ESTADÍSTICA PARA INGENIEROS
INGENIERÍA COMPUTACIÓN Y SISTEMAS
Docente: Segundo O. Rodríguez Bellina
9° SEMANA
Introducción a la probabilidad
Incertidumbre
Las empresas a menudo basan sus decisiones en un análisis de
incertidumbres como las siguientes:
➢ ¿Cuáles son las probabilidades de que aumenten las ventas con esta
pandemia de GRIPE?
➢ ¿Cuál es la probabilidad de la nueva forma de trabajo en la
línea aumente la productividad ?
➢ ¿Cuáles son las probabilidades de que una nueva Inversión sea
rentable?
Probabilidad
➢ La probabilidad es una medida numérica de que ocurrirá un evento.
➢Los valores de probabilidad siempre se asignan en
una escala de 0 a 1. 0 ≤ P(A) ≤ 1
➢Una probabilidad cercana a cero indica que un evento es muy poco
probable que ocurra. Si es cero evento imposible.
➢Una probabilidad cercana a uno indica que un evento es casi
seguro que ocurra. Si es uno evento seguro.
Mayor probabilidad de ocurrencia
Probabilidad:
0
El evento
es muy
improbable
que se produzca.
0.5
La ocurrencia del
evento están
probable como
es improbable
1
El evento
es casi cierto
que se produzca.
Experimentos Estadísticos
➢ En estadística, la noción de un experimento difiere algo de la de un
experimento en Ciencias físicas.
➢En experimentos estadísticos, la probabilidad determina resultados
➢Aunque el experimento se repite exactamente de la misma manera,
un resultado completamente diferente puede ocurrir.
➢Por esta razón, los experimentos estadísticos son llamados
experimentos aleatorios.
Un experimento y su
espacio muestral
➢ Un experimento es cualquier proceso que genere resultados bien
definidos.
➢El espacio muestral para un experimento es el conjunto de todos los
resultados posibles de un experimento.
➢ Un resultado experimental también se llama punto muestral o
suceso simple.
Un experimento y su espacio muestral
Experimento
Resultados del experimento
Tirar una moneda
Inspección de un producto
Realizar una llamada de ventas
Tira un dado
Jugar un partido de futbol
Examinar a una persona sobre el
CORONAVIRUS.
Sello, Cara
Defectuoso, no defectuoso
Compra, no compra
1, 2, 3, 4, 5, 6
Ganar, perder, empatar
SANO, ENFERMO.
Asignando Probabilidades
Requisitos básicos para la asignación de probabilidades
1.-La probabilidad asignada a cada experimento el resultado
debe estar entre 0 y 1, inclusive.
0 ≤ P(𝑨𝒊 ) ≤ 1 para todo i
dónde:
Ai es el resultado experimental
y P(Ai) es su probabilidad
2.-La suma de las probabilidades para todos los resultados deben ser
iguales a 1.
P(A1) + P(A2) + . . . + P(An) = 1
dónde:
n es el número de resultados experimentales
Clases de Probabilidades
1.- Probabilidad Clásica o a priori (Laplace)
Asignación de probabilidades basadas en el supuesto de resultados
igualmente probables.
La probabilidad de un suceso A es igual al cociente del número de
casos favorables al suceso, sobre el número total de casos posibles.
𝑵° 𝒅𝒆 𝒄𝒂𝒔𝒐𝒔 𝒇𝒂𝒗𝒐𝒓𝒂𝒃𝒍𝒆𝒔 𝒅𝒆𝒍 𝒔𝒖𝒄𝒆𝒔𝒐 𝑨
𝑷 𝑨 =
𝑵ú𝒎𝒆𝒓𝒐 𝒕𝒐𝒕𝒂𝒍 𝒅𝒆 𝒄𝒂𝒔𝒐𝒔 𝒑𝒐𝒔𝒊𝒃𝒍𝒆𝒔
Ejemplo
La probabilidad de cada uno de los seis sucesos elementales asociados
al lanzamiento de un dado común (no cargado) debe ser 1/6.
Ejemplo.
Calcule la probabilidad que al lanzar una vez un dado y una moneda
se obtenga un número impar y sello.
SOLUCIÓN:.
Si c, s representan los valores cara y sello de la moneda, entonces el
espacio muestral es:
Ω=S = {(1,c),(2,c),(3,c),(4,c),(5,c),(6,c),(1,s),(2,s),(3,s),(4,s),(5,s),(6,s)}
Mientras que el evento de interés es: A = {(1,s),(3,s),(5,s)}
Repuesta: P(A) = N(A)/N(S) = 3/12 = 1/4 = 0.25 = 25%
2.- Probabilidad Frecuentista
El enfoque frecuentista o aposteriori, si se repite un experimento
indefinidamente, la probabilidad de un suceso A es un número ideal al
que se aproxima su frecuencia relativa cuando el total de repeticiones
tiende a infinito.
