El Último Teorema de Fermat: Simon Singh

A IS a e hit DI » era 7 El último teorema de Fermat Digitized by the Internet Archive in 2022 with funding from Kahle/Austin Foundation https://archive.org/details/elultimoteoremad0000sing Simon Singh El último Leorema de Fermat LA HISTORIA DE UN ENIGMA CONFUNDIÓ A LAS MENTES MÁS GRANDES DEL MUNDO DURANTE 358 AÑOS QUE Traducción de Bernardo Recamán Santos GRUPO EDITORIAL NORMA Barcelona Buenos Aires Caracas Guatemala Lima México Panamá Quito San José San Juan San Salvador Santa Fe de Bogotá Santiago Título original: Fermat's Last Theorem Publicado en el Reino Unido por Fourth Estate O Simon Singh, 1997 O del prólogo, John Lynch, 1997 Primera edición en castellano para América Latina: marzo de 1999 Tercera reimpresión: enero de 2006 O Editorial Norma S.A., 1999 Apartado 53550 Santa Fe de Bogotá, Colombia Fotografía de cubierta: Víctor Robledo Diseño: Camilo Umaña Impreso en Argentina por Gráfica MPS S.R.L. Printed in Argentina Prohibida la reproducción total o parcial por cualquier medio sin autorización escrita de la editorial. 60722200 ISBN: 958-04-4865-5 Este libro se compuso en caracteres Linotype Garamond 3 A la memoria de Pakhar Singh Birring ri Contenido Prólogo |JOHN LYNCH Prefacio 2 1 “Creo que me detendré aquí” 2 El hacedor de acertijos Una vergúenza matemática Hacia la abstracción Demostración por contradicción El cálculo SS AS. DI secreto 7 Un pequeño problema 8 Matemáticas unificadas Apéndices Lecturas complementarias sugeridas Créditos fotográficos hard er | ela PE AA. Leo PR . DA bypa Mabe E a o AA bs el q. 5,5% ES Sn.ES poi cd pe cias ' ak: A TOS elas A NE book ronea rió ta ña A <= pd is 19 e y PR:-ÓM:0GO Finalmente nos conocimos en un salón, no muy lleno, pero lo suficientemente grande como para albergar a todo el departamento de matemáticas de Princeton en sus ocasiones de celebración. Aquella tarde en particular no había tanta gente, aunque sí la suficiente como para que yo no pudiera estar seguro de cuál de todos era Andrew Wiles. Después de unos momentos opté por un hombre de apariencia tímida que escuchaba la conversación a su alrededor, bebía té y participaba en la reunión ritual de genios en la que los matemáticos de todo el mundo toman parte hacia las cuatro de la tarde. Él simplemente adivinó quién era yo. Era el final de una semana extraordinaria. Me había reunido con algunos de los mejores matemáticos vivos y había comenzado a comprender su mundo. Pero a pesar de todos los intentos de ubicar a Andrew Wiles, de hablar con él y convencerlo de que participara en el documental para el programa de televisión Horizon de la BBC sobre su logro, este era nuestro primer encuentro. Este era el hombre que hacía poco había anunciado haber encontrado el santo grial de las matemáticas; el hombre que sostenía haber demostrado el último teorema de Fermat. Mientras hablábamos, Wiles parecía distraído y encerrado en sí mismo y, aunque fue cortés y amigable, era claro que deseaba que yo estuviera lo más lejos posible de él. Me explicó simplemente que no le era posible concentrarse en nada diferente a su trabajo, el cual en ese momento se encontraba en una etapa crítica. No obstan- EL DE ÚLTIMO FERMAT TEOREMA IO te, añadió que quizás después, cuando esas presiones se hubieran resuelto, le gustaría participar. Yo sabía, y él sabía que yo sabía, que se estaba enfrentando al colapso de la ambición de su vida, y que el santo grial que había tenido en sus manos ahora parecía no ser más que una vasija, aunque bastante hermosa y valiosa. Había encontrado un error en su anunciada demostración. La historia del último teorema de Fermat es única. Cuando conocí a Andrew Wiles ya me había dado cuenta de que realmente esta es una de las grandes historias en el campo del trabajo científico o académico. Había visto los titulares de prensa en el verano de 1993, cuando la demostración había puesto a las matemáticas en las primeras páginas de los principales periódicos de todo el mundo. En aquella época sólo guardaba un vago recuerdo de lo que era el último teorema, pero pude ver que obviamente era algo muy especial, algo que tenía el sabor de un documental para Horizon. Pasé las semanas siguientes hablando con muchos matemáticos: algunos muy relacionados con esa historia O cercanos a Andrew, y algunos que simplemente compartían la emo- ción de ser testigos de un hito en su disciplina. Todos compartieron con generosidad sus conocimientos de historia matemática, y me guiaron con paciencia a lo largo de lo poco que podía entender acerca de los conceptos relacionados con esta demostración. Rápidamente quedó claro que se trataba de una materia que quizás sólo media docena de personas en todo el mundo podría dominar. Por algún tiempo me pregunté si no era una locura intentar hacer una pelícu- Prólogo 11 la. Pero de aquellos matemáticos conocí también la larga trayectoria de Fermat, y el significado profundo que tiene para las matemáticas y para quienes las practican; y ahí, me di cuenta, estaba la verdadera historia. Conocí los antiguos orígenes griegos del problema, y que el último teorema de Fermat era una cima del Himalaya de la teoría de números. Entré en contacto con la belleza estética de las matemáticas, y comencé a entender lo que significa describirlas como el lenguaje de la naturaleza. A través de los contemporáneos de Wiles comprendí la naturaleza hercúlea del trabajo de este: empleó en su demostración, de forma conjunta, la totalidad de las más recientes técnicas de la teoría de números. Por sus amigos de Princeton supe del difícil progreso de Andrew durante sus años de estudio aislado. Construí un retrato extraordinario de Andrew Wiles y del enigma que dominaba su vida, pero parecía destinado a no conocer nunca al personaje mismo. Aunque las matemáticas que hacen parte de la demos- tración de Wiles se cuentan entre las más difíciles del mundo, descubrí que la belleza del último teorema de Fermat descansa en el hecho de que el problema mismo es muy fácil de entender. Es un enigma que está planteado en términos conocidos por cualquier estudiante. Pierre de Fermat era un hombre inmerso en la tradición del Renacimiento que estaba interesado en el redescubrimiento del antiguo conocimiento griego, pero hizo una pregunta que a los griegos no se les había ocurrido, y con ello planteó lo que se convertiría en el problema más difícil de resolver. En forma provocadora, EL DE ÚLTIMO FERMAT TEOREMA 142) dejó una nota para la posteridad sugiriendo que tenía una respuesta, pero no dijo cuál era. Ese fue el comienzo de la cacería que duró tres siglos. Ese lapso de tiempo demuestra la significación del enigma. Es difícil pensar en algún problema, en cualquier campo de la ciencia, planteado de forma tan simple y clara, que haya resistido por tanto tiempo los avances del conocimiento. Considérense los saltos del saber que han tenido lugar en la física, la química, la biología, la medicina y la ingeniería desde el siglo xv. Hemos progresado en la medicina desde los “humores” hasta la manipulación genética, hemos identificado las partículas atómicas fundamentales y hemos enviado hombres a la luna, pero en la teoría de números el último teorema de Fermat permanecía intacto. Por algún tiempo, en el curso de mi investigación, busqué una razón por la cual el último teorema de Fermat pudiera importarle a alguien que no fuera matemático, y por la cual fuera importante hacer un programa sobre él. Las matemáticas tienen una multitud de aplicaciones prácticas, pero en el caso de la teoría de números los usos más emocionantes que me explicaron tenían que ver con la criptografía, con el diseño de altavoces acústicos y con la comunicación con naves espaciales distantes. Ninguno de ellos parecía capaz de atraer a un público amplio. Mucho más atractivos eran los mismos matemáticos y la pasión que todos mostraban cuando hablaban de Fermat. Las matemáticas constituyen una de las formas más puras de pensamiento, y para quienes no están dentro de ellas, los matemáticos pueden Prólogo 13 parecer como personajes de otro mundo. Lo que más me llamó la atención en todas mis discusiones con ellos fue la extraordinaria precisión de su conversación. Rara vez con- testaban una pregunta inmediatamente. Con frecuencia tenía que esperar hasta que la estructura precisa de la respuesta hubiera sido resuelta en sus mentes, tras lo cual la expresa- ban con una afirmación tan clara y articulada como yo lo deseaba. Cuando interrogué a un amigo de Andrew, Peter Sarnak, acerca de esto, me explicó que los matemáticos simplemente detestan hacer afirmaciones falsas. Por supuesto que usan la intuición y la inspiración, pero las afirmaciones formales tienen que ser absolutas. La demostración es lo que subyace en el fondo de las matemáticas, y lo que la distingue de otras ciencias. Estas se valen de hipótesis que se contrastan con evidencia experimental hasta que fallan, razón por la cual son reemplazadas por otras hipótesis. En las ma- temáticas, la meta es la demostración absoluta, y una vez algo ha sido demostrado, queda demostrado para siempre; no hay lugar para ningún cambio. En el último teorema de Fermat los matemáticos tenían su reto más grande, y la persona que encontrara la demostración recibiría la adulación de toda la comunidad. Se ofrecieron premios y estallaron las rivalidades. El último teorema de Fermat tiene una compleja historia im- pregnada, además, de muerte y decepción, y que incluso ha alentado el desarrollo de las matemáticas. Barry Mazur, matemático de la Universidad de Harvard, afirmó que Fermat añadió cierto espíritu a aquellas áreas de las matemáticas EL ÚLTIMO DE CESE R MCA TE TEOREMA 14 que estaban asociadas con los primeros intentos de demostración. Irónicamente, resultó que una de tales áreas fue clave en la demostración final de Wiles. De manera gradual, al entender algo de este campo tan poco conocido, vine a comprender que el último teorema de Fermat estaba en el centro del desarrollo de las matemáticas mismas, y que incluso iba paralelo a él. Fermat fue el padre de la moderna teoría de números y desde su época las matemáticas han evolucionado, han progresado y se han diversificado en muchas y recónditas áreas. Es en ellas en donde nuevas técnicas han dado lugar a nuevas áreas de las matemáticas que se han convertido, en sí mismas, en fines. Con el paso de los siglos, el último teorema de Fermat parecía cada vez menos relevante para la vanguardia de la investigación matemática; quedó casi convertido en una curiosidad. Ahora está claro que su importancia para las matemáticas nunca disminuyó. Los problemas acerca de los números, tal como el que planteó Fermat, son como acertijos y a los matemáticos les gusta resolver acertijos. Para Andrew Wiles este era un acertijo muy especial, y nada menos que la ambición de su vida. Desde niño, treinta años atrás, Wiles se tropezó con el últi- mo teorema de Fermat enunciado en un libro de una biblioteca pública. Quedó atrapado desde entonces y su sueño de niño y de adulto era resolver el problema. Cuando reveló por primera vez una demostración, en el verano de 1993, lo hizo al final de siete años de trabajo consagrados exclusivamente al problema, un grado de dedicación y determina- Prólogo I5 ción difíciles de imaginar. Muchas de las técnicas que utilizÓ no existían cuando él comenzó. Reunió, además, el trabajo de muchos matemáticos excelentes. De esta manera vinculó ideas y creó conceptos que otros habían temido abordar. De alguna manera, reflexionó Barry Mazur, resultó que todo el mundo había estado trabajando en Fermat, pero por separado y sin tenerlo como meta, pues la demostración exigió todo el poder de las matemáticas modernas. Lo que hizo Andrew fue reunir de nuevo áreas de las matemáticas que se veían muy distantes entre sí. Su trabajo, por lo tanto, pare- cía ser una justificación de la diversificación que las matemáticas habían tenido desde que el problema fue planteado. Como punto central de su demostración de Fermat, Andrew había confirmado una idea conocida como la conjetura de Shimura-Taniyama, lo que creaba un puente nuevo entre mundos matemáticos completamente diferentes. Para muchos el objetivo de una matemática unificada es supremo, y este era un atisbo de ese mundo. Así que al demostrar a Fermat, Andrew Wiles había puesto cimientos a una de las partes más significativas de la teoría de números del período de la posguerra, y había asegurado la base de una pirámide de conjeturas construida sobre ella. Y no se trataba simplemente de resolver el más antiguo de los acertijos matemáticos; esto empujaba las fronteras mismas de las mate- máticas. Era como si el sencillo problema de Fermat, propuesto cuando las matemáticas estaban en su infancia, estuvieran esperando ese momento. La historia de Fermat había terminado de la forma más EL DE ÚLTIMO FERMAT TEOREMA 16 espectacular. Para Andrew Wiles ello significó el final de un aislamiento profesional poco común en las matemáticas, que es normalmente una actividad de colaboración. La hora ritual del té es en los institutos de matemáticas de todo el mundo un momento en que se comparten ideas, y es una norma comunicar a los colegas cualquier resultado antes de publicarlo. Ken Ribet, un matemático que jugó un papel central en la demostración, me sugirió, medio en broma, que la inseguridad de los matemáticos es la razón por la cual estos necesitan la estructura de apoyo de sus colegas. Andrew Wiles había rechazado todo aquello y había mantenido en secreto su trabajo, salvo la etapa final. Tenía la ambición de ser él quien resolviera el problema; esta pasión fue tan grande que le dedicó a ella siete años de su vida guardando para sí la meta. Sabía que, sin importar lo irrelevante que pareciera el problema, la competencia por resolverlo no había disminuido, y no podía arriesgarse a revelar lo que estaba haciendo. Después de varias semanas de investigación sobre el tema llegué a Princeton. El nivel de emoción era intenso, tratándose de matemáticos. Había encontrado una historia de competencia, éxito, aislamiento, genialidad, triunfo, en- vidia, intensa presión, pérdida e incluso tragedia. En el corazón de la crucial conjetura de Shimura-Taniyama estaba la trágica vida en el Japón de la posguerra de Yutaka Taniyama, cuya historia tuve el privilegio de escuchar de boca de su amigo cercano Goro Shimura. De Shimura también aprendí Prólogo 7 la noción de la “bondad” en las matemáticas: se siente que algo es correcto porque es bueno. De alguna manera, el sentimiento de bondad había invadido la atmósfera de las matemáticas ese verano. Todos disfrutaban el momento glorioso. Con todo esto en marcha, no es de sorprender el peso de la responsabilidad que sintió Andrew cuando, en el otoño de 1993, apareció la falla en la demostración. Con los ojos del mundo sobre él, y sus colegas solicitando que la demostración se hiciera pública, de alguna manera, y sólo él sabe cómo, no se derrumbó. De repente había pasado de hacer matemáticas en privado, y a su propio ritmo, a trabajar en público. Andrew es un hombre muy reservado, que lu- chó enormemente para proteger a su familia de la tormenta que se desataba alrededor de él. Durante la semana que estuve en Princeton, lo llamé, le dejé notas en su oficina, en su puerta, con sus amigos; incluso le obsequié té inglés y un frasco de Marmite. Pero resistió todos mis intentos de acercamiento, hasta aquel encuentro casual el día de mi partida. Lo que siguió fue una tranquila pero intensa conversación que duró apenas quince minutos. Cuando nos despedimos esa tarde había un acuerdo entre los dos. Si lograba corregir su demostración, me lla- maría para discutir una película; yo estaba dispuesto a esperar. Pero mientras volaba a Londres esa noche me parecía que el programa de televisión estaba muerto. Nadie había logrado subsanar un vacío en los muchos intentos de demostración de Fermat durante tres siglos. La historia estaba EL DE ÚLTIMO FERMAT TEOREMA 18 repleta de falsas demostraciones, y por mucho que yo deseara que él fuera la excepción, era difícil imaginar que Andrew fuera más que otra lápida en el cementerio matemático. Un año después recibí la llamada. Después de un extraordinario giro matemático y un destello de perspicacia e inspiración, Andrew le había puesto punto final a Fermat en su carrera profesional. Un año después de eso, encontramos el tiempo para que él se dedicara a la filmación. Para entonces ya había invitado a Simon Singh a trabajar conmigo en la película, y juntos pasamos tiempo con Andrew, escuchando de él mismo la historia completa de esos siete años de estudio aislado y del año de pesadilla que les siguió. Mientras filmamos Andrew nos contó, como nunca antes a nadie, sus más íntimos sentimientos acerca de lo que había hecho; cómo durante treinta años se había aferrado a un sueño de infancia, cómo buena parte de las matemáticas que había estudiado habían sido, sin él saberlo entonces, una acumula- ción de herramientas para el reto de Fermat que había dominado su carrera; cómo nada sería otra vez igual; nos habló del sentimiento de pérdida de un problema que nunca más sería su compañía constante, y del reconfortante sentimiento de alivio que lo embargaba. Tratándose de un campo en el que el tema de estudio es para un público lego tan técnicamente difícil de entender como se lo pueda uno imaginar, el nivel de carga emocional de nuestra conversación era mayor del que he experimentado durante toda mi carrera como productor de películas científicas. Para Andrew era el final Prólogo 19 de un capítulo de su vida. Para mí era un privilegio estar cerca de ese acontecimiento. La película fue transmitida por la televisión de la BBC con el título de Horizon: Fermat's Last Theorem. Simon Singh ha desarrollado esas ideas y conversaciones íntimas, junto con la enorme riqueza de la historia de Fermat y de las matemáticas relacionadas, en este libro que constituye un testimonio completo y enriquecedor de una de las grandes historias del pensamiento humano. John Lynch Editor de la serie de la BBC Horzzon Marzo de 1997 y. a SEO! cl a PP A det, a e 0 a Nair AÑ y E MODA gs 090 A E dl yr A dad ir dee sad S pliss CU ANO ue a TES AÍNICAA NS 0 AA TA A A deago A e mr pad arto da ROA reera A E E OT MAN oa] Ana y, ¡dable % 13 hy rias e ná SADA As nm Eee ir bo y 1541 meli e ¿o E ¿xs eb | A » ss ' A La LS 22 Vds e FO ¡20 Miel a WA AUN coma col e! aa e NA haábed A ro 100 Pl 08 Ñ . 5 ble cm elder da nn van ce Ad a na yPa : 1 ar ro EA a ($ e proce ent dle poe Ñ NR A my Yi Q A «edds 3 20 de cert nin y 20 A AA ] $ e PREFACIO La historia del último teorema de Fermat está inextricablemente vinculada con la historia de las matemá- ticas. “Toca todos los temas centrales de la teoría de números. Nos da una excelente idea de aquello que impulsa a las matemáticas y quizás, lo que es más importante, sobre lo que inspira a los matemáticos. El último teorema está en el vór- tice de una apasionante saga de coraje, intrigas, astucia y tragedia que involucró a todos los grandes héroes de las matemáticas. El último teorema de Fermat tiene sus orígenes en las matemáticas de la antigua Grecia, dos mil años antes de que Pierre de Fermat planteara el problema en la forma en que lo conocemos hoy. Vincula, por lo tanto, los fundamentos de las matemáticas creados por Pitágoras con las ideas más sofisticadas de las matemáticas moderna. Al escribir este libro he optado básicamente por una estructura cronológica que comienza describiendo el revolucionario espíritu de la Hermandad Pitagórica y termina con el relato personal de Andrew Wiles sobre su lucha por encontrar una solución al acertijo de Fermat. El primer capítulo cuenta la historia de Pitágoras y describe cómo su teorema es el ancestro directo del último teorema de Fermat. Este capítulo también presenta algunos de los conceptos fundamentales de las matemáticas que se repetirán con frecuencia a lo largo del libro. El segundo capítulo lleva la historia desde la antigua Grecia hasta la Fran- EL DE ÚLTIMO FERMAT TEOREMA 22 cia del siglo xvI1, donde Pierre de Fermat creó el más profundo enigma de la historia de las matemáticas. Para explicar el extraordinario carácter de Fermat y su contribución a las matemáticas, que va mucho más allá del último teorema, he dedicado varias páginas a la descripción de su vida y de algunos de sus otros brillantes descubrimientos. El tercer y el cuarto capítulos describen algunos de los intentos de demostración del último teorema de Fermat durante los siglos XVIII, XIX y comienzos del xx. Aunque estos esfuerzos fueron un fracaso, produjeron un rico arsenal de técnicas y herramientas matemáticas, algunas de las cuales han sido parte integral de los más recientes intentos por demostrar el último teorema de Fermat. Además de describir las matemáticas, he dedicado buena parte de estos capí- tulos a los matemáticos que se obsesionaron con el legado de Fermat. Sus historias muestran cómo ellos están dispuestos a sacrificarlo todo en busca de la verdad, y cómo han evolucionado las matemáticas a través de los siglos. Los capítulos restantes del libro son una crónica de los extraordinarios acontecimientos que en los últimos cuarenta años han revolucionado el estudio del último teorema de Fermat. El sexto y el séptimo capítulos, en particular, se concentran en el trabajo de Andrew Wiles, cuyos descubrimientos de la última década asombraron a la comunidad matemática. Estos últimos capítulos están basados en extensas entrevistas con Wiles. Esta fue para mí una oportunidad excepcional de oír de su fuente original la historia de una de las más extraordinarias travesías intelectuales del si- Prefacio 23 glo Xx, y espero haber sido capaz de transmitir la creatividad y el heroísmo que Wiles necesitó durante esos diez años de dura prueba. Al contar el relato de Pierre de Fermat y su acertijo desconcertante procuré describir los conceptos matemáticos sin acudir a ecuaciones, pero inevitablemente x, y, y z levantan en ocasiones sus horribles cabezas. Cuando aparecen ecuaciones intenté suministrar la suficiente explicación como para que aun los lectores sin ningún conocimiento de las matemáticas puedan entender su significado. Para aquellos lectores con un poco más de conocimientos sobre el tema elaboré una serie de apéndices que desarrollan las ideas matemáticas contenidas en el texto principal. Adicionalmente, incluí una lista de lecturas complementarias, cuyo propósito general es suministrar a los inexpertos más detalles acerca de áreas particulares de las matemáticas. Este libro no habría sido posible sin la ayuda y la participación de mucha gente. En particular quisiera agradecer a Andrew Wiles, que estuvo siempre dispuesto a hacer un alto para concederme largas y detalladas entrevistas durante momentos de intensa presión. Durante mis siete años como periodista científico nunca he conocido a nadie con un mayor nivel de pasión y dedicación a su materia, y estoy eternamente agradecido con el profesor Wiles por haber estado dispuesto a compartir su historia conmigo. Quisiera también agradecer a otros matemáticos que me ayudaron a escribir este libro y me permitieron entrevis- tarlos en profundidad. Algunos de ellos habían estado muy EL DE ÚLTIMO TEOREMA 24 FERMAT involucrados en la búsqueda de la demostración del último teorema de Fermat; otros fueron testigos de los acontecimientos históricos de los últimos cuarenta años. Las horas que pasé conversando con ellos e interrogándolos fueron enormemente placenteras, y agradezco la paciencia y entusiasmo con que me explicaron tantos y tan bellos conceptos mate- máticos. En particular quisiera agradecer a John Coates, John Conway, Nick Katz, Barry Mazur, Ken Ribet, Peter Sarnak, Goro Shimura y Richard Taylor. He tratado de ilustrar este libro con el mayor número posible de retratos para darle al lector una mejor apreciación de los personajes involucrados en la historia del último teorema de Fermat. Varias bibliotecas y archivos se esforzaron mucho por ayudarme; en particular quiero agradecer a Susan Oakes, de la London Mathematical Society, a Sandra Cumming, de la Royal Society y a lan Stewart, de la Uni- versidad de Warwick. Estoy también agradecido con Jacquelyn Savani, de la Universidad de Princeton, Duncan McAngus, Jeremy Gray, Paul Balister y el Instituto Sir Isaac Newton por su ayuda en la búsqueda del material de inves- tigación. Gracias también a Patrick Walsh, Christopher Potter, Bernadette Alves, Sanjida O'Connell y a mis padres, por sus comentarios y apoyo durante el último año. Por último, muchas de las entrevistas citadas en este libro las realicé mientras trabajaba en un documental para la televisión sobre el último teorema de Fermat. Quisiera agradecer a la BBC por permitirme utilizar este material, y en particular le debo una palabra de gratitud a John Lynch, Prefacio 25 quien trabajó conmigo en el documental y ayudó a despertar mi interés en el tema. Simon Singh Thakarki, Phagwara 1997 ¿LOA o A 0 Y ] h arto ' ¡nur Dro va ¿Q AS NN , A Y 4 e Á ' 18 1” f mid 6 A y 0 mar dl PESps A Le hiba uy da 6 Y. md - Y ME < CAPO a. 404 LA Mp O 3 ns E. 04d 7 11 4 AM : “AnIR o y md YO UND AÑ BEN 07 A - re Ñ $ es e Mia at Ñ y $ y pe ' J a e h invite: ela ¿0 e TN o ]ó. Ñ pa NE E . | Ñ ñ Ñ 4 ASS a 7 d | : > 0 a : AP e 0 la TEA Corbis E Me 2 105 FOITI, Fada, Cirat mins delao ME -Serdr «tia AVAL Y ES . e EN ci den l lio (SNA Ñ vd ds Cas ina e VS POLA amo ñ pá UE o NN si ¡¿ado p, Pal Mp ¿mer UY Prat IE ' : "L 0 A Ñ h 2 ar Ver 4 as 0 E el y h po E y ] ia q WA 3 A PIM Ar UV A E Ln. y ' DN Min 4 4 Ye ) ¡Ce e AE Lim nd q . 0-64. 2048 Esad Só ¿a? e0 4 ' Ñ 054) y e! 0 $ pil o a de qm am se TT Pa A sm WER . TS 5 an o y n Arquímedes será recordado cuando Esquilo haya sido olvidado, porque las lenguas mueren pero las ideas matemáticas no. “Inmortalidad” puede ser una palabra tonta, pero es probable que un matemático tenga la mayor posibilidad de alcanzarla, cualquier cosa que ella signifique. G. H: HARDY “Creo que me detendré aquí” Andrew Wiles a la edad de diez años, cuando se encontró por primera vez con el último teorema de Fermat. CAMBRIDGE, DONDE PUN DODE 19.93 Fue la conferencia matemática más importante del siglo. Doscientos matemáticos quedaron paralizados. Sólo una cuarta parte de ellos entendieron a cabalidad la densa mezcla de símbolos griegos y álgebra que cubría el tablero. Los demás estaban allí solamente para ser testigos de la que esperaban sería una ocasión de veras histórica. Los rumores habían comenzado el día anterior. El correo electrónico a través del internet insinuaba que la conferencia terminaría con una solución del último teorema de Fermat, el problema matemático más famoso del mundo. Tales rumores no eran poco comunes. El tema del último teorema de Fermat surgía con frecuencia en las reuniones, y los matemáticos especulaban acerca de quién estaría haciendo qué. Algunas veces los comentarios en las salas de profesores convertían la especulación en rumores acerca de un avance importante, pero nunca se había concretado nada . Esta vez el rumor era diferente. Un estudiante de in- vestigación de Cambridge estaba tan convencido de que era cierto que corrió a la agencia de apuestas a apostar £10 a que el último teorema de Fermat quedaría resuelto en el curso de la semana. Sin embargo, el corredor de apuestas olió algo extraño y rechazó la apuesta. Este era el quinto estudiante que llegaba ese día a hacer la misma apuesta. El último teorema de Fermat había confundido a las mentes más capaces del planeta durante tres siglos, pero incluso ahora los corre- EL DE ÚLTIMO FERMAT TEOREMA 30 dores de apuestas comenzaban a sospechar que estaba a punto de ser demostrado. Los tres tableros estaban llenos de cálculos y el conferencista hizo una pausa. Borró el primer tablero y continuó con el álgebra. Cada renglón parecía ser un pequeño paso hacia la solución, pero después de treinta minutos el conferencista todavía no había anunciado la demostración. Los profesores atiborrados en las primeras filas del salón esperaban ansiosos la conclusión. Los estudiantes, de pie en la parte posterior del salón miraban a sus profesores en busca de pistas acerca de cuál podría ser la conclusión. ¿Estaban contemplando una demostración completa del último teorema de Fermat, o acaso el conferencista estaba apenas haciendo el bosquejo de un argumento incompleto y que no habría de llegar a su clímax? El conferencista era Andrew Wiles, un inglés reservado que había emigrado a Estados Unidos en la década de los ochenta y había aceptado un cargo de profesor en la Universidad de Princeton, en donde se ganó la reputación de ser uno de los matemáticos más talentosos de su generación. Sin embargo, en los últimos años había desaparecido casi por completo del circuito de conferencias y seminarios, y sus colegas habían comenzado a suponer que Wiles estaba acabado. No es inusual que tales jóvenes con mentes tan brillantes se agoten, como lo señalaba el matemático Alfred Adler: “La vida matemática de un matemático es corta. El trabajo raramente mejora después de la edad de veinticinco Creo que me detendré aquí EE o treinta años. Si poco se ha logrado hasta entonces, poco será lo que en definitiva se logre”. “Los jóvenes deben demostrar teoremas, los viejos, escribir libros”, observó G. H. Hardy en su libro Apología de un matemático. “Ningún matemático debe olvidar jamás que las matemáticas, más que cualquier otro arte o ciencia, es un juego de jóvenes. Para dar un ejemplo sencillo, la edad promedio de elección como miembro de la Royal Society es más baja entre los matemáticos”. El más brillante de sus estudiantes, Srinivasa Ramanujan, fue nombrado miembro de la Royal Society cuando tenía 31 años, después de haber hecho descubrimientos destacados durante su juventud. A pesar de haber recibido muy poca educación formal en su pueblo natal de Kumbakonam, en el sur de la India, Ramanujan logró crear teoremas y soluciones que habían sido esquivos a los matemáticos de Occidente. En las matemáticas, la experiencia que viene con la edad parece menos importante que la intuición y el atrevimiento de la juventud. Cuando Ramanujan le envió por correo sus resultados a Hardy, el profesor de Cambridge quedó tan impresionado que lo invitó a abandonar su trabajo como oficinista de bajo rango en el sur de la India para ingresar al Trinity College, donde podría relacionarse con algunos de los más eminentes teóricos de los números del mundo. Lamentablemente, los crudos inviernos del oriente de Inglaterra fueron demasiado para Ramanujan, quien se contagió de tuberculosis y murió a la edad de 33 años. EL DE ÚLTIMO FERMAT TEOREMA 5 Otros matemáticos han tenido carreras igualmente brillantes y cortas. En el siglo x1x, el noruego Niels Henrik Abel hizo su más grande contribución a las matemáticas a los diecinueve años de edad y murió sumido en la pobreza apenas ocho años más tarde, también de tuberculosis. Charles Hermite dijo de él: “Ha dejado a los matemáticos algo de qué ocuparse durante quinientos años”. En efecto, es cierto que los descubrimientos de Abel tienen todavía una profunda influencia en los teóricos de los números de hoy. Su contemporáneo, el igualmente brillante, Evariste Galois, también hizo sus descubrimientos en su adolescencia y mu- rió de apenas veintiún años de edad. Estos ejemplos no tienen la intención de demostrar que los matemáticos mueren prematura y trágicamente, sino que por lo general conciben sus ideas más profundas cuando son jóvenes, tal como lo dijo alguna vez Hardy: “No conozco ningún ejemplo de un avance matemático importante que haya sido iniciado por alguien mayor de cincuenta años”. Los matemáticos de mediana edad con frecuencia pasan a un segundo plano y dedican el resto de sus años a la enseñanza o a la administración, en vez de investigar. En el caso de Andrew Wiles nada podía estar más alejado de tal aseveración. Aunque había llegado a la gran edad de los cuarenta años, había pasado los últimos años trabajando en forma completamente secreta, tratando de resolver el problema individual más importante de las matemáticas. Mientras algunos sospechaban que su inspiración se había agotado, Wiles estaba logrando progresos fantásticos, inventando nuevas téc- Creo que me detendré aquí 33 nicas y herramientas que ahora estaba preparado para revelar. Su decisión de trabajar en absoluto aislamiento era una estrategia de alto riesgo y sin precedentes en el mundo de las matemáticas. Al no tener inventos que patentar, el departamento de matemáticas de cualquier universidad es el menos secreto de todos. La comunidad se enorgullece de un intercambio abierto y libre de ideas, y las pausas para tomar el té se han convertido en rituales diarios durante los cuales, en torno a una taza de Earl Grey y galletas, se comparten y exploran conceptos. Como resultado, es cada vez más frecuente encontrer artículos publicados por varios autores o equipos de matemáticos; por consiguiente, la gloria se comparte equi- tativamente. Sin embargo, si el profesor Wiles había descubierto una demostración completa y correcta del último teorema de Fermat; el premio más apetecido de las matemáticas era suyo y solamente suyo. El precio que tuvo que pagar por mantener el secreto fue no discutir ni poner a prueba con la comunidad matemática ninguna de sus ideas; existía, por lo tanto, una probabilidad grande de que hubiera cometido algún error fundamental. Wiles hubiera querido pasar más tiempo revisando su trabajo, con el fin de verificar completamente su manuscrito final. Pero entonces surgió la oportunidad excepcional de anunciar su descubrimiento en el Instituto Sir Isaac Newton, en Cambridge, y abandonó toda cautela. El único propósito del instituto es reunir a los intelectos más grandes del mundo durante unas semanas con el fin de llevar a cabo semina- EL DE ÚLTIMO TEOREMA 34 FERMAT rios sobre los últimos avances en algún tema de investigación de su escogencia. Situado en las afueras de la universidad, lejos de los estudiantes y de otras distracciones, el edificio está especialmente diseñado para estimular a los académicos a concentrarse en la colaboración y las lluvias de ideas. No hay corredores sin salida en los cuales esconderse, y todas las oficinas dan a un foro central. Se espera que los matemáticos pasen algún tiempo en esta área abierta, y se les exhorta a no cerrar las puertas de sus oficinas. Se estimula la colaboración incluso mientras los matemáticos se pasean por el instituto; hasta el ascensor, que sólo recorre tres pisos, tiene un tablero. De hecho en todos los cuartos del edificio hay por lo menos un tablero, incluso en los baños. En esta ocasión los seminarios del Instituto Newton estaban anunciados con el título de “Funciones L y aritmética”. Los más grandes teóricos de los números fueron reunidos con el fin de discutir problemas relacionados con este campo altamente especializado de la matemática pura, pero sólo Wiles se había dado cuenta de que las funciones L podrían ser la clave para resolver el último teorema de Fermat. Aunque lo había atraído la oportunidad de revelar su trabajo a tan eminente audiencia, la razón principal para hacer el anuncio en el Instituto Newton era:que quedaba en su ciudad natal, Cambridge. Allí había nacido Wiles, allí creció y desarrolló su pasión por los números; allí se encon- tró con el problema que habría de dominar el resto de su vida. Creo que me detendré aquí EM Ú LT EMO 35 P¿R-OB L.E¡MA En 1963, cuando tenía diez años, a Andrew Wiles ya le fascinaban las matemáticas. “Me encantaba resolver problemas en el colegio, me los llevaba a la casa y me inventaba los míos propios. Pero el mejor problema que jamás encontré lo descubrí en mi biblioteca local”. Un día, mientras caminaba del colegio a la casa, el joven Wiles decidió visitar la biblioteca de Milton Road. Era bastante pobre comparada con las bibliotecas de los colegios universitarios, pero de todos modos tenía una generosa co- lección de libros de acertijos, y estos eran los que con frecuencia llamaban la atención de Andrew. Estos libros estaban repletos de toda clase de interrogantes científicos y acertijos matemáticos, y la solución a cada pregunta aparecía conve- nientemente expuesta en algún lugar al final del libro. Pero esta vez a Andrew le trajo un libro con un solo problema, y sin solución. El libro era El último problema, de Eric Temple Bell. Narraba la historia de un problema matemático que tenía sus raíces en la antigua Grecia pero que sólo alcanzó su completa madurez en el siglo xvI1. Fue entonces cuando el gran matemático francés Pierre de Fermat inadvertidamente lo planteó como un reto para el resto del mundo. Uno tras otro, los grandes matemáticos habían sido humillados por el legado de Fermat, y por más de trescientos años, nadie había sido capaz de resolverlo. Hay otras preguntas sin resolver en matemáticas, pero lo que hace tan especial el problema de EL DE ÚLTIMO FERMAT TEOREMA 36 Fermat es su engañosa simplicidad. Treinta años después de leer el relato de Bell, Wiles me contó cómo se sintió en el momento en que conoció el último teorema de Fermat: “Pa- recía tan simple, y sin embargo ninguno de los grandes matemáticos de la historia lo había podido resolver. Aquí había un problema que yo, un niño de diez años, podía entender, y supe en ese momento que nunca lo dejaría escapar. Tenía que resolverlo”. El problema parece tan sencillo porque está basado en el único fragmento de las matemáticas que todos pueden recordar, el teorema de Pitágoras: En un triángulo rectángulo el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados. Como resultado de este verso pitagórico, el teorema ha sido embutido en millones, acaso miles de millones, de ce- rebros humanos. Es el teorema fundamental que todo niño inocente es obligado a aprender en la escuela. Pero a pesar del hecho de que puede ser entendido por un niño o niña de diez años, la creación de Pitágoras fue la inspiración para un problema que frustró a las más grandes mentes matemáticas de la historia. Pitágoras de Samos fue una de las más influyentes figuras de las matemáticas, y también una de las más misteriosas. Debido a que no hay un recuento de primera mano de su vida y obra, permanece envuelto en un aura de misterio y leyenda tal que a los historiadores les queda difícil separar los hechos de la ficción. Lo que parece seguro es que Creo que me detendré aquí 37 Pitágoras desarrolló la idea de la lógica numérica y fue el responsable de la primera edad de oro de las matemáticas. Gracias a su genialidad los números dejaron de ser utilizados solamente para contar y calcular, y fueron valorados por derecho propio. Pitágoras estudió las propiedades de algunos números en particular, las relaciones entre ellos y los patrones que forman. Se dio cuenta de que los números existen en forma independiente del mundo tangible, y de que, por lo tanto, su estudio estaba libre de la contaminación producida por las imprecisiones de la percepción. Esto significaba que podía descubrir verdades que eran independientes de la opinión o del prejuicio y que eran más absolutas que cualquier conocimiento anterior. Pitágoras, que vivió en el siglo vi a. C., adquirió su habilidad matemática durante sus viajes por el mundo antiguo. Según algunas leyendas, viajó incluso hasta la India y Gran Bretaña, pero lo más seguro es que recogió muchas técnicas y herramientas matemáticas de los egipcios y los babilonios. Estos dos pueblos habían superado los límites del simple conteo y eran capaces de llevar a cabo complejos cálculos con base en los cuales crearon sofisticados sistemas de contabilidad y construyeron edificaciones bastante elaboradas. De hecho, veían a las matemáticas simplemente como una herramienta para resolver problemas prácticos; así la motivación para descubrir algunas de las reglas básicas de la geometría era permitir la reconstrucción de los linderos que se perdían durante la inundación anual del Nilo. La palabra misma, geometría, significa “medir la tierra”. EL DE ÚLTIMO FERMAT TEOREMA 38 Pitágoras observó que los egipcios y los babilonios llevaban a cabo cada cálculo según una receta que se podía seguir ciegamente. Las recetas, probablemente transmitidas de generación en generación, siempre arrojaban la respuesta correcta, así que nadie se molestaba en cuestionarlas o en explorar la lógica detrás de las ecuaciones. Lo importante para estas civilizaciones era que los cálculos funcionaban. Por qué funcionaban era irrelevante. Después de viajar durante veinte años Pitágoras había asimilado todas las leyes matemáticas del mundo conocido. Emprendió el regreso a su isla nativa de Samos, en el mar Egeo, con la intención de fundar una escuela dedicada al estudio de la filosofía, y en particular a la investigación de las nuevas leyes matemáticas que había aprendido. Quería entender los números, no solamente explotarlos. Esperaba encontrar un número suficiente de estudiantes librepensa- dores que lo ayudaran a desarrollar nuevas filosofías radicales, pero durante su ausencia el tirano Polícrates había convertido a la una vez liberal isla de Samos en una sociedad intolerante y conservadora. Polícrates invitó a Pitágoras a su corte pero el filósofo se dio cuenta de que esto era sólo una maniobra destinada a silenciarlo, y por lo tanto rechazó el honor. En cambio abandonó la ciudad y se instaló en una cueva en un lugar remoto de la isla, donde podía dedicarse a la contemplación sin el temor de ser perseguido. Pitágoras no disfrutaba su aislamiento, y finalmente optó por sobornar a un muchacho para que fuera su primer pupilo. La identidad del joven es incierta, pero algunos his- Creo que me detendré aquí 39 toriadores han especulado que su nombre también era Pitágoras y que el estudiante después se haría famoso por ser la primera persona en sugerir que los atletas debían comer carne para mejorar su físico. Pitágoras, el maestro, le pagaba a su estudiante tres Óbolos por cada lección a la que asistiera, y observó que a medida que pasaban las semanas la negativa inicial del muchacho a aprender se transformó en entusiasmo por el conocimiento. Para probar a su pupilo, Pitágoras fingió que ya no le podía pagar y que las lecciones tendrían que suspenderse, a lo cual el muchacho respondió que prefería pagar por su educación antes que verla terminada. El pupilo se había convertido en discípulo. Desafortunadamente esa fue la única conversión que hizo Pitágoras en Samos. Alcanzó a establecer una escuela conocida como el Semicírculo de Pitágoras, pero sus puntos de vista sobre reforma social eran inaceptables y el filósofo se vio obligado a huir de la colonia con su madre y con su único discípulo. Pitágoras partió hacia el sur de Italia, entonces parte de la Magna Grecia, y se estableció en Crotona, donde tuvo la suerte de encontrar al mecenas ideal, Milo, el hombre más rico de Crotona y uno de los más destacados de la historia. Aunque la fama de Pitágoras como el sabio de Samos se estaba extendiendo ya por toda Grecia, la de Milo era aún más grande. Milo era un hombre de hercúleas proporciones que había sido campeón de los juegos olímpicos y píticos doce veces, toda una marca. Además de su afición por el atletismo, Milo también apreciaba y estudiaba la filosofía y las matemáticas. Reservó parte de su casa y le cedió a EL DE ÚLTIMO FERMAT TEOREMA 40 Pitágoras espacio suficiente para que estableciera una escuela. Fue así como la mente más creativa y el cuerpo más poderoso conformaron una sociedad. A salvo en su nuevo hogar, Pitágoras fundó la Hermandad Pitagórica, un grupo de seiscientos seguidores que no solamente eran capaces de entender las enseñanzas del maestro sino que podrían también enriquecerlas mediante la creación de nuevas ideas y demostraciones. Al ingresar a la hermandad cada seguidor tenía que donar todas sus pose- siones mundanas 2 un fondo común, y si alguno se retiraba recibiría el doble de la cantidad que había entregado y una lápida sería erigida en su memoria. La hermandad era una escuela igualitaria e incluía a varias hermanas. La discípula favorita de Pitágoras era la propia huja de Milo, la hermosa Teano, con quien finalmente se casó a pesar de la diferencia de edades. Poco después de fundar la hermandad, Pitágoras acuñó la palabra filósofo, y al hacerlo definió los propósitos de su escuela. Durante unos juegos olímpicos, León, príncipe de Phlius, le preguntó a Pitágoras cómo se describiría a sí mismo. Pitágoras respondió: “Soy un filósofo”, pero León no había oído la palabra antes y le pidió que la explicara. La vida, príncipe León, bien podría compararse con estos juegos públicos, pues entre la enorme muchedumbre aquí reunida algunos vienen atraídos por la adquisición de ganancias, otros, guiados por la esperanza y la ambición de fama y gloria. Pero entre ellos hay unos pocos que han ve- nido a observar y a entender todo lo que aquí sucede. Creo que me detendré aquí 41 Lo mismo ocurre en la vida. A algunos los influye el amor a la riqueza, mientras que otros son guiados ciegamente por el loco anhelo de poder y dominación; pero el mejor hombre se entrega a descubrir el significado y propósito de la vida misma. El busca develar los secretos de la naturalePa za. Este es quien yo llamo filósofo, pues aunque ningún hombre es completamente sabio en todos los aspectos, él puede amar la sabiduría en tanto clave de los secretos de la naturaleza. Aunque muchos sabían de las aspiraciones de Pitágoras, nadie fuera de la hermandad conocía los detalles o la medida de su éxito. Cada miembro de la escuela era obligado a jurar que nunca revelaría al mundo exterior ninguno de sus descubrimientos matemáticos. Incluso después de la muerte de Pitágoras un miembro de la hermandad fue ahogado por romper el juramento: anunció públicamente el descubrimiento de un nuevo sólido regular, el dodecaedro, construido con doce pentágonos regulares. La naturaleza enormemente secreta de la Hermandad Pitagórica es una de las razones por las cuales han surgido leyendas acerca de los extraños rituales que sus miembros pudieron haber practicado, y también la razón por la cual hay tan pocos recuentos fiables de sus logros matemáticos. Lo que se sabe con certeza es que Pitágoras estableció un espíritu que cambió el curso de las matemáticas. La hermandad era en efecto una comunidad religiosa, y uno de los ídolos que adoraban era el número. Creían que entendiendo las relaciones entre los números podrían descubrir los secre- EL DE ÚLTIMO FERMAT TEOREMA 42 tos espirituales del universo y acercarse más a los dioses. En particular, la hermandad centró su atención en el estudio de los números utilizados para contar (1, 2, 3,...) y las fracciones. Los números que se utilizan para contar se llaman también números enteros, y junto con las fracciones (proporciones entre números enteros) conforman el conjunto llamado n4meros racionales. Entre la infinidad de números, la hermandad buscó aquellos con un significado especial, y algunos de los más especiales eran los llamados números “perfectos”. De acuerdo con Pitágoras, la perfección numérica dependía de los divisores de un número (números que dividen exactamente al número original). Por ejemplo, los divisores de 12 son 1, 2, 3, 4 y 6. Cuando la suma de los divisores de un número es mayor que el número mismo, se conoce a este como número “abundante”. Luego 12 es un número abundante, pues sus divisores suman 16. Por otro lado, cuando la suma de los divisores es menor que el mismo número, se dice que éste es “deficiente”. Así que 10 es un número deficiente porque sus divisores (1, 2 y 5) sólo suman 8. Los números más significativos y raros son aquellos cuyos divisores suman exactamente el mismo número, y estos son los números perfectos. El número 6 tiene los divisores 1, 2 y 3 y por consiguiente es un número perfecto, pues 1 + 2 + 3 = 6. El siguiente número perfecto es 28 porque 1 + 2 +4+7+ 14 = 28. Además de tener sentido matemático para la hermandad, la perfección del 6 y el 28 fue reconocida por otras culturas que observaron que la luna gira alrededor de la tierra Creo que me detendré aquí 43 en 28 días y declararon que Dios creó el mundo en seis días. En La ciudad de Dios, san Agustín argumenta que aunque Dios pudo haber creado el mundo en un instante decidió hacerlo en seis días para reflejar la perfección del universo. San Agustín observó que el 6 no era perfecto porque Dios lo hubiera escogido sino porque la perfección era inherente a su naturaleza: “6 es un número perfecto en sí mismo, y no porque Dios creara todas las cosas en seis días; por el contrario, Dios creó todas las cosas en seis días porque este número es perfecto. Y seguiría siendo perfecto aun si el trabajo de los seis días no existiera”. A medida que se hacen más grandes los números para contar, se hace más difícil encontrar números perfectos. El tercer número perfecto es 496, el cuarto es 8.128, el quinto 33.550.336 y el sexto 8.589.869.056. Además de ser la suma de sus divisores, Pitágoras observó que todos los números perfectos presentan otras propiedades elegantes. Por ejemplo, los números perfectos son siempre la suma de una serie consecutiva de números para contar: a 203 E SAA O o a oo de 0 le e A US AT 126 + 127 Pitágoras se entretenía con los números perfectos pero no estaba satisfecho solamente con coleccionar estos números especiales; quería además descubrir su más profundo significado. Una de sus apreciaciones era que la perfección EL DE ÚLTIMO FERMAT TEOREMA 44 estaba cercanamente vinculada con las propiedades del número 2. Los números 4 (2x2), 8 (2x2x2),16 (2x2x2), etc., se conocen como potencias de 2, y se pueden escribir como 2", donde 2 representa el número de 2 que se multiplican entre sí. Todas estas potencias de 2 no alcanzan, por poco, a ser perfectas, pues sus divisores siempre suman uno menos que el mismo número. Esto los hace ligeramente deficientes: Z =237 = 4, Divisores 1, 2 Suma = 3, 2? =2x2x2 =8, Divisores 1, 2, 4 Suma=:7, IA IA IIA O = 16, Divisores 1, 2,4,8 Suma = 15, 2 =2x2x2x2x2i 32, Suma Divisores 1.2, 48,10 31. Dos siglos más tarde, Euclides habría de refinar el vínculo entre las cualidades del 2 y la perfección. Euclides descubrió que los números perfectos siempre son el producto de dos números, uno de los cuales es una potencia de 2 y el otro la siguiente potencia de 2 menos 1. Es decir: 6= 70: SIN 496 =2*x (2-1), 812 (UY Los computadores de hoy han continuado la búsqueda de los números perfectos y han encontrado ejemplos enormes, como 2**” 216.090 x(2**” - 1), un número de más de 130.000 dígitos y que obedece la regla de Euclides. Creo que me detendré aquí 45 Pitágoras estaba fascinado con los elegantes patrones y propiedades de los números perfectos y respetaba su sutileza y astucia. Á primera vista la perfección es un concepto relativamente simple de entender, y sin embargo, los antiguos griegos no pudieron captar algunos de los puntos fundamentales del tema. Por ejemplo, aunque hay muchos núme- ros cuyos divisores suman uno menos que ellos mismos, es decir, que son ligeramente deficientes, parece que no hay números ligeramente abundantes. Los griegos no pudieron encontrar ningún número cuyos divisores sumaran uno más que el número mismo, y no pudieron explicar por qué sucedía esto. Y aunque no encontraron números ligeramente abundantes, para frustración suya no pudieron demostrar que tales números no existen. Á pesar de que entender la aparente falta de números ligeramente abundantes no tenía ningún valor práctico, este era, sin embargo, un problema que podría iluminar la naturaleza de los números y por lo tanto merecía ser estudiado. Tales enigmas intrigaban a la Hermandad Pitagórica, y dos mil quinientos años después, los matemáticos aún no han podido demostrar que no existen números ligeramente abundantes. TODO ES NÚMERO Además de estudiar las relaciones entre los números, Pitágoras estaba también intrigado por el vínculo entre los números y la naturaleza. Se dio cuenta de que los fenómenos naturales están regidos por leyes, y que estas leyes pueden EL DE ÚLTIMO ¿FERMAT TEOREMA 46 ser descritas con ecuaciones matemáticas. Uno de los primeros eslabones que descubrió fue la relación fundamental entre la armonía de la música y la armonía de los números. El instrumento más importante en la temprana músi- ca helénica era el tetracordio o lira de cuatro cuerdas. Ántes de Pitágoras, los músicos habían descubierto que cuando ciertas notas se tocaban juntas creaban un efecto placentero, y afinaban sus liras de tal forma que al puntear dos cuerdas se generara tal armonía. Sin embargo, los primeros músicos no entendían por qué ciertas notas eran armónicas, y Care- cían de un sistema objetivo para afinar sus instrumentos. En cambio, afinaban sus liras puramente al oído hasta establecer un estado armónico, proceso que Platón llamaba “torturar las clavijas de afinación”. lamblichus, el estudioso del siglo Iv que escribió nueve libros acerca de la secta de los pitagóricos, describe cómo llegó Pitágoras a descubrir los principios subyacentes de la armonía musical: Una vez estaba absorto en el pensamiento de si podría diseñar una ayuda mecánica para el sentido de la audición que resultara ser tanto segura como ingeniosa. Tal ayuda sería similar a los compases, reglas e instrumentos ópticos diseñados para el sentido de la vista. De la misma manera, el sentido del tacto tiene balanzas y los conceptos de pesos y medidas. Por algún golpe divino de suerte pasó casualmente por la forja de un herrero y oyó los martillos golpeando el hierro y produciendo entre sí una armonía abiga- rrada de resonancias, excepto para una combinación de sonidos. Creo que me detendré aquí 47 De acuerdo con lamblichus, Pitágoras inmediatamente entró corriendo a la forja para investigar la armonía de los martillos. Observó que la mayoría de los martillos podían ser golpeados simultáneamente para generar un sonido armónico, mientras que cualquier combinación que involucrara a un martillo en particular siempre generaba un ruido desagradable. Analizó los martillos y se dio cuenta de que aquellos que eran armónicos entre sí tenían una simple relación matemática: sus masas eran proporciones simples o fracciones una de la otra. Es decir que todos los martillos que tuvieran la mitad, dos tercios o tres cuartos del peso de un martillo en particular, generarían sonidos armónicos entre sí. Por otro lado, el peso del martillo que generaba discor- dia, al ser golpeado simultáneamente con cualquiera de los otros, no guardaba ninguna relación simple con el peso de estos. Pitágoras había descubierto que unas proporciones numéricas simples eran responsables de la armonía en la música. Los científicos han dudado acerca del relato de lamblichus, pero hay mayor certeza en cuanto a la forma en que Pitágoras aplicó su nueva teoría de las proporciones musicales a la lira, al examinar las propiedades de una cuerda individual. Con sólo puntear la cuerda se genera una nota o tono estándar producido por la longitud completa de la cuerda que vibra. Al fijar la cuerda en puntos particulares a lo largo de su extensión es posible generar otras vibraciones y tonos, tal como se muestra en la figura 1. En forma crucial, los tonos armónicos sólo ocurren en puntos muy específicos. EL DE ÚLTIMO FERMAT TEOREMA 48 Figura 1. Una cuerda abierta que vibra libremente genera una nota base. Al crear un nodo exactamente en la mitad de la cuerda, la nota generada es una octava más alta que la original y está en armonía con ella. Otras notas armónicas pueden ser generadas moviendo el nodo a otras posiciones que sean fracciones simples (por ejemplo, un tercio, un cuarto, un quinto) de la longitud total de la cuerda. Creo que me detendré aquí 49 Por ejemplo, si se fija la cuerda en un punto exactamente en la mitad de su extensión, al puntearla se genera un tono que es una octava más alto que el tono original y está en armonía con él. En forma similar, al fijar la cuerda en unos puntos que estén exactamente a un tercio, un cuarto o un quinto del largo de la cuerda, se producen otras notas armónicas. Sin embargo, si se fija la cuerda en un punto que no es una fracción simple de su longitud total, producirá un tono que no está en armonía con los demás. Pitágoras había descubierto por vez primera la regla matemática que regula un fenómeno físico, y había demostrado que existe una relación fundamental entre las mate- máticas y la ciencia. Á partir de este descubrimiento los científicos han buscado las reglas matemáticas que parecen regir todos los procesos físicos y han encontrado que los números aparecen en toda clase de fenómenos naturales. Por ejemplo, un número en particular parece determinar la longitud de los ríos serpenteantes. El profesor Hans-Henrik Stólum, un geólogo de la Universidad de Cambridge, ha calculado la razón entre la longitud real de los ríos desde su nacimiento hasta su desembocadura y su longitud en línea recta. Aunque la razón varía en cada río, el valor promedio es un poco mayor que 3, es decir, la longitud real es aproximadamente tres veces su distancia directa. De hecho, la razón es aproximadamente 3.14, número cercano al valor de xt, la razón entre la circunferencia de un círculo y su diámetro. El número tt se derivó originalmente de la geometría EL ÚLTIMO DIESER PROMAASD TEOREMA 50 de los círculos, y sin embargo aparece una y otra vez en una gran variedad de circunstancias científicas. En el caso de las proporciones de los ríos, la aparición de rt es el resultado de una batalla entre el orden y el caos. Einstein fue el primero en sugerir que los ríos tienen una tendencia a un recorrido cada vez más serpenteante porque incluso la curva más pequeña produce corrientes más rápidas en el lado externo, lo que resulta en una mayor erosión y una curva más marcada. Mientras más marcada sea la curva, las corrientes en el lado extremo serán más rápidas, habrá más erosión, el río girará más y así sucesivamente. Sin embargo, hay un proceso natural que controla el caos: curvas