Presentación de Distribuciones de Probabilidad Discretas

La distribución de probabilidad Binomial
Distribución de probabilidad Geométrica
Distribución de probabilidad Binomial Negativa
Distribución de probabilidad Hipergeométrica
Distribución de probabilidad de Poisson
Bibliografía
Probabilidad y estadística fundamental
Variables aleatorias discretas
Diana C. Moreno Ch.
Diana C. Moreno
Probabilidad y estadística fundamental
La distribución de probabilidad Binomial
Distribución de probabilidad Geométrica
Distribución de probabilidad Binomial Negativa
Distribución de probabilidad Hipergeométrica
Distribución de probabilidad de Poisson
Bibliografía
Índice General
1
La distribución de probabilidad Binomial
Diana C. Moreno
Probabilidad y estadística fundamental
La distribución de probabilidad Binomial
Distribución de probabilidad Geométrica
Distribución de probabilidad Binomial Negativa
Distribución de probabilidad Hipergeométrica
Distribución de probabilidad de Poisson
Bibliografía
Índice General
1
La distribución de probabilidad Binomial
2
Distribución de probabilidad Geométrica
Diana C. Moreno
Probabilidad y estadística fundamental
La distribución de probabilidad Binomial
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Distribución de probabilidad Binomial Negativa
Distribución de probabilidad Hipergeométrica
Distribución de probabilidad de Poisson
Bibliografía
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2
Distribución de probabilidad Geométrica
3
Distribución de probabilidad Binomial Negativa
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Distribución de probabilidad Binomial Negativa
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Distribución de probabilidad de Poisson
Bibliografía
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2
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3
Distribución de probabilidad Binomial Negativa
4
Distribución de probabilidad Hipergeométrica
Diana C. Moreno
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Distribución de probabilidad Binomial Negativa
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Distribución de probabilidad de Poisson
Bibliografía
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2
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3
Distribución de probabilidad Binomial Negativa
4
Distribución de probabilidad Hipergeométrica
5
Distribución de probabilidad de Poisson
Diana C. Moreno
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Distribución de probabilidad Binomial Negativa
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Distribución de probabilidad de Poisson
Bibliografía
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1
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2
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3
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4
Distribución de probabilidad Hipergeométrica
5
Distribución de probabilidad de Poisson
6
Bibliografía
Diana C. Moreno
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Distribución de probabilidad de Poisson
Bibliografía
1
La distribución de probabilidad Binomial
2
Distribución de probabilidad Geométrica
3
Distribución de probabilidad Binomial Negativa
4
Distribución de probabilidad Hipergeométrica
5
Distribución de probabilidad de Poisson
6
Bibliografía
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Distribución de probabilidad de Poisson
Bibliografía
Distribución Binomial
Características
Un experimento Binomial tiene las siguientes características:
1
Consiste en un número fijo,n, de pruebas idénticas.
2
Cada prueba produce dos resultados, éxito o fracaso.
3
La probabilidad de éxito es igual p y la de fracaso es igual a
q = 1 − p.
4
Las pruebas son independientes.
5
Se está interesado en Y el número de éxitos observado
durante las n pruebas y = 0, 1, 2, ..., n.
Diana C. Moreno
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Distribución de probabilidad de Poisson
Bibliografía
Ejemplo
Un sistema de detección de alarma temprana para aviones consta
de cuatro unidades de radar idénticas que operan de manera
independiente entre sí. Suponga que cada una tiene una
probabilidad de 0.95 de detectar un avión intruso. Cuando un avión
intruso entra en escena, la variable aleatoria de interés es Y, el
número de unidades de radar que no detecta el avión. ¿Es éste un
experimento binomial?
Diana C. Moreno
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Distribución de probabilidad de Poisson
Bibliografía
Distribución Binomial
Definición
Se dice que una variable aleatoria Y tiene una distribución
binomial, denotada por Y ∼ B(y; n, p) de parámetros n y p, si su
función de probabilidad está dada por:
!
