Simulación y Análisis con ProModel: Libro de Texto

Simulación y análisis
de sistemas con ProModel
Simulación y análisis
de sistemas con ProModel
Segunda edición
Eduardo García Dunna
Heriberto García Reyes
Leopoldo E. Cárdenas Barrón
Tecnológico de M onterrey
R e v is ió n t é c n ic a
Lu is Ernesto M ancilla Espinosa
División de Estudios de Posgrado e Investigación
Instituto Tecnológico d e León
Victoria Á lv a re z U reña
D epartam ento d e Ingeniería Industrial
Centro Universitario d e Ciencias Exactas e Ingenierías - CUCEI
Universidad d e Guadalajara
Liliana Y adira C astellan o s Ló p ez
D epartam ento d e Ingeniería Industrial
Instituto Tecnológico Superior del
Occidente del Estado d e Hidalgo
PEARSON
/
D ato s d e c a ta lo g a c ió n b ib lio g ráfica
G A R C ÍA DUNNA, ED U A RD O ;
G A R C ÍA R E Y E S , H E R IB E R T O
y C Á R D E N A S B A R R Ó N , L E O P O L D O E.
Simulación y análisis de sistemas con
ProModel. S egunda edición
P E A R S O N , M éx ico , 2 0 1 3
IS B N : 9 7 8 -6 0 7 -3 2 -1 5 1 1 -4
A rea: In g en iería
F o rm ato : 18.5 X 2 3 .5 c m
P ág inas: 360
Edición en español
D irector E ducación Superior: M ario C ontreras
Editor S ponsor:
Luis M iguel C ru z C astillo
e-m ail: luis.cruz@ pearson.com
E ditor d e D esarro llo :
Supervisor d e P ro d u cció n :
G erente E ditorial Educación
S uperior L atinoam érica:
B ernardino G u tiérrez H ernández
R odrigo R om ero V illalobos
M arisa d e A nta
SEG U N D A E D IC IÓ N , 2013
D.R. © 2013 p o r P earso n E ducación d e M éxico, S. A. d e C.V.
A tlaco m u lco 500-5° Piso
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El préstam o, alquiler o cu alq u ier o tra fo rm a d e cesió n d e uso d e e ste ejem p lar requerirá tam bién la autorización d e los
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ISBN versión impresa: 978-607-32-1511-4
ISBN E-Book: 978-607-32-1501-5
ISBN E-Chapter: 978-607-32-1502-2
Im preso en M éxico. P rinted in M éxico.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 - 15 14 13 12
PEARSON
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Contenido
Introducción
Capítulo 1
Capítulo 2
ix
CD-ROOM con ProM odel
x
Agradecim ientos
x
Principios b ásico s de la sim ulació n
1
1.1
Introducción a la sim ulación
2
1.2
D efiniciones de sim ulación
4
1.3
Ventajas y desventajas de la sim ulación
9
1.4
Elem entos clave para garantizar el éxito d e un m odelo de sim ulación
10
1.5
Pasos para realizar un estudio de sim ulación
12
1.6
Problem as
16
Referencias
20
N úm eros p seu d o aleato rio s
21
2.1
Los núm eros pseudoaleatorios
22
2.2
Generación d e núm eros pseudoaleatorios
22
22.1
Algoritm o d e cuadrados m ed ios
24
2 2 .2
Algoritm o d e productos m edios
25
2 2 .3
Algoritm o d e m ultiplicad or constante
26
2 2 .4
Algoritm o lin eal
27
2 2 .5
Algoritm o co ngruencial m ultip licativo
29
2 2 .6
Algoritm o co ngruencial aditivo
30
2 2 .7
Algoritm os congruenciales no lineales
31
2.3
Propiedades d e los núm eros pseudoaleatorios entre 0 y 1
32
2.4
Pruebas estadísticas para los núm eros pseudoaleatorios
34
24.1
Prueba d e m edias
35
2 4 .2
Prueba d e varianza
36
2 4 .3
Pruebas de uniform idad
38
2 4 .4
Pruebas de independencia
41
2.5
Problem as
52
Referencias
58
v
Variables aleato rias
59
3.1
Definición d e variab le aleatoria
60
3.2
Tipos d e variables aleatorias
60
3.3
D eterm inación del tip o de distribución de un conjunto d e datos
62
3.3.1
Prueba Chi-cuadrada
63
3.3.2
Prueba de Kolm ogorov-Sm irnov
65
3.3.3
Prueba de Anderson-Darling
68
3.3.4
Ajuste de datos con Stat::Fit
74
3.4
Generación d e variables aleatorias
78
3.4.1
M étodo d e la transform ada inversa
78
3.4.2
Métod o d e convoluc ión
86
3.4.3
M étodo d e com posición
89
3.4.4
M étodo d e transform ación directa
92
3.5
Expresiones com unes de algunos generadores d e variables aleatorias
93
3.6
Problem as
96
Referencias
112
Sim ulación de v aria b les aleato rias
113
4.1
Verificación y validación d e los m odelos de sim ulación
114
4.1.1
114
4.2
4.3
Sim ulacio nes term inales
Sim ulaciones n o term in ales o de estado estable
117
4.2.1
117
Longitud d e las réplicas
M odelos de sim ulación
121
4.3.1
M odelo d e una línea d e espera con un servidor
122
4.3.2
M odelo d e un proceso de ensam ble e inspección
126
4.3.3
M odelo d e un sistem a de inventarios
130
4 .4
Selección de lenguajes de sim ulación
134
4.5
Caso d e estudio 1
135
4.6
Caso d e estudio 2
137
4.7
Problem as
138
Sim ulación con ProM odel
151
5.1
Introducción al uso de ProModel
152
5.2
Elem entos básicos
152
5.3
Estructura de program ación en ProM odel
153
C o n te n id o |
5.4
Capítulo 6
Anexo 1
Construcción d e un m odelo
153
5.4.1
M odelo M/M/1 de líneas d e espera
153
5.4.2
M ejoram iento visual del m od elo
166
5.4.3
M odelado d e un sistem a que incluye m ás de un proceso
175
5.4.4
Inclusión d e gráficos d e fo n d o en el m odelo
183
5.5
Arribos cíclicos
186
5.6
Caso integrador
190
5.7
Problem as
192
Instrucciones de ProM odel
201
6.1
Uso d e la biblioteca de funcio nes probabilísticas
202
6.2
Recursos
207
6.3
Paros en los equipos
212
6.4
Reglas d e ruteo
220
6.5
Ensam bles, acum ulación y agrupam iento de piezas
225
6.6
Transporte entre estaciones
241
6.7
Instrucciones de control
252
6.8
Optim ización con Sim runner
257
Introducción
257
Sim Runner
258
6.9
Caso integrador 1
269
6.10
Caso integrador 2
271
6.11
Problem as
277
D istribucio n es de p ro babilidad
295
A.1
D istribuciones continuas
296
A.2
D istribuciones discretas
305
Anexo 2
Reportes estad ístico s en ProM odel (form ato View er 2.0)
311
Anexo 3
Reportes estad ístico s en ProM odel
321
Anexo 4
D istribucio n es de p ro babilidad
331
vii
Introducción
La sim ulación es una form a de estudiar los procesos aleatorios, los cuales se encuentran
p rácticam ente en todas las operaciones d e sistem as de producción y servicios. Aprender
a m odelar con sim ulación estocástica discreta es un reto dem andante, principalm ente
por la com plejidad del tem a y porque el proceso de sim ulación y el análisis d e los resul­
tado s requieren d e un razonable conocim iento de probabilidad, estadística y co m pu­
tación. La experiencia nos ha m ostrado que estos tem as son difíciles de dom inar, y
desafortunadam ente la m ayoría d e los estudiantes no se sienten cóm odos al trab ajar con
ellos.
En este texto presentam os los conceptos de la m odelación d e los procesos estocásticos, el análisis estadístico de la inform ación y la relación d e éstos con la sim ulación
estocástica discreta, utilizando com o herram ienta el program a ProModel. ProM odel y su
ento rno con el usuario fueron desarrollados específicam ente para sim p lificar la interac­
ción entre el estudiante y la com putadora. ProM odel es una poderosa herram ienta de
análisis que, sin em bargo, es fácil de usar.
Para un m ejo r m an e jo d e los tem as, el lib ro se ha d ivid id o en seis capítulo s. El c a p í­
tu lo 1 establece los conceptos básicos relacionados con un proyecto d e sim ulación, e
in clu ye una introducción a la técnica y la m etodología para su desarrollo. El capítulo 2
presenta los núm eros aleatorios, base d e los m odelos estocásticos, sus propiedades,
m anejo y generación, así com o todos los requerim ientos para ser considerados com o
tales. Tam bién se han agregado m ás problem as y fó rm ulas d e generación d e núm eros
pseudoaleatorios, com o son los m étodos M IN STD y Super-Duper.
El capítulo 3 ofrece los conceptos de pruebas de bondad de ajuste, para determ inar
la distribución de probabilidad asociada a las variables de decisión y eventos en el siste­
ma a modelar, para con ello generar variables aleatorias que puedan ser usadas durante
la sim ulación. Este capítulo incorpora el uso d e la herram ienta Stat:Fit, que se incluye
ju n to en el CD que acom paña este libro, la cual p erm ite determ inar autom áticam ente la
distribución de probabilidad d e las variables y eventos a m o d elar en el sistem a; co n este
fin se han m odificado m uchos d e los problem as, para poder ser analizados con Stat:Fit,
tam bién se ha agregado una gran cantidad de p ro blem as que involucran la generación
d e variables aleatorias con el m étodo de la transform ada inversa.
El capítulo 4 m aneja los conceptos d e validación y análisis d e los m odelos de sim u ­
lació n ; y presenta al fin al del capítulo ejem p lo s de sim ulación M onteCarlo, desarrollados
en hojas de cálculo, sobre líneas de espera, procesos de ensam ble y sistem as de inventa­
rios, con la esperanza de que el lecto r sea capaz d e realizar m odelos sim ples usando una
hoja de cálculo. Se han agregado dos casos d e estudio: en el prim ero se requiere de la
optim ización d e un sistem a d e producción, y el seg u n d o es sobre el d iseño de un s is te ­
m a de m uestreo. A dicionalm ente se ha agregado m ás del d o b le d e problem as que en la
versión anterior.
| In tro d u cció n
□ c a p ítu lo 5 p re se n ta las caracte rísticas y b o n d ad es d e P ro M o del a tra v é s de
e jem p lo s que guían al usuario en la construcción de los m odelos. El capítulo 6 , por su
parte, cub re elem entos m ás com plejos de program ación que le perm itirán am p liar las
capacidades d e m odelación. En estos capítulo s se han agregado nuevos conceptos de
program ación, específicam ente aquellos que tienen que ver con arribos cíclicos, la crea­
ción de fu n cio n es d e usuario, el uso d e la program ación de paros por turnos, el m anejo
de m ateriales usando grúas viajeras, ejem plos d e instrucciones d e control del tipo
IF-THEN-ELSE, WHILE-DO, entre otros, y el uso de la herram ienta Sim Runner que perm ite
la optim ización de los m odelos desarrollados con ProModel.
En estos capítulo s se han agregado casos integradores y m ayo r cantidad d e ejercicios
para fo rtalecer el aprendizaje.
Finalm ente, el nuevo apéndice describe el significado de los resultados obtenidos en
los repo rtes con la nueva versión O utput View er 4 .0 de ProM odel.
CD-ROOM con ProM odel
Es im p o rtan te d estacar que el CD-ROM que se incluye con el libro contiene la versión
estudiantil m ás reciente de ProM odel con to das las fu n cio n es de la versión profesional. La
única restricción es en cuanto al tam añ o d e los m odelos que pueden construirse.
A gradecim ientos
A gradecem os a las personas e institucio nes que han hecho posible la publicación d e esta
segunda edición. A nuestros estudiantes, quienes con sus com entarios nos han perm itido
agregar nuevo m aterial y corregir detalles que se nos escaparon en la prim era edición. Al
departam ento de Ingeniería Industrial y de Sistem as del ITESM Cam pus M onterrey por el
tiem p o que nos dieron para que este lib ro llegara a ser realidad. Q uerem os agradecer a
ProM odel por perm itirnos incluir su softw are, y en especial a D aniel Villarreal Parás por su
apoyo constante e incondicional para lograrlo. Finalm ente, agradecem os al equipo ed ito ­
rial d e Pearson por creer en nosotros, especialm ente a Luis Cruz Castillo y Óscar Ortega,
co n quienes hem os trab ajad o durante estos últim os años.
Eduardo G arcía D unna
x
1.1
Introducción a la sim ulación
1.2
D efiniciones d e sim ulación
1.3
Ventajas y desventajas d e la sim ulación
1.4
Elem entos clave para garantizar el éxito
de un m odelo d e sim ulación
1.5
Pasos para realizar un estudio d e sim ulación
1.6
Problem as
Referencias
C a p ítu lo 1 P rincipios básicos d e la sim ulación
1.1 Introducción a la sim ulación
La creación de nuevos y m ejo res desarrollos en el área d e la com putación ha traído co n­
sigo innovaciones m u y im portantes tanto en la tom a d e decisiones com o en el diseño de
procesos y productos. Una d e las técn icas para realizar estudios piloto, con resultados
rápidos y a un relativo b ajo costo, se basa en la m odelación — la cual se conoce com o
sim ulación— que se ha visto beneficiada por estos avances.
A ctualm ente, el analista que desea h ace r uso d e esta herram ien ta d isp o n e d e una
gran cantidad d e so ftw are d e sim ulación que le p erm ite to m a r decisio nes en tem as
m uy diversos. Por ejem p lo , en ap licacio n es dond e se usan len g u ajes d e program ación
g eneral co m o Fo rtran, para analizar esq uem as d e ad m inistració n del in ve n tario ,111 en
a p lica cio n e s para a n alizar y m e jo ra r la ad m in istració n d e la cad e n a d e su m in istro ,1121
en análisis y valid ació n de m ed idas de d esem p eñ o en sistem as de m an u factu ra / 31 en
aplicacio nes d e m ejo ras m ed ian te d esp lieg u es seis sig m a ,141 o en procesos de ca p a cita ­
ción a través de la sim ulación com o herram ien ta b ase .151 Sin duda, la fle xib ilid a d en
cu an to a la m o delació n, el análisis y el m ejo ram ien to d e sistem as ha h e ch o d e la sim u ­
lación una h erram ien ta cu y o uso y desarro llo se han visto alentad os d e m anera sig n ifi­
cativa. En la actualidad resulta fá cil en co n trar p aq uetes d e so ftw a re con gran capacidad
de análisis, a sí co m o m ejo res an im acio n es (2D y 3D) y ap licacio n es para generació n de
repo rtes con inform ación relevan te para la tom a de d ecisio nes. En g eneral, dichos
p aq uetes — ya sea orientados a procesos, a servicio s, o d e ín d o le general— nos p ro ­
veen d e una eno rm e diversidad d e h erram ien tas estadísticas que p erm iten tan to un
m anejo m ás eficien te de la info rm ación relevan te b ajo análisis com o una m ejo r p re se n ­
tación e in terpretació n.
El concepto d e sim ulación engloba soluciones para m uchos propósitos diferentes.
Por ejem plo, podríam os decir q u e el m o d elo d e un avión a escala que se introduce a una
cám ara por dond e se hace pasar un flu jo d e aire, puede sim ular los efectos que exp eri­
m entará un avión real cuando se vea som etido a turbulen cia. Por otro lado, algunos
paquetes perm iten hacer la representación de un proceso de fresado o torneado: una vez
que el usuario establezca ciertas condiciones iniciales, podrá ve r cóm o se llevaría a cabo
el proceso real, lo q u e le d a la posibilidad d e revisarlo sin necesidad d e desperdiciar m ate ­
rial ni poner en riesgo la m aquinaria.
Por lo tanto, la sim ulación se refiere a un gran conjunto de m étodos y aplicaciones
que buscan im itar el co m portam iento de sistem as reales, generalm ente por m edio de
una com putadora con un softw are apropiado.
Existen distintos m od elo s de sim ulación que p erm iten representar situacio nes rea­
les d e diferentes tipos. Podem os ten e r m odelos físico s — co m o el del avión q u e m en cio ­
nam o s en el párrafo anterior— o m odelos m atem áticos, a los cu ale s pertenecen los
m odelos d e sim ulación d e evento s discretos. Asim ism o, los m odelos pueden diferenciar­
se según el tip o d e ecuacio n es m atem áticas que los com ponen. Por ejem p lo , los m o d e­
lo s co ntinu o s son aquello s en los que las relaciones entre las variables relevantes d e la
situación real se definen por m edio d e ecuaciones diferenciales, ya que éstas perm iten
co n o cer el co m po rtam iento d e las variab les en cierto tiem po. Problem as tales com o
saber d e qué m anera se tran sfiere el calor en un m olde, o determ inar có m o flu ye cierto
m aterial dentro d e una tub ería, e incluso p rever el co m p o rtam ien to del nivel d e un tan2
1.1 In tro d u c c ió n a la sim ulación \~ \
que d e gasolina al paso del tiem po, m ientras el veh ículo está en m archa, pueden sim u­
larse con este tip o d e m odelo.
Adem ás de m odelos co ntinuo s tenem o s m o d elo s discretos. En ellos el co m p o r­
tam ie n to qu e nos in teresa an alizar puede rep resentarse por m e d io de ecu acio n es e va ­
luadas en un p u n to determ inado . Por ejem p lo , si hacem os un m u e streo del n ú m e ro de
personas qu e llegaron a un b anco en un lapso específico , podem os sim u lar esta
variab le con ecu acio n es lig ad as a d istrib u cio n es d e probabilidad que reflejen dich o
co m po rtam iento .
Otro tip o de clasificación es el d e los m odelos dinám icos o estáticos. Los m odelos
dinám ico s son aquellos en los que el estado del sistem a que estam os analizando cam bia
respecto del tiem po. Por ejem plo, el núm ero de personas que hacen fila para entrar a una
sala d e cine varía con el tiem po. Por otro lado, los m odelos estático s representan un
resultado b ajo un conjunto d e situaciones o condiciones determ inado; por ejem plo, al
lanzar un dado los únicos valores que se puede obtener son 1, 2, 3, 4, 5 o 6 , d e manera
que el resultado d e la sim ulación será uno de tales valores po sibles; a esto se le conoce
generalm ente com o sim ulación de M onte Cario.
Por últim o, podem os hablar d e m odelos determ inístico s y m odelos probabilísticos, llam ados tam bién estocásticos. Los prim eros se refieren a relaciones constantes
entre los cam b io s de las variables del m odelo. Por ejem plo, si las cajas em p lead as en un
proceso contienen siem pre 5 productos, cada vez que se añada una caja al inventario éste
se increm entará en 5 unidades. Si, por el contrario, hay una distribución de probabilidad
en el proceso de m anera que, por ejem plo, algunas cajas contienen 3 productos y otras
4 , el inventario se m odificará según el núm ero d e piezas de cada caja y, en consecuencia,
será necesario un m odelo estocástico. En el caso d e la sim ulación de eventos discretos
hablarem os d e m odelos m atem áticos, discretos, dinám icos, y que pueden incluir varia­
b les determ m ísticas y probabilísticas.
En este libro nos ocuparem os del proceso que se basa en el uso d e ecuaciones m ate ­
m áticas y estadísticas, conocido com o sim ulación de even to s discretos. Este proceso
consiste en relacionar los diferentes eventos que pueden cam b iar el estado d e un sistem a
bajo estudio por m ed io d e d istrib uciones d e probabilidad y condiciones lógicas del pro­
blem a que se esté analizando. Por ejem plo, un proceso de inspección donde sabem os
estadísticam ente que 0 . 2 % d e los productos tien e algún tip o d e defecto, puede sim ularse
co n facilidad m ediante una sim p le hoja d e cálculo, al co nsid erar estadísticas d e rechazos
y productos sin defecto, y al asignar una distribución de probabilidad con 0 . 2 % de opor­
tunidad de defecto para cada intento de inspección.
En este capítulo abordarem os las definiciones básicas de los conceptos de la sim ula­
ción d e eventos discretos. En el capítulo 2 se presentarán algunos otros elem entos re le ­
vantes, co m o los núm eros pseudoaleatorios y las pruebas estadísticas necesarias para
co m probar esta aleatoriedad, la generación de variables aleatorias, y la caracterización de
algunas distribuciones de probabilidad de uso com ún en la sim ulación. El capítulo 3
m uestra cóm o usar estos núm eros pseudoaleatorios para m odelar sistem as, y una vez
que sepam os utilizarlos podrem os realizar una sim ulación sencilla con la ayuda de una
hoja d e cálculo. En el cap ítu lo 4 se presenta sim ulación d e variables aleatorias. En el resto
d e los capítulo s describirem os el uso del softw are com ercial ProM odel, del cual incluim os
una versión lim itada.
3
C a p ítu lo 1 P rincipios básicos d e la sim ulación
1.2 D efiniciones d e sim ulación
Para poder realizar un buen estudio de sim ulación es necesario entender los conceptos
básicos que com ponen nuestro m odelo.
Com enzarem os por d efin ir e l concepto de sim ulación de even to s discretos com o
el conjunto d e relaciones lógicas, m atem áticas y probabilísticas q u e integran el com porta ­
m iento d e un sistem a b a jo estudio cuando s e presenta un evento determ inado. El objetivo
d e l m odelo d e sim ulación consiste, precisam ente, en com prender, analizar y m ejorar las
condiciones d e operación relevantes del sistem a.
En la definición anterior encontram os elem entos co m o sistem a, m odelo y evento, de
los que se desprenden otros conceptos im portantes dentro de una sim ulación. A conti­
nuación abundarem os en cada uno.
La definición básica de sistem a nos dice que se trata de un conjunto d e elem entos q u e
s e interrelacionan para funcionar com o un to d o ; desde el p u n to de vista d e la sim ulación,
tales elem entos deben ten e r una frontera clara. Por ejem plo, podem os hablar del sistem a
de atención a clientes en un banco, del sistem a d e inventarios d e una em presa, o del
sistem a d e atención en la sala d e em ergencia d e un hospital. Cada uno p u e d e dividirse
en elem entos que son relevantes para la construcción de lo que será su m odelo de sim u­
lació n ; entre ellos tenem os entidades, estado del sistem a, eventos a ctu ales y futuros,
localizaciones, recursos, atributos, variables, y el relo j de la sim ulación, los cuales a
continuación se describen:
Una entidad por lo general es la representación délos flujos d e entrada y salida en un siste­
m a; al entrar a un sistema una entidad es el elemento responsable de que el estado del sis­
tem a cam bie. Ejem plos de entidades pueden ser; los clientes que llegan a la caja de un banco,
las piezas que llegan a un proceso, o el embarque de piezas que llega a un inventario.
El estado del sistem a es la condición q u e guarda e l sistem a b a jo estu dio en un
m om ento d e tiem po determ in ado; es com o una fotografía d e lo que está pasando en el
sistem a en cierto instante. El estado del sistem a se co m po ne d e variab les o característi­
cas d e operación pun tu ales (digam os el núm ero d e piezas que hay en el sistem a en ese
m om ento), y d e variables o características d e operación acum uladas, o prom edio (com o
podría ser el tiem p o prom edio d e perm anencia d e una entidad en el sistem a, en una fila,
alm acén o equipo).
Un evento es un cam bio en el estado actual del sistem a; por ejemplo, la entrada o salida
d e una entid ad, la fin alizació n d e un proceso en un equipo, la interrup ció n o re a ctiva ­
ción d e una operación (d ig am o s por un d escan so del operario ), o la d esco m p o stura de
una m áquina. Podem os catalogar estos eventos en dos tipos: eventos actuales, aquellos
que están sucediendo en el sistem a en un m om ento dado, y eventos futuros, cam bios que
se presentarán en el sistema después del tiem po de simulación, de acuerdo con una pro­
gram ación específica. Por ejemplo, im agine que cierta pieza entra a una máquina para que
ésta realice un proceso. El evento actual sería precisamente que la entidad llamada "pieza"
se encuentra en la m áquina. El evento futuro podría ser el m om ento en que la máquina
concluirá su trabajo con la pieza y ésta seguirá su cam ino hacia el siguiente proceso lógico,
d e acuerdo con la program ación: alm acenam iento, inspección o entrada a otra m áquina.
Para ilustrar con m ayor claridad estas definiciones veam os la siguiente figura.
4
1.2 D e fin icio n es de sim u lació n |~1
RELOJ
H R :0 0 M IN:05
E ven to futuro:
lleg a d a d e entidad
"pieza" a la tarim a,
H R: 0 0 M IN: 07
En tid ad "pieza"
Evento a ctu al: e n tid a d "pieza"
en p ro ceso en e sta c ió n . Inicio
HR 00 MIN 0 3 . D u ració n 3 m in .
F ig u ra 1.1
R ep resentación
d e co n c e p to s de
sim u lació n .
Estados del sistem a: 2 e n tid a d e s
"pieza" en la ta rim a .
A dicional a la figura 1.1 podem os ilustrar los cam bios en el estado del sistem a de
m anera tab ular y la m anera en que va cam b iand o con cada evento en el tiem po. Si bien
es cierto que en un m odelo real se puede considerar una gran variedad de estadísticas,
com o podría ser el tiem p o d e perm anencia en el sistem a, el tiem p o que pasa entre esta­
ciones, el tiem p o d e procesos y el prom edio de piezas. Cada una d e estas estadísticas se
vu elve a calcular hasta que un nuevo evento altera el estado del sistem a actual; de aquí
la im portancia de identificar este tip o d e sim ulación com o eventos discretos. Esta rep re­
sentación se m uestra en la siguiente tabla, la cual sólo considera el núm ero d e entidades
en el sistem a, en un m odelo real am bas tablas contendrían m ás inform ación.
Historia de la simulación
Tabla de eventos futuros
Reloj
Evento futuro
Estatus
00:02
Llegada pieza
Realizado
00:03
Mover pieza a estación
Realizado
00:04
Llegada de la pieza
Realizado
00:05
Llegada de la pieza
Realizado
00:06
Fin de proceso estación
En espera
00:07
Llegada de la pieza
En espera
Reloj
Evento
Estado
tarima
Estado
estación
00:00
Inicio de simulación
0 piezas
0 piezas
00:02
Llegada de pieza
1 pieza
0 piezas
00:03
Pieza en estación
0 piezas
1 pieza
00:04
Llegada de pieza
1 pieza
1 pieza
00:05
Llegada de pieza
2 piezas
1 pieza
RELOJ
H R :0 0 MIN 05
Tabla 1.1 Relación eventos y estado del sistema.
5
C a p ítu lo 1 P rincipios básicos d e la sim ulación
Adem ás del esquem a transaccional (pieza en tarim a -> pieza en estación) que se
presenta en un m o d elo de sim ulación, es necesario considerar algunos otros elem entos
que tam b ién form an p arte de este tip o d e m odelaciones. A continuación describirem os
algunos de ellos.
Las lo calizaciones son todos aquellos lugares en los q u e la pieza p u ed e detenerse para
se r transform ada o esperar a serlo. D entro d e estas localizaciones tenem os alm acenes,
b and as transportadoras, m áquinas, estaciones d e inspección, etcétera. En el caso del
gráfico m ostrado en la figura 1.1 la tarim a y la estación serían consideradas localizaciones
del m odelo. O bserve que en el caso d e la estación una sola localización puede ser rep re­
sentada gráficam ente por varias figuras. En la estación observam os una m esa y a una
persona que en conjunto form an una sola localización. En térm ino s d e sim ulación algu­
nos p aq uetes perm iten la anim ación d e lo que se program ó. En estos p aq uetes la rep re­
sentación iconográfica es sólo para aspectos visuales y n o le resta o agrega potencia al
m odelo. Es decir, podríam os h ab er co locado una casa en lugar de la estación con m esa y
operador y el m o d elo nos hubiese dado el m ism o resultado.
Los recu rso s son aquellos dispositivos — diferentes a las localizaciones— necesarios
para llevara cabo una operación. Por ejem plo, un m ontacarg as que transporta una pieza
de un lugar a otro: una persona que realiza la inspección en una estación y tom a turnos
para descansar; una herram ienta necesaria para realizar un proceso p ero que no form a
parte de una localización específica, sino que es trasladada d e acuerdo con los requeri­
m ientos de aquel.
Un atributo es una característica d e una entidad. Por ejem plo, si la entidad es un
motor, los atributos serían su color, peso, tam año o cilindraje. Los atributos son m u y útiles
para diferenciar entidades sin necesidad de generar una nueva, y pueden adjudicarse al
m om ento de la creación de la entidad, o asignarse y/o cam b iarse durante el proceso.
Com o indica su nom bre, las varia b les son condiciones cuyos valores s e crean y m od i­
fican p o r m edio d e ecuaciones m atem áticas y relaciones lógicas. Pueden ser continuas (por
ejem plo, el costo prom edio de operación d e un sistem a) o discretas (com o el núm ero de
unidad es que deberá envasarse en un contenedor). Las variables son m u y útiles para
realizar conteos d e piezas y ciclos de operación, así com o para determ inar características
d e operación del sistem a.
El reloj de la sim ulación es el contador de tiem po d e la sim ulación, y su función consiste
en responder preguntas tales com o cuánto tiem po se ha utilizado el modelo en la sim ula­
ción, y cuánto tiem po en total se quiere que dure esta última. En general, el reloj d e sim u­
lación se relaciona con la tabla de eventos futuros, pues al cum plirse el tiem po programado
para la realización de un evento futuro, éste se convierte en un evento actual. Regresando al
ejem plo de la figura 1. 1, cuando el tiem po de proceso se cum pla, la pieza seguirá su cam ino
hasta su siguiente localización, si ésta es la última del sistema lo m ás probable es que su
siguiente proceso sea salir del sistem a; el reloj simula precisam ente ese tiem po.
Podem os hablar d e dos tipos d e reloj de sim ulación: el reloj de sim ulación ab so lu ­
to, que p arte de cero y term ina en un tiem p o total d e sim ulación definido, y el relo j de
sim ulación relativo, que sólo considera el lapso que transcurre entre dos eventos. Por
ejem plo, podem os d e cir que el tiem p o de pro ceso de una pieza es relativo, m ientras que
el absoluto sería el tiem p o global de la sim ulación: desde que la pieza entró a ser pro ce­
sada hasta el m om ento en el que term in ó su proceso.
6
1.2 D efinicion es de sim ulación |~1
Ejem plo 1.1
Un taller recibe ciertas piezas, m ism as que son acum uladas en un alm acén tem p o ral en
dond e esperan a se r procesadas. Esto ocurre cu an d o un operario transpo rta las piezas
del alm acén a u n torno. Desarrolle un m odelo que incluya el núm ero de piezas que hay
en el alm acén y que esperan ser atendidas en todo m om ento, y el núm ero de piezas pro­
cesadas en el torno.
En la sig uiente figura podem os o bservar có m o se vería un m o d elo d e sim ulación
para este ejem plo.
pr
P iezas e n alm acén
Piezas procesadas
Torno
A lm acén
♦
Figura 1.2
M odelo de
sim u lació n para
el e je m p lo 1 . 1 .
En este ejem p lo podem os identificar algunos d e los elem ento s que participan en un
m odelo de sim ulación, d e acuerdo con las definiciones que hem os com entado:
Sistem a: En este caso, el sistem a está conform ado por el conjunto d e elem entos interrelacionados para el funcio nam iento del proceso: las piezas, el alm acén tem poral, el opera­
rio, el torno.
En tid ad es: En este m odelo sólo tenem o s una entid ad; las piezas, que representan los
flu jo s de entrada al sistem a del problem a b ajo análisis.
Estad o del sistem a: Podem os observar que cuando llevam os 1 hora 10 m inutos d e sim u ­
lación (vea el extrem o superior derecho de la figura) en el alm acén se encuentran 9 piezas
esperando a ser procesadas; el operario está transpo rtando una pieza m ás para procesar­
la en el torno. E l torno, por lo tanto, no está trab ajan d o en ese m om ento, aunque ya ha
procesado 4 piezas. A d icional a estos datos, podem os llevar un co ntro l d e otras estadísti­
cas relacionadas con el estado del sistem a, com o el tiem p o prom edio de perm anencia de
las piezas en los estantes del alm acén tem p oral o en el sistem a global.
7
|- |
C a p ítu lo 1 P rincipios básicos d e la sim ulación
Eventos: Entre otros, podríam os considerar com o eventos de este sistem a el tiem po de
descanso del operario o la salida de una pieza tras ser procesada por el torno. Adem ás es
posible identificar un evento futuro: la llegada de la siguiente pieza al sistem a (tendríam os
m ás eventos de este tip o respecto de las piezas que esperan a que el operario las tome).
Localizacion es: En este caso tenem o s el alm acén al que deberán llegar las piezas y en el
que esperarán a ser procesadas, a sí com o el to rn o en dond e esto ocurrirá.
Recursos: En este m odelo, un recurso e s el operario que transporta las piezas del alm a­
cén al torno.
A trib uto s: D igam os que (au nque n o se m enciona en el ejem plo) las piezas pueden ser
d e tre s tam años diferentes. En este caso, un atributo llam ado tam año podría agregarse a
la inform ación de cada pieza que llega al sistem a, para m ás adelante seleccionar el tipo
d e operación que deberá realizarse y el tiem p o necesario para llevarla a cabo d e acuerdo
con dich o atributo.
V ariables: Tenem os dos variables definidas en este caso: el núm ero de piezas en el alm a­
cén y el núm ero d e piezas procesadas en el torno.
R eloj de la sim ulación: Com o se puede ver en la esquina superior derecha d e la figura
1.2, en este m o m ento la sim ulación lleva 1 hora 10 m inutos. El reloj de la sim ulación co n­
tinuará avanzando hasta el m om ento que se haya establecido para el térm in o de la sim u ­
lación, o hasta que se cum pla una condición lógica para detenerla, por ejem plo, el
núm ero d e piezas que se desean simular.
Otro concepto im po rtante que vale la pena d efin ir es el d e réplica o corrida de la
sim ulación. Cuando ejecutam os el m o d elo una vez, los valores que obtenem os de las
variables y parám etros al fin al del tiem p o de sim ulación generalm ente serán distintos de
los que se producirán si lo vo lvem o s a correr con diferentes núm eros pseudoaleatorios.
Por lo tanto, es necesario efectuar m ás d e una réplica del m odelo que se esté analizando,
con la finalidad d e obtener estadísticas d e intervalo que nos den una m ejo r ubicación del
verdadero valo r d e la variable b ajo los d iferentes escenarios que se presentan al m odificar
los núm eros pseudoaleatorios en cada oportunidad.
De esta m anera, la pregunta clave es: ¿cuánto tiem p o se deb e sim ular un m odelo
para obtener resultados confiables? En general, podem os decir que to das las variables
que se obtienen en térm ino s de prom edios presentan dos diferentes etapas: un estado
tran sito rio y un estado estable. El prim ero se presenta al p rin cip io de la sim ulación; por
ejem plo, en el arranque d e una planta, cuan do no tien e m aterial en proceso: el últim o de
los procesos estará inactivo hasta que el prim er cliente llegue, y si el tiem p o d e sim ula­
ción es bajo, su im pacto sobre la utilización prom edio d e este proceso será m u y alto, lo
cual no ocurriría si el m odelo se sim ulara lo suficiente para lograr una com pensación. En
el estado transitorio hay m ucha variación entre los valores prom edio de las variables de
decisión del m odelo, por lo que fo rm ular conclusiones con base en ellos sería m u y arries­
gado, toda vez que difícilm ente nos darían una representación fiel d e la realidad.
8
1.3 Ventajas y desventajas de la sim ulación |
Por otro lado, en el estado estab le los valo res d e las variab les d e decisión p erm a­
necen m u y estables, y presentan sólo variacio nes poco sig nificativas. En este m om ento
las d ecisio n es q u e se tom en serán m ucho m ás confiables. Sin em bargo, n o to das las
variab les convergen al estado estab le con la m ism a rapidez: algunas pasan con m ás
lentitud qu e otras d e un estado transitorio a uno estable. Es responsabilidad del analista
verificar q u e las variables d e decisión del m o d elo se encuentren en estado estable antes
d e d e ten er el tiem p o d e la sim ulación (vea la figura 1.3).
Otro facto r im po rtante para decidir el tiem p o d e sim ulación es el co sto de la corrida.
M ayor tiem p o de sim ulación requiere m ás tiem p o com putacional, lo cual im plica, n ece­
sariam ente, un costo m ás alto. Por supuesto, la situación em peora si a esto le agregam os
que en algunos casos es preciso efectuar m ás d e tre s réplicas.
Figura 1.3
G rá fica de estab iliza ció n de
una va riab le.
1.3 V entajas y d esv e n ta ja s d e la sim ulación
Com o hem os visto hasta ahora, la sim ulación es una d e las diversas herram ientas con las
que cuenta el analista para to m ar decisiones y m ejorar sus procesos. Sin em bargo, se
d eb e destacar que, com o to das las dem ás opciones de que disponem os, la sim ulación de
eventos discretos presenta ventajas y desventajas que se precisa to m ar en cuenta al d eci­
dir si es apta para resolver un problem a determ inado.
D entro d e las ventajas m ás com unes que ofrece la sim ulación podem os citar las
siguientes:
a) Es m u y buena herram ienta para conocer el im p acto d e los cam b io s en los pro ce­
sos, sin necesidad d e llevarlos a cabo en la realidad.
b ) M ejora el conocim iento del proceso actual ya que perm ite que el analista vea
cóm o se com porta el m o d elo generado b ajo diferentes escenarios.
c) Puede utilizarse co m o m ed io d e capacitación para la tom a d e decisiones.
d) Es m ás económ ico realizar un estudio d e sim ulación que hacer m uchos cam bios
en los procesos reales.
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C a p ítu lo 1 P rincipios básicos d e la sim ulación
e)
Perm ite probar varios escenarios en busca d e las m ejo res co nd icio nes de trabajo
de los procesos que se sim ulan.
f ) En problem as d e gran com plejidad, la sim ulación perm ite generar una buena
solución.
g) En la actualidad los paquetes d e softw are para sim ulación tiend en a ser m ás sen­
cillos, lo que facilita su aplicación.
h) Gracias a las herram ientas de animación que form an parte de m uchos de esos
paquetes es posible ver cóm o se comportará un proceso una vez que sea mejorado.
Éstas son algunas de las desventajas que la sim ulación puede presentar:
a) Aunque m uchos paquetes de softw are perm iten obtener el m e jo r escenario a
partir de una com binación de variaciones posibles, la sim ulación n o es una herra­
m ienta de optim ización.
b) La sim ulación puede ser costosa cuando se quiere em plearla en problem as rela­
tivam ente sencillos de resolver, en lugar de utilizar soluciones analíticas que se
han desarrollado de m anera específica para ese tip o de casos.
c) Se requiere bastante tiem po — p o r lo general m eses— para realizar un buen
estudio d e sim ulació n; por desgracia, no todos los analistas tienen la disposición
(o la oportunidad) d e esp erar ese tiem p o para obtener una respuesta.
d) Es preciso que el analista dom ine el uso del paq uete d e sim ulación y que tenga
sólidos conocim ientos d e estadística para interpretar los resultados.
é)
En algunas ocasiones el cliente puede tener falsas expectativas de la herram ienta
de sim ulación, a tal grado que le asocia condiciones sim ilares a un video ju e g o o
a una bola d e cristal que le p erm ite pred ecir con exactitud el futuro.
1.4 Elem entos clave para g aran tizar el éxito
de un m odelo d e sim ulación
Pese a los b eneficios que conlleva la sim ulación, es im po sible garantizar que un m odelo
tendrá éxito. Existen ciertas condiciones clave que pueden traer problem as si no se les
pone atención al m o m ento d e usar la sim ulación para la tom a de decisiones. A co n tin u a­
ción destacarem os algunas d e las causas por las que un m odelo d e sim ulación podría no
ten e r los resultados que se desean.
Tam año insuficiente de la corrida. Com o se m en cio nó antes, para poder llegar a co n­
clusiones estadísticas válidas a p a rtir de los m odelos de sim ulación es necesario que las
variables aleatorias de respuesta se encuentren en estado estable. El problem a estriba en
que, por lo general, cu an d o el m odelo consta d e m ás de una variable de decisión, es
difícil que éstas alcancen un estado estable al m ism o tiem po: es posible que una se
encu en tre estable y la otra no en un m o m ento determ inado, por lo que las conclusiones
respecto de la segunda variable no serán confiables en cuanto a la estadística.
Variable(s) de resp u esta m al definida(s). Aun cuando el m o d elo d e sim ulación sea m uy
eficiente y represente en gran m edida la realidad, si la variab le de respuesta seleccionada
10
1.4 Elem entos clave para garantiza r el é xito de u n m o d e lo de sim ulación |~ j
n o es la apropiada, será im po sible to m ar decisiones que tengan im p acto en la operación
del sistem a b ajo estudio.
Por ejem plo, digam os que una variable de respuesta es el nivel de inventarios de
cierto producto, sin em bargo, la política d e la em presa establece que no se debe parar
ninguno d e los procesos de fabricación. En consecuencia, el problem a no será el inventa­
rio final, sino el ritm o de producción necesario para que aquel cum pla con los requeri­
m ientos de diseño que se desean.
Erro res al estab lecer la s relacio n es entre la s v aria b les aleato rias. Un error com ún de
program ación es olvidar las relaciones lógicas que existen entre las variab les aleatorias
del m odelo, o m in im izar su im pacto. Si una de estas variab les n o está definida de m anera
correcta, es posible tener un m o d elo que se apegue a la realidad actual; sin em bargo, si
el sistem a no se lleva hasta su m áxim a capacidad para o bservar su com portam iento,
podría resultar im posible visualizar el verdadero im p acto d e las deficiencias.
Erro res al d eterm in ar el tipo de distribución asociado a la s variab les a le ato ria s del
m odelo. Este tip o de problem a es m u y sim ilar al anterior, pero en este caso se utilizan
d istrib uciones que no son las m ás adecuadas o que responden únicam ente a un intento
d e sim plificar los estudios estadísticos. Digam os, por ejem plo, que se nos dan los siguien­
tes parám etros d e producción aproxim ados: m ínim o 10, m áxim o 40, y prom edio 30. En
esta circunstancia la tentación de sim p lificar el estudio d e la variab le asignándole una
distribución triang u lar con parám etros (10, 30, 40) es m u y gran de; no obstante, hacerlo
afectaría d e m anera im po rtante los resultados de la sim ulación, pues el m odelo podría
alejarse de lo que sucede en la realidad.
Falta de un an á lisis estadístico de lo s resultad o s. Un problem a com ún por el que la
sim ulación su ele ser objeto d e crítica, radica en asum ir que se trata d e una herram ienta
d e optim ización. Esta apreciación es incorrecta, ya que involucra variables aleatorias y
características propias d e un m o d elo que incluye probabilidades. Por lo m ism o — com o
se ap un tó antes— , es necesario realizar varias corridas a fin de p ro du cir diferentes resul­
tado s finales para las variables d e respuesta y, a p artir d e esos valores, obtener intervalos
d e confianza que puedan dar un rango en dónd e encontrar los valores definitivos. Este
tipo de problem as se presentan tam b ién al com parar dos escenarios: podríam os encon­
trar un m e jo r resultado para uno d e ellos, pero si los in tervalo s de confianza de las
variab les de respuesta se traslapan resultaría im po sible decir q u e el resultado de un esce­
nario es m ejo r que el del otro. De hecho, en lo que a la estadística se refiere, am bos resul­
tado s pueden ser iguales. En ese c a so in crem en tar el tam añ o d e corrida o el n ú m e ro de
réplicas puede ayudar a obtener m ejores conclusiones.
Uso incorrecto de la inform ación o b tenida. Un problem a que se presenta en ocasiones
es el uso inco rrecto d e la inform ación recabada para la realización del estudio, ya sea a
través d e un cliente o d e cualquier otra fuente. M uchas veces esta inform ación se recolec­
ta, analiza y adm inistra de acuerdo con las necesidades propias de la em presa, lo que
im plica que no siem pre está en el form ato y la presentación que se requiere para la sim u ­
lación. Si la inform ación se utiliza para determ inar los parám etros del m o d elo sin ser
11
|- |
C a p ítu lo 1 P rincipios básicos d e la sim ulación
depurada y reorganizada, es m u y pro bable que la precisión d e los resultados del estudio
se vea afectada.
Falta o exceso de detalle en el m odelo. Otro punto im po rtante a considerar es el nivel
d e detalle del m odelo. En m uchas ocasiones algún pro ceso se sim plifica tan to que tiende
a verse com o una "caja negra"que nos im p id e v e rq u é ocurre en el interior, aunque sí haya
entrada y salida d e datos que interactúan con otras p artes del m odelo. Cuando esto su ce­
de, el im p acto que podrían ten e r los subprocesos que se llevan a cabo en la "caja negra"
(es decir, del proceso sobresim plificado) no se incluye en la sim ulación. Por ejem plo, si se
analiza un sistem a de distribución y se da por sentado que el alm acén siem pre su rte sus
pedidos, no incluirem os el im pacto de los tiem p o s necesarios para surtir las órdenes, ni
la posibilidad d e que haya faltantes de p ro du cto; excluirem os tam b ién los horarios de
com ida, en los que no se surten pedidos, y las fallas en los m ontacargas que transportan
los pedidos hasta los cam iones para su distribución. Por otra parte, si el m odelo se hace
dem asiado detallado, tanto el tiem p o dedicado al estudio com o el costo de llevarlo a
cabo podrían increm entarse sustancialm ente. Es labor del encargado de la sim ulación
sugerir y clarificar los niveles de detalle que se requieren en el m odelo, resaltando los
alcances y lim itaciones de cada uno.
1.5 Pasos para realizar un estu d io d e sim ulación
D ebem os considerar que — igual a lo que ocurre con otras herram ientas d e investiga­
ción— la realización de un estud io d e sim ulación requiere la ejecución de una serie de
actividad es y análisis que perm itan sacarle el m ejo r provecho. A continuación se m en cio ­
nan los pasos básicos para realizar un estudio de sim ulación, aunque en m uchas ocasio­
nes será necesario agregar otros o suprim ir algunos d e los aq u í enum erados, d e acuerdo
con la problem ática en cuestión.
1. Definición del sistem a bajo estudio. En esta etapa es necesario conocer el siste­
ma a modelar. Para ello se requiere saber qué origina el estudio d e sim ulación y
establecer los supuestos del m odelo: es conveniente definir con claridad las varia­
bles de decisión d e l m odelo, determ inar las interacciones entre éstas, y establecer
co n precisión los alcances y lim itaciones que aquel podría llegar a tener.
Antes de concluir este paso es recom endable contar con la información sufi­
ciente para lograr establecer un modelo conceptual o un mapa m ental del sistema
bajo estudio, el cual debe incluir sus fronteras y todos los elem entos que lo com ­
ponen, adem ás d e las interacciones entre ellos, los flujos de productos, las perso­
nas y los recursos, a sí com o las variables d e m ayor interés para el problema.
2. G eneración del m odelo de sim ulación b ase. Una vez que se ha definido el
sistem a en térm ino s d e un m odelo conceptual, la sig uiente etapa del estudio
consiste en la generación de un m o d elo d e sim ulación base. No es preciso que
este m odelo sea dem asiado detallado, pues se requiere m ucha m ás inform ación
estadística sobre el co m portam iento de las variables d e decisión del sistem a. La
generación de este m odelo es el prim er reto para el program ador d e la sim ula­
ción, ya que debe traducir a un lenguaje d e sim ulación la inform ación que se
12
1.5 Pasos para realizar u n estu d io de sim ulación |
obtuvo en la etapa de definición del sistem a, e incluir las interrelaciones de
todos los po sibles sub sistem as que existan en el problem a a m odelar. En caso
de que se requiera una anim ación, éste tam b ién es un buen m om ento para defi­
n ir qué gráfico puede representar m ejo r el sistem a que se m odela.
Igual que ocurre en otras ram as d e la investigación d e operaciones,"la sim u ­
lación exige ciencia y arte en la generación de sus modelos". El realizador de un
estudio d e sim ulación es, en este sentido, co m o un artista que debe usar toda su
creatividad para realizar un buen m o d elo que refleje la realidad del problem a
que se está analizando. Conform e se avanza en el m odelo base se pueden ir
agregando las variables aleatorias del sistem a, con sus respectivas distribuciones
de probabilidad asociadas.
3. Recolección y a n á lisis de datos. Es posible com enzar la recopilación d e la infor­
m ación estadística de las variables aleatorias del m odelo d e m anera paralela a la
generación del m odelo base. En esta etapa se debe establecer qué inform ación
es útil para la determ inación d e las d istrib uciones de probabilidad asociadas a
cada una d e las variables aleatorias necesarias para la sim ulación. Aunque en
algunos casos se logra contar con datos estadísticos, suele suceder que el fo rm a­
to d e alm acenam iento o d e generación de reportes n o es el apropiado para
facilitar el estudio. Por ello, es m u y im po rtante dedicar el tiem p o suficiente a esta
actividad. D e n o contar con la inform ación requerida o en caso de desconfiar de
la disponible, será necesario realizar un estudio estadístico del com portam iento
d e la variable que se desea identificar, para lueg o incluirla en el m odelo. Más
adelante se hará e l análisis de los datos indispensables para asociar una d istrib u­
ción de probabilidad a una variable aleatoria, así co m o las pruebas que se le
deben aplicar. Al finalizar la recolección y análisis d e datos para todas las varia­
bles del m odelo, se tendrán las condiciones para g enerar una versión p relim inar
del problem a que se está sim ulando.
4. Generación del m odelo prelim inar. En esta etapa se integra la inform ación
obtenida a p artir del análisis d e los datos, los supuestos del m odelo y todos los
datos necesarios para crear un m odelo lo m ás cercano posible a la realidad del
problem a b ajo estudio. En algunos casos — sobre to d o cuando se trata del dise­
ñ o d e un nuevo proceso o esquem a de trabajo — no se cuenta con inform ación
estadística, p o r lo que debe estim arse un rango d e variación o determ inar (con
ayuda del cliente) valores constantes que perm itan realizar el m odelado. Si éste
es el caso, el encargado de la sim ulación puede, con base en su experiencia,
realizar algunas sugerencias de distribuciones de probabilidad que co m únm en­
te se asocien al tip o de proceso que se desea incluir en el m odelo. A l fin alizar esta
etapa el m o d elo está listo para su prim era prueba: su verificación o, en otras
palabras, la com paración con la realidad.
5. Verificación del m odelo. Una vez que se han identificado las distribuciones de
probabilidad d e las variables del m odelo y se han im plantado los supuestos
acordados, es necesario realizar un proceso de verificación de datos para com ­
probar la propiedad d e la program ación del m odelo, y co m probar que todos los
parám etros usados en la sim ulación funcio nen correctam ente. Ciertos p ro b le­
m as, en especial aquellos que requieren m uchas operaciones de program ación
13
|- |
C a p ítu lo 1 P rincipios básicos d e la sim ulación
o que involucran distribuciones de probabilidad difíciles de program ar, pueden
ocasionar que el co m po rtam iento del sistem a sea m u y diferente del que se espe­
raba. Por otro lado, no se debe descartar la posibilidad d e que ocurran errores
hum anos al alim en tar el m o d elo con la inform ación. Incluso podría darse el caso
d e que los supuestos iniciales hayan cam biado una o varias veces durante el
desarrollo del m odelo. Por lo tanto, debem os asegurarnos de que el m o d elo que
se va a ejecutar esté basado en los m ás actuales.
Una ve z que se ha co m pletad o la verificación, el m odelo está listo para su
com paración co n la realidad del problem a que se está m odelando. A esta etapa
se le conoce tam b ién co m o validación del m odelo.
6. Validación del m odelo. El proceso de validación del m o d elo consiste en realizar
una serie de pruebas sim ultáneas con inform ación d e entrada real para o bservar
su co m portam iento y analizar sus resultados.
Si el problem a b ajo sim ulación involucra un proceso que se desea mejorar,
el m odelo debe som eterse a prueba con las condiciones actuales de operación,
lo que nos dará com o resultado un co m po rtam iento sim ilar al que se presenta
realm ente en nuestro proceso. Por otro lado, si se está diseñando un nuevo p ro ­
ceso la validación resulta m ás com plicada. Una m anera de validar el m odelo en
este caso, consiste en introducir algunos escenarios sugeridos por el cliente y
validar que el co m po rtam iento sea congruente con las exp ectativas que se tie ­
nen d e acuerdo con la experiencia. Cualquiera que sea la situación, es im p o rtan­
te que el analista conozca bien el m odelo, d e m anera que pueda ju stificar
aquellos co m po rtam iento s que sean contrarios a la exp eriencia de los especia­
listas que participan en su validación.
7. Generación del m odelo final. Una vez que el m o d elo se ha validado, el analista
está listo para realizar la sim ulación y estudiar el co m portam iento del proceso.
En caso d e que se desee com parar escenarios diferentes para un m ism o p ro b le­
m a, éste será el m odelo raíz; en tal situación, el siguiente paso es la definición de
los escenarios a analizar.
8. D eterm inación de lo s escen ario s para el análisis. Tras validar el m o d elo es
necesario acordar con el cliente los escenarios q u e se quieren analizar. Una
m anera m u y sencilla d e determ inarlo s co nsiste en utilizar un escenario p esim is­
ta , uno optim ista y uno interm edio para la variab le d e respuesta m ás im p o rtan ­
te. Sin em bargo, es preciso to m ar en cu e n ta que n o to das las variab les se
com portan igual ante los cam b io s en los d istin to s escenarios, p o r lo q u e ta l vez
sea necesario q u e m ás d e una variable d e respuesta se analice b ajo las p ersp e c­
tiva s pesim ista, optim ista e interm ed ia. El riesgo d e esta situación radica en que
el analista podría realizar un d iseño d e exp erim en to s capaz d e g enerar una gran
cantidad d e réplicas, lo q u e redundaría en un increm ento co nsid erab le d e co s­
to, análisis y tiem p o d e sim ulación. Es por ello que m uchos p aq uetes d e sim ula­
ción cuentan con h erram ien tas para realizar este proceso, las cuales elim inan
la anim ación y acortan los tiem p o s d e sim ulació n. Estas h erram ien tas perm iten
realizar varias réplicas del m ism o escenario para obtener resultados con estad ís­
ticas im p o rtantes respecto d e la toma d e d ecisio n es (por ejem plo, los intervalos
d e confianza).
14
1.5 Pasos para realizar u n estu d io de sim ulación |
Por su parte, el analista tam b ién puede co ntribuir a la selección de escena­
rios, sugiriendo aquellos que considere m ás im portantes; al hacerlo dará p ie a
que se reduzca el núm ero de com binaciones posibles.
9. A nálisis de sensib ilidad . Una vez que se obtienen los resultados d e los escena­
rios es im portante realizar pruebas estadísticas que perm itan com parar los esce­
narios co n los m ejores resultados finales. Si dos d e ellos tienen resultados
sim ilares será necesario com parar sus intervalos d e confianza respecto de la varia­
ble de respuesta final. Si no hay intersección d e intervalos podrem os decir con
certeza estadística que los resultados no son iguales; sin em bargo, si los intervalos
se sobreponen será im posible definir estadísticam ente que una solución es m ejor
que otra. Si se desea obtener un escenario "ganador", será necesario realizar más
réplicas de cada m odelo y/o increm entar el tiem p o de sim ulación d e cada corrida.
Con ello se busca acortar los intervalos de confianza de las soluciones finales y,
por consiguiente, increm entar la probabilidad d e diferenciar las soluciones.
10. Documentación del modelo, sugerencias y conclusiones. Una vez realizado el
análisis de los resultados, es necesario efectuar toda la docum entación del modelo.
Esta docum entación es m u y im portante, p ues perm itirá el uso del m odelo
generado en caso de que se requieran ajustes futuros. En ella se deben incluir los
supuestos del m odelo, las d istrib uciones asociadas a sus variables, todos sus
alcances y lim itaciones y, en general, la totalidad de las consideraciones de pro­
gram ación. Tam bién es im po rtante incluir sugerencias tanto respecto del uso del
m odelo com o sobre los resultados obtenidos, con el propósito de realizar un
reporte m ás com pleto. Por últim o, deberán presentarse las conclusiones del
proyecto de sim ulación, a p artir de las cu ale s es posible obtener los reportes
ejecutivos para la presentación final.
En la figura 1.4 se presenta una gráfica d e G antt en dond e se m uestra, a m anera de ejem ­
plo, la planificación d e los pasos para realizar una sim ulación que hem os com entado en
esta sección.
Actividad
Definición del sistema
Modelo de simulación base
Recolección y análisis de datos
Modelo preliminar de simulación
Verificación del modelo
Validación del modelo
Modelo final de simulación
Determinación de escenarios
Análisis de Sensibilidad
Documentación Final
Tiempo
Figura 1 .4 Gráfica de Gantt de un proyecto de simulación.
15
|- |
C a p ítu lo 1 P rincipios básicos d e la sim ulación
Podem os decir que la realización de un proyecto de sim ulación im p lica tres grandes
fases. El diseño del m odelo del problem a a analizar, la construcción del m odelo y la e x p e ­
rim entación que se puede realizar con éste. La figura 1.5 ilustra una m anera alternativa de
presentar este m ism o proceso .161
D is e ñ o d e l m o d e lo
C o n s tr u c c ió n
E x p e r im e n t a c ió n
Figura 1 .5 R ep resen tació n del c ic lo d e un p ro yecto d e sim u lació n .
Com o podem os o b servar en la fig u ra 1.5, la construcción del m o d e lo es sólo una
parte d e l b en eficio de una h erram ien ta co m o sim u lació n. Tam bién se puede usar para
h ace r análisis con diferentes escen ario s y to m ar d ecisio n es sustentad as e sta d ística ­
m ente. En el sig uiente cap ítu lo revisarem o s cóm o se m odela la variabilid ad natural de
los procesos.
1.6 Problem as
1. D eterm ine los elem entos de cada uno d e los siguientes sistemas, de acuerdo con lo
que se com entó en la sección 1 . 2 .
a)
b)
c)
d)
La sala de em ergencia d e un hospital
Un b anco m ercantil
Una línea telefónica de atención a clientes
La recepción de un hotel
é) Un taller d e tornos
f) El proceso de pintura de un autom óvil
g ) Un hospital
h) Un sistem a de respuesta en caso de em ergencias
16
1.6 Problem as [~ ]
2. Defina los elem entos de cad a uno de estos sistem as, de acuerdo con lo que analizó
en la sección 1. 2 .
a) El sistem a d e m antenim ien to d e los equipos de una em presa, llevado a cabo por
una cuadrilla d e personas
b) Un aeropuerto
c) Una bodega de distribución d e productos
d)
e)
f)
g)
h)
Una línea em botelladora de refrescos
Un sistem a de control de tránsito para la ciudad
Una línea d e arm ado de refrigeradores
Una superm ercado
Un taller d e m antenim iento d e m oldes
3. ¿Cuáles podrían ser las entidades d e cada uno d e los siguientes sistem as?
a) Un cajero autom ático
b) Un sistem a autom ático de inspección de botellas
c) Una m áquina dobladora d e lám ina
d)
é)
f)
g)
Un proceso de em p aq ue d e televisores
Una sala d e urgencias d e un hospital
Un alm acén de p ro ducto term inado
Una línea d e em b utid o d e carnes
4. ¿Cuáles podrían ser las entidades d e cada uno d e los siguientes sistem as?
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
Un sistem a de distribución d e paquetería
Un sistem a de cobranza
Un conm utador telefónico
Un d epartam ento d e devolución d e m ercancía
El abordaje de un crucero por el Caribe
Un taller d e reparación de m otores
Un centro de despacho y asignación de pedidos d e productos
5. D eterm ine qué atributos podrían ser relevantes para la sim ulación d e los siguientes
sistem as.
a)
b)
c)
d)
é)
f)
El m aq uinado de una fam ilia de engranes
Un proceso de pintura de refrigeradores
Un sistem a de recepción de m ateria prim a
Un proceso de soldadura para varios productos
Una sala d e tratam iento s dentales
Un sistem a de registro de p acientes en un hospital
g) Un sistem a de localización de m ercancía por radio frecuencia
6 . ¿Qué atributos podrían ser relevantes para la sim ulación de los siguientes sistem as?
a) Un proceso de empaque de 10 productos por caja, donde cada producto es diferente
b) Un proceso d e separación de 3 productos para enviarlos a sus respectivas áreas
de procesam iento
17
C a p ítu lo 1 P rincipios básicos d e la sim ulación
c)
Un sistem a de inspección de calidad de piezas m aquinadas
d)
Un sistem a de program ación de m antenim ien to que califica sus trab ajo s com o
urgentes y no urgentes, adem ás d e asignarles etiquetas d e "Pendiente d e asig­
nar", "Asignado", "En proceso" y "Term inado"
7. Especifique las variables que podrían ser relevantes en los siguientes sistemas.
a)
b)
c)
d)
é)
f)
El m aq uin ado de una fam ilia de engranes
Un proceso de pintura de refrigeradores
Un sistem a de recepción de m ateria prim a
Un proceso de soldadura para vario s productos
Una sala d e tratam ientos dentales
Un sistem a de registro de p acientes en un hospital
g ) Un sistem a de localización de m ercancía por radio frecuencia
8 . De los siguientes sistemas, ¿cuáles podrían ser clasificados co m o eventos?
a)
b)
c)
d)
é)
Una sala d e urgencias d e un hospital
Un sistem a de em ergencias epidem iológicas
Un sistem a de control de calidad de una planta que fabrica botellas
Un restaurante d e com ida rápida
Una term in al de cam iones de carga
f)
Una aduana com ercial d e im portaciones y exportaciones
9. D eterm ine el p ro m ed io m óvil d e los núm eros d e la sig uiente tabla y grafique los
prom edios. ¿Llega a estado estab le la gráfica? En caso afirm ativo, ¿a p a rtir de qué
valor se puede considerar el inicio del estado estable?
0.6435
0.9849
0.9152
0.8327
0.2803
0.1730
0.9002
0.1853
0.3499
0 .7 3 6 8
0.0168
0.1133
0.5673
0.5013
0.0330
0.9814
0.7602
0.1865
0.5518
0 .1 0 6 4
0.3553
0.3846
0.3063
0.1319
0.3769
0.3809
0.5290
0 .8 5 8 6
0.6225
0 .5 4 2 5
0.1242
0.2806
0.9285
0.4257
0.5007
0.9997
0.2072
0.0580
0.5460
0 .3 9 1 0
0.4006
0.2376
0.3883
0.7998
0.9111
0.5554
0.6080
0 .6 7 2 4
0.0332
0.9451
0.2944
0.5657
0.4072
0.6198
0.6809
0.7154
0.8810
0 .3 0 2 8
0.5950
0.3131
0.1438
0.7546
0.0982
0.4946
0.1837
0.5438
0 .6 5 9 8
0.6460
0.8039
0 .1 5 9 9
0.7612
0.8071
0.5163
0.5810
0.6720
0.6020
0.0120
0.4502
0.4228
0 .2 7 3 4
0.4776
0.1012
0.0935
0.4389
0.7195
0.7738
0.8939
0.5225
0.1220
0 .8 2 6 5
0.6031
0.9288
0.1209
0.5537
0.1219
0.9657
0 .9 7 3 4
0.9955
0.2281
0 .1 0 8 4
1 n
Prom edio m óvil: rn = —\ r ¡
n /.i
18
pora
n =1,2,...,100
1.6 Problem as [~ ]
10. D eterm ine el p ro m ed io m óvil d e los núm eros d e la sig uiente tabla y grafique los
prom edios. ¿Llega a estado estable la gráfica? En caso afirm ativo, ¿a p a rtir de qué
valor se puede considerar el inicio del estado estable?
0.1762
0.0477
0.5245
0.6735
0.9922
0.3669
0.1380
0 .6 5 8 4
0.5371
0 .4 5 8 0
0.9750
0.7266
0 .2 0 9 4
0.5885
0.5842
0.5057
0 .2 6 1 4
0.6131
0.8510
0 .9 5 0 2
0.9770
0.6959
0.2955
0.4447
0 .2 8 5 6
0.3545
0.2401
0 .5 4 0 6
0.0547
0 .4 5 5 2
0.4181
0.7080
0.5093
0.1922
0.0685
0.3380
0.7969
0.3670
0.4124
0 .9 6 0 8
0.4409
0.8448
0.4257
0.0763
0.0513
0.8583
0.9419
0.8389
0.0096
0 .0 6 3 3
0.6124
0.8186
0 .1 2 8 8
0.8095
0.1313
0.8238
0 .9 6 2 8
0 .0 7 3 6
0.8992
0 .3 6 5 7
0.7017
0.8310
0.2849
0.5471
0 .3 7 1 6
0.7481
0.0009
0 .0 9 3 6
0.2608
0 .5 4 1 5
0.9343
0.5679
0 .0 1 1 6
0.3081
0.6192
0.4047
0.9659
0 .5 6 3 8
0.7183
0 .5 6 4 9
0.1087
0.8235
0.9399
0.6169
0.0711
0.3051
0.4250
0 .5 2 7 6
0.2523
0 .1 2 4 2
0.8740
0.0961
0 .2 1 6 6
0.5799
0.2477
0.1443
0.4937
0.7373
0.9575
0 .1 7 0 6
i n
Prom edio m óvil:
para
n = 1, 2 , ...,100
n /-i
11. G enere en una hoja de cálculo 100 núm eros con la función x¡ = —3ln(1 — ); donde r;.es
un núm ero pseudoa lea to rio entre cero y uno, obtenido a p a rtir d e la función
ALEATORIO de la hoja d e cálculo. Suponga que estos valores son tiem po s de proceso
de cierta pieza. D eterm ine un prom edio m ó vil d e estos valo res co nfo rm e se va reali­
zan d o el procesam iento d e las piezas, y grafique ese prom edio. ¿El tiem po prom edio
de proceso es estable? ¿Y si en lugar de 100 se generan 200 núm eros? (Sugerencia:
Para evitar que se recalculen los núm eros aleatorios es necesario copiarlos y pegarlos
m ediante pegado especial de sólo valores).
12. En una hoja d e cálculo genere 100 núm eros con la fu n ció n x¡ = 5 + 10/;.;do nd e/;.es un
núm ero pseud oaleato rio entre ce ro y uno, obtenid o a p artir d e la fu n ció n ALEATORIO
de la hoja d e cálculo . Suponga que estos valores son tiem po s d e atención a clientes
en un banco. D eterm ine un p ro m ed io m óvil d e estos valores conform e se va reali­
zan d o la atención d e los clientes, y grafique ese prom edio. ¿El tiem p o p ro m ed io de
atención a clientes es estable? ¿Q ué pasa si ahora se generan 200 núm eros?
13. G enere en una hoja de cálculo núm eros con las siguientes funciones:
a) x,. = - 2 0 * ln (r ,* r y)
b) x , = - 1 0 * ln (o * / )* /• ,* /;)
c) x¡ = —5 *ln(r, * r¡ * rk *rl * rm *rn* r0 *rp)
19
|- |
C a p ítu lo 1 P rincipios básicos d e la sim ulación
D ond e r,,rj ,rk,rl,rm,rn,rolrp son núm eros pseudoaleatorios entre cero y uno, obtenidos a
p artir de la función ALEATORIO de la hoja de cálculo. Suponga que estos valores son
tiem po s de reparación de una m áquina. D eterm ine un prom edio m ó vil de estos valores
conform e se van realizando m antenim ientos, y grafique ese prom edio. ¿C u ál d e las tres
fu n cio n es llega a estado estable m ás rápidam ente? ¿En qué p u n to del tiem p o llega cada
una a estado estable? ¿A qué valor converge el prom edio en cada una?
Referencias
[1] Goodsell, C. A. y Van Kely(T. J. (2004)."lnventory Management Simulation atCAT Logistics", En J.
A. Joines, R. R. Barton, K. Kang, y P. A. Fishwick (Eds), pp 1185-1190.
[2] Chan, F.T.S., N. K. H., Tang, H. C. W., Lau, y R. W. L., Ip (2002). "A Simulation Approach in Supply
Chain Management", IntegratedManufacturing Systems, volumen 13 {número 2), pp 117-122.
[3] O'Kane, J. (2004)."Simulating production performance: cross case analysis and policy implications" Industrial Management and Data Systems, volumen 104 {número 4), pp. 309-321.
[4] Mahanti, R. y Antony, J (2005)."Confluence of Six Sigma, Simulation and Software Development"
Managerial Auditing Journal, volumen 20 (número 7), pp. 739-762.
[5] Strauss, U. (2006). "Using a Business Simulation to Develop Key Skills - the MERKIS Experience",
Industrial and Commercial Training, volumen 38 (n úmero 4), pp. 213-216.
[6] García, H. y Centeno, M. A. (2009)."S.U.C.C.E.S.S.F.U.L.: a Frameworkfor Designing Discrete Event
Simulation Course", Proceed’m gsofthe 2009 WinterSimulation Conference, M. D. Rossetti, R. R. Hill,
B. Johansson, A. Dunkin y R. G. Ingalls (Eds), pp. 289-298.
20
Capítulo 2
Núm eros pseudoaleatorios
2.1
Los núm eros pseudoaleatorios
2 .2
Generación de núm eros pseudoaleatorios
2 .3
Propiedades de los núm eros pseudoaleatorios entre 0 y 1
2 .4
Pruebas estadísticas para los núm eros pseudoaleatorios
2 .5
Problem as
Referencias
| C a p ítu lo 2 N úm eros pseudoaleatorios
2.1 Los núm eros pseu d o aleato rio s
Para poder realizar una sim ulación que incluya variabilidad dentro d e sus eventos, es
preciso g enerar una serie d e núm eros que sean aleatorios por sí m ism os, y que su aleatoriedad se extrapole al m o d elo de sim ulación que se está construyendo. Com o puede
com prender, en la construcción del m odelo los núm eros aleatorios ju e g an un papel re le ­
vante.
Así, una de las prim eras tareas que es necesario llevar a cabo co nsiste en determ inar
si los núm eros que utilizarem os para "correr"o ejecutar la sim ulación son realm ente alea­
torios o no. Por desgracia, precisar lo anterio r con absoluta certidum bre resulta m uy
com plicado, ya que para ello tendríam os que g enerar un núm ero infinito de valores que
nos perm itiera com probar la inexistencia de co rrelaciones entre ellos. Esto sería m uy
costoso y tardado, adem ás volvería im práctico el uso d e la sim ulación aun con las com ­
putadoras m ás avanzadas.
A pesar d e lo anterior, podem os asegurar que el conjunto de núm eros que utilizare­
m os en una sim ulación se com porta de m anera m u y sim ilar a un conjunto de núm eros
totalm ente aleatorios; por ello es que se les denom ina núm eros pseudoaleatorios. Casi
to das las aplicacio nes com erciales tienen varios generadores d e núm eros pseud oaleato­
rios que pueden generar un conjunto m u y grande d e núm eros sin m ostrar correlación
entre ellos. En el presente c a p ítu lo d iscu tirem o s alg uno s de los m éto d o s d e g e n e ra ­
ción de núm eros pseudoaleatorios, y precisarem os qué características deben ten e r para
em plearlos com o una fuen te confiable de variabilidad dentro de los m odelos. Asim ism o,
se m ostrarán algunas d e las pruebas m ás com unes para co m probar qué tan aleatorios
son los núm eros o btenid os con dichos generadores.
2.2 G eneración de núm eros pseu d o aleato rio s
Para realizar una sim ulación se requieren núm eros aleatorios en el intervalo (0,1), a los
cuales se hará referencia com o rr es decir, una secuencia r¡ = { f , , r2lr3 l...,rn} que contiene
un" núm eros, todos ellos diferentes. El valor un ” recibe el nom bre de periodo o ciclo d e vida
del generador que creó la secuencia r¡.
Los r¡ constituyen la parte m edular d e la sim ulación de procesos estocásticos, y por lo
regular, se usan para generar el co m portam iento de variables aleatorias, tanto continuas
com o discretas. Debido a que no es posible generar núm eros realm ente aleatorios, co n­
sideram os los r. com o núm eros pseudoaleatorios generados por m edio de algoritm os
determ m ísticos que requieren parám etros d e arranque.
Para sim ular el co m portam iento de una o m ás variables aleatorias es necesario co n ­
tar co n un co n ju n to suficientem ente grande de r, que perm ita, por ejem plo, que la
secuencia tenga al m enos un perio do d e vida d e n = 2 31 = 2,147,483,648. D e acuerdo con
L'E cu ye r 141u n a se cu e n cia d e r ,c on p erio d o d e vid a d e n = 2 31 es re la tiv a m e n te p e q u e ­
ñ a ; de hecho, incluso una secuencia d e r¡ q u e contenga un ciclo d e vida de n = 2M se
considera pequeña. En la actualidad, contam os ya con generadores y procesadores capa­
ces de construir una secuencia de r. con perio do d e vida de n = 2 200.
Tal vez se preguntará; ¿p o r qué debe interesarnos co nstruir una secuencia d e n ú m e­
ros r. lo bastante grande? A continuación ilustrarem os la razón m ediante un ejem plo.
22
2.2 G eneración d e n ú m e ro s pseudoaleatorios |
Suponga que querem os sim ular el tiem p o d e atención a clientes en un b anco que tiene
5 cajeros en paralelo, cada uno de los cuales atiend e alrededor de 50 clientes diarios. Para
sim ular el tiem p o de atención se requiere un generador de variable aleatoria en función
de rF com o por ejem p lo 7 = 5 + 2 rf expresado en m inutos para toda i = 1, 2, 3 , . . . , n. (El
tem a de generadores de variables aleatorias se presenta en el capítulo 3). Si sim ulam os el
tiem p o de atención de m anera aislada, es decir, sin considerar el tiem p o transcurrido
desde la lleg ad a d e éstos, serán n ecesario s 5 x 50 = 2 5 0 n ú m e ro s r¡ para sim u la r un d ía ;
si deseáram os sim ular 5 días se necesitarían 250 x 5 = 1250 rv Ahora bien, si consideram os
e l tiem p o desde la llegada de los clientes, precisaríam os de 250 r¡ para sim ular el tiem po
transcurrid o desde la llegada al banco de los 250 clientes p o r día, y 250 x 5 = 1250 r¡ para
sim ular el correspondiente al total de clientes atendidos durante 5 días. Por lo tanto, se
requerirán 2500 núm eros pseudoaleatorios r¡ para sim ular la operación del banco duran­
te 5 días.
Com o se m encionó en el capítulo 1, los resultados no pueden basarse en una sola
sim ulación del sistem a; por el contrario, es necesario realizar varias réplicas d e la m ism a,
corriend o cada una d e ellas con núm eros pseudoaleatorios diferentes. Si retom am os el
ejem p lo del banco, sim ular 5 días otra vez significa que necesitam os otros 2500 núm eros
pseudoaleatorios en el intervalo (0,1). En consecuencia, se requieren 5000 r, para realizar
la sim ulación del sistem a d e atención a clientes con d o s réplicas.
Usted podrá im aginar cuántos núm eros r. serán necesarios para sim ular la operación
del banco durante un año con 9 réplicas, o cuántos núm eros r, se requieren para sim ular
un sistem a p ro du ctivo durante un año con varias líneas d e producción, y cada una con
varias estaciones, y cada estación con uno o m ás procesos.
Dada la im po rtancia de contar con un co n ju n to de rysuficientem ente grande, en esta
sección se presentan diferentes algoritm os determ m ísticos para obtenerlo. Por otra parte,
es conveniente señalar que el conjunto d e r. debe ser som etido a una variedad de p ru e­
bas para verificar si los núm eros que lo conform an son realm ente independientes y u n i­
form es. En la sección 2 .4 verem os las p rueb as estadísticas que determ inan si un conjunto
r. tie n e las p ro p ie d a d e s de in d e p e n d e n c ia y u n ifo rm id a d . U na ve z g e n e ra d o el c o n ­
ju n to r m ed iante un algoritm o determ inístico, es necesario som eterlo a las pruebas antes
m encionadas: si las supera, podrá utilizarse en la sim ulació n; d e lo contrario, sim p lem en­
te deberem os desecharlo.
Un conjunto de ry debe seguir una distribución uniform e continua, la cual está defini­
da por:
f ( r ) = { 1'
[ 0,
oárS1
en cualquier otro valor
G enerar un conjunto d e r, es una tarea relativam ente sencilla; para ello, el lector sólo
tien e qu e diseñar su propio algoritm o de generación. Lo que resulta difícil es diseñar un
algoritm o que genere un conjunto d e r.co n perio do de vida lo bastante grande (A/), y que
adem ás p ase sin problem a las pruebas d e uniform idad e independencia, lo cual im plica
evitar problem as com o éstos:
•
Que los núm eros del co n ju n to r. no estén uniform em ente distribuidos, es decir,
que haya dem asiados r. en un subintervalo y en otro m u y pocos o ninguno.
23
C a p ítu lo 2 N úm eros pseudoaleatorios
•
Que los núm eros r. generados sean discretos en lugar d e continuos.
•
Que la m edia del conjunto sea m u y alta o m u y baja, es decir, que esté por arriba o
•
por debajo de V2 .
Que la varianza d e l co n ju n to sea m u y alta o m u y baja, es decir, que se lo calice
por arriba o por d e b a jo d e l V2 (la o b tenció n d e estos valo res se d iscu te en la
sección 2.3).
En ocasiones se presentan tam b ién anom alías com o núm eros r. seguidos por arriba o por
d eb ajo d e la m e d ia ; secu e n cia d e r ¡ p o r arriba d e la m ed ia, seg uid a d e u n a secu e n cia
p o r d e b a jo d e la m e d ia, y viceversa, o varios r. seg u id o s en fo rm a a scen d en te o d e s­
cendente.
A co ntinuació n se presentan diferentes algoritm os determ m ísticos para g enerar los
r¡, los cuales se clasifican en alg o ritm o s n o co n g ru en ciales y co ng ruenciales. Los a lg o ­
ritm os n o co ng ru enciales que analizarem os en esta obra son: cu ad rad o s m ed ios, p ro ­
ductos m ed ios y m u ltip lica d o r co nstante. En tre los alg o ritm o s co n g ru en ciales se
en cu en tran los algoritm os co ngruenciales lineales y los n o lineales. En este libro abo rda­
rem os los algoritm os co ngruenciales lineales — tales com o algoritm o congruencial lineal,
m ultip licativo y aditivo— , y los algoritm os no lineales, com o el algoritm o de Blum , Blum
y Shub, y el co ngruencial cuadrático.
2.2.1
Algoritm o de cuadrados m edios
Este algo ritm o n o co ngruencial fu e pro p uesto en la década d e los cuarenta d e l siglo xx
por Von N eum ann y M etrópolis .1’1Requiere un núm ero entero detonado r (llam ado sem i­
lla) con D dígitos, el cu a l es elevad o al cuadrado para seleccio nar del resultado los D
díg ito s d e l centro ; el p rim er núm ero r¡ se determ ina sim p lem ente an tep o n ie n d o e l" 0 ." a
esos d íg ito s. Para o b te n e r el se g u n d o r¡ se sig ue el m ism o p ro ced im ien to , sólo que
ahora se elevan al cuadrado los D díg ito s del centro q u e se seleccionaron para obtener
e l p rim er rr Este m éto d o se repite hasta o b ten er n núm eros rr A continuación se presen­
tan con m ás d e talle los pasos para g enerar núm eros co n el algo ritm o d e cuadrados
m edios.
1. Seleccionar una sem illa (X0) con D dígitos (D > 3).
2. Sea Y0 = resultado de elevar Xq al cuadrado; sea X, = los D dígitos del centro, y sea
r¡ = 0. D dígitos del centro.
3. Sea /.= resultado d e e le v a rX al cuadrado; sea XM = los D d íg ito s del centro, y sea
r. = 0 . D dígitos del centro para toda /= 1, 2 , 3 , . . . n.
4 . Repetir el paso 3 hasta obtener los n núm eros r. deseados.
N o ta : Si no es posible obtener los D dígitos del centro del núm ero Yp agregue ceros a la
izquierda del núm ero Yr
Para ilustrar la m ecánica del algoritm o de cuadrados m edios se presenta el siguiente
ejem plo.
24
2.2 G eneración d e n ú m e ro s pseudoaleatorios |
Ejem plo 2.1
G enerar los prim eros 5 núm eros r¡ a p a rtir de una sem illa X 0 = 5735, d e dond e se puede
o bservar que D = 4 dígitos.
S o lu c ió n
Y0 = (5735)2 = 32890225
X, =8902
r, = 0.8902
Y} = (89 0 2 )2 = 79245604
X 2= 2 4 5 6
r2 = 0.2456
V2 = (2456)2 = 06031936
X 3= 0 3 1 9
r3 = 0.0319
Y3 = (0319 )2 = 101761
X4 = 0176
r4 = 0.0176
/4 = (0176)2 = 030976
X 5 = 3097
r5 = 0.3097
El algoritm o de cuadrados m edios generalm ente es incap az de generar una secuencia de
r. con perio do d e vida n grande. Adem ás, en ocasiones sólo es capaz de generar un n ú m e­
ro, por ejem p lo , si X0= 1000, entonces X , = 0 0 0 0 ; r.= 0.0000 y se dice que el algoritm o se
degenera con la sem illa d e X 0= 1 0 0 0 .
2.2.2
Algoritm o de productos m edios
La m ecánica de generación d e núm eros pseudoaleatorios de este algoritm o n o congruencial es sim ilar a la del algoritm o de cuadrados m edios. La diferencia entre am bos
radica en que el algoritm o de productos m edios requiere dos sem illas, am bas con D díg i­
to s; adem ás, en lugar de elevarlas al cuadrado, las sem illas se m ultiplican y del producto
se seleccionan los D dígitos del centro, los cuales form arán el prim er núm ero pseudoaleato rio r, = 0 .D dígitos. D espués se elim ina una sem illa, y la otra se m ultiplica por el prim er
núm ero d e D dígitos, para luego seleccionar del producto los D dígitos que conform arán
un seg u n d o n ú m e ro rr Entonces se e lim in a la seg un d a se m illa y se m u ltip lica n el p ri­
m e r núm ero de D dígitos por el segundo núm ero d e D dígitos; del p ro ducto se obtiene
el tercer núm eror,. Siem pre se irá elim inando el núm ero m ás antiguo, y el procedim iento
se re p e tirá hasta g e n e ra r los n n úm ero s p seu d o aleato rio s. A co n tinuació n se p re se n ­
tan con m ás detalle los pasos del m étodo para generar núm eros con el algoritm o de
producto m edios.
1.
2.
3.
4.
Seleccionar una sem illa (X0) con D dígitos (D > 3)
Seleccionar una sem illa (X,) co n D dígitos (D > 3)
Sea Y0= X ^ X ,; sea X 2= los D dígitos del centro, y sea r¡ = 0.D dígitos del centro.
Sea Y = X *X m; sea X V2= los D dígitos del centro, y sea r /+1 = 0 .D dígitos del centro
para toda / = 1, 2, 3 ,... n.
5. Repetir el paso 4 hasta obtener los n núm eros r, deseados.
N o ta : Si no es posible obtener los D dígitos del centro del núm ero Yf agregue ceros a la
izquierda del núm ero Yr
Para ilustrar la m ecánica del algoritm o d e productos m edios se presenta el siguiente
ejem plo.
25
C a p ítu lo 2 N úm eros pseudoaleatorios
Ejem plo 2.2
G enerar los prim eros 5 núm eros r,a p a rtir de las sem illas X0= 5 0 1 5 y X , = 5734; o bserve
que am bas sem illas tien en D = 4 dígitos.
Solución:
2.2.3
v ; = (5015) (5734) = 28756010
X 2 = 7560
r, = 0.7560
Y} = (5734) (7560) = 43349040
X 3 = 3490
r 2 = 0.3490
Y2 = (7560) (3490) = 26384400
X 4 = 3844
r 3 = 0.3844
Y3 = (3490) (3844) = 13415560
X 5 = 4155
r4 = 0.4155
Y4 = (3844) (4155) = 15 971820
X 6 = 9718
r 5 = 0.9718
Algoritm o de m ultiplicador constante
Este algoritm o no co ngruencial es sim ilar al algoritm o de productos m edios. Los siguien­
te s son los pasos necesarios para generar núm eros pseudoaleatorios con el algoritm o de
m ultiplicad or constante.
1.
2.
3.
4.
Seleccionar una sem illa (X0) con D dígitos (D > 3).
Seleccionar una constante (a) co n D dígitos (D > 3).
Sea Y0= a *X ¿ sea X 1= los D dígitos del centro, y sea r = O.D dígitos del centro.
Sea Y,= a*X¡; sea X^, = los D dígitos del centro, y sea rM = O.D dígitos del centro
para toda / = 1, 2, 3 ,... n.
5. Repetir e l paso 4 hasta obtener los n núm eros r. deseados.
N o ta : Si no es posible obtener los D dígitos del centro del núm ero Yf agregue ceros a la
izquierda del núm ero Yr
Para ilustrar la m ecánica del algoritm o de m ultiplicad or constante se presenta el
sig uiente ejem plo.
Ejem plo 2.3
G en e ra r los p rim e ro s 5 n ú m e ro s r. a p a rtir d e la se m illa X 0 = 9803 y con la co n sta n te
a = 6 9 65. O bserve que tanto la sem illa com o la constante tienen D = 4 dígitos.
Solución:
26
Y0 = (6965) (9803) = 68277895
X, =2778
r, = 0.2778
V, = (6965) (2778) = 19348770
X 2 = 3487
r2 = 0.3487
Y2 = (6965) (3487) = 24286955
X 3= 2 8 6 9
r3 = 0.2869
Y3 = (6965) (2869) = 19982585
X 4 = 9825
r4 = 0.9825
YA= (6965) (9825) = 68431125
X 5 = 4311
r5 =0.4311
2.2 G eneración d e n ú m e ro s pseudoaleatorios |
2 .2 .4
Algoritm o lineal
Este algoritm o co ng ruencial fue propuesto por D. H. Lehm er 151 en 1951. Según Law y
Kelto n,PI no ha sid o el m ás usado. E l algoritm o co ngruencial lin eal genera una secuencia
d e núm eros enteros por m edio de la siguiente ecuación recursiva:
X + 1 = (ax¡ + c)m od(m )
/ = 0 , 1, 2 , 3 , . . n
dond e XQes la sem illa, a es la constante m ultiplicativa, c es una constante aditiva, y m es
e l m ódulo. Xo > 0 , a > 0 , c > 0 y m > 0 deben ser núm eros enteros. La operación "mod (m)"
significa m ultip licar^ , por a, sum are, y dividir el resultado entre m para obtener el residuo
X/+1. Es im po rtante señalar que la ecuación recursiva del algoritm o co ngruencial lineal
genera una secuencia d e núm eros enteros S = {0, 1 ,2 , 3 ,..., m - 1}, y que para obtener
núm eros pseudoaleatorios en el intervalo (0 , 1 ) se requiere la siguiente ecuación:
X,
í = 0 , 1 ,2 ,3 ,...,n
A nalice el sig uiente ejem p lo para com prender m ejo r la m ecánica del algo ritm o co n­
gruencial lineal:
Ejem plo 2.4
G enerar 4 n úm ero s e n tre 0 y 1 con los sig u ie n te s p arám etros: X0= 37, a = 19, c = 33 y
m = 100.
Solución:
X , = (19*37 + 33) m od
100 = 36
r, = 36/99 = 0.3636
X 2 = (19*36 + 3 3 ) m od
100 = 17
r 2 = 17/99 = 0.171 7
X 3 = (19* 17 + 33) m od
100 = 56
r 3 = 56/99 = 0.5656
X 4 = (19*56 + 33) m od
100 = 97
r4 = 97/99 = 0.9797
En el ejem p lo anterior se dieron d e m anera arbitraria cada uno d e los parám etros req ue­
ridos: Xq, a, c, m . Sin em bargo, para que el algoritm o sea capaz de lograr el m áxim o p e rio ­
do d e vida N, es preciso que dichos parám etros cum plan ciertas condiciones. Banks,
Carson, Nelson y N icol 111sugieren lo siguiente:
m = 29
a = 1 + 4k
k debe ser entero
c relativam ente prim o a m
g debe ser entero
Bajo estas condiciones se obtiene un perio do de vida m áxim o: N = m = 2g. Veam os un
ejem p lo m ás, to m and o en cuenta lo anterior.
27
C a p ítu lo 2 N úm eros pseudoaleatorios
Ejem plo 2.5
G enerar suficientes núm eros entre 0 y 1 con los parám etros X 0 = 6 , k = 3, g = 3 y c = 7,
hasta encontrar el periodo de vida m áxim o (A/).
Com o podem os ver, si se cum plen las condiciones que Banks, Carson, Nelson y Nicol
sugieren, se logrará el periodo m áxim o N = m = 8 . A continuación se presenta el d esarro ­
llo de la generación d e los núm eros rr
a = 1 + 4 ( 3 ) = 13 y m = 23 = 8
X0 = 6
X } = (1 3*6 + 7) m od 8 = 5
r, = 5/7 = 0.714
X 2 = (13*5 + 7) m od 8 = 0
r2 = 0/7 = 0.000
X 3 = (13*0 + 7) m od 8 = 7
r3 = 7/7 = 1.000
X 4 = (13*7 + 7) m od 8 = 2
r4 = 2/7 = 0.285
X 5 = (13*2 + 7) m od 8 = 1
rs = 1 /7 = 0 .1 4 2
X 6 = (13*1 + 7 ) m od 8 = 4
r6 = 4/7 =0.571
X 7 = (1 3 *4 + 7) m od 8 = 3
r 7 = 3/7 = 0.428
X 8 = (13*3 + 7) m od 8 = 6
r8 = 6/7 = 0 .8 5 7
Es im po rtante m encionar que el núm ero generado en X8= 6 es exactam en te igual a la
sem illa X^ y si continuáram os generando m ás núm eros, éstos se repetirían. Adem ás,
sabem os que el algoritm o co ngruencial lineal genera una secuencia d e núm eros enteros
S = {0, 1 ,2 , 3 ,..., m - 1}. O bserve q u e en este caso se genera la secuencia S = { 0 ,1 ,2 , 3, 4,
5 ,6 , 7}.
Ejem plo 2.6
Considerem os d e nuevo el ejem p lo anterior, pero tratem o s de infringir de m anera arb i­
traria alguna d e las condiciones. Supongam os que a = 12; se sabe que a no es el resultado
de 1 + 4/c, dond e k es un entero. Veam os el co m portam iento del algoritm o congruencial
lin eal ante ta l cam bio.
Solución:
o = 1 + 4 (3) = 13 y m = 2 3 = 8
X0 = 6
X , = (12*6 + 7) m od 8 = 7
r, = 7 /7 = 1.000
X 2 = (12*7 + 7) m od 8 = 3
r2 = 3/7 = 0.428
X 3 = (12*3 + 7) m od 8 = 3
r 3 = 3/7 = 0.428
El perio do de vida en este caso es N = 2, de m anera que, com o puede ver, el periodo de
vida m áxim o no se logra. Com o conclusión tenem o s que si n o se cu m p le alguna de las
condiciones, el perio do de vida m áxim o N = m no se garantiza, por lo que el perio do de
vida será m en o r que m.
28
2.2 G eneración d e n ú m e ro s pseudoaleatorios |
2 .2 .5
Algoritm o congruencial m ultiplicativo
El algoritm o co ngruencial m ultiplicativo surge del algoritm o co ng ruencial lineal cuando
c = 0. Entonces la ecuación recursiva es:
XM = {aX) m od (m)
i = 0 , 1 ,2 ,3 , . . . , n
En com paración con el algoritm o co ngruencial lineal, la ventaja del algoritm o m u ltip lica­
tiv o es que im plica una operación m enos a realizar. Los parám etros d e arranque d e este
algoritm o son XQ, a y m, los cuales deben ser núm eros enteros y m ayores que cero. Para
transform ar los núm eros X. en el intervalo (0 ,1 ) se usa la ecuación r¡= x l/(m - 1 ) . D e acuer­
do con Banks, Carson, Nelson y Nicol,111las condiciones que deben cum plir los parám etros
para qu e el algoritm o co ngruencial m ultip licativo alcance su m áxim o perio do A/, son:
m = 2i
a = 3 + 8k
o
a = 5 + 8k
k = 0 , 1, 2, 3 ,...
X0 = debe ser un núm ero im par
g debe ser entero
A p a rtir d e estas condiciones se logra un perio do d e vida m áxim o N = k/4 = 2g'2
Ejem plo 2.7
G enerar suficientes n úm ero s entre 0 y 1 con los sig uientes p arám etros: X0 = 17, k = 2 y
g = 5, hasta encontrar el perio do o ciclo de vida.
Solución:
a = 5 + 8 (2) = 21
y
m = 32
X0 = 1 7
X , = (21 *1 7 ) m od 32 = 5
r , = 5/31 = 0 .6 1 2
X 2 = (21*5) m od 32 = 9
r2 = 9/31 = 0.2903
X 3 = (21 *9 ) m od 32 = 29
r3 = 29/31 = 1.9354
X 4 = (21*29) m od 32 = 1
r4 = 1/31 = 0.3225
X 5 = (2 1 *1 ) m od 32 = 21
r5 = 21/31 = 0 .6 7 7 4
X 6 = (21*21) m od 32 = 2 5
r6 = 25/31 = 0 .8 0 6 4
X ? = (21*25) m od 32 = 13
r? = 13/31 = 0 .4 1 9 3
X 8 = (21*13) m od 32 = 17
r8 = 17/31 = 0 .5 4 8 3
Si la sem illa X 0 se repite, volverán a generarse los m ism os núm eros. Por lo tanto, el p e rio ­
do d e vida es n = 8 , el cual corresponde a N = m /4 = 32/4 = 8 .
29
C a p ítu lo 2 N úm eros pseudoaleatorios
Ejem plo 2.8
Ahora bien, si quebrantam os la condición de que la sem illa sea un núm ero im par, diga­
m os con X 0 = 12, tenem os:
Solución:
X0 = 1 2
X , = (21 *1 2 ) m od 32 = 2 8
r, =28/31 = 0 .9 0 3 2
X 2 = (21 *28) m od 32 = 12
r 2 = 12/31 = 0 .3 8 7 0
En vista de que la sem illa X 0 se repite, vo lverán a generarse los m ism os núm eros. Por lo
tanto, el perio do d e vida es N = 2.
2 .2.6
Algoritm o congruencial aditivo
Este algoritm o requiere una secuencia previa d e n núm eros e n te ro sX ,, X2, X 3,X 4, ...,X n para
generar una nueva secuencia de núm eros enteros que em pieza en X ^ , Xn^ Xn i, Xn+A, ...
Su ecuación recursiva es:
X = (x/+1 +X._n) m od (m)
/'= n + 1, n + 2 , n + 3 ,...A/
Los núm eros r, pueden ser generados m ediante la ecuación
r. = x./m - 1
Ejem plo 2.9
G enerar 7 núm eros pseudoaleatorios entre cero y uno a p a rtir de la siguiente secuencia
d e núm eros enteros: 6 5 ,8 9 , 9 8 ,0 3 ,6 9 ; m = 100.
