la factorización de los enteros como producto de números primos, la búsqueda de los números perfectos y las congruencias. Son enunciados típicos de esta teoría el pequeño teorema de Fermat y el teorema de Euler que lo extiende, el teorema chino del resto y la ley de reciprocidad cuadrática. Teoría analítica de números: emplea como herramientas el cálculo y el análisis complejo para abordar cuestiones acerca de los números enteros. Algunos ejemplos de ésta son el teorema de los números primos y la hipótesis de Riemann. El problema de Waring, la conjetura de los números primos gemelos y la conjetura de Goldbach también están siendo atacados a través de métodos analíticos. Teoría de números algebráicos: es una rama de la teoría de los números en la cual el concepto de número se expande a los números algebraicos, los cuales son las raíces de los polinomios con coeficientes racionales. Teoría geométrica de números: incorpora todas las formas de geometría. Comienza con el teorema de Minkowski acerca de los puntos comunes en conjuntos convexos e investigaciones sobre superficies esféricas. Teoría combinatoria de números: trata los problemas de la teoría de números involucrando ideas combinatorias y sus formulaciones o soluciones. Paul Erdös es el creador de esta rama de la teoría de números. Los temas típicos incluyen sistemas cubiertos, problemas de suma cero, diversos conjuntos restringidos y progresiones aritméticas en un conjunto de enteros. Los métodos algebráicos o analíticos son bastante poderosos en este campo. Teoría computacional de números: estudia los algoritmos relevantes de la teoría de números. Los algoritmos rápidos para evaluar números primos y factorización de enteros tienen importantes aplicaciones en criptografía. ALFAOMEGA capitulo 2.indd 58 Un número natural p se dice que es primo si p > 1 y si sus únicos divisores positivos son 1 y p. Los veinte primeros números primos son: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71 Si n es un entero positivo mayor que uno y no es un número primo, entonces n se puede escribir en la forma n = ab con 1 < a ≤ b < n por esta razón a los números mayores que uno que no son primos se les llama números compuestos. Para establecer algunas de las propiedades de los números primos se comienza por plantear el siguiente lema. Lema 2.1 Cada entero positivo mayor que uno tiene un divisor primo. Demostración Sea A el conjunto de enteros positivos mayores que uno que no tienen un divisor primo, y supóngase que A es no vacío. Por el principio del buen orden A tiene un elemento mínimo n. El número n no puede ser primo, por lo tanto n debe ser un número compuesto, es decir, n = ab con 1 < a ≤ b < n. Como a < n, se sigue que a ∉ A, y por lo tanto a debe tener un divisor primo, digamos p. Pero entonces p debe ser también un divisor de n, lo cual no es posible. Esta contradicción surge de suponer que el conjunto A es no vacío. El siguiente teorema fue probado en el siglo III a. C. por el matemático griego Euclides. Teorema 2.4 El número de primos es infinito. Demostración Supóngase que el número de primos es finito. Sean p1, p2, …, pn MATEMÁTICAS DISCRETAS – RAMÓN ESPINOSA ARMENTA 12/30/09 12:34:38 PM 2.3 NÚMEROS PRIMOS 59 todos los primos distintos, y sea N = ( p1 p2…pn) + 1. Se sigue del algoritmo de la división que N no es divisible entre ningún primo, pues el residuo al dividir N entre pj es uno para cualquier j = 1, 2, …, n, lo cual contradice el lema anterior. Teorema 2.5 Si n es un número compuesto, entonces existe un número primo p tal que p divide a n y p2 ≤ n. Demostración Como n es un número compuesto, entonces n = ab, con 1 < a ≤ b < n. Si a2 > n entonces ab ≥ a2 > n, lo cual no es posible, por lo tanto a2 ≤ n. Ahora bien, por el lema 2.1 el número a tiene un divisor primo p, el cual también es un divisor de n, además p2 ≤ a2 ≤ n. El teorema anterior sugiere un método para determinar los números primos menores o iguales a un número fijo n. Para ilustrar el método sea n = 50, y considérese el siguiente arreglo rectangular formado por estos números: 1 11 21 31 41 2 12 22 32 42 3 13 23 33 43 4 14 24 34 44 5 15 25 35 45 6 16 26 36 46 7 17 27 37 47 8 18 28 38 48 9 19 29 39 49 10 20 30 40 50 Se sabe que el número 1 no es primo (por definición), por lo tanto se puede eliminar de la tabla. El número 2 es primo, pero ningún número par distinto de dos lo es, por lo que también se pueden eliminar. De esta manera se obtiene el siguiente arreglo: 2 11 21 31 41 3 13 23 33 43 5 15 25 35 45 7 17 27 37 47 9 19 29 39 49 El número que sigue después del 2 es el 3, el cual es primo, sin embargo ningún otro múltiplo de 3 lo es, por lo que se pueden eliminar. Con esto se obtiene la tabla: 2 11 31 41 3 13 23 5 25 35 43 MATEMÁTICAS DISCRETAS – RAMÓN ESPINOSA ARMENTA capitulo 2.indd 59 7 17 37 47 19 29 49 ALFAOMEGA 12/30/09 12:34:39 PM 60 II. TEORÍA DE NÚMEROS El número que se encuentra en la tabla después del 3 es el 5, el cual es primo, sin embargo ningún otro múltiplo de 5 puede serlo, por lo que se pueden eliminar: 2 11 31 41 3 13 23 5 7 17 37 47 43 19 29 49 El número que aparece en la tabla después del 5 es el 7, el cual es primo, sin embargo ningún otro múltiplo de 7 puede ser primo, por lo que se puede eliminarlos: 2 11 31 41 3 13 23 5 7 17 19 29 37 47 43 Los números que quedan en esta tabla deben ser primos pues 2, 3, 5 y 7 son los únicos primos cuyo cuadrado es menor que 50 además de que se han eliminado a sus múltiplos. Este método para obtener números primos menores o iguales a un número fijo, fue descrito en el siglo III a. C. por el matemático griego Eratóstenes. La apariencia de la tabla final es la de una criba, por esa razón este método es conocido como la criba de Eratóstenes. Eratóstenes F (275-195 a. C.) ue uno de los grandes sabios de la antigüedad y el primer geógrafo. Estudió en Atenas y vivió en Alejandría, donde pasó la mayor parte de su vida, y fue director de la biblioteca de Alejandría. Además del método de la criba para determinar números primos, uno de los grandes logros de Eratóstenes fue medir la circunferencia de la Tierra. Muchos matemáticos han tratado de obtener una fórmula que proporcione todos los números primos, por ejemplo, en el siglo XVIII el matemático suizo Leonhard Euler observó que n2 − n + 41 es un número primo para n = 0, 1, 2, …, 40, sin embargo para n = 41 se obtiene el número 412 que no es primo. Por otro lado, aunque la cantidad de números primos es infinita, la separación entre primos consecutivos puede ser muy grande, por ejemplo, si n es cualquier entero positivo, entonces los números (n + 1)! + 2, (n + 1)! + 3, …, (n + 1)! + (n + 1) son n enteros consecutivos compuestos. ALFAOMEGA capitulo 2.indd 60 MATEMÁTICAS DISCRETAS – RAMÓN ESPINOSA ARMENTA 12/30/09 12:34:39 PM 2.3 61 NÚMEROS PRIMOS Con el simulador NÚMEROS PRIMOS desarrollado con MATLAB se pueden obtener los números primos que hay entre dos enteros arbitrarios en el intervalo (1, 225). Por otro lado, con el programa PRIMOS se pueden obtener los números primos que hay entre dos enteros arbitrarios en el intervalo (1, 1017). Marin Mersenne (1588-1648) E 2.3.1 Teoremas y conjeturas famosas Los números de la forma 2p − 1, donde p es primo, son llamados números de Mersenne, en honor al sacerdote francés Marin Mersenne, quien investigó algunas de sus propiedades en el siglo XVII. Es fácil ver que si p = 2, 3, 5 y 7 entonces el número de Mersenne correspondiente es primo. Sin embargo, 211 − 1 = 2047 = 23(89) no es primo. En 1644 Mersenne afirmó que los únicos valores de p para los cuales 2p − 1 es primo eran 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 67, 127 y 257. Sin embargo, en 1903 el matemático estadounidense Frank Nelson Cole mostró que 267 − 1 no lo era. Cole presentó su resultado en un congreso de la American Mathematical Society, donde, sin decir ni una palabra, se limitó a calcular a mano 267 − 1, para luego calcular el producto 193707721 × 761838257287 e indicar con un gesto que los resultados coincidían. Por primera vez en la historia de la American Mathematical Society, el público aplaudió vigorosamente. Entonces Cole regresó a su asiento sin haber abierto la boca; años después confesó que la factorización le había llevado tres años de domingos.3 Los números de Mersenne que son primos son llamados primos de Mersenne. Hasta el momento se han encontrado 47 primos de Mersenne y el último fue obtenido el 23 de agosto de 2008 por el norteamericano Edson Smith, y corresponde a p = 43112609. Este número tiene 12978189 cifras, y es el número primo más grande conocido hasta el momento. Se cree que el número de primos de Mersenne es infinito, pero esto no ha podido ser demostrado. En el siglo XIX, Joseph Bertrand conjeturó que para cada entero positivo n existía un número primo p tal que n < p ≤ 2n y esta conjetura fue conocida como el pos- ste filósofo francés es célebre por los números que llevan su nombre: los números primos de Mersenne. En su obra Cognitata physico-mathematica de 1641 Mersenne enunció varias propiedades acerca de estos números, algunas de las cuales sólo pudieron ser comprobadas o refutadas hasta el siglo XX. En particular elaboró una lista de números de Mersenne con exponentes menores o iguales a 257 y conjeturó que éstos eran los únicos números primos de esa forma, sin embargo su lista es parcialmente correcta ya que M67 y M257 son compuestos y en ella no están M61, M89 y M107 que no lo son, además de que su conjetura resultó completamente falsa. Por otro lado, en relación con los números de Mersenne se tienen los siguientes tres teoremas: • Si n es compuesto, entonces Mn es compuesto • Si p es un número primo distinto de 2, cualquier primo q que divida a 2p − 1 debe ser uno más que un múltiplo de 2p. Esta proposición también se cumple si 2p − 1 es primo. • Si p es un número primo distinto de 2, cualquier primo q que divida 2p − 1 es congruente con ±1(mod 8). Finalmente, los siguientes son algunos de los problemas no resueltos relacionados con los números de Mersenne: • No se sabe si existe una cantidad infinita de números de Mersenne. • No se sabe si existen números de Mersenne entre M39 y M47. 3 Hay que recordar que en 1903 no existían las calculadoras. MATEMÁTICAS DISCRETAS – RAMÓN ESPINOSA ARMENTA capitulo 2.indd 61 ALFAOMEGA 12/30/09 12:34:40 PM 62 Paul Erdös A (1913-1996) lo largo de su vida, este brillante matemático húngaro se distinguió por su gran capacidad para plantear y resolver problemas. En 1946 Erdös y Atle Selberg (Medalla Fields 1950) demostraron en forma paralela, sin recurrir a los métodos del análisis matemático, el llamado teorema de los números primos que afirma que la densidad de primos menores que x tiende a x/ln(x). De acuerdo con su singular personalidad, Erdös afirmaba que en algún lugar del universo se encuentra El Libro que contiene las demostraciones más sencillas y elegantes de los teoremas matemáticos. Como una especie de homenaje, colaboradores y amigos inventaron el número de Erdös que se define de la siguiente forma: Erdös tiene asignado el número 0, todos aquellos que colaboraron en algún artículo con él tienen el 1, alguien que haya colaborado con alguno de sus colaboradores tiene el 2, y así sucesivamente. Sencillas estimaciones muestran que el 90% de los matemáticos activos tienen un número de Erdös menor que 8, en particular Einstein tenía un número de Erdös igual a 2 y Andrew John Wiles (matemático británico que en 1993 demostró el último teorema de Fermat que afirma que no existe solución con números enteros para la ecuación xn + yn = zn si n es un entero mayor que 2) tiene un número de Erdös igual a 3. II. TEORÍA DE NÚMEROS tulado de Bertrand. Aunque Bertrand mismo verificó su conjetura para n menor que tres millones, fue Pafnuty Chebyshev el primero en probarla para toda n. Una demostración mucho más simple fue proporcionada en 1932 por el matemático húngaro Paul Erdös, cuando tenía 19 años. Así como la brecha entre primos consecutivos puede ser muy grande, también puede ser muy pequeña. Dos números primos se dice que son mellizos si su diferencia es 2, por ejemplo, 17 y 19 son primos mellizos. Hasta la fecha no se sabe si el número de primos mellizos es infinito. Otra conjetura importante concerniente a números primos fue enunciada en 1742 por el matemático ruso Christian Goldbach, quien planteó que todo número par mayor que dos es igual a la suma de dos números primos, por ejemplo, 4=2+2 6=3+3 8=3+5 10 = 3 + 7 12 = 5 + 7 14 = 7 + 7 16 = 5 + 11 Se ha mostrado con la ayuda de computadoras que la conjetura de Goldbach es verdadera para todos los números pares hasta 3 × 1017, pero todavía no ha podido ser demostrada en general. 2.3.2 Distribución de los números primos En la lectura adicional DISTRIBUCIÓN DE LOS NÚMEROS PRIMOS se parte de una exploración numérica del problema y se plantean las expresiones generales que resultan de la misma. 2.4 Aplicación: cambio de base En el sistema posicional decimal, cada entero positivo se representa a partir de los diez dígitos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9. El siguiente teorema muestra cómo se pueden representar los enteros positivos en distintas bases. ALFAOMEGA capitulo 2.indd 62 MATEMÁTICAS DISCRETAS – RAMÓN ESPINOSA ARMENTA 12/30/09 12:34:41 PM 2.4 APLICACIÓN: CAMBIO DE BASE 63 Teorema 2.6 Sea b ∈ , b > 1. Entonces para todo entero positivo n, existe un entero no negativo k y enteros 0 ≤ aj < b, j = 1, 2, …, k, tales que n = akbk + ak−1bk−1 + … + a1b + a0 y ak ≠ 0. Además esta representación es única. Demostración Aplicando repetidamente el algoritmo de la división se obtiene que n = bq0 + a0, 0 ≤ a0 < b, q0 = bq1 + a1, 0 ≤ a1 < b, q1 = bq2 + a2, 0 ≤ a2 < b, . . . . . . qk−2 = bqk−1 + ak−1, 0 ≤ ak−1 < b, qk−1 = b0 + ak, 0 ≤ ak < b. El último paso ocurre cuando se obtiene un cociente igual a cero. Esto siempre debe ocurrir, pues la sucesión de cocientes satisface n > q0 > q1 > … ≥ 0, y cualquier sucesión decreciente de enteros no negativos, debe ser finita. Ahora bien, n = bq0 + a0 = b(bq1 + a1) + a0 = b2q1 + ba1 + a0 = b2(bq2 + a2) + ba1 + a0 = b3q2 + b2a2 + ba1 + a0 = … = bkqk−1 + bk−1ak−1 + … + ba1 + a0 = akbk + ak−1bk−1 + … + a1b + a0 y ak ≠ 0, pues ak = qk−1 es el último cociente distinto de cero. Para ver que esta representación es única, supóngase que hay otra: n = ckbk + ck−1bk−1 + … + c1b + c0 (si fuera necesario se podrían añadir términos iniciales con coeficientes igual a cero, para que el número de términos coincida). Por lo tanto 0 = (ak − ck)bk + (ak−1 − ck−1)bk−1 + … + (a1 − c1)b + (a0 − c0) MATEMÁTICAS DISCRETAS – RAMÓN ESPINOSA ARMENTA capitulo 2.indd 63 ALFAOMEGA 12/30/09 12:34:42 PM 64 II. TEORÍA DE NÚMEROS Si las dos representaciones son distintas, existe la j más pequeña, 0 ≤ j ≤ k, tal que aj ≠ cj. Por lo tanto b j[(ak − ck)bk−j + … + (aj+1 − cj+1)b + (aj − cj)] = 0 De aquí que (ak − ck)bk−j + … + (aj+1 − cj+1)b = (cj − aj) por lo tanto aj ≠ cj y b | (cj − aj), lo cual no es posible, porque | aj − cj | ≤ b. Esta contradicción surge de suponer que hay dos representaciones distintas, por lo tanto se concluye que la representación es única. En la expresión n = akbk + ak−1bk−1 + … + a1b + a0 con 0 ≤ aj < b, j = 1, 2, …, k, el número b es llamado la base de la representación. Se acostumbra escribir: n = (ak ak−1 … a1 a0)b. Si la base no está especificada, se sobreentiende que es igual a diez. Ejemplo 2.9 Escribir 37 en base 5. Solución 37 = 5(7) + 2 7 = 5(1) + 2 1 = 5(0) + 1 Por lo tanto 37 = (122)5. En la notación binaria, cada número es representado en base dos. Las computadoras digitales operan con números en forma binaria, y hay dos razones para hacer esto. Primero, las operaciones de suma y multiplicación son particularmente simples en notación binaria. Segundo, la mayoría de los componentes básicos de las computadoras digitales están siempre en dos estados posibles (apagado o encendido), que corresponden convenientemente a los dígitos 0 y 1 en la representación de un número en sistema binario. ALFAOMEGA capitulo 2.indd 64 MATEMÁTICAS DISCRETAS – RAMÓN ESPINOSA ARMENTA 12/30/09 12:34:43 PM 2.4 Ejemplo 2.10 APLICACIÓN: CAMBIO DE BASE 65 Escribir 19 en base 2. Solución 19 = 2(9) + 1 9 = 2(4) + 1 4 = 2(2) + 0 2 = 2(1) + 0 1 = 2(0) + 1 Por lo tanto 19 = (10011)2. Como se muestra en el siguiente ejemplo, dos números en notación binaria se pueden sumar de manera análoga a como se suman en notación decimal. Ejemplo 2.11 Sumar los números (100011)2 y (10111)2. Solución 100011 + 10111 111010 Hay que observar que en la primera columna de derecha a izquierda se usa el hecho de que, en notación binaria, 1 + 1 = 10, por lo que se escribe 0 en esa columna y “se lleva 1”. El 1 que se lleva se suma a los dos unos de la segunda columna, y como 1 + 1 + 1 = 11, se escribe 1 y se lleva 1. En la tercera columna se tiene la suma 1 + 0 + 1 = 10 (el primer 1 era el que se llevaba de la segunda columna), de modo que se escribe 0 y se lleva 1. El procedimiento sigue así sucesivamente, hasta completar la suma. Como se muestra en el siguiente ejemplo, también se pueden multiplicar números en notación binaria. MATEMÁTICAS DISCRETAS – RAMÓN ESPINOSA ARMENTA capitulo 2.indd 65 ALFAOMEGA 12/30/09 12:34:43 PM 66 Sistemas de numeración posicionales En un sistema de numeración posicional, el número de símbolos diferentes de que se dispone para expresar un número se conoce como base del sistema de numeración. II. TEORÍA DE NÚMEROS Ejemplo 2.12 Multiplicar los números (100011)2 y (10111)2. Solución 100011 × 10111 La expresión general de un número en un sistema de numeración posicional de base b es de la forma 100011 100011 100011 1000110 N = dn dn −1 d1d0 , d−1d−2 d− k = dn bn + dn −1b n −1 + + d1b1 + d0 b 0 + d−1 b −1 + + d− k b − k n = ∑ di b i 1100100101 i =− k donde b es la base del sistema de numeración, n es uno de los símbolos deÀnidos en el sistema de numeración, n es el número de dígitos de la parte entera del número y k es el número de dígitos de la parte decimal. Dependiendo del valor de b, se tienen los siguientes sistemas posicionales: • Binario: b = 2; símbolos = {0, 1} Una desventaja de la notación binaria es que requiere mucho más espacio que la notación decimal. Con el fin de economizar espacio y al mismo tiempo poder disfrutar las ventajas de la notación binaria, en ciencias de la computación se utiliza la notación hexadecimal, es decir, en base 16. Para poder representar cada número del diez al quince con un solo símbolo, se acostumbra escribir: A = 10 D = 13 • Octal: b = 8; símbolos = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} B = 11 E = 14 C = 12 F = 15 • Decimal: b = 10; símbolos = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} • Hexadecimal: b = 16; símbolos = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F} Ejemplo 2.13 Representar 45582 en base hexadecimal. Solución 45582 = 16(2848) + 14 2848 = 16(178) + 0 178 = 16(11) + 2 11 = 16(0) + 11 Por lo tanto 45582 = (B20E)16. Cualquier número del 0 al 15 puede representarse en base 2 usando a lo más 4 cifras. Este hecho permite pasar, de base 16 a base 2, sustituyendo cada símbolo hexadecimal por un bloque de cuatro símbolos binarios equivalente, como lo muestra el siguiente ejemplo. ALFAOMEGA capitulo 2.indd 66 MATEMÁTICAS DISCRETAS – RAMÓN ESPINOSA ARMENTA 12/30/09 12:34:44 PM 2.4 Ejemplo 2.14 APLICACIÓN: CAMBIO DE BASE 67 Escribir (B20E)16 en base dos. Solución B 2 0 E { { { { 1011 0010 0000 1110 Por lo que (B20E)16 = (1011001000001110)2 También es posible pasar de base 2 a base 16 sustituyendo cada bloque de cuatro símbolos binarios por su símbolo hexadecimal correspondiente, comenzando de derecha a izquierda, como se muestra en el siguiente ejemplo. Ejemplo 2.15 Escribir (111101000111111)2 en notación hexadecimal. Solución { 1111 { 0011 { 1010 { 0111 7 A 3 F Por lo tanto (111101000111111)2 = (7A3F)16 El simulador CAMBIO DE BASE permite realizar cambios de base, así como hacer operaciones básicas de suma, resta, multiplicación y división de números en una base seleccionada. MATEMÁTICAS DISCRETAS – RAMÓN ESPINOSA ARMENTA capitulo 2.indd 67 ALFAOMEGA 12/30/09 12:34:44 PM 68 II. TEORÍA DE NÚMEROS 2.5 Máximo común divisor El máximo común divisor de dos enteros a y b, no ambos cero, es el mayor entero que divide tanto a a como a b. Para denotar el máximo común divisor de a y b se utiliza la notación mcd(a, b). Teorema 2.7 Sean a y b dos enteros positivos, y sea d la combinación lineal positiva mínima de a y b. Entonces d = mcd(a, b). Demostración Sea d = ax + by la combinación lineal positiva mínima de a y b. Por el algoritmo de la división: a = dq + r con 0≤r<d Por lo tanto Euclides (330-275 a.C) r = a − dq = a − (ax + by)q = (1 − xq)a + (−qy)b a fama de Euclides se debe a su monumental obra Elementos que consta de 13 libros que contienen los fundamentos y todo el saber matemático hasta ese tiempo. Aparte de su contenido, la estructura lógica de esta obra ha influido en el pensamiento matemático y científico más que ninguna otra. Específicamente el contenido de los Elementos es el siguiente: libros 1 a 4, geometría plana; libros 5 a 10, razones y proporciones; libros 11 a 13, geometría de sólidos. En relación con la teoría de números, en el libro 7 se tratan los temas de divisibilidad, números primos, algoritmo de Euclides, máximo común divisor y mínimo común múltiplo, además de que las proposiciones 30 y 32 juntas son esencialmente equivalentes al teorema fundamental de la aritmética; en el libro 8 se presenta el tema de las proporciones en teoría de números; finalmente en el libro 9 se demuestra la existencia de infinidad de números primos (proposición 20) y se plantea la construcción de los números perfectos pares (proposición 36). De aquí que r es una combinación lineal de a y b. No puede ser que 0 < r, ya que r < d, por lo tanto r = 0 con lo cual se concluye que d divide a a. En forma análoga se puede ver que d divide a b, por lo tanto d es un divisor común de a y b. Supóngase ahora que c es otro divisor común de a y b. Se observa que c divide a d (pues d es una combinación lineal de a y b), de ahí que c es menor o igual a d. L ALFAOMEGA capitulo 2.indd 68 El siguiente teorema describe un procedimiento para determinar el máximo común divisor de dos enteros positivos. Teorema 2.8 (Algoritmo de Euclides). Sean a y b dos enteros positivos tales que a ≥ b. Se definen r0 = a y r1 = b, y aplicando repetidamente el algoritmo de la división se obtiene r0 = r1q1 + r2 r1 = r2q2 + r3 . . . . rn−2 = rn−1qn−1 + rn rn−1 = rnqn + rn+1 0 < r2 < r1 0 < r3 < r2 . . 0 < rn < rn−1 0 = rn+1 Entonces mcd(a, b) = rn, esto es, el último residuo es distinto de cero. MATEMÁTICAS DISCRETAS – RAMÓN ESPINOSA ARMENTA 12/30/09 12:34:45 PM 2.5 Demostración Primero se demuestra que mcd(rj, rj+1) = mcd(rj+1, rj+2) para toda j = 0, 1, …, n − 1. Sea c un divisor común de rj y rj + 1. Como rj = rj+1qj+1 + rj+2 se sigue que rj+2 = rj − rj+1qj+1, y de aquí que c divide a rj+2. Por lo tanto c es un divisor común de rj+1 y rj+2. Análogamente, todo divisor común de rj+1 y rj+2 es un divisor común de rj y rj+1, con lo cual se concluye que mcd(rj, rj+1) = mcd(rj+1, rj+2). Por lo tanto mcd(a, b) = mcd(r0, r1) = mcd(r1, r2) = … = mcd(rn, 0) = rn. Ejemplo 2.16 y 78. Solución 69 MÁXIMO COMÚN DIVISOR Determinar el máximo común divisor de 126 Aplicando el algoritmo de Euclides se obtiene que 126 = 78(1) + 48 78 = 48(1) + 30 48 = 30(1) + 18 30 = 18(1) + 12 18 = 12(1) + 6 12 = 6(2) Por lo tanto mcd(126, 78) = 6. Máximo común divisor El algoritmo de Euclides y el concepto de máximo común divisor, deÀnidos para elementos del conjunto de los números enteros, también se deÀnen para elementos del conjunto de los polinomios (véase la sección 5.5 Máximo común divisor). Por otro lado, en términos más generales el mcd se puede deÀnir para elementos de un anillo conmutativo arbitrario (véase la sección 4.4 Anillos y campos). En este contexto si R es un anillo conmutativo y p y q son elementos de R entonces un elemento d de R es llamado divisor común de p y q si divide a ambos. Si d es un divisor común de p y q, y cualquier divisor común de p y q divide a d entonces d es llamado un mcd de p y q. Hay que observar que con esta deÀnición dos elementos p y q pueden tener varios mcd o ninguno. Sin embargo, si R es un dominio entero entonces cualesquiera dos mcd de p y q deben ser elementos asociados. Si R es un dominio de factorización única entonces cualesquiera dos elementos de R tienen un mcd. Si R es un dominio euclidiano entonces se puede usar una forma del algoritmo de Euclides para calcular los mcd. El algoritmo de Euclides también puede utilizarse para expresar el máximo común divisor de dos números como combinación lineal de ellos, como se muestra en el siguiente ejemplo. Ejemplo 2.17 Expresar el máximo común divisor de 126 y 78 como combinación lineal de dichos números. Solución A partir del ejemplo anterior se tiene que 48 = 126 − 78 30 = 78 − 48 = 78 − (126 − 78) = −126 + 2(78) 18 = 48 − 30 = (126 − 78) − (−126 + 2(78)) = 2(126) − 3(78) 12 = 30 − 18 = (−126 + 2(78)) − (2(126) − 3(78)) = −3(126) + 5(78) 6 = 18 − 12 = (2(126) − 3(78) − (−3(126) + 5(78)) Por lo tanto mcd(126, 78) = 5(126) − 8(78). MATEMÁTICAS DISCRETAS – RAMÓN ESPINOSA ARMENTA capitulo 2.indd 69 ALFAOMEGA 12/30/09 12:34:46 PM 70 II. TEORÍA DE NÚMEROS Ejemplo 2.18 Mostrar que mcd(5n + 3, 3n + 2) = 1, para cualquier número natural n. Solución Aplicando el algoritmo de Euclides se tiene que 5n + 3 = (3n + 2)(1) + (2n + 1) 3n + 2 = (2n + 1)(1) + (n + 1) 2n + 1 = (n + 1)(1) + n n + 1 = n(1) + 1 n = 1(n) Por lo tanto el mcd(5n + 3, 3n + 2) = 1. Diofanto E (200-284) n su obra Arithmetica (que constaba de 13 libros de los cuales sólo se conservan 6), Diofanto expone las llamadas ecuaciones diofantinas; ejemplos de éstas son las siguientes: • ax + by = 1 (ecuación lineal diofantina) • xn + yn = zn (para n = 2 se tiene el teorema de Pitágoras y para n > 2 el último teorema de Fermat) • x2 − ny2 = ±1 (ecuación de Pell) 4 1 1 1 = + + • n x y z (la conjetura de Erdös-Straus establece que para todo entero positivo n ≥ 2 existe una solución con x, y, z todos enteros positivos) Un hecho sencillo y sin embargo trascendente es que en 1637 Fermat escribió en el margen de su copia de Arithmetica lo que se conoce como el último teorema de Fermat, que en términos modernos dice que Si n es un número entero mayor que 2, entonces no existen números enteros a, b y c distintos de 0 tales que cumplan la igualdad an + bn = cn En especial, los esfuerzos por demostrar este teorema estimularon el desarrollo de la teoría de los números algebraicos. ALFAOMEGA capitulo 2.indd 70 Dados dos enteros positivos a y b, el propósito general del simulador MÁXIMO COMÚN DIVISOR es determinar el mcd de éstos utilizando el algoritmo de Euclides expuesto en esta sección. Teorema 2.9 a | c. Sean a, b y c tres enteros. Si mcd(a, b) = 1 y a | bc, entonces Demostración Si mcd(a, b) = 1 entonces existen x, y enteros, tales que ax + by = 1 de aquí que a(xc) + (bc)y = c Es decir, c es combinación lineal de a y bc. Como a | a y a | bc se sigue que a | c. Dos enteros a y b se dice que son primos relativos si mcd(a, b) = 1. El resultado anterior es falso si a y b no son primos relativos, por ejemplo, 6 divide a 2(9) pero no a 2, y 6 no divide a 9. En el siglo III d. C., el matemático griego Diofanto consideró el problema de obtener soluciones enteras de ecuaciones con coeficientes enteros. Este tipo de ecuaciones son conocidas en la actualidad como ecuaciones diofantinas. El siguiente teorema establece una condición necesaria y suficiente para que una ecuación lineal diofantina en dos variables tenga solución. MATEMÁTICAS DISCRETAS – RAMÓN ESPINOSA ARMENTA 12/30/09 12:34:47 PM 2.5 MÁXIMO COMÚN DIVISOR 71 Teorema 2.10 Sean a y b dos enteros no ambos cero, y sea d = mcd(a, b). Entonces la ecuación ax + by = c tiene soluciones enteras si y sólo si d | c. Además si d | c y x = x0, y = y0 es una solución particular de la ecuación, entonces todas las soluciones están dadas por x = x0 + (b/d )n y = y0 − (a/d )n donde n es cualquier número entero. Demostración Sean x, y dos enteros tales que ax + by = c. Como d | a y d | b, se sigue que d | c. Por lo tanto, para que la ecuación tenga soluciones enteras es necesario que d divida a c. Supóngase ahora que d | c, es decir, c = dq para algún entero q. Como d = mcd(a, b), se sigue del teorema 2.7 que existen enteros s, t tales que d = as + bt, de aquí que c = dq = asq + btq, por lo tanto x0 = sq y y0 = tq es una solución particular de la ecuación. Sean x = x0 + (b/d)n, y = y0 − (a/d)n, donde n es un número entero. Por lo tanto ax + by = ax0 + a(b/d)n + by0 − b(a/d)n = ax0 + by0 = c Ahora se verá que toda solución de la ecuación debe ser de la forma descrita en el teorema. Sean x, y dos enteros tales que ax + by = c. Como también ax0 + by0 = c, se sigue que a(x − x0) + b(y − y0) = 0 y de aquí que (a/d )(x − x0) = (b/d )(y0 − y) Como mcd(a/d, b/d ) = 1 (véase problema 2.29), se sigue de la proposición anterior que (a/d )|(y0 − y) por lo tanto existe un entero n tal que (y0 − y) = n(a/d ), y de aquí se sigue que y = y0 − (a/d )n. Sustituyendo en la ecuación se tiene que (a/d )(x − x0) = (b/d )n(a/d ) Por lo tanto (x − x0) = (b/d )n, es decir, x = x0 + (b/d )n. Ejemplo 2.19 Resolver la ecuación lineal diofantina 765x + 189y = 99 MATEMÁTICAS DISCRETAS – RAMÓN ESPINOSA ARMENTA capitulo 2.indd 71 ALFAOMEGA 12/30/09 12:34:48 PM 72 II. TEORÍA DE NÚMEROS Solución Euclides: Para determinar mcd(765, 189) se utiliza el algoritmo de 765 = 189(4) + 9 189 = 9(21) + 0 Por lo tanto d = mcd(765, 189) = 9. Como d | 99, la ecuación tiene solución. Además, como 765 − 4(189) = 9 se tiene que 765(11) + 189(−44) = 99, de modo que x0 = 11, y0 = −44 es una solución particular. Además, por el teorema anterior, todas las soluciones de la ecuación son de la forma: x = 11 + 21n Hilbert y la teoría de números En general, una ecuación diofantina es una ecuación de la forma D(x1, …, xn) E l matemático alemán David Hilbert (1862-1943) es considerado uno de los matemáticos más importantes de todos los tiempos debido al descubrimiento y desarrollo de muchas ideas fundamentales en varias áreas de la matemática, en particular formuló la teoría de los espacios de Hilbert (uno de los fundamentos del análisis funcional), aceptó y defendió con vehemencia la teoría de conjuntos y los números transfinitos de George Cantor, y en el congreso de matemáticos de 1900 presentó una colección de problemas que definió el curso de la mayor parte de la investigación matemática del siglo XX. En la teoría de números Hilbert unificó el campo de la teoría de números algebraicos con su tratado Zahlbericht de 1897 y resolvió el llamado problema de Waring. “Problema de Waring. Determinar si para un entero positivo k, existe un entero s (que dependa sólo de k) tal que la ecuación n = x 1k + x 2k + … + x sk tenga soluciones para cada n ≥ 1. El problema se conoce con el nombre del matemático inglés E. Waring que estableció en 1770 (sin demostración y con limitada evidencia numérica) que cada n es la suma de 4 cuadrados, de 9 cubos, de 19 cuartas potencias, etcétera”4. donde D es un polinomio con coeficientes enteros. En 1900 el matemático alemán David Hilbert presentó una lista de 23 problemas que consideraba cruciales para el desarrollo de las matemáticas del siglo XX, en particular el problema 10 consistía en diseñar un método para determinar en un número finito de pasos si una ecuación diofantina tiene soluciones enteras o no. Finalmente, en 1970 se demostró que tal método no existe. En la lectura adicional LOS PROBLEMAS DE HILBERT se describen algunos de los problemas propuestos por este célebre matemático en el Segundo Congreso Internacional de Matemáticos. Por otro lado, es posible extender la definición de máximo común divisor de la siguiente manera: si {a1, a2, …, an} es un conjunto de enteros, donde n ≥ 3, entonces el máximo común divisor de a1, a2, …, an se define como mcd(a1, a2, …, an) = mcd(a1, mcd(a1, a2, …, an)) Por ejemplo: mcd(6, 4, 12) = mcd(6, mcd(4, 12)) = mcd(6, 4) = 2 4 ALFAOMEGA capitulo 2.indd 72 y = −44 − 85n Tom M. Apostol; Introduction to analytic number theory; Springer Verlag, New York 1976; p. 306. MATEMÁTICAS DISCRETAS – RAMÓN ESPINOSA ARMENTA 12/30/09 12:34:49 PM 2.6 2.6 TEOREMA FUNDAMENTAL DE LA ARITMÉTICA 73 Teorema fundamental de la aritmética En esta sección se expone el teorema fundamental de la aritmética, que establece que cualquier entero mayor que uno se puede factorizar como producto de números primos. Antes de probar este teorema se requiere el siguiente resultado preliminar. Lema 2.2 Si a1, a2, …, an son enteros, p es primo y p | (a1a2 … an), entonces p | aj para algún j ∈ {1, 2, …, n}. Demostración términos n. La demostración se hace por inducción sobre el número de Si n = 1 el resultado se sigue trivialmente. Supóngase ahora que el resultado es cierto para n = k. Sean a1, …, ak+1 enteros, p primo y supóngase también que p | (a1a2 … ak)(ak+1). Si p | ak+1, entonces ya acabamos. En otro caso mcd(p, ak+1) = 1, de ahí que, por el teorema 2.9 se tenga que p | (a1a2 … ak), por lo que aplicando la hipótesis de inducción podemos concluir que p | aj para algún j ∈ {1, 2, …, k}. Teorema 2.11 (Teorema fundamental de la aritmética). Para todo entero n mayor o igual a dos, existen primos p1, p2, …, ps (no necesariamente distintos), tales que n = p1p2 … ps Además esta factorización es única, excepto por el orden en que aparecen los factores primos. Demostración Para demostrar la existencia de una factorización prima para cada entero n mayor o igual a dos, se utiliza el segundo principio de inducción matemática. La base de la inducción es n = 2, y para este número el resultado se sigue trivialmente ya que 2 es primo (en este caso hay un solo factor). Teorema fundamental de la aritmética Euclides prácticamente demostró este teorema en el libro 7 de los Elementos (proposiciones 30 y 32), sin embargo la primer demostración completa y correcta se encuentra en la obra Disquisitiones Arithmeticae de Carl Friedrich Gauss. Hay que observar que este teorema no se cumple en sistemas numéricos más generales, en particular en muchos anillos de enteros algebraicos (véase la sección 4.4 Anillos y campos). Este importante hecho fue destacado por primera vez por Ernst Kummer en 1843 en su investigación acerca del último teorema de Fermat. EspecíÀcamente este planteamiento es uno de los primeros desarrollos en teoría de números algebraicos. Por otro lado, este teorema se generaliza en varios sentidos, por ejemplo en el contexto de la teoría de anillos. Un anillo se dice que es un dominio de factorización única si en él se cumple el teorema fundamental de la aritmética, por ejemplo cualquier dominio euclidiano es necesariamente un dominio de factorización única. Supóngase ahora que el resultado es cierto para cualquier número menor que n. Si n es primo entonces ya no hay más que demostrar, en otro caso se puede escribir n = ab 1<a≤b<n con Como a y b son menores que n, se sigue, por hipótesis de inducción, que cada uno de ellos debe ser producto de primos y de aquí que n mismo se puede escribir como producto de primos, lo cual concluye la prueba de existencia. Para demostrar que la factorización es única, supóngase que existen enteros positivos que tienen más de una factorización prima. Por el principio del buen orden, existe el mínimo entero n que tiene al menos dos factorizaciones en primos, es decir, n = p1p2 … ps y n = q1q2 … qt MATEMÁTICAS DISCRETAS – RAMÓN ESPINOSA ARMENTA capitulo 2.indd 73 ALFAOMEGA 12/30/09 12:34:50 PM 74 II. TEORÍA DE NÚMEROS donde p1, p2 , …, ps, q1, q2, …, qt son primos. Reenumerando los términos de ser necesario, también se puede suponer que p1 ≤ … ≤ ps y q1 ≤ … ≤ qt. Observando que p1(p2 … ps) = q1q2 … qt es decir, que p1 | (q1q2 … qt). Si p1 < q1 entonces p1 < qj para toda j = 1, …, t, y de aquí que p1 no pueda dividir a ningún qj, lo cual contradice el lema anterior. Análogamente se puede probar que no es posible que q1 < p1, por lo tanto p1 = q1. Cancelando términos en la ecuación anterior se concluye que p2 … ps = q2 … qt. Como el número m = p2 … ps = q2 … qt es menor que n, se sigue que estas dos factorizaciones deben ser iguales, es decir, s = t y pj = qj para toda j. En la representación de n como producto de primos, los factores no son necesariamente distintos, por lo que se puede escribir n = p1n1 p2n2 psns donde p1, p2, …, ps, son primos y n1, n2, …, ns, son enteros positivos. Ejemplo 2.20 Obtener la factorización de 7! como producto de primos. Solución 7! = 765432 = 72352232 = 2432 57 Con el simulador FACTORIZACIÓN ÚNICA desarrollado con MATLAB se puede obtener la factorización única de los números compuestos entre dos enteros arbitrarios en el intervalo (1, 225). Por otro lado, con los programas FACTORES y CRITERIO respectivamente se puede obtener la factorización única o la determinación de la no primalidad de los números compuestos entre dos enteros arbitrarios en el intervalo (1, 1017). Si n = p1 1 p2 2 ps s , donde p1, p2, …, ps son primos, entonces todo divisor positivo a a a de n debe ser de la forma a = p1 1 p2 2 ps s donde 0 ≤ aj ≤ nj, para toda j = 1, 2, …, s. n ALFAOMEGA capitulo 2.indd 74 n n MATEMÁTICAS DISCRETAS – RAMÓN ESPINOSA ARMENTA 12/30/09 12:34:51 PM 2.6 TEOREMA FUNDAMENTAL DE LA ARITMÉTICA 75 Ejemplo 2.21 Sean a = 23352112 y b = 232572. Determinar el máximo común divisor de a y b. Solución mcd(a, b) = 235. Un entero no negativo n se dice que es un cuadrado perfecto si n = a2 para algún entero a. Ejemplo 2.22 Determinar el mayor cuadrado perfecto que divide a 7! Solución A partir del ejemplo 2.20 se tiene que 7! = 243257, por lo que el mayor cuadrado perfecto que divide a 7! es 2432. El mínimo común múltiplo de dos enteros positivos a y b es el mínimo entero positivo que es divisible tanto por a como por b, y se denota como mcm(a, b). Ejemplo 2.23 Sean a = 23352112 y b = 232572. Determinar el mínimo común múltiplo de a y b. Solución mcm(a, b) = 23325272112. Teorema 2.12 Sean a y b dos enteros positivos, entonces mcd(a, b)mcm(a, b) = ab. Demostración Por el teorema fundamental de la aritmética se puede escribir a = p1a1 p2a2 psas y b = p1b1 p2b2 psbs MATEMÁTICAS DISCRETAS – RAMÓN ESPINOSA ARMENTA capitulo 2.indd 75 ALFAOMEGA 12/30/09 12:34:52 PM 76 II. TEORÍA DE NÚMEROS donde p1, p2,…, ps son primos distintos, y 0 ≤ aj, 0 ≤ bj para toda j = 1,…, n. Entonces mcd (a, b ) = p1m1 p2m2 psms y mcm(a, b ) = p1M1 p2M 2 psM s donde mj = mínimo {aj, bj} y Mj = máximo {aj, bj} con j = 1, …, n. Por lo tanto mcd (a, b)mcm(a, b) = p1m1 p2m2 psms p1M1 p2M 2 psM s = p1m1 + M1 p2m2 + M 2 psms + M s = p1a1 + b1 p2a2 + b2 psas + bs = p1a1 p2a2 psas p1b1 p2b2 psbs = ab. 2.7 Congruencias En 1801 el matemático alemán Carl Gauss introdujo la noción de congruencia, la cual permitió obtener fácilmente resultados relacionados con la divisibilidad. D e origen alemán, Carl Friedrich Gauss es considerado “el príncipe de las matemáticas” así como “el matemático más grande desde la antigüedad”. Además de ser un niño prodigio, Gauss hizo importantes contribuciones en las áreas de la teoría de números, la estadística, el análisis, la geometría diferencial, la geodesia, la geofísica, la electrostática, la astronomía y la óptica. En relación con la teoría de números, en 1798 terminó de escribir Disquisitiones Arithmeticae que consolidó y definió las líneas de desarrollo modernas de esta área. En términos generales, en esta obra Gauss reúne y organiza los resultados de la teoría de números obtenidos por Fermat, Euler, Lagrange y Legendre, presenta la demostración del teorema fundamental de la aritmética, hace una clara exposición de la aritmética modular y expone la primer demostración de la ley de reciprocidad cuadrática la cual establece las condiciones para la solución de ecuaciones cuadráticas módulo números primos. En particular siguiendo esta línea de investigación, en un Continúa... ALFAOMEGA capitulo 2.indd 76 Sea m un entero positivo. Si a y b son enteros, se dice que a es congruente con b módulo m, si m | (b − a). En este caso se escribe Gauss y la teoría de números a ≡ b (mód m) Por ejemplo, 3 ≡ 13 (mód 5) porque 13 − 3 = 5(2). Considerando que m es un entero positivo arbitrario pero fijo, a continuación se demuestran algunas propiedades de las congruencias. Teorema 2.13 Si a, b y c son enteros, entonces (i) a ≡ a (mód m) (ii) si a ≡ b (mód m) entonces b ≡ a (mód m); (iii) si a ≡ b (mód m) y b ≡ c (mód m) entonces a ≡ c (mód m) Demostración (i) Como (a − a) = m0, se sigue que a ≡ a (mód m). (ii) Si a ≡ b (mód m) entonces (b − a) = mq para algún entero q, y por lo tanto (a − b) = m(−q), de aquí que b ≡ a (mód m). (iii) Si a ≡ b (mód m) y b ≡ c (mód m) entonces existen enteros q1 y q2 tales que (b − a) = mq1 y (c − b) = mq2, de aquí que (c − a) = m(q1 + q2) y por lo tanto a ≡ c (mód m). MATEMÁTICAS DISCRETAS – RAMÓN ESPINOSA ARMENTA 12/30/09 12:34:53 PM 2.7 CONGRUENCIAS El siguiente resultado muestra que las congruencias son compatibles con las operaciones de suma y multiplicación en . Teorema 2.14 Si a, b y c son enteros y a ≡ b (mód m), entonces (i) (a + c) ≡ (b + c) (mód m) (ii) ac ≡ c (mód m). Demostración (b − a) = mq. 77 Continuación... trabajo de 1832 acerca de reciprocidad cuártica Gauss introdujo el anillo de los enteros gaussianos (véase la sección 4.4 Anillos y campos) los cuales son números complejos (véase la sección 4.5 Números complejos) cuyas partes real e imaginaria son enteros. Cabe destacar que los enteros gaussianos junto con la adición y multiplicación de números complejos forman un dominio de factorización única con unidades {1, −1, i, −i}. Por hipótesis se tiene que existe un entero q, tal que (i) (b + c) − (a + c) = (b − a) = mq, por lo tanto (a + c) ≡ (b + c) (mód m). (ii) bc − ac = c (b − a) = m(cq), es decir, ac ≡ bc (mód m). En general es falso que una congruencia se preserve al dividir ambos lados por un entero, por ejemplo, 9 ≡ 15 (mód 6), pero 3 no es congruente con 5 módulo 6. Sin embargo, el siguiente resultado proporciona una condición suficiente para que una congruencia se preserve al dividir entre un entero. Teorema 2.15 Si ac ≡ bc (mód m) y d = mcd(c, m), entonces a ≡ b (mód m/d). Demostración Se tiene que ac ≡ bc (mód m) implica que mq = cb − ca = c(b − a) para algún entero q, de aquí que, dividiendo entre d = mcd(c, m) se tiene que (m/d)q = (c/d)(b − a) es decir, (m/d) | (c/d)(b − a). Como mcd(m/d, c/d) = 1, se sigue del teorema 2.5 que (m/d) | (b − a) y por lo tanto a ≡ b (mód m/d). Corolario 2.1 Si ac ≡ bc (mód m) y mcd(c, m) = 1, entonces a ≡ b (mód m). El siguiente resultado muestra que se pueden sumar o multiplicar congruencias. Teorema 2.16 Si a ≡ b (mód m) y c ≡ d (mód m), entonces (i) (a + c) ≡ (b + d) (mód m); (ii) ac ≡ bd (mód m). MATEMÁTICAS DISCRETAS – RAMÓN ESPINOSA ARMENTA capitulo 2.indd 77 ALFAOMEGA 12/30/09 12:34:54 PM 78 II. TEORÍA DE NÚMEROS Por hipótesis existen enteros q1 y q2, tales que Demostración (b − a) = mq1 y (d − c) = mq2 (i) (b + d) − (a + c) = (b − a) + (d − c) = mq1 + mq2 = m(q1 + q2) y por lo tanto (a + c) ≡ (b + d) (mód m). (ii) bd − ac = bd − bc + bc − ac = b(d − c) + c(b − a) = bmq2 + cmq1 = m(bq2 + cq1) de aquí que ac ≡ bd (mód m). Teorema 2.17 Si a ≡ b (mód m) entonces an ≡ bn (mód m) para cualquier entero positivo n. Si n = 1, el resultado es cierto por hipótesis. Demostración Supóngase que la afirmación es cierta para n, es decir, an ≡ bn (mód m), como también a ≡ b (mód m), entonces se sigue del teorema anterior que ana ≡ bnb (mód m) y de aquí que an+1 ≡ bn+1 (mód m). En el siguiente ejemplo se muestra cómo calcular el residuo al dividir un número de la forma M n, con n grande, entre un entero positivo m. Ejemplo 2.24 Solución Determinar el residuo al dividir 1353 entre 7. Se tiene que 53 = (110101)2, es decir, 53 = 25 + 24 + 22 + 1 De aquí se sigue que 1353 = 1332 1316 134 13 Ahora bien 13 ≡ 6 (mód 7) 13 ≡ 6 ≡ 1 (mód 7) 13 ≡ 1 ≡ 1 (mód 7) 13 ≡ 1 ≡ 1 (mód 7) 1316 ≡ 12 ≡ 1 (mód 7) 13 ≡ 1 ≡ 1 (mód 7) 2 4 8 32 2 2 2 2 Por lo tanto 1353 ≡ 6 (mód 7). ALFAOMEGA capitulo 2.indd 78 MATEMÁTICAS DISCRETAS – RAMÓN ESPINOSA ARMENTA 12/30/09 12:34:55 PM 2.7 CONGRUENCIAS 79 Sea a un entero positivo, que en base diez se escribe como a = an10n + … + a1101 + a0 Considerando que 10 ≡ 1 (mód 9), se sigue del teorema anterior que 10k ≡ 1 (mód 9) y de aquí que ak10k ≡ ak (mód 9) para todo entero no negativo k. Por lo tanto, por el teorema 2.16 resulta que a ≡ (an + … + a1 + a0) (mód 9) Es decir, todo entero positivo es congruente con la suma de sus dígitos módulo nueve. Por ejemplo, 4217 ≡ 14 (mód 9) y 14 ≡ 5 (mód 9), de aquí que 4217 ≡ 5 (mód 9). Esta observación permite establecer un procedimiento para verificar que la suma o el producto de dos enteros es correcta: sumar los dígitos de los números y efectuar la operación sobre la suma de los dígitos. Por ejemplo, 2153 ×314 676042 2 + 1 + 5 + 3 = 11, 3 + 1 + 4 = 8, 6 + 7 + 6 + 0 + 4 + 2 = 25, 2 + 5 = 7, 2 ×8 16 1 + 6 =7 Si el producto de la suma de los dígitos no es igual al producto de la suma de los dígitos de la respuesta, entonces el resultado de la multiplicación no será correcto. En el siguiente teorema se plantean varios resultados de divisibilidad. Teorema 2.18 Si a = an10n + … + a1101 + a0 entonces (i) a es divisible entre 9, si y sólo si an + … + a1 + a0 es divisible entre 9. (ii) a es divisible entre 3, si y sólo si an + … + a1 + a0 es divisible entre 3. (iii) a es divisible entre 2, si y sólo si a0 es divisible entre 2. (iv) a es divisible entre 5, si y sólo si a0 = 0 o a0 = 5. (v) a es divisible entre 11, si y sólo si a0 − a1 + … + (−1)n an es divisible entre 11. Demostración (i) Se sigue del hecho de que a ≡ (an + … + a1 + a0) (mód 9). MATEMÁTICAS DISCRETAS – RAMÓN ESPINOSA ARMENTA capitulo 2.indd 79 ALFAOMEGA 12/30/09 12:34:55 PM 80 II. TEORÍA DE NÚMEROS (ii) Como 10 ≡ 1 (mód 3), se sigue que 10k ≡ 1 (mód 3) para todo entero no negativo k, de aquí que a ≡ (an + … + a1 + a0) (mód 3). (iii) Como 10 ≡ 0 (mód 2), se sigue que 10k ≡ 0 (mód 2) para todo entero positivo k, por lo tanto a ≡ a0 (mód 2). (iv) Como 10 ≡ 0 (mód 5), se sigue que 10k ≡ 0 (mód 5) para todo entero positivo k, de aquí que a ≡ a0 (mód 5). Además a0 ≡ 0 (mód 5), si y sólo si a0 = 0 o a0 = 5. (v) Como 10 ≡ −1 (mód 11) se sigue que 10k ≡ (−1)k (mód 11), por lo tanto a ≡ (a0 − a1 + … + (−1)nan) (mód 11). Una congruencia lineal en una variable es una congruencia de la forma: ax ≡ b (mód m) donde x es una incógnita entera. Lema 2.3 Sean a y b dos enteros y m un entero positivo. Si mcd(a, m) = 1 entonces la congruencia lineal ax ≡ b (mód m) tiene solución. Además, si x0 es una solución particular, entonces todas las soluciones están dadas por x = x0 + mn, donde n es un entero arbitrario. Demostración Se tiene que ax ≡ b (mód m) si y sólo si b − ax = my para algún entero y. Esta ecuación es equivalente a la ecuación lineal diofantina ax + my = b la cual por el teorema 2.10 tiene solución, ya que mcd(a, m) = 1. Además, por el mismo teorema, las soluciones son de la forma x = x0 + mn, y = y0 − an, donde x = x0, y = y0 es una solución particular y n es cualquier número entero. Los valores x = x0 + mn son las soluciones de la congruencia lineal. ALFAOMEGA capitulo 2.indd 80 MATEMÁTICAS DISCRETAS – RAMÓN ESPINOSA ARMENTA 12/30/09 12:34:56 PM 2.7 Ejemplo 2.25 CONGRUENCIAS Resolver la congruencia lineal 2x ≡ 1 (mód 7). Solución Como mcd(2, 7) = 1, se sigue que la congruencia tiene solución. Una solución particular es x0 = −3. Además cualquier otra solución es de la forma x = −3 + 7n, para algún entero n. Ejemplo 2.26 Resolver el sistema de congruencias lineales: x ≡ 1 (mód 3) x ≡ 3 (mód 5) Solución Para resolver este sistema se observa primero que 4 es una solución particular de la primera congruencia, además por el lema anterior toda solución de la primera congruencia lineal es de la forma x = 4 + 3k donde k es un entero arbitrario. Sustituyendo en la segunda congruencia lineal se obtiene que (4 + 3k) ≡ 3 (mód 5) 81 Anillo de las clases de congruencia El concepto de congruencia es fundamental en la teoría de números y es clave en teoría de grupos, teoría de anillos, criptografía, ciencias de la computación, etcétera. Un ejemplo del tipo de resultados relacionados con la congruencia desde el punto de vista del álgebra abstracta, es la estructura algebraica particular que se describe a continuación. La congruencia módulo n es una relación de equivalencia (véase la sección 3.6 Relaciones binarias) y la clase de equivalencia del entero a, denotada como an, es el conjunto {…, a − 2n, a − n, a, a + n, a + 2n, …} Este conjunto, formado por los enteros congruentes con a módulo n, se conoce como la clase de congruencia o clase de residuo de a módulo n. El conjunto de las clases de congruencia módulo n se denota como /n y se deÀne como /n = {an|a ∈ }. En particular cuando n = 0, /n no tiene elementos cero. y de aquí que 3k ≡ −1 (mód 5) Una solución particular de la segunda congruencia es 3 y cualquier otra solución es de la forma k = 3 + 5n, donde n es cualquier entero. Por lo tanto las soluciones del sistema de congruencias lineales son de la forma x = 4 + 3(3 + 5n) = 13 + 15n. Por otro lado, en /n se pueden deÀnir la adición, la substracción y la multiplicación mediante las siguientes reglas: an + bn = (a + b)n an − bn = (a − b)n anbn = (ab)n. Ejemplo 2.27 En el siglo III d. C., el matemático chino Sun Zi escribió el libro Sun Tzu Suang Ching (Manual de Matemáticas del Maestro Sun), en donde se presentan diversos problemas matemáticos. En particular el problema 26 dice lo siguiente: Bajo estas condiciones /n resulta ser un anillo conmutativo (véase la sección 4.4 Anillos y campos): el anillo de las clases de congruencia. Tenemos un número de cosas, pero no se sabe cuántas son exactamente. Si las dividimos entre 3 nos sobran 2. Si las dividimos entre 5 nos sobran 3. Si las dividimos entre 7 nos sobran 2. ¿Cuántas cosas tenemos? MATEMÁTICAS DISCRETAS – RAMÓN ESPINOSA ARMENTA capitulo 2.indd 81 ALFAOMEGA 12/30/09 12:34:57 PM 82 II. TEORÍA DE NÚMEROS En notación moderna, el problema del Maestro Sun consiste en resolver el sistema de congruencias: x ≡ 2 (mód 3) x ≡ 3 (mód 5) x ≡ 2 (mód 7) Una solución particular de la primera congruencia es 5, además de cualquier otra de la forma x = 5 + 3k. Sustituyendo en la segunda congruencia se obtiene que 5 + 3k ≡ 3 (mód 5) o equivalentemente 3k ≡ −2 (mód 5) Una solución particular de esta congruencia es 1, además de cualquier otra solución de la forma k = 1 + 5t. Sustituyendo en la tercera congruencia se obtiene que 8 + 15t ≡ 2 (mód 7) o equivalentemente 15t ≡ −6 (mód 7) Una solución particular de esta congruencia es 1 y cualquier otra solución de la forma t = 1 + 7n. Por lo tanto x = 8 + 15(1 + 7n) = 23 + 105n. En los ejemplos anteriores cualesquiera dos módulos eran primos relativos. Como se verá, ésta es una condición suficiente para que un sistema de congruencias lineales con coeficientes unitarios tenga solución, además de que cualesquiera dos soluciones son congruentes módulo el producto de los módulos. Sin embargo, primero se requiere demostrar el siguiente lema. Lema 2.4 Si m1, m2, ..., mr son enteros, y b es otro entero tal que mcd(mi, b) = 1 para toda i = 1, 2, …, r entonces mcd(m1m2 … mr, b) = 1. ALFAOMEGA capitulo 2.indd 82 MATEMÁTICAS DISCRETAS – RAMÓN ESPINOSA ARMENTA 12/30/09 12:34:57 PM 2.7 CONGRUENCIAS 83 Demostración Sea b un entero arbitrario, pero fijo. La demostración se hace por inducción sobre el número de términos r. Para r = 1 el resultado se cumple trivialmente. Supóngase ahora que el resultado es verdadero para r, y sean m1, m2, …, mr, mr+1, enteros tales que mcd(mi, b) = 1 para toda i = 1, …, r, r + 1. Por hipótesis de inducción se tiene que mcd(m1m2 … mr, b) = 1, por lo tanto existen dos enteros λ1 y λ2 tales que λ1(m1m2 … mr) + λ2b = 1 Por otra parte, como mcd(mr+1, b) = 1 entonces existen enteros μ1 y μ2 tales que μ1mr+1 + μ2b = 1 Multiplicando las dos ecuaciones anteriores se obtiene que (λ1(m1m2 … mr) + λ2b)(μ1mr+1 + μ2b) = 1 De aquí resulta que μ1λ1(m1m2 … mr mr+1) + (μ1mr+1λ2 + λ1(m1m2 … mr)μ2 + λ2 μ2b)b = 1 y, por lo tanto, mcd(m1m2 … mrmr+1, b) = 1. Teorema 2.19 (Teorema chino del residuo). Sean m1, m2, …, mr enteros positivos tales que mcd(mi, mj) = 1 para toda i ≠ j. Entonces el sistema de congruencias lineales x ≡ b1 (mód m1) x ≡ b2 (mód m2) : x ≡ br (mód m1) tiene solución única módulo M = m1m2 … mr. Demostración Si r = 1 el resultado se sigue del lema 2.3. Supóngase ahora que el resultado es cierto para sistemas consistentes de r congruencias lineales, y considérese un sistema de r + 1 congruencias lineales. Por hipótesis de inducción, el subsistema formado por las primeras r congruencias tiene una solución particular x̂, además de que cualquier otra solución es de la MATEMÁTICAS DISCRETAS – RAMÓN ESPINOSA ARMENTA capitulo 2.indd 83 ALFAOMEGA 12/30/09 12:34:57 PM 84 II. TEORÍA DE NÚMEROS forma x = x̂ + an donde n es un entero arbitrario y a = m1m2 … mr. Como x también debe satisfacer la última congruencia, se tiene que x̂ + an ≡ br+1 (mód mr+1) y de aquí que an ≡ (bk+1 − x̂) (mód mr+1) Ahora bien, por el lema 2.4 se sabe que mcd(a, mr+1) = 1 por lo que, por el lema 2.3, esta congruencia tiene una solución particular n0, además de que cualquier otra solución es de la forma n = n0 + mr+1k. Por lo tanto x = x̂ + a(n0 + mr+1k) = ( x̂ + an0) + amr+1k De aquí que todas las soluciones del sistema de congruencias son de la forma x = x0 + Mk, donde M = m1m2 … mk+1 y k es un entero arbitrario. 2.8 Aplicación: calendario perpetuo En la antigua Roma el calendario constaba originalmente de diez meses: • Martius: en honor a Marte. • Aprilis: dedicado a Venus (Apru en etrusco). • Maius: dedicado a Maya, madre de Mercurio. • Iunius: dedicado a Juno. • Quintilis: el mes quinto. • Sextilis: el mes sexto. • September: el mes séptimo. • October: el mes octavo. • November: el mes noveno. • December: el mes décimo. Estos meses tenían en total 304 días. Para completar el año solar había 61 días de invierno. En el año 713 a. C. el rey Numa Pompilius añadió dos nuevos meses: ALFAOMEGA capitulo 2.indd 84 MATEMÁTICAS DISCRETAS – RAMÓN ESPINOSA ARMENTA 12/30/09 12:34:58 PM 2.8 APLICACIÓN: CALENDARIO PERPETUO • Ianurus: en honor a Jano. • Februarius: dedicado a Februo (Plutón). En esa época los números pares eran considerados de mala suerte, por lo que se trató de que cada mes tuviera un número impar de días: • Martius: 31 días. • Aprilis: 29 días. • Maius: 31 días. • Iunius: 29 días. • Quintilis: 31 días. • Sextilis: 29 días. • September: 29 días. • October: 31 días. • November: 29 días. 85 Aplicaciones de la teoría de números Además de las aplicaciones de la teoría de números a otras áreas de las matemáticas, principalmente se tienen las de la aritmética modular relacionadas con la criptografía y las ciencias de la computación. En criptografía, la aritmética modular es la base sobre la que se construyen los sistemas de clave pública tales como el RSA y el DifÀe-Hellman (véase la sección 4.7 Aplicación: criptografía) además de que es usada en una diversidad de algoritmos de clave simétrica que incluyen el AES, el IDEA y el RC4. En las ciencias de la computación, la aritmética modular con frecuencia se aplica en las operaciones a nivel de bits individuales involucradas en la programación, así como en otras operaciones relacionadas con el manejo de estructuras de datos cíclicos. • December: 29 días. • Ianurus: 29 días. • Februarius: 28 días. Februarius se dividía en dos partes, cada una con un número impar de días: la primera tenía 23 días y la segunda tenía 5 días. Con el fin de ajustar el calendario con el año solar, de vez en cuando se añadía un mes adicional, llamado Mensis Intercalaris (o Mercedonius), entre las dos partes de Febrero. El año resultante tenía 377 o 378 días. A pesar del Mensis Intercalaris, en el calendario romano las estaciones dejaron de coincidir con el tiempo astronómico que les correspondía, por lo que en el año 46 a. C. Julio César ordenó una drástica reforma, ordenando que ese año tuviera 445 días, para compensar los días que había faltado añadir (ese año fue llamado el año de la confusión). A partir de ahí, todos los años fueron de 365 días, excepto los bisiestos cada cuatro años, que tenían 366 días. Además César decretó que el primer mes del año fuera Enero (Ianurus). Para completar los 365 días se añadieron dos días a Ianurus, Sextilis y December, y un día extra a Aprilis, Iunius, September y November, de esta manera los meses adquirieron la cantidad de días que tienen hasta ahora. Después de la muerte de César, el mes Quintilis fue llamado Julio en su honor. Posteriormente el mes Sextilis fue llamado Augustus en honor a Octavio Augusto. En el calendario juliano la longitud promedio del año es de 365.25 (tomando en cuenta el día adicional cada cuatro años). Sin embargo, la longitud real del año MATEMÁTICAS DISCRETAS – RAMÓN ESPINOSA ARMENTA capitulo 2.indd 85 ALFAOMEGA 12/30/09 12:34:58 PM 86 II. TEORÍA DE NÚMEROS solar es de aproximadamente 365.2422 días, por lo que para el año 1582 se habían añadido 10 días innecesariamente. Para remediar esto el papa Gregorio XIII ordenó quitar 10 días a ese año. Con este fin el jueves 4 de octubre de 1582 fue el último día del calendario juliano, y el siguiente día fue el viernes 15 de octubre. También se decidió que los años con un día extra debían ser aquellos que fueran divisibles entre 4 y no fueran divisibles entre 100 o aquellos divisibles entre 400, por ejemplo, el año 2000 fue bisiesto porque es divisible entre 400, pero el año 1900 no fue bisiesto, porque es divisible entre 4 y 100, pero no divisible entre 400. De esta manera la longitud promedio del año en el calendario gregoriano es de 365.2425 días. Permanece un error de 3 días cada 10,000 años, que debe ser tomado en cuenta en el futuro. El calendario gregoriano no fue adoptado por todo el mundo en 1582. Gran Bretaña lo adoptó en 1752 (se tuvieron que quitar 11 días). Japón lo adoptó en 1873, Rusia en 1918 (la revolución de octubre fue en noviembre del calendario gregoriano), Grecia en 1923, Turquía en 1926 y China en 1949. Como dato curioso, Miguel de Cervantes murió el 23 de abril de 1616 y William Shakespeare también, sin embargo no en el mismo día porque Inglaterra todavía no había adoptado el calendario gregoriano. A continuación se presenta un procedimiento para determinar el día de la semana de cualquier fecha a partir del año 1600. Primero se asigna a cada día de la semana un número entre 0 y 6: domingo = 0, lunes =1, martes = 2, miércoles = 3, jueves = 4, viernes = 5 sábado =6 Sea f (m, n) el día de la semana del primer día del mes m del año n. Se observa que si n no es bisiesto, entonces f (3, n) = f (3, n − 1) + 1 (mód 7) porque un año no bisiesto tiene 365 días y 365 ≡ 1 (mód 7). Por otra parte, si n es bisiesto, entonces f (3, n) = f (3, n − 1) + 2 (mód 7) Por lo tanto, f (3, n) = f (3, 1600) + (n − 1600) + B (n) (mód 7) ALFAOMEGA capitulo 2.indd 86 MATEMÁTICAS DISCRETAS – RAMÓN ESPINOSA ARMENTA 12/30/09 12:34:59 PM 2.8 APLICACIÓN: CALENDARIO PERPETUO 87 donde B(n) es el número de años bisiestos que han pasado entre el año 1600 y el año n (no incluido 1600, pero incluido n). Hay que observar que B(n) = ⎣(n − 1600)/4⎦ − ⎣(n − 1600)/100⎦ + ⎣(n − 1600)/400⎦ (mód 7) donde ⎣x⎦ denota el mayor entero menor o igual que x. Ahora bien, como B(2008) = 102 − 4 + 1 = 99 y f (3, 2008) = 6, se tiene que f (3, 1600) = 3, es decir, el primero de marzo de 1600 fue miércoles. De ahí que f (3, n) = 3 + (n − 1600) + B(n) (mód 7) A partir de esta fórmula se puede obtener el día de la semana del primer día de cada mes del año n. Por ejemplo, marzo tiene 31 días, por lo tanto f (4, n) = f (3, n) + 3 (mód 7), porque 31 ≡ 3 (mód 7). Por otra parte, f (5, n) = f (4, n) + 2, porque mayo tiene 30 días y 30 ≡ 2 (mód 7), de ahí que f (5, n) = f (3, n) + 5. En general, f (m, n) = f (3, n) + g(m), donde g(3) = 0 g(4) = 3 g(5) = 5 g(6) = 1 g(7) = 3 g(8) = 6 g(9) = 2 g(10) = 4 g(11) = 0 g(12) = 2 g(1) = 4 g(2) = 0 Sea S(d, m, n) el día de la semana del día d del mes m del año n, entonces S(d, m, n) = f (m, n) + (d − 1) (mód 7) En resumen, se tiene el siguiente procedimiento para determinar el día de la semana de cualquier fecha a partir del primero de marzo de 1600. 1. Calcular t = n − 1600. 2. Calcular B(n) = ⎣t/4⎦ − ⎣t/100⎦ + ⎣t/400⎦. 3. Calcular f (3, n) = 3 + t + B(n) (mód 7). 4. Calcular f (m, n) = f (3, n) + g(m). 5. Calcular S(d, m, n) = f (m, n) + (d − 1) (mód 7). Por ejemplo, para calcular el día de la semana del 20 de julio de 1969 (la llegada del hombre a la Luna), se tiene que 1. t = 1969 − 1600 = 369. 2. B(1969) = ⎣369/4⎦ − ⎣369/100⎦ + ⎣369/400⎦ = 92 − 3 + 0 = 89. 3. f (3, 1969) = 3 + 369 + 89 ≡ 6 (mód 7). 4. f (7, 1969) = 6 + 3 = 9 ≡ 2 (mód 7). 5. S(20, 7, 1969) = f (7, 1969) + (20 − 1) = 28 ≡ 0 (mód 7). MATEMÁTICAS DISCRETAS – RAMÓN ESPINOSA ARMENTA capitulo 2.indd 87 ALFAOMEGA 12/30/09 12:34:59 PM 88 Problemas abiertos de teoría de números II. TEORÍA DE NÚMEROS Por lo tanto el 20 de julio de 1969 fue domingo. En matemáticas se le da el nombre de problema abierto a un problema de investigación aún no resuelto. De acuerdo con el procedimiento descrito en esta sección, el simulador A continuación se listan algunos de los problemas abiertos de la teoría de números: CALENDARIO PERPETUO determina el día de la semana correspondiente a una fecha cualquiera posterior a 1600. • Conjetura de Goldbach: todo número entero par mayor que 2 se puede escribir como la suma de dos números primos. 2.9 • Conjetura de los primos gemelos: existen inÀnidad de números primos p tales que p + 2 también es primo. MATLAB y teoría de números En la lectura adicional • Conjetura de Lenstra-Pomerance-Wagstaff: existen inÀnidad de números de Mersenne. MATLAB Y LA TEORÍA DE NÚMEROS se describe el procedimiento general utilizado en la elaboración de los simuladores desarrollados con MATLAB incluidos en este capítulo, además de que se destacan los aspectos de programación especíÀcos más relevantes de cada simulador en particular. • Un número perfecto es un número natural que es igual a la suma de sus divisores propios positivos distintos de él mismo. ¿Existen números perfectos impares? • ¿Para n > 4 todo número de Fermat n (números de la forma 22 + 1 donde n es un entero no negativo) es compuesto? 2.10 Resumen En este capítulo se presentó una introducción a la teoría de números. Entre otras cosas se analizó la noción de divisibilidad, el algoritmo de la división, los conceptos de número primo y de máximo común divisor, las ecuaciones lineales diofantinas, el teorema fundamental de la aritmética, el concepto de congruencia y el teorema chino del residuo. Por último se vio cómo se puede utilizar la noción de congruencia para diseñar un calendario perpetuo. Durante mucho tiempo se consideró a la teoría de números como algo admirable pero inútil. Sin embargo, como se verá en el capítulo 4, la teoría de números es fundamental en la criptografía moderna. Además de esto, en el siguiente capítulo se verá la noción de relación binaria y el concepto de función, y en particular las relaciones y funciones definidas sobre conjuntos discretos. ALFAOMEGA capitulo 2.indd 88 MATEMÁTICAS DISCRETAS – RAMÓN ESPINOSA ARMENTA 12/30/09 12:35:00 PM 2.11 2.11 PROBLEMAS 89 Problemas Divisibilidad y números primos 2.1 Mostrar que 496 y 8128 son números perfectos. 2.2 Dos números naturales se dice que son amigables cuando la suma de los divisores propios de uno de ellos da el otro número y viceversa. a) Mostrar que 220 y 284 son números amigables. b) Mostrar que 1184 y 1210 son números amigables. 2.3 En cada inciso obtener el cociente y el residuo al dividir a entre b. a) a = 561, b = 103. b) a = −213, b = 57. c) a = 1024, b = 13. 2.4 Utilizar el método de la criba de Eratóstenes para obtener todos los números primos menores o iguales a 300. 2.5 Resolver el problema anterior utilizando el programa NÚMEROS PRIMOS 2.6 Usar el programa NÚMEROS PRIMOS para hacer una gráfica de la distribución de los números primos y a partir de ésta explicar en qué sentido se dice que la distribución de los números primos es altamente irregular. 2.7 ¿Cuáles de los siguientes números son primos y por qué? a) 641 b) 1999 c) 989 d) 2047 2.8 Resolver el problema anterior utilizando el programa NÚMEROS PRIMOS MATEMÁTICAS DISCRETAS – RAMÓN ESPINOSA ARMENTA capitulo 2.indd 89 ALFAOMEGA 12/30/09 12:35:01 PM 90 II. 2.9 TEORÍA DE NÚMEROS Sean a, b, c y d enteros. Demostrar que si ac | bc y c ≠ 0 entonces a | b. 2.10 Sean a, b, c y d enteros. Demostrar que si a | b y c | d entonces ac | bd. 2.11 Utilizar inducción matemática para demostrar que 5 | (7n − 2n), para toda n ∈ . 2.12 Utilizar inducción matemática para demostrar que 7 | (11n − 4n), para toda n ∈ . 2.13 Utilizar inducción matemática para demostrar que 3 | (n3 − 4n + 6), para toda n ∈ . 2.14 Utilizar inducción matemática para demostrar que 16 | (5n − 4n − 1), para toda n ∈ . 2.15 Demostrar que 3 | (a3 − a), para cualquier a ∈ . 2.16 Demostrar que 5 | (a5 − a), para cualquier a ∈ . 2.17 Utilizar inducción matemática para demostrar que 3 | (n3 + 3n2 + 2n), para toda n ∈ . 2.18 Utilizar inducción matemática para demostrar que 4 | (n4 + 2n3 + n2), para toda n ∈ . 2.19 Demostrar que para todo entero n ≥ 3, el residuo al dividir 1! + 2! + 3! + … + n! entre 6 es 3. 2.20 Demostrar que si 2m − 1 es primo, donde m > 1 es un entero, entonces el número n = 2m−1(2m − 1) es perfecto. Cambio de base 2.21 Determinar en cada inciso el número dado en la base indicada. a) 2002 en base 5 ALFAOMEGA capitulo 2.indd 90 b) 1957 en base 2 MATEMÁTICAS DISCRETAS – RAMÓN ESPINOSA ARMENTA 12/30/09 12:35:02 PM 2.11 PROBLEMAS 91 2.22 Resolver el problema anterior utilizando el simulador CAMBIO DE BASE 2.23 Sin convertir a base diez, efectuar en cada inciso las operaciones indicadas a) (10110)2 + (100101)2. b) (110011)2 − (101101)2. 2.24 Resolver el problema anterior utilizando el simulador CAMBIO DE BASE Máximo común divisor 2.25 Utilizar el algoritmo de Euclides para determinar el mcd(105, 90), y expresarlo como combinación lineal de 105 y 90. 2.26 Resolver el problema anterior utilizando el simulador MÁXIMO COMÚN DIVISOR 2.27 Utilizar el algoritmo de Euclides para obtener el mcd(468, 264), y expresarlo como combinación lineal de 468 y 264. MATEMÁTICAS DISCRETAS – RAMÓN ESPINOSA ARMENTA capitulo 2.indd 91 ALFAOMEGA 12/30/09 12:35:03 PM 92 II. TEORÍA DE NÚMEROS 2.28 Resolver el problema anterior utilizando el simulador MÁXIMO COMÚN DIVISOR 2.29 Sea d = mcd(a, b). Demostrar que mcd(a/d, b/d) = 1. 2.30 Obtener las soluciones enteras de la ecuación diofantina: 2x + 3y = 27 2.31 Determinar las soluciones enteras de la ecuación diofantina: 3x + 9y = 17 2.32 Obtener las soluciones enteras de la ecuación diofantina: 7x + 4y = 31 2.33 Obtener las soluciones enteras de la ecuación diofantina: 5x + 3y = 10 2.34 Determinar el máximo común divisor de 140, 370, 444. 2.35 Resolver el problema anterior utilizando el simulador MÁXIMO COMÚN DIVISOR 2.36 Determinar el máximo común divisor de 156, 39, −104, 208. 2.37 Resolver el problema anterior utilizando el simulador MÁXIMO COMÚN DIVISOR ALFAOMEGA capitulo 2.indd 92 MATEMÁTICAS DISCRETAS – RAMÓN ESPINOSA ARMENTA 12/30/09 12:35:04 PM 2.11 PROBLEMAS 93 2.38 Demostrar que mcd(n, n + 1) = 1, para todo n ∈ . 2.39 Demostrar que mcd(a, b) = mcd(a, ac + b). 2.40 Sea p ∈ , p > 1, tal que para cualesquiera a, b ∈ , si p | ab, entonces p | a o p | b. Demostrar que p es primo. 2.41 Demostrar que si mcd(a, a) = 1, entonces mcd(a + b, a − b) es 1 ó 2. 2.42 Demostrar que si mcd(a, b) = 1, entonces mcd(a + 2b, 2a + b) es 1 ó 3. Teorema fundamental de la aritmética 2.43 En cada inciso expresar el número indicado como producto de potencias de primos distintos. a) 693 b) 1274 c) 1925 d) 8! 2.44 Resolver el problema anterior utilizando el programa FACTORIZACIÓN ÚNICA 2.45 Describir el conjunto de todos los divisores de cada uno de los números del problema 2.43. 2.46 Determinar el cubo perfecto más pequeño que es divisible entre 9! 2.47 Determinar el cuadrado perfecto más grande que divide a 11! 2.48 Si a = 32 7 113 y b = 2 3 72 11 23. Determinar el mcd(a, b) y el mcm(a, b). 2.49 Si a = 25 53 134 172 y b = 33 52 7 132, determina el mcd(a, b) y el mcm(a, b). MATEMÁTICAS DISCRETAS – RAMÓN ESPINOSA ARMENTA capitulo 2.indd 93 ALFAOMEGA 12/30/09 12:35:05 PM 94 II. TEORÍA DE NÚMEROS 2.50 Resolver el problema anterior utilizando el simulador MÁXIMO COMÚN DIVISOR 2.51 Demostrar que si p es primo y p | an, entonces p n | an. Congruencias 2.52 ¿Para qué enteros positivos m es cierto que 31 ≡ 3 (mód m)? 2.53 ¿Para qué enteros positivos m es cierto que 215 ≡ 172 (mód m)? 2.54 Calcular el residuo al dividir 1752 entre 5. 2.55 Calcular el residuo al dividir 1563 entre 8. 2.56 Demostrar que si a ≡ b (mód m) y n | m entonces a ≡ b (mód n). 2.57 Demostrar que si a ≡ b (mód m1) y a ≡ b (mód m2) entonces a ≡ b (mód M), donde M = mcm(m1, m2). 2.58 Demostrar que si n = abcddcba (en base 10), entonces n es divisible entre once. 2.59 Obtener todas las soluciones de la congruencia lineal indicada: a) 3x ≡ 2 (mód 7) b) 17x ≡ 14 (mód 21) 2.60 Determinar todas las soluciones de la congruencia lineal indicada: a) 4x ≡ 2 (mód 17) b) 2x ≡ 5 (mód 13) 2.61 Resolver el siguiente sistema de congruencias lineales: x ≡ 4 (mód 7) x ≡ 3 (mód 13) ALFAOMEGA capitulo 2.indd 94 MATEMÁTICAS DISCRETAS – RAMÓN ESPINOSA ARMENTA 12/30/09 12:35:06 PM 2.11 PROBLEMAS 95 2.62 Resolver el siguiente sistema de congruencias lineales: x ≡ 4 (mód 6) x ≡ 3 (mód 11) 2.63 Resolver el siguiente sistema de congruencias lineales: x ≡ 3 (mód 5) x ≡ 1 (mód 2) x ≡ 2 (mód 7) 2.64 Resolver el siguiente sistema de congruencias lineales: x ≡ 5 (mód 11) x ≡ 4 (mód 8) x ≡ 1 (mód 3) 2.65 Demostrar que a) si a es un entero par, entonces a2 ≡ 0 (mód 4). b) si a es un entero impar, entonces a2 ≡ 1 (mód 4). 2.66 Demostrar que si a es un entero impar, entonces a2 ≡ 1 (mód 8). 2.67 Demostrar que a3 ≡ a (mód 3), para todo entero a. Calendario perpetuo 2.68 Calcular el día de la semana del 30 de abril de 1777 (nacimiento de Gauss). 2.69 Resolver el problema anterior utilizando el simulador CALENDARIO PERPETUO 2.70 Determinar el día de la semana del primero de marzo de 1900. MATEMÁTICAS DISCRETAS – RAMÓN ESPINOSA ARMENTA capitulo 2.indd 95 ALFAOMEGA 12/30/09 12:35:07 PM 96 II. TEORÍA DE NÚMEROS 2.71 Resolver el problema anterior utilizando el simulador CALENDARIO PERPETUO 2.72 Simplificar el método descrito aquí para determinar el día de la semana de cualquier fecha entre el primero de enero de 1900 y el 31 de diciembre de 1999. 2.73 Simplificar el método descrito aquí para determinar el día de la semana de cualquier fecha entre el primero de marzo de 2000 y el 31 de diciembre de 2099. ALFAOMEGA capitulo 2.indd 96 MATEMÁTICAS DISCRETAS – RAMÓN ESPINOSA ARMENTA 12/30/09 12:35:08 PM 2.12 2.12 CONTENIDO INTERACTIVO 97 Contenido interactivo El material marcado con asterisco (*) sólo está disponible para docentes. Mapa conceptual Simuladores • Números primos • Cambio de base • Máximo común divisor • Factorización única • Calendario perpetuo Software • Primos • Factores • Criterio Lecturas adicionales • Distribución de los números primos • Los problemas de Hilbert • MATLAB y la teoría de números Respuesta y desarrollo de problemas seleccionados *Presentaciones *Respuesta y desarrollo de problemas Glosario MATEMÁTICAS DISCRETAS – RAMÓN ESPINOSA ARMENTA capitulo 2.indd 97 ALFAOMEGA 12/30/09 12:35:08 PM CAPÍTULO III A Relaciones y funciones B a x b y c z A × B = {(a, 1), (a, 2), (a, 3), (b, 1), (b, 3.1 3.2 3.3 3.4* 3.5 3.6 3.7 3.8 3.9 3.10 Introducción Funciones Conjuntos Ànitos Conjuntos inÀnitos Aplicación: complejidad computacional Relaciones binarias Relaciones de orden Resumen Problemas Contenido interactivo *Ver Plataforma de contenidos interactivos. capitulo 3.indd 98 12/30/09 12:35:44 PM La matemática no estudia objetos, sino relaciones entre objetos. {1, 2, 3} Henri Poincaré {1, 2} {1, 3} {2, 3} {1} {2} {3} ∅ 2), (b, 3)} 37 36 35 34 33 32 31 38 17 16 15 14 13 30 39 18 5 4 3 12 29 40 19 6 1 2 11 28 41 20 7 8 9 10 27 42 21 22 23 24 25 26 43 44 45 46 47 48 49 . . . Objetivos • • • • • • • capitulo 3.indd 99 DeÀnir la noción de función y presentar las funciones más importantes deÀnidas sobre conjuntos discretos. DeÀnir las funciones inyectiva, suprayectiva y biyectiva. Exponer los principios de la suma y del producto y aplicarlos en la solución de problemas de conteo. Analizar la noción de complejidad computacional. DeÀnir la noción de relación binaria y los conceptos de relación binaria reÁexiva, simétrica y transitiva. Analizar la noción de relación de equivalencia. DeÀnir los distintos tipos de relaciones de orden y la noción de retículo. 