Diferenciabilidad en Rn: Derivadas Parciales y Direccionales

Diferenciabilidad en Rn
Ramón Sellanes
Matemática
I.P.A. 2010
Parte I
Diferenciabilidad de funciones de
Rn en R
1.
Derivadas Parciales
Recordemos que para funciones de una variable f : I ⊂ R → R definida en el
intervalo abierto I de R, se define la derivada de f en x0 ∈ I, denotada por f ′ (x0 ),
como el valor del lı́mite
f (x0 + h) − f (x0 )
f ′ (x0 ) = lı́m
h→0
h
cuando éste existe (en cuyo caso decimos que f es derivable en dicho punto). Además
sabemos que si f ′ (x0 ) existe, su valor nos da la pendiente de la recta tangente a la
gráfica de la función f de expresión y = f (x) en el punto (x0 , f (x0 )).
Resulta deseable, disponer de un concepto similar para funciones de varias variables, comencemos por considerar la siguiente definición.
Definición 1.1. Dada una función de dos variables f : U ⊂ R2 → R definida en
un conjunto U de R2 . Sea a = (x0 , y0 ) un punto de Ů . Se define la derivada parcial
de f con respecto a x (la primer variable de f ) en el punto a denotada por ∂f
(a) (o
∂x
′
′
fx (a) o simplemente fx (a) o f1 (a) o D1 f (a)), como el lı́mite
f (x0 + h, y0 ) − f (x0 , y0 )
∂f
(a) = lı́m
h→0
∂x
h
cuando éste lı́mite existe. Del mismo modo la derivada parcial de f con respecto a
y (la segunda variable de f ) en a denotada por ∂f
(a) (o fy′ (a) o f2′ (a) o D2 f (a)), es
∂y
el lı́mite
∂f
f (x0 , y0 + h) − f (x0 , y0 )
(a) = lı́m
h→0
∂y
h
siempre que exista.
Análogamente, se definen las funciones derivadas parciales de f respecto a x e y
como
f (x + h, y) − f (x, y)
∂f
(x, y) = lı́m
h→0
∂x
h
∂f
f (x, y + h) − f (x, y)
(x, y) = lı́m
h→0
∂y
h
1
cuyos dominios de definición están formados por todos los puntos a = (x, y) interiores
de U donde estos lı́mites estén bien definidos.
Observación 1.1. Observando con detenimiento estas definiciones vemos que tiene
los mismos ingredientes de la definición de derivada de una función de una sola variable. Más concretamente si consideramos la función φ(x) = f (x, y0 ) que se obtiene
de fijar en la función f (x, y) la variable y como y0 , sabemos que la derivada de φ en
x = x0 es
φ′ (x0 ) = lı́m
h→0
φ(x0 + h) − φ(x0 )
f (x0 + h, y0 ) − f (x0 , y0 )
∂f
= lı́m
=
(a)
h→0
h
h
∂x
Análogamente si definimos ψ(y) = f (x0 , y) se tiene
ψ ′ (y0 ) =
∂f
(a)
∂y
Se puede observar además que desde el punto de vista geométrico, la función φ(x) =
f (x, y0 ) representa la curva que se obtiene al intersecar la superficie z = f (x, y) con el
plano y = y0 . Esta es una curva que en el punto x = x0 tiene una recta tangente cuya
pendiente es precisamente φ′ (x0 ) = ∂f
(a). Análogamente la función ψ(y) = f (x0 , y)
∂x
representa la curva obtenida de la intersección de la superficie z = f (x, y) con el
plano x = x0 con recta tangente en el punto y = y0 de pendiente ψ ′ (y0 ) = ∂f
(a).
∂y
Ejemplo 1.1. Sea f : U ⊆ R2 → R dada por la expresión f (x, y) = x2 y 3 , entonces
∂f
f (x + h, y) − f (x, y)
(x + h)2 y 3 − x2 y 3
(x, y) = lı́m
= lı́m
h→0
h→0
∂x
h
h
3
h(2x + h)y
= lı́m
= lı́m 2xy 3 + hy 3 = 2xy 3
h→0
h→0
h
que coincide con la derivada de la expresión x2 y 3 respecto de x como si la y se tratase
de una constante. Análogamente se tiene
f (x, y + h) − f (x, y)
(x)2 (y + h)3 − x2 y 3
∂f
(x, y) = lı́m
= lı́m
h→0
h→0
∂y
h
h
2 2
2
2
2 3
3x y h + 3x yh + x h
= lı́m
= lı́m 3x2 y 2 + 3x2 yh = 3x2 y 2
h→0
h→0
h
que coincide con la derivada de la expresión x2 y 3 respecto de y como si la x se tratase
de una constante.
De aquı́ en más para hallar las derivadas parciales en los puntos interiores al
conjunto donde está definida la función (dominio de f ), podemos proceder de esa
manera.
√
Ejemplo 1.2. Sea f : U ⊆ R2 → R dada por la expresión f (x, y) = sen( 2x3 + y 2 )
√
)
( √
2
2x3 + y 2
3x
cos
1
∂f
√
(x, y) = cos 2x3 + y 2 √
(6x2 ) =
∂x
2 2x3 + y 2
2x3 + y 2
análogamente
√
)
( √
2x3 + y 2
y
cos
1
∂f
(x, y) = cos 2x3 + y 2 √
(2y) = √
∂y
2 2x3 + y 2
2x3 + y 2
2
Ejemplo 1.3. Sea la función f (x, y) = x2 + y 2 las derivadas parciales en el punto
(1, 0), son
∂f
(1, 0) = 2x|(1,0) = 2(1) = 2
∂x
∂f
(1, 0) = 2y|(1,0) = 2(0) = 0
∂y
2
Ejemplo 1.4. Sea la función f (x, y) = xex y sus derivadas parciales en el punto
(1, L2), son
∂f
2
2
2
(x, y) = ex y + xex y 2xy = (1 + 2x2 y)ex y
∂x
luego
∂f
2
(1, L2) = (1 + 2x2 y)ex y |(1,L2) = (1 + 2L2)eL2 = 2 + 4L2
∂x
análogamente
∂f
2
2
(1, L2) = xex y x2 |(1,L2) = x3 ex y |(1,L2) = eL2 = 2
∂y
Antes de introducir la definición más general de derivada parcial, conviene reescribir las derivadas parciales para funciones de dos variables de la siguiente manera,
sea un punto a = (x, y) y los vectores unitarios e1 = (1, 0) y e2 = (0, 1) entonces
f (x + h, y) − f (x, y)
f ((x, y) + h(1, 0)) − f (x, y)
∂f
(a) = lı́m
= lı́m
h→0
h→0
∂x
h
h
f (a + he1 ) − f (a)
= lı́m
h→0
h
Y escribimos
f (a + he1 ) − f (a)
h→0
h
fx (a) = lı́m
análogamente para la derivada parcial respecto a y se tiene
f (a + he2 ) − f (a)
h→0
h
fy (a) = lı́m
Ahora si generalizamos las definiciones dadas hasta ahora de derivadas parciales
para funciones escalares de dominio Rn .
Definición 1.2. Sea f : U ⊆ Rn → R una función escalar, dependiente de n
variables reales, definida en U ⊆ Rn y sea a = (x1 , . . . , xn ) ∈ Ů un punto interior
de su dominio. Llamamos derivada parcial de f en el punto a con respecto a la
variable xi a
f (a + hei ) − f (a)
∂f
(a) = lı́m
h→0
∂xi
h
f (x1 , . . . , xi + h, . . . , xn ) − f (x1 , . . . , xn )
= lı́m
h→0
h
siempre que éste lı́mite exista y siendo ei = (0, . . . , 1, . . . , 0) que todas sus componentes son nulas salvo la que ocupa el lugar i que vale 1.
3
Ejemplo 1.5. Para una función f (x, y, z) tenemos que en a ∈ R3 genérico:
∂f
f (x, y, z + h) − f (x, y, z)
(a) = lı́m
h→0
∂z
h
y para la función f (x1 , x2 , x3 , x4 ) se tiene donde a ∈ R4 genérico
∂f
f (x1 , x2 , x3 , x4 + h) − f (x1 , x2 , x3 , x4 )
(a) = lı́m
∂x4
h
Ejemplo 1.6. Sea f : U ⊆ R3 → R dada por la expresión f (x, y, z) = ex y z .
Entonces
3 4 5
∂f
3 4 5
= ex y z (3x2 y 4 z 5 ),
∂x
∂f
2 4 5
= ex y z (x3 4y 3 z 5 ),
∂y
∂f
3 4 5
= ex y z (x3 y 4 5z 4 )
∂z
Estamos interesados en introducir una definición de diferenciabilidad que sea de
alguna forma equivalente a la dada para funciones de una sola variable, es deseable
que se conserve la propiedad que asegura la continuidad en un punto a partir que la
diferenciabilidad en ese punto. Nos podemos preguntar si a partir de las existencia
de las derivadas parciales de una función f : U ⊆ Rn → R en un punto a ∈ Ů nos
puede asegurar la continuidad en ese punto, pero vasta ver un ejemplo para ver que
no es ası́.
Ejemplo 1.7. Consideremos la función
{
f (x, y) =
xy
x2 +y 2
0
si (x, y) ̸= 0
si (x, y) = 0
Calculemos las derivadas parciales en (0, 0), por medio de la definición de las mismas
∂f
f (h, 0) − f (0, 0)
0
2
2 − 0
(0, 0) = lı́m
= lı́m h +0
= lı́m = 0
h→0
h→0
h→0 h
∂x
h
h
h(0)
y
(0)h
∂f
f (0, h) − f (0, 0)
0
2
2
(0, 0) = lı́m
= lı́m 0 +h = lı́m = 0
h→0
h→0
h→0 h
∂y
h
h
De modo que la función tiene ambas derivadas parciales iguales a cero en el origen.
Sin embargo
lı́m
f (x, y) = lı́m f (x, 0) = lı́m
(x,y)→(0,0)
lı́m
f (x, y) = lı́m f (x, x) = lı́m
(x,y)→(0,0)
x(0)
x→0 x2 + 02
x→0
=0
x2
1
=
2
2
x→0 x + x
2
x→0
por lo que no existe el lı́mite en el origen, y en consecuencia no es continua en ese
punto.
Ahora estudiaremos un concepto más fuerte que el de derivada parcial, como
para poder introducir luego el concepto de diferenciabilidad como lo deseamos, que
conserve la propiedad que mencionamos más arriba (diferenciabilidad implica continuidad).
4
2.
Derivadas direccionales
En primer lugar vamos a definir derivadas direccionales para funciones escalares
en R2 es decir para f : U ⊆ R2 → R, queremos estudiar la variación de la función
en una determinada dirección u ∈ R2 .
Definición 2.1. Sea f : U ⊆ R2 → R una función escalar de dos variables definidas
en U ⊆ R2 y a = (x0 , y0 ) ∈ Ů un punto interior de U . Se define la derivada direccional
de f en el punto a y con respecto al vector unitario u como
∂f
f (a + hu) − f (a)
f (x0 , y0 ) + hu) − f (x0 , y0 )
(x0 , y0 ) = lı́m
= lı́m
h→0
h→0
∂u
h
h
siempre que exista.
Se denomina función derivada direccional según el vector unitario u a la aplicación que a cada punto interior (x, y) ∈ Ů , le asocia el valor vectorial ∂f
(x, y).
∂u
Según ésta definición la derivadas parciales son casos particulares de las derivadas
direccionales, a saber
∂f
∂f
fx =
fy =
∂e1
∂e2
es decir que la derivada parcial respecto a x es la derivada direccional respecto al
vector e1 = (1, 0) y la derivada parcial respecto de y es la derivada direccional
respecto a la dirección del vector e2 = (0, 1).
Ejemplo 2.1. Estudiemos la derivadas parciales y direccionales de la función f (x, y) =
exy en un punto interior de su dominio de definición. Tenemos que las derivadas parciales son
∂f
∂f
(x, y) = yexy
(x, y) = xexy
∂x
∂y
Ahora utilizando la definición de derivada direccional según el vector u = (cos t, sen t),
resulta
∂f
e(x+h cos t)(y+h sen t) − exy
(x, y) = lı́m
h→0
∂u
h
y eliminando la indeterminación mediante la regla de L’Hopital obtenemos
∂f
(x, y) = lı́m (cos t(y + h sen t) + (x + h cos t) sen t) e(x+h cos t)(y+h sen t)
h→0
∂u
= (y cos t + x sen t)exy
lo que también podemos expresar utilizando el producto escalar (y cos t + x sen t) =
(y, x) · u y entonces escribir
∂f
(x, y) = exy ((y, x) · u)
∂u
Obsérvese que se pueden recuperar las derivadas parciales utilizando la expresión
anterior
∂f
(x, y) = exy ((y, x) · e1 ) = exy y
∂x
y
∂f
(x, y) = exy ((y, x) · e2 ) = exy x
∂y
5
El concepto de derivada direccional se generaliza para espacios de dimensión n.
Definición 2.2. Sea f : U ⊂ Rn → R una función escalar definida en U ⊂ Rn ,
a ∈ Ů un punto interior de su dominio, y u un vector unitario cualquiera. Se define
entonces la derivada direccional de f en el punto a y según el vector u como el lı́mite
∂f
f (a + hu) − f (a)
(a) = lı́m
h→0
∂u
h
si éste existe.
Ejemplo 2.2. Sea la función definida de la siguiente forma
{
si (x, y) ̸= (0, 0)
x + x2xy
+y 2
f (x, y) =
0
si (x, y) = (0, 0)
Para (x, y) ̸= (0, 0) podemos calcular las derivadas parciales por la regla de derivación estándar, considerando una de las variable constante y derivando respecto a al
otra como sigue
∂f
y(x2 + y 2 ) − xy(2x)
(x2 − y 2 )y
(x, y) = 1 −
=1− 2
∂x
(x2 + y 2 )2
(x + y 2 )2
y análogamente
∂f
x(x2 + y 2 ) − xy(2y)
(x2 − y 2 )x
(x, y) =
=
∂y
(x2 + y 2 )2
(x2 + y 2 )2
Estas expresiones no están definidas en el origen de coordenadas, pero como veremos
la función posee derivadas parciales en dicho punto, ya que en (x, y) = (0, 0) se tiene
definida la función como igual a cero y por lo tanto si aplicamos la definición de
derivada parcial se tiene
∂f
f (h, 0) − f (0, 0)
h−0
(0, 0) = lı́m
= lı́m
=1
h→0
h→0
∂x
h
h
y
f (0, h) − f (0, 0)
0−0
∂f
(0, 0) = lı́m
= lı́m
=0
h→0
h→0
∂y
h
h
por lo que existen las derivadas parciales y valen 1 y 0 respecto a x e y respectivamente.
Ejemplo 2.3. Sea la función definida por
{ 3
f (x, y) =
x
y
0
si y ̸= 0
si y = 0
Calculemos las derivadas direccionales en (0, 0), respecto a un vector u = (cos t, sen t),
de forma que no sea paralelo al eje OX, porque la función en dicho eje está definida
como 0, es decir que t ̸= 0 y t ̸= π, entonces aplicando la definición de derivada
direccional se tiene
f (h cos t, h sen t) − f (0, 0)
h3 cos3 t
cos3 t
∂f
(0, 0) = lı́m
= lı́m 2
= lı́m h
=0
h→0
h→0 h sen t
h→0
∂u
h
sen t
6
Consideremos ahora que t = 0 o t = π, es decir que el vector sea u = (1, 0) = e1 o
u = (−1, 0) = −e1 , también aplicando la definición se tiene
∂f
f (h, 0) − f (0, 0)
0
(0, 0) = lı́m
= lı́m = 0
h→0
h→0 h
∂e1
h
lo mismo da si derivamos respecto a −e1 . De esta forma f posee todas sus derivadas
direccionales y son nulas.
Estudiemos ahora la continuidad en (0, 0), aproximándonos al origen de coordenadas por caminos diversos.
lı́m
x3
= lı́m x2 = 0
x→0 x
x→0
f (x, y) = lı́m f (x, x) = lı́m
x→0
(x,y)→(0,0)
y si reemplazamos y = mx, nos queda
x3
x2
= lı́m
=0
x→0 mx
x→0 m
lı́m
Sin embargo, si elegimos un cambio un poco más rebuscado como la cúbica y = x3 ,
resulta
x3
y=x3
lı́m f (x, y) = lı́m f (x, x3 ) = lı́m 3 = 1
x→0
x→0 x
(x,y)→(0,0)
luego no existe el lı́mite en (0, 0) porque de existir tendrı́an que ser iguales los lı́mites
por cualquier restricción, y por lo tanto la función no es continua en (0, 0).
Concluimos que la existencia de las derivadas direccionales en todas las direcciones (y por lo tanto también las derivadas parciales) no garantiza aún la continuidad
de la función.
La definición de lı́mite de una función en un punto requiere que la función tienda
a un valor fijo cualquiera sea el camino de aproximación a dicho punto, mientras que
la definición de las derivadas direccionales la aproximación es por rectas (definida
por la dirección del vector), luego la existencia de las mismas no es suficiente para
garantizar el lı́mite de la función.
Para motivar la definición de diferenciabilidad trataremos de imitar la definición de diferenciabilidad para funciones de una variable.
Recordemos que si f : U ⊂ R → R se dice que
es diferenciable en x0 ∈ I si existe el lı́mite
f (x0 + h) − f (x0 )
h→0
h
lı́m
y en caso afirmativo se le llama “derivada de f
en x0 ” y denotamos por f ′ (x0 ). Veamos ahora que si la función es diferenciable en
x0 ∈ I, la ecuación de la recta
y = f ′ (x0 )(x − x0 ) + f (x0 )
es la recta tangente al gráfico de la función f de expresión de la forma y = f (x) en
el punto a = (x0 , f (x0 ). Consideremos un punto R de abscisa x0 + h sobre la recta
tangente, es decir con ordenada y = f (x0 ) + f ′ (x0 )h, por lo que la diferencia (BC
en la figura)
|f (x0 + h) − f (x0 ) − f ′ (x0 )h|
7
es una función que depende de h ya que x0 es un valor fijo, y que denotamos por
r(h), y que llamamos residuo (llamado ası́, pensando en que es “lo que falta” a la
recta tangente para describir a la curva y = f (x) en los alrededores de x0 ) cuando
