Circuito RLC: Análisis y Ecuaciones Diferenciales

Práctica No.2: Circuito RLC
Oliver Oswaldo Garcia Arvizu
Ingeniería Electrónica, Instituto Tecnológico de Tijuana. Tijuana, México
[email protected]
Resumen— En el presente documento se realiza un estudio acerca
de los circuitos RLC del tipo serie, y de manera más precisa, se
plantea determinar una expresión que muestre el voltaje en el
capacitor en función del tiempo, el análisis se hace con relación a las
ecuaciones diferenciales, mediante estas se plantea la resolución de
un circuito simple conformado por un resistor, una bobina y un
capacitor, este conjunto de elementos será examinado bajo corriente
directa. Los conceptos a revisar en esta práctica implican un gran
desarrollo en la tecnología, pues a partir de este tipo de circuitos, se
pueden diseñar circuitos complejos con aplicaciones particulares,
tales como los amplificadores para audio, unidades de flash
fotográfico para la fotografía e inclusive desfibriladores para la
medicina. La integración de las matemáticas con los fenómenos
naturales han propuesto un sinfín de nuevas perspectivas en las
áreas de ingeniería y física, mediante ellas es posible la correlación
de magnitudes físicas tanto variables como constantes, prueba de lo
dicho es el análisis de los circuitos RC mediante ecuaciones
diferenciales.
I. INTRODUCCIÓN
El circuito resistor-inductor-capacitor o (RLC, por sus
siglas) es un tipo de circuito eléctrico el cual está compuesto
por un capacitor, un resistor, una bobina y una fuente de voltaje
[1]. Para el caso de la presente práctica, el análisis del circuito
RLC será de un tipo serie y con respecto a una fuente de voltaje
en corriente directa.
Fig. 1 Esquemático de un circuito RLC
Existen diversos tipos de circuitos RLC, los cuales se dividen
en las categorías: serie, paralelo y mixtos. Sin embargo, la
principal función que cumple un circuito RLC en corriente
directa es la de carga y descarga de un capacitor, pues debido a
las características de este componente, es posible la retención
de cargas en sus placas de modo que tras cierto tiempo el
capacitor se carga por completo, aunado a esto la carga del
capacitor está sujeta a la cantidad de cargas que circulan por el
circuito donde para un circuito RLC se regulan mediante un
resistor y bobina [2], es en este punto donde surge la
problemática con este tipo de circuitos, ya que existe
complejidad en determinar el voltaje sobre el capacitor en
función del tiempo, este tipo de análisis se lleva a cabo en un
sinnúmero de diseños para cuales se necesita de una gran
descarga [3]. En esencia el desarrollo de un circuito RLC
constituye interiorizar en leyes de circuitos eléctricos y
concretamente se trata de la ley de voltajes de Kirchhoff [4],
dicha ley afirma que la suma de la caída de voltajes de todos los
elementos de un circuito debe ser igual al voltaje de la fuente,
mediante esta afirmación es posible obtener la siguiente
ecuación.
𝐸 = 𝐸𝑅 + 𝐸𝐶 + 𝐸𝐿
(1)
Donde 𝐸 representa el voltaje suministrado por la fuente, 𝐸𝑅
es la caída de tensión en el resistor, 𝐸𝐶 es la caída de tensión en
el capacitor y 𝐸𝐿 es la caída de tensión en la bobina. De acuerdo
con la ley de Ohm la caída de tensión en un elemento se puede
reescribir de tal forma que:
𝐸𝑅 = 𝑅 ∙ 𝑖(𝑡)
(2)
1 𝑡
𝐸𝐶 = ∫0 𝑖(𝑡)𝑑𝑡
(3)
𝐶
𝑑𝑞
𝐸𝐿 = 𝐿 ( )
(4)
𝑑𝑡
De modo que al sustituir en la ecuación (1) se obtiene la
expresión:
1 𝑡
𝑑𝑞
𝐸 = 𝑅 ∙ 𝑖(𝑡) + ∫0 𝑖(𝑡)𝑑𝑡 + 𝐿( )
(5)
𝐶
𝑑𝑡
El propósito de este documento es analizar el funcionamiento
de un circuito RLC en serie, así como determinar una expresión
que relacione el tiempo y el voltaje en el capacitor.