demasiado grandes hacen que los ríos se vuelvan hacia sí mismos, lo que resulta en un circuito. El río tomárá un curso más recto y la curva quedará a un lado, formando un lago. El balance entre esos dos factores en oposición lleva a una razón promedio de rrentre la longitud real y la distancia directa entre el nacimiento y la desembocadura. La razón de mr se encuentra con mayor frecuencia en ríos que fluyen a través de llanuras de pendiente suave, como las que se encuentran en Brasil o la tundra siberiana. Pitágoras se dio cuenta de que los números se escon- den en todas partes, desde la armonía de la música hasta las órbitas de los planetas, y esto lo llevó a proclamar que “todo es número”. Al explorar el significado de las matemáticas, Pitágoras estaba desarrollando el lenguaje que les permitiría a él y a otros describir la naturaleza del universo. En adelante, cada avance de las matemáticas daría a los científicos Creo que me detendré aquí E el vocabulario que necesitaban para explicar mejor los fenómenos a su alrededor. De hecho, los adelantos en las mate- máticas serían la inspiración de revoluciones científicas. Además de descubrir la ley de la gravedad, Isaac Newton fue un matemático poderoso. Su mayor contribución a las matemáticas fue el desarrollo del cálculo; años después los físicos utilizarían el lenguaje del cálculo para describir las leyes de la gravedad y resolver problemas relacionados con ella. La teoría clásica de la gravedad de Newton sobrevivió intacta durante siglos hasta que fue superada por la teoría general de la relatividad de Albert Einstein, quien desarrolló una explicación alternativa y más detallada de la gravedad. Las mismas ideas de Einstein fueron posibles solamente gracias a nuevos conceptos matemáticos que le su- ministraron un lenguaje más sofisticado para sus ideas científicas más complejas. Hoy, la interpretación de la gravedad, una vez más, recibe la influencia de los adelantos de las matemáticas. Las más recientes teorías cuánticas de la gravedad están ligadas al desarrollo de las cuerdas matemáticas, una teoría según la cual las propiedades geométricas y topológicas de los tubos parecen explicar mejor las fuerzas de la naturaleza. De todos los vínculos entre los números y la naturaleza estudiados por la hermandad, el más importante es la rela- ción que lleva el nombre de su fundador. El teorema de Pitágoras nos suministra una ecuación que es verdadera para todos los triángulos rectángulos y que por tanto sirve también para definir el ángulo recto. Á su vez, el ángulo recto EL DE ÚLTIMO TEOREMA 52 FERMAT define la perpendicular, es decir, la relación de la vertical con la horizontal, y, en última instancia, la relación entre las tres dimensiones del universo que nos es familiar. Las matemáticas, a través del ángulo recto, definen la estructura misma del espacio en que vivimos. Se trata de una idea profunda, y sin embargo las matemáticas que se requieren para comprender el teorema de Pitágoras son relativamente simples. Para entenderlo, comience simplemente por medir la longitud de los dos lados cortos de un triángulo rectángulo (x y y), y luego calcule el cuadrado de cada uno (x”,y*). Luego sume los dos números cuadrados (x" +”) para obtener un resultado final. Si se calcula este número para el triángulo de la figura 2, la respuesELESLIN Usted puede ahora medir el lado más largo, z, la lla- 9+16=25 Figura 2. Todos los triángulos rectángulos obedecen el teorema de Pitágoras. Creo que me detendré aquí 3 mada hipotenusa, y calcular el cuadrado de esta longitud. El resultado sorprendente es que este número, 2”, es idéntico al que usted acaba de calcular, es decir, 5* =25. Es decir: En un triángulo rectángulo el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados. En otras palabras, o más bien en otros símbolos: A AZ > Esto es verdadero, de forma clara, para el triángulo de la figura 2, pero lo que es sorprendente es que el teorema de Pitágoras es verdadero para cualquier triángulo rectángulo que usted se pueda imaginar. Es una ley universal de la ma- temática y usted puede confiar en ella cada vez que se encuentre con un triángulo que tenga un ángulo recto. A la inversa, si usted tiene un triángulo que obedece el teorema de Pitágoras, entonces puede estar absolutamente seguro de que es un triángulo rectángulo. En este punto es importante observar que, a pesar de que este teorema siempre será asociado con Pitágoras, ya era usado por los chinos y los babilonios mil años antes. Sin embargo, estas culturas no sabían que el teorema era verdadero para todo triángulo rectángulo. Era verdadero para los triángulos que ellos ensayaron, pero no tenían manera alguna de demostrar que también lo era para todos los triángulos rectángulos que no habían ensayado. La razón por la cual se le atribuye el teorema a Pitágoras es que fue él quien primero demostró su validez universal. EL DE ÚLTIMO FERMAT TEOREMA S4 Pero, ¿cómo pudo Pitágoras saber que su teorema era verdadero para todo triángulo rectángulo? No podía aspirar a ensayar la variedad infinita de triángulos rectángulos, y sin embargo estaba totalmente seguro de la verdad absoluta del teorema. La razón de su confianza está en el concepto de demostración matemática. La búsqueda de una demostración matemática es la búsqueda de un conocimiento más absoluto que el acumulado por cualquier otra disciplina. El deseo de encontrar la verdad última mediante el método de la demostración es lo que ha impulsado a los matemáticos durante los últimos dos mil quinientos años. DEMOSTRACIÓN ABSOLUTA La historia del último teorema de Fermat gira alrededor de la búsqueda de una demostración extraviada. La demostración matemática es bastante más poderosa y rigurosa que el concepto de demostración que utilizamos informalmente en nuestro lenguaje cotidiano, e incluso que el concepto de demostración tal como lo entienden los físicos o los químicos. La diferencia entre la demostración científica y la matemática es tan sutil como profunda, y es crucial para entender el trabajo de todos los matemáticos desde Pitágoras. La idea de una demostración matemática clásica es comenzar con una serie de axiomas, es decir, afirmaciones que se pueden asumir como verdaderas o que por sí mismas lo son evidentemente. Entonces, argumentando lógicamente, paso por paso, es posible llegar a una conclusión. Si los axio- Creo que me detendré aquí 55) mas son correctos y la lógica carece de fallas, entonces la conclusión será innegable. Esta conclusión es el teorema. Las demostraciones matemáticas se sustentan en este proceso lógico y una vez comprobadas son verdaderas hasta el final de los tiempos. Las demostraciones matemáticas son absolutas. Para apreciar el valor de tales demostraciones debe comparárselas con su pariente pobre, la demostración científica. En las ciencias se propone una hipótesis para explicar un fenómeno físico. Si las observaciones del fenómeno corresponden a la hipótesis, se convierten en evidencia a su favor. Es más, la hipótesis no debe simplemente describir un fenómeno conocido sino predecir los resultados de otros fenómenos. Se pueden llevar a cabo experimentos para poner a prueba el poder de predicción de la hipótesis, y si continúa teniendo éxito entonces hay aun más evidencia para respaldarla. Finalmente la cantidad de evidencia puede llegar a ser abrumadora y la hipótesis es aceptada como teoría científica. Sin embargo, una teoría científica nunca puede ser demostrada de forma tan absoluta como un teorema matemático: simplemente se considera muy factible con base en la evidencia disponible. La llamada demostración científica depende de la observación y la percepción, las cuales son falibles y sólo suministran aproximaciones a la verdad. Como lo señaló Bertrand Russell: “Aunque esto pueda parecer una paradoja, toda la ciencia exacta está dominada por la idea de aproximación”. Aun las “demostraciones” científicas más ampliamente aceptadas dejan lugar a algo de duda. Algunas EL DE ÚLTIMO FERMAT TEOREMA s6 veces esta disminuye, aunque nunca desaparece del todo, mientras que en otras, se comprueba finalmente que la demostración está equivocada. Esta debilidad de la demostración científica conduce a las revoluciones de la ciencia: una teoría que se suponía correcta es reemplazada por otra teo- ría, que puede ser apenas un refinamiento de la original o contradecirla por completo. Por ejemplo, en búsqueda de las partículas fundamentales de la materia, cada generación de físicos invalidó, o por lo menos refinó, la teoría de sus predecesores. La búsqueda moderna de los bloques constituyentes del universo comenzÓ a principios del siglo xIx, cuando una serie de experimentos llevó a John Dalton a sugerir que todo está compuesto de átomos individuales y que estos son la unidad mínima de la materia. Al final del siglo, J. J. Thomson descubrió el electrón, la primera partícula subatómica conocida, y por lo tanto el átomo ya no podía ser la unidad mínima. Durante los primeros años del siglo XX los físicos desarrollaron un retrato “completo” del átomo —un núcleo compuesto de protones y neutrones en torno al cual orbitan los electrones—. Los protones, neutrones y electrones fueron presentados orgullosamente como los ingredientes completos del universo. Luego, experimentos con rayos cósmicos revelaron la existencia de otras partículas fundamentales, los piones y muones. Una revolución aun más grande ocurrió en 1932 con el descubrimiento de la antimateria, la existencia de antiprotones, antineutrones, antielectrones, etc. Á estas alturas, los físicos especializados en partículas no podían sa- Creo que me detendré aquí 7 ber cuántas partículas diferentes existían, pero al menos podían estar seguros de que estas eran en efecto fundamentales. Esto fue así hasta los años sesenta, cuando nació el concepto del quark. El mismo protón aparentemente está compuesto de quarks ligeramente cargados, al igual que el neutrón, el pión y el muón. La moraleja de la historia es que los físicos están continuamente alterando su retrato del universo, si es que no lo borran por completo para comenzar de nuevo. En la próxima década el mismo concepto de partícu- la como un objeto parecido a un punto probablemente será reemplazado por la idea de partículas parecidas a cuerdas, las mismas cuerdas que quizás sirvan para explicar mejor la gravedad. La teoría es que unas cuerdas, cuya longitud es de una billonésima de una billonésima de una billonésima de un metro (tan pequeñas que parecen un punto), pueden vi- brar de diferentes maneras, y cada vibración da lugar a una partícula diferente. Lo que se asemeja al descubrimiento de Pitágoras de que una cuerda de lira puede dar lugar a diferentes notas dependiendo de cómo vibre. El autor de ciencia ficción y futurólogo Arthur C. Clarke, escribió que si un profesor eminente afirma que algo es sin duda verdad, es probable que al día siguiente se demuestre que es falso. La demostración científica es inevitablemente voluble y mezquina. Por otro lado, la demostración matemática es absoluta y libre de duda. Pitágoras murió seguro de que su teorema, que era verdadero en el año 500 a. C., seguiría siendo verdadero toda la eternidad. EL DE ÚLTIMO FERMAT TEOREMA 58 Figura 3. El problema del tablero de ajedrez mutilado. La ciencia opera de la misma manera que el sistema judicial. Se asume que una teoría es verdadera si hay suficiente evidencia para demostrarla “más allá de toda duda razonable”. Por otro lado, las matemáticas no dependen de la evidencia tomada de la falible experimentación, sino que está construida a partir de una lógica infalible. Esto queda demostrado con el problema del tablero de ajedrez mutilado, que se muestra en la figura 3. Tenemos un tablero de ajedrez al que se le han quitado dos esquinas opuestas, de tal manera que sólo quedan 62 cuadros. Tomamos ahora 31 fichas de dominó, cada una de Creo que me detendré aquí 59 las cuales cubre exactamente dos cuadros. La pregunta es: ¿es posible colocar las 31 fichas de dominó de tal manera que cubran los 62 cuadros del tablero de ajedrez? Hay dos aproximaciones al problema: (1) La aproximación científica El científico tratará de resolver el problema mediante la experimentación, y después de intentar varias docenas de disposiciones descubrirá que todas fallan. Finalmente, el científico cree que hay suficiente evidencia para decir que el tablero no se puede cubrir. Sin embargo, el científico nunca puede estar seguro de que esto sea cierto porque podría ocurrir que exista una manera que no se ha ensayado que cubra el tablero. Hay millones de diferentes arreglos y sólo es posible explorar una pequeña fracción de ellos. La conclusión de que el objetivo es imposible es una teoría basada en la experimentación, pero el científico tendrá que vivir con la perspectiva de que algún día esta será invalidada. (2) La aproximación matemática El matemático tratará de contestar la pregunta desarrollando un argumento lógico del que se derive una conclusión indudablemente correcta y que jamás sea cuestionada. Un argumento de este tipo es el siguiente: e Las dos esquinas que se retiraron del tablero eran blancas. Por lo tanto, ahora hay 32 cuadros negros y solamente 30 cuadros blancos. e Cada ficha de dominó cubre dos cuadros vecinos, y los cuadros vecinos siempre son de diferentes colores, uno blanco y uno negro. EJ DE ÚLMEMO FERMAT TEOREMA 60 e Por lo tanto, no importa cómo se coloquen, las primeras 30 fichas de dominó que se pongan sobre el tablero cubrirán 30 cuadros blancos y 30 cuadros negros. e Por consiguiente, al final quedarán una ficha de dominó y dos cuadros negros. e Pero recuérdese que todas las fichas de dominó cubren dos cuadros vecinos y, que estos son de colores opuestos. Sin embargo, los dos cuadros que quedan sin cubrir son del mismo color, así que no pueden ser cubiertos ambos por la ficha restante. Por lo tanto, ¡es imposible cubrir el tablero! Esta prueba muestra que ninguna disposición de las fichas podrá cubrir el tablero de ajedrez mutilado. De manera similar, Pitágoras construyó una demostración que prueba que todo triángulo rectángulo obedece su teorema. Para Pitágoras el concepto de demostración matemática era sa- grado, y fue la demostración la que le permitió a la hermandad descubrir tanto. La mayoría de las demostraciones modernas son increíblemente complicadas y seguir su lógica sería casi imposible para el lector lego, pero por suerte en el caso del teorema de Pitágoras el argumento es relativamente sencillo y se basa en las matemáticas que se aprenden en la escuela superior. La demostración se esboza en el apéndice 1. La demostración de Pitágoras es irrefutable. Muestra que su teorema es verdadero para todo triángulo rectángulo del universo. El descubrimiento fue tan memorable que se sacrificaron un centenar de bueyes en un acto de gratitud con los dioses. Constituyó un hito en la matemática y uno Creo que me detendré aquí Ó1 de los más importantes avances en la historia de la civiliza- ción. Su importancia comprendía dos aspectos. Primero, desarrolló el concepto de demostración. Un resultado matemático tiene una verdad más profunda que cualquier otra verdad porque es el resultado de un proceso lógico. Aunque el filósofo Tales ya había inventado algunas demostraciones geométricas, Pitágoras llevó la idea mucho más lejos y pudo demostrar afirmaciones matemáticas bastante más ingeniosas. La segunda consecuencia del teorema de Pitágoras es que relaciona el método matemático abstracto con algo tangible. Pitágoras mostró que la verdad de las matemáticas podía aplicarse al mundo científico y proporcionarle unos fundamentos lógicos. Las matemáticas le dan a la ciencia un punto de partida riguroso, y sobre esta base infalible los científicos agregan medidas imprecisas y observaciones imperfectas. UNA INFINIDAD DE TRIPLETAS La Hermandad Pitagórica vigorizó las matemáticas con su ferviente búsqueda de la verdad por el camino de la de- mostración. La noticia de su éxito se difundió y, sin embargo, los detalles de sus descubrimientos siguieron siendo un secreto bien guardado. Muchos pidieron admisión al sanctasanctórum de la sabiduría, pero sólo aceptaban a las mentes más brillantes. Uno de los rechazados fue un candidato con el nombre de Cylón. Cylón se disgustó con su humillante rechazo y veinte años más tarde se vengó. EL DE ÚLTIMO EERMAT TEOREMA 62 Durante la olimpiada número sesenta y siete (510 a. C.) hubo una revuelta en la cercana ciudad de Sibaris. Telys, el líder victorioso de la revuelta, emprendió una bárbara campaña de persecución contra los que apoyaban el gobierno anterior, lo que llevó a muchos a buscar refugio en Crotona. Telys exigió que los traidores fueran devueltos a Sibaris para recibir el castigo debido, pero Milo y Pitágoras convencieron a los habitantes de Crotona de levantarse contra el tirano y proteger a los refugiados. De inmediato Telys, furioso, reunió un ejército de 300.000 hombres y marchó hacia Crotona, donde Milo defendió la ciudad con 100.000 ciudadanos armados. Después de setenta días de guerra, la supe- rioridad de Milo lo llevó a la victoria y, como acto de retribución desvió el curso del río Crathis e inundó y des- truyó la ciudad de Sibaris. A pesar del fin de la guerra, la ciudad de Crotona estaba todavía agitada por causa de la discusión sobre lo que debía hacerse con el botín de guerra. Temerosos de que las tierras fueran entregadas a la elite pitagórica, los ciudadanos de Crotona comenzaron a quejarse por lo bajo. Ya había entre las masas un resentimiento creciente porque la hermética hermandad continuaba reservándose sus descubrimientos, pero nada sucedió hasta que Cylón surgió como la voz del pueblo. Cylón se aprovechó del temor, la paranoia y la envi- dia de la plebe y la condujo a destruir la escuela de matemáticas más brillante que el mundo jamás había conocido. La casa de Milo y la escuela adjunta fueron rodeadas y todas las puertas bloqueadas para impedir que alguien escapara; lue- Creo que me detendré aquí 63 go se inició el fuego. Milo salió luchando del infierno y huyó, pero Pitágoras, junto con muchos de sus discípulos, murió. Las matemáticas perdieron a su primer gran héroe, pero el espíritu pitagórico sobrevivió. Los números y sus verdades eran inmortales. Pitágoras había demostrado que, más que cualquier otra disciplina, las matemáticas son una materia de estudio no subjetiva. Sus discípulos no necesitaban del maestro para decidir sobre la validez de una teoría en particular. La verdad de una teoría era independiente de la opinión. En su reemplazo, la construcción de la lógica ma- temática se había convertido en el árbitro de la verdad. Esta fue la mayor de las contribuciones de los pitagóricos a la civilización: una manera de llegar a la verdad que está más allá de la falibilidad del juicio humano. Después de la muerte de su fundador y del ataque de Cylón, la hermandad abandonó Crotona y se dirigió a otras ciudades de la Magna Grecia, pero la persecución continuó y muchos de ellos tuvieron que establecerse en tierras extranjeras. Esta migración forzosa estimuló a los pitagóricos a divulgar su evangelio matemático a lo largo y ancho del mundo antiguo. Los discípulos de Pitágoras establecieron nuevas escuelas y enseñaron a sus estudiantes el método de la demostración lógica. Además de su demostración del teorema de Pitágoras, también revelaron al mundo el secreto para encontrar las llamadas tripletas pitagóricas. Las tripletas pitagóricas son combinaciones de tres números enteros que se ajustan perfectamente a la ecuación EL DE ÚLTIMO FERMAT TEOREMA 64 3? se 42 Z De 9 + 16 1 25 Figura 4. Encontrar soluciones de números enteros a la ecuación de Pitágoras puede pensarse en términos de encontrar dos cuadrados que se puedan reunir para formar un tercer cuadrado. Por ejemplo, un cuadrado formado por nueve baldosas puede reunirse con un cuadrado formado por dieciséis baldosas para formar un tercer cuadrado de veinticinco baldosas. de Pitágoras: 8 x?+y*?=2z?. y =Z Por ejemplo, , la ecuación de Pitágoras es verdadera si x=3, y=4 y z=5: O 9+16=25 Otra manera de pensar las tripletas pitagóricas es en térmi- nos de reagrupación de cuadrados. Si uno tiene un cuadrado de 3x3 hecho de nueve baldosas y otro de 4x4 hecho de dieciséis baldosas, entonces todas las baldosas pueden reagruparse para formar un cuadrado de 5x 5 hecho de veinticinco baldosas, como se muestra en la figura 4. Los pitagóricos querían encontrar otras tripletas pitagóricas, otros cuadrados que se pudieran sumar para formar un tercer cuadrado más grande. Otra tripleta pitagórica es x=5, y=12 y z=13: Creo que me detendré aquí a 1D 65 SS 25 + 144 = 169 Una tripleta más grande es y=99, y=4.900 y ¿=4.901. Las tripletas pitagóricas se hacen más raras a medida que los números crecen, y encontrarlas es cada vez más difícil. Para descubrir tantas tripletas como fuera posible los pitagóricos inventaron una manera metódica, y al hacerlo también demostraron que hay un número infinito de ellas. DEL TEOREMA DE PITÁGORAS AL ÚLTIMO TEOREMA DE FERMAT El teorema de Pitágoras y su infinidad de tripletas se discuten en el libro de E. T. Bell El 4ltimo problema, que llamó la atención del joven Andrew Wiles. Aunque la hermandad había logrado una comprensión casi total de las tripletas pitagóricas, Wiles pronto descubrió que esa ecuación aparentemente inocente, x* + y” =2”, tiene un lado más oscuro: el libro de Bell describía la existencia de un monstruo matemÁático. En la ecuación de Pitágoras los tres números, x, y y 2, son cuadrados perfectos (por ejemplo, x? =xx x): e 2 2) yb El libro, sin embargo, describía una ecuación semejante, en la que x,yy z son cubos perfectos (por ejemplo, y? =xx xxx). La llamada potencia de x en esta ecuación ya no es 2 sino 3: E AI Mo AZ Encontrar soluciones de números enteros, es decir tripletas pitagóricas, a la ecuación original era relativamente senci- EL DE ÚLTIMO FERMAT TEOREMA ¿ | 66 DE 0: + + 6 216 + + 8? 512 = 9-1 il a] N E paa Figura 5. ¿Es posible agregar los bloques de un cubo a otro cubo para formar un tercer cubo más grande? En este caso, un cubo de 6x6x6 agregado a un cubo de 8x8x8 no tiene suficientes bloques para formar un cubo de 9x9x9. Hay 216 (6?) bloques en el primer cubo y 512 (g?) en el segundo. El total es 728 bloques, 1 menos que o?. llo, pero cambiar la potencia de 2 a 3 (el cuadrado al cubo) y encontrar soluciones de números enteros a la nueva ecuación parece imposible. Varias generaciones de matemáticos, garabateando en sus cuadernos de notas, no han podido encontrar unos números que se ajusten a la ecuación perfectamente. En la ecuación original con cuadrados el reto era reagrupar las baldosas de dos cuadrados para formar un tercer cuadrado más grande. En la versión cúbica el reto es reagrupar dos cubos hechos de bloques para formar un tercer cubo más grande. Aparentemente, no importa qué cubos se escojan para comenzar, cuando se combinan el resultado es un Creo que me detendré aquí 67 cubo completo con algunos bloques de sobra o un cubo incompleto. Lo más cerca que alguien ha llegado a una re- agrupación perfecta es aquella en la que hay un bloque de sobra o uno faltante. Por ejemplo, si comenzamos con los cubos 6* (,*) y 8? (y”), y reagrupamos los bloques, sólo falta un bloque para formar un cubo completo de 9x 9x9, como se muestra en la figura 5. Encontrar tres números que se ajusten perfectamente a la ecuación cúbica parece imposible. Es decir, parece que no hay soluciones en números enteros a la ecuación Es más, si la potencia se cambia de 3 (cúbica) a cualquier otro número 2 (por ejemplo, 4, 5, 6, ...), encontrar una so- lución también resulta imposible. Parece que no hay soluciones en números enteros a la ecuación más general xXx +yx=z param mayor que 2 Con sólo cambiar en la ecuación de Pitágoras el 2 por un número más grande, la tarea de encontrar soluciones en nú- meros enteros pasa de ser algo relativamente sencillo a algo alucinantemente difícil. De hecho, el gran matemático francés del siglo xvI1, Pierre de Fermat, hizo la sorprendente afirmación de que la razón por la que nadie podía encontrar una solución era que no existen soluciones. Fermat fue uno de los más brillantes y misteriosos matemáticos de la historia. No pudo haber examinado la EL DIE ÚLTIMO TEOREMA EE RIMIAE 68 infinidad de los números, pero estaba absolutamente seguro de que no existía ninguna combinación que se ajustara a la ecuación, pues su afirmación se basaba en una demostración. Como Pitágoras, que no tuvo que verificar cada triángulo para demostrar la validez del suyo, Fermat no tuvo que verificar cada número para demostrar la validez de su teorema. El último teorema de Fermat, como se le conoce, afirma que in no tiene soluciones en números enteros para 7 mayor que 2 A medida que Wiles leía los capítulos del libro de Bell, se enteró de cómo Fermat se había fascinado con el trabajo de Pitágoras y cómo había llegado finalmente a estudiar la forma distorsionada de la ecuación de Pitágoras. Leyó entonces cómo Fermat había sostenido que aun si todos los matemá- ticos del mundo pasaran la eternidad buscando una solución a la ecuación nunca la encontrarían. Seguramente pasó las páginas del libro ansioso por examinar la demostración del último teorema de Fermat. Sin embargo, la demostración no estaba allí. Ni en ninguna parte. Bell terminaba el libro afirmando que la demostración se había perdido hacía mucho tiempo. No había ninguna pista acerca.de cómo pudo haber sido, ninguna idea acerca de su construcción o punto de partida. Wiles se encontró a sí mismo confundido, furioso e intrigado. Estaba en buena compañía. Durante más de trescientos años muchos de los grandes matemáticos habían intentado redescubrir la demostra- Creo que me detendré aquí 69 ción extraviada de Fermat, y habían fracasado. Cada vez que una generación fracasaba, la siguiente se hallaba más frustrada y resuelta. En 1742, casi un siglo después de la muerte de Fermat, el matemático suizo Leonhard Euler le pidió a su amigo Clérot que revisara la casa de Fermat en busca de algún trozo vital de papel que pudiera haber quedado. Nunca se encontró ninguna pista que indicara cómo había sido la demostración de Fermat. En el segundo capítulo hablaremos más acerca del misterioso Pierre de Fermat y de cómo fue que se perdió su teorema, pero por ahora basta saber que el último teorema de Fermat, un problema que había cautivado a los matemáticos durante siglos, se adueño de la ima- ginación del joven Andrew Wiles. Sentado en la biblioteca de Milton Road estaba un niño de diez años contemplando el más tristemente famoso de los problemas de las matemáticas. Normalmente la mitad de la dificultad en un problema de matemáticas radica en entender la pregunta, pero en este caso era simple: demostrar que x" +y" =2” no tiene soluciones enteras para » mayor que 2. A Andrew no lo intimidaba saber que los hombres más brillantes del planeta habían fracasado en su intento por redescubrir la demostración. Inmediatamente se puso a trabajar, utilizando todas las técnicas de sus libros de texto, en su intento de crear de nuevo la demostración. Quizás él podía encontrar algo que todos, excepto Fermat, habían pasado por alto. Soñó que podría sorprender al mundo. Treinta años después Andrew Wiles estaba listo. De pie en el auditorio del Instituto Isaac Newton, garabateó EL DE ÚLTIMO FERMAT TEOREMA 70 El 23 de junio de 1993 Wiles dio una conferencia en el Instituto Isaac Newton de Cambridge. Este es el momento inmediatamente posterior al anuncio de su demostración del último teorema de Fermat. Ni él ni nadie en el salón tenía idea alguna de la pesadilla que se aproximaba. algo en el tablero y, luchando por contener su alegría, lanzó una mirada a su audiencia. La conferencia estaba llegando a su clímax y la audiencia lo sabía. Uno o dos de los asistentes habían introducido al salón, de manera subrepticia, cámaras fotográficas, y el disparo de los flashes acompañó los últimos comentarios de Wiles. Con la tiza en la mano, enfrentó el tablero por última vez. Las últimas líneas del argumento completaban la de- Creo que me detendré aquí TE mostración. Por primera vez en más de tres siglos, se resol- vía el reto de Fermat. Otras pocas cámaras fotográficas dispararon para capturar el momento histórico. Wiles escribió el enunciado del último teorema de Fermat, se dirigió a la audiencia y modestamente dijo: “Creo que me detendré aquí”. Doscientos matemáticos aplaudieron y celebraron con regocijo. Aun aquellos que habían anticipado el resultado sonreían incrédulos. Después de tres décadas Andrew Wiles creía haber cumplido su sueño, y después de siete años de aislamiento podía revelar su cálculo secreto. Sin embargo, al tiempo que la euforia llenaba el Instituto Newton, la tragedia estaba a punto de estallar. Mientras que Wiles estaba disfrutando el momento, él y todos los presentes en el salón ignoraban los horrores que estaban por venir. > s 4 y A y e o SN ns le dh sis e e E 2. EU —¿Sabes —le confió el demonio— que ni siquiera los mejores matemáticos de otros planetas, todos más avanzados que el de ustedes, lo han resuelto? Mira, hay un tipo en Saturno, parecido a un hongo con zancos, que resuelve mentalmente ecuaciones diferenciales parciales, e incluso él se ha dado por vencido. ARTHUR EL POGES, DEMONIO Y SIMON FLAGG se El hacedor de acertijos o AEUINESAR) Pierre de Fermat Pierre de Fermat nació el 20 de agosto de 1601 en la población de Beaumont-de-Lomagne al suroccidente de Francia. Su padre, Dominique Fermat, era un rico comerciante de cueros, así que Pierre pudo disfrutar de una educación privilegiada en el monasterio franciscano de Grandselve, seguida de una temporada en la Universidad de Tolosa. No hay ningún registro de que el joven Fermat haya sido especialmente brillante en matemáticas. La presión de su familia llevó a Fermat a iniciar una carrera en el servicio civil, y en 1631 fue nombrado conseller au Parlament de Toulouse, concejal de la Cámara de Peticiones. Si los habitantes de la región querían apelar al rey sobre cualquier asunto, primero tenían que convencer a Fermat o aalguno de sus colegas de la importancia de su petición. Los concejales constituían el vínculo vital entre la provincia y París. Además de servir de contacto entre los súbditos locales y la monarquía, se aseguraban de que se aplicaran en las regiones apartadas los decretos reales provenientes de la capital. Fermat era un eficiente funcionario oficial, que de acuerdo con todos los testimonios cumplía con sus deberes de una manera considerada y compasiva. Los deberes adicionales de Fermat incluían prestar servicio en la rama judicial, en donde tenía la autoridad suficiente como para tratar los casos más graves. El matemático inglés Sir Kenelm Digby dio testimonio de su trabajo. Digby había solicitado ver a Fermat, pero en una carta a un colega mutuo, John Wallis, le revela que el francés ha estado ocupado con asuntos judiciales urgentes, por lo que no pudieron reunirse: EL ÚLTIMO TEOREMA 76 DEPIETE CROMOS E Es cierto que di justo con la fecha del desplazamiento de los jueces de Castres a Tolosa donde él [Fermat] es el juez supremo ante la Corte Soberana del Parlamento y, desde entonces, ha estado ocupado con casos capitales de gran importancia en los que ha terminado por imponer una sentencia que ha causado gran conmoción; se trataba de la conde- na a ser quemado en la hoguera de un sacerdote que había abusado de sus funciones. Este asunto acaba de terminar, y le siguió la ejecución. Fermat se escribía regularmente con Digby y Wallis. Veremos más tarde que las cartas eran con frecuencia menos que amistosas, pero suministran detalles claves sobre la vida cotidiana de Fermat y su trabajo académico. Fermat escaló rápidamente los rangos del servicio civil y se hizo miembro de la elite social, adquiriendo el derecho de usar el de como parte de su nombre. Su ascenso no fue necesariamente resultado de la ambición, sino más bien un asunto relacionado con la salud. La plaga azotaba a toda Europa y aquellos que sobrevivían eran promocionados a ocupar los puestos de los que morían. Incluso Fermat sufrió un ataque de plaga severo, y estuvo tan enfermo que su amigo Bernard Medon anunció su muerte a varios colegas. Poco después el mismo se corrigió en un informe al holandés Nicholas Heinsius: Le informé anteriormente de la muerte de Fermat. Aún está vivo y ya no tememos por su salud, aunque lo contábamos entre los muertos hasta hace un corto tiempo. La plaga ya no nos azota. El hacedor de acertijos el Además de los riesgos para la salud en la Francia del siglo XVIL, Fermat tenía que sobrevivir a los peligros políticos. Su nombramiento al Parlamento de Tolosa ocurrió apenas tres años después de que el cardenal Richelieu fuera hecho primer ministro de Francia. Era una época de conspiraciones e intrigas, y todos aquellos involucrados en el funcionamien- to del Estado debían tener cuidado de no enredarse en las maquinaciones del cardenal. Fermat adoptó la estrategia de ejecutar sus deberes eficientemente y sin llamar la atención. No tenía grandes ambiciones políticas y hacía lo posible para marginarse de las intrigas del Parlamento. En cambio, dedicó toda su energía libre a las matemáticas, y cuando no estaba condenando sacerdotes a la hoguera, Fermat se ocupaba de su afición. Era un verdadero académico aficionado, un hombre a quien E. T. Bell llamó el “príncipe de los aficionados”. Pero tan grande era su talento que cuando Julian Coolidge escribió Las matemáticas de los grandes aficionados excluyó a Fermat por cuanto “él era realmente tan grande que debía ser considerado como profesional”. A comienzos del siglo xvI1, las matemáticas todavía se estaban recuperando de la edad oscura, y no era una materia de estudio que se tuviera en gran estima. De igual forma, a los matemáticos no se les trataba con mucho respeto, y la mayoría de ellos tenían que financiar sus propios estudios. Por ejemplo, Galileo no pudo estudiar matemáticas en la Universidad de Pisa y se vio obligado a buscar tutores privados. De hecho, la única institución que realmente estimulaba a los matemáticos era la Universidad de Oxford, que había EL ÚLTIMO DIES TESE ROMPAS TEOREMA 78 fundado la cátedra Savilian de geometría en 1619. Es cierto que la mayoría de los matemáticos del siglo XVII eran aficionados, pero Fermat era un caso extremo. Como vivía lejos de París estaba aislado de la pequeña comunidad de matemáticos existente, que incluía figuras como Pascal, Gassendi, Roberval, Beaugrand y el más notable de todos, el padre Marin Mersenne. El padre Mersenne sólo hizo contribuciones menores a la teoría de números, y sin embargo jugó un papel en las matemáticas del siglo XVII que puede considerarse más importante que el de cualquiera de sus colegas más apreciados. Después de ingresar en la orden de Minims en 1611, Mersenne estudió matemáticas, y luego enseñó la materia a otros monjes y a las monjas del convento Minim de Nevers. Ocho años más tarde se trasladó a París para unirse a los Minims de l'Annociade, cerca de la Plaza Real, un lugar de reunión para los intelectuales. Fue inevitable que Mersenne conociera a los otros matemáticos de París, pero le entristeció la escasa disposición de estos para hablar con él y para hablar entre ellos. La naturaleza reservada de los matemáticos parisinos era una tradición que se remontaba a los cosszsts del siglo XvI. Los cosszsts eran expertos en ejecutar cálculos de todo tipo, y los empleaban comerciantes y hombres de negocios para resolver complicados problemas de contabilidad. Su nombre proviene de la palabra italiana cosa por cuanto usaban símbolos para representar cantidades desconocidas, de manera similar a como los matemáticos usan la x hoy. Todos El hacedor de acertijos 79 los que por oficio se dedicaron a resolver problemas inventaban sus propios métodos para ejecutar los cálculos, y hacían lo imposible por mantenerlos en secreto; cada uno quería conservar la fama de ser el único capaz de resolver un problema particular. En un caso excepcional, Niccolo Tartaglia, que había encontrado un método para resolver rápidamente ecuaciones cúbicas, reveló su descubrimiento a Girolamo Cardano y le hizo jurar que guardaría el secreto. Diez años más tarde Cardano rompió su promesa y publicó el método de Tartaglia en su Ars Magna, un hecho que Tartaglia nunca perdonaría. Rompió toda relación con Cardano, a lo que siguió una amarga confrontación pública que sólo sirvió para animar a otros matemáticos a proteger mejor sus secretos. El carácter reservado de los matemáticos se mantuvo hasta finales del siglo XIX y, como veremos luego, incluso hay genios trabajando secretamente en el siglo XxX. Cuando el padre Mersenne llegó a París estaba resuelto a luchar contra el espíritu de secreto y trató de animar a los matemáticos a intercambiar sus ideas y a avanzar a partir del trabajo de los otros. El monje organizaba reuniones frecuentes, y su grupo formó más tarde el corazón de la Academia Francesa. Cuando alguno se rehusaba a asistir, Mersenne hacía circular en el grupo toda la información que pudiera revelando incluso cartas y artículos recibidos confidencialmente. No era un comportamiento ético para un hombre de hábito, pero él se justificaba tras la excusa de que el intercambio de información beneficiaría a las matemáticas y a la humanidad. Estos actos de indiscreción fueron causa de agrias dis- EL ÚLTIMO DIE" ESBROMATE TEOREMA So cusiones entre el bien intencionado monje y las taciturnas prime donne, y finalmente acabaron por destruir la relación entre Mersenne y Descartes, que había perdurado desde que los dos estudiaron juntos en el colegio jesuita de La Fleche. Mersenne había revelado escritos filosóficos de Descartes que podían ofender a la Iglesia. A su favor, hay que decir que defendió a Descartes de los ataques teológicos, como lo había hecho anteriormente en el caso de Galileo. En una época dominada por la religión y la magia, Mersenne defendió el pensamiento racional. Mersenne viajó por toda Francia y más allá de sus fronteras, divulgando las noticias de los últimos descubrimientos. En sus viajes se aseguraba de visitar a Pierre de Fermat y, de hecho, parecer ser que fue el único contacto regular de Fermat con otros matemáticos. La influencia de Mersenne en el príncipe de los aficionados sólo fue superada por la de la Arithmetica, un tratado matemático que venía de los griegos y que era la compañía permanente de Fermat. Incluso cuando no podía viajar, Mersenne continuaba en contacto con Fermat y otros mediante una prolífica correspondencia. Después de su muerte, encontraron su cuarto atestado de cartas escritas por 78 corresponsales diferentes. A pesar del estímulo del padre Mersenne, Fermat se rehusó sistemáticamente a revelar sus demostraciones. La publicación y el reconocimiento no significaban nada para él, y se sentía satisfecho con el simple placer de poder crear en paz nuevos teoremas. Sin embargo, el genio tímido y reservado tenía un rasgo de malicia que, cuando se combinaba El hacedor de acertijos 81 con su discreción, significaba que las veces que se comunicaba con otros matemáticos era sólo para molestarlos. Escribía cartas enunciando su más reciente teorema pero sin suministrar la demostración correspondiente. Retaba entonces a sus contemporáneos a encontrarla. El hecho de que nunca revelara sus propias demostraciones fue causa de enorme frustración. René Descartes llamaba a Fermat fanfarrón, y el inglés John Wallis se refería a él como “ese maldito francés”. Desafortunadamente para el inglés, Fermat encontraba un placer especial en burlarse de sus primos del otro lado del Canal de la Mancha. Además de la satisfacción de enfadar a sus colegas, el hábito de Fermat de enunciar un problema pero esconder su solución tenía motivaciones más prácticas. En primer lugar, significaba que no tenía que perder tiempo desarrollando completamente sus métodos, y podía, en lugar de eso, pasar a su siguiente conquista. Áun más; no tenía que padecer las revisiones envidiosas de los demás. Una vez publicadas, las demostraciones eran examinadas y discutidas por todos los que supieran algo sobre el tema. Cuando Blaise Pascal lo presionó para que publicara parte de su trabajo, el ermitaño respondió: “Cualquiera que sea la parte de mi trabajo que se estime digna de ser publicada, no quiero que mi nombre aparezca en ella”. Fermat era el genio reservado que sacrificó la fama con el fin de no distraerse con preguntas mezquinas de sus críticos. Este intercambio de cartas con Pascal, la única ocasión en que Fermat discutió sus ideas con alguien distinto a EL ÚLTIMO DE EER TEOREMA 82 ¡MAT Mersenne, trataba de la creación de una rama completamente nueva de las matemáticas, la teoría de la probabilidad. El ermitaño matemático conoció el tema gracias a Pascal así que, a pesar de su deseo de permanecer aislado, se sintió obligado a mantener el diálogo. Juntos, Fermat y Pascal habrían de descubrir las primeras demostraciones y certezas absolutas de la teoría de la probabilidad, una materia que es en esencia incierta. El interés de Pascal en la materia había sido suscitado por un apostador profesional parisino, Ántoine Gombaud, caballero de Méré, que había propuesto un problema acerca de un juego de azar llamado puntos. El juego consiste en ganar puntos con los dados y el ganador, que se lleva el premio, es el primer jugador en obtener cierto nú- mero de puntos. Gombaud estaba jugando una partida de puntos con otro apostador cuando tuvieron que abandonar el juego, antes de concluir, por causa de un compromiso urgente. Surgió entonces el problema de qué hacer con el dinero del premio. La solución sencilla habría sido darle todo el dinero al jugador con más puntos, pero Gombaud le preguntó a Pascal si había una manera más justa de dividir el dinero. Se le pidió a Pascal que calculara la probabilidad de que cada uno de los jugadores ganara en caso de que el juego hubiera continuado y suponiendo que ambos jugadores tenían la misma oportunidad de ganar los siguientes puntos. El dinero del premio podría entonces dividirse de acuerdo con el cálculo de esas probabilidades. Antes del siglo xvi las leyes de la probabilidad esta- El hacedor de acertijos 83 ban definidas por la intuición y la experiencia de los apostadores, pero Pascal inició correspondencia con Fermat con el propósito de descubrir las leyes matemáticas que describen con mayor precisión las del azar. Tres siglos más tarde Bertrand Russell habría de comentar acerca de esta aparente paradoja: “¿Cómo nos atrevemos a hablar de las leyes del azar? ¿No es acaso el azar la antítesis de toda ley?” El francés analizó la pregunta de Gombaud y pronto se dio cuenta de que era un problema relativamente trivial que se podía resolver definiendo rigurosamente todos los posibles resultados del juego y asignándole una probabilidad individual a cada uno. Tanto Pascal como Fermat habrían podido resolver por separado el problema de Gombaud, pero su colaboración aceleró el descubrimiento de una solución y los llevó a una exploración más profunda de otras cuestiones más sutiles y sofisticadas relacionadas con la probabilidad. Los problemas de probabilidad son a veces controversiales porque la respuesta matemática, la respuesta verdadera, es con frecuencia contraria a lo que la intuición sugiere. Esta falla de la intuición puede resultar sorprendente, porque la “supervivencia del más fuerte” debería ejercer una presión evolutiva en favor de un cerebro capaz por naturaleza de analizar cuestiones de probabilidad. Uno puede imaginarse a nuestros ancestros al acecho de un venado joven y sopesando la decisión de atacar o no. ¿Cuál es el riesgo de que la madre esté en la cercanía, lista a defender a su cría y herir al atacante? Por otro lado, ¿cuál es la probabilidad de que surja una mejor oportunidad de alimentarse si esta se EL ÚLTIMO TEOREMA 84 DREMNENESR ONZA RT considera demasiado arriesgada? Un talento para analizar probabilidades debería ser parte de nuestra composición genética, y sin embargo con frecuencia nuestra intuición nos falla. Uno de los problemas de probabilidad que va más en contra de la intuición tiene que ver con la posibilidad de compartir el día del cumpleaños. Imagínese una cancha de fútbol con veintitrés personas: los veintidós jugadores y el árbitro. ¿Cuál es la probabilidad de que dos de esas veinti- trés personas cumplan años el mismo día? Con veintitrés personas y 365 días para escoger, parecería poco probable que dos personas compartieran el día del cumpleaños. Si se le pidiera que calculara la probabilidad, la mayoría de la gente diría que a lo sumo es quizás un 10%. De hecho, la respuesta verdadera es un poco más de 50%, es decir que la probabilidad que haya dos personas en la cancha que cumplan años el mismo día de cumpleaños es más alta que la probabilidad que no las haya. La razón de esta alta probabilidad es que, más que el número de personas, lo importante es el número de maneras en que estas se pueden agrupar en parejas. Cuando buscamos un cumpleaños compartido debemos examinar parejas de personas, no individuos. Mientras que sólo hay veintitrés personas en la cancha, hay 253 parejas. Por ejemplo, la primera persona se puede agrupar con cualquiera de las otras veintidós, dando lugar, para comenzar, a veintidós parejas. A continuación la segunda persona puede agruparse con cualquiera de las veintiuna restantes (ya hemos contado la se- El hacedor de acertijos 85 gunda persona agrupada con la primera, así que el número de parejas posibles se reduce en uno), dando lugar a veintiún parejas adicionales. Luego la tercera persona se puede agrupar con cualquiera de las veinte restantes, dando lugar a veinte parejas más, y así sucesivamente hasta que llegamos a un total de 253 parejas. El hecho de que la probabilidad de un cumpleaños compartido dentro de un grupo de veintitrés personas sea mayor al 50% parece erróneo intuitivamente, y sin embargo es matemáticamente innegable. En probabilidades extrañas como estas se basan las casas de apuestas y los apostadores para explotar a los desprevenidos. La próxima vez que usted esté en una fiesta con más de veintitrés personas quizás quiera apostar a que dos de los presentes en la habitación cumplen años el mismo día. Tome nota de que con un grupo de vein- titrés personas la probabilidad es de apenas un poco más del 50%, pero crece vertiginosamente a medida que aumenta el tamaño del grupo. Por lo tanto, en una fiesta de treinta personas ciertamente vale la pena apostar que dos de ellas comparten el día de cumpleaños. Fermat y Pascal establecieron las reglas esenciales que rigen todos los juegos de azar y que pueden ser usadas por los apostadores para definir las estrategias perfectas para jugar y apostar. Es más, estas reglas tienen aplicaciones en toda una serie de situaciones que van de la especulación en el mercado de valores a la estimación de la probabilidad de un accidente nuclear. Pascal incluso estaba convencido de que podía usar sus teorías para justificar la creencia en Dios. Sos- EL ÚLTIMO DE STEAEARAMEASTe "TEOREMA 86 tuvo que “la moción que un apostador siente cuando hace una apuesta es igual a la cantidad que puede ganar multipli- cada por la probabilidad de que la gane”. Argumentó luego que el premio posible de la felicidad eterna tiene un valor infinito, y que la probabilidad de entrar al cielo gracias a una vida virtuosa tiene un valor finito, así sea muy pequeño. Por lo tanto, de acuerdo con la definición de Pascal, la reli- gión es un juego de emoción infinita y vale la pena jugarlo, pues al multiplicar un premio infinito por una probabilidad finita el resultado es el infinito. Además de compartir la paternidad de la teoría de la probabilidad, Fermat estuvo profundamente involucrado en la creación de otra área de las matemáticas, el cálculo. El cálculo es la ciencia de calcular la tasa de cambio, conocida como la derivada, de una cantidad respecto a otra. Por ejemplo, la tasa de cambio de la distancia con respecto al tiempo es más conocida simplemente como velocidad. Para los matemáticos las cantidades suelen ser abstractas e intangibles, pero las consecuencias del trabajo de Fermat habrían de revolucionar la ciencia. Las matemáticas de Fermat permitieron a los científicos entender mejor el concepto de velocidad y su relación con otras cantidades fundamentales como la aceleración, es decir, la tasa de cambio de la velocidad con respecto al tiempo. La economía es una ciencia que recibe gran influencia del cálculo. La inflación es la tasa de cambio de los precios, conocida como la derivada de los precios. A los economistas, además, les interesa la tasa de cambio de la inflación, cono- El hacedor de acertijos 87 cida como la segunda derivada de los precios. Los políticos usan con frecuencia esta terminología y el matemático Hugo Rossi alguna vez observó lo siguiente: “En el otoño de 1972 el presidente Nixon anunció que la tasa de incremento de la inflación estaba disminuyendo. Esta fue la primera vez que un presidente en ejercicio utilizó una tercera derivada para promover la causa de su reelección”. Durante siglos se creyó que Isaac Newton había descubierto el cálculo en forma independiente y sin conocimiento del trabajo de Fermat, pero en 1934 Louis Trenchard Moore descubrió una nota que aclaró el asunto y le dio a Fermat el crédito que se merecía. Newton escribió que desarrolló su cálculo basado en “el método de Monsieur Fermat para trazar tangentes”. Desde el siglo xvi el cálculo se ha utilizado para describir la ley de la gravedad de Newton y sus leyes de mecánica, que dependen de la distancia, la velocidad y la aceleración. El descubrimiento del cálculo y la teoría de la probabilidad habrían sido más que suficientes para asegurarle a Fermat un lugar en el salón de la fama de los matemáticos, pero su más grande logro ocurrió en otro campo de las matemáticas. Mientras que el cálculo ha sido utilizado para enviar cohetes a la luna y la teoría de la probabilidad ha sido utilizada por las compañías de seguros para calcular sus riesgos, el gran amor de Fermat se inclinaba por una rama de las matemáticas que en su mayor parte no tiene utilidad alguna; la teoría de números. A Fermat lo impulsaba una obse- sión por entender las propiedades de los números y sus EY ÚLTIMO DE TIE TE NRIMIAST TEOREMA 88 relaciones. Esta es la más pura y antigua de las ramas de las matemáticas; Fermat estaba construyendo sobre un cuerpo de conocimientos que le había sido legado por Pitágoras. LA DE EVOLUCIÓN LA TEORÍA DE NÚMEROS Después de la muerte de Pitágoras el concepto de de- mostración matemática se defendió rápidamente por todo el mundo civilizado, y dos siglos después de que su escuela fuera quemada, el centro de los estudios matemáticos se ha- bía trasladado de Crotona a la ciudad de Alejandría. En el año 332 a. C., después de haber conquistado Grecia, Asia Menor y Egipto, Alejandro Magno decidió que construiría una ciudad capital que sería la más grandiosa del mundo. Alejandría era en efecto una metrópolis espectacular, pero no se convirtió inmediatamente en un centro intelectual. Sólo cuando murió Alejandro y su medio hermano Ptolomeo I ascendió al trono de Egipto se fundó en Alejandría la primera universidad del mundo. Matemáticos y otros intelectuales acudieron en masa a la ciudad cultural de Ptolomeo, y aunque ciertamente los motivaba la reputación de la universidad, el atractivo principal era la biblioteca alejandrina. La biblioteca fue idea de Demetrio de Falero, un impo- pular orador a quien obligaron a huir de Atenas y que finalmente había encontrado santuario en Alejandría. Convenció a Ptolomeo de que reuniera todos los grandes libros, asegurándole que las mentes grandes vendrían después. Una El hacedor de acertijos 89 vez se acopiaron los tomos de Egipto y Grecia, fueron enviados agentes a recorrer Europa y Asia Menor en busca de otros volúmenes. Ni siquiera los turistas que llegaban a Alejandría podían escapar del apetito voraz de la biblioteca. Una vez entraban en la ciudad se les confiscaban sus libros, que eran entregados a los escribas. Los libros eran copiados; el original se quedaba en la biblioteca, y el dueño original recibía una copia. Este meticuloso servicio de reproducción para los viajeros de la antigiedad da a los historiadores de hoy una pequeña esperanza de que una copia de un texto perdido importante aparezca algún día en un ático en cualquier lugar del mundo. En 1906 J. L. Heiberg descubrió en Constantinopla un manuscrito semejante, El método, que contenía algunos de los escritos originales de Arquímedes. El sueño de Ptolomeo de construir una casa del tesoro del conocimiento sobrevivió a su muerte, y después del paso de varios otros ptolomeos por el trono la biblioteca contenía más de 600.000 volúmenes. Los matemáticos podían aprender cualquier cosa del mundo conocido estudiando en Alejandría, donde se encontraban como profesores los más famosos académicos. El primer director del departamento de matemáticas fue, ni más ni menos, Euclides. Euclides nació alrededor del año 330 a. C. Como Pitágoras, creía en la búsqueda de la verdad matemática como un fin en sí y no buscaba aplicaciones de su trabajo. Una historia cuenta que un estudiante le preguntó cuál era el uso de las matemáticas que estaba aprendiendo. Al terminar la lección, Euclides se dirigió a su esclavo y le dijo: “Dadle al EL ÚLTIMO DE” TE ESROMA TE TEOREMA 90 muchacho una moneda, pues desea beneficiarse de todo lo que aprende”. El estudiante fue expulsado en seguida. Euclides dedicó buena parte de su vida a escribir Los elementos, el libro de texto más exitoso de la historia. Hasta este siglo era también el segundo libro más vendido en el mundo después de la Biblia. Los elementos consiste de trece libros, algunos de los cuales están dedicados al trabajo propio de Euclides, mientras que los demás son la compilación de todos los conocimientos matemáticos de la época, incluidos dos volúmenes dedicados enteramente al trabajo de la Hermandad Pitagórica. En los siglos que habían transcurrido desde Pitágoras, los matemáticos habían inventado una variedad de técnicas lógicas que podían aplicarse en diferentes circunstancias, y Euclides las utilizó todas, con mucha habilidad, en Los elementos. Explotó en particular una técnica lógica conocida como reductio ad absurdum, o demostración por contradicción. El método gira alrededor de la idea per- versa de tratar de probar que un teorema es verdadero asumiendo primero que es falso. El matemático explora entonces las consecuencias lógicas que se derivan de la falsedad del teorema. En algún punto de la cadena lógica hay una contradicción (por ejemplo, 2 + 2 = 5). La matemática aborrece las contradicciones, así que el teorema original no puede ser falso, es decir, tiene que ser verdadero. El matemático inglés G. H. Hardy condensó el espíritu de la demostración por contradicción en su libro Apología de un matemático: “La reductio ad absurdum, que Euclides tanto quería, es una de las mejores armas del matemático. Es mu- El hacedor de acertijos 91 cho mejor que cualquier gambito en el juego de ajedrez: un jugador puede ofrecer el sacrificio de un peón o cualquier otra pieza, pero lo que ofrece el matemático es la partida”. Una de las más famosas demostraciones por contradic- ción de Euclides fue la que estableció la existencia de los llamados números irracionales. Se sospecha que los números irracionales fueron originalmente descubiertos por la Hermandad Pitagórica varios siglos antes, pero el concepto le pareció tan abominable a Pitágoras que negó su existencia. Cuando Pitágoras sostenía que el universo era regido por números se refería a números enteros y razones entre números enteros (fracciones), que en conjunto se llaman números racionales. Un número irracional es un número que no es ni un entero ni una fracción, y fue esto lo que horrorizó a Pitágoras. De hecho, los números irracionales son tan extraños que no pueden ser escritos como decimales, ni siquiera como decimales recurrentes. Un decimal, recurrente tal como 0.11111111... es, de hecho, un número bastante simple y equivalente a la fracción 5. El hecho de que el 1 se repita infinitamente significa que el decimal tiene un patrón muy simple y regular. A pesar de que continúa hasta el infinito, esta regularidad significa que el decimal puede escribirse también como fracción. Sin embargo, si uno intenta expresar un número irracional como un decimal termina con un número que continúa para siempre sin un patrón regular o consistente. El concepto de número irracional fue un avance tremendo. Los matemáticos estaban buscando más allá de los EL ÚLTIMO DE EER TEOREMA 92 MAT números enteros y las fracciones y descubriendo, o quizás inventando, números nuevos. El matemático del siglo XIX Leopold Kronecker dijo: “Dios hizo los enteros: todo lo demás es obra del hombre”. El más famoso de los números irracionales es TT. En los colegios con frecuencia se le aproxima a 31 o 3.14; sin embargo, el verdadero valor de mf es más cercano a 3.14159265358979323846, pero aun así esto es sólo una aproximación. De hecho, rr nunca podrá escribirse exactamente porque los decimales siguen hasta el infinito sin ningún patrón. Un hermoso aspecto de este patrón aleatorio es que puede ser calculado utilizando una ecuación que es supremamente T=4A| regular: E Ma e j] -===+===+==—+—-=—+..1 PEAD Al calcular los primeros términos de la serie, se puede obtener un valor aproximado de TT, pero calculando más y más términos se obtiene un valor cada vez más preciso. Aunque conocer 39 decimales de Tr es suficiente para calcular la circunferencia del universo con la misma precisión que la del radio de un átomo de hidrógeno, esto no ha impedido que los científicos de la computación calculen tantos decimales de Te como les sea posible. La marca actual la tiene Yasumasa Kanada, de la Universidad de Tokio, que en 1996 calculó seis millardos de decimales