h → 0 esa función tiende a cero pero lo hace de forma que tiende “más rápido” que
la tendencia del h, (sin importar si es por derecha o por izquierda) lo que se expresa
diciendo que
r(h)
lı́m
=0
h→0 |h|
luego entonces una definición alternativa de diferenciabilidad de una función de
una variable puede ser la siguiente: la función f : I ⊂ R → R es diferenciable en
x0 ∈ I si existe una constante A y una función r definida en un entorno reducido y
arbitrariamente pequeño de cero, tal que:
f (x0 + h) = f (x0 ) + Ah + r(h)
donde
r(h)
=0
h→0 |h|
lı́m
Definamos una función T : R → R por la expresión T (x) = Ax; esta aplicación
cumple:
T (x + y) = A(x + y) = Ax + Ay = T (x) + T (y) ∀x, y ∈ R
(1)
ası́ como
T (λx) = λT (x) ∀λ, x ∈ R
(2)
si recordamos que una función (aplicación, transformación o operador ) entre dos
espacios vectoriales (en el caso que nos ocupa es R) que cumplan con (1) y (2) se le
llama función o transformación lineal.
Entonces podemos decir que una función f : I ⊂ R → R es diferenciable en
x0 ∈ R si existen una transformación lineal T : R → R ( que depende de x0 ) y una
función r : E ∗ (0, ϵ) ⊂ R → R tales que:
f (x0 + h) = f (x0 ) + T (h) + r(h) con lı́m
h→0
r(h)
=0
|h|
Pensando en lo anterior trataremos de generalizar para funciones escalares definidas en el plano es decir dada f : U ⊂ R2 → R, donde la gráfica de la misma es una
superficie en R3 , deberá admitir un plano tangente en todos sus puntos, intentaremos
deducir como será la ecuación del plano tangente en el punto (x0 , y0 , f (x0 , y0 )).
La ecuación de un plano genérico en R3 viene dada por
z = ax + by + c
∂z
∂z
Se cumple que ∂x
= a y ∂y
= b, por lo que las pendientes del plano a lo largo de los
ejes X e Y son a y b respectivamente. Si este plano debe ser tangente a la gráfica
de la función en el punto propuesto se deberá cumplir que
fx (x0 , y0 ) = a,
fy (x0 , y0 ) = b.
De esta forma la ecuación
z = fx (x0 , y0 )x + fy (x0 , y0 )y + c
8
define una familia de planos paralelos entre sı́ y que tienen la inclinación adecuada
para ser tangente a la gráfica de la función en (x0 , y0 , f (x0 , y0 ). para determinar la
constante c exigimos que el plano contenga el punto anterior, con lo cual obtenemos
z = fx (x0 , y0 )(x − x0 ) + fy (x0 , y0 )(y − y0 ) + f (x0 , y0 ),
que deberı́a ser la ecuación del plano tangente a la gráfica de f (x, y) en el punto
(x0 , y0 , f (x0 , y0 ).
Ya estamos en condiciones de dar una definición plausible de diferenciabilidad
para funciones de dos variables. Dada la función lineal
t(x, y) = fx (x0 , y0 )(x − x0 ) + fy (x0 , y0 )(y − y0 )
decimos que f es diferenciable en (x0 , y0 ) si
f (x, y) − f (x0 , y0 ) − t(x, y)
=0
(x,y)→(x0 ,y0 )
∥(x, y) − (x0 , y0 )∥
lı́m
Para una definición un poco más formal introducimos la notación
{
x = x0 + h1
h = (x − x0 , y − y0 ) = (h1 , h2 ) ⇒
y = y 0 + h2
Y al punto a = (x0 , y0 ).
Definición 2.3. Dada la función f : U ⊂ R2 → R, definida en un abierto U de
R2 , sea a ∈ U . Diremos que f es diferenciable en el punto a cuando existen una
transformación lineal T : R2 → R y una función r : B ∗ (0, ϵ) → R tales que, para
todo vector h = (h1 , h2 ) ∈ R2 , con a + h ∈ U , se verifica
r(h)
=0
h→0 ∥h∥
f (a + h) = f (a) + T (h1 , h2 ) + r(h) donde lı́m
cuando f es diferenciable en todos los puntos de U , se dice simplemente que f es
diferenciable.
Observación 2.1. Si f es diferenciable en un punto a = (x0 , y0 ), tomando h =
(λ, 0) = λe1 ⇒ ∥h∥ = |λ|, se tiene para λ suficientemente pequeño que
f (x0 + λ, y0 ) = f (x0 , y0 ) + T (λ, 0) + r(h)
entonces como T (λ, 0) = λT (1, 0)
f (x0 + λ, y0 ) − f (x0 , y0 )
∥h∥ r(h)
= T (1, 0) +
·
λ
λ
∥h∥
acot.
luego tomando lı́mite cuando h → 0 ⇒ λ → 0, nos queda
∂f
(x0 , y0 ) = T (1, 0)
∂x
por comodidad usaremos la notación fx (x0 , y0 ) = T (1, 0). Análogamente si tomamos
h = (0, t), con t suficientemente pequeño como para garantizar que a + h ∈ U , se
llega a que fy (x0 , y0 ) = T (0, 1).
Luego la transformación lineal T : R2 → R está definida por
T (x, y) = xT (1, 0) + yT (0, 1) = fx (x0 , y0 )x + fy (x0 , y0 )y
Por lo tanto hemos probado una condición necesaria de diferenciabilidad. Y podemos enunciar la siguiente propiedad.
9
Propiedad 2.1. Una función f : U ⊂ R2 → R definida en un abierto U de R2 , es
diferenciable en un punto a = (x0 , y0 ) ∈ U , cuando existen las derivadas parciales
fx (x0 , y0 ), fy (x0 , y0 ) y además de esto
f (x0 + h1 , y0 + h2 ) = f (x0 , y0 ) + fx (x0 , y0 )h1 + fy (x0 , y0 )h2 + r(h1 , h2 )
r(h1 , h2 )
=0
donde
lı́m
(h1 ,h2 )→(0,0) ∥(h1 , h2 )∥
De la igualdad anterior se tiene que la función residuo o resto r(h), se puede
expresar usando la notación de producto escalar o producto punto, como
r(h) = f (a + h) − f (a) − (fx (a), fy (a)) · h.
La existencia de las derivadas parciales es una condición necesaria para la diferenciabilidad pero no suficiente, hace falta que lı́mh→0 r(h)
= 0, esta es la condición crucial,
∥h∥
que debe verificarse (directa o indirectamente) siempre que quisiéramos probar que
una función es diferenciable, y es la que nos garantiza la existencia de un plano
tangente como vimos en lo previo.
= 0, concluimos que lı́mh→0 r(h) = 0, ya que
De lı́mh→0 r(h)
∥h∥
(
lı́m r(h) = lı́m
h→0
h→0
r(h)
∥h∥
)
∥h∥ = 0
Definición 2.4. Sea r : V ⊂ R2 → R una función escalar definida en el origen, es
decir que (0, 0) ∈ V , decimos que r(h) es un infinitésimo de orden superior a ∥h∥ si
r(h)
=0
h→0 ∥h∥
lı́m
en cuyo caso se suele escribir r(h) = o(∥h∥)
Los dos siguientes teoremas se refieren a la condiciones de diferenciabilidad. En
primer lugar veremos una condición que es necesaria, y en segundo lugar otra condición ahora suficiente. Ambos teoremas se cumplen en Rn , sólo que para simplificar
en una primera instancia se enuncian y demuestran en R2 .
Veremos ahora que la definición de diferenciabilidad en un punto a sı́ garantiza
la continuidad de la función en ese punto.
Teorema 2.1 (Condición necesaria de diferenciabilidad). Sea la función f : U ⊂
R2 → R,definida en un abierto U de R2 , si es diferenciable en a = (x0 , y0 ) ∈ U ,
entonces es continua en ese punto.
Demostración. Por ser diferenciable en a = (x0 , y0 ) se tiene, como ya lo analizamos
más arriba, que de
r(h)
= 0 ⇒ lı́m r(h) = 0
lı́m
h→0
h→0 ∥h∥
entonces
lı́m f (a + h) =
h→0
lı́m
(h1 ,h2 )→(0,0)
=
lı́m
(h1 ,h2 )→(0,0)
f (x0 + h1 , y0 + h2 )
f (x0 , y0 ) + fx (x0 , y0 )h1 + fy (x0 , y0 )h2 + r(h)
= f (x0 , y0 ) = f (a)
10
Ejemplo 2.4. Sea la función definida por
{
f (x, y) =
xy
x2 +y 2
0
si (x, y) ̸= (0, 0)
si (x, y) = (0, 0)
Como vimos en el ejemplo 1.7 ésta función no es continua, entonces por el teorema
anterior tampoco puede ser diferenciable.
Veamos ahora una demostración directa, calculando lı́mh→0 r(h)
.
∥h∥
En el mismo ejemplo citado más arriba (ejemplo 1.7) probamos que la derivadas
parciales son nulas, luego sustituyendo nos queda
f (0 + h1 , 0 + h2 ) = f (0, 0) + 0h1 + 0h2 + r(h1 , h2 )
de donde
r(h1 , h2 ) =
y como ∥h∥ =
√
h21 + h22 nos queda
h1 h2
2
h1 + h22
r(h1 , h2 )
h1 h2
=√ 2
∥(h1 , h2 )∥
(h1 + h22 )3
y tomando lı́mite cuando (h1 , h2 ) → (0, 0) obtenemos
lı́m
(h1 ,h2 )→(0,0)
√
h1 h2
(h21 + h22 )3
h=h1 =h2
=
h2
1
lı́m √
= lı́m √
h→0
23 h3 h→0 8h
lı́mite que no existe, por lo que no es diferenciable.
Teorema 2.2 (Condición suficiente de diferenciabilidad). Dada la función f : U ⊂
R2 → R, definida en un abierto U de R2 si las derivadas parciales fx , fy existen y
son continuas en una bola de centro a = (x0 , y0 ) ∈ U , entonces f es diferenciable en
(x0 , y0 ).
Demostración. Por hipótesis como las fx y fy están definidas y son continuas en una
bola de centro (x0 , y0 ) ∈ U , entonces por se U abierto tenemos que existe δ > 0 tal
que fx y fy , están definidas y son continuas en Bδ (x0 , y0 ) ⊂ U .
Tomando (h1 , h2 ) tal que ∥(h1 , h2 )∥ < δ, la expresión del residuo es:
r(h1 , h2 ) = f (x0 + h1 , y0 + h2 ) − f (x0 , y0 ) − fx (x0 , y0 )h1 − fy (x0 , y0 )h2
Queremos ver que
r(h1 , h2 )
=0
(h1 ,h2 )→(0,0) ∥(h1 , h2 )∥
lı́m
Escribamos la expresión del residuo como
r(h1 , h2 ) = f (x0 + h1 , y0 + h2 ) − f (x0 , y0 + h2 )+
+ f (x0 , y0 + h2 ) − f (x0 , y0 ) − fx (x0 , y0 )h1 − fy (x0 , y0 )h2
(3)
Si consideramos la función φ(x) = f (x, y0 + h2 ), que por ser la derivada parcial
respecto a x continua en Bδ (x0 , y0 ), y ∥(h1 , h2 )∥ < δ, es entonces φ(x) derivable
(diferenciable) en (x0 , x0 + h1 ) y por lo tanto podemos aplicar el Teorema del Valor
11
Medio (Lagrange) en el intervalo [x0 , x0 + h1 ] obtenemos que existe un número
θ1 ∈ [0, 1] tal que
φ(x0 + h1 ) − φ(x0 ) = φ′ (x0 + θ1 h1 )h1
o sea
f (x0 + h1 , y0 + h2 ) − f (x0 , y0 + h2 ) = fx (x0 + θ1 h1 , y0 + h2 )h1
Del mismo modo aplicando el Teorema del Valor Medio en la función ψ(y) = f (x0 , y)
en el intervalo [y0 , y0 + h2 ] se obtiene un número θ2 ∈ [0, 1] tal que
f (x0 , y0 + h2 ) − f (x0 , y0 ) = fy (x0 , y0 + θ2 h2 )h2
entonces sustituyendo en (3), nos queda
r(h1 , h2 ) = fx (x0 + θ1 h1 , y0 + h2 )h1 + fy (x0 , y0 + θ2 h2 )h2 − fx (x0 , y0 )h1 − fy (x0 , y0 )h2
= [fx (x0 + θ1 h1 , y0 + h2 ) − fx (x0 , y0 )] h1 + [fy (x0 , y0 + θ2 h2 ) − fy (x0 , y0 )] h2
Al dividir por la norma del vector (h1 , h2 ) obtenemos
r(h1 , h2 )
h1
= [fx (x0 + θ1 h1 , y0 + h2 ) − fx (x0 , y0 )]
∥(h1 , h2 )∥
∥(h1 , h2 )∥
h2
+ [fy (x0 , y0 + θ2 h2 ) − fy (x0 , y0 )]
∥(h1 + h2 )∥
Observemos que
|hi |
≤1
∥(h1 , h2 )∥
∀(h1 , h2 ) ̸= (0, 0) , i = 1, 2
y que debido a la continuidad de las derivadas parciales en (x0 , y0 ), cuando (h1 , h2 ) → (0, 0)
los dos corchetes de la expresión anterior tienden a cero, obteniendo finalmente que
r(h1 , h2 )
=0
(h1 ,h2 )→(0,0) ∥(h1 , h2 )∥
lı́m
por lo que f es diferenciable en (x0 , y0 ).
Es importante señalar que para demostrar el Teorema anterior, es posible considerar hipótesis más débiles, ası́ para afirmar que φ(x) es derivable en (x0 , x0 + h),
alcanza con la continuidad de fx en el punto (x0 , y0 ) y con la función ψ(y), si le
pedimos a fy que exista en (x0 , y0 ), tenemos que existe el siguiente lı́mite
f (x0 , y0 + h2 ) − f (x0 , y0 )
= fy (x0 , y0 )
h2 →0
h2
lı́m
luego para h2 pequeño se tiene
f (x0 , y0 + h2 ) − f (x0 , y0 ) = (fy (x0 , y0 ) + ϵ(h2 )) h2 con lı́m ϵ(h2 ) = 0
h2 →0
y por lo tanto nos queda
r(h1 , h2 )
h1
= [fx (x0 + θ1 h1 , y0 + h2 ) − fx (x0 , y0 )]
∥(h1 , h2 )∥
∥(h1 , h2 )∥
h2
+ [fy (x0 , y0 ) − fy (x0 , y0 ) + ϵ(h2 )]
∥(h1 + h2 )∥
Por lo que los paréntesis rectos siguen tendiendo a cero como antes, y por lo tanto
se cumple la diferenciabilidad de la función en (x0 , y0 ).
En resumen alcanza con pedir que fx sea continua en (x0 , y0 ) y que exista
fy (x0 , y0 ).
12
Ejemplo 2.5. La función f : R2 → R definida por la expresión f (x, y) = e−(x +y )
tiene por derivadas parciales
2
∂f
2
2
(x, y) = −2xe−(x +y )
∂x
2
∂f
2
2
(x, y) = −2ye−(x +y )
∂y
son continuas y por lo tanto es f diferenciable.
La condición anterior es una condición suficiente para la diferenciabilidad pero
no es necesaria como muestra el siguiente ejemplo.
Ejemplo 2.6. Consideremos la función definida por
{ 2
(x + y 2 ) cos √ 21 2 si (x, y) ̸= (0, 0)
x +y
f (x, y) =
0
si (x, y) = (0, 0)
Primero hallemos las derivadas parciales en (0, 0)
f (h1 , 0) − f (0, 0)
1
= lı́m h21 cos
=0
h1 →0
h1 →0
h1
|h1 |
fx (0, 0) = lı́m
por estar el coseno acotado cuando h1 tiende a cero.
Análogamente fy (0, 0) = 0. Por otro lado
r(h1 , h2 )
f (h1 , h2 ) − f (0, 0) − fx (0, 0)h1 − fy (0, 0)h2
=
∥(h1 , h2 )∥
∥(h1 , h2 )∥
1
2
2
√
(h1 + h2 ) cos
√
h21 +h22
1
2
2
√
√
=
=
h
+
h
cos
1
2
h21 + h22
h21 + h22
r(h1 ,h2 )
= 0 (acotado por algo que tiende a cero), luego la
por lo que lı́m(h1 ,h2 )→(0,0) ∥(h
1 ,h2 )∥
función es diferenciable en (0, 0).
Sin embargo sus derivadas parciales no son continuas como vamos a probar a
continuación.
Teniendo en cuanta que fx (0, 0) = 0, se tiene
fx (x, y) =
{
2x cos √ 21
x +y 2
+ √ x2
x +y 2
sen √ 21
x +y 2
0
si (x, y) ̸= (0, 0)
si (x, y) = (0, 0)
Para que fx (x, y) sea continua en (0, 0) debe ser
lı́m
(x,y)→(0,0)
fx (x, y) = fx (0, 0)
Sin embargo
{
x = ρ cos t
lı́m fx (x, y) =
y = ρ sen t
(x,y)→(0,0)
1
= lı́m cos t sen
ρ→0
ρ
}
(
)
1
1
= lı́m 2ρ cos t cos + cos t sen
ρ→0
ρ
ρ
que no existe, por lo que no es continua, análogamente con fy .
13
A continuación daremos la generalización natural de las definiciones de diferenciabilidad en Rn y es un ejercicio verificar que los teoremas 2.1 y 2.2 se cumplen,
con un poco más de trabajo por la notación un tanto más cargada.
Definición 2.5. Dada f : U ⊆ Rn → R, U abierto de Rn . Diremos que la función
f es diferenciable en el punto a ∈ U , cuando existen una transformación lineal
T : Rn → R (que depende de a) y una función r : B ∗ (0, ϵ) → R tales que, para todo
vector h = (h1 , . . . , hn ) ∈ Rn con a + h ∈ B ∗ (a, ϵ) ⊆ U se verifica
r(h)
=0
h→0 ∥h∥
Cuando f es diferenciable en todos sus punto de U diremos simplemente que f es
diferenciable.
f (a + h) = f (a) + T (h) + r(h) con lı́m
Observación 2.2. Ası́ como lo hicimos para una función escalar de dos variables,
observemos que si f es diferenciable en el punto a entonces tomando h = λei , es
decir hj = 0 ∀j ̸= i y hi = λ, podemos escribir
f (a + h) = f (a) + T (λei ) + r(h)
como T (λei ) = λT (ei ) se tiene
f (a + λei ) − f (a)
∥h∥ r(h)
= T (ei ) +
·
λ
λ
∥h∥
acot.
y haciendo h → 0 es decir λ → 0 vemos que existe cada derivada parcial en el punto
∂f
a, siendo ∂x
(a) = T (ei ) para todo i = 1, . . . , n. Y por lo tanto al igual que antes la
i
transformación lineal nos queda:
∂f
∂f
T (x1 , x2 , . . . , xn ) = x1 T (e1 ) + x2 T (e2 ) + · · · + xn T (en ) =
(a)x1 + · · · +
(a)xn
∂x1
∂xn
tenemos la siguiente propiedad.
Propiedad 2.2. Una función f : U ⊆ Rn → R, definida en un abierto U de
Rn , es diferenciable en un punto a ∈ U cuando existen las derivadas parciales
∂f
∂f
(a), . . . , ∂x
(a), y además para todo vector h = (h1 , h2 , . . . , hn ) tal que a + h ∈ U ,
∂x1
n
se tiene
∂f
∂f
f (a + h) = f (a) +
