Optimización Transporte Material Pétreo: Machala, Pasaje, El Cambio

Universidad de Especialidades Espíritu Santo
Nombre del proyecto
Optimización Del Transporte De Material Pétreo De Canteras Hacia Machala, Pasaje Y El Cambio
Profesor
Mgs. Ing. Sofía Aracelly Ricaurte Peñafiel
Materia
Análisis Cuantitativo para la Gestión Empresarial
Alumno
Aníbal Andrés Sánchez Arévalo
Fecha
27/07/2025
Resumen del Proyecto
El proyecto abordó la optimización del transporte de 100.000 m³ de material pétreo desde 10 canteras
hacia tres destinos principales: Machala, Pasaje y El Cambio. Para ello, se utilizó un modelo de
programación lineal tipo problema de transporte, implementado con Excel Solver, cuyo objetivo fue
minimizar el costo total de traslado cumpliendo la demanda de cada ciudad y las capacidades de cada
cantera. Se analizaron tres escenarios individuales y un escenario global conjunto, considerando
distancias, costos unitarios y limitaciones operativas.
Los resultados mostraron que las canteras más cercanas a cada ciudad fueron utilizadas en primer
lugar hasta su máxima capacidad, reduciendo significativamente los costos. Por ejemplo, Machala
fue abastecida principalmente por canteras a 5 a 12 km, Pasaje por tres canteras locales y El Cambio
por dos fuentes cercanas más un apoyo adicional. En el modelo global, al competir las ciudades por
los mismos recursos, algunas debieron incorporar canteras más distantes, aumentando el costo
conjunto a $454.500, un valor mayor al de los escenarios individuales, pero óptimo considerando
toda la región en conjunto.
Se concluye que priorizar canteras cercanas es clave para reducir costos logísticos y que planificar la
distribución de forma conjunta evita competencia ineficiente entre proyectos. Se recomienda negociar
convenios con canteras estratégicas, planificar capacidad adicional para contingencias y recalcular
periódicamente la optimización ante cambios de demanda, capacidad o costos, usando herramientas
como Excel Solver. El estudio demuestra el valor práctico de la programación lineal como soporte a
la toma de decisiones en proyectos de construcción regional.
Actividad
Fecha
Revisión del caso y recolección de datos
20/07/2025
Elaboración de la actividad
21/07/2025
Finalización y corrección de la actividad
25/07/2025
Universidad de Especialidades Espíritu Santo
OPTIMIZACIÓN DEL TRANSPORTE DE MATERIAL PÉTREO DE CANTERAS
HACIA MACHALA, PASAJE Y EL CAMBIO
1. Introducción
En proyectos de construcción, el transporte de materiales pétreos como son los agregados de
arena y piedra, suele representar un costo significativo debido a que se trata de materiales de bajo valor
unitario pero gran volumen/peso. La eficiencia en la logística de acarreo es crucial: optimizar las rutas
y la asignación de volúmenes desde canteras puede reducir drásticamente los costos operativos, los
tiempos de entrega y hasta la congestión vial. En la provincia de El Oro, Ecuador, particularmente
alrededor de Machala, Pasaje y la parroquia El Cambio, existe demanda de materiales para obras viales
y de infraestructura. Se establecerá un caso donde la demanda total de material pétreo es de 100.000
m³, distribuida entre estas tres localidades: Machala con 50.000 m³, Pasaje con 30.000 m³ y El Cambio
con 20.000 m³. Se cuenta con 10 canteras ubicadas en los alrededores de la provincia como posibles
proveedores.
El objetivo de este estudio es desarrollar un modelo de optimización de transporte tipo problema
de transporte en una programación lineal para minimizar el costo de envío de los 100 mil m³ de material,
respetando la demanda de cada ciudad y las capacidades de suministro de cada cantera. Inicialmente,
se analizará cada ciudad por separado determinando desde qué canteras y en qué cantidad conviene
abastecerla. Luego, se abordará una optimización global conjunta, donde las 10 canteras atienden
simultáneamente las tres demandas, reflejando un escenario de asignación de recursos compartidos. Se
espera con esto identificar un plan logístico óptimo que minimice el costo total de transporte,
proporcionando información para la toma de decisiones en proyectos de construcción de la provincia
de El Oro.
2. Metodología
Enfoque general: Se utiliza un modelo de programación lineal de un problema clásico de transporte.
Este modelo asocia varios orígenes con destinos y busca satisfacer la demanda al menor costo. La
herramienta elegida para implementar y resolver el modelo es Excel Solver, dado que permite
configurar fácilmente la función objetivo y restricciones, obteniendo la solución óptima mediante el
algoritmo simplex u otros métodos adecuados. Este enfoque garantiza encontrar el costo mínimo
siempre que el problema esté correctamente formulado y los datos sean consistentes.
Datos de entrada: Se obtuvieron valores para las distancias desde cada cantera a cada ciudad, las
capacidades máximas de suministro por cantera, y se definió un costo unitario de transporte lineal de
$0,50 por 𝑚³ − 𝑘𝑚. La Tabla 2 resume las distancias en kilómetros de cada cantera hacia Machala,
Pasaje y El Cambio, junto con la capacidad de suministro de cada cantera en m³. Estas distancias reflejan
la ubicación aproximada de las canteras alrededor de las ciudades. El costo unitario de transporte
implica que mover 1 m³ a 10 km cuesta $5, cubriendo gastos de combustible, mantenimiento y
operación vehicular de manera simplificada.