Sean X , = 65, X 2= 8 9 , X 3= 98, X 4 = 03, X 5= 6 9 . Para generar r}, r2, r3, r4, ry r6 y r7 antes es
necesario generar X^ X 7, X8, Xg, X 10, X ,,, X 12.
Solución:
30
X 6 = (X 5 + X ,)m o d 100 = (69 + 65) m od 100 = 34
r ,= 34/99 = 0.3434
X 7 = (X6 + X2) m od 100 = (34 + 89) m od 100 = 23
r 2 = 23/99
0.2323
X 8 = (X 7 + X3) m od 100 = (2 3 + 98) m od 100 = 21
r 3 = 21/99
0.2121
X 9 = (X8 + X4) m od 100 = (21 + 0 3 ) m od 100 = 24
r4 = 24/99
0.2424
X 10= (X 9 + X 5) m od 100 = (24 + 69) m od 100 = 93
r5= 93/99
0.9393
X u = (X 10 + X J m od 100 = (9 3 + 3 4 ) m od 1 0 0 = 2 7
r6 = 27/99
0.2727
X 12 = ( X „ + X 7) m od 100 = (2 7 + 2 3 ) m od 1 0 0 = 5 0
r7 = 50 /9 9
0.5050
2.2 G eneración d e n ú m e ro s pseudoaleatorios |
2.2.7
Algoritm os congruenciales no lineales
En esta sección se analizarán dos algoritm os co ngruenciales no lineales: el congruencial
cuadrático y el algoritm o presentado por Blum , Blum y Shub .121
2.2.7.1 Algoritm o congruencial cuadrático
Este algoritm o tien e la siguiente ecuación recursiva:
XM = (aX¡2 + bX¡ + c ) mod (m)
i = 0 , 1, 2 ,3 , ...A/
En este caso, los núm eros^ pueden ser generados con la ecuación r¡= x ¡/ ( m - 1). De acuer­
do con L'Ecuyer ,141 las condiciones que deben cu m p lir los parám etros m , a, b y c para
alcanzar un periodo m áxim o de N = m son:
m = 2<
>
a debe ser un núm ero par
c debe ser un núm ero im par
g debe ser entero
(6 - 1) m od 4 = 1
D e esta m anera se logra un periodo de vida m áxim o N = m.
Ejem plo 2.10
Generar, a p a rtir del algoritm o co ngruencial cuadrático, suficientes núm eros enteros has­
ta a lcan zar el p erio d o de vid a, para esto considere los parám etros Xq= 13, m = 8 , a = 26,
b = 27 y c = 27. Com o to das las condiciones estipuladas para los parám etros se satisfacen,
es d e esperarse que el perio do de vida del generador sea N = m = 8 , tal com o podrá com ­
p robar al revisar los cálculos correspondientes, que se presentan a continuación.
Solución:
X , = (2 6 *1 32 + 27*13 + 27) m od (8 ) = 4
X 2 = (2 6 *4 2 + 2 7 *4 + 27) m od (8 ) = 7
X 3 = (2 6 *7 2 + 2 7 *7 + 27) m od (8 ) = 2
X 4 = (26*22 + 2 7 *2 + 27) m od (8 ) = 1
X 5 = (2 6 *1 2+ 27*1 + 2 7 ) m od (8 ) = 0
X 6 = (2 6 *0 2 + 2 7 *0 + 27) m od (8 ) = 3
X 7 = (26*32 + 2 7 *3 + 27) m od (8 ) = 6
X 8 = (2 6 *6 2 + 2 7 *6 + 27) m od (8 ) = 5
X 9 = (26*52 + 2 7 * 5 + 2 7 ) m od (8 ) = 4
31
| C a p ítu lo 2 N úm eros pseudoaleatorios
Por otro lado, el algoritm o cuadrático genera u na secuencia d e núm eros enteros S = {0 ,1 ,
2, 3
, m - 1}, al igual que el algoritm o congruencial lineal.
2.2.7 .2 Algoritm o de Blum , Blum y Shub<2]
Si en el algoritm o co ngruencial cuadrático a = ‘\ ,b = 0 y c = 0 , entonces se construye una
nueva ecuación recursiva:
X í+1 = (X .2)m od (m )
/ = 0,1,2,3 ,...n
La ecuación anterior fu e propuesta por Blum , Blum y Shub 121co m o un nuevo m étodo para
g enerar núm eros que no tien en un co m portam iento predecible.
2.3 Propiedades d e los núm eros pseu d o aleato rio s entre 0 y 1
En la sección anterior hablam os d e có m o generar núm eros aleatorios usando diferentes
m étodos. Sin em bargo, ¿de qué m anera se puede garantizar que tales núm eros son real­
m ente aleatorios entre 0 y 1 ? ¿Cuáles son las características que los identifican?, ¿cuáles
son sus parám etros? La respuesta es m u y im portante, dado que los núm eros aleatorios
serán utilizados en la sim ulación para generar los valores d e cualquier variab le aleatoria.
En gran m edida, conocer las propiedades que deben ten e r estos núm eros aleatorios
garantiza una buena sim ulación, por ello, se enum eran a continuación.
M edia de lo s aleatorios entre 0 y 1. En vista d e que estos núm eros deben ten e r la m is­
ma probabilidad de presentarse, es preciso que su co m portam iento m uestre una distri­
bución de probabilidad uniform e continua, con lím ite inferior cero y lím ite superior uno.
La función de densidad d e una distribución uniform e es la siguiente:
f { x ) = T ——
b -Q
a < x < b ; en este caso, a = 0 y b = 1
G ráficam ente se vería d e la siguiente m anera:
m
y
a
32
b
Fig u ra 2.1
Fo rm a general
d e la d istrib u ció n
u n ifo rm e entre a v b.
2.3 Propiedades d e los núm eros pseudoaleatorios e n tre 0 y 1 [~ ]
Para o b te n e r la m e d ia d e la d istrib u ció n m u ltip lica m o s la fu n c ió n d e d en sid ad
p o r x, y la in te g ra m o s en to d o el rango d e la m ism a d is trib u c ió n d e la sig u ie n te
m an era:
b
2
F íx \ - f f ( * ) d x - f X d x - — —— |b
-J b -Q
~ 2 (b -a )
Sustituyend o los valores de a = 0 y b = 1.
1
E(x) = ~
Por lo tanto, el valo r esperado (es decir, la m edia d e los núm eros aleatorios entre 0 y 1) es
¡ i = 0 .5 .
Varianza de lo s n ú m ero s aleato rio s. Si partim o s de la m ism a distribución uniform e
continua obtenem os la varianza d e la distribución por m edio de la ecuación:
V(x) = a 2 = E(x2) - fj }
Lo que nos da E{x2):
f
£ (* )=
1
/
,
* =
x 3 ^ ( b - a ) 3 (b - a ) :
3 7 ^ = ^
=
3
A l sustituir a = 0 y b = 1, tenem o s que:
E(x2) = l
Por lo tanto,
'(i)
Dados estos resultados podem os decir que los núm eros aleatorios entre 0 y 1 deben
tener
33
C a p ítu lo 2 N úm eros pseudoaleatorios
Independencia. Ésta es una propiedad m u y im portante, e im plica que los núm eros
aleatorios no deben ten e r correlación entre sí; es decir, deben ser independientes, de
m anera que puedan dispersarse de m anera uniform e dentro de to d o el espectro de valo ­
res posibles. La figura 2.2a m uestra una gráfica to talm ente dispersa en los valores po si­
bles, y la figura 2 . 2 b presenta una acum ulación de los valo res en la p arte central, lo cual
q uiere decir que hay una correlación entre los m ism os.
(a)
Figura 2.2
V alo res u n iform em ente
d isp erso s y valo res
co rrelacio n ad o s.
(b)
Es p o sib le realizar u n a serie d e p ru e b as para co rro b o rar q u e n o existe correlación
entre los n ú m e ro s aleato rio s, e in c lu so para g aran tizar q u e n o e xista un se sg o o te n ­
d encia e n tre los díg ito s d e cad a u n o d e ellos. Estas p rueb as se revisarán con m ás
d e talle en la sig u ie n te secció n.
2 .4 Pruebas estad ísticas p ara los núm eros pseu d o aleato rio s
En la sección 2.2 se presentaron diversos algoritm os para construir un conjunto rf pero
ése es sólo el prim er paso, ya que el conjunto resultante debe ser som etido a una serie de
pruebas para validar si los núm eros que lo integran son aptos para usarse en un estudio
de sim ulación.
34
2.4 Pruebas estadísticas para los n ú m e ro s pseudoaleatorios |
A continuación se analizarán las pruebas estadísticas básicas que se em plean gene­
ralm ente para determ inar si un conjunto de núm eros pseudoaleatorios entre cero y uno
cum plen con las propiedades básicas d e independ encia y uniform idad. El objetivo, en
otras palabras, es validar que el conjunto r¡ realm ente está conform ado por núm eros
aleatorios. Es im po rtante m en cio nar que las pruebas que se discutirán no son únicas; si
desea conocer otras, consulte Banks, Carson, Nelson y Nicol.m
2.4.1
Prueba de m edias
U na de las propiedades que deben cu m p lir los núm eros del co n ju n to r¡, es que el valor
esperado sea igual a 0.5. La prueba que busca determ inar lo anterior es la llam ada prueba
d em ed ia s, en la cu al se plantean las siguientes hipótesis:
H ¿ n ,= 0.5
Hy/J-, * 0 .5
La prueba de m edias consiste en determ inar el prom edio de los n núm eros que contiene
e l co n ju n to r;, m ed iante la ecuación siguiente:
- 1V
f = n• I ^
¡ m \ r'
D espués se calculan los lím ites de aceptación inferior y superior con las ecuaciones
siguientes:
1
U r = l ~ Za,2
^ 7 = l + Za,2
\/l 2 n
y -JÜ n j
Si el valo r d e T se encuentra entre los lím ites d e aceptación, concluim os que n o se puede
rech azar que el co n ju n to r¡ tie n e un valo r esp erad o d e 0.5 con un n ive l d e aceptación
de 1 - a . En caso contrario se rechaza que el conjunto r¡tien e un valo r esperado de 0.5.
Para el cálculo de los lím ites d e aceptación se utiliza el estad ístico za/2, e l cual se deter­
m ina p o r m edio d e la tabla d e la distribución no rm al están d ar (ver apéndice).
Ejem plo 2.11
Considere los 4 0 núm eros del co n ju n to r. que se presenta a continuación, y determ ine si
tien en un valo r esperado de Vi con un nivel de aceptación de 95 por ciento.
35
n
C a p ítu lo 2 N úm eros pseudoaleatorios
0.0449
0.1733
0 .5 7 4 6
0.049
0.8406
0.8349
0.92
0 .2 5 6 4
0.6015
0 .6 6 9 4
0.3972
0.7025
0.1055
0.1247
0.1977
0 .0 1 2 5
0.63
02531
0.8297
0.6483
0.6972
0.9582
0.9085
0 .8 5 2 4
0.5514
0 .0 3 1 6
0.3587
0.7041
0.5915
0.2523
0.2545
0 .3 0 4 4
0.0207
0.1067
0.3857
0.1746
0.3362
0.1589
0.3727
0 .4 1 4 5
El conjunto r¡ contiene 4 0 núm eros, por lo tanto, n = 4 0 . Un nivel de aceptación de
95% im plica que a = 5% . Enseguida procedem os a calcular el prom edio d e los núm eros y
los lím ites d e aceptación:
1
n
1
40
T = -n ^
¡.\ r> =40^i.i r>
r = — [0.0 4 4 8 7 + 0.17328+ 0.57458 + 0.04901 + ...+ 0.33616 + 0.15885 + 0.37266 + 0.41453
40
r =0.43250
1
1
__
7
1
2
U
T
=
~
U
—
( 1
.9
6
l
]
2
n
J
i
2
( 4
1
z
2
Z
°“
' 2
U
1
2
( 4
0
)
= 0.410538649
)
v
0
)
\
1
:
+
1
1
— _
_i_ 7
z
2
2
L S
7
=
^
a
+
(
n
1 .9
V
6
l
2
n
0 -0 5 / 2
W
1
2
( 4
0
)
= 0.589461351
)
V i 2(40) ,
Com o el valo r del prom edio: 7 = 0.43250 se encuentra entre los lím ites d e aceptación, se
co n cluye que no se puede rechazar que el conjunto de 4 0 núm eros r. tien e un va lo r espe­
rado de 0.5, con un nivel de aceptación de 95 por ciento.
2.4.2 Prueba de varianza
Otra de las propiedades que debe satisfacer el co n ju n to r¡t es que sus núm eros tengan
una varianza de 1/1 2. La prueba que busca determ inar lo anterior es la prueba d e varianza,
que establece las siguientes hipótesis:
Ho:° Í = 1 /1 2
H,:o\2 * 1 /1 2
36
2.4 Pruebas estadísticas para los n ú m e ro s pseudoaleatorios |
La prueba d e varianza consiste en determ inar la varianza d e los n núm eros que contiene
e l conjunto r,, m ed iante la ecuación siguiente:
l(r - 7 )2
V (r) = ^ —
n- 1
D espu és se calculan los lím ites de aceptación inferior y superior con las ecuaciones
siguientes:
,r
..
_ X a/2,n- 1
vw ~ 12 (n - 1)
X Q-a)/2,n--\
VM ~
12 ( n - 1)
Si el valo r d e V(r) se encuentra entre los lím ites d e aceptación, decim os que no se puede
re ch a za r q u e el c o n ju n to r¡ tie n e u n a v a ria n z a d e 1/ 12 , co n un n iv e l d e a ce p ta ció n
d e 1 - a ; d e lo contrario, se rechaza que el conjunto tien e una varianza de 1/12. Para
o btener valores de los facto res Chi-cuadrada vea los anexos del libro.
Ejem plo 2.12
Realizar la prueba de varianza a los 4 0 núm eros r{ del ejem p lo 2.11.
Considerando que n = 40 y a = 5%, procedem os a calcular la varianza de los números,
y los lím ites d e aceptación correspondientes:
V (r)
Í ( r - r ) 2 Z (f¡ - 0 .4 3 2 50)2
/-i
_ /-i
n -1
4 0 -1
l/(r) = — [(0.04487 - 0.43250)2 + (0.17328 - 0.43250)2+ ...+ (0.37266 - 0.43250)2+ (0.41453 - 0.43250)2]
39
V (r) = 0.08695062
LS
= X- “ a-*--\. = XJ ™ ™ . = 58.1200541 = Q 12 41 g8 1 5
1 2 (0 -1 )
12(39)
468
m
U
n ,)
_X
= X ^ 3 » = 23;6 5 43003 = 0.05054338
12(n —1)
12(39)
468
Dado que el valo r d e la varianza: V{r) = 0.08 6 9 5 0 6 2 está entre los lím ites d e aceptación,
podem os decir que no se puede rechazar que el co n ju n to de 4 0 núm eros r, tien e una
varianza de 1/1 2 = 0.08333.
37
C a p ítu lo 2 N úm eros pseudoaleatorios
2.4.3
Pruebas de uniform idad
U na de las propiedades m ás im p o rtantes que debe cu m p lir un conjunto d e núm eros r. es
la uniform idad. Para co m probar su acatam iento se han desarrollado pruebas estadísticas
tales com o las p rueb as Chi-cuadrada y de Kolm ogorov-Sm irnov. En cualquiera de am bos
casos, para probar la uniform idad d e los núm eros de un conjunto r es necesario form ular
las siguientes hipótesis:
H0:r ,~ (/(0,1)
H ,: r¡ no son uniform es
Veam os a continuación cóm o funciona cada una d e estas pruebas.
2.4.3.1 Prueba Chi-cuadrada
La prueba Chi-cuadrada busca determ inar si los núm eros del co n ju n to r.se distribuyen de
m anera uniform e en el intervalo (0,1). Para llevar a cabo esta prueba es necesario dividir
e l intervalo (0,1) en m sub-intervalos, en dond e es recom endable m = v n . Luego se clasi­
fica cada núm ero pseudoaleatorio del conjunto r. en los m intervalos. A la cantidad de
núm eros r. que se clasifican en cada intervalo se le denom ina frecuencia observada (O ), y
a la cantidad d e núm eros r¡ que se espera encontrar e n cada intervalo se le llam a frecu en ­
cia esperada (E) ; teóricam ente, la E .e s igual n/m . A p artir d e los valores de O. y E se deter­
m ina el estadístico X 0 m ed iante la ecuación
,2
Xo ~
m ( E , - 0 ,)2
/-i
p
fc/
Si el valo r del estadístico Xo e s m en o r al valo r d e tablas d e X 2a jn - 1 , entonces no se puede
rechazar que el conjunto de núm eros r¡ sigue una distribución uniform e. En caso co n tra­
rio, se rechaza que r¡ sigue una distribución uniform e.
Ejem plo 2.13
Realizar la prueba Chi-cuadrada a los siguientes 100 núm eros d e un conjunto r.,c o n un
n ivel de confianza de 95 %.
38
0.347
0.832
0.9 6 6
0.4 7 2
0.797
0.101
0 .6 9 6
0.9 6 6
0.4 0 4
0.6 0 3
0.993
0.371
0.729
0.0 6 7
0.189
0.977
0.8 4 3
0.562
0.549
0.9 9 2
0.674
0 .6 2 8
0.055
0 .4 9 4
0.4 9 4
0.235
0 .1 7 8
0.775
0.797
0.2 5 2
0.426
0 .0 5 4
0.022
0.7 4 2
0.6 7 4
0.8 9 8
0.641
0.6 7 4
0.821
0.19
0.46
0 .2 2 4
0.99
0.7 8 6
0.3 9 3
0.461
0.011
0.977
0.2 4 6
0.881
0.189
0 .7 5 3
0.73
0.797
0.2 9 2
0.8 7 6
0.7 0 7
0.562
0.562
0.821
0.112
0.191
0.5 8 4
0.347
0 .4 2 6
0.057
0.819
0.3 0 3
0.4 0 4
0 .6 4
0.37
0 .3 1 4
0.731
0.742
0.2 1 3
0.472
0.641
0 .9 4 4
0.28
0.6 6 3
0.909
0 .7 6 4
0.999
0.303
0 .7 1 8
0.933
0.0 5 6
0.4 1 5
0.819
0 .4 4 4
0.178
0 .5 1 6
0.437
0.393
0 .2 6 8
0.123
0.945
0.5 2 7
0.459
0.6 5 2
2.4 Pruebas estadísticas para los n ú m e ro s pseudoaleatorios |
Antes de proceder, es recom endable crear una tabla sim ilar a la tabla 2 . 1, en dond e se
resum en los pasos que deben llevarse a cabo en la prueba Chi-cuadrada.
Tabla 2.1 Cálculos para la prueba Chi-cuadrada.
Intervalo
* ,= m
5
[0.00-0.10)
7
10
0.9
[0.10-020)
9
10
0.1
[0.20-0.30)
8
10
0.4
[0.30-0.40)
9
10
0.1
[0.40-0.50)
14
10
1.6
[0.50-0.60)
7
10
0.9
[0.60-0.70)
11
10
0.1
[0.70-0.80)
14
10
1.6
[0.80-0.90)
9
10
0.1
[0.90-1.00)
12
10
0.4
_ X '( E ¡ ~ 0 ¡ ) 2
El estadístico * 02 = £
/-I
E,
_
6.2 es m en o r al estadístico correspondiente de la
Chi-cuadrada xlosg = 16.9. En co nsecuencia, no se puede rechazar que los núm eros r.
siguen una distribución uniform e.
2.4.3 .2 Prueba Kolm ogorov-Sm irnov
Propuesta por Kolm ogorov y Sm irnov, ésta es una prueba estadística que tam b ién nos
sirve para determ inar si un conjunto r¡ cum ple la propiedad de uniform idad. Es recom en­
dable aplicarla en co njuntos r¡ pequeños, por ejem plo, n < 20. El procedim iento es el
siguiente:
1. O rdenar d e m en o r a m ayo r los núm eros del conjunto
r 1 <2 r < r3 < ...< rn
2. D eterm inar los valores de: D*, D~ y D con las siguientes ecuaciones:
m áx
D +=
'- r ,
n
D~ = maX \ n - 1 < /< n
n
D = m á x (D +,D “ )
39
C a p ítu lo 2 N úm eros pseudoaleatorios
3. D eterm inar el valor crítico Da,nn d e acuerdo con la tab la de valores crítico s de
Kolm ogorov-Sm im ov para un grado d e confianza a , y según el tam año de la
m uestra n.
4 . Si el valor D es m ayo r que el valo r crítico Dafll se concluye que los núm eros del
conjunto r. no siguen una distribución uniform e; d e lo contrario se dice que no
se ha detectado diferencia significativa entre la distribución de los núm eros del
conjunto r .y la distribución uniform e.
E je m p lo 2 .1 4
Realizar la prueba Kolgom orov-Sm irnov, con un nivel de confianza de 90% , al siguiente
conjunto r¡ d e 10 núm eros:
r = {0.97,0.11,0.65,0.26,0.98,0.03,0.13,0.89,0.21,0.69}
El nivel de confianza de 90% im plica a = 10% . Si se ordenan los núm eros r¡ de m en o r a
mayor, la secuencia es:
0.03
0.11
0.13
0.21
0.26
0.65
0.69
0.89
0.97
0 .9 8
Para determ inar los valores d e D*, D~ y D es recom endable realizar una tabla com o la
siguiente.
Tabla 2.2 Cálculos de la prueba Kolmogorov-Smimov.
2
3
4
5
6
7
8
9
10
0.10
0.20
0.30
0.40
0.50
0.60
0.70
0.80
0.90
1.00
r.
0.03
0.11
0.13
021
0.26
0.65
0.69
0.89
0.97
0.98
/-1
n
0.00
0.10
0.20
0.30
0.40
0.50
0.60
0.70
0.80
0.90
i
0.07
0.09
0.17
0.19
0.24
-0.05
0.01
-0.09
-0.07
0.02
/-I
0.03
0.01
-0.07
-0.09
-0.14
0.15
0.09
0.19
0.17
0.08
n
10
D*
0.24
D
0.19
D
024
■
’
i
n
r '
40
2.4 Pruebas estadísticas para los n ú m e ro s pseudoaleatorios |
De acuerdo con la tabla d e valores para la prueba Kolm ogorov-Sm irnov, el valor crí­
tico D01010 correspondiente a n = 10 es D01010 = 0.368, que resulta m ayo r al valo r D = 0.24;
por lo tanto , se concluye que los núm eros del conjunto r¡ se distribuyen uniform em ente.
2 .4 .4
Pruebas de independencia
Recuerde que las dos propiedades m ás im p o rtantes que deben satisfacer los núm eros de
un conjunto r, son uniform idad e independencia. En la sección anterior com entam os las
pruebas que buscan determ inar si los núm eros del conjunto r¡ son uniform es. A co ntinua­
ción hablarem os d e las pruebas estadísticas que tratan d e corroborar si los núm eros en el
intervalo (0 , 1 ) son independientes o, en otras palabras, si parecen pseudoaleatorios.
Para probar la independ encia d e los núm eros d e un conjunto r, prim ero es preciso
fo rm ular las siguientes hipótesis:
H0: los núm eros del conjunto r, son independientes
H y los núm eros del conjunto r¡ no son independientes
2.4.4.1 Prueb a de corrid as arriba y abajo
E l procedim iento d e esta prueba consiste en determ inar una secuencia de núm eros (S)
que sólo co n tien e unos y ceros, d e acuerdo con una com paración entre r. y r. Después
se determ ina e l núm ero de corridas observadas, C0 (una corrida se identifica com o la
cantidad de unos o ceros consecutivos). Luego se calcula el valo r esperado, la varianza del
núm ero d e corridas y el estadístico Z^ m ediante las ecuaciones:
2n-1
^ c0
3
1 6 n - 29
°e =
90
Co “ Mq
Si el estadístico Z 0 es m ayo r que el valor crítico de Zo/2, se concluye que los núm eros del
conjunto #} no son independientes. De lo contrario no se puede rechazar que el conjunto
de r. sea independiente.
Considere el siguiente conjunto r. de 21 números:
r, = {0.89,0.26,0.01,0.98,0.13,0.12,0.69,0.11,0.05,0.65,
¿21,0.04,0.03,0.11,0.07,0.97,0.27,0.12,0.95,0.02,0.06}
La secuencia d e unos y ceros se co nstruye de esta m anera: se coloca un cero si el núm ero
r. es m e n o r q u e o ig u al al n ú m e ro r. a n te rio r; en caso d e se r m ayo r que el n ú m e ro r¡
41
| C a p ítu lo 2 N úm eros pseudoaleatorios
anterior, se pone un uno. Si se considera la secuencia d e los 21 núm eros del conjunto r¡
que se dio antes, la secuencia de unos y ceros es:
S = {0,0,1,0,0,1,0,0,1,0,0,0,1,0,1 ,0,0,1,0,1}
O bserve que la secuencia S contiene n - 1 núm eros, en este caso 20. Esto se debe a que el
prim er núm ero r. = 0.89 n o tien e núm ero anterior con el cual compararlo. Recuerde que
una corrida se form a con unos consecutivos o ceros consecutivos. Por ejem plo los prim e­
ros dos ceros de la secuencia form an la prim er corrida, que se dice que tiene una longitud
de dos; el tercer núm ero d e la secuencia, uno, form a la segunda corrida con longitud de
uno ; después siguen d o s ceros, los cuales form an la tercera corrida con longitud d e dos;
después sigue un uno, q u e form a la cuarta corrida con longitud de uno, etcétera. M ediante
el proceso anterior se determ ina r.q u e el núm ero d e corridas de la secuencia es CQ= 14.
Ejem plo 2.15
Realizar la prueba de co rridas arriba y ab ajo con un nivel d e aceptación d e 95% al siguien­
te conjunto d e 4 0 núm eros r¡.
0.3 4
0.8 3
0.96
0.47
0.79
0.99
0.37
0.72
0 .0 6
0 .1 8
0.67
0.6 2
0.05
0.49
0.59
0.42
0.05
0.02
0 .7 4
0.67
0.4 6
0.2 2
0.99
0 .7 8
0.39
0 .1 8
0.75
0.73
0.79
0.29
0.11
0.1 9
0.58
0 .3 4
0.42
0.37
0.31
0.73
0 .7 4
0.21
Realizarem os la asignación d e unos y ceros por renglón (o fila). Por lo tanto, la
secuencia 5 es:
S = { 1 ,1 ,0 ,1 ,1 ,0 ,1 A 1 #1,0 ,0 ,1 ,1 A 0 ,0 ,1 ,0 , 0 , 0 , 1 ,0 ,0 ,0 ,1 ,0 ,1 ,0 ,0 ,1 ,1 ,0 ,1 ,0 ,0 ,1 ,1 ,0 }
obteniéndose un va lo r d e CQ= 2 4 y a = 5%.
A continuación se presentan los cálculos correspondientes al valor esperado y a la
varianza del núm ero de corridas:
_ = 2 ! M = íM z ! = 2 6 .3 3 3
3
3
= 1 6 n -2 9 = 1 6 ^ 4 0 )- » = 6 7 ¡¡8
Co ~ ^ c0
¿o =
2 4 -2 6 .3 3 3
= 0.8954
V6.788
C o m o el e s ta d ís tic o Z 0 es m e n o r que el v a lo r d e tab la d e la n o rm a l e s tá n d a r para
Z al2 = Z5%/2 = 1.96, se co ncluye que n o se puede rechazar que los núm eros del conjunto r¡
son independientes. Es decir, d e acuerdo con esta prueba, los núm eros son aptos para
usarse en sim ulación.
42
2.4 Pruebas estadísticas para los n ú m e ro s pseudoaleatorios |
2.4.4 .2 Prueba de corrid as arriba y abajo de la m edia
El procedim iento de esta prueba consiste en determ inar una secuencia de unos y ceros, de
acuerdo con una com paración entre los núm eros del conjunto r¡ y 0.5. Después se determ i­
na el núm ero de corridas observadas, C& y los valores de n0y n}. CQes el núm ero de corridas
en la secuen cia, el cual está d e term in ad o d e la m ism a m anera que en la prueba de
corridas arriba y abajo; nQes igual a la cantidad de ceros en la secuencia, y n } es igual a la
cantidad de unos en la secuencia, y se cum ple que n0+ n }= n. (Recuerde que una corrida se
identifica com o la cantidad de unos o ceros consecutivos). Luego se calcula el valor espera­
do, la varianza del núm ero de corridas, y el estadístico ZQcon las siguientes ecuaciones:
2 n„n
,
0 1
n
2
_ 2n0n ,(2 n 0n ,- n )
c°
7
0 ”
1
+
n2( n - 1)
C° ~ ^
°-c0
Si el estadístico Z 0 está fuera del intervalo: - Z o
Zq
Z ol se concluye que los núm eros
2
2
del co n ju n to r. no son independientes. De lo contrario no se puede rechazar que el co n ­
ju n to de r. es independiente.
Considere la siguiente secuencia d e 10 núm eros d e un conjunto r¡.
r = {0.67,0.62,0.05,0.49,0.59,0.42,0.05,0.02,0.74,0.67}
La secuencia de unos y ceros se construye de la siguiente m anera: se asigna un uno si el
núm ero r,e s m a yo r que o igual a 0.5. En caso contrario se asignará un cero. Al seguir esta
regla, la secuencia d e unos y ceros es:
S = { 1, 1, 0 , 0 , 1, 0 , 0 , 0 , 1, 1 }
E l núm ero de corridas se determ ina de la m ism a m anera que en la prueba d e corridas
a rrib a y ab ajo . En este caso se tie n e q u e el n ú m e ro d e co rrid a s d e la se cu e n cia S es
CQ = 5. Por otra parte, la secuencia tien e 5 ceros y 5 unos, así que nQ= 5 y n } = 5.
Ejem plo 2.16
Realizar la prueba de corridas arriba y abajo, con un nivel d e aceptación de 95% , al
sig uiente conjunto de 50 núm eros r¡:
0.809
0.042
0.432
0 .5 3 8
0.225
0 .8 8
0.6 8 8
0.7 7 2
0.0 3 6
0 .8 5 4
0.397
0 .2 6 8
0.821
0.8 9 7
0.07
0.721
0.087
0.35
0.779
0.4 8 2
0 .1 3 6
0.855
0.4 5 3
0.197
0.4 4 4
0.7 9 9
0.809
0.691
0.545
0.8 5 7
0.692
0.055
0.3 4 8
0.3 7 3
0.4 3 6
0.29
0.015
0 .8 3 4
0.599
0 .7 2 4
0 .5 6 4
0.709
0.9 4 6
0 .7 5 4
0.677
0 .1 2 8
0.012
0.4 9 8
0 .6
0.9 1 3
43
C a p ítu lo 2 N úm eros pseudoaleatorios
Construirem os la secuencia de unos y ceros por renglón quedando de la siguiente
m anera:
S= {1,0,0,1,0,1,1,1,0,1,0,0,1, 1,0,1,0,0,1,0,0,1,0,0,0,
1, 1, 1, 1, 1, 1, 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 0 , 0 , 0 , 1, 1 }
A p artir de la secuencia anterior se determ ina que hay 21 corridas, 23 ceros y 27 unos. Por
lo tanto, C0 = 2 1 , n0= 2 3 y n ,= 27. A continuación se presentan los cálculo s del valo r espe­
rado y d e la varianza del núm ero d e corridas:
= 2M
l + , = 2 ( 23X 2 7 ) + , = 2 5 3 4
n
2
50
2
= 2n 0n l (2n 0n l - n ) = 2 (2 3 )(2 7 )[2 (2 3 )(2 7 )- 5 0 ] =
^
n 2( n - l )
=
2 1 -2 5 .3 4 =
0^
(5 0 )2( 5 0 - l )
l2 - B 4
V i 2.08542
Com o el valo r de Z 0 cae dentro del intervalo -1 .9 6 < Z 0 = -1 .2 4 8 4 < 1.96, se dice que no
se puede rechazar que los núm eros del conjunto r. son independientes con un nivel de
confianza de 95 % . D e acuerdo con esta prueba, el conjunto d e núm eros r. se puede usar
en un estudio de sim ulación.
2.4.4.3 Prueba poker
Esta prueba consiste en visualizar el núm ero r .c on cinco decim ales (com o si fuera una
m ano del ju e g o d e poker, con 5 cartas), y clasificarlo com o: todos diferentes (TD ), exacta­
m ente un p ar (1P), dos pares (2P), una tercia (T ), una tercia y un p ar (TP), poker (P) y
q u in tilla (Q). Por ejem p lo , si r, = 0.69651 se le cla sifica co m o par, porque hay dos n ú m e ­
ros 6 . Ahora bien, considerem os el caso d e r, = 0.13031, el cual deb e clasificarse com o dos
pares (dos núm eros 1 y dos núm eros 3). Finalm ente, r. = 0.98898 debe clasificarse com o
una tercia y un par, porque hay tre s núm eros 8 y dos núm eros 9. La prueba p o ker se p u e ­
d e realizar a núm eros r, con tres, cuatro y cin co decim ales. Para r, con tres decim ales sólo
hay tres categorías de clasificación: todos diferentes (TD ), un p ar (1P) y una tercia (T).
Cuando se consideran r.co n cuatro decim ales se cuenta con cinco opciones para clasificar
los núm eros: todos diferentes (TD), exactam en te un p ar (1P), dos pares (2P), una tercia (T)
y poker (P). Las tablas 2.3 a 2.5 presentan la probabilidad esperada para cada una d e las
categorías de clasificación de esta prueba para conjuntos r ,q u e contienen n núm eros con
3 ,4 y 5 decim ales.
44
2.4 Pruebas estadísticas para los n ú m e ro s pseudoaleatorios |
Tabla 2.3 Prueba poker para números con 3 decimales.
Categoría
Probabilidad
Todos diferentes (TD)
0.72
0.72n
Exactamente un par ( 1P)
0.27
027n
Tercia (T)
0.01
0.01 n
Tabla 2.4 Prueba poker para números con 4 decimales.
Categoría
Probabilidad
E,
Todos diferentes (TD)
0.5040
0.5040n
Exactamente 1 par(1P)
0.4320
0.4320n
2 pares (2 P)
0.0270
0.02 70n
Tercia (T)
0.0360
0.0360n
Poker (P)
0.0010
0 .0 0 10n
Tabla 2.5 Prueba poker para números con 5 decimales.
Categoría
Probabilidad
*,•
Todos diferentes (TD)
0.3024
0.3024D
Exactamente 1 par (1P)
0.5040
0.5040n
2 pares (2 P)
0.1080
0.1080n
1 tercia y 1 par (TP)
0.0090
0.0090n
Tercia (T)
0.0720
0.0720n
Poker (P)
0.0045
0.0045n
Quintilla (Q)
0.0001
0.0001 n
La prueba poker requiere el estadístico d e la distribución Chi-cuadrada x \ 6 para
núm eros con 5 decim ales, X a4 para núm eros con 4 decim ales, y X ^ P ara núm eros con 3
decim ales. X a 6 tien e 6 grados de libertad, debido a que los núm eros se clasifican en 7
categorías o clases: todos diferentes, exactam en te un par, dos pares, una tercia y un par,
una tercia, poker y quintilla.
El procedim iento de la prueba consiste en:
a) D eterm inar la categoría d e cada núm ero del conjunto rr
b ) Contabilizar los núm eros r¡d e la m ism a categoría o clase para obtener la frecu en ­
cia observada (O,).
45
| C a p ítu lo 2 N úm eros pseudoaleatorios
c)
Calcular el estadístico d e la prueba x l con *a ecuación
(E. - O , )2
2
Xo -
/-1
'
t;
donde E ¡e s la frecuencia esperada d e núm eros r. en cada categoría, y m represen­
ta la cantidad de categorías o clases en las que se clasificaron los núm eros r¡,
siendo m = 7, m = 5, y m = 3 los núm eros d e categorías para la prueba poker con
5 ,4 y 3 decim ales, respectivam ente. Por últim o:
d) com parar el estadístico de x l con x\m -v
Si Xo es m en o r que x \m -v se ^'ce ^ue no x P u e de rechazar la independencia d e los
núm eros del conjunto r,. En caso contrario la independencia de los núm eros del conjunto
r. se rechaza.
Ejem plo 2.17
Realice la prueba poker, co n un nivel de aceptación de 95% , a los siguientes 30 núm eros
entre cero y uno, con 5 decim ales.
0.06141
0 .7 2 4 8 4
0.94107
0.56766
0.14411
0.87648
Q 81792
0.48999
0.18590
0.06060
0.11223
0 .6 4 7 9 4
Q 52953
0.50502
0.30444
0.70688
0.25357
0.31555
0.04127
0.67347
0.28103
0.99367
0 .4 4 5 9 8
0.73997
0.27813
0.62182
0.82578
0.85923
0.51483
0.09099
Prim ero hay que clasificar cada núm ero del conjunto r¡, asignándole las claves que se
m encionaron antes. El resultado es el que se m uestra en la tabla 2.6:
Tabla 2 . 6 C la s if ic a c ió n d e lo s n ú m e r o s d e u n c o n ju n t o r¿, d e a c u e r d o c o n la p r u e b a p o k e r.
0.06141
1P
0.7 2 4 8 4
1P
0.94107
TD
0 .5 6 7 6 6
T
0.14411
TP
0 .8 7 6 4 8
1P
0.81792
TD
0.48999
T
0.18590
TD
0.06060
TP
0.11223
2P
0 .6 4 7 9 4
1P
0.52953
1P
0.50502
2P
0.30444
T
0 .7 0 6 8 8
1P
0.25357
1P
0.31555
T
0.04127
TD
0.67347
1P
0.28103
TD
0.99367
1P
0.44598
1P
0.73997
2P
0.27813
TD
0.62182
1P
0.82578
1P
0.85923
TD
0.51483
TD
0.09099
TP
Para seguir con la prueba se recom ienda hacer una tabla co m o la siguiente:
46
2.4 Pruebas estadísticas para los n ú m e ro s pseudoaleatorios |
Tabla 2.7 Cálculos de la prueba poker.
V - O 'f
Categorías
o,
5
5
Todos diferentes (TD)
8
(0.3024)(30) = 9.072
0.12667
Exactamente 1 par (1P)
12
(0.5040)(30) = 15.12
0.64380
2 pares (2 P)
3
(0.1080)(30) = 3.24
0.01777
1 tercia y 1 Par (TP)
3
(0.0090)(30) = 0.27
27.6033
Tercia (T)
4
(0.0720)(30) = 2.16
1.56740
Poker (P)
0
(0.0045)(30) = 0.135
0.135
Quintilla (Q)
0
(0.0001)(30) = 0.003
0.003
El estadístico x \ -
{E. —O )
— = 30.0969 es m ayor que el estadístico correspondiente
/-i
£/
d e la Chi-cuadrada: ^ 05 6 = 12.59. En consecuencia, se rechaza que los núm eros del co n­
ju n to r, son independientes.
2 .4 .4 .4 Prueba de series
Esta prueba consiste en com parar los núm eros con el propósito d e corroborar la ind ep en­
dencia entre núm eros consecutivos. Las hipótesis básicas son:
Ho : T¡ ~ Independientes
H. : r¡ ~ D ependientes
La prueba funciona de esta m anera: se inicia al crear una gráfica de dispersión entre los
núm eros consecutivos (r, r^ ); luego se divide la gráfica en m casillas, com o se m uestra en
la figura 2.3, con m com o el valo r entero m ás cercano a v'n que perm ita form ar de prefe­
rencia, aunque no necesariam ente, una m atriz cuadrada.
v,
0 .6 0
0.00
'
0 .2 0
-
0 .4 0
*V /
0 .6 0
0 .8 0
1.00
Fig u ra 2.3
G rá fica d e d isp ersió n :
p rim er paso d e la p ru eb a
d e series.
47
X
Capítulo 2 Números pseudoaleatorios
Enseguida se determina la frecuencia observada 0 f al contabilizar el núm ero de puntos
en cada casilla y su correspondiente frecuencia esperada E¡, de acuerdo con E¡ = (n - 1 )/m,
donde n - 1 es el núm ero total d e pares ordenados o puntos en la gráfica. Se procede
m ( F —Q ) 2
entonces a calcular el error o estadístico de prueba %2 = ^ L 2
/-i
E¡
finalm ente, si el
valor del error es m enor que o igual al estadístico de tablas Xa,m-i, no podem os rechazar
la hipótesis d e independ encia entre núm eros consecutivos.
Ejem plo 2.18
Realice la prueba de series a los siguientes 30 números, con un nivel de confianza de 95 %.
0.872
0.950
0.343
0.0 5 8
0.3 8 4
0.219
0.041
0.0 3 6
0.213
0.9 4 6
0.570
0.842
0.7 0 6
0.809
0.300
0.6 1 8
0.512
0.462
0.005
0.203
0.291
0.151
0.5 9 6
0.443
0.8 6 8
0.913
0.511
0.5 8 6
0.6 0 8
0.879
Para em pezar, generam os la gráfica d e dispersión (vea la figura 2.4) co n la secuencia
de los 29 pares ordenados (x ,y ) = (r¡, r/+1) siguientes:
( r „ r 2) = (0.872,0.219)
(r2, r 3) = (0.219,0.570)
(r3, r 4) = (0.570,0.618)
(r4, r 5) = (0.618,0.291)
(r5, r 6) = (0.291,0.913)
(r6, r 7) = (0.913,0.950)
(r2a, r „ ) = (0.203,0.868)
(r29, rx ) = (0.868,0.879)
♦
♦
♦
.
♦ .
♦
0666
♦♦
♦
+
♦♦
♦
v
.
♦
♦
I
I
^
•
0
U.JJJ
+
♦
♦
♦
♦
♦
♦
♦
♦
♦
♦
*
0.000
0.000
48
0.333
0.666
0.9 9 9
Fig u ra 2.4
Gráfica de dispersión
del ejemplo 2. 18.
2.4 Pruebas estadísticas para los n ú m e ro s pseudoaleatorios |
En la tabla 2.8 se presenta el resto del procedim iento: se contabiliza el núm ero de
punto s en cada casilla O , y se calcula la frecuencia esperada E. de acuerdo con E¡ = 29/9;
en la últim a colum na se presenta el cálculo del estadístico d e prueba
2 _ f l E ,- O l )2 A ( 3 .2 2 - 0 ,)2
Xo
r
2Li
/-I
£/
/-I
Tabla 2.8 Cálculos de la prueba de series.
1
f l- 1
29
m
9
/-i
Intervalo
O,
1
3
3.22
0.015
2
3
3.22
0.015
3
5
3.22
0.984
4
3
3.22
0.015
5
6
3.22
2.400
6
1
3.22
1530
7
5
322
0.984
8
1
3.22
1.530
9
2
322
0.462
Total
29
29
7.935
c/
El v a lo r d e tablas xlosa = 15.507 es m ayo r que el error total de 7.935, por lo cual no
podem os rechazar la hipótesis d e independencia.
2 .4 .4 .5 P ru e b a d e h u e c o s
Esta prueba consiste en com parar los núm eros con el propósito d e verificar el tam año del
"hueco" que existe entre ocurrencias sucesivas d e un núm ero. Las hipótesis fu n d am en ta­
les son:
Hq : r¡ ~ Independientes
H. : r.~ D ependientes
La prueba se inicia al d e fin ir un intervalo de prueba ( a , p ), donde ( a , /3) e (0 ,1 ), posterior­
m ente se construye una secuencia d e unos y ceros d e esta m anera: se asigna un uno si el
r. pertenece al in tervalo ( a , p ), y un 0 si no p erte n ece a dicho intervalo. Por ejem plo, si se
define un intervalo (or, p ) = (0.6, 0.7) y se tien e la m uestra de 10 núm eros
r¡ = {0.67,0.62,0.05,0.49,0.59,0.42,0.64,0.06,0.74,0.67},
49
| C a p ítu lo 2 N úm eros pseudoaleatorios
se asignará un uno si el r. está entre 0.6 y 0.7; en caso contrario se asignará un cero. Si se
sig ue la regla anterior, la secuencia binaria es:
S = { l , 1 ,0 ,0 ,0 ,0 ,1 ,0 ,0 ,1 }
El ta m a ñ o d e h u e c o / se d e fin e co m o el n ú m e ro d e ce ro s e x is te n te s e n tre u n o s
co nsecutivos. En el caso d e la secuencia d e n u e stro ejem p lo ten e m o s h = 3 hueco s, el
p rim e ro d e ta m a ñ o 0, el se g u n d o d e ta m a ñ o 4 , y el te rce ro d e ta m a ñ o 2 d e a c u e r­
do co n:
S = 11, 0 , 0 , 0 , 0 , 1^ 0,1
4
2
A p artir del conjunto anterio r se determ ina la frecuencia observada O., al co ntabilizar el
núm ero d e ocurrencias de cada tam año d e hueco y su correspondiente frecuencia espe­
rada E , d e acuerdo co n E ,= (ñ)(/3 - a )( 1—(/3 - a)Y, donde h es el núm ero to tal d e huecos
en la m uestra. La fre cu e n cia del ú ltim o in te rv a lo se p u e d e ca lcu la r m ed ian te la d ife ­
ren cia e n tre el total y la sum a de las frecuencias esperadas de los intervalos anteriores. En
la tabla 2.9 se m uestra un resum en de estos cálculos.
Tabla 2.9 Frecuencias observadas y esperadas en la prueba de huecos.
/
Oi
E ,= [ h ) { p - a ) ^ - { p - a ) y
E¡= (3)(0.7 —0.6)(1—(0.7 —0.6)'
0
1
0X0.1 )(0.9)°
0.3
1
0
(3X0.1 X0.9)>
0.27
2
1
(3X0.1 X0.9)2
0243
3
0
3X0.1 X0.9)3
02187
4
1
(3X0.1 X0.9)4
0.1968
>5
0
(3X0.1 X0.9)5
1.7715
Total
h= 3
h=3
h=3
Tamaño del hueco
2
Se procede entonces a calcular el error o estadístico de prueba Xo = 2 j
/-i
ñ
H
/ P or
últim o, si este valor es m enor que o igual al estadístico de tablas x l^ - v no podem os
rechazar la hipótesis d e la independ encia entre los números.
50
2.4 Pruebas estadísticas para los n ú m e ro s pseudoaleatorios |
Ejem plo 2.19
Realizar la prueba de huecos a los siguientes 30 núm eros, con un nivel de confianza de
95% para e l intervalo (a - /3) = (0 .8 ,1 .0 ).
0.872
0.950
0.343
0.058
0.3 8 4
0.219
0.041
0.0 3 6
0.213
0.9 4 6
0.570
0.842
0.7 0 6
0.809
0.300
0.6 1 8
0.512
0.462
0.005
0.203
0.291
0.151
0.5 9 6
0.443
0.8 6 8
0.913
0.511
0.5 8 6
0.6 0 8
0.879
Tom ando los núm eros por renglón (o fila) y tenien d o en cuenta el intervalo (0.8,1.0),
la secuencia de unos y ceros es:
s={11,0,0,0,0,0,0,0, \ 0,1,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,1,0,0,0,1}
Si calculam os los huecos d e la m uestra, tenem os:
S = 1,1,0 ,0 ,0 ,0 ,0 ,0 ,0 ,1 ,0 ,1 ,0 ,1 ,0 ,0 ,0 ,0 ,0 ,0 ,0 ,0 ,0 ,0 ,1,1,0,0,0,1
r°
7
1 I
10
~0
3
E l núm ero d e ocurrencias de cada tam año d e hueco 0¡, su correspondiente frecuencia
esperada £; y el cálculo del estadístico d e prueba se m uestran en la tabla 2.10.
Tabla 2.10 Ejemplo de la prueba de huecos.
[E> 9> J
O,
E '-m p -a H I-W -a f í
£, = (7)(0.2) (0.8)'
0
2
1.4
02571
1
2
1.12
0.6914
2
0
0.896
0.896
3
1
0.7168
0.1119
4
0
0.5734
05734
>5
2
7(0.8)5=2.2938
0.0376
Total
h=7
h=7
2.5675
Tamaño d e l hueco
f
i
f,
6 (E —O.)
— = 2.5675 es m enor que el estadístico
/-i
E¡
d e tablas Xa/n-i= X ods¿ = 1 1 0 7 , no podem os rechazar la hipótesis d e independencia
entre los núm eros.
Ya que el estadístico de prueba x l -
51
C a p ítu lo 2 N úm eros pseudoaleatorios
2 .5 Problem as
1. D eterm ine el ciclo o periodo d e vida d e los siguientes generadores congruenciales.
a) x /+1 = (21x; + 1 5 ) m od (31)con
x0 = 21
b) x /+1 = (13 x + 9) m od (128)con
x0 = 7
c) xM = (17 x) m od (31)
con
d) x /+1 = (121 + x ) m od (256)con
e) x /+1 = (21 x. + 15 x m ) m od (64)
x0 = 23
xQ= 17
con
x0 = 21
y
x. = 43
2. D eterm ine el ciclo o perio do d e vida d e los siguientes generadores congruenciales.
a) XM = (13 7 * X + 47) m od 17
b ) X^, = (191*X^.+ 17) m od 23
c) X/f1 = (2 3 7 *X + 71) m od 37
d) XM = (1 17*X¡ + 31) mod 19
e) X *, = (157*X^. + 47 ) m od 37
f) XM = (3 2 1 *X + 11) m od 27
3. Program e en una hoja de cálculo la serie co ngruencial x /+1= (553 + 121x.) m od (177)
con x0 = 23, y haga lo que se indica.
a) D eterm ine el ciclo o periodo de vida.
b) Realice las pruebas de m edia, varianza y uniform idad.
4. Realice las pruebas de uniform idad, series y corridas a los prim eros 100 aleatorios de
los siguientes generadores
а )X íf l= (1 1 1 7 #X;. + 3057) m od 1679567; semilla 1457
б) X^, = (2 1 77*X. + 2367) m od 1351867; semilla 1117
5. Para cada uno de los generadores del problem a anterior to m e ahora los datos de 101
al 200 y realice las pruebas de m edia, varianza y poker.
6. Program e en una hoja de cálculo la generación autom ática d e núm eros pseudoalea­
torios co n el m étodo d e cuad rado s m edios. Genere una m uestra de 50 núm eros con
la sem illa 5735, y determ ine con un nivel d e aceptación de 90 % si son uniform es
entre 0 y 1.
7. Realice las pruebas de m edia, varianza y uniform idad a los 50 núm eros de la tabla
siguiente, con un nivel de aceptación de 95 %.
52
0.8797
0.3884
0.6289
0.8750
0.5999
0.8589
0 .9 9 9 6
0.2415
0.3808
0 .9 6 0 6
0.9848
0.3469
0.7977
0.5844
0.8147
0.6431
0.7387
0.5613
0.0318
0.7401
Q4557
0.1592
0 .8 5 3 6
0.8846
0.3410
0.1492
0.8681
0.5291
0.3188
0 .5 9 9 2
0.9170
0.2204
0.5991
0.5461
0.5739
0 .3 2 5 4
0.0856
0 .2 2 5 8
0.4603
0 .5 0 2 7
0.8376
0.6235
0.3681
0.2088
0.1525
0 .2 0 0 6
0.4720
0.4272
0.6360
0 .0 9 5 4
2.5 Problem as |
8. G enere la secuencia de aleatorios del generador congruencial x /+1= (71 x ) m od (357)
con x0 = 167 y efectúe lo que se indica:
a) Realice la prueba de corridas arriba y abajo.
b) Realice la prueba de corridas arriba y ab ajo d e la m edia.
9. O btenga una secu e n cia de aleatorios d e tam añ o n = 200 con el g en erad o r co n­
gru encial M INSTD.161 xj } = (16807x;) m od (2147483647) con x 0 = 1 y e fe ctú e lo que
se in d ica:
a) Realice la prueba de m edia, varianza y uniform idad.
b) Realice la prueba de corridas arriba y abajo.
c) Realice la prueba d e co rridas arriba y ab ajo de la m edia.
d) Realice la prueba de poker y series.
é) Realice la prueba de huecos.
10. Obtenga una secuencia de aleatorios con el generador congruencial Super- D uper.171
x/+1= (69069x) m od (4294967296) con x0 = 1 y efectúe lo que se indica:
a) Realice la prueba de m edia, varianza y uniform idad.
b) Realice la prueba de corridas arriba y abajo.
c) Realice la prueba de corridas arriba y ab ajo de la m edia.
d) Realice la prueba de poker y series.
e) Realice la prueba de huecos.
11. D eterm ine si la siguiente lista de 100 núm eros de 2 dígitos tien e una distribución
uniform e con un nivel de aceptación de 90 %.
0.7 8
0.9 8
0.24
0.73
0.43
0 .1 6
0 .7 8
0.47
0 .1 8
0.55
0.0 4
0.29
0.68
0.77
0.16
0.03
0.79
0.22
0.37
0.80
0.9 6
0.2 6
0.91
0.55
0.75
0.55
0 .6 4
0.39
0.53
0.45
0.61
0.1 4
0.38
0.12
0.40
0.74
0 .7 8
0 .9 8
0.27
0.60
0.43
0.67
0.62
0.32
0.53
0.54
0 .2 4
0.29
0 .1 8
0 .0 8
0.82
0.9 4
0.19
0.98
0.41
1.00
0 .7 4
0.92
0 .1 4
0.43
0.83
0.8 8
0.18
0.21
0.50
0.13
0.43
0.69
0 .0 8
0.12
0.22
0.50
0.16
0.11
0.18
0.89
0.80
0.42
0.29
0.87
0.83
0.79
0.65
0.28
0.78
0.49
0.36
0 .8 6
0.87
0 .6 4
0.51
0.07
0.18
0.94
0.50
0.22
0.66
0.91
0 .4 8
0 .2 4
12. U tilice la prueba de poker con nivel de aceptación de 95 % para com probar la h ip ó ­
tesis de que los núm eros de la sig uiente lista son aleatorios.
53
r~ | C a p ítu lo 2 N úm eros pseudoaleatorios
0.5632
0.2395
0.5583
0.8050
0 .4 1 6 6
0 .5 4 5 4
0.5491
0.5593
0.7725
0 .2 3 2 6
0.1020
0 .4 7 0 8
0.5690
0.3802
0 .8 2 2 4
0 .6 8 6 6
0 .7 0 9 8
0.9352
0 .1 3 8 8
0.4535
0.0945
0.1357
0.9191
0.1503
0 .1 6 4 5
0.9770
0.1301
0.1100
0.2523
0.4439
0.9499
0.9415
0.7413
0.9335
0 .0 8 0 5
0.8295
0.4575
0.1863
0 .5 5 0 4
0 .8 9 2 6
0.9035
0.1133
0.1115
0.8761
0 .0 0 0 7
0.6222
0.4605
0 .0 6 8 8
0 .9 1 6 4
0.3482
0.9419
0.3802
0.8765
0.5340
0.6593
0 .8 2 6 6
0.5932
0.4277
0.9162
0.7300
0.0927
0.4691
0 .5 7 3 6
0.5615
0.1909
0 .2 1 4 3
0.2672
0 .7 8 6 4
0 .3 2 1 8
0.4765
0.5581
0 .0 8 8 8
0.3969
0.0151
0.8605
0 .9 6 1 5
0.7752
0.0461
0.1122
0.7559
0.4251
0.7327
0.8791
0.4445
0 .8 8 6 4
0 .6 3 8 4
0.6607
0.2892
0.8905
0 .5 1 2 6
0.7184
0.0512
0.5982
0.3277
0.0407
0 .2 6 6 8
0.5557
0.8139
0.3261
0 .7 9 4 9
0.2236
0.1455
0.5083
0 .6 1 0 6
0.7605
0 .9 7 8 8
0 .0 2 0 4
0 .6 0 0 6
0.1452
0 .1 2 3 4
13. D eterm ine, m ediante las pruebas d e independ encia (corridas arriba y abajo, corridas
arriba y debajo de la m edia, de poker, d e series o de huecos) si los 100 núm eros d e la
tabla son pseudoaleatorios con un nivel d e aceptación de 90 %.
0.7 8
0.9 8
0.24
0.73
0.43
0 .1 6
0 .7 8
0.47
0 .1 8
0.55
0.0 4
0.29
0.68
0.77
0.16
0.03
0.79
0.22
0.37
0.80
0.9 6
0.2 6
0.91
0.55
0.75
0.55
0 .6 4
0.39
0.53
0.45
0.61
0.1 4
0.38
0.12
0.40
0.74
0 .7 8
0 .9 8
0.27
0.60
0.43
0.67
0.62
0.32
0.53
0.54
0 .2 4
0.29
0 .1 8
0 .0 8
0.82
0.9 4
0.19
0.98
0.41
1.00
0 .7 4
0.92
0 .1 4
0.43
0.83
0.8 8
0.18
0.21
0.50
0.13
0.43
0.69
0 .0 8
0.12
0.22
0.50
0.16
0.11
0.18
0.89
0.80
0.42
0.29
0.87
0.83
0.79
0.65
0.28
0.78
0.49
0.36
0 .8 6
0.87
0 .6 4
0.51
0.07
0.18
0.94
0.50
0.22
0.66
0.91
0 .4 8
0 .2 4
14. Abra el directorio telefó nico en la prim era página de la letra D y seleccione los últi­
mos 5 dígitos de los prim eros 50 núm eros telefónicos. D eterm ine si esta selección es
aleatoria con un nivel d e aceptación de 95 % ; utilice para ello las pruebas de corridas
arriba y abajo, arriba y ab ajo de la m edia, y poker.
15. O bserve y anote los 4 dígitos de las placas de 100 autom óviles que pasen por alguna
calle. D eterm ine si esta selección es aleatoria co n un nivel d e aceptación de 95% ;
utilice para ello las p rueb as d e corridas arriba y abajo, arriba y ab ajo d e la m edia, y la
prueba de series.
54
2.5 Problem as |
16. D eterm in e con la p r u e b a d e corridas arriba y a b a jo si los 50 n ú m e ro s d e la ta b la son
in d e p e n d ie n te s con un nivel d e a c e p ta c ió n d e 90 %.
Q6069
0.5316
0.5929
0.4131
0.2991
0 .6 8 4 8
0.8291
0.1233
0.2497
0.9481
0.4411
0.8195
0.3521
0 .8 0 6 8
0.1062
0 .5 3 8 4
0.9287
0.7954
0.7271
0 .5 7 3 9
0.4029
0.2549
0.1003
0.5523
0.1897
0.8725
0.4439
0.6056
0.8310
0 .4 7 0 9
0.1926
0.0266
0 .5 6 9 6
0 .7 5 0 4
0.8542
0.6045
02269
0.7970
0 .3 7 3 8
0 .1 2 8 4
Q 6367
0.9543
0.5385
02574
0.2396
0 .3 4 6 8
0.4105
0.5143
0 .2 0 1 4
0 .9 9 0 0
17. D eterm ine, con la prueba d e corridas arriba y ab ajo de la m edia, si los 50 núm eros de
la ta b la son independ ientes con un nivel de aceptación de 90 %.
Q6351
0.0272
0.0227
0.3827
0.0659
0.3683
0.2270
0.7323
0 .4 0 8 8
0 .2 1 3 9
Q4271
0.4855
0 .2 0 2 8
0 .1 6 1 8
0.5336
0 .7 3 7 8
0.3670
0.6637
0 .1 8 6 4
0 .6 7 3 4
Q 9498
0.9323
0.0265
0 .4 6 9 6
0.7730
0.9670
0.7500
0.5259
0.5269
0 .5 4 0 6
Q3641
0.0356
0.2181
0 .0 8 6 6
0.6085
0 .4 4 6 8
0.0539
0.9311
0 .3 1 2 8
0 .1 5 6 2
Q8559
0.7280
0.7789
0 .1 7 4 6
0.6637
0.0687
0 .5 4 9 4
0.1504
0.8397
0 .2 9 9 5
18. U tilice la prueba d e series para determ inar si los 50 núm eros d e la tabla son ind ep en­
dientes con un nivel de aceptación de 90 % .
0.5858
0.8863
0 .8 3 7 8
0.3203
0.4115
0.2710
0 .9 2 3 8
0.1959
0 .9 2 6 8
0 .6 7 0 2
Q6213
0.4360
0.6279
0.8415
0.5786
0.0543
0.3567
0.1655
0.3880
0 .8 0 8 0
Q1931
0.0843
0.9152
0.6093
0.7587
0.4515
0.3203
0.5139
0.7070
0 .9 1 2 3
Q 1242
0.8826
0.9921
0.8523
0.6723
0.8540
0.4722
0.4781
0.2101
0 .1 6 8 0
08658
0.4028
0 .6 1 3 6
0.8720
0.1126
0.5857
0.9172
0.8943
0.8095
0 .6 4 0 8
19. G enere en una hoja de cálculo 200 núm eros aleatorios en una m ism a colum na, use
la fu n ció n pred eterm inad a ALEATORIO (o RAND). Copie estos valores y ub íq uelo s
en la sig u ie n te co lu m n a, pero desfáselos una p o sició n . Copie el ú ltim o d e los valo ­
res en el lugar que quedó vacío al principio, y haga una gráfica de relación XY. ¿Se
observa que los datos están dispersos de m anera uniform e?
20. Obtenga la m edia y la varianza d e los datos del problem a 18. ¿Son exactam en te los
m ism os qu e para una distribución uniform e entre cero y uno? ¿A qué atribuye esta
diferencia?
21. Un m étodo m ultiplicativo m ixto genera 19500 núm eros de 3 dígitos, de los cuales
13821 tienen todos sus dígitos diferentes, 5464 pares y 215 tercias. Calcule el error
respecto d e las frecuencias esperadas b ajo la prueba poker.
22. Un m étodo congruencial genera 71500 núm eros de 4 dígitos, de los cuales 3500 se
clasifican com o 2 pares. Calcule el error de este evento respecto de su frecuencia
esperada b ajo la prueba poker.
55
| C a p ítu lo 2 N úm eros pseudoaleatorios
23. Al realizar la prueba poker a 50 núm eros aleatorios de 4 dígitos, el resultado del error
total es de 11.07. ¿Aceptaría la hipótesis de independencia con nivel d e aceptación
de 95 %?
24. Al realizar la prueba poker a X cantidad d e núm eros aleatorios de 6 dígitos, el resul­
tado del error to tal es de 15.51. ¿Aceptaría la hipótesis de independencia con nivel
de aceptación de 95 % ?
25. Un m étodo co ngruencial genera 357500 núm eros de 6 dígitos, d e los cuales 17500
se clasifican com o 2 pares. Calcule el error de este evento respecto d e su frecuencia
esperada b ajo la prueba poker.
26. ¿Cuáles d e las aseveraciones siguientes son correctas?
a) La prueba poker requiere núm eros aleatorios de 5 dígitos.
b) Si acepto que los núm eros son uniform es (0,1), no necesito hacer la prueba de
m edia = Vi y de varianza = 1/12.
c) Si acepto la prueba d e series los núm eros no contienen ciclos o tendencias.
d) Si acepto la prueba de m edia = Vi y la de varianza = 1/12, entonces los núm eros
son uniform es (0,1).
27. La siguiente tabla m uestra los resultados d e la prueba de series después d e clasificar
los núm eros entre 0 y 1.
92
85
90
93
88
98
93
90
96
91
86
88
100
85
84
81
a) Calcule el error to tal existen te (C) entre lo real y lo teórico.
b) ¿Existe evid encia estadística de falta de independencia d e la secuencia d e n ú m e­
ros con un nivel d e aceptación de 90 %?
28. Calcule la cantidad m ínim a y m áxim a d e corridas que deben existir en una secuencia
de 17000 núm eros para co ncluir que son núm eros aleatorios con un nivel de confian­
za de 95 %.
29. Genere 100 núm eros pseudoaleatorios usando cualquier hoja de cálculo, y realice las
pruebas d e corridas, uniform idad e independencia. ¿Bajo este análisis es posible
considerar que el generad or d e núm eros aleatorios que tien e la hoja de cálculo usa­
da es confiable?
30. Para los siguientes núm eros pseudoaleatorios determ ine por m edio d e una prueba
de series si se pueden considerar independientes.
a) U tilice 9 casillas equiprobables
56
2.5 Problem as |
b) U tilice 16 casillas equiprobables
c) U tilice 25 casillas equiprobables.
0.1108
0.9082
0 .4 7 3 8
0.1181
0.7422
0.5005
0 .6 4 3 8
0.1873
0.7379
0 .4 9 9 9
0.3316
0 .2 9 7 4
0.2480
0.0048
0.9841
0.8873
0.6742
0.4242
0.2729
0 .5 0 0 8
0.1813
0 .7 3 4 8
0.4232
0.5429
0.7373
0.3440
0.4653
0.1465
0.1511
0 .7 9 3 2
0.6113
0 .1 5 0 8
0.4751
0.2777
0.4041
02909
0.4072
0.7725
0.7611
0.5241
0.4128
0.7647
0.8461
0.3529
0 .9 9 6 6
0 .6 5 7 6
0.1951
0 .1 8 4 4
0.0851
0 .9 6 9 8
0.1883
0 .1 3 2 8
0 .4 9 4 4
0.5323
0.0333
0 .1 1 0 6
0 .3 0 0 4
0 .1 1 2 8
0.4664
0 .4 8 2 0
0.2977
0.9579
0.6782
0.2963
0.9185
0.8141
0.9240
0 .5 2 5 4
0.8034
0.7441
0.5114
0.3399
0.2121
0.0674
0 .8 5 3 4
0 .2 1 4 4
0.9660
0 .2 2 4 8
0.9855
0 .9 3 9 4
0.0213
0 .0 1 6 4
0.8420
0.8373
0.7677
0.9857
0 .6 9 7 8
0 .4 1 3 6
0.4721
0 .2 8 1 2
0.6239
0.0502
0 .1 8 4 8
0.1978
0.5805
0.1240
0 .9 5 4 6
0.2802
0.6087
0 .7 1 4 6
31. Dado el siguiente generador de aleatorios Xj+J = (2177*X .+ 2367) m od 1351867; sem i­
lla 1117. Tom e los prim eros núm eros entre cero y uno para com pletar 100 pares de
datos. Luego elabore una prueba de series com o se pide.
a) Considere clases en increm entos de 0.125 en el e je X y de 0.25 para Y. Es decir, una
m atriz de 32 casillas.
b ) Considere clases en increm ento d e 0.2 en el eje X y 0.25 para Y. Es decir, una m atriz
de 20 casillas.
c) Basado en los dos casos, ¿podem os decir que los aleatorios generados son in d e­
pendientes?
32. La siguiente tabla m uestra los resultados de la prueba d e huecos con p - a = 0.1
después de clasificar los núm eros uniform es.
Tamaño del hueco
Frecuencia ob servada
0
5
1
4
2
3
3
3
>3
25
Total
40
a) Calcule el error to tal existen te entre lo real y lo teórico.
b) ¿Se puede considerar que esta m uestra es pseudoaleatoria con un nivel de acep­
tación d e 90 %?
57
| C a p ítu lo 2 N úm eros pseudoaleatorios
33. D eterm ine, m ediante la prueba d e huecos, con a = 0.5 y/3 = 0.8, si los 50 núm eros de
la ta b la son independ ientes con un nivel de aceptación de 90 %.
0.5858
0.8863
0 .8 3 7 8
0.3203
0 .4 1 1 5
0.2710
0 .9 2 3 8
0.1959
0 .9 2 6 8
0.6702
0.6213
0.4360
0.6279
0.8415
0 .5 7 8 6
0.0543
0.3567
0.1655
0.3380
0.8080
0.1931
0.0843
0.9152
0.6093
0 .7 5 8 7
0.4515
0.3203
0.5139
0.7070
0.9123
0.1242
0 .8 8 2 6
0.9921
0.8523
0 .6 7 2 3
0.8540
0.4722
0.4781
0.2101
0.1680
0.8658
0 .4 0 2 8
0 .6 1 3 6
0.8720
0 .1 1 2 6
0.5857
0.9172
0.8943
0.8095
0 .6 4 0 8
Referencias
[1] Banks, J., Carson, J.S., Nelson, B.L., y Nicol, D.M.(2005). Discrete-Event System Simulation (4* ed.)
NuevaJersey: Prentice Hall.
[2] Blum, L., Blum, M.y Shub, M.A(1986). Simple Unpredictable Pseudo-random NumberGenerator,
SIAMJ. Comput, volumen 15 (número 2), pp. 364-383.
[3] Law, A.M. y Kelton, W.D. (2000). Simulation Modeling andAnalysis (3*. ed.): McGraw Hill.
[4] L'Ecuyer, P (1994b). Uniform Random Number Generation, Ann. OfOperations Research., 53, pp.
77-120.
[5] Lehmer D.H. (1951). Proceedings o f the Second Symposium on Large-Scale Digital Computing
Machinery, Massachussetts: Harvard University Press, Cambridge.
[6] Lewis P.A., Goodman A.S., and Miller J.M. (1969). A pseudo-random number generator for the
System/360, IBMSyst. J., volúmenes 8,2, pp.136-146.
[7] Margsalia D.H. (1972). The structure of linear congruential sequences, Applications o f Number
Iheoryto Numérica! Analysis, S.K. Zaremba, pp. 248-285, Nueva York: Academic Press.
58
Variables aleatorias
1
Defi n ic ión de va ria b le a leato ria
2
Tipos de variab les aleatorias
3
D eterm inación del tip o d e distribución d e un conjunto de datos
4
Generación de variables aleatorias
5
Expresiones co m unes d e algunos generadores de variables aleatorias
6
Problem as
Referencias
C a p ítu lo 3 Variables aleatorias
3.1 Definición de va riab le aleato ria
A lo largo de los capítulos anteriores hem os m en cio nad o que un m odelo de sim ulación
perm ite lograr un m ejo r entendim iento de prácticam ente cualquier sistem a. Para ello,
resulta indispensable obtener la m ejor aproxim ación a la realidad, lo cual se consigue
co m poniendo el m odelo con base en variables aleatorias que interactúen entre sí. Pero,
¿cóm o podem os determ inar qué tip o de distribución tien e una variable aleatoria?, ¿cóm o
podem os usarla en el m odelo una vez que conocem os su distribución asociada? En este
capítulo com entarem os los m éto d os y las herram ientas que pueden d ar respuesta a estas
interrogantes clave para la generación del m odelo.
Podem os decir que las variables aleatorias son aquellas que tien en un co m po rta­
m iento pro babilístico en la realidad. Por ejem plo, el núm ero d e clientes que llegan cada
hora a u n banco depende del m o m ento del día, del día d e la sem ana y de otros factores:
por lo general, la afluencia d e clientes será m ayor al m ediodía que m u y tem prano por la
m añana; la dem anda será m ás alta el viernes que el m iércoles; habrá m ás clientes un día
de pag o que un día norm al, etcétera. D ebido a estas características, las variables aleato­
rias deben cum plir reglas d e distribución de probabilidad com o éstas:
•
•
•
•
La sum a de las probabilidades asociadas a todos los valores posibles de la variable
aleatoria x e s uno.
La probabilidad de que un posible valo r de la variables x se presente siem pre es
m ayor que o igual a cero.
El valo r esperado de la distribución de la variab le aleatoria es la m edia de la m is­
m a, la cu al a su vez estim a la verdadera m edia d e la población.
Si la distribución de probabilidad asociada a una variab le aleatoria está definida
por m ás de un parám etro, dichos parám etros pueden obtenerse m ed iante un
estim ador no sesgado. Por ejem plo, la varianza de la población cr2 puede ser esti­
m ada usando la varianza de una m uestra que es s2. De la m ism a m anera, la d esvia­
ción estándar de la po blación cr, puede estim arse m ediante la desviación estándar
d e la m uestra s.
3.2 Tipos d e v a riab le s aleato rias
Podem os diferenciar las variables aleatorias de acuerdo con el tip o d e valores aleatorios
que representan. Por ejem p lo , si habláram os del núm ero d e clientes que solicitan cierto
servicio en un periodo de tiem p o determ inado, podríam os encontrar valores tales com o
0, 1, 2, ..., n, es decir, un co m portam iento co m o el que presentan las d istrib uciones de
probabilidad discretas. Por otro lado, si habláram os del tiem p o que tarda en ser atendida
una persona, nuestra investigación tal vez arrojaría resultados com o 1.54 m inutos, 0.028
horas o 1.37 días, es decir, un co m po rtam iento sim ilar al de las distribuciones de pro ba­
bilidad continuas. Si consideram os lo anterior podem os diferenciar entre variables alea­
torias discretas y las continuas.
V a ria b le s a le a to ria s d iscre ta s. Este tip o d e variab le s deben c u m p lir con esto s p a rá ­
m etros:
60
3.2 Tipos de variables aleatorias |
P(x) > 0
Í p,= i
/-o
b
P [ a ¿ x < , b ) = ] £ p , = p „ + ...+p„
/-fl
Algunas d istrib ucio n es discretas de probabilidad son la unifo rm e d iscreta, la de
Berno u lli, la hip erg eo m étrica, la d e Poisson y la bino m ial (vea la fig u ra 3.1). Podem os
a s o c ia ra estas u otras d istrib u cio n es d e probabilidad el co m p o rtam ien to d e una varia­
ble aleato ria. Por ejem p lo , si n u e stro p ro pó sito al an alizar un m uestreo d e calidad con­
siste en d e cid ir si la pieza b ajo insp ecció n es b u en a o no, estam os realizan d o un
exp e rim e n to con 2 posibles resultados: la pieza es b u en a o la p ieza es m ala. Este tip o
de co m p o rtam ien to está aso ciad o a una d istrib ución d e Berno ulli. Por otro lado, si lo
que querem os es m o d elar el n ú m e ro d e usuarios q u e llam arán a un teléfo n o d e aten­
ción a clientes, el tip o d e co m p o rtam ien to p u e d e llegar a parecerse a una d istrib ución
de Poisson. In clu so podría ocurrir que el co m p o rtam ien to d e la variab le n o se pareciera
a otras d istrib ucio n es d e p ro babilidad conocidas. Si éste fu era el caso, es p e rfe ctam e n ­
te vá lid o usar una d istrib u ción em p írica que se ajuste a las co nd icio nes reales d e pro­
b ab ilid ad . Esta d istrib ución puede se r una ecuación o una sum a d e térm in o s que
cum pla con las co nd iciones necesarias para se r considerada una d istrib ución d e pro­
babilidad.
D istrib u c ió n B in o m ial (A/ = 5 ,p = 0 .5 )
P (x)
Figura 3.1
D istrib u ció n de
probabilidad
d e una variab le
aleatoria d iscreta.
Variables a le ato ria s continuas. Este tip o de variables se representan m ediante una
ecuación que se co no ce com o función d e densidad d e probabilidad. Dada esta condición,
cam biam os el uso de la sum atoria por la d e una integral para conocer la función acum u­
lada d e la variable aleatoria. Por lo tanto, las variables aleatorias continuas deben cum plir
los siguientes parám etros.
61
C a p ítu lo 3 Variables aleatorias
P (x)> 0
oo
J fM
=i
b
P {a < ,x < b ) = P { a < x < b) = F ( x ) = j f ( x ) d x
a
Entre las distribuciones de probabilidad tenem o s la uniform e continua, la exp o n en ­
cial, la norm al, la d e W eibull, la Chi-cuadrada y la de Erlang (vea la figura 3.2). De la m ism a
form a que en las distribuciones discretas, algunos procesos pueden ser asociados a cie r­
tas distribuciones.
Por ejemplo, es posible que el tiem po entre llegadas de los clientes a un sistema tenga
una distribución de probabilidad m uy sem ejante a una exponencial, o que el tiem po que le
tom a a u n operario realizar una serie de tareas se com porte de manera m u y similar a la dis­
persión que presenta una distribución normal. Sin embargo, debemos hacer notar que este
tip o de distribuciones tienen sus desventajas, ya que el rango de valores posibles implica que
existe la posibilidad de tener tiem pos entre llegada de clientes infinitos o tiem pos de ensam ­
ble infinitos» situaciones lejanas a la realidad. Por fortuna, es m uy poco probable de se pre­
senten este tipo de eventos, aunque el analista d e la simulación debe estar consciente de
cóm o pueden im pactar valores com o los descritos en los resultados del modelo. En las
siguientes secciones revisaremos algunas herram ientas útiles para lograr ese objetivo.
3.3 D eterm inación del tipo d e d istrib u ció n d e un conjunto
de datos
La distribución de probabilidad de los datos históricos puede determ inarse m ediante las
pruebas Chi-cuadrada, de Kolm ogorov-Sm irnov y de Anderson-Darling. En esta sección
se revisarán los procedim ientos d e cada una de estas pruebas, así com o la form a d e rea­
lizarlas a tra vés d e Stat::Fit, una herram ienta com plem entaria d e ProModel.
62
3.3 D e te rm in a ció n d el tip o de d is trib u c ió n de u n c o n ju n to d e datos |~ ]
3.3.1 Prueba Chi-cuadrada
Se trata de una prueba de hipótesis a p artir de datos, basada en el cálculo de un valor
llam ado estadístico d e prueba, al cual suele com parársele con un valo r conocido com o
valor crítico, m ism o que se obtiene, generalm ente, de tab las estadísticas. El pro ced im ien­
to general de la prueba es:
1. O btener al m enos 30 datos de la variab le aleatoria a analizar.
2. Calcular la m edia y varianza d e los datos.
3. Crear un histogram a d e m = \fn intervalos, y obtener la frecuencia observada en
cada intervalo O..
4 . Establecer exp lícitam ente la hipótesis nula, m ediante una distribución de pro ba­
bilidad que se ajuste a la form a del histogram a.
5. Calcular la frecuencia esperada, E¡, a p a rtir de la función de probabilidad p ro ­
puesta.
6. Calcular el estadístico de prueba
/«i
s-
7. D efinir el n ive l de sig n ifican cia d e la prueba, a, y d e te rm in ar el valo r crítico de
la p ru e b a, Xa^-k^ {k es el n ú m e ro d e parám etros estim ado s en la d istrib ución
propuesta).
8. Com parar el estadístico d e prueba con el valor crítico. Si el estadístico de prueba
es m en o r que el valo r crítico n o se puede rechazar la hipótesis nula.
Ejem plo 3.1
Éstos son los datos del núm ero de autom óviles que entran a una gasolinera cada hora:
14
7
13
16
16
13
14
17
15
16
13
15
10
15
16
14
12
17
14
12
13
20
8
17
19
11
12
17
9
18
20
10
18
15
13
16
24
18
16
18
12
14
20
15
10
13
21
23
15
18
D eterm inar la distribución de probabilidad con un nivel d e significancia a de 5 %.
El histogram a (vea la figura 3.3) d e los n = 50 datos, que considera m = 11 intervalos,
la m edia m uestral de 15.04 y la varianza m uestral de 13.14, perm ite establecer la siguien­
te hipótesis:
Ho: Poisson (A = 15) autom óviles/hora
H ,: Otra distribución
63
C a p ítu lo 3 Variables aleatorias
Histogram a
12
-
10 -
.2 8 -)£
3 6u
4-
l
2
n
r v a \ . - r o i n r v o \ . - r o i n
(N
(N
<N
0
O
iñ
CM
Lleg a d a s/h r
Figura 3.3
H istogram a de
fre cu e n cias d e la
llegada de a uto m ó viles
a la g a so line ra .
Com enzam os por calcular la probabilidad de cada intervalo a p artir d e la función de
probabilidad de Poisson:
A V a
—
x!
15x e~15
P (x ) =
—
x!
p (x ) =
x = 0 ,1 ,2 ,..
x = 0 ,1,2,...
Por ejem plo, para el intervalo 8-9
1 5 V 15 159e '15
p (x = 8 ,9 ) = ---------+ ----------= 0.0519
8!
9!
Enseguida calculam os la frecuencia esperada en cada intervalo, m ultiplicando la
probabilidad p(x) por el total de datos d e la m uestra:
E, = n p (x )
E, = 50 p (x )
Y luego estim am os el estadístico de prueba:
2 _ y (E¡ —0 ¡)2 _ (0.9001- 1 )2 [ (2.5926- 2 ) 2 |
Xo
t í
E¡
0.9001
2.5926
A p a rtir d e los cálculos anteriores se obtiene la tabla 3.1.
64
| (0 .3 0 9 2 - 0 )2 ^
0.3092
7£<|£
3.3 D e te rm in a ció n d el tip o de d is trib u c ió n de u n c o n ju n to d e datos |~ ]
Tabla 3.1 Cálculos para la prueba Chi-cuadrada.
Intervalo
o,
p (x )
E .= S 0 *p (x )
Error
0-7
1
0.0180
0.9001
0.0111
8-9
2
0.0519
25 9 2 6
0.1354
10-11
4
0.1149
5.7449
0.5300
12-13
10
0.1785
8.9233
0.1299
14-15
11
0.2049
10.2436
0.0559
16-17
10
0.1808
9.0385
0.1023
18-19
6
0.1264
6.3180
0.0160
20-21
4
0.0717
3.5837
0.0483
22-23
1
0.0336
1.6821
0.2766
24-25
1
0.0133
0.6640
0.1700
25-8
0
0.0062
0.3092
0.3092
Total
50
1
50
1.78481
El valor del estadístico de prueba, x l = 1.7848, co m parado con el valo r de tablas crí­
tico, xlos ii-o-i= 18-307, indica que no podem os rechazar la hipótesis de que la variable
aleatoria se com porta de acuerdo con una distribución de Poisson, con una m edia d e 15
a uto m ó vi les/ho ra.
3.3.2
Prueba de Kolm ogorov-Sm irnov
Desarrollada en la década de los treinta del siglo XX, esta prueba perm ite — al igual que la
prueba Chi-cuadrada— determ inar la distribución d e probabilidad d e una serie d e datos.
Una lim itante de la prueba d e Kolmogorov-Smirnov estriba en que solam ente se puede
aplicar al análisis de variables continuas. El procedim iento general de la prueba es:
1. O btener al m enos 30 datos de la variab le aleatoria a analizar.
2. Calcular la m edia y la varianza d e los datos.
3. Crear un histogram a d e m = v n intervalos, y obtener la frecuencia observada en
cada intervalo 0 ¡ .
4 . Calcular la probabilidad observada en cada intervalo PO¡ = 0 ¡ / n , esto es, dividir
la frecuencia observada O. entre el núm ero total d e datos, n.
5. A cum ular las probabilidades PO.para obtener la probabilidad observada hasta el
i-ésim o intervalo, POAr
6. Establecer de m anera exp lícita la hipótesis nula, para esto se propone una distri­
bución de probabilidad que se ajuste a la form a del histogram a.
7. Calcular la probabilidad esperada acum ulada para cad a intervalo, PEA¡, a p artir
d e la función de probabilidad propuesta.
8. Calcular el estadístico de prueba
c = m áx |PEA¡ - PÚA, \
i = 1,2,3,..., k ,..., m
65
n
C a p ítu lo 3 Variables aleatorias
9. D efinir el n ivel de significancia d e la prueba a, y determ inar el valor crítico de la
prueba, Da n (consulte la tabla d e valores críticos d e la prueba de KolmogorovS m irn o ve n la sección d e apéndices).
10. Com parar el estadístico d e prueba con el valor crítico. Si el estadístico de prueba
es m en o r que el valo r crítico n o se puede rechazar la hipótesis nula.
E je m p lo 3 .2
A continuación se m uestra un estudio del co m po rtam iento del tiem p o entre roturas de
cierto filam ento, m ed ido en m inutos/rotura.
4.33
1.61
216
2.88
0.70
0.44
1.59
2.15
8.59
7.36
9.97
7.8 6
5.49
0.98
4.52
212
4 .4 4
0.82
6.96
3.04
2.81
14.39
3.44
9.92
4 .3 8
8.04
2.18
6.19
4.48
9.66
4.34
1.76
2.30
5.24
11.65
10.92
12.16
6.60
0.85
4.82
1.36
333
6.58
1.45
8.42
3.69
2.44
028
1.90
2.89
D eterm inar la distribución de probabilidad con un nivel d e significancia a de 5 % .
El histogram a (vea la figura 3.4) d e los n = 5 0 datos con m = 8 intervalos, la m edia
m uestral de 4 .7 3 3 6 y la varianza m uestral de 12.1991 perm iten estim ar un parám etro de
form a de 1.38 y un parám etro de escala de 5.19, y establecer la hipótesis:
Ho: W eibull ( a = 1 .3 8 ,/3 = 5 .1 9 ) m inutos/rotura
H ,: Otra distribución
Histograma
14
12
(D 10 ■
■
2 8
*
£
4 ..
2 -Fig u ra 3.4
+
0 -0-2
2-4
4-6
6-8
8 -1 0
10-12
12-14
14-oo
Minutos/roturas
Histograma de
frecuencias
del tiempo
entre roturas.
Iniciam os el procedim iento con el cálculo d e la probabilidad observada en cada
intervalo:
H l A A i i l l
pn
'
66
n
50
IS O 'S O 'S O 'S O 'S O 'S O 'S O 'S O 'Í
3.3 D e te rm in a ció n d el tip o de d is trib u c ió n de u n c o n ju n to d e datos |~ ]
para después calcular la probabilidad observada acum ulada hasta el intervalo i.
n™
X 0/ X ° i
POA¡ = — — = = —
f 12 25 3 4 40 4 6 48 49 5 0 1 ,
^^
,
_ _ _ _ _ _ _ _
l = {0 .2 4 ,0 .5 0 ,..., 1}
Posteriorm ente calculam o s la probabilidad que se espera se acum ule de cada intervalo
PEA.a p a rtir d e la función de probabilidad acum ulada d e W eibull
-í-f
F (x ) = J ap~ ax a~'e 0 dx
F {x ) = '\ - e
p
F (x ) = i - e ‘ ,5-,9;
Por ejem plo, para el intervalo con el lím ite superio r d e 8:
138
P E \ = F (x = 8) = 1 - e - 's ”’ 1
=0.8375
Por últim o, calculam os el estadístico d e prueba
C = m á x |PO A , - P E A ,| = m á x { |0 .2 4 - 0 .2 3 5 3 |,|0 .5 0 - 0 . 5 0 2 5 | | l —1|} = 0 .0 3 7 5
A p a rtir d e los cálculos anteriores se obtiene la tabla 3.2:
Tabla 3 .2 Cálculos para la prueb a de Kolm ogorov-Smirnov.
Intervalo
O,
PO¡
POA,
PEA,
I POA¡-PEA¡ |
0-2
12
024
024
0.23526
0.0047
2-4
13
026
050
0.50247
0.0025
4-6
9
0.18
0.68
0.70523
0.0252
6-8
6
0.12
0.80
0.83747
0.0375
8-10
6
0.12
0.92
0.91559
0.0044
10-12
2
0.04
0.96
0.95839
0.0016
12-14
1
0.02
0.98
0.98042
0.0004
14-8
1
0.02
1.00
1
0.0000
Total
50
1
C
0.0375
67
n
C a p ítu lo 3 Variables aleatorias
El valor del estad ístico de prueba, c = 0.0375, co m parado con el valo r d e tablas crítico,
^oq5(5o = 0*1 923 t indica que no podem os rechazar la hipótesis de que la variable aleatoria
se com porta d e acuerdo con una distribución d e W eibull con p arám etro d e escala 5.19 y
parám etro d e fo rm a 1.38.
3.3.3
Prueba de Anderson-Darling
Se dio a conocer en 1954. Esta prueba tien e com o propósito corroborar si una m uestra de
variables aleatorias p ro viene de una población con una distribución de probabilidad
específica. En realidad se trata de una m odificación d e la prueba d e Kolm ogorov-Sm irnov,
aunq ue tiene la virtud de detectar las discrepancias en los extrem o s de las distribuciones.
La principal desventaja de la prueba d e Anderson-Darling estriba en que es necesario
calcu lar los valores críticos para cada distribución. La prueba es m u y sensible en los extre­
m os d e la distribución, por lo que debe usarse con m ucho cuidado en d istrib uciones con
lím ite inferior acotado, y n o es confiable para distribuciones de tip o discreto. En la actua­
lidad es posible encontrar tablas de valores críticos para las distribuciones norm al, lognorm al, exponencial, log-logística, de W eibull y valo r extrem o tip o I. El procedim iento
general d e la prueba es:
1.
2.
3.
4.
O btener n datos de la variab le aleatoria a analizar.
Calcular la m edia y la varianza de los datos.
O rganizar los datos en form a ascendente: Y¡
/ = 1,2,...,n
O rdenar los datos en form a descendente.
/'= 1,2,...,n
5. Establecer de m anera exp lícita la hipótesis nula, a l pro po ner una distribución de
probabilidad.
6. Calcular la probabilidad esperada acum ulada para cada núm ero Yf PEA{Y), y la
probabilidad esperada acum ulada para cada núm ero Yn^_¡, PEA(Yn^ ,) ,a p a rtir de
la función d e probabilidad propuesta.
7. Calcular el estadístico de prueba
n + l¿ (2 / - 1 )[ ln P £ A (V ;.) + ln ( 1 - P M ( C w )]
n /=!
8. A justar el estadístico de prueba de acuerdo con la distribución de probabilidad
propuesta.
9. D efinir el nivel d e significancia d e la prueba a, y determ inar su valo r crítico, aan
(vea la tabla 3.3).
10. Com parar el estadístico d e prueba con el valor crítico. Si el estadístico de prueba
es m en o r que el valo r crítico n o se puede rechazar la hipótesis nula.
68
3.3 D e te rm in a ció n d el tip o de d is trib u c ió n de u n c o n ju n to d e datos |~ ]
Tabla 3.3 Estadísticos de prueba y valores críticos para la prueba de Anderson-Darling.
Distribución
Estadístico d e prueba
ajustado
Parámetros conocidos
n> 5
*
Normal
,
*
4
Valores crítico s a
25
0.1
.05
.025
.001
1.933
2.492
3.070
3.857
0.632
0.751
0.870
1.029
1.070
1.326
1587
1.943
0.637
0.757
0.877
1.038
0.563
0.660
0.769
0.906
' +« ~ ¥ )
Exponencial
K
H
.
DeWeibull
K
Log-logística
K
E je m p lo 3.3
Los siguientes son los datos d e un estudio del tiem p o d e atención a los clientes en una
florería, m edido en m inutos/cliente:
9.400
8.620
9.346
13.323
7.112
13.466
5.7 6 4
8.9 7 4
9.831
10.056
7.445
6.619
9.260
6.7 7 5
8.3 0 6
5.633
8.864
13.944
8.952
9.355
10.489
6.306
12.685
11.078
6.957
9.532
9.192
11.731
11.350
14.389
12.553
8 .0 4 5
9.829
11.804
9.274
12190
10.270
14.751
9.237
6.5 1 5
12.397
8 .4 5 3
9.628
13.838
9.935
7.827
9269
8.690
11.515
8.5 2 7
D eterm inar la distribución de probabilidad con un nivel de significancia a de 5 por
ciento.
El histogram a (vea la figura 3.5) de los n = 50 datos, que considera m = 10 intervalos,
la m edia m uestral de 9.786 y la varianza m uestral de 5.414, perm ite establecer la siguien­
te hipótesis nula:
Ho: N orm al (/x = 10, a = 2.0) m inutos/cliente
H ,: Otra distribución
69
n
C a p ítu lo 3 Variables aleatorias
Histograma
14 T
12
|
10-
S 8+
*
6 -I4
2 _L
Figura 3.5
0
co-6
6-7
7-8
8-9
9-10
10-11
11-12 12-13 13-14
Minutos/cliente
14^>o
Histograma de
frecuencias
del tiempo de
servicio en la
florería.
En la tabla 3 .4 se m uestran los resultados d e los cálculo s d e cada uno d e los pasos del
procedim iento siguiente:
-
En la colum na C1 se ordenaron los datos Y,
i = 1,2,...,30 en form a ascendente.
En la colum na C2 se organizaron los datos V'30^1_/
/ = 1,2,...,30 en form a descen­
dente.
-
En la colum na C3 se calcula la variable auxiliar 2/ —1
/ = 1,2,...,30 del estadístico
de prueba.
En las colum nas C4 y C5 se calcula la probabilidad esperada acum ulada para cada
núm ero Yr PEA(Y¡) d e la colum na C1, y el co m plem ento de la probabilidad espera­
da acum ulada para cada núm ero
: 1-P EA {Y n^ ¡) de la colum na C2 a p a rtir de
la función de probabilidad propuesta, que en este ejem p lo es una norm al (yx = 10,
-
cr = 2 .0 ).
Si se to m a, por ejem plo, el renglón / = 7 con Y7 = 7.8266 de la colum na C1 y Y2A= 10.0562
d e la colum na C2, y se estandarizan am bos valores
7 .8 2 6 6 - 1 0
Z, , = --------------- = - 1 .0 8 6 7
2
1 0 .0 5 6 2 - 1 0
= 0.0281
z¡„24 =
se e n cu e n tra la p ro babilidad acum ulad a en la tab la no rm al estándar. D e esta form a
te n e m o s u n a PEA7 = 0.1385 para z = - 1 .0 8 6 7 y, para z = 0.0285 u n a PEA2A = 0 .5 1 1 2 y
1 - PEA2A= 0.4888.
En las colum nas C6, C7 y C8 se desglosan los cálculos del estadístico d e prueba
70
3.3 D e te rm in a ció n d el tip o de d is trib u c ió n de u n c o n ju n to d e datos |~ ]
* = -
n + —¿ ( 2 / - 1)[lnP£A(V^)+ln (1 - P E A t C ,.,) ]
30 + ^ ¿ ( 2 / - l) [ ln P £ 4 ( y ') + ln ( 1 - P M ( V 'n+1.,) ]
/-I
a := -
30 + — [(1)[-4.2399 —3.1812] + (3 )[-4.0692 —3.1812] + ... + (5 9 )[-0 .0 4 2 4 - 0 .0146]]
30
= 2,825724
U na vez calculado el estadístico d e prueba es necesario ajustarlo de acuerdo con la tabla
3.3. En este caso, com o tenem os n > 5 no se requiere ajuste.
Por últim o, al com parar el estadístico d e prueba A* = 2.825724 con el valor crítico de
la prueba y el nivel d e significancia seleccionado, a00S 3O= 2.492 (vea la tabla 3.3, en donde
se dan los valores críticos de a), se rechaza la hipótesis H .
Tabla 3.4 C á lc u lo s d e la h ip ó t e s is in ic ia l e n la p r u e b a d e A n d e r s o n - D a r lin g .
