Control ON-OFF para Detección de Objetos con Apuntado Automático

1
Control ON-OFF de la posición angular para un
sistema de detección de objetos con apuntado
automatico
Sergio Alexander Arenas Sanabria, Cristian Camilo Vargas Espitia, Leidy Daniela Gaona Espitia
1
Abstract—Este proyecto aborda la implementación de un
sistema de control ON-OFF orientado a la detección y apuntado
automático de objetos mediante el control de la posición
angular de un actuador. Se parte de una etapa de planificación técnica, seguida por la construcción del prototipo
y la programación del sistema de control. Posteriormente,
se realiza la toma de datos experimentales y el análisis del
comportamiento dinámico utilizando herramientas como MATLAB para identificar un modelo matemático representativo. El
modelo obtenido permite analizar la estabilidad y el desempeño
del sistema, facilitando su validación y optimización. Esta
solución busca demostrar la efectividad del control ON-OFF en
aplicaciones de seguimiento de objetos en entornos académicos
o de prototipado rápido.
Palabras Clave—Sistemas dinámicos, señalización de
objetos, modelo matemático, función de transferencia,
estabilidad del sistema, control ON-OFF, sistema
dinámico.
I. I NTRODUCCION
Los sistemas de seguimiento de objetos mediante posicionamiento angular representan una solución común en
aplicaciones como vigilancia, señalización o robótica.
El presente trabajo desarrolla un sistema de control ONOFF orientado al ajuste automático de un puntero láser
hacia un objeto detectado. Utilizando sensores magnéticos de
alta resolución y servomotores, se logra regular la posición
angular del sistema. La simplicidad del control ON-OFF lo
hace ideal para aplicaciones donde se requiere una respuesta
rápida sin complejidad computacional excesiva.
El proyecto sigue una metodologı́a estructurada que incluye: la planificación y diseño del sistema, la recolección de
datos experimentales, la obtención de modelos matemáticos
1 Documento presentado el Jueves 3 de Julio de 2025
Los responsables de este documento son estudiantes de pregrado de la
carrera Ingenierı́a Eléctrica en la Universidad Distrital Francisco José de
Caldas y están desarrollando este proyecto como parte del curso Análisis
de Sistemas Dinánimos.
Sergio Alexander Arenas Sanabria, código 20212007065, correo
electrónico [email protected]
Cristian Camilo Vargas Espitia, código 20212007075, correo electrónico
[email protected]
Leidy Daniela Gaona Espitia, código 20211007077, correo electrónico
[email protected]
representativos, y la validación del sistema a través de
simulaciones. Con esta propuesta se busca construir un
prototipo funcional que permita estudiar la dinámica del
sistema y evaluar la estabilidad del control.
II. O BJETIVOS
A. General
Diseñar e implementar un sistema Control ON-OFF para
gestionar la posición angular de un sistema de detección
y apuntado automático de objetos, que permita realizar un
seguimiento preciso dentro de los parámetros establecidos
del entorno.
B. Especı́ficos
1) Montaje:
Construir e implementar el montaje fı́sico del sistema
de detección y seguimiento de objetos, integrando
los sensores de distancia, servomotores y demás
componentes necesarios para su funcionamiento.
2) Modelo:
Desarrollar un modelo matemático que represente
la dinámica del sistema de control ON-OFF de la
posición angular para un sistema de detección de
objetos con apuntado automático.
3) Validación:
Validar el modelo matemático mediante pruebas
experimentales, asegurando que representen con
precisión el comportamiento del sistema.
4) Control:
Diseñar e implementar el sistema de control ON-OFF
para gestionar el movimiento angular del apuntador
automático.
Cada objetivo fue cumplido con exito, para la entrega
fina de este trabajo
III. J USTIFICACION
La detección y seguimiento automático de objetos es
una tarea constante y demandante que puede ser automatizada para ahorrar tiempo, optimizar recursos y
2
reducir la intervención humana. Un sistema de control
ON-OFF puede encargarse de gestionar la posición
angular de un mecanismo de detección y apuntado,
permitiendo mantener el enfoque correcto sobre el
objetivo dentro de los lı́mites definidos del entorno.
Esto libera capacidad operativa para otras tareas complementarias y general del sistema. El desarrollo de un
proyecto de control ON-OFF aplicado al seguimiento
angular de objetos ofrece a estudiantes y profesionales
la oportunidad de fortalecer competencias técnicas
VIII. D IAGRAMA DE BLOQUES ANTES DEL CONTROL ON
OFF
IV. P REGUNTA PROBLEMA
¿Cómo diseñar e implementar un sistema de control
ON-OFF para controlar la posición angular de un
sistema de detección y apuntado automático de objetos, considerando las limitaciones propias del control
binario y el efecto de la dinámica del sistema sobre la
precisión y estabilidad del seguimiento dentro de los
parámetros del entorno?
V. S OLUCION PROPUESTA
El sistema de control ON-OFF se diseñará para controlar
la posición angular de un sistema de detección y apuntado
automático de objetos. Su función será activar el movimiento
del mecanismo de apuntado únicamente cuando el objeto
se encuentre dentro de los rangos establecidos del radar,
utilizando un control ON-Off Se realizará la investigación
correspondiente, la funcionalidad el sensor magnético anteriormente usado para hallar el modelo matemático de la planta
y se evaluaran posibles acondicionamientos en el código.