(a)h1 + · · · +
(a)hn + r(h)
∂x1
∂xn
r(h)
donde lı́m
=0
h→0 ∥h∥
Si la función f : U ⊆ Rn → R, definida en el conjunto abierto U ⊆ Rn , es
diferenciable en a ∈ U , entonces es continua en ese punto. La demostración es
análoga a la del teorema 2.1.
∂f
Cuando decimos que la derivada parcial ∂x
de la función f respecto a su i−ésima
i
∂f
e⊆
variable es continua en el punto a, nos estamos refiriendo a que la función ∂x
:U
e ⊆ U 1 que a cada punto a ∈ U
e le asocia la derivada parcial
Rn → R, definida en U
∂f
(a), es continua en a, es decir que
∂xi
∂f
∂f
(a + h) =
(a)
h→0 ∂xi
∂xi
El teorema 2.2 se puede generalizar entonces como sigue.
lı́m
1
Estas funciones podrı́an no estar definidas en todo el conjunto abierto U , pero deben estarlo
e , tal que a ∈ U
e ⊆ U.
al menos en un abierto U
14
Teorema 2.3. Sea f : U ⊆ Rn → R una función definida en un conjunto abierto
∂f
e ⊆ Rn → R, i = 1, . . . , n, son
U de Rn . Si las funciones derivadas parciales ∂x
:U
i
e ⊆ U , entonces f es diferenciable en a.
continuas en el punto a ∈ U
La demostración es similar a la dada para dos variables.
Ejemplo 2.7. Sea la función f : R3 → R dada por la expresión f (x, y, z) = cos(x +
y 2 + z 3 ), tiene por derivadas parciales a
∂f
= − sen(x + y 2 + z 3 )
∂x
∂f
− 2y sen(x + y 2 + z 3 )
∂y
∂f
= −3z 2 sen(x + y 2 + z 3 )
∂z
que son funciones continuas. Entonces f es diferenciable.
Definición 2.6. Una función f : U ⊆ Rn → R definida en un abierto U de Rn ,
se dice de clase C 1 cuando existen en cada punto x ∈ U las derivadas parciales
∂f
∂f
∂f
y las funciones ∂x
: U → R ∀i = 1, . . . , n son continuas.
, . . . , ∂x
∂x1
n
i
Diremos que una función f : U ⊆ Rn → R es de clase C k cuando tienen derivadas
∂f
parciales en todos los puntos de U y las funciones ∂x
: U → R ∀i = 1, . . . , n son
i
k−1
de clase C . Aquı́ k es un entero mayor que cero. Para completar la definición
inductiva diremos que una función f : U ⊆ Rn → R es de clase C 0 cuando ella es
continua. Para indicar que una función es de clase C k , escribimos f ∈ C k . También
escribimos que f ∈ C ∞ y decimos que f es de clase C ∞ , cuando f ∈ C k para todo
k ≥ 0. De estas definición se tiene por lo ya demostrado el siguiente corolario
Corolario 2.4. Toda función de clase C 1 es diferenciable.
Como era de esperarse la diferenciabilidad cumple las mismas propiedades respecto a las operaciones, que para funciones de una sola variable, es decir que la
suma, el producto y el cociente de funciones diferenciables es también una función
diferenciable, como se demuestra en el siguiente teorema.
Teorema 2.5. Sean f, g : U ⊆ Rn → R dos funciones definidas en el conjunto
abierto U de Rn , diferenciables en a ∈ U . Entonces
1. La suma f + g : U ⊆ Rn → R definida por (f + g)(x) = f (x) + g(x) ∀x ∈ U ,
es una función diferenciable en a.
2. El producto f g : U ⊆ Rn → R definida por f g(x) = f (x)g(x) ∀x ∈ U , es
diferenciable en a.
(x)
3. Si g(a) ̸= 0, el cociente fg : U ⊆ Rn → R definido por fg (x) = fg(x)
∀x ∈ U con
g(x) ̸= 0, es diferenciable en a.
Demostración. La demostración de los tres incisos es similar. Presentaremos a modo
de ejemplo el segundo, para el caso n = 2. Pongamos a = (x0 , y0 ). Debemos probar
que el residuo definido por la siguiente expresión
f g(x0 + h1 , y0 + h2 ) = f g(x0 , y0 ) +
∂
∂
f g(x0 , y0 )h1 +
f g(x0 , y0 )h2 + r(h1 , h2 )
∂x
∂y
15
tiene la propiedad
r(h1 , h2 )
=0
(h1 ,h2 )→(0,0) ∥(h1 , h2 )∥
lı́m
ahora como
∂
∂g
∂f
∂
∂g
∂f
fg = f
+g ,
fg = f
+g
∂x
∂x
∂x
∂y
∂y
∂y
para no cargar la notación escribimos (x0 , y0 ) = a y (h1 , h2 ) = h, sustituyendo
entonces nos queda
(
)
∂g
∂f
f g(a + h) = f g(a) + f (a) (a) + g(a) (a) h1
∂x
∂x
(
)
∂g
∂f
+ f (a (a) + g(a) (a) h2 + r(h1 , h2 )
∂y
∂y
expresión que podemos reescribir como
)
(
∂f
∂f
r(h1 , h2 ) = g(a + h) f (a + h) − f (a) −
(a)h1 −
(a)h2
∂x
∂y
(
)
∂g
∂g
f (a) g(a + h) − g(a) −
(a)h1 −
(a)h2
∂x
∂y
)
)
∂f (
∂f (
+
(a) g(a + h) − g(a) h1 +
(a) g(a + h) − g(a) h2
∂x
∂y
de donde
∂f
f (a + h) − f (a) − ∂f
r(h1 , h2 )
∂x (a)h1 − ∂y (a)h2
= g(a + h)
∥(h1 , h2 )∥
∥(h1 , h2 )∥
+ f (a)
∂g
∂g
g(a + h) − g(a) − ∂x
(a)h1 − ∂y
(a)h2
∥(h1 , h2 )∥
(
)
(
)
∂f
h1
∂f
h2
+
(a) g(a + h) − g(a)
+
(a) g(a + h) − g(a)
∂x
∥(h1 , h2 )∥ ∂y
∥(h1 , h2 )∥
Al tomar el lı́mite cuando (h1 , h2 ) → (0, 0) vemos que los dos primeros sumandos tienden
a cero ya que las funciones f y g son por hipótesis diferenciables en a (los segundos factores
de cada uno de estos sumandos definen los residuos divididos por ∥h∥ de las funcionas f
y g respectivamente).
Por otra parte, como
|h1 |
≤1
∥(h1 , h2 )∥
|h2 |
≤1
∥(h1 , h2 )∥
para todo (h1 , h2 ) ∈ R2 no nulo (es decir esta expresión se mantiene acotada cerca del
origen de R2 ), y como g es diferenciable en a, es continua en a (teorema 2.1), entonces
(
)
lı́m g(a + h) − g(a) = 0
h→0
por lo cual los dos últimos sumandos tienden a cero cuando h → 0. Con lo que queda
demostrado el teorema.
Teorema 2.6. Sea f : U ⊆ Rn → R diferenciable, definida en el conjunto abierto
U de Rn , y sean a ∈ U y v = (v1 , . . . , vn ) ∈ Rn vector (unitario), entonces existe la
derivada direccional de f respecto a v, y se obtiene por medio de la expresión
n
∑
∂f
∂f
(a) =
(a)vi
∂v
∂x
i
i=1
16
Demostración. Siendo f diferenciable en a se tiene que el residuo esta definido por
la expresión
n
∑
∂f
f (a + h) − f (a) =
(a)hi + r(h)
∂xi
i=1
con la propiedad de que
r(h)
=0
h→0 ∥h∥
lı́m
Escribamos el vector h = (h1 , . . . , hn ) ∈ Rn como h = λv, con λ ∈ R y tal que λ sea
lo suficientemente pequeño como para que a+λv ∈ U , entonces como v = (v1 , . . . , vn )
se tiene hi = λvi ∀i = 1, . . . , n, luego nos queda
f (a + λv) − f (a) =
n
∑
∂f
i=1
de donde
∂xi
(a)λvi + r(λv)
n
f (a + λv) − f (a) ∑ ∂f
r(λv)
=
(a)vi +
λ
∂xi
λ
i=1
Si hacemos h → 0 esto equivale a λ → 0. Además ∥h∥ = ∥λv∥ = |λ| · ∥v∥ = |λ|. Si
se toma lı́mite cuando h → 0 nos queda
n
f (a + λv) − f (a) ∑ ∂f
r(h)
lı́m
=
(a)vi ± lı́m
λ→0
h→0 ∥h∥
λ
∂xi
i=1
y como el lı́mite que aparece en el segundo miembro es cero, pues la función f es
diferenciable. En el primer miembro aparece la definición de la derivada direccional
de la función f en el punto a respecto al vector v. Por lo que tenemos
n
∑
∂f
∂f
(a) =
(a)vi
∂v
∂xi
i=1
(4)
El teorema anterior justifica en cierto sentido la siguiente definición
3.
Diferencial y gradiente
Definición 3.1. Sea f : U ⊆ Rn → R definida en un abierto U de Rn , diferenciable
en un punto a ∈ U , llamamos diferencial de f en el punto a a la funcional lineal
df |a : Rn → R, cuyo valor en un vector v = (v1 , . . . , vn ) es dado por
n
∑
∂f
∂f
(a) =
(a)vi
df |a (v) =
∂v
∂xi
i=1
Observación 3.1. Como toda transformación lineal de Rn en R (o funcional lineal)
df |a tiene asociada una matriz 1×n en relación a la base canónica de Rn . En nuestro
caso
)
(
∂f
∂f
(a) . . .
(a)
df |a =
∂x1
∂xn
17
Y ası́ podemos escribir
(
)
∂f
∂f
df |a (v) =
(a), . . . ,
(a) · v
(5)
∂x1
∂xn
Cuando f : U ⊆ Rn → R es diferenciable en todo punto de U , obtenemos una
aplicación df : U → (Rn )∗ = L(Rn ; R), que asocia a cada punto x ∈ U , su diferencial
df |x , cuya matriz es
(
)
∂f
∂f
(x) . . .
(x)
∂x1
∂xn
La aplicación df es continua si y sólo si cada una de sus funciones coordenadas
∂f
: U → R son continuas, y esto es ası́ si y sólo si f es de clase C 1 .
∂xi
Es común indicarse a la base canónica de (Rn )∗ como (dx1 , . . . , dxn ). El motivo
de esta notación es el siguiente: si a la i−ésima proyección la llamamos πi : Rn → R
que en cada punto x = (x1 , . . . , xn ) ∈ Rn el valor πi (x) = xi , y escribimos xi en vez
de πi . Calculando la diferencial de la i−ésima proyección xi : Rn → R, obtenemos
dxi |a (v) = vi en todo punto a ∈ Rn , podemos entonces sustituir vi por dxi (v) en la
definición de diferencial se tiene
n
∑
∂f
df |a (v) =
(a)dxi (v)
∂x
i
i=1
Como esta igualdad vale para todo v ∈ Rn , tenemos
n
∑
∂f
df |a =
(a)dxi
∂xi
i=1
Esto significa que la funcional lineal df |a se escribe como combinación lineal de las
∂f
funcionales dxi , siendo ∂x
(a) los coeficientes de la combinación. Y como la igualdad
i
anterior vale para todo a ∈ U , podemos escribir
df =
n
∑
∂f
∂xi
i=1
dxi
Teorema 3.1. Supongamos que las funciones f, g : U ⊆ Rn → R son diferenciables
ya vimos en el teorema 2.5 que la suma el producto y el cociente son diferenciables,
y además
1. d(f + g) = df + dg
2. df g = f dg + gdf
( )
f
gdf − f dg
3. d
si g(x) ̸= 0 ∀x ∈ U
=
g
g2
Demostración. Haremos la demostración para el caso f, g : U ⊆ R2 → R, pero para
el caso general es igual. A modo de ejemplo realizamos la demostración para el inciso
2.
∂(f g)
∂(f g)
dx +
dy
d(f g) =
∂x
∂y
(
)
(
)
∂g
∂f
∂f
∂g
= f
+g
+g
dx + f
dy
∂x
∂x
∂y
∂y
)
(
)
(
∂g
∂f
∂f
∂g
dx +
dy + g
dx +
dy
=f
∂x
∂y
∂x
∂y
= f dg + gdf
18
de manera análoga se demuestran los incisos restantes.
Se ve que la diferencial de una función de varias variables tiene propiedades
análogas a las propiedades de derivación de una función de una solo variable.
Definición 3.2. Sea f : U ⊆ Rn → R una función diferenciable en el conjunto
abierto U de Rn . Se define el vector gradientede la función f en el punto a ∈ U , que
denotamos por ∇f (a), como el vector de Rn dado por
(
)
∂f
∂f
∂f
(a),
(a), . . . ,
(a)
∇f (a) =
∂x1
∂x2
∂xn
Observación 3.2. Con este nuevo concepto se puede escribir la fórmula (4) que
nos da la derivada direccional de una función diferenciable f : U ⊆ Rn → R en el
punto a ∈ U , en la dirección del vector unitario v ∈ Rn , como
∂f
(a) = ∇f (a) · v
∂v
donde el producto “·” se entiende como el producto escalar (o producto punto o
producto interno usual)
La funcional lineal llamada diferencial dada por la expresión (5) se puede reescribir como
df |a (v) = ∇f (a) · v
aunque una matriz y un vector son objetos matemáticos distintos se puede decir
haciendo abuso del lenguaje, que la matriz de la misma es ∇f (a) (considerando al
vector sin la comas, es decir como matriz).
Por ser el gradiente un vector representa aspectos geométricos muy convenientes
para dar información con respecto al comportamiento de las funciones, como veremos
enseguida. Sabido es que el producto escalar puede expresarse en función del ángulo
θ formado por los vectores, como
u · v = |u||v| cos θ
en nuestro caso para el vector gradiente y un vector unitario v se tiene
df |a (v) = ∇f (a) · v = |∇f (a)| cos θ
entonces si el vector v tiene la dirección perpendicular al gradiente dicho producto
nos da cero, y si es en la dirección del gradiente nos da un valor máximo, y como
este producto es la derivada direccional que nos da la taza de variación de la función,
concluimos que la variación de la función es máxima en la dirección del gradiente, y es
mı́nima cuando la dirección es ortogonal al gradiente. En R3 , como intuitivamente el
plano tangente es el plano que más se pega (o mejor se pega) a la superficie, podemos
concluir al menos intuitivamente que el gradiente de la función F (x, y, z) = z −
f (x, y) es normal al plano tangente a la superficie en uno de sus puntos, considerando
a la superficie z = f (x, y) como el nivel cero de F .
Definición 3.3. Recordemos que una función f es diferenciable en un punto a,
entonces cuando h tiene magnitudes pequeña
f (a + h) ≈ f (a) + ∇f (a) · h
19
si hacemos x = a + h, tenemos que la función T definida como
T (x) = f (a) + ∇f (a) · (x − a)
es una buena aproximación de f (x) si x está cerca de a. Ası́ la ecuación z = T (x)
define un plano que aproxima f cerca de a. Y a este plano llamamos plano tangente.
Ejemplo 3.1. Demuestre que f (x, y) = xey + x2 y es diferenciable en todas partes
y calcule su gradiente. Luego determine la ecuación del plano tangente en (2, 0).
Primero tenemos que las derivadas parciales son
∂f
= ey + 2xy
∂x
∂f
= xey + x2
∂y
Ambas funciones son continuas en todas partes y ası́ f es diferenciable en todas
partes. El gradiente es
∇f (x, y) = (ey + 2xy, xey + x2 )
y entonces
∇f (2, 0) = (1, 6)
y la ecuación del plano tangente es
z = f (2, 0) + ∇f (2, 0) · (x − 2, y)
= 2 + (1, 6) · (x − 2, y)
= 2 + x − 2 + 6y = x + 6y
4.
Funciones Compuestas
Analicemos sólo para aclarar ideas el caso en que tenemos z = g(u, v), y que a su
vez u = u(x, y) y v = v(x, y) entonces sustituyendo se obtiene z = g(u(x, y), v(x, y)).
Una mejor manera de contemplar el proceso de composición de funciones es
pensando en funciones de Rm en Rn : la pareja de funciones u = u(x, y), v = v(x, y)
las podemos ver como una función f que va de R2 en R2 , de la siguiente manera: A
cada punto (x, y) ∈ R2 la función f le asocia el punto f (x, y) ∈ R2 cuyas coordenadas
serán (u, v) = (u(x, y), v(x, y)), a las funciones u y v se le llaman por razones obvias
funciones coordenadas de la función f . Escribimos entonces
f : R2 → R2
(x, y)
(u, v)
donde u = u(x, y) y v = v(x, y), luego f (x, y) = (u(x, y), v(x, y) y si g : R2 → R esta
dada por g(u, v) = z podemos escribir a la función compuesta como (g ◦ f )(x, y) =
g(f (x, y)) = g(u(x, y), v(x, y)) = z. Para generalizar con más comodidad volvemos
a escribir lo anterior con otra notación más apropiada, tenemos
f : R2 → R2
(x1 , x2 )
(y1 , y2 )
donde y1 = f1 (x1 , x2 ), e y2 = f2 (x1 , x2 ), si además tenemos otra función
g : R2 → R
(y1 , y2 )
g(y1 , y2 )
20
entonces (g ◦ f )(x1 , x2 ) = g(f1 (x1 , x2 ), f2 (x1 , x2 )), llamando v = (x1 , x2 ) podemos
escribir (g ◦ f )(v) = g(f (v)).
En general si tenemos una función
f : U ⊆ Rn → Rm
(x1 , . . . , xn )
(y1 , . . . , ym )
donde cada yi = fi (x1 , . . . , xn ), para i = 1, . . . , m y otra función
g : V ⊆ Rm → R
(y1 , . . . , ym )
g(y1 , . . . , ym )
donde V ⊆ f (U ), entonces (g ◦ f )(x1 , . . . , xn ) = g (f1 (x1 , . . . , xn ), . . . , fm (x1 , . . . xn ))
es la función compuesta que va de Rn en R.
Teorema 4.1 (Regla de la Cadena). Consideremos las funciones f = (f1 , . . . , fm ) :
U → Rm donde U ⊆ Rn , g : V → R, donde f (U ) ⊆ V ⊆ Rm , con V, U abiertos.
Supongamos que cada función coordenada fj (j = 1, . . . , m) es diferenciable en un
