Práctica 3: Equilibrio de fuerzas
Constante elástica de un muelle
Francisco Luis Jiménez Navarro - GT1 - Física I
Fecha: 05/05/25
Índice
Resumen……………………………………………………………….. 2
Objetivos……………………………………………………………….. 2
Metodología...………………………………………………………….. 3
Materiales…………………………………………………………….… 3
Procedimiento Experimental…………………………………………. 4
Datos y resultados…………………………………………..………… 4
Discusión………………….……………………………………….…... 12
Conclusiones………………….…………………….……………...…. 12
Cuestiones…………………………………………………………..…. 13
Bibliografía…………………………………………………………...… 14
Resumen
Antes de comenzar la actividad, confirmamos que todos los materiales estaban
en buenas condiciones para ser usados. Con la balanza del laboratorio, medimos
las masas de las 10 pesas y del soporte de pesas que íbamos a utilizar. Luego,
colocamos el soporte de pesas en el muelle, usando la parte inferior del soporte
como referencia. Desde allí, añadimos las pesas una a una y anotamos cuánto
se elongaba el muelle. Repetimos todo el proceso para el segundo muelle.
Finalmente, colgamos un objeto sólido en ambos muelles y anotamos las
elongaciones correspondientes. A continuación, calcularemos el peso que cada
pesa ejerce y haremos un gráfico que muestre la relación entre la elongación y
el peso. Además, ajustaremos la línea de regresión usando el método de
mínimos cuadrados, que nos servirá para encontrar la constante elástica de cada
muelle. Por último, determinaremos la masa del sólido problema utilizando la
ecuación obtenida del ajuste de la recta.
Objetivos
Los objetivos de este informe son calcular la constante elástica de dos muelles
diferentes mediante el método estático y la masa del sólido problema utilizando
sus respectivas elongaciones en ambos muelles.
Metodología
Esta práctica se fundamenta en la Ley de Hooke. Esta ley establece
que el alargamiento unitario que experimenta un cuerpo elástico es directamente
proporcional a la fuerza aplicada sobre el mismo.
F=kΔl
Siendo:
F: Fuerza de tracción.
K: Constante elástica del muelle.
Δl: Alargamiento que le produce la fuerza de tracción F.
Es importante conocer que la ley de Hooke es solo una aproximación lineal de
primer orden a la reacción real de los muelles y otros cuerpos elásticos a las
fuerzas aplicadas.
Esta tiene un límite, y falla si se le aplica una fuerza suficiente como para que el
muelle alcance su máxima elongación
Por otro lado, la Ley de Hooke proporciona una aproximación adecuada para la
mayoría de los cuerpos sólidos, siempre que las fuerzas aplicadas y las
deformaciones resultantes sean suficientemente pequeñas.
Materiales
Los materiales e instrumentos necesitados para la realización de la práctica son
los siguientes:
- Juego de pesas: 10 pesas de diferente masa.
- Porta-pesas: nos permite colocar las diferentes masas.
- Balanza: instrumento para conocer las masas, con sensibilidad 0,01g.
- Dos muelles.
- Escalera métrica para medir longitudes, con sensibilidad 1mm.
- Sólido problema: sólido de masa desconocida, cuyo objetivo es determinar
dicha masa con la elongación del muelle
Procedimiento experimental
Para calcular la constante elástica del muelle se puede emplear un
procedimiento estático (directo) o un procedimiento dinámico (indirecto).
Nosotros nos centraremos en un procedimiento estático, el cual se basa en lo
siguiente:
En primer lugar,y tras medir la longitud del muelle, suspendemos una masa M
del muelle vertical, este se estira debido a la acción del Peso hasta alcanzar una
posición de equilibrio, donde la fuerza recuperadora del resorte
iguala al peso. Es decir, Mg=kΔl.
De esta manera colocaremos distintas masas sobre el muelle, tomando datos de
las masas y la nueva longitud del muelle con los distintos pesos colgados de él.
Así podremos calcular la elongación que ha sufrido el muelle al verse sometido
por una fuerza peso específica, y creando la recta de regresión podremos
determinar la constante elástica k del muelle.