--------------- -----------------------
C7
C8
LN[C4)
LN(CS)
(C 3)*((C 6) + C (7 ))
0 .0 4 1 5
-4 2339
-3 .1 8 1 2
-7.4151
0.01709
0 .0 4 1 5
-4 0692
-3 .1 8 1 2
-2 1 .7 5 1 3
5
0.01709
0 .0 4 8 3
-4 0692
-3.0301
-3 5 .4 9 6 7
12.6853
7
0.06 4 0 5 8
0 .0 8 9 7
-2 7480
-2 4 1 1 4
-3 6 .1 1 5 2
7.11163
12.19
9
0.074343
0 .1 3 6 8
-2 5 9 9 1
- 1 .9 8 9 6
-4 1 .2 9 7 7
6
7.11163
10.2697
11
0.074343
0 .4 4 6 4
-2 5 9 9 1
- 0 .8 0 6 6
-3 7 .4 6 2 5
7
7.8266
10.0562
13
0.138585
0 .4 8 8 8
-1 .9 7 6 3
- 0 .7 1 5 8
-3 4 .9 9 7 4
8
8.30552
9.93504
15
0.198431
0 .5 1 3 0
-1 .6 1 7 3
- 0 .6 6 7 6
-3 4 .2 7 3 2
9
8.61959
9.83097
17
0.245033
0 .5 3 3 7
- 1 .4 0 6 4
-0 .6 2 8 0
-3 4 .5 8 3 6
10
8.86415
9.82943
19
0.285043
0 .5 3 4 0
-1 2 5 5 1
- 0 .6 2 7 4
-3 5 .7 6 7 6
11
8.97359
9.62768
21
0.303903
0 .5 7 3 8
-1 .1 9 1 0
- 0 .5 5 5 4
-3 6 .6 7 5 5
12
9.1919
9.53164
23
0.343089
0 .5 9 2 6
- 1 .0 6 9 8
-0 .5 2 3 3
-3 6 .6 3 9 9
13
9.25952
9.39954
25
0.355602
0 .6 1 8 0
-1 .0 3 3 9
-0 .4 8 1 3
-3 7 .8 8 0 3
14
9.26901
9.34602
27
0.357372
0 .6 2 8 2
-1 .0 2 9 0
-0 .4 6 5 0
-4 0 .3 3 6 2
15
9.27425
9.34602
29
0.358348
0 .6 2 8 2
-1 .0 2 6 2
-0 .4 6 5 0
-4 3 .2 4 5 0
16
9.34602
9.27425
31
0.371838
0 .6 4 1 7
-Q 9 8 9 3
-0 .4 4 3 7
-4 4 .4 2 3 3
17
9.34602
9.26901
33
0.371838
0 .6 4 2 6
-0 .9 8 9 3
-0 .4 4 2 2
-47.2391
18
9.39954
9.25952
35
0.382
0 .6 4 4 4
-Q 9 6 2 3
- 0 .4 3 9 4
-4 9 .0 6 2 0
19
9.53164
9.1919
37
0.407422
0 .6 5 6 9
-0 .8 9 7 9
-0 .4 2 0 2
-4 8 .7701
20
9.62768
8.97359
39
0.426161
0.6961
-Q 8 5 2 9
-0 .3 6 2 3
-4 7 .3 9 3 0
21
9.82943
8.86415
41
0.466018
0 .7 1 5 0
-Q 7 6 3 5
-0 .3 3 5 5
-4 5 .0 6 1 7
22
9.83097
8.61959
43
0.466323
0 .7 5 5 0
-Q 7 6 2 9
-0.2811
-4 4 .8 9 0 2
23
9.93504
8.30552
45
0.487045
0 .8 0 1 6
-Q 7 1 9 4
-0 .2 2 1 2
-4 2 .3 2 6 3
C1
C2
C3
C4
CS
C6
/
Y,
Y30+W
2/-1
PEA(Y)
1 - / W 30íw>
1
5.63282
13.4663
1
0.01 4 4 9 6
2
5.76414
13.4663
3
3
5.76414
13.3229
4
6.95 6 8 6
5
71
n
C a p ítu lo 3 Variables aleatorias
24
10.0562
7.8266
47
0.51 1 2 1 6
0 .8 6 1 4
-0 .6 7 1 0
-0 .1 4 9 2
-3 8 .5 4 6 7
25
10.2697
7.11163
49
0.55 3 6 3 6
0 .9 2 5 7
-0 5912
-0 .0 7 7 3
-3 2 .7 5 6 5
26
12.19
7.11163
51
0.863247
0 .9 2 5 7
-0 1 4 7 1
-0 .0 7 7 3
-1 1 .4 3 9 6
27
12.6853
6.9 5 686
53
0.91 0 3 0 6
0 .9 3 5 9
-0 0940
-0 .0 6 6 2
-8 .4 8 9 4
28
13.3229
5.76414
55
0.951689
0 .9 8 2 9
-0 0495
-0 .0 1 7 2
-3 6715
29
13.4663
5.76414
57
0.95 8 4 6 4
0 .9 8 2 9
-0 0 4 2 4
-0 .0 1 7 2
-3 4007
30
13.4663
5.63282
59
0.95 8 4 6 4
0 .9 8 5 5
-0 0 4 2 4
- 0 .0 1 4 6
-3 3645
Replanteam iento de una nueva hipótesis:
Ho: N orm al (/x = 9.604, a = 2.0) m inutos/cliente
H ,: O tra distribución
En la tabla 3.5 se presenta el resum en de resultados de cada uno d e los pasos del pro ce­
dim iento; la m odificación se ve reflejada en los cálculos de las probabilidades esperadas
acum uladas. Por ejem plo, para el renglón / = 7 tenem o s ahora:
7 .8 2 6 6 -9 .6 0 4
*/-7 =
1 0 .0 5 6 2 -9 .6 0 4
Z /-2 4 =
-0.8887
= 0.2261
Con estos valores se encuentra la probabilidad esperada acum ulada en la tabla norm al
están d ar: a z = -0 .8 8 8 7 le corresponde PEA7 = 0.18707, y a z = 0.2261, PEA24 = 0 .5 8 9 4 y
1 - P£/\24 = 0.4106.
Al calcular de nuevo el estadístico d e prueba se obtiene:
K = - n + i ¿ ( 2 / - 1 ) [ h f l E W , ) + l n O - / W . fW )]
11 /=1
$ = -
3 0 + ¿ £ ( 2 / - 1 ) [ l n / W #) + l n O - / W „ w )]
a;=
3° + ¿
-
/-I
[(1) [ _ 3-749 - 3 .6 2 1 8 ]+ (3 )[-3 .5 9 6 1 -3 .6 2 1 8 ]+ ...+ {5 9 )[- 0 .0 2 7 1 - 0.0238]]
=1.3516
Una vez calculad o el estadístico de prueba, es necesario ajustarlo de acuerdo con la tabla
3.3. En este caso, com o tenem os n > 5, no se requiere ajuste.
Por últim o, al com parar el estadístico d e prueba A 2
n =1.3516 con el va lo r crítico y el
n ivel de significancia seleccionado, o005J0 = 2.492 (tabla 3.3 d e valores crítico s d e a ),
vem os que n o se puede rechazar la hipótesis H0.
72
3.3 D e te rm in a ció n d el tip o de d is trib u c ió n de u n c o n ju n to d e datos |~ ]
Tabla 3.5 C á lc u lo s d e la s e g u n d a h ip ó t e s is e n la p r u e b a d e A n d e r s o n - D a r lin g .
C1
--------------- ---------------C3
C4
C2
CS
C6
C7
C8
LN [C4)
LN[CS)
(C 3 )*((C 6 )
+ C (7 ))
1/
W
i
2 7 -1
PEM Y)
1
5.63282
13.4663
1
0.02354
0.0267
-3.7491
- 3 .6 2 1 8
-7 .3 7 0 9
2
5.76414
13.4663
3
0.02743
0.0267
-3.5961
-3 .6 2 1 8
-2 1 .6 5 3 5
3
5.76414
13.3229
5
0.02743
0.0315
-3.5961
-3 .4 5 8 3
-3 5 .2 7 1 8
4
6.9 5 68 6
12.6853
7
0.09282
0.0617
-2 3 7 7 1
-2 .7 8 5 4
-3 6 .1 3 7 5
5
7.11163
12.19
9
0.10634
0.0980
-2 2 4 1 1
-2 3227
-4 1 .0 7 4 3
6
7.11163
10.2697
11
0.10634
0 .3 6 9 6
-2 2 4 1 1
-0 9952
-3 5 .5 9 9 7
7
7.8266
10.0562
13
0.18707
0 .4 1 0 6
-1 .6 7 6 3
-0 8902
-33.3641
8
8.30552
9.93504
15
0.25808
0.4343
-1 .3 5 4 5
-0 8 3 4 1
-3 2 8 2 8 2
9
8.61959
9.83097
17
0.31128
0 .4 5 4 8
-1.1671
-0 7 8 7 8
-3 3 .2 3 3 2
10
8.86415
9.82943
19
0.35571
0.4551
-1 .0 3 3 6
-0 7872
-34.5951
11
8.97359
9.62768
21
0.37629
0.4953
-0 .9 7 7 4
-0 7 0 2 6
-3 5 .2 8 0 2
12
9.1919
9.53164
23
0.41837
0 .5 1 4 4
-0 .8 7 1 4
-0 6647
-3 5 .3 2 9 6
13
9.25952
9.39954
25
0.43161
0.5407
-0 8 4 0 2
-0 6 1 4 8
-3 6 .3 7 6 8
14
9.26901
9.34602
27
0.43348
0.5513
-0 8 3 5 9
-0 5 9 5 4
-3 8 .6 4 6 0
15
9.27425
9.34602
29
0.43451
0.5513
-0 8 3 3 5
-0 5 9 5 4
-4 1 .4 3 9 9
16
9.34602
9.27425
31
0.44867
0.5655
-0 8 0 1 5
-0 5 7 0 1
-4 2 .5 1 7 3
17
9.34602
9.26901
33
0.44867
0 .5 6 6 5
-0 8 0 1 5
-0 5 6 8 2
-4 5 .2 0 0 4
18
9.39954
9.25952
35
0.45927
0 .5 6 8 4
-0 7 7 8 1
-0 5 6 5 0
-47.0071
19
9.53164
9.1919
37
0.48556
0 .5 8 1 6
-0 7 2 2 5
-0 5 4 1 9
-4 6 .7 8 1 7
20
9.62768
8.97359
39
0.50471
0 .6 2 3 7
-0 6 8 3 8
-0 4 7 2 1
-4 5 .0 7 7 7
21
9.82943
8.86415
41
0.54486
0 .6 4 4 3
-0 6 0 7 2
-0 4 3 9 6
-4 2 .9 2 0 0
22
9.83097
8.61959
43
0.54516
0 .6 8 8 7
-0 6 0 6 7
-0 3 7 2 9
-42.1221
23
9.9 3 5 0 4
8.30552
45
0.56572
0 .7 4 1 9
-0 5 6 9 7
-0 2 9 8 5
-3 9 .0 6 7 7
24
10.0562
7.8266
47
0.58943
0 .8 1 2 9
-0 5 2 8 6
-0 2 0 7 1
-3 4 .5 7 8 3
25
10.2697
7.11163
49
0.63037
0 .8 9 3 7
-0 .4 6 1 5
-0 1 1 2 4
-2 8 .1 2 0 5
26
12.19
7.11163
51
0.90199
0 .8 9 3 7
-0.1031
- 0 .1 1 2 4
-1 0 .9 9 4 6
27
12.6853
6 .9 5 6 8 6
53
0.93829
0 .9 0 7 2
-0 .0 6 3 7
- 0 .0 9 7 4
-8 .5 3 8 5
28
13.3229
5.76414
55
0.96852
0 .9 7 2 6
-0 .0 3 2 0
- 0 .0 2 7 8
-3 .2 8 9 2
29
13.4663
5.76414
57
0 .9 7 3 2 6
0 .9 7 2 6
-0.0271
- 0 .0 2 7 8
-3.1301
30
13.4663
5.63282
59
0 .9 7 3 2 6
0 .9 7 6 5
-0.0271
-0 .0 2 3 8
-3 .0 0 4 2
73
[~\ C a p ítu lo 3 Variables aleatorias
3 .3 .4
A juste de datos con Stat::Fit
La h e rram ie n ta Sta t::Fit d e ProM odel se u tiliza para a n a liza r y d e te rm in ar el tip o de
d istrib u ció n d e p ro babilidad de un co n ju n to d e datos. Esta u tilería p e rm ite co m p arar
los resultad o s e n tre varias d istrib u cio n e s analizad as m ed ian te u n a ca lific a ció n . Entre
sus p ro ced im ien to s em p lea las p rueb as C hi-cuadrad a, d e K o lm o g o ro v-Sm irno v y de
A nderso n -D arlin g. A d em ás c a lcu la los parám etros apro piado s para cad a tip o d e d is tri­
b ució n, e in clu ye info rm ación estad ística ad icio n al co m o m e d ia, m oda, valo r m ín im o ,
v a lo r m á xim o y varian za, e n tre o tro s d ato s. S ta t::F it se p u e d e e je c u ta r d e sd e la p a n ­
ta lla d e in icio d e ProM odel, o bien d esd e el co m an d o S t a t ::F it d e l m enú Too ls (vea la
fig u ra 3.6).
P ro M o d e l
F íe
---
Ylew
3uta
SmulaOor
O jtput
VM ow
Help
e n t V e r s ió n S tu d e n t V e r s ió n
e n l V e r s ió n S tu d e n t V e r s ió n
V e r s ió n S tu d e n t V e r s ió n S tu d e n t V e r s ió n
en » V e r s ió n S tu d e n t V e r s ió n
e n t V e r s ió n S tu d e n t V e r s ió n
V e r s ió n S tu d e n t V e r s ió n S tu d e n t V e r s ió n
V e r s ió n S tu d e n t V e r s ió n S tu d e n t V e r s ió n
V e r s ió n S tu d e n t V e r s ió n S tu d e n t V e r s ió n
W u .n ln n C tn ila M
W o r p ln n C tu H o n l \ lo r n ln o
T h e P ro M o d e l S lio r t c u t P a n e l
in s s tc a ll
m o c J e 3!
p c a c k c a Q e »
Figura 3.6
Pantalla de inicio
de ProModel.
Una vez que com ience a ejecutarse el com ando Stat::Fit, haga clic en el icono d e la
hoja en blanco de la barra d e herram ientas Estánd ar para abrir un nuevo docum ento
(tam bién puede ab rir el m enú File y hacer clic en New). Enseguida se desplegará una
ventana con el nom bre Data Table (vea la figura 3.7), en la que deberá introducir los datos
de la variab le que se analizará, ya sea con el teclado o m ed iante los com andos C o piar y
Pegar (Copy / Paste) para llevar dichos datos desde otra aplicación, co m o puede ser Excel
o el Bloc d e notas de W indows.
74
3.3 D e te rm in a ció n d el tip o de d is trib u c ió n de u n c o n ju n to d e datos |~ ]
S t a t : : F it
D o c u m o n tl
Edt
Statabcs
F ie
Irp u t
R
U tib es
a
y
1
D o c u m e n M : D a ta I a b le
Intervols:
1
Wew
e
W ndow
Help
z t ~)L\
^
A
I_
Points:
Fig u ra 3.7
Introduzca los datos
de la variable que desea
analizar en esta ventana
de Stat: :Fit.
Una vez introducida la inform ación es posible seleccionar una serie d e opciones de
análisis estadístico, entre ellas las d e estadística descriptiva y las de pruebas de bondad
d e ajuste, de las cuales nos ocuparem os en los siguientes ejem plos.
Ejem plo 3.4
Los datos del núm ero d e autom óviles que entran a una gasolinera por hora son:
14
7
13
16
16
13
14
17
15
16
13
15
10
15
16
14
12
17
14
12
13
20
8
17
19
11
12
17
9
18
20
10
18
15
13
16
24
18
16
18
12
14
20
15
10
13
21
23
15
18
D eterm ine la distribución de probabilidad con un nivel de significancia a d e 5 %.
Después de introducir estos datos en Stat::Fit, desp lieg ue el m enú Statistics y selec­
cio n e el com ando D escriptive. Enseguida aparecerá una nueva ventana con el nom bre
d e D escriptive Statistics, en dond e se m uestra el resum en estadístico de la variable (vea
la figura 3.8).
S t d t ::( i t
Doci>:.K>nt1
X
Intervolí «
0
2
3
4
14.
7.
13.
16.
16.
13.
14.
17.
15.
16.
13.
15.
10.
15.
n
P o in ts:
|
50
6
D o cu m o n tl: D e scrip tivo S ta tis tic s
d e s c rip tiv e s t a t is t ic s
d a ta p o in ts
m ín im u m
m á x im u m
m ean
m e d ia n
m od e
s ta n d a rd d e v ia tio n
v a r i a n ee
c o e t iid e n t o f v a ria tio n
ske w n e ss
k u rto s is
____________________
50
7.
24.
1 5 .0 4
15.
13.
3 .6 2 5 0 0
1 3 .1 4 1 2
2 4 .1 0 2 9
0 .1 3 4 6 5 1
0 .1 2 1 9 8 2
Figura 3.8
Ventana de resultados
estadísticos de STAT: :Fit.
75
C a p ítu lo 3 Variables aleatorias
Para determ inar el tip o d e distribución de probabilidad de los datos, seleccione el
com ando A utoFít del m enú Fit en la pantalla principal d e Stat::Fit. A continuación se
desplegará un cuadro diálogo sim ilar al que se ilustra en la figura 3.9, en el cual se tiene
que seleccionar el tip o d e distribución que se desea probar. Se deb e seleccionar si dicha
distribución es no acotada en am b o s extrem os (unbounded), o si el lím ite inferior está
acotado — en este últim o caso se puede aceptar la propuesta d e que la cota del lím ite
inferior sea el dato m ás peq ueñ o de la m uestra (low er bound)— , o seleccionar exp lícita­
m ente otro valor co m o lím ite inferior (assigned bound). Para este ejem p lo seleccionam os
una distribución d e tip o discreto: discrete distributions, ya que los datos d e la variable
aleatoria [autom óviles/hora] tien en esa característica.
Auto::Fit
C
c o n tin u á is distrbutons
( • de cre te dKtnbutons
C unbounded
T h e Distributor! Is:
lower bound
r
a s s o n e d bou
Figura 3.9
OK
Cancel
Help
Este cuadro de diálogo
permite seleccionar el
tipo de varia ble aleatoria.
Para que el proceso d e ajuste se lleve a cabo, haga clic en el botón OK. E l resultado se
desplegará en la ventana Autom atic Fitting, donde se describen las distribuciones de
probabilidad analizadas, su posición de acuerdo con el ajuste, y si los datos siguen o no
alguna d e las distribuciones. En la figura 3.10 se observa el resultado del análisis de ajuste
del ejem plo 3.4, el cual nos indica que no se puede rechazar la hipótesis de que los datos
provengan de cualq uiera de las sig uientes dos d istrib u cio n e s; B ino m ial, con N = 104 y
p = 0.145, o de Poisson, con m edia 15.0 (esta últim a coincide con el resultado que obtuvi­
m os en el ejem plo 3.1 m ediante la prueba de bondad d e ajuste Chi-cuadrada).
«I
|
D o cu m e n tl: A uloriuilic f iltirift
Figura 3 .10
Ventana de resultados
del análisis de la variable
aleatoria.
76
3.3 D e te rm in a ció n d el tip o de d is trib u c ió n de u n c o n ju n to d e datos |~ ]
Haga clic co n el ratón en cualquiera d e las dos distribuciones (vea la figura 3.10);
enseguida se desplegará el histogram a que se ilustra en la figura 3.11: las barras azules
representan la frecuencia observada de los datos; la línea roja indica la frecuencia espera­
da d e la distribución teórica.
Figura 3.11
Histogramas teórico y real
de la variable aleatoria.
El form ato del histogram a puede ser m odificado m ed iante el co m and o G raphics
style del m enú G rap h ics (esta opción solam ente está disponible cuando se tiene activa
la ventana Com parison G raph; vea la figura 3.11).
Ejem plo 3.5
Éstos son los datos de un estudio del tiem p o de atención a los clientes en una florería,
m edido en m inutos/cliente:
9.400
8.620
9.346
13.323
7.112
13.466
5.7 6 4
8.9 7 4
9.831
10.056
7.445
6.619
9.260
6.7 7 5
a306
5.633
8.864
13.944
8.952
9.355
10.489
6.306
12.685
11.078
6.957
9.532
9.192
11.731
11.350
14.389
12.553
8.045
9.829
11.804
9.274
12190
10.270
14.751
9.237
6.5 1 5
12.397
8.453
9.628
13.838
9.935
7.827
9.269
8.690
11.515
8.5 2 7
D eterm ine la distribución de probabilidad con un nivel de significancia a d e 5 %.
Debido a las características de la variable aleatoria a analizar, al desplegarse el cuadro
de diálogo Auto::Fit (vea la figura 3.9) d eb em o s activar la opción co ntinuous distributions. El resum en de resultados que se ilustra en la figura 3.12 indica que la m uestra
p uede pro venir de cualquiera d e las cuatro distribuciones listadas, resultado que coincide
con el análisis ejem p lificad o previam ente en la prueba d e Anderson-Darling acerca d e la
norm alidad de los datos.
77
n
C a p ítu lo 3 Variables aleatorias
En la ventana G>mparison G raph puede com pararse la form a d e la distribución
no rm al (verde) y lognorm al (roja) propuestas por Stat::Fit, y la diferencia respecto del
histogram a de frecuencias de la m uestra.
í á D o c u m e n t ? : O d io l a b i o
_
J
I
1»
I
5
Pont»
X
™ m x u m c m J ; O K r y a i . ' t . . U j|> > i
F in a d D a n a lty
50
-d 94
8(2
9 946
13323
7112
13 466
5 764
8974
8831
10 056
7 445
i
2
3
4
s
5
7
g
9
10
O o c u n o n l ? : I t o v i l j r i v i - S U ll.
d c tc r tp liv r a ta titlC T
d a t a p o in ta
m í n im u m
m á x im u m
m ean
m e d ia n
m ode
c la n d a id d rv ia tio n
v a lla n te
lo r m c le n i o l v a ila llo n
60
6 .6 3 3
1 4 .7 6 1
9 .7 8 6 0 2
9 .3 6 0 6
9 .1 3 2
2 .3 2 6 7 4
6 .4 1 3 7 2
2 3 .7 7 6 2
sk ew ness
k u rto s lí
0 .3 2 2 6 3
-8 .6 7 2 2 4 3
1 4 C to c u n K n t7 : A u t o m a t i c 1 i l t i n g
A u t o : .» I I o l D l s t r i b u U o n s
d is tr lb u tlo n
re a l
l o g n a r m a l | - 3 . 1 . 2 . 5 4 . 0 .1 7 9 )
T i l a a g u l o i |4 . 8 8 . 1 5 .5 . 9 . 2 1 |
N o i c i . a i p . 7 9 . 2 .3 )
U n l l o i m |5 .6 3 . 14.81
E x p o n e n t l a i p . 6 3 . 4 .1 5 )
100
S 7 .2
3 6 .7
1 .2
l.6 3 e -0 0 2
Fig u ra 3.12
R esu m en del
a n álisis d e la
v a ria b le aleato ria
d e l e je m p lo 3.5.
3 .4 G eneración de variab les aleato rias
La variabilidad de eventos y actividad es se representa a través de funcio nes de densidad
para fenóm enos continuos, y m ediante d istrib uciones de probabilidad para fenóm enos
d e tip o discreto. La sim ulación d e estos eventos o actividad es se realiza con la ayuda de
la generación de variables aleatorias.
Los principales m étodos para generar las variables aleatorias son:
•
M étodo de la transform ada inversa
•
M étodo de convolución
•
•
•
M étodo de com posición
M étodo de transform ación directa
M étodo de aceptación y rechazo
En las siguientes secciones se describirán los prim eros cuatro m étodos; el lector interesa­
do en el m étodo d e aceptación y rechazo puede consultar la bibliografía recom endada.
3.4.1
M étodo de la transform ada inversa
El m étodo d e la transform ada inversa puede utilizarse para sim ular variab les aleatorias
continuas, lo cual se logra m ediante la función acum ulada F(x) y la generación de n ú m e­
ros pseudoaleatorios r¡ ~ U (0 ,1). E l m étodo consiste en:
78
3.4 G eneración de variables aleatorias | 1
1. D efin ir la función d e densidad F(x) que represente la variable a m odelar.
2. Calcular la función acum ulada F(x).
3. D espejar la variable aleatoria x y obtener la función acum ulada inversa F(x)~'4 . G enerar las variables aleatorias x, sustituyendo valores con núm eros p seud oa­
leatorios r. ~U(0,1) en la función acum ulada inversa.
El m étodo de la transform ada inversa tam bién puede em plearse para sim ular variables
aleatorias d e tip o discreto, com o en las d istrib uciones d e Poisson, de Bernoulli, binom ial,
geom étrica, discreta general, etcétera. La generación se lleva a cabo a través de la pro ba­
bilidad acum ulada P(x) y la generación de núm eros pseudoaleatorios r^ U fO J). El m éto­
do consiste en:
1. Calcular todos los valores de la distribución de probabilidad p(x) de la variable a
modelar.
2. Calcular todos los valores de la distribución acum ulada P(x).
3. G enerar núm eros pseudoaleatorios ry~U(0,1).
4 . Com parar con el valo r d e P(x) y determ inar qué valo r d e x corresponde a P(x).
En la figura 3.13 se m uestra gráficam ente la m etodología para generar variables aleato­
rias continuas:
Función de densidad (Normal)
Función acumulada (Normal)
f(x)
0.45 0.4 -
Función de densidad (Exponencial)
Función acumulada (Exponencial)
F(x)
Fig u ra 3 .13 Esquematización del método de la transformada inversa para variables continuas.
79
n
C a p ítu lo 3 Variables aleatorias
Por su p a rte , la figura 3.14 m u e s tra d e m a n e r a gráfica la m e to d o lo g ía p a ra g e n e ra r
variables aleatorias discretas.
Distribución de probabilidad (Geométrica)
Distribución acumulada (Geométrica)
P(x)
pM
1
0.25
0.8
0.2
r>
0.6
0.15
0.4
0.1
0.2 4 rr
0.05
0
I
0
2
4
I
6
I
8
I
1
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
1
10 12 14 16 18 2 0 x
Distribución de probabilidad (Poisson)
I
01
2 3 4 5 6 7 8 9
101112131415*
pM
Distribución acumulada (Poisson)
P(x)
0 .1 4
0.1
0.12
0.8
r
0.1
0 .0 8
0.6
0 .0 6
0 .4
0 .0 4
0.2
0.02
0
0
2
4
q fl
□ppi
i
6
8
10 12 14 16 18 2 0 x
0
2
4
6
8
10~12 14 16 18 2 0 *
Figura 3 .1 4 Esquematización del método de la transformada inversa para variables discretas.
D istribución uniform e
A p a rtir d e la función d e densidad de las variables aleatorias uniform es entre a y b,
F {x ) =
b -a
a< x< b
se obtiene la función acum ulada
F(x) = f - ! —dx
b -a
=
x-a
b -a
a< x< b
A l igualar la función acum ulada F(x) con el núm ero pseudoaleatorio r^ U fO , 1), y despejar
x se obtiene:
x, = fl+ (b - o )f(x ),
x, = fl+ (6 - ú )r ,
80
3.4 G eneración de variables aleatorias | 1
Ejem plo 3.6
La tem p eratura de una estufa se com porta de m anera uniform e dentro del rango de 95 a
100°C. La lista d e núm eros pseudoaleatorios y la ecuación x. = 95 + 5 r¡ nos perm iten
m odelar el co m portam iento d e la variab le aleatoria que sim ula la tem peratura d e la estu­
fa (vea la tabla 3.6).
Tabla 3.6 Simulación de las temperaturas de una estufa.
Medición
Temperatura °C
1
0.48
97.40
2
0.82
99.10
3
0.69
98.45
4
0.67
98.35
5
0.00
95.00
D istribución exponencial
A p a rtir de la función de densidad de las variables aleatorias exponenciales con m edia
1/A,
f ( x ) = \ e rÁX
para
x> 0
para
x> 0
se obtiene la función acum ulada
F ( x ) = ^*\e~Xxd x
=
1 - e " Ax
Si igualam os la función acum ulada F(x) con el núm ero pseudoaleatorio r/~ U (0 ,1), y des­
pejam os x se obtiene:
x, = - - l|n ( 1 - F ( x ) ,)
A
x, = —j-ln (l-f|)
A
Ejem plo 3.7
Los datos históricos del tiem p o de servicio en la caja d e un banco se com portan d e form a
e xp o n e n cia l con m ed ia d e 3 m in u to s/clie n te . U na lista de n úm ero s p seu d o aleato rio s
r. ~U(0,1) y la ecuación generadora exp o nencial x. = —3ln(1 nos perm iten sim ular el
co m portam iento de la variab le aleatoria (vea la tabla 3.7).
81
n
C a p ítu lo 3 Variables aleatorias
Tabla 3.7 Sim ulación del tiem p o de servicio en la ca ja de un banco.
Cliente
ri
Tiempo de servicio (min)
1
0.64
3.06
2
0.83
5.31
3
0.03
0.09
4
0.50
2.07
5
0.21
0.70
D istribución de Bernoulli
A p a rtir de la distribución de probabilidad d e las variables aleatorias de Bernoulli con
m edia
p(x)= p*(1 - p ) 1- *
para
x = 0 ,1
se calculan las probabilidades p a r a x = 0 y x = 1, para obtener
X
0
P(X)
1-p
1
P
Si acum ulam os los valores de p(x) obtenem os:
X
0
PW
1-p
1
------------1
A l g enerar los núm eros pseudoaleatorios r.~U(0/1) se aplica la regla:
*'
(0
si
r{ e ( 0 ,1 - p )
(1
si
/; e ( 1 - p , 1)
Ejem plo 3.8
Los datos históricos sobre la frecuencia de paro s d e cierta m áquina m uestran que existe
una probabilidad de 0.2 de que ésta falle (x = 1), y de 0.8 de que no falle (x = 0) en un día
determ inado. G enere una secuencia aleatoria que sim ule este com portam iento.
A p artir de la distribución de probabilidad de la variable aleatoria de Bernoulli con
m edia 0.8,
p(x) = (0.2)x (0.8), “ x
para
x = [0 ,1 ]
se calculan las probabilidades puntuales y las acum uladas p a ra x = 0 y x = 1 , y se obtienen
los datos ilustrados en la tabla 3.8:
82
3.4 G eneración d e variables aleatorias
Tabla 3.8 Cálculo de las probabilidades acum uladas de las fallas d e la m áquina del ejem plo 3.8.
X
0
1
Pix)
0.8
0.2
PiX)
0.8
1
La regla para generar esta variable aleatoria estaría definida por:
_ |0
si
r. e ( 0 - 0 . 8 )
X ,- )l
si
r ,e (0 . 8 - 1)
Con una lista d e núm eros pseudoaleatorios r/~U(0,1) y la regla anterior es posible sim ular
el co m portam iento d e las fallas de la m áquina a lo largo del tiem po, al considerar lo
siguiente:
•
•
Si el núm ero pseudoaleatorio es m en o r que 0.8, la m áq uina no fallará.
Si el núm ero pseudoaleatorio es m ayo r que 0.8, ocurrirá la falla (vea la tabla 3.9).
Tabla 3.9 Sim ulación de las fallas de la m áquina.
Día
Evento: la máquina
1
0.453
0
no falla
2
0.823
1
falla
3
0.034
0
no falla
4
0.503
0
no falla
5
0.891
1
falla
Ejem plo 3.9
El núm ero de piezas que entran a un sistem a de producción sigue una distribución de
Poisson con m edia de 2 piezas/hr. Sim ule el co m po rtam iento de la llegada d e las piezas
al sistem a.
A p artir d e la distribución de probabilidad d e la variab le aleatoria d e Poisson con
m edia 2,
p {x ) = — —
x\
2* e~2
P (X ) =
x\
p ara
x = 0 , 1 ,2 , 3„..
paro
x = 0, 1 ,2 ,3 ,...
83
n
C a p ítu lo 3 Variables aleatorias
s e calculan las p ro b a b ilid a d e s p u n tu a le s y las a c u m u la d a s p a ra x = 0 , 1; 2,..., y se o b tie n e n
los d a to s d e la ta b la 3.10.
Tabla 3.10 Cálculo de las probabilidades acumuladas para el ejemplo 3.9.
X
p( x)
Pix)
0
0.1353
0.1353
1
0.2706
0.4060
2
0.2706
0.6766
3
0.1804
0.8571
4
0.0902
0.9473
5
0.0360
0.9834
6
0.0120
0.9954
7
0.0034
0.9989
8
0.0008
0.9997
9
0.0001
0.9999
10
0.00003
0 .9 9 9 9
La regla para generar esta variable aleatoria estaría definida por:
0
si
r .e ( 0 - 0 .1 3 5 3 )
1
si
r. € ( 0 .1 3 5 3 - 0 .4 0 6 0 )
2
si
/; e (0 .4 0 6 0 - 0 .6 7 6 6 )
3
si
r¡ € ( 0 .6 7 6 6 - 0 .8 5 7 2 )
4
si
r¡G (0 .8 5 7 1 - 0 .9 4 7 3 )
5
si
r¡ € ( 0 .9 4 7 3 - 0 .9 8 3 4 )
6
si
r¡ e (0 .9 8 3 4 - 0 .9 9 5 4 )
7
si
r¡ € ( 0 .9 9 5 4 - 0 .9 9 8 9 )
8
si
r¡ e (0 .9 9 8 9 - 0 .9 9 9 7 )
9
si
r¡ e (0 .9 9 9 7 - 0 .9 9 9 9 )
Con una lista d e núm eros pseudoaleatorios r.~U(0,1) y la regla anterior es posible sim ular
la llegada de las piezas al sistem a de producción, con los resultados consignados en la
tabla 3.11.
84
_______________________________________________________________ 3.4 G eneración de variables aleatorias | 1
Tabla 3.11 Simulación de la llegada de piezas al sistema, con variables aleatorias de Poisson.
Hora
Piezas/hr
1
0.6754
2
2
0.0234
0
3
0.7892
3
4
0.5134
2
5
0.3331
1
Ejem plo 3.10
La ta b la sig u ie n te m u e stra la d em and a diaria d e cep illo s d e n tales en un su p e rm e rca ­
do. Sim ule el co m p o rtam ien to d e la d em and a m ed iante el m éto d o d e la tran sfo rm ad a
inversa.
Día
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Demanda
1
2
2
1
3
0
3
1
3
A p artir d e la inform ación histórica se calculan las probabilidades puntuales y las
acum uladas p a r a x = 0, 1, 2, 3 (vea la tabla 3.12).
Tabla 3.12 Cálculo de la probabilidades acumuladas para el ejemplo 3.10.
X
p(x)
p(x)
0
0.1111
0.1111
1
0.2222
0.3333
2
0.3333
0.6666
3
0.3333
1
La regla para generar esta variable aleatoria estaría determ inada por:
*/ =
si
(0 -0 .1 1 1 1 )
si
r, €(0.1111 - 0 .3 3 3 3 )
si
r. € (0 .3 3 3 3 -0 .6 6 6 6 )
si
r. € (0 .6 6 6 6 - 1 )
Con una lista d e núm eros pseudoaleatorios r. ~U(0,1) y la regla anterior es posible sim ular
la dem anda diaria de cepillos dentales, ta l com o se m uestra en la tabla 3.13.
85
C a p ítu lo 3 Variables aleatorias__________________________________________
Tabla 3 .1 3 Sim ulación de la dem anda de cepillos dentales.
Día
3.4.2
Demanda diaria
1
0213
1
2
0.345
2
3
0.021
0
4
0.987
3
5
0.543
2
M étodo de convolución
En algunas distribuciones de probabilidad la variab le aleatoria a sim ular, Y, puede g en e­
rarse m ediante la sum a de otras variables aleatorias X de m anera m ás rápida q ue a través
d e otros m étodos. Entonces, el m étodo de convolución se puede expresar como:
Y = X } + X2 + ...+ Xk
Las variables aleatorias d e cuatro de las distribuciones m ás conocidas (de Erlang, norm al,
binom ial y d e Poisson) pueden generase a través de este m étodo, com o se verá a conti­
nuación.
D istribución de Erlang
La variable aleatoria /c-Erlang con m edia 1/A puede producirse a p artir de la generación
d e k variab les exp o nenciales co n m ed ial /kA:
Y = X l + X 2 + .„ + X k
y = - ^ [ l n ( w 1) + ln ( l- r 2) + ...+ ln ( l- r lr)]
Y= ER' = - ¡ ¿
86
In r io - '.)
3.4 G eneración de variables aleatorias | 1
Ejem plo 3.11
El tiem p o de proceso d e cierta pieza sig ue una distribución 3-Erlang con m ed ia 1/A de 8
m inutos/pieza. Una lista de núm eros pseudoaleatorios r¡ ~U(0,1) y la ecuación de genera­
ción de núm eros Erlang perm ite obtener la tabla 3.14# que indica el co m portam iento de
la variable aleatoria.
Y= ER, = ~
3
Y
=
-
f
l n
[ ( 1
- f
In f ld - r ,)
/-I
, )
( 1
-
f , ) ( 1
-
f , ) ]
Tabla 3.14 Simulación del tiempo de proceso para el ejemplo 3.11.
Tiempo de proceso
(min/pieza)
Pieza
1 - 'i
1
0.28
052
0.64
6.328
2
0.96
0.37
0.83
3.257
3
0.04
0.12
0.03
23 5 8 8
4
0.35
0.44
050
6.837
5
0.77
0.09
0^1
1 1 .2 7 9
D istribución norm al
La variable aleatoria norm al con m ed ia /x y desviación estándar cr puede generarse
m ediante el teorema d e l lím ite central:
Y = X, + X 2 + ... + X k ~ N (kfxx, k a l )
A l sustituir X. por núm eros pseudoaleatorios rr se obtiene:
Y = r ,+ r , + ...+ rk ~ N ( k - ,k — )
2
12
V'=r1+r2 + ...+ r12 ~A/(—
)~A/(6,1)
Y = Z = (r, + r2 + ... + r12) - 6 ~ A/(0,1)
12
Z =1 (0 - 6
/-i
x - fl
N (0 ,1).
Si despejam os X, tenem o s que
12
x = AA =
X ('i)-6
(=1
87
C a p ítu lo 3 Variables aleatorias
Ejem plo 3.12
El vo lum en d e líquido de un refresco sigue una distribución norm al con m edia d e 12
o nzas y desviación estándar de 0 .4 onzas. G enere 5 variables aleatorias con esta d istrib u­
ción para sim u lar el pro ceso d e llenado.
12
N ,= 5 > « > - 6 CT+ j.1
/-i
N ,= í > , ) - 6
/-I
(0.4)+ 12
Tabla 3.15 Simulación del volumen de llenado de refrescos (ejemplo 3.12).
\folumen
(onzas)
Botella
!< * ;>
/=i
1
62 1
021
12.084
2
5.34
- 0 .6 6
11.736
3
6.03
0.03
12.012
4
6.97
0.97
12.038
5
4.81
-1 .1 9
1 1 .5 2 4
£ w
/=i
-
D istribución Binom ial
La variable aleatoria Binom ial con parám etros N y p puede ser generada a través de la
sum a de N variables aleatorias con distribución de Bernoulli con parám etro p.
Y = B¡ = BE} + BE2 + ... + BEN~ B I(N ,p )
Ejem plo 3.13
A l inspeccionar lotes de tam añ o N = 5, la probabilidad de que una pieza sea defectuosa
es 0.03. Sim ule el proceso de inspección para determ inar el núm ero de piezas d efectuo ­
sas por lote.
Este proceso sig ue una distribución Binom ial con N = 5 y p = 0.03, y será sim ulado
m ediante la generación d e variables aleatorias d e Bernoulli con p = 0.03, d e acuerdo con
el procedim iento señalado en la sección anterior, donde BE. = 0 representa una pieza en
buen estado y BE¡= 1, una pieza defectuosa. (O bserve los resultados en la tabla 3.16.)
BE¡ =
si
=(0 - 0 .9 7 )
si
(0 .9 7 -1 )
B¡ = B E : + B E 2+ ...+ BE^
88
3.4 G eneración de variables aleatorias | 1
Tabla 3.16 Simulación del sistema de inspección del ejemplo 3.13.
Lote
3.4.3
'3
*3
r4
SÉ4
r5
Piezas defectuosas
1
0.49
0
0.32
0
0.15
0
0.01
0
0.45
0
0
2
0.11
0
0.85
0
0.93
0
0.99
1
0.61
0
1
3
0.57
0
0.92
0
0.84
0
0.74
0
0.82
0
0
4
0.62
0
0.01
0
0.68
0
0.98
1
0.99
1
2
5
0.34
0
0.98
1
0.99
1
0.02
0
0.98
1
3
M étodo de com posición
E l m étodo de com posición — conocido tam b ién com o m étodo m ixto— p erm ite generar
variables aleatorias x cuando éstas provienen de una función de densidad f(x) que puede
expresarse com o la co m binació n convexa d e m distribuciones de probabilidad f.(x).
Entonces, la com binación co nvexa se puede expresar como:
/-I
donde:
xgA
x¿A
A lgunas de las distribuciones m ás conocidas que pueden expresarse com o una co m b ina­
ción convexa son: la triangular, la de Laplace y la trapezoidal. El procedim iento general de
generación es el siguiente:
1. Calcule la probabilidad de cada una de las distribuciones f.(x).
2. Asegúrese que cada función f.(x) sea función d e densidad.
3. O btenga, m ed iante el m étodo de la transform ada inversa, las expresiones para
g enerar variables aleatorias d e cada una d e las d istrib uciones fyx).
4 . G enere un núm ero pseudoaleatorio r que perm ita definir el valor de lA(x).
5. Seleccione la función generadora correspondiente a la función f,(x).
6. G enere un segundo núm ero pseudoaleatorio r .y sustitúyalo en la función g en e­
radora anterior para obtener /.
D istribución trian g u lar
A p a rtir d e la función d e densidad triangular
f(x) =
_ 2 (x-a)
fh
(b-a){c-a)
2jb-x)
a < ,x < c
c< xib
(b-a)(b-c)
89
C a p ítu lo 3 Variables aleatorias
calcule la probabilidad d e cada uno de los segm entos d e la función
í —
P (X ) =
dx
a)(c-a)
zi
2(b - x )
o
dx
Jf ífl
( b—- a ) ( b - c )
(c - Q )
(b - ú )
P (x ) =
(b - c )
a < ,x ic
c < x < ,b
(b-a)
Ya que los segm entos por separado no son funcio nes de densidad, se ajustan al dividir
entre su correspondiente p(x).
2(x-a)
f(x) =
(b-a) _ 2 {x - a )
(b-a)(c-a)(c-a)
2 (6 - x )
(c-af
(b-a) _2 (b -x )
(b-a)(b-c)(b-c)
(b - c )2
a<x<c
c<x<b
A l expresar la función com o una com binación convexa se obtiene:
m
/-i
(a-a)
/-i
2 aSxfic
(b - c )
donde
1
s/
xeA
M *) = 0
s/
xgA
Para aplicar el m étodo de la transform ada inversa, prim ero integram os a cada segm ento
de la función:
F(x) =
90
* 2 X( x- - a ) .
(x - a ) 2
C*A
r- dx = -------V o < x < c
(C
( c —.
-af
(c - a f
r » 2 (b - * b- * \ d
x
. c < x .b
(b -c)‘
(b - c )2
3.4 G eneración de variables aleatorias | 1
Luego, al desp ejar x y sustituir r.e n F{x) obtenem os:
a + (c - a )^ r,
X =
b - [ ( b - c ) ^ r ,]
Por últim o, al expresar la ecuación anterior incluyend o la función indicadora lA{x) tenem os
que:
(C -tJ)
si
a + (c - a )Jr¡
r, <
' (b - a )
x=
Ejem plo 3.14
G enere una m uestra d e 5 variables aleatorias con distribución triang ular a p a rtir d e los
parám etros: valo r m ínim o 5, m oda 10 y valor m áxim o 20.
si
o + (c - o )^
(b-a)
x=
¿ > - [ (¿ > - c ),/ l- / ;]
si
A l sustituir o = 5, c = 10 y ó = 20 obtenem os
5 +(5 )^
si
r. < —
' 15
x=
2 0 - [(1 0 )^ ]
Si
r¡> ^
A l generar una secuencia d e núm eros pseudoaleatorios se obtiene la secuencia de varia­
bles triangulares que se lista en la tabla 3.17:
Tabla 3.17 S im u la c ió n d e v a r ia b le s a le a to r ia s t r ia n g u la r e s .
x = 5 + 5yfr¡
Variable
si
r. <, 3 3
x = 20-10^1- t¡
si
r. > 0.33
r¡
'/
1
0.231
0.456
8.37
2
0.421
0.967
-
18.18
3
0.853
0.982
—
18.65
4
0.048
0.134
6.83
—
5
0.675
0536
-
13.18
—
91
C a p ítu lo 3 Variables aleatorias
3 .4 .4
M étodo de transform ación directa
Este m étodo se basa en el teorem a de Pitágoras, y se usa para generar variables aleatorias
norm ales. En la figura 3.15 se m uestra la relación entre las variables involucradas en él.
F ig u ra 3.15
Generación de variables
aleatorias z~ N [0,1).
G eom étricam ente,
z.,
'2 =hser\6
z 2 = y ] z [ + z ¡ se n e
La sum a d e v variables aleatorias norm ales están d ar sigue una distribución Chi-cuadrada
con v grados d e libertad:
La función de densidad de una variab le aleatoria Chi-cuadrada con 2 grados d e libertad
es la m ism a d e una distribución exp o nencial con m edia igual a 2. En consecuencia, a
través de la ecuación obtenida por el m étodo de la transform ada inversa para generar
variables aleatorias exponenciales, y sustituyéndola en la ecuación anterio r se obtiene:
z2=
2ln(1—ij )sen 6
Se generan valores aleatorios uniform es del áng ulo 6 entre 0 y 27r m ediante el m étodo
d e la transform ada inversa:
6 = a+(b-a)íj
0 = (2tr)ry
92
3.5 Expresiones com unes de a lg u n o s generadores de variables aleatorias |
Y al sustitu ir obtenem os
z 2 = 7 -2ln (1 - r , )sen(27t í . )
Para cualquier variable aleatoria norm al N,
cr
A l despejar A/y sustituir el valor de z previam ente desarrollado, se llega a la expresión final
para la generación de variables aleatorias norm ales:
W, = [ ( 7 = 2 Í ñ C M ) ) s e n ( 2ir/;.)]c r+ ^
Este procedim iento deb e iniciarse tam bién a través de la generación d e la variable alea­
toria z }, lo cual dará lugar a la ecuación final
Nj = [ ( N/-2 ln (1 -/;))co s(2 7 rr)
+
Cualquiera de las dos últim as ecuaciones puede utilizarse para resolver el ejem plo 3.12,
en dond e el generador d e variables aleatorias que sim ulan el vo lum en d e las botellas
sería:
N, = [ ( 7 - 2 ln(l - r, ))sen(27í/})] (0 .4 )+ 1 2
D e m anera qu e si producim os los núm eros pseudoaleatorios uniform es 0.43 y 0.75, el
volum en del líquido generado para alguna de las bo tellas sería
N¡ = [(V -2 ln (1 -0 .4 3 ))s e n (2 7 r(0 .7 5 ))](0 .4 )+ 12 = 11.575
onzas
3.5 Expresiones com unes de alg u n o s g en erad o res de variab le s
aleato rias
En la tabla 3.18 se presentan los generadores d e variables aleatorias de las distribuciones
de probabilidad m ás usuales.
93
C a p ítu lo 3 Variables aleatorias
Tabla 3.18 Generadores de variables aleatorias.
Distribución
Generador
Parám etros
o = Límite inferior de la distribución
uniforme.
Uniforme
u,
b = Límite superior de la
distribución uniforme.
U, = a+ ( b - a ) r ¡
r¡ = Número aleatorio con
distribución uniforme entre0 y 1.
Triangular
a = Límite inferior de la distribución
triangular.
o + 7 (fe -fl)(c-o )r/
T,
»
r¡ < (c _ o )
(6 - o )
c = Moda de la distribución
triangular.
b - 7 (b - o )(b - c )(1 - f,)
b = Límite superior de la
distribución triangular.
1=
s
Triangular
r > (c _ o )
' (6 - a )
a = Límite inferior de la distribución
triangular.
a + ic - a )^
T.
s
r. < (c _ o )
1 ib-a)
c = Moda de la distribución
triangular.
T,=
b = Límite superior de la
distribución triangular.
b-[(b-c)^ -r,]
t
(c-a)
si r. >------' (6 - o )
Z = Números aleatorios con
distribución normal estándar.
II
!M a
A
*
*2
n = Grados de libertad.
1/A = Valor esperado.
k = Parámetro de forma.
Erlang
ER.
Normal
J
N, = [(7-21 n(1 - r¡)) eos (27rr¡) a +/x
",
A// = [(7 -2 ln (1 -rí ))sen(27rr/)]<r+ /x
Normal
",
94
í
12
'
Ni=\ 5 > ,- 6 c j+ ^
V /=i
/x = Media de la distribución
normal
a = Desviación estándar de la
distribución normal.
fj, = Media de la distribución
normal.
a = Desviación estándar de la
distribución normal.
3.5 Expresiones com unes de a lg u n o s generadores de variables aleatorias |
Exponencial
f,= - i|n ( 1 - r ,)
f,
Weibull
1/A=Media de la distribución
exponencial.
=Parámetro de escala.
a =Parámetro de forma.
/3
w,
W,=y +f3!¡l-\n{\-rl)
y = Parámetro de localización.
/A=Valor esperado.
k=Parámetro de forma.
Gamma
6
1
,
Lognormal
LN,
LN,=eN'
donde:
fj, =Valor esperado.
a2 =Varianza.
W í®r 15VÍInfligir i In ^
' U,' ) { {
Js+a*
Bernoulli
BE,
ÍO
' |1
si
s>
r,e(0,1 -p)
r,e(1 -p,1)
B,
B, =t BE,
;=«
p,
1 - p = Probabilidad de ocurrencia
del evento x - 0 .
BEj = Números aleatorios con
distribución de Bernoulli.
Binomial
Poisson
p =Probabilidad de ocurrencia
del evento x = 1.
Inicialización.
Hacer A/ = 0 ,T = 1 y generar u n
aleatorio r(.
N = Número del evento máximo
de la distribución binomial.
p = Probabilidad de éxito de la
distribución binomial que se
involucra al generar los Bernoulli.
A = Media de la distribución de
Poisson.
N = Contador.
T = Contador.
Paso 1. Calcular T = (7)(r.)
Paso 2. Si la T > e~x, entonces hacer
N = N + ‘\ , T = T ' I calcular otro ri y
regresar al paso 1.
Si T < e~x, entonces la variable
generada esta dada por: P. = N.
Para generar la siguiente variable
de Poisson, regresara la fase de
inicialización.
95
n
C a p ítu lo 3 Variables aleatorias
3 .6 Problem as
1. U tilice la prueba Chi-cuadrada para determ inar, con un nivel de confianza de 90% ,
qué tip o de distribución siguen los datos.
17.392
ano
4.0 7 8
3.151
3.528
2.440
5.9 2 4
3.461
2.052
10.369
3.690
10.870
4.793
2.4 9 8
0.569
8.281
0 .1 5 4
5.959
3.384
12.877
13.602
5.244
16.677
5.977
4.313
4.767
2.381
6.443
1.392
1.578
8.115
4.891
6.720
7.7 2 8
2717
10.451
5.901
0.8 1 8
7.088
2.637
4.714
3.032
1.495
15.733
7.7 6 8
2.333
7.822
3.708
6.412
1.290
3.957
5 .2 8 5
7.094
3.078
1.264
2.630
10.177
2.155
2.945
7.552
11.094
4 .7 7 2
7281
14.344
19.867
0.119
2.072
1.486
3.791
4 .2 1 4
1.611
1.781
1.530
3.280
4.301
0.202
7.489
1.422
1.453
0.0 2 2
6.001
9.269
8.477
3.043
0.8 7 7
6.9 6 6
2.103
1.816
0.433
2.5 4 7
0.843
1.182
8.121
2.007
1.395
4.661
7.378
5.300
17.066
12.171
2. A p artir de la prueba Chi-cuadrada determ ine, con un nivel d e confianza de 90% , qué
tip o d e distribución siguen los datos.
18.799
14.889
20.977
25.106
24.793
26.933
11.266
19.063
24.380
15.653
17.239
13.238
12.612
16.089
16.906
11.528
17.728
ia 3 8 4
20.539
18.538
18.692
18.519
25.371
19.659
19.255
17.947
27.889
23.463
29.503
17.380
26.646
13.550
2 2 .1 5 6
23.609
27.676
19.662
17.905
22.701
18.475
23.030
14.223
16.611
13.914
18.548
19.870
20.112
18.709
28.778
13.030
17.054
9.690
25.791
14.881
17.386
23.031
21.867
23.498
22.383
14.513
15.537
22.776
21.291
16.241
19.036
20.526
22.231
20.555
16.356
27.539
21.949
20.289
23.319
23.448
17.454
16.307
24.445
15.195
13.764
22.845
2 2 .5 5 4
28.823
25.775
25.216
20.452
2 0 .0 0 8
21.815
19.898
15.781
12.901
3.313
21.777
22.472
20.854
15.892
24.953
18.755
16.640
16.715
18.284
18.187
3. D eterm ine, con un nivel de confianza de 90% , qué tip o d e distribución siguen los
datos.
96
12.656
11.664
11.855
11.399
11.845
9.766
11.866
10.671
12.157
12.503
13.317
11.381
11.252
12.146
11.769
11.792
13.577
12038
11.854
13.830
11.369
13.271
11.985
11.936
13.610
12363
12.437
11.765
12.683
11.931
11.264
10.902
12204
11.019
13.940
11.873
10.412
11.665
12957
11.617
11.346
10.634
12316
11.836
12.571
11.363
11.654
12.286
11.669
12.212
9.526
11.931
12247
14.116
10.475
10.441
9.695
13.172
14.374
11.610
10.999
12.548
12659
11.148
12.809
12.660
11.793
10.452
13.013
12.763
11.650
11.309
12.863
12.347
12.556
14.086
12.273
10.893
12.480
10.771
12.566
11.843
12.299
12357
12.131
11.728
10.653
14.121
13598
13.049
10.522
10.883
12.533
12.074
11.991
12.161
10.118
11.743
11.062
11.002
3.6 Problem as |
4. Em plee la prueba Chi-cuadrada para determ inar, con un nivel d e confianza de 95% ,
qué tip o d e distribución siguen los datos. C om pruebe con la herram ienta Stat::Fit de
ProModel.
1.679
1.187
0.2 3 4
1.780
1.458
2.6 2 8
0 .5 0 4
0.951
1.383
0 .4 8 6
0.561
0 .4 9 4
4.923
0.6 3 5
0.5 0 4
2.606
0.3 8 2
1.380
2.700
0 .4 6 8
2771
3.141
1.019
2.5 1 6
1.182
2.258
0.161
8.055
0.4 6 4
2.312
2.327
0.761
1.876
1.506
2.451
0.831
5.715
0.699
1.450
3.582
0.684
3.192
1.427
0.5 1 8
2.1 9 8
0.922
1.597
2.660
2.933
4 .5 1 8
5. D eterm ine, con un nivel de confianza de 95% , qué tip o de distribución siguen los
datos; em p lee la prueba Chi-Cuadrada.
12.561
2.695
12.082
10.335
13.260
2.549
4 .5 9 4
2500
24.930
7.805
& 322
7.422
11.143
20.599
7508
4.367
1544
3.706
8.185
14.405
4.057
15584
9.049
6.265
10.663
10.257
11.475
4.6 8 8
16.256
4 .6 8 8
11.963
5.599
19.204
1.784
25.998
12.299
10.317
3.779
18.993
7.419
15.154
9.579
8.423
6 .9 3 4
2005
13.234
5542
5271
12.831
8.231
15.330
7 .9 5 8
7.103
16.134
0.189
10.165
14.624
15.696
10.212
0.891
3.186
9.051
11.118
4.449
17.901
15.497
6.6 4 5
5.078
11555
3.7 2 4
21.500
7.160
13.528
3.372
15.334
7.603
31.066
1.992
21.127
10.784
3.643
27.334
3.178
1.313
10.962
6.9 3 6
3.140
16.877
19.171
6.6 2 0
3.775
16.675
1.368
17.583
1.669
11.157
16.432
2.831
7.844
10.745
6. D eterm ine, con un nivel de confianza de 90% , qué tip o d e distribución siguen los
datos; em p lee la prueba de Kolm ogorov-Sm irnov. C om pruebe con la herram ienta
Stat::Fit d e ProModel.
16.032
24.076
16.463
21.151
14.817
14.702
27.014
12.165
16.597
2 1 .4 0 4
18.825
19.364
18515
14.240
24.154
19.916
16.238
20.795
25.924
18.874
17.532
16.713
16.677
18.739
14.206
19.501
18590
18587
19.929
2 5 .3 5 4
12.858
16.452
17.487
22.658
22.240
17.471
16.537
23.960
14.417
18.338
28.501
16.939
17.926
24.477
17.673
22422
13.373
21.971
20.549
24.509
7. Em plee la prueba Chi-cuadrada para determ inar, con un nivel d e confianza de 90% ,
qué tip o d e distribución siguen los datos. C om pruebe con la herram ienta Stat::Fit de
ProModel.
0 .9 0 4
0 .5 9 8
0.081
2.7 5 6
0.151
1.662
0.2 2 3
0.531
1.229
0.3 4 7
1.228
0.235
2.060
1.182
0.280
7.860
0 .6 6 4
2.898
2.815
0.121
2.294
2.087
1.424
1.525
0.7 5 4
7.145
0 .7 5 4
1.962
1.613
0.0 0 3
1.337
3.399
1.639
3591
2393
0.412
3.2 5 8
0.2 5 6
1.419
0 .1 5 6
2775
0 .3 5 5
0.0 4 6
1.243
0 .7 7 6
0.585
0.6 6 7
0.123
1.202
6.9 8 5
97
C a p ítu lo 3 Variables aleatorias
8. D eterm ine, co n un nivel d e confianza d e 90%, q u é tip o d e distribución siguen los
d a to s m e d ia n te la p r u e b a d e Kolmogorov-Smirnov. C o m p ru e b e con Stat::Fit.
4.548
3.136
5.366
1.979
6.097
3.823
5.520
4.203
4.972
8.4 2 9
3.242
4.705
5.919
5.530
6.891
5.997
6.6 4 0
6.3 7 6
6.860
5.991
6.303
6 .4 7 6
8.503
3.863
1.738
2.913
5.171
6.8 5 6
5.665
3.3 9 6
5.225
5 .9 6 6
4.743
7.2 2 8
6.030
6.1 8 4
7.600
5.716
5.781
4.4 6 5
5.307
8 .5 4 6
6.093
4.720
5.771
4.521
3.715
5.368
1.871
1.629
9. A p artir de la prueba Chi-cuadrada determ ine, con un nivel de confianza de 90% , qué
tip o d e distribución siguen los datos. C om pruebe con Stat:Fit
6 .5 3 6
8.441
3.822
6 .1 7 6
5.059
5.325
6 .4 7 6
4.229
5.619
4.0 6 2
4.769
4 .4 8 4
2.938
6.4 5 9
3.083
6.199
2.590
7.407
7.001
8.501
3.154
3 .5 4 6
6.3 1 6
4 .3 6 4
8.986
4.195
2.952
3.590
7.356
6.2 6 9
5.427
3.431
6.532
6.101
2 .6 2 5
4.463
7.900
3.715
4.881
7.410
3.404
5.769
2.917
6.739
7.049
5.743
5.4 4 8
3.958
6.632
7.0 3 6
10. U tilice la prueba d e Anderson-Darling para determ inar, con un nivel de confianza de
90%, qu é tip o de distribución siguen los datos. C om pruebe con Stat::Fit.
1.018
0.283
1.672
-0 .2 8 9
-1 .3 4 3
-0 .4 1 8
1.317
0.249
0.9 3 7
-0 .6 7 0
-1 .3 2 2
- 0 .2 9 6
-1 .6 3 8
1.970
-0 5 4 1
1.567
-1 .7 1 7
0.1 2 5
-0 .6 0 8
1.027
2.295
-Q 9 5 2
0.431
2.210
-0 4 7 7
0.9 1 3
-0 .6 9 7
-0 .1 4 5
-1 .0 8 8
0.1 3 7
- 1 .1 0 8
-0.281
0.5 6 4
0.6 8 3
-0 6 9 1
0.0 1 0
-0 .4 2 9
-1 .4 2 0
-0 .0 7 0
1.517
0.095
- 0 .1 0 4
1.240
- 0 .3 5 4
-1 .5 2 5
1.077
0.2 0 0
-0 .9 5 9
- 0 .1 4 4
-1 .1 6 9
11. D eterm ine, con un nivel de confianza de 90% , qué tip o de distribución siguen los
datos; utilice la prueba d e Kolm ogorov-Sm irnov.
98
7.982
40.122
5.862
21.920
7.902
10.824
22.258
13.343
11.045
23.603
18.951
12.348
8.725
11.536
10.187
11.442
13.396
13.070
13.668
7.9 5 4
6.361
6.405
34.450
24.956
5.442
12.996
5.073
13.620
11.020
11.729
3.382
14.387
10.037
5.481
2.969
7.503
4.159
23.466
5.219
11.713
37.134
21.099
9.021
6.0 8 0
9.053
5.178
18.700
9.056
6.647
5.767
17.684
8 .8 1 4
22.939
2.491
10.123
3.244
9.433
11.774
3.271
10.390
6.839
7.073
10.708
25.237
7368
1.152
8.059
26.399
29.285
22.350
3.274
7.325
10.046
9.888
13.798
15.255
20.507
11.147
19.691
7.711
22.836
11.811
14.650
2.8 9 8
20.041
10.228
9.553
19.870
8.520
26.182
12.427
14.432
24.699
6.848
7.197
12156
1.674
8.582
16.293
16.126
3.6 Problem as |
12. A p a rtir de la prueba Chi-cuadrada, determ ine con un nivel de confianza de 90% qué
tip o d e distribución siguen los datos.
5.091
11.319
3.274
3.366
12.233
5.725
9.1 8 6
8.232
6.545
6.481
6.752
10.640
7.242
2.9 1 0
8.391
2.2 8 8
4.5 8 2
6.1 1 4
9.965
10.643
11.584
13.333
10.081
11.892
14.542
9.851
11.088
6.301
5.350
3.465
9.595
13.784
4.867
3.171
7.782
5.682
9.587
12.519
9.964
1.298
7.556
8.120
6.451
10.263
5.367
3.059
6.341
3.613
3.068
7.291
4.179
10.035
5.599
5.582
4 .8 3 6
8.663
6.9 7 5
8.441
2.064
5.147
13.470
1.512
11.317
9.799
7.825
9.464
7.799
6.929
8.915
8.0 0 7
9.710
5.259
8.086
4.141
2.972
14.575
2.2 4 8
6.565
13.418
5.2 3 8
14.135
5.937
2954
9.264
14.970
6.742
5.551
5.313
6.3 4 8
5.723
12.436
8 .1 5 3
5.418
4.0 2 8
6.5 1 5
9.474
6.817
10.190
4.961
13.263
13. D eterm ine, con un nivel de confianza de 90% , qué tip o de distribución siguen los
datos; utilice la prueba d e Kolm ogorov-Sm irnov.
1.338
0.530
0.580
0.1 0 2
0.285
0.725
5.567
6.773
0.101
5.549
1.198
0.049
0.2 9 4
3.661
3.072
5.193
0.3 2 9
2.721
0.9 8 8
0 .7 1 6
1.852
1.426
1.586
0 .6 6 4
6.032
0.093
3.8 5 6
1.779
1.729
1.456
3.050
4 .6 8 8
4.117
2.350
2.954
0.883
1.790
3.847
2.659
3.622
1.003
0 .4 6 0
1.645
2.342
3.983
1.517
0.6 9 5
3.564
0.573
0 .2 0 4
0.286
1.581
0.395
3.986
2.4 1 6
0.577
0.6 1 7
1.494
0.4 6 8
1.037
2.283
0 .7 7 4
0.483
0.852
4.3 4 2
0.0 6 4
0.299
0 .2 1 4
3.294
0.3 4 5
0.388
0 .4 2 9
2156
4.2 7 6
0.371
4.520
0.408
0.1 1 3
0.240
2.923
0.095
2.267
1.355
2.859
0.7 9 9
4.7 1 8
8.664
0.3 3 9
1.892
1.262
0.265
2.032
7.487
2.852
0.0 4 0
1.860
0.7 1 6
3.551
0.493
0.2 6 9
14. D eterm ine, con un nivel de confianza de 95% , qué tip o de distribución siguen los
datos; em p lee la prueba de Kolm ogorov-Sm irnov. C o m p ru eb e con Stat::Fit.
20.931
18562
26.714
25.275
24.580
22.090
19.608
15.447
29.631
28.821
28.013
26.693
29.751
22.189
20.807
27.339
22556
24.069
15.724
2 1 .6 1 4
2S.570
18.746
16.818
29.122
27.190
26.915
26.844
19.573
26.853
17.053
22.518
18.883
26.128
24.007
28.127
25.213
19.964
27.141
2 5 .4 5 8
26.060
29.791
17.890
15515
24.985
17.717
19.063
2 9 .9 8 6
24.074
23.517
20.733
99
C a p ítu lo 3 Variables aleatorias
15. D eterm ine, co n un nivel d e confianza d e 90%, q u é tip o d e distribución siguen los
d a to s m e d ia n te la p r u e b a d e Anderson-Darling. C o m p r u e b e co n Stat::Fit.
7.717
7.971
5.261
5.9 9 4
7.215
6.100
6 .8 7 6
7514
6.409
6.6 7 9
6.377
6.155
7.512
7.9 3 6
7.960
6.157
5.7 9 6
7.579
6.450
6.7 1 9
6.150
5.983
5.091
7.492
6.9 7 4
5.386
6.3 4 7
5.053
5.129
5.922
6.174
5.962
5.153
6 .8 3 8
5.741
5.478
5.471
7.745
5.057
5.5 4 8
7.814
6 .2 3 8
7.484
6.150
7.561
7.734
5.595
7.587
5.235
7.872
16. U tilice la prueba Chi-cuadrada para determ inar, con un nivel de confianza de 95% ,
qué tip o de distribución siguen los datos. C om pruebe con Stat::Fit.
71.680
81.149
97.491
68.180
95.076
63.185
75.425
80.150
68.181
9 7 .8 4 4
85.478
91.051
95.882
95.804
62.614
92.978
97.926
69.716
70.205
7 3 .8 6 4
89.360
97.891
83.945
60.747
75.734
8 3 .7 0 4
93.645
84.366
64.310
8 6 .9 5 0
95.181
91.325
72.550
63.391
96.829
90.108
75.107
68.775
92.229
7 7 .1 4 8
90.591
83.537
91.262
69.235
69.346
74.473
80.042
68.510
63.499
89.607
17. D eterm ine, con un nivel de confianza de 90% , qué tip o de distribución siguen los
datos m ediante la prueba Chi-Cuadrada. C om pruebe con Stat::Fit.
Z076
3.724
5.187
3.775
1.443
4.0 9 8
2.919
4.043
1.677
3.501
3.137
1.806
4.9 6 8
2.370
3.009
3.964
4.0 5 7
4.035
2.499
3.200
3.983
4 .1 0 2
4.5 7 4
5.331
3.309
3.351
3.722
6.430
3.587
5.0 0 6
1.556
4 .9 9 3
4.3 2 8
2.749
4.3 7 4
3.018
4 .6 0 6
2.682
4.870
2.7 2 7
3.899
5 .8 2 8
1.874
1.316
3.361
2.639
2.2 4 6
4.463
4.1 6 4
6.351
18. D eterm ine, con un nivel de confianza de 90% , qué tip o de distribución siguen los
datos. Em p le e la prueba Chi-cuadrada y com pruebe con Stat::Fit.
Z076
3.724
5.187
3.775
1.443
4.0 9 8
2.919
4.043
1.677
3.501
3.137
1.806
4.9 6 8
2.370
3.009
3.964
4.0 5 7
4.035
2.499
3.200
3.983
4 .1 0 2
4.5 7 4
5.331
3.309
3.351
3.722
6.430
3.587
5.0 0 6
1.556
4 .9 9 3
4.3 2 8
2.749
4.3 7 4
3.018
4 .6 0 6
2.682
4.870
2.7 2 7
3.899
5 .8 2 8
1.874
1.316
3.361
2.639
2.2 4 6
4.463
4.1 6 4
6.351
19. D eterm ine, con un nivel de confianza de 90% , qué tip o de distribución siguen los
datos; utilice la prueba d e Anderson-Darling. C om pruebe con Stat::Fit.
10 0
191.088
178.781
199.534
191.382
173.618
193.244
185.665
192.927
175.524
189.795
176.583
187.396
198.267
181.183
186.406
19Z473
193.006
192.881
18Z241
187.850
193.267
192.581
195.991
200.364
188.597
188.870
191.077
206.708
190.292
198.489
198.414
174.540
194.575
184.283
194.842
186.476
196.176
183.730
197.700
184.097
203.231
192.099
177.140
17 Z 5 8 2
188.939
183.386
180.174
195.355
193.626
206.255
3.6 Problem as |
20. D eterm ine, con un nivel de confianza de 90% , qué tip o de distribución siguen los
datos. Em p le e la prueba Chi-cuadrada y com pruebe con Stat::Fit.
17.264
18.129
15.235
15.281
16.162
18.089
14.601
12.091
17516
12.258
14.938
17223
19.787
13.435
16.082
13.025
18.482
19.439
15.032
10.816
16.751
16.805
ia 5 8 0
15.663
13.163
16.930
18.475
18.064
16.390
15.989
14.257
14.772
17.520
15.959
17.579
18.917
18.737
13.028
13.534
14.233
16.651
17.175
17.510
14.658
15.845
17552
18.398
10.877
13.538
13.217
21. U tilice la prueba d e Kolm ogorov-Sm irnov para determ inar, con un nivel d e confianza
de 90% , qué tip o de distribución siguen los datos. C om pruebe con Stat::Fit.
2865
4.419
3.681
6502
1.141
2.773
2.299
4.589
7.142
1.783
2336
2201
1.186
3.610
0.753
2.653
3.5 7 4
3.588
3.128
3.100
3.420
1.123
3.264
2.219
1.962
2.915
4.2 8 2
4.835
3.057
1.000
1242
3.725
4.317
1.694
3.286
3.698
3.2 0 8
1.628
3.704
1.020
3.117
1.283
3.821
0.943
1.713
4.715
1.740
2.769
2.877
3.9 5 6
22. D eterm ine, co n un nivel de confianza de 90% , qué tip o de distribución siguen los
datos. U tilice la prueba de Kolm ogorov-Sm irnov y com pruebe con Stat::Fit.
82.842
208.481
261.858
54.809
989.300
64.625
334.560
53.719
75.188
5 9 .4 4 4
44.148
102.905
185.161
32.573
1231.860
1176.460
175.667
53.632
105.450
125.164
647.174
183.747
113.870
78.092
64.731
332.889
139.595
153.120
57.566
83.781
114.911
431 .1 3 8
274.864
877.946
85.668
222.815
47.822
114.754
416.533
337.344
169.609
251.844
210.369
106.671
56.651
98.984
168.127
476.397
86.082
215.320
23. A p artir d e la prueba de Kolm ogorov-Sm irnov, determ ine con un nivel d e confianza
de 90% qu é tip o d e distribución siguen los datos. C om pruebe con Stat::Fit.
0 .4 8 8
0 .1 1 6
0.731
0 .0 9 4
0.6 8 4
0.093
0 .3 6 8
0.090
0.761
0.4 2 0
0.995
0 .9 0 8
0.183
0 .1 4 6
0.633
0.567
0 .0 5 8
0.507
0.780
0.1 3 9
0.088
0 .3 8 2
0.707
0.4 1 3
0.581
0.2 5 4
0.4 4 0
0.447
0.251
0.8 7 0
0.149
0 .4 2 7
0.743
0 .4 3 4
0.260
0.7 3 8
0.3 0 0
0.302
0.3 1 4
0.4 2 3
0.731
0 .3 1 3
0.9 0 8
0.845
0.9 3 7
0.607
0.0 2 5
0.302
0.6 0 8
0 .0 7 8
101
C a p ítu lo 3 Variables aleatorias
24. D eterm ine, con un nivel de confianza de 90% , si la variable aleatoria representada
por la siguiente tabla de frecuencia sigue una distribución exponencial con media 1.
Intervalo
Frecuencia
0-1
29
1-2
18
2-3
18
3-4
12
4-5
8
5-6
3
6-7
2
7-8
5
8-9
3
9-10
0
10-oo
2
25. D eterm ine, con un nivel de confianza de 90% , qué tip o de distribución siguen los
datos, a) Em p le e la prueba d e Anderson-Darling, b)e m p le e la prueba Chi-cuadrada.
10 2
Intervalo
Frecuencia
-00-12
3
12.0-12.5
4
12.5-13.0
3
13.0-13.5
6
13.5-14.0
8
14.0-14.5
15
14.5-15.0
12
15.0-155
13
15.5-16.0
7
16.0-16.5
16
16.5-17.0
7
17.0-oo
6
3.6 Problem as |
26. D eterm ine, con un nivel de confianza de 95% , qué tip o de distribución siguen los
datos. U tilice la prueba Chi-cuadrada.
Histograma
Frecuencia
16
15
14-
13
12-
11
11
10 -
10
8
8
8
64
2- 0
0
o
1/1
7
r—
irt
T—
CM
m
T—
1
óin
fO
m
T—
<Ñ
in
1/1
vo
m
T—
cb
1/1
rv
co
1/1
1/1
1/1
1/1
T—
Jl
v6
T—
rv
1/1
1/1
1/1
1/1
T—
r—
o<
m
r—
cb
IT)
m
*”
Intervalos
27. D eterm ine, con un nivel de confianza de 90% , qué tip o de distribución siguen los
datos; em p lee la prueba Chi-cuadrada.
Histograma
Frecuencia
60 - r
57
50
40
47
39
30
23
16
20 --
10 40
<N
(N
VO
4
co
vó
o
O
fN
^
VO
1
0
= H --O
fN
ÍN fN
CO O
Intervalos
103
C a p ítu lo 3 Variables aleatorias
28. Utilice la p r u e b a C hi-cuadrada p a ra d e te rm in a r co n un nivel d e confianza d e 95%
q u é tip o d e distribución sig u en los datos.
4
5
3
5
5
4
3
2
4
3
4
6
4
3
5
2
2
3
3
4
4
4
3
3
3
2
2
3
2
3
3
4
5
2
3
4
3
3
5
3
2
5
3
4
4
1
4
5
4
5
7
2
4
4
2
4
1
5
4
4
5
5
5
2
4
4
5
4
4
1
6
4
6
6
2
4
4
2
2
2
3
3
2
5
3
5
1
3
2
4
1
2
5
2
3
1
5
3
2
5
29. D eterm ine, co n un nivel de confianza de 90% , qué tip o de distribución siguen los
datos. Use la prueba d e Kolm ogorov-Sm irnov.
1
0
0
1
0
0
1
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
1
1
1
0
1
2
1
1
1
0
0
0
1
0
1
2
0
0
1
1
0
1
0
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30. D eterm ine, con un nivel de confianza de 90% , qué tip o de distribución siguen los
datos; use la prueba Chi-cuadrada y com pruebe con Stat::Fit.
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3.6 Problem as |
31. D eterm ine, con un nivel de confianza de 90% , qué tip o de distribución siguen los
datos. C om pruebe con la herram ienta Stat::Fit.
10
9
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32. A p a rtir de la prueba Chi-cuadrada, determ ine con un nivel de confianza de 90% qué
tip o d e distribución siguen los datos.
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33. D eterm ine, con un nivel de confianza de 90% , qué tip o de distribución siguen los
datos; em p lee la prueba Chi-cuadrada.
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105
n
C a p ítu lo 3 Variables aleatorias
34. D eterm ine, co n un nivel d e confianza d e 95%, q u é tip o d e distribución siguen los
datos; e m p le e la p r u e b a Chi-cuadrada.
35. U tilice la prueba Chi-cuadrada para determ inar, con un nivel de confianza de 95% ,
qué tip o de distribución siguen los datos. C om pruebe con Stat::Fit.
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36. D eterm ine, co n un nivel de confianza de 90% , qué tip o de distribución siguen los
datos. U tilice la prueba de Kolm ogorov-Sm irnov y com pruebe con Stat::Fit.
37. D eterm ine, co n un nivel de confianza de 95% , qué tip o de distribución siguen los
datos; em p lee la prueba Chi-cuadrada y co m p rueb e con Stat::Fit.
10 6
X
Frecuencia
0
11
1
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2
31
3
14
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5-oo
6
3.6 Problem as |
38. D eterm ine, con un nivel de confianza de 90% , qué tip o de distribución siguen los
datos; use la prueba Chi-cuadrada.
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0
0
39. Em plee la prueba Chi-cuadrada para determ inar, con un nivel d e confianza de 90% ,
qué tip o de distribución siguen los datos.
X
Frecuencia
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14-03
6
107
n
C a p ítu lo 3 Variables aleatorias
40. D eterm ine, con un nivel d e confianza de 90% , si los datos se distribuyen de acuerdo
con una distribución binom ial con N = 10 y p = 0.5.
41. D eterm ine, con un nivel d e confianza de 90% , si los datos se distribuyen de acuerdo
con una distribución uniform e discreta (1-6).
Frecuencia
Histograma
42. Genere, m ediante el m étodo de la transform ada inversa, 100 núm eros aleatorios para
las siguientes distribuciones de probabilidad.
x -1
01 " “
' i d
,
1 i A*
k) p (x ) = - - I
2
10 8
para
x = 1,2,3,-.
para
x = 0 , 1,2,3,...
3.6 Problem as |
C) p ( y ) = 2020o°X
P afa
x = 0' 1' 2' 3 ' 4
d) P (x ) = 185()4 X
para
x = 0 /1 2 ,3 ,4
3x + 8
e) p (x ) = 10Q
para
x = 2 ,3 ,4 ,5 ,6
f> p { x ) = ^
x
9
para
x = 6 ,7 ,8 ,9 ,1 0 ,1 1
p(1 —p)*"1
p w = 1 - (1 - p )"
Para
x= 1'2
n
43. O btenga, con el m étodo de la transform ada inversa, la expresión m atem ática para
generar variables aleatorias que sigan las funcio nes d e densidad indicadas.
x 4- para
a) f ( x ) = - e 10
b ) f ( x ) = 3 6 x V 2,‘
c ) f ( x ) = 4 x 3e - x'
x> 0
para
para
x¿0
x >0
44. En los siguientes incisos genere variables aleatorias co n densidad f(x) m ediante los
núm eros aleatorios 0 .1 2 3 ,0 .7 6 5 ,0 .8 9 3 , 0.563,0.642, 0 .2 2 5 ,0 .3 3 4 ,0 .0 7 6 , 0.984 y 0.445.
Use el m étodo de la transform ada inversa.
a) f ( x ) =
3 /4
0< x< 1
1 /4
1 < x <2
y ^ (x —7)
7< x< 10
— (15 —x )
20
10< x< 15
^ (x - 8 )
8< x< 11
b) f ( x ) =
c )
f ( x
)
=
8
6
d) f ( x ) =
11< x < 1 2
8 < x < 10
10< x< 14
12
1
14< x < 1 5
109
n
C a p ítu lo 3 Variables aleatorias
45. Obtenga las funcio nes generadoras m ed iante el m étodo de com posición d e las
siguientes fu n cio n es d e densidad:
O) f { x ) =
3 /4
0 < x< 1
1 /4
1< x< 2
1
— (x - 7 )
7SÍ x < 1 0
b) f[x ) =
3
f{x) =
— (1 5 - x )
20
10 S x <15
^ (x - 8 )
8< x< 11
5
11< x <12
8
1
2< x < 4
6
d) f(x ) = -
4 < x <5
3
5 < x< 9
12
1
-e
2
e) f ( x ) =
1
-e
2
< x< 0
- X
0< X<oo
46. Genere 100 variables aleatorias para las siguientes distribuciones de probabilidad;
utilice el m étodo d e la transform ada inversa.
° ) ^(x) = —
b) ^(x ) = ”
0 < x < 4+ ^ 152
P ara
4 < x <10
1
c) f ( x ) = —
para
2< x< 7
d) f ( x ) = —
para
0< x< 2
x2
e) f { x ) = —
4
para
1 < x < l1 3
o
11 0
r™ -
72
par a
f ( x ) - ( x - 14)
para
14< x< 34
3.6 Problem as |
47. Genere 50 variables aleatorias para las siguientes distribuciones de probabilidad;
em plee el m étodo de la transform ada inversa.
a) f ( x ) = —— 4
para
1< x< 1 + \ 8
b) f ( x ) = 6
para
7 :£ x < 1 3
c) f ( x ) = ~ x
para
^<,x<^I7^3
d) f ( x ) = - ^ x 1
para
2 < ,x< ,l¡& 9
e) f ( x ) = - 1 - x 2
0.8
para
0< x< V ¿4
48. Obtenga las expresiones para generar variab les aleatorias con la distribución de pro­
babilidad:
a) f ( x ) = — ( x + 1)2
28
para
-2 ¿xi2
b) f ( x ) = ^ ( x - 9)
para
9< x< 12
c) f ( x ) = ~ ( 8 - x )
para
5^ x< 8
d) f ( x ) = - ( 1 5 - x )
8
para
115x< 15
49. D eterm ine los valores de X para los núm eros aleatorios 0 .0 2 3 4 ,0 .2 4 5 6 ,0 .7 8 6 7 ,0 .4 2 6 ,
0.9845, 0.124, 0.8 62,0.555, 0.3345 y 0.6735, puesto q u e X s o n variables aleatorias con
las siguientes distribuciones de probabilidad.
1 -a)f(x) = - e s
para
x> 0
1
b) f { x ) = - { x 6
—
)e 6
para
x>
50. M ediante cualquier hoja de cálculo, genere 50 variables aleatorias.
a) D istribuidas d e m anera exp o nencial con A = 5.
b) D istribuidas de form a no rm al con m edia 50 y varianza 36.
c) D istribuidas de m anera uniform e con lím ite inferior igual a 20 y lím ite superior
igual a 100.
111
n
C a p ítu lo 3 Variables aleatorias
d) D istribuidas trian guiar m en te co n lím ite inferior = 5, valor m ás p ro b ab le = 15 y
lím ite superior = 25.
é) Con distribución bino m ial y parám etros N = 5, p = 0.3, q = 0.7.
f) Con distribución d e Poisson, con A = 3.
g) Con distribución w eib u ll con parám etro de localización 100, escala 30 y form a 4
h) Con distribución erlang con p arám etro d e form a 4 y m edia 20.
Com pruebe con Stat::Fit si las variables aleatorias generadas siguen la d istrib u­
ción d e probabilidad que se esperaría d e ellas.
51. M ediante una hoja d e cálculo, genere 200 variables aleatorias distribuidas no rm al­
m ente con m edia 30 y varianza 25. U se la fórm ula x = 5z + 30 donde el valor d e z
representa una variable aleatoria con distribución no rm al estándar obtenida a p artir
de la función = NORMSINV(RAND())
52. M ediante cualquier hoja d e cálculo, genere 50 variables aleatorias distribuidas de
m anera triangular con lím ite inferior = 12, valor m ás pro bable = 18 y lím ite superior
= 25, use:
a) El m étodo de la transform ada inversa.
b) El m étodo de com posición.
Referencias
[1] Azarang, M. y García, E. (1996). Simulación y Análisis de Modelos Estocásticos (1a ed.): McGraw
Hill.
[2] BanksJ., Carson, J.S., Nelson, B.L., y Nicol, D.M. (2005). Discrete-EventSystem Simulation (4,h ed.):
Prentice Hall NJ.
[3] Law, A.M. y Kelton, W.D.(2000). Simulation Modeling andAnalysis (3*. ed.): McGraw Hill.
11 2
Sim ulación de variab les
aleatorias
4.1
Verificación y validación de los m odelos d e sim ulación
4.2
Sim ulaciones no term inales o d e estado estable
4.3
M odelos d e sim ulación
4.4
Selección d e leng uajes d e sim ulación
4.5
Caso de estudio 1
4.6
Caso de estudio 2
4.7
Problem as
n
C a p ítu lo 4 S im ulación de variables aleatorias
4.1 Verificación y valid ació n de los m odelos d e sim ulación
G racias al avance tecnológico, en la actualidad existen en el m ercado aplicacio nes con
interfaces gráficas tan poderosas que perm iten a m uchos usuarios con inclinaciones té c ­
nicas desarrollar m odelos en el área de la sim ulación. Por desgracia, en general, dichos
usuarios, aunque aprenden a usar el lenguaje relacionado y m anejan algunos d e los con­
ceptos básicos, ponen m u y poca atención al análisis correcto d e los resultados. Así,
m uchos estudios son interpretados de m anera errónea y es m u y pro bable que co nd uz­
can, en consecuencia, a m alas decisiones.
El fenó m eno que acabam os d e describir ocurre por razones com o éstas: e n prim er
lugar, el falso sentido de seguridad que desarrolla el usuario por el sim ple hecho d e cono­
cer el lenguaje utilizado en el área; la facilidad de uso del softw are de sim ulación actual y
su capacidad para desarrollar gráficos y anim aciones y, sobre todo, la dificultad im plícita
en el análisis estadístico d e la inform ación. Es m u y com ún encontrar personas que des­
pués d e sim ular un sistem a estocástico aseguran de m anera bastante ingenua que el
resultado de la variab le d e respuesta es un valor único — por ejem plo, que el núm ero de
p iezas que se acum ulan ante una m áq uina es tan sólo el prom edio d e la variab le— , y
dejan d e lado un co m pleto análisis estadístico de dicha variab le. Para evitar que el lector
se convierta en uno d e esos usuarios, aq u í se discutirán los aspectos m ínim o s que deben
cuid arse en el análisis d e las variables de salida.
Para em pezar, debem os distinguir dos categorías entre los m odelos de sim ulación:
m odelos de categoría term in al y m odelos no term inales o de estado estable. A co ntinua­
ción se explica esta clasificación con m ás detalle.
4.1.1
Sim ulaciones term inales
Los m odelos d e tip o term in al tienen com o característica principal la ocurrencia de un
evento que da por term inada la sim ulación. Un ejem p lo sería el siguiente: digam os que
nos interesa conocer el tiem p o que llevaría procesar un lote de 10 piezas, el tiem po
requerido para vender 100 periódicos, o el núm ero de clientes que se atiend e en una
cafetería entre las 8:00 y las 9:00 a.m . El análisis estadístico recom endado para este tipo
d e sim ulaciones involucra la utilización d e intervalos d e confianza y la determ inación de
la distribución de probabilidad de la variab le d e salida.
4.1.1.1 Intervalo s de confianza
D ebid o a la naturaleza aleatoria d e los resultados d e este tip o de m odelos, es necesario
determ inar su distribución de probabilidad y su intervalo d e confianza en las diferentes
réplicas. En la sección 3.3 del capítulo anterio r se discute cóm o obtener la distribución de
probabilidad d e una variab le aleatoria; por lo tanto, aq u í nos ocuparem os d e los interva­
los de confianza.
Si la variable aleatoria sigue una distribución norm al, el intervalo de confianza está
dado por:
4.1 V erificación y va lid a ció n de los m o d e lo s de sim ulación
En caso de que la variable aleatoria siga otro tip o de distribución, el intervalo d e confian­
za es relativam ente m ás am plio, y se calcula como:
IC =
x +
yfra
En am bas ecuaciones:
r = Núm ero d e réplicas
a = Nivel d e rechazo
1V
* =-r L x ¡
' m
, V I
S =
'
i ¡_ i
Ejem plo 4.1
Los resultados de 10 réplicas d e la sim ulación d e un sistem a d e inventario prom edio en
un alm acén son 190.3, 184.2, 182.4, 195.6, 193.2, 190.5, 191.7, 188.5, 189.3, 188.4.
D eterm ine el intervalo de confianza con un nivel d e aceptación de 95% .
La m ed ia y la desviación estándar de la m uestra son:
x = 189.41
S = 3.916
Bajo la prem isa d e que el inventario prom edio sig ue una distribución norm al, el intervalo
de confianza se calcularía de la siguiente form a:
IC =
a/2'r-1
IC = 189.41
3.916
\ / í0
(^ 0 .0 2 5 ,9 )
v'10
el fa cto r fQ0259 se obtiene de la tab la d e distribución t que se encuentra en los anexos.
IC = 1 8 9 .4 1 - ^ ¿ ( 2 2 6 2 )
v
i
o
‘
1 8 9 .4 1 + ^ 1 ^ (2 .2 6 2 )
x / T o
IC = [186.60,192.21] piezas prom edio en el alm acén.
Si la variable aleatoria n o fuera norm al, o si la suposición d e norm alidad se considerara
inadecuada, el intervalo d e confianza se calcularía así:
115
n
C a p ítu lo 4 S im ulación de variables aleatorias
IC = X
s
x +
v ra
v 'r a
3.916
IC = 189.41
V 10(0.05)
3.916
189.41 +
'
V í 0(0.05)
IC = [183.87,194.94] piezas prom edio en el alm acén.
En co nsecuencia, si la variab le aleatoria sigue una distribución norm al y realizam os 100
réplicas del experim ento, esperam os que el resultado de 95% d e las m ism as se encuentre
entre 186.08 y 192.73, a diferencia d e lo que ocurriría en una variab le no norm al, en don­
de después de 100 réplicas del experim ento esperam os que 95% de ellas se encuentren
entre 183.87 y 194.94; lo cual im plica m ucho m enos exactitud.
E je m p lo 4 .2
Un cliente ha solicitado la entrega de un pedido d e 100 artículos. Com o analistas, desea­
m os conocer un valor estim ado del tiem po prom edio d e entrega del pedido, y un inter­
valo d e confianza con un nivel de 90% .
Por el hecho d e que este problem a exije una sim ulación d e tip o term inal, debem os
desarrollar un m odelo y realizar suficientes réplicas independientes para obtener la dis­
trib ució n d e probabilidad y el intervalo de confianza que nos interesan. Con este p ro p ó ­
sito realizam os 30 réplicas, y obtuvim os los siguientes resultados del tiem p o de entrega
del producto, m ed ido en días transcurridos desde la form ulación del pedido.
9.57
4.81
7.33
5.72
7.90
12.03
6.30
5.83
8.39
9.74
6.55
2.92
10.65
7.85
8.04
4.60
10.20
7.27
6.32
7.08
4.69
6.7 7
4.85
5.72
9.75
6.33
8.35
8.89
5.83
3.77
En la figura 4.1 se m uestran el histogram a del tiem p o d e entrega y el resultado d e la
prueba d e bondad de ajuste.
Distribución
fto
Normal (7.14, 2.12)
11 6
Figura 4.1 Histogram a
d e la s ré p licas del
m o d elo de tiem p o
d e e n tre g a del p ro ducto
(ejem p lo 4.2 ).
4.2 Sim ulaciones n o te rm in a le s o d e e sta d o esta b le | ^
Si to m am o s en cuenta la evid encia estadística de norm alidad, a sí co m o la m edia y la
desviación estándar d e la m uestra, calculam os el intervalo d e confianza así:
x = 7.14
s= 2.12
IC =
IC = 7.14-
2.12
\ 30
(W a o )
7.14 +
2.12
v3 0
(^ 0 .0 5 ,3 0 )
nuevam ente el facto r ^O5í30 se obtiene de la tab la de distribución f que se encuentra en
los anexos.
IC = 7 . 1 4 - ^ ( 1 .6 9 7 )
n/30
7 .1 4 + H 1 ( 1 . 697)
%/30
IC = [6.46, 7.79] días
4.2 Sim ulaciones no term in ales o de estad o estab le
A d iferencia de los m o d elo s anteriores, las sim u lacio n es n o te rm in ale s o de estado
estable n o invo lucran una ocurrencia en el tie m p o en que ten g an que fin alizar. Por
ejem plo, si d eseáram o s conocer el núm ero d e m áq uin as que deben instalarse en un
sistem a de producción cuya operación tie n e que m an ten erse activa co ntinuam ente
durante to d o el año, po dríam o s m o d elar el sistem a hasta que la variab le d e interés
llegara a un estad o estab le. En este caso surge la necesidad de d eterm in ar la longitud
de la corrida para aseg urar la estab ilizació n de los resultad o s del m odelo. V eam os cóm o
satisfacer dich o requisito.
4.2.1
Longitud de las réplicas
Para qu e el resultado de una variab le aleatoria llegue al estado estable en una sim ulación
no term inal, es necesario garantizar que la longitud de la réplica, n, sea lo suficientem ente
grande para qu e la variación entre réplicas no difiera d e cierta exactitud, e , el 100(1 - a)%
d e las veces.
En caso de norm alidad, el tam añ o d e corrida d e la sim ulación se calcula como:
Ejem plo 4.3
D eterm ine la longitud d e la réplica para estim ar, dentro d e un rango de ±2, el valor de una
variable norm al con desviación estándar 4 y un nivel de aceptación de 95% (nivel de
rechazo de 5%).
117
n
C a p ítu lo 4 S im ulación de variables aleatorias
Solución:
n=
= ((2 )(1 .9 6 ))2 =15.36
n = 16
La figura 4.2 representa los resultados d e la sim ulación d e seis réplicas independ ientes de
lo n g itu d n = 16 d e u n a va ria b le aleato ria co n d istrib u ció n n o rm a l y d e sviació n e stá n ­
d ar 4 . Com o puede ver, los resultados finales de la variable aleatoria se encuentran dentro
de la exactitud deseada. Dado el nivel d e aceptación d e 95% (nivel de rechazo de 5% ), si
realizáram os 100 réplicas cabría esperar que cinco de ellas estuvieran fuera de la exacti­
tu d deseada.
Si se tien e la certeza de norm alidad pero se desconoce el valo r de la desviación
estándar, será necesario realizar una corrida inicial de tam añ o n ' para determ inar un esti­
m ad or de la desviación. En este caso la longitud d e la réplica se determ ina m ediante
n = ^“ (fa/2,n'-l) j
Ejem plo 4.4
Se re a lizó una co rrid a in ic ia l d e ta m a ñ o n ' = 10 para e stim a r la d e svia ció n e s tá n d a r
s = 13.21 d e u n a variab le no rm al. D e te rm in e la lon g itud d e la ré p lica para e stim a r el
valo r m ed io d e n tro d e un rang o d e ±0.3 con un n ive l d e aceptación de 95% (n iv e l de
rech azo 5% ).
11 8
4.2 Sim ulaciones n o te rm in a le s o d e e sta d o esta b le | ^
Solución (vea la figura 4.3):
(1 3 .2 1 ..
.
n ~■
(^0025,9 )
0.3
= ((44.033)(2.262))2 =9920.83
n =9920
R ép lica d e lo n g itud 9920
105
103
101
99
97
95
1
1001
2001
3001
4001
5001
6001
7001
8001
9001
Figura 4 .3
C o m p o r­
ta m ie n to del
p ro m ed io d e la
variab le
aleato ria
norm al;
e xactitu d
d esead a d e
0 .0 4 5 tr.