punto a ∈ U , y que g es diferenciable en b = f (a) = (f1 (a), . . . , fm (a)). Entonces,
la función compuesta g ◦ f : U → R, es diferenciable en el punto a, y sus derivadas
parciales verifican
∂(g ◦ f )
∂g
∂f1
∂g
∂fm
(a) =
(b)
(a) + · · · +
(b)
(a)
∂xi
∂y1 ∂xi
∂ym
∂xi
(6)
Demostración. Si m = n = 1 en (6) tenemos un único sumando, obteniendo la regla
de la cadena para funciones de una sola variable.
Demostraremos que g ◦ f verifica la definición 2.5; al calcular el vector A de la
definición obtenemos (6).
Como fj es diferenciable en a, existe rj : B ∗ (0, ϵj ) → R tal que si a+h ∈ B(a, ϵj ),
tenemos
fj (a + h) − fj (a) =
n
∑
∂f
∂xj
i=1
rj (h)
=0
h→0 ∥h∥
(a)hi + rj (h), con lı́m
(7)
Designemos ω1 = f1 (a + h) − f1 (a), . . . , ωm = fm (a + h) − fm (a) y sea
ω = (ω1 , . . . , ωm ) = f (a + h) − f (a)
como ω + b = ω + f (a) = f (a + h) ∈ V , aplicando la definición de diferenciabilidad,
ahora a la función g, existe s : B ∗ (0, δ) → R tal que
g(b + ω) − g(b) =
m
∑
∂g
j=1
∂yj
(b)ωj + s(ω) con lı́m
s(ω)
ω→0 ∥ω∥
=0
(8)
Sustituyendo en (8) el factor ωj = fj (a + h) − fj (a) para j = 1, . . . , m calculado en
(7), tenemos
(g ◦ f )(a + h) = g(f (a + h)) = g(ω + b)
[ n
]
m
∑
∑
∂g
∂fj
= g(b) +
(b)
(a)hi + rj (h) + s(ω)
∂yj
∂xi
j=1
i=1
21
Como g(b) = g(f (a)) = (g ◦ f )(a), cambiando el orden en la suma doble e introduciendo la función auxiliar q(h), podemos escribir
[ m
]
n
∑
∑ ∂g
∂fj
(g ◦ f )(a + h) = (g ◦ f )(a) +
(b)
(a) hi + q(h)
(9)
∂y
∂x
j
i
i=1
j=1
donde q(h) está definida por
q(h) =
m
∑
∂g
j=1
∂yj
(b)rj (h) + s(ω)
(10)
Las constantes en (9) cumplen con la fórmula (6). Para obtener la diferencial resta
verificar que
q(h)
∥ω∥ s(ω)
lı́m
= lı́m
=0
h→0 ∥h∥
h→0 ∥h∥ ∥ω∥
Veamos primero que ∥ω∥
está acotado. Tenemos
∥h∥
n
n
∑
∑
∥ωj ∥
∂fj
hi
rj (h)
∥hi ∥
rj (h)
∂fj
=
(a)
+
(a)
+
≤
∥h∥
∂xi
∥h∥
∥h∥
∂xi
∥h∥
∥h∥
i=1
i=1
|hi |
j
≤ 1 y lı́mh→0 ∥h∥
= 0, resulta que ∥ω∥
está acotado. Finalmente, si
. Como ∥h∥
∥h∥
h → 0 y ω → 0, de la definición (10) obtenemos que
r (h)
q(h)
=0
h→0 ∥h∥
lı́m
con lo que concluye la demostración.
En la practica, es frecuente la situación en la cual las funciones f1 , . . . , fm , g tienen derivadas parciales continuas (es decir son de clase C 1 ) en U . Sabemos entonces
que son diferenciables, y se aplica la regla de la cadena en todos los puntos de U ,
obteniendo para v = (x1 , . . . , xn )
∂(g ◦ f )
∂g
∂f1
∂g
∂fm
(v) =
(f (v))
(v) + · · · +
(f (v))
(v)
∂xi
∂y1
∂xi
∂ym
∂xi
para cada i = 1, . . . , n lo que muestra que lass derivadas parciales de g ◦ f son
también funciones continuas, por ser composición, producto y sumas de funciones
continuas. En otras palabras, la composición de funciones de clase C 1 es una función
de clase C 1 .
Observación 4.1. Cuando n = 1 la primer función es una curva.
Si denotamos la misma como γ : I → Rn donde I es un intervalo abierto de la
recta real R, dada por la expresión γ = γ(t) = (x1 (t), x2 (t), . . . , xn (t)), si además
adoptamos la notación para la derivada respecto al parámetro t en un punto a, como
(a), se sabe que el vector tangente a la curva (y también velocidad de la
γ̇(a) = ∂γ
∂t
curva) es:
γ̇(a) = (x˙1 (a), . . . , x˙n (a))
donde ẋi (a) son las derivadas respecto de t de las funciones reales x1 , . . . , xn .
22
Sea f : U ⊆ Rn → R una función escalar definida en el abierto U de Rn ,
entonces si γ(I) ⊆ U , podemos definir la función compuesta g = f ◦ γ en I mediante
la ecuación
g(t) = f (γ(t)) si t ∈ I
Sea t un punto de I donde cada una de las coordenadas de γ es diferenciable en
ese punto t y supongamos que f es diferenciable en γ(t). Entonces por el Teorema
anterior existe g ′ (t) y es igual al producto escalar
g ′ (t) = ∇f (γ(t)) · γ̇(t)
Ejemplo 4.1. Sea f : U ⊆ R2 → R la función dada por la expresión f (x, y) = x2 +
3y 2 , y sea γ : V ⊆ R2 → R dada por γ(t) = (et , cos t), podemos aplicando la fórmula
vista en la observación anterior obtener la derivada de la función f ◦ γ : V ⊆ R → R,
ası́
∂
(f ◦ γ)(t) = ∇f (γ(t)) · γ̇(t)
∂t
calculemos primero el gradiente de f
∇f (x, y) = (2x, 6y) ⇒ ∇f (γ(t)) = (2et , 6 cos t)
y como γ̇(t) = (et , − sen t), se tiene
∂
(f ◦ γ)(t) = ∇f (γ(t)) · γ̇(t) = (2et , 6 cos t) · (et , − sen t)
∂t
= 2e2t − 6 sen t cos t
Se puede llegar al mismo resultado haciendo primero la composición f (γ(t)) =
f (et , cos t) = e2t + 3cos2 t y derivamos directamente en ella como se comprueba
fácilmente.
Definición 4.1. Dado un conjunto M ⊆ Rn y un punto a ∈ M definimos el espacio
tangente a M en a, que denotamos como Ta M , como el conjunto de los vectores
tangentes en a a las curvas contenidas en M que pasan por a, es decir
Ta M = {v ∈ Rn : ∃γ : (−ϵ, ϵ) → M, γ(0) = a, γ̇(0) = v}
Definición 4.2. Consideremos una función f : U → R, donde U es abierto de Rn ,
y un real c. Llamamos conjunto de nivel c de f al conjunto M de los puntos x ∈ U
tales que f (x) = c, es decir que M = f −1 (c). Si n = 2, 3 llamamos respectivamente
curva de nivel, superficie de nivel a los conjuntos de nivel recién definidos.
Proposición 4.2. Sea f : U → R de clase C 1 en U , abierto de Rn . Dado c ∈ R
consideremos M = f −1 (c), el conjunto de nivel c de f , y un punto a ∈ M , tal que
∇f (a) ̸= 0. Entonces todo vector v ∈ Ta M es v ⊥ ∇f (a).
Demostración. La prueba es muy sensilla, para c ∈ R, sea M = f −1 (c) y consideremos v ∈ Ta M , entonces existe γ : (−ϵ, ϵ) → M tal que γ(0) = a y γ̇(0) = v. Como
(f ◦ γ)(t) = f (γ(t)) = c, según la regla de la cadena, si derivamos, se tiene
0=
∂
(f ◦ γ)(0) = ∇f (γ(0)) · γ̇(0) = ∇f (a) · v
∂t
de donde v ⊥ ∇f (a).
Luego el gradiente ∇f (a) es perpendicular a la velocidad γ̇(0) (vector tangente a
la curva) en el punto a = γ(0) de cualquier camino diferenciable γ (curva) contenido
en el conjunto de nivel de f que contiene a a. Dichos de otra forma el gradiente es
ortogonal al conjunto de nivel.
23
Ejemplo 4.2. Sea f : R2 → R definida por f (x, y) = ax + by donde a2 + b2 ̸= 0.
Las curvas de nivel de f son las rectas definidas por la ecuación ax + by = c, para
cualquier c real. El vector gradiente de f es constante: ∇f (x, y) = (a, b) en cualquier
punto (x, y) ∈ R2 . Ası́ las curvas de nivel de f son todas las rectas perpendiculares
al vector (a, b); tales rectas son, evidentemente paralelas unas a otras.
Ejemplo 4.3. Sea f : R2 → R definida por f (x, y) = x2 + y 2 , las curvas de nivel c
de la función f son las soluciones de la ecuación x2 +y 2 = c, estas son vacı́as si c < 0,
la curva de nivel cero se reduce a un punto
√ (0, 0), y para c > 0 la curva de nivel c
es un cı́rculo de centro el origen y radio c. El vector gradiente de f en un punto
genérico es ∇f (x, y) = (2x, 2y), es paralelo al radio, como era de esperar, pues el
radio es perpendicular a todo vector tangente al cı́rculo en uno de sus puntos.
Ejemplo 4.4. Sea f : R2 → R, dada por la expresión f (x, y) = x2 − y 2 , las curva
de nivel c son hipérbolas cuando c ̸= 0. En el caso c > 0, la hipérbola x2 − y 2 =
c tienen como eje el eje de las abscisas, cuando c < 0 el eje de la hipérbola es
el de las ordenadas. Para c = 0, la curva de nivel x2 − y 2 = 0 consiste en dos
rectas perpendiculares que se cortan en el origen. El gradiente ∇f (x, y) = (2x, −2y).
Sustituyendo por valores particulares de x e Y se puede observar que ese vector
es perpendicular a la curva de nivel que pasa por (x, y), e indica la dirección de
crecimiento de f .
5.
Derivadas de orden superior
Consideremos f : U → R diferenciable en cada punto del abierto U ⊆ Rn . Para
cada natural i = 1, . . . , n tenemos definida la función
∂f
:U →R
∂xi
Nos planteamos estudiar las derivadas parciales de estas funciones.
Definición 5.1. Es ası́ que definimos, cuando existe el lı́mite, la j−ésima derivada
∂f
parcial de ∂x
en un punto a ∈ U , como
i
∂
∂xj
(
∂f
∂xi
)
(a) =
∂2f
(a)
∂xi ∂xj
que llamamos derivada segundade f con respecto a xi y xj en el punto a. Cuando
derivamos por segunda vez con respecto de la misma variable, escribimos indistintamente
∂ 2f
∂ 2f
=
∂x2i
∂xi ∂xi
Si n = 2 también escribimos
∂2f
= fxx ;
∂x2
∂2
= fxy ;
∂x∂y
∂2f
= fyy
∂y 2
En forma análoga se definen las derivadas tercera, cuarta, etc. que llamaremos derivadas de orden superior.
24
El teorema de Schwarz asegura que mediante algunas hipótesis naturales, el orden
en que se toman las derivadas parciales no influye en el resultado final. Es decir que
las derivadas que llamamos cruzadas cumplen:
∂ 2f
∂ 2f
=
∂xi ∂xj
∂xj ∂xi
Hay diferentes enunciados para este teorema, nosotros veremos dos.
Teorema 5.1. Teorema de Schwarz I Sean U abierto de Rn , f : U → R. Su2f
∂2f
pongamos que las derivadas cruzadas ∂x∂i ∂x
,
están definidas en una bola
∂x
j
j ∂xi
B(a, ϵ) ⊆ U , y que son continuas en el punto a. Entonces ambas derivadas coinciden en a.
Demostración. Por simplicidad en la notación, y sin pérdida de generalidad, supondremos que n = 2 y a = (x0 , y0 ). Para h suficientemente pequeño, tal que
(x0 + h.y0 + h) ∈ B(a, ϵ), definimos
ψ(x) = f (x, y0 + h) − f (x, y0 )
(11)
de forma que
φ(h) = f (x0 + h, y0 + h) − f (x0 + h, y0 ) − f (x0 , y0 + h) + f (x0 , y0 )
= ψ(x0 + h) − ψ(x0 ).
Llamamos a φ(h) el incremento doble de la función f en el rectángulo [x0 , x0 + h] ×
[y0 , y0 + h]. La función ψ es derivable en el intervalo [x0 , x0 + h], y por el teorema
del valor medio, existe θ1 ∈ (0, 1) tal que
ψ(x0 + h) − ψ(x0 ) = ψ ′ (x0 + θ1 h)h,
por lo que, derivando en (11), obtenemos
ψ ′ (x) =
luego
∂f
∂f
(x, y0 + h) −
(x, y0 )
∂x
∂x
]
∂f
∂f
ψ (x0 + θ1 h)h =
(x0 + θ1 h, y0 + h) −
(x0 + θ1 h, y0 ) h = φ(h)
∂x
∂x
[
′
para este último incremento de la función fx , aplicamos nuevamente el teorema del
valor medio (la existencia de fxy asegura la derivabilidad de fx con respecto a y),
para obtener la existencia de θ2 ∈ (0, 1), tal que
φ(h) =
∂ 2f
(x0 + θ1 h, y0 + θ2 h)h2 .
∂x∂y
De la continuidad de fxy en (x0 , y0 ) obtenemos que
∂2f
φ(h)
=
(x0 , y0 ).
h→0 h
∂x∂y
lı́m
El resto de la demostración consiste en ver que cambiando el rol de x por el de y,
este mismo lı́mite es igual a la otra derivada cruzada. Definimos entonces
ϕ(y) = f (x0 + h, y) − f (x0 , y),
25
de forma que el mismo incremento doble verifica
φ(h) = ϕ(y0 + h) − ϕ(y0 ).
Los mismos argumentos nos permiten obtener
φ(h)
∂ 2f
=
(x0 , y0 )
h→0 h
∂y∂x
lı́m
lo que concluye la demostración.
El siguiente teorema permite derivar bajo el signo de integración. Si bien se
utiliza para dar otra demostración del Teorema de Schwarz, tiene relevancia por
sı́ mismo.
Teorema 5.2. Sea f : U × [a, b] → R, donde U es un abierto de Rn , y se verifica:
1. Para cada x ∈ U fijo, la función de una variable f (x, t) es integrable en el
intervalo [a, b].
∂f
2. ∂x
existe y es una función continua en U × [a, b].
i
Entonces la función φ : U → R definida mediante
∫ b
φ(x) =
f (x, t)dt
a
tiene derivada parcial i−ésima en U , que verifica
∫ b
∂φ
∂f
(x) =
(x, t)dt.
∂xi
a ∂xi
Demostración. Tenemos que ver que, para un x arbitrario en U , se verifica
∫ b
φ(x + hei ) − φ(x)
∂f
lı́m
=
(x, t)dt.
h→0
h
a ∂xi
Sea ϵ > 0. Tomemos h suficientemente pequeño tal que x + hei ∈ U . En primer
lugar,
]
∫ b
∫ b[
φ(x + hei ) − φ(x)
∂f
∂f
f (x + hei , t) − f (x, t)
−
(x, t)dt =
−
(x, t) dt.
h
h
∂xi
a ∂xi
a
Por el teorema del valor medio, existe θ ∈ (0, 1) tal que
f (x + hei , t) − f (x, t) = h
∂f
(x + hei , t)
∂xi
∂f
Por otra parte, al ser ∂x
una función continua en el conjunto [x, x + hei ] × [a, b]
i
compacto, obtenemos la continuidad uniforme, donde existe δ > 0 tal que si |h| < δ
tenemos
ϵ
∂f
∂f
(y, t) −
(x, t) <
, ∀(y, t) ∈ [x, x + hei ] × [a, b].
∂xi
∂xi
b−a
Sustituyendo, obtenemos
]
∫ b[
∫ b
∂f
f (x + hei , t) − f (x, t)
∂f
∂f
−
(x, t) dt ≤
(x + θhei , t) −
(x, t) dt
h
∂xi
∂xi
∂xi
a
a
< ϵ,
completando la demostración.
26
Teorema 5.3. Teorema de Schwarz II Sea f : U → R, con U abierto de Rn .
∂f
Supongamos que existe la derivada ∂x
y que existen y son continuas las derivadas
j
∂f
∂xi
2
2
f
f
y ∂x∂i ∂x
en todo U . Entonces, existe ∂x∂j ∂x
y verifica
j
i
∂ 2f
∂ 2f
=
∂xi ∂xj
∂xj ∂xi
en todos los puntos de U .
Demostración. Por simplicidad en la notación, y sin pérdida de generalidad, supongamos que n = 2, a = (x0 , y0 ). Como U es abierto, existen intervalos I, J centrados
en x0 e y0 respectivamente, y tales que I ×J ⊆ U . Si x ∈ I e y ∈ J, podemos escribir
∫ x
∂f
f (x, y) = f (x0 , y) +
(t, y)dt.
x0 ∂x
La continuidad de fxy nos permite aplicar el teorema anterior, obteniendo
∫ x 2
∂f
∂f
∂ f
(x, y) =
(x0 , y) +
(t, y)dt
∂y
∂y
x0 ∂x∂y
| {z }
no depende de x
Derivando respecto a x y mediante el teorema fundamental del cálculo, se tiene la
tesis.
Observación 5.1. El teorema de Schwarz se aplica también para derivadas de orden
superior, obteniendo, por ejemplo para las derivadas terceras de f (x, y), que
∂ 3f
∂3f
∂ 3f
=
=
∂x∂x∂y
∂∂y∂x
∂y∂x∂x
cuando U es abierto en R2 , y f : U → R verifica las hipótesis correspondientes.
Ejemplo 5.1. Veamos que la función f : R2 → R definida por
{
xy(x2 −y 2 )
si (x, y) ̸= 0
x2 +y 2
f (x, y) =
0
si (x, y) = 0
tiene derivadas cruzadas distintas en el origen. En efecto, si y = 0 tenemos
f (x, 0) − f (0, 0)
∂f
(0, 0) = lı́m
=0
x→0
∂x
x
Si y ̸= 0, tenemos
∂f
f (x, y) − f (0, y)
y(x2 − y 2 )
(0, y) = lı́m
= lı́m
= −y
x→0
x→0 x2 + y 2
∂x
x
Por eso,
∂
∂y
(
∂f
∂x
)
fx (0, y) − fx (0, 0)
= −1
x→0
y
(0, 0) = lı́m
Cálculos similares muestran que
∂
∂x
(
∂f
∂y
)
(0, 0) = 1.
27
6.
Fórmula de Taylor
Lo que hasta ahora denotamos con df |a lo denotamos, por comodidad como dfa .
Definición 6.1. Sea f : U ⊆ Rn → R. Si existen todas las derivadas de segundo
orden de f en un punto a del abierto U de Rn , llamamos diferencial segundo de f
en a, y lo designamos d2 fa , a la función
d2 fa : Rn → R
n
∑
∂ 2f
(a)vi vj
v
∂xi ∂xj
i,j
para todo v = (v1 , . . . , vn ) ∈ Rn .
∑
2f
(a)vi vj
Es decir que d2 fa (v) = ni,j ∂x∂i ∂x
j
Observación 6.1. Observemos que la diferencial segunda es un polinomio homogéneo de segundo grado en las variables v1 , . . . , vn . Podemos escribir
 ∂2f


