Capítulo 3
LÓGICA TRIVALENTE
Una Lógica polivalente se tiene cuando el principio P1 de la Lógica
Clásica se modifica, permitiendo que los valores admitidos para una
proposición sean más de dos. El nivel más sencillo de la Lógica
Polivalente se tiene cuando se asigna a una proposición uno de entre
tres valores distintos.
El matemático y lógico polaco Jan Lukasiewicz desarrolló una Lógica
trivalente, la cual admite los valores: verdadero, indeterminado y
falso. A su vez, el lógico Emil Post propuso
propuso que a toda proposición se
se
le asignara un valor de entre m valores enteros positivos. Consideró
sistemas en los que en vez de dos valores de verdad {1 , 0} se
m
1
2
3
distingan
valores
donde m es un
enterodistintos
positivo. de veracidad { V , V , V , … ,V }
m
Así, una fórmula proposic
proposicional
ional de orden n, esto es, con n letras
proposicionales tiene en su tabla de veracidad m combinaciones
posibles de los valores V1, V2, V3, …, Vm de las letras proposicionales; es decir, su tabla se configura con m renglones. Posteriormente J. Lukasiewicz y su discípulo Alfred Tarski consolidaron la
lógica polivalente que permite a una proposición tomar un valor
intermedio entre el valor 0 y el valor 1 de entre un número finito o
infinito de valores posibles.
n
n
Mas recientemente la Lógica Matemática se enriqueció con la
llamada Lógica Fuzzy, la cual se conoce también con los nombres de
Lógica Difusa o Lógica Borrosa, desarrollada por el ingeniero
eléctricista, de padre iraní y madre rusa, Lofti Asker Zadeh (4 Feb.
1921, Baku, Azerbaiyan, URSS–Berkeley, E.U. 6 Septiembre 2017).
3.1 LÓGICA TRIVALENTE
A decir de J. Lukasiew
Lukasiewicz
icz el principio P1, la piedra angular de la
Lógica Clásica, según el cual toda proposición, o bien es verdadera,
o bien es falsa, no es completamente evidente, ya que una
proposición como, por ejemplo,
“
El Sol se apagará el 1 de enero de 2050
”
34 LÓGICA TRIVALENTE
no puede ser ahora ni verdadera ni falsa; debe tener un valor distinto
de 1 (verdadero) y de 0 (falso). Este valor podría tomarse como ½ ,
es decir, ni verdadero ni falso, o, indeterminado; valor que representa
un “futuro contingente”: no necesario, no imposible; que evita la
aparición de la paradoja de un futuro ya escrito.
La Lógica Trivalente es entonces un sistema en el que el conjunto de
valores de veracidad para las proposiciones es {1, ½ , 0}, es decir,
el principio P1 de la Lógica Clásica toma
t oma la siguiente extensión
P1*. Toda proposición es o verdadera, o falsa, o ni verdadera ni falsa.
Así, dándole un enfoque algebraico, P1* establece que a una
proposición p se le puede asignar uno solo de los tres valores dados
en la siguiente tabla
p
1
½
0
Tabla 3.1
En cambio, el principio P2 se mantiene igual. El siguiente paso en el
desarrollo de una Lógica Trivalente es dar la tabla de veracidad para
el esquema proposicional monario ¬ p. Su tabla es la siguiente
p
p
1
½
0
0
½
1
Tabla 3.2
Como se aprecia en la Tabla 3.2, no hay ninguna novedad en la
definición de ¬ p salvo para el valor ½ , caso en el que la negación
de p toma también el valor ½ (segundo reglón).
Es decir, si los valores de p en la Lógica Trivalente, se restringen a
1 y 0 , se obtiene exactamente la definición de la negación de p de la
Lógica Bivalente.
LÓGICA TRIVALENTE 35
Podemos además, dar una expresión algebraica que indica la
construcción de la Tabla 3.2: si los signos [ p ] y [¬p] representan
respectivamente
respectivame
nte los valores de veracidad de la letra proposicional p
y el esquema monádico ¬ p entonces :
[ ¬ p] = 1 – [ p]
La Tabla 3.2 corresponde a la columna 22 de la siguiente matriz
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15 16 17 18 19 20 21
p
p
1 1 1 1 1
22 23 24 25 26 27
1
1 1 1 1 ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ 0 0 0 0 0 0 0 0 0
½ 1 1 1 ½ ½ ½ 0 0 0 1 1
1 ½ ½ ½ 0 0 0 1 1 1 ½ ½ ½ 0 0 0
0 1 ½ 0 1 ½ 0 1 ½ 0 1 ½ 0 1 ½ 0 1 ½ 0 1 ½0 1 ½ 0 1 ½ 0
Tabla 3.3
Observe que la Tabla 3.3 contiene 27 columnas de valores de
veracidad
y podríanEstas
definirse
sendos conectores
monádicos
la
Lógica Trivalente.