Tabla 1:
Nombre de las 10 canteras empleadas en el modelo
Cantera
Nombre de la cantera
Ubicación
Cantera 1
La Iberia
Zona norte de Machala
Cantera 2
El Placer
Vía Machala - Pasaje
Cantera 3
Santa Rosa Río Chico
Límite Machala / Santa Rosa
Cantera 4
Calichana
Periferia urbana de Pasaje
Cantera 5
El Pedregal
Oeste de Pasaje - río Jubones
Cantera 6
Virgen del Carmen
Parroquia Progreso - Pasaje
Cantera 7
El Cambio Bajo
Parroquia El Cambio
Cantera 8
Buenavista
Vía El Cambio - Huaquillas
Cantera 9
San José de Chila
Cantón El Guabo - río Chila
Cantera 10
Río Amarillo
Cantón Piñas - margen del río Amarillo
Nota. Las ubicaciones de cada cantera con su respectivo nombre, simplificando en cantera N° para
mayor practicidad.
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Tabla 2:
Distancias de cada cantera a las ciudades y capacidades de suministro
Cantera
Distancia a
Distancia a
Distancia a El
Machala (km)
Pasaje (km)
Cambio (km)
Capacidad
(m³)
Cantera 1
5,0 km
25,0 km
12,0 km
15.000 m³
Cantera 2
12,0 km
10,0 km
18,0 km
10.000 m³
Cantera 3
8,0 km
27,0 km
16,0 km
12.000 m³
Cantera 4
20,0 km
5,0 km
28,0 km
10.000 m³
Cantera 5
22,0 km
8,0 km
30,0 km
25.000 m³
Cantera 6
24,0 km
6,0 km
32,0 km
10.000 m³
Cantera 7
10,0 km
25,0 km
3,0 km
10.000 m³
Cantera 8
12,0 km
22,0 km
7,0 km
8.000 m³
Cantera 9
28,0 km
15,0 km
35,0 km
15.000 m³
Cantera 10
35,0 km
30,0 km
40,0 km
40.000 m³
Nota. Se aprecia que las canteras 1 y 3 están relativamente cerca de Machala, las 4 y 6 cerca de Pasaje,
las 7 y 8 en el área de El Cambio y Machala, mientras que las 9 y 10 son canteras más lejanas.
La suma de las capacidades de 150.000 m³ supera la demanda total de 100.000 m³, lo que
garantiza que hay suficiente oferta disponible; sin embargo, no todas las canteras necesitarán usarse al
máximo. El modelo determinará qué fracción de la capacidad de cada cantera aprovechar, priorizando
las fuentes de menor distancia antes que explotar canteras lejanas.
Ilustración 1:
Distancia desde cada Cantera a las ciudades de Machala, Pasaje y El Cambio
Nota. Ilustración desde cada cantera con su respectivo kilometraje que les tocaría de recorrer a las
volquetas para obtener la cantidad solicitada.
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Ilustración 2:
Capacidad de Suministro desde cada cantera
Nota. Capacidad de suministro que tiene su respectiva cantera para las demandas requeridas.
Construcción del modelo: Se definieron las variables de decisión 𝑥𝑖𝑗 como la cantidad de material en
m³ transportada desde la cantera i a la ciudad j. En total hay 10 × 3 = 30 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑏𝑙𝑒𝑠 𝑥𝑖𝑗 . Los
parámetros principales son: la demanda de cada ciudad 𝐷𝑗 (m³) que debe ser satisfecha, la capacidad de
suministro de cada cantera 𝑆𝑖 (m³), la distancia 𝑑𝑖𝑗 (km) desde la cantera i al destino j, y el costo unitario
𝑘 por 𝑚³ − 𝑘𝑚 (0,5 𝑈𝑆𝐷/(𝑚³ · 𝑘𝑚)). Con estos elementos se formuló el modelo matemático de
optimización lineal de la siguiente manera:
• Función objetivo: Minimizar el costo total de transporte:
10
3
𝑍 = ∑ ∑ 𝑐𝑖𝑗 𝑥𝑖𝑗 ,
𝑖=1 𝑗=1
•
donde 𝑐𝑖𝑗 = 𝑘 × 𝑑𝑖𝑗 es el costo por unidad de transportar material desde la cantera i hasta la ciudad
j lo que esta función objetivo suma el costo de envío de todos los m³ desde cada cantera a cada
destino. Minimizar 𝑍 equivale a minimizar la distancia total recorrida ponderada por volumen, pues
𝑘 es constante para todos, en términos prácticos, se busca el plan de transporte de menor gasto
posible.
Restricciones de demanda: Cada ciudad j debe recibir exactamente su demanda 𝐷𝑗 , es decir, la
suma de volúmenes que llegan a la ciudad j desde todas las canteras i debe igualar 𝐷𝑗 quedando de
la siguiente manera:
10
∑ 𝑥𝑖𝑗 = 𝐷𝑗
𝑖=1
•
para 𝑗 = {Machala, Pasaje, El Cambio}.
Esto asegura que se entregue el volumen requerido en cada ciudad sin déficit ni excedente.
Restricciones de capacidad: Ninguna cantera i puede enviar más material del que tiene disponible.
Para cada cantera:
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3
∑ 𝑥𝑖𝑗 ≤ 𝑆𝑖
𝑗=1
para 𝑖 = 1, … ,10.
Adicionalmente, se impone 𝑥𝑖𝑗 ≥ 0 . Estas restricciones garantizan que no se asignen volúmenes
mayores a las reservas de cada cantera, y permiten que alguna cantera quede parcialmente o
totalmente sin usar si no resulta económica.
• Tipo de variables: Se consideran variables continuas no negativas. Dado el gran volumen total
involucrado, es razonable permitir soluciones fraccionarias ya que en la práctica el material se
transporta en múltiples viajes discretos y las fracciones de m³ representan muchos viajes
equivalentes, debido a que la solución continua proporciona un óptimo teórico, porque si fuese
necesario se podría descomponer ese volumen en número entero de viajes de camiones.
