Método simplex
Casos especiales
Curso:
Investigación operativa
Curso: Investigación operativa
Paso 1:
Son 4 condiciones que podemos encontrar en los problemas resueltos mediante el algoritmo
simplex que debemos tener en cuenta. Estas son:
•
•
•
•
Degenerada
Óptimos alternativos
Valor objetivo no acotado
Solución no factible
Paso 2:
Empezaremos con la condición degenerada. Para esto propondremos el siguiente ejercicio:
Maximizar Z=3x1+9x2
S.A.
x1+4x2<=8
x1+2x2<=4
Paso 3:
Al tener las restricciones <= para pasar a la tabla, solo debemos agregar holguras en cada
restricción, quedando de la siguiente manera:
Paso 4:
Al resolver, identificamos que el valor más negativo es (-9), por lo que esa columna se convierte en pivote. Luego, dividimos la solución entre esta columna y observamos que nos dan
2 valores iguales que son el número 2, cual elegir si debemos buscar el menor. Esto nos da
un primer indicio: que no es una resolución normal. Procedemos a escoger el primer valor y
obtenemos lo siguiente al aplicar Gauss-Jordan:
2
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Paso 5:
Observamos que, en la columna solución, el valor de la restricción 2 es 0, un valor que no es
esperado ya que recordemos que debemos realizar luego una división.
Paso 6:
Procedemos a comprobar tomando la fila de la otra restricción, ya que recordemos que ambas tenían valor de 2. La columna pivote sigue siendo la misma (-9). Aplicamos Gauss-Jordan
y obtenemos la siguiente tabla:
Paso 7:
Nuevamente observamos que el valor de la columna solución de la restricción 1 tiene un valor
de 0, lo que nos dificulta seguir buscando una solución. Al dividir, buscamos valores diferentes de 0 o negativos. Por esta razón, este ejercicio es del tipo degenerado.
Paso 8:
Veamos otra condición posible: Óptimos alternativos. Para esto, plantearemos el siguiente
problema:
Maximizar Z=2x1+4x2
S.A.
x1+2x2<=5
x1+x2<=4
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Paso 9:
Al ser las restricciones <=, entonces, para darles la forma de tabla, solamente debemos sumar variables de holgura a las 2 restricciones, quedando la tabla de la siguiente manera:
Paso 10:
Buscamos el valor más negativo que representa el valor (-4). Esta sería nuestra columna pivote. Luego, buscamos la fila pivote dividiendo la columna solución con la columna pivote y
obtenemos que la fila de la restricción 1 tiene el menor valor. Por lo que aquí colocaremos el
valor de X2. Aplicando Gauss-Jordan obtenemos la siguiente tabla:
Paso 11:
En esta tabla, podemos observar que el valor para la fila Z, en la columna H2, que representa
la holgura es 0, pero se busca que estos valores sean diferentes de 0. Esto nos indica que
debemos observar los resultados, debido a que las variables básicas tienen valor de 0, asumimos que esta sería la solución óptima, con X2=2.5 y Z=10.
Paso 12:
Pero qué pasaría si asumimos que en lugar de tomar el valor de (-4) como columna pivote,
tomáramos el valor de (-2), obtendríamos la siguiente tabla aplicando Gauss-Jordan:
4
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Paso 13:
Al existir un valor negativo (-2), tendríamos que volver a aplicar la columna pivote y buscar la
fila pivote. Luego, aplicamos Gauss-Jordan y obtenemos la siguiente tabla:
Paso 14:
Observamos que los valores de x1=3 y x2=1 dan como respuesta Z=10, pero observemos el
valor de la columna H2: nuevamente observamos 0.
Paso 15:
Encontramos que resolviendo de ambas maneras llegamos al mismo Z óptimo, lo que gráficamente podríamos concluir que la solución no se trata de un punto único, sino de una línea
donde todos los puntos incluidos en ella serían la solución óptima de este ejercicio.