VI. I MPLEMENTACION DE LA SOLUCION
La implementación inicia con la definición del rango
angular dentro del cual el sistema debe mantener orientado
el apuntador láser. Se construye una base equipada con
un servomotor, un puntero láser y sensores de posición ,
integrados sobre una estructura estable.
El microcontrolador Arduino se programa para leer las
señales de los sensores y activar el servomotor mediante
lógica ON-OFF: si el objeto se encuentra fuera del ángulo
definido, el motor corrige la posición hasta que el objetivo
vuelva al margen establecido.
Luego se realizan pruebas en un entorno controlado,
registrando los ángulos de corrección y tiempos de respuesta.
Con los datos obtenidos, se grafican las variables relevantes y
se determina la función de transferencia usando MATLAB.
Finalmente, se compara la respuesta teórica con los datos
experimentales para validar el comportamiento del sistema.
??
VII. M ATERIALES
Arduino UNO
• Jumper’s o conectores.
• Software Arduino
• Sensor de distancia
• Servomotores
• láser KY008
•
Fig. 1: Diagrama de bloques antes del control ON OFF
IX. P LANTAS DEL SISTEMA
El método implementado para alcanzar los objetivos
del proyecto dentro del plazo establecido se basa en una
planificación clara y un desarrollo estructurado. Las etapas
desarrolladas para esta entrega son:
Planificación del desarrollo: Planteamiento de tiempos
y recursos necesarios.
• Construccion final: Para la planta se diseñó e imprimió
en 3D una base que permite el montaje estable del
sistema apuntador, asegurando precisión en la toma de
datos.
• Toma de datos: Se realizaron mediciones experimentales en dos escenarios (de 0° a 180° y de 180° a 0°),
registrando los datos.
• Graficación:Los datos fueron filtrados y graficados
para facilitar su análisis y observar el comportamiento
dinámico del sistema.
• Modelo matematico: A partir de los datos procesados,
se desarrollaron los modelos matemáticos representativos del sistema
• Etapa de validación: Los modelos fueron validados
obteniendo una acepatacion mayor al 95 por ciento.
•
Planta 1 del sistema, Angulo aumenta
3
Fig. 2: Comparación de las 4 tomas para validar la repetitividad
Fig. 3: Promedio
4
A. Modelo matematico
Una vez obtenido el promedio de los datos recolectados,
estos fueron exportados a MATLAB con el propósito de
identificar el modelo matematico. Para ello, se utilizó la
herramienta System Identification Toolbox. Las mediciones
fueron realizadas con una frecuencia de muestreo de 36
Hz, asegurando una resolución adecuada para el análisis.
A partir de este proceso, se obtuvo la siguiente función de
transferencia representativa del comportamiento del sistema.
Vea Figura 4, la funcion de transferencia es: Vea Figura
5
Fig. 6: Aceptacion
Los polos y ceros para esta funcion de transferencia son
los siguientes:
Fig. 4: Graficacion de los datos promedio en el entorno de
matlab
Fig. 7: Polos y ceros
Fig. 5: funcion de transferencia obtenida
Planta 2 del sistema, angulo disminuye
Observe Figura 8a, Figura 8b
B. Etapa de validacion
El objetivo de esta etapa es asegurar que el modelo
matemático identificado represente con un nivel de precisión
igual o superior al 95%, garantizando ası́ que cumple con los
criterios de ajuste establecidos por el docente para validar
su confiabilidad y utilidad en el análisis del sistema.A
continuacion se muestra el indice de aceptacion comparando
con la señal obtenida de los datos promedios. Vea Figura
6 y Figura 7
5
(a) Comparación de las 4 tomas para validar la repetitividad
(b) Promedio
Fig. 8: Gráficas de repetitividad y promedio
6
C. Modelo matematico y Validacion
A partir del procesamiento de los datos experimentales
mediante la herramienta System Identification de MATLAB,
se obtuvo el siguiente modelo matemático que representa el
comportamiento dinámico de la planta bajo estudio. Vea las
Figura 9, Figura 10, Figura 11, Figura 12
Fig. 12: Polos de la funcion de transferencia del segundo
modelo
Fig. 9: Datos promedios vistos desde matlab
X. M ETODOLOG ÍA PARA EL MODELO DEL SISTEMA
El método implementado para alcanzar los objetivos
del proyecto dentro del plazo establecido se basa en una
planificación clara y un desarrollo estructurado. Las etapas
desarrolladas para esta entrega son:
Planificación para la implementación del control
ON-OFF: Se realizara la investigacion correspondiente,
la funcionalidad el sensor magnietico anteriormente
usado para hallar el modelo matematico de la planta y
se evaluaran posibles acondicionamientos en el codigo.
• Implementación del control on-off: Se programó el
sistema con una lógica de control on-off para gestionar
el movimiento angular del apuntador automatico, activando o desactivando el actuador según la posición
deseada.
• Toma de datos experimentales: Se realizaron mediciones del comportamiento dinámico del apuntador
automatico bajo el control on-off, registrando variables
clave como la posición angular y el tiempo de respuesta.