El modelo descrito es un caso de transporte con múltiples orígenes y múltiples destinos, por el
cual trata de un modelo lineal determinado y de estructura relativamente simple, por lo que es adecuado
usar programación lineal para obtener la solución exacta óptima. Para la resolución, se implementó el
modelo en una hoja de cálculo de Excel: los datos de distancias y costos unitarios se organizaron en
tablas, las celdas de decisión 𝑥𝑖𝑗 se dispusieron en forma matricial, y se calculó el costo total 𝑍 mediante
la fórmula correspondiente, que es la suma producto de flujos 𝑥𝑖𝑗 por costos 𝑐𝑖𝑗 . Con Solver, se
estableció esta celda de costo total como objetivo a minimizar, agregando las restricciones de demanda
y capacidad antes mencionadas. Solver se ejecutó en modo Simplex LP, apropiado para modelos
lineales, hallando la solución óptima en pocos segundos dada la escala modesta del problema.
3. Modelo de Optimización
Modelo Matemático
Variables de decisión:
𝑥𝑖𝑗 = Volumen de material (m³) transportado desde la cantera i hasta la ciudad j.
Parámetros:
• 𝐷𝑗 : Demanda de material de la ciudad j (m³).
En nuestro caso, 𝐷Machala = 50.000 m³, 𝐷Pasaje = 30.000 m³, 𝐷El Cambio = 20.000 m³
• 𝑆𝑖 : Suministro máximo de la cantera i (m³).
Valores que van de 8.000 m³ a 40.000 m³ según la cantera.
• 𝑑𝑖𝑗 : Distancia desde cantera i hasta ciudad j (km).
Cantera 1 está a 5 km de Machala, 25 km de Pasaje, 12 km de El Cambio.
• 𝑘: Costo unitario de transporte por 𝑚³ − 𝑘𝑚, asumido constante = $0,5 𝑈𝑆𝐷/(𝑚³\𝑐𝑑𝑜𝑡 𝑘𝑚)$.
Este factor lineal convierte la distancia en costo monetario.
Función Objetivo: Minimizar el costo total 𝑍 :
10
3
𝑍 = min ∑ ∑(0,5 × 𝑑𝑖𝑗 ) 𝑥𝑖𝑗 .
𝑥𝑖𝑗
𝑖=1 𝑗=1
Equivalentemente, 𝑍 = 0,5 ∑𝑖,𝑗 𝑑𝑖𝑗 𝑥𝑖𝑗 . Esta es una función lineal de las variables de decisión, que
suma los costos de transporte de todos los envíos. Minimizar 𝑍 significa que el modelo buscará asignar
la mayor cantidad de material posible a rutas de corta distancia, usando canteras cercanas a cada ciudad
antes que canteras lejanas, hasta donde las capacidades lo permitan.
Restricciones:
Demanda por ciudad: Para cada ciudad 𝑗 :
10
∑ 𝑥𝑖𝑗 = 𝐷𝑗 .
𝑖=1
Así se asegura que Machala reciba exactamente 50.000 m³, Pasaje 30.000 m³ y El Cambio 20.000 m³.
Todas las demandas deben cumplirse en su totalidad.
Capacidad de cantera: Para cada cantera 𝑖 :
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3
∑ 𝑥𝑖𝑗 ≤ 𝑆𝑖 .
𝑗=1
Ninguna cantera puede suministrar en total más de su límite 𝑆𝑖 . Puede ocurrir que alguna cantera
no use toda su capacidad si no resulta necesaria por lo que la restricción se mantiene como ≤. Por
ejemplo, si una cantera es muy lejana y costosa, el óptimo podría asignarle 𝑥𝑖𝑗 = 0 aunque tenga
capacidad disponible.
No negatividad: 𝑥𝑖𝑗 ≥ 0 para todo 𝑖, 𝑗 . Lo que no se transportan volúmenes negativos y se permite 0.
Cabe notar que en el modelo se consideraron todas las canteras abasteciendo a todas las ciudades, para
analizar escenarios individuales por separado, se aplicará el mismo modelo restringido a una sola
demanda a la vez. Esto equivale a resolver tres subproblemas separados: Machala como único destino,
luego Pasaje, luego El Cambio. Dichos subproblemas son casos particulares que llevan a un solo destino
del modelo general.
4. Implementación y resultados
Se empleo el modelo con Excel Solver para cuatro casos:
1. Abastecimiento óptimo para Machala de 50.000 m³
2. Abastecimiento óptimo para Pasaje de 30.000 m³
3. Abastecimiento óptimo para El Cambio de 20.000 m³
4. Modelo global con las tres ciudades simultáneamente
En cada caso se obtuvo la distribución de volúmenes óptima desde cada cantera, el costo
mínimo resultante, y cuáles restricciones quedaron activas como las canteras usadas a plena capacidad
o demandas satisfechas.
Caso 1: Abastecimiento óptimo para Machala de 50.000 m³
En este caso se consideró la demanda de Machala a ser cubierta desde las 10 canteras. La Tabla 3
muestra las distancias de cada cantera a Machala, la capacidad disponible, el volumen que
efectivamente se asignó a Machala desde cada cantera en la solución óptima, y el costo incurrido por
cada cantera.
