Universidad de la República
Centro Universitario de Tacuarembó.
Geometrı́a y álgebra lineal
Primer semestre 2023
Práctico 10
1.
Conjuntos LI, conjuntos LD
1. En los siguientes casos determinar si el conjunto A es linealmente independiente. Cuando no lo sea encontrar un subconjunto linealmente independiente que permita expresar a los restantes vectores como
combinación lineal del subconjunto seleccionado.
a) A = {(1, 2, 3), (0, 5, 6), (0, 0, 7)}
b) A = {(−1, 1, 1), (1, −1, 1), (1, 1, −1)}
c) A = {(1, 2, 3), (0, 1, 2), (1, 1, 1) , (2, 3, 4)}
d) A = {(0, 1, 1), (0, 0, 1)}
e) A = {(a, a2 , 1), (−1, a, a), (0, 2a2 , a2 + 1)}. Discutir según a.
f ) A = {6x − 3, 3x2 , 1 − 2x − x2 } ⊂ R2 [x]
g) A = {x2 − 1, x2 − 2, x2 − 3} ⊂ R2 [x]
h) A = {p1 , p2 , p3 , p4 } ⊂ R2 [x], donde
p1 (x) = x2 + 1,
p2 (x) = x2 + x,
p3 (x) = x + 2,
p4 (x) = x2 + 3x.
i) A = {p1 , p2 , p3 } ⊂ R2 [x], donde
p1 (x) = 4x + 3,
p2 (x) = x2 − 1,
p3 (x) = ax2 + 4x + 5.
Discutir según a ∈ R.
j) {x2 − 1, x3 + 2x, x, x3 + x, 2x2 − 1}.
2. Dado a ∈ R denotemos por Aa al conjunto Aa = {1, (x − a), (x − a)2 , (x − a)3 } ⊂ R3 [x].
Probar que A es LI y que [Aa ] = R3 [x].
Para a = 1 describir el polinomio x3 + x − 2 como combinación lineal de los elementos de A1 .
3. Sea V un espacio vectorial.
a) Dado A ⊂ V un conjunto LI y v ∈ V un vector. Probar que C = A ∪ {v} es LI si solo si v ∈
/ [A].
b) Sean u, v, w tres vectores de V . Probar que {u, v, w} es LI si solo si {u + v, v, w − v + u} es LI.
4. Sean A ∈ Mm×n (R) una matriz, C = {X1 , X2 , . . . , Xl } un subconjunto de vectores de Rn y
B = {AX1 , AX2 , . . . , AXl } ⊂ Rm . Discutir si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas:
a) Si C es linealmente independiente entonces B es linealmente independiente.
b) Si B es linealmente independiente entonces C es linealmente independiente.
En el caso de que alguna de las afirmaciones sea falsa dar un contraejemplo, y estudiar que hipótesis
adicionales sobre A permiten asegurar que la afirmación es verdadera.
1
2.
Generadores
1. Investigar si el vector v es combinación lineal del conjunto A (escribirlo como combinación lineal si es
posible).
a) A = {(1, 2, 1); (3, −1, 5); (1, 1, 0)} y v = (3, 0, 6)
b) A = {(2, 3, 5); (1, 2, 4); (−2, 2, 3)} y v = (10, 1, 4)
c) A = {(1, 3, 2, 1); (2, −2, −5, 4); (2, −1, 3, 6)} y v = (2, 5, −4, 0)
d) A = {2 − x, 2x − x2 } y v = 6 − 5x + x2 .
e) A = {3x3 + x, −2x2 + x − 1, 3x3 − 2x2 + 2x − 1} y v = −3x3 + 4x2 + x − 2.