12/30/09 12:35:46 PM 100 III. RELACIONES Y FUNCIONES 3.1 Introducción En este capítulo se exponen dos de los conceptos centrales de las matemáticas modernas, el concepto de función y el de relación binaria, y ambos se definen en términos de conjuntos. No se analizan funciones reales de variable real, las cuales se estudian en cursos de Cálculo, en cambio lo que se presenta es la noción general de función así como algunos ejemplos de funciones importantes en matemáticas discretas tales como las funciones piso y techo, y la función de Euler. Se describen las condiciones que hacen que una función sea inyectiva, suprayectiva o biyectiva, se define la composición de funciones y se analiza la noción de función inversa y se utiliza la noción de función biyectiva para presentar una definición precisa de conjunto finito. Se expone el principio de la pichonera así como dos principios básicos de conteo: el principio de la suma y el principio del producto. Se presenta la noción de relación binaria y se definen diferentes tipos de ésta, en particular las relaciones de equivalencia. La última sección, dedicada a relaciones de orden, se puede omitir en un primer curso, sin embargo es necesario verla antes de estudiar álgebras booleanas en el capítulo 8. 3.2 Funciones En la expresión {a, b} no hay preferencia respecto al orden en el que se presentan a y b, por esta razón se dice que es una pareja no ordenada. Sin embargo, en muchas situaciones es útil considerar parejas ordenadas (a, b), en donde se distingue entre el primer elemento a y el segundo elemento b. De acuerdo con esto se tiene que (a, b) = (c, d), si y sólo si a = c y b=d Si A y B son conjuntos, el producto cartesiano de A y B se define como el conjunto A × B = {(a, b) | a ∈ A, b ∈ B} Hay que observar que A × B = ∅ es equivalente a que A = ∅ o B = ∅. Por otro lado, si A = B se acostumbra escribir A2 en lugar de A × A. ALFAOMEGA capitulo 3.indd 100 MATEMÁTICAS DISCRETAS – RAMÓN ESPINOSA ARMENTA 12/30/09 12:35:59 PM 3.2 Ejemplo 3.1 101 FUNCIONES Si A = {a, b} y B = {1, 2, 3} entonces A × B = {(a, 1), (a, 2), (a, 3), (b, 1), (b, 2), (b, 3)} Ejemplo 3.2 Si A = {a, b}, entonces A2 = {(a, a), (a, b), (b, a), (b, b)} En general si A1, A2, …, An son conjuntos, el conjunto producto de estos conjuntos se define como el conjunto A1 × A2 × … × An = {(a1, a2, …, an) | aj ∈ Aj, Propiedades del producto cartesiano j = 1, 2, …, n} S En este caso se dice que (a1, a2, …, an) es una n-ada ordenada. Dos n-adas ordenadas (a 1, … , a n) y (b 1, …, b n) son iguales, si y sólo si a j = b j para toda j = 1, …, n. Si A1 = A2 = … = An = A, se acostumbra escribir An en lugar de A1 × … × An. Sean A y B dos conjuntos no vacíos. Una relación R de A en B es un subconjunto de A × B. Si (a, b) ∈ R se acostumbra escribir aRb y se dice que “a está relacionado con b”. Si (a, b) ∉ R se escribe ¬(aRb). ean A, B, C y D conjuntos arbitrarios y distintos entre sí. Partiendo de la definición de producto cartesiano entre conjuntos, a continuación se listan algunas de las propiedades básicas de esta operación: • A×B≠B×A • A×∅=∅×A=∅ • (A × B) × C ≠ A × (B × C) • (A ∩ B) × (C ∩ D) = (A × C) ∩ (B × D) • (A ∪ B) × (C ∪ D) ≠ (A × C) ∪ (B × D) • A × (B ∩ C) = (A × B) ∩ (A × C) • A × (B ∪ C) = (A × B) ∪ (A × C) Ejemplo 3.3 Sea A el conjunto de todos los hombres que han existido, y sea B el conjunto de todos los seres humanos. Sea R la relación de A en b definida por la regla: aRb ⇔ a es el padre biológico de b Hay que observar que no a todo elemento de A le corresponde un elemento de B, ya que no todos los hombres han sido padres; por otra parte a algunos elementos de A les corresponde más de un elemento de B, ya que hay hombres que tienen más de un hijo; por último, todo elemento de B proviene de exactamente un elemento de A, pues todo ser humano tiene padre. Si los conjuntos A y B tienen pocos elementos, una relación de A en B se puede describir por medio de un diagrama como el de la siguiente figura en la que aRx, aRz y cRy. MATEMÁTICAS DISCRETAS – RAMÓN ESPINOSA ARMENTA capitulo 3.indd 101 ALFAOMEGA 12/30/09 12:36:00 PM 102 III. RELACIONES Y FUNCIONES A B a x b y c z Una función f de A en B es una relación de A a B que satisface la condición de que para todo elemento a ∈ A existe un único elemento b ∈ B tal que (a, b) ∈ f . El conjunto A es llamado el dominio de f, y el conjunto B es el codominio de f. Una función f con dominio A y codominio B generalmente se representa como f : A → B, además de que en lugar de escribir (a, b) ∈ f se acostumbra escribir f (a) = b y se dice que b es el valor de f en a. Al conjunto de todos los valores posibles de f se le llama rango de f y se denota como f (A): f (A) = { f (a) | a ∈ A} Ejemplo 3.4 El siguiente diagrama describe una función del conjunto A = {a, b, c} en el conjunto B = {x, y, z}. Hay que observar que pueden existir elementos distintos en el dominio que tengan el mismo valor, así como pueden existir elementos en el codominio que no provengan de ningún elemento del dominio. A ALFAOMEGA capitulo 3.indd 102 B a x b y c z MATEMÁTICAS DISCRETAS – RAMÓN ESPINOSA ARMENTA 12/30/09 12:36:01 PM 3.2 103 FUNCIONES Ejemplo 3.5 Sean A y B dos conjuntos no vacíos arbitrarios, sea b ∈ B y sea f : A → B definida como f (a) = b para todo a ∈ A. Esta función f se llama función constante de A en B con valor b. Ejemplo 3.6 Sea A un conjunto no vacío. La función identidad de A en sí mismo, denotada por el símbolo 1A, es la función definida por 1A(a) = a para todo a ∈ A. Ejemplo 3.7 La función piso es la función de en definida por ⎣ x ⎦ = mayor entero menor o igual que x La función techo es la función de en definida por ⎡ x ⎤ = menor entero mayor o igual que x Esta notación para las funciones piso y techo, introducida a principios de los sesentas por Kenneth E. Iverson, ha sido ampliamente aceptada en matemáticas discretas, por lo que actualmente se utiliza en artículos de investigación sin necesidad de explicar su significado. En los problemas 3.7 y 3.8 se plantean algunas de las propiedades básicas de las funciones piso y techo. Kenneth E. Iverson C (1920-2004) ientífico de la computación canadiense que en 1962 desarrolló el lenguaje de programación APL y que en 1979 obtuvo el premio Turing por sus contribuciones a la notación matemática y a la teoría de la programación. A partir de 1951 Iverson comenzó a trabajar con Howard Aiken (quien desarrolló una de las primeras computadoras) y con Wassily Leontief (creador del modelo de entrada-salida del análisis económico y premio Nobel de economía por este trabajo), y en 1960 se incorporó a la IBM en donde desarrolló su notación en un lenguaje de programación para la IBM/360. Ejemplo 3.8 Sea X un conjunto arbitrario, pero fijo. Para cada A ⊆ X la función característica de A es la función ΨA : X → {0, 1} definida por ⎧1 si x ∈ A Ψ A (x) = ⎨ ⎩0 si x ∉ A Es claro que ΨA = ΨB si y sólo si A = B. Otras propiedades importantes de la función característica son las siguientes: (a) ΨA∩B = ΨAΨB (b) ΨA∪B = ΨA + ΨB − ΨAΨB Las operaciones que se encuentran en el lado derecho de cada identidad son las de suma y producto de números enteros, pues los valores de la función característica siempre son 0 ó 1. MATEMÁTICAS DISCRETAS – RAMÓN ESPINOSA ARMENTA capitulo 3.indd 103 ALFAOMEGA 12/30/09 12:36:02 PM 104 III. RELACIONES Y FUNCIONES Para probar la propiedad (a) hay que observar que Ψ A(x) = ΨB(x) = 1 si y sólo si x ∈ A y x ∈ B, es decir, x ∈ A ∩ B. Por esto, ΨA∩B = ΨAΨB. Para probar la propiedad (b) hay que observar que si x ∈ A entonces x ∈ A ∪ B y por lo tanto ΨA∪B(x) = 1. Por otra parte ΨA(x) + ΨB(x) − ΨA(x)ΨB(x) = 1 + ΨB − ΨB = 1 Análogamente, si x ∈ B entonces ΨA(x) + ΨB(x) − ΨA(x)ΨB(x) = 1 = ΨA∪B Por último, si x ∉ A ∪ B entonces ΨA(x) + ΨB(x) − ΨA(x)ΨB(x) = 0 = ΨA∪B En conclusión ΨA∪B(x) = ΨA(x) + ΨB(x) − ΨA(x)ΨB(x) para toda x ∈ X, lo cual muestra que las funciones son iguales. Leonhard Euler N (1707-1783) acido en suiza, Euler es considerado uno de los grandes matemáticos de todos los tiempos ya que hizo importantes descubrimientos en geometría, cálculo, trigonometría, álgebra y teoría de números. En particular en el área de la teoría de números usó las propiedades de su función j(n) para generalizar el llamado pequeño teorema de Fermat (si p es un número primo entonces para cualquier entero a se tiene que ap − a es divisible por p) en los siguientes términos: Si n es un entero positivo y a es un entero coprimo de n entonces aj(n) ≡ 1 (mod n) En los problemas 3.9 y 3.10 se presentan otras propiedades de la función característica. Por otro lado, como se muestra en el problema 3.11 la función característica también sirve para probar identidades de conjuntos. Ejemplo 3.9 (Función de Euler). Sea φ : → , donde φ(n) es el número de enteros positivos menores o iguales que n y primos relativos a n. Se puede comprobar fácilmente que φ(1) = 1, φ(2) = 1, φ(3) = 2, φ(4) = 2, φ(5) = 4, φ(6) = 2. También se observa que si p es primo, entonces φ(p) = p − 1 . La función φ es llamada función de Euler. donde j(n) es la función de Euler. Entre las propiedades básicas de j(n) se tienen las siguientes: • j(pa) = pa − pa−1 para p primo y a ≥ 1 • j(mn) = j(m) j(n) [d ⁄j(d)] en donde d = (m, n) • j(mn) = j(m) j(n) si (m, n) = 1 • a|b implica j(a)|j(b) • j(n) es par para n ≥ 3. Si n posee r factores primos impares distintos entonces 2r|j(n) ALFAOMEGA capitulo 3.indd 104 Ejemplo 3.10 Una sucesión de números reales es una función a : → . Se acostumbra escribir a(n) = an y la sucesión se denota como a1, a2, a3, a4, a5, … o simplemente (an). Los elementos an son llamados los términos de la sucesión. MATEMÁTICAS DISCRETAS – RAMÓN ESPINOSA ARMENTA 12/30/09 12:36:02 PM 3.2 FUNCIONES 105 Para explorar desde un punto de vista gráÀco el concepto de función, el simulador GRAFICADOR DE FUNCIONES presenta la gráÀca de las funciones de en deÀnidas por el usuario en el dominio y rango especiÀcados. 3.2.1 Funciones biyectivas Una función f : A → B se dice que es inyectiva si para cualesquiera a, b ∈ A se cumple que si f (a) = f (b) entonces a = b. Hay que observar que f no es inyectiva si existen a, b ∈ A tales que f (a) = f (b) y a ≠ b. Una función f : A → B se dice que es suprayectiva si para toda b ∈ B existe a ∈ A tal que f (a) = b. Se observa que f no es suprayectiva si existe b ∈ B, tal que f (a) ≠ b para todo a ∈ A. Ejemplo 3.11 La función f : A → B descrita en el siguiente diagrama A B a x b y z es inyectiva, pero no suprayectiva. MATEMÁTICAS DISCRETAS – RAMÓN ESPINOSA ARMENTA capitulo 3.indd 105 ALFAOMEGA 1/29/10 2:48:09 AM 106 III. Ejemplo 3.12 RELACIONES Y FUNCIONES La función f : A → B de la siguiente figura A B a x b y c es suprayectiva, pero no inyectiva. Ejemplo 3.13 La función f : A → B de la siguiente figura A B a x b y c z no es ni inyectiva ni suprayectiva. Ejemplo 3.14 La función f : → definida por f (n) = n2 no es inyectiva, ya que por ejemplo f (1) = f (−1), pero 1 ≠ −1. Tampoco es suprayectiva, ya que en particular f (n) ≠ 2 para todo n ∈ . ALFAOMEGA capitulo 3.indd 106 MATEMÁTICAS DISCRETAS – RAMÓN ESPINOSA ARMENTA 12/30/09 12:36:05 PM 3.2 Ejemplo 3.15 FUNCIONES 107 Sea f : → definida por f (n) = 2n + 1 Hay que observar que si f (n) = f (m) entonces 2n + 1 = 2m + 1 y de aquí se sigue que n = m, por lo tanto f es inyectiva. Además esta función no es suprayectiva, ya que por ejemplo 2 ≠ 2n + 1 = f (n) para todo n ∈ . Ejemplo 3.16 Sea f : × → definida por f (a, b) = ab Se observa que f no es inyectiva, ya que por ejemplo f (2, 3) = f (1, 6) pero (2, 3) ≠ (1, 6). Por otra parte f es suprayectiva, ya que para todo b ∈ se tiene que f (1, b) = b. Una función f : A → B se dice que es biyectiva si es inyectiva y suprayectiva. Es decir, f es biyectiva si y sólo si para todo b ∈ B existe un único a ∈ A tal que f (a) = b. De la función biyectiva f se dice que es una biyección de A en B. Ejemplo 3.17 Sea f : → definida por f (n) = n + 3 Si f (n) = f (m), entonces n + 3 = m + 3 y de aquí se sigue que n = m, por lo tanto f es inyectiva. Para probar que f es suprayectiva, se observa que para todo m ∈ se tiene que f (m − 3) = (m − 3) + 3 = m Como f es inyectiva y suprayectiva, se concluye que f es biyectiva. Sean f : A → B y g : B → C dos funciones. La composición de g con f, denotada como g f, es la función de A en C deÀnida como: g f (a) = g( f (a)) para toda a ∈ A. MATEMÁTICAS DISCRETAS – RAMÓN ESPINOSA ARMENTA capitulo 3.indd 107 ALFAOMEGA 12/30/09 12:36:05 PM 108 III. RELACIONES Y FUNCIONES La composición de funciones también se lee “f seguida de g”, ya que primero se aplica la función f y luego la función g. Ejemplo 3.18 Sean f : → y g : → definidas por f (n) = 2n2 y g(n) = n −3, respectivamente. Entonces g f (n) = g(2n2) = 2n2 −3 Se observa también que f g(n) = f (n − 3) = 2(n − 3)2 = 2n2 − 12n + 18 De aquí que g f ≠ f g. Ejemplo 3.19 Sean f : → y g : → , definidas por si n ≤ 0 ⎧− n f (n) = ⎨ 2 ⎩n + 1 si n > 0 ⎧ 2n g(n) = ⎨ ⎩n − 1 si n < 0 si n ≥ 0 Para determinar g f hay que observar que si n ≤ 0 entonces f (n) = −n ≥ 0, de aquí que g ( f (n)) = −n −1. Por otra parte, si n > 0 entonces f (n) = n2 + 1 > 0 por lo tanto g ( f (n)) = (n2 + 1) − 1 = n2. En conclusión ⎧− n − 1 g f (n ) = ⎨ 2 ⎩⎪n si n ≤ 0 si n > 0 En forma análoga, para determinar f g hay que observar que si n < 0 entonces g(n) = 2n < 0 por lo que f (g(n)) = −2n. Ahora bien, si n ≥ 0 entonces g(n) = n − 1. Como n − 1 ≤ 0 si y sólo si n2 ≤ 1, se tiene que f (g(n)) = f (n − 1) = −(n − 1) = 1 − n si n = 0 ó n = 1. Además, si n ≥ 2 entonces f (g(n)) = f (n − 1) = (n − 1)2 + 1. En conclusión: ⎧−2 n ⎪ f g(n ) = ⎨1 − n ⎪ 2 ⎩(n − 1) + 1 ALFAOMEGA capitulo 3.indd 108 si n < 0 si n = 0 ó n = 1 si n ≥ 2 MATEMÁTICAS DISCRETAS – RAMÓN ESPINOSA ARMENTA 12/30/09 12:36:06 PM 3.2 109 FUNCIONES El siguiente ejemplo se debe al matemático polaco Stanislaw Ulam. Stanislaw Marcin Ulam Ejemplo 3.20 Sea f : → definida por ⎧n / 2 f (n ) = ⎨ ⎩ 3n + 1 si n es par si n es impar Ulam conjeturó que para todo número natural n existe otro número natural U(n) tal que f ( f ( f ( ( f (n ))))) = 1 U ( n ) veces Es decir, U(n) (conocida como la función de Ulam) es el número de veces que hay que aplicar la función f para llegar a obtener el número 1. Por ejemplo, U(1) = 3, porque f (1) = 4, f (4) = 2 y f (2) = 1. A pesar de la sencillez del enunciado, el problema de Ulam permanece sin resolver, y es considerado uno de los problemas más intratables de las matemáticas. (1909-1984) M atemático polaco que participó en el proyecto Manhattan y propuso el diseño Teller-Ulam de las armas termonucleares, esto es, resolvió el problema de cómo iniciar la fusión en la bomba de hidrógeno, inventó la propulsión nuclear de pulso e hizo investigación en las áreas de la teoría de números, la teoría de conjuntos, la teoría ergódica y la topología algebraica. En el área de la teoría de números Ulam descubrió lo que se conoce como la espiral de Ulam, y para construir ésta primero se disponen los naturales en la siguiente forma 37 36 35 34 33 32 31 38 17 16 15 14 13 30 39 18 5 4 3 12 29 40 19 6 1 2 11 28 41 20 7 8 9 10 27 42 21 22 23 24 25 26 43 44 45 46 47 48 49 . . . luego se eliminan los números compuestos y lo que queda es la espiral de Ulam: 37 31 De acuerdo con las deÀniciones expuestas en el ejemplo 3.20, el simulador 17 FUNCIÓN DE ULAM 19 calcula el valor de U(n) para un valor de n dado. 5 41 Sean f : A → B y f : B → C dos funciones. Entonces (i) si f y g son inyectivas, entonces g f es inyectiva; (ii) si f y g son suprayectivas, entonces g f es suprayectiva; (iii) si f y g son biyectivas, entonces g f es biyectiva. MATEMÁTICAS DISCRETAS – RAMÓN ESPINOSA ARMENTA capitulo 3.indd 109 3 2 29 11 7 23 43 Teorema 3.1 13 47 ... Lo relevante de esta figura es que los números primos se encuentran alineados en una diagonal, lo que muestra en forma gráfica la distribución de éstos (véase la sección 2.3.2 Distribución de los números primos). ALFAOMEGA 12/30/09 12:36:07 PM 110 III. RELACIONES Y FUNCIONES Demostración (i) Supóngase que g f (a) = g f (b), por lo tanto g( f (a)) = g ( f (b)). Como g es inyectiva, se sigue que f (a) = f (b) y como f es inyectiva se concluye que a = b por lo que g f es inyectiva. (ii) Sea c ∈ C. Como g es suprayectiva, existe b ∈ B tal que g (b) = c. Por otra parte, como f es suprayectiva, existe a ∈ A tal que f (a) = b. Por lo tanto g f (a) = g( f (a)) = g(b) = c y de aquí que g f es suprayectiva. (iii) Es consecuencia inmediata de (i) y (ii). En el siguiente teorema se establece una importante caracterización de las funciones biyectivas. Teorema 3.2 Una función f : A → B es biyectiva si y sólo si existe una función g : B → A tal que g f = 1A y f g = 1B. Demostración. Supóngase que f : A → B es biyectiva, por lo tanto para todo b ∈ B existe un único a ∈ A tal que f (a) = b. Sea g : B → A la función definida por g(b) = a, si y sólo si f (a) = b. Por lo tanto g f (a) = g( f (a)) = g(b) = a ∀a ∈ A y f g(b) = f (g (b)) = f (a) = b ∀b ∈ B Es decir, g f = 1A y f g = 1B. Supóngase ahora que existe una función g : B → A tal que g f = 1A y f g = 1B. Lo que hay que demostrar es que f es biyectiva. Obsérvese en primer lugar que si b ∈ B y a = g (b), entonces f (a) = f (g (b)) = (b)) = 1B(b) = b. y por lo tanto f es suprayectiva. Ahora bien, si f (a) = f (a′) entonces g( f (a)) = g( f (a′)) y por lo tanto 1A(a) = 1A(a′), de aquí que a = a′, por lo tanto f es inyectiva. ALFAOMEGA capitulo 3.indd 110 MATEMÁTICAS DISCRETAS – RAMÓN ESPINOSA ARMENTA 12/30/09 12:36:08 PM 3.3 CONJUNTOS FINITOS La función g definida en el teorema anterior se llama función inversa de f y se denota como f −1. Hay que observar que, en virtud del mismo teorema, la función f −1 también es biyectiva. Ejemplo 3.21 En cursos de Cálculo se demuestra que si a > 1, la función f : → (0, ∞) definida por f (x) = ax es biyectiva, por lo que tiene inversa la cual se llama función logaritmo en base a y se denota loga. Por definición de inversa se tiene que: loga(ax) = x ∀x > 0 y aloga(x) = x ∀x ∈ En Cálculo es muy importante el número irracional e, cuyo valor aproximado es 2.7182818. La función logaritmo en base e también se llama función logaritmo natural y se denota ln x. En 1792, a la edad de quince años, Carl Friedrich Gauss conjeturó que si π(x) es el número de primos menores o iguales que x, entonces π(x) es aproximadamente igual a x ln x 111 Polinomios irreducibles sobre un campo Ànito En relación con los polinomios sobre un campo Ànito (véanse la sección 4.4 Anillos y campos y el capítulo V Polinomios), existe un teorema análogo al teorema de los números primos el cual describe la “distribución” de los polinomios irreducibles sobre un campo Ànito. Para establecer el teorema relacionado con los polinomios, sea F un campo Ànito con q elementos, para algún q Àjo, y sea Nn el número de polinomios irreducibles mónicos sobre F cuyo grado es igual a n. En este contexto estos polinomios corresponden al concepto de números primos ya que cualesquier otros polinomios mónicos se construyen como productos de éstos. Establecido lo anterior, se puede probar que Nn ∼ qn . n Haciendo la sustitución x = qn, el lado derecho de la ecuación queda como x , logq x lo cual establece la analogía completa con el teorema de los números primos. si x es grande. Más de cien años después, en 1896, el matemático francés Jacques Hadamard y el matemático belga Charles Jean de la Vallée Poussin, demostraron independientemente este resultado, el cual es conocido como el Teorema de los Números Primos. Las demostraciones de Hadamard y de la Vallée Poussin utilizaban técnicas de análisis complejo. En 1949 Atle Selberg y Paul Erdös obtuvieron independientemente la primera demostración elemental del Teorema de los Números Primos. Aquí la palabra elemental no significa que su demostración fuera sencilla, sino que no utilizaron análisis complejo. 3.3 Conjuntos Ànitos Un conjunto A es un conjunto finito si es vacío o si existe un número natural n y una función biyectiva del conjunto {1, 2, …, n} en A. En el primer caso se dice que A tiene cero elementos, mientras que en el segundo se dice que tiene n elementos. En otras palabras, un conjunto es finito si se pueden contar sus MATEMÁTICAS DISCRETAS – RAMÓN ESPINOSA ARMENTA capitulo 3.indd 111 ALFAOMEGA 12/30/09 12:36:08 PM 112 III. RELACIONES Y FUNCIONES elementos. El número de elementos de un conjunto finito se representa mediante el símbolo | A |. Ejemplo 3.22 Sea A = {a, b, c}, entonces | A | = 3 pues la función f : {1, 2, 3} → A definida por f (1) = a, f (2) = b, f (3) = c, es biyectiva. Conjuntos Ànitos e inÀnitos El objetivo básico de la teoría de conjuntos de George Cantor era establecer una exposición matemática rigurosa de los conjuntos inÀnitos, debido a esto la distinción entre Ànito e inÀnito se encuentra en el corazón de la teoría de conjuntos. En uno de sus primeros artículos de investigación (Über eine Eigenschaft des Inbegriffes aller reellen algebraischen Zahlen; Crelle’s Journal; 1874) Cantor demostró que el conjunto de los números reales es más numeroso que el conjunto de los números naturales, lo cual puso en evidencia por primera vez la existencia de conjuntos inÀnitos de diferente tamaño. Luego de observar la importancia de la correspondencia uno a uno en teoría de conjuntos, Cantor usó este concepto para deÀnir los conjuntos Ànitos e inÀnitos, subdividiendo los inÀnitos en inÀnitos numerables (aquellos cuya cardinalidad es igual a la del conjunto de los números naturales) e inÀnitos no numerables (aquellos cuya cardinalidad es mayor que la del conjunto de los números naturales). En particular, un ejemplo de conjunto inÀnito no numerable es el conjunto de los números reales. Finalmente luego de haber deÀnido los conjuntos inÀnitos, Cantor construyó la aritmética de los conjuntos inÀnitos llamada aritmética ordinal. ALFAOMEGA capitulo 3.indd 112 Si | A | = n y f : {1, 2, …, n} → A es una función biyectiva, se acostumbra utilizar la notación aj = f ( j), j = 1, 2, …, n. De este modo A = {a1, a2, …, an}. Tal procedimiento se conoce como enumeración de los elementos de A. Teorema 3.3 Si A y B son conjuntos finitos no vacíos y | A | > | B |, entonces no existe una función inyectiva de A en B. Demostración Sea n = | A | y A = {a1, a2, …, an}. Supóngase que existe una función inyectiva f : A → B. Por lo tanto f (a1), …, f (an) son n elementos distintos pertenecientes a B, lo cual no es posible, porque | B | < n. El teorema anterior se conoce como el principio de la pichonera, ya que asegura que si hay más pichones que nidos, entonces necesariamente algún nido debe ser ocupado por al menos dos pichones. Ejemplo 3.23 Demostrar que en la Ciudad de México existen al menos dos personas con el mismo número de cabellos. Solución Basta observar que, en promedio, cada persona tiene alrededor de 100000 cabellos y que el número de habitantes de la Ciudad de México rebasa con mucho esa cifra, de modo que, por el principio de la pichonera, deben de existir al menos dos personas con el mismo número de cabellos. MATEMÁTICAS DISCRETAS – RAMÓN ESPINOSA ARMENTA 12/30/09 12:36:09 PM 3.3 CONJUNTOS FINITOS 113 Teorema 3.4 Sean A y B conjuntos finitos no vacíos. Entonces | A | = | B | si y sólo si existe una función biyectiva de A en B. Demostración Supóngase que | A | = | B | = n, por lo tanto existen dos funciones biyectivas f : {1, 2, …, n} → A y g : {1, 2, …, n} → B. Por el teorema 3.2 la función f tiene inversa f −1, la cual también es biyectiva, de aquí que, por el teorema 3.1, la función g f −1 es una función biyectiva de A en B. Recíprocamente, supóngase que h : A → B es una función biyectiva. Si | A | = | n, entonces existe una función biyectiva f : {1, 2, …, n} → A, por lo tanto h f es una biyección de {1, 2, …, n} en B y por lo tanto | B | = n | A |. El siguiente teorema establece un importante principio de conteo. Teorema 3.5 (Principio de la suma). ajenos, entonces Si A y B son dos conjuntos finitos |A∪B|=|A|+|B| Demostración Si A = ∅, entonces | A ∪ B | = | B | = 0 + | B | = | A | + | B |. El caso en que B = ∅ se demuestra en forma análoga. Supóngase ahora que | A | = n ≠ 0 y | B | = n ≠ 0. Por hipótesis existen dos funciones biyectivas f : {1, 2, …, n} → A y g : {1, 2, …, m} → B. Sea h : {1, 2, …, n + m} → A ∪ B definida por ⎧ f (k ) h( k ) = ⎨ ⎩ g( k − n ) si k ≤ n ⎫ ⎬ si n < k ≤ n + m ⎭ Se deja al lector verificar que la función h es biyectiva, y de aquí que | A ∪ B | = | A | + | B |. En relación con la demostración del siguiente corolario, véase el problema 3.33. MATEMÁTICAS DISCRETAS – RAMÓN ESPINOSA ARMENTA capitulo 3.indd 113 ALFAOMEGA 12/30/09 12:36:09 PM 114 III. RELACIONES Y FUNCIONES Corolario 3.1 Si A1, A2, …, Am son conjuntos finitos tales que Ai ∩ Aj = ∅ si i ≠ j, entonces m | ∪ Ai | = | A1 | + | A2 | + + | Am | i =1 Ejemplo 3.24 Demostrar que si A es un conjunto con n elementos, entonces ℘(A) tiene 2n elementos. Solución La demostración se hace por inducción sobre n. Si n = 0, entonces A = ∅ y por lo tanto ℘(A) = {∅}, de aquí que |℘(A) | = 1 = 20. Supóngase que la afirmación es cierta para todo conjunto con n elementos. Sea A un conjunto con n + 1 elementos, esto es, A = {a1, …, an, an+1}. Si B es un subconjunto de A pueden ocurrir dos casos, que an+1 ∉ B o que an+1 ∈ B. Por hipótesis de inducción ambas situaciones pueden ocurrir de 2n maneras, ya que en el primer caso B es un subconjunto de {a1, …, an} mientras que en el segundo caso B = {an+1} ∪ C, donde C es un subconjunto de {a1, …, an}. Por tanto, por el principio de la suma, ℘(A) tiene 2n + 2n = 2n+1 elementos. Equinumerosidad En esta sección se ha deÀnido en forma funcional el que varios conjuntos tengan la misma cardinalidad, sin embargo hay que observar que la relación de tener la misma cardinalidad se llama equinumerosidad y ésta es una relación de equivalencia (véase la sección 3.6 Relaciones binarias) sobre las clases de todos los conjuntos. Bajo esta relación, las clases de equivalencia de un conjunto A consisten de todos aquellos conjuntos que tienen la misma cardinalidad que A. En este contexto básicamente hay dos formas de deÀnir la cardinalidad de un conjunto: 1) La cardinalidad de un conjunto A se deÀne como su clase de equivalencia bajo equinumerosidad. 2) Un conjunto representativo es designado para cada una de las clases de equivalencia. ALFAOMEGA capitulo 3.indd 114 Teorema 3.6 (Principio del producto). tos, entonces Si A y B son dos conjuntos fini- |A×B|=|A||B| Si A = ∅ ó B = ∅ entonces A × B = ∅ y por lo tanto | A × B | = 0 = 0 + 0 = | A | + | B |. Demostración Supóngase ahora que A y B son no vacíos y escríbase A = {a1, a2, …, am} y B = {b1, b2, …, bn} Para cada i = 1, 2, …, m sea Ai = {(ai, bj) | j = 1, 2, …, n} Obsérvese que | Ai | = n para todo i. Además Ai ∩ Aj = ∅ si i ≠ j y m ∪A = A× B i i =1 por lo que por el corolario 3.1 se tiene que | A × B | = m| Ai | = mn = | A | | B | MATEMÁTICAS DISCRETAS – RAMÓN ESPINOSA ARMENTA 12/30/09 12:36:10 PM 3.3 CONJUNTOS FINITOS 115 Una forma alternativa de enunciar el principio del producto es la siguiente: Principio del producto. Si un primer objeto puede elegirse de m maneras distintas y, una vez que esta elección ha sido hecha, un segundo objeto puede elegirse de n maneras distintas, entonces los dos objetos juntos pueden elegirse de mn maneras distintas. El siguiente resultado, cuya demostración se pide en el problema 3.34, extiende el principio del producto. Corolario 3.2 Si A1, A2, …, Am son conjuntos finitos, entonces | A1 × A2 × … × Am | = | A1 | | A2 | … | Am | Ejemplo 3.25 Las placas de los autos de cierta ciudad constan de tres números, seguidos de tres letras. Si el primer número no puede ser cero y la primera letra tiene que ser A, B o C, ¿cuántas placas posibles hay? Solución Se tienen 9 posibilidades para el primer número, 10 para el segundo y 10 para el tercero. Por otra parte, se tienen 3 posibilidades para la primera letra, 26 para la segunda y 26 para la tercera, de modo que por el principio del producto hay 9 10 10 3 26 26 = 1,825,200 placas. Ejemplo 3.26 ¿Cuántos divisores positivos tiene el número 1400? Solución Hay que observar primero que 1400 = 23 52 7 por lo que todo divisor positivo de 1400 es de la forma 2n1 5n2 7n3 donde n1 ∈ {0, 1, 2, 3}, n2 ∈ {0, 1, 2} y n3 ∈ {0, 1} por lo que, por el principio del producto, el número 1400 tiene (4)(3)(2) = 24 divisores positivos. MATEMÁTICAS DISCRETAS – RAMÓN ESPINOSA ARMENTA capitulo 3.indd 115 ALFAOMEGA 12/30/09 12:36:10 PM 116 III. RELACIONES Y FUNCIONES Ejemplo 3.27 Si A es un conjunto con n > 0 elementos y B es un conjunto con m > 0 elementos, ¿cuántas funciones de A en B hay? Solución Para cada elemento a ∈ A se tienen m maneras distintas para definir f (a). Como A tiene n elementos se sigue del principio del producto que hay n m ⋅m m = m n veces funciones de A en B. Sea A un conjunto finito no vacío. Una permutación de elementos de A es una función biyectiva de A en sí mismo. Ejemplo 3.28 Si A es un conjunto con n > 0 elementos, ¿cuántas permutaciones de A existen? Solución Considérese el conjunto A = {a1, a2, …, an}. Hay n maneras de definir f (a1). Habiendo definido f (a1) se tienen n − 1 maneras distintas para definir f (a2), ya que f (a2) ≠ f (a1). Habiendo definido f (a2) se tienen n − 2 maneras distintas de definir f (a3), y así sucesivamente, de modo que por el principio del producto existen n(n − 1) … (2)(1) = n! permutaciones de A. 3.4 Conjuntos inÀnitos En la lectura CONJUNTOS INFINITOS se expone la condición bajo la cual dos conjuntos dados tienen la misma cardinalidad, y a partir de esto se plantean y demuestran los principales teoremas relacionados con el concepto de conjunto inÀnito así como se presentan varios ejemplos en los que se ilustra la forma en que se demuestra la numerabilidad o no numerabilidad de conjuntos especíÀcos. ALFAOMEGA capitulo 3.indd 116 MATEMÁTICAS DISCRETAS – RAMÓN ESPINOSA ARMENTA 12/30/09 12:36:11 PM 3.5 3.5 117 APLICACIÓN: COMPLEJIDAD COMPUTACIONAL Aplicación: complejidad computacional En el siglo IX d. C., el matemático persa Al-Khwarizmi escribió un libro donde describe con detalle métodos para sumar y multiplicar números enteros escritos en forma decimal. El nombre Al-Khwarizmi, pronunciado algorismi, dio lugar a la palabra algoritmo para referirse a una sucesión finita de instrucciones para resolver un problema. Es importante hacer notar la diferencia entre un problema y una instancia de un problema. Intuitivamente, en una instancia se tienen datos conocidos a partir de los cuales se puede obtener una solución concreta, mientras que un problema es una colección de instancias que tienen una estructura común. Un algoritmo debe funcionar correctamente y terminar en un número finito de iteraciones para cualquier instancia del problema para el que fue diseñado. Además de esto, en un algoritmo las instrucciones se deben enunciar en forma precisa, de forma que después de haber efectuado una instrucción particular no debe haber ambigüedad acerca de qué instrucción debe realizarse enseguida. En este libro los algoritmos son descritos usando un pseudocódigo, en lugar de un lenguaje de programación específico. Se utilizan frases en español, así como símbolos matemáticos cuando sea necesario. Se omiten las declaraciones de tipo de variable y también las instrucciones como begin y end que proliferan en los lenguajes de programación de alto nivel. Sin embargo, se utilizan palabras como si, entonces, sino, mientras, para, hasta, devolver, etc., que tienen un significado claro en español, pero que también corresponden a instrucciones en la mayoría de los lenguajes de programación. Con frecuencia se tiene más de un algoritmo para resolver el mismo problema, por lo que se necesita un criterio que permita decidir qué algoritmo elegir. Un enfoque empírico consiste en programar los algoritmos e ir probándolos en distintos casos con la ayuda de una computadora. Este enfoque tiene la desventaja de que el análisis depende de la computadora que se utiliza, del lenguaje de programación que se elige e incluso de las habilidades del programador, además de esto no se tiene la posibilidad de comparar el algoritmo en todos los casos. Para evitar estos inconvenientes, aquí se utiliza el enfoque teórico que se describe a continuación. Análisis de algoritmos El análisis de un algoritmo consiste en la determinación de la cantidad de recursos (tales como tiempo y almacenamiento) necesarios para la ejecución de éste. Generalmente la eÀciencia o complejidad de un algoritmo se establece como una función que relaciona la longitud de la entrada con el número de pasos (complejidad temporal) o espacio de almacenamiento (complejidad espacial) necesarios. Por otro lado, este tipo de análisis se hace en forma abstracta, esto es, generalmente usando pseudocódigo en lugar de un lenguaje de programación especíÀco o de una implementación par ticular. Supóngase que se tiene una computadora hipotética con memoria de acceso aleatorio ilimitado, además de que al resolver un problema particular los datos de entrada residen en la memoria al inicio de los cálculos y los datos de salida permanecen en la memoria al final de ellos, de modo que no se necesitan considerar operaciones de entrada-salida. Asimismo, la memoria almacena constantes en palabras de cualquier tamaño requerido y el tiempo de acceso a estas palabras es constante, independientemente del tamaño y número de palabras almacenadas. Esta computadora hipotética es capaz de efectuar operaciones aritméticas (sumas, restas, productos y cocientes), así como comparaciones, y cada una de esas operaciones elementales requerirá una unidad de tiempo, independientemente del tamaño de los operandos involucrados. MATEMÁTICAS DISCRETAS – RAMÓN ESPINOSA ARMENTA capitulo 3.indd 117 ALFAOMEGA 12/30/09 12:36:12 PM 118 III. RELACIONES Y FUNCIONES El tamaño de un problema es el número de datos necesarios para describir el problema, por ejemplo, en un problema de ordenación el tamaño es el número n de números que hay que ordenar. La complejidad de un algoritmo A es la función f donde f (n) es el número de operaciones elementales necesarias para que el algoritmo termine en el peor de los casos. Sea g(n) una sucesión de números reales no negativos. Se dice que A es O(g(n)) si existen c > 0 y N ∈ tales que f (n) ≤ c g(n) ∀n≥N En otras palabras, A es O(g(n)) si la complejidad del algoritmo A es a lo más del orden de magnitud de g(n). Sea A un algoritmo con complejidad f (n) y sea B un algoritmo con complejidad g(n), entonces se dice que A es más eficiente que B si A es O(g(n)) y B no es O(f (n)). Un algoritmo que es O(n) es llamado algoritmo lineal, uno que es O(n2) se conoce como algoritmo cuadrático y un algoritmo que es O(nk ) para algún entero positivo k es llamado algoritmo polinomial. Un algoritmo cuya complejidad es O(an), con a > 1, llamado algoritmo exponencial. Es fácil ver que un algoritmo lineal es más eficiente que uno cuadrático, y que un algoritmo polinomial es más eficiente que un algoritmo exponencial. Un principio generalmente aceptado, debido a Jack Edmonds1,es que un algoritmo es bueno si es polinomial. Ejemplo 3.29 (Algoritmo burbuja). Considérese el problema de ordenar los elementos de una lista finita en orden ascendente. El siguiente algoritmo, conocido como algoritmo burbuja, resuelve el problema. Algoritmo Burbuja(S) Entrada. Una sucesión X = {x1, x2, …, xn} de números reales. Salida. Una función biyectiva s = {1, …, n} → {1, …, n} tal que xs (i) ≤ xs (i+1) 1. para j : = 1 hasta n hacer s( j) : = j 2. para k : = 1 hasta n − 1 hacer si xs(n−i+1) < xs(n−i) entonces s(n − i + 1) : = n − i; s(n − i) : = n − i + 1. 3. 1 ALFAOMEGA capitulo 3.indd 118 devolver s. J. Edmonds. Paths, trees and flowers, Canad. J. Math., 17, (1965), 449-467. MATEMÁTICAS DISCRETAS – RAMÓN ESPINOSA ARMENTA 12/30/09 12:36:13 PM 3.5 APLICACIÓN: COMPLEJIDAD COMPUTACIONAL 119 La forma en que el algoritmo burbuja ordena los términos de la sucesión 3, 2, 1, 5 es la siguiente: 3, 2, 5, 1 3, 2, 1, 5 3, 1, 2, 5 1, 3, 2, 5 1, 3, 2, 5 1, 2, 3, 5 Hay que observar que a medida que progresa el algoritmo, los números que estaban en el fondo se elevan como burbujas hasta alcanzar su posición correcta. El algoritmo burbuja requiere n − 1 comparaciones en la primera iteración, n − 2 comparaciones en la segunda, y así sucesivamente hasta un total de: (n − 1)n 2 comparaciones. Por lo tanto el algoritmo burbuja es O(n2). (n − 1) + (n − 2 ) + + 2 + 1 = De acuerdo con el procedimiento descrito en el ejemplo 3.29, el propósito general del simulador ALGORITMO BURBUJA es ordenar los elementos de una lista Ànita en orden ascendente. Ejemplo 3.30 (Ordenación por fusión). Considérese una vez más el problema de ordenar los elementos de una lista en orden ascendente. Divídase primero la lista en dos sublistas de aproximadamente igual tamaño. Entonces cada sublista es ordenada (lo cual se hace recursivamente por el mismo algoritmo). Finalmente las dos sublistas se fusionan. Algoritmo OrdFus(X) Entrada. Una sucesión X = {x1, x2, …, xn} de números reales. Salida. Una función biyectiva s : {1, …, n} → {1, …, n} tal que xs (i) ≤ xs (i+1) 1. si n = 1 entonces s(1) : = 1; 2. m : = ⎣n|2⎦; A : = {x1, x2, …, xm}; B : = {xm+1, xm+2, …, xn}; m : = OrdFus(A); u : = OrdFus(B); MATEMÁTICAS DISCRETAS – RAMÓN ESPINOSA ARMENTA capitulo 3.indd 119 ALFAOMEGA 12/30/09 12:36:13 PM 120 III. 3. RELACIONES Y FUNCIONES i : = 1; j : = 1; mientras i ≤ m y j≤n−m hacer si xm(i) ≤ xm+u( j) entonces s(i + j − 1) : = m(i); i : = i + 1; en otro caso s(i + j − 1) : = m + u( j); j : = j + 1; mientras i ≤ m hacer s(i + j − 1) : = m(i); i : = i + 1; mientras j ≤ n − m hacer s(i + j − 1) : = m + u( j); j : = j + 1; 4. devolver s. Para determinar la complejidad computacional del algoritmo OrdFus(X), hay que observar que la fusión de las listas se realiza en tiempo lineal, por lo que f (n) = f ( ⎣n/2⎦ ) + f ( ⎡n/2⎤ ) + n También hay que observar que f (2 k ) = f (2 k −1 ) + f (2 k −1 ) + 2 k = 2 f (2 k −1 ) + 2 k = 2(2 f (2 k − 2 ) + 2 k −1 ) + 2 k = 2 2 f (2 k − 2 ) + 2 ⋅ 2 k = 2 2 (2 f (2 k − 3 ) + 2 k − 2 ) + 2 ⋅ 2 k = 2 3 f (2 k − 3 ) + 3 ⋅ 2 k = = 2 k f (1) + k 2 k = k 2 k . Ahora bien, si n ∈ , n > 2, sea k ∈ tal que 2k < n ≤ 2k+1. Por lo tanto f (n) ≤ f (2k+1) = (k + 1)2k+1 ≤ 2k2k+1 = 4k2k ≤ 4n log n donde log n indica el logaritmo en base dos, por lo cual la complejidad computacional del algoritmo de ordenamiento por fusión es O(n log n) por lo que este algoritmo es más eficiente que el algoritmo burbuja. ALFAOMEGA capitulo 3.indd 120 MATEMÁTICAS DISCRETAS – RAMÓN ESPINOSA ARMENTA 12/30/09 12:36:14 PM 3.6 121 RELACIONES BINARIAS Aplicación de las relaciones binarias De acuerdo con el algoritmo descrito en el ejemplo 3.30, el propósito general del simulador ORDENACIÓN POR FUSIÓN es ordenar los elementos de una lista en orden ascendente. La estrategia utilizada en el algoritmo de ordenación por fusión es un ejemplo de un enfoque general llamado divide y vencerás, el cual consiste en dividir un problema en un número fijo de subproblemas del mismo tipo que a su vez se pueden dividir en subproblemas hasta que su tamaño se haya reducido tanto que se pueda resolver fácilmente. Sea f (n) la complejidad computacional de un algoritmo A y sea g(n) una sucesión de números reales no negativos. Se dice que A es de orden al menos g(n) si existen c > 0 y N ∈ tales que cg(n) ≤ f (n) para toda n ≥ N En este caso se escribe: A es Ω(g(n)). También se dice que A es de orden g(n) si A es O(g(n)) y A es Ω(g(n)). En este caso se escribe: A es Θ(g(n)). En algunos sistemas axiomáticos de teoría de conjuntos las relaciones binarias se extienden a las clases (una clase es una colección de conjuntos, u otros objetos matemáticos, los cuales pueden ser deÀnidos en forma no ambigua por una propiedad que todos los miembros comparten), y esta extensión es necesaria para modelar conceptos como “es un elemento de” o “es un subconjunto de” sin incurrir en inconsistencias lógicas tales como la paradoja de Russell. Por otro lado, el concepto de relación binaria se usa en muchas áreas de las matemáticas, por ejemplo en aritmética se aplica a las nociones de “es mayor que”, “es igual a”, “divide a”, “es congruente con”; en geometría se aplica a “es congruente con”; en teoría de grafos se aplica a “es adyacente a”; en álgebra lineal se aplica a “es ortogonal a”. Además de todo esto, el concepto de función se deÀne como un tipo especial de relación binaria. 3.5.1 MATLAB y los algoritmos de ordenación En la lectura adicional MATLAB Y LOS ALGORITMOS DE ORDENACIÓN se describe la forma en que se usa MATLAB para implementar simuladores de ordenación como Algoritmo burbuja y Ordenación por fusión. 3.6 Relaciones binarias Sea A un conjunto no vacío. Una relación binaria en A es un subconjunto R de A × A. Si (a, b) ∈ A se acostumbra escribir aRb y se dice que “a está relacionado con b ”. Si (a, b) ∉ R se escribe ¬(aRb). MATEMÁTICAS DISCRETAS – RAMÓN ESPINOSA ARMENTA capitulo 3.indd 121 ALFAOMEGA 12/30/09 12:36:15 PM 122 III. RELACIONES Y FUNCIONES Una relación binaria R se dice que es: ∀ a ∈ A. • Simétrica si ∀ a, b ∈ A, aRb implica que bRa. • Transitiva si ∀ a, b, c ∈ A, aRb y bRc implica que aRc. • ReÁexiva si aRa Ejemplo 3.31 Sea A = y sea R la relación definida en A como: aRb ⇔ a<b Por lo tanto R no es reflexiva ni simétrica, sin embargo es transitiva. Ejemplo 3.32 Sean X un conjunto y A = ℘(X), también sea R la relación binaria definida en A por: Ejemplos de relaciones de equivalencia Las siguientes relaciones son ejemplos de relaciones de equivalencia: • La igualdad (=) entre elementos de cualquier conjunto. URV ⇔ La relación R es reflexiva y transitiva, sin embargo no es simétrica. • La relación “es similar a” o “es congruente a” en el conjunto de todos los triángulos. • La relación “congruente módulo n” en el conjunto de los enteros. • La relación “tiene la misma imagen bajo la función” en los elementos del dominio de la función. • La relación “equivalencia lógica” de los enunciados lógicos. • La relación “es paralelo a” en el conjunto de subespacios de un espacio afín. Ejemplo 3.34 U⊆V Sean A = {x, y, z} y Ejemplo 3.33 R = {(x, x), (x, y), (y, z), (z, y), (z, z)} La relación R no es reflexiva porque y ∈ A es tal que ¬(yRy); no es simétrica porque xRy pero ¬(yRx); no es transitiva porque xRy y yRz pero ¬(xRz). Una relación binaria R en un conjunto A se dice que es una relación de equivalencia en A si es reÁexiva, simétrica y transitiva. Sea R la relación binaria definida en por aRb ⇔ a−b es par Hay que observar que aRa, ya que a − a = 0 es par. Por lo tanto R es reflexiva. Por otra parte, si aRb entonces a − b = 2q para algún entero q de aquí que b − a = 2(−q), ALFAOMEGA capitulo 3.indd 122 MATEMÁTICAS DISCRETAS – RAMÓN ESPINOSA ARMENTA 12/30/09 12:36:16 PM 3.6 RELACIONES BINARIAS 123 por lo tanto bRa con lo cual se concluye que R es simétrica. Por último, si aRb y bRc entonces existen q1, q2 ∈ tales que a − b = 2q1 b − c = 2q2 Por lo tanto a − c = 2(q1 + q2) y de aquí que aRc, es decir, R es transitiva. Como R es reflexiva, simétrica y transitiva, se concluye que R es una relación de equivalencia en A. Ejemplo 3.35 da en A por: Sean S = {1, 2, 3, 4}, (a, b)R(c, d) A = S × S y R la relación binaria defini⇔ a+d=b+c Se observa que (a, b)R(a, b) porque a + b = b + a, es decir, R es reflexiva. Por otra parte, si (a, b)R(c, d) entonces a + d = b + c y por lo tanto c + b = d + a, lo cual implica que (c, d)R(a, b) y de aquí que R es simétrica. Por último, si (a, b)R(c, d) y (c, d)R(e, f ) entonces a + d = b + c y c + f = d + e, de aquí que a + d + f = b + c + f = b + d + e y por tanto a + f = b + e por lo que (a, b)R(e, f ), con lo cual se concluye que R es transitiva. Sea A un conjunto no vacío. Una partición de A es una colección de conjuntos {Pi}i∈I tales que: (i) Pi ≠ ∅ (ii) Pi ∩ Pi = ∅ si i ≠ j (iii) ∪i∈IPi = A Sea R una relación de equivalencia en un conjunto A. Para cada a ∈ A se deÀne la clase de equivalencia de a como el conjunto: [a] = {x ∈ A | xRa} Teorema 3.7 Sea R una relación de equivalencia en un conjunto no vacío A. Si a, b ∈ A, entonces el conjunto de clases de equivalencias distintas es una partición de A. MATEMÁTICAS DISCRETAS – RAMÓN ESPINOSA ARMENTA capitulo 3.indd 123 ALFAOMEGA 12/30/09 12:36:17 PM 124 III. RELACIONES Y FUNCIONES Demostración Como R es reflexiva, se sigue que a ∈ [a] para toda a ∈ A. Esto muestra que cada clase de equivalencia es no vacía. Supóngase que [a] ∩ [b] ≠ ∅. Sea x ∈ [a] ∩ [b], por lo tanto xRa y xRb. Como R es simétrica, también se tiene que aRx y como R es transitiva, se sigue que aRb, de aquí que [a] = [b] lo cual prueba que cualesquiera dos clases de equivalencia distintas son ajenas. Por último, es claro que la unión de clases de equivalencias distintas es igual a A, pues cada clase de equivalencia es un subconjunto de A y todo elemento de A pertenece a su clase de equivalencia. Ejemplo 3.36 En el ejemplo 3.34 se mostró que la relación R definida en por aRb si y sólo si a − b es par, es una relación de equivalencia. En este caso hay solamente dos clases de equivalencia: [0] = {a ∈ | a = 2k, para algún k ∈ } [1] = {a ∈ | a = 2k + 1, para algún k ∈ } Ejemplo 3.37 Sean S = {1, 2, 3, 4} y A = S × S. En el ejemplo 3.35 se mostró que la relación R definida en A por (a, b)R(c, d) si y sólo si a + d = b + c, es una relación de equivalencia. En este caso hay siete clases de equivalencia: [(1, 1)] = {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4)} [(2, 1)] = {(1, 1), (3, 2), (4, 3)} [(3, 1)] = {(3, 1), (4, 2)} [(4, 1)] = {(4, 1)} [(1, 2)] = {(1, 2), (2, 3), (3, 4)} [(3, 1)] = {(1, 3), (2, 4)} [(1, 4)] = {(1, 4)} 3.7 Relaciones de orden Una relación binaria R deÀnida en un conjunto A se dice que es: • Asimétrica si para cualesquiera a, b ∈ A, si aRb entonces ¬(bRa). • Antisimétrica si para cualesquiera a, b ∈ A, si aRb y bRa entonces a = b. • Completa si para cualesquiera a, b ∈ A, aRb o bRa. • Débilmente completa si para cualesquiera a, b ∈ A, a ≠ b, aRb o bRa. ALFAOMEGA capitulo 3.indd 124 MATEMÁTICAS DISCRETAS – RAMÓN ESPINOSA ARMENTA 12/30/09 12:36:18 PM 3.7 Ejemplo 3.38 RELACIONES DE ORDEN 125 La relación R definida en como aRb ⇔ a≤b es completa. Un orden débil en A es una relación binaria que es transitiva y completa. Generalmente se escribe a ⊀ − b si ¬(a b) . Ejemplo 3.39 Sea A un conjunto de alternativas de entre las cuales una persona debe elegir. Se escribe a b si para la persona la alternativa b es al menos tan buena como la alternativa a. La mayoría de los modelos de decisión suponen que la relación de preferencia es un orden débil. Teorema 3.8 Sea A un conjunto y sea f : A → una función. Entonces la relación binaria definida en A por ab ⇔ f (a) ≤ f (b) es un orden débil en A. Demostración Es claro que para cualesquiera dos elementos a, b ∈ A se tiene que f (a) ≤ f (b) o f (b) ≤ f (a), lo cual implica que a b o b a. Por lo tanto la relación es completa. Por otra parte, si a b y b c entonces f (a) f (b) y f (b) ≤ f (c), por lo tanto f (a) ≤ f (c), lo cual implica que a c, es decir, es transitiva. Como es completa y transitiva entonces es un orden débil. El siguiente teorema muestra que el recíproco del resultado anterior es válido si el conjunto A es finito. Teorema 3.9 Sea A un conjunto finito y sea un orden débil en A. Entonces existe una función f : A → tal que a b ⇔ f (a) ≤ f (b) Demostración Sea un orden débil en A. Para cada a ∈ A defínase f (a) = |{x ∈ A | x a}| MATEMÁTICAS DISCRETAS – RAMÓN ESPINOSA ARMENTA capitulo 3.indd 125 ALFAOMEGA 12/30/09 12:36:19 PM 126 III. RELACIONES Y FUNCIONES Sean a, b ∈ A tales que a b. Si x ∈ A es tal que x a, entonces por transitividad se tiene que x b, de modo que {x ∈ A | x a} ⊆ {x ∈ A | x b} y por lo tanto f (a) ≤ f (b). Por otra parte, si a, b ∈ A son tales que a ⊀ − b entonces b a (porque es completa). De modo que x b implica que x a, y por lo tanto {x ∈ A | x b} ⊆ {x ∈ A | x a} Además la contención es propia porque a a y a ⊀ − b. Por lo tanto f (b) ≤ f (a). En conclusión a b si y sólo si f (a) ≤ f (b). La función f que aparece en el teorema anterior es una representación numérica de la relación . En ciencias de la decisión esta función se conoce como función de valor. Corolario 3.3 Sea A un conjunto con n elementos y sea ≤ un orden débil en A. Entonces se pueden enumerar los elementos de A como a1, a2, …, an de modo que a1 ≤ a2 ≤ … ≤ an Demostración Como A es finito se sigue del teorema anterior que existe una función f : A → tal que a ≤ b ⇔ f (a) ≤ f (b), por lo que los elementos de A se pueden enumerar como a1, a2, …, an de modo que f (a1) ≤ f (a2) ≤ … ≤ f (an), lo cual implica que a1 ≤ a2 ≤ … ≤ an. Un orden débil que también es antisimétrico es llamado un orden total (los términos orden lineal y orden simple también son usados). Sea un orden total en un conjunto A y sea ≺ la relación binaria en A deÀnida por a≺b ⇔ ab ∧ a≠b Es claro que ≺ es asimétrica, transitiva y débilmente completa. Una relación que satisface estas propiedades se dice que es un orden total estricto. Una relación binaria deÀnida en un conjunto A se dice que es un orden parcial, si es reÁexiva, antisimétrica y transitiva. Si es un orden parcial en A entonces la pareja ordenada (A, ) es llamada un conjunto parcialmente ordenado, o para abreviar, un copo. Ejemplo 3.40 Sea A = y defínase ab ALFAOMEGA capitulo 3.indd 126 ⇔ a≤b MATEMÁTICAS DISCRETAS – RAMÓN ESPINOSA ARMENTA 12/30/09 12:36:20 PM 3.7 127 RELACIONES DE ORDEN Se sabe que a ≤ a para todo a ∈ , por lo que la relación es reflexiva. También se sabe que si a ≤ b y b ≤ a entonces a = b, es decir, la relación es antisimétrica. Por último, se sabe que si a ≤ b y b ≤ c entonces a ≤ c, de modo que la relación es transitiva, con lo cual se concluye que (, ≤) es un copo. Ejemplo 3.41 Sea X un conjunto arbitrario pero fijo y sea A = ℘(X) el conjunto potencia de X. Sea la relación binaria definida en A por Conjuntos bien ordenados Un conjunto bien ordenado es un conjunto no vacío totalmente ordenado tal que todo subconjunto no vacío tiene un elemento mínimo. El conjunto de los números naturales es un ejemplo de conjunto bien ordenado, mientras que el conjunto de los números reales no lo es ya que por ejemplo el intervalo abierto (0, 1) no contiene un elemento mínimo. VW ⇔ V⊆W Por definición de contención de conjuntos es claro que V ⊆ V y por lo tanto V V. De la definición de igualdad de conjuntos se tiene que si V ⊆ W y W ⊆ V entonces V = W. Por último, también es claro que si V ⊆ W y W ⊆ U entonces V ⊆ U. Por lo tanto (℘(X), ⊆) es un copo. Ejemplo 3.42 Sea A = y defínase ab ⇔ a|b En el capítulo anterior se vio que a | a para todo a ∈ , además si a | b y b | a entonces a ≤ b y b ≤ a y por lo tanto a = b. Por último, también se vio que si a | b y b | c entonces a | c. De aquí que (, |) es un copo. Si es un orden parcial en A, se puede ver fácilmente que la relación definida por ab ⇔ ba también es un orden parcial en A y esta relación se conoce como relación dual. El copo (A, ) es llamado el dual del copo (A, ). Todo orden total es un orden parcial, pero no recíprocamente, pues un orden parcial no es necesariamente completo. Si es un orden parcial en un conjunto A, y a, b son elementos de A, entonces se escribirá a ⊀ − b en lugar de ¬(a b). Dos elementos a, b ∈ A se dice que son incomparables si a ⊀ −byb⊀ − a. Dado un orden parcial en un conjunto A, se define la relación ≺ en A como a≺b ⇔ ab MATEMÁTICAS DISCRETAS – RAMÓN ESPINOSA ARMENTA capitulo 3.indd 127 ∧ a≠b ALFAOMEGA 12/30/09 12:36:21 PM 128 III. RELACIONES Y FUNCIONES Es claro que esta relación es asimétrica y transitiva. Una relación binaria que satisface estas dos propiedades se conoce como un orden parcial estricto. Helmut Hasse M (1898-1979) atemático alemán que trabajó en la teoría algebraica de números y que es comúnmente conocido por los llamados diagramas de Hasse. En 1920 en la Universidad de Marburgo estudió teoría de números bajo la dirección de Kurt Hensel, y entre los matemáticos con los que trabajó destaca su colaboración con Emmy Noether, Richard Brauer, Harold Davenport y Cahit Arf. Un aspecto polémico de su personalidad es la estrecha relación que sostuvo con el partido nazi durante la segunda guerra mundial. Sea A un conjunto finito y sea un orden parcial en A. Se dice que el elemento a cubre al elemento b si b a y no existe x ∈ A tal que b x a. Por otro lado, el copo (A, ) se puede representar geométricamente asignando a cada elemento de A un punto en el plano, de modo que si a cubre a b entonces el punto que representa a a está arriba del punto que representa a b. En este caso también se dibuja una línea uniendo esos puntos. Tal representación se llama diagrama de Hasse. Ejemplo 3.43 Sea A el conjunto potencia de {1, 2, 3}. En la siguiente figura se muestra el diagrama de Hasse del copo (A, ⊆). {1, 2, 3} {1, 2} {1, 3} {2, 3} {1} {2} {3} ∅ Ejemplo 3.44 En la siguiente figura se muestra el diagrama de Hasse de un conjunto totalmente ordenado con cinco elementos. ALFAOMEGA capitulo 3.indd 128 MATEMÁTICAS DISCRETAS – RAMÓN ESPINOSA ARMENTA 12/30/09 12:36:21 PM 3.7 RELACIONES DE ORDEN 129 Sea (A, ) un copo. Un elemento a ∈ A es llamado un elemento maximal de A si para todo b ∈ A se tiene que b a o bien a, b son incomparables. Análogamente, un elemento a ∈ A se dice que es un elemento minimal de A si para todo b ∈ A se tiene que a b o bien a, b son incomparables. Ejemplo 3.45 Considérese el copo cuyo diagrama de Hasse es el siguiente a b c d f e g h Aquí a y b son elementos maximales y h es un elemento minimal. Teorema 3.10 Sea (A, ) un copo y supóngase que A es finito y no vacío, entonces A tiene un elemento maximal y uno minimal. Demostración Sea a1 ∈ A. Si para todo b ∈ A se tiene que b a1 o a1, b son incomparables, entonces a1 es maximal. En otro caso existe a2 ∈ A, a2 ≠ a1 tal que a1 a2. Si para todo b ∈ A se tiene que b a2 o a2, b son incomparables, entonces a2 es maximal. En otro caso existe a3 ∈ A, a3 ≠ a2 tal que a2 a3. Hay que observar también que a3 ≠ a1, pues es antisimétrica. Continuando este proceso, como A es finito se llega finalmente a un elemento ak ∈ A que sea maximal. La existencia de un elemento minimal se prueba de manera análoga. Sea (A, ) un copo. Un elemento a ∈ A se dice que es un elemento máximo de A si b a para todo b ∈ A. Análogamente, un elemento a ∈ A se dice que es un elemento mínimo de A si a b para todo b ∈ A. Un elemento máximo es maximal y un elemento mínimo es minimal, sin embargo el recíproco no necesariamente es cierto. MATEMÁTICAS DISCRETAS – RAMÓN ESPINOSA ARMENTA capitulo 3.indd 129 ALFAOMEGA 12/30/09 12:36:22 PM 130 III. RELACIONES Y FUNCIONES Ejemplo 3.46 En el copo del ejemplo anterior h es un elemento mínimo, pero no hay elementos máximos. Topología del orden En cualquier conjunto totalmente ordenado X se pueden deÀnir los intervalos abiertos (a, b) = {x | a < x y x <b} (−∞, b) = {x | x < b} (a, ∞) = {x | a < x} (−∞, ∞) = X. y con éstos se puede deÀnir una topología en cualquier conjunto ordenado. Esta topología del orden es una generalización de la topología de los números reales. Por otro lado, cuando se usa más de un orden sobre un conjunto se habla de la topología del orden inducida por un orden particular. Por ejemplo, si se considera el conjunto de los naturales y <, > respectivamente son las relaciones usuales de “menor que” y “mayor que”, entonces se puede hablar de la topología del orden en los naturales inducida por < y de la inducida por > que en este caso particular resultan ser la misma, sin embargo en general esto no es así. Teorema 3.11 (Ordenación topológica). Sea A un conjunto con n elementos (n ≥ 1), y sea un orden parcial en A. Entonces los elementos de A se pueden etiquetar como a1, a2, …, an de modo que ai aj ⇒ i≤j Demostración La demostración se hace por inducción sobre n. Si n = 1 entonces a1 es el único elemento de A. Supóngase que el resultado es cierto para cualquier copo con n − 1 elementos y sea (A, ) un copo con n elementos. Sea a1 un elemento minimal en A y sea B = A − {a1}. Por lo tanto (B, ) es un copo con n − 1 elementos, por lo que, por hipótesis de inducción los elementos de B se pueden etiquetar como b1, b2, …, bn−1 de modo que si bi bj entonces i ≤ j. Por lo que se puede definir ai = bi−1 para toda i = 2, 3, …, n para tener la etiquetación deseada. Ejemplo 3.47 Una posible ordenación topológica para el copo del ejemplo 3.45 es a, b, c, d, e, f, g, h. 3.7.1 Retículos Sea (A, ) un copo y sea B ⊆ A. Un elemento a ∈ A se dice que es una cota superior de B si b a para toda b ∈ B. Análogamente, se dice que a ∈ A es una cota inferior de B si a b para toda b ∈ B. Sea (A, ) un copo y sea B ⊆ A. Un elemento a ∈ A se dice que es una mínima cota superior de B, si a es una cota superior de B y si para cualquier cota superior c de B se cumple que a c. Análogamente, un elemento a ∈ A se dice que es la máxima cota inferior de B, si a es una cota inferior de B y si para cualquier cota inferior c de B se cumple que c a. Se puede demostrar que B tiene a lo más una mínima cota superior y a lo más una máxima cota inferior (problema 3.74). ALFAOMEGA capitulo 3.indd 130 MATEMÁTICAS DISCRETAS – RAMÓN ESPINOSA ARMENTA 12/30/09 12:36:22 PM 3.7 Ejemplo 3.48 RELACIONES DE ORDEN 131 Considérese el copo cuyo diagrama de Hasse es el siguiente: a b c d e f Sea B = {d, e, f }. Las cotas superiores de B son d, c, a y b. La mínima cota superior de B es d. Por otra parte, las cotas inferiores son e, f y d. En este caso no existe una máxima cota inferior, pues e y f son incomparables. Un retículo es un conjunto parcialmente ordenado (L, ) tal que cada subconjunto {a, b} de dos elementos de L, tiene una mínima cota superior y una máxima cota inferior. Ejemplo 3.49 Considérese el copo (, |). Si a, b ∈ , una cota inferior de {a, b} debe se un divisor común de a y b, por lo que d = mcd(a, b) es la máxima cota inferior. Por otra parte, m = mcm(a, b) es la mínima cota superior de {a, b}. Por lo tanto (, |) es un retículo. Ejemplo 3.50 Sea X un conjunto y sea ℘(X) su conjunto potencia. Considérese el copo (℘(X), ⊆). Si A, B ∈ ℘(X) entonces A ∪ B es la mínima cota superior de {A, B} y A ∩ B es la máxima cota inferior. Por lo tanto (℘(X), ⊆) es un retículo. MATEMÁTICAS DISCRETAS – RAMÓN ESPINOSA ARMENTA capitulo 3.indd 131 ALFAOMEGA 12/30/09 12:36:23 PM 132 III. Ejemplo 3.51 RELACIONES Y FUNCIONES Considérese el copo cuyo diagrama de Hasse es el siguiente: a b c d e f Hay que observar que no existe una máxima cota inferior de {b, c}, por lo que no es un retículo. Si (L, ) es un retículo, se escribe a ∨ b = mínima cota superior de {a, b} a ∧ b = máxima cota inferior de {a, b} Por definición ∨ y ∧ son operaciones binarias en L. El siguiente resultado establece algunas propiedades de estas operaciones. Teorema 3.12 Sea (L, ) un retículo, entonces para cualesquiera a, b, c ∈ L se cumplen las siguientes propiedades: (1) Leyes asociativas: a ∨ (b ∨ c) = (a ∨ b) ∨ c a ∧ (b ∧ c) = (a ∧ b) ∧ c (2) Leyes conmutativas: a∨b=b∨a a∧b=b∧a (3) Leyes de idempotencia: a∨a=a a∧a=a ALFAOMEGA capitulo 3.indd 132 MATEMÁTICAS DISCRETAS – RAMÓN ESPINOSA ARMENTA 12/30/09 12:36:24 PM 3.8 RESUMEN 133 (4) Leyes de absorción: a ∨ (a ∧ b) = a a ∧ (a ∨ b) = a Demostración Para probar la propiedad (1) hay que observar que, por definición, a a ∨ (b ∨ c), b ∨ c a ∨ (b ∨ c) y también que b b ∨ c. Por lo tanto a ∨ (b ∨ c) es cota superior de {a, b}, por lo que, por definición, a ∨ b a ∨ (b ∨ c). Por otra parte, c (b ∨ c) a ∨ (b ∨ c) por lo que a ∨ (b ∨ c) es cota superior de {a ∨ b, c} de aquí que (a ∨ b) ∨ c a ∨ (b ∨ c) Análogamente, a ∨ (b ∨ c) (a ∨ b) ∨ c, por lo que, por antisimetría, a ∨ (b ∨ c) = (a ∨ b) ∨ c. La demostración de que a ∧ (b ∧ c) = (a ∧ b) ∧ c es similar y se deja al lector (problema 3.75a). La propiedades (2) y (3) se siguen directamente de la definición, por lo que omitimos su demostración. Para probar la propiedad (4) hay que observar que, por definición, a a y a ∧ b a. Por lo tanto a es cota superior de {a, a ∧ b}, y de ahí que a a ∨ (a ∧ b) a. Por otra parte, a a ∨ (a ∧ b), por lo que, por antisimetría, a ∨ (a ∧ b) = a. La demostración de que a ∧ (a ∨ b) = a se deja al lector (problema 3.75b). 3.8 Resumen En este capítulo se expusieron el concepto de función y algunos ejemplos de funciones importantes en matemáticas discretas. Se definieron los conceptos de función inyectiva, suprayectiva y biyectiva, se expuso la noción de composición de funciones y la de función inversa. Se utilizó la noción de función biyectiva para precisar el concepto de conjunto finito y se demostraron el principio de la pichonera y los principios de la suma y del producto. Luego se expuso la noción de relación binaria así como los tipos de relaciones binarias, incluida la noción de relación de equivalencia. Se expusieron las relaciones de orden débil, orden total y orden parcial, así como la noción de retículo. Dado un conjunto finito, con frecuencia se requiere saber cuántos elementos del conjunto satisfacen cierta propiedad. En el siguiente capítulo se exponen algunos métodos de conteo que serán aplicables a una gran variedad de situaciones. MATEMÁTICAS DISCRETAS – RAMÓN ESPINOSA ARMENTA capitulo 3.indd 133 ALFAOMEGA 12/30/09 12:36:24 PM 134 III. RELACIONES Y FUNCIONES 3.9 Problemas Funciones 3.1 Demostrar que si A, B, C y D son conjuntos, entonces C×D⊆A×B ⇔ C⊆A y D⊆B 3.2 Demostrar que si A, B y C son conjuntos, entonces (A ∪ D) × C = (A × C) ∪ (B × C) 3.3 Demostrar que si A, B y C son conjuntos, entonces (A ∩ D) × (C ∩ D) = (A × C) ∩ (B × D) 3.4 Demostrar que si A, B y C son conjuntos, entonces (A − B) × C = (A × C) − (B × C) 3.5 Sean A = {1, 2, 3} y B = {4, 5, 6}. ¿Cuáles de las siguientes relaciones de A en B son funciones? a) {(1, 5), (3, 6)}. b) {(1, 4), (2, 6), (3, 4)}. c) {(1, 6), (2, 4), (2, 5), (3, 6)}. d) {(1, 4), (2, 4), (3, 6)}. d) {(2, 4), (2, 6), (3, 5)}. 3.6 Determinar en cada inciso si la relación es una función de en . a) {(n, 2n + 5) | n ∈ }. b) {(2n + 5, n) | n ∈ }. 3.7 Demostrar las siguientes propiedades de las funciones piso y techo. a) Si x ∉ , entonces ⎡x⎤ − ⎣x⎦ = 1. b) x − 1 < ⎣x⎦ ≤ x ≤ ⎡x⎤ < x + 1. ALFAOMEGA capitulo 3.indd 134 MATEMÁTICAS DISCRETAS – RAMÓN ESPINOSA ARMENTA 12/30/09 12:36:25 PM 3.9 PROBLEMAS 135 3.8 Demostrar las siguientes propiedades de las funciones piso y techo. a) ⎣−x⎦ = − ⎡x⎤. b) ⎡−x⎤ = − ⎣x⎦. c) ⎡x + n⎤ = ⎡x⎤ + n, para todo n ∈ . 3.9 Sean A y B subconjuntos de un conjunto X. Demostrar que a) ΨAc = 1 − ΨA. b) ΨA−B = ΨA − ΨAΨB. 3.10 Sean A y B subconjuntos de un conjunto X. Demostrar que ΨA⊕B = ΨA + ΨB − 2ΨAΨB. 3.11 Usando funciones características demostrar que si A, B y C son subconjuntos de un conjunto X, entonces (A ⊕ B) ⊕ C = A ⊕ (B ⊕ C). 3.12 Determinar si la función f : → , definida por f (n) = 4n + 3, es inyectiva, suprayectiva o biyectiva. 3.13 Determinar si la función f : → , definida por f (n) = 5n − 2, es inyectiva, suprayectiva o biyectiva. 3.14 Determinar si la función f : → , definida por f (n) = |n|, es inyectiva, suprayectiva o biyectiva. 3.15 Determinar si la función f : → , definida por f (n) = n2, es inyectiva, suprayectiva o biyectiva. 3.16 Determinar si la función f : × → , definida por f (n, m) = n + m, es inyectiva, suprayectiva o biyectiva. 3.17 Determinar si la función f : × → definida por f (n, m) = nm, es inyectiva, suprayectiva o biyectiva. 3.18 Sean f : → y g : → , definidas por: ⎧−1 ⎪ f (n) = ⎨ 0 ⎪1 ⎩ si n < 0 si n = 0 si n > 0 ⎧−2n g(n) = ⎨ ⎩n + 1 sii n ≤ 0 si n > 0 Determinar g f y f g. MATEMÁTICAS DISCRETAS – RAMÓN ESPINOSA ARMENTA capitulo 3.indd 135 ALFAOMEGA 12/30/09 12:36:25 PM 136 III. RELACIONES Y FUNCIONES 3.19 Dar un ejemplo de una función f : A → B y de una función g : B → C, tales que g f sea inyectiva, pero que g no lo sea. 3.20 Sean f : A → B y g : B → C, tales que g f es inyectiva. Demostrar que f es inyectiva. 3.21 Dar un ejemplo de una función f : A → B y de una función g : B → C, tales que g f sea suprayectiva, pero que f no lo sea. 3.22 Sean f : A → B y g : B → C, tales que g f es suprayectiva. Demostrar que g es suprayectiva. 3.23 Sean f : A → B, g : B → C y h : C → D. Demostrar que (h g) f = h (g f ). 3.24 Si A y B son conjuntos no vacíos, demostrar que existe una biyección entre A × B y B × A. 3.25 Demostrar que si f : A → B y g : B → C son invertibles, entonces g f es invertible y (g f )−1 = f −1 g−1. 3.26 Usando el simulador FUNCIÓN DE ULAM calcular U(n) para n = 2, 3, …, 20. 3.27 Sean f : A → B y V ⊆ A. La imagen de V bajo f, es el conjunto f (V) = { f (a) | a ∈ V} a) Demostrar que f (V ∪ W) = f (V) ∪ f (W). b) Presentar un ejemplo en el que f (V ∩ W) ≠ f (V) ∩ f (W) 3.28 Sean f : A → B y W ⊆ B. La imagen inversa de W bajo f, es el conjunto f −1(W) = {a ∈ A | f (a) ∈ W} ALFAOMEGA capitulo 3.indd 136 MATEMÁTICAS DISCRETAS – RAMÓN ESPINOSA ARMENTA 12/30/09 12:36:25 PM 3.9 PROBLEMAS 137 Demostrar que: a) f −1(∅) = ∅. b) Si V ⊆ W, entonces f −1(V) ⊆ f −1(W). c) f −1(V ∩ W) = f −1(V) ∩ f −1(W). d) f −1(V ∪ W) = f −1(V) ∪ f −1(W). Conjuntos Ànitos 3.29 Dado un grupo de n mujeres y sus esposos, ¿cuántas personas deben elegirse de este grupo de 2n personas, para garantizar que el conjunto contiene al menos un matrimonio? 3.30 Demostrar que en cualquier grupo de n personas existen al menos dos con exactamente el mismo número de amigos en el grupo. 3.31 Demostrar que si X es un conjunto finito, entonces para cualquier A ⊆ X se cumple que | Ac | = | X | − | A |. 3.32 Demostrar que si A es un conjunto finito, entonces para cualquier B ⊆ A se cumple que | A − B | = | A | − | B |. 3.33 Demostrar que si A1, A2, …, Am son conjuntos finitos mutuamente ajenos, entonces m | ∪ Ai | = | A1 | + | A2 | + … + | Am | i =1 3.34 Demostrar que si A1, A2, …, Am son conjuntos finitos, entonces | A1 × A2 × … × Am | = | A1 | | A2 | … | Am | 3.35 Si A es un conjunto con n elementos, B es un conjunto con m elementos y 0 < n ≤ m, ¿cuántas funciones inyectivas de A en B hay? 3.36 ¿Cuántos divisores positivos tiene el número 35 76 113 132? 3.37 ¿Cuántos divisores positivos tiene el número 13!? 3.38 Determinar el número de palabras de longitud del alfabeto {0, 1}. 3.39 En el código Morse, cada letra se representa por medio de una sucesión finita de puntos o líneas, con repeticiones permitidas. Determinar el número de letras que pueden representarse por medio de sucesiones de a lo más n símbolos. MATEMÁTICAS DISCRETAS – RAMÓN ESPINOSA ARMENTA capitulo 3.indd 137 ALFAOMEGA 12/30/09 12:36:27 PM 138 III. RELACIONES Y FUNCIONES 3.40 Un examen tiene 25 preguntas de opción múltiple. Cada pregunta tiene 4 respuestas posibles, de las cuales sólo una es correcta. ¿De cuántas formas posibles se puede resolver el examen, suponiendo que no se dejan preguntas sin contestar? 3.41 En una liga de fútbol hay 16 equipos, de modo que cada jornada se juegan 8 partidos. ¿Cuántos resultados posibles puede haber para una jornada? 3.42 Demostrar que en un grupo de 40 personas debe haber al menos 4 que nazcan en el mismo mes. 3.43 Demostrar que en un grupo de 2000 personas debe haber al menos 5 que cumplan años el mismo día. 3.44 Un profesor de matemáticas tiene 4 libros distintos de Cálculo, 3 libros distintos de Álgebra y 2 libros distintos de Geometría. ¿De cuántas formas puede acomodar los libros en un estante si a) los libros de Cálculo deben estar a la izquierda y los libros de Geometría a la derecha? b) todos los libros de la misma disciplina deben estar juntos? 3.45 En un grupo de 23 personas se debe elegir una mesa directiva que conste de un presidente, un secretario y un tesorero. ¿De cuántas formas se puede realizar la elección si a) Juan Pérez no puede pertenecer a la mesa directiva? b) Juan Pérez debe pertenecer a la mesa directiva? c) Juan Pérez y María López no pueden estar juntos en la mesa directiva? d) María López debe ser la presidenta de la mesa directiva? Conjuntos inÀnitos 3.46 A partir de lo expuesto en la lectura adicional CONJUNTOS INFINITOS Demostrar que el conjunto de los números naturales pares tiene la misma cardinalidad que el conjunto de los números naturales impares. ALFAOMEGA capitulo 3.indd 138 MATEMÁTICAS DISCRETAS – RAMÓN ESPINOSA ARMENTA 12/30/09 12:36:27 PM 3.9 PROBLEMAS 139 3.47 A partir de lo expuesto en la lectura adicional CONJUNTOS INFINITOS Demostrar que si B ⊆ A y B es infinito, entonces A es infinito. 3.48 A partir de lo expuesto en la lectura adicional CONJUNTOS INFINITOS Demostrar que la intersección de dos conjuntos infinitos no es necesariamente un conjunto infinito. 3.49 A partir de lo expuesto en la lectura adicional CONJUNTOS INFINITOS Sean A y B dos conjuntos infinitos, tales que B ⊆ A. ¿Es B − A necesariamente infinito? ¿Es B − A necesariamente finito? 3.50 A partir de lo expuesto en la lectura adicional CONJUNTOS INFINITOS Demostrar que el conjunto de los números primos es numerable. MATEMÁTICAS DISCRETAS – RAMÓN ESPINOSA ARMENTA capitulo 3.indd 139 ALFAOMEGA 12/30/09 12:36:28 PM 140 III. RELACIONES Y FUNCIONES Complejidad computacional 3.51 Si la complejidad computacional de un algoritmo A es f (n) = 2n3 − 5n + 6. demostrar que A es Θ(n3). 3.52 Si la complejidad computacional de un algoritmo A es f (n) = n4 + 5n3 + n2 + 2n + 4. demostrar que A es Θ(n4). 3.53 Si la complejidad computacional de un algoritmo A es f (n ) = 2n 3 + 3 . n+2 obtener una función g(n) tal que A es Ω(g(n)). 3.54 Si la complejidad computacional de un algoritmo A es f (n ) = n2 5n 3n obtener una función g(n) tal que A es Ω(g(n)). 3.55 Usando el simulador ALGORITMO BURBUJA ordenar los términos de la sucesión 3, 2, 1, 5. ALFAOMEGA capitulo 3.indd 140 MATEMÁTICAS DISCRETAS – RAMÓN ESPINOSA ARMENTA 12/30/09 12:36:30 PM 3.9 PROBLEMAS 141 3.56 Usando el simulador ORDENACIÓN POR FUSIÓN ordenar los términos de la sucesión 1, 5, 3, 9, 13, 2, 11, 23, 7, 19, 17, 15. Relaciones binarias 3.57 Sea A = {1, 2, 3, 4}. Determinar si la relación R = {(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2), (3, 3), (3, 4), (4, 3), (4, 4)} es reflexiva, simétrica o transitiva. 3.58 Sea A = {1, 2, 3, 4}. Determinar si la relación R = {(1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 3), (2, 4), (3, 4)} es reflexiva, simétrica o transitiva. 3.59 Sea A = . Determinar si la relación R definida por aRb ⇔ a + b es par es reflexiva, simétrica o transitiva. 3.60 Sea A = . Determinar si la relación R definida por aRb ⇔ a−b=1 es reflexiva, simétrica o transitiva. 3.61 Sea A = × . Determinar si la relación R definida por (a, b)R(c, d) ⇔ a=c es reflexiva, simétrica o transitiva. MATEMÁTICAS DISCRETAS – RAMÓN ESPINOSA ARMENTA capitulo 3.indd 141 ALFAOMEGA 12/30/09 12:36:31 PM 142 III. RELACIONES Y FUNCIONES 3.62 Sea A = . Determinar si la relación R definida por ⇔ a≤b+1 aRb es reflexiva, simétrica o transitiva. 3.63 Sea S = {(1, 2, 3, 4} y sea A = S × S. Sea R la relación definida en A por: (a, b)R(c, d) ⇔ ad = bc Demostrar que R es una relación de equivalencia y determinar la partición de A inducida por R. 3.64 Sea A un conjunto no vacío, y sea {Pi}i∈I una partición de A. Sea R la relación binaria definida en A por: ⇔ existe i ∈ I tal que a ∈ Pi y b ∈ Pi. aRb Demostrar que R es una relación de equivalencia en A. 3.65 Una relación binaria R en un conjunto A se dice que es negativamente transitiva, si para cualesquiera a, b, c ∈ A, si ¬(aRb) y ¬(bRc), entonces ¬(aRc). ¿Cuáles de las siguientes relaciones binarias en A son negativamente transitivas? a) A = , aRb ⇔ a ≤ b. b) A = , aRb ⇔ a < b. c) A = ℘(X), VRW ⇔ V ⊆ W. 3.66 Sea R una relación binaria en A. Demostrar que R es negativamente transitiva si y sólo si para cualesquiera a, b, c ∈ A, si aRc entonces aRb o bRc. Relaciones de orden 3.67 Sea A = × y sea la relación binaria definida en A por (a, b) (c, d) ⇔ a≤c ∧ b≤d ¿Es un orden débil en A? ALFAOMEGA capitulo 3.indd 142 MATEMÁTICAS DISCRETAS – RAMÓN ESPINOSA ARMENTA 12/30/09 12:36:31 PM 3.9 PROBLEMAS 143 3.68 Sean R y S órdenes débiles en A. a) ¿Es R ∩ S un orden débil? b) ¿Es R ∪ S un orden débil? 3.69 (Orden lexicográfico) Sea A = × y sea la relación binaria definida en A por (a, b) (c, d) ⇔ a<c ∨ (a = c ∧ b ≤ d) Demostrar que es un orden total en A. 3.70 Sea R la relación binaria definida en por aRb ⇔ a = 2b ¿Es un orden parcial en ? Justificar respuesta. 3.71 Sea R la relación binaria definida en por aRb ⇔ a2 ≤ b2 ¿Es un orden parcial en ? Justificar respuesta. 3.72 Sea un orden débil en A y sea ≺ la relación binaria en A definida por a≺b ⇔ ab y b⊀ −a Demostrar que ≺ es un orden parcial estricto. 3.73 Demostrar que si ≺ es un orden parcial estricto en A entonces la relación definida por ab ⇔ a ≺ b o bien a = b es un orden parcial en A. 3.74 Sea (A, ) un copo. Demostrar que si existe un elemento máximo (o mínimo), entonces ese elemento es único. MATEMÁTICAS DISCRETAS – RAMÓN ESPINOSA ARMENTA capitulo 3.indd 143 ALFAOMEGA 12/30/09 12:36:32 PM 144 III. RELACIONES Y FUNCIONES 3.75 Sea (L, ) un retículo. Demostrar que, para cualesquiera a, b, c ∈ L se cumplen las siguientes propiedades: a) (a ∧ b) ∧ c = a ∧ (b ∧ c). b) a ∧ (a ∨ b) = a. 3.76 Sea un orden débil en A y sea ∼ la relación binaria en A definida por a∼b ⇔ ab ba y a) Demostrar que ∼ es una relación de equivalencia en A. b) Sea A* el conjunto de clases de equivalencia bajo ∼ y defínase la relación * en como: [a] * [b] ⇔ a≤b Demostrar que está bien definida, es decir, si a′ ∈ [a] y b′ ∈ [b] entonces a′ b′ ⇔ a b. c) Demostrar que * es un orden total en A*. 3.77 Sean (A1, 1) y (A2, 2) dos copos. Sea A = A1 × A2 y sea la relación binaria en A definida por (a, b) (c, d) ⇔ a 1 c y b 2 d. Demostrar que (A, ) es un copo. ALFAOMEGA capitulo 3.indd 144 MATEMÁTICAS DISCRETAS – RAMÓN ESPINOSA ARMENTA 12/30/09 12:36:32 PM 3.10 3.10 CONTENIDO INTERACTIVO 145 Contenido interactivo El material marcado con asterisco (*) sólo está disponible para docentes. Mapa conceptual Simuladores • Graficador de funciones • Función de Ulam • Algoritmo burbuja • Ordenación por fusión Lecturas adicionales • Conjuntos infinitos • MATLAB y los algoritmos de ordenación Respuesta y desarrollo de problemas seleccionados *Presentaciones *Respuesta y desarrollo de problemas Glosario MATEMÁTICAS DISCRETAS – RAMÓN ESPINOSA ARMENTA capitulo 3.indd 145 ALFAOMEGA 12/30/09 12:36:33 PM capitulo 4.indd 146 12/30/09 12:37:21 PM Parte II Estructuras algebraicas discretas capitulo 4.indd 147 12/30/09 12:37:21 PM CAPÍTULO IV 1 ⋅ 0 1 2 Grupos, anillos y campos 2 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6* 4.7 4.8 4.9 4.10 4.11 3 * a b c a b c a b c a b c a b a ⎛1 f1 = ⎜ ⎝1 ⎛1 f4 = ⎜ ⎝1 Introducción Operaciones binarias Grupos Anillos Campos Números complejos Aritmética modular Aplicación: criptografía Resumen Problemas Contenido interactivo *Ver Plataforma de contenidos interactivos. capitulo 4.indd 148 12/30/09 12:37:22 PM La matemática es la música de la razón. 