El documento está estructurado en cuatro secciones.
Primeramente, el apartado del desarrollo, los datos a estudiar son
meramente cuantitativos con aclaraciones particulares para
esclarecer el procedimiento. En la sección de resultados incluye
material visual basado en gráficas y esquemáticos con los cuales
se busca interpretar los resultados obtenidos y corroborar lo
calculado. Posteriormente, en conclusiones se realiza un breve
resumen de los resultados obtenidos, así como el proceso que se
llevó acabo para la solución. Por último, en la sección de
referencias se anexa el material con el cual fue basado el
documento.
II. DESARROLLO
Para comenzar a resolver el problema se retoman las
ecuaciones (2), (3) y (4), tras considerar que la corriente eléctrica
se conoce como el flujo de cargas a través del tiempo [5], se
expresa:
𝐼=
𝑑𝑞
(6)
𝑑𝑡
De modo que al sustituir en la ecuación (2) y (3):
𝑑𝑞
𝐸𝑅 = 𝑅 ( )
(7)
𝐸𝐶 =
(8)
𝑑𝑡
1 𝑡 𝑑𝑞
∫ ( ) 𝑑𝑡
𝐶 0 𝑑𝑡
𝑑𝑖
𝐸𝐿 = 𝐿 ( )
𝑑𝑡
(9)
Tras resolver la integral (8) se obtiene:
𝐸𝐶 =
𝑞
𝐶
Tras resolver la derivada (9) se obtiene:
(10)
𝐸𝐿 = 𝐿 (
𝑑2𝑞
𝑑𝑡 2
)
(11)
Posteriormente, las expresiones de voltaje en el capacitor,
resistor e inductor se sustituyen en la ecuación (5).
𝐸 = 𝐿(
𝑑2𝑞
𝑑𝑡 2
𝑑𝑞
1
𝑑𝑡
𝐶
)+𝑅 ( )+ 𝑞
(12)
1
𝐿𝑚2 + 𝑅𝑚 + = 0
Donde la ecuación (27) corresponde a la ecuación auxiliar de
la ecuación diferencial y tras aplicar formula general se consigue:
𝑚1 =
Al transcribir a notación prima:
1
𝐸 = 𝐿𝑞 ′′ + 𝑅𝑞 ′ + 𝑞
(13)
𝐶
La ecuación (13) representa la ecuación diferencial del
circuito RLC. Se observa que es una ecuación diferencial de
segundo orden, no homogénea, lineal y de coeficientes
constantes, por lo que el método a desarrollar será coeficientes
indeterminados [6], para ello el primer paso es plantear la
solución general de la ecuación.
𝑞(𝑡) = 𝑞𝑔 + 𝑞𝑝
(14)
Donde 𝑞𝑔 representa la solución de la ecuación homogénea
y 𝑞𝑝 la solución de la ecuación particular.
Posteriormente se calcula la solución particular, para ello se
propone la solución para una constante y se obtiene:
𝑞𝑝 = 𝐴
(15)
El siguiente paso es derivar la ecuación propuesta tantas
veces como el orden de la ecuación, es decir dos veces.
𝑞′𝑝 = 0
(16)
𝑞 ′′ 𝑝 = 0
(17)
Se sustituyen los valores de 𝑞𝑝 en 𝑞 de la ecuación (13).
1
𝐸(𝑡) = 𝐿(0) + 𝑅(0) + (𝐴)
𝐶
Tras despejar 𝐴:
𝐴 = 𝐸𝐶
De modo que al sustituir en la ecuación (15).
𝑞𝑝 = 𝐸𝐶
(18)
(19)
Donde la ecuación (20) representa la solución particular. El
siguiente paso consiste en determinar la solución homogénea,
para ello se convierte la ecuación no homogénea a una
homogénea, por tanto, se iguala a cero la ecuación (13).
1
𝐿𝑞 ′′ + 𝑅𝑞 ′ + 𝑞 = 0
(21)
𝐶
Se plantea una solución.