Tabla 3:
Resultados de optimización para Machala de demanda 50.000 m³:
Cantera
Distancia a
Capacidad (m³)
Volumen asignado a
Costo de ese
Machala (km)
Machala (m³)
envío ($)
Cantera 1
5,0 km
15.000 m³
15.000 m³
37.500 $
Cantera 2
12,0 km
10.000 m³
5.000 m³
30.000 $
Cantera 3
8,0 km
12.000 m³
12.000 m³
48.000 $
Cantera 4
20,0 km
10.000 m³
0 m³
0$
Cantera 5
22,0 km
25.000 m³
0 m³
0$
Cantera 6
24,0 km
10.000 m³
0 m³
0$
Cantera 7
10,0 km
10.000 m³
10.000 m³
50.000 $
Cantera 8
12,0 km
8.000 m³
8.000 m³
48.000 $
Cantera 9
28,0 km
15.000 m³
0 m³
0$
Cantera 10
35,0 km
40.000 m³
0 m³
0$
Nota. Se muestra asignación de volúmenes de material desde diferentes canteras hacia Machala,
cumpliendo la demanda de 50.000 m³ con un criterio de optimización que prioriza distancias cortas y
capacidades disponibles.
Del total de 50.000 m³ demandados en Machala, el modelo sugiere obtener: 15.000 m³ de la
Cantera 1, 12.000 m³ de la Cantera 3, 10.000 m³ de la Cantera 7, 8.000 m³ de la Cantera 8 y los 5.000
m³ restantes de la Cantera 2. Las canteras 1, 3, 7 y 8 agotan completamente su capacidad, mientras que
la Cantera 2 sólo se utiliza parcialmente de 5.000 de 10.000 m³. Las demás canteras al tener mayores
distancias a Machala, no se usan en este escenario óptimo, pues resultaría más costoso traer material
desde ellas mientras haya suficiente disponibilidad en las fuentes más cercanas. El costo total mínimo
para abastecer Machala así es la suma de la última columna, que asciende aproximadamente a $
213.500.
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Se observa que las canteras más próximas 1, 3, 7, 8 fueron explotadas primero hasta su
capacidad, antes de recurrir a otras más lejanas, lo cual concuerda con la expectativa de minimizar
costos. En este caso, tras usar las cuatro canteras cercanas, aún faltaban 5.000 m³ para llegar a 50.000;
ese remanente se obtuvo de la siguiente mejor opción, la Cantera 2. Ninguna cantera con distancia
mayor a 12 km fue necesaria, lo que ilustra claramente la lógica del modelo que es la de priorizar las
rutas de menor distancia hasta donde la disponibilidad lo permita, logrando así el costo mínimo.
Ilustración 3:
Distribución de los volúmenes asignados a Machala desde cada cantera
Nota. Las barras azules indican cuántos m³ aporta cada cantera. Se aprecia que solo 5 canteras cubren
la demanda: las barras de Cantera 1, 3, 7, 8 alcanzan su tope, agotando la capacidad, y la Cantera 2
completa el resto. Las canteras 4, 5, 6, 9 y 10 no contribuyen por tener distancias más largas y no ser
necesarias dado que las cercanas cubrieron la demanda.
Ilustración 4:
Distribución de los costos de transporte por cantera para Machala
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Nota. Los costos siguen la distribución de volúmenes ponderada por la distancia: las canteras 1 y 3,
pese a transportar volúmenes altos, tienen costos relativamente moderados de $37.500 y $48.000 gracias
a su poca distancia. La Cantera 7 y la 8, aunque aportan volúmenes similares a la 1 y 3, incurren en
costos ligeramente mayores de $50.000 y $48.000 respectivamente por sus distancias un poco mayores.
En conjunto, Machala incurre en alrededor de $213.500, ninguna cantera lejana aporta costo, al no ser
utilizada.
Caso 2: Abastecimiento óptimo de Pasaje de 30.000 m³
Considerando ahora solo la demanda de Pasaje (30.000 m³), se procede de forma análoga. La Tabla 3
detalla los resultados para este subproblema: distancias a Pasaje, capacidades, volumen enviado por
cantera y costo correspondiente.
Tabla 4:
Resultados de optimización para Pasaje de demanda 30.000 m³
Cantera
Distancia a Pasaje
(km)
Capacidad
(m³)
Volumen asignado a
Pasaje (m³)
Costo de ese
envío ($)
Cantera 1
25,0 km
15.000 m³
0 m³
0$
Cantera 2
10,0 km
10.000 m³
0 m³
0$
Cantera 3
27,0 km
12.000 m³
0 m³
0$
Cantera 4
5,0 km
10.000 m³
10.000 m³
25.000 $
Cantera 5
8,0 km
25.000 m³
10.000 m³
40.000 $
Cantera 6
6,0 km
10.000 m³
10.000 m³
30.000 $
Cantera 7
25,0 km
10.000 m³
0 m³
0$
Cantera 8
22,0 km
8.000 m³
0 m³
0$
Cantera 9
15,0 km
15.000 m³
0 m³
0$
Cantera
10
30,0 km
40.000 m³
0 m³
0$
Nota. Resultados óptimos para Pasaje utiliza exclusivamente tres canteras locales: Cantera 4, 5 y 6, cada
una suministrando 10.000 m³. Coincidentemente, cada una de estas tres cubre exactamente un tercio de
la demanda. La Cantera 5 tenía capacidad para 25.000, pero solo se requirió usar 10.000 de ella, ya que
las otras dos podían aportar el resto.
Estas tres canteras son precisamente las más cercanas a Pasaje, por lo que es recomendable que
abastezcan la ciudad primero. Al agotar la capacidad de las canteras 4, 5, 6, la demanda de Pasaje queda
completamente satisfecha sin necesidad de recurrir a ninguna fuente adicional. Las demás canteras al
tener distancias mayores o ubicaciones menos ventajosas, no entran en la optimización. El costo total
mínimo para Pasaje asciende a $ 95.000, resultado de 10.000 m³ a 5 km (Cantera 4) + 10.000 a 6 km
(Cantera 6) + 10.000 a 8 km (Cantera 5), es decir: $25.000 + $30.000 + $40.000.