𝒍í𝒎
𝑵𝑨
𝑷 𝑨 =
( )
𝑵→∞ 𝑵
Siendo NA la frecuencia absoluta del suceso A.
12
Ejemplo
Se elaboró la siguiente tabla con los 3320 Trabajadores de una determinada
empresa, según su nivel de ingreso:
Ingreso en Número de Frecuencia
soles
empleados Relativa Porcentaje
950 - 1450
400
1450 - 1950
1200
1950 - 2450
950
2450 -2950
540
2850 a más
230
Total
3320
¿Cuál es la probabilidad de
que el ingreso de un
empleado sea menor de
1950 soles?
¿Cuál es la probabilidad de que el ingreso de un empleado sea 2450 soles
a más?
13
3.- Probabilidad Subjetiva
La Probabilidad de ocurrencia de un suceso es cuantificada por una persona
(o un grupo de personas) catalogada (s) como experta (s) utilizando la
información que posee (n). Conocimiento y experiencia.
Ejemplo
Un ingeniero Industrial a cargo de un nuevo sistema de líneas de
producción, expresa que la probabilidad que el sistema funcione
correctamente el 0.95 de las veces.
¿cuál es la probabilidad de que el sistema funcione apropiadamente?
Solución: Es 0.95 que también puede expresarse como 95 %
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Definición Axiomática
Dado un experimento aleatorio cualquiera (E) que tiene asociado un espacio
muestral (Ω), se llama P (A) que asigna a cada suceso o evento (A) un
número real. Tal que satisfaga las siguientes propiedades o axiomas:
A) 1≤ 𝟏
Axioma 2: P(Ω)=1
𝟎 ≤0 𝑷P( 𝑨
Axioma 1:
Axioma 3: Si dos sucesos A y B son mutuamente excluyentes (mex)
entonces P (AUB)=P(A) +P(B)
Axioma 4: Si A1, A2,…,An son sucesos o eventos mex dos a dos entonces,
P(A1∪ A2 ∪......... ∪ An) = P(A1) + P(A2) + .......+ P(An) = σ𝒏𝒊=𝟏 𝑷(𝑨𝒊 )
Conocida comonregla aditiva para sucesosn o eventos mex.
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Ejemplo
Suponga que un dado está desbalanceado de tal manera que se conoce que
la probabilidad que salga el número 3 es el triple que los otros números.
¿Cual es la probabilidad que al lanzarlo salga un número impar?
Solución: En este ejemplo los puntos muestrales no tienen la misma
probabilidad (1/6).
Sea x la probabilidad que salga alguno de los números 1, 2, 4, 5, 6.
Por lo tanto, la probabilidad que salga el número es el triple, 3x
Entonces x + x + 3x + x + x + x = 1 ⇒ x = 1/8
Sean A = {1, 3, 5}: Evento
𝑨𝟏 = {1}, 𝑨𝟐 = {3}, 𝑨𝟑 = {5}: Eventos simples
que salga un número par
incluídos en A
P(A) = P(𝑨𝟏 ) + P(𝑨𝟐 ) + P(𝑨𝟑 ) = 1/8 + 3/8 + 1/8 = 5/8
Teoremas Fundamentales
Teorema 1
Si A es el conjunto vacío entonces su probabilidad es cero. Es decir,
𝑷 ∅ =𝟎
Teorema 2
ഥ su complemento, entonces,
Si A es un evento y 𝑨
ഥ = 𝟏 − 𝑷(𝑨)
𝑷 𝑨
ഥ)
𝑷 𝑨 = 𝟏 − 𝑷(𝑨
Teorema 3
Sean A y B dos sucesos mutuamente No Excluyentes de un
espacio muestral (Ω), entonces,
𝑷 𝑨 ∪ 𝑩 = 𝑷 𝑨 + 𝑷 𝑩 − 𝑷(𝑨 ∩ 𝑩)
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COROLARIO:
Para tres eventos A, B y C, P(A ∩ B ∩ C) = P(A) + P(B) + P(C) – P(A ∩ B) –
P(A ∩ C) – P(B ∩ C) + P(A ∩ B ∩ C)
A∩B
.
A∩B∩C
Ejemplo.