0 1 2 0 1 2 1 2 0 2 0 1 ⋅ 0 1 2 0 0 0 0 1 0 1 2 2 0 2 1 2 3⎞ ; 2 3⎟⎠ ⎛ 1 2 3⎞ f2 = ⎜ ; ⎝ 2 3 1⎟⎠ ⎛ 1 2 3⎞ f3 = ⎜ ; ⎝ 3 1 2⎟⎠ 2 3⎞ ; 3 2⎟⎠ ⎛ 1 2 3⎞ f5 = ⎜ ; ⎝ 3 2 1⎟⎠ ⎛ 1 2 3⎞ f6 = ⎜ ⎝ 2 1 3⎟⎠ James Joseph Sylvester Objetivos • • • • capitulo 4.indd 149 Exponer la noción de operación binaria y la de monoide. DeÀnir la noción de grupo y establecer sus propiedades. Exponer la noción de anillo y de campo y probar sus propiedades. Describir la aritmética modular y mostrar su utilización en el sistema criptográÀco RSA. 12/30/09 12:37:40 PM 150 IV. GRUPOS, ANILLOS Y CAMPOS 4.1 Introducción En este capítulo se plantea la definición de la noción de operación binaria y se presentan varios ejemplos de ésta. También se define la noción de monoide y se expone una breve introducción a la teoría de grupos, además de que en particular se demuestra el teorema de Lagrange. Luego se exponen las nociones de anillo y de campo así como sus propiedades, se estudia la aritmética modular y se expone cómo se utilizan las propiedades de congruencias en la criptografía moderna. 4.2 Operaciones binarias Una operación binaria * en un conjunto no vacío A es una función *:A×A→A Se acostumbra escribir a * b en lugar de *(a, b). Se dice que la operación binaria * es: • asociativa si (a * b) * c = a * (b * c), para cualesquiera a, b, c ∈ A • conmutativa si a * b = b * a, para cualesquiera a, b ∈ A. Ejemplo 4.1 La suma y el producto usual en son operaciones binarias asociativas y conmutativas en . Ejemplo 4.2 Sea X un conjunto arbitrario, pero fijo, y sea A = ℘(X). La unión y la intersección de conjuntos son operaciones binarias asociativas y conmutativas en A. ALFAOMEGA capitulo 4.indd 150 MATEMÁTICAS DISCRETAS – RAMÓN ESPINOSA ARMENTA 12/30/09 12:37:42 PM 4.2 151 OPERACIONES BINARIAS Ejemplo 4.3 Sea A = {a, b, c} y sea * la operación binaria en A descrita por medio de la tabla: Operación binaria externa Una operación binaria externa es una función binaria de K × S en S. * a b c a b c a b c a b c a b a Un ejemplo de operación binaria externa es la multiplicación escalar deÀnida en álgebra lineal. En este caso K es un campo (véase la sección 4.4 Anillos y campos) y S es un espacio vectorial sobre ese campo. Se observa que la operación es conmutativa (pues la tabla es simétrica con respecto a la diagonal), pero no es asociativa ya que por ejemplo (a * b) * c = c * c = a pero a * (b * c) = a * b = c. Por otro lado, hay que observar que el producto punto o producto escalar de dos vectores no es una operación binaria de ningún tipo ya que es un mapeo de S × S en K, siendo K un campo y S un espacio vectorial sobre K. En general si A es un conjunto con n elementos, entonces toda operación binaria en A se puede describir por medio de una tabla de n × n. Ejemplo 4.4 Sea A = {0, 1} y sean ∨ y ∧ las operaciones binarias definidas en A por medio de las tablas: ∨ 0 1 ∧ 0 1 0 0 1 0 0 0 1 1 1 1 0 1 Las operaciones ∨ y ∧ son llamadas operaciones booleanas. Ejemplo 4.5 Sea X un conjunto no vacío y sea A = { f : X → X | f es biyectiva} Es decir, A es el conjunto de permutaciones en X. Defínase f * g = f g. Como la composición de funciones biyectivas es biyectiva, * es una operación binaria en A. Además * es asociativa, pues la composición de funciones lo es. MATEMÁTICAS DISCRETAS – RAMÓN ESPINOSA ARMENTA capitulo 4.indd 151 ALFAOMEGA 12/30/09 12:37:42 PM 152 IV. GRUPOS, ANILLOS Y CAMPOS En el siguiente ejemplo se muestra que la composición de funciones biyectivas es una operación binaria no conmutativa. Ejemplo 4.6 Sea A = { f : X → X | f es biyectiva} donde X = {1, 2, 3}. También sean f ∈ A, definida por f (1) = 1, f (2) = 3, f (3) = 2, g(1) = 3, g(2) = 2, g(3) = 1, y g ∈ A definida por Por lo tanto f g(1) = 2 y g f (1) = 3, lo cual muestra que f g ≠ g f. Un semigrupo es una pareja ordenada (M, *), donde M es un conjunto y * es una operación binaria asociativa. Un monoide es un semigrupo (M, *), para el cual existe e ∈ M tal que a * e = a = e * a para todo a ∈ M El elemento e es llamado el elemento identidad de M Observación El elemento identidad de un monoide es único, pues si ê fuera otro elemento identidad se tendría que e * ê = e pero también e * ê = ê. Por tanto, e = ê. Ejemplo 4.7 El conjunto con un sólo elemento M = {x} con la operación definida por x * x = x es un monoide, donde el único elemento es el elemento identidad. Ejemplo 4.8 ALFAOMEGA capitulo 4.indd 152 (, +) es un monoide con 0 como elemento identidad. MATEMÁTICAS DISCRETAS – RAMÓN ESPINOSA ARMENTA 12/30/09 12:37:43 PM 4.3 153 GRUPOS Ejemplo 4.9 Un alfabeto es un conjunto finito de símbolos. Una palabra de longitud n de un alfabeto A es un elemento de An. La palabra vacía es la palabra de longitud cero sin símbolos del alfabeto. Sea M el conjunto de todas las palabras que pueden formarse con el alfabeto A. Si a = a1a2 … an y b = b1b2 … bk son elementos de M, la concatenación de a y b es la palabra Conceptos básicos de semigrupos • HomomorÀsmo e isomorÀsmo de semigrupos. Sean S y T dos semigrupos. Una función f : S → T es un homeomorÀsmo si la ecuación f (ab) = f (a)f(b) a * b = a1a2 … an b1b2 … bk Es claro que (M, *) es un monoide, con elemento identidad la palabra vacía. Ejemplo 4.10 Sea X un conjunto y sea M el conjunto de todas las funciones f : X → X. Entonces M es un monoide con la composición de funciones como operación, y con la función identidad 1x como elemento identidad. Una operación unaria en un conjunto A es una función de A en sí mismo. El complemento de un conjunto, la negación de una proposición, el factorial de un entero no negativo o el inverso aditivo de un entero, son ejemplos de operaciones unarias. Una estructura algebraica consiste en un conjunto no vacío y una colección Ànita de operaciones binarias o unarias deÀnidas en él. 4.3 (1) se cumple para todos los elementos a, b de S. Bajo estas condiciones se dice que f preserva la estructura de semigrupo. Por otro lado, un isomorÀsmo es una biyección f : S → T que satisface (1). • Congruencia en semigrupos. La congruencia ∼ en un semigrupo es una relación de equivalencia que es compatible con la operación del semigrupo, esto es, un subconjunto ∼ ⊆ S × S que es una relación de equivalencia tal que x ∼ y y u ∼ v implica que xu ∼ yv para todo x, y, u, v en S. Como con cualquier relación de equivalencia, la congruencia ∼ en un semigrupo induce la clase de congruencia [a]∼ = {x ∈ S | x ∼ a} y la operación del semigrupo induce una operación binaria ° deÀnida en las clases de congruencia como [u]∼ ° [v]∼ = [uv]∼ • Semigrupo cociente. Tomando en cuenta que ∼ es una congruencia, se tiene que el conjunto de todas las clases de congruencia de ∼ junto con la operación binaria ° forma un semigrupo llamado semigrupo cociente que se denota como S / ∼. Grupos Un grupo es un monoide (G, *) que satisface que para toda a ∈ G existe a−1 ∈ G tal que a * a−1 = e = a−1 * a El elemento a−1 es llamado el inverso de a. Un grupo (G, *) se dice que es un grupo abeliano si * es conmutativa. MATEMÁTICAS DISCRETAS – RAMÓN ESPINOSA ARMENTA capitulo 4.indd 153 ALFAOMEGA 12/30/09 12:37:44 PM 154 Desarrollo de la teoría de grupos El origen de la teoría de grupos se encuentra en la teoría de números, la teoría de las ecuaciones algebraicas y la geometría. Euler y Gauss fueron los iniciadores de esta teoría mientras que los primeros resultados acerca de grupos de permutación fueron obtenidos por Lagrangre, RufÀni y Abel en su búsqueda de las soluciones generales de ecuaciones polinomiales. Por su parte, Galois acuñó el término “grupo” y estableció la conexión, conocida ahora como teoría de Galois, entre la teoría de grupos que se estaba desarrollando y la teoría de campo. En geometría la teoría de grupos primero fue relevante en geometría proyectiva y luego en geometría no euclidiana. Finalmente, alrededor de 1880 todos los resultados que se habían obtenido hasta ese momento se uniÀcaron para dar lugar a lo que hoy se conoce como la teoría de grupos. IV. GRUPOS, ANILLOS Y CAMPOS Observación El inverso de cada elemento a ∈ G es único, ya que si b ∈ G fuera otro elemento tal que a * b = e entonces a−1 * (a * b) = a−1 * e y por lo tanto (a−1 * a) * b = a−1, con lo cual se concluye que b = a−1. Ejemplo 4.11 (, +) es un grupo abeliano (aquí + es la suma usual en ). El elemento identidad es el 0 y el inverso de un elemento a es −a. Este grupo es llamado el grupo aditivo de los números enteros. Un grupo (G, *) se dice que es un grupo Ànito, si G lo es. En este caso el número de elementos de A es llamado el orden del grupo. Ejemplo 4.12 El conjunto G = {−1, 1} con el producto usual es un grupo abeliano de orden dos. El elemento identidad es el 1 y cada elemento es su propio inverso. Sea (G, *) un grupo. Para cualquier a ∈ G se define a0 = e a k = a * a k−1 k = 1, 2, 3, … También se define que a−k = (a−1)k para todo k ∈ Se puede demostrar que am * an = am+n (am)n = amn ALFAOMEGA capitulo 4.indd 154 MATEMÁTICAS DISCRETAS – RAMÓN ESPINOSA ARMENTA 12/30/09 12:37:45 PM 4.3 Ejemplo 4.13 Sea n un entero positivo y sea G = {e, a, a2, …, an−1} donde an = e y ai * a j = ai+ j si i + j ≤ n y ai * a j = ai+ j−n si i + j > n. Se puede verificar fácilmente que (A, *) es un grupo, llamado el grupo cíclico de orden n. Hay que recordar que una permutación de un conjunto finito X es una función biyectiva de X en sí mismo. Una manera de representar una permutación f de X = {1, 2, …, n} es por medio de un arreglo rectangular 2 × n, donde el primer renglón contiene los n enteros en orden y el segundo renglón contiene las imágenes de f, de modo que f ( j) aparezca debajo de j, es decir, ⎛ 1 f =⎜ ⎝ f (1) 2 f (2 ) n ⎞ f (n )⎟⎠ Si f y g son dos permutaciones de X = {1, 2, …, n}, entonces f g también es una permutación de X. Por ejemplo, si ⎛ 1 2 3 4⎞ f =⎜ ⎝ 2 3 4 1⎟⎠ 155 GRUPOS ⎛ 1 2 3 4⎞ y g=⎜ ⎝ 3 1 2 4 ⎟⎠ entonces ⎛ 1 2 3 4⎞ ⎛ 1 2 3 4⎞ ⎛ 1 2 3 4⎞ f g = ⎜ = ⎝ 2 3 4 1⎟⎠ ⎜⎝ 3 1 2 4 ⎟⎠ ⎜⎝ 4 2 3 1⎟⎠ Aplicación de los grupos simétricos Un grupo simétrico en un conjunto X es el grupo cuyo conjunto base es la colección de todas las biyecciones de X a X, y cuya operación de grupo es la composición de funciones. Los grupos simétricos son muy importantes en la teoría de Galois, la teoría de invariantes, la teoría de representación de los grupos de Lie y la combinatoria. Respecto a la teoría de Galois se tiene que originalmente Galois usó grupos de permutación para describir cómo están relacionadas entre sí las diferentes raíces de una ecuación polinomial dada. Más especíÀcamente, la motivación inicial fue responder la cuestión de porqué no existe una fórmula para determinar las raíces de una ecuación polinomial de quinto o mayor grado, en términos de los coeÀcientes del polinomio. La teoría de Galois no sólo responde esta pregunta sino que además explica en detalle porqué sí es posible resolver ecuaciones de cuarto o menor grado en términos de los coeÀcientes de la ecuación correspondiente, y porqué su solución adopta la forma que toma. Por ejemplo, f g(1) = f ( g(1)) = f (3) = 4 lo cual se puede obtener observando que en la matriz de la derecha el 1 va al 3 y en la matriz de la izquierda el 3 va al 4. Sea Sn el conjunto de permutaciones de X = {1, 2, …, n}. Es claro que Sn es un grupo de orden n! con la composición de funciones como operación. Este grupo es llamado el grupo simétrico de grado n. Ejemplo 4.14 nes: El grupo simétrico de grado tres consiste de las seis permutacio- ⎛ 1 2 3⎞ ; f1 = ⎜ ⎝ 1 2 3⎟⎠ ⎛ 1 2 3⎞ ; f2 = ⎜ ⎝ 2 3 1⎟⎠ ⎛ 1 2 3⎞ ; f3 = ⎜ ⎝ 3 1 2⎟⎠ ⎛ 1 2 3⎞ f4 = ⎜ ; ⎝ 1 3 2⎟⎠ ⎛ 1 2 3⎞ f5 = ⎜ ; ⎝ 3 2 1⎟⎠ ⎛ 1 2 3⎞ f6 = ⎜ . ⎝ 2 1 3⎟⎠ MATEMÁTICAS DISCRETAS – RAMÓN ESPINOSA ARMENTA capitulo 4.indd 155 ALFAOMEGA 12/30/09 12:37:46 PM 156 Principales tipos de grupos • Grupos de permutación. Dado un conjunto X y una colección G de biyecciones de X en sí mismo (conocidas como permutaciones) cerrada bajo composición y transformaciones invesas, G es un grupo actuando sobre X. Si X consiste de n elementos y G de todas las permutaciones, entonces G es el grupo simétrico Sn. • Grupos de matrices. Este tipo de grupos también se conoce como grupos lineales, y en su caso G es un conjunto de matrices invertibles de un orden dado n sobre un campo K que es cerrado bajo el producto y la inversión de matrices. Tal grupo actúa sobre el espacio vectorial n dimensional Kn mediante transformaciones lineales. • Grupos de transformación. Este tipo consiste en los grupos que actúan sobre un cierto espacio X, preservando su estructura inherente. Los grupos de permutación y de matrices son casos especiales de grupos de transformación. En el caso de los grupos de permutación X es un conjunto, mientras que en los grupos de matrices X es un espacio vectorial. IV. GRUPOS, ANILLOS Y CAMPOS La permutación f1 es la identidad, las otras permutaciones corresponden a las rotaciones y reflexiones de un triángulo equilátero con vértices 1, 2 y 3. 1 2 3 Las permutaciones f2 y f3 corresponden a las rotaciones por un ángulo de 120° y 240° grados respectivamente. La permutación f4 representa la reflexión con respecto a un eje que pasa por el vértice 1 y es perpendicular al lado opuesto; análogamente, f5 y f6 corresponden a reflexiones con respecto a ejes pasando por los vértices 2 y 3, respectivamente. Observemos en particular que f4 f5 = f2 y que f5 f4 = f3, por lo que f4 f5 ≠ f5 f4, es decir, el grupo es no abeliano. Sea G un conjunto de permutaciones de un conjunto finito X. Si G es un grupo (con respecto a la composición de funciones) entonces se dice que G es un grupo de permutaciones de X. También se dice que G actúa sobre X. Teorema 4.1 Sea G un grupo de permutaciones de X y sea R la relación binaria definida en X por: aRb ⇔ existe s ∈ G tal que s(a) = b Entonces R es una relación de equivalencia en X. Demostración Reflexividad: como 1G ∈ G y 1G(a) = a, se sigue que aRa para todo a ∈ X. Simetría: si aRb entonces s(a) = b para algún s ∈ G. Como G es un grupo, s−1 ∈ G. Además a = s−1(b), por lo tanto bRa. Transitividad: si aRb y bRc entonces existen s, m ∈ G tales que s(a) = b y m(b) = c. Como G es un grupo, m s ∈ G. Además m s(a) = m(b) = c, de aquí que aRc. ALFAOMEGA capitulo 4.indd 156 MATEMÁTICAS DISCRETAS – RAMÓN ESPINOSA ARMENTA 12/30/09 12:37:46 PM 4.3 GRUPOS 157 Las clases de equivalencia correspondientes a la relación R son llamadas las órbitas de G sobre X. Se escribe orb(x) para denotar la órbita de un elemento x ∈ X. Es decir orb(x) = {y ∈ X | existe f ∈ G tal que f (x) = y} Ejemplo 4.15 Considérese la permutación ⎛ 1 2 3 4 5 6⎞ f =⎜ ⎝ 6 4 3 5 2 1⎟⎠ Hay que observar que orb(1) = {1, 6}, pues f (1) = 6 y f (6) = 1. Luego se busca un elemento que no esté en este conjunto, por ejemplo 2, orb(2) = {2, 4, 5}. Por último, orb(3) = {3}. Por lo tanto hay tres órbitas distintas: {1, 6}, {2, 4, 5} y {3}. Una permutación f ∈ Sn se dice que es un ciclo de longitud k si existe un conjunto {a1, a2, …, ak} tal que ⎧ai +1 f (ai ) = ⎨ ⎩a1 si i = 1, … , k − 1; si i = k . y f (x) = x para cualquier otro x ∈ X. Un ciclo f se puede representar como f = (a1, a2, …, ak). Se observa que también se puede escribir (a1, a2, …, ak) = (a2, a3, …, ak, a1) = … = (ak, a1, …, ak−1) Ejemplo 4.16 La permutación ⎛ 1 2 3 4 5 6⎞ f =⎜ ⎝ 2 5 1 4 3 6 ⎟⎠ se puede representar como f = (2, 5, 3, 1). MATEMÁTICAS DISCRETAS – RAMÓN ESPINOSA ARMENTA capitulo 4.indd 157 ALFAOMEGA 12/30/09 12:37:47 PM 158 IV. Ejemplo 4.17 GRUPOS, ANILLOS Y CAMPOS La permutación ⎛ 1 2 3 4 5 6⎞ f =⎜ ⎝ 6 4 3 5 2 1 ⎟⎠ puede escribirse como producto de ciclos: f = (16)(245)(3) donde cada ciclo corresponde a una órbita de f, por lo que los ciclos son ajenos. Como se muestra en el siguiente teorema, lo que se hizo en el ejemplo anterior es válido para cualquier permutación de elementos de un conjunto finito. Teorema 4.2 ciclos ajenos. Cada permutación f de un conjunto finito es un producto de Demostración Sean O1, O2, …, ON las órbitas de f. Para cada i = 1, …, N, se define ⎧ f (x) fi ( x ) = ⎨ ⎩x si x ∈Oi ; en otro caso Claramente f = f1, f2 … fN. Como O1, O2, …, ON son conjuntos ajenos, los ciclos f1, f2, …, fN, también son ajenos. Para simplificar la notación a partir de aquí se escribirá ab en lugar de a * b, y el grupo (G, *) se denotará como G. Teorema 4.3 Si G es un grupo entonces (a−1)−1 = a para toda a ∈ G. Demostración Se sabe que a * a−1 = e = a−1 * a y como el inverso de un elemento es único, se tiene que (a−1)−1 = a. ALFAOMEGA capitulo 4.indd 158 MATEMÁTICAS DISCRETAS – RAMÓN ESPINOSA ARMENTA 12/30/09 12:37:47 PM 4.3 Teorema 4.4 159 GRUPOS Si G es un grupo y a, b ∈ G entonces (ab)−1 = b−1 a−1. Propiedades de los subgrupos Demostración −1 −1 −1 • La identidad de un subgrupo es la identidad del grupo: si G es un grupo con identidad eG y H es un subgrupo de G con identidad eH, entonces eH = eG. −1 (ab)(b a ) = (a(b(b ))a = (ae)a−1 = aa−1 • La intersección de dos subgrupos es un subgrupo. = e. −1 −1 En forma análoga (b a ) (ab) = e, por lo tanto (ab) −1 −1 −1 =b a . En el siguiente teorema se establecen las leyes de cancelación. Teorema 4.5 Si G es un grupo y a, b, c ∈ G entonces i) ab = ac implica que b = c. ii) ba = ca implica que b = c. Demostración Para probar (i) supóngase que a * b = ac. Multiplicando ambos lados de esta ecuación por a−1 se obtiene que • La unión de dos subgrupos es un subgrupo sí y sólo si cualquiera de los dos contiene al otro. • Si S es un subconjunto de G entonces existe un subgrupo mínimo que contiene a S, el cual se puede determinar haciendo la intersección de todos los subgrupos que contienen a S. Este subgrupo mínimo se denota como <S> y se dice que es el subgrupo generado por S. • Cada elemento a de un grupo G genera el subgrupo cíclico <a>. Si <a> es isomorfo a Z/nZ para algún entero positivo n, entonces n es el menor entero posible para el cual an = e y n es llamado el orden de a. a−1(ab) = a−1(ac) (a−1a)b = (a−1a)c por (G1) eb = ea por (G3) b=a por (G2) La demostración de (ii) es análoga. Sea G un grupo. Un conjunto H ⊆ G se dice que es un subgrupo de G, si satisface las siguientes propiedades: 1) 2) 3) e∈H si a, b ∈ H entonces ab ∈ H; si a ∈ H entonces a−1 ∈ H. La propiedad (2) establece que H es cerrado con respecto a la operación en G, lo cual asegura que, al restringirse la operación en G al conjunto H, ésta es una operación binaria en H. Se observa que H también es un grupo con respecto a la operación en G, pues al ser H un subconjunto de G, la propiedad asociativa también se cumple en H. MATEMÁTICAS DISCRETAS – RAMÓN ESPINOSA ARMENTA capitulo 4.indd 159 ALFAOMEGA 12/30/09 12:37:48 PM 160 IV. GRUPOS, ANILLOS Y CAMPOS Ejemplo 4.18 Si G es un grupo, entonces G y H = {e} son subgrupos de G llamados los subgrupos triviales de G. Ejemplo 4.19 Sea G un grupo y sea H = {ak | k ∈ }. Se puede ver fácilmente que H es un grupo abeliano, llamado el grupo cíclico generado por a. Teorema 4.6 Sea G un grupo y sea H un subconjunto finito no vacío de G. Si H es cerrado con respecto a la operación en G, entonces H es un subgrupo de G. Demostración Sea a ∈ H. Como H es cerrado con respecto a la operación en G, entonces a, a2, a3, …, son elementos de H. Como H es finito, deben existir i, j en , con i < j, tales que ai = a j. Por lo tanto, a j−i = e y de aquí que e ∈ H. Si j − i > 1 entonces a−1 = a j −i−1 ∈ H. Si j − i = 1 entonces a = e y por lo tanto a−1 = a ∈ H. Por lo que H es un subgrupo de G. Sea G un grupo y H un subgrupo de G. Si a, b ∈ G, se dice que a es congruente con b módulo H si ab−1 ∈ H. En este caso se escribe: a ≡ b (mód H) Lema 4.1 La relación a ≡ b (mód H) es una relación de equivalencia. Demostración Hay que observar primero que aa−1 = e ∈ H, pues H es un subgrupo de G, por lo que a ≡ a (mód H), es decir, la relación es reflexiva. Ahora bien, si a ≡ b (mód H), entonces ab−1 ∈ H, por lo que también (ab−1)−1 ∈ H. Esto a su vez implica que ba−1 ∈ H, lo cual significa que b ≡ a (mód H), con lo cual concluimos que la relación es simétrica. Por último, si a ≡ b (mód H) y b ≡ c (mód H), entonces ab−1 = e ∈ H y bc−1 = e ∈ H, por lo que (ab−1)(bc−1) = ac−1 ∈ H y de ahí que a ≡ c (mód H), es decir, la relación es transitiva, con lo cual se termina de probar que la relación es una relación de equivalencia en G. ALFAOMEGA capitulo 4.indd 160 MATEMÁTICAS DISCRETAS – RAMÓN ESPINOSA ARMENTA 12/30/09 12:37:49 PM 4.3 161 GRUPOS Si G es un grupo, H es un subgrupo de G y a ∈ G, el conjunto Ha = {ha | h ∈ H} es llamado la clase lateral derecha de H en G. Lema 4.2 Si [a] es la clase de equivalencia de un elemento a ∈ G, correspondiente a la relación de congruencia módulo H entonces [a] = Ha. Demostración Hay que observar que [a] = {x ∈ G | x ≡ a (mód H)} = {x ∈ G | xa−1 = h para algún h ∈ H} = {ha | h ∈ H} Lema 4.3 Hay una correspondencia biyectiva entre cualesquiera dos clases laterales derechas de H en G. Demostración Sean Ha y Hb dos clases laterales derechas de H en G, y sea f : Ha → Hb definida por f (ha) = hb. Es claro que esta función es suprayectiva; para ver que f es inyectiva observemos que si f (h1a) = f (h2a) entonces h1b = h2b, lo cual implica que h1 = h2 (por la ley de cancelación). De ahí que h1a = h2a, lo cual prueba que f es inyectiva. El siguiente teorema se debe al matemático italiano Joseph Louis Lagrange. Teorema 4.7 (Lagrange). Si G es un grupo finito y H es un subgrupo de G, entonces | H | es un divisor de | G |. Demostración Si G es finito, entonces por el lema 4.3 cualesquiera dos clases laterales derechas deben tener el mismo número de elementos. Como H = He es por sí mismo una clase lateral derecha, se sigue que todas las clases laterales derechas tienen | H | elementos. Además, por los lemas 4.1 y 4.2, las clases laterales derechas distintas constituyen una partición del conjunto G. Por esto si hay k clases laterales derechas distintas entonces | G | = k | H |, es decir, | H | es un divisor de | G |. 1 Hay que observar que a través de un cambio de variables, la resolvente de Lagrange reduce la solución de una ecuación cúbica a la solución de un polinomio cuadrático auxiliar; en términos modernos, la resolvente de Lagrange es una transformada discreta de Fourier. MATEMÁTICAS DISCRETAS – RAMÓN ESPINOSA ARMENTA capitulo 4.indd 161 Joseph Louis Lagrange L (1736-1813) agrange fue un matemático, físico y astrónomo italiano que se destacó por sus investigaciones en física y matemáticas; en particular por ser uno de los creadores del cálculo de variaciones al obtener las ecuaciones conocidas como de Euler-Lagrange para extremos de funcionales, por establecer el método de los multiplicadores de Lagrange, por inventar el método de ecuaciones diferenciales conocido como variación de parámetros y por aplicar el cálculo diferencial a la teoría de probabilidades. En el área de la teoría de números (véase Capítulo II Teoría de números) entre 1766 y 1769 Lagrange fue el primero en demostrar que la ecuación de Pell, x2 − ny2 = 1, tiene solución no trivial en los enteros para cualquier número natural no cuadrado n; en 1770 demostró el teorema, planteado por Bachet, de que todo entero positivo es la suma de cuatro cuadrados; en 1771 demostró el teorema de Wilson que plantea que si n es primo entonces (n − 1)! + 1 siempre es un múltiplo de n; finalmente en sus Recherches d’Arithmétique de 1775 Lagrange desarrolló una teoría general de formas cuadráticas binarias para abordar el problema general de cuándo un entero es representable en la forma ax2 + by2 + cxy. Por otro lado, la aportación de Lagrange a la teoría de grupos se encuentra en su obra Réflexions sur la résolution algébrique des équations (1770) en donde hace la observación de que las raíces de la resolvente de Lagrange1 de una ecuación polinomial, están ligadas con las permutaciones de las raíces de la ecuación original. Esta observación específica fue lo que motivó el desarrollo posterior de la teoría de grupos de permutación, de la teoría de grupos y de la teoría de Galois. ALFAOMEGA 12/30/09 12:37:50 PM 162 IV. GRUPOS, ANILLOS Y CAMPOS Sean G y Ĝ dos grupos. Un homomorÀsmo de G en Ĝ es una función f : G → Ĝ tal que f (ab) = f (a) f (b) para cualesquiera a, b ∈ G. En el siguiente teorema se establecen dos propiedades básicas de homomorfismos. Teorema 4.8 ces Sea f un homomorfismo del grupo G en el grupo Ĝ enton- 1) f (e) = ê, el elemento identidad en Ĝ . 2) f (a−1) = f (a)−1 para todo a ∈ G. Demostración 1) Se tiene que ê f (e) = f (e) = f (ee) = f (e) f (e) por lo que, por la ley de cancelación, f (e) = ê. 2) Se tiene que ê = f (e) = f (aa−1) = f (a) f (a−1) y como el inverso es único resulta que f (a−1) = f (a)−1. Ejemplo 4.20 Sean G y Ĝ dos grupos y sea f : G → Ĝ definida por f (a) = ê para toda a en G. Entonces f es un homomorfismo de G en Ĝ, llamado el homomorfismo trivial. Ejemplo 4.21 Sea G un grupo y sea f : G → G definida por f (a) = a. Claramente f es un homomorfismo de G en sí mismo. ALFAOMEGA capitulo 4.indd 162 MATEMÁTICAS DISCRETAS – RAMÓN ESPINOSA ARMENTA 12/30/09 12:37:51 PM 4.3 Sea f un homomorÀsmo del grupo G en el grupo Ĝ . El núcleo de f es el conjunto Ker( f ) = {a ∈ G | f (a) = ê}, donde ê es el elemento identidad en G. En el siguiente teorema se establece una importante propiedad del núcleo. Teorema 4.9 Si f es un homomorfismo del grupo G en el grupo Ĝ, entonces Ker( f ) es un subgrupo de Ĝ . Demostración ê ∈ Ker( f ). 163 GRUPOS 1) Por el teorema 4.8 se tiene que f (e) = ê, por lo que Grupo de simetría El grupo de simetría de un objeto es el grupo de todas las isometrías (esto es, de todos los mapeos entre espacios métricos que preservan la distancia entre puntos) bajo las cuales éste es invariante, teniendo la composición como operación. Algunas veces el grupo de simetría también es denotado como grupo de simetría total, con el Àn de enfatizar que incluye las isometrías que invierten la orientación (como las reÁexiones) bajo las cuales la Àgura es invariante. 2) Si a, b ∈ Ker( f ), entonces f (ab) = f (a) f (b) = êê = ê, de aquí que ab ∈ Ker( f ). 3) Si a ∈ Ker( f ), entonces f (a−1) = f (a)−1 = ê−1 = ê, por lo que a−1 ∈ Ker( f ). Si f es un homomorÀsmo del grupo G en el grupo Ĝ y además f es biyectiva, entonces se dice que f es un isomorÀsmo de G en Ĝ . Dos grupos son isomorfos, si existe un isomorfismo de uno de los grupos en el otro. Un automorÀsmo es un isomorÀsmo de un grupo en sí mismo. 4.3.1 Grupos y problemas de conteo En la lectura LA FÓRMULA DE BURNSIDE se expone una aplicación de la teoría de grupos a problemas de conteo involucrando simetrías. MATEMÁTICAS DISCRETAS – RAMÓN ESPINOSA ARMENTA capitulo 4.indd 163 ALFAOMEGA 12/30/09 12:37:51 PM 164 IV. GRUPOS, ANILLOS Y CAMPOS 4.4 Origen de la teoría de anillos El inicio de la teoría de los anillos conmutativos y no conmutativos ocurrió hacia principios del siglo diecinueve y tuvo su origen en la teoría de números algebraicos, la geometría algebraica y la teoría de invariantes. En particular, la generalización de la aritmética de los enteros fue la clave para el desarrollo inicial de la teoría de anillos conmutativos. Hacia 1800 Legendre y Gauss investigaron la congruencia de enteros, sin embargo la generalización de la aritmética surgió de los intentos de demostrar el último teorema de Fermat. Por su parte, el germen de la teoría de anillos no conmutativos se encuentra en la generalización que hizo Hamilton de los números complejos a los cuaterniones. Finalmente en la década de los treinta del siglo pasado, ambas teorías se formularon en lo que hoy se conoce como la teoría de anillos. Anillos Un anillo es una terna ordenada (A, +, ) donde A es un conjunto y +, son operaciones binarias en A, llamadas suma y producto, respectivamente, que satisfacen los siguientes axiomas: A1) Para cualesquiera a, b, c ∈ A, (a + b) + c = a + (b + c). A2) Para cualesquiera a, b ∈ A, a + b = b + a. A3) Existe 0 ∈ A tal que a + 0 = a para todo a ∈ A. A4) Para todo a ∈ A, existe −a ∈ A tal que a + (− a) = 0. A5) Para cualesquiera a, b, c ∈ A, (a b) c = a (b c). A6) Para cualesquiera a, b, c ∈ A se cumple la ley distributiva por la izquierda a (b + c) = a b + a c y la ley distributiva por la derecha (a + b) c = a c + b c. El axioma A1 establece que la suma es asociativa, mientras que el A2 indica que ésta es conmutativa. El elemento 0, cuya existencia se postula en el axioma A3, es llamado neutro aditivo. El neutro aditivo es único, pues si 0̂ fuera otro neutro aditivo entonces 0 = 0 + 0̂, pero también 0 + 0̂ = 0̂. Por lo tanto 0 = 0̂. Por otro lado, para cada a ∈ A el elemento −a que se menciona en el axioma A4 es único, pues si b fuera otro elemento tal que a + b = 0, entonces se puede sumar −a en ambos lados de esta ecuación y asociar términos para concluir que b = −a. Al elemento −a se le llama el inverso aditivo de a. Hay que observar que a es el inverso aditivo de −a, es decir, −(−a) = a. Finalmente, el axioma A5 establece que el producto es asociativo. Se dice que un anillo (A, +, ) tiene elemento unitario, si existe 1 ∈ A, 1 ≠ 0, tal que a1=a=1a También se dice que 1 es el neutro multiplicativo. Un anillo conmutativo es aquel cuyo producto es conmutativo, es decir, uno en el que se cumple que ab=ba para cualesquiera a, b ∈ A. Un anillo conmutativo con elemento unitario se dice que es un dominio entero, si para cualesquiera a, b ∈ A, si a b = 0 entonces a = 0 o b = 0. ALFAOMEGA capitulo 4.indd 164 MATEMÁTICAS DISCRETAS – RAMÓN ESPINOSA ARMENTA 12/30/09 12:37:53 PM 4.4 ANILLOS 165 Ejemplo 4.22 El conjunto de los números naturales con la suma y el producto usual no es un anillo, porque no se cumplen los axiomas A3 y A4. Ejemplo 4.23 El conjunto de los números enteros con la suma y el producto usual es un dominio entero. Ejemplo 4.24 El conjunto 2 = {2n | n ∈ } es un anillo conmutativo sin elemento unitario. En el siguiente ejemplo se presenta un anillo que no es conmutativo. Ejemplo 4.25 Una matriz de 2 × 2, con entradas en un dominio entero D, es un arreglo de la forma ⎛ a b⎞ ⎜⎝ c d ⎟⎠ donde a, b, c, d ∈ D. Para denotar el conjunto de matrices de 2 × 2 con entradas en D se utiliza la notación M2(D). La suma de matrices de 2 × 2 se define como: ⎛ a b⎞ ⎛ e f ⎞ ⎛ a + e b + f ⎞ ⎜⎝ c d ⎟⎠ + ⎜⎝ g h ⎟⎠ = ⎜⎝ c + g d + h ⎟⎠ El producto de matrices de 2 × 2 se define como: ⎛ a b ⎞ ⎛ e f ⎞ ⎛ ae + bg af + bh ⎞ ⎜⎝ c d ⎟⎠ ⎜⎝ g h ⎟⎠ = ⎜⎝ ce + dg cf + dh ⎟⎠ MATEMÁTICAS DISCRETAS – RAMÓN ESPINOSA ARMENTA capitulo 4.indd 165 ALFAOMEGA 12/30/09 12:37:54 PM 166 IV. GRUPOS, ANILLOS Y CAMPOS Se puede ver fácilmente que la suma es asociativa y conmutativa, además el elemento ⎛ 0 0⎞ O=⎜ ⎝ 0 0 ⎟⎠ ⎛ a b⎞ es ⎝ c d ⎟⎠ es el neutro aditivo y el inverso aditivo de ⎜ ⎛ − a − b⎞ ⎜⎝ − c − d ⎟⎠ El producto es asociativo (problema 4.35), pero no conmutativo, por ejemplo, ⎛ 1 0 ⎞ ⎛ 0 1⎞ ⎛ 0 1 ⎞ ⎜⎝ 0 0 ⎟⎠ ⎜⎝ 1 0 ⎟⎠ = ⎜⎝ 0 0 ⎟⎠ pero ⎛ 0 1⎞ ⎛ 1 0 ⎞ ⎛ 0 0 ⎞ ⎜⎝ 1 0 ⎟⎠ ⎜⎝ 0 0 ⎟⎠ = ⎜⎝ 1 0 ⎟⎠ Se puede comprobar fácilmente que ⎛ 1 0⎞ I =⎜ ⎝ 0 1⎟⎠ es el elemento unitario. Por último, se verifica directamente (problema 4.36) que se cumplen las propiedades distributivas. En conclusión, M2(D) es un anillo no conmutativo con elemento unitario. Para simplificar la notación de aquí en adelante se escribirá ab en lugar de a b, además el anillo (A, +, ) simplemente se denotará como A. A continuación se presentan algunas de las propiedades más importantes de los anillos. Teorema 4.10 (Ley de cancelación de la suma). Sea A un anillo. Si a, b, c ∈ A satisfacen la ecuación a + c = b + c, entonces a = b. Demostración términos. ALFAOMEGA capitulo 4.indd 166 Basta sumar −c en ambos lados de la ecuación y asociar MATEMÁTICAS DISCRETAS – RAMÓN ESPINOSA ARMENTA 12/30/09 12:37:54 PM 4.4 Teorema 4.11 ANILLOS 167 Sea A un anillo, entonces a0 = 0 = 0a, para toda a ∈ A. Demostración Se tiene que a0 = a(0 + 0) = a0 + a0 por lo que por el teorema 4.10: 0 = a0. Análogamente, 0a = 0. Teorema 4.12 (Leyes de los signos). Sea A un anillo, entonces 1) a(−b) = −ab = (−a)b. 2) (−a)(−b) = −ab. Demostración 1. Se tiene que ab + a(−b) = a(b + (−b)) = a0 = 0, por lo tanto a(−b) = −ab. Análogamente se demuestra que (−a)b = −ab. 2. (−a)(−b) = −(−a)b = −(−ab) = ab. Corolario 4.1 Si A es un anillo con elemento unitario 1, entonces 1) (−1)a = −a, para todo a ∈ A. 2) (−1)(−1) = 1. Demostración 1. (−1)a = −1a = −a. 2. (−1)(−1) = −(−1) = 1. Sea A un anillo, si a ∈ A se escribe a2 en lugar de aa. El número a2 se lee “a al cuadrado”. También se escribe a3 en lugar de a2a. El número a3 se lee “a al cubo”. En general, para cada número natural n se define an de la siguiente manera: a1 = a an = an−1a n≥2 El entero n se llama exponente. La expresión an se lee: “a elevado a la potencia n”, o simplemente “a a la n”. En el siguiente teorema se establecen dos propiedades importantes de los exponentes. MATEMÁTICAS DISCRETAS – RAMÓN ESPINOSA ARMENTA capitulo 4.indd 167 ALFAOMEGA 12/30/09 12:37:55 PM 168 IV. GRUPOS, ANILLOS Y CAMPOS Teorema 4.13 (Leyes de los exponentes). m ∈ , entonces Sea A un anillo, a ∈ A y n, a) anam = an+m. b) (an)m = anm. Sea A un anillo. Un conjunto B ⊆ A se dice que es un subanillo de A si cumple las siguientes propiedades, para cualesquiera a, b ∈ B: 1) 2) 3) 4) 0 ∈ B. a + b ∈ B. −a ∈ B. ab ∈ B. La propiedad 2 asegura que la suma en B es cerrada. Esta operación es asociativa y conmutativa en B, pues lo es en A. La propiedad 1 asegura la existencia del neutro aditivo en B y la propiedad 3 establece que todo elemento de B tiene inverso aditivo. La propiedad 4 asegura que el producto en B es cerrado. La asociatividad del producto y las leyes distributivas se cumplen en B, porque se cumplen en A. En conclusión, todo subanillo es un anillo, con las operaciones heredadas del anillo. Ejemplo 4.26 El conjunto 2 es un subanillo de los números enteros. Sea A un anillo con elemento unitario 1. Un elemento a ∈ A se dice que es invertible, si existe b ∈ A tal que ab = 1 = ba. En este caso se dice que b es el inverso multiplicativo de a y se denota a−1. Se puede demostrar que el inverso multiplicativo es único. Los elementos invertibles de A también se llaman unidades. Ejemplo 4.27 En las únicas unidades son 1 y −1. Sean A y  dos anillos. Un homomorÀsmo de A en Â, es una función f : A →  tal que 1) f (a + b) = f (a) + f (b). 2) f (ab) = f (a) f (b). para cualesquiera a, b ∈ A. ALFAOMEGA capitulo 4.indd 168 MATEMÁTICAS DISCRETAS – RAMÓN ESPINOSA ARMENTA 12/30/09 12:37:55 PM 4.4 169 ANILLOS Se dice que A es isomorfo a  si existe un homomorÀsmo de A en  que además es biyectivo. En este caso se escribe A ≅ Â. Un anillo A se dice que está inmerso en un anillo  si existe un homomorfismo inyectivo de A en Â, es decir, si A es isomorfo a un subanillo de Â. Ejemplo 4.28 Sean A y  dos anillos, y sea f : A →  definida por f (a) = 0̂ para toda a ∈ A. Es claro que f es un homomorfismo de A en Â, llamado el homomorfismo cero. En el siguiente teorema se establecen algunas propiedades de los homomorfismos de anillos. Teorema 4.14 Si f es un homomorfismo de A en Â, entonces 1) f (0) = 0̂ . 2) f (−a) = − f (a) para toda a ∈ A. Demostración 1) f (0) = f (0 + 0) = f (0) + f (0). Por lo tanto f (0) = 0̂ . 2) f (a) + f (−a) = f (a + (−a)) = f (0) = 0̂ . Por lo tanto f (−a) = − f (a). Teorema 4.15 Si A y  son anillos con elemento unitario 1 y 1̂, respectivamente y f : A →  es un homomorfismo suprayectivo, entonces f (1) = 1̂ Demostración Sea e ∈ A tal que f (e) = 1̂ . Como f (e) = f (1e) = f (1) f (e) = f (1)1̂ = f (1) Ejemplos de anillos • Anillo booleano. Un anillo booleano R es un anillo (con identidad) en el cual x2 = x para toda x en R, esto es, R sólo consiste de elementos idempotentes. Un anillo booleano es conmutativo y de característica 2, además de que es esencialmente lo mismo que un álgebra booleana (véase el capítulo VII Álgebras booleanas) con la conjunción como la multiplicación del anillo y la diferencia simétrica como la adición del mismo. • Anillo ordenado. Un anillo ordenado (véase la sección 4.4.1 Anillos ordenados) es un anillo conmutativo R con un orden total ≤ tal que para todo a, b y c en R se cumple que si a ≤ b entonces a + c ≤ b + c si 0 ≤ a y 0 ≤ b entonces 0 ≤ ab Un ejemplo de anillo ordenado son los números reales. • Dominio de factorización única. Un dominio de factorización única es un anillo conmutativo R, en el cual todo elemento no cero y no invertible de R se puede escribir en forma única como un producto de elementos irreducibles de R. se sigue que f (1) = 1̂ . 4.4.1 Anillos ordenados En la lectura ANILLOS ORDENADOS se expone la deÀnición de esta estructura algebraica así como sus propiedades básicas. MATEMÁTICAS DISCRETAS – RAMÓN ESPINOSA ARMENTA capitulo 4.indd 169 ALFAOMEGA 12/30/09 12:37:56 PM 170 IV. GRUPOS, ANILLOS Y CAMPOS 4.5 Campos Un campo K es un anillo conmutativo con elemento unitario en el que todo elemento distinto de 0 es invertible. Ejemplo 4.29 El conjunto de los números enteros es un anillo conmutativo con elemento unitario, pero no es un campo porque no todo elemento distinto de cero es invertible. Ejemplo 4.30 El conjunto de los números racionales es un campo, con la suma y el producto usual. En la lectura complementaria NÚMEROS RACIONALES se deÀnen los números racionales y se establecen algunas de sus propiedades básicas. Ejemplo 4.31 El conjunto de los números reales es un campo. Ejemplo 4.32 Si D es un dominio entero, el conjunto M2(D) es un anillo con elemento unitario, pero no es un campo ya que no es conmutativo. Teorema 4.16 Todo campo es un dominio entero. Demostración Sea K un campo y sean a, b ∈ K tales que ab = 0. Si a ≠ 0, entonces a−1 (ab) = a−10 y de aquí que b = 0. El recíproco del teorema anterior es falso, por ejemplo es un dominio entero, pero no es un campo. ALFAOMEGA capitulo 4.indd 170 MATEMÁTICAS DISCRETAS – RAMÓN ESPINOSA ARMENTA 12/30/09 12:37:58 PM 4.5 CAMPOS 171 Si K es un campo, a, b ∈ K y b ≠ 0, se acostumbra escribir: a b o a|b, en lugar de ab−1. Sea K un campo. Un conjunto B ⊆ K se dice que es un subcampo de K, si cumple las siguientes propiedades, para cualesquiera a, b ∈ B: 1) 0 ∈ B. 2) a + b ∈ B. 3) −a ∈ B. 4) 1 ∈ B. 5) ab ∈ B. 6) si b ≠ 0, entonces b−1 ∈ B. Se puede verificar fácilmente que todo subcampo de K es un campo, con las operaciones heredadas de K. Ejemplo 4.33 El conjunto de los números racionales , es un subcampo del conjunto de los números reales. Sea K un campo y sea a ∈ K. En la sección anterior se vio cómo definir an cuando n es un entero positivo, ahora se verá cómo definir an cuando n es un entero arbitrario. Primero se observa que si a0 está definido y las leyes de los exponentes siguen siendo válidas, entonces an = an+0 = ana0 Si a ≠ 0, entonces an ≠ 0, de modo que, a0 = 1, si a ≠ 0 Por otra parte, si n es un entero positivo, a ≠ 0, y las leyes de los exponentes siguen siendo válidas, entonces 1 = a0 = an+(−n) = ana−n de modo que a−n tiene que ser el inverso multiplicativo de an, es decir, a−n = (an)−1, si a ≠ 0 MATEMÁTICAS DISCRETAS – RAMÓN ESPINOSA ARMENTA capitulo 4.indd 171 ALFAOMEGA 12/30/09 12:37:59 PM 172 IV. GRUPOS, ANILLOS Y CAMPOS 4.6 Números complejos El campo de los números complejos se presenta en la lectura NÚMEROS COMPLEJOS Primero se expone la deÀnición de número complejo y se demuestra que el sistema de los números complejos (, +, ) es un campo. Luego se deÀnen los conceptos fundamentales de esta estructura algebraica y se demuestran sus propiedades básicas. 4.7 Aritmética modular Sea m un entero positivo arbitrario, pero fijo y sea R la relación definida en por: Representación funcional del residuo Los cálculos con aritmética modular se pueden implementar usando funciones, en particular una de las representaciones funcionales utiliza la función piso (véase la sección 3.2 Funciones). Si a ≡ b (mod n), a ≥ 0 y 0 ≤ b < n, entonces existe un entero k ≥ 0 tal que a = kn + b. El residuo b se puede escribir como a b = a − ⎢⎢ ⎥⎥ × n, ⎣n⎦ ⎢ a ⎥ es el mayor entero me⎣⎢ n ⎦⎥ ⎢ a ⎥ . Si lo que se tienor o igual que ⎢⎣ n ⎥⎦ ne es que −n ≤ b < 0, entonces en donde a b = a − ⎢⎢ ⎥⎥ × n − n. ⎣n⎦ aRb ⇔ a ≡ b (mód m) Se sigue del teorema 2.13 que R es una relación de equivalencia en . Sea a ∈ , por el algoritmo de la división a = mq + r, donde 0 ≤ r < m − 1. De aquí que a ≡ r (mód m), y por lo tanto [a] = [r]. De modo que hay exactamente m clases de equivalencia distintas: [0] = {mq | q ∈ } [1] = {mq + 1 | q ∈ } [2] = {mq + 2 | q ∈ } [m − 1] = {mq + (m − 1) | q ∈ } El conjunto de clases de equivalencia distintas se acostumbra denotar m, y se le llama el conjunto de enteros módulo m. Se acostumbra escribir a módulo m, para denotar el residuo obtenido al dividir a entre m. Se puede definir una suma y un producto en m de la siguiente manera: [a] + [b] = [a + b] [a] [b] = [ab] Hay que observar que si a′ ∈ [a] y b′ ∈ [b] entonces a′ ≡ a (mód m) y b′ ≡ b (mód m). De esto y del teorema 2.16 se tiene que (a′ + b′) ≡ (a + b) (mód m) y a′b′ ≡ ab (mód m), y de aquí que [a′ + b′] ≡ [a + b] y [a′b′] ≡ [ab], es decir, las operaciones están bien definidas pues no dependen de la elección de los representantes en las clases de equivalencia. ALFAOMEGA capitulo 4.indd 172 MATEMÁTICAS DISCRETAS – RAMÓN ESPINOSA ARMENTA 12/30/09 12:37:59 PM 4.7 Ejemplo 4.34 ARITMÉTICA MODULAR 173 Las tablas para la suma y el producto en 2 están dadas por: + 0 1 0 1 0 0 1 0 0 0 1 1 0 1 0 1 Aquí se han omitido los corchetes, escribiendo 0, 1, en lugar de las clases de equivalencia [0], [1]. Las tablas para la suma y el producto en 3 están dadas por: Ejemplo 4.35 ⋅ 0 1 2 ⋅ 0 1 2 0 0 1 2 0 0 0 0 1 1 2 0 1 0 1 2 2 2 0 1 2 0 2 1 Teorema 4.17 to unitario. Si m ≥ 2, entonces m es un anillo conmutativo con elemen- Demostración Primero se observa que [a] + [b] = [a + b] = [b + a] = [b] + [a] por lo que la suma es conmutativa. También se observa que ([a] + [b]) + [c] = [a + b] + [c] = [(a + b) + c] = [a + (b + c)] = [a] + ([b] + [c]) por lo que la suma es asociativa. El elemento [0] es el elemento identidad para la suma, pues [a] + [0] = [a + 0] = [a]; para probar la existencia del inverso aditivo de un elemento, se observa que [a] + [m − a] = [a + (m − a)] = [m] = [0] Por lo tanto (m, +) es un grupo abeliano. Se deja al lector demostrar que el producto es asociativo y conmutativo, que [1] es el elemento unitario y que se cumple la propiedad distributiva. No todo anillo m es un dominio entero, por ejemplo en 6 se tiene que [2][3] = [0], pero [2] ≠ [0] y [3] ≠ [0]. En el siguiente teorema se establece para qué valores de m se tiene que m es un dominio entero. MATEMÁTICAS DISCRETAS – RAMÓN ESPINOSA ARMENTA capitulo 4.indd 173 ALFAOMEGA 12/30/09 12:38:01 PM 174 IV. GRUPOS, ANILLOS Y CAMPOS Teorema 4.18 p es dominio entero si y sólo si p es primo. Demostración Si p no es primo entonces p = ab, con 1 < a < p y 1 < b < p. Por lo tanto [a] ≠ [0] y [b] ≠ [0], sin embargo, [a][b] = [ab] = [p] = [0]. Supóngase ahora que p es primo. Si [a][b] = [0] entonces ab ≡ 0 (mód p) y por lo tanto p|ab. Como p es primo, se sigue que p|a o p|b. Por lo que [a] = [0] o [b] = [0]. En el siguiente teorema se caracteriza a los elementos invertibles en m. Teorema 4.19 Un elemento [a] ∈ m es invertible si y sólo si mcd(a, m) = 1 Demostración [a] es invertible en m si y sólo si existe x ∈ tal que [a][x] = [1], lo cual ocurre si y sólo si x es solución de la congruencia lineal ax ≡ 1 (mód m) la cual de acuerdo con el lema 2.3 tiene solución si y sólo si mcd(a, m) = 1. Ejemplo 4.36 [2] no es invertible en 4, pues mcd(2, 4) = 2. Ejemplo 4.37 Determinar el inverso de [23] en 67. Solución Utilizando el algoritmo de Euclides se obtiene que: 67 = 23(2) + 21 23 = 21(1) + 2 21 = 2(10) + 1 2 = 1(2) + 0 Por lo tanto mcd(23, 67) = 1, además 21 = 67 − 2(23) 2 = 23 − 21 = 23 − (67 − 2(23)) = −67 + 3(23) 1 = 21 − 10(2) = [67 − 2(23)] − 10[−67 + 3(23)] = 11(67) − 32(23) De aquí que [23]−1 = [−32] = [67 − 32] = [35]. ALFAOMEGA capitulo 4.indd 174 MATEMÁTICAS DISCRETAS – RAMÓN ESPINOSA ARMENTA 12/30/09 12:38:01 PM 4.7 ARITMÉTICA MODULAR 175 A partir del teorema 4.19 se sigue que el número de elementos invertibles en m es j(m), donde j es la función de Euler, es decir, el número de enteros positivos menores o iguales que m y primos relativos a m. Teorema 4.20 p es un campo si y sólo si p es primo. Demostración Si p es primo y [a] ≠ [p] es p, entonces mcd(a, p) = 1, por lo que por el teorema anterior, [a] es invertible. Por otra parte, si p no es primo, entonces existe a ∈ , 1 < a < p tal que a|p. Por lo tanto mcd(a, p) = a ≠ 1 y por tanto [a] no es invertible en p. A continuación se demuestra el siguiente lema para probar un resultado clásico (el teorema de Euler) de la teoría de números. Lema 4.4 Sean [r], [s] dos clases de equivalencia distintas en m. Entonces para cualquier elemento invertible [a] ∈ m, [ar] y [as] son clases de equivalencia distintas en m. Demostración Supóngase que [ar] = [as]. Por lo tanto ar ≡ as (mód m). Como [a] es invertible en m, se sigue del teorema 4.19 que mcd(a, m) = 1, de aquí que, por el corolario 2.1, r ≡ s (mód m), lo cual contradice la hipótesis de que [r] ≠ [s]. Por lo tanto [ar] ≠ [as]. Teorema 4.21 (Teorema de Euler). entonces Si a ∈ , m ∈ y mcd(a, m) = 1, aj(m) ≡ 1 (mód m) Demostración Sean [x1], [x2], …, [xk] los elementos invertibles distintos en m. Por el lema 4.4, [ax1], [ax2], …, [axk] son elementos invertibles distintos en m, de modo que estas clases deben ser un rearreglo de las clases [x1], [x2], …, [xk]. De aquí que [x1][x2] … [xk] = [ax1][ax2] … [axk] y por lo tanto [x1][x2] … [xk] = [a]k[x1][x2] … [xk] Tomando en cuenta que [x1][x2] … [xk] es invertible, multiplicando en ambos lados por su inverso se obtiene que [1] = [ak]. Como k = j(m), se concluye que aj(m) ≡ 1 (mód m). MATEMÁTICAS DISCRETAS – RAMÓN ESPINOSA ARMENTA capitulo 4.indd 175 ALFAOMEGA 12/30/09 12:38:02 PM 176 IV. GRUPOS, ANILLOS Y CAMPOS El teorema de Euler puede utilizarse para calcular el inverso de [a] en m, ya que [a][aj(m)−1] = [aj(m)] = [1] por lo que [a]−1 = [aj(m)−1]. En el siguiente ejemplo se ilustra el método. Ejemplo 4.38 Determinar el inverso de [3] en 41. Solución Como 41 es primo se tiene que j(41) = 40 y por el teorema de Euler 340 ≡ 1 (mód 41), de modo que [3]−1 = [339]. Se observa que 39 = 32 + 4 + 2 + 1 por lo que 339 = 332 34 32 31 Ahora bien, 3≡3 32 ≡ 9 3 ≡ 9 ≡ 40 38 ≡ 402 ≡ 1 316 ≡ 1 4 2 3 ≡1 32 (mód 41) (mód 41) (mód 41) (mód 41) (mód 41) (mód 41) Pierre de Fermat F (1601-1665) ermat fue un abogado francés que dedicaba su tiempo libre a las matemáticas, y que en 1637 escribió la siguiente afirmación en el margen de su ejemplar de la Aritmética de Diofanto: “No existen enteros a, b, c y n, con n ≥ 3, tales que an + bn = cn ” añadiendo a continuación “he encontrado una demostración maravillosa de esta afirmación, pero el margen es demasiado estrecho para incluirla”. Años después su hijo publicó una edición especial de la obra de Diofanto, con anotaciones de su padre. Una de esas anotaciones era lo que después se conoció como el último teorema de Fermat. Entre los matemáticos que trabajaron en la demostración de este teorema destacan Sophie Germain, que demostró la afirmación para todos los primos menores que 100, Ernst Kummer, que demostró el teorema para una clase de primos conocida como primos regulares, y Andrew Wiles quien en 1995 demostró el teorema en forma general. ALFAOMEGA capitulo 4.indd 176 Por lo tanto 339 ≡ 1 40 9 3 = 1080 ≡ 14 (mód 41). Haciendo m = p, donde p es primo, se obtiene el siguiente resultado establecido en 1640 por Pierre de Fermat, y llamado el pequeño teorema de Fermat, para distinguirlo de su gran teorema. Corolario 4.2 (El pequeño teorema de Fermat). Si p es primo entonces para cualquier entero a no divisible por p, se tiene que ap−1 ≡ 1 (mód p) Corolario 4.3 que Si p es primo entonces para cualquier entero a se tiene ap ≡ a (mód p) Demostración Si p |⁄ a, entonces por el pequeño teorema de Fermat se tiene que ap−1 ≡ 1 (mód p), de aquí que, multiplicando por a, resulta que ap ≡ a (mód p). Por otra parte, si p|a entonces tanto a como ap son congruentes con cero módulo p. MATEMÁTICAS DISCRETAS – RAMÓN ESPINOSA ARMENTA 12/30/09 12:38:02 PM 4.8 APLICACIÓN:CRIPTOGRAFÍA Ejemplo 4.39 iguales. Probar que, en base 10, los últimos dígitos de n y n5 son siempre Demostración observar que Por el corolario 4.3 se tiene que n5 − n ≡ 0 (mód 5). Aquí hay que 177 n5 − n = n(n − 1)(n3 + n2 + n + 1) Como uno de los dos primeros factores es par, se sigue que n5 − n ≡ 0 (mód 2), por lo tanto n5 − n ≡ 0 (mód 10), lo cual prueba el resultado. 4.8 Aplicación: criptografía Supóngase que se requiere enviar información confidencial a través de cierto canal de comunicación. Ante el riesgo de que la información que se envíe sea interceptada por otra persona que pueda aprovecharse de ésta en nuestro perjuicio, se han ideado métodos para transformar el mensaje original de modo que la información que se envíe esté oculta, y pueda ser encontrada solamente por la persona a la que se quiere enviar el mensaje. La disciplina que estudia estos métodos se llama criptografía (del griego kryptos, escondido, y graphein, escribir). El mensaje que se quiere enviar se llama texto común, y el mensaje transformado se llama texto encriptado o cifrado. Tanto el texto común como el texto cifrado están escritos con símbolos de un alfabeto particular. Al proceso de pasar del texto común al texto cifrado se le llama encriptar o codificar, y al proceso de pasar de texto cifrado al texto original se le llama desencriptar o descifrar. Ejemplo 4.40 En los mensajes que Julio César enviaba a sus tropas, cada letra del alfabeto se reemplazaba por la letra que se encontraba tres posiciones después, suponiendo que éstas estaban en un círculo, de modo que A seguía después de la Z. Por ejemplo, la palabra ATAQUEN se convertía en DWDTXHQ. Si pensamos que a cada letra del alfabeto le corresponde un número del 1 al 26, representando su posición en el alfabeto, si M es el texto común y C es el texto cifrado, entonces C = M + 3 (mód 26) MATEMÁTICAS DISCRETAS – RAMÓN ESPINOSA ARMENTA capitulo 4.indd 177 ALFAOMEGA 12/30/09 12:38:03 PM 178 IV. GRUPOS, ANILLOS Y CAMPOS El receptor del mensaje puede descifrarlo usando la fórmula M = C − 3 (mód 26) En este caso el número 3 es la clave para encriptar y desencriptar mensajes. Si dos personas querían comunicarse usando este sistema, ambas debían conocer la clave y evitar que ésta fuera conocida por terceros. Bailey WhitÀeld DifÀe E (1944) ste criptógrafo estadounidense graduado en 1965 en el MIT es un pionero de la criptografía asimétrica. En 1976 publicó junto con Martin Hellman la obra New Directions in Cryptography en la que se presenta un nuevo método de distribución de claves criptográficas para solucionar uno de los problemas fundamentales de la criptografía: la distribución de la clave. En este libro se presenta un nuevo protocolo criptográfico que posteriormente se ha dado a conocer como protocolo de Diffie-Hellman, y ha estimulado el desarrollo público de un nuevo tipo de algoritmos de criptografía asimétrica. Diffie fue gerente de investigación en sistemas de seguridad para la Northern Telecom, donde diseñó la arquitectura de gestión de claves para el sistema de seguridad PDSO para redes X.25. En 1991 se incorporó a Sun Microsystems Laboratories (en Menlo Park, California) como ingeniero distinguido y trabajó principalmente en los aspectos de política pública de la criptografía. En mayo de 2007 Diffie ascendió a jefe oficial de seguridad y vicepresidente de Sun Microsystems. En un criptosistema de clave privada, el emisor y el receptor de un mensaje conocen y utilizan la misma clave secreta para encriptar y desencriptar el mensaje, respectivamente. El principal reto consiste en mantener en secreto la clave, lo cual es difícil, especialmente en sistemas abiertos con múltiples usuarios. Por esa razón, en 1976 Whitfield Diffie y Martin Hellman2 propusieron una idea radicalmente nueva en criptografía. La idea es la siguiente, supóngase que se pudiera diseñar un método de encriptamiento y desencriptamiento de datos, donde la clave de encriptamiento fuera distinta que la clave de desencriptamiento, y que el conocimiento de una de esas claves no permitiera encontrar la otra. De esta manera, un banco, por ejemplo, podría hacer pública la clave de encriptamiento, para poder recibir mensajes de sus clientes, manteniendo en secreto la clave de desencriptamiento, asegurándose de que ésta sea prácticamente imposible de descubrir. Un método con estas características es llamado un criptosistema de clave pública. En 1977, poco después de que esta idea fuera propuesta, tres jóvenes matemáticos del MIT, Ronald Rivest, Adi Shamir y Leonard Adleman3, dieron un ejemplo concreto de cómo esta idea podía llevarse a la práctica. En honor a sus descubridores, el método se conoce como criptosistema RSA. En lo que sigue se supone que cada letra del alfabeto es una pareja de números enteros del 01 al 26. También se utiliza la pareja 00 para denotar un espacio. Por ejemplo, el mensaje BUENOS DIAS, se puede representar como 0221051415190004090119. El método RSA se inicia seleccionando dos números primos distintos, p y q, ambos suficientemente grandes. Sea n = pq, por lo tanto j(n) = ( p − 1)(q − 1). Luego se elige un entero e > 1 tal que mcd(e, j(e)) = 1 y se resuelve la congruencia lineal ed ≡ 1 (mód j(n)) eligiendo d de modo que 0 < d < j(n). La pareja de enteros (e, n) es la clave pública que utilizará el emisor para encriptar mensajes y la pareja (d, n) es la clave privada que utilizará el receptor para descifrar mensajes. 2 W. Diffie y M. S. Hellman, New directions in cryptography, IEEE, Transactions on Information Theory, 22 (1976), 644-654. 3 R. Rivest, A. Shamir, L. Adleman. A method for obtaining digital signatures and public-key criptosystems. Comm. of the ACM, 21 (1978), 120-126 ALFAOMEGA capitulo 4.indd 178 MATEMÁTICAS DISCRETAS – RAMÓN ESPINOSA ARMENTA 12/30/09 12:38:03 PM 4.8 APLICACIÓN:CRIPTOGRAFÍA 179 También se supone que el mensaje que se quiere enviar es un número entre 0 y n − 1, si no es así el mensaje se puede dividir en bloques de números en ese rango. Si m es el mensaje original, entonces el mensaje cifrado C es el residuo obtenido al dividir Me entre n, equivalentemente, C es la solución de la congruencia Me ≡ C (mód n) donde 0 ≤ C < n. Para descifrar el mensaje el receptor calcula el residuo R obtenido al dividir Cd entre n, equivalentemente Cd ≡ R (mód n) donde 0 ≤ R < n. El siguiente teorema muestra que R = M. Teorema 4.22 Sean p y q dos primos distintos, n = pq, y e, d enteros positivos tales que ed ≡ 1 (mód j(n)). Si 0 ≤ M < n y Me ≡ C (mód n) Cd ≡ R (mód n) donde 0 ≤ R < n entonces R = M. Demostración Por hipótesis ed ≡ 1 (mód ( p − 1)(q − 1)) por lo tanto existe un entero positivo k tal que ed = 1 + k(p − 1)(q − 1) De aquí que R ≡ Cd ≡ (Me)d ≡ Med ≡ M1+k( p−1)(q−1) ≡ MM k ( p−1)(q−1) (mód n) (mód n) (mód n) (mód n) (mód n) Como p|n, se sigue que R ≡ MMk ( p−1)(q−1) (mód p) Se afirma que R ≡ M (mód p). Para probar esta afirmación se consideran los casos p|M y p |⁄ M MATEMÁTICAS DISCRETAS – RAMÓN ESPINOSA ARMENTA capitulo 4.indd 179 ALFAOMEGA 12/30/09 12:38:04 PM 180 IV. GRUPOS, ANILLOS Y CAMPOS Caso 1. Si p|M entonces M ≡ 0 (mód p), por lo tanto MMk ( p−1)(q−1) ≡ 0 ≡ M (mód p) Es decir, R ≡ M (mód p). Caso 2. Si p |⁄ M, se sigue del pequeño teorema de Fermat que M p−1 ≡ 1 (mód p) Por lo tanto M k ( p−1)(q−1) ≡ 1k ( q−1) ≡ 1 (mód p) De aquí MMk ( p−1)(q−1) ≡ M (mód p) y por lo tanto R ≡ M (mód p). Como q|n, un argumento similar muestra que R ≡ M (mód q). Por lo tanto R es una solución del sistema de congruencias lineales R ≡ M (mód p) R ≡ M (mód q) Como p y q son primos distintos se tiene que mcd( p, q) = 1, de aquí que, por el teorema chino del residuo R ≡ M (mód n), donde n = pq. Como además 0 ≤ M < n entonces R = M. De acuerdo con lo expuesto en esta sección, el propósito general de los simuladores • GENERADOR DE CLAVES RSA • CODIFICADOR RSA • DECODIFICADOR RSA respectivamente es generar una clave pública y una privada, y codiÀcar un mensaje y decodiÀcar el mismo usando las claves generadas. Ejemplo 4.41 Determinar una pareja de claves en el sistema RSA, usando los primos p = 7 y q = 11. Solución En este caso n = 77 y j(n) = 60. Un entero mayor que 1 y primo relativo a 60 es e = 7, por lo que una clave pública es (e, n) = (7, 77). Para determinar la clave privada correspondiente se considera la congruencia lineal 7d ≡ 1 (mód 60) la cual tiene solución d = 43. Por lo tanto la clave privada es (d, n) = (43, 77). ALFAOMEGA capitulo 4.indd 180 MATEMÁTICAS DISCRETAS – RAMÓN ESPINOSA ARMENTA 12/30/09 12:38:04 PM 4.8 APLICACIÓN:CRIPTOGRAFÍA Ejemplo 4.42 Encriptar el mensaje HOLA con la clave pública (7, 77), usando el sistema RSA. Solución HOLA = 08151201 que es un número mayor que n = 77, por lo que se necesita dividir el mensaje en bloques de una letra: O = 15 = M2, L = 12 = M3, A = 01 = M4 Para cada uno de los submensajes Mi se necesita obtener Ci = M 7i módulo 77. Se puede verificar fácilmente que C1 = 57, C2 = 71, C3 = 12 y C4 = 1, por lo que el mensaje encriptado es C = 57 Ejemplo 4.43 77). 71 12 Seguridad del sistema RSA La seguridad del criptosistema RSA está basada en la extraordinaria diÀcultad de dos problemas matemáticos: el problema de factorizar números grandes y el problema RSA. En forma numérica se tiene que H = 08 = M1, 181 01 Descifrar C = 57 usando la clave privada (43, En teoría de números, la factorización de un número compuesto consiste en expresar éste como producto de números primos. El problema relacionado con números compuestos muy grandes, es que no se conoce un algoritmo de factorización eÀciente. Por otro lado, el problema RSA consiste en determinar las n-ésimas raíces módulo un número compuesto N cuyos factores no son conocidos. Más especíÀcamente, el problema es determinar un entero P tal que Pn ≡ C (mod N) dados los enteros N, n y C tales que N es el producto de dos números primos grandes, n es coprimo de φ(N) además de que 2 < n < N, y 0 < C < N. Solución Se necesita calcular 5743 módulo 77. Con este fin se observa que 43 = 25 + 23 + 2 + 1 = 32 + 8 + 2 + 1. Por esto se tiene que 5743 = 5732 578 572 57 Ahora bien 57 ≡ 57 (mód 77) 57 ≡ 15 (mód 77) 57 ≡ 15 ≡ 71 (mód 77) 578 ≡ 712 ≡ 36 (mód 77) 57 ≡ 36 ≡ 64 (mód 77) 57 ≡ 64 ≡ 15 (mód 77) 2 4 2 16 32 2 2 Por lo tanto 5743 = 57 15 36 15 ≡ 8 (mód 77) Es decir, el mensaje numérico es 08, que corresponde a la letra H. MATEMÁTICAS DISCRETAS – RAMÓN ESPINOSA ARMENTA capitulo 4.indd 181 ALFAOMEGA 12/30/09 12:38:05 PM 182 IV. GRUPOS, ANILLOS Y CAMPOS En la práctica los números p y q se eligen de modo que tengan alrededor de 100 dígitos decimales, por lo que n = pq tiene alrededor de 200 dígitos. En la actualidad no existe un método que permita factorizar un número tan grande en un tiempo suficientemente pequeño como para que pueda ser utilizado para encontrar la clave privada d, por esta razón el sistema RSA puede considerarse como un criptosistema de clave pública. 4.8.1 MATLAB y el criptosistema RSA En la lectura adicional MATLAB Y EL CRIPTOSISTEMA RSA se describe la forma en que se usa MATLAB para implementar simuladores como Generador de claves RSA, CodiÀcador RSA y DecodiÀcador RSA. 4.9 Resumen En este capítulo se presentó la noción de operación binaria, luego se expuso el concepto de grupo y los conceptos de anillo y campo, probando sus propiedades en cada caso. En particular se presentó el anillo de los enteros módulo m y cómo se utiliza la aritmética modular en la criptografía moderna. En el siguiente capítulo se estudia un anillo particular: el anillo de los polinomios con coeficientes en un campo arbitrario. 4.10 Problemas Operaciones binarias 4.1 Sea * la operación binaria definida en por: a*b=a−b Determinar si * es asociativa y/o conmutativa. Justificar respuesta. 4.2 Sea * la operación binaria definida en por: a * b = mín{a, b} Determinar si * es asociativa y/o conmutativa. Justificar respuesta. ALFAOMEGA capitulo 4.indd 182 MATEMÁTICAS DISCRETAS – RAMÓN ESPINOSA ARMENTA 12/30/09 12:38:06 PM 4.10 PROBLEMAS 183 4.3 Sea * la operación binaria definida en por: a * b = ab + 1 Determinar si * es asociativa y/o conmutativa. Justificar respuesta. 4.4 Sea * la operación binaria definida en por: a*b=a+b−1 Determinar si * es asociativa y/o conmutativa. Justificar respuesta. 4.5 Sea X un conjunto arbitrario, pero fijo, y sea ⊕ la operación binaria definida en ℘(X) por: A ⊕ B = (A − B) ∪ (B − A) Determinar si ⊕ es asociativa y/o conmutativa. 4.6 Completar la siguiente tabla de modo que la operación binaria en A = {a, b, c, d} sea conmutativa. + a b c d a b c − b b − a − b c a c d − d − − a c 4.7 Sea A = {a, b, c, d}. Dar un ejemplo de una operación binaria en A que no sea asociativa. 4.8 Sea * la operación binaria definida en × por: (a, b) * (c, d) = (ad + bc, bd) Determinar si * es asociativa y/o conmutativa. Justificar respuesta. 4.9 Sea * la operación binaria definida en × por: (a, b) * (c, d) = (ac, bd) Determinar si * es asociativa y/o conmutativa. Justificar respuesta. 4.10 Determinar el más pequeño subconjunto A de tal que 3 ∈ A y la suma es una operación binaria en A. MATEMÁTICAS DISCRETAS – RAMÓN ESPINOSA ARMENTA capitulo 4.indd 183 ALFAOMEGA 12/30/09 12:38:06 PM 184 IV. GRUPOS, ANILLOS Y CAMPOS 4.11 Sea A un conjunto con n elementos. a) ¿Cuántas operaciones binarias se pueden definir en A? b) ¿Cuántas operaciones binarias conmutativas se pueden definir en A? 4.12 En cada inciso mostrar que el conjunto con la operación indicada es un monoide. a) ℘(X) con la unión. b) ℘(X) con la intersección. c) con el producto. 4.13 Demostrar que con la operación a * b = a + b − ab es un monoide. Grupos 4.14 En cada inciso determinar si el conjunto con la operación indicada es un grupo. a) , con la resta. b) ℘(X) con la unión. c) El conjunto ℘(X) con la intersección. d) El conjunto {2n | n ∈ } con el producto. 4.15 Si ⎛ 1 2 3 4 5 6⎞ σ =⎜ ⎝ 6 5 2 4 3 1⎟⎠ ⎛ 1 2 3 4 5 6⎞ y μ=⎜ ⎝ 3 2 1 6 5 4 ⎟⎠ Calcular a) sm c) sm−1 b) ms d) ms2 4.16 Si ⎛ 1 2 3 4 5 6 7⎞ σ =⎜ ⎝ 2 1 5 6 7 4 3⎟⎠ ⎛ 1 2 3 4 5 6 7⎞ y μ=⎜ ⎝ 2 7 4 5 3 6 1⎟⎠ Calcular a) sm ALFAOMEGA capitulo 4.indd 184 b) ms c) s−1m d) m2s MATEMÁTICAS DISCRETAS – RAMÓN ESPINOSA ARMENTA 12/30/09 12:38:07 PM 4.10 PROBLEMAS 185 4.17 Escribir la permutación ⎛ 1 2 3 4 5 6 7 8⎞ ⎜⎝ 7 8 5 4 1 2 3 6 ⎟⎠ como producto de ciclos ajenos. 4.18 Escribir la permutación ⎛ 1 2 3 4 5 6 7 8 9⎞ ⎜⎝ 3 8 1 9 7 4 5 2 6 ⎟⎠ como producto de ciclos ajenos. 4.19 Demostrar que si G1 y G2 son grupos, entonces G = G1 × G2 es un grupo, con la operación definida por (a1, b1)(a2, b2) = (a1a2, b1b2) 4.20 Demostrar que si G es un grupo abeliano entonces (ab)n = anbn para toda n ∈ . 4.21 Sea G un grupo tal que todo elemento es su propio inverso. Demostrar que G es abeliano. 4.22 Sea G un grupo, y sean a, b ∈ G tales que (ab)2 = a2 b2. Demostrar que ab = ba. 4.23 Demostrar que si H y K son subgrupos del grupo G entonces H ∩ K es un subgrupo de G. 4.24 Sea G un grupo, y sea a ∈ G. El normalizador de G es el conjunto: N(a) = {x ∈ G | xa = ax} Demostrar que N(a) es un subgrupo de G. 4.25 Sea G un grupo. Demostrar que la función f : G → G definida por f (a) = a−1 es un isomorfismo si y sólo si G es abeliano. 4.26 Sea G un grupo. Demostrar que la función f : G → G definida por f (a) = a2 es un homomorfismo si y sólo si G es abeliano. MATEMÁTICAS DISCRETAS – RAMÓN ESPINOSA ARMENTA capitulo 4.indd 185 ALFAOMEGA 12/30/09 12:38:07 PM 186 IV. GRUPOS, ANILLOS Y CAMPOS 4.27 Demostrar que si f : G → Ĝ es un isomorfismo del grupo G en el grupo Ĝ , entonces f −1 : Ĝ → G es un isomorfismo de Ĝ en G. 4.28 Sea G un grupo de permutaciones de un conjunto finito X. Demostrar que E(x) = {s ∈ G | s(x) = x} es un subgrupo de G para todo x ∈ X. 4.29 A partir de lo expuesto en la lectura adicional LA FÓRMULA DE BURNSIDE resolver el siguiente problema: sea G un grupo de permutaciones de un conjunto finito X. Demostrar que E(x) = {s ∈ G | s(x) = x} es un subgrupo de G para todo x ∈ X. 4.30 A partir de lo expuesto en la lectura adicional LA FÓRMULA DE BURNSIDE resolver el siguiente problema: ¿de cuántas maneras se pueden colorear los vértices de un cuadrado con 5 colores, considerando dos coloraciones iguales si se puede obtener una a partir de la otra por medio de una rotación o una reflexión? 4.31 A partir de lo expuesto en la lectura adicional LA FÓRMULA DE BURNSIDE resolver el siguiente problema: ¿de cuántas maneras se pueden colorear los vértices de un pentágono con 4 colores, considerando dos coloraciones iguales si se puede obtener una a partir de la otra por medio de una rotación o una reflexión? ALFAOMEGA capitulo 4.indd 186 MATEMÁTICAS DISCRETAS – RAMÓN ESPINOSA ARMENTA 12/30/09 12:38:08 PM 4.10 PROBLEMAS 187 Anillos 4.32 Sea A = con las operaciones ⊕ y a ⊕ b = a + b − 1, a definidas como: b = a + b − ab Mostrar que (, ⊕, ) es un anillo conmutativo con elemento unitario. ¿Es un dominio entero? 4.33 Sea X un conjunto arbitrario pero fijo, y sea A = ℘(X) el conjunto potencia de X con las operaciones ⊕ y definidas como: V ⊕ W = V ∪ W − V ∩ W, V W=V∩W Mostrar que (A, ⊕, ) es un anillo. ¿Es conmutativo? ¿Tiene elemento unitario? ¿Es un dominio entero? 4.34 Sea A = con las operaciones ⊕ y a ⊕ b = a + b − 7, Explicar por qué (A, ⊕, a definidas como: b = a + b − 3ab ) no es un anillo. 4.35 Demostrar que el producto en M2(D) es asociativo. 4.36 Demostrar que se cumplen las propiedades distributivas en M2(D). 4.37 Sea A un anillo con elemento unitario. Demostrar que si a, b son unidades en A, entonces ab también es una unidad en A. 4.38 Utilizar inducción matemática para probar las leyes de los exponentes. 4.39 Demostrar que es isomorfo al anillo del problema 4.32. 4.40 Si A, B y C son anillos y f : A → B, g : B → C, son homomorfismos de anillos, demostrar que g f : A → C, es un homomorfismo de anillos. 4.41 A partir de lo expuesto en la lectura adicional ANILLOS ORDENADOS resolver el siguiente problema. Sea A un anillo ordenado y sean a, b ∈ A, tales que 0 < a < b. Demostrar que a2 < b2. MATEMÁTICAS DISCRETAS – RAMÓN ESPINOSA ARMENTA capitulo 4.indd 187 ALFAOMEGA 12/30/09 12:38:10 PM 188 IV. GRUPOS, ANILLOS Y CAMPOS 4.42 A partir de lo expuesto en la lectura adicional ANILLOS ORDENADOS resolver el siguiente problema. Sea A un anillo ordenado y sean a, b, c, d ∈ A, tales que a < b y c < d. ¿Es cierto que ac < bd? 4.43 A partir de lo expuesto en la lectura adicional ANILLOS ORDENADOS resolver el siguiente problema. Demostrar que no es posible definir un orden en m de modo que m sea un anillo ordenado. Campos 4.44 Sea K un campo, y sean a, b, ∈ K, con a ≠ 0. Demostrar que la ecuación lineal ax = b tiene solución única. 4.45 Sea K un campo, y sean a, b, c, d ∈ K, con b ≠ 0 y d ≠ 0. Demostrar que a c ad + bc + = b d bd 4.46 Sea K un campo, y sean a, b, c, d ∈ K, distintos de cero. Demostrar que (a/b)/(c/d) = (ad)/(bc) 4.47 Sean K y K̂ campos y sea f : K → K̂ un homomorfismo suprayectivo. Demostrar que f (a−1) = f (a)−1 para todo a ∈ K, a ≠ 0. ALFAOMEGA capitulo 4.indd 188 MATEMÁTICAS DISCRETAS – RAMÓN ESPINOSA ARMENTA 12/30/09 12:38:11 PM 4.10 4.48 Sea A = , con la suma ⊕ y el producto a ⊕ b = a + b + 3, Demostrar que (A, ⊕, a PROBLEMAS 189 definidos por b = a + b + (ab|3) ) es un campo. 4.49 A partir de lo expuesto en la lectura adicional ANILLOS ORDENADOS resolver el siguiente problema. Sea K un campo ordenado y sea a ∈ K. Demostrar que si a > 0 entonces a−1 > 0. 4.50 A partir de lo expuesto en la lectura adicional ANILLOS ORDENADOS resolver el siguiente problema. Sea K un campo ordenado y sean a, b ∈ A tales que 0 < a < b. Demostrar que 0 < b−1 < a−1. Números complejos 4.51 A partir de lo expuesto en la lectura adicional NÚMEROS COMPLEJOS resolver el siguiente problema: sea D = {a + ib | a, b ∈ } Demostrar que D es un dominio entero. Los elementos de D son llamados enteros gaussianos y fueron definidos por Gauss en 1830. MATEMÁTICAS DISCRETAS – RAMÓN ESPINOSA ARMENTA capitulo 4.indd 189 ALFAOMEGA 12/30/09 12:38:12 PM 190 IV. GRUPOS, ANILLOS Y CAMPOS 4.52 A partir de lo expuesto en la lectura adicional NÚMEROS COMPLEJOS resolver el siguiente problema: sea K el conjunto cuyos elementos son de la forma ⎛ a − b⎞ ⎜⎝ b a ⎟⎠ con a, b ∈ . a) Demostrar que K es un subanillo de M2(). b) Demostrar que K es un campo. c) Demostrar que K es isomorfo al campo de los números complejos. 4.53 A partir de lo expuesto en la lectura adicional NÚMEROS COMPLEJOS resolver el siguiente problema: sea A = × con la suma y el producto definidos por (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d) (a, b) (c, d) = (ac − bd, ad + bc) Demostrar que (A, +, ) es un anillo no conmutativo con elemento unitario, en el que cada elemento distinto de cero es unidad. Los elementos de A son llamados cuaternios y fueron estudiados por Hamilton en el siglo XIX. Aritmética modular 4.54 Demostrar que el producto en m es asociativo. 4.55 Demostrar que el producto en m es conmutativo. ALFAOMEGA capitulo 4.indd 190 MATEMÁTICAS DISCRETAS – RAMÓN ESPINOSA ARMENTA 12/30/09 12:38:14 PM 4.10 PROBLEMAS 191 4.56 Demostrar que [1] es el elemento unitario en m. 4.57 Demostrar la propiedad distributiva en m. 4.58 Escribir las tablas para la suma y el producto en 4. 4.59 Escribir las tablas para la suma y el producto en 5. 4.60 Sea f : → m definida por f (a) = [a], para toda a ∈ . Demostrar que f es un homomorfismo suprayectivo del anillo en el anillo m. 4.61 Utilizar el algoritmo de Euclides para determinar el inverso de [9] en 14. 4.62 Utilizar el algoritmo de Euclides para determinar el inverso de [11] en 19. 4.63 Utilizar el teorema de Euler para determinar el inverso de [5] en 59. 4.64 Utilizar el teorema de Euler para determinar el inverso de [8] en 37. 4.65 Demostrar que si p es primo, los únicos elementos autoinvertibles en p son [1] y [ p − 1]. 4.66 (Teorema de Wilson) Demostrar que si p es primo entonces ( p − 1)! ≡ −1 (mód p) Criptografía 4.67 Utilizar el sistema RSA para encriptar el mensaje AVE con la clave pública (5, 85). 4.68 Usando los simuladores • GENERADOR DE CLAVES RSA • CODIFICADOR RSA • DECODIFICADOR RSA resolver el problema anterior. 4.69 Utilizar el sistema RSA para encriptar el mensaje UVA con la clave pública (7, 91). MATEMÁTICAS DISCRETAS – RAMÓN ESPINOSA ARMENTA capitulo 4.indd 191 ALFAOMEGA 12/30/09 12:38:16 PM 192 IV. GRUPOS, ANILLOS Y CAMPOS 4.70 Usando los simuladores • GENERADOR DE CLAVES RSA • CODIFICADOR RSA • DECODIFICADOR RSA resolver el problema anterior. 4.71 Utilizar el sistema RSA para descifrar el mensaje 70 22 01 con la clave privada (31, 91). 4.72 Usando los simuladores • GENERADOR DE CLAVES RSA • CODIFICADOR RSA • DECODIFICADOR RSA resolver el problema anterior. 4.73 Utiliza el sistema RSA para descifrar el mensaje 01 82 65 con la clave privada (29, 85). 4.74 Usando los simuladores • GENERADOR DE CLAVES RSA • CODIFICADOR RSA • DECODIFICADOR RSA resolver el problema anterior. ALFAOMEGA capitulo 4.indd 192 MATEMÁTICAS DISCRETAS – RAMÓN ESPINOSA ARMENTA 12/30/09 12:38:17 PM 4.11 4.11 CONTENIDO INTERACTIVO 193 Contenido interactivo El material marcado con asterisco (*) sólo está disponible para docentes. Mapa conceptual Simuladores • Generador de claves RSA • Codificador RSA • Decodificador RSA Lecturas adicionales • La fórmula de Burnside • Anillos ordenados • Números racionales • Números complejos • MATLAB y el criptosistema RSA Respuesta y desarrollo de problemas seleccionados *Presentaciones *Respuesta y desarrollo de problemas Glosario MATEMÁTICAS DISCRETAS – RAMÓN ESPINOSA ARMENTA capitulo 4.indd 193 ALFAOMEGA 12/30/09 12:38:18 PM CAPÍTULO V Polinomios 5.1 5.2 5.3 5.4 5.5 5.6* 5.7 5.8* 5.9* 5.10 5.11 5.12 Introducción DeÀnición y propiedades Divisibilidad Máximo común divisor Raíces de polinomios Raíces reales y complejas Polinomios irreducibles El criterio de Eisenstein Fracciones parciales Resumen Problemas Contenido interactivo *Ver Plataforma de contenidos interactivos. capitulo 5.indd 194 12/30/09 12:47:26 PM 3 2 Las estructuras son las herramientas del matemático. 3 x +3 3 2 4x3 2x 2 2x 1 Nicolás Bourbaki 4 x+4 4x 2 2 2 1 3 0 4 4 0 1 2 0 3 1 1 2 1 Objetivos • • • capitulo 5.indd 195 Analizar las analogías entre el anillo de polinomios y los números enteros. Probar el teorema del factor y el teorema del residuo. DeÀnir la noción de polinomio irreducible y probar el teorema de factorización. 12/30/09 12:47:56 PM 196 V. POLINOMIOS 5.1 Introducción En este capítulo se muestra que el conjunto de polinomios con coeficientes en un dominio entero es un dominio entero. También se exponen otras analogías entre los polinomios y los números enteros, por ejemplo es posible tener un algoritmo de la división para polinomios así como se puede definir el máximo común divisor de dos polinomios. Se presenta la noción de polinomio irreducible y el procedimiento para factorizar un polinomio como producto de polinomios irreducibles. Se consideran polinomios en un campo arbitrario, sin embargo en los ejemplos se hace énfasis en polinomios con coeficientes en un campo finito o con coeficientes enteros (pensados como elementos del campo de los números racionales). 