En resumen, Pasaje se abastece íntegramente de sus canteras más cercanas, cada una aportando una
cantidad significativa. No hubo necesidad de usar canteras más lejanas como la 2 o la 9 porque las
locales cubrieron el 100% de la demanda. Esto reafirma la importancia de la proximidad que mientras
haya suficiente capacidad local a bajo costo, no se activa la oferta distante.
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Ilustración 5:
Volumen óptimo enviado a Pasaje desde cada cantera
Nota. Solo las barras de las canteras 4, 5 y 6 no son cero, indicando que estas tres canteras locales
cubren toda la demanda de Pasaje. El resto de canteras permanecen sin uso en este escenario, por lo que
ni siquiera se ven en el gráfico debido a la escala.
Ilustración 6:
Costo de transporte por cantera para Pasaje
Nota. Los únicos costos son aportados por las canteras 4 ($25.000), 5 ($40.000) y 6 ($30.000), sumando
$95.000. Nuevamente, se refleja cómo cada cantera cercana absorbe un tercio del costo total. Las
canteras no utilizadas no contribuyen costo alguno.
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Caso 3: Abastecimiento óptimo de El Cambio de 20.000 m³
El tercer escenario optimiza el suministro para El Cambio de 20.000 m³ de demanda individualmente.
La Tabla 5 presenta los resultados para El Cambio.
Tabla 5:
Resultados de optimización para El Cambio de demanda 20.000 m³
Cantera
Distancia a El
Cambio (km)
Capacidad
(m³)
Volumen asignado a
El Cambio (m³)
Costo de ese
envío ($)
Cantera 1
12,0 km
15.000 m³
2.000 m³
12.000 $
Cantera 2
18,0 km
10.000 m³
0 m³
0$
Cantera 3
16,0 km
12.000 m³
0 m³
0$
Cantera 4
28,0 km
10.000 m³
0 m³
0$
Cantera 5
30,0 km
25.000 m³
0 m³
0$
Cantera 6
32,0 km
10.000 m³
0 m³
0$
Cantera 7
3,0 km
10.000 m³
10.000 m³
15.000 $
Cantera 8
7,0 km
8.000 m³
8.000 m³
28.000 $
Cantera 9
35,0 km
15.000 m³
0 m³
0$
Cantera
10
40,0 km
40.000 m³
0 m³
0$
Nota. Se indica en la tabla que para la parroquia El Cambio, las canteras 7 y 8, que se ubican muy cerca,
proveen la mayor parte del material. La Cantera 7 entrega 10.000 m³ y la Cantera 8 aporta 8.000 m³.
Con eso se cubren 18.000 de los 20.000 m³ requeridos. Falta un pequeño saldo de 2.000 m³,
que el modelo sugiere tomar de la siguiente mejor alternativa: la Cantera 1, que está a unos 12 km de
El Cambio. Aunque la Cantera 1 está un poco más lejos que 7 y 8, tenía capacidad sobrante y ofrece
esos 2.000 m³ a un costo justificado. Otras canteras con distancias similares o menores capacidades no
resultaron escogidas, posiblemente porque la 1 ya estaba disponible y es ligeramente más cercana que
la 3.
Con esta combinación, El Cambio recibe sus 20.000 m³ al costo mínimo total de $55.000.
Desglosado: 10.000 m³ a 3 km = $15.000 (C7) + 8.000 a 7 km = $28.000 (C8) + 2.000 a 12 km =
$12.000 (C1). Las canteras más alejadas no se utilizan para nada, pues no hace falta recurrir a ellas dado
que las más cercanas cubren toda la demanda.
En resumen, El Cambio se abastece localmente en un 90% de las canteras 7 y 8, complementado
con un pequeño aporte de Machala de la cantera 1. Este último ocurre porque la capacidad total conjunta
de 7+8 era 18.000 < 20.000; de haber sido mayor o igual, El Cambio se habría abastecido 100% local.
Cabe destacar que la Cantera 1, aun estando originalmente asociada a Machala, al tener proximidad
moderada también es competitiva para El Cambio y termina cubriendo el faltante de 2.000 m³.
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Ilustración 7:
Volúmenes asignados a El Cambio por cantera
Nota. Vemos que solo las canteras 7, 8 y 1 tienen barras positivas. La cantera 7 y 8, las más cercanas,
dominan claramente el suministro. La ligera contribución de la cantera 1 evidencia cómo se cubre el
remanente una vez agotadas las locales. Las demás canteras permanecen en cero.
Ilustración 8:
Costos de transporte por cantera para El Cambio
Figura 6. Costos de transporte por cantera para El Cambio. Se reflejan únicamente costos en las canteras
utilizadas: la 7 y la 8 aportan la mayor parte, mientras que la cantera 1 incurre en $12.000 por su
contribución menor. El costo total suma $55.000.
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Caso 4: Optimización global conjunta de Machala, Pasaje y El Cambio
El modelo completo se considera las tres ciudades demandantes y las 10 canteras. En este caso
global, las canteras deben repartir sus recursos entre distintos destinos potenciales. La solución óptima
conjunta puede diferir de la suma de soluciones individuales, dado que ahora las canteras compiten por
atender distintas ciudades y una misma cantera no puede exceder su capacidad total entre todas las
entregas.
Tabla 6:
Asignación óptima conjunta de volúmenes desde cada cantera a las tres ciudades
Cantera
A Machala
(m³)
A Pasaje
(m³)
A El
Cambio (m³)
Total
usado (m³)
Capacidad
(m³)
Costo total
($)
Cantera 1
15.000
0
0
15.000
15.000
37.500
Cantera 2
8.000
0
2.000
10.000
10.000
66.000
Cantera 3
12.000
0
0
12.000
12.000
48.000
Cantera 4
0
10.000
0
10.000
10.000
25.000
Cantera 5
15.000
10.000
0
25.000
25.000
205.000
Cantera 6
0
10.000
0
10.000
10.000
30.000
Cantera 7
0
0
10.000
10.000
10.000
15.000
Cantera 8
0
0
8.000
8.000
8.000
28.000
Cantera 9
0
0
0
0
15.000
0
Cantera 10
0
0
0
0
40.000
0
Nota. Resumen de la asignación óptima obtenida que se muestra cuánto entrega cada cantera a cada
ciudad, su uso total y la capacidad, así como el costo total asociado a cada cantera.