2f
(a) · · · ∂x∂1 ∂x
v
1
∂x1 ∂x1
n

  .. 
..
..
t
...
d2 fa (v) = (v1 , . . . , vn ) 
  .  = vHv
.
.
2
2
∂ f
f
vn
(a) · · · ∂x∂ ∂x
∂x ∂x
n
n
1
n
donde v t es el vector traspuesto de v, y la matriz correspondiente H la llamamos
matriz Hessiana o hessiano.
Cuando estamos en las hipótesis del teorema de Schwarz, las derivadas cruzadas
2f
∂2f
coinciden, es decir ∂x∂i ∂x
(a)
=
(a). En este caso el Hessiano es una matriz
∂x
j
j ∂xi
simétrica, y por lo tanto, la diferencial segunda es una forma cuadrática, que llamamos la Hessiana de f en a
Ejemplo 6.1. Por ejemplo si n = 2 y v = (h, k), y las derivadas cruzadas coinciden
en un punto a ∈ U , tenemos
d2 fa (h, k) =
∂ 2f
∂ 2f
∂ 2f
2
(a)h
+
2
(a)hk
+
(a)k 2 .
2
2
∂x
∂x∂y
∂y
Definición 6.2. Si existen todas las derivadas parciales de orden 3 de f : U → R
en a ∈ U , definimos la diferencial tercero de f en el punto a, que designamos d3 fa ,
a la función
d3 fa : Rn → R
∑
v
∂3f
(a)vi vj vk ,
∂x
i ∂xj ∂xk
i,j,k
para todo v = (v1 , . . . , vn ) ∈ Rn . Análogamente definimos la diferenciales de orden
superior p = 4, 5, . . . que resultan ser polinomios homogéneos de grado p, por lo que
verifica
dp fa (tv) = tp dp fa (v).
Teorema 6.1 (Teorema de Taylor). Sean f : U → R, y a ∈ U , donde U es un
abierto de Rn .
28
(a) Supongamos que f es de clase C p en B(a, ϵ) ⊆ U y que las derivadas parciales
de orden p son funciones diferenciables en la misma bola. Entonces, para cada
v ∈ Rn con a + v ∈ B(a, ϵ), existe θ ∈ (0, 1) tal que
f (a + v) = f (a) +
p
∑
1
i=1
i!
di fa (v) +
1
dp+1 fa+θv (v).
(p + 1)!
(12)
(b) Si además se verifica que las derivadas parciales de orden p + 1 son funciones
continuas en a, entonces vale
f (a + v) = f (a) +
p+1
∑
1
i=1
i!
r(v)
= 0.
v→0 ∥v∥p+1
di fa (v) + r(v), con lı́m
Demostración. Sea v = (v1 , . . . , vn ) tal que a + v ∈ B(a, ϵ) y γ : [0, 1] → Rn dada
por γ(t) = a + tv. Si definimos ϕ : [0, 1] → R mediante ϕ(t) = (f ◦ γ)(t) = f (a + tv),
tenemos ϕ(0) = f (a), ϕ(1) = f (a + v). Como f es de clase C p , nos asegura que ϕ es
de clase C p . Como las derivadas de f de orden p son diferenciables, ϕ(p) es derivable
en [0, 1] y por lo tanto continua. Aplicando la fórmula de Taylor para funciones de
una variable a la función ϕ en el intervalo [0, 1], obtenemos que existe θ ∈ (0, 1) tal
que
p
∑
1 (i)
1
ϕ(1) = ϕ(0) +
ϕ (0) +
ϕ(p+1) (θ).
(13)
i!
(p
+
1)!
i=1
La fórmula (12) a obtener, es esta misma ecuación escrita en términos de f . Para
ver esto aplicamos la regla de la cadena a la función compuesta ϕ(t) = (f ◦ γ)(t) =
f (a + tv) para obtener
′
ϕ (t) =
n
∑
∂f
i=1
∂xi
(a + tv)vi = dfa+tv (v), ⇒ ϕ′ (0) = dfa (v).
Derivando nuevamente
′′
ϕ (t) =
n
∑
∂ 2f
(a + tv)vi vj = d2 fa+tv (v), ⇒ ϕ′′ (0) = d2 fa (v)
∂x
∂x
i
j
i,j=1
Análogamente obtenemos ϕ(k) (0) = dk fa (v) para k = 3, . . . , p y también ϕ(p+1) (θ) =
dp+1 fa+θv (v), lo que sustituyendo en (13) da la fórmula (12).
Veamos ahora la parte (b).
(p + 1)!
r(v)
dp+1 fa+θv (v) − dp+1 fa (v)
=
∥v∥p+1
∥v∥p+1
n
∑
|v11 . . . vip+1 |
∂ p+1 f
∂ p+1 f
≤
(a + θv) −
(a)
∂xi1 . . . ∂xip+1
∂xi1 . . . ∂xip+1
∥v∥p+1
i ,...,i
=1
1
≤
p+1
n
∑
i1 ,...,ip+1
∂ p+1 f
∂ p+1 f
(a + θv) −
(a) → 0
∂x
.
.
.
∂x
∂x
.
.
.
∂x
i
i
i
i
1
p+1
1
p+1
=1
si v → 0 por la continuidad de las derivadas de orden p + 1 en a, completando la
demostración.
29
Ejemplo 6.2. Dada f (x, y) con derivadas primeras continuas y diferenciales en
alguna bola centrada en a = (x, y) y derivadas segundas continuas en a, del teorema
de Taylor con p = 1, obtenemos que
f (x + h, y + k)−f (x, y) = fx (x, y)h + fy (x, y)k
1
1
+ fxx (x, y)h2 + fxy (x, y)hk + fyy (x, y)k 2 + r(h, k)
2
2
donde
7.
r(h, k)
→ 0 cuando (h, k) → (0, 0).
h2 + k 2
Extremos de funciones de varias variables
Definición 7.1. Sean f : U → R y a ∈ U , abierto de Rn .
1. Decimos que f (a) es un máximo relativo o local de f , o que f presenta un
máximo relativo (o local) en a, si existe una bola B(a, ϵ) ⊆ U tal que
f (a) ≥ f (x) para todo x ∈ B(a, ϵ).
La definición de mı́nimo relativo o local es análoga, es decir si existe una bola
B(a, ϵ) tal que
f (a) ≤ f (x) para todo x ∈ B(a, ϵ).
Si f presenta máximo o mı́nimo relativo, decimos que f presenta extremo
relativo (o local) en a.
2. Si en a ∈ U se verifica
f (a) ≥ f (x) para todo x ∈ U,
decimos que f (a) es el máximo absoluto de f en U , o que f presenta su máximo
absoluto en a, con el valor f (a). (Análogamente se define el mı́nimo absoluto
en U .)
Teorema 7.1 (Condición necesaria de extremo). Si f : U → R presenta extremo
relativo en un punto a del abierto U ⊆ Rn , en el que existe la i−ésima derivada
parcial, entonces esta derivada es nula.
Demostración. Supongamos, por ejemplo, que f presenta máximo relativo en a =
(a1 , . . . , an ), y que existe su derivada parcial i−ésima. Entonces, como existe una
bola B(a, ϵ) ⊆ U tal que
f (a) ≥ f (x) para todo x ∈ B(a, ϵ),
en particular se verifica
f (a1 , . . . , ai , . . . , an ) ≥ f (a1 , . . . , xi , . . . , an ) ∀xi ∈ (ai − ϵ, ai + ϵ).
(14)
El lı́mite del cociente incremental
f (ai , . . . , xi , . . . , an ) − f (a1 , . . . , ai , . . . , an )
lı́m
=L
(15)
xi →a
xi − a
porque existe la derivada i−ésima. Si L > 0 el cociente es positivo en algún intervalo
ai < xi < ai + δ (por el teorema de conservación del signo para el lı́mite), y el
numerador en (15) es positivo, lo que contradice (14). Si L < 0 el mismo argumento
∂f
para ai − δ < xi < ai produce también una contradicción, por lo que L = ∂x
(a) = 0.
i
El caso de mı́nimo relativo es análogo.
30
Observación 7.1. Una demostración alternativa se obtiene observando que la función de una variable φ(x) = f (a1 , . . . , x, . . . , an ) presenta un máximo en x = ai y
aplicando la condición necesaria de extremo para funciones de una variable, dado
que
∂f
φ′ (ai ) =
(a).
∂xi
El teorema anterior nos da una herramienta para la búsqueda de extremos de
una función. Si sabemos que existe alguna derivada parcial, y que no se anula en un
punto a, sabemos que en a no hay extremo relativo. De otra forma, si existen todas
las derivadas parciales en un dominio U , los extremos se presentan únicamente en
los puntos donde se anulan todas las derivadas parciales. Estos puntos se denominan
puntos crı́ticos, y son los “candidatos” a ser extremos relativos, y absolutos, más
precisamente definimos
Definición 7.2. Dada un a función f : U ⊆ Rn → R, de clase C 2 en el abierto U ,
∂f
se dice que a es un punto crı́tico si para cada i = 1, . . . , n ∂x
(a) = 0 o no existen.
i
Definición 7.3. Llamamos punto de ensilladura o más brevemente punto silla a un
punto crı́tico que no es ni máximo ni mı́nimo.
El problema que estudiaremos a continuación es cómo reconocer si un punto
crı́tico es máximo relativo, mı́nimo relativo, o punto silla.
Teorema 7.2 (Criterio de clasificación de puntos crı́ticos). Sean f : U → R y a ∈ U
un punto crı́tico de f . Supongamos que f es de clase C 2 en alguna bola B(a, ϵ) ⊆ U .
Entonces
(a) Si todos los valores propios de la matriz Hessiana son positivos (es decir, si la
forma cuadrática d2 fa es definida positiva), f presenta mı́nimo relativo en a.
(b) Si todos los valores propios de la matriz Hessiana son negativos (es decir, si
d2 fa es una forma cuadrática definida negativa), f presenta máximo relativo
en a
(c) Si existen valores propios de la matriz Hessiana positivos y negativos (es decir
d2 fa es una forma cuadrática indefinida), f presenta punto silla en a.
Observación 7.2. El teorema no analiza los casos en que existe algún valor propio
nulo del Hessiano, y todos los demás tienen signo constante, (correspondiente a los
casos en que d2 fa es una forma cuadrática semidefinida positiva o negativa). En
estos casos decimos que el criterio no clasifica al punto crı́tico.
Ejemplo 7.1. Consideremos f : R2 → R dada por f (x, y) = x2 + y 3 . Es fácil ver
que f presenta un punto silla en (0, 0). Su matriz Hessiana en el punto (0, 0) tiene
la forma
(
)
2 0
0 0
con valores propios 2 y 0. Por su parte, la función g : R2 → R dada por g(x, y) =
x2 + y 4 presenta mı́nimo relativo (y absoluto) en (0, 0), y tiene la misma matriz
Hessiana en el punto (0, 0). Esto muestra que con el análisis de la matriz hessiana
no es suficiente para clasificar todos lo puntos crı́ticos.
31
Demostración. Veamos (a). Estamos en las hipótesis de la parte (b) del teorema de
Taylor con p = 1. Existe ϵ > 0 tal que si a + v ∈ B(a, ϵ) ⊆ U tenemos
1
f (a + v) − f (a) = dfa (v) + d2 fa (v) + r(v),
2
r(v)
donde limv→0 ∥v∥
2 = 0. Como a es punto crı́tico dfa (v) = 0, y si v ̸= 0, podemos
escribir
(
)
1 2
v
r(v)
2
f (a + v) − f (a) = ∥v∥
d fa (
)+
(16)
2
∥v∥
∥v∥2
Estudiemos el signo del diferencial segundo. Como H es una matriz real y simétrica,
existe una base ortonormal de vectores propios de H, que designamos {α1 , . . . , αn }
con valores propios λ1 , . . . , λn . Dado x ̸= 0 ∈ Rn , podemos escribir x = a1 α1 + · · · +
an αn , y tenemos
)
) ( n
( n
n
∑
∑
∑
t
2
t
ai aj αi Hαjt
d fa (x) = xHx =
ai αi H
aj αj =
j=1
i=1
=
n
∑
ai aj λj αi αjt =
i,j=1
n
∑
i,j=1
(17)
λi a2i
i,j=1
y d2 fa (x) > 0, porque todos lo valores propios son positivos y algún ai es no nulo.
Consideremos el conjunto compacto S = {x ∈ Rn : ∥x∥ = 1}. Tenemos d2 fa (x) >
0 para todo x ∈ S y, por ser S compacto y d2 fa (x) una función continua en x, f
alcanza su mı́nimo absoluto, que es entonces un número m positivo. En conclusión
v
d2 fa (x) ≥ m > 0 para todo x ∈ S. Si v ̸= 0 ∈ Rn , se tiene x = ∥v∥
∈ S, y
)
(
1 2
v
m
d fa
≥
2
∥v∥
2
r(v)
m
Por otra parte, como lı́mv→0 ∥v∥
2 = 0 y 2 > 0, existe δ > 0 (que podemos elegir de
forma que δ sea menor que el ϵ de la hipótesis) tal que si ∥v∥ < δ, se cumple
−
m
r(v)
m
<
<
2
2
∥v∥
2
Entonces de las dos últimas desigualdades aplicadas en (16) se tiene que en una bola
B(a, δ) ⊆ U , tal que si v ∈ B ∗ (a, δ) se verifica f (a + v) > f (a), demostrando que f
presenta un mı́nimo relativo en a.
La demostración de (b) es análoga. Para demostrar (c) observemos que la forma
cuadrática d2 fa (x) que es una función continua, restringida a S (que es compacto)
alcanza su mı́nimo m y su máximo M en versores x e y, y se cumple m < 0 < M ,
como resulta de (17), dado que d2 fa (αi ) = λi , y que existen valores propios positivos
y negativos.
En todos los vectores de la forma v = tx (con t ̸= 0) el primer sumando de la
derecha en (16) verifica
(
)
v
1 2
m
d fa
<0
=
2
∥v∥
2
y como el segundo sumando tiende a cero, en todo entorno de a existen puntos
tales que f (a + v) < f (a) (tomando t suficientemente pequeño). Análogamente en
cualquier entorno de a existen puntos de la forma v = ty en donde f (a + v) > f (a),
por lo que f no presenta ni mı́nimo ni máximo en a, es decir, presenta un punto de
ensilladura.
32
Observación 7.3. Un punto clave es la matriz Hessiana H pues en ella está contenida la información para concluir si el punto crı́tico es un mı́nimo, máximo o punto
silla. Según el signo de los valores propios, y por lo tanto según el signo de la forma
cuadrática d2 fa , ahora hay otro criterio para determinar cuándo la forma cuadrática d2 fa es definida positiva o definida negativa en términos de los elementos de la
matriz Hessiana (sin calcular valores propios).
Dada una matriz cuadrada A = (aij ) con i, j = 1, . . . , n, se consideran las submatrices angulares Ak , con k = 1, 2, . . . , n definidas como


(
)
a11 a12 a13
(
)
a11 a12
A1 = a11 , A2 =
, A3 =  a21 a22 a23  , . . . , An = A
a21 a22
a31 a32 a33
Es decir, la matriz Ak está formada por los elementos de la matriz A que están en
su “ángulo superior izquierdo”, incluyendo k filas y k columnas de ella. Se define
∆k = det Ak . Se tiene entonces que la forma cuadrática vHv t es definida positiva
(definida negativa) si y sólo si todos los determinantes ∆1 , . . . , ∆n son números
positivos (los determinantes tienen signos alternados empezando con ∆1 < 0, ∆2 >
0, . . . , respectivamente). De esta forma tenemos el siguiente criterio
1. Si todas las submatrices angulares de la matriz Hessiana H tienen determinantes positivos, entonces la función f tiene un mı́nimo local en a
2. Si las submatrices angulares de la matriz Hessiana H tienen determinantes
de signo alternado (comenzando con un valor negativo), entonces la función f
tiene un máximo local en a.
La demostración de la propiedad anterior se puede ver en Algebra Lineal de
Claudio Pita Ruiz.
Veamos ahora que ocurre cuando n = 2
Corolario 7.3 (Clasificación de puntos crı́ticos en R2 ). Sean f : U → R, a ∈
U ⊂ R2 un punto crı́tico de f . Supongamos que f es de clase C 2 en alguna bola
B(a, ϵ) ⊆ U . Sea
(
)
fxx (a) fxy (a)
H=
fyx (a) fyy (a)
Entonces
(a) Si det(H) > 0 y fxx (a) > 0 f presenta mı́nimo relativo en a
(b) Si det(H) > 0 y fxx (a) < 0, f presenta máximo relativo en a.
(c) Si det(H) < 0, f presenta punto silla en a.
Demostración. Como H es una matriz simétrica y real, tiene valores propios reales λ1
y λ2 , como se puede verificar directamente, calculando las raı́ces de det(H −λId) = 0.
Sabemos que
2
(a) = λ1 λ2 ,
(18)
det(H) = fxx (a)fyy (a) − fxy
tr(H) = fxx (a) + fyy (a) = λ1 + λ2 .
(19)
Si det(H) > 0 de (18) obtenemos que los valores propios tienen el mismo signo.
2
(a) ≥ 0, y las derivadas segundas fxx (a), fyy (a) tienen
Además fxx (a)fyy (a) > fxy
igual signo. Entonces si fxx (a) > 0, en vista de (19) la traza tr(H) resulta positiva,
33
y ambos valores propios son positivos. Se aplica entonces (a) en el teorema 7.2, para
obtener (a) en el corolario. El caso (b) es análogo. Si det(H) < 0 los valores propios
son de signo opuesto, y se aplica (c) del teorema 7.2 para completar la demostración
del corolario.
Veamos ahora algunos ejemplos.
Ejemplo 7.2. Sea f : R2 → R la función dada por
f (x, y) = 2(x − 1)2 + 3(y − 2)2
los puntos crı́ticos de f son soluciones del sistema
{
fx = 4(x − 1) = 0
fy = 6(y − 2) = 0
que tiene por solución x = 1 e y = 2. Entonces el único punto crı́tico de la función
es el punto (1, 2). La matriz Hessiana de f es
(
) (
)
fxx fxy
4 0
=
H=
fyx fyy
0 6
que en (1, 2) es ella misma. Se ve que los valores propios de esta matriz son 4 y 6
(ambos positivos) o bien, que los determinantes de la submatrices angulares son 4
y 24 (también ambos positivos) por lo que concluimos que la función f tiene en el
punto (1, 2) un mı́nimo relativo.
Ejemplo 7.3. Sea f : R3 → R la función dada por
f (x, y, z) = e−x + e−y + z 2
2
2
entonces la solución del sistema

2
 fx = −2xe−x = 0
2
f = −2ye−y = 0
 y
fz = 2z = 0
tiene como única solución el punto (0, 0, 0). La matriz Hessiana es
 


2
(4x2 − 2)e−x
0
0
fxx fxy fxz
2
H =  fyx fyy fyz  = 
0
(4y 2 − 2)e−y 0 
fzx fzy fzz
0
0
2
que en el origen es


−2 0 0
H =  0 −2 0 
0
0 2
Los valores propios de la matriz son −2 y 2, por lo que la función f tiene un punto
silla en el origen.
Ejemplo 7.4. Consideremos la función f : R3 → R dada por
f (x, y, z) = sen x + sen y + sen z − sen(x + y + z)
34
Esta función es diferenciable y tiene sus derivadas parciales de todos los ordenes
continuas en todo R3 .
El punto ( π2 , π2 , π2 ) es solución del sistema

 fx = cos x − cos(x + y + z) = 0
fy = cos y − cos(x + y + z) = 0

fz = cos z − cos(x + y + z) = 0
por lo que es un punto crı́tico de f .En ese punto la matriz Hessiana de f es