2. Hallar un generador finito del subespacio S, como R espacio vectorial.
a) S = {(x, y, z) ∈ R3 : x + y + z = 0}
b) S = {(a, b, c, d) ∈ C4 : 2ia = b, c + d − ib = 0}
c) S = {p ∈ R3 [x] ; p(1 − x) = p(1 + x), ∀x ∈ R}
d) S = {p ∈ R3 [x] ; p(0) = 0, }
3. Determinar si el conjunto de vectores A es un generador del espacio vectorial V .
√ a) V − R2 , A = (1, π), 2, e .
b) V = R3 , A = {(1, 0, 0), (0, 1, 0)}.
c) V = R3 , A = {(0, 1, 1), (0, 0, 1), (1, 1, 1), (1, −1, 1)}.
d) V = R4 , A = {(−1, 2, 0, 0), (2, 0, −1, 0), (3, 0, 0, 4), (0, 0, 5, 0)}.
e) V = R4 , A = {(1, 0, 0, 1), (0, 2, 0, 2), (1, 0, 1, 0), (0, 2, 2, 0)}.
4. Determinar si los conjuntos S1 y S2 generan el mismo subespacio de R3 .
a) S1 = {(1, 2, −1), (0, 1, 1), (2,5. − 1)}, S2 = {(−2, −6, 0), (1, 1, −2)}
b) S1 = {(0, 0, 1), (0, 1, 1), (2,1,1)}, S2 = {(1, 1, 1), (1, 1, 2), (2,1,1)}
3.
Bases, dimensión y coordenadas
1. En los siguientes casos, hallar una base y la dimensión del subespacio S del espacio vectorial V .
a) V = R3 ,
S = {(x, y, z) ∈ R3 : x + 2y − z = 0}
b) V = R3 ,
S = {(x, y, z) ∈ R3 : x = −2y, z = 0}
c) V = R3 [x],
S = {p ∈ R3 [x] : p(2) = 0}
d) V = R3 [x],
S = {p ∈ R3 [x] : p(0) = p0 (0) = 0}
2. En cada parte, el conjunto S es un subconjunto generador de V . Encontrar una base que sea un subconjunto
de S.
a) V = R2 , S = {(1, −1), (1, 2), (3, 4)}
b) V = R3 , S = {(1, −1, 2), (4, −3, 7), (2, 0, 5), (1, 2, 6)}
c) V = R2 [x], S = {1 + x, x + x2 , 1 + x2 , x − x2 }
3. Sea S un subconjunto LI de V . Encontrar una base que contenga a S
a) V = R3 , S = {(1, −1, 0), (0, 1, −1)}
b) V = R4 , S = {(1, 0, 2, 2), (1, 1, 0, 0)}
2
c) V = R3 [x], S = {1 − x + x2 , x − x2 }
4.
a) Sea B = {(1, 1, 0), (0, 1, 1), (1, 0, 1)}.
1) Probar que B es base de R3
2) Hallar las coordenadas del vector v = (1, 2, 3) en la base B.
b) Sea B = {−1, x − 1, x2 − 1} ∈ R2 [x]
1) Probar que B es base de R2 [x]
2) Hallar las coordenadas del vector v = x2 + x + 1 en la base B.
5.
a) Discutir según α ∈ R si el conjunto A = {p1 , p2 , p3 } es una base de R2 [x] donde p1 (t) = 1+t, p2 (t) =
1 + αt + t2 , p3 (t) = 1 + t2 ∀ t ∈ R.
b) Sea B = {q1 , q2 , q3 } ⊂ P2 donde q1 (t) = 1, q2 (t) = t − a, q3 (t) = (t − a)(t − b) ∀ t ∈ R, con a y
b ∈ R.
1) Probar que B es base de R2 [x].
2) Sea h ∈ R2 [x] tal que h(t) = t2 − 5t + 6 ∀ t ∈ R. Hallar coordB (h).
3) Sea S = [h]. Hallar a y b sabiendo que B ∩ S 6= ∅.
