Análisis Matemático II: Integrales para Ciencia e Ingeniería

f (x )d x = L im
^
Y
f (
ANALISIS
MATEMÁTICO
PARA ESTUDIANTES DE CIENCIA E INGENIERÍA
(TERCERA EDICION)
♦
INTEGRAL INDEFINIDA
♦
INTEGRAL DEFINIDA
♦
APLICACIÓN DE LA INTEGRAL DEFINIDA
♦
INTEGRALES IMPROPIAS
♦
APLICACIÓN DE LA INTEGRAL DEFINIDA A LA FISICA
♦
INTEGRACION NUMERICA
♦
FUNCIONES ESPECIALES
♦
ECUACIONES PARAMETRICAS
♦
COORDENADAS POLARES
EDUARDO ESPINOZA RAMOS
L IM A -P E R U
IMPRESO EN EL PERÚ
03 - 03 - 2002
3S EDICIÓN
DERECHOS RESERVADOS
Este libro no puede reproducirse total ó parcialmente por ningún método
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Ns 4484
datos,
sin
expreso
En la presente obra Intitulada “Análisis Matemático II para Estudiantes de
Ciencia e Ingeniería” en su 3ra. Edición, hemos aprovechado de los numerosos y valiosos
comentarios y sugerencias de mis colegas que elaboran en las diversas universidades de la
capital, al igual que la 2da. Edición se expone en forma teórica y práctica, los métodos de
integración, integral definida, integración impropia, integración numérica. Ecuaciones
Paramétricas, Coordenadas Polares y sus aplicaciones, las funciones Beta y Gamma, ios
polinomios de Taylor, así mismo se ha incluido en las integrales indefinida las ecuaciones
diferenciales sencillas y sus aplicaciones, se ha hecho la demostración de las propiedades de la
integral definida, se ha incluido también mas ejercicios desarrollados y propuestos de las
practicas y exámenes de las diversas Universidades de la capital.
La parte teórica se desarrolla de manera metódica y con especial cuidado,
tratando de no perder el rigor matemático pero tratando de no caer en el excesivo formulismo
que confunde al lector.
La lectura provechosa del presente trabajo requiere del conocimiento previo
de las funciones reales de variable real, los limites y continuidad de una función, así como la
derivación de las funciones en una variable.
#
La presente obra es recomendable para estudiante de ciencias matemáticas,
física, ingeniería, economía y para toda persona interesada en fundamentar sólidamente sus
conocimientos matemáticos del análisis real.
Por ultimo deseo agradecer y expresar mi aprecio a las siguientes personas
por sus valiosos comentarios y sugerencias.
DOCTOR PEDRO CONTRERAS CHAMORRO
Ex-Director de la Escuela Profesional de Matemática Pura de la Universidad Nacional
Mayor de San Marcos.
Catedrático Principal en Pos-Grado de la Facultad de Matemática Pura de la UNMSM
Miembro Fundador de la Academia Nacional de Ciencia y tecnología del Perú.
Catedrático de la Universidad Particular Ricardo Palma.
DOCTOR EUGENIO CABANILLAS LAPA
Doctor en matemática Pura, Universidad Federal de Río de Janeiro —Brasil.
Director de Pos-Grado en la Universidad Nacional Mayor de San Marcos.
Catedrático de la Universidad Nacional del Callao.
LIC. ANTONIO CALDERON LEANDRO
Ex-Jefe de Departamento Académico de la Facultad de Ing. Pesquera y Alimentos de la
Universidad Nacional del Callao.
Jefe de Departamento Académico de la Facultad de Ciencias Naturales y Matemática de
la Universidad Nacional del Callao.
Coordinador del Area de Matemática en la Facultad de Ingeniería de la Universidad
Ricardo Palma.
LIC. SERGIO LEYVA HARO
ExJefe del Centro de Computo de la Facultad de Ingeniería Química de la Universidad
Nacional del Callao.
Catedrático en la Facultad de Ingeniería Ambiental y de Recursos Naturales de la
Universidad Nacional del Callao.
LIC. JUAN BERNUI BARROS
Director del Intituto de Investigación de la Facultad de Ciencias Naturales y Matemática
de la Universidad Nacional del Callao.
Catedrático de la Universidad Nacional Mayor de San Marcos.
LIC. PALERMO SOTO SOTO
Catedrático de la Universidad Nacional Mayor de San Marcos.
Catedrático de la Universidad Particular Ricardo Palma.
LIC. JOSE KIKE BRONCANO
Catedrático de la Universidad Nacional Mayor de San Marcos.
Coordinador del área de matemática en la Facultad de Ciencias Matemáticas Puras.
EDUARDO ESPINOZA RAMOS
D E D IC A T O R IA
Este libro lo dedico a mis hijos RONALD, JORGE
y DIANA, que Dios ilumine sus caminos para que
puedan ser guías de su prójimo
P R E S E N T A C IO N
En la presente obra, Eduardo Espinoza Ramos, demuestra que sigue
avanzando, no solo en el aspecto técnico formal de la matemática, si no que, su avance se
manifiesta en la selección cuidadosa y esmero en la impresión de esta obra.
Su formación de matemático, como su experiencia en la docencia
universitaria, se amalgaman y dan como fruto una obra que marca un camino en su madurez
profesional, obra, que seguramente llenará un vacío para quienes no solo desean “resolver
problemas” sino también conocer el lenguaje formal y las ideas de esa hermosa ciencia que es
la matemática
DOCTOR PEDRO CONTRERAS CHAMORRO
DIRECTOR DE LA ESCUELA PROFESIONAL DE MATEMATICA PURA DE LA UNMSM
ASESOR DEL “CONCYTEC”
1,
INTEGRAL INDEFINIDA
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
1.5.1
1.5.2
1.5.3
1.5.4
1.5.5
1.5.6
1.5.7
1.5.8
1.5.9
1.5.10
1.5.11
1.5.12
1.5.13
1.6
1.6.1
1.6.2
1.6.3
1.6.4
1.6.5
1.6.6
1.6.7
Introducción
La Antiderivada de una función
1
2
La Antiderivada General
La Integral Indefinida
Fórmulas Básicas de Integración
Primeras Fórmulas Básicas de Integración
Segundas Fórmulas Básicas de integración
Terceras Fórmulas Básicas de Integración
Cuartas Fórmulas Básicas de Integración
Integración por Sustitución o Cambio de Variable
Integrales de funciones que contienen un Trinomio cuadrado
Ejercicios Propuestos de las Fórmulas Básicas
Ecuaciones Diferenciales sencillas
Movimiento Rectilíneo
Aceleración Constante
Movimiento Vertical con Aceleración Gravitacional Constante
Ejercicios Desarrollados
Ejercicios y Problemas Prepuestos
Métodos de Integración
Integración de las Funciones Trigonométricas
Ejercicios Propuestos
Otras Integrales Trigonométricas
Ejercicios Propuestos
Integración por partes
Casos Especiales de Integración por Partes
Ejercicios Propuestos
2
3
5
6
13
18
21
23
27
32
52
54
56
58
60
69
73
73
87
94
97
102
117
122
Integración por Sustitución Trigonométricas
Ejercicios Propuestos
Integración de Funciones Racionales
Ejercicios Propuestos
Métodos de HERMITE - OSTROGRADSKI
Ejercicios Propuestos
Integrales de Funciones Racionales de Senos y Cosenos
Ejercicios Propuestos
Integrales de Algunas Funciones Irracionales
Fórmulas de Reducción
Ejercicios Propuestos
Ejercicios Desarrollados Diversos
Ejercicios Propuestos
130
143
150
169
181
186
190
196
201
215
218
229
253
C A P IT U L O II
INTEGRAL DEFINIDA
Sumatorias
Propiedades de las Sumatorias
Fórmulas de las Sumatorias
Ejercicios Propuestos
Calculo del Area de Una Región Plana por Sumatorias
Partición de un Intervalo Cerrado
Aproximación del Area de una Región por Areas de Rectángulos
Sumas Superiores y Sumas Superiores
Propiedades de las Sumas Superiores e Inferiores
Integral Definida
Propiedades de las Integrales Superiores e Inferiores
Integral de RIEMANN
La integral como limite de Sumas
Calculo de la Integral Definida usando Intervalos de igual longitud
268
269
270
276
280
280
282
296
300
302
302
303
307
308
4.1
Introducción
4.2
Integrales Impropias con Limites Infinitos
4.3
Integrales Impropias con Limites Finitos
4.4
Criterios para la Convergencia de Integrales Impropias
4.4.1 Criterio de Comparación
4.4.2 Criterio de Convergencia para Funciones Discontinuas
4.4.3 Criterio de Convergencia Cuando un Limite de Integración es Infinito
4.4.4 Ejercicios Propuestos
4.5
Aplicaciones de la Integral Impropia
4.5.1 Areas de Regiones y Volumen de Sólidos de Revolución
4.5.2 Problemas Propuestos
4.6
Funciones Especiales
4.6.1 Definición de la Función GAMMA
4.6.1.1 Propiedades de la Función GAMMA
4.6.1.2 Ejercicios Desarrollados
4.6.2 Definición de la Función BETA
4.6.2.1 Propiedades de la Función Beta
4.6.2.2 Ejemplos Aplicativos
4.6.3 Ejercicios Propuestos
4.7
Integrales Dependientes de un parámetro
4.7.1 Ejercicios Propuestos
4.8
El Polinomio de Taylor
4.8.1 Aproximación de Funciones por Polinomios
4.8.2 Polinomios de Taylor Engendrado por una Función
4.8.3 Fórmula de Taylor con Resto
4.8.4 Teorema del Valor Medio para Integrales
4.8.5 Teorema del Valor Medio Ponderado por Integrales
4.9
Ejercicios Desarrollados
4.10
Ejercicios Propuestos
450
451
454
457
457
457
457
461
473
473
480
483
483
483
489
491
491
493
497
502
509
511
511
513
518
522
522
524
529
7.3.1
7.3.2
7.3.3
7.4
7.5
Area Bajo una Curva dada en forma Parametrica
Longitud de Arco cuando la Curva es dadapor Ecuaciones Farametricas
Area de una Superficie de Revolución cuando la Curva es
dada en
forma Parametrica
Problemas Desarrollados
Ejercicios Propuestos
C A P IT U L O V IH
COORDENADAS POLARES
8.1
8.2
8.3
8.4
8.5
8.6
8.7
8.8
8.9
8.10
8.11
8.12
8.13
Introducción
Relación entre Coordenadas Polares y Rectangulares
La Recta y la Circunferencia en Coordenadas Polares
Ejercicios Propuestos
Trazado de Curvas en Coordenadas Polares
Ejemplos
Ejercicios Propuestos
Distancia entre Dos Puntos en Coordenadas Polares
Intersección de Curvas en Coordenadas Polares
Derivadas y Rectas Tangentes en Coordenadas Polares
Aplicaciones de las Integrales en Coordenadas Polares
Ejercicios Desarrollados
Ejercicios Propuestos
APENDICE
BIBLIOGRAFIA
1
Integral Indefinida
C A P IT U L O
I.
INTEGRAL INDEFINIDA
1.1
INTRODUCCION.-
I
El problema básico de la derivación es: Dado el recorrido de un punto móvil, calcular
su velocidad o también, dada una curva, calcular su pendiente.
El problema básico de la integración, es el caso inverso: dado la velocidad de un
punto móvil en cada instante, hallar su trayectoria o también dado la pendiente de una
curva en cada uno de sus puntos, calcular la curva.
En el estudio del cálculo diferencial se ha tratado esencialmente: Dada una función
hallar su derivada, muchas aplicaciones importantes del cálculo, guardan relación con
el problema inverso, es decir:
Dada la derivada de una función, hallar tal función por ejemplo: /* ( jc) = 4,
g'(x) = 5jc4 . Ahora el problema es hallar ffx) y g(x), pero con un poco de astucia
se puede hallar dichas funciones, esto es:
Esta iteración de determinar la función original a partir de su derivada es la inversa
de la derivación y lo llamaremos cálculo de la función primitiva o antiderivada.
2
Eduardo Espinoza Ramos
DEFINICION.- La función F: I ----->R, se llama la antiderivada o primitiva de
f: 1---- >R, si F '( x ) = f( x ) , V x g I . (I = [a.b])
Ejemplo.- Sea / ( jc) = 5jc4 y g(x) = 3e3x, V x e R, las funciones F(x) = x 5 y
G(x)
= eix para x e IR
G
(x)=eix
respectivamente puesto que:
F{x) = jc5
F'(x) = 5x4 = / ( x)
G(x)=eix
G'(x) = 3eix =g(x)
Sin embargo las funciones
son las antiderivadas de f(x) y g(x)
Fx(jc) = je5 + 7
y Gx{x) = eix + 5
también son
antiderivadas de las funciones / ( jc) = 5 jc4 y g(x) = 3e3x respectivamente, puesto que:
F,(x) = x 5 + 7
F¡(x) = 5xA = / ( x)
G¡ (x) = eix + 5
G|( x) = 3eix =g(x)
análogamente, otras antiderivadas de f(x) y g(x) son por ejemplo:
F2(x) = xs - 4 ,
F3(x) = x 5 + 4 n , FA{x) = x 5 +a , G2(x) = eix - 7 , G3(x) = eix - e * , GA =eix + b
donde a y b son constantes cualquiera, puesto que sus derivadas son iguales a f(x) y
g(x) respectivamente.
En general, si F(x) es una antiderivada de f(x) es decir que F'(x) = / ( jc) , por lo tanto
F(x) + c, también es una antiderivada de f(x) para cualquier constante c, puesto que su
derivada es igual a la función ffx), es decir: (F(x) + c)'= F ’(jc) = f(x)
DEFINICION.- Si la antiderivada de f(x) es F(x) sobre I. Entonces la función
G(x) = F(x) + c, se denomina la antiderivada general de fíx).
El significado geométrico de la antiderivada F(x) de fíx), es que cualquier otra
antiderivada de f¡x) es una curva paralela al gráfico de y = F(x).
3
Integral Indefinida
OBSERVACION.- Resulta claro que el cálculo de antiderivadas o primitivas no
determina una única función, si no una familia de funciones, que
difieren entre sí en una constante.
El proceso del cálculo de antiderivadas o primitivas se suele denominar integración y
se denota por el símbolo J , llamado signo de integración, el símbolo Jf(x)d x se
llama integral indefinida de f{x).
IA
LA INTEGRAL INDEFINIDA,DEFINICIÓN 1.-
Si F(x) es una antiderivada de f(x) sobre un intervalo I.
osea F*(x) = /( jt) , entonces a su antiderivada general
G(x) = F(x) + c se denota por:
Al cual le llamaremos la integral indefinida de f(x).
NOTA.-
De la definición de la integral indefinida se tiene: G'(x) =F'(x) = / ( x)
es decir:
Eduardo Espinoza Ramos
4
PROPIEDADES.-
De la definición de integral indefinida se tiene las propiedades:
1)
-~~(f f(x)dx) = ( í f (x)dx)'= (F(x) + c)'= F'(x) = /Xx) ósea que “La derivada
dx J
J
de la integral indefinida es igual al integrando” es decir:
2)
d ( j f(x)dx) = (jf(x)dx)'dx = f(x)dx ósea que “La diferencial de la integral
indefinida es igual a la función integrado por la diferencial de x, es decir:
3)
Si f es una función derivable en I, entonces una antiderivada de / ' es f y
4)
Se conoce que d( f(x)) = f'(x)dx, luego de la propiedad (3) se obtiene:
OBSERVACION.-
De las propiedades (2 y (3), a la integral indefinida también
podemos interpretarla como una operación inversa de la
diferenciación, puesto que la integral indefinida al actuar en la diferencial d(f(x))
reproduce la función f(x) más la constante de integración.
Ejemplo.-
1)
Con las propiedades de la integral indefinida, se tiene, que por simple
inspección:
J (x2 + 3x + 2)dx = j*
~ x1 + 2jc)+2x +c
5
Integral Indefinida
2,
3)
r
„
r , sen 3* cos4x
sen3x cos4jc
J (cos3jc - sen 4jt)dx = j d{------- + ---- ) = —-— + ——— + c
3
4
4)
n-1
n~\
f x ndx - í d (—— ) = —— + c , n * -1
J
J /i +1
n +1
DEFINICIÓN 2.-
variable de
En toda integral indefinida J/(jc)rfx, a la función f(x) le
llamamos función integrando y a la variable x le llamaremos
integración, la constante c es llamada constante de integración, a
J/(jt)rfx también se lee “integral indefinida de f(x) diferencial de x”
NOTA.- Sugerimos al lector el dominio de las fórmulas básicas de integración, de tal
manera que, en el estudio de las técnicas de integración sea amena y ágil,
para tal efecto hemos agrupado en cuatro partes las fórmulas básicas.
1.5
FORM ULAS BASICAS DE INTEGRACION.-
1.5.1
PRIMERAS FORMULAS BASICAS DE INTEGRACION;Sean f, g funciones derivables, k y c son constantes, entonces:
©
i dx-x+ c
(T )
j d(f(x)) = f( x ) + c
©
J( / (x) ± g(x))dx = J/l(x)dx ± Jg(x)dx
Sea u = f(x), una función diferenciable en x
©
^Kf(x)dx = K ^ f( x ) d x
fH'l
(?)
jx " d x =
+c
6
Eduardo Espinoza Ramos
©
a udu =—— + c,a> 0, a* 1
ln a
j e udu = eu +c
© Ju 2 +a2 a
©
©
a
¡
í
Ejemplos de aplicación de estas fórmulas.
Calcular las siguientes integrales.
Jx(a - bx2)dx
Solución
Como x ( a - b x 2) = a x - b x 3 entonces:
+c
Solución
A la función, se expresa en la forma:
_ x 2m-\f2 _ 2 x m+n~li2 + X 2x li2
= jt(4m~1)/2 - 2x (2m+2n~l)/2 + x(4n-l)/2
entonces j ^ - Z £ ^ - dx =
- i x ^ 2^ 12 +x iAnl)l2)dx
jc(4m+l)/2
2JC<2m+2',+1>/2
x(4»+l)/2
(4wj +1) / 2
(2/w + 2« +1) / 2
(4« +1) / 2
7
Integral Indefinida
2-s/jt4m+1
4/w + l
©
W x 2m+2n+1
2w + 2/i + l
2-v/x4n+1
+ 6*
4/1 + 1
|(.x—v/x+l)(V^+l)rf*
Solución
Efectuando la multiplicación de (x--J x + l)(-/it +1). es decir:
(jt—Jx + lft-Jx +1) = x 3/í + 1. entonces:
2x'n
©
J (x --/x + l)(-s/x + l)dx = j*(x3/ 2 + \)dx
f g (-* )./'(.T )-g '(*)■ /(*) dx
J
g~(X)
Solución
o ti
ij
■ .
Se sabe que la diferencial de un cociente es:
j , f ( XK g ( x ) .f'( x ) - f(x).g'(x)
a (------ ) = ----------------- --------- dx
g (x )
Ahora reemplazando en la integral se tiene:
©
r g {x).f'(x)-f{x).g
( x ) , f ( x ) - n x ) . g'{x)
'( x ) dx
fr /(x)
.,/( * )=,
fW
J
Í*)
J J *O
W
*M
[*W ]2
'
+c
3 + lnjc J
dx
J------x
Solución
A la integral escribiremos en la forma:
r3 + lnjt ,
dx r.
dx
, ln2 x
-------- dx = 3 — + lnx.— = 31n|jc| +-------+ c
J x
J x J
jc
2
[g(*)]~
8
Eduardo Espinoza Ramos
dx
©
x 2 —4jc H-13
Solución
Cuando en el denominador se tiene una expresión cuadrática como en éste caso, se
completa cuadrados.
x 2 - 4 x + 13 = (jc2 -4jc + 4) + 9 = (jc-2 )2 +9
r
í ?
dx
^ u
r
dx
1
= J í í ^ ? ' 3 arc,e,- r ,+ ‘-
Jt + 1 .
— dx
2x
Solución
Cuando se observa que el diferencial del denominador se encuentra en el numerador
o su diferencia esté en un factor de proporcionalidad, en éste caso se aplica la fórmula
(7) es decir:
Sea u = x 2 + 2x => du = 2(x+l)dx, de donde, ahora reemplazando en la integral:
f * +^ dx= f — = —ln|w|+c* = —ln| x 2 + 2 x |+ f
JJ 2u
2u
2
2
1
1
2
J x 2 +2x
x 3dx
+ jc4
Solución
En forma similar al ejercicio (7) se tiene:
Sea w= l+.v4 => du = 4xi dx
=> x 3dx = —
Ahora reemplazando en la integral:
r x ydxtd u 1. . ,
I
—= 1 — = —ln \u
J l+ jc 4 J 4w 4
*%■
I...
4,
= —In 1+jr +<•
4
9
integral Indefinida
(¿)
j(a x +b)* 2dx
Solución
En éste ejercicio se aplicará la fórmula (6) es decir:
Sea u = ax + b => du = adx
dx = —
a
Ahora reemplazando en la integral:
f✓
»
f
Jx w
+bx"dx
I (ax +b) “d x = \ u
J
J
©
3 /■
> du
1 2
2
*¡t i
" — = —.—u° “ + c = — (ar + fe) “ +c
o
a 5
5¿z
Solución
A la integral dada lo escribiremos en la forma:
| x " l^!a +bx"dx = j (a+bxn)U2x H'dx
...(1 )
Ahora aplicando la fórmula (6), es decir:
Sea u ~ a +bxn =>
du = bnxM]dx de donde x n i dx = —
hn
Luego reemplazando (2) en (1) se tiene:
f „ , /---- ,
I A
J
(¡T)
^
f 1, 2 du
fev í/rV = I ti
J
1
n ,
3hn
------= ------- 14 + C'
hn
2(a +hxn)v l ,
3hn
------------------------------ + C
J jclnx
Solución
En ésta integral aplicamos la fórmula (6), es decir:
... (2)
10
Eduardo Espinoza Ramos
Sea u = ln(ln x)
dx
d u ~ ------ , ahora reemplazando en la integral se tiene:
jtlnx
f In(lnx) ,
f.
dx
f , u2
ln2(ln(x))
—
—dx — I ln(lnx)------ =1 udu = — + c = ----+c
¿ jflnx
J
jclnx 2
2
2
©
*
f
—
Solución
A la expresión, agrupemos en la forma:
^ l + x 2 +(l + x 2)3,2 = ^ (l + x2) + (l+ x 2h /l + x 2
= -J(l + x 2)(l+Vl +
f
xdx
f
-----------=
V1+ * + fl + * ~)3 2
="n/i + x2 -Jl+Vl+Jr2"
C„ ít
T x !;■> xdx
-----= (l + Vl + x - ) 1/’ - 7_ . . . ( l )
‘yjl + x 2
ahora aplicamos la fórmula (6), es decir:
Sea u =l +T¡l-tx2
=>
du = .X^X
Vl+.v2
*.-(2)
Reemplazando (2) en (1) se tiene:
f ..... .A^A.... ..f u ll2du = 2u1' 2 + c =2^1WT+*2
WT
Solución
En el presente ejercicio aplicaremos la fórmula (7); es decir:
+c
11
Integral Indefinida
3 i_
2
Sea u = 1+x-Jx , de donde du = - - J x dx entonces -s/jc dx = —du
2
3
Ahora reemplazamos en la integral dada, se tiene:
r -Jxdx 2 [du 2 , . .
2,
/- .
------ 7= = - — = —ln | m| + c= —ln 11+W * | +<
J 14Jr
3
1 + yx4
x 33*J um 13
© ¡
t'are,gJ + xln(x2 +l) + l
dx
\+ x l
Solución
En primer lugar aplicamos la propiedad (7) es decir:
r
+xln(x2 +1) + 1
re*m * , f
->
x í /x
f dx
I ---------- :---- T--------------------------------------------------- — '* = I ------ T d x + \ ln<*‘ + , >---
J
l + X~
J 1+X
1
1 + X"
•’ l + X "
Ahora aplicamos las fórmulas (6), (8) y (10), es decir:
f
+xln(x2 +1) + 1
-------------- ^------'— dx=
J
1+ x"
ln2(x2 +l)
4
+ -- ------- -+arctgx + c
x 2 +3
x‘ (x ' +9)
Solución
En los ejemplos anteriores, para el cálculo de las integrales, lo que sé hacia era
expresar en una forma de tal manera que, se pueda utilizar las propiedades básicas de
integración en forma directa, pero ciertas funciones no es tan fáciles de expresar en
forma directa, esto depende de la práctica que se tenga y de la habilidad de la que está
calculando; tal es el caso del presente ejercicio, es decir, en el cálculo de la integral,
se hace de la siguiente manera.
x 2 + 3 = x 2 + —(x2 + 9 - x 2) = —x 2 + —(x2 +9)
3
3
3
ahora reemplazando en la integral dada se tiene:
12
Eduardo Espinoza Ramos
r x 2 +3
Jx V + 9 )
_ 1 f 2x2 + (x2 +9)
3 J jr2(x2 +9)
_ 1 f.
2x2
x 2 +9
~ 3 J r ( x 2 +9) + j t (jc2 +9)
l r r 2dx
r d x 1 l r2 x l n
= T [ I-T —r + I — ] = r t r a rc tg -— ]+ c
3 J jr + 9 J jr
33 3 x
dx
Jf —
Wv7
x(x' +1)
Solución
En forma similar al caso anterior, el numerador expresamos en la forma:
1 = (x7 +1) - x 1, ahora reemplazamos en la integral dada:
f
=f^
J x ( x 7 +1)
f
J
A
x(x7 +l)
r dx _ r x dx
J x J x 1 +1
' A -f
J x ( x 7 +1)
^
J x ( x 7 + l)
(aplicando la fórmula 7)
= l n | x | - y l n | x 7 -h11-i-c:*
cosjcdr
V sen"
cpn x
r —
- 6sen* + 5
5
>
Solución
Í
cosx dx
_ r
cosjc
c o s j c dx
sen2 jc-6senjc + 5 J (sen2jc-6 sen x + 9 ) - 4
cosjc
fr
c o s jc dx
J (senjc-3)2 - 4
13
Integral Indefinida
En éstas fórmulas básicas van a considerarse los casos en que él integrando es una raíz
cuadrada de una expresión cuadrática.
Sea u = f(x) una función diferenciable en x, entonces:
Nota.- Las integrales de este tipo se calculan completando cuadrados.
Ejemplos de aplicación de estas fórmulas.
Calcular las siguientes integrales.
O
\-r=
r=
3 V -* 2- 6 x - 6
Solución
14
Eduardo Espinoza Ramos
En la expresión completamos cuadrados: - x 2 - 6 jc- 6 = 3 - ( x2 +6+9) = 3 - ( jc+ 3)2
ahora reemplazando en la integral y aplicando la fórmula (1)
dx
t
dx
/*+3,
.vr-_,-r= =
= = arcsen(—-=-)+c
3 4 - x 2 - 6 x - 6 J ^ 3 - ( x +3)2
V3
t
Solución
Completando cuadrados en la expresión 5 - 2x + x 2 se tiene:
5-2jc + jc2 = x 2 -2 x + 1+ 4 = (jc-1)2 + 4 , ahora reemplazando en la integral y
aplicando la fórmula (2)
f . -
- f - ^ = = - ^ =^-r = l n lx - l + V 5-2x + x 2 |+c
J V 5-2 x + jc2 J ,/ ( x - l) 2 + 4
®
JJ W- l-Aln -x
Solución
dx
i
/*
.
W l-ln 2 x
. . . a)
V l- ln 2 jc
Sea u = lnx ==> d u - —
x
Reemplazando (2) en (1) se tiene:
— . ***
=f .
x s lí^ iñ ^
= arcsen(w) + c = arcsen(lnx) + c
... (2)
15
Integrai Indefinida
Solución
A la integral dada escribiremos así:
?
f senx eosx d x = )_ f 2 senx.eosx ^
V2-sen* v
2
v „
4'É O - £
(1)
.12-(sen ’ .t)2
Sea w = sen2 x => d& = 2 senxeosxdx
\
...(2)
Ahora reemplazando (2) en (1) se tiene:
r sen .yeos x ,
1 r du
,
= dx = — \ .
J V 2-sen4 x
2J
1
, « v
1
,sen2 x x
= —aresení—¡=)+c = —arcsen(—
) +r
2
^
2
^2
J-\/.Y2- 2 x - l <ÍT
Solución
Completando cuadrados:
jc2 —2jc—1= ( a —l)2 —2 , reemplazando y aplicando la
fórmula (5) se tiene:
J Vx2 - 2 x - l dx = J-^ (x -l)2 - 2 dx
x —1
©
-y/x2 - 2 x - l -ln lx -1 + V x 2 - 2 x - l \+c
J ax -x 2
a/ 2
Solución
Completando cuadrados: l a x - x 2 = a 2 -(x - o ) 2.
Ahora reemplazando y aplicando la fórmula (1).
r
dx
r
dx
,x ~ a .
I = = —¡ = = = = aresenf------) +c
J -J la x - x 1 J -Jo2 - ( x —o)' 2
16
Q
Eduardo Espinoza Ramos
J
(8x-3 )dx
~<J\2x-4x2 - 5
Solución
Cuando se tiene éste tipo de integrales, en el numerador se pone el diferencial de la
cantidad subradical, luego se resta ó suma una cantidad de tal manera que, resulte la
misma expresión, es decir: d( 12x - 4 x2 - 5) = (12 - 8jc)dx
r
(&v-3)rfr
r ( 1 2 - 8 x - 9 )dx _
* J \2 x -4 x 2 - 5
Vi2 x - 4 x 2 - 5
^.r
(\2 -% x )d x
^ jl2 x - ~4x^-5
= —2-\/l2x-4jEZ - 5 -f—f .
2-»
h
^r
=
dx
^ |l2 x ^ A x 2^ -5
=
TT
x- 2 }
= -2'yj\2x~4x2 - 5 + ^arcsen(—y ~ ) + c
O
J
V2 + x 2 —v/ 2 —jc2
—dx
4^.
Solución
A la expresión, separamos y simplificamos
-\/2 + jc2 - ^ 2 - x 2 _ -v/2 + x 2 —n/2—jc2 _ -\/2 + . t 2 —s/2—jc2
V 4 -x 4
-^(2 + jc2) ( 2 - x 2 )
^¡2 + xI ^ Í 2 ^ 7 2
V 2 +X2
V2 -X2"
-^2 +x 2 - j 2 - x 2
^¡2+x2 - j 2 - x 2
Ahora reemplazamos en la integral dada se tiene:
-j2 -x 2
^2+ x2
Integrai Indefinida
17
= arcsen(-^=)—ln |x + 1/ 2 + x 3 \ +c
■n
1 (x2 +¡fríP +1
Solución
Al integrando divide, numerador y denominador entre x 2
r
/(x
■ 2 -îjfflr
j
-1u)dx
----(1-----------------------T*1*
jr
fr ____
_ rf
' (x2 + lh /x 4 +l
• '( x 2 + lh /x î + I
(vJ.Iv Ü + J _
* V
X2
Ahora hacemos la sustitución: w= x + — =>
*
1
w=x + —
=>
„
*
2
u -x
2
1
+-—
+2
2
X
¿« = (1 — ^-)rfx
x2
? 1
7 «
=>2 * +■— = « - 2
X
enseguida reemplazamos en la integral
f
(x“ - l )dx
r
du
1fu| 1,x+1.
---------- = — ,
■= —;= arc sec —==+c - —¡=arc sec(-==-----)+ c
J (x2 + l h / 7 7 7 J w^ / ^ 2
-J2
-fi
J2
J ï\x \
10)
x2 +17
I — =dx
Í Vx2 +9
Solución
r x2 +17 . f(x 2 +9) + 8 .
f x2 +9 ,
I ,
dx= — , - ■ - dx=
Vx2 +9
Vx + 9
Vx2 +9
_f dx
dx + S\ -,--=■
-\/x2 + 9
= f Vx2 +9dx + 8f
—
J
-vx2 +9
= —[xVx2 +9 + 251n|x + -\/x2 + 9 |+ c
2
18
1,5.3
Eduardo Espinoza Ramos
TERCERAS FÓRMULAS BASICAS DE INTEGRACIÓN,En éstas fórmulas básicas vamos a considerar a las funciones trigonométricas, para
esto tenemos una función u = f(x) diferenciable en x, entonces:
| sencidam -m sw
|
Jíg&ifc ~-ífí:|€OSí¿:| ^
£ ?)
=ífe|^e£f+
tg(^+
c
u "§$
Jeosecuutu ~ in[cosecu - c tgu | = In)tg~ | +c
(? )
| ses- u.du :- :f e f x
J smtt. t g « ; é í N : ^ # ^ t ■
^ ^ ^ u M i ^ - c X g u +&
^pj) J w s e p m ^
Ejemplos de aplicaciones de estas fórmulas
Calcular las siguiente integrales.
Jsen(x2 - 4 x + 5).(jc-2)rfx
Solución
Sea w= jc2 - 4 jc+ 5 => du = 2(x-2)dx , de donde
(x - 2 ) = ^y
reemplazando en la integral dada
f
-ivj
f
du
eos u
cos(x2 -4 x + 5)
I sen(jr - 4 x + 5).(x-2)dx= I sen u . — = -------- + c = ----------------------+ c
^
2i
2*
2
J cos(sen x + x 2).(2x+ eos x)dx
^
19
Integral Indefinida
Solución
Sea u = sen x + x 2 => d u - (2x + eos x)dx , reemplazando en la integral dada
J cos(sen x + x 2)(2x + eos x)dx = J eos u.du = sen u + c = sen(sen x + x 2) + c
tg(V*2 +4)x
©
dx
J x 1 +4
Solución
Sea u =-\/x2 +4 => du = —¡ ^ ^ = . reemplazando en la integral dada:
V*2 +4
[ tg(Vjc2 +4)
J
(7 )
X<^L = = f tg u.du = ln | sec u \ +c =ln|sec(Vx2 + 4 )|+ c
V x2 + 4
J
Je tg (ln .r)-^
Solución
dx
Sea u = ln r => d u - — , ahora reemplazando en la integral dada:
x
Jc tg(ln x) — = | c tg u.du = ln | sen w| +c = ln | sen(ln jc) | +c
( 5)
J sec(3x + 5)dx
Solución
Sea u = 3x + 5 => du = 3dx => rf* = ^ , ahora reemplazando en la integral dada.
f sec(3x + 5)dx = f sec m.— = —ln | sec u -1- tgu | +c = —ln | sec(3x + 5) + tg(3x + 5) | +c
*
J
3 3
3
20
®
Eduardo Espinoza Ramos
[secasen
J
+
2-4x
Solución
2-Jx
c
r
j
2'Jx + c.oS'Jx .
Sea u = sen V* +x => du = -------- ¡=------ dx
Ahora reemplazando en la integral dada:
Jsec(sen^[x + x)(
(7 )
^
^
)dx = J sec 2 u.du = tgu + c = t g ( s e n + x) + c
| secasen x ) tg(-Vseñx )^Jcigx^fcosxdx
Solución
f—
eos xdx
Jc tg W c o sx
Sea w- Vsen x => du = —= = = ----------------dx
2vsen.v
2
De donde, ahora reemplazando en la integral se tiene:
| sec(-Vsenjc) tgí^sen x )^/c tg W cos x rfx
= 2J sec k. tg w.dw = 2 sec w + c = 2 secasen x) + t
©
f v r + eos 8xdx
Solución
Se conoce que: eos2 4x =
l + cos8x = 2cos2 4 x , ahora reemplazando
en la integral dada:
JV1 + cos8xí& = JV2 eos2 4xí/ x = a/2 Jcos 4x.dx =
a/2 sen 4x
-+£■
21
Integral Indefinida
1.5.
En estas fórmulas básicas vamos a considerar a las funciones hiperbólicas, para esto
consideramos una función u = f(x) diferenciable en x, entonces:
(1 )
Jsenhw.rf.v = coshí* + é
(¿ p J coshfe^f« = senhw -i c
(”Í )
J tgiiu.du = ]nl'cosh» | +¿
( 7 ) j c i 0 ü . M ± ínjséah»} #
( 5)
Jsec/?’?«*/ igliw+f
(g) | cmechhi-du = -ttgh
?)
J cosecte./. tghí<uíw = cosec/«/ +<:
Ejemplos de aplicación de estas fórmulas básicas.
©
í sec hx.dx
Solución
r>
Como sec hx =
coshx
, 1
2le
ex +e~x e2x+ l'
Hacer: u = ex => du = exdx, reemplazando en la integral dada:
í sec hxxix = 2 f —^ ---- d x - l [
= 2 arctg(w )+c =2 arctg(e*) + c
J
J e~x +1
J u~ +1
J(3senh7,v-8cosh7x)rfx
Solución
J (3 senh 7x - 8 cosh 7x)rfx = 3jsenh7x.<lc-8j cosh lx.dx = - C° ^ — - ^ 5 ^ L +C
(T )
J 5tghA.sec h2x.dx
22
Eduardo Espinoza Ramos
Solución
Sea u = tgh x => du = sech2x ¿y, reemplazando en la integral dada, y por la
fórmula 9) de la primera parte se tiene:
cu
,-tgh.r
f5 Igh\s e c /r * dx= \5 “d u = — + c = - -----+ c
i
i
ln5
ln5
©
j cosh2 x.dx
Solución
€'X+ € X
1
cosh2 x.dx = (---------- ) 2 = —(e2* + e 2jr + 2 ), reemplazando en la integral dada
2
4
i
i
ícosh2 x.dx = — [(e2x +e~2x + 2)dx
J
4J
1
- —(senh 2x + 2x)+c
4
©
i
2x
= —[—-- --— + 2x] + c
42
2
1
x
=—senh 2x + —+c
4
2
senh jc.coshjc.dx
Solución
J senh4 x cosh x.dx = J (senh x)4 cosh x.dx -
(ó )
senh5 x
+C
jV *. cosh{e*) senhfc* )dx
Solución
| ex cosh(er)senh(e' )dx = J senh(^x).cosh(er)£xdx =
----- '
du
(7)
ísenh(-v/x)-^r
J
vx
senh2 e*
■+•c
2
23
Integral Indefinida
Solución
senh^/jc)= 2 í scnh(-Jx )d(*Jx) = 2 cosh( J x ) +c
OBSERVACION -
En ciertos casos es preferible elegir un cambio de variable en la
forma mas adecuada a fin que la integración sea fácil de
resolver y este caso veremos con el nombre de integración por sustitución o cambio
de variable.
1.5.5.
INTEGRACIÓN POR SUSTITUCIÓN O CAMBIO DE VARIABLE,TEOREMA.-
Si x = (JKt) es una función diferenciable entonces:
Demostración
Sea F(x) = J / (x)dx y definimos G(t) = F(<Kt))
Probaremos que G(t) es la integral indefinida de la función /
se cumple:
, esto es que
(2 )
Lo que es equivalente
En efecto se tiene:
G(t) =
f(4>(l))jp'(t)dt
dG(t) __ d^ F(<¡>{t)) = — F(x) , x = <J>(t)
di
dt
dt
... (3)
24
Eduardo Espinoza Ramos
dF(x) dx (regja ^ ja ca(jena)
dx dt
= f(x)4'U)
pues dFj X^ = f{x)
dx
- f ((¡>(t))$ (/) (lo cual demuestra 2)
Se concluye que:
Sí x = <|)(t) entonces J / (x)rfx = F(x) = F(<¡>{t)) - G{t) = J f
Ejemplos.-
(t)dt
Calcular las siguientes integrales.
J x\ j x - 2 dx
Solución
Sea t = x - 2
=> x = t + 2
=> dx = dt, reemplazando en la integral
j x l f x - 2 <¿*= J(/ +2)Vr rf/ - J(í4/3 +2tl l i )dí
= 3 /7/3 + 3 /4,3 +c = i (jf_ 2)7/3 +l ( x - 2 ) 4/3 +c
©
í V#i- i* 2
Solución
Í
x 3á
_ f x 2jr dx
sea / = 1—x* => x 2 = l - f
=> xdx = - - y , reemplazando en (1)
25
Integral Indefinida
1V
3)
f
3
= 1 3/ 7 - t 1!/■->+c = t.111
' ( — l ) + c = — --- - + í = V 1 —JC ( -------------------- ) + c
3
3
3
3
J v5Vi ~ v 2 rfv
Solución
J x5 Vi - * 2dx - J (x2)2Vi - * 2 x
Sea / = 1—jr2=> je2
dx...(1)
= 1 -/ =>
x dx = - ^ , reemplazando en (1)
J * 5V i“ -T2rfx = J ( x 2)2V i“ * 2* rfx = J ( l - / ) 2Vf
= J (l-2 / + r
) - v / 7 ( - ^ - ) = | j ( 2 / J ' 2 - f 1 / J - t ‘i / 2 ) d t
2 f 1 1 12 1
=—
r — r ¿— /
5
3 7
7/ ■>
+c
= ^ (1 -V 2)5' 2 --(1 -A -2)3 2 - I ( l - X 2)7/2 + f
5
3
7
dx
©
IJ -W-v
t H-1
-1
Solución
Sea f 2 = v 3 - l => .v3 = 1 + /2 => x 2f/v = zí_í^
reemplazando en (1)
26
Eduardo Espinoza Ramos
f
J
dx
f
x 2dx
_ r
21 di
w * 3-1 _ J 3(i+ / 2) ^ r
2
=- J ----7 =—arctg/+c =—arctg(-y/jc3- l ) + c
Solución
dt
Sea i = jr5 +1 => x 4dx = — , reemplazando en la integral dada:
r x
©
t t f f _** =
. 1I f f,c ' " d t ^ +c = W
30
30
J 5ift s J
+ D6' 7 + c
|^ 2 + ^ 2 +a/2 + 2 c o s (5 ^ + 4 M '1(2*
Solución
Por la identidad eos2 —= ■*—C0S-* de donde 1+ eos x = 2 eos 2 —
^/2 + 2cos(5^/x + 4) = a/2.^/i + eos(Wx + 4) = ^2^2 cos^
*
= 2 cos("*^*+ ^)
^¡2 +-y¡2+ 2cos{5-Jx+4) = ^ 2 + 2 c o s - ^ ^ -
-^2+-^2 + -^2 + 2cos(5V* + 4) =-^2+ 2 eos
= V2^1 + eos
^
27
Integral Indefinida
5-/x + 4
pr pr
5-J x + 4
= V2.v2.cos--------- = 2cos----------ahora reemplazamos en la integral dada
J ^2 +
+-J2 + 2cos(5^/x + 4) . x V2dx = 2 Jeos
5-\/x+ 4
8
8
rf,v
5 "
2-v/ jc
=> —í f c = — =
=> .v
-i/?
— jc'^dx
16
~dx = — d :
5
J-^2+-j2+-y/2 + 2cos(5-s/x + 4)Fjc 1/2í/x = 2 J c o s ífc = — senr + c
32
5Vx + 4
= — sen--------- + c
5
8
Se traía de las integrales de la forma siguiente:
Las integrales de la forma (1) y (2) se calculan completando cuadrado en el trinomio y
aplicando 11 y 12 de la Ira. fórmulas básicas 1 1, 2 y 3 de la 2da. fórmulas básicas es
decir:
28
Eduardo Espinoza Ramos
r
dx
* ax2 +bx+c
1f
oJ
dx
b 7 4cfc- ¿ 2
(* +— )“ +----—
2a
4¿r
rf-Y
í z
x a xf^ bc x +c i l -
f
6 .7
4ac-Z r
I,x+ ü > - + ^ r Luego aplicar las fórmulas indicadas para las integrales de la forma (3) y (4),
primeramente se calcula la derivada del trinomio cuadrado 2 ax + b.
Luego se acomoda en la expresión ax + b en la siguiente forma:
ax+b = — [2cx + d]~ — + b, como se observa que la expresión 2 cx + d es la
2c
2c
derivada
una
integrales.
l 1 ¥ U U U del trinomio cuadrado, luego
LA Ureemplazamos
1 V 1 1 1 1 V / W W U U i U U en
KJ* Acada
UVC
1 V i l t Ude
U U las
I
(ax+b)dx a r (2cx+d) J ,, ad t
dx
--------dx+(b
—)
—¿
--------—
---------=
—
—
5
j cx~
-n + e 2c J cx~ + dx+e
cx~+dx
2c J cx~+dx+e
aquí se aplica la propiedad (7) de las Ira fórmulas básicas y la integral de la forma (1).
En forma similar para la otra integral
r (ax + b)dx
^ c x 2 +dx +e
_2l Í
+
2cx+d
ad r
^c J Ver2 +dx +e
dx
^c J ^Jcx^d x^-e
aquí se aplica la propiedad 6 de la Ira fórmula básicas y la integral de la forma (2 ).
Í
dx
— --------------
x~ +2x + 3
Solución
Completando cuadrado x 2 + 2 x +3 = (x +1) 2 + 2
29
Integral Indefinida
Í j r - 7dxj t + 10
——
r ' —
Solucion
- _Z _!
f
r- | <n
•,
49
49
Completando cuadrado jc‘ - Ix + 10 = (*“ - Ix + — ) + 10----- = (x 4
4
dx
r
dx
1_ , ' i i ,
1_ . jt- 5 ,
-------= ------ =----- o = T ln |----5 - 5 - 1+í' = T ln |— ^ l + f
j jc2 - 7 jc+ 1ü
/ y——)" —— 3
r-Z + i.
3r ” 2
2
4
22
Ejemplo.-
Calcular la integral
¿A
-p
J V4x-3-Jc2
Solución
Completando cuadrados 4jc—3 —Jt2 =1—(a 2 - 4 y+ 4) = 1-( y- 2 ) 2
í .
= - f - = ^ ^ ^ = = arcsen(v-2) + c*
J V4r- 3-Jt2 J Jl-(*-2)2
Ejemplo.-
dx
Calcular la integral f .................*
J V r 2 + 6 r + 13
Solución
Completando cuadrados ,v2 + 6x + 13 = (x+ 3 r +4
í ___ — ____ - f
J V * 2 +6.V + 13
Ejemplo.-
----- = In |x + 3 W-V2 +6~y+13 1 +r
^ /(v -f3 )2 4 4
0 ( v - 2 )dx
Calcular la integral I ---------1 1 —
~ ^ x -lx-* 12
Solución
30
Eduardo Espinoza Ramos
1 2 * -7 + 3
2 x 2 - l x +12
1 ^ 2x —7
|
3
2 jc2 - 7 jc + 12 2(x2 - 7 a*+ 12)
se observa que 2x —7 es la derivada del trinomio x 2 - l x + \2
f ^ - 2 |A
J a
= i[
- 7 a + 12
—
, 2x~7
2 J jf - 7 x + 12
2 J a - 7 a + 12
= — In | .y 2 - 7.y + 1 2 1+ — [ -------^ — 2
2J ,
7 i
1
(x — ) —
2
4
x_ 7 _ I
—ln|A 2 - 7 x + 12| + —.— ln | ---- 1 \ | +c
2
2 1.
711
2(—)
A - - +2
2 2
—ln |x 2 —7,v +121+ —ln | ——-\+ c
2
2
Jc-3
Ejemplo.-
3jc 1
Calcular la integral í — ------------ dx
J 4x —4.V + 12
Solución
3
4
3
1
3.y-1 = - [ 8 a - 4 + - ] = - ( 8 a - 4 ) + 8
3
8
2
í d x —^ í
^ a-4
dx+^ í
1 4x2 - 4 x + 17 * 8 J 4a-2 - 4 a +17 * +
4a 2 - 4 a + J7
= —ln |4 x 2 - 4 a + 1 7 |+ —í ------ P -----8
8 J . ( x ------)
l j +4.
2
1
3
1
= —ln 14x2 - 4x +171+ — arcig
8
16
—+ c
2
Integral Indefinida
31
= —In I 4x2 ~ 4 x +171+ — arctg(——-) + c
8
16
4
Ejemplo.-
Calcular la integral í
l)dx_
V x 2 + 2 .V + 2
Solución
se observa que 2x + 2 es la derivada del trinomio
r
(3 x -l)d x
W x 2 + 2x + 2
3 |
r
2* + 2
1 1 ■> - ax
2 ,‘ V x " + 2 x + 2
„1 r
qJ
dx
r( x + 1 ) 2 + 1
= 34 x l + 2 x + 2 - 4 In I x + 1 + -\/x 2 + 2 x + 2 | + c
Ejemplo.-
f (4 —7jc
> )rfjc
Calcular la integral I .
Vx2+2 x - 8
Solución
4 -7 x = - - [ 2 x + 2 - — l = - - ( 2 x + 2) + l l
2
7
2
se observa que 2x + 2 es la derivada del trinomio
r (4—
(4 -7Jxjux
x)¿/x _
¡c
¿x +¿
7f
2x + 2rrrfx
3 -Jx2 + 2x- 8
2 -* Vx2 + 2 x -8 ^ ■\¡(x + l)2 - 9
= -7-y/x2 + 2 x -8 + llln |x + l+ V x 2 + 2 x -8 |+c
32
1.5.7.
Eduardo Espinoza Ramos
EJERCICIOS PROPUESTOS DE LAS FÓRMULAS BÁSICAS.Calcular las siguientes integrales indefinidas inmediatas:
©
f 3ax1 - 2bx ,
7
dx
Vax3 - b x 1
©
f
©
a*eos x.dx
Rpta. 2 ^a x * -b x 2 + c
Rpta.
J (a*sen a*+ cos a -1)
f
dx
(a sen a + cos x - 1)] ,w
1- m
Rpta. 2^/ln(x + '\/l + x 2 ) +í*
Y(l + A2)ln(A+-\/l + A2 )
©
1ln(C0SX).tgX.rf*
ln2(cosA)
Rpta. -------------- + c
©
f^/l + lnx .
---------- dx
J
A
Rpta. —(1 + lnx)4' 3 +c
4
2 i
„
Rpta. -----■%V/ nu 4 -F hC/JVv
nb
f x" V a
©
^]a +bxn
f x-arctg(2x) ^
©
J
1+ 4x"
r
¿v
©
*
(aresenx)3 ^ \ - x 2
f
2
Ja
©
Rpta.
Rpta.
ln(l + 4x2)
8
1
c
4T- t
arctg2(2jc)
4
7
2(arcsenx)~
Rpta. arctgtO + c
©
r a* ln¿/ ,
----- — dx
J l + o 2r
Rpta. arctg(tf*)+c
©
re*(l + xlnx) ,
------------------rfx
J
A
Rpta. ex lnx + c
33
Integral Indefinida
Rpta.
jt2v(lnjc + l)rfr
r
@
©
©
V JC -JC
*e v +x 2
dx
©
@
+c
R p ta .------ p r - e 1 + l n | y | + c
3x^Jx
sen 2x^\ + 2 cos 2x dx
Rpta. -i(l+ 2 c o s2 ji-)3/2+ r
4 x ( x i , 2 - 4 )}rfv
Rpta. - ( j t 3,2- 4 ) 4 + f
6
Rpta. — \n\ci +bx2 |+t*
2b
a +bx2
¿/x b p - a q . .
cj
Rpta. — + ——:pM n|jt + — l+c
P
p~
P
ax+b
dx
px +q
©
x 2x
_
xdx
Rpta. (jr2 + l)2 + r
VJC2 +1
_ f— liT y
Rpta. 24 x + —-— + c
V* + In y
_
JC
jrd.Y
y
Rpta. (x2 + 8 )2 +c
_
I
,3x
Rpta. —arcsen(— ) + £■
dx
'\j\6~9x2
ln(x + -\/l + * 2 )
dx
Rpta. y[ln(x + ^ l + x 2 )]2 + £
1 + JT
e'dx
a + hex
Rpta. ^-ln\a + he* [+r
34
Eduardo Espinoza Ramos
dx
í 4 + (jc-2 y
xdx
j 6 + (3 + 2a 2 )2
sen a rfx
.
1
x- 2 v
Rpta. —arclg(------) + c
2
2
_
1
3 + 2x2
Rpta. — arctg(— = —) + c
4V6
V6
Rpta. ln |1 —eos x | + c
COSA*
Rpta- -y—ln | j —| +<•
16
x 2 -X
sec~ x d x
a + h tg x
see2 x d x
©
Rpta. —ln| a+ ¿tgx|+í*
b
í 6 + 2tg2 x
^
1
, tg x
Rpta. —= arctg(-T^) + c
2V3
V3
Je i 2 x i ) d x
Rpta. yí?ílr 5 ) +c
© Ídx7xln"
Í^ x
Rpta.
©
J
1
3 , 6.
)+ c
Rpta. - ( - ) " (
25 5 In 6 -ln 5
©
I
2'3 ~ i
ex-2
18¿t
ln.r
+c
_
2 1. , jc+ 3 .
R p ta . ------- InI----- 1+c
a
9x2 - x A
Rpta. 2V
3
a - 3
- cos a + c
COSA
© Jfsen ,.r^/ctgjc-1
f
Rpta.
(í tg x -1 )3 +<
35
Integral Indefinida
(x2 -2 x + l)5
dx
l-x
senh xdx
1
Rpta.
2(1 + cosh x)
(1 + cosh A )
(]n.i+ I)e'lnxi/r
Rpta. x x +i
a 7 x~ - bl 2
_
1 . , a x -b .
Rpta. — -ln|--- ~\+c
lab
ax +b
ascnx cosx dx
Rpta.
1+ sen x
dx
x - cos X
Rpta. In | x - cos x | + c
e hxdx
l - e hx
Rpta. ^ - ln |l- e bx | +c
x 2dx
(a +bx.3 )v2
Rpta. -
x3- l
dx
x4 -4x+\
Rpta. -^-ln|A'4 - 4 a + 1|+ c
dx
©
+c
dx
x 2-4v+ 8
18 dx
x2 + 4x-5
, sec 2x i ,
(----------)~dx
l + tg2x
a
+c
In a
1
3b(a +bx )
1
fx-2
Rpta. —arctg(-——) + c
_
2
2
Rpta. 3 In | ——- | +c
x +5
Rpta. -
2(1 + tg 2x)
+c
36
Eduardo Espinoza Ramos
4 dx
Rpta. 2 a rc sen (^ ^ ) + t-
V -4 x 2 -2 0 a - 9
aretgV* d*
Rpta. arctg2 V *+c
I Vx + 2x2 + x 3
© i cos2 dx +
A -Jl
©
J
Rpta. 2^/l + tgjr+ c
tg-V
2x - Varcsen x
lnxdx
j x(l+ln~ x)
©
Rpta. - l 4 \ - x 2
dx
(aresenx) -n
V i- * 2
1
?
Rpta. —ln |l + ln~ x |+ c
dv
2jt
dx
í—
J <?2' + i
Rpta. ln |e +é~x |+c
lnx-1 .
y— dx
Í ---
Rpta.
g 'W
Rpta.
ln x
j (g W )2
dx
x ln x - ( l + x 2)arctgx
x(l + x 2)ln 2 x
dx
lnx
+c
g(x)
■+ c
_
arctgx
Rpta. ---- — + c
lnx
dx
_
lnx
Rpta. ---- + c
x r (xln2 x + x ln x -1 )
dx
/
ln2 x
Rpta. ---- + c
lnx
1 -x ln x
i
Xí?
V i- * 2 aresenx-x dx
© i V l-X 2 (aresenx)'
Rpta.
aresenx
+c
Integral Indefinida
@
g(x).g'(x)
■Ji+gHx)
37
dx
Rpta. ^ l + g 2(x) +c
e x~e dx
Rpta. e€ +c
©
ln(2x)
dx
ln(4x)x
Rpta. In x —In 2. Ln | x In x
©
2 + x + 3 arctg3x
dx
1+ j r
sen ~Jx cos^x
£
dx
ln(2x) + In2 jt
dx
3x
1
3
Rpta. —ln(l + x2) + 2 arctgx + —arctg4x + c
2
4
Rpta. -c o s2
Rpta. Z irr |2 x |+ ^ ln 3 |x|+ ~-ln2.1n|x|+ c
In %*—
dx
e€ e€ ^Xdx
Rpta. e€ + c
x dx
(1 + a*4)arctg3 a*2
1
R p ta .---------- —- +c
4 arctg“ x
sznlxd x
Rpta. -ln |c o s x + 4|+ c
cos'' x + 4
ex sen(4er + 2)dx
©
(x + 2) dx
^/x3 + 6x2 + 12x + 4
Rpta. - Z cos(4 ^ ' + 2)+c
Rpta. —'vx3 + 6x2 +12x + 4+6*
38
Eduardo Espinoza Ramos
x3+x+ 5
dx
x 2 +l
Rpta. — + 5arctgx+r
4 +4 l ^ x : dx
J3
Rpta. -^ -(x + 4arcsenx) + c
a/3 -3 jc2
(x + l)(x2 + l)ln(x2 + l) + 2x2 Vj
_
4
7
----- ----------------—-e ' dx Rpta. xe ln(l + jc2 )+ c
x 2 +l
V3-t4 +4.v3 +6x2 +12jf+9(.v3 +x~ +x +\)dx
Rpta.
-j^(3x4 +4x3 +6x2 +12a+9)5 + c
dx
x(ln(ln (lnx))).(ln(lnx))lnx
3 + xln(l + x 2)
dx
1+ x 2
xdx
©
Rpta. |l n | l n | l n J |ln x |||+ c
1 ?
Rpta. 3arctgx + —ln~(l+x~) + c
4
Rpta. yarcsen(jc2 ) + c
(x-2)dx
Rpta. ^'x2 -4 x + 13 +c
4 x 2 -4 x + 13
©
/
1
T
x~ -a~
®
sen x -x ln x . eos jc
dx
a sen' a*
lnxrfv
(1 -ln 2 x)x
1 ^
T—r r ) ^
x~ —u
Rpta. —ln | —----- —| +c
2
x -k~
__
lnx
Rpta. — -fe
senx
Rpta. ~ y i n |l - l n 2 x |+ c
39
Integral Indefinida
©
x i dx
Rpta.
arcscn(x4 ) +c
VTv
e'dx
e2x - 6 e ' +13
sec2 xdx
1
ex - 3
Rpta. —arctg(--------)+c
2
^
Rpta. In | tg.v + 2 +Vtg2 x + 4tgx + 11+r
-Jtg2 x + 4tg.t + l
©
©
©
1-----Vl + -v2
dx
Rpta. iVl + JC2 -3 1 n |x + V*2 +1 |+c*
Rpta. -arcseii(e *) + £•
exé ~ e 2x
dx
Rpta. arcsen(* j ^ ) + ¿
Vs- 4 x - * 2
dx
Rpta. arcsen(^Z) + c
Vis +2 X - X 1
dx
Rpta. Z arcscn(ln x 2 ) + c
jcV* -9 In2 a*
rf.v
V * - £^2a +3e'
2ex - 3
Rpta. arcsen(—
V i7
sen jcdx
V2- COS2 A
dx
Vs- 6 a -9a-2
©
dx
4 \2 x - 9 x - -1
i
.3.V-2
Rpta. - a r c s e n ( — ^ - ) + c
3
V2
40
Eduardo Espinoza Ramos
s
cos x dx
Rpta. arcsen (2 sen x - 3 ) + e
V -2 -s e n 2 x+3senx
dx
Í V9x22-6 x + 2
Rpta. —ln |3 x - l W 9 x 2 6x + 2 |+c
3
r
3ódx
a,
J T^T4 t
TI2 x + 9
ln
Rpta. —ln ^ ln x + ^ T n 2 v + 9 |-fc*
2
3x dx
i í JC4 +6.V" +5
rfx
Rpta. y l n |x 2 + 3 + V*4 + 6x2 +5 |+c
Rpta. ln | x +'y +'Jx2 + px+g I+c
+ J?x+#
íoo;
f ,
J Vl + tf'r + e2*
© í
[102
dx
V -2 6 -1 6 x -2 ;r
lnxdx
j rVl+ 4 1 n x -ln 2
eos xdx
103
Rpta. ln |e' + —+-Jl+ex + e 2jt |+c
2
Rpta. —p^arcsen(—pr-)+c
V2
V3
Rpta. - V l-4 1 n x -ln 2 x - 2 arcsen(^+^ *) + c
V5
Rpta. ln12 senx +1 + l^ s e n 2 x + senx + 11 +c
Vsen2 x + senx + 1
104J
J
see x <íx
*
^ tg 2 x + tg x + 1
Rpta. ln |2 tg x + l + 2^tg2 x + l + 2-s/tg 2 x + tg x + l |+c
41
Integral Indefinida
- x )d x
a/ 4 . v 2 - 1 2 v +
Rpta.
©
108
109
©
7
- ln |2 .v - 3 + V4.t2 -12.V + 7 \ - - ^ 4 x 2 -12.Ï + 7 + <
4
4
4 dx
Rpta. 41n|(tg2 x - I) + - J t g 2 a* - 2 tg y + 3 |+ r
eos W l-se n 2 a- + 2 eos - v
e o s " A '(tg ~ A' + l )
Rpta.
dx
(sen y-feos a ) '
[see A - t g A
dx
1sec X + tg X
(8a -3 ) dx
Vi 2jl —4 r 2 - 5
Rpta. In I see x + tg x | - ln |see x | + e
Rpta. - 2 - \ / i 2 y - 4 x 2 - 5 + —aresenf
2
2
©
+1
Rpta. —ln|/?A+^]a2 + b 2x 2 | +c
b
*\Ja2 + />2x 2
©
©
1
•+ t
1+ tu v
1
/7
^
Rpta. —Inlsenav + V*?" + sen~ tfx|+t
eos ax ¿7a
^[a2~+s
+ sen_ ¿7v
a/
a 2 + 2 A'+ 5 dx
©
'sjl—x - x 2 dx
©
tJx2 + x dx
©
Vx2 - 2 y+ 2
Rpta. * 2 + 2x + 5 + 21n| a + 1+ Vy^ + 2 x + 5 | + ¿
2 y +1
r ----------—
9
2a +1
8
3
Rpta. -------V 2 - a —y “ + —aresení--------) + (
4
Rpta.
V-V2 + v
- l n | 2 a +1 + 2Vx2 + x |
Rpta. - — - ^ v 2 —2 y + 2 +—ln| y - I + V - y "* -2 x + 2 | + r
42
Eduardo Espinoza Ramos
©
V-*2 -2.V-3 d x
©
V6a - x 2 d x
dx
1119
Rpta.
V-v2 - 2a - 3 - 2 ln | a -1 + V v2 - 2x - 3 | + í „ . a -3 r
T 9
/a - 3
Rpta. ------V6 x - x + —arcscn(—-—) + <
3
Rpta. - j ( ( * + l ) 2 — (.v —1 ) 2 ) + c
■ y f x - 1 +~<]x + 1
120
©
f/t
- J lx + l—<Jx
v2sL-ni 1(sen Y+ Acosx in r)¿/vRpta. —x 2sen' +t*
In3x
jtln5jt
123
Rpta. 2(^/2x+l +-s/x)-2(arctg-\/2jc+ 1 + arctgV*) + c
Rpta. I n — . l n l l n S . v l + l n j c + c
1
Rpta. —— I n 11 + 4 ^ ' | +c*
€?*+4
4
Rpta. —+ 1)2 - 4 ( 4 x + 1)2 + f
-
3
125
dx
Rpta. i( A -- -i-ln ( 2 '+ 3 ) ) + í
3
ln2
2 V+ 3
¿7,v
126
ln(2
Rpta. ^jlnx+^Jlna + ...+ *
ln jr+^ln
r
8
Rpta. — + j l n | x 3 - 8 | + f
127J
A3 - 8
.128
2e -fe
3eT-4 ^
Rpta. ln | V3tJ2r -4 ^ 3 -4 ^ 2* |+r
Integral Indefinida
129
43
f —f^ X -
Rpta. 2 a r c t g -1 + c
J -Je*-l
Rpta. 2-Je* + 2 - 4 arctg(—g
1^130)
~ ) +c
(¡3l)
^
f4 = ^
J Vi+fr
Rpta. - ( í ' ’r - l ) 3,2-2(<?r + l), ' 2 + í3
®
r
ln
a í/x
lnxrfx
---------- —---------J(lnx-l)
J xy 3n
n r - 1 \3
1l
_ „
R
R pp ta
t a .------- ^--------------- r +c
2x~(lnx-l)'
?r-íln >-_l\2
^
J
^
Rpta.
/
+x V - r - l
t>aiclg* +—ln2(1 + x 2) + arete x +c
4
(134)
Jsen(o + bx)dx
Rpta.
- cos^ + ^ + c
(135)
J sen(lnx) ^
Rpta.
-cos(lnx) + c
( oó )
Jx cos(2 -x 2 )dx
Rpta. —^ se n (2 -v 2 )+c
(Í37)
Jsen' 4xcos4xífa
Rpta. -en^ ~ - + c
@
J tg \|)sec2(^)dx
Rpta. 4 t g 4(v) + í'
4
3
r
n x
1 /---- r—
R p t a .------(/eos 2x+ c
^
139)
sen x cos x d\
■...
Veos2 x - s e n 2 x
44
Eduardo Espinoza Ramos
140J
cos(sen x + 2.v)(cos x + 2)dx
Rpta. sen(sen a*+ 2 a ) + c
©
tg(sen x + 5) eos x dx
Rpta. ln|sec(senjc + 5)|+c
142
see 2(cos(ln jc)) sen^lnx^ ¿x
Rpta. -tg(coslnx) + c
eos(sen x) eos x dx
Rpta. sen(sen jc) + c
dx
144)
sen ■fx
145
lg-Jix +1
146J
ítg (ln x )—
Rpta. -2cosa/jc+ c
■fx
dx
V3x +T
dx
,
Rpta. —ln|sec v 3 jc + 1 |
Rpta. ln|sen(lnx)|+c
JC
147J
148
tg^/ínx
dx
x~Jh\x
dx
cos“(1-4 jc)
149J
eos1 xdx
1-senjc
150J
dx
1+ cos 10a'
151
dx
4+5 eos“ jc
152
dx
4 + 5sen“ x
Rpta. 2 In | sec Vlnjc [+c
Rpta. - “ te(l-4jc) + c
4
™
a.
eos~ x +c
Rpta.
sen a ----------
1
^ tlíX
Rpta. -a re tg (^ -^ -) + c
6
3
I
,3 tg jc %
Rpta. —arctg(—^—) + c
6
2
45
Integral Indefinida
153
-s/l + senx dx
Rpta. - 2a/1-sen x + c
1154
1+ tgx
dx
sen 2x
1
tgx
Rpta. —In | cos e c 2 x -c tg 2x | +
+c
155
•>/] + cos 2x dx
Rpta. V2senx + c
Vl - cos 2x dx
Rpta. - a/2 cosx + c
157
■yjl + cos 8x dx
V2
Rpta. -^-sen4x + c
158
-s/l - cos 8x dx
O p. t a .-----a/2
R
cos4x + c
159
sen Vcosjc.-Jtgx.senx dx
Rpta. 2 cos Vcosx + c
cos 6x + 6 cos 4x +15 cos x +10
dx
cos 5x + 5 cos 3x +10 cos x
Rpta. 2senx + c
x 2 cosh(x3 +3 )dx
_
senh(x3 +3)
Rpta. ----- --------- + c
dx
senhx.cosh2 x
x,
Rpta. ln |tg h y | +
e2x cosh x dx
e3x ex
Rpta. ---- + — + c
164
e x senhxdx
R p ta .-------—+c
4 2
165
senh3 x. cosh2 x dx
161
163
2
6
€
lx
2
2
X
1
+c
coshx
46
Eduardo Espinoza Ramos
J— (lne+lnx.lne*)í/x
Rpta. ex lnx+ c
f x 2/3+ x 4esen3,r cos3x + x 3 ,
-------------------------------- dx
J
x4
_ ,
3 - 7/ 3 esen3jr
Rpta. — x
+- -- 7
3
168
f O -*) ,
----- — d x
J x4
„
1
1
1
R p ta .------- r + ^ ------ + c
3x
x2 x
(l69)
J x^4 +x 1dx
Rpta. -^(4 + x 2)3' 2 +c
^70)
J 4 l a x - x 1dx
Rpta.
(lóó)
(x2 +2x)dx
arcscn -——+
° -J la x -x 2 +c
_
1 3 , 7 , . 7/ 3
Rpta. —(x +3x*+l)
+c
©
í & 3 + 3 x 2 +1
172
f *
I .
JV
- /n
9-X„44
1
Rpta. —
arcsen(— ). + c
22
3^
(l73)
J6x.e J rfx
Rpta. -3 t,r +c
1174
r2e - e - 3 ,
I —--------------- dx
J e -Jo*
- 2e - 3
_
, , r
Rpta. x + ln(í? —3) +c
175)
f (6-2x)rfx
I .
=
J V 8 -4 x -4 x 2
a/8 - 4 x - 4 x 2
7
2x + l
Rpta. ------------------ +—arcsen—---2
2
6
2
47
Integra! Indefinida
178J
179
( v + 3 )d\
scns veos V dx
dx
180
5v- -20.V + 23
©
dx
a/ - 5 - 1 2 a - 3 a- 2
dx
183J
_
sen 6 X
Rpta. --------+ t
1
V 5 (v -2 )
Rpta. —= a r c iu ----- — +c
VÎ5
V3
1
v-1
Rpta. — arctg(—^ ) + r
V3
*v3
dx
182
Rpta. V-v"* +2x + 2 lnI y->-l + Vv2 + 2x ( +i
I
r v+ 2
Rpta. —=arcsenv3(—^ ) + <‘
a/3
a/7
Rpta. 2arcsen(-~) + c-
VW9 - v
184
a d\
5 + r 4
dx
185J
2.x + x +1
186
rfx
2
-Ja: - hl x2
188
■ \ic 'd x
4x +1
Rpta. - = a r c i u —
+
a/7
- V7
1
,
2 -J3 9
1
dx
v in y
, a-
3 -^ 3 9 ,
R p t a .-----= - l n I ---- ----
6 \ - 12-4v
©
189
1
t2
Rpta. — p^arettz^r+ r
2^5
^
v -3 + a /3 9
/>A-
Rpt&. —aresen— +<:
b
a
Rpta. 2^' 2 +r
Rpta. In(lni) + £
48
190
Eduardo Espinoza Ramos
In v
_
In- \
Rpta. ------ + t
dx
©
x\n(\ + x~)dx
192
dx
■Jx{\±^fx)
193
©
195
Rpta. -^[ln(l + v2 )]2 + r
1+x-
Rpta. 21n(l+Vv) + r
(21n v + l)rfx
Rpta. ln(ln~ x + ln r) + t*
x[ln' x + In a ]
x dx
1 4 -7 x
Rpta. — ( .
)+ t
49 J l ^ T x
(2 —7 v)
V 2x-3 dx
(2 x -3 )r 3 +1
Rpta .
2[(2v 3)-----------------( 2
a
3>—
+
—
r —
3
-
^2,v- 3 + a r c t g - 3 ] + <
196)
x^[x + ] dx
2
7
Rpta. -j(x + l)* “ ——(x + 1)3 2 + r
©
xv 2 -5 x rfv
Rpta. — (2-5.v)5 2
(2 -5 .t)3,2 +c
125
75
I98J
dx
a/ x + 1 - Vx
199J
v 2 a/1 + x
200
xv4 + x dx
r/v
Rpta. y[(.v + l)3 2 +,v3' 2] + c
Rpta. ~ (1 + x)7' 2
+ l')5 2
+
Rpta. ~ (a + 4)5' 2 -^ (.v + 4)3' 2 +c
2 + í’
49
íntegrai Indefinida
x 5dx
©
J;
202
dx
J (1 + VTTjc)1' 2
Rpta. y (l+ V Í+ ^ ),/2(V Í+ 7 -2 )+ f
( 2Ô3 )
Jx2(x+ 3)n r/v
(x+3)14 6(x + 3)13 . 3(x + 3)12
R p ta .------------------- :-----+ ------------ + í
14
13
Rpta. | [ (9 + X8 )8' - y ( 9 + x 2)5' 3 + y ( 9 + jc2) 2' 3] + e
+x*
Rpta. —ln(t,T +2)--\[e2* - 4 + c
[205)
x -5 x + 9
f *~ ----- ¿v
J X 2 -5 x+ 6
X 2 -3 x ~ 8
Rpta. x + 31n———+ c
x -2
10
,,
206)
J
207J
X2 +1
dx
j (x + 2)2
Rpta. .y - 4 In I.V+2 Ì -------- +c
x +2
20H)
(4x+ 5 Wa­
IJ x*v~' + 2x + 2
Rpta. 21n|x" +2. + 2| + arctg(x + l)+ c
209;
©
211
X2 -2 x + l
dx
{3x-5)dx
X - 8 a +42
5x + 3
f - + 4x + 4 rfv
(x- + l)rfx
j ( X 3 + 3 x -7 )'
Rpta. x + ------- l n |x - l |+ c
X —1
Rpta. —In I V2 -8 x + 42| + -¡Z=arctg(^=^) + í2
-s/26
Rpta. 51n|x + 2| + ------- + c
x+ 2
Rpta.
_____1_
3(x3 + 3 x -7 )
•+£•
-V2 6
50
®
Eduardo Espinoza Ramos
M * 2 + l)ln(x2 + I) + 2.ver arctg-v ^ ln(x2 + l) g>
J
x 2 +l
x 2 +l
Rpta.
e* ln(x2 +1) arctgx+c
©
J [-------------- —
r r(l + x2)cosx + (l + x + x 2)senx %1.
------ ------- e }dx
_ .
, r.
7
Rpta. e Vl + x~ sen x + 1
214
f (x + l)(x2 +l)ln(x2 + l) + 2x2 ,
---------------- ------------------- e dx
3
x '+ l
v|
2, ,
Rpta. xe ln(l + x ) + t
©
f r 2(x2 + x+ l) + (2x3 +6x2 +5x + 2)lnx x ,
[—------------------- í-----e*dx
J
[21 ó)
_
r
7
Rpta. xVl + x+x-í?M nx + <
2vx2 +x + l
Suponga que f(x) es una función “suficientemente derivable” simplifique la expresión
dada:
a)
f(x3
í x 3f\x)dx+ f"{x))dx
d\J
dx J
Rpta. x 3(l + f(x)) + f ”(x)
b)
J(x/(x))'djr
Rpta. x f(x)
c)
J (4 /" (x ) + 5/'(x))rfx
Rpta. 4 f ( x ) + 5f(x)
d)
J“(íx/(x))"+x/,(x) + f(x))dx
Rpta. /(x ) + x (/(x) + / ’(x))
e)
J ( x /'( x ) + /(x))rfx
Rpta. x f(x)
217
rsenx í;,g2*
--------—— dx
J eos x
] lR:,Rpta. —e g + c
2
218
f 4arctg2 x + 2 x 2 + l + 5x + 2 ,
I
------------------------- dx
J
l + x~
_
4
3
5. , ?
Rpta. 2x + —arctg x + —ln|x~ +1| +<*
3
2
51
Integral Indefinida
i-’ +lh/4 - 2 i 2 -y" d x
219
220)
(\
4.V+ 4
Rpfa.
1
^ - ( 4 - 2 v 2 - v 4)2 +r
16
ii
3
Rpta. — Ijl-2 ) 3 +c
dx
11
i
Rpta. -2(1 +— )2 + i3a
Rpta. T V i 3 + 3 a 2 + 1 + <
222
d\
223J
s e n v. s c n ( c u s x ) d x
Rpta. e o s ( e o s x ) + c
s c c a . \u x . c o s ( s e c jc ) d x
Rpta. s e n ( s e e x ) + c
225
V i + v
+ V i - A '2
r/v
Rpta. aresenx + ln | A' + Vi + *2 | +c
dar
Rpta. ln | 1 +
— i-1 -fe
x +4 x ^ + 1
vr^ 7
226
V v ^ i-V ^ i
V 7~
227J
228J
d*
(v + 4)dv
Rpta.
r +3
+r
5( x 2 + 8 a ) 4
( A - + 8 a* ) 4
229
Rpta. l n | x | ------ ~ r + c
4a
d*
Rpta. Vv2 + 2 j c + 2 ln \x + 1+ Vv2 + 2 a ' | + c
+ 2*
230
2y + 5
+2.V + 5
dv
Rpta. ln jx 2 +2x + 5| + y a r c t g ^ Z + (
52
231,
Eduardo Espinoza Ramos
( 6 -2
y
j __________
-j
^ “+ 1
Rpta. —VH - 4 v - 4 v : + —arcsciK V^+ ) + r
)dx
j
4 y-4 a *
232
J
It -e - j
dx
C2i - 1c —J-i
Rpta. v + ln 11*‘ - 3 1+c
©
Í7 ÍT
dx
Rpta. J _ ^ ln |jc 2 +l|+c-
234
235)
1.5.8.
r -\¡2 x~ +1 - \ +1
v ' + i-V en3> eos 3 a + A 3
J
_4
Rpta. _v——~ ^ 2 +1 + - ^ l n | 'Jl.x +'jlx* +1 | +<•
2
42
sen x
dx
Rpta. ln v +
--------—- X 5 +£*
3
7
ECUACIONES DIFERENCIALES MUY SENCILLAS.Una ecuación que contiene una función y sus derivadas, o solo sus derivadas, se llama
“Ecuación Diferenciar’ usaremos la técnica de antiderivada para resolver una
ecuación diferencial de la forma:
donde la variable dependiente “y” no aparece en el lado derecho.
La solucion de la ecuación diferencial (1) consiste simplemente en encontrar una
función y(x) que satisfaga la ecuación (1), luego la solución general de la ecuación
(1) es la integral indefinida.
v(.v)=J/(jrW.v+<
... (2)
dx
- io,\
Ejemplo.- Encontrar la solución general de la ecuación diferencial — =
rfi
Solución
53
Integrai Indefinida
La solución general de la ecuación diferencial dada es:
y(x) = j 2x d x + c = x 2 + c
NOTA.- Una ecuación diferencial de la forma de la ecuación (1) puede aparecer
junto con una condición inicial de la forma y(x 0 ) = y {) y con estas
condiciones conociendo la solución general (2) se obtiene la solución particular de la
ecuación (1), por lo tanto la combinación.
de una ecuación diferencial con una condición inicial es llamado un “Problema con
condición iniciar’.
dy
Ejemplo.- Resolver la ecuación diferencial — = 2x +1, y(0) = 3
dx
Solución
La solución general es: y(x) = J (2x + l)dx + c - x 2 + x + c como y{0) = 3 es decir:
cuando x = 0, y = 3, que al reemplazar en la solución general se tiene: 3 = 0 + 0 + c
entonces c = 3, por lo tanto la solución particular es y = jt2 + x + 3
OBSERVACION.-
El método indicado para resolver una ecuación diferencial
puede escribirse como integrar ambos lados de una ecuación
diferencial con respecto a x.
f (— )dx = f (2x + \)dx => y(x) = x2 + x + c
J dx
J
También las ecuaciones diferenciales sencillas aparecen en la forma:
La ecuación diferencial (4) se ouede expresar con diferenciales en la forma:
54
Eduardo Espinoza Ramos
h(y)dy = g(x)dx
así las variables están separadas, por lo que se dice que estas ecuaciones son
“Ecuaciones Diferenciales Separables” y la solución general se obtiene por
integración directa.
~ J g{x)dx+c
¿y
^^ ^
Ejemplo.- Hallar la solución general de la ecuación diferencial. — -------- -----dx
y“
Solución
La ecuación diferencial — = —— ^ — —, se escribe con diferenciales
dx
y~
V2dy = x 2^x* - 3 d x , quedando las variables separadas
ahora integrando ambos miembros para obtener la solución
3
3
\ y 2d y - í x 2-y]x3 - 3 dx + c => — = —(x3 - 3 ) 2 + c
J
J
3
9
3
3>’2 = 2(x3 - 3)2 +9c que es la solución general.
OBSERVACION.-
Las ecuaciones diferenciales tienen muchas aplicaciones en
diversos campos, así por ejemplo se aplica al movimiento
rectilíneo en Física, en Química. Biología, psicología, Sociología, Administración,
Economía, etc., en esta sección trataremos solamente del movimiento rectilíneo,
aceleración constante y movimiento vertical con aceleración gravitacional constante.
ISS.
MOVIMIENTO R E C T IL IN E O ^
Las antiderivadas nos permite, en muchos casos importantes, analizar el movimiento
de una partícula (o masa puntual) en términos de las fuerzas que actúan sobre esta. Si
la partícula se mueve con movimiento rectilíneo, a lo largo de una línea recta (eje X),
bajo la influencia de una fuerza dada, entonces el movimiento de la partícula queda
descrito por su “función de posicion” x(t) que da su coordenada x en el tiempo t.
55
íntegra! Indefinida
0
. ...
A
^
x(t)
posición en el
instante x
La función de posición X(t) de una partícula que se mueve a lo largo del eje X.
La “velocidad” de la partícula v(t) es la derivada, con respecto al tiempo de su función
de posición.
0
x(0) = x0
A
1r
► t =0
velocidad x'(0)
Su aceleración a(t) es la derivada de su velocidad con respecto del tiempo.
En una situación típica, se tiene la siguiente información:
a(t): la aceleración de la partícula
x(0) = x0
Su posición inicial.
v(0) = v0
Su velocidad inicial.
Para determinar la función de posición de la partícula x(t).
Primeramente resolveremos el problema con condición inicial.
correspondiente a la función velocidad v(t).
56
Eduardo Espinoza Ramos
Conociendo v(t) se puede resolver el problema con condición inicial.
dx
dt
... (P)
para la función de posición x(t) de la partícula.
1.5.10. ACELERACCION CONSTANTE.La solución de los problemas con condiciones iniciales en la s ecuaciones (a) y (p) es
más sencillo cuando la aceleración “a” es constante y se parte de:
dv
— = a (a es una constante)
dt
de donde v(t) = j a d t + cl =at + cl
(1)
(2)
para calcular cx se tiene v(0) = vo obteniendo v(/)=¿*/ + v0
como jc*(/> = v(/) una segunda antiderivada se tiene:
*(/) = | v(t)dt + c2 =
+ v0)dt + c2
(3)
para x(0) = x0 entonces c2 =x0
Luego
NOTA.-
Las ecuaciones (3) y (4) solamente son validas en los casos en que la
aceleración “a” es constante no se aplica cuando la aceleración varia.
Ejemplo.- Las marcas de derrape de unos neumáticos indican que se han aplicado
los frenos durante una distancia de 160 pies antes de detenerse él
automóvil. Supongamos que el automóvil en cuestión tiene una desaceleración
constante de 20pies/seg1 bajo las condiciones del derrape. ¿A que velocidad viajaba
el auto cuando se comenzó a frenar?
57
Integral Indefinida
Solución
Consideremos al eje X orientado positivamente en la dirección del movimiento del
auto, elegimos el orden de modo que xt) = 0 cuando t = 0.
x
desaceleración constante: a = -20
x = 160
v=0
inicio
t =0
x =0
v = v0
En este sistema coordenado, la velocidad del auto v(t) es una función decreciente del
tiempo t (en segundos), de modo que su aceleración es a = -20 pies/seg2 y no
a = + 20, por lo tanto comenzamos con la ecuación de aceleración constante.
dv
c
— = -2 0 , integrando se tiene v(t) = ~ 20 dt + cx = -20/ 4*cx
dt
J
aunque la velocidad inicial no se conoce, los datos iniciales t = 0, v = v0 implican
que cx = v0, luego la velocidad del automóvil es: v(t) = -20/ + v0
como
al sustituir los datos iniciales t = 0, x = 0 obtenemos c2 = 0 por lo tanto, la función
del automóvil es: x(l) ~ -10/2 +
El hecho de que las marcas del derrape tenga una longitud de 160 pies nos dice que
x = 160 cuando el auto se detiene, es decir: x = 160 si v = 0 al sustituir estos valores
en la ecuación de la velocidad y de posición se tiene:
—20/ + Vq —0
.(1)
—10/" +v0/ = 160
.(2)
de la ecuación (1) v0 = 20/ sustituyendo en (2)
—10/- + 2 0 r ^!60
=> r = 1 6 = > t = 4
58
Eduardo Espinoza Ramos
v0 = 20(4) = 80 pies/ seg
Luego cuando t = 4 seg. el auto se detiene, quiere decir que a velocidad del auto era
v0 = 20/ - 20(4) = 80 pies!seg
1.5.11. MOVIMIENTO
CONSTANTE.*-
VERI ICAL CON ACELEíÍACION GRAV1TACIONAL
.
. • ,•
.. .
•. , .
.
Una de las aplicaciones de las ecuaciones de la velocidad y la aceleración esta
seleccionada con el movimiento vertical cerca de la superficie de la tierra una
partícula con este movimiento esta sujeta a una aceleración “a” hacia abajo, que casi
es constante si solo sé utilizar distancias verticales pequeñas. La magnitud de esta
1
0
constante se denota con g, aproximadamente igual a 32 pies / seg ~ o 9.8 mi seg~.
Si se desprecia la resistencia del aire, podemos suponer que esta aceleración debida a
la gravedad es la única influencia externa sobre la partícula en movimiento, como aquí
trabajamos con el movimiento vertical, es natural elegir el eje Y como el sistema de
coordenadas para la posición de la partícula. Si elegimos la dirección hacia arriba
como la dirección positiva, entonces el efecto de la gravedad sobre la partícula
consiste en disminuir su altura, y también disminuye su velocidad v = — , entonces la
dt
aceleración de la partícula es:
a = ~^¡= ^ pies!seg1
v{t) = Jarf/ + c = J - 32dt + c = -32/ + c = -32/ + v0
... (1)
>•(/ ) = ^v(t)dt + k - j (-32/ + v0)di + k = -1 6 /2 + v0/ + k , para t = 0, y(0) = >’o
V{) = 0 + k => k = >n por lo tanto >(/) = -16/2 + v{)t + >*0
... (2)
Aquí y« es la altura inicial de la partícula en pies, v0 es la velocidad inicial en
pies/seg. y t el tiempo en segundos.
59
Integral Indefinida
Ejemplo.-
Suponga que se dispara una flecha en sentido vertical mediante una
poderosa ballesta, desde el piso, y que vuelve a tocar el suelo 48
segundos después. Si podemos despreciar la resistencia del aire. Determinar la
velocidad inicial de la flecha y la altura máxima que alcanza.
Solución
Ubiquemos el sistema de coordenadas en el presente figura donde el nivel del suelo
correspondiente a y = 0, la flecha se lanza en el instante t = 0 (en segundos) y con la
dirección positiva hacia arriba. Las unidades en el eje Y están en pies.
Y
Se tiene que cuando t = 48 seg., y = 0 y no
v a lo r e s p o s itiv o s
h a c ia a rrib a
tenemos la información sobre la velocidad inicial
v0 pero se puede usar las ecuaciones (1) y (2) que
a(t) = -g
t = 0
y(0) = y„ = o
v ( 0 ) = v0
v(í) - 32/ + v0
son <
7
7
y(t) = -16/“ v0/ + >’0 = - 1 6 r + v0/
s u e lo
Cuando t = 4 8 seg. se tiene y = 0 de donde
0 = -1 6( 4 8 ) 2 + 4 8 v ü => v0 = 1 6 ( 4 8 ) = 7 6 8 piesíseg
para determinar la altura máxima de la flecha, maximemos y(t) calculando el valor de
t para lo cual la derivada se anula, es decir, la flecha alcanza su altura máxima cuando
su velocidad se anula - 3 2 / + v„ = 0 de donde / = — = 2 4 en este instante, la flecha
32
ha alcanzado su altura máxima de ymax = > ‘( 2 4 ) = - 1 6 ( 2 4 ) 2 + 7 6 8 ( 2 4 ) = 9 2 1 6 pies.
Ejemplo.-
Se lanza una pelota verljcalmente hacia arriba desde el techo de una
casa de 6 5 pies de altura y la velocidad inicial es 4 8 pies / seg. ¿Cuánto
tiempo lardará la pelota en llegar al suelo y con qué velocidad llegará?
Solución
60
Eduardo Espinoza Ramos
VA =48 pies!seg
B
t
0
y(0
64
V
48
a =—32 pies/seg~
se sabe que v(t) = ja dt = j - 3 2 d t + c
64
v(t) = -32t + c como para t = 0, v(0) = 48
48 = 0 + c entonces c = 48
Lueeo
v(t) = -32t + 48
Además y(t) = J v(t)dl + k
=> y(t) = J (-32/ + 48)dt + k
y(() = -16/2 + 48/ + k como t = 0. y(0) = 64
64 = 0 + 0 + k entonces k = 64
Lueeo
+48Í + 64
(2)
Calculando el tiempo transcurrido /AC que demora en llegar la pelota al suelo y esto
ocurre cuando y = 0 de donde -1 6 /2 + 48/+ 64 = 0 => / 2 - 3 / - 4 = 0
(t —4)(t + 1) = 0
es tAC = 4 seg
t = 4, t = -1 por lo tanto el tiempo que tomara en llegar al suelo
1.5.12, EJERCICIOS DESARROLLADOS.-
©
dy
i
Resuelva la ecuación diferencial — = ( j c - 2) donde y(2) = 1.
dx
Solución
La solución general de la ecuación diferencial dada es:
61
Integral Indefinida
v(x) = í (x —2)*dx + k= —-— i-k como y(2) = 1
4
J
(2 2)2
(x 2)2
v(2) = 1 = ---------- + k de donde k = 1 por lo tanto la solución es y = -----------+ 1
(T )
Hallar la solución general de la ecuación diferencial x J \ + y 2 + v.Vl + x2 — = 0
w
dx
Solución
A la ecuación diferencial expresamos con diferenciales
x.^l + y 1dx + yrjl + x 2dy = 0 separando las variables
_
x dx
=
VI + -v
+_
=
-^/l + v*
de donde
ydy
_
J-— - » *
= 0 , integrando
Vi + x
. 4,r
x
V 1 + -v
+ -Jl + >'2 = A'
Hallar la solución general de la ecuación diferencial (4x + xy2)dx + (y + x2>*)rf>’= 0
Solución
A la ecuación diferencial expresamos en la forma:
x.(4 + y 2)d\ + v*(l + x2)dy = 0 , separando las variables
xdx
vdy
.
— + ——— = 0 , integrando
i+x
4+>-2
f * ■+ f ^
J 1+ x2 J 4 + /
= lnfr de donde —ln(l + x2)+ ~ ln (4 + >'2) = lnA'
2
2
InVl + x2 ^ 4 + >‘2 = InA' de donde Vi + x2^1 + >’2 = £
/.
( l+ x 2) ( 4 + r ) = c
,
f yd
62
Eduardo Espinoza Ramos
Hallar la solución general de la ecuación diferencial x dy + i/l + y 2dx = 0
Solución
jcdy +
+ y 2dx = 0, separando las variables
.^
+ — = 0 , integrando ambos miembros
V1 + r
x
j*-^=¿L= + J — = k de donde In| y + -yjl + y2 | + ln r = ln r
lnx.(>* + */] + y 2 ) = lnc por lo tanto x,(y + ^1 + y 2) = c
©
Hallar la solución particular de la ecuación diferencial sen 2x dx + eos 3 y dy = 0,
./n\
y
71
y
Solución
sen 2x dx + eos 3 y dy = 0 , integrando ambos miembros
Jsen2xdx+ Jcos3yrf>’= ¿ dedonde _ CQs 2x + sen3> = ^
.71 ^
71
como y(—) = — es decir para ,x = —, y = —
'2
3
2
3
_7T7T
COS7T sen7r ,
1 „ ,
fl 1
---------+ ------- - k => —+ 0 = A' => Ar= —
2
3
2
2
cos2,t sen3>- 1
----------- h----- - = — dedonde 2 sen 3y—3 eos 2x = 3
2
3
2
©
La pendiente de al recta tangente en cualquier punto (x,y) de esta curva es 3*Jx , si el
punto (9,4) esta en la curva, encontrar una ecuación de la curva.
Integral Indefinida
63
Solución
dy
i—
Por la condición del problema: mLf - — = 3^x de donde
dx
dy - ?>4x dx integrando J dy - J ?>4x dx + c
3_
y = 2 x 2 +c como la curva pasa por (9,4) entonces
2
4 = 29 2 +e =>4 = 5 4 + c = > c = -50
Q
/.
y =2x4x-50
La pendiente de una curva en cualquier punto (x,y) de ella es igual a eos x. Encontrar
una ecuación de la curva sí esta pasa por el punto ( y ,2)
Solución
dy
De la condición del problema se tiene: mLr = — = eos x
dx
De donde dy = eos x dx, integrando j d y - j eos x dx + k
y = sen x + k, como la curva pasa por el punto ( y ,2) entonces
2 = sen —+ Ar => 2 = I + k de donde k = 1
2
^8)
y = sen x + 1
En cada punto de una curva cuya ecuación es y = f(x); Dxy = 6x - 2 , y en el punto
(1,2) la pendiente de la curva es 8. Halle una ecuación de la curva.
Solución
Dxy = | D¿ydx+k = J(6 jc -2 )dx +k =3x2 - 2 x + k
mLt =Dxy |(|<2)= 8 entonces 3 - 2 + 4 = 8 => k = 7
64
Eduardo Espinoza Ramos
y = J D xy dx + c = J(3 x 2 - 2x + 7)rfx + c
v = y3 - x 2 + Ix + c , como la curva pasa por el punto (1,2) se tiene:
l = l- l + 7+6
c = -6
/.
v = x* - x 2
+ 7 x -6
Una partícula se mueve en línea recta, x(t) es la distancia dirigida por la partícula
desde el origen en t seg. V(t) es la velocidad de la partícula en t segundos, a(t) es la
aceleración de la partícula en t segundos.
a)
a(t) = 5 —2t, V(2) y x = 0 cuando t= 0 expresar V(t), x(t) en términos de t.
Solución
dv
a(f) = — = 5 - 2 1 => dv = (5 —2t) dt, integrando
di
F(/) = 5 / - r + c
para V= 2 cuando t = 0 => c = 2
por lo tanto r ( t f * 5 t - Í 2+2
V(t) = ^ - = 5 t - r +2 dedonde dx = ( 5 t - r +2)dt
dt
f
f
i
5/2
0
= 0 —0 + 0 + k entonces k = 0
/3
Jd x - J ( 5 / - r 2 +2)dt+k => x(t) = — ----—-i-2/+ Ar comox= 0cuando t= 0
b)
.%: 0 )
2
3
7
7
a(t) = 3 t - t ~, V = — y X = 1 cuando t= 1 expresar X y V en términos de t.
6
Solución
a ( t ) = ~ ~ 3 t - t 2 dedonde dV = ( 3 t - í 2)dt
dt
65
Integral Indefinida
j d l ' = | ( 3 / - r )dt +c => v(/) = —*— ^ r +c
2
3
1 „ 7
7
3
l
como l = 1. F = —se tiene —= -------- +c => c = 0
6
6
2
3
K</) = — = - ---- — de donde dx = ( - — — )dt
dt
2
3
2
3
1
1
como X( 1) = 1 entonces 1= ------- + A
2
12
k= —
7
12
~
í t
1
x(t) —--------- + —
2
12
12
La velocidad de una partícula que se desplaza a lo largo de una recta en el instante es
v{t) = t^]\ +t 2 . Determinar la distancia recorrida por la partícula desde el instante
/j =a/8 hasta el instante í 2 =-v/24
Solución
Sea X(t) la posición de la partícula en el instante t entonces X'(t) = v(/) = tA¡l + t 2
La distancia recorrida desde el instante tx hasta el instante í2 es:
X (t2) - X ( t i ) = X(-J24)-A 'h/8)
como X'(t)=v(t) => X(l) = J v(i)dt +c
1
3
A'(o = J /.v i+ í2< a = - ( i+ /2) 2 +c
______
(1)
fc6
Eduardo Espinoza Ramos
125
A<V24) = - ( l + 24)- +c = — +c :
3
3
1
27
A'(V8) = -(1 + X)2 + i = — + c
3
3
,—
r~
125
27
98
como A'(-s/24)-A'(Ví<)=(— + í ) - ( — + í )= —
3
3
3
©
Sí el conductor de un automóvil desea aumentar su rapidez de 20 mi/h a 50 mi/h
mientras corre una distancia de 528 pies ¿Cuál es la aceleración constante que debe
mantener?
Solución
mi 528 X8 .
K'‘ = 2 0 T - 3 6 Ó T T ' ’“i , ' ’‘*
528 pies
„
=
mi 528 220 . ,
JóW = ~3~ *>le'> Xeg
se conoce que 1 milla = 5280 pies
además V(i) = j a d i + c de donde V(t) = at + c
cuando t = 0, V = — => — = 0 + t => c - —
3
3
3
—(1)
además
ás x(f) = j y ( t ) d i +A-, reemplazando x(l) = j (a! + — )dl+ k= ---- + — + A
2
3
cuando t = 0, x = 0 => 0 = 0 + 0 + k =>k = 0 entonces
220
ahora encontramos la aceleración cuando V = —— , t = ?
x = 528, reemplazando estos valores en (1) y (2)
at2
88/
+
... (2)
2
3
67
Integral Indefinida
220
88
132
-----= at+— => I = ----3
3
3a
528 = - ( — )+ — (— ) => 9a(528) = 20328
2
3 3a
20328
77
,
i
a - -------- => a - — pies/ seg~
9(528)
18
(l2)
Si se aplica los frenos de un carro viajando a 50 mi/h y si los frenos pueden dar al
carro una aceleración negativa constante de lOpiesIseg2 . ¿Cuánto tardará el coche
en detenerse? ¿Qué distancia recoiTerá antes de parar?
Solución
VA
VB
V - 50 mi = 220 pies
A ' h
3 seg
VB =?
•y
o
- -20pies / seg "
además V(t) = j - 2 0 dt -te = -20/ + c
220
220
220
cuando t - 0, V ----- de donde -----= 0 + c => c - -----
I
además *(/)
1
x(/) = -10/~
f
*
?20
J V{l)dt+k - j (-20/ f
2'il
—
(1)
- : 3
+
, juanúo t = * '< = 0
7?0/
0 = -0 + 0 + k Je dorde k = tí entona:.; jc(/) = -10/" +----3
68
Eduardo Espinoza Ramos
para hallar el tiempo que necesita para detenerse el carro es cuando V(t) = 0, t = ? en
220
11
la ecuación (1)0 = -20/ + ---- entonces t = — seg
3
3
Luego la distancia recorrida es cuando / = — seg en (2):
3
11
11 , 220 11
1210 .
•v(—) = -IO(—)- + - ( — ) = — - pies
j
(b )
3
3
3
3
Una piedra se lanza verticalmente hacia arriba desde el suelo, con una velocidad
inicial de 20 pies/seg. ¿Cuánto tiempo le tomará llegar al suelo y con qué velocidad
llegará? ¿Durante cuanto tiempo está subiendo la piedra y que tan alto llegará?
Solución
VA —20 pies/ seg
/
/
V
TiB = ?
i
\»
!\
B
>
4
------
a = -32 pies/ seg.
Vf = ? porque se opone el movimiento
dV_
como a= — = ~32 => V(l) = j - 3 d l + c
dt
V(t) = -32t + c para V = 20 pies/seg. cuando t = 0. x = 0
20 = -0 + c => c - 2 0 luego V(t) = -32t + 20
V(t) = — = -32t +20 => dx = (-32t + 20)dt integrando
dt
J<¿t = J(-3 2 r + 20)<*+A x(t) = - l 6 t 2 +20t+k
x = 0 cuando t= 0
0 = -0 + 0 + k => k = 0
Luego se tiene x(t) = -1 6t2 + 20/
TAC = ?
Integral Indefinida
69
Tab es el tiempo que demora en llegar al suelo,para estox = 0 =>-1 6 /2 + 20f = 0
t = 0, / = —,el tiempo que demora en caer es —seg yla velocidad
4
4
con quellega
5
pies
al suelo es V = —32(—) + 20 = -20 —— , por lo tanto V = 20pies/seg es la velocidad
4
seg
con que llega al suelo; el tiempo que demora en subir es — es decir —seg
2
8
11.5.13. EJERCICIOS Y PROBLEMAS PROPUESTOS ®
Hallar la solución general de la ecuación diferencial.
a)
dy
dx
x~
v(l + .v3)
Rpta. 3 y 2 —21n(l + * 1) = c
b)
f i 7 7 ^ = x 2v + x 2
dx
Rpta. 2^\-\-x* = 31n(j? + l) + c
.
c)
dx
dy ,
2
?
— = 1 x + v -i-xy
Rpta. a rc tg y -jt------- c
d)
dy _
dx
Rpta. y 2 - x 2 +2(ey - e x ) = c
e)
( x - y 2x ) d x + ( y - x 1ytd, - 0
Rpta. (x2 - l) ( y 2 -1) =k
f)
{x + x^jy )dy+ y-fyax ~ •'
Rpta. —
+ln xy = c
<y
g)
ey (l+x )d
Rp.a. l +e y =c(í+x2)
h)
(ey +1) --í x éD-e- 'senr+Dtfy-Q
e * +x
y + ey
-jí:(1+e"kfx = 0
Rpta. (senjc + lXe-*’ + l) = k
70
(T )
©
Eduardo Espinoza Ramos
Hallar la solución particular de la ecuación diferencial con las condiciones iniciales.
v *• , 3 2
a) ~~ = 3x + - T , y ( l ) = l
dx
x-
„
3 v4 2 9
Rpta. y = — --------- + —
4 x 4
b)
~ = J -----y(2) = -l
dx -yjx + 2
Rpta. y = 2-fx+2 —5
c)
J
v” —
~— x 2 = 0 , y{-2) = -2
dx
Rpta. y = x
d)
(4x+*>•2)rfx + (>• + x 2 = 0, y( 1)-2
Rpta. (1 ■+x 2)(1 + y 2) = 16
i
e) ^ l = x y y . y(3) = 1
dx
.v+1
Rpta. jc3 -3jc-3>-- 3 ln | >• |= 21
f)
É L ^ ' - t o - y ' ^ 3 )b 1
dx
y - x 3y
Rpta.
(x3 -1 )4 = 264(2.v2 -J)
g)
— - 2 j r t g x =0 , v(~) = 2
dx
'2
Rpta.
y = 2 sen 2 jr
h) x(y6 + l)dx+ y2(x4 +l)dy = 0, y(0)=l Rpta.
3 arctg2+ 2 arctg y 3 = —
j2»
Una piedra es lanzada verticalmente hacia arriba desde el suelo con una velocidad
inicial de 128 pie/seg. Si la única fuerza que se considera es la atribuida a la
aceleración de la gravedad, determinar:
a)
Cuanto tiempo tardara la piedra en chocar contra
b)
La velocidad con la cual chocara contra el suelo.
c)
A que altura se elevara la piedra en su ascenso.
Rpta.
a)
8 seg.
b)
128pies/seg.
el suelo.
c)
256 pies
Integral Indefinida
©
Una pelota se deja caer desde la cúspide del monumento a Washington, el cual tiene
555 pies de altura
a)
¿Cuánto tiempo tomara a la pelota llegar al suelo?
b)
¿A que velocidad chocara la pelota con el suelo?
Rpta.
&
a)
—V555 seg
4
b)
8^555 pieslseg
En un movimiento rectilíneo, la función aceleración de un punto es a(t) = -32 en el
instante t > 0. Si la velocidad del punto es -20 cuando t = 0, y la posición del
mismo punto en 10 unidades en la dirección positiva cuando t = 0, encuentre la
función velocidad V(t) y la función de posición x(t).
Rpta.
(ó )
71
V(t) = -32t - 20
,
.v(/) = -16/2 - 2 0 /+ 10
Una mujer que se encuentra en un globo deja caer sus binoculares cuando el globo
esta a 150 pies de altura sobre el suelo y se eleva a razón de 10 pie/seg.
a)
¿Cuánto tiempo tardaran los binoculares en llegar al suelo?
b)
¿Cuál es la velocidad de los binoculares al momento del impacto?
Rpta.
a)
3.4 seg.
b)
99 pie / seg.
Usted arroja una pelota hacia arriba, desde el suelo, con una velocidad inicial de 97
pie/seg. ¿A que altura sube la pelota, y por cuanto tiempo permanece en el aire?
Rpta.
144 pies
f
6 seg.
Laura suelta una piedra a un pozo, esta llega al fondo 3 seg. después ¿Cuál es la
profundidad del pozo?
Rpta. 144 pies.
Efrain arroja una pelota hacia arriba, con una velocidad inicial de 48 pies/seg. desde la
parte superior de un edificio de altura 160 pies. La pelota cae al suelo en 1 base del
edificio ¿Cuánto permanece la pelota en el aire, y con que velocidad golpea al suelo?
Rpta.
5 seg.
,
112pies/seg.
72
Eduardo Espinoza Ramos
©
Una pelota se lanza verticalmente hacia arriba con una velocidad inicial de 40
pies/seg. desde un punto situado a 20 pies sobre el nivel del suelo.
a)
Si v pies/seg. es la velocidad de la pelota cuando está a x pies del punto inicial,
exprese v en términos de x
b)
¿Cuál es la velocidad de la pelota cuando ésta se encuentra a 36 pies del suelo y
sigue ascendiendo?
Rpta.
( ll)
a)
v2 = -64jc +1600
b)
24 pies/seg.
Una partícula se desplaza en linea recta en forma tal que sí v cm/seg. es la velocidad
de la partícula a los t segundos, entonces V(t) = sen xrt, donde el sentido positivo es a
la derecha del origen. Si la partícula está en el origen al inicio del movimiento,
determine su posición y segundos más tarde.
Rpta.
— cm a la derecha del origen.
2n
(l^
Juanito arroja una piedra hacia arriba, desde el suelo. La piedra alcanza una altura
máxima de 225 pies. ¿Cuál era su velocidad inicial?
Rpta, 120 pies/seg.
(l^
Gálvez arroja una pelota de tenis hacia arriba, desde la parte superior de un edificio de
400 pies de altura ¿Cuánto tiempo tarda la pelota en llegar al suelo? ¿Con que
velocidad golpea al suelo?.
Rpta. 5 seg. y -160 pies/seg.
14)
Se arroja una pelota hacia arriba, desde el suelo, con una velocidad inicial de 160
pies/seg. ¿Cuál es la altura máxima que alcanza la pelota?
Rpta. 400 pies
(ls )
Si el conductor de un automóvil desea aumentar la velocidad de 40 km./hr a 100
km./hr al recorrer una distancia de 200 m ¿Cuál es la aceleración constante que debe
mantenerse?
Rpta. 1.62 m
seg
73
Integral Indefinida
(íé)
El punto (3,2) esta en una curva y en cualquier punto (x,y) de la curva, la recta
tangente tiene una pendiente igual a 2x —3. Encontrar una ecuación de la curva.
Rpta.
^ 7)
y ~ x 2 - 3 x +2
En cualquier punto (x,y) de una curva
D 2y = l - x 2, y una ecuación de la recta
tangente a la curva en el punto (1,1) es y = 2 - x. Encontrar una ecuación de la curva.
Rpta.
(l?)
12y - 6a*2 —x 4 - 20x + 27
Los puntos (-1,3) y (0,2) están en una curva y en cualquier punto (x,y) de la curva
D 2y - 2 - 4 x . Encontrar una ecuación de la curva.Rpta. 3y = 3x2 - 2x3 + 2x + c
(l?)
Encontrar la curva que pasa por el punto (1,2) cuya normal en cualquier punto
(excepto en x = 0) se biseca por el eje X.
( 20 )
La pendiente de la recta tangente en cualquier punto (x,y) en una curva es 10 - 4x y
el punto (1,-1) esta en la curva. Encontrar una ecuación de la curva.
Rpta.
IA
Rpta.y 2 + 2x2 = 6
y = 10x-2x2 - 9
METODOS DE INTEGRACION Entre los métodos de integración que se va ha estudiar se tiene: Integración de las
funciones trigonométricas, integración por partes y casos especiales, integración por
sustitución trigonométrica, integración de funciones racionales por descomposición en
fracciones parciales, el Método de Ortrograski, integración de funciones racionales de
seno y coseno, integración de algunas funciones irracionales entre ellas las binomiales
con la combinación de CHEBICHEV.
l& f
INTEGR>M-íON;Dfc £ AS ÍPSÍCÍON^
Se trata de las integrales que tiene la forma siguiente:
74
Eduardo Espinoza Ramos
J sen*jcife*
Jctg 1*x d x y
Jscn^ xcos" xáx s
jVfg'* xcose^xás
Para calcular estas integrales, aplicaremos los criterios siguientes:
a)
Para el cálculo de las integrales de la forma:
¡sen* xrf*,
:J
m
J
j:
'
eos"
Se presentan dos casos:
ler. Caso.-
Cuando n es un número entero positivo par, se usan las identidades
siguientes:
■- u;. "a t ...