𝑞 = 𝑒 𝑚𝑥
(22)
Donde la solución propuesta corresponde a la ecuación (22),
el motivo de su elección se debe a que cumple con que al
derivarla sucesivamente se obtiene la misma expresión inicial,
lo que facilita su sustitución en la ecuación. Una vez aclarado,
el siguiente paso es derivar la solución propuesta según
corresponda.
𝑞 ′ = 𝑚𝑒 𝑚𝑥
(23)
𝑞 ′′ = 𝑚2 𝑒 𝑚𝑥
(24)
Posteriormente se sustituye en la ecuación (21).
1
𝐿(𝑚2 𝑒 𝑚𝑥 ) + 𝑅 (𝑚𝑒 𝑚𝑥 ) + (𝑒 𝑚𝑥 ) = 0
𝐶
(25)
Tras factorizar:
1
𝑒 𝑚𝑥 (𝐿𝑚2 + 𝑅𝑚 + ) = 0
𝐶
𝑚2 =
𝐿
𝐶
−𝑅+√𝑅 2 −4(∙ )
(26)
Debido a que 𝑒 𝑚𝑥 ≠ 0 para todo 𝑥. La única forma en que
se satisface la ecuación diferencial con 𝑞 = 𝑒 𝑚𝑥 es cuando se
elige a 𝑚 como una raíz de una ecuación cuadrática.
(28)
2𝐿
𝐿
𝐶
−𝑅−√𝑅 2 −4(∙ )
(29)
2𝐿
𝐿
Debido a la expresión √𝑅2 − 4 ( ), para las ecuaciones (28)
𝐶
y (29) se generan tres posibles casos.
A. Caso 1. 𝑚1 y 𝑚2 Raíces Reales y Distintas
𝐿
Se debe cumplir (𝑅2 − 4 ( ) > 0), de cumplirse se obtiene:
𝐶
𝑞𝑔 = 𝐶1 𝑒 𝑚1𝑡 + 𝐶2 𝑒 𝑚2 𝑡
(30)
Donde la ecuación (30) representa la solución homogénea. Al
sustituir la solución particular y homogénea en la ecuación (14)
se genera:
𝑞(𝑡) = 𝐶1 𝑒 𝑚1𝑡 + 𝐶2 𝑒 𝑚2 𝑡 + 𝐸𝐶
(31)
El siguiente paso consiste en determinar el valor de las
constates 𝐶1 y 𝐶2 , para ello se evalúa la ecuación (31) con 𝑡 = 0
y 𝑞(𝑡) = 0.
0 = 𝐶1 + 𝐶2 + 𝐸
(32)
Se obtiene una ecuación de dos incógnitas, por lo que para dar
solución al sistema se necesita una segunda ecuación, esta se
genera a partir de obtener la derivada de la carga, por lo que se
deriva la ecuación (31).
𝑞 ′ (𝑡) = 𝑚1 𝐶1 𝑒 (𝑚1 )∙𝑡 + 𝑚2 𝐶2 𝑒 (𝑚2 )∙𝑡
(33)
Tras evaluar con las condiciones iniciales:
0 = 𝑚1 𝐶1 + 𝑚2 𝐶2
(34)
Se realiza un sistema de ecuaciones con las ecuaciones (32) y
(33), tras resolver se obtiene:
𝐸𝐶(𝑚1 )
(20)
(27)
𝐶
𝐶1 = − (𝑚
2 −𝑚1 )
𝐸𝐶(𝑚1 )
− 𝐸𝐶
(35)
𝐶2 = (𝑚
(36)
2 −𝑚1 )
Posteriormente se sustituyen en la ecuación (31).