• Graficación de resultados: A partir de los datos
recolectados, se elaboraron gráficas que muestran la
evolución temporal de las variables del sistema, facilitando su análisis visual.
• Obtención del modelo matemático: Utilizando MATLAB, se determinó la función de transferencia del
sistema con base en los datos experimentales y la
identificación del comportamiento del sistema.
• Validación del modelo: El modelo matemático fue
comparado con los datos reales del sistema y con ello
validar el modelo.
•
Fig. 10: Modelo matematico de la segunda planta
Fig. 11: Validacion del modelo matematico
7
A. Planificación para la implementación del control ONOFF
En esta etapa del proyecto, se plantea la integración del
control ON-OFF al sistema de posicionamiento angular
para detección automática de objetos, en la figura Figura
1 se ve el diagrama de bloques sin el control ON OFF.
A continuación, se detallan los elementos principales del
sistema, la lógica de funcionamiento del controlador y el
diagrama de bloques con el control ON OFF adicionado
vea la Figura 13.
Evitar conmutaciones rápidas: Para prevenir activaciones demasiado frecuentes, puede añadirse un delay
mı́nimo entre acciones o limitar la frecuencia de decisión del controlador.
• Monitoreo del sistema: Durante pruebas, es útil habilitar mensajes por el puerto serial o indicadores visuales
con LEDs para validar la respuesta del sistema ante
cambios de referencia.
• Seguimiento del error: Registrar y observar el valor
del error en tiempo real permite verificar si el sistema
converge adecuadamente al valor de referencia.
Esta planificación constituye la base para desarrollar la
lógica de control ON-OFF en el código del microcontrolador, utilizando el sensor AS5600 como fuente principal de
realimentación.
•
B. Implementación del control on-off
Fig. 13: Diagrama de bloques al implementar el control ON
OFF
1) Descripción del Control ON-OFF: El control ONOFF es una técnica básica de control que actúa de forma
binaria. En este caso, el sistema toma como referencia un
ángulo deseado β y lo compara con el ángulo actual medido
por un sensor magnético AS5600. La diferencia entre ambos
valores se denomina error, y dependiendo del signo de dicho
error, se activa una de las dos plantas del sistema:
• Si el error es positivo, se activa la Planta 1, la cual contiene un servomotor encargado de aumentar el ángulo.
• Si el error es negativo, se activa la Planta 2, la cual
contiene un servomotor que disminuye el ángulo.
• Si el error se encuentra dentro de una tolerancia
definida, no se activa ninguna planta para evitar
oscilaciones o cambios innecesarios.
2) Función del sensor magnético AS5600: El sensor
AS5600 permite medir el ángulo absoluto del eje del servomotor con alta resolución (12 bits, equivalente a 4096 pasos
por revolución). En el sistema propuesto:
• El sensor mide continuamente el ángulo actual.
• El valor leı́do se envı́a al microcontrolador (Arduino).
• El controlador evalúa el error y determina qué acción
ejecutar.
Su sensibilidad angular aproximada de 0.0879◦ por paso
garantiza una medición fiable para los fines del proyecto.
3) Recomendaciones para la implementación:
• Filtrado de lectura del sensor: En caso de observar fluctuaciones rápidas en el ángulo medido, se
recomienda aplicar un filtro simple como un promedio
móvil.
Una vez completada la fase de planificación, se
procede a la implementación práctica del sistema. La base
mecánica utilizada ya cuenta con el sensor magnético
AS5600 integrado y perfectamente alineado con el eje del
servomotor. Este alineamiento se garantiza debido a que
la estructura fue diseñada e impresa en 3D, asegurando la
precisión entre el eje de rotación y la posición del sensor.
1) Calibración del sensor AS5600: La calibración del
sensor AS5600 es sencilla y eficaz. Consiste en mover el
servomotor a un ángulo inicial predeterminado y registrar
la lectura del sensor en ese momento como el offset. A
partir de ese punto, dicho valor se toma como la referencia
de 0◦ , permitiendo medir correctamente el ángulo absoluto
del servomotor respecto a esa posición base. Este proceso
se realiza una única vez al inicio del sistema y es suficiente
para garantizar lecturas precisas durante toda la operación.
2) Integración del control ON-OFF al sistema: A partir
del código funcional previamente implementado para el
control y lectura del sistema, se ha añadido el algoritmo
ON-OFF descrito anteriormente. Este algoritmo compara
continuamente la posición angular deseada con la posición
real medida por el sensor AS5600, y decide si debe activar
la Planta 1 (para aumentar el ángulo) o la Planta 2 (para
disminuirlo), manteniendo el sistema en reposo cuando el
error se encuentra dentro de una banda de tolerancia.
La lógica ON-OFF se implementó en el microcontrolador
Arduino, garantizando una respuesta simple, robusta y de
bajo consumo de procesamiento, ideal para sistemas de
control embebido con limitaciones de hardware.
C. Toma de datos experimentales
Para llevar a cabo la etapa de adquisición de datos
del sistema de control de posición angular, se desarrolló
un código embebido en Arduino que integra la lógica
del cálculo de ángulo de apuntado (β), el control del
servomotor y la lectura de un sensor magnético de
8
posición angular AS5600. Este sensor permite conocer el
ángulo real de la planta (servo de salida) con alta resolución.