27 posibilidades
para las
tablas deenlos
conectores monádicos corresponden al valor m , cuando m = 3 y
n = 1. Recuerde además, que para el caso de la Lógica Bivalente se
pueden definir solo 2 = 4 conectores monarios posibles a saber:
m
n
1
2
1
2
3
p
p
1 1 1
0 1 0
0
1
4
0
0
Tabla 3.4
de los cuales estudiamos
estudiamos el dado por la columna 3 para definir la
negación de p.
Sigue en el desarrollo de la Lógica Trivalente el establecimiento de
las tablas de veracidad para los esquemas proposicionales binarios
básicos: p q , p q , p → q y p ↔ q.
Lo hacemos por intermedio de la Tabla 3.5 siguiente; pero antes,
recordamos que al inicio del presente capítulo dijimos que para una
Lógica de tres valores (m = 3), una fórmula proposicional binaria (n = 2
letras proposicionales) configura
configura una tabla de 32 = 9 renglones.
36 LÓGICA TRIVALENTE
p
q
p q
p q
p →q
p↔q
p
q
p q
p q
p→q
p↔q
1
1
1
½
½
½
0
0
0
1
½
0
1
½
0
1
½
0
1
½
0
½
½
0
0
0
0
1
1
1
1
½
½
1
½
0
1
½
0
1
1
½
1
1
1
1
½
0
½
1
½
0
½
1
1
1
1
½
½
½
0
0
0
1
½
0
1
½
0
1
½
0
1
½
0
½
½
0
0
0
0
1
1
1
1
½
½
1
½
0
1
½
0
1
1
½
1
1
1
1
½
0
½
1
½
0
½
1
Tabla 3.5
Tabla 3.6
En la Tabla 3.5 están las definiciones de los conectores binarios
dadas por J. Lukasiewicz. Observe que en la Tabla 3.6 las
combinaciones para p y q de los renglones sombreados 1, 3, 7 y 9
corresponden a las definiciones de los cuatro esquemas
proposicionales p q, p q, p q y p
q dadas en la Lógica
Bivalente; esto muestra que las definiciones de la Tabla 3.5 son una
extensión de las definiciones
definiciones de los conectores
conectores , ,
y
de la
lógica clásica.
→
↔
→
↔
Como se aprecia en la Tabla 3.5, la conjunción p q toma siempre el
menor valor entre el valor de p y el valor de q; en cambio la
disjunción p q tiene siempre el mayor valor.
Para “efectos algebraicos” consideremos los símbolos [ p ] , [ q ] ,
[p q] , [ p q] , [ p q] y [ p q] para representar los valores de
veracidad de las letras o esquemas proposicionales que contiene
cada par de corchetes. Entonces, la construcción de la Tabla 3.5 se
rige por las cuatro igualdades siguientes:
→
↔
[ p q] = min{ [p], [q] }
[ p q] = max{ [p], [q] }
[ p → q] = min {1, 1 – [p] + [q] }
[ p ↔ q] = 1 – | [p] – [q] |.
En la Lógica Trivaluada de Lukasiewicz la noción de tautología es la
misma dada en la Lógica Bivalente; sin embargo, en esta lógica no
se tienen todas las tautologías de la Lógica Bivalente, tal es el caso
de la Ley del Tercio Excluido y la Ley de Contradicción. Veamos la
tabla de veracidad de la primera para confirmar que no todos los
valores del esquema p p son iguale
igualess a 1.
LÓGICA TRIVALENTE 37
p
p
1
½
0
0
½
1
p ¬ p
1
½
1
Tabla 3.7
En la Lógica Trivalente existen fórmulas proposicionales que nunca
toman el valor 0, o bien, nunca toman el valor 1. En tal caso, si la
tabla de veracidad contiene solo los valores 1 y ½ se dice que la
fórmula proposicional es una cuasitautología; así mismo, decimos
que una fórmula proposicional es una cuasicontradicción si su tabla
de veracidad contiene solo los valores 0 y ½.
Es evidente entonces que la Ley de Tercio Excluido de la lógica
bivalente, es una cuasitautología en la lógica trivalente e igual ocurre
con la fórmula ¬ (p ¬ p ), la Ley de Contradicción.
De
parte,
existenasignando
varias formas
de extender
Lógica
Clásica ae
unaotra
lógica
trivalente,
en todas
ellas a lalaverdad
, falsedad
indeterminación de una proposición los valores 1, 0 y ½ respectivamente, y además, definiendo el valor de la negación de una
proposición p, denotado por [¬p], mediante la misma igualdad dada
por Lukasiewicz: [¬ p] 1 – [ p] ; donde [ p] es el valor de la
proposición p.
Las definiciones de los conectores binarios: , ,
y
difieren
de una lógica trivalente a otra. Así por ejemplo, las lógicas trivalentes
creadas por Bochvar, Kleene, Heyting y Reinchenbach están
definidas de modo que también resultan ser extensiones de la Lógica
→
↔
Bivalente, es decir, para estas cuatro lógicas trivalentes los valores
de los esquemas binarios p q, p q, p q y p q son los mismos
establecidos para la Lógica Clásica, esto es, cuando los valores de p
y q se restringen a 0 y 1.