−2 −1 −1
 −1 −2 −1 
−1 −1 −2
Los determinantes de las submatrices angulares son
(
)
−2 −1
∆1 = −2, ∆2 = det
= 3, ∆3 = det H = −4
−1 −2
Puesto que son de signos alternados (con ∆1 < 0) concluimos que la función f
tiene en ( π2 , π2 , π2 ) un máximo local. Dicha conclusión se puede obtener también con
el estudio de los valores propios, ya que det(H − λId) = −λ3 − 6λ2 − 9λ − 4 =
−(λ + 1)2 (λ + 4) y por lo tanto tiene como valores propios −1 y −4 que son ambos
negativos. Se tiene un máximo relativo en ( π2 , π2 , π2 ) y este vale f ( π2 , π2 , π2 ) = 4.
Ahora veremos un ejemplo donde un valor propio de la matriz Hessiana en un
punto crı́tico sea nulo.
Ejemplo 7.5. Sea f : R2 → R la función dada por
f (x, y) = ax2 + by 4
Tenemos que
{
fx = 2ax = 0
fy = 4by = 0
de donde se ve que el origen (0, 0) es el único punto crı́tico de la función. La matriz
Hessiana es
(
) (
)
fxx fxy
2a
0
H=
=
fyx fyy
0 12by 2
que en el origen es
(
H=
2a 0
0 0
)
Se tiene entonces que 0 es un valor propio de la matriz Hessiana. Como dijimos
nada se puede concluir en este caso de la naturaleza del punto crı́tico (0, 0) para la
función f . De hecho, puede ocurrir cualquier cosa en es punto: si a = b = 1, la función
f (x, y) = x2 + y 4 tiene un mı́nimo local en (0, 0), pues es claro que para una bola B
cualquiera de R2 de centro (0, 0) se tiene f (x, y) = x2 +y 4 ≥ 0 = f (0, 0), ∀(x, y) ∈ B;
si a = b = −1, la función f (x, y) = −x2 − y 4 tiene un máximo local en el origen,
pues f (x, y) = −x2 − y 4 ≤ 0 = f (0, 0), ∀(x, y) ∈ B. Si a = −1 y b = 1 la función
f (x, y) = −x2 + y 4 tiene un punto de ensilladura en el origen, pues en cualquier
bola B de R2 con centro en el origen, digamos B = {(x, y) ∈ R2 : x2 + y 2 < ϵ2 } se
tiene puntos (r, 0) y (0, s) de modo que f (r, 0) = −r2 < 0 = f (0, 0) (con r2 < ϵ2 ) y
f (0, s) = s4 > 0 = f (0, 0) (con s2 < ϵ2 ).
35
8.
Funciones implı́citas y aplicaciones
Para funciones reales de una variable real f : I ⊆ R → R, tenemos una representación geométrica de ellas, a saber su gráfico.
Definición 8.1. En el caso de una función de n variables f : U ⊆ Rn → R, definimos
(análogamente al caso de una variable) el gráfico de función f , que denotamos por
Gf , como el conjunto
Gf = {(x1 , . . . , xn , xn+1 ) ∈ Rn+1 : (x1 , . . . , xn ) ∈ U, e xn+1 = f (x1 , . . . , xn )}
Obsérvese que éste es un conjunto del espacio Rn+1 . Ası́ para n = 1, tenemos el
gráfico de la función f : U ⊆ R → R definido como el conjunto del espacio R2
Gf = {(x, y) ∈ R : x ∈ U, y = f (x)}
Si n = 2, el gráfico de f : U ⊆ R2 → R es el conjunto de R3
Gf = {(x, y, z) ∈ R3 : (x, y) ∈ U, z = f (x, y)}
Consideremos un abierto U en R2 , una función F : U → R, y un punto (x0 , y0 )
tal que F (x0 , y0 ) = 0. Queremos averiguar bajo que condiciones esta raı́z de F se
“extiende” al gráfico de un a curva en el conjunto U , es decir, la ecuación F (x, y) = 0
tiene soluciones de la forma (x, f (x) para x ∈ I = (x0 − ϵ, x0 + ϵ), para algún ϵ > 0.
En este caso pensamos que “despejamos” la variable y como función de la variable
x (y = f (x)) de la condición F (x, y) = 0, y decimos que f es la función implı́cita
definida en I por la ecuación F (x, y) = 0.
De otra forma, si sabemos que F (x0 , y0 ) = 0 nos preguntamos si el conjunto
−1
F (0) es el gráfico de alguna función f en un entorno de x0 .
Teorema 8.1 (Teorema de la función implı́cita). Sean (x0 , y0 ) ∈ U ⊆ R2 abierto,
y F : U → R de clase C 1 , tales que F (x0 , y0 ) = 0. Supongamos que Fy (x0 , y0 ) ̸= 0.
Entonces:
(a) Existen intervalos I = (x0 − δ, x0 + δ), J = (y0 − ϵ, y0 + ϵ) tales que I × J ⊆ U ,
y una función f : I → J de clase C 1 tal que
F (x, y) = 0 ⇔ y = f (x) ∀(x, y) ∈ I × J.
(b) Si x ∈ I tenemos
f ′ (x) = −
Fx (x, f (x))
.
Fy (x, f (x))
(20)
Demostración. Supongamos, para fijar ideas, que Fy (x0 , y0 ) > 0. Como Fy es continua existen intervalos = (x0 − δ, x0 + δ), y J = (y0 − ϵ, y0 + ϵ) tales que I × J ⊆ U
y Fy (x, y) > 0 si (x, y) ∈ [x0 − δ, x0 + δ] × [y0 − ϵ, y0 + ϵ].
Entonces para x0 ∈ I la función de una variable F (x0 , y) es estrictamente creciente en el intervalo [y0 − ϵ, y0 + ϵ]. Como F (x0 , y0 ) = 0, tenemos F (x0 , y0 − ϵ) <
0 < F (x0 , y0 + ϵ).
La conservación del signo de la función f en un entorno de los puntos (x0 , y0 − ϵ)
y (x0 , y0 + ϵ) nos asegura (tomando otro δ menor que el anterior, si es necesario)
que, para cada x ∈ [x0 − δ, x0 + δ], tenemos
F (x, y0 − ϵ) < 0 < F (x, y0 + ϵ).
36
Como además cada función ϕx (y) = F (x, y) es continua en J, por la propiedad de
Bolzano-Darboux, existe (para cada x) una raı́z y ∈ J tal que ϕx (y) = F (x, y) = 0.
Definimos f : I → J mediante f (x) = y donde y, es la raı́z hallada para el x
correspondiente. Esto demuestra (a) (falta ver si f es de clase C 1 ).
Veamos (b). Si h ̸= 0 verifica x + h ∈ I tenemos F (x + h, f (x + h)) = 0.
Designamos k = f (x + h) − f (x)y, por el teorema del valor medio aplicado a F en
el intervalo de extremos (x, f (x)) y (x + h, f (x) + k), sabemos que existe θ ∈ (0, 1)
tal que
0 = F (x + h, f (x) + k) − F (x, f (x))
∂F
F
=
(x + θh, f (x) + θk)h +
(x + θh, f (x) + θk)k.
∂x
∂y
Entonces
f (x + h) − f (x)
k
Fx (x + θh, f (x) + θk)
= =−
.
h
h
Fy (x + θh, f (x) + θk)
(21)
La continuidad de las derivadas parciales Fx y Fy nos permite asegurar que existen
constantes M y H > 0 tales que
|Fx (x, y)| ≤ M,
|Fy (x, y)| ≥ M,
para todo (x, y) ∈ [x0 − δ, x0 + δ] × [y0 − ϵ, y0 + ϵ]. Esto nos permite obtener que
|f (x + h) − f (x)| ≤
M
h,
H
de donde resulta la continuidad de la función f en el punto x ∈ I. Es decir, si h → 0
tenemos k → 0. Tomando ahora lı́mite en (21) si h → 0, obtenemos
f (x + h) − f (x)
Fx (x + θh, f (x) + θk)
= − lı́m
h→0
h→0 Fy (x + θh, f (x) + θk)
h
Fx (x + θh, f (x) + θk)
Fx (x, f (x))
= − lı́m
=−
,
(h,k)→(0,0) Fy (x + θh, f (x) + θk)
Fy (x, f (x)
f ′ (x) = lı́m
por la continuidad de las derivadas parciales, obtenemos (27). Para ver si f es de clase
C 1 , observamos que la derivada de f es una función continua por ser composición
de funciones continuas.
Observación 8.1. Observemos que la función del teorema anterior es única, en el
siguiente sentido. Supongamos que existe f0 : I0 → J0 , con I0 , J0 intervalos centrados
en x0 , y0 respectivamente, tales que
F (x, y) = 0 ⇔ y = f0 (x) ∀(x, y) ∈ I0 × J0 .
Sean x ∈ I ∩ I0 , y0f (x), y0 = f0 (x). Si y ̸= y0 , por ejemplo y < y0 , como F (x, y) =
F (x, y0 ) = 0 resulta, por el teorema de Rolle aplicado a ϕx (y) = F (x, y) en el
intervalo [y, y0 ], que existe y tal que Fy (x, y) = 0 contradiciendo Fy > 0 en I × J.
Esto demuestra la unicidad.
Observación 8.2. La fórmula (27) permite obtener que si F es de clase C k , entonces
f es de clase C k , por la regla de la cadena. Veamos como obtener las derivadas
37
segundas de f , suponiendo que F es de clase C 2 . Podemos derivar (27), pero es más
sencillo derivar dos veces la igualdad
F (x, f (x)) = 0 para x ∈ I.
Derivando una vez, obtenemos
Fx (x, f (x)) + Fy (x, f (x))f ′ (x) = 0
que equivale a (27). Derivando nuevamente, obtenemos
Fxx (x, f (x)) + Fxy (x, f (x))f ′ (x) + Fyy (x.f (x))f ′ (x)2 + Fy (x, f (x))f ′′ (x) = 0
de donde, como Fy (x, f (x)) ̸= 0, se obtiene el valor de f ′′ (x).
Con una demostración análoga se obtiene el siguiente teorema.
Teorema 8.2 (Teorema de la función implı́cita en Rn ). Sean (x1 , x2 , . . . , xn , y) ∈ U
abierto de Rn+1 , F : U → R de clase C 1 . Supongamos que F (x1 , x2 , . . . , xn , y) = 0
y que ∂F
(x1 , x2 , . . . , xn , y) ̸= 0. Entonces:
∂y
(a) Existe una bola B = B(a, δ), donde a = (x1 , x2 , . . . , xn ), un intervalo J =
(y − ϵ, y + ϵ), tal que B × J ⊆ U , y una función f : B → J de clase C 1 , tales
que
F (x1 , x2 , . . . , xn , y) = 0 ⇔ y = f (x1 , . . . , xn ) ∀(x1 , . . . , xn , y) ∈ B × J.
(b) Si (x1 , . . . , xn ) ∈ B tenemos
∂F
(x1 , . . . , xn )
∂f
∂xi
(x1 , . . . , xn ) = − ∂F
.
∂xi
(x1 , . . . , xn )
∂y
Es importante observar que el teorema de la función implı́cita se aplica indistintamente a cualquier variable. Elegimos la última para simplificar los enunciados de
los teoremas. Por ejemplo, si F (x0 , y0 , z0 ) = 0 para una función de tres variable de
clase C 1 , y Fx (x0 , y0 , z0 ) ̸= 0, obtenemos que existen una función f de dos variables
tales que F (x, y, z) = 0 ⇔ x = f (y, z). En lo que respecta a las derivadas parciales,
obtenemos
∂f
Fy (f (y, z), y, z)
(y, z) = −
,
∂y
Fx (f (y, z), y, z)
Fx (f (y, z), y, z)
∂f
(y, z) = −
.
∂z
Fx (f (y, z), y, z)
Definición 8.2. Dado un conjunto S ⊆ Rn , no vacı́o, definimos como el ortogonal
a S, que denotamos por S ⊥ , como
S ⊥ = {v ∈ Rn : v ⊥ s ∀s ∈ S}
Una propiedad importante es que S ⊥ es un subespacio vectorial cerrado de Rn , y
que llamamos entonces el subespacio ortogonal a S.
Veamos ahora una aplicación geométrica del teorema de la función implı́cita.
38
Teorema 8.3. Sea F : U → R, donde U es un abierto de Rn . Dado c ∈ R consideremos M = F −1 (c), el conjunto de nivel c de F , y un punto p ∈ M , tal que
∇F (p) ̸= 0. Entonces, el espacio tangente a M en p es el subespacio ortogonal a
∇F (p), es decir Tp M = ∇F (p)⊥ . En particular, Tp M es un subespacio vectorial de
Rn de dimensión n − 1.
Demostración. Tenemos que por el teorema 4.2 se tiene Tp M ⊆ ∇F (p)⊥ .
Consideremos ahora v = (v1 , . . . , vn ) ∈ ∇F (p)⊥ , es decir
v1
∂F
∂F
(p) + · · · + vn
(p) = 0
∂x1
∂xn
(22)
Como ∇F (p) ̸= 0, alguna derivada parcial de F no es nula, supongamos entonces
∂F
que ∂x
(p) ̸= 0. Designemos p = (p1 , . . . , pn ). Del teorema de la función implı́cita
n
obtenemos una bola B = B(a, δ), con a = (p1 , . . . , pn−1 ), un intervalo J = (pn −
ϵ, pn + ϵ), y una función f : B → J tales que
xn = f (x1 , . . . , xn−1 ) ⇔ F (x1 , . . . , xn ) = 0, ∀(x1 , . . . , xn ) ∈ B × J.
Como además se verifica
∂F
(p)
∂f
i
, para i = 1, . . . , n − 1,
(a) = − ∂x
∂F
∂xi
(p)
∂xn
en vista de (22), resulta que
vn = v1
∂f
∂f
(a) + · · · + vn−1
(a).
∂x1
∂xn−1
Por eso la curva
γ(t) = (p1 + tv1 , . . . , pn−1 + tvn−1 , f (p1 + tv1 , . . . , pn−1 + tvn−1 ))
verifica γ(0) = p, y γ̇(t) = v, obteniendo que v ∈ Tp M . Por lo que hemos probado
que ∇F (p)⊥ ⊆ Tp M , concluyendo la demostración.
Dada la función f : U → R de clase C 1 en U , abierto de Rn , el gráfico Gf ⊆ Rn+1
(ver definición 8.1) es un conjunto que está en correspondencia biyectiva con el dominio U de f : cada punto a = (x1 , . . . , xn ) ∈ U se corresponde con un punto