Calibración del sistema: Durante la fase inicial del
código, se calibra el sensor AS5600 con el fin de obtener
un ángulo de referencia (offset). Esta calibración se realiza
cuando el servomotor de apuntado (planta) se encuentra
fı́sicamente en su posición de 180 grados, lo que en el
sistema equivale a 0◦ debido al montaje invertido del servo.
El valor leı́do en ese instante por el sensor se guarda como
offset, y las lecturas posteriores son corregidas restando
este valor. Si el resultado de la resta es negativo, se ajusta
sumando 360 grados para mantener el rango dentro de
[0◦ , 360◦ ].
Condiciones experimentales: La prueba se diseñó para
que el radar (servo 1) se abra a un ángulo de 135◦ , mientras
que un objeto virtual se simula a una distancia de 10 cm
del radar vea Figura 14. A partir de esta configuración, el
sistema calcula automáticamente el ángulo β para que el
apuntador (servo 2) apunte hacia dicho objeto simulado.
Una vez confirmado el escenario de prueba por el usuario
a través del monitor serial, el sistema realiza la acción de
apuntado.
Fig. 14: Condiciones iniciales para la toma de datos cuando
se tiene un beta menor a 90 grados
Frecuencia de adquisición de datos: Durante la captura de
datos del sistema, se recolectaron un total de 125 muestras
en un intervalo de 0.5 segundos. Esto permite calcular una
frecuencia de adquisición efectiva utilizando la relación:
fm =
125
N
=
= 250 Hz
T
0.5
donde N es el número de muestras y T el tiempo total de
adquisición en segundos. Esta frecuencia fue seleccionada de
forma empı́rica con el objetivo de capturar adecuadamente
la dinámica rápida del servomotor, incluyendo fenómenos
transitorios como el sobreimpulso y las oscilaciones, fundamentales para el análisis del comportamiento dinámico del
sistema.
D. Graficacion y filtrado
Con el objetivo de evaluar la repetitividad del sistema y la
confiabilidad de las mediciones, se repitió el procedimiento
cuatro veces vea las Figura 15 y Figura 16 , bajo las mismas
condiciones, permitiendo ası́ comparar los resultados y verificar la consistencia de las respuestas angulares obtenidas.
9
Fig. 15: Validación de la repetitividad para el primer modelo
Fig. 16: Promedio
10
E. Modelo matematico
Una vez obtenido el promedio de los datos recolectados, estos fueron exportados a MATLAB con el propósito de
identificar el modelo matematico. Para ello, se utilizó la herramienta System Identification Toolbox. Las mediciones fueron
realizadas con una frecuencia de muestreo de 250 Hz, asegurando una resolución adecuada para el análisis. A partir de
este proceso, se obtuvo la siguiente función de transferencia representativa del comportamiento del sistema. Vea Figura
17, la funcion de transferencia es: Vea Figura 19
Fig. 17: Graficacion de los datos promedio en el entorno de matlab
Fig. 18: funcion de transferencia obtenida
En base a la funcion de transferencia en el dominio de laplace , a esta se le realiza la transformada inversa , y se obtiene
a la ecuacion diferencial de nuestro modelo 1.
11
d5
d4
d6
u(t)
+
4561000000
u(t)
+
139400000
u(t)
dt6
dt5
dt4
d2
d
d3
+ 2254000 3 u(t) + 27710 2 u(t) + 150.3 u(t) + u(t)
dt
dt
dt
d5
d4
d3
= −2.665 × 1010 5 y(t) + 2.772 × 1012 4 y(t) − 3.085 × 1010 3 y(t)
dt
dt
dt
2
d
d
+ 6.01 × 108 2 y(t) − 4.751 × 106 y(t) + 19620 y(t)
dt
dt
A continuacion se presenta la grafica tentativa , la cual se hizo en el dominio de laplace con un escalon unitario
69560000000
Fig. 19: Grafica tentativa con escalon unitario modelo 1
El Modelo 1 es un sistema dinámico estable y subamortiguado, cuya respuesta al escalón unitario se caracteriza por una
fase transitoria con un sobreimpulso significativo y oscilaciones que se atenúan rápidamente. La estabilidad del sistema se
confirma por la convergencia de la salida a un valor acotado, mientras que su estabilización en un estado estacionario de
cero indica una ganancia estática nula, propiedad intrı́nseca del modelo que sugiere la presencia de un cero en el origen
en su función de transferencia.
12
F. Etapa de validacion
El objetivo de esta etapa es asegurar que el modelo
matemático identificado represente con un nivel de precisión
igual o superior al 95%, garantizando ası́ que cumple con los
criterios de ajuste establecidos por el docente para validar
su confiabilidad y utilidad en el análisis del sistema.A
continuacion se muestra el indice de aceptacion comparando
con la señal obtenida de los datos promedios. Vea Figura
20 y Figura 21
tiempo de muestreo debido a limitaciones del hardware,
afectando ası́ la precisión temporal de las mediciones. Un
muestreo no uniforme puede introducir errores significativos en la etapa de identificación de sistemas, particularmente al utilizar herramientas como System Identification
en M ATLAB, donde se asume una discretización temporal
equidistante para estimar de forma precisa la función de
transferencia. Por lo tanto, con una frecuencia de 250
Hz (correspondiente a un tiempo de muestreo de 0.004
segundos), se logra un equilibrio entre resolución temporal
adecuada y estabilidad del sistema de adquisición.