Este proceso sería necesario repetirlo para cada uno de los dos muelles y para
10 masas distintas
Datos y Resultados
- Muelle 1
En cuanto a los datos recogidos en el laboratorio:
Hemos recogido la masa total colgada del muelle sumando las distintas masas
colocadas en el portapesas, por lo que el error será mayor proporcionalmente
cuantas más masas hayamos colocado en él, en vez de ser un error constante
como sería el caso si hubiéramos pesado la masa en cada intento.
Por tanto en este caso el error de las masas serán el número de masas colocadas
por la sensibilidad de la balanza que es 0,01g
Por otra parte, habiendo medido la masa, podemos calcular la fuerza peso, con
un error que vendrá dado por:
ΔP=g⋅ΔM+M⋅Δg
Por último, este muelle tiene una longitud original de 7 cm, cuya diferencia
respecto a la longitud tras colgar la masa nos permitirá calcular el alargamiento,
el cual tendrá un error de 0,002 por ser la suma del error de la longitud inicial y
final del muelle.
Pesa
1
2
3
4
5
6
Masa total M Masa total M
(g)
(kg)
Peso(N)
Longitud
total (cm)
±0,1cm
Longitud
total (m)
±0,001m
Alargamiento
producido
(m)±0,002m
20.00±0,01
0,02±
0,00001
0,1962±
0,0003
10
0,1
0,03
30.00±0,02
0,03±
0,00002
0,2943±
0,0005
11,5
0,115
0,045
40.00±0,03
0,04±
0,00003
0,3924±
0,0007
13
0,13
0,06
50.00±0,04
0,05±
0,00004
0,4905±
0,0009
14,5
0,145
0,075
60.00±0,05
0,06±0,0005
0,5886±
0,0011
16
0,16
0,09
80.00±0,06
0,08±
0,00006
0,7848±
0,0014
18,5
0,185
0,115
0,9810±
0,0017
21,5
0,215
0,145
7
100.00±0,07 0,1±0,00007
8
120.00±0,08
0,12±
0,00008
1,177±0,002
24
0,24
0,17
9
140.00±0,09
0,14±
0,00009
1,3734±
0,0023
27
0,27
0,2
10
160.00±0,1
29,5
0,295
0,225
0,16±0,0001 1,570±0,003
A continuación, usamos el método de mínimos cuadrados para hallar la recta de
regresión.
Para determinar a,b y r añadimos la siguiente tabla:
nº
Xi(m)
yi(N)
xi*yi
xi²
yi²
1
0,0300
0,1962
0,00589
0,0009
0,0385
2
0,0450
0,2943
0,01324
0,0020
0,0866
3
0,0600
0,3924
0,02354
0,0036
0,1540
4
0,0750
0,4905
0,03679
0,0056
0,2406
5
0,0900
0,5886
0,05297
0,0081
0,3464
6
0,1150
0,7848
0,09025
0,0132
0,6159
7
0,1450
0,9810
0,14225
0,0210
0,9624
8
0,1700
1,1772
0,20012
0,0289
1,3858
9
0,2000
1,3734
0,27468
0,0400
1,8862
10
0,2250
1,5696
0,35316
0,0506
2,4636
Suma
1,1550
7,8480
1,19290
0,1740
8,1801
Suma²
1,3340
61,5911
Media
0,1155
0,7848
∑𝑥𝑖
Xn=
𝑁
= 0,1155
a=
𝑁·∑𝑥𝑖𝑦𝑖− ∑𝑥𝑖∑𝑦
𝑁 ∑ 𝑥𝑖²−(∑𝑥𝑖)²
b=
∑ 𝑥𝑖²∑𝑦𝑖− ∑𝑥𝑖∑𝑥𝑖𝑦
𝑁 ∑ 𝑥𝑖²−(∑𝑥𝑖)²
r=
= 7,05746
= -0,03032
𝑁 ·∑𝑥𝑖𝑦𝑖− ∑𝑥𝑖∑𝑦𝑖