5.2 DeÀnición y propiedades Sea D un dominio entero. Un polinomio en la indeterminada x con coeÀcientes en D es una expresión de la forma a0 + a1x + a2x2 + … + anxn donde n es un entero no negativo y aj ∈ D para toda j = 0, 1, 2, …, n. Las expresiones a0, a1x, a2x2, …, anxn se llaman términos del polinomio y los elementos a0, a1x, a2, …, an son los coeficientes del polinomio. El conjunto de polinomios en la indeterminada x con coeficientes en D se denota como D[x]. Un elemento en D[x] se denota usualmente como a(x), es decir, a(x) = a0 + a1x + a2x2 + … + anxn Un polinomio de la forma a(x) = a0 es llamado polinomio constante. Los polinomios constantes pueden identificarse con los elementos de D. Dos polinomios a(x) = a0 + a1x + … + anxn y b(x) = b0 + b1x + … + bmxm se dice que son iguales si n = m y aj = bj para toda j = 0, 1, 2, …, n. En este caso se escribe a(x) = b(x). ALFAOMEGA capitulo 5.indd 196 MATEMÁTICAS DISCRETAS – RAMÓN ESPINOSA ARMENTA 12/30/09 12:48:09 PM 5.2 197 DEFINICIÓN Y PROPIEDADES La suma de dos polinomios a(x) = a0 + a1x + a2x2 + … + anxn y b(x) = b0 + b1x + b2x2 + … + bmxm es el polinomio a(x) + b(x) = (a0 + b0) + (a1 + b1)x + (a2 + b2)x2 + … + (an + bn)xn donde ai = 0 si i > n y bi = 0 si i > m. Ejemplo 5.1 Si a(x) = 4 + x + 2x3 + 3x4 y son polinomios en 5[x], entonces E a(x) + b(x) = 1 + 4x + 2x2 + 2x4 El producto de dos polinomios a(x) = a0 + a1x + a2x2 + … + anxn y b(x) = b0 + b1x + b2x2 + … + bmxm es el polinomio a(x)b(x) = c0 + c1x + c2x2 + … + cn+mxn+m donde k ck = ∑ a j bk − j j=0 Anillo de polinomios b(x) = 2 + 3x + 2x2 + 3x3 + 4x4 l conjunto de todos los polinomios con coeficientes en el campo K forma un anillo conmutativo al que se le da el nombre de anillo de polinomios sobre K y que se denota como K[x]. Las operaciones de suma y multiplicación de K[x] están definidas por las siguientes fórmulas n ⎞ ⎛ n ⎞ ⎛ n ∑ ai x i ⎠⎟ + ⎝⎜ ∑ bi x i ⎠⎟ = ∑ (ai + bi ) x i ⎝⎜ i=0 i=0 i=0 m+n m ⎛ n ⎛ ⎞ k i⎞ ⎛ j⎞ ⎜⎝ ∑ ai x ⎟⎠ ⋅ ⎜⎝ ∑ b j x ⎟⎠ = ∑ ⎝⎜ ∑ ai b j ⎟⎠ x k =0 i=0 i=0 y las propiedades de este anillo son muy parecidas a las del anillo de los enteros. Por otro lado, en particular se tiene que el anillo de polinomios en el conjunto de enteros módulo p se denota como p[x], donde p es primo ya que p es un dominio entero sí y sólo si p es primo. . En la expresión anterior se supone como antes que aj = 0 si j > n y bj = 0 si j > m. Ejemplo 5.2 Considérense los siguientes polinomios en 3[x]: a(x) = 1 + x + 2x3 y b(x) = 2 + 2x + 2x2 Entonces a(x)b(x) = 2 + x + 3x2 + 2x3 + 2x4 + 2x5 MATEMÁTICAS DISCRETAS – RAMÓN ESPINOSA ARMENTA capitulo 5.indd 197 ALFAOMEGA 12/30/09 12:48:11 PM 198 V. POLINOMIOS Teorema 5.1 tero. Si D es un dominio entero entonces D[x] es un dominio en- Demostración La suma de polinomios es conmutativa, pues a(x) + b(x) = (a0 + b0) + (a1 + b1)x + (a2 + b2)x2 + … + (an + bn)xn = (b0 + a0) + (b1 + a1)x + (b2 + a2)x2 + … + (bn + an)xn = b(x) + a(x). También se puede demostrar que la suma es asociativa (problema 5.3). Por otra parte, es claro que el polinomio cero es neutro aditivo y que el inverso aditivo del polinomio a(x) = a0 + a1x + a2x2 + … + anxn es el polinomio −a(x) = (−a0) + (−a1)x + (−a2)x2 + … + (−an)xn El producto de polinomios es conmutativo, ya que si a(x) = a0 + a1x + a2x2 + … + anxn y b(x) = b0 + b1x + b2x2 + … + bmxm son polinomios, entonces a(x)b(x) = c0 + c1x + c2x2 + … + cn+mxn+m donde k k j=0 j=0 ck = ∑ a j bk − j = ∑ ak − j b j que es el coeficiente de xk del polinomio b(x)a(x), por lo que a(x)b(x) = b(x)a(x). Además de lo anterior, se puede verificar que el producto es asociativo (problema 5.4), que se cumple la propiedad distributiva (problema 5.5) y que el polinomio 1 es neutro multiplicativo, por lo que D[x] es un anillo conmutativo con elemento unitario. Por último, se debe probar que si a(x) y b(x) son dos polinomios distintos del polinomio cero, entonces a(x)b(x) no es el polinomio cero. Con este fin se escribe a(x) = a0 + a1x + a2x2 + … + anxn ALFAOMEGA capitulo 5.indd 198 MATEMÁTICAS DISCRETAS – RAMÓN ESPINOSA ARMENTA 12/30/09 12:48:13 PM 5.3 199 DIVISIBILIDAD y b(x) = b0 + b1x + b2x2 + … + bmxm donde an ≠ 0 y bm ≠ 0. Por lo tanto el coeficiente de xn+m en a(x)b(x) es anbm. Como D es dominio entero, se tiene que anbm ≠ 0 y de aquí que a(x)b(x) no es el polinomio cero. Como cada término de un polinomio es por sí mismo un polinomio, y como la suma de polinomios es conmutativa y asociativa, se pueden escribir los términos de un polinomio de la manera que se considere más conveniente, en particular, el polinomio a(x) = a0 + a1x + a2x2 + … + anxn también puede escribirse con potencias en orden descendente: a(x) = anxn + an−1xn−1 + … + a1x + a0 Si a(x) no es el polinomio cero, entonces el grado de a(x) es el mayor entero n tal que an ≠ 0. En particular, los polinomios de grado cero son los polinomios constantes distintos de cero. El grado del polinomio cero no se define. Hay que observar que si a(x) y b(x) son dos polinomios distintos del polinomio cero, entonces Aplicación de los polinomios U na importante aplicación de los polinomios en el cálculo es su utilización en la aproximación de funciones diferenciables alrededor de un punto dado, esto es, en la expresión de una función diferenciable en un punto dado como una suma de polinomios. Esta aplicación está planteada en el teorema de Taylor que afirma que si n ≥ 0 es un entero y f una función n veces continuamente diferenciable en el intervalo cerrado [a, x] y n + 1 veces diferenciable en el inervalo abierto (a, x), entonces f ′(a) f ( 2 ) (a) ( x − a) + 1! 2! f ( n ) (a) ( x − a)n + Rn ( x ). ( x − a) 2 + + n! en donde Rn(x) es un término que denota f ( x ) = f (a) + grado [a(x)b(x)] = grado a(x) + grado b(x) Además, si a(x) + b(x) ≠ 0, entonces grado [a(x) + b(x)] ≤ máx{grado a(x), grado b(x)} En el resto de este capítulo la exposición se restringe a polinomios con coeficientes en un campo K. Como todo campo es un dominio entero se tiene que K[x] también es un dominio entero. 5.3 la diferencia entre el polinomio de Taylor de grado n y la función original. Un ejemplo de la aplicación del teorema de Taylor es la expresión de la función exponencial ex en a = 0: ex ≈ 1 + x + x2 x3 xn + ++ . 2 ! 3! n! Divisibilidad Sean a(x), b(x) ∈ K[x]. Se dice que b(x) divide a a(x) si existe q(x) ∈ K[x], tal que a(x) = b(x)q(x). En este caso se dice que b(x) es un factor de a(x), y que a(x) es un múltiplo de b(x), y se escribe b(x) | a(x). MATEMÁTICAS DISCRETAS – RAMÓN ESPINOSA ARMENTA capitulo 5.indd 199 ALFAOMEGA 12/30/09 12:48:14 PM 200 V. POLINOMIOS Ejemplo 5.3 Si a(x) ∈ K[x] entonces para cualquier l ∈ K, l ≠ 0, se tiene que l | a(x), ya que a( x ) = λ a( x ) . λ Ejemplo 5.4 Si a(x) ∈ K[x] entonces para cualquier l ∈ K, l ≠ 0, se tiene que la(x) | a(x), ya que 1 a( x ) = λ a( x ) . λ Teorema 5.2 Si a(x), b(x) ∈ K[x], a(x) ≠ 0 y b(x) | a(x), entonces grado b(x) ≤ grado a(x) Demostración Por hipótesis a(x) = b(x)q(x). Como a(x) ≠ 0 y K[x] es un dominio entero, también se tiene que b(x) ≠ 0 y q(x) ≠ 0. Por lo tanto grado a(x) = grado b(x) + grado q(x) ≥ grado b(x). Teorema 5.3 Sean a(x), b(x) ∈ K[x], distintos de cero, tales que a(x) | b(x) y b(x) | a(x) entonces existe l ∈ K, l ≠ 0, tal que a(x) = lb(x). Demostración Por el teorema anterior se tiene que grado a(x) = grado b(x). Como además a(x) = b(x)q(x) para algún q(x) ∈ K[x], se sigue que grado a(x) = grado b(x) + grado q(x) Por lo tanto grado q(x) = 0, es decir, q(x) = l para algún l ∈ K, l ≠ 0. El siguiente teorema muestra que las unidades en K[x] son los polinomios constantes distintos de cero. Teorema 5.4 Sea a(x) ∈ K[x], distinto de cero, entonces a(x) es invertible en K[x] si y sólo si a(x) = l, para algún l ∈ K, l ≠ 0. ALFAOMEGA capitulo 5.indd 200 MATEMÁTICAS DISCRETAS – RAMÓN ESPINOSA ARMENTA 12/30/09 12:48:15 PM 5.3 DIVISIBILIDAD 201 Demostración Si a(x) es invertible en K[x] entonces existe b(x) ∈ K[x] tal que a(x)b(x) = 1. Por lo tanto a(x) | 1. Como también 1 | a(x), por el teorema anterior existe l ∈ K, l ≠ 0, tal que a(x) = l1 = l. Recíprocamente, si a(x) = l ≠ 0, entonces a(x) es invertible, pues K es un campo. Una combinación lineal de dos polinomios a(x), b(x) ∈ K[x], es un polinomio de la forma f (x)a(x) + g(x)b(x), donde f (x), g(x) ∈ K[x]. Teorema 5.5 Si c(x) divide a a(x) y a b(x) entonces c(x) divide a cualquier combinación lineal de a(x) y b(x). Demostración Por hipótesis a(x) = c(x)q1(x) y b(x) = c(x)q2(x) Por lo tanto si f (x)a(x) + g(x)b(x) es una combinación lineal de a(x) y b(x) entonces f (x)a(x) + g(x)b(x) = f (x)c(x)q1(x) + g(x)c(x)q2(x) = c(x)[ f (x)q1(x) + g(x)q2(x)]. De aquí que c(x) divide a f (x)a(x) + g(x)b(x). Teorema 5.6 (Algoritmo de la división). Para cualesquiera a(x), b(x) ∈ K[x], con b(x) ≠ 0, existen dos únicos polinomios q(x) y r(x), tales que a(x) = b(x)q(x) + r(x) con r(x) = 0 o grado r(x) < grado b(x). Demostración (Existencia). Sea b(x) ∈ K[x], distinto de cero, arbitrario pero fijo, y sea a(x) cualquier otro polinomio en K[x]. Caso 1. Si a(x) = 0, basta tomar q(x) = r(x) = 0. Caso 2. Si a(x) ≠ 0 y grado a(x) < grado b(x), se toma q(x) = 0 y r(x) = a(x). Caso 3. Si a(x) ≠ 0 y grado b(x) ≤ grado a(x), el resultado se demostrará por inducción sobre n = grado a(x). MATEMÁTICAS DISCRETAS – RAMÓN ESPINOSA ARMENTA capitulo 5.indd 201 ALFAOMEGA 12/30/09 12:48:16 PM 202 V. POLINOMIOS Si grado a(x) = 0 entonces también grado b(x) = 0. Por lo tanto a(x) = a0 ≠ 0 y b(x) = b0 ≠ 0. Por lo tanto se puede tomar q( x ) = a0 b0 y r ( x ) = 0. Supóngase ahora que el resultado es cierto para cualquier polinomio de grado menor que n. Sea a(x) = a0 + a1x + a2x2 + … + anxn con an ≠ 0 y escríbase b(x) = b0 + b1x + b2x2 + … + bmxm con bm ≠ 0 y m ≤ n. Considérese ahora el polinomio aˆ ( x ) = a( x ) − an n − m x b( x ). bm Si â(x) = 0 entonces se puede tomar q( x ) = an n− m x bm y r ( x ) = 0. Si â(x) ≠ 0 entonces grado â(x) < grado a(x) = n, por lo que, por hipótesis de inducción, existen q̂ (x) y r̂(x), tales que â(x) = b(x)q̂ (x) + r̂(x) con r̂(x) = 0 ó grado r̂(x) < grado b(x). De aquí que ⎛ ⎞ a a( x ) = b( x ) ⎜ qˆ ( x ) + n x n− m ⎟ + rˆ( x ) bm ⎝ ⎠ Por lo tanto se puede tomar q( x ) = qˆ ( x ) + ALFAOMEGA capitulo 5.indd 202 an n− m x bm y r ( x ) = rˆ( x ). MATEMÁTICAS DISCRETAS – RAMÓN ESPINOSA ARMENTA 12/30/09 12:48:18 PM 5.3 DIVISIBILIDAD 203 (Unicidad). Supóngase que a(x) = b(x)q1(x) + r1(x) y a(x) = b(x)q2(x) + r2(x) con r1(x) = 0 ó grado r1(x) < grado b(x) y r2(x) = 0 ó grado r2(x) < grado b(x). Por lo tanto 0 = b(x)(q1(x) − q2(x)) + (r1(x) − r2(x)) de aquí que b(x)(q1(x) − q2(x)) = (r2(x) − r1(x)) Si r1(x) ≠ r2(x), entonces (q1(x) − q2(x)) ≠ 0 (porque K[x] es un dominio entero), de aquí que grado b(x) + grado (q1(x) − q2(x)) = grado (r2(x) − r1(x)) < grado b(x) lo cual no es posible. Por lo tanto r1(x) = r2(x), y de aquí que b(x)(q1(x) − q2(x)) = 0 Como b(x) ≠ 0, se sigue que (q1(x) − q2(x)) = 0, y por lo tanto q1(x) = q2(x). En la expresión a(x) = b(x)q(x) + r(x), el polinomio q(x) se conoce como el cociente y el polinomio r(x) como el residuo al dividir a(x) entre b(x). La demostración del teorema anterior sugiere un método para obtener el cociente y el residuo al dividir un polinomio entre otro, y esto se muestra en los siguientes ejemplos. Ejemplo 5.5 Determinar el cociente y el residuo al dividir a(x) = 20x3 − 3x2 + 8x + 7 entre b(x) = 5x2 − 2x + 3, en [x]. MATEMÁTICAS DISCRETAS – RAMÓN ESPINOSA ARMENTA capitulo 5.indd 203 ALFAOMEGA 12/30/09 12:48:18 PM 204 V. POLINOMIOS Solución 4x + 1 5x − 2x + 3 2 20 x 3 − 3x 2 + 8 x + 7 − 20 x 3 + 8 x 2 − 12 x 5x2 − 4 x + 7 − 5x2 + 2x − 3 − 2x + 4 Por lo tanto el cociente es q(x) = 4x + 1 y el residuo es r(x) = −2x + 4. Ejemplo 5.6 Determinar el cociente y el residuo al dividir a(x) = x3 + 3x2 + x + 4 entre b(x) = 2x + 1, en 5[x]. Solución 3x 2 + 3 2x + 1 x 3 + 3x 2 + x + 4 4 x3 + 2x 2 x+4 4x + 2 1 Por lo tanto el cociente es q(x) = 3x2 + 3 y el residuo es r(x) = 1. Sea a(x) = a0 + a1x + a2x2 + … + anxn ∈ K[x] y sea u ∈ K. El elemento a(u) = a0 + a1u + a2u2 + … + anun se conoce como el valor de a(x) en x = u, y se denota como a(u). Se dice que se obtiene el elemento a(u) sustituyendo u por x en a(x). ALFAOMEGA capitulo 5.indd 204 MATEMÁTICAS DISCRETAS – RAMÓN ESPINOSA ARMENTA 12/30/09 12:48:19 PM 5.3 Ejemplo 5.7 DIVISIBILIDAD 205 Evaluar el polinomio a(x) = 2x4 − x3 + 3x2 + x − 4 ∈ [x] en x = 3. Solución a(3) = 2(34) − 33 + 3(32) + 3 − 4 = 161 Teorema 5.7 (Teorema del residuo). Si a(x) ∈ K[x] y u ∈ K, entonces a(u) es el residuo obtenido al dividir a(x) entre x − u. Demostración Por el algoritmo de la división: a(x) = q(x)(x − u) + r(x) donde r(x) = 0 ó grado r(x) < 1. Por lo tanto r(x) = r ∈ K, y de aquí que a(x) = q(x)(x − u) + r Sustituyendo u por x en a(x) se obtiene que a(u) = q(u)(u − u) + r = r. Ejemplo 5.8 Evaluar el polinomio a(x) = 2x4 − x3 + 3x2 + x − 4 ∈ [x] en x = 3. Solución 2 x 3 + 5 x 2 + 18 x + 55 x−3 2 x 4 − x 3 + 3x 2 + − 2x + 6x 4 x− 4 x− 4 3 5 x 3 + 3x 2 + − 5 x + 15 x 3 2 18 x 2 + x − 18 x + 54 x 2 + 55 x − 4 − 55 x + 165 161 Por lo tanto a(3) = 161. MATEMÁTICAS DISCRETAS – RAMÓN ESPINOSA ARMENTA capitulo 5.indd 205 ALFAOMEGA 12/30/09 12:48:20 PM 206 V. POLINOMIOS El cociente q(x) y el residuo r obtenidos al dividir un polinomio a(x) entre x − u, se pueden obtener fácilmente por medio de un procedimiento conocido como división sintética. Primero se escribe a(x) = anxn + an−1xn−1 + … + a1x + a0 y q(x) = qn−1xn + qn−2xn−1 + … + q1x + q0 Por lo tanto (x − u)q(x) + r = qn−1xn + (qn−2 − uqn−1)xn−1 + … + (q0 − uq1)x + (r − uq0) Como a(x) = (x − u)q(x) + r, se tiene que an = qn−1, an−1 = qn−2 − uqn−1, …, a1 = q0 − uq1, a0 = r − uq0 qn−2 = an−1 + uqn−1, …, q0 = a1 + uq1, r = a0 + uq0 y de aquí que qn−1 = an, Estos cálculos se pueden organizar de la siguiente manera: an qn−1 an−1 … a1 a0 uqn−1 … uq1 uq0 qn−2 … q0 r u En este arreglo todos los coeficientes de a(x) se encuentran en orden en el primer renglón, comenzando con el de an. Si xk no está en el polinomio es porque ak = 0 y en este caso se debe escribir este número en el arreglo. El tercer renglón comienza con qn−1 = an, el producto uqn−1 se escribe en la segunda columna del segundo renglón y se suma a an−1 para obtener qn−2, este número se multiplica por u y se suma a an−2 para obtener qn−3. El procedimiento se repite hasta obtener el residuo r. Ejemplo 5.9 Utilizar división sintética para obtener el cociente y el residuo al dividir el polinomio a(x) = 2x4 − x3 + 3x2 + x − 4 entre x − 3. Solución 2 2 ALFAOMEGA capitulo 5.indd 206 −1 3 1 −4 6 15 54 165 5 18 55 161 3 MATEMÁTICAS DISCRETAS – RAMÓN ESPINOSA ARMENTA 12/30/09 12:48:20 PM 5.4 MÁXIMO COMÚN DIVISOR 207 Por lo que el cociente es el polinomio q(x) = 2x3 + 5x2 + 18x + 55 y el residuo es 161. Este último número también es el valor de a(x) en x = 3. Ejemplo 5.10 Considérese el polinomio a(x) = 2x4 + x3 + 3x2 + 4 en 5[x]. Utilizar división sintética para evaluar el polinomio en x = 2. Solución 2 2 1 3 0 4 4 0 1 2 0 3 1 1 2 Por lo que a(2) = 1. 5.4 Máximo común divisor Sean a(x), b(x) ∈ K[x], no ambos cero. Un polinomio d(x) ∈ K[x] se dice que es un máximo común divisor de a(x) y b(x) si: 1) d(x) | a(x) y d(x) | b(x); 2) si c(x) ∈ K[x] es tal que c(x) | a(x) y c(x) | b(x), entonces c(x) | d(x). Observación: si d(x) es un máximo común divisor de a(x) y b(x), entonces para cualquier l ≠ 0, la(x) también es un máximo común divisor, por lo tanto el máximo común divisor no es único. Por otra parte, tampoco es evidente que tenga que existir. MATEMÁTICAS DISCRETAS – RAMÓN ESPINOSA ARMENTA capitulo 5.indd 207 ALFAOMEGA 12/30/09 12:48:21 PM 208 V. POLINOMIOS Lema 5.1 Sean a(x), b(x) ∈ K[x], con b(x) ≠ 0, y sean respectivamente q(x) y r(x) el cociente y el residuo al dividir a(x) entre b(x). Si d(x) es un máximo común divisor de b(x) y r(x), entonces d(x) es un máximo común divisor de a(x) y b(x). Demostración Por hipótesis a(x) = b(x)q(x) + r(x) por lo que d(x) divide a a(x). De aquí que d(x) es un divisor común de a(x) y b(x). Por otra parte, si c(x) es un divisor común de a(x) y b(x) entonces como r(x) = a(x) − b(x)q(x) se sigue que c(x) es un divisor común de b(x) y r(x). Como d(x) es un máximo común divisor de b(x) y r(x), se tiene que c(x) | d(x). Por lo tanto d(x) es un máximo común divisor de a(x) y b(x). Teorema 5.8 (Algoritmo de Euclides). Sean a(x), b(x) ∈ K[x], con b(x) ≠ 0. Defínase r0(x) = a(x) y r1(x) = b(x), y aplíquese repetidamente el algoritmo de la división para obtener: r0(x) = r1(x)q1(x) + r2(x) r1(x) = r2(x)q2(x) + r3(x) rn−2(x) = rn−1(x)qn−1(x) + rn(x) rn−1(x) = rn(x)qn(x) + rn+1(x) donde grado rj+1(x) < grado rj (x) para toda j = 0, 1, …, n − 1 y rn+1(x) = 0. Entonces rn(x) es un máximo común divisor de a(x) y b(x). Demostración Es claro que d(x) = rn(x) es un máximo común divisor de rn(x) y rn+1(x) = 0, por lo que, por el lema anterior d(x) es un máximo común divisor de rn−1(x) y rn(x). Aplicando repetidamente el lema, se tiene que d(x) es un máximo común divisor de rj(x) y rj+1(x) para toda j = 0, 1, …, n. Por lo tanto d(x) es un máximo común divisor de a(x) y b(x). Un polinomio a(x) se dice que es polinomio mónico, si el coeÀciente de la potencia más alta de a(x) es el elemento unitario del campo K. Es decir, a(x) = xn + an−1 xn−1 + … + a1x + a0 ALFAOMEGA capitulo 5.indd 208 MATEMÁTICAS DISCRETAS – RAMÓN ESPINOSA ARMENTA 12/30/09 12:48:22 PM 5.4 MÁXIMO COMÚN DIVISOR 209 Si b(x) = bnxn + … + b1 x − b0 es un polinomio con bn ≠ 0, entonces 1 b( x ) bn es llamado el polinomio mónico asociado con b(x). a( x ) = Teorema 5.9 Sean a(x), b(x) ∈ K[x], con b(x) ≠ 0. Entonces existe un único máximo común divisor mónico de a(x) y b(x). Demostración El algoritmo de Euclides garantiza la existencia de un máximo común divisor de a(x) y b(x). Sea d(x) el polinomio mónico asociado con este polinomio, y supóngase que dˆ(x) es otro máximo común divisor mónico de a(x) y b(x). Por lo tanto d(x) | dˆ(x) y dˆ(x) | d(x), por lo que, por el teorema 5.3, existe l ∈ K, l ≠ 0, tal que d(x) = ldˆ(x). Como tanto d(x) como dˆ(x) son mónicos, se sigue que l = 1, y por lo tanto d(x) = dˆ(x). Para denotar el máximo común divisor mónico de a(x) y b(x) se utiliza la notación mcd(a(x), b(x)). Ejemplo 5.11 Determinar el máximo común divisor de a(x) = x5 + 3x4 + 5x3 + 4x2 + 4x + 1 y b(x) = x5 + 2x4 + 3x3 + 2x2 + 2x en [x]. Solución Se tiene que a(x) = b(x)1 + (x4 + 2x3 + 2x2 + 2x + 1) b(x) = (x4 + 2x3 + 2x2 + 2x + 1)x + (x3 + x) x4 + 2x3 + 2x2 + 2x + 1 = (x3 + x)(x + 2) + (x2 + 1) x3 + x = (x2 + 1)x + 0. Por lo tanto, por el algoritmo de Euclides, el máximo común divisor es d(x) = x2 + 1 MATEMÁTICAS DISCRETAS – RAMÓN ESPINOSA ARMENTA capitulo 5.indd 209 ALFAOMEGA 12/30/09 12:48:23 PM 210 V. POLINOMIOS Lema 5.2 Cada residuo rk(x) obtenido al aplicar el algoritmo de Euclides a a(x) y b(x) se puede expresar como combinación lineal de a(x) y b(x). Demostración La demostración se hace por inducción sobre k. Si k = 2, entonces r2(x) = r0(x) − r1(x)q1(x) = a(x) − b(x)q1(x), por lo que el resultado es cierto en este caso. Supóngase ahora que rj (x) = f j (x)a(x) + gj (x)b(x) para toda j < k Por lo tanto rk(x) = rk−2(x) − rk−1(x)qk−1(x) = [f k−2(x)a(x) + gk−2(x)b(x)] − [ f k−1(x)a(x) + gk−1(x)b(x)]qk−1(x) = [f k−2(x) − f k−1(x)qk−1(x)]a(x) + [gk−2(x) − gk−1(x)qk−1(x)]b(x). Teorema 5.10 Sean a(x), b(x) ∈ K[x], con b(x) ≠ 0 y sea d(x) el máximo común divisor de a(x) y b(x). Entonces existen f (x), g(x) ∈ K[x] tales que d(x) = f (x)a(x) + g(x)b(x) Demostración Por el lema anterior se tiene que rn(x) = f n(x)a(x) + gn(x)b(x). Sea l el coeficiente de la potencia más alta de rn(x). Por lo tanto d(x) = 1 1 fn ( x )a( x ) + gn ( x )b( x ) λ λ Dos polinomios a(x), b(x) ∈ K[x] se dice que son primos relativos si mcd(a(x), b(x)) = 1. Teorema 5.11 Sean a(x), b(x), c(x) ∈ K[x]. Si a(x) y b(x) son primos relativos y b(x) | a(x)c(x), entonces b(x) | c(x). Demostración Por el teorema anterior, existen f (x), g(x) ∈ K[x] tales que 1 = f (x)a(x) + g(x)b(x) ALFAOMEGA capitulo 5.indd 210 MATEMÁTICAS DISCRETAS – RAMÓN ESPINOSA ARMENTA 12/30/09 12:49:21 PM 5.5 RAÍCES DE POLINOMIOS 211 Por lo tanto c(x) = c(x) f (x)a(x) + g(x)b(x)c(x) Es decir, c(x) es una combinación lineal de a(x) y b(x)c(x), por lo que, por el teorema 5.5, b(x) | c(x). 5.5 Raíces de polinomios Sea a(x) ∈ K[x]. Un elemento r ∈ K se dice que es una raíz de a(x), si al evaluar a(x) en x = r se obtiene cero como resultado. Ejemplo 5.12 Todo polinomio ax + b ∈ K[x] tiene exactamente una raíz dada por x = −ba−1. Fórmula para las raíces de polinomios Las fórmulas para determinar las raíces de un polinomio de segundo grado se conocen desde el siglo VII. Por otro lado, en el siglo XVI el matemático italiano Gerolamo Cardano obtuvo una fórmula para las soluciones de la ecuación cúbica con coeÀcientes complejos: ax3 + bx2 + cx + d = 0 Posteriormente, su discípulo Lodovico Ferrari obtuvo una fórmula para las soluciones de la ecuación cuártica: Ejemplo 5.13 El polinomio x2 + 1 no tiene raíces en 3, pues los posibles valores del polinomio son a(0) = 1, a(1) = 2 y a(2) = 2. Ejemplo 5.14 El polinomio x2 − 2 no tiene raíces en el campo de los números racionales, pero tiene dos raíces reales: x = 2 y x=− 2. Ejemplo 5.15 El polinomio 2x2 + 4x + 3 no tiene raíces en 5, pues a(0) = 3, a(1) = 4, a(2) = 4, a(3) = 3 y a(4) = 1. MATEMÁTICAS DISCRETAS – RAMÓN ESPINOSA ARMENTA capitulo 5.indd 211 ax4 + bx3 + cx2 + dx + e = 0 Durante los siglos XVI, XVII y XVIII hubo intentos infructuosos para obtener una fórmula que permitiera determinar las soluciones de una ecuación polinomial de grado cinco, hasta que en 1824 el matemático noruego Niels Henrik Abel probó que ésta no podía resolverse por medio de radicales, es decir, que no existía una expresión involucrando solamente las operaciones de suma y multiplicación, así como raíces n-ésimas, que permitiera obtener las soluciones de una ecuación polinomial de grado cinco en términos de los coeÀcientes del polinomio. Poco después, el matemático francés Évariste Galois estableció las condiciones necesarias y suÀcientes para que una ecuación polinomial pueda resolverse por radicales. ALFAOMEGA 12/30/09 12:49:24 PM 212 V. POLINOMIOS El siguiente resultado es una consecuencia inmediata del teorema del residuo. Teorema 5.12 (Teorema del factor). Un elemento r ∈ K es una raíz de a(x) ∈ K[x] si y sólo si x − r es un factor de a(x). Demostración Por el teorema del residuo: a(x) = (x − r)q(x) + a(r) De aquí que a(x) = (x − r)q(x) si y sólo si a(r) = 0. Una raíz r ∈ K del polinomio a(x) ∈ K[x] se dice que es de multiplicidad m si a(x) = (x − r)mq(x) donde q(r) ≠ 0. Si m = 1 se dice que r es una raíz simple, en otro caso se dice que r es una raíz múltiple. Ejemplo 5.16 Considérese el polinomio x4 + 5x3 + 2x2 + 4x + 6 en 7[x]. Se observa que 1 1 5 2 4 6 3 3 1 1 1 5 5 0 3 de modo que 3 es raíz. Además se tiene que 1 1 1 5 5 3 5 2 4 3 0 3 por lo que se puede escribir x4 + 5x3 + 2x2 + 4x + 6 = (x + 4)2(x2 + 4x + 3) (hay que observar que el inverso aditivo de 3 en 7 es 4). También se puede verificar que el polinomio x2 + 4x + 3 no se anula en x = 3, por lo que 3 es raíz doble. ALFAOMEGA capitulo 5.indd 212 MATEMÁTICAS DISCRETAS – RAMÓN ESPINOSA ARMENTA 12/30/09 12:49:25 PM 5.7 5.6 213 POLINOMIOS IRREDUCIBLES Raíces reales y complejas En la lectura adicional RAÍCES REALES Y COMPLEJAS se plantea el teorema fundamental del álgebra así como los resultados que permiten determinar las raíces de polinomios con coeÀcientes dados. Usando el simulador OPERACIONES CON POLINOMIOS se pueden realizar las operaciones deÀnidas para polinomios, así como también se pueden obtener las raíces de éstos. En la lectura complementaria Demostración del teorema fundamental del álgebra El primer intento de demostrar el teorema fundamental del álgebra fue el que hizo d’Alembert en 1746, y a éste le siguieron el de Euler en 1749, el de Foncenex en 1759, el de Lagrange en 1772 y el de Laplace en 1795. Finalmente en 1806 Argand publicó la primera demostración rigurosa y luego Gauss publicó otras dos, una en 1816 y la otra en 1849. MATLAB Y POLINOMIOS se describe la forma en que se usa MATLAB para implementar un simulador como Operaciones con polinomios. 5.7 Polinomios irreducibles Un número primo es un entero p > 1 tal que todo divisor de p es de la forma ±1 (es decir, una unidad en ) o ± p (es decir, p multiplicado por una unidad en ). En analogía con los números primos, se dice que un polinomio p(x) ∈ K[x] de grado mayor que cero, es irreducible en K[x] si todo divisor de p(x) es de la forma l o lp(x) para algún l ∈ K, l ≠ 0. Teorema 5.13 Si p(x) es un polinomio de grado 1 en K[x], entonces p(x) es irreducible en K[x]. Demostración Si b(x) | p(x) entonces existe q(x) ∈ K[x] tal que p(x) = b(x)q(x), de aquí que 1 = grado p(x) = grado b(x) + grado q(x) MATEMÁTICAS DISCRETAS – RAMÓN ESPINOSA ARMENTA capitulo 5.indd 213 ALFAOMEGA 12/30/09 12:49:26 PM 214 V. POLINOMIOS y por lo tanto grado b(x) = 0 o grado b(x) = 1. En el primer caso b(x) = l ≠ 0 y en el segundo p(x) = mb(x) para algún m ≠ 0, por lo tanto b(x) = lp(x), donde l = m−1. Un polinomio a(x) ∈ K[x] de grado mayor que cero, se dice que es reducible en K[x], si no es irreducible; hay que observar que a(x) es reducible en K[x] si y sólo si existen b(x), c(x) ∈ K[x], tales que a(x) = b(x)c(x) y 1 ≤ grado b(x) ≤ grado c(x) < grado a(x). Ejemplo 5.17 Determinar todos los polinomios irreducibles de grado menor o igual que 2 en 2[x]. Solución Aquí se utiliza un método similar a la criba de Eratóstenes. Por el teorema anterior, los polinomios x y x + 1 son irreducibles. Ahora bien, los múltiplos de estos polinomios son reducibles, es decir, xx = x2, x(x + 1) = x2 + x y (x + 1)(x + 1) = x2 + 1 Por esto el único polinomio irreducible de grado dos es x2 + x + 1. En conclusión, los polinomios irreducibles de grado menor o igual que 2 en 2[x] son x, x + 1, x2 + x + 1 En el siguiente teorema se muestra que la ausencia de raíces es suficiente para asegurar que un polinomio de grado dos o tres es irreducible. Teorema 5.14 Sea a(x) ∈ K[x] tal que 2 ≤ grado a(x) ≤ 3. Entonces a(x) es reducible en K[x] si y sólo si a(x) tiene al menos una raíz en K. Demostración Si a(x) es reducible entonces a(x) = b(x)c(x), donde 1 ≤ grado b(x) ≤ grado c(x) < grado a(x) Como grado a(x) es dos o tres, se sigue que grado b(x) = 1. Por lo tanto, b(x) = l (x − r) y r es raíz de a(x). Recíprocamente, si a(r) = 0, entonces por el teorema del factor a(x) = (x − r)q(x) donde 1 ≤ grado q(x) ≤ 2. Por lo tanto a(x) es reducible en K[x]. ALFAOMEGA capitulo 5.indd 214 MATEMÁTICAS DISCRETAS – RAMÓN ESPINOSA ARMENTA 12/30/09 12:49:28 PM 5.7 POLINOMIOS IRREDUCIBLES 215 Ejemplo 5.18 El polinomio x2 + 4x + 1 no tiene raíces en 7, por lo que es irreducible en 7[x]. Teorema 5.15 Si p(x) es irreducible en K[x] y a(x) ∈ K[x], entonces p(x) | a(x) o mcd( p(x), a(x)) = 1. Demostración Sea d(x) = mcd( p(x), a(x)). Por lo tanto d(x) | p(x). Ahora bien, como p(x) es irreducible y d(x) es mónico, se tiene que d(x) = 1 o d(x) = lp(x) para algún l ≠ 0. En el primer caso mcd( p(x), a(x)) = 1, mientras que en el segundo lp(x) | a(x) y por lo tanto p(x) | a(x), ya que l ≠ 0. Teorema 5.16 Si p(x) es irreducible en K[x] y a(x), b(x) ∈ K[x] son tales que p(x) | a(x)b(x), entonces p(x) | a(x) o p(x) | b(x). Demostración Si p(x) |⁄ a(x), entonces, por el teorema anterior, mcd( p(x), a(x)) = 1 de aquí que, por el teorema 5.11, p(x) | b(x). El siguiente corolario, cuya demostración se deja al lector, se puede probar utilizando el método de inducción matemática. Corolario 5.1 tales que Si p(x) es irreducible en K[x] y a1(x), a2(x), …, an ∈ K[x], son p(x) | a1(x)a2(x) … an(x) entonces p(x) | ak(x) para algún k ∈{1, 2, …, n}. Teorema 5.17 Todo polinomio a(x) ∈ K[x] de grado n > 0, puede ser escrito en la forma a(x) = lp1(x)p2(x) … pr(x) donde l ∈ K, l ≠ 0 y p1(x), …, pr(x) son polinomios mónicos irreducibles. Además esta factorización es única excepto por el orden en el que aparecen los factores. Demostración Primero se demuestra la existencia de la factorización por inducción sobre n. MATEMÁTICAS DISCRETAS – RAMÓN ESPINOSA ARMENTA capitulo 5.indd 215 ALFAOMEGA 12/30/09 12:49:28 PM 216 V. POLINOMIOS Si n = 1 entonces a(x) = a1x + a0 = a1(x + a0/a1). Como p1(x) = x + a0/a1 es mónico e irreducible, el resultado es cierto en este caso. Supóngase ahora que el resultado es cierto para todo polinomio de grado m, con 1 ≤ m < n y sea a(x) = anxn + an−1xn −1 + … + a1x + a0 con an ≠ 0. Si a(x) es irreducible entonces a(x) = an p1(x), donde p1(x) = xn + (an−1/an)xn −1 + … + (a1/an)x + (a0/an) es mónico e irreducible. Si a(x) no es irreducible, entonces a(x) = b(x)c(x), donde 1 ≤ grado b(x) < n y 1 ≤ grado c(x) < n. Por lo tanto, por hipótesis de inducción b(x) = l1p1(x)p2(x) … pr(x) y c(x) = l2q1(x)q2(x) … qs(x) donde l1 ≠ 0, l2 ≠ 0 y p1(x), …, pr(x), q1(x), …, qs(x) son polinomios mónicos irreducibles. De aquí que a(x) = (l1l2)p1(x) … pr(x) q1(x) … qs(x) con lo cual se termina de probar la existencia de la factorización. Ahora se prueba la unicidad de la factorización por inducción sobre n. Si a(x) es un polinomio de grado uno y l1(x + u) = a(x) = l2(x + u), entonces l1 = l2 y u = u. Supóngase ahora que el resultado es cierto para todo polinomio de grado menor que n y sea a(x) un polinomio de grado n. Supóngase que a(x) = l1 p1(x)p2(x) … pr(x) = l2 q1(x)q2(x) … qs(x) Por lo tanto l1 = an = l2. De aquí que p1(x)p2(x) … pr(x) = q1(x)q2(x) … qs(x) Es decir, p1(x) | q1(x)q2(x) … qs(x) ALFAOMEGA capitulo 5.indd 216 MATEMÁTICAS DISCRETAS – RAMÓN ESPINOSA ARMENTA 12/30/09 12:49:29 PM 5.10 RESUMEN 217 por lo que p1(x) | qj(x) para algún j, de aquí que p1(x) = qj(x), pues ambos son mónicos e irreducibles. Sin pérdida de generalidad sea j = 1, por lo que, cancelando términos p2(x) … pr(x) = q2(x) … qs(x) Como estas factorizaciones corresponden a un polinomio de grado menor que n, por hipótesis de inducción estas factorizaciones coinciden, por lo que las dos factorizaciones de a(x) también coinciden. 5.8 El criterio de Eisenstein En la lectura adicional EL CRITERIO DE EISENSTEIN se exponen las condiciones que determinan si un polinomio con coeÀcientes enteros es irreducible en [x]. 5.9 Fracciones parciales En la lectura complementaria FRACCIONES PARCIALES se deÀne lo que es una expresión racional con coeÀcientes en un campo K y las operaciones entre expresiones racionales, y se demuestra que una expresión racional propia se puede expresar como suma de expresiones racionales sencillas llamadas fracciones parciales. 5.10 Resumen En este capítulo se expuso el hecho de que los polinomios con coeficientes en un dominio entero son por sí mismos un dominio entero. También se planteó que si los coeficientes están en un campo, entonces los polinomios tienen otras propiedades similares a los enteros, es decir: se puede definir la noción de divisibilidad, se tiene un algoritmo de la división, se puede definir la noción de máximo común divisor, el algoritmo de Euclides sigue siendo válido, los polinomios irreducibles corresponden a los números primos y por último se tiene un resultado similar al teorema fundamental de la aritmética. MATEMÁTICAS DISCRETAS – RAMÓN ESPINOSA ARMENTA capitulo 5.indd 217 ALFAOMEGA 12/30/09 12:49:30 PM 218 V. POLINOMIOS 5.11 Problemas DeÀnición y propiedades 5.1 Calcular la suma y el producto de los polinomios a(x) = 3 + 2x + 4x2 + 6x3 y b(x) = 5 + 3x + 6x2 en 7[x]. 5.2 Determinar el inverso aditivo del polinomio a(x) = 5 + 2x + 9x2 + 7x3 + 10x5 en 11[x]. 5.3 Demostrar que si a(x), b(x), c(x) ∈ D[x], entonces (a(x) + b(x)) + c(x) = a(x) + (b(x) + c(x)) 5.4 Demostrar que si a(x), b(x), c(x) ∈ D[x], entonces [a(x)b(x)]c(x) = a(x)[b(x)c(x)] 5.5 Demostrar que si a(x), b(x), c(x) ∈ D[x], entonces a(x)(b(x) + c(x)) = a(x)b(x) + a(x)c(x) 5.6 Sea D un dominio entero. Demostrar que D está inmerso en D[x]. Divisibilidad 5.7 Utilizar el algoritmo de la división para determinar el cociente y el residuo al dividir a(x) = 2x4 − 5x3 + 4x2 − 10x + 6 entre b(x) = x2 − 3x + 1 en [x]. 5.8 Utilizar el algoritmo de la división para determinar el cociente y el residuo al dividir a(x) = 2x4 + x3 + 3x2 + 4x + 3 entre b(x) = x2 + 3x + 1, en 5[x]. 5.9 Utilizar división sintética para obtener el cociente y el residuo al dividir a(x) = 3x5 − x4 + 2x3 + 5x2 + 3x + 4 entre b(x) = x − 3 en [x]. ALFAOMEGA capitulo 5.indd 218 MATEMÁTICAS DISCRETAS – RAMÓN ESPINOSA ARMENTA 12/30/09 12:49:31 PM 5.11 PROBLEMAS 219 5.10 Utilizar división sintética para obtener el cociente y el residuo al dividir a(x) = 4x6 + 2x5 + x4+ 3x3 + 6x2 + 5x + 2 entre b(x) = x + 3 en 7[x]. Máximo común divisor 5.11 Obtener el máximo común divisor de a(x) = x4 + x3 + x2 + x + 1 b(x) = x3 + x2 + x + 1 y en [x] y expresarlo como combinación lineal de a(x) y b(x). 5.12 Obtener el máximo común divisor de a(x) = x5 + x4 + x2 + x y b(x) = x3 + x2 + x + 1 en 2[x] y expresarlo como combinación lineal de a(x) y b(x). 5.13 Obtener el máximo común divisor de a(x) = x4 + 2x2 y b(x) = x3 + x2 + 2x + 2 en 3[x] y expresarlo como combinación lineal de a(x) y b(x). Raíces de polinomios 5.14 Obtener las raíces del polinomio: 3x5 + 2x4 + x3 + 4x2 + x + 2 en 5[x] 5.15 Obtener las raíces del polinomio: 5x4 + 2x3 + x2 + 3x + 6 en 7[x] 5.16 Sea K un campo, y sea a(x) ∈ K[x] de grado n ≥ 1. Demostrar que a(x) tiene a lo más n raíces distintas en K. Raíces reales y complejas 5.17 A partir de lo expuesto en la lectura adicional RAÍCES REALES Y COMPLEJAS obtener las raíces del polinomio 15x3 + 37x2 + 12x − 4 en [x]. MATEMÁTICAS DISCRETAS – RAMÓN ESPINOSA ARMENTA capitulo 5.indd 219 ALFAOMEGA 12/30/09 12:49:32 PM 220 V. POLINOMIOS 5.18 A partir de lo expuesto en la lectura adicional RAÍCES REALES Y COMPLEJAS mostrar que i y −i son raíces dobles del polinomio x5 − 3ix4 + 2x3 − 6ix2 + x − 3i. 5.19 A partir de lo expuesto en la lectura adicional RAÍCES REALES Y COMPLEJAS determinar todas las raíces del polinomio x5 − 3x4 + 4x3 − 4x + 4 sabiendo que tiene a 1 + i como una raíz doble. 5.20 A partir de lo expuesto en la lectura adicional RAÍCES REALES Y COMPLEJAS demostrar que todo polinomio a(x) en [x] de grado impar tiene al menos una raíz real. 5.21 A partir de lo expuesto en la lectura adicional RAÍCES REALES Y COMPLEJAS consi- dérese el polinomio a(x) = x3 + a2x2 + a1x + a0 en [x]. Demostrar que si r1, r2, r3 son las raíces de a(x) entonces a2 = −(r1 + r2 + r3) a1 = r1r2 + r1r3 + r2r3 a0 = −r1r2r3. ALFAOMEGA capitulo 5.indd 220 MATEMÁTICAS DISCRETAS – RAMÓN ESPINOSA ARMENTA 12/30/09 12:49:33 PM 5.11 PROBLEMAS 221 Polinomios irreducibles 5.22 Obtener todos los polinomios mónicos irreducibles de grado menor o igual que dos en 3[x]. 5.23 Factorizar x5 + 4x como producto de polinomios irreducibles en 5[x]. 5.24 Factorizar x7 + x6 + x4 + 1 como producto de polinomios irreducibles en 2[x]. El criterio de Eisenstein 5.25 A partir de lo expuesto en la lectura adicional EL CRITERIO DE EISENSTEIN determinar si el polinomio x5 + 10x4 − 25x4 + 15x2 − 10 es irreducible en [x]. 5.26 A partir de lo expuesto en la lectura adicional EL CRITERIO DE EISENSTEIN determinar si el polinomio 2x4 + 8x3 + 6x2 − 10x + 2 es irreducible en [x]. 5.27 A partir de lo expuesto en la lectura adicional EL CRITERIO DE EISENSTEIN determinar si el polinomio 6x7 + 14x5 − 21x2 + 28x − 7 es irreducible en [x]. Fracciones parciales 5.28 A partir de lo expuesto en la lectura adicional FRACCIONES PARCIALES obtener la descomposición de 2x – 5 ( x – 2i )( x 4 ) en fracciones parciales en [x]. MATEMÁTICAS DISCRETAS – RAMÓN ESPINOSA ARMENTA capitulo 5.indd 221 ALFAOMEGA 12/30/09 12:49:36 PM 222 V. POLINOMIOS 5.29 A partir de lo expuesto en la lectura adicional FRACCIONES PARCIALES obtener la descomposición de 4 x2 8x 5 ( x – 1)( x 2 )2 en fracciones parciales en [x]. 5.30 A partir de lo expuesto en la lectura adicional FRACCIONES PARCIALES obtener la descomposición de 5 x 2 7 x 26 x ( x 2 – 4 x 13) en fracciones parciales en [x]. 5.31 A partir de lo expuesto en la lectura adicional FRACCIONES PARCIALES obtener la descomposición de 5 x 2 7 x 26 x ( x 2 – 4 x 13) en fracciones parciales en [x]. ALFAOMEGA capitulo 5.indd 222 MATEMÁTICAS DISCRETAS – RAMÓN ESPINOSA ARMENTA 12/30/09 12:49:39 PM 5.12 5.12 CONTENIDO INTERACTIVO 223 Contenido interactivo El material marcado con asterisco (*) sólo está disponible para docentes. Mapa conceptual Simulador • Operaciones con polinomios Lecturas adicionales • Raíces reales y complejas • MATLAB y polinomios • El criterio de Eisenstein • Fracciones parciales Respuesta y desarrollo de problemas seleccionados *Presentaciones *Respuesta y desarrollo de problemas Glosario MATEMÁTICAS DISCRETAS – RAMÓN ESPINOSA ARMENTA capitulo 5.indd 223 ALFAOMEGA 12/30/09 12:49:42 PM CAPÍTULO VI Matrices ⎛ a11 a12 a1n ⎜ ⎜ a21 a22 a2 n ⎜ ⎜ ⎝ am am 2 amn | b1 ⎞ ⎟ | b2 ⎟ ⎟ | ⎟ | bm ⎠ 1 ⎞ ⎛ 1 ⎞ A −1 ) = I (λ A) ⎛⎜ A−1 ⎟ = ⎜ λ ⎟ ( AA n ⎠ ⎝ λ ⎠ ⎝λ 6.1 6.2 6.3 6.4 6.5 6.6* 6.7 6.8 6.9 Introducción Matrices Sistemas de ecuaciones lineales Cálculo de inversas La matriz de una relación Determinantes Resumen Problemas Contenido interactivo *Ver Plataforma de contenidos interactivos. capitulo 6.indd 224 12/30/09 12:50:15 PM ⎛ A11 B11 + A12 B21 AB = ⎜ ⎝ A21 B11 + A22 B21 A11 B12 + A12 B22 A21 B12 + A22 B22 A11 B13 + A12 B23 ⎞ A B + A B ⎟⎠ 21 13 22 23 Los matemáticos son como los franceses: cualquier cosa que les digan lo traducen a su propio lenguaje y desde ese momento se convierte en algo completamente distinto. Johann Wolfang von Goethe n n ∑a e ir rjj r =1 r ⎛ n ⎞ air ∑ brk ckj ⎝ r= ⎠ r 1 n n ∑∑a b c ir rk kj k r 1 r= ⎛ 4 3⎞ 0 ⎛ ⎞⎜ ⎛ 10 6⎞ ⎟ ⎜⎝ –1 1 3⎟⎠ ⎜ 2 0 ⎟ = ⎜⎝ –5 3 ⎟⎠ ⎝ –1 2⎠ Objetivos • • • • capitulo 6.indd 225 Presentar la noción y terminología de matrices, así como las operaciones con éstas. Discutir el método de Gauss-Jordan para resolver sistemas de ecuaciones lineales. Exponer el procedimiento de calcular inversas por medio de matrices elementales. Explicar cómo representar relaciones binarias Ànitas por medio de matrices booleanas. 12/30/09 12:50:21 PM 226 VI. 6.1 MATRICES Introducción En su forma convencional, la palabra matriz significa “el lugar de donde algo se origina”. En 1850 el matemático inglés James Joseph Sylvester utilizó por primera vez el término matriz para referirse a un arreglo rectangular a partir del cual se podrían originar arreglos cuadrados, eliminando renglones o columnas, y el álgebra de matrices fue desarrollada por el también inglés Arthur Cayley en 1857. En este capítulo se expone el concepto de matriz así como los tipos más importantes de éstas, se presenta la forma de hacer operaciones con ellas y se analizan sus propiedades, se explica cómo utilizar la teoría de matrices para analizar y resolver sistemas de ecuaciones lineales y en particular se estudia el método de reducción de Gauss-Jordan. Finalmente, se muestra cómo calcular la inversa de una matriz y se analizan algunas propiedades adicionales de las matrices invertibles. 6.2 Matrices Una matriz de m × n es un arreglo rectangular de mn objetos, ordenados en m renglones y n columnas: ¥ a11 a12 L a1n ´ ¦a a22 L a2 n µ µ ¦ 21 M M µ ¦ M µ ¦a § m1 am 2 L amn ¶ El i-ésimo renglón de A es (ai1 ai2 … ain) donde 1 ≤ i ≤ m, y la j-ésima columna de A es ¥ a1 j ´ ¦a µ ¦ 2jµ ¦ M µ ¦ µ § anj ¶ donde 1 ≤ j ≤ n. Se acostumbra utilizar la notación (aij) para denotar la matriz A. El elemento aij, localizado en el i-ésimo renglón y en la j-ésima columna es llamado la entrada (i, j) de A. ALFAOMEGA capitulo 6.indd 226 MATEMÁTICAS DISCRETAS – RAMÓN ESPINOSA ARMENTA 12/30/09 12:50:35 PM 6.2 MATRICES 227 Igualdad de matrices. Dos matrices de m × n son iguales si aij = bij, para toda i = 1, …, m y para toda j = 1, …, n. En este capítulo K denotará un campo y a sus elementos se les llamará escalares. Se utilizará la notación Mm×n(K) para el conjunto de matrices de m × n cuyas entradas son elementos de K. Si m = n la notación se abrevia a Mn(K). Si A ∈ Mn(K) se dice que A es una matriz cuadrada de orden n. Las matrices cuadradas de orden uno pueden identificarse con elementos del campo K. 6.2.1 Matrices especiales Una matriz de 1 × n también se llama vector renglón de tamaño n. Análogamente, una matriz de m × 1 se llama vector columna de tamaño m. Ejemplo 6.1 A = (4 −1 2 5) es un vector renglón de tamaño 4 y ⎛ 3⎞ B = ⎜ 0⎟ ⎜ ⎟ ⎝1 ⎠ es un vector columna de tamaño 3. La matriz de m × n en la que cada entrada es igual a cero se llama matriz cero y se denota con el símbolo O. Ejemplo 6.2 La matriz cero de 2 × 3 es: ⎛ 0 0 0⎞ ⎜⎝ 0 0 0 ⎟⎠ Si A ∈ Mn(K), los números a11, a22, …, ann forman la diagonal principal de A. Se dice que A es triangular superior, si todas las entradas debajo de la diagonal principal son cero, es decir, si aij = 0 para toda i > j. MATEMÁTICAS DISCRETAS – RAMÓN ESPINOSA ARMENTA capitulo 6.indd 227 ALFAOMEGA 12/30/09 12:50:37 PM 228 VI. MATRICES Ejemplo 6.3 La matriz ⎛ 2 3 5⎞ A = ⎜ 0 1 4⎟ ⎜ ⎟ ⎝ 0 0 5⎠ es triangular superior. Una matriz A es triangular inferior si todas las entradas arriba de la diagonal principal son cero, es decir, si aij = 0 para toda i < j. Ejemplo 6.4 La matriz ⎛3 0 0⎞ A = ⎜ 7 2 0⎟ ⎜ ⎟ ⎝ 5 1 4⎠ es triangular inferior. Una matriz cuadrada A se dice que es diagonal, si todas las entradas que no están en la diagonal principal son cero, es decir, si aij = 0 para toda i ≠ j. Ejemplo 6.5 La matriz ⎛ 5 0 0⎞ A = ⎜ 0 2 0⎟ ⎜ ⎟ ⎝ 0 0 3⎠ es diagonal. ALFAOMEGA capitulo 6.indd 228 MATEMÁTICAS DISCRETAS – RAMÓN ESPINOSA ARMENTA 12/30/09 12:50:38 PM 6.2 MATRICES 229 6.2.2 Operaciones con matrices El producto de un escalar l por una matriz A es la matriz lA cuya entrada (i, j) es laij para toda i = 1, …, m y para toda j = 1, …, n. Ejemplo 6.6 1⎞ ⎛ 10 5⎞ ⎛2 =⎜ 5⎜ ⎟ ⎟⎠ 3 – 1 15 – 5 ⎝ ⎠ ⎝ Teorema 6.1 Sean A, B ∈ Mm×n(K) y l, m ∈ K, entonces a) l(mA) = (lm)A; b) l(A + B) = lA + lB; c) (l + m)A = lA + mA; Demostración a) l(mA) = l(maij) = lm(aij ) = (lm)A. b) l(A + B) = (l(aij + bij)) = (laij + lbij) = lA + lB. c) (l + m)A = ((l + m)aij) = (laij + maij) = lA + mA. Si A es una matriz, −A denotará el producto (−1)A. Suma de matrices. Sean A = (aij) y B = (bij) dos matrices de m × n. La suma de A y B es la matriz A + B cuya entrada (i, j) es aij + bij para toda i = 1, …, m y para toda j = 1, …, n. MATEMÁTICAS DISCRETAS – RAMÓN ESPINOSA ARMENTA capitulo 6.indd 229 ALFAOMEGA 12/30/09 12:50:39 PM 230 VI. MATRICES Ejemplo 6.7 ⎛ 2 1 – 1⎞ ⎛ 3 2 4 ⎞ ⎛ 5 3 3 ⎞ + = ⎜⎝ –1 0 3⎟⎠ ⎜⎝ 0 1 1⎟⎠ ⎜⎝ –1 1 4 ⎟⎠ En el siguiente resultado se establecen algunas propiedades importantes de la suma de matrices. Teorema 6.2 Sean A, B, C ∈ Mm×n(K), entonces a) (A + B) + C = A + (B + C). b) A + B = B + A. c) A + O = A. d) A + (−A) = O. Demostración a) (A + B) + C = ((aij + bij) + cij) = (aij + (bij + cij)) = A + (B + C) b) A + B = (aij + bij) = (bij + aij) = B + A. c) A + O = (aij + 0) = (aij) = A. d) A + (−A) = (aij + (−aij)) = O. Si A, B ∈ Mm×n(K), se escribe A − B para denotar la suma A + (−B). Producto de matrices. Si A es una matriz de m × n y B es una de n × p, el producto AB es la matriz C de m × p cuya entrada (i, j) está dada por la expresión n cij = ∑ aik bkj k =1 Ejemplo 6.8 ⎛ 4 3⎞ ⎛ 2 1 0⎞ ⎜ ⎟ ⎛ 10 6 ⎞ ⎜⎝ –1 1 3⎟⎠ ⎜ 2 0 ⎟ = ⎜⎝ –5 3 ⎟⎠ ⎝ –1 2 ⎠ ALFAOMEGA capitulo 6.indd 230 MATEMÁTICAS DISCRETAS – RAMÓN ESPINOSA ARMENTA 12/30/09 12:50:40 PM 6.2 MATRICES 231 En el siguiente ejemplo se muestra que el producto de matrices no es conmutativo. Ejemplo 6.9 ⎛ 2 1 ⎞ ⎛ 1 3⎞ ⎛ 4 10 ⎞ ⎜⎝ 3 0 ⎟⎠ ⎜⎝ 2 4 ⎟⎠ = ⎜⎝ 3 9 ⎟⎠ Por otra parte ⎛ 1 3⎞ ⎛ 2 1 ⎞ ⎛ 11 1⎞ ⎜⎝ 2 4 ⎟⎠ ⎜⎝ 3 0 ⎟⎠ = ⎜⎝ 16 2 ⎟⎠ En el siguiente teorema se establece que el producto de matrices es asociativo. Teorema 6.3 Sean A ∈ Mm×n(K), B ∈ Mn×p(K) y C ∈ Mp×q(K), entonces (AB)C = A(BC) Demostración Primero se observa que AB es de tamaño m × p y C es de tamaño p × q, por lo tanto el producto (AB)C está bien definido y es de tamaño m × q. Por otra parte, A es de tamaño m × n y BC es de tamaño n × q, por lo tanto el producto A(BC) está bien definido y es de tamaño m × q. Sean D = AB y E = BC. La entrada ij de (AB)C es n n ⎛ n ⎞ ∑ d c = ∑ ⎜⎝ ∑ a b ⎟⎠ c ik kj k =1 k =1 ir rk kj n n r =1 Por otra parte, la entrada ij de A(BC) es n ⎛ n n ⎞ ∑ a e = ∑ a ⎜⎝ ∑ b c ⎟⎠ = ∑ ∑ a b c ir rj r =1 ir r =1 ir rk kj rk kj r =1 k =1 r =1 Por lo tanto (AB)C = A(BC). En el siguiente teorema se establece la propiedad distributiva por la izquierda. MATEMÁTICAS DISCRETAS – RAMÓN ESPINOSA ARMENTA capitulo 6.indd 231 ALFAOMEGA 12/30/09 12:50:42 PM 232 VI. MATRICES Teorema 6.4 Sean A ∈ Mm×n(K) y B, C ∈ Mn×p(K), entonces A(B + C) = AB + AC Demostración La entrada ij de la matriz A(B + C) es: n ( ) n n k =1 k =1 ∑ aik bkj + ckj =∑ aik bkj + ∑ aik ckj k =1 que es la entrada ij de la matriz AB + AC. En el siguiente teorema se establece la propiedad distributiva por la derecha y su demostración es similar a la del teorema anterior. Teorema 6.5 Sean A, B ∈ Mm×n(K) y C ∈ Mn×p(K), entonces (A + B)C = AC + BC. El siguiente teorema relaciona el producto de matrices con el producto por escalares. Teorema 6.6 Sean A ∈ Mm×n(K), B ∈ Mn×p(K) y l ∈ K, entonces l(AB) = (lA)B = A(lB) Demostración La entrada ij de la matriz l(AB) es n n k =1 k =1 λ ∑ aik bkj = ∑ λ aik bkj Este número es igual a n ∑ ( λa ) b ik kj k =1 que es igual a la entrada ij de la matriz (lA)B. También es igual a n ∑ a ( λb ) ik kj k =1 que es igual a la entrada ij de la matriz A(lB). ALFAOMEGA capitulo 6.indd 232 MATEMÁTICAS DISCRETAS – RAMÓN ESPINOSA ARMENTA 12/30/09 12:50:42 PM 6.2 MATRICES 233 La matriz identidad es una matriz diagonal en la que todos los elementos en la diagonal principal son unos. La matriz identidad de orden n se denota como In. Ejemplo 6.10 La matriz identidad de orden 3 es ⎛ 1 0 0⎞ I 3 = ⎜ 0 1 0⎟ ⎜ ⎟ ⎝ 0 0 1⎠ Teorema 6.7 Sea A ∈ Mn(K), entonces AIn = A = InA Demostración La entrada ij de la matriz AIn es: ai10 + ai20 + … + aij1 + … + ain0 = aij Por lo tanto, AIn = A. Análogamente, In A = A. A partir de los resultados anteriores, se puede afirmar que Mn(K) es un anillo no conmutativo, con elemento unitario. Si A ∈ Mn(K), se define A0 = In Ak = AAk−1 k = 1, 2, 3, … Matriz invertible. Una matriz A ∈ Mn(K) se dice que es invertible (o no singular), si existe una matriz B tal que AB = In = BA En este caso se dice que B es una inversa de A. En el siguiente resultado se establece que la inversa de una matriz invertible es única. MATEMÁTICAS DISCRETAS – RAMÓN ESPINOSA ARMENTA capitulo 6.indd 233 ALFAOMEGA 12/30/09 12:50:43 PM 234 VI. MATRICES Teorema 6.8 Si B y C son inversas de la matriz A ∈ Mn(K), entonces B = C. Demostración Por hipótesis AB = In. Multiplicando por la matriz C se obtiene que C(AB) = CIn. Por lo tanto, (CA)B = C y de aquí que B = C. Si A es una matriz invertible, su inversa se denota como A−1. Por la unicidad de la inversa se sigue que (A−1)−1 = A Ejemplo 6.11 La matriz ⎛ a b⎞ ⎜⎝ c d ⎟⎠ es invertible si y sólo si ad − bc ≠ 0. Específicamente la inversa es la matriz: ⎛ d − b⎞ 1 ad − bc ⎜⎝ − c a ⎟⎠ A continuación se presentan algunas propiedades de las matrices invertibles. Teorema 6.9 Si A ∈ Mn(K) es invertible, entonces lA es invertible para todo l ∈ K, l ≠ 0. Además (λ A)−1 = 1 −1 A λ Demostración ⎛1 ⎞ ⎛ 1 ⎞ (λ A) ⎜ A −1 ⎟ = ⎜ λ ⎟ ( AA −1 ) = I n ⎝λ ⎠ ⎝ λ ⎠ 1 ⎛ 1 −1 ⎞ A ⎟ (λ A) = I n , por lo tanto (λ A)−1 = A −1 . ⎝λ ⎠ λ Análogamente, ⎜ ALFAOMEGA capitulo 6.indd 234 MATEMÁTICAS DISCRETAS – RAMÓN ESPINOSA ARMENTA 12/30/09 12:50:44 PM 6.2 Teorema 6.10 Además MATRICES 235 Si A, B ∈ Mn(K) son invertibles, entonces AB es invertible. (AB)−1 = B−1A−1 Demostración (AB)(B−1A−1) = (A(BB−1))A−1 = (AIn)A−1 = AA−1 = In Análogamente (B−1A−1)AB = In, por lo tanto (AB)−1 = B−1A−1. Teorema 6.11 Si A ∈ Mn(K) es invertible, entonces Ak es invertible para todo k ∈ . Además (Ak)−1 = (A−1)k Demostración Si k = 1 el resultado es trivialmente cierto. Supongamos ahora que el resultado es cierto para algún k ∈ . Por lo tanto Ak+1(A−1)k+1 = (AAk)((A−1)kA−1) (por definición) = A(Ak(A−1)k)A−1 (asociando términos) −1 = (AIn)A (por hipótesis de inducción) = In. Por lo tanto el resultado es cierto para todo k ∈ . La transpuesta de una matriz A de m × n es la matriz At de n × m obtenida a partir de A intercambiando los renglones con las columnas, es decir: a itj = aji Ejemplo 6.12 t ⎛ 5 2⎞ ⎜ 1 3⎟ = ⎛ 5 1 0 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜⎝ 2 3 4 ⎟⎠ ⎝ 0 4⎠ MATEMÁTICAS DISCRETAS – RAMÓN ESPINOSA ARMENTA capitulo 6.indd 235 ALFAOMEGA 12/30/09 12:50:44 PM 236 VI. MATRICES En el siguiente teorema se establecen algunas propiedades básicas de la transpuesta. Teorema 6.12 Sean A, B ∈ Mm×n(K), entonces a) (At )t = A; b) (lA)t = lAt; c) (A + B)t = At + Bt. En el siguiente teorema se muestra que la transpuesta de un producto es el producto de las transpuestas, pero con el orden invertido. Teorema 6.13 Sean A ∈ Mm×n(K) y B ∈ Mn×p(K), entonces (AB)t = BtAt Demostración La entrada ji de BtAt es igual a n n n ∑b a = ∑b a = ∑a b t jk t ki kj ik k =1 k =1 ik kj k =1 que corresponde a la entrada ij de AB, y por lo tanto a la entrada ji de (AB)t. Por lo tanto (AB)t = BtAt. Una matriz simétrica es una matriz A tal que At = A. Ejemplo 6.13 La matriz ⎛ 3 1 4⎞ ⎜ 1 2 i⎟ ⎜ ⎟ ⎝ 4 i 5⎠ es simétrica. Hay que observar que toda matriz simétrica debe de ser cuadrada. ALFAOMEGA capitulo 6.indd 236 MATEMÁTICAS DISCRETAS – RAMÓN ESPINOSA ARMENTA 12/30/09 12:50:45 PM 6.2 MATRICES 237 6.2.3 Partición de matrices Una submatriz de una matriz A es una matriz que se obtiene a partir de A eliminando algunos renglones o columnas. En ocasiones es conveniente separar A en submatrices, por ejemplo, la matriz ⎛ a11 a12 a13 a14 ⎞ A = ⎜ a21 a22 a23 a24 ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ a31 a32 a33 a34 ⎠ se puede separar como ⎛ A11 A=⎜ ⎝ A21 A12 ⎞ A22 ⎟⎠ donde ⎛ a11 a12 ⎞ A11 = ⎜ ⎝ a21 a22 ⎟⎠ ⎛ a13 a14 ⎞ A12 = ⎜ ⎝ a23 a24 ⎟⎠ A21 = ( a31 A22 = ( a33 a32 ) a34 ) Si A y B son matrices de m × n que tienen la misma partición, A + B se obtiene sumando las submatrices correspondientes, por ejemplo, si ⎛ A11 A=⎜ ⎝ A21 A12 A22 A13 ⎞ A23 ⎟⎠ ⎛ B11 y B=⎜ ⎝ B21 B12 B22 B13 ⎞ B ⎟⎠ 23 donde Aij, Bij son de tamaño mi × nj para toda i = 1, 2; j = 1, 2, 3, entonces ⎛ A11 + B11 A+B=⎜ ⎝ A21 + B21 A12 + B12 A22 + B22 A13 + B13 ⎞ A23 + B23 ⎟⎠ También es posible multiplicar matrices en las que está definida una partición, por ejemplo, si ⎛ A11 A=⎜ ⎝ A21 A12 ⎞ A22 ⎟⎠ ⎛ B11 y B=⎜ ⎝ B21 B12 B22 B13 ⎞ B23 ⎟⎠ donde Aij es de tamaño mi × nj para toda i, j = 1, 2 y Bij es de tamaño ni × pj, para toda i = 1, 2; j = 1, 2, 3, entonces ⎛ A11 B11 + A12 B21 AB = ⎜ ⎝ A21 B11 + A22 B21 A11 B12 + A12 B22 A21 B12 + A22 B22 MATEMÁTICAS DISCRETAS – RAMÓN ESPINOSA ARMENTA capitulo 6.indd 237 A11 B13 + A12 B23 ⎞ A B + A B ⎟⎠ 21 13 22 23 ALFAOMEGA 12/30/09 12:50:46 PM 238 VI. 6.3 MATRICES Sistemas de ecuaciones lineales Considérese el sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas: a11x1 + a12x2 + … + a1nxn = b1 a21x1 + a22x2 + … + a2nxn = b2 am1x1 + am2x2 + … + amnxn = bm donde aij y bi (i = 1, …, m; j = 1, …, n) son elementos de un campo K y xj, j = 1, …, n son incógnitas. Una sucesión s1, s2, …, sn de elementos de K se dice que es una solución del sistema, si al sustituir x1 = s1, x2 = s2, …, xn = sn se satisfacen cada una de las ecuaciones del sistema. Un sistema se dice que es un sistema consistente si tiene al menos una solución, en otro caso se dice que es un sistema inconsistente. Ejemplo 6.14 Considérese el sistema de ecuaciones lineales 3x1 + 2x2 = 8 x1 + 4x2 = 6 Multiplicando la segunda ecuación por −3 se obtiene el sistema equivalente 3x1 + 2x2 = 8 −3x1 − 12x2 = 6 Sumando las dos ecuaciones resulta que −10x2 = −10 y de aquí que x2 = 1. Sustituyendo este valor en cualquiera de las ecuaciones se obtiene que x1 = 2. Por tanto la solución es única y está dada por x1 = 2, x2 = 1. Ejemplo 6.15 Considérese el sistema x1 − x2 = 1 −x1 + x2 = −2 Multiplicando la segunda ecuación por −1 se obtiene el sistema equivalente x1 − x2 = 1 x1 − x2 = 2 el cual es claramente inconsistente. ALFAOMEGA capitulo 6.indd 238 MATEMÁTICAS DISCRETAS – RAMÓN ESPINOSA ARMENTA 12/30/09 12:50:46 PM 6.3 Ejemplo 6.16 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES 239 Considérese el sistema x1 − 3x2 = 5 Haciendo x2 = t se tiene que x1 = 5 + 3t, por lo que el sistema tiene un número infinito de soluciones. Un sistema de ecuaciones lineales se dice que es un sistema homogéneo si es de la forma a11x1 + a12x2 + … + a1nxn = 0 a21x1 + a22x2 + … + a2nxn = 0 am1x1 + am2x2 + … + amnxn = 0 Todo sistema de ecuaciones lineales homogéneo es consistente, pues x1 = 0, x2 = 0, …, xn = 0 es una solución. Esta solución se conoce como solución trivial; si hay otras soluciones éstas son llamadas soluciones no triviales. Dado un sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas, la matriz ⎛ a11 a12 a1n ⎞ ⎜a a22 a2 n ⎟ 21 ⎟ A=⎜ ⎜ ⎟ ⎜a ⎟ ⎝ m1 am 2 amn ⎠ es llamada la matriz de coeÀcientes del sistema. Si se escribe ⎛ x1 ⎞ ⎜x ⎟ 2 x=⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜x ⎟ ⎝ n⎠ ⎛ b1 ⎞ ⎜b ⎟ 2 y b=⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜b ⎟ ⎝ m⎠ MATEMÁTICAS DISCRETAS – RAMÓN ESPINOSA ARMENTA capitulo 6.indd 239 ALFAOMEGA 12/30/09 12:50:47 PM 240 VI. MATRICES entonces el sistema puede representarse por medio de la ecuación matricial Ax = b Una solución del sistema es un vector ⎛ s1 ⎞ ⎜s ⎟ 2 s=⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜s ⎟ ⎝ n⎠ tal que As = b. Teorema 6.14 Si Ax = b es un sistema consistente, entonces el sistema tiene solución única o tiene un número infinito de soluciones. Demostración Supóngase que el sistema no tiene solución única, y sean u y u dos soluciones distintas. Sea h = u − u. Por lo tanto h es distinto del vector cero. Además Ah = A(u − u) = Au − Au = b − b = 0. Para cada l ∈ K sea sl = u + lh. Por lo tanto Asl = Au + lAh = b + l0 = b De modo que sl es solución del sistema para cada l ∈ K, lo cual muestra que el sistema tiene un número infinito de soluciones. Teorema 6.15 Si Ax = b es un sistema de n ecuaciones con n incógnitas y A es invertible, entonces el sistema tiene solución única dada por x = A−1b. Demostración Se tiene que A(A−1b) = (AA−1)b = Inb = b. Por lo tanto x = A−1b es solución del sistema. Además, si s es otra solución del sistema, entonces As = b, por lo que A−1(As) = A−1b y de aquí que s = A−1b. Dado un sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas, la matriz aumentada del sistema es la matriz de m × (n + 1): ⎛ a11 a12 a1n ⎜a a22 a2 n ⎜ 21 ⎜ ⎜a ⎝ m1 am 2 amn ALFAOMEGA capitulo 6.indd 240 | b1 ⎞ | b2 ⎟ ⎟ | ⎟ | bm ⎟⎠ MATEMÁTICAS DISCRETAS – RAMÓN ESPINOSA ARMENTA 12/30/09 12:50:49 PM 6.3 Ejemplo 6.17 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES 241 La matriz aumentada del sistema 3x1 + 2x2 + x3 = 5 x1 − x2 + 4x3 = 2 es ⎛3 ⎜⎝ 1 2 1 | 5⎞ − 1 4 | 2⎟⎠ Una matriz aumentada se dice que está en forma escalonada reducida si cumple las siguientes propiedades: 1. Si un renglón no consta exclusivamente de ceros, entonces el primer elemento diferente de cero en el renglón es 1. 2. Si hay renglones que constan exclusivamente de ceros, éstos se encuentran en la parte inferior de la matriz. 3. Si dos renglones consecutivos no consisten únicamente de ceros, entonces el primer 1 en el renglón inferior está a la derecha del primer 1 en el renglón superior. 4. Todas las columnas que contienen el primer elemento distinto de algún renglón tienen ceros en todas las entradas restantes. Ejemplo 6.18 La siguiente matriz está en forma escalonada reducida: ⎛1 ⎜0 ⎜ ⎜0 ⎜ ⎝0 1 0 | 2⎞ 1 2 0 | 4 ⎟⎟ 0 0 1 | 3⎟ ⎟ 0 0 0 | 0⎠ 0 Hay que observar que el sistema de ecuaciones lineales correspondiente es x1 + x3 = 2 x2 + 2x3 = 4 x4 = 3 MATEMÁTICAS DISCRETAS – RAMÓN ESPINOSA ARMENTA capitulo 6.indd 241 ALFAOMEGA 12/30/09 12:50:50 PM 242 VI. MATRICES el cual se puede resolver fácilmente x1 = 2 − t x2 = 4 − 2t x3 = t x4 = 3, donde t ∈ K. Dos sistemas de ecuaciones lineales se dice que son sistemas equivalentes, si toda solución del primero es solución del segundo y recíprocamente. Dado un sistema de ecuaciones lineales se puede obtener un sistema equivalente realizando las siguientes operaciones elementales: Whilhelm Jordan F Intercambiar dos ecuaciones del sistema. 2. Multiplicar ambos lados de una ecuación por un escalar distinto de cero. 3. Reemplazar una ecuación del sistema por el resultado de sumar esta ecuación y un múltiplo escalar de otra ecuación del sistema. (1842-1899) ue un alemán que se dedicó a la geodesia, es decir, a la ciencia del levantamiento y representación de la forma de la superficie de la Tierra. En 1873 publicó un libro de geodesia (Handbuch der Vermessungskunde) donde presentó una mejora del método de eliminación de Gauss que aplicó para resolver el problema de mínimos cuadrados. Aunque Jordan no usó matrices como se hace actualmente, realizaba el trabajo sobre tablas de coeficientes y explicaba cómo pasar de una fila a la siguiente, como muchos textos hacen hoy en día. La mayor diferencia entre su método y el actual es que Jordan no hacía el pivote de cada fila igual a 1 durante el proceso de solución. En el paso final, simplemente expresaba cada incógnita como un cociente con el pivote como denominador. ALFAOMEGA capitulo 6.indd 242 1. Las operaciones anteriores corresponden a las siguientes operaciones con los renglones de la matriz aumentada: 1. Intercambiar dos renglones de la matriz. 2. Multiplicar un renglón por un escalar distinto de cero. 3. Reemplazar un renglón por el resultado de añadir a ese renglón un múltiplo escalar de otro renglón. El método de reducción de Gauss-Jordan consiste en transformar la matriz aumentada de un sistema de ecuaciones lineales en una matriz en forma escalonada reducida, a partir de operaciones elementales de renglón, y luego resolver el sistema resultante. En cada iteración del método de Gauss-Jordan se toma un elemento como pivote, el cual se convierte en uno. A partir del elemento pivote se hacen cero todos los demás elementos de su columna. Los siguientes ejemplos ilustran el método. MATEMÁTICAS DISCRETAS – RAMÓN ESPINOSA ARMENTA 12/30/09 12:50:50 PM 6.3 Ejemplo 6.19 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES 243 Resolver el sistema de ecuaciones lineales 3x1 − 2x2 + x3 = 11 x1 + 3x2 + x3 = 2 2x1 + x2 + 2x3 = 9 Solución La matriz aumentada del sistema es ⎛3 − 2 ⎜1 3 ⎜ ⎜⎝ 2 1 1 1 2 | 11 ⎞ | 2⎟⎟ | 9 ⎟⎠ Intercambiando los renglones 1 y 2 se obtiene que 3 1 | 2⎞ ⎛1 ⎜ 3 − 2 1 | 11 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜⎝ 2 1 2 | 9⎟⎠ El elemento del primer renglón de la primera columna es el elemento pivote. Primero se multiplica el primer renglón por −3 y se suma al segundo renglón, luego se multiplica el primer renglón por −2 y se suma al tercer renglón, obteniéndose así la siguiente matriz aumentada: 3 1 ⎛1 ⎜ 0 − 11 − 2 ⎜ ⎜⎝ 0 − 5 0 | 2⎞ | 5⎟⎟ | 5⎟⎠ Ahora se toma el elemento del segundo renglón de la segunda columna como elemento pivote. Para convertir el pivote en uno se multiplica el segundo renglón por −1/11, luego se multiplica el segundo renglón por −3 y se suma al primer renglón, también se multiplica el segundo renglón por 5 y se suma al tercer renglón para obtener la matriz: ⎛ 1 0 5 / 11 | 37 / 11 ⎞ ⎜ 0 1 2 / 11 | − 5 / 11⎟ ⎜ ⎟ ⎜⎝ 0 0 10 / 11 | 30 / 11⎟⎠ Ahora se toma el elemento del tercer renglón de la tercera columna como elemento pivote. Se multiplica el tercer renglón por 11/10, luego se multiplica el tercer renglón por −5/11 y se suma al primer renglón, también se multiplica el tercer renglón por −2/11 y se suma al segundo renglón para obtener la matriz MATEMÁTICAS DISCRETAS – RAMÓN ESPINOSA ARMENTA capitulo 6.indd 243 ALFAOMEGA 12/30/09 12:50:52 PM 244 VI. MATRICES 2⎞ ⎛1 0 0 | ⎜ 0 1 0 | − 1⎟ ⎜ ⎟ ⎜⎝ 0 0 1 | 3 ⎟⎠ Esta matriz está en forma escalonada reducida. En este caso el sistema tiene solución única, dada por: x1 = 2 Ejemplo 6.20 x2 = −1 x3 = 3 Resolver el sistema de ecuaciones lineales: 2x1 + x2 = 3 3x1 − 4x2 + x3 = 2 3x1 + 7x2 − x3 = 7 Solución La matriz aumentada del sistema es: 1 0 | 3⎞ ⎛2 ⎜ 3 − 4 1 | 2⎟ ⎜ ⎟ ⎜⎝ 3 7 − 1 | 7 ⎟⎠ Se multiplica el primer renglón por 1/2, luego se multiplica el primer renglón por −3 y se suma al segundo renglón. También se multiplica el primer renglón por −3 y se suma al tercer renglón, obteniéndose así la matriz aumentada: 1/ 2 0 | 3 / 2⎞ ⎛1 ⎜ 0 − 11 / 2 1 | − 7 / 2 ⎟⎟ ⎜ ⎜⎝ 0 11 / 2 − 1 | 5 / 2⎟⎠ Se multiplica el segundo renglón por −2/11, luego se multiplica el segundo renglón por −1/2 y se suma al primer renglón. También se multiplica el segundo renglón por 11/2 y se suma al tercer renglón, obteniéndose la matriz aumentada: 1 / 11 | 13 / 11⎞ ⎛1 0 ⎜ 0 1 − 2 / 11 | 7 / 11 ⎟⎟ ⎜ ⎜⎝ 0 0 ⎟⎠ 0 | −1 ALFAOMEGA capitulo 6.indd 244 MATEMÁTICAS DISCRETAS – RAMÓN ESPINOSA ARMENTA 12/30/09 12:50:52 PM 6.3 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES 245 La ecuación correspondiente al tercer renglón es 0x1 + 0x2 + 0x3 = −1 lo cual no es posible, por lo tanto el sistema es inconsistente. En general, un sistema es inconsistente si y sólo si la forma escalonada reducida de la matriz aumentada del sistema tiene un renglón cuyos elementos son todos cero, excepto el último del renglón. Ejemplo 6.21 Resolver el sistema de ecuaciones lineales: 4x1 + 3x2 − x3 + 2x4 = 1 2x1 + 5x2 + 3x3 − 4x4 = 3 Solución La matriz aumentada del sistema es: 2 | 1⎞ ⎛4 3 −1 ⎜⎝ 2 5 3 − 4 | 3⎟⎠ Se multiplica el primer renglón por 1/4, luego se multiplica el primer renglón por −2 y se suma al segundo renglón, obteniéndose la matriz aumentada: ⎛ 1 3 / 4 −1/ 4 1/ 2 | 1/ 4⎞ ⎜⎝ 0 7 / 2 7 / 2 − 5 | 5 / 2⎟⎠ Se multiplica el segundo renglón por 2/7, luego se multiplica el segundo renglón por −3/4 y se suma al primer renglón, obteniéndose la matriz aumentada: 11 / 7 | − 2 / 7⎞ ⎛1 0 − 1 ⎜⎝ 0 1 1 − 10 / 7 | 5 / 7 ⎟⎠ Esta matriz está en forma escalonada reducida, y el sistema de ecuaciones lineales correspondiente es: 11 x 4 = −2 / 7 7 10 x 2 + x3 − x 4 = 5 / 7 7 x1 − x3 + MATEMÁTICAS DISCRETAS – RAMÓN ESPINOSA ARMENTA capitulo 6.indd 245 ALFAOMEGA 12/30/09 12:50:53 PM 246 VI. MATRICES Despejando las variables principales se obtiene que: 2 11 + x3 − x4 7 7 5 10 x2 = − x 3 + x 4 7 7 x1 = − Las variables x3 y x4 pueden tomar cualquier valor. Escribiendo x3 = s y x4 = t, se obtiene la solución general: x4 = t 2 11 +s− t 7 7 5 10 x2 = − s + t 7 7 x3 = s x4 = t , x1 = − donde s, t ∈ K son arbitrarios. Esta solución se puede escribir como: ⎛ x1 ⎞ ⎛ −2 / 7 ⎞ ⎛ 1⎞ ⎛ −11 / 7 ⎞ ⎜ x ⎟ ⎜ 5 / 7⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 10 / 7⎟ −1 ⎜ 2⎟ = ⎜ ⎟ + s⎜ ⎟ + t⎜ ⎟ ⎜ x3 ⎟ ⎜ 0 ⎟ ⎜ 0⎟ ⎜ 0 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜⎝ 0 ⎟⎠ ⎜⎝ 0 ⎟⎠ ⎜⎝ 1 ⎟⎠ ⎝ x4 ⎠ Sea A una matriz de m × n y sea E la matriz escalonada reducida equivalente por renglones a A. El rango por renglones de A se define como el número de renglones distintos de cero en E. Teorema 6.16 Si el sistema Ax = b de m ecuaciones lineales con n incógnitas es consistente, y si r es el rango por renglones de A, entonces a) si r = n el sistema tiene solución única; b) si r < n el sistema tiene un número infinito de soluciones, expresadas en términos de n − r parámetros. Corolario 6.1 Si en un sistema homogéneo, el número de incógnitas es mayor que el número de ecuaciones, entonces el sistema tiene un número infinito de soluciones. ALFAOMEGA capitulo 6.indd 246 MATEMÁTICAS DISCRETAS – RAMÓN ESPINOSA ARMENTA 12/30/09 12:50:53 PM 6.4 6.4 CÁLCULO DE INVERSAS 247 Cálculo de inversas Una operación elemental de renglón en una matriz A es cualquiera de las siguientes operaciones: 1. Intercambiar dos renglones de la matriz. 2. Multiplicar un renglón por un escalar distinto de cero. 3. Reemplazar un renglón por el resultado de añadir a ese renglón un múltiplo escalar de otro renglón. Una matriz A se dice que es una matriz equivalente por renglones a una matriz B, si B se puede obtener a partir de A por medio de una sucesión finita de operaciones elementales por renglón. Una matriz elemental de orden m es una matriz que se puede obtener a partir de Im mediante una sola operación elemental de renglón. Ejemplo 6.22 La matriz ⎛ 0 1⎞ ⎜⎝ 1 0 ⎟⎠ es una matriz elemental, pues se obtiene de I2 intercambiando los renglones 1 y 2. Ejemplo 6.23 La matriz ⎛1 0 ⎞ ⎜⎝ 0 3⎟⎠ es una matriz elemental, pues se obtiene de I2 multiplicando el renglón 2 por 3. MATEMÁTICAS DISCRETAS – RAMÓN ESPINOSA ARMENTA capitulo 6.indd 247 ALFAOMEGA 12/30/09 12:50:54 PM 248 VI. Ejemplo 6.24 MATRICES La matriz ⎛ 1 0⎞ ⎜⎝ 2 1⎟⎠ es una matriz elemental, pues se obtiene de I2 añadiendo al renglón 2 el resultado del renglón 1 multiplicado por 2. En el siguiente lema, cuya demostración se pide en el problema 6.31, se afirma que una operación elemental de renglón en una matriz es equivalente a multiplicar la matriz por una matriz elemental. Lema 6.1 Sea A ∈ Mm×n(K) y supóngase que B se obtiene a partir de A mediante una sola operación elemental de renglón. Sea E la matriz elemental de orden m correspondiente a esa operación elemental. Entonces B = EA. En el siguiente ejemplo se ilustra el resultado anterior. Ejemplo 6.25 Considérese la matriz: ⎛ 1 3 5 3⎞ A = ⎜ −1 1 2 0 ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ 2 4 1 2⎠ Sea B la matriz obtenida a partir de A añadiendo al renglón 3 el 1 multiplicado por −2. Es decir, 3 5 3⎞ ⎛ 1 B = ⎜ −1 1 2 0⎟ ⎜ ⎟ ⎝ 0 − 2 − 9 − 4⎠ Sea E la matriz elemental obtenida a partir de I3 añadiendo al renglón 3 el renglón 1 multiplicado por −2. Es decir, ⎛ 1 0 0⎞ E = ⎜ 0 1 0⎟ ⎜ ⎟ ⎝ −2 0 1⎠ Se puede verificar que EA = B. ALFAOMEGA capitulo 6.indd 248 MATEMÁTICAS DISCRETAS – RAMÓN ESPINOSA ARMENTA 12/30/09 12:50:54 PM 6.4 CÁLCULO DE INVERSAS 249 Lema 6.2 Si E ∈ Mn(K) es una matriz elemental, entonces E es invertible y su inversa es una matriz elemental. Demostración Caso 1. Si E se obtiene a partir de In intercambiando los renglones i y j, entonces E−1 = E. Caso 2. Si E se obtiene a partir de In multiplicando el renglón i por c ≠ 0, entonces E−1 es la matriz elemental obtenida a partir de In multiplicando el renglón i por 1/c. Caso 3. Si E se obtiene a partir de In añadiendo al renglón j el renglón i multiplicado por c, entonces E−1 es la matriz elemental obtenida a partir de In añadiendo al renglón j el renglón i multiplicado por −c. Teorema 6.17 forma: Sea A ∈ Mn(K). Entonces A puede expresarse en la A = F1F2 … FkT donde F1, …, Fk son matrices elementales, y T es una matriz triangular superior. Demostración Sea T la matriz escalonada reducida equivalente a A. Como A es una matriz cuadrada, entonces T es triangular superior. Además, por el lema 6.2, existen matrices elementales E1, …, Ek, tales que Ek … E1A = T. Por el lema 6.1 cada matriz elemental es invertible, por lo tanto A = E1− 1 … Ek− 1T y de aquí que A = F1F2 … FkT, donde Fi = Ei− 1 es una matriz elemental para todo i = 1, …, k. En el siguiente teorema se establecen condiciones necesarias y suficientes, para que una matriz cuadrada sea invertible. MATEMÁTICAS DISCRETAS – RAMÓN ESPINOSA ARMENTA capitulo 6.indd 249 ALFAOMEGA 12/30/09 12:50:55 PM 250 VI. MATRICES Teorema 6.18 equivalentes: Sea A ∈ Mn(K). Entonces las siguientes afirmaciones son a) A es invertible. b) El sistema homogéneo Ax = 0 tiene solución única. c) A es equivalente por renglones a In. d) A es producto de matrices elementales. Demostración (a) ⇒ (b): supóngase que A es invertible. Sea x tal que Ax = 0, de aquí que A−1(Ax) = A−10 por lo que x = 0. Por tanto la única solución del sistema homogéneo Ax = 0 es la solución trivial. (b) ⇒ (c): supóngase que el sistema homogéneo Ax = 0 tiene solución única. Por lo tanto la forma escalonada reducida de la matriz aumentada del sistema es [In | 0], de aquí que A es equivalente por renglones a In. (c) ⇒ (d): supóngase que A es equivalente por renglones a In. Por lo tanto existen matrices elementales, E1, …, Ek, tales que Ek … E1A = In. Como cada matriz elemental es invertible, se tiene que A = E1− 1 … Ek− 1In = E1− 1 … Ek− 1 Es decir, A = F1 … Fk, donde Fi = Ei−1 es una matriz elemental, para cada i = 1, …, k. (d) ⇒ (a): supóngase que A = F1 … Fk, donde F1, …, Fk, son matrices elementales. Como cada matriz elemental es invertible, y el producto de matrices invertibles es invertible, se sigue que A es invertible. En el teorema anterior se afirma que A es invertible si y sólo si existen matrices elementales E1, …, Ek, tales que Ek … E1A = In. En este caso A−1 = Ek … E1 = Ek … E1In lo cual indica que la misma sucesión de operaciones elementales por renglón que transforma A en In, también transforma In en A−1, por lo que se puede transformar la matriz [A | In] en la matriz [In | A−1]. Si en el proceso de transformar la matriz A a su forma escalonada reducida, se obtiene un renglón que consta solamente de ceros, entonces A no es equivalente a la matriz identidad, y por lo tanto no es invertible. En los siguientes ejemplos se ilustra este procedimiento. ALFAOMEGA capitulo 6.indd 250 MATEMÁTICAS DISCRETAS – RAMÓN ESPINOSA ARMENTA 12/30/09 12:50:55 PM 6.4 Ejemplo 6.26 CÁLCULO DE INVERSAS 251 Determinar si la matriz ⎛ 2 1 1⎞ ⎜4 2 3⎟ ⎜ ⎟ ⎝ 1 3 0⎠ es invertible, y si es el caso calcular la inversa. Solución Considérese la matriz ⎛ 2 1 1 | 1 0 0⎞ ⎜ 4 2 3 | 0 1 0⎟ ⎜ ⎟ ⎜⎝ 1 3 0 | 0 0 1⎟⎠ Intercambiando el primer y el tercer renglón, se obtiene ⎛ 1 3 0 | 0 0 1⎞ ⎜ 4 2 3 | 0 1 0⎟ ⎜ ⎟ ⎜⎝ 2 1 1 | 1 0 0 ⎟⎠ Añadiendo al segundo renglón el resultado del primer renglón por −4, y añadiendo al tercer renglón el resultado del primer renglón por −2, se obtiene 3 0 | 0 0 1⎞ ⎛1 ⎜ 0 − 10 3 | 0 1 − 4 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜⎝ 0 − 5 1 | 1 0 − 2⎟⎠ Multiplicando el segundo renglón por −1/10, y luego añadiendo al primer renglón el resultado del segundo renglón por −3, y añadiendo al tercer renglón el resultado del segundo renglón por 5, se obtiene 9 / 10 | 0 3 / 10 − 1 / 5 ⎞ ⎛1 0 ⎜ 0 1 − 3 / 10 | 0 − 1 / 10 2 / 5⎟⎟ ⎜ ⎜⎝ 0 0 − 1 / 2 | 1 − 1 / 2 0 ⎟⎠ Multiplicando el tercer renglón por −2, y luego añadiendo al primer renglón el resultado del tercer renglón por −9/10, y añadiendo al segundo renglón el resultado del tercer renglón por 3/10, se obtiene que 9 / 5 − 3 / 5 −1/ 5⎞ ⎛1 0 0 | ⎜0 1 0 | − 3 / 5 1/ 5 2 / 5⎟⎟ ⎜ ⎜⎝ 0 0 1 | − 2 1 0 ⎟⎠ MATEMÁTICAS DISCRETAS – RAMÓN ESPINOSA ARMENTA capitulo 6.indd 251 ALFAOMEGA 12/30/09 12:50:55 PM 252 VI. MATRICES Por lo tanto ⎛ 9 / 5 − 3/ 5 −1/ 5 ⎞ 1/ 5 2 / 5⎟ A = ⎜ −3 / 5 ⎜ ⎟ 1 0 ⎠ ⎝ −2 −1 Ejemplo 6.27 Determinar si la matriz 1⎞ ⎛ 2 1 ⎜ −1 4 − 5 ⎟ ⎜ ⎟ 1⎠ ⎝ 3 2 es invertible, y si es el caso calcular la inversa. Solución Considérese la matriz 1 | 1 0 0⎞ ⎛ 2 1 ⎜ −1 4 − 5 | 0 1 0 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜⎝ 3 2 1 | 0 0 1 ⎟⎠ Multiplicando el primer renglón por 1/2, luego añadiendo al segundo renglón el primer renglón, y añadiendo al tercer renglón el resultado del primer renglón por −3, se obtiene 1/ 2 | 1 / 2 0 0⎞ ⎛1 1 / 2 ⎜0 9 / 2 − 9 / 2 | 1 / 2 1 0 ⎟⎟ ⎜ ⎜⎝ 0 1 / 2 − 1 / 2 | − 3 / 2 0 1 ⎟⎠ Multiplicando el segundo renglón por 2/9, y luego añadiendo al tercer renglón el resultado del primer renglón por −1/2, se obtiene 1/ 2 0 0⎞ ⎛1 1 / 2 1 / 2 | ⎜0 1 −1 | 1/ 9 2 / 9 0 ⎟⎟ ⎜ ⎜⎝ 0 0 0 | − 14 / 9 − 1 / 9 1⎟⎠ Como A no es equivalente a la matriz identidad, se concluye que A no es invertible. ALFAOMEGA capitulo 6.indd 252 MATEMÁTICAS DISCRETAS – RAMÓN ESPINOSA ARMENTA 12/30/09 12:50:56 PM 6.4 CÁLCULO DE INVERSAS 253 A continuación se plantean otros resultados relacionados con la inversa de una matriz, comenzando con el siguiente lema cuya demostración se pide en el problema 6.32. Lema 6.3 Si E ∈ Mn(K) es una matriz elemental, entonces (Et)−1 = (E−1)t. Teorema 6.19 además Si A ∈ Mn(K) es invertible, entonces At es invertible, y (At)−1 = (A−1)t Demostración Por el teorema anterior se puede escribir A = E1 … Ek, donde E1, …, Ek son matrices elementales. Por lo tanto, A−1 = Ek− 1 … E1− 1, de aquí que (A−1)t = (E1− 1)t … (Ek− 1)t = (E1t )−1 … (Ekt )−1 = (Ekt … E1t )−1 = (At )−1. (por el lema anterior) En el siguiente teorema se muestra que si una matriz B es la inversa por la izquierda, o por la derecha de una matriz A, entonces B es necesariamente la inversa de A. Teorema 6.20 Sean A, B ∈ Mn(K). a) Si BA = In, entonces B = A−1. b) Si AB = In, entonces B = A−1. Demostración a) Supóngase que BA = A−1. Considérese el sistema homogéneo Ax = 0. Multiplicando por la izquierda ambos lados de esta ecuación por B se tiene que B(Ax) = B0. Como BA = In, se sigue que x = 0. Por lo tanto el sistema tiene solución única, de aquí que, por el teorema 6.18, A es invertible. Por lo tanto multiplicando por la derecha ambos lados de la ecuación BA = In por la matriz A−1, obtenemos B = A−1. b) Véase el problema 6.33. El propósito general del simulador OPERACIONES CON MATRICES es el de realizar las operaciones básicas entre matrices, así como el de obtener la transpuesta, la inversa, el determinante, el rango, la traza, la norma y la potencia de una matriz de acuerdo con la deÀnición de cada una de estas operaciones, además del de resolver sistemas de ecuaciones lineales. MATEMÁTICAS DISCRETAS – RAMÓN ESPINOSA ARMENTA capitulo 6.indd 253 ALFAOMEGA 12/30/09 12:50:56 PM 254 VI. MATRICES En la lectura complementaria MATLAB Y MATRICES se describe la forma en que se usa MATLAB para implementar un simulador como Operaciones con matrices. 