XI. M ODELO MATEMATICO PARA UN SEGUNDO ANGULO
BETA
No es necesario otro angulo, sin embargo se demostrara
el porque, en la Figura 22 se examina que para varias
distancias el angulo beta no varia, como se puede ver, el
objeto pasa por los diferentes limites o rangos de deteccion
del radar y no existe variacion en el angulo del apuntador.
Fig. 20: Aceptacion
Los polos y ceros para esta funcion de transferencia son
los siguientes:
Fig. 22: Movimiento del objeto manteniendo constante el
ángulo β
Fig. 21: Polos y ceros
Nota
La frecuencia de muestreo fue definida en 250 Hz con el
objetivo de garantizar un intervalo de muestreo constante y
uniforme a lo largo del proceso de adquisición de datos. Esta
decisión se tomó tras observar que frecuencias superiores,
como 1000 Hz, introducı́an variaciones no deseadas en el
Fig. 23: Desplazamiento del objeto hacia el apuntador sin
modificar el ángulo β, considerando diferentes distancias
entre el objeto y el radar
Como se observa en la Figura 24, el objeto sigue
una trayectoria diagonal en dirección al apuntador, lo
que permite reducir la distancia entre el apuntador y
el objeto, sin alterar el ángulo β. Este desplazamiento
13
provoca un cambio en la distancia entre el objeto y el radar,
responsable de su detección. Gracias a este comportamiento,
se comprueba que el sistema no depende directamente de
la distancia entre el objeto y el radar. En consecuencia, se
eliminan las restricciones impuestas por la sectorización de
los rangos de detección del radar y se evita la necesidad de
múltiples modelos asociados a diferentes zonas de cobertura.
Segunda toma de datos. Con esta base, se procedió
a realizar la segunda toma de datos correspondiente a un
segundo ángulo, denominado ángulo 2. Las caracterı́sticas
principales de este nuevo ángulo radican en que la apertura
del ángulo β aumenta con respecto a la primera configuración, superando los 90◦ . Esta variación implica una
mayor inclinación en la dirección del objeto con respecto
al apuntador, lo cual influye directamente en la geometrı́a
del sistema y es determinante para el desarrollo del modelo
matemático 2.
Fig. 24: Condiciones iniciales para la toma de datos cuando
se tiene un beta mayor a 90 grados
El procedimiento aplicado para la obtención del segundo
modelo matemático, correspondiente al caso en el que
el radar se ubica en un ángulo de θ = 150◦ y el objeto
se posiciona a una distancia de 20 cm, siguió la misma
secuencia metodológica empleada en el primer caso. A
continuación, se detallan las etapas realizadas:
Toma de datos experimentales: Se realizaron mediciones dinámicas del comportamiento del apuntador
bajo el control on-off, registrando las variables relevantes, principalmente el ángulo medido y el tiempo
de adquisición, durante un intervalo definido.
• Graficación de resultados: Con los datos experimentales se generaron gráficas que permitieron observar
visualmente la evolución temporal de las variables del
sistema, lo cual facilitó la interpretación del comportamiento transitorio y estacionario del apuntador.
• Obtención del modelo matemático: A partir de
los datos recolectados, se utilizó la herramienta System Identification de MATLAB para determinar una
función de transferencia continua que representara la
dinámica del sistema bajo estudio.
•
•
Validación del modelo: Finalmente, se comparó la respuesta del modelo matemático obtenido con los datos
reales obtenidos experimentalmente. Esta comparación
permitió evaluar la precisión del modelo y confirmar
que describe adecuadamente el comportamiento del
sistema para las condiciones dadas.
Graficacion y filtrado
Con el objetivo de evaluar la repetitividad del sistema y la
confiabilidad de las mediciones, se repitió el procedimiento
cuatro veces vea las Figura 25 y Figura 26.