𝐸𝐶(𝑚1 )
𝑞(𝑡) = − ((𝑚
2 −𝑚1 )
𝐸𝐶(𝑚1 )
+ 𝐸) 𝑒 (𝑚1 )∙𝑡 + (𝑚
2 −𝑚1 )
𝑒 (𝑚2)∙𝑡 + 𝐸𝐶 (37)
Donde la ecuación (37) representa la carga que pasa por el
circuito a través del tiempo, de modo que para la obtención del
voltaje en el capacitor se retoma la ecuación (10), por tanto, al
sustituir:
𝐸(𝑚1 )
𝐸(𝑚1 )
𝐸𝐶 (𝑡) = − (
+ 𝐸) 𝑒 (𝑚1 )∙𝑡 +
𝑒 (𝑚2 )∙𝑡 + 𝐸 (38)
(𝑚2 −𝑚1 )
(𝑚2 −𝑚1 )
Donde la ecuación (39) es la respuesta del voltaje en el
capacitor con respecto al tiempo para el caso 1.
B. Caso 2. 𝑚1 y 𝑚2 Raíces Reales e Idénticas
𝐿
Se debe cumplir (𝑅2 − 4 ( ) = 0), de cumplirse se obtiene:
−𝑅
𝐶
𝑚1 = 𝑚2 =
(39)
2𝐿
𝑞𝑔 = 𝐶1 𝑒 𝑚1𝑡 + 𝐶2 𝑡𝑒 𝑚1 𝑡
(40)
Donde la ecuación (40) representa la solución homogénea. Al
sustituir la solución particular y homogénea en la ecuación (14)
se genera:
𝑞(𝑡) = 𝐶1 𝑒 (𝑚1 )∙𝑡 + 𝐶2 𝑡𝑒 (𝑚1 )∙𝑡 + 𝐸𝐶
(41)
El siguiente paso consiste en determinar el valor de las
constates 𝐶1 y 𝐶2 , para ello se evalúa la ecuación (41) con 𝑡 = 0
y 𝑞(𝑡) = 0.
𝐶
0 = 1 + 𝐸 → 𝐶1 = −𝐸𝐶
(42)
𝐶
A. Caso 1
Para determinar el valor de 𝐶2 se deriva la ecuación (41).
𝐿
𝑞(𝑡) = 𝑚1 𝐶1 𝑒 (𝑚1 )∙𝑡 + 𝐶2 𝑒 (𝑚1 )∙𝑡 + 𝑚1 𝐶2 𝑡𝑒 (𝑚1 )∙𝑡
(43)
Se debe cumplir 𝑅2 − 4 ( ) > 0, tras resolver la inecuación.
𝐶
Tras evaluar con las condiciones iniciales:
0 = 𝑚1 𝐶1 + 𝐶2 → 𝐶2 = −𝑚1 𝐶1 = 𝐸𝐶𝑚1
(44)
𝑅 > 2√1 → 𝑅 > 2
(61)
Posteriormente se sustituye en la ecuación (41).
De
modo
que
se
propone:
𝑞(𝑡) = −𝐸𝐶𝑒 (𝑚1 )∙𝑡 + 𝐸𝐶𝑚1 𝑡𝑒 (𝑚1 )∙𝑡 + 𝐸𝐶
(45)
𝑅 = 5Ω
(62)
La ecuación (45) representa la carga que circula por el
Posteriormente
se
sustituyen
los
valores
en
la
ecuación
(28)
y
circuito en función del tiempo, de modo que para la obtención
(29).
del voltaje en el capacitor se retoma la ecuación (10), por tanto,
−5+√21
al sustituir:
𝑚1 =
(63)
2
𝐸𝐶 (𝑡) = −𝐸𝑒 (𝑚1)∙𝑡 + 𝐸𝑚1 𝑡𝑒 (𝑚1 )∙𝑡 + 𝐸
(46)
−5−√21
Donde la ecuación (46) es la respuesta del voltaje en el
𝑚2 =
(64)
2
capacitor con respecto al tiempo para el caso 2.
Al sustituir los valores en la ecuación (38).