Un grupo de 15 alumnos, son 7 de Estadística, 5 de Ecuaciones y 6 de
ninguno de los cursos. Encuentre la probabilidad que al elegir al azar un
alumno, éste lleve al menos un curso.
Solución.
Representación tabular de datos:
Ec. No Ec.
Inferencia
3
4
7
No Inferencia 2
6
8
5
10
15
Del cuadro se obtiene que:
4 únicamente llevan inferencia(I)
2 únicamente Ecuaciones(E)
3 llevan los dos cursos
9 personas llevan al menos un
curso.
SOLUCIÓN
Sean los eventos
I: El alumno lleva Inferencia.
E: El alumno lleva ecuaciones
I ∪ E: El alumno lleva al menos un curso
I ∩ E: El alumno no lleva ningún curso
S=Ω : Conjunto de los 15 alumnos
I∩𝑬=𝟑
S
I
4
E
2
6
Por lo tanto, con la Regla Aditiva de Probabilidad,
P(AUB) = P(A) + P(B) – P(A∩B) = 7/15 + 5/15 – 3/15 = 9/15 = 0.6
Ω
Ejemplo. Si la probabilidad que un carro falle la batería, el motor o la
llanta son respectivamente 0.3, 0.2, 0.4, ¿cual es la probabilidad de que
no ocurra ninguna de estas fallas?
Conteo de Puntos o de sucesos
del Ω
Muchas veces el INGENIERO debe considerar e intentar evaluar es el
elemento de posibilidad asociado con la ocurrencia de ciertos
eventos cuando se lleva a cabo un experimento.
Estos problemas pertenecen al campo de la probabilidad.
En muchos casos se debe ser capaz de resolver un problema de
probabilidad mediante el conteo del número de puntos en el espacio
muestral sin listar realmente cada elemento.
Las Técnicas de conteo son utilizadas en Probabilidad y Estadística para
determinar el número total de resultados.
Combinatoria
Es la ciencia que estudia las reglas de conteo.
Es la parte de las matemáticas discretas que estudia las diversas
formas de realizar agrupaciones con los elementos de un conjunto,
formándolas y calculando su número.
Existen distintas formas de realizar estas agrupaciones, según se
repitan los elementos o no, según se puedan tomar todos los
elementos de que disponemos o no y si influye o no el orden de
colocación de los elementos.
Regla
del
producto
Teorema:
Si una operación se puede llevar a cabo en n1 formas y si para cada
una de estas se puede una segunda operación en n2 formas,
entonces las dos operaciones se pueden ejecutar juntas de n1*n2
formas.
Ejemplo:
En el curso de Estadística Inferencial se elegirá al delegado y
subdelegado de forma totalmente aleatoria, considerando que son 50
alumnos ¿Cuantas elecciones diferentes son posibles?
Solución:
Primera parte del experimento: Elegir delegado 50
Segunda parte del experimento: Elegir subdelegado 49
Por el principio básico de producto: 50*49= 2450 resultados posibles.
Teorema:
Regla de la suma
Si una operación se puede realizar de n1 formas, mientras que otra
operación puede realizarse de n2 formas, y no es posible realizar ambas
operaciones de manera simultánea, entonces para llevar a cabo
cualquiera de ellas pueden utilizarse cualquiera n1+n2 formas posibles.
Ejemplo:
¿De cuántas formas se puede viajar a Lima, sabiendo que se dispone de 3
aviones y 5 minibuses?
Solución:
A Lima se puede ir en avión o minibús, es decir, tiene 3 + 5 = 8 opciones
diferentes para viajar.
Número de sucesos del espacio
muestral
Con frecuencia interesa un espacio muestral que contenga elementos de
todas las posibles ordenaciones o arreglos de un grupo de objetos.
En ocasiones no es sencillo el contar el número de casos favorables o el
número de casos posibles.
Tenemos que recurrir a las técnicas de conteo
Técnicas de conteo
Regla de producto
𝒏𝟏 𝒏𝟐 … 𝒏𝒎
Regla de suma
𝒏𝟏 + 𝒏𝟐 + ⋯ + 𝒏𝒎
Permutaciones
Importa el orden. Participan todos los
elementos.
Combinación
No se considera el orden
Variación
n!=n(n-1)(n-2)…1
0!=1
Importa el orden, participan algunos
elementos
COMBINATORIA
Se repiten
¿
No
¿Participan todos
los elementos?
Sí
Sí
No
los elementos?
¿Importa el orden?
No
¿Participan todos No
los elementos?
𝒏!
𝑽𝒏𝒓 = 𝒏−𝒓
!
Sí
Variación
𝒏 = 𝒏𝒓
𝑽𝑹
𝒓
Con repetición
No
Permutación
¿Se repiten
los elementos?