de 7. Recientemente algunos rumores han sugerido que, en Nueva York, los hermanos rusos Chudnovsky han calculado ocho millardos de decima- El hacedor de acertijos 93 les de Tr y que se proponen llegar al billón de cifras. Sin embargo, aunque Kanada o los hermanos Chudnovsky continuaran calculando hasta que sus computadores agotaran toda la energía del universo, no encontrarían el valor exacto de tt. Es fácil entender por qué Pitágoras intentó ocultar la existencia de estas bestias matemáticas. EL ÚLTIMO DE FERMAT TEOREMA 94 Más de 1500 cifras decimales del valor de T 3.141592653589793238462643383279502884197169399375105820 974944592307816406286208998628034825342117067982148086 5132823066470938446095505822317253594081284811174502841 0270193852110555964462294895493038196442881097566593344 6128475648233786783165271201909145648566923460348610454 3266482133936072602491412737245870066063155881748815209 2096282925409171536436789259036001133053054882046652138 4146951941511609433057270365759591953092186117381932611 7931051185480744623799627495673518857527248912279381830 1194912983367336244065664308602139494639522473719070217 9860943702770539217176293176752384674818467669405132000 5681271452635608277857713427577896091736371787214684409 0122495343014654958537105079227968925892354201995611212 9021960864034418159813629774771309960518707211349999998 3729780499510597317328160963185950244594553469083026425 2230825334468503526193118817101000313783875288658753320 8381420617177669147303598253490428755468731159562863882 3537875937519577818577805321712268066130019278766111959 0921642019893809525720106548586327886593615338182796823 0301952035301852968995773622599413891249721775283479131 3155748572424541506959508295331168617278558890750983817 5463746493931925506040092770167113900984882401285836160 3563707660104710181942955596198946767837449448255379774 7268471040475346462080466842590694912933136770289891521 0475216205696602405803815019351125338243003558764024749 6473263914199272604269922796782354781636009341721641219 9245863150302861829745557067498385054945885869269956909 2721079750930295532116534498720275596023648066549119881 8347977535663698074265425278625518184175746728909777727 938000816470200161452491921732172147723501414419735 El hacedor de acertijos 95 Cuando Euclides se atrevió a enfrentarse al tópico de la irracionalidad en el décimo volumen de Los elementos, su meta era demostrar que podría existir un número que no era posible escribir como fracción. En vez de tratar de demostrar que TT es irracional, examinó la raíz cuadrada de 2, ./2, el número que multiplicado por sí mismo es igual a 2. Con el fin de demostrar que ./2 no se puede escribir como fracción, Euclides utilizó la reductio ad absurdum y comenzó suponiendo que sí era posible hacerlo. Demostró luego que esta fracción hipotética siempre se podría simplificar. Simplificar una fracción significa, por ejemplo, que la fracción ¿ puede simplificarse a ¿ dividiendo arriba y abajo entre 2. Á su turno, + puede reducir a <, que no se puede simplificar más, por lo cual se dice que la fracción está en la forma más simple. Euclides, sin embargo, demostró que la fracción hipotética que se suponía representaba a ./2, podía simplificarse un número infinito de veces sin jamás quedar reducida a su forma más simple. Esto es absurdo porque todas las fracciones tienen que llegar finalmente a su forma más simple y, por lo tanto, la fracción hipotética no existe. Así, ./2 no puede ser escrita como una fracción y es irracional. Un bosquejo de la demostración de Euclides aparece en el apéndice es Utilizando la demostración por contradicción, Euclides pudo probar la existencia de los números irracionales. Por primera vez los números habían adquirido una calidad nueva, más abstracta. Hasta ese momento todos los números podían ser expresados como enteros o fracciones, pero los BL ÚLTIMO TEOREMA 96 DAEJIEAB RS MEAD números irracionales de Euclides se resistían a ser representados en la forma tradicional. El número que equivale a la raíz de 2 sólo puede ser expresado como ./2, pues no puede ser escrito como fracción y cualquier intento de escribirlo como decimal será siempre sólo una aproximación, por ejemplo 1.414213562373... Para Pitágoras, la belleza de las matemáticas radicaba en la idea de que los números racionales (los enteros y las fracciones) podían explicar todos los fenómenos naturales. Esta filosofía le impidió a Pitágoras ver la existencia de los números irracionales, y pudo haber sido la causa de la ejecu- ción de uno de sus discípulos. Una historia sostiene que un joven estudiante de nombre Hippasus estaba jugando ociosamente con el número ./2, intentando encontrar la frac- ción equivalente. Por último, llegó a comprender que tal fracción no existía, es decir que /2 es un número irracional. Hippasus tuvo que haberse sentido feliz con su descubrimiento, pero su maestro no. Pitágoras había definido el universo en términos de números racionales, y la existencia de números irracionales cuestionaba su ideal. La consecuencia del descubrimiento de Hippasus pudo haber sido un período de discusión y contemplación durante el cual Pitágoras posiblemente aceptó esta nueva fuente de números. Sin embargo, él no estaba dispuesto a aceptar que se había equivocado pero, tampoco podía destruir el argumento de Hippasus con el poder de la lógica. Para su vergiienza eterna, lo sentenció a morir ahogado. El padre de la lógica y del método matemático había El hacedor de acertijos 97 recurrido a la fuerza antes que admitir que estaba equivocado. La negación de los números irracionales fue el acto más infortunado de Pitágoras y quizás la mayor tragedia de la matemática griega. Sólo después de su muerte los irracionales pudieron resucitar sin peligro. Aunque Euclides tenía claramente un interés en la teo- ría de números, no fue su más grande contribución a las matemáticas. La verdadera pasión de Euclides era la geometría; de los trece libros que conforman Los elementos, los libros Ia VI se concentran en la geometría plana (de dos dimensiones), y los libros XI a XII tratan de la geometría sólida (de tres dimensiones). Los elementos conforman un cuerpo de conocimientos tan completo que su contenido sería el currícu- lo de geometría en colegios y universidades durante los siguientes dos mil años. El matemático que compiló el texto equivalente para la teoría de números fue Diofanto de Alejandría, el último exponente de la tradición matemática griega. Aunque los logros de Diofanto en la teoría de números están bien documentados en sus libros, prácticamente no se conoce nada más acerca de este formidable matemático. El lugar de su nacimiento se desconoce, y su llegada a Alejandría pudo haber ocurrido en cualquier momento dentro de un lapso de cinco siglos. En sus escritos Diofanto cita a Hypsicles, así que tuvo que haber vivido después del año 150 a. C.; de otro lado, su trabajo es citado por Teón de Alejandría, y por lo tanto tuvo que haber vivido antes del año 364 d. C. Una fecha alrededor de 250 d. C. se acepta generalmente como un estimativo EL ÚLTIMO DE FERMAT TEOREMA 98 sensato. De manera apropiada para alguien que resolvía problemas, el único detalle acerca de la vida de Diofanto que ha sobrevivido aparece en forma de acertijo, que se decía estaba inscrito en su tumba: La infancia de Diofanto duró un 1/6 de su vida. La barba le cubrió la cara 1/12 más tarde. Después de 1/7 de su vida Diofanto se casó. Cinco años después tuvo un hijo. El hijo vivió exactamente 1/2 de lo que vivió el padre, y Diofanto murió cuatro años más tarde que su hijo, tras consolar su pena con la ciencia de los números. El reto es calcular la duración de la vida de Diofanto. La respuesta se encuentra en el apéndice 3. Este acertijo es un ejemplo de la clase de problemas que entusiasmaba a Diofanto. Su especialidad era atacar problemas que requerían soluciones en números enteros; estos se conocen hoy como problemas diofánticos. Desarrolló su carrera profesional en Alejandría, recopilando problemas ya resueltos e inventándose otros. Luego los reunió todos en un enorme tratado llamado Arithmetica. De los trece libros que hacían parte de la Arithmetica, sólo seis sobrevivirían a la agitación de la edad oscura y llegarían a inspirar a los matemáticos del Renacimiento, incluido Pierre de Fermat. Los restantes siete libros se perdieron en una serie de eventos trágicos que hicieron retroceder a la matemática a la época de los babilonios. Durante los siglos que transcurrieron entre Euclides y Diofanto, Alejandría continuó siendo la capital del mundo El hacedor de acertijos 99 DIOPHANTI ALEX ANDRINI ARITHMETICORVM LIBRI ET DE SEX, NMERIS MILTANGYLIS LIBER VNVS. 14nc primis Crec es Latine editi, arque abfolos Me lala dla pa AVOTORE CLAVDIO MEZIRIACO GAITARE DACHETO SEBVSIANO OC LVTETIAE PARISIORV M; Sumptibus HirrowYmi Drovarr, via lacobra, fub Scuto Solari. > Mi CUM A Y XXI PRIVILEGIO FEGT Frontispicio de la traducción de Claude Gaspar Bachet de la Arithmetica de Diofanto publicada en 1621. Este libro se convirtió en la biblia de Fermat e inspiró buena parte de su obra. EL ÚLTIMO DEE ESROMiAST TEOREMA 100 civilizado, aunque estuvo constantemente amenazada por ejércitos extranjeros. El primer ataque importante ocurrió en el año 47 a. C., cuando Julio César intentó derrocar a Cleopatra incendiando la flota alejandrina. La biblioteca, que estaba localizada cerca del puerto, también se incendió, y cientos de miles de libros fueron destruidos. Afortunadamente para las matemáticas, Cleopatra entendía la importancia del conocimiento y estaba resuelta a devolver a la biblioteca su antigua gloria. Marco Antonio entendió que la manera de llegar al corazón de una intelectual es su biblioteca, así que marchó a la ciudad de Pérgamo. Esta contaba ya con una biblioteca, que esperaba convertir en la mejor colección del mundo, pero Marco Antonio la trasladó en su totalidad a Egipto, restaurando así la supremacía de Alejandría. Durante los siguientes cuatro siglos la biblioteca continuó acumulando libros hasta el año 389 d. C., cuando re- cibió el primero de dos golpes fatales, ambos resultado del fanatismo religioso. El emperador cristiano Teodosio le ordenó a Teófilo, obispo de Alejandría, destruir todos los monumentos paganos. Desafortunadamente Cleopatra había reconstruido y reaprovisionado la biblioteca en el templo de Serapis, así que esta fue víctima de la destrucción de iconos y altares. Los eruditos “paganos” intentaron salvar seis siglos de conocimiento, pero antes de poder hacer algo fueron masacrados por la muchedumbre cristiana. Había comenzado la descenso hacia el oscurantismo. Unas cuantas copias de los libros más importantes so- El hacedor de acertijos 10 brevivieron el ataque cristiano y los eruditos continuaron visitando Alejandría en busca de conocimiento. Luego, en el año 642, un ataque musulmán culminó con éxito donde los cristianos habían fracasado. Cuando se le consultó sobre el destino que debía correr la biblioteca, el victorioso califa Omar ordenó que los libros contrarios al Corán fueran destruidos, lo mismo que aquellos que se ajustaran al Corán, pues resultaban superfluos. Los manuscritos fueron utilizados para avivar el fuego que calentaba los baños públicos, y las matemáticas griegas se convirtieron en humo. No es sorprendente que gran parte de la obra de Diofanto haya sido destruida; de hecho, es un milagro que seis volúmenes de la Arithmetica sobrevivieran a la tragedia de Alejandría. Durante los siguientes mil años la matemática en Occi- dente permaneció adormecida, y sólo un pequeño grupo de luminarias en India y Arabia mantuvo viva esta ciencia. Ellos copiaron las fórmulas descritas en los manuscritos griegos que sobrevivieron y comenzaron a reinventar por sus propios medios muchos de los teoremas perdidos. También añadieron nuevos elementos a las matemáticas, entre ellos el número cero. En las matemáticas modernas, el cero desempeña dos funciones. En primer lugar, ayuda a distinguir dos números como 52 y 502. En un sistema en el cual la ubicación de un número denota su valor, se requiere un símbolo para confirmar una posición vacía. Por ejemplo, 52 representa cinco veces diez más dos veces uno, mientras 502 representa cinco veces cien más cero veces diez más dos veces uno, y el EL ÚLTIMO DIETER TESREMIMATT TEOREMA 102 cero es crucial para despejar cualquier ambigúedad. Aun los babilonios, en el tercer milenio antes de Cristo, entendieron la importancia del cero para evitar la confusión, y los griegos adoptaron su idea, utilizando un símbolo circular semejante al que usamos hoy. Sin embargo, el cero tiene un significado más sutil y profundo, que fue apreciado en su totalidad, varios siglos más tarde, por matemáticos de India. Los hindúes reconocieron que el cero tiene una existencia independiente, más allá de la simple función de separar otros números: el cero era un número por derecho propio. Representaba una cantidad equivalente a nada. Por primera vez al concepto abstracto de la nada se le había dado una representación simbólica tangible. Esto puede parecerle al lector moderno un avance trivial, pero el significado más profundo del cero había sido ignorado por todos los filósofos griegos de la Antigúedad, incluido Aristóteles. Él había argumentado que el número cero debía ser prohibido porque perturbaba la consistencia de los otros números: dividir un número por cero daba lugar a un resultado incomprensible. Ya en el siglo sexto los matemáticos de India dejaron de esconder bajo el tapete este problema, y el estudioso del siglo xvIr, Brahmagupta, era lo suficientemente sofisticado como para utilizar la división entre cero como definición del infinito. Mientras Europa había abandonado la noble búsqueda de la verdad, India y Arabia consolidaban el conocimiento que había salido de contrabando de los rescoldos de Alejandría, y lo reinterpretaban en un lenguaje nuevo y más El hacedor de acertijos 103 elocuente. Además de introducir el cero al vocabulario matemático, reemplazaron los primitivos símbolos griegos y los engorrosos numerales romanos por el sistema de nume- ración que ha sido adoptado universalmente. Una vez más, este puede parecer un avance absurdamente humilde, pero si intenta multiplicar CLV por DCI se dará cuenta de su importancia. La tarea equivalente de multiplicar 155 por 601 es bastante más simple. El crecimiento de cualquier disciplina depende de su capacidad para comunicar y desarrollar ideas, y esto a su turno depende de un lenguaje suficientemente detallado y flexible. Las ideas de Pitágoras y Euclides no eran menos refinadas por causa de su poco práctica expresión, pero traducidas a los símbolos de Arabia alcanzarían su plenitud y darían origen a nuevos y más ricos conceptos. En el siglo Xx el estudioso francés Gerbert de Aurillac aprendió de los moros de España el nuevo sistema de conteo, y a través de su cargo de profesor en colegios e iglesias de toda Europa pudo introducirlo en Occidente. En el año 999 fue elegido papa con el nombre de Silvestre II, una posición que le permitió fomentar aún más el uso de la numeración indo-arábiga. Aunque la eficiencia del sistema revolucionó la contabilidad y fue rápidamente adoptado por los comerciantes, fue poco lo que hizo por revivir las matemáticas europeas. El hecho crucial para las matemáticas de Occidente ocurrió en el año 1453, cuando los turcos saquearon Cons- tantinopla. Durante los años que transcurrieron desde la BENE EM ORDEO REEIMPA 104 DIESPETESROMPAGO profanación de Alejandría, los manuscritos sobrevivientes fueron congregados en Constantinopla, pero una vez más enfrentaban la amenaza de destrucción. Los estudiosos bizantinos huyeron hacia Occidente con todos los textos que pudieron salvar. Después de sobrevivir a los ataques de César, del obispo Teófilo, del califa Omar y ahora de los turcos, unos pocos y valiosos volúmenes de la Arithmetica llegaron a Europa. Diofanto estaba destinado a llegar al escritorio de Pierre de Fermat. NACIMIENTO DE UN ACERTIJO Las responsabilidades judiciales de Fermat ocupaban gran parte de su tiempo, pero el poco que le quedaba lo dedicaba por completo a las matemáticas. Esto se debía en parte a que en la Francia del siglo xvI se les pedía a los jueces que evitaran la vida social, por cuanto los amigos y conocidos podían ser convocados a la corte en cualquier momento. Confraternizar con la gente local tendría como única consecuencia el favoritismo. Aislado del resto de la alta sociedad de Tolosa, Fermat podía concentrarse en su afición. No hay evidencia de que Fermat haya sido inspirado por un tutor matemático; en realidad, una copia de la Arithmetica se convirtió en su mentor. La Arithmetica buscaba describir la teoría de números, tal como estaba en los tiempos de Diofanto, a través de una serie de problemas y soluciones. En efecto, Diofanto le presentaba a Fermat mil años de conocimientos matemáticos. En un libro, Fermat El hacedor de acertijos 105 pudo encontrar todo lo que se sabía acerca de los números gracias a los colegas de Pitágoras y Euclides. La teoría de números se había paralizado desde la bárbara quema de Alejandría, pero ahora Fermat estaba listo para reiniciar el estudio de la más fundamental de las disciplinas matemáticas. La Arithmetica que inspiró a Fermat era una traducción al latín hecha por Claude Gaspar Bachet de Méziriac, quien tenía fama de ser el hombre más sabio de toda Francia. Además de ser un lingúista brillante, poeta y estudioso de los clásicos, a Bachet le apasionaban los acertijos matemáticos. Su primera publicación fue una compilación de acertijos con el título de Problemes plaisans et délectables qui se font par les nombres, que incluía problemas acerca del cruce de ríos, un problema de traslado de líquidos y varios trucos para adivinar un número. Uno de los problemas que se planteaba tenía que ver con pesas: ¿Cuál es el mínimo número de pesas que se pueden utilizar en una balanza para poder pesar cualquier número entero de kilogramos entre 1 y 40? Bachet tenía una ingeniosa solución que muestra que es posible realizar esta tarea con sólo cuatro pesas. Su solución aparece en el apéndice 4. Aunque Bachet no era más que un diletante matemático, su interés por los acertijos era suficiente como para entender que la lista de problemas de Diofanto estaba en un plano más alto y merecía un estudio más profundo. Se puso EME TIMO DESEE ROMPA CL TEOREMA 106 la tarea de traducir la obra de Diofanto y publicarla con el fin de revivir las técnicas de los griegos. Es importante entender que enormes cantidades de conocimientos matemáticos habían sido olvidados por completo. Ni siquiera las más grandes universidades de Europa enseñaban matemáticas avanzadas, y fue sólo gracias a los esfuerzos de estudiosos como Bachet que tanto revivió en tan poco tiempo. En 1621, con la publicación de su versión en latín de la Arzthmetica, Bachet contribuyó a la segunda edad de oro de las matemáticas. La Arithmetica contiene más de cien problemas, y para cada uno Diofanto da una solución detallada. Este grado de dedicación fue un hábito que Fermat nunca adquirió. No estaba interesado en escribir un libro de texto para futuras generaciones; simplemente quería tener la satisfacción personal de haber resuelto un problema. Mientras estudiaba los problemas y soluciones de Diofanto, se inspiraba para pensar en otros problemas relacionados y abordarlos. Fermat garabateaba apenas lo necesario para convencerse de que entendía la solución, y ya no se molestaba en escribir el resto de la demostración. Con frecuencia arrojaba sus inspirados garabatos a la basura y él pasaba al siguiente problema. Afortunadamente para nosotros, la edición de Bachet de la Arithmetica tenía márgenes amplios en cada página, y algunas veces Fermat escribía rápidamente comentarios y procedimientos lógicos en estas columnas. Para generaciones de matemáticos estas notas marginales se convertirían en un invaluable aunque insuficiente registro de los cálculos más brillantes de Fermat. El hacedor de acertijos TO7 Uno de los descubrimientos de Fermat tenía que ver con los llamados números amigos, relacionados de cerca con los números perfectos que habían fascinado a Pitágoras dos mil años antes. Los números amigos son parejas de números tales que cada uno de ellos es igual a la suma de los divisores del otro. Los pitagóricos hicieron el extraordimario descubrimiento de que 220 y 284 son números amigos. Los divisores de 220 son 1, 2,4, 5,10, 11,20, 22, 44,55 y 110, y la suma de ellos es 284. Por otro lado, los divisores de 284 son 1,2,4,71 y 142, y la suma de ellos es 220. Se decía que la pareja 220 y 284 era símbolo de amistad. En el libro de Martin Gardner Festival mágico matemático se cuenta que en la Edad Media se vendían talismanes inscritos con estos números para despertar el amor. Un numerólogo árabe documenta la práctica de inscribir 220 en una fruta y 284 en otra, comer la primera y ofrecerle la segunda a un amante a manera de afrodisiaco matemático. Los primeros teólogos observaron que en el Génesis Jacob le ofreció 220 cabras a Esaú. Creían que el número de cabras, la mitad de una pareja de números amigos, era una expre- sión del amor de Jacob por Esaú. Ninguna otra pareja de números amigos fue identificada hasta 1636, cuando Fermat descubrió la pareja 17.296 y 18.416. Aunque no es un descubrimiento profundo, demuestra la familiaridad de Fermat con los números y el deleite que le producía jugar con ellos. Fermat comenzó una moda de buscar números amigos: Descartes descubrió una tercera pareja (9.363.584 y 9.437.056), y luego Leonhard E UD IMO DIET ESETROMIASI DE O RENA 108 Euler habría de hacer una lista de 62 pares de números amigos. Curiosamente, todos pasaron por alto una pareja de números amigos mucho más pequeña. En 1866 un italiano de dieciséis años, Nicoló Paganini, descubrió la pareja 1.184 ZO: Durante el siglo xx los matemáticos han ampliado la idea de los números amigos y han buscado los llamados 2/- meros sociables, tres o más números que forman una cadena cerrada. Por ejemplo, en la tripleta (1.945.330.728.960; 2.324.196.638.720 y 2.615.631.953.920) la suma de los divisores del primer número es igual al segundo número, la suma de los divisores de este es igual al tercer número, y la suma de los divisores de éste es igual al primer número. La cadena de números sociables más larga que se conoce consiste de veintiocho números, el primero de los cuales es 14.316. Aunque el haber descubierto una nueva pareja de nú- meros amigos dio a Fermat alguna celebridad, su fama se vio verdaderamente confirmada gracias a una serie de retos matemáticos. Por ejemplo, Fermat observó que el número 26 se halla entre los números 25 y 27, uno de los cuales es un número cuadrado (25=5?=5x5) y el otro un número cúbico (27=3*=3x3x3). Buscó otros números confinados entre un cuadrado y un cubo pero no halló ninguno, y sospechó que quizás el 26 era único. Tras varios días de agota- dor esfuerzo logró construir un argumento elaborado que demostraba sin lugar a duda que el 26 es en efecto el único número que se halla entre un cuadrado y un cubo. Su de- El hacedor de acertijos 109 mostración lógica paso por paso estableció que no hay otros números que puedan satisfacer este criterio. Fermat comunicó esta propiedad única del número 26 a la comunidad matemática y luego los retó a demostrar que era cierta. Abiertamente admitió que él mismo tenía una demostración; la pregunta era, sin embargo, ¿tenían otros el ingenio para encontrarla también? A pesar de la simplicidad del enunciado, la demostración es endemoniadamente complicada, y Fermat se deleitó especialmente desafiando a los matemáticos ingleses Wallis y Digby, quienes finalmente tuvieron que declararse derrotados. En última instancia, lo que habría de darle mayor fama a Fermat sería otro reto para el resto del mundo. Sin embargo, se trataba de un acertijo accidental que Fermat nunca tuvo intención de discutir en público. LA NOTA MARGINAL Mientras estudiaba el libro 11 de la Arzthmetica, Fermat se encontró con una serie de observaciones, problemas y soluciones que se relacionaban con el teorema de Pitágoras y las tripletas pitagóricas. Por ejemplo, Diofanto discutía la existencia de tripletas especiales que forman los llamados “triángulos cojos”, es decir, triángulos cuyos dos lados más cortos, x y y, tienen longitudes que se diferencian en uno (por ejemplo x=20, y=21, z=29 y 20*+21* =29”). A Fermat le llamó la atención la gran cantidad y varie- EL ÚLTIMO DEN TELE CREMECAST TEOREMA O: dad de tripletas pitagóricas. Sabía que siglos antes Euclides había enunciado una demostración, que se bosqueja en el apéndice 5, que prueba que en efecto hay un número infinito de tripletas pitagóricas. Al estudiar la exposición detallada de Diofanto acerca de las tripletas pitagóricas, Fermat seguramente se preguntó qué más se podía decir sobre el tema. Mientras miraba la página comenzó a jugar con la ecuación de Pitágoras, tratando de descubrir algo que hubiera eludido a los griegos. De repente, en un momento de genialidad que habría de inmortalizar al príncipe de los aficionados, creó una ecuación que, a pesar de ser muy semejante a la de Pitágoras, no tiene soluciones. Ésta fue la ecuación acerca de la cual leyó Andrew Wiles a los diez años en la biblioteca de Milton Road. En vez de considerar la ecuación 2 30 Fermat estaba estudiando 2 Ap y 2 =7Z » una variante de la creación de Pitágoras: podi de > Tal como se mencionó en el capítulo anterior, Fermat simplemente había cambiado la potencia de 2 a-3, el cuadrado al cubo, pero su nueva ecuación aparentemente no tenía ninguna solución en números enteros. El método de ensayo y error pronto muestra la dificultad de encontrar dos números cúbicos que sumados den como resultado otro número cúbico. ¿Podría ocurrir realmente que esta pequeña modificación El hacedor de acertijos AT convirtiera a la ecuación de Pitágoras, que tiene infinitas soluciones, en una ecuación sin una sola solución? Fermat alteró la ecuación aún más cambiando la potencia a números mayores que 3 y descubrió que encontrar una solución para cada una de estas ecuaciones era ¡gual- mente difícil. De acuerdo con Fermat, parecía que no había tres números que se ajustaran perfectamente a la ecuación x"+y" =2", donde nrepresenta 3, 4, 5, ... En el margen de su Arzthmetica, junto al problema ocho, anotó: Cubem autem in duos cubos, aut quadratoquadratum in duos quadratoquadratos, et generaliter nullam in infinitum ultra quadratum potestatem in duos erusdem nominis fas estdividere. Es imposible para un cubo ser escrito como la suma de dos cubos o para una cuarta potencia ser escrita como la suma de dos cuartas potencias o, en general, para cualquier número que sea una potencia mayor que la segunda ser escrito como la suma de dos potencias similares. No parecía haber una razón para que dentro de todos los números posibles no se pudiera encontrar por lo menos un conjunto de soluciones, y sin embargo Fermat afirmó que en ningún lugar del universo infinito de los números había una “tripleta de Fermat”. Era una afirmación extraordinaria, pero Fermat creía que podía probarla Después de esta nota marginal que esbozaba su teoría, el genio travieso anotó un comentario adicional que habría de obsesionar a varias generaciones de matemáticos: EL ÚLTIMO DIESE TEOREMA ME LE ROMPASE Cuias rei demonstrationem mirabilem sane detexi hanc marginis exiguitas non caperet. Tengo una demostración verdaderamente maravillosa de esta proposición pero este margen es muy angosto para contenerla. Éste era Fermat en su faceta más exasperante. Sus propias palabras sugieren que estaba especialmente satisfecho con su demostración “verdaderamente maravillosa”, pero no tenía ninguna intención de molestarse en escribir el argumento en detalle, y mucho menos en publicarlo. Nunca le habló a nadie de su demostración y sin embargo, a pesar de la combinación de indolencia y modestia de su autor, el último teorema de Fermat, como vendría a llamarse después, sería famoso en todo el mundo durante los siglos venideros. EL ÚLTIMO TEOREMA DE FINALMENTE SE PUBLICA FERMAT El notable descubrimiento de Fermat ocurrió al comienzo de su carrera matemática, hacia 1637. Unos treinta años después, mientras desempeñaba sus deberes judiciales en la ciudad de Castres, Fermat enfermó de gravedad. El 9 de enero de 1665 firmó su último arrét, y tres días después murió. Como Fermat se había mantenido aislado de la escuela parisina de matemáticas y no era recordado muy calurosamente por sus frustrados corresponsales, sus descubrimientos corrían el riesgo de perderse para siempre. Afortunadamente, el hijo mayor de Fermat, Clément-Samuel, que comprendía el significado de la afición de su padre, estaba resuelto a evitar El hacedor de acertijos LTS que el mundo perdiera sus descubrimientos. Es gracias a sus esfuerzos que sabemos algo de los notables avances de Fermat en la teoría de números y, en particular, de no haber sido por Clément-Samuel el enigma conocido como el último teorema de Fermat habría muerto con su creador. Clément-Samuel pasó cinco años recopilando las anotaciones y cartas de su padre y examinando las notas en los márgenes de su copia de la Arzthmetica. La nota al margen referente al último teorema de Fermat era sólo una de las muchas reflexiones garabateadas en el libro, y ClémentSamuel se propuso publicar estas anotaciones en una edición especial de la Arzthmetica. En 1670, en Tolosa, publicó la Arithmetica de Diofanto con observaciones de P. de Fermat. Junto con las traducciones originales de Bachet había 48 observaciones de Fermat. La observación al problema ocho, que se muestra en la figura 6, es la que se llegaría a conocerse como el último teorema de Fermat. Una vez que las Observaciones de Fermat se difundieron, quedó claro que las cartas que había enviado a sus colegas eran apenas muestras de un tesoro de descubrimientos. Sus notas personales contenían toda una serie de teoremas. Desafortunadamente éstos no iban acompañados de ninguna explicación; en el mejor de los casos, llevaban sólo una pista insignificante acerca de la demostración subyacente. Había apenas los suficientes atisbos tentadores de lógica como para no dejar a los matemáticos sin duda alguna de que Fermat tenía demostraciones, pero el reto de completar los detalles les quedó a ellos. EL ÚLTIMO DE FERMAT 114 TEOREMA DIOPHAN TI ALEXANDRINI ARITHMETICORVM LIBRI SEX, ET DE NVMERIS MVLTANGVLIS LIBER VNVS, CVM COMMENTARIIS (.G. BACHETI Y.C. e obferuatiombus D.P-dPERMAT Senatoris Tolofani. Acceífit Doétrine Analyticz inuentum nouwum,co!leótum ex varijs ciuídem D. de FERMAT Epiftolis. Excudebat BERNARDVS TOLOS£, BOSC, ¿Regione Collegij Societaris leí. M. DC LXX Frontispicio de la edición de Clément-Samuel Fermat de la Arithmetica de Diofanto publicada en 1670. Esta edición incluye las notas al margen escritas por su padre. EES El hacedor de acertijos Antameccorun Liber 11. S1 anteruallam numeroruma, Minor autem «Lio. 0 teg milan iru E hdi IN. aque ideo masor 1N. +2. Oporter aque y N. +24.tuipios elle ad 2,0 ad- su des deban y ppadas d rmacicras huc fuperaddere 10. Ter igrur 2.adicius vnicatibus 10. equatur y N, + 4. X htiN, 3. Erit ergo minorz. mator 5. 8 sen y pil. fanslacione quirltiona, IN ONDITIONTS QFAES de Dese in vpn e l- Tpk der msdbis EP ed ira odo es dunas d.y Jireray daerpuos e y. bs er dr TION EM 0 de li ei E ms rd VIL appolire cadom rartio ell que $eappofita precedenti quzftioní, nilenim aljud require quám ve quadratxs internall numerocon fic minor interuallo yy Canones ndero hic etizus locus habebune,ve manifeítum of. QVESTIO Rorosirvm quadrarum diuidere Ppimduos quadratos, Imperacura fic ve 16.diuidacur in duos quadráaros. Ponarur rimas 1 Q.Oportetigiturro—1 Quequapaefie quadrato, Fingo quadratum a nusmeris quotquor libuerit, cum defectaror vnitarum quod continer latus iplius 16. elto 43 N.— q. ¡ple igitur quadearus eric 4 Q + 16.16 N. hac equabuntar vni- VIIL Ta Errar verá coreo Dn es dio rerpazarou. iaa di dnsdie ei dio rerpapamcug ul verda ó mero durara mai. Sion des ppal das 5 re vreimque defcóts,8 a fimulibus auferan- vur fimilia , fent s Q,erquales 16 N. Se ft 1N, Y Eric igicur alrer dirt mzí loas Y) rerfura. Dear F rerpljuror da se. Si mer Mee moción pde 15 taribus 16 —1 Q,Communis adiiciator quadracorum “Y alter vero $ de veriufque fumma elbá; len 16. Sc vrerque quadratus cit, “e g :A Hobo AEPET y h oe veiostraciTa, Fs perdida 17. nal dar depre mba. OBSERVATIO , EC DOMINI PETRI DE FERMAT. Fbum auteminduos cubos ,aut quadretoquadrasem induosPes stos 5 ebnf> 0 generalicer mullem 19 10fiirmm dltra quadraruns posefasem is dem momermis fas rfi dimidere cuins res demonfirasioneoo mirabilem fame detexi, Hare marginis eXigutEss mom caperes. QUASTIO Vasvs oporreat quadracum 16 IX TQ Elfto itaque 2 N.— 4. erunt quadrats, hic uidem: Q. ile vero4 Q, +16. —16 N. Siria volo vtrumque fimul quari vnitatibus 16. Igisur y Q.+10.-16 No equatur vnicatibus 16. SK fit 1 N, ent dimido mor 7 reparos di ele ds R esidore in duos quadratos, Pona- cur rurfus primi larus 4 N. alcerios veró quotcunque numerorum cum defedtu toc yoitatum, quor conítar larus diwidendi. rompa) aóroue verdad a puebla Dedpd. deu dh rte il, tomey ol verja) emos Ee de Puedrros pá, dy duda Pd Arde rr. ee Pote Te duo Puno arrriHrras locue 11)Y] 5. Puvdiss dial A le ETA 0 dra EA Hi Figura 6. La página que contiene la notable observación de Pierre de Fermat. BR.ÚLFIMO DIE. TEOREMA 116 ECE REMEAcT Leonhard Euler, uno de los más grandes matemáticos del siglo XVIII, intentó demostrar una de las observaciones más refinadas de Fermat, un teorema acerca de los números primos. Un número primo es aquel que no tiene divisores: ningún número, excepto el 1 y el número mismo, pueden dividirlo sin dejar un residuo. Por ejemplo, 13 es un número primo, pero 14 no lo es. No hay número que pueda dividir a 13 perfectamente, pero 2 y 7 dividen a 14. Todos los números primos corresponden a una de dos categorías: aquellos que son iguales a 4n+1 y aquellos que son iguales a 4n—1, donde » es algún número. Así, 13 pertenece al primer grupo (4x3+1), mientras que 19 pertenece al segundo (4x5-1). El teorema de Fermat acerca de los primos soste- nía que los del primer tipo eran siempre la suma de dos cuadrados (13=2? +3”), mientras que los del segundo tipo nunca se pueden escribir como la suma de dos cuadrados (19= 2 +9). Esta propiedad de los primos es de una hermosa simpleza, pero tratar de demostrar que es verdadera para todo número primo resulta sorprendentemente difícil. Para Fermat fue sólo una de las muchas demostraciones que guardó para sí. El reto para Euler fue redescubrir la demostración de Fermat. Finamente en 1749, tras siete años de trabajo y casi un siglo después de la muerte de Fermat, Euler logró demostrar este teorema acerca de los números primos. La colección de teoremas de Fermat va de lo fundamental a lo simplemente entretenido. Los matemáticos catalo- gan la importancia de los teoremas de acuerdo con el impacto que tienen sobre el resto de las matemáticas. Primero, un El hacedor de acertijos 117 teorema es considerado importante si contiene una verdad universal, es decir, si se aplica a un grupo completo de números. En el caso del teorema acerca de los números primos, es verdadero no sólo para algunos números primos, sino para todos ellos. Segundo, los teoremas deben revelar alguna verdad subyacente, más profunda, acerca de las relaciones entre los números. Un teorema puede ser el trampolín para generar toda una serie de teoremas nuevos, para inspirar incluso el desarrollo de nuevas ramas de las matemáticas. Finalmente, un teorema es importante si áreas enteras de investiga- ción se ven obstaculizadas por la sola falta de un eslabón lógico. Muchos matemáticos se han torturado sabiendo que podrían lograr un resultado importante si tan sólo encontraran el eslabón que hace falta en su cadena lógica. Debido a que los matemáticos utilizan los teoremas como escalones para llegar a otros resultados, era esencial que cada uno de los teoremas de Fermat fuera demostrado. Sólo porque Fermat dijo que tenía una demostración de un teorema este no podía aceptarse automáticamente. Ántes de poder ser utilizado, cada teorema tenía que ser demostrado con rigor implacable, pues de lo contrario las consecuencias podrían ser desastrosas. Por ejemplo, supóngase que los matemáticos hubieran aceptado uno de los teoremas de Fermat. Este sería entonces incorporado como un elemento individual en toda una serie de demostraciones más largas. A su debido tiempo, estas demostraciones más largas serían incorporadas a demostraciones aún más largas, y así Sucesivamente. Finalmente, cientos de teoremas llegarían a de- ELRUDLEDIMON DE E O RSEIMEA 118 FERMAT pender de la verdad del teorema original que no se verificó. Sin embargo, ¿qué tal que Fermat hubiera cometido un error y el teorema sin verificar fuera falso? Todos los otros teoremas que lo incorporaron también serían falsos, y enormes áreas de las matemáticas se derrumbarían. Los teoremas son los fundamentos de las matemáticas, porque una vez se ha comprobado su veracidad otros teoremas se pueden deducir, sin peligro, a partir de ellos. Las ideas no corroboradas son infinitamente menos valiosas y se conocen como conjeturas. Cualquier sistema lógico que dependa de una conjetura es en sí mismo una conjetura. Fermat dijo que él tenía una demostración para cada una de sus observaciones, así que para él eran teoremas. Sin embargo, hasta que la comunidad matemática pudiera redescubrir las demostraciones individuales, cada una de di- chas observaciones sólo podía considerarse una conjetura. De hecho, durante los últimos 350 años el último teorema de Fermat ha debido llamarse con mayor precisión, la última conjetura de Fermat. A medida que pasaron los siglos, todas sus otras observaciones fueron demostradas una por una, pero el último teorema de Fermat, tercamente, se resistió a rendirse. De hecho, se le conoce como el último teorema por ser la última de las observaciones que quedaba por demostrar. Tres siglos de esfuerzos no fueron suficientes para encontrar una demostración, y esto le ganó la fama de ser el problema más exigente de las matemáticas. Sin embargo, esta reconocida dificultad no significa necesariamente que el último teore- El hacedor de acertijos 119 ma de Fermat sea un teorema importante de acuerdo con los parámetros descritos atrás. El último teorema de Fermat, al menos hasta hace poco, parecía no cumplir varios criterios: todo indicaba que su demostración no llevaría a nada profundo, ni daría lugar a alguna perspectiva especialmente brillante acerca de los números, ni tampoco ayudaría a demostrar otras conjeturas. La fama del último teorema de Fermat proviene exclusivamente de la enorme dificultad para demostrarlo. Una chispa adicional la da el hecho de que el príncipe de los aficionados haya dicho que él podía demostrar este teorema. Desde entonces ha confundido a varias generaciones de ma- temáticos profesionales. Los comentarios improvisados de Fermat en el margen de su copia de la Arithmetica fueron tomados como un reto al mundo. Él había demostrado el último teorema. La pregunta era, ¿podía algún matemático ser tan brillante? G. H. Hardy tenía un caprichoso sentido del humor, e ideó lo que habría podido ser un legado igualmente frustrante. El reto de Hardy tenía la forma de una póliza de seguros que le ayudaba a sobreponerse a su temor de viajar por barco. Si alguna vez tenía que hacer un viaje por mar le enviaba antes a un colega un telegrama que decía así: HE RESUELTO LA HIPÓTESIS DE RIEMANN STOP DARÉ LOS DETALLES A MI REGRESO STOP La hipótesis de Riemann es un problema que ha acosado a EL ÚLTIMO DIES TESEPRSMICAST TEOREMA ¡AO los matemáticos desde el siglo XIX. Según la lógica de Hardy, Dios no iba permitir que él se ahogara, pues dejaría a la matemática obsesionada con otro fantasma terrible. El último teorema de Fermat es un problema de una dificultad inmensa y, sin embargo, se le puede enunciar de tal manera que un niño o una niña lo pueden entender. No puede haber en física, química o biología un problema que pueda enunciarse de una manera tan simple y sin ambigúedades, y que haya permanecido sin solución tanto tiempo. En su libro El 4ltimo problema, E. T. Bell escribió que probablemente la civilización llegaría a su fin antes de que el último teorema de Fermat fuera resuelto. Demostrar este teorema se ha convertido en el premio más valioso en teoría de números, y no ha de sorprendernos que haya dado lugar a algunos de los episodios más emocionantes de la historia de las matemáticas. La búsqueda de una demostración del último teorema de Fermat ha involucrado a las mentes más grandes del planeta, y tiene que ver con enormes premios, desesperación suicida y duelos al amanecer. La significación del acertijo ha trascendido el mundo de las matemáticas. Incluso en 1958 llegó a ser parte de un relato fáustico. Una antología titulada Tratos con el demonio contiene un cuento corto de Arthur Poges. En “El demonio y Simon Flagg”, el demonio le pide a Simon Flagg que le haga una pregunta. Si logra contestarla antes de veinticua- tro horas se quedará con el alma de Simon, pero si fracasa tendrá que darle $100.000 dólares. Simon le hace la pregunta: “¿El último teorema de Fermat es correcto?” El de- El hacedor de acertijos 12N monio desaparece y se va por el mundo absorbiendo todas las matemáticas jamás creadas. Al día siguiente regresa y admite su derrota: —Tú ganas, Simon —dijo casi en secreto, mirándolo con un respeto generoso—. Ni siquiera yo puedo aprender en tan poco tiempo las matemáticas necesarias para un problema tan difícil. Entre más me metía en él peor parecía. Factorización no única, ideales. ¡Bah! ¿Sabes —le confió el demon1o— que ni siquiera los mejores matemáticos de otros planetas, todos más avanzados que el de ustedes, lo han resuelto? Mira, hay un tipo en Saturno, parecido a un hongo con zancos, que resuelve, ecuaciones diferenciales parciales mentalmente, e incluso él se ha dado por vencido. y“. Ñ . IT A o e f YA 0 A NS Ñ o AA VAL ll mb, a y ñ Je NA o Li A M 11d] Es An . pa NT E peo ¿2 o dl 1 My AA QA ll PA lar 114 a ó ió O sp ¿Les migo a . 3 e - AS y ATAR o ÓN ES Ñ Y AO pa Hiro rd ¿e Mi 1-0Up eN E CEA NAMCO A o ' ca EA PANA ATA de , La . mE ¿ridad A o E AAN AO e AA A AAA i eS PAE ya, Ñ de ale Dd hs o ir Pro o a yl Ss ST ' ' ¡ADE WIFI) S a YY ae coral E e e añade ¿de O Ae =a¡ua ml, Ln SA Pia > Mo 9 YD RRA A "] ' e A ra 11m. TWD WÉ ¿A Di “Wwzr JA ti Ni ¡po Ñ e e pana wi 5 o saddosA din 04 yan ai «ula a Y,aa e y La matemática no es una marcha cuidadosa a lo largo de una autopista bien señalada sino una travesía al interior de una extraña jungla donde los exploradores se pierden con frecuencia. El rigor debería ser una señal para que los historiadores sepan que los mapas ya han sido trazados y que los verdaderos exploradores se han ido a otro lugar. MiS: ANGTIN >, Una vergúenza matemática Leonhard Euler “Desde que lo conocí, de niño, el último teorema de Fermat ha sido mi pasión más grande”, recuerda Andrew Wiles con una voz vacilante que transmite la emoción que le inspira el problema. “Había encontrado este problema, que no había sido resuelto en trescientos años. No creo que a muchos de mis amigos del colegio les interesaran las matemáticas así que no lo discutí con mis contemporáneos. Pero tenía un profesor que había hecho investigación en matemá- ticas y él me dio un libro sobre teoría de números que me proporcionó algunas pistas de cómo empezar a abordarlo. Para comenzar, supuse que Fermat no sabía muchas más matemáticas que yo. Traté de encontrar la solución perdida usando los métodos que él debió de haber usado”. Wiles era un niño lleno de inocencia y ambición, que vio la oportunidad de tener éxito donde varias generaciones de matemáticos habían fracasado. Á otros esto podría parecerles un sueño insensato, pero el joven Wiles estaba en lo cierto al pensar que él, un estudiante del siglo xx, sabía tantas matemáticas como Pierre de Fermat, un genio del siglo XVII. Quizás en su ingenuidad se tropezaría con una demostración que otras mentes más sofisticadas no habían visto. A pesar de su entusiasmo, todos sus cálculos llegaron a un callejón sin salida. Después de devanarse los sesos y de exprimir sus textos escolares, no había logrado nada. Tras un año de fracasos cambió de estrategia y decidió que podría aprender algo de los errores de otros matemáticos más eminentes. “El último teorema de Fermat tiene una historia im- EL ÚLTIMO DE EBRMAT TEOREMA 120 creíblemente romántica. Mucha gente ha pensado en él, y entre más han tratado y fracasado en resolverlo los grandes matemáticos en el pasado, mayor es el reto y el misterio en el que se ha convertido. Muchos matemáticos lo intentaron de diferentes maneras en los siglos XVIII y XIX, así que de adolescente decidí que debía estudiar esos métodos y tratar de entender qué era lo que habían hecho. EL CÍCLOPE MATEMÁTICO La creación matemática es una experiencia dolorosa y misteriosa. Con frecuencia el objeto de la demostración es claro, pero la ruta está cubierta de niebla, y el matemático avanza torpemente con sus cálculos, temeroso de que cada paso pudiera estar llevando su argumento en una dirección completamente equivocada. Además, existe el temor de que no exista ruta alguna. Un matemático puede creer que una afirmación es verdadera y gastar años tratando de demostrarlo, cuando la realidad es que es falsa. El matemático ha estado, en efecto, intentando demostrar lo imposible. En toda la historia de la disciplina sólo un puñado de matemáticos parecen haber evitado las dudas que intimidan a sus colegas. Quizás el más notable de tales matemáticos fue el genio del siglo xvi Leonhard Euler,elmismo que hizo el primer avance en la demostración del último teorema de Fermat. Euler tenía una intuición tan increíble y una memoria tan vasta que se dice que podía delinear todos los detalles de un cálculo en su cabeza, sin necesidad de usar Una vergúenza matemática 127 papel y lápiz. A través de Europa se le conocía como “análi- sis encarnado”. El académico francés Francois Arago dijo: “Euler calculaba sin ningún esfuerzo aparente, tal como los hombres respiran o las águilas se sostienen en el aire”. Leonhard Euler nació en Basilea en 1707, hijo de un pastor calvinista, Paul Euler. Aunque el joven Euler mostró un prodigioso talento para las matemáticas, su padre estaba resuelto a que estudiara teología y siguiera una carrera religiosa. Leonhard obedeció diligentemente y estudió teología y hebreo en la Universidad de Basilea. Afortunadamente para Euler, la ciudad de Basilea era la sede del eminente clan de los Bernoulli. Los Bernoulli podían afirmar con facilidad que la suya era la más matemá- tica de las familias, pues había producido ocho de la mentes más sobresalientes de Europa en sólo tres generaciones. Al- gunos han dicho que la familia Bernoulli fue para las matemáticas lo que los Bach fueron para la música. Su fama se extendió más allá de la comunidad matemática, y una leyenda en particular tipifica el perfil de la familia. Alguna vez estaba Daniel Bernoulli viajando a través de Europa y entró en conversación con un extraño. Después de un rato, se presentó modestamente: “Soy Daniel Bernoulli”. “Y yo”, dijo su compañero sarcásticamente, “soy Isaac Newton”. Daniel recordaba con placer este incidente y lo consideraba el homenaje más sincero que jamás había recibido. Daniel y Nikolaus Bernoulli eran amigos cercanos de Leonhard Euler, y se dieron cuenta de que el más brillante de los matemáticos se estaba convirtiendo en el más medio- ENIOTLIMO DE FERMAT TE O REMERA 128 cre de los teólogos. Acudieron a Paul Euler para pedirle que permitiera a Leonhard dejar el hábito sacerdotal en favor de los números. Euler padre había recibido en el pasado lecciones de matemáticas de Bernoulli padre, Jakob, y tenía un enorme respeto por la familia. A regañadientes aceptó que su hijo había nacido para calcular, no para predicar. Leonhard Euler pronto abandonó Suiza y se dirigió a los palacios de Berlín y San Petersburgo, donde habría de pasar la mayor parte de sus años creativos. Durante la época de Fermat, los matemáticos eran considerados como mala- baristas aficionados de números, pero ya para el siglo XVII se les trataba como profesionales de la resolución de problemas. La cultura de los números había cambiado en forma dramática, y esto era en parte consecuencia de Sir Isaac Newton y sus cálculos científicos. Newton creía que los matemáticos perdían su tiempo fastidiándose mutuamente con acertijos sin sentido. En cambio, él aplicaría las matemáticas al mundo físico y calcularía todo, desde las órbitas de los planetas hasta la trayectoria de las balas de cañón. Para cuando Newton murió, en 1727, Europa había pasado por una revolución científica; en el mismo año Euler publicó su primer trabajo. Aunque este contenía matemáticas innovadoras y refinadas, su propósito principal era describir la solución de un problema técnico relacionado con la instalación del mástil en los barcos. Las potencias europeas no estaban interesadas en utilizar las matemáticas para explorar conceptos abstractos y eso- téricos; querían en cambio explotar las matemáticas para Una vergúenza matemática 129 resolver problemas prácticos, y competían entre sí para reclutar las mejores mentes. Euler comenzó su carrera con los zares antes de ser invitado a la Academia de Berlín por Federico el Grande de Prusia. Finalmente regresó a Rusia, bajo el gobierno de Catalina la Grande, donde pasó sus últimos años. Durante su carrera abordó una multitud de problemas que iban de la navegación a las finanzas y de la acústica a la irrigación. El mundo práctico de la resolución de problemas no quitó brillo a la habilidad matemática de Euler. Por el contrario, al emprender cada nueva tarea se inspiraba para crear matemáticas innovadoras e ingeniosas. Su pasión imquebrantable lo llevaba a escribir varios trabajos en un mismo día, y se decía que entre la primera y la segunda llamada para comer trataba de completar un cálculo digmo de ser publicado. No perdía un minuto, y aun mientras estaba meciendo a un bebé con una mano, hacía el bosquejo de una demostración con la otra. Uno de los más grandes logros de Euler fue el desarrollo del método algorítmico. El propósito de los algoritmos de Euler era atacar problemas aparentemente imposibles. Uno de tales problemas era predecir las fases de la luna en el futuro lejano con enorme precisión, información que podría utilizarse para elaborar tablas de navegación de enorme importancia. Newton ya había mostrado que es relativamente fácil predecir la Órbita de un cuerpo alrededor de otro, pero en el caso de la luna la situación no es tan simple. La luna rota alrededor de la tierra pero hay un tercer cuerpo, el sol, que complica el asunto enormemente. La tierra y la luna se EL ÚLTIMO DIESEL REMO TEOREMA 130 atraen mutuamente; el sol perturba la posición de la primera y con ello, a su vez, afecta la órbita de la segunda. Mediante ecuaciones se podía precisar el efecto de dos de los cuerpos, pero los matemáticos del siglo XVIII no pudieron incorporar el tercer cuerpo en sus cálculos. Aún hoy es imposible predecir la solución exacta del llamado “problema de los tres cuerpos”. Euler se dio cuenta de que los marinos no necesitaban saber la fase de la luna con precisión absoluta, sólo con la exactitud suficiente como para ubicar su posición dentro de unas pocas millas náuticas. Como consecuencia, Euler desarrolló una “receta” para generar una solución imperfecta pero suficientemente precisa. La “receta”, conocida como algoritmo, funcionaba obteniendo primero un resultado aproximado que luego se incorporaba de nuevo al algoritmo para generar un resultado más refinado. Este podía entonces ser incorporado de nuevo al algoritmo para generar un resultado aún más refinado, y así sucesivamente. Después de cien o más repeticiones Euler podía suministrar una posición de la luna que era suficientemente precisa para las necesidades de la Marina. Euler entregó su algoritmo al Almirantazgo británico, que, a cambio, lo premió con £300. Euler se ganó la fama de poder resolver cualquier problema que se le planteara, talento que parecía extenderse mucho más allá del campo de las ciencias. Durante su paso por la corte de Catalina la Grande se encontró con el gran filósofo francés Denis Diderot. Diderot era un ateo comprometido y pasaba su días convirtiendo a los rusos al ateísmo. Una vergiienza matemática EST Figura 7. El río Pregel divide a la ciudad de Kónigsberg en cuatro partes separadas, A, B, C- y D. Siete puentes conectan las varias partes de la ciudad, y un acertijo local preguntaba si era posible hacer un recorrido de tal manera que cada puente fuera cruzado una sola vez. Esto enfureció a Catalina, que le pidió a Euler que detuviera los esfuerzos del impío francés. Euler pensó un poco en el asunto y declaró que tenía una demostración algebraica de la existencia de Dios. Catalina la Grande invitó a Euler y a Diderot al palacio y reunió a sus cortesanos para que escucharan el debate teológico. Euler se paró frente a la audiencia y anunció: Señor: a+b" = X, luego Dios existe. ¡Responda! n Como Diderot no entendía mucho de álgebra, no pudo dis- EL ÚLTIMO DIES EJE -RENICASD TEOREMA 132 Figura 8. Una representación simplificada de los puentes de Kónigsberg. cutir con el matemático más grande de Europa y quedó mudo. Humillado, partió de San Petersburgo y regresó a París. En ausencia de Diderot, Euler continuó disfrutando su regreso a los estudios teológicos, y publicó otras demostraciones ficticias acerca de la naturaleza de Dios y el espíritu humano. Un problema de mayor validez que llamó la atención del carácter juguetón de Euler tiene que ver con la ciudad prusiana de Kónigsberg, la hoy ciudad rusa de Kaliningrado. La ciudad está construida en la riberas del río Pregel y cons- ta de cuatro sectores separados conectados por siete puentes. La figura 7 muestra el trazado de la ciudad. Algunos de los más curiosos residentes de Kónigsberg se preguntaban si era posible recorrer los siete puentes sin necesidad de pasar por ninguno de ellos más de una vez. Los ciudadanos de Kónigsberg intentaron varias rutas, pero todas habían fraca- Una vergúenza matemática 133 sado. Euler tampoco pudo encontrar una ruta, pero pudo explicar por qué dicho recorrido es imposible. Euler tomó como punto de partida un plano de la ciudad, con el que generó una representación simplificada en que las secciones de tierra eran reducidas a puntos y los puentes reemplazados por líneas, como se muestra en la figura 8. Argumentó luego que, en general, para poder completar con éxito una ruta (es decir, cruzar todos los puentes una sola vez) un punto debía estar conectado a un número par de líneas. Esto porque en la mitad de un recorrido, cuando un caminante pase por un sector de tierra, él o ella tienen que entrar por un puente y salir por otro diferente. Hay sólo dos excepciones a esta regla: cuando un caminante comienza O termina su recorrido. Al comienzo del recorrido el caminante abandona un sector y sólo necesita un puente para salir, y al final del recorrido llega a un sector y sólo necesita un puente para entrar. Si el recorrido comienza y termina en diferentes lugares, estos dos sectores pueden tener un número impar de puentes. Pero si el recorrido comienza y termina en el mismo lugar entonces este punto, como todos los demás, debe tener un número par de puentes. En general Euler concluyó que, para cualquier red de puentes, sólo es posible hacer un recorrido completo cru- zando cada puente una sola vez si todos los sectores de tierra tienen un número par de puentes o si dos de ellos tienen un número impar de puentes. En el caso de Kónigsberg hay cuatro sectores de tierra en total y todos ellos están conectados a un número impar de puentes: tres puntos tienen tres EL ÚLTIMO TEOREMA 134 DIESPETE-REMEATD puentes y uno tiene cinco. Euler había explicado por qué era imposible cruzar cada uno de los puentes de Kónigsberg una sola vez, y adicionalmente había generado una regla que podía aplicarse a cualquier red de puentes en cualquier ciudad del mundo. Es un argumento de una hermosa sencillez, y quizás la clase de problema lógico que Euler despachaba antes de la comida. El acertijo de los puentes de Kónigsberg es uno de los llamados problemas de redes en matemáticas aplicadas, pero inspiró a Euler a considerar redes más abstractas. Posterior- mente descubrió la llamada fórmula para redes, una verdad fundamental válida para todas las redes, que pudo demostrar con unos cuantos pasos lógicos. La fórmula para redes muestra un relación eterna entre las tres propiedades que describen a cualquier red: V+R-L=1 donde V = número de vértices (intersecciones) en la red, L = número de líneas en la red, 5) 1 número de regiones (áreas cerradas) en la red. Euler sostenía que, en cualquier red, al sumar el número de vértices y regiones y restar el número de líneas el total será siempre 1. Por ejemplo, todas las redes de la figura 9 obedecen la regla. Sería posible ensayar esta fórmula en toda una serie de redes, y si resulta siempre verdadera uno se vería tentado a suponer que la fórmula es verdadera para todas las redes. Una vergúenza matemática 135 Vértices = 4 Vértices = Regiones. = 3 Regiones = Líneas = 6 Líneas = 6 6 Vértices = 6 Regiones = 5 Líneas = 10 Figura 9. Todas las redes imaginables obedecen la fórmula para redes de Euler. Aunque ésta puede ser suficiente evidencia para una teoría científica, no es adecuada para justificar un teorema mate- mático. La única manera de mostrar que la fórmula funciona para toda red posible es construir un argumento infalible, y esto fue exactamente lo que Euler hizo. Euler comenzó considerando la red más simple de todas, es decir un solo vértice, como se muestra en la figura 10(a). Para esta