14
Fig. 25: Validación de la repetitividad para el segundo modelo
Fig. 26: Promedio
15
A. Modelo matematico
Una vez obtenido el promedio de los datos recolectados, estos fueron exportados a MATLAB con el propósito de
identificar el modelo matematico. Para ello, se utilizó la herramienta System Identification Toolbox. Las mediciones fueron
realizadas con una frecuencia de muestreo de 250 Hz, asegurando una resolución adecuada para el análisis. A partir de
este proceso, se obtuvo la siguiente función de transferencia representativa del comportamiento del sistema. Vea Figura
29, la funcion de transferencia es: Vea Figura 28
Fig. 27: Graficacion de los datos promedio en el entorno de matlab
Fig. 28: Función de transferencia obtenida
A partir de la función de transferencia obtenida en el dominio de Laplace, se aplica la transformada inversa para obtener
la correspondiente respuesta en el dominio del tiempo, como se muestra a continuación:
16
3
d4 y(t)
d6 y(t) 3013 d5 y(t)
5 d y(t)
+
+
5960
+
2.076
×
10
dt6
50 dt5
dt4
dt3
2
d
y(t)
dy(t)
+ 7.107 × 106
+ 1.075 × 108
+ 9.884 × 108 y(t) =
dt2
dt
(1)
4
3
d5 u(t)
4 d u(t)
7 d u(t)
+ 3.507 × 10
+ 4.859 × 10
− 1558
dt5
dt4
dt3
2
d
u(t)
du(t)
− 7.253 × 107
+ 8.426 × 1010
+ 2.391 × 1010 u(t)
dt2
dt
A continuacion, en el dominio de laplace utilizamos la funcion de tranferencia y con un escalon unitario obtuvimos la
grafica tentativa
Fig. 29: Grafica tentativa con escalon unitario modelo 2
El modelo analizado corresponde a un sistema dinámico lineal, estable y subamortiguado, cuya respuesta al escalón
unitario presenta un sobreimpulso considerable seguido de oscilaciones amortiguadas, convergiendo finalmente a un valor
constante distinto de cero (aproximadamente 25), lo que evidencia una ganancia estática positiva
B. Routh-Hurwitz modelo 1 y modelo 2
A continuación, se expone el desarrollo del criterio de Routh-Hurwitz, cuyo propósito no es comprobar de forma directa
la estabilidad del modelo matemático, sino ofrecer un método analı́tico que permite determinar la estabilidad de un sistema
lineal a partir de la ubicación de sus polos en el plano complejo. article [utf8]inputenc amsmath siunitx
1. P OLINOMIO C ARACTER ÍSTICO M ODELO 1
Primero, identificamos el polinomio caracterı́stico, que es el denominador de la función de transferencia:
D(s) = s6 + 60.26s5 + 5960s4 + 2.076 × 105 s3 + 7.107 × 106 s2 + 1.075 × 108 s + 9.884 × 108
2. C ONSTRUCCI ÓN DEL A RREGLO DE ROUTH
A continuación, construimos el arreglo de Routh utilizando los coeficientes del polinomio caracterı́stico. Las dos primeras
filas se llenan con los coeficientes del polinomio:
s6
s5
1
60.26
5960
7.107e6
2.076e5 1.075e8
9.884e8
0
17
Los elementos restantes del arreglo se calculan de la siguiente manera:
s4
s3
s2
s1
s0
b1
c1
d1
e1
f1
b2
c2
d2
b3
Donde:
(60.26)(5960) − (1)(2.076e5)
≈ 2515
60.26
(60.26)(7.107e6) − (1)(1.075e8)
b2 =
≈ 5.323e6
60.26
(60.26)(9.884e8) − (1)(0)
= 9.884e8
b3 =
60.26
Continuando con los cálculos para las filas restantes, obtenemos el arreglo completo de Routh.
b1 =
3. A RREGLO DE ROUTH C OMPLETO
Al calcular todos los elementos de la primera columna, obtenemos los siguientes valores aproximados:
s6
s5
s4
s3
s2
s1
s0
1
60.26
2515
8.01e4
2.69e6
5.44e7
9.884e8
4. C ONCLUSI ÓN DE E STABILIDAD
El criterio de Routh-Hurwitz establece que el número de raı́ces del polinomio caracterı́stico con partes reales positivas
es igual al número de cambios de signo en la primera columna del arreglo de Routh.
Al observar la primera columna del arreglo:
• Todos los elementos son positivos.
• No hay cambios de signo.
Por lo tanto, se concluye que el sistema es estable. Esto significa que todos los polos de la función de transferencia se
encuentran en el semiplano izquierdo del plano complejo ’s’.
1. P OLINOMIO C ARACTER ÍSTICO M ODELO 2
El polinomio caracterı́stico del sistema es el denominador de la función de transferencia:
D(s) = s6 + 150.3s5 + 2.771 × 104 s4 + 2.254 × 106 s3 + 1.394 × 108 s2 + 4.561 × 109 s + 6.965 × 1010
2. C ONSTRUCCI ÓN DEL A RREGLO DE ROUTH
Construimos el arreglo de Routh a partir de los coeficientes del polinomio. Las primeras dos filas son:
s6
s5
1
150.3
2.771e4
2.254e6
1.394e8
4.561e9
6.965e10
0
A partir de estas filas, se calculan los elementos restantes del arreglo.
3. A RREGLO DE ROUTH C OMPLETO (P RIMERA C OLUMNA )
Para determinar la estabilidad, solo necesitamos examinar los signos de los elementos en la primera columna del arreglo.
Los valores calculados para la primera columna son aproximadamente:
s6
s5
s4
s3
s2
s1
s0
1
150.3
1.27e4
9.65e5
5.98e7
2.61e9
6.965e10
18
C. Etapa de validacion
El objetivo de esta etapa es asegurar que el modelo
matemático identificado represente con un nivel de precisión
igual o superior al 95%, garantizando ası́ que cumple con los
criterios de ajuste establecidos por el docente para validar
su confiabilidad y utilidad en el análisis del sistema.A
continuacion se muestra el indice de aceptacion comparando
con la señal obtenida de los datos promedios. Vea Figura
30 y Figura 33
Obj General
Desarrollar
un
sistema
de
Control ON-OFF
que regule la
posición en un
robot
seguidor
de
objetos,
permitiendo un
seguimiento
dentro de los
parámetros del
entorno.