p = (x1 , . . . , xn , f (x1 , . . . , xn )) ∈ Gf . En vista que la noción de espacio tangente
está definida para subconjuntos arbitrarios de Rn+1 , tiene sentido considerar el espacio tangente al gráfico Gf de la función f en un punto p, que designamos como
Tp G. El teorema anterior nos permite obtener una caracterización de este espacio
tangente.
Corolario 8.4. Sea f : U → R de clase C 1 en U , abierto de Rn . Entonces,
dado a = (x1 , . . . , xn ) ∈ U , el espacio tangente al gráfico Gf de f en el punto
p = (x1 , . . . , xn , f (x1 , . . . , xn )) es el subespacio vectorial de Rn+1 ortogonal al vector
∂f
∂f
(a), . . . , ∂x
(a), −1). En otros términos
( ∂x
n
1
Tp G = (
∂f
∂f
(a), . . . ,
(a), −1)⊥
∂x1
∂xn
39
Demostración. Consideremos la función auxiliar F : U × R → R definida mediante
F (x1 , . . . , xn , xn+1 ) = f (x1 , . . . , xn ) − xn+1 ,
que es de clase C 1 . Según la definición del gráfico Gf de f , se tiene que es el conjunto
de nivel 0 de F . Dado a = (x1 , . . . , xn ) ∈ U tenemos p = (x1 , . . . , xn , f (x1 , . . . , xn )),
y
∂f
∂f
∇F (p) = (
(a), . . . ,
(a), −1) ̸= 0.
∂x1
∂xn
Aplicando entonces el teorema anterior, obtenemos
Tp G = ∇F (p)⊥ = (
∂f
∂f
(a), . . . ,
(a), −1)⊥
∂x1
∂xn
, concluyendo la demostración.
Ejemplo 8.1. Como ejemplo estudiemos el caso n = 2, considerando f : U → R de
clase C 1 en U , abierto de R2 . Sean a = (x0 , y0 ) ∈ U , y p = (x0 , y0 , f (x0 , y0 )) ∈ Gf .
De acuerdo al corolario el espacio tangente al gráfico de f en p es el subespacio
vectorial Tp G = (fx (a), fy (a), −1)⊥ , en R3 y por lo tanto
fx (a)(x − x0 ) + fy (a)(y − y0 ) − 1(z − f (x0 , y0 )) = 0
es decir
∂f
∂f
(x0 , y0 )(x − x0 ) +
(x0 , y0 )(y − y0 )
∂x
∂y
que es la ecuación del plano tangente el el punto a. De otra forma podemos decir
que el plano tangente está formado por los puntos de espacio afı́n que se obtienen
sumando al punto p a los vectores de Tp G. Esto explica la denominación de tangente
para ambos objetos matemáticos.
z = f (x0 , y0 ) +
9.
Extremos condicionados
Supongamos que queremos los extremos de la suma de las tres coordenadas de
los puntos de R3 que pertenecen a la esfera de centro el origen y radio unidad. En
otros términos, queremos determinar los extremos de f (x, y, z) = x + y + z en el
dominio M = {(x, y, z) ∈ R3 : x2 + y 2 + z 2 = 1}.
Más en general, si consideramos U abierto de R3 , y dos funciones f : U → R
y G : U → R, el problema que estudiamos en esta sección es el de determinar
los extremos de la función f en M = g −1 (0), el conjunto de puntos que verifica
g(x, y, z) = 0. Tenemos dos funciones en juego, una que es la función f que queremos
minimizar, y la otra que liga a las variables intervinientes, que llamamos ecuación
de ligadura, a continuación damos una definición precisa de extremos ligados.
Definición 9.1. Consideremos U abierto de Rn , f : U → R, g : U → R, el conjunto
de nivel M = g −1 (0), y el punto p ∈ M . Decimos que f presenta un máximo relativo
condicionado a g en el punto p, si existe una bola B(a, ϵ), con ϵ > 0, tal que
f (p) ≥ f (x) ∀x ∈ B(a, ϵ) ∩ M.
(23)
La definición de mı́nimo relativo condicionado es análoga, con un signo ≤ en lugar
de ≥ en (23).
Si f presenta máximo o mı́nimo relativo condicionado, decimos que f presenta
extremo relativo condicionado a g en p.
40
Teorema 9.1 (Multiplicadores de Lagrange). Consideremos U abierto de Rn , f :
U → R, g : U → R, ambas de clase C 1 , p ∈ M = g −1 (0). Si f presenta un extremo
relativo condicionado a g en p, y se verifica ∇g(p) ̸= 0, entonces existe un número
real λ tal que
∇f (p) = λ∇g(p).
Al número real λ llamamos multiplicador de Lagrange.
Demostración. Como ∇g(p) ̸= 0, sabemos que el espacio tangente Tp M = ∇g(p)⊥ .
Para ver entonces que los gradientes de f y g son colineales (que es lo que afirma la
tesis), es suficiente ver que ∇f (p) ⊥ Tp M .
Sea entonces v ∈ Tp M , por definición, existe γ : (−ϵ, ϵ) → M una curva diferenciable en t = 0 con γ(0) = p y γ̇(0) = v. Como f presenta extremo en p restringido
a M , la función f ◦ γ presenta extremo en t = 0, de donde
0 = (f ◦ γ)′ (0) = ∇f (p) · γ̇(0) = ∇f (p) · v,
por lo que ∇f (p) ⊥ v. Como v ∈ Tp M es arbitrario, resulta que ∇f (p) ⊥ Tp M , es
decir los gradientes de f y g son colineales, completando la demostración.
Al igual que la búsqueda de extremos de f : U → R, que llamamos extremos
libres, en contraposición a los extremos condicionados, el teorema del multiplicador
de Lagrange da una condición necesaria de extremos condicionados. Una vez descartados los puntos en los que f, g no son de clase C 1 , y aquellos en los que ∇g = 0,
los extremos condicionados se presentan únicamente en aquellos puntos en los que
existe λ real tal que ∇f (p) = λ∇g(p). Para buscar estos puntos condicionados
consideramos la función auxiliar
L(x, λ) = f (x) − λg(x) con x ∈ U ⊆ Rn y λ ∈ R,
y observando que como
∇L(x, λ) = ∇f (x) − λ∇g(x) = 0
los extremos condicionados de f a g son los puntos crı́ticos de L.
Parte II
Diferenciabilidad de funciones de
Rn en Rm
Analizaremos la noción de diferenciabilidad para funciones vectoriales de variable vectorial, que también llamamos aplicaciones. Una aplicación es entonces una
función f : X → Rm donde X es un subconjunto de Rn .
Un primer ejemplo lo constituyen las aplicaciones o transformaciones lineales, es
decir la aplicaciones T : Rn → Rm que verifican T (αx + βy) = αT (x) + βT (y) para
α, β ∈ R e x, y ∈ Rn , todos arbitrarios. Recordemos que dada una transformación
lineal T como antes existe una única matriz A = (aij ) de tamaño m×n, que llamamos
matriz asociada, tal que se verifica
T (x) = Axt ,
41
asumiendo que x = (x1 , . . . , xn ) es un vector fila. Si las funciones coordenadas de T
son T1 , . . . , Tm tenemos Ti (x) = ⟨Ai , x⟩, para i = 1, . . . , m donde Ai = (ai1 , . . . , ain
designa la i−ésima fila de A.
Casos particulares de aplicaciones son los cambios de coordenadas cartesianas a
polares, viene dado por la aplicación
x = ρ cos θ,
y = ρ sen θ,
que definimos de dominio X = [0, +∞) × [0, 2π) en R2 .
Si en el ejemplo anterior agregamos la altura z de un punto (x, y, z) de R3 ,
obtenemos la aplicación
x = ρ cos θ,
y = ρ sen θ,
z=z
aplicación definida en X = [0, +∞) × [0, 2π) × R en R3 , que llamamos cambio de
coordenadas cilı́ndricas.
Otra aplicación es el llamado cambio de coordenadas esféricas, que consiste en
describir un punto (x, y, z) de R3 mediante sus coordenadas esféricas, designadas
(ρ, θ, φ) de forma que
x = ρ cos θ sen φ,
y = ρ sen θ sen φ,
z = ρ cos φ
aplicación definida en X = [0, +∞) × [0, 2π) × [0, π) en R3 .
10.
Aplicaciones diferenciables
Definición 10.1. Sean f : U → Rm , U abierto en Rn . La aplicación f es diferenciable en un punto a ∈ U , cuando existen una transformación lineal T : Rn → Rm
y una aplicación p : B ∗ (0, ϵ) → Rm , con ϵ > 0 suficientemente pequeño, tales que
para todo v ∈ Rn con a + v ∈ B ∗ (a, ϵ) ⊂ U , se verifica
f (a + v) − f (a) = T (v) + ∥v∥p(v),
lı́m p(v) = 0
v→0
(24)
La transformación lineal anterior se llama diferencial de la aplicación f en el punto a,
y se designa dfa .Decimos además que f es diferenciable en U cuando es diferenciable
en todo a ∈ U .
Introduciendo la aplicación r(v) = ∥v∥p(v), que llamamos resto, la fórmula en
(24) puede escribirse como
f (a + v) − f (a) = T (v) + r(v),
r(v)
=0
v→0 ∥v∥
lı́m
Estamos entonces definiendo que una aplicación es diferenciable en un punto a cuando su incremento se puede aproximar por una transformación lineal.
Si ponemos v = 0 en (24) vemos que p se puede definir en v = 0 poniendo
p(0) = 0. Consideremos entonces, de aquı́ en más p : B(0, ϵ) → Rm .
Como las transformaciones lineales son continuas, es inmediato obtener que si
f es diferenciable en un punto a entonces es continua; tenemos f (a + v) → f (a) si
v → 0, como se ve tomando lı́mite a la derecha en (24).
42
Observación 10.1. Veremos que una transformación lineal T : Rn → Rm es diferenciable. Tenemos
T (a + v) − (T a) = T (v)
por lo que se verifica la definición (24), con dfa = T y p(v) = 0 para todo v ∈ Rn .
Como una aplicación f : U → Rm equivale a sus m funciones coordenadas
f1 , f2 , . . . , fm , es natural relacionar la diferenciabilidad de una aplicación con la de
sus funciones coordenadas. las coordenadas son funciones reales de variable vectorial,
cuya diferenciabilidad ya fue estudiada.
Teorema 10.1. Consideremos f = f1 , . . . , fm : U → Rm , a ∈ U , abierto de Rn .
Entonces la aplicación f es diferenciable en a si y sólo si sus coordenadas f1 , . . . , fm
son diferenciables en a.
Demostración. Supongamos primero que la aplicación f es diferenciable en a y
escribamos la identidad vectorial (24) como m identidades escalares. Designando
T = (T1 , . . . , Tm ), p = (p1, . . . , pm ), tenemos
fi (a + v) − fi (a) = Ti (v) + ∥v∥pi (v),
lı́m pi (v) = 0
v→0
para i = 1, . . . , m, que es la definición de diferenciabilidad de la función fi en a,
dado que Ti (v) = ⟨Ai , v⟩, donde Ai es la i−ésima fila de la matriz asociada a T .
Recı́procamente, si f1 , . . . , fm son diferenciables en a, existen funciones p1 , . . . , pm
tales que
fi (a + v) − fi (a) = dfia (v) + ∥v∥pi (v), lı́m pi (v) = 0
v→0
para i = 1, . . . , m. Luego con
T (v) = (df1a (v), . . . , dfma (v)),
(25)
y p = (p1 , . . . , pm ), la aplicación f verifica la definición (24) en el punto a.
Observación 10.2. Una curva γ = (γ1 , . . . , γm : I → Rn es diferenciable en un
punto a del intervalo real I si son diferenciables sus coordenadas. Obtenemos entonces la misma definición de curva diferenciable ya dada. Además si γ es diferenciable
en a ∈ I, tenemos
|h|
γ(a + v) − γ(a) = dγa (1) +
p(h),
h
con p(h) → 0 si h → 0, de donde resulta
γ ′ (a) = dγa (1),
es decir, la velocidad de la curva en el instante a se obtiene como el valor del
diferencial de la curva en a, evaluado en el vector v = 1.
Definición 10.2. La matriz asociada al diferencial dfa de una aplicación f en un
punto a se llama matriz jacobiana, o más brevemente jacobiano, y se designa mediante Jf (a). De la fórmula (25), obtenemos si f = (f1 , . . . , fm ) es diferenciable en
a, que verifica
dfa (v) = (df1a (v), . . . , dfma (v))
(26)
43
y como dfia (v) = ∇fi (a) · v, resulta que la fila i−ésima de Jf (a) es el gradiente
∇fi (a). En otros términos, hemos demostrado que
 ∂f1

