Distribución de Probabilidades: Binomial y Poisson

Estadística y Probabilidades
DISTRIBUCIÓN DE
PROBABILIDADES
DE VARIABLES DISCRETAS
DISTRIBUCIÓN BINOMIAL
DISTRIBUCIÓN DE POISSON
Propósito de clase
 Explica y diferencia las principales
distribuciones de probabilidad para
variables aleatorias discretas.
 Aplica e interpreta las distribuciones
de probabilidades para variables
aleatorias discretas en el desarrollo
de prácticas y ejercicios..
DISTRIBUCIÓN BINOMIAL
https://www.youtube.com/watch?v=0oBfdHHudTg
DISTRIBUCIÓN BINOMIAL
Una distribución de probabilidad binomial
resulta de un procedimiento que cumple
con todos los siguientes requisitos:
1. El procedimiento tiene un número fijo de
ensayos.
2. Los ensayos deben ser independientes.
(El resultado de cualquier ensayo
individual no afecta las probabilidades de
los demás ensayos).
3. Todos los resultados de cada ensayo
deben estar clasificados en dos
categorías (generalmente llamadas éxito
y fracaso).
4. La probabilidad de un éxito permanece
igual en todos los ensayos.
Distribución Binomial
P x  n C x p q
x nx
Se denotan las dos categorías posibles de todos los resultados: E y F (éxito y
fracaso)
n : Denota el número fijo de ensayos.
x : Denota un número específico de éxitos en “n” ensayos, de manera que
“x” puede ser cualquier número entero entre 0 y “n” inclusive.
p : Denota la probabilidad de éxito en uno de “n” ensayos.
q:
Denota la probabilidad de fracaso en uno de “n” ensayos.
P(x) : Denota la probabilidad de lograr exactamente “x” éxitos en los “n”
ensayos.
Media
  np
Varianza
;
 2  npq
Ejemplo 1:
En la Caja Huancayo se reportó
que el 20% de préstamos a sus
clientes habían vencido en el mes
de abril. Si se toma una muestra
aleatoria de 8 clientes, de los
cuales se les notifico sobre su
vencimiento.
¿Cuál
es
la
probabilidad de que 3 clientes
de
realicen
sus
pagos
vencimiento
después
de
la
notificación?
Solucionario:
Pagos de vencimientos de
préstamos
Éxito
Probabilidad de éxito (p)
0,20
Probabilidad de fracaso (q)
0,80
Número de ensayos (n)
8
Número de éxitos en los “n” ensayos (x)
3
x nx

p
Px n C x q
Reemplazando y efectuando
los cálculos se tiene:
P x  3   8 C3 (0,20)3 (0,80) 83
P x  3   8 C3 (0,20)3 (0,80) 5
Px  3  0,1468
Interpretación: La probabilidad de los 8 clientes notificados por vencimientos de
pagó por la Caja Huancayo, 3 de ellos realicen sus pagos es de 14,68%
Ejemplo 2:
La probabilidad de tener una
unidad defectuosa en una línea de
ensamblajes es de 0,05. Si el
conjunto de unidades terminales
constituyen
un
conjunto
de
ensayos independientes.
a) ¿Cual es la probabilidad de que
entre 10 unidades, dos se
encuentres defectuosas?
b) ¿Cual es la probabilidad de que
entre 10 unidades, ninguno se
encuentres defectuosas?
Solucionario:
Éxito
Unidades de ensamblaje defectuosas
Probabilidad de éxito (p)
0,05
Probabilidad de fracaso (q)
0,95
Número de ensayos (n)
10
Número de éxitos en los “n” ensayos (x)
2
Reemplazando y efectuando
los cálculos se tiene:
x nx

p
Px n C x q
P  x  2  10 C 2 (0,0,05) 2 (0,95) 102
P  x  2  10 C 2 (0,0,05) 2 (0,95) 8
P  x  2  0,0746
Interpretación: La probabilidad de que entre 10 unidades de
ensamblaje, dos se encuentren defectuosas es de 7,46%
b) ¿Cual es la probabilidad de que entre 10
unidades, ninguno se encuentres defectuosas?
Éxito
Unidades de ensamblaje defectuosas
Probabilidad de éxito (p)
0,05
Probabilidad de fracaso (q)
0,95
Número de ensayos (n)
10
Número de éxitos en los “n” ensayos (x)
Px n C x  pxqnx
0 (ninguno)
Reemplazando y efectuando
los cálculos se tiene:
P x  0   10 C 0 (0,0,05) 0 (0,95) 100
P  x  0  10 C 0 (0,0,05) 0 (0,95) 10
P  x  0  0,5987
Interpretación: La probabilidad de que entre 10 unidades de
ensamblaje, ninguno se encuentren defectuosas es de 59,87%
Ejemplo 3:
El
25%
de
productos
producidos por una máquina
están defectuosos.
Determinar la probabilidad de
que
de
6
productos
seleccionados aleatoriamente
por lo menos 4
estén
defectuosos.
Solucionario:
Éxito
Productos
defectuoso
Probabilidad de éxito (p)
0,25
Probabilidad de fracaso
(q)
0,75
Número de ensayos (n)
6
Número de éxitos en los
“n” ensayos (x)
4; 5 y 6
(por lo menos 4)
x nx