Obj Especı́ficos
Construcción del
montaje
Toma de datos y
gráficas
Fig. 30: Aceptacion
Actividades
Asignación
del
proyecto
Semanas
Investigación del
proyecto
3
Presentación del
proyecto
4
Adquisición
materiales
de
5
Construcción del
montaje
6
Calibración
sensores
7
Modelo
matemático y
validación
8
Presentación
avance 1
9
y
10
Graficar datos en
Matlab
11
Construcción y
simulación
del
modelo
12
Presentación
avance 2
13
Validación
modelo
Control ON-OFF
de
Elaboración
informe 1
Análisis
filtrado
Los polos y ceros para esta funcion de transferencia son
los siguientes:
2
del
14
Implementación
Control ON-OFF
15
Pruebas de Control ON-OFF
15
Presentación
final
16
TABLE I: Actividades y cronograma por objetivos
Fig. 31: Polos y ceros
XII. F ECHAS DE E NTREGA DEL P ROYECTO
En la Tabla XII se muestra el cronograma para completar
este proyecto de manera satisfactoria consta de 16 semanas
las cuales estan destinadas a diferentes actividades para
llegar a la entrega del proyecto final con un prototipo
eficiente.
19
1
x
x
2
x
x
x
3
4
5
6
SEMANA
7
8
9
10
XIII. A LCANCES Y L IMITACIONES
11
12
13
14
15
16
A.
Alcances
•
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
El señalizador láser es capaz de indicar la posición
de un objeto detectado mediante el mecanismo de
triangulación entre el sensor ultrasónico (radar) y la
estación láser. Según la distancia medida y el ángulo
calculado, ajusta automáticamente la orientación del
láser en los ejes pan–tilt para apuntar con precisión al
blanco, garantizando una señalización clara en entornos
controlados.
Mediante la integración de dos servomotores SG90 y un
control ON-OFF en Arduino UNO, el sistema coordina
la lectura de distancia, el procesamiento trigonométrico
y el movimiento angular del láser en ciclos de barrido
de hasta 30 ms. Esto permite una respuesta suficientemente rápida para objetos estáticos o con desplazamientos lentos.
El prototipo puede reconfigurarse para distintos rangos
de operación ajustando los umbrales de distancia en
el código y recalibrando los servos, lo que lo hace
versátil para aplicaciones de demostración académica,
laboratorios de mecatrónica y sistemas de señalización
en espacios interiores.
B. Limitaciones
Durante la etapa de investigación y experimentación, se
determinó que el ángulo β calculado para el apuntador
no varı́a significativamente con respecto a la distancia
del objeto al radar, siempre que se mantenga constante
el ángulo θ de detección. Esta observación indica que
no es necesario segmentar el sistema en diferentes
rangos de distancia ni desarrollar múltiples modelos
matemáticos para representar su comportamiento. Por el
contrario, se concluyó que una única función de transferencia es suficiente para caracterizar dinámicamente
el sistema completo, independientemente de si el objeto
se encuentra a 10, 20 o 30 cm. Esta conclusión simplifica el proceso de identificación del modelo y refuerza
la generalización del controlador dentro del espacio de
trabajo definido. Sin embargo es una limitacion ya que
al iniciar con la toma de datos el servomotor es muy
veloz, lo cual afecta la toma de datos si no se cuenta
con el hardware necesario para la toma de datos a
frecuencias muy altas.
• La precisión angular de los servomotores ( 1°) supone
un error de ±1,75 cm a 100 cm de distancia; unido a la
resolución del HC-SR04 (±3 mm), limita la exactitud
global del apuntado, especialmente a mayor distancia.
• Una limitación importante de este trabajo radica en
la validación del modelo obtenido, ya que el sistema
presenta un comportamiento altamente no lineal que
dificulta la generación de un modelo general robusto.
Por lo tanto, se requiere aplicar un filtrado de datos exhaustivo y cuidadoso para reducir el impacto del ruido y
garantizar la calidad de los resultados experimentales..
•
Fig. 32: Primer cronograma
Fig. 33: primer Cronograma
Se presentan el cronograma inicial y el cronograma final,
en los cuales se evidencia que el desarrollo del proyecto
se realizó conforme a los tiempos establecidos desde un
principio.
20
La rigidez de la base de madera y el montaje casero
introduce vibraciones mecánicas al mover los servos y,
junto al desgaste por ciclos continuos, puede reducir la
repetibilidad y vida útil del prototipo sin un refuerzo
estructural .
• Durante el desarrollo experimental del sistema, se
identificaron diversas limitaciones que afectaron la
adquisición y procesamiento de datos. Una de las principales restricciones radica en la capacidad de cómputo
del microcontrolador Arduino, el cual no posee la
potencia suficiente para realizar adquisiciones de datos
a frecuencias elevadas. Al intentar realizar muestreos
por encima de los 500 Hz, se evidenció una saturación
del sistema, lo que se traduce en registros con intervalos
de tiempo no uniformes, afectando directamente la
fidelidad temporal de los datos y comprometiendo la
precisión en la identificación del modelo.
• Adicionalmente, al implementar la visualización de
datos en tiempo real mediante una gráfica dinámica,
se observó que el microcontrolador se ve forzado a
ejecutar múltiples tareas de forma simultánea (lectura
de sensores, movimiento de servos, envı́o de datos,
etc.). Esta sobrecarga provoca que el sistema entre en
estados inestables e incluso se bloquee, imposibilitando
el seguimiento continuo de las variables del sistema.