6. Polinomios
En ese ejercicio veremos dos bases, cuya descomposición en sus coordenadas es útil dentro del cálculo
diferencial e intergal (Ejercicio 3.3)
a) Dados a ∈ R y n ∈ N definimos el conjunto Ba ⊂ Rk [x] como Ba = {pi : i ∈ {0, ..., k}}, donde
pi (x) = (x − a)i , i = 0, 1, ..., k.
1) Probar que Ba es base de Rk [x].
2) Hallar las coordenadas del vector p ∈ R3 tal que p(t) = 20 − 28x + 13x2 − 2x3 , en la base B2 .
b) Sean a1 , ..., ak ∈ R, k puntos distintos. Definimos el Conjunto B = {Pi : i ∈ {1, ..., k}}, donde
Y
Pi (x) =
(x − aj ),
j6=i
1) Probar que B es base de Rk−1 [x].
2) Hallar las coordenadas del vector P ∈ R2 [x] tal que P (x) = x2 + 2, en la base B para los puntos
a1 = 0, a2 = 1, a3 = 2.
7. Rango
En este ejercicio se vinculara el rango de una matriz con la dimensión de cierto espacio. En cada parte se
da una matriz A ∈ Mm×n .
Calcular:
rango(A)
La dimensión del espacio S = {X ∈ Mn×1 : AX = 0}
Verificar que dim(S) + rango(A) = n
1
a) A = 4
7
2
5
8
3
6
9
−2
b) A = 2
−3
1
d) A = 2
3
1
2
3
1
2
3
1
2
3
−2
−3
2
4
−6
8
1
1
e) A =
2
3
3
1
0
c) A =
0
0
−4
1
−3
2
2
4
6
3
0
−3
0
−4
2
10
6
2
2
0
0
8
8
9
9
3
0
−3
0
−4
2
10
0
8
8
9
0
8. Sea V un R espacio vectorial de dimensión n y B = {v1 , v2 , ..., vn } una base de V . Dado a = (a1 , ..., an ) ∈
Rn un vector no nulo, probar que el conjunto
(
)
X
W = v ∈ V tal que
ai vi = 0 donde (v1 , ..., vn ) = coordB (v)
i
es un subespacio.
Dar una base de W y deducir la dimensión de W .
4.
Sumas y sumas directas
1. En cada una de las partes
Hallar una base de S1 y una base de S2
Hallar una base de S1 + S2 y una base de S1 ∩ S2
Indicar si la suma es directa
a) S1 = {(x, y, z) ∈ R3 : x = z} y S2 = {(x, y, z) ∈ R3 : z = 0}
b) S1 = {(x, y, z) ∈ R3 : x = y} y S2 = {(x, y, z) ∈ R3 : x = y = z}
c) S1 = {p ∈ R2 [x] : p(t) = at2 , con a ∈ R} y S2 = {p ∈ R2 [x] : p(t) = at2 + bt + a, con a, b ∈ R}
2. Sean S1 y S2 subespacios vectoriales de un espacio vectorial V .
a) Si A1 es un generador de S1 y A2 es un generador de S2
1) Probar que A1 ∪ A2 es un generador de S1 + S2 .
2) ¿Se cumple que A1 ∩ A2 es un generador de S1 ∩ S2 ?. Probar o dar un contraejemplo.
b) Si B1 es una base de S1 y B2 es una base de S2 .
1) ¿Se cumple que B1 ∪ B2 es una base de S1 + S2 ?. Probar o dar un contraejemplo.
2) ¿Se cumple que B1 ∩ B2 es una base de S1 ∩ S2 ?. Probar o dar un contraejemplo.
3. Hallar una base de S1 + S2 y una base de S1 ∩ S2 en los siguientes casos
a) S1 = [(1, 1, 0, −1), (1, 2, 3, 0), (2, 3, 3, −1)] y S2 = [(1, 2, 2 − 2), (2, 3, 2, −3), (1, 3, 4, −3)]
b) S1 = [p1 , p2 , p3 ] y S2 = [q1 , q2 , q3 ] donde
p1 : p1 (x) = x3 + x2 + x, p2 : p2 (x) = x3 + x, p3 : p3 (x) = x3 + x2 ; ∀ x ∈ R y
q1 : q1 (x) = 2x3 + x2 − 2, q2 : q2 (x) = 3x3 + 2, q3 : q3 (x) = 4x3 − x2 + x; ∀ x ∈ R.