P (Y = y) =
n y
p (1 − p)n−y
y
y = 0, 1, ..., n
0≤p≤1
Si n = 1, la distribución binomial recibe el nombre de distribución
Bernoulli de parámetro p.
Diana C. Moreno
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Distribución de probabilidad de Poisson
Bibliografía
Distribución Binomial
En R
P (Y = y) = dbinom(y, n, p)
P (Y ≤ y) = pbinom(y, n, p)
P (Y > y) = pbinom(y, n, p, lower.tail = F ALSE)
P (Y ≥ y) = pbinom(y − 1, n, p, lower.tail = F ALSE)
Diana C. Moreno
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Distribución de probabilidad de Poisson
Bibliografía
Distribución binomial
Valor esperado,varianza y desviación estándar
El valor esperado y la varianza están dados por:
E (Y ) = np.
σ 2 = V ar(X) = npq; donde q := 1 − p.
√
σ = npq; donde q := 1 − p.
Diana C. Moreno
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Distribución de probabilidad de Poisson
Bibliografía
Distribución Binomial
Ejemplo
La probabilidad de que un paciente se recupere de una rara
enfermedad sanguínea es 0.4. Si se sabe que 15 personas contraen
tal enfermedad, ¿cuál es la probabilidad de que
1
sobrevivan al menos 10?
2
sobrevivan de 3 a 8?
3
sobrevivan exactamente 5?
Diana C. Moreno
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Distribución de probabilidad de Poisson
Bibliografía
Distribución Binomial
Ejemplo
Cincuenta por ciento de los estadounidenses creyeron que el país se
encontraba en una recesión aun cuando en la economía no se
habían observado dos trimestres seguidos con crecimiento
negativo. (BusinessWeek, 30 de julio de 2001). Dada una muestra
de 20 estadounidenses, calcule lo siguiente.
1
Calcule la probabilidad de que exactamente 12 personas hayan
creído que el país estaba en recesión.
2
De que no más de cinco personas hayan creído que el país
estaba en recesión
3
¿Cuántas personas esperaría usted que dijeran que el país
estuvo en recesión?
4
Calcule la varianza y la desviación
Diana C. Moreno
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Distribución de probabilidad de Poisson
Bibliografía
Distribución Binomial
Ejercicio
Un vendedor de planes de turismo al Caribe, sabe, por experiencia,
que la oportunidad de vender un plan es mayor, mientras más
contactos realice con los clientes potenciales. Empíricamente él
estableció que la probabilidad de que una persona compre un plan,
luego de su visita, es constante e igual a 0.01. Si el conjunto de
visitas que realiza el vendedor constituye un conjunto independiente
de ensayos,¿cuántos compradores potenciales debe visitar para que
la probabilidad de vender por lo menos un plan sea igual a 0.85?
Diana C. Moreno
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Distribución de probabilidad de Poisson
Bibliografía
1
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2
Distribución de probabilidad Geométrica
3
Distribución de probabilidad Binomial Negativa
4
Distribución de probabilidad Hipergeométrica
5
Distribución de probabilidad de Poisson
6
Bibliografía
Diana C. Moreno
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Distribución de probabilidad Hipergeométrica
Distribución de probabilidad de Poisson
Bibliografía
Distribución Geométrica
Características
1 Comprende pruebas idénticas e independientes
2
Cada una de las cuales puede arrojar uno de dos resultados:
éxito o fracaso.
3
La probabilidad de éxito es igual a p y es constante de una
prueba a otra.
4
La variable aleatoria geométrica Y es el número de prueba en
la que ocurre el primer éxito. Entonces, el experimento
consiste en una serie de pruebas que concluye con el primer
éxito.
Diana C. Moreno
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Distribución de probabilidad de Poisson
Bibliografía
Distribución Geométrica
Definición
Se dice que una variable aleatoria Y tiene una distribución de
probabilidad geométrica si y sólo si
P (Y = y) = q y−1 p
y = 1, 2, ...,
0≤p≤1
Donde Y es la variable número de prueba en la que ocurre el
primer éxito.