red la fórmula es claramente verdadera: hay un vértice y no hay líneas ni regiones, por lo tanto V+R-L=1+0-0=1 Euler consideró luego qué sucedería si le agregaba algo a ésa, la más simple de todas las redes. Cualquier extensión del vértice requiere la adición de una línea. La línea puede, bien conectar el vértice existente con sí mismo, o bien conectarlo con un vértice nuevo. EL DE ÚLTIMO FERMAT (a) TEOREMA 136 o (b) (c) Figura 10. Euler demostró su fórmula para redes probando que es verdadera para la más simple, y luego probando que sigue siendo verdadera sin importar qué extensiones se le adicionen al vértice original. Primero, miremos lo que sucede cuando se conecta un vértice a sí mismo con esta línea adicional. Como se muestra en la figura 10(b), al agregar la línea se genera una región nueva. Por lo tanto la fórmula para redes sigue siendo verdadera, pues la región adicional (+1) cancela la línea adicional (-1). Si se agregan líneas adicionales de esta manera, la fórmula para redes seguirá siendo verdadera porque cada línea nueva creará una región nueva. Ahora miremos lo que sucede cuando se utiliza la línea para conectar el vértice original con un vértice nuevo, como se muestra en la figura 10(c). Una vez más, la fórmula para Una vergúenza matemática 137 redes continúa siendo verdadera, pues el vértice extra (+1) cancela la línea extra (-1). Si se agregan otras líneas de esta manera, la fórmula para redes seguirá siendo verdadera porque cada línea nueva creará un vértice nuevo. Esto era todo lo que Euler necesitaba para su demostración. Argumentó que la fórmula para redes era verdadera para la más simple de todas, el vértice solitario. Es más, todas las otras redes, no importa cuán complicadas, pueden ser construidas a partir de la red más simple agregando una línea a la vez. Cada vez que se agregue una línea la fórmula para redes sigue siendo verdadera porque se incorporará un vértice nuevo o una región nueva, y esto tendrá un efecto compensatorio. Euler había desarrollado una estrategia sencilla pero poderosa. Demostró que la fórmula era verdadera para la red más básica, un vértice solitario, y luego demostró que cualquier operación que complique la red mantendrá la validez de la fórmula. Luego, la fórmula es verdadera para la infinidad de posibles redes. Cuando Euler se encontró por primera vez con el último teorema de Fermat, debió abrigar la esperanza de que podría resolverlo adoptando una estrategia similar. El úlermo teorema y la fórmula para redes vienen de campos muy diferentes de las matemáticas pero tienen una cosa en co- mún, y es que ambos dicen algo acerca de un número infinito de objetos. La fórmula para redes dice que, para el número infinito de redes que existen, el número de vértices y regiones menos el número de líneas siempre es igual a 1. El último teorema de Fermat sostiene que para un número infinito EL DE ÚLTIMO FERMAT TEOREMA 138 de ecuaciones no hay soluciones en números enteros. Re- cuérdese que Fermat afirmó que no hay soluciones en números enteros para la siguiente ecuación: xi +y"=z, n ”n n donde n es cualquier número mayor que 2. Esta ecuación representa un número infinito de ecuaciones: AY e, e y 2 4 4 5 5 6 6 da e ira O 7 EA 7 Euler se preguntó si acaso podría demostrar que alguna de las ecuaciones no tiene demostración y luego extrapolar el resultado a todas las ecuaciones restantes, de la misma manera en que había demostrado su fórmula para redes generalizándola a partir del caso más simple, el vértice solitario. El trabajo de Euler recibió un empujón cuando este descubrió una pista escondida en los garabatos de Fermat. Aunque Fermat nunca escribió una demostración del últi- mo teorema, sí describió en forma críptica una demostración para el caso específico de n = 4 en otro lugar de la Una vergúenza matemática 139 Arithmetica, y la incorporó en una demostración de un problema completamente diferente. Aunque este es el cálculo más completo que Fermat jamás consignó en un papel, los detalles son de todos modos muy esquemáticos y vagos, y Fermat concluye la demostración diciendo que por falta de tiempo y espacio no podía dar una explicación más completa. Á pesar de la escasez de detalles, los garabatos de Fermat, muestran claramente una forma especial de demostración por contradicción conocida como método del descenso infinito. Con el fin de demostrar que no hay soluciones para la ecuación x* + y* =2*, Fermat comenzó suponiendo que ha- bía una solución hipotética LASIX 1? Examinando las propiedades de (X,, Y,, Z,), Fermat pudo demostrar que si esta solución hipotética existiera, entonces tendría que haber una solución más pequeña (X,, Y,, Z,). Luego, examinando esta nueva solución, Fermat podía demostrar que tendría que haber una solución (X,, Y,, Z,) aún más pequeña, y así sucesivamente. Fermat había descubierto una escalera descendente de soluciones que teóricamente continuaría para siempre, ge- nerando números cada vez más pequeños. Sin embargo, x, y, y z tienen que ser números enteros, así que la escalera descendente sin fin es imposible porque debe existir una solución que sea la más pequeña posible. Esta contradicción demuestra que la suposición inicial de que hay una solución (X, Y, Z,) tiene que ser falsa. Utilizando el método del des- EL DE ÚLTIMO FERMAT TEOREMA 140 censo infinito, Fermat había demostrado que no es viable que la ecuación con n = 4 tenga soluciones, pues de lo contrario las consecuencias serían absurdas. Euler trató de utilizar esto como punto de partida para construir una demostración general para todas las otras ecuaciones. Además de ascender hasta n = infinito, también ten- dría que descender hasta 1 = 3, y fue este paso individual descendente que intentó en primera instancia. El 4 de agos- to de 1753 Euler le comunicó por carta al matemático prusiano Christian Goldbach que había adaptado el método del descenso de Fermat infinito y había demostrado con éxito el caso 1 = 3. Después de cien años, era la primera vez que alguien lograba algún progreso en la tarea de resolver el reto de Fermat. Con el fin de extender la demostración de Fermat para el caso 1 =4al caso n = 3, Euler tuvo que introducir el extraño concepto de námero imaginario, que había sido descubierto por los matemáticos europeos en el siglo xvi. Es raro pensar que se “descubren” nuevos números, pero esto se debe principalmente a que estamos tan familiarizados con los números que utilizamos comúnmente que olvidamos que hubo un tiempo en que algunos de ellos no eran conocidos. Los números negativos, las fracciones y. los números irracionales tuvieron que ser descubiertos, y la motivación en cada caso fue para poder contestar alguna pregunta que de otra manera no tendría respuesta. La historia de los números comienza con los sencillos números para contar (1, 2, 3, ...), conocidos también como Una vergúenza matemática JEAL números naturales. Estos números son perfectamente ade- cuados para sumar cantidades enteras sencillas, tales como ovejas O monedas de oro, y obtener un número total que también sea una cantidad entera. Como la suma, la sencilla operación de la multiplicación también actúa sobre los números enteros para generar otros números enteros. Sin embargo, la operación de la división da lugar a un problema delicado. Mientras que 8 dividido entre 2 es 4, encontramos que 2 dividido entre 8 es 7. El resultado de esta última división no es un número entero sino una fracción. La división es una operación sencilla que se ejecuta con los números naturales pero requiere que miremos más allá de estos para encontrar una respuesta. Es impensable para los matemáticos no poder, al menos en teoría, contestar todas las preguntas, y esta necesidad se llama completud. Hay ciertas preguntas referentes a los números naturales que no podrían ser contestadas sin recurrir a las fracciones. Los matemáticos expresan esto diciendo que las fracciones son necesarias para la completud. Fue esta necesidad de completud la que llevó a los hindúes a descubrir los números negativos. Los hindúes observaron que, mientras 3 restado de 5 es obviamente 2, restar 5 de 3 no es un asunto tan sencillo. La respuesta estaba más allá de los números naturales y sólo podía ser acomodada introduciendo el concepto de números negativos. Algunos matemáticos no aceptaban esta extensión hacia lo abstracto y se referían a los números negativos como “absurdos” o “ficticios”. Un contador podía tener en su mano una mone- EL DE ÚLTIMO FERMAT AE TEOREMA 142 0 EVO 172 H IA 2 + Figura 11. Todos los números pueden ser ubicados a lo largo de la recta numérica, que se extiende hasta el infinito en ambas direcciones. da, o incluso media moneda, pero era imposible tener una moneda negativa. Los griegos también aspiraban a la completud, y esto los llevó a descubrir los números irracionales. En el segundo capítulo surgió la pregunta de cual número era la raíz cuadrada de 2, ./2. Los griegos sabían que el número era aproximadamente 2, pero cuando trataron de descubrir la fracción exacta descubrieron que no existe. Se hallaban frente a un número que nunca se podría representar como una fracción, pero este nuevo tipo de número era necesario para contestar una pregunta sencilla: ¿cuál es la raíz cuadrada de 2? La exigencia de completud significó la adición de una nueva colonia al imperio de los números. Ya en el Renacimiento, los matemáticos asumieron que habían descubierto todos los números en el universo. Se po- día pensar que todos los números estaban ubicados en una recta numérica, una línea infinitamente larga cuyo centro es el cero, como se muestra en la figura 11. Los números enteros son equidistantes entre sía lo largo de la recta numérica; los números positivos están a la derecha, extendiéndose hacia el infinito positivo, y los números negativos están a la Una vergúenza matemática 143 izquierda, extendiéndose hacia el infinito negativo. Las fracciones ocupan los espacios entre los números enteros, y los números irracionales se intercalan entre ellas. La recta numérica sugería que la completud, aparentemente, se había logrado. Todos los números parecían en su lugar, listos a responder a cualquier pregunta matemática. En cualquier caso, no había en la recta numérica más campo para números nuevos. Entonces, durante el siglo xvI, hubo nuevos estruendos de inquietud. El matemático italiano Rafaello Bombelli estaba estudiando las raíces cuadradas de varios números cuando se tropezó con una pregunta imposible contestar. El problema comenzaba preguntando: ¿cuál es la raíz cuadrada de 1, V1? La respuesta obvia es 1, porque 1X1=1. La respuesta menos obvia es -1. Un número negativo multiplicado por otro número negativo genera un número positivo. Esto significa que -1x-1=+1. Así que la raíz cuadrada de +1 es tanto +1 como -1. La abundancia de respuestas no es problema, pero entonces surge la pregunta, ¿cuál es la raíz cuadrada de -1, 21? El problema parece insoluble. La solución no puede ser +1 ni -1, pues el cuadrado de ambos es +1. Sin embargo, no hay otros candidatos obvios. Al mismo tiempo, la completud exige que seamos capaces de contestar la pregunta. La solución de Bombelli fue crear un número nuevo, z, llamado número imaginario, que simplemente se definía como la solución a la pregunta ¿cuál es la raíz cuadrada del negativo de 17? Esta puede parecer una manera cobarde de EL DE ÚLTIMO FERMAT TEOREMA 144 resolver el problema, pero no es diferente de la manera como fueron introducidos los números negativos. Enfrentados a una pregunta que de otra manera no tenía respuesta, los hin- dúes simplemente definieron a -1 como la respuesta a la pregunta ¿cuánto es cero menos uno? Es más fácil aceptar el concepto de -1 sólo porque conocemos el concepto análogo de “deuda”, mientras no hay nada en el mundo real que respalde el concepto de número imaginario. El matemático alemán del siglo xvI1 Gottfried Leibniz describió en forma elegante la extraña naturaleza del número imaginario: “El número imaginario es un magnífico y maravilloso recurso del espíritu divino, casi un anfibio entre el ser y el no ser”. Una vez hemos definido a ¿ como la raíz cuadrada de -1, entonces 27 tiene que existir, pues sería la suma de 7 más 7 (además de la raíz cuadrada de -4). De manera similar 5 tiene que existir, porque es el resultado de dividir 7 entre 2. Llevando a cabo operaciones simples es posible encontrar un equivalente imaginario de cada uno de los llamados números reales. Hay números imaginarios enteros, números imaginarios negativos, fracciones imaginarias y números irracionales imaginarios. El problema que surge ahora es que todos estos números imaginarios no tienen una posición natural a lo largo de la recta numérica. Los matemáticos resuelven esta crisis creando una recta numérica imaginaria que es perpendicular a la recta real. Las dos se cruzan en cero, como se muestra en la figura 12. Los números ya no están restringidos a una recta de una dimensión sino que ocupan un plano de dos dimen- Una vergúenza matemática 145 eje imaginario Figura 12. La introducción de un eje para los números imaginarios convierte la recta numérica en un plano numérico. Cualquier combinación de números reales e imaginarios tiene una posición en el plano numérico. siones. Mientras los números puramente imaginarios O puramente reales quedan restringidos a sus respectivas rectas, las combinaciones entre ellos (por ejemplo, 1+27), llamadas námeros complejos, ocupan el llamado plano numérico. EL DE ÚLTIMO FERMAT TEOREMA 146 Lo que es especialmente sorprendente es que los números complejos pueden ser utilizados para resolver cualquier ecuación imaginable. Por ejemplo, para calcular /3+4í, los matemáticos no tienen que recurrir a la inven- ción de un nuevo tipo de número; la respuesta resulta ser 2 +¡, otro número complejo. En otras palabras, los números imaginarios parecen ser el elemento final necesario para que la matemática esté completa. Aunque las raíces cuadradas de los números negativos se conocen como números imaginarios, los matemáticos no consideran que / sea más abstracto que un número negativo o un número entero. Además, los físicos descubrieron que los números imaginarios son el mejor lenguaje para describir algunos fenómenos del mundo real. Con algunas manipula- ciones menores los números imaginarios resultan ser la manera ideal para analizar el movimiento natural de balanceo de objetos como el péndulo. Este movimiento, técnicamente conocido como oscilación sinusoidal, se encuentra con frecuencia en la naturaleza así que los números imaginarios se han vuelto parte integral de muchos cálculos físicos. Actualmente los ingenieros eléctricos invocan a / para analizar corrientes eléctricas oscilantes, y los físicos teóricos calculan las consecuencias de las funciones de onda mecánicas de los cuantos acudiendo al poder de los números imaginarios. Los matemáticos puros también han explotado los números imaginarios, utilizándolos para encontrar respuesta a problemas que antes eran impenetrables. Los números imaginarios, literalmente, agregan una nueva dimensión a las Una vergúenza matemática 147 matemáticas, y Euler esperaba poder explotar ese grado adicional de libertad para atacar el último teorema de Fermat. En el pasado otros matemáticos habían tratado de adaptar el método del descenso infinito de Fermat para casos diferentes del de n = 4, pero todos los intentos de ampliar la demostración resultaron en fallas lógicas. Euler, sin embargo, demostró que incorporando el número imaginario / a su demostración podía reparar las fallas y forzar al método del descenso infinito a funcionar en el caso » = 3. Fue un logro extraordinario, pero que no pudo repetir para otros casos del último teorema de Fermat. Desafortunadamente los intentos de Euler por hacer que el argumento funcionara para los casos hasta el infinito terminaron en fracaso. El hombre que creó más matemáticas que cualquier otro en la historia fue humillado por el reto de Fermat. Su único consuelo fue haber hecho el primer avance en el problema más difícil del mundo. Sin desanimarse por este fracaso Euler continuó creando matemáticas brillantes hasta el día en que murió, algo que resulta aún más sorprendente por el hecho de que durante sus últimos años estuvo totalmente ciego. Su pérdida de visión comenzó en 1735, cuando la Academia de París ofreció un premio por la solución de un problema astronómico. El problema era tan complejo que la comunidad ma- temática pidió a la Academia un plazo de varios meses para encontrar la respuesta, pero para Euler esto no fue necesario. Se obsesionó con la tarea, trabajó sin parar durante tres días y ganó el premio. Sin embargo, las malas condiciones de EL DE ÚLTIMO FERMAT TEOREMA 148 trabajo, combinadas con el intenso estrés, le costaron a Euler, apenas en sus veintes, la visión de un ojo. Esto puede apre- ciarse en muchos retratos, incluido el que se encuentra al comienzo de este capítulo. Por consejo de Jean Le Rond d'Alembert, Euler fue reemplazado por Joseph-Louis Lagrange como matemático en la corte de Federico el Grande, que más tarde comenta- ría: “Estoy en deuda con usted, pues por su preocupación y recomendación cambié un matemático medio ciego por uno con dos ojos, cosa que alegrará especialmente a los anatomistas de mi Academia”. Euler regresó a Rusia, donde Catalina la Grande le dio otra vez la bienvenida a su “cíclope matemático”. La pérdida de un ojo fue apenas un impedimento menor; de hecho Euler declaraba que “ahora tendré menos distracciones”. Cuarenta años más tarde su condición se agravaría considerablemente; la aparición de una catarata en su ojo bueno significaba que estaba destinado a quedarse ciego del todo. Euler estaba resuelto a no rendirse y comenzó a practicar la escritura con su ojo en deterioro tapado, con el fin de perfeccionar la técnica antes de la llegada de la oscuridad total. En pocas semanas estaba ciego. Sus prácticas dieron fruto por un tiempo, pero tras unos meses la escritura de Euler se hizo ilegible, por lo cual su hijo Albert se convirtió en su amanuense. Euler continuó produciendo matemáticas durante los siguientes diecisiete años, siendo incluso más productivo que antes. Su inmensa inteligencia le permitía hacer malabares Una vergúenza matemática 149 con los conceptos sin necesidad de escribirlos, y su memoria fenomenal le permitía utilizar su cerebro como biblioteca mental. Los colegas opinaban que la llegada de la ceguera parecía haber expandido el horizonte de su imaginación. Vale la pena señalar que Euler terminó sus cálculos de las posiciones lunares estando ciego. Para los emperadores de Europa este fue el más valioso de los logros matemáticos, pues se trataba de un problema que había confundido a los más grandes matemáticos de Europa, incluido Newton. En 1776, Euler se sometió a una operación para retirar la catarata, y por unos pocos días pareció haber recuperado su visión. Sin embargo, una infección lo afectó y volvió a caer en la oscuridad. Sin desanimarse, continuó trabajando hasta el 18 de septiembre de 1783, cuando sufrió un derra- me cerebral fatal. Tal como dijera el matemático y filósofo marqués de Condorcet, “Euler dejó de vivir y calcular”. UN RITMO INSIGNIFICANTE Un siglo después de la muerte de Fermat, sólo había demostraciones para dos casos específicos del último teorema. Fermat les había dado a los matemáticos una ventaja al suministrarles la demostración de que no hay soluciones para la ecuación 4 Ry 4 =Z 4 Euler había adoptado la demostración para probar que no hay soluciones para EL DE ÚLTIMO FERMAT TEOREMA I50 Después del logro de Euler todavía era necesario demostrar que no hay soluciones en números enteros para una infinidad de ecuaciones: 5 O A 6 A a 6 7 A 5 io == 6 7 8 8 8 y a A 9 ye +y=Z, Aunque los matemáticos estaban progresando a un paso vergonzosamente lento, la situación no era tan mala como se podría haber pensado en un principio. La demostración para el caso n = 4 prueba también los casos n = 8, 12, 16, 20, ... La razón es que cualquier número que se pueda escribir como una octava (o doceava, dieciseisava, veinteaba,...) potencia también se puede escribir como una cuarta potencia. Por ejemplo, el número 256 es igual a >*, pero también a 4*. Por lo tanto, cualquier demostración que funcione para la cuarta potencia también funcionará para la octava potencia y para cualquier potencia que sea un múltiplo de 4. Utilizando el mismo principio, la demostración de Euler para el Una vergiúenza matemática ESE caso 2 = 3 prueba automáticamente los casos n = 6, 9, 12, eb De repente, los números comienzan a caer y Fermat parece vulnerable. La demostración para el caso n = 3 es especialmente significativa porque 3 es un ejemplo de número primo. Como se explicó antes, un número primo tiene la propiedad especial de no ser múltiplo de ningún número entero excepto, 1 y sí mismo. Otros números primos son 5, 7,11, 13, ... Todos los demás números son múltiplos de los primos, y se les conoce como números no primos o compuestos. Los teóricos de los números consideran a los números primos como los más importantes de todos, porque son los átomos de las matemáticas. Los números primos son los bloques de construcción numéricos porque todos los otros nú- meros pueden ser creados multiplicando combinaciones de ellos. Esto parece llevar a un sorprendente avance. Para demostrar el último teorema de Fermat para todos los valores de » sólo es necesario probarlo para todos los valores primos de 7. Todos los otros casos son simplemente múltiplos de los casos primos, y quedarían demostrados implícitamente. A primera vista esto simplifica enormemente el problema, pues se pueden ignorar todas las ecuaciones que involucren un valor de 7 que no sea un número primo. El número de ecuaciones restantes ha sido reducido inmensamente. Por ejemplo, para los valores de 7 hasta 20 sólo hay seis que deben ser demostrados: EL DE ÚLTIMO FERMAT TEOREMA e 5 5 MM EVISZA A 7 7 11 11 0 A 11 13 E 13 13 17 17 17 19 19 Ls E E EZ CE 19 Si se pudiera demostrar el último teorema de Fermat para los valores primos de », el teorema quedaría demostrado para todos los valores de 2. Si se consideran todos los números enteros, entonces es obvio que hay un número infinito de ellos. Si se consideran los números primos, que son sólo una pequeña fracción de todos los números enteros, ¿será entonces el problema mucho más simple? La intuición sugiere que si uno comienza con una cantidad infinita y luego le resta el grueso de ella, es de esperar que lo que quede sea una cantidad finita. Desafortunadamente es la lógica, no la intuición, el árbitro de la verdad en las matemáticas. De hecho, es posible demostrar que la lista de números primos es interminable. Por lo tanto, a pesar de que es posible ignorar la inmensa mayoría de ecuaciones (las que están relacionadas con valores de » no primos), las ecuaciones restantes (las relacionadas con los valores primos de 12) siguen siendo un número infinito. Una vergúenza matemática 155 La demostración de que hay una infinidad de números primos data de la época de Euclides, y es uno de los argumentos clásicos de las matemáticas. Para comenzar, Euclides supone que hay una lista finita de números primos conocidos, y luego demuestra que tiene que haber un número infinito de adiciones a ella. Hay N números primos en la lista finita de Euclides, los cuales se escriben como P ,P,,P,,...Py- Euclides puede entonces generar un número nuevo, Q,, tal que NEW AAA Este número nuevo O, es primo o no lo es. Si lo es, entonces hemos logrado generar un primo nuevo y más grande, y por tanto nuestra lista de primos no era completa. Por otro lado, si O, no es primo, entonces tiene que ser perfectamente divisible por algún primo. Este primo no puede ser ninguno de los conocidos, porque dividir O, entre cualquiera de ellos inevitablemente da como resultado un residuo de 1. Por lo tanto debe haber un número primo nuevo que podemos lla- maras Hemos llegado a la etapa en que una de estas situaciones se presenta: O, es un primo nuevo, o tenemos un primo nuevo P,,,,. En cualquier caso hemos aumentado nuestra lista original de primos. Podemos ahora repetir el proceso, incluyendo el primo nuevo (O, o P,,,) en la lista y gene- rando otro número nuevo O,. O bien este número es un primo nuevo, o tendría que existir un primo P,,, que no está en nuestra lista de números primos conocidos. El resul- EL DE ÚLTIMO FERMAT TEOREMA 154 tado final del argumento es que, no importa qué tan larga sea nuestra lista de primos, siempre es posible encontrar uno nuevo. Por lo tanto la lista de primos nunca termina y es infinita. Pero, ¿cómo puede ser infinito algo que innegablemente es más pequeño que una cantidad infinita? El matemático alemán David Hilbert dijo una vez: “¡El infinito! Ninguna otra cuestión ha sacudido tanto el espíritu humano, ninguna otra idea ha estimulado tan fructíferamente su intelecto; sin embargo, ningún otro concepto tiene una mayor necesidad de ser clarificado que el infinito”. Para resolver la paradoja del infinito es necesario definir lo que se entiende por infinitud. Georg Cantor, que trabajó junto con Hilbert, definió la infinitud como el tamaño de la lista interminable de números para contar (1, 2, 3, 4,...). En consecuencia, cualquier cosa que sea comparable en tamaño es igualmente infinita. De acuerdo con esta definición, el número de enteros pares, que intuitivamente parece ser menor, también es infinito. Es fácil demostrar que la cantidad de enteros y la cantidad de números pares son comparables, pues se puede aparear cada entero con un número par correspondiente: 1 2 3 4 5 6 27 Lo adri drlsmilí dl A A Si cada uno de los miembros de la lista de los enteros puede ser apareado con un miembro de la lista de los números pa- Una vergúenza matemática SS res, entonces las dos listas tienen que ser del mismo tamaño. Este método de comparación conduce a algunas conclusiones sorprendentes, entre ellas al hecho de que hay un número infinito de primos. Aunque Cantor fue la primera persona que se ocupó del infinito de manera formal, inicialmente fue criticado con dureza por la comunidad matemática debido a su definición radical. Hacia el final de su carrera los ataques se tornaron cada vez más personales y esto dio como resultado que Cantor padeciera una enfermedad mental y depresión severa. Finalmente, después de su muerte, sus ideas fueron ampliamente aceptadas como la única definición consistente, precisa y poderosa del infinito. Como homenaje, Hilbert dijo: “Nadie nos va a expulsar del paraíso que creó para nosotros Cantor”. Posteriormente Hilbert creó un ejemplo de infinito, conocido como el hotel de Hilbert, que muestra claramente sus extrañas cualidades. Este hipotético hotel contaba con el deseable atributo de tener un número infinito de habitaciones. Un día llega un huésped nuevo, que se molesta al enterarse de que, a pesar del tamaño infinito del hotel, todas las habitaciones están ocupadas. Hilbert, el recepcionista, piensa un momento y luego le asegura al recién llegado que le encontrará un cuarto desocupado. Les pide a todos los huéspe- des del hotel que se pasen a la habitación siguiente, de tal manera que el huésped de la habitación 1 se pasa a la habita- ción 2, el huésped de la habitación 2 se pasa a la 3, y así sucesivamente. Cada uno de los que estaban en el hotel todavía tiene una habitación, lo cual le permite al recién lle- EL DE ÚLTIMO FERMAT TEOREMA 156 gado alojarse en la 1, que está vacía. Esto muestra que infinito más uno es igual a infinito. La noche siguiente Hilbert tiene que enfrentarse con un problema mucho más grave. El hotel sigue lleno cuando llega un bus con un número infinito de nuevos huéspedes. Hilbert permanece impasible y se frota las manos pensando en un número infinito más de cuentas de cobro. Le pide a cada uno de los huéspedes que se pase a la habitación que tenga como número el doble del número de habitación que tiene en ese momento. Así que el huésped de la habitación 1 se pasa a la habitación 2, el huésped de la habitación 2 se pasa a la 4, y así sucesivamente. Todos los que estaban en el hotel todavía tienen su habitación y un número infinito de habitaciones, todas las que tienen un número impar, están ahora libres para los recién llegados. Esto muestra que el doble del infinito sigue siendo infinito. El hotel de Hilbert parece sugerir que todos los infinitos son del mismo tamaño porque parece posible acomodar varios infinitos en el mismo hotel infinito: la infinidad de números pares puede ser apareada y comparada con la infinidad de números para contar. Sin embargo, algunos infinitos sí son más grandes que otros. Por ejemplo, el intento de aparear cada número irracional con un número racional siempre falla y, en efecto, se puede demostrar que el conjunto infinito de los números irracionales es más grande que el conjunto infinito de los números racionales. Los matemáticos han tenido que desarrollar todo un sistema de nomenclatura para tratar estos diferentes niveles del infinito, y especular con Una vergiienza matemática EST estos conceptos es uno de los temas más en boga en la actualidad. Aunque la infinidad de los números primos descartó la posibilidad de una pronta demostración del último teorema de Fermat, sí tiene implicaciones más positivas en otras áreas, como el espionaje y la evolución de los insectos. Antes de volver a la búsqueda de la demostración del último teorema de Fermat, vale la pena investigar brevemente los usos y abusos de los números primos. La teoría de los números primos es una de las pocas áreas de las matemáticas puras que ha encontrado aplicación directa en el mundo real, concretamente en la criptografía. La criptografía consiste en codificar mensajes secretos de tal manera que sólo puedan ser decodificados por el receptor, y no por cualquiera que logre interceptarlos. El proceso de codificación requiere el uso de una clave secreta, y tradicionalmente para decodificar el mensaje sólo se necesita que el receptor aplique la clave en reversa. Con este procedimiento, la clave es el eslabón más débil en la cadena de seguridad. En primer lugar, el receptor y la fuente tienen que estar de acuerdo en los detalles de la clave, y el intercambio de esta información es un proceso arriesgado. Si el enemigo logra interceptar la clave que se ha intercambiado, podrá decodificar todos los mensajes siguientes. En segundo lugar, las claves tienen que ser cambiadas regularmente con el fin de mantener la seguridad, y cada vez que esto sucede existe el riesgo de que la clave sea interceptada. El problema de la clave gira alrededor del hecho de EL DE ÚLTIMO FERMAT TEOREMA 158 que, al aplicarla en una dirección, codifica el mensaje, y al aplicarla en la otra lo decodifica: decodificar un mensaje es casi tan fácil como codificarlo. Sin embargo, la experiencia nos dice que hay muchas situaciones en que decodificar es mucho más difícil que codificar. Ocurre lo mismo con los huevos: es relativamente fácil revolverlos, pero es mucho más difícil regresarlos a su estado original. En la década de los setenta a Whitfield Diffie y Martin Hellman se les ocurrió la idea de buscar un proceso mate- mático que fuera fácil de ejecutar en una dirección pero increíblemente difícil de ejecutar en la dirección contraria. Tal proceso sería la clave perfecta. Por ejemplo, yo podría tener mi propia clave en dos partes, y podría publicar la primera, la que codifica el mensaje, en un directorio público. Entonces cualquiera podría enviarme mensajes codificados pero sólo yo sabría la parte de la clave para decodificar. Aunque todo el mundo sabría cuál es la parte para codificar, esta no tiene ninguna relación con la parte que se usa para decodificar. En 1977 Ronald Rivest, Adi Shamir y Leonard Adleman, un equipo de matemáticos y científicos de la computación del Massachusetts Institute of Technology, se dieron Cuenta de que los números primos eran la base ideal para un proceso fácil de codificar pero difícil de decodificar. Con el fin de construir mi propia clave personal, tomo dos números primos, cada uno de los cuales tenga hasta ochenta dígitos, y los multiplico entre sí con el fin de obtener un número compuesto, o no primo, aún más grande. Para codificar un mensaje todo lo que se necesita es conocer ese nú- Una vergúenza matemática 159 mero mayor, mientras que para decodificarlo se necesita conocer los dos primos originales que fueron multiplicados, llamados factores primos. Puedo entonces publicar el número no primo (la parte para codificar), y reservar para mí los dos factores primos (la parte para decodificar). Así, aunque muchas personas conozcan el número no primo, ten- drán una enorme dificultad para encontrar los factores primos. Para dar un ejemplo más simple, yo podría dar a conocer el número compuesto 589, lo cual le permitiría a cualquiera enviarme un mensaje codificado; al tiempo yo mantendría en secreto los dos factores primos de 589, de tal manera que sólo yo pueda decodificar los mensajes. Si alguien más lograra encontrar los dos factores primos podría entonces decodificar mis mensajes, pero ni siquiera tratándose de un número tan pequeño es obvio cuáles son los dos factores primos. En este caso, un computador tardaría pocos minutos en descubrir que los factores primos son en realidad 31 y 19 (31x19=589), así que mi clave no sería segura por mucho tiempo. Sin embargo, en la realidad, el número compuesto que yo publicaría tendría más de cien dígitos, lo que hace que la tarea de encontrar sus factores primos sea efectivamente imposible. Aun si se utilizaran los computadores más poderosos del mundo para separar este enorme número compuesto (la clave para codificar) en sus dos factores primos (la clave para decodificar), se necesitarían varios años para llegar a una respuesta. Por lo tanto, para confundir a los espías extranjeros, todo lo que tengo que hacer es cambiar mi clave EL DE ÚLTIMO FERMAT TEOREMA 160 cada año. Una vez al año anuncio mi nuevo número compuesto gigante, y Cualquiera que quiera decodificar mis mensajes tendría que comenzar de nuevo a buscar los dos factores primos. Además de tener un papel en el mundo del espionaje, los números primos aparecen en el mundo natural. Las cigarras periódicas, especialmente la Magicicada septendecim, t1enen el ciclo de vida más largo entre todos los insectos. Este comienza bajo tierra, donde las ninfas pacientemente succionan la savia de las raíces de los árboles. Luego, tras diecisiete años de espera, las cigarras adultas salen de la tierra en grandes números y temporalmente inundan el paisaje. En unas pocas semanas copulan, ponen sus huevos y mueren. La pregunta que confundía a los biólogos era ¿por qué el ciclo de vida de la cigarra es tan largo? ¿Y tiene alguna importancia que el ciclo de vida dure un número primo de años? Otra especie, la Magzcicada tredecim, emerge cada trece años, lo que pareciera implicar que los ciclos de vida que duran un número primo de años ofrecen alguna ventaja evolutiva. Una teoría sugiere que la cigarra tiene un parásito cuyo ciclo de vida también es largo, y que trata de evitarlo. Si el parásito tiene un ciclo de vida de, digamos, dos años, entonces la cigarra querrá evitar un ciclo de vida que sea divisible por 2, pues de lo contrario parásito y cigarra coincidirán con regularidad. En forma similar, si el parásito tiene un ciclo de vida de tres años, la cigarra querrá evitar un ciclo de vida Una vergúenza matemática IÓI que sea múltiplo de 3, pues de lo contrario parásito y cigarra, una vez más coincidirán regularmente. En últimas, para evitar encontrarse con su parásito, la mejor estrategia de la cigarra es tener un largo ciclo de vida que se extienda durante un número primo de años. Debido a que nada divide a diecisiete, la Magicicada septendecim rara vez se encontrará con su parásito. Si este tiene un ciclo de dos años, solamente se encontrarán cada 34, y si tiene un ciclo más largo, digamos de dieciséis años, entonces sólo se encontrarán cada 272 (16x17) años. Con el fin de sobrevivir, el parásito sólo tiene dos ciclos de vida que aumentarían la frecuencia de las coincidencias: un ciclo anual y un ciclo de diecisiete años como el de la cigarra. Sin embargo, es poco probable que el parásito sobreviva reapareciendo diecisiete años seguidos, pues durante los primeros dieciséis no habrá cigarras en las cuales pueda hacer de parásito. Por el otro lado, con el fin de llegar a un ciclo de vida de diecisiete años, las generaciones de parásitos primero tendrían que evolucionar pasando por un ciclo de dieciséis años. Esto significa que en alguna etapa de la evolución el parásito y la cigarra no coincidirían durante 272 años. En ambos casos las cigarras son protegidas por su largo ciclo de vida. Esto quizás explique por qué los supuestos parásitos nunca han sido encontrados. En su carrera por alcanzar a la cigarra, el parásito probablemente extendió su ciclo de vida hasta llegar a la marca de los dieciséis años. Entonces no volvieron a coincidir durante 272 años, lo cual llevó al pará- EL DE ÚLTIMO FERMAT TEOREMA 162 sito a la extinción. El resultado es una cigarra con un ciclo de vida de diecisiete años, que resulta innecesario porque el parásito ya no existe. MONSIEUR LE BLANC Para comienzos del siglo XIX, el último teorema de Fermat ya se había consagrado como el problema más notable de la teoría de números. Desde el avance de Euler no había ocurrido progreso adicional, pero un anuncio dramático por parte de una joven francesa habría de darle nuevo vigor a la búsqueda de la demostración perdida de Fermat. Sophie Germain vivió en una época sexista y llena de prejuicios, y para poder llevar a cabo sus investigaciones tuvo que asumir una identidad falsa, estudiar en terribles condiciones y hacer su trabajo intelectual totalmente aislada. A través de los siglos las mujeres han sido desanimadas a estudiar matemáticas pero, a pesar de la discriminación, ha habido varias matemáticas que lucharon contra esa cos- tumbre institucionalizada e inscribieron sus nombres en forma indeleble en los anales de las matemáticas. La primera mujer de quien se sabe hizo impacto en el tema fue Teano, en el siglo vi a. C., que comenzó siendo una de las alumnas de Pitágoras para luego convertirse en una de sus más importantes discípulas y por último en su esposa. Pitágoras es conocido como el “filósofo feminista” porque estimulaba activamente a las mujeres estudiosas. Teano era apenas una de las veintiocho hermanas en la Hermandad Pitagórica. Una vergúenza matemática 163 Sophie Germain En siglos posteriores los colegas de Sócrates y Platón continuaron invitando a las mujeres a sus academias, pero no fue sino en el siglo Iv d. C. que una mujer fundó su propia escuela. Hypatia, hija de un profesor de matemáticas de la Universidad de Alejandría, tenía fama de ser la oradora más popular del mundo conocido, y también la más hábil para resolver problemas. Matemáticos que llevaban varios meses atascados en algún problema en particular le escri- EL ÚLTIMO DE FERMAT TEOREMA 164 bían buscando una solución, y ella muy rara vez decepciona- ba a sus admiradores. Estaba obsesionada con las matemáticas y el proceso de la demostración lógica, y cuando se le preguntaba por qué nunca había contraído matrimonio respondía que estaba casada con la verdad. En última instancia, esta devoción a la causa del racionalismo fue el motivo de su caída, cuando Cyril, el patriarca de Alejandría, co- menzó a oprimir a los filósofos, científicos y matemáticos, a quienes llamaba herejes. El historiador Edward Gibbon dio un vívido recuento de lo que ocurrió después de que Cyril conspiró contra Hypatia y puso a las masas en su contra: En un día fatal, en la sagrada estación de Cuaresma, Hypatia fue sacada de su carruaje, desnudada, arrastrada a la iglesia e inhumanamente masacrada por Pedro el Lector y una tropa de fanáticos salvajes e inmisericordes; la piel le fue arrancada de los huesos con afiladas conchas de ostra, y sus extremidades temblorosas fueron lanzadas a las llamas. Poco después de la muerte de Hypatia las matemáticas entraron en un período de estancamiento, y no fue sino des- pués del Renacimiento que otra mujer se hizo famosa como matemática. Maria Agnesi nació en Milán en 1718 y, como Hypatia, era hija de un matemático. Se le reconocía como uno de los grandes matemáticos de Europa, y especialmente famosa por sus tratados acerca de las tangentes a curvas. En italiano, las curvas se conocían como versiera, una palabra derivada del latín vertere, “girar”, que también era una abrevia- ción de avversiera, o “esposa del demonio”. Una curva estudiada Una vergúenza matemática 165 por Agnesi (verszera A gnesi) fue traducida equivocadamente al inglés como “la bruja de Agnesi”, y con el tiempo ella misma llegó a ser conocida con el mismo título. Aunque los matemáticos de toda Europa reconocían la habilidad de Agnesi, muchas instituciones académicas, en particular la Academia Francesa, se rehusaron a darle un puesto como investigadora. La discriminación institucionalizada contra las mujeres se prolongó hasta bien entrado el siglo Xx, cuando a Emmy Noether, descrita por Einstein como “el genio creativo matemático más importante producido desde que comenzó la educación superior de la mujer”, le fue negada una cátedra en la Universidad de Gotinga. La mayoría de los miembros de la facultad argumentaron: “¿Cómo puede permitirse que una mujer se convierta en Privatdozent? Una vez se ha hecho Privatdozent, puede entonces convertirse en profesor y miembro del Senado de la universidad... ¿Qué van a pensar nuestros soldados cuando regresen a la universidad y se encuentren con que tienen que aprender a los pies de una mujer?” El amigo y mentor de Noether, David Hilbert, respondió: “Meine Herren: No veo que el sexo de la candidata sea un argumento contra su ad- misión como Privatdozent. Después de todo, el Senado no es una casa de baños”. Más tarde se le preguntó a su colega Edmund Landau si Noether era en efecto una gran mujer matemática, a lo cual respondió: “Puedo testificar que es una gran matemática, pero que sea una mujer, no lo puedo jurar”. Además de ser víctima de la discriminación, Noether EL DE ÚLTIMO FERMAT TEOREMA 166 tenía mucho más en común con otras mujeres matemáticas a través de los siglos, como el hecho de que ella también era hija de un profesor de matemáticas. Muchos matemáticos, de ambos sexos, provienen de familias de matemáticos, hecho que propicia rumores no muy serios sobre la existencia de un gen matemático, pero en el caso de las mujeres el porcentaje es especialmente alto. La explicación probable es que la mayoría de las mujeres con el potencial nunca fueron expuestas al tema o estimuladas a estudiarlo, mientras que aquellas cuyos padres eran profesores difícilmente podían evitar verse sumergidas entre números. Es más, Noether, como Hypatia, Agnesi y la mayoría de mujeres matemáti- cas, nunca se casó, porque no era socialmente aceptado que las mujeres siguieran tales carreras, y había pocos hombres dispuestos a casarse con mujeres con antecedentes tan controversiales. La gran matemática rusa Sonya Kovalevsky es una excepción a esta regla, en cuanto que ella arregló un matrimonio por conveniencia con Vladimir Kovalevsky, un hombre que estaba de acuerdo con una relación platónica. A ambos el matrimonio les permitió huir de sus familias y concentrarse en sus investigaciones. Además, en el caso de Sonya, era más fácil viajar sola por Europa siendo una respetable mujer casada. De todos los países europeos, Francia era el que mostraba la actitud más discriminadora frente a las mujeres educadas, declarando que las matemáticas no eran apropiadas para las mujeres y sobrepasaban sus capacidades. Aunque los salones de París dominaron el mundo matemático du- Una vergúenza matemática 167 rante la mayor parte de los siglos XVIII y XIX, sólo una mujer logró escapar a la represión de la sociedad francesa y convertirse en una gran teórica de los números. Sophie Germain revolucionó el estudio del último teorema de Fermat e hizo una contribución mayor que la de todos los hombres que la antecedieron. Sophie Germain nació el primero de abril de 1776, hija de un comerciante, Ambroise-Francois Germain. Apar- te de su trabajo, su vida fue dominada por la agitación de la Revolución Francesa: el año en que descubrió su amor por los números tuvo lugar la toma de la Bastilla, y su estudio del cálculo fue opacado por el Reino del Terror. Si bien su padre tenía éxito en los negocios, la familia de Sophie no pertenecía a la aristocracia. Aunque a las mujeres de la clase social de Germain no se les estimulaba para que estudiaran matemáticas, se esperaba que tuvieran conocimientos suficientes de la materia para poder discutir el tema en caso de que surgiera durante alguna conversación. Con este propósito fueron escritos una serie de libros de texto que ayudaban a las jóvenes a ponerse al día con los últimos descubrimientos en matemáticas y ciencias. Francesco Algarotti escribió Lafilosofía de Sir Isaac Newton explicada para uso de las damas. Como creía que las mujeres sólo se interesaban en el romance, intentó explicar los descubrimientos de Newton a través de los diálogos galantes entre una marquesa y su interlocutor. Por ejemplo, el interlocutor hace un bosquejo de la ley de los cuadrados inversos de la atracción gravitacional, a lo cual la marquesa da EL: DE ÚLTIMO FERMAT TEOREMÍA 168 su propia interpretación de esta ley fundamental de la física: “No puedo dejar de pensar... que esta proporción de los cuadrados de las distancias entre dos lugares... se observa aun en el amor. Así pues, tras ocho días de ausencia el amor se hace 64 veces menor que lo que era el primer día”. No es sorprendente que este galante género de libros no haya sido el responsable de suscitar el interés de Sophie Germain en las matemáticas. El acontecimiento que cam- bió su vida ocurrió un día cuando estaba curioseando en la biblioteca de su padre y encontró el libro de Jean-Etienne Montucla Historia de las matemáticas. El capítulo que llamó su atención fue el ensayo de Montucla sobre la vida de Arquímedes. Su recuento de los descubrimientos de Arquímedes era sin duda interesante, pero lo que le fascinó especialmente fue la historia de su muerte. Arquímedes había pasado su vida en Siracusa, estudiando matemáticas con relativa tranquilidad, pero cuando ya tenía casi 80 años el ejército romano invasor acabó con la paz. La leyenda cuenta que durante la invasión Arquímedes estaba tan concentrado estudiando una figura geométrica que había dibujado en la arena, que no le respondió a un soldado romano que lo interrogaba. Como resultado, este lo mató con una lanza. Germain concluyó que si alguien podía estar tan absorto en un problema geométrico y que ello le causara la muerte, entonces las matemáticas tenían que ser la materia más cautivante del mundo. Inmediatamente se dio a la tarea de estudiar los elementos básicos de la teoría de números y del cálculo, y pronto estaba trabajando hasta tarde en la no- Una vergúenza matemática 169 che, estudiando los escritos de Euler y Newton. Este interés repentino en una materia tan poco femenina preocupó a sus padres. Un amigo de la familia, el conde Guglielmo LibriCarrucci dalla Sommaja, contó cómo el padre de Sophie le confiscó las velas y la ropa y retiró toda calefacción para evitar que estudiara. Sólo unos pocos años después, en Inglaterra, a la joven matemática Mary Somerville también su padre le confiscaría sus velas, afirmando que “debemos poner un punto final a esto, o tendremos a Mary en camisa de fuerza un día de éstos”. Germain respondió manteniendo una provisión secreta de velas y cubriéndose con ropa de cama. Libri-Carrucci escribió que las noches de invierno eran tan frías que la tinta se congelaba en el tintero, pero Sophie continuaba estudiando sin reparar en eso. Fue descrita por algunos como tímida y extraña, pero era a la vez muy decidida, y sus padres finalmente cedieron y le dieron la bendición. Germain nunca se casó, y su padre la apoyó económicamente a lo largo de su carrera como investigadora. Durante muchos años conti- nuó estudiando sola, porque no había matemáticos en la familia que pudieran ponerla en contacto con las últimas ideas, y sus tutores se rehusaban a tomarla en serio. Luego, en 1794, se inauguró en París la École Poly- technique. Fue fundada como una academia para la excelencia, destinada a preparar matemáticos y científicos para la nación. Ese habría sido un lugar ideal para que Germain desarrollara sus talentos matemáticos si no fuera por el hecho de que era una institución reservada para hombres. Su EL DE ÚLTIMO FERMAT TEOREMA 170 timidez natural no le permitió enfrentarse al cuerpo directivo de la academia, y en vez de eso recurrió a estudiar a escondidas en la École asumiendo la identidad de un antiguo alumno, Monsieur Antoine-August Le Blanc. La administración de la academia no sabía que el verdadero Monsieur Le Blanc había abandonado París, y continuó imprimiendo para él notas de clase y problemas. Germain se las arreglaba para obtener el material destinado a Monsieur Le Blanc, y cada semana entregaba las respuestas a los problemas bajo su nuevo seudónimo. Todo iba saliendo de acuerdo con lo planeado hasta cuando algunos meses después el supervisor del curso, Joseph-Louis Lagrange, no pudo ignorar por más tiempo la brillantez de las respuestas de Monsieur Le Blanc. Estas no sólo eran maravillosamente ingeniosas sino que mostraban una sorprendente transformación en un estudiante que había sido notorio por sus escasos talentos matemáticos. Lagrange, que era uno de los más grandes matemáticos del siglo XIX, solicitó una reunión con el estudiante reformado, y Germain se vio forzada a revelar su verdadera identidad. Lagrange quedó sorprendido y encantado al conocer a la joven matemática, y se convirtió en su mentor y amigo. Por fin Sophie Germain tenía un maestro que podía motivarla, alguien con quien compartir sus talentos y ambiciones. La confianza de Germain creció, y pasó de resolver problemas para sus cursos a estudiar áreas sin explorar de las matemáticas. Más importante, se interesó en la teoría de números e inevitablemente llegó a oír acerca del último teorema de Fermat. Trabajó en el problema durante varios años, Una vergúenza matemática 7d llegando finalmente a la etapa en la que creía haber hecho un avance importante. Resolvió entonces que necesitaba discutir sus ideas con otro teórico de los números, y decidió ir por lo alto y consultar al más grande de todos, el matemáti- co alemán Carl Friederich Gauss. Gauss es reconocido como uno de los más grandes matemáticos de todos los tiempos. E. T. Bell, que se refería a Pierre de Fermat como el “príncipe de los aficionados”, llamó a Gauss el “príncipe de las matemáticas”. Germain había conocido su trabajo al estudiar su obra maestra, Disquisitiones arithmeticae, el tratado más importante y amplio desde los Elementos de Euclides. El trabajo de Gauss influyó en todas las áreas de la matemática pero, como cosa extraña, no publicó nada sobre el último teorema de Fermat. En una carta incluso mostró desprecio por el problema. Su amigo el astrónomo alemán Heinrich Olbers, le había escri- to para animarlo a competir por un premio que había ofrecido la Academia de París a quien solucionara el reto de Fermat: “Me parece, querido Gauss, que usted debería ocuparse de esto”. Dos semanas más tarde Gauss respondió: “Estoy muy agradecido por su noticia respecto del premio de París. Pero confieso que el último teorema de Fermat, como proposición aislada, tiene muy poco interés para mí, pues yo podría enunciar una multitud de proposiciones similares que uno no puede ni probar ni demostrar que son falsas”. Gauss tenía derecho a su opinión, pero Fermat claramente había afirmado que existía una demostración, y aun los posteriores intentos fallidos de encontrarla habían generado técnicas EL DE ÚLTIMO FERMAT TEOREMA 172 innovadoras, como el método del “descenso infinito” y el uso de los números imaginarios. Quizás en el pasado Gauss había intentado sin éxito aproximarse al problema, y su respuesta a Olbers era simplemente una forma de resentimiento intelectual. Aun así, cuando recibió la carta de Germain quedó suficientemente impresionado con sus logros, y olvidó de manera temporal su ambivalencia frente al problema. Setenta y cinco años antes Euler había publicado su demostración para el caso 1 = 3, y desde entonces los matemáticos habían tratado en vano de demostrar otros Casos 1ndividuales. Sin embargo, Germain adoptó una nueva estrategia, y describió a Gauss lo que ella llamaba una aproximación general al problema. En otras palabras, su propósito inmediato no era demostrar un caso en particular, sino decir algo acerca de muchos casos simultáneamente. En su carta a Gauss, bosquejó un cálculo que se concentraba en un tipo especial de número primo p tal que (2p +1) también es primo. La lista de primos de Germain incluye a 5, porque 11 (2x5+1) es también primo; pero no incluye a 13, porque 27 (2x13+1) no lo es. Para valores de 7 iguales a estos primos, Germain uti- lizó un refinado argumento para mostrar que probablemente no había soluciones a la ecuación x” + y" =2". Con “probablemente”, Germain quería decir que era poco probable que existieran soluciones, pues si hubiera una solución entonces x, y o z tendrían que ser múltiplo de », y ello implicaría unas restricciones muy apretadas para cualquier solución. Sus colegas examinaron su lista de primos uno por Una vergúenza matemática 173 uno tratando de demostrar que x, y o z no podían ser múltiplos de 7, y mostrando por consiguiente que para ese valor particular de 4 no hay soluciones. En 1825 su método pudo reclamar su primer éxito completo gracias a Gustav Lejeune-Dirichlet y Adrien-Marie Legendre, dos matemáticos separados entre sí por una generación. Legendre era un hombre en sus setentas que había sobrevivido la agitación política de la Revolución Francesa. Su negativa a apoyar al candidato del gobierno para el Instituto Nacional hizo que le suspendieran la pensión, y por la época en que hizo su contribución al último teorema de Fermat estaba en la miseria. Por otro lado, Dirichlet era un joven y ambicioso teórico de los números que apenas había cumplido veinte años. Ambos, en forma independiente, pudieron probar que el caso 1 = 5 no tiene soluciones, pero basaron sus demostraciones en el trabajo de Sophie Germain, y a ella le debían su éxito. Catorce años más tarde los franceses lógraron otro avance. Gabriel Lamé hizo algunas adiciones ingeniosas al método de Germain y demostró el caso 7 = 7. Germain había mostrado a los teóricos de los números cómo descartar un sector completo de casos de números primos, y ahora depen- día del esfuerzo combinado de sus colegas continuar demostrando, caso por caso, el último teorema de Fermat. El trabajo de Germain sobre el último teorema de Fermat habría de ser su más grande contribución a las matemáticas, pero en un principio no recibió crédito por su aporte. Cuando Germain le escribió a Gauss aún no había EL DE ÚLTIMO FERMAT TEOREMA 174 cumplido treinta años, y aunque ya tenía fama en París temía que el gran hombre no la tomara en serio por ser mujer. Con el fin de protegerse, Germain recurrió de nuevo a su seudónimo firmando sus cartas como Monsieur Le Blanc. Su temor y respeto por Gauss se reflejan en una de sus cartas a él: “Desafortunadamente, la profundidad de mi inteligencia no es igual a la voracidad de mi apetito y siento que soy temerario al molestar a un genio cuando no tengo otra razón para reclamar su atención que la admiración necesariamente compartida por todos sus lectores”. Gauss, que no conocía la verdadera identidad de su corresponsal, intentó tranquilizarla y le respondió: “Me alegra saber que la aritmética ha encontrado en usted un amigo tan capaz”. La contribución de Germain pudo haber sido atribuida para siempre al misterioso Monsieur Le Blanc, si no hubiera sido por el emperador Napoleón. En 1806 Napoleón invadía Prusia, y el ejército francés marchaba de una ciudad alemana a la otra. Germain temía que la suerte que recayó sobre Arquímedes pudiera también costarle la vida a Gauss, su otro gran héroe, así que le envió un mensaje a su amigo el general Joseph-Marie Pernety, que estaba a cargo de las tro- pas invasoras. Le pidió que garantizara la seguridad de Gauss, y como resultado el general tuvo cuidado especial con el matemático alemán, explicándole que le debía la vida a Mademoiselle Germain. Gauss estaba agradecido pero sorprendido, pues nunca había oído hablar de Sophie Germain. El juego había terminado. En la siguiente carta de Germain a Gauss ella revela a regañadientes su identidad. Una vergilenza matemática TS Lejos de estar molesto por el engaño, Gauss le contesta, lleno de alegría: Pero cómo describirle mi admiración y sorpresa al ver a mi estimado corresponsal, Monsieur Le Blanc, convertido en este ilustre personaje que da tan brillante ejemplo de lo que encuentro difícil de creer. Es muy escaso encontrar a alguien con un gusto por las ciencias abstractas en general, y sobre todo por los misterios de los números. Pero no me sorprende, porque con ello: los encantadores atractivos de esta ciencia sublime se revelan sólo a aquellos que tienen el coraje de profundizar en ella. Pero cuando una persona del sexo que, de acuerdo con nuestras costumbres y prejuicios, debe encontrar infinitamente más dificultades para familrarizarse con estas espinosas investigaciones, tiene éxito en superar estos obstáculos y penetrar las partes más oscuras de ellas, entonces sin ninguna duda debe tener el más noble coraje, talentos verdaderamente extraordinarios y una genialidad superior. De hecho nada podría demostrarme de manera tan halagadora y menos equívoca como la predilec- ción con que usted la ha honrado, que los atractivos de esta ciencia, que han enriquecido mi vida con tantas alegrías, no son una quimera. La