(𝑁 ∑ 𝑥𝑖²−(∑𝑥𝑖)² )(𝑁 ∑ 𝑦𝑖²−(∑𝑦𝑖)² )
= 1,00017
Para determinar el error de a y b añadimos la siguiente tabla:
xi(m)
yi(N)
xi-xn
(xi-xn)²
yi-axi-b
(yi-axi-b)²
0,030000
0,196200
-0,085500
0,007310
0,014796
0,000219
0,045000
0,294300
-0,070500
0,004970
0,007034
0,000049
0,060000
0,392400
-0,055500
0,003080
-0,000728
0,000001
0,075000
0,490500
-0,040500
0,001640
-0,008489
0,000072
0,090000
0,588600
-0,025500
0,000650
-0,016251
0,000264
0,115000
0,784800
-0,000500
0,000000
0,003512
0,000012
0,145000
0,981000
0,029500
0,000870
-0,012012
0,000144
0,170000
1,177200
0,054500
0,002970
0,007752
0,000060
0,200000
1,373400
0,084500
0,007140
-0,007772
0,000060
0,225000
1,569600
0,109500
0,011990
0,011992
0,000144
0,000000
0,040623
-0,000166
0,001026
Suma:
∑(𝑦𝑖 − 𝑎𝑥𝑖 − 𝑏)²
∆𝑎 =
= 4, 245115
(𝑁−2)∑(𝑋𝑖 − 𝑋𝑛)²
b=
1
(𝑁
+
(𝑋𝑛)²
∑(𝑦𝑖 − 𝑎𝑥𝑖 − 𝑏)²
)(
∑(𝑋𝑖 − 𝑋𝑛)²
(𝑁−2)
) = 0,007412
La gráfica que relaciona el Peso y el alargamiento es la siguiente:
Estas barras de error tienen sentido ya que conforme aumentamos la masa el
error también es mayor.
La recta de regresión por tanto será:
y= (7,06±0, 06)x + (-0,030±0,007)
Por lo que k= 7,06±0, 06 N/m
- Muelle 2
Procedemos de igual manera que para el primer muelle. El procedimiento es el
mismo, luego los cálculos de los errores son de la misma forma.
La longitud original del muelle 2 es de 13 cm
Pesa
1
2
3
4
5
6
Masa total M Masa total M
(g)
(kg)
Peso(N)
Longitud
total (cm)
±0,1cm
Alargamiento
producido
(m)±0,002m
Longitud
total (m)
±0,001m
20.00±0,01
0,02±
0,00001
0,1962±
0,0003
14
0,14
0,01
30.00±0,02
0,03±
0,00002
0,2943±
0,0005
15
0,15
0,02
40.00±0,03
0,04±
0,00003
0,3924±
0,0007
15,5
0,155
0,025
50.00±0,04
0,05±
0,00004
0,4905±
0,0009
16,5
0,165
0,035
60.00±0,05
0,06±0,0005
0,5886±
0,0011
17,5
0,175
0,045
80.00±0,06
0,08±
0,00006
0,7848±
0,0014
19
0,19
0,06
0,9810±
0,0017
20,5
0,205
0,075
7
100.00±0,07 0,1±0,00007
8
120.00±0,08
0,12±
0,00008
1,177±0,002
22
0,22
0,09
9
140.00±0,09
0,14±
0,00009
1,3734±
0,0023
23,5
0,235
0,105
10
160.00±0,1
25,5
0,255
0,125
0,16±0,0001 1,570±0,003
Para hallar la recta de regresión:
nº
Xi(m)
yi(N)
xi*yi
xi²
yi²
1
0,01
0,1962
0,00196
0,0001
0,0385
2
0,02
0,2943
0,00589
0,0004
0,0866
3
0,025
0,3924
0,00981
0,0006
0,1540
4
0,035
0,4905
0,01717
0,0012
0,2406
5
0,045
0,5886
0,02649
0,0020
0,3464
6
0,06
0,7848
0,04709
0,0036
0,6159
7
0,075
0,9810
0,07358
0,0056
0,9624
8
0,09
1,1772
0,10595
0,0081
1,3858
9
0,105
1,3734
0,14421
0,0110