■.....,a jal; v.wjj ;.u ■■..q»¿yvt•
I —eos2x
2 ■
1+^
2
2do. Caso.- Cuando n es un número entero positivo impar, a las integrales de
este caso expresaremos en la forma:
J sen* x á x - J scvT1xsenxdx
| eos* xdx~
1
Luego se usa la identidad sen2 x + cos2 x = l
Ejemplos de aplicación de este criterio.
Calcular las integrales siguientes:
Jse n 2 3x¿¿T
Solución
Observamos que el exponente es par, entonces usamos la identidad
75
Integral Indefinida
sen2 3x =----- —— , luego al reemplazar en la integral dada se tiene:
i
f
i
1 f,,
^
,
1,
sen 6x v
sen“ 3xdx = — (1 - eos 6x)dx = —(x------ ) +c
jc
sen 6 x
----------------- + c
*
2i
6
2
2
12
Observación:
En forma práctica se puede calcular las siguientes integrales:
Ejemplo:
,
cos(20x)
sen(20x)rfx = ----------- -+c
i
20
IJ
Ejemplo:
. ^ iwñfrg)
'
ft
v
J cos(l &x)dx = sen| ^ ^ + c
En forma similar ocurre en las integrales de las demás funciones trigonométricas.
( 2)
Jeos4 2xdx
Solución
rf(
1
Observamos que el exponente de la función es par, entonces usaremos la identidad:
2_
1+ eos 4x
,
eos 2x =-----------, por lo tanto:
|e o s 4 2xdx - 1 ( l + c°s 4*) 2
= i. J (i + 2 eos4x + eos2 4x)dx
1 r„ ,
,
l + cos8x, .
= — (1 + 2 eos 4x +------------ )dx
4J
2
1 r,3 ,
,
cos8x. .
1 ,3x sen4x
sen8x_
= - (-+ 2 co s4 x + ------- )dx = - ( — + ---------------------- + -) + c
4J 2
2
4 2
2
16
76
Eduardo Espinoza Ramos
Jsen 3 4x¿£c
Solución
Observemos que el exponente de la función es impar, entonces a la integral
escribiremos así:
Jse n 3 4xdx = Jse n 2 4x.$en4xdx = J ( l- c o s 2 4x)sen4xrfx
= Jsen 4 x ¿/x -Jeo s2 4jc.sen4xdx =•
eos 4x
eos3 4x
12
+c
Observación.-
En forma práctica se puede integrar las siguientes funciones.
Ejemplo:
sen19 2x.cos2xdx =
/■
Ejemplo:
J eos 29 3x. sen 3x dx = - ~ ~ ~ — +c
sen20 2x
-+c
40
En forma similar ocurre en las integrales de las demás expresiones trigonométricas.
Q )
J c o s 5 3 jc *£c
Solución
Observemos que el exponente de la función es impar, entonces a la integral
expresamos asi:
Jeos5 3xdx = Jco s4 3x.cos3xdx = J ( l- s e n 2 3x)2 eos3xdx
11
Integral Indefinida
J ( l- 2 s e n 2 3x+sen4 3x)cos3xdx
=J cos 3x dx - 2J sen2 3x. cos 3jc dx + | sen4 3x. cos 3x dx
í
sen 3 x
2 s e n 3 3jc
sen 5 3x
-+ ---------- -he
15
b)
Para el cálculo de las integrales de la forma
Se presentan los siguientes casos:
ler. Caso.-
Si n es un número entero par positivo, a las integrales dadas se
expresan así:
Luego se usan las identidades siguientes.
1* ig2x
1¿ c t ¿ 2 x ~m$ec2x :
2do. Caso.- Si n es un número enterQ positivo impar, a las integrales dadas se
expresan en la forma:
Luego se usan las identidades siguientes.
78
Eduardo Espinoza Ramos
Ejemplos de aplicación de este criterio
Calcular las siguientes integrales.
J tg24xdx
Solución
Observamos que el exponente de la función es par, entonces de acuerdo al criterio
establecido expresamos:
Jtg24xdx = J(sec24x-1 )dx =
- x +c
j c t g 4 4xdx
Solución
En forma similar al ejemplo anterior, por tener el exponente par; a la integral
expresaremos asi:
Jctg44xdx = Jctg24xrtg24 x d x - Jctg24x(cosec24x-l)rfx:
= Jctg24x.cosec24 x d x - Jctg24xdx
ctg34x r
2a iv^
ctg34x ctg4x
= -----5------- (eoscc 4x-l)dx = ------- -----+ —- — +x +c
12
©
J
12
4
J tg6 5x dx
Solución
Observemos que el exponente de la función es par, entonces a la integral expresamos
así:
J tg6 5xdx = J t g 4 5x.tg2 5xdx = J tg4 5jc(sec2 5 x - l}dx
= J t g 4 Sx.sec2 5 x - J tg4 5xdx = ^ ^ - J t g 25x(sec25x-l)rfx
Integral indefinida
79
tg5 5x - Jtg2
r 2 5asee1
r
2
5x d x + j tg2 5xdx
25
tgs 5x tg3 5x r . 2 r . . .
tg5 5x tg3 5a tg5x
------- ----- + (Sec 5x-l)dx =—
-------- ----- +—----- x+c
=—
25
©
15
J
25
15
5
J tg 35xrfx
Solución
Observamos que el exponente de la función es impar, entonces a la integral
expresamos así:
Jtg3 5xdx =Jtg2 5x.tg5xdx =J(sec2 5x-l)tg5jcrfx =
(¿)
_ ln 1sec 5x | ^
Jc tg5 3xdx
Solución
Como el exponente de la función es impar, entonces a la integral escribiremos en la
forma:
Jctg5 3xdx- J^tg4 3xjctg3xdx =j (cosec23x - l ) 2c tg3x dx
=J (eos ec43x - 2 eos ec23x +1)c tg3x dx
- J eos ec33x. eos ec3x.c tg3x dx - 2J c tg3x. eos ec23jcdx + J c tg3x dx
eos ec43x c tg2 3x In | sen 3x \
= -------------- + —- ------+ — 1-------- L+ c
12
c)
3
3
Para el cálculo de las integrales de la forma.
sen” xcos** a h
Se presentan los siguientes casos:
Eduardo Espinoza Ramos
80
ler Caso.
i)
Si m ó n, es decir, cualquiera de los exponentes es un número
entero positivo impar y el otro es cualquier número, se procede de
la siguiente manera.
Suponiendo que m es un número impar y n es cualquier número, entonces a
la integral expresamos así:
Luego se usa la identidad:
i¡)
sen2 x + eos 2 x = 1
Suponiendo que n es un número entero impar y m es cualquier número, se
procede de la siguiente manera.
J senmx<:os" x-¿tx~ J sen"1x.cos”"1x. eos xdx
Luego se usa la identidad:
2do. Caso.
*}
9
sen " x + cos~ x = 1
Si m y n los dos exponentes son números enteros positivos pares,
se usan las identidades siguientes:
y con estas sustituciones la integral
integrales de la forma
J sen " x d x ,
anteriormente.
Ejemplos de aplicación de éste criterio.
Calcular las siguientes integrales.
Jsen m x.cos" xdx se transforma en
las cuales han sido estudiadas
81
Integral Indefinida
Solución
Como uno de los exponentes es impar, entonces a la integral dada escribiremos así:
J eos3 jc.sen4 x d x - Jco s 2 x.sen 4 x.cosxdx = J ( l - s e n 2 x)sen 4 xcosxdx
= fsen4 xcosxdx- fsen6 xcosxdr = —sens x - —sen7 x + c
J
J
5
7
©
í sen 3 xcos 2 xdx
Solución
r
7
2
, f l - c o s 2 x l + cos2 x
I r ..^
J sen“ x eos xdx = J ---- ------.----- ------d x = —J ( l- c o s 2x)dx
Ir 2^ ,
1 fl-c o s 4 x _ 1 .
sen4x^
= — sen 2 x d x - — \ --------------------------- dx=—(x-) + c
4i
4J
2
8
4
Jsen 5 x.cos 2 x¡dx
Solución
Como uno de los exponentes es impar, entonces a la integral dada escribiremos así:
J sens x.cos2 xdr = J sen4 x.cos2 x.sen xdx = J (1 -c o s 2 x) 2 eos2 x.sen xdx
= J ( l - 2 c o s 2 x + cos4 x)cos2 xsenxdx
= J c o s2 x s e n x d x - 2 j eos4 xsenxdx + J c o s 6 xsenxdx
eos3 x ---------------------+
2 eos5 x eos7 X c
--------+
©
Jsen4 x.cos2 xdx
82
Eduardo Espinoza Ramos
Solución
Como los dos exponentes son pares, entonces se usan las identidades:
1 - c o s 2 jc
2
sen x = ----------2
f
j
sen
4
2
;
1 + c o s 2 jc
eos x =----------2
2
,
f,l-C 0S 2jtv2 /l + C0s2-Xv .
jc. eos jc rfx = (------------ ) (-----------)dx
¿
2
2
= ^ J (1 - eos2 2jc) ( 1 - eos 2x)dx - ~ J sen2 2x(\ - eos 2x)dx
1r f
2n .
f
2o
l r fl-co s4 jc , sen3 2x..
= —[ I sen 2 x d x - sen 2jc. cos2jc¿jc] = —[ I ------------ ¿ x - — — ] + c
8 J
J
8 J
2
6
1
rjcsenx sen3 2x,
= - [ ----------------------- ]+c
8 2
8
6
Jco s7 x.sen3 xdx
Solución
Observamos que los exponentes son impares, entonces a la integral dada expresamos
así:
Jeos7 x.sen3 x d x ~ Jco s7 x.sen2 x.senxdx = Jco s7 jc( 1 + c o s 2 r ) senxdx
o
ir)
f
7
f
9
,
COS JC
COS
X
= eos x.senxdx —I eos x.senxdx = ------------------------- + --------+c
J
i
8
10
J sen 2 3x. eos 4 3jc dx
Solución
Como los exponentes son pares, entonces usaremos las identidades:
l- C O S Ó J C
sen“ 3x = ----------2
;
l + COSÓJC
eos~ 3x = ----------2
83
Integral Indefinida
r
t
.
f / l“
c o s 6 j c v/1 + c o s 6 x v ?
,
J sen“ 3x.cos 3xdx = J (----------- )(----------- )" dx
= —f (1 - cos2 6jc)(1 + cos 6x)dx = —Í sen2 6jc(1 + cos 6x)dx
8J
o J
l rf
•>, .
f
f *
, , n l r r l - c o s l 2 r . sen3 6jc,
= —[J sen- 6xdx +j sen- 6x cos6x dx] = —[ j ----- ----- dx+ — —— ]+c
1 ,x
8 2
d)
sen 12x
24
sen3 6x
jr sen 2x sen3 6x
-+
■+c
)+ f= T T 144
18
16
192
Para el cálculo de las integrales de la forma
;i J" tg" xsec“ xd$ ; J r tg ” x C0StíCmJC<5Ír
Se presentan dos casos:
ler. Caso.
Cuando n es un número positivo impar y m es cualquier número, a
las integrales escribiremos en la forma:
Íig* jt-sec" xd x~ J$ 0 * xsecm§ xAgx^socxdx
IIctg” xcm ecmxdx - \ c tgn~J
Luego se usa las identidades siguientes.
2do. Caso.
Cuando m es un número entero positivo par y n es cualquier
número, entonces a las integrales se escribe así:
Luego se usa las identidades siguientes.
84
Eduardo Espinoza Ramos
2x • 1+ctg2 x -sec.2* -j
Observación:
1)
Cuando n es un número entero positivo impar y m es un número entero positivo
par, se puede aplicar cualquiera de los dos casos.
2)
Si n es par y m es impar se aplica el 1er. caso.
Ejemplo de aplicación de éste criterio.
Calcular las siguientes integrales.
J sec 4 2x. tg2 2x dx
Solución
Observemos que el exponente de La sec 2x es par, entonces a la integral escribiremos
asi:
J sec4 2x. tg2 2x dx = J sec2 2x. tg2 2x. sec2 2xdx = J (1 + tg2 2 x ) tg2 2x.sec2 2x dx
= f tg2 2jc.sec2 2xdx + f tg4 2x.sec2 2xdx = ÍM__?£+Jll2^ L + C
J
J
6
10
(^
J^/tgjc.sec6 x d x
Solución
Como el exponente de secx es par, entonces a la integral dada escribiremos así:
J^/tgjc.sec6 x d x - J tg1/2 jc.sec4 x.sec2 x d x = J tg1/2 jc(1 + tg2 x)2 sec2 xdx
= J tg 1/2 x.sec2 xrfx+ 2jtg5/2 x.sec2 x d x + J tg 9/2 x.sec2 x¿x
2tg3/2x 4 tg?/2 x 2 u/2
= —5
5
------- + — tg11 z JC+C
3
7
11 6
85
Integral Indefinida
®
I tg3 3x.sec3 3xdx
Solución
Como el exponente de la tg 3x es impar, entonces a la integral dada escribiremos asi.
J tg3 3x.sec3 3xdx = Jtg 23x.sec2 3x.tg3x.sec3xdx
= J (sec2 3x - 1) sec2 3x. tg 3a*. sec 3x dx
- J sec 4 3x.tg3x. sec 3* dx - J sec2 3x.ig3jc.sec 3x dx
_
( 4)
sec5 3x
15
sec33x
9
------------------------------------------------------ + c
J c tg' x.eos ec4x dx
Solución
Como el exponente de la cosec x es par, entonces a la integral escribiremos asi:
J c tg 5 x.cos ec*xdx = J c tg 5 x.cosec2x.cosec2xdx
= Jctg 5x(l + ctg2x)cosec2xdx
- J c t g 5 x.eosec2xdx+ J ^ tg 7 x.cosec2xdx
ctg6 x
ctg 8 x
6
8
NOTA. Cuando en las integrales se observa que no se adapta a los casos estudiados,
es conveniente transformarlo a estos casos, utilizando las identidades
trigonométricas.
86
Eduardo Espinoza Ramos
Ejemplo.- Calcular las siguientes integrales.
©
J
dx
sen2 xcos4
>s4 x
Solución
r
dx
r sen2 x + cos2 x ,
J
J sen 2 x.cos 4 x ~~ JJ sen -? xcos 4 x
r, 1
1
J ^
J eos 4 x + sen“7 xcos 2 x ^
¿/x
r 4 _ rsen~x + cos a
5
J seex ¿ x + ------- j------- — dx
Í eosdx4 x Jr sen 2 xcos“
x J
J sen x.cos~ x
—
^ +
------ ----------
=
= f (1 + tg2 x)sec2 xdx+ f (— ^— + — í-—)dx
J
J eos“ x sen2 x
= Jsec2
tg2 JC-sec2 xdx + J se c 2 x rfx+ Jcosec2xrfx
te3 x
tg^ JC
t g x + - ^ — + tg x - c tg x + c = 2 tg x + - ^
c tg x + c
dx
©
i Vsenx.cos3 x
Solución
•
see2 jc r / x
f Vsenx.cos3 x - J see2 -\J sen x.cos3 x
jc
I i-----------J Vsen x. see x
©
|r
see2 xrfx
/
4
Vsenx.see
x.cos 3 x
fse c ^ fe
I i—*J
eos x dx
í iVsen7
E “T ¿X.
2x.cosx
tus X
Solución
f
I
J
1/2
,
JUaCC XMA
ry feX + C
Integra! Indefinida
r
87
eos x dx
Vsen7 2x. cos x
f
cos X¿/x
1 r
sec5 x. cos x dx
7 ?- JsecZ J x7 </sen
3 p T■x.cos' x
4^2
4^/2 Visen7 x-cos* x " U
1 rr sec4
sec xdx
x dx _
I1 rr (l + tg~ x)sec~ xdx
4V2-J 3|tg7 x " 4 V2 J
tg7/1 x
n= [J tg 7 3 x.sec2 x d x + Jtg 1,3 x.sec2 xf/tj
4^2
1 r 3 -4/1
3 *>/1
1 , 3
4/1
3 i/i ,
-[--tg
x + - t g - x]+c — 77= ( ~ c tg * + - t g
Jt)+r
4^/2
4
4 V2 ' 4
1.41
EJERCICIOS PROPUESTOS.»
Calcular las siguientes integrales.
©
i
sen x dx
n
3x sen 2x sen 4x
R p ta .------------- + -------- +c
F
8
4
32
Rpta. senx —2 sen x + —sen x +3c
F
3
5
eos4 3xdx
1
5
„
3.v sen 6x sen12x
Rpta. — + —- — + -----:— +c
8
12
96
©
/
( 4)
J sen6 2x dx
„ A 1 ,5jc
.3 sen 8x sen 4r
Rpta. —(----- sen 4x + ----------+ ----------) + c
8 2
16
12
Jsen 5 x / 2 d x
r. ^
,X s 4
*v
,1 ,
Rpta.
- 2T cos(—
) + —eos 3 /(—
) —2 eos 5 (—
)+ c
2 3
2 5
2
J(sen 2 3x + cos3x i 2d\
„
Ix sen 12x . sen1 3x
Rpta. — + ---------+ 2 --------- +c
v
8
96
9
Jcos6 3xríx
_
5x sen6x sen3 6x senl2x
Rpta. — + —--------- r—:— + ----—— + C
144
64
16
12
(ó )
Eduardo Espinoza Ramos
88
©
©
jc c o s 3(x
2
)dx
1
2 ^ 3 2
Rpta. —sen* — sen x +c
2
6
(sen2 x + cosx)2dx
Ix sen4x 2 sen3 x
Rpta. — + --------+ ----------- \-c
8
32
3
tg6 xdx
Rpta. —tg * “ ^*8 jc—tgjc + jr + c
1
1
3
ctg* xdx
tf£2 X
tg3 xdx
Rpta. ------ + ln |c o sx |+ c
©
ctg*(3x)dx
Rpta. -^ -c tg 3 3x + jc tg 3 x + x + c
©
c tg3 2xdx
_
ctg~2x In Isen 2x1
R p ta .----------------- --------- L+ c
tgz (x +\)dx
Rpta. tg(x + l) - x + c
©
c tg 5 2xdx
-cosec42x c tg 2 2x ln |sen2x|
R p ta .--------------+ — ------ -f— !---------- +c
©
ctg3(^)dx
Rpta. - ^ c t g 2(y )-3 1 n |s e n y l+ c
tg5 3x dx
Rpta. — see4 3 x - —tg2 3x+—ln|sec3x|+ c
12
3
3
c tg 4 2xdx
Rpta. „ £ S i í . - £ i ¿ 2 £ + c
tg5 x dx
Rpta. "6C X - tg2 x + ln | see x | -fe
@
F
8
2
2
Integral Indefinida
89
)
senx cosj<dx
(22)
J -n/ cosjc sen3 xdx
r* .
^
7/ ?
2
3,7
Rpta. —eos ~ x — eos ~x + c
7
3
( 23 )
J*Veos a* sen5 xrfx
Rpta.
J eos2
rnt _ x ^/cosa*
Rpta. •—eos 4 3 x + —-eos 2 3 x + c
4
2
25 )
J sen7 5x. eos3 5x dx
Rpta.
sen* 5x __sen1{) 5x
■+ c
40
50
©
senx.eos5 xrfx
r» *
Rpta.
n í— —,senx 2
31 5
2Vsenx(— ------ sen v + — sen x) + c
3
7
11
¿ 7)
Jse n 5 xeos2 x dx
.
cos7 x 2
5
cos3 x
R p t a .------------------------- + —eos x -- + c
7
5
3
28)
Jse n 3xeos3x dx
sen4 x sen6 x
Rpta. ------- ----------- + c
( 29 )
J sen4(^)cos2(^)rfx
„ ^ xsenx.eosx sen x
Rpta. — —------- ----------------- + c
24
16
16
sen4 veos4 xdx
Rpta. — (3*-sen 4x + - sen 8 \ ) +c
128
8
| sen1(—) eos7(~}dx
Rpta. - c o s IH(—) - —eos3(—) + £■
5
2 4
2
3
(3l)
(32)J sen3 3x eos 3jt dx
4
eos4' 3 x + - c o s 10/1 x ——eos16' 3 x + c
5
16
„ . eos*' 3.v eos6 3x
R p t a .----------------- — +c
24
18
a
I
H S/">
*■ 1ill
Rpta. 2vsen x — sen ~ x + —sen
x +c
5
9
90
34)
(3£)
Eduardo Espinoza Ramos
J cos4 2x sen3 2x dx
Rpta. ——eos5 2 x + — eos7 2 x + c
10
14
Jse n 2 x eos5 xdx
Rpta.
J sen5 2x. eos3 2x dx
1
.
1 i
Rpta. —sen ¿ x -----sen 2x + c
2
16
dx
Rpta.
sen3x 2
5
sen7 *
— sen x + ---------» c
3
5
1
3 eos3 x
-secx + c*
(38)
J see4 x^jc tg3 x dx
Rpta. -2-^rtgx +y-\/tg 3 x +1
(39)
J tg 5 xVeos3 x t/r
2
^^
Rpta. —see ~ x -4 sec
5
cos X
Í sen4 x dx
sen 3 x
j
dx
^
^
x - —eos ~ x +c
3
Rpta. cosecx-yCOS€?c3x-fc
Rpta. Vsecx(—eos2 x + 3) + c
eos4 x
r see x
dx
tg4 x
Rpta. - c i g x —1 ctg 1 x + <*
3
sen' m .
Í---1— dx
1 1 ^
Rpta. —[ -tg m r+ -tg nx] +c
k 3
5
©
J\í tgxeos 9 x d x
Rpta. 2^fséñx— sen5' 2 x + —sen9' 2 x + c
5
9
4?)
J tg3 4x. see 9>2 4x dx
Rpta. — see13/2 4 x - ^
26
18
©
COS
7DC
•fe
Integral Indefinida
©
91
f tg5 3x.sec9/2 4xdx
J
c tg6 4.x c tg* 3x c tglu 3jc c tg12 3x
K p ta .----------------------------------------------------f c
18
8
10
36
©
r sen5 3x ,
----- dx
J cos3x
„
1. ■ , . eos2 3x eos4 3x
Kpta. —ln sec 3x1+----------------------+ c
3
3
12
©
í x 2 eos3 2x3dx
„ , sen 2x 3 sen3 2x 3
Rpta.----------------------- +c
18
©
i sec7 2x.tg2xdx
J
_ 4 sec7 2x
Kpta. --------- +c
14
©
i tg xjsec x dx
Rpta. 2-Vsecx +c
J
i tg7 x.see4 xdx
10
8
„ 4
ctg3x
R p ta .------------ ctgx+c
f ( secV ¿ *
J tgx
®
»Rpta.
* —----tg'” x + ——* +c
i ctg 3 x. eos c t4x dx
ctg4 x 1
6
Rpta. —- --------ctg x + c
4
6
©
J
1
^ 1
}
Rpta. — cosec x + —eosec x + c
5
3
©
i ctg 3 xcos ec5xdx
„ ^
eos ec7x eos ec5x
R p ta .------------ + -----------+c
©
i tg2 2x.cos2 2xdx
1
sen4x
Rpta. —(x---------- ) + c
2
4
©
rsec4 x ,
1
dx
3 tg x
Rpta. -ctg x + tg x + c
©
r sen4 x ,
1 , dx
J eos* x
_
sen 2x 3x
Rpta. tgx + ——------ 2~+c
V
\
i
1ctg x.coset"xdx
92
Eduardo Espinoza Ramos
59)
Jsec4 2xdx
_ 4 tg2x tg3 2x
Rpta. —— + —------+c
( óo)
J see6 xdx
2
Rpta. tgx + y tg x + —tg x + c
J see3 x.tg3 v dx
1
<51 3
Rpta. —sec x — see x + c
5
3
(62)
J c tg5 x.cosec4x dx
_
Ctg X 1
6
R p ta .-------------- c tg x + c
©
i t g 4 . see3 xdx
8
1 <¡
6
a
_ . 1
<i
7
j
tgx.secx ln|secx + tgx|
Rpta. —tgx.sec x ----- tgx.sec x + —--------- + — ---------- í + c
6
24
16
16
MJ
f ,
¿
J sen x.---eos5 x
J (l + cos3x)3 2rfx
©
©
Rpta. - 2-y/í- t g X + y t g X-y/t g X + c
Rpta. 2-y/2(^sen(-^)-^sen 3(^))+í-
sen3 x
rfx
t/ 4
Veos x
Rpta. —eos5 3x +—p L = + c
+ 7r/4)
Í sen(x
sen x. cosx
. -72 1
1+senx,
Rpta. — Ln|tgx.----------|+c
2
1- eos x
eos3 x
dx
1 1-sen x
1
7
Rpta. sen x + —sen“ x+ c
eos3 x-s/scn2x
5
3-n /cosx
Rpta. ^y-(tg : x + 5)-Jlgx +c
93
Integral Indefinida
©
eos X
dx
sen4 x.cos4 x
©
^3 ----- ^
Rpta. — -Jtg5 x(5tg2 x + ll)+ c
4 l + 3tg2 4x
Rpta. - - ( ----- —---- )+c
3
ig 4x
sen x
dx
i cosx
Rpta. —C° -SX (cos2 x - 5 )+ c
senh3 xdx
1
?
Rpta. -jcoshxícosh2 x - 3 ) + c
tgh6 x. see/j 4xdx
c*tgh4 xdx
Rpta. x —ctg h x —- ctgh3 x+c
3
(cosh2 ax + senh2 ax)dx
1
Rpta. — senh(2¿/x) + c
2a
e'dx
cosh x + senh x
Rpta. x + c
©
tgh4 xdx
Rpta. v' - tgh jc- —tgh3 x + c
3
@
c tgh5 xdx
Rpta. ln| s e n h x |- —-r tgh2 x -~ -c tg h 4 x + c*
senh2 x.cosh3 xdx
_
senh1x senh5 v
Rpta. --------- + - ----- — -+ c
H
3
5
®
dx
senh x. cosh" x
Rpta. ln | tgh — | + see hx+ c
94
Eduardo Espinoza Ramos
»
4
( S ) J ( lg3.v.cosec43xdx
Rpta. — ° S<^ - +c
©
Jtg3 3x. see 4 3.v dx
Rpta.
CN
K4J
^
r
<¡,
i, ,
Icos 3x.sen 3x dx
J
„ . eos* 3x eos6 3x
R p ta .----------------------- •-c
24
18
(ss)
J*(x~ —6A')sen~(—— 3x~)dx Rpta. •“ (—— 3x2 )—- s e n ( — bx2) + c
2 3
1.6.3
OTRAè INTÉGRALES TRlG Q ^p^ÊTRIÇA S,-
+1
Se trata de las integrales de la forma:
•I
_
Para el cálculo de éste tipo de integrales se usan las fórmulas siguientes:
sen(m.Y)cos(«L*)==—(sen(w + tt)x + sen(w - ttfx)
sen(wv)sen(«\) « ~ (cosí fít'-n)x~cos(m + n)x)
■
; cos(m)cos(«A:) §
Las fórmulas mencionadas se deducen de las identidades:
sen(w + n)x = sen mx eos wx+ sen nx eos mx
... (1)
sen(w - n)x = sen mx eos nx - sen nx eos mx
... (2)
eos(m + n)x = eos mx eos nx - sen nx sen mx
... (3)
cos(w-/i)x = cos/nxcos«x + sen/7xsenmx
... (4)
95
Integral Indefinida
Ahora sumando (1) y (2) se tiene:
scn(wjr)cos{flut)-=;^(sen(w-+ ;z)x+sen(w-n)x)
ahora restando (4) y (3) se tiene:
ahora sumando (3) y (4) se tiene:
cm(jnx}cos{tix) —X{ w $ m - ti)x + eos{m+n)x)
2
NOTA: En la aplicación de las fórmulas mencionadas se debe tener en cuenta las
identidades siguientes.
sen{-x)~ —sen*
VxeR
cos(-A') = COSA'
Ejemplos de aplicación.
Calcular las smuientes integrales
©
i sen 2 . sen 9xdx
a
Solución
Como sen 2 x . sen 9 y = ^ (eos Ix - eos 1L y ) , reemplazando en la integral:
f
n
^ j
l f
v»
1 ,sen7x sen 1lx v
sen 2 a*.sen9 a*dx = — (cos7x-cosl l.v)rfx = —(----------------------------- ) + c
J
2J
2
7
11
©
i eos 2v. eos Ix dx
Eduardo Espinoza Ramos
96
Solución
Como eos 2x. eos 7a* = ~ (eos 5x + eos 9x), reemplazando en la integral;
r
Ir
1 sen 5x sen 9 x
J eos 2x. eosIx dx = - J (eos 5.v+ eos9x)dx = - (---- — + — — ) + c
2
sen 4 y. eos 5 y ¿ y
Solución
Como sen 4.v. eos 5.x - ^ (sen(4 + 5)x + sen(4- 5).y)
= ^ ( s e n 9 x - s e n y ) , r e e m p la z a n d o e n la in te g ra l:
Í
1 r
1
e o s 9jc
s e n 4x. e o s 5 x dx - — J ( s e n 9 y - s e n x)dx = ~ ( e o s x ------- — ) + c
J s e n 3 4 v . e o s 2 7 a dx
©
Solución
_
C om o
sen
*>-,
.
*7 r
-¡
A
4 a .e o s “ 7a = s e n - 4a .e o s ' 7a.s e n 4 a
1 - c o s S . v 1 + e o s 1 4a.
------------- —
----------------- . s e n 4 a
2
2
= — (1 + e o s 1 4 a - e o s Ha - e o s 8 x e o s 14a ) s e n 4x
4
= — ( s e n 4 y: + s e n 4x e o s 14 a ' - e o s 8a' s e n 4 y - e o s 8 a e o s 14 i s e n 4 y )
4
s e n 1 4YCOS2 7 a = - ( s e n 4 v + s e n 4 a e o s 1 4 y - c o s Ky s e n 4 r - c o s f t v c o s í 4 \ s c n % )
4
... (1 )
s e n 4 v e o s 1 4 y = ~ ( s e n 1 8 y - s e n 10 y)
*er 4 x eos Xv = —(sen 12x - sen 4 a )
(sen 4 \ > se n 10 *
..(2)
s e n 1 2 v + s e n 2 6 .v )
Integral Indefinida
97
= ~ [sen 23x - sen 2 lx + sen Ix - sen 5]
Ahora reemplazando (2) en (1) se tiene:
sen3 4x eos2 7x = —(sen 4x) + —(sen 4x -3 sen 1Ox -sen 12x + 2 sen 18x - sen 26x))
4
4
= — (5 sen 4x - 3 sen 10 - sen 12x + 2 sen 8x - sen 26x), entonces:
16
| sen3 4x. cos2 lx dx =
J(5 sen 4x - 3sen IOx -sen 12x+2 sen 18x - sen 26)¿/x+c
1 3cosl0x cosl2x eos 26* 5cos4x cos18a\
= ---(----------- + --------- + —---- -------------------------- ) + £‘
16
10
12
26
4
9
(i)
Jsen(3x + 6).cos(5x + 10)dx
Solución
Como sen(3x+ 6).cos(5x + 10) =
(sen(8x +16) + sen((3 x + 6) -(5x +10)))
= ^ (sen(8x + 16)- sen(2x + 4)) entonces
Jsen(3x + 6). cos(5x +10 )dx = ~ J(sen(8x + 16)- sen(2x + 4))dx
cos(8x +16)
16
cos(2x + 4)
H-------------- h C
© f eos x eos2 5xdx
Solución
Como eos x. eos2 5x = —cosx(l + cos 1Ox) = —(cos x + cos x.cos I Ox)
2
2
98
Eduardo Espinoza Ramos
1,
eos 9* + eos 11a\
1n .
= — (eos x + ---------------------------- ) = — ( 2 cos+ eos 9* + cos 1I jc )
2
2
4
J eos x eos 2 5a d x = —J (2 cos jt + cos 9,v + cos 1 \ x ) d x
1
sen 9a sen 11a ,
= — (2 sen jc + -------------------------- + -) + £•
4
9
11
( 7)
v
f sen(—- x ) sen(—+ a ) d x
J
4
4
Solución
^
v fn
1
tt
cos2x
Como s e n ( ------ ,v ) s e n ( — + x ) = — ( c o s 2 j c - c o s — ) = -----------4
4
2
2
2
J sen(—- x ) scn(—+ x ) d x = — J cos 2 a d x = —-11— * + <
©
s sen x sen 2 x . sen 3jc dx
Solución
Como sen 2x. sen 3jc = y (eos jr + eos 5x) , entonces
sen x sen 2 * . sen 3a' = —sen jc(cos x + cos 5x) = —(sen x eos jc + sen x cos 5x )
?
2
= —(sen 2 x - sen 6a: + sen 4 x ) = —(sen 2a' + sen 6a: - sen 4 v)
4
4
J sen x . sen 2x. sen 3a: d x = —J (sen 2a' - sen 4 x + sen 6 x ) d x
1 , cos ó x ' cos 4jc cos 2 x
cos2jc cos 4x cos 6 a
= — ( -------------- + --------------------------- ) + c = --------------- + --------------------------- + c
4
6
4
2
8
16
24
99
Integral Indefinida
1.6.4
EJERCICIOS PROPUESTOS,Calcular las siguientes integrales.
©
J
©
/■sen 3r. sen 5a dx
sen 8v. sen 3xdx
J sen1 x. eos 3x dx
^
sen5x senllv
Rpta. ——---------—— +c
10
_
sen 2x sen 8x
R p ta .------------------ + c
4
16
_
3 eos 2a 3 cos4 y eos 6x
R p ta .---------------- ----- + — -— + £
48
16
32
•-fc .
1/
sen9xv
Rpta. ~(scnx + —- — ) + c
©
j eos 4x. eos 5x dx
©
j eos2 x.sen2 4 a dx
n
x sen 8 y sen2x senóx senlOx
R p t a . ------------ + ------------ a------------------ + c
4
32
8
48
80
(ó )
J sen—.sen — dx
_
sen y sen 2x
R p ta .------------------fí
sen 5 a . eos x dx
^
eos 6x eos 4x
R p t a .-------------------- + c
©
j eos
^
sen 4a' sen 6x
Rpta. — — + - ■ 8
12
©
j sen 4x.eos7Ydx
_
eos3x eosllx
Rpta. —---------------- + c
f sen —.eos
x
3 x dx
j
—
^
eos y eos 2x
R p ta .-----------------+ r
(Ti)
J eos | . eos y dx
x 3
5x
Rpta. 3 sen —+ —sen — + c
6 5
6
s>
sen 2x.sen 3xdx
_
eos y eos 5x
Rpta. — ------------- + c
2
y.
2
J*
2
eos 5x dx
2
F
F
12
6
2
8
22
10
100
Eduardo Espinoza Ramos
©
1* ( Vsen 2 a - eos 2x)2dx
x sen4* c o s 2 a 2 ,
.
v3, 7
Rpta. —+ -----------------------(sen 2a)
+ c*
©
|*sen 5 a . sen a dx
Rpta.
©
.j*eos 3 a . eos 2 a dx
Rpta.
©
JJ*sen
Rpta.
3 a . eos 6 a dx
2
8
2
sen 4 a
sen 6x
8
12
sen x
sen 5a
2
10
eos 3a
eos9 a
6
18
3
+c
■+c'
-+ c
©
j* eos 4 a . eos 2 a dx
j
sen 2 a sen 6 a
Rpta. --------+ -------- +c
4
12
©
J|*eos
Rpta.
3 0 a . sen 2 0 a dx
eos 1 0 a
eos 5 0 a
20
100
+r
©
1*sen 3 a . eos 5 a dx
j
Rpta.
eos 2 a
4
eos 8 a
•+ r
16
©
J|*sen
Rpta.
eos 2 a
~4
eos 6 v
+ C'
12
©
J1*sen(4y + 7).
2 a . eos 4 a dx
cos( 5 a
+ %)dx
Rpta.
18
©
[ c o s( 9 a - 2 0 ) . c o s( 5 a + 2 0 )¿ /a
j
1 _sen(4 v - 40) sen 14 a ..
Rpta. —[------------- - + ---------]+c
4
2
7
©
J sen sen
3 a . sen 5 a dx
1r
eos 9 a eos 3a eos 7a
Rpta. —feos a + ----------------- ----------- ]+c4
9
3
7
©
J
eos a . eos 3 a . eos 5 a dx
1r
sen 3 a sen 7 a sen 9 a .
Rpta. —[senA + ------- - f ------- +----- — 1+ c
©
I sen 1
a.
4
0 a . sen 2 0 a , sen 3 0 a dx
3
7
l r eos 6 0 y
eos 4 0 a
,
Rpta. „ r ----------------------- eos 2 0 a ] + r
8
3
2
9
Integral Indefinida
( 29 )
101
J
...
-n
m j
„ ^ l,sen20v sen40.v sen60v,
cos 10a . cos 20 r. cos 30a-í¿v Rpta. —[-------------------------------------------+ --- + ------ + c
4
20
20
60 J
J
sen x. eos 7v.sen 1Ijc dx
r,
1 . sen 3.<r sen 19r sen 5.r sen 17 x ,
RPta- ~[— ----- —---- 7— +— 77— ]+t
4
3
19
17
J
cos x. sen 7 v. cos 1\xdx
__
l r cos3x cos5jc cos17,y cosl9x,
R pta.—[—-— -f — ---------- —--------- —— ] + c
4
3
5
17
19
J sen(2x + IJ.scnpA' + 2).sen(5x + 3)dx
1 _cos(10.y + 6 ) c o s ( 6 jy + 4) cos( 4y + 2)_
Rpta. - [ ------------------------------------------------- 1+ Í8
5
3
2
J
^
©
1
cos(x + 3).cos(3v + 5).cos(5x + 7 )dx
_ ^ 1 rsen(3,v+5) sen(7jr+9) sen(9.v + 15)
.
Rpta. —[------------- + — --------- + — --------- i +sen(.v + l)l+ c
4
3
7
9
©
J sen3 cos 3*
32)
J cos 2 x. sen2 4x dx
„
x sen 8a' sen 2x sen6.v sen 1().v
Rpta. —--------- + ------------------------------- +c
4
32
8
48
80
©
J cosh cosh
3x dx
Rpta. —senh 4x + —senh 2x + c
8
4
©
senh 4jr.senh.rrfr
Rpta. — cosh 5jy + —cosh 3-y + í '
©
j senh2 jr.cosh5xdx
_
senh 7a' senh3.r senh5.r
Rpta. — —— + -----------------:— + <•
28
12
10
x.
x.
dx
Rpta. — cos 2a:——ciks 4x + — cos 6x + c
16
32
48
10
6
102
1.6.5
Eduardo Espinoza Ramos
INTEGRACION POR PARTES El método de integración por partes es de mucha utilidad en la práctica, cuyo
procedimiento es de la siguiente manera:
Consideremos u = f(x) y v = g(x) dos funciones diferenciales en la variable x.
De la fórmula para la diferencial de un producto de dos funciones se tiene:
d(uv) = udv + vdu, lo que es equivalente
udv = d(uv) —vdu. integrando ambos miembros se tiene:
La ecuación (*) se denomina ‘‘Fórmula para la integración por partes"
Ejemplo de aplicación de este método
Calcular las siguientes integrales.
Q
J a 2 In a dx
Solución
Comentario:
Haciendo:
Cuando se tiene un producto de una función logarítmica inclusive
afectada de un exponentc por una expresión en x, en lodos estos casos,
se loma asi:
u = 1n x
...o )
dv —x 2dx
Ahora (1) reemplazamos en la fórmula de integración por partes:
x “ \nxdx = — ln.x —J
3
—
simplificando
Integral Indefinida
103
a3.
1 f -» , X* In A A3
= — In a — x~dx —-------------- + <■
3
3i
3
9
(7 )
Jln(A + ^/l + i'2 )dx
Solución
De acuerdo al comentario del ejemplo anterior se tiene.
Haciendo:
m = ln(x + ^
du =
>
dx
^\+ x2
V= A
dv - dx
Ahora aplicamos la fórmula de integración por partes:
ílnÍA + ^ + A 2 )dx = AlnfA + 's/l + x 2 ) - f - - - - - - = a In(A+ Vi + a 2 ) - -\/l + a 2 + c
V I+*2
©
a sen 3a ¿a
J jcsc
Solución
Comentario:
Haciendo:
Todas las funciones trigonométricas multiplicados por una expresión
en x se integran por parles donde las funciones u y dv se toman asi:
Iu = x
Idv = sen 3a dx
du = dx
eos 3 a
v -----------
Ahora aplicamos la fórmula de integración por partes:
r
_ .a eos 3a f eos 3a , a eos 3a sen 3a
i sen 3 x d x
------- ------------- I ---------------------------------------- d x = ----- + ----+ ¿
J
3
J
3
©
i ( v ? + 2 a + 3 ) e o s 2 a dx
Solución
104
Eduardo Espinoza Ramos
De acuerdo a) comentario del ejemplo (3) se tiene.
Haciendo:
du = 2(x + \)dx
sen2v
v=
u = x 2 + 2 jc + 3
dv = eos 2x dx
Ahora aplicamos la fórmula de integración por partes:
j* (x ' + Ix + 3) eos 2x = 1
+ ^ +3
+ + scn 2x - j* (jr +1) sen 2x dx
nuevamente a la integral J ( v +1) sen 2a d x, lo calculamos por partes.
Haciendo:
íw = x + 1
\
[dv = sen 2a' dx
du = dx
eos 2x
=>
v-
y aplicando la fórmula de integración por partes.
_ ,
r +1 .
r cos2v ,
a +1
_ sen2r
I Í.T+ l)sen2jr¿ir = ------- c o s 2 x - ----------dx = ------- cos2*+------- + c .(2)
t,
J
J
J
2
4
ahora reemplazando (2) en (1) se tiene
j
~
n ,
x ‘ +2x + 3
~
x +\
~
sen2x
U " + 2 jc + 3 ) c o s 2 * ¿ & = -------------------- s e n 2 i + ----- c o s 2 v ---------+ c
2
2
2 jc2 + 4 a + 6
4
^
A+ l
^
---------------sen 2 a + -------eos 2x + c
4
©
2
j xe2xdx
Solución
Comentario:
Las funciones exponenciales multiplicadas por una expresión en x se
integran por parles y las funciones u y dv se toma asi.
105
Integral Indefinida
Haciendo:
du - dx
u =x
2x
dv = e2xdx
Ahora aplicamos la fórmula de integración por partes.
e ' Adx xe2x e 2x
e’2x
------- = -------------- +c = -----(2 x - l) +i
©
J (jc- +3x-\)e-'dx
Solución
De acuerdo al comentario del ejemplo (5) se tiene:
Haciendo:
du = {2x +3)dx
2a
u —x~ + 3 x -l
dv = e 2xdx
Ahora aplicamos la fórmula de integración por partes.
2x ^ . _ X2 +3JC-1
J (x2 + 3 x -\)elx
dx =
2x
j 2x + 3 e 21
¿xdx
x~ + 3 x -l ->x
— ----- ----- e~
2
U (2.*+3)<rJdx
2
Nuevamente a la integral J (2jr+3)elxd x , lo integramos por partes:
Haciendo:
u —2x + 3
du = 2dx
dv = e2xdx
Ahora aplicamos la fórmula de integración por partes.
-)x
2v
f/o
ox
2.v + 3 ->* Ce" ~ ,
2x + 3 ix e
, n 2*
(2jt + 3)*r dr = ------- e~ ~ \ ----- 2dx =------ e ~ -------- = (x + l)e
J
2
J 2
2
2
— (2)
106
Eduardo Espinoza Ramos
Ahora reemplazamos (2) en (1).
j
, ?
*>r , x 2 + 3 x - l ix x + l ~)x
x 2 + 2 x -2
(x~ +3x-\)e~' dx =------------ e ~ --------e +c = --------------e~ + r
Jxarctgxrfx
Solución
Comentario:
Todas las funciones trigonométricas inversas multiplicados por una
expresión en x, se integran por partes donde las funciones u y dv se
toman así.
\u = arctg x
) dv = x dx
Haciendo:
dx
l +x2
du =
V=
X
Ahora aplicamos la fórmula de integración por partes.
f
x 2 arctgx l f x 2dx
x 2 arctgx l r„
l
v arctgx dx = ----- — S - - - —— = ---- —*— _ (i — ----rfv
J
2
2J x +1
2
2J
jc2 +l
x" arctg x x l
---------------- + —arctex + c
2
©
2
2
x +1
x
-------arctg x — + c
j x aresen x dx
Solución
De acuerdo al comentario del ejemplo (7) se tiene.
Haciendo:
\u = aresenx
Idv = x dx
dx
du
-Jl-X 2
X*
v=■
Ahora aplicamos la fórmula de integración por partes.
107
Integral Indefinida
í
xrc sen x dx =
x~ arcsen x _1_ r x^dx
“2
.* (1 )
nuevamente la integral f * ^ x . Calculamos por panes
V i- * 2
u -x
Haciendo:
dv =
xdx
V i- * 2
Luego aplicamos la fórmula de integración por partes:
=
= - x V l- x 2 - J - ^ j e 2dx = - x y ¡ l - x 2 + j ‘Jl-x* dx
= - x ^ \ - x 2 + —-s/l-x2 + —arcsenjt + c = —(arcsen x-x*J]
2
2
2
Ahora reemplazando (2) en (1) se tiene:
, jc2 arcsen jc 1 ,
r
T
x arcsen x dx =------------------ (arcsen x - x y \ - x ~ +c
j
2
4
2jc2 —i
x r
r
arcsen.LY+ —Vl~*~ +C
4
4
®
j 'eax sen bxdx
Solución
Comentario:
Las funciones exponenciales multiplicadas por la función seno o
coseno se integran por partes y las funciones u y dv se eligen de
cualquier forma, así: tenemos para nuestro caso:
108
Eduardo Espinoza Ramos
ju -senbx
Haciendo:
| dv = euydx
du = b eos bx dx
v=
a
Ahora aplicamos la fórmula de integración por partes
e“x sen bx b
eax eos bx dx
-a íJ
a
i eax sen bx dx -
(1)
nuevamente a la integral J e ax eos bxdx, lo calculamos por partes.
u = eos bx
Haciendo:
dv = eaxdx
du = -b sen bx dx
v=
a
Luego aplicamos la fórmula de integración por partes.
sen bx dx =
/* * »
eax eos bx r b ax
--------------- € sen bxdx
a
J a
eax eos bx b
+ -—| \e
> vssen bx dx
a
aJ
ahora reemplazamos (2) en (1) es decir:
j
e
ax
eos far
bx b fr UK
. ,1
, ,
sen bx b .re
e tíA cos
[------------+■— e sen bx dx]
sen bx dx ~ ------------a
a
a
aJ
I eÜA sen bx dx = —y (a sen bx - b eos bx)----—\ e tn sen bx dx
J
a"
a~ J
b f
c"'
(1 + — ) e"' sen bx dx = ——(¿/ sen />jc- b eos bx)
a~ J
a~
etíA sen /¿r dx -
(¿/ sen fcx- eos for)
+ £'
2 + rr
r.-*
(2)
109
Integrai Indefinida
Ejemplos diversos de integración por partes.
x arctgx
j Vi + v2 dx
Solución
De acuerdo a los comentarios de los ejemplos anteriores.
u = arctg x
x dx
dv =
Haciendo:
du -
dx
1+ x2
v = >/l+*2
Ahora aplicamos la fórmula de integración por partes.
r x arctg x
r
r
4
f /; T dx
idx = Vl + x~ a rc tg x -IVI + x " ----------------- V1+ x 2
= Vl + x2 aretex- f . ^ = -\/l + x 2 a rc tg x -ln |x + ->/l + x 2 |+c
J V I+x2
x~dx
i (xcosx-senx)
Solución
A la integral dada escribiremos así:
f
x 2rfx
(.xcosx-senx)2
Haciendo:
x~ senxrfx
x:~senxrfx
r
^ sen x(x eos x -se n x )2
u- ■
senx
dv =
x sen x dx
(x eos x -sen x )'
r x
senxx dr
¿Ir
x sen
senx (x co sx -sen x )2
sen x -x co sx ,
du = -----------------dx
sen" x
1
V=
x co sx -sen x
Ahora aplicamos la fórmula de integración por partes.
110
Eduardo Espinoza Ramos
f
x 2dx
J (jc eos x - sen x ) 2
_______ x__________ f
(senjf-jrcosjr) ^
sen x(x cos x - sen x) J sen2 jc(jc eos jc - sen jc)
x
senjc(jccosx -se n * )
©
(Icosec 2 xdx
j =■
x
J
senAfxcosjc-senx)
ctgx +c
f Jf + senJfrf)í
j
1 + COS JC
Solución
Se conoce:2cos2(—) = 1+ c o s .y
2
,
sen.r = 2sen(—).cos —
2
2
Entonces a la integral dada escribiremos así:
x
x
x + 2 sen(—) cos(—)
.
f x + senx
r
i .
1f
■>/*».
r. /-vvj
---------- dx = I ------------ =-------— dx = - I .rsec (—)rfx + tg(—)dx
J 1 + c o s jc
J
2 J
2
J
2
2 eos (y)
Ahora calculamos la integral f.tsec2(—)dx, por partes.
J
2
u =x
Haciendo:
dv = see 2(~)dx
ídu =dx
v = 2 tg(y)
Luego aplicando la fórmula de integración por partes.
J jc sec 2(y)dc = 2 jc tg(^) - 2 J tg{^)dx
Ahora reemplazando (2) en (1)
f j c + senx
,
1.
,jc
, x
,
f , j c %,
---------- = —[-v tg (-)—2 i ig(—)dx] + tg(-)dx+c
J 1+ cosx
2
2
J
2
J
2
= j tg(^) - J tg(j)dx+j tg(^)dx+c = ± tg(-|)+ c
... (2)
Integral Indefinida
© í
111
cos x + x sen x -1
dx
(sen x-x)~
Solución
Corno sen1 x + eosJ x = 1, entonces a la integral dada escribiremos así:
r eos x + x sen v -1 . r eos x + x sen y - sen2 x eos" X
dx
i --------------- i— * = i ----------- ------------ —
J (sen y - y ) "
j
(sen y - a )
cos a (eos x - 1) - sen A(sen x - y )
(sen y-a:)2
eos jc(cos x -1) ^
- j
(sen a - x)'
|
dx
sen x dx
(senx-x)
.(l)
, r cosx(cosx-l) _
Ahora calculamos la integral -------------- — dx, por partes.
J (sen-y-a)*
u = eos x
Haciendo:
c o s jc - 1
du
dv =------------ -dx
(senx-x)~
=>
v
-sen-Y dx
1
sen x - x
Luego aplicando la fórmula de integración por partes.
x(cos x - 1)
Í cos(senx-x)
(se n x -x )2
eos x
se n x -x
r sen x
' se n x -x
..(2)
Ahora reemplazando (2) en (1)
r eos x + x sen x —1 f
sx
f senx , r sen y ,
cosa
eos;
•dx —— -----+ -----------d x - I ----------- dx + c =--------- + c
s e n aJ -sen
a
se n x -x J se n x -x
sen a - j
' (sen x -x )2
^4)
J see1 x dx
Solución
112
Eduardo Espinoza Ramos
A la integral dada escribiremos así:
J sec8 v dx —J sec2 x. sec x dx = J (11- tg2 x) sec xdx
= Jsec xdx + J tg 2 jc.sec jtdx = ln|sec.jr + igjr | + Jtg 2 a.sec xdx
ahora calculamos la integral j* tg2 x.sec x dx . por partes.
Haciendo:
jw = tg.v
| d\ = tg x. sec x dx
\ du —sec2 a
1r = sec v
Luego aplicamos la fórmula de integración por partes.
| tg2 x. sec x dx = sec x. tg x - 3J sec3 x dx
Luego reemplazamos (2) en (1) se tiene:
| sec3 x dx = l n | sec x + tg a* + sec x tg x - J see3 x dx
sec3 x dx = —(In | sec a + tg x | + sec a tg x) + c
xeaiVlg-V
dx
/I
-1^2
(1+*
)
Solución
De acuerdo a los comentarios de los ejemplos anteriores.
du
Haciendo:
=>
dv =
dx
I -I T
(! + * ' ) ■ “
dx
1+ x'
Ahora aplicamos la fórmula de integración por panes:
... (I)
113
Integral Indefinida
C xe
dx =
^arctg x
Í (1 + ' 2)3/2
xe*«*x
- .(I )
a
^aictg*
Í------ — dx, por partes
nuevamente
(l + * 2)3/2
u
Haciendo:
dv =
J (1 + x 2)3' 2
(l + x 2)3' 2
v = e™**
arctg x
dx
l +x ‘
aicig x
arctg x
dx
xdx
du =
f A-e3™6'
2x3/ 2
(1 + x 2)
dx
... (2)
+ J(1 + a 2)3/2
luego reemplazando (2) en (1) se tiene:
r Aearct6*
x e *Ktg x
dx
J ( 1 + a-2 ) 3 / 2
^aictgjr
( i+ a )
arctg x
o + a-t
^aictgx
í (1+ a-2y
e arctgx
-dx = ------------. . . . ( a - 1 ) + c
2(1+a )
arcsen 4~x
í ( l - A ) 1/2 dx
Solución
Sea z-'-Jx
Í
arcsen~Jx .
x - z 2 =>
- f z arcsen z
a -z*y
dx~ 2zdz
.(i)
d=
Ahora aplicamos el criterio de integración por partes.
Haciendo:
u = arcsen r
zdz
dv =
( l - 2 2),/2
du =
dz
(1 - z 2 ) ,/2
v = - ( l - z 2)1/2
114
Eduardo Espinoza Ramos
Luego aplicamos la fórmula de integración por partes.
z arcsen z
——
^ dd:z ~ - ^ \ - z ^ arcsen
arcsenz- f - V l - ~ 2 ----Í-----(l-z 2)1/2
(1 - 2 )
2
i
n - - 2i
... (2)
= - ( l - r 2)1/2 arcsenz+z
ahora reemplazamos (2) en (1), es decir:
r arcsen4 x e¡x = 2(-^Ji-z2 arcsenz + z ) + c = -2>j\-x a r c s e n + 2-Jx +c
J 0-x)
(n )
I sen(ln*)d*
Solución
Sea z = lnx
=^> x = ez =>
dx = e zdz
Isen(lnx)dx = J e 2 sen zdz
Aplicando el criterio de integración por partes.
Haciendo:
u = senjt
du = cos r dz
dv = e xdz
v = ez
Mediante la fórmula de integración por partes se tiene:
9
J ez sen z dz = e z sen z - J ez eoszdz
nuevamente calculamos la integral J ex eos z d z , por partes.
Haciendo:
u = cosr
du - - sen z dz
d v - e zdz
v = ez
aplicando la fórmula de integración por partes.
115
Integral Indefinida
... (3)
j e z eos z d z - e z eos z + J e z se n z dz
ahora reemplazamos (3) en (2)
/«■
senzdz = ez senz ~ e z eosZ~ f e z senzdz
í ez sen z dz = — (senz -e o s z )
(4)
Luego reemplazando (4) en (1) se tiene:
J sen(ln x)dx = — (sen z - eos z ) +c
J sen(ln x)dx = y (sen(ln x) - cos(lnx)) + c
e^dx
Solución
Sea x = z 2 => dx = 2 z d z , entonces: J
Haciendo:
u-z
du-dz
dv = e zdz
v = eA
= 2J zezdz, integrando por partes.
Aplicando la fórmula de integración por partes:
J e ^ d x = 2(zez - J e*dz)+c=2(zez - e z )+c = 2ez ( : - 1)+c = 2 e ^ ( - J x - l) + c
®
x arctg*
dx
í^ r + x.2
Solución
Sea z = arctg x
dz
dx
1
x = lgz
+ x 2 , ahora reemplazando en la integral,
116
Eduardo Espinoza Ramos
Í - 1+Xarct£* dx =3f 2 tg2 z d z , aplicando el criterio de integración por partes.
Haciendo:
u=z
\du = dz
dv = tg2 zdz
\v = tg r
Mediante la fórmula de integración por partes se tiene:
j a _ arctgx^ =
z(¡z - z(x%z-z)-^{\%z-z)dz
= z t g z - z 2 - ln \s e c z \ +^ - + c = x arctgjc-ln|sec(arctgx)| - arct& - +c
arcsenx
©
( l - * 2)3' 2
J
dx
Solución
,
dx
Sea z = arcsen* => «
(1 - jc2)172 , ahora reemplazamos en la integral*dada:
x = sen z
dz =
arcsenx ,
r
arcsenx
,
r zdz
e
2
Í-------------------------- i------ TT7Tdx = --------- T ~ = ~sec zd:
( l - x 2)3/2
J a - J t K l-* )
1-sen z
J
Ahora aplicamos el criterio de integración por partes.
Haciendo:
u- z
fdu = dz
rfv = sec2 zdz
}v = t g 2
Luego aplicamos la fórmula por partes:
r aresenx _
r
_
, .
------ r r r dx = z t g z — tg zd z +c = z tg z - ln secz +c
*
(l- A
)
J
x arcsen a
1. „
= ----------— — - - l n ( l - A z ) + c
(I-a )
2
2,
117
Integral Indefinida
En esta parte consideremos el cálculo de las integrales, mediante ciertas técnicas,
llamadas el método de los coeficientes indeterminados y se considera las siguientes
integrales.
1ro. Las integrales de la forma:
Donde Pn(x)
expresa así:
es un polinomio de grado n, para él cálculo de estas integrales se
.~ < D
donde Q„ (a ) es un polinomio de grado n de coeficientes por calcular, es decir:
P„(x) = a„xn + a„_1x"~I +...+alx + a 0,
Q„(x) = bnx n +b„_lx n i +„.+blx +b0
y se trata de calcular los coeficientes de Qn(*) , los que se obtienen derivando la
ecuación (1) y después se aplica la identidad de polinomios.
Ejemplo:
Calcular la integral:
J (jc3 + 5a 2 - 2)e 2xdx
Solución
De acuerdo al criterio establecido, a la integral dada escribiremos en la forma:
J ( x 3 + 5x2 - 2 ) e 2xdx = (Ax3 +Bx2 +Cx+D)e2x +c
Para calcular A,B,C y D derivamos la ecuación (1)
( X 3 + 5 * 2 - 2 ) e lx =2(Ax3 +Bx2 +Cx + D)e2x + ( 3 Ax2 +2Bx+C)e2x
(x3 +5x2 -2 )e Zv = (2Ax3 +(2B+3A)x2 +(2C + 2B)x +(2D +C)e2x
x 3 +5x2 - 2 = 2Ax3 +(3A + 2B)x2 + (IB + 2C)x +C+2D
(1)
118
Eduardo Espinoza Ramos
Ahora por identidad de polinomios se tiene:
A=
2A = 1
B =-
3 /1 + 2 5 = 5
4
' 2B + 2C = 0
C + 2D = -2
- (2)
4
D=-
1
Luego reemplazando (2) en (1) se tiene:
J ( jc 3 + 5 * 2 - 2 )e 2xdx = ^ { 4 x 3 + 1 4 x 2 - \ 4 x +l)e2x +c
Observación:
En general se puede probar que:
Comprobemos con el ejemplo anterior.
f
J
(x
3
^
+ 5a
*>
*
ix ,
elx r
3
_
2
^
3 a 2 + 10a
6 a + 10
6_
- 2 )e2xdx = ------- [ a 3 + 5 a 2 - 2 ----------------------- + ------------------------ ] + c
2
2
4
8
2-r
= ^ - [ 4 jc 3 + 1 4 jc 2 - 1 4 x - Í ] + c
2do. Para las integrales de la forma:
/\x)scn(íD:>íñ. J/tJr)cos(ax>iít
Donde P(x ) es un polinomio.
Él calculo de estas integrales se obtienen mediante las expresiones siguientes:
Integral Indefinida
119
- cos(ax)
I P(x) sen {ax)dx = ——
a
a
a
J P(x) cos(ax)dx =
sen(tfx)
P(x)
a
a
a
p"(x) , p (4)(x)
a
a
| cos(flx)[f (Jt)
a
a
P "(x ) | P'(x)
fl3 ' a 5
Ej empio: Calcular la integral J (2x4 + 2x - 1) cos 2x dx
Solución
De acuerdo al criterio se tiene:
P(x) = 2x4 + 2 x -l
=> F (x ) = 8x3 +2
P"(x) = 24x‘
P”'(x) = 48x
P (x) = 48
sen 2x
F ' (x) | Piv(x) | cos 2x P (x)
16
F "' (x) | g
8
sen2xr_ 4 .
.
--------[2x + 2 x -l
24jc2 48.. cos2xr8x3 +2 48x,
t ] + —r - [— ; ------- H + c
4 +716
8
:(2x4 - 6x2 + 2x + 2
) +
2
(2x3 - 3 x + - ) cos 2x+c
2
]
Eduardo Espinoza Ramos
120
OBSERVACION.-
Los casos especiales de integración por partes analizados
y que son de la forma ^P(x) = eaxd x , Jp(x)senaxdx,
| P(x) eos axdx, donde P(x) es una función polinomica que se puede derivar varias
hasta anularse y efljr, sen ax, eos ax, puede integrarse varias veces sin dificultades, en
estos casos, existe una forma de organizar los cálculos que simplificar el trabajo, este
criterio ilustraremos mediante los siguientes ejemplo:
Ejemplo.-
Calcular la integral J x 5exdx
Solución
J x5exdx = J / (x).g(x) dx donde / (x) = x 5 y g(x) = ex
Ejemplo.-
Calcular la integral J(x3 + x + 5)elxdx
Solución
121
Integral Indefinida
J ( a 3
+ x + 5)elxdx = J /(*).#(*) dx donde / ( a ) = a 3 + x + 5, g(x)=e2x
e2x
8
Ejemplo.-
6e2x
+c
16
Calcular la integral J x 2 c o s a dx
Solución
J* x 2 c o s a
dx = j f ( a ) . £ ( a ) dx donde / ( a ) = x 2 y g(x) = eos x
J a 2 c o s a ¿£t = A2senA-(2A)(-cosA) + 2(-senA) + e
= a
2sen a + 2* c o s a -2 se n x + c
122
Eduardo Espinoza Ramos
Ejemplo.-
Calcula la integral J (x3 - x + 7) sen 2x dx
Solución
J f W . g ( x ) dx =J(x 3- x +7)sen 2x í£t, donde /(x) =x3-x + 7 yg(x) = sen2x
, ,cos2x. 6sen2x
+ 6x(------- ) ------------- + c
8
16
, 3
_ c o s 2 x ,, 2 ,. sen2x 3xeos2x
3sen2x
= —(x - x + 7)------- + (3x -1 )-------- + ------------------- ----- + c
8
EJERCICIOS PROPtESTOS.Calcular las siguientes integrales:
Jx ” lnxí£c, n*-l
ln x
©
J
dx
xn+1
1
Rpta. ----- (lnx---- )+c
n +1
M+l
1 i
,
Rpta. — (ln x + 31n x + 61nx + 6)+c
123
Integral Indefinida
®
©
ln2 x
8 ,9 . 2
(—ln x+31nx + 2)+c
28x3' 2 4
dx
.5 /3
Rpta.
ln(cosx)
dx
COS" x
Rpta. tgxln(cosx) + tg x - x + c
3
©
(x2 -2 x + 3)lnxdx
3
Rpta. ( - — x 2 + 3 x )ln x -— + - — 3x + c
3
9
2
4
4
4
©
x3 ln2 xdx
Rpta. — ln2 x - — ln x +— +c
4
8
32
©
ln2 xdx
Rpta. x(ln2 x -2 1 n x + 2) + c
x lnx
dx
©
d - x 2x1/2
¿)
©
x ln(-|——)dx
1+ x
lnx
©
©
©
Rpta. -Jl - x 2 (1 -ln x ) + lnC1^ 1 — )+ c
_ „ x2- l. ,1-x.
,
Rpta. —-— ln|
l-x+c
2
1+x
l + 21nx
R p ta .---------— +c
4x
dx
ln(Inx)
2
Rpta. lnx(ln(lnx)-l) + c
dx
ln(-v/x + -J\ +x )dx
ln(2+Vx)
dx
a + x - 3 x 2) e xdx
Rpta. (x + —) ln(Vx + -Jx +1)—- 4 x 1 + x + c:
2
^
Rpta.
^
3r
—-ln |V x + 2 1 -----+*Jx+c
Rpta. (3x2 +5x-2)e * +c
124
Eduardo Espinoza Ramos
xex x
+e +c
1 + JC
Rpta. - -
©
Jí
' (1+*)
©
J\1e’>
X
©
J[(2jc-3)( x 2 -3JC-1)4 ln(x2 ■- 3 x -l)d x
X - l l/x
Rpta. ---el +c
X
Rpta. —---- y-—— (ln(x2 - 3 x - l ) - y ) + c
^8)
j x 2e "*dx Rpta. —e *(x2 +2x + 2)+c
@
J x ie~x n dxRpta. -3 e _Jt/3(ocJ +9x2 + 54x + 162)+c
©
j( x 2-2x + 5)e Xdx
Rpta. -(x 2 +5)e * +c
©
f (jc3
J
- 3 x)e6xdx
Rpta. — (36x3 -18jc2 -102jc + 17)+c
216
( 22 )
[—
J
-t .?*—-dx
4e3x
(23)
j(8x3 +6x2 +2x+5)e4xdx
Rpta. eAx (2x3 + —+ —) + c
2 8
( 24 )
JarctgVx dx
Rpta. xarctg-\/jt —\/x+arctg-Jx+c
2^)
f x arctg2 xdx
W'
3)
J jc2( I + jt2)
Rpta. ——— (3jc2 +4x+—) +c
'
12
Rpta. —((x2 +l)arctg2 x-2xarctgx + ln |x 2 + l|) + c
2
Rpta. , „ | _ 4 ^ | - I a, c , g , - H 2 ¿ £ «
(1+x 2) " 2 *
2
i
125
Integral Indefinida
arctgx
1
(28)
dx
j x 2 arctg3xí£í
Rpta. ln|
r3
r
3
18
1
Rpta. — arctg3x----------------------------- + ----In 11+9x 2 | +c
Rpta.
(x + 1)'
x
——- 1- arCtp* +c
-Jl+x2
160
2xe
-ex +c
x+1
, ,x + l
)dx
J -s/l-x2 ln(----x ~l
Rpta. -\/l-x 2 In| —— |+2arcsenx+i
(3l)
J arctg(-\/x+l)dx:
Rpta. (x + 2) arctgV* + l —n/j¡c+ 1 +c
(32)
|xarctg^/x2 -1 dx
Rpta. — arctg-\/*2 - 1 — "Jx2 -1 +c
(33)
J arctg-/^/x -lrfac
Rpta. (w2 + l)2arctgw -y(H '2 +3) + c
X+ 1
donde w = - £ f x - 1
í£c
rx -xarctgx
dx
J (1+ x2)
arctgVx
_
arctgx arctgx
x
4
2(l + x ) 4(1+ x )
Rpta. — f ---------- £— + ---------— +c
Rpta. x +
Ix +5
orc.tgx+c
2(1+x2) 4(1+ x2)
©
J
©
Jxsec2xdx
Rpta. xtgx+ln|cosx|+c
(38)
J x tg 2 xd x
Rpta. x tg x —— + ln|eosx \ +c
dx
Rpta. 2-Jx arctg ^/x + In 11+ x | +c
Eduardo Espinoza Ramos
126
©
[sen ijxdx
Rpta. 3((2-%jx2 )cos\[x +2.\fx sen \[x)+c
í xsenxcosxdc
sen 2x x
Rpta. ------------ eos 2x+c
8
4
©
J
| x3 sen x dx
Rpta. —x 3 senx + 3.*:2 senjc + 6xcosx —6senx + c
©
1(* ' +5 x + 6 ) cos2xí£c
2x2 + 10x+l 1
.
2jc+5
.
Rpta. -----------------sen2x + -------- cos2jc+ c
4
4
í xsee2 3xdx
Rpta. —tg 3x
3
i x eos ec2(-)dx
i
2
Rpta. - 2xc tg(—) + 4 ln |sen(—) | +c
©
j x 2 senxdx
Rpta. - x cosx + 2xsenx + 2cosx+c
©
f 9jc tg 2 3xdx
9x2
Rpta. 3x tg 3x-------+ ln | eos 3x | +c
2
f * dx
J sen2x
Rpta. -xc tg x + ln | sen x | +c
j sen^/Z* dx
Rpta. —^¡2x eos a/2x + sen ^2x + c
©
©
©
©
J
J
ln | see 3x | +c
j
©
J
,
1rxco sx Wv
2
J sen x
Rpta.
©
| x eos 3x dx
x
„ eos 2x
Rpta. — sen 3.x+ ----------- + c
3
9
©
f xsen2 xdx
x 2 x sen 2x eos 2x
Rpta. -------------------------------- ----- + C
4
4
8
X
senx
- L ,|n , te*i, * vi .1 1 r>
+ i n 1 lgi - ) \ +c
2
Integral Indefinida
127
3*(senx + ln3.cosx)
Rpta. ----------------- r---------- f C
l + (ln3)
3* cosxdx
©
_ , secxtg.x,„
?
-,v 3, .
Rpta. ----(2sec x + 3 )+ —ln|sec* + tgjc|+c
sec 5 xdx
arcsen x
dx
Rpta. 2-y/x +1 arcsen x +4^1—x +c
VX + 1
©
(arcsen x) 2dx
Rpta. x(arcsenx ) 2 + 2 arcsenx . - j 2 - x 2 - 2 x + c
arccosx dx
Rpta. xarccosx - - J \ - x 2 + c
arcsen x
_ arcsen jc . .
x
,
R p ta .------------ + In |-— -----r i 7 r l +c
dx
jcarcsen(x2)dx
Rpta. — arcsen(x2)+ —- J l - x A +c
2
2
6x2 arcsen 2xdx
Rpta. 2x3 arcsen 2x
arcsen 2xdx
Rpta. x arcsen 2x+—
x arcsenx
_
( l - x 2)3/2
dx
(arccosx- In x)dx
©
4x3 arcsen(—)dx
©
arcsen •s/I
£
dx
.
arcsen*
V l-4 jc 2
(1 - 4 x 2) 3' 2
12
— \-c
1, , 1—jc ,
R Pta' {„ \ - x 2y
2i /2+T
2 2 lnh---1+ jc l+c
Rpta. x arccosjc —s/l —jc2 ~ x (ln x -l) + e*
Rpta. 2Vx arcsenVx+ 2VÍ--X
+c
128
Eduardo Espinoza Ramos
í
(^ )
x~ arcsenxrfx
Jx co s3 x¿íc
r
1
1
Rpta. — arcsenx— ( l - x 2)3/2 + —( l - x 2)i/2 +c
3
9
3
£
X
3
2
eos3 X
Rpta. xsenx— sen x + —cosx + -------- + c
3
3
9
n
x
q )
j e r cos3xrfx
Rpta. ---- (3scn3x- cos3jc)+ c
10
68)
p O l*
e ' ,cos2x-sen2x
Rpta. -----(------------------ )+c
V
2
5
(S )
J"e* sen x sen 3x dx
e* .2 sen 2x + eos 2x
Rpta. — (
©
¡ e°* eos bxdx
( 71 )
J e 1* cos(t?* )dx
@
Jsec2(lnx)<£t
73)
j x ’ e ' 1dx
© 1xarcsccx dx
4 sen 4x + eos 4x
)+c
17
a - +b~
Rpta. e sene + eose + c
Rpta. xsen2(ln.v)--^(x sen(2 lnjr)-2x eos(2 ln x)) +c
1 -A2 (x+ l)+c
Rpta. ~ —e
oRpta.
* —
X1 arc see x ----------^ X 2 -1+ c
2
2
2 1ln
1 |------|+c
1* _ l t
Rpta. xtfcrsec 2 x — 2 -------x 2
x +1
X -x
J (fif/rsecx)2“dx
»
( 7 ^)
J x 2 arctgxdx
Rpta. — arctgx----- + —ln(l+x2)+ c
2
6 6
@
j4 x\n xd x
Rpta. —x3' 2 l n x - —x 3' 2 +c
3
9
2
2
,
129
Integral Indefinida
(78)
J sen x. ln(l + sen x)dx
Rpta. - eos x.ln(l + sen x) +x + eos x+c
(79)
Si f " ( x ) = - a f( x ) y g"(x) = b g ( x ) , donde a y b son constantes encontrar la
integral f f(x).g "(x)d x.
J
Rpta. - l — [f(x).g'(x)-f'(x).g(x)]+e
a +b
j cos(lnx)í/x
Rpta. —[sen(lnx) + cos(lnx)]+c
2
J
X
f (3x + l) arctg2xdx
©
U x 1 +5jc+ 1)exdx
Rpta. ex (x 2 + 3x - 4) + c
i (x2 + x + l)sen xdx
Rpta. (2x + l)s e n x -(x 2 + x -l)c o s x + c
í (3x2 + 7x+ l )exdx
Rpta. xe*(3x + l) + c
©
f(x 2 -5 x + l)e~xdx
J
Rpta. - e " r (x2 - 3 x - 2 ) + c
©
r x 2 +3x+4 ,
------------- dx
Rpta. -e~x (x2 +5x+9) + c
©
11(x2 + 2x + 5)(2senx+ 3cosx)¿/x
©
©
©
J
Rpta. ( ^ —+ x + —)arctg2x-—X -—ln(4x2
v
2
8
4
8
%
Rpta. (3x2 + 10x + 13)se n x -(x 2 - 2 x -2 ) c o s x+c
©
í x 2 ln(x6 -1)í£c
J
Rpta. —[(jc3 - l ) l n |x 3 - l | - ( x 3 -1)]
3
+ j [ ( * 3 +1) ln | x3 +11-(x 3 + l)]+c
130
©
Eduardo Espinoza Ramos
J l n 2(jr + Vl + JT )rfx
Rpta. x ln2(jc+ ^ \ + x 2 ) - 2 -Jl-x1 ln(.r+^j\+x2 ) + 2 x +c
©)
j ( 2 x A + 2jc-l)sen2xdx
Rpta. (2x3 - 3 x + —)sen 2 x -(x 4 - 3jc2 +x + l)cos2x+c
©
JjtV'dx
©
x2(x3 + 1) 2lnx dx
@
©
J ln(x2 + 2)dx
@
(x2 + 7x - 5) eos 2x dx
(l04) J (InixV f d x
e~x cos3x dx
^07) j x 3e x2dx
Je2xsenxcosx dx
JarcsenV3xdr
@
rsen x .
------- dx
J ex
©
x 2 aresenx dx
(lío) J(arcserur)2ríx
©
J e*x sen 4x dx
©
x2e*senx dx
©
J rln'T*
(x2 - l ) 2
1.6.8
INTEGRACION POR SUSTITUCION TRIGONOMETRICA.Sea u =f(x) una función de x. En muchos casos es posible calcular una integral
efectuando una sustitución trigonométrica, y estas integrales son de la forma:
Donde R es una función racional.
Ahora daremos un criterio para calcular estas integrales, para esto consideremos los
siguientes casos:
131
integral indefinida
ler. Caso. Para la integral de la forma:
Construimos un triángulo rectángulo.
Se toma la función:
U
tg 6/i = ua
u~alg6
6 = arctg(—)
a
du = a see2 6 d6
Las demás funciones se toman de acuerdo al integrando que se tenga.
2do. Caso: Para la integral de la forma:
Construimos un triángulo rectángulo.
Se loma la función:
U
sen 6 = —
a
u = a sen 6
6 = arcsen(—)
a
du = a eos 6 d6
Las demás funciones se toman de acuerdo al integrando que se tenga.
3er. Caso: Para la integral de la forma.
Construimos un triángulo rectángulo.
Se toma la función:
u
see 6/i = —
a
u = a see 6
6 = arc sec(—)
a
du = asec6ig6d6
Las demás funciones se toman de acuerdo al integrando que se tenga.
132
Eduardo Espinoza Ramos
Observación:
Se trata de la sustitución trigonométrica del tercer
caso
J R ( u ^ u 2 - a 2 )du , se procede del siguiente modo:
a)
Se calcula la integral para u > a.
b) Se calcula la integral para u < -a, luego se hace la sustitución v =-u, dedonde
calculo de la integral se reduce a la parte (a).
c)
él
Por lo tanto la integral resultante se compone de dos integrales, una para el
intervalo u > a y la otra para el intervalo u < a (ejem. 3).
Sin embargo estas integrales pueden resultar iguales y dar una sola expresión para la
integral dada (ejem. 4).
Ejemplo de aplicación de éste criterio.-
Calcular las siguientes integrales:
Solución
Aplicando la sustitución del 1er. caso:
Se toma la función:
X
3
tg o = —
3=>
x = 3tg0
6 = arctgí^)
t£r = 3sec2 6 d 6
=>
(jc2 +9)i n =3 see 6
= 9j (sec2 6 - l) s e c 6 d 6 =9j (see3 6-sec6)d6
- 9[^- (lg 6. see 6 + In | tg 6 + sec 0 1) - In | tg 6 +sec 6 1]+c
Integral Indefinida
133
9 rx
x
y x 2+ 9 n
. ,x
[-■ 7=-- ------------ |]+c
x ¿ +9
2
9r
= TÍ
2
x
—ln |
+y¡9^.
I] +c
3^9+jc 2
dx
©
h
Vl6+9.r 2
Solución
A la integral dada escribiremos así: í -----. =
= f ---- _______
} x 2 t¡ 1 6 + 9 x 2
J x 2 t¡ 4 2 +. (3 x ) :
Aplicando la sustitución del 1er. caso se tiene:
tomando la función:
3x
4
_ 4 tg e
0 = arctg(^)
tg 0 =
see© =
4
4
3
V l6+9x 2 = 4sec 0
Ahora hacemos las sustituciones
dx
j
2>/16+9x2
4
2
—see 6 d 6
,
„
_ 3 fsecf?</0
3
í 16
77T
7 _ Tfi J
J l ^ tg 2 e.4sece
16
to2
7
dx = —see" 0 d 0
6
= — f cos^ . d o = — f ctg6.cosec6d6
16 J sen 6
16 J *
134
Eduardo Espinoza Ramos
3
n
3 Vl6 + 9x2
+ 9jc
= -----eos ecO + c =-------------------+ c = -----------+c
16
16
3jc
I6jc
dx
©
h
V*2 - 4
Solución
De acuerdo al tercer caso se considera dos partes.
Ira. Parte.- Si x > 2, se tiene la sustitución.
x
see 6/i = —
6 = are sec(—)
jc = 2 see 6
dx = 2 see 6. tgO d6
2
Vx2- 4
4 ? -4 = 2 tg e
Ahora haciendo la sustitución en la integral
f
**
=!
' x 3V*2 - 4
d0 = rcosie
8sec3 G.2tgG
J
8
= — Í(l + cos20)rf0 = — (6 + SCn 2g) +c =-^:(0 + sen0.cos0) + c
ln J
Id
2
'16^
1,
,x. 2^ x 2 —4
= — (are sec(—) +------ ---- ) + c
16
2
x2
si x > 2
2da. Parte.- Si x < -2, se tiene la sustitución x < -2 => -x > 2, ahora hacemos el
cambio de variable y = -x aquí se cumple y > 2. t
-dy
Í W r ‘ -4
dy
^ - y 1 y 1 - i - fJ
1
= — (arcsec(
16
2
- 4
c de la (Ira. parte)
Integrai Indefinida
135
1 .
, - x . 2-Jx2 - 4
— (arc sec(— ) + ------ ---- ) + c ,
16
2
x~
(j)
.
si x < -2
Demostrar la formula f —r — ---- = ìn\x +4 x 2 - a 2 |+c
Vjc2 - a 2
Solución
De acuerdo al tercer caso se considera dos partes.
Ira. Parte.- Si x > a => se hace la sustitución.
v
sec G = —
a
x = a secG
tg 6 =
=>
a
x
6 =arc*sec(—)
a
dx = asQc6.ig6dO
-\lx2 - a 2 = a tg 6
Ahora sustituimos en la integrai dada.
Ç d x ^
i 4 ? ^ 2
a sec 6. tg 6
fflsecfMgtf
r
dG= \sec6d0
tgG
J a 'Ze
J
. .
«
„.
1 . x y x 2- a 2 ,
= ln|sec0 + tg0 |+c, = ln |—+ ------------ \+c,
a
a
= l n \ x + 4 x 2 - o 2 l+ q - ln a = ln |jc W x 2 - o 2 |+ c,
s ix > a
2da. Parte.- Si x < -a => -x > a, luego hacemos la sustitución y = -x aquí se
cumple y > a.
f
dx
f
~ay
f
dy
= - l n | y + -J^ 2 - o 2 l+c,
de la (Ira. parte)
Eduardo Espinoza Ramos
136
- In |-or W * 2-fl2 l+c2 =ln|----—j — T1 7 t I +ci
- x +(x~ -a ~ )
In Ix + 4 x 2 - a 2 | +c, si x < -a
resumiendo se tiene:
©
J
dx
==r =1n|x +Vx2-cf2 |+c
íz^|x2~
S+
Solución
De acuerdo al criterio del 1er. caso se tiene:
Tomando la Junción: * 6 = l s
x = S \ ge
'Jx2 +5
---- ¡=—
V5
6 = arctg(-^=)
dx = *Js sec2 6 d6
í- í 7 /T
„
=> V jr +5 =V5sec0
ahora hacemos las sustituciones en la integral
dx
-y/x2 + 5
r -\/5sec2 0dO
1 r eos©
d6
=J 5 tg2 6.-s/5 see 6 5 J sen2 6
Ir
„
„
= —J c Igfí.eos ecfi dfí
©
J
eosec6
*Jx2 + 5
----------------------------- +c =-+ c
5x
dx
(x1 -2 x + 5) 3/2
Solución
A la integral escribiremos así:
f____ dx
_____ = f _______
J (x2
(xz -~22xx+ 5 ) 3/2
dx
J f[(x
(x -—
11)) 2 + 4][(x -1) + 4]
137
Integral Indefinida
Aplicando el criterio del primer caso se tiene:
Tomando la función:
X -1
see 0
+4
=>
tgf) = ——2
x = l + 2tg0
6 = a rc tg (^ -)
=>
dx = 2 see2
-^/(jc—l)2 +4 =2sec0
ahora hacemos la sustitución en la integral
dx
r 2sec1 6 d 6
] r
' (jc2 -2 x + l)3/2
J 4 see2 0.2 sec 0
4J
r
sen0
x -i
-+ c =
+c
W x 2 -2 x + 5
©
J
JC3r f x
4 x 2 + 2x + 5
Solución
A la integral dada escribiremos así:
x 3dx
Xsdx
í -Jx2 + 2x + 5 - j
-\/(x
, aplicando el criterio del primer caso se tiene:
+ 1)2 +4
X + l
Tomando la función
ig6=
2i
x = -1 + 2 tg #
=> s
X+ 1
fí = arctg(—^—)
dx = 2sec2 6dG
X + 1
sec0 =
•y/*2 + 2x + 5
ahora hacemos las sustituciones en la integral dada.
^jx^~+2x +5 = 2 see 0
138
Eduardo Espinoza Ramos
I
x 3dx
2x +5
r ( - . l + 2lg6)32sec2 6 d 6
= J (-1 + 2 tg O f secOdO
2 see 6
i
= J (8tg3 0 -1 2 tg 2 0 + 6tgÉ>-l)sec6d6
g
= —sec3 6 - 6 tg 6. sec 6 +5 In | sec 6 + tg 6 1-2 sec 6 + c
=—(x2 +2r+5)3' 2 - - ^ ^ ^ A /x ^ ^ ^ + 5 1 n |x + l+ '\/x ^ + ^ + 5 |^\/x^f2x+5 +c
3
2
= -\/x2 + 2x+5(— ---- ——-)+ 5 1 n |x + l+-\/x2 + 2 x + 5 | +c
6
©
i (9 e'2* + l)3/2
Solución
A la integral dada escribiremos así: f ---- %—
, = í ---------- —
J {9e~2* +1}J ((3e_Jr)2 + l)-^(3e_JC)2 +1
Aplicando el criterio del primer caso.
Tomando la función:
6 =arctg(3e *)
tgG = 3e~*
3e~
e~* =
tg0
e~*dx
secO=^¡9e2^ ^ l
=>
sec2 0 = 9 e 2x+ l
ahora hacemos las sustituciones en la integral dada.
e Xdx
1 r see2 6d6
J (9e 2x+l)3' 2
3 J see2 0.sec0
r
3J
see Od6
eos 6 d6
=
Integral Indefinida
139
sen 6
e x
------------- + C = -------- : + C
V9e_2jr+1
®
(2x-5)
1 aMx - x2 dx
Solución
A la integral dada escribiremos así:
(2*-5)
í/jc , aplicando el criterio del 2do. caso se tiene:
Tomando la función:
x -2
x-2
sen 0 = -----2
x = 2 + 2sen0
eos#
=>
a/4 x - x 2
x —2
0 =-arcsen( — -)
rfx = 2 eos 0
^ 4 x ~ x 2 =2 eos 0
ahora hacemos las sustituciones en la integral dada.
(2x-5) .
f4 se n 0 -l
f ,
• dx= f en
■2cose£/e=f(4sen0-l)rffl = ^ c o s 6 - 6 +c
i
J 2cos£>
J
2 eos 6
jt- x^2
= - 2 ^ 4 x - x 2 - arcsen(———) + r = - 2 ^ 4 x - x 2 - arcsen(*—- ) + c
2
2
x~dx
Solución
Aplicando el criterio del 2do. caso se tiene:
Eduardo Espinoza Ramos
140
Tomando la función:
[sen# = jc
U = sen0
[0 = arcsenjr
Idx = eos 0 dO
eos 8
ahora hacemos la sustitución en la integral dada.
f x 2dx
rsen2 6.cos6d6 r
,
Ir
-p:--— = ------------------- = sen ~GdG =— (l-c o s 2 8)d6
i
cose
i
2i
-
1
sen20
1
1
r ~TX
=—( 0 ) + c = —(fl-senfl.cosf/H c = —(a rc s e n x -W l-jt- ) + c
2
2
2
2
©
J
(2*-3)
dx
(jc +2 jc-3 ) 3/2
Solución
A la integral dada escribiremos así: í ;
, 7 = í ----------( * *)dx
=
J (a2 + 2*-3)
J ((jc+1)2 -4)-yj(x + l)2 -4
Aplicando el criterio del 3er. caso se tiene:
Tomando la función:
secfl =
* +1
6 = are sec(----- )
dx = 2 see 6. tg 6 dO
(x2 + 2 x -3 )1/2
tgfl = -------------------
=>
I~1 “ 7
-\lx~+2x-3 =2tg0
ahora hacemos la sustitución en la integral.
(2x - 3)dx _ fr (4 see 0 - 5)2 sec 0. tg B d6
r (2x—3)dx
J (x2
i r 2 +2jc-3) J
4 tg 2 6.2 tg©
141
Integral Indefinida
4sec2 0 -5 se c 0
de = [ (eos ec26 - —c ig6.eos ec6)d6
-í
J
4
4 tg 2 0
5
/í *
5r
* +1
2
- —eos ecft-ctgO +c - —[ .
1— .
—+ c
4
4 L^ 2 +2jt_ 3 J Vx 2 +2 x - 3
see " 0 dO
J ( 4 - tg 2 0)3/2
Solución
A la integral dada escribiremos asi:
r
sec"
s e e yOde
_ r
J ( 4 - tg 2 6)3'2
sec2 0</0
aplicando el criterio del 2do caso.
J ( 4 - tg 2 0 ) ^ 4 - t g 2 6
Tomando la función:
V 4 - t g 20
cosa =
-^ 4 -tg 2 6
sena = tg0
tg#
a = are sec(----- )
tg0 = 2sena
see 2 0 ¿0 = 2 cos a da
^ 4 - t g 2 0 = 2 co sa => 4 - t g 2 0 = 4cos2 a
ahora hacemos la sustitución en la integral.
sec 2 8 d 8
r 2 eos a d a
Ir
■>
1
tg0
— —- = I ------ -------------= — see a d a = —tga + c ~ —f
■+ c
Í-------4~ tg 0
( 4 - tg ~ 6)
J 4cos~ a.2cosa
4J
dx
(l + JC4)((l + JC4)1/2-A-2),/2
Solución
Aplicando el criterio del 1er. caso se tiene:
4
^
142
Eduardo Espinoza Ramos
Tomando la función:
sec 6 = ^Jl +x*
=>
6 = arctgjt2
tg e= x~
see2 6 d6
dx =
x= Jlg6
2jtg8
sec2 0 = ] + x 4
ahora hacemos la sustitución en la integral dada:
r
_ f ______ sec2
sec~ o6 d6
ao______
dx
^ (\ +x A) ^ ( l + x A) - x 2
2 ^ é s e c 2e ^ c 6 ~ l ge
r
eos 6 dO
í
de
1
!
4 J i/tgé>sec0-tg2 6 2 sen 0 - s e n 2 6
1 if
eos 6 dO
2
Jí i - ( s e n O - i ) 2
.
se n # -i
.
1
o
1
= —arcsen(----- — —) + c = —arcsen(2 sen 6 - 1) + c
i arcsen(—/ 2* 2-1 )+c
=—
Si +x
4 x 2 + 2 * -3
s JC+ 1 dx
Solución
Completando cuadrados al subradical.
^jx2 + 2 x -3 = ^(x + 1)2 - 4 , entonces la integral dada escribiremos así:
f ^X
J
JC+ 1
- f
J
^ — dx y aplicando el tercer criterio se tiene.
x+1
Integral Indefinida
143
Tomando la función:
*+1
see 6* =-----2
jc = ~l + 2sec0
sen# =
,x +1
6 = arcsen(------)
=>
dx = 2sec6.tg6d6
4 x 2 + 2x - 3
x+1
ahora hacemos la sustitución en la integral dada:
j slx- +2x - 2 dx j seng 2sec e tge d e _ 2J tg2 e d e
r7
~
= 2 í (sec2 0 - l)d0 = 2(tg0 - 0) + e = 2 ( - - - - --2? - -3- - o /r s e c ( ^ - ) ) + 1J
2
2
= V*2 + 2 x -3 - 2¿/é?csec(^—) + c
3
1.6.9
EJERCICIOS PROPUESTOS.Calcular las siguientes integrales.
®
x dx
J ( 1 6 - jr2), 3 / 2
^ 4 +x'
©
í
dx
Rpta.
* - ~arcsen(—) + c
->/l6—jc2
4
~J(4 +x 2)*( x 2 - 6 )
Rpta. 5 ln |
©
©
Rpta.
r(1 6 -9 x 2)3' 2
J
120jc5
5—s/25—:
+c
| W 2 5 -X 2 +c
1 (16—9jc2)5/2
R p t a .-------------- ----+ c
80
jr5
144
Eduardo Espinoza Ramos
©
x 2 a/ i 6 - x 2 d x
Rpta. 32arcsen—
4
©
l W x 27 l
dx
U 2 + l)32
Rpta.
©
©
©
©
©
©
x 3dx
©
A—
)+c
+ arctgjr+c
-\/x2 +1
^ 2 x 2 +7 2 7 >
Rpta. ----------- (jc +7)+ c
■y]2x2 +7
x 2^ 4 - x 2 dx
x dx
Rpta. 2arcsen—
2
4
V (jc3 +2.v)+c
Rpta. ^ a rc s e n (* -—)--\/21 + 4 jt- x 2
^ ^)+ r
V21 + 4 x - x 2
x 2^9 - x 2 dx
see2 x.tg2 x
dx
Rpta. — aresen— ( 9 -2 x 2h / 9 - x 2 + c
8
3 8
Rpta. ^^>/2 + sec2jr —^-ln| tgjr + -\/2+ sec2 * |+c
-v/2 + sec2 x
*\/x2 +1
dx
dx
(x2 +5)3/2
©
4
a/x 2 -16
(x + l)dx
V*2 - 8
dx
Rpta. Vx 2 + l + ln l ^'V~+1 1 |+c
Rpta.
+c
5-\/jt2 +5
Rpta. V*2 - 1 6 - 4o/rsec(—) + c
4
Rpta. —s/9—jr2 +arcsen(y)+c-
Rpta.
24x3
+c
Integral Indefinida
145
dx
Rpta. Vx2 + 2x + ln| x + l + V*2 + 2x |+c
x 2dx
Rpta.
3/2
<£c
_
1
,
V-T2 +2.1
Rpta. —arcsen(jr +1) + ----------—+c
2
2(,v+ 1)
(x + 1) 1"s/jc2 + 2x
Ídx
Rpta. ~ ^ * L + c
Jt2Vl + x 2
Rpta. —|=r arctg(
)+c
V2
V l^ 2
(x“ + íWi • jc2
2
x*dx
Rpta. -
J -J4-X1
I ■>/(t2' - 2 ^ +5)3
S) J
(25 + x 2 )*3,2
x~dx
J
> - * 2;
,
xV v
íJ íd —
S) I
-arcsen(—)+c
4a2^ x 2
a
2
/
2 7
V i- * 2
rfx
c/.v
(8+.v2)+c
Rpta.
+c
4 ^ - 2 ^ +5
(25 + x 2 )5/2
R p t a .----------------- + c
125jc
Rpta. ------X , r r r f ------- — 2 x5/2 +C
3 ( 9 - x 2)3/2 405(9- x ")
Rpta.
+ £*
2 0 ( 4 - jc2) 5/2
a
- * 2) 3' 2
Rpta. ---------^---+í
3x
146
@
®
Eduardo Espinoza Ramos
t (4x + 5)dx
JJ t(x~1 - 2ox + 2)
'nv '’
n
Rpta.
f ( 9 - x 2 )*'2 ,
-------- ---- dx
J
v-
( 9 - x 2)1/2
x .
R p ta .----------- --------arcsen(—)+c
Jf3
f
(2x-3)dx
—
tjj
(x + 22x-3)
J (x2
x -3 )3' 2
S> J
9(jc —1)
4
(x - 2 x + 2 )
(x - 2 x + 2 )
_ i/i +t’
5 x -3
+c
Rpta. --------—
4(x +' 2x-3)
'*'1' 2
( jc2 + 3 x ) d r
(x -l)(x 2 - 2 X + 10)1' 2
Rpta. sfx2 -2 x + 10 + 51n | -Jx2 -2 x + 10 + x + l | + —ln|
2x + 10—^ | +c
JC
©
f (-* 3)¿*
J x(x
vf v —4)
A\ ~
©
J
Rpta. i [ l n |x 2 + (x2 - 4 ) 1/2| —^-crcsec(4-)]+c
2/
2
' 2Z
(4x2 + l)dx
(x —3)(6x —x 2 -8 )1/2
l - ( 6 x - x 2 -8 )1/2 ,
2 0 ,/2
Rpta. -24arcsen(x-3)+371n|-----—-----------— |+ 4 (6 x -x ~ -8 )
+c
x -3
g)
^-/
8 sen 2x.senxdx
í ------J Í70(20-4sen 2 x -1 9 sen _ x)
128
4 tg x -1 6
, 5(tgx-4)
Rpta. ----- ------------------— + ----- ---- ------------ — ( - ------------- + 12)+ c
3(tg" x -8 tg x + 2 0 )
3(tg* x - 8 tg x + 20) * tg ~ x -8 tg x + 2 0
xdx
1
-\/x4 - 4 x 2 +5 -1
—;----------------------------------------- ;--- ;---- r^r
J (x 2 -2 ) ( x 4 - 4 x 2 +5)1' 2
2
x -2
f
©
f ---J (2x2 +l)Vx2 +l
Rpta. a r c tg ( _ L = ) + c
VI+ x 2
RPta- —
147
Integral Indefinida
dx
Rpta.
(l + * 2)(*2 +1)I/2
dx
( l - x 2h /l+ x 2
1 , ,( l+ x 2)1/2+(2x)1/2 .
Rpta. — 7= ln ------ ——------- - +c
l4 l
(1 + x ) -(2x)
1
4x2- 1
Rpta. —[arc see x + ---------- ] + c
2
x
dx
@
©
(x 2 +I x ) ' ¡2
dx
JC+ 1
Rpta. (x2 + 2x)h 2 -arcsec(x + l) + c
dx
jt (jc +3)
_
(x2 +3)1' 2 (x2 + 3)3/2
Rpta. ---- — ----- ------------------ -------+c
9x
27x
( ^ - x 2)1' 2
dx
( jc+ 3)2(x2 +6X + 8)1' 2dx
dx
4 a 2- x 2
x
R p t a .---------------- arcsen(—)+c
x
3
Rpta. y (x + 3)-y/(x2 + 6x + 8)3 +c
Rpta.
©
©
x-2
+C
4(4x—x 2 )l/2
( 4 x - x 2)3/2
©
+c
+1
x 2dx
( 4 - x 2)»5/2
Rpta.
2dx
x
12(4—x 2x3/2
)
+C
-icxl/2
x(x 4 +, 25)
Rpta. - j l n | ( x 4 +25)1' 2 - 5 | - y l n x + c
(1 6 -e2* )1/2
(IÓ-íT*)1'
2 arcsen(—
,e*) + c
Rpta. ---------------px
4
dx
(4x-5)rfx
(x2 - 2 x + 2) 3/2
Rpta.
9 (x - l) ___________ 4
(x2 - 2 x + 2)1/2
(x 2 - 2 x + 2) 1/2
+ C
148
©
Eduardo Espinoza Ramos
¡
^
, *>
->*i,? a * A x i+a2 ) 2*1/2
-a .
Rpta. (x +a-) - + - l n | — --— --------|+ r
2
(a2 +x*)l u +a
<„2 + « ’ ) " ’ dx
x 2dx
I ( 2 x - x 2 )» 1/ 2
Rpta. ^ a rc s e n (jr-l)-* -^ (2x~x2)12 +c
dx
Í (4x~-24x
(Air2 _
+ 27) 3/2
yl .1/2
(JC2“ ~4x)
(x2 -2 5 )3,2
Rpta.
j (x2 -l)(x 2 ~2)^*
2*1/2
x-1
4(x -2 x + 5) 1 / 2
(x 2 - 2nvl/2
)
Rpta. arctg(------------- ) + c*
( 4 - x 2)1' 2
x
R p t a .----------------- arcsen(—) + c
x
2
dx
J x i {a2x 2 - h 2)v 2 dx
edt
í (e2‘ +8e' +7)3' 2
t
h
, 2 2
Rpta.
—1 , 2 2r - 6, 2 x)^ / 2 + ——(a
x
3a
a
Rpta.
í >'+4
»2*3/2
.
)+í *
+C
4(e2' +8e' +7)U2
_
arcscn.*
1, x
. .
,c + l lv
R Pta- 77---F + lnl7,---(1-JE T)? 7 T ~27 (7---1 —JC
(1 —JCI“T
) 77»+C'
3x arcsenx
s dx
!
2 xiT
H \ - x 2)V-
I(3 + 2X-X2)1 2
+ c*
2 ->cx5/2
(x z - 2 5 ) 3
Rpta. --------------+c
125jc
dx
2x2 -4 x + 4
9(4jc2 -24x + 27)1' 2
_ ,
dx
(x1 -2 x + 5) 3,2
§)
jc-3
(x2 -4 x )3' 2
Rpta. -------- ------ +c
6x 3
dx
dx
r
Rpta.
dx
x —1
1
Rpta. arcsení— >—íjc—1)(3 + 2jc—jc2>'y2 +c
149
Integral Indefinida
Rpta. -{a1 - v2)' 2 ( 3 . y 2 + 2 ¿ / 2 ) —
■14 a 1 -x ~ dx
+
c
15
dx
Rpta.
4x
x~*\jx~ - 4
©
x2dx
Vi--Y 2
.Y2 - 3
Rpta. -^[ln|x2 + V*2 - 4 | —^ o/'i sec
dx
]+r
xV T^
x dx
_
1 ,
2
( r 2 - 2 h /x 4 - 4 x 2 +5
©
. t/ a 4 - 4 x 2 + 5 - 1
x 2dx
a "
Rpta. | [11 arcsen
-2
+ V - 4x 2 - 12x - 5 (3 - 2x)]+<•
V—4x 2 —12x- 5
x l dx
dx
f/A
©
J-
'Vi + X2
(a 2 + 8 )2
r
dx
( y
©
© J----- © J iíz
- l)(x2 - 3x + 2)2
-J06-9x2,
dx
(x + 1)' V-Y” + 2x
©
j
dx
(4x2 -2 4 x + 27)2
©
.
Rpta. —ln | -------- -----------H + t
a2'-Ja4x - 2 a lx -15 dx
@
j W l 6 - x 2 dx
V4 - x2
dx
v
© J ^ 9 - 4 x 2 dx
150
Eduardo Espinoza Ramos
INTEGRACION DE FUNCIONESRACIONALESConsideremos dos funciones polinómicas:
P(x) = bmx m + hm jjp* 1 +
y
» 1\ + ...+ <?,x + a{)
Q(x) = a„x" +an xx “
una función racional es el cociente de dos funciones polinómicas. es decir:
cuando el grado de la función polinómica P(x) es menor que el grado de Q(x), a la
función racional
P(x)
Qix)
se denomina función racional propia, en caso contrarío se
denomina impropia. Si la función racional es impropia, al dividir el numerador entre
el denominador, a la función racional se representa como la suma de una función
polinómica y de una función racional propia, es decir:
donde el grado R(x) es menor que el grado de Q(x); nuestro interés es la integración
de las funciones racionales propias, es decir:
para el cálculo de estas integrales consideraremos los siguientes casos:
1er. caso: Cuando se tiene integrales de la forma:
. donde a,b,c son constantes.
Para calcular la presente integral se procede del siguiente modo:
151
Integral Indefinida
a)
■>
b
b
Se completa cuadrados enei denominador: ax' +/u + c*= a(jr + — )2 + (t*------ )
2a
4a
h)
Se hace la sustitución r = x+ —, con la cual la mteural se convierte en:
a
m r zdz
//
Ax+B
_ r m: + /i .
n r rfc
rfr
— — -------------------------------------------dx= — -<fc = — —--+ J ax~ + f e v + í*
J í / ( r “ +/f)
r
—-------
el cálculo de estas dos integrales se reali/a mediante las primeras fórmulas
básicas de integración.
2do. Caso: Cuando en la integral
r P(x)
— — dx,
J Q(x)
la función polinómica Q(x) se
descompone en factores todas lineales y distintos es decir:
Q( x) = a n ( x - a x ) ( x - a 2 ) . . . ( x - a n )
P(x)
\
a la función racional------ se expresa como una suma de fracciones simples:
Q(x)
donde Ax, A2.... An son constantes que se va ha determinar.
3er. caso:
Cuando en la integral
r P{ r)
J ^ ^ d x , la función polinómica O(x) se
descompone en factores lineales algunas repetidas, suponiendo que
x - a, es el factor lineal que se repite p veces, es decir:
Q(x) - a„ ( x - a )(x -a )...(x -a )(x -a p^, )...(x-a„ )
P(x)
a la función racional ------se expresa como una suma de funciones simples.
Q(x)
152
Eduardo Espinoza Ramos
donde Ax, A2
4to. Caso:
son constantes que se van ha determinar.
Cuando en la integral
f P{x)
J ^ - d x , la función polinómica Q(x) se
descompone en factores lineales y cuadráticas irreducibles y ninguno se
repite, es decir:
Q(x) = an{x2 +/>!*+ r 1)(jt2 + b2x+c2)(x2 +byx +C))(x-a4)...(x-a„ ), a la función
racional — - se expresa como una suma de funciones simples
Q(x)
(W A, í
i £<x)
J
..,4—~ —)<¿í
donde Ax*A2,...,An ,
5to. Caso:
son constantes que se va ha determinar.
Cuando en la integral
r /*(*)
J — —d x , la función polinomiéa Q(x) se
descompone en factores lineales y euadráticos repetidos en donde los
factores cuadraticos irreducible se repite es decir:
Q ( x ) - a n(x2 +foc+c)2( j t - a 3)...(jc-aw) ala función racional se expresa como una
suma de fracciones simples.
Jew
. J V - f t o :+ <? (jc2 + hx+cŸ
^3 „, jÿ . : 4 , XJ '
x -<ï , •. x - a„
donde Ax, A2.... A„ , Bx. B2 son constantes que se van ha determinar.
Ejemplos de aplicación de éste criterio.
Calcular las siguientes integrales.
Integral Indefinida
©
153
4x2 + 9 x -l
dx
fJ -Xrs *+ 2x - x - 2
Solución
Factorizando la función polinomica del denominador:
Q(x) = x* + 2x2 —jc—2 —(x + l)(x—1)(jc-h 2)a la integral dada expresaremos así:
r 4x2 +9x + l
r A
B
C ,
—r------ --------- dx= (-------+ ---------------------------------------------------------- + -)dx•„ (1)
J x + 2x~ —x —2
J x + 1 x —1 x + 2
Calculando las constantes A, B y C.
4x2 + 9 x -l
jr"+Zx2 -JC-2
A .+ B
C.
-------+
* + 1 Jf-1 * + 2
í4(jc —1)(jc + 2) + B(x + l)(x + 2) + C(x + l)(x -1)
”
(x + l)(*-l)(x + 2)
igualando los numeradores
4A'2+ 9 x - l = v4(x2 + 3x + 2) + i?(x2 - x + 2) + C ( x 2-1) , ordenando
4x2 + 9x -1 = (A + B + C)x 2 + (3^4 + Z?)* + (2A - 2B - C) por identidad de polinomios
se tiene:
A + B +C = 4
3A + B - 9
2 /l-2 5 -C = - l
u
, - ^ ,
ahora resolviendo el sistema se tiene:
B
Luego reemplazando estos valores en (1).
jc2 +9 jc--11
r 4jcz
, r. 2
3
1 ..
—
----------dx= (------+ -------------- )dx
* x 3 +2x 2 - x - 2
J Jf + 1 x - l x + 2
2
3
= 2 ln |* +11+3ln |jt- 1 1- ln |* + 2 1+c = l n | (* + 1) ^ ~ !> | +cx+2
154
Eduardo Espinoza Ramos
Observación:
Para calcular las constantes de la descomposición de la función
racional se ha hecho mediante el método de los coeficientes,
también se puede calcular dando valores particulares a la variable x, en este
caso se dan valores apropiados a x, y se evalúan ambos miembros, los valores que se
asignan a x es conveniente tomar x = , donde at son raíces de Q(x), o también
asignar valores pequeños, tales como: 0, ±1, ±2..... etc.
Ejemplo:
En el caso:
4x + 9 x -l
X3 +2x2 —jc —2
A B C
+ ----- +
Jr + 1 x - l x + 2
Los valores de x se sustituyen en la ecuación.
4x 2 + 9x -1 = A(x - 1)(jc + 2) + B(x + 1)(jc + 2) + C(x + 1)(jc -1) para:
* = -1
x =\
x--2
©
j
(5x-7)dx
(x - 3 ) ( x 2 -
x
-2)
Solución
Como Q(x) = (x-3 )(x2 - x - 2 ) = ( x - 3)(x- 2)(x- 1)
entonces a la integral dada
expresamos asi:
r
(5 x -7 )dx
(í A
B
C VJ
---------- í--------- = (-----r + ----~+---- ~)dx
3 (x-3)(x~ - x - 2 )
x -3 x -2 x + 1
ahora calculamos las constantes A, B y C.
(5x + 7)
A B C
---------- -—-------= ------ + ------ +-----(x-3 )(x 2 - x - 2 ) x - 3 x - 2 x + 1
(5x + 7)
(x-3 )(x 2 - x - 2 )
/4(x-2)(x + l)+ B(x - 3)(x + l) + C (x -3 )(x -2 )
(x -3 )(x -2 )(x + l)
Integrai Indefinida
155
igualando los numeradores se tiene:
5a - 7 = A(x2 - x - 2 ) + B(x2 - 2 x - 3 ) + C(x2 - 5 a + 6); ordenando:
5 x - l = (A + B + C)x2 + ( - A - 2 B - 5C ) x - 2 A - 3 B + 6C por identidad de polinomios
se tiene que:
A +B +C = 0
-A -2B -5C = 5
- 2 i4 -3 ^ + 6C = -7
Resolviendo el sistema se tiene:
^
,
A= 2, £ = - l, C = - 1
Luego reemplazando los valores de A, B y C en (1):
r f S x - T ) * -------r (_ 2-------- 1------- 1_
(jc-3){ x 2 - x - 2 ) J Jc-3 x - 2 x + 1
2
2 1 n | x - 3 | - l n | r - 2 | - l n | x + l | + c = l n | — ——— ----- \+c
(x ~ 2)(jc +1)
©
f
dx
6 jc3 - 7 x 2 - 3 x
Solución
Como
Q(x) = 6x3 - 7 a 2 -3x=x(2x-3){3x + \)
entonces a la integral dada
expresamos asi:
r
dx
r.yí
B
C
...