• Otra limitación importante está asociada al rango angular de detección del radar. Debido a restricciones
fı́sicas y de montaje del sistema, el ángulo θ del
radar se encuentra limitado al intervalo operativo entre
15◦ y 165◦ . Valores fuera de ese rango, como los
comprendidos entre 0◦ y 14.9◦ o entre 166◦ y 180◦ ,
no son validados ni procesados correctamente por el
sistema.
• Finalmente, se identificó una restricción significativa
al intentar exportar datos directamente desde Arduino
hacia Excel mediante el puerto serial (COM). El sistema
requiere una fase previa de calibración que también
utiliza el canal serial para la recepción de parámetros
iniciales. Esto genera un conflicto en la comunicación
y, como consecuencia, imposibilita el envı́o simultáneo
de datos a una hoja de cálculo durante dicha fase,
limitando ası́ la automatización de la adquisición de
datos para procesamiento externo.
•
XIV. P RESUPUESTO
En la Figura ?? se presentan los costos del proyecto,
calculados a partir del valor unitario de cada componente
para obtener un presupuesto preciso. Además, se añadió un
10% adicional con el fin de contemplar posibles variaciones
de precios o gastos imprevistos, como costos de envı́o o
fluctuaciones del mercado. Este margen de seguridad permite
un mayor control financiero y reduce riesgos, asegurando la
viabilidad del proyecto sin afectar su ejecución por cambios
inesperados en los costos.
TABLE II: Lista de Componentes del Prototipo actualizada
Objeto
Sensor ultrasónico
Servomotor (horizontal)
Kit soporte Pan & Tilt + Servomotores Sg90 9g
Base mecánica
Láser
Cables de puente (hembra-macho)
Arduino
Sensor de ángulo magnético (AS5600)
Tapa caja
Impresion de la base mecanica
Referencia
HC-SR04
SG90 9G
KY-008 650nm
UNO R3
base integradora
Valor Total:
Costo
8000
11000
30000
15000
8800
4000
28000
30000
15000
22000
171800
XV. C ONCLUSIONES
El proyecto concluye que el ángulo de apuntado del
sistema () no depende directamente de la distancia
entre el objeto y el radar. Esto elimina las restricciones
impuestas por los rangos de detección del radar y la
necesidad de múltiples modelos para diferentes zonas
de cobertura.
• Se eligió una frecuencia de muestreo de 250 Hz para
asegurar un intervalo de muestreo constante y uniforme,
equilibrando la resolución temporal con la estabilidad
del sistema de adquisición. Frecuencias más altas introdujeron variaciones indeseables debido a limitaciones
del hardware, afectando la precisión de la identificación
del sistema.
• El proyecto demuestra exitosamente la efectividad del
control ON-OFF para la posición angular en sistemas
de detección y apuntado automático de objetos, especialmente en entornos académicos y de prototipado
rápido. Este método de control simple es ideal para
aplicaciones que requieren respuestas rápidas .
• Para la toma de datos, se realizó previamente una
calibración del sistema con el fin de garantizar la
precisión de las mediciones. Esta calibración consistió
en aplicar un offset al sensor, lo cual permitió ajustar
la lectura del ángulo y asegurar que el valor reportado
correspondiera con el ángulo real del sistema.
• Implementación del control ON-OFF: Se implementó
una lógica de control ON-OFF que permitió actuar
sobre el actuador únicamente cuando el error angular
superaba un umbral establecido. Esta estrategia de
control, si bien es sencilla, resultó efectiva para mantener la estabilidad del sistema sin requerir algoritmos
complejos.
• Para evitar una conmutación excesiva del actuador, se
definió un umbral de error de ±2 grados. Esta zona
muerta o dead zone evitó la activación constante del
control frente a pequeñas variaciones angulares irrelevantes, mejorando ası́ la durabilidad y eficiencia del
sistema.
• Se integró exitosamente la comunicación entre el sistema fı́sico y MATLAB para la visualización de los
datos en tiempo real. Esta herramienta permitió monitorear continuamente el comportamiento del sistema,
•
21
facilitando el análisis inmediato de las respuestas angulares y la identificación de posibles desviaciones o
errores en el control.
• La representación gráfica del error entre la posición
deseada y la medida por el sensor fue clave para
evaluar el desempeño del controlador ON-OFF. Esta
gráfica permitió observar el comportamiento dinámico
del sistema, incluyendo la rapidez con la que se corregı́a
el error y la magnitud de las oscilaciones en torno al
punto de referencia.
• El criterio de Routh-Hurwitz nos dice que para que un
sistema sea estable, todos los elementos en la primera
columna del arreglo de Routh deben tener el mismo
signo.
En este caso:
– Todos los elementos en la primera columna son
positivos.
– No hay cambios de signo en la primera columna.
Por lo tanto, se concluye que este sistema también es
estable. Todos los polos de la función de transferencia
(las raı́ces del polinomio caracterı́stico) se encuentran
en el semiplano izquierdo del plano ’s’.
XVI. R EFERENCIAS
B. C. Kuo, Automatic Control Systems, 8.ª ed., Hoboken,
NJ, EE. UU.: John Wiley Sons, 2003.