Diana C. Moreno
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Distribución de probabilidad de Poisson
Bibliografía
Distribución Geométrica
En R
1 P (Y = y) = dgeom(y − 1, p)
2
P (Y ≤ y) = pgeom(y − 1, p)
Diana C. Moreno
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Distribución de probabilidad de Poisson
Bibliografía
Distribución Geométrica
Teorema
Si Y es una variable aleatoria con distribución geométrica,
µ = E(Y ) =
1
p
y
Diana C. Moreno
σ 2 = V (Y ) =
1−p
p2
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Distribución de probabilidad de Poisson
Bibliografía
Distribución Geométrica
Ejemplo
Suponga que 30 % de los solicitantes para cierto trabajo industrial
posee capacitación avanzada en programación computacional. Los
candidatos son elegidos aleatoriamente entre la población y
entrevistados en forma sucesiva.
1
Encuentre la probabilidad de que el primer solicitante con
capacitación avanzada en programación se encuentre en la
quinta entrevista.
2
¿Cuál es el número esperado de solicitantes que será necesario
entrevistar para hallar el primero con capacitación avanzada?
Diana C. Moreno
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Distribución de probabilidad de Poisson
Bibliografía
Distribución geométrica
Ejercicio
Una empresa de exploración petrolera va a hacer una serie de
perforaciones de sondeo en una zona determinada en busca de un
pozo productivo. La probabilidad de que tenga éxito en un intento
dado es 0.2.
a)
¿Cuál es la probabilidad de que la tercera perforación sea la
primera en dar un pozo productivo?
b)
Si la empresa puede darse el lujo de perforar a lo sumo diez
pozos, ¿cuál es la probabilidad de que no encuentre un pozo
productivo?
Diana C. Moreno
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La distribución de probabilidad Binomial
Distribución de probabilidad Geométrica
Distribución de probabilidad Binomial Negativa
Distribución de probabilidad Hipergeométrica
Distribución de probabilidad de Poisson
Bibliografía
1
La distribución de probabilidad Binomial
2
Distribución de probabilidad Geométrica
3
Distribución de probabilidad Binomial Negativa
4
Distribución de probabilidad Hipergeométrica
5
Distribución de probabilidad de Poisson
6
Bibliografía
Diana C. Moreno
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Distribución de probabilidad Geométrica
Distribución de probabilidad Binomial Negativa
Distribución de probabilidad Hipergeométrica
Distribución de probabilidad de Poisson
Bibliografía
Distribución Binomial Negativa
Características
1 Comprende pruebas idénticas e independientes
2
Cada una de las cuales puede arrojar uno de dos resultados:
éxito o fracaso.
3
La probabilidad de éxito es igual a p y es constante de una
prueba a otra.
4
La variable aleatoria Y es el número de prueba en la que
ocurre el r-ésimo éxito.
Diana C. Moreno
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Distribución de probabilidad Hipergeométrica
Distribución de probabilidad de Poisson
Bibliografía
Distribución Binomial Negativa
Definición
Si ensayos independientes repetidos pueden dar como resultado un
éxito con probabilidad p y un fracaso con probabilidad q = 1 − p,
entonces la distribución de probabilidad de la variable aleatoria Y ,
el número del ensayo en el que ocurre el r−ésimo éxito, es
!
P (Y = y) =
y − 1 r y−r
p q
r−1
Diana C. Moreno
y = r, r + 1, r + 2, ...,
0≤p≤1
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Distribución de probabilidad Binomial Negativa
Distribución de probabilidad Hipergeométrica
Distribución de probabilidad de Poisson
Bibliografía
Distribución Binomial Negativa
En R
En R se define la distribución Binomial Negativa en términos de la
variable aleatoria Y ∗ = el número de fracasos antes del r-ésimo
éxito.