De la tabla se desprenden varios hallazgos importantes sobre la solución global óptima:
• Costo mínimo total conjunto: sumando los costos por cantera, se obtiene $454.500 como
costo total para abastecer las tres ciudades simultáneamente. Este valor es mayor que la suma
de los costos individuales por separado $213.500 + $95.000 + $55.000 = $363.500. La razón
es que, al considerar el problema conjunto, las canteras deben repartir sus volúmenes y algunas
ciudades no pueden obtener todo de las fuentes más baratas porque esas fuentes están
compartidas con otras ciudades. En otras palabras, hay competencia por los recursos de las
canteras cercanas, lo que obliga a usar a veces canteras adicionales más costosas para cubrir
toda la demanda global. Esto refleja la realidad que, si Machala acopia una cantera cercana, a
Pasaje o El Cambio les puede tocar una opción más cara, y viceversa.
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•
Asignaciones por ciudad en el óptimo global:
− Machala (50.000): Recibe 15.000 de C1, 12.000 de C3, 8.000 de C2, y 15.000 de C5.
Es notable que en la solución conjunta Machala debe complementar su abastecimiento
con 15.000 m³ de la Cantera 5, a pesar de que en la solución individual Machala no
usaba la cantera 5 en absoluto. Esto ocurre porque en el contexto global, las canteras 1,
3 y 2 también son necesitadas por otras ciudades o están limitadas en capacidad. De
hecho, C1 y C3 entregan a Machala todo lo que pueden. La Cantera 7 y 8, que Machala
habría usado individualmente, ya no envían nada a Machala, porque ahora están
dedicadas a El Cambio completamente. Por tanto, a Machala le faltaban 15.000 que
tuvo que obtener del siguiente proveedor disponible: la Cantera 5. Aunque C5 está a
22 km de Machala, tenía gran capacidad y no podía usarse toda para Pasaje solamente;
entonces el modelo le asignó el exceso a Machala. Machala así queda servida, pero a
costa de incorporar un origen más distante que encarece su costo respecto al escenario
independiente.
− Pasaje (30.000): En la solución global sigue recibiendo 10.000 de C4, 10.000 de C6,
pero ahora solo 10.000 de C5. Es decir, Pasaje continúa abasteciéndose completamente
de sus tres canteras cercanas, pero la diferencia es que la Cantera 5 ahora envía 15.000
a Machala y solo 10.000 a Pasaje. Pasaje sigue recibiendo lo necesario, pero la
capacidad de C5 debió repartirse entre dos ciudades. No necesita fuentes adicionales,
ya que 4, 5, 6 suman su demanda justa.
− El Cambio (20.000): Obtiene 10.000 de C7, 8.000 de C8 y 2.000 de C2. Aquí hay un
cambio en la solución global, la Cantera 1 no envía nada a El Cambio; en su lugar, el
faltante de 2.000 m³ es cubierto ahora por la Cantera 2, porque en el óptimo global, la
Cantera 1 fue completamente utilizada por Machala y no le quedó disponibilidad para
El Cambio. La Cantera 2, que es compartida por Machala y tenía 2.000 libres, termina
satisfaciendo esos 2.000 de El Cambio. Aunque C2 es más lejana a El Cambio que C1,
fue la opción restante porque C1 quedó ocupada. En síntesis, El Cambio mantiene sus
proveedores locales principales, pero cambia su fuente complementaria debido a que
usa C2 en vez de C1, debido a la asignación global.
•
Uso de capacidad de las canteras: Las canteras 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 están todas utilizadas al
100% de su capacidad en la solución global. Es decir, agotaron su oferta disponible repartida
entre algunas ciudades, en cambio, las canteras 9 y 10 permanecen sin uso. Esto indica que
incluso a nivel conjunto, nunca fue rentable usar las canteras más lejanas, pues las más cercanas
bastaron para cubrir el total de 100.000 m³, aunque varias se saturaron. Si la demanda total
hubiese sido mayor que 135.000, entonces seguramente habría que emplear la cantera 9 o 10,
pero en este caso no hizo falta.
•
Distribución del costo total: Se observa que el mayor costo recae en la Cantera 5 con
$205.000, seguida por la Cantera 2 con $66.000, Cantera 3 con $48.000, etc. La Cantera 5 fue
la más costosa porque transporta 25.000 m³, de los cuales 15.000 van a Machala a larga
distancia, sumado a 10.000 a Pasaje a mediana distancia. De hecho, C5 representa casi un 45%
del costo total del sistema. En general, las canteras 1, 3, 4, 6, 7, 8 aunque están todas al máximo
de volumen tienen menores costos absolutos debido a sus distancias cortas. En cambio, la
Cantera 2, que combinó envíos a Machala y El Cambio, incurrió en un costo total de $66.000,
mayor que varias canteras locales, reflejando su distancia moderada.
En términos cualitativos, el plan óptimo global se afirma el principio de cercanía que Machala
obtiene todo lo posible de sus cercanas de C1, C3, C2 antes de tener que jalar de una cantera más lejana
de C5. Pasaje sigue con sus cercanas de C4, C6, C5 y El Cambio con las suyas de C7, C8, y ajusta con
C2 cuando C1 no está disponible. Las canteras lejanas no entran mientras las cercanas puedan cubrir
las demandas en conjunto. Este resultado coincide con la intuición y con hallazgos de estudios similares,
donde se vio que las canteras más cercanas con distancias de 7 a 20 km deben explotarse primero hasta
su capacidad antes de recurrir a fuentes más lejanas.