Cuando se desconoce el tip o d e distribución d e la variable aleatoria a sim ular o bien
la suposición de norm alidad no existe, es preciso hacer uso del teorem a d e Tch eb ych eff
para calcular la longitud de la réplica. En este caso se utiliza
n=
11 a
a
Ejem plo 4.5
Supongam os que la suposición d e norm alidad del ejem p lo anterior no es válida, y co nsi­
derem os la m ism a inform ación con r í = 10 y s = 1321. La longitud d e la réplica para esti­
m ar el valo r de la variable dentro d e un rango d e ±0.3 con un nivel d e aceptación de 90%
(nivel d e rechazo 10% ) es:
1 a
n=—
a
13.21
n=
0.1
= 19389.3
0.3
n = 19390
119
| ~| C a p ítu lo 4 S im ulación de variables aleatorias
Este resultado concuerda con el concepto expuesto en el ejem plo 4.1: para distribuciones
diferentes, aun con los m ism os rangos deseados, los requerim ientos d e sim ulación cam ­
bian, en este caso respecto de la n. Ahora bien, veam os qué sucede al m o m ento de sim u ­
lar la variable aleatoria exponencial. La figura 4 .4 m uestra el com portam iento prom edio
de la variable; a pesar de haberla sim ulado en 9920 ocasiones, dicha variab le está lejos de
lograr la exactitud que se observa en la figura 4 .3 , en dond e la variable sim ulada sigue
una d istrib u ció n n o rm a l. Para q u e el co m p o rtam ie n to d e la va ria b le lle g u e a la zo na
de estabilización con la exactitud deseada de 0.045o-, es preciso generar 19390 variables
exponenciales (al sim ular solam ente 9920 variables exponenciales la exactitud es de
0.063o-).
R é p lica d e lo n g itu d 9920
105
103
101
9997
95
1
1001
2001
3001
4001
5001
6001
7001
8001
9001
F ig u ra 4 .4
C o m p o rtam ien to
d e l p ro m ed io de
la variab le
aleato ria
e xp o n e n cial;
exactitu d lograda
d e 0.063o-.
Ejem plo 4.6
D eterm inar la longitud de la réplica para estim ar, dentro de un rango de ±0.5 con un nivel
d e aceptación de 90% (nivel de rechazo 10% ), el valor prom edio de una variab le con cr =
8. Se desconoce la distribución de probabilidad d e la variable.
Solución:
n=
(
—
0.1\ 0.5
= 2560
Ejem plo 4.7
D eterm ine la longitud de la réplica, de m anera que el estim ado del valor prom edio de
una variable con distribución d e W eibull y desviación estándar a no difiera en m ás de Va
d e la desviación estándar, con un nivel d e rechazo de 5% (nivel d e aceptación 95% ).
12 0
4.3 M odelos de sim ulación |
Solución:
n=—
a
1
n=—
a 1
—a
4
=l ( 4 ) ; = ^
= 320
o í
'
0.05
En la figura 4.5 se m uestran los resultados de 10 réplicas de longitud 3 2 0 ; cada una rep re­
senta el prom edio m ó vil d e una variab le aleatoria de W eibull con cr de 1.6. D e acuerdo
con los cálculos del ejem plo, esta longitud d e la réplica debería asegurar la estabilización
d e la variable aleatoria — lo cual aparentem ente ocurre, según la gráfica— , con una exac­
titud de 0.25(7. Los resultados confirm an los cálculos, ya que el valor fin al d e las réplicas
estuvo entre 54.41 y 54.57. La diferencia de 0.16 eq uivale a una exactitud relativa a la
desviación estándar d e apenas 0.1(7.
60
10 réplicas de variables aleatorias Weibull
valores finales mínimo 54.41, máximo 54.57
----------------------------------------------------------------------
52
48
luuuiiniwuuiiiiumuiiiuuniHniiuiiiiinniuiiiiiuimiiiuuiiimiuuiiimmuuiiuimniiiuuimuuiuuiiitmmiiiumuniii
1
100
199
298
Figura 4.5
C o m p o rtam ien to del
prom edio d e la
v a ria b le aleato ria de
W eib u ll; e xactitu d
d e se a d a d e 0.25o-.
4.3 M odelos d e sim ulación
Con el propósito d e d ar una idea de cóm o desarrollar un m odelo de sim ulación y de qué
m anera em plear los conceptos expuestos a lo largo del presente capítulo, a continuación
se presentan algunos ejem p lo s program ados en un program a de hoja d e cálculo.
121
| ~| C a p ítu lo 4 S im ulación de variables aleatorias
4.3.1
M odelo de una línea de espera con un servid or
Ejem plo 4.8
El tiem p o que transcurre entre la llegada d e ciertas piezas a una estación de inspección
sig ue una distribución exp o nencial con m edia d e 5 m inutos/pieza. El proceso está a car­
go de un operario, y la duración de la inspección sigue una distribución norm al con
m edia de 4 .0 y desviación estándar de 0.5 m inutos/pieza. C alcu le el tiem po prom edio de
perm anencia de las piezas en el proceso de inspección.
Para solucionar el problem a anterior se debe:
1. Construir una tabla d e eventos en la que se describa la relación entre las variables
involucradas en el proceso. Para la construcción d e dicha tabla es preciso identi­
ficar los elem entos que se listan a continuación.
Variable de estado
Tiempo en el sistema de inspección (7)
Entidades
Piezas
Eventos
Tiempo de llegada (2)
Fin de la inspección (5)
Evento secundario
Inicio de la inspección (3)
Actividades
Tiempo entre llegadas (1)
Tiempo de inspección (4)
Los núm eros entre paréntesis indican la colum na que ocupa cada elem ento en
las tablas 4.1 y 4.2.
2. Defina las relaciones lógico-m atem áticas entre los elem entos; en la tabla 4.1 se
describen, por ejem plo, las siguientes relaciones:
a) El tiem po entre llegadas e s una variable aleatoria, que se sim ula por m edio del
generador RANDO o ALEATORIOO d e la hoja de cálculo de Excel y la función
generadora d e variables exp o nenciales E = - 5 ln(1 - r ).
b) El evento tiem po d e llegada d e la pieza corresponde al valor acum ulado d e la
c)
colum na (1).
Si se tom a en cuenta que solam ente existe un operario encargado de la tarea,
el inicio d é la inspección puede ocurrir cuando la pieza entra al sistem a, esto,
en caso d e que el operario esté ocioso (2), o bien cuando term ina d e in sp ec­
cionar la pieza anterior (5).
d) El tiem po d e inspección es una variable aleatoria norm al con m edia 4 y d esvia­
ción estándar 0.5, generada m ediante la función interna norm al acum ulada
inversa (NORMINV O DISTNORMINV) y com o probabilidad el generador de
núm eros aleatorios RANDQ o ALEATORIOQ.
12 2
4.3 M odelos de sim ulación |
e) El fin d e la inspección se calcula sum ando el tiem p o de inspección (4) al tiem ­
po d e inicio de la inspección (3).
f)
La variable Tiem po en inspección se calcula, finalm ente, co m o la diferencia
entre el tiem p o de llegada (2) y el fin d e la inspección (5).
g) Si bien no form a p arte del objetivo del ejem plo, tam b ién es posible determ i­
nar el tiem po d e espera d e una pieza antes de ser inspeccionada, ya que es
igual a la diferencia entre el tiem p o d e inicio de inspección (3) y el tiem p o de
llegada d e la pieza (2).
h) Esta últim a colum na p erm ite calcular el tiem p o prom edio de inspección
com o prom edio m óvil: cad a vez que una nueva pieza es sim ulada, el tiem po
prom edio d e inspección se recalcula.
Tabla 4.1 Relación entre los eventos y actividades involucradas en el proceso (ejemplo 4.8).
_______ s_______
Tiem po entre
llegadas
Tiem po de
llegada
Inicio d e la
Tiem po de inspección
Fin de la
inspecdón
Tiem po en
inspección
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
=F5*G 5
=H5-E5
«HS-E6
=H7-E7
=H8-E8
=F5-E5
| Pieza
1
2
3
n
=-5‘ LN(1-RAND()l =D5
=-5*LN(1-RAND0> =D 6*E 5
= -5 'lN (1 -R A N D 0 ) =D7*E6
=-5TN(1-RAND<)) = D 8*E 7
=E5
=M AX(E6 H5)
r MAX(E7.H6)
=M AX(E8.H7)
=NORMINV(RAND<) 4.0 5)
■F 6 « G 6
=NORMINV(RAND<) 4.0 5)
= N O R M IN V (R A N D 0 4.0 5)
=F7«G7
=F8*G 8
Tiempo
inspección en espera
-F 6-E 6
“ F7-E7
=F8-E8
Tiem po prom edio en
inspección
(8)
=AVERAGE(SlS515)
=AVERAGE(SlS516)
=AVERAGE(SIS517)
=AVERAGE(SIS5 18)
3. Una ve z definidas las relaciones se sim ula el proceso, al hacerlo, se debe cuidar
que el tam año de la réplica o experim en to sea lo suficientem ente grande para
asegurar la estabilidad del resultado final. La réplica cuyos resultados se ilustran
en la tabla 4 .2 se realizó con 1500 piezas; la inform ación nos indica que el tiem po
prom edio d e espera es de 15.05 m inutos/pieza. A dem ás de este resultado, la
colum na 8 perm ite visualizar la estabilización del sistem a m ed iante una gráfica
d e líneas.
Tabla 4.2 Simulación del proceso de inspección (en una hoja de cálculo de Excel).
Tiempo Tiempo
Inicio
Tiempo
Tiempo
entre
de
déla
Tiempo de Fin de la Tiempo en
en
promedio en
llegadas llegada inspección inspección inspección inspección espera inspección
Pieza
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
(1)
1
4.82
4.82
4.82
4.03
8.84
4.03
0.00
4.03
2
2.77
7.59
8.84
4.77
13.61
6.02
1.25
5.02
3
3.72
11.32
13.61
3.97
17.59
6.27
2.30
5.44
4
3.39
14.71
17.59
3.71
21.30
6.59
2.88
5.73
5
2.59
17.30
21.30
3.10
24.40
7.10
4.00
6.00
123
| ~| C a p ítu lo 4 S im ulación de variables aleatorias
6
0.19
17.49
24.40
2.64
27.04
9.56
6.91
659
7
1.85
19.33
27.04
4.34
31.38
12.05
7.71
7.37
8
0.93
20.26
31.38
4.16
3554
15.28
11.12
8.36
9
4.65
24.92
35.54
4.41
39.95
15.03
10.63
9.10
10
6.02
30.94
39.95
4.14
44.09
13.15
9.01
9.51
...
...
...
...
> .
...
1495
0.04
7380.97
7390.99
3.68
7394.66
13.70
10.02
15.02
1496
1.46
7382.42
7394.66
4.45
7399.11
16.69
1224
15.02
1497
1.56
7383.99
7399.11
4.32
7403.43
19.45
15.13
15.03
1498
1.98
7385.97
7403.43
3.66
7407.09
21.13
17.47
15.03
1499
0.37
7386.34
7407.09
3.48
7410.57
24.23
20.75
15.04
1500
1.86
7388.20
7410.57
4.57
7415.15
26.94
22.37
15.05
. _
En la figura 4.6 se m uestra la gráfica d e estabilización que se obtuvo a p a rtir de la
colum na 8 (Tiem po p ro m ed io en inspección). D icha gráfica nos indica que el tam año de
la réplica es lo suficientem ente grande para asegurar la convergencia del resultado. Cabe
señalar q u e esta gráfica d e estabilización corresponde a una réplica diferente a la d e la
tabla de eventos.
G rá fica d e e sta b iliza ció n
Fig u ra 4 .6
Periodo de
estáb il izac ió n d e
tie m p o pro­
m edio de
p erm an en ­
c ia e n el sis­
tem a .
Al tra b a ja r con procesos dond e se involucran variables, actividad es y eventos aleato­
rios, las variables d e estado o variables de respuesta serán, en co nsecuencia, aleatorias. La
figura 4.7 m uestra las gráficas d e estabilización de 5 diferentes réplicas del m ism o m o d e ­
lo. Si bien la estabilización está asegurada, el resultado fin al nunca es el m ism o ; es evid en ­
te que replicar el experim en to debe ser una práctica com ún en cualquier sim ulación.
124
4.3 M odelos de sim ulación |
Al replicar el experim en to 50 veces se obtienen los resultados que se listan en la tabla
4.3. Para com prender el co m po rtam iento de la variable es necesario analizar estadística­
m ente esta inform ación.
Tabla 4.3 Resultados de 50 réplicas del experimento.
10.44
11.53
14.58
11.43
1427
12.63
1522
10.66
12.00
1023
11.06
12.01
1022
11.30
17.09
12.55
14.62
1225
13.90
16.34
13.49
12.52
11.55
11.73
15.31
10.57
10.47
10.05
11.85
13.12
10.97
10.41
11.66
10.48
10.59
13.75
11.88
15.09
10.12
9.69
12.97
12.34
11.21
13.17
13.66
12.36
11.63
10.19
1156
10.59
El análisis estadístico de las réplicas — realizado en este caso con la herram ienta
Stat::Fit de ProModel— perm ite concluir, a través de una prueba de bondad de ajuste,
que el tiem po prom edio d e espera en el proceso d e inspección sigue una distribución de
Erlang con los siguientes parám etros: localización 9, form a 3 y escala 1.06 (vea la figura
4 .8 ); adem ás, tenem o s los siguientes estadísticos básicos:
• M edia: 12.18 m inutos/pieza
• D esviación estándar: 1.76 m inutos/pieza
• Intervalo de confianza con 1 - a = .95: [11.66,12.69] m in/pieza
125
| ~| C a p ítu lo 4 S im ulación de variables aleatorias
• V alor m ínim o en la m uestra: 9.69 m inutos/pieza
• Valor m áxim o en la m uestra: 17.09 m inutos/pieza
• Coeficiente d e asim etría (skewness): 0.8177
• C u rto sis:-0.071
4.3.2
M odelo de un proceso de ensam ble e inspección
Ejem plo 4.9
Dos barras m etálicas de diferente longitud son unidas m ediante un proceso d e soldadura
para form ar una barra de m ayo r longitud. La longitud del prim er tip o de barra sig ue una
distrib ución unifo rm e entre 45 y 55 cm . La longitud del seg u n d o tip o de barra sig ue
una distribución 4-Erlang con m edia de 30 cm . Las especificaciones del p ro ducto final
son de 80 ± 10 cm . D eterm ine el porcentaje de barras fuera de especificación.
Para la solución del ejem p lo se requiere:
• Identificación de los elem entos:
12 6
Variable de estado
Cantidad de barras fuera de especificación
Entidades
Barras
Evento
Comparación contra especificaciones
0: Dentro de especificaciones
1: Fuera de especificaciones
Actividades
Medición de la longitud de la barra 1
Medición de la longitud de la barra 2
Soldadura de las barras 1 y 2
4.3 M odelos de sim ulación |
• C onstrucción d e la ta b la d e eventos:
Tabla 4 .4 Relación entre los elementos (ejemplo 4.9).
c
Ensamble
1
2
3
4
Longitud barra 1
[cm]
(1)
=(55-45)’ RAND()*45
=(55-45)‘ RAND()+45
=(55-45)‘ RAND()+45
=(55-45)*RAND()+45
Longitud barra 2
[cm]
(2)
Longitud total
[cm]
(3)
=-(30/4)*LN(RAND() =D5+E5
=-(30/4)*LN(RAND() =D6+E6
=-(30/4)“LN(RAND() =D7+E7
=-(30/4)*LN(RAND() =D8+E8
Ei
(4)
Es
(5)
70
70
70
70
90
90
90
90
Estado de la barra
(6)
Probabilidad de
estar fuera de
especificaciones
(7)
=IF(F5<G5,1 .IF(F5> H 5.1.0)) =SUM(SIS5 I5VC5
=IF(F6<G6.1 IF(F6> H 6.1.0)) =SUM(SIS5 I6)/C6
=IF(F7<G7,1.IF(F7>H 7,1.0)) =SUM($IS5 I7>/C7
=IF(F8<G8,1.IF(F8>H8 1.0)) =SUM(SIS5 I8VC8
La tabla 4 .4 m uestra la relación m atem ática entre las diferentes variables o elem entos
del sistem a; fue desarrollada en una hoja d e cálculo y el significado d e cada colum na es
el siguiente:
(1) La lon g itu d d e la barra 1 es u n a variab le a le ato ria con d istrib u ció n u n ifo rm e
entre 45 y 55 cm . Fue sim u lad a con el g e n e rad o r RAND() o ALEATORIO)) d e la
hoja de cálcu lo , y CON la ecuación g enerad o ra d e variab le s u n ifo rm es U.= a +
(b - a ) r r
(2) La longitud de la barra 2 es una variab le aleatoria sim u lad a con la fu n ció n
RANDO o ALEATORIO0, y CON la ecuación generad ora d e evento s Erlang:
4
In d íO M
(3) Longitud to ta l: Esta colum na representa el proceso d e soldadura, y se obtiene
sum ando las longitudes d e las barras p eq ueñas de las colum nas (1) y (2).
(4) La variab le E¡ sim ula el lím ite inferior d e las especificaciones.
(5) La variab le Es sim ula el lím ite superior de las especificaciones.
(6) Se asigna el atributo d e calidad a cada pieza, denom inado Estado d e la barra,
m ediante la com paración de la longitud total de la barra y los lím ites d e especi­
ficación.
(7) Para determ inar la Probabilidad d e estar fuera d e especificaciones se d ivid e el
núm ero d e piezas defectuosas entre el núm ero d e piezas totales. Esto perm ite
obtener la probabilidad com o prom edio m óvil, de m anera que cada vez que es
sim ulad o un nuevo ensam ble la probabilidad se recalcula.
• Sim ulación d e sistem a.
En la tabla 4.5 se m uestra una réplica con los resultados num éricos de las ecuaciones de
la tabla 4.4.
127
| ~| C a p ítu lo 4 S im ulación de variables aleatorias
Tabla 4.5 Simulación del proceso (en Excel).
Ensamble
Longitud
barra 1
[cm]
(1)
Longitud
barra 2
[cm]
(2)
Longitud
total
[cm]
(3)
1
47.25
2250
2
48.65
3
Es
(5)
Estado
déla
barra
(6)
Probabilidad
(7)
69.75
70.00 90.00
1.00
1.00
43.32
91.96
70.00 90.00
1.00
1.00
5359
16.32
69.92
70.00 90.00
1.00
1.00
4
47.79
35.74
83.53
70.00 90.00
0.00
0.75
5
52.08
25.62
77.70
70.00 90.00
0.00
0.60
6
51.93
37.48
89.41
70.00 90.00
0.00
0.50
7
51.31
19.86
71.17
70.00 90.00
0.00
0.43
8
53.17
39.58
92.75
70.00 90.00
1.00
050
9
45.58
3253
78.11
70.00 90.00
0.00
0.44
10
49.10
25.01
74.12
70.00 90.00
0.00
0.40
-•
•“
-•
-■
-•
995
46.83
12.19
59.02
70.00 90.00
1.00
0.50
996
54.31
8.04
62.35
70.00 90.00
1.00
050
997
52.36
16.18
68.54
70.00 90.00
1.00
050
998
49.32
48.40
97.72
70.00 90.00
1.00
050
999
51.30
6.82
58.11
70.00 90.00
1.00
0.50
1000
49.88
38.76
88.64
70.00 90.00
0.00
050
Ei
(4)
-•
A p a rtir de la inform ación de la variable aleatoria Estado d e la barra (colum na 6) y
m ediante una prueba de bondad de ajuste, es posible dem ostrar que esa variab le sigue
una distribución d e probabilidad de Bernoulli con m edia 0.5.
• Construcción de la gráfica d e estabilización.
La gráfica d e estabilización (vea la figura 4.9) d e la inform ación de la Probabilidad (colum ­
na 7) de la tabla 4.5 perm ite visu alizar que la réplica entra a la zo na de estado estable
d espués de 200 ensam bles, y se m an tien e oscilando alrededor de 0.5 hasta el fin al de la
sim ulación. Ésta nos perm ite co m p ro b ar visu alm ente que el experim en to tie n e las
d im ensiones suficientes para asegurar la convergencia del resultado.
12 8
4.3 M odelos de sim ulación |
Probabilidad
Gráfica d e estabilización
------------------------------------------------------------------
0.90
0.80
0.70
0.60
0.50
0.40
0.30
0 .2 0
-
0.10
0.00
201
401
601
801
1001
Ensambles
Fig u ra 4 .9
G rá fica d e e stab iliza­
ción d e la pro b ab ili­
d ad de q u e una
b arra e sté fu era de
especificaciones.
• Réplicas.
Si se replica el experim ento 4 2 veces, y se m odifica sólo la secuencia de núm eros p seu­
doaleatorios, se obtienen los resultados de la tabla 4.6.
T a b la 4 . 6
Resultados de 42 réplicas del experimento.
050
0.49
0.50
0.51
050
0.54
0.52
0.51
0.48
0.49
051
0.54
0.50
053
0.53
0.51
0.49
0.49
051
0.51
052
0.51
052
0.50
0.51
0.46
0.50
0.52
0.52
0.51
0.52
0.49
0.50
050
0.50
053
0.54
0.54
0.49
0.50
0.51
0.53
• Análisis estadístico d e la variable de estado:
E l análisis del resultado de las réplicas de la tabla 4.6 — realizado con ayuda d e la herra­
m ienta Stat::Fit de ProModel— perm ite concluir, a través de una prueba de bondad de
ajuste, que la Probabilidad d e q u e un ensam ble esté fuera d e especificaciones sigue una
distribución de Erlang con estos parám etros: localización, 0, form a 31.5, y escala, 0.517
(vea la figura 4.10).
129
n
C a p ítu lo 4 S im ulación de variables aleatorias
Figura 4 .1 0
H istogram a d e las
rép licas (obtenido
co n Stat::Fit).
Adem ás, la variab le d e respuesta tien e los siguientes estadísticos:
• M edia: 0.509
• D esviación estándar: 0.0175
• Intervalo de confianza con 1 - a = .95: [0.504,0.514] m in/pieza
• V alor m ínim o en la m uestra: 0.46
• Valor m áxim o en la m uestra: 0 .5 4
• Coeficiente d e asim etría: -0 .1 2 4
• Curtosis: 0 .014
4.3.3
M odelo de un sistem a de inventarios
Ejem plo 4.10
La dem anda d e azúcar en una tienda sigue una distribución exponencial con m ed ia de
100 kg/día. El du eñ o d e la tienda revisa el inventario cada 7 días, y hace un ped ido a la
planta igual a la capacidad d e la bodega m enos la cantidad d e azúcar que tien e disponi­
ble en ese m om ento; la entrega es inm ediata. La dem anda no surtida por falta de existen ­
cias representa ven tas perdidas. La capacidad d e alm acen am iento d e la bodega es de
700 kg. El costo d e o rdenar es de $1,000/orden. El costo de faltante es d e $6/kg, y el cos­
to de llevar el inventario es de $ 1/kg. D eterm ine el co m po rtam iento del inventario a lo
largo del tiem p o y el costo prom edio/día para un horizonte de dos meses.
Para la solución del ejem p lo se requiere:
13 0
4.3 M odelos de sim ulación |
• Identificación de los elem entos
Variable de estado
Inventario en el almacén
Entidades
Clientes
Evento
Demanda
Ventas
Entrega de material por parte del proveedor
Actividades
Cálculo de los costos
• Construcción de la tab la d e eventos
Tabla 4.7 Tablas de eventos para el ejemplo 4.10.
I _ ir — I
°
10
Dia
Entregas del proveedor
i*
i¿
13
14
0
=B11+1
= B12+1
=B13+1
=B14* 1
700
-IF(MOD(B12.7)-0.700-G11 0)
- IF(MOD(B13.7)^0,700 G12 0)
=F(MOD(B14.7)=0.70OG13 0)
=F(MOD(B15.7)=0,700-G14 0)
15
Inventare
inicial
=C11
=G11+C12
-G12+C13
=G13*C14
=G14*C15
i _______I
Demanda
Ventas
hven'.ario ínal
=-1C0*l N(I-RANDO)
—'1C0*IN(1-RAND())
- 1C0‘ LN( 1-RAND())
=-1C0‘ LN<1-RAND<)}
--1C0‘ LN(1-RAND())
=F(D11> =F11.F11,D11)
=F(D12>=E12.E12,D12)
-F(D13>-E13.E13,D13)
= F(D14> =E14.E14,D14)
=MAX0.SD11-$F11)
=MAX<0.SO12-SF12)
MAX[0. SD13 SE 13)
- MAX[0, SD14-SE14)
=F(D15> =E15.E15.D15)
=MAX0, SD15-SE15)
(a) Relación entre los elementos
9
H
10
Costo de ordenar
Costo de llevar
inventario
Costo de faltante
Costo total
Costo promedo
11
12
13
14
=F(MOD(B11.7)=0.1000.0)
=F(MOD(B12.7)=Ó.10ÓÓ.0)
=F (MOD(B 13.7)=0.1000.0)
- F (MOD(B 14.7 )-0 ,1000.0)
=1*(D11+G11)/2
=1*(D12*G12)/2
=1’ (D13+G13)/2
= 1*(D14+G14)/2
=IF(D11<=E11.6*(E11-D11).0)
=IF(D12<=É12.6*(É12-D12).0)
=F(D13<=E13.6*(E13-D13).0)
IF(D14<~E14,6*(É14 D14).Ó)
=SUM(J11:L11)
=SUM(J12:L12)
=SUM(J13:L13)
-SUM(J14:L14)
=AVERAGE($MS11:M11)
=AVÉftAÓE($MS11:M12)
=AVERAGE($M$11:M13)
=ÁVERAGE(SMS1Í:M14)
=1*(D15+G15)/2
=IF(D15<-E15,6*(E15-D15).0)
=SUM(J15.L15)
=AVERAGE($M$11.M15)
15
|
'
|
J
(b) Relación entre los costos
Las tablas 4.7(a) y 4.7(b) m uestran la relación m atem ática entre las diferentes varia­
b les o elem entos del sistem a; la tabla está desarrollada en un program a d e hoja de cálcu­
lo, y el significado de cada colum na es el siguiente:
•
B : Contador de los Días transcurridos.
•
C : En esta colum na se sim ulan las Entregas d e m aterial: cada siete días se restab le­
ce el inventario en un nivel de 700 kg. Los valores se calculan com o la diferencia
entre la Capacidad del alm acén y el Inventario fin a l del día anterior. El uso d e la
fu n ció n r e s id u o o m ó d u lo (MOD) p erm ite co ntro lar que la entrega se realice
cada vez que el Día (colum na B) sea m últiplo de siete.
•
D : El Inventario a l inicio del día se calcula m ediante la sum a del Inventario final del
•
día anterio r y las Entregas d e m a teria l por p arte del proveedor.
E : La Dem anda es una variab le aleatoria con distribución exp o nencial y m edia de
100 kg. Se simula m ediante el generador RANDOo ALEATORIO0 de la hoja de cálcu­
lo y la ecuación generadora E¡ = - —ln(1—/:).
131
| ~| Capítulo 4 Sim ulación de variables aleatorias
•
F: Las Ventas representan la cantidad que le fue entregada a l cliente, y se calcula
•
com o el valo r m ín im o entre el Inventario a l inicio del día y la Dem anda.
G: El Inventario a l final del día se calcula m ediante la resta de las Ventas (colum na
F) del Inventario inicial del día (colum na D), se verifica previam ente que no exista
•
falta nte.
H: En esta colum na la función re sid u o o m ó d u lo (MOD) perm ite increm entar en
$1,000 el Costo d e orden ar cada ve z que llegue una orden a la tienda.
I: Se calcula el inventario prom edio durante el día, y el resultado se m ultiplica por
•
$1/kg.
J: En caso d e no cubrir la Dem anda, el Costo d e falta n te se calcula m ultiplicando la
•
•
•
dem anda no surtida en ese día por el costo de faltante por u nidad, q ue en el ejem ­
plo es de $6/kg.
K: El Costo to ta l se determ ina m ediante la sum a de las colum nas Costos d e inven­
tario, Faltante y Ordenar.
L: La form a de calcular esta colum na p erm ite ten e r el Costo to ta l com o prom edio
m óvil: cada vez que se sim ula un nuevo día, el costo se recalcula. Con esta co lum ­
na se analiza la estabilidad d e la variable inventario prom edio.
• Sim ulación d e sistem a.
La tabla 4.8 m uestra los resultados, es una réplica de 14 días de la sim ulación del sistema,
utiliza las ecuaciones d e las tablas 4.7(a) y 4.7(b).
Tabla 4 .8 Tabla de eventos del sistema de inventarios (realizada en Excel).
En treg as
del
Inventario
Día
proveedor
inicial
D em and a
Ventas
final
0
700.00
700.00
181.23
181.23
518.77
1
518.77
29.40
29.40
2
489.37
205.65
3
283.72
4
Costo
de
Costo
Costo
ord enar inventarlo falta n te
to tal
prom edio
1000.00
6 0 9 .3 9
1609.39
1609.39
489.37
504.07
504.07
1056.73
205.65
283.72
386.55
386.55
833.33
112.36
112.36
171.36
227.54
227.54
681.89
171.36
107.42
107.42
6 3 .9 4
117.65
117.65
569.04
5
63.94
77.26
63 .9 4
0.00
31.97
79 .9 6
111.93
492.85
6
000
4 3 .3 4
0.00
0.00
0.00
260.06
260.06
459.60
700.00
42.02
42.02
6 5 7 .9 8
6 7 8 .9 9
1678.99
612.02
8
657.98
121.36
121.36
536.61
597.30
597.30
6 1 0 .3 8
9
536.61
83.89
83.89
452.73
494.67
494.67
598.81
10
452.73
139.21
139.21
313.52
383.12
383.12
579.20
11
313.52
185.00
185.00
128.51
221.01
221.01
549.36
12
128.51
46.62
46.62
81.89
105.20
105.20
515 19
13
81.89
329.79
81.89
0.00
40.94
1528.37
587.56
700.00
150.99
150.99
549.01
1624.51
656.69
14
13 2
700.00
700.00
1000.00
1000.00
de lle v a r
Costo
de
Costo
7
Inventario
624.51
1487.43
4.3 M odelos de sim ulación |
• Resultados:
La fig u ra 4.11 m u e stra el co m p o rtam ien to d e l in ve n tario al in icio del día (co lu m n a C)
a lo largo del tiem po, para el periodo sim ulado de 60 días.
C o m p o rtam ie n to d e l inven tario
700
600
500
400
300
200
100
0
22
29
50
57
En sa m b le s
F ig u r a 4 .1 1
Simulación del sistema de inventarios (realizada en Excel).
El análisis del costo prom edio d e operación d e la tienda in clu ye en prim era instancia
las gráficas de estado estable (figura 4.12) de cinco réplicas independ ientes de los resul­
tado s de la tabla 4 .8 . El resultado nos perm ite o bservar la convergencia del costo respec­
to del tiem po.
$/día
C o sto prom edio
1800
1600
1400
1200
1000
800
600
400
200
Días
Figura 4 .12
C o sto p ro m ed io por
d ía d e c in c o rép licas
independ ien tes.
Los valores finales del costo d e operación d e estas cinco réplicas son 592.55, 527.45,
506.13, 605.59 y 597.85. Con esta inform ación calculam o s un valor prom edio de 565.9 y
una desviación estándar de 4 5 .7 . D ebido a que esta inform ación es insu ficiente para
133
| ~| C a p ítu lo 4 S im ulación de variables aleatorias
dem o strar la no rm alidad d e los datos, el cálcu lo d e l in te rva lo d e co nfianza con un
n iv e l de aceptación de 95% (nivel de rechazo 5% ) se realiza m ediante el teorem a de
Tchebycheff:
IC =
IC = 565.9-
X
45.7
565.9+
7(5X005)
IC = [474.49
+
,
'
45.7
7(5X0.05)
657.33]$/día
4 .4 Selección de len g u ajes d e sim ulación
En un principio, los program as d e sim ulación se elaboraban m ed iante algún lenguaje de
p ro p ó sito g e n eral, com o ASSEM BLER, FO RTRAN , A LG O L o LP/1. A p a rtir d e la década
de 1960 hacen su aparición los lenguajes específicos para sim ulación que perm iten a
analistas y program adores desarrollar m odelos d e una form a m ás rápida, gracias a m ó d u­
los estandarizados. En aquella época surgieron leng uajes co m o GPSS, GASP, SIMSCRIPT,
SLAM, SIMAN y SSED. En la últim a década del siglo pasado la aparición d e las interfaces
gráficas revolucionaron el cam p o d e las aplicaciones en esta área, y ocasionaron el naci­
m iento d e los sim uladores, con los cuales se ha facilitado enorm em ente la program ación
de los m odelos.
En el terreno práctico, es im po rtante utilizar la aplicación que m ejo r se adecúe al tipo
de sistem a a sim ular, ya que de la selección del lenguaje o sim ulador dependerá el tiem ­
po de desarrollo del m odelo d e sim ulación. Las opciones van desde las hojas de cálculo,
leng uajes de tip o general (com o Visual Basic, C++o FORTRAN), leng uajes específicos de
sim ulación (com o GPSS, SLAM, SIMAN, SIMSCRIPT, G AS y SSED), hasta sim uladores espe­
cíficam ente desarrollados para diferentes objetivo s (com o SIM PROCESS, ProM odel,
Witness, Taylor I I , C rystal Ball, Delm ia).
En la actualidad la selección del lenguaje o sim ulador depende d e los siguientes
factores:
(1) Los m ercado s p rim ario s a los que atend erá la sim u lació n , a sí com o las a p lic a ­
cio n es típ ica s en q u e se le u tiliza rá , por e je m p lo : ad m in istració n estratég ica,
log ística, teleco m u n icacio n e s, m an u factu ra, sistem as m ilitares, sistem as de
salud, m an e jo d e m ateriales, análisis d e riesgo, sim u lació n co ntinua o d is c re ­
ta, etcétera.
(2) Los requerim ientos de equipo, co m o plataform a o sistem a operativo, m em oria
RAM y utilización de disco duro.
(3) La capacidad de construcción y program ación del m o d elo a través de iconos o
m ediante procesos de tip o "arrastrar y colocar" (drag and drop), así com o acceso
a program ación estándar. A este respecto tam b ién es im p o rtan te considerar el
134
4.5 Caso d e e s tu d io 1
tiem po y la velocidad en la detección de errores, así co m o la posibilidad de reutilizar p artes d e código, objetos o p lantillas (tem plates).
(4) La inclusión de herram ientas com plem entarias para la realización de p rueb as de
bondad de ajuste en form a autom ática, el análisis de las variables d e respuesta,
la posibilidad de crear diseño d e experim entos, y la optim ización del sistem a
sim ulado.
(5) La anim ación del sistem a, considerando aspecto s co m o velocidad, uso d e dife­
rentes vistas, facilidad de exportación, co m patibilid ad con otras aplicaciones, y
la posibilidad d e poder prescind ir del uso de la anim ación.
(6) El costo y el tip o d e licencia otorgada, así com o el soporte técnico y la facilidad
d e entrenam iento y uso de m anuales y ayudas en línea.
(7) Otras consideraciones, com o la capacidad de em p aquetam iento de los m odelos,
la distribución a otros usuarios, y la capacidad que tenga la com pañía para actu a ­
lizar su producto.
A lg u n a s a p lica cio n e s en el área d e sim u la ció n d is p o n ib le s a c tu a lm e n te en el m e rca ­
do son:
aGPSS
Analytica 4.4
Arena Simulation
Software
Bluesss Simulation
System
Capacity Planning
Simulator
CSIM 20
Enrmgmsuite
Enterprise Dynamics
Exten dSim
Flexsim
GoldSim
LABAMS
MAST
MedModel
Optimization Suite
Micro Saint Sharp
Oracle Crystal Ball
Suite
Patient Flow
Simulator
Portfolio Simulator
Process Simulator
Project Simulator
ProModel
Optimization Suite
SAIL
SAS Simulation Studio
ServiceModel
Optimization Suite
Si mead Pro
Simio
SIMPROCESS
SIMSCRIPTIII
SimTrack
SIMUL8
SLIM
Vanguard Business
Analytics
4.5 Caso de estu d io 1
La com pañía PELICR E se dedica a la fab ricació n d e sham po o para el crecim ie n to de
cabello. La em p resa cuenta con 2 líneas de producción dond e se llen an , tapan y e tiq u e ­
tan los frasco s.
El índice d e producción anual es de cinco m illo nes d e frasco s en la línea 1 y tres m illo ­
nes de frascos en la línea 2.
135
| ~| C a p ítu lo 4 S im ulación de variables aleatorias
La em presa ha padecido un largo historial de dificultades en cuanto a la colocación
d e las tapas. Cuando ocurre una de estas fallas se debe detener la línea hasta que se corri­
ge el im perfecto. Se ha descubierto que la distribución del tiem p o entre fallas es el
siguiente:
Tabla 4.9 T ie m p o e n t r e f a lla s d e la lín e a d e p r o d u c c ió n 1 (a ñ o s / fa lla ).
0.002603
Q 039543
0.007795
0.00 2 7 7 4
0.019015
0.007731
0.020012
0.00 0 2 2 4
0.001501
0.001067
0 .0 0 1 7 8 4
0.006437
0.011479
0.050093
0.000667
0.006141
0.015217
0.001125
0.00 3 7 0 4
0.00 3 5 0 4
0 .0 0 2 9 9 6
0.011127
0.002341
0.005903
0.005369
0.0022
0.00 0 2 5 8
0.00 9 9 8 6
0.01 2 7 2 4
0.014449
0.002533
a 0 13669
0.005693
0.013389
0.013057
0.014287
0.009593
0.019847
0.003017
0.006602
0.027379
0.01309
0.01223
0.00 2 1 2 6
0.008752
0.010181
Q 0 15025
0.00 7 3 0 4
0.01711
0.049539
Tabla 4.10 T ie m p o e n t r e f a lla s d e la lín e a d e p r o d u c c ió n 2 (a ñ o s / fa lla ).
0 .0 0 4 2 8 6
0.00 4 2 9 4
0.005361
000 8 6 2 1
000891
0.008475
0.006741
0.003123
0008298
0011369
0.00732
Q 008715
0.005589
0012689
0006035
0.009587
0.00 8 7 1 6
0.00 3 4 6 4
0.00747
0006335
0.008301
0.009675
0.005695
0.009542
0007926
0.006663
0.008711
0.008972
0.00 7 9 5 4
0012864
0.008863
0.008215
0004428
0.00 8 5 0 6
0007099
0.007903
0.009177
0007846
0.00 6 0 7 6
0008713
0.009643
0.00 7 2 7 6
0011721
0.009558
0008087
0.0 0 9 54
0.00 6 0 1 8
0007876
0.00 9 3 6 8
0008413
El tiem p o d e reparación sigue una distribución exp o nencial con una m edia de
(0 .0 0 1/n) años, dond e n denota el núm ero de trabajado res en el equipo d e reparaciones.
Cada vez que ocurre una falla se destruyen cierta cantidad d e frascos, lo que equivale a
un costo de $ 7.0 cada uno. Cada frasco se ven d e a $ 8.0.
Un m uestreo sobre el núm ero de frascos que se destruyen cuando ocurre una falla
arroja la siguiente inform ación.
13 6
4 .6 Caso d e estu d io 2 |~1
Tabla 4.11 Frascos rotos/falla.
8
10
12
10
9
10
17
10
11
14
13
10
7
8
8
8
10
10
13
8
7
7
7
7
10
14
12
10
12
11
11
15
7
8
12
6
8
15
14
9
10
7
12
19
8
6
10
4
4
11
El co sto anual por trabajador es de $50,000/año.
a) La em presa desea determ inar el tam año óptim o del equipo de reparaciones, esto
es, el núm ero de trabajado res que deben estar asignados para la reparación de
las líneas de producción con la finalidad de obtener la m ayo r utilidad posible.
b) La solució n o b ten id a en el in ciso (a) seg u irá sie n d o ó ptim a si se c u m p le cuál
de las siguientes opciones:
1. El tiem p o prom edio entre fallas de la línea 1 dism inuye en un 80%
2. El tiem p o prom edio entre fallas de la línea 1 aum enta en un 100%
3. El tiem p o prom edio entre fallas de la línea 2 dism inuye en un 70%
4 . El tiem p o prom edio entre fallas de la línea 2 aum enta en un 80%
5. El núm ero de botellas rotas por falla aum enta en un 200%
4 .6 Caso de estu d io 2
La em presa DRE produce piezas electrónicas y las ensam bla en una línea sem iautom ática.
U na de las piezas es producida en lotes de tam añ o N = 10000 unidades por sem ana. Al
fin al de cada sem ana, se inspecciona una m uestra aleatoria de n = 25 unidades para
d eterm in ar si la producción d e la sem ana cu m p le con los estánd ares d e ca lid a d . Si
co m o resultado d e la inspección, el núm ero de piezas defectuosas o btenidas " d " es
m en o r o igual a un valo r de rechazo “cn, el lote será aceptado y enviado a la línea de
ensam ble y por cada pieza defectuosa que entre a la línea de ensam ble, ocurrirá un falla
que detendrá la línea de producción y ocasionará un costo de $ 25/falla. Por otro lado, si
e l núm ero de piezas defectuosas “d " es m ayo r que el valo r de rechazo "c", el lote será
rechazado y enviado a desperdicio, en este caso, para que la línea d e ensam ble n o se
detenga, el lote deberá ser repuesto co n un lote libre de defectos com prado a un provee­
dor a un costo d e $ 30,0 0 0 . E l co sto d e producción d e cad a pieza es $ 2. Las u n id ad es
in sp eccio n ad as se destruyen y el costo de m ano de obra y equipo usado en la inspección
es $ 0.5. Por lo tanto, el costo total d e las piezas inspeccionadas es de $ 2.50.
137
| ~| C a p ítu lo 4 S im ulación de variables aleatorias
La siguiente tabla m uestra datos históricos de la fracción d e piezas defectuosas en
100 lotes.
0 .0 6 8
0.012
0.145
0.0 2 7
0.0 3 4
0 .1 4 6
0.007
0.041
0.100
0.0 0 3
0.003
0.081
0.061
0.0 9 3
0.012
0 .0 2 4
0.005
0.011
0.022
0.0 6 9
0 .0 7 6
0.025
0.032
0.0 5 7
0.123
0 .0 4 6
0.129
0.1 3 9
0.002
0.0 1 3
0 .1 5 8
0.012
0.0 1 6
0.0 7 2
0.040
0.0 2 9
0.0 3 6
0 .0 0 8
0.013
0.0 6 9
0.025
0.001
0.0 1 4
0 .0 0 6
0.021
0 .0 1 6
0.0 5 4
0 .0 3 6
0.007
0.001
0.005
0.072
0.0 1 8
0 .1 0 6
0.0 7 8
0.0 4 9
0.007
0.0 1 2
0.0 2 6
0.1 1 5
0.055
0.130
0.075
0.0 2 9
0.043
0 .0 3 8
0.0 0 6
0.0 6 8
0.061
0 .0 0 8
0.033
0.109
0.0 3 6
0.011
0.0 0 6
0.0 5 5
0.002
0.061
0.0 4 7
0.011
0 .0 0 4
0.120
0.0 4 4
0.001
0.047
0.0 2 7
0.213
0.012
0.0 0 7
0.001
0 .0 9 8
0.063
0.050
0 .0 1 6
0.0 1 8
0 .0 3 6
0.090
0.0 0 6
0 .1 1 8
0.0 4 0
a) Desarrolle un m o d elo d e sim ulación en una hoja de cálculo para el valo r óptim o
de determ inar el valo r de rechazo " c " p a ra este plan d e m uestreo sim ple, que
asegure el m ín im o costo.
b ) Si la fracción de piezas defectuosas de los lotes fuera tres veces m ás grande que
los datos históricos, ¿cam biaría el valor de " c " l
4 .7 Problem as
1. En un restaurante de com ida rápida se venden ham burguesas a $6 cada una, con un
co sto de producción por unidad de $3.5. D espués d e un estudio se encontró que la
dem anda p o r hora en este local se distribuye de acuerdo con la siguiente función de
probabilidad:
Demanda
Probabilidades
0
1
2
3
4
5
6
0.10
0.15
0.25
0.20
0.15
0.08
0.07
Sim ule la utilidad prom edio p o r hora que se obtendría en 100 horas de trabajo.
Realice 5 corridas y construya la gráfica de estabilización d e la utilidad prom edio para
cada corrida, incluyend o su respectivo intervalo d e confianza a 95% . ¿Considera que
las conclusiones o btenidas son estadísticam ente válidas? ¿Por qué? ¿Cuál es la dife­
rencia de concluir m ed iante los intervalos de confianza de cada réplica y em plear el
intervalo d e confianza global para las 5 réplicas?
2. D espués d e realizar una sim ulación de 5 réplicas se obtuvieron los siguientes valores
en estado estable para el nivel de ingresos prom edio m ensual de una com pañía:
1 2 3 6 ,1 3 2 4 ,1 2 8 9 , 1302 y 1265. D eterm ine el intervalo d e confianza para establecer el
verdadero valo r del nivel d e ingresos prom edio m ensual d e la com pañía.
13 8
4.7 Problem as f 1
3. Un m o d elo sim ula el núm ero d e botellas rotas por año en una línea de producción.
Los resultados d e 6 años de esta variab le son: 11540, 10870, 1 2 520,13750, 10550 y
9850. No se tien e la certeza que el resultado d e esta variable siga una distribución
Normal.
a) Calcule la exactitud actual del m odelo con un nivel d e aceptación del 95%.
b) D eterm ine el núm ero de años que es necesario sim ular para obtener una e xa cti­
tud en el resultado d e ±300 bo tellas rotas con un nivel de aceptación del 90% .
4. Una sim ulación predice el precio por barril d e petróleo a nivel m und ial para finales
de 2015 en función de ciertos parám etros m acroeconóm icos que tienen variabilidad.
Se realizaron 5 réplicas de 1 año cada una y el precio al fin al en cada una de las 5
réplicas fue: 125.50,132.75, 120.80, 138.20 y 127.50 dólares por barril. Suponga no r­
m alidad en esta variab le para lo siguiente:
a ) D eterm inar la exactitud lograda con este núm ero d e réplicas y co n un nivel de
aceptación del 95% .
b ) Calcular el núm ero d e réplicas que se deben realizar para lograr una exactitud de
±0.35 con un nivel d e aceptación de 90% .
5. Se desea conocer el núm ero d e productos a sim ular en un m odelo de llenado de
botes d e m erm e lad a para log rar una exactitu d d e l volum en p ro m ed io d e llen ad o
de ±10 m ililitros con un nivel d e aceptación de 95% . Se realizaron observacio nes del
volum en (en m i) de 10 botes obteniendo los siguientes resultados: 556, 557, 572,
561, 559, 558, 552, 558, 560 y 558.
6. El tiem p o de reparación de un avión se com porta norm alm ente con m ed ia de 5 días
y desviación estándar d e 1 día. ¿Cuántas reparaciones se tendrían que realizar para
que el resultado prom edio del tiem p o tuviera una exactitud d e ±0.2 días con un nivel
de aceptación de 95% ?
7. D eterm ine el núm ero de cajas de cereal que es necesario sim ular en un proceso de
lle n a d o jja ra q u e la e x a ctitu d d e l p e so p ro m e d io d e las cajas n o d ifie ra en m ás
d e ±0.33(7 con un nivel de aceptación de 98% , considere que la m áquina d e llenado
introduce hojuelas en cada caja con una distribución d e w eibull.
8. A u n operario le llegan ciertas p iezas para que las in sp e ccio n e ; la revisió n se d e sa ­
rrolla de acuerdo con la distribución de tiem p o t= 3r¡¿. Si el operario recibe un lote
de 10 piezas, sim ule cuánto tiem p o tardará en revisar el lote. U tilice los siguientes
núm eros aleatorios: 0.6251, 0.5948, 0.6674, 0.2807, 0.9359, 0.1655, 0.1189, 0.7857,
0.4783, 0.9987.
Sim ule ahora 100 lotes m ed iante una hoja de cálculo y el generador d e núm eros
pseudoaleatorios MINSTD y determ ine el tiem p o de prom edio de revisión por lote.
9. Se tien e un proceso d e fabricación d e refrigeradores. La dem anda diaria de este p ro ­
ducto está distribuida de m anera normal. La dem anda prom edio es de 80 refrigera­
dores por día, con una desviación estándar de 10 refrigeradores diarios. Se desea
139
| ~| C a p ítu lo 4 S im ulación de variables aleatorias
saber cu á l es la m ejo r política de producción, considere 60, 70, 80, 90 y 100 refrigera­
dores p o r día. El costo por faltante es de $8/refrigerador por día, y el costo de tener
un refrigerador en el inventario es de $5/refrigerador por día.
a) Se le p id e realizar 5 corridas de 100 días para cada política.
b) Obtenga el costo prom edio p o r día d e cada política, y un intervalo d e confianza
para ese prom edio diario.
c) D eterm ine, con b ase en sus resultados, cuál de las po líticas seleccionadas es la
que deb e im p lem en tar la em presa.
10. Un cilin dro con diám etro x , será insertado en un agujero con diám etro xr Si x , sigue
una distribución norm al con m edia de 1.5 cm y varianza de 0.0016, y x 2, una d istrib u­
ción 2-Erlang y una m edia de 2.5 cm , sim ule en una hoja de cálculo la inserción de
500 cilin d ro s y determ ine m ediante el estim ador la probabilidad de que haya inter­
ferencia (es decir, que cilindro pequeño no entre en el agujero).
11. Una barra d e longitud x 1 será unida m ediante soldadura a otra de longitud x 2. Si x }
sigue una distribución norm al con m edia de 30 cm y varianza d e 0.81, y x 2, una distri­
bución Erlang con k = 10 y una m edia de 14.5 cm , sim ule la soldadura de 300 barras,
to m e en cuenta que las especificaciones d e diseño son de 4 5 ± 5 cm . y determ ine el
estim ador de la probabilidad de que una barra esté fuera d e especificaciones.
Tam bién calcule los coeficientes d e capacidad Cp y Cpk d e este proceso. ¿Considera
que está b ajo control?
12. Un proceso consta de 2 etapas: la prim era tien e una duración de f, m inutos y la
segunda dura t2 m inutos, f,sig u e una distribución norm al con m edia de 30 m in y
varianza de 10 m in, y t^ una distribución 3-Erlang y una m edia de 20 m in, el tiem po
m áxim o de producción perm itido de este proceso es de 55 m in, sim ule en una hoja
de cálculo la producción de 1000 piezas y estim e la probabilidad d e que una pieza
consum a m ás tiem po del perm itido.
13. Un tirado r d e flecha se encuentra entrenan do para las pró xim as olim piadas. El blanco
a que le dispara consiste en un cuadrado de 1 0 c m x 1 0 c m . Un equipo d e investiga­
dores m idió el co m portam iento histórico de su pulso, y llegaron a la conclusión de
que la desviación de cada disparo respecto del centro es normal(<7 = 3) cm en el eje
"y" yu n ifo rm e(-12, +12) en el eje "x". Sim ule en una hoja d e cálculo 500 disparos (por
réplica) del tirado r y calcule:
a) La probabilidad d e d ar en el blanco sim uland o sólo una réplica.
b) El in tervalo de confianza a un nivel de 90% d e la distancia entre el p u n to donde
pegó el disparo y el centro del blanco, usando 10 réplicas.
14. En el cierre de la novena entrada del 7o ju e g o del Clásico de Otoño en el Yankee
Stadium , Kevin Brow n, lanzado r de los Padres de San Diego, se enfrenta a Chili Davis,
b atead o r d e l e q u ip o contrario. Los Padres d e San D ieg o m an tien e n una m ín im a
ven taja d e 1 a 0. Con casa lle n a , 2 outs y 1 bola en la cu e n ta d e l bateador, D avis
recibe la señal de esp erar. El árb itro ha estad o m a n te n ie n d o u n a zo na d e strike de
14 0
4.7 Problem as f 1
40 cm x 40 cm . Kevin Brow n lanza la pelota respecto del centro de la zona d e strike
con una desviación norm al(cr = 10) cm en el eje "y", y u n ifo rm e(-30; +30) en el eje "x".
Sim ule, e n una hoja d e cálculo, hasta que el bateador quede elim inado, y calcule lo
siguiente:
a ) El p o rcen taje d e strikes al sim ular sólo una réplica.
b) El intervalo d e confianza a un nivel d e 95% de la distancia entre el p u n to por
donde pasó el lanzam iento y el centro de la zo na de strike, use 100 réplicas.
N ota :C o n 3 strikes (strike = lanzam iento en la zona de 4 0 x 4 0 ) acum ulados, el batea­
dor p ierd e; con 4 bolas (bola = lanzam iento fuera de la zona) el bateador gana.
15. La llegada de clientes a un b anco con 2 cajeras y una fila tien e una distribución de
Poisson con m edia de 40 personas/hr. En una hoja d e cálculo sim ule este proceso
durante 8 hrs y determ ine el tiem p o prom edio en el sistem a, to m e en cuenta que el
proceso de servicio es exp o nencial con m edia 4 .4 m inutos/cliente.
16. La llegada de clientes a un banco con 1 cajera y una fila tien e una distribución de
Poisson con media de 15 personas/hr. El 40% de los clientes hacen 1 transacción, el 30% ,
2 transacciones, el 20% , 3 transacciones y 10% el restante, 4 transacciones. El proceso
de servicio es exp o nencial con m edia 2.2 m inutos/transacción. Sim ule en una hoja de
cálculo este proceso durante 8 hrs y replique durante 300 días para determ inar el
tiem po p ro m ed io en la fila.
17. En una fábrica las piezas pasan por un proceso de inspección donde un operario las
revisa, tardan 6 ± 2 m inutos por pieza. El porcentaje d e rechazos que se tien e es de
15%, y las piezas defectuosas son elim inadas. Suponga que el inspector siem pre tie ­
ne piezas disponibles para revisar, sim ule este sistem a durante 100 piezas.
a) Realice 5 corridas y determ ine, por m edio de un intervalo d e confianza, el valor
prom edio de piezas defectuosas que se generarán en el sistem a.
b) ¿Considera que los resultados obtenidos de la sim ulación son confiables? ¿Por
qué?
18. Un centro d e m aq u in ad o recib e d iversas p iezas para se r procesadas. Cada u n a se
trab aja b ajo los sig u ien tes tiem p o s: el 30% tarda 2 m in u to s con d istrib u ció n e x p o ­
nen cial, el 35% tarda 3 ± 1 m in ; el 20% tarda 4 m in u to s d e m anera constante, el
15% se d istrib u ye d e a cu e rd o con una d istrib u ció n no rm al con m ed ia d e 5 m in , y
con u n a d esviació n e stán d ar d e 1 m in . P o r otra p arte, e l 5% d e l to tal d e las piezas
m aq uin ad as son retirad as com o p ro d u cto n o co nfo rm e, y en viad as al área de
reproceso.
a) Sim ule el sistem a hasta o b ten er 100 piezas buenas.
b) Realice 5 replicas y calcu le un intervalo de confianza para el tiem p o necesario
para co m pletar las 100 piezas.
c) ¿Considera que los resultados obtenidos en el inciso c tienen validez? En caso de
que n o los considere válidos, ¿q ué sugiere para m ejorar sus conclusiones?
141
n
C a p ítu lo 4 S im ulación de variables aleatorias
19. Un cam ión de reparto tarda 30 ± 10 m inutos en ser cargado, 20 ± 5 m inutos en ser
descargado, y 40 m inutos con distribución exp o nencial en trasladarse, ya sea d e su
base al lugar d e entrega, o del lugar d e entrega a su base.
a) Sim ule el sistem a por 10 horas y realice 5 réplicas.
b) Calcule un intervalo de confianza para el núm ero de viajes que se pueden hacer
en un día.
c) Sólo hay espacio para cargar un cam ión a la vez. Si la em presa necesita realizar al
m enos 10 entregas por día, ¿qué recom endaciones daría para lograrlo? Justifique
su respuesta y establezca sus supuestos.
20. Una estación de gasolina que cuenta con una sola bom ba recibe 10 clientes por hora
con distribución exponencial. Estos clientes son atendidos p o r el operador d e la
bom ba que les da el servicio y les cobra. El tiem p o de servicio se distribuye exp o n en ­
cialm ente con m edia de 4 m inutos por cliente.
a) D eterm ine el núm ero prom edio de clientes e n e l sistem a.
b) D eterm ine el porcentaje del tiem p o que el operador está ocupado.
c) D eterm ine el tiem p o prom edio d e perm anencia en la fila.
21. En un proceso de control de calidad se pasan cajas de m anera constante, con el fin
de inspeccionar al azar cie rto núm ero d e productos d e una caja seleccionada tam ­
bién arbitrariam ente. La probabilidad de seleccionar una caja para inspección es de
30% ; d e las cajas que se revisan, en el 50% de los casos se inspecciona sólo un p ro ­
ducto, en el 30%, 2 productos, y en el 20% restante, 3 productos. Se sabe que la
probabilidad de que una caja contenga uno o m ás productos defectuosos es d e 2%,
y que la probabilidad (en porcentaje) d e que este p ro ducto sea encontrado durante
la inspección es de 10*núm ero de productos inspeccionados.
a) Sim ule 100 cajas que pasan por el proceso de control de calidad.
b) D eterm ine el núm ero de cajas que contendrán productos defectuosos.
c) D eterm ine cuántas cajas con productos defectuosos n o fueron detectadas. Si el
costo de una caja con productos defectuosos que sale al m ercado es de $20/caja,
determ ine el valor total en el que se incurriría.
22. Una em presa tien e asignado un cam ión para el transpo rte de sacos de harina. El
cam ión realiza 10 viajes diarios y en cada via je transporta toda la cantidad de sacos
que su capacidad le perm ita. La capacidad del cam ión es de 1 tonelada y el peso de
los sacos sig ue una distribución de probabilidad de w eibull con parám etro de form a
2, parám etro d e e scala 4 0 kg y p arám etro d e lo calizació n 210 kg. D esp u és de
sim u lar 2 m eses, determ ine el núm ero prom edio de sacos transportados por día y su
desviación estándar.
23. Un granjero tien e una gallina que pone huevos a una razón Poisson con m edia de 2
huevos/día. El 20% d e los huevos se ro m pen, del 30% de ellos nacen pollos y el resto
perm anecen co m o huevos. D e los pollos el 20% m uere y el 80% sobreviven. Sim ule
este sistem a durante 300 días y determ ine el ingreso prom edio del granjero si cada
huevo lo vende en $2 y cada pollo en $30.
14 2
4.7 Problem as f 1
24. El du eño d e la única funeraria de un peq ueñ o pueblo ha com prad o un lote de 500
ataúdes con una longitud de 1.70 m etros. La población de este pueblo tien e una
estatura norm al con una m edia d e 1.65 y desviación estándar de 0.05 metros. El costo
de cada ataúd es de $3,000 y calcula vender cada uno en $8,000. Al morir, el difunto es
lle vad o a la fu n e ra ria para lo s p rep arativo s co rresp o n d ien te s y en alg u n as o ca sio ­
nes será necesario hacer arreglos adicionales para que quepa en el ataúd ; com o
d o b larle las ro d illas, el c u e llo , o am b o s, h a ce r un o rificio en la b ase o en la tap a
del ataúd, alargar el ataúd o sim p lem ente llevarlo co n las piernas colgando.
Ind ependientem ente d e la solución que m ás agrade a los deudos, el d u eñ o o frece un
descuento d e 5% sobre el precio regular. Sim ule este proceso hasta que se agoten
las existencias d e ataúd es y determ ine:
a) La cantidad d e difuntos que obtendrán un descuento.
b ) La utilidad prom edio que obtendrá la funeraria p o r este concepto.
25. Una tiend a vende tres tipos d e refrigeradores. El 25% d e los clientes com pra refrig e­
radores económ icos a un precio de $8,000/refrigerador, el 45% com pra refrigerado­
res estándar a un precio de $ 16,000/refrigerador y el resto com pra refrigeradores de
últim a generación a un precio de $30,000/refrigerador. Sim ule la venta de 1000 refri­
geradores y determ ine: el prom edio, la desviación estándar, el error estándar, la curtosis y el coeficiente d e asim etría del ingreso por día de la tienda.
26. Una em presa fabricante de agua desea abrir una nueva sucursal. El clim a existente es
m uy variab le, vea la sig uiente tabla:
Clima
Probabilidad
Caluroso
Templado
Frío
Helado
0.50
0.25
0.15
0.10
La venta de agua se com porta diferente para cada clim a de acuerdo con las siguien­
tes distribuciones de probabilidad:
Caluroso
Ventas (It/día)
50
100
200
300
Probabilidad
0.10
0.30
0.40
0.20
Templado
Ventas (It/día)
40
50
100
200
Probabilidad
0.10
0.20
0.40
0.30
Frío
Ventas (It/día)
10
20
50
100
Probabilidad
0.05
0.70
0.20
0.05
143
n
C a p ítu lo 4 S im ulación de variables aleatorias
Helado
Ventas (It/día)
0
5
10
20
Probabilidad
0.10
0.20
0.60
0.10
Si la venta por litro es d e $50 y los costos d e producción son de $1,000/día, sim ule y
determ ine los siguientes estadísticos para la variable utilidad diaria:
a) Prom edio, m ediana, m oda, valo r m ínim o y valor m áxim o.
b ) Desviación estándar, error estándar y rango.
c) Curtosis y coeficiente d e asim etría.
d) Cuartil 25% y 75% e intervalos de confianza del 90 y 95% .
e) Histogram a y distribución d e probabilidad.
f ) La probabilidad d e que la utilidad sea m ayo r a 0.
27. Una em presa ha decidido lanzar a la venta por única ocasión, 1000 lavadoras d e un
m odelo especial. La cantidad de lavadoras a fab ricar serán de 1000 + x dond e x e s
la cantidad de lavadoras que se m antendrán en inventario para reponer aquellas que
se d escom p on gan antes de la fech a lím ite de garantía. La vid a d e una lavadora
sigue una función de densidad 3-Erlang con media de 3 años. La garantía indica que se
repondrá cualquier lavadora que se descom ponga antes de 1 año. Esta garantía no
será válida para las lavadoras de repuesto. Sim ule el co m po rtam iento de cada una de
las 1000 lavadoras y encuentre el valo r d e x.
28. La venta diaria d e un determ inado producto se distribuye de acuerdo a la tabla de
probabilidades m ostrada. El costo d e m antener inventario es de $5/pieza, m ientras
que el costo del faltante es de $10/pieza. Se desea evaluar los niveles de producción
de 90, 94, 98 y 100. D e te rm in e cuál es el n ive l d e producción q u e m in im iza los
co sto s de operación, utilice 3 réplicas de 100 días cada una.
Demanda
88
90
92
94
96
98
100
102
probabilidad
0.05
0.2
0.1
0.15
0.2
0.15
0.1
0.05
29. Una estación d e reproceso recibe piezas con problem as de calidad. En esta estación
se revisan 4 puntos de calidad. La probabilidad de encontrar un defecto (d) es de 0.4
para cada uno d e estos puntos de inspección. Las piezas que tengan d > 3 defectos
son desechadas com o desperdicio. Las que si se pueden rescatar, son reprocesadas en
un tiem po exponencial con m edia de 1 + 2 d m inutos y regresadas a la línea de fabri­
cación. Use 5 corridas d e 100 piezas que si se puedan regresar a la línea, determ ine:
a) El costo del desperdicio si cada pieza cuesta $ 13.
b ) El tiem p o para com pletar 100 piezas reprocesadas.
30. A un cajero autom ático llegan clientes con un tiem po entre llegadas con distribución
3-Erlang con media de 6 minutos, cada cliente retira entre $1,000 y $5,000 en múltiplos
de $500 con distribución uniform e discreta. El cajero solo tiene disponible $450,000.
144
4.7 Problem as f 1
a ) ¿Cuánto tiem p o tardará el cajero para que deje de p erm itir al cliente retirar to d o el
dinero que deseaba?
b) ¿Cuántos clientes s í pudieron retirar to d o el dinero que deseaban?
c) Si este cajero es rea bastecido d e dinero cada 2 4 horas, ¿Q ué recom endación le
haría al Banco?
31. Cada 20 m inutos llegan piezas a una estación d e reproceso. El núm ero d e defectos
que una pieza puede tener com o m áxim o es 3. Se sabe que estos defectos siguen
una distribución Binom ial con m edia 2.4. El tiem po para realizar las reparaciones
correspondientes se distribuye exponencial con A = 0.2 piezas por m inuto por cada
defecto que tenga la pieza. D eterm ine, ¿cuánto tiem p o tom ará procesar 200 piezas?
Use 5 réplicas.
32. Don Cleto vende afuera de un estadio de béisbol dos tipos de productos: agua de
lim ón y em paredados de queso. Don Cleto prepara en casa 15 litros de agua y 5
em paredados. El costo de producción por litro es de $2.00 y el precio d e venta es de
$10.00. El costo de producción por em paredado es de $3.50 y el precio de venta es
$50. La dem anda diaria de agua sigue una distribución de probabilidad cuya función
de densidad es:
f(x)= ^ (x-S)
para
5¿x¿20
y la dem anda de las em paredados sigue una distribución de probabilidad geom étri­
ca con m edia d e 5 tortas/día.
Cualquier p ro ducto sobrante al fin al se debe tirar y no tie n e valor d e recupera­
ción n i es posible venderlo al día siguiente. Sim ule el co m po rtam iento d e este siste­
ma durante un año y calcule:
a) La utilidad prom edio por día que obtiene Don Cleto.
b) La probabilidad d e n o vender todos los em paredados.
c) La probabilidad d e n o vender toda el agua.
33. Un vendedor pro d u ce 2 hectolitros d e cerveza al inicio d e cada ju e g o del equipo de
fútbol de la ciudad de M orelia. El costo d e fabricación es de $100/hectolitro, y el p re ­
cio de venta es de $ 1100/hectolitro. El producto que no logre venderse tien e un valor
de rescate de $30/hectolitro. La dem anda sabatina d e este producto d epend e del
resultado del ju e g o del equipo local (ganar, em p atar o perder) y para cada caso exis­
te una función de densidad d e acuerdo a los datos de la siguiente tabla.
Equipo local
Demanda:
(hectolitros/juego)
Gana
Triangu lar (a = 1.5, b = 4, c = 2)
Pierde
Weibull con parámetros de localización = 0.5, escala = 1.5, forma = 3
Empata
f(f)= t-1
1<f <1+\ 2
145
n
C a p ítu lo 4 S im ulación de variables aleatorias
La probabilidad de que el equipo local obtenga cada uno d e los resultados depende
del resultado del ju e g o anterior, d e acuerdo a la siguiente m atriz de probabilidades
de transición (obtenida a p artir d e los resultados de la tem porada actual) que se
m uestra en esta tabla.
Resultado probable en el juego / + 1
Gana
Empata
Pierde
Gana
Resultado
en el ju e g o #
Empata
0.2
0.1
0.7
0.4
0.3
0.3
Pierde
0.5
0.4
0.1
Sim ule el co m portam iento d e este sistem a durante 100 partidos. Considere que el
últim o resultado d e este equipo fu e un triunfo y determ ine:
a) La utilidad prom edio por juego.
b) La probabilidad d e ten e r faltante.
34. Fuerzas rebeldes han decidido bom bardear el palacio d e un dictador. Para lograrlo,
lanzarán las bom bas en ataques convencionales consistentes sobre el objetivo. El
área del palacio p u e d e representarse co n el polígono d e la sig uiente figura:
Cuando un bom bardero llega al objetivo, lanza una carga de 1 bomba y aunque el
bom bardero siem pre lanza hacia el centro del objetivo (0 ,0 ), factores com o experien­
cia, peso de la bom ba, velocidad del bombardero, clima, visibilidad, velocidad del aire
y fricción, etcétera, desvían las bom bas hacia el Norte o Sur y hacia el Este o el Oeste.
14 6
4.7 Problem as f 1
Se ha dem ostrado en estudios previos, en otros ataques, que la posición donde
cae la bom ba en el eje Norte-Sur sigue una función de densidad que depende p rin ­
cipalm ente d e la exp eriencia del piloto d e acuerdo a:
Experiencia del piloto
Veterano
Función de densidad
Weibull (y = -500, /3 = 700, a = 3) metros
Novato
f{x)-
1 (x+500)
500000
500< x <500 metros
Y que la posición donde cae la bom ba en el eje Este-O este tam bién es depen­
diente de la experiencia del piloto pero con las siguientes funcio nes d e densidad:
Experiencia del piloto
Función de densidad
Veterano
Triangular [a = -600, b = 800, c = 0) metros
Novato
Uniforme (a = -600, b = 600) metros
D entro de la fuerza de ataque rebelde, el 65% d e los pilotos son novatos y el 35%
veteranos.
Las fuerzas leales al dictador poseen baterías antiaéreas que perm iten elim in ar a
los bom barderos antes que lleguen al palacio. La probabilidad d e que un b o m b ard e­
ro sea elim in ado antes de llegar a l palacio es d e 20%.
Desarrolle un m o d elo de sim ulación M onteCarlo dond e se sim ule el ataque de
1000 bom barderos y determ ine:
a) La distancia en línea recta entre el centro de palacio y la posición donde pegó la
bom ba.
b ) La probabilidad de que un bo m bard ero logre pegarle al objetivo contabilizando
aquellos elim inados antes d e llegar al palacio.
c) ¿Q uiénes son m ás precisos, los novatos o los veteranos?
d) ¿Consideraría ap un tar hacia otra coordenada que n o fuera el centro del palacio
con el o b jetivo d e m axim izar la probabilidad d e éxito? En caso afirm ativo ¿Cuál
sería esa coordenada? ¿Sería diferente para cada tipo d e piloto?
35. En un sistem a d e producción, una m áq uina tien e un índice d e producción de 1000
piezas/día (día = 2 4 horas). En ciertos días la m áquina se descom pone, la pro b ab ili­
dad de que la m áquina se descom ponga cualq uier día es 0.80. El departam ento de
m antenim iento ha desarrollado un sistem a de clasificación de fallas de acuerdo a su
im pacto y son: fallas leves, m oderadas, graves y fatales. En la tab la siguiente se p re ­
senta un resum en d e los resultados históricos d e estas fallas.
Registros históricos del número de días en que ha ocurrido cada
tipo de falla
Tipo de falla
Leve
Moderada
Grave
Fatal
Total de días
Días
10
15
25
35
85
147
n
C a p ítu lo 4 S im ulación de variables aleatorias
De m anera adicional se han hecho pruebas sobre el tiem p o d e reparación d e la
máq uina, el cual d epend e del tip o de falla d e acuerdo a los datos presentados en esta
tabla.
Tiempo de reparación
[horas]
Tipo de falla
Leve
4~Erlang(media = 4)
Moderada
Normal (/x = 3.5, a = 1.1)
Grave
f[t)=t-6
Fatal
6< f <6+v'2
Exponencial con parámetro A = 02
D urante el tiem p o de reparación, la m áquina no fabrica y su índice de producción
dism inuye proporcionalm ente según la duración d e la reparación. Si el precio de
venta del producto es de $1 OO/pieza, y el costo de reparación es de $ 11 /hora, deter­
mine:
a) El índice d e producción diaria y su prom edio después de 300 días.
b) La utilidad diaria y su p ro m ed io después de 300 días.
36. En un proceso d e fabricación de televisores, se desea saber el núm ero d e televisores
a producir, considere com o opciones 60, 70, 80, 90 y 100 televisores p o r día. En la
siguiente tab la se m uestran los datos históricos de la dem anda por día.
14 8
99
94
80
73
86
95
90
70
92
83
89
93
62
94
86
62
77
72
63
88
96
99
98
77
96
74
86
81
94
81
70
98
78
86
74
94
95
77
79
89
65
94
88
72
71
70
76
95
92
96
93
72
97
75
97
72
76
69
61
69
99
83
83
61
64
95
80
70
79
65
80
85
72
68
83
78
84
64
72
67
94
100
78
93
66
99
97
74
93
95
70
93
64
86
72
80
83
65
66
96
95
84
88
68
65
70
88
90
85
92
81
68
92
64
84
69
73
71
98
66
68
74
93
94
86
69
82
71
79
100
84
65
99
100
61
78
73
80
72
100
100
98
82
60
93
75
84
75
76
71
94
74
84
72
71
71
85
69
88
97
93
63
91
89
89
99
93
62
99
77
69
82
66
91
73
88
61
63
67
76
100
93
82
72
75
92
87
74
60
93
77
60
84
64
83
75
68
64
97
78
4.7 Problem as f 1
El costo por faltante es de $40/televisor por día, el costo de ten e r un televiso r en el
inventario es de $20/televisor por día. Existe una probabilidad de 3% de que un te le ­
visor esté defectuoso debido al m al m anejo de producto y al proceso m ism o, por lo
que antes d e salir de la fábrica, un inspector de calidad lo rechaza y este televiso r no
puede ser reprocesado, lo que provoca una pérdida directa de $90 por televisor. Por
otro lado, el cliente realiza un proceso d e inspección aleatoria para determ inar si
recibió televisores que se dañaron en el traslado de la planta a su tienda, el núm ero
de televisores que inspeccionan varía a diario. A continuación se m uestran los reco­
pilados del núm ero de productos inspeccionados todos los días por el cliente.
4
2
1
1
1
2
2
0
2
1
2
2
0
2
1
0
1
0
0
2
3
3
3
1
3
1
1
1
2
1
0
3
1
1
1
2
2
1
1
2
0
2
2
1
0
0
1
2
2
3
2
1
3
1
3
1
1
0
0
0
4
1
1
0
0
2
1
0
1
0
1
1
1
0
1
1
1
0
1
0
2
4
1
2
0
3
3
1
2
2
0
2
0
1
1
1
1
0
0
2
De este proceso d e inspección el núm ero d e televisores defectuosos que encuentra
el cliente se distribuye d e acuerdo a una distribución Binom ial con una probabilidad
de encontrar un televiso r defectuoso de 5% . El fabricante paga el costo de un televi­
sor defectuoso, el cual es de $120 por televisor.
a ) Obtenga el costo prom edio por día de cada política y un intervalo de confianza
para este prom edio diario.
b ) Con base en sus resultados determ ine cual de las políticas seleccionadas es la que
debe im p lantar la em presa.
149
Sim ulación con ProM odel
5.1
Introducción al uso d e ProModel
5 .2
Elem entos básicos
5.3
Estructura d e program ación en ProModel
5 .4
Construcción de un m odelo
5 .5
Arribos cíclicos
5 .6
Caso integrador
5 .7
Problem as
C a p ítu lo 5 S im ulación c o n ProM odel
5.1 Introducción al uso de ProM odel
ProM odel es uno de los paquetes de softw are com erciales para sim ulación m ás usados
en el m ercado. Cuenta con herram ientas d e análisis y diseño que, unidas a la anim ación
d e los m odelos b ajo estudio, perm iten al analista conocer m ejo r el problem a y alcanzar
resultados m ás confiables respecto d e las decisio nes a tomar.
Básicam ente, este p ro ducto se enfoca a procesos d e fabricación d e uno o varios p ro ­
ductos, líneas de ensam ble y de transform ación, entre otros. La m ism a com pañía de
desarrollo ofrece otros paquetes, com o M edM odel y ServiceM odel, diseñados para sim u ­
lación de sistem as m éd icos y de servicios, respectivam ente. Sin em bargo, aunque n o es
su especialidad, podem os realizar buenas sim ulaciones d e operaciones d e servicio con
ProM odel, ta l com o se verá a lo largo de este capítulo.
Para conocer las noticias m ás recientes sobre nuevos productos y casos de aplica­
ció n , visite la p ág in a W eb h ttp ://w w w .p ro m o d el.co m , la c u a l tam bién p o n e a su d isp o ­
sición dem os d e sus artículo s e inform ación referente a ellos.
5.2 Elem entos básicos
En ProM odel podem os distinguir una serie de m ódulos que perm iten al analista hacer un
estudio m ás co m pleto sobre el m od elo que quiere simular. Cada uno d e estos m ódulos
cuenta con h erram ien tas d e trab ajo que hacen d e ProM odel uno d e los m ejo res p a q u e ­
tes de sim u lación que existen en el m ercado. A co ntinuació n darem os una breve d e s­
cripción d e cada un o d e ellos.
ProM odel. Es el área d e trab ajo dond e se definirán el m odelo y todos sus com ponentes.
En este m ó d u lo se program a to d o lo que tien e que ver con las relaciones entre las varia­
b les del m odelo, ta n to contadores com o relaciones lógicas, flujos, actividad es y ciclos de
producción, por ejem plo.
Editor gráfico. El editor gráfico d e ProM odel cuenta con una serie de b ibliotecas que
perm iten dar una m ejo r presentación visual a los m odelos realizados. Adem ás, cuenta
co n la capacidad de im portar y crear las im ágenes necesarias para representar con m ayor
propiedad el problem a a sim ular. Incluso pueden im portarse dibujos hecho s con algún
softw are para dicho propósito.
Resultados. ProM odel cuenta con una interfaz d e resultados que facilita la adm inistra­
ción, el m anejo y el análisis d e la inform ación. En este m ódulo se pueden ve r los resulta­
dos d e to das las variables d e l m odelo. Algunas d e ellas se reportan d e manera
autom ática, y otras se obtienen b ajo solicitud expresa del analista. Adem ás, el m ódulo
perm ite la interacción con program as d e hoja de cálculo, com o Excel.
Stat::Fit. E l softw are incluye una herram ienta estadística llam ada Stat::Fit (algunas de sus
fu n cio n es se com entaron ya en el capítulo 3), que perm ite hacer pruebas de bondad de
ajuste sobre datos m uestra, produciendo inform ación m u y im po rtante para determ inar
las distribuciones asociadas a las variables aleatorias del m odelo. Adem ás, co nstitu ye una
15 2
5.4 C onstrucción de u n m o d e lo |~ 1
gran ayuda si se desconoce cóm o alim entar distribuciones co m p lejas d e la biblioteca de
ProM odel en el m o d elo d e sim ulación.
Editor de turno s. E l editor d e turno s perm ite asig nar turno s de trab ajo a los elem entos
del m o d elo que lo requieran, por ejem plo, descansos program ados, com o el tiem p o de
com ida.
Sim runner. Ésta es una herram ienta m u y útil en el análisis posterior del m odelo. Con ella
se p u e d en d ise ñ a r exp erim en to s d estin ad o s a co n o cer el im p acto de facto res crítico s
que se generan a p artir de la variación en los valores de las variables aleatorias seleccio ­
nadas para ello. Asim ism o, p erm ite d iscernir cu á l es la m ejo r com binación de factores
para obtener el m áxim o ben eficio al m ejo rar un proceso.
R eferencias y A yuda. Estos m ódulos de ProM odel facilitan el uso y la program ación del
software.
5.3 Estructura d e program ación en ProM odel
En ProM odel, la program ación para la sim ulación constituye sólo una p arte del proceso
d e construcción del m odelo ya que, co m o se ha m encionado, el softw are tam bién cuenta
co n diversas herram ientas — d e anim ación, por ejem plo— que el analista debe aprender
a m anejar para obtener los m ejo res resultados.
A fin de ayudarle a lograr una com prensión integral acerca del uso de ProM odel, en
este capítulo utilizarem os varios ejem plos que nos llevarán de lo m ás sim p le a lo m ás
com plejo. A pesar de lo anterior, esta obra no pretende cubrir de m anera exhaustiva
todos y cada uno de los elem entos que com ponen el producto. Si desea obtener m ás
detalles respecto de su funcionam iento, le recom endam os consultar los m anuales de
referencia que acom pañan al paquete.
5 .4 Construcción d e un m odelo
En esta sección com enzarem os nuestro análisis d e algunas d e las instrucciones de p ro ­
gram ación del paquete. Para em pezar, com entarem os algunos m odelos básicos d e líneas
d e espera.
5.4.1
M odelo M/M/1 de líneas de espera
Un m odelo sencillo d e líneas d e espera podría describirse com o aquel en dond e el tie m ­
po entre llegadas y el tiem p o de servicio son exponenciales. Considerarem os que el
orden d e atención (clientes en espera d e algún servicio, piezas involucradas en un pro ce­
so de ensamble, etcétera) sigue la estructura "primero que llega, prim ero en recibir atención".
Por otro lado, darem os por sentado que tanto la capacidad de clientes (o piezas) que
p u e d e h a b e r en el siste m a an alizad o en un tie m p o d e te rm in a d o co m o la p o b lació n
que puede requerir del servicio, son infinitas.
153
C a p ítu lo 5 S im ulación c o n ProM odel
Ejem plo 5.1
U na p ren sa cu e n ta co n un siste m a au to m atizad o d e carga y d e scarg a d e p iezas. C ad a
5 m in u to s llegan p iezas d e d ife re n te s ca ra cte rística s al siste m a, co n d istrib u ció n
exponencial. La prensa tarda 4 m inutos, tam bién con distribución exp o nencial, en term i­
n ar su trab ajo co n cada pieza, se considera carga, proceso y descarga. Suponga que
p uede ten e r cualquier cantidad de piezas que esperan ser procesadas, y sim ule el pro ce­
so por 100 días.
Un p rim er análisis d e l problem a nos p erm ite ve r q u e nuestro sistem a in clu ye d ife ­
rentes elem entos a considerar. Debem os suponer que las piezas llegan a una fila de
espera, después son procesadas en la prensa y abandonan, por últim o, el área de trabajo
con destino hacia algún otro alm acén y/o proceso. D ado que lo que ocurra con ellas al
salir de la prensa no nos interesa de m om ento, el sistem a b ajo análisis concluye cuando
se term inan las piezas en la prensa. Una ve z identificados estos detalles, procederem os a
realizar la program ación para sim ular el proceso en ProModel.
□ prim er paso, por supuesto, consiste en ejecutar el softw are para com enzar a trab a­
jar en la definición del sistem a que deseam os modelar. Una vez que se despliegue la
ven tan a del program a, em pezarem os por construir las localizaciones, es decir, una rep re­
sentación d e todos aquellos lugares físicos dond e las piezas serán trab ajad as o esperarán
su turno para ser procesadas. En este caso el sistem a cuenta sólo con una fila o alm acén
tem poral, y con la prensa en dond e se realizará el trabajo . Para definir dichas localizacio­
nes, abra el m enú Build y haga clic en el com ando Locations, com o se m uestra en la
figura 5.1.
“ P in U o H r l
M étodos
a b re v ia d o s
(I í> y n jt
■ i*»» ;
f ia » « e .
Or.fi*
E iocwb-o
¿m t+
S tfi
au p
Otua
d e te c la d o
»
C H -T
A4,V t
Mapo.
i't o w
M f f B Í lo M r tl
c*-e
aur
On-M
o r-s
»
G # r * rf!r lu r
Coa
e.rtw o.rdO M e'w
»
Figura 5.1 El co m a n d o Lo ca tio n s d e l m enú Build nos p erm ite co m e n za r a cre a r la s lo ca liza cio n e s para
nuestro m odelo.
Adem ás de Locations, el m enú Build agrupa todos los com andos referentes a la
construcción d e elem ento s d e n tro del d iseño de n u e stro sistem a: E n titie s (entid ades),
154
5.4 C onstrucción de u n m o d e lo |~ 1
Path N etw ork (rutas de m o vim ie n to de los recurso s o entid ad es), R eso u rces (recur­
sos), A rriv a ls (llegadas d e en tid ad es al sistem a), y Processing (la program ación d e la
sim ulación en sí m ism a), entre otros.
(N ota: Al ig u al que m u ch o s otros program as, ProM odel ofrece la posibilidad de
acced er a sus co m and os ta n to a través d e los m e n ú s com o m ed iante m étod os a b re v ia ­
dos de teclad o . Para conocer d ich o s m éto d os, abra cualq uiera d e los m en ús y o bserve
la referencia a las te clas co rresp o nd ien tes a la derecha de cad a co m and o [vea la fig u ra
5.1]. Por ejem p lo , para e je cu ta r el co m and o Lo catio ns o prim a sim u ltán e am en te las
teclas Ctrl y L.).
Una vez que ejecute el com ando Locations aparecerán tre s ventanas en la pantalla:
Locations, G ra p h ics y Layo ut (vea la figura 5.2). En la prim era definirem os las caracterís­
ticas d e las localizaciones y en la segunda las de los gráficos; la tercera ventana constituye
el área en donde determ inarem os la configuración general del m odelo.
Gracias a la interfaz gráfica del program a, para definir cada una de las localizaciones
podem os pro ced er de dos m aneras. La prim era co nsiste en escribir directam ente en los
cam pos de la ventana Locatio ns la inform ación correspondiente a cada localización:
nom bre, capacidad de atención, núm ero de unidades, estado, reglas y dem ás datos rela­
cionados. La o tra es m ás intuitiva y aprovecha los botones del área Graphics. El procedi­
m iento es com o sigue:
•
Haga clic con el botón izquierdo del ratón en uno d e los iconos del área G raphics
y lib ere el b o tó n , u b iq u e el c u rso r en el lu g a r del layo u t d o n d e qu iera co lo car
el icono y vuelva a o p rim ir el botón izquierdo del ratón. D e esta m anera habrá
creado una n u e va lo calizació n . El ico n o co rresp o nd ien te tend rá un nom bre
p re a sig n a d o en el ca m p o Ñ am e de la ve n ta n a L o ca tio n s. Para ca m b ia r el
no m b re, sim p lem ente selecciónelo y escriba. Para quitar la selección del icono
actual, sólo elija un nuevo icono y repita la operación.
•
Para se ñ a la r los lug ares a d o n d e qu erem o s q u e lleg u en las e n tid a d e s, haga c lic
en el ico no p re d e fin id o de localizació n (un c írc u lo con una e q u is |___ [) y, sin
soltar el botón d e l rató n, arrástre lo hasta la posición d esead a en la ven tan a
•
Layout.
Para agregar texto a las localizaciones, haga clic en el botón d e texto de la ventana
G ra p h ics (Aa ). Este texto puede editarse con sólo hacer doble clic sobre él.
Aunque para este prim er ejem p lo n o es necesario, se puede alim entar el m odelo con m ás
inform ación respecto d e las localizaciones; por ejem plo, su capacidad d e atención a enti­
dades, el núm ero d e localizaciones iguales, si se tom arán en cuenta los tiem po s d e des­
com postura, etcétera.
(Nota: Es im po rtante señalar que los gráficos únicam ente constituyen un elem ento
visual de apoyo, y n o la sim ulación en s í m ism a.)
155
C a p ítu lo 5 S im ulación c o n ProM odel
unía
11
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Información sobre las localizaciones de nuestro modelo
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Área de trabajo para definir
la configuración del modelo
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Ventana de Gráficos
« !»
-*>
*
A
Figura 5 .2 D e fin ició n d e lo ca liza cio n e s e n ProM odel.
En el caso p articular de nuestro ejem plo, debem os considerar que toda pieza que
llegue puede esperar a ser atendida. Para ello definirem os una localización a la que llam a­
rem os "fila", y le asignarem os una capacidad infinita en el cam p o Cap. al escribir infinite,
o sim p lem ente inf, para cada localización.
Si por alg una razón deseáram os cam b iar el icono de una localización, to d o lo q ue hay
que hacer es:
•
Seleccionar la fila en que reside dentro d e la ventana Locations.
•
•
O prim ir la tecla Sup r (o Delete).
D esm arcar la casilla de verificación New d e la ventana G rap h ics y seleccionar el
nuevo icono.
Otra posibilidad consiste en hacer clic con el botón derecho del ratón en el icono que
define la localización en la ventana Layout. Enseguida aparecerá un m enú co ntextual con
com andos para editar o elim inar la localización y borrar, incluso, toda la inform ación refe­
rente a ella. Por ejem plo, si selecciona el com ando Edit G rap h ic podrá m odificar el ta m a ­
ñ o y color del icono seleccionado, pero no la localización en sí m ism a. Para usar un
gráfico diferente que identifique la localización, tendrá que borrar el actual y rem plazado
por el nuevo.
15 6
5.4 C onstrucción de u n m o d e lo |~ 1
[ N o t a : Si olvida desm arcar la casilla de verificación New de la ventana Graphics, al
realizar cualquiera de las acciones anteriores estará creando m ás localizaciones de las
necesarias [en el caso de nuestro ejem plo, dos]. Para elim in ar aquellas que n o le sean
útiles, seleccione la fila apropiada en la ventana Locations, abra el m enú Ed it y haga clic
en el com ando Delete.)
Para continuar, definirem os la localización que representará la prensa. Igual que
antes, seleccione un icono cualquiera en la ventana Graphics. Gracias a la interfaz gráfica
de ProM odel puede anexar una posición sobre el icono, de m anera que "se vea" que la
pieza llega a la prensa; para ello, em plee el botón I U . Una ve z concluidas estas defin icio ­
nes prelim inares, la ventana Layout podría lucir com o se ilustra en la figura 5.3.
7 i M
ti lias
Oldatt
Prensa
Figura 5 .3 D e fin ició n d e lo ca liza cio n e s e n el Layout.
Una vez definida la configuración del proceso, pasarem os a d efin ir la entidad que
representará la pieza en proceso. Para ello:
•
Abra el m enú Build y hag a clic en el co m an d o En tities. Una ve z m ás, en la p a n ­
ta lla aparecerán tre s ven tan as: En titie s, En tity G ra p h ics y Layout, cuyo p ro p ó ­
sito es m u y sim ila r al d e sus eq uivalentes en el c a so d e la defin ició n de
localizaciones.
157
¡~~| C a p ítu lo 5 S im ulación c o n ProM odel
Tanto la definición d e entidades co m o su edición se llevan a cabo m ediante pro ced im ien­
tos parecidos a los que se realizaron con las localizaciones. Es posible m odificar el gráfico
seleccionado para cam b iar sus dim ensiones y su color, y definir, com o se describe a co n­
tinuació n, varios gráficos para una m ism a entidad:
•
Desm arque la casilla d e verificación New de la ventana En tity Graphics. Enseguida
aparecerán nuevos lugares para definir m ás iconos que identifican la m ism a enti­
dad; una ve z seleccionado el icono, su pantalla será sim ilar a la que se ilustra en la
figura 5.4.
[N ota: A l igual que en el caso de las localizaciones, si m an tien e m arcada la casilla d e veri­
ficación New definirá nuevas entidades con cada selección d e icono que haga.)
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Plata a
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Prensa
A
Figura 5 .4 D e fin ició n d e entid ad es.
Una vez definidas las entidades determ inarem os su frecuencia de llegadas a nuestro
m odelo. Para ello:
•
Abra el m enú Build y haga clic en el com ando Arrivals. A continuación se desp le­
gará la ventana A rriv a ls (vea la figura 5.5). En ella definirem os la frecuencia de
llegadas para nuestra pieza.
15 8
5.4 C onstrucción de u n m o d e lo |~ 1
di
Figura 5 .5 D e fin ició n d e lleg a d as de la e n tid a d a l sistem a.
•
•
Para seleccionar la entidad oprim a el botón Entity. Luego especifique a qué loca­
lización llegará la entid ad; e n este caso será a una localización llam ada T ila": haga
clic en el botón Location para que se desplieguen to das las localizaciones que
definim os previam ente.
Ahora determ ine, en la colum na Qty Each, cuántas piezas llegarán cada v e z que
•
se cum pla el tiem p o entre llegadas; en este caso determ inam os una (1) a la vez.
Prosiga su trabajo , especifique esta vez el tiem p o d e ocurrencia del p rim er evento
de llegada en la colum na First Time.
En la colum na O ccurrences debe indicarse el núm ero de repeticiones del evento
•
de llegada. En este caso especifique infinite (o sim p lem ente inf), lo cual im plica
que se adm itirá un núm ero infinito de eventos de llegada.
En la colum na d e Frequency especifique la distribución del tiem p o entre lleg a­
•
das; m anejarem os un valor exp o nencial con m edia d e 5 m inutos: e(5) min.
{N o ta : Si desea conocer las o pciones predeterm inadas d e las distribuciones de pro b ab ili­
dad que ofrece ProM odel, despliegue la ayuda del program a haciendo clic en el menú
Help, consulte el tem a Functio ns y elija la opción Probability Distributions).
Por ú ltim o co m pletarem os nuestro m o d elo d efin ien d o la lógica d e la sim u lació n ;
para ello abra el m enú Build y elija Processing. En esta ocasión se desp legarán dos
ven tan as en las que program arem os de m anera secuencial el proceso que sig ue la pieza
en el sistem a: P rocess y R o uting for. En la p rim era defin irem os las operacio nes que se
harán sobre la entid ad, y e n la segunda in d icarem o s la ruta secu en cial en el proceso. Al
an aliza r una v e z m ás el ejem p lo , verá que podem os d iv id ir el pro ceso en los sig uientes
pasos:
1. La pieza llega a la fila para esperar su turno d e procesam iento. Cuando se cum pla
la condición sobre el estado d e la prensa, la pieza abandonará la fila y seguirá su
ruta hacia la localización "prensa".
2. La p ieza lleg a a la p ren sa, d o n d e se le pro cesa d u ran te un tie m p o p ro m ed io
de 4 m in u to s, con d istrib u ció n e x p o n e n c ia l. U na ve z te rm in ad o el pro ceso en
la p ren sa, la p ieza ab and o na e sta lo c a liz a c ió n ; su sig u ie n te paso es sa lir del
sistem a.
Cada un o de estos pasos deberá program arse de m anera independiente, es decir, en un
registro separado. Em pezarem os p o r definir la llegada de las piezas a la fila. Para ello:
159
¡~~| C a p ítu lo 5 S im ulación c o n ProM odel
•
Seleccione la entidad co rrespo ndiente en la ventana Processing, ya sea haciendo
clic en el botón En tity o escribiendo directam ente el nom bre d e la entidad en el
cam p o d e dicha colum na.
•
Para program ar la localización de llegada d e la entidad (en este caso la localiza­
ción llam ada "fila"), haga clic en el botón Location; debajo se desplegarán todas
las localizaciones definidas.
Puesto qu e en esta localización la pieza sólo espera a que la prensa esté disponible, no se
program a nada en la colum na O peration. A continuación definirem os la ruta de salida en
la ventana Routing for:
•
En este caso la entidad de salida es d e nuevo la pieza, por lo que ése es el nom bre
•
que escribim os en la colum na Output.
El destino de la pieza es la prensa, así que seleccionam os dicha localización en la
colum na D estination.
•
La siguiente colum na, Rule, indica la regla de m o vim iento ; el valor pred eterm ina­
do a q u í es FIRST 1, lo que significa que la entidad avanzará tan pronto se tenga
capacidad disponible en la localización de destino.
•
La últim a colum na, Move Logic, determ ina el m o vim iento lógico de salida; en
este caso dejarem os en blanco el cam po. Una vez com pletada, la prim era línea de
program ación deberá quedar com o se ilustra en la figura 5.6.
Para co ntinuar es preciso d efin ir el proceso que se llevará a cabo con la pieza en la
prensa. Una vez m ás, com enzarem os p o r establecer que la entidad cuyo co m p o rtam ien ­
to nos interesa es la pieza, que la localización en la que se encuentra es la prensa, y que
el proceso ocupa un tiem p o específico de esta localización: 4 m inutos prom edio con
distribución exponencial. Para conocer los com andos de program ación necesarios para
especificar lo anterior, haga clic en el botón O peration d e la ventana Process. Enseguida
se desplegará la ventana O peration (vea la figura 5.7), en donde se escribirá la lógica del
proceso.
16 0
5.4 C onstrucción de u n m o d e lo |~ 1
B
H 0
O p e ia t io n
Imprimir
Compilar
Cortar
Deshacer
Construir
lógica
Buscar
Figura 5.7
La ven ta n a
O peration p erm ite
p ro gram ar las
operaciones.
Line: 1
•
Haga clic en el icono de m artillo para com enzar la construcción lógica. Al hacerlo
se abrirá otra ventana, que contiene todos los com andos d e program ación exis­
tentes.