1
P (Y = y) = dnbinom(y − r, r, p)
2
P (Y ≤ y) = pnbinom(y − r, r, p)
Diana C. Moreno
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Distribución de probabilidad Binomial Negativa
Distribución de probabilidad Hipergeométrica
Distribución de probabilidad de Poisson
Bibliografía
Distribución Binomial Negativa
Teorema
Si Y es una variable aleatoria con distribución binomial negativa,
µ = E(Y ) =
r
p
y
Diana C. Moreno
σ 2 = V (Y ) =
r(1 − p)
p2
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Distribución de probabilidad Binomial Negativa
Distribución de probabilidad Hipergeométrica
Distribución de probabilidad de Poisson
Bibliografía
Distribución Binomial Negativa
Ejemplo
Una vendedora tiene una cuota de 10 ventas diarias que debe
cumplir para que su rendimiento se considere satisfactorio. Si la
probabilidad de que cualquier cliente con el que se ponga en
contacto realice una compra es de 0.25, y si las decisiones de
compra son independientes entre los consumidores, ¿cuál es la
probabilidad de que la vendedora cumpla su cuota con no más de
30 contactos con clientes?
Diana C. Moreno
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Distribución de probabilidad de Poisson
Bibliografía
Distribución Binomial Negativa
Ejemplo
La probabilidad de que una persona que estudia la carrera de piloto
privado apruebe el examen escrito para obtener la licencia es de
0.7. Calcule la probabilidad de que cierto estudiante apruebe el
examen en el tercer intento.
Diana C. Moreno
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Distribución de probabilidad de Poisson
Bibliografía
Distribución Binomial Negativa
Ejercicio
En la serie de campeonato de la NBA (National Basketball
Association), el equipo que gane 4 de 7 juegos será el ganador.
Suponga que los equipos A y B se enfrentan en los juegos de
campeonato y que el equipo A tiene una probabilidad de 0.55 de
ganarle al equipo B.
1
¿Cuál es la probabilidad de que el equipo A gane la serie en 6
juegos?
2
¿Cuál es la probabilidad de que el equipo A gane la serie?
3
Si ambos equipos se enfrentaran en la eliminatoria de una
serie regional y el triunfador fuera el que ganara 3 de 5 juegos,
¿cuál es la probabilidad de que el equipo A gane la serie?
Diana C. Moreno
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Distribución de probabilidad Hipergeométrica
Distribución de probabilidad de Poisson
Bibliografía
1
La distribución de probabilidad Binomial
2
Distribución de probabilidad Geométrica
3
Distribución de probabilidad Binomial Negativa
4
Distribución de probabilidad Hipergeométrica
5
Distribución de probabilidad de Poisson
6
Bibliografía
Diana C. Moreno
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Distribución de probabilidad Binomial Negativa
Distribución de probabilidad Hipergeométrica
Distribución de probabilidad de Poisson
Bibliografía
Distribución Hipergeométrica
Es un experimento en el que hay:
1
N objetos, de los cuales r son de un tipo, digamos del tipo A;
2
Los restantes N − r objetos son de un tipo diferente, digamos
B; y
3
Se extraen al azar n objetos sin reemplazo de la colección
original de N objetos y se observa el número,y, de resultados
del tipo A en la colección de n objetos extraídos.
Diana C. Moreno
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Distribución de probabilidad de Poisson
Bibliografía
Distribución Hipergeométrica
La distribución de probabilidad de la variable aleatoria
hipergeométrica Y , el número de éxitos en una muestra aleatoria
de tamaño n que se selecciona de N artículos, en los que r se
denomina éxito y N − r fracaso, es
P (Y = y) =
r N −r
y n−y
N
n
donde y es un entero 0, 1, 2, ..., n sujeto a y ≤ r y n − y ≤ N − r y
se denota por Y ∼ Hg(n, r, N )
Diana C. Moreno
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Distribución de probabilidad Hipergeométrica
Distribución de probabilidad de Poisson
Bibliografía
Distribución Hipergeométrica
En R
1 P (Y = y) = dhyper(y, r, N − r, n)
2
P (Y ≤ y) = phyper(y, r, N − r, n))
3
P (Y > y) = phyper(y, r, N − r, n, lower.tail = F ALSE)
Diana C. Moreno
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Distribución de probabilidad de Poisson
Bibliografía
Valor esperado y Varianza
Si Y es una variable aleatoria con distribución Hipergeométrica,
entonces:
nr
E(Y ) =
N
r
V ar(Y ) = n
N
N −r
N
N −n
N −1
donde y es un entero 0, 1, 2, ..., n sujeto a y ≤ r y n − y ≤ N − r
Diana C. Moreno
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Distribución de probabilidad Binomial Negativa
Distribución de probabilidad Hipergeométrica
Distribución de probabilidad de Poisson
Bibliografía
Ejemplo
Un comité de tamaño 5 es seleccionado aleatoriamente, de 4
Químicos y 6 Físicos. Hallar la probabilidad de que:
1
exactamente, 1 Químico sea seleccionado.