I —“í--------------------------------------------------------------------------------------------- ;-= I (-1--1-----J 6x -7 x - 3 x J x 2x-3 3x + l
ahora calculamos las constantes A, B y C.
1
A B C
—--- 1--------- h
6x - l x ~ - 3 x x 2 x - 3 3a + 1
A(2x -3)(3x +1) + Bx(3x +1) + Cx(2x -3 )
x ( 2 x - 3 ) ( 3 x + l)
igualando los numeradores se tiene:
l = A(6x2 - l x - 3 ) + B{3x2 + x) + C(2a2 -3 a ); ordenando:
156
Eduardo Espinoza Ramos
1= (6A + 3B +2C)x2 + (-7 A + B - 3 C ) x - 3 A por identidad de polinomios se tiene:
6A + 3B +2C ~ 0
• - 1 A +B - 3 C = 0
-3 A = 1
Resolviendo el sistema se tiene:
1
4 ^ 9
A = — , B =— , C = —
3
33
11
Luego reemplazando los valores de A, B y C en (1):
1 jr ^ + A i r 2 dx
f 3 dx
+— 1
7x2 -3 x ~ 3 J' x 33 j' 2 x -3 11J13x+l
dx
= — ln|3x + l |+ — l n |2 x - 3 |- - l n |x |+ c
11
33
3
(7 )
^
f
xdx
1 x 4 - 3 x 2 +2
Solución
Como:
Q(x) = x 4 - 3 x 2 + 2 - ( x 2 -2 )(x 2 -1) = (x + -\/2)(x--\/2)(x + l)(x -l)
Entonces a la integral dada escribiremos así:
r
x dx
r
A
B
C
,
---)dx
I ~A------ T---- —I C------- h--------—I----------------------- 1-—
x —3x~ + 2 J (x + ^Jl) ( x - ' J l ) (x + 1) (*-1)
ahora calculamos las constantes A, B y C.
x
x 4 - 3 x 2 +2
A
(x-^2)
B
C
D
(x + -\/2) (x + 1) (x —1)
x
A(.r+V2)(x2 -l)+B(x-42)(x2-l)+C(x2 -2)(x+\)+D(x2 -2)(x-l)
x 4 -3 x 2 +2~
( x + j2 )(x S )(x + l)(x -l)
igualando los numeradores se tiene:
x = A(x + s¡2)(x2 -1)+ B(x ~y/2)(x2 -1) + C(x2 - 2)(x +1) + D (x2 - 2)(x -1)
1S7
integral indefinida
+ V2a2 -x-*s¡2) + B(x* -*Jlx2 - x + 'j2)+C(xl + x 2 - 2 v - 2 ) +
+ /)( v' - a '
2 \+ 2 )
x —1.4 B + C + D)x3 + ( J l A -T¡2B +C - D ) x 2 + ( - A - B - 2 C - 2 D ) x - y f l A - ^ B - 2 C +2 n
Por identidad de polinomios se tiene:
A+
+
4-^JÍ b +C - D - 0 ahora resolviendo el sistema se tiene que
- A - t í - 2 C - 2 D =\
A = B = - . (' = /> = - *>
?
-42A +sÍ2B -2C + 2D = 0
Luego reemplazando los valores de A, B, C y D en (1):
f
v dx
— 1 r f ~dx i 1r ~dx i ir clx + f
’ v4 -3.v2 +2 2 J u + , / 2 ) J'(-V-V2) J>( v + l) J
dx ,
= —[ln|or-V2 | + ln |4 f+ V 2 |-In |A '-l|-ln |.v + l|] + f = - I n |^ — -|+ <
2
2
.v —1
/^ s
^
r (2.v2 + !)(/*
J (a + 1)2(jc- 3 )
Solución
A la integral dada expresemos en la forma:
r (2a2 +\)dx
r A
B
C VJ
I ------- ^--------—|C---- “ +------- ^ + ----~)dx
J U + D U -3 ) J x + 1 (.v + l)2 x - 3
ahora calculando las constantes A, B y C.
(2*2 +1)
(,v + l)2(,v-3)
A
B
C
H----------- — 4x + ] (x + 1)2 x -3
A(x+ l)(jf - 3 ) + 2?(.r -3 ) + C(x +1)2
( v + l)2( í- 3 )
...(1 )
158
Eduardo Espinoza Ramos
iigualando los numeradores se tiene:
•>
2a" +1 = A(x~ - 2 j c - 3 ) + Z?(r-3) + C(jr~ -*-2jc + I) ordenando
2x ~ +1 = (.4 + C)x2 + {-2 A + B + 2C)x—3A - 3 B-rC
polinomios se tiene:
. A +C = 2
\-2A + B+2C^to
|- 3 .4 -3 £ + C = - l
ahora
por
identidad
resolviendo el sistema se tiene que:
13
3
13
A =— ,
C =—
16
4
16
Luego reemplazando los valores de A. B y C en (1):
r (2.v‘ + l)dr
1 U + l); (.t-3 )
13 f dx
léJjc^-l
r
3|
í dX
4 J1(jt+I)2
->
\ 3 r dx
16J r —3
| ^
= — ln |x + l| + — ---- ln |r -3 |+ r
16
(x -3.1+4»
W
4{_r-t-2)
16
ax
J U - l ) U + l)
Solucióa
A la integral dada expresemos en la forma:
r
—Sar+4)
c A
B
C
D
I ------- ^------- dx= I {------+ --------- + ------- - - ---- (t-1 )'(jt+ 1 )
j <r-l M - l r (*-1)
x+
anora calculando las constantes A. B. C \ D.
( je *—3.1 4 |
4
B
C D
-------- -------- --------- jh---------- ----------- fi-----l * - l > V + l » x - l f j - l ) 2 ijr-U5 J+I
Aj r - tK (r+l)+g|_r-l]K r +1)+ C(.r +1) + ¿»(r-1)1
f r - l l 'U + n
de
159
Integral Indefinida
igualando los numeradores se tiene:
a 1 —3 a + 4 = A (x ‘ - a 2 —a +1) + B(x~ -1) + C(a + 1) + D(a3 - 3 a 2 + 3a-1)
x ' - 3 x + 4 = (A+D)xi +(-A +B - 3 D ) x 2 +(-A +C +3D)x + A - B + C ~ D
por la identidad de polinomios se tiene:
A + D= 1
ahora resolviendo el sistema se tiene que:
—A 4- d —j D = U
- A + C + 37) = -3
.4 -fl + C -Z ) = 4
A = - , B = - - s C = 1. D = - ~
4
2
4
Luego reemplazando los valores de A, B, C y D en (1):
dx
r ( v *- 3 - í + 4 )í¿c
7 ir
1 (jc+ 1)2(jc—3)
4 J ljc-1
1i
r dx
í *
til
2 J’ (* -l> 2 >^ (jc- 1 ) 3
3 ir dx
4J 1 JC+ 1
7
1
1
3
= —l n |j r - l | + ----------------------- — —ln| jc + l l + r
4
2(x-l) 2(x-l)
4
©
x3 + * 2 - 2 a - 3 .
------i-------- T dx
1
( jc + 1) (jc- 2 )
Solución
A la integral dada expresaremos asi:
r a 3 + a 2 —2a —3 ,
r^
t
O. ,
------- —— ~ r dx = (— r + ------- ~ +— ^ + -------- r>rfjf
J (jc + 1)'(jc-2)J x + \ (jc + 1)x-2
(jc-2)-
ahora calculando las constantes A, B, C y D.
x 3 + x 2 -2x-3
(jc + l)2(jc—2)2
A
B
C
D
■+ ------- —+ ------+
Jc+1 (x + l)2 x - 2 (x - 2 )2
_ A(x + l)(x —2)~ + B(x - 2 ) 2 + C(x - 2)(r + 1)2 + /)(x + l)2
(.t + l)2( .t- 2 ) 2
160
Eduardo Espinoza Ramos
ahora igualando los numeradores se tiene:
x 3 + x 2 —2x —3 = A(x+)(x—2)2 + B(x—2)2 + C(x-2)(x + l)2 +D(x + 1)2
x3 +x2 - 2 x - 3 = (A+C)x* +(-2A+B+D)x2 +(~4A-3C+2D)x+4A+4B-2C+D
por la identidad de polinomios se tiene:
A +C = 1
_, _ _ ,
-3A + B+D = 1
- 4 B - 3 C +2D = -2
4/1 + 4A —2C + D = -3
ahora resolviendo el sistema se tiene que:
M
5
1
32
5
A = ~ — , B =— , C = — . / ) = ?7
9
27
9
Luego reemplazando los valores de A, B, C y D en (1):
r x3+x2 -2 x -3
5 r dx I r
dx , 32 r r/x + 5 r dx
J (x + l)2( x - 2 ) 2 V _ _ 27J x+T_ 9 J (x + 1)2 + 27 J7 ^ 2 +9 J (jt-2 )2
5 . .
1
32
5
= ----- ln x+1 + ---- + — ln x - 2 + ---------------- +c
21
9(x + l) 27
9 (x-2)
/T \
^
f
( x 2 + 2)d x
J (x + 1)3(x -2 )
Solución
A la integral dada expresemos así:
r (x
(x2 + 2)í/x
2 )dx
c A
B
------- ---------= (— + -------- r +
J (x + 1) (x -2 ) j x + 1 ( x + 1)2
C
D
( x + 1)3x - 2
... (1)
ahora calculando las constantes A, B, C y D.
(x +2)
/í
( x + l ) 3( x - 2 )
x+1
5
C
( x + 1)2
( x + 1)3
D
+ -------- :r + -------- r + x - 2
A (x +1)2( x - 2) + f l ( x +1 ) ( x - 2) + C(x - 2) + D(x+1)’
(x + 1)3(x -2 )
161
Integral Indefinida
igualando los numeradores se tiene:
X2 + 2 = A(x* - 3 x - 2 ) + B{x2 - x - 2 ) + C(x~2) + D(x3 + 3x2 +3x + l)
x~ +2 = (A + D)x} +(B +3D)x2 +( - 2 A - B +3 D ) x - 2 A - 2 B - 2 C + D
A +D = 0
B + 3D = \
- 3 A - B + 3D = 0
- 2 A - 2 B - 2 C +D = 2
ahora resolviendo el sistema se tiene que :
2
1
2
A = — , B = - . C = -1. D = ~
9
3
9
Luego reemplazando los valores de A, B, C y D en ( 1):
r (x +2 )dx _
' (x + l)3(x -2 ) ~
2 ir dx
1«
r dx
9J 1 x + 1 3 J (x+1)“
9
dx + 2 ir dx
J1(x + l)3 9 J' x - 2
1r
ln |x + l | ---- í— +--- !——+—In | „v- 21+f
3(x + l) 2(x + 2)
9
2, x -2
(2 x '+ 5 x -5 )
- l n | ---- - | ------------------ - + c
9
x+1
6(x+l)(x + 2)2
©
4x +6
í v1 + 3x
Solución
Como Q(x) = x 3 -i- 3x = r(x2 + 3) entonces a la integral dada expresemos en la fonna:
r4 x 2 + 6 ,
{ .A Bx+C
—------dx= (— + —;-------------------------------------------------------------------- Wx...(1 )
J x + 3x
J A' X 2 + 3
ahora calculamos las constantes A, B y C.
4v2 +6 _A__^ Bx+C
v3 +3x x x 2 +3
A(x2 +3) +Bx2 +Cx
x(x- +3)
Eduardo Espinoza Ramos
162
igualando numeradores se tiene:
4x 2 + 6 = (A + B)x2 + Cx+3 A
Por identidad de polinomios se liene:
^ +S 4
C=0
3/í = 6
ahora resolviendo el sistema se tiene que:
A= 2, ¿? = 2, C - 0
Luego reemplazando los valores de A, B y C en (1):
f
+ ^rfr = í —dx+ f ~A r/v = 21n|x| + ln| v2 +3|+r = lnx 2(x 2 + 3) + <
J v - + 3x
x
J a +3
no
f y ,+ 3 v ~ 2x+1 fa
J i +5.t +4
Solución
Como
•1
*7
*)
*)
Q( v) = i + 5 f + 4 = (x” + 4 )(,v +1)
entonces
a
la
integral
dada
expresaremos en la forma:
f a-3 +3. v ’ -2.V + 1
JJ —r 4 + 5g r”^+4„
C,Ax+B
Cx-rD
... (1)
)dx
JJ x +1T*~~>
x~+4T
ahora calculamos las constantes A%B, C y D.
x' + 3x2 -2 v + l
a-“ + 5 , v - + 4
A\ + B ^ Cx + D _ $Ax + B)(x2 +4) + {Cx + D)[x2 +1)
,t-+1
x~ + 4
(a*+1)(a-2 + 4 )
igualando numeradores se tiene:
x ' + 3 x 2 - 2 x + l = A{x* + 4x) + B(x 2 +4) + C(x3 +x) + D{x2 +1)
r ’ + 3v2 - 2 x + l = (A + Cíx* +(B+D)x2 +{4A+C)x +4B + D
por identidad de polinomios se tiene:
Integral Indefinida
A +C = 1
B + D= 3
4A + C = -2
4B + D = 1
163
ahora resolviendo el sistema se tiene que;
2
11
A = - l B = — , C = 2, D = —
3
3
Luego reemplazando los valores de A, B, C y D en (1).
r .v3 + 3 r2 -2 x + l
x 4 +5x2 +4
2 cc dx ^ c l2xdx
x d x ^ W11cf dx
c
3 J a:2 ^ 1 J j r + 4
3 J x2 + 4
f xdx
x 2 +1
1. , ? . 2
» - i
11
x
= — ln |x ' +1| — arctgx + ln|x~ + 4 | + — arctg—+ c
2
3
6,
"2
(x -2x*" + 3x -4 )
© i ( x - l ) 2(x2 + 2x + 2) dx
Solución
A la integral dada expresaremos en la forma:
f (* -2 x - +& r-4) ^
J l(xx —
- h1) 2(x2
2>
(x- ++ 2x + 2)
, _A _
J X —1
+
B
Cx+D
(x -1 )3
x 2 +2.V+2
)dx
...d )
ahora calculamos las constantes A, B, C y D.
x 3 - 2 x 2 +3x - 4
( x - l) - ( x 2 +2x + 2)
A
B
Cx + D
+ -------- —+ ■
x - l ' <.r—1)2 ' x 2 + 2x+2
A(x -1 )(x 2 + 2x + 2) + B(x 2 + 2x + 2) + (Cx + D)(x -1 )2
( x - l ) 2(x2 + 2x + 2)
igualando numeradores se tiene:
x3 -2 x 2 + 3x-4 = /í(x3 -Ky2 -2) +B(x2 + 2x+2)+C(x3 - 2 y2 +x) + D(x1 -2 x + l)
= (A + C)x*+(A + B - 2 C + D)x2 + (2B + C - 2 D ) x - 2 A +2B+D
por identidad de polinomios se tiene:
164
Eduardo Espinoza Ramos
A +C = 1
, n
A + B - 2 C + D =-1
2B +C - 2 D = 3
-2A + 2B +D = ^ l
ahora resolviendo el sistema se tiene que:
M
18
2
7
44
A= — . B =---- . C = — , D = -----25
5
25
25
Luego reemplazando los valores de A, B, C y D en (1).
r (x3 -2.v2 +3jc-4) ^ _ 18 r xdx _ 2 r
M x - l ) 2(x2 +2x +2)
2 5 jx -1 5 J
dx + 1 r 7 x -4 4 ^
—1)2 25 J x 2 + 2 r + 2
18, , ,,
2
7 f 2x + 2
.
54 f
— In i - l + -------- + — —----------- dx------—------------255(jc—1) 50 J x 2 +2x+2
2 5 J x 2 +2 a + 2
dx
18
2
7
-> _ .
54
= — ln |.v - l| + - ---- - + — ln|.v- + 2 .r + 2 |- —-arctgCv + D + f
25
5(.v-l) 50
25
5)
x 2 + 3x + 5 .
---- dx
J X' + 8
Solución
Como
Q(x) = x 3 +8 = (x + 2)(x2 -2 x + 4) entonces a la integral dada escribiremos
en la forma:
f x 2 +3x + 5 , f , A
Bx +C
----- ------- d x = \ ( ----- - + - r - — — )dx
J x 3 +8
J x + 2 x -2 x + 4
ahora calculamos las constantes A, B, C.
x 2 +3x + 5 _ A
x 3 +8
x +2
Bx + C
_ M x 2 -2 x + 4) + (¿?x + C)(x + 2)
x 2 -2 x + 4
(x + 2)(x2 -2 x + 4)
igualando los numeradores se tiene:
x 2 +3x + 5 ~ A ( x 2 -2 x + 4 ) + £(x2 + 2x) + C(x + 2)
= (A + B)x2 +(~2A + 2B + C)x +4A + 2C
yív
...(1 )
165
Integral Indefinida
por identidad de polinomios se tiene:
A +B = l
—2A + 2B + C —3
4v4 + 2C = 5
ahora resolviendo el sistema se tiene que:
l
3
A = -,
C=2
4
4
Luego reemplazando, los valores de A, B y C en (1).
Í r2x++333+8x ++55 .1 ~ 41IJrr dx+dx2 ++4I 1rJ fx23x-23x+x8+ 4 dx
x
x
jt
= - [ [ —
4 J x+2
+ - [
7 ~
2
2 J x -2 x + 4
d v - h l l f ----------^
-------- ] + £
■* (x-1) +3
= —[ ln |x + 2 |+ —ln |x 2 - 2x + 4 1+ -^Larctg('Y )]+c
4
2
V3
V3
X3 + X-1 ,
dx
Solución
a la integral dada expresaremos en la forma:
*
rx 3 + x - l .
rrAx+B
Cx+D __
— -------rf* = [— ----- + — ------ t ¥ x
J (x + 2)
J x2 + 2 (x + 2)
—ü)
ahora calculamos las constantes A, B, C y D.
x 3 + x - l _ Ax+B
Cx+D _ (Ax+ B)(9x2 +2) + Cx + D
(x2 + 2)2 “ x 2 +2 + (x2 +2)2 ~
(x2 + 2)2
igualando los numeradores se tiene:
x 3 +x —1 =(Ax+ B)(x2 +2) +Cx + D =A(x3 + 2x) + Z?(x2 + 2) + Cx+D
por identidad de polinomios se tiene:
166
Eduardo Espinoza Ramos
A =l
B =O
2A +C = 1
2fl + D = - l
ahora resolviendo el sistema se tiene que:
A = l B = 0. C = —1, D = - 1
Luego reemplazando los valores de A, B, C y D en (1).
f r ’ + jt- l ,
J■’ (x~+2)
/ ’ ztí
r xdx
r
x+1
—■
J 'x"+2
t r —JJ 7(x 2+ 2 )'
1, . 7 , ,
1
f
dx
= —ln |x ' + 2 1+---- ---------—--- ----- 2
2(x +2) J (x +2)
Calculando la integral
x = 'j2 tg 6
r
V2
<ír
J (x2 + 2)2
í — —J (x +2)
6 = arctg(-¡=)
V2
dx = ^ 2 see2 6 d 6
tg0
42
secf? =
... (2)
^
=>
-\/2 see6 = 4 x 2 + 2
r V? see2
J
4sec4 0
2scc2 6 - x 2 +2
-—2^. f1C
cos2
U.> QdO
V U\j -—^ [1
4 j
4 j
= — f (1 + eos 26)d6 = — (6 +^ - ) = — ( 6 + sen 6 eos 6)
8 J
8
2
8
. x . V2x .
— (arclg(- j= | + - Treemplazando (3) en (2).
— (J)
Integral Indefinida
©
í
167
dx
Solución
A la integral dada expresaremos en la forma:
dx
j
A
tíx+C
Dx+E
X
x-+\
(x2 + l)2
ji ---*■-- 7---- + --- 7----- 7]dx
Ahora calculamos las constantes A.BX'.D y E
A ^ B x + C ^ Dx+E _ A(x2 +\)2 +(Bx+C)x(x2 + \)+(Dx+E)x
igualando los numeradores se tiene:
1 = A(x4 +2x2 +1 ) + B ( x a + x 2)+C (x3 + x ) + Dx2 +Ex
1 ={A + B)x4 +Cxi +(2 A + B + D)x2 +(C+E)x + A
Luego por identidad de polinomios se tiene:
¡A + B = 0
C =0
2A + B + D = 0
C +E =0
A= 1
ahora resolviendo el sistema se tiene que:
A= 1, f? = - l , C = 0. D = - 1, E = 0
Por lo tanto reemplazamos los valores de A, B, C, D y E en (1).
-(I)
168
©
Eduardo Espinoza Ramos
2x + 3x^ + jc-1 .
---------T dx
j (x + l)(x~i----------+ 2x + 2)~
Solución
A la integral dada escribiremos en la forma:
2x + 3 x '+ x - l ,
fr A
Bx+C
Dx+E
-------- ----------- - d x = [----- + —----------- + — ---------
ahora calculamos las constantes A, B, C, D y E.
2x3 +3x2 + x - l
A
Bx +C
Dx + E
(x+l)(x2 +2.X+2)1 ~ -v+ 1 x 2 +2x+2
(x2 +2x + 2)2
_ AQr + 2x + 2)2 + (gx+C)(x + l)(x2 4-2x+2)-t-(Dv + £)(x + i)
(x + l)(x2 + 2x + 2)'
igualando los numeradores se tiene:
2x3 + 3x2 + x - l = A(x2 + 2x + 2)2 + (¿?x+C)(x + l)(x2 + 2x + 2) + (Dx+£)(x + l)
= A(x4 + 4x3 + 8x2 + 8.v + 4) + £(a 4 + 3x3 + 4x2 + 2x) +
+ C(x3 +3x2 + 4x+2) + £>(v2 + x ) + £ ( x + 1)
2x3 + 3x2 +x - \ = (A + B)x a + {4A +3B + C)xl +(8A+4B +3C+D)x2 +
+{8/4 + 2B + 4 C + D + E)x + 4 A + 2C + E
por identidad de polinomios se tiene:
A + B =0
4A +3B + C = 2
%A + 4B + 3C + D = 3
8/J + 2B + 4C + D + E = 1
4A +2C + E = —1
ahora resolviendo el sistema se liene que:
A = - 1, B = \, C - 3 , D = -2, £ = -3
#
1
Integrai Indefinida
Luego reemplazando los valores de A, B, C, D y E en (1).
2x3+3x2 + x - l
,
-1
x +3
2x + 3
----------- T d x = [---- - + —---------- ----- --------------- T]dx
Í---------fr
(x + l)(x~ + 2x + 2)"
x -1
x“ +2x + 2
r dx
f (x-t-1 )dx
r
J x + l
J x 2 + 2 x + 2
^
x
(x"+2x+2)~
dx
r
2 + 2 x + 2
m
x
(2x + 2)dx
r
2 + 2 x + 2 )2
m
dx
x
2 + 2 x + 2 )2
- - l n | x + l | + —ln |x 2 + 2x + 2|+2arctg(x + l)+ —— -------2
x +2x + 2
- —arctiìfx +1 )-- — — +c
2
"
2(x + 2x + 2)
= - ln |x -f 11+ —ln |x 2 + 2x + 2 |+ —arct£(x+l)-----— —+ e
2
2
2(x + 2x + 2)
1.6.11
EJERCICIOS PROPUESTOS,“
Calcular las siguientes integrales indefinidas.
©
2x2 + 4 1 x - 9 1
i (x —I)(x + 3)(x—4)■de
R p ta .
,
( í + 3>7
Rpta. —?= 1n 1——^ | + —^t= In | ——^ | + c
2-y¡3
x +j2
2J 3
x +J i
©
(2x + l)dx
I? , 7v + 6
f 4x +4x- lfa + 6 ^
J x -3 x - x +3x
J r(r/ - x )
Rpta. —ln | —
----- |+í*
4
(r-1 ) (x + 3)
Rpta> 2 ln | jc | —3 ln | x +11+ ln | .r —11+41n | .v—3 1+c
1
Y
Rpta. — - l n | —-----T \+c
2a~
a~ —x~
Eduardo Espinoza Ramos
170
©
©
2.x1-1 dx
Rpta. ln(|jc|-v/jc2 - l ) + r
r 3 -a-
32 xdx
(2 x -l)(4 jf -16*+ 15)
(5.r +2)dx
dx
Rpta. ln 12x- 1 1-61 n | 2jc - 3 1+5ln 12.v - 5 1+c
Rpta. 5x + ln|
x 1 - 5 r 2 +4.v
©
©
xdx
(v-1) 7 ,3
x 4 - 3x2 +2
x2-2
Rpta. ln- —---- +c*
jc“ -1
(x + \)dx
s
x 1 + j r1 -6a*
,3/1«
Rpta. ln| {x 2) — | +c
jr (jc+3)
| +C
lfi
jr3 -1
dx
4x3 - x
(3a*+ 5)
Rpta. —+ — ln |
4 i6
(2 * + ir(2 A '-ir
dx
A' 3 - A ' 2 — A' + l
©
V r t r - 4)“ "
Rpta.
4
1
x +1 .
-+ —In I----- 1+£■
x-\ 2
x-\
(3x-2)dx
(* + 2)(* + l)(* -l)
Rpta.ln | * + 2 1+ —ln | x +11+ —ln | * - 1 1+c
3
2
6
(2x2 +3x-l)dx
(a +3)(x + 2)(jc-1)
Rpta. 2 1n | x + 3 1
1n | a + 2 1+ -^ | x - 11+ e
(x~ - x + l)dx
x 4 -5.V3 +5.v2 +5.V-6
Rpta. i - l n | j f - l | - - l n | x + l | + - l n | v - 3 |- l n |.r - 2 |+ c
4
8
8
IntegraI Indefinida
171
x A + 3x3 - 5 x 2 - 4 x + 17
------------ dx
3
x + x - 55.V+3
X2
.
3
, , 2 T 1,
Rpta. — +2x ----------- ln x + 2 x - 3 +c
2
x-\
f 5x2 -1 lx + 5
dx
J x 3 -4.v2 + 5x -2
Rpta. ln (x -l)2(x -2 ) 3 ---- — + í x -1
x 2dx
x~dx
f
+4
dx
r 2 x _ -2 x + l
J 2x- - x dx
Rpta. —!—+1 n 12.v —11+i
3x
r
dx
J x 3 + 3x2
1
x+3
1
Rpta. —ln | -------\ - — +c
9
jc
3x
9
V ^
— V
(3* + 2)dx
í
x ( x + 1)3
C (,\-2
(A " +
+ Xx -\)d x
J.v 3- v 2 x + 1
X + 1 dx
4 x +3
x i
Rpta. -------- - + ln(-------) +c
2(x + l)
x +1
Rpta. - _ 1 — + A l n U - l |- ^ l n U + l |+ f
2(jc-1) 4
4
Rpta. ^ l n |—^----- |-^ a rc tg (^ ) + <o
x~ + 4 2
2
©
i A-3 + 4 .V
©
í X + x +1 dx
X3 +4x + l
4
Rpta.
©
_ ^ 1. . x - 2 . 1 , . x + 1,
Rpta. —ln | ---- - | + —ln |---- -|+ c
3
x+2 6
x —1
1
i
ln | x 2 + x +11—J í arctg(-^=^-) + -j= arctg(^^_- ) + c
2x dx
J x 4 + x 2 +1
_
Rpta.
1 . x - —x +1.
12x+l
—ln | —--------1+ —¡=arctg(—^ ) + -= arctg (— ^ - ) + c
2
x~ + x +1 V3
V3
v3
V3
12 x - l
172
S>
Eduardo Espinoza Ramos
J
-24.Y3 +3Qjf~ +52.V + 17
9x4 - 6 x 3 -1 Lv2 +4x + 4
dx
Rpta. - ln |( x + 2 ) 2' 3( . Y - l ) 2 1
®
r (x2 - 3 x - 7 ) d x
-+ c
x-l
Rpta. — + ln|A + l |--í-ln |2 x + 3|+c
.v + 1
2
J (2x + 3)(.r+ 1)2
dx
©
1
3(3jc+2)
* - , X+1 - 1
1
Rpta. 2 In | ----- | ------------- +c
í-T+ 1)
X
jx(x2 +2jc+1) dx
Rpta. ln | —— | + —— + c
x +1 x +1
x 2 - 3 x +2
X
X +1
Rpta. 4 1 n | A ' | - 3 1 n | x - l | ---------+ c
x —1
x ~dx
í x 3 + 5-Y2 + 8*+ 4
r
Rpta.
dx
j t * - 6 - v 2 + 9x + 7
„
dx
[x~ - 2 x + 3)dx
í ( x - l ) í . r 1 - 4 x 2 +3.r)
J U - 3 ) 2(j + 1):
, , , x +4,
x-2
R p t a. 2 ln|- - |
( x - 2 ) 3 (x - 5 )
5A' +ÓV- + 9
+ ln | x +11+r
1 i—1 ln
, ,| -------|+í
JC -l,
Rpta. —
x 2
x +1
x 2dx
í (x+2)2(.v+ 4)2
í
x+2
dx
Rpta.
3
5x+12
—
- + <•
jc-+ 6a+ 8
—+ ln|.v-5|+t-
2(.v-2)
1
J ( x - l)(* -2 )
Rpta. ----- -hln | —---------------- 1+c
x -l
|a |
9 1
1 1
Rpta. - - ( ---- -------------r) + í
2 jc- 3 2 v + l
173
Integra! Indefinida
@
©
(x2 —8*+ 7)
dx
(x 1 —3x—10)2
x 4- x 3-x -1
dx
x3- x 2
(x -3 )dx
8
49(x-5)
27
30 , , x - 5 ,
+ ---- In | ------ 1+r
49(x + 2) 343
x +2
Rpta. — - - + 2 1 n | — |+c
2 x
x -1
_ .
1, , x + 1 .
4
Rpta. —ln |—— | ——---- - + <•
9
x-2
3 (x -l)
(x + l)-(x -2 )
(2x + 3)dx
„ * —
1,l n. -----------------x-l,
5
Rpta.
+c
9
x+2
3 (x -l)
(x + 2 )(x -l)2
©
Rpta.
x 3 -3 x + 4
—dx
(x + l) ( x - l) ’
1
Rpta. ——ln |x + l|+ —l n |x - l | + ---------------------- +c
4
4
2(x +1) 2(x + l)
©
x 3 - 6 x 2 +1 lx —5
dx
(x -2 )'
1
jc + j r
1
X
Rpta. — hln | ----- l+c
x
x +1
x 3 - 2 x 2 +4
dx
x 3( x - 2 ) 2
1 ,ln ♦| ---* - |. —1 (1 + — ). - —---1 — +c
Rpta. —
4
x-2
x
2x 2 (x-2)
X" +X-1
©
©
Rpta. ----- — —-------- — r + ln (x -2 ) + c
2(x - 2)
3 (x -2 )
x +1
dx
x 3 - 2x2 +3x
ln| v| ln |x 2 -2 x + 3| 2 w x - l
Rpta. — — ----- -------------- ' + —arctg(----- ) +c
P
3
6
3
2
dx
(x2 —4x + 3)(x2 + 4x + 5)
1
1
1
i
7
Rpta. — l n | x - 3 | - — l n |x - l |+ — ln(x2 + 4x + 5)+ — arctg(x + 2) + c
174
©
Eduardo Espinoza Ram os.
x~ + .V-2
x 4 +5x2 +4
■dx
(2x2 -3x~3)dx
(x -l)(x 2 -2 x + 5)
©
©
1 .
. X
+1 .
X
Rpta. —Ln | —^---- 1-arclgx + arctg—+c
6
x“ + 4
2
Rpta. —1n(jc2 - 2x + 5) - ln(x-1) + —arctg(-—-) + <
2
2
x sdx
( x - +4)
R p ta .-------- --------41 n|x2 +4|+c?
2
x - +4
4x2 +6
dx
x 3 +3x
Rpta. ln(x2(x2 +3))+r
x2
dx
(x2 + 2x + 5)3
K
„ .
2(* + l)
3<x + l)
3 . x+1
Rpta. —------------ - + ---- ------------ +—arctg(------ )+ c
(x~+2x + 5) ' 4 (x '+ 2 x + 5) 8
2
dx
, 4 +x 2 +1)
i »1
x(x
■> ,, 5-J3
-\¡3 _ ■>
1 -x 2
Rpta. l n |x |——ln|jc4 +x¿ +11
(2x~
' +■^^-arctg(—
— arctgí— (2
.V - +1)) +
,
+c
*8
3
6(x + x~+l)
(x 2 + l ) 2
3r2
Rpta. 31n|x2 + l | ----^— +c
x- +1
x 3 +2x2 +5x + 8
x(x2 +4)2
1
x
9
x
v
Rpta. —ln |—-ij-— |+ — arctg - + ---- f -----+c
4
x +4
16
2 8(x +4)
dx
x(x3 +1)2
Rpta. l n | x | - - l n | x 3 + 1 |+ ---- j ---- +c
6x3dx
©
dx
4
1
1
X +JC" +1
3 (.v
RPta-
2
.2x2 +1
arctg( ■—j= ) + c
+
1)
175
Integral Indefinida
g
r 3x4 - 4 x 3 + 7x2 -3 x + l l . A
■* (x ' + X + 1)(X - A - - x - 2 )
Rpta. l n |x - 2 | + ln |x 2 + x + l | - —
-------- - 7 = arctg(—~ ) +c
3(x + r+1) 3V3
V3
i 3 +x2 + t + ^
----\
dx
Rpta. arctii.v + -
©
f , X d\ ----
Rpta. — ln |^ — ^ |+ i
W
J x
®
r x 4 +8x3 - x 2 +2x + l ,
------ -------- --------- dx
}
(x + x)(x +1)
x
+3x
-1 0 a
+2
1
2
+9
24
.v 3 - 1
„ ..,x 3 —x~ +x ,
3 22 x - l
Rpta. In | ---------- — | ------ +
arctg{—p^ ) +c
(x +1) Jf + 1 V3
V3
r (x7 + x 3)dx
®
+1
> 7 r^ 7
Rpta. —ln |x 4 —1| ——ln |x K+ x 4 —1 |---- ^ = ln |-2jC* + 1 ^ | +c
2
4
2 ^ /5
2 xU l+ S
©
64)
Jx
f
Rpta. -l(x 3 - l n |x 3 - l |) + f
-1
» U j’ - h +U
3
&
■* (x‘ + 5)(x~ +2x + 3)
Rpta. In4x~ +2x + 3 + -^L arctgi^^-)-a/5 arctg(—)=) +<
V2
65)
f V
+ A—i r f x
^
J (x
+2)
f
(4x 2 - 8 x )
---------— ----- rfv
(x — 1) (x +1)
-s/2
V5
R p ta .—- 7—-------- ln-\/x2 + 2 ----- arctii(—
4 (v
+2)
4^2
+<■
\Í2
3x2 - 1
. (x -1 )2
Rpta. ----------- ----- +1 n(— ----- ) + arctg x + 1
(x -l)(x 2 +l)
X
+ 1
176
Eduardo Espinoza Ramos .
67)
^
r
dx
— -------- ;--------j (x2- x ) ( x 2 - x + l)2
10
,2 x - l.
2x-l
Rpta. ln(----- ) -----arctg(—¡=^)--------- ---------- +c
X
3^3^3 3(JC-- x +1)
(68)
w
f - + ^*_+ ^ (/jcRpta. i l n |x + 11+—ln | x 2 + 11+—arctgx + c
J (x + I)(.v2 +l)
2
4
69)
J £ ͱ * ¡l^ £ il*
x4 + 5x2 +4
2
11
v i
9
Rpta. ln |A'2 + 4 |+ —-a rc ig y -y ln U '2 +1 |--ja re tg x + c
70)
f - :rl 2iLt L
J (ívj t_- nl )2-íy( j r +4)
4 ,
,
2
2 _ _ ->
19
R p t a . ----------ln b e - i ----------------------+ — ln x~ + 4 + — arete a + c
H
25
5ÍJC-1) 25
50
b
x2 + 2 x -1
S>
.
í —x 3i---------dx
-2 7
Rpta. - ^ l n | x - 3 | + ^ l n | x 2 +3.v+9|+ —^ = arctg (-^ ^ ) + c
27
54
3V27
V27
®
f dx
Í77T
f
t
1 , (x + 1)2
1,2 x - l
Rp,a- 6 ln<7 - ^ » ^ « re« - x » +‘
e
*
dí
R pte.
j^ - 1
J (x -l)(x 2 - 2 x + 5)
@
f
(x 4 +1)
,
— ---- --------- dx
J x -x'+ x-l
|x - 1 |
_
(x + l)2
,
2
IJC — 1 1
2
Rpta. --------- + ln -- arctg v + c
2
sjx2 +1
Rpta. i - l n | l ~ a r c t g x + c
177
Integral Indefinida
dx
f (x~
e
+ l)(x" +JC)
Rpta. —ln(
) - —arctgx + c
4 (x + l)“(-í2 + 1) 2
2x2 - x + 2
í x 5 +2x3 + jc dx
x1
1
Rpta. ln(—-----) — arctgjc + c
X “ +1
jr3 + jr-l
@
i (Xa + 1)2 dx
©
j x(4 + x dx2)(l+ x 2)
Rpta. ln a/x2 +1
2
2
arctcx------ ^---- + c
2(j»r+l)
Rpta. — ln x ——ln(x2 +1) +——ln(x2 +4)
■+c
16
18
288
24(x2 +4)
(5x 2 -12)
(x2 - 6* + 13)2
dx
(JC+ l)'
dx
(x 2 + 2x + 2)3
©
j x 4 +1
Rpta. —arctg(x +1)
o
4^2
dx
(x +l)(x + 8 )
r 4x3 +8x2 -12 ,
-------i ------ 5— d x
J (x + 4)
1
13jc -159
53
,x-3
+ — arctg(------ ) + c
8(t2 - 6 a +13) 16
5x3 +15x2 +18x + 8
■+ c
8 (x
+ 2 jc + 2 ) _
1
x 2 +X-J2 + 1
V2
Jlx
Rpta. — ^ I n —------------------------------ 7=— + --- arctg(--)+ c
dx
(-v4 +1)
dx
(x 2 +4 )'1
Rpta.
x -x^Í2+l
4
l+x2'
Rpta. i-[8 1 n |x 3 + 8 |- l n |x 3 + l|] + c
, •>
, . 5
16 —11jc
Rpta. 21n|A'^ + 4| + —arcíg(—) + +c
4
.2 2(x 2 +4)
51
x
11x
Rpta. ^^arctg(—)
256
2 128(x2 +4)
17x
■
+c
16(x2 + 2 )2
Eduardo Espinoza Ramos -
178
©
2x dx
í (l + x)(l+ x2)2
x 1 + 2x+3
I x3 - x dx
l + 2 x -x 2
I (l + x)2(l + x 2)
dx
©
Rpta.
!-----—ln |x + l | + —ln |l + x 2 |+c
2(x +1) 2
4
Rpta. ln
(x + l)+ c
*
i .
i
1 + arctgx+c*
Rpta.
ln|
,1+ * = |+
----«
■ Jl + 7 2
l+x
^
t . x +1 , 1
Rpta. ln | ----- 1— + c*
h x + x‘
X
X
x 3 +2
dx
x 3(x3 +8)
_
1
3, ,
3, , ? ^
'>/3
x +1
Rpta. - — r + — ln | x + 2 1
ln | x" + 2x + 4 1+— arctg—j=- + c
8x~ 16
32
16
v3
(2x -4)rfx
í (x2 +l)(x + l)2
©
J
4x2 +2x + 8
dx
x 5 + 4x3 + 4x
Rpta. ------+ ln | x2 + 11-arctgx + c
x +1
X
-J2x
4i,
Rpta. ln(—— -) + — [arctg-= + —— -] + c
x~ +2
8
V2 x~ + 2
dx
í x(x2 +l)^(x4 + 1)2
Rpta. l n |x |- - ^ l n |x <1+ l | - | l n | x 2 + l |- |a r c t g x 2 +
- 1 -*— ■
----- +c
16
8
8
8(x +l)(x +1)
3 dx
x(x8 +2x4 +2)2
+c
Rpta. —ln | x | —^ - ln |x K+ 2x4 + 2 |—^arctg(x4 +1)------lóíx8 +2x4 +2)
179
Integral Indefinida
Rpta. —ln|jr4 -l|-In|jr|+c
4
(%)
w
í— ~
J x(x4 -1)
®
dx
■f,vU3 -I)(.Y6 +4)
Rpta. — ln |x 6 +1 | - l n | x | + —Ln| x1 - 1 1 a rc tü 'C y 3 ) + í*
12
6
6
"
¡
e lxdx
e " +4ex —5
Rpta. —In| ex - 1 | - — ln |t2v +e* + 5 |+ ^ ^ a r c t g ( — Qe* + l))+ c
7
14
133
19
99J
f^ - 1
J
^
x 2-2 x-8
Rpta.
10üJ
4
+ .y7 + 8\' + ^ l n | x - 4 1
I d2 j r f
í X +x~+\
ln | x + 2 1+c
dx
1, .Y2 - . Y + l , 1
2,y+ 1 1
2.V-1
+ — arctg — ¡=- + c
Rpta. —ln| —-------- 1+ -j= arctg —
2
x~ + .Í + 1 v3
v3
v3
v3
„ . —
1 ,ln|, v■'>+.Y+ ,,
r
2x + ] + —4¡=arctg(—
2.Y-1
Rpta.
11 —v/3
arctg—==— )+ <
2
V3
V3
V3
1021
f
—
dx
-
J v^ + v 6
^
1 1 1
R p ta .------- - + — ------- arctg x +c
5ys
3y3
-y
180
103
Eduardo Espinoza Ramos ,
f ______ É L ______
J (A '2 ~ X ) ( X 2 - J f + 1 )2
, ,.v--l, 10
2x-l
2 x -l
Rpta. ln | ----- 1---- 7=arctg— — — — — —— +t
x
WI
-Ü
30r3 -jr + l)
©
105
106
107
f f ' f ,t
(sen x +1)
dx
Rpta. l n |s e n x |- —ln|sen7 x+11 + -------\------- + c
7
7(sen x + 1)
Rpta. l n |x |—- l n |x 9 + l| + ----- ------ 1------- 7---- —+ t
I x(x* + 1)3
9
dx
Rpta. - p j - l n | a 11 + 1 |
I x l2(xn +1)
5 x -8
j a 3 +4 a2 + 4 y dx
9( a +1)
1 1a
18(x +1)
11 ln |x |+ c
Rpta. 21n—— ---- í— Kx
x-2
x
1 , , (x + 1)- . 2
2 x -l
Rpta. --------— + —ln —-------- + —F^arctg—
+c
v
3(1 + Y2) 9 V - x + 1
3^/3
^3
©
íJ -( l ^+ Ah3 )-2
109
5x~ -1-12x+l
J jc3 +3x2 -4 dx
Rpta. ln[(.x-1 )2( x + 2 ) 3 ] - —
x +2
+ <•
-2)dx
x(x~ - 4 a + 5)'
x -4
Rpta.
10(x2 - 4 a +5)
©
112
1 , , x -4 a +5 . 3
+—
lnj
| - — arctg(x-2)+c
25
r 6x —18x
,
,
--------------------— — dx
J (x - \)(x - 4 )
Rpta. 21n|x2-l|+ln|x2-4|+í*
r
_
1 ,
x-\
, 1
2x +1 1
Rpta. T ln 1 -^ = = = = = | +—= arctg—= - + - + <■
3
V x '+ x + l
v3
V3
x
dx
JJ ~x - x 2
181
Integral Indefinida
p X2 + x - 1 0
©
J1(2x -3 )(x + 4)
©
p
7
1
x +4
x
Rpta. —In | --------|+arcUs—+ cF
2 f 2 x -3
w2
.
dx
x dx
_ „ 1, . 2x2 —1 —v/5 .
Rpta* T2 l n |T
^ -1
“ ' ¡—
2x~
+ -\/5/ r ,+c
J1X4 - x 2 -1i
J1 A - 1
©
r a 2 - 2a + 3 J
7 7
«X
1 ( a - 1 ) ( a + 4)
J
©
©
J
’
(2* 3 - 4)
¿A
( a 2 + 1 )(a + 1 )2
<D
©
©
a -9jr~ + 16a + 4
i x3 - 3x2 + x + 5 dx
117
1120
f ¿2aX ++ 3a
JA + a -1
dx
j (x
( a ++ 1 )()(aa 2 + 2 a + 2 )
123
(a- + 5)
f—
J r 2( r 2
x (x ~ + 8)
dx
x 2 + 2x + 3
j
A3 -A
rx 2 -5 x + 9
J x2 - 5x + 6
dx
dx
1,6.12 METODO DE HERMITE^OSTROGRADSKI.- 1
Cálculo de la integral de la forma:
/ . . f Ax
1 i
1 ‘ :•;:❖:£?;r :j;:•*;:'¡ywasj
i'i'h'i■'•'ivfv ’ n 1 ”7 í
cmíf
xx *>>>>&
donde x 2 + bx+c es una expresión cuadrática irreducible.
Para el cálculo de estas integrales se debe escribir en la forma:
t .£*+x>
..'j--.
* {x2 +bx+c)n
(x2 +foe+¿)' • *¡w wsM m
donde P(x) es un polinomio de grado < 2(n - l) = grado de (x2 +fox+c)w 1 y los
coeficientes de P(x) así como C y D se hallan derivando ambos miembros y se aplica
el método de los casos de 2.9. Además la integral del segundo miembro se calcula de
acuerdo al caso 1ro. De 2.9.
Ahora veremos el método de Hermite-Ostrogradski si en la función racional
P(x) ,1a
Q M
función polinómica Q(x) se descompone en factores de multiplicidad, es decir:
182
Eduardo Espinoza Ramos
Q(x) ~ ( x - a xf> ( x - a 7 f * +/>¡x + c,)ft (x2 + bsx+c¿)?’
Í ^P(x)- dx se expresa en la forma siguiente:
... (a)
donde Qx(x) es el máximo común divisor de los polinomios Q(x) y de su derivada
(?*(x) y £M *)=
* además f(x) y g(x) son polinomios con coeficientes
Q iW
indeterminados, cuyos grados son menores en una unidad que los polinomios Qx(x) y
Q 2 ( x ) respectivamente.
Los coeficientes indeterminados de los polinomios ffx) y g(x) .se calculan derivando la
ecuación (a).
Ejemplo.
©
Calcular las integrales siguientes:
dx
(x + 1) (x~ + 1)
Solución
Como Q(x) = (x + l) 2 (x 2 + 1) 2
=> (?’(*) = 2(x + l)(x 2 + l)(3x2 + 2x + l)
además: Qx(x) = máximo común divisor de Q(x) y Q (x) es: Qx(x) = (x + l)(x 2 +1)
^
^Q->(x)
/ v= —---Q M = -----------(* + l) 2 (* 2------+ 1)2 = (x
, + l)(x~+l)
1W 7 1v
ademas
Ql(x)
(x + l)(x 2 +l)
Como:
f
f --------
J (x+l)~(x~ + 1)"
dx
Q iW
Ax2 + Bx+C
^ Qi(x)
ff Dx2 +Ex+F dx
... (a)
183
Integral Indefinida
derivando y agrupando la ecuación (a) se tiene:
(x + l)(xz + 1)
■= [Dx$ + (-A +D + E)x* + (-2B +D + E + F)x* +
+(A - B -3 C + D + E + F )x 2 +(2A-2C+E+F)x+B-C+F]+[(x+l)2(x2 +l)2]
por identidad de polinomios se tiene:
D =0
-A + D + E = 0
^ r* r* /v
-2Z? + Z>+ £ + F = 0
A - B - 3 C + D +E +F = 0
2A-2C+E + F = 0
resolviendo el sistema se tiene:
A = - ~ , B = - , C = 0, D = 0, £ = - i , F = 4
4
4 4
B - C + F - \
ahora reemplazando estos valores en (a):
x2 x
,
----- + —+0
f ______* _____ = - . 4
4
J Cv+l)2(x2 +1)2 (x+l)(x2 +1)
x 3
0— +—
+ f ____ 4 . 4
3 (jc+1)(jc2 +1)
dx
1,
x~ - x
.1 f
x -3 ,
= — (------------------------ -) — - ---------- ----- dx
4 (x + l)(x2 +l) 4 J (jr + l)(x2 +l)
1
x 2 ~x
4 (x + l)(x2 +l)
1 r-2dx
2—
i
4(x+1)(x 2 +1)
4
rlxdx
r dx
4 J x + 1J * 2 + l Jx 2+1
[-2 ln | x +11-+ln(x 2 +1) - arctgx] + c
x" - X
l. .
,. 1, , 2 ,I 1
-+—ln |x + l| — ln |x +1| + —arctgx + e
4(x + l)(x2 +1) 2
4
4
/
Eduardo Espinozq Ramos
184
Solución
Sea £>(x) = (x3 - l ) 2
=>
£)'(x) = 6x2(x3 -1)
Luego el máximo común divisor de Q(x) y Q'(x) es Q1(x), es decir:
Qi (x) = mx:.cl. (Q(x), Q'{x)) = x 3 -1
además: Q2(x) =
Qi(x)
x3- l
... (a)
derivando la ecuación se tiene:
1
(x3 -l)(2 ^ x + g )-(/4 x 2 +gx+C)3x2
Dx2 + Ex+F
(x3 - l ) 2 ~
(x3 - l ) 2
x 3 -1
eliminando denominadores se tiene:
l = (x3 - \)(2Ax + B ) - 3 x 2(Ax2 + Bx+C) +(Dx2 + £ x + ir)(x3 -1)
1 = Dx5 + (-A + £ )x4 + (-2B + F)x3 + (-3C - D)x2 + (2 A - E )x- B - F
por identidad de polinomios se tiene:
D =0
-A + E = 0
- 2 B + F =0
-3 C -D =0
2 /4 -£ = 0
resolviendo el sistema se tiene:
2
3
Integral Indefinida
185
Ahora reemplazando estos valores en la ecuación (a)
Í
dx
_
(x 3 - l )2
dx
dx
Í
—x
2 r dx
3(x 3 - l )
11 fr dx
dx
^ * x 3 -l
11 fj* x + 2
— dx
X2 + X+1
= ~ l n |x - l |“
ln |x 2 + x + l|- J = a r c tg ( ^ = ¿ )
...(2 )
reemplazando (2) en (1) se tiene:
r
dx
-x
1, ,x 2 +x + l
2
,2x + l x
—r----- r- = — r — + ^ ln(-------- —p^arctgí—7—) + c
j (x3 - l ) 2 3(x -1) 9
(X-1)2
3/3
V3
dx
(x2 + l)4
Solución
Sea Q ( x ) = ( x 2 + l)4
=>
Q'(x) = 8x(x2 +1)3
Calculamos Qx(x) que es el máximo común divisor de Q(x) y Q’(x) es decir.
Q(x) (X2 +1)4
„2
Ql(x) = m£jd. (Q(x),Q'(x)) = (x2 +1)3ademásQ2(x) = *
= v" , '
= x 2 +1
a ( x ) (x 2 + d 3
como
r
dx
/(x )
r g(x)
—;---------------------------- - = +f/x
J ( x 2 + 1 ) 4ñ W
f
J & W
dxAx5 + Bx*+Cx3 + Dx2 + Ex+F
rH x+ E ,
, v
—?---------------------------- T = --i-------i---+ \ —i------------------------------ dx...(a )
(x
+1)
(x2 + l)3
J x 2 +l
ahora derivamos la ecuación (a) y luego agrupamos término a término para poder
aplicar la identidad de polinomios.
186
Eduardo Espinoza Ramos
1= Hx7 + (-A + G)x6 + (-25 + 3H)x5 + (5/l-3C+3G )x4 +(4B-4D+3H)x3 +
+(3C-5E+3G)x2 + (2D -6F +H )x + E + G
H =O
-A+G =0
- 2 B +3H = 0
5A-3C+3G = 0
4 B -4D + 3H = 0
3C-5E +3G = 0
2D-6F+ H =0
E+G = O
resolviendo el sistema se tiene:
yí = — , B = 0, C =—, D = 0
16
6
E =— , F = 0, G = — , / / = 0
16
16
Ahora reemplazamos estos valores en (a).
rfx
J (x2 + l)4
_5_ s 5 , 11
16* + 6 * + 16* 5 f dx
15jc5 + 40x3 +33x 5
arctgx
—------------------------- - ------1 +c
;----- 1--------— I —i
(x2 + l)3
16 J x 2 +1
48(x2 + 1)3
16
Calcular las siguientes integrales indefinidas:
©
J
(x7 +2)dx
(x2 +x +l)2
„ ,
x
2
,2x+1
, 2
,, *
2x
x
_
Rpta. —-------- +-=arctg(—=^)-21n(x + x+ l) + ------------ + — +2 jc+ c
x +x + l V3
-\/3
4
3
2
(4x -8x)¿£t
©
©
J ( x - l ) 2(x2 +l)
dx
b (x- +1)
r» *
3x2 - X
, (JC—1)J
Rpta. ---------------- + ln -i-arctgx + c
(x -l)(x 2 +l)
x 2 +l
_ A 15x5 + 40x3 +33x 5
.
Rpta. ------------- — ---- + — arctgx+c
48(1+ x 2)3
16
Integral Indefinida
187
I (x4 - l ) 2
©
|
x4 -2 x 2+2
dx
x -3
+ 21n(x2 -2 x + 2) + arctg(x-l) + c
x 2 -2 x + 2
dx
„ .
1 ... . x +1. 1
1 , ,
Rpta. —(2 ln | — — | ---- ---- ----) + c
3
x
x x +1
j x 4(x3 + l)2
» - 6c1ini |----x “ ' 1-------. I2x2----—5x—
Rpta.
r—1 +c
+ X+1
dx
x5 - 2 x 4 + x 3
©
J
©
J
J
3 , . x -1
ln | ----- 1+c
16
x+1
(x2 -2 x + 2)2
Rpta. x
©
_
3
x
Rpta. —arctgx------ ----8
4(x -1)
dx
©
x6 + x 4 - 4 x 2 - 2
x 3(x2 + l)2
(x2 - l ) 2rir
(x + l)(l+ x 2)3
dx
x4(x3 + l)2
d
x
dx
2(x - x )
Rpta. ——^-+ lnVx2 + 1 +c
x (x2 +1)
1 . x+1
I x -2
1
Rpta. - ( ----- — ) + - —— + -arctg x + c
2 (1 + x )
4 x —1 4
2 x 3 +1.
Rpta. —|
3 x3
1
1
3x3
3(x3 +1)
■+ c
dx
J (x2 +2x + 10)3
^
1 _
,x + l
3(x + l)
18(x + l)
_
Rpta. -----[arctg(------)+ —----------- + —-------------- - ] + c
648
3
x + 2x + 10 (x~+2x + 10)~
©
(x + 2)rfx
j (x2 +2x+2)3
3
x+1
x
Rpta. —arctg(x + 1) + —.—;------------------------------------+ ---,------- r + c
8
8 x + 2x + 2 4(x + 2x + 2)
188
3)
Eduardo Espinoza Ramos
j r - x 4 - 26x2 - 2 4 x - 2 5
dx
f e(x2 + 4 x + 5 ) 2( x 2+ 4 )2
x
2x -f*5
1
y
R p t a .------ ------------—:----------------- arctg^--arctg(v+2)-c
8(. y " + 4 )
2(x
+ 4 x + 5)
16
2
7N
14)
f 3x4 +4 .
—— ------ - d x
3 x (x +1)
„
57x4 +103x2 +32 57
R p t a .------------ ----- -------- —arctg x + c
8x(x +1)
8
^
15;
f 5 -3 x + 6x2 +5x3 - x 4 . „ .
3 -7 x -2 x 2
, | x —11
—----- ------ ------ -------- dx Rpta. ----- --------------- + ln --------'- +c
J v 5 - x 4 _ 2 x 3 + 2 x 2 + x -1
2(x
- x - x + 1)
(x + 1)
9dx
©
j 5 x ( 3 - 2 x 2*3
)
_ „
r x 4 5x2 3.
[- t + — -
1
■
1 . ,V3 + x-v/2 .
+w " " u ^ ñ ' Wc
©
W
f -Y
—v ~- Rpta. —2 X
J (x +2)
®
r (4x2 -8x)rfx
J — — T -T - r ?
J ( x - l ) '( x '+1)
3x2 - l
. ,( x - l) 2 .
Rp»a- 7 — , n +
7 I~I+ arctgx + c
(x -l)(x -+ l)
x +1
19 )
f * r 2x +A dx
J (x2 - l ) 3
+c
Rpta. —l n |—^—| ——(1+— ) -------4
x -2
x
2x 2 (x -2 )
20)
f 3* ~ +\ dx
R p ta .------ ^ r
f
_ .
. x +4
5x + 12
Rpta. 2 ln |---- - | ---------------+ c
J (r24-n3
21)
x 2dx
-------- --------- -
^
J
( x + 2 ) 2 (x + 4 ) 2
C\
22)
r (3x2 +x + 3)ítc
-------- — ----i ( x - l) 3(x2 +l)
+ liW x2 + 2 -1 —
4(x + 2)
arctg(-^) + c
4V2
ir2- U 2
x+2
% /2
+c
x
+6t +8
1 -\/x2 +1 7,
Rpta. —[ln ------— + arctgx--------- - ] + t
4
|x - l |
(x -1 )2
189
Integral Indefinida
x-2
x(x 2 -4 x + 5);
dx
(.x 4 - l ) 3
©
I
xdx
(x2 - x + l) 3
Rpta.
x -4
x 2 -4 x + 5
■+ — In
10(x -4 x + 5) 25
Rpta.
7x 5 - l l x
21, x -1
I
In
32(x4 - l ) 2 128 1 x + 1
21
64
_
1r
x —2
, l r 2x - l ,
2
2x - l
Rpta. - [ —i--------- - ] + - [ —--------] + —¡=arctg—p ^ + c
6 (x -x + 1 )
6 X - x + 1 3^3
V3
x° + 13x4 - x 3 +14x2 - x + 6
dx
( l- x ) 3 (l+ x 2 ) 2
Rpta.
— * ^- —^—+ In 11- x | +2 arctgx+c
( l- x ) 2(l + x 2)
f p(5x
x 2 -12)rfx
J (x
i v 2 -_ 6 x + 13)"
13x-159
53
/X—3
Rpta. ——-— ------—+— arctg(—-—) + c
8 (x -6 x + l3 ) 16
@
J
_
Rpta*
3x-10
5 . ,x - 2 ,
ñ
- + - arctg(— - ) + e
x ' -4 x + 8 2
2
®
J
_ ,
1 r2x 6 - 3 x 2
@
3x4 + llx 3 +10x2 + 2x-16
i (x 3 + 6 x 2 + 10 x + 8)(x2 + 2x + 2 )■dx
(2x + 24)dx
(x 2 -4 x + 8 ) 2
x dx
(x 4 - l ) 2
Rpta.
3, ,x 2 - l n
Rpta* 14 [—x r-7“
-1 +72 ln|^
x +~ 17 l]+c
* + 2 ‘ + ln[(x+4) 2 a/x 2 + 2 x + 2 ] - 5 arctg(x +1)+c
x~ + 2 x + 2
190
Eduaxds-Espinoza Ramos
mu
v ^rísbewo^
Las integrales racionales de seno y coseno son de la forma:
(a)
I#!
donde R es una función racional.
Para el calculo de este tipo de integrales, se debe de transformar en integrales de
funciones racionales de una sola variable z, mediante la sustitución siguiente:
z- tg— H
2
2
2
( 1)
< \r
2
ahora mediante un triángulo rectángulo, obtenemos las relaciones.
Tomando la función seno y coseno.
x
sen—=
JC
-, eos—
1
Como:
sen x = 2 sen —. eos
2
2
X
X
...(3)
i.:::;.:. 2 g 3
sen A ' 1-----~
+ ,2
... (4)
Ahora reemplazando (2) en (3):
además como:
■ *-Í2•/"^ \-m
m sx *=■eos•'2-/^''v-‘
(^>
^ '4
. 2
Luego reemplazando (2) en (5):
Como tg—= r
2
... (5)
; :>>>
* = 2 arctgz, de donde:
... (2)
... (6)
,
2 «fc
ffo ~
1 +J~
... (7)
por lo tanto al sustituir (4), (6 ), (7) en (a) se obtiene una integral de una función
racional en z.
191
Integral indefinida
Observación.-
En el cálculo de las integrales de las funciones de seno y coseno, que
x
se realiza mediante la sustitución z = tg(—), en muchos casos se
presentan cálculo complicados, por lo tanto en dichos casos se puede hacer otra
sustitución de manera que se simplifique el desarrollo de la integral
Jtf(senx,cosx)í£t, para esto consideremos los siguientes casos:
ler. Caso: Si la función R(senx. cosx) es una función impar respecto a senx, es decir:
si
en este caso se hace la sustitución
t = cosx.
2do. Caso: Si la función R(senx, cosx) es una función impar respecto a cosx, es decir:
si
en este caso se hace la sustitución t = senx.
3er. Caso: Si la función R(senxf cosx) es una función par respecto a senx y cosx, es
decir:
si
en este caso se hace ia sustitución t = tgx.
Ejemplos de aplicación de éste criterio.
Calcular las siguientes integrales.
©
dx
j 5 -4 sen x + 3cosx
Solución
Del criterio que se ha establecido se tiene: sen x =
ahora reemplazando en la integral dada se tiene:
- , eos x = -—
1+ - 2
, dx-
'1+r 21+r 2
192
Eduardo Espinoza Ramos
2dz
Jí ---------5 -4 sen x +---------3cosjt = íJ ---------8 Z— 3------3 z T = Jf —
( r -~2 )T = ---z -~2 + t
5 _ ^1¡-----“
+ 2 “ + ' 11+ Z 2
1 -sen x + cosx ,
-----------------dx
j 1 + sen x -co sx
©
Solución
Al integrando expresamos en la forma:
t _sen x + eos x
2
------------------ = - 1 + ------------------- , ahora reemplazamos en la integral dada
l + sen x -co sx
1 + senx-cosx
J 1 +senjc-cosx
J
--------?-------- )dx=-x + l [ -------- -----1 +senx-cosx
J 1 +senx-cosx
2r
l-z2
como senx = ----- eos*------- ------dx
1+ r 2
.
2 dz
1+ r 2 +
1z2
2
d
z
r
dx
J 1 + sen x -co sx
f
i+~2
J
2r
1- z 2
1 + ----- :---------1 + z 2 1+ z 2
r
J j 2+ ;
tg *
= í ( - ---- í - ) * = l n |- ^ - l = l n |-----(2)
J r Z+ l
r + 1.X
tg —+ 1
2
luego reemplazando (2 ) en ( 1 ) se tiene:
x
i
tg—
r l- s e n x + cosx .
.. .
2 .
------------------ í/x = -x + 2 ln | -----— |+c
J 1 + sen x -co sx
. x
tg —+1
©
dx
f (2-senx)(3-senx)
e
...(1)
193
Integral Indefinida
Solución
Sea z = senx, entonces hacemos la descomposición
_______ 1_______ = ________ 1_______
(2 - sen ,v)(3 - sen x) (2 - sen x)(3 - sen x)
1
(2-z)(3-z)
A . B
A (3-z) + B(2 + z)
+~— —— ~— —-------2-z 3-2
(2 -z )(3 -2 )
••• U)
igualando los numeradores se tiene: 1 = (-A—B)z + 3A + 2B, por identidad se tiene
\ - A - B =0
[3,4 + 25 = 1
\A = \
[£ = -1
^
... (2)
ahora reemplazando (2 ) en (1 ) se tiene:
1
1
(2 -senx)(3-senx)
1
2 -se n x
3 -sen x
í ---------- ^ ------------------------------- = f — ^ ------- f - ^ —
J (2-senx)(3-senx) J 2 -se n x
3 -sen x
...(3)
ahora calculamos cada una de las integrales:
2 dz
r
dx
r
i + ~2
r
dz
l +=2
2
= ~¡= arctg(
V3
2dz
c
dz
2
B
—)
V3
2 tg(.v/2 ) —1
2
, 2z - l
4
... (4)
19'
Eduardo Espinoza Ramos
_
1
- - 1_/3 ) = _ 1 a r c t g (^3 --1 ) = _ 1 a r c lg ( _
a r c , 8 (^
?_
1
)
, „ (5 )
reemplazando (4) y (5) en (3) se tiene:
x.
f
dx
í ( í r ^ H
©
.
2
3 ^ =^
1
a,ct8 (' - 7 r ~ )^
_ ,x.
3 tg ( - ) - l
arc,E(' 7
^
)+c
íJ ,3sen". x + 5cos"- x
Solución
Multiplicando numerador y denominador por sec2 x
c
dx
r
^ 3sen 2 x + 5cos 2 x
sec2xdx
J sec2 x(3sen 2 x + 5cos2 x)
^ s e c 2 xdx
_ 1
V3tgx
Í sec2 xdx _ 1 f (V3tgx)
2 +(V5) 2 ' ^
arctgw
r )+6*
dx
/ 4.-3...........................
c o s 2 x + 5sen 2 x
Solución
dx
4 -3 c o s 2 x + 5sen 2 x
r
r
dx
4(sen2 x + cos2 x )-3 c o s 2 x + 5sen 2 r
dx
rs e c 2 xdx
l r 3sec2 xdx 1
------ í--------- — = -----5------= - ----------?----= —arctg(3 tgjf) + c
J 9sen~ x + cos~ x J 9 tg “ x + 1 3 J (3 ig jc)~ -h 1 3
©
J rA -
J 1 + sen" x
Integral Indefinida
195
Solución
f
dx
J 1 + sen 2 x
f
dx
_ r
dx
* sen 2 x+cos 2 x + sen2 x
2 sen 2 x+ cos 2 x
=
©
r a/2 see2 xdx
1
, rr
—¡=------ñ----= -prarcig(V 2 tg x) + 6*
a/2 J (-\/2 tg.t) +1 -v/2
1
dx
f e
.
sen~ x + 3senxcosx-cos~
*
Solución
Multiplicando numerador y denominador por sec2 x
sec2 xdx
r
sec* x(sen'jc+3senjrcosjr-cos x)
sec2 xdx
J t g 'x + 3 t g x - l
C
sec 2 xdx
~ i~ j
7
9 13
lg 2 x + 3 t g x + ^ ~
fr
sec2 xdx
J
J (tgx+l ) 2
3 VÍ3
1 ,In ,I------- 2---- ^3 | +, c = - =1 r l,n ,2
tg jr+ 3 -v /Í3 .
| — 2 -------- -i— l+c
VÍ3
-7Í3
VÍ3
2tgx+3+-v/3
t g x + 3- + —
&
v
2
2
©
dx
fJ sen"
e x- - 5senx. cosx
Solución
Multiplicando numerador y denominador por sec 2 x
f _ ___ dx
—______ = r r
J sen2 x-5senxcos.\
sec1 xdx
J sec2 .v(sen2 ,v-5senxcos.v)
196
Eduardo Espinoza Ramos
r
sec2 xdx
1,
, tg x -5 ,
= I -------- r -------- = 7 l n l — -------------- l + c
"«2»
4
m
m..........i'............
m m m■11T ,1111111
m .1Éh
m I II eII I l im
m m
11 ..............Ti II ..
l i i ÉéVé-.V. iViYi .1 I I I l i l i'.
Calcular las integrales indefinidas siguientes:
©
®
W
®
©
^
/Q“N
r
dx
í --------—------J 4senx+3cosx
f ---- —---i 3 + 5cosx
2
3 tg --9
Rpta. ——In | -----2------ 1+c
5
* ,,
Y
tg(-) + 2
Rpta. —ln |— ?------- l+c
4
,x
tg( - ) ~ 2
í ------—-----Jsen x + cosx
j
t g Á - 1 +V 2
Rpta. - ] = ln |— ------------ l+c
^2
tg (^ )-l~ v / 2
r 2 -se n x ,
---------- dx
J 2 + eos x
_ , ,
, 4
, 1
Rpta. ln 12 + eos x | + —¡=arctg(-¡= tg(—))+ c
-J3
v3
2
j
J --------—h-----J <zcosx + ¿>senjc
,
x + arctg(—)
Rpta- ~r= = f ln |tg (------- — — )\+c
+b
^
ff/x------r ---- _«x
J 1+ senx-cosjc
lS (j)
Rpta> ln (----2_ )+c
.l + tg(-)
.X.
197
in te g r a l I n d e fin id a
2
5 ts £ > + 4
Rpta. jarclg(----- 1----- )+ c
dx
S+4senx
©
SCR x
4
2 tg A -l
Rpta. -x+^=arctg(—
---- )+c
dx
If?
2 -sen*
J
©
J cosx+2senx+3
§>
dr
i i8-4senx+7cosx
i
5
^
)
flz î^ L *
J 1+senx
Rpta. arctgfl + tg(—» +c
tg(—)-S
Rpta. In|—I-----|+c
W f» -J
-ln|l+seox|+c
«§>♦1
Rpa.
---- 1 «
5
Rpta. ^/21n| t-e- - ^ |+c
tgx-V 2
3cos2x+l
cosx dx
l+2cosx
f ------------------ *
2
Rpta.
4senx-3cosx
©
« f>
l l UCt* ~ W i+C
dr
(2+cosxX3+cosx)
Rpta. - + — ln |----------i - |+ c
2
6
Æ + ig ( j)
------------------
J 2senx + 2cosx+3
Rpta. 2arctg(2 + lg(y))+c
198
Eduardo Espinoza Ramos
©
dx
1 + sen x + eos x
©
dx
3cosx + senx+l
©
Rpta. ln 11 + tg(—) | +c
!
tgC—>+1
Rpta. —ln | — -----|+c
3
dx
a 2 +b2 - 2abcosx
^
2
q +b x _
Rpta. — ----- 7 arctg[—— tg(-)] + c
a1 - b '
2-6
2
dx
Rpta. ^ ln |l- 5 c tg x |+ c
sen" x-5senx.cosx
cosx dx
sen2 x - 6 senx + 5
w f)-l
_ A 1. . sen x -5 .
Rpta. —ln | ---------- l+c
4
senx + 1
©
dx
eos2 x + 2 senx c o s t + 2 sen2 x
Rpta. arctg(senx + l) + c
©
dx
sen2 x + 3senxcosx-cos 2 x
1
2tgx + 3--y/n
Rpta. —= l n -------------- +£
VÍ3
2 tgx + 3 + -\/Í3
sen 2 x dx
sen4 x + cos4 x
Rpta. arctg(2 sen ' x -1 )+c
dx
tg 2 x+sen 2 x
Rpta. - —[ c tg x + —j= arctg(—= r ) ] + c*
2
V2
v2
1 + tgx
1 - tg x
dx
Rpta. - ln | co sx -se n x |+ t
dx
sen x sen 2 x
Rpta. ^ ln | tgx + secx |--^co secx + c
dx
(senx + cosx)
R p t a .----- — + c
l + tgx
199
Integral Indefinida
©
dx
(tgx + l)sen" x
Rpta. ln| l + c tg x |- c tg x + c
dx
1 -sen x
Rpta.
25
25
tgx + 2 | +
dx
tgx. eos 2 x
senx dx
cosx(l + eos~ x)
dx
(senx+ 2 see x)2
©
2^2
arctg(-v/2 tgx) + c
dx
4 + tg x +4c tg x
Rpta.
©
+
2
dx
a 2 sen 2 x + ¿>2 eos2 jc
2
- ^ l n |c o s x |+ c
5 (tgx + 2) 25
_
c.senx
Rpta. In I .
—|+ r
Veos 2 x
Rpta. y l n |l + sec2 x |+ c
_
cos2x-I5
4
. 4sen2x
Rpta. ------------------+ — = arcse n (------------) + c
15(4 + sen2x) 15V15
4+sen2x
1
,<ZtgXv
Rpta. — arctg(—— ) + r
06
b
_
dx
4senx+3cosx + 5
Rpta.
secx dx
2 tg x + s e c x -l
i | -----tg(f —
} |+c
Rpta. —ln
2
tg( | ) + 2
©
dx
3 + 5 sen x + 3 eos x
Rpta. —ln 15 tg(—) + 3|+ c
5
2
@
dx
1 7 , 1 1
a~ sen~ x - ¿ r eos- x
_ ,
1 , , asenx-fceosx ,
Rpta. — ln | -------------------l+c
ab asenx + fccosx
©
1
+c
tg(f) + 2
200
Eduardo Espinoza Ramos
dx
í eos x(cos2 x + 4 sen x - 5)
Rpta. ln |(l-s e n x )1/2(l + senx)_1/R(2 -senjc)-4/v |+c
C t g X . C O S X + C t g X + l + COSX
------------------------------------------dx
í f t g j c + í t g j r . c o s j r + c o s e c jr + t t g j f
©
í
sen x. eos 2 x dx
Rpta. -
1+a2 eos2 x
(l-úreosx)dx
_
^1 , 1 ,X
22
cosx
1
a
a
arctg(aeosx) + c
^
x
A +a x x
Rpta. —+ arctg(----- tg - ) + c
2
l —a 2
í l - 2 acosx + úr
(2 + 3 eos x)dx
j eos x(\ + 4 eos x)
,
Rpta. ln |tg -(-)|+ J C -tg -+ í-
Rpta. 21n|secx + tg x [- 1 / ^ l n| ^ £ —
V3
f 2 senx-cosx
dx
3 3 sen 2 x + 4cos 2 x
_
.
| +c
2
c o sa
1
2 + senx
V3
V3
4
2 -sen x
RPta- — 7
= arctg(—7=-) - —1n | —
----------|+c
(senx + cosx)dx
I 2sen 2 x -4 sen x co sx + 5cos2 x
~ * 3
1
^ 6 + 2senx + co sx ,
Rpta. —aretg(sen x - 2 eos x) + -----¡=ln | —= -------------------1+c
5
10V6
v 6 - 2 senx-cosx
sen2 x-4senxcosx+ 3cos 2 x
¿/x
í
senx + eosx
Rpta. - sen x +3 eos x + 2^2 1n | tg(y + —) | +c
r sen x + 2 eosx- 3 ^
J s e n x - 2 cosx + 3
3r 4
6
5 tg(y) + i
Rpta. —— ln |se n x -2 c o sx + 3 1 -—arctg(----- -----) +c
201
Integral Indefinida
(2 sen x + cosx)dx
í 3senx + 4 co sx -2
2
j
4
-s/7+ V 3(2tg(|)-l)
Rpta. —jr— ln|3senjc + 4cosjc-2| + —¡= ln |--------------------------|+cr
5
s0
54)
^
~
^
5
fse n ^ rf,
J 1 - tg x
f----- ©
/g v
^
V 7-V 4( 2 , g f - l ,
^
J 2 senx + 3 cosjc
f-------------------, * ---- --
J (tgx + l)sen~x
J 3sen_ jc + 5cos‘ x
©
f
J^ se cx + tgjr
f , dx
■
Jsen'2x.cos 2x
/C7\
©
f —cos
C^S2 jc í£r■
—
fc o sx -se n x ,/T^\f eosecxdx
(61) [ S ^ L/T7^\ l dx
(62) f
J sen x + cos x
ff cosjc
cosx++senx
senx ^.
J cos27T-sen2x
rsen S j + s e n ^
J 1 + 2 cos 2 jc
■* 5 + 2senx
/T
@7N rf
d*
J 13-5cosx
-J 3 + 4 t g x
14,1* INTEGRALES DE ALG UNAS FUNCIONES IKRÁdONAUÉS^
Las integrales de las funciones elementales que no son racionales, representa gran
dificultad en calcularlas, incluso cuando una función elemental que es la integral de
una función dada, realmente existe. En esta sección trataremos de ver criterios para
algunas integrales Irracionales.
ler. Integrales de la forma.
El calculo de estas integrales se realiza completando cuadrados en el trinomio
ax2 + bx + c , es decir:
7 ,
, ? b
c.
. i b
b2 v
b2
,
b ^ 4a c - b 2
ax~ +bx +c = a(x~ + —x +—) =a(x~ +—x +— - ) + c ----- =a(x + — )“ + ----------a
a
a
4a~
4a
2a
4a
(Ax+B)dx
r (Ax+ti)dx
fc
J Vax2 +bx +c_ _ J
r
(Ax+B)dx
¡~ b ~ 2 A a c -b 2
,o<í+^ ) + - ^
202
Eduardo Espinoza Ramos
Luego se hace la sustitución
z = x +—
la
y se aplica las formulas básicas de
integración.
Ejemplo.
(jc + 2 )dx
Calcular la integral í ■• x + ~
J V4-2X-JC 2
Solución
Completando cuadrados se tiene: 4 - 2 x - x 2 —5 —( jc2 + 2x + l) = 5 - ( r + l ) 2
r
(x +2 )dx
-n/4-2jc-jc 2
sea z = x + l
r
(x+2)dx
^ ^ - ( j c + I )2
=> x = z —l =>
dx = dz
ahora sustituyendo en la ecuación ( 1)
r
(x + 2)dx
^ 4 -2 x -x 2
_ r ( z - \ + 2)dz _ r ( z + \)dz
'
> /5-2 2
' ^ 5- r 2
r zdz
r
dz
' ^5- r 2
^5- ; 2
= --^ 5 -r 2 + arcsen(-^)+ c = - ^ 4 - 2 x - x 2 + arcsen(^^i-) + c
a/5
-y/5
2do. Integrales de la forma.
donde a,b.c,d son constantes y n es un número natural y además ad - be ^ 0 .
Para calcular estas integrales se debe transformar en integrales de funciones racionales
en z, mediante la sustitución.
tfjc + £ ,
,
b-dzn .
- =»
; despejando x se tiene x = --------- ae donde
'rx + rf
Ejemplo.
Calcular la sitmiente integral.
í * -—
J Vl + v x
, nzn l (ad-hc)
ax = ------—------— ¿fr
cz” - a {cz” - a ) 1
Integral Indefinida
203
Solución
De acuerdo al criterio establecido: c 3 = -—— de donde al despejar x se tiene:
1+ jr
x=
1- r 3
.
6 z2dz
dx =----- . Ahora reemplazando en la integral dada:
n + -- 33)
(1
I+r 3
J l- x dx _ f
1+ r 3
- t z 2dz
f
z 3dz
Ifl + a r'x J = l —z 3 (1 + r 3) 2
_ ,f
z 3dz
J (l-_ -3)(l + _-3)■*( r 3
,t. A
B Cz + D
Ez + F
= 6 [----- + ------- + —-------+—----------1dz
J - - 1 2 + 1 z~ + z +l r ~ - r + ]
- í [ — +— ---------------------^ - ] d z
6 l z - l z + 1 - 2 +z + l r - r + 1
= [ln |r —l|+ ln |z + l | - y l n | ^ 2 + r + l | ——l n |z 2 - z + l| —
jL
2
- a/3 arctgí-^W-) + -v/3 a rc tg í^ ^ -) + c
V3
V3
1
R
= ln |z 2 - l | - - l n | ( r 2 + r + l)(r 2 - r + l)| —\/3arctg(— -----) + c
2
2 r~ + 1
3ro. Integrales de la forma:
donde a, b, c, d son constantes y además ad —be * 0 ;
..,/>* %
son números enteros, siendo R una función racional.
Para calcular estas integrales, se debe de transformar en unaintegral de una función
racional en z, mediante la sustitución r" = °X + ^ , donde n es el mínimo común
ac+d
múltiplo de los números ^ , q2
.
—l)(r 3 + 1)
Eduardo Espinoza Ramos
204
Ejemplo.
Calcular la integral indefinida, f *
J
}lj\+x
h Mv
Solución
«.2 _ 3
entonces x = r 6 - l
Sea z 6 ~ 1+ x =>
=> dx = 6z*dz
+X
J
f—-- % — 6z*dz = 6J [ z \ z u - 2 z 6 +l +z 3)dz
3/ l + X
J
«16
„10
J
_4
ó j (r 15 —2 r 9 + r 6 + r 3 )dz = 6 [r----- — + ji _ + ^ _ | + í.
16
5
7
4
4r -*” "ft - 3 11
, 3/T
•) (.V+ l )2 1+ JC -\jl + X 1
6z [— ----- + — +—1+c =6¿J(x +l)~ (------- ---------- + --------+ —)+c
10 5
7
4J
16
5
7
4
4to. Integrales de la forma:
•
M x)dx
í ■yjafí + fa + c
donde Pn (x) es un polinomio de grado n. Para calcular estas integrales, a la integral
expresaremos en la forma:
í
Pn M dx = =
4ax~ -f ¿x + c
(x yJaxl +bx + C + Aj — dx
ax + fcr + c
donde
(x) es un polinomio de grado n —11 con coeficientes indeterminados y X
es un número real.
Los coeficientes de Qn l (x) y el número X se encuentran derivando la ecuación (1).
Í —j= x “dx
------—
Vx2 -X + l
Solución
A la integral dada expresaremos en la forma:
Integral Indefinida
205
f
.p ~ T 7 T ,.,f
*
J ,/**-*+ 1
+i
...d i
'
ahora derivando la ecuación ( 1) se tiene:
-\/jc2 -JC +
2 -s/jt2 -Jc + 1
-\/x2 - x + 1
multiplicando a esta ecuación por -\/jr2 -jc + 1
2x 2 = 2A(x2 - x +l) +(Ax+B)(2x-l) +2A , agrupando
2x 2 =4Ax2 +(2B-3A)x + 2A +2 A - B
luego por identidad de polinomios se tiene:
4/4 = 2
resolviendo el sistema se tiene; /4 = —, B = —, A =
25-3/4 = 0
2
4
8
2/4 + 2 A -fi = 0
reemplazando estos valores en ( 1 ) se tiene:
f
V jc2 - jc+ 1
2
. 3 ,.0 — ~
I r *
4
8
—jc +1
2jc+ 3 r~>
V*“ —x + 71 —1 f - 7= - •
(*— ) " + 2
4
=
+ ^*>jx2 -jc + 1- - ln |2 j r - l + 2‘\/jc2 -jc + 1 |+c
4
8
5to. Integrales de la forma:
Para calcular estas integrales se debe de transformar en integrales de la forma del 4to.
Caso valiéndose de la sustitución / = —-— =>
X-CL
x-a =t
206
Eduardo Espinoza Ramos
Ejemplo.- Calcular la integral indefinida: í ------------------ ——-= = = ■=
(jc3 +3x2 +3x + \)'yx2 + 2 x -3
Solución
A la integral dada expresaremos así:
r_______ dx
r____ fx
J (x3 +3x2 +3.V + W-V2 + 2 x -3
J (jc + l) 3 -y/(x+l) 2 - 4
... o )
sea / = —?— => * + ] = - => rf* = - 4 r reemplazando en la ecuación ( 1 ) se tiene:
jc + 1
f
/di
dx
<2
i
3
r
’
- _ i r t 2dt.
U l-4 t2
•** (2 )
t3 \
*> ,
calculamos la integral í / L aplicando el caso antenor
3 V l- 4 /2
f
J
r r f * = (At + B ^ - 4 t 2 +*.{ A 1
J V i- * 2
. ,
,,v .
derivando la ecuación (3) se tiene:
...(3 )
t2
. r—7— 4t(At + B)
A
------- = A-\Jl - 4t ~ ---- . .
+ .-------V i-4 r
V l-4 r
VI- 4 f
multiplicando a esta ecuación por V i- 4 / 2
t 2 = A ( \ - r ) - 4 t ( A t + B) + A, agrupando t 2 =-%At2 - 4 B t + A + k , poridentidad
-
8/1
=
1
-4 5 = 0
A+X =0
resolviendo el sistema se tiene: A - — , B = 0, A = —
8
8
Integral Indefinida
207
reemplazando estos valores en (3) se tiene:
í ———— = - —V i- 4 í 2 + —í — —— = - —Vi - 4 / 2 +— arcsen(2/)
JV ^
8
8
16
... Í4)
ahora reemplazando (4) en (2) se tiene:
f -----------------—— - —V i- 4 í 2 ——arcsen(2/) + c
J (x3 +3x2 +3x + \)-Jx2 + 2 x -3 8
16
V* 2 +2.V-3 1
, 2 v
= ----------- ----------arcsen(------) + c
8 (jc + 1)
16
Jf + r
(a)
6to. Integrales de la forma.
donde m, n y p son números racionales.
Para calcular estas integrales se aplica las condiciones de “CHEBICHEV” y mediante
este criterio a la integral de la ecuación (a) se puede expresar como una combinación
finita de funciones elementales solamente en los tres casos siguientes:
i)
n)
Cuando P es un número entero.
_
, w+1
,
,
Cuando ------, es un numero entero, en este caso se hace la sustitución
n
z s =a + bx" , donde s es el divisor de la fracción P.
ii¡) Cuando m + ^+ P , es un número entero, en este caso se hace la sustitución
n
z s =ax ” + 6 , donde s es el divisor de la fracción P.
Ejemplo:
Calcular la integral indefinida: j V ( l + 2 jr)~ 3/2dx
Solución
Aplicando el criterio de CHEBICHEV.
208
Eduardo Espinoza Ramos
m +1 3 + 1 _
--------------- 2 es un numero entero, entonces
n
2
Sea z 2 =1 + 2jc2 => x 2 = ——- ,
xdx-^^-
J jc 3 (1 + 2 jc 2 ) 3 2dx = J x 2(\ +2x2) i/2x dx = J - ----- (z2)
2
l , r 2+l,
l . l+x2 .
4
2 v ü
= - ( -------)+C=—( ■<
z
2
)+c
Ix2
1
Ejemplo.
dx
Calcular la integral indefinida: í ------- p
+ ^ 3
Solución
A la integral dada escribiremos así:
f -------^ = = f x - 3/2( i+x 3/4y V3dx
1+tyc 3
ahora aplicando el criterio de CHEBICHEV
3 .
wí + I
2 +
2
------ = —=:— = — no es numero entero
n
3
3
m+ 1 „ 2 1
,
------ + P = ---------= -1 es un numero entero
n
3 3
Luego r 3 = .v 3' 4 + 1 => x 3/4 = — —
Z3- l
...O )
209
Integral Indefinida
*=
3 1 4/3
=>
dx = - 4 x 2\ z i - \ ) l n dz
...( 2)
reemplazando (2 ) en ( 1 ) se tiene:
= - 4 j z d z = - 2 z 2 +c =-2lj(x
7mo. Integrales de la forma.
+ 1) +c
fjj
donde a, b, c son números reales
La función R { x ^ a x 2 +bx+c) se denomina irracionalidad cuadrática.
Cuando
el
trinomio
ax2 +bx+c
tiene
raíces
xx ,jc2
entonces
ax2 +bx + c = a(x - xx) ( x - x 2) en este caso se hace la sustitución.
^ a x 2 + foc+c =f(jc-jr1)
ahora elevando al cuadrado se tiene:
a ( x - x 2) = r ( x - x l ) de donde
Al momento de hacer las sustituciones se tiene la integral de una función racional.
Cuando el trinomio ax2 +bx+c no tiene raíces reales y a > 0 la integral se
transforma de una función racional haciendo la sustitución de Euler.
210
Eduardo Espinoza Ramos
Luego se tiene:
4ax2 +bx+c = t - x^o = t -----1—¡=-— ^[a
2í 4 ü +b
por lo tanto se tiene una función racional de t
J R(x,4ax2 +bx +c ) d x - j Rx(t)dt
Observación.-
Ejemplo.
S ia < 0 y c > 0 (ax2 + bx + c > 0) se puede hacer la sustitución.
Calcular la integral indefinida: í -----l + *Vl + * 2
Solución
Sea 4 ¡ + x 2 = / + x , de donde al elevar al cuadrado se tiene
1 + x2 - t 2 + 2 /x + jc2 = >
Luego ^/l + X
2
Como x =— —
f
dx
J 1+ W Ü ] 7
. _ \ - r2
= / + -
2/
\-t2
x—
2/
r.2 + 1
2r
=> dx = — y ~T~d t , Ahora reemplazando en la integral dada:
r -(/2+l)rf/
1
J . I - / 2 1+ í 2 2 r
1+
2/
2/
Factorizando el denominador se tiene:
r (r+ l)¿*
U t 2+ l-t4
r (r+l)rff
J t 4 - A t 2 -1
Integral Indefinida
211
+D 1 ,
= *fr- JAt
ü l+lB Ct
+ —--------- —]<*
J / 2 - 2 - ^5
t 2-2+ 42'
Ahora calculamos los valores de A,B,C y D.
t 2 +1
I a - 4 r -1
/i/+ 5
f-2 -J s
C/+D _(At+B)(t2-2+4S)+(Ct+D)(t2- 2 s f 5 )
t 2- 2 + S
(t2 - 2 —j5)(/2 -2+-fe)
/ 2 +1 - ^ ( / 3 - 2 t + S t ) + B ( t 2 - 2 + ^ 5 ) + C( / 3 - 2 t —Jlt) + D{t2 - 2 —y/5)
/ 2 +l = (/4 + C)í 3 +Dt2 +((-2 +s¡5)A-(2+-45)C)t +(-y¡5-2)B-(2+j5)D
A =0
A +C = 0
£ + Z) = l
(-2 +4 5 )A —(2 +-y¡5)C = 0
(-Js -2 )b - (2 + 4 5 )D = l
3 + ^5
2^5
C=0
Z> =
...( 2)
■J5-3
2^5
dx
_ ^ 3 +'Js f
<*
-y/5-3 f
dt
J 5 + " 2^5
W r J ? ^ 2 7 V s'
^-\/5 J r 2 - 2 -->/5
i r + xVl + x 2
„ 3 + ^5
1
, . í - 2 - ^ 5 . V 5 -3
1
. ,
/
= 2 [--- = - . -7-- ----- ln ----------= + ---- = - . .
arctg(—= = = ) ] + c
2^5 V 2W 5
/+ 2 W T
2^/5 ^ / 5 - 2
% /V f ^ 2
3 +4$
-\/l+x 2 - x —j2 +-<j5
“ Vs,¿2+,/5
Vl+ x 2 - x W 2 + ^
Ejemplo:
Calcular la integral indefinida:
- J s - 3 y l + x 2- x
+
ar° 8
V V 5-2
--\/x
+3x
fx—
vx 2 +
3x + 2
----- y - .... — dx
X+ vX^ + 3x +
Solución
Como el trinomio x 2 +3x + 2= (x+ l)(x + 2) entonces se hace la sustitución:
212
Eduardo Espinoza Ramos
Vx 2 + 3x + 2 = -n/ ( x + 1)(x + 2) = /(x + l)
n/(x + l)(x + 2 ) = t(x + 1) => x + 2 = / 2 (x + 1) de donde
2 -/2
- 2/
x = —---- => dx = —i----- d t , ahora reemplazando en la integral dada.
r-l
( r - 1)2
2-r
t
f2 - l
/
/2- l
x + V* 2 +3x +2
(í - 1)
donde -y/ * 2 +3x + 2 = /( 2, - + 1) = —^—
f2 - l
í 2- l
= "2J — — T - tdl-v =“ 2 [- 7———•—7 - —j d t
3 2 +t - f (í2- l ) 2
J f - t - 2 (/2- l) 2
r
/(r
t(t +
+ 22)dt
)gí
^ _r r
(t2
( r +2t)dt
+.
J ( /—2 )(/—1)(/+ 1) 3
J ( / - 2 )(/-)(/+ l ) 2
^ t A B C
£>
£ %J
= - 2 | ( ----- + ----- + ----- + ------- - + --------)<#
J í —2 / - I t + 1 (/ + 1)2 (/ + l) 3
. . . ( 1)
ahora calculamos las constantes A, B, C, D y E.
t 2 +2t
( /—2 ^(r—!)(/ + 1)3
A
B
C
D
E
■+ ---- + ----- + ------- —+■
t —2 / - I í +1 (/ + i ) 2 (/ + i ) 3
t 2 + 2t = A(t - l)(í +1)} +B((- 2)(/ + 1) 3 + C(t -2)(¿ -1)(( + 1)2 +
+D(t-2)(t-l)(í +l) + E(/ + 2)(r -1)
t 2 +2t = A(t4 +2í3 - 2 t - \ ) +B(t4 +t 3 - 3 t 2 - 5 t - 2 ) +C(t4 - t 3 - 3 t 2 + t + 2) +
+D(t3 - 2 í 2 - t + 2) + E(t2 -31+2)
Integral Indefinida
213
r +2 t = (A + B +C)tA +(2 A + B - C + D ) ' +( - 3 B - 3 C - 3 D + E ) r +
+(A - 5B +C - D - 3£)í - A - 2B + 2C + 2D + 2E
A + B + C =O
2A + B - C +D = ü
C=
- 2 A - 3 B - 3 C —2D + E = 1
A - 5 B +C - D - 3 E = 2
- A - 2 B +2C +2D +2E = 1
17
216
_5_
36
...( 2)
6
reemplazando (2 ) en ( 1 ) se tiene:
:-V a 2 +3x + 2
í
_ f
16
: + 4 7 + 3 x +2 X J 27(/-2)
34
8 (/ -1) ' 46{/ + l)
6
10
36(/+l)2
6 (/ + l) 3
]<*+c
=— l n | / - 2 | - - l n | / - l | + — ln| / + l | + ---- ----+ ----- ^ r + c
27 1
4
108
18(r+ 1) 6 (r + l)
donde t -
4 x 2 +3x + 2
14 1
8vo. Integrales de la forma:
Para calcular estas integrales se debe de transformar en integrales de la forma del
7mo. Caso, mediante la sustitución / 2 = ax + b .
Ejemplo.- Calcular la integral indefinida: í ----- r ^ x ----- =
J l+'yJX + V1 + X
Solución
214
Eduardo Espinoza Ramos
Sea z 2 ~ x => dx = 2 zdz
f
r d X t— ‘ 2 ¡ — £ *
J 1+ v x + v l + x
J l +z +v l +z 2
. . . ( 1)
aplicando el criterio del 7mo. caso se tiene: V l + - 2 =z+t => 1 + r 2 = z 2 +2zt +t 2
* *>
j
de donde z = -----2t
=>
^ «
+1 Jdt
dz =-------—
2i2
r,---- 7
1- r
t2 + 1
Vl + r - - z + í - ------+ / = -------21
21
ahora reemplazando en (1 ) se tiene:
t2 + 1 l - / 2
1-t*
f
J * r— °2 f
2,V ?
r f» =-2f ------rff = _ f _ L l í l _ rf,
•» 1 +Vx +Vl + x
, 1- / ' í '+ l
3 2t +l-t~ +t~ +1
■* t~ (2/ + 2)
1+---- +
2/
2/
2t
, 1 f 4 ^ L rf, = 1
2 J / (/+!)
2J
= L ¡ ! l z í ± L ± dí
,2
2J
/2
=|j(/-l+ y-^-)rf/ = y [y - / +lní+y] + C
Como r 2 =jc
'yjl + z 2 =z +t
...(2)
z =4 x
=> / = ^ l - z 2 —z ~'Jl + x —Jjc
que al reemplazar en (2 ) se tiene:
i
h + ^ + ^ lü ^
2
2
*
i
215
Integral Indefinida
Cuando en una integral /„ que depende de un número entero n, es posible hallar una
fórmula en términos de otra integral de la misma forma en donde el número entero
aparece aumentado o disminuido, a dichas expresiones se denominan formulas de
reducción o de recurrencia o recursivas.
Ejemplo.-
®
Deducir las formulas de reducción de las siguientes integrales.
r
r
dx
1 .
x
2 « —3
h = —;---- ;— = —(------------- i--- ;— r ) + ------------ t K - i . n * 1
J (jc- + a ' ) n o (2n-2)(x~ + a~)n
(2n-2)a~
Solución
c
dx
1
ex +a~-x~ ,
" " J ( x 2 + fl2 r _ fl2 J (x2 +a2)n
1
f
1 ,r
~ a 2 J {x2 +a2)"
dx______ 1_ f
~ a 2 J ( x 2 +a2)n l
x~+a
x 2dx
a 2 J { x 2 + a2)n
,
r
x dx
,
i ( x 2 +a-)n
• (I)
x 2dx
calculando la integral Jf —
—
por partes
/.. . ~~ \ n
(x'+a*)'
du = dx
u =x
haciendo
r
dv
x dx
r(x ¿ +a ¿)\ t
x 2dx
(x2 + a2)n
-1
2(n-\)(x2 + a 2)
1
(2n-2)(x2 +a2)"~}
reemplazando (2 ) en ( 1) se tiene:
r
dx
2)n l
2 n^ -22ii(( x 2 +a 2)
... (2)
Eduardo Espinoza Ramos
216
x
(2n-2)(x 2 +. a 2 )^n-1
, 1
a2
,r
dx
, 2 , 2 >n 1
a2 (2 n -^7-*J
2 ) J (x +a )
1
2 » -3 ,
+ —----------¡n-\
a 2(2n-2)(x2 +a2)"-' a 2{2n-2)
©
f
„ .
senn l jccosx « - I r
„-•> ,
l n = I sen xdx = ----------------------------------------- + - sen - xdx
J
n
n J
Solución
1„ = Jsen ” xdx = Jsen " 1 xsenxdx
u = sen" 1 x
dv = sen .vdx
da = ( n - 1) sen" 2 x eos xdx
v = - eos x
I„ = j*sen” xdx = -sen" 1 xcosx + (n -l)Jse n ” 2 xeos2 xdx
= -se n ”~' xcosx + ( n - l) J sen" 2 x(l - sen 2 x)dx
-sen" 1 x eos x + (w -l)Jsen” 2 x íit-(//-l)J s e n " xdx
= (1 + (/;-l))Jse n ” xdx = -sen" 1 x eosx + (n -l)Jsen " 2 xdx
r„ = Jsen" xdx
@
sen” 1 j c c o s x
n
n - 1 f
— sen «-*>
* xdx
n J
I n ~ j x ne *dx = - x ne * + nl„_{
Solución
Integral indefinida
r„ = j*x tle Xdx
21 7
integrando por partes haciendo:
u =A
du = nxit]dx
dv = e 'dx
v - -e
/„ = J x " e rdx = —xue r + nJ xn ye Xdx = —xne x + nItrA
©
senm x cos" xdx =
Jsc
sen r1 x cos a " 1 x
ni + h
/# — 1
m
n 2 xdx
j
- j »sen rcos
m + HJ
donde m y n son números enteros tales que m + n * 0
Solución
u = cos" 1 X
dv = sen "1 x cos r dx
du = - ( n - l)cos" 2 x sen xdx
sen1”"1 x
v = ---------m+ 1
m
» , senw 1 xcos" 1 x /i —1 r
sen xcos x d x - -------------------- + ------ I sen
î
m +1
m+ lJ
xcos
,
xdx
sen”1 1 x:cos"
cos" 1] x #i-l
n- 1 f
m „
? _ „_7 ,
---------- + ------ I sen x(l~cos“ x)cos " xdx
w + lJ
m+1
f
isen"HlxcorfH x n -l
n- 1
sen” xco^xdx=+——- I sen"' xcos” 2 xdx- "
I sen"' xcos" xdx
m+1
w+1i
TO+1
w 1 f
m
n , sen
x cos
x /7 1 r
m?,
(1 + ------) sen xcos x d x - ---------------------+ ------ sen xcos 'x d x
w+ 1 J
m +1
m+ W
m
n
.
s e n xcos "“1 X #1—1 f
m
„-7 ,
sen xcos x d x - -------------------- + ------- I sen xcos * xdx
J
m +n
w + z/J
f
218
Eduardo Espinoza Ramos
1.6.18 EJERCICIOS PROPUESTOS.Calcular las siguientes integrales.
dx
©
+x
Rpta. 2arcign/í +x +£'
©
VT+x +1
dx
VÍ + x - 1
Rpta. x + 4n/1 +x +41n(Vl + x - l ) - n
©
Ifxdx
x(~Jx + Ifx)
Rpta. ln | — ----- [+<■
Í ^ + D'
©
{x +1 )dx
dx-2
Rpta. 2^Jx- 2 -r V2 arctg(Y^ )+c
4 x dx
s 5/6
o 2/3
Rpta. x h——
^— +- ^ — + 2-Jx +3^[x +(&¡x +61n|^/jc - 1 1+c
©
4~x-^Tx
©
dx
tfx(ljx - 1)
Rpta. 3 V r+ 3 1 n |V * -l|+ t
©
dx
^ + 4 /7
Rpta. 2-\¡x —4$Jx +41n| 1+ ^/x | +í-
-Jx dx
©
Rpta.
+ 2ltfx* +21n|^(v^ —l|+ c
dx
-j3x - 2 - i J l x - 2
©
Rpta. ^ (3 .r-2 )t,i + —(3 x -2 )1 4 + —In 1(3jc-4 ) 1' 4 - l |+ c
3
3
3
r
dx
Rpta. 2 4 x -3 \fx + (£ fx-6 \n ftjx + l) + c
219
Integral Indefinida
©
e 2xdx
Rpta. — (3ex - 4)-^(ex +1)5 + c
1-V 3I+ 2
Rpta. -x+y(->/3x+2-ln(l+->/3x+2))+c
dr
1 +"\¡3x+ 2
@
Vx+T+Vx+T
@
^2+-Jx dx
©
1—s/x+1
dx
1+3/x+T
Rpta. 2 V ^ - 4 V j ^ + 4 1 n |l+ ^ /Í T x |+ c
Rpta. — (2+-\/x)(3x + 2-\/x -8 )+ c
Rpta. 6r-3f2 - 2 / 3
©
©
©
©
2
(2+x)dx
Rpta. arcsen(—p - ) - y 4 - 2 x - x 2 +c
■v5
V 4 -2 x -x 2
x 5dt
8+4x2 - 3 x 4
Rpta. —
— J l-x * +c
15
VT
(x2 +l)dx
Rpta. - £ Ü V 8 + 2 x - x2 + arcsen(— ) + c
2
-^3+2x-x2
^ 8 + 2 x -x 2
x^9-:
19
Rpta. — arcsen—
* +2-\/9-x2 +c
2
2
2
dx
V9 -X 2
©
x3 -6 x 2 + llx -6
Vx2 +4x + 13
2
n a
a*+3 rz “
r 11
l
R p ta .-V8 + 2jc- jc + — arcsen(--------------)+ c
2
2
3
x dx
jc -2 x + 5
+ —/ 5 - —/7 +31n(l+/2)-6arctg/+ c donde f= fy x+ l
5
7
dx
220
Eduardo Espinoza Ramos
Rpta. ( - ---- ^^- +37)4x2 +4x + 3 -661n| jt + 2*\/jt2 +4x + 3 | +c
2
©
W
Í (2X - W<fa
J Vx2 -2 x + 5
©
J
R p » . W * 2 -2 x + 5 - 5 1 n |x - l+ V * 2 -2 x + 5 |+ c
3*3rfr
-\/x2 + 4x + 5
Rpta. (x 2 —5jch-20)-\/jc2 + 4x+5 —151n|x+2+-\/x2 + 4x+5 |+c
r (3x 5x)dx
^3-2x-x2
©
J
Rpta. - ——— - j 3 - 2 x - x 2 +14arcsen(^ -!-)+c
2
2
(jc3 —x+l)dx
4x2 +2x +2
Rpta. ( - — — + —y ¡ x 2 + 2x+2 + —ln| x + l + V* 2 + 2x + 2 |+c
F
3
6 6
2
26)
f 3* ~ 8” 5
3 V* 2 - 4 x - 7
Rpta. (x 2 + 5 x + 2 0 ) V ^ I 7 + i i 2 l „ U - 2 + V ^ ^ l + c
27)í — ,
^X . =
xs¡3x2 +2x—l
Rpta. -arcsen(-——)+c
2x
■
(28)
f ---------
W
J (x-l)V *Z- 2 x - 3
■■ - ■—
Rpta. — arcsen(---- )+c
2
Integral Indefinida
221
3dx
— —-_.rJ x ^ x 2-9
_
1
,2*
Rpta. —G/rsec(— )+ c
(3l)
W
f ---- f *
Rpta. ——
J x 4 ^/Í6 ^
+16+c
@
W
f -----p ---- Rpta. 1X ^ l 4 x 2 -1 +tJ *4- ¿ r^ T
2
3
96x
3x 3
( x - r f - J x 2 +3x+1
3 x -5
I 2 I 7 11 i (jc + 1)a/5 +-\/x2 +3x+1
Rpta. ---------- r V* + 3 x + l----- p^ln|------ ---------------------- +c
20(x-l)
4V5
x -1
®
J- f T T I t
R iK - - 2^
f
n t
1 1 / W +H+ 1 .
1
. / 2 m+ 1 . ,
Rpta. —ln(--------- —) — prarctg(—p —)+ c
á
—¡ = =
JViTI7
6
’/4 + " ! «
(“ "I)
V3
-s/3
donde u =
®
r
dx
„
11
3/l + x 4 +x
1
r3/l+ x 4 ,
222
Eduardo Espinoza Ramos
n »
M
1, .
M-1-1
,
1
. , 2 W- 1
----- 1----- ¡= arctg(—¡=-)+c
Rpta. ---- --------- lnl ,
2(u + 1) 6
^ 2 _ H+1
2 -v/J
a/3
dx
X
1 [J+ x\¡
Vi
* "• j f —
\J+X
í£r
x6(6 5 -x 6)1/6
■ 1 7 ^9
I
1 [l+ x \¡
>1 - w f —
1 |l+ x 4
> -W —
+‘
1------------------ ,6 5 -X 2 s/6
R p ta .------ (----- — )
325
r
Rpta. —ln x ——ln | Vx2 +9 + 3 1---- —
6
6
2x2
dx
+c
Rpta. 6« + 2 ln | . = 1 - 1-2 arctg(-^jÜ)+c
V« 2 +M+ 1
V3
S)
donde u = (1 +^[x)i i
í
dx
V l+x 3
1
2 -\/l+x + x 4 1 , .
(l+ x 3)1,3+x
R p ta .----------- + -parctg(------ P ------ - - l n ------ t-jtt---------- t-ttt---- r +c
X
yfi
J3x
3
(l+ x 3 ) 1/ 3 +x(l + x 3 )1/ 3 + x 2
©
D t „ r « 13/3 3w10' 3 3w7' 3 h4/\
Rpta. 12[------------------ 1-----------------l+c
13
10
7
4
l + X l M í¿C
donde
f
J x 4 V l+ x 2
Rpta. ^1+f
3jc
m
= 1 + x 1/4
(2x 2 - l) + c
n-l
3
S
dx
x n(l + x n)l,n
n>2
Rpta. -
+c
223
In te g r a l In d e fin id a
®
W
f—
¡x€ ¿ ?
Rpta. —ln|
’ 1
5
\F T 7 7 l
arcl¡j-!^-+t5
43
donde t =^¡l + x 5
©
íJ (^X2 - l n) V x 2—— x —l
1
x-3
2
\x -lh Í5
l
3 x + l-2 -)[x ^-x -l
Rota. —arcsen -------- ¡= — In ------------------------ +c
@
r
dx
I ---------
2
x+l
A
R p ta. ~
J (2 x-3 y]4 x-x
í—T = T T
®
l f . x+6+*v60x-l5x2 ,
= l n | ------- r — - --------l + c
Vl5
2 x -3
Jí ^ l + x V
R p t a - -^ln|/ . ^ - | - j a r c t g V l + x 4 +c
4 V x * + l+ l
2
J ^
R p ta. 2 y 3 x + 5 | + c + V s i n | ^ * + * ^ j l | + c
+ 5 ¿c
©
^
- f # r > ‘ +t
+c
dx
f
„ .
3 Jx+l
+c
2 V x -l
x rfr
J -v/x+l +^/x+l
R p ta.-(x + l)3/2- - ( x + l ) 4/3+ - ( x + l ) 7/6- (x + l) + - ( x + l ) 5/6- | ( x + l ) 2/3+c
3
4
7
5
2
224
©
Eduardo Espinoza Ramos
J
________ dx________
(2 x + 1) 3 ' 2 - ( 2 x + 1)1/2
Rpta.
- (2 x+l ) 1' 5 + 3(2jc+ 1) 1' 6 + 3 ln | $¡2x+\ - 1 1+c
®
[ 7
t— 77
J V1 - 2 x - ^ / 1 - 2 jc
Rpta. --v/í —2 jt —2 ^/l —2 jc —2 In|^/l —2 jc - 1 |+c
(S )
[~^TF=r
1+ ^
Rpta. —^ /? - 2 V x + 6^/x-5arctg^/jc+c
' 5
©
J
dx
x(l + 2 t/x +\fx)
„
Rpta.