ProM odel hará una sugerencia de co m and os que podrían resultar útiles. Al colocar el
curso r del ratón sobre cada uno de ellos se m ostrará una sugerencia en pantalla con una
b reve descripción de su utilización.
El com ando que puede ser d e utilidad en nuestro caso es WAIT, que im plica una
espera d e la entidad en cierto m om ento (por ejem plo, para realizar una operación).Toda
vez que querem os m anejar un tiem po exp o nencial de 4 m inutos, la instrucción com pleta
será WAIT E(4) min. La sintaxis general del com ando es la siguiente:
WAIT c u n id a d e s de t ie m p o
Procedam os a definir la ruta d e salida d e este registro. En este caso la entidad d e salida es
la pieza, y su destino es salir del sistem a. Finalm ente la program ación deb e lucir com o se
ilustra en la figura 5.8.
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Figura 5 .8 D e fin ic ió n d e la segunda lín e a d e program ación.
161
¡~~| C a p ítu lo 5 S im ulación c o n ProM odel
O bserve que, a l definir el segundo registro, la ventana de la ruta de salida em pieza de
cero. Esto significa que la ventana de program ación nos perm ite ve r los procesos d e las
piezas de m anera secuencial, aunque la ventana correspondiente a la ruta de salida del
proceso sólo m ostrará la program ación correspondiente a la línea seleccionada en la
ventana del procesam iento.
Finalizada la program ación, nos queda por definir el tiem p o de sim ulación. Para
ello:
•
Abra el m en ú Sim ulation y haga clic en el com ando Options. Enseguida se abrirá
la ventana correspondiente, ahí, en el cam p o Run h o u rs escribirem os lO O d ay. En
el cam p o N um ber o f R eplicatio ns podem os determ inar el núm ero d e veces que
deseam os correr el m odelo, es decir el núm ero de replicas. En este caso sólo
requerirem os de una repetición.
Seleccione en la sección O utput View er(s) to launch el form ato deseado para el
•
reporte de resultados, para este ejem p lo elegirem os la opción Output View er 2.0
(3DR).
E l m odelo está term inado. Para ejecutarlo, lo ú n ico que tien e que hacer es desplegar el
m enú Sim ulation y hacer clic en el com ando Save & Run. Una vez que esté corriéndose
la sim u la ció n , podrá — si así lo d e se a— a ju star su velo cid ad con la barra q u e aparece
en la parte superior de la ventana, o cancelar la anim ación m ediante el com ando Anim ation
O ff del m enú Options.
Al term inar la sim ulación de los 100 días se desplegará un cuadro de m en saje que
confirm ará la finalización del tiem p o program ado. Si desea ver los resultados, haga clic en
e l botón Yes (éstos pueden com pararse con los que se obtienen teó ricam ente m ediante
las ecuaciones m atem áticas d e líneas de espera para un m o d elo M/M/1). Enseguida se
abrirá una ventana con varias fichas que m uestran los resultados estadísticos de la sim u ­
lación (vea la figura 5.9). Los datos pueden leerse y graficarse d e inm ediato con las herra­
m ientas que ofrece ProM odel, o guardarse en archivos con form ato de Excel para luego
personalizarlos. En am bos casos podrem os encontrar la siguiente inform ación relevante
(las cifras pueden variar dependiendo d e los núm eros aleatorios que haya utilizado d u ­
rante la sim ulación).
30R
~
I R e p o i t loa
f* r Y » " _ !W i W < * * d *
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C A f o i o v r t f w S m v V b i I « r c i'f
11
Figura 5 .9 R eporte d e datos generales d e l m o d e lo (ficha General).
16 2
(«MAnvcfe | EnUyActvly |
V a * tb n
«| »|
5.4 C onstrucción de u n m o d e lo |~ 1
Ficha G eneral
Los datos que despliega esta ficha indican qué archivo se usó para obtener los resultados,
a sí co m o la fecha y hora en la que se realizó la sim ulación.
Ficha Locations
En esta sección (vea la figura 5.10) se presenta la información de cada una de las localizacio­
nes, las horas simuladas, su capacidad (en este caso la capacidad infinita se representa con
999999), el núm ero total d e entidades que entraron durante la simulación, el tiem po prom e­
tí io de estancia de las entidades en cada localización, el núm ero promedio de piezas, el
núm ero m áxim o de entidades, el núm ero actual de entidades al m om ento de finalizar la
sim ulación, y el porcentaje de utilización de cada una de las localizaciones. Tam bién se pue­
den revisar las estadísticas independientes de cada localización con capacidad unitaria
— com o la prensa— y de aquellas que tienen capacidad m ayor a uno — com o la de la fila.
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1536
30 4
28522 00
40 0
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00
100
200
00 0
100
79 28
X lllili7 .-J io n
Figura 5 .10 R eporte estad ístico de la s lo ca liza cio n e s (fich a Locations).
La ficha Locations tam b ién in clu ye inform ación respecto de los parám etros de un
sistem a d e líneas de espera, com o: la utilización de la prensa (P), que es un porcentaje de
la operación; el núm ero p ro m ed io de clientes en el sistem a (L), que es el Avg C ontents
d e la fila m ás el Avg C o n ten ts de la prensa; el núm ero prom edio de clientes en la fila (Lq),
que es el A vg C o n ten ts de la fila ; el tie m p o p ro m ed io de p erm an en cia en el sistem a
(W ), que es la sum a d e los Avg tim e per En try d e la fila y d e la prensa, y el tiem po pro­
m edio de perm anencia en la fila (W q), que es únicam ente el tiem p o d e la fila.
Si com param os estos resultados con los teóricos, verem os que son m u y sim ilares (vea
la tabla 5.1). La diferencia puede deberse a que la sim ulación no ha llegado a estado esta­
ble, o a la variabilidad natural del m odelo. En cualquier caso, es recom endable graficar la
variab le o variables d e respuesta que se desea com parar.
Tabla 5.1 Comparación entre los resultados teóricos y los obtenidos mediante simulación.
Parámetro
Resultado teórico
Resultado de la simulación
L
4 piezas
3.83 piezas
L q
3.2 piezas
3.04 piezas
w
20 minutos
19.35 minutos
Wq
16 minutos
15.35 minutos
P
80%
79.28%
1 6 3
¡~~| C a p ítu lo 5 S im ulación c o n ProM odel
Fich a s Locations S ta tes Single/Tank y Locations S ta tes Multi
En la prim era d e estas fichas se presenta la inform ación de las localizaciones que tienen
capacidad d e uno (conocidas com o de capacidad unitaria), y la segunda la de aquellas
que pueden contener m ás de una entidad a la ve z durante la sim ulación (denom inadas de
m ulticapacidad; vea las figuras 5.11 y 5.12). En nuestro ejem p lo tenem os una de cada
tipo: la localización "fila" tien e capacidad infinita, m ientras que la localización "prensa"
tien e capacidad de u no .1
3¡)eiem plo3_1.idb - Output View ei 3DR - (R ep o il foi ejemplo3_1]
¿¡U Fíe View Jools Wmdow Help
I t í i
General
Locations
3S
Location States Multi
0
Views: |
cundefined view>
| Location States Single/Tank
Resources
Lo ca lio n S tates 5>ingle/T¿ mk foi iejemplo3_1
Ñame
Scheduled
Time (MIN)
X
Opeiation
Z
Z
Z
Z
Z
Setup
Idle
W aiting
Blocked
Down
Prensa
144000 00
79 28
0 00
20.72|
0 00
0 00
000
F ig u ra 5.11 Reporte
de lo ca liza cio n e s c o n
cap acid ad u n ita ria (es
decir, c o n cap acid ad
p ara u n a so la en tid a d ).
L e je m p lo 3 _1 .id b - O utput V ie w e i 3 D R - (R e p o rt ío r e je m p lo 3 _1 |
3
File
View
Tools
Wmdow
Help
na kd m ah, • (oc­ i a
General
Locations
| Location States Multi
0
Views:
J
Location States Single/Tank
<undeline<
R eso u
L o c a tio n S t a t e s M ulti for ejem p lo 3_1
N arne
" dme
lila
S ch e d u le d
T im e (M IN)
X E m p ly
Z P a il O c c u p ie d
4¿IT i 3.00
37.29
62.71
F *
D üw ^
CLO
F ig u ra 5 .1 2 Reporte
de lo ca liza cio n e s co n
m ulticap acid ad (es
d ecir, c o n cap acid ad
para v a ria s en tid ad es).
En esta sección del reporte podem os encontrar inform ación referente al porcentaje
de tie m p o vacío , o cu p ad o d e m anera p arcial y n o lib re resp ecto del tie m p o d isp o n i­
b le para cada localización con capacidad m ayor a uno. En este caso, la localización "fila"
se encuentra 37.29% del tiem po vacío, 62.71% del tiem po con al m enos una pieza, y
nunca llena n i no disponible, pues le asignam os capacidad infinita y no se program aron
eventos que lim itaran el acceso y/o salida de las entidades a esta localización. Por otro
lado, la localización "prensa" es de capacidad unitaria, a sí que el reporte inform a el por­
centaje d e tiem p o que la prensa estuvo procesando alguna pieza (79.28% d e l tiem po), el
porcentaje d e tiem p o dedicado a actividad es de preparación (en este ejem p lo n o exis-
'Es la sum a de piezas e n a m b a s lo calizacio n es; lo m ism o su ce d e e n el c a so d e l tie m p o to ta l d e p erm an en cia e n
el sistem a.
164
5.4 C onstrucción de u n m o d e lo |~ 1
ten), el porcentaje de tiem p o que la prensa estuvo inactiva debido a que no había piezas
que procesar, el porcentaje de tiem p o que la localización espera a q u e un recurso u otra
entidad lleguen para iniciar el proceso (por ejem plo, en las situaciones en que hay ensam ­
bles o cuando la prensa requiere de un dado especial para procesar la pieza), el porcen­
ta je de tie m p o en q u e la localizació n n o está re alizan d o trab ajo a lg u n o — ya q u e la
capacid ad d e su localización destino está llena— , y finalm ente el p o rcentaje de tiem po
en el que la localización se encuentra no disponible.
Ficha Failed A rrivals
Esta ficha (vea la figura 5.13) lista las entidades de cada m odelo, e indica si alguna de ellas
no pud o entrar al sistem a en la localización definida en A rrivals. Esto puede suceder, por
ejem plo, cuan do la localización de llegada tien e una capacidad finita. Si ésta se com pleta
y una entidad desea ocupar un espacio en la localización, al no poder encontrarlo es
destruida y elim inada del sistem a. Esta inform ación es útil, por ejem plo, cuando se anali­
zan sistem as d e líneas de espera con capacidad finita y se desea saber el porcentaje de
clientes que n o pudieron ser atendidos.
l e |e m p lo 3 _ 1 idb - Qutput V ie w e i 3D R irm £ile
View
Tools
s
Genefal
y
Locations
Window
s
Help
ib - í= < * i
Location States Multi
F a ile d A n iv a ls íor ejem plo3_1
E n lity
Ñame
L o ca tio n
Ñ am e
F’ieza
lila
To tal
Failed
|
0.00
F ig u ra 5 .1 3
Estad ística de
e n tid ad e s no
ingresadas
(fich a Failed
Arrivals).
Ficha En tity A ctivity
Esta ficha del reporte refleja las estadísticas d e cada entidad definida en el m odelo. Com o
se observa en la figura 5.14, en este caso sólo tenem os la entidad llam ada "pieza". La infor­
m ación reportada es la entidad, el to tal de entidades que salieron del sistem a (en este
ejem p lo 28521), las entidades que se encuentran en el sistem a al fin alizar la sim ulación ,
e l tiem po prom edio de perm anencia en el sistem a (19.35 m inutos, que es el m ism o que
se inform a en la fich a Locations), el tiem po prom edio que la entidad pasó en un traslado
o m o vim ien to d e una localización a otra (m ism o que no se pro gram ó en nuestro m o d e ­
lo), el tiem p o prom edio q u e la entidad espera a otra entidad para un ensam ble, o a un
recurso para ser procesada o transportada (por ejem plo, p o r un m ontacargas), el tiem po
prom edio qu e se encuentra en p ro cesam iento o viajando en un transp o rtad o r y, fin a l­
m ente, e l tie m p o que n o p u e d e a van zar d e b id o a q u e la localizació n d e stin o está
to ta lm e n te ocupada (15.36 m inuto s, el tiem p o prom edio d e espera en la fila).
165
¡~~| C a p ítu lo 5 S im ulación c o n ProM odel
V iew
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1 General
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lo c a b c n s
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N o d e Entnes
F aitedA riivals
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E n t it y A c t i v i t y l o i c ic m p lo 3 _ 1
Ñam e
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C u n e n ! Q ty In
S y s te m
A v g T im e In
S y s te m (M IN )
A v g T im e I n M o v e
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A v g T im e W a i t F o r
R e s (M IN )
A v g T im e I n
O p e r a tio n (M IN )
A v g T im e
B lo c k e d (M IN )
Pieza
28521.00
3.0 0
19.36
0.00
0.00
400
1536
F ig u ra 5 .1 4 Estad ísticas d e la a ctivid a d d e la s e n tid ad e s e n el sistem a (fich a E n tity A ctivity).
Ficha En tity States
En esta ficha del reporte (vea la figura 5.15) podem os encontrar un resum en de los datos
d e la ficha En tity Activity, p ero en térm ino s porcentuales. Por ejem plo, com o en este caso
la entidad "pieza"pasa sólo 4 m inutos en operación, el reporte indica que pasó 20.68% del
tiem p o total de perm anencia en el sistem a (19.35 m inutos), m ientras que estuvo blo­
queada para co n tin u arsu cam ino a la localización destino el tiem p o restante, 15.35 m in u ­
to s (es decir, 79.32% del tiem p o total).
J¡] ejem plo3_1.idb - Output V iew er 3D R - [Report for ejem plo3_1]
m
Fie
View
&
Tools Window
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Locations
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Location States Multi
Views: |
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Location S lates S ingle/T ank
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Entity S ta te s for ejemplo3_1
Ñame
% In Move
Lo gic
£ W ait For
Res
% In Operation
% B lo cked
Pieza
0.00
0.00
20.68
79.32
F ig u ra 5 .1 5 Estad ística p o rcentu al d e la a ctivid a d d e la s e n tid a d e s (fich a E n tity States).
5.4.2
M ejoram iento visual del modelo
ProM odel p e rm ite in cre m e n ta r la cap acid ad visu al d e l m o d e lo m e d ia n te un c o n ju n ­
to d e h e rra m ie n ta s e sp e c ífic a s para d ich o p ro p ó sito . En e sta se cció n h ab larem o s
sobre có m o u tiliz a rla s, con b ase u n a ve z m ás en el m o d e lo que se co n stru yó para el
e je m p lo 5.1.
166
5.4 C onstrucción de u n m o d e lo |~ 1
Ejem plo 5.2
Nuestro trabajo en esta sección se basará en el ejem plo 5.1, aunque le harem os algunas
m odificaciones con el o b jetivo d e m ejorar su presentación al m o m ento d e ejecutar la
sim ulación. Adem ás, tratarem os de obtener inform ación relevante para el tom ador de
decisiones y/o para el program ador del m odelo.
Para com enzar, determ inarem os la cantidad de piezas que hay en el alm acén en
cualquier m o m ento dado. Esto se puede hacer de dos form as:
•
•
Abra el m enú Build y haga clic en el com and o Locations.
En la ventana Graphics, haga clic en el icono predeterm inado para la función de
contabilización de entidades en una localización (00). (Es im p o rtan te resaltar que
d eb e desm arcar la casilla d e verificación New para poder integrar este contador a
la localización que deseem os editar.)
•
Vaya a la colum na Cap. del registro d e la localización que desea m odificar (en este
caso "fila"), y cam b ie su capacidad a 50.
•
Seleccione los iconos correspondientes en la ventana Graphics, co m o se m uestra
en la figura 5.16.
B4M'roivrn
lod*
jr*
S .r i* .
0 1 4 ..1
Prensa
Figura 5 .16 D e te rm in a ció n d e la c a n tid a d de piezas e n una localización.
167
C a p ítu lo 5 S im ulación c o n ProM odel
•
Agregue una barra que ilustre la capacidad utilizada del to tal (es por eso que cam ­
biam os la capacidad de la localización a 5 0 ; si la hubiéram os m antenido en infini­
to no aparecería registro alguno en la barra). Para ello em plearem os el icono
predeterm inado, la barra de color azul que se encuentra debajo del ico no 0 0 en la
ventana Graphics. Si al m om ento d e colocar la barra de capacidad no ve la escala,
d e un doble click con el ratón sobre la barra y se abrirá la ven tana d e diálogo
Gauge/Tank donde podrá cam b iar las características visuales de la barra, active la
opción Show Escale y cierre la ventana. Al hacerlo su pantalla deberá lucir com o
se ilustra en la figura 5.16.
La otra m anera de llevar a cabo este procedim iento consiste en utilizar una variab le e
igualarla al com ando predeterm inado CONTENTS(/7/o) para contabilizar los contenidos
d e las localizaciones.
Para agregar el núm ero de piezas procesadas utilizarem os una variable. Para ello:
•
Abra el m enú Build, haga clic en el subm enú More Elem en ts y elija Váriables
(global). Enseguida se desplegará en pantalla la ventana d e definición d e varia­
bles, m ism a que se ilustra en la figura 5.17.
Ic en |
I n i c i a l valué
In te g e r
0
S t a c s .. .
|
T iae S e r ie s . j ^ » * “
T o ta le s p r e n s a ^ l
-J
z l
F ig u ra 5 .1 7 La v e n ta n a V ariab les (g lo b a l) n o s se rvirá para d e fin ir la s v a ria b le s del m odelo.
Nuestro propósito es d efin ir los parám etros de la variab le p za s_to t. Para ello:
•
•
Coloqúese en el prim er cam p o (ID) y m odifique el nom bre de la variable.
Cam bie al cam p o d e la segunda colum na (Type) para definir el tip o d e variable,
que puede ser entera (integer) o real; en este caso la variable es entera.
•
En el cam p o d e la sig uiente colum na, Inicial Valué, determ ine com o 0 el valor
•
inicial de la variable.
Com o querem os que el inco no d e esta variable aparezca en la sim ulación, haga
clic en la colum na Icón y después, nuevam ente en el lugar en dond e quiere que
aparezca el contador (vea la figura 5.18).
16 8
5.4 C onstrucción de u n m o d e lo |~1
Fig u ra 5 .18 D eterm in ació n d e lo s p ará m etro s d e la v a ria b le q u e co n ta b iliza piezas to tales.
□ sig u ien te paso co nsiste en esp e cificar que la variab le cam b ie cad a ve z que entre
una pieza a la pren sa. Esto se logra al program ar esta acción com o una operación que
se ejecutará al m o m ento d e que la pieza term in e d e ser procesada en la prensa. Para
log rarlo:
•
E lija el c o m a n d o P ro c e ssin g d e l m en ú B u ild . E n este caso a ñ a d ire m o s la
in stru c c ió n p z a s _ t o t = E N T R IE S (P re n sa ) e n el se g u n d o re g istro d e la p ro ­
g ra m a ció n , q u e c o rre s p o n d e al p ro ceso q u e se re a liza e n la lo c a liz a c ió n
"prensa". Esta lín e a d e p ro g ra m a c ió n hará q u e cad a ve z q u e u n a p ieza te r m i­
ne su pro ceso d e 4 m in u to s co n d istrib u ció n e x p o n e n c ia l e n la p ren sa se
c o n ta b ilic e co m o u n a p ieza te rm in a d a . La p ro g ram ació n d e b erá q u e d a r co m o
se m u e stra e n la fig u ra 5.19.
169
¡~~| C a p ítu lo 5 S im ulación c o n ProM odel
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F A IT 1 (4 )
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B H T P X E 3 (P ia n a a >
Prensa
000000
oooooo
I S T
F ig u ra 5 .19 Uso de la in stru cció n E N T R IE S ().
Si corriéram os la sim ulación en este m om ento, podríam os ver que tan to el contador
com o la barra reflejan la cantidad de piezas que se encuentran en un m om ento determ i­
nado en el alm acén definido en la sim ulación. Sin duda el m o d elo ya sim ula el problem a
que estam os ejem plificando, a pesar de que lo único que hem os hecho es agregar un par
d e gráficos que hagan m ás entendible lo que pasa.
La segunda m odificación que harem os consistirá en cam b iar el tiem p o d e sim ula­
ción, de m anera qu e su ejecución no sea m u y larga. Suponga que querem os cam b iar la
duración del m odelo a solo 30 días. Para ello:
•
D espliegue el m enú Sim ulation y haga clic en el com ando O ptions, com o se
m uestra en la figura 5.20.
S rrU y c n
É W jU
B v r.
¡W ,
V
n a
l fltn
U ttM P S s rc tm
S senvot
Figura 5 .20 Acceso a las o p c io n e s d e la sim ulación.
17 0
5.4 C onstrucción de u n m o d e lo |~ 1
A continuación se abrirá el cuadro de diálogo Sim ulation O p tio ns (vea la figura
5.21), en dond e es posible m odificar varias opciones d e la sim ulación. Por lo p ro n ­
to, cam b ie el valo r del cuadro d e texto Run h o u rs a 30 days y haga clic en OK.
Simulation Options
O utputPath:
ts and se
Run Ñame:
J J J documente toromodel H53B
■
M
Bro-Ase...
Ejemplo 5.1
Disable
Run Length
© Time Only
O Weekly Time
O Calendar Date
f~~l Warmup Pefiod
□ Animation
□ Cost
□ A rray Exp o rt
□ Time Series
A tS ta rt
"
Run Tañe*:
□
Trace
Modifique
aquí el tiempo
de simulación
□ üisplay Model Notes
T im e units default to hours unless otherwise spedfied.
General
"
Adjust for Dayiight Sa
0
Slap Resource D Ts if O ff-sh ft
Seleccione el
□ Generate Animabon S formato del reporte
de resultados
] Common Random Nun
Output Reporbng
© Standard
O Batch Mean
C
Indica
una sola
U Recompfe Mappings
-------------------------------------
u u ip u i viewer^sj 1 0 «unen
/
1 -------------------------------r — 1
0
Output Viewer 2 . 0 (3DR)
v
Number o f Replicabons:
1 ^
□ Minitab
Run
|
ré p lic a
lllB jg g B W
]
OK
|
Cancel
Help
Figura 5.21 0 cu a d ro de d iálo g o Sim ulation O p tio n s p erm ite d e te rm in a r d ive rso s p arám etro s d e la
sim u lació n .
Una interrogante im po rtante para el tom ador d e decisiones es si las variables del
m odelo están en estado estable o todavía se encuentran en un estado transitorio. Com o
se m encionó en el capítulo anterior, si querem os evitar la variabilidad que ofrecen los
resultados del estado transitorio, es necesario que nuestras soluciones se basen en las
estadísticas del estado estable.
Una opción de m ucha utilidad para obtener estadísticas estables consiste en definir
un tiem p o transitorio o de preparación (w arm up) dentro del m odelo. Com o p ro b ab le­
m ente recordará, la gráfica de estabilización que m encionam os en capítulo s anteriores
nos m uestra que los valores de las variables de respuesta en el estado transitorio suelen
describir una alta variabilidad. Para evitar que el efecto d e esta variación se diluya y poda171
¡~~| C a p ítu lo 5 S im ulación c o n ProM odel
m os obtener respuestas estables, es necesario contar con m ayo r tiem p o de ejecución.
D efinir un perio do de w arm up im plica ejecutar el m odelo durante cierto tiem po, después
del cual las estadísticas regresarán a cero. Gracias a ello se elim inarán los registros corres­
pondientes a las variables d e respuesta en el estado transitorio, y se conservará única­
m ente el valor fin al d e las variables de respuesta, lo cual im plica m enos tiem p o de
sim ulación y, por consiguiente, m en o r inversión de tiem po de com putadora y m enor
costo. Esto es m u y útil en casos en los que el sistem a se encuentra vacío en el arranque.
Si se da un tiem p o transitorio m ientras el sistem a se llena, ese tiem p o sería el que coloca­
ríam os de warm up. Le sugerim os acom odar un tiem p o d e un día para com parar resulta­
dos entre los m odelos con y sin tiem p o transitorio. La sim ulación term inará cuando se
cum plan 31 días: un tiem p o transitorio que no será to m ad o en cuenta al g enerar las esta­
dísticas, y 30 días que sí aportarán datos para o b ten er los pro m ed io s finales d e las varia­
bles d e respuesta.
Ahora nos falta colocar algún elem ento que m uestre la utilización de la prensa en
to d o m om ento. Esto nos servirá para determ inar si la variable de respuesta que deseam os
conocer — la utilización del equipo— se encuentra en estado estable o aún en estado
transitorio. Con dicho propósito incluirem os lo que se conoce com o un gráfico dinám ico.
Para construirlo:
•
Corra la sim ulación a una velocidad lenta para darle tiem p o a construir el gráfico
antes de que term in e la sim ulación, m ientras ésta se encuentra en ejecución, abra
el m enú Inform ation y haga clic en el com ando D ynam ic Plot/New. Al realizar
esta selección aparecerá la ventana D ynam ic P lo ts con la pestaña Stats to Plot
activada con las diferentes estadísticas que ProM odel recopila de m anera autom á­
tica, se recom ienda m over el tam año y la posición de la ventana hacia un lugar
•
dond e n o estorbe la vista del m odelo.
Com o en este caso d eseam os vin cu la r el gráfico d in ám ico con una lo calizació n,
haga clic en el botón Locations. Lu e g o seleccio ne la localizació n "prensa", y
d eterm ine la estad ística del p o rcentaje d e utilizació n (U tilization % ). Enseq uida
cam b ie a la p estañ a C h art y verá el co m p o rtam ien to d e la variab le a través del
tiem p o . La gráfica resultante puede ser m o d ificad a tal com o si se tratara d e un
gráfico d e Excel.
Si desea guardar el gráfico d inám ico para utilizarlo en futuras ocasiones, agréguelo a la
configuración de la siguiente m anera:
M ientras el m o d elo esté aún en ejecución y con el gráfico creado anteriorm ente en
la posición y dim ensiones deseadas, despliegue d e nuevo el m enú Inform ation, abra el
subm enú D ynam ic P lot y haga clic en el com ando Configurations. En ese m om ento
aparecerá una ventana en la que podrá asignar un nom bre al gráfico que acaba d e crear,
y guardarlo para em plearlo en alguna oportunidad posterior (por ejem plo, nos será útil
en la solución del ejem plo 5.2). En el cam p o Save/Renam e A s: pondrem os figura prensa,
haga clic en el botón Save.
Una vez guardado el gráfico dinám ico podrem os activarlo al inicio d e la sim ulación.
Para ello m odificarem os lo que se conoce com o lógica inicial del m odelo:
17 2
5.4 C onstrucción de u n m o d e lo |~ 1
Abra el m enú Build y elija el com ando G eneral Inform ation. Enseguida se des­
plegará en su p antalla el cuadro d e diálogo correspondiente (vea la figura 5.22).
□
G e n e i a l I n f o im a t i o n
Tile
M o d d E jo te s )
G ta p h ic Líxa»y:
|C A P io g ra m F ie s V P io M o d e l\G lb \P R 0 M 0 D 6 .G L B
B row se
Logic
U n ftt
T im e U m ls
Distance Units
^
S econds
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M inutes
r Ms»ers
r
Hours
r Deys
¡rrtia fc a lio n L o g ic ...
T e irrw u tio n L o g c ..
F ig u ra 5 .2 2
0 cu a d ro de
d iálo g o G eneral
Inform ation.
Este cuadro d e diálogo nos perm ite acceder a una opción para colocar notas que
identifiquen el m odelo. (Para crearlas, haga clic en el botón Model Notes, y para activar­
las, despliegue el cuadro de diálogo Sim ulation O p tio ns [Sim ulation/Options] y m ar­
que la casilla d e verificació n Display Notes).
El cuadro d e diálogo m uestra adem ás la ruta d e la biblioteca de gráficos q u e actual­
m ente se está usando en el m odelo, y que perm ite definir las unidades de tiem p o y dis­
tancia. Por últim o, en él podem os especificar eventos o características iniciales y finales
del m odelo. Por ejem plo, es posible desplegar un m ensaje d e advertencia que anun cie el
in icio o el té rm in o d e la sim u la ció n . Sin em b argo , p o r el m o m en to sólo activare m o s
e l gráfico dinám ico al com ienzo de la sim ulación. Siga estos pasos:
•
Haga clic en el botón Inizialization Logic para desplegar la ventana d e program a­
ción correspondiente (vea la figura 5.23).
Initializaiion Logic
x u
Ud
U ne 2
■H
%
F ig u ra 5 .2 3
V entana de
pro gram ació n para la
lógica inicial del m odelo.
Esta ventana es sim ilar a la d e Operation (vea la figura 5.7). En ella colocarem os la
instrucción DYNPLOT"nom bre del gráfico". Para nuestro ejem p lo escribirem os: DYNPLOT
"figura prensa". Una vez introducida la instrucción, cierre la ventana. Si ejecuta en este
173
¡~~| C a p ítu lo 5 S im ulación c o n ProM odel
m om ento la sim ulación, el gráfico dinám ico aparecerá desde el inicio y m ostrará su perio­
do transitorio, lo cual le perm itirá o bservar si la variable graficada está estable o no.
D urante la ejecución es posible que el gráfico oculte la sim ulación d e nuestro siste­
m a. Para evitarlo podríam os m odificar el tam año del gráfico, aunq ue con ello sacrificaría­
m os su calidad. Otra solución consiste en definir una vista dond e el sistem a se m uestre
alineado hacia el lado contrario a dond e aparece el gráfico dinám ico. Para lograrlo:
•
Prim ero d im ensio narem o sel sistem a actual. D etenga la sim ulación y abra el menú
V ie w y haga clic en el com ando V ie w s.
•
Enseguida escriba un nom bre específico para la vista en V ie w Ñ a m e , y haga clic
en la opción A d d del cuadro de diálogo. Ahora el botón S e t V ie w del m enú V ie w
está disponible para seleccionar la vista que acaba de definir. Haga clic en él.
•
Para desplegar la vista, abra el m enú V ie w , elija el subm enú V ie w s y haga clic en
el nom bre de la vista que definió en el paso anterior. Otra opción es ejecutar la
vista m ediante el m étodo abreviado de teclado que aparece al lado de su nombre,
el cual se com pone de la tecla Ctrl y un núm ero que corresponde al núm ero d e la
vista, en este caso Ctrl+ 1.
Puesto que la vista deberá ser activada al inicio de la sim ulación, regrese a la ventana
In ic ia t iz a t io n L o g ic y escriba en el siguiente renglón después d e la instrucción del gráfi­
c o dinám ico: V IEW " N o m b re d e la v is ta " . De esta m anera, la vista se activará al co m ien­
zo d e la sim ulación, al igual que el gráfico dinám ico. El resultado d e estas acciones podría
verse com o se ilustra en la figura 5.24. La sintaxis general de la instrucción VIEW es:
V IEW " n o m b re d e la v is ta "
F ig u ra 5 .2 4
Eje m p lo 5.2
term in ad o .
174
5.4 C onstrucción de u n m o d e lo |~ 1
Com o pud im os ve r en este ejem plo, increm entar el po tencial gráfico d e nuestro
m odelo es relativam ente sencillo. Pero las herram ientas de ProM odel no sólo están desti­
nadas a m ejorar la interpretación visual del m odelo; tam b ién nos perm iten integrar
m uchos otros elem entos con propósitos distintos, por ejem plo: la tasa de descom postu­
ras de un equipo, el tiem p o que tarda en repararse, la p ro b ab le generación de piezas
defectuosas en el proceso, los niveles de retrabajo o de utilización de los recursos, e tcé ­
tera. Es evidente, que, cuanto m ás apegado a la realidad queram os que resulte nuestro
m odelo, m ás cantidad de ajustes tendrem os que hacer; ésta es la razón p o r la que un
buen m o d elo d e sim ulación tom a tiem p o en ser construido. No obstante, es preciso
to m ar en cuenta, e n todo m om ento, que de nada sirve un m odelo perfecto gráficam ente
si n o se tien en buenos datos estadísticos de entrada.
5.4.3
M odelado de un sistem a que incluye m ás de un proceso
E je m p lo 5.3
Dos tipos d e piezas entran a u n sistem a. La prim era es un engrane q ue llega a una estación
de rectificado donde se procesa por 3±1 m inutos; la distribución de probabilidad asociada
a las llegadas de este engrane a la fila de la rectificadora es una distribución norm al con
tiem p o prom edio de 13 m inutos y desviación estándar d e 2 m inutos. La segunda pieza es
una placa de m etal que llega a una prensa con una distribución de probabilidad exponen­
cial con m edia de 12 m inutos. La prensa procesa un engrane cada 3 m inutos con distribu­
ción exponencial. Al term inar sus procesos iniciales, cada una d e estas piezas pasa a un
proceso autom ático de lavado que perm ite lim piar 2 piezas a la vez de m anera indepen­
diente; este proceso, con distribución constante, tarda 10 minutos. Finalm ente, las piezas
se em pacan en una estación que cuenta con 2 operadores, cada uno de los cuales em paca
un engrane en 5±1 m inuto y una placa en 7±2 m inutos. Se sabe que los tiem po s de tran s­
porte entre las estaciones son de 3 m inutos con distribución exponencial. No hay alm ace­
nes entre cada proceso: sólo se tien e espacio para 30 piezas antes d e la prensa y 30 antes
de la rectificadora. Suponga que cada día de trabajo es de 8 horas. Sim ule este sistem a por
4 0 días, indique el m om ento en que se inicia y se term ina la sim ulación.
E s q u e m a t iz a d o n i n id a l d e l m o d e lo
Antes de com enzar a definir el m odelo en ProM odel, es conveniente analizar el problem a.
El prim er paso consiste en esquem atizar el sistem a, com o se m uestra en la figura 5.25.
U n ifo rm e (3 ,1 )
E xp o n e n cia l ( 1 2 )
C o n sta n te 10
U nifo rm e (5 ,1 ) e n g ran e
U n ifo rm e (7, 2 ) placa
F ig u ra 5 .2 5
Esq u em a del
sistem a a m odelar
e n el ejem p lo 5.3.
175
¡~~| C a p ítu lo 5 S im ulación c o n ProM odel
D e f in ic ió n d e lo c a liz a c io n e s
Recordem os que el m odelado en ProM odel com ienza por la definición d e las localizacio­
nes físicas d e nuestros procesos, en este caso:
1. La fila de llegada para la rectificadora, con capacidad para 30 piezas.
2. La fila de llegada para la prensa, co n capacidad para 30 piezas.
3. El proceso d e rectificado, con capacidad para una pieza.
4 . El proceso d e prensado, co n capacidad para una pieza.
5. El proceso de lim pieza, con capacidad para lim piar dos piezas de m anera in d e­
pendiente.
6. El proceso d e em paque, en el que participan dos operadores independientes.
En este m o d e lo a p arece un n u e vo tip o d e lo c a liz a c ió n , ya que d e b em o s d e fin ir fila s
de e n tra d a . En m u ch o s siste m as se tie n e n b an d as o tra n sp o rta d o re s q u e se e n c a r­
gan d e d esp lazar las p iezas d e un p ro ceso a otro; en otros casos, co m o el d e las in sti­
tu cio n es b an cad as, hay so lam en te una fila para aten d er al clien te . ProM odel p erm ite
sim u la r esto s d e ta lle s.
Por ejem plo, para definir una fila:
•
•
Abra el m enú B u ild y elija L o c a tio n s .
i
Seleccione el icono que parece una escalera horizontal » *** "* ■ ) en la ventana
G r a p h ic s , y haga clic en la posición d e la ven tana L a y o u t dond e q uiere que
aparezca la fila de rectificado. Luego, al m over el curso r del ratón, una flecha indi­
cará que está definiendo la fila; coloqúese en el lugar dond e quiere que term ine
la fila haga doble clic. Es im po rtante m en cio nar que si sólo hace un clic en la posi­
ción final, seguirá construyendo la m ism a fila; esta característica es m u y útil para
definir en una sola localización band as o transportadores que pasen por toda la
planta o por varios procesos.
P o dría o c u rrir q u e al d e fin ir n u e stra fila el ico n o ap a re cie ra co m o u n a b a n d a d e ro d i­
llo s m ás q u e co m o u n a fila ; sin em b argo , es im p o rta n te que el m o d e lo sep a q u e se
ha d e fin id o u n a fila y n o u n a b an d a, p u e s al m o m en to d e la sim u la c ió n tra ta cada
e le m e n to d e m anera d ife re n te . Le re co m e n d a m o s q u e c o n s u lte la ayud a d e P ro M o del
para co n o ce r to d as la s c a ra c te rís tic a s q u e se p u e d en a sig n a r a una fila y a u n a b a n ­
d a. P o r lo p ro n to , u n a b u e n a fo rm a d e a se g u ra rse d e q u e la lo c a liz a c ió n es u n a fila
( q u e u e ) y n o u n a b a n d a ( c o n v e y o r), es co n un d o b le clic e n e lla d esd e la ven tan a
L a y o u t;e n s e g u id a se d esp leg ará el cu ad ro d e d iá lo g o C o n v e y o r / Q u e u e (vea la fig u ­
ra 5 .2 6 ). E n este cu ad ro po drá co n tro la r varias ca ra cte rística s d e la lo c a liz a c ió n . Haga
lo sig u ie n te :
17 6
5.4 C onstrucción de u n m o d e lo |~1
C o n ve y o i / Q ueue
Style
Width
r
s o iid
r Roller
Line
Boeder Color...
FU Color...
Length 116 000
meters
Conveyor Op‘ions.
[nviable Dunng SmUation
í
•
•
•
OK
1
Cancel
Help
F ig u ra 5 .2 6
D e fin ició n d e las
ca ra cte rística s de
u n a fila .
Asegúrese de que esté m arcada la casilla de verificación d e la opción Q u e u e .
Recuerde qu e el icono es sólo una representación visual, así q u e puede decidir, en
la sección S ty le , si el icono aparecerá sólido (Solid), co m o banda de rodillos
(R o ller), o sólo com o una línea (U n e ).
Si desea qu e el icono no aparezca al m o m ento d e ejecutar la sim ulación, m arque
la casilla de verificación d e la opción In v is ib le D u rin g S im u la tio n .
•
A dem ás d e estas características, el cuadro d e diálogo perm ite definir otras, com o
el color de borde y de relleno del icono (m ediante los botones B o r d e r C o lo r y Fill
C o lo r) y su longitud (Le n g h t), en metros.
•
Al term in ar d e definir las características de la fila de rectificado, haga clic en el
botón O K.
R epita el p ro ce d im ie n to para d e te rm in a r la lo ca liza ció n d e la p ren sa. (R ecu erd e q u e
am bas fila s tie n e n u n a cap acid ad d e 30 p iezas so lam en te.) Lu e g o d e fin a la p ren sa y
la re ctifica d o ra d e la m ism a m anera que d e fin im o s o tro s pro ceso s en lo s ejem p lo s
a n terio res.
A continuación definirem os la lavadora, seleccionando para ello el icono que desee­
m os que la represente. Para una m ejo r visualización, coloque 2 iconos de posicionam iento sobre el icono que representará a la lavadora (recuerde que ésta tien e capacidad de
lim piar dos piezas a la vez y de m anera independiente).
Por últim o, defina los operadores d e ensam ble. D e acuerdo con la descripción, en el
proceso participan dos operadores q u e realizan la m ism a operación, pero de m anera
independiente. O bserve que, en el caso d e la lavadora, un m ism o equipo tien e capacidad
para realizar 2 procesos de lavado, m ientras que ahora tenem o s dos operarios que reali­
zan la m ism a operación d e em paque.
Para definir esto en el m odelo podem os proceder d e dos m aneras. La prim era consis­
te en especificar a cada operador d e em paque com o una nueva localización; sin embargo,
177
¡~~| C a p ítu lo 5 S im ulación c o n ProM odel
a nivel d e program ación tendrem os que determ inar rutas d e entrada y salida para cada
u no d e ellos. La segunda opción es m ás práctica: se trata de establecer que el pro ceso de
ensam ble tie n e 2 unidades de capacidad, una por cada operador. Para lograrlo:
•
Defina una operación de em paque y, al term inar, coloque un 2 en la colum na
U n its de la ventana Locations. D espués d e aceptar este cam bio aparecerá una
segunda localización, idéntica a la que definim os originalm ente.
Si desea ca m b ia r d e posición d ich a lo calizació n , h ág alo ; e sto n o afectará el m o d e lo . Es
im p o rtan te m e n cio n a r que si la d e fin ició n d e l pro ceso im p lica m ás d e un ico no , es
p o sib le m o verlo s todos a la vez si se tom an d e la lín ea p u n te ad a q u e aparece en su
co ntorno.
Esta m anera d e d efin ir localizaciones iguales facilita la program ación y perm ite
seguirlas tratando d e m anera independiente, lo cual resulta m u y útil cuando querem os
sim ular, por ejem plo, un banco con 10 cajeros que realizan las m ism as operaciones.
Al term in ar estas definiciones, el m odelo se verá co m o se m uestra en la figura 5.27.
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A
F ig u ra 5 .2 7 D efin ició n de lo ca liza cio n e s p ara el e je m p lo 5.3.
O bserve que, aunque las filas aparecen com o líneas en el m odelo, en la ventana
Locatio n s siem pre lucirán com o band as de rodillos.
17 8
5.4 C onstrucción de u n m o d e lo |~ 1
D efinición de en tid ad es
E l siguiente paso en la construcción d e nuestro m o d elo será la definición de las entid a­
des. Para ello es necesario desplegar la ventana apropiada m ediante el com ando En tities
del m enú Build. En este pro blem a será necesario d efin ir dos entidades: una que rep re­
sente el engrane y otra que represente la placa.
Com enzarem os por d efin ir el engrane seleccionando el gráfico para dicho propósito.
Com o se m en cio nó en el ejem p lo 5.1, para m ejorar el aspecto visu al podem os agregar
una segunda gráfica. D espués repetim os el m ism o proceso para la placa. O bserve que en
la p arte inferior d e la ventana G rap h ics aparecen unas dim ensiones b ajo el concepto
Conveyor Only: estás dim ensiones son las que tom aría la pieza si entrara a alguna loca­
lización definida com o banda y no com o fila. Uno de los p ro blem as que podrían presen­
tarse al m om ento de sim ular el m odelo, es que estas dim ensiones sean dem asiado
grandes, lo qu e ocasionaría que las piezas no pudieran ser contenid as en la banda. Al
m om ento d e definir el m odelo es im po rtante considerar que el sim ulador tom ará en
cu e n ta las d im e n sio n e s física s d e las p iezas d e fin id a s en la o p ció n C o n v eyo r O n ly
en caso de entrar a una banda; sin em bargo, las ignorará cuan do entren a una fila.
D efinición de lleg ad as
El sig u ie n te paso en la construcción del m o d e lo es la defin ició n de los arribos o lle g a ­
das d e las p iezas al siste m a ; para ello , abra el m enú Build y hag a clic en el com ando
A rrivals.
Al esp e cificar los parám etros, recu erd e que las llegad as d e los eng ranes tien en
d istrib ución no rm al con m ed ia d e 13 m in u to s y desviació n están d ar d e 2 m inuto s,
m ientras que las d e las placas tien en d istrib u ció n exp o n en cial con m edia d e 12 m in u ­
tos. Una ve z definidas am bas llegadas, la ventana A rrivals deberá lu cir com o se m uestra
en la fig u ra 5.28.
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F ig u ra 5 .2 8 D efin ició n de lleg a d as d e la s e n tid ad e s (ejem p lo 5.3).
D efinición d el proceso: uso de la opción V iew Text
A continuación definirem os la lógica de procesam iento de la sim ulación. Para ello ejecute
e l com ando Processing del m enú Build.
Para program ar las operaciones y rutas de am bas entidades (engranes y placas), pro­
cederem os com o se indicó en el ejem plo 5.1, pero prim ero es co nveniente ten e r un
esquem a del proceso secuencial d e cada una d e ellas. Es en este tip o d e situaciones don­
de herram ientas co m o los diagram as de operación resultan útiles para realizar una pro­
gram ación m ás eficiente.
179
C a p ítu lo 5 S im ulación c o n ProM odel
Recuerde que el tiem p o de transpo rte entre procesos es de 3 m inutos, con d istrib u­
ción exponencial. Por lo tanto, en cada ruta que im p liq u e m o vim iento d e un proceso a
otro será necesario program ar la instrucción M ove For E(3) en la colum na Move Logic de
la ventana Routing. La sintaxis general d e esta instrucción es:
M OVE FO R < tie m p o > ,
dond e el tiem p o puede ser una constante, una distribución de probabilidad, una variable
o un atributo num érico.
Para ilustrar la program ación de am bas piezas en este m odelo, em plearem os una
opción d e ProM odel que perm ite visualizar la m ayor p arte de la inform ación. Siga estos
pasos:
•
Abra el m enú File y haga clic e n el com ando View Text. Enseguida se desplegará
en la pantalla toda la inform ación que hem os incluido hasta el m o m ento en el
m odelo. Esto es m u y útil, sobre todo en problem as en los que se requiere m ucha
program ación. En la figura 5.29 se m uestra la p arte correspondiente al procesa­
m iento que desplegará el com ando View Text. Tom e está inform ación com o
referencia para verificar si ha program ado la secuencia d e los procesos y las rutas
d e m anera adecuada.
P ro c e s a in g
P ro c e sa
L o c a tio n
E n gran e
P i la _ r e c t i f ic a ilo r a
E n g ran e
E n g ran e
R e c tific a d o ra
la v a d o ra
E n g ran e
p la c a
p la c a
p la c a
E npaque
P ila ._
P re n sa
la v a d o ra
E npaque
u a i t u < 3 .i>
u a i t 10
G ra p h ic 2
u a i t u < S .l>
u a i t E<3>
u a i t 1S
G ra p h ic 2
u a i t u < ? .2 >
B lh
D e s tin a tio n
R u le
fio v e L o g ic
1
1
E n g ran e
E n g ran e
R e c tific a d o ra
la v a d o ra
P IR S I 1
FIRST 1
n o v e f o r E<3>
1
1
1
1
E n g ran e
E n g ran e
p la c a
p la c a
E m paque
EX 1I
P re n sa
la v a d o ra
FIR S T
FIR S T
FIR S T
FIRST
1
1
1
1
n o v e f o r E<3>
nove
f o r E<3>
1
p la c a
E m paque
FIRST 1
f o r E<3>
1
p la c a
EXIT
FIRST 1
«i
p la c a
O p e r a tio n
R o u tin g
O u tp u t
I
E n tity
F ig u ra 5 .2 9 In stru ccio n es d e p ro cesam ien to del e je m p lo 5.3.
O bserve que en este ejem p lo hem os utilizado el com ando GRAPHIC #, m ism o que
perm ite cam b iar la gráfica de la entidad por otra determ inada al m om ento de definir las
entidades. El sím bolo # representa la posición que tien e la gráfica dentro d e la lista de
gráficos definidos para esta entidad. Vea tam b ién cóm o se usa la instrucción M OVE FO R
en cada caso donde se requiere un transpo rte de un proceso a otro. Por último, observe
que se program aron prim ero las trayectorias del engrane y posteriorm ente las de la placa.
ProM odel p erm ite definir cualq uier proceso y ruta sin im p o rtar el orden cronológico. Sin
em bargo, con el propósito de lograr una m ejo r lectura d e la program ación, se recom ien­
da proceder com o se m uestra en este ejem plo. D e esta m anera, si por algún m o tivo fuera
necesario m odificar la program ación, será m ás sencillo insertar y elim inar líneas para
darle un orden secuencial a la sintaxis d e nuestro m odelo.
18 0
5.4 C onstrucción de u n m o d e lo |~ 1
Uso de la instrucción DISPLAY
A p artir d e los pasos q u e hem os seguido hasta este m om ento, el m odelo deberá poder
ejecutarse sin problem as. Sin em bargo, aún no hem os incluido el m en saje de inicio y de
fin de la sim ulación que se nos pidió. Para hacerlo:
•
Abra el m en ú Build y haga clic en el com ando G en eral Inform ation para desp le­
•
gar el cuad ro d e diálogo correspondiente (vea la figura 5.22).
Haga clic en el botón Initilization Logic y, en la ventana que aparece, escriba la
instrucción DISPLAY "Inicio de la Sim ulación". Esta instrucción desplegará una
ven tana d e m e n saje q u e d e ten d rá la sim u lació n h asta que h ag am o s clic en
u no d e los botones incluidos en ella: si hacem os clic en Cancel, la sim ulación no
se ejecutará; si hacem os clic en OK la sim ulación com enzará.
Una vez que haya program ado el m en saje de inicio, deberá hacer lo pro p io con el m e n ­
saje de finalización d e la sim ulación.
•
Vuelva a desplegar el cuadro d e diálogo General Inform ation, y ahora haga clic
•
en el botón Term ination Logic.
Cuando se abra la ventana Term ination Logic, coloque nuevam ente el com ando
DISPLAY, pero esta ve z con un m en saje de fin d e la sim ulación. (Recuerde colocar
el texto entre com illas dobles.)
La in stru cció n D ISP LA Y es m u y ú til para program ar m en sajes d e alerta d e n tro d e la
sim ulació n, o para realizar interacción con el usuario del m odelo. Sin em bargo, tien e el
inco nveniente d e que detiene la sim ulación, por lo que es im po rtante utilizarla única­
m ente cuando el m en saje sea relevante. Por otro lado, si el program ador desea colocar
com entarios dentro d e la program ación, puede hacerlo en los espacios reservados para
las notas del m odelo. Adem ás, si se considera necesario, es posible usar com entarios en
la program ación de las operaciones y rutas d e las entidades, m ediante cualquiera d e las
siguientes o pciones al com ienzo del renglón:
// te x to d e un solo renglón
• te x to d e un solo renglón
/* texto en varios renglones */. En este caso es necesario d efin ir el inicio del co m en­
tario y la finalización del m ism o; es por ello que se utilizan dos sím bolos.
La sintaxis general d e la instrucción DISPLAY es:
DISPLAY iJm e n sa je " {, < e x p re sió n >},
N uestro m odelo se encuentra casi term inado. Sólo nos falta incluir el tiem p o que desea­
m os sim ular el sistem a.
181
C a p ítu lo 5 S im ulación c o n ProM odel
D efinición del tiem p o de sim ulación
En el planteam iento del problem a se estableció que cada día tien e 8 horas hábiles de
trabajo. Tam bién se estipuló que el m odelo del sistem a abarcaría 4 0 días, por lo que el
tiem p o to ta l de sim ulación será de 320 horas. Dé los pasos pertinentes para determ inar
estos parám etros com o sigue:
•
Abra el m enú Sim ulation y haga clic en el com ando Options. En el cuadro de
diálogo que se despliega, especifique 3 2 0 hr. en el cam p o Run H ours. Tenga cui­
dado y no lo indique c o m o 4 0 d a y , porque si lo hace el m o d elo sim ulará el sistem a
por 4 0 días de 2 4 horas cada uno.
Estam os listos para guardar y ejecutar el m odelo. Abra el m enú Sim ulation y haga clic en
e l com ando Save & Run. V erifique que el m odelo se ejecute sin problem as.
En tid ad es que no pudieron en trar al sistem a
U na de las problem áticas que pueden presentarse al m o m ento de m o d elar un sistem a,
radica en que la capacidad de las localizaciones d e llegada resulte insuficiente para recibir
to das las piezas que arriban a l sistem a. Cuando esto ocurre, ProM odel genera, al fin al de
la sim ulación, un m en saje de advertencia co m o el que se ilustra en la figura 5.30 (en
español, el m ensaje dice "¿Q uiere ve r los resultados?) (Nota: Se presentaron fallas en la
llegada de entidades debido a capacidad insuficiente).
im ulation Complete
$
Do you want lo see Ihe resulls?
(NOTE: There weie enlity arñval lailures
due lo ¡nsufficient capacity)
No
F ig u ra 5 .3 0
Aviso de
llegadas fa llid as.
En este ejem p lo se espera que se presente esta situación. Es posible, sin em bargo,
que no sea así. Todo depende de la com putadora que se esté usando, y tam bién del
núm ero d e veces que se ejecute la sim ulación, puesto que al ejecutarse en repetidas
ocasiones, los núm eros aleatorios que se utilizan para el m odelo cam bian, y a su vez
m odifican los resultados finales.
O bserve que el m ensaje de la figura anterior no estipula cuántas entidades no pud ie­
ron ser sim uladas. Para conocer el dato preciso, consulte la inform ación d e la fich a Failed
A rriv a ls en el rep o rte de resultados, donde se m ostrará el núm ero d e piezas que no
pudieron entrar al sistem a.
En cualquier caso, a fin d e evitar la ocurrencia de este tip o de problem a se sugiere al
lecto r qu e cam b ie la capacidad d e las filas de entrada. D icho increm ento no dism inuye de
m anera lineal el núm ero de piezas que no pudieron ser sim uladas. Incluso si se increm en­
ta 300% la capacidad actual d e las filas, el m odelo seguirá p resentan do entidades que no
pudieron ser sim uladas. El analista debe evaluar si es m ejo r ten e r filas m ás grandes — que
ocupan m ás espacio— o m odificar algunos d e los procesos, de m anera que las piezas
puedan fluir m ejo r por el sistem a.
18 2
5.4 C onstrucción de u n m o d e lo |~ 1
5 .4 .4
Inclusión de gráficos de fondo en el modelo
En algunos casos podría ser necesario m odelar procesos sobre un plano real de una p lan ­
ta o de un área d e trabajo, en especial con m iras a m ejorar la presentación visual de la
sim ulación. En ProM odel esto es posible por m edio de un cam bio del gráfico d e fondo del
m odelo. Veam os có m o fu n cio n a esto en el ejem p lo siguiente.
Ejem plo 5.4
Tom e com o base el ejem p lo 5.1, m o difique el fo n d o d e la sim ulación y agregue un código
d e colores a la prensa, para saber cuándo está trab ajan d o y cuándo se encuentra ociosa.
Sim ule este sistem a por 4 0 días.
Para com enzar, harem os las m odificaciones pertinentes en las localizaciones: agre­
gue un código de colores a la prensa, para identificar sus periodos activo s e inactivos:
•
•
•
•
Abra el m enú Build y haga clic en el com ando Locations.
Seleccione e l icono d e la prensa en la ventana L a y o u t
Desm arque la casilla de verificación d e la opción N ew en la ventana Graphics.
Seleccione el icono del punto azul
en la ventana G raphics, y arrástrelo hasta
colocarlo a un lado d e la prensa.
LíJ
El icono cam b iará de color autom áticam ente durante la sim ulación, lo que le indica el
estado de la prensa: será azul si está ociosa, verd e si está realizando alguna operación, y
rojo cuan do n o esté disponible (en este caso, cuan do se presente el evento del m anteni­
m iento preventivo).
El sig uiente paso consiste en cam b iar el fo n d o de la sim ulación. Podem os hacerlo de
dos m aneras; la prim era consiste en m odificar así el fondo del área d e trabajo:
•
•
Abra el m enú View, elija el subm enú Lay o u t Settings, y haga clic en el com ando
Background C olo r (vea la figura 5.31).
Seleccione el co lor que desee en la ventana que se despliega, y haga clic en el
botón OK; el cam b io se reflejará d e inm ed iato en el área de trabajo.
eiii i ni
t*
’
m
SinAtxn JUv.1 Ioob S'nb-
F ig u ra 5.3 1 Siga e s ta ruta para ca m b ia r el c o lo r d e fo n d o del á re a d e trab a jo de la sim ulación.
El otro m étodo para m odificar el fondo del área d e sim ulación nos perm ite, adem ás,
co lo car una im agen con form ato BMP, WMF, G IF o PCX. Esto facilita la im portación de
archivos de AutoCad, por ejem plo, p erm ite trab ajar sobre el p lano de una planta real. En
183
C a p ítu lo 5 S im ulación c o n ProM odel
este caso es recom endable colocar el fo n d o antes d e com enzar a definir las localizacio­
nes, ya qu e d e otra m anera éstas podrían quedar desfasadas d e su lugar si se hiciera una
m odificación de tam año al plano, lo cual exigiría invertir m ás tiem p o en su reubicación.
Para poder insertar el archivo gráfico com o fondo:
•
Abra el m en ú Build, elija el subm enú Background G raphics, y haga clic en el
com ando Behind G rid (vea la figura 5.32).
6 *3
Q upu
Ix fc
014
Cu14
Di141
r *J
CM4I
014»
01-4
Sa*
*4#e Z i w
u
014
F ig u ra 5 .3 2 Prim er paso p ara la inserció n d e u n a im ag en d e fo n d o e n el área de trab ajo .
Enseguida se desplegará en la p antalla una interfaz gráfica que nos p erm ite insertar
im ágenes d e fondo, o incluso diseñar nuestros propios fo ndo s para el área d e trabajo (vea
la figura 5.33). Sin em bargo, en este ejem p lo ilustrarem os sólo cóm o insertar una im agen
con form ato BMP.
fi.
v—
0 -*-
Q / ;u
t .r ,
tf"
Figura 5 .33 Im p o rta c ió n d e una im a g e n d e fo n d o a la sim ulación
184
-ISJ21
5.4 C onstrucción de u n m o d e lo |~ 1
Una vez que entre al área de im portación y generación d e im ágenes d e fondo:
•
•
Abra el m enú Ed it y elija Im port G raphic. A continuación se desplegará un cu a­
dro d e diálo go O pen, sim ile al h ab itu al en los program as d e plataform a
W indows.
Localice el archivo que le interese en la unidad y carpeta d e su com putadora en
dond e esté alm acenado (en ProM odel los fo rm atos predeterm inados para im po r­
tación son BMP y WMF, aunq ue adm ite otros form atos). Selecciónelo y haga clic en
el botón OK. El archivo gráfico se abrirá d e inm ed iato com o fondo de la sim ulación
(las im ágenes im portadas generalm ente aparecen en la esquina superior izquier­
da del área de trabajo).
En ocasiones el gráfico im portado resulta m u y pequeño, por lo que tendrá que agrandar­
lo m anualm ente. Para ello, selecciónelo, coloque el cursor del ratón en una de sus esqui­
nas, haga clic y, sin soltar el botón del ratón, arrastre hasta lograr el tam año deseado. Es
im po rtante señalar que, en el caso d e los archivos BMP en particular, un increm ento de
tam año im plica tam bién m ayo r distorsión de la im agen.
Una ve z com pletada la im portación podríam os ver un fondo com o el que se m uestra
en la figura 5.34. En este caso se colocó un gráfico predeterm inado d e W indows com o
fo n d o del sistem a.
F ig u ra 5 .3 4 0 fo n d o d e e sta sim u lació n u tiliza un a rc h iv o gráfico e n fo rm a to BM P para m ejorar su
p resen tació n .
Con esto concluim os las m odificaciones visuales requeridas en el ejem p lo 5.4.
185
C a p ítu lo 5 S im ulación c o n ProM odel
5.5 A rribos cíclicos
En los ejem p lo s anteriores se ha utilizado el m ó d ulo A rriv a ls para sim ular la llegada de
en tid ad es a cada sistem a. En estos ejem p lo s se ha su p u esto que la fre cu e n cia d e lle g a ­
das no cam b ia durante to d o el tiem p o d e sim ulación, de esta m anera en el ejem p lo 5.1
las entid ades llegarán siem pre de una en una (QTY e a c h .. .: 1) con un tiem p o entre arri­
bos exp o n encial de 4 m inutos (Frequency : E(4)), com o se m uestra en la figura 5.5. De
m anera sim ilar en el ejem plo 5.2 tan to la llegada de los engranes com o la d e las placas
ocurrirá de una en una con un tiem p o entre arribos N(13,2) y E(12) respectivam ente e n el
transcurso de la sim ulación (ver figura 5.28).
En m uchos sistem as la llegada d e las entidades sigue un co m portam iento cíclico.
Algunos ejem plos son las llegadas de p acientes a un consultorio, la llegada de autobuses
a una parada, la llegada d e alum nos a un salón d e clases, los aviones a un aeropuerto o
los clientes a un restaurante. Estos arribos cíclico s se definen en el m ódulo A rrival Cycles
(Build / More Elem en ts /Arrivals Cycles). Las llegadas pueden ser definidas com o un
porcentaje o com o una cantidad, y puede hacerse en form ato acum ulativo o n o acum u­
lativo. Una vez definido el ciclo d e arribos, puede ser asignado en el cam p o Qty each...
dentro de A rrivals (Build / Arrivals).
Ejem plo 5.5
A una clínica llegan todos los días a consulta un prom edio de 70 p acientes con d istrib u­
ción Poisson. Los registros históricos m uestran el siguiente patrón d e llegadas:
De:
A:
Porcentaje
6:00
700
30
7:00
9:30
10
9:30
1200
10
1200
1300
10
1300
1500
5
1500
1900
35
El tiem p o d e co nsulta sigue una función de densidad uniform e entre 25 y 35 m in u ­
tos. Se dispone de 3 doctores para las consultas. Corra el m odelo d e sim ulación durante
treinta días para encontrar el tiem p o prom edio d e espera d e un paciente antes d e ser
atendido.
D efina en el ventana Locations (Build/Locations) dos localizaciones: Fila y Doctores,
y en la ventana En tities (Build/Entities) la entidad Pacientes con sus correspondientes
características. Enseguida, en la ventana Process (Build/Processing) defina la lógica de
proceso d e acuerdo a lo m ostrado en la figura 5.35.
1 8 6
5.5 A rribos cíclicos |~1
«*
**
L o ca t io n s
Ñame
Cap
U n its S t a t s
D octores
D o c t o r e s .1
D o c to r e s .2
D o c to r e s .3
F ila
1
3
1
1
1
1
1
1
IN FIN ITE 1
T im e
T im e
T im e
T im e
T in o
R u les
C ost
S e r ie s O ld est,
S e r ie s O ld e st,
S e r ie s O ld e st,
S e r ie s O ld e st,
S e r ie s O ld e st,
»
,
F ir st
#
P
FIFO ,
M
E n titie s
Ñame
Speed
P a c ie n te s
150
< fp m >
S ta ts
C ost
T iñ e S e r ie s
«*
•»
P ro cessin g
P rocess
E n tity
L o c a tio n
O p era tio n
P a c ie n te s
P a c ie n te s
F ila
D o c to r e s w a it
U < 3 0 ,5 > m in
R o u tin g
B lk
O utput
D e stin a tio n
P a c ie n te s D octores
P a c i e n t e s EXII
R u le
Houe L o g i c
FIR ST
PIRST
F ig u ra 5 .3 5 Lo calizacio nes, e n tid a d e s y ló g ica d e la ruta d e lo s pacientes.
En la figura 5.36 se m uestra una im agen del m odelo de sim ulación d e la clínica.
Figura 5 .36 Esquem atización d e l e je m p lo 5.5.
187
¡~~| C a p ítu lo 5 S im ulación c o n ProM odel
Para definir el ciclo de arribos activam o s el m ó d ulo A rrival Cycles (Build / More
E lem en ts /Arrivals Cycles), se abre la tabla d e edición que se m uestra en la figura 5.37.
A l ciclo de arribos se le llam ará Llegadas. Debido a que los datos están expresados en
porcentaje, seleccionam os Percenten el cam p o Qty/% . Estos porcentajes son no acum u­
lativos de ta l form a que especificam os No en el cam p o Cum ulative.
¡III A rrival Cycles
ni Q
ID
Qty/%
Llegadas
Percent
Cum ulative
No
l f x ]
Table...
D efined
V
F ig u ra 5 .3 7 E sq u em atizació n del c ic lo d e a rrib o s del ejem p lo 5.5.
Enseguida activam o s el botón T a b le ... para activar la ventana de edición del ciclo
lo strad a en la figura 5.38.
lili Table for Llegadas |» |fp ][X j
Tim e (Hours)
1
Qty / %
30
------------------------------
3.5
10
6
10
7
10
9
5
13
35
24
0
F ig u ra 5 .3 8
Esq u em atizació n del c ic lo de
arribos.
En este ejem plo, aun cuan do los porcentajes d e pacientes que llegan a la clínica son
n o acum ulativos, el tiem p o siem pre será acum ulativo. D e tal form a que la tabla se lee
co m o sigue: 30% del to tal de p acientes arriba en la prim era hora, 10%, entre la hora 1 y la
hora 3.5 de la sim ulación, y a sí sucesivam ente. Las llegadas se distribuyen d e m anera
uniform e dentro del intervalo en el que el p acien te llega.
Una vez definido el ciclo de arribos, ahora puede ser asignado al cam p o Qty e a c h ...
del m ódulo d e A rrivals (Build/Arrivals). En la ventana de diálogo que se m uestra en la
figura 5.39 seleccionam os el ciclo de arribos creado anteriorm ente y la cantidad de
pacien tes qu e llegan por ciclo.
18 8
5.5 A rribos cíclicos |~1
Arrival Qty
Amval Cycle (optional)
<Norte>
Quantity: P(70)
I
Figura 5 .3 9 Program ación
d el c ic lo d e a rrib o s d en tro
d el m ó d ulo Arr'rvals.
Cancel
OK
El m ó d ulo d e arribos queda com o se m uestra en la figura 5.40.
W- Arrivals
Entity.
Location
First T im e... f \ Occurrence-
Qty Each...
>isjbl«
P{70); Llegadas 0
Pacientes
Ciclo de arribos
Tiempo de simulación
Tiempo entre arribos
Figura 5 .40 A rrib o s a la clín ica .
Al ejecu tar este m od elo se despliega e l resultado de 4 7.80 m inutos de tiem p o p ro ­
m edio de espera de los p acientes en fila (figura 5.41).
B0B
u r General Report (Normal Run - Rep. 1 '
G eneral
| Locabonsj
L o c a to n States McJü
Lo ca tio n States S m jfc
E n b tyA ctivily
E n tíy S ta te :
Ejemplo 613.mod (Normal Run - Rep. 1 )
N am c
S c h e d u le d
T im e |H R )
C a p a c ily
T o t a l E n tiic s
Avg T une Per
Fnl.y (MIN)
A v g C o n tc n ts
M á x im u m
C o n te n te
C u rte n !
C o n te n te
X U tiliz u tio n
5 3 33
Doctores. 1
709.86
1.00
75600
3 0 06
0.53
1.00
0.00
D octores 2
70966
1.00
734 00
2984
0.51
1 .0 0
0.00
51.44
D o d o re s . 3
709.66
1.00
69500
3000
0.49
1 .0 0
0.00
4 8 97
Doctores
2128.99
3.00
2185 00
Fia
709.68
99999900
2185 00
29.97
I
TTW
1
0.51
3 .0 0
0.00
51.26
245
21.00
0.00
000
Figura 5.41 R esultados d e la e je cu ció n del m o d elo por tip o d e c lie n te , c o n el fo rm ato de rep o rte V ie w e r 2.0
(3DR).
189
C a p ítu lo 5 S im ulación c o n ProM odel
Si la opción de form ato de salida d e los resultados dada d e alta en Sim ulation/
O p tio ns es V iew er 4.0, el despliege d e los resultados d e la ficha Locations se verá de una
form a sim ilar al m ostrado en la figura 5.42.
O u t p u t V ie w e r
Tabíes C olum n
C h a rts -
lo c a tio n Resource
Summary
U til c a tió n
R c p o rtl
B ntity
L o ca tio r
lo c a tio n Resource
Pie
S irg le Cap M u lti Cap
O ia rts -
T e re
P io t
H istogram
State
r
Entity
lo c a tio n
Count UtBization
L c c a tio r Resourte
State
Jsage
Tim e Senes
R e p o rt? x
Scheduled
Tim e (H r)
C aparity
Total
Entrtes
Average Tim e
Per E r try (M n )
Average
C o c te rts
Máxim um
C urrent
Cor.tents
C cn te rts
Scenario
Ñame
% UtBization
Basefine
Doctores
2,128.99
3.00
2,185.00
29.97
0.51
3.00
0.00
51.26
Basdlne
Doctores. 1
709.66
1.00
756.00
30.06
0.53
1.00
0.00
53.38
BaseBne
Doctor es.2
709.66
1.00
734.00
29.84
0.51
1.00
0.00
51.44
Basehne
Doctor es.3
709.66
1.00
695.00
30.00
0.49
1.00
0.00
48.97
Basehne
Fila
709.66 999,999.00
2,185.00 1
« * > l
2.45
21.00
0.00
0.00
F ig u ra 5 .4 2 R esultados de la e je cu ció n del m o d elo por tip o d e c lie n te , c o n el fo rm ato d e rep o rte V ie w e r 4 .0 .
5.6 Caso integrador
Se tien e una línea de em paque a la que llegan piezas cada 2 m inutos con distribución
exponencial. Esta línea cuenta con cinco procesos, que se describen a continuación:
1. Recepción de m ateriales. Cuenta con un espacio ilim itado de alm acenam iento. En
este lugar se reciben las piezas que llegan al sistem a, y lueg o éstas pasan a un pro ce­
so d e lavado. El traslad o de las piezas d e una estación a otra es de 3 m inutos con
distribución exponencial.
2. Lavado de la p ieza. La lavadora tiene capacidad para lim piar 5 piezas a la vez. El tiem ­
po d e proceso de cada pieza se distribuye norm alm ente con m edia d e 10 m inutos y
desviación estándar de 2 minutos. De aquí pasan a u n proceso de pintura, antes del
cual llegan a un alm acén con capacid ad para un m áxim o d e 10 p iezas. El tiem p o
de traslado entre estas estaciones es de 2 m inutos con distribución exponencial.
3. Pintura. En el área de pintura se tien e capacidad para pintar 3 piezas a la vez. El tiem po
de pintado tiene una distribución triangular de (4, 8, 10) minutos. Posteriormente
las piezas pasan a un horno, el cual cuenta con un alm acén que tiene capacidad para
10 piezas. El tiem po d e transporte entre estos procesos está uniform em ente distribui­
do con un lím ite inferior de 2 m inutos y uno superior de 5 minutos.
4. Horno. En el horno se seca la pintura. El horno sólo puede procesar una pieza a la vez.
La duración del proceso es d e 3 ± 1 m inutos. D e aq u í son transpo rtadas a dos m esas
de inspección visual. No existe un alm acén entre el horno y las m esas d e inspección.
El tiem p o d e transpo rte entre estas estaciones es de 2 ± 1 m inutos.
19 0
5.6 Caso in te g ra d o r |
5. Inspección. En cada m esa hay un operario que realiza la inspección de 3 elem entos
en cada pieza. La revisión de cada elem ento tarda 2 m inutos con distribución exp o ­
nencial. Al fin alizar este proceso, las piezas salen del sistem a.
Realice lo siguiente:
a ) Sim ule el sistem a por 90 días d e 2 4 horas cada uno.
b) Ejecute 3 réplicas d e la sim ulación.
c) Analice el archivo d e resultados del m odelo.
d) Obtenga un intervalo de confianza para el núm ero d e piezas producidas.
e)
D eterm ine, en una tabla, las utilizaciones d e to das las localizaciones del m odelo.
A n á lisis del m odelo
Cada una de las siguientes preguntas es independiente, y tien en com o b ase el m odelo
original. Respóndalas con b ase en el análisis de sus resultados.
1. ¿D ónde se encuentra el cuello d e botella de este sistem a?
2. ¿Q ué sugerencias haría para m ejorar el sistem a?
3. El hecho d e que una entidad se encuentre en estado d e bloqueo significa que la
pieza ha term inad o sus operaciones en la localización actual p ero no puede
avanzar a la siguiente, puesto que no hay espacio para colocarla. De acuerdo con
esto, ¿considera que es grave el pro blem a de blo queo d e las piezas? ¿En qué
localizaciones? ¿Q ué se puede hacer para m ejorar la situación? Haga los cam bios
que considere necesarios al m odelo, y ejecútelo nuevam ente para determ inar la
m ejora porcentual respecto del núm ero de piezas term inadas.
4 . Si pudiera lograr una m ejoría de 10% en el tiem p o de proceso de alguna d e las
estaciones, ¿en cuál de ellas sería y por qué?
5. ¿Es necesario que alguno de los alm acenes sea m ás grande? ¿Cuál y por qué
razones?
6. ¿Considera necesario colocar un alm acén entre el horno y las m esas de inspec­
ción? ¿De qué capacidad?
7. Cada pieza deja una utilidad de $5 y ninguna de las inversiones deb e recuperar­
se en m ás de 3 meses. ¿Cuál sería su recom endación si se está analizando la
posibilidad de com prar otro horno con la m ism a capacidad y que cuesta
$ 100 , 0 0 0 ?
8. ¿Cuál sería su recom endación si lo que se desea com prar e s otra lavadora de la
m ism a capacidad y con un costo de $100,000?
9. ¿Valdría la pena contratar otro operario para la inspección? El costo de esta o p e­
ración es de $50,000.
10. Con base en su conocim iento del sistem a, haga com binaciones d e los incisos
anteriores y trate de obtener la m ayo r cantidad de piezas con el m ínim o costo de
inversión.
191
C a p ítu lo 5 S im ulación c o n ProM odel
5.7 Problem as
1. Los espectadores llegan a un estadio de béisbol cada 2 ± 1 segundos y hacen cola
para entrar. El tiem p o que se requiere para pasar por la puerta giratoria del estadio
es 5 ± 3 segundos. M odele este sistem a y sim ule el paso de 300 personas por la p u e r­
ta. D eterm ine la longitud prom edio de la fila y la utilización de la puerta.
2. Un m u e lle cuenta con una grúa para descargar barcos. El tiem p o d e descarga es de
2 ± 1 d ías y los barcos llegan de u n o en u n o a u n a tasa p ro m ed io d e 6 barcos cada
14 ± 2 días. Si un barco llega y la grúa está ocupada, espera en una línea para ser
descargado posteriorm ente. Sim ule un año y determ ine el tiem p o p ro m ed io que
transcurre desde que un barco llega al sistem a hasta que term ina su descarga y la
longitud m áxim a de la fila.
3. A una m áquina d e autolavado llegan coches con un tiem p o entre arribos de 5 ± 5
m inutos/auto. E l tiem p o de lavado es d e 4.5 ±1 m inuto/auto. Frente a la m áquina hay
un tech o que proporciona som bra a los 4 prim eros autom óviles d e la fila. Haga 100
réplicas d e este sistem a, de 8 horas cada una, y determ ine el núm ero prom edio de
autos haciendo fila en la som bra y haciendo fila en el sol.
4. Una tienda em plea a un dependiente para atender a sus clientes. El tiem p o entre
arribos es de 5 ± 4 m inutos/cliente. El depend iente tien e que cobrar y em p acar los
artículos com prados. El prim er proceso consum e 1 ± 0.5 m inutos y el segundo, 3.5 ±
2 m inutos. Sim ule hasta que asegure que el sistem a llegue a estado estable, use un
gráfico dinám ico de la utilización del dependiente y calcule: a) la utilización del
dependiente y b) el tiem p o prom edio de espera en la fila.
5. Una gasolinera tien e una bom ba y una fila con capacidad para n autos dond e p u e ­
dan esperar antes de ser atendidos. El tiem p o entre arribos de los vehículos es de 3 ±
1 m inutos/auto. El tiem po para dar servicio es de 5 ± 2 m inutos. Elabore un m odelo
en ProM odel con sólo dos localizaciones, una que sim ule la bom ba y otra, la fila de
tam año finito. Ejecute el m odelo durante 100 horas con n = 1, 2, 3, 4, 5 e indique en
cada caso el núm ero to tal d e autos que no pudieron e n tra re n la gasolinera p o r falta
de espacio. ¿Cuál es el núm ero m ínim o d e espacios que se deberían tener para ase­
gurar que n o hubiera rechazos de autos?
6. Un centro de m aq uinado recibe tres diferentes tipos d e piezas. Antes del centro exis­
te un alm acén d e producto en proceso, con capacidad prácticam ente infinita. El
tiem p o d e operación y la tasa de entrada d e las piezas son las siguientes:
19 2
Tipo de pieza
Tasa de entrada
(piezas/hr)
Tiempo de maquinado
(min/pieza)
1
2
3
2
4
5
3
2
10
5.7 Problem as | j
Sim ule este sistem a en ProM odel durante 100 horas y determ ine:
a) La utilización del centro de m aquinado.
b ) Núm ero total de piezas producidas.
c) Tiem po prom edio d e espera d e las piezas en el alm acén.
d) Núm ero prom edio d e piezas en el alm acén.
7. A un operario de lim pieza se le entregan sim ultáneam ente 60 piezas cada hora. El
tiem p o de lim pieza es de 50 segundos/pieza. Sim ule el proceso anterio r durante 500
horas para determ inar:
a)
b)
c)
d)
La utilización del operario.
Tiem po prom edio d e perm anencia de las piezas en todo el proceso.
Tiem po prom edio d e espera d e las piezas antes d e ser lim piadas.
La cantidad to tal d e piezas lim piadas.
8. Al operario de lim pieza del problem a anterior le entregan ahora una pieza cada
m inuto. El tiem p o d e lim pieza es de 50 segundos/pieza. Sim ule el proceso anterior
durante 500 horas para determ inar:
a) La utilización del operario.
b) Tiem po prom edio d e perm anencia de las piezas en todo el proceso.
c) Tiem po prom edio d e espera d e las piezas antes d e ser lim piadas.
d) La cantidad d e piezas lim piadas.
e) ¿Existen diferencias entre los resultados de este problem a y el anterior? ¿A qué
atribuye que algunos resultados sean sim ilares y otros no?
9. Un sistem a d e pintura consta de dos procesos en serie: pintura y horneado, antes de
cada proceso h ay un alm acén de capacidad infinita. El tiem p o de pintura es de 10
m inutos/pieza, y el tiem p o d e horneado es de 6 m inutos/pieza. Para el proceso hay
dos pintores y un horno. La tasa d e entrada es de 7 piezas/hora (pieza tipo 1) y de 3
piezas/hora (pieza tip o 2). El tiem po para m o verse d e un proceso a otro es d e 30
segundos. Sim ule el sistem a con 5 días para determ inar:
a) La utilización de cada operación.
b) El tiem po prom edio d e perm anencia de las piezas en todo el proceso.
c) El tie m p o p ro m ed io d e espera d e las p iezas an tes d e l p in ta d o y antes del h o r­
neado.
10. A u n centro d e copiado arriban tre s tipos de trabajos, cada uno llega individ ualm en­
te. Si un trabajo no puede iniciarse d e inm ediato, espera en una fila com ún hasta que
esté disponible alguna de las tre s copiadoras. El tiem po de copiado y la tasa de entra­
da de los trab ajo s son com o en el siguiente cuadro:
Upo de trabajo
---------------------------------- ---------------------------------Tasa de entrada
Tiempo de copiado
(trabajos/hr)
(min/trabajo)
1
4
12
2
8
15
3
16
1
193
C a p ítu lo 5 S im ulación c o n ProM odel
Después del proceso de copiado los trab ajo s son inspeccionados por un em pleado
en un tiem p o de 3 ,6 ,1 0 m inutos para los trabajos 1, 2 y 3, respectivam ente. Sim ule
el sistem a en ProM odel durante 50 horas, y determ ine:
a) La utilización del em pleado y de las copiadoras en la situación propuesta.
b ) Núm ero d e em pleados y copiadoras m ínim os necesarios para asegurar el flujo
constante de los trabajos.
11. La aerolínea V FC ha instalado un m ódulo con tre s agentes para la atención de los
pasajeros, existen tres tipos de pasajeros. Los tiem po s entre llegadas y los tiem po s de
servicio para cada uno son co m o en esta tabla:
Tipo de pasajero
Tiempo entre arribos
(mi n utos/pa saje ro)
Tiempo de servicio
(min/pasajero)
A
55 ±2
3±1
B
10.5 + 5
8±5
C
155 ±10
12 ±7
D esarro lle un m o d e lo d e sim u lació n co n an im ació n . S im u le d u ran te 1000 horas.
Si cad a ag en te atien d e sólo a un tip o de pasajero , d eterm in e la lon g itud m áxim a
da cad a fila , la lon g itud p ro m ed io d e cada u n a d e las fila s y la utilizació n d e cada
agente.
12. Cierto tip o de pieza entra a una línea d e producción; el pro veedo r entrega las piezas
en grupos d e 5 cada 10 m inutos. La línea consta de 5 operaciones, con una m áquina
dedicada a cada operación. Los tiem pos de proceso son:
Operación
1
2
3
4
5
Tiempo (min/pza)
2
1
05
0.25
0.125
El tiem p o para m o verse entre estaciones es d e 0.0625 m inutos. La anim ación debe
incluir un contador de las piezas producidas. Sim ule en ProM odel el proceso de 1000
piezas para determ inar:
a) Tiem p o to tal d e sim ulación.
b) Utilización de cada operación.
c) Tiem p o d e espera antes d e la prim era operación.
d) Porcentaje del tiem p o que la pieza está bloqueada.
13. ELEC TRSA fa b rica co m po nentes e le ctró n ico s. El p ro ceso co nsta de cu a tro e sta c io ­
nes: en sam b le, sold ad u ra, p intura e in sp e cció n . A n tes d e cad a estación h a y a lm a­
cenes d e cap acid ad para 50 co m p o nentes. Las ó rd en es d e tra b a jo tie n e n un
tiem p o e n tre arrib o s d e 20 ± 14 m in u to s. Los tie m p o s d e p ro cesam ien to s en cada
estación son:
194
5.7 Problem as | j
Operación
ensamble
soldadura
pintura
inspección
Tiempo (min/
pza)
13.5 ± 1 5
36 ±20
55 ± 15
8± 6
Hay un operario en la estación d e ensam ble, uno en inspección, tre s en soldadura y
cuatro en pintura. Elabore un m odelo de sim ulación d e este sistem a de m anufactura,
sim ule 100 días de 8 horas cada uno. D eterm ine la utilización d e cada estación de
trabajo, el núm ero de com ponentes en prom edio que están esperando antes de cada
operación y el núm ero prom edio d e órdenes fabricadas cada 8 horas.
14. A un cajero autom ático llegan clientes cada 10 m inutos con distribución exp o n en ­
cial. El tiem p o que tarda cada d ie n te en hacer sus m ovim ientos bancario s se distri­
buye exp o n encialm en te con m edia de 4 m inuto s. Lleve a cabo lo que se indica a
continuación:
a) Si se desea que el cajero no tenga m ás de 5 clientes haciendo fila en un m om ento
determ inado, ¿qué recom endación haría al banco? Considere una sim ulación con
3 réplicas una sem ana de 4 0 horas de trab ajo cada una.
b) Realice un análisis d e sensibilidad variando el tiem p o prom edio de servicio del
cajero, y determ ine cuál es el tiem p o m áxim o que un d ien te debe tardar para que
la fila de espera no exceda 5 clientes en ningún m om ento.
c) Program e un gráfico dinám ico que m uestre la utilización del cajero autom ático
durante la sim ulación. ¿Q ué observaciones puede hacer respecto d e la gráfica de
estabilización generada?
15. A un centro d e copiado llegan clientes cada 5 m inutos, con distribución exponencial.
Ah í son atendidos por un operario con un prom edio d e servicio de 6 m inutos con
distribución exponencial. Sólo hay espacio para tres personas en la fila; si llega
alguien m ás, se le envía a otro centro d e copiado. Sim ule el sistem a a p artir d e esta
inform ación y determ ine:
a) ¿Cuál es el núm ero prom edio de clientes que esperan en la fila?
b) ¿Cuál es la utilización del centro d e copiado?
c) Si cada cliente que se va le cuesta $5 a l centro de copiado, ¿a cuánto asciende la
pérdida esperada?
16. En una autopista hay una sola caseta de cobro para autom óviles y cam iones. El tiem ­
po entre llegadas d e autos es 25 ± 10 segundos y el de cam iones 60 ± 20 segundos.
La caseta de cobro, operada por una sola persona, tien e distintos tiem po s de cobro
según el tip o de vehículo. El tiem p o de cobro para los cam iones es de 50 ± 2 0 seg un­
dos y el d e los autos es de 20 ± 15 segundos. R e a líc e lo réplicas de 8 horas y encuen­
tre la utilización del operario y el tiem po de perm anencia en el sistem a p o r cada tipo
de vehículo.
17. Un centro d e servicio cuenta con 3 cajeros. Los clientes llegan individualm ente y lo
hacen en prom edio a razón de 60 por hora con distribución d e Poisson. El tiem po
prom edio qu e se requiere para atender a un cliente es de 2 m inutos con distribución
195
C a p ítu lo 5 S im ulación c o n ProM odel
exponencial. Lo s clientes hacen una sola fila y no hay lím ite para su longitud. Haga lo
siguiente:
a) Sim ule el sistem a por 4 0 horas.
b) D eterm ine la utilización de los cajeros.
c) Si el costo de ten e r a un cliente haciendo fila es de $5/cliente prom edio-hr; deter­
m ine el costo d e operación de este sistem a.
18. Un banco está diseñando su área de cajas, y desea determ inar cuán tas ventanillas
debe colocar. D espués de hacer un análisis estadístico, la em presa sabe que sus clien ­
tes llegan con un tiem po m edio de 3 m inutos con distribución exp o n en cial; asim is­
mo, se sabe — a p artir de inform ación de otras sucursales del m ism o banco— que
cada cajero tarda un tiem p o prom edio de 8 m inutos con distribución exp o nencial en
atender a un cliente. La em presa planea utilizar una sola fila dond e se ubicarían todos
los clientes, para después pasar a la prim era caja desocupada.
Si el costo de ten e r un cajero es de $15 por hora, y adem ás se sabe que por p o lí­
tica de la em presa el costo de que un cliente esté esperando a ser atendido es de $8/
cliente-hr, determ ine:
a) El núm ero óptim o d e cajeros de acuerdo con el costo. Tom e en cuenta este n ú m e­
ro de cajeros, determ ine tam bién la probabilidad d e que el sistem a esté vacío, la
utilización d e los cajeros, el tiem p o prom edio en el sistem a, el tiem po prom edio
en la fila, y el núm ero prom edio de clientes en el sistem a.
b) Realice este m ism o análisis considerando que cada caja tien e su propia fila y que
las llegadas se distribuyen proporcionalm ente al núm ero de cajas; es decir, las
llegadas a cada fila son iguales al núm ero to tal d e llegadas, dividid o entre el
núm ero de cajas.
c) ¿Cuál de los dos m odelos sería m e jo r y a qué atribuye este resultado?
d) ¿Cuál sería el costo de utilizar el m odelo original de una sola fila y evitar, al m ism o
tiem po, que 70% d e los clientes hagan fila?
19. Un sistem a recibe piezas d e acuerdo con una distribución uniform e de entre 4 y 10
m inutos. Las piezas son colocadas en un alm acén co n capacidad infinita, donde
esperan a ser inspeccionadas por un operario. El tiem po d e inspección tiene una
distribución exponencial con m edia de 5 m inutos. D espués de la inspección las p ie ­
zas pasan a la fila de em paque, con capacidad para 5 piezas. E l proceso de em paque
está a cargo de un operario que tarda 8 m in u to s con distribución exponencial en
em pacar cada pieza. Luego, las piezas salen del sistem a.
a) Sim ule el sistem a por 4 0 horas.
b) Identifique dónde se encuentra el cuello de botella.
c) G enere vistas para cada uno de los procesos p o r separado.
d) Increm entar el espacio en el alm acén cuesta $5/sem ana-unidad de espacio adi­
cional; aum entar 10% la velocidad de em p aq ue cuesta $15/sem ana; el costo de
incluir otro operario para que se reduzca el tiem p o d e em p aq ue a 5 m inutos con
distribución exponencial, es de $20/sem ana. Cada unidad producida deja una
utilidad de $0.40. Con base en está inform ación, determ ine qué m ejoras podrían
hacerse al sistem a para increm entar su utilidad sem anal.
19 6
5.7 Problem as | j
20. A un to rn o llegan barras cada 3 m inutos con distribución exponencial. A hí se proce­
san de acuerdo con una distribución norm al con m edia de 5 m inutos y desviación
estándar de 1 m inuto. Posteriorm ente pasan a un proceso de inspección. La cap aci­
dad del alm acén p revio al to rn o es de 10 piezas. Por otro lado, a una fresadora llegan
placas cada 5 ± 1 m inutos. El tiem po de proceso d e las placas en la fresadora se dis­
trib u ye triangularm ente (2,4,7). Después, las placas pasan a inspección. La capacidad
del inventario antes d e la fresadora es de 10 piezas. En el proceso d e inspección se
cuenta con espacio disponible para alm acenar 15 piezas, m ientras que el tiem p o de
inspección es de 4 ± 2 m inutos para las barras y de 6 ± 1 para las placas. Tras la ins­
pección, las piezas salen del sistem a. Considere un tiem p o d e transpo rte entre esta­
ciones d e 2 m inutos, con distribución constante.
a) Sim ule el sistem a por 4 0 horas para determ inar la capacidad m ínim a d e cada
inventario, de m anera que to das las piezas que lleguen al sistem a se procesen y
no exista blo queo por falta de capacidad.
b) ¿Cuál es la diferencia en el núm ero d e piezas producidas entre el m odelo original
y el m o d elo m ejorado?
c) Coloque m ensajes de inicio y fin d e la sim ulación.
d) Cam bie las gráficas de am bas piezas después d e ser procesadas.
21. A una línea de em ergencias m édicas llegan llam adas norm alm ente distribuidas con
un tiem po m edio entre llam adas d e 6 m inutos, y desviación estándar de 1.5 m inutos.
El tiem p o de atención d e cada llam ada es de 10 m inutos con distribución exp o n en ­
cial. Se desea determ inar el núm ero d e líneas necesarias para que por lo m enos 80%
de los clientes no tenga que esperar a ser atendido. Sim ule el sistem a por 7 días de
24 horas cad a u no para responder las siguientes preguntas.
a) ¿Cuántas líneas telefó nicas se necesitan para cu m p lir con la m eta?
b ) Si el costo de cada línea es de $150/sem ana, ¿cuál es el costo d e operación por
sem ana?
c) ¿Cuál es el costo d e increm entar el porcentaje d e clientes atendidos sin espera a
90%?
d) ¿Cuál sería el núm ero de llam adas en espera que se tendría en el caso a? ¿Cuál
sería en el caso c?
e) Si el costo de cada cliente en línea de espera es de $40/cliente, ¿q ué opción sería
mejor, a o c?
22. A una em presa llegan piezas con m edia de 8 m inutos y distribución exponencial. Las
piezas entran a un alm acén con capacidad para 50 unidades, donde esperan a ser
procesadas en un torno. A hí son torneados por 3 m inutos con distribución exp o n en ­
cial. El tiem p o de transportación del alm acén a l to rn o tien e una distribución norm al
con m edia de 4 m inutos y desviación estándar de 1 m inuto.D espués, las piezas son
transportadas a una estación de inspección donde hay dos operarios, cada uno tra­
bajando d e m anera independiente. La inspección tarda 6 ± 2 m inutos por pieza. El
tiem p o d e tran sp o rte entre el to rn o y los operarios es de 4 ± 1 m inutos.
a) Sim ule el sistem a por 30 días de 8 horas de trab ajo cada uno.
b) Incluya un contador y una gráfica d e barra para las piezas en el alm acén.
197
¡~~| C a p ítu lo 5 S im ulación c o n ProM odel
c) Incluya un indicador de actividad para el torno.
d) Realice 3 réplicas y obtenga un intervalo d e confianza para el núm ero d e piezas
que salieron del sistem a.
23. Una tienda dep artam ental recibe hom bres y m ujeres co n un tiem p o entre arribos de
5 ± 2 m inutos y 3 ± 3 m inutos respectivam ente. Los clientes seleccionan prim ero la
ropa y el tiem p o para este proceso es de 20 ± 5 m inutos para los hom bres y 50 ± 30
para las m ujeres. Una vez seleccionada la ropa, los clientes van a la sección de pro ba­
dores y el tiem p o para trasladarse hacia ese lugar es de 4 0 ± 10 segundos. La tienda
tien e separados los probadores para cada género y ha asignado 2 probadores para
hom bres y 6 para m ujeres. Los clientes esperan e n fila en caso de que los probadores
estén ocupados, considere que hay una fila para hom bres y otra para m ujeres. El
tiem po para probarse la ropa es de 12 ± 7 m inutos para los hom bres y de 20 ± 8
m inutos para las m ujeres. Sim ule este sistem a y haga recom endaciones a la tienda,
por ejem plo:
a) ¿Son suficientes los probadores para cada género?
b ) ¿Agregaría o quitaría probadores? ¿Cuántos?
c) ¿Recom endaría que el total de los probadores fueran com partidos por am bos
géneros?
24. A las cajas d e la cafetería d e una universidad llegan 800 estudiantes por día. La tasa
de entrada durante el día es variab le y se com porta de la siguiente form a:
De:
*
Porcentaje
600
700
5
700
1000
20
1000
1200
10
1200
1400
50
1400
1800
5
1800
1900
10
Existen 4 em pleados para cobrar y una fila com ún donde los estudiantes pueden
hacer fila antes d e ser atendidos. El tiem p o de atención es de 4 5 ± 20 segundos.
Sim ule el proceso anterior durante 30 días. Incluya en la sim ulación un gráfico diná­
m ico en el que se o bserve la cantidad d e estudiantes en la fila a través del tiem po, y
determ ine:
a) La utilización de los em pleados.
b) El tiem po prom edio d e perm anencia de los estudiantes en la fila.
c) Con base en los resultados anteriores ¿agregaría m ás em pleados?
d) Con base en la gráfica ¿qué recom endaciones haría?
19 8
5.7 Problem as | j
25. Una zapatería tien e un em pleado que atiende a dos tipos de clientes: niños y adultos.
D iariam ente recibe 30 niños y 60 adultos. La tasa de llegada d e los niño s durante el
día es variable y depende d e la hora del día d e acuerdo con las siguientes tablas:
Tasa de llegada para los niños:
De:
A:
Porcentaje
8:00
1200
0
1200
1400
20
1400
1600
20
1600
1800
50
1800
2000
10
De:
A:
Porcentaje
800
1000
10
1000
1200
10
1200
1400
5
1400
1300
5
1300
1800
50
1800
2000
20
Para los adultos:
El tiem p o d e atención es d e 4 ± 2 m inutos para los niños y 10 ± 4 m inutos. Sim ule el
pro ceso a n terio r d u ran te 30 días. In clu ya en la sim u lació n un gráfico d in á m ico en
el que se o bserve la cantidad d e clientes en la fila a través del tiem po, y determ ine:
a) La utilización del em pleado.
b) El tiem po prom edio d e perm anencia de los clientes en la fila.
c) Con base en los resultados anteriores ¿agregaría m ás em pleados?, ¿cuántos?
199
Instrucciones de ProM odel
6.1
Uso de la biblioteca d e fu n cio n e s probabilísticas
6.2
Recursos
6.3
Paros en los equipos
6.4
Reglas de ruteo
6.5
Ensam bles, acum ulación y agrupam iento d e piezas
6.6
Transporte entre estaciones
6.7
Instrucciones d e control
6.8
O ptim ización con Sim runner
6.9
Caso integrador 1
6.10
Caso integrador 2
6.11
Problem as
| C a p ítu lo 6 Instrucciones d e ProM odel
6.1 Uso d e la biblioteca de fun cio n es p rob ab ilísticas
La biblioteca de distribuciones de probabilidad de ProM odel perm ite sim ular la variabili­
dad de los procesos. En la tabla 6.1 se num eran las distribuciones de probabilidad inclui­
das e n ProM odel y la form a d e program ar cada una de ellas.