2
al menos 1 Químico sea seleccionado.
Diana C. Moreno
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Distribución de probabilidad de Poisson
Bibliografía
Ejemplo
Se formará un comité de 8 miembros a partir de un grupo de 8
hombres y 8 mujeres. Si la elección de los miembros del comité se
realiza al azar, ¿cuál es la probabilidad de que exactamente la
mitad de estos miembros sean mujeres?
Diana C. Moreno
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Distribución de probabilidad Binomial Negativa
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Distribución de probabilidad de Poisson
Bibliografía
Ejercicio
¿Cuál es la probabilidad de que una camarera se rehúse a servir
bebidas alcohólicas a sólo 2 menores si verifica al azar 5
identificaciones de 9 estudiantes, de los cuales 4 son menores de
edad?
Diana C. Moreno
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Distribución de probabilidad de Poisson
Bibliografía
1
La distribución de probabilidad Binomial
2
Distribución de probabilidad Geométrica
3
Distribución de probabilidad Binomial Negativa
4
Distribución de probabilidad Hipergeométrica
5
Distribución de probabilidad de Poisson
6
Bibliografía
Diana C. Moreno
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Distribución de probabilidad Binomial Negativa
Distribución de probabilidad Hipergeométrica
Distribución de probabilidad de Poisson
Bibliografía
Distribución Poisson
Características
1 La probabilidad de ocurrencia es la misma para cualesquiera
dos intervalos de la misma magnitud.
2
La ocurrencia o no-ocurrencia en cualquier intervalo es
independiente de la ocurrencia o no-ocurrencia en cualquier
otro intervalo.
3
Y número de eventos que ocurren en el espacio, tiempo,
volumen o cualquier otra dimensión.
Diana C. Moreno
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Distribución de probabilidad de Poisson
Bibliografía
Distribución Poisson
Distribución Poisson
Se dice que una variable aleatoria Y tiene una distribución poisson,
denotada por Y ∼ P (y; λ) de parámetros λ, si su función de
probabilidad está dada por:
P (Y = y) =
λy e−λ
y!
y = 0, 1, 2, ...
donde
λ = número promedio de veces que ocurre un evento en cierto periodo
y = el número de eventos que ocurre
e = 2.7182
Diana C. Moreno
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Distribución de probabilidad Binomial Negativa
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Distribución de probabilidad de Poisson
Bibliografía
Distribución Poisson
En R
1 P (Y = y) = dpois(y, λ))
2
P (Y ≤ y) = ppois(y, λ)
3
P (Y > y) = ppois(y, λ, lower.tail = F ALSE)
Diana C. Moreno
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La distribución de probabilidad Binomial
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Distribución de probabilidad Binomial Negativa
Distribución de probabilidad Hipergeométrica
Distribución de probabilidad de Poisson
Bibliografía
Distribución Poisson
Valor esperado y varianza
El valor esperado y la varianza de una variable aleatoria con
distribución Poisson, están dadas por:
1
E (Y ) = λ.
2
σ 2 = V ar(Y ) = λ.
Diana C. Moreno
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Distribución de probabilidad Binomial Negativa
Distribución de probabilidad Hipergeométrica
Distribución de probabilidad de Poisson
Bibliografía
Ejemplo
Si el número de huracanes que azotan cierta área del este de
Estados Unidos cada año es una variable aleatoria que tiene una
distribución de Poisson con media 6, calcule la probabilidad de que
esta área sea azotada por
1
exactamente 15 huracanes en 2 años;
2
a lo sumo 9 huracanes en 2 años.