correspondencia de Sophie Germain con Carl Gauss fue la inspiración de gran parte de su trabajo, pero en 1808 la relación entre ambos terminó de manera abrupta. Gauss fue nombrado profesor de astronomía en la Universidad de Gotinga. Sus intereses cambiaron de la teoría de números a las matemáticas aplicadas y ya no se molestó en contestar las cartas de Germain. Sin su mentor, la confianza de ella co- EL ÚLTIMO DE FERMAT TEOREMA 176 menzó a decaer, y antes de un año había abandonado las matemáticas puras. Aunque no hizo ninguna contribución adicional a la demostración del último teorema de Fermat, sí se embarcó en una importante carrera como física, disciplina en la que también se destacaría, lo que la llevó a ser cuestionada por los prejuicios del establecimiento. Su contribución más grande en este campo fue su “Memoria sobre la vibración de láminas elásticas”, un trabajo brillante que sentó las bases de la moderna teoría de la elasticidad. Como resultado de esta investigación y de su trabajo acerca del último teorema de Fermat, recibió una medalla del Institut de France y se convirtió en la primera mujer, que no fuera la esposa de uno de sus miembros, en asistir a las conferencias de la Academia de Ciencias. Luego, hacia el final de su vida reanudó su rela- ción con Carl Gauss, quien convenció a la Universidad de Gotinga de otorgarle un título honorario. Sin embargo, trágicamente, Sophie Germain murió de cáncer de seno antes de recibir este honor. Ella fue probablemente la mujer más profundamente intelectual que Francia jamás haya producido. Y, sin embargo, extraño como parezca, cuando el funcionario estatal fue a hacer el certificado de defunción de esta eminente asociada y colega de los más ilustres miembros de la Academia Francesa de Ciencias, la clasificó como una rentitre-annuitant (mujer soltera sin profesión) y no como mathématicienne. Esto no es todo. Cuando la Torre Eiffel fue erigida, para lo cual los ingenieros tuvieron que prestar especial atención a la Una vergúenza matemática DET elasticidad de los materiales utilizados, fueron inscritos en esta noble estructura los nombres de 72 sabios. Pero no encontramos en esta lista el nombre de esa hija de la genialidad, cuyas investigaciones tanto contribuyeron a sentar las bases de la teoría de la elasticidad de los metales: Sophie Germain. ¿Fue excluida de esta lista por la misma razón que Agnesi no podía ser elegida miembro de la Academia Francesa, es decir, por ser mujer? Así parece. Sí tal es, en efecto, el caso, mayor es la vergitenza para los responsables de tal ingratitud con quien merecía tanto de la ciencia y que, con sus logros, se había ganado un lugar envidiable en el salón de la fama. H. J. MOZANS, 1913 LOS SOBRES SELLADOS Después de los avances de Sophie Germain, la Academia Francesa ofreció una serie de premios, incluidos una medalla de oro y 3.000 francos, al matemático que finalmente pusiera a descansar el misterio del último teorema de Fermat. Además del prestigio que daría demostrar el último teorema de Fermat, ahora había una recompensa inmensamente valiosa ligada al reto. Los salones de París se llenaron de rumores acerca de quién estaba adoptando cuál estrategia y qué tan cerca estaba alguien de anunciar un resultado. Luego, el primero de marzo de 1847, la Academia celebró la reunión más dramática de su historia. El libro de actas describe cómo Gabriel Lamé, que unos años antes había demostrado el caso n = 7, tomó el estrado EL DE ÚLTIMO FERMAT TEOREMA Gabriel Lamé 178 Una vergúenza matemática Agustin Cauchy 179 EL ÚLTIMO DESTE TEOREMA 180 REMATE frente a los más eminentes matemáticos de la época y pro- clamó que estaba a punto de demostrar el último teorema de Fermat. Admitió que su demostración estaba todavía incompleta, pero hizo un bosquejo de su método y predijo con entusiasmo que en pocas semanas publicaría una demostración completa en la revista de la Academia. La audiencia entera quedó aturdida, pero tan pronto Lamé abandonó el estrado, Augustin Louis Cauchy, otro de los mejores matemáticos de París, pidió permiso para hablar. Cauchy anunció a la Academia que venía trabajando con un método parecido al de Lamé, y que también él estaba a punto de publicar una demostración completa. Tanto Cauchy como Lamé se dieron cuenta de que el tiempo era vital. El primero en presentar una demostración completa recibiría el premio más prestigioso y valioso de las matemáticas. Aunque ninguno de los dos rivales tenía una demostración completa, ambos estaban ansiosos por reclamar su parte, así que apenas tres semanas después de haber hecho sus anuncios los dos depositaron un sobre sellado en la Academia. Esta era una práctica común en la época, que permitía a los matemáticos dejar constancia de su trabajo sin necesidad de revelar detalles exactos del mismo. Si después surgía una disputa respecto de la originalidad de las ideas, un sobre sellado daría la evidencia necesaria para determinar la prioridad. La expectativa creció durante todo el mes de abril a medida que Cauchy y Lamé publicaban provocadores pero vagos detalles de sus demostraciones en las actas de la Aca- Una vergúenza matemática ISI demia. Aunque la comunidad matemática en pleno estaba desesperada por ver la demostración completa, muchos de sus miembros secretamente esperaban que fuera Lamé, y no Cauchy, el ganador de la carrera. Según todos los testimonios Cauchy era una criatura con enormes pretensiones, un fanático religioso muy poco popular entre sus colegas. Era tolerado en la Academia solamente por su brillantez. Luego, el 24 de mayo, se hizo un anuncio que puso fin a toda la especulación. No fue ni Cauchy ni Lamé quien se dirigió a la Academia, sino Joseph Liouville. Liouville sor- prendió a toda la audiencia al leer el contenido de una carta del matemático alemán Ernst Kummer. Kummer era un teórico de los números del más alto rango, pero durante buena parte de su carrera un patriotis- mo ferviente, alimentado por su odio hacia Napoleón, lo desvió de su verdadera vocación. Cuando Kummer era niño, el ejército francés invadió Sorau, su pueblo natal, trayendo consigo una epidemia de tifo. El padre de Kummer era el médico del pueblo, y en cuestión de días la enfermedad se lo llevó. Traumatizado por la experiencia, Kummer juró hacer lo imposible por defender a su país de futuros ataques, y tan pronto salió de la universidad dedicó su inteligencia al problema de trazar las trayectorias de las balas de cañón. Final- mente fue profesor de balística en la escuela de guerra de Berlín. De forma paralela a su carrera militar, Kummer investigaba activamente en el campo de las matemáticas puras, y estaba al tanto de la controversia en curso en la Academia ERODEINMO DE FERMAT TEOREMA Ernst Kummer MS2 Una vergúenza matemática 183 Francesa. Había leído concienzudamente las actas, y analizado los pocos detalles que Cauchy y Lamé se habían atrevido a revelar. Para Kummer era obvio que los dos hombres se estaban dirigiendo hacia el mismo callejón lógico sin salida, y en su carta a Liouville hacía un esbozo de sus razones. De acuerdo con Kummer, el problema fundamental era que ambas demostraciones, la de Cauchy y la de Lamé, dependían del uso de una propiedad de los números conocida como factorización única. La factorización única dice que sólo existe una combinación de primos que se pueden multiplicar entre sí para dar como resultado un número en particular. Por ejemplo, la única combinación de primos que da como resultado al número 18 es la siguiente: IED: De forma similar, los siguientes números se factorizan de una forma única como se indica a continuación: 30= DL MAD == DIAS AL LOS, AÑO == ASIA AS La factorización única fue descubierta en el siglo Iv a. C. por Euclides, quien demostró que es verdadera para todos los números enteros y describió la demostración en el libro 1X de sus Elementos. El hecho de que la factorización única es verdadera para todos los números enteros es un elemento vital de muchas otras demostraciones, y hoy en día se le conoce como el teorema fundamental de la aritmética. EL DE ÚLTIMO FERMAT TEOREMA 184 A primera vista no habría ninguna razón para que Cauchy y Lamé no se basaran en la factorización única, como cientos de matemáticos habían hecho antes que ellos. Desafortunadamente, las demostraciones de ambos involucraban números imaginarios. Aunque la factorización única es verdadera para los números reales, Kummer señaló que no necesariamente lo es cuando se introducen los números imaginarios. De acuerdo con él, éste era un error fatal. Por ejemplo, si nos restringimos a los números reales, el número 12 puede ser factorizado sólo como 2x2x3, Sin embargo, si aceptamos los números imaginarios en nuestra demostración, 12 se puede factorizar también de la siguiente manefa: 12 =(1+4=11) x(1-4/=11) En esta expresión, (1+ -11) es un número complejo, una combinación de un número real y uno imaginario. Aunque el proceso de multiplicación es más complicado que para los números comunes, la existencia de los números complejos sí resulta en formas adicionales de factorizar a 12. Otra manera de factorizar a 12 es 12=(2+vV-8) x (2 /-8). Ya no hay una factorización única, sino una variedad de ellas para escoger. La pérdida de la factorización única dañó de forma severa las demostraciones de Cauchy y Lamé, pero no necesariamente las destruyó por completo. Las demostraciones debían mostrar que no hay soluciones de la ecuación x” + y” =7" > donde » representa a cualquier número mayor que 2. Como Una vergúenza matemática 185 se discutió anteriormente en este capítulo, la demostración sólo tenía que funcionar para los valores primos de ». Kum- mer demostró que utilizando técnicas adicionales era posible restaurar la factorización única para varios valores de 7. Por ejemplo, el problema de la factorización única puede ser sorteado para todos los números hasta 2 = 31. Sin embargo, el número primo 2 = 37 no pudo ser despachado tan rápidamente. Entre los demás primos menores que 100, otros dos, n =59 y n = 67, también eran casos extraños. Los llamados primos irregulares, que se encuentran dispersos entre el res- to de los números primos, eran ahora el escollo para una demostración completa. Kummer señaló que no se conocía ninguna teoría ma- temática que pudiera dar cuenta de todos estos primos irregulares de una sola vez. Sin embargo, creía que ajustando cuidadosamente las técnicas a cada primo irregular, podían resolverse uno por uno. Desarrollar estas técnicas individualizadas sería un ejercicio lento y doloroso, tanto más cuando el número de primos irregulares también es infinito. Despacharlos a todos individualmente ocuparía a la comunidad mundial de matemáticos hasta el final de los tiempos. La carta de Kummer tuvo un efecto devastador sobre Lamé. En retrospectiva, asumir la factorización única había sido demasiado optimista, cuando menos bastante imprudente. Lamé comprendió que si hubiera compartido más su trabajo habría detectado el error antes, y le escribió a su colega Dirichlet, en Berlín: “Si usted hubiera estado en París, o yo en Berlín, nada de esto habría sucedido”. ELIJÚLTIMO DE FER MAT TEO RENGA 186 Mientras Lamé se sintió humillado, Cauchy se rehusó a aceptar la derrota. Sentía que, en comparación con la demos- tración de Lamé, la suya dependía menos de la factorización única, y hasta que el análisis de Kummer fuera verificado completamente existía la posibilidad de que tuviera alguna falla. Durante varias semanas continuó publicando artículos sobre el tema, pero al final del verano él también calló. Kummer había probado que una demostración completa del último teorema de Fermat estaba más allá de las técnicas matemáticas vigentes. Su argumento era una pieza brillante de lógica matemática, pero un duro golpe a una generación entera de matemáticos que habían abrigado la esperanza de resolver el problema matemático más difícil del mundo. La situación fue resumida por el propio Cauchy, que en 1857 escribió el informe final de la Academia acerca del premio que esta ofrecía por la demostración del último teorema de Fermat: Informe sobre la competencia por el Gran Premio en ciencias matemáticas, establecido en 1853 y prolongado hasta 1856. Once trabajos han sido presentados al secretario, pero ninguno ha resuelto el problema propuesto. Así que, tras ser propuesto muchas veces para un premio, el problema permanece en el punto donde lo dejó Monsieur Kummer. Sin embargo, las ciencias matemáticas deben congratularse por los trabajos que fueron emprendidos por los geómetras en su deseo de resolver el problema, especialmente Monsieur Una vergúenza matemática 187 Kummer; y los comisionados piensan que la Academia to- maría una útil y honorable decisión si retirara el problema de la competencia y le adjudicara la medalla a Monsieur Kummer por sus bellas investigaciones acerca de los números complejos compuestos por las raíces de la unidad y los enteros. Por más de dos siglos, todos los intentos de redescubrir la demostración del último teorema de Fermat habían terminado en fracaso. Durante su adolescencia Andrew Wiles había estudiado el trabajo de Euler, Germain, Cauchy, Lamé y, por último, Kummer. Tenía la esperanza de aprender de sus errores, pero cuando era estudiante de pregrado en la Universidad de Oxford se tropezó con el mismo muro que encontró Kummer. Algunos de los contemporáneos de Wiles comenzaban a sospechar que quizás el problema era imposible. Fermat pudo haberse engañado a sí mismo y, por tanto, la razón por la cual nadie había descubierto la demostración de Fermat era que tal demostración no existía. Á pesar de este escepticismo, Wiles continuó la búsqueda de una demostración. Lo alentaba el saber que en el pasado había habido varios casos de demostraciones que habían sido descubiertas sólo después de varios siglos de esfuerzo. Y en algunos de estos casos, el destello de perspicacia que había resuelto el problema no se basaba en conocimientos matemáticos nuevos; la de- mostración habría podido hacerse mucho tiempo atrás. Un ejemplo de un problema que eludió la solución durante décadas es la conjetura de los puntos. El reto compren- EL DE ÚLTIMO FERMAT (a) TEOREMA 188 (b) Figura 13. En estos diagramas cada punto está conectado a todos los demás por líneas rectas. ¿Es posible construir un diagrama en el que cada línea tenga por lo menos tres puntos? de una serie de puntos que están todos conectados entre sí por líneas rectas, tal como aparecen en los diagramas de puntos de la figura 13. La conjetura sostiene que es imposible dibujar un diagrama tal que cada una de las líneas contenga al menos tres puntos (sin incluir el diagrama en el que todos los puntos sobre la misma línea). Ciertamente, al experimentar con unos pocos diagramas esto parece ser cierto. Por ejemplo, la figura 13(a) tiene cinco puntos conectados por seis líneas. Cuatro de las líneas no tienen tres puntos sobre ellas, así que claramente esta configuración no satisface el requerimiento de que todas las líneas tengan tres puntos. Agregando un punto extra y la línea correspondiente, como en la figura 13(b), el número de líneas que no tienen tres puntos se reduce a solamente tres. Sin embargo, parece imposible adaptar el diagrama un poco más, de tal manera que Una vergúenza matemática 189 todas las líneas tengan tres puntos. Esto, por supuesto, no demuestra que tal diagrama no exista. Varias generaciones de matemáticos fracasaron en el intento de encontrar la demostración de la aparentemente sencilla conjetura de los puntos. Lo que hizo que la conjetura fuera más exasperante fue que cuando finalmente se descubrió una demostración, ésta contenía una cantidad mínima de conocimientos matemáticos mezclada con un poco de astucia adicional. La demostración se esboza en el apéndice 6. Existía la posibilidad de que todas la técnicas necesarias para demostrar el último teorema de Fermat ya estuvieran disponibles, y que el único ingrediente faltante fuera un poco de ingenio. Wiles no estaba dispuesto a rendirse: encontrar una demostración del último teorema de Fermat había pasado de ser una fascinación de la niñez a una obsesión absoluta. Después de haber aprendido todo lo que podía aprenderse de las matemáticas del siglo x1x, Wiles decidió armarse con las técnicas del siglo XX. : IRALA 6 0184 0 SN o dr os 27 DI Ad e uri rnál LS ' rd Dil Team al hol Lata ae IO nl AU j gr hy dal ad ] Mp ree Ñ ' | é Enpiabran tur ads AS BR CeiS pi re ra yl a TO an A IO A 3 mk TS ¡al nm: il ad gl Ya TA IA TA TN a e A II ' Mosca A Yu > y ¡clien YE TM "ul Al b AN VR PA ya LAval Mia) az A IA UR, IA costeo PER ca Í3 via ] " e paran ¡ A “i 0 al: o id y ad vesates sephcariicodo Edad Mar IES a ii UA ¡0 rides mf , BinidO Pasi La ACA ab a) aria pa4 de »ojmni? IPN IA pi pá LAPES om te ¿Lab aña . ANA Pala un+* 70 popa prat Jura Ep1) Gnd, 7 Pg) pu on 3 olaa el WN 'ANL weba h dep grietas Y pi me se ¡Met ' es 1109 Cl qe edo hepeolguozaciadAS chApeA 0 4 AY mio o has 15 e o tl ml nd ¡150 quid: neai gudda Fides hs da dada mts e A oiaa de le Euge, Je vasarto 10 ia Ye 0b a Ind Jo ¿Ea de MIA. Ml ' de o ye A atte O) a Ñ La demostración es un ídolo ante el cual el matemático se tortura a sí mismo. SIR ARTHUR EDDINGTON 4 Hacia la abstracción AOS Paul Wolfskehl Después del trabajo de Ernst Kummer, la esperanza de encontrar una demostración del último teorema de Fermat era más escasa que nunca. Además, las matemáticas comenzaban a moverse hacia otras áreas de estudio y existía el riesgo de que la nueva generación de matemáticos ignorara lo que parecía un problema sin salida. A principios del siglo Xx el problema todavía ocupaba un lugar especial en el corazón de los teóricos de los números, pero lo trataban como los químicos tratan a la alquimia. Ambos eran tontos sueños románticos de una época pasada. Luego, en 1908, Paul Wolfskehl, un industrial alemán de Darmstadt, dio nueva vida al problema. La familia Wolfskehl era famosa por su riqueza y su auspicio de las artes y las ciencias, y Paul no era la excepción. Había estudiado matemáticas en la universidad y, aunque dedicó la mayor parte de su vida a construir el imperio de negocios de su familia, mantuvo el contacto con matemáticos profesionales y continuó jugando con la teoría de números. En particular, Wolfskehl se negó a darse por vencido frente al último teorema de Fermat. Wolfskehl no era de manera alguna un matemático talentoso y no estaba destinado a hacer una contribución importante a la búsqueda de la demostración del último teorema de Fermat. Sin embargo, gracias a una curiosa cadena de eventos, habría de quedar para siempre vinculado con el problema de Fermat, e inspiraría a miles a aceptar el reto. La historia comienza con la obsesión de Wolfskehl por una hermosa mujer cuya identidad jamás se ha establecido. EL DE ÚLTIMO FERMAT TEOREMA 194 Desafortunadamente para Wolfskehl, la misteriosa mujer lo rechazó, y él cayó en tal estado de desesperación y depresión que decidió suicidarse. Era un hombre apasionado, pero no impulsivo, y planeó su muerte meticulosamente. Escogió una fecha para su suicidio y decidió que se daría un tiro en la cabeza justo a la medianoche. En los días que quedaban puso en orden todos sus negocios pendientes, y el día final preparó su testamento y escribió cartas a su familia y a sus amigos más cercanos. Wolfskehl había sido tan eficiente que terminó de hacer todo un poco antes de la medianoche, así que para pasar el tiempo se dirigió a la biblioteca y comenzó a hojear las publicaciones matemáticas. No pasó mucho tiempo antes de que se encontrara examinando el trabajo clásico de Kummer en el que explica el fracaso de Cauchy y Lamé. Era uno de los grandes cálculos de la época, y lectura apropiada para los momentos finales de un matemático suicida. Wolfskehl repaso los cálculos línea por línea. De repente quedó sorprendido al ver lo que parecía un vacío en el argumento lógico: Kummer había hecho una suposición, pero no había justificado el paso en su discusión. Wolfskehl se preguntó si acaso había descubierto una falla grave o si la suposición de Kummer estaba justificada. Si lo primero era verdad, cabría entonces la posibilidad de que probar el último teorema de Fermat fuera bastante más fácil de lo que muchos habían supuesto. Se sentó, exploró el segmento inadecuado de la demos- tración y se concentró en tratar de desarrollar una breve de- Hacia la abstracción 195 mostración que consolidara el trabajo de Kummer o mostrara que su suposición era equivocada, en cuyo caso todo el trabajo de Kummer carecería de valor. Al amanecer la tarea estaba completa. Para las matemáticas la mala noticia fue que la demostración de Kummer quedó reparada, y el último teorema permanecía en el reino de lo inalcanzable. La buena noticia fue que la hora asignada para el suicidio había pasado, y Wolfskehl estaba tan orgulloso de haber descubierto y corregido una laguna en el trabajo del gran Ernst Kummer que su desesperación y tristeza se evaporaron. Las matemáticas habían renovado su deseo de vivir. Wolfskehl rompió las cartas de despedida y escribió de nuevo su testamento a la luz de lo que había sucedido aquella noche. Tras su muerte en 1908 su nuevo testamento fue leído, y la familia Wolfskehl quedó sorprendida al descubrir que Paul había legado una considerable proporción de su fortuna como premio a quien pudiera demostrar el último teorema de Fermat. El premio de cien mil marcos, más de un millón y medio de libras esterlinas actuales, era su manera de pagar su deuda con el acertijo que le había salvado la vida. El dinero fue puesto bajo el cuidado de la Konigliche Gesellschaft der Wissenschafren de Gotinga, que anunció oficialmente la competencia por el premio Wolfskehl ese mismo año: Con el poder conferido a nosotros por el Dr. Paul Wolfskehl, muerto en Darmstadt, establecemos un premio EL DE ÚLTIMO FERMAT TEOREMA 196 de cien mil marcos que se entregará a la persona que sea la primera en demostrar el gran teorema de Fermat. Las siguientes reglas se aplicarán: (1) La Konigliche Gesellschaft der Wissenschaften de Gotinga tendrá absoluta libertad para decidir a quién se le confiere el premio. Se rehusará a aceptar cualquier trabajo escrito con el solo propósito de participar en la competencia para obtener el premio. Sólo tomará en consideración aquellas memorias matemáticas que hayan aparecido en forma de monografía en alguna publicación periódica o que estén a la venta en las librerías. La Sociedad solicita a los autores de tales memorias enviar por lo menos cinco copias impresas. (2) Los trabajos que hayan sido publicados en un idioma que no sea entendido por los especialistas escogidos por el jurado serán excluidos de la competencia. Á los autores de tales trabajos se les permitirá reemplazarlos por una tra- ducción de fidelidad garantizada. (3) La Sociedad no asume la responsabilidad de examinar trabajos que no le sean presentados directamente, ni tampoco de los errores que resulten del hecho de que el autor de un trabajo, o parte de un trabajo, no sean conocidos por ella. (4) La Sociedad se reserva el derecho de decidir el ganador en caso de que varias personas hayan resuelto el problema, O la manera de repartir el premio en caso de que la solución haya sido el resultado de los esfuerzos combinados de varios expertos. (5) La entrega del premio por parte de la Sociedad no se llevará a cabo antes de cumplirse dos años de la publicación de la memoria ganadora. El intervalo de tiempo es para permitir a los matemáticos alemanes y extranjeros dar su opinión acerca de la validez de la solución publicada. Hacia la abstracción 197 (6) Tan pronto como el premio sea otorgado por la Sociedad, el laureado será informado por el secretario, a nombre de la Sociedad, y el resultado se publicará donde quiera que el premio se haya anunciado durante el año precedente. La asignación del premio por parte de la Sociedad no será tema de discusión adicional. (7) El pago del premio se hará, dentro de los tres meses siguientes a su otorgamiento, por el Cajero Real de la Universidad de Gotinga o, bajo el riesgo del laureado, en cualquier otro lugar que él indique. (S) El capital puede ser despachado contra recibo y, a voluntad de la Sociedad, bien en efectivo o mediante transfe- rencia de valores financieros. El pago del premio se considerará completo una vez transmitidos estos valores financieros, aun si su valor total al final del día no alcance los cien mil marcos. (9) Si el premio no se ha otorgado antes del 13 de septiembre de 2007, no se aceptarán otros concursantes. La competencia por el premio Wolfskehl queda abierta desde hoy bajo las condiciones anteriores. Gotinga, 27 de junio, 1908 DIE KOÓNIGLICHE GESELLSCHAFT DER WISSENSCHAFTEN Vale la pena señalar que aunque el comité entregaría cien mil marcos al primer matemático que demostrara que el último teorema de Fermat es verdadero, no le otorgaría ni un pfennig al que pudiera demostrar que es falso. El premio Wolfskehl fue anunciado en todas las revistas matemáticas, y la noticia de la competencia se regó rápidamente por toda Europa. A pesar de la campaña de publicidad y el incentivo adicional de un premio enorme, el EL DE ÚLTIMO FERMAT TEOREMA 198 comité Wolfskehl no logró generar mucho interés entre los matemáticos serios. La mayoría de los matemáticos profesionales consideraban al último teorema de Fermat como una causa perdida, y habían decidido que no podían darse el lujo de pasar su carrera pescando en un balde. Sin embargo, el premio sí tuvo éxito en presentar el problema a una audiencia nueva, un montón de mentes ansiosas dispuestas a dedicarse al último de los acertijos y aproximarse a él por un sendero de inocencia completa. LA LOS TERA DE LAS ACERTIJOS ADIVINANZAS:>S Y LOS ENIGMAS Desde la época de los griegos, los matemáticos han buscado darle color a sus libros de texto parafraseando sus demostraciones y teoremas en forma de acertijos numéricos. Durante la segunda mitad del siglo XIX esta aproximación juguetona al tema encontró su lugar en la prensa popular, y los acertijos numéricos iban al lado de los crucigramas y anagramas. Al cabo del tiempo había una audiencia creciente para los acertijos matemáticos, pues los aficionados consideraban cualquier cosa, desde los acertijos más triviales hasta los más complejos problemas matemáticos, entre ellos el último teorema de Fermat. Quizás el más prolífico creador de acertijos fue Henry Dudeney, que escribió docenas para periódicos y revistas, dentro de las que se cuentan Strand, Cassell's, Queen, Tit-Bits, Weekly Dispatch y Blighty. Otro de los grandes creadores de Hacia la abstracción 199 acertijos de la época victoriana fue el reverendo Charles Dodgson, profesor de matemáticas en Christ Church, Oxford, y mejor conocido como el autor Lewis Carroll. Dodgson de- dicó varios años a hacer un gran compendio de acertijos con el título de Curiosa Mathematica, y aunque nunca completó la serie, sí escribió varios volúmenes, entre ellos Problemas para la almohada. El más grande de todos los creadores de acertijos fue el prodigio estadounidense Sam Loyd (1841-1911), que de adolescente comenzó a obtener considerables ganancias creando acertijos nuevos y reinventando algunos viejos. Él mismo recuerda en Sam Loyd y sus acertijos: una reseña autobiográfica que algunos de sus primeros acertijos los creó para el empresario circense y embaucador P. T. Barnum: Hace muchos años, cuando el circo de Barnum era de verdad “el espectáculo más grande del mundo”, el famoso empresario hizo que le preparara una serie de acertijos para propósitos publicitarios. Llegaron a ser conocidos ampliamente como las “preguntas de la esfinge” por cuenta de los grandes premios que se ofrecían a quienes pudieran resolverlos. Extrañamente, esta autobiografía fue escrita en 1928, diecisiete años después de la muerte de Loyd. Loyd pasó su astucia a su hijo, también llamado Sam, quien era el verdadero autor del libro y sabía muy bien que cualquiera que lo comprara asumiría equivocadamente que había sido escrito por el más famoso Sam Loyd padre. EL DE ÚLTIMO FERMAT TEOREMA 200 Figura 14. Una caricatura que refleja la manía que causó el acertijo 14-15 de Sam Loyd. La creación más famosa de Loyd fue el equivalente victoriano del cubo de Rubik, el acertijo 14-15, que todavía se encuentra en las jugueterías. Quince cuadrados pequeños numerados del 1 al 15 se encuentran en una marco de 4x4, y el objetivo es deslizar los cuadrados hasta que queden en el orden correcto. El acertijo 14-15 de Loyd se vendía con los cuadrados colocados como se muestra en la figura 14 y Loyd ofrecía una recompensa considerable a quien pudiera completar el acertijo colocando el 14 y el 15 en sus posiciones correctas mediante una serie de deslizamientos. El hijo de Loyd escribió sobre el escándalo que generó este acertijo concreto pero esencialmente matemático: Hacia la abstracción O Un premio de mil dólares, que se ofreció para la primera solución correcta del problema, jamás ha sido reclamado, aunque hay miles de personas que sostienen haber ejecutado la proeza requerida. La gente se encaprichó con el acertijo y se cuentan relatos risibles acerca de tenderos que se negaron a abrir sus tiendas, y acerca de un clérigo distinguido que estuvo parado toda una noche de invierno bajo un poste de luz tratando de recordar cómo había ejecutado la proeza. El rasgo misterioso del acertijo es que nadie parece acordarse de la secuencia de movimientos mediante los cuales, están seguros, resolvieron el acertijo. Se habla de pilotos que destrozaron sus naves y de maquinistas que no detenían sus trenes en las estaciones. Un famoso editor de Baltimore cuenta cómo salió a almorzar y fue descubierto por su frenético personal, pasada la medianoche, empujando pedacitos de pastel en el plato. Loyd estaba seguro de que nunca tendría que pagar los mil dólares porque sabía que es imposible intercambiar solamente dos piezas sin destruir el orden en algún otro lugar del acertijo. De la misma manera en que un matemático puede demostrar que una ecuación no tiene soluciones, Loyd podía demostrar que su acertijo 14-15 tampoco la tenía. La demostración de Loyd comenzaba definiendo una cantidad que medía qué tan desordenado está un acertijo, el parámetro de desorden D,. El parámetro de desorden de cualquier arreglo de cuadrados es el número de parejas que están en el orden equivocado, así que para el acertijo correcto, que se muestra en la figura 15(a), D, =0, porque no hay cuadrados en el orden equivocado. EL DE ÚLTIMO FERMAT TEOREMA 202 Si se comienza con el acertijo ordenado y luego se deslizan los cuadrados es relativamente fácil llegar al arreglo que se muestra en la figura 15(b). Los cuadrados están en el orden correcto hasta que se llega a los números 12 y 11. Obviamente, el 11 debería venir antes que el 12, así que esta pareja de cuadrados está en el orden equivocado. La lista completa de parejas de cuadrados que están en el orden equivocado es la siguiente: (12,11), 15,13), (15,14), (15,11), (13,11) y (14,11). Como hay seis parejas de cuadrados en el orden equivocado, se tiene que D, = 6. (Obsérvese que las cuadrados 10 y 12 están uno al lado del otro, lo que es incorrecto, pero no están en el orden equivocado. Por lo tanto esta pareja de cuadrados no contribuye al parámetro de desorden.) Después de otros deslizamientos llegamos a la configuración de la figura 15(c). Si se hace una lista de las parejas de cuadrados que están en el orden equivocado entonces se verá que D, =12. El punto importante para observar es que en todos estos casos, (a), (b) y (c), el valor del parámetro de desorden es un número par (0, 6 y 12). De hecho, si uno comienza con la configuración correcta y procede a reorganizarla, esta afirmación siempre será verdad. Mientras el cuadrado vacío esté en la esquina inferior derecha, cualquier cantidad de deslizamientos resultarán en un valor par para D,. El valor par del parámetro de desorden es una propiedad integral de cualquier configuración que se derive de la configuración correcta original. En matemáticas una propiedad que siempre es verdadera, sin importar lo que se le haga al objeto, se llama una invariante. Hacia la abstracción 203 (EDS Figura 15. Al deslizar cuadrados es posible crear varias configuraciones desordenadas. En cada configuración se puede medir la cantidad de desorden a través del parámetro de desorden, D.. Sin embargo, si uno examina el arreglo que estaba ven- diendo Loyd, en el cual 14 y 15 están intercambiados, entonces el valor del parámetro de desorden es uno, D, =1, es decir que la única pareja de cuadrados en el orden incorrecto es la del 14 y el 15. Para la configuración de Loyd el parámetro de desorden tiene un valor impar. No obstante sabemos que cualquier configuración que se derive de la configuración correcta tiene un parámetro de desorden con valor par. La conclusión es que la configuración de Loyd no puede derivarse de la configuración correcta y, a la inversa, es imposible llegar a la configuración correcta a partir de la configuración de Loyd; sus mil dólares estaban seguros. El acertijo de Loyd y el parámetro de desorden demuestran la utilidad enorme de las invariantes. Estas proveen a los matemáticos con una estrategia importante para demostrar que es imposible transformar un objeto en otro. Por EL DE ÚLTIMO FERMAT TEOREMA 204 ejemplo, un área de interés actual es el estudio de los nudos, y naturalmente los teóricos de este tema están interesados en demostrar si un nudo puede transformarse o no en otro con sólo torcer y curvar, sin cortar. Con el fin de contestar la pregunta intentan encontrar una propiedad del primer nudo que no pueda ser destruida por mucho que se le tuerza y curve, es decir, una invariante del nudo. Luego calculan la misma propiedad para el segundo nudo. Si los valores son diferentes, la conclusión es que tiene que ser imposible pasar de un nudo al otro. Antes de que esta técnica fuera inventada en la década de los veinte por Kurt Reidemeister, era imposible demostrar que un nudo no podía ser transformado en otro. En otras palabras, antes de que la teoría de invariantes fuera descubierta era imposible demostrar que un nudo corredizo es fundamentalmente diferente de un nudo de rizo, de un nudo simple o incluso de un simple lazo enrollado sin nudo. El concepto de propiedad invariante es central en muchas otras demostraciones matemáticas y, como veremos en el capítulo 5, habría de ser crucial para incorporar de nuevo al último teorema de Fermat en la corriente dominante de las matemÁáticas. A la vuelta del siglo, gracias a personajes como Sam Loyd y su acertijo 14-15, había por toda Europa y Estados Unidos millones de aficionados dedicados a resolver problemas buscando ansiosamente nuevos retos. Tan pronto la noticia del legado de Wolfskehl se filtró entre estos matemáticos en ciernes, el último teorema de Fermat se convirtió nueva- Hacia la abstracción 205 mente en el problema más famoso del mundo. El último teorema era infinitamente más complejo que el más difícil de los acertijos de Loyd, pero el premio era inmensamente mayor. Los aficionados soñaban con que quizás serían capaces de encontrar un truco relativamente simple que hubiera eludido a los grandes profesores en el pasado. El aficionado entusiasta del siglo XxX estaba en gran medida a la par con Pierre de Fermat en cuanto a conocimiento de técnicas ma- temáticas. El reto era igualar la creatividad con que Fermat aplicaba sus técnicas. Pocas semanas después del anuncio del premio Wolfskehl una avalancha de trabajos llegó a la Universidad de Gotinga. No es de sorprenderse que todas las demostraciones fueran erróneas. Aunque cada participante estaba convencido de que había resuelto este problema de siglos, todos habían cometido errores sutiles, y a veces no tanto, en sus argumentos lógicos. El arte de la teoría de números es tan abstracto que es aterradoramente fácil salirse del camino de la lógica y no darse cuenta de que uno se ha extraviado por entre lo absurdo. El apéndice 7 muestra el tipo de error clá- sico que fácilmente puede pasar por alto un aficionado entusiasta. Sin importar quién la había enviado, cada una de las demostraciones tenía que ser escrupulosamente revisada en caso de que un aficionado desconocido se hubiera tropezado con la demostración más buscada de las matemáticas. El director del departamento de matemáticas de Gotinga entre 1909 y 1934, el profesor Edmund Landau, tenía la respon- EL DE ÚLTIMO FERMAT TEOREMA 206 sabilidad de examinar los trabajos participantes en el premio Wolfskehl. Landau notó que sus investigaciones eran continuamente interrumpidas por la obligación de hacerse cargo de las docenas de confusas demostraciones que llegaban a su escritorio cada mes. Para manejar la situación se inventó un ingenioso método de evacuar el trabajo. El profesor mandó imprimir cientos de tarjetas que decían: Querido Gracias por su manuscrito acerca de la demostración del último teorema de Fermat. El primer error se encuentra en la Esto invalida la demostración. Profesor E. M. Landau Landau entregaba cada manuscrito nuevo, junto con una tarjeta impresa, a alguno de sus estudiantes, y le pedía que llenara los espacios en blanco. Los manuscritos continuaron llegando sin tregua durante años, incluso después de la dramática devaluación del premio Wolfskehl, resultado de la hiperinflación que siguió a la Primera Guerra Mundial. Hay rumores en el sentido de que el que gane la competencia hoy escasamente podría com- prarse una taza de café con el dinero del premio, pero esto es una exageración. Una carta escrita por el doctor E Schlichting, Hacia la abstracción 207 responsable de revisar los manuscritos durante la década de los setenta, explica que en esa época el premio todavía tenía un valor de más de diez mil marcos. La carta, escrita a Paulo Ribenboim y publicada en su libro Trece conferencias acerca del último teorema de Fermat, da una idea muy precisa del trabajo del comité Wolfskehl: Estimado señor: No hay un conteo del número de “soluciones” que han sido presentadas hasta ahora. En el primer año (1907-1908) se registraron 621 soluciones en los archivos de la Akademie, y hoy hay almacenados cerca de tres metros de correspondencia acerca del problema de Fermat. Durante las últimas décadas se ha manejado el asunto así: el secretario de la Akademie separa los manuscritos que llegan en: (1) tonterías absolutas, que se devuelven inmediatamente, (2) material que parece ser matemáticas. El segundo grupo se le entrega al departamento de matemáticas, y allí el trabajo de leer, encontrar errores y contestar es delegado en alguno de los asistentes científicos (en las universidades alemanas estos son individuos graduados que están trabajando para conseguir su doctorado); en este momento yo soy la víctima. Hay que contestar unas tres o cuatro cartas al mes, y esto incluye mucho material divertido y curioso, por ejemplo, aquel que envió la primera mitad de su solución prometiendo la segunda si le pagábamos mil marcos por adelantado; o el de otro que me prometió, a cambio de mi ayuda, el 1% de las ganancias que obtendría de las publicaciones y entrevistas de radio y televisión, después de que se hiciera famoso; y si yo no lo ayudaba, enviaría su demostración a un departamento de matemáticas ruso EL DE ÚLTIMO FERMAT TEOREMA 208 para privarnos de la gloria de haberlo descubierto. De vez en cuando se aparece alguien en Gotinga e insiste en solicitar una discusión personal. Casi todas las “soluciones” están escritas en un nivel muy elemental (utilizando las nociones de las matemáticas del bachillerato y quizás algunos artículos sin digerir de teoría de números), pero que sin embargo pueden ser muy difíciles de entender. Socialmente, los participantes son con frecuencia personas con una educación técnica y una carrera fracasada que aspiran a encontrar el éxito con una demos- tración del problema de Fermat. Les he mostrado algunos de los manuscritos a médicos, quienes han diagnosticado esquizofrenia. Una condición del testamento de Wolfskehl es que la Akademie tenía que publicar anualmente un anuncio del premio en las principales revistas matemáticas. Pero después de los primeros años las revistas se rehusaron a publicar el anuncio porque recibían una avalancha de cartas y manuscritos locos. Espero que esta información sea de interés para usted. Atentamente, F. SCHLICHTING Como lo menciona el doctor Schlichting, los competidores no se limitaban a enviar sus “soluciones” a la Akadembie. Probablemente todos los departamentos de matemáticas del mundo tienen su cajón de supuestas demostraciones de aficionados. Aunque la mayoría de las instituciones las 1gnoran, otros destinatarios las han manejado de maneras más imaginativas. El escritor matemático Martin Gardner cuen- Hacia la abstracción 209 ta de un amigo que respondía con una nota explicando que no era suficientemente competente para examinar la demos- tración. Podía darle, sin embargo, el nombre y la dirección de un experto en ese campo que podría ayudarlo: eran los datos del aficionado que le había enviado la demostración anterior. Otro de sus amigos escribía: “Tengo una sorprendente refutación de su intento de demostración, pero desafortunadamente esta hoja no es lo suficientemente grande para contenerla”. Aunque los matemáticos aficionados de todo el mundo han pasado este siglo tratando sin éxito de demostrar el último teorema de Fermat, los profesionales en general han continuado ignorándolo. En vez de trabajar a partir de los resultados de Kummer y de los otros teóricos de los números del siglo XIX, los matemáticos comenzaron a examinar los fundamentos de su materia con el fin de encarar algunas de las preguntas más fundamentales acerca de los números. Algunas de las figuras más importantes del siglo Xx, entre las que se cuentan Bertrand Russell, David Hilbert y Kurt Gódel, trataron de entender las más profundas propiedades de los números con el fin de captar su verdadero significado y descubrir cuáles preguntas puede responder la teoría de números y, más importante aún, cuáles no. Su trabajo ha- bría de sacudir las bases de la matemática y, en última instancia, repercutiría en el último teorema de Fermat. EL ÚLTIMO DE E ERMAT TEOREMA LOS FUNDAMENTOS DEL CONOCIMIENTO 210 Durante siglos los matemáticos habían estado ocupados utilizando la demostración lógica para pasar de lo conocido a lo desconocido. El progreso había sido fenomenal; cada generación de matemáticos expandía su gran estructura y creaba nuevos conceptos de números y geometría. Sin embargo, hacia finales del siglo xIX los lógicos matemáticos, en vez de mirar hacia adelante, comenzaron a mirar hacia atrás, examinando los fundamentos de las matemáticas sobre los cuales todo lo demás estaba construido. Querían verificar las bases de las matemáticas y reconstruir todo rigurosamente a partir de los principios con el fin de asegurarse de que éstos eran confiables. Los matemáticos se destacan por ser puristas a la hora de exigir demostraciones absolutas antes de aceptar una afirmación. Su reputación queda claramente expuesta en una historia que cuenta lan Stewart en su libro Conceptos de las matemáticas modernas: Se cuenta que un astrónomo, un físico y un matemático estaban de vacaciones en Escocia. Asomados por la ventana de un tren, vieron una oveja negra en la mitad de un campo. “¡Qué interesante”, observó el astrónomo, “todas las ovejas en Escocia son negras!” Á esto respondió el físico: “¡No, no! ¡Algunas ovejas escocesas son negras!” El matemático miró al cielo como suplicando y luego entonó: “En Escocia hay por lo menos un campo en el que hay por lo menos una oveja, uno de cuyos lados por lo menos es negro”. Hacia la abstracción 2 Aún más riguroso que el matemático corriente es el mate- mático que se especializa en el estudio de la lógica matemática. Los lógicos matemáticos comenzaron a cuestionar ideas que otros matemáticos habían dado por sentadas durante siglos. Por ejemplo, la ley de la tricotomía dice que todo número es o negativo, o positivo, o cero. Esto parece obvio y los matemáticos tácitamente lo asumieron como verdadero, pero nunca nadie se había molestado en demostrar si realmente lo es. Los lógicos se dieron cuenta de que, hasta que se la demostrara, la ley de la tricotomía podría ser falsa, y si ello fuera así entonces toda una estructura de conocimientos, todo aquello que dependiera de esa ley, se desplomaría. Afortunadamente para las matemáticas, a finales del siglo pasado se demostró que la ley de la tricotomía es verdadera. Desde los antiguos griegos, la matemática había acumulado más y más teoremas y verdades y, aunque la mayoría de ellos habían sido demostrados rigurosamente, a los matemáticos les preocupaba que algunos, como la ley de la tricotomía, se hubieran deslizado sin ser examinados debidamente. Algunas ideas se habían convertido en parte del folclor y sin embargo nadie estaba seguro de cómo ha- bían sido demostrados originalmente, si es que en efecto lo fueron. Así que los lógicos decidieron demostrar cada teorema a partir de unos principios básicos. Sin embargo, cada verdad tenía que ser deducida de otras verdades. Á su turno, estas verdades tenían que ser demostradas primero a partir de verdades aún más fundamentales, y así sucesivamente. Al final los lógicos se encontraron frente a unos pocos enuncia- EL DE ÚÓLETLMO “ME O RIE MÍA AND FERMAT dos esenciales tan básicos que no podían ser demostrados. Estos supuestos fundamentales son los axiomas de las matemÁáticas. Un ejemplo de los axiomas es la ley conmutativa de la adición, que dice simplemente que, dados cualesquiera dos números 2 y 2, HUA Este y los demás axiomas, que son pocos, se asumen como evidentes y pueden ser examinados fácilmente aplicándolos a varios números en particular. Hasta ahora los axiomas han pasado todas las pruebas y han sido aceptados como los cimientos de las matemáticas. El reto para los lógicos era reconstruir toda las matemáticas a partir de estos axiomas. En el apéndice 8 se define el conjunto de los axiomas de la aritmética y se da una idea de cómo los lógicos se pusieron a la tarea de construir el resto de las matemáticas. Una legión de lógicos participó en el lento y doloroso proceso de reconstruir el inmensamente complejo cuerpo de conocimiento matemático utilizando sólo un mínimo nú- mero de axiomas. Se trataba de consolidar lo que los matemáticos pensaban que ya sabían empleando sólo los más rigurosos estándares de la lógica. El matemático alemán Hermann Weyl resumió el sentimiento de la época: “La lógica es la higiene que el matemático practica para mantener sus ideas saludables y fuertes”. Además de pulir lo que ya se sabía, sugería también la esperanza de que este acercamien- Hacia la abstracción ES to fundamentalista arrojara alguna luz sobre problemas todavía sin resolver, entre ellos el último teorema de Fermat. El programa era liderado por la figura más eminente de la época, David Hilbert. Hilbert creía que todo en matemáticas podía y debía ser probado a partir de los axiomas básicos. El resultado de esto sería demostrar en forma contundente los dos elementos más importantes de un sistema matemático. Primero, las matemáticas deberían, al menos en teoría, ser capaces de responder todas las preguntas; este es el mismo espíritu de completud que en el pasado había exigido la invención de nuevos números, como los negativos y los imaginarios. Segundo, las matemáticas deberían estar libres de inconsistencias, es decir, si se demuestra va- liéndose de un método que una afirmación es verdadera, no debe ser posible demostrar mediante otro método que la misma afirmación es falsa. Hilbert estaba convencido de que, asumiendo unos pocos axiomas, sería posible contestar cualquier pregunta matemática imaginable sin el temor de caer en una contradicción. El 8 de agosto de 1900 Hilbert dio en París una conferencia histórica durante el Congreso Internacional de Matemáticos. Planteó veintitrés problemas matemáticos sin resolver que él consideraba de la mayor importancia. Algunos de los problemas estaban relacionados con áreas más generales de las matemáticas, pero la mayoría se concentraban en los fundamentos lógicos de esta ciencia. La intención de estos problemas era centrar la atención del mundo matemá- EL DE ÚLTIMO FERMAT TEOREMA 214 tico y suministrar un programa de investigación. Hilbert quería impulsar a la comunidad para que lo ayudara a hacer realidad su visión de un sistema matemático libre de dudas e inconsistencias, ambición que hizo inscribir en su lápida: Wir miissen wissen, Wir werden wissen. [Debemos saber. Sabremos. ] Aunque en ocasiones enconado rival de Hilbert, Gottlob Frege fue uno de los principales conductores del llamado programa de Hilbert. Durante más de un década Frege se dedicó a deducir cientos de complicados teoremas a partir de los sencillos axiomas, y sus éxitos lo llevaron a creer que estaba bien avanzado en la tarea de completar una porción significativa del sueño de Hilbert. Uno de los principales avances de Frege fue la creación de la definición misma de número. Por ejemplo, ¿qué es lo que queremos decir con el número 3? Resultó que para definir 3, Frege tuvo primero que definir la “propiedad de ser o tener tres”. La “propiedad de ser o tener tres” es la cualidad abstracta que le pertenece a las colecciones o conjuntos que contienen tres objetos. Por ejemplo, la “propiedad de ser o tener tres” es la que describe a la colección de los famosos chiflados, y también es apropiada para describir el conjunto de lados de un triángulo. Frege observó que hay numerosos conjuntos que presentan la “propiedad de ser o tener tres” y utilizó Hacia la abstracción David Hilbert 215 EL DE ÚLTIMO. FERMAT TEOREMA 20 la idea de conjuntos para definir al número “3”. Para hacerlo, creó un nuevo conjunto y puso dentro de él a todos los conjuntos que exhiben la “propiedad de ser o tener tres”; llamó a este conjunto de conjuntos “3”. Por tanto, un conjunto tiene tres elementos si y sólo si se encuentra dentro del conjunto “3”. Ésta puede parecer una definición demasiado complicada para un concepto que utilizamos todos los días, pero la descripción que Frege hizo de “3” es rigurosa e indiscutible, y totalmente necesaria para el intransigente programa de Hilbert. En 1902 la dura prueba de Frege parecía estar llegando a su fin; se preparaba para publicar Grundgesetze der Arithmetik (Leyes fundamentales de la aritmética), un gigantesco y autorizado trabajo en dos volúmenes cuya inten- ción es establecer un nuevo estándar de certeza dentro de las matemáticas. Por la misma época el lógico galés Bertrand Russell, que también estaba contribuyendo al gran proyecto de Hilbert, hizo un descubrimiento devastador. Á pesar de haber seguido el riguroso protocolo de Hilbert, se había encontrado con una inconsistencia. Russell recuerda su propia reacción al darse cuenta con terror de que las matemáticas podrían ser intrínsecamente contradictorias: En un principio supuse que sería capaz de superar fácil- mente la contradicción y que probablemente habría algún error trivial en el razonamiento. Poco a poco, sin embargo, se hizo obvio que éste no era el caso... A lo largo de la Hacia la abstracción 00) segunda mitad de 1901 supuse que la solución sería fácil, pero al final de ese período había llegado a la conclusión de que era un trabajo enorme... Adquirí el hábito de salir a caminar por el parque todas las noches desde las once hasta la una, con lo cual llegué a conocer los tres diferentes rui- dos que hacen las chotacabras (la mayoría de la gente sólo conoce uno). Estaba trabajando muy duro para resolver la contradicción. Todas las mañanas me sentaba frente a una hoja en blanco. Pasaba todo el día mirando la hoja, con un breve intervalo para almorzar. Con frecuencia al caer la tarde la hoja seguía en blanco. No había escapatoria de la contradicción. El trabajo de Russell habría de causarle enorme daño al sueño de un sistema matemático libre de dudas, inconsistencias y paradojas. Le escribió a Frege, cuyo manuscrito estaba ya en la imprenta. Esta carta despojaba por completo de valor el trabajo de toda la vida de Frege, pero a pesar del golpe mortal este publicó su magnum opus y simplemente agregó una posdata al segundo volumen: “Un científico no se puede enfrentar a nada menos deseable que ver ceder los cimientos de su trabajo justo antes de terminarlo. Esta fue la situación en la que me puso una carta del señor Bertrand Russell cuando este trabajo estaba a punto de imprimirse”. En forma irónica, la contradicción de Russell había surgido de los conjuntos o colecciones que tanto amaba Frege. Muchos años después, en su libro Mi desarrollo filosófico recordaría los pensamientos que su cuestionamiento del trabajo de Frege habían desatado: “Me parecía que una clase a veces EXA IMO DE FERMAT TEO REE IMA: Bertrand Russell Hacia la abstracción 219 es y a veces no es miembro de sí misma. La clase de las cucharas, por ejemplo, no es una cuchara más, pero la clase de las cosas que no son cucharas es una de las cosas que no es una cuchara”. Fue esta curiosa y aparentemente inofensiva observación la que condujo a la catastrófica paradoja. La paradoja de Russell con frecuencia se explica utilizando la historia del bibliotecario meticuloso. Un día, mientras camina en medio de las estanterías, el bibliotecario descubre una colección de catálogos. Hay catálogos independientes para las novelas, los libros de referencia, la poesía, etc. El bibliotecario observa que algunos catálogos hacen mención de sí mismos, mientras que otros no. Con el fin de simplificar el sistema, el bibliotecario ela- bora dos catálogos más, uno que contiene todos los catálogos que se incluyen a sí mismos y, más interesante, otro que contiene todos los catálogos que no se incluyen a sí mismos. Al terminar la tarea el bibliotecario tiene un problema: ¿Debería el catálogo en el que se listan todos los catálogos que no se incluyen a sí mismos ser incluido dentro del mismo catálogo? Si se incluye, entonces, por definición no debería incluirse. Sin embargo, si no se incluye, entonces por definición debería incluirse. El bibliotecario está en una situación sin salida. Los catálogos son muy similares a los conjuntos o clases que Frege utilizó como definición fundamental de los números. Por lo tanto la inconsistencia que azotó al bibliotecario también causará problemas en la estructura supuestamente lógica de las matemáticas. Por ejemplo, la poderosa EL DE ÚLTIMO FERMAT TEOREMA DO herramienta de la demostración por contradicción depende de unas matemáticas libres de paradojas. La demostración por contradicción afirma que si una suposición conduce a una contradicción entonces tiene que ser falsa, pero de acuerdo con Russell aun los axiomas pueden conducir al absurdo. Por lo tanto, la demostración por contradicción podría mostrar que un axioma es falso y, sin embargo, los axiomas son los fundamentos de las matemáticas y reconocidos como verdaderos. Muchos matemáticos cuestionaron el trabajo de Russell argumentando que la matemática es una actividad obviamente exitosa y libre de imperfecciones. Russell respondió explicando la importancia de su trabajo de la siguiente manera: “Nada de esto”, podría usted decirme, “amenaza mi con- vicción de que dos más dos es cuatro”. Usted tiene la razón, excepto en casos marginales, y es sólo en casos marginales en que uno duda si cierto animal es un perro o si cierta longitud es de menos de un metro. Dos tiene que ser dos de algo, y la proposición “dos más dos es cuatro” es inútil a menos de que pueda ser aplicada. Dos perros más dos perros son ciertamente cuatro perros, pero surgen casos en que uno duda si dos de ellos son perros. “Bueno, en cualquier caso”, dirá usted, “hay cuatro animales”. Pero hay microorganismos acerca de los cuales es dudoso si son animales o plantas. “Bueno, entonces organismos vivos”, dirá usted. Pero hay casos en que es dudoso si están vivos o no. Esto lo llevará a decir: “Dos entidades más dos entidades Hacia la abstracción 0) 1) = son cuatro entidades”. Cuando usted me haya dicho a qué se refiere con “entidad” continuaremos la discusión. El trabajo de Russell sacudió las bases de las matemáticas y arrojó el estudio de la lógica matemática a un estado de caos. Los lógicos estaban conscientes de que una paradoja que rondara los fundamentos de las matemáticas tarde o temprano podría asomar su cabeza ilógica y causar problemas profundos. Junto con Hilbert y otros lógicos, Russell se puso a la tarea de remediar la situación y devolverle la cordura a las matemáticas. Esta inconsistencia fue el resultado directo de trabajar con los axiomas de las matemáticas, que hasta este punto habían sido aceptados como evidentes por sí mismos y suficientes para definir el resto de las matemáticas. Una solución era crear un axioma adicional que prohibiera que cualquier clase fuera miembro de sí misma. Esto evitaría la paradoja de Russell al hacer redundante la pregunta de si se debe incluir o no el catálogo de catálogos que no se mencio- nan a sí mismos. Russell pasó la siguiente década considerando los axiomas de las matemáticas, la esencia misma del tema. Luego, en 1910, en colaboración con Alfred North Whitehead, publicó el primero de los tres volúmenes de Principia Mathematica, un intento aparentemente exitoso por resolver en parte el problema creado por su paradoja. Durante las dos décadas siguientes otros utilizaron Principia Mathematica como guía para construir un estructura matemática sin im- EL DE ÚLTIMO FERMAT TEOREMA DO perfecciones, y para cuando Hilbert se retiró, en 1930, lo hizo confiado de que las matemáticas estaban en el camino de la recuperación. Su sueño de una lógica consistente, lo suficientemente poderosa como para contestar cualquier pregunta, aparentemente estaba en la ruta que lo llevaría a convertirse en una realidad. Luego, en 1931, un matemático desconocido de veinticinco años publicó un trabajo que habría de destruir para siempre