→
↔
Pero cuando se considera
considera el tercer valor,
valor, ½ , las cinco lógicas
trivalentes difieren en sus valores en alguno de los esquemas
binarios básicos, como se aprecia en la Tabla 3.8, en la que
incluimos de nuevo la definición de la lógica trivalente de Lukasiewicz
con el propósito de establecer diferencias.
38 LÓGICA TRIVALENTE
LUKASIEWICZ
p
q
1
1
1
BOCHVAR
KLEENE
HEYTING
REINCHENBACH
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1/2 1/2
1
1/2
1/2
1/2 1/2
1/2
1/2
1/2
1 1/2 1/2 1/2
1
1/2
1/2
1/2
1
1/2
1/2
1 0
0
1
0
0
0
1
0
0
0
1
0
0
0
1
0
0
0
1
0
0
1
1/2
1
1
1/2
1/ 2 1/2
1/2
1/2
1/2
1/2
1
1
1/2 1/2
1
1
1/2
1/2
1
1
1/2
1/2 1/2 1/2 1/2
1
1
1/2 1/2
1/2
1/2
1/2 1/2 1/2 1/2 1/2 1/2
1
1
1/2 1/2
1
1
1/2
0
0
1/2
1/2
1/2
1/2 1/2
1/2
1/2
0 1/2 1/2 1/2 0 1/2
0
0
0
1/2
1/2
1/2
0 1
0
1
1
0
0
1
1
0
0
1
0
0
1
1
0
0
1
1
0
0 1/2
0
1/2
1
1/2
1/2 1/2
1/2
1/2
0 1/2 1
1/2
0 1/2
1
0
0
1/2
1
1/2
0 0
0
0
1
1
0
1
1
0
1
0
1
1
0
0
1
1
1/2
0
1
0
1
0
Tabla 3.8
Tal como lo mostramos en la Lógica Trivalente de Lukasiewicz puede
también verificarse con facilidad que en las cuatro restantes lógicas
trivalentes,
mediante la Tabla
la Ley ydel
Excluido y ladefinidas
Ley de Contradicción
no son3.8,
tautologías
queTercio
igual
sucede con otras tautologías importantes de la Lógica Clásica.
En particular, la Lógica Trivaluada de Bochvar no satisface ninguna
de las tautologías de la Lógica Bivalente puesto que cada una de las
fórmulas binarias p q , p q , p q y p q toma el valor ½ cuando
al menos una de las proposiciones p y q toma este valor.
→
↔
Lukasiewicz introdujo además las lógicas n – valuadas (n 2) como
una generalización natural de su lógica trivalente. Los valores de
verdad que se utilizan en esta lógica son los elementos del conjunto
T ={ 0 =
n
0
n 1
,
1
n 1
,
2
n 1
, ,
n2
n 1
,
n 1
n 1
= 1}
Así mismo, las tablas de verdad para los esquemas proposicionales
básicos se obtienen a partir de las cuatro igualdades de la página 35
usadas para el caso de la lógica trivalente.
Similar al caso de la Lógica Bivalente, los conectores , y
pueden expresarse en términos de los conectores
y , así:
→
p q
p q
p↔q
( p → q) → q
¬ ( ¬ p ¬ q)
( p → q) (q → p)
↔
LÓGICA TRIVALENTE 39
Puede también considerarse lógicas infinitamente valuadas; por
ejemplo, podemos tomar todos los números racionales del intervalo
[ 0 ,1] como los valores de verdad para las proposiciones, o bien,
considerar los números reales del intervalo [ 0 ,1] para asignar un
valor T( p), a una proposición p, como sucede en la Lógica Fuzzy,
donde este difusa
valor pse
proposición
. interpreta como “el grado de verdad” de la
EJERCICIOS 3
1. Pruebe que la fórmula
f órmula p ¬ p , es una cuasicontradicción en las
cinco lógicas trivalentes definidas mediante la Tabla 3.8.
2. Muestre que en ninguna de las lógicas trivalentes, la Ley del Tercio
Excluido, p p , es una tautología.
3. ¿Es la negación de una cuasicontradicción, una cuasitautología en
las lógicas trivalentes?
4. Verifique si las leyes
leyes de simplificación
simplificación de la lógica clásica
clásica
(i) p ( p q )
(ii) ( p q) p.
son también tautologías en cada una de las lógicas trivalentes.
5. Determine si la fórmula [ ( p q ) p ] q es tautología, cuasitautología, cuasicontrad
cuasicontradicción
icción o ninguna de las tres, en la Lógica tritrivalente de Lukasiew
Lukasiewicz.
icz.
6. Precise el número de renglones que configura la tabla de veracidad
de la fórmula proposicional (( p q) ( q r )) ( p r ) en la
Lógica Trivalente de Lukasiewicz. ¿Desea dilucidar si esta fórmula
(Ley de transitividad del condicional en la Lógica bivalente)
bivalente) es
una tautología en esta lógica trivalente?