p
Px n C x q
Reemplazando y efectuando
los cálculos se tiene:
P x  4   6C 4 (0,25)4 (0,75)64  0,0330
P x  5   6C 5 (0,25)5(0,75)65  0,0044
P x  6   6C6 (0,25)6 (0,75)66  0,0002
0,0376
Interpretación: La probabilidad de que de 6 tornillos seleccionados, por lo
menos 4 se encuentren defectuosas es de 3,76 %
Ejemplo 4:
La probabilidad de encontrar un
pantalón con algún desperfecto de
la producción total de una máquina
remalladora es de 0,24. Si se
extrae
una
muestra
de
4
cuantos
pantalones,
calcular
pantalones se espera encontrar
que presenten defectos.
calcule la media y la varianza de la
distribución.
Solucionario:
Pantalón con
desperfecto
Éxito
Probabilidad de éxito (p)
0,24
Probabilidad de fracaso (q)
0,76
Número de ensayos (n)
4
Media
  np
Varianza
 2  npq
Reemplazando y efectuando los cálculos se tiene:
 40, 24  0, 96
2  40, 240, 76  0, 7296
Ejemplo 1:
Supongamos en la comunidad “x”, donde a través de una muestra se encontró que
el 30% de la población en edad activa estaba desempleada. Calcular la
probabilidad de seleccionar dos personas ocupadas en esta población.
Solución
Según datos del problema:
n=2
entonces
p = 0.70
x=2
personas ocupadas
q = 0.30
Aplicando la fórmula:
𝒏
𝒏!
𝒑 𝒙 = 𝑪 . 𝒑𝒙 𝒒 𝒏−𝒙 =
. 𝒑𝒙 𝒒 𝒏−𝒙
𝒙
𝒙! 𝒏 − 𝒙 !
2
𝑝 𝑥 = 2 = 𝐶 . 0.70 2 0.30
2
2−2
=
2!
. 0.70 2 0.30
2! 2 − 2 !
2−2
= (0.49) 0.30 0
𝑝 𝑥 = 2 = 0.49
Interpretación: La probabilidad de seleccionar dos personas ocupadas de esta
población, es de 49%.
Cliente que realiza la
compra
Éxito
Probabilidad de éxito (p)
0,70
Probabilidad de fracaso (q)
0,30
Número de ensayos (n)
2
Número de éxitos en los “n” ensayos (x)
2
P  x   Cnx p x qn  x
𝑃 𝑥=2
= 𝐶22 ⋅ (0,70)2 (0,30)2−2
𝑃 𝑥 = 2 = 0,49
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DISTRIBUCIÓN POISSON
https://www.youtube.com/watch?v=8uS6-XTjenA
DISTRIBUCIÓN POISSON
Una distribución de probabilidad Poisson resulta
de un procedimiento que cumple con todos los
siguientes requisitos:
1. El experimento consiste en contar el número
“x” de veces que ocurre un evento en un
intervalo. Esto es en una unidad de tiempo, área
o volumen.
2. La probabilidad de que un evento ocurra en una
unidad dada de tiempo, área o volumen es la
misma para todas las unidades.
3. El número de eventos que ocurren en una
unidad de tiempo, área o volumen es
independiente del número de los que ocurren
en otras unidades.
4. El número medio (o esperado) de eventos en
cada unidad se denota por la letra griega 
(“lambda”)
Distribución de Poisson
X 
 .e
; e  2,7183
Px 
x!
 : Denota el número medio de eventos que ocurren en una
unidad dada de tiempo, área o volumen.
x : Denota un número específico de eventos que ocurren
durante una unidad dada de tiempo, área o volumen.
e : Denota la constante matemática “épsilon”
x!: Denota el factorial de “x”
P(x) : Denota la probabilidad de que ocurran “x” eventos en
una unidad dada de tiempo, área o volumen.
Media ; Varianza
 