las expectativas de Hilbert. Kurt Gódel obligaría a los matemáticos a aceptar que su ciencia nunca podría ser lógicamente perfecta, e implícita en su trabajo estaba la idea de que problemas como el último teorema de Fermat podrían ser imposibles de resolver. Kurt Gódel nació el 28 de abril de 1906 en Moravia, entonces parte del Imperio austrohúngaro y hoy parte de la República Checa. Desde temprana edad padeció graves enfermedades, la peor de ellas un brote de fiebre reumática a los seis años. Este encuentro cercano con la muerte hizo que Gódel desarrollara una hipocondría obsesiva que conservó durante toda su vida. A los ocho años, después de leer un texto médico, quedó convencido de que tenía un corazón débil, a pesar de que los médicos no pudieron encontrar ninguna evidencia de esta condición. Más tarde, hacia el final de su vida, creyó equivocadamente que alguien intentaba envenenarlo y se rehusó a comer, con lo que casi muere de inanición. De niño Gúdel mostró talento para las ciencias y las matemáticas, y su naturaleza inquisitiva llevó a que su fa- Hacia la abstracción 20 milia lo apodara der Herr Warum (el señor por qué). Ingresó en la Universidad de Viena sin estar muy seguro de si estudiar matemáticas o física, pero un curso alentador y apasionado de teoría de números dictado por el profesor P. Furtwángler persuadió a Gódel de dedicarle su vida a los números. Las conferencias del profesor Furtwángler eran aún más extraordinarias teniendo en cuenta que estaba paralizado del cuello para abajo y las dictaba desde una silla de ruedas y sin notas, al tiempo que su asistente escribía en el tablero. Con poco más de veinte años cumplidos, Gódel ya se había hecho a un lugar en el departamento de matemáticas, y junto con algunos colegas ocasionalmente asistía a las reuniones del Wiener Krezs (Círculo de Viena), un grupo de filósofos que se reunían a discutir los grandes interrogantes de la lógica por esos días. Fue durante ese período que Gúdel desarrolló las ideas que devastarían los fundamentos de las matemáticas. En 1931 Gódel publicó su libro Uber formal unentscheidbare Sátze der Principia Mathematica und verwandter Systeme (Acerca de proposiciones formalmente indecidibles en Principia Mathematica y sistemas relacionados), que contenía sus llamados teoremas de la indecidibilidad. Cuando la noticia de los teoremas llegó a Estados Unidos el gran matemático John von Neumann inmediatamente canceló una serie de conferencias que estaba dando sobre el programa de Hilbert y dedicó lo que restaba del curso a una discusión del trabajo revolucionario de Gódel. Gódel había demostrado que tratar de crear un sistema EL DE ÚLTIMO FERMAT TEOREMA Kurt Gódel 224 Hacia la abstracción 225 matemático completo y consistente era una tarea imposible. Su ideas se pueden resumir en dos enunciados: Primer teorema de la indecidibilidad S1 la teoría axiomática de los conjuntos es consistente, entonces hay teoremas que no pueden ser comprobados ni refutados. Segundo teorema de la indecidibilidad No hay ningún procedimiento constructivo que pueda demostrar que la teoría axiomática es consistente. En esencia, el primero de los enunciados de Gódel dice que no importa qué conjunto de axiomas se use, siempre habrá preguntas que las matemáticas no pueden responder: la completud nunca podrá lograrse. Peor aún, la segunda afirmación dice que los matemáticos nunca podrán estar seguros de que los axiomas que escojan no van a llevarlos a una contradicción: la consistencia nunca se podrá demostrar. Gódel había probado que el programa de Hilbert era un ejercicio imposible. Varias décadas después, en Portraits from Memory, Bertrand Russell reflexionó sobre su reacción ante el descubrimiento de Gódel: Buscaba la certeza de la misma manera en que la gente busca la fe religiosa. Pensaba que era más probable encontrar la certeza dentro de las matemáticas que en cualquier otro lugar. Pero descubrí que muchas demostraciones ma- temáticas que mis profesores esperaban que yo aceptara estaban llenas de falacias, y que si la certeza en efecto podía ELSÚLEEMO DE FEERMAT “TEOREMA 226 descubrirse dentro de las matemáticas, sería en un nuevo campo de las matemáticas, con unos fundamentos más sól1dos que aquellos que hasta ahora se consideraban seguros. Pero a medida que el trabajo avanzaba recordaba la fábula del elefante y la tortuga. Habiendo construido un elefante sobre el cual pudiera reposar el mundo matemático, me encontré con que el elefante tambaleaba, así que construí una tortuga para evitar su caída. Pero la tortuga no era más segura que el elefante, y después de unos veinte años de esfuerzos llegué a la conclusión de que no había nada más que yo pudiera hacer con el fin de que el conocimiento matemático fuera indudable. Aunque el segundo de los enunciados de Gúdel dice que es imposible demostrar que los axiomas son consistentes, esto no significa necesariamente que son inconsistentes. En el corazón muchos matemáticos todavía creían que sus mate- máticas seguirían siendo consistentes, pero no podían demostrarlo con su mente. Muchos años después el gran teórico de los números André Weil diría: “Dios existe puesto que las matemáticas son consistentes, y el diablo existe puesto que no podemos demostrarlo”. La demostración de los teoremas de la indecidibilidad de Gódel es inmensamente complicada, y de hecho un enunciado más riguroso del primer teorema debería ser: A toda clase recursiva w-consistente K de fórmulas corresponden unas clases de signos r recursivas, tales que ni v Genr ni Neg(v Genr) pertenecen a Flg(K) (donde v es la variable libre de »). Hacia la abstracción 220 Afortunadamente, como ocurre con la paradoja de Russell y la historia del bibliotecario, el primer teorema de Gódel puede ser ilustrado con una analogía lógica que se le debe a Epiménides, conocida como la paradoja cretense o la paradoja del mentiroso. Epiménides era un cretense que exclamó: “¡Yo soy un mentiroso!” La paradoja surge cuando tratamos de determinar si esta afirmación es verdadera o falsa. Primero veamos lo que pasa si suponemos que la afirmación es verdadera. Una afirmación verdadera implica que Epiménides es un mentiroso, pero inicialmente asumimos que hizo una afirmación verdadera, y por lo tanto no es un mentiroso: tenemos una inconsistencia. Por otro lado, veamos lo que pasa si suponemos que la afirmación es falsa. Una afirmación falsa implica que Epiménides no es un mentiroso, pero asumimos inicialmente que hizo una afirmación falsa, y por lo tanto es un mentiroso: tenemos otra inconsistencia. Ya sea que asumamos que la afirmación es verdadera o es falsa, tendremos una inconsistencia; luego, la afirmación no es ni verdadera ni falsa. Gódel reinterpretó la paradoja del mentiroso e introdujo el concepto de demostración. El resultado fue una afirmación semejante a la siguiente: Esta afirmación no tiene demostración alguna. Si la afirmación es falsa entonces podría ser demostrada, pero esto contradice la afirmación. Entonces, la afirmación tiene que ser verdadera para evitar la contradicción. Sin embargo, EL DIE ÚLTIMO ERMITA TEOREMA 228 aunque la afirmación es verdadera no puede ser demostrada, porque esta afirmación (que ahora sabemos que es verdadera) así lo dice. Debido a que Gódel pudo traducir la afirmación anterior a notación matemática, logró demostrar que existen afirmaciones en las matemáticas que son verdaderas pero cuya verdad nunca se podrá probar: son las llamadas afirmaciones indecidibles. Este fue el golpe mortal para el programa de Hilbert. De muchas maneras, el trabajo de Gódel fue paralelo a descubrimientos similares en la física cuántica. Apenas cuatros años antes de que Gódel publicara su trabajo sobre la indecidibilidad, el físico alemán Werner Heisenberg puso al descubierto el principio de incertidumbre. Heisenberg probó que, así como hay un límite fundamental para los teoremas que los matemáticos pueden demostrar, hay un límite fundamental para las propiedades que los físicos pueden medir. Por ejemplo, si quisieran medir la posición exacta de un objeto, entonces podrían medir su velocidad con una precisión relativamente pobre. Esto se debe a que para poder medir la posición de un objeto es necesario iluminarlo con fotones de luz, pero para ubicar su posición exacta los fotones de luz tendrían que tener una enorme cantidad de energía. Sin embargo, si el objeto está siendo bombardeado con fotones de alta energía su propia velocidad se afecta y se hace intrínsecamente incierta. Por lo tanto, al exigir el conocimiento de la posición de un objeto, los físicos tendrían que sacrificar algún conocimiento acerca de su velocidad. Hacia la abstracción 229 El principio de incertidumbre de Heisenberg sólo se revela en una escala atómica, cuando las medidas de alta precisión se hacen fundamentales. Por lo tanto la mayor parte de la física podía continuar sin problemas mientras los físi- cos cuánticos se ocupaban de cuestiones profundas acerca de los límites del conocimiento. Lo mismo estaba sucediendo en el mundo de las matemáticas. Mientras los lógicos se ocupaban de un debate enormemente esotérico acerca de la indecidibilidad, el resto de la comunidad matemática con- tinuó sin problemas. Aunque Gúódel había probado que hay algunas afirmaciones que no pueden ser demostradas, de todos modos hay muchas que sí pueden serlo, y su descubrimiento no invalidó nada que se hubiera demostrado en el pasado. Es más, muchos matemáticos creían que los enunciados indecidibles de Gódel sólo se encontrarían en las más oscuras y extremas regiones de la matemática, y quizás nunca fueran hallados. Después de todo Gódel sólo había dicho que estos enunciados existen, pero no pudo señalar uno en particular. Luego, en 1963, la pesadilla teórica de Gódel se hizo una realidad completa. Paul Cohen, un matemático de veintinueve años de la Universidad de Stanford, desarrolló una técnica para probar si una cuestión en particular es o no indecidible. Aunque su técnica sólo funciona en unos pocos casos especiales, fue él la primera persona en descubrir preguntas específicas que eran en efecto indecidibles. Una vez hecho el descubrimiento, Cohen voló inmediatamente a Princeton con la demostra- ción en la mano, para que la verificara el mismo Gódel. Gódel, EL DE ÚLTIMO FERMAT TEOREMA 230 que para entonces estaba entrando en una fase paranoica, abrió la puerta ligeramente, agarró los papeles y la cerró de un golpe. Dos días después Cohen recibió una invitación para tomar el té en casa de Gódel, una señal de que el maestro le había dado a la demostración el visto bueno. Lo particularmente dramático era que algunas de las preguntas indecidibles eran básicas para las matemáticas. Irónicamen- te, Cohen demostró que una de las preguntas que David Hilbert había incluido entre los veintitrés problemas más importantes de las matemáticas, la hipótesis del continuo, era indecidible. El trabajo de Gódel, combinado con los enunciados indecidibles de Cohen, envió un mensaje perturbador a todos aquellos matemáticos, profesionales y aficionados, que seguían intentando demostrar el último teorema de Fermat: ¡quizás el último teorema de Fermat era indecidible! ¿Qué tal que Pierre de Fermat hubiera cometido un error cuando declaró haber encontrado una demostración? Si fue así, entonces cabía la posibilidad de que el último teorema fuera indecidible. Demostrar el último teorema de Fermat podría ser entonces más que difícil, podría ser imposible. Si el último teorema de Fermat era indecidible, los matemáticos ha- bían gastado varios siglos buscando una demostración que no existe. Curiosamente, si el último teorema de Fermat resultara ser indecidible, esto implicaría que es verdadero. La razón es la siguiente. El último teorema dice que no hay soluciones en números enteros de la ecuación Hacia la abstracción x +y 23 Y =z' para m mayor que 2 Si el último teorema de Fermat fuera en efecto falso, sería posible demostrar esto encontrando una solución (un contraejemplo). Por tanto, el último teorema sería decidible. La falsedad sería inconsistente con la indecidibilidad. Sin embargo, si el último teorema fuera verdad, no necesariamente existiría una manera inequívoca de demostrarlo, es decir, podría ser indecidible. En conclusión, el último teorema de Fermat puede ser verdadero, pero tal vez no haya forma de demostrarlo. LA COMPULSIÓN DESFPADMOURTOS TD'AD La anotación de Fermat en el margen de la Arithmetica de Diofanto se había convertido en el más irritante acertijo de la historia. A pesar de tres siglos de gloriosos fracasos y de la insinuación de Gúdel de que podrían estar buscando una demostración inexistente, algunos matemáticos aún se sentían atraídos por el problema. El último teorema era una sirena matemática que tentaba a genios sólo para destrozar sus esperanzas. Cualquier matemático que se involucrara con el último teorema de Fermat se arriesgaba a desperdiciar su carrera, y sin embargo el que lograra el avance crucial pasa- ría a la historia por haber resuelto el problema más difícil del mundo. Varias generaciones de matemáticos se habían obsesionado con el último teorema de Fermat por dos razones. Pri- EL DE ÚLTIMO FERMAT TEOREMA 232 mero, estaba el despiadado sentido de orgullo. El último teorema de Fermat era la prueba definitiva, y quien quiera que lo demostrara habría triunfado donde Cauchy, Euler, Kummer y muchos otros habían fracasado. Así como el mismo Fermat derivaba gran placer de resolver problemas que confundían a sus contemporáneos, quien quiera que lograra demostrar el último teorema de Fermat podría disfrutar del hecho de haber resuelto un problema que había confundido a la comunidad entera de matemáticos durante cientos de años. Segundo, cualquiera que resolviera el reto de Fermat disfrutaría la satisfacción inocente de resolver un acertijo. El placer que se deriva de resolver las esotéricas preguntas de la teoría de números no es diferente a la simple alegría de enfrentarse a los acertijos triviales de Sam Loyd. Un matemá- tico alguna vez me dijo que el placer que le daba resolver problemas matemáticos es similar al que sienten los adictos a los crucigramas. Llenar el último espacio de un crucigra- ma particularmente difícil es siempre una experiencia satisfactoria, pero imagínese la sensación de satisfacción que produciría el dar con la solución, después de gastar varios años, a un acertijo que nadie más en el mundo ha podido resolver. Estas son las mismas razones por las cuales Andrew Wiles quedó fascinado con Fermat: “Los matemáticos puros simplemente adoran el reto. Adoran los problemas sin resolver. Durante la creación matemática se da esa gran sensa- ción. Uno comienza con un problema que simplemente lo deja perplejo. No lo puede entender, es tan complicado que Hacia la abstracción 255 no logra ni siquiera saber dónde tiene la cabeza y dónde la cola. Pero cuando finalmente uno lo resuelve, tiene esta in- creíble sensación de lo bello que es y de cómo todo encaja de una manera tan elegante. Los más engañosos son los problemas que parecen fáciles pero resultan ser extremadamente complicados. Fermat es el más hermoso ejemplo. Simplemente parecía que tenía que tener una solución y, claro, es muy especial porque Fermat dijo que él tenía una”. Las matemáticas tienen aplicaciones en la ciencia y la tecnología, pero no es esto lo que impulsa a los matemáti- cos. Ellos se inspiran en el placer del descubrimiento. G. H. Hardy trató de explicar y justificar su propia carrera en el libro Apología de un matemático: Solamente diré que si un problema es, en el sentido crudo de la palabra, “inútil”, entonces esto es igualmente cierto de la mayor parte de las mejores matemáticas... Nunca he hecho nada “útil”. Ningún descubrimiento mío ha hecho, ni es probable que haga, directa o indirectamente, para bien o para mal, la mínima diferencia para el bienestar del mundo. Juzgado de acuerdo a todos los estándares prácticos, el valor de mi vida matemática es nulo; y fuera de las matemáticas es en cualquier caso trivial. Tengo sólo una posibilidad de escapar a un veredicto de completa trivialidad: que se me juzgue por haber creado algo que valía la pena crear. Y que he creado algo es innegable: la pregunta es acerca de su valor. El deseo de encontrar la solución a un problema matemático es en su mayor parte alimentado por la curiosidad, y el pre- EL DE ÚLTIMO FERMAT TEOREMA 234 mio es la simple pero enorme satisfacción que se deriva de resolver cualquier acertijo. El matemático E. C. Titchmarsh alguna vez dijo: “Saber que TT es irracional puede no tener ninguna aplicación práctica, pero si podemos saberlo, ciertamente sería intolerable no saberlo”. En el caso de último teorema de Fermat lo que faltaba no era curiosidad. El trabajo de Gódel sobre la indecidibilidad había introducido un elemento de duda acerca de si el problema era soluble, pero esto no fue suficiente para desani- mar al verdadero fanático de Fermat. Lo más desalentador era el hecho de que para 1930 los matemáticos habían agotado todas sus técnicas y tenían pocas ideas adicionales a su disposición. Lo que se necesitaba era una herramienta nueva, algo que levantara la moral matemática. La Segunda Guerra Mundial habría de suministrar justo lo que se necesitaba, el salto más grande en el poder del cálculo desde la invención de la regla de cálculo. EL MÉTODO LASEUERZA DE BRUTA Cuando en 1940 G. H. Hardy declaró que la mejor matemática era en su mayor parte inútil, agregó de inmediato que esto no necesariamente era una cosa mala: “La verdadera matemática no tiene ningún efecto sobre la guerra. Nadie ha descubierto hasta ahora ningún propósito bélico para el que pueda servir la teoría de números”. Muy pronto se demostraría que Hardy estaba equivocado. Hacia la abstracción 235 En 1944 John von Neumann coescribió el libro La teoría de juegos y el comportamiento económico, en el que acuñó el término teoría de juegos. La teoría de juegos fue el intento de von Neumann de utilizar las matemáticas para describir la estructura de los juegos y la manera en que los humanos participan en ellos. Comenzó estudiando el póquer y el ajedrez y luego intentó modelos de juegos más sofisticados, como la economía. Después de la Segunda Guerra Mundial la corporación RAND se dio cuenta del potencial de las ideas de von Neumann y lo contrató para desarrollar estrategias para la Guerra Fría. Desde ese momento la teoría de juegos se convirtió en una herramienta básica para que los generales pongan a prueba sus estrategias militares conduciendo las batallas como si fueran complicados juegos de ajedrez. Un ejemplo simple de la aplicación de la teoría de juegos a las batallas es la historia del truelo. Un truelo es parecido a un duelo, excepto que hay tres participantes en vez de dos. Una mañana los señores Negret, Gris y Blanco deciden resolver un conflicto mediante un truelo con pistolas que terminará cuando haya un único sobreviviente. El señor Negret tiene la peor puntería, y en promedio da en el blanco solamente una de cada tres veces. El señor Gris es mejor tirador y da en el blanco dos de cada tres veces. El señor Blanco tiene la mejor puntería y acierta todas las veces. Para que el truelo sea más justo se le permite al señor Negret disparar primero, seguido del señor Gris (s1 todavía está vivo) y del señor Blanco (si todavía está vivo), y luego la ronda se repite hasta que sólo uno de ellos quede EL DE ÚLTIMO FERMAT TEOREMA 236 vivo. La pregunta es: ¿A quién debe dispararle primero el señor Negret? Usted quizás quiera adivinar la respuesta basándose en la intuición, o mejor aún en la teoría de juegos. La respuesta se discute en el apéndice 9. En tiempo de guerra, las matemáticas para descifrar mensajes secretos son más importantes que la teoría de juegos. Durante la Segunda Guerra Mundial los Aliados se dieron cuenta de que, en teoría, la lógica matemática se podía utilizar para descifrar los mensajes alemanes si los cálculos involucrados eran llevados a cabo lo suficientemente rápido. El reto era encontrar una manera de automatizar las matemáticas, de tal forma que una máquina pudiera ejecutar los cálculos. La persona que más contribuyó a este trabajo de desciframiento fue el inglés Alan Turing. En 1938 Turing regresó a Cambridge después de una breve temporada en la Universidad de Princeton. Había sido testigo de primera mano de la confusión generada por los teoremas de indecidibilidad de Gódel y se había comprometido en la tarea de recoger lo que quedaba del sueño de Hilbert. En particular, quería saber si había una manera de definir cuáles preguntas son decidibles y cuáles no, y trató de desarrollar una manera metódica de contestar esta pregunta. En esa época las máquinas calculadoras eran, en términos prácticos, primitivas e inútiles a la hora de hacer matemáticas serias, así que Turing basó sus ideas en el concepto de una máquina imaginaria capaz de realizar cómpu- tos infinitos. Esta máquina hipotética, que gastaba una cantidad infinita de cinta imaginaria y podía hacer cómpu- Hacia la abstracción 237 AAN ANN Alan Turing EL DE ÚLTIMO FERMAT TEOREMA 238 tos por toda la eternidad, era todo lo que él necesitaba para explorar sus preguntas abstractas de lógica. Lo que Turing no sabía era que su mecanización imaginaria de preguntas hipotéticas habría de conducir a un importante avance en la manera de ejecutar cálculos reales en máquinas reales. A pesar del estallido de la guerra, Turing continuó su investigación como miembro del King's College hasta el 4 de septiembre de 1940, cuando su tranquila vida como profesor en Cambridge llegó abruptamente a su fin. Había sido requerido por la Escuela Gubernamental de Codificación y Decodificación, cuya tarea era descifrar los mensajes secretos del enemigo. Antes de la guerra, los alemanes habían dedicado un esfuerzo considerable a desarrollar un sistema superior de codificación, y este era un asunto de enorme importancia para la Inteligencia británica, que en el pasado había podido descifrar con relativa facilidad las comunicaciones del enemigo. El texto oficial del gobierno británico sobre la guerra, La Inteligencia británica en la Segunda Guerra Mundial, describe la situación en la década de los treinta: Hacia 1937 pudo establecerse que, a diferencia de sus contrapartes japoneses e italianos, el Ejército alemán, la Ma- rina y probablemente la Fuerza Aérea, junto con otras organizaciones del Estado como los ferrocarriles y. la ss, estaban usando en todas sus comunicaciones, excepto en las tácticas, diferentes versiones del mismo sistema de codificación. Tal era la máquina Enigma que había salido al mercado en la década de los veinte pero que los alemanes habían mejorado mediante modificaciones progresivas. En Hacia la abstracción 1937 la Escuela Gubernamental 239 de Codificación y Decodificación penetró en el modelo menos modificado y seguro de esta máquina, modelo que utilizaban los alemanes, los italianos y las fuerzas nacionalistas españolas. Pero aparte de esto, Enigma se resistía al ataque, y todo parecía indicar que continuaría haciéndolo. La máquina Enigma consistía de un teclado conectado a una unidad de codificación. La unidad de codificación contenía tres rotores separados cuyas posiciones determinaban cómo sería codificada cada letra del teclado. Lo que hacía que el código Enigma fuera tan difícil de romper era la enorme cantidad de maneras en que la máquina se podía configurar. Primero, los tres rotores de la máquina se podían escoger de un grupo de cinco, y podían ser cambiados e intercambiados para confundir a los descifradores. Segundo, cada rotor podía ser ubicado en una de veintiséis posiciones diferentes. Esto quiere decir que la máquina se podía configurar en más de un millón de maneras. Además de las permutaciones que permitían los rotores, las conexiones eléctricas de la parte posterior de la máquina podían ser cambiadas manualmente dando lugar a más 150 millones de millones de millones de posibles configuraciones. Para aumentar la seguridad aún más, la orientación de los tres rotores cambiaba continuamente, así que cada vez que se transmitía una letra la confi- guración de la máquina, y por lo tanto la codificación, cambiaban para la siguiente letra. De tal forma, teclear “DODO” podría generar el mensaje “EGTB”: la “D” y la EL DE ÚLTIMO FERMAT TEOREMA 240 “O” se envían dos veces, pero son codificadas de manera distinta cada vez. Las máquinas Enigma fueron entregadas al Ejército, a la Marina y a la Fuerza Aérea alemanas, y se operaban incluso en los ferrocarriles y otros departamentos del gobierno. Como sucedía con todos los sistemas de código que se utilizaban durante este período, una debilidad del Enigma era que el receptor tenía que conocer la configuración establecida por el emisor. Para conservar la seguridad las configuraciones del Enigma tenían que ser alteradas todos los días. Una de las maneras que tenían los emisores para cambiar las configuraciones con frecuencia y mantener a los receptores informados era la publicación de las configuraciones diarias en un libro de códigos secreto. El riesgo de este método era que los británicos podrían capturar un submarino alemán y conseguir el libro de códigos con las configuraciones diarias para el próximo mes. El método alternativo, y el que se adoptó durante la mayor parte de la guerra, consistía en transmitir las configuraciones diarias como preámbulo al mensaje presente, pero codificadas según las configuraciones del día anterior. Cuando la guerra comenzó, la Escuela Británica de Codificación estaba dominada por lingúistas y estudiosos de las lenguas clásicas. El Ministerio de Relaciones Exteriores pronto se dio cuenta de que los teóricos de los números tenían una mayor probabilidad de encontrar la clave para romper los códigos alemanes y, para comenzar, nueve de los más brillantes teóricos de los números británicos fueron reuni- Hacia la abstracción 241 dos en la nueva sede de la escuela en Bletchley Park, una mansión victoriana en Bletchley, condado de Buckinghamshire. Turing tuvo que abandonar sus máquinas hipotéticas con cinta infinita y tiempo de procesamiento ilimitado para enfrentarse a un problema práctico con recursos finitos y un límite de tiempo muy real. La criptografía es una batalla intelectual entre el diseñador del código y el descifrador. El reto para el diseñador del código es mezclar y enredar un mensaje de salida hasta el punto en que no pueda ser descifrado en caso de que el enemigo lo intercepte. Sin embargo, la cantidad de mani- pulación matemática posible se ve limitada por la necesidad de despachar los mensajes de manera rápida y eficiente. La fortaleza del código Enigma alemán era que el mensaje cifrado era sometido a varios niveles de codificación a una velocidad muy alta. El reto para el descifrador era tomar un mensaje interceptado y romper el código antes de que el contenido del mensaje dejara de ser relevante. Un mensaje alemán que daba la orden de destruir un barco británico tenía que ser descifrado antes de que el barco fuera hundido. Turing lideraba un equipo de matemáticos que intentaba construir una réplica de la máquina Enigma. Turing incorporó sus ideas abstractas de antes de la guerra en estos dispositivos, que en teoría podían verificar metódicamente todas las posibles configuraciones de la máquina Enigma hasta romper el código. Las máquinas británicas, con más de dos metros de altura e igual anchura, empleaban relés electromecánicos para verificar todas las potenciales confi- EL DE ÚLTIMO FERMAT TEOREMA 242 guraciones del Enigma. El tictac permanente de los relés hizo que se les apodara bombas. A pesar de su velocidad, era imposible para las bombas verificar los 150 millones de millones de millones de posibles configuraciones de Enigma dentro de un tiempo razonable, así que el equipo de Turing tenía que encontrar maneras de reducir en forma significativa el número de permutaciones extrayendo la información que pudieran de los mensajes enviados. Uno de los mayores avances logrados por los británicos fue darse cuenta de que la máquina Enigma no podía codificar una letra como ella misma, es decir, si el emisor tecleaba “R” la máquina potencialmente podía enviar cualquier letra dependiendo de sus configuraciones, excepto “R”. Este hecho aparentemente inocuo era todo lo que se necesitaba para reducir drásticamente el tiempo de desciframiento de un mensaje. Los alemanes respondieron limitando la longitud de todos los mensajes que enviaban. Inevitablemente, todos los mensajes contienen pistas para el equipo de descifradores, y entre más largo el mensaje, mayor la cantidad de pistas. Limitando todos los mensajes a un máximo de 250 letras, los alemanes esperaban compensar la renuencia de la máquina Enigma a codificar una letra como ella misma. Con el fin de romper códigos, Turing con frecuencia trataba de adivinar palabras claves en los mensajes. Si acer- taba se aceleraba enormemente el proceso de descifrar el resto del código. Por ejemplo, si los descifradores sospechaban que un mensaje contenía un informe sobre el clima, un tipo frecuente de informe codificado, entonces podían asumir que Hacia la abstracción 243 el mensaje contenía palabras como “niebla” y “velocidad del viento”. Si estaban en lo correcto podían descifrar rápidamente ese mensaje, y por consiguiente deducir las configuraciones del Enigma para ese día. Durante el resto del día podían descifrar con facilidad otros mensajes más valiosos. Cuando no acertaban con palabras acerca del estado del tiempo, los británicos trataban de ponerse en la posición de los operadores alemanes del Enigma con el fin de adivinar otras palabras claves. Un operador descuidado podría dirigirse al receptor por su primer nombre, o podría haber desarrollado formas peculiares de expresión que fueran conocidas por los descifradores. Se dice que cuando todo lo demás fallaba y el tráfico alemán estaba fluyendo sin ser interceptado, la Escuela Británica de Codificación le pedía a la Fuerza Aérea británica (RAF) que bombardeara un puerto alemán en particular. Inmediatamente el capitán de puertos alemán enviaba un mensaje cifrado que era interceptado por los bri- tánicos. Los descifradores estaban casi seguros de que el mensaje contendría palabras como “mina”, “evitar” y “mapa”. Roto este mensaje, Turing tenía las configuraciones Enigma para ese día, y el resto del tráfico alemán podía ser descifrado rápidamente. El primero de febrero de 1942 los alemanes le agregaron una cuarta rueda a las máquinas Enigma que se empleaban para enviar mensajes particularmente delicados. Este fue el momento de mayor intensidad que alcanzó la codificación durante la guerra, pero finalmente el equipo de Turing respondió aumentando la eficiencia de las bombas. Gracias a la EL DE ÚLTIMO FERMAT TEOREMA 244 Escuela de Codificación, los Aliados sabían más acerca de su enemigo de lo que los alemanes jamás sospecharon. El impacto de los submarinos alemanes en el Atlántico se redujo enormemente, y los británicos recibían advertencia anticipada de los ataques de la Fuerza Aérea alemana. Los descifradores también interceptaron y decodificaron la posición exacta de los buques de suministro alemanes permitiendo que des- tructores británicos fueran enviados a hundirlos. Las fuerzas aliadas tenían que tener cuidado permanente de que sus acciones evasivas y sus asombrosos ataques no delataran su capacidad de desciframiento de las comunicaciones alemanas. Si los alemanes llegaran a sospechar que Enigma había sido descifrado aumentarían el nivel de codificación, y los británicos se encontrarían de nuevo donde comenzaron. Hubo, por lo tanto, ocasiones en que la Escuela de Codificación informó a los Aliados de un ataque inminente y estos optaron por no tomar medidas extremas. Hay incluso rumores de que Churchill sabía que Coventry sería el blanco de un ataque devastador, y sin embargo decidió no tomar precauciones especiales, para evitar que los alemanes sospecharan algo. Stuart Milner-Barry, quien trabajó con Turing, niega el rumor, y afirma que el mensaje relevante respecto a Coventry sólo fue descifrado cuando ya era muy tarde. El uso restringido de la información descifrada funcionó perfectamente. Aun cuando los británicos utilizaban las comunicaciones interceptadas para ocasionar grandes pérdidas, los alemanes no sospechaban que el código Enigma había sido roto. Creían que su nivel de codificación era tan alto Hacia la abstracción 245 que era absolutamente imposible romper sus códigos. Culpaban de las pérdidas excepcionales al servicio secreto británico infiltrado en sus filas. Debido a la naturaleza secreta del trabajo llevado a cabo en Bletchley por Turing y su equipo, su contribución inmensa al esfuerzo de la guerra no pudo ser reconocida públicamente, ni siquiera muchos años después de la guerra. Solía decirse que la Primera Guerra Mundial fue la guerra de los químicos y la Segunda Guerra Mundial la de los físicos. De hecho, de acuerdo con la información revelada en las últi- mas décadas, quizás sea verdad que la Segunda Guerra Mun- dial fue también la guerra de los matemáticos, y que en el caso de una tercera guerra su contribución sería aún más importante. A lo largo de toda su carrera como descifrador, Turing nunca perdió de vista sus objetivos matemáticos. Las máquinas hipotéticas habían sido reemplazadas por máquinas reales, pero las preguntas esotéricas seguían vigentes. Cerca del final de la guerra Turing ayudó a construir el Colossus, una máquina totalmente electrónica compuesta de 1.500 válvulas que eran mucho más rápidas que los relés electromecánicos empleados en las bombas. Colossus era un computador en el sentido moderno de la palabra, y su velocidad adicional y sofisticación hicieron que Turing lo considerara un cerebro primitivo: tenía memoria, podía procesar información y los estados dentro del computador se asemejaban a estados mentales. Turing había transformado su máquina imaginaria en el primer computador real. EL DE ÚLTIMO FERMAT TEOREMA 246 Cuando la guerra terminó Turing continuó construyendo máquinas cada vez más complejas como el Motor de Cómputo Automático. En 1948 se trasladó a la Universidad de Manchester y construyó el primer computador con un programa almacenado electrónicamente. Turing le había dado a Gran Bretaña los computadores más avanzados del mundo, pero no viviría lo suficiente para ver sus cálculos más sorprendentes. En los años que siguieron a la guerra Turing estuvo bajo vigilancia de la Inteligencia británica, que sabía que él era un homosexual practicante. Les preocupaba que el hombre que sabía más que nadie acerca de los códigos de segurldad británicos estuviera expuesto al chantaje, y decidieron seguir cada uno de sus movimientos. Turing se había acostumbrado en buena medida a estar constantemente vigila- do, pero en 1952 fue arrestado por violar las leyes británicas de homosexualidad. Esta humillación le hizo la vida intolerable. Andrew Hodges, el biógrafo de Turing, describe los acontecimientos que condujeron a su muerte: La muerte de Alan Turing fue un duro golpe para quienes lo conocían... Era claro que era una persona infeliz, tensa, que estaba consultando a un siquiatra y que había sufrido un golpe que habría acabado a mucha gente. Pero el juicio había ocurrido hacía dos años, el tratamiento con hormonas había terminado hacía un año y él parecía que había superado todo. La investigación judicial del 10 de junio de 1954 estableció que su muerte fue por suicidio. Lo encontraron cui- Hacia la abstracción 247 dadosamente recostado en su cama. Había espuma alrededor de su boca y el patólogo que hizo la autopsia identificó fácilmente la causa de la muerte como envenenamiento con cianuro... En la casa había un frasco de cianuro de potasio y también un frasco de solución de cianuro. Al lado de su cama había media manzana con varios mordiscos. La manzana no fue analizada, así que nunca se estableció completamente que, como parece obvio, había sido sumergida en el cianuro. El legado de Turing fue una máquina que podía realizar en cuestión de horas un cálculo enorme que una persona tarda- ría demasiado tiempo en completar. Los computadores de hoy pueden ejecutar en un segundo más cálculos de los que ejecutó Fermat en toda su carrera. Los matemáticos que to- davía estaban luchando con el último teorema de Fermat comenzaron a utilizar computadores para abordar el problema, con base en una versión computarizada del método que Kummer usó en el siglo XIX. Después de haber descubierto un error en el trabajo de Cauchy y Lamé, Kummer mostró que lo que faltaba para probar el último teorema de Fermat era resolver los casos en que 2 es igual a un primo irregular (para valores de » hasta cien los únicos primos irregulares son 37, 59 y 67). Al mismo tiempo Kummer, señaló que, en teoría, todos los primos irregulares podían ser despachados individualmente; el único problema era que cada uno requeriría una cantidad enorme de cálculos. Para demostrar esta afirmación Kummer y su colega Dimitri Mirimanoff dedicaron varias semanas a EL DE ÚLTIMO FERMAT TEOREMA 248 los cálculos necesarios para despachar los tres primos irregulares menores que cien. Sin embargo, ni ellos ni otros mate- máticos estaban preparados para empezar a trabajar con la siguiente tanda de primos irregulares, los comprendidos entre cien y mil. Unas décadas después los problemas de los cálculos inmensos comenzaron a desaparecer. Con la llegada del computador los casos complejos del último teorema de Fermat podían ser despachados velozmente, y después de la Segun- da Guerra Mundial equipos de ingenieros de sistemas y matemáticos demostraron el último teorema de Fermat para todos los valores de » hasta quinientos, después hasta mil y después hasta diez mil. En la década de los ochenta Samuel S. Wagstaffde la Universidad de Illinois elevó el límite hasta veinticinco mil, y más recientemente los matemáticos han podido afirmar que el último teorema de Fermat es verdadero para todos los valores de 7 hasta cuatro millones. Aunque los inexpertos sentían que la tecnología moderna finalmente estaba derrotando al último teorema, la comunidad matemática sabía que su éxito era puramente cosmético. Aun si los supercomputadores gastaran décadas demostrando un caso tras otro, nunca podrían demostrar todos los valores de 2 hasta infinito, y por lo tanto nunca podrían decir que demostraron el teorema en su totalidad. Aun si el teorema se demostrara hasta mil millones, no hay ninguna razón para que sea cierto para el caso mil millones uno. Si el teorema se demostrara para un billón, no hay ninguna razón para que sea cierto para el caso un billón uno, y Hacia la abstracción 249 así ad infinitum. El infinito es inalcanzable mediante la sola fuerza bruta del procesamiento de números computarizado. En su libro The Picturegoers, David Lodge da una hermosa descripción de la eternidad que se aplica también al concepto paralelo de infinito: “Piénsese en una bola de hierro del tamaño del mundo y en una mosca que se posa sobre ella una vez cada millón de años. Cuando la bola de hierro se haya gastado completamente por causa de la fricción, la eternidad ni siquiera habrá comenzado”. Todo lo que los computadores podían ofrecer era evidencia en favor del último teorema de Fermat. Al observador casual la evidencia podrá parecerle abrumadora, pero ninguna cantidad de evidencia es suficiente como para satisfacer a los matemáticos, una comunidad de escépticos que no aceptan nada diferente a la demostración absoluta. Extrapolar una teoría para cubrir una infinidad de números a partir de la evidencia de unos pocos números es una apuesta riesgosa (e inaceptable). Una secuencia particular de primos demuestra que la extrapolación es una muleta peligrosa para apoyarse. En el siglo xvI1 los matemáticos comprobaron, después de examinarlos en detalle, que los siguientes números son todos primos: o ” O RW Los siguientes números en la serie son cada vez más gigantescos, y verificar si son o no primos habría tomado un esfuerzo considerable. En esa época algunos matemáticos EL ÚLTIMO D'EN TE TEOREMA 250 RIMAS T estuvieron tentados a extrapolar del comportamiento y asumir que todos los números de esa forma son primos. Sin embargo, el siguiente número del patrón, 333.333.331, resultó no ser primo: 333,333, 331=17X19,607, 843. Otro ejemplo que muestra por qué los matemáticos se rehusan a dejarse persuadir por la evidencia de los computadores es el caso de la conjetura de Euler. Euler sostenía que no hay soluciones a una ecuación no muy diferente de la ecuación de Fermat: AAA EY Durante doscientos años nadie pudo demostrar la conjetura de Euler, pero tampoco nadie pudo refutarla encontrando un contraejemplo. Ni las búsquedas manuales iniciales ni los años de rastreo por computador arrojaron una solución. La falta de un contraejemplo era una fuerte evidencia a favor de la conjetura. Luego, en 1988 Naom Elkies, de la Universidad de Harvard descubrió la siguiente solución: 2,682, 440? +15,365,639* +187,960* =20,615,673*. A pesar de toda la evidencia la conjetura de Euler resultó ser falsa. De hecho, Elkies demostró que hay una infinidad de soluciones a esta ecuación. La moraleja es que uno no puede usar la evidencia que se desprende del primer millón de números para demostrar una conjetura acerca de todos los números. Pero la naturaleza engañosa de la conjetura de Euler no Hacia la abstracción 251 es nada comparada a la conjetura de la sobrestimación de los primos. Escrutando listas cada vez más grandes de números, se hace evidente que los números primos son cada vez más difíciles de encontrar. Por ejemplo, entre cero y cien hay veinticinco primos, pero entre diez millones y diez millones cien sólo hay dos números primos. En 1791, cuando apenas tenía catorce años, Carl Gauss predijo la manera aproximada en que la frecuencia de aparición de los números primos disminuiría. Su fórmula era razonablemente precisa pero parecía sobrestimar levemente la verdadera distribución de los primos. El ensayo con los primos hasta un millón, un billón o un trillón siempre comprobaba que la fórmula de Gauss era un poco generosa y los matemáticos estaban muy tentados a creer que esto sería cierto para todos los números hasta el infinito: así nació la conjetura de la sobrestimación de los primos. Luego, en 1914, J. E. Littlewood, colaborador de G. H. Hardy en Cambridge, demostró que en un intervalo suficientemente largo la fórmula de Gauss subestimaría el número de primos. En 1955 S. Skewes demostró que la subestimación ocurriría en algún momento antes de llegar al número 10% 10,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000 Este es un número que está más allá de la imaginación y de cualquier aplicación práctica. Hardy dijo del número de Skewes que era “el número más grande que jamás ha servido para algún propósito definido en las matemáticas”. Calculó EL DE ÚLTIMO FERMAT TEOREMA 252 que si uno jugaba ajedrez con todas las partículas del universo (10%), y un movimiento simplemente consistía en intercambiar dos partículas, entonces el número de juegos posibles sería aproximadamente el número de Skewes. No había ninguna razón para que el último teorema de Fermat no resultara tan cruel y engañoso como la conjetura de Euler o la conjetura de la sobrestimación de los primos. EL GRADUADO En 1975 Andrew Wiles comenzó su carrera como estudiante de posgrado en la Universidad de Cambridge. Durante los siguientes tres años habría de trabajar en su tesis de doctorado, y de esta manera completaría su aprendizaje matemático. Cada estudiante era guiado y cultivado por un supervisor, y en el caso de Wiles el supervisor era el australiano John Coates, un profesor del Emmanuel College oriundo de Possum Brush, Nueva Gales del Sur. Coates todavía recuerda cómo adoptó a Wiles: “Recuerdo que un colega me dijo que tenía un estudiante muy . bueno que acababa de terminar los exámenes finales de los estudios básicos de matemáticas, y me exhortó a tomarlo como estudiante. Fui afortunado en tener a Andrew como pupilo. Aun como estudiante de investigación tenía ideas muy profundas y era claro que se trataba de un matemático que haría grandes cosas. Naturalmente, a estas alturas no había ninguna posibilidad de que un estudiante comenzara a trabajar directamente en el último teorema de Fermat. Era Hacia la abstracción 255 muy difícil, aún para un matemático con mucha experienclas Todo lo que había hecho Wiles durante la década anterior COnsistió en prepararse para enfrentar el reto de Fermat. Pero ahora que había ingresado en las filas de los matemáticos profesionales tenía que ser más pragmático. Wiles recuerda cómo tuvo que renunciar temporalmente a su sueño: “Cuando fui a Cambridge realmente dejé a Fermat de lado. No fue que lo olvidara, siempre estaba allí, pero me di cuenta de que las únicas técnicas que teníamos para abordarlo existían desde hacía 130 años. No parecía que estuvieran llegando realmente a la raíz del problema. El problema de trabajar con Fermat era que uno podía gastar años para llegara ninguna parte. Está bien trabajar en cualquier problema con tal de que en el camino genere matemáticas interesantes, incluso si a la larga uno no lo resuelve. La definición de un buen problema matemático está en las matemáticas que genera y no en el problema mismo”. Era responsabilidad de John Coates encontrarle a Andrew una nueva obsesión, algo que ocupara su investiga- ción durante los siguientes tres años por lo menos. “Creo que lo único que un supervisor de investigación puede hacer por un estudiante es intentar guiarlo en una dirección fructífera. Por supuesto que es imposible estar seguro de qué es una dirección fructífera, pero quizás una cosa que un mate- mático mayor puede hacer es utilizar su sentido común, su intuición sobre lo que es un buen campo de investigación, y entonces sí depende del estudiante qué tan lejos pueda ir en EL DE ÚLTIMO FERMAT TEOREMA E! Andrew Wiles durante sus años de universidad. Hacia la abstracción 255 John Coates, el supervisor de Wiles en la década de los setenta, se ha mantenido en contacto con su antiguo alumno. EL ÚLTIMO DE FERMAT TEOREMA 256 esa dirección”. Al final Coates decidió que Wiles debía estudiar un área de las matemáticas conocida como curvas elípti- cas. Esta decisión llegaría a ser un punto culminante en la carrera de Wiles y le daría las técnicas que iba a necesitar para una nueva aproximación al último teorema de Fermat. El nombre “curvas elípticas” es algo engañoso pues no son ni elipses ni tampoco curvas en el sentido normal de la palabra. Son más bien ecuaciones que tienen la forma y =x +ax +bx+c donde a, b y c son números enteros. Recibieron ese nombre porque en el pasado se utilizó para medir el perímetro de las elipses y la longitud de las órbitas planetarias, pero en aras de la claridad me referiré a ellas simplemente como ecuaciones elípticas y no curvas elípticas. El reto con las ecuaciones elípticas, así como con el último teorema de Fermat, consiste en averiguar si tienen soluciones en números enteros, y, si las tienen, cuántas. Por ejemplo, la ecuación elíptica y =x"-2, dondea=0,b=0,c=-2, tiene solamente un conjunto de soluciones: IE A E A Demostrar que esta ecuación elíptica tiene un solo conjunto de soluciones en números enteros es una tarea inmensamente difícil, y de hecho fue Pierre de Fermat quien descubrió la demostración. Quizás el lector recuerde que en el capítulo 2 se dijo que fue Fermat quien demostró que el 26 es el único Hacia la abstracción 257 número en el universo que se encuentra entre un número cuadrado y uno cúbico. Esto es equivalente a demostrar que la ecuación elíptica anterior tiene una sola solución, es decir, 5? y 3* son el único cuadrado y el único cubo cuya diferencia es 2 y, por lo tanto, el 26 es el único número que se puede ubicar entre esas dos clases de números. Lo que hace a las ecuaciones elípticas particularmente fascinantes es el hecho de que ocupan un nicho curioso entre otras ecuaciones más simples, que son casi triviales, y otras ecuaciones más complicadas que son casi imposibles de resolver. Con solo cambiar los valores de a, hb y c en la ecuación elíptica general, los matemáticos pueden generar una variedad infinita de ecuaciones, cada una de ellas con sus propias características, pero todas escasamente dentro del terreno de lo soluble. Las ecuaciones elípticas fueron originalmente estudiadas por los antiguos matemáticos griegos, entre ellos Diofanto, quien dedicó buena parte de su Arlthmetica a explorar sus propiedades. Probablemente inspirado por Diofanto, Fermat también asumió el reto de las ecuaciones elípticas y, ya que habían sido estudiadas por su héroe, Wiles estaba dispuesto a explorarlas más profundamente. Incluso después de dos mil años las ecuaciones elípticas presentaban problemas formidables para estudiantes como Wiles: “Estamos muy lejos de entenderlas completamente. Yo podría plantear muchas preguntas aparentemente sencillas acerca de las ecuaciones elípticas que permanecen sin resolver. In- cluso preguntas que el mismo Fermat estudió permanecen EL DE ÚLTIMO FERMAT TEOREMA 258 sin resolver. De cierta manera, todas las matemáticas que he hecho tienen su origen en Fermat, si no en el último teorema de Fermat”. En las ecuaciones que Wiles estudió como estudiante de posgrado, determinar el número exacto de soluciones era tan difícil que la única manera de progresar un poco era simplificar el problema. Por ejemplo, la siguiente ecuación elíptica es casi imposible de abordar directamente: 3 A 2 2 Y El reto es averiguar cuántas soluciones en números enteros hay para esta ecuación. Una solución bastante trivial es x= 0 NO: 0 -0*=0*+0. Una solución un poco más interesante es x=1 y y=0: 1-1=0"+0 E Puede haber otras soluciones, pero con una cantidad infinita de números enteros para investigar, dar una lista completa de las soluciones de esta ecuación en particular es una tarea imposible. Una tarea más sencilla es buscar soluciones dentro de un espacio numérico finito, la llamada aritmética del reloj. Vimos antes cómo los números pueden considerarse como marcas a lo largo de la recta numérica que se extiende hasta infinito, como se muestra en la figura 16. Para hacer finito el espacio numérico, la aritmética del reloj corta un pedazo de la recta y lo enrolla para formar un aro en vez de Hacia la abstracción 259 una línea. La figura 17 muestra un reloj de orden cinco en el que la línea numérica fue cortada a la altura del cinco y enrollada para encontrarse con el cero. El número cinco desaparece y se vuelve equivalente al cero, así que los únicos números en la aritmética del reloj de orden cinco son O, 1, 2, 3 y 4. En la aritmética normal la adición puede considerarse como la operación de moverse a lo largo de la línea un cierto número de espacios. Por ejemplo, decir 4 +2 = 6, equivale a decir: comience en 4 y muévase a lo largo de la línea dos espacios para llegar a 6. Sin embargo, en la aritmética del reloj de orden cinco: 4+2=1 Esto es porque si comenzamos en 4 y avanzamos dos espacios estamos otra vez en 1. La aritmética del reloj puede parecer poco conocidos, pero de hecho, como lo sugiere su nombre, se usa todos los días cuando la gente habla del tiempo. Cuatro horas después de las once (es decir 11+4), en el habla cotidiana, no son las quince sino las tres. Esta es la aritmética del reloj de orden doce. Además de la adición podemos ejecutar otras Operaciones matemáticas comunes como la multiplicación. En la aritmética del reloj de orden doce, 5x7=11. Esta multiplicación puede pensarse de la siguiente manera: si se comienza en cero y se avanza siete espacios cinco veces finalmente se llega a once. Aunque esta es una manera de considerar la multiplicación en la aritmética del reloj, hay atajos que acortan los cálculos. Por ejemplo, para calcular 5x7 en la aritmética BILCÚLTIMO DE FERMAT TEOREMA 260 Figura 16. La aritmética convencional se puede considerar como una serie de movimientos a lo largo de la recta numérica. del reloj de orden doce comenzamos por calcular el resultado normal, que es 35. Dividimos luego 35 entre doce y encontramos el residuo, que es la respuesta a la pregunta original. Así que doce cabe en 35 dos veces con un residuo de once, y ciertamente 5x7,en la aritmética del reloj de orden doce es once. Esto equivale a darle dos veces la vuelta completa al reloj y tener todavía que recorrer once espacios más. Debido a que las aritméticas del reloj sólo tratan con un espacio limitado de números, es relativamente fácil averiguar todas las posibles soluciones de una ecuación elíptica para una aritmética de reloj dada. Por ejemplo, en la aritmética del reloj de orden cinco es posible hacer una lista de todas las soluciones posibles de la ecuación elíptica 3 A 2 2 Las soluciones son: z=0 y) 3 =0), y= 4 Hacia la abstracción 261 Figura 17. En la aritmética del reloj de orden cinco la recta numérica se corta en cinco y se enrolla. El número cinco coincide con el cero y por lo tanto es reemplazado por él. Aunque algunas de estas soluciones no son válidas en la aritmética normal, en la aritmética del reloj de orden cinco son aceptables. Por ejemplo, la cuarta solución (x=1, y=4) funciona así: LISAS l-1=16+4 0=20. Pero recuérdese que en la aritmética del reloj de orden cinco, veinte es equivalente a cero por lo que cinco divide a veinte con un residuo de cero. Como no podían hacer una lista de todas las soluciones de una ecuación elíptica en el espacio infinito, los matemáticos, entre ellos Wiles, se contentaron con encontrar el nú- mero de soluciones en todas las diferentes aritméticas del reloj. Para la ecuación elíptica anterior el número de soluciones en la aritmética del reloj de orden cinco es igual a cuatro, luego los matemáticos dicen que E, = 4. También se puede calcular el número de soluciones en otras aritméticas EL DE ÚLTIMO EERMAT TEOREMA 262 del reloj. Por ejemplo, en la aritmética del reloj de orden siete el número de soluciones es nueve luego, E, =9. Para resumir sus resultados, los matemáticos hacen una lista del número de soluciones en cada aritmética del reloj y le dan el nombre serie L de la ecuación elíptica. Hace mucho se olvidó lo que la L significa, aunque algunos han sugerido que corresponde a Gustav Lejeune-Dirichlet, quien trabajó con ecuaciones elípticas. Para mayor claridad, utilizaré el término serie E: la serie que se deriva de una ecuación elíptica. Para el ejemplo anterior la serie E es como sigue: % A e Ecuación elíptica: 3 a) >) x"=x%=y"+y. Serie E; E, =1, E, =4, E, =4, E, =8, E,=4, E, =16, E, =9, le 06 == Ya que los matemáticos no pueden saber cuántas soluciones tienen algunas ecuaciones elípticas en el espacio numérico normal que se extiende hasta el infinito, la serie E parece ser Hacia la abstracción 2 63 lo mejor que se puede lograr. De hecho, la serie E condensa una gran cantidad de información acerca de la ecuación elíp- tica que describe. De la misma manera en que el ADN biológico lleva toda la información requerida para construir un organismo vivo, la serie E lleva la esencia de la ecuación elíptica. Se tenía la esperanza de que estudiando las series E, este ADN matemático, los matemáticos finalmente serían capaces de calcular todo lo que siempre quisieron saber acerca de una ecuación elíptica. Trabajando al lado de John Coates, Wiles rápidamente adquirió la reputación de ser un brillante teórico de los números con un entendimiento profundo de las ecuaciones elípticas y sus series E. A medida que lograba resultados nuevos y publicaba, Wiles no se daba cuenta de que estaba acumulando la experiencia que muchos años después lo pondría al borde de una demostración del último teorema de Fermat. Aunque nadie lo sabía en ese momento, los matemáti- cos japoneses de la posguerra ya habían desencadenado una serie de eventos que habrían de vincular inextricablemente a las ecuaciones elípticas con el último teorema de Fermat. Al estimular a Wiles a estudiar las ecuaciones elípticas, Coates le había dado las herramientas que más tarde le permitirían trabajar en su sueño. Los diseños del matemático, como los del pintor o los del poeta, tienen que ser hermosos; las ideas, como los colores o las palabras, tienen que combinar de manera armoniosa. La belleza es la primera prueba: no hay un lugar permanente en el mundo para unas matemáticas feas. GARA RDA 5 Demostración por contradicción Yutaka Taniyama En enero de 1954, un joven matemático talentoso de la Universidad de Tokio hizo una visita rutinaria a la biblioteca del departamento de matemáticas. Goro Shimura buscaba una copia de Mathematische Annalen, Vol. 24. En particular, estaba buscando un artículo por Deuring sobre su teoría algebraica de la multiplicación compleja, que necesitaba para completar un cálculo especialmente extraño y esotérico. Para sorpresa y desconcierto suyo, el volumen estaba en préstamo. Quien lo había tomado era Yutaka Taniyama, un conocido de Shimura que vivía al otro lado del campus universitario. Shimura le escribió explicándole que necesitaba urgentemente la revista para terminar el complejo cál- culo y con amabilidad le preguntó cuándo sería devuelta. Unos pocos días después llegó una postal al escritorio de Shimura. Taniyama le respondió que él también estaba trabajando en el mismo cálculo y que estaba atascado en el mismo punto de la lógica. Sugería que compartieran sus ideas y que, quizás, trabajaran juntos en el problema. Este encuentro accidental por causa de un libro de la biblioteca dio lugar a una colaboración que habría de cambiar el curso de la historia matemática. Taniyama nació el 12 de noviembre de 1927 en un pequeño pueblo al norte de Tokio. El carácter japonés que simbolizaba su primer nombre debía leerse “Toyo”, pero la mayoría de la gente distinta de su familia lo malinterpretó como “Yutaka”, y al crecer Taniyama acabó aceptando y adoptando este nombre. De niño la educación de Taniyama fue EL DE ÚLTIMO FERMAT TEOREMA Ñ Goro Shimura 268 Demostración por