1,8862
10
0,125
1,5696
0,19620
0,0156
2,4636
Suma
0,5900
7,8480
0,62833
0,0484
8,1801
Suma²
0,3481
61,5911
Media
0,0590
0,7848
∑𝑥𝑖
Xn=
𝑁
= 0,059
a=
𝑁·∑𝑥𝑖𝑦𝑖− ∑𝑥𝑖∑𝑦
𝑁 ∑ 𝑥𝑖²−(∑𝑥𝑖)²
b=
∑ 𝑥𝑖²∑𝑦𝑖− ∑𝑥𝑖∑𝑥𝑖𝑦
𝑁 ∑ 𝑥𝑖²−(∑𝑥𝑖)²
r=
= 12,16321
= 0,06717
𝑁 ·∑𝑥𝑖𝑦𝑖− ∑𝑥𝑖∑𝑦𝑖
(𝑁 ∑ 𝑥𝑖²−(∑𝑥𝑖)² )(𝑁 ∑ 𝑦𝑖²−(∑𝑦𝑖)² )
= 0,99741
Para determinar el error de a y b:
xi(m)
Suma:
yi(N)
xi-xn
(xi-xn)²
yi-axi-b
(yi-axi-b)²
v
0,196200
-0,049000
0,002401
0,007398
0,000055
0,02
0,294300
-0,039000
0,001521
-0,016134
0,000260
0,025
0,392400
-0,034000
0,001156
0,021150
0,000447
0,035
0,490500
-0,024000
0,000576
-0,002382
0,000006
0,045
0,588600
-0,014000
0,000196
-0,025914
0,000672
0,06
0,784800
0,001000
0,000001
-0,012163
0,000148
0,075
0,981000
0,016000
0,000256
0,001589
0,000003
0,09
1,177200
0,031000
0,000961
0,015341
0,000235
0,105
1,373400
0,046000
0,002116
0,029093
0,000846
0,125
1,569600
0,066000
0,004356
-0,017971
0,000323
0,000000
0,013540
0,000006
0,002995
∑(𝑦𝑖 − 𝑎𝑥𝑖 − 𝑏)²
∆𝑎 =
= 0, 166282
(𝑁−2)∑(𝑋𝑖 − 𝑋𝑛)²
∆b =
1
(𝑁
+
(𝑋𝑛)²
∑(𝑦𝑖 − 𝑎𝑥𝑖 − 𝑏)²
)(
∑(𝑋𝑖 − 𝑋𝑛)²
(𝑁−2)
) = 0,011562
Como en el gráfico del muelle anterior, es interesante comentar el aumento de
error conforme va aumentando el peso por lo mencionado anteriormente.
La recta de regresión es:
y= (12,16±0, 17)x + (0,067±0,012)
Por lo que k= 12,16±0, 17 N/m
- Sólido problema
De la igualdad Mg=k∆𝑙 despejamos la masa y tenemos la siguiente ecuación
M=
𝑘∆𝑙
𝑔
El error será el siguiente:
ΔM = |∂M/∂k| Δk + |∂M/∂g| Δg + |(∂M/∂Δl)| Δ(Δl) =
= (Δl/g)Δk + |−(kΔl/g²)| Δg + (k/g) Δ(Δl)
Continuaremos calculándolo para cada muelle.
- Muelle 1.
La medida de la elongación es de x= 0,1m.
Así, M=
𝑘∆𝑙
𝑔
=
7,06*0,1
9,81
= 0,071967
ΔM = (Δl/g)Δk + |−(kΔl/g²)| Δg + (k/g) Δ(Δl) = (0,1/9,81)0,06 +
|−(7,06*0,1/9,81²)|*0,01 + (7,06/9,81)*0,002 = 0,002124
Por lo que la masa del sólido problema es M= 0,0720±0,0021 kg
- Muelle 2
La medida de la elongación es x=0,05m.
Así, M=
𝑘∆𝑙
𝑔
=
12,16*0,05
9,81
= 0,061977
ΔM = (Δl/g)Δk + |−(kΔl/g²)| Δg + (k/g) Δ(Δl) = (0,05/9,81)0,17 +
|−(12,16*0,05/9,81²)|*0,01 + (12,16/9,81)*0,002 = 0,003409
Por lo que la masa del sólido problema es M= 0,062±0,003 kg
El sólido problema realmente tiene una masa de 0,007025 kg, ya que fue pesado
en la práctica. Esta información nos indica que la aproximación del sólido
problema en el muelle 1 se mantiene dentro del rango, mientras que la
estimación del muelle 2 es menos precisa. Esto puede deberse fácilmente a
errores experimentales.