(5 )
W
3, .
x\fx
,
2
,4 ^ /x -l
I-----—arctg(— =—)+c
—In I---- - = —-------——
4
(l+ V ^) 2 ( l - ^ + 2W )
2^7
V7
f - ,_____ ± _______
tf(x--a)"+i (x-b)"*1
dx
-,----- =
xljl+x
«
n
6
Rpta' | x 5 / 6 _4xl/Z + 1 8 * I/6 + - ^ ^ - 2 l a r c t g ^ / 7 + c
@
f
b-aMx-a
1
r-
v x dx
®
Rpta. - Í - J H
■ Z
r
_ ^ 1, f-1
. V3
, , 1 + 2/.
Rpta- - l n | - = = = | + — arctg(—= ^ )+ e
5
+t + l
5V3
,/----- r
©
W
[% x~ x'd x
J
3r
1, ,( Í + 1) 2 , -s/í
,2 /—1
Rpta. — 1 -------- In( ; + } ) - ^ - a r c t g ( - ^ > + c
^
2(t + 1) 4 V - / + 1
2
donde t
\¡3x-~x3
Integral Indefinida
@
225
^ (l+ sfx )* d x
_
Rpta.
2x r
* r*‘r + 36*~
f ,r 8* ‘ r~ 6 ’ fifT
—
V* + 24
—W
----------------------------------v
* + +c
---- V *+ — x “ V*‘
3
11
13
5
17
dx
i :-'¡x2- X + l
Rpta. -
—In|2jc—1—2-\/je2 - x + l |+ 2 |ln x -V x 2 - x + l l+r
2(2x—1—2-\Jx2 - x + l )
í /x
í (x + 2fr]x2 +2x
®
í
2
Rpta.
\x+2
+c
V-C2 + JC+1
U + l) 2
Va*2 + jt+ 1 , .
1
7, 1, . 1 - jc+ 2V*2 +x + l
Rpta . --------------- -f ln | jc -i---- \-yx~ +x + l |h— ln |---------------------- l+C
jc + 1
jc + 1
x rfv
©
í r(JC-I
^ )i2 Vi + 2 x —X2
Rpta.
@
/
-v/l + 2 x - x 7
1
V2 +Vl + 2 x - r 2
----:-------j= ln |------- ;----------- |+c
1- x
2 (1 -x )
jí
(X2 + lh /x 2 - l
@
l+ x 2
@
-Vi + x + 4*
dx
^/l+JC
í
1 , V^X + Vx2 +1 .
Rpta. —= l n - ———,
+c
^
2^2
4 2 x-4 x^\
_____
/ 2+2
Rpta. ln| jc-h-s/jc2 +2 |-a rc tg — ------ + c
Rpta. y (l + x)lü + y (l + x)7 -8(1+ x)4 +c
Eduardo Espinoza Ramos
226
rsi
73)J —
i m —
JL JL
Rpt a. 2 x2 ——jc10 + 10*10 -lO arctgx 10 +c
JC+X5
J_
J
Jl
7 . r2
+*15 dx
Rpta. I x 1 -14jc14 + 28In(x14 + l) + e
JC 7 + * 14
1—
7 ?)
^
j y x +l
f —j=-— —
J tí/^ + 1)2
S 3
Rpta. —x 4 - —a 4 + 2x2 + 4x4 -21n(l+->/3)-4arctg—+ r
532
„ .
3 7 , t
3
Rpta. —x 3 - 6 x 3 + —-------------------------+ 9 1 n |x 3 +1|+ í 2
I
x 3 +1
.3
f —==————==—Rpta. 3arctg(Vx)+<•
^ ( 1 +^ 7 )
, / 3 / r , i >2
f WX + U &
J
¿Ir
Rpta. - ( x 3 +1)2 - 2 (x 3 + 1)2 +c
5
80)
f^ E rfx
J i/v
Rpta. S ± í S 5 K 2 - W ¿ + c
5
©
I_U—2^_dx_
Rpta. (x-2)-9Vjr 2+9V3arctg(^^) + c
¿
1
2
1
2
(x-2)3 +3
©
Rpta. A (7^ - 4 )(i + ^ ) 4 + t.
Integral Indefinida
227
dx
©
x —1
Rpta. arcsen(— ¿=)+c
xv 2
S x~\ xn“ + 2 jc - 1
1
3+3x + 2-j3(x2 +x + l)
Rpta. — 7= ln |---------------------------------------l+c
JC- 1
¿Y
í
- i ) V ? + JC + 1
1 1
2+-y¡2 + x - x ^
Rpta. — prln —+---------- ¡=----- +c
V2
4
W2
dx
í ;^2 f x - ,v~
1
2” v
Rpta. ~arccos(— j'—) +c
2
xv 2
dx
í xV"
- nX2 + 4 x -4
©
jt 3 + 2x 2 +3.V + 4
dx
+ 2x + 2
Rpta. (— + —+ —)Vx2 + 2x + 2 + —ln |x + l + ^/x2 +2x4-2 |+c
3 6 6
2
5.r+3
Rpta. —5^5 + 4 x - x 2 +13arcsen(*- - ) + c
dx
V5 + 4X~X~
Rpta. -
»9,
+5h /-.v 2 +4.v +13 arcsen(*^ ■) + c
x~ + 4x
, 5
1
1
gi—
Rpta. —jc* - A x 2 + 18jc® + —-4=r-21 arctg^/x +c
5
1 + Vx
©
dx
-------í (2x + 5hl2x-3+ &-------x-\2
© í (x ■2)4dx^~~4 + 1
x
jc
Rpta. —arctgfl +—sjlx - 3 )+c
2
2
Rpta. — arcsen( — - ) + c
V3
-v-2
228
Eduardo Espinoza Ramos
í ----- p ----x - y x 1-1
(93)
Rpta. — + - a /x 2 -1 - - l n | x W x 2 -1 |+c
2 2
2
dx
í ( — 1 ) 3 "\/5 2 - 8 x + 4
jc
jc
_ .
-\/5x2 -8 x + 4 (4 -3 x )
-J5 x 2 - 8x + 4 + .v
Rpta- ----------5 T ¡ ? ------- + ln |-------- -------------l+c
®
Rp,i'-
1^ + 9 1" 3 aic,s(i 7 n ! )+ c
®
r 1 -V l+ x + x 2 ,
.
tfx
x-\/l + x + x 2
_
, . x+2-2-J\ + x + x 2 ,
Rpta. ln |-----------^ ------------ |+c
x~
(97)
w
í ----------Í = =
J (x2
Rpta.
®
W
f * ~ 3 x ~ 1 dx+ f -Jx2
J x - x - 2x
J
Rpta.
W
J
x2
aresen(——— )+—\= arcsen(———)+c
4 5 x - 5 72^6
5x+5
+ 4 de
+ ^ ] + —a/x~ + 4 + 21n | x + •y/x2 + 4 1+c
x+1
2
- 2 x +8
®
J
x
W
J x^ ( 1 +Jt4)3
®
j — Une + l m .l n e '] *
f cigh(lnx) ,
f c r r
f
^
1
senx.eos5 x dx
(eos2 x + eos3x + sen x)
229
Integral Indefinida
(ffi\
f
V— /
A T ^ te le rf
A
J (c ig v -t- xcosec'x)-
v^ /
r -dx___
J ( v + D-v x2 + x +1
(J o j)
J V ' ( 2 + ^ ) ' 4dx
(W )
J V l + e 4v dx
@
f 7
( n i)
f—
®
[ ---------- —---------—- f a' cos ecx dx
J sen jr(-Ycos x —sen x)~ J
©
—y
i — ,—
± —
.
-j
’ • 5J 2 cos x + sen x cos x + sen “ x J (jc ~ 1)(x~ - 2x +
®
r
r cscl7 T T ^ I WTWTTTT,
(m )
v-«'
f ---------* ------------------------------J scn 2 .r.ln(u>.v) J
r
1.6.19
EJERCICIOS DESARROLLADOS DIVERSOS.-
—7 7
3 x (1 + x )
^
I X
r
p=J
*
5)
(2 + \fx)dx
Calcular las siguientes integrales:
dx
©
í 4^[x +1
Solución
Sea r = *Jx
=>
x = z 2 => dx = 2z dIz, reemplazando en la integral
f .¿
-f = £ ,
jV T rT T
J V7TI
Sea w - J z + 1 -=>
.„ « i
- = ir 2 -1
=> ¿/ = 2^ d\\. reemplazando en (1)
230
Eduardo Espinoza Ramos
| dx
_ ^ f (w~ -1 )2 wdw
= 4j(IV2 ~\)dw
’- i
vv
= 4(—— u) + c•= —v»t iv2 -3 ) + c = —Vr + I(r + l-3 ) + r = --^^fx + I(V* -2 ) + c
3
3
3
3
©
1W-V
</r
Solución
Sea z : = a*
=> dx —2z dz, reemplazando en la integral dada:
1- r ,
_r (1 - r )
^ d x = [ $ —^2zd= = 2 [ ^ \ — _dz = 2 | r
í/r
1+ c
1
1+ J ^ i-r:
( 1)
Z
fsenfl = r
Sea 4
=>
z = sen &
[O = aresen r
Idi = eos 0 dO
cosO =-\ll-Z2
f sen' OcasOdO f
f -■ * = Jsen 2 0 dO =-^-(0 -son Ol o s 0 )
1
eos©
J
u -=4 •
- —(aresenr- W l - r 2)
reemplazando (2) en (1) se tiene:
(2)
231
Integra! Indefinida
I-—^L d x = —2 a/1 —- 2 - arcsen r + W l - r 2 + c
\+ 4 x
= ( - 2 + r)-\/l - - 2 - arcsen r + c = (~Jx - 2)^1—x - arcscn -Jx +c
©
3¡1-x dx
\+X
X
Solución
cSea r = ----- , despejando
a
■ a x = -----I“ - ’
1 + -Ï
1+ r 3
d x = f I4
l+ x
i l-z
3^
(
=>
w =- ------6 r 2Æ
dx
——
(1 + r 3 ) 2
---6~~, )d= = - 6 Í ----- = 6 [ - J ( l - z 3)(l + r 3) J (r 3 - l ) ( r 3 + 1)
(1 + -3)2
,tr A
/4
¡s
B
Lz
Cz++UD
bEz+F
z+ t ..
= 6 [----- +----- + —^---------+—---------lífc
J r - l r +1 r + r +l ; 2- r +l
Calculando los valores de A.B.C,D.E.F se tiene:
= [[—
J r —1
+ —-------------------- r ~ 2 }dz
r + l
- - 4- - -4-1
- -u 1
ln| = - l | + l n | - + l | - | l n | r 2 + r + l | Ty l n | - 2 - z + l | -
-Viarctg(~~ ) + V3 arctg(
) +c
V3
V3
l n | r 2 - 1 1—- l n | ( r 2 + r + l)(r 2 + z + 1) | —J3(arctg 1. 1 - arctg
)+c
2
V3
V3
I lz £
i+ .t
232
©
Eduardo Espinoza Ramos
It
dx
T \i+ x 4
Solución
f = í x°(l + jc4 ) ' ; 4 dx , ahora aplicamos la condición de CHEBICHEV
J Vi+ * 4
m +1
0 +1
1
------= ------ = — no es un numero entero.
n
4
4
wi + I
1 1
------+ p ~ ------- = 0 es un numero entero.
//
4 4
Sea z 4 =x 4 +1
=>
x 4 = (z4 - l ) ~ l = - ¿ —
z —1
= (z4 - l ) li4 => dx = - z 3(z3 - i y SIAdz
- J z~l (z4 - l ) 1/ 4 r 3 ( r 4 -l)~5l4dz
t z~
r 4 —1
,
r. A
A f _ 5 _ + Cr + D
--1
-+1
r 2 +l
B
Cz + D 1 .
( 1)
A(z+l)(z2 + l) + 5 ( r - l) ( r 2 +l)+(C’c + D )(r 2 -1)
( r - l) ( r + l) ( z 2 +l)
r 2 = A{z~ + z2 +z+\) + B(z3 - z 2 + z~ l)+ C (z3 - z ) + d ( z 2 - 1)
r 2 = (A + B +C)z3 + ( A - B + D)z2 +(A +B - C ) z + A - B - D
por identidad de polinomios se tiene:
233
Integral Indefinida
A + B + C =O
A -B + D = 1
A + B - C =O
A - B - D =O
resolviendo el sistema se tiene:
A = - , B = - ~ , C = 0, D = —
4
4
2
•( 2 )
ahora reemplazando eslos valores de (2 ) en ( 1)
4(r —1) 4(r + l)
2(r 3 +1)
]d=
1
1
i .l
— In | - —1 1h— ln | r + 1j — arctu z+c = — In f----- 1— aretií z +c
4
4
2
^
4
r-l
2
- ——ln| ^.X + ^ — | —- arctgfifx 4 + 1)+ t
4
4+
1 1 - 11
2
(.r-Jt3)1,3rfr
CD
J
Solución
Sea v = — => dx =
. reemplazando
234
Eduardo Espinoza Ramos
Solución
Sea z 2 = x * -1
=>
2zdz = 5xAdXi reemplazando en la integral dada:
_ 1 !r 5xAdx _ 1 ir 2~-ífc
r 5 “ ,1 5J J1 1 - 2 +D5J1X5Vx
1 w '*5 - l
f
dx
2 r dz
2
2, s
^
= — ------- = —arcter + c = —arctg(x' - 1) '~+c
5 J r
+1
5
w5
h
sen 2 jcdx
©
j
> I V 1 I 4 *nr
WV/«J 4 A
sen
x +B cos
x
Solución
f
senzxrfx
_ fr
sen 2 x ¿x
sen 2 x tfx
I
4
4 —I “
7
? ,2 O
*>
(sen" x" +*---cos- x)“ - 2 sen"
xcos~ x
J sen x + cos x J (sen— --------r
sen 2 xrfx
r 2 sen 2 x¿/x _ ^ r
2 sen2 2 x
J 2 -sen 2 2 x
r sen 2 x 2 ¿x
= ------------- —= - arctgfcos 2 x )+c
J l + (cos2 x)“
(T )
f _________ ÉL_________
j x(x2 —l)(lnjc2 —ln(x2 - 1))
Solución
sen 2 xdx
j* sen 2 xrfr
l + (l-s e n 2 2 x)
M + cos2 2 x
Integral Indefinida
®
f
235
(x -a )* ’( x - P) p
d x , p > 0, a * p
(x-a)(x-P )
Solución
r ( x - a ) ‘’( x - P ) r' ^
J (x-a)(x~P)
f ( x - a fl
x-a
Sea r = ------
dz
dx
x-p
a-p
(x-p)1
( t - p f i x - p ) p_
dx
í (x-a)(x~P)
^ _ r x-a
J (x - p y ’' 1 J x - p
a- BJ
p(a-fi)
dx
(x~P)
p(a-ft) x - p
Solución
Sea z 2 = x
=> dx = 2 / dz, reemplazando en la integral dada
=(2=d=) _ 0 f - 2dz
f I x j _ f =@=d=)
H 2 - x dX = \ ^ - - l j V I 7 :
Sea
sen 6 =
J i
7. = -J2 sen 6
cos 0 =
V2
j* z 2dz _ j*2 sen 2 0^2 cosOdQ
J ^¡2 - z 2
=,
0 = arcsen(-^=r)
y¡2
d: = 4 2 cos 0 dO
V2 - r 2 =-\/2 cos©
= J 2 sen 2 OdO
V2 cos 0
C
r
n / 2 —r 2
= j (1 -c o s 20)d6 = 0 -se n 0 cos0 = arcsen(-^=)------------
... (2)
236
Eduardo Espinoza Ramos
reemplazando (2) en ( i ) se tiene:
JC
dx = arcsen( - ^ ) - z 4 2 - z 2 - 2arcsen
\2 - x
5) 1
x +c
~
\2
( \ + e 2x) l ,2 e x d x
(l + e2x)(-^4 + 4 e ^ - l )
Solución
r
(l+*>2')
(i +e~ )] 2'e'dx
e dx
c _ r
* (l+e2x)(44+4e2x -1)
Sea z 2 = l + e2x
e'dx
* ^ ( U e ^ ( 2 - J } + e2x -1)
e 1' = r 2 -1 => ex
=>
=> exdx = —¡~-=
V?^T
r
(1 +e~A))1/2<
~e?*d
dx
(l+e2
Lr
_ r
(l + <?2* )(-\¡4 + 4 e 2 x - \ )
Sea t = ——
2--1
=>
zdz
Zí/r
_ fr
rVr2 - l ( 2 r - l )
2 r-l = i
=>
dr
..(1)
^ (2=-]yf=2 - l
r =—
21
=>
d: = - dl
2r
Ahora reemplazando en la ecuación (1) se tiene:
di
j-
0 +e 2x)v 2 exx
_f
•* íl + e 2 x v J ¿ U t e 2 r - U
-\)l= 2
2 -- l1))^^
JJ Q(2=r-l)(_
_
¡
.
JJ 11 f¡,ll ++ l‘. *2
/ V 2/
dz r2 r _ f212
JJ -\/l+2/ —3/2
di
1_ r ______ _______
•* Vl + 2 f - 3 r
V3 J riO _ í / _ I )21i/2
27
3 J
f
1
V3
r3V3/—V3Vio
= — r= arcsenf------¡= — 1+ c
1
1
2-->
2Vh ^ 37-1
como t = ------- = — ,
dt
—
entonces
2/2
237
IntegraI Indefinida
J
(l + <?2' ) ‘ V 'ífr
1
r 2^3(2 - Vi+ t?2' ) .
— ^ arcsenl——— -- == .----- ]+c
^
slÌQQ-fl+t?2r -1)"
(\+e2i)(44+4eTx -1)
,arusen
/■
Solución
Sea / = arcscn x
¿Y
dz =
rfjf
V1- sen2 r" cos -
^Jì-7
/ = arcscn x
Como
rfv
x = sen z
dx = cos z dz
cosr
JearLicnvrfx= J<'; cos r dz
Integrando por partes:
(1)
du —
r = sen r
u-e
dv = cos r dz
| e: cosr dz - e 2 sen r - J e~ senr dz
\du = e~dz
|u - e
\dv = sen z dz
v = -cosr
J*£" cosz d z - e 1 senr+é>r cos r-Jc?" coszdz
ì
•
e : cos r dz =
f ' (sen r +cosr)
(2)
reemplazando (2) en (1 ) se ìiene:
J
e
aroen i *
z ( s e n - + COS _ )
d x - e --------------
+ t =
„ archer.
£ >
(v + V l-.t2 )
---------------- \-c
23*
5)
Eduardo Espinoza Ramos
í
dx
( Y - l ) ( A - + l)V (r-2)(* + 3)
Solución
1
(x
- 1 )(a
A
+1)
B
a- - 1
a
A(x +1) + B(x - 1)
+ 1
( a - 1 ) ( a + 1)
í A +B = 0
1 = (A + B)x + A —B. por identidad se tiene: j
^ ^
2
>
B= -i
?
1
1 1
1
■=—(— r +
r)
( j t - 1 ) ( jc + 1)
2 x-\
Jt + 1
f
^
_ Wj 1
j ( x - 1)(jc + 1 ) t / ( x - 2 ) ( a + 3 ) ~ 2 j
= I r f _____________ £
Calculando la intearal
.y - 1
J
f ------- , A
dv
x + 1 ^ / ( x - 2 ) ( a : + 3)
___________________ f ___________ £
2 J ( a - 1 ) V U - 2 ) ( a + 3)
dx
1 J
_____________ ]
..
(A- + l ) ^ ( , v - 2 ) C r + 3 )
=■
j (X -l)-y /(A '-2 )(A + 3 )
cSea
1
r = ----=>
x —1
1
.y-1i = —
r
=>
^d x - — —
-2
f _______ £ _______ = f _______£1_____ = - f
J (a -1 )-J(a' —2)(a-+ 3) J I ^ {i _ 1)(I + 4)
J V (l-r)(l + 4r)
= f —,
= r completando cuadrados
-\/l+ 3 r-4 r“
__3
= — ^ í —- = É ^ = = = —- arcsenf—— ]+ c
25_7_3 :
2
5
Í 64 {- 8
«
( i)
239
Integral Indefinida
= —- arcsen[——- ] + cx = —- arcsen[——— ] + cx
2
5
2
5 (x -l)
dx
í -------- = =
ahora calculando la integral
1
Sea t =----x+1
,1
x +1 = -
=>
t
2)(x + 3)
dt
=> dx = — t~
dt
f
.d
x
1 ( x + 1)V(jc-2)(x + 3 )
... (2)
di
. - I r.
t2
.
J
í(I_ 3 KI + 2 )
~ if
1 ^(1-30(1 +
— — I[
2/)
dt
J
/2
ill
1
/ +—
° ~ Í Í
125
1 ,
l f e r (' V
ñ
1 -arcsen^ - -—]+ c 2 = — j= arcsen[ v + ^ ] + Cj
^6
5
“
-x/6
5(x + l)
...(3)
Luego reemplazando (2), (3) en (1)
c
dx
1
1,11-3*.
1
1,jc + 13,
--------------- . ■
— = — arcsen—(----------------) + — arcsen—(---)
J (x - 1)(* + 1)^/(jc- 2)(jc + 3)
45x - \ 2V65jc+1
5) J... ....
x 2dx
Oteos jc-senx)2
Solución
A la integral dada lo expresaremos en la forma:
r
x 2dx
c *
xsenxdx
.
------------------- - = --------------------------- # integrando por partes
J i r e n e v — cf*n
~
J S e n X i r rf>c r —
“
240
E d u a r d o E s p in o z a R a m o s
,
u =■
sen*
jcsenjc dx
dv
(jccosjc-sen jc)'
x 2dx
j (jrcosjr-senx)2
senjc-xcosx ,
au ------------------- -— dx
(sen*)“
1
v=■
xcosx-senjc
(senjr-jccosx)rfjt
senx(jrcosx-senx)
sen x(x eos jc - sen x)
sen jc(jccosjc-senjc)
H
**jr(xcosx-senjr)
J* cpn
sen2
Jcos ec2
~xdx
-CtgJC + C
Solución
. f x 2 -1 dx 1 f x 2 -1 2xdx
la mtegral dada expresaremos asi: I , —-------- = —I , —--------- J Vor+1 x 2 J\x~ + l x~
Sea : = x 2
=> dz = 2x dx, reemplazando
r fx2 -1 dx 1 r jz-1 dz
j V j r + i T ^ l J 'V T T T l
c
•>
..(2)
v r+ 1
r —1
Sea w = ----r +1
f jx2 -1 dx
... ( 1)
dz =
w2 - l
1f
w2 -1
4wdw
r
4w dw
(w2 - l ) 2
w2dw
j V ^ + T ^ ’ ^ J ^ ^ + i V 2 - ! ) 2 " J (tv2 +l)(»v2 -fr A
- “2 1[- +
j w -1
B
Cw+D
+ — ;—-]d»
W+ l w + l
... (3)
241
I n te g r a l I n d e fin id a
w2
A B
Cw+Z)
--- 1-------- r----- = ------- f*----------- ------
(w~ -l)(w2 +1)
w+1 IV“ +1
w-l
_ ,4(w+l)(w2 + l) + i?(w-l)(w2 +1)
(iC w + D ) ( w 2 -1)
(w—l)(w+l)(»v2 +1)
(w—l)(w+l)(w^ +1)
w 2 = A ( w 3 + w) + A ( w 2 +l) + B ( w 2 + w ) - B ( w2 + 1) + C(w3 -~w) + D ( w 2 -1)
w 2 = ( A + B + C)w* + ( A - B - D ) w 2 + ( A + B - C ) w + A - B - D
A + B + C =0
.
„
.. ,
A -B + D =1
A + B -C =0
resolviendo el sistema se
tiene:
A=~. B =-~ ,
D = -
4
C = 0,
4
2
ahora reemplazando los valores de A,B,C y D.
je2 -1 dx
l +l X
w +1.
1 fr rfw 1 fr rfw rf rfw
1.1 - . ,w+1
---- - + - ---— ---- = —ln I-------|-a rc tg w + c
2 J w-1 2J w+1 J vv“ +1 2
w—1
= 2 -1
1, . V ^ I + V I + l ,
arctg J ----- +c = - l n h = — - a r c t g
h U +1
2 'V ^ I - V i + î
-1
1. . -y/*2 -1 +-y/*2 +1 ,
= ? ln|T T = —
2
5= 7 =
VJr'-l-'VJC +1
,
Í - arctg
v + i
t
fr-T
+c
Vz+1
+c
COSJCrfjC
©
Msen' or-co s3 or
Solución
f
cos xdx
_ f sec2 xí/x
I
î
ï “ I ï
J sen X-cos x J tg jc—1
/lv
••• Vv
242
E d u a r d o E s p in o z a R a m o s
Sea z = tgx =>
dz = sec2 xdx
f sec2 xdx _ f dz
J tg3 jc —1
z 3 -1
1
/í
r
dz
((zz -—
l l)(z
) ( z 2 + zZ +1)
+ l)
Bz +C
*+ *
z 3 —1 2 —1 z 2 + Z + 1
A
J z —\
Bz +C
]dz
z}’ + Z + 1
A(z +z+\) + (Bz +C)(z —1)
( z - l ) ( z - +Z + 1)
] = A(z2 +z +\) +B(z2 +z) + C (z -l)
=> 1 = (A +B)z2 + ( A - B + C ) z + z - C
A=
Por identidad polinómica se tiene:
A +B = 0
A -B + C = 0
A - C =1
1
B =- i
3
c=-2
reemplazando (2) en (3) se tiene
f see2 xdx ] r. 1
z + 2 , , 1 ri .
l r 2 z + l+ 3 , ,
I — ---- r = T J [— i-” ---------------------] r f z = - [ l n | z - l | - - l ~ -; dz]
te x -1
3 J z -1 z +z+
3
2 J z~ +z + l
p 2z + l
-± l
2 J Z 2 + Z +1
dz
fe“ 2 Jf—. 1ií
]
2
4
1
Z H---
= ^[ln | z - l | - ^ l n | z 2 + z + 11 a r c t g f —^ - ] ]
= i[ ln | z - 1 1 - I l n | z 2 + z +11-V3 a r c t g í ^ - ) ]
= j [ l n | tgx-11 - y l n | tg2 x + tgjr + l | -y¡3 a rc tg (-^ ¿ )]
© íxe* sen xdx
••(2)
..(3)
Integral Indefinida
243
Solución
u - xex
dv = sen x dx
Integrando por partes se tiene:
du = {x+\)e'dx
V = — COS JC
Jxex sen x dx = - x e ' cos x - J(x +1 )*>c(- eos a-)dx
(1)
= - x e A eos x + J" (x + l)é?' eos x dx
du = (a:+ 2)e'dx
v = sen x
i4 = (x + l)tjl
dv = eos x dx
haciendo
J(jr + l)e* eosxd x = (x + 1)ex se n jc-J(x + 2)í?' senxdx
= (x + l)e* sen x -
Jxe' sen x d x e x sen a' dx
(2)
Reemplazando (2) en (1) se tiene:
Jxe%sen dx - -xe* eos jc + + \)ex sen x - jx e ' senxíÉc-2jé?1 sen dx
a
j x e ' Ss Qnxdx =
(a
*xe* eos x
ahora calculamos la integral
a
(x +1 )e ' sen x
C x
e sen.vííx:
í
Je ' sen dx por partes.
a
(3)
244
Eduardo Espinoza Ramos
JV Xsenxdx = e* s e n x - e ' cosx~Je* sen xdx
r v
,
senx-eosx
j e sen x d x - ---------- -----------
...(4 )
reemplazando (4) en (3) se tiene:
í
18J
v
, - x e x eos x (x +1 )ex sen x e* sen x - ex eos x
xe senxdx =------------- + ----------- :------------------------------- +c
X3Vl + X4
1 , v
I Vl + x 4 +1 dx
Solución
Sea r = x 4 ==> d z - 4 x 3dx
rW
=> x 3¿/x = —
¡ i 7 ^ _ r y rrr
J Vl + x 4 +1J Vl + r + l
sea w2 =l + r
=>
4
(1)
4 J V 1+ I + I
dz = 2udu
_ c u 2du _ f . ,
1 ,
2
^
—— -— = 2 1------ =2 (w~l + ------ )du =u -2w + 21n|w + l|
Í ^,\ +z —dz = ru(2u)du
Vi + z +1
*
w+ 1
^ w+ 1
J
w+1
f 2 ^ ^ . =M2_2,/ + 2 in |M+ l| = l + --2 -V Í + 7 + 2 1 n |V Í + 7 + l|
J VI + r +1
reemplazando (2) en (1) se tiene:
...(2)
245
Integral Indefinida
x 3Vl+-v4 .
r +1
V l+ ^
1 , , /t----
,,
í aI Î + 7 + I dx = —4----- ^ O— + -•)ln |V l + r + l | + r
X
19)
+ 1_ j ! + £ l + l
l n | ^ 1+JC4 + 1 | + t .
Jln(V l +X -< sl\-x)d x
Solución
Calculando la integral por partes
u = lnfVl + A* ~-s/l —jc)
¿v = dx
x^\~ x2
2x
v-x
Jln(Vl + x - -\/l - jc)rfx = jcln(^l + x —n/l - x) - J —
rfx
= ln(-\/l + x —v /T ^ x ) - - f [ . 1 + l]rfx
V1- X2
( 20 )
J^/tg2 x + 2dx
Solución
A la integral dada escribiremos así:
ri¿ i± ü *
246
Eduardo Espinoza Ramos
1 ,
I 2
r. f
COSXdx
'■In | tg x + 4 1£ x + 2 | + 1 i ■ ^
Vsen2 x + 2cos2 x
I t
~ c cos x dx
= In 1tgx + Vtg“ x + 2 |
~ =
*\/2-sen~ x
i .
I 7
7.
senxx
= In | tg x + tg~ x + 2 | + arcsenf—
+c
V2
§>
+W1+JC
Solución
Dividiendo numerador y denominador por x 2
íjc2 -1)
f
(x2 -1 )dx
f
U x 2+ \y lü 7
x2
J ,„. i J „ 2 , i
{x* ~ x T * 7
2
dr = ( l— ^-)dx, d z ~ — i
Sea r = x + — =>
X
r
•)
-x
■?
dx
X“
1
-
+— + 2
X"
=>
x
i l
+ —
x~
ahora reemplazamos en la ecuación (1)
X"
2 o
~z~-2
dx
Integral Indefinida
247
dt
r
d= _ _ f _ _ r z .
Jw ^
Ji / m
W /2
^fl di
_r
* _
U - 2 ,2
■J2
1
S i J V l-(V 2 0 2
-J 2
= -^ -a rc s e n (— )
[—
arcsen(V2/)
-Ji
...(3 )
reemplazando (3) en (2) se tiene:
A'
4Í
, -Jlx .
----arcsenf—---- ) + c
2
1-1
jrr 2 +1
-
dx
í
Solución
Sea r = í?r
=>
¿fc =
-zdx
=>
r/v = —
f -7-
......,■ = [ - - £ —
Vl + e* +e2x
W- +- +1
1
Sea / = — =>
-
. .. d )
1
,
dt
r = - => rfr- — —
t
tl
dl
di
r ____£ ___ - í
J W 77777
-J
, /2
J 1 ÍT 7T 7
/ -v
V/ , + ~/ +1
=
-
r
J#
+ /+ 1
— = - i n |/ + y+ V /'2 +/ + l | = - l n | - + - + j ^ r +-^ + l |
248
Eduardo Espinoza Ramos
:
i i - + 2 + 2a/—2 + - +1 In | ---------- ------------ 1
...(2 )
2
reemplazando (2) en (1) se tiene:
f
i
dx
= -ln
J Vl+e' + f !'
23}
z + 2 + 2%/-2 + r + 1í?' + 2 + l 4 ^ x + e T+1 ,
------------ +c, = - l n ---------------- +c
2-2«'
J C
An x + sen2 x
sen"
Solución
A la integral dada escribiremos así:
reos3x(l + cos2 x) , reos2 x(l + eos2 x)eosx ,
r(1-sen2 x)(2-sen2x)cosx .
I ----- 5---------— d x = \ -------- j---------i-------dx = \ ----------- i-------- ?--------- dx
J sen x + sen- x
J
sen x + sen- x
J
sen x+sen“ x
Sea z = senx => dz = cosx dx
[ <l---; K 2 -^ )rf- , [ „ 6
*
z+ z
r - +1
sen x + sen“ x
2 ^
z-
2
2
= z - 6 arctg z — + c = sen x - 6 arctg(senx)-------- + c
z
sen x
©
^
x —1.
í<— » -7 = :
dx
1 * + > - / r t ? + x + l)
Solución
Sea z 2 = x + l + —
=>
2zdz —(1— \-)dx => 2z d z- X
ahora a la integral dada escribiremos así:
7 dx
249
Integral Indefinida
■J
a
—1 1
dx
Y-f 1 X
x -1
T-il?
r '* 7
x
1
T
v2
dx
1
x -1
+ 22.V+ 1
+
, 1
------A
A
'
+1+,v
V
x
dx
x
X
1
x¿-\
i
(x + 1 + - + I ) J jc+ 1+ Y
V
*
A
f — 7— — = 2 í
= 2 arctg z + c = 2 arctn J,v +1 + —+ r
J (r-+l)r
J r 2+1
V
v
)dx
i arcsen(----I+X
Solución
Integrando por partes se tiene:
Haciendo:
,2-\[x
u = arcsen(----- )
du -
(1 -x)dx
1+X
dv - dx
V= X
dx
como
íx-1, si x > 1
• ^ ( X + l)
Ix - 1 1= i
entonces d/v = <
dx
11—X, si 0 < A< 1
J ü (x +1)'
,
.Vi
A > 1
A7 0 < X < 1
Luego consideremos Los casos:
i)
Cuando x > 1 se tiene:
f
M x ..
2-Jx. r - x d x
2.-J*, ( 4 x d x
I arcsen(
)dx = x arcsen( ) - I —= ---- = varesenf——) + I----------J
\+ x 1+ v JVTlx + 1)
i+v J (v + 1)
Sea r 2 =.v => dx = 2zdz
\
dx
250
Eduardo Espinoza Ramos
r fx dx
----- - =
J x+1
: 2d=
_r
1
— -----= 2 —----- =2 ( 1 — ------) = 2( r —arctgr)
J : 2 +l
J r 2 +l
J
: -+l
r z.lzdz
= 2-Jx - 2 arctgjx
-- ( 2)
reemplazando (2) en ( 1 ) se tiene:
Í arcsen( I + .v )dx - x arcsen( 1+.V ) + 2-Jx -2 arctg-Jx
ii)
... (a)
Cuando 0 < x < 1, se tiene:
f
,2 -/* ..
P-^x. f xdx
r4 x d .
aresení----- )dx = x arcscnf-— ) - —¡=-------- x arcscnf-— ) - -------- ...(3)
j
1+ X
1+X J ^ ÍJ C + I)1+XJx +1
..(4 )
reemplazando (4) en (3) se tiene:
Í
^ rj—
arcsen(-— )dx - x arcsenP— ) - 2-Jx + 2 arctg4x
1+ x
l+ x
..(P )
Luego de la parle (a) y (p) se tiene:
í arcsenp ^ * )dx = x arcsen(~ ^ * ) ± 2-Jx + +2 arctg ^[x + c
1+ A'
1+ A*
J
xcosx-smx
í
xrfx4 +sen 4 x
Solución
Dividiendo numerador y denominador por x 2
v eos x - sen x ,
x eos v - sen v
■dx
r reos y-sen x ^ _ f
, v3
= f
, j r l _ . rfr
v-yx -sen
\/x ' • sen ' t
sCn
..(1)
251
Integral Indefinida
senx
Sea r = -----*
,
A*cosx-senA _
d~ = ----------------- dx
x~
=>
...(2 )
Reemplazando (2) en (1) se tiene:
Í ACosA-senA~dx=^\-r 7=dz
V ?+ sen 4x
1, .
+1+1. 1 A /4/ 4 \\
- —ln\—¡ = ---- - “ -arctg(A/A* + l) + c
JV Ü T 7
4
V 7 T T -1
2
este es el resultado del ejercicio 4.
dx
®
f
e
Solución
Sea x n = \
r
p
=> x = t 2/" *entonees dx = —~ t ^2in)ldt
n
dx
rfAT__ = _22 r
W I"^ 1
t <lín)~ldt
w^
2 C
l-L-i
\/2
di
Vi
( 28 )
=
2 fMJ _
"
S~- t 2
t
2
0
1
= — arcsení + c = —2» arcsenj—n +c
I (----------- ---------- j - x eos ecx)dx
sen x(x eos a - sen v) ”
Solución
A la integral dada escribiremos así;
Í
(----------- —-----------—-ACOSeCA)rfA = i
«r*nx(
ví xvrnc
cpna * )“
*
sen
eos jyr —
- <
sen
■j
a 3 - a (a 2
x 1 - x eos etx sen a ( x eos x - sen x)
eos 2 x-2xsenxcosA + sen 2 a ) ,
------- dx
sen a ( a eos x - sen x )2
dx
j sena ( a eosx- sen
x) J
252
Eduardo Espinoza Ramos
x - x eos a*+ 2x~ sen x eosx —x sen x ,
------------------------------------------------i
sen x(x eos x - sen x)
=J
x 3( l- e o s 2 x) + 2x2 se n x e o sx -x se n 2 x
dx
sen x(x eos x - sen x)2
a * sen
a + 2 x
senxeosx-xsen x"
-------------------------------------------- «A
-í
sen x(x eos a - sen a ) “
a * senx + 2x
eosx-xsenA _
--------------------------i----- ~ dx
-í
( a * eos a * —
sen x y
1
7
x senx + 2x eos a * - 2x sen x + x sen x
-J
(x eo sx -sen x )2
r x 3 senx + 2 x 2 eo sx -2 x sen A
,
dx
r
xsenxdx
= -------------------------- r--------dx+ ------------------- J
( a eos a* —
sen a*)
j (xcosA-senx)**
. r
x sen x dx
fd(------ i2------)
+J -sen
J
a cosa
A2
a eos x - sen a
a*
J (( ax
eos a -sen x)2
1
A2 -1
-+ C = ----------------------- \ - C
x eos x - sen a
a eos x - sen a
see A'Vsec 2x dx
aresen(tgx)
Solución
0
, v
see2 a d x
Sea z = aresen (tgx) => dz = .
see a dx
see a d x
Veos2 x - s e n 2 a
a / c o s 2 a*
=> dr =
^ /l-tg 2 a
dz = s e e x . V s e c 2 x d x
r s e c A .V s e c 2 a d x
rd z
---------------------------- = 1 — = l n | z I + c
J
a re s e n (te x )
J z
= In I a r e s e n ( tg x ) | + c
Integral Indefinida
253
Solución
Sea z = 1+ V l+ x 2
diferenciando se tiene: rfz = —
+x
v dx
f
* * *
f
J Vi + X2 V + O + v -)1 2
r
1
y dx
f___________________________________
J V1 + O + * 2) 1 2 -V1 + JC2
f -^ r = 2 '/ r + í' = 2-vl + Vl + v ^ + t“
J VÌ4 J0
EJERCÍG ldSFRO PtESI'O S^
aladar las siguientes Integrale-
Q
——^ d A
\ d -V-Y
Rpta. a.aresen
l ^ a ^ a - x -^fx —^[a - x +c
Vi/
©
r
( 3)
w
í
rfv
•> ', 2 + r
Rpta. 3 arccos(-— - )-r3^jx2 -2 x + 8 +t
3
G
f
_
* r.— - —
1. . -\/3 +-v/2-t sen aRpta. In Vi + sen . r ----- j= ln | —¡=— . - - -.=-. | +c
2v3
v3 + -v/2 + sen x
I —
( t f - ¿ r 2)d\
__ ■===:
" _^
Y
^
dx
------- ■’ cu- i-v2 + senjr
- dx
(7 )
w
f
- ^ —= —
J V x ^ o +^ ) 2
"
_
a - lx
.
Rpta. arccos(— .
X “\¡ Q
) +c
^Ctf)
Rpta. aresen *Jx —\j\\h - x + c
Rpta. 3arctg^/x+
+c
i+*fc
254
©
©
©
©
Eduardo Espinoza Ramos
ln(2+Mx)
dx
Rpta. —ln(2+l¡x)(tfx - 4 ) - —fijx2 -4¿Jx)+c
2
4
xcosjt-senx+1
dx
(jc + eos x ) '
*
senx
Rpta. ---------- +c
x + cosx
I
Rpta. arcsen(—) + --------- +c
1 1 1 dx
x\x+ l
V l- x 3
dx
x 24*
, l x
4 x 2 -1
X
X
2 ll-x3 2
Rpta. —
, — aresen-Jx3 +c
3
3 v x3
©
Vl + lnjc
dx
xlnx
Rpta. 2-Vl + ln jc -ln |ln x |jc+ 2 1 n |V l + lnjr - 1 1+c
©
x 2ex senxdx
1 ,
,
Rpta. —[(x - l) s e n x - ( x - l) cosx]e*+c
©
x 5dx
V8x3 +27
Rpta. — (8x3 + 27)5' 3
(8x3 +27)2/3 + c
320
128
2a + x Ia - x
dx
a+x \ a +x
©
dx
sen xcosx
©
1^
x 3 aresen—dx
dx
+c
4a + X
-
C tg
X
Rpta. ln | tg x | -c tg x ----------- + c
Rpta. — aresen(—)+ X
4
x
12
*Jx2 - l +c
Rpta. - 2 (^ /5 -jc -l)2 -4 1 n (l+ ^ /5 -x )+ c
©
\¡5 - X + V 5 - X
©
sen(5x + 2) sen(4x+2) cos(3x+ 4)dx
255
Integral Indefinida
_
1 r.. sen(4x + 4) sen 6x sen(2x + 8)
Rpta. —[sen(2A-+ 4) + —— ------ - + -------- + ----- --------] + c
8
2
3
6
®
f
I cos" (In x)dx
„ . x xcos(21n.r) + 2A-sen(21nx)
Rpta. - + ------------------------------------- -- ------- -------- - + c
2
J
10
I cos x(cos x + sen xh/cosx + 2sen x
1 J c \ g x +2+l
l
J c t g x +2 - 4 2
Rpta. —l n | - ^ = ----- — 1+—= l n | - ^ = = = — t= |+ ‘'
2 ^jc i g x +2 -1
2v2
a>
P *1
Rpta.
[25x2 (3 sen x - cos a ) - 10a (4 sen x - 3 cos x) + 9 sen x - 13 cos v] + c
(3x2 +4)dx
-------- /
. .
2~Jx(4-3x2W 3 a-2 + a- - 4
a/3 a 2 + a - 4 + -Jx
Rpta. In I—----V3 a 2 - 4
f
= =
J V2+ a/x Z T
24)
JJig x dx
Rpta.
1n I
4
25j
Rpta. —t/2+a/x-T(-v/jc-1 -4 ) + c
3
I+
lg a' + J 2 tg a*+1
arctg(\/2 tg x -1) +
2
arctg(-\/2 tg x +1)+c
2
f ----- 4 ^ — t RPta- 1,1— — l n | r w + l | + ---------------------------- ------- +c
J x ( x ™ +1)2
© J*-y2+ ^ T ^ T + T c o s p ^ T ^ x
999
*"dx
Rpta.
999(v
32
sen(
(3
^
1
U
+ —) + c
8
4
+1)
256
Eduardo Espinoza Ramos
tg-Vdx
¡ (eos99 x+1)2
Rpta. ln x — —lnlcos99jc + l|- ln c o s x ---------- ---------- +c
99
99(cos x +1)
(28)
W
f -----P ——
J x(x +1)2
Rpta. ln * ——In j a -7 +11+c
7
@
r (2 + tg2 x ) see2 x ,
------------ -------- dx
J
1+tg x
_
, .
. ,2
2tg A - l
Rpta. l n | te a + 11+ - 7 = arctg(----- p — ) + c
V3
V3
( 30 )
W
f ---- =
---J ein2x4 \ n x + 4 h ^ 7 . - x
Rpta. J l n x +-\/lna-+ -s/Tria +... +c
(3 ^
J(x + (x + (A + (x+...+oo)3)3)3)3dx
R p t a . i [ ( x + ( x + ( x + ( x + . . . + » ) 3 ) 3 ) 3 ) 3 ] 4 - Í [ ( a + ( x + ( x + . . . + oo) 3 ) 3 ) 3 ] 6 + C
4
2
®
r sen jt+sen2x + ...+sen wx , _
2
,w + l .
-------------------------------dx R p t a .--------ln | cos(------ )x | +c
J eos x + eos 2x +...+ cos nx
n+ 1
n
®
r
(x2 -se n 2 x)dr
_
----------------------- ------------ Rpta. x(cos ec - c tg x) + c
J jt-senjtcosx+xcos x -se n x
®
r x l n x dx
—ñ----- r^r
3 (x —1)
(35)
f a re sen ^2x ^
w
J
V i - 2 a-
_
lux
Rpta. — -----+ ore see x + c
a: - 1
Rpta. -J2x - ~Jl - 2 a a r e s e n J2 x +c
257
Integral Indefinida
§>
j e x eos3 x dx
Rpta. - ( 3 sen 3x - COS—-) +—e r(sen.v-cosx) + í
40
3
8
+c
1 + JC *2
-J4 + X 1 dx
5+-\/4+x2
Rpta. jc —51n|------ ------ | — ¡ = l n |-------------- =-------- — |+c
2
V2Í
^ _ V 3 tg (Ia rc tg (^ ))
2
40)
f
g
r
1-f--\/l -4-e '
2
Rpta.
+í
^
©
f Jr-V
J A"1 -ty
l/7:
Rpta.
—ln|(.v—2) 1 3 + 1| + —ln |(x -2 )2'3 —(v -2 )1'3 + 2 |-----!j= a r c tg (-^ ¡J —-) + c
4
8
4V7
V7
•</.r
f r -—
J x¡S 7 x r
n . —1ln, —
, í2
“ 1)2 . + —
^3 arctg(—j=-)+c
. /2Z + 1
Rpta.
---------10
z 2 + z +l
5
V3
donde Z = t/ i + x5
r
(jc2 —1)í¿c
—
xVl+3x2 + x 4
. . x 2 + l + "\/jr4 + 3x2 +1 .
Rpta. In| ---------------------------|+t‘
x
Sugerencia:
f arcsen A dx
J (1_ jc2)3/2
Z = x+ —
x
Rpta. aresenx tg(arcsen x) + ln | cos(arcsenx) | +c
258
._i
45)
^
Eduardo Espinoza Ramos
fVl-JC2
,
------— arcsen x dx
J x4
„ .
arcsenx(l-x2)3/2
1 lnx
R p t a .---------------- ----- -—----------------+c
3x
6x
3
dx
I ( x - 2 ) 3^¡3x*^%x + 5
r. *
6x-13 r ~2 ~ 7 9
2x-3+-\/3x2 -8 x + 5 .
Rpta. --------- -V 3 a -8 x + 5 — l n | -------------------------- +í2(x-2)
2
x —2
gj
f ^ j- 2 ^
2 JrT T r
rfx
—
x +x
„
1
1
Rpta. arete x + -------X
3x
f3x -1
,
I ----- 7=^ arctg x dx
_
Rpta. —
J
50)
9 rJ v
2
( x '+ l)
— arctg a - 2v* + c
- r-
/v
f
J 1 -x V Ñ V
Rpta. ——1n 11- xVl -A-2 | +a/3 arctgf^ - ^ * ) - arcsen a*+ c
2
V3(l " * 2)
®
©
r x + -Jl + x + x2 ,
----------> ■
dx
1 + x + Vl+Jc + x2
r
r 1. . l + 2x+2-\/l + x + x 2
Rpta. V l + x + x - + - l n | ................ . ........ — |+c
2 (2 + x + 2Vl + x + x 2 )2
f
* j— = dx
J Vx+Vx + l
Rpta. ^-[(x+1)3' 2 + x3' 2]—^[(x+1)5' 2 - x 5/2]+c
3
5
í V 2“x- A + l
a
a
259
Integral Indefinida
Rpta.
2 1 n |jt-V x 2 -jc+1 | - —In |2jc- 1 -2<s/jc2 -jc+1 |
+c
2(2jc—1—2'v/jc2 - x + 1
Rpta. ln|x+-\/2 + Jc2 | - arctg( ^ + * - )+ c
x
¿A
A dx
-------- = = = = =
1
Va'2 - 4x + 3
Rpta. - 2 arcsen(------) ------------------+ c
( a 2 - 3 a' + 2 W a-2 - 4 x + 3
* -2
(3a + 2)dx
í (x +lh/jc2 + 3a + 3
Rpta. 3 1 n |x + -+ ^ A -2 + 3x+3 | + l n | — + - + —
x+1 2
©
í-
( a - 1 )dx
a 2V a 2 +
_
^2 x 2-2 x + l
Rpta. ------------------+ c
A
2x + 1
^
1,
,1 + t g A ,
1
Rpta. —l n ---- — + —senxcosx + c
4
1 -tg x
2
dx
(óo)
+ 3 x + 3 | +c
x+1
sen x + sen3 a
/ eos 2x dx
n
J a ( c o s 3 a 2 - sen3 a 2 )dx
Rpta. ~ (sen x 2 + eos x 2 )(4 + sen 2x 2) + c
COSA
3 . . a/2 COSA-1 ,
Rpta. —= ---------------------- ^ l n | —¡=--1+c
V2
2V2
V2cosx + l
dx
Rpta. 2^tg x + c
í •\/sen x.cos 3 x
¿X
© j 3(1 - x 2) - (5 + 4x)Vl - 2
a
2-s/l + A
Rpta. —= = — ------+ 6
3V1 + a - V I-x
260
(63)
Eduardo Espinoza Ramos
Jcosec5xrfx:
_ A
eos ec3x ,
3
R p t a .------ —---- c tg x - —eos ecxx: tg x + —ln | eos ecx - c tg x \ +c
(64)
Jsec6 x d x
Rpta. ^
©
fsen3x¿fcc
—j
Veos3 x
_ ^
5 , 3
2
Rpta. — (eos x-6)=ycos x + c
®
fV l + x 8
\ — ¿ ~ dx
4 ^ ( l + x 8):
Rpta. K ——^
©
W
f f
=
J ^ /(x -l)3(x+2)5
Rpta. —í ——- +c
3 Vx ++22
©
w
flN
* ó --------J V2x + 3 3x2 + llx+10
Rpta. 2arctg p ± 2 + c
\ x+2
©
Í7 7 I
3, ...
* + ~ tg 3 x + tgx-fc
Rpta. H E Í I £ + ^ f ln| * ~ + ^ * + 1 1+ iarctg(2x + ^ ) + i a r c t g ( 2 x - ^ 3 ) + c
3
12
x - V 3x+l
6
cosjc-senx
dx
5 + sen2x
©
|
©
Jí
V4
©
J
^
í/x
tÍ ?
-X 3
-y/l-x2
aresenx r/x
6
_
1
sen x +eos*
Rpta. —arctgf----- — — )+ c
Rpta. -
VO - * 2); aresenx
l
3x‘
6x
2
x3/2
Rpta. j arcsen(—^yy) + c
Inx
-+c
Integral Indefinida
261
(cos 2 x -3 )dx
eos4 x
Rpta. - ^ t g x(2 + tg2 x ) ^ 4 - c tg2 x + c
tg2
— X^ X
Vx + 1 -V * 2 +1
Rpta. —(x + l)3/2 + “ [xV*2 +1 + ln(x + V l+ * 2 )] + c
^
^
1—eos x , „ ^ ^ ^
-dx, ()<a<x<7ü
cos a - eos x
©
©
™
n
cos(x/ 2)
Rpta. -2arcsen(---- :—— ) + r
eos(tf/2)
x" aretg(x/¿?)dx
2
r*
x3
, .
qx
a3
i
Rpta. — aretg(x/¿?)-— + — ln(¿7_ + x ’ ) + c3
6
6
1 dx
^
—1-sen —
x
x
«Rpta.1 —eos--1
1 —+c
sen
x
x
x
dx
(x +1 )Vl + 3x + 3x2
_
1, ,x + Vl + 3x + 3x2
Rpta. —ln | ——--------------3
x
1
V3
2%+3x+3x2 - I
arctg(--------- ¡=--------- ) -
1, (l + 3.t+3x )
Vl+3x + 3jc
„
—ln |---------- -— ------ --------- ---- + l|+ c
6
x*
dx
I (eos2 x + 4senx-5)eosx
Rpta. ln |( l- s e n x ) '/2(l+senx) 1/18(2-senx) 4/g[ + ----- ------ +c
6 - 3 sen x
^(1 + x~)~
x
Rpta. ln(x +
dx
+JC 2
+*
n / ( l + X '' ) 5
- > / ( l X ““ ) 3
^ 1 -f X ?
+c
5x53x3X
Eduardo Espinoza Ramos
262
©
f
^‘
®
j
®
ÍVx - 3 ■dx
Rpta. V2 arcig-
=
x~dx
2 + 3jc
^ -1
+c
Rpta. y-Jl+V l + x +c
Rpta. ->/3jc2 -7.V -6 + ^-]=ln |x ——+ J x 2
x - 2 | +c
2V3
6 V
3
dx
Rpta.
4 - 4x2 -12x + 8 - —(2 x -3h/4x2 -12*+ 8
8
(85)
J e ' (c tg x + ln(senx))dx
ln| 2 x -3 W 4 x 2 -12x + 8 |+c
8
Rpta. ex ln(senx) + c
Rpta. ^ l n k 4" - l | - x + c
dx
x5 +1
„
-s/5 ,2,v2 -(1 -V 5 )x + 2 , Vi O- 2^5
A x-d+ jS)
Rpta. - ^ - ln |— ;—
^
- |+ - —
arctg( ,
_ -) +
10
20
2x2 - ( l + -\/5)x + 2
^1 0 -2 ^5
„
VlO + 2V5
#4jr-(l —v/5h
+—------------arctg(—r-------v---' ) + c
10
VIO + 2 V5
®
J
8sen2x.senx í /x
(2 0 -4 se n 2 r-1 9 se rr2 x).5.2
4 tg x -1 6
5(tgx-4)'
128
Rpta. —,
(—-—£----------- +12) +
-t-r
3/2
3-Jüp- x -8 tg x + 2 0 tg2 x -8 tg x + 2 0
3(tgx-8tgx+ 20)
Integral Indefinida
®
263
r3xarcsenx ,
_ ^
arcsenx
1_ x
, . x+1 n
r e ' ^ e 2' - 4 - 2 e lx(ex + 2)
1
*
fj; ~
-----dx Rpta. —ln |f + 2 |—ve —4+ c
I ----------------- .
J
22
2(ex + 2 h f e ^ 4/i
(x2 + 3x)rfx
i ( - l h / * 2 - 2 .V + 10
a
Rpta.
Vv2 - 2.v +10 + 51n|V.r2 - 2.v +10 + .r+11+ -1 n| — --- 2* + 10 3 |+t
3
x —!
* x4Vsen x + Vsen x + cos x ^
j
(x4 +1) cos x
_
Rpta.
1, . Vsenx +1 ,
,¡ ------% a/2, , x 2 +V2x + i,
—In | .
— | - arctgwsen r ) +---- In | —------------*| +
2 V senx-1
8
x’ -V 2x + l
+
© f i l l —cosx dx
®
[95]
r cosx dx
L Vl
, + sen , x
©
J
**
2 -se n x
------+t*
1 , Vl + sen4 x - s e n x . 1
il+sen4 x,
Rp,a- ^4 ln' VI
w, + sen , x+
-------H T
senx l + ’- arc,8lW
V scn
x )+ ‘'
f arccos.
dx
V \ -t-1
r ----V l + i----i/r,
arctgfyfl x -1) + c
Rpta. V3 + senxV2-scn x + 5 arcsen^-
Rpta. x arccos - — ---- 4 x - arctg V* + c
V1+ x
J
®
arctg(V2x+1) -
V l+ T------ - 1,
-<■’ .+ - 1arctg(-----j / l + e — >) -t-<
R„ p ta .-------l r | . Vl+<? ------1
tf*
2
tfl-r*4' +<•'
2
Í'
jV sen v + scn v dx
Rpta. - Vsen1 r + sen a + arcscn -\/l - cos x +c
264
Eduardo Espinoza Ramos
Rpta. 'Veos2 x + eosx + aresen V i-eos y + r
e
sen v * C O S
x -s e n x
,
Rpta. esenv(x-sec v) + ¿-
--------- ---------dx
cos~ X
100
l - V x dx
1+ =Vx -v
Rpta. 3[ln | V* M n 11W 1- Vx |-aresen
dx
(x + a)(x +b)
©
(x2 +1 )dx
103
©
Rpta. ln(x + í/).ln(x + fc) + c
(JC2 -l)V l+ .t4
1 , i
+ Vx4 +1 .
RPta. — 7= ln|------- --------- |+ r
V2
x“ - l
e fc(tf»l+ t -fcO,M+2
—--------------¿x
é» ln j + í
,
,nv + 1
Rpta. ln(lnx + 2)— ^arctg(— p —)+ c
J3
-J3
x dx
2x(x+3)1/2 - ( 4 r + 12)
105
senxtgx dx
sen3 x~cos3 x
106
eos x(senx)7dx
(1 + sen4 x)3 2
(x5 +2x2)
®
dx
.3/2
(l + x 3’>
108
,,_i ,x + a
(-— )
2 dx
x -o
sen (—— )
—
5.2
-v/x + 3
Rpta.
—
1- c
*
3 arctií t]x + 3 ----------3
Rpta. ^ l n | t g 3 x-1 |+e
Rpta. Vi + sen4 x +
+c
i i + sen x
2 i--- r
2
Rpta. —-a/I+ x -----,
3
3 ^ 7
+c~
R p t a .----- — (cos(—
/ieos¿?
2
(scn(^—^)) " +c
2
eos
Integral Indefinida
dx
109
I i-JxA- 2 x 2 —1
(n o )
jl n ( x 2 - x - 6 ) d x
265
1
x~ +1
Rpta. —arccos(——y=) + c
2
x~ V2
2Vx2 - x - 6
Rpta. ln(—)(2x + l) + (2 x -l)ln ( —
(m)
2x - 6
.
i-------- ) - 5 In 1— =
|- ( 2 x - l) + ¿
2Vx~ - x - 6
x + 1 . r U - r ) 1'Jarccos ec^J^^rfx
+J
¿X
Rpta. x arccos ecJ — ——y/x + arctg-v/x—
— I)6'* +cV jf
24 x 4
Rpta. — ijtg5 x(5tg? x + 1l) + r
113
rfx
f ___
eos3 xVsen2x
V2
Rpta. -^ -(tg 2 x + 5)^tgx +c*
5x + 2
rfr
V3xVÍ--3x
Rpta. — aresen *J3x - — sen(2 aresen ->/3x) + c
9
18
eos2 x
Rpta.. _ ^ + -*CQS X + ^3 ln | Vi +3cos2 x +^/3 cos x|+e
cosx
(2x + 3)¿/x
©
J (x2
n +2x + 3)Vx2 +2x + 4
D , . ,-\/jc2 +2.V+4-1
1
J l ( x ^ + 2 x +4)
Rpta. ln[ — | — —arclg(---------- ------- )+ r
x+1
V x 2 + 2x +4 +1 ^2
266
Eduardo Espinoza Ramos
3jt ,
©
x ,vn x
Rpta. arctg(í? - e
) +c
í ■\¡\ + e ' +"\/l—fc,J
„.
e '' , £
7
T> 1 , . ('v/l+e' -1)(1—■ ) ,
Rpta. — — (VI + e - VI -<f ) + - ln | ------- — --------------- | +c
2
4
N l + e ' +\ ) ( \ + J \ - e x )
©
(l2o)
Deducir la fórmula de recurrencia de la siguiente integral:
X €
UX"
.
^
tí
Wf
/ Mi
f xw¿/x
x n~1 r
7 w-1
¡----V " ------- +--------------- í *’*
J Vi~x2
”
”
Deducir la fórmula de recurrencia de la integral:
In =
(*22)
t „
Deducir la fórmula de recurrencia de la siguiente integral:
/n =
^21^
Í n ux
sen* dx = - x tl eosx+ nxn ^ senjc-//(j?-l ) / w_2
Deducir la fórmula de recurrencia de la integral:
I„ = f x ^ í j r + f l í ' i f e - ---- ----- [xH(x.+a)n*1
J
m + n +1
123)
Verificar la fórmula de recurrencia de la integral:
r
C n . e o s" 1*sen n - \ C
,
/„ — eos x dx = -------------- +------I eos ~ x dx
J
n
n *
^124)
Verificar la fórmula de recurrencia de la integral:
r „
sec,?2xtgx n - 2 r
,
sec x d x - ---------------- v------ sec “ x dx
J
n- 1
w-lJ
Integral Indefinida
125)
Verificar la fórmula de recurrencia de la integral:
r
J
126)
„ ,
cosec” 2x r l g x n - 2 f
#l ? ,
cosec x d x - ------------------— + ------ coser ~x dx
11-I
—1J
Verificar la fórmula de recurrencia de la integral:
¡:; = f /
J
121)
267
lnm x d x = — [xw+l lnm x - — f x n l n ~ x d r ] , n # l
n+1
n +1 J
Verificar la formula de recurrencia de la integral:
r sen x ,
sen x
1 r eos x ,
/„ = ------ d x - --------------r + ----- ----: dx
J x”
(H-l)jc" 1 « - 1 J.V ” 1
^28)
Use la integración por partes para deducir la siguiente fórmula.
J tg" x dx =
^29)
- J tg"~2 x dx . n > 2
Hallar una fórmula de recurrencia para
/„ =
.2
|*1
2
x ne * dx , n > 0 y aplicar dicha fórmula para calcular I e ' x 'dx
Jo
Jo
(l3o)
Deducir una fórmula de recurrencia para
©
Verificar:
a)
x
Jv4 lnwx dx ycalcular
I H = J l n " x dx = x ín n x-ní„_l
!
í\ 2
J
c)
/. = (a
d)
/„ =
b)
2k» j x(a2 -X2)" 2ncr
) dx=------- - --- + ----2n + \
2n +1
r x"dx x" 1 l~ >
«-1 .
i = ---- - = ----- V a r + a --------/„ .2
J Vx2 +o
»
”
x4ln3 x dx
I n = J xne xd x = x 1e* - n i „ ,
Eduardo Espinoza Ramos
268
CAPITULO II
2.
I N T E G R A L D E F I N I D A .En este capitulo expondremos la teoría de las sumatorias, que es necesario para el
estudio de la integral definida y que en el siguiente capítulo será utilizado en diversas
aplicaciones.
2,1
S tM Á T O M ^
A la suma de los n números ax,a2^..,an es decir; ax + a 2 +—+a„ , representaremos
por la notación:
........ v... ....................
w-«’^
donde el símbolo ^
t+- #2 + iry+Ctft
se llama signo de sumación y es la letra sigma mayúscula del
alfabeto griego.
Generalizando: Consideremos m y n dos números enteros de tal manera que m < n, y
n
f una función definida para cada i e Z donde m < i < n, luego la notación ^ f ( i )
i ni
nos representa la suma de los términos f(m), f(m + 1), f(m + 2 ) , . . f(n), es decir:
donde i es el índice o variable, m es el límite inferior y n es el límite superior.
Ejemplo.- Si
i
^
6
^ 3 4 5
6
/(/) = — , entonces Y f(i) = Y ~^-; = ~ +- + - + - + /+1
r i i+1 3 4 5 6
7
i-1
i~2
269
Integral Definida
Ejemplo.- Sí f(i) = eos ix, entonces
n
n
^ /( i) = ^ e o s ix = eos v+ eos2x + eos3x +...+ eos#ix
1=1
i=i
n
Observación.- En la sumatoria ^ / ( / ) , existen ( n - m +1) términos los cuales
i-tn
son f(m), f(m+l), ffm+3).....f(m + (n —m)), en particular, si m = 1
n
y n > 1: entonces en ^ /(/') exiten n términos: es decir:
X / ( 0 - / ( l ) + / a > + /(3)+,,.+ /{«)
244
PROPIEDADES DE LA SIJMA í ORIA Sean f, g funciones definidas V i g Z. k constante.
0
h
Y j k = k"
;1
n
©
= ( / / - w + 1)Ai-#w
©
/i
n
£ * / o ) = * X / o •)
*=1
i1
©
n
»
2 ] ( / ( i ) ± íí (o ) = 2 ] / ( i ) ± x «(í)
í-1
i=l
i-l
©
í> > = !> -< >
©
¿./(/)= X /(/+ c)
i a
_
©
i—a-*-c
i-a
«
^ ( / ( / ) - / ( / -1)) = /(;;) - /(O)
»1
©
Z ( AO - / ( / - 1 ) ) = f { n ) - f ( k - 1)
ik
_
»
^ ( / Í l + D - A (/-l)í=
11
( 9)
i=a+c
(Ira. Regla Telescópica)
(Ira. Regla Telescópica Generalizada)
+ D + f(ii)“ / 0 ) - / ( 0 ) (2da. Regla Telescópica)
Eduardo Espinoza Ramos
270
ío)
Y j </<' + 1)-/('-!)) = ./ (« +1) + A » ) -./ (A) - / (A -1)
i i
(2da. Regla Telescópica Generalizada)
Ejemplo.
40
(T )
Hallar el valor de £ < 7 2 7 7 1 -V 2 /-1 )
II
Solución
Mediante la regla Telescópica se tiene: /( /) = V2/TT =>
/ ( / - l ) = V 2 /-I
40
(V2i + 1 - V 2 / - l ) = ./(40)- /(()> = ^ 8 T -1 = 9 -1 = 8
1-1
©
100
.
]
Calcular el valor V (---------)
t f '
Solución
p(r^
r ,
V I/
Mediante la regla Telescópica se tiene:
f(i) = —— => /(/) = i
+1
í
. 1 .. 100
40 1 1 .
1 1
, ____
( - — — ) = ~ y (—— i )= -< /r(ioo)-A O )) =-<— 1)=
i+l /
101
101
I 1 i / +1 " 1-1
Z
2.1.2
FORMULAS DE LA SUMATORÍA,-
te,
£3 )
2
V 7* - «~(h + 1);
#*i
^
^ .4 _ «(« + l)(6 n* +9 « 2 +n -1)
/-i
271
Integral Definida
Demostraremos las dos primeras fórmulas, las otras dos dejamos para el lector.
Q
y
1/ =
1 +
2
+
3 + ... + ( w - 3) + ( / i ~ 2 ) + ( w - 1) + /j
í=i
n
=w + (j?-l) + (/í-2 ) + ...+ 4
+ 3
+
2 + i
/-i
_________________________________________________ sumando
n
2 ^ T / = (/? + 1) + (i# + 1 ) + ( / ? + 1 ) + . . . + (/ i + 1 ) + ( n + 1 ) + ( / i + 1 )
i1
n
en el segundo miembro se tiene n términos (n + 1) por lo tanto 2 ^ / -;?( m+ 1)
i1
y . _ n ( n +1)
A tr '=
2
otra forma de hacer la demostración es aplicando la regla telescópica.
n
y > + l)2 - r ) = /(/i) - /(O)
ii
donde /(/) = (/ + l)2
ri
^ [ ( / + 1)2 - í 2] = ( / i + 1 )2 - 1 , Simplificando la expresión dentro del corchete se tiene:
í=i
n
+li + l - i 2) = n2 + 2n
il
n
n
2 ^ / + ^ l = / r +2;/, de donde 2 ^ i +n - n 2 + 2n
í-i
í=i
í-i
2/ i ~
i i
*>
w (#f + l )
+ /i, entonces > i = --------.=1
2
272
Eduardo Espinoza Ramos
Para demostrar y V = n^n + ^(2n +l) ap^camos
1=1
®
reg|a telescópica.
n
£ [ ( / + IIa - Í 31 = /( « ) - / ( O ) . donde /(Í) = (| + 1)3
Í=1
TI
^ [(/ +1)3 - / 3] = (n +1)3 - 1 . simplificando la expresión del corchete se tiene:
7=1
n
^ ( r 3 + 3/2 + 3/ + l - i 3) = (w + l)3 - 1 , por propiedad de sumatoria se tiene:
/=i
3 ^ i 1 + 3 , + y , l = (n + l)3 —1, reemplazando por su equivalencia
1=1
1=1 «=i
3 n(n +1) + n = (n +1)3 - 1 , transponiendo término
3 ^’’ / '.22 + —
/=i
2
3
3 ^ i 2 - (h + 1)3 - ( h + 1)——w(n+l)
/-i
2
,
V
-3
Por lo tanto:
®
n(n+l)(2n +l)
2
w(w+1)(2#1 + 1)
¿Z
------ ------
Para demostrar ^ i3 = n ^ + ^
í=i
4
t use la regla telescópica. Sugerencia.
^ [ ( /+ 1 ) 4 - / 4] = / ( « ) - /.(O) donde /(/) = (i + l)4
1=1
©
De igual manera para demostrar.
.4
2_¿l
/í(w + 1)(6/j3 +9w2 +/í-1)
,
. , .
-------- -------------------- » u s a r r e 8la telescópica, sugerencia.
3<>
Integral Definida
273
^ [ ( / + l)v - i >] = / ( « ) - / ( 0 ) . donde /(í) = (/-rl)s
ii
Ejemplo.(T )
w
Hallar una fórmula para la suinatoria
^ ------ ------“ (/ + !)(/-1)!
Solución
Multiplicando numerador y denominador por i, es decir:
h
“
i
1
«
_ y^
(/ + 1 ) ( / - ! ) ! ~ “
_ y*
“
/
w
_ y^
(/ + l ) / ( / - l ) !
1
1
il íi+1)!
^ 0 + 1 ) !
“
1
( (// + !)!
[a + !)!-!
(/# + !)!
"
Hallar una formula para la sumatona ^ ln(/)
i1
Solución
Aplicando propiedad de logaritmo se tiene:
n
y^lnfí) = lnd) + ln(2) + ln(3) + ...+ln(w) =ln(1.2.3...n) = In(w!)
■i
n
Y i n « ) =ln(//!)
/-i
( 3)
Hallar una formula para la sumatona
n
.
y* ^ / + !
“ f ¡ * (i + l) !
1
1
0 + 1)! /!
f (i+
••• j?3
7 - 1)(/-1)!
_
(Y)
n
- .
_ y-» / +1 -1
/
^ sen(/x)
.
1
(/ + 1 ) ! ~ ( / + 1)!)
(// + !)!—!
* (// +1)!
274
Eduardo Espinoza Ramos
Solución
Usando la identidad:
A +B
A -B
eos A - eos B = -2sen(—-—)sen(—-—)
... (I)
de donde haciendo la sustitución se tiene:
A +B
.
------- = I X
A + B = 2/x]
A - B = 2x
2
A -B
—x
resolviendo el sistema se tiene:
A = ( i+l )x ; B = ( i - l ) x
-.(2)
Reemplazando (2) en (1) se tiene:
cos(z + 1)a* - cos(z - 1)jt = -2 senixsen x , aplicando sumatoria a ambos miembros:
1
y[cos(i+ l)jc-cos(/-l)A ] = -2 s e n A y s e n á
í-i
y mediante la segunda regla Telescópica se tiene:
n
eos(/i +1) + cos( n) - eos x -1 = -2 sen j c ^ sen(/x), despejando ^ sen(/.v) se tiene:
í-i
íi
/-i
_ 1+ COS JC “ C O S (/ÍX ) - cos(w + l)x
2 sen ,v
Z
i i SCUIX ~
©
n
Hallar una fórmula para la sumatoria ^ i.i!
i -1
Solución
Aplicando la Regla Telescópica se tiene:
n
^ [ ( / +1)!-/!] = /(»■)-/(O ), donde f(i) = (i+l)!
í1
275
Integral Definida
Simplificando mediante propiedad del factorial la expresión dentro del corchete.
n
n
^ (/! (/ + !) —/!) = (// +1)!—1, de donde ^ (/./!+/!-/!) = (n +1)!—1
*=i
í=i
n
por lo tanto
_
( 5)
^ /./! = (n +1)!—1
r=i
»
Hallar una fórmula para la sumatoria
5'
1=1
Solución
Mediante la Regla Telescópica se tiene:
(ó )
^T (5í+1 - 5 ') = / ( n ) - / ( 0 )
I1
donde /(/) = 5'
¿ ( 5 . 5 '- 5 ') = 5 - '- 5
1=1
¿ 4 . 5 '= 5 ( 5 ’ - l )
1=1
*
=*
*1
w
Hallar una fórmula para la sumatoria ^ senh(9/x)
/-i
Solución
Mediante la segunda regia Telescopica se tiene:
n
^ [cosh 9(/ +1 )x - cosh 9(/ —1)jt] = cosh 9(/# + 1)* + cosh(9/u) - cosh(9x) -1
1=1
2 senh(9x)^ senh(9wc) = cosh 9(// + l)x + cosh(9wx) - cosh(9jc)
i-i
n
y senh(9/x) i i
cosh 9(// + 1)jc+ cosh(9«jc) - cosh(9A ) -1
2 senh(9x)
^
276
Eduardo Espinoza Ramos
2M
EJERCICIOS PROPUESTOS
I.
Hallar el valor de las siguientes sumatorias.
S>9
©
z ii\2l
10Ü
Rpta. 4950ln2
.
j
©
Z 1”« ^
1=1
RP 'a- ' " f e *
®
20
^ 3 / ( í 2 +2)
»=1
Rpta. 133,560
25
@
^ 2 i(/-l)
Rpta. 10.400
1=1
(5 )
1U0
^ sen21(2jc)
í~i
Rpta. tg2(2x)(l - sen200 2x)
3
63
4
í=2
25
©
Z tpt
RP'»-
®
S ^ -
Rpta' WÍO)2" 32
®
50
]T (2 ;2 + Í-1)
í=0 z
Rpta. 85359
í=14
¡2 )
1=1
z
R p ,a ' T i
Integra/ Definida
II.
277
Hallar la fórmula para cada una de las siguientes sumatorias.
Rpta. 2 -
2 +n
2“
©
Rpta. («-1)2" +1
1=1
Rpta. in(n +1)!
1=1
W
Rpta. ^ 2 n + 1 -1
i=i
©
t“
©
X a'-” 1
i=i
©
tel
W
(4í -3)(4/ +1)
vi +1
y 2' +i(i + l)
h l'-'d U n
Rpta.
Rpta. q(l —/•*')
1—r
Rpta. ■V/i+i - i
-v/n + l
Rpta. 1
Rpta.
©
•vl+i
^ 2*ln(i')[ln(l + /)1
*1•]
1
2« + 2
1
n-l
2
n(n + 2)
(h + 1)2
i=i i 0 + 1)
® ¿te2 A
‘ —1
4ti
4tf + l
Rpta.
3
4
2/7 + 1
«(» +1)
Rpta.
1
21n2
1
(/# +1) ln(/i +1)
Eduardo Espinoza Ramos
278
12)
£ (V 3 7 7 )'
Rpta.
V3+I[(3 + -r)n,2- l ]
43+ x-l
Rpta.
/i
4(// + 2)
í=i
n
i
y — 1—
t ? 2 / 2 +6/ + 4
w
i
x —
m - n/-
15)
£ (2 /-l)2
i=i
¡í> Z
“ (a + / -l)(a + /)
Rpta.
Rpta.
©
Z
2n + \
w(2n-l)(2» + l)
Rpta.
«
a(n +a)
Rpta.
«
3n + l
Rpta.
w(n + l)
2(2« + 1)
.2
(2/ + 1)(2/—1")
n
Rpta.
h2 +3 h + 3
2(h + 2)(w+3)
S> L
Rpta. ----- — —(—------ ----)
(logfl 2)- 2 2(m+ 1)
2Í)
Z s en2,(2jc)
1=1
Rpta. tgz jc(l-sen2w(2x))
( 22)
cos(3/jc)
£ flo g 0(22').log0(22,+2)
1=1
Rpta.
sen(3(w + l)jr) + sen(3/ur) - sen 3jc
2 sen x
279
Integral Definida
®
y-> tgh(l 9ix)
“ senh(l 9ix)
n
R ta
i
&
z
25)
^ eos1 2x
e -(3 sen ¿7 cosa ) 1
H i7
í^l
Rpta.
cosh 19(n +1) + cosh 19tix - cosh 19-1
**2senh(19jc)
e[(e / 3)" -1]
e-3
Rpta.
sen 2 a[(sen a.cos a)” -1]
sen(2 a ) - 2
senn+1(2x)
2"+1 sen*
1=1
.2/1 + 1
sen(-------x)
Rpta. _____ n
eos IX
í=1
2 sen(^)
v p 2' + 3*'
Rpta. ( | - 3 " - 2 n+1)
6
.=1
&
z
Rpta.
tt2 +3« + 3
2(w + 2)(w + 3)
)
- - +- -x-+ 2)
y -(i+x)(/
- - - - -+-x- +--l)(/
Rpta.
rt(2x + rt + 3)
2(a + x +1)(n + x + 2)(x + 2)(x +1)
9
z
1
1
5
Rpta. ------- + -----------5>j + 4 5 /j-l 4
S>
Z '-2‘
@
¿
29
i n 'o + i) o 2 + 5 / + 6>
10
,-_.j 24 + 10/ —25/
Rpta. (n -l).2 ”+1 +2
1=1
í-1
cos2 , 3x
Rpta. c tg2 3x.(l - eos2" (3x))
Eduardo Espinoza Ramos
280
III.
Hallar el valor de n para que:
®
¿ ( 2 + / 2) = ¿ ( l + / 2)
1=1
1=1
_
2 >.
Si x = — — , demostrar que:
n
n
n
.
^ (x ,- - x ) 2 = ^ x j - x ^ x¡
1=1
í=i
i=i
,/IX
n
sen(— )
_j
^ c o s ( x 0 + (k-\)x) =------— sen(.v0 + —— x)
*=i
sen(y)
2
(T )
Demostrar que:
( 4)
Demostrar que V ’ arctg[------ ------] = arctg(n(n+l))
*=1
W *+n
©
w
Demostrar que:
2,2
CALCULO DEL ÁREA DE UNA REGION PLANA
SÜMATOR1AS. . ' -■ ~ '________ -
f
“
-----------------i--------------.
cos[x + { k - 1)j ] cos(x+ ky)
+
sen y
2.2.1 m ÉARTIClÓNDE^NJNTÉRA'Al^'ifeERRABG.-DEFINICION.- Consideremos un intervalo cerrado [a,b] con a < b, una partición
del
intervalo
[a,b]
es
toda
colección
de
puntos
P = {x0,xx
} c: [a,b\ de tal manera que:
281
Integral Definida
OBSERVACION.Toda
partición
P de
[*,-1.* ,], i = l,2,..,n.
[a,b]
divide al intervalo [a,b] en subintervalos
©
A la longitud de cada subintervalo [jca-_!, jc,-] para i = 1,2,...,n denotaremos
n
Afx = x¿-Xi_i donde i = 1,2,..ji y se cumple
Afx - b - a
©
Cuando las longitudes de cada subintervalo tiene la misma medida, se expresa en
la forma At = - —- , y en este caso se dice que la partición es regular donde los
ti
extremos de cada sub-intervalo es:
jc0 = a ,
©
xx = a + At , x 2 = a + 2 A
t x¡ - a + iAx , V i = 0,1,2,.. .,n
Al número | P |= maxfr,- - x M / i = 1,2,...,«} le llamaremos norma o diámetro de
la partición P y que es la mayor de las longitudes A,x.
1 3
9
Ejemplo.- Dado el intervalo [0,3] y la partición P = {0,—,1,—,23,—.5}
4 2
2
Calculando las longitudes A,x, es decir:
A,x ———0 = —
1 4
4
,
A2x = 1——= —
2
4
4
3
,=—
1
A,x = ----1
2
2
,
A x= 2
O ---3
A4
4 2 2
A5x = 3 - 2 = 1
,
A6x = —- 3 = ^ 2
2
1
Avx = 5 - | = |
2 2
3
Luego se encuentra que la norma de la partición P es \P\= —
Eduardo Espinoza Ramos
282
Ejemplo.-
Dado el intervalo [a.b] con a < b, y la partición regular
^ _q
P = {x0 = a,xx%x 2.... x n ~b\ donde x ¡ = a +------ 1 , i = 0,l,...,n
x0 = a , x „ - b entonces Alx = x/ -jcm =
b-a
n
b -a
n
xn = b
a = x,
y la norma de la partición P es | P |=
b-a
n
m
w w m m m w m /m w m
Sea f: [a,b]-----> R, una función continua y positiva (f(x) > 0) en [a,b], sea R la
región plana limitada por la gráfica de la curva y = f(x), por el eje X y las rectas x = a,
x = b.
(llamada región bajo la gráfica f de a hasta b)
Una aproximación por defecto, se puede hallar el área usando una serie de rectángulo
inscritos, es decir:
Integral Definida
283
n y
Como f es una función continua en [a,b] podemos elegir una colección de puntos
, ¡x2.... Vn en los n rectángulos de la partición P = {x0,x x
} tales que:
f ( j j {) es el valor mínimo de f en [x0,jq ]
/(a¿2) es va^or mínimo de f en [xx, x2]
/ ( A*3 ) es el valor minimo de f en [x2, x3]
/ ( )
es e*valor mínimo de f en [x„ ¡,x„ ]
Luego los n rectángulos construidos cuyas bases son los sub-intervalos de la partición
P y cuyas alturas son
respectivamente.
Las áreas de estos rectángulos son:
f { p l )Alx,f(iu2)A2x,...,f(fin)Anx , respectivamente aproximamos por defecto el
valor del área A sumando las área de los n rectángulos inscritos.
A > A X+A2 +...+ An = f ( n l )A1x + ...+ f(n„)A„x
Eduardo Espinoza Ramos
284
a la suma que nos dio la aproximación por defecto el valor del área A se denomina
suma inferior de la función f correspondiente a la partición P del intervalo [a,b], ahora
calcularemos el área de la región R en forma exacta, mediante un proceso de límite, es
decir:
n
A > y / ( ¡¿i
aproximación por defecto
í=i
n
A=lim Y fiHi)A/Jt, valor exacto
«-♦00
1=1
En forma similar se puede aproximar el área por exceso, usando también una serie de
rectángulos circunscritos.
▲
Y
Como f es una función continua en [a,b], podemos elegir una colección de puntos
Vj, v2V..,v„ en los n rectángulos de la partición P - {x0 ,xx,x 2
} tal que:
/( v j) es el valor máximo de f en [x0, ]
/ (v2) es el valor máximo de f en [xx,x 2]
f( v „ ) es el valor máximo de f en [xnA ,xn ]
Luego en los n rectángulos construidos cuyas bases son los sub-intervalos de la
partición P y cuyas alturas son / (vx), / (v2/ ( vn) respectivamente y las áreas de
estos
rectángulos
son
/( v 1)A1x ,/( v 2)A2x,...,/(vIJ)AMx
respectivamente
aproximaremos por exceso el valor del área A, sumando las áreas de los rectángulos
circunscritos.
285
Integral Definida
A < A} + Aj +... + An
A < f( \\ )Ajx + /( v 2 )A2x +...+ f(v„ )Á„x
, aproximación por exceso
n
A = lim y f(v¡)A,x, valor exacto
n—>oc. '
i=l
a la suma que nos dio la aproximación por exceso el valor del área A se denomina,
sumas superiores de f correspondiente a la partición P = {jc0, jcj
} del intervalo
[a,b].
A la sumas inferiores de f denotaremos por:
y a las sumas superiores de f denotaremos por:
Luego L(P,f) < A < U(P,f), por lo tanto para el cálculo de las áreas mediante
rectángulos inscritos y circunscritos se tiene:
donde Ar = - —~ y ct =a + ¿Ax
n
Ejemplos de Aplicación.©
Hallar el área de la región acotada por y = I x 1, el eje X, y la recta x = 2.
Solución
286
Eduardo Espinoza Ramos
v = f ( x ) = 2x2, x e [0,2]
*
2-0
2
A
2
Ax = ------= — => Ax= —
n
n
n
además c¡ = a+ iAx
„ 21 2i
c¡ =0 + — = —
n /i
2/. SíComo / ( x) = 2jc2 => / ( t , ) = / ( —) =
Luego A(R)= lim ^
/'(c, )Ax = lim y ——
1 n(n + l)(2n + l)
1
= 16 lim — y / 2 =16 lim — .
8
„ 1 « 1, 16
: - / /m ( l + - K 2 + - ) = —
3 n—
*oc
n
n
3
©
Hallar el área de la región R acotada por la gráfica de y = x + 1 al eje X y las rectas
x = 0, x = 3.
Solución
y=f(x) = x + 1, x e [0,3]
* 3 -0 3
A 3
Ax = ----- = — =r> Ax = —
n
n
n
además c¡ = a +iAx
X
3Í => Cj = —
3i
Ci =0n + —
n
n
f
287
Integral Definida
^•
T'
Como f(x) = x + 1 => f(c¡) = f ( — =) = —+1
n
n
w
•%.
n
q .
Luego A(R) = lini y jT(c. )Ax = lim ^ (—+1)— = lim
(— + —)
11 ** fY
w 7^ w
w ”‘*t' 7T n
n
r9(w +1)
r9 „ 1 „ 9 , 15 9
= /wj[--------- + 3] = lim [—(1 h— ) Hb3] ——h3 = — u~
n ** 2n
*-»*■ 2
n22
A(R)=— u 2
2
Q)
Hallar el área de la región R limitada por la gráfica de la curva y = x 3 +x +3, el eje
X y las rectas verticales x = -1, x = 2.
Solución
y - f ( x ) =jc3 + x + 3 , x e [-1,2]
A 2 -(-l) 3
.
3
Ax = --------- = — => Ax = —
n
n
Ti
—»> Ci = a + /Ax = - l + —
X
n
3i
3i
Como f(x) = x 3 + x +3 . entonces /( c ,) = (-l + —) 3 +(-1 + —) + 3
n
n
r, . 27 .3 27 ,2 12 . ,
/ ( c , ) = ^ - i — =-i + — i +l
n
n2
n
A(R) = lim ¿ / ( c . ) Ax = lim
1=1
- - j ' 2 + ~ ' + 11~
1=1
3.27 m2(m+ 1)2 27 n(n+l)(2n + l) 12 w(n+l)
.
= lim ~ [ —
------------------------------------------- T —-b ------ ¿ + — , - ^ - ^ + n ]
n
«-*« n n
4
n
6
288
Eduardo Espinoza Ramos
3 r 27 (n + 1)2 9 (h + 1)(2/i + 1)
,v .
= hm - [ — ----- ------ ------- -------+6(w + l)+n]
»-»** n n
4
2
n
27
1 i 9
1
1
1
= Um 3[— (1 + - ) '2 - i-(1 + —)(2 + - ) + 6(1 + - ) + !]
n
4
n
2
n
n
n
~ 3[— (1 + 0 )2
4
(1 + 0)(2 + 0) + 6(1 + 0) +1] = 3[— - 9 + 6 + 1 ] = 2ÜÍÜ = — U2
2
4
4
4
/. A(R) ~ — u 2
4
(7 )
Dado la región R acotada por las curvas 2 y = (jt-2 )z, 2y = (x + 2)2 , 2j> = -(x ~ 2 )2,
2y = ~(x+2)2 . calcular su área.
Solución
Grafícaremos la región R.
2y = ( x + 2 )
2y = (x-2)
En la gráfica se observa que existe simetría con
respecto a los ejes, y al origen de coordenadas,
entonces es suficiente encontrar el área de la
x región R¡ y multiplicarlo por cuatro es decir:
2y = - ( x + 2 )
2y = - ( x - 2 )
n
A(R) = 4A(R¡) = 4 lim y / (c¡)Ax, donde
n-K* 1=1
(x-2)2
2-0 2
.
v = A*) = ------ — , xe[0,2] y Ax = ------ = —, ademas
2
n
n
289
Integral Definida
/( c ,> = |[ ^ - 8 - + 4 ] = 2 [il-2 -U l]
2 r¡~
n
h«
«
-»■
i.2 2/
„2
¿(Ä) = 4 //m Y f(ci )Ax=4 lim Y 2[^— - — + 1]”-”r ~
w" w
w
_ 1 /?(/! + 1)(2/1 + 1) 2 n(w + l)
= 16 //« [— ,--------------- - L + - ]
«-** /i
6
/i
2
/i,
n
= 16 lim [—(1 + —)(2+ —) - (1+—)+ 1]
»-»«■ 6
n
n
n
16¿(l+ 0)(2 + 0 )-(l + 0) + l] = 1 6 ¿ = ^ V
6
3
3
Dada la región R acotada por la recta y = mx, eje X y las rectas x = a, x = b,
b > a > 0, Hallar su área de R.
Solución
Ubiquemos la región R.
Como f(x) = mx, x g [a,b]
b -a
Entonces Ax = ■
n
b-a .
c¡ - a +------/
n
v
m (b-a) .
f(C¡) = ma +----------- /
n
A(R) = lim y /(c, )Ax, ahora reemplazamos por sus valores correspondientes.
1=1
290
Eduardo Espinoza Ramos
= lim m(b-a)[a +- ——( I
«-►*
2 / i
= ni
(ó )
= m(b~a)[a +- ——] = m(b-a)[a +^ ]
2
2
£7 2 — U1.2
A(R) = ^ ( b 2 - a 2)
Dada la region R acotada por la curva. / (x) =
x“
, x <3
-j
6x-x~ , x > 3
el eje X y las rectas x = 1, x = 7. calcular su área.
Solución
Y
i
ii
9
\
\
\
\ y =x
\
\
s
y
Haremos la gráfica de la curva f(x)
1
1
1
J \ y = 6x-X '
h
/
/
111
Sí x < 3 => y = x 2
\
//*
i n \\
/ !
2 \
iJám
\j
.
0 fi
¡1
3
1 x
1 !
IR 3
I
5
Si x > 3 => y = 6 x —x 2
El área de la región acotada lo calcularemos en
tres partes.
Calculamos el área de la región Ri .
A(Rl)= l i m ^ f(c¡)Ax, donde f ( x ) = x 2. x e [1.3]
M
-*oc ^
i=1
A = ----3~ l = —,
2 c¡ = a + /Ax
‘A = l+
1—
Ax
n
n
n
r, * yvi 2i\ „ 2/\ 2 , 4 . 4 .2
/(^■) = / ( l + —) = (! + —) = l + - i + —-1
n
n
n n4
w—>VT’
1-1
n
tr
n
“
2/i 8 /?(/* +1) 8 /?(/* + l)(2/i + l)
- hm
[— +— .— -— +— *---- ---- J
n
n~
2
n
ir
“
/r
Integral Definida
291
= lim [2 + 4(1+—) + —(1+—)(2+—)] =2 + 4+ —= —
n 3
n
n
3 3
/J(^)=yH 2
Calculando el área de la región R2
n
A(R2)= lim y / (c¡)Ax , donde /(* ) = 6jc-x2, x € [3,6]
i=i
*
6 -3
n
3
n
-a
o 3/
n
Ajc = ------ = — , cf = a + ilüx = 3 + —
3/
3/
9
/ (q ) = 6(3 + —) - (3+—) 2 = 9 — —i 2 , entonces se tiene:
/?
n
n
A(R2) = lim Y ( 9 - 4 ' ) - = 27 / / « [ ¿ ( I - i l ) ] =27 / « « [ Y I - V - L / 2]
«—
>ÜC1=1
«
w
n_w“ ” «
,
1 n(« + l)(2n + l),
r, 1 ,, 11,
' / i w[l —
=27 lim[1— (1 + -X 2 + -;
«-»«
w3
6
»-»“
6
n
n
= 2 7 (l-l(2 )) = 2 7 ( l - i ) = ^ = 18
6
3
3
/1(/?2) = 18M2
Para calcular el área de la región /?3 se observa que la región se encuentra debajo del
eje X, en este caso se toma el valor absoluto.
H
A(Ry)= lim y f(c¡)Ar, donde f ( x ) = 6 x - x 2, x € [6,7]
n>cc
1=1
f(Ci) =6(6 + —) - ( 6 + —)2 =
n
n
n
n
reemplazando se tiene:
292
Eduardo Espinoza Ramos
« I H Hm ¿ ( - ® - 4 ) ì | .
-!,,>]
6 n(n +1) I n(/i + l)(2n + l)
1 1
1
1
= hm[ ~ . — -— + — .------- 4------- i] = lint [3(1 + —) + —(1+—)(2+ —)]
n--»* ff2
«'
6
»-»*
n o n
n
^ ( ^ ) = 3(l + 0)+^(l+0)(2 + 0) = 3 + i = ^
f
6
3 3
••• / f |í , ) = y K 2
Como /4(«) = /!(/?, ) + /l(/?2) + /4(/?3) = 18 + y + y = 18+12 = 30
A(R) = 30w2
©
Calcular el área de la región R limitada por las gráficas de j = e x, x = 0, x = l y el
eje X.
Solución
Graficando la región R, sea f { x ) - e x, x g [0,1]
Donde Ax
1-0
n
1
n
c¡ =a +/Ax =0 + —= —
n n
+
= /iw y
B-M* ^
f(Ci) = et/n, entonces el área de la región R es:
f (c,)Ax = fíw y el , n = /íw —V*
n >a'
n
n-*v. fi
Calculando la suma ^¡T e*ln aplicando la regla Telescópica.
í=i
¿ [ ( e 1'" V - ( e Un >M ] = / ( » ) - /(O)
*=i
...(1)
293
Integral Definida
Y J[ei , n - e i,n* ìln) = (eVn)n - \
1=1
n
lin
-i
y e " . ( £ 1_n l , = e - t .
¿ —f
,i
n
de donde
e
Y
¿—t «*'• =
I=1
1/n /
e
/
Am
i
U
...( 2 )
-1
Reemplazando (2) en (1) se tiene:
11rt / IV
«
1in
t e n( e - \)
1 e
A(R) = iim
,
-} = ( e - \) Iim
----- )
«-»oc fi e —\
»-»« jj ^ —1
Sea r = —, de donde n -----» ao, z -----> 0
n
1 e1/n
*ez
A(R) = ( e - 1) lim —(——------------------------------------- ) = lim-= (<?-!)lime Jim
n-Kc ft £ ¡n —1 r->0 £>z _ 1
ï—
>0 z-»0 - 2 —1
:(e -1 ) lim -!- = (g - 1)«;
z—
*0£>
A(R) = (e-l)u
Calcular el área de la región R acotada per las gráficas de y = 2-Jx, eje X y x = 0,
x = 9.
Solución
En este caso, por comodidad tenemos como variable independiente a la variable y, es
decir:
*
294
Eduardo Espinoza Ramos
v2
V2
f (V) = -— pero la región está limitada entre las curvas f ( y) = -— , g(y) = 9 y las
4
'
4
rectas y = 0, y = 6
El área del i-esimo rectángulo esta dado por [g (r/) - f(z¡ )]Ay, por lo tanto el área de
la región R esta dado por:
W
/ A
/ •
A(R)= lim A v ' y [(g{=¡) - / ( - , ) ] donde Av = ------= — y zf =0+/Ay = —
»-»(r 1=1
‘—f nnn
9 i
Como g(zt ) - f ( z f ) = 9 — —i “ se tiene
n
a/m
/• 6 V"/n 9 -2v , 6 r
9 «(/í + l)(2/* + l)
A{R) = hm — / (9— - i ) = hm ~[9n-------------------------]
n~*u n "
h2
»-><» n
n2
6
= Jim 6 í 9 - |a + - ) ( 2 + - ) ] = 6 Í9 - |(2 ) ] = 36 u 2
2
n
n
2
®
Calcular el área de la región limitada por la gráfica de f(x) = sen x, en x e [0, y ] .
Solución
295
Integral Definida
i1 + eos----n eos------nn eos,(n +iY
n
1) —
= Um — (-------- 2»-------- 2n-------------- 2» }
2/7
02 sen —
7T
2n
t1 + COS-------^ COS----------C
n
1 V^
0S (1+ —) —
- # « _____ 25_____2-¿ 2 „ 1 1 1 ^ 0 , 2 =1
»
7T
2 (1)
2
sen —
____ 2n_
7r
, , n 'I
A(R) = h r
lñ
@
Calcular el área de la región bajo la curva f(x) = senh x, en [0,1]
Solución
cosh(« + l)—+cosh(/i.—)-c o sh —-1 .
lim[------------- «---------- JL----------« _ ] I
n~*v
. 1
f}
2 senhn
cosh(l + —) + co sh l-co sh -— 1 ~
lim ---------- a------------------- = -Zc- S h 1 - - = (coshl
,1
2
senh—
I) u 2
296
2.5
Eduardo Espinoza Ramos
SUMAS SUPERIORES Y SUMAS INFERIORES DEFINICION.- Si
Px = {x, / / = 0,1.... n}
y
P2 = {*1 ^1 ~ 0J .....son dos
particiones de [a,b] tal que Px c P2, ósea que cada punto de división
x, de P{ es también un punto de
P2
entonces a la partición P2 se le llama un
refinamiento de la partición Px entonces || P2 II < || Px ||.
Ejemplo.- En el intervalo [1,7] la partición:
P2 = {1,1.5,2.23,3.5,3.8,4.2,4.7,5,5.5,5.9,6,6.5,7}
es un refinamiento de Px ={1,2,3,4,5,6,7} puesto que
II P\ 11=1-2,
Px c:P2además
|| P2 || =0.8
DEFINICION.- Si f: [a.b]----->R, es una función acotada sobreel intervalo [a,b], es
decir, que existen números m y M tales que m< f(x) <M,
V x g [a,b] entonces dada una partición P = {x0,x ,.... x„} de [a,b].
Se define el número
/wl/ = inf{/(jc)/xe[x,_1,x I], i =1,2,...,/?}
denominando
ínfimo (o mayor cota inferior) de los valores de la función f para el intervalo
[x,-i,*i] y M t f = aup{/(x)/ x g[xM , x, ]| se denomina el supremo (o menor cota
superior) de los valores de la función sobre el intervalo [xM , x, ].
Integral Definida
297
3 5
Ejemplo.- Dada la función / ( x) = x 3 - 1 , x e [1,3] y la partición P = {1,—,2,—,3}
2! <2*
entonces:
M l ( / ) = sup{/(x) / x e[x0,Xj]} = sup{x3 -1 / x e [1,^]} = s u p [ 0 , ^
2
w, ( / ) = inf{/(x/x e[x0,xj ]} = inf{x3 - l / x
L
M 2 ( / ) = sup{x3 - 1 / X 6 ¿ ,2]} = s u p [ ^ ,7] = 7
2
o
m2( / ) = inf{x3 -1 / x e ¿ ,2]} = in f[^ ,7]=^
2
o
o
( / ) = sup{jt3 -1 I x e [2,|] } = s u p [ 7 ,^ ] = ^
SJ
117
w3( / ) = inf{x3 -1 / Xe [2, — ]} = i n p , - ^ - ] = 7
O
o
= inflO ,^] = 0
o
o
298
Eduardo Espinoza Ramos
DEFINICION.- Dada la función f acotada sobre [a,b], entonces existen M ¡ (f) y
nh ( / ) para cada i = 1,2.....n tales que m < ni¡ ( / ) < M¡ ( / ) < M ,
correspondiente a la partición
P = {x¡ l i = 0,1,2.... n\ d^ [a,b], se define la suma
superior de f correspondiente a la partición P del intervalo [a,b] al número.
y a la suma inferior de f correspondiente a la partición P de [a,b] al numero.
''fí•1.
i 1
a ambas sumas se les denomina “Suma de RIEMANN”.
Ejemplo.- Sea f(x) = 4x, x € [0,3] y A = 9 intervalo. Calcular la suma superior y
la suma inferior.
Solución
Ax = - ——= - —- = — la longitud de cada subintervalo
9
9
3
*
[0,3] = [0,1 ] u [ I | ] u [ | J ] u [ l , y M y . j ] u [ | ,2 ]u [ 2 , | ] u [ | , | ] u [ | 3]
La función f(x) = 4x es creciente en [0,3]
íntegraI Definida
299
'w
II
s/■—
V
§;
Calculando la suma superior de f en [0,3]
1
3
4
3"
2
1
3
8
4
3
4
3
16
3
5
3
2
7
8
3
20
8
3
28
3
3
32
3
12
3
&
£ /(/, P) = Z ( / X * i “ - V i ) = X M'
í=n
i=i
= [Mtl ( /) + M, ( / ) + M2( /) + M3 ( /) + M 4 ( /) + M, ( /) + M6( / ) + A/ 7 ( /) + M8 (y )]Ax
4 8
16 20
28 32
108 1 45 + 108 153 r ,
= [ - + - + 4 + — + — + 8+ — +— + 1 2 1 - = ( 1 5 + ---------------------------- ) —= -----= ----- = 5 1
3 3
3
3
3 3
3
3 3
3
3
Calculando la suma inferior de f en [0,3]
*/-l
0
M f ( / ) = /( * ,)
0
O
1
3
4
3
2
3
8
3
1
4
4
3
16
3
5
3
20
3
2
8
7
3
28
3
8
3
32
3
w
£ ( /. P) = Z n,¡Í/X */ ~ x¡-i) = Z m‘
i=0
/=0
= [«o ( / ) + wi ( /) + nh ( / ) + nh ( / ) +nh ( / ) + «5 ( / ) + w 6 ( / ) + to7( / ) + wk(/)]Ax
rA 4 8 . 16 20 _ 28 32.1 48
[0 + —+ —+ 4 + — + — + 8 + — + — ] - = — = 16
3 3
3 3
3 3
3 3
INTERPRETACION GEOMETRICA.Si f(x) es una función positiva (f(x) > 0), las sumas de Riemann tienen una
interpretación muy sencilla consideremos el siguiente gráfico.
300
Eduardo Espinoza Ramos
Sabemos que la suma superior:
n
t / ( / , P) = ^ J
í-0
n
)(x¡ ~ x i {) = Y JM ¡ ( f )Ax
i=l
nos representa la suma de las áreas de los rectángulos por exceso sobre cada subintervalo [xf_! , x g] y de altura M¡ ( /) y la suma inferior.
n
n
L(f, P) = '£ «,•(/)(*. ~x¡-1) = Yj m*^ )Ax
ii
í=i
representa las áreas de los rectángulos por defecto sobre el sub-intervalo
y la altura m, ( / ) .
OBSERVACION.-
Cuando la función f es creciente, los valores mínimos ro, ( / )
se toma el extremo izquierdo x¡ j y los valores máximos
M ¡ ( f ) se toma en el extremo derecho x¡ del subintervalo
j,*,-].
2.6
PROPIEDADES
INFERIORES.-
DÉ
tA S
SU M A SSU PE R IO R E S
Si f es una función acotada sobre [a,b], entonces existen m y M tales que:
~m= inf ;f(x)/x 6 fa,b|}
y
M = sup {t\x) /x e [a,b|¡ |
E
301
Integral Definida
Io
Si f es una función acotada sobre [a,b] y P = {x{),x x
} es una partición de
[a,b] entonces se tiene:
m(b~-a):¿ t& F y g II£P): $ M(b~ a )'
Demostración
Para los números m, m¿( / ) , A/,- ( /) y M se tiene la desigualdad.
a la desigualdad (1) multiplicamos por Afo r, es decir:
m^iX < mi (/)A foc < Mi ( / ) Afjt < A/A^jc
ahora tomamos la suma para i = 1,2 .....n
n
#i
n
X mA ,.r < X m¡ (/ ) A
1-1
«»X M
1=1
n
M¡(/ )A
1=1
X MA' x
1=1
< « / . P) < £/(/, /?) < A/]T A,.*
1=1
1=1
W
m(b —a) < L(f,P) < U(f,P) < M(b - a), donde ] T A*x = ¿ - a
1=1
2°
Si f es una función acotada en [a,b] y
, P2 son dos particiones de [a,b] tal
que P¿ es un refinamiento de Px (Px cz A ) entonces se tiene:
3o
Sea f es una función acotada en [a,b], Px, P2 dos particiones arbitrarias de [a,b]
entonces se tiene:
LifsPx) ¿ U(f,P?)
302
Eduardo Espinoza Ramos
2,7
INTEGRAL DEFINIDA.Sea D el conjunto de todas las particiones posibles P del intervalo [a,b]. Si f es una
función acotada sobre [a,b] entonces existen números m y M tal que:
m < f(x) < M, V x e [a,b]
Se sabe que la siguiente desigualdad se cumple
m (b-a) < L(f,P) < U(f,P) < M(b - a)
para toda partición P en D, esto asegura que el conjunto numérico ¡L(f,P) / P g D( es
acotado superiormente y el conjunto {U(f,P) / P e D ¡ es acotado inferiormente, luego
el conjunto {L(f,P) / PeD} tiene un supremo (la mayor cota inferior) y {U(f,P)/P€ D}
tiene un ínfimo (mínima cota superior) con estos valores supremo e ínfimo daremos la
definición siguiente:
DEFINICION.-
Si f es una función acotada en [a,b], al número sup {L(f P) / Pe D}
se llama integral inferior de f en [a,b] y se indica.
rh
I f(x)dx = s\ip{L(f.P)/PeD\ = integral inferior de f desde a hasta b.
_
Al número inferior {U(f,P) / P € D[ se llama integral superior de f en [a,b] y se
indica.
\ f(x)dx = inf{U(f,P)! P e D} = integral superior de f desde a hasta b.
2,7J
PROPIEDADES PE LAS
®
JES SUPERIORES E IN F E R IÓ M E
Si f es una función acotada en [a,b], entonces:
303
Integral Definida
©
Si f es una función acotada en [a,b] entonces:
m(b - a ) ú L(fJP) <: li(f.P) < M(b-a>
donde m = inf {f(x) / x <e [a.b]¡ y M = sup {f(x) / x e [a.b]}
©
Si fes una función acotada en [a,b] existen puntos cx%c2 e[a*b] tales que:
fk
f(x}dx - /(c , )(/> a) y ] j i x ) d x = / (c,)(£ -a )
Ju
©
Si f es una función acotada en [a,b] y c e <a,b> entonces:
f/(x)rfA ^ f f t t i d m f
¥Jtl
-v:<: * •
rfÉT
■M+'
"
**
. ..»-
**’•!
f/{*)¿Y = í f(x\dx > f/(.t)dx :i
¿a
2.7.2
Ja
Je
INTEGRAL DE R1EMANN,DEFINICION.- Una función f se dice que es integrable en [a.b]. Si f es una función
acotada en [a,b] y si
f ( x ) d x = J f ( x ) d x , a este valor común se
le llama “La integral definida” (De Riemann) y se denota así:
!*/(*)<&- ~
por simplicidad se llama integral definida de f sobre [a.b] ó integral definida de f sobre
[a.b] ó integral de f de “a” hasta “b”.
OBSERVACION.©
El número Jf(x)dx se llama integral definida de fix) desde “a” hasta “b’\
©
El símbolo J es llamado símbolo de integración (éste símbolo fue introducido
por Lebnitz).
304
Eduardo Espinoza Ramos
La función f(x) se llama integrante.
©
“a” se llama el límite superior de integración.
( 5^
“b" se llama el límite superior de integración.
La variable x que aparece en f / (x)dx, no tiene significado especial es:
Ja
fí(x)dx= í/(.v)rfv= f/(-)<fc = f/(«)rfw
Ja
Ja
Ja
EXISTENCIA DE FUNCIONES INTEGRABLES.
Se conoce que las funciones decrecientes y crecientes son integrables, ahora veremos
que las funciones continuas sobre un intervalo cerrado [a,b] son también integrables
en [a,b].
¡)
Si f es una función continua sobre [a,b] entonces f es integrable sobre [a,b],
ii)
Si f es continua sobre [a,b], entonces para cada £ > 0, existe 8 >0 tal que:
para toda partición P con |P| < 8 y para toda elección de x, e [x¿ {, x f ]
¡ii) Si f es continua en [a,b], entonces:
donde xf es un punto arbitrario en [ x ^ . x , ]
puede elegirse los x¡ e
para toda partición P de [a,b] y
— _ X ¡ + * ,. _ !
t ! modo
uiLfuu asiguiente
ig u iw n v x, = '—-----— que es el
x,] udel
2
punto medio de [*,_!, jc, ] .