∂f1
(a) · · · ∂x
(a)
∂x1
m


..
..
...
Jf (a) = 

.
.
∂fm
(a)
∂x1
···
∂fm
(a)
∂xm
De aquı́ resulta además que el diferencial en un punto de una aplicación diferenciable
en ese punto es único.
Definición 10.3. Definimos la derivada direccional de una aplicación f en un punto
a con respecto a un vector v ∈ Rn , que designamos ( ∂f
(a)), como el valor del lı́mite
∂v
m
en R dado por
∂f
f (a + tv) − f (a)
(a) = lı́m
t→0
∂v
t
cuando existe. A partir de la definición resulta que la derivada direccional de una
aplicación existe si y sólo si existen las derivadas direccionales de sus funciones
coordenadas. Además, en ese caso se verifica
(
)
∂f
∂f1
∂fm
(a) =
(a), . . . ,
(a)
(27)
∂v
∂v
∂v
i
Pero ( ∂f
(a) = dfia (v)) por lo que el vector obtenido en (27), en vista de (26), es la
∂v
imagen de v por el diferencial de f , es decir
∂f
(a) = dfa (v)
∂v
La fórmula anterior es una generalización a aplicaciones de la que obtuvimos para
funciones reales de varias variables.
Teorema 10.2. Sea f : U ⊆ Rn → Rm y g : U ⊆ Rn → Rm dos funciones definidas
en el abierto U , diferenciables en a ∈ Ů , entonces (αf + βg) es diferenciable en a y
además J(αf +βg) (a) = αJf (a) + βJg (a) para todo α, β ∈ R.
Demostración. por hipótesis f y g son diferenciables en a entonces existen matrices
Jf (a) y Jg (a) y aplicaciones p : B ∗ (0, ϵ) → Rm y q : B ∗ (0, ϵ) → Rm tales que si
a + v ∈ B ∗ (0, ϵ) se tiene
f (a + v) = f (a) + Jf (a)v + ∥v∥p(v), con lı́m p(v) = 0
(28)
g(a + v) = g(a) + Jg (a)v + ∥v∥q(v) con lı́m q(v) = 0
(29)
v→0
y
v→0
Multiplicando (28) por α y sumando la (29) previamente multiplicada por β, resulta
(αf + βg)(a + v) = (αf + βg)(a) + (αJf (a) + βJg (a))v + ∥v∥(αp(v) + βq(v))
con lı́mv→0 αp(v) + βq(v) = 0. Ası́ (αf + βg) es diferenciable en a y J(αf +βg) (a) =
αJf (a) + βJg (a), para todo α, β ∈ R.
En particular mirando las transformaciones lineales se tine que
d(αf + βg)a = αdfa + βdga
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Análogamente que la proposición anterior y en las mismas hipótesis se puede
probar que f · g es diferenciable en a y además
Jf ·g (a) = g(a)Jf (a) + f (a)Jg (a)
y mirando la transformaciones lineales se tiene
d(f · g)a = g(a)dfa + f (a)dga
Proposición 10.3. Sean f : U ⊆ Rn → Rm , definida en el abierto U y diferenciable
en a ∈ Ů y g : U ⊆ Rn → Rm tal que g(x) = uf (x) siendo u ∈ Rm . Entonces g es
diferenciable en a y Jg (a) = uJf (a).
Demostración. Como por hipótesis f es diferenciable en a entonces existe una matriz
Jf (a) y una aplicación p : B ∗ (0, ϵ) → Rm con a + v ∈ B ∗ (0, ϵ), entonces
f (a + v) = f (a) + Jf (a)v + ∥v∥p(v) con lı́m p(v) = 0
v→0
si multiplicamos por u la ecuación anterior, resulta
g(a + v) = uf (a + v) = uf (a) + uJf (a)v + u∥v∥p(v)
= g(a) + uJf (a)v + ∥v∥u · p(v) con lı́m u · p(v) = 0
v→0
luego g es diferenciable en a y además Jg (a) = uJf (a).
Lema 10.4. Si A es una matriz n × m, entonces existe c ≥ 0 tal que ∥Ax∥ ≤ c∥x∥.
Demostración. Para la demostración podemos escribir el vector Ax como


A1. x
 A2. x 

Ax = 
 ... 
An. x
donde Ai. indica la i−ésima fila de la matriz A, y ahora utilizando la desigualdad
de Cauchy-Schwarz (Ai. x)2 ≤ ∥Ai. ∥2 ∥x∥2 ), se llega a
v
v
v
u i=n
u i=n
u i=n
u∑
u∑
u∑
∥Ax∥ = t (Ai. x)2 ≤ t
∥Ai. ∥2 ∥x∥2 = ∥x∥t
∥Ai. ∥2
i=1
luego existe c =
i=1
i=1
√∑
i=n
2
i=1 ∥Ai. ∥ ≥ 0 tal que ∥Ax∥ ≤ c∥x∥.
Lema 10.5. Sea f : U ⊆ Rn → Rm definida en el abierto U y diferenciable en
a ∈ Ů , entonces existe k > 0 y una bola B(a, δ) tal que
∥f (x) − f (a)∥ ≤ k∥x − a∥ ∀x ∈ B(a, δ)
Demostración. Por hipótesis f es diferenciable en a, luego existe Jf (a) y la aplicación
p(x − a) tal que
f (x) = f (a) + Jf (a)(x − a) + ∥x − a∥p(x − a) con lı́m p(x − a) = 0
x→a
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luego
∥f (x) − f (a)∥ = ∥Jf (a)(x − a) + ∥x − a∥p(x − a)∥
≤ ∥Jf (a)(x − a)∥ + ∥x − a∥∥p(x − a)∥
ahora por el lema anterior sabemos que existe c ≥ 0 tal que ∥Jf (a)(x−a)∥ ≤ c∥x−a∥
entonces
∥f (x) − f (a)∥ ≤ c∥x − a∥ + ∥x − a∥∥p(x − a)∥ = ∥x − a∥ (c + p(x − a))
como c ≥ 0 y lı́mx→a (c + p(x − a)) = c utilizando la definición de lı́mite se demuestra que existe k ≥ 0 y δ > 0 tal que ∀x ∈ B(a, δ) se cumple
∥f (x) − f (a)∥ ≤ k∥x − a∥
Teorema 10.6. Sean g : U ⊆ Rn → Rs , con U abierto de Rn , g diferenciable en
a ∈ Ů y f : V ⊆ Rs → Rm , con V abierto de Rs y f diferenciable en g(a) ∈ V̊ .
Entonces f ◦ g : U ⊆ Rn → Rm , es diferenciable en a, y además
J(f ◦g) (a) = Jf (g(a)) · Jg (a)
que es lo que habitualmente se llama regla de la cadena.
Demostración. Recordemos que f diferenciable en b implica
f (v + b) − f (b) = Jf (b)v + ∥v∥p(v) con lı́m p(v) = 0
v→0
Como por hipótesis f es diferenciable en g(a), si tomamos b = g(a) y v = g(a + h) −
g(a) tenemos
f (g(a+h))−f (g(a)) = Jf (g(a)) (g(a + h) − g(a))+∥g(a+h)−g(a)∥p (g(a + h) − g(a))
con lı́mh→0 p (g(a + h) − g(a)) = 0 por otra parte como g es diferenciable en a se
tiene que:
g(a + h) − g(a) = Jg (a)h + ∥h∥q(h) con lı́m q(h) = 0
h→0
llamemos ∇g = g(a+h)−g(a) para simplificar la notación y sustituyendo nos queda
f (g(a + h)) − f (g(a)) = Jf (g(a)) (Jg (a)h + ∥h∥q(h)) + ∥∇g∥p(∇g)
= Jf (g(a))Jg (a)h + Jf (g(a))∥h∥q(h)∥ + ∥∇g∥p(∇g)
= Jf (g(a))Jg (a)h + ∥h∥r(h)
siendo r(h) = Jf (g(a))q(h) + ∥∇g∥
p(∇g) y como lı́mh→0 q(h) = 0, entonces
∥h∥
lı́m Jf (g(a))q(h) = 0.
h→0
es acotado y como lı́mh→0 p(∇g) = 0, resulta
Por otro lado, por el lema anterior ∥∇g∥
∥h∥
que lı́mh→0 ∥∇g∥
p(∇g) = 0 y ası́ lı́mh→0 r(h) = 0. Luego
∥h∥
(f ◦ g)(a + h) − (f ◦ g)(a) = Jf (g(a))Jg (a)h + ∥h∥r(h) con lı́m r(h) = 0
h→0
es decir f ◦ g es diferenciable en a y
Jf ◦g (a) = Jf (g(a))Jg (a)
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Observación 10.3. Como en el Teorema anterior la transformación lineal correspondiente es la diferencial de f ◦ g en a (d(f ◦ g)a ), se tiene d(f ◦ g) : Rn → Rm de
forma que
d(f ◦ g)a (v) = Jf (g(a))Jg (a)v =
y como dga (v) = Jg (a)v y dfg(a) (w) = Jf (g(a))w y el producto de las matrices se
corresponde con la composición de las transformaciones lineales se tiene que
d(f ◦ g)a = dfg(a) ◦ dga
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