Variación
𝑷𝒏 = 𝒏!
Sí
𝒏!
Permutación
𝑷𝑹𝒏𝒂.𝒃 = 𝒂!𝒃!
Con repetición
No
𝒏!
𝑪𝒏𝒓 = 𝒓! 𝒏−𝒓
!
¿Se repiten
los elementos?
Sí
Combinación
Combinación
Con repetición
!
𝑪𝑹𝒏𝒓 = 𝒓!𝒏+𝒓−𝟏
𝒏−𝟏 !
Ejemplo
¿Cuántos números de tres cifras diferentes se pueden formar con
los dígitos 2, 3, 6, 8 y 9?
Variación
𝒏 = 𝒏!
𝑽
No
𝒓
𝒏−𝒓 !
Solución:
¿Se repiten
los elementos?
No
¿Participan todos
𝒏=𝟓
los elementos?
r=3
Sí
¿Importa el orden?
𝟓!
𝑽𝟓𝟑 = 𝟓−𝟑
=60 números diferentes
!
29
Ejemplo
¿Cuántos números de tres cifras se pueden formar con los dígitos 2, 3,
6, 8 y 9?
Solución:
No
¿Participan todos
los elementos?
Sí
¿Importa el orden?
¿Se repiten
los elementos?
Sí
𝒏=𝟓
Variación
𝒏
𝒓
𝑽𝑹
=
𝒏
𝒓
Con repetición
r= 𝟑
𝑽𝑹𝟓𝟑 = 𝟓𝟑 = 𝟏𝟐𝟓 números
Ejemplo
¿Cuántos números de cinco cifras diferentes se pueden formar con los
dígitos 2, 3, 6, 8 y 9?
Solución:
¿Participan todos
los elementos?
No
Sí
Sí
¿Importa el orden?
Permutación
𝑷𝒏 = 𝒏!
¿Se repiten
los elementos?
𝒏=𝟓
𝑷𝟓 = 𝟓! = 𝟓. 𝟒. 𝟑. 𝟐. 𝟏 = 𝟏𝟐𝟎
Ejemplo
¿Cuántos números de seis cifras se pueden formar con los dígitos
4,4,5,5,6,6?
SOLUCIÓN
¿Participan todos
¿Se repiten
𝒏!
𝒏
Permutación
𝑷𝑹
=
𝒂,𝒃
𝒂!𝒃!
los elementos? Sí
los elementos? Sí Con repetición
Sí
𝒏=𝟔
¿Importa el orden?
a= 𝟐
b= 𝟐
c= 𝟐
𝟔!
𝑷𝑹𝟔𝟐,𝟐,𝟐 = 𝟐!𝟐!𝟐!
=𝟗𝟎 números de seis cifras
Ejemplo
En el curso de Estadística Inferencial hay 50 alumnos se quiere elegir un
comité formado por seis alumnos. ¿Cuántos comités diferentes se pueden
formar?
¿Importa el orden?
No
No
¿Participan todos No
los elementos?
¿Se repiten
los elementos?
Combinación 𝑪𝒏 =
𝒓
n=50 r=6
𝟓𝟎!
𝟓𝟎𝒙𝟒𝟗𝒙𝟒𝟖𝒙𝟒𝟕𝒙𝟒𝟔𝒙𝟒𝟓𝒙𝟒𝟒!
𝟓𝟎!
𝟓𝟎
𝑪𝟔 = 𝟔! 𝟓𝟎−𝟔 != 𝟔! 𝟒𝟒 ! = 𝟔𝒙𝟓𝒙𝟒𝒙𝟑𝒙𝟐𝒙𝟏𝒙𝟒𝟒! = 𝟏𝟓𝟖𝟗𝟎𝟕𝟎𝟎
𝒏!
𝒓! 𝒏−𝒓 !
Ejemplo
En una tienda de licores hay seis tipos de botellas de vino diferente.
¿ De cuántas formas se puede elegir cuatro botellas?.
¿Importa el orden?
No
¿Participan todos
los elementos?
!
𝑪𝑹𝒏𝒓 = 𝒓!𝒏+𝒓−𝟏
𝒏−𝟏 !
No ¿Se repiten
los elementos?
Sí
n=6, r=4
Combinación
Con repetición
𝟔+𝟒−𝟏 ! 𝟗! 𝟗𝒙𝟖𝒙𝟕𝒙𝟔𝒙𝟓!
𝑪𝑹𝟔𝟒 = 𝟒!