contradicción 269 constantemente interrumpida. Tuvo varios períodos de mala salud y durante su adolescencia sufrió un ataque de tuberculosis, por lo cual perdió dos años del bachillerato. El comienzo de la guerra habría de interferir aún más en su educación. La educación de Goro Shimura, un año menor que Taniyama, fue totalmente interrumpida durante los años de la guerra. Cerraron su colegio y, en vez de asistir a clases, Shimura tuvo que contribuir al esfuerzo de la guerra trabajando en una fábrica de ensamblaje de partes aeronáuticas. Todas las noches intentaba recuperar el tiempo de estudios perdido, y en particular se sentía atraído por las matemáticas: “Por supuesto que había muchas materias por aprender, pero matemáticas era la más fácil porque podía simplemente leer los textos. Aprendí cálculo leyendo libros. Si hubiera querido estudiar química o física habría necesitado equipos de laboratorio, y no tenía acceso a tales cosas. Nunca pensé que tuviera talento. Simplemente tenía curiosidad”. Unos pocos años después del fin de la guerra, Shimura y Taniyama se encontraron en la universidad. Por la época en que intercambiaron postales acerca de un libro de la biblioteca, la vida en Tokio comenzaba a regresar a la normalidad y los dos jóvenes académicos podían darse algunos pequeños lujos. Pasaban las tardes en los cafés, en las noches comían en un pequeño restaurante especializado en carne de ballena y los fines de semana caminaban por el jardín botánico o en el parque de la ciudad. Todos eran lugares ideales para discutir sus más recientes pensamientos matemáticos. EL ÚLTIMO DIE E ER TEOREMA 270 MPA LE Aunque Shimura tenía un espíritu juguetón —incluso hoy disfruta los chistes Zen—, era más conservador y convencional que su compañero. Se levantaba a la madrugada e inmediatamente se ponía a trabajar, mientras que su colega con frecuencia a esta hora todavía se encontraba despierto, después de haber pasado toda la noche trabajando. Con frecuencia, quienes visitaban a Taniyama lo encontraban dor- mido en la mitad de la tarde. Mientras Shimura era melindroso, Taniyama era descuidado, casi al punto de la pereza. No obstante, este era un aspecto que Shimura admiraba: “Estaba dotado con la capacidad especial de cometer muchos errores, la mayoría en la dirección correcta. Yo le envidiaba esto y trataba en vano de imitarlo, pero me resultaba muy difícil cometer buenos errores”. Taniyama era la personificación del genio distraído, y esto se reflejaba en su apariencia. Era incapaz de hacer un nudo decente, así que decidió que en vez de amarrarse los zapatos una docena de veces al día no se los amarraría. Siem- pre usaba el mismo vestido verde de extraño brillo metálico. Estaba hecho con una tela tan extravagante que él fue el único en la familia en aceptarla. Cuando se conocieron en 1954, Taniyama y Shimura apenas comenzaban sus carreras matemáticas. La tradición era, y todavía es, que los jóvenes investigadores sean adoptados por un profesor que oriente su desarrollo, pero Taniyama y Shimura rechazaron este tipo de aprendizaje. Durante la guerra, la verdadera investigación había quedado suspendida, y ni siquiera en la década de los cincuenta la Facultad de Demostración por contradicción 27% matemáticas se había recuperado. De acuerdo con Shimura, los profesores estaban “cansados, hastiados y desilusionados”. En comparación, los estudiantes de posguerra eran apasio- nados y estaban ansiosos de aprender, y pronto comprendieron que la única forma de avanzar era de forma autodidacta. Los estudiantes organizaron seminarios regulares, turnándose para informarse unos a otros acerca de las últimas técnicas y avances. Á pesar de su actitud indolente, a la hora de los seminarios Taniyama era una poderosa fuerza de impulso. Estimulaba a los estudiantes mayores a explorar territorio desconocido, mientras que para los estudiantes jóvenes se convertía en una figura paternal. Debido a su aislamiento, los seminarios con frecuencia cubrían temas ya desactualizados en Europa y Estados Unidos. La ingenuidad de los estudiantes se reflejaba en el hecho de que estudiaban ecuaciones que ya habían sido abandonadas en Occidente. Un tópico bastante fuera de moda que fascinaba tanto a Taniyama como a Shimura era el estudio de las formas modulares. Las formas modulares constituyen uno de los más extraños y maravillosos objetos de las matemáticas. Son una de las entidades más esotéricas de esta disciplina y, sin embargo, el teórico de los números del siglo xx Martin Eichler las catalogó como una de las cinco operaciones fundamentales: adición, sustracción, multiplicación, división y formas modulares. La mayoría de los matemáticos se considerarían maestros de las primeras cuatro, pero la quinta todavía la encuentran un poco confusa. EL: DE ÚLTIMO FERMAT TEOREMA 272 Figura 18. Un cuadrado simple exhibe tanto simetría rotacional como reflexiva. El aspecto clave de las formas modulares es su excesivo nivel de simetría. Aunque la mayoría de la gente está familiarizada con el concepto cotidiano de simetría, éste tiene un significado muy particular en las matemáticas: un objeto tiene simetría si puede transformarse pero que pueda, después, parecer inalterado. Para poder apreciar la inmensa simetría de una forma modular es útil examinar primero la simetría de un objeto más corriente, como un simple cuadrado. En el caso del cuadrado, se presenta una forma de simetría llamada rotacional. Es decir, si nos imaginamos un pivote en el punto donde se cruzan los ejes x y y, el cuadrado de la figura 18 se puede rotar un cuarto de giro y aparecerá inalterado. En forma similar, rotaciones de medio giro, tres cuartos de giro y un giro completo también dejarán al cuadrado sin alteración aparente. Además de la simetría rotacional, el cuadrado también Demostración por contradicción 273 Figura 19. Una superficie infinita cuadriculada presenta, además de simetría rotacional y reflexiva, simetría de traslación. tiene simetría reflexiva. Si nos imaginamos un espejo colocado a lo largo del eje x, la mitad superior del cuadrado se reflejaría exactamente en la mitad inferior, y viceversa, así que después de la transformación el cuadrado parecerá no haber cambiado. En forma similar podemos definir otros tres espejos (a lo largo del eje y y de las dos diagonales) con los cuales el cuadrado reflejado parecerá idéntico al original. El cuadrado simple es relativamente simétrico y posee simetría tanto rotacional como reflexiva, pero no de trasla- EL DE ÚLTIMO FERMAT TEOREMA 274 Figura 20. Utilizando dos formas diferentes, la cometa y el dardo, Roger Penrose pudo cubrir una superficie. Sin embargo, esta no tiene simetría de traslación. ción. Esto significa que si el cuadrado fuera desplazado en cualquier dirección, un observador detectaría el movimiento inmediatamente porque su posición relativa con respecto a los ejes habría cambiado. Sin embargo, si todo el espacio estuviera cuadriculado como se muestra en la figura 19, esta colección infinita de cuadrados tendría simetría de trasla- ción. Si la superficie cuadriculada infinita fuera desplazada hacia arriba o abajo uno o más cuadrados, la cuadrícula desplazada parecería idéntica a la original. La simetría de superficies cuadriculadas es una idea relativamente simple, pero como ocurre con conceptos en apariencia simples, hay numerosas sutilezas escondidas en ella. Por ejemplo, en la década de los setenta, el físico y matemático británico Roger Penrose comenzó a jugar con diferentes Demostración por contradicción 275 formas sobre la misma superficie. Finalmente identificó dos particularmente interesantes, la cometa y el dardo, que se muestran en la figura 20. Por separado, ninguna de estas baldosas puede utilizarse para cubrir una superficie sin traslaparse ni dejar vacíos, pero juntas pueden utilizarse para crear una rica gama de diseños. Las cometas y los dardos pueden ensamblarse en un número infinito de maneras, y aunque cada diseño es aparentemente similar a los otros, en detalle todos son diferentes. En la figura 20 se muestra un diseño hecho de cometas y dardos. Otro aspecto sorprendente de los mosaicos de Penrose (los diseños generados por formas como la cometa y el dardo) es que exhiben un nivel muy restringido de simetría. Á primera vista parecería que el mosaico de la figura 20 presenta simetría de traslación y, sin embargo, cualquier inten- to de desplazar el diseño de tal manera que efectivamente permanezca inalterado termina en fracaso. Los mosaicos de Penrose son engañosamente asimétricos, y esta es la razón por la cual fascinan a los matemáticos y han dado lugar a una nueva rama de las matemáticas. Curiosamente, los mosaicos de Penrose han tenido tam- bién repercusiones en la ciencia de materiales. Los expertos en cristalografía siempre creyeron que los cristales tenían que estar construidos con base en los principios de las cuadrículas y con un alto nivel de simetría de traslación. En teoría, la construcción de cristales dependía de una estructura muy regular y repetitiva. Sin embargo, en 1984 unos científicos descubrieron un cristal metálico hecho de alumi- EL ÚLTIMO DE FERMAT TEOREMA 276 Figura 21. Circle Limit IV de Mauritz Escher transmite algo de la simetría de las formas modulares. nio y manganeso que estaba construido con base en los principios de Penrose. El mosaico de aluminio y manganeso se comportaba como los cometas y los dardos, de modo que generaba un cristal casi regular, aunque no alcanza a serlo. Hace poco una compañía francesa desarrolló recientemente un cristal de Penrose que se utiliza como cobertura para sarEEES: Demostración por contradicción 2 Mientras que lo fascinante de los mosaicos de Penrose es su simetría restringida, la propiedad interesante de las formas modulares es que exhiben simetría infinita. Las formas modulares estudiadas por Taniyama y Shimura se pueden desplazar, intercambiar, rotar y reflejar en un número infinito de maneras y aun así permanecen inalteradas, lo que hace de ellas los objetos matemáticos más simétricos. Cuando el eru- dito francés Henri Poincaré estudió las formas modulares en el siglo XIX, tuvo grandes dificultades para asimilar su im- mensa simetría. Después de trabajar con un tipo especial de forma modular, les contó a sus colegas cómo, durante dos semanas, se levantó todos los días a buscar un error en sus cálculos. A los quince días entendió y aceptó que las formas modulares son, en efecto, simétricas en extremo. Desafortunadamente dibujar, o incluso imaginarse una forma modular es imposible. En el caso de las superficies cuadriculadas tenemos un objeto que vive en dos dimensiones y cuyo espacio está definido por el eje x y el eje y. Una forma modular también está definida por dos ejes, pero ambos son complejos, es decir, cada uno tiene una parte real y una imaginaria de manera que cada eje se convierte en dos. Por lo tanto, el primer eje complejo debe ser representado por dos ejes, el eje x, (real) y el eje x, (imaginario), y el segundo eje complejo se representa por dos ejes, el eje y, (real) y el eje y, (imaginario). Para ser precisos, las formas modulares viven en la mitad superior de este espacio complejo, pero lo más importante es observar que se trata de un espacio de cuatro dimensiones (X,, X,, Y,, Y). EL DE ÚLTIMO FERMAT TEOREMA 278 Este espacio de cuatro dimensiones se llama espacio h1perbólico. El universo hiperbólico es de difícil comprensión para los humanos, que estamos restringidos a vivir en un mundo convencional de tres dimensiones. No obstante, el espacio de cuatro dimensiones es un concepto matemática- mente válido, y es esta dimensión adicional la que les da a las formas modulares un nivel tan alto de simetría. El artista Mauritz Escher estaba fascinado por las ideas matemáticas y trató de transmitir el concepto de espacio hiperbólico en algunos de sus grabados y dibujos. La figura 21 muestra el dibujo Circle Limit IV de Escher, que implanta el mundo hiperbólico en una página de dos dimensiones. En un espacio hiperbólico de verdad los murciélagos y los ángeles tendrían el mismo tamaño, y la repetición es una señal del alto nivel de simetría. Aunque algo de esta simetría se puede observar en la página de dos dimensiones, hay una creciente distorsión hacia los extremos del dibujo. Las formas modulares que viven en el espacio hiperbólico tienen varios diseños y tamaños, pero cada una de ellas está construida con los mismos componentes básicos. Lo que diferencia las distintas formas modulares es la cantidad de cada uno de ellos. Los componentes de una forma modular están numerados de uno a infinito (M,, M,, M,,M,,...) así que una forma modular en particular podría contener una carga del primer componente (M, =1), tres cargas del segundo (M, =3), dos cargas del tercero (M, =2), etc. Esta informa- ción que describe cómo está construida una forma modular puede resumirse en lo que se conoce como una serie modu- Demostración por contradicción 279 lar o serie M, una lista de los componentes y la cantidad requerida de cada uno: Serie M: M, =1, M, =3, M.=2, Así como la serie E es el ADN de las ecuaciones elípticas, la serie M es el ADN de las formas modulares. La cantidad de cada componente enunciado en la serie M es crítica. De- pendiendo de cómo uno cambie la cantidad de, digamos, el primer componente puede generar una forma modular completamente diferente pero con igual simetría o destruir del todo la simetría y generar un objeto nuevo que no es una forma modular. Si la cantidad de cada componente se escoge de manera arbitraria, el resultado probablemente será un objeto con poca o ninguna simetría. Las formas modulares son objetos bastante independientes dentro de las matemáticas. En particular, parecen no tener ninguna relación con el tema que Wiles estudiaría en Cambridge, las ecuaciones elípticas. La forma modular es un monstruo muy complicado, estudiado principalmente por su simetría, y que sólo fue descubierta en el siglo xIX. La ecuación elíptica se remonta a los antiguos griegos y nada tiene que ver con la simetría. Las formas modulares y las EL DE ÚLTIMO FERMAT TEOREMA 280 En 1955 Goro Shimura y Yutaka Taniyama asistieron a un simposio internacional en Tokio. ecuaciones elípticas viven en regiones completamente diferentes del cosmos matemático, y nadie jamás habría creído que había el más remoto vínculo entre los dos temas. Sin embargo, Taniyama y Shimura habrían de sorprender a la comunidad matemática al sugerir que las ecuaciones elípti- cas y las formas modulares era una y la misma cosa. De acuerdo con estos dos heterodoxos matemáticos, ellos podían unificar los mundos modular y elíptico. PENSAR CON EL DESEO En septiembre de 1955 se llevó a cabo un simposio internacional en Tokio. Fue una oportunidad única para que Demostración por contradicción 281 los muchos jóvenes investigadores japoneses le mostraran al resto del mundo lo que habían aprendido. Circularon una colección de 36 problemas relacionados con su trabajo acompañada de una humilde introducción: Algunos problemas sin resolver de las matemáticas: no ha habido preparación exhaustiva, así que puede haber algunos problemas triviales u otros que ya hayan sido resueltos. Se les solicita a los participantes que hagan sus comentarios sobre cualquiera de estos problemas. Cuatro de los problemas eran de Taniyama,; y estos imsinuaban una curiosa relación entre formas modulares y ecuaciones elípticas. Estas preguntas inocentes habrían de producir en últimas una revolución en la teoría de números. Taniyama había investigado los primeros términos de la serie M de una forma modular en particular. Reconoció el patrón y se dio cuenta de que era idéntica a la lista de números en la serie E de una ecuación elíptica muy conocida. Calculó unos pocos términos en cada serie y todavía la serie M de la forma modular y la serie E de la ecuación elíptica correspon- dían exactamente. Este era un descubrimiento asombroso pues, sin ninguna razón aparente, esta forma modular podía relacionarse con una ecuación elíptica a través de sus respectivas series, la serie M y la serie E: eran idénticas. El ADN matemático que constituía estas dos entidades era exactamente el mismo. Era además, un descubrimiento de doble mérito: primero, sugería que en el fondo había una relación profunda entre la forma modular y la ecuación elíptica, objetos que provienen de extremos opuestos de las matemáticas; segun- EL DE TÚLTIMO FERMAT TEOREMA DS do, significaba que los matemáticos, que ya conocían la serie M de alguna forma modular en particular, no tendrían que calcular la serie E de la ecuación elíptica correspondiente porque eran idénticas. La relación entre temas aparentemente diferentes son, en términos creativos tan importantes en las matemáticas como en cualquier otra disciplina. La relación insinúa alguna verdad subyacente que enriquece a ambas materias. Por ejemplo, originalmente los científicos estudiaron la electricidad y el magnetismo como dos fenómenos completamente aislados. Luego, en el siglo xIx, los teóricos y experimentadores se dieron cuenta de que electricidad y magnetismo estaban íntimamente relacionados. Esto resultó en una comprensión más profunda de ambos fenómenos. Las corrientes eléctricas generan campos magnéticos, y los imanes pueden generar electricidad en los cables cercanos. Esto llevó a la invención del dinamo y el motor eléctrico y, en últimas, al descubrimiento de que la luz es el resultado de campos magnéticos y eléctricos que oscilan en armonía. Taniyama examinó otras formas modulares, y en cada caso la serie M parecía corresponder perfectamente con la serie E de una ecuación elíptica. Se preguntó si podría ser que a toda forma modular le correspondiera una ecuación elíptica. Quizás toda forma modular tiene el mismo ADN que una ecuación elíptica; quizás cada forma modular es una ecuación elíptica disfrazada. Las preguntas que distribuyó en el simposio estaban relacionadas con estas hipótesis. La idea de que cada ecuación elíptica estaba relaciona- Demostración por contradicción 28 y) Goro Shimura todavía conserva la última carta que recibió de su amigo y colega Yutaka Taniyama. EL DE ÚLTIMO FERMAT TEOREMA 284 da con una forma modular era tan extraordinaria que aquellos que examinaron las preguntas de Taniyama las trataron apenas como una observación curiosa. Ciertamente, Taniyama había demostrado que unas pocas ecuaciones elípticas pueden relacionarse con formas modulares particulares, pero sostenían que esto no era más que una coincidencia. De acuerdo con los escépticos, la hipótesis de Taniyama de que había una relación más general y universal carecía en su mayor parte de fundamento. La hipótesis estaba basada en la intuición, más que en evidencia real. El único aliado de Taniyama era Shimura, que creía en el poder y la profundidad de la idea de su amigo. Después del simposio trabajó con Taniyama en un intento por desarrollar la hipótesis hasta el punto en que el resto del mundo no pudiera seguir ignorando su trabajo. Shimura quería encontrar más evidencia para respaldar la relación entre los mundos modular y elíptico. Esta colaboración fue temporal mente interrumpida en 1957, cuando Shimura fue invitado a asistir al Instituto de Estudios Avanzados de Princeton. Después de sus dos años como profesor visitante en Estados Unidos quiso continuar trabajando con Taniyama, pero esto no pudo ser. El 17 de noviembre de 1958, Yutaka Taniyama se suicidó. LA MUERTE DE UN GENIO Shimura todavía conserva la postal que Taniyama le mandó cuando hicieron contacto por primera vez a propósi- Demostración por contradicción 285 to de un libro de la biblioteca. Conserva también la última carta que Taniyama le envió a Princeton, pero esta no contiene la más mínima pista de lo que sucedería apenas dos meses después. Hasta el día de hoy Shimura no entiende lo que pudo haber detrás del suicidio de Taniyama. “Quedé perplejo. Perplejidad es quizá la mejor palabra. Claro que estaba triste, pero todo fue muy repentino. Recibí su carta en septiembre y murió a principios de noviembre, y nunca pude entender el sentido de esto. Por supuesto que después escuché varias cosas y traté de resignarme a su muerte. Al- gunas personas dijeron que había perdido la confianza en sí mismo, aunque no en el aspecto profesional” Algo especialmente confuso para los amigos de Taniyama era que él se había enamorado de Misako Suzuki y tenía planeado casarse con ella ese año. En un homenaje personal publicado en el Bulletin of the London Mathematical Society, Goro Shimura recuerda el compromiso de Taniyama con Misako y las semanas que precedieron al suicidio: Cuando supe del compromiso quedé algo sorprendido, pues yo pensaba vagamente que ella no era su tipo, pero no sentí ninguna aprensión. Me contaron después que habían arrendado un apartamento, aparentemente uno mejor, para su nuevo hogar, que habían comprado juntos algunos artí- culos de cocina y que se estaban preparando para su matrimonio. Todo parecía promisorio para ellos y sus amigos. Luego la catástrofe recayó sobre ellos. En la mañana del lunes 17 de noviembre de 1958, el conserje de su apartamento lo encontró muerto en su cuar- EL DIE JÚDEDUMO FEBRIMAT TEOREMS 286 to, y también una nota que dejó en su escritorio. Estaba escrita en tres páginas de un cuaderno del tipo que había estado usando para su trabajo académico; su primer párrafo decía así: “Hasta ayer, no tenía ninguna intención definitiva de qui- tarme la vida. Pero más que unos pocos han tenido que observar que últimamente he estado cansado física y mentalmente. En cuanto a la causa de mi suicidio, yo mismo no la entiendo, pero no es el resultado de ningún incidente en particular, ni de un asunto específico. Simplemente quisiera decir que estoy en un estado mental en el que he perdido la confianza en mi futuro. Quizás haya alguien para quien mi suicidio será perturbador o, en cierto grado, un golpe. Sinceramente espero que este incidente no arroje una sombra oscura sobre el futuro de esa persona. En todo caso, no puedo negar que esto es una cierta traición, pero, por favor, entiéndase este como el último acto hecho a mi propia manera, tal como he hecho todo en la vida a mi propia manera”. Continuó describiendo, muy metódicamente, qué deseaba que se hiciera con sus pertenencias, y qué libros y discos eran los que había tomado prestados de la biblioteca o de sus amigos, y así sucesivamente. Específicamente dice: “Qui- siera dejarle los discos y el equipo de sonido a Misako Suzuki, siempre y cuando ella no se moleste con el hecho de que yo se los deje”. Explica también qué tanto había avanzado en los cursos de pregrado de cálculo y álgebra lineal que estaba dictando, y concluye la nota disculpándose con sus colegas por las molestias que este acto podría causar. Así, una de las más brillantes y pioneras mentes de su tiempo terminó su vida por voluntad propia. Había llegado a la edad de 31 años sólo cinco días antes. Demostración por contradicción 287 Unas pocas semanas después del suicidio, irrumpió una segunda tragedia: su prometida, Misako Suzuki también se quitó la vida. Según se dijo, dejó una nota que decía: “Nos prometimos el uno al otro que no importara a dónde fuéramos, nunca nos separaríamos. Ahora que él se ha ido, yo también debo irme para estar junto a él”. LA FILOSOFÍA DE LA BONDAD Durante su corta carrera Taniyama aportó muchas ideas radicales a las matemáticas. Las preguntas que distribuyó en el simposio contenían sus ideas más profundas, pero todas estaban tan avanzadas para la época que él no viviría para ver su enorme influencia en la teoría de números. Su creatividad intelectual, junto con su papel de guía dentro de la comunidad de jóvenes científicos japoneses, harían enorme falta. Shimura recuerda claramente la influencia de Taniyama: “Siempre fue amable con sus colegas, especialmente los menores, y se preocupaba de verdad por su bienestar. Era el apoyo moral de muchas personas que tuvieron contacto ma- temático con él, incluyéndome a mí. Probablemente nunca fue consciente del papel que desempeñaba. Pero ahora siento su noble generosidad al respecto mucho más que cuando estaba vivo. Sin embargo, nadie pudo darle apoyo cuando lo necesitaba desesperadamente. Al reflexionar sobre esto, me abruma el dolor más amargo”. Después de la muerte de Taniyama, Shimura concentró todos sus esfuerzos en tratar de entender la relación exac- EL DE ÚLTIMO EERMAT TEOREMA 288 ta entre las ecuaciones elípticas y las formas modulares. A medida que pasaban los años luchó por acumular más evidencia y uno o dos argumentos lógicos para apoyar la teoría. Poco a poco llegó a convencerse de que toda ecuación elíptica debe estar relacionada con una forma modular. Otros matemáticos seguían dudando, y Shimura recuerda una conversación con un colega eminente. El profesor comentó: “He oído decir que usted sugiere que algunas ecuaciones elípticas pueden vincularse con formas modulares”. “No, usted no entiende”, contestó Shimura. “No solamente algunas ecuaciones elípticas, ¡todas!” Shimura no podía demostrar que esto era cierto pero cada vez que ponía a prueba su hipótesis resultaba verdadera, y en cualquier caso todo parecía ajustarse a su filosofía matemática más amplia. “Tengo esta filosofía de la bondad. Las matemáticas deben contener bondad. Así que en el caso de la ecuación elíptica, uno podría decir que la ecuación es buena si puede ser descrita por una forma modular. Yo espero que todas las ecuaciones elípticas sean buenas. Es una filosofía poco elaborada pero constituye un buen comienzo. Luego, por supuesto, tuve que desarrollar varias razones téc- nicas para la conjetura. Yo diría que la conjetura surgió de la filosofía de esa bondad. La mayoría de los matemáticos hacen matemáticas desde un punto de vista estético, y esa filosofía de la bondad proviene de mi punto de vista estético”. Finalmente la evidencia que acumuló Shimura hizo que su teoría acerca de las formas modulares y las ecuaciones elípticas fuera aceptada más ampliamente. No podía demos- Demostración por contradicción 289 trarle al resto del mundo que era verdadera, pero por lo menos ahora no era solamente especulación suya. Había suficiente evidencia como para que mereciera el título de conjetura. En un principio se le conoció como la conjetura de Taniyama-Shimura, en honor de la persona que la inspiró y de su colega que posteriormente la desarrolló por completo. Con el tiempo, André Weil, uno de los padrinos de la teoría de números en el siglo Xx, habría de adoptar la conjetura y divulgarla en Occidente. Weil investigó la idea de Shimura y Taniyama y encontró más evidencia sólida a su favor. Como resultado de esto, la hipótesis con frecuencia era llamada conjetura de Taniyama-Shimura-Weil, a veces conjetura de Taniyama-Weil y en ocasiones la conjetura de Weil. De hecho, el nombre oficial de la conjetura ha suscitado muchas controversias. Para aquellos interesados en la combinatoria, hay 15 posibles permutaciones de los tres nombres involucrados, y es muy probable que cada una de estas combinaciones haya salido impresa alguna vez a lo largo de los años. Sin embargo, yo me referiré a ella con su título original, conjetura de Taniyama-Shimura. El profesor John Coates, quien guió a Andrew Wiles cuando este era estudiante, era él mismo un estudiante cuando se comenzó a hablar de la conjetura de Taniyama-Shimura en Occidente. “Yo empecé a investigar en 1966, cuando la conjetura de Taniyama-Shimura estaba recorriendo el planeta. Todo el mundo estaba sorprendido y se tomó en serio el asunto de si todas las ecuaciones elípticas eran modulares. EL DE ÚLTIMO FERMAT TEOREMA 290 Fue una época tremendamente emocionante; el único problema, por supuesto, era que parecía muy difícil hacer cualquier avance. Creo que es justo decir que, a pesar de lo bella que es, la idea parecía muy difícil de demostrar, y eso es lo que nos interesa principalmente a los matemáticos”. A finales de los años sesenta, muchos matemáticos probaron repetidamente la conjetura de Taniyama-Shimura. Al comenzar con una ecuación elíptica y su serie E, buscaban una forma modular con una serie M idéntica. En todos los casos la ecuación elíptica tenía en efecto una forma modular asociada. Aunque esto era buena evidencia en favor de la conjetura de Taniyama-Shimura, no era en modo alguno una demostración. Los matemáticos sospechaban que era cierta, pero hasta que alguien pudiera encontrar una demostración lógica seguiría siendo solamente una conjetura. Barry Mazur, un profesor de la Universidad de Harvard, fue testigo del ascenso de la conjetura de Taniyama-Shimura. “Era una conjetura maravillosa, la idea de que toda ecuación elíptica está asociada con una forma modular, pero en un comienzo fue ignorada porque se adelantó a su tiempo. Cuando fue propuesta por primera vez nadie la acogió porque era muy sorprendente. Por un lado, está el mundo elíptico y por otro, el modular. Estas dos ramas de las matemáticas han sido estudiadas intensamente, pero por separado. Los ma- temáticos que estudian las ecuaciones elípticas pueden no ser muy versados en asuntos modulares, y viceversa. Luego aparece la conjetura de Taniyama-Shimura, que es la gran suposición de que hay un puente entre estos dos mundos Demostración por contradicción completamente diferentes. 291 A los matemáticos les encanta construir puentes”. El valor de los puentes matemáticos es enorme. Permi- ten que comunidades de matemáticos que han estado viviendo en islas separadas puedan intercambiar ideas y explorar mutuamente sus creaciones. Las matemáticas son un compendio de islas de conocimiento en un mar de ignorancia. Por ejemplo, está la isla de los geómetras, que estudian el espacio y las formas, y está la isla de la probabilidad, donde los matemáticos discuten el riesgo y el azar. Hay docenas de esas islas, cada una con su idioma propio, incomprensible para los habitantes de otras islas. El lenguaje de la geome- tría es bastante diferente del lenguaje de la probabilidad, y la jerga del cálculo no tiene ningún sentido para aquellos que hablan sólo de estadística. El gran potencial de la conjetura de Taniyama-Shimura radicaba en que conectaría a dos islas y permitiría que se comunicaran entre ellas por primera vez. Barry Mazur considera la conjetura de Taniyama-Shimura como un disposi- tivo de traducción similar a la piedra de Rosetta, que contenía textos en egipcio demótico, griego antiguo y jeroglíficos. Debido a que el demótico y el griego ya se entendían, los arqueólogos pudieron descifrar los jeroglíficos por primera vez. “Es como si uno conoce un idioma y esta piedra de Rosetta le da una enorme comprensión de otro idioma”, dice Mazur. “Pero la conjetura de Taniyama-Shimura es una piedra de Rossetta con cierto poder mágico. La conjetura tiene un rasgo muy agradable: simples intuiciones del mundo EL DE ÚLTIMO FERMAT TEOREMA 292 modular se traducen en verdades profundas del mundo elíptico, y viceversa. Lo que es más, problemas muy profundos del mundo elíptico pueden a veces ser resueltos utilizando la piedra Rosetta para traducirlos al mundo modular y tra- tándolos con los conocimientos y las herramientas de este. Si todavía estuviéramos en el mundo elíptico estaríamos perdidos”. Si la conjetura de Taniyama-Shimura era verdadera, ello permitiría a los matemáticos abordar, a través del mundo modular, problemas elípticos que habían permanecido sin resolver durante siglos. La esperanza era que los campos de las ecuaciones elípticas y las formas modulares se pudieran unificar. La conjetura también alimentaba la esperanza de que hubiera eslabones entre otros campos de las matemáticas. Durante la década de los sesenta, Robert Langlands, del Instituto de Estudios Avanzados de Princeton, quedó impresionado por la potencia de la conjetura de Taniyama- Shimura. Aunque la conjetura no había sido demostrada, Langlands creía que era apenas un elemento de un esquema unificado mucho más grande. Confiaba en que hubiera eslabones entre todos los campos matemáticos, y comenzó a buscar estos puntos de unión. En pocos años los eslabones comenzaron a aparecer. Todas estas conjeturas de unificación eran mucho más débiles y especulativas que la de TaniyamaShimura, pero formaban una red intrincada de conexiones hipotéticas entre muchas áreas de las matemáticas. El sueño de Langlands era que estas conjeturas fueran demostradas Demostración por contradicción 293 una por una y condujeran a una gran unificación de las matemáticas. Langlands presentó su plan para el futuro y trató de convencer a otros matemáticos de tomar parte en lo que se llegó a conocer como el programa Langlands, un esfuerzo concertado para demostrar su multitud de conjeturas. No parecía haber una manera obvia de demostrar tales eslabones especulativos, pero si el sueño se pudiera hacer realidad la recompensa sería enorme. Un problema sin resolver en un área de las matemáticas podría transformarse en un problema análogo en otra área, donde un nuevo arsenal de ideas podría utilizarse para abordarlo. Si la solución todavía era evasiva, el problema podría ser transformado y transportado de nuevo a otra área de las matemáticas, y así sucesivamente hasta que fuera resuelto. Algún día, de acuerdo con el programa de Langlands, los matemáticos podrían resolver los problemas más esotéricos y complicados simplemente pa- seándolos por el paisaje matemático. Había también implicaciones importantes para las ciencias aplicadas y la ingeniería. Ya sea que se trate de modelar las interacciones entre quarks en colisión o de descubrir la manera más eficiente de organizar una red de telecomunica- ciones, con frecuencia la clave del problema consiste en ejecutar un cálculo matemático. En algunas áreas de la ciencia y la tecnología la complejidad de los cálculos es tal que el progreso en la materia se ha visto severamente obstaculizado. Si los matemáticos pudieran demostrar las conjeturas EL DE ÚLTIMO FERMAT TEOREMA 294 del programa de Langlands, habría atajos para resolver problemas del mundo real, como también para resolver problemas abstractos. En la década de los setenta, el programa de Langlands ya se había convertido en el plan de acción para el futuro de las matemáticas, pero esta ruta hacia el paraíso de la solución de problemas estaba bloqueada por el simple hecho de que nadie tenía una idea real de cómo demostrar ninguna de las conjeturas de Langlands. La conjetura más fuerte del programa era todavía la de Taniyama-Shimura, pero incluso esta estaba fuera de alcance. Una demostración de la conjetura de Taniyama-Shimura sería el primer paso en el programa Langlands, y como tal se había convertido en uno de los premios más grandes en la moderna teoría de números. A pesar de su estatus de conjetura sin demostrar, la de Taniyama-Shimura todavía era mencionada en cientos de artículos de investigación matemática que especulaban sobre lo que sucedería si pudiera demostrarse. Los artículos comenzaban con la aclaración “Suponiendo que la conjetura de Taniyama-Shimura es verdadera ...”, y a continuación hacían el bosquejo de la solución de algún problema sin resolver. Por supuesto que estos resultados eran sólo hipotéticos, pues dependían de que la conjetura de TaniyamaShimura fuera verdad. Estos nuevos resultados hipotéticos eran incorporados a otros resultados, y así llegó a existir una plétora de matemáticas que dependían de la veracidad de la conjetura de Taniyama-Shimura. Esta sola conjetura era la base de toda una nueva arquitectura de las matemáticas, pero Demostración por contradicción 2095 hasta cuando se la pudiera demostrar toda la estructura era vulnerable. Por esa época, Wiles era un joven investigador en la Universidad de Cambridge; ahora recuerda la aprensión que contagió a la comunidad matemática en los setenta: “Construimos más y más conjeturas que se extendían más y más hacia el futuro, pero todas serían ridículas si la de TaniyamaShimura no era verdad. Así que teníamos que demostrar la conjetura para probar que todo este proyecto que con tantas esperanzas habíamos diseñado para el futuro era correcto”. Los matemáticos habían construido un frágil castillo de naipes. Soñaban con que algún día alguien le daría a su estructura la base sólida que necesitaba. Tenían también que vivir con la pesadilla de que algún día alguien pudiera demostrar que Taniyama y Shimura estaban equivocados, haciendo que dos décadas de investigación se derrumbaran. EL ESLABÓN PERDIDO Durante el otoño de 1984, un selecto grupo de teóri- cos de los números se reunió para un simposio en Oberwolfach, una pequeña ciudad en el corazón de la Selva Negra, en Alemania. Su propósito era discutir varios avances en el estudio de las ecuaciones elípticas y, naturalmente, algunos de los conferencistas ocasionalmente informaban acerca de cualquier progreso menor que hubieran hecho en la demostración de la conjetura de Taniyama-Shimura. Uno de los conferencistas, Gerhard Frey, un matemático de EL DE ÚLTIMO FERMAT TEOREMA 296 Saarbriicken, no podía ofrecer muevas ideas acerca de cómo abordar la conjetura, pero sí hizo el anuncio sorprendente de que cualquiera que pudiera demostrar la conjetura de Taniyama-Shimura de inmediato habría también demostrado el último teorema de Fermat. Cuando Frey se dispuso a hablar comenzó a escribir la ecuación de Fermat: xx +y =Z n donde n es mayor que 2. El último teorema de Fermat sostiene que no hay soluciones en números enteros para esta ecuación, pero Frey investigó qué pasaría si el último teorema fuera falso, es decir, si tuviera por lo menos una solución. Frey no sabía cuál podría ser esta solución hipotética y herética, así que designó los números desconocidos con las letras A, B y C: Ps N 0 N N AMES Erey procedió a “reorganizar” la ecuación. Este es un procedimiento matemático riguroso que cambia la apariencia de la ecuación sin alterar su integridad. Mediante una serie ingeniosa de maniobras complicadas, Frey convirtió la ecuación original de Fermat, con la solución hipotética, en Z y =x 3 +(A N =B N 2 N pN )x SAD. Aunque este nuevo arreglo parece muy diferente a la ecuación original, es una consecuencia directa de la solución hipotética. Es decir que si —y este es un “si” muy grande— hay una solución de la ecuación de Fermat y el último teorema Demostración por contradicción 297 de Fermat es falso, entonces esta nueva ecuación tiene que existir. Inicialmente la audiencia de Frey no estaba muy impresionada con su arreglo, pero luego señaló que la nueva ecuación era de hecho una ecuación elíptica aunque un poco complicada y exótica. Las ecuaciones elípticas tienen la forma y 2 =x 3 +ax 2 +bx+c, pero si hacemos que aaa: qu Ep Sn E GEA RBA entonces es más fácil ver la naturaleza elíptica de la ecuación de Frey. Convirtiendo la ecuación de Fermat en una ecuación elíptica, Frey vinculó el último teorema de Fermat con la conjetura de Taniyama-Shimura. Frey luego le mostró a la audiencia que su ecuación elíptica, creada a partir de la solución de la ecuación de Fermat, es verdaderamente extraña. De hecho, Frey sostenía que su ecuación elíptica es tan rara que las repercusiones de su existencia serían devastadoras para la conjetura de Taniyama-Shimura. Recuérdese que la ecuación elíptica de Frey es sólo una ecuación fantasma. Su existencia depende del hecho de que el último teorema de Fermat sea falso. Sin embargo, si la ecuación elíptica de Frey existe, entonces es tan rara que aparentemente es imposible relacionarla con una forma modular. Pero la conjetura de Taniyama-Shimura sostiene que EL DE ÚLTIMO FERMAT TEOREMA 2098 toda ecuación elíptica tiene que estar relacionada con una forma modular. Por lo tanto, la existencia de la ecuación elíptica de Frey desafía la conjetura de Taniyama-Shimura. En otras palabras, el argumento de Frey es como sigue: (1) Si (y solo si) el último teorema de Fermat es erró- neo, existe la ecuación elíptica de Erey. (2) La ecuación elíptica de Frey es tan rara que nunca podrá ser modular. (3) La conjetura de Taniyama-Shimura sostiene que toda ecuación elíptica debe ser modular. (4) ¡Por lo tanto, la conjetura de Taniyama-Shimura es falsa! Por otro lado, y de una manera más significativa, el argumento de Frey habría podido invertirse: (1) Si la conjetura de Taniyama-Shimura puede demostrarse como verdadera, entonces toda ecuación elíptica debe ser modular. (2) Si toda ecuación elíptica es modular, entonces no puede existir la ecuación elíptica de Frey. (3) Si la ecuación elíptica de Frey no existe entonces no puede haber soluciones a la ecuación de Fermat. (4) ¡Por lo tanto, el último teorema de Fermat es verdadero! Gerhard Frey había llegado a la dramática conclusión de que la verdad del último teorema de Fermat sería una consecuencia inmediata de la demostración de la conjetura de Taniyama-Shimura. Frey sostenía que si los matemáticos podían demostrar esta conjetura entonces automáticamente Demostración por contradicción 299 habrían demostrado el último teorema de Fermat. Por primera vez en cien años el problema matemático más difícil del mundo parecía vulnerable. De acuerdo con Frey, demostrar la conjetura de Taniyama-Shimura era el único obstáculo para demostrar el último teorema de Fermat. Aunque la audiencia estaba impresionada con la brillante idea de Frey, también quedó sorprendida por un error elemental en su lógica. Casi todos en el auditorio, excepto el mismo Frey, lo habían visto. El error no parecía grave, sin embargo, en esas condiciones, el trabajo de Frey estaba incompleto. Quien quiera que fuera el primero en corregir el error se llevaría el crédito por establecer el vínculo entre Fermat y Taniyama-Shimura. La audiencia de Frey salió corriendo del auditorio y se dirigió a la sala de fotocopias. A menudo la importancia de una conferencia se puede medir por la longitud de la fila para sacar copias del manuscrito. Una vez tuvieron un esquema completo de las ideas de Frey, todos regresaron a sus respectivos institutos y trataron de reparar el error. El argumento de Frey dependía del hecho de que su ecuación elíptica derivada de la ecuación de Fermat era tan extraña que no era modular. Su trabajo estaba incompleto porque no había demostrado del todo que su ecuación elíptica era lo suficientemente rara. Sólo cuando alguien pudiera demostrar la rareza absoluta de la ecuación elíptica de Frey podría decirse que una demostración de la conjetura de Taniyama-Shimura implica una demostración del último teorema de Fermat. EL DE ÚLTIMO FERMAT TEOREMA 300 En un principio, los matemáticos creyeron que demostrar la rareza de la ecuación elíptica de Frey sería un proceso bastante rutinario. Á primera vista el error de Frey parecía elemental y todos los que habían estado presentes en Oberwolfach asumieron que iba a haber una carrera para ver quién sería el más rápido en corregirlo. La expectativa era que antes de unos pocos días alguien enviaría un mensaje por correo electrónico describiendo cómo había comprobado la verdadera rareza de la ecuación elíptica de Erey. Una semana pasó y no hubo tal mensaje por correo electrónico. Pasaron meses y lo que se suponía que iba a ser una carrera matemática de corto alcance se estaba convirtiendo en una maratón. Parecía que Fermat todavía estaba molestando y atormentando a sus descendientes. Frey había hecho el bosquejo de una tentadora estrategia para demostrar el último teorema de Fermat, pero incluso el primer paso elemental, probar que la ecuación elíptica de Frey no es modular, tenía confundidos a los matemáticos de todo el mundo. Para demostrar que una ecuación no es modular, los matemáticos estaban buscando invariantes similares a las descritas en el capítulo 4. Las invariantes de los nudos mostraban que un nudo no puede transformarse en otro, y la invariante del acertijo de Loyd mostraba que su acertijo 1415 no podía ser reacomodado en el orden correcto. Si los teóricos de los números pudieran descubrir una invariante apropiada para describir la ecuación elíptica de Frey, entonces podrían demostrar que, no importa lo que se haga con ella, nunca podría transformarse en una forma modular. Demostración por contradicción Ken Ribet 301 EL DE ÚLTIMO FERMAT TEOREMA 302 Uno de los que estaba trabajando para demostrar y completar la conexión entre la conjetura de Taniyama-Shimura y el último teorema de Fermat era Ken Ribet, un profesor de la Universidad de California en Berkeley. Desde la conferencia de Oberwolfach, Ribet se había obsesionado con la idea de demostrar que la ecuación elíptica de Frey es demasiado rara para ser modular. Después de dieciocho meses de esfuerzos ni él ni los demás habían llegado muy lejos. Luego, en el verano de 1986, un colega de Ribet, el profesor Barry Mazur estuvo de visita en Berkeley para asistir al Congreso Internacional de Matemáticos. Los dos amigos se encontraron para tomarse un capuchino en el Café Strada, compartir historias de mala suerte y quejarse del estado de las matemáticas. En algún momento comenzaron a discutir las últimas noticias acerca de los varios intentos de demostrar la rareza de la ecuación elíptica de Frey, y Ribet explicó una estrategia tentativa que había estado explorando. Este método parecía vagamente promisorio, pero Ribet sólo podía demostrar una parte pequeña de él. “Me senté con Barry y le dije en qué estaba trabajando. Mencioné que había demostrado un caso muy especial, pero no sabía qué hacer después para generalizarlo y obtener la demostración completa”. El profesor Mazur bebió su capuchino y escuchó la idea de Ribet. Luego se detuvo y miró a Ken, incrédulo. “¿Pero es que no ves? ¡Ya lo hiciste! Todo lo que tienes que hacer es agregar un gamma-cero de estructura (M) y simplemente Demostración por contradicción 303 repetir el argumento y todo funciona. Te da todo lo que ne- cesitas”. Ribet miró a Mazur, miró su capuchino y miró de nuevo a Mazur. Era el momento más importante de la carrera de Ribet, y él lo recuerda con todos los detalles. “Le dije que tenía toda la razón, por supuesto, ¿cómo no había visto esto? Estaba completamente sorprendido porque nunca se me había ocurrido agregar un gamma-cero de estructura (M), tan simple como suena”. Debe observarse que, aunque agregar gamma-cero de estructura (M) le parece sencillo a Ken Ribet, es un esotérico paso de lógica que sólo a unos pocos de los matemáticos del mundo se les habría ocurrido mientras tomaban una taza de capuchino. “Era el ingrediente crucial que me faltaba y había estado ahí, mirándome a la cara. Regresé a mi apartamento en una nube pensando: Por Dios, ¿será esto verdad? Estaba completamente cautivado, me senté y comencé a hacer garabatos en una hoja. Después de una o dos horas ya había escrito todo y verificado que entendía los pasos claves y que todo se ajustaba entre sí. Repasé mi argumento y me dije, sí, absolutamente, esto tiene que funcionar. Y claro, había miles de matemáticos en el Congreso Internacional, e informalmente les dije a varias personas que había demostrado que la conjetura de Taniyama-Shimura implica el último teorema de Fermat. Esto se regó como un incendio sin control y pronto grandes grupos de personas lo sabían; corrían a preguntar- EL ÚLTIMO DE FERMAT TEOREMA 304 me, ¿Es cierto que demostraste que la ecuación elíptica de Frey no es modular? Tenía que pensar durante un minuto y de repente decía, Sí, lo demostré. El último teorema de Fermat estaba ahora inextricablemente vinculado con la conjetura de Taniyama-Shimura. Si alguien pudiera demostrar que toda ecuación elíptica es modular, esto implicaría que la ecuación de Fermat no tiene soluciones, e inmediatamente se demostraría el último teorema de Fermat. Por tres siglos y medio el último teorema de Fermat había sido un problema aislado, un acertijo curioso e imposible en el borde de las matemáticas. Ahora Ken Ribet, inspirado por Gerhard Frey, lo había puesto en el centro del escenario. El problema más importante del siglo xvu estaba emparejado con el problema más significativo del siglo XX. Un acertijo de enorme importancia histórica y emocional estaba vinculado a una conjetura que podría revolucionar las matemáticas modernas. En efecto, los matemáticos podían ahora aproximarse al último teorema de Fermat con una estrategia de demostración por contradicción. Para probar que es cierto, comenzarían asumiendo que es falso. Esta falsedad implicaría la falsedad de la conjetura de Taniyama-Shimura. Sin embrago, si esta podía ser demostrada ello sería incompatible con la falsedad del último teorema de Fermat, que, por lo tanto, también tendría que ser verdadero. Erey había definido claramente la tarea que quedaba por hacer. Los matemáticos demostrarían automáticamente Demostración por contradicción 305 el último teorema de Fermat si primero podían demostrar la conjetura de Taniyama-Shimura. En un principio renació la esperanza, pero la realidad de la situación pronto se hizo clara. Los matemáticos habían tratado de demostrar la conjetura de Taniyama-Shimura durante treinta años y habían fracasado. ¿Por qué iban ahora a progresar? Los escépticos creían que la poca esperanza que existía antes ahora había desaparecido por completo. Su ló- gica era que cualquier cosa que pudiera llevar a una solución del último teorema de Fermat tenía que ser, por definición, imposible. Aun Ken Ribet, que había hecho el avance crucial, se mostró pesimista: “Yo era una de la inmensa mayoría de personas que creía que la conjetura de Taniyama-Shimura era completamente inaccesible. No pensé ni siquiera en intentar demostrarla. Andrew Wiles era probablemente una de las pocas personas en la tierra que tenía la audacia de soñar que se puede realmente demostrar esta conjetura”. A rata hiso : NO de As Rie a ' lin Al STD TS 1: e ¡ACA Mnar +quhe ul Mp0 AA > A Li urb hy dr at ¿hen aldea tit Ed se du ro eta e A IPR q ho» mi Bi ¿emi ¡UDRA A iRQbeawrallladlars 4 Min vrandst” ido CA OT AD E MAIN Dai ¿estar ras al ima LAMA PD e pl me mirá --. TA Ú a ¿mis og inmerad A tb de Pts de UU E Al yuplar Girón ca ee pd ana lc, ' iii A e eS 10 sra ¿IAE OMA e de ad 2 bs hal AAA Laso AR "VUID-ITOLA = dl e: TS na ib cor an RAR de da vera E Ya dd En Doria e PTA 5 ie 7 Mi quea Se 00 Y PR 07 qe ES O o 10 2 > a o w Una persona experta en resolver problemas tiene que estar dotada de dos cualidades incompatibles: una imaginación incansable y una pertinacia paciente. HOWARD W. EVES 6 El cálculo secreto En 1986 Andrew Wiles se dio cuenta de que podría ser posible demostrar el último teorema de Fermat a través de la conjetura de Taniyama-Shimura. “Fue una tarde al final del verano de 1986, cuando estaba tomando té helado en la casa de un amigo. De pronto, en la mitad de la conversación, me dijo que Ken Ribet había demostrado el vínculo entre Taniyama-Shimura y el último teorema de Fermat. Quedé paralizado. Supe en ese momento que el curso de mi vida estaba cambiando, porque esto significaba que para demostrar el último teorema de Fermat todo lo que tenía que hacer era demostrar la conjetura de Taniyama-Shimura. Significaba que el sueño de mi infancia era un trabajo digno. Supe que nunca podría abandonarlo. Simplemente supe que me iría a casa a trabajar en el acto en la conjetura de Taniyama-Shimura”. Más de dos décadas habían pasado desde que Andrew Wiles descubriera el libro de la biblioteca pública que lo había inspirado a aceptar el reto de Fermat; pero ahora, por primera vez, podía ver un camino hacia el logro de su sueño de infancia. Wiles recuerda cómo su actitud hacia la conjetura de Taniyama-Shimura cambió de una día para otro: “Recordé a un matemático que había descrito la conjetura de Taniyama-Shimura como un ejercicio para el lector interesado. Bueno, ¡creo que ahora yo estaba interesado!” Después de terminar su doctorado con el profesor John Coates en Cambridge, Wiles había cruzado el Atlántico y ahora era profesor en la Universidad de Princeton. Gracias a la orientación de John Coates, Wiles probablemente sabía más acerca de las ecuaciones elípticas que cualquier otra persona en el mundo, pero estaba consciente de que, aun con EL DE ÚLTIMO FERMAT TEOREMA 310 sus enormes conocimientos y habilidades matemáticas, la tarea que tenía por delante era inmensa. La mayoría de los demás matemáticos, entre ellos John Coates, creían que embarcarse en la demostración era un ejercicio inútil. “Yo mismo era muy escéptico de que el hermoso vínculo entre el último teorema de Fermat y la conjetura de Taniyama-Shimura pudiera realmente conducir a algo, porque, tengo que confesar, no pensaba que la conjetura de Taniyama-Shimura fuera posible de demostrar. Á pesar de lo hermoso que era el problema, parecía imposible probarlo. Pensé que no lo vería demostrado en mi vida”. Wiles era consciente de que las probabilidades estaban contra él pero sentía que, aun si al final fracasaba en demostrar el último teorema de Fermat, su esfuerzo no habría sido en vano. “Por supuesto que la conjetura de TaniyamaShimura estaba vigente hace muchos años. Nadie tenía ninguna idea sobre cómo abordarla, pero al menos estaba en la corriente dominante de las matemáticas. Podía intentar demostrar resultados, con lo cual aunque no cubriera la totalidad del teorema, crearía matemáticas que valieran la pena. No sentí que fuera una pérdida de tiempo. Así que el romance con Fermat que me había sostenido toda la vida se combinaba ahora con un problema que era profesionalmente aceptable”. EL ¿RE CILUSONDEINATaiao A la vuelta del siglo se le preguntó al gran lógico Da- El cálculo secreto ES 1D vid Hilbert por qué nunca había intentado una demostración del último teorema de Fermat. Él contestó: “Antes de comenzar tendría que dedicar tres años de estudio intensivo y no tengo tanto tiempo para gastar en un posible fracaso”. Wiles era consciente de que para tener alguna esperanza de encontrar una demostración primero tendría que sumergir- se por completo en el problema pero, a diferencia de Hilbert, estaba dispuesto a correr el riesgo. Leyó todas las revistas especializadas recientes y se puso a trabajar con las últimas técnicas hasta dominarlas totalmente. Para reunir las armas necesarias para la batalla que se avecinaba, Wiles tendría que pasar los siguientes dieciocho meses familiarizándose con todas las matemáticas que alguna vez se hubieran aplicado o se hubieran derivado de las ecuaciones elípticas o las formas modulares. Esta era una inversión comparativamente pequeña teniendo en cuenta que Wiles contaba con que cualquier esfuerzo serio para lograr la demostración podría fácilmente tomar diez años de total dedicación. Wiles abandonó cualquier trabajo ajeno a la demostración del último teorema de Fermat, y dejó de asistir a la interminable ronda de conferencias y coloquios. Como todavía tenía responsabilidades en el Departamento de Matemáticas de Princeton, Wiles continuó asistiendo a seminarios, dictando clases en pregrado y supervisando estudiantes. Cuando le era posible evitaba las distracciones que le causaba el ser miembro de la facultad trabajando en casa, en donde se retiraba a su estudio en el ático. Aquí intentaba expandir y ampliar el poder de las técnicas establecidas con la espe- EL DE ÚLTIMO TEOREMA SE FERMAT ranza de desarrollar una estrategia de ataque a la conjetura de Taniyama-Shimura. “Solía subir a mi estudio y comenzar a buscar patrones. Trataba de hacer cálculos que explicaran algún aspecto de las matemáticas. Trataba de ajustarlos a alguna idea anterior más amplia que clarificara el problema particular en el que estaba pensando. Algunas veces ello implicaba revisar en algún libro para ver cómo lo hacían allí. Algunas veces era cuestión de modificar las cosas un poco mediante algunos cálculos adicionales. Y otras veces me daba cuenta de que nada de lo que se había hecho antes iba a servir. Entonces tenía que encontrar algo completamente nuevo: es un misterio de dónde viene eso. “Se trata básicamente de pensar. Con frecuencia uno escribe algo para aclarar sus pensamientos, pero no es necesario. En particular, cuando uno se tropieza con un verdadero punto muerto, cuando hay un problema real que uno quiere superar, el pensamiento matemático rutinario no sirve para nada. En el camino hacia esa nueva idea tiene que haber un período largo de tremenda concentración en el problema, sin ninguna distracción. Uno no puede pensar en nada distinto al problema; sólo concentrarse en él. Luego uno se detiene. Después hay algo así como un período de relajación durante el cual el subconsciente parece hacerse cargo, y es durante ese interregno cuando surgen algunas nuevas ideas”. Desde el momento en que se embarcó en la demostra- ción, Wiles tomó la sorprendente decisión de trabajar com- El cálculo secreto SL Uy pletamente aislado y en secreto. Las matemáticas modernas han desarrollado una cultura de cooperación y colaboración, así que la decisión de Wiles parecía retroceder a otros tiempos. Era como si estuviera imitando el método de Fermat, el más famoso de los ermitaños matemáticos. Wiles explicó que parte de la razón de su decisión de trabajar en secreto era su deseo de no ser distraído: “Me di cuenta de que cualquier cosa que tenga que ver con el último teorema de Fermat genera mucho interés. No puede uno realmente dedicarse a un objetivo durante varios años, a menos de que tenga una concentración absoluta, que demasiados espectadores habrían destruido”. Otra motivación para que Wiles se mantuviera en secreto tuvo que ser su deseo de gloria. Temía llegar a la situa- ción en que hubiera completado el grueso de la demostración pero todavía le faltara el elemento final del cálculo. En este punto, si la noticia de su avance se filtrara, no habría nada que impidiera a un matemático rival trabajar a partir de lo logrado por Wiles, completar la demostración y alzarse con el premio. En los años siguientes, Wiles haría una serie de descubrimientos extraordinarios, ninguno de los cuales se comen- tó ni se publicó hasta que la demostración estuvo completa. Aun los colegas más cercanos ignoraban lo que investigaba. John Coates puede recordar