Tabla 6.1 Funciones de probabilidad disponibles en ProModel.
Distribución
de probabilidad
Beta
Parámetros
B (1 ,a ,, ocy a, b)
a ,: forma
a 2: forma
a: mínimo
b: máximo
Binomial
BI(N, p)
N: intentos
p: probabilidad
k-Erlang
ER(/x, k)
k: forma
/x: media
E(m )
/x: media
Exponencial
a: forma
p : escala
a : forma
p : escala
Gamma
G(<*,/3)
Gaussiana inversa
IG(or, p)
Geométrica
GEO(p)
p: probabilidad
Lognormal
L(/x#a)
/x: media
(t .: desviación
Normal
N(/x, cr)
/x: media
(t : desviación
De Poisson
PW
¿x: media
De Pearson V
P5 (a, p)
a : forma
p : escala
Póíor,, a v 0)
a ,: forma
a 2: forma
p : escala
Triangular
T(a, c, b)
a: mínimo
c: moda
b: máximo
Uniforme
U(/x, h)
/x: media
h: medio rango
Uniforme discreta
U(a, b)
a: mínimo
b: máximo
De Pearson VI
De Weibull
202
Codificación
en ProModel
y + W(a, p)
a : forma
p : escala
y : localización
6.1 Uso d e la b ib lio te ca de fu n cio n e s p ro b a b ilís tk a s |~~1
Ejem plo 6.1
A un proceso llegan tres diferentes tipos de pieza. El proceso consta de dos operaciones
en serie: lavado e inspección. Antes d e cada operación las piezas pasan por alm acenes de
producto en proceso, co n capacidad prácticam ente infinita. Se dispone d e una lavadora
y d e dos inspectores en paralelo. Los datos d e tiem p o entre llegadas y tiem po s d e proce­
so para cada tip o de pieza son los siguientes:
Tiem po de proceso (min/pieza)
Pieza
uem po enire
le g a d a s (min/pieza)
Lavado
Inspección
A
Exponencial (6)
Uniforme (3± 2)
Normal (8,2)
B
Exponencial (9)
3-Erlang (4)
Triangular (3,5, 7)
C
Exponencial (8)
De Weibull (0 ,2 ,3 )
De Weibull (9 ,1 ,4 )
Para em pezar, definirem os las 4 localizaciones, com o se m uestra en la figura 6.1 (re­
cuerde que esto se hace m ediante el com ando Build / Locations).
Uso de funciones de probabilidad
Almacén 1
Lavado
Almacén 2
Inspección
F ig u ra 6 . 1 Layout
del e je m p lo 6 . 1 .
Ahora determ inarem os las entidades correspondientes a los tres tip o s de piezas
(Build / Entities), y el tiem p o exponencial entre llegadas, para ello utilice la colum na
Freq u en cy de la ventana A rrivals (Build / Arrivals), com o se m uestra en la figura 6.2.
l i l i A n iv r t ls
Figura 6 .2 P rogram ación d e la d is trib u c ió n d e p ro b a b ilid a d del tie m p o e n tre llegadas.
203
| C a p ítu lo 6 Instrucciones d e ProM odel
Enseguida program arem os las tre s diferentes rutas y cad a uno de los tiem po s de
proceso, usarem os la colum na O peration de la ventana Processing (Build / Processing).
La figura 6.3 m uestra p arte del proceso y la form a de program ar las distribuciones de
probabilidad.
ProModel - FJFMPL04.1
¡¡J jH e E d t
V *w
E n c it y —
Bmd
[Process]
S im ia t»on
I
O u tp u t
Toob
W ndow
L o c a c ió n ...
Help
O p e ra c ió n
WAIT T 1 3 .5 .7 J
P la z a C
P la z a C
WAIT W( 2 ,3 )
P la z a C
F ig u ra 6 .3
P rogram ación d e las
fu n cio n e s de
pro b ab ilidad del tiem p o
de proceso.
En caso de que no recuerde la form a de program ar alguna de las funcio nes, haga clic
en el botón O peration de la ventana Processing para usar el constructor d e lógica, que
perm ite acceder a la ventana d e diálogo Logic B u ild erco n sólo hacer clic en el icono del
m artillo. Luego haga clic en la opción D istribution Fu n ctio n s de la sección Logic
E lem en ts para desplegar las diferentes funcio nes de probabilidad (vea la figura 6.4).
□ E S B D E ÍB f c lB E a
V
V
3
Logic Buildoi
Gamma - Betuna a random vdue aceoring lo a
daOtKOon
ShapeV*je I ScatoVdua I
Stosn
SKspaVabe
Cancel
**yp*l<>l - | - | ' | / | - | < | > | awdor|
Lope BamarU
A Lln m flo n t
Ama»*
AtMxzes
l í l f d Dowrtmw
F*
& W C Ptat S « t
BUm
E úw tj J Fúes
Keyped
Locabom
tU~rs«
204
OatrfcUon Rjnctona
A
Beta
B rw w l
Etang
Expoñertial
Ga-r-a
Geometnc
*
°~ *1
lo g w n a l
OOM
Noaiwt
V
PearaonS
PearaonS
«ÍV'
V
H «(p
F ig u ra 6 .4
U so del
co n stru cto r
d e ló g ica para
program ar
fu n cio n e s d e
pro b ab ilidad.
6.1 Uso d e la b ib lio te ca de fu n cio n e s p ro b a b ilís tk a s |~ ]
Para consultar el texto com pleto del program a que hem os creado en ProM odel para
el ejem p lo 6.1, abra el m enú File y elija View Text. El resultado deberá ser sim ilar al que
se ilustra en la figura 6.5.
b
a
Form acced L is c i n g o f M c d e l:
C : \ A r c h i v c s d e p r o g r a m a \ F r c M o d e l \ M o d e l s \ Z JZMFLC4 . 1 . M 0 3
T ire» U n i x » :
D is c a n c e U n ica :
M in u ces
Feec
b
*
L eca cicn s
Ñame
C ap U n i c a S c a c s
A lm a c é n 1
L avadora
A Ltacen 2
Inspeccor
I n s p e c c c r .l
I n s p e c c o r .2
IN F
1
in í
1
1
1
1
1
1
2
1
1
T im e
T im e
T im e
T im e
T im e
T im e
A u les
Senes
S e r ie s
S e r ie s
S e r ie s
S e r ie s
S e r ie s
fr
C ose
C id e sc ,
C id e sc ,
C id e sc .
C id e sc ,
C id e sc ,
C id e sc ,
,
,
,
,
,
,
F ir sc
*
Z n c ic ie s
Narre
Speed
E ie z a A
P ie z a 3
E ie za _ C
150
150
150
■fpm:
Scacs
C ese
T im e S e r i e s
T im e S e r i e s
T im e S e r i e s
b
*
F ro cessin g
F rocess
Z n c ic y
L o c a c ió n
P ieza _ A
E iez a _ A
F i e za__A
F ie z a A
F ieza _ 3
F ie z a 3
F ie z a 3
E ie z a 3
F ie z a C
F ie z a ~ C
F ie z a C
E ie z a ~ C
A lm a c é n 1
L avadora
A lm a c é n 2
Inspeccor
A lm a c é n 1
Lavadora
A lm a c é n 2
Inspeccor
A lm a c é n 1
Lavadora
A lm a c é n 2
Inspeccor
A cu cin g
C p era cicn
WATT U ( 3 , 2 )
WATT N O , 2 )
WATT Z A ' 4 , 3 >
VJAIT T < 3 , 5 , 7 )
HAIT W { 2 , 3 )
HAIT 9 + W < l, 4)
b
3 1 Je
C ucpuc
^ e sc in a c ic n
A u le
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
F ieza _ A
F ie z a A
F ie z a A
E ieza A
F ie z a 3
E iez a 3
F ie z a B
F ie z a B
F ie z a C
F ie z a C
F ie z a C
F ieza _ C
L avadora
A lm a cen _ 2
Inspeccor
F IA S T
F IA S T
F IA S T
F IA S T
F IA S T
F IA S T
F IA S T
F IA ST
F IA S T
F IA S T
F IA S T
F IA ST
zxrr
Lavadora
A lm a cen _ 2
Inspeccor
ZXIT
Lavadora
A lm a cen _ 2
Inspeccor
ZXIT
M ove L o g ic
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
•
A rr iv a ls
Z n c ic y
L o c a c ió n
Jey Fach
F ie z a A
E iez a “3
F ieza ~ C
A lm a cén 1 1
A lm a c e .n _ l 1
A lm a cén 1 1
F i r s c T im e C c c u r r e n c e s F r e q u e n c y
0
0
0
IN F
IN F
IN F
L o g ic
£(€>
ZO)
ZO)
Figura 6 .5 Sintaxis d e l p ro g ra m a para el e je m p lo 6.1.
20 5
| C a p ítu lo 6 Instrucciones d e ProM odel
En ocasiones no es posible ten e r la distribución o función d e probabilidad teórica por
insuficiencia de datos o bien porque la inform ación no se ajustó a alguna d e las d istrib u­
ciones teóricas existentes. Por ejem plo, si en el proceso antes descrito la inform ación del
tiem p o de lavado de la pieza A en lugar d e ser una función Uniform e(3 ± 2) m inutos fu e ­
ra la siguiente: 10% de las piezas se lavan en 1 m inuto, el 4 0 % se lavan en 2 m inutos, el
5%, en 3 m inutos y el 45% restante, en 32 m inutos, tendríam os que crear funcio nes per­
sonalizadas sim ilares a las que se m uestran en la figura 6.6 o en la figura 6.7. Estas funcio ­
nes se crean a través de la opción Build/ More Elem en ts /User D istributions.
Type
tiem pojavado
||
C u m u la t iv e
D is c r e t e
T a b le .
D e fin e d
1 1 Table for tiempojavado
[
Percentage
Valué
10
1*
40
2
5
3
45
32
F ig u ra 6 . 6
u
F u n ció n d e u su ario m ed ian te el fo rm a to d e fu n ció n no acu m u la d a.
U s e r Distributions
1*1 i-
ID
Cumulative
Type
tie m p o ja v a d o
Distrete
:iM*/Tn['iiwor.3n*
Yes
Table.
Defined
io n S tu d e n t V e r s ió n
H Table for tiempojavado
m r - 1°
P e r c e n ta g e
V a lu é
10
1
50
2
ss
3
100
32
«*»
V
F ig u ra 6 .7 F u n ció n d e u su ario m ed ian te el fo rm ato d e fu n ció n acu m u la d a.
Para la creación d e estas funcio nes se requiere de la siguiente inform ación:
ID: N om bre d e la función a crear
Type: Puede ser discreta o continua y d epend e de las características de la variable
dependiente.
Cum ulative: Se activa la opción Yes o No para indicar si los porcentajes d e la función
serán alim entados en form a acum ulativa o no.
Table: Perm ite asociar cada porcentaje con el valor de la variab le dependiente que le
corresponde.
206
6.2 Recursos | 1
Una vez qu e la función d e usuario es dada de alta, podem os hacer uso d e ella duran­
te la creación de la ruta de proceso. Com o en este caso la función se utiliza para sim ular
el tiem p o de lavado d e la pieza A, al hacer uso de ella en el Process lo haríam os com o
WAIT tiem p o_lavad o() tal com o se m uestra en la figura 6.8. Este tip o de fu n cio n es p u e ­
den ser utilizadas en cualquier cam p o d e lógica del ProM odel.
3ÜS ProModel - EJEM PL04.1.M 0D - [Process]
10 3
View
Simulation
E n c ic y ...
O u tp u t
Tools
L o c a c ió n —
P ie z a _ A
A ir e a c e n _ l
P ie z a _ A
L avadora
P ie z a _ A
A lm a c e n _ 2
P ie z a _ A
Inspecror
P ie z a _ B
A lr a a c e n _ l
P ie z a _ B
L avadora
P ie z a _ B
A lm a c e n _ 2
P ie z a _ B
Inspecror
P ie z a _ C
A lm a c e n _ l
P ie z a _ C
L avadora
P ie z a _ C
A lm a c e n _ 2
P ie z a
In soeccor
W in d ow
Help
-
5
O p era ció n .
1
_____ ¿ A
J
‘
— V
%
H
i
C
C
WAIT c i e : r p c _ l a v a d o < )
x l
N (8 ,2 )
WAIT E R ( 4 , 3 )
WAIT T ( 3 , 5 , 7 )
WAIT W ( 2 , 3 )
WAIT
9+W ( 1 . 4 )
F ig u ra 6 . 8
U tilizació n
d e la fu n ció n d e
u su ario e n el
e je m p lo 6 . 1 .
6.2 Recursos
Los recursos son m ecanism os que requieren las entidades para com pletar una operación,
y se caracterizan en prim er lugar por tener una disponibilidad lim itada. En ProModel
encontram os dos tipos de recursos:
Recursos estático s. Son aquellos sin una ruta de m ovim iento y que, por lo tanto, p erm a­
necen inm óviles. Se utilizan principalm ente para m o d elar recursos necesarios para llevar
a cabo una tarea dentro d e una localización (por ejem plo, el operador de una m áquina).
Tam bién pueden em plearse en m ás d e una localización, o bien para m over entidades de
una localización a otra, siem pre y cuan do la ausencia de m o vim iento no sea un facto r
relevante en el m odelo.
Recursos dinám icos. Son aquellos que se m ueven a través d e una red de rutas (Path
Networks). Estos recursos perm iten transpo rtar entidades entre localizaciones, para
m odelar, por ejem plo, un m ontacargas que m ueve contenedores de una m áquina a un
alm acén, o un operario que tien e que operar dos o m ás m áquinas; en estos casos, el
tiem po de traslado entre las m áquinas im pacta los resultados del m odelo.
20 7
| C a p ítu lo 6 Instrucciones d e ProM odel
Las instrucciones m ás com unes relacionadas con el uso d e un recurso son GET, FREE,
U SE y MOVE WITH. Analicem os a continuación dos de las m ás utilizadas.
Instrucción G ET
La sintaxis general d e esta instrucción es:
G ET {< Cantidad> } <recurso> {,< prioridad 1>{,< p rioridad 2>}} {AND o OR
{Cantidad} <recurso> {^ p rio rid a d 1> {/<prioridad2>}}}
La instrucción G ET captura un recurso o com binación de recursos, d e acuerdo con cierta
prioridad especificada. Si ya se tiene un recurso capturado, la entidad tratará d e capturar
uno adicional.
Ejem plos:
G ET Herram ienta1
G ET 1 Operario, 2 ,2 5
G ET Grúa 7,20 AND (Grua2,10 OR Polipasto,20,70)
G ET 2 Cajas, AND (Pegam ento OR Cinta)
Instrucción FR EE
La sintaxis general es:
FR EE <{cantidad} recurso
F R E E libera recursos previam ente capturados con las instrucciones G ET o JO INTLY GET.
Ejem plos:
FREE pallet
FREE Juan, Paco, Luisa
FREE 4 Tornillos, 3 Tuercas
FREE all
Ejem plo 6.2
Considere el sistem a d e m anufactura que se ilustra en la figura 6.9, el cual consta d e dos
procesos en serie: to rnead o y fresado de barras en las m áquinas llam adas Lathe y Mili
respectivam ente. El tiem p o de torneado es d e 3 m in/pieza, y el de fresado es de 2.7 m in/
pieza. Para operar am bas m áquinas se ha contratado a un solo operario llam ado
M achinist. Las barras esperan antes d e cada proceso en alm acenes denom inados Palletl
y Pallet2. La tasa de entrada es de 10 piezas/h. Sim ule el sistem a por 2 4 horas para deter­
m inar la utilización del equipo y del personal.
208
6.2 Recursos | 1
Layout
Figura 6.9
Layo u t d e l sistem a
d e m anufactura
(ejem p lo 6 .2 ).
Iniciarem os la construcción del m o d elo definiendo los siguientes elem entos:
•
En la ventana Locatio ns (Build / Locations) active la ventana d e edición que se
ilustra en la figura 6.10, y defina las localizaciones Lathe, Mili, P a lle tl y Pallet2.
Illll Lo ca tio n s
Ic o n
N axe
l
C ap.
L ache
I1
*
♦
•
ü n it*
D T s. . .
1
N one
M ili
1
1
N one
P a lle tl
in f
1
N one
F a lle tZ
in ff
1
N one
■1
Fig u ra 6.10
D e fin ició n d e las
lo calizacio n es y
su cap acid ad .
En la ventana Entities (Build / Entities) defina la entidad Barra (vea la figura 6.11).
E n titie s
Speed
■T
^ B
a r r a
(íp x )
Fig u ra 6.11
V entana de
ed ició n para
la d efin ició n
d e la entidad
IS O
B arra.
•
En la ventana Arrivals (Build / Arrivals) especifique un número infinito de ocurrencias
para la entidad Barra, con un tiem po entre llegadas de 6 m inutos al Palletl (vea la
figura 6.12). (Al definir un número de ocurrencias infinito, es necesario que el modelo
de simulación se detenga mediante la determinación de un tiem po de corrida.)
Illll A r riv a ls
E n tity —
B a rra
L o c a tio n .. .
P a lle tl
Q t y e a c h ___
1
F i r s t T is te
0
O c cu rre n c es
IN F
F re q u e n cy
€
Figura 6 .12
M odelado
de las
llegadas de
m aterial.
20 9
| C a p ítu lo 6 Instrucciones d e ProM odel
•
En la ventana R esou rces (Build / Resources) defina el recurso M achinist y la c a n ­
tidad del recurso que se tien e (vea la figura 6.13).
Resources
Icón
i
ü n its
Ñame
M a c h in is t
11
DTs. . .
None
S t a t s ___
By ü n it
Specs.. .
No N etw ork
F ig u ra 6 .1 3 V entana d e e d ició n para la d e fin ició n d e recursos.
•
En la ventana Processing (Build / Processing), cree la ruta de producción d e las
barras a través del to rn o y la fresadora, incluya en dichas localizaciones la captura
del recurso con la instrucción GET M a c h in ist, y su liberación con la instrucción
F R E E M a c h in ist después del tiem p o de proceso. La figura 6.14 m uestra una parte
de la program ación de la ruta.
MI Process
E n t i t y ___
l°|x.
L o c a t i o n ___
3 a rra
P a lla tl
B a rra
L a th e
B a rra
P a lla t2
B a rra
M ili
■ Operation
|
O p a r a t i o n ___
C u t p u t ___
B a rra
O a s tin a tio n .
P a lle t2
R u la .
F IR S T
1
3LTF5EE M a c h in is t]
GET M a c h i n i s t
BU®
3Z T M a c h i n i s t
rfA IT 3
FREE M a c h i n i s t
ít
F ig u ra 6 .1 4 Ruta d e p ro d u cció n d e la s barras.
•
Por ú ltim o , abra el m en ú S im u la tio n y hag a clic en el co m a n d o O p tio n s para
desplegar el cuadro d e diálogo que se m uestra en la figura 6.15. En el cuad ro de
te x to de este cu ad ro e stab le zca la lo n g itu d d e la co rrid a d e sim u lació n en 24
horas.
210
6.2 Recursos | 1
Simulation Options
O i i p i i P a th :
B row se
|c :'o fo m o d 4 \o u tp u »
CJock P re a s o n
D e fn e ru n leng th b y :
f * Tim e O nly
'
'
W e e k ty T m e
f-
W arm up Pencd
v .a
i
|o .o o i
C a le n d a r D ate
jJ
C S econd
Warmtohourr
|--------------------------------------------------------
|
(• M n u te
R i n hours:
|24
f
F ig u ra 6 .1 5
D efinició n d e
la d u ració n
d e la co rrid a de
sim ulación.
Hcxx
TDay
-------------------------------- 1
Para consultar el resultado d e los pasos anteriores, abra el m enú File y haga clic en el
com ando View Text. En la figura 6.16 hem os encerrado en un círculo el uso d e las instruc­
ciones G ET y FREE.
■
*
L o c a t io n s
Ñame
ca p u n it s S t a t s
R u le s
L a th e
l
l
in f
in f
O ld e s t ,
o ld e s t ,
O ld e s t ,
O ld e s t .
M U I
P a lle n
P a lle t 2
1
l
1
l
T im e s e r i e s
T im e s e r i e s
T im e S e r i e s
T im e s e r i e s
•
co st
,
,
,
.
•
E n t it ie s
Ñame
Speed (fp m )
sta ts
B a rra
150
T im e s e r i e s
C o st
•
0
R e s o u rc e s
Ñame
Ent
R es
s e a r c h S e a rc h P a th
u n it s S t a t s
M a c h in is t i
B y u n ir
None
o ld e s t
•
M o tio n
co st
Em p ty: 15 0 fpm
F u l l : 150 fpm
P r o c e s s in g
■
T tro c e ss
E n t it y
L o c a tio r * O p e ra tio n
B a rra
B a rra
P a lle n
L a th e /
B a rra
B a rra
P a lle i2
M ili \
\
\
5
\
GET M a c h in is t
WAIT 3
FR EE M a c h in is t
\
GET M a c h in is t
W AIT 2 . 7
f r e e M achi n i s t /
/
\
s i > a i s a g > i > s » g g g g > a
a
R o u tin g
B lk
O u tp u t
D e s t in a t io n R u le
1
B a rra
L a th e
F IR S T i
1
1
B a rra
B a rra
P a lle t 2
M ili
f ir s t i
F IR S T 1
l
B a rra
E X IT
F IR S T 1
A r r iv a ls
a
a a a a a e a a a g a a a a a a a B B a a a a a a a g a g a a a a a a g a a a a g a a a a g a a a o
E n t it y
L o c a t io n Q ty e a ch
F i r s t T im e O c c u rr e n c e s F re q u e n c y
B a rra
P a lle t l
o
l
Move L o g ic
IN F
L o g ic
6
Figura 6 .1 6 La p ro g ra m a ció n co m p le ta d e la sim ulación.
211
| C a p ítu lo 6 Instrucciones d e ProM odel
Ejecute el m odelo. O bserve que no se presenta ningún tip o de m ovim iento del recur­
so, ya que no se trata d e un recurso dinám ico. Esto se debe a q ue, al definir el recurso
M achinist, el parám etro d e la colum na Sp ecs d e la ventana R esou rces se conservó com o
No N etw ork (vea la figura 6.13). Más adelante em plearem os recursos en com binación
con Path N etworks para p erm itir la visualización d e recursos en m ovim iento.
Finalm ente, revise el reporte de resultados d e la sim ulación. Para ello:
Abra el O utput y haga clic en el com ando View Statistics. Seleccione en la pestaña
C h a rt la opción Tables/Location Sum m ary y Tables/Resources Sum m ary. Las ventanas
que se desplegarán serán sim ilares a las que se m uestran en la figura 6.17. Com o puede
observar, el recurso ha sid o utilizado un total de 95% del tiem po, 50% del cual correspon­
de al torno, y 4 5 % a la fresadora.
S c h e d iie d
T lm e ( H r )
T o ta l F n trifts
A v e ra g e T m e
A *e re g e
M a»m un
C u rre rt
%
P e r E n try ( M n )
C orrtents
C ó rte n te
C o n te n te
/ í lliz a tlc n
S rftn a h n
Ñ am e
E je m plo
L a th e
2 4 .0 0
1 .0 0
2 4 1 .0 0
2 .9 9
0 .5 0
1.0 0
1 .0 0 1
5 0 .0 0
E je m plo
M ili
2 4 .0 0
1.0 0
2 4 0 .0 0
2 .7 0
0 .4 5
1.0 0
0 .0 0 \
4 5 .0 0 ,
E je m plo
Raletl
2 4 .0 0
9 9 9 ,9 9 9 .0 0
2 4 1 .0 0
0 .0 0
C .00
1.00
0 .0 0
0 .0 0
E je m pío
PaEet2
2 4 .0 0
9 9 9 ,9 9 3 0 0
2 4 0 .0 0
0 .0 0
C .00
1.00
0.0 0
0 .0 0
| See n a n o
Ñ am e
U n*te
S ch e d u le d T im e (H rJ
W c r t T im e (M in )
N jm b e r T im e s Uaed
E je m p to
M a c h ín s t
1.0 0
2 4 .0 0
1 ,3 6 8 .0 0
4 8 1 .0 0
C a p a r tv
A v e ra g e T im e P e r
/Yo
U sa g e (M in )
/ U tiliz a re n
2 .8 4
F ig u ra 6 .1 7 R eporte d e resu ltado s del uso d e lo ca liza cio n e s y recu rso s c o n fo rm a to O u tp u t V ie w e r 4 .0 .
6.3 Paros en los equipos
Un paro provoca que un recurso o localización q uede inhabilitada para operar, o fuera de
servicio. Desde el punto d e vista de la sim ulación, un paro puede representar fallas, des­
cansos, m antenim ientos preventivos (en cuyo caso se necesitarán uno o m ás recursos),
interrupciones program adas o cam b io s d e turno.
Una lo calizació n p u e d e q u ed ar fu e ra d e se rv ic io en fu n ció n del tie m p o d e s im u la ­
ción (C lock), por tie m p o de u so (U sag e), por n ú m e ro d e en tid ad e s pro cesad as (E n tity ),
o por un ca m b io en el tip o d e entid ad a pro cesar (S e tu p ). Los paros se procesan de
m anera in d e p e n d ie n te , p o r lo que d ifere n tes paros p u e d en o cu rrir d e m anera sim u l­
tánea en una m ism a lo calizació n (e xce p to aq u ello s que se deb an a cam b io s d e tip o de
entid ad ).
Por su parte, un recurso puede quedar fuera d e servicio solam ente en función del
tiem po de sim ulación (Clock), o p o r tiem po d e uso (Usage).
Otro m étodo para definir paros por descansos o turno s consiste en utilizar el editor
d e turno s (Shift Editor). Este procedim iento tien e la ventaja d e perm itir paro s en to d o un
grupo d e localizaciones.
212
6.3 Paros e n los e q u ip o s |~1
Para definir un p a ro en u n a localización o e n u n recurso:
•
Abra el m enú Build y haga clic en el com ando Locatio ns (o Resources, según el
caso) para desplegar la ventana de edición que se m uestra en la figura 6.18 (por
supuesto, si está definiendo un paro en un recurso, la ventana m ostrará el nom bre
R esou rces en la barra d e título).
Ñam e
•
C ap.
O n lta
L a th e
1
1
M ili
1
1
P a lle tl
in f
1
P a lla t2
in f
1
«
D T a .. .
m m am
c[° ^ tn u y ..
N one
U sage.
N one
S e tu p . *•
Non*
Calted. -
F ig u ra 6 .1 8
Pro g ram ació n de
d iferen tes tip o s
d e paro e n las
localizaciones.
Haga clic en el botón leyenda DTs y elija, en el m enú contextual que aparece, el
tip o de paro que desea program ar. Enseguida se abrirá una ventana de edición
sim ilar a la que se ilustra en la figura 6.19.
- 1n
C lo c k d o w n tim e s f o r L a th e
F requ en cy
600
F rra t
20
T im e
P r io r ity
99
S c h e d u l e d ____
|
No
L o g i c ____
w a it
25
|
D is a b le
No
J *l |
□
d
F ig u ra 6 .1 9 D eterm in ació n d e p arám etro s d e u n paro e n una lo ca liza ció n .
Las ventanas de edición d e paros contienen un conjunto d e colum nas dond e p o d e ­
m os especificar los valores d e los siguientes parám etros:
Frequency. Representa el tiem p o que transcurre entre paros consecutivos.
First tim e. Representa la hora en que ocurre el prim er paro; si se deja en blanco, el pará­
m etro tom ará el valor asignado en el cam p o Frequency.
Priority. R ep resenta la prioridad relativa que tend rá el paro. D e m anera p re d e te rm in a ­
da, la prioridad es 99. Si los paros ocurren hasta que la entid ad que está en posesión de
la localización sale de ella, el rango de prioridades es de 0 a 99. Si un paro ocurre mientras la
localización está ocupada, interrum piendo el proceso d e la entidad, el rango de prio rid a­
des es de 100 a 999.
Sched uled. Perm ite indicar si los paros son program ados o no. Los paros program ados se
deducen del tiem p o total d e sim ulación para el cálcu lo estadístico de los resultados.
213
| C a p ítu lo 6 Instrucciones d e ProM odel
List. En caso de ten e r varias unidades d e un m ism o recurso, este parám etro perm ite
seleccionar el núm ero d e la unidad al que se aplica el paro.
N ode. En caso de recursos dinám icos, representa el nodo, dentro d e su ruta, donde debe
esperar el recurso m ientras el paro esté activo.
Logic. Perm ite programar los eventos y actividades que ocurren durante el paro. En este
cam po es posible utilizar las instrucciones GET, FREE, WAIT, USE, GRAPHIC y JOINTLY GET.
D isab le. Perm ite deshabilitar tem p oralm ente el paro, sin ten e r que elim inarlo.
Ejem plo 6.3
Considere un sistem a de m anufactura sim ilar al del ejem p lo 6.2, con dos m áq uin as en
serie para los procesos d e torneado y fresado. E l tiem p o de torneado es de 3 m in/pieza, y
e l de fresado es de 2.7 m in/pieza. Para operar am bas m áq uin as se ha contratado a un solo
operario. La tasa de entrada es 10 piezas/h.
□ torno tiene una frecuencia de fallas exponencial de 400 minutos, y para su reparación
se n ecesita un m ecán ico . El tiem p o d e reparación es d e 10 ± 3 m in u to s, con d is trib u ­
ción uniforme. El operario de producción descansa 5 m inutos con distribución exponencial
cada 120 m inutos de trabajo. Sim ule el sistema por 24 horas para determ inar el im pacto de
las fallas y los descansos en la utilización del equipo y del personal.
Partiendo de los elem entos definidos en el m o d elo del ejem p lo anterior:
•
•
Abra el m en ú Build y elija R esou rces para acceder a la ventana de edición corres­
p o nd iente (vea la figura 6.20).
Defina com o recurso al m ecánico que hará las reparaciones del torno. En cuanto
al recurso M achinist, haga clic en el botón DTs para ed itar sus descansos.
Ir
S L a ta
i 1
1 Spvc.-a
L o g ic .
|> t a
M e c n ir u a C
1
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3 y U n ir
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3
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H » r* n irn
1
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1 2 0 m in
■ í i J V
T i= < .-
r E lo 1 1 1y
9 9
L is t
Node
L o r i e ----H A1T E (5 )
B in
Figura 6 .20 Edición d e los descansos d e M a chinist y a d ic ió n d el recurso M ecánico.
214
D ia o b le
No
_______________________________________________________________________ 6.3 Paros e n los e q u ip o s
•
|~1
Abra la ventana Locatio ns (Build / Locations). Seleccione la localización Lathe
(vea la figura 6.21), para editar las fallas del equipo haga clic en el botón DTs y
luego en C lo ck (del m enú contextual). En este caso la prioridad de 999 perm ite
que la m áquina falle aún tenien d o una entidad en proceso.
MI
lili Locations
Ñama
DT q
S r» r .«
B o le a
- ¡n x
|C ap
IT n ir.a
L s th e
1
1
N oces
C lo c k .
T u te
Sea O l d e s t
*
M ili
1
1
N one
T u c e Sea O l d e s t
—
P a lla tí
in f
1
Non®
Ti m
P e lle t2
in f
1
N one
T u s e Sea O l d e s t
S ai O ld e s t
V
Clock downtimes for Lathe
F re q u e n c y
F ir s t
400
Tuse
20
S c h e d u l e d -----
P r io r ity
339
m
L o g i c ___
D i s a b ia
GET M e c a n ic u C X l V o
No
F ig u ra 6 . 2 1
Ed ició n de los
d escan so s de
M ach in isty uso
del recurso
M ecánico para
h a c e r la
rep aración.
- :n x
•
Abra el reporte de resultados (Output / View Statistics) para verificar las estadís­
ticas del nuevo recurso M ecánico, y el im p acto d e los paros en las estadísticas de
M achinist, La th e y M ili (vea la figura 6.22).
S ceiküiu
Ñam e
A u e ra q s T im e
To ta l
Scheduled
T im e (H r)
C a p a u íy
E ntries
P e r C ntry
A vera ge
M á xim u m
C unen*
C o n te n ts
C o n te n ts
C o n te 'its
y
(M in )
1
0.9 2
1 .0 0
1 .0 0
2 3 9 .0 0
0.4 7
1 .0 0
1 .0 0
9 9 9 ,9 9 9 .0 0
2 4 1 .0 0
0.0 4
2 .0 0
1 .0 0
9 9 9 ,9 9 9 .0 0
2 3 9 .0 0
0 .0 0
1 .0 0
0 .0 0
¡ r i am n -•
Lathe
2 4 .0 0
1.00
2 4 3 .0 0
E ie m plo
Mi
2 4 .0 0
1 .0 0
C)empío
Palle ti
2 4 .0 0
E Ñ antto
P a k t2
2 4 .0 0
5 .5 4
0 .0 0
[
9 2 .3 4
^
4 7 .1 6
0 .0 0
Resource Sununury
N u m b e r T im e s
Used
A vero g e T r o e P e r
U sage ( M ir )
S cenario
Ñam e
Umb
S cheduled T im e ( H r )
W o rk T im e (M in )
E je n p lo
M xhnst
1 .0 0
2 4 .0 0
1 ,3 6 1 .6 3
4 8 1 .0 0
2.8 3
E ja n p lu
M o td flitO
1 .0 0
2 4 .0 0
3 9 .9 9
4 .0 0
1 0 .0 0
F ig u ra 6 . 2 2
V ie w e r 4.0 ).
9 4 .5 6
V
2 .7 8
Im p acto d e lo s paros en la u tiliza ció n d e lo s re cu rso s y la s lo calizacio n es. (Form ato O utput
21 5
| C a p ítu lo 6 Instrucciones d e ProM odel
U tilización de tu rn o s
ProM odel ofrece al usuario una buena interfase para incluir paros program ados en los
equipos mediante la programación de turnos de trabajo y descansos de los elem entos o p e­
rativos de un sistem a (localizaciones o recursos). Algunos ejem plos de estos paros
podrían ser horarios de com ida, descansos, cam b io s de turno , descansos dom inicales
etcétera. Los tu rn o s de trab ajo de cada elem ento pueden definirse en form a separada e
incluir ciclos de trab ajo que se repitan sem analm ente. Los tu rn o s de trab ajo se definen y
se asignan en el m ódulo Build/Shifts.
Ejem plo 6.4
Los clientes com pran com putadoras en cierta tienda. Hay tres tipos de clientes: el 40%
com pra com putadoras económicas, el 50% com putadoras estándar y el 10%, com putado­
ras de última generación. El tiem po entre arribos d e los clientes está exponencialm ente
distribuido con m edia de 16 minutos. El tiem po de compra (en m inutos) depende del tipo
de com putadora a comprar: para una com putadora económ ica es de 8 a 12 minutos, para
una estándar de 10 a 16 m inutos y para una de última generación es de 14 a 22 minutos, en
los tres casos con una función de densidad uniforme. La tienda sólo tien e un dependiente.
El horario de atención de lunes a viernes es de 9:00 a 13:00 h y de 15:00 a 20:00 h, el sábado
de 9:00 a 14:00 h y los domingos perm anece cerrada. Corra el modelo de sim ulación duran­
te un m es para encontrar el tiem po prom edio d e espera antes de ser atendido.
Definam os tre s localizaciones (Entrada, Espera y Venta) y cuatro entidades (Clientes,
Pobres, Ricos y M agnates). Los arribos y la lógica de proceso se definen de acuerdo a la
lógica m ostrada en las figuras 6.23 y 6.24. Una im agen del m odelo de sim ulación se m ues­
tra en la figura 6.25.
M
P ro cessin g
P rocess
E n tity
L o ca tio n
C lie n te s
P u erta
Pobres
E spera
Pobres
U en ta
R ic o s
E spera
R ic o s
U en ta
M agn ates E s p e r a
M agn ates U e n ta
R o u tin g
O p era tio n
B lk
O utput
D est in a tio n
R u le
1
Pobres
R ic o s
M agn ates
Pobres
Pobres
R ic o s
R ic o s
M agn ates
M agn ates
E spora
E spera
E spera
U en ta
EX IT
U en ta
EX IT
U en ta
EX IT
0 .4 0 0 0 0 0 1
0 .S 0 0 0 0 0
0 .1 0 0 0 0 0
F IR S T 1
F IR S T 1
F IR S T 1
F IR S T 1
F IR S T 1
F IR S T 1
1
1
1
1
1
1
UftIT U < 1 0 , 2 > n i n
UflIT U < 1 3 . 3 > n i n
UfllT U < 1 8 . 4 > n i n
Move L o g i c
F ig u ra 6 .2 3 Ló g ica d e la ruta d e lo s clie n te s.
f?. A rriv a ls
t n in y ...
1 C lie n te s
■
^
■
L o ca tio n ...
Q ty Edch...
| Pu erta
Ü
Figura 6 .24 A rrib os a la tienda.
216
_____________
F irs t T im e ...
0
■
B
O ccu rren ces
F re q u e n c y
INF
E ( 16) m in
6.3 Paros e n los e q u ip o s |~1
F ig u ra 6 .2 5
Esq uem atizació n
del e je m p lo 6 .4 .
Para d efin ir el horario de trabajo:
•
A ctive el editor d e turno s Shifts Ed ito r (Build / Sh ifts / D efine) y se abrirá un
calendario sem anal sim ilar al d e la figura 6.26
r--------------------------------^ Shift Pditor
O
nie con v/t»v upuois
n |* |u |s |
U
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|l2:00 p .n-ri
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P A R A A C T IV A R 0
D E S A C T IV A R LO S
D ES C A N S O S
Wed
Ttvi
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S*
F ig u ra 6 .2 6 Ed ito r d e tu rn o s.
•
Verifique que el icono con la taza de café perm anezca resaltado (desactivado).
Seleccione cualquier día de la sem ana y deslice d e izquierda a derecha el ratón
m anteniendo oprim ido el botón izquierdo, notará que el área de ese día se cubre
de color azul.
•
Oprim a el icono con la taza d e café para activar el proceso d e descansos. Deslice
otra v e z de izquierda a derecha el ratón con el botón izquierdo oprim ido cub rien­
do el horario donde no se trabajará, al finalizar observará superpuesta un área de
color rojo. En este proceso siem pre quedará el área roja arriba del área azul, y en
caso de n o ser a sí el editor m arcará error. A l term inar cualq uier día obtendrem os
una im agen sim ilar a la figura 6.27.
21 7
| C a p ítu lo 6 Instrucciones d e ProM odel
EREAK M C O IFIE D
F ig u ra 6 .2 7 H orario d e d e scan so s d e l lunes.
•
Repita el proceso para todos los días, activand o y desactivando la taza de ca­
fé, note que para desactivar la taza d e café debe o p rim ir el botón que está a
la izquierda d e la taza. Si la estructura d e uno de los días se repite puede usar la
opción de duplicar ese día en el m enú Ed it tan tas veces com o se desee. Al finalizar
el proceso (vea la figura 6.28) debem os guardar (File / Save As) nuestro archivo de
turno s con extensión .SFT.
G S h i f j td ito r - C : \ D o c u m e n t s a n d S e tt¡n g s \u s u a r io \l) e s k to p \e je n ip lo 6 . 8 0 . s f t
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Sal
Reüdy
F ig u ra 6 .2 8 Pro g ram ació n co m p le ta d e lo s tu rno s.
•
218
Ahora debem os definir a cuáles localizaciones o recursos afecta el program a de
turnos, por lo que activam o s la opción Shifts A ssig n m en ts (Build / Sh ifts /
Assign). En el cam p o Locatio ns seleccionam os las localizaciones Entrada y Venta
6.3 Paros e n los e q u ip o s |~1
y en el cam p o Shift F ile s b uscam os la ruta dond e guardam os el archivo SFT. En la
figura 6.29 se visualiza este proceso.
lo t- itio n s .
S h ift Files...
P rio rM e s ..
D is d b le
C :\ D o < u m c n t s a n d S c t t l r Í 9 9 . 9 9 . 9 9 .9 9
P u e rta . V e n t a
S e le c t lo s f lliu n i
S « lo c t S h if t F
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«
Aod
SewtAI->
< - R enové A l
F ig u ra 6 .2 9 A sig n ació n d e lo s tu rn o s.
•
A ctive la ventana d e Sim ulation O p tio ns (Sim ulation / Options) y en la sección
Run Leng th seleccione la opción Calendar D ate. En esta m ism a sección con los
botones Sim . Begin y Sim . End, defina la fecha d e inicio de sim ulación y la fecha
d e fin d e sim ulación. Ejecute el m odelo y o bserve que el reloj de sim ulación corre
en un esquem a sem anal. Al fin alizar la sim ulación aparecerá un aviso que indica
que ocurrieron Failed A rrivals, lo cual es no rm al ya que m ientras la tiend a p erm a­
necía cerrada los clientes siguieron llegando y fueron rechazados.
En la figura 6.30 se despliegan los resultados finales del tiem po prom edio d e espera de
los clientes desglosados por tip o d e cliente.
A v g Time W a t n g - fn t ty
k cíente
Tpo O
F ig u ra 6 .3 0
R esultados de la ejecució n
d el m o d elo p o r tip o d e clie n te .
21 9
| C a p ítu lo 6 Instrucciones d e ProM odel
6 .4 Reglas d e ruteo
La ventana d e edición que se ilustra en la figura 6.31 m uestra una de las herram ientas
disponibles en ProM odel. Rule perm ite gran versatilidad en la creación del proceso al
construir las rutas d e las entidades. Para desplegar la ventana correspondiente, abra el
m enú Build y haga clic e n el com ando Processing.
S i ProModel
mV
ULTIMO 1.M0D
id! View BuU ímiaBor Cufput Toob Windo* Hefc
III Process
Kncity...
9IEZA1
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P1KZAI
Locación—
LLEGADA
CSLCA1
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x
III Routing tor PIEZA1 ® LLEGADA
«■:
A 1 1PTBZA1
G3LDA1
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Bula...
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Hov.Lo*lc. |
A
CBAPHIC 2
aroiNK r,o watt pii
—*
__
F ig u ra 6 .3 1 A cceso a la s reglas de ruteo.
La colum na Rule p erm ite seleccionar la condición que se debe cum plir para que una
entidad sea transferida desde la localización actual (definida en la colum na Location)
hasta la localización sig uiente (determ inada en la co lum na Destination).
Al oprim ir el botón Rule se abre el cuadro d e diálogo Routing Rule. En él se puede
seleccionar cualquiera d e las siguientes reglas d e ruteo:
First availab le. Selecciona la prim era localización que tenga capacidad disponible.
By tu rn . Rota la selección entre las localizaciones que estén disponibles.
If Jo in Request. Selecciona la localización que solicite una entidad para un proceso de
unión (requiere el uso de la instrucción JOIN).
If Send. Selecciona la localización que solicite una entidad para un proceso d e envío
(requiere el uso de la instrucción SEND).
U ntil Full. Selecciona la localización hasta que esté llena.
Random . Selecciona aleatoriam ente y en form a uniform e alguna d e las localizaciones
disponibles.
M ost A vailab le. Selecciona la localización que tenga la m ayo r capacidad disponible.
If Load Request. Selecciona la localización que solicite una entidad para un proceso de
carga (requiere el uso de la instrucción LOAD).
Longest Unoccupied. Selecciona la localización que tenga el m ayor tiem po desocupada.
220
6.4 Reglas d e ru te o | 1
If Em pty. Selecciona la localización solam ente cuando está vacía, y continuará seleccio­
nándola hasta que esté llena.
Probability. Selecciona la localización de acuerdo con un p o rcentaje asignado.
U ser C ondition. Selecciona la localización que satisfaga una condición booleana especi­
ficada por el usuario.
Continué. Se m an tien e en la localización para realizar operaciones adicionales.
A s A ltérnate. Selecciona la localización com o alternativa si está disponible y ninguna de
las reglas anteriores se cum ple.
A s Backup. Selecciona una localización com o respaldo si la que tien e preferencia está
descom puesta.
D ependent. Selecciona una localización solam ente si la ruta inm ediata anterior ya fue
ejecutada.
Q u antity. Es un cam p o adicio nal que p erm ite d e fin ir el n ú m e ro d e unidad es que sa l­
drán de esta localización por cada unidad que entre. Esta instrucción se utiliza para pro­
cesos d e corte y separación.
Ejem plo 6.5
El proceso de m anufactura ilustrado en la figura 6.32 consta de 2 tornos y un alm acén
dond e las piezas esperan antes d e ser procesadas. Los tiem po s d e proceso son de 12 y 15
m in/pieza en los tornos 1 y 2, respectivam ente. La tasa d e entrada a este proceso es d e 6
piezas/h con distribución d e Poisson. Sim ule el proceso.
! Layout - Student Versión
Torno 1
Almacén
%
Torno 2
F ig u ra 6 .3 2
Esq u em atizació n d e un
proceso de torneado.
221
| C a p ítu lo 6 Instrucciones d e ProM odel
•
Para em pezar, definirem os las localizaciones Alm acén, T o rn o _ l y Torn o_2 en la
ventana Locatio ns (Build / Locations). Especifique la capacidad de dichas locali­
zacio nes com o se m uestra en la figura 6.33.
lllli Lo catio n s
Icó n
k
*
|
N&jce
Cap.
U n its
DTs...
T o m o _ l|
1
1
None
Tom o 2
1
1
None
Almacén
in f in it e 1
None
Fig u ra 6 .33 D efin ició n d e ca p a cid a d d e la s lo calizacio n es.
•
Defina la entidad Pieza en la ventana En tities (Build / Entities), co m o se m uestra
en la figura 6.34.
lllll E n titie s
1 Icó n
Ñame
Speed (fpm)
P ie z a
ISO
Fig u ra 6 .34 D efin ició n de la entidad.
A co n tinuació n program arem o s las lleg ad as d e la Pieza al A lm acén. Abra la v e n ta ­
na A rriv a ls (Build / A rrivals) y e sp e cifiq u e los p arám etro s que se m u estran en la
fig u ra 6.35.
lllll A rriv a ls
E n t1 1 y . - P ie z a
| L o c a tio n .. .
A lm a c é n
|Q ty
1
c u c h ._ . |
F i r s t Tune
0
| o ccu rren cc3
IN F
Fig u ra 6 .35 E ntrada d e m ateria p rim a (Pieza) al p u n to inicial del proceso (Almacén).
222
F requ en cy
E (1 0 )
m in
6.4 Reglas d e ru te o | 1
•
D espliegue la ventana Processing (Build / Processing) para crear la ruta de p ro ­
ducción de las piezas a través de cualquiera d e los 2 tornos (vea la figura 6.36).
P l
IIB P roce ss
u u tjr - .Id io s a
1,0 en n o n ----
|
- j( n |( x |
u p e r a t ia r . . . .
|
I I I R o u tin g to r P .e z a » A lm a c é n
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X lu c n
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T o rn o _ l
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— 1
1 P ir r a
Tom o_?
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1
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Kb.C . . .
\
FIRST 1
\
r ic s T
/
^ —
F ig u ra 6 .3 6 Selecció n d el to rn o d o n d e se procesará la pieza.
Com o puede ver en la figura 6.36, en el cam p o Rule aparece, de m anera pred eterm i­
nada, el valo r FIRST para am bas salidas. En este caso la regla de ruteo indica que la pieza
deberá m overse al prim er torno que se encuentre disponible. Si am bos están disponibles,
el torno 1 será la opción elegida. E l"1 " a la derecha del prim er FIRST indica el valo r del
cam p o Q uantity del cuadro de diálogo Routing Rule (vea la figura 6.37).
•
Haga clic en el botón Rule de la ventana Routing fo r para desplegar el cuadro de
diálogo Routing Rule (figura 6.37), en donde podrá seleccionar alguna de las
reglas de ruteo para el registro activo, en este caso para Torno_1.
Routing Rule
W Slait New Block
Quanhly 1 1
T New Entity
(* Fus! Available
r By Turn
c Mosl Available
C Random
C II Load Request
(*' II Jom Request
Longest Unoccupied
T || Send
C || Empty
r Unhl Full
C Piobability
(" User Condilion.
1
f Conlinue
C As Allernate
OK
1
C As Backup
Cancel 1
C Dependen!
Help
F ig u ra 6 .3 7
Seleccio ne e n e ste cu adro
de diálogo la regla de
tran sfere n cia entre
localizaciones.
Por ejem p lo si desea cam b iar la regla de m anera que 30% d e las piezas sean pro ce­
sadas en el to rn o 1 y el resto en el to rn o 2:
•
•
Abra prim ero la ventana Routing Rule para el to rn o 1, seleccionam os la opción
Probability, y escriba 0.3 en el cuadro de texto correspondiente. Haga clic en OK.
Repita los pasos anteriores para el torno 2, tenga cuidado d e que la opción Start
N ew B lock esté desm arcada en este caso. Elija Probability y escriba 0.7 en el
cam p o d e texto. La figura 6.38 m uestra p arte d e este procedim iento.
223
| C a p ítu lo 6 Instrucciones d e ProM odel
I I I R o u tiiig f o r P ie za i » A l n u c e n
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De91 . l i a 11 u n ----
O u lp u t...
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T o rn o 1
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C Motl AvaJjble
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Utei CondKion
f * C o n lin u p
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Cancel
A i A lt-iiW »
OK
C D»>fi»nri*nl
llrlp I
F ig u ra 6 .3 8 Selecció n
del to rn o e n fu n ció n de
p orcen tajes.
Podemos seleccionar de manera similar cualquier otra regla de ruteo. La sintaxis de pro­
gramación del ejem plo (m anteniendo la regla probabilística) se muestra en la figura 6.39:
m
B
“
•
F o r n a t t e d L i s t i n g o f M od el:
C:\ProM od4\raodels\rutas.M OO
T im e u n it s :
D is t a n c e u n it s :
M in u tes
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L o c a tio n s
Mame
cap
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T iñ e s e r l e s O ld e s t ,
T iñ e s e r l e s O ld e s t ,
T iñ e S e r i e s O ld e s t .
•
,
,
.
E n titie s
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Speed ( f p n )
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T im e s e r i e s
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L o c a t io n o p e r a t io n
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P ie z a
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P ie z a
P ie z a
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T orn o_l
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EXIT
M ove L o g ic
0.300000 1
0.700000
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A r r iv a ls
224
E n t it y
L o c a t io n Q t y ea ch
F i r s t T iñ e o c c u r r e n c e s F re c u e n c y
P ie z a
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i
IMF
E (1 0 ) rain
L o g ic
F ig u ra 6 .3 9
Sintaxis
co m p leta d e la
program ación
para el e je m p lo 6 . 5 .
6.5 Ensambles, a cu m u la ció n y a g ru p a m ie n to de piezas |
6 .5 Ensam bles, acum ulación y agrup am iento de piezas
Un gran núm ero de procesos de producción incluyen operaciones de separación, ensam ­
ble, agrupam iento y unión. A continuación se resum en varias de las funcio nes que
ProM odel tiene para m odelar este tip o de procesos.
Instrucción ACCUM
La instrucción ACCUM, cuya sintaxis general es
ACCUM <Cantidad>,
retrasa el proceso de las entidades hasta que cierta cantidad del m ism o tip o se haya acu ­
m ulado en algún lugar del m odelo. Una vez que se han acum ulado, se p erm ite que todas
ellas continúen en form a separada. Si la entidad a procesar se define co n el parám etro
ALL, todas las entidades, sin im p o rtar su tipo, entran en el proceso de acum ulación. Esta
instrucción no consolida las entid ades (vea la figura 6.40).
Ejem plos:
ACCUM 5
ACCUM 10
a c c u ín
5
w o it
12
v
¡ Lñe
1
A lm a c é n
M a q u in a
F ig u ra 6 .4 0 Ejem p lo d e u n p ro ceso d e m a n u factu ra d e 12 m in u to s, q u e inicia c u a n d o se han acum ulado
5 p ie zas e n la m áquina.
22 5
| C a p ítu lo 6 Instrucciones d e ProM odel
Instrucción GROUP
La sintaxis general d e esta instrucción es:
GROUP <Cantidad> A S <Nueva entidad>/
y su propósito es realizar una unión tem p oral d e entidades de un m ism o tip o (a m enos
que se utilice com o parám etro la palabra A LL, en cuyo caso puede unir entidades de
diferente tipo). Las entidades agrupadas se m antienen en ese estado hasta que encuen­
tran una instrucción UNGROUP. Si se utiliza la opción AS, la entidad resultante de la
unión puede ten e r un nom bre diferente (vea la figura 6.41).
Ejem plos:
GROUP 10
GROUP 10 A S Am igos
GROUP PRODO AS Lote
ProModel - agrupar.MOD
P ie
E d it
V ie w
B uilc
S im J a ü o n
O u tp u t
T o c ls
W m dow
H elp
lili Procos*
III R o u tiu g foi L o te ® A lm acén
R u le
g ru u p 5
o í
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A lm a c é n
P vocess
E n tity
L o c a tio n
O p e r a tio n
P ie z a
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L o te
filn a c e n
ftln a c e n
M a q u in a
group
5
u a it
10
ac
M a q u in a
R o u tin g
B lk
O u tp u t
D e stin a tio n
R u le
lo te
F ig u ra 6 .4 1 Ejem p lo d e u n sistem a d e p ro d u cció n d e 10 m in/lo te, c o n a g ru p ació n p revia d e 5 p ie zas e n el
alm a cé n (in cluye la sin taxis d e p ro gram ació n co m p leta del proceso).
226
6.5 Ensambles, a cu m u la ció n y a g ru p a m ie n to de piezas |
Instrucción UN GROUP
La instrucción UN GROUP tien e la sig uiente sintaxis general:
UNGROUP
El o b jetivo de esta instrucción es separar las entid ades agrupadas previam ente con la
instrucción GROUP. Las entidades son desagrupadas d e acuerdo con e l esquem a "prim e­
ro en entrar, prim ero en salir", a m enos que se indique lo contrario con la expresión LIFO
(vea la figura 6.42).
Ejem plos:
UNGROUP
UNGROUP LIFO
i
ProM odel - desag rupar.M O D
File
Edt View Builc
Scnulation Outpu: Tods
Pl Q¡F|(X
1
1
........... ...... —
S n t i t y --
L o c a t ion...
P ie z a
A lm a c é n
L o te
Alnnrpn
Lote
Mequine
|
10
III R outing ío r Lote $ M aquina
O u t p u t -----
Operation—
le a tin a tio n ..
R u le ...
gtuup S oí lote
ueit 1 0 ungroup
BU)
O peration
w a it
Wirdow Help
u n grou p
Almaser
Maquina
Une I
Pro c e s s in q
P rocess
E n tity
L o ca C io n
O p e r a c ió n
P i e 2a
L o te
L o te
P ie z a
A lm a c é n g r o u p
5 a s lo te
A lm a c én
M a q u in a w a i t 1 0
ungroup
M a q u in a
R o u tin g
B lk
OuCput
D e c C in a tio n
R u le
L o te
M a q u in a
F IR S T 1
P ie z a
EX I T
F IR S T 1
F ig u ra 6 .4 2 Ejem p lo d e u n sistem a d e p ro d u cció n d e 10 m in/lo te, a g ru p a n d o p reviam en te 5 p ie zas e n el
alm acén y d esag ru p an d o d e sp u é s del p roceso.
22 7
| C a p ítu lo 6 Instrucciones d e ProM odel
Instrucción COM BINE
La sintaxis general d e la instrucción es:
COMBINE <Cantidad> AS <Nueva entidad>
Su propósito es realizar una unión definitiva de entidades de un m ism o tipo, a m enos que
se utilice com o parám etro la palabra A LL, en cuyo caso puede unir entid ades d e diferen­
te tipo. La entidad resultante m antiene el nom bre y atributos de la últim a entidad com ­
b inad a; si se utiliza el parám etro AS, la entidad resultante de la unión puede ten e r un
nom bre diferente (vea la figura 6.43).
Ejem plos:
COMBINE 10
COMBINE 50 AS Lote
PioM odel - co m bina!.M O D
He
E d it
V ie A
B jld
S m u la b o n
O u tx -t
io o Is
W ndov\
H e lp
lili R u uting foi c a ja © A lm a cé n
lili P i o c e s s
O p eratio n
A lm a c é n
Routing
E n tity
L o ca tio n Operation
P ieza
caja
Almacén
Al m a c é n
combine 1 0
Blk
Output
D e s t i n a t i o n Rule
a s ca.ia
E X II
FIR S T
1
F ig u ra 6 .4 3 Ejem p lo d e u n sistem a de em p a q u e e n u n a lm a cé n , co m b in a n d o 10 p iezas/caja (in cluye parte
d e la sin taxis de p ro g ram ació n d e l m odelo).
228
6.5 Ensambles, a cu m u la ció n y a g ru p a m ie n to de piezas |
Instrucción JOIN
Con la sin taxis general:
JOIN <Cantidad> < Entidad a ensam blar>
la instrucción JOIN ensam bla entid ades de cierto tip o a la entidad actual. Las entidades a
ensam blar provienen de otra localización, y se dirigen m ed iante la regla d e ruteo IF JOIN
REQUEST. U na vez ensam bladas, las entidades pierden su identidad y atributos.
Ejem plos:
JOIN 2 4 Refrescos
JOIN Variable_1 Cajas
Ejem plo 6.6
Com o se ilustra en la figura 6.44, un operario em paca cajas de 25 piezas cada una. El
tiem p o de em p aq u e es exp o nencial de 1 m inuto. Las tasas de entrada por hora son cons­
tantes, d e 1500 en el caso d e las piezas, y de 60 en el de las cajas.
ProModel - Ensamble.MOD - (Normal Run]
p .jj F ie
S m iia b o n
O pbons
In fo rm atio n
W indow
In te rn e t
Help
n
2168
&
A lm acén Pieza
C aiü3 te n e s
i
Figura 6 .4 4 Proceso de empaque para el ejemplo 6.6.
•
•
Para com enzar, defina las localizaciones Alm acén_Caja, Alm acén_Pieza y Operario
en la ventana Locatio ns (Build / Locations).
Especifiq ue las entidades Caja_vacía, C a ja JIe n a y Pieza en la ventana En tities
(Build / Entities).
22 9
| C a p ítu lo 6 Instrucciones d e ProM odel
•
En la ventana A rriv a ls (Build / Arrivals) determ ine las entradas al sistem a, d e la
C aja_vacía al Alm acén_Caja, y de la Pieza al Alm acén_Pieza.
•
En la ventana Processing (Build / Processing), cree la ruta de cada tipo de entidad.
Para m odelar la unión de las entidades son necesarios dos procesos: uno para la entidad
principal, C aja_vacía, y otro para la entidad secundaria, Pieza. El prim er proceso se ilustra
en la figura 6.45; en él harem os uso de la instrucción JOIN para indicar que la entidad
actual, C aja _va da , en la localización Operario solicita 25 entidades Pieza para llevar a cabo
la unión. La entidad resultante d e este proceso se identifica com o C a ja JIe n a ,y es enviada
al exterior.
Process
I2 I
E n tiry
|-
H
X
lili Routing for C a ja_vaeia <¿>Operario
O p a ra e io n
T . O C A t l OT1
C a ja v a c ia
A ln a c e n C a ja
C a ja v a c a a
Clararlo
V iv ía
A J ja a c e n V i e s e
O ucpur.
C a ja
lle n a
L D a a c ln a e la n
JO IN 2 5 P ie s a U J K A I T 2
Operation
M rools
New Process
pOTM 2 5 P i a s a
H A IT E {1}
Add Routing
Find Process
Entitv:
Figura 6 .45 Programación de la instrucción JOIN.
El segundo proceso a program ar es para la entidad Pieza, y consiste en m odificar la
regla de ruteo hacia la localización Operario. En la figura 6.46 se m uestra có m o llevarlo a
cabo m ediante la selección d e la opción If Jo in R eq u esten el cuadro d e diálogo Routing
Rule.
I I R o u tin g l o r P ie za ® A lm a c e n _ P ic /a
£ u l . l . y ____
C a ;»
v ic i»
lu c il.u i.
..
C y n iitik u ..
.
A lm a c é n _ C a ja
C a ja _ v a c x a
C p e a a a io
P isa s
A lm acon_Plsan
JOIN 2fi P i n a
R outing Rulo
P S t * t N w Block
QuanWy 1
r Ne* Enlitr
B ljla y o u t
M o jI Avaddble
N e w P ro c e s s
A dd Routmg
Figura 6 .46 P rogram ación d e la regla de ru te o If J o in Request.
230
C Ky lia n
\
I I J o in rie q iJc it
r ii Sond y
C R.indom
C II Load ( l e q u c i t
C I n r g r t l lln n c ru p in d
6.5 Ensambles, a cu m u la ció n y a g ru p a m ie n to de piezas |
La sintaxis de program ación del ejem p lo 6.6 se ilustra en la figura 6.47.
In s t r u c c ió n LO A D
La instrucción LO A D , cuya sintaxis general es
LO A D < C a n tid a d > IF F < C o n d ic ió n > IN < T ie m p o > ,
agrupa tem p oralm ente entidades d e cierto tip o a la entidad actual. Las entidades a agru­
par provienen d e otra localización, y se dirigen m ed iante la regla d e ruteo I f L o a d
R e q u e s t. Las entidades agrupadas m antienen su identidad y atributos, y se separan
cuan do encuentran una instrucción U N LO A D .
231
| C a p ítu lo 6 Instrucciones d e ProM odel
Ejem plos:
LOAD 5
LOAD 10 IFF Tipo > 2
LOAD 2 IF F Peso > 3 IN 5 m in
LOAD 5 IN 10 m in
In s tru c c ió n U N LO A D
La sintaxis general d e esta instrucción es:
U N LO A D < C a n tid a d > IF F < E x p re sió n >
y su propósito es p erm itir que una entidad descargue o desagrupe otras entidades p re ­
viam ente agrupadas por una instrucción L O A D o G R O U P si se cu m p le la condición espe­
cificada.
Ejem plos:
UNLOAD 10
UNLOAD 2 IFF entityO = Pieza
E je m p lo 6 .7
Un proceso requiere m over m aterial en contenedores d e un lugar a otro. Cada co ntene­
dor debe llevar 5 piezas. El tiem po para cargar e l contenedor es de 1 m inuto. Los co n te­
nedores se m ueven a través de una banda transportadora en 30 segundos. A l fin al d e este
m o vim iento se separan y cada entidad co ntinúa por separado en bandas transportadoras
independientes. Vea la esquem atización de este problem a en la figura 6.48.
ProModel
Í
j j = íe
Ejem p lo L0AD .M 0D
S r r u ia tjo n
O p tio n s
In fo rm a tio n
[N orm al Run]
W ndow
In te ra c t
H elp
3 -------------------------------------------------------------------------------------------B an d a paDets
B an d a p ie z a s
Figura 6 .4 8 Esquem atización d e la sim ulación d e u n proceso d e u n ió n y separación d e entidades.
232
6.5 Ensambles, a cu m u la ció n y a g ru p a m ie n to de piezas |
Para este ejem p lo , antes que nad a es necesario d e fin ir las siete lo calizacio n es que
se m uestran en la fig u ra 6.48 (alm acén de piezas, alm acén d e pallets, carga, banda,
banda p allets, d e scarg a y banda piezas), las dos entid ades que se m ueven a través d e l
sistem a {pallet y piezas), y la inform ación sobre la llegada del m aterial al sistem a. Estos
elem entos y sus características se describen m ás adelante en la sintaxis d e p ro gram a­
ción del m odelo.
De la misma form a que en el caso de la instrucción JO IN , para lograr la unión o carga se
requieren dos procesos: uno para la entidad principal, Pallet, y otro para la entidad secunda­
ria, Piezas.
El prim ero de dichos procesos se muestra en la figura 6.49. En él se hace uso de la ins­
trucción LO A D para indicar que la entidad actual, Pallet, solicita en la localización Carga 5
entidades para llevar a cabo la unión, incluyendo el tiem po necesario para hacerlo. La enti­
dad resultante de este proceso es enviada hacia la banda transportadora Banda.
lili Process
lili Routing for Pallet @ Carga
■ Operation
B s n d ít _ p i
LO A D 5
IN
1 m r.
A c d R o u tin g
F ig u ra 6 .4 9 Program ación de la in stru cció n LOAD.
El segundo proceso a program ar es para la entidad Piezas, y consiste en m odificar la
regla d e ruteo desde el Almacen_de_piezas hacia la localización Carga. La figura 6.50 ilus­
tra có m o se lleva esto a cabo m ediante la selección de la opción If L o a d R e q u e s t en el
cuadro de diálogo R o u tin g Rule.
III PlOC«>
□
,X
m K o u tm g tu i P ie io * e> A lm < ic tM i_ d v _ p ie ia *
!U n i 1 i i _ p > l t M a
llr»
R oiitir>e P ulo
F S t a il N ew B lock
I
N ew L o lilf
C M .u l A voilob le
N®w P rrc e s s
\
r Rondo^ II I iidil Rin|unit
I o n g etf tlno cco p ied
Fm d P roce ss
F ig u ra 6 .5 0 Program ación d e la regla de ru te o If Load Request.
Una vez transportado el Pallet por la banda, se lleva a cabo el proceso d e separación
o descarga m ediante la instrucción U N L O A D , de m anera que cada entidad sea enviada a
su sig uiente proceso (vea la figura 6.51).
233
| C a p ítu lo 6 Instrucciones d e ProM odel
, n
|X
I I R o u tin g l o r P a lte t v Descarga
O p e ra tto n
N ew P rocesa
Artd Routing
III R o u tin g lo i P ie za s 9 Descaí:
F ig u ra 6.51
Program ación
d e la
instrucció n
UNLOAD.
O bserve la sintaxis de program ación com pleta para el m odelo del ejem p lo 6.7 en la
figura 6.52.
F oraacted L i s t m ; o f f c d e l :
C:\Prolfod4\iasdel9\B jesplo IOAD.1CC
••••••••
Time I t a it a :
D istan ce U n íta ;
*
-
K iru ta s
Feet
*
L o c a tic n a
Cup
A ln B c a n _ d e _ p a lle t9
A l uneen~de_plezna
Banda
Dasrargn
Carga
B an d A _p allets
k _p iea a »
Unica S
D JF D JnS 1
IN F IN n B 1
INFDJITB 1
1
1
1
to ta
*
Rui « a
Coac
T une S a n e a O l d e a t . .
Tune S e d e a O ld e a t.
Tune S e n e s O ld e a t.
Tune S a n e a O ld e a t.
Tuno S o c io ■ O ld e a t,
Tune S a n e a O ld e a t,
TUne S a n a s O ld e a t,
1
DJFDJ ITK 1
IN F IN riB 1
.
FIFO,
.
.
FIFO.
FIFO.
B n titie 9
P ie z a s
P a lla r
Speed <fj*a)
S tata
ISO
ISO
Tune S e n e s
Tuse S a n a s
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
C oat
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Procesa
R outing
B n tlty
In c a t Io n
C p e ra tic n
Bife C u tp jt
P a lle e
P a lle e
P a lle s
P a lle s
P a lle s
Pieaaa
P ie za s
P le n a
Alm acan_da_palla es
Carga
IDAD S DJ 1 m n
Banda
NA IT SO aec
unload S
Descarga
B a n d a_p allet a
u a it SO aec
Al meg¿n_de_piezaa
Descarga
Banda_piezae
u a i t 30 aec
1
1
1
1
1
1
1
1
P a lle s
P a lle t
Pal lo r
P a lle t
P a lle t
P ie za s
P ie za s
P ie za s
Efese i na t io n
C *rga
FIRST 1
Banda
FIRST 1
Descarga
FIRST 1
Banda p a l i s t a FIRST 1
2XIT
FIRST
LOAD 1
Carga
Banda_piezas FIRST 1
DCIT
FIRST 1
A r r iv a l a
234
R u le
H n tity
L o c a t ic n
P ie z a s
P a lla r
Alnacer. de_pieaaa 1000
0
1
1
A lc a c e r, da p e l l e t a 200__________ 0____________1______________1__________________
Q ty
c a c ti
F ir s t T in a C ecu tren ce* Fre<jicr.cy
*
L o g ic
F ig u ra 6 .5 2
Sin taxis co m p leta
de la p ro gram ació n
para el e je m p lo 6 .7 .
I n s t r u c c ió n S P L I T
La sintaxis g e n eral d e la instrucción S P L I T es:
SPLIT <Cantidad> AS <Nueva entidad>
Su propósito es dividir una entidad en varias entidades, y asig nar a cada una de ellas (de
m anera opcional) un nuevo nom bre. Las entidades resultantes d e la división m antienen
los m ism os atributos que la entidad original.
Ejem plos:
SPLIT 10
SPLIT 20 AS Botella
SPLIT V ariab le_4 AS Láminas
E l uso d e esta instrucción se recom ienda solam ente cuando existan operacio nes adicio­
nales a las entidades dentro d e la localización actual. En caso contrario es m ejo r utilizar la
estructura de reglas de ruteo que se ilustra en la figura 6.53 para definir la cantidad de
entid ades a separar.
'•áa a1
lili Procos
t r . t i t y ___
uperition__
L o c o t io n ----
v.di i
Vidilu
Vidrio
Vidrio
Vidrio
——.—————CB
——
CfittftdQ
unir 12S
Jipolldo
fulido
Molí UHC. b)
_ |n X
M T o o ls
-SI Uyout siuceru Versión
III Routing for Vidrio @Cortadora
»Xk
Output__
Destinación-Vidrio
Fip jlid o
■
F S ta it N ew B lo ck
r NexEnldr
F in d P .'ocoss
r || Simd
C || L u jd R e q o o il
C | n n g c il lln o cru p « cd
C l l r l i l I lili
r || |
r II Jo in R o q u e il
Almacén ae v d rc
C M o it A variable
F Himduai
C Oy Turn
A d d R outing
Bule--1FIRST S
Rouling Rulo
F irtl A vailable
'J c w P roco sr.
|
r P io b jb ilily
c U te i C ondilion
T Continué
•
Cajas_vacias
CajasJleras
C A» A R m naln
OK
C A i R .m kup
r.Anod
C Dr.pnndr.nl
H elp
I
F ig u ra 6 .5 3 Separación d e e n tid a d e s m ed ian te la o p ció n d e ca n tid a d d isp o n ib le e n el c u a d ro d e diálogo
R ou ting R ule.
Ejem plo 6.8
A la cortadora de la figura 6 .5 4 llegan rollos a una tasa de 5 por hora. El proceso d e corta­
do es d e 30 segundos, y de cada rollo se obtienen 10 lám inas, las cuales se envían al
sig uiente proceso a través d e una banda transportadora.
23 5
| C a p ítu lo 6 Instrucciones d e ProM odel
L L ÍL 3
111111111111
1
Salida
Entrada
F ig u ra 6 .5 4
Proceso
d e co rte .
Cortadora
□ m o d elo re q u iere d e fin ir 3 lo ca liza cio n e s: En tra da , co n cap acid ad in fin ita ;
C ortadora, con capacid ad 1, y Sa lid a, con capacid ad in fin ita . Adem ás, es preciso e sp e ci­
ficar dos entid ades, llam ad as R ollo y Lám ina, y las llegad as de rollos al proceso con un
tie m p o entre llegad as de 12 m inuto s. La d e scrip ció n com pleta de los elem ento s m e n ­
cio nado s se encuentra en la sintaxis de program ación del m odelo, que se presentará
m ás adelante.
El p u n to im po rtante de este m o d elo se ilustra en la figura 6.55, y ocurre al crear la
ruta de proceso cuando el Rollo, después d e un tiem p o de operación de 30 segundos, se
transfiere hacia la localización Salida. Es en el cuadro d e diálogo Routing Rule donde
determ inam os el va lo r d e la variable Q uantity en 10.
ProModel - cortadoro.MOD
F l-
Edil
E X ítí
S nuiab on
Tool'
C u tp u t
11» Process
I n c i t y ___
121
l o c a c i ó n . ..
B e llo
Err.rnrln
Rol l o
C o rta d o ra
L e a in a
S a lid a
W rC c v /
1-
Hdp
III Routing for Lamina @ Cortadora
r . x
O p e r a c ió n .. .
O i t p u t ___
A t
3
m
O e i t m a t i o n ----1
^rn n »
S a lid a
R u le.
| H o v f L o g i c ___|
y iR S T 10
^1
WAIT 30 « r
Routing Rule
P Slart New Efcxx
r
Qj3Tiey|lO
New Entíy
k it Av.iiMo
.31 Layout
C Mar Av.-faMr:
bl lun
-
annmm
1111111111: :
Ffrtfnda
A
Cortadora
Salda
C |f Joan Roques
r FSend
C* I Load Re?-»efl
Lcngest llro c a jp te d
r UtUFiJ
í Enr*y
r ProbaWy
Li«sCondbcn
Cortnue
C A ; Altérnale
OK
r ' A sE ack u p
Cancel I
Figura 6 .55 Uso d el p a rá m e tro Q u a n tity para sim u la r procesos d e c o rte y separación.
236
C
C 'e p e n d e n l
Hefc> I
__________________________________________ 6.5 Ensambles, a cu m u la ció n y a g ru p a m ie n to de piezas |
La sintaxis de program ación com pleta del ejem p lo 6.8 se m uestra en la figura 6.56.
F o rm a tte d L i s t i n g o f M o d e l:
C :\ A r c h i v o s d e p ro g ra m a \P ro M o d e l\M o d e ls\c o rta d o ra .M O O
*
e
e
aeffBeeceeaffSBsnsoeBííffeacffBoaeeooesBSoeBSBeíeooBOBesBtaaíeoeocíííffaesoeíseaBíac
T im e u n i t s :
D is t a n c e U n it s :
m i t i a l i z a r io n L o g i c :
M in u te s
Feet
a n ím a t e s
C 8 B B a S a S B a B B S a a B 6 B B S B B B a a B B 6 6 a 6 B a B B B S 8 S B 8 B S 8 B B S B B B B S a B B a S B S S B S B 6 B B B 8 S B 8 6 a B B a S B e B
*
L o c a t io n s
Mame
cap
u n it s s t a t s
E n tra d a
C o rta d o ra
S a lid a
I N F IN IT E l
1
1
I N F IN IT E 1
T im e
T im e
T im e
•
e
R u le s
S e r i e s O ld e s t ,
S e r i e s O ld e s t ,
S e r i e s O ld e s t ,
co st
F IF O ,
,
F IF O ,
E n t it ie s
Ñame
sp e e d ( f p n )
S ta ts
R o llo
L a m in a
IS O
150
T im e S e r i e s
T im e s e r i e s
•
C o st
f
P r o c e s s in g
a
P ro c e ss
E n t it y
L o c a t io n
o p e r a t io n
R o llo
R o llo
L a m in a
E n tra d a
C o r t a d o r a W AIT 3 0 s e c
S a lid a
R o u t in g
B lk
o u tp u t
D e s t1 n a t1 o n R u le
Move L o g ic
l
1
1
R o llo
L a m in a
L a m in a
C o rta d o ra
S a lid a
E X IT
f ir s t
i
F IR S T
F IR S T
10
i
A rrivals
E n t it y
L o c a t io n Q ty e a c h
F i r s t T im e O c c u r r e n c e s F re q u e n c y
R o llo
E n tra d a
O
1
IN F
L o g ic
12 m in
F ig u ra 6 .5 6 Sin taxis g en eral del pro gram a d e m o delado para el e je m p lo 6 .8 .
Com o se m en cio nó anteriorm ente, tam bién es posible m o d elar este proceso con el
uso de la instrucción SPLIT. Para hacerlo se deben realizar cambios sólo en la ruta del pro ce­
so. En la figura 6.57 se m uestra la p arte del program a que sufre m odificaciones.
*
*
P r o c e s s in g
P ro c e s s
E n t it y
L o c a t io n
R O llO
R O llO
E n tra d a
l
C o r t a d o r a W AIT 3 0 se c
s p l i t 1 0 a s Lam in a
C o rta d o ra
l
s a lid a
1
L a m in a
L a m in a
O p e r a t io n
R o u tin g
B lk
O u tp u t
D e s t i n a t i o n R u le
M ove L o g ic
R O llO
c o rta d o ra
f ir s t
L a m in a
Lam i na
S a lid a
E X IT
F IR S T 1
F IR S T 1
1
Figura 6 .57 Uso d e la in stru cció n SPLIT para el e je m p lo 6.8.
23 7
| C a p ítu lo 6 Instrucciones d e ProM odel
Instrucción ROUTE
La sintaxis general d e esta instrucción es:
ROUTE <Bloque de ru tee»
La instrucción ROUTE envía la entidad hacia el proceso especificado por el núm ero del
bloque.
Ejem plos:
ROUTE 2
ROUTE Tipo_de_pieza
Ejem plo 6.9
Sim ule el proceso d e separación d e tres tipos d e pieza (vea la figura 6.58). El 20% d e las
p iezas son d e tip o 1, el 50% son de tip o 2, y el resto son de tip o 3. El tiem p o d e transp o r­
te es d e 3 m inutos en las band as de entrada, d e 3 m inutos en las band as de salida de las
piezas tip o 1 y 3, y de 5 m inutos en la banda de d e salida d e las piezas tip o 2. El tiem po
entre llegadas al sistem a es d e 1 m inuto/pieza, distribuido exponencialm ente.
ProM odel
1
- ile
Ruteo.M OD - [N o rm al Run]
b im u a tio n
O p tio n s
I n f o r m a tio n
W r x io w
In te ra c t
H e lp
r
^ ie za s tipo 1
Entra
P ie z a s tipo 3
F ig u ra 6 .5 8 Proceso de separación d e m ateriales.
•
•
•
238
Defina las localizaciones Entrada, Separación, B a n d a _ l, B a n d a _ 2 y Banda_3 en la
ventana Locatio ns (Build / Locations), siguiendo el esquem a d e la figura 6.58.
Defina la entidad G e a re n la ventana En tities (Build / Entities), especifique tres
form as diferentes para que cada entidad pueda diferenciarse por su color (revise
el procedim iento descrito en el ejem p lo 5.3 d e la sección 5.4.3).
Abra la ventana A ttib utes (Build / Attributes) para definir el atributo Ruta que
id entifique la trayectoria que seguirá cada tip o d e pieza (vea la figura 6.59).
6.5 Ensambles, a cu m u la ció n y a g ru p a m ie n to de piezas |
S
ProModel - Ruteo.MOD
td it
Vkw
Build
S m daüon
C uO ut
lo> 's
W ndow
H frp
ID
C la a t iiC ic a t io n .. .
X y jw . .
R uta
In t * j* c
Ene
Figura 6 .59 Id en tificació n d e l a trib u to RUTA.
•
En la ventana U ser D istrib utio ns (Build / U ser Distributions), defina una tabla
sim ilar a la que se m uestra en la figura 6.60 para determ inar la m ezcla d e produc­
to dond e la variab le Tipo_de_pieza tom ará los valores 1, 2, 3, d e acuerdo con los
porcentajes definidos.
P roM otM - Puteo. MUU
Be EO! «te» B*d Smitdten Ou-sut Tocfe Wnúo* «do
I I I la b le lo r Ilp o _ d o _ p lo ia
V o lu o
F ig u ra 6 .60 D efin ició n d e la d istrib u ció n d e u su ario Tipo_de_Pieza.
•
Haga clic en el botón Logic de la ventana Arrivals (Build / Arrivals) para desplegar la
ventana Logic y asignar ahí los atributos de cada pieza (vea la figura 6.61). Indique, en
la colum na Frequency de la misma figura, el tiempo entre llegadas: exponencial con
media de 1 minuto/pieza. Al llegar cualquier pieza se evaluará la función Tipo_de_Pieza,
y se asigna un valor al atributo RUTA y a la form a de la entidad (graphic R U TA ). Estos
valores permanecerán com o característica de la entidad hasta que sea destruida.
S-tu U kíi « iT « Jt
'octs ftnáom MHp
lo o ls
F ig u ra 6.61 A sig n ació n d e a trib u to s a la entidad.
•
Abra la ventana Processing (Build / Processing) para d efin ir la ruta de la entidad
G ear a través de las localizaciones. Tenga cuidado al crear el proceso de separación
23 9
| C a p ítu lo 6 Instrucciones d e ProM odel
que se ilustra en la figura 6.62; o bserve que en la localización Separación existen
tres posibles rutas d e salida, identificadas en el cam p o B lk co m o 1, 2, 3. Para
lograrlo es necesario m arcar la casilla de verificación de la opción Start a New
B lo ck e n el cuadro d e diálogo Routing Rule.
III P roce ss
III R o u tin g f o r G e a r o» S e p a ra c ió n
Hervía
ñas:
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H ervía 3
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C M o it A v o io b le
C K . in il i v
A d d R o jlifig
F ig u ra 6 .6 2 S eg m en to d e la ruta d e la lo ca liza ció n Sep aració n.
La sintaxis completa de la programación para el ejemplo 6.9 se muestra en la figura 6.63.
•
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L o c a tio n s
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C ap
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F IF O .
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s e r le s
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P r o c e s s in g
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G ear
E n tra d a
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G ear
G ear
G ear
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8anda_3
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w a it
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l
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1
1
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G ear
G ear
G ear
G ear
G ear
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G ear
S e p a r a c ió n
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T lp o _ d e _ p te z a
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no
20
SO
30
1
2
3
F ig u ra 6 .6 3 Sintaxis
co m p leta de la
p ro gram ació n del m odelo
para el e je m p lo 6 .9 .
6.6 T ransporte e n tre estaciones |
6 .6 Transporte entre estacio n es
En ProM odel, el m odelado del transporte d e entidades a través de un sistem a se lleva a
cabo gracias a los recursos dinám icos y a la creación de rutas de transporte. El pro ced i­
m iento es el siguiente:
•
D efinir la ruta y sus propiedades en la ventana Path N etw ork (Build / Path
NetWork).
•
D eterm inar el recurso en la ventana Resource (Build / Resource), y asociarlo con
la ruta creada previam ente.
Program ar en la ventana Processing (Build / Processing) la captura del recurso
con la instrucción GET, el uso del recurso con las instrucciones M O VE WITH o
•
M OVE FOR, y la liberación del recurso con la instrucción FREE.
Ejem plo 6.10
A l inicio del día entran 100 barriles de 200 litros a un alm acén de m aterial en proceso.
Estos barriles deben ser transportados hacia un proceso d e inspección, en donde el o p e­
rario, llam ado Casim iro, inspecciona el producto en 5 m inutos con distribución exp o n en ­
cial. D ebido al tam año de los barriles, un m ontacargas debe realizar el m o vim iento del
producto desde el alm acén hasta dond e se encuentra Casim iro. El tiem p o de transporte
es de 2 a 3 m inutos con distribución uniform e. O bserve el esquem a del problem a en la
figura 6.64.
Transporte entre estaciones
I
Almacén
Casimiro
F ig u ra 6 .6 4
Esq u em atizació n del
ejem p lo 6 . 1 0 .
Tom ando com o base el esquem a d e la figura 6.64, debem os:
•
D efinir en la ventana Locations (Build / Locations) dos localizaciones: Alm acén y
Casimiro.
•
Especificar en la ventana En titie s (Build / Entities) la entidad Barril.
241
| C a p ítu lo 6 Instrucciones d e ProM odel
•
D efinir en la ventana A rrivals (Build / Arrivals) las características d e las llegadas
del Barril al Alm acén.
•
En la ventana Path N etw ork (Build / Path Network), active una ventana de edi­
ción para especificar la trayectoria por dond e se m overá el recurso. Al crear la ruta
deberá establecer los valores de los siguientes parám etros:
G raphic. Perm ite seleccionar el color de la trayectoria, y ésta será visible o no durante la
sim ulación. Si es una grúa viajera perm itirá especificar sus colores, la separación del p u e n ­
te y la representación gráfica.
Ñ am e. N om bre de la trayectoria.
Type. Perm ite definir la posibilidad de rebasar dentro d e la trayectoria. Seleccione la
opción Crane si la trayectoria será usada por una grúa viajera.
T/S. Perm ite determ inar si el m o vim iento es con base en el tiem p o o en la velocidad.
Paths. Perm ite crear y editar la trayectoria y sus nodos.
Interfaces. Perm ite asociar los nodos con las localizaciones.
M apping. Perm ite realizar el m apeo de destinos y rutas.
N odes. Se crean autom áticam ente al crear la trayectoria.
Para crear la ruta y sus nodos siga este procedim iento:
•
Haga clic en el botón Paths de la ventana Path Networks.
•
Haga clic con el botón izq u ie rd o d e l ratón sobre el p u n to del layo u t dond e
desee m arcar el in ic io d e la ruta. L u e g o hag a clic d e m anera su cesiva para
d eterm in ar cam b io s de d ire cció n . Haga c lic con el botón d e re ch o d e l ratón en
el p u n to d o n d e qu iera fija r un nodo. Si desea se g u ir ag reg and o nodos, rep ita el
p ro ced im ie n to an terio r a p a rtir del ú ltim o no d o que haya d e term in ad o (vea la
•
figura 6.65).
Defina el resto de las características de la trayectoria. Com o en este ejem plo
deseam os m over el recurso de acuerdo con el tiem po, active la opción Tim e en la
colum na T/S y, en la ventana d e edición Paths, establezca un tiem p o U(2.5,0.5)
entre el nodo N I y N2 en la colum na Time.
242
6.6 T ransporte e n tre estaciones |
‘Ó P r o W id * ! - F JF M P I 0 4 .3 .M 0 D
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F ig u ra 6 .6 5 C reació n de la ruta del m ontacargas.
Term inado este proceso, haga clic en el botón In te rfa c e s para abrir el cuadro de
diálogo que se muestra en la figura 6.66. Asocie cada nodo con su localización res­
pectiva: en este caso, asocie el nodo N 1 con Alm acén, y el nodo N2 con Casimiro.
III In te rfaces
Nade
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L o c a tio n
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C a a im r o
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F ig u ra 6 .6 6 R egistre e n
e ste cu a d ro d e d iálo g o la
in te rfaz e n tre c a d a nodo y
la lo ca liza ció n asociada.
En la figura 6.67 vem os finalizad o el proceso de creación de la trayectoria. Los círculos
señalan la asociació n; en el layout ésta se identificará m ed iante una línea punteada entre
e l nodo y la localización.
243
| C a p ítu lo 6 Instrucciones d e ProM odel
P ro M o d e l
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(8 Liyout
Transporte entre estacio n es
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F ig u ra 6 .6 7 D e fin ició n fin al de la ruta.
Para co ntinuar el m odelado del problem a:
•
Abra la ventana Resources (Build / Resources) para especificar el recurso M o n ta ­
cargas y la cantidad de unidades que co n tien e (vea la figura 6.68).
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Transporte entre estaciones
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Figura 6 .6 8 D e fin ic ió n d e l recurso M ontacargas.
244
I
C a srn ra
Si
2 __
6.6 T ransporte e n tre estaciones |
•
Haga clic en el botón Sp ecs (identificado con un círculo en la figura 6.68) para aso­
ciar el recurso con la ruta. Enseguida se abrirá el cuadro de diálogo Specifications
(vea la figura 6.69), en donde deberá seleccionar la ruta por la que se m overá el
recurso Montacargas. En este ejem plo, la Ruta tendrá asociado un nodo que será la
base del recurso; tam bién determ inarem os si cuando dicho recurso esté ocioso
deberá regresar a ese punto. Asimismo, podem os especificar otras propiedades, co­
m o velocidad de movimiento, aceleración, desaceleración, etcétera. (En este ejemplo
dichos cam pos quedan en blanco, ya que el movim iento entre los nodos se definió en
función del tiem po y no en función de la velocidad.)
Specifications
- Nodes
Path Netwotk
R
Home
ÍÑí
3]
Off Sftft; |fr>one)
jJ
Break |frx>ne)
R
r Retun Home I Ide
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- Fntfy Searcn
Moínn
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Specd (Emoty) f
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Speed (Tul) j
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L o n g ? s t Idie
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Acodérate!”
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C MavA.tibtic
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OK
•
Pick-up Tme [~~
Seconde
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Seconds
F ig u ra 6 .6 9
Esp ecificacio n es
del recu rso y su
aso ciació n co n la ruta.
J
Cancd
Abra la ventana Processing (Build / Processing) para crear la ruta, considere los
detalles d e la figura 6.70 que consisten en la captura del recurso en el Alm acén, su
m ovim iento hacia Casimiro, y su liberación final.
II' Procesa
E ncicy___
|1)
J L c e a c ie® —
B a r r il
-’CI.
R arri 1
Cn-nmirn
___
CE? KjüiBCótijua
■ Operfltion
II RoutinB ( 0 1 Bü»ril 9 Alnuceii
. |C X
Operarían
|
Cutput___
* H i B a r r il
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B íK iM ts a n ..]
C asim iro
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FIRST 1
| M
o
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_
_
1
M0V2 XXTH Mont *
T
- |H X
■ Move Logic
FFFFFFFFF
- □ I X
□ □ □ □ □ G ílI E D
ICE? Hant»c»£ijB*
H I 1 M H o n r a - o i j a i 1M i S
«U ü C
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Figura 6 .7 0 S egm ento d e la p rogram ació n d e la ca p tu ra , uso y lib e ra ció n d e l recurso d e n tro d el proceso.
24 5
| C a p ítu lo 6 Instrucciones d e ProM odel__________________________________________________________________________
La sintaxis de programación del modelo para el ejem plo 6.10 se muestra en la figura 6.71.
246
6.6 T ransporte e n tre estaciones |
ProModel perm ite tam bién la construcción de sistem as de m anejo de m ateriales a
través de grúas viajeras. Estos sistem as son m odelados m ediante el uso d e los m ódulos
de Path NetWork y Resources.
Ejem plo 6.11
En un punto denom inado bodega l , e n un patio d e m aniobras, se colocan 400 co ntene­
dores d e 2 to neladas al inicio del día. Estos contenedores deben ser transportados hacia
dos lugares; bodega 2 y bodega 3, en donde se depositan para su posterior operación. El
40% d e los contenedores se envían a la bodega 2 y el resto a la bodega 3. D ebido a su
tam año, una grúa debe realizar el m o vim iento entre las bodegas. La distancia entre la
bodega 1 y la 2 es de 4 0 m etros, y entre la bodega 1 y la 3 es de 50 m etros. La velocidad
de la grúa cuando viaja sin contenedor es de 50 m etros por m inuto y con contenedor es de
20 m etros por m inuto. El tiem p o para elevar el contenedor es de 4 0 segundos y para
depositarlo es de 50 segundos. Este sistem a se puede o bservar en la figura 6.72.
381
C o ntened o res pen d ientes de m over
i
it t
n
Q üEB J
Bodega3
F ig u ra 6 .7 2 Esq u em atizació n del ejem p lo 6 .1 1 .
Si se tom a com o base el esquem a d e la figura 6.72, debem os:
•
•
•
•
D efinir en la ventana Locatio ns (Build / Locations) tre s localizaciones: B o d e g a l,
Bodega2 y Bodega3.
En la ventana En tities (Build / Entities) dé d e alta la entidad Contenedor.
Especifique en la ventana A rrivals (Build / Arrivals) las características de las lleg a­
das del C ontenedor a la Bodega 1.
Para crear la ruta y los nodos, en la opción Path N etw ork (Build / Path Network),
active la ventana de edición para especificar la trayectoria por donde se m overá el
recurso. Al crear la ruta deberá establecer los valores de los siguientes parámetros:
G raphic. Especifique los colores, la separación del p uente y la representación gráfica de
los rieles.
24 7
| C a p ítu lo 6 Instrucciones d e ProM odel
Ñ am e. Establezca el nom bre a la trayectoria com o Red.
Type. Seleccione la opción Crane. Aparecerán sobre el layout un p ar de rieles conectados
por el p uente sobre el que se m overá la grúa viajera y se activará la opción Nodes. Con el
ratón podrá m over y cam b iar las dim ensiones de los rieles m oviendo cualquiera de los 4
punto s extrem os. Estos punto s denom inados O rigin, R a illE n d , BrideEnd y Rail2End
representan las fronteras d e m o vim iento d e la grúa. Al redim ensionar el tam año d e los
rieles, las localizaciones deberán quedar dentro del área. En la ventana de edición N odes
m odifique las dim ensiones d e estos punto s en la colum na Coords(R,B) para que coinci­
dan con las dim ensiones del sistem a, en este caso el área de m o vim iento será de 100
m etros d e largo por 50 d e ancho.
Con el botón izquierdo del ratón agregue tres nodos N I, N2 y N3 dentro del área de los
rieles e indique en la colum na Coords(R,B) las coordenadas de estos nodos para definir
la distancia entre cada uno de ellos de acuerdo a las dim ensiones de este sistem a, vea la
figura 6.73 y o bserve que la distancia entre el nodo 1 y e l2 e s d e 4 0 m etros y entre el nodo
2 y el 3 es de 50 m etros.
Path Networks
P a l li s . . .
[ In le ifa te s ... |
M a p p in t;...
[N o d e s ]
A D iste
.!5
N odes
Node
- [ r .|X
'
Layout
C o o r d s ( 11, 0 )
O r ig in
0 .0 0 ,0 .0 0
R a i ll E n d
1 0 0 .0 0 , 0 .0 0
B r id g c E n d
0 .0 0 , 5 0 .0 0
R a ¡l2 fn d
1 0 0 .0 0 , 5 0 .0 0
N I
5 .0 0 ,2 5 .0 0
N2
4 5 .0 0 , 2 5 .0 0
NJ
9 5 .0 0 ,2 5 .0 0
C o n te n e d o r e s p e n d ie n t e s d e m o v e r
B odegal
Dimensiones de los rieles y
coordenadas de los nodos
xw
xoo<
xi
tfX K !
F ig u ra 6 .7 3 C reació n d e lo s rieles de m o vim ien to .
In te rfa c e s: Haga c lic en el b o tó n In te rfa c e s para a b rir el cu a d ro d e d iálo g o q u e se
m u e stra en la fig u ra 6 .7 4 y a so c ie cad a no d o con su lo ca liza ció n re s p e c tiv a : en este
caso, a so cie el n o d o N I co n B o d eg a 2, el n o d o N2 co n B o d e g a l y el n o d o N3 con
B odega3
248
6.6 T ransporte e n tre estaciones |
In te rfaces
Node
Location
NI
Bodega2
N2
---------------9
Bo d eg al
N3
Bodega3
M
F ig u ra 6 .7 4 R egistre e n este
c u a d ro d e d iálo g o la interfaz
e n tre c a d a nodo y la localizació n
a so cia d a.
T/S. Las grúas viajeras solam ente se m ueven con base en la velocidad por lo que este
cam p o perm anece inactivo.
Paths. Esta opción perm anecerá desactivada.
M apping. Esta opción perm anecerá desactivada.
Para co ntinuar el m odelado del problem a:
•
‘
Abra la ventana Resources (Build / Resources) para especificar el recurso Grúa y
la cantidad d e unidades que contiene es 1 (vea la figura 6.75).
Resources
F ig u ra 6 .7 5 D efin ició n d el recurso G rú a .