305
Integral Definida
Ejemplo.- Expresar el limite de la suma dada como una integral definida
n
Jim y (X*
1 )2 (jcf- - xt l) donde P: partición de [1,9].
Solución
Como [a,b] = [1,9] se tiene: Ax¡
Ahora identificamos ílx) donde x, = —---- — punto medio
)3 =x, de donde f ( x ) = x i
n
Luego se tiene: lim ) (
\p\ ^ “
TEOREMA.-
Una función acotada f es integrable en [a,b] si y solo si para
cada € > 0, siempre es posible hallar una partición P tal que
U(f,P) —L(fJP) < c.
Ejemplo de aplicación.
Sea f una función acotada en [a,b] y continua en [a,b] excepto en el punto c € [a,b],
pruebe que f es integrable en [a,b].
Solución
aY
F es continua en [a,b] excepto en x = c.
Una función es acotada si está acotada.
f: [a,b]----->R <=> V e > 0 , 3 8 > 0 , 3A partición
de [a,b] tal que U(f,A) - L(f,A) < c por probar
a
0
c
b
X
* para que f se integrable en [a,b].
Luego tenemos:
306
Eduardo Espinoza Ramos
V —> 0 ,
f es continua en [a,c]
3 A'
partición de [a,c] tal que
2
U ( f , A ' )- L(f\ A')< —
z«
V —> 0 ,
f es continua en [c,b]
3 A"
partición de [c,b] tal
que
2
A ")< Sea c > 0, cualquiera, entonces definimos A = A 'u A " /l/(/, A ) - L ( f , A) < c , puesto
que í/(/,A ) = £ /(/, A ')+ t/(/,A ")
y L(/,A ) = ¿ (/,A ') + ¿ (/,A " ) de donde
£ £
A') + ! / ( / , A " ) - L ( f , A " ) < - + - = £
£ /( /.A)- L ( f , A) = ! ( / , A')-
U(f,A) —L(f.A) < e
Ejemplo.- Sean
c e [a,b] y a e R,
definimos
f:
Ía si x =c pruebe que f es integrable y que
0
si x ± c
[a,b] -» R
por
rb
f(x)dx = 0
Ja
Solución
Aplicando la definición siguiente:
Una función f acotada sobre [a,b] es integrable sobre [a,b] si sup{L(f,p)¡ = inf
{U(f,p)} donde p es una partición de [a,b].
Aplicamos esta definición.
Como fíx) es acotada pues |f(x)| < a, V x € Df = R
Sea P —{ x ^ x x...... jcFI} una partición,
sub-intervalo
n
1=1
,jc/]
Integral Definida
307
w1 h —n
m¡ = inf{ f(x) / xf_j <*<*,-} = / w#--------- 0 pues wr = 0
^í-i
//
Luego L(f,p) = 0
n
U( / , /?) = ^
í=i
(xt - A'M ); Mf- = sup{/ (x) / xM
■
n
í=i
n
ü
Luego Sup {L(f,p)| = 0
0 ,
a <0
Ahora inf{t/(/\p)} = inf{——- a } = 0 , a > 0
n
0 , a =0
=> inf {U(f,p){ = 0
/. sup {L(utp)} = mf {U(f,p)} = 0
y por definición
a)
| f (x)dx = sup{L( f , p ) \ = inf{£/(/, /?)} = 0
DEFINICION.-
Diremos que una función f es integrable en el intervalo [a,b],
si existe un número L, que cumple la condición que, para
rj
cada c > 0, existe 5 >0, tal que | ^ / (a,)A,x - L |< e , para toda partición P
i=i
del intervalo [a,b], donde |P| < 5, a esta definición lo representaremos por:
308
Eduardo Espinoza Ramos
b)
DEFINICION.-
Consideremos una función f definida en el intervalo cerrado
[a,b], entonces a la integral definida de f de “a” hasta “b’\
mh
Denotaremos por
¿a
f(x)dx y es definida por: I f(x)dx - Itm y / ' ( « . )A a '
lü '
n >wA* '
si existe el límite
2.7.4
CALCULO DE LA INTEGRAL DEFINIDA USANDO INTERVALOS DE
IGUAL L O N G lT m
En el cálculo de las integrales definidas, cuando se usan intervalos de igual longitud se
tiene que:
Ax = ———, X, = a + iAx, de donde x¿ = a + ———i , i = 0,1,2..... n
n
n
Luego la integral definida se calcula mediante la expresión.
:
: f it
—
...... ......................
l A r
C
Ejemplo.- Mediante la definición de integraldefinida. Calcular
la integral
j V * 3 - 3 x 2 +\)dx
Solución
í (4x 3 -3 x 2 +1 )dx= lim ^ f{x¡)kx%
donde
Ji
n~*ui~\
t ^
1
/ ( x) = 4jr -3x~ +1
Ax = ------- = — , x¡ = 1+—/
n
n
/'y
2 _ i _ 2 „ i , 32 .i 36 .2 12 . ^
f{Xj) = 4(1 h— i) -3(1 + —1)~ +1 = —-r + —- / + — / + 2
«
n
w3
/r
ahora reemplazando en la integral.
n
Integral Definida
3 09
j
..
i — ................. i
.
.
.
.
r 64 v -1.3 7 2 ^ . ,
=
2 /
+— L r
« tí
w ,i
24^4 ^ n
+~ Z / + - 2 J ]
» 'tí
" tí
64 w2(w+ l) 2 72 ji(/? + 1)(2w+ 1) 24 w(w+ l) 4
= ///»[— . 1
+ — • - --------------------^------- ¿ + —
4
/2’
6
2
ti
= lim [16(1 + - ) 2 +12(1 + - ) ( 2 + - ) +12(1 + - ) + 4]
//
ti
ti
ti
= 16 + 24+12 + 4 = 56
Ejemplo.- Mediante la definición de integral definida, calcular la integral
J V 2 + 4x +5)(bc
Solución
Por definición de la integral definida se tiene:
f4
->
4 - 1 3
31
0c +4x+5)dx=//m > /'(xí )Ax, donde Ai = ----- = —, xf = 0 +/Ax = 1+ —
Ji
«-*« *=i' ■
n
n
n
f { x ) —x 2 + 4x + 5 => /X*,) = ( ! + — ) 2 +4(1+—) + 5 = - U 2 + — / + 10
n
n
tr
ti
ahora reemplazando en la definición de la integral.
f4/ 2 a
c xj
i^
im 3
2 7 ^.2
54 ^ .
3 0 ^ n
(x +4jc + 5 ) ^ j c = / / w 7 (— - r + — i + IO)— = lim [——/ i + — > i + — / 1]
J>
"— t í » 2
=
27 n(n + i)(2n + l)
n->&
6
««3
t r nM« M
54 n(ri +\)
hm[— .--- -------- -------- + — .— - — +
l
= /íw [-(1 + -)(2 + -)+ 2 7 (1 + -) + 30]
2
n
n
n
= —(2) + 27 + 30 = 9 + 27 + 30 = 66
2
»
310
Eduardo Espinoza Ramos
Ejemplo.- Representar el límite de las siguientes sumas como una integral definida.
(0
y ( » 2 + / 2 r 1' 2 , P: partición [0,^3]
i=i
Solución
n-^zr. *—?
b-a
n
V 3 -0 -v/3
ti
n
s i
x, = a+/Ax = 0 +
Ax ~A
*, =■
11
ti
11
lint ¿ ( w 2 + / 2) 1/2 = lim Y ,—\ - = = lim V* . *---— ír
— rr^
+/2
— fr
*
V n
" • ’S a r L i , * , .
V 3 «
1
p/3
%/J Jo
©
”
_ p /?
l
x2
J<> Vi + JC¿
te , £ < — > i
// + / //
Solución
1
Si Ax = —, entonces el intervalo se tiene [0,1]
ti
' => x¿ = —1
x, = n0 + —
/i
/?
1
]
f1 rfr
u„ y
. ,/ra y - L - . - U ,,m y ,< iÍ ). .-l U
f
» “I 1 // + / n »-»»“I1=11
i
,
/
w
»-**“
/i
/?
«fol+jc
1 1H
1=1
+---11
Integral Definida
311
n
l +x
ti
.
Tí
¿Tí
M7T
lim - ( t g — + tg— + ...+ tg(— ))
4/7
n ^n
4/7
4/7
Solución
1
n + t g —2n + . . . + "t g —ti7T) = .
//w -(tg —
»->*//
4«
4n
4/í
>
i=i
ni 1
tg —
4/i /i
, ™ y /(±). I = f,,g£ £ <
¡,
“ * 11 ti Jo
4
, , /r(,-i ). = .tg —
ni => /(x
r, )^ = .tg(—
i 71**) => Ax
a
1- 0
1
donde
= ----=—
ti
4w
4
n
n
l
(í)
v
i
/%
//»if —[Infer+ —) + ln(a+ —)+.. .+ln(tf+ —)]
----n
“ti
#-**
n“
titi
Solución
1
1
O
lim —[ln(<7 + —) + ln(<7 + —) + ...+ln(tf+—)]
«-«* /i
n
n
n
n
*
”
= lim y ln(<7+—)= /mi ^
» -» « ■ "
//
n^ f
i=l
i=l
donde Ar = -——= —, x, = — => f(x) = ln(a + x)
n
(? )
n
n
lim V — 2/> + 4/— - , P: participación [2,6]
•-»* ~ 1 2«" + 4 '» +4/
Solución
1
fi
fi
A
= jlnfa+jck&r
JO
312
Eduardo Espinoza Ramos
a
4i
Ai
Xi =a +iAx = 2 + — => Xj = 2 +—
n
ti
o +—
4/
«
^ y, .
n
-¿
.
lim X — 7 ”+ l-— —= lini ' S ' ---------- -— —
B-**
2 /r+ 4 /n + 4 /- " »•' 7~\ An 4/ 4/ ' »
4(z H
I
o')
ti
n
4/
2 H----
-.
»i
4/
ahora a la expresión ----- — ------ pondremos en términos de 2 + — es decir:
2 +Ü + 4<i)!
ti
ti
..
2+—
/ ( 2 + —) = ----»
” 4(2 + 4(—) + 4(y)2)
ti
2+—
2 + 4(—)
H
»
4(2 + 4 —) + ( — ) 2 <2+ — ) 2 +4
ti
1
11
11
x
f (je) = —---- entonces se tiene:
x~ +4
n
a.
n 2+ 4
y ,2"*4i' r= z—r2-1-fV-*
jrf 2tr +4//J + 4/
GD
(2 + —-)2 11
ti
. r + 2 p +...+/ij
Utilizando integral definida hallar él limite lim -—
i
«->or.
Wp+i
Solución
IntegraI Definida
313
= Un ¿ i - ) - — = f'‘xpdx=2— í = —
<*u
P + l / o P+
1=1 n n
l p + 2 P +...+#j/>
/ / m -----
n-*f
n P+Ì
p +1
2.7.5.
EJERCICIOS PROPUESTOS-
I.
Encontrar el área exacta de la región indicada, expresar el área como él limite de una
suma de Riemann con particiones iguales.
©
Hallar el área de la región R acotada por y = x 2 + 2x +1, el eje X ylas rectas x = -1.
i,
x = 3.
(T )
D
64 2
Rpta. — u
Hallar el área de la región R acotada por y = 3a 4, el eje X y lasrectas x = 0,x = 1.
oRpta.
, —u
3 2
©
Hallar el área de la región R acotada por y = 2-Jx , eje X y las rectas x = 0, x = 4.
32 ,
Rpta. — u~
©
Hallar el área de la región R acotada por y = (.v-3 ) 2 + 2, el eje X y las rectas x = 0.
x = 6.
(T)
Hallar el área de la región R acotada por y = 12- x 2 —x . el eje X y las rectas x = -3,
x = 2.
(ó )
Rpta. 30 a 2
305 o
Rpta. ---- u~
Hallar el área de la región R acotada por y = 2x3, el eje X y las rectas x = -1, x = 1.
314
Eduardo Espinoza Ramos
(fy
Hallar el área de la región R acotada por y = 4 - x 2 , el eje X y las rectas x = 1, x = 2.
5 i r->
Rpta. —
(í)
Hallar el área de la región R acotada por y = 2 - | x |, el eje X y las rectas x= -2, x = 2.
Rpta. 4 i r
(? )
Hallar el área de la región R acolada por y - (x+3)2, el eje X y las rectas x= -3, x= 0.
Rpta. 9 i r
@
Hallarel área de la región R acotada por y = x 2 - 2 x - \ , el eje X y las rectas x = 1,
x = 4.
(11)
Rpta. ( 1 ^ ^ - 4)i/2
Hallar el área de la región R acotada por y = 3 x - 3 x 2■eleJe
x = 0, x = 1.
Rpta. —u 2
6
U2J
Hallar el área de la región R acotada por y = — +1, el eje X y las rectas x = 0,
4
21 ?
Rpta. — i r
4
x = 3.
(13)
Hallar el área de la región comprendida por y = x 2 , y = 4 - 3x2
Rpta. “ W2
( 14)
Hallar el área de la región comprendida por
= 3jc2, >>= 1~ 3jc 2 , x = 0, x = 3
Rpta. 57 u
X
Integrai Definida
^ i)
315
Hallar el área de la región R limitada por y = 2x2 + ~ +1, el eje Y, el eje X y la recta
x = 1.
23 i r’
Rpta. -—
12
Hallar el área de la región R limitada por y = x - x 2, el eje X.
1 •>
Rpta. —i r
6
^ 7)
Hallar el area de la región R limitada por la curva y = x 2 - v 4 , 0 < x < 1 y el eje X.
2 ,
Rpta. — ir
15
(l8)
Encontrar el área de la región R limitada por y = 1+ a 2 + 2a 4 , en el eje Y, el eje X y
26 ?
la recta x = 1.
Rpta. — i r
15
^ 9)
Hallar el área de la región limitada por las líneas dados por la ecuaciónAy - (x - 4 ) 2 ,
Ay = ( a ' + 4)2, Ay = (*~ 4 ) 2 , Ay = ~{A+x)2 .
^ 0)
Encontrar el área de la región acotada por la curva v - 6 x +x 2 - x 3, el eje X y las
rectas x = -1 yx = 3.
II.
Rpta. ~yU2
Rpta.
Usando la definición de la integral definida calcular las integrales siguientes:
Eduardo Espinoza Ramos
316
Rpta. 4w2
©
J V
©
JV
* 3 -3.v2 +1 )d x
Rpta. 56 i r
©
[ (3x3 + 3x 2 - 2 x - 6 )d x
Rpta. 222 u 2
©
J 6 (2 .v3 -2.V-3 )d x
Rpta. 596i r
f (3x2 -1 )d x
Rpta. 6 i r
©
+ \) d x
Jo
*2
©
I (x 3 + x 2 - 4 x - 2 )d x
* ir
Rpta. ——
©
J (x 3 + 2 x)rfx
Rpta.
©
J (x 2 - l ) 2dx
o
. ---812 i r ’
Rpta.
15
©
Jo
f sen x d x
Rpta. 1 - cos a
©
Aplicando
sumas
de
Riemann,
2x + 2, x e [0,2]
m
=
evaluar
la
21
4
7
ir
integral
f f(x)dx
Jo
Rpta. - —
x 1 - 4 * + 10, x € < 2 A ]
III.
(j)
Expresar el siguiente límite como una integral definida lim
Rpta. f e x d x
Jo
n
donde
317
I n te g r a l D e fin id a
©
. l p + 2P +3 p +...+ni
Expresar el siguiente límite como una integral definida, lim
_k r A
,,P+i
m
Rpta. f x pdx
Jo
Expresar el siguiente limite como una integral definida.
J -----e sm
.
(i)
.
.
.
-
,
° (l + x)501
* g2 (l»2 - » 2)
Expresar el siguiente límite como una integral definida, lim V 1
—kor.' ~r~
* Jr
n-*oc
fí 5
Í=1
Rpta. f (x 2 - x A)dx
Jo
©
1 n
Expresar el siguiente límite como una integral definida, lim - Y ln(o+—)
«--»no n W
H
Rpta. [\n{a+x)dx
Jo
®
n
Expresar el siguiente limite como una integral definida, lim V* (n2 + k 2)~l/1
1 dx
Rpta. f
Jo x +1
( 7)
» sen(—)
Expresar el siguiente límite como una integral definida, lim V 1----- —
M—kOD^
Rpta.
r1sen* ,
------ d x
Jo 1+ x
« 4 .Í
318
E d u a r d o E s p in o z a R a m o s
Expresar el siguiente límite como una integral definida.
,1.
arctg(—)
|»(—
n->*
©
,2.
arctg(—)
n
g _ + _ » _ + „ . + - 4 _ )
\ +n
2 +n
Rpia.
n +n
f “!“* *
J o l +x
áx
Expresar el siguiente límite como una integral definida lim Y (——+ —)
1=1
Rpta. J (7x2 +9)dx
©
Expresar el siguiente límite como una integral definida.
. . . »
»
lim(-------------—+ ------------- - +
n-»<x. \ + 2n+2n
4+4n+2n
»
.
--------------- - )
n +2n(n)+2n
__
f1
dx
Rpta.
—---------Jo x +2x + 2
Expresar el siguiente límite como una integral definida.
¡i„(— L = + ”“>DC -\/«2 +1
@
1
+...+
->/»2 + 2 2
1
)
Rpta. f
-\/«2 + » 2
*2
Expresar el siguiente límite como una integral definida.
V » ^ + V » + 2 +...+V 2 »
lim-------------- ..
«->00
^ 3)
jj-
Aplicando
/( * ) =
sumas
de
Riemann,
2x + 2, x e [0 ,2 ]
,
x 2 - 4 x + 10,xe<2,4]
evaluar
la
integral
J /(jc) dx
donde
4
R p t a .-----3
Consideremos dos funciones f y g integrables en [a,b] y K una constante
arbitrariamente, entonces:
319
I n te g r a I D e fin id a
©
J K f(x)dx = K ^ f( x ) d x ( T )
J tf íx ) ± g(x)]dx = J*/ (x)dx± j*g(x)dx
(i)
| f{x)dx = J/ (x)dx+ J f ( x ) d x , donde f es integrable en [a,c],[c,b],[a,b]
(¿)
^f(x)dx- =-^f(x)dx. b > a
©
r / (x)dx =
(? )
y
a<c< b
J / (x)dx = 0
/ (.r - k)dx (invariancia frente a una traslación)
Si f(x) > 0, V x € [a,b] entonces f f(x)dx> 0
Ja
©
Si fíx) > g(x). V x e [a,b], entonces: j f(x)dx> jg(x)dx
(9)
Si m y M son los valores mínimos y máximos absolutos de f en [a,b] respectivamente
tal que m < fíx) < M, V x e [a,b] entonces:
m(b-a)< \ f(x)dx< M ( b - a )
Ja
(10)
Si f es una función continua en el intervalo [a,b], entonces: |J/ (x)dx 1<j j f ( x ) | dx
(n )
Si f es una función continua en el intervalo [0,a], entonces: | f(x)dx = j V to -x)dx
(12)
Si f es una
función par y continua en [-a,a], entonces: J / (x)dx = 2^ f (x)dx
(13)
Si f es una
función impar y continua en [-a,a], entonces: J J'{x)dx = 0
®
Si f es una función par y continua, entonces: f v / (eosx)dx = — f / (eos x)rfx
^ 5)
Si f es una función continua, entonces: j\v / (sen x)dx = y | í scnx^ x
Jo
2 J<»
Eduardo Espinoza Ramos
320
16)
Si f es integrable en [a,b], entonces para cualquier c * 0 se tiene que:
a)
(n )
\ f ( x ) d x =- \
Ju
f ( —)dx
b)
C
j f(x)dx = <[
¿ale
f(cx)dx
Si f es una función continua en un intervalo 1,entonces, para cada i
a)
@
c "a(
í
J i
Sea
f( x)d x = f f ( - x ) d x
b)
Jo
í
J t
f(x)dx = 2 f f ( x ) d x , si f es par.
Jo
f una función impar (par) continua sobre [-a,a], si se define la función
g(x) = i f(t)di para x e [-a,a], entonces g es una función par (impar).
(l9)
Si f es continua en I, entonces para c e I: J
f(x )dx = |/( - jt) d x
Demostración
(l)
e I.
Por demostrar j k f ( x ) d x = k j f ( x ) d x
Sea P =
una partición del intervalo [a,b].
La suma de Riemann de la función k f(x) asociado a esta partición es:
n
n
S(p , f ) = y k f (a¿)A,x = Ay / ( a , )Ai.y ,
í=i
i- 1
de modo que podemos expresar en la forma:
l
n
it
í k f(x)dx ~ lint Y 1 kf{a.)A¡x = lint k ^ / (a )A x
Ja
\p\-+a*-*'
|P|-»n
¡~]
i 1
= k lim ^
/ ( a )A#jc = k f f(x)d x
i=\
Por demostrar f (/(jc) ±g ( x ) ) d x - f f ( x ) d x ± f g { x )d x .
J«
Jtf
J«
321
Integrai Definida
Sea P = {xti.x| ....x„\ una partición del intervalo [a,b] la suma de Riemann de la
función f(x) ± g(x) asociada a esta partición es:
n
n
m
Sip. () = ^ [ / ( a , ) ± g(a¡ )]A,.t - £ f(a¡)A,x +
i I
*1
)A,x
f 1
de modo que podemos expresar en la forma:
h
11
f ( f (x) ± g(x))dx = lint y [ / ( a ,) ± g(a¡)]A,-j
Jit
< i
«
H
.
^
= lim V /(cí, )A,a- ± //»i y g(a,)A,a- = [ f(x)dx± [ gix)dx
\p\ Ht*-1
M i i
y<
í i
Por demostrar J /(xk/r=J f (x)dx +j f(.\)dx donde a < c < b
Supongamos que f(x) es integrable en [a.b], entonces si c > 0. existe una partición
P - { a =-r,„.v1.... x„=b\ de [a.b] tal que U(f,P) —L(f.P) < c
Sea
P={x(>.xl.... x¡\
partición
del
una partición del intervalo [a,c] y P"= {x¡.....jc„} una
intervalo
[c,b],
entonces
L(f,P) -L(f,P') + L{f,P")
y
U(J.P) = U í f . P ) + U( / , P ') entonces:
[Vi 1. P ) +Vi f , P" )] - [Li f . P ) + Li f . P" )] = Vi f . P) - U f . P)<€
como cada
termino del paréntesis no es negativo, cada uno es menor que c, esto muestra que f es
integrable en [a,c] y [c.b] y se tiene que:
L (f.P )< f fix)dx< U if.P)
Ja
L ( Í , P ' ) < J H \) d x < U if,P " ) porlotanio:
322
Eduardo Espinoza Ramos
U 1, P) < £ f(x)dx + J f(x)dx < U( / , P)lo quedemuestra
que:
í Hx)dx= f f(x)dx+ f Kx)dx
Ja
Ja
La
demostración
Ja
Ji
J f{x)dx = - £ f(x)dx, b > a
es
inmediato
aplicando
f( x ) d x = f(c ){ b - a ) donde a < c < b
La demostración f / [x)dx = 0 ejercicio es inmediato.
Ju
(ó )
Por demostrar que í f(x)dx= f
Ju'
Ja- k
f(x-k)dx
Sea z = x - k donde dx = dz, además
Para x = a + k ; z = a + k —k = a y x = b+k; 7 = b + k - k = b
f
Ja' k
(j)
f { x - k ) d x = \ f (z)dz - í f[x)dx
Ja
f / (x)dx = f
Ja
Ja
Ja - k
f(x-k)dx
La demostración de f f(x)dx > 0, V x e[a,b ], f(x)>0 dejamos como ejercicio.
Ja
Por demostrar que J f(x)dx > J g(x)dx donde f(x) > g(x), x e [a,b] para esto
aplicamos la propiedad de linealidad y la propiedad (7).
Como f(x) y g(x) son integrables, entonces la función h(x) = T(x)
—g(x)
integrable y como por hipótesis se tiene que h(x) = f(x) —g(x) > 0
entonces
V x e [a,b]
0 < f h(x)dx = f ( / ( * ) - g(x))dx = f f(x)dx - f g(x)dx
Ja
Ja
Ja
Ja
es decir í f(x)d x- í g(jt)dx> 0 , de donde f f(x)dx> í g(x)dx
Ja
Ja
Ja
Ja
es
Integral Definida
®
323
Por demostrar que
m(b - a) < J f (x)dx < M(b - a)
como f es continua en [a,b],
entonces fíx) es integrable en [a,b] y como m y M son los valores mínimo y máximo
absoluta de f(x) es decir m < f(x) < M, V x e [a.b]. Aplicando la propiedad (8 ) se
tiene:
J m dx < J f(x)dx < J M dx => nix /* < J / (x)dx < M x
ni(h-a)< \ f( x ) d x < M ( h - a )
Ja
©
Por demostrar que:
|J f(x)dx\<j \ f(x) | dx
como f(x) es continua en [a,b]
entonces | f(x) | también es continua en [a,b] y
por lo tanto esintegrable,
además por la propiedad, V u g R, -|u|< u < |u| de modo que: V x g [a,b] se tiene
- |f(x)| < f(x) < |ffx)| por la propiedad (8 ) se tiene:
- f | f(x)\dx< f f(x)dx < f |f(x)\dx
Ja
Ja
Ja
y aplicando la propiedad: |a| < b <=? - b < a < b se tiene: | f / (x)dx |< f | f(x) | dx
Ja
©
Por demostrar que
Ja
f{x)dx = / (a - x)dx
En la integral J^/(o - x)dx , hacemos z = a - x, donde x = U, z = a y para x = a,
z = 0 , además dx = - dz
\ Uf ( a - x ) d x ~ f / ( - ) í - ^ ) = - f (V(r)rfr= [ f(z)dz
JO
Ja
por la propiedad (4) por lo tanto:
Ja
J()
f (a - x)dx =
j(z)dz =
f(x)dx
324
12)
Eduardo Espinoza Ramos
Por demostrar que: J J (x)dx = 2 J / [x)dx, aplicando la propiedad (3):
f f( x ) d x - [ f ( x ) d x + \ f{x)dx
Ja'
Ja
0 )
Jl)'
r°
f(x)d< reemplazando x = -y entonces para x = -a, y = a y x = 0 ,
J a
y = 0 , dx = -dy
en la integral
f f(x)dx= f' / (-.v)(-í/v) = - f " / (~y)dy = f"/(-v)r/v
J a
Ja
Ja
= j \ / (x)dx, porque fes par
al reemplazar (2 ) en ( 1) se tiene:
ra
J a '
|
f{x)dx =
... (2 )
pw
mu
0a
f(x)dx + f(x)dx = 2 f(x)dx
Jo
J0‘
J()
f(x)dx ~ 2^ f(x)dx
NOTA.-
Las demás propiedades su demostración dejamos como ejercicio.
OBSERVACION.-
Si se tiene una función f continua en el intervalo [a,b] y
además f(a) * f(b), entonces para cualquier número z entre
f(a) y f(b) existe un número c entre a y b de tal manera que fíe) = z.
Integral Definida
2X1
325
TEOREMA DEL VALOR MEDIO PARA INTEGRALES**
Consideremos una función f continua en [a,b]. Entonces existe un número c e [a.b] tal
que.
¿ti
Demostración
Como f es continua en [a.b] => 3 ex, p en [a.b] tal que fía) = m y ffp) = M son los
valores mínimos y máximos absolutos respectivamente de f en [a,b].
Luego m < f(x) < M, V x e [a.b]. Entonces.
m(b-a)< f f(x)dx< M (b-a) (por la propiedad 9).
Ja
Por lo tanto:
I J(x)dx
/ » < —-------- < M , de donde
fhf(x)dx
f ( a ) < —--------- < /(/i)
h -a
b -a
Ahora mediante la observación, existe c e [a.b] tal que :
f f(x)dx
/<<) = - -------h-a
2X2
h
=> \ f(x)dx= 1(c)(b-a)
PRIMER TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CALCULO.(Derivadas de Integrales)
Sea f una función continua en el intervalo [a,b]. Entonces la función F definida por:
F(x) = f f(t)dx, a < x < b es derivable en [a,b] y
Ja
DxJ(x) = Dx f /(/)<* = /'(*). V x e [a.b]
Ja
Demostración
326
Eduardo Espinoza Ramos
Como F(x) = f j{t)dí es una función definida en [a,b]. Entonces:
Ja
=
f(x)
/; »o
/?
/#->o
J > lrf,- J > lrf'
h
f 7 (/ + fy ?/ )<// - f / (/)j/
í y (/ )dt
= lim —----------- -------------------- = iirti —-------- (por la propiedad 3 )
h-M)
¡l
/#->0 //
Por el teorema del valor medio para integrales se tiene, para cada número
fX’a
no nulo x + h e [a,b] existe a e [x. x + h] tal que J / (/ )<// = h / (a ) de donde.
*.\ - A
m..r—/;
/(/)<//
/~(a) = —--------, luego
//
F'(jc) = lim
/i+o
/(/)<//
------ = lim f( a ) = /(y)
}\
F '(x)= f(x )
Ejemplo.- Calcular F'(jc) siendo F(x) = J e \ntdt
Solución
F(x) = [ e l n t d t
Jo
=> F'ix) = ex Inx
r
enx
Ai
---------
aresen i
1 + ares
Solución
Para calcular F'(x) en este ejemplo se debe aplicar la regla de la cadena en el primer
teorema fundamental del cálculo, es decir:
f£(*)
F(x) = J
/( /) = / / (#(jr)) derivando mediante la regla de la cadena se tiene:
327
Integral Definida
F ,Cv) = / / ,(«í(x)).^,U )= f(g{x))-g'{x) donde /'(f) = ------i—
1 + arcsení
F'i A ) = Hg{x))g'(x) = /(sen x).(sen x)'=
y g(x) = senx
l + arcsen(senx)
F ’( x ) = COS*
1+ A*
Ejemplo.- Calcular F'(a) siendo F (x )= [ 'Jt +e'dt
Jo
Solución
Aplicando el criterio del ejemplo anterior:
F(x) = f ' -Jl +e‘ di => F'(x) = 4 x 2 +ex'~(x2)'
Jn
2.8.3.
F'{x) = 2 x 4 x 2 + e x*
GENERALIZACION DEL PRIMER TEOREMA FUNDAMENTAL DEL
CALCULO.©
Si f es continua en R y g es diferenciable en R, entonces:
DK[ \ ' UÍ f(t)dt] = Mg(x)).g'(x), x e R
Ja
En efecto: Sea u = g(x) y aplicamos la regla de la cadena
rsU)
d
)
d
du
d ,[ |
rv m = -rif
f«)dt]=-?-[\ w ) d , ] ^ dx Ju
du J"
dx
=f ( u)~r= f(g(x)).g'(x)
dx
©
Con la hipótesis de (1) y con la suposición que h e diferenciable en R, entonces:
/>,[f
ÍV)dt]= f{g(x)).g'(x)- f(h(x))h'(x)
J/l(.l )
32S
Eduardo Espinoza Ramos
En efecio: Aplicando la propiedad (3) de la integral definida
J’ííía) fit)dt)=ro
f(t)df+
h(\ )
Jh\x)
D ,[f
/(/)<//] = D ,[í
Jh[\)
rir(')
Ja
Ja
Ja
/(/)í//] por la parte (1)
/ (/l( V )).//'( V)
Si f es continua en R, g diferenciable en R y •>' continua en R. entonces:
{' HgU)).g’(t)dt =
Ju
Jz(tt)
//•(x) =
/(!/)</«, x e R
J*sr(v)f(u)du entonces H(a) = 0 y
En
Ag(.v)).g*U)
a
2.8.4.
Ja
fit)di]- /),[f
Ja
= /( .S í( .l ) ) .íí'( A ) -
(7 )
r.c(')
f*<*>
f[t)dt =
f[t)d i/ (t)dt. derivando
=>
f '/ (g(x)).g'{x)dt = [ n ' ( t ) d t = H ( \ ) ~ 11(a)
Ja
Ja
í(gU))g'(t)dl = \
■»£(«)
f (u)rìu
SEGUNDO TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CALCULO.Consideremos una función f continua en [a,b] y sea F una función tal que:
F'{x)= f(x) V x e [a,b] entonces:
f f (x)dx = F(x) j
/ a
-F(b)~F{a)
Demostración
Como F'i x) = / ( v). V x e [a,b] entonces por el primer teorema fundamental del
calculo se tiene:
/*'U) = f f(t)di +c
Ja
... ( 1 )
329
Integral Definida
Si x = a entonces F(a) = f f(t)dt + c = 0 + c
Ja
=> c = F(a) esto es aplicando la
propiedad (5) de la integral definida que reemplazando en ( 1) se tiene:
F(x) = f/(í)<* + F(a)
Ju
...(2)
Si x = b, reemplazamos en (2) obteniendo:
F(b)= \f{t)d t + F(a) de donde se tiene: f f{t)dt = F(b)-F(a)
Ju
Ju
como la variable de integración t es independiente se concluye:
( f(x)dx = F ( b ) - F ( a )
Ja
OBSERVACION.©
En la evaluación de las integrales definidas la notación F(x)
indica
F(b) - F(a) es decir: J J'(x)dx = J F'(x)dx - F ( x ) = (b) - F(a)
©
La formula J f{x)dx = F{b) - F(a) se conoce con el nombre de “Formula de
NEWTON — LEIBN1TZ”, debido a que estos dos ilustres matemáticos
independientemente establecieron la relación entre los conceptos de la derivada y
la integral.
©
La diferencia F(b) - F(a) no depende de la elección de la antiderivada F, puesto
que todas las antiderivadas se diferencian en una constante, la que se desaparece
al efectuar la diferencia, por lo que no es necesario considerar la constante al
hallar la antiderivada.
Ejemplo.- Calcular la integral J | x - 3 1dx
330
E d u a r d o E s p in o z a R a m o s
Solución
\x —3 SÍ X > 3
Aplicando definición de valor absoluto: | x - 3 1= <
[3-x si jc < 3
Luego se tiene: [-2,5] = [-2,3] U [3,5]
j * | x - 3 1 dx = J * I X - 3 1 dx + [ i -v - 3 1 dx = J ^ - { x - 3 )dx + f ( x - 3 )dx
.2
,3
= ( 3 x - ^ ) / ’ + (-^--3x) /
2 / -1
2
= [(9 -V (-6 -2 )]+ [< 4 ^ -1 5 )-4 -9 )]
2
9 25 9
7 29
1 7 - - + — - - - 6 = 11 + - = —
2 2 2
2 2
12.8.5.
2
2
fs
29
A J Jx -3 |< fr= y
CAMBIO PE VARIABLE EN UNA INTEGRAL DEFINIDA.E1 calculo en la integral definida se puede simplificar mediante un cambio de variable,
este criterio indicaremos en el siguiente teorema.
TEOREMA.-
Si f es continua en el intervalo [a.b] y si se reemplaza la variable de
la integral x = g(t) donde g: [cc,p]-----> [a,b] tiene derivada
continua en [cc,p], con g(cc) = a y g(P) = b, entonces:
í f'(x)dx = f Pf(g(t)).g'(t)dt
Ja
Ja
Demostración
Aplicando el primer y segundo teorema del calculo
Sea
F{y) = í f(x)dx entonces
Ju
F '( y ) - /( y), V y e [a,b] por ia regla de la
cadena o derivada de la función compuesta.
t^(«ÍM)] - E'(g(/)).g'(t) = /(g(O)g'(O por lo tamo F(g(t))
es la antiderivada de
I
/ (k (/)).k '(/) entonces por el segundo teorema del calculo se tiene:
Integral Definida
331
= F(g(P» - F(g(a)) = F(b) - F(a) = f / W d x
f f(x)d x= \P f(g(t))g'(1)dt
Ja
Ja
Ejemplo.- Calcular la integral
29 ^/(JC
t/(JC —
-2)2dx
Zl
—— ¡ =
Jj 3 + lJ (x - 2
?
Solución
Sea z 3 = x - 2 de donde dx = 3 z2d z , además para x= 3; z= 1 y para x = 29, z = 3
f»
V(jc - 2) 2
^
"
3 + ^ /(x -2 ) 2
f3z 2.3z2<fe
, f 3 z 4dz
*
J i3 + z 2
3 + z2
- 3 + T T i * ■ - * 7 ’ 3 - '+
- (¡’ - 9 z t 9 . f i M C I g i) / ’ = 9 ^3 (y ) + 8 - 9 V 3 (|) = 8 +
OBSERVACION.- En la practica no es necesario tomar la función g(t) en forma
explícita, puesto que ya esta habilitado a cambiar de variable en
la integral indefinida, solamente se debe agregar para cambiar los limites de
integración solamente se debe reemplazar la variable original x por los limites de
integración correspondiente, obteniéndose los nuevos limites de integración.
Ejemplo.-
Calcular la integral definida
Solución
f2
jf dx
-------5- 5Ji (1 + x )
332
Eduardo Espinoza Ramos
Sea z = l + x 2
f2
x dx
dz = 2x dx, ademas para x = l ; z = 2 y para x = 2; z - 5
r 2 2x dx _ 1 t 5dz __ 1 / 5 _
2 Ji (1 + x 2) 2 2 J 2z 2
2r f 2
_1
Ji (1 + X 2 )2
11
1
3
2 5
2
20
Ejemplo.- Calcular la integral í
V* - 1
Solución
Cuando se hace un cambio de variable o una sustitución adecuada también es
recomendable cambiar los límites de integración para facilitar los cálculos.
Ahora hacemos el cálculo de
integral, sea x - z 2
dx = 2z dz cambiando los
límites de integración para: x = 4, se tiene z = 2; y para x = 9, se tiene z = 3
r9 Jxdx
f-* z
1
'r2
/■*
= 2 [(|+ 3 + I n 2 > - í| + 2,+ lril)]=?7¥21n2
Sea f una función continua sobre el intervalo [a,b], c e [a,b] ahora calcularemos el
límite siguiente:
para esto, definimos la función:
G(x) = £
/ , para cada x e [a,b], donde G(0) = 0, G'(x) = / (x), G*(c) = / (c)
Luego el valor de E lo expresamos como:
333
Integra! Definida
E = lim—[C(x+h)-G(c)]
/. *0/1
y como E resulta diferenciable por el primer teorema
fundamental entonces:
E = lint ^
h Hl
por lo tanto:
1 p+'h
£ = !im~~ f{ t) d t- f(c]
b~fOh Je
/;
= G'(c) = /(<)
1 f 4 * í//
Ejemplo.- Calcular el limite lint — I
h-, ti A Al
-----l + ,2
Solución
Sea /'(/) = ------— entonces aplicando el caso especial
fl+r)
1 _ 1
1 f4-*
r4** (¡t
di
lint — f — r = / ( 4 ) =
h *11 ¡1 J4 i + ,í
1+ 16 _ 17
2.8.7
EJEMPLO DEL ler. V 2dt>. TEOREMA;FUNDAMENTAL £IC£L CALCULO.-
®
Hallar ffx) sabiendo que f es continua V x e R y j f ( l ) d t = x 6 + x 4 + 3x2
Solución
Derivando ambos miembros de la ecuación dada se tiene:
2x / (x2 - 1) = 6xs + 4* 1 + 6 x , simplificando tenernos
/(a *2 - 1) = 3jc4 + 2 x 2 +3 =3(x2 - l ) 2 + 8(x 2 - l ) + 8
/. / ( x ) = 3jc2 +8 jc+ 8
®
Hallar la derivada de la función y =
r * 1- / + / 2
—---- —rf/ para x = 1
J<H+/ + / 2
334
Eduardo Espinoza Ramos
Solución
Nos piden calcular
dy
y'(l) = — /
dx • * i
primeramente calculamos su derivada con
respecto a x.
y*(x) = — = D v f ^
• d l ~- —
, ahora evaluamos en x = 1.
dr
Jo 1 +/ + ^l+x+x~
V(v,-I
rf-V /
©
, ri
1+1+1
3
•
3
Hallar la derivada respecto a x de la función “y” dada en forma implícita.
í e dt+ feos/ d i - 0
Jo
Jo
Solución
Derivando con respecto a xt a la ecuación
v dy
A 4
dy
e — + cosr = 0 entonces ' dx
dx
(4)
f e di = f eos i dt - 0
Jo
Jo
cosx
e'r
Hallar F'(x) siendo:F ( x ) = f (í -------- -r~ — — )dy
J2 J8 i + /- + sen~ t
Solución
Sea / ( > • ) = [ - — ~ — — => /(.r) = £ - — ^ — —
J* l + /~+sen~f
1 + r + sen~ i
335
Integral Definida
©
Hallar F'(x) si F(x) = f - ----- - 1— t +9sen/ + 15
Solución
F ( X) = f
F'(x) = -
—----- —----= - f
/ “ +9sen/ + 15
—----------—--------, derivando
^ r_ +9sen/ + 15
3jc2
x 6 + 9senx 1 +15
•sen.r
(ó )
Hallar F'(x) si F(x)= f
Ja
rf,
arcsen/
Solución
EV ,
p(-v)=
(T)
f
*
_
E„ , .
COS .V
COS .V
--------- => F (x) =-------------- - = -----aresen/
arcsen(senx)
x
Hallar la derivada Dx (J yfl + 1 4 dt +1 4l + r4dt)
Solución
Dy( Ç M + i 4di+ ^ 4 l + t 4dt) = Dx ( - £ 4l+ t*dt + 1' 4\+t*dt)
= —s/l + je4 + 2x^lìTx*
@
Si F(x) = r ^/l+ .V3 d y , hallar F'(x)
Solución
F (X) = £ ^ / l + v V v = £ ’ ^ 7
d y + £ Vl + > V v
F (x) =
cosx
X
336
Eduardo Espinoza Ramos
F(x) =—|
^ Jl + y 3d y + J
%j\+y3d y , derivando tenemos:
F'íx) = - 3 x 1l l l+jc* +2ít/i + * 6
Calcular lim —[ | sen t d t -
sen / dt]
Solución
-
j s e n t d t - jjsenjrf/
lim —[ f sen / di - f sen / dt] = lim —— — — = D y f sen t dt = sen jc
*h »0
»o //
h Ji
Ji
ti/» »o
»o
h/j
/ / i » y - [Jjsen t d t - j sen / d t ] = senx
©
Calcular lim —[ f sen2 / dt - f eos 2 t d t - x]
a->o h Ji
Ji
Solución
i cx
i
r +h i
lim—[ sen t d t - \
eos” t d t - x \ =
/•—
»<! }\
Jl
•x^h
= lim j l
*-»<>/; Ío SCn2 1
= lim - ( J (sen2
i»—
>íi h
I
C**/#
lim -~[x + I i
II
J\
= Um j l
A-»0 h f - f
1 Cx+h
lim
/»->« /| Jx
•x-h
1
Integral Definida
(T í)
337
Hallar f(2 ) si J / ( t)dt = x 2( 1 + x)
Solución
J" / (t)dt = x 2(l +x) derivando con respecto a x
f ( x ) = 2x+3x
12)
=> f(2) = 4 + 12 = 16
f(2) = 16
Si ^ r d t = x 2(\+x). Hallar f(2)
Solución
rfX*) 7
/" dt =
J
?
x “(1 + jc) derivando conrespecto
/ 2 0 0 /* (x) = 2jc+ 3x2
—
ax.
integrando
f ( x ) = ^3(x2+ x 3) , evaluando en x = 2
- x 2 + jc3 =>
/ ( 2) = 3/3(4 + 8)=V36
f( 2 ) = l¡26
Si f(t) es una función continua en [a,b] y g(x) es una función diferenciable con valores
en [a,b]. Demostrar que:
f#< ' f(t)dt = f(g(x))-^-(g(x))
dx Ja
dx
Solución
Sea F ( u ) ~ [ f ( t ) d t entonces
Ja
Luego derivando
^
I*'*/ ( / ) * “
OX Ja
fX(x)
Ja
dx
=í
Ja
f{t)dt
/ (t)dí - F(g(x)) con respecto a x
(F(g(x)) = F'(g(x)).4~(g(x))
dx
... (1)
338
Eduardo Espinoza Ramos
como F (u ) = [ j(t)d t
=> F'(u) = f(u )
F(g(x)) = f(g(x)) donde u = g(x)
ahora reemplazando (2) en (1) se tiene:
^4)
... (2)
d f*(jr)
d
—
/ (t)dt = f(g(x)) — (gM )
dx Ja
dx
Calcular la integral | (2x2 + 4jc +1 )dx
Solución
Aplicando el segundo teorema fundamental del calculo.
f (2x2 +4x+l)dx = (— +2x2 +x) t = ( - + 2 + l) - ( 0 ) = ^ 3
/ o 3
3
*0
( 15 )
Calcular la integral | x 24 x 3 -1 dx
Solución
f x 2^
¿
x
= j j V
+ 1 )1' 2 3 x 2 í / x = ^ ( x 3 + 1 ) 3' 2 f~
= —(8 + l)3/2 - - = - ( 2 1 + 242)
9
9 9
Í6 )
w
Calcular la integral í
—----Jox2 +4x + 5
Solución
®
í —r- —----- = í ------— = arctg(x + 2) /
= arctg 3 - arctg 2
Jo x 2 + 4 x + 5
/«
*"• (x + 2)
+1
„ , , , .
, r T/2
sen,veosxdx
Calcular la integral
—----- ------- ------ —
Jo o* eos x + b~ sen~ x
339
Integral Definida
Solución
Sea z = a 2 eos2 x +b2 sen 2 x , diferenciando tenemos:
í/r =
(- 2¿7 “ sen x eos x + 2b ~ sen jc eos x)dx = 2 (fr - ¿7~ ) sen jc eos x dx
ahora a la integral dada escribiremos así:
6 2 - a 2) sen x eos x dx
1r * ' 2 2 (r*'¿Z{0'-a
senxcosAí/v
Jro
cf~ eos- +
sen- j
2 (/?~ - a
2(h2
c r2))
o 2 eos2 x + />2 sen2 x
1
In
------ r—l n | a~ eos2 x + b 2 sen 2 x| /
2(b - a )
/o
-— —[lnb2 - l n a 2] = —j-í——ln(—)
-<T)
¿--o"
o
2(6
Ilw
Calcular la integral
r
■Jl + X2
x
dx
Solución
En esta integral hacemos una sustitución y también cambiaremos los limites para
facilitar los cálculos. (Por sustitución trigonométrica).
Sea
[tg 0 = x
\x = lgO
eos ecO
jc = 1 0 =
además tg 0 = x, para
^fl + x 2
n
0 = arctgx
dx = see2 0 dQ
340
Eduardo Espinoza Ramos
j^ V l+—J r 2 dx = f
X
J n ¿4
eos ecG. sec 2 GdG = f
(eos ecG + tgG. sec 6 )dG
Jn/4
2
1
= (ln | — — = |+ 2 )
Vir/3
*-4
V3 V3
= (ln |^ -l|+ -v /2 ) = 2 - ^ 2 - I tiÍa/ ó - a/3)
©
í xsenx dx
Solución
.
Haciendo
f«=x
fdu = dx
<
=> <
[dv = sen * dx
[v = - eos x
f x sen x dx = -x eos x /* + f eos x dx = -x eos x / +sen x /
Jo
' 0 Jü
'0
= -(—7T-0) + (0 -0 ) = 71
(2 0 )
Calcular la integral J | x 2 + x - 6 1dx
Solución
En el cálculo de integrales con un valor absoluto se debe determinar el signo de la
expresión dentro de las barras, mediante el criterio del punto crítico, (en caso que el
integrando tenga más de un valor absoluto se define los valores absolutos) es decir:
+
x 2 + x - 6 = (x+3)(x-2)
T
+
T
”0
Lucgo el criterio sobre el cual se realiza la integración se expresa en dos o más
subintervalos, es decir:
[-4,4] = [-4,-3] u [-3,2] \j [2,4]
341
Integral Definida
= J (x 2 + x - 6)dx - J (A2 +x-6)dx+ J (a 2 + a - b)dx
=(T + T - f a , / r
(T + T - f a ) / l +lT + T - 6' , / ‘
:[(_ 9 +| +l 8)_ (_ ^ + 8 + 2 4 )]-[(| + 2 - 1 2 )- (- 9 + |+ 1 8 ) ] +
+ [ ( y + 8 - 2 4 ) - l( |+ 2 - 1 2 ) ]
,64 9
.8 9
... 56
109
(— + — 23) —C---------------------19)+ (-- 6 ) = -3 2
3 2
3
3
(2l)
Calcular la integrai f | A+ ^ | dx
J-2 x ++ 66
Solución
De acuerdo al comentario del problema (20) determinaremos el signo de la expresión
X +^ mediante el criterio de los puntos críticos.
x +6
-6
-1
Luego [-2,4] = [-2,-1] ¡u [-1,4]
f 4 | ^ l i | d A = r 1| ^ i | í/A+f 4 \ ^ ± \ d x = [ l^ ! ± d x +f ^ d x
J-2 x + 6
J-2 x + 6
J-i x + 6
J- 2 x + 6
J-ix + 6
rl
5
f4
5
(\— ^-)dx+\ (1~ ^ ~ )d x
J-2
x+
x+6
JJ-i
i
+ 66
=-f
-{x -5 1 n |x + 6 |)! ^ + (x -5 1 n |x + 6 |) j*^
342
Eduardo Espinoza Ramos
= -[(-1 - 51n5) - (-2 - 51n4>] + [(4 - 51nl 0) - (-1 - 51n5)]
-[1 + 5 In—] + 5 + 51n— = 4-51n(-)
5
22)
10
8
Calcular la integral J [\2x\]dx
Solución
Sea z = 2 x => dx = — además para x = - I ; z - -2 ; x = 2 ; z = 4
2
4 C » --1» * ■+ f ,n --1 + £t i -- II* ■- J,ÍI -- I I * + J ’ti -- n * * jji -- \ r n
= - [ - 2 - 1 + 0 +1+ 2+ 3] = —
(23)
Calcular la integral J ([| x |] + [| x + —f]) dx
Solución
tU |] = - l
-1 < x < O
X G [-1 ,0
1 * + —<
1 1“
----<
[ |x + i | ] = 0
0 <x<l
[|*l] = 0
1
1 3
—< x + —< —
2
2 2
[U + ^ l] = ‘
2
x e [0,1>
2
2
343
Integral Definida
X € [1,2>
=>
x e [2,3>
l<x<2
3
1 5
—< * + —< —
2
2 2
[\x\] = l
[U + | | ] = 2
2< x < 3
5
1 7
—< jc+—< —
2
2 2
[ U 11= 2
[ U + jl] = 3
= f (-l + 0)£Ír+ f(0 + l)í/v+ f(l + 2 )dx + f(2 + 3)rfr
J-l
Jo
Jl
*>2
í ([l*l] + [l* + —
J 1
2
=J-rfr +Jrfx+^3rfx+Jsrfx
-<0 + 1) + (1 - 0 ) + ( 6 -3 ) + (15 -1 0 ) = - 1 + 1 + 3 + 5 = 8
(24)
1 x 1 —3jc5 + 7x 3 - x
Calcular la integral J
eos2 X
dx
Solución
Cuando la integración se realiza sobre un intervalo de la forma [-a,a] se debe ver si la
función es par o impar es decir:
f(x) =
x 7 ~3x5 + l x 3 —x
eos2 x
=> /( - * ) = -
x 1 - 3 x 5 +7x 3 - x
= -f(x)
eos2 A'
Luego como f(—x) = —f(x) la función es impar entonces por la propiedad (13) se tiene:
1 x 1 - 3 x 5 +l x 3 —x
j. 1
eos 2 X
Calcular la integral
dx = 0
J tg x dx
—~ = — -----Jm e^t g x + j c t g x
r * ‘'3
Solución
344
Eduardo Espinoza Ramos
n
n
~6 ; r"T
dx = -dz para
, reemplazando se tiene:
n
n
X =
"""
3
6
V ----A -----
Sea r = —- x
2
—
-Jtgx dx
_
*f i g x + jctg x
+
,7T
tg(^
-)rfr^2
d:
f*'»
_ ffn.3
* 3 -Jctg:
± tg rrfr
g l +Jcig.
■k'6 I .K
I TtÍ 7 Jn,6 f i/tgJ c t« |tg(—- z ) + J e tg ( y - r )
*/3 -Jtgx dx
»/ 6 JlgX +^JclgX
c’1-3 is[clgx dx
f*'-’
-(I)
•’«^^tgx+ -y/ctgx
Sumando ambos miembros de la ecuación (1) la integral
* *r / 3
-v/l^ X
—j =
es decir:
Jn/6 ^ X g x -¥^jc t g x
r*'3
^¡Xgxdx
f*/3
*\JtgX +-y/ctgx
^jtgxdx
X rfx
f*'3
^tgx+^/ctgX
^ /6-JtgX
-Jtgx+^ct
+
gx
_ p ^ ^ /tg x + -y /í tgx
•’’r/6 -y/tgjt +^/ctgx
■*'I/6
-Jlgxdx
_ n
r*/3
*n/6y¡tgx +^Jctgx
(2ó)
Calcular la integral J
^
««
3
_ 7T
6
6
12
e9enxdr
^ cosjc _ ^ s e n x
Solución
/r
Sea z = ---- x => dx = - dz, para
2
x =0 ; r =
/r
/r
, reemplazando se tiene:
345
IntegraI Definida
cn/1 €senxdx
Jo ^cos.r +é?senA
r°
gscn(2
^ ~n!2 gcos2rfr
/Z= X)
J^ /2 sen(£_z) cos(£ -2) Jo ^enz + ^cosz ' Z X
e
dx
cnlL e
dx
=
--------------- , ahora sumando í ambos
J*m¿---------------
0
em *+¿x*x J0 ^sen*+^cos*
„sena.
gsenVaveos X es decir:
miembros de la ecuación la interni r*'2
I — -----------Jo ^senT+(
rn.2
JO
e^dx
t senj + e £“ *
2r ' l e ^ d x
Jo ^senx +É,cosx
r 2 e ^ d x | f * /2 e ^ d x
Joesenr+ e cosjr
Jo pSeii.* + e cosv
rm'l gsepx + gcos t
J0
^senx + £ ,cos*
f'^ 2= ZL
X
*12 esmxdx
í'o esmx +e'MSX
( 27 )
W
Calcular la integral
f Ascn*
1+ COS
Jf)
2
n
4
A'
Solución
Aplicando la propiedad f f{x)dx = f fia - x ) d x
Jo
Jo*
rn x sen a' dx rn (n - x) sen(;r - jc) ,
--------- ?— =
rn (n - x) sen x ,
--------------------------------------------------------5------- d x = \ -------- ?-------- d x
Ji) 1 + eos“ A' Jo 1 + eos~ (n - x)
J() 1 + eos“ x
c71xsenx dx
rn senx dx rn x senx dx
, .
I
-— = n ------- ----- ------------ -— * transponiendo términos
Jo 1 + cos" a'Jo 1 + cos x Jo l + cos~x
^rrxsenxdx
,
/
,
, tv
g n
n
2
—- = - n arctg(cosx) / = - 7r(arctg(-l) - arctgO)) = - n {— 7 — 7 )= —
1+cos 2 x
/o
4 4
2
346
Eduardo Espinoza Ramos
* xsenx dx
i
@
l + cos2x
n2
4
Sí J J f'{x) + f"'(x))cosx dx = 9 y / " ( 0) = 7 Hallar / '( * )
Solución
f ( /'( * ) + r " ( * ) ) c o s x d x = Jo*f r U ) c o s x d x + Jo'f /"'(x)cosxrfx
Jo ‘
...(1 )
J f'(x) eos a dx por partes:
*ní 2
o
fu -
f'(x )
j r f v =eos x
jdu = f" { x )d x
[ v =sen x
dx
¡n/2
n/2 [X/2
J /'(x J c o s x í/A ^ s e n x /'fx )^ - j / " ( x j s e nx r f x
ahora calculamos la integral
{ u =cosx
dv = f " ' ( x ) d x
... ( 2 )
pnr/2
/ '' ’(x) eos x dx por partes:
Jo
ídu =-sen x d x
^
[v = / " ( a )
J
fiel 2
n¡2 Cni 2
J^/,,,(x)cosx¿x =cosx/,,(x)/o + / M(*)sen xdx
£/"'(x)cos xdx =-/''(O) +Jo/ ,2"(x)scnx dx
reemplazando (2) y (3) en (1) se tiene:
... (3)
347
Integral Definida
29)
Calcular la integral J
| x | dx
2 [| x\]x + 20
Solución
r3 |x |dx
r°
|x |dx
r1 |x |dx
J-i2[|* |]x + 2 0 ”~J i 2[| jc|]jc + 20 + J«2[|x|]x + 20 +
|x |dx
r3 |x |dx
1 2[|x|]x +20 +J 2 2[|x|]x +20
r° -x dx
r1x dx r2 x dx
r3 x dx
J 1 -2x +20 +Jo 20 +Ji 2x +20 +J 2 4x +20
1 f° n
10 w f1 A ^ 1 f2/i 10 w
2 J 1 x-10
Jo 20
2 Ji
x-10
2
1 f\t
5
4 J2
x +5
t
= —U + 101n | x - 1 0 | ) / ”i + ^ /'o+ —( jf - 101 n |x + 1 0 |) / j +
+ ^ ( * - 5 1 n |x + 5|)/*
10 1 1
1
11
1
5. 7 515
5, 7
= 51n— + —+ — + —+ 51n— + —+ —ln—= — + 51n—+ —ln—
11 2 40
2 12
4
4
8
406
4
30}
Sean f y g dos funciones
integrables sobre [a,b], pruebe
la desigualdad de
CAUCHY — SCHWARZ.: ( ff(x).g(x)dx)2 < ( f(x)2dx.f*g{x)2dx
Ja
Ja
Ja
Solución
Para todo real X se tiene
J (f(x) +Xg{x))2dx> 0
f f( x ) 2dx +2?Xf{x)g(x)dx + ?c f g(jf)2 ííc > 0
Ju
Ja
Ja
. . . ( 1)
Sea A 2 = f f ( x ) 2dx, B 2 = í g(x)2dx, C = f f(x).g{x)dx
Ju
JaJu
...(2 )
8
348
Eduardo Espinoza Ramos
Reemplazando (2) en (1) se tiene:A 2 + 2h: +X2B 2 > 0
a la ecuación (3) se expresa asi:
... (3 )
2q
^2
A" + -— AH------ > 0, completando cuadrados
BB2
. 2 2C .
C2 A 2 C*
+ B2 + B4+ B2 B4
...(4)
(á +S ^ )2 + A 1 - £ t >0
B
B B4
A2 C2
ahora (4) es cierto sí y solo sí —-------- > 0
B 2 B4
A 2B 2 - C 2 > 0 dedonde C 2 < A 2B 2
por lo tanto:
( \ f (x).g(x)dx)2 < f / ( x)2dx, í g(x) 2dx
Ja
Ja
Ja
2.9
EJERCICIOS PROPUESTOS.-]
I.
Calcular F '( jc) siendo:
©
F(x) = f e \ní dt
Rpta. F'(x) = e x Inx
©
cx4 t dt
F(x) = J^senh
Rpta. F '(4x) = 4x 3 senh(x4)
©
F(x) = j 5Jl +t 4dt
Rpta. F'(x) = -^/l + x 4
F (jf)= |" Vi +t4dí
Rpta. F'(x) = 2x^l +x*
©
JO
2
©
J-jr a
1 + /-
Rpta. F'(x) = ----- —
l + x~
349
Integral Definida
©
F(jc) = J ' cosh(2 r + \)dt
Rpta. F'{x) = 2 eosh(8jc2 + 1)
r* di
©
F(x) =
Ju
Rpta. F'(x) =
(i+Jf2 ) n + ( r - 5 L . ) 2]
Ju \ +t ¿
1+/-
F(x) = sen(jj sen(J sen3tdt)dy)
Rpta.
F ' (,v)=cos( f sen(í sen31dt)d\. sen( f sen31 di))
Jo
Jo
©
w
r
</'
,
F(x) = P" l W* / . ... 1'
Jfi
1 +sen2/
©
W
F(x) = r ( - L ^ + -J\ + t A)dt
J- 3/ + r
Rpta.
F'(x) =
** 3* 6
Jo
3x2
Rpta. F'(x) =------------, 3 n V
dt
(1 +sen .t )[l + (l --------—y ]
Jo 1 + sen2/
+^|l +7 - 3 x 2^|l +x ^2
a ( jc + 3 ) ( a ~ + 3 )
©
r!' sen,rf'
Jo
/
©
J2
©
F(x) = f ln/ í//
Jjc2
t
Rpta. n , ) . ”
2'
Rpta. F ’(a' ) = 4
Rpta. F'(x) = -4A'lnx
2
F(.v)=J ln 2 / í//
©
Rpta. F*(x) = 2xln 2 x 2
F(x) = f (eos l +t 2)dt
Jsena
Rpta.
F*(x) - 2x( cosx2 + jt4)-(cos(sen x) + senz a ) eos*
350
©
Eduardo Espinoza Ramos
F(x) = \ \ \ f ( t ) d t
©
dt
l+ sen 2 1
©
F< * H r ñ
©
F(x) =
Rpta. F ( x ) = 2xVf(t)dt + x 2 f(x)
Jo'
Rpta. F'(x) =
Rpta. F'(x) =
f
Jssena 1 eos 2 /
Rpta. F (x)
- j.
3x2
1 +sen 2 jc3
1
senx + x - 1
-co sx
1 + eos2 (sen x)
Rpta. F'(x)= f
©
F(x) = £
@
V- /
fu )= r —
J3 11++sen
cfit!6
6 t +t 2
Rpta. F'(x) = -
©
'8 * dt
F(x) = J*
1 + /'
Rpta. F 'fr) = S£C * =1
1 + tg2 /
2+/3 -ctg2/
%
Ju2+r -ctg /
» n ‘ .2
1 + sen
jf“ +x 4
Rpta. F'(x) =
f (x) = r
tgr
see3 jr¿/xr
@
see2 x
i - t g 2 (tg.v)
dt
x¿
Rpta. F'{x) = 2x P - ^ V +
J-2 to
tg/t ¿ tg*
^
U
2x
f*seo i ví/v rfx
Rpta. F ' ( x ) = 4 r h
3\¡t «W
1 - jr 3
?
i - x -1
F(x) = J* [£ * ' VTVrfiv]rf/
dt
f
■í
Rpta. F ''(*) = 4 4 ^ /l- ( 2 + jr2 ) 2 - V i - * 4 ]
Rpta. F'(x) =
2 ig x
sen2x
2 _rsen(l+ a 2 )
l+.v2
Integral Definida
@
351
F(x) = J' l¡] + v3 dy
Rpta. F' (x) = x[3xlh+xv - 2^/l+x6]
II.
Sea f una función continua V x que cumple la relación:
f f(t)dt = - —+x sen 2 x + —eos 2x+ x2, calcular f ( —) y /**(—)
2
2
4
‘ 4
J
Rpta. / 4 > = T ’
4
2
®
7T
Calcular F ’(—) si F(jc) = I
2
J*
4
/
fJxarcsen(—)dt y g(x) = (sen/ + 1eost)dt
x
Jo
Rpta. 0
©
Si fes continua y x4 =JJ(/ (/ ))3rf/+17x. Hallar f(3)
Rpta.
©
Sí f 8 f(t)dt = g(x) y /(* ) = ------Hallar g(x)Rpta.
J3
1+ x
g(x) = - x + c
(? )
Si f V & / = 2x+3
Jo'
©
fcl8 * f(t)dt = - ln | see 2x + tg 2x | . Hallar / ( - )
Rpta.
©
Si ^f{t)d1 - -2-Jl -sen x , Hallar f(x)
Rpta.
f{ x ) = —
j=
©
Si J /(/)< //= g(x) y /(x ) = ^ l - x 2 , Hallar g(ji)
Rpta.
rc-1
©
Si f f « ) d t = x - ^ , hallar f ¿ )
V
2
• 2
Rpta.
^
J-2
Hallar f(12)
7
Rpta.
7
f{3) = W \
f(l2 )= -
‘
4
1
4-n-
352
Eduardo Espittoza Ramos
(ío)
Una función g definida para todo número real positivo satisface las dos condiciones
siguientes:
g ( l ) ” l y g ’(x2) =jc3 , V x > 0, Calcular g(4)
Rpta.
(n )
Si f y ( t ) d t = x 1{\+x) Hallar f(2)
Rpta.
(12)
Sea f{l) = 4 4 + / 2 + f t = = - . si se define H(x) - f 1(t)dt.
J 2 V4 + « 2
J*
Calcular D 2H(x) p ar a x = l .
g(4) ~ ~
2 + 3 V2
Rpta.
■J5
©
Si
f }(t)di = 4 x + J } . Hallar f(17)
(l4)
Sea f una función derivable tal que /(O) = /'(O ) = 0 se define las funciones.
Jv3
Rpta.
—
32
g(x) = ¡*f(u)u, //(X) = f (Jr> /(/)<*. Hallar D 2//(x) parax = 0
Jo
J~ £ (*)
Rpta.
(ís )
w
Si
200
í 3r 1 f (t)dt = — + ax , Hallar el valor o valores de a para que f (—) = —
Jo
ax
4
3
Rpta.
Demuestre que:
rb 2 x d x
J —
a = -2 ó 1
r]+t}2dí
//(* )= £ /(< )*
entonces D 2H(x).
Rpta. 0
@
Si/ ( ( ) = * + f V l - « 2rfw;
(l8 )
Demostrar que si f es continua, entonces: J/(w )(x-w )rfw = £ (J^/(/))rf« sugerencia
considerar F (x) = f /(w)(x-w)cfw
Jo
después derivar
F*(x) = [f(u)du
Jo
hallar un antiderivada y calcular la constante de integración calcular F(0).
enseguida
IntegraI Definida
19)
353
Aplicando el ejercicio (18), demostrar que:
^ f(u)(x-u)du = 2 ^ (£ (J ‘ f(i)dí)dul )du
20)
c .
...
Si
.
H(x) =
f « 1»
dt
,----—
.
,
en donde I
farcsenfcos
Jji
JrW O -V i .T2 ) / 2
1-seilX
f(s e n /)d t= J ----------
F™*4 g V )d t= ^ !\- cosX . Hallar H'(x)
JV2
21)
y
V1 + s e n jf
Rpta.
H'(x) = - \
Sea f una función derivable tal que /(O) = /'(O) = a * se define las siguientes
.
fg(jr)
f(u)du ; //(* )=
donde “a”, “b” son constantes,
o'
Jo
J
Calcular H'[x) parax = 0.
^22 /
Rpta.
H'(Q)~a2b
Existe una función f definida y continua V x e R que satisface una ecuación de la
r
r1 2
x 16 * 18
f(t)dt= \ t f{t)dt +---- + -----+ c , donde c es una constante. Encontrar
Jo
Jx
8
9
forma
una fórmula explícita para f(x) y hallar el valor de la constante c.
Rpta.
(S )
Si 0 a < jc < — * Calcular d \ {í
2
Ja
t
F(x) = 2x15; c = _ ^
+ f — —— ]dí\ en x = —
J/ 1+ cosu
4
Rpta.
n~
(24)
Sea
f una función derivable
G(x) =
f(l) =f'(\) =
=\
se define la función:
r/(*)
x f(u)du . Hallar la segunda derivada de G en el punto x = 1.
Jo
Rpta.
G"(l) = 4
354
©
Eduardo Espinoza Ramos
fX + X 2
Rpta.
2U
®
i
Si F(x)= l
2 ' d t , calcular F'(x), f ”(I)
J r +1
F'(x) = -x .2 *A*2xl +(\ + 2x)2 lx**1)2; F ( 1) = - 16
)
Sea F(x) = p 2
Jo.ÍJr)
f(t)dt, donde f: 1 -» R es una función continua y <p,,</>2: J -> I
son funciones derivables. Probar que: F'(x) = /(í» 2( x ^ j ( j t ) - / ( ^ (x))^¡ ( i )
®
1
r* V dl t x’h dt
Calcular el limite l i m - ( x - \
A—»0 fj JO 1 + / 2
JO
Calcular
©
Calcular
®
J
//« —1 _
sen(/ )ífr
h-,0 h A/í/2+7*
lim —(jc - f
h-t0 ti
Rpta.
JO
»sena -----
eaicuiar nm ---------------Jo
©
Calcular
15
—=
-y¡2
eos2 t di)Rpta.1
sen2 / í/í - f
JO
1+ x 2
|+ / 2
1 pfc/2-íh
.
28)
^-/
1
Rpta.
Vsen/ dt
Rpta.
1
Rpta.
-14
Rpta.
f(2)
A-.0 f«* i----- ,
lim í
see t 2dt
h-*0 Jfi/i
4
lim J2_Af(t)dt
(¿ 2)
Si f(x) es continua en [0,3] calcular
( 33)
Sea f una función continua. Se define las funciones siguientes:
H (t)= ty + í* f 2(u)du , G(x) = r jr//(/)rf/ .
Jo'
Jo
f' ( u) du = a
o
355
Integral Definida
( 34 )
Usando el criterio de la segunda derivada compruebe que la función definida por:
f(x)=
( 35 )
f*2^1
Calcular
dt
y... ■ - , alcanza su valor mínimo en x = 0 .
V/4 + / 2 +i
D:.F(y)
'
para
y = 2
.1+4^
F ( y ) = f *g(x)dx
* Jl-4v
(
donde:
g(jc) = ( - l + x)1/:, + r -----Rpta.
(—
1+ m)1'
) 3
(-1+H
(3ó)
D;F( 2) = 32
3
Encontrar una función f(x) y un valor de la constante c, tal que:
J'xt f ( t ) d t - senx-jccosx-----x 2, Vx
c
( 37 )
y
Rpta.
f(x) = s e n x - l , c = 0
2
*
Sea f una función continua sobre <-oo,oo>, tal que /(1) = /*(1) = 1, se define
H(x) = [ (x2 - a )f(t)d t sabiendo que ^ f ( t ) d t = 8a. Calcular f / M(1).
Rpta.
®
H"(l) = 21 + a
Cx 1+ sen /
Dada la función ffx) definida para todo x por la fórmula f(x) = 3+ I -------— d t ,
Jo 2+r
hallar las constantes “a”, “b” y “c” del polinomio cuadrático P(x) = a +bx+cx2
sabiendo que:
P(0) = ffO), F (0 ) = /"(O ), P"{0) = /"(O ) .
Rpta.
(39)
a = 3, b = —* c = —
2
4
Sea f una función continua en R, y F{x) = J* f (u)(x- u)2du , x e R. Hallar
F"(x) en su forma mas simplificada.
@
Si f es periódica de período P continua en R se define G(x) = ^ f ( t ) d t . Demostrar
que:
a)
Si f es impar G es una función par.
b)
G(x + p) = G(x) + G(p)
356
Eduardo Espinoza Ramos
( íí)
Probar que sí x > 1, lnx -
~
= 2(^fx -1 ).
( 42 )
Pruebe que si / (x) = Jf ( t ) d t , V x entonces f(x) = 0, V x.
®
Demostrar que si H es continua F y G derivables
(44)
Dado F(x ) = \
[1
45)
Sea
CG(x)
J(x) =
H{t)dt
entonces
JF(x)
J \ x ) = H(G(x))G'(x) - H(F(x))F'(x) .
f
una
rf(x)
I(x) =
f
Ja
si x > 1
función
,
y si H(x) = í F(x)dx. ¿En qué puntos es H' (x) = F(x) ?
Jo
real,
biyectiva,
creciente
y
derivable,
se
define
U ) d t , V x e R. Demostrar que sí a < b, entonces 3 c e [a,b]
tal que
Kb)-1(a)
f(b )-f(a ) ‘
(Só)
Sea f una función continua en [!,+*», con f(x) > 0, V x > 1 sí:
F(x) = \ Xf( t) d t < ( f ( x ) ) 2
(47)
Sea f una función continua en [0,+ao>, con f(x) * 0, V x > 0, Demostrar que sí
[/(x )]2 = 2 JV (l)dt, V x > 0 entonces f(x) = x, V x > 0.
Pruebe que si f(x) es derivable y f'(x) = c f ( x ) , V x entonces existe un número K tal
que f(x) = ke" , V x.
®
Demostrar la siguiente igualdad:
ftg* 1
rrlzx
1
I ------ d t + \
-------— dí = \
Ji/* 1 + 1
Ji/« /(1+/2)
Integral Definida
357
n ru )d t
( 50 )
Sea f(x) una función positiva continua. Demostrar que la función <p(x) =
Jo
\* m d t
Jo
es creciente para x > 1.
(si)
Hallar todos los valores de x > 0 para los que J [| r |]2di = 2(x -1)
( 52 )
Sea f una función derivable en <-oo,qo>, tal que /(1) = /'(1 ) = 1 sedefínelas
siguientes funciones H(x) = %]7+jc3 + f/(
f(t)dt
y G(x) = í H(u)du . Hallar
Jy
D 'H (x), parax = 1.
a)
1
^
Probar que ----- = 1- u +u 2 -------- (la división puede continuar)
\ +u
l +u
b)
En la ecuación lnx=
f r dt
— , hacer la sustitución t = 1+ u. dt = du y hacer el
Ji i
du
0
c)
Combinar los resultados de a) y b) para obtener l n x =
ó lnx = ( x - 1 ) - —(x -1 )2 + —(x -1 )3- R
2
3
donde
r-T-1
-
------ .
1+ U
u3
Jo
(1 - w + 1/ z -------- )du
1+u
Jo
l +u
du.
^3
d) Probar que s i x > l
<
III.
r x~l
*-1
Jo
U
-
du
y 0 < u < x — 1, entonces
----- < w3 , deducir que
l + i/
(x-1)4
Aplicando el teorema fundamental del cálculo, calcular las siguientes integrales
definidas:
358
Eduardo Espinoza Ramos
©
jy *
Rpta. 18
©
j' (5r4 -4. x 3)dx
Rpta. 2
©
r1 xdx
Rpta.
Jo(x2 + l)3
3
16
©
JJ(3jt2 -4x+2)rfx
Rpta. 11
©
J 3 x ^ 4 —x 2dx
Rpta. -8
©
f2 x3 +2x2 +x+4 ,
dx
Ji
(x + 1)2
Rpta.
©
f1 x 3dx
J-i x + 2
Rpta. — -81n3
3
&
Rpta.
5
6
Rpta.
6215
12
M x 3 +3x2 +4
\ X x U l dx
Jo x + 1
©
Rpta.
1
<N
©
r1 (x2 + 2x)dx
13
6
Rpta. - — 1
4
359
Integra/ Definida
©
29
Rpta- —
^\x -l\d x
Rpta. 1.33685
fl
©
J | cosx| í/x
Rpta. 2
\x-2\dx
Rpta. 20
©
5* ~ 22°
1dx
©
(2-x)(x +1)
j
^/3+1* |rfx
Rpta. 8 ^ - 4 ^ 3
©
J
©
[ ^ | x | - xííc
Rp.„. 2'f2
©
f1 XíílC
J-1 l + | x |
Rpta. 0
©
f4 x+1
í
J-2
X+6
Rpta. 5 + 51n(^)
J 5j x 3 - 4 x \ d x
Rpta. 116
©
J j x - 2 1 3 dx
D
*
Rpta.
©
J x | x —3| dx
16
Rpta. - y
©
* 2' -"1 46 | *
Jf - 3 | jc
©
©
J-3 X* -2 5
313
-
Rpta. 6 + 3 ln 7
»
Rp.a.
2 . /A/5+3
2
360
E d u a r d o E s p in o z a R a m o s
©
J(|seruc|+Jc)¿Y
©
I
Jo
|senjc-cosjt|drx
Rpta. 2V2 - 2
©
J3[|.r|]rfx
Rpta. 2
©
j'tlAT+illdX
Rpta. 4
rn/2
Rpta. 4 + 2n 2
Rpta. -3
©
©
J_“ u - D x D I *
Rpta. 2
©
[|jc|]sen^dx
Jo
6
_
30
Rpta. —
n
©
f
(14 - X 1 1+[| 4 - x 2 \])dx
Rpta. 13
©
©
©
Rpta.
Ç \x2-A x -\2 \d x
r2 dx
J4
r2
1+ [|^ -|]
4
Rpta. 104
Rpta.
6
©
Jo V l* -l|'* 0 * -2 |: ]dx
Rpta. 3
©
J ^ i2 x -ii-n x i]&
Rpta. 2 -J3
(2-v/2 +-^3)
361
I n te g r a ! D e fin id a
11
©
2)dx
Rpta.
©
J (x + iy]x+3 dx
Rpta.
46
15
©
f sen2 /orcos2 tdc dx
Jo
Rpta.
1
5
©
fI 1sen (— )dx
Jo
Rpta.
4
3n
©
rn/2
1 sen x cos xdx
Jo
Rpta.
1
12
2
T
f *r/4
tg x dx
Rpta. ------- In2
2 2
©
Jo
©
*nl 2
1 (se n x -co sx )d x
Jo
Rpta. 0
©
cn/2 1
I (—+ cosx)rfx
Jo
2
Rpta. £ + i
4
©
r * '4,.^ se n jr ,
(
, )dx
Jo
COS X
Rpta.
©
Jo s i g ( x - x i )dx
Rpta. -1
©
f x.v/^(cos_v)i/x
Rpta.
Jo
fV2 4 \x 2 - 2 x - 3 \ ( x - \ ) dx
®
J-V2
©
r*/4 sec2 x ta x _
-r
= dx
0 V2 + sec2 x
[\x2 +\\]
n 1
T _2
/r2
4
Rpta. -^ [8 + (1 + 2a/2)3' 2 +(2V 2-1)3' 2]
6
Rpta. 2 -a/3
362
E d u a r d o E s p in o z a R a m o s
®
rn/6
J sen 2x eos 4x dx
2 +3J3
Rpta. — ——
®
r2*/3
dO
I
—
Jo 5 + 4eos0
„
®
^w/3 «.
i see x tu x dx
Jo
Rpta.
v
©
r 1
dx
Jo 3 +eos 2x
Rpta.
®
r,l/3co s2 x -l ,
------ dx
Jo eos 2x +l
_
n
R p ta .--- 1
4
senx dx
---- ---------------Jrt/4 eos jc-eos.r+ 4
1
7+3-J2.
Rpta. —ln
| -j=
3
1-3^2
®
r”n cos.x dx
--------= Jo 1+sen x
„
n
Rpta. 4
(60)
J 2/ sen t 2 eos t 2dt
Rpta.
W
J-*'2^/s¡ñ7
®
í Veos .r-e o s3 x dx
J-n/2
Rpta. —
3
®
f2in J
1
i -— sen— dx
Jl/TT x 2
x
Rpta. 1
f
Jo
Rpta. 42 arctg(—^=)
2-\/2
--------—------senjc+eosjc+2
^
Rpta.
k
—
9
856
---105
8
.
sen 2 n 2
8l
4
363
I n te g r a l D e fin id a
®
r /2
dx
.lo senjc+cosjt
©
;Ilosen5jtcos3jif dx
Rpta. —
©
p/r/2
(l + sen0) ¿0
;
lo
i
D
.
Rpta.
@
pzr/3
ctgx\n(senx)dx
J*n / 4
Rpta. i[ ( in ( |) ) 2 - ( l n ( ^ ) ) 2]
'«¿n
©
íloarctg(-Jx)dx
Rpta. y - 1
(í 8
r1/2 xarcsen,x dx
1 W3
R p ta .---------2
12
*nl 2
Rpta. 4 l ln(V2 +1)
1
F
2 0 + ----3 5 /r
—
3
16
•
©
J
©
rn 7
e~*sei\xdx
'o
J
o .
©
[*jcln x dx
J
3
Rpta. In4—
4
©
JirV2/2 '¡ lx72 2 *
Rpta. 1 - —
4
©
2)V2dx
JA2x(l+x
0
Rpta. 2,2^ - ' >
©
■2 x 5dx
J o (1+*J )3/2
é -x 2
^2" +1
5
g
Rpta. —
9
(a
364
E d u a r d o E s p in o z a R a m o s
128
5967
©
jki
Rpta.
@
f V ( l - x 2)V2dx
Jlo
Rpta.
2n
256
©
x 9dx
Jlo (l+.r5)1
Rpta.
2
45
®
r
dx
J'• x(l +ln2jc)
Rpta.
71
~4
®
Jr
&iy ? m
| 2V2
^ y** *s/Í5
yAfc/
^.r-■—
)1+
Rpta. 1ln(3t
4-V Í5
r2
©
J
( i -'» - ^
dx
x 2 + 3jc+4
r1/23arcsenjc ,
Rpta. ^ f./7 arrtp -¡Í7 arrtp
7
7
Rpta.
©
j
©
j® (jc+1) 2(x 2+1)
Rpta.
©
J['o Ot2 +4xh]x3 +6x2 +1 í£c
Rpta.
r1
r-2
xdx
dx
4
/r-2
8
n
y
©
J 4 4 - x 2 - 6 X~5
Rpta.
©
J» ÍJC—3Kjc2 +9)
•3 (2jc3+1 %)dx
55 ln2
, <>—7 tt
Rpta. A
6 ----18
9
365
I n te g r a l D e fin id a
p /^2
*
x n l dx
Rpta.
n
6n
Rpta.
e —2
2
Rpta.
n
7
-Ja2 - x 2n
j-i e2xdx
'~24 \ - e 2x
©
J 4 x ^¡2- x dx
©
r F * d x
Jo \ 1—X
Rpta. arcsen(^) +
©
f1-Jl-X .
Jo^¡2-x
Rpta. V 2-ln(l + V2)
©
J ln-s/2-x<tr
©
J-i\3 + x
Rpta. I n 2 -y
Rpta. K—2
©
f9 x ~ l j
ir * * i *
Rpta.
23
3
©
[' x 154l +3x*dx
Jo
Rpta.
29
270
©
r .V hl - X *
J-l/2
Rpta.
©
J-16
a/x +
p/3/2
¿¿X
9-V *
X3Í¿C
^ 2 , 5 V^\ |5 .4
n
y
Rpta. 12
Rpta.
4
y
366
E d u a r d o E s p in o z a R a m o s
©
.,0 1+ x
f " +>
n ln2
—+4
2
©
Hcarctgx dx
.Jo
27T V3
T " 2
©
r /3 2
x sen3x dx
.k
Rpta.
®
r
:ls/2
^
n
Rpta. —
3
©
J(0
©
r1 arcsen-y/x
>0 ^ ( 1 - X )
J
Rpta.
©
V l - e 'd *
jÍlln(3/4)
Rpta. In3 - 1
x*
Rpta. 41n(2 + V3)-2V3
X
--5-5VÍ
¿v
©
j 15
©
Jj ln(,\ + V-x2 -1 )dx
©
(x + 5)Vi Ox + .v2
A/&
J0
7T2 - -4
27
dx
nr
n
R p ta .----60
Rpta. 3 In(3 + 2^2) - 2^2
Rpta. arctg(y)
(2x2 +l)sjx2 +1
■27 rfx
©
J0 x - l f x
Rpta. —ln(—)
8 3
©
■Wl+e
2" ¿¿X
.
----------0
e-3"
Rp.a.
J
367
I n te g r a l D e fin id a
(m )
|'ln (.r2 +\)dx
Rpta. ln2 + ^ - - 2
©
2V2
dx
,, — r
t ^í
x j ( x 2 -2 )
„ *
( ÍÍ 5)
W
f1^
3^
Jo 1+ X2
Rpta. —in 2
F 8
%/6
27
©r
Rpta. -2
(m )
Rpta. -
cos^|2x dx
í 2---------- —
Jo - J x + \ + V ( x + 1)5
-Rpta.
48
6
(Íl8)
J J Me3jrsen4x íír
Rpta. ^ ( l + e (3,r)/4)
©
Jl arcsen J j ^ —dx
Rpta.
(Í20)
f"------,A
Rpta. í
121
f
Rpta. l n ( í l Ü H ,
^
dx
-------- + ------
368
E d u a r d o E s p in o z a R a m o s
©
r2 aM-jc2
I ---- — d x
Ji
'Js
Rpta. —
H
4
©
?
„ .
, ,7 + 2^7 x
RPta- In(— -- )
©
f3
©
fln5 e*-Je* —1 ,
I ----------- d x
©
dx
, ,
1 x 4 x
Jn
W « 2' *
©
©
©
©
a r c tg ^ l'J x + \ d x
f7
I .
j 1-7x72
.
Rpta. 4 —n
Rpta.
^
'
72
Rpta.
l|L -2 ^ /3
.
652
Rpta.
H
15
f7/z
dx
Jí'2 (5 + 4 jc-x 2 )5' 2
i
14
e x +3
J-l
J 1 -/^i
- J ^ 732 (4 - x 2 ) 2
r1
®
D
x *dx
____ 0 +
©
©
©
+ 5jc + 1
jc dx
---
2
P3‘
^
Rpta.
9t/3
27t
J l ( 2 -x ) V T V
sen x ln(l + senx ) d x
rJ
I
¿x +1»
Jo ( j c + 3 ) 0 r + 9 )
í
Ji/2
ln(4.r2 + \)d x
- n ---
3
Rpta. y - ^ - ^ l n ( l + “^~)
.
_ 4 , 33, . m
-------------- d x Rpta. 6 -----ln2----18
9
Rpta. ln(-^L) + arctg2 -1 - —
V2
4
369
I n te g r a l D e fin id a
*ni 4
137 )
\ n¡y
138)
J
x 81 eosx dx
Rpta. 0
( 139 )
r
J<)
dx
— .
fleos x + b sen x
1
b
Rpta. - ¡ = a r c tg J —
a
~Jab
®
«J-l/2
í
[cos(sen x) ln(^—
©
J
( 142)
|
l143
cosx+^/tgx + sen xec“ x +cos x)dx
1—X
+ 3x + 4]dx
[(x5 + x3 + x ) ^ \ + x A + 3 ]dx
cosjcln(|^)¿¿x
m
o
jc sen x dx
ͻni%
8
Rpta.
■—
.----- 2
jn+2
Rpta. 4
Rpta. 12
Rpta. 0
Rpta. 0
-ni
(Í 44)
^
x2
@
f2 ---- p =
Rpta. V 2 - ^ + l n ( ^ ^ )
-s/3
1+V2
r,
* —
7T + ------7-V3 4.
Rpta.
32
2
IV.
f71 z
üb dx
ti
—— *4-------------------------------------------------------------------- ------ — = —
J0 a eos x+b sen x
2
cualquiera distinto de cero.
©
Mostrar que
©
_
rnn -Jsen xdx
n
Demostrar que:
.
— .
=—
Jo vsenx+ vcosx 4
(?)
Demostrar que:
^\t\dt =
, V xeR
370
E d u a r d o E s p in o z a R a m o s
( 4)
Demostrar que: -7 - í (>' - * ) /' (y)dy = /(O) - f (x)
dx Jo
©
Demostrar que para todo x real
©
Hallar el valor de c tal que f(x) = x 2 - 2x +1, f(c) =
r (t+\t\)2dt = - x 2(x+\x\)
Rpta.
f(x)dx
2
c - 1 + -= e [1,3]
V3
( 7)
1 dx
cn12 sen x ,
Demostrar que: f ------ —— = í — — dx
Jo árceos x Jo
x
©
Hallar un polinomio cuadrático p(x) para el cual p(0) = p(l) = 0 y j^p(x)dx
Rpta.
p(x) = 6 jc - 6x2
3
^ 9)
Demostrar que:
^ 0)
Probar que:
J f(x)dx = J / ( a + b - x)dx
©
Evaluar
f" { 2 x ) d x , sabiendo que f(0) = 1, f(2) = 3, / ' (2) = 5
J 2 [| x |]dx = —
CX
dt
Resolver la ecuación_ —r .-.~ - - —
ti
Rpta.
Rpta.
2
x=2
12
(Í3 )
Calcular í
Jn/6 ^¡secx +-yJcosecx
( 14 )
12
Hallar un polinomio cubico p(x) para el cual
3J° p(x)dx = 4
sug: z =
Rpta.
-y/secx ¿y
Rpta.
p(0) = p(-2) = 0,
p(l) = 15
p(x) = 4x + 8jc2 + 3x3
y
371
I n te g r a l D e fin id a
(i?)
Demostrar que, si f es continua en [-3.4], entonces:
J V (x)dx+JJ ( x ) d x + J ^/ (x)dx + 1 ^/ (x)dx = 0
Demostrar que, si f es continua en [-3,4], entonces:
J f (x)dx + J / (x)dx + j V (x)dx + f (x)dx = 0
^ 7)
Demostrar que, si f(x) es continua en [a,b], entonces:
\ f (x)dx = { b - a ) [ f { a + ib - a)x)dx
Ja
Jo
(ÍÍ)
W
Demostrar que 0<
^9)
Calcular la siguiente integral J f(x)dx si f(x) = |x—2| + |x —11
©
Hallar J* [^F{x)G(y)dyVx
( 22 )
^ ^ - dx<— n 2
Jo 3 + ^ 2
36
Demostrar la siguiente igualdad
/2
_
*
_
JC+ l
ln(sen 6 + x eos 6)d6 = ln(-^—)
Calcular /'*'(0), sabiendo que:
J [ /'( x ) + / ,,,(x)]cosx d x ~ 3 , así mismo f \
/* ', / " ' son funciones continuas en [0,—] y / ' ( —) = 0
2
2
(23)
Calcular / = £ x4F (4)(x)dx, sabiendo que F ,,f(6) = 1,
F(6) = -10, F(0) = -20.
3
©
Calcular í x 2sig(eúsx)dx
Jo
Rpta.
4
4
F"(6) = - 4 , F ’(6) = 8,
372
E d u a r d o E s p in o z a R a m o s
( 25 )
Calcular
J \6x2 - 5 x + l |¿ t
Rpta.
~
26)
Calcular
sen 2x ,
— dx
J'*'2--------
„
Rpta.
3
( 27 )
Calcular
o
(sen*)
el
valor
de
la
integral
definida
J f(x)dx
siendo
\x \+ x 2 , x < 0
/(* )= [ n ,
|r |J r' + eos k , x > 0
( 28 )
Sea f una función integrable en [a,b] y k * 0, una constante real. Demostrar que:
( f(x )d x = k ( ' kf(kx)dx
Ja
Jal k
(2 9 )
Pruebe que j^x d x > ^ x 2dx pero ^ x dx<
x 2d x , no evaluar la integral.
(jü)
Sea f acotada en [a,b] y continua en [a,b] excepto en un punto c e [a,b]. Pruebe que f
es integrable en [a,b].
®
[a si x ~ c
Sea c € [a,b] y a e R, definimos f: [a,b] -» R por f(x) -<
. Pruebe
[0 si x
que f es integrable y que \ f \x)dx = 0
Ja
( 32 )
Por definición una función f(x) es par sí f(-x) = f(x), V x. Pruebe que sí f(x) función
par entonces J
(33)
f (x)dx - 2 / (x)dx, a > 0.
Dadas las funciones siguientes:
373
I n te g r a l D e fin id a
11
"6
Rpta.
Calcular £/(x)g(x)<£t
Si n e Z + , demostrar que:
"n *it2 j,
fJor i *
b)
a)
c)
f>0u J n * = n{n- T
6
B(«-1)(2w-1)
+l)
Evaluar las siguientes integrales.
a)
í sen 2x dx
lo
Rpta. 1
b)
{mi j
| — Heos 11 dt
J
lo 2
Rpta. ^ 3 + ^
O
P*/3
/ ,
eos—dt
j
w
2
Rpta. I
d)
r°
dx
^•4 x 2 +8x +8
J
Rpta.
e)
p2
j
(3ó)
Sea
Rpta. - - l n 2
6
*n
senhjc.senjc dx
Rpta.
*2jt
|senjc-cosjc|¿/x
Rpta. 4 s/2
* J
g) J
dx
x 2-4 x -5
n
16
0
0
senh?r
2
f: R -> R una función continua, sabiendo que J f(t)dt = 6. Calcular
J 44/( 2 * - 2 ) d x .
374
E d u a r d o E s p in o z a R a m o s
x2
©
Si
, x<2
f(x) = - 2
, 2 < x < 0 , Calcular ^ ( f( x ) - x ) d x
l + xJ
© )
Sean f y g dos funciones integrables sobre [a,b], pruebe la desigualdad de Cauchy
( f / g ) 2 < ( f f 2)(f g 2)
SCHWARTZ.
(39)
•, x > 0
Ja
Ja
Hallar j~f(x)dx sí f ( x ) =
Ja
x 2, 0 < x < l
2 -x , l< x < 2
x
@)
Hallar £ ;f(x)dx si f ( x ) =
para 0 < x< t
l - x para i <x< 1
t.----1- /
y
©
Demostrar la igualdad.
( 42 )
Demostrar que si f(x) es continua en [0,1], entonces: £ x /(senx)dx = y |/(s e n x )d x
43)
Calcular la integral
! -
,
Hallar la integral
(4 5 )
J'2 (1+x— 1)<?x+—*dx, introduciendo la nueva variable
1/2
1
/ =x+—.
x
Tr „
í x3 f (x2)dx = —f x f (x)dx, a > 0
Jo
2 Jo
jc
f 3 f'{x)dx
,
(x + l)2(x -l)
-----—— si / (x) = ---- ---------J-U + /( x ) 2
x (x -2 )
Calcular las siguientes integrales:
a)
J 2[|x|]dx
Rpta. 4
375
I n te g r a l D e fin id a
b)
J i([|*|] + [|x + ^ |])tfx
Rpta.
(íó)
Probar que:
J[|x\]dx + J [| - x \]dx - a - b
( 47 )
Demostrar que:
j j \ t 2 \]dí = 5 - ^ 2 - ^ 3
^8)
Si F(x + T) = F(x) Probar que: J
x F(x)dx = J x F ( x ) á + J F(x)dx
R p ta .
Jo
50J
J
( 52 )
6
2
(serrx -2 sen x + 4)J
A
6
f
—dx
Jo i+ x 2
Rpta. - ——
2
í
—----Ji x - 4 x —5
Rpta.
6
ln2
Calcular f(0) sabiendo que f(n) = 2 y a su vez Jj (f(x) + /"(x))senx dx = 5
Rpta. 3
f
Jo
4* + 5
, <tc
Rpta.
i.
9 /2
(x2 -2 x + 2)2
i
©
j r * — 5/ —
5?)
Calcular el valor de
Í12x-12.si x <1
/ (x) = \ ,
|6x" -6 , si x > 1
Rpta- ¿ ( 8 0 )
J g(x)dx
donde
#(x) = J ^ í(t)d t,
3697
Rpta. ——
4
«
x e R
y
376
E d u a r d o E s p in o z a R a m o s
Demostrar que
rlxd x
t l r du
----- T =
—
h \ + x 2 Jo u
Calcular f(2) si f es continua y J
/ (f)d/ = v
Rpta. —
(58)
Si f(n) = 2 y | [F(r) + F ,f(v)]senx rfx = 5, calcular f(0)
(59)
Si J^[F '(x) + F''(x)]cosxdx = 90. F"<0) = 7, calcular F '(y )
(ó0)
^
Sabiendo que f j n--—* ■dx = —ln 2 , calcular f arclk \ /v
Jo l -f x "
8
Jo 1+ x
£ 7.x F(x)dx - J t)xF{ \ )dx + jJ*¡iF(x)dx
(ó2)
Expresar el siguiente limite como una integral definida luego calcular el valor de la
. .. rn
n 2n
2n
nn
nn ,1
integral hm[—sen—+ — sen— +... + — sen(— )]—
w-** n
n n
n
n
n n
(ó3)
Aplicando el primer teorema fundamental del calculo» hallar la derivada de la integral
definida.
377
A p lic a c ió n d e la I n te g r a ! D e fin id a
CAPITULO
III
3.
A P L I C A C I O N E S P E L A I N T E G R A L D E F I N I P A .-
3.1
AREAS P E REGIONES PLANAS,En el cálculo de area de regiones planas se consideran dos casos:
ler. Caso.-
Consideremos una función y = f(x) continua en un intervalo cerrado
[a,b] y además f(x) > 0, V x e [a,b]. El área de la región R limitada
por la curva y = f(x), el eje X y las rectas verticales x = a y x = b, está
dado por la expresión:
Á m ^ffW d x
OBSERVACION.-
Si la región R es limitada por la curva x = g(y) y las rectas
y = c, y = d, entonces el área de la región R es expresado por:
378
E d u a r d o E s p in o z a R a m o s
2do. Caso.- Consideremos dos funciones f y g continuas en el intervalo cerrado
[a,b] tal que f(x) > g(x), V x g [a,b], el área de la región R Limitada por
las curvas y = f(x), y = g(x) y las rectas x = a y x = b, está dado por la
expresión.
OBSERVACION.-
Si la región R es limitada por las curvas x = g(y)* x = h(y) tal
que g(y) > h(y), V y e[c,d] y las rectas y = c, y = d, entonces,
el área de la región R está dada por la expresión:
379
A p lic a c ió n d e la in te g r a l D e fin id a
OBSERVACION.-
En él calculo del área de una región R limitada por la curva
y = f(x) el eje X y las rectas x =a, x = b la función f(x) > 0,
V x e[a,b] pero en el caso en que f(x) < 0, la región R esta
debajo del eje X en este caso el área es calculado por:
A(R) =i
3.1.1
PROBLEMAS DESARROLLADOS.
©
Calcular el área de la figura limitada por la parábola y = 4x ~ x 2. v el eje de abscisas.
Solución
380
E d u a r d o E s p in o la R a m o s
Como y = 4 x ~ x 2 => y - 4 = -(jc -2 )2, es una
parábola de vértice en el punto V(2,4) cuyo gráfico
es:
A { R ) = \ v d x - \ { 4 x - x 2)dx
Jo'
Jo
2
.r3 . / A 32 2
= (2x — —) / = — «
3 /0
J
©
Hallar el
área de la figura comprendida entre la hipérbola xy = t?i2, las rectas
verticales x = a, x = 3a (a > 0) y el eje OX.
Solución
0
a
=> y ------, cuyo gráfico es:
„ la
Vi
xy-m ~
K.
y d x - I ---- dx = n r lnx /
Jtf A'
1
Y
i k.
3a
x
►
v4(/?) = wz2 ln 3 a -w r Ina
>í(/?) = w2 In3 u 2
©
Encontrar el área acotada por las curvas cuyas ecuaciones son y —e x, y = e x y la
recta x = 1.
Solución
Y
La región comprendida por y = e x , >• = é \
x = 1 es la del gráfico siguiente.
A(R) = í {ex - e x )dx = (ex +e
Jo
1
x
e+e 1
= 2(——----- 1) = 2(coshl-l)
/!(/?) = 2(cosh I —l )u2
) ¡ \ = e +e
70
-2
381
A p lic a c ió n d e la I n te g r a l D e fin id a
Hallar el área limitada por las curvas x 2 ~ y 2 = 3 , xy = ± 2, y = ± 4.
Graficando la región se tiene:
i
i -»
x~ - y~ =3
xy = 2
x 2 —(—-)2 = 3
jc
*4 -3 x 2 -4 = 0
(x2 - 4)(x2 +1) = 0 => x = ± 2
para x = 2, y = 1 por simetría se tiene:
A( R) = 4A(RX)
A{R) = 4 f [^3+ v2 -~ M v , por la tabla de integración.
ji
'
^
>í(/?) = 4[y^/3+v2 + ~ l n \ y +^3 + y 2 | —21nv]
>4(7?) = 4{(2VÍ9 + - l n | 4^19 | -21n4)- ( - ( 2 ) + - ln 11+ 2 1-0]
/4(/?) = (8V Í9-4 + 61n| 4+ ^
©
|-161n2)t<2
Calcular el área de la figura limitada por las líneas cuyas ecuaciones son
r 2 = x + l , x - y —1 = 0.
Solución
Calculando los puntos de intersección se tiene:
y 2 =x+\
[y2 - l - . y - l = 0
x —y —\ = 0
|v2- > ' - 2 = 0
(y —2)(y+ 1) = 0
y = -1, y = 2
382
E d u a r d o E s p in o z a R a m o s
A(R)= f [(v + l)-(v 2-l)]rfv= f ( - v 2 + v + 2 W v = ( - ^ - + ^ — + 2 v ) /
i i
'
' J-i '
3
2
/ i
/!(*)= | t r
Hallar el área de la figura comprendida entre la parábola
tangentes a ésta en los puntos (0,-3) y (3,0).
y = - x 2 + 4 a - 3 y las
Solución
>4(/0= f [ (4 y - 3 )- (- x 2 + 4x-3)]dx + f [(6 -2 x )-(-jc 2+4t-3)]rfx
Jo
J3/2
i4(/?)=f x 2dx+ f (x2 -6 x + 9)¿¿c
Jo
J3/2
3/2
A(R) =
( 7)
+ ( ~ - - 3 jc2 + 9a)
_9_ 9 9 = 9
~ 4+8 4 _ 4
3/2
Calculando el área de la figura limitada por las parábolas
y 2 -24jr = 48.
Solución
y2 +8* = 16, y
383
A p lic a c ió n d e la I n te g r a l D e fin id a
i
kv
y2 - 24x =
!
/
/
1
i
t
i
\
1
°
R
y + 8x = 16
y 2 = - 8 ( jc- 2)
y 2 -24jc = 48
y 2 = 24(x + 2)
i
y
F
W 2 + 8 x = 16
]
fel
/2
X
16-y2
~ 8 y2 -48 16 -y 2
•2-48
24
8
x =
24
x=
y +8.r = 16
<
y 2-24v=48
v2 -4 8 = 48 -3 v2 => v2 =24 => y = ± l S
bIS 1 6 - r 3
2t/6
8
‘2-Je
v2 -4 8
24 wW w 4 ~ V ,* ’ ' ,4>' n ? ’
2>/6
=fV 6
A (W = -ySu2
Calcular el área de la figura limitada por las parábolas y = x 2, y =
A'
Solución
*>
y = ;r
1
•*
V= —
/
3
=>
r 3
— = jT
3
=> x = 0, x = 3
3
/»(/?) =
0 - 4
¿(*> =
O ¡'sí*
?_ 2 7 _ 9
A(R) = (
384
E d u a r d o E s p in o z a R a m o s
Calcular el área de la figura limitada por las lineas y = lnx e
v = ln2 x
Solución
V’= lnx
v = lir x
r=> ln2 t = lnx
ln(x)(lnx —1) = 0 => lnx = 0 V lnx —1 = 0
= ln 2x
x = í?°, x = ex de donde x = l t x - e
A(R) = Jj fin v -ln 2x)rfx = (3xlnx-xln2 x-3v)j
A(R) = (3-e)ir
©
Calcular el área de la figura limitada por las lineas v =
,/D4 3-21n22-21n2 ,
A(R)=-------------------- W
16
4x
; y = x lnx
385
A p lic a c ió n d e ia I n te g r a l D e fin id a
^1)
A un ingeniero civil se le encarga construir en un terreno que tiene la forma de la
siguiente región en el plano, el cual esta limitado por las curvas y = 3 - x 2
e y = -x + 1, medido en decámetros ¿Cuál será el área techada en el primer piso si se
quiere dejar un tercio del total del terreno para jardines?.
Solución
Para graficar la parábola, hallamos el vértice.
y - 3 = - x 2 => V(0,3)
ahora calculamos los puntos de intersección
y=3-x2
i
íx = -l
=> x' —x —2 = 0 => <
y = -x +1
Ix - 2
de la región total se debe tomar los 2/3 por lo tanto el área techada es
Ar = ! j [(3 -x 2) - ( - x + l)]dx = yJ* (2 +x - x 2)dx
2 r,~ x 2 j r \ / 2 , 2 r /. „ 8, / ~ 1
1
~
= —[(2x + ----- — ) / 1= —[(4 + 2 — ) —(—2 h------1— )1 = 3
3
2 3 /i
3
3
2
3
Luego transformando en metros tenemos:
9
7
AT = 3(10)' = 300 m~
La forma de una piscina es como la región del plano dado por las curvas x = y ,
x = V3 ¿Qué área ocupa la piscina? (es dado en decámetros).
Solución
r1 ?
<
v3 v4 /i
11
i
A = I (y~ - v )dv = (------ — ) / = (--------)= — dm‘ , que en metros es:
Jo
'
3
4 / 0
3 4
. 100 7
A = ---- m~
12
12
386
E d u a r d o E s p in o z a R a m o s
I .VI.2
©
Hallar el área de la figura limitada por la curva y3 = x , la recta y = h la vertical x = 8.
* — u31 2
Rpta.
( 2 ) Hallar el área de la figura limitada por la curva y = x 3, la recta y = 8 y el eje OY.
Rpta. 12m2
©
Hallar el área comprendida entre las curvas y 2 = x 3, y 2 = x
D
8 2
Rpta.
—
u
15
©
Hallar el área de la superficie limitada por las curvas y = 4 - x 2 , y = 4 - 4x
o .
Rpta.
©
32
7
Hallar el área de la superficie limitada por las curvas y 2 = 4 x , 2\
y = 4.
Rpta. 9u 2
Hallar el área de la figura limitada por la curva y = x(x —1)(x - 2) y el eje x.
( 7)
Calcular el área de la región limitada por la gráfica >• = ^
1+ x~
rectas x = -2, x = l .
Rpta. (InlO)w2
©
Calcular el área de la figura limitada por la parabola y = 2 x - x 2, y la recta y = -x.
, el eje
387
A p lic a c ió n d e la I n te g r a l D e fin id a
©
Calcular el área de la figura comprendida entre la línea _y = - - 7 y la parábola
X2 .
y -—
(To)
v-^
Encontrar el área de la región acotada por la curva y = x = 4, x = 5.
11)
n i
/ - -l *l 2
R|*a.
<
x-3
el eje X y las rectas
Rpta. (21n2)u2
Determinar el área de la superficie limitada por los arcos de las tres parábolas
x 2 = 9 v - 8 1 , x 2 = 4 y —16, x 2 - y - 1 la región no se intercepta con el eje Y.
Rpta. 16 u 2
12)
Hallar el área de la región limitada por las curvas y = x 2 , y = x + 2, y = —3x 2 + 8.
Rpta. — u 2
6
^ 3)
3
Encontrar el área de la figura plana que forman las curvas
4 41
1—
y - ±^Jx .
Rpta. — -=u "
y = -J\~x —Jx ;
^ 5
^4)
Calcular el área de la figura comprendida entre las parábolas y - x 1 , y = — , y la
recta y=2x.
(l§)
Rpta. 4u2
Hallar el área mayor encerrada por las curvas x 2 - 2 y 3 = 0 , x 2 - 8 y = 0, y = 3.
Rpta. ( ^ + 5^3 )«2
Hallar el área de la porción en el primer cuadrante limitada superiormente por y = 2x e
inferiormente por y = x^3x2 +1
Rpta. ~ u 2
388
E d u a r d o E s p in o z a R a m o s
( jj)
Hallar el área de la figura comprendida entre la hipérbola x 2 - y 2 = 9 , el eje X y el
diámetro que pasa por el punto (5,4).
©
Rpta.
Rpta.
36u 2
Hallar el area de la figura comprendida entre las curvas yx2 = 2,
x = 2.
(21)
4i r
Hallar el área de la superficie limitada por la parábola y - 6+ 4x - x2 y la cuerda que
une los puntos (-2. -6) y (4.6).
( 20 )
i
Calcular el área del trapecio mixtilineo limitado por la línea y = (x2 + 2x)e x y el eje
de abscisas.
^9)
45
Rpta.(— + 9 ln 3)u“
4
Rpta.
x + y = 4, x = 1,
—u2
4
Hallar el área limitada por las siguientes curvas:
a)
y 2 = 2 x , y= -4 + x
Rpta. 18a2
3
b) x 2 =4av, v=
,—x'+4a~
2
Rpta. ( l a 2n - ^ —)u2
3
\
c)
2 3
y =x , v = x , x + y = 2
^ . 49 7
Rpta. — u~
12
d)
y = 4 x ^ - 3 , y = |x —11, y = 0
Rpta. (y in 3 - y)w2
e)
~ x 3 + x ~ 4, y = x, y = 8 - x .
f)
y = 4 -ln (x + 1),y= ln(x + 1), x= 0
Rpta. 2(e2 - 3 )
g)
y =x 2 - 2 \ x \ + 2 , y = ~
Rpta. j U 2
h)
> = x 3- 3 x , y = x
Rpta. 8u2
ir
389
A p lic a c ió n d e la I n te g r a ! D e fin id a
i)
y 2 = 4*. x = 12 + 2y - y 2
Rpta. 54.61«2
j)
y(x2+ 4) = 4 ( 2 - x ) , y = 0 , x = 0
Rpta.
ln4)w2
JLm
k)
x - e }\ x = 0, y = 0 , y = ln 4
Rpta.