6.5 La matriz de una relación Sean A = {a1, …, am} y B = {b1, …, bn} dos conjuntos finitos no vacíos, y sea R una relación de A en B. Se puede describir R por medio de la matriz MR = (rij) de m × n, definida por: ⎧ 1 si ai Rb j rij = ⎨ ⎩0 en otro caso. Ejemplo 6.28 La matriz ⎛ 0 1 0 1 0⎞ M R = ⎜ 0 0 1 0 1⎟ ⎜ ⎟ ⎝ 1 0 0 1 1⎠ representa la relación R = {(a1, b2), (a1, b4), (a2, b3), (a2, b5), (a3, b1), (a3, b4), (a3, b5)} Una matriz cuyos elementos son ceros y unos es llamada una matriz booleana. Se observa que si R y S son dos relaciones de A en B, entonces MR∪S = MR ∨ MS MR∩S = MR ∧ MS donde MR ∨ MS = (rij ∨ sij) y MR ∧ MS = (rij ∧ sij). Aquí ∨ y ∧ son las operaciones booleanas definidas en el conjunto {0, 1} por medio de las tablas: ALFAOMEGA capitulo 6.indd 254 ∨ 0 1 ∧ 0 1 0 0 1 0 0 0 1 1 1 1 0 1 MATEMÁTICAS DISCRETAS – RAMÓN ESPINOSA ARMENTA 12/30/09 12:50:58 PM 6.5 Ejemplo 6.29 booleanas: LA MATRIZ DE UNA RELACIÓN 255 Sean R y S las relaciones de A en B definidas por las matrices ⎛ 0 1 1 0 0⎞ M R = ⎜ 1 0 0 1 1⎟ ⎜ ⎟ ⎝ 0 0 1 0 1⎠ ⎛ 1 0 0 1 1⎞ y Ms = ⎜ 1 1 1 0 1 ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ 0 0 1 1 0⎠ ⎛ 1 1 1 1 1⎞ M R∪s = ⎜ 1 1 1 1 1⎟ ⎜ ⎟ ⎝ 0 0 1 1 1⎠ ⎛ 0 0 0 0 0⎞ y M R∩ s = ⎜ 1 0 0 0 1 ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ 0 0 1 0 0⎠ entonces Sea R una relación binaria en un conjunto finito A. La cerradura reflexiva de R es la más pequeña relación binaria en A que es reflexiva y que contiene a R. Es claro que la matriz de la cerradura reflexiva de R es MR ∨ In donde In es la matriz que tiene unos en la diagonal principal y ceros en las otras entradas. En particular R es reflexiva si y sólo si MR tiene unos en la diagonal principal. Si R es una relación binaria de A en B, la relación inversa R−1 es la relación de B en A definida por: aR−1b ⇔ bRA Se observa que si A y B son finitos, entonces MR−1 = MRt . Ejemplo 6.30 Si R es la relación definida por la matriz ⎛ 0 1 0 1⎞ M R = ⎜ 1 0 1 1⎟ ⎜ ⎟ ⎝ 0 1 0 1⎠ entonces ⎛0 ⎜1 M R−1 = ⎜ ⎜0 ⎜1 ⎝ MATEMÁTICAS DISCRETAS – RAMÓN ESPINOSA ARMENTA capitulo 6.indd 255 1 0 1 1 0⎞ 1⎟ ⎟ 0⎟ 1⎟⎠ ALFAOMEGA 12/30/09 12:50:59 PM 256 VI. MATRICES En forma análoga, si R es una relación binaria en un conjunto finito A, la cerradura simétrica de R es la más pequeña relación binaria en A que es simétrica y que contiene a R. Es claro que la matriz de la cerradura simétrica de R es MR ∨ MRt En particular R es simétrica si y sólo si MR lo es. Sea R una relación de A en B y sea S una relación de B en C. Se define la relación RS de A en C como: a(RS)c ⇔ ∃ b ∈ B tal que aRb y bSc Hay que observar que si R es una función de A en B y S es una función de B en C, entonces RS es la composición S ° R. Por esa razón RS también es llamada la composición de R y S. Algunos autores escriben R ° S, sin embargo esta notación no es consistente con la que se utiliza para funciones (donde se invierte el orden). Por esta razón se elige escribir RS. Si A = {a1, …, am}, B = {b1, …, bn} y C = {c1, …, cp}, entonces la entrada ij de la matriz MRS está dada por la fórmula: (ai1 ∧ b1j) ∨ (ai2 ∧ b2 j) ∨ … ∨ (ain ∧ bn j) La matriz MRS se denota MR MS y se conoce como el producto booleano de MR por MS, por su similitud con el producto usual de matrices. Ejemplo 6.31 Si ⎛ 1 0 1⎞ M R = ⎜ 0 1 1⎟ ⎜ ⎟ ⎝ 1 0 1⎠ ⎛0 1 0 1⎞ y Ms = ⎜ 1 0 1 0 ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ 1 1 0 0⎠ entonces ⎛ 1 0 1⎞ M R = ⎜ 0 1 1⎟ ⎜ ⎟ ⎝ 1 0 1⎠ ALFAOMEGA capitulo 6.indd 256 ⎛ 0 1 0 1 ⎞ ⎛ 1 1 0 1⎞ ⎜ 1 0 1 0⎟ = ⎜ 1 1 1 0⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ 1 1 0 0⎠ ⎝ 1 1 0 1 ⎠ MATEMÁTICAS DISCRETAS – RAMÓN ESPINOSA ARMENTA 12/30/09 12:50:59 PM 6.5 LA MATRIZ DE UNA RELACIÓN 257 Sea R una relación binaria en un conjunto A. Se acostumbra escribir R2 en lugar de RR. En general, para todo entero positivo k se escribe R k = RR R k veces Hay que observar que aRkb si y sólo si existen x1, x2, …, xk−1 ∈ A, tales que aRx1, x1Rx2, x2Rx3, …, xk−1Rb Si el conjunto A es finito, entonces MRk = MR MR MR k veces Si R es una relación binaria en A, se define la relación R∞ como aR∞b ⇔ ∃ k ∈ tal que aRkb Teorema 6.21 Sea R una relación binaria en A = {a1, …, an}. Entonces R∞ = R ∪ R2 ∪ … ∪ Rn Demostración Supóngase que aR∞b y sea k el mínimo entero positivo tal que aRkb. Sean a = x0, x1, x2, …, xk−1 ∈ A, tales que aRx1, x1Rx2, x2Rx3, …, xk−1Rb Si existieran 0 ≤ i < j ≤ k − 1 tales que xi = xj, entonces se podría prescindir de los elementos xi+1, …, xj−1 para obtener aRx1, x1Rx2, …, xi−1Rxi, xiRxj+1, …, xk−1Rb lo cual contradice la elección de k. Por lo tanto los elementos a, x1, …, xk−1 son distintos. Como A tiene n elementos, se sigue que k ≤ n. En conclusión, si aR∞b, existe k ≤ n tal que aRkb. Por lo tanto R∞ = R ∪ R2 ∪ … ∪ Rn En el siguiente teorema se establece una propiedad importante de las relaciones transitivas. MATEMÁTICAS DISCRETAS – RAMÓN ESPINOSA ARMENTA capitulo 6.indd 257 ALFAOMEGA 12/30/09 12:51:00 PM 258 VI. MATRICES Teorema 6.22 Sea R una relación transitiva en un conjunto A, entonces para todo k ∈ se cumple que Rk ⊆ R. Demostración La demostración se hace por inducción sobre k. Si k = 1 el resultado es trivialmente cierto. Supóngase ahora que Rk ⊆ R, y sean a, b ∈ A tales que aRk+1b. Por lo tanto existe x ∈ A tal que aRkx y xRb. Por hipótesis de inducción se tiene que aRx, y por la transitividad de R se concluye que aRb. De aquí que Rk+1 ⊆ R. Como una consecuencia directa de los dos teoremas anteriores, se tiene el siguiente resultado. Corolario 6.2 R∞ ⊆ R. Si R es una relación transitiva en un conjunto A, entonces El siguiente teorema caracteriza la cerradura transitiva de una relación definida en un conjunto finito. Teorema 6.23 Sea R una relación binaria en un conjunto finito A, entonces R∞ es la cerradura transitiva de R. Demostración Se observa primero que R∞ es transitiva y contiene a R. Sea S cualquier otra relación transitiva tal que R ⊆ S. Por lo tanto R∞ ⊆ S∞, pero como S es transitiva, se sigue del corolario anterior que S∞ ⊆ S. Por lo tanto R∞ ⊆ S. Sea R una relación binaria definida en un conjunto A con n elementos. Por los resultados anteriores se sigue que la matriz de la cerradura transitiva de R está dada por: MR ∨ MR2 ∨ MR3 ∨ … ∨ MRn Ejemplo 6.32 matriz: Determinar la cerradura transitiva de la relación R descrita por la ⎛0 ⎜1 MR = ⎜ ⎜0 ⎜0 ⎝ ALFAOMEGA capitulo 6.indd 258 0 0 1 0 1 0 0 0 0⎞ 0⎟ ⎟ 1⎟ 0 ⎟⎠ MATEMÁTICAS DISCRETAS – RAMÓN ESPINOSA ARMENTA 12/30/09 12:51:00 PM 6.6 Solución 259 DETERMINANTES Se deja al lector comprobar que ⎛0 ⎜0 M R2 = ⎜ ⎜1 ⎜0 ⎝ ⎛1 ⎜0 M R3 = ⎜ ⎜0 ⎜0 ⎝ 1 0 0 0 0 1 0 0 1⎞ 0⎟ ⎟ 0⎟ 0 ⎟⎠ 0 0 1 0 1 0 0 0 0 ⎞ ⎛0 0 ⎟ ⎜0 ⎟ ∨⎜ 1 ⎟ ⎜1 0 ⎟⎠ ⎜⎝ 0 0 1 0 0 0 0⎞ 0 1⎟ ⎟ 1 0⎟ 0 0 ⎟⎠ ⎛0 ⎜1 M R4 = ⎜ ⎜0 ⎜0 ⎝ 0 0 1 0 0⎞ 0⎟ ⎟ 1⎟ 0 ⎟⎠ 1 0 0 0 Por lo tanto ⎛0 ⎜1 M R∞ = ⎜ ⎜0 ⎜0 ⎝ ⎛1 ⎜1 =⎜ ⎜1 ⎜0 ⎝ 1 0 0 0 0 1 0 0 1 ⎞ ⎛1 0 0 0 ⎞ ⎛ 0 0 ⎟ ⎜0 1 0 1 ⎟ ⎜1 ⎟ ∨⎜ ⎟ ∨⎜ 0 ⎟ ⎜ 0 0 1 0⎟ ⎜ 0 0 ⎟⎠ ⎜⎝ 0 0 0 0 ⎟⎠ ⎜⎝ 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0⎞ 0⎟ ⎟ 1⎟ 0 ⎟⎠ 1⎞ 1⎟ ⎟ 1 1 1⎟ 0 0 0 ⎟⎠ 1 1 1 1 Se observa que al calcular el producto de dos matrices cuadradas de orden n, en cada entrada se efectúan 2n − 1 operaciones (n operaciones ∧ y n − 1 operaciones ∨). Como la matriz tiene n2 entradas se efectúan 2n3 − n2 operaciones en total. Tomando esto en cuenta, para calcular R2, R3, …, Rn se necesitarían (n − 1)(2n3 − n2) = 2n4 − 3n3 + n2 operaciones. Por otra parte, al efectuar una operación ∨ entre dos matrices cuadradas se realiza una operación en cada entrada, para un total de n2 operaciones. Para calcular la cerradura transitiva de R se efectúan n − 1 operaciones ∨ entre matrices, para un total de (n − 1)n2 = n3− n2 operaciones. En conclusión, para calcular MR ∨ MR2 ∨ MR3 ∨ … ∨ MRn se requieren (2n4 − 3n3 + n2) + (n3 − n2) = 2n4 − 2n3 operaciones, por lo que el método para calcular la cerradura transitiva de esta manera es de O(n4). 6.6 Determinantes En la lectura adicional DETERMINANTES se deÀnen los conceptos de menor y determinante de una matriz A ∈ Mn(K), donde n ≥ 2, se demuestran las propiedades más importantes de los determinantes y su aplicación en la solución de sistemas de ecuaciones lineales. MATEMÁTICAS DISCRETAS – RAMÓN ESPINOSA ARMENTA capitulo 6.indd 259 ALFAOMEGA 12/30/09 12:51:01 PM 260 VI. 6.7 MATRICES Resumen En este capítulo se expusieron las nociones de matriz, de operaciones con matrices y las propiedades de esas operaciones. Se expuso cómo resolver sistemas de ecuaciones lineales aplicando el método de Gauss-Jordan y cómo calcular inversas de matrices. También se expuso cómo representar relaciones entre conjuntos finitos por medio de una matriz booleana, en particular se mostró cómo se pueden obtener las cerraduras reflexiva, simétrica y transitiva de una relación binaria. Por otro lado, una relación binaria definida en un conjunto finito también puede representarse geométricamente por medio de un grafo dirigido. En el capítulo 10 se analizan las propiedades de los grafos dirigidos, y en particular se presenta un método más eficiente para calcular la cerradura transitiva de una relación binaria: el algoritmo de Warshall. 6.8 Problemas Matrices 6.1 Sean 2 3⎞ ⎛1 A=⎜ ⎝ 0 − 1 4 ⎟⎠ ⎛ 3 0 1⎞ y B=⎜ ⎝ −2 1 5 ⎟⎠ Calcular 3A, A + B y 2A − B. 6.2 Usando el simulador OPERACIONES CON MATRICES resolver el problema 6.1. 6.3 Sean ⎛ 2 4⎞ A = ⎜ 1 0⎟ ⎜ ⎟ ⎝ −3 1 ⎠ ⎛ 3 2⎞ y B = ⎜2 1⎟ ⎜ ⎟ ⎝ 1 − 1⎠ Calcular 2A, A + B y A − 3B. ALFAOMEGA capitulo 6.indd 260 MATEMÁTICAS DISCRETAS – RAMÓN ESPINOSA ARMENTA 12/30/09 12:51:02 PM 6.8 PROBLEMAS 261 6.4 Usando el simulador OPERACIONES CON MATRICES resolver el problema 6.3. 6.5 Sean ⎛ 4 0⎞ A = ⎜ 2 1⎟ ⎜ ⎟ ⎝ −1 3 ⎠ ⎛ 5 2 3⎞ y B=⎜ ⎝ −1 4 1⎟⎠ Calcular AB, BA y At Bt. 6.6 Usando el simulador OPERACIONES CON MATRICES resolver el problema 6.5. 6.7 Sean ⎛ 1 4 − 2⎞ A=⎜ 3 ⎟⎠ ⎝ −1 0 1⎞ ⎛2 ⎜ y B= 1 0⎟ ⎜ ⎟ ⎝ 3 −1⎠ Calcular AB, BA y Bt At. 6.8 Usando el simulador OPERACIONES CON MATRICES resolver el problema 6.7. MATEMÁTICAS DISCRETAS – RAMÓN ESPINOSA ARMENTA capitulo 6.indd 261 ALFAOMEGA 12/30/09 12:51:03 PM 262 VI. 6.9 MATRICES Sea ⎛ 1 0⎞ A=⎜ ⎝ 2 3 ⎟⎠ Calcular A2, A3, A−1 y A−2. 6.10 Usando el simulador OPERACIONES CON MATRICES resolver el problema 6.9. 6.11 Sea ⎛ 2 3⎞ A=⎜ ⎝ −1 1⎟⎠ Calcular A2, A3, A−1 y A−2. 6.12 Usando el simulador OPERACIONES CON MATRICES resolver el problema 6.11. 6.13 Demostrar que para cualquier valor de q la matriz ⎛ cos θ − senθ ⎞ ⎜⎝ − senθ cos θ ⎟⎠ es invertible y obtener su inversa. 6.14 Sea A ∈ Mm×n(K). Demostrar que a) (At)t = A. b) (lA)t = lAt. 6.15 Sean A, B ∈ Mm×n(K). Demostrar que (A + B)t = At + Bt. ALFAOMEGA capitulo 6.indd 262 MATEMÁTICAS DISCRETAS – RAMÓN ESPINOSA ARMENTA 12/30/09 12:51:04 PM 6.8 PROBLEMAS 263 6.16 Sean A, B ∈ Mn(K). Demostrar que si A y B son matrices diagonales, entonces AB es una matriz diagonal. 6.17 Una matriz A ∈ Mn(K) se dice que es una matriz nilpotente si Ak = O, para algún entero k ≥ 1. Mostrar que las siguientes matrices son nilpotentes: ⎛0 1⎞ a) ⎜ ⎝ 0 0 ⎟⎠ ⎛ 0 1 2⎞ b) ⎜ 0 0 3 ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ 0 0 0⎠ 6.18 Sea A ∈ Mn(K). Demostrar que AnAm = An+m, para cualesquiera n, m ∈ . 6.19 Sea A ∈ Mn(K). Demostrar que (An)m = Anm, para cualesquiera n, m ∈ . 6.20 Una matriz A ∈ Mn(K) se dice que es una matriz de probabilidad si aij ≥ 0 para toda i, j = 1, …, n, y n ∑a = 1 ij j =1 para toda i = 1, …, n. Demostrar que si A y B son matrices de probabilidad, entonces AB es una matriz de probabilidad. Sistemas de ecuaciones lineales 6.21 Supóngase que la matriz aumentada de un sistema de ecuaciones lineales se ha llevado, mediante operaciones en los renglones, a la forma escalonada reducida: ⎛1 0 2 | 3⎞ ⎜ 0 1 4 | 1⎟ ⎜ ⎟ ⎜⎝ 0 0 0 | 0 ⎟⎠ Resuélvase el sistema. 6.22 Usando el simulador OPERACIONES CON MATRICES resolver el problema 6.21. MATEMÁTICAS DISCRETAS – RAMÓN ESPINOSA ARMENTA capitulo 6.indd 263 ALFAOMEGA 12/30/09 12:51:06 PM 264 VI. MATRICES 6.23 Supóngase que la matriz aumentada de un sistema de ecuaciones lineales se ha llevado, mediante operaciones en los renglones, a la forma escalonada reducida: 3 | 5⎞ ⎛1 2 0 ⎜0 0 1 −1 | 3⎟ ⎜ ⎟ ⎜⎝ 0 0 0 0 | 0 ⎟⎠ Resuélvase el sistema. 6.24 Usando el simulador OPERACIONES CON MATRICES resolver el problema 6.23. 6.25 Aplíquese el método de Gauss-Jordan para resolver el siguiente sistema de ecuaciones lineales: 3x1 + 2x2 − x3 = −1 2x1 − x2 + 3x3 = 20 x1 + 3x2 + 2x3 = 9 6.26 Usando el simulador OPERACIONES CON MATRICES resolver el problema 6.25. 6.27 Aplíquese el método de Gauss-Jordan para resolver el sistema de ecuaciones lineales: 4x1 + x2 + 3x3 = 7 x1 + 3x2 − 2x3 = 10 2x1 − x2 + x3 = 3 ALFAOMEGA capitulo 6.indd 264 MATEMÁTICAS DISCRETAS – RAMÓN ESPINOSA ARMENTA 12/30/09 12:51:07 PM 6.8 PROBLEMAS 265 6.28 Usando el simulador OPERACIONES CON MATRICES resolver el problema 6.27. 6.29 Aplíquese el método de Gauss-Jordan para resolver el sistema de ecuaciones lineales: 4x1 + 2x2 − x3 = 6 2x1 − 3x2 + 4x3 = 7 6.30 Usando el simulador OPERACIONES CON MATRICES resolver el problema 6.29. 6.31 Aplíquese el método de Gauss-Jordan para resolver el sistema de ecuaciones lineales: 2x1 − x2 + x3 + 3x4 = 5 3x1 + 2x2 − 3x3 + 2x4 = 6 6.32 Usando el simulador OPERACIONES CON MATRICES resolver el problema 6.31. 6.33 Aplíquese el método de Gauss-Jordan para resolver el sistema de ecuaciones lineales: 3x1 + 5x2 + x3 = 4 2x1 + x2 + 3x3 = 1 5x1 + 11x2 − x3 = 2 MATEMÁTICAS DISCRETAS – RAMÓN ESPINOSA ARMENTA capitulo 6.indd 265 ALFAOMEGA 12/30/09 12:51:08 PM 266 VI. MATRICES 6.34 Usando el simulador OPERACIONES CON MATRICES resolver el problema 6.33. 6.35 Aplíquese el método de Gauss-Jordan para resolver el sistema de ecuaciones lineales: 2x1 + 3x2 + 7x3 = 3 x1 + 2x2 + 4x3 = 5 −x1 −2x3 = 1 6.36 Usando el simulador OPERACIONES CON MATRICES resolver el problema 6.35. Cálculo de inversas 6.37 Determinar si la matriz 1 0⎞ ⎛3 ⎜ A = 1 − 2 1⎟ ⎜ ⎟ 4 2⎠ ⎝0 es invertible, y en caso afirmativo calcular A−1. 6.38 Usando el simulador OPERACIONES CON MATRICES resolver el problema 6.37. ALFAOMEGA capitulo 6.indd 266 MATEMÁTICAS DISCRETAS – RAMÓN ESPINOSA ARMENTA 12/30/09 12:51:09 PM 6.8 PROBLEMAS 267 6.39 Determinar si la matriz ⎛ 4 1 − 1⎞ A = ⎜3 2 0⎟ ⎜ ⎟ ⎝1 − 1 − 1⎠ es invertible, y en caso afirmativo calcular A−1. 6.40 Usando el simulador OPERACIONES CON MATRICES resolver el problema 6.39. 6.41 Determinar si la matriz ⎛ 4 0 0⎞ A = ⎜ 2 3 0⎟ ⎜ ⎟ ⎝ 1 4 3⎠ es invertible, y en caso afirmativo calcular A−1. 6.42 Usando el simulador OPERACIONES CON MATRICES resolver el problema 6.41. 6.43 Determinar si la matriz ⎛2 1 2⎞ A = ⎜0 1 3⎟ ⎜ ⎟ ⎝ 0 0 4⎠ es invertible, y en caso afirmativo calcular A−1. MATEMÁTICAS DISCRETAS – RAMÓN ESPINOSA ARMENTA capitulo 6.indd 267 ALFAOMEGA 12/30/09 12:51:11 PM 268 VI. MATRICES 6.44 Usando el simulador OPERACIONES CON MATRICES resolver el problema 6.43. 6.45 Determinar si la matriz ⎛3 ⎜0 A=⎜ ⎜0 ⎜0 ⎝ 0 2 0 0 0 0 1 0 0⎞ 0⎟ ⎟ 0⎟ 2 ⎟⎠ es invertible, y en caso afirmativo calcular A−1. 6.46 Usando el simulador OPERACIONES CON MATRICES resolver el problema 6.45. 6.47 Determina si la matriz ⎛2 ⎜1 A=⎜ ⎜0 ⎜0 ⎝ 0 2 1 0 0 0 2 1 0⎞ 0⎟ ⎟ 0⎟ 2 ⎟⎠ es invertible, y en caso afirmativo calcular A−1. 6.48 Usando el simulador OPERACIONES CON MATRICES resolver el problema 6.47. ALFAOMEGA capitulo 6.indd 268 MATEMÁTICAS DISCRETAS – RAMÓN ESPINOSA ARMENTA 12/30/09 12:51:12 PM 6.8 PROBLEMAS 269 6.49 Mostrar que la matriz ⎛ 2 3⎞ A=⎜ ⎝ 1 2 ⎟⎠ es invertible, y expresarla como producto de matrices elementales. 6.50 Mostrar que la matriz ⎛ 4 0 0⎞ A = ⎜ 2 3 0⎟ ⎜ ⎟ ⎝ 1 4 3⎠ es invertible, y expresarla como producto de matrices elementales. 6.51 Sea A ∈ Mm×n(K) y supóngase que B se obtiene a partir de A mediante una sola operación elemental de renglón. Sea E la matriz elemental de orden m correspondiente a esa operación elemental. Demostrar que B = EA. 6.52 Demostrar que si E ∈ M n (K) es una matriz elemental, entonces (Et )−1 = (E−1)t. 6.53 Sean A, B ∈ Mn(K), tales que AB = In. Demostrar que B = A−1. La matriz de una relación 6.54 Sean R y S las relaciones de A en B definidas por las matrices booleanas: ⎛ 1 1 0 0 1 0⎞ ⎛ 0 1 1 0 1 1⎞ ⎜ ⎟ M R = 0 1 1 0 0 1 , M S = ⎜ 1 0 1 1 1 1⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ 1 0 0 1 1 0⎠ ⎝ 0 1 0 0 1 0⎠ Calcular MR∪S y MR∩S. MATEMÁTICAS DISCRETAS – RAMÓN ESPINOSA ARMENTA capitulo 6.indd 269 ALFAOMEGA 12/30/09 12:51:14 PM 270 VI. MATRICES 6.55 Sea R la relación binaria definida por la matriz: ⎛0 ⎜1 MR = ⎜ ⎜0 ⎜1 ⎝ 1 1 0 1 1 0 1 0 0⎞ 1⎟ ⎟ 1⎟ 0 ⎟⎠ Calcular MR−1. 6.56 Determinar la cerradura reflexiva y la cerradura simétrica de la relación descrita en el problema anterior. 6.57 Sean R y S las relaciones de A en B definidas por las matrices booleanas: ⎛1 ⎜1 MR = ⎜ ⎜0 ⎜1 ⎝ 0 1 0 0 1⎞ 0⎟ ⎟ 1⎟ 0 ⎟⎠ ⎛ 0 1 0 1⎞ M S = ⎜ 1 0 1 0⎟ ⎜ ⎟ ⎝ 1 1 0 1⎠ Calcular MRS. 6.58 Sea R la relación binaria definida por la matriz: ⎛1 ⎜0 MR = ⎜ ⎜0 ⎜1 ⎝ 1 0 0⎞ 1 1 0⎟ ⎟ 0 0 1⎟ 0 0 1 ⎟⎠ Calcular MR2, MR3 y MR4. 6.59 Determinar la cerradura transitiva de la relación descrita en el problema anterior. 6.60 Sea R una relación binaria definida en un conjunto A. Demostrar que R es transitiva si y sólo si R2 ⊆ R. ALFAOMEGA capitulo 6.indd 270 MATEMÁTICAS DISCRETAS – RAMÓN ESPINOSA ARMENTA 12/30/09 12:51:14 PM 6.8 PROBLEMAS 271 Determinantes 6.61 A partir de lo expuesto en la lectura adicional DETERMINANTES calcular el determinante de la matriz ⎛ 3 1 − 2⎞ ⎜ 4 2 − 1⎟ ⎜ ⎟ 5⎠ ⎝2 1 aplicando la definición de determinante. 6.62 A partir de lo expuesto en la lectura adicional DETERMINANTES obtener el valor de 7 1 3 −1 4 1 −5 2 0 0 0 0 3 2 4 6 sin hacer cálculos. MATEMÁTICAS DISCRETAS – RAMÓN ESPINOSA ARMENTA capitulo 6.indd 271 ALFAOMEGA 12/30/09 12:51:14 PM 272 VI. MATRICES 6.63 A partir de lo expuesto en la lectura adicional DETERMINANTES calcular el determinante de la matriz 3 9⎞ ⎛6 ⎜ 4 − 1 3⎟ ⎜ ⎟ 2 3⎠ ⎝1 reduciendo la matriz a la forma triangular superior. 6.64 A partir de lo expuesto en la lectura adicional DETERMINANTES considérese A ∈ Mn(K) y sea l ∈ K. Demostrar que det(lA) = lndet(A). 6.65 A partir de lo expuesto en la lectura adicional DETERMINANTES demostrar que det(In) = 1. Propiedades de los determinantes 6.66 A partir de lo expuesto en la lectura adicional DETERMINANTES demostrar que si E es una matriz elemental, entonces det(E) = det(Et ). ALFAOMEGA capitulo 6.indd 272 MATEMÁTICAS DISCRETAS – RAMÓN ESPINOSA ARMENTA 12/30/09 12:51:17 PM 6.8 PROBLEMAS 273 6.67 Una matriz A se dice que es una matriz antisimétrica si At = −A. A partir de lo expuesto en la lectura adicional DETERMINANTES demostrar que si A ∈ Mn(K) es antisimétrica, entonces det(A) = (−1)n det(A). 6.68 A partir de lo expuesto en la lectura adicional DETERMINANTES demostrar que si A ∈ Mn(K) es antisimétrica y n es impar, entonces det(A) = 0. 6.69 Una matriz A se dice que es una matriz ortogonal si A es invertible y A−1 = At. A partir de lo expuesto en la lectura adicional DETERMINANTES demostrar que si A es ortogonal, entonces det(A) = ±1. MATEMÁTICAS DISCRETAS – RAMÓN ESPINOSA ARMENTA capitulo 6.indd 273 ALFAOMEGA 12/30/09 12:51:20 PM 274 VI. MATRICES 6.70 El determinante de Vandermonde de n × n se define como a1 a2 1 an Vn = a a22 an2 1 1 2 1 a n1−1 a n2−1 a nn−1 A partir de lo expuesto en la lectura adicional DETERMINANTES demostrar que n Vn = ∏ (a j − ai ) i =1 j >i ALFAOMEGA capitulo 6.indd 274 MATEMÁTICAS DISCRETAS – RAMÓN ESPINOSA ARMENTA 12/30/09 12:51:22 PM 6.9 6.9 CONTENIDO INTERACTIVO 275 Contenido interactivo El material marcado con asterisco (*) sólo está disponible para docentes. Mapa conceptual Simulador • Operaciones con matrices Lecturas adicionales • MATLAB y matrices • Determinantes Respuesta y desarrollo de problemas seleccionados *Presentaciones *Respuesta y desarrollo de problemas Glosario MATEMÁTICAS DISCRETAS – RAMÓN ESPINOSA ARMENTA capitulo 6.indd 275 ALFAOMEGA 12/30/09 12:51:24 PM CAPÍTULO VII (x1, x2) a (0, 0) (1, 0) (0, 1) (1, 1) b t s Álgebras booleanas c a 7.1 7.2 7.3 7.4 7.5 7.6* 7.7 7.8* 7.9 7.10 7.11 ∨ 0 1 ∧ 0 1 0 0 1 0 0 0 1 1 1 1 0 1 Introducción ¿Qué es un álgebra booleana? Propiedades de las álgebras booleanas Orden en álgebras booleanas Expresiones y funciones booleanas SimpliÀcación de expresiones booleanas Aplicación: circuitos lógicos Compuertas lógicas Resumen Problemas Contenido interactivo *Ver Plataforma de contenidos interactivos. capitulo 7.indd 276 12/30/09 12:51:54 PM f0 f1 f2 f3 f4 f5 f6 f7 f8 f9 f10 f11 f12 f13 f14 f15 La matemática es el arte de dar el mismo nombre a cosas distintas. 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 0 1 Henri Poincaré x1 x2 xn 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 1 x1 ∨ x2 ∨ … ∨ xn … xn 1 1 1 0 … x1 x2 0 0 1 1 x1 ∧ x2 ∧ … ∧ xn 1 1 1 1 Objetivos • • • • • capitulo 7.indd 277 Explicar qué es un álgebra booleana y dar ejemplos de álgebras booleanas. Probar las propiedades básicas de las álgebras booleanas. Mostrar cómo deÀnir un orden parcial en un álgebra booleana. Discutir la relación entre expresiones y funciones booleanas. Aplicar las propiedades de las álgebras booleanas para simpliÀcar y diseñar circuitos lógicos. 12/30/09 12:51:59 PM 278 George Boole F (1815-1864) ue un matemático británico que es considerado como uno de los fundadores de las ciencias de la computación debido a su creación del álgebra booleana, la cual es la base de la aritmética computacional moderna. Con una formación autodidacta, Boole fue profesor a la edad de 16 años y a partir de 1835 comenzó a aprender matemáticas por sí mismo. En este periodo VII. ÁLGEBRAS BOOLEANAS 7.1 Introducción La lógica simbólica y el álgebra de conjuntos son parte de una estructura más general, llamada álgebra booleana. En este capítulo se expone qué es un álgebra booleana, se presentan ejemplos de álgebras booleanas y se demuestran las propiedades más importantes de éstas, se plantea cómo definir un orden parcial en un álgebra booleana, se caracterizan las álgebras booleanas finitas, se presenta la relación entre expresiones y funciones booleanas y la forma normal disyuntiva de funciones booleanas. Por último se explica cómo utilizar los conceptos y resultados de álgebras booleanas en el diseño y análisis de circuitos lógicos. Es importante señalar que para estudiar este capítulo es necesario haber estudiado el capítulo 3, incluyendo la sección acerca de relaciones de orden. También es recomendable haber visto la sección de operaciones binarias del capítulo 4. 7.2 ¿Qué es un álgebra booleana? Un álgebra booleana es un conjunto B, con dos operaciones binarias ∨ y ∧, una operación unaria ′ y dos elementos distintos 0 y 1 que satisfacen las siguientes propiedades para cualesquiera a, b, c en B: (B1) Leyes asociativas estudió los trabajos de Laplace y Lagrange, comenzó a estudiar álgebra y en el Transaction of the Royal Society publicó Aplicación de métodos algebraicos para la solución de ecuaciones diferenciales, trabajo por el cual recibió la medalla de la Real Sociedad. En 1849 Boole ocupó una cátedra de matemáticas en el Queens College, y permaneció en este puesto por el resto de su vida. En 1854 publicó An Investigation of the Laws of Thought, obra en la que plantea la lógica en términos de un álgebra simple que se conoce como álgebra booleana y que se aplica en la ciencia de la computación y en el análisis de circuitos. Otras áreas de interés de Boole fueron las ecuaciones diferenciales en relación con las cuales escribió Tratado en ecuaciones diferenciales que publicó en 1859, el cálculo de las diferencias finitas que expuso en Tratado sobre el cálculo de las diferencias finitas publicado en 1860, y los métodos generales en probabilidad. ALFAOMEGA capitulo 7.indd 278 a ∨ (b ∨ c) = (a ∨ b) ∨ c a ∧ (b ∧ c) = (a ∧ b) ∧ c (B2) Leyes conmutativas a∨b=b∨a a∧b=b∧a (B3) Leyes distributivas a ∨ (b ∧ c) = (a ∨ b) ∧ (a ∨ c) a ∧ (b ∨ c) = (a ∧ b) ∨ (a ∧ c) (B4) Leyes de identidad a∨0=a a∧1=a (B5) Leyes de complementos a ∨ a′ = 1 a ∧ a′ = 0 MATEMÁTICAS DISCRETAS – RAMÓN ESPINOSA ARMENTA 12/30/09 12:52:01 PM 7.2 ¿QUÉ ES UN ÁLGEBRA BOOLEANA? 279 Las operaciones ∨, ∧ y ′ son llamadas unión, intersección y complemento respectivamente. También se dice que 0 es el elemento cero y 1 es elemento unidad, respectivamente. Ejemplo 7.1 Sea B = {0, 1} con las operaciones ∨ y ∧ definidas por las tablas ∨ 0 1 ∧ 0 1 0 0 1 0 0 0 1 1 1 1 0 1 y con la operación ′ definida por 0′ = 1 y 1′ = 0. Se deja al lector verificar que B es un álgebra booleana. Ejemplo 7.2 (Álgebra de conjuntos) Sea X un conjunto no vacío y sea B = ℘(X). Se define S∨T=S∪T S∧T=S∩T S′ = Sc. Si se escribe 0 = ∅ y 1 = X entonces B es un álgebra booleana. Ejemplo 7.3 (Álgebra de proposiciones). Sea A el conjunto de todas las proposiciones y sea R la relación binaria definida en A por pRq si y sólo si p y q son lógicamente equivalentes. Es claro que R es una relación de equivalencia en A. Sea B el conjunto de clases de equivalencia inducidas por R y defínanse las siguientes operaciones en B: [p] ∨ [q] = [p ∨ q] [p] ∧ [q] = [p ∧ q] [p]′ = [¬p] Si además se identifica el 1 con la clase de equivalencia de las tautologías y el 0 con la clase de equivalencia de las contradicciones, entonces B es un álgebra booleana. MATEMÁTICAS DISCRETAS – RAMÓN ESPINOSA ARMENTA capitulo 7.indd 279 ALFAOMEGA 12/30/09 12:52:02 PM 280 VII. 7.3 ÁLGEBRAS BOOLEANAS Propiedades de las álgebras booleanas El dual de una proposición en un álgebra booleana B es la proposición obtenida intercambiando las operaciones ∨ y ∧, e intercambiando los elementos 0 y 1 en la proposición original. Por la simetría en los axiomas de un álgebra booleana B, cualquier proposición en B es verdadera si y sólo si su dual lo es. Esta observación es conocida como principio de dualidad. A continuación se presentan algunas propiedades adicionales de las álgebras booleanas. Teorema 7.1 (Leyes de idempotencia). entonces para cualquier a ∈ B: Sea B un álgebra booleana, a∨a=a a∧a=a Demostración a ∧ a = (a ∧ a) ∨ 0 = (a ∧ a) ∨ (a ∧ a′) = a ∧ (a ∨ a′) =a∧1 = a. y por dualidad, a ∨ a = a. Teorema 7.2 (Leyes de acotación). ces para cualquier a ∈ B: Sea B un álgebra booleana, enton- a ∨ 1 = 1. a ∧ 0 = 0. Demostración a ∧ 0 = a ∧ (a ∧ a′) = (a ∧ a) ∧ a′ = a ∧ a′ =0 y por dualidad, a ∨ 1 = 1. ALFAOMEGA capitulo 7.indd 280 MATEMÁTICAS DISCRETAS – RAMÓN ESPINOSA ARMENTA 12/30/09 12:52:02 PM 7.3 PROPIEDADES DE LAS ÁLGEBRAS BOOLEANAS 281 Teorema 7.3 (Leyes de absorción). Sea B un álgebra booleana, entonces para cualesquiera a, b ∈ B se cumplen a ∨ (a ∧ b) = a a ∧ (a ∨ b) = a Demostración a ∨ (a ∧ b) = a ∧ 1 ∨ a ∧ b = [a ∧ (b ∨ b′)] ∨ a ∧ b = [a ∧ b ∨ a ∧ b′] ∨ a ∧ b = [a ∧ b ∨ a ∧ b] ∨ a ∧ b′ = a ∧ b ∨ a ∧ b′ = a ∧ (b ∨ b′) =a∧1 = a. Además, por el principio de dualidad, a ∧ (a ∨ b) = a. Teorema 7.4 (Unicidad del complemento). Sea B un álgebra booleana y sea a ∈ B. Si a ∨ x = 1 y a ∧ x = 0 entonces x = a′. Demostración Se tiene que a′ = a′ ∨ (a ∧ x) = (a′ ∨ a) ∧ (a′ ∨ x) = 1 ∧ (a′ ∨ x) = a′ ∨ x. Por otra parte, x=x∨0 = x ∨ (a ∧ a′) = (x ∨ a) ∧ (x ∨ a′) = 1 ∧ (x ∨ a′) = x ∨ a′. Por lo tanto, por conmutatividad, x = x ∨ a′ = a′ ∨ x = a′. MATEMÁTICAS DISCRETAS – RAMÓN ESPINOSA ARMENTA capitulo 7.indd 281 ALFAOMEGA 12/30/09 12:52:03 PM 282 VII. ÁLGEBRAS BOOLEANAS Teorema 7.5 (Involución). cualquier a ∈ B, (a′)′ = a. Sea B un álgebra booleana, entonces para Demostración Por definición a ∨ a′ = 1 y a ∧ a′ = 0, de modo que, por conmutatividad, a′ ∨ a = 1 y a′ ∧ a = 0. Por lo que, por la unicidad del complemento (a′)′ = a. Teorema 7.6 (Leyes de De Morgan) (a ∨ b)′ = a′ ∧ b′ (a ∧ b)′ = a′ ∨ b′. Demostración Se demuestra que (a ∨ b) ∨ (a′ ∧ b′) = 1 y que (a ∨ b) ∧ (a′ ∧ b′) = 0, por lo que, por la unicidad del complemento, (a ∨ b)′ = a′ ∧ b′. En primer lugar, (a ∨ b) ∨ (a′ ∧ b′) = [(a ∨ b) ∨ a′] ∧ [(a ∨ b) ∨ b′] = [(a ∨ a′) ∨ b] ∧ [a ∨ (b ∨ b′)] = (1 ∨ b) ∧ (a ∨ 1) = 1 ∧ 1 = 1. Por otra parte, (a ∨ b) ∧ (a′ ∧ b′) = [(a ∨ b) ∧ a′] ∧ [(a ∨ b) ∧ b′] = [(a ∧ a′) ∨ (b ∧ a′)] ∧ [(a ∧ b′) ∨ (b ∧ b′)] = [0 ∨ (b ∧ a′)] ∧ [(a ∧ b′) ∨ 0] = (b ∧ a′) ∧ (a ∧ b′) = (b ∧ b′) ∧ (a′ ∧ a) = 0 ∧ 0 = 0. Con lo cual se concluye que (a ∨ b)′ = a′ ∧ b′, por lo que por el principio de dualidad se tiene que (a ∧ b)′ = a′ ∨ b′ 7.4 Orden en álgebras booleanas En toda álgebra booleana es posible definir un orden parcial, de acuerdo a como se plantea en el siguiente teorema. ALFAOMEGA capitulo 7.indd 282 MATEMÁTICAS DISCRETAS – RAMÓN ESPINOSA ARMENTA 12/30/09 12:52:03 PM 7.4 Teorema 7.7 nida en B por ORDEN EN ÁLGEBRAS BOOLEANAS 283 Sea B un álgebra booleana y sea la relación binaria defi- ab ⇔ a∧b=a Entonces es un orden parcial en B. Demostración tanto a a. Reflexividad: a ∨ a = a por la ley de idempotencia. Por lo Antisimetría: supóngase que a b y b a. Por lo tanto a ∧ b = a y b ∧ a = b. De aquí que, por conmutatividad, a = a ∧ b = b ∧ a = b. Transitividad: supóngase que a b y b c, es decir, a ∧ b = a y b ∧ c = b. Por lo tanto, a ∧ c = (a ∧ b) ∧ c = a ∧ (b ∧ c) =a∧b =a por hipótesis por asociatividad por hipótesis por hipótesis. Y por lo tanto a c. Teorema 7.8 Sea B un álgebra booleana, y sea A = {a1, a2 …, an} un subconjunto finito no vacío de B. Entonces a1 ∨ a2 ∨ … ∨ an es la mínima cota superior de A y a1 ∧ a2 ∧ … ∧ an es la máxima cota inferior de A. Demostración Sea a = a1 ∨ a2 ∨ … ∨ = an. Para mostrar que a es una cota superior de A, tenemos que probar que ai ∧ b = ai para toda i = 1, …, n. Por el axioma de conmutatividad podemos suponer, sin pérdida de generalidad, que ai = a1. a1 ∧ a = a1 ∧ (a1 ∨ a2 ∨ … ∨ an) = (a1 ∧ a1) ∨ (a1 ∧ (a2 ∨ … ∨ an)) = a1 ∨ (a1 ∧ (a2 ∨ … ∨ an)) = a1 por definición por distributividad por idempotencia por absorción. Sea b otra cota superior de A. Para mostrar que a es la mínima cota superior de A, debemos probar que a ∧ b = a. a ∧ b = (a1 ∨ a2 ∨ … ∨ an) ∧ b = (a1 ∧ b) ∨ … ∨ (an ∧ b) = a1 ∨ … ∨ an =a por definición de a por distributividad porque b es cota superior por definición de a. La demostración de que a1 ∧ a2 ∧ … ∧ an es la máxima cota inferior de A es similar. MATEMÁTICAS DISCRETAS – RAMÓN ESPINOSA ARMENTA capitulo 7.indd 283 ALFAOMEGA 12/30/09 12:52:04 PM 284 VII. ÁLGEBRAS BOOLEANAS Corolario 7.1 Toda álgebra booleana es un retículo. Hay que recordar que si (L, ) es un retículo, entonces las operaciones ∨ y ∧ definidas como a ∨ b = mínima cota superior de {a, b}, a ∧ b = máxima cota inferior de {a, b}, satisfacen las propiedades asociativas y conmutativas. Sin embargo no todo retículo satisface las propiedades distributivas, por lo que el recíproco del corolario anterior es falso. Sea B un álgebra booleana. Un elemento a ∈ B se dice que es un átomo si 0 ≺ a y si no existe x ∈ B tal que 0 ≺ x ≺ a. Ejemplo 7.4 Sea X = {x1, …, xn} y sea B = ℘(X). Un conjunto no vacío A ⊆ X es un átomo de B si y sólo si no tiene subconjuntos propios no vacíos, por lo que claramente A debe tener exactamente un elemento. Por lo tanto los átomos de B son los conjuntos {x1}, …, {xn}. Lema 7.1 Sea B un álgebra booleana y sea A el conjunto de átomos de B. Si b ∈ B es tal que b ∧ a = 0 para todo a ∈ A, entonces b = 0. Demostración Supóngase que existe b ∈ B, b ≠ 0, tal que b ∧ a = 0 para todo a ∈ A. Sea a ∈ A tal que a b, por lo tanto a ∧ b = a ≠ 0, lo cual es una contradicción. Teorema 7.9 Sea B un álgebra booleana finita, entonces cada a ∈ B, a ≠ 0, puede escribirse en la forma a = a1 ∨ … ∨ ak donde a1, …, ak son átomos distintos. Además, esta representación es única excepto por el orden en que aparecen los átomos. ALFAOMEGA capitulo 7.indd 284 MATEMÁTICAS DISCRETAS – RAMÓN ESPINOSA ARMENTA 12/30/09 12:52:05 PM 7.4 ORDEN EN ÁLGEBRAS BOOLEANAS 285 Demostración Sea X el conjunto de átomos de B y sea S = {x ∈ X | x a}. Como S es finito (pues B lo es), se puede escribir S = {a1, …, ak}. Sea c = a1 ∨ … ∨ ak. Como ai ∨ a = a, para toda i = 1, …, k, se sigue que c ∨ a = a, es decir, c a. Por otra parte, a = a ∧ 1 = a ∧ (c ∨ c′) = (a ∧ c) ∨ (a ∧ c′) Hay que demostrar que a ∧ c′ = 0. Para esto primero se observa que ai c, para toda i = 1, …, k, por lo tanto ai ∧ c = ai, y de aquí que 0 = ai ∧ 0 = ai ∧ (c ∧ c′) = (ai ∧ c) ∧ c′ = ai ∧ c′ Por lo tanto, (a ∨ c′) ∧ ai = 0 ∀ ai ∈ S Por otra parte, si x ∈ X − S y si a ∧ x ≠ 0, entonces 0≺a∧xa<x lo cual no es posible, porque x es un átomo. Por lo tanto a ∧ x = 0, y de aquí que (a ∨ c′) ∧ x = 0 para toda x ∈ X − S. Se ha demostrado que (a ∧ c′) ∧ x = 0 ∀x∈X por lo que por el lema 7.1, a ∧ c′ = 0. Por lo tanto a = a ∧ c, es decir, a c, por lo que, por antisimetría, a = c, lo cual significa que a = a1 ∨ … ∨ ak Para probar la unicidad supóngase que a = b1 ∨ … ∨ bs, donde b1, …, bs son átomos distintos. Por el teorema 7.8, para toda j = 1, …, s, bj a. De aquí que, para cada bj existe ai tal que bj = ai. Recíprocamente, para cada i = 1, …, k, ai a. Por lo tanto ai = ai ∧ a = ai ∧ (b1 ∨ … ∨ bs) = (ai ∧ b1) ∨ … ∨ (ai ∧ bs) Como ai ≠ 0, se tiene que ai ∧ bj ≠ 0 para alguna j. Por lo tanto ai ∧ bj = ai = bj ya que ambos son átomos. Esto muestra que las dos representaciones son idénticas. MATEMÁTICAS DISCRETAS – RAMÓN ESPINOSA ARMENTA capitulo 7.indd 285 ALFAOMEGA 12/30/09 12:52:05 PM 286 VII. ÁLGEBRAS BOOLEANAS Ejemplo 7.5 Si B = ℘(S), donde S es un conjunto finito, y A = {a1, …, ak}, es un elemento de B, entonces A = {a1} ∪ … ∪ {ak} Sean B1 y B2 dos álgebras booleanas. Una función biyectiva f : B1 → B2 se dice que es un isomorÀsmo si para cualesquiera a, b ∈ B1 se cumplen las siguientes propiedades: f (a ∨ b) = f (a) ∨ f (b); f (a ∧ b) = f (a) ∧ f (b); f (a′) = [ f (a)]′. (i) (ii) (iii) Dos álgebras booleanas isomorfas son esencialmente iguales, como lo muestra el siguiente ejemplo. Ejemplo 7.6 Sean B1 = ℘({a, b, c}) y B2 = ℘({1, 2, 3}). Se puede ver fácilmente que la función f : B1 → B2 definida por: f (∅) = ∅, f (a) = {1}, f ({a, c}) = {1, 3}, f (b) = {2}, f (c) = {3}, f ({b, c}) = {2, 3}, f ({a, b}) = {1, 2} f ({a, b, c}) = {1, 2, 3}, es un isomorfismo de B1 en B2. En el siguiente teorema se muestra que cualquier álgebra booleana finita es isomorfa a un álgebra de conjuntos. Teorema 7.10 Sea B un álgebra booleana finita. Entonces existe un conjunto X tal que B es isomorfa a ℘(X). Demostración Sea X el conjunto de átomos de B y sea f : B → ℘(X) definida por f (b) = {x ∈ X | x b} Para ver que esta función es suprayectiva primero se observa que f (0) = ∅, por otra parte, si {a1, …, ak} es un subconjunto no vacío de X y b = a1 ∨ … ∨ ak ALFAOMEGA capitulo 7.indd 286 MATEMÁTICAS DISCRETAS – RAMÓN ESPINOSA ARMENTA 12/30/09 12:52:06 PM 7.5 EXPRESIONES Y FUNCIONES BOOLEANAS 287 entonces f (b) = {a1, …, ak}, además por el teorema 7.9 esta representación es única, por lo que f también es inyectiva. Por otra parte x ∈ f (a ∧ b) ⇔ x a ∧ b ⇔ x a y x b ⇔ x ∈ f (a) ∩ f (b) por lo que f (a ∧ b) = f (a) ∩ f (b). Análogamente se prueba que f (a ∨ b) = f (a) ∪ f (b). Por último, por lo que se acaba de demostrar, ∅ = f (0) = f (a ∧ a′) = f (a) ∩ f (a′) y también X = f (1) = f (a ∨ a′) = f (a) ∪ f (a′) por lo que f (a′) = f (a)c, con lo cual se concluye que f es un isomorfismo de B en ℘(X). 7.5 Expresiones y funciones booleanas Sean x1, …, xn un conjunto de símbolos, llamados variables booleanas. Una expresión booleana en x1, …, xn se deÀne recursivamente como sigue: 1. 0 y 1 son expresiones booleanas. 2. x1, …, xn son expresiones booleanas. 3. Si f y g son expresiones booleanas entonces f ∨ g, f ∧ g y f ′ también lo son. Si f {x1, …, xn} es una expresión booleana y se sustituye cada variable booleana por 0 ó 1, entonces se obtiene una expresión que corresponde a un elemento en el álgebra booleana B = {0, 1}. Por ejemplo, si f {x1, x2, x3} = (x1 ∨ x 2′) ∧ x3 entonces f (1, 0, 1) = (1 ∨ 0′) ∧ 1 = (1 ∨ 1) ∧ 1 = 1 ∧ 1 = 1. De hecho, se puede construir una tabla de valores para una expresión booleana. La tabla correspondiente a la expresión f (x1, x2, x3) = (x1 ∨ x 2′) ∧ x3 es MATEMÁTICAS DISCRETAS – RAMÓN ESPINOSA ARMENTA capitulo 7.indd 287 ALFAOMEGA 12/30/09 12:52:07 PM 288 VII. ÁLGEBRAS BOOLEANAS x1 x2 x3 (x1 ∨ x 2′ ) ∧ x3 1 1 1 0 1 0 0 0 1 1 0 1 0 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 0 1 0 En general, una expresión booleana en n variables x1, …, xn puede verse como una función f : Bn → B que se conoce como función booleana en n variables, además de que el conjunto de estas funciones se denota como Fn. Ejemplo 7.7 te tabla: Hay 16 funciones booleanas en dos variables, dadas por la siguien- (x1, x2) f0 f1 f2 f3 f4 f5 f6 f7 f8 f9 f10 f11 f12 f13 f14 f15 (0, 0) (1, 0) (0, 1) (1, 1) 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 0 1 Teorema 7.11 por 0 0 1 1 1 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 Fn es un álgebra booleana, con las operaciones definidas ( f ∨ g)(x) = f (x) ∨ g(x) ( f ∧ g)(x) = f (x) ∧ g(x) f ′(x) = (f (x))′. Aquí, f, g ∈ Fn y x = (x1, …, xn) ∈ Bn. Demostración Para probar la ley conmutativa para la unión, hay que observar que ( f ∨ g)(x) = f (x) ∨ g(x) = g(x) ∨ f (x) = (g ∨ f )(x) Por lo tanto f ∨ g = g ∨ f. Análogamente, f ∧ g = g ∧ f. Por otro lado, las leyes asociativas y distributivas se prueban de manera similar. ALFAOMEGA capitulo 7.indd 288 MATEMÁTICAS DISCRETAS – RAMÓN ESPINOSA ARMENTA 12/30/09 12:52:08 PM 7.5 EXPRESIONES Y FUNCIONES BOOLEANAS 289 Para probar las leyes de identidad y de complementos, se define 1 : Bn → B como 1 (x) = 1 ∀ x ∈ Bn También se define 0 : Bn → B como 0 (x) = 0 ∀ x ∈ Bn De esta manera, f∨0=f f∧1= f f∧f′=0 f∨f′=1 Por lo tanto Fn es un álgebra booleana. Ejemplo 7.8 Determinar los átomos de F2. Solución Para que una función f ∈ F2 sea un átomo, debe valer 1 en al menos un punto de su dominio. Ahora bien, si una función booleana toma el valor 1 en al menos dos puntos, ésta se podría escribir como unión de funciones que tomaran el valor 1 en exactamente un punto de su dominio. Haciendo referencia a la etiquetación dada en el ejemplo 7.7, se puede ver, por ejemplo, que f6 = f1 ∨ f3. Por esta razón los átomos de F2 tienen que ser las funciones que tomen el valor 1 en exactamente un punto de B2. Estas son f1, f2, f3 y f4. En general, el álgebra Fn tiene 2n átomos, correspondientes a las funciones booleanas que toman el valor 1 en exactamente un punto de su dominio. Como se verá, estas funciones corresponden a un tipo especial de expresiones booleanas. Un término mínimo en n variables es una expresión booleana de la forma x1* ∧ x2* ∧ … ∧ xn* donde x*i = xi o x*i = xi′ . Se observa que x1* ∧ x2* ∧ … ∧ xn* = 1 MATEMÁTICAS DISCRETAS – RAMÓN ESPINOSA ARMENTA capitulo 7.indd 289 ALFAOMEGA 12/30/09 12:52:08 PM 290 VII. ÁLGEBRAS BOOLEANAS si y sólo si xi = 1 x*i = xi si y xi = 0 si x*i = xi′ para cada i = 1, …, n. Es decir, cada término mínimo corresponde a una función booleana que vale 1 en exactamente un elemento de Bn. Como hay 2n términos mínimos, éstos deben corresponder a los átomos de Fn, por lo que, por el teorema 7.9, se cumple el siguiente teorema. Teorema 7.12 (Forma normal disyuntiva). Cada función booleana se puede representar de manera única como unión de términos mínimos. Además esta representación es única, salvo el orden en que aparecen los términos mínimos. Maurice Karnaugh F ísico estadounidense que estudió física y matemáticas en la City College de Nueva York (1948) y que se doctoró en la universidad de Yale en 1952. Karnaugh trabajó como investigador en los Laboratorios Bell de 1952 a 1966, y fue en 1954 cuando desarrolló el concepto conocido como mapa de Karnaugh. Desde 1975 Maurice Karnaugh es miembro del IEEE (Institute of Electrical and Electronics Engineers) por sus aportaciones sobre la utilización de métodos numéricos en las telecomunicaciones. Un mapa de Karnaugh (también conocido como tabla de Karnaugh o diagrama de Veitch, abreviado como K-Mapa o KV-Mapa) es un diagrama utilizado para la minimización de funciones algebraicas booleanas y consiste en una serie de cuadrados, cada uno de los cuales representa una línea de la tabla de verdad. Puesto que la tabla de verdad de una función de N variables posee 2N filas, el mapa K correspondiente debe poseer también 2N cuadrados. Cada cuadrado contiene un 0 ó un 1, dependiendo del valor que toma la función en cada fila. Las tablas de Karnaugh se pueden utilizar para funciones de hasta 6 variables. Ejemplo 7.9 Representar la función booleana f, descrita por la siguiente tabla, como unión de términos mínimos. x1 x2 x3 (x1 ∨ x 2′ ) ∧ x3 1 1 1 0 1 0 0 0 1 1 0 1 0 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 1 0 Solución En cada renglón en donde el valor de la función es 1, se tiene que determinar el término mínimo correspondiente. En este caso, al segundo renglón le corresponde el término x1 ∧ x2 ∧ x3,′ al quinto renglón le corresponde el término x1 ∧ x2′ ∧ x3′ y por último, al séptimo renglón le corresponde el término x1′ ∧ x2′ ∧ x3. Por tanto la representación de f en forma normal disyuntiva es (x1 ∧ x2 ∧ x3′ ) ∨ (x1 ∧ x2′ ∧ x3′ ) ∨ (x1′ ∧ x2′ ∧ x3) 7.6 SimpliÀcación de expresiones booleanas En la lectura adicional SIMPLIFICACIÓN DE EXPRESIONES BOOLEANAS se deÀne el método del mapa de Karnaugh y se muestra la aplicación de éste en la simpliÀcación de expresiones booleanas. ALFAOMEGA capitulo 7.indd 290 MATEMÁTICAS DISCRETAS – RAMÓN ESPINOSA ARMENTA 12/30/09 12:52:09 PM 7.7 7.7 291 APLICACIÓN: CIRCUITOS LÓGICOS Aplicación: circuitos lógicos Un circuito de conmutación es una red eléctrica formada por interruptores, conectados por cable, que pueden estar abiertos o cerrados, y dos terminales s y t. La corriente eléctrica fluye de s a t a través del punto donde está localizado un interruptor si y sólo si éste está cerrado. En la siguiente figura se muestra un circuito conteniendo un solo interruptor a: Claude Shannon E s a t En el circuito de la siguiente figura el circuito está cerrado si y sólo si a o b están cerrados. Esta combinación de interruptores se denota como a ∨ b, además de que se dice que los interruptores a y b están en paralelo: a s t b Por otra parte, dos interruptores a y b se dice que están en serie si están conectados como en la siguiente figura. En este caso el circuito está cerrado si y sólo si a y b están cerrados. Esta combinación de interruptores se denota como a ∧ b: s a b t Circuitos más complicados corresponden a expresiones booleanas más complicadas, por ejemplo, el siguiente circuito b s a t c MATEMÁTICAS DISCRETAS – RAMÓN ESPINOSA ARMENTA capitulo 7.indd 291 (1916-2001) lwood Shannon, ingeniero eléctrico y matemático estadounidense, es considerado como el fundador de la teoría de la información. En 1936 obtuvo los títulos de ingeniero electricista y matemático, y ese mismo año comenzó a desempeñarse como asistente de investigación en el departamento de ingeniería eléctrica en el Instituto de Tecnología de Massachusetts (MIT), en donde trabajó en el computador analógico más avanzado de ese tiempo (Vannevar Bush’s Differential Analyzer). En esta época surgió su interés por los circuitos de relevadores complejos e intentando simplificar sistemas telefónicos de relés se dio cuenta de que éstos podían usarse para hacer cálculos. Combinando esto con su gusto por la lógica y el álgebra booleana pudo desarrollar esta idea durante el verano de 1937, que pasó en los laboratorios Bell en la ciudad de Nueva York. En su tesis de maestría demostró que el álgebra booleana se podía utilizar en el análisis y la síntesis de la conmutación de los circuitos digitales. La tesis despertó mucho interés cuando apareció en 1938 en las publicaciones especializadas, y un cuarto de siglo más tarde H. H. Goldstine la citó en su libro “Las computadoras desde Pascal hasta Von Neumann” y la calificó como una de las aportaciones teóricas fundamentales que ayudó a cambiar el diseño de los circuitos digitales. Shannon pasó quince años en los laboratorios Bell y durante este período trabajó en muchas áreas, siendo lo más notable todo lo referente a la teoría de la información, un desarrollo que fue publicado en 1948 bajo el nombre de “Una Teoría Matemática de la Comunicación”. En este trabajo demostró que todas las fuentes de información (telégrafo eléctrico, teléfono, radio, la gente que habla, las cámaras de televisión, etc.) se pueden medir y que los canales de comunicación tienen una unidad de medida similar. Mostró también que la información se puede transmitir sobre un canal si, y solamente si, la magnitud de la fuente no excede la capacidad de transmisión del canal que la conduce, y sentó las bases para la corrección de errores, supresión de ruidos y redundancia. Continúa... ALFAOMEGA 12/30/09 12:52:11 PM 292 VII. Continuación En el área de las computadoras y de la inteligencia artificial, en 1950 publicó un trabajo que describía la programación de una computadora para jugar al ajedrez, convirtiéndose en la base de posteriores desarrollos. Claude Elwood Shannon falleció el 24 de febrero del año 2001, a la edad de 84 años, después de una larga lucha en contra de la enfermedad de Alzheimer. ÁLGEBRAS BOOLEANAS corresponde a la expresión booleana a ∧ (b ∨ c). Por otro lado, este circuito es equivalente al siguiente a b t s a c en el sentido de que las posiciones que cierran uno son las mismas que cierran el otro. El último circuito corresponde a la expresión (a ∧ b) ∨ (a ∧ c), y hay que observar que en éste hay dos interruptores marcados con la misma letra. Esto significa que ambos están cerrados o ambos están abiertos. La equivalencia de estos circuitos se puede expresar mediante la siguiente igualdad a ∧ (b ∨ c) = (a ∧ b) ∨ (a ∧ c) la cual corresponde a una de las leyes distributivas. Para cada interruptor a se supondrá que hay un interruptor a′ que está abierto si a está cerrado y está cerrado cuando a está abierto. El interruptor a′ es llamado el complemento de a. Se denotará con 0 a un circuito que siempre está abierto y con 1 al que siempre está cerrado. Con estas operaciones el conjunto de circuitos de conmutación es un álgebra booleana, por lo que se pueden utilizar las propiedades de las álgebras booleanas para simplificar circuitos, como se muestra en el siguiente ejemplo. En la actualidad, los interruptores eléctricos, como elementos básicos en el diseño de redes eléctricas, han sido reemplazados por otros dispositivos llamados compuertas lógicas, que corresponden a las operaciones booleanas de unión, intersección y complemento. Los estados de cerrado y abierto corresponden respectivamente a un voltaje alto y a uno bajo, los cuales se representan con los números 1 y 0. Una compuerta OR es un circuito con dos entradas y una salida; si alguna de las entradas es 1, entonces la salida es 1, en otro caso la salida es 0. El símbolo de esta compuerta es el siguiente: x y ALFAOMEGA capitulo 7.indd 292 x∨y MATEMÁTICAS DISCRETAS – RAMÓN ESPINOSA ARMENTA 12/30/09 12:52:11 PM 7.7 APLICACIÓN: CIRCUITOS LÓGICOS 293 Una compuerta AND es un circuito con dos entradas y una salida; si ambas entradas son 1, entonces la salida es 1, en otro caso la salida es 0. El símbolo de esta compuerta es el siguiente: x x∧y y Una compuerta NOT, o inversor, es un circuito con una entrada y una salida; si la entrada es 1 entonces la salida es 0 y si la entrada es 0 entonces la salida es 1. El símbolo de esta compuerta es el siguiente: x x′ Las compuertas OR y AND pueden extenderse para permitir cualquier número finito de entradas, como lo muestran las figuras de abajo. x1 x2 xn x1 ∨ x2 ∨ … ∨ xn … xn … x1 x2 x1 ∧ x2 ∧ … ∧ xn Circuitos descritos por medio de compuertas lógicas son llamados circuitos lógicos. A cada expresión booleana f (x1, …, xn) le corresponde un circuito lógico con x1, …, xn como las entradas y f (x1, …, xn) como la salida. Las propiedades de las álgebras booleanas pueden utilizarse para simplificar y diseñar circuitos lógicos. MATEMÁTICAS DISCRETAS – RAMÓN ESPINOSA ARMENTA capitulo 7.indd 293 ALFAOMEGA 12/30/09 12:52:13 PM 294 VII. 7.8 ÁLGEBRAS BOOLEANAS Compuertas lógicas En la lectura adicional COMPUERTAS LÓGICAS se expone la forma en que se representan las expresiones booleanas usando compuertas lógicas básicas. Usando las compuertas lógicas básicas deÀnidas en esta sección, el simulador COMPUERTAS LÓGICAS construye el diagrama lógico de las expresiones booleanas propuestas. 7.9 Resumen En este capítulo se definió qué es un álgebra booleana y se plantearon ejemplos de álgebras booleanas. Se demostraron las propiedades más importantes de las álgebras booleanas y se definió el concepto de orden parcial en un álgebra booleana. Se caracterizaron las álgebras booleanas finitas, se analizó la relación entre expresiones y funciones booleanas y se probó la forma normal disyuntiva de funciones booleanas. Por último se presentó la forma de utilizar los conceptos y resultados de álgebras booleanas en el diseño y análisis de circuitos lógicos. ALFAOMEGA capitulo 7.indd 294 MATEMÁTICAS DISCRETAS – RAMÓN ESPINOSA ARMENTA 12/30/09 12:52:15 PM 7.10 7.10 PROBLEMAS 295 Problemas Propiedades de las álgebras booleanas 7.1 Demostrar que en cualquier álgebra booleana se tiene que 1′ = 0 y 0′ = 1. 7.2 Sean B = , ∨ la suma usual de enteros, ∧ el producto usual de enteros y para cada a ∈ defínase a′ = −a. ¿Es B un álgebra booleana? Orden en álgebras booleanas 7.3 Demostrar que si a y b pertenecen a un álgebra booleana B entonces ab ⇔ b′ a′ 7.4 Demostrar que si B es un álgebra booleana entonces ab ⇒ a∨cb∨c 7.5 Sea B un álgebra booleana finita. Demostrar que para algún entero no negativo n, | B | = 2n. 7.6 Sea f : B1 → B2 un isomorfismo de álgebras booleanas. Considerando la notación obvia demostrar que f (01) = 02 y f (11) = 12. Expresiones y funciones booleanas 7.7 Obtener la tabla de valores correspondientes a la expresión booleana f {x1, x2, x3} = (x1 ∧ x2) ∨ x3′ 7.8 Obtener la tabla de valores correspondientes a la expresión booleana f {x1, x2, x3} = (x1 ∨ x2′ ) ∧ (x2′ ∨ x3) 7.9 Determinar la forma normal disyuntiva de la función booleana f descrita por la siguiente tabla: x1 x2 x3 f 1 1 1 0 1 0 0 0 1 1 0 1 0 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 MATEMÁTICAS DISCRETAS – RAMÓN ESPINOSA ARMENTA capitulo 7.indd 295 ALFAOMEGA 12/30/09 12:52:16 PM 296 VII. ÁLGEBRAS BOOLEANAS 7.10 Determinar la forma normal disyuntiva de la función booleana f, descrita por la siguiente tabla: x1 x2 x3 f 1 1 1 0 1 0 0 0 1 1 0 1 0 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 0 0 0 0 1 0 1 0 1 7.11 Obtener la forma normal disyuntiva de la expresión booleana (x1 ∧ x2) ∨ (x1 ∧ x3′ ) 7.12 Obtener la forma normal disyuntiva de la expresión booleana (x1 ∨ x2′ ) ∧ x3 7.13 Demostrar que si p(x1, …, xn) y q(x1, …, xn) son términos mínimos distintos en Fn entonces p(x1, …, xn) ∧ q(x1, …, xn) = 0. 7.14 Aplicando lo expuesto en la lectura adicional SIMPLIFICACIÓN DE EXPRESIONES BOOLEANAS simplificar las siguientes expresiones booleanas usando los teoremas del álgebra booleana y verificar los resultados por medio de mapas de Karnaugh. ALFAOMEGA capitulo 7.indd 296 a) F = A′B′C′D′ + A′B′CD + A′B′CD′ + A′BC′D + A′BCD + A′BCD′ + ABCD + ABCD′ + AB′C′D′ + AB′CD′ b) F = W′X′Y′Z′ + W′X′YZ + WXY′Z + WXYZ + WX′Y′Z′ + WX′Y′Z + WX′YZ + WX′YZ′ + W′XY′Z′ c) F = W′X′Y′Z + W′XY′Z′ + W′XYZ + W′XYZ′ + WXY′Z + WXYZ + WXYZ′ d) F = A′B′C′D′ + A′B′CD′ + A′BC′D′ + A′BCD′ + ABC′D′ + ABCD + ABCD′ + AB′CD + AB′CD′ MATEMÁTICAS DISCRETAS – RAMÓN ESPINOSA ARMENTA 12/30/09 12:52:16 PM 7.10 PROBLEMAS 297 7.15 Aplicando lo expuesto en la lectura adicional SIMPLIFICACIÓN DE EXPRESIONES BOOLEANAS en cada uno de los siguientes incisos obtener la expresión booleana simplificada en sumas de productos y en productos de sumas. Plantear el mapa y la agrupación correspondiente. a) AB CDE 000 001 011 010 00 1 1 01 1 1 11 110 111 101 100 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 10 b) AB CDE 000 001 011 010 00 1 01 1 11 1 AB 00 1 1 CDE 000 001 011 010 1 1 1 1 1 1 1 1 110 111 101 100 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 AB CDE 000 001 011 010 00 1 01 1 11 1 1 10 1 1 1 1 1 1 1 110 111 101 100 1 1 1 1 1 1 1 1 MATEMÁTICAS DISCRETAS – RAMÓN ESPINOSA ARMENTA capitulo 7.indd 297 1 1 10 d) 1 1 01 11 1 1 10 c) 1 110 111 101 100 ALFAOMEGA 12/30/09 12:52:18 PM 298 VII. ÁLGEBRAS BOOLEANAS Circuitos lógicos 7.16 Trazar un circuito lógico correspondiente a la expresión boooleana: (x ∨ y)′ ∧ (x ∧ z) 7.17 Usando el simulador COMPUERTAS LÓGICAS resolver el problema 7.16. 7.18 Aplicando lo expuesto en la lectura adicional COMPUERTAS LÓGICAS representar con compuertas básicas (And, Or y Not), con compuertas Nand (exclusivamente) y con compuertas Nor (exclusivamente), la expresión lógica: F = AB′C + A′B′D′ + AD 7.19 Trazar un circuito lógico correspondiente a la expresión boooleana: [x ∨ (y ∧ z)′] ∨ (y ∨ z) 7.20 Usando el simulador COMPUERTAS LÓGICAS resolver el problema 7.19. ALFAOMEGA capitulo 7.indd 298 MATEMÁTICAS DISCRETAS – RAMÓN ESPINOSA ARMENTA 12/30/09 12:52:20 PM 7.10 PROBLEMAS 299 7.21a Trazar un circuito lógico correspondiente a la expresión booleana: (x ∨ y) ∧ (x ∨ z) ∧ (y ∨ z) 7.21b Utilizar propiedades de álgebras booleanas para simplificar la expresión anterior y trazar el circuito lógico correspondiente. 7.22 Usando el simulador COMPUERTAS LÓGICAS resolver el problema 7.21a. 7.23 Aplicando lo expuesto en la lectura adicional COMPUERTAS LÓGICAS representar con compuertas básicas (And, Or y Not), con compuertas Nand (exclusivamente) y con compuertas Nor (exclusivamente), la expresión lógica: F = (B′ + C + D′)(A + C′ + D)B′ 7.24 Aplicando lo expuesto en la lectura adicional COMPUERTAS LÓGICAS obtener las compuertas Not, And, Or, Nor, X-or y X-nor con base en compuertas Nand exclusivamente. MATEMÁTICAS DISCRETAS – RAMÓN ESPINOSA ARMENTA capitulo 7.indd 299 ALFAOMEGA 12/30/09 12:52:22 PM 300 VII. ÁLGEBRAS BOOLEANAS 7.25a Trazar un circuito lógico correspondiente a la expresión boooleana: x′ ∨ (y ∧ z) ∨ (y ∧ z′) 7.25b Utilizar propiedades de álgebras booleanas para simplificar la expresión anterior y trazar el circuito lógico correspondiente. ALFAOMEGA capitulo 7.indd 300 MATEMÁTICAS DISCRETAS – RAMÓN ESPINOSA ARMENTA 12/30/09 12:52:24 PM 7.11 7.11 CONTENIDO INTERACTIVO 301 Contenido interactivo El material marcado con asterisco (*) sólo está disponible para docentes. Mapa conceptual Simulador • Compuertas lógicas Lecturas adicionales • Simplificación de expresiones booleanas • Compuertas lógicas Respuesta y desarrollo de problemas seleccionados *Presentaciones *Respuesta y desarrollo de problemas Glosario MATEMÁTICAS DISCRETAS – RAMÓN ESPINOSA ARMENTA capitulo 7.indd 301 ALFAOMEGA 12/30/09 12:52:24 PM capitulo 8.indd 302 2/2/10 11:39:12 PM Parte III Enumeración combinatoria capitulo 8.indd 303 2/2/10 11:39:12 PM CAPÍTULO VIII Dn = n ! − C (n, = n! − n 1!(n 1 = n! ⎛ 1 − ⎝ 1! A1 Conteo A x1 + x 2 + + x m = 8.1 8.2 8.3 8.4 8.5 8.6* 8.7 8.8 8.9 8.10 Introducción Permutaciones y combinaciones CoeÀcientes multinomiales Ecuaciones lineales con coeÀcientes unitarios El principio de inclusión-exclusión Extensión del principio de inclusión-exclusión Aplicación: espacios Ànitos de probabilidad Resumen Problemas Contenido interactivo *Ver Plataforma de contenidos interactivos. capitulo 8.indd 304 2/2/10 11:39:12 PM Siempre que puedas, cuenta. 1)(n − 1)! + C (n, 2)(n − 2)! − + (−1)n C (n, n)(n − n)! Francis Galton n! n! n! (n − 1)! + (n − 2)! − + (−1)n 0! − 1)! 2 !(n − 2)! n! 0! + 1 1 1 − + + (−1)n ⎞ . 2 ! 3! n!⎠ 1+ 1⊕1 1 1⊕1+ 1+ 1⊕1 9 n ⇔ ( y1 + a2 ) + ( y2 + a2 ) + + ( ym + am ) = n ⇔ y1 + y2 + + ym = n − a1 − a2 − − am Objetivos • • • • • capitulo 8.indd 305 DeÀnir las nociones de permutación y combinación, y utilizarlas para resolver problemas de conteo. Resolver problemas de permutaciones de objetos no necesariamente distintos. Determinar el número de soluciones enteras de ecuaciones lineales con coeÀcientes unitarios. Utilizar el principio de inclusión-exclusión para resolver problemas de conteo. Discutir la noción de espacio Ànito de probabilidad. 1+ 1⊕1 1 1⊕1+ 1+ 1⊕1 2/2/10 11:39:19 PM 306 VIII. 8.1 CONTEO Introducción Dado un conjunto finito, en ocasiones se desea determinar de manera precisa cuántos elementos del conjunto satisfacen ciertas condiciones. Aunque algunas veces este conteo puede realizarse enumerando explícitamente todos los casos, esta forma de proceder resulta poco práctica en problemas complejos por lo que es importante tener métodos inteligentes de conteo que sean aplicables a una gran variedad de situaciones. En este capítulo se exponen los conceptos de permutación y combinación, y se muestra cómo utilizar argumentos combinatorios para probar teoremas, en particular se demuestran la fórmula de Pascal y el teorema del binomio. Se estudian las permutaciones de objetos no necesariamente distintos, lo cual conduce a la noción de coeficiente multinomial, y el teorema del multinomio que generaliza el teorema del binomio. Se cuenta el número de soluciones enteras de ecuaciones lineales con coeficientes unitarios, se estudia la noción de espacio finito de probabilidad y se expone el principio de inclusión-exclusión así como algunas aplicaciones especiales de este principio. 8.2 Permutaciones y combinaciones Sea A un conjunto Ànito no vacío. Una k-permutación de A es un arreglo ordenado de k elementos distintos de A. Equivalentemente, una k-permutación de A es una función inyectiva s : {1, 2, …, n} → A. Análisis combinatorio “Los problemas generales agrupados bajo el nombre de ‘Análisis combinatorio’ no parecen haber sido considerados antes de los últimos siglos de la Antigüedad clásica, únicamente la fórmula ⎛ n ⎞ n(n − 1) aparece en el siglo III de ⎜⎝ 2 ⎟⎠ = 2 nuestra era. El matemático indio Bhaskara (siglo XII) conocía la fórmula general ⎛ n⎞ para ⎜ ⎟ . Un estudio más sistemático se ⎝ p⎠ halla en un manuscrito de Levi ben Gerson, a principios del siglo XIII: obtiene la fórmula de recurrencia que permite calcular el número Vnp de variaciones de n objetos tomados p a p, y en particular el número de permutaciones de n objetos, enunciando también reglas equivalentes Continúa… ALFAOMEGA capitulo 8.indd 306 Para denotar el número de k-permutaciones de un conjunto con n elementos se utiliza el símbolo P(n, k). Ejemplo 8.1 Sea A = {a, b, c}, entonces las 2-permutaciones de A son ab, ac, bc, ba, ca y cb. Por tanto P(3, 2) = 6. Teorema 8.1 P(n, k) = n(n − 1)(n − 2) … (n − k + 1). Demostración Sea A un conjunto con n elementos. Para formar una k-permutación de A se tienen n opciones para elegir el primer elemento, n − 1 alMATEMÁTICAS DISCRETAS – RAMÓN ESPINOSA ARMENTA 2/2/10 11:39:20 PM 8.2 PERMUTACIONES Y COMBINACIONES ternativas para elegir el segundo, n − 2 formas de elegir el tercero y así sucesivamente, de modo que, por el principio del producto se tiene que P(n, k) = n(n − 1)(n − 2) … (n − k + 1) Se observa que P(n, k) también se puede escribir como P(n, k ) = n! (n − k )! Sea A un conjunto con n elementos. Una permutación de A es un arreglo ordenado de todos los elementos de A. Equivalentemente, una permutación de elementos de A es una función biyectiva de A en sí mismo. Hay que observar que el número de permutaciones de A es igual a P(n, n) = n! 307 Continuación… n ⎞ ⎛ n⎞ ⎛ n⎞ V y ⎛ a las relaciones ⎜ ⎟ = ⎜⎝ n − p ⎟⎠ = ⎜⎝ p ⎟⎠ ⎝ p⎠ p ! p n ([311], t. VI, pp. 64-65 ). Pero este manuscrito no parece haber sido conocido por sus contemporáneos, y los resultados fueron siendo hallados poco a poco por los matemáticos de los siglos siguientes. Entre los progresos posteriores señalemos que Cardano demostró que el número de partes no vacías de un conjunto de n elementos es 2n – 1; Pascal y Fermat, fundando el cálculo de probabilidades, ⎛ n⎞ vuelven a encontrar la expresión ⎜ ⎟ , y ⎝ p⎠ Pascal es el primero que observa la relación entre estos números y la fórmula del binomio: esta última parece haber sido conocida por los árabes desde el siglo XIII, y por los chinos del XIV, y se había vuelto a encontrar en Occidente a principios del siglo XVI, al igual que el método de cálculo recurrente llamado del ‘triángulo aritmético’, que se atribuye corrientemente a Pascal ([311], t. VI, pp. 3538). Finalmente, Leibniz obtiene hacia 1676, sin publicarla, la fórmula general de los ‘coeficientes multinomiales’, encontrada independientemente y publicada por Moivre veinte años después.”1 Ejemplo 8.2 ¿Cuántos enteros positivos de cinco cifras se pueden formar de manera que todos los dígitos sean distintos? Solución El primer dígito no puede ser cero, de modo que se tienen 9 opciones para elegir la primera cifra. Por cada elección del primer dígito se tienen P(9, 4) maneras de formar las 4 cifras restantes, de modo que se tienen en total 9P(9, 4) = 27,216 números. Ejemplo 8.3 ¿Cuántos enteros positivos pares de cinco cifras se pueden formar de manera que todos los dígitos sean distintos? Solución Para que el número sea par la última cifra debe ser 0, 2, 4, 6 u 8. Si la última cifra es cero, entonces se tienen P(9, 4) maneras de formar las cuatro primeras cifras. Si la última cifra es distinta de cero entonces se cuenta con 8 opciones para elegir el primer dígito (pues no puede ser cero ni igual a la última cifra), también por cada elección de la primera y la última cifra se tienen P(8, 3) maneras de formar las tres cifras intermedias por lo que se tienen 4 8P(8, 3) enteros positivos pares de cinco cifras que no terminan en cero. A partir del principio de la suma se sigue que el número de enteros positivos pares de cinco cifras es igual a P(9, 4) + 4 8P(8, 3) = 13,776. 1 Op. cit., Nicolas Bourbaki; pp. 72-73. MATEMÁTICAS DISCRETAS – RAMÓN ESPINOSA ARMENTA capitulo 8.indd 307 ALFAOMEGA 2/2/10 11:39:22 PM 308 VIII. CONTEO Ejemplo 8.4 ¿De cuántas maneras distintas se pueden sentar n personas alrededor de una mesa redonda, si sólo interesa la posición relativa de las personas y no la posición que ocupan en la mesa? Solución Primero se coloca una persona arbitrariamente en un lugar, entonces se tienen n − 1 maneras de sentar una segunda persona a la derecha de la primera, n − 2 formas de colocar una tercera a la derecha de la segunda, y así sucesivamente, para un total de (n − 1)! maneras de sentar a las n personas. Sea A un conjunto Ànito. Una k-combinación de A es un subconjunto de A con k elementos. La expresión C(n, k) denota el número de k-combinaciones de un conjunto con n elementos. Ejemplo 8.5 Sea A = {a, b, c}. Las 2-combinaciones de A son {a, b}, {a, c} y {b, c}. Por lo tanto C(3, 2) = 3. Teorema 8.2 C (n, k ) = n! k !(n − k )! Demostración Sea A un conjunto con n elementos. Se puede obtener una k-permutación de A ordenando los elementos de una k-combinación de A, como esto se puede hacer de k! maneras distintas, se tiene que P(n, k) = k!C(n, k) de aquí que C (n, k ) = n! k !(n − k )! Una forma alternativa de denotar el número C(n, k) es por medio del símbolo ⎛ n⎞ ⎜⎝ k ⎟⎠ ALFAOMEGA capitulo 8.indd 308 MATEMÁTICAS DISCRETAS – RAMÓN ESPINOSA ARMENTA 2/2/10 11:39:23 PM 8.2 Ejemplo 8.6 PERMUTACIONES Y COMBINACIONES 309 Cada carta de una baraja tiene un “número” A, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, J, Q, K y un “palo” ♣, ♦, , ♠ Una “mano” de póker consta de cinco cartas. ¿Cuántas manos de póker distintas se pueden formar? Solución Hay 13 4 = 52 cartas distintas, de las cuales se eligen 5 para formar una mano, lo que se puede hacer de C(52, 5) = 2,598,960 maneras distintas. Ejemplo 8.7 ¿Cuántas manos de póker hay que tengan exactamente un par, es decir, exactamente dos cartas del mismo número? Solución El número que se repite puede aparecer de 13 maneras distintas, y por cada una de éstas se tienen C(4, 2) formas de que ocurran los palos correspondientes. Además se tienen C(12, 3) maneras de elegir los números que no se repiten, y para cada una de éstas se tienen 43 formas de que aparezcan los palos correspondientes, para un total de 13C(4, 2)C(12, 3)43 = 1,098,240 manos de póker que tienen exactamente un par. Ejemplo 8.8 En el dominó cada ficha tiene dos números del 0 al 6 (no necesariamente distintos). ¿Cuántas fichas de dominó hay? Solución Hay C(7, 2) fichas con números distintos, y 7 fichas con números repetidos (las “mulas”), para un total de C(7, 2) + 7 = 28 fichas. Ejemplo 8.9 Una “mano” de dominó consta de siete fichas. ¿Cuántas manos de dominó tienen exactamente tres fichas dobles? Solución Hay C(7, 3) maneras de elegir las tres fichas dobles, una vez que éstas han sido elegidas se tienen C(21, 4) formas de elegir las otras cuatro fichas, para un total de C(7, 3)C(21, 4) manos de dominó que tienen exactamente tres fichas dobles. MATEMÁTICAS DISCRETAS – RAMÓN ESPINOSA ARMENTA capitulo 8.indd 309 ALFAOMEGA 2/2/10 11:39:24 PM 310 VIII. CONTEO Ejemplo 8.10 ¿Cuántas palabras de longitud 7 del alfabeto A = {a, b, c} tienen la propiedad de que la letra a aparece un número par de veces? Solución Hay cuatro casos posibles: si a aparece 0 veces hay 27 palabras posibles, pues en cada posición puede aparecer la letra b o la letra c; hay C(7, 2)25 maneras en las que la letra a aparece exactamente dos veces, pues de las 7 posiciones se deben elegir 2 para colocar las a′s y una vez que se han colocado se tienen 2 maneras de llenar las 5 posiciones restantes; análogamente, hay C(7, 4)23 palabras en las que la letra a aparece cuatro veces y C(7, 6)2 palabras en las que la letra a aparece seis veces, de modo que, por el principio de la suma, hay 27 + C(7, 2)25 + C(7, 4)23 + C(7, 6)2 palabras en las que la letra a aparece un número par de veces. En algunos casos se puede utilizar un argumento combinatorio para demostrar proposiciones matemáticas, como lo muestran los siguientes ejemplos. Ejemplo 8.11 Pascal: Utilizar un argumento combinatorio para demostrar la fórmula de C(n, k) = C(n − 1, k) + C(n − 1, k − 1) Solución C(n, k) es el número de subconjuntos con k elementos de un conjunto con n elementos. Para un elemento particular x, los subconjuntos con k elementos se pueden dividir en dos: aquellos que contienen a x y los que no lo contienen. Hay C(n − 1, k) subconjuntos con k elementos que no contienen a x y C(n − 1, k − 1) subconjuntos con k elementos que sí contienen a x, lo cual establece la fórmula. Ejemplo 8.12 del binomio: Utilizar un argumento combinatorio para demostrar el teorema n (a + b )n = ∑ C (n, k )a n− k b k k =0 Solución Considérese el producto (a + b)(a + b) … (a + b) de n factores (a + b). En la expansión de este producto el término an−kbk ocurre cada vez que b es elegido k veces de los n factores, de modo que hay C(n, k) términos de la forma an−kbk. Por último, basta observar que todos los términos de la expansión tienen tal forma para algún k. ALFAOMEGA capitulo 8.indd 310 MATEMÁTICAS DISCRETAS – RAMÓN ESPINOSA ARMENTA 2/2/10 11:39:25 PM 8.3 COEFICIENTES MULTINOMIALES 311 Ejemplo 8.13 Utilizar un argumento combinatorio para demostrar que si A es un conjunto con n elementos, entonces A tiene 2n subconjuntos distintos. Solución Haciendo a = b = 1 en la fórmula del teorema del binomio se obtiene la ecuación: n 2 n = ∑ C (n, k ) k=0 Como C(n, k) es el número de subconjuntos de A con exactamente k elementos, se sigue del principio de la suma, que la suma del lado derecho es igual al número de subconjuntos de A, y por lo tanto dicho número es 2n. 8.3 CoeÀcientes multinomiales Algunas veces es necesario considerar permutaciones de objetos no necesariamente distintos, tal y como se muestra en los siguientes ejemplos. Ejemplo 8.14 En cierta ciudad las calles forman una cuadrícula. Un hombre se encuentra en el cruce de dos calles y desea caminar a un segundo cruce que se encuentra a 5 calles hacia el Este y 6 hacia el Norte. ¿De cuántas maneras distintas puede recorrer las once calles, si nunca camina hacia el Oeste o hacia el Sur? Solución Un posible recorrido es NENEENNEENN, donde la letra E indica que el hombre camina una cuadra hacia el Este, y la letra N señala que el hombre camina una cuadra hacia el Norte. De esta manera todo recorrido posible es un arreglo ordenado de 11 objetos, de los cuales 6 son N’s y 5 son E’s. Hay C(11, 6) = 462 maneras de colocar las 6 N’s en las once posiciones, una vez que éstas han sido colocadas, se colocan las 5 E’s en los lugares restantes. Por tanto hay C(11, 6) = 462 recorridos posibles. Hay que observar que si se hubieran colocado primero las E’s se habría llegado al mismo resultado, pues C(11, 5) = C(11, 6). Ejemplo 8.15 ¿De cuántas maneras distintas se pueden ordenar las letras de la palabra MATEMATICAS? Solución La palabra MATEMATICAS tiene 11 letras, de las cuales 2 son M’s, 2 son T’s, 3 son A’s y las otras cuatro letras son distintas. Considérese un arreglo MATEMÁTICAS DISCRETAS – RAMÓN ESPINOSA ARMENTA capitulo 8.indd 311 ALFAOMEGA 2/2/10 11:39:25 PM 312 VIII. CONTEO ordenado de once lugares. Se tienen C(11, 2) maneras distintas de colocar las M’s, habiendo colocado éstas se tienen C(9, 2) formas de colocar las T’s y luego se tienen C(7, 3) maneras de colocar las A’s. Habiendo colocado las letras que se repiten, se tienen 4! maneras de colocar las letras restantes, para un total de C(11, 2)C(9, 2)C(7, 3)4! formas distintas de ordenar las letras. La idea utilizada en los ejemplos anteriores puede generalizarse para obtener el siguiente resultado. Teorema 8.3 Supóngase que se tienen n objetos, de los cuales n1 son de tipo 1, n2 son de tipo 2, …, nk son de tipo k, con n1 + n2 + … + nk = n. Supóngase además que objetos del mismo tipo son indistinguibles, entonces el número de permutaciones distintas de esos objetos es n! n1 ! n2 ! nk ! Demostración Se tienen C(n, n1) maneras distintas de colocar los objetos de tipo 1, una vez colocados estos objetos se tienen C(n − n1, n2) maneras distintas de colocar los objetos de tipo 2, y así sucesivamente hasta obtener un total de C (n, n1 )C (n − n1 , n2 )C (n − n1 − n2 , n3 ) C (n − n1 − n2 − − nk −1 , nk ) = n ! n! (n − n1 )! (nn − n1 − n2 )! n! k = n1 !(n − n1 )! n2 !(n − n1 − n2 )! n3 !(n − n1 − n2 − n3 )! nk ! 0 ! n1 ! n2 !nk ! maneras distintas de permutar los objetos. En general se acostumbra escribir n ⎛ ⎞ n! ⎜⎝ n , n , n ⎟⎠ = n ! n ! n ! 1 2 k 1 2 k y el símbolo que aparece en el lado izquierdo se conoce como el coeficiente multinomial. El siguiente resultado explica el nombre. ALFAOMEGA capitulo 8.indd 312 MATEMÁTICAS DISCRETAS – RAMÓN ESPINOSA ARMENTA 2/2/10 11:39:26 PM 8.3 Teorema 8.4 (Teorema del multinomio). entonces COEFICIENTES MULTINOMIALES 313 Si n es un entero positivo, n ⎞ n1 n2 ⎛ (a1 + + ak )n = ∑ ⎜ a a aknk ⎝ n1 , n2 , , nk ⎟⎠ 1 2 donde la suma se toma sobre todos los valores no negativos de n1, n2, …, nk, tales que n1 + n2 + … + nk = n. Demostración Considérese el producto (a1 + + ak )(a1 + + ak ) (a1 + + ak ) de n factores (a1 + … + ak). Todos los términos en la expansión de este producto son de la forma ck a1n1 a2n2 aknk para algún k, donde ck es una constante. Para determinar cuál es esta constante hay que observar que el término a1n1 a2n2 aknk ocurre cada vez que ai es elegido ni veces de los n factores, de modo que hay n ⎛ ⎞ n! ⎜⎝ n , n , , n ⎟⎠ = n ! n ! n ! 1 2 k 1 2 k términos de esta forma. El siguiente resultado muestra otra situación en donde están presentes los coeficientes multinomiales. Teorema 8.5 El número de formas de distribuir n objetos distintos en k urnas distintas, de manera que en cada urna haya ni objetos, es igual a n ⎛ ⎞ ⎜⎝ n , n , , n ⎟⎠ 1 2 k Demostración Se tienen C(n, n1) maneras distintas de colocar n1 objetos en la urna 1, una vez colocados estos objetos se tienen C(n − n1, n2) maneras distintas de colocar n2 objetos en la urna 2, y así sucesivamente, para obtener en total C (n, n1 )C (n − n1 , n2 )C (n − n1 − n2 , n3 ) C (n − n1 − n2 − − nk −1 , nk ) = n ⎛ ⎞ ⎜⎝ n , n , , n ⎟⎠ . 1 2 k maneras distintas de distribuir los n objetos. MATEMÁTICAS DISCRETAS – RAMÓN ESPINOSA ARMENTA capitulo 8.indd 313 ALFAOMEGA 2/2/10 11:39:27 PM 314 VIII. CONTEO Ejemplo 8.16 En una partida de dominó las 28 fichas se reparten entre 4 personas. ¿De cuántas maneras distintas se pueden repartir las fichas? Solución Este problema es equivalente a distribuir 28 objetos distintos en cuatro urnas distintas, de modo que en cada una haya 7 objetos, por lo tanto la respuesta es 28 ! 7! 7! 7! 7! Ejemplo 8.17 ¿De cuántas formas pueden repartirse 24 estudiantes en 6 grupos de 4 alumnos, de manera que cada grupo exponga un tema distinto? Solución Este problema equivale a distribuir 24 objetos distintos en seis urnas distintas, de modo que cada urna contenga 4 objetos, por lo que la solución es 24 ! 4!4!4!4!4!4! 