Haga clic en el botón Sp ecs (identificado con uno de los círculos en la figura 6.75)
para asociar el recurso con la ruta. Enseguida se abrirá el cuadro de diálogo
24 9
| C a p ítu lo 6 Instrucciones d e ProM odel
Sp ecificatio ns (vea la figura 6.76), en donde deberá seleccionar la ruta por la que
se m o verá el re cu rso Grúa. En este e je m p lo , la Red te n d rá aso cia d o un no d o
que será la base del recurso; tam b ién determ inarem os que cuan do dich o recurso
esté ocioso deberá regresar a ese punto. Asim ism o, vam os a especificar otras pro­
piedades, com o velocidad d e m ovim iento, aceleración, desaceleración, etcétera.
Specifications
Nodes
P a th N etw afc
Red
------- 1
'*] Home:
M
N1
OflShlt
Ó-one)
B-eak
(roñe)
0 Retum Haré 1 kJe
K e s o u rc e b e a rc fi
•
C losest R e30Lrce
Least U liiz e d
b m t y be a re n
M o to n
©
S p e e d (b n p ty )
.o n g e s t W a itn g
S p c c d (F j I). 2 0 .2 0
O d o s e s t E r ít y
Lcnses*. dle
M h A trib u te
V
M ax ¿ttnfcure
i
OK
•
5 0 .5 0
C ance l
d
*
rp m
inpm
A cceíera le
rrp ss
U eceíe-ate
r'P s s
P ic k n jp T m e : 4 0
S eccnd s
50
S eccrids
O e o c s l T ifie
é
F ig u ra 6 .7 6
Esp ecificacio n es d e l recurso
y su a so cia ció n c o n la ruta.
Help
Abra la ventana Processing (Build / Processing) para crear la ruta, considere los
detalles de la figura 6.77, que consisten en la captura del recurso para transpo rtar
los contenedores desde la B o d e g a l hacia Bodega2 o Bodega3, utilice la regla de
ruteo probabilística, respete los porcentajes fijad os inicialm ente. Para hacer uso
del recurso utilizam os la instrucción MOVE WITH G rúaTH EN F R E E y a utilizada en
ejem plos anteriores. Note que en el ejem p lo no usam os la instrucción G ET Grúa
e n el cam p o O p e ra tio n , lo a n te rio r se d e b e a q u e e sta in stru c c ió n e stá im p lí­
cita en la instrucción M OVE WITH por lo que puede ser elim inada sin ningún
problem a, esto es válido tam bién para el ejem p lo anterior.
R o j l i n g f o í C o n l r .- K 'i l o r a
F ío c c s s
B odega1
O p p rm lo n
Rixtrca?
Bo^gal
' f Mc a * Log c
Figura 6 .77 S egm ento d e la p rogram ació n d e la ca p tu ra , uso y lib e ra ció n d e l recurso d e n tro d el proceso.
250
6.6 T ransporte e n tre estaciones |
La sintaxis de program ación del m odelo para el ejem plo 6.11 se m uestra en la figuras
6.78 y 6.79.
*
a
C :\ P r o g r a m
F o m a t t e d L i s t i n g o f M o d e l:
F i l e s \ P r o M o d e l \ M o d e l s \ E je r i p l o 6 1 0 .n o d
*
*
a a a a a a o a a s a d t t a a a a a s a B B o a a t t a a a a a a a a a a a o a o a ía a o t t Q t t a a a a n a o a a s a o n a s a s o a a a o a a a n a fr o a o a
T im e U n i t s :
D is t a n c e U n it s :
M in u t e s
M e te rs
L o c a t io n s
Ñame
C a p U n it s S t a t s
Bodegal
Bodega2
Bodega3
in f 1
in f 1
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R u le s
T im e S e r i e s O l d e s t ,
T im e S e r i e s O l d e s t .
T im e S e r i e s O l d e s t .
*
C o st
,
,
.
E n t it ie s
Ñame
S p e e d (mpfTi)
C o n te n e d o r 1 5 0
S ta ts
C o st
T im e S e r i e s
P a th N e tw o rk s
-
a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a
Ñame
Type
T /S
F ro m
R ed
C ra n e Speed & D is t a n c e O r ig in
R a illE n d
Uni
O r ig in
B r id g e E n d U n i
B n d g e E n d R a il2 E n d
Uni
*
To
BI
D is t / T í™ ^
Speed F a c t o r
In te rfa c e s
N et
Node
L o c a t io n
C o o rd s (R . B)
R ed
NI
N2
N3
Bodega2
Bodegal
Bodega3
5 .0 0 . 2 5 .0 0
45.00. 25.00
95.00. 25.00
F ig u ra 6 .7 8 Prim era p arte d e la sin taxis d e l m o d elo para el e je m p lo 6 .1 1 .
251
| C a p ítu lo 6 Instrucciones d e ProM odel
a
a
R e so u rc e s
Ñame
U n it s S t a t s
G rú a
1
Res
S e a rch
B y U n it
Ent
S e a rc h P a th
M o tio n
C l o s e s t O ld e s t Red
Home: M I
(R e tu rn )
C o st
E n p ty : 5 0 . 5 0 npn
F u l l : 2 0 . 2 0 mpm
P ic k u p : 4 0 Seco nd s
D e p o s it : 50 S eco n d s
s a a * s a a a s s f t * s * * 4 4 a s a a a 4 s s 4 S 4 * 4 3 i± 4 s 4 a 4 a 4 4 ± a s s a a s a ± a a s s 4 a t s f t a is ± a 4 t t ± a » a s M s * s a s 9 4
a
P r o c e s s in g
*
R o u t in g
P ro c e s s
E n t it y
L o c a t i o n O p e r a t io n
C o n te n e d o r B o d e g a l
B lk
O u tp u t
D e s t in a t io n
1
C o n te n e d o r B o d eg a2
1
1
C o n te n e d o r E X I T
C o n te n e d o r E X IT
a
M ove L o g i c
0 .4 0 0 0 0 0 1 MOVE W ITH
G rú a
THEN F R E E
0 .6 0 0 0 0 0
MOVE WITH
G rú a
THEN F R E E
F IR S T 1
F IR S T 1
C o n te n e d o r B o d eg a3
C o n t e n e d o r B o d eg a2
C o n t e n e d o r B o d eg a3
R u le
A r r iv a ls
E n t it y
L o c a t io n Q ty Each
C o n te n e d o r B o d e g a l
400
F ir s t
0
T im e O c c u r r e n c e s F r e q u e n c y
IN F
L o g ic
1 day
F ig u ra 6 .7 9 S eg u n d a p arte d e la sin taxis del m odelo p ara el ejem p lo 6.11.
6 .7 Instrucciones de control
En ProM odel se puede hacer uso d e algunas instrucciones de co ntro l con el propósito de
to m ar decisiones. Estas instrucciones se pueden clasificar en decisiones, cuando uno o
m ás blo ques d e código d e program ación son ejecutados en función de cierta condición,
o en ciclos, cuando una o m ás instrucciones son ejecutadas repetidam ente hasta que
cierta condición sea verdadera. A continuación se resum en las instrucciones de control
disponibles en ProM odel.
Instrucción IF-THEN-ELSE
La instrucción IF-THEN-ELSE, cuya sintaxis general es:
IF <Condición> THEN {acción 1} EL S E {acción 2}
y su propósito es que el program a ejecute la acción 1 si la Condición es verdadera y la
acción 2 si es falsa.
252
6.7 Instrucciones de c o n tro l |~1
Ejem plos:
IF Tipo=1 THEN {W A IT5 m in } ELSE {W A IT IO m in }
IF RAND(1)<=0.95 THEN {INC BUENAS} ELSE{IN C M ALAS}
IF Prod=1000 THEN {STOP}
IF CLOCK(H)<=8 THEN {RO UTE 1} ELSE {ROUTE 2}
IF CONTENTS(Fila)<=5 THEN {W AIT E(4) m i} ELS E {W A IT E(1) m in}
Instrucción W HILE-DO
La instrucción WHILE-DO, tien e la siguiente sintaxis general:
WHILE <Condición> D O {acciones}
y causa que el program a ejecute las acciones m ientras la Condición sea verdadera, si la
Condición es falsa las acciones no se ejecutan.
Ejem plos:
W HILE CONTENTS(Fila)<=10 DO {W AIT 10 m in}
W HILE CLOCKO<=480 DO {INC A,2}
Instrucción DO-W HILE
La instrucción DO-WHILE, cuya sintaxis general es
D O <acciones> W H ILE {Condición}
causa que el program a ejecute las acciones m ientras la Condición sea verdadera. Este
ciclo será ejecutado al m enos una ve z y posiblem ente en m ás ocasiones.
Ejem plos:
DO {W AIT 10 m in} W HILE CONTENTS(Fila)<=10
DO {W AIT 10 m in INC CICLO,1} W HILE W IP=10
Instrucción G O TO
La instrucción GO TO, con la sintaxis general:
G O T O <etiqueta>
envía la ejecución del program a al b lo q u e d e instrucciones q u e inician co n la dirección
m arcada en etiqueta.
253
| C a p ítu lo 6 Instrucciones d e ProM odel
Ejem plo:
IF W IP>10 THEN GOTO LIN EA4
W AIT4 m in
LINEA4: WAIT 2 m in
Instrucción WAIT UNTIL
La sintaxis general d e la instrucción WAIT UN TIL es:
WAIT UNTIL <Condición>
y detiene el flujo de una entidad en una localización hasta que la Condición sea verdadera.
Ejem plos:
W AIT UN TIL CONTENTS(ALM)<10
WAIT UNTIL CLOCKO>320 min
W AIT UN TIL PIEZAS=100
Ejem plo 6.12
El proceso d e m anufactura que se ilustra en la figura 6.80 consta de 1 rectificadora y un
alm acén donde las piezas esperan antes de ser procesadas. Los tiem po s de proceso son
de 10 y 8 min/pieza para la pieza tipo 1 y tipo 2, respectivam ente. El tiem po entre arribos de
la pieza tip o 1 a este proceso es de 12 m in/pieza con distribución Exponencial, y el
d e la pieza tip o 2 es de 14 m in/pieza con distribución Expo nencial. Sim ule el proceso.
L a y o u t - S tu d e n t V e rs ió n
WIP 0 0 0 0 0
A lm a c é n
254
R e c t ific a d o r a
F ig u ra 6 .8 0
Esq u em atizació n del
proceso d e rectificado.
6.7 Instrucciones de c o n tro l |~1
•
Para em pezar, definirem os las localizaciones Alm acén y Rectificadora en la ventana
Locatio n s (Build / Locations). Especifiq ue la capacidad d e dichas localizaciones
com o se m uestra en la figura 6.81.
*
Lo catio ns
Ñame
Icón
♦
£
Cap.
Units
Almacén
infinite
1
Rectificadora
1
1
F ig u ra 6.8 1 D efin ició n de ca p acid ad d e la s lo calizacio n es.
•
Defina la entidad Pieza en la ventana En tities (Build / Entities), co m o se m uestra
en la figura 6.82.
•
E n tit ie s
Icón
Ñame
Speed (fpm)
Pieza
150
F ig u ra 6 .8 2 D e fin ició n d e la e n tid ad .
•
Defina el atributo Tipo en la ventana A ttributes (Build / Attributes), com o se
m uestra en la figura 6.83.
A A ttrib u te s
ID
Tipo
Type
Integer
Classification
Ent
Figura 6 .8 3 D e fin ició n del a trib u to .
25 5
| C a p ítu lo 6 Instrucciones d e ProM odel
A continuación program arem os las llegadas d e cada Pieza al Alm acén. Abra la ven ta­
na A rriv a ls (Build / Arrivals) y especifique los parám etros q u e se m uestran en la figura
6.84, defina en el cam p o Lo gic el valo r del atributo Tipo correspondiente a cada tip o de
pieza.
r< A rriva ls
[2
Entity...
Location...
Pieza
Almacén
Pieza
Almacén
Qty Each..
First Time...
............................
0
1
_______________ l
1
0
Occurrences
Frequency I Logic..
INF
E (12) min
Tipo = 1
INT
C (14) min
Tipo = 2
Figura 6 .84 Entrada de m a te ria p rim a {Pieza) a l p unto inicial d e l p ro ceso {Alm acén).
u j . P ro ce ss
[ Entity...
[2]
]
L o c a tio n .
_ :
O peration.
___________________________________
_____ ____ A
I Pieza
Almacén
I Pieza
Rectificadora 1J F T Íp o = 1 THEN { W A IT10 >E L S E (W A IT 8 j)
1
X
D espliegue la ventana Processing (Build / Processing) para crear la ruta de p ro ­
ducción de las piezas a través de la rectificadora (vea la figura 6.85).
□
•
Routing for Pieza & Rectificadora
______________________________________ n i B B f g )
Blk
—
Move Logic
^
^tFENJRIES( Rectificadora) > 800 THEN { ST0PJ_J*
[ Output.. J[_ Destination... J
Rule...
Pieza
| EXIT
FIRST 1
----------- ------------------------------
V
I
R g u ra 6 .8 5 Pro g ram ació n del p ro ceso e n la rectificad o ra para c a d a tip o d e pieza.
Com o puede ver en la figura 6.85, en el cam p o O peration aparecen las instrucciones
d e control IF-THEN-ELSE con el propósito de asig nar el tiem p o de rectificado a las piezas
en función del tip o de pieza que le fue asignado previam ente en la ventana A rrivals, y en
e l cam p o M ove Logic se utilizan las instrucciones d e control con fin de term inar la sim u ­
lación del sistem a cuando el núm ero d e piezas que hayan entrado a la rectificadora sea
m ayor de 800 piezas.
La sintaxis de program ación del ejem p lo se m uestra en la figura 6.86:
256
6.8 O p tim iza ció n c o n S im runner |
F o rm a tte d
T im e
L ls tln q
u n its :
o f M o d e l:
M in u te s
Feet
D ista n ce Uní e s:
•
♦
L o c a tio n s
Ñ am e
C ap
U n its
S ta ts
R u le s
A lm a c é n
R c c t if ic a d o r a
in fin ite
i
1
1
T im e S e n e s
T im e S e r i e s
O ld e s t.
O ld e s t.
C ost
,
,
*
E n ti tie s
Ñ am e
Speed
P ie z a
150
(fp ra )
c o st
S ta ts
T im e s e r l e s
•
•
P r o c e s s in g
R ro c e s s
E n tity
L o c a c ió n
Fiera
A lm a c é n
R e c tific a d o r a
P ie z a
o p e r a t io n
I F T ip o - 1
TH E N { W A IT 1 0
E L S E { W A IT 8
»
R o u t in g
B lk
O u tp u t
O e s t in a tio n
R u le
M ove
1
P ie z a
R e c tific a d o r a
F IR S T i
>
} 1
P ie z a
E X IT
F IR S T
L o g ic
1 IF
E N T R iE S ( R e c t ific a d o r a ) > 8 0 0
TH E N { STO P >
A r r iv a ls
e
t s t f C s s í r t s M í í i s s t r f t s í r e s t t ü S í S f t t s s t r e i r r s s s s í í s s í l t s s s f r t s s s e s s s í í r i s s t e t f f
E n tity
L o c a tio n
Q ty E a c h
F i r s t T im e O c c u r r e n c e s
F re q u e n c y
P ie z a
P ie z a
A lm a c é n
A lm a c é n
1
1
O
O
E f 12
E ( 14
TNF
IN F
) m in
)
m in
A ltr ib u te *
10
Type
c ia s s lflc a t lo n
T ip o
in te g e r
E n tity
L o g ic
T ip o
T ip o
-
1
2
*
F ig u ra 6 .8 6 Sin taxis co m p le ta d e la p ro g ram ació n para el e je m p lo 6 .1 2 .
6 .8 O ptim ización con Sim runner
Introducción
Una d e las razones por las cuales se desarrollan m odelos de sim ulación es por la necesi­
dad d e optim izar el sistem a d e estudio. La optim ización es el proceso de evaluación de
diferentes com binaciones de valores d e un conjunto de factores que puedan ser contro­
lables con el fin de encontrar aquella com binación que logre obtener el m ejo r d e los
resultados del sistem a. En un proceso de optim ización surgen preguntas tales com o
"¿Cuál es el núm ero óptim o de m áq uin as que se deben instalar para m axim izar la produc­
ción por hora?" "¿Cuántos operarios debem os de asignar a cierto departam ento para
m inim izar el inventario p ro m ed io de piezas?". En estos ejem plos podem os distinguir a los
25 7
| C a p ítu lo 6 Instrucciones d e ProM odel
operarios y las m áq uin as com o los facto res o variables controlables y la producción por
hora o el inventario prom edio com o la m edida de rendim iento que nos perm ite seleccio­
n ar la m e jo r d e las alternativas evaluadas. La búsqueda de la m ejo r solución puede ser
llevada a cabo en form a m anual o autom ática a través del uso de algoritm os específica­
m ente diseñados para la búsqueda de una solución sin la necesidad d e evaluar todas las
posibles soluciones. ProM odel incorpora la herram ienta Sim Runner con el fin d e facilitar
el proceso d e optim ización. Sim Runner utiliza un algoritm o evolutivo que pertenece a un
conjunto de técnicas d e optim ización conocidas com o "Técnicas d e Búsqueda Directa", las
cuales se han diseñado para encontrar los valores óptim os para las variables de decisión
de un sistem a con la finalidad de m axim izar o m inim izar las m edidas de interés de dicho
sistem a.
La relación entre el ProModel y el Sim Runner se puede visualizar com o un sistem a
cerrado con retroalim entación en el cual el m o d elo de sim ulación se ejecuta en ProModel
co n alguna de las com binaciones posibles d e las variables d e decisión, d e esta ejecución
se obtiene el resultado de la variable de salida, que sirve com o inform ación d e entrada al
algoritm o de optim ización que reside en el Sim Runner y que perm ite generar una nueva
com binación d e valores de las variables d e decisión para ejecutar el m od elo nuevam ente
e ir en form a iterativa en busca d e la m ejo r com binación de valores (vea la figura 6.87).
F ig u ra 6 .8 7 R elació n e n tre el ProM odel y el Sim Runner.
Sim Runner
A l conducir y analizar un experim en to m ediante Sim Runner se deb e de construir y ejecu ­
tar un proyecto. En cada proyecto Sim Runner utiliza un algoritm o d e búsqueda para encon­
trar sim ultáneam ente valores óptim os para m ú ltip les variables de decisión. Para cada
proyecto se deb e crear un m odelo d e sim ulación, identificar los facto res a m odificar y
defin ir la función o b jetivo con la que se m edirá el rendim iento del sistem a. Para llevar a
cabo este procedim iento se deben seguir los siguientes pasos:
Paso 1. C rear un m o d elo en ProM odel estadísticam ente vá lid o y representativo del siste­
m a a optim izar.
Paso 2. Seleccionar las variables d e entrada o factores que se desean analizar para encon­
trar su valor óptim o. Estas variables son generalm ente aquellos parám etros que pueden
ser ajustados por el usuario, tales com o el núm ero de m ontacargas a asignar, el núm ero
de operarios a contratar, el núm ero de tarim as a com prar o el precio d e venta de un pro258
6.8 O p tim iza ció n c o n S im runner |
ducto. En este punto se deberá crear en ProM odel una M acro para cada uno d e estos
factores.
Paso 3. Cada facto r estará representado por una M acro y para cada una d e ellas se define
e l tip o d e dato (real o entero), su lím ite inferior (el valo r m ás peq ueñ o posible a analizar)
y el lím ite superior (el valo r m ás alto posible que se desee analizar). La cantidad d e facto ­
res y el rango d e valores que puede to m ar cada uno afecta d e m anera directa el espacio
d e búsqueda o núm ero d e posibles soluciones del problem a, por ejem plo, si se desean
analizar tres factores cada uno con cuatro po sibles valores, el espacio de búsqueda será
de 81 com binaciones, pero si cada uno de los facto res requiere de cin co valores, entonces
e l espacio de búsqueda será de 243 co m binaciones. Increm entar el núm ero de factores o
su rango hará m ás difícil y m ás tardada la búsqueda del óptim o. Es im po rtante seleccio­
n a r sólo aquellos facto res que afecten de form a significativa las variables de respuesta.
Paso 4 . Construir en Sim Runner la función objetivo para m ed ir la utilidad d e cada co m bi­
nación d e factores. Esta función o b jetivo se construye por m edio d e los térm ino s del
reporte de salida generado al fin alizar una corrida de sim ulación. Por ejem plo, la función
o bjetivo puede estar basada en las estadísticas de las entid ades (entities), las estadísticas
de las ubicaciones (locations), las estadísticas de los recursos (resources), etcétera. Al
diseñar la función o b jetivo se deb e especificar si se desea m inim izar (Min), m axim izar
(M ax), o lograr un objetivo determ inado (Target). Para crear la función o b jetivo se debe
pen sar en térm ino s de Program ación por M etas en donde podem os ten e r un objetivo
d ividid o en varias m etas, cada una con cierta ponderación. Por ejem plo, podem os tener
en un sistem a com o prim er objetivo o m eta la de m inim izar el inventario de piezas y un
segundo o b jetivo que puede ser m axim izar las producción por hora. Cada uno de ellos
d eb e d e estar acom pañado por un facto r d e im po rtancia relativa.
Paso 5. Seleccionar en Sim Runner el perfil de optim ización (optim ization profile) y com en­
za r la búsqueda d e la com binación óptima. Existen tres perfiles d e optim ización: agresivo,
m oderado y cauteloso. La selección de cada uno de ellos afecta el núm ero de soluciones
que el algoritm o de optim ización va a evaluar. El perfil agresivo evalúa una m enor canti­
dad d e com binaciones que el cauteloso antes d e detenerse. En form a general se puede
decir que a m ayor cantidad de soluciones evaluadas m ayor probabilidad d e encontrar la
mejor, y m ayo r el tiem p o requerido para llevar a cabo la búsqueda d e la solución.
E je m p lo 6.13
A un estadio llegan aficionados con un tiem p o entre arribos de 2.5 m inutos con d istrib u­
ción Expo nencial. El tiem p o d e viaje desde la entrada hasta las taq u illas está no rm alm en­
te distribuido con una m edia de cuatro m inutos y una desviación estándar de 0.75
m inutos. Frente a las taquillas, los aficionados esperan en una fila hasta que uno de los
cajeros esté d isp o nib le para atend erlos. El tie m p o para com prar los bo leto s es exp o ­
n en cial con una m edia de cinco m inuto s. D espués de com prar los boletos los visitantes
se dirigen hacia las puertas d e acceso para entrar al estadio. Se desea crear un m o d elo de
sim ulación para determ inar el núm ero m ínim o d e taq u illas a ab rir con el objetivo de que
los aficionados esperen en prom edio m enos d e 1 minuto.
25 9
| C a p ítu lo 6 Instrucciones d e ProM odel________________________________________________________
Sim ule el proceso para atender 100 aficionados (vea la figura 6.88).
F ig u ra 6 .8 8
Proceso d e ve n ta
de boletos.
•
Com o prim er paso, se dará de alta una M acro que representará el facto r que
deseam os optim izar. Para este problem a, el facto r es el núm ero d e em pleados a
contratar para la venta de boletos. Iniciarem o s co n un valo r d e 3 em pleados pero
se hará una búsqueda del óptim o en el rango de 1 y 15 em pleados. Definirem os
la M acro Em pleados en la ventana M acros (Build / Macros). En el cam p o Text se
dará el valor inicial de 3 y en el cam p o O p tio ns seleccionarem os Scenario
Param eter/D efine especificando en la ventana d e diálogo el rango de valores de
1 a 15, co m o se m uestra en la figura 6.89.
Id Macros
1 EMPLEADOS
11] I= _ il3 jl2 < i|
Options
W
S c e n a rio P a r a m e t *
—
Param eter d e fin id o r to r LMPLLADüS
'
Layout
|
P a ra meter
Ñ am e
P íw n p l.
OUnfMnrteri mrt
O
R e c o rd R aoq e
®
N um coc
Fig u ra 6 .89
D e fin ició n
d e la Macro.
260
6.8 O p tim iza ció n c o n S im runner |
Enseguida definirem os las localizaciones Entrada, Fila y Taquilla en la ventana
Locatio n s (Build / Locations). Especifiq ue la capacidad d e dichas localizaciones
com o se m uestra en la figura 6.90, o bserve que el valo r num érico en la localización
Taquilla se sustituye por la nom bre d e la M acro Em pleados, de esta form a p o d re­
m os ejecutar el m o d elo con los diferentes valores, en este caso el valor actu al de
la M acro es 3.
Ñame
Icón
m
i m
Cap.
ENTRADA
U nits
1 __________ __ 1
iimiiiiii FILA
TAQ UILLA
X
None
/ INFINITE
\ EMPLEADOS
D Ts...
None
None
p
Figura 6 .9 0 D e fin ició n d e ca p a cid a d d e la s lo calizacio n es.
D efina la entidad A ficionado en la ventana En tities (Build / Entities), com o se
m uestra en la figura 6.91.
• Entities
Ñame
II
Speed (fpm)
AFICIONADO
150
Figura 6.91
D efinició n de la e n tid ad .
A continuación program arem os la llegada de cada A ficionado a la Entrada. Abra la
v e n ta n a A rriv a ls (Build / A rriv a ls) y e sp e c ifiq u e lo s p arám e tro s q u e se m u e stran en
la figura 6.92.
^ Ai livals
F n li t y . . .
A F IC IO N A D O
][
I tx a tio n ...
ENTRADA
Q t y E a c h ...
1
F ir s t lim e . . .
0
O c c u rre n c e s
F re q u e n c y
100
E (2 .S ) m ln
Figura 6 .9 2 Entrada d e e n tid a d e s (A ficionado) a l p u n to inicial del p ro ceso [E n trad a).
•
D espliegue la ventana Processing (Build / Processing) para crear la ruta d e los
aficionados por las taq u illas del estadio, (figura 6.93).
Routing i : t ATICIONADO u ENTRADA
fn tity...
II location
AFICIONADO j fNTRADA
AfICIONAOO
Opet.Hlon
A f l f IONADO
HRST1
TAQUILLA
Fig u ra 6 .93 P rogram ación d e l proceso in clu ye n d o tie m p o s d e traslado.
261
| C a p ítu lo 6 Instrucciones d e ProM odel
El núm ero d e aficionados que serán atendidos durante la ejecución del m o d elo no
necesariam ente asegura que los resultados lleguen a estado estable, por lo que para cada
escenario se harán 30 réplicas. Para esto entram os al m enú S im u la tio n /O p tio n s y en la
ventana de diálogo correspondiente dam os de alta el valo r de 30 en el cam p o N u m b e r
o f re p lic a tio n s : una ve z hecho esto se procede a guardar y ejecutar el m odelo, con el fin
d e corregir cualq uier error antes d e iniciar con la optim ización.
En el m enú File/View Text podem os visu alizar la sintaxis del ejem p lo, el cual deb e ser
sim ilar al d e la figura 6.94:
. •
*
.............
■ ........
..................................................................
F o rm a tte d L i s t i n g o f M o d e l:
C :\ P r o g r a m F ile s \ P r o M o d e l\ M o d e ls \ L ib r o V2 E je m p lo s \ E ;je m p lo 7 1 . mod
T im e u n i t s :
D is t a n c e u n i t s :
M in u te s
Feet
*
o
L o c a t io n s
Ñame
Cap
u n it s S t a t s
en trad a
i
i
F IL A
T A Q U ILLA
in f in it e
i
EMPLEADOS l
R u le s
T im e s e r i e s o l d e s t .
T im e s e r i e s o l d e s t .
T im e S e r i e s O ld e s t ;
*
C o st
.
f if o .
,
F ir s t
*
• B » • *>» m
*»
E n t it ie s
Ñame
sp e e d (fp m )
AFICIONADO 1 5 0
sta ts
co st
T im e S e r i e s
-
*
P r o c e s s in g
P ro c e s s
E n t it y
e
*
L o c a t io n o p e r a t io n
R o u t in g
B lk
O u tp u t
D e s t i n a t i o n R u le
AFICIO N ADO ENTRADA
1
AFICIO N ADO F I L A
F IR S T 1
AFICIO N ADO F I L A
AFICIONADO TA Q U ILLA W AIT E ( S ) MIN
1
1
AFICIO N ADO 1AQU1LLA
AFICIO N ADO E X I T
F1KSI 1
F IR S T 1
Move L o g ic
MOVE FOR
N ( 4 ,0 .7 5 )M IN
«
*
A r r iv a ls
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E n t it y
L o c a t io n Q t y E a c h
AFICIO N ADO ENTRADA
1
F i r s t T im e O c c u r r e n c e s F r e q u e n c y
0
100
M acro s
ID
Text
EMPLEADOS
3
Figura 6 .9 4 Sintaxis d el e je m p lo 6.13.
262
L o g ic
E ( 2 . S ) m1 n
*
6.8 O p tim iza ció n c o n S im runner |
Para optim izar el m o d elo vam os a ejecutar el Sim Runner desde el m enú Sim ulation
/ Sim ru n ner y debem os ir siguiendo las instrucciones que se presentan en la pantalla, en
ocasiones h ay qu e ser p acientes ya que este proceso puede tard ar varios m inutos. En
caso d e ten e r la versión estudiantil aparecerá una ventana d e inform ación en la cual se
indica el núm ero m áxim o de experim entos que podrán realizarse en la búsqueda del
óptim o, en la versión incluida en este libro el núm ero m áxim o es 25. Cuando aparece la
pantalla m ostrada en la figura 6.95 estarem os ya dentro del Sim runner. En esta prim era
ventana se dará de alta un nuevo proyecto, y por default se hará co n el m odelo que se
encuentre activo. Tam bién es posible ejecutar proyectos realizados anteriorm ente.
Saladnr<M'r*r|f“r«
A (pirn?*W
ciV
*
M odal
S e tu p Pr otee!
Creóte nev» projed
D x n o o s t n g proycct
S d e d model
D e i m c b e e 'iv e í
|c ''ífe g r a -n f f c i 'o r o n o
S e te d p r o jc d
[ ____ |
Detne ¡opute
<
Ne*
F ig u ra 6 .9 5 V en tan a inicial del Sim runner.
Avanzam os a la pantalla siguiente con el fin d e crear la función objetivo, para este
ejem p lo el objetivo es m inim izar el tiem p o prom edio de espera de los aficionados en la
fila, y esta varia b le puede ser localizada dentro del ProM odel com o AVG TIM E/ENTRY
asociada a la localización fila. En la ventana q u e se m uestra en la Figura 6.96 selecciona­
m os Lo catio ns y FILA-Ave Tim e/Entry y m ediante los botones circulados se arm a y actu a ­
liza la función objetivo, la cual debe quedar activada en la ventana central, tenga cuidado
de actualizar el tip o de o b jetivo a lograr (M in, M ax, Target). Es posible dar de alta varias
fu n cio n es objetivo y a cada una de ellas les puede asig nar un peso relativo a las dem ás
utilizand o el cam p o Weight. En este caso sólo tenem o s un objetivo, por lo que no se hará
uso de este cam po. La función objetivo, entonces, deberá leerse com o: Location Min
1*FIL A - Avg Tim e/Entry.
263
| C a p ítu lo 6 Instrucciones d e ProM odel
SimRimiw
S*IV «w
9
trafcccKc*)
COTCíMoO*
F ig u ra 6 .9 6
V en tan a para cre a r
la fu n c ió n o b jetivo .
Avanzam os en el proceso con el botón N e x t y ahora tend rem o s que seleccionar
aquellos factores que el Sim runner podrá m odificar para lograr la función o bjetivo. La
figura 6.97 m uestra esta pantalla en dond e se puede actualizar inform ación con respecto
a los rangos y valores d e los factores seleccionados sin necesidad de ir al m odelo original
a m odificar los valores de las Macros, sin em bargo, hay que tener en cuenta que m odificar
los valores d e las Macros en este punto no m odifica los valores originales del m odelo, sólo
se hace para este experim ento. La figura 6.97 m uestra la pantalla fin al después d e haber
m anipulado la inform ación, los factores activo s del experim ento deberán quedar activa­
dos en la pantalla central, para este ejem plo: E M P L E A D O S D e fa u lt = 3 .0 0 Lo w e r= 1 ,
U p p e r= 1 5 .
F ig u ra 6 .9 7
V entana para
seleccionar
los factores.
264
6.8 O p tim iza ció n c o n S im runner |
Una v e z hecho esto avanzam os a la sig uiente pantalla en donde verificam os que las
condiciones acerca de la longitud de la corrida, el núm ero d e réplicas y el nivel d e co n­
fianza sea el adecuado. En este caso para poder seguir avanzando tendrem os que asignar
un tiem p o d e sim ulación, valo r que no se dio de alta en el m odelo original ya que se
quería controlar por núm ero d e aficionados. Cada usuario puede dar de alta el valor que
co nsid ere fa ctib le para que puedan ser atendidos 100 aficionados, en este caso se selec­
cionaron arbitrariam ente 200 horas.
r* cc^s -e*>
O p íii-e M o d r
A /o í/íc M c d r1
a
T h a t n c d J c w C ^ p y x i d d c r m r c ISc
Ic
Ihem ean
v a L ie d t h e o b j e d n e f t n c & x i l e r * t - n e t p e & t t d e r t r e n : c c r / d e n c e í e « e
T e - t o d J e w i * c K eJp y o j d U e m a i o ( S e « í m B l i r e a n d n n U r o f u y a i T
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J
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1
Pxvoa»
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n
F ig u ra 6 .9 8
V en tan a para
seleccio nar los
p arám etro s de
e je cu ció n d e la
sim ulación.
A p a rtir de la pantalla m ostrada en la figura 6.98 saltarem os 2 pantallas, las cuales en
este m om ento no son d e utilidad para el análisis del problem a p ero se invita al lector a
que exp erim en te con los diferentes valores que se encuentran allí. En una prim era instan­
cia se recom ienda seguir estos pasos para llegar hasta la pantalla que se m uestra en la
figura 6.99, en la cual al oprim ir el botón Run activará el proceso de optim ización.
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1
| u «g
‘ ( g .l >
F ig u ra 6 .9 9
V en tan a para la
e je cu ció n de
la sim u lació n .
26 5
| C a p ítu lo 6 Instrucciones d e ProM odel
En este proceso se ejecutarán los diferentes escenarios y al fin alizar cada uno se irá
actualizando la p antalla y se indicará el núm ero d e l experim ento, el valor de la función
objetivo y sus lím ites de confianza superior e inferior, así com o la com binación de valores
de los facto res an alizad o s. El resu ltad o d e cad a e xp e rim e n to se verá en p an talla en
orden de m ejo r a peor.
SimRurmtM Untitli-d
rte
Optons iirtp
S H opfef»
Ckfc tfia n/t sutton la sta l the o p R U lo n
Seek spirnum
Pcrfomarcc Pfcl I
H e íc « )íe p'c<
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I
Gctctfllai I
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Opír-1 * o n Co-ví*ged
E xp cm ent
7
l
11EMPLEADOS
-0.213 ¡3 213
9.030
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-0.214
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11
2
-3.23b
3 23b
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0 .2 4 /
0 .2 2 2
0.292
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0 774
*03 0
-1.099
-2.01/ 1201/
3.0CO
T~
6
T rñ c ri
-125.6
BM W
¡ 1.0C0
-2.S54
-1.481
-138.605
-112757
-
<
Hwl>
hbevMis
F ig u ra 6 .1 0 0
V en tan a d e resultados.
Para este ejem p lo podem os o bservar el resultado fin al en la figura 6.100 en dond e el
o bjetivo de que los espectadores esperen m enos de 1 m inuto en prom edio ocurre cuan­
do el núm ero d e em pleados es m ayo r o igual a 4 . Si asignam os 4 em pleados podem os
esperar en la fila 0 .774 m inutos equivalente a 4 6 .4 4 segundos, con lím ites entre 0.489 y
1.059 m in con un intervalo d e confianza del 95% .
E je m p lo 6 .1 4
Considerem os ahora el m ism o sistem a descrito en el ejem plo 6.13 pero deseam os deter­
m inar el núm ero d e taquillas a instalar en función de un objetivo diferente. Si en este caso
tenem o s que el costo por hora d e instalar cada taquilla es de $300/h y el costo d e espera
por cada aficionado se estim a en $15/h, podem os plantear com o nuevo objetivo: en co n ­
trar el núm ero óptim o d e taq u illas que m inim icen el costo del sistem a.
El m odelo en ProM odel es idéntico al desarrollado anteriorm ente, el único cam bio es
en la definición de una nueva función objetivo la cual es:
M in
266
costo
=
300*(cantidad
de
taquillas)
+
75*(aficionados
en
espera)
6.8 O p tim iza ció n c o n S im runner |
Y la función objetivo se m odifica en las ventanas de diálogo del Sim runner, por lo que
ejecutam os nuestro m odelo de Prom odel siguiendo los pasos del ejem p lo 6.13 hasta
lle g a ra la ventana que se m uestra en la figura 6.101 en dond e com enzarem os a form ar la
nueva función objetivo:
SimRunn<*r - U n H lle d
Te
O pw o
lie'p
Q
Cp*mícMiMcl
M«Je"
beleci nafc'/ciaec»
Pofcmaoce Meques
Fe3Dcrse cal©3}*v
Detre -<x*¡
----------------- j
a locMon
M jbC aa Loceticn
EfUy
Resouice
Vntabto
¿JttfCoilu y
j> u d cn Costino
Escorce Co«tng
S M IO flM tS IC
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vi
Ü|
_J
F e *w i r
v ric O d f j otqedlre
Uoratel
<■M* r fVi r largaRango
Wojtí 1
F ig u ra 6.1 0 1
V en tan a para edició n
d e la fu n ció n
objetivo.
En esta nueva función necesitam os dar d e alta el núm ero prom edio de aficionados
que perm anecen en fila y su costo, por lo cual, en la ventana de la figura 6.101 seleccio­
nam os Locations y FILA-A verage C ontents y m ediante los botones centrales se arm a y
actualiza la función objetivo, que debe quedar activada en la ventana central, al actualizar
e l tip o de o b jetivo en m inim izar (M in) y agregar en el cam p o W eight el valor de 15.
Enseguida requerim os agregar el núm ero d e taq u illas a instalar y su costo, para esto
seleccionam os en la ventana superior la variable Locations Taquilla-Capacity, n o olvide
que la M acro EMPLEADOS está asociada en el m odelo con la capacidad d e la localización
Taquilla, en este caso el o b jetivo tam b ién es m inim izar (M in) y agregam os en el cam po
W eight el valor de 300 para fin alm en te actualizar con los botones centrales.
Al fin alizar este proceso, en la ventana central m ostrada en la figura 6.102 tendrem os
la función dividida en dos renglones:
Location Min 1 5 * F IL A - A verag e Contents
Location Min 300*TAQ U ILLA - Capacity
26 7
| C a p ítu lo 6 Instrucciones d e ProM odel
AratyitMpM
St*.pF ocd
l
Moe-I
------------------------------
SAlir.-.WWíi
0«lr4cCyKDm
IVAmr»Vto»«rae
D e fin e r c u :
V f a g M |3 Ó 5
PlfVOWi
F ig u ra 6 .1 0 2
Fun ció n o b jetivo
para m inim izar co sto s.
|
Al ser éste el único cam bio, continuam os con los pasos restantes de form a sim ilar q ue
en el ejem p lo 6.13 y al fin al del proceso llegam os a la tab la d e resultados m ostrada en la
figura 6.103 en donde podem os visualizar que el costo óptim o de la función objetivo es
de $667.5 /h y qu e el núm ero óptim o de em pleados a contratar es solam ente de 1, lo que
ocasiona una fila prom edio de 24.5 aficionados. Podem os analizar este m odelo si fijam os
un costo diferente para la espera d e los aficionados.
P c rfo n ra n c o V e a tu m Pie*
J p n r w M e te
6X 0
7 O CO
Figura 6.103
Solución al
eje m p lo 6 . 14.
268
6.9 Caso in te g ra d o r 1 |
Podría ser interesante hacer un análisis de sensibilidad de este m odelo para determ i­
nar la influencia que tien e el costo d e espera de los aficionados en el núm ero d e em plea­
dos a contratar. Por ejem plo si repetim os el experim ento pero con $30/h de espera, el
resu ltad o ó p tim o sería d e 2 em p le ad o s con un co sto por hora d e $ 7 67.4, y si fijam o s
el costo de espera en $60/h, se m antiene el resultado en 2 em pleados pero con un costo
total d e $934.85/h. Si aum entam os e n un últim o experim ento el costo de espera a $ 100/h,
al ejecutar el Sim runner obtendrem os el resultado m ostrado en la figura 6.104, donde el
costo óptim o total por hora es d e $980.7 con un núm ero óptim o de em pleados d e 3.
■aero]
P e rfo rm a n ce M oasuros Plot
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p t r o O w F ir c to n
F I I A : A v e r a n e C o n te n t a
|T A Q .,!1 1 A C Q j o t y
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5 181
12 .3 0 3
2 3
2
•1 2 3 1 .5 5 3
0 316
4 .3 0 3
4 3|
|
11
15 1 1 . « 6
0 11*
5 .9 0 3
5 3:
;
9
1 8 M .3 »
0094
6 .3 0 3
6 .3
1S
-7 1 M .6 9 6
0 C87
7 .3 0 3
73
1
- 7 4 0 H .W
0 CM*
8 .3 0 3
8 0
7
-2 7 0 8 .3 3 6
0083
9 .3 0 3
9 - O j» ,
j:
lie*
F ig u ra 6 .1 0 4
A n álisis d e
se n sib ilid ad del
e je m p lo 6 . 1 4 .
6 .9 Caso integrado r 1
Una em presa fabricante d e h ilo p o lié ste r tien e 50 m áquinas estirotorcedoras en su depar­
tam en to de estiraje. El índice de producción anual es de 90,000 toneladas, el cu a l n o se
está log rando debido a fallas en los m otores de las estirotorcedoras. Cada m áq uina
tien e un m otor que está su je to a d escom p osturas al azar, cu a n d o un m otor se d e sco m ­
pone se reem plaza por otro d e repuesto inm ediatam ente o cuando haya uno disponible.
El m o to r descom puesto se envía al taller de m antenim ien to y una vez reparado se co n­
vie rte en un m otor d e repuesto.
En m antenim ien to hay dos áreas, una d e ellas es d e capacidad para 100 m otores y
perm ite qu e los m otores que n o puedan ser reparados d e inm ed iato esperen en ese lugar
hasta que se desocupe alguno de los m ecánico s y la segunda e s donde los m ecánicos
hacen la reparación. La distancia que hay entre estiraje y el área d e espera de m otores
antes de ser reparados es de 55 m etros, entre el área de espera y el área de reparación hay
26 9
| C a p ítu lo 6 Instrucciones d e ProM odel
5 m etros, entre reparación y el área de reserva hay 40 m etros y la distancia entre el área
d e reserva y estiraje es 20 m etros.
Los datos de la tabla 6.2 son una m uestra histórica d e 50 reparaciones.
Tabla 6.2 Tiempo de reparación (horas).
36.80
48.97
51.15
1.96
49.01
2.86
36.02
58.82
11.70
40.82
26.46
50.62
4.32
78.01
7.37
3.07
5.67
14.70
60 .5 8
51.81
38.70
167.87
26.66
25.96
29.21
118.13
7.89
82.53
29.19
37.03
22.80
111.58
112.10
4.75
9.92
82.83
32.07
85.53
69.27
18.73
198.88
25.53
27 .4 6
16.73
39.86
27.28
41 .2 6
65.79
10.33
59.38
En la tabla 6.3 se tien en los datos históricos del tiem po que transcurre desde que un
m otor es instalado en la estirotorcedora hasta que sufre una descom postura.
Tabla 6.3 Tiempo de operación de los motores (horas).
437.65
80.59
355.57
141.20
182.59
98.34
263.45
294.31
97.82
200.28
378.73
130.09
311.03
87.93
195.97
264.56
78.37
80.63
48.07
318.78
143.89
324.54
343.22
118.70
191.50
6 5 .0 6
134.71
183.02
208.03
119.89
330.00
140.07
111.64
147.79
157.34
203.86
121.53
70.51
109.04
112.96
61.89
102.03
439.97
183.66
290.41
187.15
416.68
256.00
38.32
79.60
D ebido al volum en y peso de los m otores, cualquier m o vim iento de un m otor debe
hacerse con un m ontacargas. La velocidad del m ontacargas es de 150 m etros/m in si va
270
6.10 Caso in te g ra d o r 2
vacío y 100 m etros/m in si va cargado. El tiem p o para subir y o b ajar un m o to r del m o n ta­
cargas es de 45 segundos.
Actualm ente la em presa tiene 3 m otores de repuesto, 5 m ecánicos y 2 m ontacargas.
Se estim a qu e cada tonelada se vende a $2,000. El costo anual d e cada m ecánico es
de $150,000, el d e los m ontacargas es de $450,000, y cada m otor ocasiona gastos anuales
por $750,000.
Construya un m o d elo en ProM odel y m ed iante Sim runner determ ine:
a) El índice real de producción actual.
b) La utilidad anual actual.
c) El m ín im o núm ero de m ecánico s a co ntratar para trab ajar en el taller, el núm ero
m ínim o d e m o n tacarg as a co m p rar para el tra sla d o d e los m o to res y el n ú m e ­
ro m ín im o de m otores de repuesto, para que el departam ento de estiraje esté
trabajando al 90% d e utilización y que le perm ita obtener un índice d e produc­
ción anual de 81,000 toneladas. La producción por fabricada por arriba d e esta
cantidad no se p u e d e vender p o r falta d e dem anda.
d) La utilidad anual con las m ejoras realizadas.
6 .10 Caso integrado r 2
La em presa EHLE, S.A. se dedica a la fabricación y ensam ble de circuito s electrónicos
(PCB) para la industria autom otriz, y desea instalar una nueva celda flexib le de m an u fac­
tu ra donde se puedan ensam blar 10 nuevos tipos de circuitos electrónicos. Las o peracio ­
nes para fab ricar y ensam blar son las siguientes:
1. Carga de la tarjeta en el contenedor (CTC)
2. Lim pieza (Ll)
3. Corte con cizalla (CCZ)
4 . Taladrado d e orificios (TO)
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
Copia d e patrones (CP)
Ataque quím ico (AQ)
Deposición electrolítica (DE)
Inspección (IN)
Inserción d e com ponentes (IC)
Soldadura, lim pieza y pruebas (SLP)
Descarga del circuito del contenedo r (DCC)
La línea de ensam ble puede trabajar de 1 a 3 turno s en función de la dem anda d e los
clientes. Los productos se m ueven en contenedores a través de la celda, y cada proceso
se lleva a cabo sobre e l contenedor. Existe sólo una banda transportadora por dond e se
m ueven los contenedores, de m anera que es im po sible que uno rebase a otro. Hoy en día
la em presa cuenta con 350 contenedores y desea saber cuántos asignar a la celda para el
transpo rte y m anejo d e m ateriales. El diagram a 1 m uestra el flu jo d e la celda.
271
| C a p ítu lo 6 Instrucciones d e ProM odel
L im p ie z a
D e sc a rg a
C o rte
T a la d ra d o
C arg a
í
L im p ie z a y
C o p ia d e
p ru e b a s
p a tró n
S o ld a d u ra
In se rc ió n d e
co m p o n e n te s
In sp e cc ió n
D e p o sició n
e le c tro lític a
A taq u e
q u ím ic o
h
D iagram a 1 . D iag ram a de flu jo d e la lín e a de fa b rica ció n y en sam b le.
En cada una d e las estaciones únicam ente se puede procesar un contenedo r a la vez,
excepto en Lavado y Lim p ieza; adem ás, existen lugares de espera lim itados d e acuerdo
co n los siguientes parám etros:
Estación
Cantidad máxima de contenedores
permitidos en la estación
En espera
En proceso
Carga de la tarjeta en el contenedor
4
1
Limpieza
0
5
Corte con cizalla
6
1
Taladrado de orificios
0
1
Copia de patrones
0
1
Ataque químico
0
1
Deposición electrolítica
9
1
Inspección
0
1
Inserción de componentes
0
1
Soldadura
4
1
Limpieza y pruebas
0
10
Descarga del circuito del contenedor
9
1
En el diagram a 2 se presenta, en form a esquem ática, el proceso de producción, in clu ­
ye n d o los tie m p o s d e p ro ceso y los tie m p o s d e tra n sp o rte en cad a etap a (to d o s los
272
6.10 Caso in te g ra d o r 2 |
tie m p o s están en m inutos y por contenedor). Casi todos estos tiem po s son constantes,
excepto las estaciones m arcadas con la expresión f(t), ya que el tiem p o d e proceso en esas
operaciones d epend e d e cada tip o de p ro ducto y fam ilia. En algunos casos, com o en el
de Talad rad o , e xiste n 2 co m p o n e n te s d e tie m p o , u n o co n sta n te y o tro q u e d e p e n d e
del producto.
D iagram a 2 . T ie m p o s d e p ro c e s o y t r a n s p o r t e (m in / c o n t e n e d o r ).
La celda puede procesar 10 tipos de productos diferentes, aunq ue en un program a
d e producción de un día típico de trab ajo se pueden fab ricar m enos tip o s de circuitos.
Esto se debe a la distribución de probabilidad d e la dem anda diaria de cada producto. La
colum na 2 de la tabla 6 .4 m uestra esas distribuciones; por ejem plo, del producto 1 se
p u e d en p ro g ram ar e n tre 8 y 10 circ u ito s con d is trib u c ió n u n ifo rm e ; d e l p ro d u cto 2
se pueden program ar en prom edio 8 circuitos con distribución d e Poisson, y así sucesiva­
m ente. El departam ento de Adm inistración d e la Producción envía este program a a
Producción un día antes, de tal m anera que el m aterial lo deja disponible desde el inicio
del turno, para com enzar a procesarlo durante el día.
Los circ u ito s se han a g ru p a d o p o r fa m ilia s, d e a cu e rd o co n su tie m p o d e pro ceso
en cad a etap a. P o r e je m p lo , se g ú n la ta b la 6.4, el circ u ito tip o 1 p e rte n e c e a la fa m i­
lia C en el p ro ceso d e Carga, a la fa m ilia A en el pro ceso d e C o rte, a la fa m ilia A en el
p ro ceso d e T ala d ra d o , a la fa m ilia B en el p ro ceso d e D e p o sició n , y a la fa m ilia C en
el p ro ceso d e D e sca rg a .
Los co n te n e d o re s están vacío s al in ic io d e cad a tu rn o , e m p ie za n a carg arse con
los d ife re n te s p ro d u cto s y, al fin a liz a r la p ro d u cció n , d e b en d e q u e d a r va cío s n u e v a ­
m en te.
273
| C a p ítu lo 6 Instrucciones d e ProM odel
Tabla 6.4 Programa de producción y definición de familias.
Operación
Tipo de
circuito
Cantidad a
producir p o r día
U - Uniforme
P = Poisson
CTC
1
U (8 ,10)
C
A
A
B
C
2
m
A
c
A
A
A
3
P(3)
A
c
A
B
B
4
P(2)
B
c
A
A
B
5
P(5)
B
B
A
A
C
6
U (1 0 ,20)
C
B
B
A
B
7
P(4)
B
D
B
A
A
8
U (0,2 )
A
A
C
A
A
9
P(8)
A
A
C
A
B
10
U (20, 30)
B
A
c
A
C
ccz
TO
DE
DCC
Familia a la que pertenece el circuito
En todos los casos, la com ponente aleatoria del tiem p o d e proceso, f(t), se expresa
con una función d e densidad Erlang con un valor esperado (f) y un parám etro de form a
k, com o se m uestra en la tabla 6.5 para cada una de las fam ilias y procesos. Por ejem plo,
todos los productos que pertenezcan a la fam ilia A en el proceso de Carga tendrán un
valo r esperado de 7.55 m inutos, con k = 3 y así sucesivam ente.
Tabla 6.5 Familias y distribución de probabilidad de los tiempos de
proceso: /c-Erlang(f) en min/contenedor.
Operación
CTC
CCZ
TO
DE
DCC
A
A
A
A
A
3-Er(755)
2-Er(6.37)
4-Er(3.91)
3-Er(3.12)
1-Er(9.45)
B
B
B
B
B
3-Er(7.70)
2-Er(12.1)
4-Er(6.56)
3-Er(4.44)
4-Er(9.36)
C
2-Er(8.28)
C
2-Er(6.96)
C
2-Er(3.64)
D
D
D
D
3-Er(8.82)
1-Er(2.27)
3-Er(6.15)
4-Er(8.52)
E
2-Er(8.02)
274
C
2-Er(8.12)
6.10 Caso in te g ra d o r 2 |
Con el propósito d e m o d elar correctam ente la celda y diseñarla to m and o en cuenta
todos los factores, se ha decidido incluir el co m portam iento de las fallas y el tiem p o de
reparación d e las estaciones de Lim p ieza e Inserción d e com ponentes. Las tablas 6 .6 ,6 .7 ,
6.8 y 6.9 m uestran los co m po rtam iento s históricos de m áq uin as sim ilares a las que se
desea instalar. Las fallas en el resto d e los equipos son despreciables.
Tabla 6.6 (MTBF) Tiempo entre fallas en Limpieza, en min/falla.
144.58
162.38
156.07
158.88
15620
159.20
164.52
163.47
16224
156.55
147.81
160.84
150.95
161.59
16262
154.24
155.31
159.86
165.35
160.61
148.81
163.69
156.03
154.46
159.01
159.17
158.80
149.89
15204
159.39
154.93
151.48
151.57
154.49
156.82
163.19
156.67
158.04
161.51
155.36
149.38
161.79
160.45
160.52
154.32
159.79
158.38
151.09
159.86
152.91
156.73
156.07
159.80
147.14
157.08
159.91
161.32
161.08
153.76
155.70
160.50
161.15
157.82
163.80
160.10
160.32
150.71
161.35
154.19
146.04
154.19
156.13
166.73
150.44
163.32
156.10
167.30
150.09
153.58
157.50
153.25
161.83
158.62
159.87
165.06
162.57
164.22
157.25
155.42
160.31
158.61
163.26
154.16
160.51
158.68
162.83
162.44
161.66
153.06
156.41
154.97
162.96
165.15
155.87
155.02
160.53
161.51
164.42
162.64
157.49
Tabla 6.7 (MTBF) Tiempo entre fallas en Inserción, en min/falla.
390.38
340.79
353.86
375.09
387.54
376.53
368.91
364.23
380.81
382.50
352.23
353.55
366.98
387.21
381.95
366.98
372.79
373.68
36&01
371.33
334.49
346.45
344.52
384.61
333.35
351.04
354.60
350.01
310.28
3 8 7 .1 6
366.33
379.57
376.32
373.21
388.54
356.29
325.38
320.72
346.07
324.70
380.62
379.65
360.09
330.05
387.11
410.69
352.58
383.61
365.38
3 5 8 .2 4
334.37
386.09
347.36
3 8 a i9
347.10
310.49
379.52
334.38
353.17
3 5 6 .8 6
332.71
358.20
356.32
336.09
384.46
349.54
347.12
363.04
3 5 7 .6 6
362.61
351.00
406.17
326.97
311.41
345.02
378.39
390.65
333.74
350.43
332.19
373.34
370.81
374.81
387.64
361.44
360.25
384.13
386.91
372.00
343.56
355.54
354.69
368.34
340.94
319.74
377.43
387.61
379.29
322.39
383.20
27 5
| C a p ítu lo 6 Instrucciones d e ProM odel
Tabla 6.8 (M I IR ) Tiempo de reparación en Limpieza, en min/falla.
6.28
24.89
51.35
1058
4.91
29.36
3.13
4.02
0.69
34.10
4.44
23.85
19.33
36.39
1350
2.72
8.35
33.61
23.50
3.67
30.66
16.96
4.01
29.91
42.99
3.22
8.07
12.02
24.44
36.41
54.85
31.30
23.95
17.92
3.91
10.32
525
7.15
24.54
14.78
22.95
728
1.30
2.08
10.60
21.08
113.92
24.26
36.74
8.38
12.06
46.07
20.42
7.53
2.41
0.89
11.72
5.32
8.70
60.55
9.83
15.74
523
2.18
19.01
1024
1.99
0.06
12.75
459
4.51
13.01
9.06
9.68
18.81
3.09
0.17
6.85
15.59
8.24
2826
728
6.31
10.39
43.10
9.33
4.70
26.90
6.98
65.31
17.86
26.64
3521
0.01
62.72
7.94
18.47
19.49
2052
31.61
Tabla 6 .9 (MI IR) Tiempo de reparación en Inserción, en min/falla.
16.73
16.50
17.67
15.16
17.84
19.15
1723
16.39
16.35
14.68
17.70
16.12
14.94
16.89
17.97
15.91
18.01
17.39
17.72
15.97
18.37
18.34
1828
1629
15.40
16.83
16.92
18.18
16.08
15.34
1529
15.19
17.19
16.36
16.89
14.87
17.25
17.27
14.97
18.05
16.14
17.09
17.97
16.55
17.55
17.69
15.86
16.36
17.48
16.87
15.39
17.82
16.40
17.99
1726
16.00
16.68
17.32
1628
16.49
18.08
16.98
1651
16.84
17.40
15.08
14.34
17.30
16.94
16.77
17.73
17.55
16.71
16.49
16.21
15.81
1624
1820
15.94
16.70
1720
15.24
15.99
16.85
1857
17.89
15.58
16.11
1724
1522
16.66
16.83
16.25
16.00
15.10
14.49
17.79
15.09
16.94
16.84
Dentro d e la em presa se han generado varias preguntas, ya que se vislum bra — en
un futuro cercano— un increm ento considerable en la dem anda de productos. Para co n­
testar tales interrogantes desarrolle en ProM odel un m odelo de sim ulación estadística­
m ente válido, que perm ita determ inar:
a) La operación en que se presenta un cuello de botella.
b) La hora d e term inación del program a de producción diario, considere la variación
en la dem anda de un día para otro, con un nivel de 90% de confianza.
c) La cantidad óptim a de contenedores que debe asignarse a la celda. Es posible
justificarla m ed iante una gráfica donde se relacione el núm ero d e contenedores
asignados contra la producción diaria lograda, o b serve a p artir de qué p u n to la
producción prácticam ente no se increm enta.
d) El inventario prom edio d e contenedores en cada operación.
é) El tiem p o d e perm anencia prom edio d e los contenedores en cada operación.
/)
276
B tiem po promedio de permanencia de un contenedor en la celda de manufactura.
6.11 Problem as |~1
6.11 Problem as
1. Un inspector recibe siem pre 120 piezas/h. E l tiem p o prom edio de inspección es
uniform e, entre 20 y 30 s/pieza. Sim ule el sistem a en ProM odel, y calcule la u tiliza­
ción del insp ecto r y el núm ero m áxim o de piezas acum uladas antes del proceso de
inspección.
2. Un cajero autom ático recibe 30 clientes/h con distribución d e Poisson. Existen 5 esce­
narios posibles:
Escenario
Tiempo promedio de servicio (min/cliente)
1
Exponencial con media 1.8
2
2-Erlang con media 1.8
3
4-Erlang con media 1.8
4
Normal con media 1.8 y varianza 0.2
5
1.8
Sim ule el sistem a en ProM odel y calcule, para cada escenario:
a) La utilización del cajero.
b) El núm ero prom edio d e clientes en espera.
c) Si en todos los casos el tiem p o prom edio de servicio es el m ism o, ¿a qué facto r se
deben las diferencias (si es que existen)?
d) ¿Q ué diferencia existe entre el prim ero y el últim o escenario?
3. A una ferretería llegan 56 clientes/h con distribución d e Poisson. El negocio cuenta
con sólo dos dependientes, y los clientes deben hacer una fila. El tiem p o de servicio
es exponencial con m edia de 2 m in/cliente. Sim ule el sistem a hasta lograr el estado
estable y calcule:
a ) La utilización de los dependientes.
b ) El tiem po prom edio d e espera en la fila.
4. Una tiend a d e aparatos electrónicos ven d e 2 tipos de m icrocom putadoras: la E-GD
y la H-GR. El tiem p o entre llegadas es exp o nencial co n m edia de 45 m in/cliente.
Se trata de una tienda pequeña, por lo que solam ente requiere un em pleado para
atender a los clientes de acuerdo con un esquem a "prim ero en llegar, prim ero en
salir". Veinticinco por ciento de los clientes que entran no realizan com pra alguna, y
utilizan al em pleado durante 15 m inutos exactam ente. Cincuenta p o r ciento de los
clientes que entran com pran una com putadora tip o E-GD, y el tiem p o que les lleva
realizar la transacción sigue una distribución uniform e d e entre 31 y 36 m inutos. El
25% restante entra a la tienda y com pra la com putadora tipo H-GR; el tiem po que se
requiere para la venta en este caso sigue una distribución exp o nencial con m edia de
70 m inutos. Sim ule 8 horas y determ ine:
a ) Utilización del em pleado.
b) El tiem po prom edio que un cliente tien e que esperar antes de ser atendido.
27 7
| C a p ítu lo 6 Instrucciones d e ProM odel
5. Un sistem a de producción cuenta con 10 tornos. El tiem po d e operación de cada
uno sigue una distribución de probabilidad exp o nencial co n m edia de 96 horas,
después del cu a l ocurre una falla y tien e que ser enviado a m antenim iento. El tiem po
de reparación es exp o nencial con m edia de 72 horas. El tiem p o d e traslado d e los
tornos entre producción y m antenim ien to es uniform e, con parám etros de 60 ± 15
m inutos. Se desea sim ular el sistem a hasta alcanzar el estado estable, con 1, 2, 3, 5,
..., 10 m ecánico s para determ inar en cada caso la utilización de los m ecánico s y el
núm ero prom ed io de tornos en espera d e reparación.
6. La em presa LECAR dispone de 100 telares. El tiem p o d e operación d e cada uno antes
de que ocurra una rotura sigue una distribución de probabilidad exponencial, y el telar
se detiene en espera d e que un obrero repare la rotura y reinicie la operación. El tiem po
de reparación es d e 2-Erlang con m edia de 5 minutos. El tiem po prom edio entre rotu­
ras depende d e la calidad del hilo, d e acuerdo con los siguientes escenarios:
Escenario
Calidad del hilo
Tiempo promedio entre roturas (min/rotura)
Optimista
Primera
40
Promedio
Segunda
20
Pesimista
Dudosa
5
Cree un m odelo de sim ulación para cada escenario, y determ ine el núm ero d e o b re­
ros qu e deben asignarse a la reparación de roturas con el o b jetivo de m an ten er en
operación los telares 95% del tiem po.
7. A una biblioteca llega un p ro m ed io de 104 personas/año con distribución de
Poisson, para ped ir prestado cierto libro. La persona que logra encontrarlo lo regresa
en prom edio 10 días después, co n distribución exponencial. Las personas que solici­
tan el libro pero no lo reciben por estar en préstamo, se van y nunca regresan. Sim ule el
proceso durante un año, con 1 ,2 ,3 y 4 ejem p lares del libro, y determ ine en cada caso
el núm ero esperado d e personas que podrán leer el libro.
8. A la operación d e em pacado de bolsas d e detergente entran bolsas a una velocidad
de 20 por m inuto. Cuando las bolsas entran al sistem a son colocadas en una banda
que las transporta hasta la m esa de un operario d e em paque. E l tiem po d e transp o r­
te en la banda es de 20 s/bolsa. Una vez que la bolsa llega al fin a l d e la banda, cae
por gravedad hacia una m esa dond e se va acum ulando co n otras. Un operario tom a
las bolsas d e la m esa y las introduce en una caja con capacidad d e 30 unidad es; el
tiem p o que le lle va al o p erario to m a r una bo lsa y colocarla d e n tro de la ca ja es
de 1 segundo/bolsa. Una ve z que la caja se llena, el operario la lleva a l alm acén de
cajas; allí la deja y recoge una caja vacía para repetir el procedim iento d e llenado.
El tiem p o que le tom a en llevar la caja llena y traer una vacía sigue una distribución
exponencial con m edia de 3 m inutos.
Sim ule el sistem a anterior en ProM odel, para obtener la gráfica del núm ero de
bolsas en la m esa, el núm ero prom edio de bolsas y el tiem p o prom edio de espera en
la m esa a lo largo del tiem po.
278
6.11 Problem as |~1
9. A un proceso de troquelado llegan lám inas d e acuerdo co n una distribución de
Poisson con prom edio de 82 lám inas/m in. Se cuenta con 7 troqueladoras, cada una
de las cuales es capaz de procesar una lám ina en 5 segundos. H ay un alm acén de
grandes dim ensiones para m ateria prim a, d e m anera que to das las piezas que no
puedan ser troqueladas inm ed iatam ente podrán esperar ahí. E l costo d e operación
de las m áq uin as se estim a en $10/h-troqueladora, y el costo de m antener una lám i­
na en inventario se estim a en $0.500/h-lám ina. Sim ule el sistem a para determ inar el
inventario prom edio de lám inas y el costo total/h.
10. A un proceso de troquelado llegan lám inas d e acuerdo con una distribución de
Poisson con prom edio de 82 lám inas/m in. Se cuenta con 7 troqueladoras, cada una
de las cuales es capaz de procesar una lám ina en 5 segundos. H ay un alm acén para
m ateria prim a con capacidad de 5 lám inas; si una lám ina llega y no puede entrar al
proceso o al alm acén de m ateria prim a, deb e de ser enviada a otro lugar d e la planta
para la realización del troquelado. El costo d e operación de las m áq uin as se estim a
en $10/h-troqueladora; el costo de m antener una lám ina en inventario se estim a en
$0.500/h-lám ina, y el costo d e enviar a las lám inas hacia otro lugar es de $0.800 por
lám ina. Sim ule el sistem a para determ inar el inventario prom edio de lám inas en el
alm acén antes d e troquelado, y el costo total/h.
11. A un centro de m aquinado llegan tres diferentes tipos de piezas. Antes de llegar pasan
por un alm acén de producto en proceso, con capacidad prácticamente infinita. El tiem po
de operación y la tasa de entrada de las piezas son las siguientes:
Tipo de pieza
Tasa de entrada
Poisson (piezas/h)
Tiempo de maquinado
exponencial (min/pieza)
1
2
3
2
4
5
3
2
10
Sim ule el sistem a en ProM odel durante 100 horas, y determ ine:
o) Uso del centro de m aquinado.
b) Núm ero total de piezas producidas.
c) Tiem po prom edio d e espera d e las piezas en el alm acén.
d) Núm ero prom edio d e piezas en el alm acén.
12. A un operario de lim pieza le entregan cada hora 60 piezas en form a sim ultánea. El
tiem po d e lim pieza es uniform e, de 50 ± 10 s/pieza. Sim ule el proceso anterior duran­
te 500 horas para determ inar:
a) Uso del operario.
b) Tiem po prom edio d e perm anencia de las piezas en todo el proceso.
c) Tiem po prom edio d e espera d e las piezas antes d e ser lim piadas.
27 9
| C a p ítu lo 6 Instrucciones d e ProM odel
13. Un siste m a d e p in tu ra tie n e d o s p ro ceso s en se rie : p in tu ra y h o rn e a d o . E l t ie m ­
po d e p in tu ra es e xp o n e n c ia l, d e 10 m in /p ie za , y el d e h o rn e a d o es tria n g u la r
(3,6,15) m in/pieza. Para am bos procesos hay dos pintores y un horno. La tasa de
entrada es de 7 piezas/h en el caso de la pieza tip o 1, y d e 3 piezas/h en el caso d e la
pieza tip o 2. E l tiem po para m o verse de un proceso a otro es de 30 segundos. Sim ule
el sistem a 5 días para determ inar:
a ) Uso de cada operación.
b) Tiem po prom edio d e perm anencia de las piezas en todo el proceso.
c) Tiem po prom edio d e espera d e las piezas antes d e pintura y antes del horneado.
14. A un centro d e copiado llegan tre s tipos de trabajos. Si un trab ajo no puede ser ini­
ciado de inm ediato, espera en una fila com ún hasta que esté disponible alguna d e las
tres copiadoras con las que cuenta el centro. El tiem po d e copiado y la tasa de entrada
de los tra b ajo s son com o siguen:
Upo de trabajo
Tasa de entrada (trabajos/h)
Tiempo de copiado (min/trabajo)
1
4
Exponencial(12)
2
Poisson(8)
Normal(15,2)
3
16
3-Erlang(1)
D espués del proceso de copiado los trabajos son inspeccionados por un em pleado
en un tiem p o exp o nencial con m edia de 3, 6 , 10 m in u to s para los trab ajo s 1, 2 y 3,
respectivam ente. Sim ule el sistem a en ProM odel durante 50 horas, y determ ine:
a ) Uso del em pleado y las copiadoras en la situación propuesta.
b ) Núm ero de em pleados y copiadoras m ínim o s necesarios para asegurar el flu jo de
los trabajos.
15. Un tip o de pieza entra a una línea de producción. E l proveedor entrega en form a
exponencial con m edia de 2 m in/pieza. La línea consta de 3 operaciones con una
m áquina en cada operación. Los tiem pos de proceso son:
Operación
1
2
3
Tiempo (min/pieza)
Constante (2)
Exponencial (1)
Uniforme (0.5 ± 0.1)
El tiem p o para m o verse entre estaciones es d e 0.0625 m inutos. La anim ación debe
incluir un contador de las piezas producidas. Sim ule en ProM odel el proceso de 500
piezas para determ inar:
a) Tiem p o to tal d e sim ulación.
b) Uso de cada operación.
c) Tiem p o d e espera antes d e la prim era operación.
d) Porcentaje del tiem p o que la pieza estuvo bloqueada.
280
6.11 Problem as |~1
16. A un proceso de perforado llegan piezas a p a rtir d e las 8:00 a.m . El tiem p o entre
llegadas es exponencial, con m edia de 30 s/pieza. La perforación se puede realizar
en cualquiera de las 3 m áquinas existentes; sin em bargo, debido al tam año del tran s­
fo rm ador de energía eléctrica, las m áquinas no pueden trab ajar al m ism o tiem po.
Se ha decidido que la producción se realice en la m áq uina 1 las prim eras 3 horas del
turno, en la m áquina 2 las 3 horas siguientes, y en la m áquina 3 las 2 últim as horas.
Por razones de program ación, la m áquina 1 inicia siem pre a las 8:15 a.m . Los tiem pos
de perforado en cada m áq uina se m uestran a continuación:
---------------------------------------- -----------------------------------------------------------------Máquina
Tiempo promedio de proceso (s/pieza)
1
Exponencial (20)
2
Exponencial (10)
3
Uniforme (15 ± 5)
Realice un m o d e lo en ProM odel para s im u la r 30 d ías d e 8 ho ras cad a u no , y
obtenga:
a ) Producción al fin al d e cada uno de los días.
b) D istribución de probabilidad d e la producción diaria.
17. A una oficina llegan 2 tipos d e clientes. La tasa d e llegadas d e los clientes tip o I sigue
una distribución uniform e (100-150) m in/cliente; la tasa del segundo tip o sigue una
distribución constante con m edia de 120 m in/cliente. Solam ente existe un servidor
que tien e que atender a am bos tipos de clientes de acuerdo con un esquem a de
"prim ero en llegar, prim ero en salir". El tiem p o que tarda en atender a los clientes tipo
I sigue una distribución exp o nencial con m edia de 25 m in/cliente, m ientras que el
tiem p o de servicio del segundo tip o d e clientes sigue una distribución 2-Erlang con
m edia de 35 m in/cliente. Sim ule hasta que hayan sido atendidos 500 clientes de tipo
II y determ ine:
a ) Tiem p o to tal d e sim ulación.
b) Núm ero de clientes tip o I que fueron atendidos.
c) Tiem po prom edio d e estancia en la oficina por cada tip o d e cliente.
d) Núm ero m áxim o d e clientes en la oficina.
18. En un banco hay 2 cajas, cada una con su propia fila d e tam año infinito: la caja 1
para clientes "rápidos" con tiem p o d e 2 m inutos, y la caja 2 para clientes "lentos" con
tiem p o de 16.4 m inutos, en am b o s casos con distribución exponencial. Los clientes
"lentos" y "rápidos" llegan de acu erd o con una fu n ció n exp o n en cial, con m ed ia de
8 y 20 m in/cliente, respectivam ente. Algunos días, en particular, solam ente viene
a trabajar 1 cajera que tien e que atender am bas filas según la siguiente secuencia
cíclica: 5 clientes "rápidos" y 2 clientes "lentos". E l tiem po para m o verse entre las cajas
es de 0.33 m inutos. Sim ule en ProM odel el proceso por 80 horas, y determ ine:
a) Núm ero prom edio d e clientes en espera en cada fila.
b) Secuencia óptim a de atención para m inim izar el tiem po prom edio d e espera,
considere am bos tipos de clientes.
281
| C a p ítu lo 6 Instrucciones d e ProM odel
19. A un sistem a de lim pieza entran intercam biadores de calor en form a exponencial,
con m edia d e 5 h/pieza. El proceso consta d e 3 operaciones con una m áquina y en
cada operación. Los tiem po s de proceso son:
Operación
Tiempo promedio de proceso (h/pieza)
1
Constante (4.9)
2
Exponencial (4)
3
Uniforme (4.7 ± 0.3)
Se tien e un m ontacargas para todos los m o vim iento s entre estaciones. E l tiem p o de
traslado entre estaciones es 3-Erlang con m edia de 30 m in/intercam biador. La anim a­
ción deb e incluir un contador de las piezas producidas.
I. Sim ule en ProM odel el proceso de 500 intercam biadores para determ inar:
a) Tiem p o total de sim ulación.
b) Utilización d e cada operación.
c) Tiem p o de espera antes de la prim era operación.
d) Porcentaje del tiem p o que la pieza estuvo bloqueada.
e) ¿Recom endaría ten e r otro m ontacargas? Ju stifiq u e su respuesta.
II. Sim ule el m o d elo con un escenario dond e el m ontacarg as falle en form a e xp o ­
nencial cada 15 horas de trabajo y sea reparado con una distribución norm al con
m edia de 30 m inutos y desviación estándar de 5 m inutos. En este caso, ¿sería
apropiado ten e r dos o m ás m ontacargas? Ju stifiq u e su respuesta.
20. Un prom edio de 10 personas/h con distribución de Poisson intentan entrar al jacu zzi
de un hotel. En prom edio, cada persona perm anece 20 m inutos con distribución
exponencial. En el ja c u zzi existen solam ente 6 espacios, por lo que si una persona
llega y están ocupados todos los lugares, se retira enojada y no regresa. Sim ule el
proceso durante 100 horas.
a ) ¿Cuál es la utilización del jacuzzi?
b) En prom edio, ¿cuántas personas se encuentran en el jacuzzi?
c) En prom edio, ¿cuántas personas por hora n o pueden usar el jacuzzi?
d) ¿Cuántos lugares debería ten e r el ja cu zzi para asegurar que 95% d e las personas
que llegan puedan entrar?
21. D eterm ine m ed iante ProM odel el núm ero de m áq uin as que requiere un sistem a
para procesar las piezas, tenga co m o restricción m antener una utilización entre 60 y
80%. Las piezas llegan d e acuerdo con una distribución d e Poisson, con m edia de 1.5
clientes por m inuto. Cuando una pieza entra y todas las m áq uin as están ocupadas,
perm anece en una sola fila com ún a las m áquinas. El tiem p o de proceso sigue una
distribución exp o nencial con m edia de 3 m inutos. In clu ir dentro d e los resultados los
valores de la utilización, tiem p o de espera prom edio y núm ero de piezas prom edio
en espera.
282
6.11 Problem as |~1
22. El diagram a muestra el proceso y ruta d e las piezas dentro de una celda de manufactura.
Todas las piezas deben entrar y salir de la celda a través de la máquina de carga y descar­
ga (AS/RS). Los núm eros en las flechas dentro del diagrama representan el porcentaje de
flujo que es enviado a otros equipos; por ejemplo, 10% de lo que entra a corte se envía
al AS/RS, 85% a escuadre, y 5% a reproceso. Un sistema de control autom ático mantiene
siem pre 10 piezas dentro del sistema (observe el siguiente diagrama).
El tiem p o d e proceso en cada operación es:
Operación
[Min/pieza]
AS/RS
1.000
CORTE
0.465
ESCUADRE
0500
REPROCESO
6.666
Sim ule en ProM odel y determ ine para cada operación:
a ) Utilización.
b ) Núm ero m áxim o d e piezas.
c) Núm ero prom edio d e piezas.
23. En el sistem a cerrado que se m uestra en el diagram a se m antienen siem pre 20 piezas
en proceso. Cada una entra desde una banda principal a través de un robot d e tran s­
ferencia, y debe visitar las 2 estaciones de rectificado antes de regresar al robot de
transferencia para ser enviada de nuevo hacia la línea principal. Las piezas se m ueven
a través de bandas transportadoras (observe el sig uiente diagram a).
Rectificado 1
Rectificado 2
n
(
)
L
□
Robot de
transferencia
n
o
n
n
283
| C a p ítu lo 6 Instrucciones d e ProM odel_______________
Los tiem po s d e producción son:
Operación
Tiempo de proceso [min/pieza]
Robot
Normal (4,1)
Rectificado 1
Normal (6,0.3)
Rectificado 2
Exponencial (4)
Transporte entre estaciones
1
Sim ule durante 200 horas y determ ine:
a) Producción por hora.
b) Uso de las estaciones.
c) Inventario prom edio en proceso en cada estación.
d) Tiem po prom edio d e perm anencia de las piezas en el sistem a cerrado.
24. Se utilizan cinco cam iones para tran sp o rtar concreto d e un lugar a otro. Solam ente se
tien e una tolva de carga, y el tiem po para hacerlo sigue una distribución exponencial
con m edia de 20 m inuto s. El tiem p o para transpo rtar el concreto y regresar por m ás
m aterial sigue una distribución exp o nencial co n m edia de 180 m inutos. Sim ule el
m ovim iento de los cam iones para contestar:
a) En prom edio, ¿cuánto espera un cam ió n en la fila de la tolva?
b) ¿Q ué fracción del tiem p o n o se utiliza la tolva?
c) Si se han program ado 500 viajes, ¿cuánto tiem p o tom ará hacerlos?
25. A un sistem a d e producción de la em presa EHYPSA llegan piezas d e tip o 1 cada 5 ± 3
m inutos, y piezas tip o 2 cada 3 ± 2 m inutos. Las piezas tip o 1 pasan por lim pieza en
un tiem p o de 8 ± 3 m in u to s; al salir, 25% deben lim piarse d e nuevo, y el 75% restante
sale del sistem a para su venta. Las piezas tip o 2 pasan prim ero por verificación en un
tiem p o de 9 ± 3 m inutos, y después por lim pieza en un tiem p o de 3 ± 1 m inutos. Al
salir de lim pieza, 5% deben lim piarse de nuevo, y el 95% restante sale del sistem a
para su venta. Sim ule el sistem a un m es y determ ine el núm ero m ín im o de operarios
de verificación y lim pieza que perm itan m axim izar la producción por hora. Indique
núm ero de piezas de cada tip o que se produjeron durante el mes.
26. En el hospital HELEED, los pacientes entran a las salas de em ergencia a una tasa
Poisson con m edia de 4 persona/h. O chenta por ciento d e los p acientes entran direc­
tam en te a una d e las 5 salas; el 20% restante son llevados co n una secretaria para un
proceso de registro de datos. E l tiem p o en registro es de 5 ± 0 .5 m in/paciente, luego,
pasan a las salas d e em ergencia. Se tien e de guardia a dos m éd icos en las salas de
em ergencia, y ellos tardan en revisar a los pacientes un tiem p o 3-Erlang con m edia
de 30 m in /p acien te. D esp u és d e este tie m p o el p acie n te es traslad ad o a otras
áreas del hospital, d e acuerdo con su estado.
Realice un m odelo en ProM odel para sim ular 3 réplicas de 4 8 horas de la situa­
ción anterio r y determ ine, con un intervalo d e co nfianza, d e 95% :
284
6.11 Problem as |~1
a ) Tiem po prom edio d e espera d e los p acientes e n el proceso d e registro.
b) Núm ero m áxim o d e clientes que estuvieron en todo el hospital.
c) Utilización de los m édicos, las salas de em ergencia y la secretaria.
27. Cierta pieza requiere 2 operaciones: soldadura en 6 m inutos, y esm erilado en 6.4
m inutos. La llegada de piezas es uniform e entre 10 y 15 m in/pieza. Existen alm acenes
de ta m añ o infinito antes de cada operación. Se tien e solam ente un operario para
hacer am bas operaciones, de acuerdo con la siguiente secuencia cíclica: 5 piezas en
soldadura y 5 piezas en esm erilado. E l tiem po para m o verse entre las m áquinas es de
1 m inuto. Sim ule en ProM odel el proceso 480 horas, y determ ine el tiem po prom edio
de espera de las piezas en los alm acenes antes d e cada operación.
28. Una m áquina em pacadora es alim entada por dos bandas transportadoras. Por la pri­
m era entran dulces a una razón constante de 2000 dulces/h. Por la segunda entran
bolsas. La m áquina em paca 50 dulces por bolsa y co loca el producto em p acado en
una tercera banda, para su transportación hacia el alm acén de p ro ducto term inado.
El tiem p o total de em paque es de 20 segundos. La velocidad d e las band as es de 150
pies por m inuto. Cada 3 horas la em pacadora se detiene para ajuste y lim pieza; el
tiem po para llevar a cabo estas operaciones es exponencial con m edia de 10 m in u ­
tos. M ientras la em pacadora es ajustada, las bolsas y los dulces siguen entrando al
sistem a. Desarrolle un m odelo en ProModel y determ ine la tasa prom edio de entrada
de las bolsas.
29. A la oficina de la SRE llegan clientes para recibir su pasapo rte a una tasa de Poisson
con m edia de 18 clientes/h. Al entrar tom an una ficha que perm ite atenderlos en el
orden de llegada. Noventa por ciento de los clientes entra directam ente a la sala de
espera, y el resto llena prim ero algunas form as en un tiem po uniform e (6 ± 2) m in u ­
tos. Existen 2 servidores para atender a los clientes d e la sala d e espera; el tiem po
prom edio de atención es exp o nencial con m ed ia de 6 m inutos.
La sala de espera dispo ne de 4 0 sillas. Si un clien te llega y todas las sillas están
ocupadas, perm anece de pie y se sienta cuan do se desocupa alguna de ellas.
Cada vez que se expiden 10 pasaportes, el servid o r deja de atender la fila y
conduce a los clientes atendidos a la p arte posterior, después d e lo cual sigue aten­
diendo la fila; el tiem p o en ir y ven ir sig ue una función exp o nencial con una m edia
de 5 m inutos.
Haga un m odelo en ProM odel para sim ular durante 8 horas la situación actual,
de m anera que, al fin alizar la sim ulación, se indique en pantalla los siguientes resul­
tados:
a ) Tiem po prom edio d e espera en la fila.
b) Número prom edio d e personas sentadas.
c) Núm ero prom edio d e personas d e pie.
d) Núm ero m áxim o d e personas en la sala d e espera.
e) Utilización de los servidores.
28 5
| C a p ítu lo 6 Instrucciones d e ProM odel
30. En la com pañía PESYPIN SA, las piezas entran a un proceso de pintura a una tasa de
Poisson con m edia de 1.0 m in/pieza. Antes de pintarse, las piezas deben pesarse en
cu alq uiera de las dos b ásculas existen tes: el tie m p o en la b áscu la es u n ifo rm e, de
(2 ± 0.5) m inutos. Existe una persona que realiza la operación de pintura en 12 m in u ­
tos p o r pieza, con distribución exponencial.
Hay tam bién un p into r de reserva, que entra a proceso cada vez que el núm ero
de piezas en el alm acén de p ro ducto en proceso entra a las b ásculas y la pintura
excede de 10, y perm anece trabajando durante una hora, después de lo cual deja de
pintar y regresa a su posición d e p into r d e reserva.
Haga un m odelo en ProM odel para sim ular durante 8 horas la situación actual,
de m anera que, a l fin alizar la sim ulación, se indique en pantalla:
a) Tiem po prom edio d e espera en el alm acén d e pintura.
b) Núm ero m áxim o d e piezas que se llegaron a acum ular en to d o el sistem a.
c) Utilización de la báscula y de los pintores.
31. La em presa M OLGADE Co. fabrica m oldes y desea sim ular en ProM odel una p arte de
su proceso. Los moldes inicialmente se encuentran en el almacén de materia prim a, en
cantidad suficiente para no detener la producción por falta de material. La prim era o p e­
ración es una lim pieza con chorro d e arena, con duración de 4 m inutos. Enseguida,
uno de seis inspectores verifica la dim ensión de los m oldes; cad a inspector tarda
3-Erlang con m edia de 18 m inutos en la verificación. Luego, los m oldes son transp o r­
tados a un horno en lotes de 5, m ediante una grúa viajera. El tiem p o d e transporte
es de 6 m inutos, y la em presa cuenta con dos grúas para este m ovim iento. En el
horno se cargan 4 lotes para iniciar el proceso d e calentam iento; este tiem p o es de
una hora. Al salir del horno, los m oldes se enfrían al aire libre en 3 ± 1 hora. Una vez
term inado el proceso, se em pacan en cajas de 25 m oldes. El tiem po de em p aq ue es
triangular de (2,3,6) m in /ca ja ,y los m oldes se transportan en contenedores de 8 cajas
cada uno hasta el área de producto term inad o en un AGV. El tiem p o requerido para
este m o vim iento es de 10 m inutos.
Se trab ajan tres turno s d e ocho horas cada uno. M odele la operación durante
un m es para:
a ) D eterm inar la utilización de los equipos, el inventario p ro m ed io en pro ceso y el
tiem p o d e perm anencia de un m olde en el sistem a.
b) Detectar p ro blem as y proponer el aum ento o dism inución d e recursos.
c) Determ inar, para la solución propuesta, la utilización d e los equipos, el inventario
prom edio en proceso, y el tiem p o de perm anencia d e un m olde en el sistem a.
32. Use Sim Runner para determ inar el núm ero de m áq uin as que debe haber en un
centro de copiado, su objetivo es que los clientes no esperen m ás de 20 m inutos en
la fila. Los clientes llegan de acuerdo a una distribución Poisson con una m edia de 4
clientes/m in. El tiem p o que lleva atend er a cada cliente sigue una distribución e xp o ­
nencial con m edia de 7.5 m inutos. Cuando un cliente llega y to das las copiadoras
están ocupadas tiene que esperar en una fila com ún.
286
6.11 Problem as |~1
33. A una tien d a llegan 10 clientes/h con distribución Poisson. E l tiem p o de atención de
los clientes sigue una función 3-Erlang con m edia de 15 m in/cliente. Cada servidor
puede atend er sólo a un cliente sim ultáneam ente y si todos los servidores están o cu­
pados el cliente espera en una fila única. El costo d e servicio es $500/h-servidor y el
costo de la espera se estim a en $1000/h-transacción. Se desea determ inar el núm ero
de servidores a co ntratar utilizando Sim Runner.
34. A una celda de m anufactura llegan 10 engranes al día con distribución Poisson. El
tiem p o d e proceso está distribuido de m anera uniform e entre 1 y 2 horas. La celda
opera 16 horas p o r día. Sim ule este sistem a 30 días y encuentre la utilización p ro m e­
dio de la celda, el tiem po prom edio d e residencia d e los engranes y el núm ero de
engranes prom edio en el proceso. La celda sólo puede procesar una orden a la vez.
35. Un inspector recibe una com putadora cada 5 m inutos en prom edio. El tiem p o entre
arribos de las com putad o ras se distribuye exponencialm ente. Cada com putadora
requiere de cinco operaciones consecutivas (cuando una computadora entra a la estación
de inspección se deben com pletar las cinco tareas antes de procesar la com putadora
siguiente). El tiem p o para una operación ind ivid ual es exponencial con m edia de 0.9
m inutos. Realice una sim ulación con 3 réplicas de 6 m eses cada una y encuentre la
utilización prom edio del inspector, el tiem p o prom edio d e residencia de las co m pu­
tadoras y el núm ero d e com putadoras prom edio en el proceso.
36. Un vendedor recibe un cliente cada 5 m inutos en prom edio. El tiem po entre arribos
de los clien tes se distribuye exponencialm ente. El tiem p o d e atención por cliente es
5-Erlang con m edia de 4.5 m inuto s. Realice una sim ulación con 3 réplicas de 1 mes
cada una y encuentre la utilización prom edio del vendedor, el tiem po p ro m ed io de
espera de los clientes y el núm ero de clientes prom edio en el proceso.
37. Un grupo de 50 estudiantes organizaron una fiesta para ellos solos. Com praron una
canasta con 1000 tacos. Cada uno tom a un plato y se sirve 4 ± 1 tacos. El tiem p o para
servirse un plato es Exp o nencial con m edia de 1 m inuto. El 30% d e ellos term ina su
plato en un tiem p o Norm al con m edia 10 m inutos y desviación estándar 2 m inutos,
el 70% se term ina el plato en un tiem p o U niform e entre 10 y 15 m inutos. Una vez
que se term ina su plato regresa a servirse de nuevo. Sólo un estudiante a la vez puede
servirse d e la canasta, y debe esperar en una fila hasta que se desocupe la canasta.
Codifique en ProM odel el sistem a anterior para que se detenga cuando se hayan
acabado los tacos y determ ine el tiem p o que tardaron los estudiantes en lograrlo.
38. Una línea aérea requiere del diseño de su sistem a de reparación d e sus aviones. La
tasa d e llegada d e aviones a m antenim iento es Poisson con m edia de 8 aviones/m es.
Cuando un avión requiere de este servicio, se asigna una cuadrilla de trabajadores para
realizar estas tareas, el tiem p o de reparación de un avión es exponencial con m edia
de 3 días por avión. En cuentre el núm ero óptim o de cuadrillas si:
a) El costo d e m antenim ien to es $100,000/m es-cuadrilla y el costo d e que un avión
no esté volando es $1,000,000/m es-avión.
28 7
| C a p ítu lo 6 Instrucciones d e ProM odel
39. Una oficina d e recaudación de im puestos requiere determ inar el núm ero de cajas
a instalar. La tasa de llegadas es Poisson con m edia de 2 4 personas/h. El tiem p o de
atención es exp o nencial con m edia d e 2 m inutos por cliente. Las personas que p u e ­
den ser atendidas inm ediatam ente esperan en una fila com ún. En cuentre el núm ero
óptim o d e cajas si:
a) El costo d e atención es $200/h-caja y el co sto de espera $20/h-cliente.
b) El costo de d ar servicio es $200/h-caja y el co sto d e que un cliente espere es
$200/h-cliente.
c) El costo d e servicio es $20/h-caja y el costo d e que un cliente espere es $200/hcliente.
40. Una oficina dispone actualm en te d e 3 copiadoras. Los em pleados llegan al área de
copiado cada 1.5 m inutos con distribución 2-Erlang. El tiem p o que cada em pleado
necesita una copiadora es de 4 .2 m inutos con distribución 3-Erlang. D ebido a quejas
de los em pleados del tiem p o perdido hasta que se desocupa una d e las copiado­
ras, la em presa ha decidido evaluar la posibilidad d e contratar un m ayor núm ero
de copiadoras. Desarrolle un m o d elo de sim ulación en ProM odel y con el uso de
Sim runner, encuentre el núm ero de copiadoras a instalar si la renta d e cada copiado­
ra es de $20,000/año y el costo d e productividad perdida p o r el tiem po que pasa un
em pleado en la sección de copias es $200/h-em pleado.
41. Un banco recibe clientes cada 3 m inutos con distribución Exponencial. Lo s clientes
hacen una fila com ún antes de ser atendidos p o r cualquiera de las 2 cajas dispo ni­
bles. El tiem p o de atención al cliente sigue una distribución Norm al con m edia de
2 m inutos y desviación estándar de 0.5 m inutos p o r cada transacción que el cliente
vaya a realizar. Un estim ado del núm ero d e transacciones por cliente indica que el
20% de los clientes requiere 1 transacción, el 30% hacen 2 transacciones, el 4 0 % soli­
citan tre s transaccio nes y el 10% restante realiza 4 transacciones.
El banco opera de 9:00 a 16:00 d e lunes a viernes y los sábados d e 9:00 a 13:00.
Los clien tes qu e se encuentran en el b anco al cerrar deben ser atendidos.
Realice 3 réplicas de un m es cada una y determ ine:
a) Utilización prom edio de las cajas.
b) Tiem po prom edio d e espera d e los clientes.
c) Si el b anco desea que sus clientes no esperen en p ro m ed io m ás d e 5 m inutos en
la fila, ¿deberá abrir m ás cajas?, en caso afirm ativo ¿cuántas?
42. Un taller de reparación de neum áticos tien e la intención de proporcionar ese servicio
de m anera eficiente y ten e r suficientes em pleados para que la espera sea m ínim a.
Se estim a q u e el co sto d e esp erar es $0.6 0 /m in -clien te y q u e el co sto d e cada
em pleado es de $18/h. La tasa prom edio d e entrada es Poisson con una m ed ia de
5 autos/h. Y el tiem p o necesario para reparar un neum ático es 4-Erlang con m edia
d e 20 m inutos. Cree un m odelo y ejecute con Sim runner 100 réplicas de 8 horas cada
una con el fin de encontrar el núm ero d e em pleados a contratar para m inim izar el
costo to ta l esperado p o r hora.
288
6.11 Problem as |~1
43. Un ta lle r tien e 3 operarios que realizan un proceso d e inspección y rectificación de
discos del sistem a de frenos. Cada operario está asignado solam ente a un vehículo,
si un autom óvil llega al taller y todos los operarios están ocupados, el auto espera en
una fila com ún hasta que se desocupe algún operario. El tiem p o entre arribos de los
coches es una distribución exp o nencial con una m edia de 10 por hora. Cada veh ícu ­
lo requiere de la verificació n de los 4 discos y la posible rectificación d e alguno de
ellos. El proceso inicia con una inspección d e uno de los discos, el tiem p o para esta
prim era inspección es d e 3 ± 2 m inutos, si el disco está en m al estado el operario
realiza la rectificación en un tiem p o exponencial con m edia de 4 m inutos, y una vez
que term ina el rectificado hace una segunda inspección con una duración d e 2 ± 1
m inuto. Si el disco está en buen estado ya n o realiza ninguna operación adicional.
Una vez term inad o con este prim er disco, pasa con el segundo repitiendo el proceso
de form a sim ila r y así su cesivam en te hasta te rm in a r el au to m ó vil. D e datos previos
se estim a que el 35% de los discos inspeccionados requieren de rectificado. Sim ule
el sistem a hasta que considere que las variables están en estado estable, replique al
m enos 3 veces y determ ine:
a ) Utilización de los operarios.
b) Número prom edio d e autos en espera.
c) Longitud m áxim a de la fila.
d) Tiem p o d e estancia d e un auto en el taller.
e) Núm ero m ínim o de operarios con el fin d e que un auto espere en prom edio
m enos de una hora en el taller.
44. Se cuenta con dos m áquinas para el perforado de dos tipos de partes (Tipo 1 y Tipo 2).
Las partes Tip o 1 llegan a una razón d e una cada 15 ± 2 m inutos y las d e Tip o 2, de
una cada 5 ± 2 m inutos. Las piezas Tipo 1 deben ser perforadas en la m áquina EDW.