C. Caso 3. 𝑚1 y 𝑚2 Complejos Conjugados
𝐸𝐶 (1𝑠) = 1.882
(65)
𝐿
2
El
resultado
de
la
ecuación
(65)
representa
el
voltaje
en
el
Se debe cumplir (𝑅 − 4 ( ) < 0), de cumplirse se obtiene:
𝐶
capacitor con las condiciones dadas para el caso 1. Dicho lo
𝑅2
1
−𝑅
anterior, con las expresiones obtenidas se diseñó un programa
𝛼 = 𝑚1 − √ 2 − =
(47)
4𝐿
𝐿𝐶
2𝐿
basado en Octave, los parámetros de la programación son los
mostrados en los valores propuestos. Los intervalos de voltaje
2
𝑅
𝑅
1
𝛽 = 𝑚1 − = √ 2 −
(48) son de 2V mientras que para el tiempo son de 2s. En la Fig. 2 es
2𝐿
4𝐿
𝐿𝐶
posible visualizar la función que describe el voltaje en el
𝑞𝑔 = 𝑒 ∝𝑡 (𝐶1 cos(𝛽𝑡) + 𝐶2 sin(𝛽𝑡))
(49) capacitor.
Donde la ecuación (49) representa la solución homogénea,
tras sustituir la solución homogénea y particular en la ecuación
(14) se obtiene:
𝑞(𝑡) = 𝑒 𝛼𝑡 (𝐶1 cos(𝛽𝑡) + 𝐶2 sin(𝛽𝑡)) + 𝐸𝐶
(50)
El siguiente paso consiste en determinar el valor de las
constates 𝐶1 y 𝐶2 , para ello se evalúa la ecuación (50) con 𝑡 = 0
y 𝑞(𝑡) = 0.
1
0 = (𝐶1 ) + 𝐸 → 𝐶1 = −𝐸𝐶
(51)
𝐶
Para determinar 𝐶2 se deriva la ecuación (50).
𝑞 ′ (𝑡) =∝ 𝑒 ∝𝑡 (𝐶1 cos(𝛽𝑡) + 𝐶2 sin(𝛽𝑡))𝛽𝑒 ∝𝑡 𝐶1 sin(𝛽𝑡) →
−𝛽𝑒 ∝𝑡 𝐶2 cos(𝛽𝑡)
(53)
Tras evaluar con las condiciones iniciales:
Fig. 2 Función del voltaje en el capacitor para el caso 1 obtenida en octave
𝛼𝐶
−𝛼𝐸𝐶
0 = 𝛼𝐶1 − 𝛽𝐶2 → 𝐶2 = 1 =
(54)
𝛽
𝛽
Se sustituyen las constantes en la ecuación (50).
𝛼𝐸𝐶
𝑞(𝑡) = −𝑒 𝛼𝑡 (𝐸𝐶 cos(𝛽𝑡) +
sin( 𝛽𝑡)) + 𝐸𝐶
𝛽
(55)
La ecuación (55) representa la carga que circula por el
circuito a través del tiempo, de modo que para la obtención del
voltaje en el capacitor se retoma la ecuación (10), por tanto, al
sustituir:
𝛼𝐸
𝐸𝐶 (𝑡) = −𝑒 𝛼𝑡 (𝐸 cos(𝛽𝑡) + sin( 𝛽𝑡)) + 𝐸
(56)
Posteriormente, se diseñó el circuito RLC en el programa
LTspice con los elementos y parámetros establecidos, se utilizó
la herramienta de simulación y mediante esta se obtuvo la gráfica
que describe el voltaje en el capacitor, los intervalos de voltaje
son de 1V mientras que para el tiempo son de 3s, dicha grafica
se observa en la Fig. 3.
𝛽
Donde la ecuación (55) es la expresión que representa la
respuesta del voltaje en función del tiempo para el caso 3.
III. RESULTADOS
Finalmente, se confirmará que las expresiones obtenidas
correspondan a el voltaje en el capacitor en función del tiempo,
para ello se proponen los siguientes valores.
𝐸 = 10𝑉
(57)
𝐿 = 1𝐻
(58)
𝐶 = 1f
(59)
𝑡 = 1𝑠
(60)
Donde el valor del resistor será un parámetro con el cual se
desarrollarán las condiciones para los distintos casos.
Fig. 3 Función del voltaje en el capacitor para el caso 1 obtenida en LTspice
A continuación, se muestra una tabla con los valores
obtenidos con los distintos métodos.