; 2  
Ejemplo 5:
En un
centro telefónico de
atención a clientes se reciben en
promedio 6 llamadas por hora.
¿Cuál es la probabilidad de que
en
una
hora
seleccionada
aleatoriamente
se
reciban
exactamente 2 llamadas?
¿Cuál es la probabilidad de que al
menos ingrese una llamada en esa
hora?
Solucionario:
Media ()
6 llamadas por
hora
Número de eventos
esperados (x)
2 llamadas en
una hora
Reemplazando y efectuando
los cálculos se tiene:
Px 
x!
; e  2,7183
6
6 .e
2!
PX  2  0,0446
PX  2 
X .e
2
Interpretación:
La probabilidad de que en una hora, exactamente se reciban 2
llamadas por hora es de 4,46 %
Ejemplo 6:
En el centro comercial Plaza Vea,
en
la
sección
de
electrodomésticos, un promedio
de 12 personas por hora le hacen
preguntas al encargado de está
sección. ¿Cuál es la probabilidad
de que exactamente 3 personas
se acerquen al encargado a hacer
preguntas en un periodo de 10
minutos?
Solucionario:
Media ()
12 personas en una hora
2 personas en 10
minutos
Número de eventos
esperados (x)
3 personas en 10 minutos
3 personas en 10
minutos
12personas 60minutos
 n2 personas
n
10minutos 

 .e
Px 
x!
X
Reemplazando y efectuando los cálculos
se tiene:
PX  3 
23.e2
3!
PX  3  0,1804
Interpretación:
La probabilidad de que 3 personas realicen preguntas en un periodo
de 10 minutos de 18,04%
Ejemplo 7:
Un libro de 500 páginas tiene
200 errores de impresión
distribuidos
aleatoriamente.
Calcule la probabilidad de que
cualquier página elegida al azar
tenga un error.
Luego calcule la media y la
varianza de esta distribución.
Solucionario:
200/500 = 0,40
Media ()
Número de
esperados (x)
eventos
1 página
(cualquier
página)
X .e
Px 
x!
Reemplazando y efectuando los cálculos
se tiene:
PX  1 
0,401.e0,40
1!
PX  1  0,2681
Calculando la media y la
varianza, se tiene:
Interpretación:
La probabilidad de que
cualquier página elegida al
azar del libro de 500 páginas
tenga un error es del 26,81%.
 
;
2  
   2  0, 40
Ejemplo 1:
La oficina de estadística del hospital ESSALUD ha estudiado el número de muertes
debido a una cierta enfermedad y ha llegado a la conclusión de que éstas están
distribuidas de acuerdo con la ley de Poisson. Los registros del hospital revelan que
durante este período, el número de muertes ha sido en promedio, de 3 por día. Si
dicha oficina está en lo cierto, al suponer una distribución de Poisson, hallar la
probabilidad de que:
a) En un día dado, mueran exactamente 2 pacientes con esa enfermedad.
b) En un día particular, nadie muera de la enfermedad.
c) En un día particular, mueran 3 ó 4 pacientes.
Solución
Sea:
𝒙 = el número de pacientes fallecidos debido a la enfermedad
𝝁 = número promedio de muertes = 3 por día
Reemplazando en la fórmula:
𝒑 𝒙
𝒆−𝝁 . 𝝁𝒙
=
𝒙!
a) En un día dado, mueran exactamente 2 pacientes con esa enfermedad.
𝑒 −3 . 32 0,04998𝑥9
𝑝 x=2 =
=
= 0,2240
2!
2𝑥1
La probabilidad de que mueran 2 pacientes es de 22,40%
b) En un día particular, nadie muera de la enfermedad.
𝑒 −3 . 30 0,0498𝑥1
𝑝 x=0 =
=
= 0.0498
0!
1
La probabilidad de que nadie muera es del 4.98%
c) En un día particular, mueran 3 ó 4 pacientes.
𝑝 x=3 +p x=4 =
𝑒 −3 .33
𝑒 −3.34
0.04998𝑥27 0.04998𝑥81
+
=
+
= 0,2240 + 0,1680 = 0,392
3!
4!
3𝑥2𝑥1
4𝑥3𝑥2𝑥1
La probabilidad de que mueran 3 ó 4 pacientes es de 39.2%
Ejemplo 2:
En un centro telefónico de atención a clientes se reciben en promedio 6 llamadas por
hora. ¿Cuál es la probabilidad de que en una hora seleccionada aleatoriamente se
reciban exactamente 2 llamadas?
Solución
Media (µ)
6 llamadas por hora
Número de eventos esperados (x)
2 llamadas en una
hora
Reemplazando en la formula:
𝒆−𝝁 . 𝝁𝒙
𝒆−𝟔 . 𝟔𝟐 (𝟐. 𝟕𝟏𝟖𝟑)−𝟔 . 𝟔𝟐
𝒑 𝒙 =
𝒆𝒏𝒕𝒐𝒏𝒄𝒆𝒔: 𝒑 𝟐 =
=
= 𝟎. 𝟎𝟒𝟒𝟔 = 𝟒. 𝟒𝟔%
𝒙!
𝟐!
𝟐!
Interpretación:
La probabilidad de que en una hora, exactamente se reciban 2 llamadas por hora
es de 4,46 %
Síntesis y
metacognición
CONCLUSIONES DE CLASE
Identificar
Variables
Aleatorias
Discretas
QUÉ
APRENDÍ
Distribución
de Poisson
Distribución
Binomial