Las p a rtes Tip o B deben ser procesadas por la m áquina PGM pero podrán ser pro ce­
sadas por la m áquina EW D en caso d e que la m áquina PGM esté en reparación. La
m áquina PGM se descom pone cada 8 horas con distribución exponencial y el tiem po
de reparación es d e 3 ± 1 horas. El tiem p o de proceso d e las piezas tien e una dura­
ción N orm al con m edia de 4 m inutos y desviación estándar de 1 m inuto. Realice un
m odelo en ProM odel y sim ule 10 réplicas de un m es cada una para estim ar el núm ero
prom edio de piezas de cada tip o esperando a ser perforadas.
45. Un sistem a flexib le de m anufactura tien e cinco tornos en paralelo. Las piezas llegan
en form a Poisson con una m edia de 18 p o r hora y pueden ser procesadas en cual­
quiera d e los cin co to rno s. El tie m p o d e to rnead o es exp o n en cial con una tasa de
4 p o r h o ra p o r to rn o . A l fin a liz a r e l p ro ceso las p iezas son e n v ia d a s a cu alq u ie ra
de dos operarios d e em paque, el tiem p o d e em paque es exp o nencial con m edia de
6 m in/pieza. Sim ule el sistem a con 10 réplicas de una sem ana cada una y determ ine
la utilización prom edio de los tornos y los operarios de em paque, el tiem po pro­
m edio de espera d e las piezas antes d e cada operación y el núm ero de m áxim o de
piezas que se acum ularon e n e l proceso.
28 9
| C a p ítu lo 6 Instrucciones d e ProM odel
46. Un sistem a de producción consiste en dos operaciones en serie (operación A y ope­
ración B). Las piezas llegan en lotes d e tam añ o 5, el tie m p o e n tre arribos es e xp o ­
n en cial con m edia 15 m in/lote, las piezas se procesan prim eram ente en la operación
A y al salir, el 10% d e las piezas salen defectuosas y tien en que repetir la operación A
para después ir a la operación B, el 90% restante pasa directam ente de la operación
A a la operación B.
En la Operación A hay 2 m áquinas y en la O peración B hay 3, cada m áquina
sólo puede procesar una pieza a la vez. El tiem p o d e operación B es uniform e entre
15 y 25 m in/pieza. El tiem p o de operación A es Expo nencial con m edia 8 m inutos.
A ntes de cada operación pasan por un alm acén de capacidad 10. Cree un program a
en ProM odel que sim ule este sistem a con 15 réplicas de 1000 piezas cada réplica y
determ ine:
a ) Utilización de cada operación.
b) Núm ero prom edio d e piezas e n los alm acenes.
c) Tiem po prom edio d e perm anencia de las piezas en el sistem a.
d) Si fuera necesario, ¿cuántas m áquinas agregaría o elim inaría en cada operación?
47. En un sistem a de prod ucción se fabrican 4 tipos de válvulas para la industria petrolera,
la materia prima es tom ada del alm acén DO CK y el producto final es depositado en el
almacén STOCK. Ambos alm acenes tienen capacidad ilimitada. Además, cada máquina
M1, M2 y M3 tiene su propio alm acén de tam año 20, 20 y 30 respectivam ente. Todos
los m ovim ientos d e m aterial son realizados por la grúa viajera que se m ueve a una
velocidad d e 40 ft/h cuando transporta una válvula y a 50 ft/h cuando está vacía. En el
siguiente diagrama se muestra un esquem a d e la distribución de planta.
DO CK
G R Ú A V IA JER A
M3
STO CK
MI
M2
Las distancias (en m etros) entre estaciones son las siguientes:
¡
DOCK
STOCK
DOCK
0
10
STOCK
10
0
10
20
MI
10
0
10
M2
20
10
0
10
10
0
M3
290
20
M1
M2
M3
20
6.11 Problem as |~1
El resto de las distancias se pueden obtener m ed iante el teo rem a de Pitágoras.
La siguiente tab la m uestra la secuencia d e operación, la m áq uina dond e se rea­
liza y el tiem p o d e proceso de cada tip o de válvula. En todas las m áq uin as el tiem po
de pro ceso es constante.
Operación
Máquina - Tiem po d e proceso (h/pieza)
Válvula-1
Válvula-2
Válvula-3
Válvula-4
1
MI -10
M 2-12
M1 - 5
M1 - 2
2
-
M 3-7
-
M 3 -5
3
M 3-5
M 2-2
M 3 -1 0
M 2 -1 0
La dem anda d e cada uno de los productos es:
Producto
Válvula-1
Válvula-2
Válvula-3
Válvula-4
D em anda sem anal
10
40
10
20
El proveedor entrega toda la m ateria prim a necesaria para la producción d e la sem a­
na los lunes a las 6.00 am.
La em presa trab aja solam ente dos turno s al día de lunes a viernes.
M ediante ProM odel y Sim runner determ ine:
a) El n ú m e ro m ín im o d e m áq u in as y/o g rú as a in sta la r para c u m p lir con la
d em anda.
Y para la solución propuesta, encuentre:
b) Utilización de cada estación.
c) La estación cuello d e botella.
d) Núm ero de válvulas prom edio en to d o el sistem a por tip o d e producto.
e) Núm ero de válvulas prom edio en cada m áquina, incluyendo las que están en los
alm acenes respectivos.
/) Tiem p o d e perm anencia en el sistem a de cada tip o de válvula.
48. En una celda de m anufactura se realizan 8 operaciones. Las operaciones y los flujos
de producción se m uestran en el diagram a. Los núm eros que se encuentran dentro
el diagram a representan la proporción d e piezas que salen de una operación y se diri­
gen a la siguiente. Por ejem plo, del total de las piezas que se procesan en Escuadre,
un 50% son enviadas al AS/RS y el otro 50% a Lim pieza, del total de piezas que se
procesan en Rectificado el 100% son enviad as a Reproceso.
Un sistem a de 50 contenedores perm ite controlar el núm ero d e piezas (1 pieza
en cada contenedor) dentro del sistem a.
La piezas entran al sistem a en la estación AS/RS y d e allí son transpo rtadas den­
tro de su contenedor a través de la celda, una vez que la pieza es procesada regresa
a la estación AS/RS y sale com o producto term inado.
291
| C a p ítu lo 6 Instrucciones d e ProM odel
i
0.5
“ 10.1
f—
AS/RS
CO RTE
ESCU AD RE
iFRFSAD
iiu^r\iyv/
O
LIM PIEZA
0.85
1
-
0.5
1
0.5
0.7
0.3
005
,f
N1^1
1
SPFCC
l_N_V_IÓ
1V_/N■1
RFCTIFICADO
i»t_v. i ii iV-r»vy
1
1
RFPRO
i*i—i i\v/\.Ljni/\/
CFSADO
1
La capacidad de producción de cada equipo es:
Operación
(Piezas/min)
A S /R S
1 .0 0
C o rte
2 .1 5
Esc u a d re
2 .0 0
R e p ro c e s o
0 .1 5
L im p ie z a
025
In s p e c c ió n
1 .5 0
R e c tific a d o
0 .4 0
F re s a d o
050
Sim ule el proceso de 3 réplicas de un año cada una y determ ine el índice d e produc­
ción anual de esta celda.
49. La em presa En granes d e Acero SA fabrica piezas autom otrices en una celda flexible
de m anufactura. El diagram a m uestra la distribución de los equipos en la celda. Las
piezas entran del exterior a un alm acén de m ateria prim a a una tasa de 12 piezas/h
con distribución Poisson y posteriorm ente son procesados en el horno, la capacidad
del horno es de 10 piezas e inicia su operación cuan do está lleno.
n
Talad ro
Fresado
Robot
R ectificado
To rn ead o
Grúa
D escarga
C arga
Horno
Inspección
Ban d a 2
Ban d a 1
A lm acén
292
6.11 Problem as |
El flujo de producción es el siguiente:
1.
2.
3.
4.
Horno
Carga
Torneado
Fresado
5.
6.
7.
8.
Taladrado
Rectificado
Descarga
Inspección
Para cada m o vim iento entre las operaciones se requiere de las bandas transpo rta­
doras, el ro bo t o la grúa viajera d e acuerdo con el diagram a anterior. Los tiem po s de
proceso son:
* emp° P rom* dio .
de proceso (min/pieza)
Número actual
de m áquinas
Carga y descarga
0.5
Espacio muy grande
Torneado
5.2
1
Fresado
9.17
1
Taladrado
1.6
1
Rectificado
2.85
1
Inspección
Exponencial (3)
1
100
1
Operación
r
Horno
La velocidad de los equipos para el m o vim iento de m ateriales es:
Vélocidad (pies/min)
Cantidad actual
de equipos
Robot
45
1
Bandas (la longitud de
ambas es de 30ft)
30
2
Grúa viajera
25
1
Equipo
Las distancias entre los diferentes procesos son las siguientes:
Estación
Estación
Distancia (pies)
Almacén inicial
Horno
10
Horno
Banda 1
15
Torneado y rectificado
Fresado y taladrado
15
Carga y descarga
Torneado y rectificado
20
293
| C a p ítu lo 6 Instrucciones d e ProM odel
Con esta inform ación desarrolle un m o d elo de sim ulación. Realice 3 réplicas de 1000
horas cada u no y determ ine:
a) La utilización de los equipos.
b) La producción d e la celda.
c) Identifique la estación cuello d e botella.
D eterm ine el núm ero m ín im o d e m áquinas que deberían ser instaladas en cada
estación para m axim izar la producción y que la estación considerada com o cu e llo de
botella tra b a je a una utilización lo m ás cercana al 95% .
294
Anexo 1
D istribuciones de probabilidad
; | Anexo 1 D istribu cio n e s d e p ro b a b ilid a d
A.1 D istribuciones continuas
Distribución de Erlang
296
A n e x o ! D istrib u cio n e s d e p ro b a b ilid a d
|~1
D is trib u c ió n e x p o n e n cia l
Codificación
£ (1 A )
Fu n ció n d e d en sid ad
f(x) =
D istrib u ció n acu m u lad a
F(x) =
si
x>0
1Ae_Ax
10
en
otro
caso
J 1—e-Ax
si
x>0
otro
caso
[0
en
Parám etros
Parám etro d e e sc a la : — > 0
A
Rango
[0, oo)
M edia
1
A
V arianza
1
A2
Exponencial (2)
m
0.50
—
0.25
-
nnn
0.0
\
i
i
i
2.0
4.0
6.0
8.0
10.0
X
29 7
; | Anexo 1 D istribu cio n e s d e p ro b a b ilid a d
Distribución gam ma
Codificación
G(a,p)
F u n c ió n d e d e n s id a d
f { x ) = ^ f ^ e ‘ 'a
r{a)
para
D is t r ib u c ió n a c u m u la d a
pora a n o entera
F (x ) =
t
1 -e
X* & l x / B y
2^ — :—
1=0
P a r á m e tro s
x>0
P °ro a
i-
entera
P a rá m e tro d e fo rm a : a
P a r á m e t r o d e e s c a la : /3 > 0
Rango
[0 , o o )
M e d ia
a .f i
V a r ia n z a
«,/ 32
m
G a m m a (3 .86,5.25)
5.00
x 1 0 ~2
250
(\c\r\
0.0
0 .2
0 .4
0 .6
X
298
0 .8
1.0
1.2x10 2
A n e x o ! D istrib u cio n e s d e p ro b a b ilid a d
|~1
D is trib u c ió n lo g -lo g ís tic a
C o d ific a c ió n
Fu n ció n d e d en sid ad
LL[a .P )
a ( x f PY~'
f ( x ) = ---------- ------- -
para
x> 0
/ 3 [ l+ ( x / / 3 ) “ ]
D istrib u ció n acu m u lad a
F { x ) = --------------1+ ( x / p ) Parám etros
para
x> 0
P arám etro d e e sc a la : /3 > 0
Parám etro d e fo rm a : a > 0
Rango
[0, oo)
M edia
77/3
^
— cosecante
a
V arianza
tt /32
a
7T
—
a )
( 2 i r \ tt \
* f ^ 1
— — co seca n te —
U J
«1
\ a )_
2 cosecante
Log-Logística (3,1)
m
1.00
0.50
0.00
y
i
i
0. 0
1.0
2.0
— —
3.0
i —
i
i
4.0
5.0
6.0
X
299
; | Anexo 1 D istribu cio n e s d e p ro b a b ilid a d
Distribución lognorm al
Codificación
Fu n ció n d e d en sid ad
L N i f r a 2)
f ( x ) = — - ---- ^ 0
X\¡2tt(t 2
x >o
D istrib u ció n acu m u lad a
-
Parám etros
P arám etro d e e sc a la : ¿i
Parám etro de fo rm a : a > 0
Rango
[0, oo)
M edia
V arianza
(e‘r' - 1 )ew
Lognormal (4,0.792)
m
1.40
xio -2
0.70
0.00 ^
0.0
03
13
1.0
X
300
1
-L-----
2.0
23
1
3.0x102
A n e x o ! D istrib u cio n e s d e p ro b a b ilid a d
|~1
D is trib u c ió n n o rm a l
Codificación
Fu n ció n d e d en sid ad
A/(/x, a 2)
f(x)-—- —
\'27 t c t 2
para
D istrib u ció n acu m u lad a
-
Parám etros
P arám etro d e lo ca liza ció n : /x
x> -~
Parám etro d e e sc a la : a > 0
Rango
(-o°, oo)
M edia
V arianza
o-2
Normal (10,2)
m
0.20
0.10
0.00 —-—
0 .4
—i
0.6
0.8
1.0
1.2
1.4
1.6x10’
X
301
; | Anexo 1 D istribu cio n e s d e p ro b a b ilid a d
Distribución triangular
Codificación
T [a ,b ,c )
Fu n ció n d e d en sid ad
2 ( x - fl)
f{x) =
{b - a ) ( c - a )
2 { b - X)
Sí
a <X<C
sí
0 < *< C
si
(b - a )(b - c )
D istrib u ció n a cu m u la d a
(x - ° » 2
{b - a ){ c - a )
F(x) =
1Parám etros
,
{b - a ){b - c )
Sí
P arám etro d e lo ca liza ció n : a
Parám etro d e e sca la : b - a
P arám etro de fo rm a : c
V a lo r m ín im o : a
V a lo r m á xim o : b
M oda: c
Rango
M edia
V arianza
[a, b]
l(a + b + c )
— (a 2+ b2 + c2 - a b - a c - b e )
18
Triangular (1,7,3)
m
0.35
0.17
n nn
/
0.0
i
2.0
i
i
4.0
6.0
X
302
\
1
1
8.0
10.0
A n e x o ! D istrib u cio n e s d e p ro b a b ilid a d
|~1
D is trib u c ió n u n ifo rm e
Codificación
U[a,b)
Función de densidad
——
si a < x < b
f(x ) = b - a
0
en otro caso
Distribución acumulada
0
F (x ) =
Parámetros
si
b -a
1
si
x< a
si
a < x< b
b<x
a y b son números reales con a < b;
Parámetro de localización: a
Parámetro de escala: b - a
Valor mínimo: a
Valor máximo: b
Rango
[a, b)
Media
\ ( a+b)
Varianza
— (b - a )2
12
'
Uniforme (5,10)
ftx)
0.20
0.10
0.00
i
0.2
0.4
i
0.6
i
i
0.8
i
1.0
i
1.2
1.4x10'
X
303
; | Anexo 1 D istribu cio n e s d e p ro b a b ilid a d
Distribución de Weibull
Codificación
W ly ,a ,p )
Fu n ció n d e d en sid ad
f ( x ) = - a p - ° { x - y ) a- ' e p
0
en otro caso
si
x> y
D istrib u ció n acu m u lad a
F [ x ) — 1- e p
0
en
Parám etros
si x
o tro caso
y
P arám etro d e lo ca liza ció n : y
P arám etro d e e sc a la : /3 > 0
Parám etro de fo rm a : a > 0
Rango
[ y , 00)
M edia
y + p T { \ + <*"')
V arianza
/32[r(1 + 2 a -, ) - r 2(1+a-, )|
Weibull (4,2,1)
m
1.00
0.50
0.00
4. 0
4.5
5.0
53
X
304
6.0
6.5
7.0
A n e x o ! D istrib u cio n e s d e p ro b a b ilid a d
|~1
A.2 D istribuciones d iscretas
Distribución de Bernoulli
BE[p)
C o d ific a c ió n
D istrib u ció n d e p ro b ab ilid ad
1 -p
si
x =0
P
si
x =1
0
otro caso
0
1 -p
si x <0
s i 0 x< 1
1
si
p (* ) =
D istrib u ció n acu m u lad a
Rango
{0,1}
Parám etros
p e (0,1)
X
1
M edia
V arianza
p(i - p )
Bern o u lli (0.7)
PW
0 .7 0
r-
0.35
0.00
-1.0
0.0
1.0
20
3.0
4.0
5.0
30 5
; | Anexo 1 D istribu cio n e s d e p ro b a b ilid a d
Distribución binom ial
Codificación
BI[N,p)
D istrib u ció n d e p ro b ab ilid ad
Jim
PM =
D istrib u ció n acu m u lad a
0
o tro caso
0
si
PM =<
I,»:,!
si
1
Rango
{0 ,1 ,.JV }
Parám etros
N es u n n ú m ero e n tero
x< 0
x> 1
p e (0 ,1 )
Np
V arianza
1
*3:
l
M edia
Binomial (5,( ).5)
0.35
0.17
0.00
-1.0
1
0.0
1.0
2.0
X
306
3.0
4.0
5.0
A n e x o ! D istrib u cio n e s d e p ro b a b ilid a d
|~1
D is trib u c ió n g e o m é tric a
Codificación
G EO [p )
1
D istrib u ció n d e p ro b ab ilid ad
P(x) =<
0
D istrib u ció n a cu m u la d a
P(x) = <
0
Rango
{0,1,-}
Parám etros
p e (0 ,1 )
M edia
(1 - p ) p - ’
V arianza
(1 -p)p~2
p t i- p Y
si
x = 0 , 1,-.
otro ca so
1- ( 1- p ) L'> '
si
x = 0 , 1,...
otro caso
Geométrica (0.5)
P ix )
0.50
-
0.25
0.00
-2. 0
0.0
2.0
I
4.0
i
i
6.0
.
.
.
8.0
i
10.0
X
30 7
; | Anexo 1 D istribu cio n e s d e p ro b a b ilid a d
D is trib u c ió n de Poisson
C o d ific a c ió n
PIA.)
D istrib u ció n d e p ro b ab ilid ad
— e K
si
0
otro caso
P(x) = x!
D istrib u ció n a cu m u la d a
0
P(x) =
x = 0 ,1 ,2 ,.
si x < 0
L*J
Y — e'A
si
x >0
S /!
Rango
Parám etros
A > 0 es u n n ú m ero e n tero
M edia
V arianza
t o i s s o n (4)
Pix)
308
A n e x o ! D istrib u cio n e s d e p ro b a b ilid a d
|~1
D is trib u c ió n u n ifo rm e d iscreta
U D (i,í)
C o d ific a c ió n
D istrib u ció n d e p ro b ab ilid ad
1
p(x) =
y-/+i
en
0
D istrib u ció n acu m u lad a
0
P(x) =
k H *1
otro
caso
S/
X < /"
s/
/ < x <j
si
X> i
7 -/+ 1
¡i
Rango
{/,/' + 1
Parám etros
i y j so n nú m eros entero s c o n / < j;
Parám etro d e lo ca liza ció n : i
P arám etro d e e sca la : j - i
M edia
l« + i)
V arianza
Uniforme discreta (1,6)
P (*)
0 .2 0
r-
0.10
0.00
0.0
1.0
2.0
3.0
40
5.0
6.0
7.0
309
Anexo 2
Reportes estad ístico s en ProM odel
(form ato V ie w e r 2.0)
| ~| Anexo 2 Reportes estadísticos e n P roM odel (fo rm a to V iew er 2.0)
En ProM odel los reportes con form ato Viewer 2.0(3DR) contienen los resultados num éri­
cos d e la sim ulación, los cuales se presentan en un form ato de hoja d e cálculo.
El reporte contiene la inform ación separada en las siguientes hojas:
G eneral
R e p o r t f o r e je m p lo 4 .1
General
Locations
Location States Mulli
Location States Single/Tank
G e n e ra l íor Ejem p lo 4.1
Ñame
V a lu é
Run Date/Time 21 /04/2005 13:22:00
Model Path/Fie ¡D W ch rvo s ( ¿ ^ ^ a ^ r ^ < ¿ e Í ^ ( ^ l g É g M ^ : p g D
Model Tille
En esta sección se encuentran los datos generales del m odelo com o nom bre, fecha
de ejecución y el lugar dond e se encuentra el archivo.
Entity A ctivity
R e p o rt f o r e je m p lo 4 .1
Resources
Resource States
NodeEntnes
Failed Arrivals
j Enbty Activity!
Entity States
En tity A ctivity ío r e|cmplo4.1
To tal
Ñame
CKHS
I Pieza A
Pieza B
Pieza C
000
2216 00
000
•
•
•
•
•
•
312
Cu*1®®1 A v g Tim e In A vg Tim e In
Qty In
System
Move
System
(MIN) Logic (NIN)
0.00
0.00
0.00
0.00
3.00
11.31
0.00
0.00
0.00
A v g Time A v g Tim e In A v g Tim e
W a it For
Operation Blocked
(MIN)
R e s (M IN )
IMIMll
0.00
000
0.00
0.00
901
230
0.00
000
000
T o ta lE x its . Núm ero d e entid ades que abandonaron el sistem a.
C u rre n t Q u a n tity In S y ste m . Núm ero d e entidades que perm anecen en el sistem a
al fin alizar la sim ulación.
A v g T im e In S y ste m . Tiem p o prom edio que las entidades perm anecieron en el
sistem a sim ulado.
A v g T im e In M o v e L o g ic . T ie m p o p ro m ed io que las en tid ad es p erm aneciero n
viajando entre las localizaciones.
A v g T im e W ait F o r R e s . T ie m p o p ro m ed io que las en tid ad es p erm aneciero n
esperando p o r un recurso o por otra entidad.
A v g T im e In O p e ra tio n . Tiem p o prom edio que las entidades perm anecieron en
operación o en una banda transportadora.
Anexo 2 Reportes estadísticos e n P roM odel (fo rm a to V iew er 2.0) |
•
A v g T im e B lo c k e d . Tiem p o prom edio que las entidades perm anecieron esperan­
do por una localización desocupada.
En tities Costing
BB G e n e ra l R e p o rt (B a s e lin e - R e p . 1 )
Localion States Single
Resources
Resource States
Ni < I ►
M íg _co sl.M O D (B a se lin e - R e p . 1)
Ñame
E x p licit E x ils
T o ta l Cost D o líais
Z T o ta l Cost
Polo!
Blank
Cog
Reject
Beaiing
93.00
0.00
391.00
167.00
0.00
0.00
0.00
6433.84
: :o
0.00
72.06
27.94
0.00
2494.48
0.00
•
•
Ñ a m e . N om bre de la entidad.
E x p lic it E x it s . Núm ero de entidades que abandonaron el sistema.
•
•
T o ta l C o st. Costo total de las entidades.
% T o ta l C o st. Porcentaje del co sto de las entidades correspondiente a la entidad
activa.
Entity States By Percentage
fffl R e p o r t f o r e je m p lo 4 .1
| Localion States Mullí
|_ j[ n |[ X
Localion States Single/Tank
Resouices
Resource Sta < | »]
E n tity S ta te s for ejem plo4.1
Ñame
Pieza A
Pieza B
Pieza C
I
Z In M ove
Z W a it F o i
L o g ic
Re*
* ln ° P e ,a " on
X B lo c k e d
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
79.70
0.00
0.00
20.30
0.00
y
•
•
Ñ a m e . N om bre de la entidad.
% l n M o v e L o g ic . Porcentaje del tiem p o que las entidades perm anecieron viajan­
do entre localizaciones.
•
% W ait F o r R e s. Porcentaje del tiem po que las entidades perm anecieron esperan­
do por un recurso o por otra entidad.
% In O p e ra tio n . Porcentaje del tiem po prom edio que las entidades perm anecie­
•
•
ron en operación o en una banda transportadora.
% B lo c k e d . Porcentaje del tiem p o prom edio que las entidades perm anecieron
esperando por una localización desocupada.
313
| ~| Anexo 2 Reportes estadísticos e n P roM odel (fo rm a to V iew er 2.0)
Failed A rrival
m
R e p o rt fo r e je m p lo 4 .1
General
Locations
Location States Multi
Failed A rriva ls for ejemplo4.1
En tity
Ñame
Location
Ñame
Total
Failed
Pieza B
Almacén 1
0.00
•
•
E n tity Ñ am e. N om bre d e la entidad.
L o c a tio n Ñ am e. Localización donde ocurre la llegada d e la entidad.
•
T o ta l F a ile d . Núm ero d e entidades que no entraron a la localización por falta de
capacidad.
Locatio ns Costing
m R e p o rt f o r d e a e rc o
NodeEntries
Failed Aiiivals
Entity Activity
Entity States
Variables
( Location Costinc < | ►
Location Costing for deaerco
Ñame
Aísle 1
Aislé 2
Aislé 3
Aísle 4
Aislé 5
Aislé 8
Aislé 7
Operation
Cost
D ollars
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
X Operation
Cost
0.00
0 00
000
0 00
000
0.00
000
R e so u rce
Cost
Dollars
30.89
34.36
45 93
30 04
40 87
26.65
4010
Cost
4.62
5.13
6.86
4.49
6.11
3.98
5.99
Total
Cost
Dollars
33.39
34.36
45.93
30.04
40.87
26.65
40.10
X To tal
Cost
4.62
5.13
686
449
611
398
599 v
•
Ñ am e. Nom bre d e la localización.
•
•
O p e ra tio n C o st. Costo del tiem po d e operación.
% O p e ra tio n C o st. Porcentaje del costo de la localización sobre la sum a de los
costos de operación.
•
•
R e so u rce C o st. Costo por el uso de un recurso operando dentro d e la localización.
% R e s o u rc e C o st. Porcentaje del costo de recurso en la localización sobre la sum a
•
•
d e los costos del resto de los recursos.
T o ta l C o st. Costo d e operación m ás costo del recurso.
% T o ta l C o st. Porcentaje del costo total de la localización sobre la sum a de los
costos totales de las localizaciones.
314
X R e so u rce
_______________________________________ Anexo 2 Reportes estadísticos e n P roM odel (fo rm a to V iew er 2.0) |
Location S ta tes By Percentage (M últiple Capacity)
General
Locations
| Location States MuRij
Location States Single/Tank
Resources
L o ca tio n S ta te s Multi ío r ejem plo4.1
S ch e d u le d
Tim e (MINJ
Ñame
Almacén 1
Almacén 2
2
19200.40
19200.40
Empty
Z P a ft O ccu p ied
82.91
99.38
17.09
0.62
Z
z
Fu ll
Down
0.00
0.00
0.00
0.00
•
•
Ñ am e. Nom bre d e la localización.
S c h e d u le d T im e. Porcentaje de tiem p o en operación.
•
•
% E m p ty . Porcentaje d e tiem p o que la localización estuvo vacía.
% P a rtia lly O ccu p ied . Porcentaje de tiem p o que la localización estuvo parcial­
m ente llena.
•
•
% Fu ll. Porcentaje de tiem p o que la localización estuvo llena.
% D o w n . Porcentaje de tiem po que la localización estuvo no disponible por paros
no program ados.
Location S ta tes By Percentage (Single Capacity/Tank)
Locations
Location States Multi
j Location States Single/Tank!
R e so u ce s
R eso u ce 4
.
Aj
L o c a tio n S ta te s S in g le / T a n k foi ejem plo4.1
Ñame
Lavadoca
Inspector. 1
Inspector. 2
Inspector
•
•
•
•
•
•
•
•
S ch e d u le d
Tim e (M IN)
19200.40
19200.40
19200.40
38400.80
s
O peration
_____________L
46.15
41.32
16.59
28.95
Z
2
2
2
S e tu p
W a itin g
B lo c k e d
D ow n
53 85
0.00
000
0.00
0.00 58.68
0.00 83.41
0.00 71.05
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
000
Ñ am e. Nom bre d e la localización.
S c h e d u le d T im e. Tiem p o total program ado.
% O p e ra tio n . Porcentaje d e tiem p o que la localización estuvo en operación.
% S e tu p . Porcentaje de tiem p o que la localización estuvo en preparación.
% ld le . Porcentaje de tiem po que la localización estuvo ociosa por falta de entidades.
% W aitin g . Porcentaje de tiem p o esperando por un recurso o por otra entidad
para agruparse, unirse, etcétera.
% B lo c k e d . Porcentaje de tiem po que las entidades perm anecieron bloqueadas
en la localización.
% D o w n . Porcentaje de tiem p o por paros no program ados.
31 5
| ~| Anexo 2 Reportes estadísticos e n P roM odel (fo rm a to V iew er 2.0)
Locations
Report for ejemplo4.1
General
| Locations
\Z_\[ □ ) ¡X_
Location States Mufti
Location States Single/Tank
Resources
Resource State < | »
Locations toi ejemplo4.1
Ñame
___ Almacén 1
Lavadora
Almacén 2
Inspector. 1
lnspector.2
Inspector
Scheduled
Time Capacity
(MIN)
19200 40 999999 00
19200.40
1.00
19200.40 999999 00
19200.40
1 00
19200.40
1.00
38400.80
zoo
Total
Entiies
221900
2218.00
2217.00
1584 00
633.00
2217.00
A vg Time
Per Entry
(MIN)
225
400
005
501
5.03
502
Avg
Contents
Máximum
Current
Contents Contents
026
046
0.01
041
0.17
0.29
500
1.00
ZOO
1.00
1.00
ZOO
“roo
1.00
0.00
1.00
0.00
1.00
z
Utilization
'
4615
000
41 32
16.59
28.95
Ñ am e. Nom bre d e la localización.
S c h e d u le d T im e . Tiem p o total program ado d e la localización.
C a p a city . Capacidad d e la localización.
T o ta l E n fr ie s . Total de entidades que entraron a la localización.
A v g T im e P e r E n tr y . Tiem p o prom edio d e perm anencia en la localización.
A v g C o n te n ts. Núm ero prom edio de entidades en la localización.
M á xim u m C o n te n ts. Núm ero m áxim o de entidades en la localización en el trans­
curso de la sim ulación.
C u rren t C o n ten ts. Número de entidades en la localización al final de la sim ulación.
% U tiliz a tio n . Porcentaje d e utilización.
Logs
US Report fo r ejem plo4.1
1 Resouce States
Node Entries
Faíed Arrivals
EntityActivity
Lo g s for ejemplo4 1
Ñame
316
Number
O b servations
Mínimum
V a lu é
Máximum
V alu é
A vg
V a lu é
•
•
Ñ am e. Identificador d e registro.
N u m b e rs O b se rv a tio n s. Núm ero de entidades que ejecutaron la instrucción LOG
durante la sim ulación.
•
•
M ín im u m V alué. El m ín im o va lo r d e tiem p o registrado por la instrucción LOG.
M á x im u m V alué. El m áxim o valo r d e tiem p o registrado por la instrucción LOG.
•
A v g V a lu é. El valo r prom edio d e tiem p o registrado por la instrucción LOG.
Anexo 2 Reportes estadísticos e n P roM odel (fo rm a to V iew er 2.0) |
Node En tries
S Report for ejemplo4.1
Resource States
|»
[N o d e Enfries!
Failed Arrivals
< | ►
N o d e E n tr ie s fo r ejem p lo 4.1
P a th
Ñ am e
N ode
Ñ am e
T o ta l
E n t r ie s
B lo c k e d
E n trie s
•
P a th Ñ a m e . N om bre de la trayectoria.
•
•
•
N o d e Ñ a m e . Núm ero del nodo.
T o ta l E n tr ie s . Total de entradas de un recurso a un nodo.
B lo ck e d E n trie s. Número de veces que el nodo estuvo bloqueado por otro recurso.
Resources Costing
1
R e p o rt f o r d e a e rc o
Node Entries
Failed Arrivals
¡
Entity Activity
Entity States
Variables
Location Costing
n
r<
Filler.l
Filie*. 2
Filie*. 3
Filie*. 4
Filler.5
Filie*
Checker
.. u
U n ,ls
N onU se Cost
D o líais
1.00
1.00
1.00
0.80
0.80
0.80
1.00
1.00
5.00
1.00
081
0.83
4.04
11.39
X N onU se U sa g e Cost
*
*
R e s o u ic e Costing foi d e a e rco
Ñame
i
X U sage T otal Cost
X T otal
Cost
D o líais
Cost
D o líais
Cost
0.45
0.45
0.45
0.46
0.47
2.28
6.44
99.18
99.08
98 88
12.10
12.09
12.07
99 03
99.13
495.29
87.79
12.09
12.10
60.45
10.71
99.98
99.88
99 68
99 83
99 96
499.33
99.18
10.04
10.03
10.01
1002
10 03
50.12
9.96 v
•
•
Ñ am e. Nom bre del recurso.
N o n U se C o st. Costo atribuible al ocio del recurso.
•
% N o n U se C o st. Porcentaje del costo d e ocio del recurso sobre la sum a de los
costos de ocio d e los recursos.
U sa g e C o st. Costo p o r usar el recurso.
•
•
•
•
% U sa g e C o st. Porcentaje del costo de utilización del recurso sobre la sum a de los
costos de utilización de los recursos.
T o ta l C o st. Costo de utilización m ás costo d e ocio.
% T o ta l C o st. Porcentaje del costo total del recurso sobre la sum a d e los costos
totales de los recursos.
31 7
¡ | Anexo 2 Reportes estadísticos e n P roM odel (fo rm a to V iew er 2.0)
Reso urce States By Percentage
BU)! x|
SS Report for deaerco
I Location States Single/Tank
Resources
| Resource States!
Node Enfries
Failec <_!► I
A
Resource States for deaerco
Ñame
Fler.1
Fler.2
Fler.3
FiHer.4
Filler.5
Fler
Checker
Scheduled
Time X In Use
(MIN)
600.00
98.60
600.00
98.60
600.00
98.57
600 00
98.63
600.00
98.60
3000.00
98.60
600.00
85.14
X Travel X Travel To
ToU se
Park
060
0.60
0.62
057
0.57
0.59
3.47
X Idle
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
080
0.80
0.80
0.81
0.83
0.81
11.39
*
Down
0 00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00 V
|
•
Ñ am e. Nom bre del recurso.
•
S c h e d u le d T im e . Total de tiem p o que el recurso fue program ado para estar dispo­
nible.
•
•
% l n U se . Porcentaje d e tiem p o que el recurso fu e utilizado.
% T ra v e l To U se. Porcentaje de tiem p o que el recurso fue utilizado en m o vim ien ­
tos entre localizaciones.
•
% T ra v e l To P a r k . Porcentaje de tiem p o que el recurso estuvo viajando a su nodo
base.
•
•
% Id le . Porcentaje d e ocio del recurso.
% D o w n . Porcentaje que el recurso estuvo no disponible a causa de paros no
program ados.
Resources
H Report for deaerco
Location States Single/Tank
- fn|x
[ Resources)
Resource States
NodeEntries
FailedArnvals
EntityAcl <
318
Ñame Units
i ? !
Resources for deaerco
Fdler.l “ T.oo
1.00
Filer.2
Filer.3
1.00
Filer.4
roo
Filer.5
1.00
Filer
5.00
Chec...
1.00
600.00
600.00
600.00
600.00
600.00
3000.00
600.00
Number Avg Time
Times Per Usage
Used
(MIN)
33 00
17.93
33.00
17.93
34 00
17.40
3100
19.09
31.00
19.08
18.26
162.00
134.00
3.81
Avg Time Avg Time
X
%
T ravel T0 Travel To Blocked Utilization
Use(MIN) Park (MIN) In Travel
0.00
0.00
99.20
0.11
0.11
000
000
99.20
0
00
000
011
99 20
0.11
000
000
9919
0.11
0.00
0.00
99.17
0.11
0.00
0.00
99.19
0.16
0.00
0.00
88.61
v i l
Anexo 2 Reportes estadísticos e n P roM odel (fo rm a to V iew er 2.0) |
•
Ñ am e. Nom bre del recurso.
•
U n its. Núm ero de recursos.
•
S c h e d u le d T im e . Tiem p o program ado para utilizar el recurso.
•
•
N u m b e r o f T im e s U sed . N úm ero d e ocasiones que se utilizó el recurso.
A v g T im e P e r U sa g e . Tiem p o prom edio de utilización del recurso.
•
A v g T im e T ra v e l To U se. Tiem p o prom edio por viaje del recurso.
•
•
A v g T im e T ra v e l To P a rk . Tiem p o prom edio para dirigirse al nodo base.
% B lo c k e d In T ra v e l. Porcentaje d e tiem p o que el recurso estuvo bloqueado al
•
fin al del viaje.
% U tiliz a tio n . Porce ntaje d e u til ización d el recu rso.
V a ria b le s
- !ni x
BU Report fo r deaerco
Entity Activity
Entity States
| Variables!
Location Costing
Resource Costing
Entity C< 4
Variables for deaerco
Ñame
Inventory Aislé 1
Inventory Aislé 2
Inventory Aislé 3
Inventory Aislé 4
Inventory Aislé 5
Inventory Aislé 6
Inventory Aislé 7
Total Avg Time
Per
Change
s Change...
69.00
8.56
86.00
6.88
108.00
70.00
107.00
60.00
117.00
5.50
8.46
5.58
9.97
5.12
Mínimum
Valué
Máximum
Valué
Current
Valué
Avg
Valué
2891.00
2678.00
2384.00
2883.00
2457.00
2974.00
2307.00
3600.00
3600.00
3600.00
3600.00
3600.00
3600.00
3600.00
2891.00
2678.00
2384.00
2883.00
2457.00
2992.00
2307.00
3261.05
3138.78
2984.03
3234.83
3019.44
3254.74
2930.76 v |
•
Ñ am e. Nom bre d e la variable.
•
T o ta l C h a n g e s. Total d e cam bios de valor d e la variable.
•
A v e ra g e tim e P e r C h a n g e . El tie m p o prom edio entre cam b io s d e va lo r d e la
variable.
•
M ín im u m V alué. V alor m ínim o de la variab le en el transcurso de la sim ulación.
•
•
M á x im u m V alué. Valor m áxim o de la variab le en el transcurso de la sim ulación.
C u rre n t V alué. V alor d e la variab le al fin alizar la sim ulación.
•
A v g V a lu é. Valor prom edio de la variab le a través del tiem po.
31 9
Anexo 3
Reportes estad ístico s
en ProM odel
| ~| Anexo 3 Reportes estadísticos e n ProM odel
En ProM odel los reportes en form ato View er 4 .0 contienen los resultados num éricos de la
sim ulación, los cuales se presentaron en tablas con los siguientes form atos.
El reporte contiene la inform ación separada en las siguientes hojas:
G eneral
01/11/2011 04:53:06 p.m.
Avg. Warmup Duration (Hr)
0
Avg. Simulation Duration (Hr) 1000
En esta sección se encuentran los datos generales del m odelo, com o nom bre, fecha
d e ejecución, tiem p o d e calentam iento y tiem p o d e sim ulación.
Entity A ctivity
n x
Total
Exits
diente
10,789.33
1.67
j Contador
60,001.00
0.00
Average Time
In System
(Min)
Average Time
In Move Logic
(Min)
Average
Time Waiting
(Min)
Average Time
In Operation
(Min)
Average
Time Blocked
(Min)
15.95
0.00
0.00
15.20
0.75
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
•
Ñ a m e . N om bre de la entidad.
•
•
T o ta lE x its . Núm ero d e entid ades que abandonaron el sistem a.
C u rre n t Q u a n tity In S y ste m . Núm ero d e entidades que perm anecen en el sistem a
al fin alizar la sim ulación.
•
A v g T im e In S y ste m . Tiem p o prom edio que las entidades perm anecieron en el
sistem a sim ulado.
A v g T im e In M o v e L o g ic . T ie m p o p ro m ed io que las en tid ad es p erm aneciero n
viajando entre las localizaciones.
•
•
•
•
322
Current
Quantity
In System
Ñame
A v g T im e W aitin g . Tiem po prom edio que las entidades perm anecieron esperan­
do por un recurso o por otra entidad.
A v g T im e In O p e ra tio n . Tiem p o prom edio que las entidades perm anecieron en
operación o en una banda transportadora.
A v g Tim e B lo ck e d . Tiem po prom edio que las entidades perm anecieron esperando
por una localización desocupada.
A nexo 3 R eportes estadísticos en P roM odel f~1
E n t i t i e s C o s t in g
Scenario
Ñame
Explicit Exits
Total Cost
% Total Cost
Baseline
Bearing
0.00
0.00
0.00
Baseline
Blank
0.00
0.00
0.00
Baseline
Cog
391.00
6,433.84
72.06
Baseline
Pallet
93.00
0.00
0.00
Baseline
Reject
167.00
2,494.48
27.94
•
•
•
Ñ a m e . N om bre de la entidad.
E x p lic it E x it s . Núm ero de entidades que abandonaron el sistema.
T o ta l C o st. Costo total de las entidades.
•
% T o ta l C o st. Porcentaje del co sto de las entidades correspondiente a la entidad
activa.
Entity States By Percentage
E n t it y S t a t e s (A v g . R e p s )
Ñame
% In Move
Logic
%
Waiting
Cliente
0.00
0.00
95.31
4.69
Contador
0.00
0.00
0.00
0.00
n x
%
Blocked
% In
Operation
._
•
Ñ a m e . N om bre de la entidad.
•
% In M o v e L o g ic . Porcentaje del tiem p o que las entidades perm anecieron viajan­
do entre localizaciones.
% W aiting. Porcentaje d e l tiem p o que las entidades perm anecieron esperando
•
•
•
por un recurso o por otra entidad.
% In O p e ra tio n . Porcentaje del tiem po prom edio que las entidades perm anecie­
ron en operación o en una banda transportadora.
% B lo c k e d . Porcentaje del tiem p o prom edio que las entidades perm anecieron
esperando por una localización desocupada.
323
| ~| Anexo 3 Reportes estadísticos e n ProM odel
Failed A rrival
Failed Arrivals (Avg. Reps) □ x
Ñ am e
Location
C lie n te
R ía
T o ta l Failed
C o ntado r O ficin a
•
•
•
1 ,6 9 7 .6 7
0 .0 0
Ñ a m e . N om bre de la entidad.
L o c a tio n ñ a m e . Localización donde ocurre la llegada d e la entidad.
F a ile d A rriv a ls . Núm ero de entidades que no entraron a la localización por falta
de capacidad.
Locatio ns Costing
i
Location C o sts
Scenano
Ñame
Operation
Cost
Basdine
Aísle 1
0.00
Basdine
Aísle 2
Basdine
Resource
Cost
% Resource
Cost
0.00
142.80
4.13
142.80
4.13
0.00
0.00
167.02
4.84
167.02
4.84
Aísle 3
0.00
0.00
215.49
6.24
215.49
6.24
Baseline
Aísle 4
0.00
0.00
145.17
4.20
145.17
4.20
Basdine
Boxing Table One
0.00
0.00
382.38
11.07
382.38
11.07
Basdine
Boxing Table Three
0.00
0.00
391.88
11.34
391.88
11.34
Basdine
Boxing Table Two
0.00
0.00
383.14
11.09
383.14
11.09
Total
Cost
% Total
Cost
•
•
Ñ a m e . N om bre de la localización.
O p e ra tio n C o st. Costo del tiem p o d e operación.
•
% O p e ra tio n C o st. Porcentaje del costo de la localización sobre la sum a de los
costos de operación.
R e so u rce C o st. Costo por el uso de un recurso operando dentro d e la localización.
% R e so u rc e C o st. Porcentaje del co sto de recurso en la localización sobre la sum a
d e los costos del resto de los recursos.
•
•
•
•
324
%
Operatien
Cost
□ x
T o ta l C o st. Costo d e operación m ás costo del recurso.
% T o ta l C o st. Porcentaje del co sto total de la localización sobre la sum a de los
costos totales de las localizaciones.
A nexo 3 R eportes estadísticos en P roM odel f~1
Location S ta tes By Percentage (M últiple Capacity)
Scheduled
Tim e (H r)
%
Empty
% Part
Occupied
%
Full
%
Down
Scenario
Ñame
Baseline
Aislé 1
59.62
77.92
22.00
0.09
0.00
Baseline
Aislé 2
59.62
74.79
25.00
0.21
0.00
Baseline
Aísle 3
59.62
68.53
31.13
0.34
0.00
Baseline
Aislé 4
59.62
77.39
22.52
0.09
0.00
Baseline
Counting Location
59.62
89.85
10.15
0.00
0.00
Baseline
O rder Table
59.62
0.00
98.71
1.29
0.00
•
Ñ a m e . N om bre de la localización.
•
•
S c h e d u le d T im e . Porcentaje de tiem p o en operación.
% E m p ty . Porcentaje d e tiem p o que la localización estuvo vacía.
•
% P a rtia lly O ccu p ied . Porcentaje de tiem p o que la localización estuvo parcial­
m ente llena.
% F u ll. Porcentaje de tiem p o que la localización estuvo llena.
•
•
% D o w n . Porcentaje de tiem p o que la localización estuvo no disponible por paros
no program ados.
Location S ta tes By Percentage (Single Capacity/Tank)
Location S ta te s
Ñame
Scheduled Time (Hr)
% Operation
% Setup
% Idle
% Waiting
% Blocked
% Down
Ría
1,000.00
0.00
0.00
86.54
0.00
13.46
0.00
Oíidna
1,000.00
0.00
0.00
100.00
0.00
0.00
0.00
Servidor
4,000.00
68.35
0.00
31.65
0.00
0.00
0.00
Servidor. 1
1,000.00
80.92
0.00
19.08
0.00
0.00
0.00
Scrvidor.2
1,000.00
74.21
0.00
25.79
0.00
0.00
0.00
Servidor.3
1,000.00
65.08
0.00
34.92
0.00
0.00
0.00
Servidor.4
1,000.00
53.19
0.00
46.81
0.00
0.00
0.00
•
Ñ a m e . N om bre de la localización.
•
•
S c h e d u le d T im e . Tiem p o total program ado.
% O p e ra tio n . Porcentaje d e tiem p o que la localización estuvo en operación.
32 5
| ~| Anexo 3 Reportes estadísticos e n ProM odel
•
% S e tu p . Porcentaje de tiem p o que la localización estuvo en preparación.
•
% Id le . P o rcen taje d e tie m p o que la lo calizació n estu vo ociosa p o r fa lta de
en tid ad es.
•
% W aitin g . Porcentaje de tiem p o esperando por un recurso o por otra entidad
para agruparse, unirse, etc.
% B lo c k e d . Porcentaje de tiem po que las entidades perm anecieron bloqueadas
en la localización.
% D o w n . Porcentaje de tiem p o por paros no program ados.
•
•
L o c a tio n s
L o c a tio n S u m m a r y ( A v g . R e p s )
A v e ra g e T im e
P e r E ntry
C u rre n t
C o n te n ts
%
Utilization
1 .0 0
0 .0 0
1 3 .4 5
0 .0 0
1 .0 0
0 .0 0
0 .0 0
1 5 .2 0
0 .6 8
4 .0 0
1 .6 7
6 8 .3 5
3 ,1 9 7 .3 3
1 5 .1 8
0 .8 1
1 .0 0
0 .6 7
8 0 .9 2
1 .0 0
2 ,9 2 1 .0 0
1 5 .2 4
0 .7 4
1 .0 0
0 .6 7
7 4 .2 1
1 ,0 0 0 .0 0
1 .0 0
2 ,5 7 0 .6 7
1 5 .1 9
0 .6 5
1 .0 0
0 .3 3
6 5 .0 9
1 ,0 0 0 .0 0
1 .0 0
2 ,1 0 2 .0 0
1 5 .1 8
0 .5 3
1 .0 0
0 .0 0
5 3 .1 9
S c h e d u le d
T im e (H r)
C apacity
fila
1 ,0 0 0 .0 0
1 .0 0
1 0 ,7 9 1 . 0 0
0 .7 5
0 .1 3
Oficina
1 ,0 0 0 .0 0
1 .0 0
6 0 ,0 0 1 .0 0
0 .0 0
S ervidor
4 ,0 0 0 .0 0
4 .0 0
1 0 ,7 9 1 . 0 0
S e rv id o r. 1
1 ,0 0 0 .0 0
1 .0 0
S e rv id o r. 2
1 ,0 0 0 .0 0
S e rv id o r. 3
S e rv id o r.4
Ñ am e
T otal
E ntries
(M in)
A v erag e
C o n te n ts
M áxim um
C o n te n ts
□ x
• Ñam e. N om bre de la localización.
•
S c h e d u le d Time. Tiem p o total program ado d e la localización.
Capacity. Capacidad d e la localización.
TotalEntries. Total de entidades que entraron a la localización.
Avg Time Per Entry. Tiem p o prom edio d e perm anencia en la localización.
•
•
•
• Avg Contents. Núm ero prom edio de entidades en la localización.
•
•
•
M áxim um Contents. Núm ero m áxim o de entidades en la localización en el tran s­
curso de la sim ulación.
Current Contents. Número de entidades en la localización al final de la sim ulación.
% Utilization. Porcentaje d e utilización.
Lo g s
Lo as
Scenario
Ñame
Number Observations
Mínimum Valué
Máximum Valué
Average Valué
Baseline
Tiem po
391.00
276.53
6,260.60
3,286.73
□ x i
[
•
•
326
Ñ a m e . Identificador del registro.
N u m b e rs O b se rv a tio n s. Núm ero de entidades que ejecutaron la instrucción LOG
durante la sim ulación.
A nexo 3 R eportes estadísticos en P roM odel f~1
• Mínimum Valué. El m ín im o valo r d e tiem p o registrado por la instrucción LOG.
• M áxim um Valué. El m áxim o valo r d e tiem p o registrado por la instrucción LOG.
• Avg Valué. El va lo r prom edio d e tiem p o registrado por la instrucción LOG.
Node En tries
N o d c En t r i e s a x
Scenario
Ñame
Baseline
Total Entries
Blocked Entries
CellNet NI
558.00
0.00
Baseline
CelINet N2
582.00
0.00
Baseline
CdlNet N3
861.00
0.00
Baseline
CellNet N4
838.00
0.00
Baseline
CellNet N5
559.00
0.00
Baseline
CdlNet N6
1,418.00
0.00
Baseline
CdlNet N7
1,376.00
0.00
•
•
•
•
Node
Ñame. N om bre de la trayectoria.
N ode. Núm ero del nodo.
Total Entries. Total de entradas de un recurso a un nodo.
Blocked Entries. Número de veces que el nodo estuvo bloq ueado por otro recurso.
Resources Costing
NonUse
Cost
% NonUse
Cost
Usage
Cost
% Usage
Cost
Total
Cost
% Total
Cost
Scenario
Ñame
Units
Baseline
Boxer
3.00
743.28
46.03
687.62
15.82 1,430.91
24.00
Basdine
Boxer.l
1.00
219.08
13.57
257.89
5.93
476.97
8.00
Baseline
Boxer. 2
1.00
256.38
15.88
220.59
5.07
476.97
8.00
Basdine
Boxer. 3
1.00
267.82
16.59
209.15
4.81
476.97
8.00
Basdine
Checker
1.00
54.23
3.36
541.97
12.47
596.19
10.00
Basdine
Rller
5.00
4.04
0.25
2,976.57
68.48 2,980.61
50.00
Basdine
ReceMng
2.00
813.17
50.36
140.77
3.24
16.00
•
•
•
•
•
•
953.94
Ñam e. N om bre del recurso.
Units. Núm ero de recursos.
N onUse Cost. Costo atribuible al o cio del recurso.
% N onUse Cost. Porcentaje del costo d e ocio del recurso sobre la sum a de los
costos de ocio d e los recursos.
Usage Cost. Costo p o r usar el recurso.
% Usage Cost. Porcentaje del costo de utilización del recurso sobre la sum a de los
costos de utilización de los recursos.
32 7
| ~| Anexo 3 Reportes estadísticos e n ProM odel
• Total Cost. Costo de utilización m ás costo d e ocio.
• % Total Cost. Porcentaje del co sto total del recurso sobre la sum a d e los costos
totales de los recursos.
Resource States By Percentage
R e s o u rc e S t a t e s □ x
Scenario
Ñame
Baseline
CellOp
Scheduled
Tim e (H r)
100.00
% Travel
T o Use
% In
Use
73.62
% Travel
T o Park
4.39
0.00
%
Idle
%
Down
5.32
16.67
• Ñam e. Nom bre del recurso.
• Schedu led T im e .Total d e tie m p o que el recu rso fu e program ad o para estar d is ­
•
•
•
•
•
ponible.
% In Use. Porcentaje d e tiem p o que el recurso fu e utilizado.
% Travel To Use. Porcentaje de tiem p o que el recurso fue utilizado en m o vim ien ­
tos entre localizaciones.
% Travel To Park. Porcentaje de tiem p o que el recurso estuvo viajando a su nodo
base.
% Idle. Porcentaje d e ocio del recurso.
% D o w n . Porcentaje que e l recurso estuvo no disponible a causa de paros no
program ados.
Resources
Resource Surnmary_______________________________ o x
Num ber
Tim es
Used
Average
Tim e Per
Usage (M m )
Average
T m e T ra v d
T o Use (M in )
A verage Tim e
%
T ra v d T o
Blocked
P ark (M in )
| In Travel
%
UOüration
Scenario
N arre
Unrts
B aseine
B oxer
3.00
178.86
5,157.18
810.00
6.19
0.18
0.00
0.00
48.06
B asdine
Checker
1.00
59.62
3,251.91
813.00
3.85
0.15
0.00
0.00
90 .90
B asdn e
ñ lle r
5.00
298.11
17,862.11
965.00
18.40
0.11
0.00
0 .0 0
99.86
B aseine
Rececving
2.00
119.24
1,055.74
18.00
58.56
0.09
0.00
0 .0 0
14.76
B aseine
R ece M n g .l
1.00
59.62
496.37
7.00
70.74
0.17
0.00
0 .0 0
13.88
B aseine
R ecciving.2
1.00
59.62
559.37
11.00
50.80
0.0S
0.00
0.00
15.64
•
•
•
•
•
•
•
•
328
Scheduled
T m e (H r)
W crk
Tim e
(M in )
Ñam e. N om bre del recurso.
Units. Núm ero de recursos.
Scheduled Time. Tiem p o program ado para utilizar el recurso.
Work Time. Tiem p o d e trab ajo efectivo del recurso
N um ber o f Times Used. N úm ero d e ocasiones que se utilizó el recurso.
Avg Time Per Usage. Tiem p o prom edio de utilización del recurso.
Avg Time Travel To Use. Tiem p o prom edio por viaje del recurso.
Avg Time Travel To Park. Tiem p o prom edio para dirigirse al nodo base.
_____________________________________________________ A nexo 3 R eportes estadísticos en P roM odel \
• % B locked In Travel. Porcentaje d e tiem p o que el recurso estuvo bloqueado al
•
fin al del viaje.
% Utilization. Porcentaje d e utilización del recurso.
Variables
□
Average Time
P er Change
(M in )___________
Mínimum
Valué
4 0 4 .0 0
8 .8 4
0 .0 0
2,297.00
2,292.00
1,154.74
Inventory Aísle 1
4 0 9 .0 0
8 .7 4
-880.00
3,600.00
-880.00
1,387.03
Baseline
Inven to ry A ísle 2
481.00
7.43
-1,977.00
3,600.00
-1,977.00
815.22
Baseline
Inven to ry A ísle 3
623.00
5.73
-3,457.00
3,600.00
-3,457.00
134.24
Baseline
Inven to ry A ísle 4
4 1 7 .0 0
8 .5 6
-1,177.00
3,600.00
-1,177.00
1,247.98
Baseline
Order Rlled
1,114.00
3.21
0 .0 0
1,114.00
1,114.00
563.42
Total
Changes
Scenario
Ñame
Baseline
Average Tim e In System
Baseline
•
•
•
•
•
•
•
Máximum
Valué
Current
Valué
X
Average
Valué
Ñam e. N om bre de la variable.
Total Changes. Total d e cam bios de valor de la variable.
Average tíme Per Change. El tiem po promedio entre cambios de valor de la variable.
Mínimum Valué. V alor m ínim o de la variab le en el transcurso de la sim ulación.
M áxim um Valué. Valor m áxim o de la variab le en el transcurso de la sim ulació n.
Current Valué. V alor d e la variab le al fin alizar la sim ulación.
Average Valué. Valor prom edio de la variab le a través del tiempo.
Seo re boa rd
nx
A verage T im e In
S yste m (M in)
A vera g e Tim e
In Operation
(M in)
Average
Cost
Scenario
Ñame
Total Exits
Baseline
Bearing
3 9 2 .0 0
1 ,2 2 5 .6 0
0 .0 0
0 .0 0
Baseline
Blank
0 .0 0
0 .0 0
0 .0 0
0 .0 0
Baseline
Cog
3 9 1 .0 0
90.7 3
5 5 .7 0
16.45
Baseline
Pallet
9 3 .0 0
128.85
1.00
0 .0 0
Baseline
Reject
167.00
89.0 4
5 4 .1 4
14.94
l
• Ñame. N om bre de la entidad.
• Total Exits. Total de entidades procesadas.
• Average Tim e In System . Tiem p o de perm anencia prom edio d e las entid ades en
•
•
el sistem a.
Average Time In Operation. Tiem po promedio q ue las entidades estuvieron siendo
procesadas.
Average Cost. Costo prom edio por entidad.
32 9
Anexo 4
D istribuciones de probabilidad
[ | Anexo 4 D istribu cio n e s d e p ro b a b ilid a d ________________________________________________________
Probabilidades acum uladas para la distribución Normal Estánd ar
0
0.01
0.02
0.03
0 .0 4
0.05
0 .0 6
0.07
0 .0 8
0.09
0.00
0.5000
0.5040
0.5080
0.5120
0.5160
0.5199
0.5239
0.5279
0.5319
0 .5 3 5 9 1
0.00
0.10
0 .5 3 9 8
0.5438
0 .5 4 7 8
0.5517
0.5557
0.5 5 9 6
0.5636
0.5675
0.5714
0.5753
0.10
0.20
0.5793
0.5832
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332
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A Z C Z
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—Z2. Z2fi
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—
l.oU
-0 .9 0
0.8389
0.8365
0.8340
0.8315
0.8289
03264
0.8238
0.8212
0.8186
0.8159
- 0 .9 0
- 0 .8 0
0.8133
0.8106
0.8078
0.8051
0.8023
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0.7967
0.7939
0.7910
0.7881
- 6 .8 0
- 0 .7 0
0.7852
0.7823
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0.7764
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0 .7 5 8 0
-0 .7 0
-0 .6 0
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0.7517
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0.7454
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0.7389
0 .7 3 5 7
6 .7 3 2 4
0 .7 2 9 1
0.7257
- 0 .6 0
-0 .5 0
0 .7 2 2 4
0.7190
0.7157
0.7123
0.7088
0 .7 0 5 4
0.7019
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0.6950
0.6915
- 0 .5 0
- 0 .4 0
0.6879
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0 .6 8 0 8
0.S772
0.6735
0.6700
0.6664
0 .6 6 2 8
0.6591
0 .6 5 5 4
- 0 .4 0
■
-0 .3 0
0.6517
0.6480
0.6443
0.6406
0.6368
0.6331
0.6293
0.6255
0.6217
0.6179
- 0 .3 0
- 0 .2 0
6.6141
0.6103
0 .6 0 6 4
0.6026
0.5987
0 .5 9 4 8
03910
0.5871
0.5832
0 .5 7 9 3
- 0 .2 0
-0 .1 0
0.5753
05714
0.5675
0.5636
0 .5 5 9 6
0.5557
03517
0 .5 4 7 8
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0 .5 3 9 8
- 0 .1 0
0.00
0.5359
0.5319
0.5279
0.5239
0.5199
03160
03120
03080
03040
03000
0.00
Fuente: Valores calculados con Excel.
333
[ | Anexo 4 D istribu cio n e s d e p ro b a b ilid a d ______________________________________
Valores críticos para la distribución t-student
v g ra d o s d e
libertad
*Q,0
*005
*0025
*001
*0005
*000,
1
Í0 7 8
6.3 1 4
12.706
31.821
63.657
318.309
2
1.886
2.920
4.303
6.965
9.925
22.327
3
1.638
2.353
3.182
4.541
5.841
10.215
4
1333
2.132
2.776
3.747
4.6 0 4
7.173
5
1.476
2.015
2.571
3.365
4.032
5.893
6
1.440
1.943
2.447
3.143
3.707
5.208
7
1.415
1.895
2.365
2.998
3.499
4.7 8 5
8
1.397
1.860
2.306
2.896
3.355
4501
9
1.383
1.833
2.262
2.821
3.250
4.2 9 7
10
1.372
1.812
2.228
2.764
3.169
4 .1 4 4
11
1.363
1.796
2.201
2.7 1 8
3.106
4.0 2 5
12
1.356
1.782
2.179
2.681
3.055
3.930
13
1.350
1.771
2.160
2.650
3.012
3.852
14
1.345
1.761
2.145
2.624
2.977
3.787
15
1.341
1.753
2.131
2.602
2.947
3.733
16
1.337
1.746
2.120
2.583
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3.6 8 6
17
1.333
1.740
2.110
2.567
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3.6 4 6
18
1.330
1.734
2.101
2 .5 5 2
2.878
3.610
19
1.328
1.729
2.093
2.539
2.861
3.579
20
1.325
1.725
2.086
2.528
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21
1.323
1.721
2.080
2518
2.831
3.527
22
1.321
1.717
2.074
2.508
2.819
3.505
23
1.319
1.714
2.069
2.500
2.807
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24
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1.711
2.064
2.492
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3.467
25
1.316
1.708
2.060
2.485
2.787
3.450
26
1.315
1.706
2.056
2.479
2.779
3.435
27
1.314
1.703
2.052
2.473
2.771
3.421
28
1.313
1.701
2.048
2.467
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3.408
29
1.311
1.699
2.045
2.462
2.756
3.396
30
1.310
1.697
2.042
2.457
2.750
3.385
40
1.303
1.684
2.021
2.423
2.704
3.307
50
1.299
1.676
2.009
2.403
2.678
3.261
60
1.296
1.671
2.000
2.390
2.660
3.232
70
1.294
1.667
1.994
2.381
2.648
3.211
80
1.292
1.664
1.990
2.374
2.639
3.195
90
1.291
1.662
1.987
2.368
2.632
3.183
100
1.290
1.660
1.984
2.364
2.626
3.1 7 4
oo
1.282
1.645
1.960
2.326
2.576
3.090
Fuente: Valores calculados con Excel.
334
A nexo 4 D istrib u cio n e s d e p ro b a b ilid a d | 1
Valores críticos para la distribución \ 2
v g rad o s de
libertad
X Q10
X2 qos
A^ooas
X Q01
X aoos
A^aooi
1
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
2
4.605
5.991
7.378
9.210
10.597
13.816
3
6.251
7.815
9.348
11.345
12.838
16.266
4
7.779
9.4 8 8
11.143
13.277
14.860
18.467
5
9.236
11.070
12.833
15.086
16.750
20.515
6
10.645
12.592
14.449
16.812
18.548
22.458
7
12.017
14.067
16.013
18.475
20.278
24.322
8
13.362
15.507
17.535
20.090
21.955
2 6 .1 2 4
9
14.684
16.919
19.023
21.666
23.589
27.877
10
15.987
18.307
20.483
23.209
25.188
2 9 .5 8 8
11
17.275
19.675
21.920
24.725
26.757
3 1 .2 6 4
12
18.549
21.026
23.337
26.217
28.300
32.909
13
19.812
22.362
24.736
27.688
29.819
3 4 .5 2 8
14
21.064
23.685
26.119
29.141
31.319
36.123
15
22.307
24.996
27.488
30.578
32.801
37.697
16
23.542
26.296
28.845
32.000
34.267
39.252
17
24.769
27.587
30.191
33.409
35.718
4 0 .7 9 0
18
25.989
28.869
31.526
34.805
37.156
4 2 .3 1 2
19
27.204
30.144
32.852
36.191
38.582
4 3 .8 2 0
20
28.412
31.410
34.170
37.566
39.997
4 5 .3 1 5
21
29.615
32.671
35.479
38.932
41.401
4 6 .7 9 7
22
30.813
33.924
36.781
40.289
42.796
4 8 .2 6 8
23
32.007
35.172
38.076
41.638
44.181
4 9 .7 2 8
24
33.196
36.415
39.364
42.980
45.559
51.179
25
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4 0 .6 4 6
4 4 .3 1 4
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26
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38.885
41.923
45.642
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54.052
27
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46.963
49.645
55.476
28
37.916
41.337
44.461
4 8 .2 7 8
50.993
56.892
29
39.087
42.557
45.722
4 9 .5 8 8
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58.301
30
40.256
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46.979
50.892
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59.703
40
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55.758
59.342
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50
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60
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104.215
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80
96.578
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112329
116.321
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90
107.565
113.145
118.136
124.116
128.299
137.208
100
118.498
124.342
129.561
135.807
140.169
149.449
Para v > 100 usar %2va = 0.5[ Z a + \ j2 v - ‘\)
fuente: Valores calculados con Excel.
33 5
[ | Anexo 4 D istribu cio n e s d e p ro b a b ilid a d __________________________________________________
Valores críticos para la distribución \ 2 (continuación)
v g ra d o s d e
li b e r t a d
Af?Q90
* 2Q9S
X } Q9JS
A Q99
* * 0.995
A a999
1
0 .0 1 6
0 .0 0 4
0 .0 0 1
0 .0 0 0
0 .0 0 0
0 .0 0 0
2
0 .2 1 1
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0 .0 1 0
0 .0 0 2
3
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0 .2 1 6
0 .1 1 5
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0 .0 2 4
4
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0 .4 8 4
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0 .0 9 1
5
1 .6 1 0
1 .1 4 5
0 .8 3 1
0 .5 5 4
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0 .2 1 0
6
2 .2 0 4
1 .6 3 5
1 .2 3 7
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0 .3 8 1
7
2 .8 3 3
2 .1 6 7
1 .6 9 0
1 .2 3 9
0 .9 8 9
0 .5 9 8
8
3 .4 9 0
2 .7 3 3
Z180
1 .6 4 6
1 .3 4 4
0 .8 5 7
9
4 .1 6 8
3 .3 2 5
2 .7 0 0
2 .0 8 8
1 .7 3 5
1 .1 5 2
10
4 .8 6 5
3 .9 4 0
3 .2 4 7
2 .5 5 8
2 .1 5 6
1 .4 7 9
11
5 .5 7 8
4 .5 7 5
3 .8 1 6
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2 .6 0 3
1 .8 3 4
12
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2 .2 1 4
13
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5 .0 0 9
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14
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4 .0 7 5
3 .0 4 1
15
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7 .2 6 1
6 .2 6 2
5 .2 2 9
4 .6 0 1
3 .4 8 3
16
9 .3 1 2
7 .9 6 2
6 .9 0 8
5 .8 1 2
5 .1 4 2
3 .9 4 2
17
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8 .6 7 2
7 .5 6 4
6 .4 0 8
5 .6 9 7
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18
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9 .3 9 0
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4 .9 0 5
19
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1 0 .1 1 7
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7 .6 3 3
6 .8 4 4
5 .4 0 7
20
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21
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1 1 .5 9 1
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8 .0 3 4
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22
1 4 .0 4 1
1Z338
1 0 .9 8 2
9 .5 4 2
8 .6 4 3
6 .9 8 3
23
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1 3 .0 9 1
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9 .2 6 0
7329
24
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25
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26
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27
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28
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29
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30
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1 6 .7 9 1
1 4 .9 5 3
1 3 .7 8 7
1 1 .5 8 8
— — — —— — — —
■ ■
-
■
—■
40
2 9 .0 5 1
2 6 .5 0 9
2 4 .4 3 3
2 2 .1 6 4
2 0 .7 0 7
1 7 .9 1 6
50
3 7 .6 8 9
3 4 .7 6 4
3Z357
2 9 .7 0 7
2 7 .9 9 1
2 4 .6 7 4
60
4 6 .4 5 9
4 3 .1 8 8
4 0 .4 8 2
3 7 .4 8 5
3 5 .5 3 4
3 1 .7 3 8
70
5 5 .3 2 9
5 1 .7 3 9
4 8 .7 5 8
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4 3 .2 7 5
3 9 .0 3 6
80
6 4 .2 7 8
6 0 .3 9 1
5 7 .1 5 3
5 3 .5 4 0
5 1 .1 7 2
4 6 .5 2 0
90
7 3 .2 9 1
6 9 .1 2 6
6 5 .6 4 7
6 1 .7 5 4
5 9 .1 9 6
5 4 .1 5 5
100
8 2 .3 5 8
7 7 .9 2 9
7 4 .2 2 2
7 0 .0 6 5
6 7 .3 2 8
6 1 .9 1 8
Para v > 100 usar
|
va = 0 .5 ( Z a + \/2u-11
F u e n te : V a lo re s c a lc u la d o s c o n E x c e l.
336
- -----
A nexo 4 D istrib u cio n e s d e p ro b a b ilid a d | 1
Valores críticos de la distribución F con a = 0.05
----------
k.
o
c
<u
E
3
C
■ai
2
ro
Q.
Grados de libertad para el denominador
4
5
6
8
9
10
15
20
30
50
100
18.51 10.13
7.71
6.61
5.99
5.32
5.12
4.96
4.54
4.35
4.17
4.03
3.94
199.50
19.00
9.55
6.94
5.79
5.14
4.46
4.26
4.10
3.68
3.49
3.32
3.18
3.09
3
215.71
19.16
9.28
6.59
5.41
4.76
4.07
3.86
3.71
329
3.10
2.92
2.79
2.70
4
224.58
19.25
9.12
6.39
5.19
453
3.84
3.63
3.48
3.06
2.87
2.69
2.56
2.46
5
230.16
19.30
9.01
6.26
5.05
4.39
3.69
3.48
3.33
2.90
2.71
2.53
2.40
2.31
6
233.99
19.33
8.94
6.16
4.95
428
3.58
3.37
3.22
2.79
2.60
2.42
229
2.19
8
238.88
19.37
8.85
6.04
4.82
4.15
3.44
3.23
3.07
2.64
2.45
2.27
2.13
2.03
X
1
1
161.45
2
2
3
9
240.54
19.38
8.81
6.00
4.77
4.10
3.39
3.18
3.02
2.59
2.39
2.21
2.07
1.97
a
-Q
10
241.88
19.40
8.79
5.96
4.74
4.06
3.35
3.14
2.98
254
2.35
2.16
2.03
1.93
Ü
15
245.95
19.43
8.70
5.86
4.62
3.94
322
3.01
2.85
2.40
220
2.01
1.87
1.77
20
245.95
19.45
8.66
5.80
4.56
3.87
3.15
2.94
2.77
2.33
2.12
1.93
1.78
1.68
30
250.10
19.46
8.62
5.75
4.50
3.81
3.08
2.86
2.70
2.25
2.04
1.84
1.69
1.57
50
251.77
19.48
8.58
5.70
4.44
3.75
3.02
2.80
2.64
2.18
1.97
1.76
1.60
1.48
100
253.04
19.49
855
5.66
4.41
3.71
2.97
2.76
259
2.12
1.91
1.70
1.52
1.39
1
8
o
fu e n t e : V a lo re s c a lc u la d o s c o n E xce l.
Valores críticos de la distribución F con a = 0 .1
Grados de libertad para el denominador
k_
-§
m
ki
(V
L.
3
C
"á¡
X
1
2
3
4
5
6
8
9
10
15
20
30
50
100
1
39.86
8.53
5.54
4.54
4.06
3.78
3.46
3.36
3.29
3.07
2.97
2.88
2.81
2.76
2
4950
9.00
5.46
4.32
3.78
3.46
3.11
3.01
2.92
2.70
259
2.49
2.41
2.36
3
53.59
9.16
5.39
4.19
3.62
3.29
2.92
2.81
2.73
2.49
2.38
2.28
2.20
2.14
4
55.83
9.24
5.34
4.11
3.52
3.18
2.81
2.69
2.61
2.36
2.25
2.14
2.06
2.00
5
5724
929
5.31
4.05
3.45
3.11
2.73
2.61
2.52
227
2.16
2.05
1.97
1.91
6
5820
9.33
528
4.01
3.40
3.05
2.67
2.55
2.46
22}
2.09
1.98
1.90
1.83
8
59.44
9.37
5.25
3.95
3.34
2.98
2.59
2.47
2.38
2.12
2.00
1.88
1.80
1.73
9
59.86
9.38
5.24
3.94
3.32
2.96
2.56
2.44
2.35
2.09
1.96
1.85
1.76
1.69
10
60.19
9.39
523
3.92
3.30
2.94
2.54
2.42
2.32
2.06
1.94
1.82
1.73
1.66
15
6122
9.42
520
3.87
324
2.87
2.46
2.34
2.24
1.97
1.84
1.72
1.63
156
20
61.74
9.44
5.18
3.84
321
2.84
2.42
2.30
2.20
1.92
1.79
1.67
157
1.49
30
6226
9.46
5.17
3.82
3.17
2.80
2.38
2.25
2.16
1.87
1.74
1.61
150
1.42
50
62.69
9.47
5.15
3.80
3.15
2.77
2.35
222
2.12
1.83
1.69
1.55
1.44
1.35
100
63.01
9.48
5.14
3.78
3.13
2.75
2.32
2.19
2.09
1.79
1.65
1.51
1.39
1.29
w.
OJ
Q-
TS
tk
*_
0)
-Q
OJ
"O
1
2
Fuente: Valores calculados con Excel.
33 7
[ | Anexo 4 D istribu cio n e s d e p ro b a b ilid a d __________________________________________________
Valores críticos de la prueba de Kolm ogorov-Sm irnov
V grados
de libertad
n
^« =0.05
^<* =0.01
1
0.950
0.975
0.995
2
0.776
0.842
0.929
3
0.642
0.708
0.828
4
0.564
0.624
0.733
5
0.510
0.565
0.669
6
0.470
0521
0.618
0.438
0.486
0.577
8
0.411
0.457
0.543
9
0.388
0.432
0514
10
0.368
0.410
0.490
11
0.352
0.391
0.468
12
0.338
0.375
0.450
13
0.325
0.361
0.433
14
0.314
0.349
0.418
15
0.304
0.338
0.404
16
0.295
0.328
0.392
17
0.286
0.318
0.381
18
0.278
0.309
0.371
19
0.272
0.301
0.363
20
0.264
0.294
0.356
25
0250
0.270
0.320
30
0.220
0240
0290
35
0210
0.230
0270
40
0.193
0215
0258
45
0.182
0.203
0.243
Para valores
mayores a 35
122
n/ti
1.36
1.6 3
Vñ
7
----------------------------
Fuente. M a sse y, F. J. (1 9 5 1 ). “T h e K o lm o g o ro v -S m irn o v T e s t f o r G o o d n e s s o f F it" T h e Jo u rn a l o f th e A m e r ic a n S tatistical
A s s o c ia tio n (n ú m e ro 4 6 ) , p p 70.
338
A nexo 4 D istrib u cio n e s d e p ro b a b ilid a d
Estadísticos de prueba y valores críticos para la prueba
de Anderson-Darling.
Valores críticos
a
Distribución
Estadístico de prueba ajustado
0.1
.05
.025
.001
Parámetros conocidos n > 5
<
1.933
2.492
3.070
3.857
Normal
0.632
0.751
0.870
1.029
Exponencial
1.070
1.326
1.587
1.943
Weibull
0.637
0.757
0.877
1.038
Log-logística
0.563
0.660
0.769
0.906
4 ^ )
Fuente: Law, A.M. y Kelton, W.D. (2000), "Simulation Modeling and Analysis", (3th. ed). pp. 368, McGraw Hill.
33 9
| ~| Anexo 4 D istribu cio n e s d e p ro b a b ilid a d
Valores de la función Gamm a
X
T(x)
X
T(x)
T(x)
T(x)
1.00
1.0000000
1.25
0.9064025
1.50
0.8862269
1.75
0.9190625
1.01
0.9943259
1.26
0.9043971
1.51
0.8865917
1.76
0.9213749
1.02
0.9888442
1.27
0.9025031
1.52
0.8870388
1.77
0.9237631
1.03
0.9835500
1.28
0.9007185
153
0.8875676
1.78
0.9262273
1.04
0.9784382
1.29
0.8990416
1.54
0.8881777
1.79
0.9287675
1.05
0.9735043
1.30
0.8974707
1.55
0.8888683
1.80
0.9313838
1.06
0.9687436
1.31
0.8960042
1.56
0.8896392
1.81
0.9340763
1.07
0.9641520
132
0.8946405
157
0.8904897
1.82
0.9368451
1.08
0.9597253
1.33
0.8933781
1.58
0.8914196
1.83
0.9396904
1.09
0.9554595
1.34
0.8922155
1.59
0.8924282
1.84
0.9426124
1.10
0.9513508
1.35
0.8911514
1.60
0.8935153
1.85
0.9456112
1.11
0.9473955
1.36
0.8901845
1.61
0.8946806
1.86
0.9486870
1.12
0.9435902
1.37
0.8893135
1.62
0.8959237
1.87
0.9518402
1.13
0.9399314
1.38
0.8885371
1.63
0.8972442
1.88
0.9550709
1.14
0.9364161
1.39
0.8878543
1.64
0.8986420
1.89
0.9583793
1.15
0.9330409
1.40
0.8872638
1.65
0.9001168
1.90
0.9617658
1.16
0.9298031
1.41
0.8867647
1.66
0.9016684
1.91
0.9652307
1.17
0.9266996
1.42
0.8863558
1.67
0.9032965
1.92
0.9687743
1.18
0.9237278
1.43
0.8860362
1.68
0.9050010
1.93
0.9723969
1.19
0.9208850
1.44
0.8858051
1.69
0.9067818
1.94
0.9760989
1.20
0.9181687
1.45
0.8856614
1.70
0.9086387
1.95
0.9798807
1.21
0.9155765
1.46
0.8856043
1.71
0.9105717
1.96
0.9837425
1.22
0.9131059
1.47
0.8856331
1.72
0.9125806
1.97
0.9876850
1.23
0.9107549
1.48
0.8857470
1.73
0.9146654
1.98
0.9917084
1.24
0.9085211
1.49
0.8859451
1.74
0.9168260
1.99
0.9958133
2.00
1.0000000
Valores calculados a p artir de la ecuación de aproxim ación de Lanczos
Para valores d e x no tabulados, usar la relación T (x + 1) = x T(x)
Para valores n aturales d e x , usar T(x) = ( x - 1)!
Fuente. A P re c is ió n A p ro x im a tio n o f th e G a m m a F u n c tio n ; J SIAM N u m e r. A n al. Ser. B v V o l l ; p p 6 8 - 9 6 ; (1 9 6 4 ).
340
A nexo 4 D istrib u cio n e s d e p ro b a b ilid a d | 1
Probabilidades acum uladas de la distribución Poisson
X
0
1
2
0.01
0.9900
1.0000
0.05
0.9512
0.9988
1.0000
3
0.1
0.9048
0.9953
0.9998
1.0000
4
5
0.2
0.8187
0.9825
0.9989
0.9999
0.3
0.7408
0.9631
0.9964
0.9997
1.0000
1.0000
Media
0.4
0.6703
0.9384
0.9921
0.9992
05
0.6065
0.9098
0.9856
0.9982
0.6
05488
0.8781
0.9769
0.9966
0.7
0.4966
0.8442
0.9659
0.9942
0.8
0.4493
0.8088
0.9526
0.9909
0.9
0.4066
0.7725
0.9371
0.9865
0.9999
1.0000
0.9998
1.0000
0.9996
1.0000
0.9992
0.9999
1.0000
0.9986
0.9998
1.0000
0.9977
0.9997
1.0000
Media
15
0.2231
0.5578
0.8088
0.9344
0.9814
0.9955
0.9991
1.000
1.6
0.2019
05249
0.7834
0.9212
0.9763
0.9940
0.9987
1.000
0.1827
0.4932
0.7572
0.9068
0.9704
0.9920
0.9981
1.000
1.8
0.1653
0.4628
0.7306
0.8913
0.9636
0.9896
0.9974
0.999
1.000
1.9
0.1496
0.4337
0.7037
0.8747
0.9559
0.9868
0.9966
0.999
1.000
2
0.1353
0.4060
0.6767
0.8571
0.9473
0.9834
0.9955
0.999
1.000
6
0.0025
0.0174
0.0620
0.1512
0.2851
0.4457
0.6063
0.744
0.847
0.916
0.957
0.980
0.991
0.996
0.999
0.999
1.000
6.5
0.0015
0.0113
0.0430
0.1118
0.2237
0.3690
0.5265
0.673
0.792
0.877
0.933
0.966
0.984
0.993
0.997
0.999
1000
7
0.0009
0.0073
0.0296
0.0818
0.1730
0.3007
0.4497
0.599
0.729
0.830
0.901
0.947
0.973
0.987
0.994
0.998
0.999
1.000
75
0.0006
0.0047
0.0203
0.0591
0.1321
0.2414
0.3782
0.525
0.662
0.776
0.862
0.921
0.957
0.978
0.990
0.995
0.998
0.999
1.000
6
X
0
1
2
3
4
5
6
7
8
X
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
1
0.3679
0.7358
0.9197
0.9810
0.9963
0.9994
0.9999
1.000
2.5
0.0821
0.2873
0.5438
0.7576
0.8912
0.9580
0.9858
0.996
0.999
1.000
1.1
0.3329
0.6990
0.9004
0.9743
0.9946
0.9990
0.9999
1.000
3
0.0498
0.1991
0.4234
0.6472
0.8153
0.9161
0.9665
0.988
0.996
0.999
1.000
1.2
0.3012
0.6626
0.8795
0.9662
0.9923
0.9985
0.9997
1.000
35
0.0302
0.1359
0.3208
0.5366
0.7254
0.8576
0.9347
0.973
0.990
0.997
0.999
1.000
1.3
0.2725
0.6268
0.8571
0.9569
0.9893
0.9978
0.9996
1.000
4
0.0183
0.0916
0.2381
0.4335
0.6288
0.7851
0.8893
0.949
0.979
0.992
0.997
0.999
1.000
1.4
0.2466
05918
0.8335
0.9463
0.9857
0.9968
0.9994
1.000
4.5
0.0111
0.0611
0.1736
0.3423
0.5321
0.7029
0.8311
0.913
0.960
0.983
0.993
0.998
0.999
1.000
Media
5
0.0067
0.0404
0.1247
02650
0.4405
0.6160
0.7622
0.867
0.932
0.968
0.986
0.995
0.998
0.999
1.000
5.5
0.0041
0.0266
0.0884
0.2017
0.3575
0.5289
0.6860
0.809
0.894
0.946
0.975
0.989
0.996
0.998
0.999
1.000
Fuente. Valores calculados con Excel.
341
| ~| Anexo 4 D istribu cio n e s d e p ro b a b ilid a d
Probabilidades acum uladas de la distribución Poisson (continuación)
8
0 0.0003
1 0.0030
2 0.0138
3 0.0424
4 0.0996
5 0.1912
6 0.3134
7
0.453
8 05925
9 0.7166
10 0.8159
11 0.8881
12 0.9362
13 0.9658
14 0.9827
15 0.9918
16 0.9963
17 0.9984
18 0.9993
19 0.9997
20 0.9999
21 1.0000
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
X
9
0.0001
0.0012
0.0062
0.0212
0.0550
0.1157
0.2068
0.324
0.4557
0.5874
0.7060
0.8030
0.8758
0.9261
0.9585
0.9780
0.9889
0.9947
0.9976
0.9989
0.9996
0.9998
0.9999
1.0000
10
0.0000
0.0005
0.0028
0.0103
0.0293
0.0671
0.1301
0.220
0.3328
0.4579
0.5830
0.6968
0.7916
0.8645
0.9165
0.9513
0.9730
0.9857
0.9928
0.9965
0.9984
0.9993
0.9997
0.9999
1.0000
Fuente. Valores calculados con Excel.
342
11
0.0000
0.0002
0.0012
0.0049
0.0151
0.0375
0.0786
0.143
0.2320
0.3405
0.4599
05793
0.6887
0.7813
0.8540
0.9074
0.9441
0.9678
0.9823
0.9907
0.9953
0.9977
0.9990
0.9995
0.9998
0.9999
1.0000
12
0.0000
0.0001
0.0005
0.0023
0.0076
0.0203
0.0458
0.090
0.1550
0.2424
0.3472
0.4616
0.5760
0.6815
0.7720
0.8444
0.8987
0.9370
0.9626
0.9787
0.9884
0.9939
0.9970
0.9985
0.9993
0.9997
0.9999
0.9999
1.0000
Media
13
0.0000
0.0002
0.0011
0.0037
0.0107
0.0259
0.054
0.0998
0.1658
0.2517
0.3532
0.4631
0.5730
0.6751
0.7636
0.8355
0.8905
0.9302
0.9573
0.9750
0.9859
0.9924
0.9960
0.9980
0.9990
0.9995
0.9998
0.9999
1.0000
14
0.0000
0.0001
0.0005
0.0018
0.0055
0.0142
0.032
0.0621
0.1094
0.1757
0.2600
0.3585
0.4644
0.5704
0.6694
0.7559
0.8272
0.8826
0.9235
0.9521
0.9712
0.9833
0.9907
0.9950
0.9974
0.9987
0.9994
0.9997
0.9999
0.9999
1.0000
15
16
0.0000
0.0002
0.0009
0.0028
0.0076
0.018
0.0374
0.0699
0.1185
0.1848
0.2676
0.3632
0.4657
0.5681
0.6641
0.7489
0.8195
0.8752
0.9170
0.9469
0.9673
0.9805
0.9888
0.9938
0.9967
0.9983
0.9991
0.9996
0.9998
0.9999
1.0000
0.0000
0.0001
0.0004
0.0014
0.0040
0.010
0.0220
0.0433
0.0774
0.1270
0.1931
0.2745
0.3675
0.4667
0.5660
0.6593
0.7423
0.8122
0.8682
0.9108
0.9418
0.9633
0.9777
0.9869
0.9925
0.9959
0.9978
0.9989
0.9994
0.9997
0.9999
0.9999
1.0000
18
0.0000
0.0001
0.0003
0.0010
0.003
0.0071
0.0154
0.0304
0.0549
0.0917
0.1426
0.2081
02867
0.3751
0.4686
0.5622
0.6509
0.7307
0.7991
0.8551
0.8989
0.9317
0.9554
0.9718
0.9827
0.9897
0.9941
0.9967
0.9982
0.9990
0.9995
0.9998
0.9999
0.9999
1.0000
20
0.0000
0.0001
0.0003
0.001
0.0021
0.0050
0.0108
0.0214
0.0390
0.0661
0.1049
0.1565
02211
02970
0.3814
0.4703
0.5591
0.6437
0.7206
0.7875
0.8432
0.8878
0.9221
0.9475
0.9657
0.9782
0.9865
0.9919
0.9953
0.9973
0.9985
0.9992
0.9996
0.9998
0.9999
0.9999
1.0000
í ndice
A
Algoritm o
co ngruencial aditivo, 30
D
D istribución de conjunto d e datos, determ ina
ción, 62
co ngruencial m ultiplicativo, 29
d e cuadrados m edios, 24
d e m ultiplicad or constante, 26
d e productos m edios, 25
lineal, 27
Algoritm os congruenciales no lineales, 31
D istribuciones de probabilidad (Anexo 1),
296-309,331
de Erlang, 296
de W eibull, 304
distribuciones continuas, 296
exponencial, 297
cuadrático, 31
d e Blum , Blum y Shub, 32
A nálisis d e sensibilidad, 15
Arribos cíclicos, 186
Atributo, 6
C
Corrida, tam a ñ o insu ficiente d e la, 10
gam m a, 298
log.logística, 229
lognorm al, 300
normal, 301
triangular, 302
uniform e, 303
D istribuciones de probabilidad (Anexo 4),
331-342
| ~| índice
estadísticos d e prueba y valores críticos
para la prueba de Anderson-Darling,
339
probabilidades acum uladas para la d istrib u­
ción N orm al Estándar, 333
valores críticos de la prueba d e KolmorovSm irnov, 338
valores d e la función gam m a, 340
D istribucio nes discretas, 305
binom ial, 306
de Bernoulli, 305
I
Instrucciones d e control, 252
Instrucciones d e ProM odel, 201-294
funcio nes probabilísticas, biblioteca, 202
L
Localizaciones, 6
M
M étodo de la transform ada inversa, 78
M odelo d e un proceso d e ensam ble e
E
Ensam bles, acum ulación y agrupam iento de
inspección, 126
estado d e la barra, 1 27
gráfica d e estabilización, 128
longitud d e la barra 1 ,1 2 7
M odelo d e un sistem a d e inventarios, 130
dem anda, 131
piezas, 225
Entidad, 4 , 7
Erlang, distribución de, 129
Estado,
estable, 8, 9
transitorio, 8
entrega d e m aterial, 131
inventario al fin al del día, 132
registros históricos, 147
resid uo o m ódu lo (MO), 131
M odelo(s) d e sim ulación, 2 ,1 2 1
continuos, 2
de Poisson, 308
geom étrica, 307
uniform e discreta, 309
Evento(s), 4 , 8
actuales, 4
futuros, 4
F
Función de densidad de probabilidad, 61
G
Generación de variables aleatorias,
distribución binom ial, 88
distribución de Bernoulli, 82
distribución de Erlang, 86
distribución exponencial, 81
distribución norm al, 87
distribución triangular, 89
distribución uniform e, 80
m étodo de com posición, 89
m étodo de convolución, 86
m étodo de la transform ada inversa,
78
m étodo de transform ación directa,
92
344
de una línea d e espera con un servidor,
122
determ m ísticos, 3
dinám icos, 3
discretos, 3
estáticos, 3
generación del, 12
probabilísticos (estocásticos) 3
validación del, 13
verificación del, 13
verificación y validación del, 114
M odelado de un sistem a, 175
definición d e entidades, 179
definición d e localizaciones, 176
definición d e llegadas, 179
esquem atización inicial del m odelo, 175
uso de la instrucción DISPLAY, 181
uso de la opción View Text, 179
N
N úm eros aleatorios
entre 0 y 1, m edia de, 32
ín d ic e |~ ]
instrucción GET, 208
independencia de, 34
varianza de, 33
N úm eros pseudoaleatorios, 21-58
entre 0 y 1, 32
generación de, 22-24
propiedades, 30
prueba Chi-cuadrada, 38
prueba de corridas arriba y abajo, 41
prueba de huecos, 49
prueba de Kolm ogorov-Sm irnov, 65
prueba de m edias, 35
instrucción FREE, 208
utilización d e turnos, 216
Reglas d e ruteo, 220
Reloj d e la sim ulación, 6 ,8
absoluto, 6
relativo, 6
Reportes estadísticos en prom odel (A nexo 2),
311-319, 322
entities costing, 313
entity activity, 312
entity States b y percentage, 313
failed arrival, 314
general, 312
locations costing, 314
logs, 316
resources States by percentage, 328
prueba de series, 47
prueba de varianza, 36
prueba poker, 4 4
pruebas d e independencia, 41
pruebas d e uniform idad, 38
pruebas estadísticas para, 34
O
O ptim ización con Sim runner, 257
Scoreboard, 329
variables, 327
Reportes estadísticos en prom odel (A nexo 3),
322-329
P
Pallet, 233
S
Paros en los equipos, 212
Principios básicos de la sim ulación, 1-20
definición, 4
introducción, 2
ProM odel, 152
construcción d e un m odelo, 153
editor de turnos, 153
Selección d e leng uajes d e sim ulación,
134
arrastrar y colocar, 134
plantillas, 135
Sim ulación con ProM odel, 151-199
Sim ulación
con ProM odel, 151
editor gráfico, 152
elem entos básicos, 152
estructura d e program ación en, 153
inclusión de gráficos, 183
introducción al uso de, 152
m ejoram iento visual del m odelo, 166
m odelo M/M de líneas de espera, 153
referencias y ayuda, 153
resultados, 152
Stat::Fit, 152
R
Recursos, 6 ,8 , 207
estáticos, 207
dinám icos, 207
de eventos discretos, 3 ,4
de variables aleatorias, 113
definición del tiem p o de, 182
definición, 2
modelos, 2,121
réplica (corrida), 8
ventas y desventajas, 9
Sim ulación d e variables aleatorias, 113-149
Sim ulaciones term inales, 114
intervalos d e confianza, 114
Sim ulaciones no term inales (o de estado
estable), 117
longitud d e las réplicas, 117
Sistem a, 7
estado del, 4 , 7
34 5
| ~| índice
Stat::Fit, 74
T
Transporte entre estaciones, 241
m ontacargas, 245
ruta, 245
V
V alor crítico, 63
V alor estadístico d e prueba, 63
Valores críticos para la distribución t-student,
332
346
Variables aleatorias, 6 , 8 , 1 1 , 59-112
continuas, 61
definición, 60
fin de la inspección, 122
generación de, 78
inicio de la inspección, 122
prueba de Anderson-Darling, 67
prueba de Chi-cuadrada, 63
prueba de Kolm ogorov-Sm im ov, 65
tiem po entre llegadas, 122
tipos de, 60
Esta edició n d e Simulación y análisis de sistemas con ProModel
presenta los conceptos de la m o d e la ció n d e los pro cesos e sto cá sticos, e l a n á lis is e stad ístico d e la in fo rm ació n y su relación con la sim u ­
lación e sto cástica discreta, utilizand o com o h e rra m ie n ta ProM odel,
un p ro gram a m u y poderoso para e l a n á lisis y fácil d e usar.
Entre las m e jo ras m ás sig n ific a tiv a s d e e ste texto s e encuentran
las sig uien tes:
■ N u e vo s co ncepto s d e p ro gram ació n, e sp e cífica m e n te
a q u e llo s q u e tie n e n q u e v e r con arribo s cíclicos.
■ El uso d e la pro g ram ació n d e paro s por turnos.
■ El m a n e jo d e m a te ria le s u sa n d o g rú as v ia je ra s.
■ Eje m p lo s d e instrucciones d e control del tipo
IF-TH EN -ELSE, W HILE-DO .
El m a n e jo de la h e rram ie n ta Sim R u n n er q u e perm ite la o p tim iza­
ción d e lo s m o d e lo s d esarro llad o s con ProM odel.
A sim ism o , se han ag re g a d o ca so s integ rad o res y una gran can ti­
dad de eje rcicio s para fortalecer el aprend izaje.
F in alm en te , se in clu ye un a p é n d ice d o nd e se d e scrib e n los re su l­
tad o s obtenido s en los reportes con la n u e va v e rsió n O utput V ie w e r
4 .0 de ProM odel.
CD-ROOM con ProModel
El lib ro in c lu y e u n C D -R O M c o n la v e r s ió n e s tu d ia n til m á s re c ie n te
d e P ro M o d e l, q u e c u e n t a c o n to d a s la s fu n c io n a lid a d e s d e la
v e r s ió n p ro fe sio n a l.