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Ilustración 9:
Volumen total asignado por cantera en el escenario global
Nota. Cada barra azul muestra la suma de m³ que cada cantera entrega. Las canteras 1 y 8 están al
máximo de su altura, mientras que las 9 y 10 permanecen en cero. Sobresale la Cantera 5 con 25.000
m³ entregados en total, seguida de la 1, 3, 4, 6, 7. Este gráfico enfatiza que casi todas las canteras
disponibles debieron emplearse completamente para satisfacer conjuntamente las demandas, salvo las
dos más remotas que quedaron sin usar por motivos de costo.
Ilustración 10:
Costo total incurrido por cantera en la solución global
Nota. Se evidencia el impacto de las distancias: aunque 8 canteras se usan a plena capacidad, su
contribución al costo varía. La Cantera 5, por su gran volumen y trayectos relativamente largos,
representa $205.000 del costo. Otras canteras con distancias moderadas como la 2 y 3 tienen costos
apreciables de 66.000 y 48.000, mientras que las cercanas a sus destinos como la 4, 6, 7, 8 muestran
costos más bajos de 15.000 a 30.000 pese a entregar volúmenes similares, debido a las distancias cortas.
Este reparto de costos sugiere en qué puntos logísticos convendría buscar mejoras como, por ejemplo,
reducir la dependencia de la Cantera 5 podría tener gran impacto en disminuir el costo total.
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Análisis de sensibilidad
Es necesario evaluar cómo de necesaria es la solución óptima ante cambios en los parámetros clave, ya
que, en un modelo lineal de transporte como este, pequeños cambios en demandas, capacidades o costos
pueden alterar qué canteras se seleccionan o en qué punto se empiezan a usar fuentes más lejanas.
•
Variaciones en la demanda: Si la demanda de alguna ciudad aumenta más allá de la capacidad
combinada de sus canteras cercanas, el modelo comenzará a incorporar suministro de canteras
más lejanas, incrementando el costo marginalmente. Por ejemplo, si el requerimiento de
Machala creciera de 50.000 m³ a 60.000 m³, los 10.000 m³ adicionales tendrían que provenir
necesariamente de una fuente lejana. El costo marginal de esos 10.000 m³ sería elevado,
reflejando una alta sensibilidad del costo total a demandas que superen la oferta local. En
términos de duales, el costo incremental por m³ adicional en Machala sería precisamente el
costo por 𝑚³ − 𝑘𝑚 de la siguiente cantera disponible, lo cual alerta de un aumento pronunciado
en costo más allá de cierto punto.
•
Variaciones en las capacidades: De modo inverso, si se ampliara la capacidad de una cantera
cercana o apareciera una nueva fuente cercana, el modelo la explotaría para sustituir a las
costosas, si la Cantera 1 tuviera no 15.000 m³ sino 30.000 m³ disponibles, es de esperar que
Machala tomaría más de C1 abaratando el costo y así se reduciría el uso de la lejana C5. El
costo total bajaría significativamente hasta que la cantera 1 nuevamente se saturase. Esto
muestra que reforzar las fuentes cercanas reduce directamente el costo óptimo, hasta el límite
en que cubren la demanda totalmente. Por el contrario, si una cantera estratégica se vuelve
inoperativa, entonces Machala y Pasaje tendrían que recurrir a combinaciones alternas:
Machala tomaría probablemente de la cantera 9 que está a 28 km o de otras, y Pasaje quizá
usaría la cantera 2 o 9 para suplir lo que la 5 daba. El costo total se incrementaría y la
configuración cambiaría una vez que las fuentes de reemplazo entren. En general, las canteras
con costos reducidos suelen tener precios duales elevados en las restricciones de capacidad, lo
que significa que su ausencia o limitación encarece notablemente la solución.
•
Variación del costo unitario (precio de combustible, etc.): Si el costo por 𝑚³ − 𝑘𝑚 𝑘
aumentara, por ejemplo, de $0,5 a $0,6 debido a suba de combustible, la solución en cuanto a
asignaciones no cambiaría, pero el costo total subiría proporcionalmente. Es decir, en este
modelo el factor 𝑘 actúa como un multiplicador global; no altera qué rutas son escogidas
mientras sea uniforme, pero sí afecta a la escala de costos. Un análisis más interesante sería
contemplar diferencias en costos unitarios entre canteras, o la introducción de costos fijos por
apertura de cantera, lo cual complicaría el modelo, pero bajo suposiciones lineales, la solución
recae más en la geometría que en variaciones uniformes de costos.
•
Escenarios de contingencia: El modelo puede usarse para simular escenarios hipotéticos, en
caso ocurra que una carretera principal se corta y la distancia a cierta cantera aumentaría
drásticamente, esto se traduciría en un 𝑑𝑖𝑗 mayor para ese par cantera-ciudad. Solver
recalcularía la solución, posiblemente desplazando flujo hacia otras rutas alternativas. Este tipo
de análisis con preguntas de que pasaría si, es valioso para la planificación de contingencias,
permitiendo volver a evaluar rutas alternativas y saber cuánto más costaría la logística en caso
de interrupciones.
Con el análisis de sensibilidad se muestra que la solución hallada es coherente y estable mientras no se
excedan las disponibilidades locales. Las conclusiones principales permanecen válidas en un rango
amplio de condiciones. Sin embargo, ante cambios drásticos un gran aumento de demanda, pérdida de
una cantera clave o alza enorme de costos de transporte el plan óptimo se ajustará en consecuencia,
pudiendo involucrar fuentes que antes no eran utilizadas lo que resalta la importancia de continuamente
actualizar el modelo con datos reales de disponibilidad y costos, y quizás expandirlo para incluir
consideraciones dinámicas o estratégicas si el contexto lo requiere.