I)
y = 2x + 2, jc - y 2 + 1, x = O, y = O, x= 2
Rpta. (15 + —^Jl)u2
3
11) r = secr x , y = tg^x, x = O
3u2
Rpta. (—- l ) u 2
jLr
( 22 )
m)
y - jc2 , v = 8 - x 2 , 4x —y + 12 = O
Rpta. 64a2
n)
y = 3jc5 4 -J t4/3, y = 0 , x = -1,
Rpta. -y -u2
Hallar el área de la región comprendida entre las curvas y = senx, y = cosx con
jc€ [—, — )
4 4
( 23 )
Rpta. 2a/2w2
Hallar el área de la región limitada por los gráficos y = arcsen x, y = arccos x, y = 0.
Rpta. (*j2-l)u2
( 24 )
Hallar el área de la figura limitada por la línea en donde y 2 = x 2 - jc4
.
O
* —i
4 r*
Rpta.
3
(2 5 )
Hallar el área comprendida entre las curvas y = ex 9 y = lnx, x = -l, x = 2, y = 0
Rpta. 6.63ir
(26)
Hallar el área de la región limitada por el astroide x 2' 3 + y 2' 3 = o2 3
390
( 27 )
E d u a r d o E s p in o z a R a m o s
Hallar el area de la región comprendida entre las curvas y = xe* 2x*, y = x.
e8-9 2
Rpta. - — - u2
( 28 )
Hallar el área de la región comprendida entre las curvas
3jc2 - 4y - 8 = 0
( 29 )
Rpta. 2(tt + 2)u 2
Hallar el área de la figura comprendida entre las curvas y = \Jx +1 - M x - \ , x = -1,
x=l
(3 0 )
^(jc2 +4) = 8,
Rpta. 3^2 u2
Calcular el área de la figura comprendida entre las curvas y = jc3e8_**, y = 4x.
u ,
e8 -7 3 ,
Rpta. -------- w“
4
(31)
Calcular el área de la figura comprendida entre la curva y = tg x, el eje X y la recta
x—
(3 2 )
Rpta. (In2) u 2
Calcular el área de la figura comprendida entre la línea y = x ( x - 1)2 y el eje de las
abscisas.
^ 3)
Hallar
y -\x
34)
Rpta. — u 2
F
el
1
área
de
la
región
limitada
t
1
- 4 x + x + 6 |, 3>- + x“ = 0 , x = 0, x = 4.
12
por los siguientes gráficos de
455 t
Rpta. -----u~
Hallar el área limitada por las curvas >>= jc3 +3jc2 + 2 , j = jc3 +6x2 -2 5 .
Rpta. 108 u 2
35)
Hallar el área limitada por las lineas: y = x 3 -5jc2 - 8x+12, y = jc3 - 6 x 2 + 21
Rpta. 166 y w 2
391
A p lic a c ió n d e la I n te g r a l D e fin id a
(36)
Calcular el área de la figura limitada por las curvas siguientes:
i
7
i
a) y = |x —11, y = x ~ - 2 x , x = 0, x = 2.
Rpta. —u~
b) y = |x —2| —|x —6|, x —y = 4
Rpta. 8
c) y= |x -2 |, j>+jc2 = 0 , x = 1,x = 3
Rpta. — u 2
6
d) y = |x —5| —|x + 3|, x + y = 2
Rpta. 34w2
i
e) y = x - x ~ , y = -x
4 j
Rpta. —u
3
f)
y = x 3 +x, x = 0, y = 2, y = 0
Rpta. —u 2
4
g)
y =- —
l+ x
i)
y - x ~ , y = 2 x - 1, y —4 = 0
Rpta. — w
j)
2
x = 0, y = tgx, >' = —cosx
Rpta. (--ln (-p r))w 2
y=0, x —-1, x = 2
?
3
k)
y=arctgx,
7
3
3jc
2
1)
Rpta. [l + ^ --arctg 2 + ^-lnÁ]M 2
2
2 5
y = arcsen x. y = arccos x, x = 1.
->
1
2
V3
^ | ^
(------- ln(—))u2
3 2 3
= arccos— , y = 0Rpta.
Rpta. ( y - -J2 - 2)u2
392
E d u a r d o E s p in o z a R a m o s
g
n)
(37)
y - 3x-x2, y = x 2-x
Rpta. —u2
Calcular el área de la figura limitada por el eje de abscisas y la línea x = y 2(y -1)
O
. —1 u 2
Rpta.
F
12
(38)
Calcular el área del segmento de la parábola y - x 2, que corta la recta y = 3 —2x.
I>
♦ y32w 2
Rpta.
(3 9 )
Hallar el área de la superficie limitada por las curvas y - x(±4x) y la recta x = 4.
* —
125
Rpta.
— u2
(4 0 )
Hallar el área de la figura limitada por y = |2 0 x + x 2 ~-x3 1, y = 0
D
* ------u
2301 2
Rpta.
F
12
( 4 Í)
42j
Hallar el área de la región limitada por las curvas:
a)
x+>’- ¿ ,3= 0 , x - y +y 2 = 0
37
Rpta. — u 2
b)
8jc = 2>-3 -iry2 - 2 y \ 8jc = v 3 , >’2 + y - 2 - 0
Rpta.
Calcular el área de la superficie del primer cuadrante limitada por el arco de la curva
que va desde el eje de las Y hasta la primera intersección con el eje X.
a)
y-e
senx
Rpta. -------
b)
y = sen(x + 1)
Rpta. 1.54 u
1
393
A p lic a c ió n d e la I n te g r a l D e fin id a
c)
x + y +y 2 =2
Rpta. —u 1
6
d)
•>
y =e */’“ cos2jc
u . Se*1* - 2
Rpta.
----- —----- u~,
e)
y = x* -8jc2 +15jc
Rpta. ^ - u 2
Hallar el área de la figura limitada por las curvas a2y 4 = x 4(a2 - x 2) .
dRpta.
* —— u 2
Hallar el área que encierra la curva 9ay2 = x ( x - 3 a ) 2
8^3
Rpta. —
(4 5 )
Encontrar el área de un lazo de la curva
2
2
w
a 2y 4 - x 44 a 2 - x 2 .
0 . 4¿z2 2
Rpta. —— u
(4ó)
Encontrar el área de un lazo de la curva y 2(a2 + jc2) - x 2(a2 - x 2) .
2
Rpta. ^ - ( n - 2 ) u 2
(4 ^
Encontrar el área de un lazo de la curva a 2>,2(cr + x 2) = (a 2 - x 2) 2
Rpta. o 2(3^2 ln(l+ -\/2 ) - 2)m2
(48J
Encontrar el área de un lazo de la curva
6a 2y A = h 2x 2(a2 - 2 ax).
394
(4 9 )
E d u a r d o E s p in o z a R a m o s
Calcular
el
área
del
trapecio
mixtilineo
limitado
por
la
línea
y = e~x(x2 + 3x+l) + e 2, por el ejeX y por dos rectas paralelas al eje OY trazadas de
manera que pasan por los puntos extremos de la función Y,
Rpta. —(e3 -4)w2
e
(50 )
Calcular las áreas de las figuras curvilíneas formadas por la intersección de la elipse
2
•
2
— + v2 = 1 y la hipérbola —— y 2 = 1.
4
2
•x/2
[l
Rpta. s¡ =s¡ = n — — ln3-2arcsen J y ; ,v2 = 2 ( n - s ¡ )
(5l)
Calcular el área de la región limitada por: / ( x) =
J |x - l | , x<5
, el eje X y las
( x - 3 ) 2 - 2 , x> 5
rectas x = -3 y x = 7
(5 2 )
Calcular el área de la figura comprendida entre la curva y - \ x 2 - 11, -2 < x < 2 y el
eje X.
63)
76
Rpta. A - — u 1
Rpta. 4 u2
Calcular el área de la región limitada por la curva y 2 = -——, y su asíntota.
1+x
Rpta. A = 2 k
(m )
Calcular el área del interior del ovalo de ecuación (1 + x 2) y 2 = 1- x 2
( 55)
Hallar el área de la región acotada por la curva í*= x 3 - 6 x 2 +8x yelejeX
Rpta. 8 w2
(^ )
Hallar una formula para encontrar el área de la región limitada por la hipérbola
x 2 - y 2 = a 2, a > 0, el eje X y una recta trazada del origen a un punto.
395
A p lic a c ió n d e la I n te g r a l D e fin id a
Rpta. A = ^ I n ^ ]
( 57 )
Hallar el área de la región, en el primer cuadrante limitado por las curvas
y = x 3 - 3x2 + 2 x , y = - x 3 +4x2 - 3 x
(58)
Rpta.
Hallar el área de la región limitada por las gráficas de las funciones
f ( x ) = x 3 - 2x2 + x - l y g(x) = - x 2 + 3 x - l .
(5 9 )
Encontrar el área de la región R, ubicado en el segundo cuadrante y acotado por las
gráficas de y = x 2 , x 2 =4y, x —y+ 6 = 0.
Rpta. — u 2
3
(óO)
Hallar el área de la región limitada por las curvas x = - y 2 , y = x + 6.
©
Una parábola de eje vertical corta a la curva y = x 3 + 2 en los puntos (-1,1) y (1,3),
sabiendo que la curva mencionada encierra una región de área 2 w2. Halle la
ecuación de la curva.
(62)
Sostenemos que
Jx
+
dy = bn+l - a n l ,
a)
Utilice la figura adjunta para justificar esto mediante un argumento geométrico.
b)
Pruebe el resultado utilizando el teorema fundamental del cálculo.
e)
Pruebe que An = nBn .
Y
396
E d u a r d o E s p in o z a R a m o s
(S )
Hallar el área de la región comprendida entre las curvas x 2y + 4y - 8 = 0 y x 2 =4y .
(S )
Calcular el área de la región comprendida por las curvas x 2 + y 2 = 25, 3y 2 =16x,
3x2 = 18y.
(éi)
Calcular el área de la región acotada por las curvas de ecuación: 4y = ± ( x - 4 ) 2 y
4y = ±(x +4)2 .
(óó)
El área comprendida entre y = 10jc-5y2, el eje X es dividido en dos partes iguales
por una recta que pasa por el origen. Hallar la ecuación de la recta.
®
a*
c?
Calcular el área de la figura comprendida entre las curvas y = —----- . y —¿ T
x~+a~
x~ + a~
(ó8)
Hallar el área de la región limitada por las curvas x = - y 2 , y = x + 6.
(ó ^
Hallar el área de la región limitada por las gráficas de las funciones y =
+ x-\,
g(x) = - x 2 + 3jc .
,7^
Hallar el área de la región acotada D por la gráfica / (jc) = | x~ + 2x | . el eje X en el
intervalo [-2,2]
^ l)
Dado la parábola y = 3 + 2x - x 2, Hallar el área de la región plana R, comprendida
entre la parábola y la recta que pasa por los puntos (2,3); (2,-5).
(72 )
Hallar el área de la región R limitada por la curva y = (x —3)(x - 2)(x + 1 las rectas
x = 0. x = 4 y el eje X.
1^3)
Calcular el area de la región en el primer cuadrante limitado por la curva'
y = *2,
x 2 =4y y la recia x + y = b.
V
Calcular el area
de la región R limitada por las curvas
y - x 2 - 2 |x |+ 3 ,
397
A p lic a c ió n d e la I n te g r a l D e fin id a
Encuentre el área de la región limitada por la curva y - x 4 - 2x3 + 2 entre x= -1, x =2
4x-x2
(7ó)
Hallas el área de la región acotada por las curvas
y-
x~ + 8x —48
, x> -4
v=
16
- 3x -16 , x <-4
Determine m de tal forma que la región sobre la recta y = mx y bajo la parábola
y = 2x - x 1, tenga un área de 36 unidades cuadradas.
Determine m de tal forma que la región sobre la curva y = mx2 , m > 0, a la derecha
del eje Y, y bajo la recta y = m ,tenga un área de k unidades cuadradas (k > 0).
@
21x1
, el eje X y las dos rectas
1+ jt2
verticales correspondientes a las abscisas de los puntos máximos absolutos.
Hallar el área de la región R limitada por
y=
Una parábola del eje vertical corta a la curva y = x3 + 2 , en los puntos (-1,1) y (1,3).
Sabiendo que la curva mencionada encierra una región de área 2u2. Halle la ecuación
de la curva.
3,2
VOLUMEN DE UN SOLIDO DE REVOLUCION^
DEFINICION.- Un sólido de revolución es aquel que se obtiene al rotar una región
plana alrededor de una recta en el plano, llamado eje de revolución.
Ejemplo.- Si la región comprendida dentro de una semicircunferencia y su
diámetro, se hace girar alrededor de su diámetro se obtiene una esfera.
398
E d u a r d o E s p in o z a R a m o s
Ejemplo.- Si a la región comprendida dentro de un triángulo al hacer girar alrededor
de uno de sus catetos se obtiene un cono recto.
Para calcular el volumen de un sólido de revolución consideraremos los siguientes
métodos.
5X1
METODO DEL PISCO CIRCm A R,Consideremos una función f continua en el intervalo [a,b] y que f(x) > 0 ,
V x g
[a,b].
Sea R la región plana acotada por la curva y = f(x), el eje X y las rectas x = a y x = b.
Consideremos una partición del intervalo cerrado [a,b], P = {jr0,jr1,...,jrlf J , donde iésimo sub-intervalo
e¡ g [ x , i,*,-]
[x/.j,*,-]
tiene longitud
A,-x = x f*—Jf/_i
y lomemos
para i = I,2,...,n, luego trazamos los rectángulos que tienen una
altura f(£¡) unidades y ancho Ar-x unidades.
Si se hace girar el i-ésimo rectángulo alrededor del eje X se obtiene un disco circular
de la forma de un cilindro circular recto donde el radio de la base es f( c , ) y sus
altura A,*.
399
A p lic a c ió n d e la I n te g r a l D e fin id a
Como son n discos circulares, entonces el volumen de los n discos circulares es:
ñ
. Í.JJU .
* - - *•:. ......
n
im F k?
:v :
::
tn.
Esta expresión nos representa la suma de Riemann* y cuando | A,-jc |-> 0, se obtiene el
volumen del sólido generado al cual denotaremos por v, es decir que v se define como
el límite de la suma de Riemann cuando | A¡x |-> 0.
a)
DEFINICION.-
Consideremos una función f continua en un intervalo cerrado
[a,b] y suponiendo que f(x) > 0, V x e [a,b] y sea S el sólido
de revolución que se obtiene al girar alrededor del eje X la región R acotada por
la curva y = f(x) el eje X y las rectas verticales x = a A x = b, y sea V el
volumen del sólido S al cual definiremos por:
n
^
V = Uní y n ( / (£, ))2A,.r = n f ( / (*))2dx
u +/ I 1
Ja
(Método del disco circular).
400
E d u a r d o E s p in o z a R a m o s
Ejemplo.- Determinar el volumen del sólido de revolución generado al hacer girar
alrededor del eje X la región limitada por la curva y = ^fx , el eje X y la
Solución
— ► V = n r y~dx = n f A- dx = n—
X
Jo
Ja
2
= 2n
V = 2U u'
OBSERVACION.-
Si la región R está limitada por la curva x = g(yh el eje Y y las
rectas y = c, y = d (c<d) entonces el volumen del sólido
generado al girar la región R sobre el eje Y, esta dado por la expresión.
Ejemplo.- Hallar el volumen del sólido generado al rotar la región acotada por
x 2 3 + y 2#1 = flr2,3 alrededor del eje Y.
401
A p lic a c ió n d e la I n te g r a l D e fin id a
r = 2r V - » £ l + 3 E l - £ Í ] - o
5
7
3
3.2.2
3
35
105
METODO DEL ANILLO CIRCULAR.Consideremos dos funciones f y g continuas en un intervalo cerrado [a,b] de tal
manera que f(x) > g(x) >0, V x e [a,b] y R la región acotada por las curvas y =f(x),
y = g(x) y las rectas verticales x = a A x = b.
Sea S el sólido obtenido al hacer girar la región R alrededor del eje X
En el intervalo [a,b] consideremos el i-ésimo sub-intervalo
c¡ e[jt,
y sea
cuando el i-ésimo rectángulo se hace girar alrededor del eje X, se
obtiene un anillo circular.
402
E d u a r d o E s p in o z a R a m o s
La diferencia de las áreas de las dos regiones circulares es Tí[f1(ru )- g 2(r¿)] y el
espesor de estas regiones es A,x, luego la medida del volumen del i-ésimo anillo
circular es:
Como son n anillo circulares, entonces:
n
ii
tel
i-1
) - í f 3(«iP í.v
Que es la suma de Riemann, entonces el volumen del sólido S se define como el límite
de la suma de Riemann cuando | A, x |-> 0.
a)
DEFINICION.-
Consideremos f y g dos funciones continuas en el intervalo
cerrado [atb] de tal manera que f(x) > g(x) > 0, V x e [a,b],
entonces el volumen V del sólido de revolución S generado al rotar alrededor del
eje X la región R acotada por las curvas y = f(x), y = g(x) y las rectas verticales
x = a y x = b es dado por la fórmula.
n
V= Uní Y n [ f 2(r.i ) - g 2(r.i m ix
Tt
F = n £ [ / 2{jc)-g3(r)3^v
OBSERVACION.-
Si la región R limitada por las curvas y = f(x), y = g(x) de tal
manera que f(x) > g(x), V x e [a.b] y las rectas verticales x= a.
x =b gira alrededor de la recta y = c donde (g(x) > c), entonces el volumen del sólido
generado al rotar la región R alrededor de la recta y = c, es expresado por la fórmula.
v
= n £f(/(.v) - c f - ( g { x ) - c f y t x ,
A p lic a c ió n d e la I n te g r a l D e fin id a
403
OBSERVACION.-
Si la región R limitada por las curvas x = f(y), x = g(y) y por
las rectas horizontales y = c, y = d, gira alrededor de la recta
vertical x = k, entonces el volumen del sólido de revolución obtenido es expresado por
la fórmula.
> '= n £ [(/(>-) *)2 - (£(.v)~ a)2Mv
Ejemplo.- Calcular el volumen del sólido obtenido al hacer girar alrededor del eje X,
la región limitada por las gráficas y = jc2 , y = ^ J x , x = 2.
404
E d u a r d o E s p in o z a R a m o s
Solución
y = x~
/
y = 4x
x
x = 0, x -1
y=xy/
y =-Jx
^
*1
1
1
2
/ „
b> * V = n[Jf (a - x 4 )dx +
(.v4 -x)rfr]
?
s
5
2 ’
1 1
V
1 1
X" V 1
^ n [ < T - T , + ( - ----— ) ] =n[(------ ) - o + (— - 2) - (------ )]
2 5
5
5 2
r,
5
2 ,J
= n ( i - 2 + 6) = 5n
3.2.3
F =5n« 3
METODO DE LA CORTEZA CILINDRICA.Considercmos una función y=f(x) continua en [a,b], donde a > 0 , y
f(x)>0.
V x e [a,b] y sea R la región limitada por la curva y = f(x), el eje X y las rectas
verticales x =a, x = b.
El volumen del sólido de revolución S engendrado al hacer girar alrededor del eje Y
la región R esta dado por la fórmula:
405
A p lic a c ió n d e la I n te g r a l D e fin id a
V ~ ltl^ x f{ x ) d x
OBSERVACION.1)
El volumen del sólido de revolución generado al hacer rotar alrededor del eje Y,
la región R acotada por las curvas y = f(x), y = g(x) tal que f(x) > g(x),
V x g [a.b]. a > 0 es dado por la fórmula:
V í=2nJ*x{/(jc)-g{x)]í£t
2)
El volumen del sólido de revolución generado al hacer rotar alrededor de la
recta x = c, la región R acotada por las curvas y = f(x), y = g(x) donde
f(x) > g(x), V x e [a,b] y las rectas verticales x = a, x = b. donde a > c es
expresado por la formula:
v ~ 2O03C -cJII/Xsr)“ g{x)](ív
406
E d u a r d o E s p in o z a R a m o s
3)
Cuando la región R está a la izquierda del eje de revolución, el volumen del
sólido generado esta dado por la fórmula.
t,
X = c
Ejemplo.- Calcular el volumen del sólido generado por la rotación de la región R
limitada por las curvas y - ln x, el eje X, x = e 2 alrededor del eje Y.
Solución
■»
■»
V = 2 n p > clx = 2 n r ’v lnx dx
X =e2 F = 2 n ( ^ i - ^ )
2
4
y = iu[(- ~ " g
2
->]
4-
4
A p lic a c ió n d e la in te g r a l D e fin id a
%2A
407
METOPO PE LAS SECCIONES PLAÑAS PARALELAS CQNOClgAS^
i)
Si las secciones son perpendiculares al eje X, el volumen del sólido S es dado
por la fórmula.
donde A(x) es el área de la sección en x.
ii)
Si las secciones son perpendiculares al eje Y, el volumen del sólido S es dado
por la fórmula.
donde A(y) es el área de la sección en Y.
/
Sección perpendicular al eje X.
Sección perpendicular al eje Y.
408
E d u a r d o E s p in o z a R a m o s
Ejemplo.- Un sólido tiene una base circular de 4 unidades de radio. Encontrar el
volumen del sólido si cada sección plana perpendicular al diámetro fijo es
un triángulo equilátero.
Solución
La ecuación del círculo es x 2 + y 2 = 16 el lado del
triángulo equilátero ABC que es la sección transversal
,, 4 AB.CH
es de 2y, como su area A(x) = --------También se tiene
L2J 3
A(x)=-------
para triángulo
equilátero, entonces:
A ( x) =
—
= -Jly2 = >/3(16—jc2) . Luego por simetría se tiene.
V = 2^ A(x)dx = 2^-73(16- x 2)dx - 2-73(16* - y )
256
-¡3 «3
Encontrar por integración el volumen de un cono circular recto de altura h unidades y
de radio de la base “a” unidades.
Solución
v í
f’.
h,a)
La ecuación de la recta
L: y = —x
h
409
A p lic a c ió n d e la I n te g r a l D e fin id a
©
Determinar el volumen del sólido de revolución generado al hacer girar alrededor del
eje X. la región limitada por el eje X y la curva y = - x 2 + 2x +3 .
Solución
v = - x 2 +2x + 3 . completando cuadrados.
y - 4 = —(jc -1 )2 es una parábola de vértice V( 1,4).
P a ra y = 0 => x 2 -2 x + 3 = 0
=> x = -1, x = 3
V = n f v2dx =n f (- x 2 + 2x+3)dx
X
—►
Ji
J '
V = Hj (x4 - 4 . t 3 - 2 x z +l2x+4)dx
( 3)
Encontrar el volumen del sólido generado por la rotación de la región entre las curvas
y = x 2 +4 e y = 2x2 alrededor del eje X.
Solución
410
E d u a r d o E s p in o z a R a m o s
Hallar el volumen del paraboloide de revolución si el radio de su base es R y su
altura H.
Solución
©
i
kY
R
__ -
V
I
/
\
Ji
La ecuación de la parábola es x 2 =ky como
x = R, y = H
x /Y = f(x)
H ^*1
H
11
H
0
( 5)
H
7X
*
x
n Rrll
„ t-rf" jrdv=n\
n f"—
« 2 vdv
. =—
n/f2 y
v=n\
in
Jr. // '
II 2
Encontrar el volumen cuando el área plana encerrada por y = - x 2 - 3 x + 6 , y,
x + y —3 = 0 gira alrededor de y = 0.
Solución
2 n r
33
/
3 2
,
V= - x -3 * + 6 => y -----= —(jr + —) parabola
4
2
-3 x + 6
y - 3-x
x 2 + 2 jc- 3 =0 ^
?
0
^
(x + 3 ) ( x - l ) = 0
x = -3, x = 1
F = n j ' [(-*.* -3X + 6)1 — (3— JC2)]dx
F = n f ' (x4 +6.t3 - 4 x 2 -30x+27)rfx = —
J -3
15
n u3
-
=> -x~ —3jc + 6 = 3 - x
411
A p lic a c ió n d e la I n te g r a l D e fin id a
©
Encontrar el volumen del sólido generado al rotar alrededor del eje X la región
acotada por la curva y = r y las rectas y = 0, x = 2.
©
Encontrar el volumen del sólido generado al rotar la región del ejercicio 6 alrededor
del eje Y.
V = 2n[ \ f ( x ) d x
Jo
V =2n
©
Jo
x*dx
Hallar el volumen del sólido engendrado haciendo girar alrededor del eje OX, la
superficie limitada por la curva -Jx + ^ y = 4a , y la recta x = 0, y = 0.
Solución
412
E d u a r d o E s p in o z a R a m o s
Hallar el volumen del cuerpo engendrado al girar alrededor de la recta x = a J a parte
de la parábola r 2 = 4a x , que se intercepta por la misma recta.
Solución
Aplicando el método de la corteza cilindrica se
tiene:
V = 2 [ 2 n { \a - x ) \ dx)
Jo
F = 4 n f (a - jth/4axdx
Jo
V = 8 n V o £ (ax1 2 - x J' 2 )dx = m j a [
la -'2
2ax ^2
-i2x5/ 2
2a-'1 , 32o3n
-] =
15
Calcular el volumen del sólido que genera la circunferencia x~ + (y-3)~ = 1 al girar
alrededor del eje X.
Solucion
De la ecuación de la circunferencia
(>•-3)2 = 1- v2, de donde tenemos:
x 2 + (v - 3 ) 2 =1
despejamos y. es decir:
413
A p lic a c ió n d e la I n te g r a l D e fin id a
.v, =3 + -\/l- jr , y 2 = 3 - V l - x 2
F = 2;rf (y.2 - ví)rf.t =2n\[@+-Jl—x * ) 2 —( 3 - J l —x * ) 2dx
Jo
"
Jo
V = 2/r £ 12-^1 - x 2 í¿x = 2 4 n £ 4 ~ x 2cix
©
/. F = 6ttV
Hallar el volumen del cuerpo engendrado al girar alrededor del eje X, el lazo de la
curva (jc - 4a) y2 = ox(jc- 3a), a > 0.
Solución
( jc - 4a) v2 = ax(x - 3 a ), a > 0, entonces:
2
ax(x-3a)
, de donde tenemos:
jc~ 4 a
■to
©
Jü
r —4a
Demostrar que el volumen de la parte del cuerpo de revolución engendrado al girar la
hipérbola equilátera x 2 - y 2 ~ a 2, alrededor del eje X, intercepta al plano x = 2a y
es igual al volumen de la esfera de radio a.
414
E d u a r d o E s p in o z a R a m o s
13)
Hallar el volumen del sólido de revolución que se obtiene al girar alrededor del eje Y,
la región encerrada por las curvas x~ = 2y e r = jr -3 x + 4 y las rectas x = 0,
x = 2.
Solución
La ecuación x 2 = 2 v es una parábola de vértice V(0,0) discutiendo la gráfica de
y
= jc 3 - 3x + 4 , para esto calculamos su derivada.
dy
- 3x - 3 = 0
dx
d 2v ,
— -=6x
dx~
x = ± 1 los puntos críticos.
d 2v
dx~
— 7
= -6 < 0
3 máximo en x = -1 de donde y = 6 , luego
(- 1,6 ) punto máximo.
d 2y
= 6 > 0 =>3 mínimo en x = 1 de donde y = 2
dx2
Luego ( 1,2) es el punto mínimo.
V =2FI ¡x (f( x)-g(x))dx
Y
Jo
'
r1
y2
Jo
2
V = 2U\ 4 (x 3 -3 x + 4 ) - — ]dx
y = x3 -3 x + 4
x2
- —
V = 211 f2(x4 —— + 3.í2 + 4x)dx
Jo
2
2n | ( jc4 — 3x2 +4)dx
Jo
.2
Sea R la región limitada por x = 6 - 2 y2* x = 4 v2 Hallar el volumen del sólido que
se obtiene de rotar la región R alrededor de la a
2.
415
A p lic a c ió n d e la I n te g r a l D e fin id a
Solución
64 „ 32
k = n[ í 48— í/x + f 8
í¿t]= — n + — n
Jo 2
J4
2
3
3
©
La base de un sólido es la región limitada por la elipse
F = 32nM 3
X“* V 2
— +
= 1. Hallar el
¿7" b~
volumen del sólido, suponiendo que las secciones transversales perpendiculares al eje
X son cuadrados.
Solución
416
E d u a r d o E s p in o z a R a m o s
x2 y2 ,
, b2 . ,
— + TT = 1 => y =— ( a - - x - )
a~ h~
a~
Calculando el área de la sección transversal.
A(x) = (2y)2 = 4vi = ——(a2 - x 2). luego el volumen es:
Q~
8b2
V = 2rA(x)dx = 2í ^ - ( a 2 - x 2) d x = ^ r (a2x - ^ —)
Jo
Ji> a
a2
3
8b2
3 o 3 16of>2 j
——( a ----- ) = -------- u
a2
3
3
V J ™ - u'
Una comunidad agrícola ha tenido una sobre producción de papas que desean
almacenar en un silo, le encargan el proyecto a un ingeniero civil: el se da cuenta de lo
i
que desean para el silo es que las paredes laterales estén limitadas por un cono que se
obtiene al girar la recta y = x alrededor del eje Y, y el techo del silo por una
semiesfera de radio a, que se obtiene al girar el arco de circunferencia de radio a y
centro en (0,a) alrededor del eje Y. Hallar el volumen que puede almacenar el silo.
Solución
Graficando
El problema se resuelve trabajando en dos
partes
V =Vl + V2 , donde
Fi =7tÍ (-y/cr -(> ^-o)2 ) 2í/v
Ja
V, = n f2 ( 2 a y - y 2 )dy
Jtí
1/ = ntay
W 2 - — ,) /t-a 2ü'/r
K,
417
A p lic a c ió n d e la I n te g r a l D e fin id a
T, 2a n a n
j
V = -------+ ------= a n
1/
n y= ——
/ “ /n a= ---V7
=nf\ v2 ,dy
2 Jo' *
3/0
3
(l7)
Si el ingeniero que construyo la cisterna como una esfera de radio R = 1 desea hallar
el volumen pero por el método del disco ¿Cómo plantearía el problema?.
Solución
Para graficar solo necesitamos ubicar el centro de
la circunferencia.
C: (x -1 ) 2 + y 2 = 1 de donde >■= -y/l —( jc — 1 ) 2
ahora aplicamos el método del disco
V = n [ f 2(x)dx = n \ [ l - ( j t - l ) 2]dx = 7r f ( 2 x - x 2)dx
Ja
Jo
JO
1
x3 /2
8
= n[* " - — ] / = zr[(4 - —) - 0] =
3 / o
3
( l8)
Un depósito de gasolina tiene la forma de un sólido de revolución que se tiene al girar
la región en el plano limitado por las curvas y 2 ~3y = 2x
alrededor del eje X. ¿Cuál es le volumen del depósito?
Solución
7
2
9
9
y~ - 3 v - 2 x , completando cuadrado y - 3 y + —= 2x+ —
4
4
3 7
9
9 3
( y - - ) 2 =2(x + - ) dedonde V ( ~ - )
y
x —y + 2 = 0
418
E d u a r d o E s p in o z a R a m o s
y2 —3y = 2x
v2 - 3 v = :
Calculando los puntos de intersección: <
=> <'
X- y = -2
v= x +2
j in
(x + 2)2 -3(jc + 2) = 2x, simplificando tenemos: x 2 + 4 x + 4 - 3 x ~ 6 = 2x
x 2 - j c- 2 = 0
=> (x-2)(x + 1) = 0
Ix ——1
<
be = 2
y 2 —3y=2x => y = j ± J 2x +\
r=ffí L +i l ^ ) " ~ i l ^ ) ^ +r, +^ I >2"(x+2)2M
4
2
4
*' = *íí L 6f * + ¿ ífe+i ' í T +3^
2
4
| ” 2x - x 2)dx]
* ,29* 1
V = n [ U 2x + V 2 / ‘ + l ^ + U 2 x +j ) i/2 - x 2 - ± - ] f
2
4 / ^ / 8
4 4
4
3 /
„ __ 1 503 41 r - ,
1- = tt[— + ---- + — v 41]m
16 32 32
419
A p lic a c ió n d e i a I n te g r a l D e fin id a
19)
Para una campaña publicitaria se desea hacer la cisterna de un camión para transportar
yogurt de una forma muy especial. Un ingeniero civil acepta el reto de resolverles el
problema, el se da cuenta que las paredes de la cisterna, están generadas por un sólido
de revolución obtenido al girar un arco de y = sen x alrededor del eje X ¿Qué
volumen de yogurt puede transportar el camión?.
Solución
3.2*6
PROBLEMAS PROPUESTOS.Hallar el volumen de tronco del cono generado al girar el área limitada por
2y = 6 - x, y = 0%x = 0, x = 4 alrededor del eje X.
©
Rpta. - y n u 3
Hallar el volumen del solido generado por la rotación de la región R limitada por la
n
curva v = e' senc '. x = 0 . x = ln(—) alrcdedoi del eje X.
Rpta. (cosí— —)
Hallar el volumen del sólido generado por la rotación de la región plana definida por
a
-M’ <20,
v2 < 8 a' , y > 0, alrededor del eje X. Rpta. y (80-\/5-64)¿/^
420
(7 )
E d u a r d o E s p in o z a R a m o s
Hallar el volumen del sólido de revolución obtenido al rotar alrededor de la recta
y = -1 la región comprendida entre las curvas r = v2 y y = 4 x •
_ 29;r ^
R p ta.---u
30
©
Hallar el volumen que genera la superficie limiiada por la curva y = 4 - x 2 * y = 0. al
girar alrededor del eje X.
©
n u
!
Rpta. — I I I / ’
3
Calcular el volumen del sólido engendrado al rotar alrededor del
. i por ila curva ,(—) " +( —) " = 1t .
acotada
a h
©
512
Hallar el volumen del solido generado ai girar sobre el eje OX, la región limitada por
las curvas v = 4 - -v: +1, v = -J~x2 + 4 .
©
Rpta.
eje Y lafigura
. -------4n Q~b
Rpta.
5
Hallar el volumen del sólido obtenido al rotar la región limitada por el primer la/o de
la curva v = e ' 4scñx , y el eje X positivo, alrededor de la recta y = 0.
Rpta.
©
2")u'
Dada la regí* n plana R en el primer cuadrante limitada por 3y —4x = 6, 4 v - 3x = 8,
v2 + ( v - 2)“ =
. Hallar el volumen generado, si se rota R alrededor del eje X
Rpta. -----u
20
(lo)
Hallar el volumen del sólido engendrado haciendo girar alrededor del eje OY. el arco
de la parábola y2 = 2px comprendido entre el origen y el punto (_\j, \ \ ).
421
A p lic a c ió n d e la I n te g r a l D e fin id a
(11)
Hallar el volumen que genera la superficie limitada por y 2 - x 3, y = 0, x = 0, y,
x = 4 al girar alrededor del eje X.
(12)
Rpta. 64n u3
A la parábola y 2 = \2x, en el punto cuya abscisa es 6 se ha trazado una tangente.
Calcular el volumen del sólido generado al girar alrededor del eje X, la región limitada
por la tangente trazada, el eje X y la parábola. Rpta. 12YI u 3
( 13 )
Calcular el volumen generado por la rotación de la superficie encerrada por y 2 = 4 x 9
x = y alrededor del eje X.
( 14 )
32
Rpta. — n u3
Hallar el volumen engendrado por el área menor comprendida entre las curvas
x 2 + y 2 =25 y 3jc2 - \ 6 y al girar alrededor del eje X.
( 15 )
Hallar el volumen del cuerpo engendrado al girar alrededor del eje OX, la superficie
comprendida entre las parábolas y = x 2 , y - 4 x .
©
Rpta. “ " “ H u3
Rpta. — m3
Calcular el volumen del sólido generado por la rotación de la región limitada por las
curvas x +y 2 +3_y = 6, x + y = 3 alrededor de la recta y = 3.
Rpta. ~ n w3
Calcular el volumen generado al hacer rotar la región encerrada por las curvas
1 1n o rur ..3
_ A A„
_ n
•
( y - 4) =
4 —4 x , y + 2x = 2, gira alrededor
de
la recta y = - 11.___ ________
Rpta. _ 108n
© Calcular el volumen del sólido generado por la rotación de la región limitada por
y 2 - 4(2- x ) , x = 0 alrededor de la recta y = 4.
( lí)
Rpta.
u3
Calcular el volumen del sólido generado por la rotación de la región limitada por
y = arccos x, y = arcsen x, x = 1 alrededor de la recta y = -1. Rpta. (16—7r2) —u3
4
422
(2 0 )
Eduardo Espinoza Ramos
Hallar el volumen del cuerpo engendrado al girar alrededor del eje X, la superficie
x
limitada por la catenaria y = a cosh(—), el eje X y las rectas x = ± a.
a
Rpta. ^ -^ -(e 2 + 4 - e 2)u3
2J}
Hallar el volumen engendrado por el área comprendida entre las curvas y 2 = 9 jc,
n
2187
x 2 - 9y al girar alrededor del eje X.
Rpta.
— n
u3
(22)
Hallar el volumen del cuerpo engendrado al girar alrededor del eje OX, la curva
y = sen2 x en el intervalo x = 0 hasta x = 7c.
( 23 )
Rpta.
La región limitada por las curvas Jt2jy2 = 1; y(x2 + 3) = 4 gira alrededor de la recta
y + 1 = 0. Hallar el volumen del sólido que se genera.
(24)
3tí 2
—— u3
R pta.
16*J3 2
(------------- ln9)w3
Encuentre el volumen del sólido generado por la rotación alrededor del eje X de la
región limitada por las curvas y =ex, x = 0, x = 1, y = 0*
Rpta.
—- — n u
<
x2 y 2
Calcular el volumen que genera la elipse — + — = 1, al girar alrededor del eje X.
q
4
3
Rpta.
( 26 )
Un ingeniero civil piensa que para almacenar agua, una cisterna debe tener la forma de
una esfera y construye una en la azotea de su casa de radio R = lm, y desea encontrar
el volumen que puede almacenar pero planteándolo como un problema de integral
definida por el método del anillo.
(27)
811 u3
Rpta.
4 Tí
V =—
-1
u
Hallar el volumen, del sólido engendrado por la rotación de la región entre las curvas
y = tg x, x - — , y = 0, rota alrededor del eje X.
3
Rpta.
(^3 - —)/r u 3
3
423
Aplicación de la Integral Definida
(28)
Calcular el volumen del sólido engendrado por la rotación de la región entre
y = sen x, y = sen.2 x , el................................*
eje X , y 0 < x < — y rota alrededor del eje X.
R p ta. 4 ) V
4
(5 )
Hallar el volumen del cuerpo engendrado por la rotación alrededor del eje OX, de la
superficie limitada por el eje X y la parábola y = ax- x 2, a >0.
(5o)
Rpta.
^ -ll«3
Determinar el volumen del cuerpo de revolución engendrado al girar la Cisoide de
7
1
a
Diocles y (a- x) = x alrededor del eje X entre x = 0 hasta jr = —.
Rpta.
( 31 )
a 3(ln2—j)IT u 3
Hallar el volumen del toro de revolución engendrado por la rotación del circulo
x 2 + ( y - b ) 2 = a 2 , alrededor del eje OX, con b > a.
( 32 )
Hallar el volumen generado en la rotación del área limitada por y = x 2 , y = 4 x - x 1
alrededor de la recta y = 6.
( 3 ^)
Rpta. l a 2b n 2 u 3
64
»
Rpta. — Y lu
Encuentre el volumen del sólido que se genera si la región acotada por la curva
y - sen2 x y el eje X de x = 0 a x = n gira alrededor de la recta y = 1.
Rpta. ———u3
8
(34)
Calcular el volumen del sólido engendrado al hacer girar la región limitada por la
gráfica y = arcsen x, y = 0, x = -l, alrededor del eje Y.
( 35 )
Rpta.
Hallar el volumen generado al hacer girar la curva y = x 2 +1 alrededor del eje Y
desde y = 1 a y = 5.
Rpta. 8 n
u3
424
Eduardo Espinoza Ramos
(36)
Encuentre el volumen del sólido generado al girar la región acotada por la curva
y
- sen2 x y el eje X de x = 0 a x = n gira alrededor de la recta x = 4.
64 _
Rpta. —
( 37 )
u
3
Hallar el volumen del cuerpo engendrado al girar alrededor del eje OY, la parte de la
parábola y 2 = 4 a x , que intercepta la recta x = a.
(38)
n
Rpta. ^
T ío 3 u 3
Calcular el volumen engendrado por el área menor comprendida entre el círculo
x 2 + y 2 =25 y la recta x = 4 al girar alrededor de la recta x = 6.
Rpta.
( 39 )
Encuentre el volumen del sólido generado al girar sobre el eje Y, la región limitada
7
1
por la curva y = (jc-1) , el eje X
(40)
1
Rpta.
—II u
n h3
Rpta.
Hallar el volumen del cono elíptico recto cuya base es una elipse de semi-ejes a y b y
cuya altura es igual a h.
( 42 )
y la recta x = 3
Calcular el volumen engendrado al girar alrededor del eje Y, el área comprendida
entre las curvas y = x 3, y 2 = 2 - x , x = 0.
(4l)
2(150 arcsen—-90)11 u 3
abh
Rpta. ---- n
w3
Calcular el volumen del sólido de revolución que se obtiene al hacer girar alrededor de
la recta x = 1, la región limitada por los gráficos de y = ¡ x 2 - 2 x - 3 \ , y + l = 0 ,
x —2 = 0, x — 4= 0.
( 43 )
Rpta. 17/r u3
Calcular el volumen del sólido generado por la rotación de la región limitada por
a 2y 2 - b 2x2 = a 2b 2, |x| = a, alrededor del eje Y.
Rpta.
—^-n w1
425
Aplicación de la Integral Definida
( 44 )
Hallar el volumen del conoide elíptico cuya base es una elipse x 2 +2y 2 =12 y cuya
altura es 10.
( 45 )
Rpta.
Calcular el volumen del sólido generado por la rotación, alrededor del eje Y, de la
gráfica acotada por la curva x 2' 3 + y2n = a 2/3.
( 4 ^)
20-\/2n u 3
Rpta.
32
y ^ - a 3n u 3
Encuentre el volumen del sólido generado por la rotación del eje Y, de la región
exterior a la curva y = x 2 , y entre las rectas y = 2x —1, y = x + 2.
( 47 )
Rpta.
n
u3
Calcular el volumen del sólido engendrado por la rotación de la región entre
x 2 +y 2 =9 y 4x2 + 9 j 2 = 36 (región en el primer cuadrante) alrededor del eje Y.
Rpta.
(48)
611 u 3
Calcular el volumen del sólido engendrado por la rotación de la región entre las curvas
y = cosx, y = 0, x = 0, donde x es mayor igual a cero y menor igual a —, rota
alrededor del eje Y.
( 49 )
Rpta.
11(11-2)«3
Hallar el volumen del sólido de revolución generado al hacer girar alrededor de la
recta x =-5, la región acotada por la curva y = x 2 - 6x+13 ylarectax —y + 3 = 0.
Rpta. —
( 50 )
a 2b
u3
Hallar el volumen generado en la rotación del área limitada por y = - x 2 -3 x + 6, y
la recta x + y —3 = 0 alrededor de la recta x = 3.
( 51)
n
Rpta.
153
n u3
El segmento de la recta que une el origen de coordenadas con el punto (a,b) gira
alrededor del eje OY. Hallar el volumen del cono obtenido.
Rpta.
-----n u 3
Eduardo Espinoza Ramos
426
( 52 )
Hallar el volumen
generado en la rotación del área limitada por x = 9 - y 2,
153
x —y—7 = 0 alrededor de la recta x = 4.
( 53 )
Rpta. —
n
w3
Hallar el volumen generado en la rotación del área limitada por x 2 - 4 = y , y = -3x
625
alrededor de la recta x = 1.
54)
Rpta. ----n
6
u3
El área acotada por las curvas y = eos x, y = sen x entre x = 0 y * = ~ es rotada
71
alrededor del eje x = — , ¿Cuál es el volumen V del sólido generado?.
2
F
?
Rpta. 2 tt — 7T2 (1------ )u3
Calcular el volumen del sólido generado por la región que quede debajo de
y = 1 + sen x, sobre el eje X entre x = 0 y x = 2n rotado alrededor del eje Y.
Rpta.
4 n 2( n - l ) u 3
t!
(56)
Calcular
x2
—
(gj)
9
y2
+—
4
•r llft
el
volumen
= 1,
j
i
x + y = 4, al girar alrededor d e la recta x = -3.
Calcular el
volumen
generado por la región
generado al
entre
las curvas
Rpta. 12;r
rotar la región encerrada por la
x 213 + y 2' 3 = l alrededor de la recta x = 4.
(sS)
comprendida
R pt a .
j
u
x
curva
3n 2 u 3
Sea R la región plana limitada por Lx: 3x+ 4>> = 8, L2 : 4x+3y = 6, y la curva
de curvatura constante k = j con respecto a la intersección de Lx y L2 . Calcular el
volumen de sólido que se obtiene al rotar R alrededor de la recta x = 0
(considere x < 0).
Rpta.
n + ^ n 2 )u3
Aplicación de la Integral Definida
( 59 )
42 7
Hallar el volumen generado por la rotación de la región limitada por las curvas
y = xJ + 2 , 2y = x 2 + 2 x + l , alrededor de la recta x = 4.
©
Rpta.
60
n
uy
Encuentre el volumen del sólido de revolución que se forma al rotar alrededor de la
recta x = 4, la región acotada por y - x 3 - 6x2 + 8jc , y = x 2 - 4x, donde en ambos
casos x e [0,4].
(ól)
Rpta.
60.86 Flw3
Calcular el volumen generado al rotar la curva y = x2e~*2 alrededor de su asíntota
_
3
n
RP“ ' W 2 r<I > " —
(62)
Hallar el volumen del sólido obtenido al rotar la región acotada por
y la r e c ta x = l, alrededor de la recta y =2.
(5 )
y = x 2 , al eje X
Rpta.
Calcular el volumen del sólido generado por la rotación dela región R limitado por
x 1 + ( y - 3)2 = 1 alrededor de la recta y = 0.
(m )
"
Rpta. 6n2u3
Calcular el valor del sólido obtenido al hacer girar la región R limitada por
x2 + y 2 = 1, x~ + y 1 = 4 alrededor de la recta x = 0. Rpta.
©
x2 y 2
Hallar el volumen obtenido al girar la elipse — +
= 1 alrededor de:
a
b
a)
el eje X
Rpta. a)
(óó)
——
3
b)
el eje Y
b)
- n a 2b
3
c)
la recta x = 0
d)
c)
d) l n 2ab2
l n 2a2b
la recta y = b
Calcular el volumen del sólido obtenido al hacer girar la región R limitada por las
curvas x = y 2 , x = 8 - y 2 alrededor de la recta x = 0.
2S6
Rpta. ----- nu3
428
(ó7)
Eduardo Espinoza Ramos
Calcular
el volumen generado por el área comprendida entre las curvas
y = 2-s/jc , al girar alrededor del eje Y.
(ó8)
Rpta.
—~ u*
Calcular el volumen generado por el área comprendida entre las curvas
x 2y 2 + 16,v2 = 16, x = 0, y = 0, x = 0, al girar alrededor del eje X.
(S )
y =,
Rpta.
n 2i?
Calcular el volumen del sólido generado por la rotación de la región limitada por las
curvas dadas alrededor de la recta dada:
a)
y 2 = x . y - x 2 alrededor dex = -2.
Rpta.
b)
y = 4 - x 2 , y = 0 alrededor de x =-2.
Rpta.
c)
y = x J -5jc2 + 8jc-4, y = 0 alrededor de y = 0
'
Rpta. -^—u3
105
d)
y =4 * — p , x = l , x
e)
1
V*
y =4 x —
= 4, y = 0 alrededor de y = 0.
Rpta.
128
-----ÍI a 3
3
3
(In4 + —)I1 w3
2
, x = l,x = 4, y= 0 alrededor de y = -2.
V*
R pta. ( I n 4 + ^ ^ ) n
6
2
, y = 0 , x = 0 ,x = l
alrededor de x = 0.
0
y-e
g)
y = x + 2, y~ - 3 y = 2x alrededor de y = 0.
7
u3
Rpta.
(e -l)n u
Rpta.
45
-i
—n u
i
4
h)
v = V 4 - x 2 , y= 1, x = 0,
i)
x + y = l, ^ +^
x =^3
alrededor de y = 0.
= 1 alrededor de x = 0.
Rpta.
Rpta.
2 n^3 i/3
u3
Aplicación de la Integral Definida
429
j)
y = 3x¿, y = 4 - 6 x ¿ alrededor dex = 0.
Rpta. — w3
k)
x 2y 2 +16y 2 = 16, x = 0, y = 0, x =4 alrededor de x =4.
Rpta. 327r[l-V2+ln(-^L)]u3
V2
©
La base de un sólido es un circulo de radio a, si todas las secciones planas del sólido
perpendiculares a un diámetro fijo de la base son cuadrados, hallar el volumen del
16a,3: j
sólido.
Rpta. ^ - u
(71)
Un círculo deformable se mueve de manera que uno de los puntos de sus
x2 y 2
circunferencias se encuentra en el eje X, el centro describe una elipse — + =
a
b
el plano del círculo es perpendicular al eje X. Calcular el volumen del sólido.
_
R p ta.
( 72 )
8n a b 2 3
— -— u
La base de un solido es un círculo de radio r. Todas las secciones transversales del
sólido, perpendiculares a un diámetro fijo de la base son cuadrados. Determine el
volumen del sólido.
( 73 )
1 y
16
Rpta. — r 3w3
Hallar el volumen del sólido, cuya base es un círculo de radio 3 y cuyas secciones
planas perpendiculares a un diámetro fijo son triángulos equiláteros. R p ta. 36^/3 w3
( 74 )
Un cilindro circular recto de radio r es cortado por un plano que pasa por el diámetro
de la base bajo un ángulo a respecto al plano de la base. Hallar el volumen de la parte
2r 3
separada.
Rpta. (----- tga)u3
3
®
La base de un sólido es la región limitada por la elipse
x2 y2
— + J~ - = 1, hallar el
a~
b
volumen del sólido, sabiendo que las secciones transversales perpendiculares al eje X,
4cit) 2
son triángulos equiláteros.
Rpta. - - j=- u 3
430
Eduardo Espinoza Ramos
(76)
L a base d e u n cilindro es u n círculo d e radio 3. T o d o plano perpendicular a u n
diámetro d a d a intercepta al sólido en u n cuadrado que tiene u n lado en la base del
sólido. Calcular el v o l u m e n del sólido.
©
Rpta. 1 4 4 « 3
U n círculo móvil se encuentra en u n plano perpendicular al plano X Y d e m o d o q u e
los
extremos
de
(x - 2 ) 2 = 2 ( y +1),
un
diámetro
están
sobre
las
parábolas
de
ecuaciones
3 ( x - 2 ) 2 = 8 ( ^ - 1 ) , Hallar el v o l u m e n del sólido q u e genera
dicho círculo móvil si el diámetro en m e n c i ó n es paralelo al eje Y y sem u e v e
región encerrada por ellas.
en la
Rpta. ~ ^ ~ u *
U n sólido tiene por base u n círculo
d e radio 1 y sus intersecciones c o n planos
perpendiculares a u n diámetro fijo d e la base son triángulos rectángulos isósceles
cuyas hipotenusas son las respectivas cuerdas d e los círculos. Determinar el v o l u m e n
4 ,
R p ta. —u
3
del sólido.
(7 9 )
L a base d e u n sólido es u n círculo limitado por
transversales perpendiculares al eje Y
x 2 + y 2 = 2 5 y las secciones
son triángulos equiláteros. Calcular
su
volumen.
(5j)
D o s cilindros d e radio R
se cortan perpendicularmente. Hallar el v o l u m e n d e su
intersección.
(gl)
Rpta. —
3
R3
L a base d e u n sólido es u n circulo d e radio 2, si las secciones transversales
perpendiculares a la base son triángulo isósceles con u n cateto c o m o base. Hallar el
v o l u m e n del sólido generado.
(82)
32
Rpta. — u 3
3
L a base d e u n sólido es u n a elipse cuyos ejes m i d e n 2 0 y 10 unidades; la intersección
de ese sólido c o n u n plano perpendicular al eje m a y o r d e la elipse es u n cuadrado.
Calcular el volumen del sólido.
Rpta. —
u3
Aplicación de la Integral Definida
(^3 )
431
La base de un sólido es la región entre las parábolas y = x 2, y = 3 - 2 x 2. Hallar el
volumen del sólido si las secciones transversales perpendiculares al eje Y son
triángulos rectángulos isósceles, cada uno de ellos con la hipotenusa sobre el plano
XY.
(S )
Rpta.
La base de un sólido es la región limitada por >■= 1- x 4 . Las secciones transversales
del sólido determinadas porplanosperpendiculares al
el volumen del sólido.
85)
Rpta.
eje Xson cuadrados. Encontrar
315
A una naranja de forma esférica y de radio a por medio de dos semiplanos, que pasan
por un mismo diámetro formando entre si un ángulo de 30° se le extrae una tajada.
Determine el volumen del restode la naranja.
Rpta.
Y“i
y “i
Encontrar el volumen del sólido encerrado por el paraboloide — + — = r y el plano
Rpta. 1000 n
z = 10.
2
87J
w3
2
Hallar el volumen del segmento parabólico elíptico -----= jc interceptado por el
2
p 2p
plano x = a.
Rpta.
a 2^ p q U u 3
El sólido de revolución se forma por la rotación alrededor del eje Y, de la región por
la curva
y = \ [ x , el eje X y la recta x = c (c > 0). Considere los elementos
rectangulares de áreas paralelas al eje de revolución para determinar el valor de c que
dará un volumen de 1211 u 3.
89J
Rpta.
c = ^2744
Se hace un agujero de 2 cm. de radio através de un sólido de forma esférica con un
radio de 6 cm; siendo su eje un diámetro de la esfera. Encuentre el volumen de la parte
restante del sólido.
184
Rpta. ---- F1 h 3
432
®
Eduardo Espinoza Ramos
Se hace un hoyo de 2 ^ 3 pulgadas de radio através del centro de un sólido de forma
esférica con un radio de 4 pulgadas. Encuentre el volumen de la porción del sólido que
fue cortada.
(9 ^
224
^
3
h, ,
3
Ab +aB
2
,
*
Rpta. — (ah + -----------+ ab)u
La base de un sólido de un círculo con un radio de 9 pulgadas y cada sección plana
perpendicular a un diámetro fijo de la base es un cuadrado que tiene una cuerda del
circulo como diagonal. Encontrar el volumen del sólido.
(9 ^
u
Hallar el volumen del obelisco cuyas bases paralelas son rectángulos de lados A.B y
a,b respectivamente y la altura h.
(9 2 )
Rpta.
Rpta. 1944 pu lg1
Encontrar el volumen del tetraedro que tiene tres caras mutuamente perpendiculares y
tres aristas mutuamente perpendiculares cuyas longitudes tienen medidas a,b y c.
« *
°bc 3
6
Rpta. ---- u
(0 )
Hallar el volumen del sólido de revolución formado al girar alrededor del eje X. la
región D acotada por las gráficas de las curvas
2
1
G(jc) = 1+ —(x - 4) y las rectas x = 2, x = 6.
9
(9 5 )
Rpta.
F ( jc) = 4 - ^ - ( x - 4 ) 2 ,
144
1
/r[60 - 64(-------------)]«
1215
Hallar el volumen del sólido generado, al rotar alrededor del eje X la región limitada
por las curvas C: y = a x ~ x 2, a> 0 , Cx : y = 0.
(9ó)
La región limitada por la circunferencia x 2 + y 2 + 2 x + 2 y -2 = 0 , girar alrededor de
la recta y = 3, calcular el volumen del sólido generado.
a) DEFINICION.-
El área de una superficie S obtenida por la rotación alrededor
del eje X, del arco de la curva y = f(x) entre los puntos x = a
y x = b es definida por medio de la fórmula.
433
Aplicación de la Integral Definida
OBSERVACION.
1)
Si la curva y = f(x) se hace rotar alrededor de la recta y = c se obtiene una
superficie de revolución, cuya área es expresado por la fórmula.
m*1 dax m
-" %
2)
Si la ecuación del arco de una curva está dado por la ecuación y = g(y),
V y g [c,d] en donde g es una función con derivada continua en [c,d] entonces el
área de la superficie engendrada por la rotación alrededor del eje OY del
arco de la curva x = g(y) entre los puntos y = c, y = d es expresado por la
fórmula.
434
Eduardo Espinoza Ramos
3)
Si la curva x = g(y) se hace girar alrededor de la recta x = k. el área de la
superficie de revolución está expresada por la fórmula.
Ejemplo.- Hallar el área de la superfìcie del “Huso”, que resulta al girar una semi­
onda de la senusoide y = sen x alrededor del eje OX.
Solucion
dv
y = sen x => — = eos x
dx
Como
^4(5r ) = 2 n f y j l + (— )2 = 2 n f -Jl + cos2~x senx dx
Jo v
dx
Jo
= - 2 n ( ^ ^ V c o s 2 jc + l + —ln|cosx+Vl +cosx |)
A(SX) = - n [ - 2 4 í -ln (l + V 2) + ln (-1+ - Jl)]
A(SX) = 2U[-j2 + ln(l+^2 )]« 2
435
Aplicación de la Integral Definida
Ejemplo.- Hallar el área de la superficie engendrada al rotar alrededor del eje Y, la
hipocicloide x 2 3 +y 2/3 = a 2i 3
Solución
2/3
x
2/3
2/3
rfV
^
,fy
~<hc~ u
t d x s x 2/3 C2/3- v 2' 3
(~r)~ = —r r r = -------^ —
¿v'
>-2/3
y 2n
Como
dx
¡X
^
=> ( t ) ' =
dy
a 2 n - v 2n
y 2/3
¿ (S y) = 2n£* jc^|i+ ( ^ ) 2rfv - 2 n £ (o2/3 - y 2 n ) 3 / 2 ^
.a
Jo
( f l 2/3 _
2 / 3 } 3/2 "
'
a 2 ^ 2/f
^1/2 / 2/3
= 6 n a «/3[ ( C _ Z Z _ J _ ] / "
^
«l/3 '
1
5 /2
/3 dy
2 / 3 \5 /2
J/o
V_ 12fl 7T 2
--- U
A(S y ) ----------- —
3.34
PROBLEMAS PROPUESTOS.Hallar el área de la superficie generada haciendo girar la curva y = 2 ^ 6 - x , x e [3,6]
alrededor del eje OX.
©
Rpta.
56
i
m2
Hallar el área de la superficie engendrada por la rotación, alrededor del eje OX. del
arco de la curva y = e * comprendida entre x = 0 y x = -Ho.
Rpta. h/2 + ln(l + ^/2)]n u 1
©
Hallar el área de la superficie del tronco engendrado por la rotación del círculo
x 2 +(y - b ) 2 = a 2 alrededor del eje OX (b > a).
( 4)
Rpta. Aab FI2 u2
Hallar el área del elipsoide de revolución que se obtiene al hacer girar la elipse
1
1
x~ y
-— + — = 1 alrededor de:
25 16
436
Eduardo Espinoza Ramos
a)
Su eje mayor.
Rpta. 2(16 + ^^arcseny)7T u 2
b)
Su eje menor.
Rpta. (50 + y ln 4 )? r u 2
on
©
Calcular el área de la superficie formada por la rotación alrededor del eje X del arco
de la curva 4y - x 2 -2 In x entre x = l y x = 4.
©
Calcular el área de la superficie de revolución que se obtiene al rotar, alrededor del eje
X, el lazo de la curva 9ay2 = x(3 a -x)2
©
Rpta. 24n u 2
Rpta. 3a2n u 2
Hallar el área de la superficie engendrada por la rotación de la parte de la tangentoide
n
de y = tg x, comprendida entre x = 0 y x = — alrededor del eje OX.
Rpta. [ n { S ~ 4 l ) + n ln (2(^ +2))fr2
V5 +1
©
En la figura se dan las dimensiones de un espejo parabólico AOB. Hallar la superficie
de este espejo.
Rpta. 1D° (5-S -8)/r u 2
©
Hallar el área de la superficie (denominada Catenoide), engendrada por la rotación de
x
la catenaria y = a. cosh(~) alrededor del eje OX, entre los límites x = 0 y x = a.
a
Rpta. —
^ ( e 2 - e 2 + 4)ÍIw 2
437
Aplicación de la Integral Definida
(ío)
Hallar el área de la superficie engendrada por la rotación del eje OY, del arco de la
curva y = a cosh _1(—) desde x = a hasta x = a cosh 1.
a
a2
2
Rpta. — (2 + senh2)IT u
2
(íl)
v“'
Hallar el área de superficie de revolución de la curva x = —----- 1n y , alrededor del
4 2
eje OX, comprendida entre y= 1, y = e.
(l2)
,
Hallar el área de la superficie cuando la curva 2x = y^Jy2 -1 + ln | y+^jy2 - 1 |,
y e [2,5], gira alrededor del eje OX.
^ 3)
e4 -9
Rpta. ------- II u
16
Rpta.
78 n u 2
Hallar el área de la superficie de revolución que se obtiene al girar alrededor del eje
OX, la curva dada por y 2 =4ojc, desde x = 0 hasta x = 3a.Rpta. ~ ^ a2n
(h )
Calcular el área de la superficie de revolución que se obtiene al hacer girar el arco de
la curva y = 2 -e* 9 desde x = 0 hasta x = 2 alrededor de la recta y = 2.
Rpta. [ c 2 a/i + e 4 — j 2 + l n ( e - + ^ r^1+^/2
(l5)
)H
u 2
Hallar el área de la superficie de revolución formada cuando la curva indicada gira
alrededor del eje dado:
a) y = x 3, x e [1,2] alrededor de y = -l.
b) y=ln(x —1), xe[2,e2+1] alrededor de x = 1.
c)
y = 2x, x e [0,2] alrededor de x = 1.
d) y = 4+ex, x e [0,1] alrededor de y = 4.
438
Eduardo Espinoza Ramos
^ó)
Hallar el área de la superficie generada por la rotación entorno al eje Y, de cada una
de las siguientes curvas:
®
a)
x = y \ y e [0,3]
Rpta.
^-[(730)3/2 -1] k 2
b)
2y = x-Jx* -1 + ln(jc —n/jc2 -1 ), x e [2,5]
Rpta.
7811 u 2
2
2
Hallar el área de la superficie engendrada al girar la elipse
—= 1, (a > b)
a2
b
alrededor de:
@
a)
ElejeOX.
Rpta.
2 . l a b n ____ r,
j ___, ^ Va2 - b 2
2Ylb +— — arcsen£, donde E =
E
a
b)
ElejeOY.
Rpta.
2na + -----ln(----- ) donde E =
.
„
-va2 - b 2
a
Rpta. "
u2
Hallar el área de la superficie generada por la curva y 2 -2 1 n y - 4 x , al girar
alrededor del eje X.
(¿o)
,
Hallar el área de la superficie generada cuando la curva y =—x i/2 - —x 1' 2, x e [0,4]
3
2
gira alrededor del eje X.
(jg)
2 b2n , A +E.
E
l-E
Rpta.
^. 2
10?r'
u
2
Hallar el área de la superficie generada por la rotación de la curva 6c2xy = _y4 + 3c4
es de x = c hasta x = 3c, alrededor del eje X. Rpta. c 27r(20 + ln3)M2
(2 ^
Hallar el área de la superficie de revolución que se obtiene al girar alrededor del eje X,
la región R limitada por las curvas y 2 + 4x = 21n>\ y = 1, y = 2
Rpta. —
mJ
n
Aplicación de la Integral Definida
( 22 )
439
Hallar el area de la superficie de revolución que se obtiene al girar alrededor del eje X,
. por 1las curvas y = —
*3 + —
1 , xg[1,3]
r t 11
la región R limitada
6 2x
3.4
^
208
-----n
Rpta.
9
LONGITUD DE ARGOP
Consideremos una función f con derivada continua en el intervalo [a,b] y una partición
P = {xn,x].... del intervalo [a,b] que defina una poligonal formada por
los segmentos rectilíneos desde/*_!(*,_!,/ ( x m )) hasta //( x ,V/Xx,))
para
i= 1,2..... n.
m m n M
. >2;+ ( w
- /u v - 1))2
por lo tanto la longitud de la poligonal definida por la partición P es:
a)
DEFINICION.-
Sea f: [a,b] ---- > R una función con derivada continua en
[a,b]; si existe un número L de tal manera que:
440
Eduardo Espinoza Ramos
entonces diremos que el arco PfíP„ de la curva y = f(x) es rectificable y al
número L se le llama la longitud del arco de la curva y = f(x) desde el punto
P0 (a, f (a)) hasta el punto P„ (b, f (b)).
b)
TEOREMA.- Sea f: [a,b]----->R una función con derivada continua en [a,b],
entonces la longitud del arco de la curva y = f(x) desde el punto
cuya abscisa es a hasta el punto cuyo abscisa es b es expresado por la fórmula.
Demostración
Consideremos una partición P = {jc09x ¿
} del intervalo [a,b], tal que:
a = x 0 <x{ <...<x„ =b.
del triángulo rectángulo P ^ AP¡ de la figura se tiene:
I ^
donde
A ix = xi - x i-.l
podemos escribir asi:
n J ía ^
y
+ ía ^ ) 2
...Í1 )
A,> = /(x , ) - / ( x lM). Luego a la ecuación (1)
441
Aplicación de la Integral Definida
Como f es continua en [x, (,x,J y f'{x) existe en \x, j,x ,J , entonces por el
teorema del valor medio 3 c, e[xH , í ,] talque:
/ ( * , ) - / ( * , i)
x¡ —x¡_i
Luego de (3) y (2) se tiene:
A,.y
A, x
... (3)
| Pi XP¡ |= -Jl + (/'(c, ))2A,x entonces
L= lint Y J \ + ( r ( c i ))1Aix= [h^ l + (f'(x))2dx
i/>M>^1=1 V
Ja
••• L = f. I
l+(— )2dx
dx
Si g: [c,d] -----> R es una función continua en [c,d], entonces
la longitud del arco de la curva x = g(y) desde el punto
A(g(c),c) hasta el punto B(g(d),d) es expresado por la fórmula:
OBSERVACION.-
»
©
a
ifc V
dy
Hallar la longitud del arco de la parábola 6 y = x 2 desde el origen de coordenadas al
g
punto (4,—).
Solución
442
Eduardo Espinoza Ramos
Como 6y = x 2
— = — , de donde
dx 3
t = r j 1+A ! * = r , &
Jo V rf)c
Jo V 9
- i
3 Jo
L = U ^ ^ 7 ^ \ x +4 x r ^ 9 \ ] / l
3 2
i[ ( 1 0 + |l n 9 ) - ( 0 + |ln 3 ) ] = i[1 0 + |l n 3 ]
©
£ = y (1 0 + |ln3)w
Encontrar la longitud de la circunferencia x 1 + >’2 - a 2
Solución
L~2a
í/ jc
X
,a
71
7T
7t
7T
+ —)
i “ J a 2 - x 1 = 2a arcsen—/ _q = 2a[arcsen(l) - arcsen(-l)] = 2a(—
2+2
L = 2;rau
©
Calcular la longitud del arco de la parábola semicúbica y 2 = x 3 desde el origen del
coordenadas hasta el punto cuyas coordenadas son x = 4, y = 8.
Solución
443
Aplicación de la Integral Definida
©
Hallar la longitud total de la hipocicloide x 2,1 + >,2/3 = a2' 3
Solución
„2# 3 , 2/3 _ 2/3
X
+V
= £7
2/3
x 2/3)3/2
^ - = * - ,' 3V a2,3- * 2/3
dx
t=4f f W
¿ =4r
Jo
Jo
*
^ P V T dr
= 4 Í x 1/3a I,3rfr = 6x2' 3tfI/3/* = 6a
Jo
©
' «
Sea R la región del plano limitado superiormente por x 2 + y2 =2 e inferiormente
por x 2 = - y 3. Halle la longitud del contorno de la región R.
Solución
Calcular los puntos de intersección.
-
lx ” + y
j
=2
=> >’3 - v 2 + 2 = 0
de donde y = -l
A(l,~l) y B(-l,-l)
del gráfico por simetría se tiene:
L - 2(Lab + Loa)
444
Eduardo Espinoza Ramos
Calculando L^ se tiene x = ^ 2 - y 2 , x > 0
** = r f f & + - l f
/ ^ : V.. = V2 arcsen(-^r) /^ “ = ^2 [arcsen 1- arcsen(— J=)l
^ 2-y2
V 2 '- 1
^/2
=
= ^2 [arcsen 1-f arcsenf— j=)] = ^ 2 [— + —] =
V2
2 4
4
r _ 3-s/27T
^y<C ~ 4 W
Calculando
••• ^
se tiene x = ^J-y3 9 x > 0
¿m = ^ ~j1+(2/^ ~ 7 ^ dy= í i i^ 4 ~ dy ’ integrando
“
(lW Í3 -8 )
...(2 )
reemplazando (1) y (2) en (a) se tiene:
, -3-y¡2n 13-JÍ3- 8
. . .
¿ = 2(-------+ ------------ ) de donde
4
27
(ó )
r J-%/2;r 2 ^ 1 3 - 1 6 ,
L = (------------------------ + ---- )u
4
27
2
Hallar la longitud del arco de la curva 8>* = x 4 + —
jr
Solución
desde x = 1 hasta x = 2.
Aplicación de la Integral Definida
445
r2 m r z
rr.
i
3
1
1
= U l ,x + 2 + 7 ' )* _ l í ,x + 7 )
y
1
„¿
l rM 14 ,1 1V1 1 r31 1. 33
= ^2[(4 - - )8 - ( 47 -2tt)] = 2T f8v 4+ 7 l = T7H
16
3.4.2.
PROBLEMAS PROPliESTOS.-
©
Hallar la longitud del arco de la curva y 2 = 4 x - x 2, comprendido entre los dos
puntos en que corta al eje X.
©
Rpta. L = 2n u.
Hallar la longitud del arco de la curva y = ln x desde x = ^¡3 hasta x = -JÜ.
Rpta.
©
■>
1
2
134
27
Calcular la longitud del arco de la curva y - e* entre los puntos (0,1 ) y ( 1 ,e).
/-r—
Se
, (V<?2 + i -1)(- n/2 + 1 )
„
+ 1 + ln—-----------— ----- - - 2
e
Encontrar la longitud del arco de la parábola y 1 =4px desde el vértice hasta un
extremo del lado recto.
©
2
Rpta. -----u
Rpta.
©
3
Hallar la longitud del arco de la parábola semicúbica 5>3 = x 2 comprendida dentro
de la circunferencia x~ + v =6
©
1
(1+—ln—)u
Si f ( x ) =
Rpta. [-J2 + ln(l + -J2)]p
J -\/cos td l. encuentre la longitud del arco de la gráfica de f desde el
punto donde x = 0 hasta x = ir.
Rpta. 2-y¡2 u
446
©
Eduardo Espinoza Ramos
1
3
Hallar la longitud de la curva y = ln(l - x 1) desde x = — a x = —.
4
4
Rpta. (ln (y )-^ )w
^8)
Encuentre la longitud del arco de la curva 9y 2 = 4.v3 del origen al punto (3,2-JÍ).
_ x 14
Rpta. — u
3
^9)
Hallar la longitud del arco de la curva cuya ecuación es >>3 = x 2, comprendida entre
los puntos (0.0) y (8,4).
(10)
Rpta. — (10-JlQ -1 )u
3
7
Hallar la longitud total del lazo de la curva 6y 2 = x ( x - 2 ) 2 si x e [0,2].
Rpta. ■j'v/3 u
@
Calcular la longitud total de la curva 8>’2 = x 2( \ - x 2) .
(12)
Calcular la longitud total del arco de la parábola y = 2^x desde x = 0 hasta x = 1.
Rpta.
( 13 )
Rpta.
[ +
ln(l + ^ 2 )]u
Hallar la longitud del arco de la parábola ay2 = x 2 desde el origen hasta x =
335
Rpta. ---- a
y
*""v
14J
u
21
v2 1
Hallar la longitud del arco de la curva x =In y desde y = 1 hasta y = e.
5a.
447
Aplicación de la Integral Definida
Hallar la longitud del arco de la curva y =—J x 2 -1 - —ln(,v+ J x 2 -1 ) desde x = 3
2
2
hasta x = 5.
Rpta. 8u.
©
Calcule la longitud del arco de la parábola semicúbica y 2 = y (x -1 )3 comprendida
J
^
dentro de la parábola y 2 = — .
3
11)
Rpta. — (1 OVIO - 8 )u
^
Hallar la longitud de la catenaria y - a cosh(—)
a
desde el vértice A(0,a) hasta el
punto B(b,h).
asenh(—)
a
18)Hallar
la
longitud
Rpta.
del
arco
de
la
rama
derecha
de
la
tractriz
----- y
a + J a 2 - y 2
x = —J a ” - y + a .ln |---------------- 1, desde y = a hasta y = b , (0 < b < a ).
y
Rpta.
( 19)
Calcular la longitud del arco de la curva (—) 2/3 + (—)2/3 = 1, en el primer cuadrante.
a
b
n
Rpta.
@
a 2 + a¿ + ¿ 2
--------------- u
a+b
x3 1
Hallar la longitud del arco de la curva cuya ecuación es >’ = — + — desde el punto
de abscisa x = 1 al punto de abscisa x = 3.
( 21 )
aln(—)
b
14
Rpta. —
u
Hallar la longitud del arco de la parábola y 2 - 2px desde el vértice a un extremo del
448
Eduardo Espinoza Ramos
(22)
Calcular la longitud del arco de la curva x = ln(sec y) comprendido entre y = 0 e
y = —.
Rpta. ln(2 + >/3 )u
•J
( 23 )
Hallar la longitud de la curva y = ln(g y +1) entre las abscisas x = 1 y x = 2.
€X —1
Rpta. (ln(t?2 +l)-l)w
(24)
Hallar la longitud total de la curva (>■-arcsenx)2 - 1- x 2 .
( 25 )
Calcular la longitud de la parábola semicúbica 2>-3 = x 2 comprendida dentro de la
circunferencia x 2 + y 2 = 2 0 .
Rpta.
8u
Rpta. — (IOVÍO-I)m
(26)
Hallar la longitud del arco de la curva y = 4 x - x 2 + arcsen-Jx .
(tf)
Halle la longitud del arco de la curva 8y = x 4 +2x 2 desde el punto donde x = 1 al
33
punto donde x = 2.
Rpta. — u
(28)
Determinar la longitud de la curva y 2(2 a -x ) = x i (Cisoide de Diocles) entre x = 0
y x = a.
( 29 )
^
e2b- l
2u
2a(-j5 - 2 ) +-s/3aln|-—
|
7 -4 ^ 3
Hallar la longitud de la curva j = -\/sec2 y + 1 - ln | ^+ SCC T+ ^ | desde x = —
sec x
4
hasta x = y .
^ 0)
R pta.
R p ta.
Rpta. (^3-1)«
Hallar la longitud del arco de la parábola y = ln | c tgh(^) | desde x = a hasta x = b
(0 < a < b).
Rpta. a - b + ln(—-------)
e~a -1
Calcular la longitud del arco de la curva 9r/>2 = x ( x —3a )2 desde x = 0 hasta
x = 3a.
Rpta. 2-^3 a
u
It
Aplicación de la Integral Definida
449
( 32 )
Hallar la longitud total de la curva 8a2y2 = x 2 (a2 - 2 x 2) .
( 33 )
Encuentre la longitud de la curva 6 y 2 = x(x - 2 )2 de (2,0) a (8,4\/3).
R pta.
64)
a
w
n
8o3 -(a2+3b2)3' 2
8(a —b )
Rpta. -------- ----- r------ u
F
Halle la longitud de la curva 9y2 = x (x -3 )2, en el primer cuadrante, desde donde
x = 1, hasta donde x = 3.
(3ó)
a n u.
Encuentre la longitud de la curva (—) 2/3 + (—) 2/3 = 1, en el primer cuadrante, desde
a
b
A
a
U
A
A
el punto donde
x =—
hasta donde
x = a.
8
(5?)
R p ta.
—- «
Rpta.
Determinar la longitud del arco de curva descrito por y - 4 e 2x -1 - a/csec(ex) - 1,
x e [0.4].
Rpta. — (e%- \ )
Determinar la longitud del arco de la curva descrito por y = ln(l - x1) desde x = 0
hasta x = —.
2
®
Rpta.
F
2
+ ln3
jc3 1
Determinar la longitud del arco de la curva descrito por y = — + — , x g [1,2]
3
Rpta. —
24
(39)
Determinar la longitud de arco de la curva descrito por y = —arcsenx - —Vi - x 2 ,
rn ^ 3 ,
x g [0,--- ]
2
( 40 )
Rpta.
4n +y¡2
16
Determinar la longitud de arco de la curva descrito por y =
_ A 383
Rpta. -----
20
+ y - , x e [2,5]
450
Eduardo Espinoza Ramos
CAPITULO IV
4.
ím Éxm ALÉS » R O F M S L -
4.1
INTRODUCCION.Por el teorema fundamental del cálculo se tiene que: si f es una función continua en el
intervalo cerrado [a,b] y si F(x) es la integral indefinida de f(x) entonces:
Ahora nos haremos algunas interrogantes, por ejemplo:
¿A que es igual la integral
f+DOdx
—- ? En donde la función es definida en el intervalo
j2 JC
[2 ,+ o o >
dx
Í-i —? En donde la función es definida en el intervalo
x
<-oo,1]
r4 dx
¿A que es igual la integral j — ? En donde la función esta definida en el intervalo
JO Y*
<0,4]
Í ¿ —dx- ? En donde la función esta definida en el
1x
intervalo [-2 ,0 U <0,2]
A todas las integrales de estos tipos mencionados se denominan integrales impropias
las cuales pueden existir o no existir.
Integrales Impropias
451
Analizaremos la integra]
f+CjCdx
|— , para esto calcularemos el área bajo la curva
Jl x
y = —- , y el eje X desde x = 2 hasta x = b.
x
rh dx
1 ,h
11
1
| — =— = — (—) enionces
h v4 ivj / 2 3 V
K
dx
-
í
1
24
1
3b3
Luego —-------- es igual a — , cuando b -> qo lo cual expresaremos en la forma.
24 3
24
«fe r 4
A-»* «fe r 4
24 3¿
l/j 3
2¿
24
Se tiene dos tipos de integrales impropias que son integrales impropias con límites
infinitos e integrales impropias con limites finitos.
4.2
INTEGRALES IMPROPIAS CON LIMITES IN FIN IT O S.«
a)
DEFINICION.-
Si f: [a,+oo>---- > R es una función continua en [a,+'*>>,
f *oc
entonces a la integral impropia
f{x)dx definiremos por:
Ja
Si existe el límite diremos que la integral impropia es convergente, en caso
contrario diremos que es divergente.
Eduardo Espinoza Ramos
452
b)
DEFINICION.-
Si f: <-*>,b] ---- ►R es una función continua en <-oo,b]
entonces a la integral impropia
Cb
f(x)dx definiremos por:
J-OG'
Si existe el límite diremos que la integral impropia es convergente, en caso
contrario diremos que es divergente.
c)
DEFINICION.-
Si f: <-oo,+oo>-----►R es una función continua V x e R,
Í f{x)dx definiremos por:
-rfr.
Í +»f(x )d x = Ime f(x)dx+ I f(x)d x = lint I f(x)dx+ lim Ipbf(x)d x
pc
-do*
J-oo'
Je
Ja
b~*+^Jc
Si las integrales impropias J° f( x ) d x , J / (x)dx son convergentes entonces la
+OD
Í -ODf(x)dx es convergente, en caso contrario se dice que es
‘
divergente.
(c es un número arbitrario en donde está definición no depende del número c que
se considera).
OBSERVACION.-
Si f(x) >0, entonces las integrales impropias convergentes
representan el área de la región plana que determina la
gráfica de la función f y el eje X.
Ejemplo.-
©
^
Determinar la convergencia o divergencia de las siguientes integrales
impropias.
r —
Jo
l+ x ,
Solución
Integrales Impropias
#+®'1 dx
I
JO l+JC
453
dx
¿
lim I ----- - = lim arctgjc / = ¡im (arctg¿-arctgO)
b-t+oojo 1+jc
6-»+cob-*-*-oa
r*^ dx
n
| ----- - = — es convergente.
Jo \+ x
©
2
í v>exdx
Solución
í e*dx= lim f e'dx = lim ex / = lim ( e - e a) = e —e
J oo
o —»- o: Jü
—DO
fl-+ -a « —»—<*>
n
= e —v= e
/. J exdx = e 9 es convergente
f |jc |e _r rfx
J-ÚO
Solución
-+ar
2
fO
2
fl+00
2
1*0
2
/‘+OD
2
|x | e * d x = | \x\e~x dx+\ \x\e~x dx = \ %-xe x dx+\ xe~x dx
Joo
J-ao
Jo
Jo
= lim f - x e x2dx+ lim f xe X d x = lim ——
a~~*~oo Ja
Jj-h»+odJo
íí-»-oc.
2
lim - — f
0 b~*+uD 2
4 [ lim ( l - e -°2) - lim (e~bl -1)] = I [ ( l - 0 ) - ( 0 - l ) ] = l
2 o-»-«.
6-*+oc
2
-4-00
J
I | jc| e? 'rfx = 1 es convergente.
J a
454
Eduardo Espinoza Ramos
e ax cos(fot), a > 0
Solución
r+v ~
rB
| e ax cos( bx)dx= lim | e ax eos(bx)dx
JO
0 -+ + V Jo
Calculando la integral J e~ax cos(bx)dx por partes:
J e ax eos(bx)dx
e ~ ax (b sen bx - a eos fot)
a +b
f*"e -“ cos(fa)A= lim f e " co sita)* = lim
Jo
6>-»+«? Jo
6 -t+tx,Q + b
r -aB í^sen b 6 - a cos b6)
a
■ lim [e
. ---------- — —--------------- + — ------ o->+<*
a +b~
a +b~
n
a
a
a~1 + bu1 ~ a~1 +bu?
-+0C. ^
I
Jo
4.3
e
Q
cos(bx)dx = —----- es convergente
a~+b~
INTEGRALES IMPROPIAS CON LIMITES FINITOS.a)
DEFINICION.-
Si
f: [a,b> ----- >• R es una función continua eri [a,b>,
entonces a la integral impropia J f(x )d x definiremos por:
/ ( x ^ d x - l m j f(x)dx
É >(¡J«
Si existe el límite diremos que la integral impropia es convergente, en caso
contrario se dice que es divergente.
455
Integrales Impropias
b)
DEFINICION.-
Si
f: <a,b] -----» R es una función continua en <a,b],
rh
entonces a la integral impropia f f (x)dx definiremos por:
Ja
Si existe el límite diremos que la integral impropia es convergente, en caso
contrario se dice que es divergente.
c)
DEFINICION.-
Si f: [a,b] -> R es una función continua en [a,b]excepto en
x = c donde a < c < b, entonces a la integral impropia
definiremos por:
f f(x)dx= f f(x)dx+ [f(x)dx =¡im f f[x)dx+lim í f(x)dx
Ja
Je
*0Ja
e ~ >0 J e + e
Ja
e
Si las integrales impropias f f(x)d x y f f(x)dx son convergentes, entonces
Ja
la integral impropia
Je
f(x)dx es convergente, en caso contrario se dice que es
Ja
divergente.
Ejemplo.- Determinar si las siguientes integrales impropias es convergente
divergente.
©
í '- r =
Solución
f 1A1 - = lim í
= l i m - l ^ l - x / * =-2 h m ( 4 ^ - 1) = -2(0-1) = 2
Jo ^¡\ _ x y-*UJo ^¡l~X «~>0
ff_>0
-y:— =2 es convergente.
o
Eduardo Espinoza Ramos
456
Solución
f 2^ É L = H m í 2 4 ^
= lim 2->/x-I[ -
1)3 + 3(jc- l ) 3/2+ x ] /
= //ra[— ~ J c ( - + 3 e i n +17e] = —
e-»o 7
7
7
r2 jc3rfx 72
j - ^ = = = — es convergente
^
ji ln(2 + Vx)
-dx
Solución
r1 ln(2 +V*) ,
f° ln(2 +Vx)
J - . - w _ * =k _
r1 ln(2+V*)
s r - ‘fa+J'>_
e—
►
O*-1
5 r - ' fa
%
* e->0Jo+e
xIy
= //TO
»o3 ¿2ln ( 2 + V r ) ( ^ y - 4 ) -4i ^ J + W ]7/ 71
+ lim 3 [-ln(2 + V T )(V ? - 4) - 1 V ? + V* ] / '
f->o 2
4
/*
= 3(|[ln2(0 - 4) - 0] - |[ l n ( l - 4) -1 (1 - 4)]) + 3(|[ln3(l - 4) 2
2
4
2
- 7
4
O -4 )] ■-1 [ln 2(0 - 4) - 1 (0 - 0)]) = ~ ln 3
2
4
2
+V * )</x
. = ------ln
27 3. es convergente.
---- -r=---Ifiln(2
J-i
2
457
Integrales Impropias
4A
CRITERIOS PARA LA CO NVERGENCIA DE INTEG RALES
IM PROPIAS.“
4.4.1
CRITERIO DE COMPARACIONConsideremos dos funciones f y g tales que
0 < g(x) < f{x)
V x e [ a,b > y
además integrable en [a,t>, V t e [a,b>, entonces:
4,42
i)
Si J / {x)dx es convergente, entonces J g(x)dx es convergente
ii)
Si í g(x)dx es divergente, entonces f f(x)dx es divergente.
Ja
CRITERIOS DE CONVERGÉNCIA PARA FUNCIONES DlSCCWTINUASwSea f : [a,b]-----> R una función continua en [a,b] excepto en el punto x = c;
si f(x)>0 y lim f ( x ) \ x - c \ m= A
X~*C
donde A * 0 , +a> en este caso a la función
f(x) lo aproximemos a f( x ) ------ ---/
\ fn
( x-c)
cuando x —» c,
entonces la integral
impropia J / ( jc)í/x .
i)
4.43
Es convergente cuando m < 1.
ii)
CRITERIO
DE CÓJWERGENCIA
INTEGRACION ES INIEIN IT^
Es divergente cuando m > 1.
CUANDO
UN
LIMITE
DE
Sea f: <a,+oo> -----> R una función continua en a < x < +oo, si f(x) > 0 y
lim f(x )jc m = A , donde A * 0, +*>
.r—
>-*-«•'
aproximamos a f ( x ) ------ cuando x
i)
Es convergente si m > 1.
en este caso a la función f(x) los
oo entonces la integral impropia.
ii)
Es divergente si m < 1.
Eduardo Espinoza Ramos
458
Ejemplos.- Determinar sí las integrales impropias son convergentes o divergentes.
©
dx
í
x 3 + x 22
Solución
r *r/
{¡x f ' a dx
I —-----—< | — , V x e [1 ,+oo>, como la integral.
x 3 + x 2 Jl x3
f *' —xdx3 = —41 es convergente, entonces el criterio de comparación se tiene a la integral
J*1+£° —V -4dx- V2— es convergente.
©
+00 _
e x senx dx
r
Solución
7
r oo
^+00
e~x sen x~ dx < I e xd x , V x g [0,+oo>, como la integral
Jo
J »+oo
e~xdx = 1 es convergente, entonces por el criterio de comparación se tiene que la
o
f * e sen jc2de es convergente.
1
©
dx
i Vx2 +3x
Solución
dx
dx
V x e <0,11, como la integral | —¡= = 2 es convergente, por
J 7 —dx-----r < I ——
a
f1
» V r2 +3x
lo 'anto
Jo V*
h Vx
dx
r ____ es convergente por el criterio de comparación.
V x 2 +3x
Integrales Impropias
©
r
1
459
—
*
2x +S x 2 +1 +4
Solución
A la función dada los expresaremos así:
_1_
2
f( x )
i
2x + S x 2 +1 + 4
1 \
4
2jc3 +(1 + — )3 +
x2
X3
cuando x
+oo, el denominador tiende a 1.
1
A
2
Luego f ( x ) — ——= ---- de donde A = 1, m = —
x 2n x m
3
Luego por el criterio c) de la convergencia resulta que
f+tt>
dx
I ------- .
---- es
31 2 * + \x 2 +1 +4
divergente.
©
dx
fJi jl¡x
r + 2ilx +x i
Tr
» >b >°
Solución
A la función lo expresaremos así:
/ ( * ) = —= --- 77=----—= —777"(—TTñ— "— tttt)
lfc+ 2tfc+ x3
x 1' 4 x
+2+x
esta función es discontinua en
x = 0 y cuando x —>0 a la función f(x) lo aproximamos.
f ( x ) ----- =
2x
de donde A= —, m = —< 1 .
x"
2
4
Luego por el criterio b) de la convergencia se tiene que la integral impropia
rb
dx
i — ----- —— r- es convergente.
Ji v r + 2 ^ + x 3
Eduardo Espinoza Ramos
460
©
r*
Hallar el valor de k para que la integral impropia
fcx
(—-------------- )dx sea
Jo x +1
2x4-1
convergente. Luego hallar el valorSolución
de la integral.
r
(- £ --------— ) * = l m |* < - £ ------- — ) *
je +1 2jc + 16-*+ocJo y +1 2x + l
/i«i¿lnU2 +l|~In|2jc+l|)/
b-++oo 2
2
= ft. I in íiílilíl) /* = 1
fc-»+œ2
2x + 1
0
2 *-»+»
2b+1
este limite existe cuando b->+oo sí fr= —
2
r * , fct
i %J i , r f . ( t 2 + d 1/2, i , , i x
i, „
(—------- )dx = —Lnf lim -------------- ---- 1 = —ln(—) = — ln2
Jo V + l 2x +\
2 W oo 2b+\
2 2
2
(7 )
w
Hallar el valor de a y b de tal manera que la integra] f ( - - +° -\)d x = 1
Jo
x(2x + a)
Solución
A la integral dada lo expresaremos en la forma:
461
Integrales Impropias
la integral impropia es convergente solo cuando dentro del argumento del logaritmo el
numerador y denominador sus exponentes son iguales, es decir: a —b + 2 = 2 de
donde a = b.
| lim ln(— - — - ) ] / = 1 =>
2 b~*+oc (2x+a)~
1
ln( lim —
lim (ln— - — - - l n -----í— -) = 2
(2b + a)
(2 + a)
— — — ) -ln(— ^— )2 = 2
h^ * ( 2 b + a V
2+a
ln—-ln(—í—)2 =2 => ln ^ + a^ = 2 . aplicando logaritmo neperiano
4
2+a
4
(^ + a )2 = e1 => ^ +fl = e => a = 2e —2 de donde b = 2e —2
2
2
4.4.4
EJERCICIOS PROPUESTOS.-
I.
Determinar la convergencia o divergencia de las siguientes integrales impropias.
i
©
Conv. 2
©
#■+30
xe Xdx
>0
J
Rpta.
Conv. 1
©
Jfe*dx
Ihx>
Rpta. Conv. e
©
r+ct
l^lnjjc dx
J
Rpta.
Div.
©
r u dx
*1 JC(JC+ 1)
Rpta.
Conv. Ln2
<N
Rpta.
J
462
Eduardo Espinoza Ramos
x dx
©
í
®
f* arctgx dx
®
fJl T (aT +x
r h)
Rpta.
Conv.
Rpta.
n
Conv. y - 1
Rpta. Conv.
1
---- 6(a-+ l):
©
' dx
5)
i 47
s>
f
dx
rior
a)
r
e
Rpta.
Rpta. Conv. 100
sen bx dx
5)
r ^ r
S)
í° x ln 2 *
dx
Rpta.
Conv.
Rpta.
Conv.
Rpta. Conv.
Rpta.
Conv.
E l*
Rpta.
Conv.
i
x1e ' xdx
a 2 +,0» 2
2n
3^3
dx
r * arctgx
1+x2
g)
®
Conv. 2
lna
K
Rpta. Conv. —
^
27
Integrales Impropias
463
Rpta. Conv.
©
Rpta. Conv. l - e
{ V - '*
dx
©
r'0 (X2 +a2)(x2 +b2)
x dx
18
dx
©
fi ; ( x z ~6x)
©
í
r
•dr
3-^/3
18
Rpta. Div.
3VxT (x -1 );
dx
©
Rpta. Conv.
3/2
-2x -1
n
2ab(a + b)
Rpta. Conv.
Rpta. Conv. t H
3^5/2
í
18
Rpta. Conv. ln
xy¡l +x ‘
_
1 7T
Rpta. Conv. —+—
V
2 4
©
r
i+ x
©
f
xV
' ^ jc
Rpta. Div.
(28)
J
xcoshx dx
Rpta. Div.
© r:T
x dx
+x
Va4 +1+1
a
n
Rpta. Conv. —
Rpta. Conv. 1
Eduardo Espinoza Ramos
©
J—
06
P \x \e 1,1dx
Rpta. Conv.
1
©
f+a> dx
I — ----J-°° 4x +1
_ ^ _
Rpta. Conv.
n
—
2
r
00
dx
—---------x + 2x + 2
Rpta. Conv.
n
f
e~Mdx
Rpta. Conv.
2
©
©
©
©
J—00
dx
I —---------J-00 x + 4x+9
_ . „
n
Rpta. Conv. —=
V5
r+m 2x dx
I —-----J-00(x +1)
Rpta. Div.
dx
— ----- —
(x2 +1)2
„
n
Rpta. Conv. —
2
p _ ld x _
£
©
©
Jo
II.
Determinar la convergencia o divergencias de las siguientes integrales impropias.
©
f x~2ndx
J-8
Rpta. Conv.
©
J-2VÍTT
f° —¿ í
Rpta.Conv.—3
©
f1 , =
W l + x -2/3
Rpta. Conv. 2(2^2-1)
©
f4
dx---Jo ^4----x -x 2
Rpta. Conv.
K
2
9
n
Integrales Impropias
©
f ™L
J-2X1
2
Rpta. Div.
dx
©
í
©
^
Jo (*
ír_1\2'
-!)•
dx
í c-s/4—:
© r
4 a ^ :
©
Vjc2 - 9
dr
n
Rpta. Conv. 6
Rpta. Div.
n
Rpta. Conv. y
Rpta. Conv.
dx
f w ¡¡¡í
r4_ d r
Jl xr 2 -- 4
20
©
Rpta. Conv.
(Sx2 -]
*
©
465
x dx
1 S la x -x 1
1
dx
Rpta. Conv. 2
Rpta. Div.
Rpta. Conv. fia
Rpta. Div.
xJ - 5 x 2
©
5
xdx
C jT ?
»
dx
í 4*-x2
Rpta. Conv.
Rpta. Conv. IT
Eduardo Espinoza Ramos
466
3> Í * -A =
71
Rpta. Conv. —
2
dx
(x -l)(x -3 )
3
©
Rpta. Div.
dx
Rpta. Conv. —
2
£
dx
, a< b
-y/íX-flXf)- X)
2l)
2 - ev
f - _____ dx
(22)
J jclnjc rfr
©
^
n .
n a 2 ,, e 2 .
Rp,a- — “ - T *
dx
fJO —
ir —
—1)(jc -8x+15)
(x
dx
@
® r
, a<b
x 2dx
®
i()\ - x 2 + l 4 \ - x 2
m2
§>
í
¿¡X
I-se n x
® ir a
Rpta. Div.
Rpta. Conv.
i
x dx
Rpta. Conv. n
33tt
Tí
Rpta. Conv. — (a + b)
2
Rpta. Conv.
n
3^3
Rpta. Div.
Rpta. Div.
467
Integrales Impropias
®
rn/4—sec2p x= dx
—
I
Jo
V1«*
í
secx dx
_ A
Rpta.
Conv. 2
Rpta.
Div.
.
®
J-ní 2
III.
Determinar la convergencia o divergencia de las siguientes integrales impropias.
(7 )
í
©
C ^ 4
Rp,a' COnV- °
I — -^dx
4x
Rpta. Conv. I
C — 1É L =
Rpta. Div.
( 4)
— —
a/ x
jcíjc
I)
(x + 1)
Rpta.
Conv. ti
Rpta.
Rpta- Conv.
©
dx
—
2
1
(Í6)
f
-------- --------
Rpta. Conv. 1
W
Jo ( x + J x ^ ) 1
3
(T)
w
í
Ji
-R pta.
x 24 7 ^ \
Conv. 1
(?)
^
\ S — ~ 1)dx
Jl x ' 4 x ^ \
Rpta. Conv. 0
(?)
f
Rpta. Div.
W
.
= =■
V 2 x 2 - 4 jt- 6
^
Eduardo Espinoza Ramos
468
r° (x + 1)dx
_
^
7T
—
©
J -1V -* 2 - x
©
Jli (x -l)(2 -x )
Rpta.
Conv. n
©
Jrlo x 3 + l dx
Rpta.
Div.
©
JI»1 x ln(lnx)
r+0°
dx
Rpta.
Div.
©
r+K
dx
J« x(lnx)2
IV.
Determinar la convergencia o divergencia de las siguientes integrales impropias.
i*
r+0°
dx
dx
Rpta. Conv.
Rpta. Conv. 1
©
J,2 x 4Vl + x 4
©
Jf'i x 4 +l dx
Rpta.
Conv.
©
l dx
Jr 4fx 2+
-\
Rpta.
Conv.
©
J•!l sen(x3)
r, *
Rpta.
Conv.
©
J
■+oo >
| e * 'd x
0
Rpta.
Conv.
©
dx
j e x(lnx)3/2
Rpta.
Conv.
©
J« (x5 +x xn 3dx+2)3
Rpta.
Conv.
r+°° r + 3
Rpta.
Conv.
í*
'2
469
Integrales Impropias
©
p ln(jf2 + l ) ^
1
>1
.V
r1
dx
©
J % ~xA
®
ru
dx
Rpta. Div.
Rpta. Conv.
Rpta. Div.
m
1 4x^+1
©
-£
r * c n x dx
'1
©
X
r fJ xarctgjf dx
J®
Vl + -t4
r1
x 2dx
Rpta. Conv.
Rpta. Div.
©
JI(,^/(1-X2)5
Rpta. Div.
©
p' dx
lo ^ _ i
J
Rpta. Conv.
©
Jlt e*enx _ i
Rpta. Conv.
©
p> dx
0 ex - eos .v
J
Rpta. Div.
©
'n' 2 In(secx)dx
J°
4x
Rpta. Conv.
©
)dx
J0 rsen2(—
x
Rpta. Conv.
©
•+y sen x dx
J.
Rpta. Conv.
r> 4 x dx
#
470
Eduardo Espinoza Ra»nos
V.
Problemas Diversos.
©
Mostrar que la integral J
©
Demostrar que la integral impropia J
impropia J
©
a (1
es convergente para p > 1 y divergente para p < 1.
v(l +x 2) 2dx es convergente y la integral
+ x 2) 1dx es divergente.
Mostrar que la integral impropia
f — —— es convergente sí 0 < p < l y
(b -x)p
divergente si p > 1.
W
Q)
©
Demostrar que:
í
Jo 1 + jc
= [
Demostrar que: J
e ' dx = 2^
Demostrar que:
í — —— = f
arccos x «m
Determinar
valor
un
J
——-j- = —%=
J” 1 + x 4
para
2^2
e~x d x ~ \ { ~ J^ ^ X
x
X dx
n de tal
manera
que la
integral impropia
manera
que la
integral impropia
1 „.
* y, nx1
(—------------- )dx es conveniente.
i r ’ +l 3 r + 1
©
Determinar
un
valor
para
k de tal
kx~
1
sea conveniente v calcule la integral.
J. 1(—-------------)d\
i
.i+ l
2.v + l
,
Rpta. A
= 1- , - 1l n, -5
2
4
®
|B * /
Determinar el valor de n para que la integral impropia
^
3
Rpta. n = —
^
(----------- —— )dx sea
jc + l
convergente.
4
2x~ + n
471
Integrales Impropias
®
f +cc
Determinar el valor de k para que la integral impropia
Jo
convergente y calcular la integral.
Rpta.
k
1
(—,--------- -------- )dx sea
^ ¡2 ^
1
¿=-^=r,
¡
* + 1
3
- ^ - ln2
r+u dx
r+a dx
Para que valores de k convergen las integrales I —------y |
-------- —
x k lnx
J2
* (ln x )*
*
R p t a . Para k > 1 converge y k < 1 Div.
Determinar el valor de k para la integral impropia
convergente y calcular la integral.
®
Hallar el valor de la integral impropia:
Rpta.
k
c
(— --------------- )dx sea
Ji 2x +2c x + 1
k = 1, —ln 2
2
r+oc
1
cc
(.
--------- )dx.
Jo -J\ + ax2 * +1
Rpta. « = —
-sla
— ^=ln2*yfa
-sja
©
®
r +QC _ 2
' J ti
Sabiendo que: J é~* dx = —^~ (integral de Poisson) calcular las integrales
impropias siguientes:
a)
f
Jo
b)
e 0x2d x , a > 0
Rpta.
>g x
—
Rpta. V/T
—= d x
J<> 4 x
J **■(/.■ ^
j
x~e * dx
o
Sabiendo que:
impropias.
Rpta.
4
sen x
tí
---- —dx = — (integral de Dirichlet) calcular las siguientes
J<» x
2
472
Eduardo Espinoza Ramos
.
a)
f+0° sen 2x ,
------ dx
Jo x
f
Jo
_ .
sen ax ^
Rpta.
jc
sen
sen2 jix dx
J.++“oc-----7
o
n
2
R pta. —
— Sí a > 0, — — sí a < 0 o sí a = 0.
2
2
_
n
R p ta. —
X
r+*sen3 x d x
Jo
x
Rpta. —
e)
r+tcsen4 x d x
L — xi—
Jo
_
n
Rpta* T4
0
f+00 sen ax. eos bx dx
n , „
, a > 0, b > 0
Jo
x
d)
7r
4
„
Rpta. —
rc .
. n .
si a > b, — si a = b, o si a < b
2
4
®
Pruebe que la integral
(n )
Analizar la convergencia o divergencia de las siguientes integrales:
a)
(l8)
c°° sen jc
------ dx es convergente.
Ji x
r ^ f d x
Jl
x 3/2
b)
r ^ d x
JO J x
Estudiar con detalle si la integral dada converge o diverge J —=
x (cosG -e )
1
conociendo que 0 = n y v = In e*.
®
Hallar los valores de a y b de tal manera que la integral
20)
Hallar £ x ne xdx, ( n e Z +)
21)
Evaluar I x 3e *dx
r
r°° 2x 2 + b + a
(---------------- 1)dx = 1.
x(2x + a)
Integrales Impropias
473
r x 2e , dx
22)
Calcular
( 23 )
Analizarla convergencia o divergencia de la integral J|
4.5
APLICACIONES DE LA INTEGRAL IMPROPIA.»
4.5.1
AREAS DE REGIONES Y VOLUMEN DE SOLIDOS DE REVOLUCION.-
©
Hallar el área de la figura comprendida entre la curva de agnesi v =
Jo
( 2 r - l) x 2í/.r
—
*)J
X' + X'
, y el eje
de abscisas.
Solución
La eráfica de la curva es:
Como la gráfica es simétrica con respecto al eje Y
se tiene:
A(R) = 2 Í y d x = 2 Í ' “ - dx
Jo
Jo x 2 +a 2
y * A(R) = 2a? Itr/i í
X
/,_«J»
2a 3 //w(arctg-----arctg0) = 2a3 arctg(x)
*^
a
- - 2 a 3 lint arete—/
+fl2
~ a '"
A ( R ) - a 3n u 1
Hallar el área de la figura limitada por la cisoide y 2 = —---- y su asíntota x = 2
2a-x
(a> 0).
Solución
La gráfica de la cisoide es:
474
Eduardo Espinoza Ramos
Como la gráfica de la cisoide es simétrica con
respecto al eje X se tiene
A(R) = l { 2vdx = 2 Í2\ L ^ — dx
Jo
Jo y 2a —k
Como la función es discontinua en x = 2a
entonces
fia h I VA(R) = 2 i i r t i I
\'l~ ---- ~dx
► Jo
V2 a - x
Calculando la integral
Sea a' = z 2 => dx = 2zdz
=A±
í- <^
' ' , = í x^2 a= - z r2 =2í y¡2 a -z2
sen6
0 = arcsenH ^-)
42a
dz =
eos 0 dO
=
4a 1
sen4O.^fla eos0 d6
la eos6
=8o2Jsen40 dU =l a 2(—— sen20 + sen 40-)
Cambiando los límites de integración se tiene:
i
f" ‘ I x
.-»,30 scn40v ,n,i
A(R) = 1 hm
xJ-z-dx = la (— -s e n 20 + — -— ) /
, »o Jo
\ la - x
1
X
i4(R) = 3o ’n u2
- (1)
475
Integrales Impropias
©
Calcular el área de la región limitada por las curvas y =
2\x\
l +x ‘
-, v =
4|-v|
1+ x A
Solución
6|X|
1 + Jt
A(R) =
1+ X
■'““’l+JC
r» 6 1jc| J e** 61jc| . ,r° 2\x\ . , r a 2 |x| .
1 dx+
— --■
7 dx —31 —'—^dx+2\
--dx
' J 1+ X
" 1+ X
1+ X
«">
1+
,r° 2x dx
r62x dx
, ,
■> />
■lini - 3 1 ------ —— + 3 lirn I ------- — ■= - 3 lim arctg.v / + 3
1+ ( * ¥
a~*~oo
, />
lim arctg.v /
’ a 6->+oc*0
= -3 //w (0-arctgcr)+3 /ww (arctgft2 -0)=-3(-arctg(oo)) + 3arctg(oo) = — + —
tí—
b—H-tx2
2
A(R) = 3n u 1
(7 )
Hallar el área de la región comprendida entre las curvas xy = 1, y = —^ — , a la
+1
derecha de la recta x = 1.
Solución
Ubiquemos la región entre las curvas
Eduardo Espinoza Ramos
476
A R 1 -(iln ílu 1
©
Calcular el ¿rea de la región R comprendida entre la curva y = xe
2 y su asíntota.
Solución
-7
X
Calculando la asíntota: y = xe x “ = —;— , cuando x —> ±oo, y = 0
x*i 2
Luego y = 0 es la única asíntota. Ahora graficando la curva se tiene:
Se observa que la gráfica es simétrica con respecto al origen.
Integrales Impropias
477
A{R) = A, + A1 = 2Aj = 2 f y dx = 2 lim [ xe ' ' 2dx = 2 //#« - e ' 12 /*
Jll
h-**-r-f Jl)
lim (e 1,1,2
h
h-*-j
’O
- l ) = -2 (0 -l) = 2
/. A(R) = 2u2
©
Hallar el volumen del cuerpo engendrado al girar la superficie limitada por las lineas
y = e A, x = 0 e y = 0 alrededor del eje X.
Í
n
_f o_
y d x = n \ e xdx
V = ti lim f e 2xdx
o ■> f j - f.
2-T
,
e
i»
K ~ tt lim ---- /
«—
»t 2
©
Determinar el volumen de revolución engendrado al Girar la curva
3 jc
y=—
jc
alrededor del eje X.
Solución
x dx
+3
478
Eduardo Espinoza Ramos
V - 1S7T lint (---- arctg -^L) t
h^ 2 ( x 2 +3) 2v3
^/3 /o
K = 18tí lim (---- — + —^=arclg-“ =r) = 18^(0 + - ^ -= (—))
*
2 ( / r +3) 2^/3
^3
2^3 2
i/
? *
K = ---- 7T~W
2
Hallar el volumen del cuerpo que se engendra al girar la cisoide
y2 =
x
2a - x
alrededor de su asíntota x = 2a.
Solución
Aplicando el método de la corteza cilindrica se
tiene:
F = 2 n [(2 a -x ) v dx
JO
c-a
x4x
V = 2U \ (2a - x ) - ¿ = ^ = d x
Jo
V2a - x
V = 211 f ( x ^ 2 a x - x 2 )dx
jo
V = 2 a 'n 2 i/3
®
Hallar el volumen del sólido obtenido al girar la curva x +xy2 - y = 0 , alrededor de
su asintota vertical.