8.4 Ecuaciones lineales con coeÀcientes unitarios En muchas ocasiones se puede identificar la solución de un problema combinatorio con el número de soluciones en enteros de una ecuación lineal con coeficientes unitarios: x1 + x2 + + xm = n donde n y m son números naturales. En el siguiente ejemplo se muestra cómo determinar el número de soluciones en enteros positivos. Ejemplo 8.18 ecuación Determinar el número de soluciones en enteros positivos de la x1 + x2 + x31 + x4 = 9 ALFAOMEGA capitulo 8.indd 314 MATEMÁTICAS DISCRETAS – RAMÓN ESPINOSA ARMENTA 2/2/10 11:39:28 PM 8.4 Solución ECUACIONES LINEALES CON COEFICIENTES UNITARIOS 315 Escríbase 9 como suma de nueve unos: 1+1+1+1+1+1+1+1+1 = 9 En el lado izquierdo de esta expresión hay 8 símbolos “+”, y cada vez que se eligen tres de éstos se obtiene una solución particular de la ecuación, por ejemplo, si se eligen el segundo, el quinto y el octavo símbolos 1+ 1⊕1+ 1+ 1⊕1+ 1+ 1⊕1 = 9 se obtiene la solución particular x1 = 2, x2 = 3, x3 = 3, x4 = 1. Recíprocamente, cada solución en enteros positivos de la ecuación representa una elección de tres de los 8 símbolos “+”, como esto puede hacerse de C(8, 3) = 56 maneras distintas, se tiene que el número de soluciones en enteros positivos de la ecuación es 56. El argumento utilizado en el ejemplo anterior puede generalizarse para obtener el siguiente resultado. Teorema 8.6 ción El número de soluciones en enteros positivos de la ecua- x1 + x2 + + xm = n es igual a C(n − 1, m − 1). Ejemplo 8.19 Determinar el número de soluciones en enteros no negativos de la ecuación x1 + x2 + x3 + x4 = 9 Solución Una solución particular es x1 = 3, x2 = 0, x3 = 1, x4 = 5. Esta solución se puede representar como: 111 + +1 + 11111 Análogamente, cualquier arreglo ordenado de tres símbolos “+” y nueve unos representa una solución en enteros no negativos de la ecuación, de ahí que el número de soluciones es C(12, 3) (pues de las doce posiciones posibles elegimos tres para colocar los símbolos +), o equivalentemente C(12, 9) (como resultado de elegir nueve lugares de los doce posibles para colocar los unos). MATEMÁTICAS DISCRETAS – RAMÓN ESPINOSA ARMENTA capitulo 8.indd 315 ALFAOMEGA 2/2/10 11:39:29 PM 316 VIII. CONTEO El argumento utilizado en el ejemplo anterior puede generalizarse para probar el siguiente teorema. Teorema 8.7 ción El número de soluciones en enteros no negativos de la ecua- x1 + x2 + + xm = n es igual a C (n + m − 1, m − 1) o equivalentemente C (n + m − 1, n ) . En el siguiente teorema se establece una situación general en la cual cada variable xi está acotada inferiormente por un entero. Teorema 8.8 El número de soluciones en enteros de la ecuación x1 + x2 + + xm = n con xi > ai, es igual a C (n − a1 − a2 − − am − 1, m − 1) . Demostración Para cada i = 1, …, m defínase yi = xi > ai y obsérvese que xi > ai si y sólo si yi es un entero positivo. Además x1 + x2 + + xm = n ⇔ ( y1 + a2 ) + ( y2 + a2 ) + + ( ym + am ) = n ⇔ y1 + y2 + + ym = n − a1 − a2 − − am Por el teorema 8.6 se tiene que el número de soluciones en enteros positivos de la última ecuación es igual a C (n − a1 − a2 − − am − 1, m − 1) . Hay que observar que si n − m < a1 + a2 + … + am entonces no hay soluciones, también hay que destacar que el teorema 8.6 es un caso particular del teorema 8.8 con ai = 0 para toda i = 1, …, m y que el teorema 8.7 es un caso particular del teorema 8.8 con ai = −1 para toda i = 1, …, m. 8.5 El principio de inclusión-exclusión Supóngase que A es un conjunto finito no vacío y que A1 es el subconjunto de A formado por aquellos elementos que satisfacen la propiedad p. Por tanto A1c = A − A1 es el subconjunto de A formado por aquellos elementos que no tienen la propiedad p. Es claro que | A1c | = | A | − | A1 | ALFAOMEGA capitulo 8.indd 316 MATEMÁTICAS DISCRETAS – RAMÓN ESPINOSA ARMENTA 2/2/10 11:39:30 PM 8.5 EL PRINCIPIO DE INCLUSIÓN-EXCLUSIÓN 317 En esta fórmula se incluyen primero todos los elementos de A y luego se excluyen los elementos de A1, como se muestra en la siguiente figura: A1 A Considérense ahora dos propiedades p1 y p2 que pueden tener o no los elementos de A. Sean A1 y A2 los subconjuntos de A que satisfacen las propiedades p1 y p2, respectivamente. Entonces el número de elementos de A que no tienen ninguna de esas propiedades es | A1c ∩ A2c | = | A | − | A1 | − | A2 | + | A1 ∩ A2| En esta fórmula se han incluido primero los elementos de A, para excluir después los elementos que cumplen alguna de las propiedades, por último, como se han excluido dos veces los elementos que tienen ambas propiedades, se les debe de incluir una vez más. A continuación se plantea un importante principio de conteo que generaliza las fórmulas anteriores. Teorema 8.9 (Principio de inclusión-exclusión). Sea A un conjunto finito no vacío, y sean p1, p2, …, pr, r propiedades que pueden tener o no los elementos de A. Para cada i = 1, …, r sea A = {x ∈ A | x tiene la propiedad pi} puede ser usado para contar la intersección de conjuntos. Considérese que Ak representa el complemento de Ak con respecto a un conjunto universo A tal que Ak ⊆ A para cada k. Entonces se tiene que r c i i =1 i i i j i≠ j r − ∑ Ai ∩ Aj ∩ Ak + + (−1)r ∩ Ai i , j ,k distiintos Este principio, combinado con las leyes de De Morgan ¬(p ∨ q) ⇔ (¬p) ∧ (¬q) ¬(p ∧ q) ⇔ (¬p) ∨ (¬q), entonces ∩A = A −∑ A +∑ A ∩A Aplicación del principio de inclusión-exclusión i =1 n n ∩A =∪A 1 i =1 i i =1 lo cual transforma el problema de determinar una intersección en el de determinar una unión. Demostración Supóngase que x ∈ A no tiene ninguna de las propiedades, por lo tanto x es contado una vez en el lado derecho de la fórmula (y una vez en el lado izquierdo), por lo que en este caso la fórmula se cumple. Supóngase ahora que x ∈ A tiene exactamente m propiedades (m ≤ r). Por lo tanto x es contado cero veces en el lado izquierdo de la fórmula. Por otra MATEMÁTICAS DISCRETAS – RAMÓN ESPINOSA ARMENTA capitulo 8.indd 317 ALFAOMEGA 2/2/10 11:39:31 PM 318 VIII. CONTEO parte, en el lado derecho de la fórmula x es contado: 1 = C(m, 0) vez en | A |, m = C(m, 1) veces en la suma Σ | Ai |, C(m, 2) veces en la suma Σ | Ai ∩ Aj |, y así sucesivamente, en conclusión x es contado un total de C(m, 0) − C(m, 1) + C(m, 2) − … + (−1)mC(m, m) = (1 + (−1))m = 0 veces, por lo que también en este caso la fórmula se cumple. El principio de inclusión-exclusión puede ser utilizado para resolver una gran variedad de problemas de conteo, como lo muestran los siguientes ejemplos. Ejemplo 8.20 3, ni por 7? Solución ¿Cuántos enteros entre 1 y 600 no son divisibles ni por 2, ni por Sea A = {1, 2, 3, …, 600}, y sean A1 = {x ∈ A | x es divisible por 2} A2 = {x ∈ A | x es divisible por 3} y A3 = {x ∈ A | x es divisible por 7} Hay que observar que | A1 | = 300, | A2 | = 200, | A3 | = 85, | A1 ∩ A2 | = 100, | A1 ∩ A3 | = 42, | A2 ∩ A3 | = 28 y | A1 ∩ A2 ∩ A3 | = 14 de modo que, por el principio de inclusión-exclusión, hay 600 − (300 + 200 + 85) + (100 + 42 + 28) − 14 = 171 enteros entre 1 y 600 que no son divisibles ni por 2, ni por 3, ni por 7. ALFAOMEGA capitulo 8.indd 318 MATEMÁTICAS DISCRETAS – RAMÓN ESPINOSA ARMENTA 2/2/10 11:39:32 PM 8.5 Ejemplo 8.21 EL PRINCIPIO DE INCLUSIÓN-EXCLUSIÓN 319 Calcular el número de soluciones enteras de la ecuación x1 + x2 + x3 = 18 tales que 1 ≤ x1 ≤ 7, para toda i = 1, 2, 3. Solución Sea A = {(x1, x2, x3} ∈ 3 | x1 + x2 + x3 = 18 y 1 ≤ x1 para toda i} Por el teorema 8.6 se sabe que | A | = C(17, 2). Para cada i = 1, 2, 3, defínase Ai = {(x1, x2, x3) ∈ A | 7 < xi} Hay que observar que se quiere calcular | se tiene que n c j =1 Aj |. Ahora bien, por el teorema 8.8 | Ai | = C(10, 2), para cada i = 1, 2, 3 Análogamente | Ai ∩ Aj | = C(3, 2), para toda i ≠ j. Por último hay que observar que | A1 ∩ A2 ∩ A3 | = 0 De aquí que, por el principio de inclusión-exclusión, hay C(17, 2) − 3C(10, 2) + C(3, 2)C(3, 2) − 0 = 10 soluciones posibles. Ejemplo 8.22 ¿De cuántas formas pueden permutarse las 26 letras del alfabeto, de tal manera que no aparezcan las palabras YO, GIS o JUAN? Solución Sea A el conjunto de permutaciones de las 26 letras del alfabeto, por lo tanto | A | = 26! Sean A1, A2, A3 las permutaciones de A que contienen la palabra YO, GIS y JUAN, respectivamente. Cada elemento en A1 es una permutación del símbolo YO y las otras 24 letras del alfabeto, por lo que | A1 | = 25! Análogamente, | A2 | = 25!, | A1 | = 23! Por otra parte, los elementos de A1 ∩ A2 son las permutaciones de los símbolos YO, GIS y las otras 21 letras del alfabeto, por lo que | A1 ∩ A2 | = 23!, MATEMÁTICAS DISCRETAS – RAMÓN ESPINOSA ARMENTA capitulo 8.indd 319 ALFAOMEGA 2/2/10 11:39:32 PM 320 VIII. CONTEO similarmente | A1 ∩ A3 | = 22!, | A2 ∩ A3 | = 21! y | A1 ∩ A2 ∩ A3 | = 20! Por lo tanto, el número de formas en que pueden permutarse las 26 letras del alfabeto, de tal manera que no aparezcan las palabras YO, GIS o JUAN, es 26! − (25! + 24! + 23!) + (23! + 22! + 21!) − 20! En lo que sigue se presentan algunas aplicaciones especiales del principio de inclusión-exclusión. 8.5.1 Funciones suprayectivas Sean X un conjunto con m elementos y Y un conjunto con n elementos. ¿Cuántas funciones suprayectivas de X en Y se pueden definir? Para resolver este problema se escribe X = {x1, x2, …, xm} y Y = {y1, y2, …, yn} y sea A el conjunto de funciones de X en Y (por lo tanto | A | = nm). Para cada j = 1, …, n sea Aj el subconjunto de A definido por: Aj = { f ∈ A | f (xi) ≠ yj para toda i = 1, …, m} Por lo tanto n ∩ A = { f ∈ A | f es suprayectiva} c j j =1 Se observa además que | Aj | = (n − 1)m para toda j, | Ai ∩ Aj | = (n − 2)m para toda i ≠ j y en general | Ai1 ∩ Ai2 ∩ … ∩ Aik| = (n − k)m i1, i2, …, ik distintos, de modo que, por el principio de inclusión-exclusión: n |{ f ∈ A | f es suprayectiva}| = ⎛ n⎞ ∑ (−1) ⎜⎝ k ⎟⎠ (n − k ) k m k =0 ALFAOMEGA capitulo 8.indd 320 MATEMÁTICAS DISCRETAS – RAMÓN ESPINOSA ARMENTA 2/2/10 11:39:33 PM 8.5 EL PRINCIPIO DE INCLUSIÓN-EXCLUSIÓN 321 8.5.2 La función de Euler Se recuerda que la función j de Euler se define como j(n) = |{m ∈ | 1 ≤ m ≤ n, y mcd(n, m) = 1}| Es decir, j(n) es el número de enteros positivos menores o iguales que n y primos relativos a n. Ahora se utiliza el principio de inclusión-exclusión para determinar una fórmula para j(n). Por el teorema fundamental de la aritmética se puede escribir n = p1n1 p2n2 prnr donde p1, p2, …, pr son primos distintos y ni ≥ 1, para toda i = 1, …, r. Sea A = {1, …, n} y sea Ai = {k ∈ A | pi | k} por lo tanto | Ai | = | A i ∩ Aj | = n pi para toda i, n pi p j para toda i ≠ j, de modo que, por el principio de inclusión-exclusión: ϕ (n) = n − ∑ i n n n n +∑ − ∑ + + (−1)r pi i ≠ j pi p j p p p p p i, j, k i j k 1 2 pr distintoss Esta expresión puede ser escrita en la forma: ⎛ 1 ⎞⎛ 1⎞ ⎛ 1⎞ ϕ (n) = n ⎜ 1 − ⎟ ⎜ 1 − ⎟ ⎜ 1 − ⎟ p p p ⎝ ⎝ 1⎠ ⎝ 2⎠ r ⎠ 8.5.3 Desórdenes Un desorden en un conjunto X = {x1, x2, …, xn}, es una función biyectiva f : X → X, tal que f (xi) ≠ xi para toda i = 1, …, n. MATEMÁTICAS DISCRETAS – RAMÓN ESPINOSA ARMENTA capitulo 8.indd 321 ALFAOMEGA 2/2/10 11:39:33 PM 322 VIII. CONTEO Por ejemplo, si X = {x1, x2, x3} entonces un desorden posible es: f (x1) = x2, f (x2) = x3, f (x3) = x1 Este desorden se puede representar como (x2, x3, x1). Otro desorden en X es (x3, x1, x2), el lector puede verificar que éstos son los únicos desórdenes posibles en X. Sea Dn el número de desórdenes de un conjunto con n elementos. Para calcular Dn sea X un conjunto con n elementos, y sea A el conjunto de funciones biyectivas de X en X (por lo tanto | A | = n!). Para cada i = 1, …, n sea Ai el subconjunto de A definido por: Ai = {( f ∈ A | f (xi) = xi} (hay que observar que | Ai | = (n − 1)!). Se sigue del principio de inclusión-exclusión que Dn = n ! − C (n, 1)(n − 1)! + C (n, 2)(n − 2)! − + (−1)n C (n, n)(n − n)! = n! − n! n! n! 0! (n − 1)! + (n − 2)! − + (−1)n 1!(n − 1)! 2 !(n − 2)! n! 0! 1 1 1 1 = n ! ⎛⎜ 1 − + − + + (−1)n ⎞⎟ . ⎝ 1! 2 ! 3! n!⎠ En cursos de Cálculo se prueba que 1− 1 1 1 1 1 + − + + (−1)n 1! 2 ! 3! n! e donde 1 = 0.368794 … e La convergencia es tan rápida que se puede aproximar el valor de 1 ⁄e incluso para valores relativamente pequeños, por ejemplo si n = 6 el valor aproximado es 0.36806, que difiere del valor exacto en menos de 8 diezmilésimas. 8.6 Extensión del principio de inclusión-exclusión En la lectura adicional EXTENSIÓN DEL PRINCIPIO DE INCLUSIÓN-EXCLUSIÓN se demuestra la forma en que se generaliza este principio. ALFAOMEGA capitulo 8.indd 322 MATEMÁTICAS DISCRETAS – RAMÓN ESPINOSA ARMENTA 2/2/10 11:39:35 PM 8.7 8.7 APLICACIÓN: ESPACIOS FINITOS DE PROBABILIDAD 323 Aplicación: espacios Ànitos de probabilidad Un espacio Ànito de probabilidad es una pareja ordenada (Ω, P), donde Ω es un conjunto Ànito no vacío llamado espacio muestral y P : ℘(Ω) → es una función llamada función de probabilidad, que satisface las siguientes propiedades: 1. P(A) ≥ 0 para todo A ⊆ Ω. 2. Si A ∩ B = ∅ entonces P(A ∪ B) = P(A) + P(B). 3. P(Ω) = 1. El conjunto Ω puede interpretarse como el conjunto de resultados posibles de un experimento. Los subconjuntos de Ω son llamados eventos. P(A) se lee “la probabilidad de que el evento A ocurra”. Si se escribe P({w}) = pw, se sigue de las propiedades anteriores que P( A) = ∑ pω ω ∈A Un espacio finito de probabilidad se dice que es equiprobable o uniforme si pω = 1 Ω p( A) = A Ω Esto implica que La expresión “al azar” se usa solamente respecto a un espacio equiprobable. El estudio de los espacios equiprobables se remonta al siglo XVII, cuando el francés Antoine de Gambaud, Caballero de Meré, planteó diversos problemas relacionados con juegos de azar a su amigo Blaise Pascal, quien a su vez recurrió a Pierre de Fermat para que le ayudara a resolverlos. La definición formal de probabilidad uniforme fue establecida por primera vez por Simón Laplace en 1812. Los espacios equiprobables están estrechamente vinculados con la enumeración combinatoria, como lo muestran los siguientes ejemplos. MATEMÁTICAS DISCRETAS – RAMÓN ESPINOSA ARMENTA capitulo 8.indd 323 ALFAOMEGA 2/2/10 11:39:36 PM 324 VIII. CONTEO Ejemplo 8.23 De una baraja se elige una carta al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que la carta elegida sea un As? Solución En este caso el espacio muestral Ω consiste de las 52 cartas de la baraja. El evento que se está considerando es E = {(A, ♣), (A, ♦), (A, ♥), (A, ♠)} por lo que la probabilidad de que una carta elegida al azar sea un As es: P(E ) = 4 1 = 52 13 Ejemplo 8.24 Se arrojan dos dados perfectamente balanceados. ¿Cuál es la probabilidad de que la suma de los dados sea igual a 5? Solución Aquí el espacio muestral es Ω = {(a, b) | 1 ≤ a ≤ 6, 1 ≤ b ≤ 6} donde a es el resultado del primer dado y b es el resultado del segundo dado. El evento es A = {(1, 4), (2, 3), (3, 2), (4, 1)} por lo tanto P ( A) = 4 1 = 36 9 Ejemplo 8.25 (El problema del cumpleaños). Supóngase que los cumpleaños de las personas se distribuyen uniformemente entre los 365 días del año (ignorando los años bisiestos). Calcular la probabilidad de que n personas elegidas al azar tengan distintos cumpleaños. Solución El espacio muestral es Ω = {(x1, …, xn) | 1 ≤ xj ≤ 365, 1 ≤ j ≤ n} ALFAOMEGA capitulo 8.indd 324 MATEMÁTICAS DISCRETAS – RAMÓN ESPINOSA ARMENTA 2/2/10 11:39:37 PM 8.8 RESUMEN 325 por lo que | Ω | = 365n. Sea A el subconjunto de Ω formado por los arreglos cuyas entradas son distintas. Por lo tanto | A | = 365 (364) … (365 − n + 1). De aquí se sigue que la probabilidad deseada es 365(364) (365 − n + 1) 365n n − 1⎞ 1 ⎞⎛ 2 ⎞ ⎛ = ⎛⎜ 1 − ⎟ ⎟ ⎜1 − ⎟ ⎜ 1 − ⎝ 365 ⎠ ⎝ 365 ⎠ ⎝ 365 ⎠ P( A) = Se puede comprobar que si n ≥ 23 entonces P(A) < 1 ⁄ 2. Es decir, si se tiene un grupo de al menos 23 personas, la probabilidad de que al menos dos personas del grupo celebren su cumpleaños el mismo día es mayor que 1 ⁄ 2. Si n = 56 entonces P(A) = 0.01, ¡lo cual significa que en un grupo de 56 personas es casi seguro que dos personas tengan el mismo día de cumpleaños! Ejemplo 8.26 Diez personas van a hacer un intercambio de regalos. Si los regalos se reparten al azar, ¿cuál es la probabilidad de que a ninguna de las personas le toque su propio regalo? Solución El número de maneras distintas de repartir los diez regalos de modo que a ninguna persona le toque su propio regalo es D10 ⯝ 10! e−1. Por esto, la probabilidad de que a ninguna persona le toque su propio regalo es D10 e −1 10! Además, ¡esta probabilidad es prácticamente la misma para 10 personas que para 10,000 personas! 8.8 Resumen Al inicio del capítulo se expusieron las nociones de permutación y combinación, y en relación con este tema se puede usar el siguiente simulador. El simulador PERMUTACIONES Y COMBINACIONES permite calcular el número de combinaciones y/o permutaciones de n elementos en arreglos de tamaño r. MATEMÁTICAS DISCRETAS – RAMÓN ESPINOSA ARMENTA capitulo 8.indd 325 ALFAOMEGA 2/2/10 11:39:38 PM 326 VIII. CONTEO También se mostró cómo utilizar argumentos combinatorios para demostrar teoremas, se presentaron permutaciones de objetos no necesariamente distintos y se generalizó el teorema del binomio para obtener el teorema del multinomio. Se planteó cómo determinar el número de soluciones enteras de ecuaciones lineales con coeficientes unitarios, se definió el concepto de espacio finito de probabilidad, se utilizaron las técnicas de conteo vistas anteriormente para resolver problemas en espacios equiprobables y por último se expuso el principio de inclusión-exclusión. En el siguiente capítulo se exponen otras técnicas de conteo: funciones generadoras y relaciones de recurrencia. 8.9 Problemas Permutaciones y combinaciones 8.1 ¿De cuántas maneras se puede elegir un Presidente, un Secretario y un Tesorero de un comité de siete personas? 8.2 Usando el simulador PERMUTACIONES Y COMBINACIONES resolver el problema anterior. 8.3 Un equipo de béisbol consta de nueve jugadores, ¿cuántas órdenes al bat son posibles si el pitcher siempre batea en la novena posición? 8.4 Usando el simulador PERMUTACIONES Y COMBINACIONES resolver el problema anterior. 8.5 ¿Cuántos enteros entre 10,000 y 100,000 sólo utilizan los dígitos 3, 6 ó 9? ALFAOMEGA capitulo 8.indd 326 MATEMÁTICAS DISCRETAS – RAMÓN ESPINOSA ARMENTA 2/2/10 11:39:39 PM 8.9 PROBLEMAS 327 8.6 Usando el simulador PERMUTACIONES Y COMBINACIONES resolver el problema anterior. 8.7 ¿Cuántos enteros entre 1000 y 9999 inclusive son impares y tienen dígitos distintos? 8.8 Usando el simulador PERMUTACIONES Y COMBINACIONES resolver el problema anterior. 8.9 ¿De cuántas maneras se pueden colocar en el tablero de ajedrez 8 torres, de modo que no se pueda comer una a la otra? 8.10 Usando el simulador PERMUTACIONES Y COMBINACIONES resolver el problema anterior. 8.11 ¿De cuántas formas se pueden sentar 8 personas alrededor de una mesa redonda, si dos de las 8 no pueden sentarse en sillas contiguas? 8.12 Usando el simulador PERMUTACIONES Y COMBINACIONES resolver el problema anterior. MATEMÁTICAS DISCRETAS – RAMÓN ESPINOSA ARMENTA capitulo 8.indd 327 ALFAOMEGA 2/2/10 11:39:41 PM 328 VIII. CONTEO 8.13 ¿De cuántas maneras se pueden sentar 5 mujeres y 5 hombres alrededor de una mesa redonda, si deben sentarse alternadamente? 8.14 Usando el simulador PERMUTACIONES Y COMBINACIONES resolver el problema anterior. 8.15 ¿Cuántas diagonales se pueden trazar en un polígono regular de n lados? 8.16 Usando el simulador PERMUTACIONES Y COMBINACIONES resolver el problema anterior. 8.17 Un estudiante debe contestar diez preguntas de un examen que tiene quince preguntas. ¿De cuántas maneras puede hacer su elección? 8.18 Usando el simulador PERMUTACIONES Y COMBINACIONES resolver el problema anterior. 8.19 Si el estudiante de la pregunta anterior debe elegir seis preguntas de las primeras ocho, y cuatro de las últimas siete, ¿de cuántas formas puede elegir las diez preguntas? 8.20 Usando el simulador PERMUTACIONES Y COMBINACIONES resolver el problema anterior. ALFAOMEGA capitulo 8.indd 328 MATEMÁTICAS DISCRETAS – RAMÓN ESPINOSA ARMENTA 2/2/10 11:39:43 PM 8.9 PROBLEMAS 329 8.21 ¿Cuántas manos de póker hay que no tengan dos cartas del mismo número? 8.22 Usando el simulador PERMUTACIONES Y COMBINACIONES resolver el problema anterior. 8.23 ¿Cuántas manos de póker habría en las que aparezcan por lo menos dos cartas del mismo número? 8.24 Usando el simulador PERMUTACIONES Y COMBINACIONES resolver el problema anterior. 8.25 Una mano de póker se dice que es ful, si consta de un par (es decir, dos cartas del mismo número) y una tercia (tres cartas del mismo número). ¿Cuántas manos de póker son ful? 8.26 Usando el simulador PERMUTACIONES Y COMBINACIONES resolver el problema anterior. 8.27 ¿Cuántas manos de póker hay que tengan exactamente una tercia y que no sean ful? 8.28 Usando el simulador PERMUTACIONES Y COMBINACIONES resolver el problema anterior. MATEMÁTICAS DISCRETAS – RAMÓN ESPINOSA ARMENTA capitulo 8.indd 329 ALFAOMEGA 2/2/10 11:39:45 PM 330 VIII. CONTEO 8.29 Una mano de póker se dice que es un póker, si hay cuatro cartas del mismo número ¿Cuántas manos de póker hay que sean póker? 8.30 Usando el simulador PERMUTACIONES Y COMBINACIONES resolver el problema anterior. 8.31 ¿Cuántas manos de póker hay que tengan al menos tres cartas del mismo número? 8.32 Usando el simulador PERMUTACIONES Y COMBINACIONES resolver el problema anterior. 8.33 ¿Cuántas manos de dominó tienen exactamente cuatro fichas dobles? 8.34 Usando el simulador PERMUTACIONES Y COMBINACIONES resolver el problema anterior. 8.35 ¿Cuántas manos de póker hay que sean corrida, es decir, que las cinco cartas tengan números consecutivos? (Nota: la numeración 10, J, Q, K, 1 también se considera una corrida.) 8.36 Usando el simulador PERMUTACIONES Y COMBINACIONES resolver el problema anterior. ALFAOMEGA capitulo 8.indd 330 MATEMÁTICAS DISCRETAS – RAMÓN ESPINOSA ARMENTA 2/2/10 11:39:47 PM 8.9 PROBLEMAS 331 8.37 ¿Cuántas manos de póker hay que sean flor, es decir, que las cinco cartas sean del mismo palo? 8.38 Usando el simulador PERMUTACIONES Y COMBINACIONES resolver el problema anterior. 8.39 ¿Cuántas manos de póker hay que sean flor imperial, es decir, que sea flor y corrida? 8.40 Usando el simulador PERMUTACIONES Y COMBINACIONES resolver el problema anterior. 8.41 ¿Cuántas manos de dominó tienen al menos cuatro fichas dobles? 8.42 Usando el simulador PERMUTACIONES Y COMBINACIONES resolver el problema anterior. 8.43 Un hombre tiene cinco amigos, ¿de cuántas maneras puede invitar a uno o más a cenar a su casa? 8.44 Usando el simulador PERMUTACIONES Y COMBINACIONES resolver el problema anterior. MATEMÁTICAS DISCRETAS – RAMÓN ESPINOSA ARMENTA capitulo 8.indd 331 ALFAOMEGA 2/2/10 11:39:49 PM 332 VIII. CONTEO CoeÀcientes multinomiales 8.45 ¿De cuántas maneras distintas se pueden ordenar las letras de la palabra ABRACADABRA? 8.46 ¿De cuántas maneras distintas se pueden ordenar las letras de la palabra OTORRINOLARINGOLOGO? 8.47 ¿De cuántas maneras distintas se pueden ordenar las letras de la palabra SUPERCALIFRAGILISTICO? 8.48 ¿De cuántas maneras se pueden distribuir 15 objetos distintos en cuatro urnas distintas, de modo que haya tres objetos en la primera, cuatro en la segunda, dos en la tercera y seis en la cuarta? 8.49 En una partida de bridge, las 52 cartas se reparten entre cuatro personas, ¿de cuántas maneras se pueden repartir las cartas? 8.50 En un grupo hay 30 alumnos, ¿de cuántas maneras distintas se pueden formar 15 equipos de 2 alumnos cada uno? Ecuaciones lineales con coeÀcientes unitarios 8.51 Determinar el número de soluciones en enteros positivos de la ecuación x1 + x2 + x3 + x4 + x5 = 48 8.52 Determinar el número de soluciones en enteros no negativos de la ecuación x1 + x2 + x3 + x4 + x5 = 37 8.53 Determinar el número de soluciones en enteros de la ecuación x1 + x2 + x3 + x4 = 42 si xj > 5 para toda j = 1, 2, 3, 4. 8.54 Determinar el número de soluciones en enteros de la ecuación: x1 + x2 + x3 + x4 = 64 si x1 > 2, x2 > 3, x3 > 0 ALFAOMEGA capitulo 8.indd 332 y x4 > 1. MATEMÁTICAS DISCRETAS – RAMÓN ESPINOSA ARMENTA 2/2/10 11:39:51 PM 8.9 PROBLEMAS 333 Principio de inclusión-exclusión 8.55 Tres periódicos, A, B y C se publican en una ciudad. Los siguientes resultados fueron obtenidos en una encuesta entre la población adulta de la ciudad: 20% leen A, 16% leen B, 14% leen C, 8% leen tanto A como B, 5% leen A y C, 4% leen B y C, y 2% leen los tres periódicos. ¿Qué porcentaje de la población adulta no lee ningún periódico? 8.56 ¿Cuántos enteros entre 1 y 700 inclusive no son divisibles entre 2, 3, 5 ni 7? 8.57 ¿Cuántos enteros positivos menores o iguales que 100 no tienen factores primos repetidos? 8.58 Determinar el número de soluciones enteras de la ecuación x1 + x2 + x3 + x4 + = 19 tales que 0 ≤ xj < 8 para toda j = 1, 2, 3, 4. 8.59 Determinar el número de soluciones enteras de la ecuación x1 + x2 + x3 + x4 + = 32 tales que 2 ≤ xj ≤ 15 para toda j = 1, 2, 3, 4. 8.60 ¿Cuántos enteros del uno al un millón inclusive, no son ni cuadrados perfectos, ni cubos perfectos, ni potencias cuartas perfectas? 8.61 Determinar el número de permutaciones de las 26 letras del alfabeto, de modo que no aparezcan las palabras: RIO, UVA o SED. 8.62 Dos profesores de dos materias distintas van a hacer un examen oral a 6 estudiantes a la misma hora. Cada estudiante será examinado individualmente por 10 minutos. ¿De cuántas maneras distintas se puede planear el orden en que los estudiantes van a ser examinados, de modo que ningún estudiante tenga que ver a los dos profesores al mismo tiempo? Extensión del principio de inclusión-exclusión 8.63 A partir de lo expuesto en la lectura adicional EXTENSIÓN DEL PRINCIPIO DE INCLUSIÓN-EXCLUSIÓN resolver el siguiente problema. Un grupo de n personas intercambia regalos al azar. Mostrar que si n es suficientemente grande, entonces la probabilidad de que a exactamente una persona le toque su propio regalo es prácticamente igual a la probabilidad de que a ninguna persona le toque su propio regalo. MATEMÁTICAS DISCRETAS – RAMÓN ESPINOSA ARMENTA capitulo 8.indd 333 ALFAOMEGA 2/2/10 11:39:51 PM 334 VIII. CONTEO 8.64 A partir de lo expuesto en la lectura adicional EXTENSIÓN DEL PRINCIPIO DE INCLUSIÓN-EXCLUSIÓN resolver el siguiente problema. ¿Cuántas permutaciones de un conjunto con n elementos dejan exactamente m elementos en su posición original? Espacios Ànitos de probabilidad 8.65 Sea (Ω, P) un espacio finito de probabilidad. Demostrar que a) P(∅) = 0; b) P(Ac) = 1 − P(A); c) Si A ⊆ B) entonces = P(A) ≤ P(B). 8.66 Calcular la probabilidad de que una mano de póker elegida al azar de una baraja sea a) ful; b) póker; c) corrida; d) flor imperial. 8.67 Calcular la probabilidad de que en una mano de dominó aparezcan al menos 4 fichas dobles. 8.68 ¿Cuál es la probabilidad de que al arrojar dos veces un dado la suma de los resultados sea par? 8.69 Una moneda perfectamente balanceada se arroja n veces. Calcular la probabilidad de que al menos una vez el resultado sea cara. 8.70 Si 3 bolas se eligen al azar de una urna conteniendo 6 bolas blancas y 7 bolas negras, ¿cuál es la probabilidad de que una bola sea blanca y las otras dos sean negras? ALFAOMEGA capitulo 8.indd 334 MATEMÁTICAS DISCRETAS – RAMÓN ESPINOSA ARMENTA 2/2/10 11:39:52 PM 8.10 8.10 CONTENIDO INTERACTIVO 335 Contenido interactivo El material marcado con asterisco (*) sólo está disponible para docentes. Mapa conceptual Simulador • Permutaciones y combinaciones Lectura adicional • Extensión del principio de inclusión-exclusión Respuesta y desarrollo de problemas seleccionados *Presentaciones *Respuesta y desarrollo de problemas Glosario MATEMÁTICAS DISCRETAS – RAMÓN ESPINOSA ARMENTA capitulo 8.indd 335 ALFAOMEGA 2/2/10 11:39:53 PM CAPÍTULO IX 1 (1 2 ))(3 (3 (3 ) = = Funciones generadoras y recurrencia 2 7(1 2 ) + 1 21(1 (1 / 3) 2 ∞ k k 1 ∞ ( )k x k ∑ 2 x + 21 ∑ 21 7 k =0 k =0 ⎛ 2 k +1 ( ) k ⎞ k + x k +1 ⎟ ⎝ ⎠ 7 7( ( ) k =0 ∞ =∑ 9.1 9.2 9.3 9.4 9.5 9.6 9.7 9.8* 9.9 9.10 9.11 Introducción Funciones generadoras ordinarias Particiones de enteros Funciones generadoras exponenciales Relaciones de recurrencia Recurrencias lineales homogéneas Solución mediante funciones generadoras Funciones generadoras de probabilidad Resumen Problemas Contenido interactivo *Ver Plataforma de contenidos interactivos. capitulo 9.indd 336 2/2/10 11:42:18 PM a( x ) = (x (x5 x6 = (1 + x + x 2 + ∞ ∑ 2x ))(x (x3 x4 ))(x (x3 k =0 2∑ x k = k 0 x6 ) Elizabeth Barret Browning 2 1− x Aak + Ba Bak − 2 = A(λ1bk + λ ck −1 ) B(λ1bk = λ1 ( x5 )2 ( x 11 + x 12 + x 13 + x 14 ). ∞ k x4 k 1 k 2 ¿Cómo te amo? Déjame contar las formas. ) + λ2 ( k 1 λ ck − 2 ) k 2 ) = λ1 + λ2 ck = ak . Objetivos • • • • • capitulo 9.indd 337 Utilizar funciones generadoras ordinarias para resolver problemas de conteo. Utilizar funciones generadoras exponenciales para resolver problemas de conteo. Modelar problemas por medio de relaciones de recurrencia. Resolver relaciones de recurrencia lineales homogéneas. Utilizar funciones generadoras para resolver relaciones de recurrencia. 2/2/10 11:42:25 PM 338 IX. 9.1 FUNCIONES GENERADORAS Y RECURRENCIA Introducción En muchos problemas de conteo se busca determinar una cantidad ak, que depende de un parámetro k = 0, 1, 2, …. En este capítulo se analiza cómo construir una función a partir de la cual se pueda generar la sucesión (ak), además de que se demuestra que dependiendo del problema de conteo se tiene una función generadora ordinaria o una función generadora exponencial. Se analiza lo que pasa cuando la sucesión (ak) se puede describir recursivamente, y se modelan diversos problemas por medio de una relación de recurrencia. En particular se presentan problemas clásicos, como el problema de las torres de Hanoi o el problema de los conejos de Fibonacci. Se muestra cómo resolver recurrencias lineales homogéneas a partir de las raíces de un polinomio, llamado polinomio característico, así como resolver recurrencias por medio de funciones generadoras. 9.2 Funciones generadoras ordinarias Considérese la suma geométrica 1 + x + x 2 + x 3 + + x n−1 = 1 − xn 1− x Si | x | < 1 entonces xn tiende a cero cuando n tiende a infinito. Esto sugiere escribir 1 + x + x2 + x3 + = 1 1− x La expresión del lado izquierdo se conoce como la serie geométrica. Una serie de potencias es una expresión de la forma: a( x ) = a0 + a1 x + a2 x 2 + a3 x 3 + donde a0, a1, a2, a3, …, son números reales llamados coeÀcientes de la serie. Una serie de potencias también se puede escribir como: ∞ a ( x ) = ∑ ak x k k =0 ALFAOMEGA capitulo 9.indd 338 MATEMÁTICAS DISCRETAS – RAMÓN ESPINOSA ARMENTA 2/2/10 11:42:29 PM 9.2 FUNCIONES GENERADORAS ORDINARIAS 339 Hay que observar que a0 x0 es simplemente otra forma de escribir a0, y que a1 x1 no es sino a1x. Dos series de potencias son iguales si todos sus coeficientes coinciden. Una serie de potencias puede pensarse como una función definida para aquellos valores de x para los cuales la serie converge. (Hay que observar que una serie de potencias a(x) siempre converge para x = 0 y que a(0) = a0). En este capítulo no interesa discutir la convergencia de series de potencias, por lo que se supondrá que x ha sido elegida de modo que la serie converja. Dada una función representada como una serie de potencias, se puede obtener el desarrollo en serie de potencias de otras funciones haciendo un cambio de variable. Por ejemplo, escribiendo −x en lugar de x en la serie geométrica se obtiene ∞ 1 = ∑ (−1) k x k 1 + x k =0 El producto de un número real l por una serie de potencias a( x ) = define como ∑ ∞ k =0 ak x k se ∞ λ a ( x ) = ∑ λ ak x k k =0 Ejemplo 9.1. ∞ ∞ 2 ∑ 2 x = 2∑ x = 1 − x k k k =0 k =0 La suma de dos series de potencias b( x ) = ∑ ∞k = 0 bk x k a( x ) = ∑ ∞k = 0 ak x k y se deÀne como ∞ a( x ) + b( x ) = ∑ (ak + bk ) x k k =0 MATEMÁTICAS DISCRETAS – RAMÓN ESPINOSA ARMENTA capitulo 9.indd 339 ALFAOMEGA 2/2/10 11:42:31 PM 340 IX. Ejemplo 9.2 FUNCIONES GENERADORAS Y RECURRENCIA Obtener el desarrollo en series de potencias de la función 1 (1 − 2 x )(3 + x ) Solución Utilizando fracciones parciales, y factorizando términos, se tiene que 1 2 1 = + (1 − 2 x )(3 + x ) 7(1 − 2 x ) 21(1 + x / 3) = 2 ∞ k k 1 ∞ (−1) k x k ∑ 2 x + 21 ∑ 3k 7 k =0 k =0 ∞ ⎛ 2 k +1 (−1) k ⎞ k x = ∑⎜ + 7(3k +1 ) ⎟⎠ k =0 ⎝ 7 El producto de dos series de potencias a( x ) = ∑ ∞k = 0 ak x k y b( x ) = ∑ ∞k = 0 bk x k se deÀne como ∞ a ( x ) b ( x ) = ∑ ck x k k =0 donde k ck = ∑ a j bk − j j=0 Ejemplo 9.3 Si a( x ) = ∑ ∞k = 0 ak x k y b( x ) = ∑ ∞k = 0 bk x k entonces ∞ k k =0 j=0 a ( x ) b ( x ) = ∑ (∑ a j ) x k ALFAOMEGA capitulo 9.indd 340 MATEMÁTICAS DISCRETAS – RAMÓN ESPINOSA ARMENTA 2/2/10 11:42:58 PM 9.2 Ejemplo 9.4 FUNCIONES GENERADORAS ORDINARIAS 341 Sea a(x) la serie geométrica. Por lo tanto k a ( x ) a ( x ) = ∑ ck x k j=0 donde k ck = ∑ a j a k − j j=0 Como aj = 1 para toda j ≥ 0, se sigue que ck = k + 1 para toda k. De aquí que ∞ 1 = ∑ (k + 1) x k (1 − x )2 i = 0 Del teorema del binomio se tiene que n ⎛ n⎞ (1 + x )n = ∑ ⎜ ⎟ x k k =0 ⎝ k ⎠ donde ⎛ n ⎞ n(n − 1) (n − k + 1) ⎜⎝ k ⎟⎠ = k! es el coeficiente binomial, el cual está definido para n, k ∈ , con 0 ≤ k ≤ n. En cursos de Cálculo se prueba el teorema binomial generalizado, que establece que, para cualquier a ∈ , ∞ ⎛α⎞ (1 + x )α = ∑ ⎜ ⎟ x k k =0 ⎝ k ⎠ ⎛α⎞ donde ⎜ ⎟ es el coeficiente binomial generalizado, definido como: ⎝k⎠ ⎛ α ⎞ α (α − 1) (α − k + 1) si k > 0 ⎜⎝ k ⎟⎠ = k! MATEMÁTICAS DISCRETAS – RAMÓN ESPINOSA ARMENTA capitulo 9.indd 341 ALFAOMEGA 2/2/10 11:43:02 PM 342 IX. FUNCIONES GENERADORAS Y RECURRENCIA y ⎛α⎞ ⎜⎝ 0 ⎟⎠ = 1 En el siguiente ejemplo se muestra una importante aplicación del teorema binomial generalizado. Ejemplo 9.5 Determinar la serie de potencias de 1 (1 − x )n donde n ∈ . Solución 1 = (1 + (− x ))− n (1 − x )n ∞ ⎛ −n⎞ = ∑ ⎜ ⎟ (− x ) k k =0 ⎝ k ⎠ ∞ ⎛ − n⎞ = ∑ ⎜ ⎟ (−1) k x k ⎝ k⎠ k =0 ∞ − n(− n − 1) (− n − k + 1) (−1) k x k k ! k =0 =∑ ∞ n(n + 1) (n + k − 1) k x k! k =0 =∑ ∞ ⎛ n + k − 1⎞ k = ∑⎜ ⎟⎠ x k k =0 ⎝ Sea (ak) = a0, a1, a2, … una sucesión de números reales. La función generadora ordinaria de esta sucesión es la función: ∞ a ( x ) = ∑ ak x k k =0 ALFAOMEGA capitulo 9.indd 342 MATEMÁTICAS DISCRETAS – RAMÓN ESPINOSA ARMENTA 2/2/10 11:43:03 PM 9.2 Ejemplo 9.6 FUNCIONES GENERADORAS ORDINARIAS 343 La función generadora ordinaria de la sucesión (3, 0, 1, −2, 0, 0, …) es el polinomio a(x) = 3 + x2 − 2x3 ⎛ n⎞ Ejemplo 9.7 Sea n ∈ , arbitrario pero fijo, y sea ak = ⎜ ⎟ si k = 0, 1, 2, …, n y ⎝ k⎠ ak = 0 si k ≥ n. La función generadora ordinaria de esta sucesión es: n ⎛ n⎞ ∑ ⎜⎝ k ⎟⎠ x = (1 + x ) k n k =0 Ejemplo 9.8 La función generadora ordinaria de la sucesión ak = 1 es: ∞ 1 ∑ x = 1− x k k =0 Ejemplo 9.9 La función generadora ordinaria de la sucesión ak = k + 1, es: ∞ 1 ∑ (k + 1) x = (1 − x ) k k =0 2 En ocasiones interesa determinar un término particular en una serie de potencias, como se muestra en el siguiente ejemplo. MATEMÁTICAS DISCRETAS – RAMÓN ESPINOSA ARMENTA capitulo 9.indd 343 ALFAOMEGA 2/2/10 11:43:05 PM 344 IX. Ejemplo 9.10 FUNCIONES GENERADORAS Y RECURRENCIA Obtener el término a12 de la sucesión generada por la función a( x ) = ( x + x 2 + + x 6 )3 Solución x + x 2 + + x 6 = x (1 + x + + x 5 ) ⎛ 1 − x6 ⎞ = x⎜ ⎝ 1 − x ⎟⎠ Por lo tanto a( x ) = x 3 (1 − x 6 )3 (1 − x )3 De modo que a(x) = b(x)c(x), donde b( x ) = x 3 (1 − x 6 )3 = x 3 − 3 x 9 + 3 x 15 − x 21 y c( x ) = ∞ 1 ⎛ k + 2⎞ k = ∑ ⎜ k ⎟⎠ x 3 (1 − x ) k =0 ⎝ De aquí que 12 a12 = ∑ bk c12− k k =0 = c9 − 3c3 ⎛ 11⎞ ⎛ 5⎞ = ⎜ ⎟ − 3⎜ ⎟ ⎝ 9⎠ ⎝ 3⎠ = 25. En los siguientes ejemplos se muestra cómo se pueden utilizar funciones generadoras ordinarias para resolver problemas de conteo en los que no importa el orden. ALFAOMEGA capitulo 9.indd 344 MATEMÁTICAS DISCRETAS – RAMÓN ESPINOSA ARMENTA 2/2/10 11:43:05 PM 9.2 FUNCIONES GENERADORAS ORDINARIAS 345 Ejemplo 9.11 Supóngase que se tienen 8 canicas, de las cuales dos son azules, tres son blancas, una es roja, otra es verde y otra es negra. Supóngase además que canicas del mismo color son indistinguibles. Sea ak el número de maneras de elegir k canicas, y sea a(x) la función generadora ordinaria de la sucesión (ak). Se afirma que a( x ) = (1 + x + x 2 )(1 + x + x 2 + x 3 )(1 + x )3 La razón es que para obtener el coeficiente de xk en a(x) es necesario elegir a lo más un término del factor 1 + x + x2, a lo más un término del factor 1 + x + x2 + x3 y a lo más un término de cada uno de los tres factores 1 + x. La contribución del factor 1 + x + x2 en la formación del coeficiente de xk puede ser cero, uno o dos, dependiendo del término que se elija, lo cual equivale a elegir cero, una o dos canicas azules. La contribución del factor 1 + x + x2 + x3 equivale a elegir cero, una, dos o tres canicas blancas, y finalmente la contribución de cada uno de los factores 1 + x equivale a elegir una canica o ninguna de cada uno de los colores restantes. Ejemplo 9.12 Supóngase que se tienen p tipos diferentes de objetos, cada uno de ellos disponible (para propósitos prácticos) en cualquier cantidad. ¿De cuántas maneras se pueden elegir k objetos? Solución Se busca el coeficiente ak de la función generadora ordinaria a( x ) = ( 1 + x + x 2 + )(1 + x + x 2 + ) (1 + x + x 2 + ) p término os = (1 + x + x 2 + x 3 + ) p = 1 . (1 − x ) p Por lo tanto ⎛ p + k − 1⎞ ak = ⎜ ⎝ k ⎟⎠ Ejemplo 9.13 Si hay un número ilimitado de caramelos de colores rojo, verde y amarillo, ¿de cuántas formas puede un niño seleccionar 24 caramelos, de modo que tenga al menos seis rojos y un número par de caramelos amarillos? MATEMÁTICAS DISCRETAS – RAMÓN ESPINOSA ARMENTA capitulo 9.indd 345 ALFAOMEGA 2/2/10 11:43:06 PM 346 IX. Solución FUNCIONES GENERADORAS Y RECURRENCIA Se busca el coeficiente de x24 en la función generadora ordinaria a( x ) = ( x 6 + x 7 + x 8 + )(1 + x + x 2 + )(1 + x 2 + x 4 + ) = x 6 (1 + x + x 2 + )2 (1 + x 2 + x 4 + ) = x6 x6 = . (1 − x )2 (1 − x 2 ) (1 − x )3 (1 + x ) De modo que a(x) = b(x)c(x), donde b( x ) = ∞ ∞ x6 ⎛ k + 2⎞ k ⎛ k − 4⎞ k = x6 ∑ ⎜ x = ∑⎜ ⎟ ⎟x 3 ⎝ ⎠ k (1 − x ) k =0 k =6 ⎝ k − 6 ⎠ y c( x ) = ∞ 1 1 = = ∑ (−1) k x k 1 + x 1 − (− x ) k = 0 Por lo tanto 24 ⎛ k − 4⎞ 24 − k a24 = ∑ ⎜ ⎟⎠ (−1) ⎝ − 6 k k =6 ⎛ 2 ⎞ ⎛ 3⎞ ⎛ 4 ⎞ ⎛ 20 ⎞ = ⎜ ⎟ − ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ −+ ⎜ ⎟ ⎝ 0⎠ ⎝ 1 ⎠ ⎝ 2⎠ ⎝ 18 ⎠ Ejemplo 9.14 ¿De cuántas formas se pueden repartir 15 monedas idénticas entre 3 niños, A, B y C, de modo que A reciba al menos cinco monedas, B y C reciban al menos tres cada uno, pero que C no reciba más de seis? Solución Este problema es equivalente a hallar todas las soluciones enteras de la ecuación x1 + x2 + x3 = 15 con las restricciones: 5 ≤ x1, 3 ≤ x2, 3 ≤ x3, ≤ 6. Este número es igual al coeficiente de x15 en la función generadora ordinaria: a( x ) = ( x 5 + x 6 + )( x 3 + x 4 + )( x 3 + x 4 + x 5 + x 6 ) = (1 + x + x 2 + )2 ( x 11 + x 12 + x 13 + x 14 ). ALFAOMEGA capitulo 9.indd 346 MATEMÁTICAS DISCRETAS – RAMÓN ESPINOSA ARMENTA 2/2/10 11:43:07 PM 9.3 PARTICIONES DE ENTEROS 347 Por lo tanto a(x) = b(x)c(x), donde b( x ) = 1 (1 − x )2 y c( x ) = x 11 + x 12 + x 13 + x 14 De aquí que a15 = b4 c11 + b3c12 + b2 c13 + b1c14 = 5 + 4 + 3 + 2+ = 14. 9.3 Particiones de enteros Una partición de un entero positivo n es una colección no ordenada de enteros positivos, cuya suma es igual a n. Estos enteros son llamados partes o sumandos de la partición. Ejemplo 9.15 Las particiones del entero 5 son: 1 + 1 + 1 + 1 + 1; 2 + 1 + 1 + 1; 2 + 2 + 1; 3 + 1 + 1; 3 + 2; 4 + 1; 5 Hay que observar que el número de particiones de n es igual al número de maneras de distribuir n objetos indistinguibles en n urnas distinguibles, permitiendo que algunas urnas estén vacías. El siguiente teorema establece la función generadora ordinaria para el número de particiones de enteros. MATEMÁTICAS DISCRETAS – RAMÓN ESPINOSA ARMENTA capitulo 9.indd 347 ALFAOMEGA 2/2/10 11:43:08 PM 348 IX. FUNCIONES GENERADORAS Y RECURRENCIA Teorema 9.1 Para cada entero positivo n sea pn el número de particiones de n, y defínase por convención p0 = 1. Entonces la función generadora ordinaria de la sucesión (pn) es: ∞ p( x ) = ∏ (1 − x k )−1 k =1 Demostración Para cada entero positivo m, el número de particiones de n en las cuales cada parte no excede m es el coeficiente de xn en la función generadora ordinaria (1 + x + x 2 + )(1 + x 2 + x 4 + ) (1 + x m + x 2 m + ) El primer factor establece cuántas veces aparece el sumando uno; el segundo factor indica cuántas veces aparece el sumando dos, etc. Esta función se puede escribir como: m 1 1 1 = (1 − x k )−1 ∏ (1 − x ) (1 − x 2 ) (1 − x m ) k =1 Como la m es arbitraria, se tiene que ∞ p( x ) = ∏ (1 − x k )−1 k =1 La función generadora ordinaria que se obtuvo en el teorema anterior es poco práctica para calcular explícitamente el número de particiones de un entero positivo n. Sin embargo, se pueden utilizar funciones generadoras ordinarias para obtener resultados interesantes acerca de particiones de enteros. Teorema 9.2 El número de particiones de n en partes distintas es igual al número de particiones de n en partes impares. Demostración La función generadora ordinaria para el número de particiones de n en partes distintas es: ⎛ 1 − x2 ⎞ ⎛ 1 − x4 ⎞ ⎛ 1 − x6 ⎞ (1 + x )(1 + x 2 )(1 + x 3 ) = ⎜ ⎝ 1 − x ⎟⎠ ⎜⎝ 1 − x 2 ⎟⎠ ⎜⎝ 1 − x 3 ⎟⎠ = 1 (1 − x )(1 − x 3 )(1 − x 5 ) = (1 + x + x 2 + )(1 + x 3 + x 6 + ) ALFAOMEGA capitulo 9.indd 348 MATEMÁTICAS DISCRETAS – RAMÓN ESPINOSA ARMENTA 2/2/10 11:43:09 PM 9.4 FUNCIONES GENERADORAS EXPONENCIALES 349 que es la función generadora ordinaria para el número de particiones de n en partes impares. 9.4 Funciones generadoras exponenciales En cursos de Cálculo se define la función exponencial ex y se demuestra que ∞ xk k =0 k ! ex = ∑ En los siguientes ejemplos se definen otras funciones importantes relacionadas con la función exponencial y se determina su desarrollo en series de potencias. Ejemplo 9.16 La función coseno hiperbólico se define como: cosh x = e x + e− x 2 De aquí que cosh x = ∞ (−1) k x k ⎞ 1 ⎛ ∞ xk + ∑ ∑ 2 ⎜⎝ k = 0 k ! k = 0 k ! ⎟⎠ ∞ x 2k k = 0 (2 k )! =∑ Ejemplo 9.17 La función seno hiperbólico se define como: sen h x = e x − e− x 2 Por lo tanto sen h x = ∞ (−1) k x k ⎞ 1 ⎛ ∞ xk −∑ ∑ ⎜ 2 ⎝ k = 0 k ! k = 0 k ! ⎟⎠ x 2 k +1 k = 0 (2 k + 1)! ∞ =∑ MATEMÁTICAS DISCRETAS – RAMÓN ESPINOSA ARMENTA capitulo 9.indd 349 ALFAOMEGA 2/2/10 11:43:10 PM 350 IX. FUNCIONES GENERADORAS Y RECURRENCIA Sea a0, a1, a2, …, una sucesión de números reales. La función generadora exponencial de esta sucesión es la función: ∞ a ( x ) = ∑ ak k =0 xk k! Sea n ∈ , arbitrario pero fijo. Sea Ejemplo 9.18 ak = P(n, k ) = n(n − 1) (n − k + 1) = n! (n − k )! si k = 0, 1, 2, …, n y ak = 0 si k ≥ n. La función generadora exponencial de esta sucesión es: n ∑ P (n, k ) k =0 n xk = ∑ C (n, k ) x k = (1 + x )n k ! k =0 Tipos adicionales de funciones generadoras Además de las funciones generadoras ordinarias y las funciones generadoras exponenciales, entre otras se tienen los siguientes tipos de funciones generadoras: Ejemplo 9.19 La función generadora exponencial de la sucesión ak = 1 es: • Función generadora de Poisson ∞ PG (an ; x ) = ∑ an e −x n=0 ∞ xk ∑ k! = e xn . n! x k =0 • Serie de Lambert ∞ LG (an ; x ) = ∑ an n =1 xn . 1 − xn • Serie de Bell ∞ f p ( x ) = ∑ f ( pn ) x n . n= 0 • Funciones generadoras de Dirichlet ∞ an . s n =1 n DG (an ; s) = ∑ Ejemplo 9.20 Sea a ∈ . La función generadora exponencial de la sucesión ak = ak es: ∞ α k xk ∞ (α x ) k ∑ k! = ∑ k! = e k =0 αx k =0 DG (an ; s) = ∏ f p ( p− s ). p ALFAOMEGA capitulo 9.indd 350 MATEMÁTICAS DISCRETAS – RAMÓN ESPINOSA ARMENTA 2/2/10 11:43:10 PM 9.4 Ejemplo 9.21 FUNCIONES GENERADORAS EXPONENCIALES 351 La función generadora exponencial de la sucesión ⎧1 si k es par; ak = ⎨ ⎩0 en otro caso, es la función: ∞ x 2k ∑ (2k )! = cosh x k =0 Ejemplo 9.22 La función generadora exponencial de la sucesión ⎧1 si k es impar; ak = ⎨ ⎩0 en otro caso, es la función: ∞ x 2 k +1 ∑ (2k + 1)! = senh x k =0 Los siguientes ejemplos muestran cómo se pueden utilizar funciones generadoras exponenciales para resolver problemas de conteo en los que es importante el orden. Ejemplo 9.23 Considérese el alfabeto {a, b}. Tomando en cuenta lo expuesto en el capítulo 8, el número de palabras de longitud k en las cuales a aparece exactamente j veces, es k! j !( k − j) por lo que el número total de palabras de longitud k del alfabeto {a, b} es: ∞ k! ∑ j !(k − j)! j=0 MATEMÁTICAS DISCRETAS – RAMÓN ESPINOSA ARMENTA capitulo 9.indd 351 ALFAOMEGA 2/2/10 11:43:13 PM 352 IX. FUNCIONES GENERADORAS Y RECURRENCIA Resulta que este número es precisamente el coeficiente de xk ⁄ k! en la función generadora exponencial ⎛ ⎞ x x2 x3 1 + ⎜⎝ 1! + 2 ! + 3! + ⎟⎠ 2 Para ver esto se observa que: ∞ ⎛ k ⎛ ⎞ 1 1 ⎞ k x x2 x3 1 + + + + = ∑ ⎜ ∑ j ! ( k − j)! ⎟ x ⎜⎝ 1! 2 ! 3! ⎟⎠ ⎠ k =0 ⎝ j=0 2 ∞ ⎛ k ⎞ xk k! = ∑⎜∑ ⎟ . k = 0 ⎝ j = 0 j !( k − j )! ⎠ k ! Ejemplo 9.24 Determinar el número de palabras de longitud k del alfabeto {a, b, c}, en las que c aparece un número par de veces. Solución Se busca el coeficiente de xk ⁄ k! en la función generadora exponencial 2 ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ x x2 x3 x2 x4 x6 a( x ) = ⎜ 1 + + + + ⎟ ⎜ 1 + + + + ⎟ ⎝ 1! 2 ! 3! ⎠ ⎝ ⎠ 2! 4 ! 6! Equivalentemente a( x ) = (e x )2 cosh x ⎛ e x + e− x ⎞ = e2 x ⎜ ⎝ 2 ⎟⎠ e3 x + e x 2 ∞ 1 xk 1 ∞ xk = ∑ 3k + ∑ 2 k =0 k ! 2 k =0 k ! = ∞ ⎛ 3k + 1 ⎞ x k = ∑⎜ 2 ⎟⎠ k ! k =0 ⎝ Por lo tanto ak = (3k + 1) ⁄ 2. ALFAOMEGA capitulo 9.indd 352 MATEMÁTICAS DISCRETAS – RAMÓN ESPINOSA ARMENTA 2/2/10 11:43:14 PM 9.4 FUNCIONES GENERADORAS EXPONENCIALES 353 Ejemplo 9.25 ¿Cuántas palabras de longitud k del alfabeto {a, b, c} tienen la propiedad de que la letra a aparece exactamente dos veces o ninguna? Solución La función generadora exponencial es: ⎛ ⎞ x2 ⎞ ⎛ x x2 x3 a( x ) = ⎜ 1 + ⎟ ⎜ 1 + + + + ⎟ ⎝ ⎠ 2 ! ⎠ ⎝ 1! 2 ! 3! 2 ⎛ x2 ⎞ = ⎜ 1 + ⎟ e2 x ⎝ 2! ⎠ = e2 x + n = ∑ 2k k =0 n = ∑ 2k k =0 x 2e2 x 2 x k 1 n k x k +2 + ∑2 k ! 2 k =0 k! x k 1 n k −2 xk + ∑ 2 k ( k − 1) k ! 2 k =2 k! Por lo tanto, ak = 2k si k = 0, 1, y ak = 2 k + 2k k ( k − 1) para k ≥ 2 8 En el capítulo 8 se aplicó el principio de inclusión-exclusión para contar el número de funciones suprayectivas, cuando el dominio y el codominio eran finitos. En el siguiente ejemplo se utilizan funciones generadoras para resolver este problema. Ejemplo 9.26 Determinar el número de funciones suprayectivas de un conjunto X con m elementos en un conjunto Y con n elementos. Solución Una función suprayectiva se puede ver como una palabra de longitud m del alfabeto Y, en la que cada símbolo de Y aparece al menos una vez. Por lo tanto se busca el coeficiente de xm ⁄ m! en la función generadora exponencial: MATEMÁTICAS DISCRETAS – RAMÓN ESPINOSA ARMENTA capitulo 9.indd 353 ALFAOMEGA 2/2/10 11:43:14 PM 354 IX. FUNCIONES GENERADORAS Y RECURRENCIA n ⎛ ⎞ x2 x3 x n ⎜⎝ x + 2 ! + 3! + ⎟⎠ = (e − 1) n ⎛ n⎞ = ∑ ⎜ ⎟ (−1) k e( n− k ) x k =0 ⎝ k ⎠ n ∞ (n − k ) m x m ⎛ n⎞ = ∑ ⎜ ⎟ (−1) k ∑ m! k =0 ⎝ k ⎠ m=0 ∞ ⎤ xm ⎡ n ⎛ n⎞ = ∑ ⎢ ∑ ⎜ ⎟ (−1) k (n − k )m ⎥ m=0 ⎣ k =0 ⎝ k ⎠ ⎦ m! Por lo tanto el número de funciones suprayectivas es n ⎛ n⎞ ∑ ⎜⎝ k ⎟⎠ (−1) (n − k ) k m k =0 Ejemplo 9.27 Determinar el número S(n, m) de maneras de distribuir m objetos distintos en n urnas indistinguibles, de modo que ninguna esté vacía. Solución El número de maneras de distribuir m objetos distintos en n urnas distintas, de modo que ninguna esté vacía, es igual al número de funciones suprayectivas de un conjunto con m elementos en un conjunto con n elementos, es decir n ⎛ n⎞ ∑ ⎜⎝ k ⎟⎠ (−1) (n − k ) k m k =0 Por esto S (n, m ) = 1 n ⎛ n⎞ ∑ (−1)k (n − k )m n ! k = 0 ⎜⎝ k ⎟⎠ Los números S(n, m) son llamados números de Stirling del segundo tipo. ALFAOMEGA capitulo 9.indd 354 MATEMÁTICAS DISCRETAS – RAMÓN ESPINOSA ARMENTA 2/2/10 11:43:15 PM 9.5 9.5 355 RELACIONES DE RECURRENCIA Relaciones de recurrencia Una sucesión de números reales (ak) se dice que es una sucesión recurrente, si satisface una ecuación de la forma: Aplicaciones de las funciones generadoras ak = F (ak −1 , ak − 2 , … , ak − p ) k ≥ p Entre otras aplicaciones, las funciones generadoras son útiles para: donde F : p → es una función. En particular, a la ecuación anterior se le llama relación de recurrencia de orden p. • Obtener una fórmula cerrada para una sucesión dada en una relación de recurrencia. Como un ejemplo de esto basta considerar los números de Fibonacci. • Determinar relaciones de recurrencia para sucesiones. En general una relación de recurrencia puede tener un número infinito de soluciones, sin embargo si se añaden las condiciones iniciales a0 = a0, …, an = an, entonces la recurrencia tiene solución única. • Establecer la relación que hay entre sucesiones. • Explorar el comportamiento asintótico de las sucesiones. • Demostrar identidades que involucran sucesiones. Una relación de recurrencia de orden p se dice que es una relación lineal, si es de la forma • Resolver problemas de enumeración en combinatoria. • Evaluar sumas infinitas. ak = c1ak −1 + c2 ak − 2 + + c p ak − p + g( k ) k ≥ p donde c1, c2, …, cp son constantes, con cp ≠ 0, y g(k) es una sucesión de números reales. Si además g(k) = 0 para toda k ∈ , entonces se dice que la recurrencia es una recurrencia lineal homogénea. Ejemplo 9.28 (Interés compuesto). Una persona deposita $C en una cuenta bancaria que le da un rendimiento de r% al año, con interés compuesto anualmente. Sea ak la cantidad en la cuenta después de k años. Hay que observar que ak = ak −1 + r r ⎞ ak −1 = ⎛⎜ 1 + ⎟ ak −1 ⎝ 100 100 ⎠ y que se tiene la condición inicial a0 = C. De esta manera r ⎞ r ⎞ a1 = ⎛⎜ 1 + a = ⎛1 + C ⎝ 100 ⎟⎠ 0 ⎜⎝ 100 ⎟⎠ 2 r ⎞ r ⎞ a = ⎛1 + C a2 = ⎛⎜ 1 + ⎝ 100 ⎟⎠ 1 ⎜⎝ 100 ⎟⎠ 3 r ⎞ r ⎞ a3 = ⎛⎜ 1 + a = ⎛1 + C ⎝ 100 ⎟⎠ 2 ⎜⎝ 1000 ⎟⎠ MATEMÁTICAS DISCRETAS – RAMÓN ESPINOSA ARMENTA capitulo 9.indd 355 ALFAOMEGA 2/2/10 11:43:16 PM 356 IX. FUNCIONES GENERADORAS Y RECURRENCIA por lo que se puede conjeturar que k r ⎞ ak = ⎛⎜ 1 + C ⎝ 100 ⎟⎠ ∀k ≥ 0 A continuación se usa inducción matemática para probar la conjetura. Si k = 0 entonces 0 r ⎞ a0 = C = ⎛⎜ 1 + C ⎝ 100 ⎟⎠ por lo que la fórmula se cumple. Supóngase que el resultado es cierto para k − 1. Por tanto r ⎞ ak −1 = ⎛⎜ 1 + ⎝ 100 ⎟⎠ k −1 C De aquí que r ⎞ ak = ⎛⎜ 1 + a ⎝ 100 ⎟⎠ k −1 Francois Èdouard Anatole Lucas (1842-1891) E ste matemático francés es conocido por su estudio de la sucesión de Fibonacci, respecto de la cual planteó una fórmula para obtener el n-ésimo término de la misma: n fn = 1 ⎛1+ 5⎞ 1 ⎛1− 5⎞ − 5 ⎜⎝ 2 ⎟⎠ 5 ⎜⎝ 2 ⎟⎠ capitulo 9.indd 356 k −1 C k r ⎞ = ⎛⎜ 1 + C. ⎝ 100 ⎟⎠ n En el área de la teoría de números, Lucas planteó un método para analizar la primalidad de los números de Mersenne (números de la forma 2p − 2, en donde p es primo), en particular, usando su método, en 1876 demostró que el número 2127 − 1 es un número primo. El método de Lucas es el siguiente: sean s2 = 4, s3 = 14, s4 = 194, y en general sn = sn2−1 − 2 , entonces dado un número de Mersenne Mp = 2p − 1 con p > 2 se tiene que Mp es primo si y sólo si sp es divisible por Mp. ALFAOMEGA r ⎞⎛ r ⎞ = ⎛⎜ 1 + 1+ ⎝ 100 ⎟⎠ ⎜⎝ 100 ⎠⎟ El siguiente problema fue planteado en 1883 por el matemático francés Èdouard Lucas. Ejemplo 9.29 (La torre de Hanoi). En el templo de Benares, en la ciudad de Hanoi, hace muchos, muchos años, se pusieron tres agujas de diamante, en posición vertical. En una de esas agujas se colocaron 64 discos de oro de diferentes diámetros, el mayor en la base y el resto en orden natural con el más pequeño hasta arriba, formando una torre como se muestra en la siguiente figura: MATEMÁTICAS DISCRETAS – RAMÓN ESPINOSA ARMENTA 2/2/10 11:43:18 PM 9.5 RELACIONES DE RECURRENCIA 357 Desde entonces, los monjes del templo trabajan día y noche moviendo los discos uno por uno, colocándolos en alguno de los postes, y obedeciendo la regla divina de no colocar un disco sobre uno más pequeño. Según la leyenda, cuando los 64 discos hayan sido movidos para formar una torre en una aguja distinta a la original, el templo y los monjes se convertirán en polvo, y junto con ellos el mundo desaparecerá. Solución El problema sugiere considerar una situación más general, donde hay k discos y no precisamente 64. Sea tk el número mínimo de movimientos necesarios para transferir k discos a otra aguja. Es claro que t1 = 1, por otra parte, para mover k discos es necesario mover primero los k − 1 discos de hasta arriba a otra aguja, y esto se puede lograr con tk−1 movimientos. Después es necesario un movimiento para transferir el disco mayor a la aguja restante, por último son necesarios tk−1 movimientos para colocar los k − 1 discos encima del disco mayor. En conclusión t k = 2t k −1 + 1 k = 2, 3, … Hay que observar que t2 = 2t1 + 1 = 3 = 22 − 1 t3 = 2t2 + 1 = 7 = 23 − 1 t4 = 2t3 + 1 = 15 = 24 − 1 por lo que se puede conjeturar que t k = 2 k − 1 k = 1, 2, 3, … A continuación se utiliza inducción matemática para probar la conjetura planteada. Si k = 1 entonces t1 = 1 = 21 − 1, por lo que la fórmula se cumple. Supóngase que el resultado es cierto para k. Por lo tanto t k +1 = 2t k + 1 = 2(2 k − 1) + 1 = 2 k +1 − 1 Con esto se concluye que tk = 2k − 1 para todo entero positivo k. En el problema original se tiene que k = 64, de modo que los monjes requerirán al menos 264 − 1 movimientos. Si los monjes pueden mover un disco por segundo, trabajando día y noche sin descansar y sin cometer errores, el tiempo necesario para completar su tarea será de aproximadamente 600,000 millones de años. ¡De modo que podemos estar tranquilos, pues falta mucho para el fin del mundo! MATEMÁTICAS DISCRETAS – RAMÓN ESPINOSA ARMENTA capitulo 9.indd 357 ALFAOMEGA 2/2/10 11:43:29 PM 358 IX. FUNCIONES GENERADORAS Y RECURRENCIA Ejemplo 9.30 Un conjunto de k círculos se dice que está en posición general si cada par de círculos se intercepta en exactamente dos puntos, y no hay tres círculos interceptándose en un solo punto. La siguiente figura muestra tres círculos en posición general: Sea ak el número de regiones en las que el plano es dividido por k círculos en posición general. Se puede verificar fácilmente que a1 = 2, a2 = 4 y a3 = 8. Para describir ak por medio de una relación de recurrencia, hay que observar que si se tienen k − 1 círculos en posición general, los cuales dividen al plano en ak−1 regiones, y se dibuja un nuevo círculo que intercepte a cada uno de los k − 1 círculos en exactamente dos puntos, entonces los 2(k − 1) puntos de intercepción dividen al nuevo círculo en 2(k − 1) segmentos circulares, cada uno de los cuales separa una región ya existente en dos partes. Por esto ak = ak −1 + 2( k − 1) k = 2, 3, 4, … Para resolver esta recurrencia hay que observar que: a2 − a1 = 2 a3 − a2 = 4 a4 − a3 = 6 ak − ak −1 = 2( k − 1) Sumando se obtiene que ak − a1 = 2(1 + 2 + 3 + + ( k − 1)) de aquí que ak = 2 + ( k − 1) k ALFAOMEGA capitulo 9.indd 358 MATEMÁTICAS DISCRETAS – RAMÓN ESPINOSA ARMENTA 2/2/10 11:43:37 PM 9.5 RELACIONES DE RECURRENCIA 359 El ejemplo que se muestra a continuación fue planteado en el año 1202 por el matemático italiano Leonardo de Pisa, mejor conocido como Fibonacci, en su libro Liber Abaci. Ejemplo 9.31 (La sucesión de Fibonacci). Considérese la prolífica reproducción de conejos. Comencemos con una pareja (macho y hembra) de conejos adultos. Supóngase que cada mes los conejos se vuelven los orgullosos padres de una nueva pareja de conejos (macho y hembra). Supóngase también que los conejos recién nacidos se convierten en adultos a los dos meses, cuando son padres por primera vez. Suponiendo que el ciclo de vida de los padres se repite indefinidamente para sus descendientes, y suponiendo además que los conejos nunca mueren, ¿cuántas parejas de conejos habrá al principio del mes k? La siguiente tabla muestra, para diferentes valores de k, el número de parejas recién nacidas, el número de parejas de un mes de edad, el número de parejas de más de un mes de edad y el número total de parejas al principio del mes k. Mes Adultas Un mes Recién nacidas Total 1 2 3 4 5 6 1 1 1 2 3 5 0 0 1 1 2 3 0 1 1 2 3 5 1 2 3 5 8 13 Sea Fk el número total de parejas de conejos al principio del mes k. Hay que observar que este número es igual al número de conejos al principio del mes k − 1 más el número de parejas recién nacidas al principio del mes k. Este último número a su vez es igual al número de parejas adultas al principio del mes k − 2, puesto que a cada pareja recién nacida le lleva dos meses convertirse en adulta. Por lo tanto, Fk = Fk −1 + Fk − 2 Si se define F0 = 1, la ecuación anterior es válida para k ≥ 2. Además se tienen las condiciones iniciales F0 = 1, F1 = 1. La sucesión (Fk) es llamada la sucesión de Fibonacci, y los números Fk son llamados números de Fibonacci. Los números de Fibonacci aparecen con frecuencia en la naturaleza, por ejemplo, en muchas plantas la segunda hoja aparece rotada a partir de la primera un cierto ángulo, la tercera hoja rotada a partir de la segunda el mismo ángulo, y así sucesivamente, hasta que alguna hoja aparece en la misma dirección que la primera. MATEMÁTICAS DISCRETAS – RAMÓN ESPINOSA ARMENTA capitulo 9.indd 359 ALFAOMEGA 2/2/10 11:43:46 PM 360 IX. FUNCIONES GENERADORAS Y RECURRENCIA Sea k el número de hojas que aparecen antes de retornar a la misma dirección que la primera. La siguiente tabla muestra algunos valores de k. 9.6 Planta Ángulo de rotación k olmo abedul rosa berza 180° 120° 144° 135° 2 3 5 8 Recurrencias lineales homogéneas En esta sección se expone cómo resolver la recurrencia lineal homogénea de orden dos: ak = Aak −1 + Bak − 2 donde A, B ∈ y B ≠ 0. Lema 9.1 Si r es una raíz del polinomio x2 − Ax − B entonces la sucesión ak = rk satisface ak = Aak −1 + Bak − 2 para toda k = 2, 3, … Demostración k k −1 k −2 Por hipótesis r2 = Ar + B, por lo tanto r = Ar + Br . El polinomio x2 − Ax − B es llamado el polinomio característico de la recurrencia ak = Aak−1 + Bak−2. Una raíz del polinomio característico es llamada una raíz característica. Lema 9.2 Si (bk) y (ck) son sucesiones tales que bk = Abk −1 + Bbk − 2 y ck = Ack −1 + Bck − 2 Entonces la sucesión ak = λ1bk + λ2 ck satisface ak = Aak −1 + Bak − 2 . Demostración Aak −1 + Bak − 2 = A(λ1bk −1 + λ2 ck −1 ) + B(λ1bk − 2 + λ2 ck − 2 ) = λ1 ( Abk −1 + Bbk − 2 ) + λ2 ( Ack −1 + Bck − 2 ) = λ1bk + λ2 ck = ak . ALFAOMEGA capitulo 9.indd 360 MATEMÁTICAS DISCRETAS – RAMÓN ESPINOSA ARMENTA 2/2/10 11:43:46 PM 9.6 RECURRENCIAS LINEALES HOMOGÉNEAS 361 9.6.1 Raíces distintas Teorema 9.3 Si r1 y r2 son dos raíces reales distintas del polinomio característico x2 − Ax − B, entonces existen únicos l1, l2 ∈ tales que la sucesión ak = λ1r1k + λ2 r2k satisface la relación de recurrencia ak = Aak −1 + Bak − 2 con condiciones iniciales a0 = a0, a1 = a1, donde a0, a1 ∈ . Demostración Por los lemas 9.1 y 9.2, se tiene que ak = λ1r 1 + λ2 r 2 satisface ak = Aak −1 + Bak − 2 . Por otra parte, a0 = a0, a1 = a1 implican que k λ1 + λ2 k = α0 λ1r1 + λ2 r2 = α1 Este sistema tiene solución única si y sólo si r2 − r1 ≠ 0, lo cual se cumple. Ejemplo 9.32 Considérese la sucesión de Fibonacci: Fk = Fk −1 + Fk − 2 con condiciones iniciales F0 = 1, F1 = 1. El polinomio característico de esta sucesión es x2 − x − 1, cuyas raíces son: r1 = 1+ 5 2 y r2 = 1− 5 2 De aquí que, por el teorema anterior k ⎛1+ 5⎞ ⎛1+ 5⎞ + λ2 ⎜ Fk = λ1 ⎜ ⎝ 2 ⎟⎠ ⎝ 2 ⎟⎠ k Como F0 = 1 y F1 = 1, se sigue que λ1 + λ2 = 1 ⎛1− 5⎞ ⎛1+ 5⎞ ⎜⎝ 2 ⎟⎠ λ1 + ⎜⎝ 2 ⎟⎠ λ2 = 1 MATEMÁTICAS DISCRETAS – RAMÓN ESPINOSA ARMENTA capitulo 9.indd 361 ALFAOMEGA 2/2/10 11:43:48 PM 362 IX. FUNCIONES GENERADORAS Y RECURRENCIA Resolviendo este sistema se obtiene que λ1 = 1+ 5 2 5 y λ2 = 1− 5 −2 5 Por lo que Fk = 1 ⎛1+ 5⎞ 5 ⎜⎝ 2 ⎟⎠ k +1 − 1 ⎛1− 5⎞ 5 ⎜⎝ 2 ⎟⎠ k +1 9.6.2 Raíces complejas El teorema anterior es válido aun cuando las raíces sean complejas, sin embargo es posible utilizar la representación polar de números complejos y el teorema de De Moivre para expresar la solución de la recurrencia sin que aparezcan números complejos. Teorema 9.4 Si r = r(cos q + i sen q) ∈ − , es una raíz del polinomio característico x2 − Ax − B, entonces existen únicos m1, m2 ∈ tales que la sucesión ak = m1rk cos kq + m2rk sen kq satisface la relación de recurrencia ak = Aak−1 + Bak−2 con condiciones iniciales a0 = a0, a1 = a1, donde a0, a1 ∈ . Demostración Como r = ρ (cos θ + i sen θ ) es raíz del polinomio característico, entonces r = ρ (cos θ − i sen θ ) también lo es. Por lo tanto ak = λ1 ρ k (cos kθ + i sen kθ ) + λ2 ρ k (cos kθ − i sen kθ ) es solución de la recurrencia ak = Aak−1 + Bak−2. Ahora bien, ak = (λ1 + λ2 ) ρ k cos kθ + (λ1 − λ2 )i ρ k sen kθ = μ1 ρ k cos kθ + μ2 ρ k sen kθ . ALFAOMEGA capitulo 9.indd 362 MATEMÁTICAS DISCRETAS – RAMÓN ESPINOSA ARMENTA 2/2/10 11:43:49 PM 9.6 RECURRENCIAS LINEALES HOMOGÉNEAS 363 Como a0 = a0, se sigue que m1 = a0 ∈ . Por otra parte, a1 = a1 implica que α 0 ρ cos θ + μ2 ρ sen θ = α1 . Como por hipótesis sen q ≠ 0 se sigue que μ2 = α1 − α 0 ρ cos θ ρ sen θ Además es claro que m2 ∈ . Ejemplo 9.33 Considérese la recurrencia ak = 2ak −1 − 4 ak − 2 con condiciones iniciales a0 = 1, a1 = 3. Por lo tanto el polinomio característico es x 2 − 2 x + 4 , cuyas raíces son r = 1 + 3i y r = 1 − 3i . El módulo de r es r = 2 y su argumento es q = p ⁄ 3. Por tanto, por el teorema anterior, la solución de la recurrencia es de la forma ak = μ1 2 cos k μ2 = 2 / 3 . Por lo tanto ak = 2 k cos kπ kπ + μ2 2 k sen . Además m1 = 1 y 3 3 kπ 2 k +1 kπ + sen 3 3 3 9.6.3 Raíz doble Lema 9.3 Si r es una raíz doble del polinomio característico x2 − Ax − B, entonces ak = krk es una solución de la recurrencia ak = Aak−1 + Bak−2. Demostración Por hipótesis x 2 − Ax − B = ( x − r )2 = x 2 − 2rx + r 2 Por lo tanto A = 2r y B = −r2. De aquí que Aak −1 + Bak − 2 = 2r ( k − 1)r k −1 − r 2 ( k − 2)r k − 2 = 2( k − 1)r k − ( k − 2)r k = kr k = ak Teorema 9.5 Si r es una raíz doble del polinomio característico x2 − Ax − B, entonces existen únicos l1, l2 ∈ tales que la sucesión ak = λ1r k + λ2 kr k MATEMÁTICAS DISCRETAS – RAMÓN ESPINOSA ARMENTA capitulo 9.indd 363 ALFAOMEGA 2/2/10 11:43:50 PM 364 IX. FUNCIONES GENERADORAS Y RECURRENCIA satisface la relación de recurrencia ak = Aak −1 + Bak − 2 con condiciones iniciales a0 = a0, a1 = a1. Demostración Por el lema 9.2, rk es solución de la recurrencia, por el lema 9.3, krk también es solución, por lo que, por el lema 9.1, ak = l1rk + l2krk satisface ak = Aak−1 + Bak−2. Por otra parte, a0 = a0, a1 = a1 implican que λ1 = α 0 λ1r + λ2 r = α1 Este sistema tiene solución única si y sólo si r ≠ 0, lo cual se cumple, pues r es raíz del polinomio x2 − Ax − B y B ≠ 0. Ejemplo 9.34 (Ruina de un jugador). Un jugador participa en un juego donde se lanza repetidamente una moneda justa. Si cae águila el jugador gana $1, si cae sol pierde $1. El jugador quiere dejar de apostar cuando esté arruinado (es decir, cuando haya perdido todo su dinero), o cuando haya reunido $M, en donde M es un entero no negativo decidido antes de iniciar el juego. Sea Pk la probabilidad de que el jugador termine arruinado si comienza jugando con $k. Hay que observar que Pk −1 = 1 1 Pk − 2 + Pk 2 2 k = 2, 3, … , M pues si tiene $(k − 1) entonces tiene igual oportunidad de perder o de ganar un peso. Por lo tanto Pk = 2 Pk −1 − Pk − 2 k = 2, 3, … , M Obsérvese además que P0 = 1 y Pk = 0 para todo k ≥ M. El polinomio característico es x 2 − 2 x + 1 = ( x − 1)2 por lo tanto 1 es raíz doble, de aquí que Pk = λ1 + λ2 k Por otra parte, como P0 = 1 y PM = 0, se tiene que l1 = 1 y 1 + l2M = 0, de aquí que l2 = −1 ⁄ M. En conclusión: Pk = 1 − k M−k = M M 0≤k≤M Hay que observar que, mientras más grande sea la codicia del jugador, mayor será la posibilidad de que termine arruinado. ALFAOMEGA capitulo 9.indd 364 MATEMÁTICAS DISCRETAS – RAMÓN ESPINOSA ARMENTA 2/2/10 11:43:52 PM 9.7 9.7 SOLUCIÓN MEDIANTE FUNCIONES GENERADORAS 365 Solución mediante funciones generadoras En esta sección se expone cómo utilizar funciones generadoras ordinarias para resolver relaciones de recurrencia. Ejemplo 9.35 Considérese la relación de recurrencia ak = 2ak −1 + 1 k ≥ 1 con condición inicial a0 = 4. Sea ∞ a ( x ) = ∑ ak x k k =0 la función generadora ordinaria de esta sucesión. Multiplicando la recurrencia por xk se obtiene que: ak x k = 2ak −1 x k + 1x k k = 1, 2, … de aquí que ∞ ∞ ∞ ∑ a x = 2∑ a x + ∑ x k k k k =1 k =1 k −1 k k =1 Por lo tanto a( x ) − a0 = 2 xa( x ) + 1 −1 1− x Como a0 = 4, se sigue que (1 − 2 x )a( x ) = MATEMÁTICAS DISCRETAS – RAMÓN ESPINOSA ARMENTA capitulo 9.indd 365 1 4 − 3x +3= 1− x 1− x ALFAOMEGA 2/2/10 11:43:53 PM 366 IX. FUNCIONES GENERADORAS Y RECURRENCIA De aquí que a( x ) = 4 − 3x (1 − 2 x )(1 − x ) = 5 1 − 1 − 2x 1 − x ∞ ∞ k =0 k =0 = 5∑ 2 k x k − ∑ x k ∞ = ∑ (5 ⋅ 2 k − 1) x k k =0 Por lo tanto ak = 5 ⋅ 2 − 1. k Ejemplo 9.36 Considérese la relación de recurrencia ak = 4 ak −1 + k k ≥1 con condición inicial a0 = 2. Si a(x) es la función generadora ordinaria de esta sucesión entonces ∞ ∞ ∞ k =1 k =1 k =1 ∑ ak x k = 4∑ ak −1 x k + ∑ kx k Como ∞ x ∑ kx = (1 − x ) k k =1 2 y a0 = 2, se sigue que (1 − 4 x )a( x ) = 2 + ALFAOMEGA capitulo 9.indd 366 x (1 − x )2 MATEMÁTICAS DISCRETAS – RAMÓN ESPINOSA ARMENTA 2/2/10 11:43:54 PM 9.7 SOLUCIÓN MEDIANTE FUNCIONES GENERADORAS 367 Por lo tanto a( x ) = 2 x + 1 − 4 x (1 − 4 x )(1 − x )2 = 22 1 2 − − 9(1 − 4 x ) 9(1 − x ) 3(1 − x )2 = 22 ∞ k k 1 ∞ k 1 ∞ ∑ 4 x − 9 ∑ x − 3 ∑ (k + 1) x k 9 k =0 k =0 k =0 De aquí que ak = Ejemplo 9.37 22(4 k ) − 1 − 3( k + 1) 22(4 k ) − 3k − 4 = 9 9 Considérese la relación de recurrencia ak = 3ak −1 + 5k k ≥1 con condición inicial a0 = 1. Si a(x) es la función generadora ordinaria de esta sucesión entonces ∞ ∞ ∞ ∑ a x = 3∑ a x + ∑ 5 x k k k k =1 k =1 k −1 k k k =1 Equivalentemente: a( x ) − 1 = 3 xa( x ) + 1 −1 1 − 5x Por lo tanto (1 − 3 x )a( x ) = MATEMÁTICAS DISCRETAS – RAMÓN ESPINOSA ARMENTA capitulo 9.indd 367 1 1 − 5x ALFAOMEGA 2/2/10 11:43:55 PM 368 IX. FUNCIONES GENERADORAS Y RECURRENCIA y de aquí que a( x ) = 1 (1 − 5 x )(1 − 3 x ) = 5 3 − 2(1 − 5 x ) 2(1 − 3 x ) = 5 ∞ k k 3 ∞ k k ∑5 x − 2 ∑3 x 2 k =0 k =0 Con lo que se concluye que ak = 5k +1 − 3k +1 2 Ejemplo 9.38 Recuérdese que la sucesión de Fibonacci está descrita por la recurrencia: ak = ak −1 + ak − 2 k≥2 con condiciones iniciales a0 = 1 y a1 = 1. Si a(x) es la función generadora ordinaria de esta sucesión entonces ∞ ∞ ∞ k =2 k =2 k =2 ∑ ak x k = ∑ ak −1 x k + ∑ ak −2 x k . Por lo tanto a( x ) − x − 1 = x (a( x ) − 1) + x 2 a( x ) De aquí que (1 − x − x 2 )a( x ) = 1 ALFAOMEGA capitulo 9.indd 368 MATEMÁTICAS DISCRETAS – RAMÓN ESPINOSA ARMENTA 2/2/10 11:43:56 PM 9.8 FUNCIONES GENERADORAS DE PROBABILIDAD 369 y por lo tanto a( x ) = 1 −1 = 1 − x − x 2 (r1 − x )(r2 − x ) donde r1 = −1 + 5 2 y r2 = −1 − 5 2 Utilizando fracciones parciales, se tiene que a( x ) = 1 1 + 5 (r1 − x ) 5 (r2 − x ) = 1 −1 + 5 r1 (1 − x / r1 ) 5 r2 (1 − x / r2 ) = −1 ∞ x k 1 ∞ xk + ∑ ∑ . 5 r1 k = 0 r 1k 5 r2 k = 0 r k2 Por lo tanto ak = 1 ⎛ 1⎞ 5 ⎜⎝ r1 ⎟⎠ k +1 − 1 ⎛1+ 5⎞ = 5 ⎜⎝ 2 ⎟⎠ 9.8 1 ⎛ 1⎞ 5 ⎜⎝ r2 ⎟⎠ k +1 k +1 1 ⎛1− 5⎞ − 5 ⎜⎝ 2 ⎟⎠ k +1 Funciones generadoras de probabilidad En la lectura adicional FUNCIONES GENERADORAS DE PROBABILIDAD se expone cómo utilizar funciones generadoras en teoría de la probabilidad. MATEMÁTICAS DISCRETAS – RAMÓN ESPINOSA ARMENTA capitulo 9.indd 369 ALFAOMEGA 2/2/10 11:43:57 PM 370 IX. FUNCIONES GENERADORAS Y RECURRENCIA 9.9 Resumen En este capítulo se expusieron las nociones de función generadora ordinaria y función generadora exponencial. Se presentó la forma en que se pueden utilizar las funciones generadoras para resolver problemas de conteo, así como la aplicación de la noción de relación de recurrencia en el modelado de problemas. En particular se analizó el problema de las torres de Hanoi, el problema de los conejos de Fibonacci y el problema de las recurrencias lineales homogéneas de orden dos. Por último, se presentó la forma de utilizar funciones generadoras para resolver relaciones de recurrencia. 9.10 Problemas Funciones generadoras ordinarias 9.1 Usar el método de fracciones parciales para determinar la serie correspondiente a 4−x (1 + x )(3 − x ) 9.2 Usar el método de fracciones parciales para obtener la serie correspondiente a 1 + x + 2x 2 (1 − 2 x )(1 + x )2 9.3 Obtener el coeficiente de x63 en ( x 5 + x 6 + x 7 + )4 . 3 4 5 6 9.4 Obtener el coeficiente de x45 en ( x + x + x + ) . 9.5 Determinar la función generadora ordinaria para cada una de las siguientes sucesiones. a) (2, 1, 0, 3, 7, 0, 0, 0,…) b) (2, 2, 2, 2, 2, 2,…) 9.6 Determinar la función generadora ordinaria para cada una de las siguientes sucesiones: a) (1, 1, 1, 0, 1, 1, 1, 1,…) ALFAOMEGA capitulo 9.indd 370 b) (0, 0, 3, 3, 3, 3,…) MATEMÁTICAS DISCRETAS – RAMÓN ESPINOSA ARMENTA 2/2/10 11:43:58 PM 9.10 PROBLEMAS 371 9.7 ¿De cuántas maneras se pueden elegir k paletas, si hay once sabores distintos? 9.8 ¿De cuántas maneras se pueden repartir 37 naranjas entre tres niños: A, B y C, si a A le deben tocar al menos dos naranjas, a B le debe tocar un número par de naranjas, y a C le debe tocar un número impar de naranjas? 9.9 Mostrar que x (1 + x ) (1 − x )3 es la función generadora ordinaria de la sucesión ak = k2. 9.10 Una serie de potencias a(x) se dice que es una serie invertible, si existe una serie de potencias b(x) tal que a(x)b(x) = 1. Demostrar que a( x ) = ∑ ∞k = 0 ak x k es invertible si y sólo si a0 ≠ 0. 9.11 La derivada de una serie de potencias a( x ) = potencias a ′( x ) = ∑ ∞ k =0 ∑ ∞ k =0 k a x k es la serie de ( k + 1)ak +1 x k . Calcular la derivada de las siguien- tes series de potencias y verificar que el resultado es consistente con la derivada de la función correspondiente. ∞ ∞ a) ∑x k k =0 b) kk ∑ k! k =0 ∞ c) ∑ (k + 1) x k k =0 9.12 ¿De cuántas maneras se pueden elegir k frutas de una provisión ilimitada de naranjas, manzanas, peras y mangos, si se debe elegir al menos una fruta de cada tipo? 9.13 ¿De cuántas maneras se pueden repartir 23 computadoras idénticas entre cuatro departamentos académicos, A, B, C y D, si a cada departamento le deben tocar al menos dos computadoras, y al departamento C no más de 5 computadoras? 9.14 Determinar la función generadora ordinaria para el número de formas en que se puede cambiar un billete de $500 por monedas de $10 y billetes de $20, $50 y $100. No hay que calcular explícitamente la respuesta, sin embargo hay que indicar qué coeficiente se está buscando. 9.15 Determinar la función generadora ordinaria para el número de formas en que una agencia de publicidad puede adquirir n minutos de tiempo en la radio, si los espacios de tiempo para comerciales se venden en bloques de 30, 60 ó 120 segundos. Particiones de enteros 9.16 Listar las particiones de 6. 9.17 Listar las particiones de 7. MATEMÁTICAS DISCRETAS – RAMÓN ESPINOSA ARMENTA capitulo 9.indd 371 ALFAOMEGA 2/2/10 11:43:59 PM 372 IX. FUNCIONES GENERADORAS Y RECURRENCIA 9.18 Determinar la función generadora ordinaria para el número de particiones de n en partes iguales a 2 ó 4. 9.19 Determinar la función generadora ordinaria para el número de particiones de n en partes iguales a 1, 3 ó 5. 9.20 Determinar la función generadora ordinaria para el número de particiones de n en sumandos pares. 9.21 Determinar la función generadora ordinaria para el número de particiones de n en partes impares y distintas. 9.22 Determinar la función generadora ordinaria para el número n de particiones en las que cada sumando aparece un número par de veces. 9.23 Determinar la función generadora ordinaria para el número n de particiones en las que cada sumando aparece un número impar de veces. Funciones generadoras exponenciales 9.24 Determinar el número de palabras de longitud k del alfabeto {a, b, c}, en las que la letra a aparece un número par de veces, y la letra c aparece aparece al menos una vez. 9.25 Determinar el número de palabras de longitud k del alfabeto {a, b, c}, en las que la letra a aparece exactamente una vez o ninguna. 9.26 Determinar el número de palabras de longitud k del alfabeto {a, b, c, d}, en las que la letra a aparece un número par de veces y la letra b aparece un número impar de veces. 9.27 Determinar el número de palabras de longitud k del alfabeto {a, b, c, d}, en las que el número total de letras a y b es par. 9.28 Determinar el número de palabras de longitud k del alfabeto {a, b, c, d}, en las que el número total de letras c y d es impar. 9.29 Una empresa contrata a 27 nuevos empleados, cada uno de los cuales es asignado a uno de tres departamentos: A, B y C. ¿De cuántas maneras se pueden asignar los empleados a los departamentos, si el departamento A debe recibir al menos tres nuevos empleados, y los departamentos B y C al menos un nuevo empleado cada uno? Relaciones de recurrencia 9.30 Demostrar que la solución de la recurrencia lineal homogénea de orden uno ak = cak −1 k ≥1 es ak = a0ck. ALFAOMEGA capitulo 9.indd 372 MATEMÁTICAS DISCRETAS – RAMÓN ESPINOSA ARMENTA 2/2/10 11:44:00 PM 9.10 9.31 Sea ak = Aak −1 + B, entonces PROBLEMAS 373 k ≥ 1 , con A ≠ 1. Demostrar que si a0 = B/(1 − A), ak = B 1− A k ≥1 9.32 Demostrar que la solución de la recurrencia lineal de orden uno ak = ak −1 + g( k ) k ≥ 1 es k a k = a0 + ∑ g ( j ) j =1 9.3 Usar el resultado del problema anterior para resolver las siguientes relaciones de recurrencia: a) ak = ak−1 + 5, a0 = 1. b) ak = ak−1 + 3k − 4, c) ak = ak−1 + k2, a0 = 1. a0 = 2. d) ak = ak−1 + 3k2 − k, a0 = 3. 9.34 Un conjunto de k rectas en el plano se dice que está en posición general, si no hay dos rectas paralelas, y no hay tres rectas interceptándose en un solo punto. Obtener una relación de recurrencia para el número ak de regiones en el plano divididas por k rectas en posición general. 9.35 Obtener una relación de recurrencia para el número ak de palabras de longitud k del alfabeto {0, 1, 2}, que tienen la propiedad de que no aparecen dos ceros consecutivamente. 9.36 Resuélvase la relación de recurrencia: ak2 = 4 ak2−1 k ≥1 con condición inicial a0 = 2, suponiendo que todos los términos de la sucesión son positivos. 9.36 Sea ak el número de maneras distintas en que se pueden programar k partidos de tenis entre 2k jugadores. Obtener una relación de recurrencia para (ak). MATEMÁTICAS DISCRETAS – RAMÓN ESPINOSA ARMENTA capitulo 9.indd 373 ALFAOMEGA 2/2/10 11:44:01 PM 374 IX. FUNCIONES GENERADORAS Y RECURRENCIA Recurrencias lineales homogéneas En cada uno de los siguientes problemas utilizar el método del polinomio característico para resolver la relación de recurrencia. 9.37 ak = 10ak−1 − 16ak−2, 9.37 ak = 3ak−1 − 2ak−2, 9.38 ak = 4ak−2 a0 = 0, a1 = 1. a0 = 1, a1 = 3. a0 = 1, a1 = − 1. 9.39 ak = 2ak−1 − 2ak−2, a0 = 2, a1 = −4. 9.40 ak = 4ak−1 − 4ak−2, a0 = 1, a1 = 3. 9.41 ak = −4ak−1 − 4ak−2, a0 = 2, a1 = 5. Solución mediante funciones generadoras En cada uno de los siguientes problemas utilizar el método de funciones generadoras para resolver la relación de recurrencia. 9.42 ak = 3ak−1 + 2, a0 = 4. 9.43 ak = 2ak−1 + 3, a0 = 1. 9.44 ak = 4ak−1 + 2(3k), a0 = 2. 9.45 ak = 3ak−1 − 4k, a0 = 3. 9.46 ak = 2ak−1 + 5k, a0 = 1. 9.47 ak = 5ak−1 + 4k, a0 = 2. 