TRABAJO SUCESIONES Y SERIES
1) ¿Qué es una sucesión?:
Una sucesión (o secuencia) es un conjunto ordenado de números, letras, figuras u otros
objetos que siguen una regla o patrón definido. Cada elemento de la sucesión se llama
término, y su posición se indica con un subíndice (por ejemplo, a1 ,a2 ,a3 ,…).
En matemáticas, las sucesiones pueden ser finitas (tienen un número limitado de términos) o
infinitas (no terminan). Se representan generalmente como:
{an}=a1,a2,a3,…,an,…
Ejemplos de Sucesiones
1. Sucesión numérica (aritmética):
a. Regla: Cada término aumenta en +2.
b. Ejemplo: 3,5,7,9,11,…
c. Fórmula general: an=3+2(n−1)
2. Sucesión numérica (geométrica):
a. Regla: Cada término se multiplica por ×3.
b. Ejemplo: 2,6,18,54,162,…
c. Fórmula general: an=2⋅3(n−1)
3. Sucesión de Fibonacci:
a. Regla: Cada término es la suma de los dos anteriores.
2) Límites de una sucesión: Definición y ejemplos:
El límite de una sucesión {an} es el valor L al que se aproximan los términos an cuando n
tiende a infinito (n→∞). Formalmente, se dice que:
limn→∞an=L
si para todo ϵ>0 (por pequeño que sea), existe un número natural N tal que para todo n≥N, se
cumple:
∣an−L∣<ϵ.
Si L existe y es finito, la sucesión converge a L.
Si no existe tal L o tiende a ±∞, la sucesión diverge.
Ejemplos de Límites de Sucesiones
1. Sucesión Convergente
Ejemplo: an=1nan =n1
o Términos: 1,12,13,14,…1,21 ,31 ,41 ,…
o Límite:
limn→∞1n=0.n→∞lim n1 =0.
2. Sucesión Constante
Ejemplo: an=5an =5
o Términos: 5,5,5,…5,5,5,…
o Límite:
3. Sucesión Divergente (a infinito)
Ejemplo: an=n2an =n2
o Términos: 1,4,9,16,…1,4,9,16,…
o Límite:
limn→∞n2=+∞.n→∞lim n2
4. Sucesión Oscilante (Divergente)
Ejemplo: an=(−1)nan =(−1)n
o Términos: −1,1,−1,1,…−1,1,−1,1,…
o Límite: No existe.
5. Sucesión Racional (Convergente)
Ejemplo: an=3n+22n−1an =2n−13n+2
o Términos: 5,83,115,…5,38 ,511 ,…
3) Propiedades de los límites de una sucesión: ejemplos:
4) ¿Cuándo una sucesión es convergente y cuando una divergente?
Ejemplos:
5) ¿Como se halla el termino n-esimo de una sucesión? Dar ejemplos:
El término n-ésimo (o término general) de una sucesión es una fórmula que permite
calcular cualquier término an en función de su posición n. A continuación, se
explican los métodos para encontrarlo, junto con ejemplos claros.
6) Sucesiones monótonas: definición y ejemplos:
Una sucesión monótona es aquella cuyos términos siempre aumentan o siempre
disminuyen (o se mantienen iguales) a medida que avanza el índice n. Se clasifican
en:
7) Sucesiones convergentes: Definición y ejemplos:
8) Sucesiones oscilantes: definición y ejemplos:
Una sucesión oscilante es aquella que no converge ni diverge a infinito, sino que sus
términos fluctúan entre dos o más valores sin estabilizarse en un límite único. Formalmente:
No existe limn→∞an.
Los términos pueden alternar entre valores finitos o mostrar un patrón irregular.
9) ¿Qué es una serie telescópica? Dar ejemplos:
Una serie telescópica es una serie infinita en la que muchos términos se cancelan
al sumar los primeros términos, haciendo que el resultado sea más fácil de calcular.
El nombre "telescópica" proviene de la forma en que los términos se "pliegan" o se
cancelan entre sí, como los tubos de un telescopio.
10) Serie geométrica: definición y ejemplos:
Una serie geométrica es la suma de los términos de una sucesión geométrica, donde
cada término se obtiene multiplicando el anterior por una razón constante r.
Su forma general es:
11) ¿Cuándo es una serie geométrica divergente y cuando convergente?
Dar ejemplos:
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