Solución
Determinaremos
>’ =
la asintota
vertical,
para
esto despejamos
y es
decir:
1±-v/l-4.v
2x
Luego su asintota vertical es x = 0 (eje Y) por lo tanto la curva gira alrededor del eje
y
Y entonces despejamos x: x =----- -.
1 + v“
479
Integrales Impropias
Aplicando la simetría se tiene:
v = 2 u [ ' x 2d v = 2 n í v y (i¡ ,
Jo
Jo (1 + y )
*■
y = 2 n Um
f*
y ~ dy
0 + V 2)2
u= y
Sean
rfv =
du = dy
V dy
v=
-1
20+v-.)
I
v~dv
I1
— + —arctgy
\ 2
(1 + V” )"
. . . ( 2)
reemplazando (2) en (1 ) se tiene:
V
1
(! + >•")
2
V=2U lint
im (--------------------------------- 1——+—arctg y) / = 2 n lint (-------— + —arctg¿>)
fe—
♦+*
©
/n
2(1+ Z r )
2
Calcular el volumen del sólido generado por la rotación de la curva
rv2 = 9a2(3a - jc) , a > 0 alrededor de su asíntota vertical.
Solución
En primer lugar determinaremos su asíntota vertical para esto despejamos y es decir
y = ±3a j ———. Luego su asíntota vertical es x = 0 (eje Y); ahora haremos la gráfica
x
correspondiente.
480
Eduardo Espinoza Ramos
Como gira alrededor del eje Y aplicaremos el
método de la corteza cilindrica y como es simétrica
con respecto al eje X, se tiene:
V = 2 [ 2 n j ^ a x 3a
n f1"
* =lH
3a-x
dx]
¡3a -x
dx
xi ~ r
La función es discontinua en x = 0, entonces
3o —x
—d x . Calculando la integral y tomando él limite.
J* x J/-----
* V jc
0
V = - a 3n 2 u 3
4.5.2
PROBLEMAS PROPUESTOS.*
©
Hallar el ¿rea de la figura comprendida entre la curva y = -^ -, el eje OX y la recta
x = l (x > 1).
©
Rpta. I «
64
Calcular el ¿rea de la región limitada por la gráfica y = —------ y su asíntota.
jc“ +16
Rpta. 16/r u~
Calcular el ¿rea de la región comprendida entre la curva y = e ,v 11 y el eje X.
Rpta. 2 u 2
Calcular el área de la superficie limitada superiormente por xy = 1, inferiormente por
vx2 + y - x = 0 , y a la izquierda por x = 1.
Rpta. (ln a/2 )u 2
Integrales Impropias
481
Calcular el ¿rea de la figura limitada por la curva y 2(x2 + 4) = 4x2 , sus asíntotas y
sus ejes.
Rpta.
8 ir
4
(ó )
Calcular el ¿rea de la región limitada por la curva y2 - - * —- , y = 0 y sus asíntotas
4~x~
verticales.
Qj}
^8)
Rpta.
2Y\ u 2
Calcular el área de la región limitada por la curva
"
y 2 = — -— , y = 0 y sus
jc(1 —jc)
asíntotas verticales.
U u2
Rpta.
Encontrar el área de la curva y 2( a - x ) = x 2(a + jc) y su asíntota.
Rpta. (-y+ 2 )a2 u 2
Determinar el área de la región limitada por las curvas x(y - 1) = 1,
a'2(>’-1) + y - * - J * ubicada a la derecha de la recta x = l .
no)
Rpta.
Hallar el área de la región, no acotada, limitada por la curva y 2 -
(—ln2)w2
2
* - , por sus
1 Hh AT~
asíntotas y el eje Y.
(l^
Rpta.
2 u2
Encontrar el área de la región limitada por curva y2 = X^X
2a -x
n
(a>0).
n +4 •)
Rpta. ----- a~
y por su asíntota
u~
2
Q i)
Hallar el área de la región limitada por la curva y2 = — — y sus asíntotas.
"
x~ - 1
482
Eduardo Espinoza Ramos
^ 3 ) Hallar el área de la región limitada por las gráficas de y = arctg x, 2y = n , x = 0.
Rpta. no existe
^ 4)
Hallar el área de la región limitada por los gráficos y = sech x y su asintota.
71 ?
Rpta. —i r
Determinar el volumen del sólido de revolución generado al hacer rotar alrededor del
eje x. la región comprendida entre la curva y = ] - , x > 1, y = 0.
Jlf
Rpta. 3 n
w3
Hallar el volumen del cuerpo engendrado al girar la superficie limitada por la linea
y = e x , x = 0 e y = 0 alrededor del eje Y.
W
La curva
xy~
= 4a~(2a-x) gira alrededor de su asintota, ¿Cuál es el volumen
generado?.
(l8)
Rpta. 2n m3
Rpta. 4a3n 3 u 3
Calcular el volumen del sólido generado al hacer rotar la región comprendida entre la
curva x + xy2 = y , y su asintota vertical y gira alrededor de su asintota vertical.
2
Rpta. ^ - f / 3
^ 9)
Calcular el volumen generado obtenido al hacer girar la región comprendida entre la
curva y = ——— y su asintota donde el eje de rotación es el eje X.
x~ +2
1
Rpta.
( 2^)
«
Calcular el volumen del sólido generado al hacer rotar la región comprendida entre las
1
x
curvas y = —,y = —^ , y que se encuentre a la derecha de la recta x = 1 y rota
x
* x~+l
alrededor del eje X.
Rpta.
K n u3
483
Integrales Impropias
@
Hallar si existe el volumen del sólido de revolución obtenida al girar la región
x2 -1
comprendida entre la curva y = —-----, y su asíntota, alrededor de la recta y = 1.
x~ +1
Rpta. 2 n 2
u3
( 22 )
Hallar el volumen obtenido al girar alrededor del eje X, la región situada encima del
_$ 1114
eje X y limitada por la curva (x - 4)y 2 = x(x - 3).
Rpta. ------------u
Jff
( 23 )
La región limitada por la gráfica de y = e * , x > 0 y por sus asintota, rota alrededor
del eje de coordenadas, calcular el volumen del sólido.
( 24 )
Rpta. ÍT u 3
Calcular el volumen del sólido generado al girar la región comprendida entre la curva
xy2 =9a 2( 3 a - x ) , (a > 0) y su asintota gira alrededor del eje Y.
Rpta. ^ ~ a 3Yl2 u 3
En esta sección estudiaremos las funciones conocidas como la función Gamma y Beta
que se denota por F(x) y B(m,n) y son definidas en términos que una integral
impropia.
4.41
D E F IN IC IO N
La función Gamma es una integral paramétrica definida por:
Esta integral es convergente para x > 0.
4.& h l
i°
r(x + i ) = xr(x), v x > -i
Demostración
484
Eduardo Espinoza Ramos
Por definición de función Gamma se tiene:
F ( a + 1)= f
"du = lim f u xe Udu , integrando por partes
le 11du = r
Jo
Jo
Jo
W—14
dw = xu * ldu
dv = e~“du
v--e
r(x + l)= lim [~u*e u ¡ ! + a Í ux {e “du] = 0 + x lim f w le 14du
*U
Jo
/?->+« J()
f(x + 1) = x r(x)
= jcf u x~le " d u = x\r(x)
Jo
2o
r(n + l) = n!
VweZ
Demostración
Aplicando repetidas veces la propiedad 1.
T(n + 1) = n T(n) = n(n—1) T(n—1)
= n(n - 1)(n - 2) T(n - 2) = n(n - 1 )(n - 2).. .3.2.1 T{1)
T(n+ 1) = n! V w e Z
OBSERVACION.-
T(1) = f u'~le “ du = f e
Jo
Jo
du = 1
n i)= i
i> - * 4
La demostración de esta propiedad está en el libro de Transformada de Laplace en
forma detallada.
integrales Impropias
485
Ejemplos de aplicación.-
Sol ución
Por definición de la función Gamma se tiene: r(jt) = f u X~xe Ud u , de donde
Jo
r ( j ) = JT u1 'e "du = JT u hl- e " d u
Sea u - x 2 => du = 2x dx
Para x = 0, u = 0 y cuando x —>
u —» qo
r
n - ) = x V T" 2x dx = 2 f° e **dx = 2 — = j ñ
2 Jo
Jo
2
©
Calcular la integral Jj 4 x e Xdx
Solución
r J x e *dx = r X1':V ' d r = f x * V xdr = Y ¿ ) = r ( l + i ) = { r ¿ ) = ^
Jo
Jo
Jo
2
2
2 2
2
©
Calcular la integral
x Ae x dx
Solución
Por definición de la función Gamma. T( a ) = J j u
Sea u= x 2 => x = u1' 2 => ¿ r = —w"lf2dw
2
Para x = 0, u = 0, x -> *>, u -» oo, entonces
x ~ l
e u du
Eduardo Espinoza Ramos
486
f x 4e
Jo
d x = \ (x2)2e x d x - í u2e u —u 1/2 da
Jo
Jo
2
= - f u 3lle ud u = - [ u 2~Xe " du
2 Jo
2 Jo
=\2 T2(|)=2 i :r o +2| ) =4| r2¿ )4= ~ r (i+ 2i) =8 | r2 ¿ ) = ^ 8
(4)
Calcular la integral | x*‘2e ^Xdx
Solución
o
n
U
,
Sea u = 9x => x = —
9
dU
dx = —
9
Para x = 0, u —»0, x -> *>, u -» oo
r 3/7 w ,
I ' '*
r w 3/2
du
1 r
7 1
T =2 4 3 Í."‘ * " "
1 r A » - ! - .¿ r A = - i- .I r ( I , = ^
243
2
Calcular la integral J V* e
243 2
2
162 2
¿y
Solución
1/3
w -2/3
Sea u= 8x3 => x = ----- => rfr = -------<&/
Para x = 0, u = 0 para x -> oc, u -* »
2
324
487
Integrales Impropias
©
r1 dx
1 V~31njc
/ ......
Solución
r1 dx
_ _ L | r1 dx
V—3 In v
’«>S - l n x
Sea u = -lnx
ln X = -u => A"= t* “
Para x = 0, u —>X, x = U u = 0
r1
dx
-s/- 3 lllJC
r ° -e Udu
=— 1
=— r
i r t ■
=v p ." 'f
©
Calcular la integral
n i» ^
‘"“ i r ’ s
i¡r
’ i j
7 4x rfv
Solución
7 4’-: = c ta7" ,S = *< 41n7,‘: = - ¿ = e
2Vln7
f
« = 2 -7 ^ 7 *
7 4,J rfv = f e ( 4,n7,v' d x = — ¡ = [ e "~du = —
J*)
2Vfn7Jo
4-Jln7
OBSERVACION.-
En la definición de la función Gamma T(jt)= f ux le Udu ,
Jo
haremos las siguientes sustituciones tenemos:
1°) Si se sustituye t - e ~ H => - d t = e ,4du
f =e
=>lnt = -u => w = - l n f = l n /
Eduardo Espinoza Ramos
488
para u = O, t = 1. u -* x. t -* 0.
n .r)= f u x le "du = f [ l n ( - ) ] x l( - * ) = f ' (ln(—))* 1dt = f '( ln(—)) r 1í/m
Jo
es decir:
Ji
í
Jo
t
Jo
ti
r(jr) = f [ln(—)]**</«. x>0.
Jo
u
2o) Para a >0. u = i a => du=atu ldi
para u = 0, t = 0, u = 1, t = 1
r(.í) = ¿ [ l n ( i ) r 1<** = ||[ln(^-)]‘ xa t“ ldt = j W V ] A xa J - ldt
= í 'a ' '( l n í V ^ o i " ldt = a' í'[ln(-)]v V ldt. x > 0
Jo
t
Jw t
Ejemplos de aplicación.
Q
Calcular que:
Solución
r(.í) = c/’ j j l n ( i ) ] * V l dl
=
= ^¡2ñ
489
Integrales Impropias
©
Demostrar que f [— -— ]l 2 dt
Jo In(l //)
V3
Solución
1 . 3
¡ \ — -— ]li2dl = ftln í-)]“1' 2/1' 2^ = f[ln (-)]2 ' / 2 'dt
JoMnfl//)
Jo1 ,
Jo1 t
como
=> x = - , a = 2
2
r (x )= flt | ‘[ l n ( V 1í í'-,rf/ => r(I) = J |j[[liK Í)]-I,2/ ,/2rf/
[ln(~)] 112/ 1' 2d t , de donde tenemos:
/
14.6.1.2 EJERCICIOS DESARROLLADOS^
2
2
Solución
Sea r = x 2 => dz = 2x dx => dx = — =
2jc 2rl/2
Si x = 0, z = 0 y si x->oo, z->ao
fv
•,
íkc
i
* rj
£ _ }_
i
*oo ü l i
]
i
n + l
f jr^-jrdr=r
z * * e x ~-- dz =- \ z 2 e zd z = - f r 2 e-2<
fc=±r(^)
Jo
Jo
2
2 Jo
2 Jo
2
2
r ^ e - '‘* = I r (£ i l )
Jo
®
Demostrar que:
2
fi
2
/—1)”/í!
J x w(lnx)ndx = — ——
we Z , m > - l
490
Eduardo Espinoza Ramos
Solución
Sea ln x = -u => jc = e lt => dx = -e " du
Si x —» 0, => u —>00; s i x —>1 => u
0
£.vm(ln x f d x = j ' e “ (-w)"(-e“rf«) =
(-rfw)
Sea (m + l)u = z => du = w+1
Cuando u = 0, z = 0, u —
z
00
£ 1 " (ln.v)” d x = £ (-1)" « V ^ 1"' (-di/) = (-1)" £ w 'V 0"*0" (-<*<)
t
fií—n ” rv
J.« (—-—)"e~z
—— - =
, f :"e Zdz
w + 1 (wj + 1)'
0 TO+ 1
(-D n
m+ 1
Jo
r ,(„+iH e-v . = (~i)"r(w+i) = (-i)w»!
( w + l)n+1 J0 ’
®
ím + 1)
"
(W!+1)"+1
(ra + l)BTl
Calcular jj x me ux d x , m, n, a > 0
Solución
v.
Hacemos u - ax
n
Si x = 0, u = 0; x
ti
M
yW . | yjj
a
a
=> jc = — => jc= (—)
to
=>
u -> 00
,
1 / W.
dlí
na
a
=> dx = —(—)
—
Integrales Impropias
491
1
©
V
m
e
ti\~
^
y-y
dx -------- f ( ------)
IW
-—1
n
na
i
Demoslra
islrar que: T(/?) —2 f a*2" [e ' dx
Jo
Solución
Por definición
fin n «)= f V '<•"du
Jo
2 í x 2” [c 1 dx ~ f a 2"
Jo
Jo
e
1 2a dx = f {v2)" 1e
Jo
2x dx
Sea m = v2 => du - 2x dx
Si x = í) => u —>0; si x —>oc, u -> x
2 I V " V vV a = Í V
Jo
Jo
^ V/./ = n /i)
i
por lo lanío r(//)= 2 f j X 2« If -v“«A'
Jo
4.6.2
DEFINICION.-
A la función B : R xR ------>R . definida por la integral
donde m > l). n > 0 se denomina función Beta.
4.6.2, l
PR O PIED A D ES D E LA FUNCION BETA**
©
B(m,n) = B(njn)
Demostración
Por definición de función Beia se tiene: B(nun) = f //" 1(1 -//)" 1du
Jo
492
Eduardo Espinoza Ramos
Sea z = 1—u => d/ = -du, además cuando
[// = 0, z = \
1/ = U r = 0
B(m.n)= JV" ‘(l-M)" 1du = —
J*”r" 1(1 - r)'" 'ífc = j|-" '(1-=)"' 'd= = B(n, ni)
Y(m)Y(fi)
r(m-rii)
Demostración
La demostración en detalle de esla propiedad se hace con transformada de Laplace y
el teorema de Convolucion y está desarrollado en mi libro de Transformada de
Laplace.
®
r
2
7 „f
sen "
i
¿a
1 L>,
r (w)rí//)
0 eos 2« 1 nO dO
=—
B(iu ni)V= ------------
Jo
2
2 r{m + //)
Demostración
De la propiedad (2) se tiene:
B(mji) = f u m 1(1 -u)" 1du =
^
Jo
f (m + n)
Sea r = eos2 0 => dz - - 2 eos0 sen 0 dO => sen QcosOdO = - ^ -
Cuando 0 = 0, z = l ; 0 - — . z = 0
í
Jo
sen2m 10 eos2" 1 6 d6 = í
Jo
sen2™2 0 eos2" 2 tf.sen0 eos0 dO
= r 2(l-c o s20)w 1(eos2 @)n 1 sen0 eos0 dO
Jo
= - i | " ( l - r ) " - 1r"
1
x nw )r(H)
= —B(n, m) =-----------2
2T (ni+ »)
=
l =" 'dz
493
I n te g r a le s I m p r o p ia s
EJEMPLOS APLICATIVOS^
Calcular las siguientes integrales
Solución
|V ( 1 - x f d x = f x61 (1- x f ~ l dx = 5(6,9)
Jo
Jo
r(6)r(9)
T(6+9)
r(6)r(9)
T(15)
5! .8!
5! .8!
14! “ 81.9.10.11.12.13.14
1.2.3.4.5
_
1
1
~ 9.10.11.12.13.14 ~ 9.11.13.14 “ 18018
(T )
sen8 x dx
Solución
494
Eduardo Espinoza Ramos
J
sen6 6 eos6 6 d6
Solución
í
Jo
sen2™ 16 eos2” 1 6 dO = —B(m,n)
2
7
( 2m-l = 6
2
t* -'-«
3
J 7 ._ 7 .
f'2sen6©eos66 dG =-£(-,-)
--—4^ =-(-)2
(-)2
(-)2
—
2
2 2
2 _ ,7 7
2 2
2
2 6!
Jo
1 I---1---)
2 r
225
n
32 1.2.3.4.5
(7 )
Calcular la integral / =
45n
32.1.2.3.4
15tt
32.8
1 dx
-j=
x3
Solución
Como B(m,n)= í um '( l - w ) ” 1du , entonces
Jo
1/3
Z = X 3 -= >
1/1
X~ = =1/3
=> dx = - ----- dz
3
para x = 0, z = 0; para x = 1, z = 1
v = f l- r £ = = í , ( i - * V ' ! * = f 1(i-= )
•» V i-* 1 Jo
*
= i f r - J / 3 a - í ) " 1/2*
3 Jo
-
1/2
-2/3
-
= - f 1- 3 1 ( i ——) 2_1 d:
3 Jo
15tt
256
Integrales Impropias
495
1 . 1 r(i )r(í » . 4
" 3 ' 3 - 2 J- 3 1 + I "35
3 2
6
■ dx
- £ V i- x 3"
©
3
r(-)
6
Calcular la integral / = J
x4
Solución
Sea z = x 4 => x = z1/4 => x
4
r 3/4Jz
Para x = 0, z - 0; para x = 1, z = 1
/= 1 %
J o
^ = \ \ \ - x * ) ~ v l dx = [ \ l - z ) - u 2 - z - i,Adz
^
Jo
Jo
7
,
4
4
i r,X >
4 r ( I +i )
4 2
4
rx¿)
4
Calcular la integral / = J
Solución
Sea z = t f x => x = r 4 => rfx = 4z3¿/z
Para x = 0, z = 0 y para x = 1, z = 1
/ = f'
=
Jo V l - t / x
= f ' ( l - ^ ) " 1'2ííc= fl (l-r )" 1/24r3rfz = 4 f 1r3( l - r ) I/2í/r
J"
Jo
J|)
Eduardo Espinoza Ramos
496
1f 4 ,
R 4 |r ,Í )
=—
í - (1 ~ =)2 d: = 45(4,—) 1=4-------------------------------f - . .(1 )
4 J"
2
r (4 +i>
reemplazando (2) en (1)
j . f1
dx
- 1 F(4)r(2) _ 64 n i )
l^ r (I )
16
®
Calcular la integral / =
2
105
rn
,t/2¡ l ^/sen5 x
Jo
rfjC
—l
V.eos3 X
Solución
Sea r = sen2 jt => dz = 2 sen x eos x dx
64(6) _ 64(2) _ 128
105
35 35
Integrales Impropias
497
Calcular la integral / = J x 5^ a 2 x 2dx
Solución
Sea x = a sen 0 => dx = a eos 0 d0
n
Para x = 0, 0 = 0, para x = a, 6 - —
/ = í x 54 a 2 - x 2dx = í
Jo
=a
Jo
i rn/Jo
¿r sen5 6 ^ a 2 - a 2 sen2 0.¿zeos0 rfe
*
n
t rT/2
-j/iN i
2(—)—
i
sen 6.cos~ 6 d6 = a
sen~( ) éf.cos 2 6 de
Jo
7
,
7 r ( 3 ) r ( |)
o _ # ( 3 _ ) = f!____ 2 _ o
2
4.6.3
2 r(3+—)
2
7
7 r
_ _= _________________
_ 8a 7
a -\ln
2
2
n |)
2
“4
| i 1 . ^ ' 105
2 2 2 2
EJERCICIOS PROPUESTOS-
(7)Mostrar que | x V 2x dx = ^
( ! ) Mostrar que J x 2e~2x~dx = ~j=-
( 3)
Mostrar que | e 3*x3,2dx
(7 )
^
Calcular f ^—¡ ^ d x
Jo 4 x
Rpta.
©
Calcular J e ' dx
Rpta. -1Tr r( -1)
~36~
Eduardo Espinoza Ramos
498
©
Calcular
©
Calcular J x 6e~ixdx
Rpta.
C a l c u l a r ( v + l)’ t- ' dx
Rpta. —+ H —) + r ( —)
©
e ^ dx
Verificar que
Rpta. 6
80
243
^ - ~ - d t = T(1 + /» r(l - p ) , |p| < 1
2T{a + \ ) Y [ - b - a - \ )
Rpta.
T(-b)
© Calcular f í a (1+ í)hdt
Jo
Calcular f (lnx)Adx
Jo
Rpta. 24
^ 2)
Calcular J (xlnx)l dx
Rpta. -
(Í 3 )
Calcular
Rpta. (-1)"//!
14)
Calcular [ (In(—))h 2rfx
'o
x
Rpta.
( 15)
Calcular f [ln(—)]"1,2rfv
Jo
x
Rpta. 4 ñ
©
Calcular j '
Rpta.
(17 )
Calcular
(\nx)nd x n / i e Z
f
=
fAln(-)
J11 ln.v
^dx
3
128
2
3 r¿)
R p ta .--------- 4
499
Integrales Impropias
@
Calcular 22r xY{p)T(p +^ ) = 4 ñ T(2p)
©
Demostrar que
(2 ^
Demostrar que | jc(8 .x 3)V3d x J ± Ü n
27
( 22 )
W
1 x J,1dx
„ p n
Cl dx
Calcular f = , q > 0 , — > 0 y deducir el valor de í —¡=
J" Vi - JT*
9
Jo Vi -,v 4
'"’"N
23)
Rpta. -n cosec (p7r). ctiífpir)
^
ffJf v/J 1 ln v
Calcular I 1-------- —
‘ dx
JO
1+Jt
1+*
[24)
Calcular Jj
Rpta.
( 25)
Calcular las siguientes integrales:
f J" l + .v4
2^2
-^jlgx dx
í Vi —-V4 dx
J»
Rpta. —,—
6^¡2n
b,
i 'M
Rpta. |
c)
,*,2 ,_____
i/sen 2x dx
*
Jo
Calcular las siguientes integrales.
Rpta.
^
wn | ce
a)
r<
500
Eduardo Espinoza Ramos
a)
X
dx
r
Jo l + .v(
Rpfa.
dx
Rpta.
( - £ = rfr
Jo V i - t 4
Rpta.
b)
C)
X
----- tt dx
/r
3^3
/r
12 r <i>
4
71
Rpta. --------—
" 1+ v 14
5n
14sen—
7
f
*
J oN^ lr+TVT
27)
Calcular
(28)
Calcular las siguientes integrales
a)
r 6 i,,
\ x e dx + I — —
Jo
Jo (ln.v)
b)
•v .v3 Adx
f — ~
c)
f1 JC3rf*r„
80 11!.12!
Rpt a. ---- +------243
24!
Jo
x + x*
2n
3^2
C
dx -
«
~n
Rpta.
—=
Jo 1 + x 3
3 ^ /3
d)
C'
c~x
— ------ d x , a > 0, b > 0
J * acu +b
e)
F U g 4 e + m 1 o de
i ---------- -— ----Jo
(l + tg(?)4
2n
Rpta. ± « 1 . 1 , ,
K
^
6 6 126] 2 f J 6
3
„
Rpta.
Rpta.
„
3-j3a
b
1
Rpta. £(3,1) = 3
501
Integrales Impropias
^
O
f
e dx
2k
r RPta—t----------------------------------------J«
+ l\2
“ (eix +1)2
' 9^/3
@
W
Evaluar ( =
= + [' * % J3 V(a - 3 ) ( 7 - a-) J«(lnA)2/5
Rpta. 7r + - ^ r ( - )
^4 3
©
EvaIuar r
Rpta. _ jl---?í_
^
J»U -+l>U + l r
(m )
Demostrar que para todo m > 0 y n > 0 :
32)
Probar que:
33)
^
Probar que /?íw+ l,ii) = —— B{nun)* m > 0 , n> 0.
m+n
©
Demostrar que:
4sen—
5sen —
10
5
B(m + 1, n) + B(m, n + 1) = B(m,n)
B(m¿) = — , m > 0
m
f x m l { \ - x r )n l dx = —B ( ~ , n ) , m >0, n > 0, r > 0 .
Jo
r
r
Si m.n = 1,2,3,..., probar que:
n
1
^ (-1 )*
kv y m +k + l
k0
i
Si » / > - —, Demostrar que:
2m
r1 x
J ^ == dx
( 37 )
W
Si 11 > 0, Demostrar que:
H-)
= —.— ; ^
" nn --++-->
n 2
(38)
Si m > -1, n > -1 y b > a. Demostrar que:
®
f
f ( x - a ) m\h —x)n dx = (b - a) fn^n+l B(m +1, // +1)
Ja
mi M
(w + H+ 1)!
1
T(m + —)
2r(w +i)
Eduardo Espinoza Ramos
502
0<p< 1
\ + x Vp '
b)
( 40 )
Si n > 1, Probar que:
Si m > 0, n > 0, probar que:
K NCú/»__
n
r dx —_fT
H./J vC
n
Jo 1+x" n
B(m,n) =
r> x" 1 + ,r"_1
(! + *)’
4.7
INTEGRALES DEFENDIENTE DE UN PARAMETRO.rb
La expresión general de una integral dependiente de un parámetro es: I f{ x j)d x que
sea nauiralmente una función del parámetro t.
F(í)= \bf{x,t)dx
Ja
Continuidad de F(t)
Si f(x,t) es continua en el dominio cerrado a < x < b, c < t < d.
La función F(t) es continua en el intervalo c < t < d
Derivación:
a)
Caso en que los límites de integración no sean función del parámetro.
dF(t) Cb d ( f ( x j ) )
dx
f
dt - Ja
Jo
dt
b)
Caso en que los límites de integración sean función del parámetro a=ip(t), b= y(t)
dt
dt
dt
dt
Si solamente fuera uno de los límites función del parámetro, será nulo el término
correspondiente a la derivada del otro límite.
Integrales Impropias
503
Los pasos necesarios para resolver algunas integrales por derivación respecto al
parámetro.
i)
Derivar respecto al parámetro y calcular el valor de la integral a la que da origen
dicha derivada.
¡i)
Resolver la ecuación diferencial formada por la derivada respecto al parámetro y
el resultado de la parte (i) (calcular el valor de la constante).
iii) Dar al parámetro el valor adecuado para calcular el valor de la integral que nos
piden.
Ejemplo de Aplicación(¡x
Calcular por derivación respecto al parámetro la integral: F(a) = I -----Jo **+5
Solución
Derivando respecto al parámetro (a) y calculamos el valor de esta derivada.
2a
Sea - =
d x , calculando la integral
a
a => dx
j
=> x = —
=— a- d z.
jc
~
z"
Para x = 0, z —>oo; x —>oo, z = 0
dF(a) _ p
da
Jo
puesto que es la misma integral que la que nos piden.
504
Eduardo Espinoza Ramos
dF(a)
,
Luego tenemos --------- = —2F(a)
da
Ahora resolvemos esta ecuación diferencial
dF(a)
_.
--------= -2 d a , integrando tenemos
F(a)
ln ^ Í £ l = _2a =>
c
=
r dF(a)
_r
.,
-------- = -2 I d a => ln F(a) = -2a + ln c
J F (a)
J
^
F(a) = ce- *
. . . (1)
c
ahora calculamos el valor de la constante de integración c por la cual damos un valor
apropiado a a que nos facilite el cálculo de la integral que nos dan, para nuestro caso
identificamos el valor de a, es decir a = 0 y tenemos f e x dx =
Jo
2
(ver función
Gamma)
f® -x2
FÍO) = c = \ e dx =---- => c ~ ---Jo
2
4ñ
2
ahora damos el valor adecuado para obtener la integral que nos piden, para nuestro
caso a = a.
F(a) = f — —
l
dx =— e~2a
Jo ^«1
©
F ( a ) = — íT2h
2
f1x n -1
Calcular por derivación paramétrica el valor de F(n) = i ------- dx
Jo lnx
Solución
Derivando respecto al parámetro (n) y calculando el valor de la integral.
dF(n) = ¡l^
f1a ” lnx d x = ¡ lx ''dx= ^ f = - L
dn
Jo lnx
Jo
n +17 0 n + 1
Integrales Impropias
Luego
d/?
505
n+1
, resolviendo esta ecuación diferencial
f dF(tf) = f —— de donde F(n) = ln(n + 1) + c
J
J /7 + 1
F(n) = ln(n + 1) + ln k = In k(n + 1)
Haciendo n = 0 sacamos el valor de k, luego la integral que nos dan se hace cero para
este valor de n*
Luego F(0) = ln k = 0 => k = 1 por lo tanto
r
3)
_
sen x
F(n) = ln(n +1)
Partiendo de F(a) =
e
el valor de
Solución
F(a) = l e ax —
d x , derivando respecto al parámetro
. . . (1)
calculando la integral por integración por partes.
u-e
dv = senx dx
d u = - a e axdx
v = —eosx
u = e~ax
dv = eosx dx
\du
—ae~axdx
d u = -a
e axdx
v = senx
----dx , calc
Eduardo Espinoza Ramos
506
(l+a2) j e “Xsen xdx = - e
(eosx+ asenx)
r -ax
.
e~"(cosx + firsenx)
le
se n xd x = ------- 1------- -------- J
l+ a
...(2 )
reemplazando (2) en (1) se tiene:
dF(a)
e _“*(cosx + císenx) .*>.1,
— ~ = ------------- ;-----------/„ = 0 — -— , mtegrando
da
l +a 2
/o
¿7+1
^(o) = í — r — = -arctgo + k
J a~ +1
Para calcular el valor de k hacemos a = *>, la integral de partida es nula es decir:
F(0) = - arctg(oo) +k =——+k = 0 => fc = —
por lo tanto F(a) = - arctgfao)+k = - — +k = 0 => k = —
SCn Jt
7T
dx = —
J- :----
®
Calcular
cn
cos~ x dx
I l (a*b)=\ —------------(a
eos“
+ b~-------—
sen~ xyy\~
Jo ín rnu1' xYA-h~
,1T
dx
dx
—— r - ^ i— 7i
0 fiT eos" x +b~ sen“ x
o
x
basandose
en
2
la
integral
J
Solución
Derivando J2 respecto al parámetro a
dl2(a^b)
r)n
tía
rnn
dx
C
--2crcos2
¿ a eos x ax
is x +b sen
T Tjc)
l =~2aW
JoT~->
(a ~ CO
=Jn
---,2
ahora calculamos la integral I2 (a,b)
-O)
Integrales Impropias
507
_
rn
dx
r* sec x dx
rn sec“ x dx
I 2(a,b)—\ —----- ------- ----- — —I —------------------- — r— - I —---—
a “ eos“ x +b~ sen“ x ^ a~ +b~ tg x
a"+(fctgA:)~
= — arctg(—tg t) f = — , derivando respecto a
ab
a
' 0 ab
dlz{ayb) _ n
va
•..(2)
arb
reemplazando (2) en (1) se tiene:
©
—
= -2#/, (¿7) => /, (a,¿?) = ■n
a b
2a b
arctgx dx
Calcular
x ( l+ x 2)
Solución
Introduciendo el parámetro X
Íac—flrctPÍAx)
—--- — dx, derivando respecto al parámetro X
E-./1 V ( '
=
dx
f“ ,Ax+B
Cx +D
-i--- r^-=
(l+ x ‘ )(l + A‘x ‘ ) J0 1 + x
l + A'x"
1
yjjc+g
(1+x2 )(1 + A2x 2) _ 1+ x 2
Cx + Z? _ Mx + g)d + A2x 2) + (Cx + D)(l + x 2)
1+ A2 x 2 ~
(l + x 2)(l + A2x 2)
1 = A(Á2x 3 + x) + 5(A2x 2 +1) + C(x3 + x) + £)(x2 +1)
1 =(A2A + C ) x 3 + (EA2 + D)x2 +(A + C)x +E + D
A”A + ('
()
£A2 + D = 0
A +C = 0
fl + D = l
^
A =0
q
_ np =- i
=>
1-A2
¿>=
1-A 2
(----r +--
Eduardo Espinoza Ramos
508
7 7 ? - ¡ T Í r f T T Íh = T T F arc,g^ » - í ^ arc,8At/»
k . 1
T2 ()1- A2
A
1-A2>
F'(A) = ^ - . - í - =>
2 1+A
ti . 1- A .
2 ( 1-A2)
2 1+ A
n
2(1 +
integrando F(A) = -Jln(l +A)+c
2
para calcular el valor de la constante hacemos X = 0
F(0) = - |ln l + í = 0 => c = 0
r
I
rm
orctg/jc ax
n.
Luego / (A) = I ----- — -— = —ln(l + A) para X = 1
•"> jrfl + j r )
2
F(l) = f aiC^ rfy = —ln2
Jo x(l + x2)
2
©
^
Calcular el valor de
f' M L t í l ¿x
Jo 1+x2
Solución
Introduciendo el parámetro X:
F (X )= [
Jo
l + .v2
d \ , derivando respecto a X.
i-../1 » rA
* dx
ln(l + A2) ,
^
,
------ ----------- + --------— (por el teorema de Calculo)
r (A )=
Jo (l + x 2)(l + A*r)
1 + A2
-y
(l+ jr)(l + Ac)
A
1+ Ac
Bx +C _ A(l + -r2) + (gy + C)(l + Av)
1+x2
(l + Ax)(l + x 2)
x —A(x2 +1) + B(?jc2 + jc) + C(Ar +1)
=> x = (A + A 0)í2 +(B + Ác)x + A + C
509
Integrales Impropias
A=
A+1B=0
£ + AC = 1
A +C = 0
B=
A
1+A2
I
1+ A2
C=
1+ A2
f ' ( A ) = — U p t f ——
1 + A ‘ Jo 1 + A x
Jo 1 + jf"
0+ 4-}
1 + A~
a ln(l + A“ )
(A) = -—— [- ln(l + Av)+—ln(l+ 2 + A arctg jcJ / () + ———
x
)
F'(A) = —l T-[-ln(l + A2 ) + iln (l + A2) + A a r c t g A ] + ^ ! ^
1+ A*
2
1+ A“
1 ln(l + A2) Aarctg A
I (A)=—.------- , integrando
2 1+ A”
1+ A"
.
/•(A) = ftj---n^ + ^ - + - arCt^ - ]dX +k entonces F(A) = —arctgA.lnO + A2)+/r
J 2 l + A1+ A“
2
para calcular k hacemos k = 0 entonces F(0) = 0 = 0 + k => k = 0
Luego la integral que nos queda es:
F(l) = f
dx = —arctg 1.ln(2)
\+x~
2
r1ln(l + x)
ln 2
I
— dx =------.n
J" 1+ x
8
4.7.1
EJERCICIOS PROPUESTOS^
©
Calcular por derivación respecto al parámetro el valor de
<-i x m l —x " ’ 1
-------------- dx
J<>
lnx
Rpta. ln(—)
n
7rln2
8
Eduardo Espinoza Ramos
510
©
Obtener por derivación respecto al parámetro/= J xa(lnx)n dx, para n entero y a > 1
R p t a . / = ( - l ) " n ! ( a + l ) " -1
(? )
Integrar por derivación respecto el parámetro £ln(l + tg t. tg x)dx
Rpta. -t ln eos t
©
Utilizando
el
método
de
derivación
fln(10-6cosxWx
Jo
Sabiendo
que
al
parametro,
calcular
Rpta. 7iln9
F(P) = ^psen(fíx)dx %
Jo- (x~9 sen3x + x i cos3x)dx
(ó )
w
respecto
calcular
el
valor
de
Rpta. I = 0
n
Calcular el valor de L sen 0 arccos(------ )dü
J—
2-a
R p ta .---- eos a + —
sen©22
,
r'
senhx dx
Calcular el valor de I(a) = --------------------------- —, 0 < x < k
Jo (coshx-feos a. senhx)
Rpta. I(a) = — - — [1 + ^ - a r c t g J ^
sen“ «
®
t g«
Calcular el valor de J(a ) =
Vi
cosa
tga
c711q
?
dx
ln(l + a sen “ x)---- Jo
«pn2
Rpta. l(a ) = 2^1 +a arctg 4 + a + ln(------ )---a +2 2
(9)
w
Calcular el valor de ¡(a) = í ln(l + a sen2 x) —^ —
Jo
sen2 x
Rpta. 1(a) - n ^ a ñ -1
511
Integrales Impropias
íü ) Calcular el valor de la integral J^ln(l + eos x)dx
Rpta. n -
II) Calcular el valor de la integral j" a| ct^ x rfx
4J
EL POLINOMIO
48.1
APROXIMACION BE FUNCIONES POR POLINO^I IQS^
Los polinomios son las funciones mas sencillas que se estudian en análisis, debido a
que son adecuadas para trabajar en cálculos numéricos, pues sus valores se pueden
obtener efectuando un numero finito de multiplicación y adiciones.
Las funciones logarítmicas, exponenciales, trigonométrica se pueden aproximar por
polinomios.
Existen muchas maneras de aproximar una función dada f por polinomios, esto
significa que se comporta casi igual que la función en un punto.
Si el error cometido en la aproximación es pequeña entonces podemos calcular con el
polinomio en lugar de hacer con la función original.
Nuestro interés es de obtener un polinomio que coincide con f y algunas de sus
derivadas en un punto dado.
Ilustraremos todo esto mediante el siguiente ejemplo.
Supongamos que la función exponencial f ( x ) =ex en el punto x = 0, la función f y
todas sus derivadas valen 1 y el polinomio de primer grado g(x) = 1 + x, también
tiene g(0) = 1.
También tiene g(0) = 1 y g'(0) = 1, de manera que coincidan con f y su primera
derivadas en cero, geométricamente quiere decir que la gráfica de g es la recta
tangente a f en el punto (0,1).
512
Eduardo Espinoza Ramos
1+ X
X
Si se aproxima f por un polinomio de segundo grado Q que coincide con f y sus dos
primeras derivadas en cero se obtiene una mejor aproximación de f que con la función
g por lo menos en las proximidades de (0,1).
El polinomio Q(x) = l +x + —
Jal
Tiene 0(0) = Q'(0) = 1 y ^ ’'(0) = /"(O ) = 1, la gráfica de Q aproxima a la curva
f ( x ) = ex mejor que la recta q(x) = 1 + x; se puede mejorar la aproximación
utilizando polinomios que coincidan con f y sus derivadas terceras y de orden
superior.
n JCk
JC2
Xn
--- = 1+ X+ — + ... + —
A=0 A'!
2!
ii!
Z
coincide con la función exponencial y sus primeras derivadas en el punto x = 0.
513
Integrales Impropias
TEOREMA.- Sea f una función con derivada de orden n (n > 1) en el punto x = 0,
existe un polinomio P y uno solo de grado < n que satisface las n + 1
condiciones.
P(0) = / ( 0 ) , P'(0) = / '( 0 ) ........ P (n)0 = / (n)(0)
Tal polinomio viene dado por la fórmula.
...(1 )
P(x) =
Demostración
Sea P{x) = c0 + q x + c2x 2 + ...+c„x n , el polinomio que se desea obtener en el que
los coeficientes
P(0) = c() = /(O)
deben determinarse usando las condiciones (2).
=> c0 = /(O)
+2c2x + 3 c 3 jc 2 +...+ ticnx n 1
P ‘(0) =Cj = /'( 0 ) => c1= / f(0)
P M(x) = 2c2 +2.3c3x + ...+ w(«-1) c„x "-2
P " ( 0 ) = 2c 2 = / " ( 0 )
c2 = £ ^p -
P'"(x) = 2.3ci ...+n(n -l)(n —2)cxn~3
P'"(0) = 2.3c3 = /'" ( 0 )
í ’” (0)
c3 = ^ —p
i
►
P (<)(.r) = 1.2.3..n(n - \)...(ii~k)cnx n l
514
E d u a r d o E s p in o z a R a m o s
„ /-(*)
OBSERVACION.1)
El grado de P es n
/ (B) (x) * 0.
2) P coincide con f y, sus n primeras derivadas en x = 0.
3) En la misma forma se puede demostrar que existe un polinomio y uno solo de
grado < n que coincide con f y sus n primeras derivadas en el punto x = a.
Se escribe el polinomio P en forma ordenadas según las potencias de x —a y se
procede como antes. Calcular las derivadas en x = a y se llega al polinomio.
que es el único de grado < n que satisface las condiciones
P(a) = f(a).
P'(a) = f ( a ) P w (a) = f nHa).
El polinomio (3) se llama polinomio de Taylor de grado n generado por f en el
punto a*
4)
La notación P = T„ f ó T„(í) indica la dependencia del polinomio de Taylor
respecto de f y n.
5)
El símbolo T„ se denomina operador de Taylor de grado n,
cuando este
operador se aplica a una función f, produce una nueva función Tnf
polinomio de Taylor de grado n.
6)
Tnf (x, a), indica la dependencia respecto de a.
que es el
515
I n te g r a le s I m p r o p ia s
Cálculo con polinomio de Taylor.
Si la función tiene derivadas de orden n en un punto a, entonces siempre se puede
formar su polinomio de Taylor T„f por medio de la fórmula.
*=o
"•
Ejemplo.- El polinomio de Taylor de grado n generado por la función exponencial
/ (x) =ex en x = 0 es dado por la fórmula.
r„ /(x ) = ¿
/ ( ,>,(())x* , donde f (k)(x)=ex => / (*)(0) = 1
*=n
"■
y el polinomio de Taylor de la función f ( x ) = e x en el punto x = 1 es dado por:
n
/'•«A
Tn {ex ) = Y / — ^ - { x - \ ) k , donde f (l)(x) = ex => f m (l) = e
k^o
A=0
*=0
algunas veces el cálculo de las derivadas f*'k\ a ) es muy laborioso, por tal motivo
veremos otros métodos para determinar polinomios de Taylor.
TEOREMA 2.- El operador de Taylor T„ , tiene las siguientes propiedades.
i)
Linealidad.-
Si cx y c2 son constantes.
T„ ( q / + c2g) = c, r„ ( / ) + c2T„ ( / )
516
Eduardo Espinoza Ramos
Ii)
Derivación.-
La derivada de un polinomio de Taylor de f es un polinomio de
Taylor de /* es decir se tiene:
{Tnf ) ' ^ T n_y{f')
iii) Integración.-
Una integral indefinida de un polinomio de Taylor de f es un
polinomio de Taylor de una integral indefinida de f, es decir si:
g 00 = f f{ t) d t, se tiene entonces: T„_xg(x) = í Tnf(t)dt
Ja
Ja
TEOREMA 3.- (Propiedad de Sustitución)
Sea g(x) = f(cx), siendo c una constante, se tiene entonces Tng(x, a) = Tnf(cx.ca)
En particular, cuando a = 0, tenemos Tng(x) = T„ f (ex)
Demostración
Como
g(x) = f(cx), por la regla de la cadena se tiene:
g'(x) = c f ( c x )
g " ( x ) = c 2f"(cx )
g '"(x )= c\r'(cx )
#
g ll) (x) =ckf {k) (ex)
Tng(x.a) = ' ^ ^ - ^ - ( x - a ) i
= ¿ - f y Ca\ x - a ) k
T
,^Ca) (cx-ca)k =T„f(cx.ca)
517
Integrales Impropias
Ejemplo.- En el polinomio de Taylor correspondiente a la función f( x ) = e * e s
x2
xn
xk
Tn(e*)~l + x + — +...+— = / — , al sustituir x por -x
2!
«!
decir:
2
n
*i
k
T„(e *) = 1-jc+ — + ...+ (-!)" — = ^ ( - 1 ) * —
2!
ni k=0
kl
encontramos que:
Ejemplo.- El polinomio de Taylor correspondiente a la función f(x) = cosh x se
obtiene utilizando la propiedad de Linealidad.
Como coshx =—(ex + e v) se tiene:
2
UTla(ex)+—T2n(e
, ,
1
~2 ”4 +...+4
Tln(coshx) = —
*) =l +^-+^2
2
2! 4!
(2«)!
x3
x 2- 1
Tln_x(senh x) = x + — +...+■
3!
(2/?-l)!
Derivando se tiene:
TEOREMA 4.-
Sea Pn un polinomio de grado n > 1, sean f y g dos funciones
con derivadas de orden n en 0, y supongamos que:
f( x ) = PnW +x ng(x)
en donde g(x)
0, cuando x
... (a)
0. El polinomio P„ es el polinomio de Taylor
generado por f en 0.
Demostración
Sea h(x) = f ( x ) - Pn (jc) = x ng{x) , derivando repetidamente el producto x ng(x) , se
observa que h y sus n primeras derivadas son 0 en x = 0.
Por consiguiente, f coincide con Pn y sus n primeras derivadas en 0, de tal manera
que P„ = T„f
Eduardo Espinoza Ramos
518
Ejemplo.- De la identidad algebraica.
1
o
x nH
----- = l +x +x~ -K.. + x n + ------ , V x * l
1 -x
1—x
La ecuación (a) se
satisface con
f(x) - —— ,
L-x
x
g(x) =----- , puesto que g(x)^0, cuando
1-x
Tn(—^—) = l +x + x 2 +
l-x
..*(1)
Pn(x) = 1+ x + ...+jcm
y
0 y el teorema 4 nos dice que
xn
Otro polinomio de Taylor se consigue integrando
r„+1 (- infl - x)) = x +
x~
+
2
X3
3
4 r + •••+
x""1
n+I
Si en la ecuación (1) reemplazamos x por - x 2 se tiene
1
1+x2
= \ - x 2 +xA- x 6 + ...+ ( - l ) V 0 - (- !) "
1+x 2
aplicando el teorema (4) encontramos que: Tln
integrando esta relación llegamos a la fórmula.
4.S.3
1
”
l+JC
*=0
kx~k
7k
n
+I
nS
2k+l
T2nH (arctgx) = y (-1)* ——-
FO R M U LA »! TAYLOR CON RESTO.DEFINICION.-El error se define
En (x) = J (x) - T„f ( x ) . Luego si f tiene
derivadas de orden n en a, se puede escribir:
f( x ) = 2 J— ¡ p - ( x - a ) k +En(x)
... (I)
Integrales Impropias
519
la ecuación (I) se denomina Fórmula de Taylor con resto en En (x)
La fórmula de Taylor es útil cuando podemos estimar la magnitud de En (x).
TEOREMA 5-- Supongamos que f tiene derivadas segunda / ' ' continua en cierto
entorno de a. Entonces, para todo x en ese entorno se tiene:
f ( x ) = f{a) + f ' ( á ) ( x - a )+ £ , (x)
en donde Ex(x) = í (x - t) f ' ' 0)dt
Ja
Demostración
De la definición del error podemos escribir
El (x) = f ( x ) - f ( a ) - f ( a ) ( x - a ) = f f ' ( t ) d t - f ' ( a ) \ d t = \[f'{t) - f (a)]dt
Ja
la última integral puede ponerse en la forma
Ja
Ja
¡u dv %donde w= f ' ( t ) - f ' ( a ) y
Ja
v = t —x, así mismo
/" (O y ~ = U de donde la fórmula de integración por
partes nos da.
El (x) = j u dv = uv/ " - £ ( / - x ) f " ( t ) d t = \ \ x - t ) f " ( t ) d t
puesto que u = 0, cuando t = a y v = 0, cuando t = x con lo cual queda demostrado el
teorema.
TEOREMA 6.- Supongamos que f tenga derivada continua de orden n + 1 en un
cierto intervalo que contenga a. Entonces, para todo x en este
intervalo, tenemos la fórmula de Taylor.
A=0
Siendo En{x)=— [ ( x - i f f (n^ { t) d t
ni Ja
Eduardo Espinoza Ramos
520
Demostración
La demostración se hace por inducción respecto a n. ya se ha hecho para n = 1,
supongamos que se cumple para un cierto n, luego se debe demostrar para n + 1,
escribiendo la fórmula de Taylor para n + 1 y n y luego restando.
«+1 r(*)/ \
f{ x ) =
- a ) k +E„+l (x)
/ W = X --- M--- (X~ a)k +En(x)
E n+1(x) = E„ (x)
} \ x - a ) n*x
("+!)!
Como E„(x) = — í ( x - t ) " ( t ) d t y observando que ———— = f (t - a ) ndt
//! Jo
n +1
Jo
se tiene:
E „ M = - ¡ X( x - 0 nf (n+l)( t ) d t - j(n+1](a) \ \ x - t ) ndt
ni Jo
n\
Ja
= - f {x -/)" [ / (n+1)(t)~ f (n+'\a)]dt
ni Ja
La
última
integral
(a)
y
escribirse
en
la
forma
j u dv,
donde
(x - t \ n+x
v = ——
-—
de donde integrando por panes y
n +1
teniendo encuerna que u = 0, cuando t = a y que v = 0 cuando t = x encontramos que:
-
u = / (n+1)(í)_ f
puede
= ~7 f w dv = - — ^ v d u = - 1 f ( x - t r l J (^ 2)U)dl
ni Ja
ni Ja
(/l+l)!J"
esto completa el paso inductivo de n a n + 1, con lo cual queda demostrado el teorema.
521
Integrales Impropias
TEOREMA.-
Si la derivada de f de orden n + 1 satisface las desigualdades
m< f {n+1)(t)<M
... (p)
para todo t en un cierto intervalo que contenga
intervalo tenemos la siguiente estimación
a, entonces para todo x en este
m(x~a)a+l
M ( x - a .
—5----------------------------- — <E,Ax) < — --- —
(//+])!
(« + 1)¡
(H+l)!
six>a
si x < a
(n + 1)!
Demostración
Supongamos
que x > a, entonces la integral paraEn ( x ) se extiende al intervalo
[a,x], V t € [a,x], tenemos (x - t ) n > 0 entonces a la desigualdad (P) se expresa:
m{x-1)n < (x-Qn {n+])
n\
n\
< M(x-Q"
ni
integrando de a hasta x, encontramos que:
- r (x - o ” dt < r (x~ ,)n{ (n 1>(0 d t < ^ r ( x - t ? d¡
til Ja
sea u = x —t
Ja
fil
til
du = = -dt, de donde
r o t - / ) " < f t = r ~ v < f o = (* ~ g)
Ja
... <d
JO
reemplazando (2) en (1) se tiene:
H+l
— ———— <En(x)< ————
ni w+ 1
n+1
...(2 )
Eduardo Espinoza Ramos
522
Si x < a, la integración se efectúa en [x,a], V t e [x,a].
Tenemos t> x , con lo que {-\)n{ x - t ) n = ( t - x ) n >0
( - l) a ( x - t ) n
A al desigualdad (P) lo multiplicamos
ni
”,{t x)- <
n\
ni
f (n+X) (í) < M(t
ni
. que es lo mismo
m(-l)n( x - t ) n £ (-1 )n( x - t ) n (B+1)(0 < M { - \) n{ x - t ) n
tú
ni
ni
ahora integramos de x hasta a.
r
Jjr
d lí r (-!)•(» -« )•
/i!
J*
/l!
»i(fl - * ) 1 < (_!)""! E (jc) <
(« + !)!
» 1
f - « ( - ! ) • ( > : - ) • ri,
/l!
—
(n + 1)!
f
Si f es una función continua en [a,b] para cierto c e [a,b], se tiene la integral de
j j ( x ) d x =f(c)(b -a ).
........ .........
Suponer que f y g son continuas en [a,b], Si g no cambia nunca de signo en
[a,b], con c e [a,b], se tiene:
^f{x)g(x)dx = f(c)jg(x)dx
otras formas de la fórmula de Taylor con resto, explicando el T.V.M.P. para integrales
tenemos:
523
Integrales Impropias
I ( x - t ) nf {n*X)(t)dt = f {n*l\ c ) \ ( x - t ) ndt = f (n+1)(c){x a) - , c € [a,x]
Ja
Ju
( « + !)!
(n+1
Luego el error se expresa: En (x) = ---- ---- f {n+l) (c)(x - a ) n+1 = —------ —— - -—
n\(n +1)
(/i + l)!
EÁÁ)-
.....; ■; "v,
Forma de Lagrange del resto.
OBSERVACIONES
f in+l)(x) esta calculada en c desconocida y no en a, el punto c depende de x y
de n.
Suponer que / (w+1), existe en (h,k) intervalo abierto que contiene al punto a y
que / (w) es continua en [h,k]. Elegimos cualquier x * a en[h,kj*
Admitir que x > a. con fines de simplificación.
Mantener x fijo y definimos una nueva función F en [a,x] del siguiente modo:
" r(k)
F ( x ) = m + Y J~ r - ( x - t ) k
t í
kl
Observar que F(x) = f{x), F(a) = T„f(x,a)
Luego F(x) -F(a) = En (x), F es continua en [a*x] porque / (w) lo que, luego f es
continua, f (k) es continua (x ~ t ) k continua F es derivable en (a,x).
Al calcular F '{t), tener encuerna que cada término de la suma es un producto, al
desarrollar la sumatoria se simplifica todos los términos excepto uno (el de la mayor
derivada) y nos queda.
n\
F'(t) = ^
(
- f n+X)(t)
Eduardo Espinoza Ramos
524
Tomar G cualquier función continua en [a,x] y derivable en <a,x>.
Si G'*0
F'(c)
en <a, x>, entonces se tiene: En(x) = ------ [G(x)-G(a)]
G'(c)
Se puede expresar el error de varias maneras, mediante elecciones distintas de la
función G, por ejemplo. G{í) = ( x - i ) n+1, entonces
(X-C)n / (n+1)(c)[(x-x)B+1 ~ { x - a ) n+x]
ni
G’(c)
f K }(c)(x-a)n
E„ (x) = - --------- -- — , a < c < x
(» + !)!
I.
Fórmula de Lagrange.
Encontrar el polinomio de Taylor de grado n para cada función f alrededor del valor
dado de a.
f(x) = In (1 + x ) , a = 0
Solución
P(x) = T„f (x,0) = V ——
^
*=0
/( x ) = ln(l + x)
1
/ ’(*) =
l +x
1
/" ( * ) =
a+*r
1.2
/•"(*)=■
d + x):
r ~(n)
n,(, xv) _t
= ( -tvn
iy
!)•
(1 + JC)"
lr\
— - el polinomio de Taylor.
/(0)=0
/(0 )= 1
/" (0 )= -i
/" '( 0 )= 1 .2
525
Integrales Impropias
P W = / ( 0 ) + /•(0 )x + /
^
2!
+/ ^
P(x) = x - — +— x 3 + ...+ (- 1)"+1
2!
D, ,
3!
JC2 x3 x4
P(x) = x -----+ --------- + ...+-
2
©
3
4
3!
l + ...+ / (n,(0)JC',
ni
«!
(-l)n+1x”
n
f(x) = ln (1 + x), a = 1
Solución
/ (x) = ln(l + x)
1
/ ’(*) =
/ ( l) = ln2
/ '( l ) 4
1+ X
f"(x) =-
1
(1+x y
f'" (x) =
1.2
(1 + JC)
~(n), y_ / un (ti 1)!
(~Dn+1(»-D !
2"
f ' a>(x) = (-!)•
(l + x ) n
p (x ) = 7 ; ( / (x,i)) = Y , - —
2!
3!
. / ív(l)(x-l)4 .
, / (n)(l)(x-l)"
»!
_l--------------------------- K...H------
4!
P(x) =ln 2+^-?-— ^ - (x - l)2+ -^-(x-l)3+...+ (-l)"+1^ r ^ (x - l)'’
2 2 .2!
2 .3!
2”.»!*
526
E d u a r d o E s p in o z a R a m o s
P(x) = l n 2 4
x —1
1
22.2!
©
2 n.n
2 \3
f ( x ) = e x, a= 1
Solución
m = e x
f ' " ( x ) = e1
m = e
/ ' ( \) = e
rm = e
/ " ' ( l) = e
f (n\ x ) = ex
/< n,(l) = e
/>(x) = T„ (e',1) = £
i
*=0
_
f ' ( x ) = ex
f"{x)= ex
- 1) ”
» - « " =<p + k - i h í í ^ l +...+í í ^ l ]
©
fix) = cos x , a =
7T
Solución
/£ )= 3
2
7t
f (x) = eos x = sen(x+—)
/ ' (x) = -sen x - sen(x + tt)
3it
/ " (x) - - eos x = sen(x+ — )
4Lm
t
/ ' " (x) = sen x = sen(x + 2 n)
A
7 -3) — —
2
/ " ( —) = - 3
2
/""'<•—) = —
'
3
2
/17T
/ (n,(x) = s e n ( x + ^ )
/ (">4) = sen(
2^ + 3«w
)
527
Integrales Impropias
P(x) = T„ (eos x,
= £ ---- r r - ( x ~ ) n
í
*=0
"•
4
P (x )= I + / .(£ )(x_ £ )+ í _ ^ : (x_ £ )2 + ...+ l _ V
2 7 3
3
2!
3
n!
(x _iL)3
(X~ T )2
Píx)=il_ Íf 3 i (x_x £ )l_ i . -----3
_ +Í Í3i . _{X~_ Tl )3
_ +...
2
11.
2
3
2
2!
2
3!
Determinar los primeros términos del desarrollo de Taylor alrededor del valor de a,
efectuando el proceso, hasta incluir el término ( x - a ) n para el entero dado n.
(l)
f(x )= e ~ *\ a = 0, n = 4
Solución
x2 r3
r"
Como g(x) = e* =l + x + — +— + ...+—
21 3!
«!
P(x) = T„ (/(* )) = l - x 2 +4¡t—4 r + —+ (-l)" X "
2! 3!
ni
P(x) = T J ( x ü ) = 1- x 2 +
2
+í l
24
6
f ( x ) = xex , a = 0, n = 4
Solución
Como
r2
r3
y”
e * = l + x + — + — +...+—
2!
x
3!
2 *3
«!
x*
Xn+'
xe = x + x + — + — +...+•
2! 3!
tú
3
4
5
P(x) = T4/(x,0) = x + x 2 + ^ ~ + ^ - + ^ 2
6 24
528
E d u a r d o E s p in o z a R a m o s
©
/(*)= — —
l , a = 0, n = 4
1+ x 2
Solución
Como
1
?
----- = l + x + x +...+X
1-jt
sí |x| < 1
— l- — = \ - x 2 + x 4 - x 6 + ...+ (-l)” x2"
1+ X
P(x) = T^f(x,0) = l - x 2 + x 4 - x 6 + x 8
( 4)
f(x) = arctg x, a = 0, n = 5
Solución
Como — í - r = l - x 2 + x 4 - x 6 +...+(-l)"x2”
1+x
f* —~~r= Jof ( l - / 2 + /4 - i 6 + ...+ ( - 1 )nt 2n)dt
Jo i + í 2
x 3 x5 x 7
(-l)" x 2B+l
arctgx = x ----- + ---------- +...+
3
5
7
2«+l
P(x) = T5f(x,0) = x
x3 x5 x7 x9
—h—— — +
3
5
7
9
x 11
11
111.
Calcular las expresiones dadas con aproximación del número indicado de cifras
decimales, comprobar dicha expresión utilizando el Teorema de Taylor con residuo.
(I)
e~° 2, 5 decimales.
Solución
„
jr
.
X2
X3
X4
X”
Como e = 1+ x + — + — +— +...+ —
2
6 24
ni
Sustituyendox por-x, tenemos:
—x 2 x 3 x 4
x”
e~x = l - x + ---------- + ------ ...+(-1)” —
2
6 24
ni
Integrales Impropias
529
Como x = 0.2, tenemos:
-02 , «o (0.2)2 (0.2)3 (02)4
„ (0.2)"
. . .
,
e ' = 1 -0 .2 + --------------- — + --------+...+(-1) -i— — para 5 decimales es:
2
6
24
n!
2
6
4!
entonces e 02 = 0.81867 con error 0 < iÉ3(x) < 0.00006
4 , con 4 decimales.
Solución
2
e x =l-x+—
2
e
-04
3
4
n
+~— . . . +(-l)w— , Como x = 0.4 tenemos:
6 24
ni
. f\ a W-4)2 (0.4)3 (0.4)4
w (0.4)”.
= 1 - 0 .4 + ------------------ +-------- + ...+(-1) -------- , para 4 decimales es:
2
6
24
ni
e- « = , - 0 . 4 * M Í - i í f i i , OTarar O í I*,,0.4>| S Í M Ü
2
6
3
4!
entonces e~tí 4 = 0.6694 con error 0 < | /?j(0.4) | < 0.001060
4.10
EJERCICIOS PROPUESTOS.-
1.
Encontrar el polinomio de Taylor de grado n para cada función f alrededor del valor
dado de a.
(? )
ffx) = eos x,
a=0
©
W
f ( x ) = — í—r , a = 0
(1-x)2
®
/(* ) =
a=0
(7)
f(x) = lnx, a = 3
1
—X
J(x) = 4 x , a = 4
fíx) = senx, a = ~^
530
Eduardo Espinoza Ramos
(7 )
/(x ) =l n ¿ ^ ) . a = 0
1—x
(i)
II.
Determinar los primeros términos del desarrollo de Taylor alrededor del valor de a,
f(x) = xln(x2 +1), a= 0
efectuando el proceso hasta incluir el término ( x - a ) n para el entero dado n.
(j)
f ( x ) = -f=L=r, a= 0. n = 4
Vl-Jr2
(7 )
f(x) = tgx, a = ~ , n = 5
4
fíx) = arcsen x , a = 0, n = 5
f(x) = ln (sec x), a = 0, n = 6
fíx) = secx, a = 0, n = 4
f{ x ) =ex cosx, a = 0, n = 4
III-
Calcular las expresiones dadas con aproximación del número indicado de cifras
decimales, comprobar dicha expresión utilizando el Teorema de Taylor con residuo.
©
ln(1.2), 4 decimales
©
tg(O.l), 3 decimales
®
cos(0.5), 5 decimales
©
(1.08)1/4,5 decimales
©
(0.92)1/4,5 decimales
©
(0.91)1/3,5 decimales
©
(3.0)1/5,5 decimales
©
(0.8)1/S, 5 decimales
©
(1.5)l/4, 5 decimales
©
ln(0.8), 5 decimales
(ÍT)
in(0.6), 3 decimales
Aplicación de la Integral Definida a Ia Física
531
CAPITULO V
5.
•
5.1
'
A P L IC A C IO N D E L A IN T E G R A L D E F IN ID A ' A
f ís ic a
•
;
•.
LA
MASA, MOMENTOS ESTATICC>S Y DE EIN¡ER<SIA Y CENTRO
"r-S:DE MASA.
ler. Caso: Sistema de puntos Materiales.
Consideremos un sistema de n puntos materiales de masas
en un plano de la recta L, llamado eje, entonces definimos.
a)
Masa Total del Sistema.
b)
El momento estático respecto al eje L.
, ubicados
Eduardo Espinoza Ramos
532
c)
El momento de inercia respecto del eje L.
d)
El centro de masa respecto del eje L.
OBSERVACION.-
d{ - ± distancia del i-ésimo punto al eje L, donde el signo + se
elige para aquellos puntos que se encuentran en un lado del eje
L, y el signo -, para los puntos que se encuentran en el otro lado del eje L.
e)
Radio de giro respecto del eje L*
R = radio de giro respecto del eje L.
2do. Caso.- Curvas PlanasSupongamos que la curva C representa a un alambre (o hilo) contenido en un plano de
una recta fija L y admitamos que en cada punto de la curva se tiene una densidad 5 de
masa por unidad de longitud.
La masa de un arco elemental ds es dM = 5 ds.
Aplicación de la Integral Definida a la Física
533
dM = a ds
OBSERVACION
1) Sea x = ± distancia de dM al eje L.
2) El signo + se elige de acuerdo a donde se encuentre dM a un lado del eje L.
3)
El signo - se elige cuando dM se encuentra al otro lado.
Ahora para la curva C que representa a un alambre damos la siguiente definición.
a)
Masa Total:
b)
Momento estático respecto al eje L.
c)
Momento de inercia respecto del eje L,
d)
Radio de giro respecto del eje L.
R = radio de giro, R>0.
e)
Cuando C = alambre se encuentra en el plano XY el centro de masa se
denota por (x,y) y es definido por:
534
Eduardo Espinoza Ramos
OBSERVACION.1)
Los límites de integración de las partes a), b) y c) se determinan de tal manera
que el elemento de masa dM recorre toda la curva C.
2)
Cuando la masa es constante diremos que la masa es homogénea, en este caso el
centro de masa (jc, y) se denomina centroide.
3)
Cuando se trata de figuras geométricas se toma 5 = 1 en este caso la masa del
alambre es numéricamente igual a la longitud.
4)
Cuando la curva es simétrica al eje L, entonces el centro de masa se encuentra en
el eje L.
3er. Caso.- Figuras Planas.Supongamos que una “lámina fina” tiene la forma de una región s contenida en un
plano, y que la masa de la lamina es homogénea, es decir que la densidad 5 de masa
por unidad de área es constante. Sea L una recta fija en dicho plano; la masa de un
rectángulo elemental con dos lados paralelos al eje L (franjas paralelas al eje L) es dM
= 5h dx, donde h la altura y dx la base de dicho rectángulo.
dx
L
h
O
x = ± distancia de R al eje L, el signo se determina de acuerdo a los casos anteriores.
Ahora daremos las siguientes definiciones para la lámina.
a)
Masa Total.
Aplicación de la Integral Definida a la Física
535
*'
xúM
*
b)
Momento estático respecto al eje L.
c)
Momento de inercia respecto al eje L.
m
d)
Radio de giro respecto al eje L.
é J k
e)
Si la lámina esta en el plano cartesiano XY el centroide de s es (x,y), donde
f)
El momento de inercia relativa al origen (o momento polar).
i
W m
M
:*x-+h
g)
Cuando la región S del plano es acotada por las rectas x = a, x = b y las
curvas 0 < y , ( x ) < y 2(x), a á x í b, entonces se tiene:
4to. Caso: Superficie de Revolución.
Suponiendo que D sea la superficie obtenida por rotación alrededor del eje X de
la curva y = f(x) > 0 para a < x < b, entonces definimos.
a)
Area de
536
Eduardo Espinoza Ramos
b)
Momento estático de D respecto al eje X.
c)
Momento de inercia de D respecto al eje X
M, - Zt
I x = m \ by 3ds donde ds = J l + ( ^ - ) 2dx
'a
V dx
5to. Caso: Sólidos.
Supongamos que S es el sólido de densidad constante 8 de masa por unidad de
volumen en el espacio XYZ, limitada por los planos x = a y x = b si A(x) es el ¿rea
de sección de S paralela al plano YZ en el punto x, a < x < b, entonces la masa del
cilindro elemental de base A(x) y altura dx es dM = 5A(x) dx entonces definimos.
Y
a)
La masa de S:
b)
Momento estático de S respecto al plano VZ.
c)
Centroide de S es (x,y,z) donde
áM
537
Aplicación de la Integral Definida a la Física
5.2
TEOREMAS DE PAPPUS {GuMin>^
a)
TEOREMA 1.-
El área de la superficie engendrada por la rotación del arco
de una curva plana alrededor de un eje situado en el mismo
plano que la curva, pero que no se corta con ella, es igual al producto de la
longitud de dicho arcos por la longitud de la circunferencia que describe el
centro de gravedad del misino.
Sea C: y = f(x), x e[a,b], una curva definida por la función continua f (no negativa
sobre [a,b]). La coordenada y es dado por:
( y ds
Ja
longitud de C
r> ds
Ja
de donde f y ds = y L
...d)
Ja
además sabemos que: el área de la superficie de revolución de la curva alrededor del
eje X es:
A(s) = 2n f y ds - I n y L , Luego A(.s) - 2n y L
Jtl
Ejemplo.- Determinar el área S de la superficie de revolución generada por la
rotación del primer arco de la cicloide x = t —sen t, y = 1 - eos t,
4
t e [0,2n] alrededor de la recta L : y = jc + —.
Solución
Eduardo Espinoza Ramos
538
Hallando las coordenadas del centroide
t e[0,2n], *'(/) = 1- e o s / , y' (/) = sen/, longitud de C = X.
f
Jo
.v(/)Jjc'(í)2 + v'(O2 di = 2 Í (/-sen/)sen —dt = %n
Jo
2
f Y(t\Jx'(t)2 + y'(/)2f/í = a [ sen3—d t= —
Jo
v
Jo
2
3
32
8w
x =— = n
o
,
3
4
---4
,v = —- = — . luego (*,>•) = (»,—)
8 3
3
rf(c, L) =------■=•—- = - = , luego por el teorema de Pappus
v2
V2
>4(.y) = 2 nd (longitud C) = 2 ^ (^ r)8 = 8V2/r2
V2
b)
TEOREMA 2.-
El volumen del cuerpo engendrado por la rotación de una
figura plana alrededor de un eje, situado en el mismo plano
que la figura, pero no se corta con ella, es igual al producto del área de dicha
figura por la longitud de la circunferencia que describe el centro de gravedad de
la misma.
539
Aplicación de la integral Definida a la Física
V = 2TlyA
donde: A = área de la región
y = distancia del centro de masa de la región al eje dado.
V = Volumen del sólido generado por la región.
Demostración
Sean f y g dos funciones continuas, donde f(x) > g(x) > 0, V x e [a,b]. Si R es la
región encerrada entre las curvas y = f(x), y = g(x) sobre el intervalo [a,b].
- J ( f 2( x ) - g 2(x))dx
Sabemos que:
y=
Area (R)
además V = n \ ( f 2{ x ) - g 2(x))dx = 2n y A
Ja
ósea que \ ( f 2( x ) - g 2(x))dx = 2y A
Ju
/. V =2n y A
Ejemplo.- Sea R la región limitada por la semicircunferencia y = -\[ci2 - x 2 , y
el eje X, utilizar el teorema de Pappus para calcular el volumen V del
sólido de revolución generado por la rotación de R alrededor de la recta
L: y = x —a.
Solución
540
Eduardo Espinoza Ramos
% 2na(3n +4) n a 1 v fl3/r(3/r + 4)
*%v) = -------- 7=--(—— ) = -----------r --3/rV2
2
3^2
Ejemplo.- Calcular el volumen de! sólido S generado por la rotación de la región R
limitada por la parábola y = x2 * y la recta y = x + 2 entorno a ésta
última.
Solución
Por el teorema de Pappus se tiene que:
V(s) = 2 n d A , donde d = es la distancia del
centro de gravedad a la recta en el cual rota y A es
el área de la región R.
Calculando el área de la región R
C2
->
9
A(R)=\ x(x + 2 - x~ )dx = —
Ji
2
Calculando el centro de gravedad de la región R, P(x, y)
Aplicación a ¡a Integral Definida a la Física
-A/,.
1
’ V
541
- Mx 8
1 8^
r ‘ — ’ r " xtso P , 2 - s ’
Ahora calculando la distancia del punto P a la recta L
l.v-v + 2 9-Jl
d - p— — = -------- , luego por el teorema de Pappus
-v /í+ í
20
.// vv) = 2 ttí/, / aí = 2/r{------, 9^ , )9— = ----------81V1WM 3
K(.
2» 2
20
5.3
CAMINO RECORRIDO POR UN PUNTO.La longitud del camino o trayectoria recorrido por un punto P que se mueve a lo largo
de una curva en el intervalo de tiempo [/j ,t2] es definido por:
s^ v m d t
donde V(t) = Velocidad.
5.4
TRABAJO-Si la fuerza f es constante durante el desplazamiento, el trabajo W realizado por ésta
fuerza es definida por W = f.d, donde f es la fuerza constante y d la distancia
recorrida por el cuerpo.
Si la fuer/a no es constante durante el desplazamiento, el trabajo no se puede expresar
en forma tan simple.
Consideremos P una panícula que se desplaza sobre la línea coordenada desde a hasta
b, por medio de una fuerza f = F(x), V x g [a,b] donde F(x) es la fuerza aplicada a la
partícula P cuando se encuentra en el punto cuya coordenada es x.
T,
a
X,
Xj
X
x n_2
x n _,
b
542
Eduardo Espinoza Ramos
Cuando la partícula se mueve de jcf l a x¡ , el trabajo realizado es aproximadamente
igual al producto F(t,)A,x quiere decir que mientras más pequeña es la longitud
A¡x en [jcf l,jcf ] mejor será la aproximación ahora, formando la suma de Riemann
del trabajo.
A¡W = F(t¡ )AjX se tiene:
el trabajo total realizado por la fuerza F denotaremos por W y es definido por:
O BSERVACION.1)
Un ejemplo de trabajo realizado por una fuerza no constante, es el alargamiento
o comprensión de un resorte helicoidal.
Según la ley de Hooke, se tiene que la fuerza necesaria para estirar un resorte
helicoidal, varía directamente con la elongación del resorte.
La fuerza F(x) para producir una elongación de x unidades que puede ser dada o
se calcula a partir de los datos.
Ejemplo.- Una fuerza de 25 kg, alarga un resorte de 3 cm., encontrar el trabajo
requerido para alargar el resorte de 2 cm. mas.
Solución
Se tiene F(x) = kx, como x = 3 cm. = 0.03 m.
F(0.03) = 0.03 k = 25 => k = —
Aplicación a la Integral Definida a la Física
543
y - (0.0016)
La integral también se aplica para determinar el trabajo realizado al bombear agua (u
otro liquido) de un tanque:
El principio físico que se usa es:
"Si un objeto se eleva una distancia vertical h, el trabajo realizado es el producto del
peso del objeto por la distancia h.
Consideremos un tanque que contiene agua hasta una profundidad de km.
h
Km
Sea W el trabajo realizado al bombear el agua a la parte superior del tanque, el área de
la base del i-ésimo sólido elemental es At- su volumen será A¡Adi9 como el agua
pesa 1000 kg. por w3, entonces el peso del i-ésimo sólido elemental es \0QQAgAdg.
La cantidad de trabajo realizado para elevar este sólido lleno de agua, hasta la parte
superior del tanque es aproximadamente.
AiW = ( m Q A i A d i )di
544
Eduardo Espinoza Ramos
Z
-
r i
...
. Ai
n .
i* ■■
* Â- / ilf: W ■■=■
A >
:*
í
>
...
-j
( i
;
A
•
j:
d j)c h
.
tomando limites se tiene:
r-i
entonces W es el trabajo realizado al bombear el agua hasta la parte superior del
tanque.
Para hallar una integral definida cuyo valor es W dependerá de hallar una función F
donde el dominio contiene un intervalo S de longitud k tal que:
Ejemplo.- Un tanque en forma cilindrica circular de radio 8m. y altura 20m. se llena
con agua. Encuentre el trabajo necesario para bombear el agua hasta
llenar el tanque.
Solución
i
kX
El trabajo requerido para elevar el i-esimo sólido hasta
la parte superior del tanque es aproximadamente
1000( At Adj )d¡ ,
donde
Af = n r 2 ,
de
donde
tt
*
y (1000,4,-Ad¿ )d¡ es la suma aproximada para el
i-i)
trabajo W necesario para bombear el agua hasta la parte
superior del tanque, para expresar el i-ésimo termino de
la suma de aproximadamente en la forma F(t¡ )Av,. se
-------------► considera una línea coordenada sobre el cual se puede
graficar el dominio, el intervalo es [ 0,20] y se hace
ti = x¡ ~ d i para i = 1,2,.. .,n, Ad¡ = xf - x f j = Ay, .
Luego la suma aproximada se puede escribir:
Aplicación a la Integral Definida a la Física
545
//
n
y (1000^ Ad¿ )d¡ =
1000/rrf x¡ At, , luego F(x) = 64x entonces se tiene:
i 0
i 4)
0
r2»
J*21OOO/r.64*
dx = 64000/r Lr rfv
o
5.5
.\ W = 12 800 000 n
Jo
ENERGIA CINETICA,- 1
Se da el nombre de energia cinética de un punto material, de masa m y velocidad v, a
la siguiente expresión:
5.6
PRESION DE LOS LIQUIDOS.Para calcular la fuerza con que presionan los líquidos se emplea la ley de Pascal,
según la cual, la presión que ejercen los líquidos sobre una área A sumergida a un
profundidad x. es igual a:
____________
4x
donde y es el peso especifico del liquido.
546
I 5.7
E d u a r d o E s p in o z a R a m o s
PROBLEM AS DESAR R O LLA D O S^
Hallar ios momentos estáticos, respecto a los ejes coordenados, del segmento de la
x y
línea recta —+ —= 1, comprendidos entre dichos ejes coordenados.
a b
Solución
Los momentos estáticos respecto a ios ejes coordenados es:
„
x v .
b
Como —+ —= 1 => ) = —{ a - x )
a b
a
dv
b
=>— = —
dx
a
..
f “b
[ Tr
b ^ c r ^ t r {a -x)M x = —(o-jcLl +— dx=----- ---------- /
J(> a
V a2
a2
2
••• M x =
* ' < 4
. . A í j
^0 ^[a^ +b2 j
4 a 2 +/>2 i
l + (— ) dx= I ------------.r dx =------------ jr /
rfr
Jo
a
*• A*> =
( 2)
b-Ja2
2a
' 0
a ^ a 1 + b2
Encontrar el centroide de un arco de la catenaria v = 4cosh(—) desde x = -4
4
hasta x = 4.
Solución
v = 4 cosh(—) => — a senh(—)
4
rfv
4
547
A p lic a c ió n a la I n te g r a l D e fin id a a la F ís ic a
= 4 f cosh{—), cosh(—)dx = 2 f (1 + cosh —)dx
J 4
4
4
J-4
2
M\ = 8senh2 + 16
f
M x = f x j l + (— )2dx~
xcosh —dx = ()
i a \
dx
i 4
4
.
_ MY — Mx
-v = * y ——— entonces x =
L
L
2 + senh2
v = — -------senhl
-
Como
ít\
scnh 2
(x, v) = (0,------ — -)
senhl
NOTA.- L= í |l + (— )2dx= f cosh—rfx = 4 s e n h ~ /4 = 4(senhl-senh(-I))
J 4y
¿/jc
J 4
4
4 /4
(T )
Hallar el centroide del área acolada por las curvas y = x 2 , y = *Jx .
Solución
Graficando la región se tiene:
A = í (-Jx - x 2)dx -
1
Jo
M , = f —(x —x A)dx= ^
Jo 2
20
M
= f x(-Jx - x 2)dx =—
Jo
20
3_
M,
x =-----
_
20 = _9_
1
3
M.
20
20
20
3
9
9
54X
©
E d u a r d o E s p in o z a R a m o s
Hallar el centro de gravedad de la superficie limitada por las curvas v2 = 2 p x , x = h.
Solución
Graficando la reiíión
A=
y dx = 2^ -yjlpx1,2dx
3
Ahora hallaremos los momentos con respecto a los ejes
ch l
M x - J —(2px-2px)dx = Q
ds = a^2yfT^cosídt = 2a sen(-)dt
2
rl*
1*2n
f
f
L - I ds = la I sen —dt = -4a eos —dt
Jo
Jo
2
2
/o
L = 8a
(•2*
f2/r
f
A/a = I v rfv = fl(l-cos/)2tf sen —di
Jo
Jo
2
M,.
2 ^ ' - d x , ^ x s:'- / l ^ J f - p h ' - T h
_
„
l &
e
s ,
3
Luego x = — = 4----------------= -/» ,
■*
\4 í¡ k ji
5
_
M
v = — —= 0
14
549
A p lic a c ió n a la I n te g r a ! D e fin id a a la F ís ic a
©
Hallar las coordenadas del centro de gravedad del primer arco de la cicloide
x = (t —a sen t), y = a( 1 - eos 1).
Solucién
j x = a ( t - sen /)
ídx = a( 1- eos t )dt
[rfy = ¿¡rsen/ di
lv = 0(1 -eos/)
(dy)2 = a 2 sen2 t(dt)2
{(be)2 = a 2(\-co<t)2[dt
ds = '\j(dx)2 +(dy)2 = a^J(\-cost) +sen2 tdt
A ,
= 4a~\
h
, /
.
32
2
j
se- —dt=
2
a
En forma similar para Ai=%a2U luego el centro de gravedad es:
32
- Mv
%ü 2n - M x 3a2
x = -----= ------- = a n
,v = —
L
%a
4a
L
-----------V
%a
r r
=—
3
4 a
uo*) = (« n ,— 4
r l largo natural de un resorte es de 10 cm. Una fuerza de 90 kgrs lo alarga hasta a
11 cm. Encontrar el trabajo requerido para alargarlo de 12 a 14 cm.
Solución
550
E d u a r d o E s p in o z a R a m o s
©
Encontrar el trabajo efectuado al alargar un resorte 6cms. sabiendo que se necesita una
fuerza de 15 kg. para alargarlo 1 cm„
Solución
Como f(x) = kx además 1 cm. = 0.01 m.
110.01) = 0.0-1 k= 15 => k - 1500
<•(>.06
fO06
W = I / (x)dx =
1500jc dx = 2.62 kgr.
Jo.oi
(§ )
Jo.oi
Encontrar el trabajo requerido para bombear el agua que llena un recipiente
hemisférico de radio R, por encima del recipiente.
Solución
V
El peso del disco circular de espesor dx y base
paralela a la base del recipiente es:
x
/ = p(Ur2 )dx
Donde p = peso de una unidad de volumen de
1r X
agua y r 2 = R 2 - x 2 entonces
W=„n|
©
Determinar el trabajo realizado en la expresión adiabatica del aire hasta ocupar el
volumen inicial es V{) =1 w3 y la presión p {) =1 k¡ f / enr
Solución
De acuerdo a la ley de Poisson se tiene pvk = p {)V{*¡ donde k * 1.4, de donde
w = f W « dv=^
m
vk
k- 1
v<L ) k .
V,
Reemplazando valores se tiene:
W = 15,000 kg-!7m
551
A p lic a c ió n d e la I n te g r a l D e fin id a a ¡a F ís ic a
Un reservorio vertical tiene forma de trapecio calcular la presión total del agua
sobre dicha presa, sabiendo que la base superior tiene 70 cm., la base 50cm. y su
altura 20 cm.
Solución
p = rh
Empleando semejan/a de triángulo se tiene:
y_
a
725
70
f20
70
/? = / [ (725-A)
h dh
Jo
725
©
Y+ h
725-/#
1
y
y + 20
50
70
. de donde y = 50
1 = (7 2 5 -/0
70
725
p= 113.60 cm.
Una lamina tiene la forma de un rectángulo y es sumergido verticalmente en un tanque
con agua y su base superior en la superficie del liquido: si el ancho de la lamina es de
1Op y el largo es de 8p encontrar la fuerza debida a la presión del liquido sobre un
lado de la lamina.
Solución
f(x)dx donde
F(x) = 5
F = 2 vv f 5x
5.V dx = 3 2 0 w
Jo
Se lanza una pelota verticalmente hacia arriba desde el techo de una casa de 64p. de
altura y la velocidad inicial es 48p/reg. ¿Cuánto tiempo tardara la pelota en llegar al
suelo y con qué velocidad llegara?
Solución
552
E d u a r d o E s p in o z a R a m o s
Va =48 p / r e g , l AÍ =?
a = -32 p/reg'
T
0
s
64
V
48
Se sabe que v = J o di => v = at + k es decir
V = -32t + k y cuando l = 0, v = 48
k = 48.
Luego v = -32t + 48
además s = J vdi = J (-32/ + 48)dt = -1 6 /2 + 48/ + A'
cuando t = 0, s= 64 => k = 64, luego x - -1 6 /2 +48/ + 64
encontrando tAC y ocurre cuando s = 0
=> —16/2 +48/+ 64 = 0 => (t —4)(t + 1) = 0
=> t = 4, t = - I por lo tanto el tiempo que le tomara llegar al suelo es/ AC=4
©
seg.
La velocidad de un cuerpo, lanzado verticalmente hacia arriba con unavelocidad
inicial v0, contando la resistencia del aire, se expresa por la formula:
/
V = c. tg(-g —+ arctg— )
c
c
donde t es el tiempo transcurrido, g es la aceleración de al gravedad y c es una
constante. Hallar la altura a que se eleva el cuerpo.
Solución
553
A p lic a c ió n d e la In te g r a l D e fin id a a la F ís ic a
Datos:
c. tg(-g - + arctg(— ))
c
c
i = tiempo
c = constante
g = gravedad
V
c' S
V =
di
~ + arctg(— ))
r
c
\ d h - f c. tg(-g —+ arete(— ))dl
Jn
h=
Jo
g
c
c
ln | sen(-g - + arctg— ) | í
c
c
?
l^r
»r 3
// - - — ln | sen(-g —+ arctg(— )) | +c2 In (1 + —
g
c
e
c-
2
2
de donde // = — ln(l + —
2g
c-
5.8
PROBLEMAS PROPUESTOS -
©
Hallar las coordenadas del centro de gravedad del arco de la catenaria y = a¿oh(—)
a
d * / - “ i / a tf(2 + senh2)
comprendida entre x = -a y x = a
Rpta. (a\ y) = (0.— ---- —— )
2senhl
©
Hallar los momentos estáticos, respecto a los ejes OX, OY, y las coordenadas del
centro de gravedad del triángulo limitado por las rectas x + y = a. x = 0, y = 0.
Rpta. M x = M
=2-,
6
( x. y ) = ( ~ )
3 3
Encontrar las coordenadas de centro de masa de la región acotada por la elipse
T
2
4a 4b
-V“ \
—- +
= 1 v los ejes coordenadas (x > 0,v> 0). Rpta. („*.
v) = (— ,-------)
a1
h~
'
3n 3n
554
©
E d u a r d o E s p in o z a R a m o s
Hallar los momentos estáticos respecto a los ejes OX, OY las coordenadas del centro
de gravedad del
cuadrante-
arcode la astroide
x 23 +>-2 3 = a 2 3 situado en el primer
_ . w
3a 2
3a 2
Rpta. M x = —— , M v =—^~
,--- .
, (x,>*) = (— ,— )
Probar que si R esla región del plano acotado por las rectas x = a, x = b y las curvas
0 < g(x) < fíx), a < x < b entonces
Mx =
©
f ( / 2(jc) - g 2(x))dx, M ,, = [ x ( / ( x ) - g(x))dx
7 "tí
Hallar el centro de gravedad del areo de la circunferencia de radio a, que subtiene el
ángulo 2a.
a
©
n s e n cl
j r - 8 y = 0.
4
Rpta. (jc,>) = (0,—)
Hallar el centroide de la región acotada por las curvas
cuadrante.
©
___
Rpta. {x, v) = (—------ ,0)
Hallar el centro de gravedad de la región limitada por las curvas
7
jc“ +16y = 24.
©
Ja
y = x 3, y = 4x en el primer
Rpta. (—
)
15 21
Encontrar el centroide de la región limitada por las curvas x = 2y - y 2 ,x = 0.
Rpta. (*.>■) = ( j J )
^ü)
Hallar el centro de gravedad de la región finita, en el primer cuadrante, comprendida
entre la curvay = xe * y el eje OX.
11^
Rpta. (2,—)
8
Encontrar el centro de gravedad de cada una de las regiones limitadas por las
siguientes curvas:
,
555
A p lic a c ió n d e la I n te g r a l D e fin id a a la F ís ic a
a)
y =x 2 - 4 . y = 2 x - x 2
Rpta.
b)
T
I
> -= jr , y = x - x -
c)
y= ln x, y = 4, >’ = 4 - 4 x 2 enel primer cuadrante
11
4 8
Rpta. ( - , - )
d) - J x + 4 y = 3 . y = 0 , x = 0
e)
|)
Rpta. (14.61,3.15)
Rpta. ¿ . - )
5 5
y = sen x, y = eos x, y = 0 desde x = 0, hasta * = y ■
4
(l¿)
f)
>' = x 2 -2 jc -3 , v = 6jc-jc2 - 3
Rpta. (2,1)
g)
* = 4y_>>2 , y= x.
12 3
Rpta. ( y , - )
Calcular las coordenadas del centro de gravedad de la figura limitada por x = 0,
x = zr. y = 0 , y = sen x .
2
^3)
Rpta. (x.y) = (h^-)
o
Determinar el centroide de la región plana limitada por la curva y = f(x), y = - x 2 ,
x = -l, x = 2 donde /( * ) = •
(l4)
16
I< 0
* 2 +l. i > 0
rp» .
( iü .i" ,
106 265
Encontrar el centro de gravedad de cada una de las regiones limitadas por las curvas
siguientes:
a)
y 2 - 2 0 x , x 2 = 20y
Rpta. (9,9)
556
15)
E d u a r d o E s p in o z a R a m o s
b)
y = x3 —3x, y = x sobre el lado derecho del eje Y
Rpta.
c)
x2 y 2
„
— + ~ = 1 en el primer cuadrante
a“ b~
^ . A a 4¿r
Rpta. (— ,— )
3n 3n
d)
y = sen x (0 < x < ir), y = 0
Rpta. (— )
2 8
16
(—
^4
El centro de gravedad de la región acotada por las curvas x2 = 4y , y = mx es un
punto de abscisa igual a 2. Determinar el valor de m. Rpta. m = 1
\ t)
Hallar el centro de gravedad del hemisferio de radio a, con el centro en el origen de
coordenadas, sobre el plano XOY.
(n )
Rpta. (OAy)
Hallar el centro de masa de un cono homogéneo circular recto de altura h y radio de la
base r.
( lí)
Rpta. (x, \\ z) = (0,—,0)
4
Calcular el momento estático y de inercia de la semicircunferencia y = ^ r 2 - x 2 ,
/ir3
Rpta. M x = 2r 2, I x = - y
-r < x < r, respecto al eje X.
( 19 )
Calcular el momento de inercia del área de una elipse x = a eos t,
respecto al eje OY.
20J
Calcular
el
y = a sen 1
Rpta. M x = M v=------ , / x - 1y =
5
' 8
momento estático y de
inercia
del
y = y (eA a + e ''" ) donde 0 < x < a, respecto al eje Y.
arco de
la
catenaria
557
A p lic a c ió n d e la I n te g r a l D e fin id a a la F ís ic a
(2 ^
Calcular el momento estático y de inercia de una triángulo de base a y de altura h
respecto a su base.
( 22 )
Rpta. M a = —— , I a =
6
12
Calcular el momento de inercia de un segmento parabólico limitado por la parábola
y = 4 - jT , y la recta y= 3, respecto al eje OX.
( 2^)
Hallar el momento de inercia de la circunferencia de radio a, respecto a su propio
diámetro.
( 24 )
1628
Rpta. I x = ——
Rpta. I = a3n
Probar que el momento de inercia respecto al eje X de una región R acotada por las
rectas x = a, x = b, y las curvas continuas b > a, g(x) < f(x) es:
\\.f'(x )-g \x ))d x
J Ja
Sea R el sólido generado por rotación alrededor del eje X de la región acotada por
x = a, x = b, la curva f(x) > 0 y el eje X, probar que los momentos estáticos y de
inercia de R respecto del eje de revolución son dadas por:
j
(26)
Jo
f 3(x)dx y I x = ^ f f i (x)dx
Z Ja
Calcular el momento de inercia de un cono circular recto homogéneo, respecto a su
eje, si la base del radio es R y la altura es h.
Rpta. l y =
M =6
h
Hallar el momento de inercia respecto del eje X de la superficie generada por
rotación, alrededor del eje X, de un arco completo de la cicloide x = a(t —sen t),
2048 _ 4
Rpta. I x = ------ Tía
3
y = a ( l- c o s t) .
(28)
Calcular el momento de inercia con respecto al eje de revolución del sólido generado
X7
y
V2
a 1
b2
.
r
por rotación de la elipse — + — = 1 alrededor del eje X. Rpta. /
8na¿r
15
558
E d u a r d o E s p in o z a R a m o s
(29)
Encontrar el centroide del sector hiperbólico acotado por la hipérbola equilátera
3
3
71
x= —secG, >>= —t g 0 y los radios vectores 0 = 0 y ^ “ y
„
t
1
V2 - 1
Rpta. x = ---- 7=------ , y
ln(V 2+l)’
ln(V2 + l)
( 30 )
Encontrar el centroide de área acotada por las curvas y - (x +1)2, x + y = 5, y = 0,
___ 70
X= 2 .
OO
Rpta. (x, y) =(— . — )
Calcular el momento del volumen comprendido en un octante y la elipsoide
x2 y2 r2
, ,
— +V— + — = 1, respecto al plano xy.
a~ b~ c~
^
-
, 2n
_
abe
n
Rpta.
16
^ 2)
Un resorte tiene una longitud natural de 14 cm si se requiere una fuerza de 50 dinas
para mantener el resorte estirado 2 cm cuanto trabajo se realiza al estirar el resorte
desde su longitud natural hasta una longitud de 18 cm.
Rpta. 200 ergs.
( 33 )
Un resorte tiene una longitud natural de 8 pulgadas, si una fuerza de 20 libras estira
el resorte y pulg. Determinar el trabajo efectuando al alargar el resorte de 8 a 11
pulgadas.
( 34 )
Rpta. 108 libr/pulg.
Hallar la longitud de un muelle metálico pesado, si el trabajo efectuado al alargarlo
desde una longitud de 2 pies hasta una longitud de 3 pies es la mitad del trabajo
efectuado al alargarlo desde una longitud de 3 pies hasta una longitud de 4 pies.
3
Rpta. —pies
( 35 )
Una fuerza de 8 newton estira un resorte de 4m de longitud natural a 50m más.
Encuentre el trabajo realizado al alargar el resorte desde su longitud natural hasta 5m.
Rpta. 8 Joules
559
A p lic a c ió n d e la I n te g r a l D e fin id a a la F ís ic a
(3ó)
Un resorte tiene una longitud natural de 6 pulg. Una fuerza de 12,000 libras comprime
el resorte de 5 Vi pulg. Encontrar el trabajo realizado al comprimirlo de 6 pulg a 5 pulg
la ley de hooke se cumple para comprimir como para extensión.
Rpta. w = 12,000 libr-pulg.
( 37 )
Un tanque de agua en forma de un cono circular recto invertido, mide 20 pies de
diámetro en su parte superior y 15 pies de profundidad, sí la superficie del agua esta 5
pies por debajo de la tapa del tanque. Encuentre el trabajo realizado al bombear el
agua hasta la parte superior del tanque.
( 35 )
10000 ^
Rpta. —- — n w pies - libra
Un tanque lleno de agua tiene la forma de un paralelepípedo rectangular de 5 pies de
profundidad, 15 pies de ancho y 25 pies de largo. Encuentre el trabajo necesario para
bombear el agua del tanque hasta un nivel de lpie arriba de la superficie del tanque.
Rpta. 5,362.5 w pies-libras
( 39 )
Un depósito cilindrico vertical de radio 2 metros y altura 6 metros se encuentra lleno
de agua. Hallar el trabajo al bombear el agua.
a)
Hasta el nivel más alto del depósito.
b)
Hasta el nivel de 5 metros por encima de dicho depósito (suponer que el peso del
agua es de 1000 kilos por metros cúbicos).
Rpta.
( 40 )
a)
72,000 n kilográmetro
b)
312,000 n kilográmetro
Un tanque semiesferico con un radio de 6 pies se llena de agua a una profundidad de 4
pies. Encuentre el trabajo realizado al bombear el agua la parte superior del tanque.
Rpta. 256 llw pies —libras
(41)
Que trabajo hay que realizar con una grúa para sacar un bloque de hormigón armado
del fondo de un rio de !5m de profundidad, si el bloque tiene forma de tetraedro
equilátero de lm de lado, siendo al densidad del hormigón 2,500 kgf m3.
560
E d u a r d o E s p in o z a R a m o s
(42 )
Encontrar ei trabajo que debe hacerse para extraer el agua contenida en un recipiente
cónico recto invertido de radio r en la base y la altura h.
( 43 )
a 2h2 2
Rpta. w = — ^ — n p
Un tanque rectangular lleno de agua tiene 2 pies de ancho y 8 pies de profundidad,
encontrar al fuerza debida a la presión del líquido sobre un extremo del tanque.
Rpta. f = 2.25 w libras
(44 )
Una superficie tiene la forma de un elipse de semi ejes a y b se sumerge verticalmente
en un líquido con su eje mayor paralelo a la superficie del líquido hasta que el centro
de la elipse se encuentre a una profundidad h. ¿Cuál es la presión del líquido sobre la
superficie?.
Rpta. f=riabhp
( 45 )
Un punto del eje OX vibra armónicamente alrededor del origen de coordenadas con
una velocidad que viene dada por la fórmula V - V0 eos wt , donde t es el tiempo y
V{) y w constantes. Hallar la ley de la vibración del punto, si t = o, tenia una abscisa
x = o. ¿A que será igual el valor medio de la magnitud absoluta de la velocidad del
punto durante el período de la vibración?.
(4ó)
Rpta. jc = —sen wt
w
Una piedra se lanza verticalmente hacia arriba desde el suelo, con una velocidad
inicial de 20p/seg. ¿Cuánto tiempo le tomará llegar al suelo y con que velocidad
llegará? ¿Durante qué tiempo esta subiendo la piedra y qué alto llegará?.
5
5
Rpta. / = —seg. , v = 20p/seg, t = —seg .
( 47 )
Un hombre en un globo suelta sus binoculares cuando se encuentra a 150p. de altura y
esta subiendo a razón de lOp/seg, ¿Cuánto tiempo tai dará los binoculares en llegar al
suelo y cual es su velocidad de impacto?.
^g)
La región limitada por las gráficas y2 = 20v , \ 2 = 2Q r, gira alrededor de la recta
3x + ¿y + 12 = 0. calcular el volumen del sólido generado.
Rpta. 4000/ri/^
561
A p lic a c ió n d e la I n te g r a l D e fin id a a la F ís ic a
( 49 )
La región limitada por las gráficas de
y = x 2„ y = 5
gira alrededor de una recta
oblicua que pasa por el punto A(1,0). Hallar la ecuación de dicha recta, si el volumen
del sólido generado es igual a 40V5/rw3 .
(50 )
Rpta. 3x —4y—3 = 0
Sea R la región del plano limitado porla parábola y = x 2 -1 y la recta y = x — 1.
Determinar el volumen del sólido obtenido por la rotación de la región R alrededor de
la recta y = x - 1.
(^l)
La región limitada por las gráficas de
Rpta. ------ u
60
y - jc2, y = 5
gira alrededor de una recta
oblicua que pasa por el punto (-1,0). Hallar la ecuación de la recta si el volumen del
sólido generado es igual a 40^5n\?
( 52 )
Rpta. 3x + 4y + 3 = 0
Los vértices de un triángulo son A(0,0), B(a,0), y C(0,^) , a > 0 calcular el volumen
del sólido obtenido por la rotación entorno de la recta y = x —a, de la región limitado
por el triángulo ABC.
Rpta. —
m3
562
E d u a r d o E s p in o z a R a m o s
CAPITULO VI
6.
IN T E G R A C IO N N U M E R IC A -
6,1
INTRODUCCION.»
Para calcular la integral definida
r*
f( x ) d x , por el teorema fundamental del cálculo,
primero se encuentra una integral indefinida o antiderivada F(x), es decir:
\ bf(x)dx = F(x) / [ = F(b) - F(a)
*i y p3n¡2
e dx,
J
x
O
Jnr2 X
------ d x ,
c~ senh x
------- d x % no
Jl
X
existe un método conocido para encontrar primero su integral indefinida o
antiderivada, sin embargo si la función f es continua en el intervalo cerrado [a,b], la
integral definida í f(x)dx existe y es un número único. Para estos casos en que no se
Ja
puede encontrar la integral indefinida o antiderivada, veremos los siguientes métodos
para calcular un valor aproximado de una integral definida y que puede ser utilizados
para calcular una integral definida por medio de computadoras electrónicas.
REG LA DEL TRAPECIO^
Si f(x) es una función continua en [a,b] la integral definida es dado por:
f A x)d x ~ J m
T
f(c¡)A;X
563
In te g r a c ió n N u m é r ic a
geométricamente la suma de Rienmann
n
^ / ( c y)Ayx
es igual a la suma de las
1=1
medidas de las áreas de los rectángulos que están arriba del eje X, más el negativo de
los rectángulos que están abajo del eje X.
Para aproximar la medida del área de una región, usaremos trapecios en ves de
rectángulos, para este caso también usaremos particiones regulares y evaluaremos la
función en los puntos cuyas distancias sean la misma.
En la integral definida J f ( x ) d x , al intervalo [a,b] dividiremos en n sub-intervalos
b-a
, dando n 4* 1 puntos xQ= a ,
n
x 2 = a + 2A x,.. . , x, =a + iAx,..., x„^ =a +( n - l)Ax, xn = b .
cada uno de longitud Ax
xx =a +Ax,
Luego a la integral j bf(x)dx expresaremos como la suma de n integrales definidas.
t f ( x ) d x - í 1f(x)dx+ í 2 / ’(*)<**+-..+ í * /(x)¿/x+...+ í " f{x)dx
Ja
Ja
J.v,
Jx¿l
564
E d u a r d o E s p in o z a R a m o s
f f(x)dx* da la medida del área de la región acotada por el eje X,
La integral
Ja
n
las rectas x = a, x = xx y la porción de la curva P0Pl . Luego a la integral definida
rxi
Ja
f(x)dx
se puede aproximar por la medida del trapecio formado por las rectas
x = a, x = X],
~ [/f* o )
P0P} y el eje X, donde la medida de este trapecio es
+ /U i)]A x , en forma similar para las otras integrales, pueden ser
aproximadas por la medida del área de un trapecio, mediante el símbolo
para la i-ésima integral definida se tiene:
por lo tanto para la integral definida.
|W
Ja
*
¿
entonces
\ f(x)dx se tiene:
Jo
) + f( x 1)]Ax+± [ /( x ,) + f ( x 2)]Ax+...+ i t/ ( x n l ) + /(* „ )]Ax
L
L
f f(x)dx ~ “ [/X*„) + 2 /( x ,) + 2(.v2) + ...+2/{xn ,) + f ( x „ )]
Ja
2
... (*)
La fórmula (*) se denomina la Regla del Trapecio.
OBSERVACION.-
La exactitud de una integral definida por la Regla del Trapecio,
se obtiene cuando Ax se aproxima a cero (Ax-*0) y n crece sin
límite.
El límite de la aproximación por la regla del trapecio es el valor exacto de la integral
definida; es decir:
565
I n te g r a c ió n N u m é r ic a
T = [/(* , )+ /(Jf2)+....+ /(jc„>]Ar+| [ / ( x 0) - / í . t n)]Ax
1
¡im T = lim 'S' /'(x, )Ax+ /iw —[/(<*)-J(b)]Ax
Av—
fcll
A.v->0 2
i-l
//w T - f /(x)dx + 0
OBSERVACION.-
Al aplicar la ley de los trapecios es posible que se cométan
errores que denotaremos por eT y que se puedan hallar
mediante el teorema siguiente.
TEOREMA.- Sea f una función continua en el intervalo cerrado [a,b] y que f \ f "
existen en [a,b].
i
Si cT =
L
—T , donde T es el valor aproximado de
que se encontró
mediante la Regla Trapecial, entonces existe un número r\ en [a,b] tal que:
2
$3
REGJLA DE SIM PSON.
También se conoce con el nombre de la regla parabólica, al calcular la integral
definida
Ch
f (x)dx por la regla de los trapecios, los puntos sucesivos en la gráfica
y = flx) eran conectados por segmentos de la línea recta, mientras que en la Regla de
Simpson, los puntos son conectados por segmentos parabólicos.
La Regla de Simpson da una mejor aproximación que la regla de los trapecios, pero sí,
con un mayor esfuerzo.
566
E d u a r d o E s p in o z a R a m o s
Para establecer la Regla de Simpson veremos primero el teorema siguiente.
TEOREMA1. Si
P[}(x0, y {)),
P{ (Xj, y \ ) y P2(x 2 ->'2 ) son tres puntos no
colineales en la parábola de ecuación y = Ax2 +Bx + C %donde
y0 ^ 0 , y\ > 0 , y 2 ^ 0, x x = x0 + h , x2 = x0 + 2h , entonces la medida del área de
la región acotada por la parábola, el eje X y las rectas x = x0, x = x2 está dado por:
EJE VERTICAL Demostración
La parábola de ecuación y = A x 2 + B x +C , tiene
]p
i 2
su eje vertical.
Como los puntosp 0, p { y p 2 son de la
parábola, entonces se tiene:
o
U
h
»U
h— ►!
► y 0 =Axo+Bx0 + C
x
y x = Ax2 +Bxx + C = A(x0 + h)2 + B(x0 +h) + C
y 2 = Ax 2 + Bx2 + C = A(x0 + 2h)2 + B(x0 + 2h) + C , de donde se tiene:
>’o +
+ >’2 =
+12/?x0 +8//)2>’+ ^(6x0 + 6/?) + 6C
Sea A r el área de la región acotada por la parábola, el eje X y las rectas x = x0,
x = x0 + 2h , entonces.
567
I n te g r a c ió n N u m é r ic a
Ar = ^ [ A ( 6 x (2 + 12/ix0 + 8//2) + 0(6xn + 6//) + 6C]
Consideremos una función f continua en el intervalo cerrado [a,b] tal que f(x) > 0 y
tomemos una partición regular en el intervalo [a,b] de 2n sub-intervalos (2n se usa en
b-a
vez de n) donde la longitud de cada subintervalo esta dado por Ax =■
2n
Aproximemos el segmento de la curva
y = flx) de P0 a P2 por el segmento
parabólico con su eje atravez de P(], Px y P2 y de acuerdo al teorema se tiene:
La medida del área de la región acotada por esta parábola, el eje X y las rectas
x = x0, * = x2 enAx = hes: y (yQ+4>>, + y2) o y ( / ( * 0) + 4 /( x 1) + / ( x 2) ) .
En forma análoga para el segmento de la curva y = f(x) de P2 a P4 se tiene:
-y
(>’2 + 4.v3 + y 4) o y
( f ( x 2) + 4 /(x 3) + / (x4))
y para la ultima región se tiene:
568
E d u a r d o E s p in o z a R a m o s
la suma de la medida de las áreas de estas regiones aproxima la medida del área de la
región acotada por la curva de ecuación y = f(x), el eje X y las rectas x = a, x = b y
como
Chf(x)dx da la medida de la región, entonces una aproximación para esta
Jo
integral es:
f f t o d x = % (f{xo) + 4 A.v,) + f ( x 2)) + ^ ( / ( x 2) + 4/Íjfj) + f ( x 4))+...+
Ja
3
J
... (*)
A la ecuación (*) se le denomina La Regla de Simpson.
OBSERVACION.- Asi como en la regla de los trapecios se comete un error
ET, también en la regla de Simpson se comete un error Es y
es calculado mediante el teorema siguiente.
TEOREMA 2. Si y = f(x) una función continua en el intervalo [a,b] y si / ' , / " ,
y f tx existen en [a,b], si Es = j f ( x ) d x - S . donde S es el
/ ’
"
Ja'
valor aproximado de | f(x )d x , entonces 3 k e [a,b] tal que:
Ja
OBSERVACION.- Si
fíx)
es un polinomio de grado 3 o menor entonces
/ ív(jc)=Ü => Es =0 entonces la regla de Simpson da un valor
t»b
exacto para la integral í f ( x ) d x .
Ja
569
In te g r a c ió n N u m é r ic a
Al aplicar la regla de Simpson a la integral
Ja
f(x)dx donde f(x) es un polinomio de
tercer grado y tomemos 2n = 2, xn - a . x, =
, x2 =b, Ax =
, el valor
exacto de la integral f j(x)dx: i£ ./( x ) r f x = te c ;/( « ) +
Ja
la ecuación (*) se denomina la fórmula Prismoidal.