Paso 16:
Veamos un tercer caso: Valor objetivo no acotado. Este tipo de problemas es fácil identificar
en soluciones gráficas, pero como podemos reconocerlo mediante el método simplex, veamos el siguiente ejercicio:
Maximizar Z= 2X1+X2
S.A
X1-X2<=10
2X1<=40
Paso 17:
Al ser las restricciones <=, solo debemos sumarles las holguras a ambas restricciones para
llevarlas a la tabla simplex, quedando de la siguiente manera:
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Paso 18:
Debemos prestar mucha atención a la variable X2, ya que debajo de ella los valores de sus coeficientes son 0 o negativos. En caso tuviéramos que dividir la columna solución entre estos
valores, no obtendríamos respuesta. Pero, como en este caso el valor más negativo es (-2)
que representa a la variable X1, proseguimos con la resolución del método simplex.
Paso 19:
Encontramos la columna pivote y luego la fila pivote, que al dividir entre la solución obtenemos que 10 representa la restricción 1, por lo que en la nueva tabla este valor será reemplazado por X1, dando como elemento pivote 1. Aplicamos Gauss–Jordan y obtenemos la
siguiente tabla:
Paso 20:
En la fila Z, encontramos un valor negativo (-3), por lo que debemos buscar la columna pivote, la fila pivote y el elemento pivote. En este caso, al realizar la división X2, ingresará a R2
en la nueva tabla, dando como elemento pivote a 2. Realizando Gauss-Jordan, obtenemos la
siguiente tabla:
Paso 21:
Observamos que en la tabla todavía tenemos un valor negativo, en la columna H1, por lo que
debemos proceder a buscar la fila pivote y luego el elemento pivote, pero observamos que
los valores en esa columna con 0 y (-1), por lo que al dividir no podremos encontrar la fila
pivote, entendiendo que este problema no tiene solución.
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Paso 22:
Por último, revisaremos un ejemplo de solución no factible. Para esto, plantearemos el siguiente problema:
MAXIMIZAR Z= 3X1+2X2
S.A
2X1+X2<=2
3X1+4x2>=12
Paso 23:
Observamos que las restricciones tienen condiciones diferentes. Es decir, una es <= y la otra
es >=. Esto primero nos indica que a una de las restricciones le sumaremos la holgura, pero
a la otra restricción debemos restarle el exceso y sumarle una artificial. Debido a esta condición, debemos resolverlo mediante el método de las dos fases.
Paso 24:
Con las modificaciones, la función objetivo queda de la siguiente manera:
Z-3X1-2X2-0H1-0E1-R1=0
Paso 25:
Las restricciones quedan de la siguiente forma:
2X1+X2+H1=2
3X1+4x2-E1+R1=12
Paso 26:
Con esto, la tabla quedaría así:
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Paso 27:
De acuerdo al método de las dos fases, lo primero que debemos realizar es convertir el valor
de R1 en la fila Z de (-1) a 0. Para esto, sumamos la fila R2, quedando la tabla de la siguiente
manera:
Paso 28:
En esta resolución, buscamos los valores más positivos como columna pivote. En este caso,
sería la columna X2 con un valor de 2, dividimos para buscar la fila y elemento pivote, donde
encontramos que es R1 y el elemento es 1.
Paso 29:
En la nueva tabla R1 será reemplazado por X2, y aplicando Gauss-Jordan obtenemos la siguiente tabla:
Paso 30:
Recordemos que el objetivo en la fase 1 es eliminar R1 y R2 de la columna básica, pero solo
pudimos eliminar R1, ya que de los valores obtenidos en esta nueva tabla no tenemos ningún
positivo. Al no poder eliminar, no podemos pasar a la fase 2, quedando este problema sin poder resolverse. Incluso, si comprobamos reemplazando solo x2 en la función objetivo original,
no obtenemos el valor de Z=8, por lo que esa no sería la solución.
8
9
0