=
=
=𝟏𝟐𝟔
𝟔−𝟏 ! 𝟒!𝟓! 𝟒𝒙𝟑𝒙𝟐𝒙𝟏𝒙𝟓!
34
Permutación circular
Se usa cuando los elementos se ordenan en círculo. De modo que el
primero elemento que se sitúa en el ordenamiento, determina el
principio y el final de la muestra.
𝑷𝑪𝒏 = (𝒏 − 𝟏)!
¿Participan todos
los elementos?
Sí
Sí
Sí
¿Importa el orden?
¿Elementos se
Ordenan en círculo?
Permutación
circular
Ejemplo
¿De cuantas maneras diferente se puede sentar una madre con sus
cuatro hijos alrededor de una mesa circular?
Solución:
𝑷𝑪𝒏 = (𝒏 − 𝟏)!
¿Participan todos
los elementos?
Sí
Sí
Sí
¿ Elementos se
Ordenan en círculo?
Permutación
circular
𝒏=𝟓
¿Importa el orden?
𝑷𝑪𝟓 = 𝟓 − 𝟏 ! = 4! = 4.3.2.1 = 24 𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎𝑠
Ejemplo
¿De cuantas maneras diferente se puede sentar una familia con sus
cuatro hijos alrededor de una mesa circular?
Solución: 𝑳𝒐𝒔 𝒑𝒂𝒅𝒓𝒆𝒔 𝒔𝒆 𝒑𝒖𝒆𝒅𝒆 𝒔𝒆𝒏𝒕𝒂𝒓 𝒅𝒆 𝒅𝒐𝒔𝒇𝒐𝒓𝒎𝒂𝒔 𝑷𝑴 𝒐 𝑴𝑷
𝑷𝑪𝒏 = (𝒏 − 𝟏)!
¿Participan todos
los elementos?
Sí
Sí
Sí
¿Importa el orden?
¿ Elementos se
Ordenan en círculo?
Permutación
circular
𝒏=𝟓
𝑷𝑪𝟓 = 𝟓 − 𝟏 ! = 4! = 4.3.2.1 = 24 𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎𝑠
𝑷𝒐𝒓 𝒍𝒐 𝒕𝒂𝒏𝒕𝒐 𝒔𝒆 𝒔𝒆𝒏𝒕𝒂𝒓í𝒂𝒏 𝒅𝒆 𝟐𝒙𝟐𝟒 = 𝟒𝟖 𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎𝑠
Ejemplo
Una cerradura consta de cinco partes y se puede ensamblar
en cualquier orden. Un ingeniero de control de calidad quiere
probar cada pedido para la eficiencia del montaje. ¿Cuántos
pedidos hay?
Solución
Importa el orden de los objetos
Participan todos
𝑷𝒏 = 𝒏! = 5! = 5.4.3.2.1 = 120
𝒏!
𝑽𝒏𝒓 = 𝒏−𝒓
=
!
𝟓!
𝟓!
= = 𝟏𝟐𝟎
𝟓 − 𝟓 ! 𝟎!
Ejemplo
mm m
m mm
Una caja contiene seis caramelos, cuatro de fresa y dos de
menta. Un niño selecciona dos caramelos al azar. ¿Cuál es la
probabilidad de que exactamente uno sea de fresa?
Solución
El orden
No es importante
Maneras de elegir
de fresa
𝟒!
𝟒
𝑪𝟏 =
=𝟒
𝟏! 𝟑!
Maneras de elegir los dos
caramelos
𝟔!
𝟔. 𝟓
𝟔
𝑪𝟐 =
=
= 𝟏𝟓
𝟐! 𝟒! 𝟐. 𝟏
2x4=8 formas de
Elegir uno de fresa y
uno de menta
Maneras de elegir
de menta
𝟐!
𝟐
𝑪𝟏 =
=𝟐
𝟏! 𝟏!
P(exactamente uno
𝟖
de fresa)=
𝟏𝟓
Solución
Otra forma de resolver:
4
6
2
6
3
5
2
5 4
5
1
5
𝟒 𝟐
𝟐 𝟒
𝟖
P(exactamente uno sea de fresa)= ∗ + ∗ =
𝟔 𝟓
𝟔 𝟓
𝟏𝟓
Ejemplo :
En Estadística hay 50 alumnos de los cuales 17 son mujeres y el resto
hombres. De acuerdo con esta información, determine:
a.-De cuantas formas se puede elegir un representante del grupo.
b.-De cuantas formas se puede elegir un comité de tres personas, donde al
menos uno de los integrantes sea mujer.
La confianza no viene de tener siempre la razón, sino de no
temer equivocarse.
0