4. Sean B1 = {(1, −2, 1, 1), (3, 0, 2, −2), (0, 4, −1, 1)} una base del subespacio S1 y
B2 = {(0, 4, −1, 1), (5, 0, 3, −1)} una base del subespacio S2
a) Probar que B1 ∪ B2 es una base de R4
b) ¿ Se cumple que R4 = S1 ⊕ S2 ?
5. Sea V un espacio vectorial de dimensión finita, B1 base de un subespacio S1 y B2 base de un subespacio
S2 .
a) Probar que V = S1 ⊕ S2 ⇔ V = S1 + S2 y S1 ∩ S2 = {~o}
b) Si V = S1 ⊕ S2 , probar que dim(S1 ) + dim(S2 ) = dim(V )
c) Si dim(S1 ) + dim(S2 ) = dim(V ), ¿ se cumple que V = S1 ⊕ S2 ?.
Demostrar o dar un contraejemplo
d) Si dim(S1 ) + dim(S2 ) = dim(V ) y S1 ∩ S2 = {~o} , probar que V = S1 ⊕ S2 .
4
e) Si V = S1 ⊕ S2 , probar que B1 ∪ B2 es una base de V .
f ) ¿Vale el recı́proco del resultado anterior?
g) Si B1 ∩ B2 = ∅ ⇒ ¿ S1 ∩ S2 = {~o} ?
Demostrar o dar un contraejemplo
h) Si B1 ∪ B2 es una base de V y B1 ∩ B2 = ∅, probar que V = S1 ⊕ S2
5.
Aplicaciones
1. Cristalografı́a
La descripción de una red cristalina es más clara si se elige una base de R3 que corresponda a vértices
adyacentes de una celda. Una red se construye apilando muchas copias de un tipo de celda, hay 14 tipos.
a) El siguiente ejemplo es una celda de polietileno donde los átomos en la base y el centro del cubo son
de carbono y los átomos en la altura del cubo son de hidrógeno.
Observar que podemos dar como origen el centro del cubo y como base el vector entre éste y 3 de las
aristas. Expresar las coordenadas de la arista restante en la base anterior.
b) En la siguiente
figura
se muestra
la red cristalina del titanio, que tiene estructura hexagonal. Los
0
0
2,6
vectores −1,5 , 3 , 0 forman una base unitaria para la celda de la derecha de la imagen
4,8
0
0
(los números están expresados) en unidades de angstrom (1Å= 10−8 cm)).
En las aleaciones de titanio, algunos átomos adicionales pueden estar en la celda unitaria en los sitios
octaédricos y tetraédricos (llamados ası́ por los objetos geométricos que forman los átomos en estos
lugares).
5
1
2
1) Uno de los sitios octaédricos es 14 , respecto de la base de la red. Determine las coordenadas
1
6
de este sitio en relación con la base
estándar de R3 .
2)
1
2
Uno de los sitios tetraédricos es 12 , respecto de la base de la red. Determine las coordenadas
1
3
3
de este sitio en relación con la base estándar de R .
Ejercicios mı́nimos obligatorios
Ejercicio 1.1.e y otro del 1.1
Ejercicio 1.4
Ejercicio 2.1 dos partes
Ejercicio 2.2.c
Ejercicio 2.3 dos partes
Ejercicio 2.3 una parte.
Ejercicio 2.4 una parte
Ejercicio 3.1 una parte.
Ejercicio 3.3 dos partes.
Ejercicio 3.4.a
Ejericico 4.1
Ejercicio 4.5 partes a,b y c
6
0
