GUÍA DE CLASE N.° 3
(Álgebra)
Productos notables
MULTIPLICACIÓN ALGEBRAICA
07. Trinomio al cuadrado
Es la operación que tiene como objetivo determinar una expresión
algebraica llamada producto, dadas otras expresiones algebraicas
llamadas multiplicando y multiplicador, la igualdad obtenida es una
identidad.
08. Trinomio al cubo
Ejemplo:
(a + b + c)3 = a3 + b3 + c3 + 3a2b + 3a2c + 3b2c + 3b2a + 3c2a + 3c2b + 6abc
(x + 2) (2x + 1) = 2x2 + 5x + 2
multiplicando y
multiplicador
producto
(a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc
o
(a + b +c)3 = a3 + b3 + c3 + 3(a + b)(a + c)(b + c)
IDENTIDADES ADICIONALES
01. Identidad de Argan'd
identidad
PRODUCTOS NOTABLES O IDENTIDADES ALGEBRAICAS
(a2n + anbm + b2m)(a2n – anbm + b2m) – a4n + a2nb2m + b4m
01. Binomio al cuadrado
*
•
•
02. Identidades de Lagrange
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
(a – b)2 = a2 – 2ab + b2
•
Nota: (a – b)2 = (b – a)2 en general: (a – b)2m = (b – a)2m, (m ! Z)
•
02. Identidades de Legendre
•
•
(a + b)2 – (a – b)2 = 4ab
•
•
(a + b)(a – b) = a2 – b2
•
(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 o (a + b)3 = a3 + b3 + 3ab(a + b)
Identidad de Cauchy
(a – b)3 = a3 – 3a2b + 3ab2 – b3 o (a + b)3 = a3– b3 – 3ab(a – b)
05. Identidades de Steven
•
•
(x + a)(x + b) = x2 + (a + b)x + ab
•
•
Identidad de Cauchy
(x + a)(x + b)(x + c) = x3 + (a + b + c) x2 + (ab + ac + bc) x + abc
06. Suma y diferencia de cubos
(a + b)(a2 – ab + b2) = a3 + b3
(a – b)(a2 + ab + b2) = a3 – b3
(a2 + b2 + c2)(x2 + y2 + z2) = (ax + by + cz)2 + (ay – bx)2
+ (az – cx)2 + (bz – cy)2
(a + b + c)(a2 + b2 + c2 – ab – ac – bc) = a3 + b3 + c3 – 3abc
de donde:
1
2
2
2
3
3
3
2 (a + b + c)[(a – b) + (b − c) + (c – a) ] = a + b + c – 3abc
04. Otras identidades
04. Binomio al cubo
•
(a2 + b2)(x2 + y2) = (ax + by)2 + (ay – bx)2
03. Identidad de Gauss
(a + b)2 + (a – b)2 = 2(a2 + b2)
03. Diferencia de cuadrados
•
Caso particular: (x2 + x + 1)(x2 – x + 1) = x4 + x2 +1
•
•
(a + b + c)(ab + ac + bc) = (a + b)(a + c)(b + c) + abc
(a + b)4 – (a – b)4 = 8ab(a2 + b2)
(ab + ac + bc)2 = a2b2 + a2c2 + b2c2 + 2abc (a + b + c)
Algunas relaciones condicionadas:
I. Si: a + b + c = 0
1. a2 + b2 + c2 = – 2(ab + ac + bc)
2. a3 + b3 + c3 = 3abc
1
3. a4 + b4 + c4 = 2 (a2 + b2 + c2)2
4. a5 + b5 + c5 = – 5abc(ab + ac + bc)
II. Si: x, y, z ! R / x2 + y2 + z2 = xy + yz + zx, entonces: x = y = z.
III. Si: x, y, z ! R ˄ m, n, p ! Z+ /x2m + y2m + z2p = 0, entonces:
x = 0, y = 0 y z = 0.
GC-X-03-RE24
04-03
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CICLO ANUAL
4 DE MARZO
(Sede Los Olivos)
CICLO ESCOLAR
18 DE MARZO
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