Discusión
En la realización de la sesión de laboratorio, recopilamos un total de 10
mediciones de masa, cada una de las cuales generó un determinado grado de
elongación para cada muelle. Con esta información, hemos elaborado gráficos
que vinculan el peso y el alargamiento, los cuales presentan una relación lineal,
donde la pendiente representa la constante elástica del resorte correspondiente.
Al comparar las constantes elásticas de los muelle, se observa que la constante
elástica del resorte 2 es casi el doble de la del resorte 1. Esta observación es
coherente, ya que durante el experimento se podía notar que el mismo peso
generaba una elongación más significativa en el muelle 1 en comparación con el
muelle 2.
Al analizar los datos del sólido problema, se evidencia que el resorte 1 presenta
un alargamiento mayor. Esto sucede ya que la constante elástica del muelle 1 es
menor a la del muelle 2.
Finalmente, se puede afirmar que se han alcanzado todos los objetivos
planteados para esta práctica.
Conclusión
Como el coeficiente de correlación lineal de ambas gráficas es cercano a 1
podemos afirmar que las rectas son buenas, desde un punto de vista estadístico
podemos decir que es fiable.
También podemos sacar como conclusión que cuanta más masa colguemos del
muelle mayor será su elongación, mientras no superemos el límite de elasticidad
del muelle.
Al colgar una misma masa de ambos muelles se producirá una mayor
elongación en el muelle 1. Esto se debe a que como Mg=k∆𝑙 y el peso es el
mismo y k2>k1, entonces se obtiene que ΔL1>ΔL2
Finalmente, para comentar los resultados al aproximar la masa del sólido
problema, la masa del sólido problema era 70,25g, y los intervalos de
aproximación han sido [69’9 , 74’1] para el muelle 1 y [59 , 65] para el muelle 2
(medido en gramos) . Como he comentado anteriormente, la masa si se
encuentra en el primer intervalo, pero no en el segundo. Esto puede deberse a
errores experimentales.
Cuestiones
1. ¿Se podría utilizar un muelle vertical, tal como el de esta práctica, para
determinar el valor de la aceleración gravitatoria g? ¿Cómo?
Si, se trataría de un procedimiento similar. Al suspender un objeto de masa
conocida sobre el muelle, si sabemos la constante elástica del muelle y la
elongación producida podemos calcular el valor de la aceleración gravitatoria.
Considerando que Mg=kΔl, consistiría en conocer g = kΔl/M
2. ¿Cuál es el trabajo que realiza el muelle sobre el sólido problema cuando éste
se desplaza hasta que se equilibran su fuerza peso y la fuerza elástica? Calcule
este trabajo para cada uno de los muelles.
Calculamos el trabajo W y su error ∆𝑊
𝑥𝑓
𝑥𝑓
1
W= ∫ -kx dx = -k || 2 𝑥² || 𝑥𝑖
𝑥𝑖
∂𝑊
∂𝑊
1
∆𝑊= ∂𝑘 ∆𝑘 + ∂𝑥 ∆𝑥 = ||− 2 𝑥²||∆𝑘 + |− 𝑘𝑥|∆𝑥
Entonces, para el muelle 1:
xi=0m, xf= 0,1m, k= 7,06±0, 06 N/m ⇒
1
W= -7,06* 2 * 0,1² = -0,0353 J
1
∆𝑊 = 2 *0,1²*0, 06 + 7,06*0,1*0,002 = 0,001712 J
Luego W= -0,0353± 0,0017 J
Para el muelle 2:
xi=0m, xf=0,05m, k= 12,16±0, 17 N/m ⇒
1
W= -12,16* 2 *0,05² = -0,0152 J
1
∆𝑊 = 2 *0,05²*0,17 + 12,16*0,05*0,002 = 0,0014285 J
Luego W= -0,0152± 0,0014 J
Bibliografía
Seminario de Teoría de errores
Wikipedia: Ley de hooke
Física Universitaria Volumen 1
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