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Conclusiones y Recomendaciones
Mediante la formulación y resolución de este modelo de transporte, se logró minimizar el costo total de
llevar 100.000 m³ de material de cantera a Machala, Pasaje y El Cambio, cumpliendo exactamente con
las demandas y sin sobrepasar las capacidades de las fuentes. El modelo matemático proporcionó un
plan claro y de costo mínimo, indicando cuánto material transportar desde cada cantera y hacia cada
ciudad, respetando todas las limitaciones operativas. En la solución óptima conjunta, todas las
demandas fueron cubiertas al menor costo posible y ninguna cantera excedió su oferta disponible,
mostrando que el plan es factible y óptimo para los gestores del proyecto.
Los resultados reafirman un hallazgo central: para reducir costos, conviene explotar primero al máximo
las canteras más cercanas a los puntos de consumo antes de recurrir a fuentes distantes. En nuestro caso,
las canteras ubicadas de 5 a12 km de las ciudades suplieron la mayor parte del material hasta agotar su
capacidad, y solo entonces se incorporó material de una cantera a 22 km cuando ya no quedaba otra
opción para Machala. Las canteras muy alejadas mayores a 28km ni siquiera fueron utilizadas, lo que
ahorró costos significativos en comparación con una distribución no optimizada o intuitiva que quizás
hubiera asignado parte del material desde esas fuentes lejanas. Este resultado cuantifica el beneficio de
la optimización: el costo total de $454.500 es sustancialmente menor que cualquier plan alternativo que
involucre más transporte desde lejos. Por ejemplo, si por criterios operativos se hubiera dividido la
demanda de forma equitativa entre canteras sin considerar distancias, el costo habría sido muchísimo
mayor. Así, el modelo demuestra valor tangible al identificar una asignación de cargas óptima.
Otro aspecto destacado es que el modelo garantiza un plan factible es que la demanda está cubierta sin
déficit y sin excedentes, y cada cantera opera dentro de sus límites. Esto mejora a los planificadores de
que pueden satisfacer los requerimientos sin sobreexplotar ningún proveedor. Por otra parte, la solución
ofrece flexibilidad en el sentido que, si alguna cantera resultase no disponible, se sabe inmediatamente
a quién reemplazarla. De hecho, la simplicidad del modelo facilita realizar estos ajustes y volver a
optimizar rápidamente en Excel Solver ante cambios, dada la rapidez del programa.
Recomendaciones: Basado en el análisis, se sugieren las siguientes acciones para la toma de decisiones
logísticas en proyectos similares:
• Priorizar convenios de suministro con las canteras más cercanas a cada frente de obra,
asegurando su producción hasta el volumen máximo posible antes de considerar otras. Estas
fuentes ofrecen el material al menor costo unitario de transporte, por lo que maximizan la
eficiencia económica.
• Planificar la logística conjunta cuando varias obras o ciudades cercanas comparten fuentes. Este
estudio mostró que la asignación óptima global puede diferir de la suma de óptimos
individuales. Por tanto, es recomendable coordinar el abastecimiento de múltiples proyectos en
una región mediante un enfoque integral, para evitar competencia ineficiente por una misma
cantera. Un modelo conjunto permite arbitrar cuál demanda atiende cada fuente de manera
óptima.
• Mantener margen de seguridad en capacidad de las canteras clave se usaron al 100%, lo cual es
óptimo en costos, pero deja poca holgura ante imprevistos. Se sugiere, de ser posible, negociar
capacidades adicionales o tener canteras suplentes identificadas en caso de que alguna falle o
la demanda aumente. Esto va en línea con planificar contingencias y realizar análisis de
escenarios de ¿Qué pasaría sí? con el modelo.
• Utilizar el modelo de manera dinámica conforme avance el proyecto. Por ejemplo, si las
demandas reales cambian o nuevas canteras se habilitan, se debe volver a calcular la
optimización. La programación lineal es una herramienta rápida que puede recalcular el plan
óptimo ante nuevos datos en segundos, manteniendo la decisión logística siempre actualizada
y basada en información cuantitativa.
• Explorar extensiones del modelo para mayor eficiencia con el modelo minimizó costo
puramente en función de distancia, pero en la práctica podría complementarse con otros
criterios, como sería el caso de considerar los tiempos de ciclo de camiones, introducir múltiples
puntos de entrega dentro de una ciudad, o incluso criterios ambientales en un enfoque
multiobjetivo. Estas mejoras aumentarían la complejidad, pero podrían abordarse con software
especializado o versiones ampliadas del modelo, sin embargo, el modelo lineal de transporte es
una base sólida y válida para decisiones de corto plazo.
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La aplicación de técnicas de optimización brinda una solución cuantitativa óptima que sirve de
guía para la logística de transporte de materiales en la construcción. Este estudio con los 4 casos en las
ciudades de Machala, Pasaje y El Cambio muestra cómo, con datos adecuados, se puede planificar el
abastecimiento al mínimo costo y justificar las decisiones con un sustento técnico transparente, lo que
se recomienda utilizar herramientas como Excel Solver para problemas de transporte similares, ya que
proveen resultados inmediatos y fiables que pueden traducirse en ahorros económicos y operativos
significativos. Con base en este análisis, las autoridades o empresas constructoras de la región podrían
proceder a ejecutar el plan óptimo identificado, a la vez que mantienen un monitoreo de las condiciones
por si se requiere recalcular la optimización ante cambios futuros, asegurando así la eficiencia global y
la sustentabilidad del proyecto en el tiempo.