TABLA I
COMPARACIÓN DE VOLTAJES EN EL
CAPACITOR CASO 1
Tiempo
Calculado
1s
1.882V
Tabla comparative
Octave
LTspice
1.883V
1.864V
Tras los datos obtenidos de manera aritmética, con software
y simulador, se puede observar que los valores concuerdan con
cierta exactitud hasta el rango de las décimas, la imprecisión del
cálculo se debe en gran medida al error de discretización [7], este
menciona que al realizar una aproximación a la solución Fig. 5 Función del voltaje en el capacitor para el caso 2 obtenida en LTspice
aritmética existe cierto error de truncamiento, sin embargo,
mediante este error es posible demostrar que la solución satisface
A continuación, se muestra una tabla con los valores obtenidos
la solución, por lo que tanto la expresión desarrollada como el con los distintos métodos.
ejemplo realizado son correctos y funcionales.
TABLA II
COMPARACIÓN DE VOLTAJES EN EL
CAPACITOR CASO 2
B. Caso 2
𝐿
Se debe cumplir con 𝑅2 − 4 ( ) = 0, por lo que al resolver
𝐶
la ecuación.
Tiempo
Calculado
2.642V
1s
Tabla comparative
Octave
LTspice
2.642V
2.648V
𝑅 = 2√1 → 𝑅 = 2
(66)
De modo que se propone:
Tras los datos obtenidos de manera aritmética, con software y
𝑅 = 2Ω
(67)
simulador,
se puede observar que los valores concuerdan con cierta
Posteriormente se sustituyen los valores en la ecuación (28).
exactitud hasta el rango de las centésimas, la imprecisión del
𝑚1 = −1
(68) cálculo se debe en gran medida al error de discretización [7], este
Al sustituir en la ecuación (46).
menciona que al realizar una aproximación a la solución aritmética
𝐸𝐶 (1𝑠) = 2.642𝑉
(69) existe cierto error de truncamiento, sin embargo, mediante este
El resultado de la ecuación (69) representa el voltaje en el error es posible demostrar que la solución satisface la solución, por
capacitor con las condiciones dadas para el caso 2. Dicho lo lo que tanto la expresión desarrollada como el ejemplo realizado
anterior, con las expresiones obtenidas se diseñó un programa son correctos y funcionales.
basado en Octave, los parámetros de la programación son los
mostrados en los valores propuestos, los intervalos de voltaje son C. Caso 3
de 2V mientras que para el tiempo son de 2s. En la Fig. 4 es
𝐿
Se debe cumplir con 𝑅2 − 4 ( ) < 0, por lo que al resolver la
posible visualizar la función que describe el voltaje en el
𝐶
inecuación.
capacitor.
𝑅 < 2√1 → 𝑅 < 2
(70)
De modo que se propone:
𝑅 = 1Ω
(71)
Posteriormente se sustituyen los valores en la ecuación (28).
𝑚1 =
−1+√3𝑖
2
(72)
Se resuelve para las ecuaciones (48) y (49).
𝛼=
√3
(73)
2
𝛽=−
1
2
(74)
Al evaluar en la ecuación (55).
𝐸
(75)
𝐶 (1𝑠) = 8.737𝑉
Fig. 4 Función del voltaje en el capacitor para el caso 2 obtenida en octave
El resultado de la ecuación (74) representa el voltaje en el
capacitor con las condiciones dadas para el caso 3. Dicho lo
Posteriormente, se diseñó el circuito RLC en el programa
anterior, con las expresiones obtenidas se diseñó un programa
LTspice con los elementos y parámetros establecidos, se utilizó
basado en Octave, los parámetros de la programación son los
la herramienta de simulación y mediante esta se obtuvo la
mostrados en los valores propuestos, los intervalos de voltaje son
gráfica que describe el voltaje en el capacitor, los intervalos de
de 2V mientras que para el tiempo son de 2s. En la Fig. 6 es posible
voltaje aumentan en 1V mientras que para el tiempo son de 1s,
visualizar la función que describe el voltaje en el capacitor.
dicha grafica se observa en la Fig. 5.
