V. GENERALIDADES Y DESCRIPCION DEL DESARROLLO DEL TEMA
Las integrales impropias van más allá del concepto de ID a casos no estándares. Se
presentan cuando el intervalo de integración es infinito (uno o ambos extremos tienden a ±∞)
o la función integrada tienen una discontinuidad infinita en el intervalo. Formalmente,
Tipo 1: Integrales Impropias de Tipo 1 (Intervalo Infinito)
a) Integral en [𝑎, ∞), se define de esta manera
∞
𝑡
∫ 𝑓(𝑥 )𝑑𝑥 = lim ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
𝑎
𝑡→∞ 𝑎
𝑏
𝑏
b) Integral en (−∞, 𝑏],
∫ 𝑓 (𝑥 )𝑑𝑥 = lim ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
𝑡→∞ 𝑡
−∞
Si estos límites existen (son finitos), la integral impropia converge; si no existen, se dice que
diverge
c) Integral en (−∞, ∞)
∞
𝑐
∞
∫ 𝑓(𝑥 )𝑑𝑥 = ∫ 𝑓(𝑥 )𝑑𝑥 + ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
−∞
𝑐
−∞
Debe converger independientemente en ambas partes.
Tipo 2: Integrales Impropias de Tipo 2 (Discontinuidades Infinitas)
a) Ocurren cuando en 𝑥 = 𝑎
𝑏
𝑏
∫ 𝑓(𝑥 )𝑑𝑥 = lim+ ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
𝑡→𝑎
𝑎
𝑡
b) Ocurren cuando 𝑥 = 𝑏
𝑏
𝑡
∫ 𝑓(𝑥 )𝑑𝑥 = lim− ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
𝑡→𝑏
𝑎
𝑎
c) Ocurren cuando 𝑐 𝜖 (a, b)
𝑏
𝑐
𝑏
∫ 𝑓(𝑥 )𝑑𝑥 = ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 + ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
𝑎
Ambas integrales deben converger
𝑎
𝑐
Propiedades de las integrales impropias:
Linealidad
Si ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 𝑦 ∫ 𝑔(𝑥) 𝑑𝑥 convergen, entonces para cualesquiera constantes 𝜶 𝒚 𝜷 ∈ 𝑹, se cumple:
∫ (𝜶𝑓(𝑥) + 𝜷𝑔(𝑥))𝑑𝑥 = 𝜶∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 + 𝜷∫ 𝑔(𝑥)𝑑𝑥
Criterio de comparación: si 𝒂 ≤ 𝒈(𝒙) ≤ 𝒇(𝒙) en [𝑎, ∞)
Esto establece que:
∞
∞
∫𝒂 𝒇(𝒙)𝒅𝒙 implica la de ∫𝒂 𝒈(𝒙)𝒅𝒙 Tienen convergencia y si implican mutuamente.
∞
∞
si ∫𝒂 𝒈(𝒙)𝒅𝒙 diverge, entonces ∫𝒂 𝒇(𝒙)𝒅𝒙 también diverge.
Caso llamado: (“el criterio de p”)
∞ −𝒑
𝒙 𝒅𝒙, que converge solo si 𝑝 > 1 (diverge para 𝑝 ≤ 1).
𝟏
Es la integral de ∫
𝟏
De modo similar con ∫𝟎 𝒙−𝒑 𝒅𝒙 converge si 𝑝 < 1 (diverge para 𝑝 ≤ 1)
hay otro caso inusual donde se usa valor absoluto si:
𝒃
∫𝒂 |𝒇(𝒙)| 𝒅𝒙 converge (como integral impropia) entonces:
𝒃
∫𝒂 𝒇(𝒙) 𝒅𝒙 converge, aunque no siempre cumple.
5.1 Objetivos del estudio
Definir formalmente las integrales impropias y distinguir sus tipos principales (intervalo infinito vs
discontinuidad interna).
Revisar los criterios básicos de convergencia/divergencia (por ejemplo, prueba p, criterio de
comparación) para decidir el carácter de una integral impropia.
Mostrar ejemplos representativos y graficarlos (con GeoGebra) para ilustrar cómo una integral
puede converger o divergir según el caso.
Aplicar las definiciones y pruebas teóricas en situaciones concretas de cálculo, preparando así la
exposición de los resultados.
Utilizar software matemático (GeoGebra y Derive 6) para visualizar funciones clave y apoyar la
comprensión de los conceptos estudiados.
5.2 Descripción detallada de las actividades realizadas
Para poder trabajar en nuestra exposición se realizó una revisión bibliográfica de fuentes
académicas y didácticas sobre integrales impropias (por ejemplo, manuales de cálculo, y libros
referentes al tema). Se definieron los objetivos de estudio (tema anterior) y se recopiló
información relevante y conceptos generales (definiciones, tipos, criterios). Después
desarrollamos ejercicios de cálculo sobre el tema de ID, integrales impropias, Métodos de
integración Más propiedades. a su vez incluimos gráficas con anotaciones. finalmente se
organizó la información para poder presentarla, incluyendo diagramas ilustrativos y enlaces de
referencias usadas, con el fin de respaldar teóricamente todos los resultados presentados
-
Estructuración y documentación del tema: durante la investigación en conjunto con los
integrantes de mi equipo se mantuvo una buena relación con los integrantes del grupo y
sabiendo trabajar en equipo, todos pudimos aportar información relevante para el tema,
contando con apuntes, fotos, información rebuscada y consejos de cada uno de los
integrantes del grupo.
Como conclusión fue muy grata la experiencia de volver a compartir la experiencia y esta vez
con un nuevo tema que claro que fue un reto poder comprenderlo, pero es parte de la carrera
saber como afrontar estos retos, se pudo abordar la teoría y lo practico gracias a la
cooperación y la responsabilidad de parte de cada uno de los integrantes del grupo, todo esto
fue posible gracias a la visión amplia y detallada del tema dicho en cuestión.