9.48 ak = 3ak−1 − 2ak−2 + 2k−2, 9.49 ak = 2ak−1 + 3k2, ALFAOMEGA capitulo 9.indd 374 a0 = 1, a1 = 3. a0 = 1. MATEMÁTICAS DISCRETAS – RAMÓN ESPINOSA ARMENTA 2/2/10 11:44:02 PM 9.11 9.11 CONTENIDO INTERACTIVO 375 Contenido interactivo El material marcado con asterisco (*) sólo está disponible para docentes. Mapa conceptual Lectura adicional • Funciones generadoras de probabilidad Respuesta y desarrollo de problemas seleccionados *Presentaciones *Respuesta y desarrollo de problemas Glosario MATEMÁTICAS DISCRETAS – RAMÓN ESPINOSA ARMENTA capitulo 9.indd 375 ALFAOMEGA 2/2/10 11:44:02 PM capitulo 10.indd 376 2/2/10 11:47:54 PM Parte IV Teoría de grafos capitulo 10.indd 377 2/2/10 11:48:05 PM CAPÍTULO X υ2 υ4 15 8 5 υ1 7 υ6 13 21 11 2 υ3 υ5 24 1 Grafos y algoritmos 1 e1 2 2 e2 3 10.1 10.2 10.3 10.4* 10.5 10.6 10.7 10.8 10.9 10.10 10.11 10.12 10.13 e3 5 e4 4 3 4 Introducción Grafos Árboles Grafos químicos Árboles con raíz Aplicación: notación polaca Algoritmos de búsqueda Aplicación: el problema del conector Grafos dirigidos Aplicación: ruta más corta Resumen Problemas Contenido interactivo *Ver Plataforma de contenidos interactivos. capitulo 10.indd 378 2/2/10 11:48:05 PM 2 Las computadoras son buenas para seguir instrucciones, pero no leen la mente. 6 e 1 4 Donald Knuth 5 3 7 2 4 4 5 7 1 2 8 6 3 3 2 3 4 5 Objetivos • • • • • • capitulo 10.indd 379 DeÀnir la noción de grafo, así como sus representaciones. Establecer las propiedades básicas de árboles. Describir los algoritmos de búsqueda. Discutir el problema del conector. DeÀnir la noción de digrafo. Analizar el problema de la ruta más corta. 2/2/10 11:48:43 PM 380 X. GRAFOS Y ALGORITMOS 10.1 Introducción Basada en la simple idea de puntos interconectados por líneas, la noción de grafo conduce a una rica e interesante teoría que puede utilizarse para modelar una gran variedad de situaciones reales. Por otro lado, en muchos problemas de grafos no basta saber que la solución existe, hay que tener un algoritmo eficiente para determinar ésta explícitamente. En este capítulo primero se exponen los conceptos básicos de grafos y subgrafos, y luego se presenta la noción de árbol y sus propiedades. En particular se describen recorridos en árboles binarios y su conexión con la notación polaca y polaca inversa, que utilizan las calculadoras electrónicas. Se expone la estrategia general de los algoritmos de búsqueda y en particular se presentan los algoritmos de búsqueda en anchura y búsqueda en profundidad. Se presentan el algoritmo de Kruskal para resolver el problema del conector y la noción de grafo dirigido, y se analiza el algoritmo de Warshall para obtener la cerradura transitiva de un grafo dirigido. Finalmente, se analiza el problema de la ruta más corta y se presentan los algoritmos de Dijkstra y Floyd-Warshall para resolverlo. En relación con la notación y terminología de la teoría de grafos, se tiene que éstas no están estandarizadas, incluso la noción misma de grafo cambia en función del autor. En este capítulo la noción de grafo corresponde a lo que algunos autores llaman grafo simple. 10.2 Teoría de grafos Con la publicación en 1736 de la solución al problema de los siete puentes de Königsberg, Leonhard Euler estableció el inicio de la teoría de grafos. Cien años después, sus investigaciones sobre formas analíticas particulares condujeron a Cayley al estudio de un tipo particular de grafo llamado árbol. Por otro lado, en un artículo publicado en 1878 Sylvester introdujo el término de grafo. Uno de los problemas más famosos de la teoría de grafos es el que planteó Francis Guthrie en 1852 y que se conoce como problema de los cuatro colores: ¿Dado cualquier mapa geográfico, éste puede ser coloreado con cuatro colores diferentes, de forma que no queden regiones adyacentes con el mismo color? Continúa… ALFAOMEGA capitulo 10.indd 380 Grafos Un grafo G es una pareja ordenada G = (V(G), E(G)), donde V(G) es un conjunto Ànito no vacío cuyos elementos son llamados vértices y E(G) es un conjunto cuyos elementos son subconjuntos de cardinalidad dos de V(G), llamados aristas. Si e = {u, u} es una arista entonces se dice que e une a u con u, también se dice que u y u son los extremos de e. Los extremos de una arista se dice que son incidentes con la arista y viceversa. Dos vértices son adyacentes si existe una arista que los une. Se acostumbra denotar una arista {u, u} como uu o uu. Un grafo G puede representarse geométricamente asignando a cada vértice un punto en el plano, y representando cada arista como una línea uniendo sus extremos. La representación geométrica de un grafo no es única, las posiciones relativas de los puntos representando los vértices y las líneas representando las aristas es irrelevante. Con frecuencia dibujaremos una representación geométrica de un grafo y nos referiremos a ella como el grafo mismo. MATEMÁTICAS DISCRETAS – RAMÓN ESPINOSA ARMENTA 2/2/10 11:49:08 PM 10.2 381 GRAFOS Continuación… Ejemplo 10.1 La figura 1 e1 2 e2 3 Este problema fue resuelto hasta 1976 por Kenneth Appel y Wolfgang Haken con la ayuda de una computadora, y esta circunstancia particular ha dado origen a una polémica aún no resuelta respecto a la validez de la solución. Aparte del valor de su solución, la importancia del problema de los cuatro colores es que todos los intentos que se hicieron por resolverlo dieron origen a lo que hoy se conoce como teoría de grafos. e4 4 e3 muestra un grafo G con conjunto de vértices V(G) = {1, 2, 3, 4} y conjunto de aristas E(G) = {e1, e2, e3, e4}. El número de vértices de un grafo G es llamado el orden de G y el número de aristas de G es llamado el tamaño de G. Un grafo de orden 1 es llamado trivial. Aunque la representación geométrica es importante para poder visualizar las propiedades de un grafo pequeño, es necesario tener maneras adecuadas para representar un grafo en una computadora. Sea G un grafo con conjunto de vértices V = {1, 2, …, n} y conjunto de aristas E = {e1, e2, …, em}. La matriz de incidencia de G es la matriz M = (mi,k) (i = 1, …, n; k = 1, …, m), donde ⎧1 si ek incide en i mi ,k = ⎨ ⎩0 en otro caso Ejemplo 10.2 La matriz de incidencia del grafo del ejemplo 10.1 es: ⎛1 ⎜1 M =⎜ ⎜0 ⎜⎝ 0 MATEMÁTICAS DISCRETAS – RAMÓN ESPINOSA ARMENTA capitulo 10.indd 381 0 1 1 0 0 0 1 1 0⎞ 1⎟ ⎟ 0⎟ 1 ⎟⎠ ALFAOMEGA 2/2/10 11:49:09 PM 382 X. GRAFOS Y ALGORITMOS Sea G un grafo con conjunto de vértices V = {1, 2, …, n}. La matriz de adyacencia de G es la matriz A = (ai, j) de n × n, donde ai, j = 1 si i es adyacente a j y ai, j = 0 en otro caso. Ejemplo 10.3 La matriz de adyacencia del grafo del ejemplo 10.1 es: ⎛0 ⎜1 A=⎜ ⎜0 ⎜⎝ 0 1 0 0⎞ 0 1 1⎟ ⎟ 1 0 1⎟ 1 1 0 ⎟⎠ Sea G un grafo. Un vértice u se dice que es un vecino de u si uu ∈ E(G). El conjunto de vecinos de u se denota NG = (u) o simplemente N = (u), si el grafo G está claramente determinado. Los conjuntos de vecinos permiten describir fácilmente grafos con pocas aristas, como se muestra en el siguiente ejemplo. Ejemplo 10.4 Considérese el grafo: 1 2 3 4 5 Las listas de vecinos de este grafo son: N(1) = {3}, N(2) = {3}, N(3) = {1, 2, 4}, N(4) = {3, 4}, N(5) = {4}. El grado de un vértice u es el número de aristas que inciden en él, y se denota dG(u) o simplemente d(u). ALFAOMEGA capitulo 10.indd 382 MATEMÁTICAS DISCRETAS – RAMÓN ESPINOSA ARMENTA 2/2/10 11:49:23 PM 10.2 Teorema 10.1 383 GRAFOS Si G es un grafo entonces ∑ d (υ ) = 2 | E (G) | υ ∈V ( G ) Demostración Al sumar los grados de los vértices se cuenta cada arista dos veces, ya que cada arista tiene dos extremos. Corolario 10.1 es par. En cualquier grafo el número de vértices de grado impar Demostración Sean V1 y V2 los subconjuntos de vértices de grado impar y grado par, respectivamente. Entonces ∑ d (υ ) + ∑ d (υ ) = ∑ d (υ ) υ ∈V1 υ ∈V2 υ ∈V es par, por el teorema 10.1. Como también ∑ υ ∈V1 d (υ ) es par, y por lo tanto |V1| es par. ∑ υ ∈V2 d (υ ) es par, se sigue que Un grafo H es un subgrafo de G si V(H) ⊆ V(G) y E(H) ⊆ E(G). Si H es un subgrafo de G se acostumbra escribir H ⊆ G, y se dice que G contiene a H. También se dice que G es un supergrafo de H. Si además H ≠ G entonces se dice que H es un subgrafo propio de G. Un subgrafo de recubrimiento es un subgrafo H tal que V(H) = V(G). Ejemplo 10.5 La figura 1 2 1 a 2 a b b d 6 3 6 e c f 5 g 4 G 5 g 4 H muestra un grafo G y un subgrafo H de G. MATEMÁTICAS DISCRETAS – RAMÓN ESPINOSA ARMENTA capitulo 10.indd 383 ALFAOMEGA 2/2/10 11:49:36 PM 384 X. GRAFOS Y ALGORITMOS Sea G un grafo y sea V ′ un subconjunto no vacío de V. Sea E ′ el subconjunto de aristas de G que tienen ambos extremos en V ′. El grafo (V ′, E ′) es llamado el subgrafo inducido por V ′, y se denota G[V ′]. Se acostumbra escribir G − V ′ para denotar el subgrafo G[V − V ′], si V ′ = {u} se escribe G − u en lugar de G − {u}. Ejemplo 10.6 Sea G el grafo del ejemplo 10.5. La siguiente figura muestra el subgrafo inducido por el conjunto de vértices V ′ = {3, 4, 5, 6}. 3 6 e c f 5 g 4 Se escribe G − E ′ para denotar al subgrafo de recubrimiento de G con conjunto de aristas E − E ′, es decir, G − E ′ es el subgrafo obtenido a partir de G eliminando las aristas en E ′. Análogamente, el grafo obtenido a partir de G añadiendo un conjunto de aristas E ′ se denota G + E ′. Si E ′ = {e} se escribe G − e y G + e en lugar de G − {e} y G + {e}, respectivamente. Un subgrafo H es maximal con respecto a una propiedad, si H cumple la propiedad y no es subgrafo propio de otro grafo que cumpla la propiedad. Un subgrafo H es minimal con respecto a una propiedad, si H cumple la propiedad y no existe un subgrafo propio de H que cumpla la propiedad. Un camino en un grafo G es una sucesión Ànita no vacía W = (υ1 , e1 , υ 2 , e2 , υ 3 , … , υ k −1 , ek −1 , υ k ) cuyos términos son alternadamente vértices y aristas, tales que los extremos de ej son uj y uj+1. ALFAOMEGA capitulo 10.indd 384 MATEMÁTICAS DISCRETAS – RAMÓN ESPINOSA ARMENTA 2/2/10 11:49:50 PM 10.2 GRAFOS 385 Se dice que W es un camino de u1 a uk, o un (u1, uk)-camino. Los vértices u1 y uk son el origen y el destino del camino, respectivamente, y u2, u3, …, uk son los vértices internos. El entero k − 1 es la longitud del camino. Un camino trivial es un camino de longitud cero. Un paseo es un camino donde todas las aristas son distintas. Una trayectoria es un paseo donde todos los vértices son distintos. Se acostumbra indicar solamente la sucesión de vértices de un camino, pues las aristas están determinadas de manera única a partir de éstos. Ejemplo 10.7 Considérese el grafo G: 1 2 5 3 4 Un posible camino es (3, 1, 2, 3, 2, 5). Un ejemplo de un paseo es: (5, 3, 4, 5, 2). Un ejemplo de una trayectoria es: (2, 3, 4, 5). Si W1 = (υ1 , υ 2 , … , υ k ) es un camino, y W2 = (υ k , υ k +1 , … , υ l ) es otro camino que comienza donde termina W1, se pueden concatenar los caminos para obtener el nuevo camino: W1 W2 = (υ1 , υ 2 , … , υ k , υ k +1 , … , υ l ) Si W = (υ k , υ 2 , … , υ k ) es un camino, el camino inverso de W se define como W −1 = (υ k , υ k −1 , … , υ 2 , υ1 ) . Una sección de un camino W = (υ1 , υ 2 , … , υ k ) es un camino que es una subsucesión (υ i , υ i +1 , … , υ j ) de términos consecutivos de W; esta subsucesión se denota como la (ui, uj)-sección de W. Un grafo G se dice que es conexo, si para cualesquiera dos vértices u y u existe una (u, u)-trayectoria en G. Una componente de un grafo G es un subgrafo conexo maximal. De modo que un grafo es conexo si tiene exactamente una componente. Un grafo con más de una componente se dice que es disconexo. MATEMÁTICAS DISCRETAS – RAMÓN ESPINOSA ARMENTA capitulo 10.indd 385 ALFAOMEGA 2/2/10 11:50:00 PM 386 X. GRAFOS Y ALGORITMOS Ejemplo 10.8 nentes. La siguiente figura muestra un grafo disconexo con dos compo- 1 2 5 3 4 Un camino se dice que es cerrado si el origen y el destino del camino coinciden. Un paseo cerrado no trivial cuyo origen y vértices internos son distintos es llamado un ciclo. Un grafo se dice que es acíclico si no contiene ciclos. 10.3 Árboles Un árbol es un grafo acíclico conexo. En la siguiente figura se muestra un árbol con nueve vértices: 1 2 4 3 6 5 7 8 9 ALFAOMEGA capitulo 10.indd 386 MATEMÁTICAS DISCRETAS – RAMÓN ESPINOSA ARMENTA 2/2/10 11:50:09 PM 10.3 ÁRBOLES 387 Como cada componente de un grafo acíclico es un árbol, los grafos acíclicos también son llamados bosques. En los siguientes teoremas se establecen algunas propiedades importantes de los árboles. Teorema 10.2 Si T es un árbol, entonces para cualesquiera dos vértices u y u existe una única (u, u)-trayectoria. Demostración Sean u, u ∈ V(T), como T es conexo, existe una (u, u)-trayectoria P1. Supóngase ahora que existe otra (u, u)-trayectoria P2, y sea W = P1 P −21 , por lo tanto W es un camino cerrado en T, el cual debe contener un ciclo en T, lo cual no es posible. Teorema 10.3 Si T es un árbol no trivial, entonces existen al menos dos vértices distintos de grado uno. Demostración Sea P = (u1, u2, …, uk) una trayectoria de longitud máxima en T. Como T es no trivial se sigue que k ≥ 2, en particular u1 ≠ uk. Como u1u2 ∈ E, se sigue que d(u1) ≥ 1. Supóngase ahora que existe w ∈ V, w ≠ u2 tal que u1w ∈ E. Hay que observar que w ≠ uj para todo j = 1, 2, …, k, porque si no fuera así habría un ciclo en T. Por lo tanto (w, u1, u2, …, uk) es una trayectoria cuya longitud es mayor que la longitud de P lo cual no es posible, de aquí que d(u1) = 1. Análogamente d(uk) = 1. Teorema 10.4 Si T es un árbol con n vértices, entonces el número de aristas es igual a n − 1. Demostración La demostración se hace por inducción sobre n. Si n = 1 entonces E(T) = ∅, y por lo tanto |E(T )| = 1 − 1 = 0. Ahora supóngase que la afirmación es cierta para cualquier árbol con n vértices. Sea T un árbol con n + 1 vértices. Por el teorema anterior existe un vértice u tal que d(u) = 1. Sea T ′ = T − u. Por lo tanto T ′ es un árbol con n vértices, de aquí que, por hipótesis de inducción, |E(T ′)| = n − 1. Por lo tanto |E(T )| = |E(T ′)| + 1 = n. Un puente de un grafo G es una arista e tal que el número de componentes de G − e es mayor que el número de componentes de G. En particular, si G es conexo entonces e es un puente de G si y sólo si G − e es disconexo. MATEMÁTICAS DISCRETAS – RAMÓN ESPINOSA ARMENTA capitulo 10.indd 387 ALFAOMEGA 2/2/10 11:50:26 PM 388 X. GRAFOS Y ALGORITMOS Ejemplo 10.9 La arista e es el único puente en el grafo de la siguiente figura: 2 6 e 1 4 3 5 7 Teorema 10.5 Sea G un grafo. Una arista e de G es un puente si y sólo si e no está contenida en un ciclo de G. Demostración Sea e = uu un puente en G. Por lo tanto existen x, y ∈ V(G) tales que están conectados en G, pero no están conectados en G − e. Sea P una (x, y)-trayectoria en G. Por lo tanto e ∈ E(P). Se puede suponer, sin pérdida de generalidad, que u precede a u en P. Sea P1 la (x, u)-sección de P, y sea P2 la (u, y)-sección de P. Si e está contenida en un ciclo C entonces P1 (C − e) P2 sería una (u, u)-trayectoria en G − e, lo cual no es posible. Recíprocamente, sea e = uu una arista que no está contenida en un ciclo de G. Si e no es un puente entonces el número de componentes de G − e es el mismo que el de G. Como u y u están conectados en G (por e), se sigue que existe una (u, u)-trayectoria P en G − e, por lo tanto C = P + e es un ciclo, lo que contradice la hipótesis. Teorema 10.6 Sea G un grafo conexo. Entonces G es un árbol si y sólo si cada arista de G es un puente. Demostración Sea G un árbol y sea e ∈ E(G). Como G es acíclico e no puede estar contenida en un ciclo de G, por lo tanto e es un puente. Supóngase que cada arista de G es un puente. Si G no es un árbol entonces G contiene un ciclo G (pues G es conexo). Pero entonces cada arista del ciclo no puede ser un puente, lo que contradice la hipótesis. Por lo tanto G es un árbol. Corolario 10.2 Cada grafo conexo contiene un árbol de recubrimiento. Demostración Sea G conexo, y sea T un subgrafo de recubrimiento conexo minimal. Por definición cada arista de T es un puente. Por lo tanto T es acíclico, y es un árbol de recubrimiento. ALFAOMEGA capitulo 10.indd 388 MATEMÁTICAS DISCRETAS – RAMÓN ESPINOSA ARMENTA 2/2/10 11:50:27 PM 10.4 Corolario 10.3 GRAFOS QUÍMICOS 389 Si G es un grafo conexo entonces | E (G ) | ≥ | V (G ) | −1 . Sea T un árbol de recubrimiento de G. Por lo tanto | E (G ) | ≥ | E (T ) | = | V (T ) | −1 = | V (G ) | −1 . Demostración Teorema 10.7 Sea G un grafo conexo y sea T un árbol de recubrimiento de G. Sea e ∈ E(G) − E(T), entonces T + e contiene un único ciclo. Demostración Sea e ∈ E(G) − E(T), con extremos u y u. Sea P la única (u, u)-trayectoria en T. Por lo tanto C = P + e es un ciclo en T + e. Si C ′ es otro ciclo en T + e entonces C ′ − e es una (u, u)-trayectoria en T. Por lo tanto C ′ − e = P, y de aquí que C ′ = P + e = C. Sea G un grafo no trivial. Un vértice u ∈ V(G) se dice que es un vértice de corte de G, si el número de componentes de G − u es mayor que el número de componentes de G. En particular, si G es conexo entonces u es vértice de corte de G si y sólo si G − u es disconexa. Teorema 10.8 Sea T un árbol no trivial y sea u ∈ V(T). Entonces u es un vértice de corte de T si y sólo si d(u) > 1. Demostración Si d(u) = 1 entonces T − u también es un árbol, por lo que u no puede ser un vértice de corte de T. Recíprocamente, si d(u) > 1 entonces existen u, w ∈ V(T), u ≠ w, tales que u y w son adyacentes a u. Por lo tanto u, u, w es la única (u, w)-trayectoria en T. Esto implica que no existe una (u, w)-trayectoria en T − u y de aquí que u es un vértice de corte de T. 10.4 Grafos químicos En la lectura complementaria GRAFOS QUÍMICOS se describe la forma en que se utiliza el concepto de grafo en el estudio de la estructura molecular de compuestos químicos. MATEMÁTICAS DISCRETAS – RAMÓN ESPINOSA ARMENTA capitulo 10.indd 389 ALFAOMEGA 2/2/10 11:50:33 PM 390 X. GRAFOS Y ALGORITMOS 10.5 Árboles con raíz Un árbol con raíz es un árbol T que tiene un vértice particular r designado como raíz. Si i ∈ V(T), se dice que i tiene nivel k si la longitud de la única (r, i)-trayectoria es k. En particular la raíz r tiene nivel cero y sus vértices adyacentes tienen nivel uno. La altura de un árbol con raíz es el valor de su nivel máximo. Los árboles con raíz se utilizan con frecuencia para representar relaciones de jerarquía. La siguiente figura muestra una representación típica de un árbol con raíz. r Si T es árbol con raíz y (u1, u2, …, uk) es una trayectoria con origen r = u1, entonces para toda i = 1, 2, …, k − 1 se dice que: • ui es el padre de ui+1; • ui+1 es hijo de ui; • u1, u2, …, ui son los ancestros de ui+1; • ui+1, ui+2, …, son los descendientes de ui. Además, si u y u son hijos de w, entonces u y u son hermanos. Si w no tiene hijos entonces w es un vértice terminal (o una hoja del árbol). Si w no es un vértice terminal entonces se dice que w es un vértice interno. El subgrafo de T que consiste en w y todos sus descendientes, con w como raíz, es llamado el subárbol de T con raíz w. Un árbol binario es un árbol con raíz en el que cada vértice tiene a lo más dos hijos (uno a la izquierda y otro a la derecha). ALFAOMEGA capitulo 10.indd 390 MATEMÁTICAS DISCRETAS – RAMÓN ESPINOSA ARMENTA 2/2/10 11:50:35 PM 10.5 ÁRBOLES CON RAÍZ 391 Un árbol binario completo es un árbol binario en el que todos los vértices internos tienen dos hijos. Teorema 10.9 Si T es un árbol binario completo con k vértices internos, entonces T tiene k + 1 vértices terminales y 2k + 1 vértices en total. Demostración La raíz de T no es hijo de ningún vértice, todos los demás vértices deben ser hijos de algún vértice interno; como cada vértice interno tiene dos hijos, tenemos que el número total de vértices es 2k + 1, de los cuales el número de vértices terminales es (2k + 1) − k = k + 1. Teorema 10.10 Si un árbol binario T de altura h tiene t vértices terminales, entonces t ≤ 2h. Demostración La demostración se hace por inducción sobre h. Si h = 0 entonces T consiste de un solo vértice, en este caso t = 1 = 20. Supóngase que el resultado es verdadero para cualquier árbol binario con altura menor que h. Sea T un árbol binario con altura h > 0, con t vértices terminales. Sea r la raíz de T. Considérense dos casos: Caso 1: si r tiene un único hijo, entonces T ′ = T − r tiene altura h − 1 y el mismo número de vértices terminales que T. Por hipótesis de inducción t ≤ 2h−2. Como 2h−1 < 2h el resultado es cierto en este caso. Caso 2: si r tiene dos hijos u1 y u2, sea Ti el subárbol con raíz ui y sean hi la altura de Ti y ti el número de vértices terminales de Ti, i = 1, 2. Por hipótesis de inducción: ti ≤ 2hi i = 1, 2. Como t = t1 + t2, se tiene que t ≤ 2h1 + 2h2 ≤ 2h−1 + 2h−1 = 2h Un recorrido en un árbol binario T con raíz r, es un procedimiento para visitar todos los vértices de T. Los tres recorridos más comunes son el recorrido con orden inicial o preorden, el recorrido con orden intermedio o inorden y el recorrido con orden final o postorden. Las siguientes son las definiciones recursivas de esos recorridos. MATEMÁTICAS DISCRETAS – RAMÓN ESPINOSA ARMENTA capitulo 10.indd 391 ALFAOMEGA 2/2/10 11:50:41 PM 392 X. GRAFOS Y ALGORITMOS Recorrido preorden 1. Procesar el vértice raíz. 2. Recorrer el subárbol izquierdo en preorden. 3. Recorrer el subárbol derecho en preorden. Recorrido inorden 1. Recorrer el subárbol izquierdo en inorden. 2. Procesar el vértice raíz. 3. Recorrer el subárbol derecho en inorden. Recorrido postorden 1. Recorrer el subárbol izquierdo en postorden. 2. Recorrer el subárbol derecho en postorden. 3. Procesar el vértice raíz. Ejemplo 10.10 Considérese el siguiente árbol binario: a b c e d g f h Los recorridos correspondientes son: Preorden: a, b, c, d, e, g, h, f. Inorden: c, b, d, a, g, h, e, f. Postorden c, d, b, h, g, f, e, a. Si las palabras izquierdo y derecho son intercambiadas en las definiciones anteriores, se obtienen tres nuevos algoritmos de recorrido, llamados preorden inverso, inorden inverso y postorden inverso. ALFAOMEGA capitulo 10.indd 392 MATEMÁTICAS DISCRETAS – RAMÓN ESPINOSA ARMENTA 2/2/10 11:50:42 PM 10.6 APLICACIÓN: NOTACIÓN POLACA 393 En el simulador ÁRBOL BINARIO se pueden insertar, buscar y eliminar elementos de un árbol binario. 10.6 Aplicación: notación polaca Considérense expresiones aritméticas que utilizan los operadores +, −, ×, ÷. Por ejemplo (((a + b) × c) − (d ÷ e)) Esta forma de representar expresiones se denomina representación interfija de una expresión. Las variables a, b, c, d, e se llaman operandos. En esta representación el operador se ubica entre sus operandos. Una expresión aritmética se puede representar como un árbol binario, por ejemplo, − ÷ × + c a d e b El recorrido en inorden da la lista a+b×c−d÷e que es exactamente la expresión original excepto por los paréntesis. Por otra parte los paréntesis son cruciales, pues el listado podría corresponder a la expresión: ((a + (b × c)) − d) ÷ e MATEMÁTICAS DISCRETAS – RAMÓN ESPINOSA ARMENTA capitulo 10.indd 393 ALFAOMEGA 2/2/10 11:50:48 PM 394 X. GRAFOS Y ALGORITMOS que corresponde al árbol binario: ÷ − e + d × a b c Si se recorre el árbol original utilizando el algoritmo preorden se obtiene: −×+abc÷de Esta representación se conoce como representación prefija o notación polaca en honor al lógico polaco Jan Lukasiewicz. Si se recorre el árbol original utilizando el algoritmo postorden se obtiene: ab+c×de÷− Esta representación se conoce como representación sufija o notación polaca inversa. No cualquier listado de operandos y operadores corresponde a una representación prefija o sufija de una expresión aritmética. Una fórmula bien formada (fbf) para la representación prefija se construye recursivamente de la siguiente manera: (i) Un solo operando es una fbf. (ii) Si L1 y L2 son fbf y es un operador, entonces L1L2 es una fbf. De manera similar se puede construir una fbf para representación sufija. A diferencia de la representación interfija, a partir de la representación polaca (o polaca inversa) de una expresión se puede reconstruir de manera única el árbol binario, como lo muestra el siguiente teorema. Teorema 10.11 (Lukasiewicz). Si L = u1u2 … un es una fórmula bien formada para la representación sufija (prefija), entonces existe un único árbol binario T con la propiedad de que al recorrerlo en postorden (preorden) se obtiene L. ALFAOMEGA capitulo 10.indd 394 MATEMÁTICAS DISCRETAS – RAMÓN ESPINOSA ARMENTA 2/2/10 11:50:55 PM 10.7 ALGORITMOS DE BÚSQUEDA 395 Demostración A continuación se hace la demostración para el caso de representación sufija, por inducción sobre n. Si n = 3 entonces u1 y u2 son operandos y u3 es un operador, en este caso T es el árbol con raíz u3 e hijos u1 y u2. Supóngase ahora que el resultado es cierto para cualquier fbf con menos de n elementos y sea L = u1u2 … un una fbf. Sea uk el primer símbolo (de izquierda a derecha) que corresponde a un operador. Sea u el resultado de aplicar el operador uk a los operandos uk−2 y uk−1 y sea L ′ la fbf que se obtiene a partir de L reemplazando el segmento uk−2uk−1uk por u. Como L ′ tiene menos de n símbolos, por hipótesis de inducción existe un único árbol binario T ′ cuyo recorrido en postorden es L ′. Se obtiene T reemplazando el vértice u por el árbol con raíz uk e hijos uk−1 y uk−2. 10.7 Algoritmos de búsqueda Un algoritmo de búsqueda es un algoritmo cuyo propósito es encontrar todos los vértices en un grafo G = (V, E) que satisfacen una propiedad particular. Diferentes variantes de algoritmos de búsqueda aparecen en una gran variedad de problemas. Para ilustrar las ideas básicas de los algoritmos de búsqueda, supóngase que se quieren encontrar todos los vértices en un grafo G que son alcanzables desde un vértice distinguido r, al cual se le llama origen. En cada iteración del algoritmo un vértice puede estar marcado o no. Un vértice está marcado si se sabe que es alcanzable desde el origen. Sea X el conjunto de los vértices marcados y Y el conjunto de los vértices no marcados (es decir, Y = V − X). Inicialmente X consta solamente del vértice r. Se observa que si u ∈ X, u ∈ Y y uu ∈ E, entonces se puede marcar u. Un algoritmo de búsqueda recorre los vértices marcados en cierto orden. Se escribe ord(u) para indicar el orden de u en el recorrido. En la descripción del algoritmo L representará la lista de vértices marcados que el algoritmo no ha explorado, en el sentido de que algunas aristas pueden incidir en esos vértices. Cuando el algoritmo termina se obtiene un árbol con raíz r. Este árbol es llamado un árbol de búsqueda. Algoritmo Búsqueda (G) Entrada. Un grafo G = (V, E) con n vértices y un vértice origen r. Salida. Un árbol T con raíz r y una función ord : V → {1, 2, …, n} T1 := ({r}, ∅), X := {r}; Y := V – X , k := 1; ord (r ) := 1 2. insertar r en L. 3. mientras L ≠ ∅ hacer 1. MATEMÁTICAS DISCRETAS – RAMÓN ESPINOSA ARMENTA capitulo 10.indd 395 ALFAOMEGA 2/2/10 11:51:01 PM 396 X. 4. GRAFOS Y ALGORITMOS seleccionar u ∈ L; si N(u) ∩ Y = ∅ remover u de L; en otro caso elegir u ∈ N(u) ∩ Y; 5. X := X ∪ {υ}; Y := Y – {υ}; k := k + 1 Tk := Tk −1 + uυ; ord (υ ) := k insertar u en L. devolver T := Tn y ord. El algoritmo de búsqueda no especifica la manera de seleccionar o insertar un vértice en L. Diferentes reglas dan lugar a diferentes métodos de búsqueda. Dos estructuras de datos son las más populares para mantener una lista: una cola y una pila, las cuales dan lugar a dos estrategias de búsqueda fundamentales: Buscar Primero a lo Ancho (BPA)1 y Buscar Primero a lo Largo (BPL)2. 10.7.1 Buscar primero a lo ancho Si se mantiene la lista L como una cola, entonces se seleccionan los vértices del frente de la lista y se insertan al final, de esta manera se sigue el principio de: “el primero en entrar es el primero en salir”. Ejemplo 10.11 Se utiliza el siguiente grafo para ilustrar el algoritmo de Buscar Primero a lo Ancho. 2 4 1 6 3 5 En este caso el vértice r es el vértice 1. Inicialmente, T1 consta solamente del vértice 1, X = {1}, Y = {2, 3, 4, 5, 6} , k = 1, ord (1), L = (1) . 1 2 ALFAOMEGA capitulo 10.indd 396 Breadth-First Search. Depth-First Search. MATEMÁTICAS DISCRETAS – RAMÓN ESPINOSA ARMENTA 2/2/10 11:51:02 PM 10.7 ALGORITMOS DE BÚSQUEDA 397 Iteración 1. u = 1, υ = 2, X = {1, 2}, Y = {3, 4, 5, 6}, k = 2, T2 = T1 + {1, 2}, ord (2) = 2, L = (1, 2). Iteración 2. u = 1, υ = 3, X = {1, 2, 3}, Y = {4, 5, 6}, k = 3, T3 = T2 + {1, 3}, ord (3) = 3, L = (1, 2, 3). Iteración 3. u = 1 como N(u) ∩ Y = ∅, u se remueve de la lista, por lo tanto L = (2, 3). Iteración 4. u = 2, υ = 4, X = {1, 2, 3, 4}, Y = {5, 6}, k = 4, T4 = T3 + {2, 4}, ord (4) = 4, L = (2, 3, 4). Iteración 5. u = 2, como N(u) ∩ Y = ∅, u se remueve de la lista, por lo tanto L = (3, 4). Iteración 6. u = 3, υ = 5, X = {1, 2, 3, 4, 5}, Y = {6}, k = 5, T5 = T4 + {3, 5}, ord (5) = 5, L = (3, 4, 5). Iteración 7. u = 3, como N(u) ∩ Y = ∅, u se remueve de la lista, por lo tanto L = (4, 5). Iteración 8. u = 4, υ = 6, X = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, Y = ∅, k = 6, T6 = T5 + {4, 6}, ord (6) = 6, L = (4, 5, 6). Como todos los vértices han sido marcados, el algoritmo termina aquí. El árbol de búsqueda es: 2 4 1 6 3 MATEMÁTICAS DISCRETAS – RAMÓN ESPINOSA ARMENTA capitulo 10.indd 397 5 ALFAOMEGA 2/2/10 11:51:08 PM 398 X. GRAFOS Y ALGORITMOS 10.7.2 Buscar primero a lo largo Si se mantiene la lista L como una pila, se seleccionan los vértices del frente de la lista y se insertan también al inicio, siguiendo el principio de: “el último en entrar es el primero en salir”. Ejemplo 10.12 Para ilustrar el algoritmo de Buscar Primero a lo Largo, considérese de nuevo el siguiente grafo 2 4 6 1 3 5 con r = 1. Inicialmente, T 1 consta solamente del vértice 1, X = {1}, Y = {2, 3, 4, 5, 6}, k = 1, ord (1) = 1, L = (1). Iteración 1. u = 1, υ = 2, X = {1, 2}, Y = {3, 4, 5, 6}, k = 2, T2 = T1 + {1, 2}, ord (2) = 2, L = (2, 1). Iteración 2. u = 2, υ = 3, X = {1, 2, 3}, Y = {4, 5, 6}, k = 3, T2 = T1 + {2, 3}, ord (3) = 3, L = (3, 2, 1). Iteración 3. u = 3, υ = 4, X = {1, 2, 3, 4}, Y = {5, 6}, k = 4, T3 = T2 + {3, 4}, ord (4) = 4, L = (4, 3, 2, 1). Iteración 4. u = 4, υ = 5, X = {1, 2, 3, 4, 5}, Y = {6}, k = 5, T4 = T3 + {4, 5}, ord (5) = 5, L = (5, 4, 3, 2, 1). Iteración 5. u = 5, υ = 6, X = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, Y = ∅, k = 6, T5 = T4 + {5, 6}, ord (6) = 6, L L = (6, 5, 4, 3, 2, 1). ALFAOMEGA capitulo 10.indd 398 MATEMÁTICAS DISCRETAS – RAMÓN ESPINOSA ARMENTA 2/2/10 11:51:14 PM 10.8 APLICACIÓN: EL PROBLEMA DEL CONECTOR 399 Como todos los vértices han sido marcados, el algoritmo termina aquí. El árbol de búsqueda es: 4 2 6 1 5 3 10.8 Aplicación: el problema del conector Supóngase que se tienen n ciudades y que se quiere diseñar una red de comunicaciones conectando todas ellas. Para ciertas parejas u y u de ciudades es posible construir una vía de comunicación directa entre ellas, y se sabe cuál sería el costo de tal vía. El problema del conector consiste en determinar qué vías de comunicación directa deben construirse, con el fin de que todas las ciudades queden conectadas a un costo total mínimo. En términos matemáticos, dado un grafo conexo G y una función c : E(G) → , tal que c(e) ≥ 0 para toda e ∈ E(G), el problema del conector consiste en hallar un subgrafo de recubrimiento conexo H tal que c( H ) = ∑ c(e) e∈E ( H ) sea mínimo. Sea H un subgrafo de recubrimiento conexo de G, y supóngase que H contiene un ciclo C. Sea e ∈ E(C), por lo tanto e no es un puente, de aquí que H ′ = H − e también es un subgrafo generador de recubrimiento de G. Además c(H ′) = c(H) − c(e) ≤ c(H) Para resolver el problema del conector se puede suponer que H es acíclico, es decir H es un árbol generador de G. El siguiente algoritmo para el problema del árbol generador de costo míninimo, fue propuesto por Kruskal3 en 1956. 3 J. B. Kruskal. On the shortest spanning subtree of a graph and the traveling salesman problem, Proc. Amer. Math. Soc., 7 (1956), 48-50. MATEMÁTICAS DISCRETAS – RAMÓN ESPINOSA ARMENTA capitulo 10.indd 399 ALFAOMEGA 2/2/10 11:51:21 PM 400 X. GRAFOS Y ALGORITMOS Algoritmo Kruskal (G, c) Joseph Bernard Kruskal E ste matemático estadounidense descubrió en 1956 un algoritmo para la solución del problema del árbol de coste total mínimo, también llamado árbol recubridor euclídeo mínimo. Este problema es un problema de optimización combinatoria que fue considerado originalmente por Otakar Boruvka (1926). El objetivo del algoritmo de Kruskal es construir un árbol (subgrafo sin ciclos) formado por arcos sucesivamente seleccionados de mínimo peso a partir de un grafo con pesos en los arcos. Entre las aplicaciones del algoritmo de Kruskal se encuentra el diseño de redes telefónicas, de transporte, de telecomunicaciones, análisis de imágenes, etcétera. Entrada. Un grafo conexo G y una función c : E(G) → . Salida. Un subgrafo T de G. 1. Ordenar las aristas de G, de modo que c(e1) ≤ … ≤ c(ei). 2. Definir T := (V(G), ∅). 3. Para i := 1 hasta m hacer 4. si T + ei es acíclica entonces T := T + ei. 5. Devolver T. El algoritmo de Kruskal es un ejemplo de un algoritmo “tacaño», ya que en cada iteración elige la opción más económica disponible (es decir, la arista de costo mínimo). Algoritmos de este tipo pocas veces conducen a una solución óptima, sin embargo el algoritmo de Kruskal es un algoritmo tacaño afortunado, como lo muestra el siguiente teorema. Teorema 10.12 (Kruskal). Cualquier subgrafo T obtenido con el algoritmo de Kruskal es un árbol generador de costo mínimo. Demostración Por construcción T es un subgrafo de recubrimiento acíclico de G. Además T es conexo, pues si no lo fuera sería posible añadir otra arista sin crear un ciclo. Por lo tanto T es un árbol de recubrimiento de G, de aquí que | E(T) | = n − 1. Sean ei1 , ei2 , … , ein −1 las aristas elegidas sucesivamente para construir T. Supóngase que T no es un árbol de recubrimiento de costo mínimo. Sea T * un árbol de recubrimiento de costo mínimo y sea k ∈{1, 2, … , n − 1} tal que {ei1 , ei2 , … , eik −1 } ⊆ E (T *) y eik ∉ E (T *) . Por lo tanto T * +eik tiene un único ciclo C y eik ∈ E (C ) . Ahora bien, E (C ) − E (T ) ≠ ∅ porque T es acíclica. Sea ek′ ∈ E (C ) − E (T ) y sea T1 = (T * + eik ) − ek′ . Por lo tanto T1 es un árbol de recubrimiento de G, además c(T1 ) = c(T *) + c(eik ) − c(ek′ ) Como c(eik ) ≤ c(ek′) por construcción, se sigue que c(T1 ) ≤ c(T *) Hay que observar que T1 tiene una arista más en común con T que T* (pues se ha sustituido la arista ek′ que no pertenecía a T por la arista eik ). Repitiendo este proceso se puede obtener un árbol TN tal que TN = T y c(TN ) ≤ c(T *). Esto implica que c(T) ≤ c(T *) < c(T) lo cual es una contradicción. ALFAOMEGA capitulo 10.indd 400 MATEMÁTICAS DISCRETAS – RAMÓN ESPINOSA ARMENTA 2/2/10 11:51:27 PM 10.8 APLICACIÓN: EL PROBLEMA DEL CONECTOR 401 Ejemplo 10.13 Utilizar el algoritmo de Kruskal para obtener el árbol de recubrimiento de costo mínimo en el grafo de la siguiente figura: υ2 15 υ4 5 8 υ1 7 υ6 13 21 2 υ3 Solución 24 υ5 Las aristas que se eligen utilizando el algoritmo de Kruskal son: ei1 = υ1υ 3 , ei2 = υ 4υ 6 , ei3 = υ 2υ 3 , ei4 = υ 5υ 6 y ei5 = υ 2υ 4 . La figura de abajo muestra el árbol de recubrimiento correspondiente: υ2 15 υ4 8 5 υ1 7 21 υ6 13 11 2 υ3 24 υ5 El algoritmo de Kruskal requiere ordenar las m aristas de menor a mayor costo y esto requiere O(m log m) operaciones. Para poder verificar que T + ei es acíclica, es necesario comprobar que los extremos de ei estén en diferentes componentes de T. Esto puede lograrse asignando a cada vértice uj una etiqueta de modo que dos vértices tengan la misma etiqueta si y sólo si pertenecen a la misma componente. Inicialmente a cada vértice uj se le asigna la etiqueta uj := j. Si los extremos de ei tienen distinta etiqueta, se reetiquetan sus extremos con la más pequeña de las dos etiquetas. Para cada arista es necesario hacer una comparación para verificar que sus extremos tengan distinta etiqueta. Una vez que una arista es añadida, la reetiquetación de sus extremos requiere una operación más. En conclusión, la complejidad del algoritmo de Kruskal depende esencialmente de la ordenación de las aristas y es por lo tanto O(m log m). MATEMÁTICAS DISCRETAS – RAMÓN ESPINOSA ARMENTA capitulo 10.indd 401 ALFAOMEGA 2/2/10 11:51:29 PM 402 X. GRAFOS Y ALGORITMOS El simulador ALGORITMO DE KRUSKAL es una implementación del algoritmo expuesto en esta sección. 10.9 Grafos dirigidos Un grafo dirigido D es una pareja ordenada D = (V(D), A(D)), donde V(D) es un conjunto Ànito no vacío cuyos elementos son llamados vértices y A(D) es un subconjunto de parejas ordenadas de vértices distintos, cuyos elementos son llamados arcos. Si a = (u, u) ∈ A(D), se dice que u es el extremo inicial y u es el extremo terminal de a. Se acostumbra usar el término digrafo para referirse a un grafo dirigido. Un digrafo D puede representarse geométricamente asignando a cada vértice un punto en el plano, y representando cada arco como una flecha del extremo inicial al extremo final del arco. Ejemplo 10.14 La siguiente figura muestra un digrafo con cuatro vértices: 1 2 3 4 5 Sea D un digrafo y sea u ∈ V(D). Un vértice u se dice que es un vecino exterior de u si (u, u) ∈ A(D). El conjunto de vecinos exteriores de u se denota N +(u). El grado exterior de u es el número de d +(u) = | N +(u) |. Análogamente, un vértice u se dice que es un vecino interior de u si (u, u) ∈ A(D). El conjunto de vecinos interiores de u se denota N +(u). El grado interior de u es el número d −(u) = | N −(u) |. ALFAOMEGA capitulo 10.indd 402 MATEMÁTICAS DISCRETAS – RAMÓN ESPINOSA ARMENTA 2/2/10 11:51:40 PM 10.9 GRAFOS DIRIGIDOS 403 Sea D un grafo con conjunto de vértices V = {1, 2, …, n} y conjunto de arcos A = {a1, a2, …, am}. La matriz de incidencia de D es la matriz M = (mi, k )(i = 1, … , n; k = 1, … , m), deÀnida por: ⎧ 1 ⎪ mi ,k = ⎨−1 ⎪ 0 ⎩ Ejemplo 10.15 si i es el extremo inicial de ak si i es el extremo final de ak en otro caso La matriz de incidencia del digrafo del ejemplo 10.14 es: 0 ⎛ 1 ⎜ −1 1 ⎜ M = ⎜ 0 −1 ⎜ 0 0 ⎜ ⎜⎝ 0 0 0 0 0 0⎞ 0 −1 1 0⎟ ⎟ 1 1 0 0⎟ −1 0 0 1 ⎟⎟ 0 0 − 1 − 1⎟⎠ Sea D un digrafo con conjunto de vértices V = {1, 2, …, n}. La matriz de adyacencia de D es la matriz A = (ai, j) de n × n, donde ai, j = 1 si (i , j ) ∈ A( D) y ai, j = 0 en otro caso. Ejemplo 10.16 La matriz de adyacencia del digrafo del ejemplo 10.14 es: ⎛0 ⎜0 ⎜ A = ⎜0 ⎜0 ⎜ ⎜⎝ 0 1 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0⎞ 1⎟ ⎟ 0⎟ 1 ⎟⎟ 0 ⎟⎠ Si D es un digrafo, el grafo subyacente a D es el grafo G cuyos vértices son los vértices de D y en la cual hay una arista por cada arco de D, cuyos extremos son el extremo inicial y el extremo final del arco. Un digrafo D se dice que es conexo, si su grafo subyacente lo es. MATEMÁTICAS DISCRETAS – RAMÓN ESPINOSA ARMENTA capitulo 10.indd 403 ALFAOMEGA 2/2/10 11:51:47 PM 404 X. GRAFOS Y ALGORITMOS Un camino dirigido en un digrafo D es una sucesión finita no vacía W = (υ1 , a1 , υ υ 2 , … , υ k −1 , ak −1 , υ k ) cuyos términos son alternadamente vértices y arcos, tales que aj = (u j−1, u j). Los vértices u1 y uk son el origen y el destino del camino, respectivamente, y u2, u3, …, uk−1 son los vértices internos. El entero k − 1 es la longitud del camino dirigido. Un paseo dirigido es un camino donde todos los arcos son distintos. Una trayectoria dirigida es un paseo dirigido donde todos los vértices son distintos. Una arborecencia es un digrafo cuya gráfica subyacente es un árbol y cada vértice tiene a lo más un vecino interior. Se puede probar que si D es una arborecencia, existe un único vértice r tal que d −(r) = 0. Tal vértice es llamado la raíz de la arborecencia. También se dice que D es una arborecencia enraizada en r. Ejemplo 10.17 En la siguiente figura se muestra una arborecencia con raíz r. r Un digrafo D se dice que es fuertemente conexo, si para cualesquiera dos vértices u y u existe un camino dirigido con origen u y destino u. Un ciclo dirigido en un digrafo D, es un paseo dirigido cuyo origen y destino coinciden y cuyos vértices interiores son distintos. Un digrafo D se dice que es acíclico si no contiene ciclos dirigidos. Un digrafo H se dice que es un subdigrafo de un digrafo D si V(H) ⊆ V(G) y A(H) ⊆ A(G). Un digrafo D se dice que es digrafo transitivo, si para cualesquiera u, u, w ∈ V(D) si (u, u) ∈ A(D) y (u, w) ∈ A(D), entonces (u, w) ∈ A(D). Teorema 10.13 Sea D un digrafo transitivo, entonces para cualesquiera dos vértices u y u, si existe un camino dirigido de longitud k > 1 entonces (u, u) ∈ A(D). ALFAOMEGA capitulo 10.indd 404 MATEMÁTICAS DISCRETAS – RAMÓN ESPINOSA ARMENTA 2/2/10 11:52:02 PM 10.9 GRAFOS DIRIGIDOS 405 Demostración Si existe un camino de u a u de longitud 1 es porque (u, u) ∈ A(D). Supóngase ahora que el resultado es cierto para cualesquiera dos vértices conectados por un camino dirigido de longitud k − 1. Sea γ = (u, υ 2 , … , υ k , υ ) (un (u, u)-camino dirigido de longitud k. Como γ ′ = (u, υ 2 , … , υ k ) es un (u, uk)-camino dirigido de longitud k − 1, se sigue de la hipótesis de inducción que (u, uk) ∈ A(D). Como también (uk, u) ∈ A(D), y D es transitiva, se tiene que (u, u) ∈ A(D). Sea D un digrafo. La cerradura transitiva de D es el mínimo digrafo transitivo D̂ que contiene a D como subdigrafo. Hay que observar que por el teorema 10.13, (i, j) ∈ A( Dˆ ) si y sólo si existe una (i, j)-trayectoria dirigida en D. A continuación se describe un algoritmo diseñado por Stephen Warshall4 para obtener la cerradura transitiva de un digrafo. Sea D un digrafo con conjunto de vértices V ( D) = {1, 2, … , n} . La idea del algoritmo de Warshall es definir una sucesión de matrices W0 , W1 , … , Wn , tales que para cada k = 0, 1, … , n, Wn = ( wij ) es la matriz de ceros y unos en la cual wijk = 1 si y sólo si existe un camino dirigido de i a j, en el que los vértices internos, si existen, pertenecen al conjunto {1, 2, … , k ) . k Por definición W0 es la matriz de adyacencia de D, es decir, wij = 1 si y sólo si (i, j) ∈ A( D) . Supóngase que se ha calculado Wk−1. Para calcular Wk considérese un camino dirigido de i a j cuyos vértices interiores pertenecen al conjunto {1, 2, … , k ) . Sin pérdida de generalidad se puede suponer que el origen y los vértices internos son distintos. Solamente hay dos posibilidades: que el camino no contenga a k como vértice interno o que sí lo contenga. En el primer caso wijk = wijk −1 , mientras que en el segundo caso el camino se podría dividir en dos secciones, la primera sección sería un camino dirigido de i a k y la segunda sección sería un camino dirigido de k a j. En ambos casos los vértices internos pertenecerían al conjunto {1, 2, … , k − 1) , por lo que wijk = wikk−1 ∧ wkjk−1 . 0 De esta manera la matriz Wk se puede calcular a partir de la matriz Wk−1 por medio de la fórmula wijk = wijk −1 ∨ ( wikk−1 ∧ wkk j−1 ) Hay que observar también que Wn es la matriz de la cerradura transitiva de R. En resumen, se tiene el siguiente algoritmo. 4 S. Warshall. A theorem on boolean matrices, Journal of the ACM, 9, pp. 11-12, 1962. MATEMÁTICAS DISCRETAS – RAMÓN ESPINOSA ARMENTA capitulo 10.indd 405 ALFAOMEGA 2/2/10 11:52:08 PM 406 X. GRAFOS Y ALGORITMOS Algoritmo Warshall (D) Entrada. Un digrafo D descrito a partir de su matriz de adyacencia A. Salida. La matriz de adyacencia W de la cerradura transitiva de D. 1. 2. W0 := A; para k := 1 hasta n hacer para i := 1 hasta n hacer para j := 1 hasta n hacer wijk = wijk −1 ∨ ( wikk−1 ∧ wkk j−1 ) 3. devolver W := Wn. Ejemplo 10.18 Utilizar el algoritmo de Warshall para obtener la cerradura transitiva del digrafo D descrito por la matriz ⎛0 ⎜1 A=⎜ ⎜0 ⎜⎝ 0 Solución 0 0 1 0 1 0 0 0 0⎞ 0⎟ ⎟ 1⎟ 0 ⎟⎠ La sucesión de matrices obtenida al aplicar el algoritmo de Warshall es ⎛0 ⎜1 W0 = ⎜ ⎜0 ⎜⎝ 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0⎞ 0⎟ ⎟ 1⎟ 0 ⎟⎠ ⎛0 ⎜1 W1 = ⎜ ⎜0 ⎜⎝ 0 0 1 0⎞ 0 1 0⎟ ⎟ 1 0 1⎟ 0 0 0 ⎟⎠ ⎛0 ⎜1 W2 = ⎜ ⎜1 ⎜⎝ 0 0 0 1 0 1 1 1 0 0⎞ 0⎟ ⎟ 1⎟ 0 ⎟⎠ ⎛1 ⎜1 W3 = ⎜ ⎜1 ⎜⎝ 0 1 1 1 0 1 1 1 0 1⎞ 1⎟ ⎟ 1⎟ 0 ⎟⎠ Se puede comprobar que W4 := W3, por lo que la última matriz representa la cerradura transitiva de D. Para determinar la complejidad computacional del algoritmo de Warshall, hay que observar que el cálculo de cada matriz Wk requiere 2n2 operaciones, pues en cada entrada se realizan 2 operaciones. Por lo tanto, para calcular las n matrices se requieren 2n3 operaciones, de modo que el algoritmo de Warshall es O(n3). ALFAOMEGA capitulo 10.indd 406 MATEMÁTICAS DISCRETAS – RAMÓN ESPINOSA ARMENTA 2/2/10 11:52:10 PM 10.10 APLICACIÓN: RUTA MÁS CORTA 407 El simulador ALGORITMO DE WARSHALL es una implementación del algoritmo expuesto en esta sección. 10.10 Aplicación: ruta más corta Sea D un digrafo con conjunto de vértices V ( D) = {1, 2, … , n} y sea c : A(D) → tal que c(a) ≥ 0 para toda a ∈ A(D). Si a = (i, j), el número c(a) puede interpretarse como el costo de ir directamente de i a j. El problema de la ruta más corta consiste en determinar una trayectoria dirigida g del vértice 1 al vértice n tal que c(γ ) = ∑ c(a) a∈A (γ ) sea mínimo. Si (i, j) ∈ A(D) se escribe ci j en lugar de c(i, j). Por conveniencia se extiende la función c al conjunto V × V, definiendo cii = 0, para todo i = 1, 2, …, n y definiendo ci j = ∞ si (i, j) ∉ A(D), i ≠ j. A continuación se describe un algoritmo, debido a Edsger W. Dijkstra5 para resolver el problema de la ruta más corta. El algoritmo de Dijkstra procede asignando etiquetas a los vértices; en cada etapa algunas etiquetas son consideradas permanentes y otras temporales. Si un vértice j tiene una etiqueta uj y esa etiqueta es permanente, entonces uj es la distancia más corta de 1 a j. Si la etiqueta uj es temporal, entonces uj es la distancia más corta de 1 a j sujeta a la restricción de que cada vértice en la trayectoria (excepto j) tiene una etiqueta permanente. Al principio el único vértice con etiqueta permanente es 1, al cual se le asigna la etiqueta u1 = 0. A cada uno de los otros vértices se les asigna la etiqueta temporal uj = c1j. El paso general del algoritmo es como sigue: entre todos los vértices con etiqueta temporal determinar el vértice k tal que uk sea lo más pequeña posible (en caso de empate romperlo de manera arbitraria). El número uk es necesariamente la distancia más corta de 1 a k, pues si existiera otra trayectoria de 1 a k ésta tendría que tener un primer vértice l con etiqueta temporal ul; para este vértice ul ≥ uk y por lo tanto la distancia a lo largo de esta trayectoria tendría que ser por lo menos igual a uk. Si en este momento todos los vértices tienen asignada una etiqueta permanente entonces el procedimiento termina, en otro caso las etiquetas temporales de los vértices j ∈ N+(k) se revisan comparando uj con uk + ck j y reemplazando uj por el más pequeño de los dos valores. 5 E. W. Dijkstra. A note on two problems in connexión with graphs, Numer. Math., 1, (1959), 269-271. MATEMÁTICAS DISCRETAS – RAMÓN ESPINOSA ARMENTA capitulo 10.indd 407 ALFAOMEGA 2/2/10 11:52:10 PM 408 X. GRAFOS Y ALGORITMOS A continuación se resume el algoritmo de Dijkstra, y para mayor claridad se denota el conjunto de vértices con etiqueta temporal con la letra T. Edsger W. Dijkstra N Algoritmo Dijkstra (D, c) (1930-2002) ació en Holanda y estudió física, sin embargo se dedicó a la naciente ciencia de la computación. Se opuso a la utilización de la instrucción GO TO en los lenguajes de programación y en 1972 obtuvo el premio A. M. Turing por sus contribuciones fundamentales en el área de lenguajes de programación. Entrada. Un digrafo D y una función no negativa c : V × V → R . Salida. Un arreglo ordenado u = (u1 , … , un ) tal que uj es la distancia más corta de 1 a j. 1. Para j := 1 hasta n hacer uj = c1j. 2. T := {2, 3, … , n}. 3. mientras T ≠ ∅. 4. Hallar k ∈ T tal que uk = mín{u j | j ∈ T}. 5. T := T − {k ) . + Para cada j ∈ T ∩ N ( k ) redefinir u j := mín{u j , uk + ck j } . 6. Ejemplo 10.19 Utilizar el algoritmo de Dijkstra para obtener la distancia más corta del vértice 1 a los demás vértices en el siguiente digrafo. 2 4 4 5 1 7 8 2 3 2 3 Solución 6 3 4 5 Inicialmente: u1 = 0, u2 = 5, u3 = 3, u4 = u5 = u6 = ∞, T = {2, 3, 4, 5, 6} Iteración 1. k = 3, T = {2, 4, 5, 6}, u5 = mín{∞, 3 + 4} = 7 Iteración 2. k = 2, T = {4, 5, 6}, u4 = mín{7, 9 + 3} = 7, u5 = mín{9, 9 + 7} = 9 . ALFAOMEGA capitulo 10.indd 408 MATEMÁTICAS DISCRETAS – RAMÓN ESPINOSA ARMENTA 2/2/10 11:52:12 PM 10.10 APLICACIÓN: RUTA MÁS CORTA 409 Iteración 3. k = 2, T = {4, 6}, u6 = mín{∞, 7 + 2} = 9 Iteración 4. Hay un empate entre u4 y u6 (ambos valen 9), el cual se rompe arbitrariamente, por ejemplo, k = 4, T = {6}, u5 = mín{7, 9 + 3} = 7, u6 = mín{9, 9 + 7} = 9 . Iteración 5. k = 6, T = ∅ Finalmente se obtiene que u1 = 0, u2 = 5, u3 = 3, u4 = 9, u5 = 7, u6 = 9. El simulador ALGORITMO DE DIJKSTRA es una implementación del algoritmo expuesto en esta sección. Es posible modificar el algoritmo de Dijkstra para obtener explícitamente las trayectorias más cortas del vértice 1 a cada uno de los otros vértices. Esas trayectorias juntas forman una arborecencia con raíz el vértice 1. La figura de abajo muestra la arborecencia de trayectorias óptimas del ejemplo anterior. 2 4 4 7 5 2 1 8 3 3 6 2 3 4 5 Para determinar la complejidad computacional del algoritmo de Dijkstra, hay que observar que la primera vez que el paso 4 es ejecutado se efectúan n − 2 comparaciones, la segunda vez se efectúan n − 3 comparaciones y así sucesivamente, MATEMÁTICAS DISCRETAS – RAMÓN ESPINOSA ARMENTA capitulo 10.indd 409 ALFAOMEGA 2/2/10 11:52:19 PM 410 X. GRAFOS Y ALGORITMOS para un total de (n − 1)(n − 2)/2 comparaciones. La primera vez que el paso 6 es ejecutado se necesitan a lo más n − 2 sumas y n − 2 comparaciones, la segunda vez se necesitan n − 3 sumas y el mismo número de comparaciones y así sucesivamente, para un total de (n − 1)(n − 2)/2 sumas y el mismo número de comparaciones. Por lo tanto el algoritmo requiere en total 3(n − 1)(n − 2)/2 operaciones en el peor de los casos, por lo que el algoritmo de Dijkstra es O(n2). Un algoritmo para determinar las distancias más cortas entre cualesquiera dos vértices fue publicado sin comentarios como un programa en ALGOL por Robert W. Floyd6. Su método se basaba en el algoritmo de Warshall para determinar la existencia de una ruta entre todas las parejas de vértices de un digrafo. En el algoritmo de Floyd-Warshall se define una sucesión de matrices F0 , F1 , … , Fn , k tales que para cada k = 0, 1, … , n, Fk = ( f i j ) es la matriz en la cual f i j representa el costo de la trayectoria más corta de i a j, sujeta a la restricción de que los vértices interiores, si existen, pertenecen al conjunto {1, 2, … , k} . En el problema 10.47 se pide demostrar que la matriz Fk se puede calcular a partir de la matriz Fk−1 por medio de la fórmula: k f ikj = mín{ f ikj−1 , f ikk−1 + f kk −j 1} 10.11 Resumen En este capítulo se expusieron los conceptos básicos de grafos, así como la noción de árbol y sus propiedades. Se analizaron árboles con raíz y recorridos en árboles binarios, además de la estrategia general de los algoritmos de búsqueda. Se expuso el algoritmo de Kruskal para determinar un árbol de recubrimiento mínimo. Se definieron los conceptos básicos de dígrafos, se presentó el algoritmo de Warshall para encontrar la cerradura transitiva de un digrafo. Por último se expuso el algoritmo de Dijkstra para resolver el problema de la ruta más corta. En el siguiente capítulo se presentan algunos temas selectos de teoría de grafos, y en particular se analizan algunos problemas NP-completos relacionados con grafos. 6 ALFAOMEGA capitulo 10.indd 410 R. W. Floyd. Algorithm 97, shortest path, Comm. ACM, 5, (1962), 345. MATEMÁTICAS DISCRETAS – RAMÓN ESPINOSA ARMENTA 2/2/10 11:52:26 PM 10.12 10.12 PROBLEMAS 411 Problemas Grafos 10.1 Demostrar que si G es un grafo con n vértices y m aristas, entonces ⎛ n⎞ m≤⎜ ⎟ ⎝ 2⎠ 10.2 Sea G un grafo no trivial. Demostrar que G es conexo si y sólo si, para cada partición de V en dos conjuntos ajenos no vacíos V1 y V2, existe una arista con un extremo en V1 y un extremo en V2. 10.3 Demostrar que si G es un grafo con al menos dos vértices, entonces existen dos vértices distintos que tienen el mismo grado. 10.4 Sea G un grafo. Si dos vértices u y u están conectados en G, la distancia entre u y u en G, denotada d(u, u), es la longitud de la (u, u)-trayectoria más corta en G; si no existe una trayectoria conectando u y u se define u como infinito. Demostrar que para cualesquiera tres vértices u, u y w, d (u, w) ≤ d (u, υ ) + d (υ , w) . 10.5 Sea G un grafo. Demostrar que el número de (i, j)-caminos de longitud k en G es igual a la entrada (i, j) de la matriz Ak. Árboles 10.6 Demostrar que hay un árbol con seis vértices de grado 1, uno de grado 2, uno de grado 3 y uno de grado 5. 10.7 Un árbol tiene tres vértices de grado 2, dos de grado 3, y uno de grado 4. Si los vértices restantes tienen grado uno, ¿cuántos vértices tiene el árbol? 10.8 Demostrar que si G es un bosque entonces el número de componentes conexas de G es igual a | V(G) | − | E(G) |. 10.9 Sea G un grafo conexo con n vértices y n − 1 aristas. Demostrar que G es un árbol. 10.10 Sea G un grafo acíclico con n vértices y n − 1 aristas. Demostrar que G es es un árbol. 10.11 Sea G un grafo. Demostrar que si el grado de cada vértice de G es par, entonces G no tiene puentes. MATEMÁTICAS DISCRETAS – RAMÓN ESPINOSA ARMENTA capitulo 10.indd 411 ALFAOMEGA 2/2/10 11:52:27 PM 412 X. GRAFOS Y ALGORITMOS 10.12 Sea G un grafo conexo no trivial. Demostrar que G tiene al menos dos vértices que no son de corte. 10.13 Demostrar que cualquier árbol con exactamente dos vértices de grado uno es una trayectoria. Árboles con raíz 10.14 Un árbol n-nario completo es un árbol con raíz, donde cada vértice interno tiene n hijos. Si T es un árbol n-nario completo con k vértices internos, ¿cuántos vértices tiene T? ¿Cuántos vértices terminales tiene T? Notación polaca 10.15 Dibujar el árbol binario que representa la expresión aritmética [(a ∗ b) − (c ÷ d )] + [e ∗ ( f − g)] y escribir su representación en notación polaca y notación polaca inversa. 10.16 Dibujar el árbol binario que representa la expresión abcde − ∗ + + en notación polaca inversa. 10.17 Dibujar el árbol binario que representa la expresión ÷ ∗ a + bc − + def en notación polaca. Algoritmos de búsqueda 10.18 Determinar la complejidad computacional del algoritmo de búsqueda. 10.19 Demostrar que en un árbol de búsqueda en anchura, para cada vértice u, la única (r, u)-trayectoria es la trayectoria más corta de r a u, es decir, contiene el menor número de aristas posible. 10.20 Demostrar que en un árbol de búsqueda en profundidad, si un vértice u es descendiente de un vértice u, entonces ord(u) > ord(u). 10.21 Modificar el algoritmo de búsqueda para encontrar todos los vértices en un digrafo G, los cuales son alcanzables desde un vértice s por medio de una trayectoria dirigida. 10.22 Modificar el algoritmo de búsqueda para encontrar todos los vértices en un digrafo G, los cuales pueden alcanzar a un vértice distinguido t por medio de una trayectoria dirigida. ALFAOMEGA capitulo 10.indd 412 MATEMÁTICAS DISCRETAS – RAMÓN ESPINOSA ARMENTA 2/2/10 11:52:27 PM 10.12 PROBLEMAS 413 Problema del conector 10.23 La siguiente tabla muestra las distancias aéreas en kilómetros entre seis ciudades de la República Mexicana: Acapulco, Ciudad de México, Mérida, La Paz, Monterrey y Guadalajara: A CM Mé LP Mo G A CM Mé LP Mo G 0 290 1140 1320 960 540 290 0 980 1220 690 440 1140 980 0 2280 1180 1370 1320 1220 2280 0 1000 800 960 690 1180 1000 0 630 540 440 1370 800 630 0 Utilizar el algoritmo de Kruskal para hallar un árbol de recubrimiento de costo mínimo. 10.24 Resolver el problema 10.23 usando el simulador ALGORITMO DE KRUSKAL 10.25 Modificar el algoritmo de Kruskal para resolver el problema del conector con preasignaciones: dado un grafo conexo G, un conjunto E ′ ⊆ E y una función de costos c : E → , hallar un subgrafo de recubrimiento conexo H tal que E ′ ⊆ E(H) y c(H) sea mínimo. 10.26 Sea G un grafo conexo y sea u : E → una función de utilidad. Modificar el algoritmo de Kruskal para hallar un árbol de recubrimiento T tal que u(T) sea máxima. 10.27 Sea G un grafo conexo con m aristas. Diseñar un algoritmo de complejidad computacional O(m) para hallar un árbol de recubrimiento de G. 10.28 Sea G un grafo conexo. Demostrar que si C : E(G) → es inyectiva, entonces G tiene un único árbol de recubrimiento de costo mínimo. 10.29 Diseñar un algoritmo para encontrar un bosque de costo mínimo en un grafo con costos no necesariamente positivos. 10.30 Sea G un grafo conexo y c : E(G) → una función de costos. Sea T un árbol generador de costo mínimo y sean u, u ∈ V(G). ¿Es cierto que la (u, u)-trayectoria en T es una (u, u)-trayectoria en G de costo mínimo? Justificar la respuesta. MATEMÁTICAS DISCRETAS – RAMÓN ESPINOSA ARMENTA capitulo 10.indd 413 ALFAOMEGA 2/2/10 11:52:28 PM 414 X. GRAFOS Y ALGORITMOS Grafos dirigidos 10.31 Demostrar que si D es un digrafo con m arcos, entonces ∑ d (υ ) = m =∑ d (υ ) − + υ ∈V υ ∈V 10.32 Demostrar que si D es un digrafo acíclico entonces existe un vértice u tal que d −(u) = 0. 10.33 Utilizar el resultado del problema anterior para demostrar que si D es un digrafo acíclico entonces existe una ordenación υ1 , υ 2 , … , υ n de los vértices de D, tal que si (ui, uj) ∈ A entonces i < j. 10.34 Demostrar que si D es una arborecencia, existe un único vértice r tal que d −(r) = 0. 10.35 Sea V = {1, 2, 3, 4}. Utilizar el algoritmo de Warshall para hallar la matriz de la cerradura transitiva del digrafo D cuya matriz de adyacencia es ⎛0 ⎜1 A=⎜ ⎜1 ⎜⎝ 0 1 0 0 0 0 0 0 1 1⎞ 0⎟ ⎟ 0⎟ 0 ⎟⎠ 10.36 Resolver el problema 10.35 usando el simulador ALGORITMO DE WARSHALL 10.37 Sea V = {1, 2, 3, 4}. Utilizar el algoritmo de Warshall para hallar la matriz de la cerradura transitiva del digrafo D cuya matriz de adyacencia es ⎛0 ⎜0 A=⎜ ⎜0 ⎜⎝ 1 1 0 0 0 1 1 0 0 0⎞ 0⎟ ⎟ 1⎟ 0 ⎟⎠ 10.38 Resolver el problema 10.37 usando el simulador ALGORITMO DE WARSHALL ALFAOMEGA capitulo 10.indd 414 MATEMÁTICAS DISCRETAS – RAMÓN ESPINOSA ARMENTA 2/2/10 11:52:29 PM 10.12 PROBLEMAS 415 10.39 Sea V = {1, 2, 3, 4}. Utilizar el algoritmo de Warshall para hallar la matriz de la cerradura transitiva del digrafo D cuya matriz de adyacencia es ⎛0 ⎜1 A=⎜ ⎜0 ⎜⎝ 1 0 0 1 0 1 1 0 1 0⎞ 1⎟ ⎟ 0⎟ 0 ⎟⎠ 10.40 Resolver el problema 10.39 usando el simulador ALGORITMO DE WARSHALL Ruta más corta 10.41 Utilizar el algoritmo de Dijkstra para hallar las distancias más cortas en el digrafo cuya matriz de distancias es: ⎛0 3 ∞ 2 ∞ ⎜ ∞ 0 10 6 ∞ ⎜ ⎜∞ 1 0 9 ∞ ⎜∞ 8 ∞ 0 4 ⎜ ⎜∞ ∞ 2 3 0 ⎜ ⎝∞ ∞ 1 ∞ 4 ∞⎞ ∞⎟ ⎟ 3⎟ ∞⎟ ⎟ ∞⎟ ⎟ 0⎠ 10.42 Resolver el problema 10.41 usando el simulador ALGORITMO DE DIJKSTRA 10.43 ¿Cómo hay que modificar el algoritmo de Dikjstra para que, además de encontrar las distancias más cortas, se obtengan las trayectorias más cortas del vértice 1 a los demás vértices? 10.44 Sea D un digrafo con m arcos, y supóngase que ci j = 1 para todo (i, j) ∈ A. Diseñar un algoritmo de complejidad O(m) para encontrar las distancias más cortas del vértice 1 a los demás vértices. 10.45 Plantear un ejemplo que muestre que el algoritmo de Dijkstra puede dar resultados incorrectos si se permiten distancias negativas. MATEMÁTICAS DISCRETAS – RAMÓN ESPINOSA ARMENTA capitulo 10.indd 415 ALFAOMEGA 2/2/10 11:52:31 PM 416 X. GRAFOS Y ALGORITMOS 10.46 Plantear un ejemplo que muestre que si se permiten costos negativos, el problema de la ruta más corta no tiene necesariamente una solución óptima. 10.47 Demostrar que en el algoritmo de Floyd-Warshall, la matriz Fk se puede calcular a partir de la matriz Fk−1 por medio de la fórmula: f ikj = mín{ f ikj−1 , f ikk−1 + f kk −j 1} 10.48 Utilizar el algoritmo de Floyd-Warshall para hallar las distancias más cortas entre cualesquiera dos vértices en el digrafo cuya matriz de distancias es: ⎛0 2 ⎜∞ 0 ⎜ ⎜1 5 ⎜⎝ ∞ ∞ 1 ∞ 0 4 7⎞ 3⎟ ⎟ 4⎟ 0 ⎟⎠ 10.49 Demostrar que la complejidad computacional del algoritmo de FloydWarshall es O(n3). 10.50 Sea D un digrafo con costos posiblemente negativos. Modificar el algoritmo de Floyd-Warshall para que se puedan detectar ciclos de longitud negativa, y en caso de que éstos no existan, hallar la distancia más corta entre cualesquiera dos vértices. ALFAOMEGA capitulo 10.indd 416 MATEMÁTICAS DISCRETAS – RAMÓN ESPINOSA ARMENTA 2/2/10 11:52:32 PM 10.13 10.13 CONTENIDO INTERACTIVO 417 Contenido interactivo El material marcado con asterisco (*) sólo está disponible para docentes. Mapa conceptual Simuladores • Árbol binario • Algoritmo de Kruskal • Algoritmo de Warshall • Algoritmo de Dijkstra Lectura adicional • Grafos químicos Respuesta y desarrollo de problemas seleccionados *Presentaciones *Respuesta y desarrollo de problemas Glosario MATEMÁTICAS DISCRETAS – RAMÓN ESPINOSA ARMENTA capitulo 10.indd 417 ALFAOMEGA 2/2/10 11:52:32 PM CAPÍTULO XI Temas selectos de grafos 11.1 Introducción 11.2 Grafos bipartitos 11.3 Grafos isomorfos 11.4 Paseos eulerianos 11.5* Algoritmo de Fleury 11.6 Ciclos hamiltonianos 11.7 Aplicación: problemas NP-completos 11.8 Planaridad 11.9 Coloración de vértices 11.10 Grafos orientados 11.11* La fórmula de Cayley 11.12 Resumen 11.13 Problemas 11.14 Contenido interactivo *Ver Plataforma de contenidos interactivos. capitulo 11.indd 418 2/2/10 11:53:53 PM 1 2 B 3 4 5 6 Lewis Carroll 8 7 A D ¿De qué sirve un libro —pensó Alicia— si no tiene dibujos ni diálogos? υ1 υ6 υ2 υ5 υ3 C υ4 Objetivos • • • • • • • • capitulo 11.indd 419 DeÀnir la noción de grafo bipartito. Explicar qué signiÀca que dos grafos sean isomorfos. Caracterizar a los grafos eulerianos. Explicar qué es un grafo hamiltoniano. Discutir la clase de problemas NP-completos. Probar propiedades de grafos aplanables. Discutir el problema de coloración. Probar propiedades de grafos orientados. 2/2/10 11:53:53 PM 420 XI. TEMAS SELECTOS DE GRAFOS 11.1 Introducción En este capítulo se continúa con el estudio de la teoría de grafos. Primero se plantea la noción de grafo bipartito y su caracterización, luego se explica qué significa que dos grafos sean isomorfos y se ven algunas familias importantes de grafos. Se extiende la noción de grafo para poder definir multigrafos eulerianos y se ve la noción de grafo hamiltoniano. Se describe la clase de problemas NP-completos y se discute el problema P vs NP. Se expone qué significa que un grafo sea aplanable, se demuestra la fórmula de Euler y se utiliza para identificar todos los poliedros regulares. Se presenta el problema de coloración de vértices, en particular se discute el problema de los cuatro colores y se demuestra el teorema de los cinco colores. Por último se presentan los grafos orientados y en particular la noción de torneo. 11.2 Grafos bipartitos Un grafo se dice que es bipartito, si su conjunto de vértices puede ser partido en dos subconjuntos ajenos X y Y, uno de los cuales podría ser vacío, tales que cualquier arista tiene un extremo en X y un extremo en Y; tal partición (X, Y) es llamada una bipartición del grafo. Ejemplo 11.1 Un ejemplo de un grafo bipartito es el grafo del cubo. 1 7 2 3 4 5 6 8 En este caso la bipartición está dada por X = {1, 4, 5, 8} y Y = {2, 3, 6, 7} . El siguiente teorema establece una caracterización de grafos bipartitos. Teorema 11.1 gitud impar. Demostración Un grafo es bipartito si y sólo si no contiene ciclos de lon- Sea G un grafo bipartito con bipartición (X, Y). Sea C = (υ1 , e1 , υ 2 , e2 , … , υ k , ek , υ k +1 ) ALFAOMEGA capitulo 11.indd 420 MATEMÁTICAS DISCRETAS – RAMÓN ESPINOSA ARMENTA 2/2/10 11:53:54 PM 11.3 GRAFOS ISOMORFOS 421 un ciclo de longitud k en G. Sin pérdida de generalidad se puede suponer que υ1 ∈ X , por lo tanto υ 2 ∈Y , υ 3 ∈ X , υ 4 ∈Y , y en general υ 2 j −1 ∈ X y υ 2 j ∈Y para todo j. Como υ k +1 = υ1 ∈ X , se sigue que k tiene que ser par. Supóngase que G no contiene ciclos de longitud impar. Sin pérdida de generalidad se puede suponer que G es conexo. Sea u ∈ V y defínase: X = {u ∈ V | existe una (u, u)-trayectoria de longitud par} Y = {u ∈ V | existe una (u, u)-trayectoria de longitud impar} Hay que observar que estos conjuntos están bien definidos, pues si P es una (u, u)-trayectoria de longitud par y Q es una (u, u)-trayectoria de longitud impar, entonces P Q −1 sería un ciclo de longitud impar, lo cual no es posible. Para ver que (X, Y) es una bipartición de G, sea e = υ w ∈ E . Supóngase que u, w ∈ X. Sea P una (u, u)-trayectoria de longitud par y sea Q una (u, w)-trayectoria de longitud par. Por lo tanto P (υ , e, w) Q −1 es un ciclo de longitud impar, lo cual no es posible. Análogamente se puede ver que no es posible que u, w ∈ Y. Por lo tanto (X, Y) es una bipartición de G. 11.3 Grafos isomorfos Dos grafos pueden tener la misma estructura, difiriendo sólo en los nombres de los vértices, en términos más precisos se tiene la siguiente definición. Un grafo G se dice que es isomorfo a un grafo H, si existe una función biyectiva ϕ : V (G ) → V ( H ) tal que u υ ∈ E (G ) ⇔ ϕ (u )ϕ (υ ) ∈ E ( H ) En este caso la función j se dice que es un isomorÀsmo de G en H. Si G es isomorfo a H se escribe G ≅ H . Ejemplo 11.2 Considérense los grafos de la siguiente figura. 1 3 2 a 4 c G MATEMÁTICAS DISCRETAS – RAMÓN ESPINOSA ARMENTA capitulo 11.indd 421 b d H ALFAOMEGA 2/2/10 11:53:54 PM 422 XI. TEMAS SELECTOS DE GRAFOS Para ver que estos grafos son isomorfos, se define ϕ : V (G ) → V ( H ) como: ϕ (1) = c, ϕ (2) = d , ϕ (3) = a, ϕ (4) = b Partiendo de la definición, se puede comprobar fácilmente que la función j es un isomorfismo de G en H Se sigue directamente de la definición que si G ≅ H entonces | V(G) | = | V(H) | y | E(G) | = | E(H) |. También es claro que dG(u) = dH(j(u)) En el siguiente teorema se establece que el isomorfismo entre grafos es una relación de equivalencia en el conjunto de todos los grafos. Teorema 11.2 Sean G, H y J tres grafos. Entonces a) G ≅ G. b) Si G ≅ H entonces H ≅ G. c) Si G ≅ H y H ≅ J, entonces G ≅ J. Demostración a) La función j : V(G) → V(G) definida por j(u) = u para toda u ∈ V(G) es claramente un isomorfismo de G en sí mismo. b) Si j es un isomorfismo de G en H, entonces j−1 es un isomorfismo de H en G. c) Si j1 es un isomorfismo de G en H, y j2 es un isomorfismo de H en J, entonces j2 j1 es un isomorfismo de G en J. En este capítulo el objetivo es presentar las propiedades estructurales de los grafos, por lo que con frecuencia se omitirán etiquetas cuando se dibujen. Un grafo no etiquetado puede interpretarse como un representante de una clase de equivalencia de grafos isomorfos. A continuación se presentan algunas familias importantes de grafos, las cuales aparecerán con frecuencia en los ejemplos, los ejercicios y aplicaciones. Un grafo trayectoria es un grafo que consiste de una sola trayectoria. El grafo trayectoria con n vértices se denota como Pn. ALFAOMEGA capitulo 11.indd 422 MATEMÁTICAS DISCRETAS – RAMÓN ESPINOSA ARMENTA 2/2/10 11:53:58 PM 11.3 GRAFOS ISOMORFOS 423 En la siguiente figura se muestra el grafo trayectoria P4: Un grafo ciclo es un grafo que consiste de un solo ciclo. El grafo ciclo con n vértices se denota como Cn. En la siguiente figura se muestra el grafo ciclo C5: Un grafo en el que cualesquiera dos vértices distintos son adyacentes es llamado un grafo completo. Salvo por isomorÀsmos, existe un solo grafo completo con n vértices, el cual se denota como Kn. En la siguiente figura se muestra un dibujo de K5: Un grafo vacío es un grafo que no tiene aristas. MATEMÁTICAS DISCRETAS – RAMÓN ESPINOSA ARMENTA capitulo 11.indd 423 ALFAOMEGA 2/2/10 11:53:59 PM 424 XI. TEMAS SELECTOS DE GRAFOS En la siguiente figura se muestra el grafo vacío con cuatro vértices: Un grafo bipartito completo es un grafo bipartito con bipartición (X, Y) en el cual cada vértice de X es adyacente a cada vértice en Y; si | X | = r y | Y | = s, tal gráÀca se denota Kr,s. En la siguiente figura se muestra el grafo bipartito completo K3,3: Un grafo G es k-regular si d(u) = k para todo u ∈ V(G); un grafo G se dice que es regular si es k-regular para algún k. Ejemplo 11.3 ALFAOMEGA capitulo 11.indd 424 Un ejemplo de un grafo 3-regular es el grafo de Petersen: MATEMÁTICAS DISCRETAS – RAMÓN ESPINOSA ARMENTA 2/2/10 11:54:00 PM 11.4 11.4 PASEOS EULERIANOS 425 Paseos eulerianos En la siguiente figura se muestra un mapa de la antigua ciudad de Königsberg (hoy Kaliningrado, Rusia), tal como se veía en el siglo XVIII. Como se puede ver hay una isla A y el río Pregel, que rodea a ésta, se divide en dos ramas las cuales eran cruzadas por siete puentes: B A D C Los habitantes de Königsberg se entretenían tratando de encontrar una ruta alrededor de la ciudad, en la cual cada uno de los puentes se cruzara exactamente una vez. Como sus intentos siempre fallaban, muchos de ellos empezaron a creer que tal ruta era imposible, pero sin poder explicar cuál era la razón. Fue el gran matemático suizo Leonhard Euler quien demostró en 1736 que no podía existir un paseo que pasara por todos los puentes exactamente una vez1 . La ciudad de Königsberg y sus siete puentes se puede modelar por medio de la siguiente figura: B A Grafos y topología Al analizar el problema de los puentes de Königsberg, Euler se dio cuenta de que la forma de las masas de tierra era irrelevante y que la solución del problema dependía únicamente de la manera en que esas masas de tierra se conectaban a través de los puentes. El trabajo de Euler en relación con la solución de este problema es considerado el primer artículo en teoría de grafos, además de que también es considerado el inicio de la topología (de los vocablos griegos topos –lugar– y logos –estudio), una importante rama de las matemáticas modernas. D C 1 L. Euler. Solutio problematis ad geometriam situs pertinentis, Comm. Sci. Imp. Petropol, 8, (1736), 128-140. MATEMÁTICAS DISCRETAS – RAMÓN ESPINOSA ARMENTA capitulo 11.indd 425 ALFAOMEGA 2/2/10 11:54:01 PM 426 XI. TEMAS SELECTOS DE GRAFOS El modelo anterior no corresponde a un grafo, pues hay vértices que están conectados por más de una arista; tales estructuras son llamadas multigrafos. Un multigrafo G es una terna ordenada G = (V(G), E(G), ΨG), donde V(G) es un conjunto Ànito no vacío cuyos elementos son llamados vértices, E(G) es un conjunto Ànito, ajeno a V(G), cuyos elementos son llamados aristas, y ΨG es una función, llamada función de incidencia, que asocia a cada arista de G un subconjunto de cardinalidad dos de V. Dos aristas e y e′ se dice que son paralelas si ΨG(e) = ΨG(e′). Todo grafo es un multigrafo y los conceptos que se han planteado para grafos siguen siendo válidos para multigrafos. El problema de los puentes de Königsberg es equivalente a hallar un paseo que pase por todas las aristas del multigrafo. En honor a Euler, un paseo que pasa por todas las aristas de un multigrafo G es llamado un paseo euleriano. Un circuito euleriano es un paseo euleriano cerrado. Un multigrafo se dice que es euleriano si contiene un circuito euleriano. En el siguiente teorema se establece una condición necesaria y suficiente para que un multigrado conexo sea euleriano. Teorema 11.3 Un multigrafo conexo es euleriano si y sólo si no contiene vértices de grado impar. Demostración Sea G un multigrafo conexo, y supóngase que G es euleriano. Sea C un circuito euleriano que comienza y termina en u. Si u ≠ u, entonces al recorrer el circuito, cada vez que se entra a u, se sale de él por una arista distinta, y como C contiene todas las aristas de G, se sigue que d(u) es par. Por otra parte, como C comienza y termina en u, d(u) también es par. Por lo tanto G no tiene vértices de grado impar. Para probar el recíproco se utiliza inducción sobre m, el número de aristas de G. Si m = 0, entonces G consiste de un solo vértice, y por lo tanto G es claramente euleriano. Supóngase ahora que cualquier multigrafo conexo con menos de m aristas, donde todos los vértices tengan grado par es euleriano, y sea G un multigrafo conexo con m aristas, y donde todos los vértices tienen grado par. Sea P = (u1, e1, u2, e2, …, uk, ek, uk+1) una trayectoria de longitud máxima en G. Como el grado de uk+1 es par, debe existir una arista ek+1, uniendo al vértice uk+1 con un vértice ui ≠ uk. ALFAOMEGA capitulo 11.indd 426 MATEMÁTICAS DISCRETAS – RAMÓN ESPINOSA ARMENTA 2/2/10 11:54:01 PM 11.5 ALGORITMO DE FLEURY 427 Por lo tanto C = (ui, ei, ui+1, …, uk, ek, uk+1, ek+1, ui) es un ciclo en G. Si C es un circuito euleriano aquí acaba la demostración, en otro caso sea H = G − E(C). Por lo tanto H tiene menos de m aristas, y cada vértice de H tiene grado par, de aquí que, por hipótesis de inducción, cada componente de H es euleriana. Constrúyase ahora un circuito euleriano para G de la siguiente manera. El vértice ui debe pertenecer a una componente de H, recórrase el circuito euleriano correspondiente a esa componente y regrésese al vértice ui. Recórrase luego la arista uiui+1. Como el vértice ui+1 debe pertenecer a una componente de H, recórrase el circuito euleriano correspondiente a esa componente y regrésese al vértice ui+1. Repitiendo este procedimiento se regresa finalmente al vértice ui, habiendo recorrido todas las aristas de G. Por lo tanto G es euleriano. Corolario 11.1 Un multigrafo conexo tiene un paseo euleriano si y sólo si tiene a lo más dos vértices de grado impar. Demostración Si G tiene un paseo euleriano, entonces cada vértice interior del paseo tiene grado par. Por lo tanto a lo más el origen y el destino del paseo pueden tener grado impar. Supóngase ahora que G es un multigrafo conexo con a lo más dos vértices de grado impar. Si G no tiene vértices de grado impar, entonces por el teorema 11.3, G tiene un paseo euleriano cerrado. En otro caso, por el corolario 10.1, G debe tener exactamente dos vértices de grado impar, tal como u y u. Sea e una nueva arista uniendo a u con u. Claramente el multigrafo G + e es conexo, y todos sus vértices tienen grado par, por lo que por el teorema 11.3, G + e tiene un circuito euleriano C. Por lo tanto P = C − e es un paseo euleriano en G. Hay que observar que en el problema de los puentes de Königsberg hay más de dos vértices que tienen grado impar, por lo que el multigrafo no puede tener un paseo euleriano. 