IV. CONCLUSIONES
En el documento se planteó obtener la expresión del voltaje
en el capacitor en función del tiempo para un circuito RLC, este
análisis se realizó tanto con un enfoque a circuito eléctricos,
como a las ecuaciones diferenciales, ejemplo de ello fue la ley de
tensiones de Kirchhoff mediante la cual se obtuvo una ecuación
que relaciona los elementos del circuito y en conjunto con la ley
de Ohm se logró determinar la ecuación diferencial del circuito
RLC.
El procedimiento realizado para el análisis de dicha ecuación
fue coeficientes indeterminados. A partir de plantear la solución
general de la ecuación, se estableció una solución homogénea y
Fig. 6 Función del voltaje en el capacitor para el caso 3 obtenida en octave
una particular, tras resolver la solución homogénea mediante la
ecuación auxiliar, se generaron 3 casos para la solución, donde
Posteriormente, se diseñó el circuito RLC en el programa cada caso contaba con sus respectivas condiciones, esto debido a
LTspice con los elementos y parámetros establecidos, se utilizó que conformaban una función cuadrática, posteriormente se
la herramienta de simulación y mediante esta se obtuvo la resolvió la solución particular y tras sumar ambas soluciones se
gráfica que describe el voltaje en el capacitor, los intervalos de obtuvo la expresión que determinaba la carga en función del
voltaje aumentan en 1V mientras que para el tiempo son de 1s, tiempo, finalmente mediante la ley de Ohm se generó la
expresión del voltaje en el capacitor con respecto al tiempo para
dicha grafica se observa en la Fig. 7.
cada caso.
De la ecuación del caso 1 cabe destacar que la curva de
voltaje es exponencial y el resultado a obtener se ve afectado
por las constantes “R”, “L” y “C”, cuanto menor sea el
resultado tras aplicar formula general, el voltaje en el capacitor
aumentará y viceversa. Por otra parte, para el caso 2, la función
exponencial depende únicamente de las constantes “R” y “L”,
cuanto menor sea el producto de su inverso multiplicativo, el
voltaje en el capacitor incrementara y viceversa. Para el caso 3,
la curva de voltaje se constituye por 3 funciones, una
exponencial y dos trigonométricas, la exponencial se ve
afectada por el inverso multiplicativo de “L” por “R”, mientras
que las funciones trigonométricas dependen únicamente del
valor de la discriminante generado a partir de la ecuación
cuadrática. Para muestra de lo mencionado, se retoma los
resultados obtenidos para cada uno de los casos mediante
software y simulador, donde el comportamiento de las gráficas
correspondía al de las ecuaciones obtenidas. Es de esta forma
Fig. 7 Función del voltaje en el capacitor para el caso 2 obtenida en LTspice
que se concretó el propósito del documento tras analizar el
circuito RLC serie y obtener la expresión para el voltaje en el
A continuación, se muestra una tabla con los valores capacitor.
obtenidos con los distintos métodos.
REFERENCIAS
[1]
TABLA III
COMPARACIÓN DE VOLTAJES EN EL
CAPACITOR CASO 3
Tiempo
Calculado
1s
8.737V
Tabla comparativa
Octave
LTspice
8.738V
[2]
8.728V
[3]
Tras los datos obtenidos de manera aritmética, con software
y simulador, se puede observar que los valores concuerdan con
cierta exactitud hasta el rango de las décimas, la imprecisión del [4]
cálculo se debe en gran medida al error de discretización [7], este
menciona que al realizar una aproximación a la solución [5]
aritmética existe cierto error de truncamiento, sin embargo,
mediante este error es posible demostrar que la solución satisface
la solución, por lo que tanto la expresión desarrollada como el
[6]
ejemplo realizado son correctos y funcionales.
[7]
Gabriel Alfonso. J. M, Alvarado. C. A, & Maidana, J. A. (2003). Circuito
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un
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G.Z. Dennis, Ecuaciones Diferenciales con aplicaciones de modelado,
9na edición, F.L. Ernesto, México D.F: Cengage Learning, 2009
Menéndez, Á. N. ERRORES EN LA SOLUCION NUMERICA DE
ECUACIONES DIFERENCIALES.