1 6.4
PROBLEM AS DESARRO LLADOS.-
©
Calcular el valor aproximado de la integral definida por la regla trapecial para el valor
de n indicado
£ ^ \ + x2dx, n = 6.
Solución
3 -2 1
Hallaremos Ax = ------= —= 0.16 ; x0 = 2 , x, =x„ +/Ax para i = 1,2...... 6
6
6
£
4 + x 2cLx *
(/(x„) + 2 /(x ,) + 2f ( x 2) + 2/ ( x 3) + 2 /(x 4) + 2 /(x s) + /( x 6))
i
k
/(* ,)
k .^ -.f(x ¡)x
0
2
Ax
2
1 0.08
2.236067
0.17888
1
2.16 2 0.08
2.38025
0.38004
2
2.32
2 0.08
2.52634
0.404214
3
2.48
2 0.08
2.67402
0.42784
4
2.64
2 0.08
2.82304
0.45168
5
2.80
2 0.08
2.977321
0.47571
6
2.96
1 0.08
3.12435
0.49989
2.81825
570
E d u a r d o E s p in o z a R a m o s
j ^ \ + x 2d x * 2.81825, / ( x ) = ^ l + x 2
( 2)
Calcular el valor aproximado de la integral definida por la regla del trapecio para el
valor indicado de n.
f Vi +x 4d x , n = 6
Jo
Solución
Hallaremos Ax = - —- = —
6
3
x0 = 0, x, = x0 + i&x para i = 1,2,...,6 además f ( x i) = ^/l+xf
[ 2 - J l í S d x = Ax[fiXo)+/
Jo
2
{Xe) +f ( x ¡ ) + f ( x 2) + f ( x 3 ) + f ( x A) + / ( Jt5 )]
i
*i
0
0
1
1/3 1.0061539
2
2/3 1.0943175
3
1
4
4/3 2.0397289
5
5/3 2.9522956
6
2
£ J l +x* d x « Ax( —
/(* ;)= Vl + *¡4
1.0000000
1.4142136
4.1231056
- 6- + /(jCj) + / ( x 2)+ /(jc3) + / ( x 4) + / ( * 5))
f2-Jl +x^dx * -(2.5615528 + 8.5067095)
Jo
3
f -Jl+xAdx » 3.6894208 aprox.
Jo
571
In te g r a c ió n N u m é r ic a
Calcular el valor aproximado de la integral definida por la regla trapecial para el valor
r1 dx
. n=5
r
Jo Vi + x 2
indicado de a
Solución
A x =
b-a
n
a
*“ 0
1
5
5
A x = -----------= — =
0n. 2o .
Hallaremos los valores de
x0
= x0 + a x . x2 = x0 + 2Ax , x3 ~ x 0 +3Ax, xA = jc0 + 4Ax , xs = jc0 + 5Ax
Los valores encontrados mostraremos en el siguiente cuadro
K Ax
i
T
^1 ■>
-y/l+X;
Ajc , r,
.
1
0.1
1 0.2 2 0.1
0.9805806
0.1961161
2
0.4 2 0.1
0.9284767
0.1856953
3
0.6 2 0.1
0.8574429
0.1714985
4
0.8 2 0.1
0.7808688
0.1561737
5
1
0.7071068
0.0707106
0
0
1 0.1
fív.
' ' 1'
1 0.1
Suma total.
0.8801942
1 dx
í ■\/l+jc2 « 0.880
Calculando la integral por el método usual.
f1 . ^ - = ln|jc+V l+jr2 i / = ln(l +-JÏ) - ln l = ln |l + 1.414213 | = 0.88137358
JuV l + x 2
/ü
572
E d u a r d o E s p in o z a R a m o s
Calculando el error por la regla de trapecio:
1
?
E, = - — {b - a ) f " (A')(Ax)
/ ( * ) = - 7= ^ = = = > / ' ( * ) = ------ f y - = > / " ( * ) = 3 x 2 ( l + x 2 ) 5/2
V l+ x2
(1 + x 2)*
Luego el intervalo [0,1]: /"(O ) = 0, /"(1) = — -— , reemplazando tenemos:
5.6568
- ^ d - 0 ) / " ( l ) ( A x ) 2 <E, < - i( l- 0 ) /" ( 0 ) ( A x ) 2
1 (3)(0.2)2 ^ E ^
12 ‘ (5.6568)
'
3(0)(0.2)2
(12)(5.6568)
-1.76778x10-3 <E, ¿ 0
©
Aproximar la integral definida por la regla de Simpson usando el valor indicado de 2n.
f 2 , dx
, 2n = 8
Solución
r, .
1
A b -a 2 -0 2 1
f(x) = ,
, Ax ~ ------ “ ------- = —= —
^ |ü ^
2n
2n
84
xo = 0 , Xj = x0 + iAx = -^-
*2
¿r
Ay
Ü V 1+ * 3
3
J
- r = = * — (/(O) + 4f { x , ) + 2 /(x 2) + 4/{x3) + 2 /(x 4 ) +
+4/(*5 ) + 2 /( x 6) + A f i x , ) + / ( x 8)
573
In te g r a c ió n N u m é r ic a
i
*¡
k
0
0
1 1
1
0.25
4 0.9922 3.9688
2
0.50
2 0.9428 1.8856
3
0.75
4 0.8386 2.5544
4
1.00
2 0.7071 1.4142
5
1.25
4 0.5819 2.3276
6
1.50
2 0.4780 0.9560
7
1.75
4 0.3965 1.5860
8
2.00
1 0.3333 0.3333
/ ( * ¡)
* /( * ¡ )
1
16.1259
“
£
©
dx
Ar
a — (16.1259) * 1.3438
Aproximar la integral definida por la regla de Simpson usando el valor indicado de 2n.
1
í
X
dx
■, 2n = 4
+X + 1
Solución
/(*)= - 5-^---. Ax =—r -—= - 7 = 0-25
+ x +1
2/24
Jt0 = 0 , x{ = x0 + iAx = —
pl
d x
Ar
[ ■“j-------7 * T (/(* o ) + 4/ ( * i ) + 2/ ( x2) + 4 /( x3) + / ( x 4))
x* +x + l
3
Jo
574
E d u a r d o E s p in o z a R a m o s
—
Jojc2 + jt+ l
©
i
0
*¡
0
k /( * ¡ )
1 1
1
0.25
4 0.7619 3.0476
2
0.50
2 0.5714 1.1428
3
0.75
4 0.4324 1.7296
4
1.00
1 0.333
0.333
Suma
7.253
*./(*;)
1
« — (1+3.0476+1.1428 +1.7296 + 0.333) * — (7.253) = 0.6044
12V
3
Aproximar la integral definida por la regla de Simpson usando el valor indicado 2n.
r1 dx
, 2n = 4
Jo Vl+JC2
Solución
f ( x)=
dx ... Ax= —
4 ^ 7
4
= - = 0.25
4
f - r ^ = T * 4 r ( /< * 0 > + 4 / ( * l ) + Z / ( * 2 ) + 4 / ( ^ 3 ) + / ( * 4 ))
i
0
*¡
0
k /(* ¡)
1 1
L /(x ,)
1
1
0.25
4 0.9701425
3.88057
2
0.50
2 0.8944272
1.7888544
3
0.75
4 0.8
3.2
4
1.00
1 0.7071068
0.7071068
Suma
10.576531
575
I n te g r a c ió n N u m é r ic a
f1 , =
* — (10.576531) * (0.0833)(10.576531) * 0.8813776
3
1
Calcular el error para la regla de Simpson: Es = ------ (b - a)f* (¿)(Ax) *
180
f ( x ) = ■***
=> f iv(x) = 105jt4(l+ x 2) 9/2, como [0,1]
Vl+Jt2
/ ív(0) = 0 , / " ( ! ) =
105
22.627416
para k = 0 . Es = - - l- ( l) ( 0 ) ( I ) 2 = 0
180
4
k= 1, E = — — (1)(--- — -----)(-)2 = —1.61124*10”*
180 ' 22.627416 4
—1.61124 < ^ < 0
( 7)
Calcular el valor aproximado de la integral definida por la regla de Simpson para el
valor indicado 2n.
f sen x d x , 2n = 6
Jo
Solución
f(x) = senx, Ax= —, x0 = 0 , x{ = x0 + iAx
6
i
*¡
k
0
0
1
Ax
3
n/18
0.000
0.174532925
1
n/6
4
it/18 0.500
0.34906585
2
ji/3
2
7t/18 0.866025
0.302299753
3 n/2
4
it/18
1.0000
0.6981317
4
2n/3
2
n/18
0.866025
0.302299753
5
5ti/6 4
71/18 0.50000
0.34906585
6
JT
1
71/18
/( * ;)
0.0000
- y ■/(*:)
0.000000
2.175395831
576
E d u a r d o E s p in o z a R a m o s
fsenx tic a — (2.175395831) = (0.174532925)(2.175395831)
Jo
3
.*.
f senx dx » 0.379678197
Jo
6.5
EJERCICIOS PROPUESTOS.-
I.
Usando los métodos de los trapecios y de Simpson, estimar el valor de cada integral,
redondear las soluciones de cuatro cifras decimales.
©
r2dx
J, tX * n =4
Rpta. T: 2.7500 , S : 2.6667
©
r1 dx
--- T ' n = 4
Jol + jc2
Rpta. T : 0.7828 , S : 0.7854
©
-2
1 x3dx. n =4
Jo
Rpta. T : 4.2500 . S : 4.0000
©
f2
1 x 3dx, n = 8
Jo
Rpta. T : 4.0625 , S : 4.0000
II.
Aproxime las integrales usando.
a)
El método de los trapecios.
b)
El método de Simpson,
©
p*/2
1 cosx d x 9 n = 4
Jo
Rpta.
a)
0.957
b)
0.978
©
f V l + jr3dx, n = 2
Jo
Rpta.
a)
3.41
b)
3.22
©
f -\/xa/i- x d x , n = 4
Jo
Rpta.
a)
0.342
b)
0.372
©
f senx2í¿c, n = 2
Jo
Rpta.
a)
0.334
b)
0.305
In te g r a c ió n N u m é r ic a
511
ñn< 4
©
©
I x teje dw n = 4
Jo
Rpta.
a)
0.194
ri 2
J e x dx , n = 4
Rpta.
a)
— = 0.212
64
Por la regla del trapecio aproximar la integral:
111.
f4 * d x
©
Rpta. 1.13
,
n=6
Rpta. 9.47
h \ o +s
©
r* x dx
i
2^¡4 + x 2
©
Jo
©
__ £
f x 2T¡16-x4dx,n = 4
Rpta. 6.156
r4 ^
Rpta. 1.227
1------T ’ n = 4
-1/4 + X'
IV.
Por la regla de Simpson, aproximar la integral.
©
i V m -jc 2dx. 2n = 6
Rpta. 0.561
* .
©
J V i 2 6 - jc3í£c, 2n = 4
Rpta. 35.306
ijx3 - x d x , 2n = 4
Rpta. 11.140
[ Vi + x3í£c, 2n = 6
Jo
Rpta. 3.24
b)
0.186
b)
13f>
* 0.035
1024
578
E d u a r d o E s p in o z a R a m o s
CAPITULO VII
7.
E C U A C I O N E S P A R A M E T R I C A S .-
7.1
REPRESENTACION
DE
CURVAS
EN
FO RM A
PARAMETRIC A _______________________________________________
Las coordenadas (x,y) del punto P de una curva pueden estar dadas en función de una
tercera variable, llamado parámetro es decir:
A la expresión dada en (1) se denomina ecuaciones paramétricas, en donde cada valor
de t le corresponde un punto p(f(t). g(t)) del plano XY.
El lugar geométrico que describe el punto P se denomina curva parametrizada de la
ecuación paramétrica, para obtener la ecuación cartesiana se elimina el parámetro t y
de esa manera se obtiene una ecuación en forma cartesiana.
y,~ F(x) 6 B(x,y} - 0
Ejemplo.- Trazar la gráfica de las siguientes ecuaciones paramétricas.
x = 2 t, y = -5l
Solución
Para trazar la gráfica primeramente hacemos una tabulación
579
E c u a c io n e s a r a m é tr ic a s
t
0
y
0
0
1 2
-5
2
-10
4
-1 -2
5
-4
10
-2
( 2)
X
x = t - 1, y = r
Solución
Para trazar la grafica hacemos una tabulación.
X
-1
y
0
1
0
1
-1
-2
1
2
L
4
-2 -3
4
t
0
Ejemplos.- Trazar la gráfica de las ecuaciones paramétricas pasando a coordenadas
cartesianas.
x = -I + eos 0 , y = 2 + 2 sen 0
Solución
[ jc = —1+ COS0
y = 2 + 2 sen 6
jt + l = cos 6
v-2
, elevando al cuadrado para eliminar el parámetro.
----- = sen^
580
E d u a r d o E s p in o z a R a m o s
(jc+1)2 + ——— = cos2 0+ sen2fl =1
(jc+ 1)2 +
©
( V —'lì
4
-1 , que es una elipse
x = t, y = Solución
Para obtener la ecuación cartesiana, eliminaremos el parámetro t.
Consideremos dos funciones f y g derivables en un intervalo [a,b] tal que:
... (a)
son las ecuaciones paramétricas.
La derivada — cuando x e y están dados en forma paramétrica se obtiene aplicando
dx
la regla de la cadena, es decir:
581
E c u a c io n e s a r a m é tr íc a s
dy
~.dt r ßiO.
dx dx fiú
dt
dv
JfcO
/ \( {
l f\ .'T~
U
para obtener la segunda derivada, se aplica nuevamente la regla de la cadena, es decir:
d 2y _ d dy
dx2 dx dx
d dy dt _
dt dx dx
— (ÉL)
d¿d¿_
dx
di
d g'U) /'( /) g " ( /) - /" ( /) g ’(/)
d 2y _ dif ' j t ) _
dx2
./'(/)
./'(/)
d 2y
ÉC2
n
(fio ?
Generalizando se tiene:
OBSERVACION.1)
La primera derivada
dx A?*(0
— = - — - nos permite determinar los intervalos de
dy f ' d )
crecimiento y decrecimiento de acuerdo al signo de la derivada.
2)
La segunda derivada
L
L
= HIß. ííl
ífl£
nos permite determinar la
dx2
(/'(O)
dirección de la concavidad en cada punto de la curva.
Ejemplo.- Calcular la derivada — de las funciones dadas en forma paramétrica.
dx
582
E d u a r d o E s p in o z a R a m o s
X-
©
/ +1
. í 1
>=W
Solución
i
x '( t) = -
(/ + 1)2
2/
/ +1
y'U) =
y =í-^ )2
t+\
(/ + !)'
2/
dy_y'V)_ (/ +D'
2/
Í¿T
t +1
1
jc’( / )
dy
dx
2/
/+1
(/ + 1)2
©
Lv = a(/-sen /)
;r
para t = —
I y = £/(l-eos 0
2
Solución
Íjt = a(/ -sen/)
I>’= £/(!-eos/)
dy
dx
y'(t)
jc’(/)
JV(/) = tf(l-COS/)
!>•’(/) = asen/
asen/
a(\ -eos/)
sen {
1—eos/
dy
dy
= 1 =>
dx t=LL 1-0
dx
r/v
dx
sen/
1—eos/
= 1
Ejemplos.- Encontrar la ecuación de la tangente y normal de la curva especifica en el
punto correspondiente al valor dado del parámetro.
©
x —1~ +1, y = t* + 2/, t = -2
Solución
El punto para t = -2 es P(5,-12)
583
E c u a c io n e s a r a m é tr ic a s
dy
v*(/) 3 r + 2
— = ------= --------dx x'(t)
2i
dv
=> mi. - —
dt r=-2
L, : y + 12 = - —(jc-5 )
1
2
?
m¡ ------- = — por lo tanto / : y+ 12 = —(x -5 )
m¡
7
1
©
x = 4cost, y = 2sen2 /, /= —
3
Solución
7T
3
El punto para t =— es P(2,—)
dy _ y'U) _ 4 sen icos/
dx x’(t)
-4 sen /
mi =
n:
—
3
-co sí
7T
1
3
2
= —eos—= —
7.3
APLIC ACIONES DE EAS ECIJACIONES PARAMETRICAS -
73.1
AREA BAJO UNA CURV A DADA F.N FORMA PAR4METR1CA.Consideremos una curva C definida mediante las ecuaciones paramétricas.
Entonces el área de la región acotada por está curva, el eje X y las rectas verticales
x = a, x = b se expresa mediante la integral
584
E d u a r d o E s p in o z a R a m o s
Ja
donde a y p se determinan de las ecuaciones a = fla); b = f(p) y g(t) > 0 en [u.P]
Ejemplo.- Hallar el área contenida en el interior de la astroide
r = /;sen3/.
y
= # co s /
Solución
Aplicando la simetría, el área de la región es dado por
■/<
A= 4 f Z(t).f'{t)dt
Ja
ahora calculamos los límites de integración.
x = f (t) = a eos3/ =^> f(a) = 0 => tí eos1a =0 => a = —
f(p) = a
=>
c/cos3/i=¿/ => p = 0
/ (t) = a eos3/
/ ’(/) = -3#cos2 /sen/
J'/Jg (/)/',í/)rf/ = 4l ftsen t(-3a cos~ t sen Delt =\2ah\
a
Jt
2
rO., fn» 2,,
sen icos'l di
JO
12ab Asen 4/ sen 2/ ,*,2 3ab ,n „ f
3¿7/?7r
= ----- (-----0 - ( j) = ------(----------------------- ) /
fs //o
24
R
8 2
8
/í = -------U~
1X 2
L O N G IT U D
U E
A R C O
C U A N D O
L Á
C U R V A . E S
0 A 0 A
i m
E C U A C IO N E S
P A R A M E T R IC A S .-
Si la ecuación de la curva C es dada en forma paramétrica mediante un par de
funciones con derivadas continuas, es decir:
585
E c u a c io n e s a r a m é tr ic a s
entonces la longitud de la curva C es:
Ejemplo.- Hallar la longitud del arco de la curva
x = t3,
y = / 2 desde t = 0
hasta t = 4.
Solución
x =t
v = /2
— =3 r
dt
^ = 2/
di
L = f4,/(— )2 + (— )2ífr =
Jo v
dt
Jo
= f4t j 9 r + 4 di =— (9 r + 4)3'2 / 4
Jo
27
'0
= ¿ (3 7 ^ 3 7 -1 )»
27
¿ = ^-(3 7 ^3 7 -1 )»
Si la curva es dada por las ecuaciones paramétricas: C : \ X
donde — , —
[>• = >•(/)
dt
dt
son continuas en a < t < p, entonces el área de la superficie obtenido por rotación
alrededor del eje X, del arco de la curva desde t = a hasta t = p es expresado por la
fórmula:
jf
A = ln \
jif t ) . H
, m
OBSERVACION.-
:
Vd i
ít t p »
d t
Cuando se rota alrededor del eje Y y el área de la superficie es
dado por:
A~2ñ
fVoJ(í)2
«ta ■:>.
+ ( $ ) 2d i
586
E d u a r d o E s p in o z a R a m o s
Ejemplo.- Hallar el ¿rea de la superficie de la esfera engendrada al rotar un círculo
de radio 4 alrededor de un diámetro.
Solución
Con respecto a un sistema de coordenadas cartesianas la ecuación del círculo de radio
4 es:
x 2 + v2 =16, cuyas ecuaciones paramétricas son x = 4 eos t , y = 4 sen t entonces:
— = - 4 sen /, — = 4 e o s /, donde el área de la superficie es dado por:
di
dt
A = 2 n f^ v(í)J(— )2 +(— )2dt = 2 n f 4seiW l6cos2 / + 16sen2 1 dt
Ja
V dt
dt
Jo
= 211 f l 6sen / dt = -3 2 n eosi /* = 64nw2
Jo
/o
NOTA.- Cuando t varia desde t = 0 hasta t = n se obtiene el semicírculo de
diámetro sobre el eje X.
o
Hallar el área de la región bajo un arco de la curva x = at, y = a( 1—eos t).
Hallar el área limitada por la cicloide dada por: x(t) = a(t —sen t), y(t) = a( 1 —eos t),
y por el eje X entre dos puntos sucesivos de intersección con el eje X.
587
E c u a c io n e s a r a m é tr ìc a s
Solución
A = í >•(/)*'(/) di
Jo'
pin
A = a(l-cos/)tf(l -cos/)d/
Jo
.
sen2/ ,2^
7
>í =a~( ---- 2sen/+—-----) / = ¿r (311-0) = 3n¿r
9
a
fo
Hallar el área de la región limitada por la cardioide
A=3U a^u7.
[x = #(2 eos/-eos 2/)
[>* = ¿7(2 sen /-sen 2 / )
Solución
Como la cardioide es simétrica su área es:
rP
A = 2 ></)xf(/) dt de donde jtf(/)=2tf(serí2/-sen/)
Ja
Íjc = £7(2 cosí- eos 2í )
r**
\
..
=> /í = 2j v(t)x (l)dl
[v = a(2 se n i-sen 2t)
Jn
J.C)a( 2 sen t - sen 2t )2a(sen 2t - sen t)dt
71
A=&a~7f° (sen/-cos/.sen/)(2sen/cos/-sen/)d/
J tt
7 f°
?
?
/! = -8cr sen- /(I-3 eos/+ 2 eos- t)dt
Jn
„ 7 , 3 r sen i eos /
-, sen 2 / eos 2 / ,o
^ = - 8 a 1 (------ ------- -----sen / ------------------) /
4
2
8
'n
A = -8 a 2( 0 - — ) = 6a2n
4
/I = 6 a 2Tl
588
©
E d u a r d o E s p in o z a R a m o s
x = a(t-sent)
Hallar la longitud de un arco completo de la cicloide j*
— ¿7(1 - C O S Í )
Solución
[x - a ( t - sen t)
\y = a(\ - eos t)
= a^2 J
dx
-a (\ -eo s/)
~dt
dy
= a sen /
~dt
^¡2 sen ~^dt = 2a|
sen ~^dt = 2a[2 eos
= ~Aa[-l -1] = 8a
L = 8a
©
Hallar el área de la figura limitada por el lazo del Folium de Descartes
3a i
3at 2
x =-----y = --------- 1*1.
1+/3
1+|*
Solución
A=
Ja
x(l) =
l + f3
y(t)x'(t)dt donde
3at
3 c (l-2 t3)
(1+ r ')
para a = 0, p = +x
Luego el área de la región es:
589
E c u a c io n e s a r a m é tr ic a s
r 3a(l - 2 f 3)
n f+0° r - 2 / 5
rM
J' iar_
di
cit = 9a - i
Jo i+,3 (1+/3)2
Jo (1 + r3)3
:9^
r ^
Jo
= 9<j 2[-
(ó )
Encontrar
_
_
2 r 4 ± i L rf,]
n + í 3) 3
Jo
1
(r > + i)3
2
,
2(1 + / 3)2 + -------3(1+ r T’)t V o
la
longitud
total
= -7
. 3o2 ,
A = -----u~
de la curva dada por: x = a(2 eos t —eos 2t),
y = a(2 sen t - sen 2t).
Solución
Como la curva es simétrica con respecto al eje X, y además se tiene que cuando t varia
de t = Ohasta t = n el punto P(x,y) recorre la parte superior de la curva, entonces.
L
Jo Vfdi j A di^ di
- 2
jx = a{2 eos t - eos 2t)
|y = ¿7(2 sen/-sen 2t)
—
=a{-2 sen/+2sen2t)
di
dv
—
=a(2cos/-2cos/ 2t)
dt
L = 2¡ J a 2(-2 sent + 2 sen 2/)2 + a 2(2 eos/ - 2 eos/ 2t)2 dt
h
CK
f
t K
71 1-eos/
= 8a I**
dt = 8ij sen—di = -16a eos—/ = 16o
Jo
Jo
2
2 '0
L = 16a.
©
Calcula el area de la superficie generada por la rotación alrededor del eje X, del arco
590
E d u a r d o E s p in o z a R a m o s
Solución
dx
= e'(sen/ + cos/)
dt
x - e sent
y - e cost
A -
— = er (eo s/-sen /)
dt
2/rfJo 'v(t)J(—
)2 +(— )2dt = 2n\ í?'eost^Jledt
\ dt
dt
Jo
A =2^2nj
e 2' cost dt = ^ — (e2f(sent + 2cost))/* ~
..
(i)
.
2^2n n
2
A - — — (e -2)u
Hallar el área de la superficie generada por la rotación alrededor del eje Y, del arco de
la curva >• = —(x2 -2 1 n x ), x e [1,4].
4
Solución
Parametrizando la curva se tiene:
x —t
1 7
, t e [1,4], calculando sus derivadas.
v= —( r -21n/)
4
— = 1; - = —( / - - ) , de donde el área de la supei *lcie es:
dt
dt 2
t
= 2/rji4z
^ = 2n [ ' ^ (/+; }2d/
= 2n í —(í+~)dt = n f (l2 +1 )dt = 7r(— + /) / 4 = 24n
Ji 2
/
Ji
3
A = 24m r
'1
591
E c u a c io n e s a r a m é tr ic a s
(?)
Hallar el área de la superficie engendrada al girar la elipse
a) Del eje OX
b)
2
2
a~
b~
= 1, alrededor:
Del eje OY (a > b)
Solución
\~
cr
+
y“
b~
1 parametrizandoésta curva: x = acost , y = b s e n t
Por ser simétrica con respecto al eje X se tiene:
Para
x = 0 => / = — ;
2
x = a => t - 0
dx
— =- a sen /
^
, que al reemplazar tenemos:
jx = crcos/
I y = 6senf
dt
A = 4/r J,,. b sen isla2 sen2 / + 6 2 eos2 / dt = 4/r¿>sent^Ja2 + (b2 - a 2}eos2/ dt
A = 4bn:jn sent ^ a 2 - ( a 2 - b 2)cos2 / d/ = 4ny]a2 - b 2
c o s r sen/ <
. A
TTrcos/ I ¿/2
1
a2
^a2-b 2
,o
A = 4n^a~ - b ~[—— J •• •• ■
— cos~ / + ---- ----- — aresen------------eos/]/
2 U 2- ¿ 2
2(a2 - b 2)
a
! ”nevaluando y simplificando se tiene:
^ = 2/rfc2 +
E
aresen E donde E =
^a2-b 2
a
592
E d u a r d o E s p in o z a R a m o s
en forma similar para la parte b).
a n
2
nb2 . l + £
,
,
„
A = 2m + -----ln(------ ) donde E
E
1- E
@
4 a 1 - b*
a
Calcular el área de la superficie obtenida al rotar un arco comprendido de la cicloide.
\x = a (/-se n /)
.
<
, alrededor de la tangente a la cicloide en su punto mas alto.
[y = a(l-co s /)
Solución
Un arco completo de la cicloide se obtiene cuando t varia desde 0 hasta 2n, en donde
el punto mas alto en este intervalo es cuando
dy
dy ¿i
asen/
,
, t
dx
t = 7i y como — =Jr~ =----------- entonces la pendiente de la tangente es —
=0.
dx dx a{1-cosf)
dt r=n
di
Luego la ecuación de la tangente es y = 2a. Como la distancia del punto (x,y) de la
cicloide a la recta tangente es (2a—y) por lo tanto el área pedida es:
A = 2 n \ 2\ 2 a - . v ) J Á 2 H ^ r d t
Jo
V dt
dt
¡x = a(l-sent)
I v = fl(l—eos/)
dx
— = a(l-co s/)
dt
dv
— = a sen t
di
A - 2 n \ (2a - y h (— ) 2 +(— ) 2d i, reemplazando se tiene:
Jo
V di
dt
593
E c u a c io n e s a r a m é tr ic a s
i f2*
i t
t
i
A = 2jia I 2cos~ —.2sen —dt =#a~n
Jo
2
2
Jo
21
t
eos" — .sen —dt
2
2
7
i
16 a _/r
3r , 2«:
16¿T7Tr t
327tzr
^ = ----------.eos— / = ---------- [ - 1 - 1] = -------**
9 /0
1 L
J
2
. 3 2 m 2 ->
/í = --------w
7*5
E JE R C IO O S PROFUESTOS -
1.
Construir las gráficas de las siguientes ecuaciones dadas en forma paramétrica:
x = 2' + 2 “'
©
y = 2 '- 2 ~ '
©
A: = fl(2cos/-cos2 0
y = ß(2sen/-sen 21)
©
/-I
X = ----í+1
1
>=7
a
©
■\/l + r
at
v=
x =t - t ~
©
©
y =t2- í 3
x = t2 -2t
y = t 2 +2t
©
-t
©
[x = 3seru
ly = 4tgísecf
©
©
©
'
jc = -Vi- t
>■= aresen r
x = e 2t -1
y =\ - e l
[x = /- tg h f
I y = sec ht
594
E d u a r d o E s p in o z a R a m o s
1
/
y = ln\í\
jc= -
x =3-Jt—2
y = 2 ^ 4 -/
II.
En cada una de las ecuaciones, encontrar — ,
dx dx~
en donde:
x = arctg/
©
Ijc = a eos /
iy = a sen t
©
x = ln/
©
y = ln(l + r )
©
[x = a(sen f-/co sí)
[y = a(cos/ + /senf)
©
x = aresen/
©
x = lní
1
y=
i-t
x = ln/
x = e eos/
@
y =er sen t
©
©
jx ~aG-asenG
|y = a - a c o s 0
©
x = / —sen t
©
y —{t—n)2
III.
> -/3
y -i"
y —e +cos/
x - e -sen r
x =e 2/ +1,
y =l - e '
Hallar las ecuaciones de la tangente y la normal a la curva en el punto correspondiente
al valor del parámetro que se indica:
©
[x = l + 3sení
I v = 2 - 5 cosí
n
6
©
[x = 2 sen/
|y = 5cos/
[x = er(l-sen/)
I y = er(l-cos/) ’
n
4
©
x = 2 eos i
©
n
/= —
3
,
y = 2 sen3/
n
/ =—
4
595
E c u a c io n e s a r a m é tr ic a s
2l
x=
©
y=
/3+ 1
, t=0
3?2
n
>' = 2sen3 / ’
3
r3 + 1
[jc= 3 sen / - 8
©
©
x = 4cos/
lv = 5 + 2sen/ '
5;r
4
\x ~ a e cosí
, t=0
IV.
(í)
Hallar el área de la región limitada por el astroide x = a eos3 / , y - a sen3 /
Rpta.
©
Hallar el área de la superficie comprendida entre el eje OX y el arco de la cicloide,
x = a(t-sen t), y = a (l-c o s t).
©
Rpta. (b2 +2ab)nu2
Hallar el area de la región encerrada por los lazos de las curvas.
a)
(? )
w
Rpta. 3a 2n u 2
Hallar el área de la figura limitada por una rama de la Trocoide, x = at —b sen t,
y = a - b c o s t, (0 < b < a).
©
3a n i
8
jc = 3/2, >*= 3/ —/ 3
Rpta. ^ ^ - u 2
b)x —/ —/ 2, y - t 3 -3t
81 2
Rpta. — u
20
c)
Rpta.
x = cos3 /, y - eos2 /.sen/
3/r
T
Hallar el área de la región encerrada por las curvas: x = —<
^ —,
1+ r
~ A na(n-2) 2
Rpta. ---------- - u
t e [0,+^o>, y el eje Y.
y
1+ /
596
(ó )
E d u a r d o E s p in o z a R a m o s
Hallar el área de la región limitada por la curva x = a eos5 t , y = b sen5
15a27r 2
Rpta. --------u
128
Calcular el área de la región limitada por la curva cerrada x = -----—, y
1+ r
1+ / ‘
a 2( 4 - n ) n 2
Rpta. ------------- u
4
©
Determinar el área encerrada por el lazo de la curva descrita por:
y = í 3 -1 2 /.
©
x =t 2 - 2 1 ,
Rpta. 129.6 u 2
Hallar el área encerrada por el lazo de la curva dada por: x = t 2 - t , y = / 3 - 3 / .
81 ,
Rpta. — u ~
V
20
©
Hallar el área encerrada por: x = í 3 - t . y - r + t . Rpta. ^ w 2
V.
®
Hallar la longitud del arco de la envolvente del círculo:
x = a(cos t + 1sen t), y = a(sen t - 1eos t) desde t = 0 hasta t = T.
Rpta.
Hallar la longitud de la envolvente de la elipse
x=
c 2 eos3 /
a
3
(c 2 = a 2 - b 2).
Hallar la longitud de un arco de
y = a( 1 - eos t).
c 2 sen3 1
:
b
’
»3
Rpta. A(—------- — )
ab
la cicloide dada
Rpta. 8a
por:
x a(t —sen t).
591
E c u a c io n e s a r a m é tr ic a s
(T)
Hallar la longitud de la curva dada por: x = a(2 eos t - eos 2t), y = a(2 sen t - sen 2t).
Rpta. 16a
2
(T)
Calcular la longitud de la curva cuyas ecuaciones son * = — + / ,
r
t= 0 h astat= l.
(ó )
v = — - / de
Rpta. l + ^ -ln (l+ V 2 )
Determinar la longitud
de la curva x = e ' sen / ,
hasta t = n.
y = e ' eos í , desde t = 0
Rpta.
71)
2
( 7)
Hallar la longitud del arco de la curva cuyas ecuaciones son: x - — , y = — ,
2
4
l <t <2.
(? )
Rpta. -(4V Í7-V 2)H -ln(4 + ^ ? )
4
1+ ^/2
Encontrar la longitud del arco de la curva dada por: x = l - a tgh(—),
a
desde t = -a hasta t = 2a.
( 9)
v = a sec h(—)
a
Rpta. [ln(cosh2)-ln(cosh(-l))]
Hallar la longitud de la curva dada en coordenadas paramétricas
v = e2r eos3/. desde el origen hasta el punto en que t = ln 2.
^ 0)
4
Las ecuaciones paramétricas de una curva son:
las
ecuaciones
paramétricas
Rpta.
|,y = 50(1 - eos / ) + 50(2 *-/) sen /
v = 50 sen i + 50(2 - / ) sen /
Determinar la longitud de la curva entre los puntos i = 0 y 1= 2.
Determinar
x = e 2í sen 3/,
Rpta.
100
de una curva jrscn/ + ycost = / 2,
x eos l —y sen t = 2t, en donde t es el parámetro, se pide hallar la longitud de la curva
•>
71
7l~ + ^4
comprendida entre los puntos 1= 0 y / = — . Rpta. — —— n
59K
^2)
E d u a r d o E s p in o z a R a m o s
Calcular la longitud de arco de la curva paramctrizada.
x = (t2 -2 )sc n / + 2/cos/, v - ( 2 - / 'i )cos/ + 2 /sc n /, desde 1= 0 hasta t = n.
n1
Rpta. -y-
^3)
Hallar la longitud de arco de cada un de las curvas siguientes:
a)
x = e sen / , y - e 1 eos / , 1 e [0,rc]
2
14j
Rpta.
V2(i' -1)
y
1
b)
x = 4 t - v = — + — .desde t= 1 hasta t = 3.
S 4/
Rpta.
—
c)
x = ef (cost + /sen /), v = V (se n /-/c o s/) t e [0.2tt]
Rpta.
2U’2*
Calcular ladistancia recorridapor unapartícula que
6
1)
viajaa lo largo de la curva dada
en forma paramétrica v = / 2-3 , y= 3tdurante el tiempo
t e [0,2].
Rpta. 5 —In 3
VI.
©
Hallar el área de la superficie engendrada por la rotacion alrededor del eje OX, de la
cicloide x = a{2 eos t eos 2l), y - a(2 sen t —sen 2t).
©
1^8 i *)
Rpta. - j - a~mi=
Hallar el area de la superficie engendrada al girar uno de los arcos de la cicloide:
x = a(t sen t), y = a( 1—eos t) alrededor:
a)
del eje OX
64¿?2
Rpta. ------ k u "
b)
del eje OY
Rpta. 16a ~n ~u ~
c)
de la tantieme a la cicloide en su punto supei iur
32a
Rpta. -------n u
599
E c u a c io n e s a r a m é tr ic a s
Hallar el área de la superficie de revolución que se obtiene al girar alrededor del eje
OX, las curvas dadas por:
( 4)
a)
x = acos3t , y = asen* t
Rpta.
b)
y =e * . x > 0
Rpta.
12
5
— a 2n u 2
—
(e"-2)nu2
Encontrar el arco de la superficie generada al girar alrededor del eje X la curva
O /*t
x = ef sen /, y = e* co sr* /e [ 0 ,—].
Rpta— — (en - 2 )
Hallar el área de la superficie generada al rotar alrededor del eje Y la curva x = t + 1,
2
'y
y =—
■ +1. t g [0.4],
Rpta.
(26^/26 - 2^2 )u 2
600
E d u a r d o E s p in o z a R a m o s
CAPITULO VIII
8.
COORDENADAS PO LA R ES-
8.1
INTRODUCCION.El sistema de coordenadas polares consiste de una distancia y la medida de un ángulo
respecto de un punto fijo y una semirecta fija. El punto fijo se llama el polo (u origen)
y se denota por “o’\ la semirecta fija se llama eje polar que denotaremos por OA y se
gráfica horizontalmente y a la derecha.
el polo
eje polar
o------------------------------------------ ►A
Sea P un punto distinto del polo “O” y 0 e ángulo en radianes cuyo lado inicial es
___
___
OA y su lado terminal OP. Entonces: si r es la distancia dirigida desde “O” a V4P”
(r = | OP |) un conjunto de coordenadas del punto P está dado por r y 0 y denotaremos
por: P(r,0) (ver gráfico).
Ejemplo.- Graficar los puntos PA4,—), A ( 4 - —) , /^ (-4 ,—), f tí- 4 ,“ —)
4
'
4
4
4
Solución
601
C o o r d e n a d a s P o la r e s
8.2
RELACION
ENTRE
COORDENADAS
POLARES
Y
RECTANGULARES,______________ _ _ _ _ _ ___________________
Suponiendo que el polo de un sistema de coordenadas polares coincide con el origen
del sistema cartesiano y el eje polar coincide con el eje X en sentido positivo.
Luego, cualquier punto P del plano tiene por representación en coordenadas polares
P(r,0) y cartesianas P(x,y).
P(r,Ö)
En el A OAP se tiene: tg0 =■
1
1
7
= * “ +>•“
=>
r = - / * 2 + V2
0 = arctg(—)
x
602
E d u a r d o E s p in o z a R a m o s
Que es la relación entre coordenadas polares y cartesianas.
7
Ejemplo.- Trazar el punto (-6,— ) y encontrar sus coordenadas cartesianas.
4
Solución
Como x = r eos 0 , y = r sen 0 entonces:
x = -6 eos — = -3a/2
4
7?r
V= -6 sen— =3^2
4
Luego ( a*, y ) = ( - 3 ^ 2 3 ^ 2 )
Ejemplo.- Encontrar una ecuación polar de la gráfica cuya ecuación cartesiana es
dada por jr2 + v2 =ff2
Solución
Se conoce que:
[x = rcos0
I v = rsen0
A'2 = r 7eos" ^O
v 2 = r 2 sen ’ (y
*>
a “ + ,v - r
Coino x 2 + y 2 = a 2 => r 2 = a 2 = > r = a
Por lo tanto la ecuación polar es
Ejemplo.- Encontrar una ecuación polar de la gráfica cuya ecuación cartesiana es
V" —4(x + l) .
Solución
Se conoce que: x = r eos 0» y = r sen Ü. Lue^o reemplazando en la ecuación
y■- = 4(x + l)
entonces
r 1 sen2 0 - 4 / eos0 - 4 = 0
r~ sen‘ 0 = 4(r e o s 0 +1 )
de
donde
603
C o o r d e n a d a s P o la r e s
Entonces
2(cos0±l) , , ,
2
r = ------- -----de donde r =-------------sen2 6
1—eos0
o
2
r - -----------l + cos0
Ejemplo.- Encontrar una ecuación cartesiana de la gráfica cuya ecuación polar es:
r 2 =2 sen 6 .
Solución
Se sabe que r 1 = x 2 +y 2, y = rse n 0
Como r 2 =2 sen 6 => x 2 + y 2 =
sen 0 = ~
r
2y
V*2 + y 2
(x2 -i-y2h j x 2 + y 2 = 2y
Ejemplo.- Encontrar una ecuación cartesiana de la gráfica cuya ecuación es: r 2 = 6 .
Solución
y
v
Conocemos que: tg 6 = — => 6 = arctg(—)
x
x
r 2 = x 2 + y 2 como r 2 =6 => x 2 + j 2 =arctg(—)
O
LA RECTA Y LA CIRCUNFERENCIA EN COORDENADAS
POLARES,_______ ! _ _ _ _________ t________ ■■:" ■
Consideremos la recta L que pasa por el punto A(a,o) y que es perpendicular al eje
polar ó a su prolongación, su ecuación cartesiana es dada por x = a. como x = r eos 0
entonces su ecuación polar es: r eos 0 = a.
Cuando a > 0, la recta L se encuentra a la derecha del polo; cuando a < 0 la recta L se
encuentra a la izquierda del polo.
604
E d u a r d o E s p in o z a R a m o s
L
L
___ A(a,0)
0
A(a,0)
0
*
a<0
a>0
Consideremos una recta L que pasa por el punto A ( a ^ ) que es paralelo al eje polar.
Su ecuación cartesiana es y = a, como y = r sen 0,
L
71^
2
0
entonces su ecuación polar es: rsen 0 = a.
Cuando a > 0, la recta se encuentra arriba del eje
polar; Cuando a < 0, la recta se encuentra por
debajo del eje polar; cualquier recta que pase por el
polo, su ecuación es 0 = k, donde k es la medida
del ángulo que forma la recta con el eje polar.
La ecuación de la circunferencia con centro en el polo y radio k es r = ± k es decir, el
punto P(r,0) pertenece a la circunferencia sí y solo sí | OP |= k .
605
C o o r d e n a d a s P o la r e s
Luego si la distancia | OP |= k , entonces r = ± k es la ecuación de la circunferencia
de centro en el polo y radio igual a k.
P(r,0) pertenece a la circunferencia y como AOPA es recto por ser inscrito en una
circunferencia. Luego cos0 = — de donde r = 2a eos 0.
2a
1.
Encontrar una ecuación polar de la gráfica que tiene la ecuación cartesiana que se
indica.
©
x 2 +y 2 + 4x = 0
©
©
x 2 = 6y - y 2
©
©
(x2 + y 2)2 =4(x2 - y 2)
y
x 2 +1
©
3x2 +4>-2 - 6 x - 9 = 0
©
jc4 +jc2>'2 —(x + y ) 2 = 0
©
©
x 3 =4y2
©
x 3 + y 3 -3axy = 0
©
y 2 -4 x-4 =0
2x
©
x 2 + y 2 +4x +4y = 0
7
©
©
V3
X
y “ 2a~
o x
/ 2 + y 2 x)3 =16x
\ f 2 y 2 (x
/ 2
(x
(x2 + y 2)2 =4x2y 2
©
x 2 + y 2 - 4 x + 2y = 0
2 x 2 - y 2 =0
©
(x2 + y 2)2 =2 a 2xy
6 06
II.
©
©
©
©
©
©
@
©
©
©
E d u a r d o E s p in o z a R a m o s
Hallar una ecuación cartesiana de la gráfica que tiene la ecuación polar dada:
r = 3 sen 0 + 5 eos 0
r 2 eos 20 = 10
r 2 =4cos2 0
r = 2 sen 30
r=a0
r 2 =4 sen 26
9
r —------------4 -5 co s0
r = 2 eos 20
/•sen2 6 =4cos0
j*
©
©
©
©
©
r 2 =2sen0
r 2 = eos©
r2 = 6
r 6 = r 2 eos2 6
3
r = ------------2 + 3 sen 6
© r = 1 + 2 sen 0
© r 2 eos 20 = 3
© r sen 20 = 3
© r = 2(1 + sen 0)
6
2 -3 sen 0
t* —
©
r = a sen 0 + b eos 0
© r = a(l —eos 0)
8.5
TRAZADO DE CURVAS EN COORDEN vDAS POLARES.-
—
4
3 -2 co sß
La gráfica ó lugar geométrico de una ecuación expresada en coordenadas polares es:
G = {(r.O) c- RxR l r ~ fft))}
DISCUSION DE UNA ECUACION POLAR.Para facilitar el trazado de la gráfica de una ecuac ón en coordenadas polares es
conveniente establecer el siguiente análisis.
607
C o o r d e n a d a s P o la r e s
ler. Las Intersecciones:
a) Con el eje polar: se hace 0 = nn, n e Z
b) Con el eje a 90°: se hace 6 =—+nn , n e Z
2do. Simetrías:
a)
Con respecto al eje polar: se reemplaza (r,-0) por (r,0) si no cambia la ecuación,
la curva presenta simetría.
b) Con respecto a eje a 90°: se reemplaza (r,0) por (r,jr —0) y por (-r,-0) si la
ecuación no cambia la curva es simétrica.
c)
Con respecto al polo: se sustituye (r,0) por (-r,0) si la ecuación no cambia la
curva es simétrica.
3er. Tabulación:
Se determinan los valores de r correspondiente a los valores asignados a 0 en el
dominio y se ordenan los pares.
4to. Trazado de la Gráñca:
En el sistema coordenado se localizan los puntos hallados y se traza la curva.
\ M
e j e m p l o s ,-
(!)
r = a(l + eos 0) (La Cardioide)
Discutir y graficar las ecuaciones.
Solución
a)
Intersecciones:
i)
Con el eje polar: 0 = nrc, n € Z
r = a(l + cosmr)
Eduardo Espinoza Ramos
608
i¡)
Sí
n = 0
=>
r = 2a,
S í
n = 1
=>
r =
0,
(O.tt)
si
n = -1 = >
r=
0,
( 0 , - tc )
Sí
n = 2
r = 2a,
C on
e l e je a
=>
—
(2 a ,0 )
( 2 a , 2 7 i) =
:
+
2
si
n = 0 ,
n
iii)
b)
1,
si
n =
-1 ,
C o n
6 = — , r = a,
(a ,— )
2
r =
G= - j<
e l p o lo :
r =
0
a^
r =
=>
a>
(a - y ) = ( ° > y )
c o s 0 =
- l
=>
0 =
3n
rr,
Simetrías:
i)
C on
r e s p e c to a l e je p o la r :
r =
a (l +
eos 0 ) =
a (l +
(r.-0 )
p o r ( r ,0 ).
c o s (-0 ))
=>
3
s im e lr ia .
71
¡i)
C o n r e s p e c to a l e je
¡ü )
c)
n =
e Z
2
2
si
(2 a ,0 )
+
eos 6 ) *
0 = — : (r.0 )
+
a (l
C o n
r e s p e c to a l p o lo :
(r, ü ) p o r (-r, 0 )
ó
( r , 0 4 - t i)
r =
a( 1 +
c o s (n - 0 ))
=>
3
s im e tr ía
4 5 °
60 °
7 v°
9 0 °
1 .7 0 a
1 .5 a
’■ 2 6 a
a
a ( 1+
c o s (n - 0 ))
(r,7 t — 0 )
r =
eos 0 ) *
a (l
p o r
=>
2
s im e t r ía
Tabulaciones:
0
15°
r
2a
1 .9 7 a
O
O
0
1 .8 7 a
609
Coordenadas Polares
UY
r 2 = 5 eos 26
( le m n is c a ta )
Solución
a)
Intersecciones:
i)
0 = n7c, n
C o n e l e je p o la r :
€
Z
r 2 = 5 eos 2 nn
r = ±4*>
Sí
n =
0,
0 = 0 ,
si
n =
1,
0 =
tu, r - ± 4 5
si
n =
-1 ,
0 =
- ti,
r = ± ^ 5
=>
(^ 5 ,0 )
y
( - ^ , 0 )
( 4 5 9n ) y ( - 4 5 9n )
=>
(45,- n ) y ( - 4 5 - n )
610
Eduardo Espinoza Ramos
ii)
C o n e l e je
ili)
a — : 0 = — + « /r,n e Z
2
2
Sí
n =
0,
r 2 = - 5 ,
3 r
si
n =
1,
r 2 = - 5 ,
3
si
n =
-1 ,
r2= -5 ,
2 r
C o n e l p o lo
r =
S i
eos 2 0 =
r =
0
e
R
r e
R
e
R
0.
6 = —
0
4
b)
2
Simetría:
i)
C o n r e s p e c t o a l e je p o la r :
(r,0 ) p o r (r,-0 )
r 2 = 5 e o s 2 0 = 5 c o s ( - 2 0 ) = 5 e o s 26>
ii)
C o n
r e s p e c t o a l e je y
:
(r,0 )
r 2 = 5 c o s 2 (7 r-0 ) = 5 co s2 0
iii)
C o n
p o r
=>
=>
r e s p e c to a l p o lo : ( r , 0 ) p o r ( - r , 0 )
i ul ulación.
0 0
R
±-V3
71
Tt
TT
6
~4
± 1.58
0
7
a
T
a
n
3
s im e tr ía
(T,n - 0 )
3 s im e t r ía
ó
(r,x t +
r 2 = 5 e o s 26 = ( ~ r ) 2 - r 2 ^ > 3 s i m e t r í a .
c)
4
0 )
611
Coordenadas Polares
r = 2 sen 3 0
(Rosa de tres pétalos)
Solución
a)
Intersecciones:
i)
C o n respecto al eje polar:
Q = nn
si n = 0 , 0 = 0 , r = 2 sen 0 = 0 , (0 ,0 )
si n = 1 , 0 = 7i, r = 2 sen 3 n = 0 , (0 ,tt)
si n = 2, 0 = 2tc, r = 2 sen 671 = 0, (0,27t)
si n = 3, 0 = 371, r = 2 sen 971 = 0 , (0,3tü)
¡i)
C o n respecto al eje a — : 6 = — + n n
Eduardo Espinoza Ramos
612
si
n = 2 , 0 = —
,
r = 2 s e n ^ ^
2
si
iii)
r =
( - 2 ,—
7n
,
2
—
r - 2
2 sen 3 0 =
21;r
-i
_
s e n ------------ = 2 ,
(2 ,—
2
0
)
2
)
2
r = 0
=>
30 =
=>
C o n r e s p e c to a l e je p o la r : ( r , 0 )
p o r
0
= y
Simetría:
i)
si
ii)
r =
2 sen 3 0 *
2 sen (-3 0 )
C o n r e s p e c t o a l e je a
si
iii)
r =
2 sen 3 0 =
—
2
r =
2 sen 30 =
:
=>
(r,0 )
(r,-0 )
3
s im e t r ía
p o r
(r,n - 0 )
2 s e n 3 (7 i - 0 ) =
C o n r e s p e c to a l p o lo :
si
c)
^
3, 0 =
C o n r e s p e c to a l p o lo :
si
b)
n =
= - 2 ,
3
3 sen 3 0
=>
(r,0 )
p o r
(-r,0 )
-2 sen 3 0
=>
3
s im e tr ía .
5 /r
71
B
s im e t r ía
Tabulación:
e
R
e
R
71
71
n
Ti
~6
~4
y
7 2
2
1 .4 1 4
2
1 .4 1 4
0
-1 .4 1 4
-2
2n
3n
5n
llT T
T
T
~6
12
0
1 .4 1 4
2
1 .4 1 4
e 5n
T
R
n
-1 .4 1 4
4n
T
0
1 7 tt
12
1 .4 1 4
71
105°
-1 .4 1 4
In
1 3 tt
2
3n
T
2
0
6
-1 .4 1 4
2 8 5 °
1 .4 1 4
-2
5n
T
0
ln
4
-1 .4 1 4
613
Coordenadas Polares
e
r
H tt
23>r
6
12
-2
-1.414
2n
0
“V
©
r = a(l - 2 eos 0)
Solución
a)
Intersecciones:
i)
C o n respecto al eje polar: 0 = n n, n e Z
n = 0, 0 = 0, r = -a, (-a,0)
n = 1, 0 = n, r = 3a, (3a,n)
n = -l, 0 = 71, r = 3a, (3a,-7i)
614
Eduardo Espinoza Ramos
s in
=
A0 , 0n = —71 ,
2
,
3/r
si n = 1,
si
iii)
b)
n =
6
-1 ,
/( a , — )
2
a,
3/r
r= a. (fl,— )
r =
a,
( a ,- — )
2
2
C o n r e s p e c to a l p o lo :
0
r =
Simetría:
i)
C o n r e s p e c t o a l e je p o la r :
r =
¡ i)
a (l -
2 eos 0 ) =
C o n r e s p e c t o a l e je
r =
Iii)
a( 1 -
2 eos 0 )
*
C o n r e s p e to a l p o lo :
a (l — 2 eos 0 ) ^
r =
c)
r =
(r,0 )
p o r
a (l -
2 c o s (-0 ))
—
(r,0 )
:
2
=> 3
s im e t r ía
p o r (r,7 i - 0 )
¿7(1 — 2 c o s ( 7 r -
(r,0 )
(r,-0 )
p o r
0 ))
(-r,0 )
ó
=>
s im e tr ía
( r jr + 0 ) .
2 e o s (7 i + 0 )
=>
n
5n
a (l -
3
3
s im e t r ía ,
Tabulación:
0
3n
~12
0
n
J
n
~4
y
1 7
0
0 .4 8 5 a
R
-a
-0 .9 5 a
-0 .7 3 a
-0 .4 1 a
0
In
2n
3 ;r
5n
3
4
12
r
1 .5 1 a
2a
~6
2 .4 1 a
L o s d e m á s p u n t o s e s d e c i r d e 7t a
2 .7 3 a
\\n
n
1
a
2n
12
2 .9 5 a
2n s e h a c e p o r s i m e t í a .
3a
615
Coordenadas Polares
1-CO S0
Solución
a)
Intersecciones:
i)
C o n respecto al eje polar: 0 = nn, n e Z
si n = 0, 0 = 0 ,
2
r =— , 3 r e R
0
si n = 1, 0 =
ti, r =
1, (l,n)
si n = -1,0 = -n , r= 1, (l,-7t)
Eduardo Espinoza Ramos
616
ii)
C o n r e s p e c to a l e je
Tí
_ _
si n = 0,
y
Z
7t _
r = 2>í2»-y)
3;r , r = 2o,
si n = l t, 0/i = —
/-*
( 2 ,— )
2
2
¡ii)
6 = y +nn, n e
:
C o n r e s p e c to a l p o lo :
0
r =
2
r =
3
0
q u e v e r if iq u e :
l- c o s f l
b)
Simetría:
i)
C on
r e s p e c to a l e je p o la r :
2
(r,0 )
=>
0
3
s im e tr ía
1 -c o s ( - 0 )
7T
ii)
C o n
r e s p e c to a l e je
—:
(r,0 )
p o r (r
r=
C o n
nn - 0 )
=>
l- c o s 0
iii)
(r,-0 )
2
1 — eos
c)
p o r
r e s p e c to a l p o lo :
(r,0 )
3
s im e t r ía
1 -C O S 0
l- c o s ( /r - 0 )
p o r
(~ r,0 )
o
(r,7 t +
0 ).
Tabulación:
0
15°
O
O
r^y
0
45°
90°
2 .6 6
2
4 .9 2
105°
120°
135°
150°
165°
O
O
QC
75°
5 7 .1 4
1 .6
1 .3 3
1 .1 7
1 .0 7
1 .0 1
1
r
oc
0
r
6 .8 2
60°
4
Coordenadas Polares
r = 3 eos 2 0
617
(Rosa de tres pétalos)
Solución
a)
Intersecciones:
i)
C o n el eje polar:
si n = 0, 0 = 0, r
= 3, (3,0)
si n = 1,
0 = 7i, r
= 3, (3,it)
si n = 2 .
0 = 271, r = 3, (3,271) = (3,0)
si n = -1,0 = -7i,
ii)
0 = nn, n e Z
r = 3, (3,-k ) = (3,7r)
71
71
C o n respecto al eje a y : 6 = — + n n , n € Z
Eduardo Espinoza Ramos
618
6 = — . r = -3 ,
( - 3 .— )
i o
3?r , r = - 31,
6= —
r( - 3 , —
si
n =
O,
si
n = l ,
si
n =
2, 0 = —
si
n =
- l,
2
2
^ „
.
iii)
2
5n
_
,
^
5 tt.
7T
,
r =
-3 ,
C o n r e s p e c to a l p o lo :
r =
co m o
0
r =
,
,
( - 3 ,—
r — -3 ,
6 = -------- ,
2
3 eos 2 6 =
)
2
, , 3 ir
) = ( - 3 ,—
)
_
(
-
7TX
3
) =
2
==>
4
Simetría:
i)
C o n
si
ii)
iii)
r e s p e c to a l e je p o la r : ( r , 0 )
r =
3 eos 2 0 =
3 eos (-2 0 )
=>
3
s im e t r ía
p o r
(r,7 t - 0 )
si
2(n - 0 ) = 3 e o s 0
=>
(r,0 )
(r,7 i +
r =
3 eos 20 =
3 eos
C o n r e s p e c to a l p o lo :
3 eos 2 (n +
(r*0 )
(r,-0 )
—
2
:
p o r
C o n r e s p e c t o a l e je a
r =
c)
2
0
4
b)
, _ 7T
( - 3 ,— )
p o r
0 ) = 3 eos 2 0
(-r,0 ) o
= > 3
3
s im e tr ía
0 )
s im e t r ía ,
Tabulación:
0
r
0
3
n
n
n
12
I
J
3^3
3.5
0
2
75°
n
90°
y
-3.5
3-^3
2
-3
619
Coordenadas Polares
e
120°
105°
n
135°
150°
0
1 .5
165°
4
3^/3
2
r
0
O
oc
0
r
3
-1 .5
0
2
195°
3 -V 3
2 1 0 °
2 2 5 °
24 0'
1 .5
0
-1 .5
2 7 0 °
r
-3
28 5°
3
2 5 5 °
_
3
^
2
2
0
3 ^3
^
2
3 0 0 °
3 1 5 °
3 3 0 °
3 4 5 °
3 6 0 °
-1 .5
0
1 .5
3-J3
3
2
620
©
Eduardo Espinoza Ramos
r
= 2 —2 sen 6
Solución
a)
Intersecciones:
í)
ii)
iii)
C o n
0 =
si
n =
0, 0 = 0.
r =
si
n =
1 , 0 = 7r,
r = 2 , ( 2 , tt )
si
n =
-1 ,
C o n
U =
- T i,
0,
6 - y
1
n = -371 ,
»
l , 0
n =
r =
si
n = l . f l
si
n
=
C o n
,
- ~
2,
-
( 2 , - tt) =
n
e
Z
r =
0,
A f( 4A. —
,
2 s e n 0 = O
r =
4,
r -
=>
n e
Z
( 0 ,y )
r = 4,
2
( 2 , tt )
0 = ~ +nn,
y .;
r e s p e c to a l p o lo :
2
n ir ,
2 , (2 ,0 )
r e s p e c t o a l e je
si
r =
b)
r e s p e c t o a l e je p o la r :
,A
)
= ( 4 ,- y )
( 4 - ^ )
2
0
sen 0 = 1
=>
6 =
2
Simetría:
h
C on
r e s p e c t o a l e je p o la r :
r = 2 -
ii)
C on
2 sen 0 * 2 - 2
r e s p e c t o a l e je a
(r,0 )
sen (-0 )
y
:
(r,0 )
p o r
=>
(r.-Ü )
3
p o r
s im e t r ía
(r.T i -
0)
r = 2 - 2 sen 0 = 2 - 2 sen (jt - 0) => 3 simetría
621
Coordenadas Polares
c)
Tabulación:
e
0 n
7r
TT
~2
7
y
1.48
1
0.58
0.26 0.66
e
lit
2n
12
R
1.51a
0
7 tt
3
5/r
6
2
R
7r
12
R
6
n
n
0
5n
llTT
T
3n
~4
~6
12
2a
2.41a
2.73a
71
13 tt
12
2
3a
2.51
5n
4
4 tt
11 n
3/r
T
12
T
12
T
3.41
3.73
3.92
4
3.93
3.73
\9n
5/r
622
©
Eduardo Espinoza Ramos
r =
20, 0 g [0,2tt]
( e s p ir a l d e A r q u ím e d e s )
Solución
a)
Intersecciones:
i)
ii)
iii)
C o n
si
n =
si
n = l , 0 = T r ,
si
n = 2 ,
C on
0, 0 =
r =
0.
si
n =
- l,
0
= -
—
2
,
4 7 r,
( 1 2 . 5 7 , 2 tt )
6 = y
0 ,
0 =
0 ,
r =
+
un, n e
( 9 .4 2 ,^ )
r = -J t,
r e s p e c to a l p o lo :
2 6 =
n e Z
(6 .2 8 ,k )
' Q = ~ Y ■> r = 3 j r ,
1
= n rc ,
(0 .0 )
r= 2 n ;.
r =
0
r e s p e c t o a l e je a 9 0 ° :
n =
C on
0,
0 = 2 7 ü,
si
r =
b)
r e s p e c t o a l e je p o la r :
(3 .1 4 ,-— )
2
0
(0 ,0 )
Simetría:
i)
C o n r e s p e c t o a l e je p o la r :
r =
ii)
C o n
2 0
* 2 (-0 )
=>
3
(r,0 )
p o r
(r,-0 )
s im e t r ía
r e s p e c t o a l e je a y
:
(r,0 )
p o r ( r ,jt - 0 )
r = 20* 2( tt- 0) => 2 simetría
Z
623
Coordenadas Polares
üi)
C o n respecto al polo: (r,0) por(-r,0) o (r,7r + 0)
r = 2 0 * 2(7t + 0) = > 2
c)
simetría
Tabulación:
e
r
6
r
0
r
0°
0
15° 30° 45°
0.52 1.05 1.57
60° 75°
2.09 2.62
90°
3.14
105°
120°
135°
150°
165°
180°
195° 210°
3.67
4.19
4.71
5.24
5.76
6.28
6.81
7.33
225°
240° 255°
270°
300°
315° 330°
360°
7.85
8.38
9.42
10.5
11
12.6
8.9
n Ái
11.5
624
8.7
Eduardo Espinoza Ramos
EJERCICIOS PROPÜESTOS,D is c u t ir y g r a f i c a r la s s ig u ie n te s c u r v a s
©
r = 4 eos 3 0
©
r =
©
©
2 -
( R o s a d e tr e s p é ta lo s )
4 eos 0
©
( L a re c ta )
6
sen
/■= e°
( C a r a c o l)
r 2 = a 2 e o s 26
r =
( e s p ir a l lo g a r í t m ic a )
( L a le m n is c o ta )
( ó )
r= ~
( R o s a d e c u a tr o p é ta lo s )
(I? )
r ( l — 2 eos 0 ) =
(ío )
r =
|2 a e o s 0 |
( E s p ir a l d e A r q u ím e d e s )
r =
a sen 2 0
©
r =
4 — 4 eos 0
©
r = 6 eos 4 0
12)
r =
3 — 3 sen 0
r =
14)
r =
1+ 2 eos 0
r =
2 eos 2 0
r =
2 a tg 0 - s e n 0
©
©
17)
7 sen 5 0
r = 2 -
2 sen 0
r = b +
a eos 0
(b >
^ 9 )
r =
(
i2a^
r = a( 1 — 2 eos 0 )
Í23
r = 4 sen 2 0
r =
a (2 + e o s 0 )
2 (1
a >
0)
( L im z o n )
( C a r a c o l d e P a s c a l)
+ sen 0 )
( C a r a c o l d e P a s c a l)
(1 8 )
(
20)
(
22)
r =
r =
r =
26)
3 +
4
4 eos 0
3 eos 2 0
3 eos©
/*
1-2COS0
;• = 4
r 2 = 9 s e n 20
30)
, 2 = -4 sen 26
r~ = - 2 5 e o s 2 O
32)
/• =
1-2 s e n 0
©
( S i)
sen©.eos- 6
2S)
©
( h ip é r b o la )
( C is o id e )
625
Coordenadas Polares
r = |cos 20|
(^4)
r = |sen 30|
©
r = 2 eos 4 0
(3^
r = 6 eos 5 0
8.8
DISTANCIA ENTRE DOS
POLARES.
PINTOS EN COORDENADAS
Consideremos dos puntos en coordenadas polares
Px(rx, 6 X) y P2 (rl 96 2) y cuyos
c om p o n e n t e s en el sistema de coordenadas cartesianas son
Px (xl 9y \ ) y P2 ( x l 9y 2)
y c o m o la distancia entre dos puntos es d a d o por:
d(Pl ,P 2 )= ^ j ( x 2 - x , ) 2 + ( y 2 ~ ^ i ) 2
d(Pi?P2) = ^jx¡ + y¡ + x 2 + y ¡ -2(XjX 2 + y ¡ y 2)
d(P¡,P2) = V ri2 + r 2 ~ 2 rxr2 cos(0, - 0 2 )
Solución
d(Pl ,P2) = -y]9 + 2 5 - 2(-3)(5) cos(75° - 45°) = V 3 4 + 3 0 c o s 3 0 ° = ^ 3 4 + 1 5 = ^ 4 9 = 7
d(P1,P2) = 1
626
Eduardo Espinoza Ramos
8.9
INTERSECCION PE CURVAS EN COORDENADAS POLARES.
Las
in te r s e c c io n e s
de
r e s o lv ie n d o la e c u a c ió n
Ejemplo.-
dos
c u rv a s
en
c o o rd e n a d a s
p o la r e s ,
se
d e t e r m in a
r y 0.
H a lla r lo s p u n to s d e la
r = a (l +
dadas
2co s 0 ),
r =
in te r s e c c ió n
d e la s c u r v a s
a eos 0
Solución
R e s o lv ie n d o e l s is te m a d e e c u a c io n e s s e tie n e :
a (l +
=>
2 eos 0 ) =
e o s 0 = -1
=>
a eos 0
0 =
71
s u s t it u y e n d o e l v a lo r e n c u a lq u ie r a d e la s e c u a c io n e s s e t ie n e
in te r s e c c ió n
e s ( - a ,7 i) ( s i r =
O B S E R V A C IO N .-
0 , a m b a s e c u a c io n e s tie n e n
r =
- a t lu e g o e l p u n t o d e
s o lu c ió n ) .
C o n s id e r e m o s la e c u a c ió n d e u n a c u r v a e n c o o r d e n a d a s p o la r e s .
r-ífe )
la m is m a c u r v a e s ta d a d a p o r :
E n e fe c to :
n =
0,
r =
f(0 )
n =
1,
-r =
f(0
+ 2
p
-.(2)
i l t
n) = > P(-r, 0 + T i)
P (-r. 0 + 2 t t )
n =
2. r = f ( 0 + 2 k ) = >
P (r, 0 +
2n)
p o r lo t a n t o ( 1 ) y ( 2 ) s o n e q u iv a le n te s .
L u e g o
p a ra
h a lla r lo s
p u n to s
M g u e lo s s ig u ie n te s p a s o s :
de
in te r s e c c ió n
de
la s
c u rv a s
r =
f(0 )
y
r =
g (0 )
se
627
Coordenadas Polares
1)
S e obtiene todas las ecuaciones distintas de las dos curvas aplicando (2) en cada
u n a de ellas.
2)
Jr = /,(0)
fr = f 2m
\r = h { 0 )
l^g.íe)’
\ r = g 2( e y
\ r = g 3 l0 )
Se resuelven las ecuaciones simultaneas.
| i r - / , » )
V = 8(0I
3)
I r - * , (6)
Se verifica si el polo es u n punto de la intersección haciendo r = 0, en cada
ecuación para determinar si existe solución para 0 (no necesariamente la m i s m a )
Ejemplo.-
Hallar los puntos de intersección de las curvas. r = 2 eos 0 y r = 2 sen 0
Solución
Calculando las ecuaciones distintas de las dos curvas para el cual aplicamos.
(-l)n r = f (6 + n n ) y n c Z
para n = 1,
se tiene:
f—r = 2 eos (0 + n)
j r = 2 eos 0
l - r = 2 sen(0 + n)
\ r - 2 sen 0
C o m o se obtiene las m i s m a s ecuaciones entonces es suficiente resolver el sistema de
ecuaciones iniciales.
Ír = 2 c o s 0
r = 2sen0
=> sen 0 = eos 0 = >
r =2cos— = ^ 2
4
tg 0 = 1 =>
n
0 = —
4
=> r = V 2
luego el punto de intersección de las curvas es P(-j 2 .— )
4
628
Eduardo Espinoza Ramos
Ejemplo.-
Hallar
los
puntos de
intersección de
las curvas r = 4(1 + sen 0) y
r(l— sen 6) = 3
Solución
C alculemos las distintas ecuaciones de las curvas dadas, para lo cual aplicamos.
( - l ) V = / ( 0 + /i/r), n e z
se tiene
r = 4(1 + sen(0 + /r))
para n = 1, <
para n = 2, «
r=
r = 4(1 — sen 0)
3
l - s e n ( 0 4 - /r )
\-r
3
1 + sen 0
r = 4(l + sen(0 + 2/r))
\r = 4(1 + sen 0)
3
3
l - s e n ( 0 + 2/r)
l-sen0
r —---------------
El sistema (2) va repitiendo, luego para hallar los puntos de intersección resolveremos
los sistemas de ecuaciones dada.
r - 4(1- sen 0)
r—
3
l+ s e n 0
^
3
„
J3
eos“0=—
=
>
eo
s0
=
±
—
4
2
e=~-, e = — ,
6
- r = 4(sen-^--l) = — 2
como
1 - sen 2 0 = —
4
1 + sen 0
6
6
, r-2
r = 4(sen 0 - 1 )
- r = 4(sen-^--l) = - 2 ,
P 3 (2 , ^ ) ,
6
P4(2,-^)
6
r = -2
6
Coordenadas Polares
8.10
629
DERIVADAS Y RECTAS TANGENTES EN COORDENADAS
POLARES.
Consideremos la ecuación de u n a curva d a d a por
C: r = f ( 0 )
S a b e m o s que las coordenadas cartesianas y polares están relacionados por:
x ~ r eos 0 ,
y - r sen 6
» . ( 2)
L u e g o al reemplazar (1) en (2) en la ecuación de la curva lo escribiremos en la forma.
;
| y #?:/ ( e ) . s e n ö
que son las ecuaciones paramétricas de la curva con parámetro 0.
Ahora
calculamos la derivada de cada ecuación paramétrica con respecto al
parámetro 0.
= f ' (0) eos 0 - / ( 0 ) sen 0
[x = /( 0 ).c o s 0
^
Iv = /( 0 ).s e n 0
dy_
= f ' ( 6 ) sen 0 + f ( 6 ) eos 0
d6
luego calculamos —
es decir
dx
dy
dy _ de _ / ' ( 0 ) s e n 0 + / ( 0 ) c o S 0 = r m x g e + m
dx
dx_ / ’
(O) eos 0 - / ( 0 ) s e n e
f (6 ) - / ( 0 ) tg 0
de
n
—
dy
r ( 0)lge + f ( 0)
lgOd e +r
dx
/ ' ( 0 ) - / ( 0 )tgo
dr__r i ß
dB
B
630
Eduardo Espinoza Ramos
tg0.
d y ..
dx dr
dr
— i-r
de
-rtgíí
m
C o m o la —
dx
representa la pendiente de la recta tangente a la curva, se tiene que:
Si a es el ángulo f o r m a d o por la recta tangente y el eje polar, entonces:
,
r+ ig0. ~
... 4 S L
--'•tge
Si P(r,0) es el punto de tangencia y 8 es el ángulo que forma el radio vector
OP y la
tangente, veremos los siguientes casos:
i)
Se deduce que a = 0 + 5
i¡)
=> 5 = a - 0, aplicando tangente se tiene:
tg 5 = tg (a - 0)
631
Coordenadas Polares
S= a+ 7T -0
=> f t =7T + ( a - 0 )
de donde
tg 8 = tg{7T + ( a - 0 ) = t g ( a - 0 ) p o r lo t a n t o e n a m b o s c a s o s s i g n i f i c a q u e :
- t 0
tg S = — — — - —
1+ t g a . tg 0
tg 8 = t g ( a - 0 ) d e d o n d e
. n dr
r + lg6.—
com o
tg a =
^
ÉL - n g e
de
/+tg0.—
d6
dr
rige
de
tg<5 =•
-tg 0
,, dr
r + tg£.—
1+
r + r tg”e
dr
2 n dr
—
+ tr0.—
dB B
dO
e
dfí
dr
- — r tge
de
s _
t
g
r(1+ tg -O )
dr
------(1 + t g
de
Ejemplo.-
_
2 fl4
5
0)
r
_ /(fl)
dr
f'(0 )
J ' ’
------
de
H a l l a r e l á n g u l o a y 8 , e l v a l o r d e la p e n d i e n t e d e la t a n g e n t e e n e l p u n t o
dado.
(?)
r = 4(1 + s e n 0), P(4,0°)
Solución
r = 4(] + sen 0) = >
„ dr
r + lge.—
*
tg« =
de
ÉL -n g e
de
tg a = 1
n
a= —
4
—
de
= 4 eos 0
=> —
de e=o
4+ 0
t g a = -------- = 1
4-0
= 4
Eduardo Espinoza Ramos
632
f'(0 )
(?)
w
4
4
r = a(l - eos 0)
0 = - , a > 0
6
Solución
r = a(l — eos 0)
=>
d6>
= a sen 6
r = a(l — eos 0) para 0 = —
6
r + tg0.—
=>
_ a
=> —
rfO e = l ” 2
r = — (2 - ^ 3 )
2
—(2—y¡3)+—. ^ ~
tga = — — — —
=>
t g a = — --------
^ - r t g e
2
d6
c o m o tg a = 1i =>
5
a = —^
4
n
n =>
S* ~ a ~ 6a = ------
—
4
6
2
3
71
12
C o n sideremos u n a función continua y positiva en el intervalo [a,p], suponiendo
—►
q u e la curva C tenga por ecuación
r = f{0) y dos radios vectores
que pasan por las rectas 0 = a y 0 = p
—►
OP¡ y OP2
Coordenadas Polares
633
Pi
6 =a
r = f(0)
El area de un sector circular es igual al semiproducto del radio por el arco.
L u e g o el área del i-ésimo sector circular es:
L u e g o el área de los n sectores circulares es:
Teniendo en cuenta que la integral definida, expresa geométricamente el área bajo u n a
curva, por lo tanto el área buscada es el limite de los n sectores circulares, es decir:
A—
- Um
tim /
ft
~ il:p...if r r- m
.... ..............—
¿ív
2
2 -la
L u e g o el área determinada por el radio vector de la curva al desplazarse d e la posición
—^
—y
OPx a la posición OP2 es expresada por la fórmula.
Ejemplo.- Hallar el área de la figura limitada por la cardioide r = a(l + eos 0).
Solución
634
Eduardo Espinoza Ramos
11 rfP 0
r-dO
a=i l
r = f(0) = a(l + cos 0)
0
a = 2[—
2 Jo
- o 1 f (l + 2 c o s 0 + c o s 2 6 )d 6 - a 2 (—
2
+ 2 sen fl + S e n )/*
4
'0
-
---- i f ~
dos
función
Jo
A
OBSERVACION.-
Consideremos
a 1 {\ +cos 6 ) 2 d 6 ]
.
0
3¿r;r
i
f,g : [a,p] =>
R
< g(G) < f(0), V 0 <e [a,p]
por los gráficos r = g(0), r = f(0) y las rectas 0 = a
tales
que
y sea
R
y 0 = p entonces el área de la
región R es expresado por la fórmula.
Ejemplo.-
Hallar el área de la figura limitada por la curva r = 2a sen 3 0
fuera del círculo r = a.
Solución
Sean
rx = 2 ¿ * s e n 3 0
r, = a
que está
el secto
Coordenadas Polares
635
El v o l u m e n V del sólido obtenido por la rotación alrededor del eje polar d e la
región R limitada por la curva r = f(0) y las rectas
0 = a y
0 = p es d a d o por
la fórmula,
3
Ejemplo.-
Ja ;________
del
i
Hallar el v o l u m e n del cuerpo engendrado al girar la curva
r = ¿7 e o s 2 6
alrededor del eje polar.
Solución
Co n sideremos u n a función
r = f(0) continua
en el
intervalo
[a,p]; c o m o
x = r eos 0, y = r sen 0, por diferenciación se tiene:
ídx = eos 6 .dr - r sen 6 .d 0
\
[dy = sen 6 .dr + r eos 6 .d6
—
(l)
Si en coordenadas cartesianas se tiene ds c o m o la hipotenusa de u n triángulo de
catetos dx, dy. Entonces.
(<
kf ~(dxfH
dy?.
...(2)
636
e=p
Eduardo Espinoza Ramos
—
►
x
A h o r a reemplazando (1) en (2) se tiene:
(ds )2 = (cos 0 . d r - r sen 6 .d 6 ) 2 + (sen ti.dr + r eos 6 .d6 ) 2
(ds )2 = c o s 2 6 (dr )2 + r 2 s e n 2 6 (d 6 ) 2 - 2 sen 0 e o s 0 .dr.d0 + s e n 2 6 (dr )2 +
+ r 2 eo s 2 6 (d 6 ) 2 + 2 r s e n 0 eo s O.drdi)
(ds ) 2 = ( s e n 2 0 + eo s 2 6 )(dr ) 2 + r 2 (sen2 6 + e os2 6 )(d 6 ) 2
(ds ) 2 =(dr ) 2 + r 2 (dO)2 extrayendo la raíz cuadrada
ds = 4 ¡ d ñ 2 + r 2 (dO) 2 = J r 2 + ( ~ ) 2 d 6
Integrando a m b o s m i e m b r o s de a hasta p.
que la longitud del arco de la curva desde A hasta B.
TEOREMA.-
Si f es u n a función continua en el intervalo cerrado [a,P], entonces
la longitud de la curva r = f(0), desde, Px(rl 9a ) hasta P2 (r29(})
está expresado por:
Coordenadas Polares
637
t
Ejemplo.-
Hallar la longitud total de la cardioide r = a(l + eos 0)
Solución
r = a(l + cos0)
dr
de
= - a sen 0
L = f J/-2 +(r')2dO
Ja
c o m o la gráfica es simétrica.
L = 2 ^ -y/o2 (1+ e o s 6 ) 2 + a 2 s e n 2 6 d 6
L = 2-^2 a í
Jo
18.12
-v/2 e os — d 6 = 8 a s e n — /* = 8 0
2
L = 8a
2 '0
KJKKCl<IOSDESARROLiAPt)S.Calcular el área de la región limitada por la lemniscata
r 2 = 9 eos 2 0 .
638
©
Eduardo Espinoza Ramos
Hallar el área limitada por la curva
r 2 = a 2 sen 46
Solución
Del gráfico se tiene:
1 f*'4 i
r * /4 ■>
r■
2rf0] = 2 £
o 2 sen 4 0 ¿ 0
A = 4[— jo
A
^
2
<í/\ é7[/A
i4 = — — eos 4 0 / o
2
/f)
d
2
= - —
2
|.
“>
[ - l - l ] = <r
A = a 2u 2
©
Hallar el área comprendida entre la primera y segunda espiral de A r q u í m e d e s r = a0.
Solución
Del gráfico se tiene:
] #*2K
A=—
^ *
donde,
A
=
-[2*[a2(e + 27r)-a2e 2]d0
rx = a 6 y r2 = a ( 6 + 2 n)
2 Jo
/.
©
77
(r{ - r,~ )d 6
^ = 8fl2^ 3!/2
Hallar el área d e la región encerrada por la Lemniscata r 2 = 4 sen 2 0
Solución
L a gráfica es simétrica con
entonces
0 = n/2
e=0
X
respecto al polo,
^ z { r rideH ‘í¡mwM
2
A = - 2 c o s 2 6 / o ' = -2[-l-l] = 4
/.
= 4m
639
Coordenadas Polares
©
Hallar el área de la región encerrada por la curva r = a sen 2 0
Solución
C o m o la gráfica es simétrica con respecto a ios dos
ejes entonces.
1 cRl- o
cKÍ- *>
A =4/1, = 4 [ - Jo ¡-dB] = 2jo a 2 sen
2 f/í2
A = a \ (1— c o s 4 0 ) í / 0 = a
2^
s e n 4 0 v ,jt/2
( 6 -------- ) /
Jo
..
©
.
o'tt
2
n
a 27r
= ----2
■
>
A = ---- u~
2
Encontrar el área c o m ú n de las dos circunferencias r = 2 sen 0 y r = 2 eos 0.
Solución
U b i q u e m o s la región c o m ú n
Calculando las intersecciones
ir = 2 c o s 0
r = 2sen0
tg 0 = 1 =>
sen 0 = eos 0
n
6 =—
4
también se intercepta en el polo (origen) es decir
para r = 0 se satisface las ecuaciones
] /«TT/4
A = -\
2 Jo
1 rntl
(2sen e ) 2 d 6 + ~~\
2
-
rn i 4
Jí)
rm l
( 2 c o s 0 ) 2 ¿ 0 = 2 [ s e n 2 0.¿0 +
J?r / 4
.4 = n í - c o s z s w s t r
o + « » 2 e ) í e = (e - ” “ ) / " 4 + , e + i ? ! “ ) / " !
Jo
Jtt.4
2
' 0
2
' nl
Eduardo Espinoza Ramos
640
Encontrar el área d e la región acotada por la curva r = 2 a eos 0 y q u e se encuentra
(fy
Hiera del circulo r = a.
ik
Solución
Y
n
Calculando la intersección
/ —
/
/
/
~4<—
\\
/ /*
/
'
t
\\X °M
l ''
3
IV = 2a eos 0
\
\
\
ay
\\
1
Í2a
cosfí = —
2
Ir = a
\
......... *
X
X r
de d o n d e 6 = — , 0 = —
3
3
'
C o m o se tiene simetría respecto al eje polar.
1 pR1^
A = 2[— i ( 2 a c o s 0 ) 2 í / 0 - 2 Jo
a dO] = 4a í
Jo
2 Jo
n / 3iJcu^
eos2 6.d0 - a 2 f d e
Jo
-i
. , 2 f/í3
2a l*n
1 2/„
S e n 2 0 4 / ff/3 fiTTT
A = 2a J (1 + c o s 2 0 ) d 6 - a ® / 0 = 2cr (0 + — — — ) / () — —
/.
©
.
/4 = a
V 3 t *»
(— + — — )«“
3
2
7 ,Tl
Calcular el v o l u m e n de un sólido obtenido por rotación d e la región acotada por la
curva
r = a e o s 2 6 alrededor del eje polar.
Solución
Por simetría se tiene:
V =2[-y £
V
eos6 0sen0.</0]
y _ 4a37i ^_cos 70 ^ j n .i _ 4a^jz ^
1
21
-y
^
641
Coordenadas Polares
®
Calcular el v o l u m e n del sólido obtenido al hacer girar la cardioide r = a(l + eos 0),
a > 0 alrededor del eje X.
Solución
U b i c a n d o la región se tiene:
■>
Del gráfico se observa qu e el sólido de revolución
se obtiene de hacer girar alrededor del eje X
la
región de la parte superior de la cardioide.
27T Cn
„1
2 n ( l + C O S 0 ) 4 f l 3 tn
V= —
<r(l + cos0) senfl.¿/0 = --------------- ----- /
3 Jo
7
3
4
/o
3
©
Hallar
R:
el
volumen
del
sólido
generado
por
la
rotación
de
la
región
a < r < a 4 2 sen 26 , a > 0, alrededor del eje polar..
Solución
U b i c a n d o la región de las curvas polares q u e encierran c o m o R:
a < r < a^J2 sen 26 ,
a > 0, entonces r = a circunferencia.
r 2 = a 22sen26 ,
0 e [ 0,y]U[/r,—
corresponde a la gráfica de la Lemnicata.
]
donde
la ecuación
r 2 - 2a 2 s e n 20
Eduardo Espinoza Ramos
642
Por simetría se tiene
V = 2VX
F = 2[— i[(úh/2sen 26)
3 Jtt/12
] s e n O .dB -------------í
3 J/r/12
a
senOMG]
rSa/12
^^ 4/r[f5'1'1 2 2V2(sen20)3/2sen0.</0-a3Psen0.rf0]
3
[J*
K
4 ,1a 3
V=
7r/12
^ o 3 2-v/2(sen20)3/z senfíxiO+ cos6 /
,5»/12 3
[f5íI ‘
V 2 V 2 ( s e n 2 0 ) 3,2 s e n 0 ¿ 0 + - L
/12
-yj2.
7T
Sea 0 = --- r
4
J*5tt/12
Jff/12
J« 7 !2
.. . d )
= > d 0 = -dz, reemplazando en (1)
1 _ ií«^ / o - ? -
(sen 26) ' sen
= —=
(eos z)
“(eos z)dz =
*yj2. J 71'^
R e e m p l a z a n d o (2) en (1) se tiene:
F =
[2^2.
3?r + 8
32
+_!_]
«y2
.-(2)
643
Coordenadas Polares
0
©
Hallar la longitud del arco de la parte de la parábola
r = a see 2 (— ), cortado de la
m i s m a por la recta perpendicular que pasa por el polo.
Solución
Como
- — <0
2
<—
2
0
o
r 2 = a 2 sec4 (— ) d e d o n d e r = o s e c 2 (— )
dr
—
de
26
= a sec—
2 * 2
L = r 2 J o 2 sec4 A + Ö 2 sec4 A tg2 A
J-n/2 V
2
6
.te—
2
2
dO
.0
L = [ n 2 a s e e 3 ( - ) d O = 2 a[4 ¿ +ln(-j 2 +1)]
J-ít/2
©
2
U n móvil recorre u n a pista q u e sigue la trayectoria de la espiral de Arquímedes.
Solución
dr
d
e
►
r = a0 = > —
=a
Ja V
de
de
L = [2nJ a 2e 2 +a2dO = a t
Jo
Jo
L = a [ - 4 Ü ^ 2 - ^ - ^ e + ^ ü ^ 2 \ ] j 2"
\
\
Jü ^d O
644
Eduardo Espinoza Ramos
L = a[n^J1 + 4tt2 + -i-ln|2tt+ -\/lh-4?r2 |]
(l3)
Hallar la longitud del bucle (Lazo) d e la curva polar r = sec3 (y)
Solución
I-
Por simetría se tiene:
L
J'n n>
.
f
+(í
i/«
‘
■>,,0
dr
3 6
0
r = see (— ) => -— = sec (— ).tg(— )
3
de
3
3
) + s e c 6 (|).tg2 (|)
Z, = f l £ s e c 4 (y)rf0 = 1 2 ^ 3
de
/. Z, = 12-^3
8.13
EJERCICIOS PROPUESTOS.-
I.
Halle los puntos de intersección de las gráficas del par de ecuaciones dado:
©
2r = 3
r = 3 sen 6
r = 2cos0
©
{r = 2 s e n 0
©
Y = 4e
r = n 12
©
V = 1- sen 0
r = eos 20
©
>
= 3
©
/• - 2 eos 2 0
Ir = l + c o s G
r —2 sen 6
[r = cosí? -1
©
r = eos 26
©
r 2 = 2cos0
r=1
Coordenadas Polares
©
©
©
II.
645
r = 4 tg 0 . s e n 0
r sen 0 = 4
r —4 c o s 0
r eos 0 = 4
r = 2 eos 0
> = tg0
r = 2 ^ 3 sen 0
r = 4sen0
r = 4(1 + sen 0)
r 2 sen 2 0 = 8
r(l-sen0) = 3
rcos0 = 2
= 4
r = sen 0
e=4
= sen 2 0
r = 4sen0cos2 0
r = 1 + eos 0
r = sen 0
r = l-sen0
Calcular el área de la región de las curvas que se indican y hacer su gráfica.
( í ) r = a eos 0, 0 < 0 < n ß
Rpta. 0.37 a~ u
©
Rpta.
r = a(l - eos 0)
a 2u 2
r = 4 eos 2 0
Rpta.
An u 2
r = a eos 5 0
Rpta.
^ — u2
r = a sen 2 0
n .
Tía
Rpta. — —
(ó)
r = a(l + 2 sen 0), 0 = - - ^ ,
^7)
r = eos 30
0 =
In
Rpta. 2 7T +
Rpta. —u
4
7
u~
3^3
o
646
Eduardo Espinoza Ramos
r = b + a eos 0, (0 < b < a)
©
Rpta.
” 1{ a 2 + 21J2)
2
7UJ2
r = a eos 0
©
Rpta. ------- U
2
2
2
2 sen 36
r = a ------
Rpta. cr2 ( | - l n 2 ) M 2
r = 2 sen 3 0
Rpta.
n u2
r 2 = 9 sen 2 6
Rpta.
9 u2
r = 4 — 4 eos 0
Rpta. 2 4 n
©
r 2 = 4 sen 26
Rpta. 4
©
r 2 = 2 a 2 sen 30
Rpta.
©
©
©
©
cosí?
u2
u2
4a 2 u 2
III.
n /a
y exterior a r = sen 0
R p ta. — + ----
(V )
Hallar el área interior a r = 4 sen 6 eos2 6
©
Calcular el área de la región que es interior a la curva r = 2a eos 3 0 y exterior al
6
8
q2
círculo r = a, a > 0.
Rpta. —
©
Hallar el área c o m ú n a las cardioides r = a( 1 ±eos 0)
(T)
Hallar el
área encerrada por las curvas
6
( 2 ^ + 3*\/3)w2
3
R p ta. — -—
r = ------ —
y r = 2 a en el intervalo de
cos-(-)
0=0 a 6 = - .
2
a
ti — 8
a 2u 2
Rpta. - ( 3 7 i - 4 ) u 4
647
Coordenadas Polares
Calcular el área exterior a la lemniscata
r 2 = 2 a 2 e o s 2 0 c o m p r e n d i d a dentro del
1
circulo r = a .
©
r%
"*■3 ^ 3 2 2
Rpta. ----------a u
Hallar el área de la regirá que es interior a la curva r = 3 a eos 2 0 y exterior a la curva
r = a ( l + cos20). a > 0 .
Rpta.
4
a 2( 4 n + —
3 VJ nÍ 5- -b6 aa ))
D o n d e a es tal eos 2 a = — 4
(7)
Hallar el área limitada por la curva r 2 = a 2 sen 40 .
Qj)
Hallar el área limitada por la parábola
(11)
r = 2a eos 3 0 q u e esta fuera del
circulo r = a.
R p ta. — —
Calcular el área de la superficieobtenida
al rotar, alrededor del eje polar,
Lemniscata
R p ta.
r 2 = a 2 eos2 0 .
Hallar el área de la superficie generada
u2
2na 2 ( 2 - ^ ¡ 2 ) u 2
al rotar alrededor del eje X
Rpta.
la
la
curva
~
Hallar el área de la superficie generada 1 rotar la curva r = 2a eos 0 alrededor del
ejeX.
(1 3 )
y
14-8^2 2 2
r = a(l + eos 0), a > 0, 0 < 0 < Jt.
(12)
0 = —
Rpta. --------- a Lu ¿
Hallar el área de la figura limitada por la curva
©
a 2u 2
r = a sec2 (— ) y las semirectas
n
a 2n
Rpta.
Hallar el área de la superficiegenerada
*.
alrededor del eje a —
Rpta. 4 o 2 tt
alhacer girar la circunferencia r = 2a sen
■ 2 n_ 2
Rpta. 4a
0
Eduardo Espinoza Ramos
648
^4)
Hallar el área dentro de r = 8 eos 0 y a la derecha de la recta r = 2 sec 0.
Rpta.
(l5)
^ ^ - + 4^3
Hallar el área de la región dentro de r = 10 sen 0 y e n c i m a de la recta r = 2 cosec 0.
Rpta. 2 5 / T - 5 8 + 1 0 - V 5 - 5 0 a r c s e n ( - | = )
-v/5
©
Hallar el área de la región encerrada por las curvas:
a)
r = e e , 0 < 0 < n , r = e 6' 2 , 0 < 0 < n y los rayos 0
=2n
y 0 = 3n.
Rpta.
b)
r = e 6 , 2 7 t < 0 < 3 7 t , r = 0, 0 < 0 < n y los rayos 0 = 0 y 0 = 71.
Rpta.
^ 7)
j - [ 3 e An (e 2n - ) 2 n 3]
Encontrar el área de la región limitada por la curva.
a)
(x 2 + y 2 ) 3 = 4 a 2xy(x 2 - y 2), a > 0 .
Rpta. a 2
b)
x 4 + y4 =x2 +y2
Rpta.
IV.
Calcular la longitud de la curva
r - a sec2 (— ) desde 0 = 0 hasta 6 = — .
2r
^
Rpta. a [ V 2 +ln(l+-\/2)]
©
Hallar la longitud del arco de la espiral hiperbólica
hasta el punto (— ,2).
Rota
r0 = 1
*¿)
desde el punto (2,— )
'
649
Coordenadas Polares
©
Hallar la longitud de la curva r = 2 b tg 0. sen 0, b > 0 desde 0 = 0 desde 6 - — .
3
©
Calcular la longitud del arco de la curva
r = sen3(^-)
O<0< — .
2
Rpta. — (271-3-^3)
8
©
Hallar la longitud del arco de la espiral logarítmica
encuentre dentro del círculo r = a.
r = aem , ( m > 0),
Rpta.
Hallar la longitud del arco de la curva
entre
que se
+
m
(ó)
comprendida
r = a s e n 1 (— ), a > 0.
Rpta.
2
2
'
Cj)
Hallar la longitud del arco de la curva 6 = — (/■+ — ), desde r = 1 hasta r = 3.
2
r
4
^
©
Calcular la longitud del arco de la curva
+ ln3
2
r - 6 2 , entre 0 < 0 < tt.
Rpta.
®
G
Rpta.
(lo)
ix
Calcular la longitud del arco de la curva r = <?cos3 (— ), entre O < 0 < — .
3
2
—(2n + 3^3)
X
Hallar la longitud del arco de la parte de la parábola
r - ¿7sec2 (^-), cortada por la
recta perpendicular que pasa por el polo.
2a[42 +ln(-s/2 + l)]w
Rpta.
650
(íí)
Eduardo Espinoza Ramos
Calcular la longitud del arco de la curva r = sen 0 desde
0 e [0,2tt].
Rpta. n ú
(12)
Hallar la longitud de la primera espira d e la espiral de A r q u í m e d e s r = a0.
Rpta.
( 13 )
Calcular la longitud del arco de la espiral hiperbólica r0 = 1 desde
4
0, = - .
2
3
(Í 4 )
a n - J ^ ñ 2 + l + —l a \ 2 n + - ^ 4 n 2 + 1 1
2
0,
hasta
3
5
Rpta. ln(— ) + —
H
2
12
Si R es la región exterior a la circunferencia r = eos 0
e interior a la cardioide
r = 1 — eos 0. calcular la longitud de su perimetro.
Rpta. 4-^3 + y
©
Calcular la longitud total de la curva r = o s e n 3 (— ).
3
3<m
Rpta.
2
© )
Encontrar la longitud de la espiral logaritmica
r = — desde (r,,6 l ) hasta (r 2 ,0 2 ) .
0
Rpta.
© )
aln^ — ^ L
l + ^ a 2 + r 2 - ^ j a 2 +r 2
r2 ( a + ^ a 2 + r 2 )
Hallar la longitud de r = 4 — 4 eos 0.
V.
©
Hallar el v o l u m e n del sólido obtenido por la rotación alrededor del eje polar de la
figura acotada por la cardioide r = 4 + 4 c o s 0 y las rectas 0 = 0 y 0 = y .
Rpta. 160;r « 3
Coordenadas Polares
(7)
651
Hallar el v o l u m e n del cuerpo generado por la rotación de la figura limitada por u n a
semi espira de la espiral de A r q u í m e d e s r = a0, desde a > 0, 0 < 0 < ir.
2a * n 2 ( n 2 -6) 3
Rpta. ------- -------- u
©
Hallar
el v o l u m e n del sólido f ormado por rotación alrededor del eje polar d e la curva
.
r = 3 sen 20.
( 4)
Hallar
el
576
3
Rpta. ---- n u
35
volumen
del
sólido
generado
por
a < r < a ^ 2 s e n 20 , a > 0 alrededor del eje polar.
la
rotación
a.3_2
n
Rpta.
de
u
la
superficie
3
242
©
Hallar el v o l u m e n en coordenadas polares por la curva r = a tg 0 al girar alrededor
del eje polar y entre los límites 6 = — y 0 = 0.
4
Rpta.
2
^[61n(3 + t / 2 ) - 7 t / 2 ] w 3
652
Eduardo Espinota Ramos
íAPENDICE
I.
LOGARITM OS.a*=N, a>0<=>
jr = log a N
(1)
loga AB = loga A + loga B
(2)
loga —
x = e y <=> y = log e x = Lux
= log„ A - loga B
B
®
log a A " = n L o g aA
G)
log0 C Í = - l o g a A
©
log N
log¿ N = log,, o.loga N = -y-g b
n
(cambio de base)
II . ...... ECUACIONES CUART1CAS.x4 + 2 p x 3 + q x 2 + 2rx + s= 0, s u m a n d o (ax + b)2
x 4 + 2 p x 3 + q x 2 + 2rx + s + (ax + b)2 = (ax + b)2
x 4 + 2 p x 3 + (a2 + q)x2 + 2 (r + ab)x + s + b 2 = (ax + b)2
(x2 + p x + k)2 = (ax + b )2
x4 + 2 p x 3 + (p2 + 2k)x2 + 2 p k x + k 2 = (ax + b)2
Apéndice
653
2 p k - 2r ~
lab
p k - r = ab
(p k - r )2 = a 2b 2 =>
(pk - r)2 = a2 b2 = (p2 + 2 k p - q) (k2 - s)
simplificando:
2 k 3 - q k 2 + (2pr - 2s)k - p 2 s - r 2 + qs = 0
Hallando las raíces de k se tiene: (x2 + p x + k)2 = (ax + b)2
Jt2 + ( p - a ) x + k - b = 0
x 2 + px + k = ± (ax + b)
de d o n d e
*
x 2 +(p + a ) x + k + b = 0
I1L
ECUACIONES CUBICAS x 3 + p x 2 + qx + r = 0
haciendo x = y - p/3
'*1 ^
qi
se transforma en y + (q - p /3) y + ---- ---27
3
i
7
2p
y3 + Q y + R = 0
se hace
donde
y= A + B
Eduardo Espinoza Ramos
654
0
y = k f ( x ) = c=> — = k f ' ( x )
dx
Q)
y =f{x)± g(x)^> — =f'(x)± g (x )
dx
( 4)
dx
y = f ( x ) = x"=> — = f ' ( x ) = nxn l
©
y = f ( x ) . g ( x ) ^ — = f'{x).g {x)+ f(x).g '(x)
dx
.f(x) dy g ( x ) . f ' ( x ) - f { x ) . g ' ( x )
® y - g(x)
dx
g(x)~
----- => —
©
dx
V.
= --------------- i----------
>=(/(*))" = > —
= « í/ ,(jc))""1 ./'(*)
DERIVADAS DE LA S. FUNCIONES TRIGONOM ETRICAS Y
SUS 1NVERSAS.©
>» = sen(/(x)) => —
= cos/(x)./*(x)
dx
( 2)
y = cos(/(x)) => — - —s e n ( f ( x ) ) . f ' ( x )
©
y = tg(/(*)) => —
dx
dx
( 4)
= see2 ( f ( x ) ) . f ' ( x )
y = ctg(/(x)) => —
= - c o s ec2( f (x))./’
(x)
dx
( 5)
y = sec( f (x)) => — = sec( /'(x)).tg(/(x))./'(x)
dx
(?)
y = coser(/(x)) => — = - c o s t r ( f (x)).ctg(/'(x))./'(x)
dx
Apéndice
\ 1 )\
655
r.s.
dy
y = are. sen,(/(*))
=> — =
dx
Jl-f-(x)
v,
dy
y - arc.cos{f (x)) =>— =—.
W
*
®
rfv
>• = are. tg( / (x)) = > —
<¿v
f'(X )
■
-/'(*)
-
V 1- /
(* )
rw
= ----- V---!+/-(*)
,nl
A , ,, „
dy
- f (x)
10} y = arc.e tg( / (x)) ^ — =
2
dx 1 + / (x)
n11)
i
/ rt » = > —^ = ■
y = arc.szc(f(x))
1
111
¿y
y = arc.cosec(f (x)) = > —
-/'(x)
»
w L ' a u i ,A S: FUNCIONES' EXPONENCIALES •V
. * i OGARITPMICAS.-'
VI,
® y=
©
dy
lo g „ ( / ( x ) )
=>
a * 0 ,1
/'(x)
,v = In(/(x))
rfr
©
logfl e
- f = - ^ - ./ '(x ),
í¿í /(x)
>• = fl/(x) => —
/(x)
= a f( x ) .Ln
a .f(x)
dx
©
v = / <,> => —
=/ M .f { x )
dx
©
y = ( . f ( x f lx) ^> — = g ( x ) ( f ( x ) f ( x y i . r ( x ) + ( f ( x ) f (x)ln ( f( x ) ) .g '( x )
dx
656
Eduardo Espinoza Ramos
VIL
DERIVADAS DE LAS FUNCIONES HIPERBOLICAS Y SUS
INVERSAS.*
©
y = senh ( / (x)) => —
= cosh(/(x))./'(x)
> = c o s h ( / (*)) => —
= senh(/(x))./’
(x)
>’
= tgh(/(x))=> —
= s e c A 2 (/(.v))./'(x)
dx
©
dx
dx
©
j> = ctgh(/(x)) => —
dx
©
dx
©
y = sech(f(x))=> — = - s e c h ( f ( x ) ) A g h ( f ( x ) ) . f ' ( x )
y t eos e h ( f ( x ) ) => —
dx
= - c o s ech2 ( f ( x ) ) . f ’(x)
= - c o s e c h ( f( x ) ) . c tgh(/(x)). f ’(x)
(J7;
«ív
>• = ore. senh( A x ) ) => — =
/'(x)
■
-
^ 8)
rfy
± f'(x)
y = ore. cosh(/(x)) => — =
dx 1/ / 2 ( x ) - l
®
í/v
r(x)
^ = are. tgh(/(x)) => — = - ^ 5 ------------------ ,-< ffr)< 1
dx 1- f ~ { x )
10)
dv
f ’(x)
y = arc.c tgh(/(x)) = > — = — — ^---- ,
dx l - / - ( x )
11 111)
«,/r
« => —^
3;= arc. see h
( f /(x))
dx
(fix)) > 1
= '
/(x)Vl - f \ x )
Apéndice
657
dv
12) y = are. cosech(f (x)) => — = ■
- / ' ( x)
dx |/(x )|V l+ /2(Jc)
...................................................................................................................■'■■■■
©
Jodx = ax +c
© Jd (f(x)) = f{x) +c
© J(/(x)±g(x))dx = Jf(x)dx +Jg(x)dx
\ x ndx=—-- +c,
J
/i +1
n*-1
»+1
f undu = —— +c,
©
n*-\
n+ 1
J
J-^=Ln|«| +c
| eVw=eu +c
(5 )
f audu =+c,
J
®r
lno
rfw
—
a >O, a ^ 1
1
j
u
= — a rc tg — + c
U -Q
^
J uL -a~
2a
u +a
+c
658
Eduardo Espinoza Ramos
í/ + tf
Jo2-«2
rf«
©
©
j
2a
u-a
+ c
.u
= are. sen(— ) + c
a
= Z,wL + ^ u 2 + a 2 + c
y¡u~ +a~
+ c
^ó) JVa2- i c d u =-^-a/o2-w2+y-c/r.sen—+<
^7) J*Vw2- a 2d u - ^ 4 u 2 - a 2 - — Lnu + •ju2 - a 2 + c
(l8) JVtr+ a2du = —^ju2 +a2 + — Lnu + -Ju2 +a2 + c
19J
j sen udu = - c o s w + c
(20) Jeos udu = sen 1/ + c
(2 1 )
J tg udu = -L«|cos w|+ c
©
J c tg wí/w = £«|sen u\ + c
/ see wí/w = ¿;/|sec u + tg «| + c
@
1 eos ecudu =
Líbeos ecu —c tg «| + c
Apéndice
659
©
sec2 udu = lgu + c
©
cos ec2udu = - c l g u + c
©
sec w t g u rfw = s e c w + c
©
cos ecu.c tg udu = - cos ecu + c
©
senh udu - cosh u + c
©
cosh udu = s e n h w + c
©
tgh udu = Ln|coshw| + c
©
c tgh udu = L/?|sec hu\ + c
©
sec fru d u = t g h w + c
©
cos ech2udu = - c tgh u + c
©
sec hu. tgh udu = - sec hu + c
©
cos ech u. c tgh udu = - cos ech u + c
©
sen (bu)du = <■»(0 sen(,’
")-
©
a +bL
e
au
,,
x,
cos (bu)du = e
au (a cos bu + b sen(bu))
-------- j --- — — + c
a +b
♦c
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P . D a iik o
P opov.
^19 )
P r o b le m a s y E je r c ic io s d e A n á l i s i s
M a te m á tic o p o r :
B . D e m id o v ic h .
(
20)
P r o b le m a s y E je r c ic io s d e A n á l i s i s
M a te m á tic o p o r :
G . N , B e rm a n
(
21)
C a lc u lo
(
22)
5 0 0 0 p r o b le m a s d e A n á lis is M a te m á tic o p o r :
B . P . D e m id o v ic h
(
23)
A n á lis is d e u n a V a r ia b le
C e ls o M a r t í n e z . C a r r a c e d o .
D ife r e n c ia l e In te g r a l T o m o I, I I p o r :
R e a l p o r:
N . P is k u n o v
M ig u e l A . S a n z A lix
(
24)
C a lc u lo D if e r e n c ia l e in te g r a l p o r :
G r a n v ille - S m ith
(
2? )
C a lc u lo c o n G e o m e tr ía A n a lític a
R .E . J o h n s o n — F .L .
p o r:
K io k e m e is te r -
(2 ó )
(
27)
(2 8 )
C a lc u lo p o r:
C a lc u lu s T o m o I , I I
- L a n g le y
E .S . W o lk .
J a m e s S te w a rt
p o r:
M ic h e l S p iv a k
P r o b le m a s d e la s M a t e m á t ic a s S u p e r io r e s
I, IIp o r:
V . B o lg o v , A . K a r a k u lin , R .
S h is ta k
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)
30)
32)
C a lc u lo
D ife r e n c ia l e In te g r a l
p o r:
Y u
T a ke u ch i
C a lc u lo I n f in it e s im a l c o n G e o m e tr ía A n a lí t ic a p o r :
G .B . T h o m a s
C a lc u lo c o n G e o m e tr ía A n a lític a p o r :
E d w a rd s y
C a lc u lo d e u n a V a r ia b le p o r :
F in n e y — D e m a n a -
P enney
K e n n e d y
33)
C a lc u lo d e u n a v a r ia b le p o r :
C la u d io
P ita
B 4 )
C a lc u lo
A lv a r o
P in z ó n
(
II p o r:
R u i/
W a its —
PEDIDOS AL POR M AYOR Y M ENO R
AV. GERARDO UNGER N° 247 OF. 202
Urbanización Ingeniería (Frente a ia UNI)
Teléfono: 3888564L IM A —PERU
OBRAS DEL
■ Matemática Básica para estudiantes de Ciendás e Ingeniería
■ Análisis Matemático I para estudiantes de Ciencias é Ingeniería
■ Análisis Matemático II para estudiantes de Ciencias é Ingeniería
■ Análisis Matemático III para estudiantes de Ciencias é Ingeniería
■ Análisis Matemático IVpara estudiantes de Ciencias é Ingeniería
■ Transformada de Laplace
p Sucesiones y Series Infinitas
A Geometría Analítica Plana
■ Vectores, Matrices y sus Aplicaciones
■ Algebra Lineal
■ Rectas, Planos y Superficies
■ Números Complejos y Polinomios
■ Variable Compleja
■ Solucionarlo de Makarenko (Ecuaciones Diferenciales)
■ Solucionarlo de Análisis Matemático f por Deminovich
■ Solucionarío de Análisis Matemático II por Deminovich
■ Solucionarlo de Análisis Matemático III por Deminovich
■ Solucionarlo de Análisis Matemático !I1 por G. Berman
■ Solucionarlo de Leithold 2da. Parte
■ Solucionarlo de Matemática para Administración y Economía
de Weber
Pre - Universitario:
■ Trigonometría Plana
■ Algebra