Diana C. Moreno
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La distribución de probabilidad Binomial
Distribución de probabilidad Geométrica
Distribución de probabilidad Binomial Negativa
Distribución de probabilidad Hipergeométrica
Distribución de probabilidad de Poisson
Bibliografía
Ejemplo
Un profesor anima a sus estudiantes a ‘actuar de forma prudente‘ consultando al tutor
si tienen alguna pregunta mientras se preparan para el examen final. Parece que la
llegada de los estudiantes a la oficina del tutor sigue una distribución Poisson, con un
promedio de 5.2 estudiantes cada 20 minutos. El profesor está preocupado porque si
muchos estudiantes necesitan los servicios del tutor, puede resultar un problema de
congestión.
1
El tutor debe determinar la probabilidad de que 4 estudiantes lleguen durante
cualquier intervalo de 20 minutos, lo cual podría causar el problema de
congestión que tome el profesor. Si la probabilidad excede el 20 %, se contratará
un segundo tutor.
2
El tutor debe calcular la probabilidad de que más de 4 estudiantes lleguen
durante algún periodo de 20 minutos. Si es mayor que el 50 %, las horas de
oficina del tutor aumentarán.
3
Si la probabilidad de que más de 7 estudiantes lleguen durante un periodo
cualquiera de 30 minutos excede 50 %, el mismo profesor ofrecerá tutoría
adicional.
Diana C. Moreno
Probabilidad y estadística fundamental
La distribución de probabilidad Binomial
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Distribución de probabilidad Binomial Negativa
Distribución de probabilidad Hipergeométrica
Distribución de probabilidad de Poisson
Bibliografía
Ejemplo
Llegan clientes a un mostrador de salida en una tienda de
departamentos de acuerdo con una distribución de Poisson, con un
promedio de siete por hora. En una muestra de cinco mostradores
¿cuál es la probabilidad que en al menos tres mostradores lleguen
menos de 4 clientes?
Diana C. Moreno
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La distribución de probabilidad Binomial
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Distribución de probabilidad Binomial Negativa
Distribución de probabilidad Hipergeométrica
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Bibliografía
Ejercicio
Un fabricante de automóviles se preocupa por una falla en el
mecanismo de freno de un modelo específico. En raras ocasiones la
falla puede causar una catástrofe al manejarlo a alta velocidad. La
distribución del número de automóviles por año que experimentará
la catástrofe es una variable aleatoria de Poisson con λ = 5.
1
¿Cuál es la probabilidad de que, a lo sumo, 3 automóviles por
año de ese modelo específico sufran una catástrofe?
2
¿Cuál es la probabilidad de que más de un automóvil por año
experimente una catástrofe?
Diana C. Moreno
Probabilidad y estadística fundamental
La distribución de probabilidad Binomial
Distribución de probabilidad Geométrica
Distribución de probabilidad Binomial Negativa
Distribución de probabilidad Hipergeométrica
Distribución de probabilidad de Poisson
Bibliografía
1
La distribución de probabilidad Binomial
2
Distribución de probabilidad Geométrica
3
Distribución de probabilidad Binomial Negativa
4
Distribución de probabilidad Hipergeométrica
5
Distribución de probabilidad de Poisson
6
Bibliografía
Diana C. Moreno
Probabilidad y estadística fundamental
La distribución de probabilidad Binomial
Distribución de probabilidad Geométrica
Distribución de probabilidad Binomial Negativa
Distribución de probabilidad Hipergeométrica
Distribución de probabilidad de Poisson
Bibliografía
Bibliografía
1
Blanco Castañeda, L. (2010). Probabilidad. Universidad
Nacional de Colombia, segunda edición, Bogotá.
2
Walpole, R. E., Myers, R. H., & Myers, S. L. (1999).
Probabilidad y estadística para ingenieros. Pearson Educación.
3
Wackerly, D. D., Muñoz, R., & Humbertotr, J. (2010).
Estadística matemática con aplicaciones (No. 519.5 W3).
Diana C. Moreno
Probabilidad y estadística fundamental