11.5 Algoritmo de Fleury En la lectura complementaria ALGORITMO DE FLEURY se muestra cómo mediante el algoritmo de Fleury se puede construir un circuito euleriano en un multigrafo euleriano. MATEMÁTICAS DISCRETAS – RAMÓN ESPINOSA ARMENTA capitulo 11.indd 427 ALFAOMEGA 2/2/10 11:54:02 PM 428 XI. TEMAS SELECTOS DE GRAFOS De acuerdo con la teoría expuesta, el propósito general del simulador ALGORITMO DE FLEURY es construir un circuito euleriano en un multigrafo euleriano. 11.6 Ciclos hamiltonianos En 1856, el irlandés William R. Hamilton, uno de los más grandes matemáticos de su época, se encontraba trabajando en sistemas algebraicos no conmutativos cuando descubrió que uno de esos sistemas podía ser interpretado en términos de trayectorias sobre el grafo del dodecaedro regular. Hamilton publicó sus resultados y utilizó la interpretación gráfica como la base de un juego que salió a la venta en 1859, acompañado por unas instrucciones escritas por Hamilton mismo. El juego consistía de un dodecaedro regular sólido, hecho de madera, veinte clavijas (cada una insertada en un vértice del dodecaedro) y una provisión de cuerda. Cada vértice del dodecaedro llevaba el nombre de una ciudad importante de la época. El objetivo del juego era encontrar rutas a lo largo de las aristas del dodecaedro, satisfaciendo ciertas condiciones requeridas; en particular, el primer problema consistía en encontrar un ciclo que pasara por cada vértice del dodecaedro exactamente una vez. Como el dodecaedro sólido era poco manejable, Hamilton diseñó una nueva versión plana del mismo (véase la siguiente figura). Ninguna de las versiones del juego fue un éxito. William R. Hamilton A (1805-1865) los 18 años Hamilton descubrió un error en la Mecánica Celeste de Laplace. A los 21 años fue nombrado Astrónomo Real de Irlanda. Hamilton dedicó gran parte de su vida a desarrollar un álgebra de ternas y cuaternas de números, descubriendo un álgebra no conmutativa de cuaternas (o cuaternios). Gráfica del dodecaedro. ALFAOMEGA capitulo 11.indd 428 MATEMÁTICAS DISCRETAS – RAMÓN ESPINOSA ARMENTA 2/2/10 11:54:03 PM 11.6 CICLOS HAMILTONIANOS 429 Una trayectoria hamiltoniana es una trayectoria que pasa por cada vértice de un grafo exactamente una vez. Un ciclo hamiltoniano es un ciclo que contiene todos los vértices del grafo. Se dice que un grafo es un grafo hamiltoniano si contiene un ciclo hamiltoniano. Ejemplo 11.4 Todo grafo completo con al menos tres vértices es hamiltoniano. Ejemplo 11.5 guiente figura. El grafo del dodecaedro es hamiltoniano, como lo muestra la si- Ejemplo 11.6 El grafo de Hershel no es hamiltoniano, porque si lo fuera tendría un ciclo de longitud once, lo cual no es posible, porque este grafo es bipartito. MATEMÁTICAS DISCRETAS – RAMÓN ESPINOSA ARMENTA capitulo 11.indd 429 ALFAOMEGA 2/2/10 11:54:04 PM 430 XI. TEMAS SELECTOS DE GRAFOS El siguiente resultado establece una condición necesaria para que un grafo sea hamiltoniano. Teorema 11.4 Si G es hamiltoniano, entonces para cualquier S ⊂ V(G), S ≠ ∅, el número de componentes de G − S es a lo más | S |. Demostración Sea C un ciclo hamiltoniano en G. Es claro que el número de componentes de C − S es, a lo más, | S |. Por otra parte, como C − S es un subgrafo generador de G, el número de componentes de G − S no puede ser mayor que el número de componentes de C − S. Ejemplo 11.7 Considérese el grafo: u u y sea S = {u, u}. Es claro que G − S tiene tres componentes, por lo que G no es hamiltoniano. La condición del teorema 11.4 no es suficiente para asegurar que un grafo sea hamiltoniano, como lo muestra el siguiente ejemplo. Ejemplo 11.8 No es difícil verificar que el grafo de la figura de abajo satisface la conclusión del teorema 11.4. Sin embargo este grafo no es hamiltoniano, pues si existiera un ciclo hamiltoniano debería incluir las aristas incidentes con los vértices de grado dos, por lo que el vértice central tendría grado al menos tres en el ciclo, lo cual no es posible. ALFAOMEGA capitulo 11.indd 430 MATEMÁTICAS DISCRETAS – RAMÓN ESPINOSA ARMENTA 2/2/10 11:54:05 PM 11.6 CICLOS HAMILTONIANOS 431 Existen varios resultados que establecen condiciones suficientes para que un grafo sea hamiltoniano. Uno de éstos, debido a Ore2, es el siguiente. Teorema 11.5 (Ore). Si G es un grafo con n vértices, donde n ≥ 3, y si d(u) + d(u) ≥ n para cualesquiera dos vértices no adyacentes u y u, entonces G es hamiltoniano. Demostración Supóngase que el resultado es falso, por lo tanto existe un grafo no hamiltoniano maximal G con n vértices, donde n ≥ 3, que satisface las hipótesis del teorema. Como G no es hamiltoniano, G no puede ser completo, por lo que existen dos vértices no adyacentes u y u. Por lo tanto G + uu es hamiltoniano. Si C es un ciclo hamiltoniano en G + uu entonces P = C − uu es una (u, u)-trayectoria hamiltoniana en G. Escríbase P = (u1, u2, …, un), donde u = u1 y u = un. Hay que observar que si u es adyacente a uj para algún j ≥ 2, entonces u no puede ser adyacente a uj−1, pues si así fuera entonces (u1, uj, uj+1, uj+2, …, un, uj−1, uj−2, …, u2, u1) sería un ciclo hamiltoniano en G. Por lo tanto, por cada vértice de {u2, …, un} adyacente a u hay un vértice en {u1, …, un−1} no adyacente a u, de aquí que d(u) ≤ (n − 1) − d(u) y por lo tanto d(u) + d(u) ≤ (n − 1) lo cual no es posible. En conclusión G es hamiltoniano. Hay que observar que el grafo ciclo C5 es hamiltoniano, sin embargo no satisface las condiciones del teorema de Ore, lo cual muestra que esta condición es suficiente, pero no necesaria. A partir del teorema de Ore, Bondy y Chvátal hicieron la siguiente observación. Lema 11.1 Sea G un grafo con n vértices, y sean u y u dos vértices no adyacentes tales que d(u) + d(u) ≥ n. Entonces G es hamiltoniano si y sólo si G + uu es hamiltoniano. Demostración Si G es hamiltoniano entonces claramente G + uu es hamiltoniano. Recíprocamente, supóngase que G + uu es hamiltoniano, pero que G no lo es. Entonces como en la demostración del teorema 11.5 se llega a la contradicción de que d(u) + d(u) ≤ n − 1. 2 Ore O., Note on Hamiltonian circuits. Am. Math. Monthly. 67 (1960), 55. MATEMÁTICAS DISCRETAS – RAMÓN ESPINOSA ARMENTA capitulo 11.indd 431 ALFAOMEGA 2/2/10 11:54:05 PM 432 XI. TEMAS SELECTOS DE GRAFOS El resultado anterior motivó a Bondy y a Chvátal a definir la cerradura de un grafo G con n vértices, como el grafo obtenido a partir de G uniendo recursivamente parejas de vértices no adyacentes cuya suma de grados es al menos n, hasta que no queden más parejas de tales vértices. El siguiente lema establece que la cerradura de un grafo está bien definida. Lema 11.2 Si G1 y G2 son dos grafos obtenidos a partir de G uniendo recursivamente parejas de vértices no adyacentes cuya suma de grados es al menos n, hasta que no queden más parejas de tales vértices, entonces G1 = G2. Demostración Sean e1, e2, …, es y f 1, f 2, …, f t las sucesiones de aristas añadidas a G para obtener G1 y G2, respectivamente. Primero se muestra que cada arista ei es una arista de G2 y que cada f j es una arista de G1. Supóngase que existe una arista ek = uu que no pertenece a G2. Se puede elegir esta arista de modo que ei ∈ E(G2) para i = 1, …, k − 1. Sea H el grafo obtenido a partir de G añadiendo las aristas e1, e2, …, ek−1. Se sigue de la definición de G1 que dH(u) + dH(u) ≥ n Por otra parte, como H es un subgrafo de G2, se tiene que dG2(u) + dG2(u) ≥ n lo cual es una contradicción, pues u y u no son vértices adyacentes de G2. Por lo tanto cada arista ei es una arista de G2, y similarmente, cada f j es una arista de G1. Por lo tanto G1 = G2, y la cerradura de G está bien definida. El siguiente teorema, debido a Bondy y Chvátal3, se sigue directamente de los lemas 11.1 y 11.2. Teorema 11.6 (Bondy, Chvátal). su cerradura es hamiltoniana. Un grafo es hamiltoniano si y sólo si Como cada grafo completo con al menos tres vértices es hamiltoniano, se obtiene el siguiente resultado. Corolario 11.2 Sea G un grafo con al menos tres vértices. Si la cerradura de G es completa, entonces G es hamiltoniano. 3 ALFAOMEGA capitulo 11.indd 432 J. A. Bondy y V. Chvátal. A method in graph theory. Disc. Math. 15 (1976), 111-136. MATEMÁTICAS DISCRETAS – RAMÓN ESPINOSA ARMENTA 2/2/10 11:54:06 PM 11.7 APLICACIÓN: PROBLEMAS NP-COMPLETOS 433 La condición del corolario anterior es suficiente, pero no necesaria, pues por ejemplo la cerradura de C5 no es completa, pero C5 es hamiltoniano. En contraste con lo que ocurre con grafos eulerianos, no se conoce hasta el momento una condición necesaria y suficiente para determinar si un grafo es hamiltoniano. 11.7 Aplicación: problemas NP-completos En ciencias de la computación un problema de decisión es un problema cuya respuesta es SI o NO. Un ejemplo de un problema de decisión es: Dado un grafo conexo G, ¿existe un ciclo hamiltoniano en G? La clase de problemas de decisión para los cuales existe un algoritmo polinomial para resolverlos se denota P. La clase de problemas de decisión para los cuales una respuesta positiva puede verificarse en tiempo polinomial se denota NP. Por ejemplo el problema de determinar si existe un ciclo hamiltoniano en un grafo conexo G es NP, porque si se afirma que H es un ciclo hamiltoniano en G, se puede verificar que realmente lo es en tiempo polinomial. Es claro que P ⊆ NP, sin embargo se ignora si P ≠ NP. De hecho este es el problema abierto más importante en ciencias de la computación, y es uno de los siete Problemas del Milenio identificados en el año 2002 por el Instituto de Matemáticas Clay como los principales retos de las matemáticas en los años por venir. Por la solución de cada uno de estos problemas, el Instituto ofrece un millón de dólares. Un problema de decisión L se dice que es NP-completo si es NP y si la solubilidad polinomial de L implica la solubilidad polinomial de cualquier problema en NP. En 1971, Stephen Cook mostró que la clase de problemas NP-completos es no vacía. Un año después Richard M. Karp encontró otros problemas NP-completos, en particular Karp mostró el siguiente teorema, cuya demostración se omite4. Teorema 11.7 El problema del ciclo hamiltoniano es NP-completo. Actualmente la lista de problemas NP-completos incluye cientos de problemas, muchos de ellos de enorme importancia práctica. Para ninguno se ha encontrado un algoritmo polinomial, a pesar de enormes esfuerzos durante décadas, por esto se piensa que la conjetura P ≠ NP es verdadera. 4 R. M. Karp. Reducibility among combinatorial problems, Complexity of computer computation, Plenum Press, 85-103. MATEMÁTICAS DISCRETAS – RAMÓN ESPINOSA ARMENTA capitulo 11.indd 433 ALFAOMEGA 2/2/10 11:54:06 PM 434 XI. TEMAS SELECTOS DE GRAFOS Debido a la importancia práctica de muchos problemas NP-completos, y ante la imposibilidad de tener un algoritmo eficiente para resolverlos, se han diseñado métodos basados muchas veces en la intuición, para encontrar soluciones razonablemente buenas en tiempo polinomial. Dichos algoritmos son llamados heurísticas o métodos heurísticos. El problema del agente viajero Un agente viajero desea visitar ciertas ciudades y luego regresar a su punto de partida. Conociendo las distancias entre las ciudades, ¿cómo planear su recorrido de modo que visite cada ciudad exactamente una vez, de modo que la distancia total recorrida sea mínima? Este problema es conocido como el problema del agente viajero. En términos matemáticos el problema es el siguiente: Sea K un grafo completo y sea c : E(K) → . Hallar un ciclo hamiltoniano H tal que c( H ) = ∑ c(e) e∈E ( H ) sea mínima. El problema del agente viajero se puede ver como un problema de decisión de la siguiente manera: Dado un grafo completo K, una función c : E(K) → y un entero positivo M, ¿existe un ciclo hamiltoniano H tal que C(H) ≤ M? Visto como un problema de decisión, es claro que el problema del agente viajero es NP. A partir del resultado de Karp de que el problema del ciclo hamiltoniano es NP-completo, se puede probar algo más. Teorema 11.8 El problema del agente viajero es NP-completo. Demostración Supóngase que existe un algoritmo polinomial para el problema del agente viajero; bajo esta condición se construye un algoritmo polinomial para el problema del ciclo hamiltoniano. Sea G el grafo conexo dado, con V = V(G) = {1, 2, …, n}, y sea K el grafo completo sobre V con costos ⎧1 si e ∈ E (G ) c(e) = ⎨ ⎩2 en otro caso. ALFAOMEGA capitulo 11.indd 434 MATEMÁTICAS DISCRETAS – RAMÓN ESPINOSA ARMENTA 2/2/10 11:54:07 PM 11.8 PLANARIDAD 435 Claramente G es hamiltoniano si y sólo si existe un ciclo hamiltoniano H en K tal que c(H) ≤ n (en este caso se tendría de hecho que c(H) = n). Por lo tanto si el problema del agente viajero es polinomial, también lo es el problema del ciclo hamiltoniano. Como este último problema es NP-completo, se sigue que el problema del agente viajero también lo es. Una heurística para el problema del agente viajero es la siguiente. Sea H = (u1, u2, …, un, u1) un ciclo hamiltoniano en el grafo completo K. Si i, j son tales que 1 < i + 1 < j < n y c(ui uj) + c(ui+1 uj+1) < c(ui ui+1) + c(uj uj+1) entonces Hi j = (u1, u2, …, ui, uj, uj−1, …, ui+1, uj+1, uj+2, …, un, u1) también es un ciclo hamiltoniano y además c(Hi j) < c(H). Repitiendo este procedimiento mientras sea posible finalmente se obtendrá una solución razonablemente buena, aunque no necesariamente óptima. Hay que observar que si H * es un ciclo hamiltoniano óptimo, y u es cualquier vértice, entonces H − u es una trayectoria hamiltoniana en K − u, y por consiguiente es un árbol generador de K − u. Por lo tanto, si T es un árbol generador óptimo de K − u (el cual se puede encontrar utilizando el algoritmo de Kruskal) y si e, f son dos aristas incidentes con u tales que c(e) + c( f ) sea lo más pequeño posible, entonces c(T) + c(e) + c( f ) será una cota inferior de c(H *). 11.8 Planaridad En 1840 el matemático alemán August F. Möbius planteó el siguiente problema: Había una vez un rey que tenía cinco hijos. En su testamento el rey estipulaba que después de su muerte el reino debería de ser dividido en cinco regiones, una para cada uno de sus hijos, de tal forma que cada región tuviera una línea fronteriza con cada una de las otras regiones. ¿Es tal división posible? El problema anterior es equivalente a dibujar el grafo completo K5 de tal forma que ninguna arista se cruce con otra. Algunos intentos con lápiz y papel podrán convencer al lector de que tal cosa es imposible. Un problema similar fue incluido en un libro de pasatiempos matemáticos editado por H. E. Dudeney en 1917. El problema es el siguiente: MATEMÁTICAS DISCRETAS – RAMÓN ESPINOSA ARMENTA capitulo 11.indd 435 ALFAOMEGA 2/2/10 11:54:07 PM 436 XI. TEMAS SELECTOS DE GRAFOS Llevar agua, gas y electricidad de A, G y E, a cada una de las tres casas X, Y, Z, sin que ninguna tubería cruce con otra A G E X Y Z El problema anterior es equivalente a dibujar el grafo bipartito completo K3,3 de tal forma que ninguna arista cruce con otra. Vale la pena intentar este dibujo para convencerse de que tampoco esto es posible. Un grafo G se dice que es un grafo aplanable si puede dibujarse en el plano de tal forma que las aristas se intersecten sólo en los extremos. Tal dibujo de G es llamado un encaje de G en el plano. Si G es un grafo aplanable, entonces cualquier encaje de G en el plano divide a éste en regiones, una de las cuales es no acotada y es llamada la región exterior. En el siglo XVIII, Euler estableció una fórmula que relacionaba el número de vértices, aristas y caras de un poliedro. El siguiente teorema generaliza la fórmula de Euler para grafos conexos aplanables. Teorema 11.9 (Fórmula de Euler). Sea G un grafo conexo aplanable con n vértices y m aristas, y sea q el número de regiones en un encaje de G en el plano, entonces n−m+q=2 Demostración La demostración se hace por inducción sobre m. Si m = 0 entonces n = 1 y q = 1, por lo que se cumple la fórmula. Supóngase ahora que la fórmula es cierta para cualquier grafo conexo aplanable con menos de m aristas, y sea G un grafo conexo aplanable con m ≥ 1 aristas. Si G es un árbol entonces q = 1, además m = n − 1, por lo tanto n − m + q = n − (n − 1) + 1 = 2. Si G no es un árbol, elíjase una arista e contenida en un ciclo de G, por lo tanto G − e es un grafo conexo aplanable con n vértices, m − 1 aristas y q − 1 regiones (pues al quitar e se obtiene una sola región donde antes había dos), de modo que, por hipótesis de inducción, n − (m − 1) + (q − 1) = 2, y por lo tanto n − m + q = 2. ALFAOMEGA capitulo 11.indd 436 MATEMÁTICAS DISCRETAS – RAMÓN ESPINOSA ARMENTA 2/2/10 11:54:08 PM 11.8 PLANARIDAD 437 Corolario 11.3 Todo encaje en el plano de un grafo conexo aplanable tiene el mismo número de regiones. Demostración Se sigue del hecho de que el número de vértices y aristas no depende del encaje. Si r es una región en un encaje de G en el plano, el grado de r es el número de aristas encontradas en un camino alrededor de la frontera de la región. Hay que observar que la suma de los grados de las regiones es dos veces el número de aristas, pues cada arista pertenece a la frontera de dos regiones distintas. Esta sencilla observación, y la fórmula de Euler, conducen a varios resultados interesantes. Teorema 11.10 El grafo bipartito completo K3,3 no es aplanable. Demostración K3,3 tiene seis vértices y nueve aristas. Supóngase que K3,3 es aplanable y sea q el número de regiones en un encaje de K3,3 en el plano. Como K3,3 no tiene ciclos de longitud menor que cuatro, cada región debe tener grado mayor o igual que cuatro. Por lo tanto la suma de los grados de las regiones debe ser al menos 4q. Además este número es dos veces el número de aristas, es decir, 4q ≤ 18, y por lo tanto q ≤ 4. Por la fórmula de Euler: 2=6−9+q≤6−9+4=1 lo cual es falso, por lo tanto K3,3 no es aplanable. Teorema 11.11 Si G es un grafo conexo aplanable, con n ≥ 3 vértices y m aristas, entonces m ≤ 3n − 6. Demostración Sea q el número de regiones en un encaje de G en el plano. Para cada región r se tiene que d(r) ≥ 3, de ahí que 2m ≥ 3q. Por otra parte, por la fórmula de Euler, m − n + 2 = q, de modo que 3m − 3n + 6 = 3q ≤ 2m Con lo cual se concluye que m ≤ 3n − 6. Corolario 11.4 El grafo completo K5 no es aplanable. Demostración K5 tiene cinco vértices y diez aristas, si K5 fuera aplanable entonces 10 ≤ 3(5) − 6 = 9, lo cual es falso. Por lo tanto K5 no es aplanable. Corolario 11.5 Si G es un grafo conexo aplanable, con n vértices y m aristas, entonces G tiene al menos un vértice de grado a lo más cinco. MATEMÁTICAS DISCRETAS – RAMÓN ESPINOSA ARMENTA capitulo 11.indd 437 ALFAOMEGA 2/2/10 11:54:09 PM 438 XI. TEMAS SELECTOS DE GRAFOS Demostración Supóngase que d(u) ≥ 6 para todo u ∈ V(G). Por lo tanto 2m = ∑ d (υ ) ≥ 6n υ ∈V ( G ) de ahí que m ≥ 3n, lo cual contradice el teorema. Por lo que G debe tener al menos un vértice de grado a lo más cinco. 11.8.1 Poliedros Con cada poliedro P está asociado un grafo conexo aplanable G(P), cuyos vértices y aristas son los vértices y aristas de P. Además, en cualquier encaje de G(P) en el plano, cada región corresponde a una cara de P. Por lo que, por la fórmula de Euler, si P es un poliedro con n vértices, m aristas y q caras, entonces n − m + q = 2. En un poliedro el grado de cada vértice debe ser al menos tres, además, por el corolario anterior, debe haber al menos un vértice de grado a lo más cinco. Por otra parte, cada cara debe estar acotada por un ciclo de longitud al menos tres, o en otras palabras, cada cara debe tener grado al menos tres. El siguiente resultado establece que debe haber una cara de grado a lo más cinco. Teorema 11.12 grado 3, 4 ó 5. Si P es un poliedro, entonces al menos una cara tiene Demostración Sea G(P) el grafo conexo aplanable correspondiente a P, y supóngase que G(P) tiene n vértices, m aristas y q regiones. Supóngase que cada región tiene grado mayor o igual que seis. Como la suma de los grados de las regiones es dos veces el número de aristas, se tiene que 2m ≥ 6q, o equivalentemente, m ≥ 3q. Por otra parte, la suma de los grados de los vértices es dos veces el número de aristas; como cada vértice es de grado al menos tres, se sigue que 2m ≥ 3n. Por la fórmula de Euler, n − m + q = 2, y de aquí que 6 = 3n − 3m + 3q ≤ 2m − 3m + m = 0 lo cual no es posible, por lo tanto al menos una región de G(P), o equivalentemente, al menos una cara de P, debe tener grado a lo más cinco. Un poliedro regular es un poliedro en el que todas las caras son del mismo grado, y todos los vértices son del mismo grado. En el siguiente teorema se muestra que hay exactamente cinco poliedros regulares. ALFAOMEGA capitulo 11.indd 438 MATEMÁTICAS DISCRETAS – RAMÓN ESPINOSA ARMENTA 2/2/10 11:54:09 PM 11.8 Teorema 11.13 439 PLANARIDAD Hay exactamente cinco poliedros regulares. Demostración Sea P un poliedro regular, y sea G el grafo conexo planar correspondiente a P. Por hipótesis G es k-regular para algún k ≥ 3, además todas las regiones en un encaje de G en el plano deben tener el mismo grado, tal como d, donde d ≥ 3. Supóngase que G tiene n vértices, m aristas y q regiones. Como la suma de los grados de los vértices es dos veces el número de aristas, se tiene que nk = 2m. También se sabe que la suma de los grados de las caras es dos veces el número de aristas, por lo tanto dq = 2m. Como G es conexo y aplanable se cumple la fórmula de Euler, n − m + q = 2, de aquí que: Los sólidos platónicos Platón afirmaba que los cuatro “elementos”, aire, tierra, fuego y agua, de los cuales se creía estaba formada toda la materia, estaban a su vez constituidos por pequeñas partículas, las cuales tenían la forma de poliedros regulares. Según Platón, al aire le correspondía el octaedro, a la tierra el cubo, al fuego el tetraedro y al agua el icosaedro. Para no dejar ningún poliedro regular fuera, Platón afirmaba que el universo tenía forma de dodecaedro. 8 = 4n − 4m + 4q = 4 n − 2m − 2m + 4 q = 4 n − nk − dq + 4 q = n(4 − k ) + q(4 − d ). Ahora bien, por el corolario 11.5, 3 ≤ k ≤ 5, además 3 ≤ d ≤ 5. Por otra parte, si tanto k como d fueran mayores que tres, entonces n(4 − k) + q(4 − d) sería menor o igual que cero, lo cual no es posible. Esto da exactamente cinco casos posibles: 1. k = 3, d = 3. En este caso n + q = 8 y 3n = 3q, de aquí que n = q = 4. Además m = n + q − 2 = 4 + 4 − 2 = 6, que corresponde al tetraedro. 2. k = 3, d = 4. En este caso n = 8 y 3n = 4q, de aquí que q = 6. Además m = 8 + 6 − 2 = 12, que corresponde al cubo. 3. k = 3, d = 5. En este caso n − q = 8 y 3n = 5q, por lo tanto, n = 20 y q = 12. Además m = 20 + 12 − 2 = 30, que corresponde al dodecaedro. 4. k = 4, d = 3. En este caso q = 8 y 4n = 3q, de aquí que n = 6. Además m = 6 + 8 − 2 = 12, que corresponde al octraedro. 5. k = 5, d = 3. En este caso −n + q = 8 y 5n = 3q, de aquí que n = 12, y q = 20. Además m = 12 + 20 − 2 = 30, que corresponde al icosaedro. Los cinco poliedros regulares son conocidos como los sólidos platónicos, pues son mencionados por Platón en su libro Timeo, escrito alrededor del año 350 A.C. 11.8.2 El teorema de Kuratowski Sea G un grafo y sea e una arista en G con extremos u y u. Subdividir la arista e significa que un nuevo vértice w es añadido a V(G) y que la arista e es reemplazada por una arista e′ con extremos u y w, y una arista e′′ con extremos w y u. Una MATEMÁTICAS DISCRETAS – RAMÓN ESPINOSA ARMENTA capitulo 11.indd 439 Kazimierz Kuratowski N (1896-1980) ació en la Rusia zarista. Estudió un año de ingeniería en Glasgow, en parte porque no quería estar en Rusia. Al terminar la Primera Guerra Mundial se trasladó a Varsovia, donde obtuvo su doctorado en matemáticas. Durante casi veinte años fue director del Instituto de Matemáticas de la Academia Polaca de Ciencias y su tema central de in vestigación fueron las estructuras abstractas topológicas y métricas. ALFAOMEGA 2/2/10 11:54:10 PM 440 XI. TEMAS SELECTOS DE GRAFOS subdivisión de un grafo G es una grafo obtenido a partir de una sucesión finita de subdivisiones de aristas de G. La figura de abajo muestra una subdivisión de K4. Es claro que si G es aplanable entonces cualquier subdivisión de G también lo es, equivalentemente, si una subdivisión de G no es aplanable, entonces G no es aplanable. Se ha visto que K5 y K3,3 no son aplanables. En 1930 el matemático polaco Kazimierz Kuratowski5 mostró que esencialmente éstos son las únicos grafos no aplanables. Teorema 11.14 (Kuratowski) Un grafo es aplanable si y sólo si no contiene una subdivisión de K5 o K3, 3 como subgrafo. La demostración del teorema de Kuratowski es larga y técnica, por lo que se omite. 11.9 Coloración de vértices Una k-coloración de un grafo G es una función f : V(G) → {1, …, k}. Los números 1, …, k son pensados como colores. Una k-coloración es propia si cualesquiera dos vértices adyacentes tienen distinto color. Si G tiene una k-coloración propia se dice que G es k-coloreable. El número cromático de G, denotado por χ(G), es el mínimo k para el cual G es k-coloreable. 5 ALFAOMEGA capitulo 11.indd 440 K. Kuratowski. Sur le probleme des courbes gauches en topologie, Fund. Math., 15, (1930), 271-283. MATEMÁTICAS DISCRETAS – RAMÓN ESPINOSA ARMENTA 2/2/10 11:54:11 PM 11.9 COLORACIÓN DE VÉRTICES Ejemplo 11.9 Si G es un grafo completo con n vértices entonces χ(G) = n. Ejemplo 11.10 Si G es un grafo bipartito no vacío, entonces χ(G) = 2. Ejemplo 11.11 Si G es un ciclo de longitud impar entonces χ(G) = 3. 441 Ejemplo 11.12 Una compañía produce n productos químicos. Ciertas parejas de esos productos son incompatibles y podrían provocar explosiones si se ponen en contacto, por lo que la compañía desea dividir su almacén en compartimientos y almacenar productos incompatibles en distintos compartimientos. Sea G el grafo con n vértices (uno para cada producto) y supóngase que dos vértices son adyacentes si y sólo si los productos correspondientes son incompatibles. El número cromático de G representaría el mínimo número de compartimientos en que se puede dividir el almacén. Un clan de un grafo G es un conjunto S ⊆ V(G), tal que G[S] es completo. El número clan de G, denotado w(G), es el número máximo de vértices de un clan de G. El siguiente resultado proporciona una cota inferior para el número cromático de un grafo. Teorema 11.15 Si G es un grafo entonces w(G) ≤ χ(G). Demostración Se sigue del hecho de que los vértices de un clan requieren distintos colores. Se usa el símbolo Δ(G) para denotar el grado máximo de un grafo G. El siguiente teorema proporciona una cota superior para el número cromático de un grafo. MATEMÁTICAS DISCRETAS – RAMÓN ESPINOSA ARMENTA capitulo 11.indd 441 ALFAOMEGA 2/2/10 11:54:12 PM 442 XI. TEMAS SELECTOS DE GRAFOS Teorema 11.16 Si G es un grafo entonces χ(G) ≤ Δ(G) + 1 Demostración La demostración se hace por inducción sobre n, el número de vértices de G. Si n = 1, entonces χ(G) = 0 y Δ(G) = 0, por lo que la desigualdad se cumple. Supóngase ahora que el resultado es cierto para cualquier grafo con menos de n vértices. Sea u ∈ V(G) y sea H = G − u. Por lo tanto H tiene n − 1 vértices y además Δ(H) ≤ Δ(G), de aquí que, por hipótesis de inducción, H es Δ(G) + 1 coloreable. Para obtener una coloración propia de G asígnese a u un color no asignado a sus vértices adyacentes. Como d(u) ≤ Δ(G), se sigue que χ(G) ≤ Δ(G) + 1, lo cual completa la demostración. En 1941, L. Brooks mejoró ligeramente la cota obtenida en el teorema anterior. La demostración de Brooks requiere mucho más esfuerzo, por lo que se omite aquí. Teorema 11.17 (Brooks). Si G es un grafo conexo que no es ni un ciclo de longitud impar ni un grafo completo, entonces χ(G) ≤ Δ(G) Ejemplo 11.13 Considérese el siguiente grafo: Aquí w(G) = 4, por lo que por el teorema 11.15, 4 ≤ χ(G). Por otra parte Δ(G) = 4, por lo que por el teorema de Brooks χ(G) = 4. ALFAOMEGA capitulo 11.indd 442 MATEMÁTICAS DISCRETAS – RAMÓN ESPINOSA ARMENTA 2/2/10 11:54:13 PM 11.9 COLORACIÓN DE VÉRTICES 443 El problema de coloración se puede ver como un problema de decisión de la siguiente manera: Dado un grafo G y un entero positivo k, ¿existe una k-coloración propia de G? Es claro que el problema de coloración es NP. En 1972 Karp probó que de hecho este problema es NP-completo. Aunque no existe un algoritmo polinomial para determinar el número cromático de un grafo, el siguiente algoritmo, llamado algoritmo de coloración secuencial, permite obtener una coloración propia en un grafo G con conjunto de vértices V = {u1, u2, …, un}. Algoritmo Coloración Secuencial (G, V) Entrada. Un grafo G con conjunto de vértices V = {u1, u2, …, un} Salida. Una coloración propia f : V→ . f (u1) = 1. 2. Para i := 2 hasta n hacer 3. f (ui) = mín{j | j ≠ f (uk), k < i, 4. Devolver f. 1. Ejemplo 11.14 uk ∈ N (ui)} Considérese el siguiente grafo: υ1 υ6 υ2 υ5 υ3 υ4 Utilizando el algoritmo de coloración secuencial se obtiene la coloración: f (u1) = 1, f (u2) = 2, f (u3) = 3, MATEMÁTICAS DISCRETAS – RAMÓN ESPINOSA ARMENTA capitulo 11.indd 443 f (u4) = 2, f (u5) = 3, f (u6) = 4 ALFAOMEGA 2/2/10 11:54:13 PM 444 XI. TEMAS SELECTOS DE GRAFOS La coloración obtenida en el ejemplo anterior fue óptima, pero esto no siempre es el caso, como lo muestra el siguiente ejemplo. Ejemplo 11.15 Sea n ≥ 2 y considérese el grafo bipartito: υ1 υ3 υ5 … υ2n−1 υ2 υ4 υ6 … υ2n Aquí u2k es adyacente a u2 i−1 para todo i ≠ k. Utilizando el algoritmo de coloración secuencial se obtiene: f (u2k−1) = k, f (u2k) = k, ∀ k = 1, …, n, Es decir, el algoritmo de coloración secuencial requiere n colores, mientras que el número cromático del grafo es dos (porque es bipartito). Ejemplo 11.16 Considérese la siguiente ordenación de los vértices del grafo del ejemplo anterior: υ1 υ2 υ3 … υn υn+1 υn+2 υn+3 … υ2n Utilizando el algoritmo de coloración secuencial se obtiene que: f (ui) = 1, ∀ i = 1, …, n y f (uj) = 2, ∀ j = n + 1, …, 2n Es decir, en este caso la coloración es óptima. ALFAOMEGA capitulo 11.indd 444 MATEMÁTICAS DISCRETAS – RAMÓN ESPINOSA ARMENTA 2/2/10 11:54:14 PM 11.9 COLORACIÓN DE VÉRTICES 445 Los resultados anteriores muestran que la solución obtenida con el algoritmo de coloración secuencial depende fuertemente de la ordenación de los vértices. Obsérvese que si χ(G) = k y f es una k-coloración propia de G entonces si se etiquetan los vértices de modo que si i < j entonces f (ui) ≤ f (uj), entonces con el algoritmo de coloración secuencial se obtendría una k-coloración de G, en otras palabras, siempre existe una ordenación de los vértices para la cual el algoritmo de coloración secuencial produce una coloración óptima. 11.9.1 Grafos perfectos Un grafo G se dice que es un grafo perfecto, si para toda subgrafo inducido H se tiene que w(H) = χ(H) Teorema 11.18 Si G es bipartito entonces w(G) = χ(G). Demostración Si G es no vacío entonces w(G) = 2 = χ(G). Por otra parte, si G es vacío entonces w(G) = 1 = χ(G). Corolario 11.6 Todo grafo bipartito es perfecto. Demostración Se sigue del teorema anterior y del hecho de que todo subgrafo inducido de un grafo bipartito es bipartito. Un grafo G con conjunto de vértices V = {1, 2, …, n}, se dice que es un grafo de intervalos, si existe una colección de intervalos I1, I2, …, In, tal que dos vértices i, j son adyacentes si y sólo si Ii ∩ Ij ≠ ∅. Teorema 11.19 Si G es un grafo de intervalos entonces χ(G) = w(G) Sea I1, I2, …, In, una representación de intervalos de G, con Ii = [ai, bi ], i = 1, …, n. Supóngase además que i < j si y sólo si ai ≤ aj. Demostración Sea k el color máximo asignado usando el algoritmo de coloración secuencial y sea j el primer vértice en recibir el color k. Esto significa que j tiene vecinos cuyo índice es menor que j, a los que se les ha asignado los colores 1, …, k − 1. Esos vértices junto con j forman un clan de orden k, pues aj pertenece a los intervalos correspondientes a esos vértices. Por lo tanto w(G) ≥ k ≥ χ(G). Por otra parte, por el teorema 11.15, w(G) ≤ χ(G), de aquí que w(G) = χ(G). MATEMÁTICAS DISCRETAS – RAMÓN ESPINOSA ARMENTA capitulo 11.indd 445 ALFAOMEGA 2/2/10 11:54:14 PM 446 XI. Corolario 11.7 Conjeturas de Claude Berge En 1972 el húngaro László Lovász6 probó la conjetura débil de los grafos perfectos cuando tenía 22 años. Lovász también probó que los grafos perfectos tienen conexiones con poliedros enteros (poliedros cuyos vértices son enteros). Cada año la AIM (American Institute of Mathematics) apoya un grupo de tres personas de distintas universidades para que trabajen juntos en un proyecto de “alto nivel” durante un año, sabiendo de antemano la poca posibilidad de éxito. A principios del año 2000, Paul Seymour, Neil Robertson y Robin Thomas consiguieron el apoyo de la AIM para trabajar en la conjetura fuerte de grafos perfectos. Al final de ese año Robertson y Thomas regresaron a sus universidades, pero lo tres continuaron trabajando a distancia. En el verano de 2001 Maria Chudnovsky, alumna de Seymour en la universidad de Princeton, se unió al grupo. Finalmente, en mayo de 2002, el grupo anunció que había probado la conjetura fuerte. Un mes después de concluida la prueba murió Claude Berge a la edad de 76 años. La demostración de 148 páginas7 se publicó en el año 2006. TEMAS SELECTOS DE GRAFOS Todo grafo de intervalos es perfecto. Demostración Se sigue del hecho de que todo subgrafo inducido de un grafo de intervalos es de intervalos. No todo grafo es perfecto. Si G es un ciclo de longitud 2n + 1 ≥ 5, entonces χ(G) = 3 y w(G) = 2, por lo tanto G no es perfecto. En 1961, el francés Claude Berge propuso dos conjeturas acerca de grafos perfectos: • Conjetura débil: el complemento de cada grafo perfecto es perfecto. • Conjetura fuerte: un grafo G es perfecto si y sólo si ni G ni Gc contienen como subgrafo inducido un ciclo impar de longitud mayor que tres. 11.9.2 Polinomios cromáticos Sea G un grafo. Con la expresión PG(k) se denota el número de k-coloraciones propias distintas de G. Ejemplo 11.17 Si G = Kn y k ≥ n entonces PG(k) = k(k − 1) … (k − n + 1) Ejemplo 11.18 Si G es un grafo vacío con n vértices entonces PG(k) = kn Sea G un grafo. Contraer una arista e = uu ∈ E(G) significa removerla e identificar sus extremos, eliminando las aristas paralelas que pudieran ocurrir. El grafo resultante se denota G/e. 6 L. Lovász. Normal hypergraphs and the perfect graph conjeture. Disc. Math. 2 (1972), 253-267. M. Chudnovsky, N. Robertson, P. Seymour y R. Thomas. The strong perfect graph theorem, Annals of Math, 164 (2006), 51-229. 7 ALFAOMEGA capitulo 11.indd 446 MATEMÁTICAS DISCRETAS – RAMÓN ESPINOSA ARMENTA 2/2/10 11:54:15 PM 11.9 COLORACIÓN DE VÉRTICES 447 Teorema 11.20 Sea G un grafo y sea e = uu ∈ E(G). Si G1 = G − e y G2 = G/e, entonces PG(k) = PG1(k) − PG2(k) Demostración Para cada k-coloración de G1 que asigna el mismo color a u y a u le corresponde una k-coloración de G/e en la cual al vértice w obtenido al identificar u con u se le asigna el color común de u y u. Por lo tanto PG2(k) es igual al número de k-coloraciones de G1 = G − e en las que u y u tienen asignado el mismo color. Por otra parte, como cada coloración de G1 que asigna diferentes colores a u y a u es una k-coloración de G y recíprocamente, PG(k) es igual al número de k-coloraciones de G1 en las cuales u y u tienen distinto color. Por lo tanto PG1(k) = PG(k) + PG2(k). Teorema 11.21 Para cualquier grafo G, PG(k) es un polinomio en k de grado n = | V(G) |. Además PG(k) es mónico, con coeficientes enteros, término independiente igual a cero y los coeficientes se alternan en signo. Demostración La demostración se hace por inducción sobre m = | E(G) |. Si m = 0 entonces PG(k) = kn, por lo que el resultado se cumple. Supóngase ahora que el resultado es cierto para todo grafo con menos de m aristas y sea G un grafo con m aristas, donde m ≥ 1. Sea e ∈ E(G), por lo tanto G1 = G − e y G2 = G/e tienen m − 1 aristas. De aquí que, por hipótesis de inducción: n −1 PG1 ( k ) = ∑ (−1)n−i ai k i + k n ai ∈ Z, ai ≥ 0 i =1 n− 2 PG2 ( k ) = ∑ (−1)( n−1)−i bi k i + k n−1 bi ∈ Z, bi ≥ 0 i =1 Por lo que, por el teorema anterior: PG ( k ) = PG1 − PG2 ( k ) n− 2 = ∑ (−1)n−i (ai + bi ) k i − (an−1 + 1) k n−1 + k n i =1 De acuerdo con el teorema anterior, la función PG(k) es llamada el polinomio cromático de G. 11.9.3 El problema de los cuatro colores En 1852, Francis Guthrie, comunicó a su hermano Frederick, que estudiaba en Londres, la siguiente conjetura: todo mapa se puede colorear con a lo más cuatro coMATEMÁTICAS DISCRETAS – RAMÓN ESPINOSA ARMENTA capitulo 11.indd 447 ALFAOMEGA 2/2/10 11:54:16 PM 448 XI. TEMAS SELECTOS DE GRAFOS lores de tal forma que dos países colindantes tengan distintos colores (por países colindantes se entiende dos países que tengan una porción de línea por frontera común). Francis también observó que cuatro colores eran necesarios, como se puede apreciar en la siguiente figura: Con el permiso de su hermano, Frederick planteó la conjetura anterior al profesor August De Morgan, uno de los grandes matemáticos de su época. De Morgan admitió no conocer si la conjetura era verdadera, y como todos sus esfuerzos por demostrarla o encontrar un contraejemplo fueron en vano, De Morgan escribió a Hamilton planteándole el problema. De Morgan temía que Hamilton encontrara un contraejemplo sencillo, sin embargo, Hamilton contestó a De Morgan algunos días después, afirmando simplemente: “no estoy interesado en su cuaternio de colores”. El problema de los cuatro colores se puede interpretar en términos de teoría de grafos. Dado un mapa M, se asocia un grafo G(M), cuyos vértices correspondan a los países, y donde dos vértices son adyacentes si y sólo si los países correspondientes tienen una línea fronteriza en común. El grafo G(M) así construido es necesariamente aplanable, de modo que el problema de los cuatro colores es equivalente a mostrar que cada grafo aplanable es 4-coloreable. El problema de los cuatro colores adquirió fama cuando en 1878 el prestigiado matemático inglés Arthur Cayley escribió un artículo explicando las dificultades para probar la conjetura y admitiendo su incapacidad para determinar si ésta era verdadera o falsa. Un año después, el abogado londinense Alfred B. Kempe, quien había sido discípulo de Cayley en Cambridge, publicó un artículo donde afirmaba haber demostrado la conjetura de los cuatro colores. La supuesta solución fue acogida con entusiasmo por la comunidad matemática de la época, y durante una década el teorema de los cuatro colores fue considerado un hecho establecido. Sin embargo, en 1890 Percy J. Heawood encontró un error en el argumento de Kempe. Heawood también mostró que el método de Kempe se podía modificar para probar que todo grafo aplanable es 5-coloreable. A continuación se presenta la demostración de este resultado. Teorema 11.22 (El Teorema de los cinco colores). aplanable, entonces χ(G) ≤ 5. Si G es un grafo Demostración La demostración se hace por inducción sobre n = | V(G) |. ALFAOMEGA capitulo 11.indd 448 MATEMÁTICAS DISCRETAS – RAMÓN ESPINOSA ARMENTA 2/2/10 11:54:17 PM 11.9 COLORACIÓN DE VÉRTICES 449 Si n = 1 entonces χ(G) = 1 ≤ 5. Supóngase que el resultado es cierto para todos los grafos aplanables con menos de n vértices, y sea G un grafo aplanable con n vértices. Considérese un encaje de G en el plano. Sea u ∈ V(G) tal que d(u) ≤ 5. Como G − u es un grafo aplanable con n − 1 vértices, se sigue de la hipótesis de inducción que χ(G − u) ≤ 5. Considérese una 5-coloración de G − u. Si d(u) < 5 se puede asignar a u uno de los colores del 1 al 5 no asignados a sus vecinos, obteniéndose una 5-coloración de G. Supóngase ahora que d(u) = 5. Si existe una 5-coloración de G − u en la cual a los vecinos de u se les asigne a lo más 4 colores, entonces se puede asignar a u un color del 1 al 5 no asignado a sus vecinos, para obtener una 5-coloración de G. Si los 5 vecinos de u tienen asignado distinto color en una 5-coloración de G − u, se puede enumerarlos cíclicamente alrededor de u como u1, …, u5. También se puede suponer, sin pérdida de generalidad, que el color de ui es i, para cada i. Para cada i = 1, …, 5 sea Vi = {u ∈ V(G − u) | u tiene asignado el color i} y sea H = G[V1 ∪ V3]. Caso 1. Si u1 y u3 pertenecen a distintas componentes de H, intercambiando los colores de los vértices que pertenecen a la componente de u1 en H, se obtiene una 5-coloración de G − u en la cual ningún vértice adyacente a u tiene asignado el color 1, por lo que se puede extender esta coloración de G − u a una 5-coloración de G. Caso 2. Si u1 y u3 pertenecen a la misma componente en H, existe una (u1, u3)-trayectoria g cuyos vértices tienen asignado el color 1 o el color 3. Sea C el ciclo obtenido concatenando la trayectoria g con la trayectoria (u3, u, u1). Por lo tanto C encierra a u2 o C encierra a u4 y a u5. Por lo que no puede existir una (u2, u4)-trayectoria en G − u cuyos vértices tengan asignado el color 2 o el color 4. Sea F = G[V2 ∪ V4]. Intercambiando los colores de los vértices que pertenecen a la componente de u2 en F, se obtiene una 5-coloración de G − u en la cual ningún vértice adyacente a u tiene asignado el color 2, por lo que se puede extender esta coloración de G − u a una 5-coloración de G. Por tanto se concluye que χ(G) ≤ 5. Durante la primera mitad del siglo XX muchos matemáticos intentaron, sin éxito, encontrar una demostración para el problema de los cuatro colores. Hasta 1950 el mejor resultado que se había obtenido era que todo mapa con menos de 36 países se podía colorear con a lo más cuatro colores. Esto eliminaba la posibilidad de encontrar un contraejemplo sencillo a la conjetura. MATEMÁTICAS DISCRETAS – RAMÓN ESPINOSA ARMENTA capitulo 11.indd 449 ALFAOMEGA 2/2/10 11:54:17 PM 450 XI. TEMAS SELECTOS DE GRAFOS En 1950, H. Heesch, profesor de la Universidad de Hannover, observó que la conjetura de los cuatro colores podría probarse encontrando un conjunto inevitable de configuraciones reducibles. Aquí inevitable significa que cada mapa deba contener una de ellas, y reducible significa que se puede contraer la configuración a un punto, colorear con a lo más cuatro colores el mapa restante, y luego reinstalar la configuración para colorear con a lo más cuatro colores el mapa original. Sin embargo, el conjunto de configuraciones inevitables podía consistir de miles de configuraciones, lo cual hacía que en esa época fuera extremadamente difícil producirlas y probar que cada una ellas fuera reducible, no obstante, con el desarrollo de la computadora, atacar esos problemas se convertía en una tarea técnicamente posible. En 1972, Kenneth Appel y Wolfang Haken, profesores de la Universidad de Illinois, se dieron a la tarea de encontrar un conjunto inevitable de configuraciones reducibles, para ello diseñaron un sofisticado programa de computadora para determinar si una configuración era reducible. Por fin, en 1976 después de cuatro años de esfuerzos y 1200 horas de computadora, Appel y Haken8 anunciaron al mundo que la conjetura de los cuatro colores era verdadera. Aunque el teorema de los cuatro colores debe considerarse como un logro monumental, muchos matemáticos están insatisfechos con la demostración, por lo que ahora el reto es encontrar una demostración puramente matemática, es decir, una prueba que no incluya cálculos de computadora. 11.10 Grafos orientados Una orientación en un grafo G es un digrafo D obtenido a partir de G asignando a cada arista e, con extremos u y u, una orientación (u, u) o (u, u). Teorema 11.23 (Robbins, 1939). Un grafo conexo G tiene una orientación fuertemente conexa D si y sólo si G no tiene puentes. Demostración Sea D una orientación fuertemente conexa de G, y sea e una arista de G con extremos u y u. Supóngase que a e se le ha asignado la orientación (u, u). Por lo tanto g1 = u, (u, u), u es una (u, u)-trayectoria dirigida en D. Sea g2 una (u, u)-trayectoria dirigida en D y sea C la subgráfica subyacente a g1 g2. Por lo tanto C es un ciclo en G y e ∈ E(C), por lo que e no es un puente de G. Como e era una arista arbitraria de G, se sigue que G no tiene puentes. Supóngase ahora que G no tiene puentes. Por lo tanto cada arista de G pertenece a un ciclo. Sea C1 = (u1, u2, …, uk, u1) ALFAOMEGA capitulo 11.indd 450 MATEMÁTICAS DISCRETAS – RAMÓN ESPINOSA ARMENTA 2/2/10 11:54:17 PM 11.10 GRAFOS ORIENTADOS 451 un ciclo. Asígnese a cada arista uiui+1, con i = 1, …, k − 1 la dirección (ui, ui+1) y a uku1 la dirección (uk, u1). Si hay vértices adyacentes no consecutivos de C1, asígnese cualquier dirección a la arista que los une. Si V(C1) = V(G), entonces se tiene una orientación fuertemente conexa D1 de G, en otro caso, como G es conexo, existe u1 ∈ V(G) − V(C1) tal que ui uj ∈ E(G) para algún uj ∈ V(C). Como ui uj no es un puente, existe un ciclo C2 = (u1, u2, …, ur, u1) con u2 = uj. Si ui ui+1 no tiene una dirección previamente asignada, se le asigna la dirección (ui, ui+1). También se asigna a ur u1 la dirección (ur, u1). Si una arista uniendo dos vértices de C2 (o un vértice de C2 y un vértice de C1) no ha recibido una dirección, se le asiga una arbitrariamente. El digrafo D2 construido de esta manera es fuertemente conexo. Si V(D2) = V(G) aquí se termina, en otro caso se repite este procedimiento hasta obtener una orientación fuertemente conexa Dk tal que V(Dk) = V(G). Una orientación en un grafo completo es llamada un torneo. Ejemplo 11.19 La figura de abajo muestra un torneo de orden cinco. Un torneo se puede interpretar como una competición de tipo round-robin, donde todos los competidores se enfrentan entre sí y en cada encuentro hay un vencedor (es decir, no hay empates). Si en un torneo hay un jugador u tal que d +(u) = n − 1, este vértice podría declararse sin discusión como el vencedor del torneo, pues venció a todos sus contrincantes. ¿Pero qué pasa si no hay un jugador que haya vencido a todos? El siguiente teorema prueba que si un vértice u tiene grado exterior máximo, entoces para cualquier otro vértice u, o u venció a u o u venció a un jugador que venció a u, por lo que sería razonable declararlo vencedor del torneo. MATEMÁTICAS DISCRETAS – RAMÓN ESPINOSA ARMENTA capitulo 11.indd 451 ALFAOMEGA 2/2/10 11:54:18 PM 452 XI. TEMAS SELECTOS DE GRAFOS Teorema 11.24 (Landau, 1955). Sea D un torneo y sea u un vértice de grado exterior máximo, entonces para cualquier otro vértice u se cumple que (u, u) ∈ A(D) o existe un tercer vértice w tal que (u, w) ∈ A(D) y (w, u) ∈ A(D). Demostración Supóngase que existe u ∈ V(D) tal que (u, u) ∈ A(D) y (u, w) ∈ A(D) para todo w ∈ N +(u). Por lo tanto N +(u) ⊆ N +(u). Además u ∈ N +(u) y u ∉ N +(u), por lo tanto d +(u) > d +(u), lo cual contradice la hipótesis de que u es vértice de grado exterior máximo. Algunas veces se requiere clasificar a todos los jugadores de un torneo, y no solamente elegir un ganador, por ejemplo, si se desea otorgar un segundo lugar, un tercer lugar, etc. Una manera de clasificar a los jugadores de un torneo es por medio de la sucesión de grados exteriores, sin embargo este procedimiento puede conducir a empates. Otra manera sería tratar de encontrar una trayectoria dirigida (u1, u2, …, un) que pase por todos los vértices de D, es decir, una trayectoria hamiltoniana dirigida. Hay que observar que en este caso u1 vence a u2, u2 vence a u3, y así sucesivamente, por lo que sería razonable clasificar a los jugadores de acuerdo al orden en que aparecen en la trayectoria. El siguiente teorema establece que tal trayectoria siempre existe. Teorema 11.25 (Rédei, 1934) Si D es un torneo, entonces existe una trayectoria hamiltoniana dirigida en D. Demostración Sea g = (u1, u2, …, uk) una trayectoria de longitud máxima en D. Supóngase que k < n. Por lo tanto existe w ∈ V(D) tal que w ≠ uj para todo j = 1, …, k. Como g es de longitud máxima, (w, u1) ∉ A(D) y como D es un torneo entonces (u1, w) ∈ A(D). Análogamente, (uk, w) ∉ A(D), por lo que (w, uk) ∈ A(D). Sea 1 ≤ j < k tal que (u1, w), (u2, w), …, (uj, w) ∈ A(D) y (w, uj+1) ∈ A(D). Por lo tanto γˆ = (u1, u2, …, uj, w, uj+1, …, uk) es una trayectoria de longitud k + 1, lo cual no es posible. Por lo tanto g es una trayectoria que pasa por todos los vértices de D. Un torneo puede tener más de una trayectoria hamiltoniana dirigida, por lo que se podría tener más de una forma de clasificar a los jugadores de un torneo. El siguiente teorema muestra que si el torneo es transitivo hay una única trayectoria hamiltoniana dirigida, por lo que no habría ambigüedad para clasificar a los jugadores. Teorema 11.26 Si D es un torneo transitivo, entonces D tiene una única trayectoria hamiltoniana dirigida. Demostración ALFAOMEGA capitulo 11.indd 452 La demostración se hace por inducción sobre n = | V(D) |. MATEMÁTICAS DISCRETAS – RAMÓN ESPINOSA ARMENTA 2/2/10 11:54:19 PM 11.12 RESUMEN 453 Si n = 1 entonces la única trayectoria dirigida es la trayectoria de longitud cero que inicia y termina en el único vértice de la gráfica, por lo que esta trayectoria es hamiltoniana. Supóngase ahora que el resultado es cierto para todo torneo transitivo con n − 1 vértices, y sea D un torneo transitivo con n vértices. Por el teorema de Rédei existe una trayectoria hamiltoniana dirigida g = (u1, u2, …, un). Como D es transitivo entonces (ui, uj) ∈ A(D) para todo i < j. Por lo tanto d −(u1) = 0. Sea D ′ = D − u1, por lo tanto D ′ es un torneo transitivo con n − 1 vértices, de aquí que g ′ = (u2, u3, …, uk) es la única trayectoria hamiltoniana dirigida en D ′, y por consiguiente g es la única trayectoria hamiltoniana dirigida en D. 11.11 La fórmula de Cayley En la lectura complementaria LA FÓRMULA DE CAYLEY se demuestra la fórmula de Cayley para determinar el número de árboles generadores distintos de la gráÀca completa Kn con la etiquetación estándar de los vértices 1, 2, …, n. 11.12 Resumen En este capítulo se presentaron varios temas selectos de teoría de grafos que sirven de base para el estudio de temas como la noción de emparejamiento, coloración de aristas, números de Ramsey y flujo en redes, entre otros. MATEMÁTICAS DISCRETAS – RAMÓN ESPINOSA ARMENTA capitulo 11.indd 453 ALFAOMEGA 2/2/10 11:54:20 PM 454 XI. TEMAS SELECTOS DE GRAFOS 11.13 Problemas Grafos bipartitos 11.1 Demostrar que si G es bipartito, entonces | E(G) | ≤ | V(G) |2/4. 11.2 El k-cubo es el grafo Qk cuyos vértices son arreglos ordenados de longitud k de ceros y unos, donde dos vértices son adyacentes si y sólo si difieren en exactamente un elemento. Demostrar que Qk tiene 2k vértices, k2k−1 aristas y es bipartito. Grafos isomorfos 11.3 Demostrar que | E(Kr,s) | = rs. 11.4 El complemento Gc de un grafo G es el grafo con conjunto de vértices V, en el cual dos vértices son adyacentes si y sólo si no son adyacentes en G. Descríbanse los grafos Knc y K rc,s. 11.5 Demostrar que si j es un isomorfismo de G en H, y si W = (u1, …, uk) es un camino de longitud k − 1 en G, entonces (j(u1), …, j(uk)) es un camino de longitud k − 1 en H. 11.6 Mostrar que los siguientes grafos no son isomorfos: 11.7 Determinar todos los grafos no isomorfos con cuatro vértices. 11.8 Sean G y H dos grafos. Demostrar que G≅H ⇔ Gc ≅ Hc 11.9 Un grafo G se dice que es autocomplementario, si G ≅ Gc. Demostrar que el grafo ALFAOMEGA capitulo 11.indd 454 MATEMÁTICAS DISCRETAS – RAMÓN ESPINOSA ARMENTA 2/2/10 11:54:21 PM 11.13 PROBLEMAS 455 1 2 5 3 4 es autocomplementario. 11.10 Demostrar que si G es un grafo autocomplementario con n vértices, entonces n = 4k o n = 4k + 1, para algún entero k. 11.11 Determinar todos los árboles no isomorfos con siete vértices. 11.12 Determinar dos árboles no isomorfos en K3,3. Paseos eulerianos 11.13 ¿Cuáles de los siguientes grafos son eulerianos? a) El cubo. b) El grafo de Petersen. c) El ciclo de longitud n. 11.14 ¿Para qué valores de n el grafo completo Kn es euleriano? 11.15 ¿Para qué valores de r y s el grafo bipartito completo Kr,s es euleriano? 11.16 A partir de lo expuesto en la lectura adicional ALGORITMO DE FLEURY utilizar el algoritmo de Fleury para determinar un circuito euleriano en el grafo: MATEMÁTICAS DISCRETAS – RAMÓN ESPINOSA ARMENTA capitulo 11.indd 455 ALFAOMEGA 2/2/10 11:54:21 PM 456 XI. TEMAS SELECTOS DE GRAFOS Ciclos hamiltonianos 11.17 Plantear un ejemplo de un grafo conexo euleriano que no sea hamiltoniano. 11.18 Plantear un ejemplo de un grafo hamiltoniano que no sea euleriano. 11.19 Demostrar que si G es un grafo bipartito con bipartición (X, Y), donde | X | ≠ | Y |, entonces G no es hamiltoniano. 11.20 Demostrar que el grafo cubo es hamiltoniano. 11.21 Demostrar que el grafo de Petersen contiene una trayectoria hamiltoniana. 11.22 Sea G un grafo con n ≥ 3 vértices y grado mínimo d(G) ≥ n / 2 Demostrar que G es hamiltoniano. 11.23 Sea G un grafo k-regular (con k ≥ 1) con al menos 2k + 2 vértices. Demostrar que Gc es hamiltoniano. Planaridad 11.24 Sea G un grafo conexo aplanable 4-regular. Si G tiene 16 aristas, ¿cuántas regiones hay en un encaje de G en el plano? 11.25 Sea G un grafo conexo aplanable y supóngase que hay 62 regiones en un encaje de G en el plano, supóngase además que cada región tiene grado al menos cinco. Mostrar que G debe tener al menos 95 vértices. 11.26 Una triangulación plana es un grafo conexo aplanable en la cual cada región tiene grado tres. Demostrar que si G es una triangulación plana con n vértices y m aristas, entonces m = 3n − 6. 11.27 Sea G un grafo conexo aplanable, con n ≥ 3 vértices y m aristas. Demostrar que si la longitud del ciclo más corto en G es 5, entonces 3m ≤ 5 (n − 2). 11.28 Utilizar el resultado del ejercicio anterior para mostrar que el grafo de Petersen no es aplanable. Coloración de vértices 11.29 Dar un ejemplo de dos grafos no isomorfos con 5 vértices que tengan número cromático igual a tres. ALFAOMEGA capitulo 11.indd 456 MATEMÁTICAS DISCRETAS – RAMÓN ESPINOSA ARMENTA 2/2/10 11:54:23 PM 11.13 PROBLEMAS 457 11.30 Determinar el número cromático del grafo de Petersen. 11.31 Demostrar que el algoritmo de coloración secuencial siempre colorea una gráfica bipartita completa no trivial con dos colores, independientemente de la ordenación de los vértices. 11.32 Determinar etiquetaciones de los vértices del cubo para las cuales el algoritmo de coloración secuencial requiera 2, 3 y 4 colores respectivamente. 11.33 Utilizar el teorema de Brooks para determinar el número cromático del grafo: 3 1 8 5 6 2 4 7 11.34 ¿Cuál es el polinomio cromático de K1,s? 11.35 Demostrar que si G1, G2, …, Gr son las componentes de G, entonces PG(k) = PG1(k)PG2(k) … PGr(k) 11.36 Demostrar que si G es un árbol con n vértices, entonces PG(k) = k(k − 1)n−1 11.37 Demostrar que si G es un ciclo de longitud n, entonces PG(k) = (k − 1)n + (−1)n (k − 1) Grafos orientados 11.38 ¿Cuántas orientaciones puede tener un grafo G? MATEMÁTICAS DISCRETAS – RAMÓN ESPINOSA ARMENTA capitulo 11.indd 457 ALFAOMEGA 2/2/10 11:54:23 PM 458 XI. TEMAS SELECTOS DE GRAFOS 11.39 Determinar una orientación fuertemente conexa en el grafo de la siguiente figura: 11.40 Un grafo G se dice que es un grafo de comparabilidad si tiene una orientación transitiva D. a) Mostrar que K4 es un grafo de comparabilidad. b) Mostrar que C5 no es un grafo de comparabilidad. 11.41 Demostrar que todo grafo bipartito es un grafo de comparabilidad. 11.42 Determinar si el grafo de la siguiente figura es un grafo de comparabilidad. 11.43 Determinar todos los torneos no isomorfos de orden cuatro. 11.44 Sea D un torneo transitivo, demostrar que existe una ordenación u1, u2, …, un de los vértices de D, tal que d +(u1) = n − i para todo i = 1, …, n. 11.45 Construir un torneo de orden cinco con al menos dos vértices de grado exterior máximo. ALFAOMEGA capitulo 11.indd 458 MATEMÁTICAS DISCRETAS – RAMÓN ESPINOSA ARMENTA 2/2/10 11:54:24 PM 11.14 11.14 CONTENIDO INTERACTIVO 459 Contenido interactivo El material marcado con asterisco (*) sólo está disponible para docentes. Mapa conceptual Simulador • Algoritmo de Fleury Lecturas adicionales • Algoritmo de Fleury • La fórmula de Cayley Respuesta y desarrollo de problemas seleccionados *Presentaciones *Respuesta y desarrollo de problemas Glosario MATEMÁTICAS DISCRETAS – RAMÓN ESPINOSA ARMENTA capitulo 11.indd 459 ALFAOMEGA 2/2/10 11:54:24 PM capitulo 11.indd 460 2/2/10 11:54:24 PM Bibliografía [1] Agnarsson, G. y R. Greenlaw. Graph Theory: Modeling, Applications, and Algorithms, Person Prentice Hall, 2007. [2] Aigner, M. Discrete Mathematics, American Mathematical Society, 2007. [3] Beaumont R. y R. S. Pierce. The Algebraic Foundations of Mathematics, Addison-Wesley, 1963. [4] Biggs, N. L, E. K. Lloyd y R. J. Wilson. Graph Theory, 1736-1936, Oxford University Press, 1986. [5] Biggs, N. L. Discrete Mathematics, Oxford University Press, 1989. [6] Bloch E. D. Proofs and Fundamentals: a First Course in Abstract Mathematics, BirkhÄauser, 2000. [7] Bondy J. A. y U. S. R. Murty. Graph Theory with Applications, North Holland, 1976. [8] Charalambides, Ch. A. Enumerative Combinatorics, Chapman & Hall/CRC, 2002. [9] Chartrand, G. Introductory Graph Theory, Dover, 1977. [10] Chartrand, G. y L. Lesniak. Graphs & Digraphs, 4a. ed., Chapman & Hall/CRC, 2004. [11] Epp, S. Discrete Mathematics with Applications, 3a. Ed., Thompson Learning, 2004. [12] Fletcher, P., H. Hoyle y C. W. Patty. Foundations of Discrete Mathematics, PSW-KENT Publishing Company, 1991. [13] S. Friedberg, A. Insel y L. Spence. Linear Algebra, 4a. Ed., Prentice Hall, 2002. [14] Grimaldi, R. P. Matemáticas Discretas y Combinatoria, 3a., Ed., Prentice Hall, 1998. [15] Gross, J. y J. Yellen. Graph Theory and its Applications, CRC Press, 1999. [16] Halmos, P. Teoría Intuitiva de Conjuntos, CECSA, 1980. [17] Harary, F. Graph Theory, Addison-Wesley, 1969. [18] Hein, J. L. Discrete structures, Logic, and Computability. Jones and Bartlett Publishers, 1995. [19] Johnsonbaugh, R. Matemáticas Discretas, Grupo Editorial Iberoamérica, 1988. [20] Jungnickel, D. Graphs, Networks and Algorithms, Springer, 1999. [21] Kolman, B. y R. C. Busby. Estructuras de Matemáticas Discretas para Computación, Prentice Hall, 1986. [22] Kumanduri R. y C. Romero. Number Theory with Computer Applications, Prentice Hall, 1998. [23] Laufer, H. B. Discrete Mathematics and Applied Modern Algebra, Pridle, Weber & Schmidt, 1984. [24] Lawler, E. Combinatorial Optimization, Dover, 2001. [25] Liu, C. L. Introduction to Combinatorial Mathematics, McGraw-Hill, 1968. [26] Liu, C. L. Elements of Discrete Mathematics, 2a. Ed., McGraw-Hill, 1986. MATEMÁTICAS DISCRETAS – RAMÓN ESPINOSA ARMENTA indice analitico.indd 461 ALFAOMEGA 2/9/10 10:05:05 AM 462 BIBLIOGRAFÍA [27] Lovász, L., J. Pelikán y K. Vesztergombi. Discrete, Mathematics, Springer, 2003. [28] Niven I., H. S. Zuckerman y H. L. Montgomery. An Introduction to The Theory of Numbers, 5a. Ed., Wiley, 1991. [29] Riordan, J. Introduction to Combinatorial Analysis, Dover, 2002. [30] Roberts, F. S. Applied Combinatorics, Prentice Hall, 1984. [31] Rosen, K. H. (editor). Handbook of Discrete and Combinatorial Mathematics. CRC Press, 1999. [32] Rosen, K. H. Elementary Number Theory and its Applications, 4a. Ed., Addison Wesley, 2000. [33] Rosen, K. H. Discrete Mathematics and its Applications, 5a. Ed. McGraw- Hill, 2003. [34] Ross, K. A. y C. R. B. Wright, Matemáticas Discretas. 2a. Ed., Prentice Hall, 1990. [35] Smith, K. J. Introducción a la Lógica Simbólica, Grupo Editorial Iberoamérica, 1991. [36] Stanat, D. F. y D. F. McAllister, Discrete Mathematics in Computer Science. Prentice Hall, 1977. [37] Steward, I. y D. Tall. The Foundations of Mathematics, Oxford University Press, 2000. [38] Tremblay, J. P. y R. Manohar, Discrete Mathematical Structures with Applications to Computer Science. McGraw-Hill, 1988. [39] Vilenkin, N. ¿De Cuántas Formas?, Combinatoria, MIR, 1971. [40] Young, A. L. Mathematical Ciphers: from Caesar to RSA, American Mathematical Society, 2006. [41] West, D. B. Introduction to Graph Theory, 2a. Ed., Prentice Hall, 2001. [42] Wilson, R. J. y J. J.Watkins. Graphs, An Introductory Approach, Wiley, 1990. [43] Wolf, R. S. Proof, Logic and Conjeture: the Mathematician’s Toolbox, Freeman and Company, 1998. ALFAOMEGA indice analitico.indd 462 MATEMÁTICAS DISCRETAS – RAMÓN ESPINOSA ARMENTA 2/9/10 10:05:06 AM Índice acíclico 404 acotado inferiormente, 26 superiormente, 30 Adi Shamir, 178 adición, 24 alfabeto, 153 Alfred Tarski, 6 Alfred Whitehead, 4 álgebra booleana, 278, 282 de conjuntos, 279 de proposiciones, 279 algoritmos burbuja, 118 coloración secuencial, 443 de búsqueda, 395 de Euclides, 68, 208 de Fleury, 427 de Kruskal, 400, 402 de la división, 56, 201 Dijkstra, 408 Al-Khwarizmi, 30 análisis combinatorio, 306 Anatole Lucas, 356 Andrew John Wiles, 62 anillo, 164 booleano, 169 conmutativo, 164 de polinomios, 197 ordenado, 169 árbol, 386 binario, 390 binario completo, 391 con raíz, 390 de búsqueda, 395 arborecencia, 404 arcos, 402 argumento lógico, 11 aristas, 380, 426 Aristóteles, 4 Arithmeticae, 73 aritmética modular, 190, 172 Arthur Cayley, 226 asociatividad, 18, 20 átomo, 284 August F. Möbius, 435 Augustus De Morgan, 5, 12 automorfismo, 163 axioma de elección, 18 de especificación, 17 de extensión, 15, 17 de infinitud, 18 de la unión, 17 de pares, 17 de regularidad, 18 del conjunto de potencia, 17 del conjunto vacío, 16, 17 Bailey Whitfield Diffie, 178 Bertrand Russell, 4, 6, 15 binario, 66 bipartición, 420 bipartito, 420 biyectiva, 107 Blaise Pascal, 39 Bondy, Chvátal, 432 bosques, 387 Brooks, 442 calendario perpetuo, 84 cambio de base, 62 camino dirigido, 404 inverso, 385 trivial, 385 campo, 170 Carl Friedrich Gauss, 53, 73, 76 cerradura reflexiva, 255 simétrica, 256 transitive, 405 Charles Sanders Peirce, 7 ciclo de longitud, 157 dirigido, 404 MATEMÁTICAS DISCRETAS – RAMÓN ESPINOSA ARMENTA indice analitico.indd 463 hamiltoniano, 429 circuito de conmutación, 291 euleriano, 426 circuitos lógicos, 291, 293 clan de un grafo, 441 clase de equivalencia, 123 clase lateral derecha, 161 Claude Berge, 446 Claude Shannon, 291 cociente, 57, 203 codificar, 177 codominio, 102 coeficiente binomial, 38 binomial generalizado, 341 coeficientes de la serie, 338 del polinomio, 196 multinomial, 311, 312 unitarios, 314 coloración de vértices, 440 combinación lineal, 56, 201 combinaciones, 306 complejidad computacional, 117 complemento, 20, 21 componente, 385 composición, 107 compuerta AND, 293 lógica, 292 NOT, 293 OR, 292 concatenación, 153 concepto de congruencia, 81 conclusión, 8, 11 conectivos lógicos, 5 conexo, 385, 403 congruencia en semigrupos, 153 lineal, 80 módulo n, 81 congruente, 76, 160 ALFAOMEGA 2/9/10 10:05:06 AM 464 ÍNDICE ANALÍTICO conjetura de Goldbach, 88 de Lenstra-PomeranceWagstaff, 88 de los primos gemelos, 88 conjunción, 6 conjunto, 15 finito, 111 infinito, 116 parcialmente ordenado, 126 potencia, 17 vacío, 16 conjuntos bien ordenados, 127 infinitos, 116 conmutatividad, 18, 20 contradicción, 7 contraposición, 10, 14 contrarrecíproca, 10 copo, 126 corolario, 14 coseno hiperbólico, 349 cota inferior, 26, 130 superior, 30, 130 creadores de la lógica, 4 criba de Eratóstenes, 60 criptografía, 177, 191 criptosistema de clave privada, 178 RSA, 178 criterio de Eisenstein, 217 cuadrado perfecto, 75 cuantificador existencial, 12 universal, 12 cuaternios, 190 cubo, 420, 439 David Hilbert, 14, 72 decimal, 66 demostración, 13 directa, 14 indirecta, 14 por contradicción, 14 descifrar, 177 desencriptar, 177 desorden, 321 destino, 404 determinante, 259 de Vandermonde, 274 diagonal, 228 principal, 227 diagrama de Hasse, 128 de Venn, 19, 23 diferencia simétrica, 22 ALFAOMEGA indice analitico.indd 464 digrafo, 402 transitivo, 404 diofanto, 70 disconexo, 385 Disquisitiones Arithmeticae, 76 Distribución de los números primos, 62 disyunción, 6 divisibilidad, 54, 56, 199 división sintética, 206 divisor, 52 propio, 55 dodecaedro, 439 dominancia, 18, 20 dominio, 102 de factorización única, 169 entero, 164, 170 Donald Knuth, 379 dual, 127 de una preposición, 280 ecuaciones diofantinas, 70 lineales, 314 Edsger W. Dijkstra, 408 elemento identidad, 152 maximal, 129 máximo, 30, 129 minimal, 129 mínimo, 129 unitario, 164 elementos, 73 Elizabeth Barret Browning, 337 encaje, 436 encriptar, 177 enteros gaussianos, 189 módulo m, 172 equinumerosidad, 114 equiprobable, 323 Eratóstenes, 60 Ernest Zermelo, 15 Ernts Kummer, 73 escalares, 227 escalonada reducida, 241 espacio finito de probabilidad, 323 muestral, 323 estructura algebraica, 153 Euclides, 55, 68 Évariste Galois, 211 eventos, 323 exponente, 167 expresiones booleanas, 290 extremo inicial, 402 terminal, 402 factorial, 34 falacia lógica, 11 forma normal disyuntiva, 290 fórmula de Burnside, 163 de Cayley, 453 de Euler, 436 de Pascal, 39 fracciones parciales, 217 Francis Galton, 305 Francois Èdouard, 356 Frege, 5 Friedrich Ludwig Gottlob Frege, 5 fuertemente conexo, 404 función, 102 booleana, 288 característica, 103 constante, 103 de Euler, 102, 321 de incidencia, 426 de probabilidad, 323 de Ulam, 109 de valor, 126 exponencial, 349 generadora exponencial, 350 generadora ordinaria, 342 generadora de Poisson, 350 identidad, 103 inversa, 111 logaritmo, 111 logaritmo natural, 111 piso, 103 techo, 103 funciones, 100 biyectivas, 105 booleanas, 287 generadoras, 355 generadoras de Dirichlet, 350 generadoras de probabilidad, 369 generadoras ordinarias, 338 suprayectivas, 320 George Boole, 5, 278 George Cantor, 15 George Pólya, 36 Gerolamo Cardano, 211 MATEMÁTICAS DISCRETAS – RAMÓN ESPINOSA ARMENTA 2/9/10 10:05:07 AM ÍNDICE ANALÍTICO Gottfried Wilhelm Leibniz, 4 grado, 382 exterior, 402 interior, 402 grafo, 380 aplanable, 436 bipartito completo, 424 ciclo, 423 completo, 423 de Hershel, 429 de intervalos, 445 de Petersen, 424 dirigido, 402 hamiltoniano, 429 perfecto, 445 subyacente, 403 trayectoria, 442 vacío, 423 grafos bipartitos, 420 isomorfos, 421 orientados, 450 perfectos, 445 químicos, 389 y topología, 425 grupo, 153 abeliano, 25, 153 aditivo, 154 cíclico, 155, 160 de simetría, 163 finito, 154 simétrico, 155 grupos de matrices, 156 de permutación, 156 de transformación, 156 simétricos, 155 H. Heesch, 450 Helmut Hasse, 128 Henri Poincaré, 99, 277 heurísticas, 434 Hexadecimal, 66 hipótesis, 8, 11 homomorfismo, 153, 162, 168 cero, 169 trivial, 162 icosaedro, 439 idempotencia, 18, 20 identidad, 18, 20 igualdad de matrices, 227 implica lógicamente, 8 inducción matemática, 31 interés compuesto, 355 intersección, 19 inverso aditivo, 24, 164 multiplicativo, 168 invertible, 168 involución, 282 inyectiva, 105 Isaac Newton, 38 isomorfismo, 163, 286, 421 de semigrupos, 153 isomorfo, 169, 421 James Joseph Sylvester, 149, 226 Jan Lukasiewicz, 394 Johann Wolfang von Goethe, 225 John Locke, 3 John Venn, 19 Joseph Bernard Kruskal, 400 Joseph Louis Lagrange, 161 Kazimierz Kuratowski, 439, 440 k-coloración, 440 k-coloreable, 440 k-combinación, 308 k-permutación, 306 Kenneth E. Iverson, 103 Kurt Gödel, 6, 14 Landau, 452 lema, 14 Leonard Adleman, 178 Leonhard Euler, 55, 104, 425 Lewis Carroll, 419 ley de cancelación, 24 de cancelación de la suma, 166 distributiva, 24 leyes asociativas, 24 conmutativas, 24 de absorción, 281 de acotación, 280 de cancelación, 159 de De Morgan, 12, 21, 282, 317 de idempotencia, 280 de la cerradura, 24 de los exponentes, 168 de los signos, 167 lógica, 4 lógicamente equivalentes, 9 longitud del camino dirigido, 404 Los Elementos, 55 MATEMÁTICAS DISCRETAS – RAMÓN ESPINOSA ARMENTA indice analitico.indd 465 465 mapa de Karnaugh, 290 Marin Mersenne, 61 Martin Hellman, 178 mathema, 54 mathematika, 54 matrices especiales, 227 matriz, 226 antisimétrica, 273 aumentada, 240 booleana, 254 cero, 227 cuadrada, 227 de adyacencia, 382, 403 de coeficientes, 239 de incidencia, 381, 403 de probabilidad, 263 de una relación, 254 elemental, 247 equivalente por renglones, 247 identidad, 233 invertible, 233 nilpotente, 263 orthogonal, 273 simétrica, 236 Maurice Karnaugh, 290 máxima cota inferior, 130 máximo común divisor, 68, 69, 207 método de reducción de Gauss-Jordan, 242 métodos de demostración, 13 heurísticos, 434 mínima cota superior, 130 mínimo común múltiplo, 75 módulo, 160 modus ponens, 12 tollens, 12 monoide, 152, 153 multigrafo, 426 multiplicación, 24 multiplicidad, 212 múltiplo, 54 negación, 7 neutro aditivo, 24, 164 neutro multiplicativo, 164 Nicolas Bourbaki, 4, 195 Niels Henrik Abel, 211 notación hexadecimal, 66 polaca, 394 polaca inversa, 394 número clan, 441 cromático, 440 ALFAOMEGA 2/9/10 10:05:07 AM 466 ÍNDICE ANALÍTICO de Erdös, 62 perfecto, 55 números complejos, 172 compuestos, 58 de Fibonacci, 359 de Mersenne, 61 de Stirling, 354 enteros, 24, 170 naturales, 28 primos, 58 racionales, 170, 171 reales, 31, 170 octal, 66 octraedro, 439 operación binaria, 150 binaria externa, 150, 151 elemental, 247 unaria, 153 operaciones booleanas, 151 con matrices, 229 con polinomios, 213 de conjuntos, 23 operador condicional, 8 bicondicional, 9 órbitas, 157 orden débil, 125 del grupo, 154 lineal, 126 parcial, 126 parcial estricto, 128 simple, 126 total, 126 total estricto, 126 ordenación por fusión, 119 topológica, 130 ore, 431 origen, 404 palabra vacía, 153 palabra, 153 parejas ordenadas, 100 partición, 123, 347 de enteros, 347 de matrices, 237 paseo dirigido, 404 paseos eulerianos, 425, 426 Paul Erdös, 62 Peirce, 5 pequeño teorema de Fermat, 176 permutación, 116, 307 ALFAOMEGA indice analitico.indd 466 permutaciones, 306 Pierre de Fermat, 176 planaridad, 435 poliedro regular, 438 poliedros, 438 polinomio, 196 característico, 360 constante, 196 cromático, 447 mónico, 208 mónico asociado, 209 polinomios, 119 cromáticos, 446 irreducibles, 111, 213 predicados, 12 premisas, 11 primo, 58 primos de Mersenne, 61 mellizos, 62 relativos, 70, 210 principio de dualidad, 280 de inclusión-exclusión, 316, 317, 320, 321 de inducción matemática, 29 de inducción modificado, 41 de la pichonera, 112 de la suma, 113 del buen orden, 29 del producto, 114, 115 problema de la ruta más corta, 407 de los cuatro colores, 447 del agente viajero, 434 del conector, 399 RSA, 181 problemas de conteo, 163 NP-completos, 433 producto, 24 booleano, 256 cartesiano, 100 de dos polinomios, 197 de dos series, 340 de matrices, 230 propiedades de orden, 26 proposición, 4 bicondicional, 9 compuesta, 5 condicional, 8 proposiciones equivalentes, 10 y conectivos lógicos, 4 puente, 387 raíces complejas, 361 de polinomios, 211, 213 distintas, 361 reales y complejas, 213 raíz, 211 característica, 360 doble, 363 múltiple, 212 simple, 212 rango, 102 por renglones, 246 recíproca, 9 recorrido, 391 inorden, 392 postorden, 392 preorden, 392 recurrencia lineal homogénea, 355, 360 Rédei, 452 reducción al absurdo, 14 región exterior, 436 reglas de inferencia, 11 relación, 101 binaria, 121 de equivalencia, 24, 122 de orden, 26 de recurrencia, 355 dual, 127 inversa, 255 lineal, 355 representación prefija, 394 sufija, 394 residuo, 57, 203 retículos, 130, 131 Robbins, 450 Ronald Rivest, 178 Schröder, 5 sección de un camino, 385 semigrupo, 152 cociente, 153 seno hiperbólico, 349 Serie de Bell, 350 de Lambert, 350 de potencias, 338 geométrica, 338 invertible, 371 sibdigrafo, 404 sistema consistente, 238 homogéneo, 239 inconsistente, 238 RSA, 181 sistemas de ecuaciones lineales, 238, 263 MATEMÁTICAS DISCRETAS – RAMÓN ESPINOSA ARMENTA 2/9/10 10:05:07 AM ÍNDICE ANALÍTICO de numeración posicionales, 66 equivalentes, 242 sólidos platónicos, 439 solución trivial, 239 soluciones no triviales, 239 Stanislaw Marcin Ulam, 109 Stephen Warshall, 405 subanillo, 168 subárbol de T con raíz, 390 subcampo, 171 subconjunto, 16 propio, 16 subgrafo, 383 de recubrimiento, 383 inducido, 384 propio, 383 subgrupos, 159 triviales, 160 submatriz, 237 sucesión, 104 de Fibonacci, 359 recurrente, 355 suma, 24 aritmética, 37 de dos, 339 de dos polinomios, 197 de matrices, 229 geométrica, 33 telescópica, 37 supergrafo, 383 suprayectiva, 105 tabla de Karnaugh, 290 de verdad, 6 tautología, 7 teorema, 14 binomial generalizado, 341 chino del residuo, 83 de Euler, 175 de Kuratowski, 439 de los cinco colores, 448 de los números primos, 111 de Taylor, 199 del binomio, 38, 40 del factor, 212 del residuo, 205 fundamental de la aritmética, 73 fundamental del álgebra, 213 teoría analítica de números, 58 combinatoria de números, 58 computacional de números, 58 de anillos, 164 de conjuntos, 17 de Galois, 155 de grafos, 380 de grupos, 154 de números, 58, 85, 88, 161 de números algebraicos, 58 geométrica de números, 58 término mínimo, 289 términos del polinomio, 196 tetraedro, 439 texto común, 177 encriptado, 177 topología del orden, 130 torneo, 451 torre de Hanoi, 356 Tractatus logicophilosophicus, 5 MATEMÁTICAS DISCRETAS – RAMÓN ESPINOSA ARMENTA indice analitico.indd 467 467 transpuesta de una matriz, 235 trayectoria dirigida, 404 hamiltoniana, 429 hamiltoniana dirigida, 452 triangular inferior, 228 superior, 227 triángulo de Pascal, 39 último teorema de Fermat, 62, 176 unicidad del complemento, 281 uniforme, 323 unión, 18 universo de discurso, 12 valor de verdad, 4 variables booleanas, 287 vecino exterior, 402 interior, 402 vector columna, 227 renglón, 227 vértice de corte, 389 interno, 390 terminal, 390 vertices, 380, 402, 426 internos, 385, 404 Wassily Leontief, 103 Whilhelm Jordan, 242 Whitfield Diffie, 178 William R. Hamilton, 428 Wittgenstein, 5 ALFAOMEGA 2/9/10 10:05:08 AM indice analitico.indd 468 2/9/10 10:05:08 AM indice analitico.indd 469 2/9/10 10:05:08 AM indice analitico.indd 470 2/9/10 10:05:08 AM
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