conversaciones con Wiles en las que no tuvo ninguna pista acerca de lo que estaba sucediendo. “Recuerdo que en varias ocasiones le dije, “Está muy bien este vínculo con el último teorema de Fermat, pero de todos EL DE ÚLTIMO FERMAT TEOREMA 314 modos es inútil de demostrar la conjetura de TaniyamaShimura'. Me parece que simplemente sonreía”. Ken Ribet, quien completó el vínculo entre Fermat y Taniyama-Shimura, tampoco tenía idea acerca de las actividades clandestinas de Wiles. “Este es probablemente el único caso que conozco de alguien que trabajó durante tanto tiempo sin divulgar lo que estaba haciendo, sin hablar del progreso que estaba logrando. De acuerdo con mi experiencia esto no tiene precedentes. En nuestra comunidad la gente siempre comparte sus ideas. Los matemáticos se reúnen en los congresos, se visitan unos a otros y ofrecen seminarios, se envían correo electrónico, hablan por teléfono, piden ideas, piden retroalimentación; los matemáticos siempre es- tán en comunicación. Cuando uno habla con otras personas recibe una palmadita en la espalda, la gente le dice a uno que lo que ha hecho es importante, le da ideas. Es algo enriquecedor y aislarse de ello constituye un comportamiento psicológico muy extraño”. Con el fin de no suscitar sospechas, Wiles se ingenió una estratagema para despistar a sus colegas. Durante comienzos de la década de los ochenta había trabajado en una importante investigación acerca de una ecuación elíptica en particular, que tenía pensado publicar en su totalidad hasta cuando los descubrimientos de Frey y Ribet le hicieron cambiar de opinión. Wiles decidió publicar su investigación por partes, dando a conocer un artículo más o menos cada seis meses. Esta aparente productividad convencería a sus colegas de que continuaba con su investigación habitual. Mien- El cálculo secreto SS tras pudiera sostener esta farsa, Wiles podría seguir trabajando en su verdadera obsesión sin tener que revelar ninguno de sus avances. La única persona que sabía del secreto de Wiles era su esposa, Nada. Se habían casado poco después de que Wiles comenzara a trabajar en la demostración, y a medida que los cálculos progresaban ella era su única confidente. Durante los años siguientes su familia fue su única distracción. “Desde que mi esposa me conoció he estado trabajando en Fermat. Le conté en nuestra luna de miel, pocos días después de casarnos. Mi esposa había oído hablar del último teorema de Fermat, pero en esa época no tenía idea del significado romántico que tiene para los matemáticos, ni de que había sido una piedra en el zapato durante tantos años”. UN DUELO CON EL INFINITO Con el fin de demostrar el último teorema de Fermat, Wiles tenía que demostrar la conjetura de TaniyamaShimura: toda ecuación elíptica puede ser relacionada con una forma modular. Aun antes de que se hubiera establecido su vínculo con el último teorema de Fermat, los matemáti- cos habían tratado desesperadamente de demostrar la conjetura, pero todos los intentos habían terminado en fracaso. Wiles conocía los fracasos del pasado: “En últimas, lo que uno ingenuamente habría intentado hacer, lo que algunos ciertamente hicieron, es contar las ecuaciones elípticas, contar las formas modulares y mostrar que hay el mismo núme- EL ÚLTIMO DE FERMAT TEOREMA 316 ro de ambas. Pero nadie ha encontrado una forma sencilla de hacer eso. El primer problema es que hay un número infinito de cada una de ellas, y no se puede contar un número infinito. Simplemente no hay manera de hacerlo”. Con el fin de encontrar una solución, Wiles adoptó su método habitual de acercamiento a los problemas difíciles. “A veces hago garabatos. No son garabatos importantes, apenas garabatos subconscientes. Nunca uso un computador”. En este caso, como con muchos problemas de la teoría de números, los computadores no servirían para nada. La conjetura de Taniyama-Shimura se aplica a un número infinito de ecuaciones, y aunque un computador podría verificar un caso individual en pocos segundos, nunca podría verificarlos todos. Se necesitaba, en vez de eso, un argumento lógico que paso a paso explicara por qué toda ecuación elíptica tiene que ser modular. Para encontrar la demostración Wiles sólo contaba con una hoja de papel, un lápiz y su mente. “Llevaba este pensamiento en mi cabeza casi todo el tiempo. Me levantaba con él por la mañana, pensaba en él todo el día y todavía estaba pensando en él cuando me iba a dormir. Sin ninguna distracción, tenía la misma cosa dándome vueltas y vueltas en la cabeza”. Después de un año de contemplación, Wiles decidió adoptar una estrategia general conocida como inducción como base para su demostración. La inducción es una forma poderosa de demostración porque permite al matemático inferir que una afirmación es verdadera para un número infinito de casos al probarla solamente en un caso. Por ejemplo, El cálculo secreto 5 supóngase que un matemático quiere demostrar que un enunciado es verdadero para todos los números enteros hasta infinito. El primer paso es demostrar que el enunciado es verdadero para el número 1, lo que se supone es una tarea bastante fácil. El siguiente paso es demostrar que si el enunciado es verdadero para el número l entonces tiene que ser verdadero para el número 2, y que si es verdadero para el número 2 entonces tiene que ser verdadero para el número 3, y que si es verdadero para el número 3 entonces tiene que ser verdadero para el número 4, y así sucesivamente. En forma más general, el matemático tiene que demostrar que si el enunciado es verdadero para cualquier número » entonces tiene que serlo para el siguiente número, 2 + 1. La demostración por inducción es esencialmente un proceso de dos pasos: (1) Demostrar que el enunciado es verdadero para el primer caso. (2) Demostrar que si el enunciado es verdadero para un caso cualquiera, entonces lo es para el caso siguiente. Otra manera de ver la demostración por inducción es imaginarse el número infinito de casos como una fila infinita de fichas de dominó. Con el fin de demostrar todos los casos es necesario encontrar una manera de tumbar todas las fichas. Tumbarlas todas una por una tomaría una cantidad infinita de tiempo y esfuerzo, pero la demostración por inducción permite a los matemáticos tumbarlas todas con sólo tumbar la primera. Si las fichas se colocan con cuidado, entonces al tumbar la primera se cae la segunda y al caer la EL DE ÚLTIMO FERMAT TEOREMA 318 segunda, esta tumba a la tercera, y así hasta el infinito. La demostración por inducción invoca el efecto dominó. Esta manera matemática de tumbar fichas de dominó permite demostrar un número infinito de casos simplemente demostrando el primero. El apéndice 10 muestra cómo la demostración por inducción puede utilizarse para demostrar un enunciado matemático relativamente simple acerca de todos los números. El reto para Wiles era construir un argumento inductivo que mostrara que cada una de las infinitas ecuaciones elípti- cas puede hacerse corresponder con una de las infinitas formas modulares. De alguna manera tenía que descomponer la demostración en un número infinito de casos individuales y después demostrar el primero. Á continuación tenía que probar que, una vez demostrado el primer caso, todos los demás quedarían demostrados. Finalmente descubrió el primer paso de su demostración inductiva escondido en el trabajo de un trágico genio de la Francia del siglo XIX. Evariste Galois nació en Bourg-la-Reine, un pequeño pueblo al sur de París, el 25 de octubre de 1811, apenas veintidós años después de la Revolución Francesa. Napoleón Bonaparte estaba en la cúspide de su poder, pero al año siguiente ocurrió la desastrosa campaña rusa y en 1814 fue forzado a exiliarse y reemplazado por el rey Luis xv. En 1815 Napoleón escapó de Elba, entró a París y reconquistó el poder, pero menos de cien días después fue derrotado en Waterloo, y obligado una vez más a abdicar en favor de Luis XVIII. Galois, como Sophie Germain, creció durante un pe- El cálculo secreto 319 ríodo de inmensa convulsión, pero mientras Germain se aisló de la agitación de la Revolución Francesa y se concentró en las matemáticas, Galois se encontró repetidamente en el centro de la controversia política, que no sólo lo distrajo de una brillante carrera académica sino que lo llevó a su muerte prematura. Además del malestar general que afectaba la vida de todo el mundo, Galois manifestó interés por la política, imspirado por su padre, Nicolas-Gabriel Galois. Cuando Evariste tenía apenas cuatro años su padre fue electo alcalde de Bourgla-Reine. Esto ocurrió durante el regreso triunfal de Napoleón al poder, un período en que los fuertes valores liberales de su padre estaban en sintonía con el estado de ánimo de la nación. Nicolas-Gabriel Galois era un hombre culto y cortés, y durante sus primeros años como alcalde se ganó el respeto de toda la comunidad, así que cuando Luis XVIII recuperó el trono él conservó su cargo. Fuera de la política, su mayor interés parecía ser componer rimas jocosas, que leía en ma- nifestaciones públicas para deleite de sus electores. Muchos años después este encantador talento para los epigramas se- ría la causa de su caída. A los doce años Evariste Galois fue a su primer colegio, el Liceo de Luis el Grande, una institución prestigiosa pero autoritaria. Para comenzar, no encontró cursos de ma- temáticas, y su rendimiento académico era respetable pero no destacado. Sin embargo, durante su primer año de estudio ocurrió un evento que habría de cambiar el curso de su vida. El colegio había sido previamente un colegio jesuita, y EL DE ÚLTIMO FERMAT TEOREMA Evariste Galois 320 El cálculo secreto 321 comenzaron a circular rumores de que el establecimiento volvería a manos de los jesuitas. Durante este período hubo una lucha permanente entre los republicanos y los monar- quistas para influir sobre la balanza del poder entre Luis XVIII y los representantes del pueblo, y la influencia creciente de los sacerdotes era vista como indicio de un viraje en contra del pueblo y a favor del rey. Los estudiantes del liceo, que en su mayoría simpatizaban con los republicanos, planearon una rebelión, pero el director del colegio, Monsieur Berthod, descubrió el complot e inmediatamente expulsó a los doce conspiradores. Al día siguiente, cuando Berthod exigió a los demás estudiantes una demostración de lealtad con el rey, éstos se rehusaron a brindar por Luis xvH1, después de lo cual otros cien estudiantes fueron expulsados. Galois era demasiado joven para estar involucrado en la frustrada rebelión, así que permaneció en el Liceo. Sin embargo, el ver a sus compañeros humillados de esta manera exacerbó sus tendencias republicanas. No fue sino a los dieciséis años cuando Galois asistió a su primera clase de matemáticas, un curso que, en la opi- nión de sus profesores, lo transformó de un estudiante concienzudo a revoltoso. Los informes del colegio muestran que ¡ignoró todas las otras materias y se concentró solamente en su recién encontrada pasión: Este estudiante sólo trabaja en los estratos más altos de las matemáticas. La locura matemática domina a este muchacho. Creo yo que lo mejor sería que sus padres lo deja- EL DE ÚLTIMO FERMAT TEOREMA 322 ran estudiar sólo esto. De otra manera está desperdiciando su tiempo aquí, y no hace sino atormentar a sus profesores y abrumarse de castigos. El deseo de Galois por las matemáticas pronto sobrepasó las capacidades de su profesor así que aprendía directamente de los últimos libros escritos por los expertos de la época. Rápidamente absorbió los conceptos más complejos, y por la época en que cumplió diecisiete años publicó su primer trabajo en los Annales de Gergonne. El camino parecía despejado para el prodigio, excepto que su misma brillantez habría de ser el mayor obstáculo a su progreso. Aunque sabía más que suficientes matemáticas para aprobar los exámenes del Liceo, las soluciones de Galois era tan innovadoras y sofisticadas que sus examinadores no las entendieron. Para empeorar las cosas, Galois hacía tantos cálculos en la cabeza que no se molestaba en consignar por escrito sus procedimientos, lo que dejaba a los ineptos examinadores aún más perplejos y frustrados. El joven genio no ayudaba a la situación pues su tem- peramento exacerbado y su impetuosidad alejaba a tutores y a cualquiera que se cruzara en su camino. Cuando Galois solicitó ingresar en la École Polytechnique, la universidad más prestigiosa del país, su brusquedad y la falta de explicaciones en el examen oral le costaron el rechazo. Galois estaba ansioso por entrar al Polytechnique, no sólo por su excelencia académica sino también por su reputación de ser líder del activismo republicano. Un año más tarde volvió a El cálculo secreto 323 solicitar el ingreso, y de nuevo sus saltos lógicos en el examen oral solamente sirvieron para confundir a su examina- dor, Monsieur Dinet. Al sentir que estaba a punto de reprobar por segunda vez, y frustrado de que su brillantez no fuera reconocida, Galois perdió el genio y golpeó a Dinet con el borrador del tablero. Galois no habría de regresar jamás a los sagrados salones del Polytechnique. Sin desanimarse por los rechazos, Galois mantuvo la confianza en su talento matemático y continuó con sus propias investigaciones privadas. Su interés principal tenía que ver con encontrar soluciones a ecuaciones tales como las cuadráticas. Las ecuaciones cuadráticas tienen la forma ax +bx+c= 0, donde a, b, c tienen cualquier valor. El reto es encontrar los valores de x para los cuales la ecua- ción cuadrática es verdadera. Los matemáticos prefieren tener una receta para encontrar las soluciones que depender del ensayo y error. Tal receta afortunadamente existe: E -b+Wb? -4ac Xx 24 Simplemente sustituyendo los valores de a, h y c en la receta anterior uno puede calcular el valor correcto de x. Por ejemplo, podemos aplicar la receta para resolver la siguiente ecuación: 2x* -6x+4=0 donde a=2, b=-6 yc=4. Ubicando los valores de a, hb y c en la receta, la solución resulta ser x=10x=2. EL DE ÚLTIMO FERMAT TEOREMA 324 La cuadrática es un tipo de ecuación dentro de una clase más grande de ecuaciones conocidas como polinomios. Un tipo más complicado de polinomio es la ecuación cúbica: ax +bx +cx+d=0. La complicación adicional proviene del término x* Alagregar un término más y*, llegamos al siguiente nivel de ecuación polinómica conocida como ecuación cuártica: 3 ax +bx"+cx" 2 +dx+e=0. En el siglo XIx, los matemáticos tenían también recetas que podían utilizarse para encontrar soluciones a las ecuaciones cúbicas y cuárticas, pero no se conocía ningún método para encontrar soluciones de la ecuación de quinto grado: a bir sde +ex+ f=0: Galois se obsesionó con la idea de encontrar una receta para resolver las ecuaciones de quinto gFado, uno de los grandes retos de la época, y a los diecisiete años ya había progresado lo suficiente como para presentar dos trabajos de investiga- ción a la Academia de Ciencias. El moderador que se nombró para juzgar los trabajos fue Augustin-Louis Cauchy, quien muchos años después se enfrentaría con Lamé por una demostración del último teorema de Fermat que finalmente resultó equivocada. Cauchy quedó bastante impresionado con el trabajo del joven y lo juzgó merecedor de participar en el Gran Premio de Matemáticas de la Academia. Con el fin de calificar para la competencia los dos trabajos tenían El cálculo secreto 325 que ser presentados de nuevo como un solo trabajo, así que Cauchy se los devolvió a Galois y esperó a que los regresara. Después de haber sobrevivido a las críticas de sus profesores y al rechazo de la École Polytechnique, la genialidad de Galois estaba a punto de ser reconocida, pero en el curso de los siguientes tres años una serie de tragedias personales y profesionales destruirían sus ambiciones. En julio de 1829 un nuevo sacerdote jesuita llegó al pueblo de Bourg-le-Rei- ne, donde el padre de Galois era todavía el alcalde. El sacerdote se indignó con las inclinaciones republicanas de este e inició una campaña para desbancarlo, a punta de difamaciones. En particular, el intrigante sacerdote se aprovechó de la fama de Nicolas-Gabriel Galois como compositor de rimas ingeniosas. Escribió una serie de versos vulgares ridiculizando a miembros de la comunidad y los firmó con el nombre del alcalde. Galois padre no pudo soportar la pena y la vergúenza que resultó de ello y decidió que la única opción honorable era el suicidio. Evariste Galois regresó para asistir al funeral de su padre y pudo ver por sí mismo las divisiones que el cura había creado en el pueblo. En el momento en que el féretro bajaba a la tumba, surgió un enfrentamiento entre el sacerdote jesuita, que estaba presidiendo la ceremonia, y los partidarios del alcalde, quienes se dieron cuenta de que había habido un complot para debilitarlo. El sacerdote recibió un golpe en la cabeza, el enfrentamiento se convirtió en disturbio y el féretro cayó en la tumba sin ninguna ceremonia. El ver al establecimiento francés humillar y destruir a su padre sólo sirvió EL DE ÚLTIMO FERMAT TEOREMA 326 para consolidar el apoyo ferviente de Galois a la causa republicana. A su regreso a París, Galois reunió en uno solo sus trabajos de investigación, con bastante antelación a la fecha límite, y se lo entregó al secretario de la Academia, Joseph Fourier, quien debía pasárselo al comité evaluador. El trabajo de Galois no ofrecía una solución a la ecuación de quinto grado pero sí un enfoque brillante, y muchos matemáticos, entre ellos Cauchy, lo consideraron un probable ganador. Para sorpresa de Galois y sus amigos, no sólo no ganó el premio sino que no había sido inscrito oficialmente. Fourier había muerto unas pocas semanas antes de las deliberaciones y, aunque una pila de trabajos inscritos fueron entregados al comité, el de Galois no estaba entre ellos. Nunca apareció, injusticia que fue registrada por un periodista francés. El año pasado, antes del primero de marzo, Monsieur Galois le entregó al secretario del Instituto una memoria acerca de la solución de ecuaciones numéricas. Esta memoria debió haber sido inscrita en la competencia por el Gran Premio de Matemáticas. Merecía el premio, pues resolvía algunas dificultades que Lagrange no había podido resolver. Monsieur Cauchy había concedido los más grandes elogios al autor acerca de esta materia. ¿Y qué pasó? La memoria está perdida y el premio se concede sin la participación del joven sabio. LE GLOBE, 1831 Galois sintió que su memoria la habían extraviado en forma deliberada por una Academia políticamente parcializada. Esta El cálculo secreto 32] creencia se reforzó un año más tarde, cuando la Academia rechazó su siguiente manuscrito sosteniendo que “su argumento no es suficientemente claro ni ha sido suficientemente desarrollado para permitirnos juzgar su rigor”. Decidió que había una conspiración para excluirlo de la comunidad matemática, y como resultado descuidó sus investigaciones para dedicarse a pelear por la causa republicana. Á estas alturas era estudiante de la École Normale Supérieure, una universidad un poco menos prestigiosa que la École Polytechnique. En la École Normale, la mala fama de Galois como agitador estaba sobrepasando su reputación como matemático. Esto culminó durante la revolución de julio de 1830 cuando Carlos x huyó de Francia y las facciones políticas lucharon por el control en las calles de París. El director de la École , Monsieur Guigniault, un monárquico, estaba consciente de que la mayoría de sus estudiantes eran republicanos radicales, así que los recluyó en sus dormitorios y cerró con llave las puertas de la universidad. Se estaba impidiendo que Galois luchara al lado de sus hermanos, y su frustración e ira se exacerbaron cuando los republicanos fueron finalmente derrotados. Cuando surgió la oportunidad, Galois escribió un feroz ataque contra el director de la universidad, acusándolo de cobardía. No es de sorprenderse que Guigniault expulsa- ra al estudiante insubordinado, con lo que llegó a su fin la carrera formal de matemáticas de Galois. El 4 de diciembre, el frustrado genio intentó convertirse en un rebelde profesional al unirse a la Artillería de la Guardia Nacional, una rama republicana de la milicia cono- EL DE ÚLTIMO FERMAT TEOREMA 328 cida también como “los amigos del pueblo”. Antes de que terminara el mes, el nuevo rey, Louis-Phillipe, ansioso de evitar otra rebelión, abolió la Artillería de la Guardia Na- cional, y Galois quedó en la indigencia y sin hogar. Al más brillante talento joven de todo París lo perseguían sin cesar, y algunos de sus antiguos colegas matemáticos estaban cada vez más preocupados por su suerte. La tímida Sophie Germain, quien para entonces era ya la más destacada entre los matemáticos franceses, le expresó sus preocupaciones a un amigo de la familia, el conde Libri-Carrucci: Definitivamente hay un infortunio acerca de todo lo que tiene que ver con las matemáticas. La muerte de Monsieur Fourier ha sido el golpe final para este estudiante Galois quien, a pesar de su impertinencia, mostraba señales de una disposición brillante. Ha sido expulsado de la École Normale, no tiene dinero, su madre tiene muy poco y él continúa con el hábito del insulto. Dicen que se va a volver completamente loco. Me temo que esto es verdad. Mientras que la pasión de Galois por la política continuara, era inevitable que su destino se deteriorara aún más, hecho que fue documentado por el gran escritor francés Alejandro Dumas. Dumas estaba en el restaurante Vendanges des Bourgogne, donde por coincidencia había un banquete de celebración en honor de diecinueve republicanos absueltos de cargos de conspiración: De repente, en medio de una conversación privada con la El cálculo secreto 329 persona que tenía yo a mi izquierda, el nombre de LouisPhillipe, seguido de cinco o seis silbidos, llamó mi atención. Me di la vuelta. Una de las más animadas escenas se estaba llevando a cabo a unas quince o veinte sillas de mí. Sería difícil encontrar en todo París doscientas personas más hostiles al gobierno que las que estaban reunidas a las cinco de la tarde en el largo corredor del primer piso sobre el jardín. Un hombre joven que había levantado su copa y llevaba un puñal desnudo en la misma mano intentaba hacerse oír; Evariste Galois era uno de los más fervientes republicanos. El ruido era tal que la propia razón del ruido se había vuelto incomprensible. Todo lo que yo pude percibir era que había una amenaza y que el nombre de Louis-Phillipe ha- bía sido mencionado: la intención había quedado clara con el cuchillo desnudo. Esto iba mucho más allá de mis propias opiniones republicanas. Cedí a la presión de mi vecino de la izquierda quien, por ser uno de los cómicos del rey, no quería verse comprometido, y saltamos de la ventana al jardín. Me fui a casa algo preocupado. Estaba claro que este episodio tendría sus consecuencias. En efecto, dos o tres días más tarde, Evariste Galois fue arrestado. Después de que lo detuvieran en la prisión de SaintePélagie durante un mes, Galois fue acusado de amenazar la vida del rey y llevado a juicio. Aunque por sus actos había pocas dudas de que era culpable, debido a la naturaleza escandalosa del banquete nadie pudo realmente confirmar que lo había oído hacer alguna amenaza directa. Un jurado comprensivo y la tierna edad del rebelde —apenas tenía vein- EL DE ÚLTIMO FERMAT TEOREMA 330 te años— llevaron a su absolución. Al mes siguiente fue arrestado de nuevo. En el día de la Bastilla, el 14 de julio de 1831, Galois marchó a través de París con el uniforme de la proscrita Ár- tillería. Aunque esto era apenas un gesto de desafío, fue sentenciado a seis meses de prisión y regresó a Sainte-Pélagie. Durante los siguientes meses el joven abstemio fue inducido a beber licor por los delincuentes que lo rodeaban. El botánico y republicano ardiente Francois Raspail, quien estaba encarcelado por rehusarse a aceptar de Louis-Phillipe la Cruz de la Legión de Honor, escribió un recuento de la primera salida a beber licor: Agarra la pequeña copa de la misma manera en que Sócrates tomó valientemente la cicuta; se la bebe de un solo sorbo, pero no sin pestañear y hacer una mueca. Una segunda copa no es más difícil de vaciar que la primera, y luego una tercera. El principiante pierde el equilibrio. ¡Triunfo! ¡Un homenaje al Baco de la cárcel! Habéis intoxi- cado a un alma ingenua que consideraba al vino como un horror. Una semana más tarde, un francotirador en una buhardilla al frente de la prisión disparó a una celda, e hirió al hombre que estaba al lado de Galois. Galois estaba convencido de que la bala estaba dirigida a él y de que había un complot del gobierno para asesinarlo. El temor de una persecución política lo aterrorizaba, y el estar aislado de sus amigos y su familia, además del rechazo de sus ideas matemáticas, lo llevaron a un grave estado de depresión. En un ataque de deli- El cálculo secreto 331 rio alcohólico intentó apuñalarse, pero entre Raspail y otros lograron detenerlo y desarmarlo. Raspail recuerda las palabras de Galois inmediatamente antes del intento de suicidio. ¿Sabes tú lo que me hace falta, mi amigo? Lo confieso sólo a ti: es alguien a quien pueda yo amar y amar sólo en espíritu. He perdido a mi padre y nunca nadie lo ha reemlazado, ¿¿me escuchas...? En marzo de 1832, un mes antes de que terminara la sentencia de Galois, se desató una epidemia de cólera en París y los prisioneros de Sainte-Pélagie fueron puestos en libertad. Lo que le sucedió a Galois durante las siguientes semanas ha sido objeto de intensa especulación, pero lo que parece cierto es que los eventos de este período fueron en buena parte consecuencia de un romance con una misteriosa mujer llamada Stéphanie-Félicie Poterine du Motel, la hija de un res- petado médico parisino. Aunque no hay pistas sobre cómo comenzó el romance, los detalles de su trágico final están bien documentados. Stéphanie estaba comprometida con un caballero llamado Pescheux d'Herbinville, quien descubrió la infidelidad de su novia. D'Herbinville estaba furioso y, siendo como era uno de los mejores tiradores de Francia, no vaciló en retar inmediatamente a Galois a un duelo al amanecer. Galois estaba muy consciente de la reputación de su rival. Durante la noche anterior al enfrentamiento, que él creía sería la última oportunidad de dejar por escrito sus pensamientos, les escribió a sus amigos explicándoles sus circunstancias. EL DE ÚLTIMO FERMAT TEOREMA 332 Suplico a mis compatriotas, a mis amigos, que no me reprochen el morir por una causa distinta a la de m: país. He muerto víctima de una coqueta infame y sus dos embaucadores. Es por una miserable calumnia que termino mi vida. ¡Ah! ¿Por qué morir por algo tan pequeño, tan despreciable? Pido al cielo que sea testigo de que sólo bajo coacción y a la fuerza he cedido a la provocación que he tratado de evitar por todos los medios. A pesar de su devoción por la causa republicana y su enredo romántico, Galois siempre había conservado su pasión por las matemáticas, y uno de sus más grandes temores era que sus investigaciones, que ya habían sido rechazadas por la Academia, se perdieran para siempre. En un intento deses- perado por obtener el reconocimiento, trabajó toda la noche escribiendo los teoremas que él creía explicaban completamente el enigma de las ecuaciones de quinto grado. La figura 22 muestra algunas de las últimas páginas escritas por Galois. Las páginas en su mayor parte son una transcripción de las ideas que ya había presentado a Cauchy y Fourier, pero escondidas dentro del álgebra compleja había referencias ocasionales a “Stéphanie” o “une femme” y exclamaciones de desesperación: ¡No tengo tiempo, no tengo tiempo! Al final de la noche, cuando sus cálculos quedaron completos, escri- bió a su amigo Auguste Chevalier una carta explicativa en la que le solicitaba que, si él moría, su trabajo fuera distribuido entre los grandes matemáticos de Europa: Mi querido amigo: He hecho algunos descubrimientos nuevos acerca del aná- El cálculo secreto ON S o Ly 0 SS o dl bi UN > AS 92 =P) to) (0) Ho o J1- EA o IG)“ a c00ir ble: Praia AÉ Epi SE Figura 22(a). La noche antes del duelo, Galois intentó escribir todas sus ideas matemáticas. Sin embargo, en las notas aparecen otros comentarios. En esta página, abajo, a la izquierda, están las palabras “Une femme”, con la segunda palabra tachada, probablemente una referencia a la mujer causante del duelo. EL DE ÚLTIMO FERMAT TEOREMA 334 lisis. El primero tiene que ver con la teoría de las ecuaciones de quinto grado y otras funciones integrales. En la teoría de las ecuaciones he investigado las condiciones para poder resolver las ecuaciones por radicales; esto me ha dado la ocasión de profundizar esta teoría y describir todas las transformaciones posibles de una ecuación, aunque esta no se pueda resolver por radicales... Todo esto se puede encontrar aquí en tres memorias... En mi vida me he atrevido a menudo a hacer proposiciones acerca de las cuales no estaba seguro. Pero todo lo que he escrito aquí ha estado claro en mi cabeza por más de un año, y no sería a mi favor que quedara la sospecha de que anuncio teoremas de los cuales no tengo una demostración completa. Haga una solicitud pública para que Jacobi o Gauss den su opinión, no acerca de la verdad sino de la importancia de estos teoremas. Después de esto, espero que alguien encuentre beneficioso ponerle orden a tal enredo. Lo abrazo efusivamente, E GALOLIS A la mañana siguiente, miércoles 30 de mayo de 1832, en un campo solitario, Galois y D'Herbinville se enfrentaron el uno al otro a una distancia de veinticinco pasos y armados con pistolas. D'Herbinville iba acompañado de padrinos; Galois estaba solo. No le había contado a nadie de su situación: un mensajero que había enviado a donde su hermano Alfred no entregaría la noticia del duelo hasta que éste hubiera ocurrido, y las cartas que había escrito la noche anterior no llegarían a sus amigos antes de varios días. El cálculo secreto DON) E A Ñ, eVs AS , em. Lor 1009 - te 4 >? E Pe : o Na A tor errada MER Año? sem e tp Apia! (ln det y re “LT” A Po LACIE LOA , REP Y, 7) E Fr el. ¿ To pt el A A Be namas. ta ES . Ae, YH mil marta pe e de po e du Y a a a Er: 7 aga ed ye rd ad a A > o Up de met. O E ON A . qe Figura 22 (b). Mientras trataba desesperadamente de registrar todo antes de la hora fatal, Galois sintió que quizás no terminaría la tarea. Las palabras “je n'ai pas le temps” (No tengo tiempo) se pueden ver al final de las dos líneas en la parte inferior izquierda de la página. EL DE ÚLTIMO FERMAT TEOREMA 336 Levantaron las pistolas y dispararon. D'Herbinville siguió de pie, Galois recibió un tiro en el estómago. Yacía indefenso en el piso. No había médico a la mano y el vencedor calmadamente abandonó el lugar, dejando morir a su oponente herido. Algunas horas después Alfred llegó al lugar y llevó a su hermano al hospital Cochin. Era muy tarde, se había desarrollado una peritonitis y al día siguiente Galois murió. Su funeral fue casi tan absurdo como el de su padre. La policía creía que sería el foco de una manifestación política y la noche anterior arrestó a treinta camaradas. Sin embargo, dos mil republicanos se reunieron para el servicio e inevitablemente se desató una escaramuza entre los colegas de Galois y los funcionarios del gobierno que habían ido a vigilar los eventos. Los dolientes estaban furiosos porque se fortalecía la creencia de que D'Herbinville no era un novio engañado sino un agente del gobierno, y de que Stéphanie no era simplemente una amante sino una seductora intrigante. Even- tos como el tiro que le dispararon a Galois mientras estaba en la prisión de Sainte-Pélagie ya apuntaban a una conspiración para asesinar al joven agitador así que sus amigos llegaron a la conclusión de que había sido embaucado en un romance que era parte de un complot político diseñado para matarlo. Los historiadores han discutido sobre si el duelo fue el resultado de un trágico lío amoroso o si tuvo motivos políticos, pero, en cualquier caso, uno de los más grandes matemáticos del mundo fue muerto a los veinte años, des- pués de haber estudiado matemáticas durante sólo cinco. El cálculo secreto 5] Antes de divulgar los papeles de Galois su hermano y Auguste Chevalier los escribieron de nuevo con el fin de clarificar y ampliar las explicaciones. El hábito de Galois de explicar sus ideas apresurada e inadecuadamente fue sin duda exacerbado por el hecho de que tenía apenas una noche para resumir varios años de investigación. Aunque diligentemente enviaron copias del manuscrito a Carl Gauss, Carl Jacobi y otros, no hubo reconocimiento al trabajo de Galois durante más de un década, hasta que una copia llegó a manos de Joseph Liouville en 1846. Liouville reconoció la chispa de la genialidad en los cálculos y pasó varios meses tratando de interpretar su significado. Finalmente editó los trabajos y los publicó en su prestigioso Journal de Mathématique pures et appliquées. La respuesta de otros matemáticos fue inmediata e impresionante porque Galois había, en efecto, formulado una teoría completa sobre cómo encontrar soluciones a las ecuaciones de quinto grado. Primero, Galois había clasificado todas las ecuaciones de quinto grado en dos tipos, las que pueden resolverse y las que no. Luego ideó, para las primeras, una receta que permite encontrar sus soluciones. Es más, Galois examinó ecuaciones de órdenes superiores al quinto, aquellas que contienen x*, x”, y las que siguen, y pudo identificar cuáles de estas tienen solución. Era una de las obras maestras de la matemática del siglo XIX, creada por uno de sus héroes más trágicos. En su introducción al trabajo, Liouville reflexionó acerca de por qué el joven matemático había sido rechazado por sus superiores y cómo su esfuerzo había resucitado a Galois. EL DE ÚLTIMO FERMAT TEOREMA 338 Un deseo exagerado de concisión fue la causa de este defecto que uno debe tratar, más que cualquier otra cosa, de evitar cuando aborda asuntos abstractos y misteriosos del álgebra pura. La claridad es, en efecto, aún más necesaria cuando uno intenta llevar al lector lejos del sendero trajimado y por territorio inexplorado. Como dijo Descartes: “Cuan- do se discuten cuestiones trascendentales, hay que ser trascendentalmente claro”. Con mucha frecuencia Galois ¡g- noraba este precepto; y podemos entender que ilustres matemáticos hayan juzgado apropiado intentar, con la dureza de su sabio consejo, guiar al principiante, lleno de genialidad pero sin experiencia, de regreso al camino correcto. El autor que censuraban era ante ellos ardiente, activo; podía beneficiarse de sus consejos. Pero ahora todo ha cambiado. ¡Galois ya no está! No nos permitamos críticas inútiles; dejemos los defectos ahí y miremos los méritos... Mi fervor fue bien premiado y experimenté un placer intenso en el momento en que, una vez llené algunos vacíos menores, vi la absoluta validez del método por el cual Galois demuestra en particular este hermoso teorema. CAE EL PRIMER DOMINÓ En el corazón de los cálculos de Galois estaba un concepto conocido como teoría de grupos, una idea que él convirtió en una poderosa herramienta capaz de resolver problemas anteriormente insolubles. En matemáticas, un grupo es un El cálculo secreto 339 conjunto de elementos que se pueden combinar entre sí utilizando alguna operación, tal como la adición o la multiplicación, y que satisfacen ciertas condiciones. Una importante propiedad definitoria de un grupo es que, cuando dos elementos cualesquiera se combinan utilizando la operación, el resultado es otro elemento del grupo. En tal caso se dice que este es cerrado respecto de la operación. Por ejemplo, los números enteros forman un grupo respecto de la operación de la “adición”. Combinar un número entero con otro mediante esta operación resulta en un tercer número entero: 4+12=16 Todos los resultados posibles de la adición están dentro de los números enteros, y así los matemáticos afirman que “los números enteros son cerrados respecto de la adición”. Por otro lado, los números enteros zo forman un grupo respecto de la operación de la “división”, porque dividir un número entero por otro no necesariamente resulta en un número entero: 4+12=3. La fracción + no es un número entero y está por fuera del grupo original. Sin embargo, al considerar un grupo más grande y que sí incluya las fracciones, los llamados números racionales, la propiedad de la clausura puede restablecerse: “los números racionales son cerrados respecto de la división”. Dicho esto, todavía hay que tener cuidado, porque la divi- EL, DE ÚLTIMO FERMAT TEOREMA 340 sión por el elemento cero resulta en infinito, lo que lleva a diversas pesadillas matemáticas. Por esta razón es más preciso afirmar que “los números racionales (excluyendo a cero) son cerrados respecto de la división”. De muchas maneras, la clausura es similar al concepto de completud descrito en capítulos anteriores. Los números enteros y las fracciones forman grupos infinitamente grandes y uno podría asumir que, entre más grande el grupo, más interesantes serán las matemáticas que genera. Sin embargo, Galois tenía la filosofía de “menos es más”, y mostró que unos grupos pequeños cuidadosamente construidos podrían exhibir una particular riqueza. En vez de utilizar los grupos infinitos, Galois comenzó con una ecuación en particular y construyó su grupo con las pocas soluciones de esa ecuación. Los grupos formados con las soluciones a las ecuaciones de quinto grado fueron los que permitieron a Galois deducir sus resultados acerca de estas ecuaciones. Un siglo y medio más tarde, Wiles utilizaría el trabajo de Galois como fundamento para su demostración de la conjetura de Taniyama-Shimura. Para demostrar la conjetura de Taniyama-Shimura, los matemáticos tenían que mostrar que cada una de las infinitas ecuaciones elípticas puede emparejarse con una forma modular. Originalmente habían intentado mostrar que todo el ADN de una ecuación elíptica (la serie E) podía hacerse corresponder con todo el ADN de una forma modular (la serie M), tras lo cual pasarían a la siguiente ecuación elíptica. Aunque este es un método perfectamente sensato, nadie ha- El cálculo secreto 341 bía encontrado una manera de repetir este proceso una y otra vez para el número infinito de ecuaciones elípticas y formas modulares. Wiles atacó el problema de una manera radicalmente diferente. En vez de tratar de hacer corresponder todos los elementos de una serie E con los de una serie M y luego pasar a la siguiente serie E y a la siguiente serie M, trató de hacer corresponder un elemento de todas las series E con uno de todas las series M y luego pasar al siguiente elemen- to. En otras palabras, cada serie E tiene una lista infinita de elementos, genes individuales que conforman el ADN, y Wiles quería mostrar que el primer gen de toda serie E podía hacerse corresponder con el primer gen de toda serie M. Luego pasaría a mostrar que el segundo gen de toda serie E podría hacerse corresponder con el segundo gen de toda serie M, y así SUCesIvVamente. El método tradicional presentaba un problema infinito: aun si uno podía demostrar que toda una serie E corresponde a toda una serie M, todavía quedaba una infinidad de series E y series M por emparejar. El método de Wiles tam- bién implicaba una aproximación a la infinitud porque incluso si podía demostrar que el primer gen de toda serie E es idéntico al primer gen de toda serie M, de todos modos quedaría una infinidad de genes para hacer corresponder. Sin embargo, el método de Wiles tenía una ventaja importante sobre el método tradicional. En el método viejo, una vez que se hubiera demostrado que la totalidad de una serie E corresponde a la totalidad de EL DE ÚLTIMO FERMAT TEOREMA 342 una serie M, tenía uno que preguntarse, ¿qué serie E y qué serie M intento ahora hacer corresponder? La infinidad de series E y de series M no tiene un orden natural, así la deci- sión sobre cuál se intente en seguida es arbitraria. En forma crucial, en el método de Wiles los genes de la serie E sí tienen un orden natural, así que una vez demostrado que todos los primeros genes corresponden (MES =M, ),el siguiente paso obviamente es demostrar que todos los segundos genes corresponden (E, = M,), y así sucesivamente. Este orden natural era exactamente lo que Wiles necesitaba para desarrollar una demostración inductiva. Inicial- mente, Wiles tendría que demostrar que el primer elemento de todas las series E podía hacerse corresponder con el primer elemento de alguna serie M. Luego tendría que demostrar que si los primeros elementos corresponden entonces también los segundos, y si ello es cierto también los terceros, y así sucesivamente. Tenía que tumbar el primer dominó y luego demostrar que cualquier dominó que se cayera también tumbaría al siguiente. El primer paso se logró cuando Wiles se dio cuenta del poder de los grupos de Galois. Unas pocas soluciones de cada ecuación elíptica se podían utilizar para formar un grupo. Después de varios meses de análisis Wiles demostró que el grupo llevaba a una conclusión innegable: el primer elemento de toda serie E podía, en efecto, emparejarse con el primer elemento de una serie M. Gracias a Galois, Wiles había podido tumbar el primer dominó. El siguiente paso de su demostración inductiva requería que demostrara que El cálculo secreto 343 si cualquier elemento de la serie E se puede emparejar con el correspondiente de la serie M, lo mismo debe ocurrir con el siguiente elemento. Llegar hasta aquí había tomado ya dos años, y no había ninguna pista sobre cuánto tiempo tomaría encontrar una manera de extender la demostración. Wiles estaba muy consciente de la tarea que tenía por delante: “Usted se pregunta- rá cómo pude dedicarle tiempo ilimitado a un problema que simplemente podría no ser soluble. La respuesta es que me encantaba trabajar en este problema y estaba obsesionado. Me divertía enfrentándome a él. Adicionalmente, siempre supe que las matemáticas que estaba desarrollando, aunque no fueran suficientemente fuertes como para demostrar la conjetura de Taniyama-Shimura, y por lo tanto tampoco a Fermat, algo demostrarían. No iba por un callejón sin salida, eran realmente buenas matemáticas y eso fue cierto a todo lo largo del camino. Había la posibilidad de que nunca llegara a Fermat, pero jamás consideré que estuviera simplemente perdiendo mi tiempo”. ¿EL TEOREMA DE FERMAT RESUELTO? Aunque era sólo el primer paso hacia la demostración de la conjetura de Taniyama-Shimura, la estrategia de Wiles con los grupos de Galois fue un avance matemático brillante que por sí solo merecía ser publicado. Como resultado de la reclusión que él mismo se impuso, no podía anunciar el EL DE ÚLTIMO FERMAT TEOREMA 344 Figura 23. Estas superficies fueron creadas utilizando el programa de computador Mathematica. Son representaciones geométricas de la ecuación x” + y” =1, donde » = 3 para la primera imagen y n = 5 para la segunda. Aquí x y y se consideran como variables complejas. resultado al resto del mundo, pero de igual forma no tenía ni idea sobre quién más estaba logrando también avances igualmente significativos. Wiles recuerda su actitud filosófica hacia los rivales potenciales: “Bueno, obviamente nadie quiere pasar años tratando de resolver algo y después vérselas con que alguien lo resuelve justo unas semanas antes que uno. Pero curiosamente, debido a que estaba trabajando en un problema que es considerado imposible, no tenía mucho miedo a la competencia. Simplemente pensaba que ni yo ni cualquier otro tenía idea de cómo hacerlo”. El 8 de marzo de 1988 Wiles quedó sorprendido al leer titulares de primera página anunciando que el último teorema de Fermat había sido resuelto. El Washington Post y El cálculo secreto 345 el New York Times sostenían que Yoichi Miyaoka, de la Uni- versidad Metropolitana de Tokio, quien por entonces tenía 38 años, había descubierto una solución al problema más difícil del mundo. A estas alturas Miyaoka todavía no había publicado su demostración; apenas la había presentado esquemáticamente en un seminario en el Instituto Max Planck de Matemáticas de Bonn. Don Zagier, quien se encontraba entre los asistentes, resumió así el optimismo de la comunidad: “La demostración de Miyaoka es muy emocionante y algunas personas creen que hay una muy buena probabilidad de que funcione. No es definitiva, pero tiene buena cara hasta ahora”. En Bonn, Miyaoka había explicado cómo se había acercado al problema desde un ángulo completamente nuevo, la geometría diferencial. Durante décadas los geómetras diferenciales habían alcanzado una vasta comprensión de las formas matemáticas y en particular de las propiedades de sus superficies. Luego, en los años setenta, un equipo de rusos dirigido por el profesor S. Arakelov intentó establecer paralelos entre problemas de la geometría diferencial y problemas de la teoría de números. Esta era una vertiente del programa de Langlands; la esperanza era que problemas sin resolver de la teoría de números se pudieran resolver examinando la pregunta correspondiente en la geometría diferencial, que ya se hubiera contestado. Esto se conocía como filosofía del paralelismo. Los geómetras diferenciales que trataron de abordar problemas de la teoría de números llegaron a ser conocidos EL DE ÚLTIMO FERMAT TEOREMA 346 como “geómetras algebraicos aritméticos”, y en 1981 lograron su primera victoria significativa cuando Gerd Faltings, del Instituto de Estudios Avanzados de Princeton, hizo una importante contribución al entendimiento del último teorema de Fermat. Recuérdese que Fermat sostenía que no hay soluciones en números enteros a la ecuación x"+y"=2z" n paran mayor que 2. Faltings creía que podía lograr algún progreso hacia la de- mostración del último teorema de Fermat estudiando las formas geométricas asociadas a diferentes valores de n. Las formas correspondientes a cada una de las ecuaciones son diferentes, pero tienen algo en común: todas tienen perforaciones. Las formas tienen cuatro dimensiones, como las formas modulares; una visualización en dos dimensiones de dos de ellas se muestra en la figura 23. Todas las formas son como rosquillas multidimensionales con varios agujeros en vez de uno sólo. Entre mayor sea el valor de n en la ecuación, mayor será el número de agujeros en la forma correspondiente. Faltings pudo demostrar que, debido a que estas formas siempre tienen más de un agujero, la ecuación de Fermat asociada sólo podría tener un número finito de soluciones en números enteros. Un número finito de soluciones podría ser cualquier cosa desde cero, que era lo que Fermat sostenía, hasta un millón o un millardo. Así que Faltings no había demostrado el último teorema de Fermat, pero por lo menos había podido descartar la posibilidad de un número infinito de soluciones. El cálculo secreto 347 Cinco años más tarde, Miyaoka afirmó que podía ir un paso más allá. Con poco más de veinte años había creado una conjetura acerca de la llamada desigualdad de Miyaoka. Quedó claro que una demostración de su propia conjetura geométrica probaría que el número de soluciones de la ecua- ción de Fermat no sólo era finito sino que era cero. El método de Miyaoka era análogo al de Wiles en cuanto que ambos estaban tratando de demostrar el último teorema conectándolo a una conjetura fundamental en un campo diferente de las matemáticas. En el caso de Miyaoka era la geometría diferencial; para Wiles la demostración pasaba por las ecuaciones elípticas y las formas modulares. Desaforrunadamente, Wiles todavía estaba luchando por demostrar la conjetura de Taniyama-Shimura cuando Miyaoka anunció una demostración completa de su propia conjetura, y por lo tanto una demostración del último teorema de Fermat. Dos semanas después de su anuncio en Bonn, Miyaoka divulgó las cinco páginas de álgebra que detallaban su demostración, y en seguida comenzó la inspección. Los teóricos de los números y los geómetras diferenciales de todo el mundo examinaron la demostración línea por línea, buscando el más pequeño vacío en la lógica o el mínimo rastro de una falsa suposición. En pocos días varios matemáticos señalaron lo que parecía ser una contradicción preocupante dentro de la demostración. Parte del trabajo de Miyaoka llevaba a una conclusión particular en la teoría de números que, cuando se trasladaba de nuevo a la geometría diferencial, entraba en conflicto con un resultado que se había de- EL DE ÚLTIMO FERMAT TEOREMA 348 mostrado años antes. Aunque esto no necesariamente inva- lidaba la totalidad de la demostración de Miyaoka, sí choca- ba con la filosofía del paralelismo entre la teoría de números y la geometría diferencial. Habían pasado dos semanas cuando Gerd Faltings, que había allanado el camino para Miyaoka, anunció que había encontrado la razón exacta por la cual aparentemente el paralelismo no funcionaba: un vacío en la lógica. El campo que dominaba este matemático japonés era la geometría y no había sido absolutamente riguroso al trasladar sus ideas al territorio menos conocido de la teoría de números. Un ejército de teóricos de los números intentó ayudar a Miyaoka a enmendar el error, pero sus esfuerzos terminaron por fracasar. Dos meses después del anuncio inicial, el consenso era que la demostración original estaba destinada a fallar. Como había ocurrido con muchas otras demostraciones fallidas en el pasado, Miyaoka había creado nuevas e interesantes matemáticas. Porciones individuales de la demostración se sostenían por sí solas como ingeniosas aplicaciones de la geometría diferencial a la teoría de números, y en los años siguientes otros matemáticos las utilizarían como base para demostrar otros teoremas, pero nunca el último teorema de Fermat. El alboroto acerca de Fermat pronto cedió y los periódicos publicaron breves artículos de actualización explicando que el acertijo de trescientos años permanecía sin resolver. Inspirado sin duda en el despliegue de los medios, un nuevo El cálculo secreto 349 graffiti apareció en la estación del metro de la Octava Aveni- da de Nueva York: x +y" =2': n n no hay soluciones He encontrado una demostración verdaderamente sorprendente de esto, pero no puedo escribirla ahora porque mi tren ya viene. LA MANSIÓN OSCURA Desconocido para el mundo, Wiles suspiró de alivio. El último teorema de Fermat seguía sin resolver y él podía continuar con su batalla para demostrarlo a través de la conjetura de Taniyama-Shimura. “La mayor parte del tiempo me sentaba a escribir en mi escritorio, pero a veces podía reducir el problema a algo muy específico: hay una pista, algo que me parece extraño, algo bajo la hoja que no puedo captar del todo. Si había una cosa en particular zambando en mi mente, no necesitaba nada con que escribir ni un escritorio para trabajar, así que en cambio me iba a caminar cerca del lago. Cuando camino encuentro que puedo concentrar mi mente y visualizar el problema en un aspecto particular. Siempre tenía papel y lápiz a la mano, así que si tenía una idea me podía sentar en una banca a garabatear”. Después de tres años de esfuerzos sin pausa, Wiles había logrado una serie de avances. Había aplicado los grupos de Galois a las ecuaciones elípticas, había descompuesto las ecuaciones elípticas en un número infinito de partes y había EL DE ÚLTIMO FERMAT TEOREMA 350 demostrado que la primera parte de toda ecuación elíptica tenía que ser modular. Había tumbado el primer dominó y ahora estaba explorando técnicas que pudieran producir la caída de todos los demás. En retrospectiva, este parecía el camino natural hacia la demostración, pero llegar hasta ahí había exigido una enorme determinación para sobreponerse a los períodos de duda. Wiles describe su experiencia de creación matemática como un recorrido a través de una oscura mansión inexplorada. “Uno entra al primer cuarto de la mansión y está oscuro. Completamente oscuro. Se tropieza con todos los muebles pero poco a poco se da cuenta dónde está cada uno de ellos. Finalmente, después de unos seis meses, encuentra el interruptor de la luz, la prende y de repente todo se ilumina. Uno puede ver exactamente dónde está todo. Entra luego al cuarto siguiente y allí pasa otros seis meses en la oscuridad. Así que cada uno de estos avances, aunque a veces ocurre en un momento, a veces en el lapso de uno o dos días, es la culminación de muchos meses de tropiezos en la oscuridad, sin los cuales no existiría el avance”. En 1990 Wiles se encontraba en el que parecía el más oscuro de todos los cuartos. Llevaba explorándolo más de dos años. No tenía forma de demostrar que si una parte de la ecuación elíptica es modular entonces también lo es la siguiente. Después de ensayar todas las herramientas y técni- cas publicadas en la bibliografía matemática, había encontrado que eran inadecuadas. “Realmente creía que estaba en el camino correcto, pero ello no significaba que ne- El cálculo secreto ST cesariamente iba a llegar a mi meta. Podía ser que los méto- dos necesarios para resolver este problema en particular simplemente estuvieran más allá de las matemáticas actuales. Quizás los métodos que necesitaba para completar la demostración no se inventarían antes de cien años. Así que, aun si me encontraba en el camino correcto, podría estar viviendo en el siglo equivocado”. Impertérrito, Wiles perseveró un año más. Comenzó a trabajar con una técnica llamada teoría de Iwasawa. La teoría de Iwasawa es un método de análisis de las ecuaciones elíp- ticas que había aprendido en Cambridge con John Coates. Aunque tal como estaba el método era inadecuado, Wiles tenía la esperanza de poder modificarlo y hacerlo lo suficientemente idóneo como para generar el efecto dominó. Desde que hizo el avance inicial con los grupos de Galois, Wiles se sentía cada vez más frustrado. Cada vez que la presión se hacía muy grande, se volvía hacia su familia. Desde que comenzó a trabajar en el último teorema de Fermat, en 1986, había sido padre dos veces. “La única manera en que me podía relajar era cuando estaba con mis hijos. Los niños simplemente no están interesados en Fermat, sólo quieren oír un cuento y no dejan que uno haga ninguna otra cosa”. EL DE MÉTODO KOLYVAGIN Y FLACH En el verano de 1991, Wiles sintió que había perdido la batalla por adaptar la teoría de Iwasawa. Tenía que de- EL DE ÚLTIMO FERMAT TEOREMA 352 mostrar que todo dominó que hubiera sido tumbado tumbaría al siguiente: que si un elemento de la serie E de la ecuación elíptica correspondía a un elemento de la serie M de la forma modular, entonces también el siguiente correspondería. También tenía que estar seguro de que esto ocu- rría con toda ecuación elíptica y toda forma modular. La teoría de Iwasawa no le daba la garantía que él necesitaba. Hizo otra exhaustiva búsqueda en la bibliografía y tampoco pudo encontrar una técnica alterna que le permitiera hacer el avance que requería. Después de haber sido casi un recluso en Princeton durante cinco años, decidió que era hora de regresar a la circulación con el fin de enterarse de los más recientes chismes matemáticos. Quizás alguien en alguna parte estaba trabajando en una nueva técnica innovadora y sin embargo, por alguna razón, no la había publicado. Se dirigió al norte, a Boston, para asistir a una importante conferencia sobre ecuaciones elípticas, en la cual podía estar seguro de encontrarse con los principales expertos en el tema. Wiles recibió la bienvenida de colegas de todo el mundo, que se alegraron de verlo después de tan larga ausencia del circuito de congresos. Nadie sabía aún en qué había estado trabajando y Wiles se cuidó de no dar ninguna pista. No sospechaban las razones ocultas por las que él les preguntaba las últimas noticias acerca de las ecuaciones elípticas. En un principio las respuestas no tuvieron ninguna relevancia para las dificultades de Wiles, pero un encuentro con su antiguo supervisor John Coates fue más fructífero: “Coates me comentó que un estudiante suyo llamado El cálculo secreto DS Matheus Flach estaba escribiendo un artículo precioso en el que analizaba las ecuaciones elípticas. Estaba trabajando a partir de un método reciente ideado por Kolyvagin, y este parecía haber sido hecho a la medida para mi problema. Tenía cara de ser exactamente lo que yo necesitaba aunque sabía que tendría que desarrollar aún más el llamado método de Kolyvagin-Flach. Dejé de lado completamente el método viejo que venía ensayando y me dediqué noche y día a extender el Kolyvagin-Flach”. En teoría, este nuevo método podía ampliar el argumento de Wiles de la primera parte de la ecuación elíptica a todas las partes de la misma, y potencialmente podría funcionar para toda ecuación elíptica. El profesor Kolyvagin había diseñado un método matemático inmensamente poderoso, y Matheus Flach lo había refinado para hacerlo aún más potente. Ninguno de los dos supo que Wiles tenía la intención de incorporar su trabajo en la demostración más importante del mundo. Wiles regresó a Princeton, pasó varios meses familiarizándose con su recién descubierta técnica y luego comenzó la monumental tarea de adaptarla e implementarla. Pronto pudo hacer que la demostración inductiva funcionara para una ecuación elíptica en particular: logró que cayeran todos los dominós. Desafortunadamente, el método KolyvaginFlach que funcionaba para una ecuación elíptica en particular no necesariamente funcionaba para otra ecuación elíptica. Finalmente, Wiles se dio cuenta de que todas las ecuaciones elípticas podían ser clasificadas en varias familias. Una vez EL DE ÚLTIMO FERMAT TEOREMA 354 se le hubiera modificado para que funcionara en una ecuación elíptica, el método Kolyvagin-Flach funcionaría para todas las otras ecuaciones elípticas de esa familia. El reto era adaptar el método de tal forma que funcionara para cada familia. Aunque unas familias eran más difíciles de conquistar que otras, Wiles confiaba en que podría resolverlas una por una. Después de seis años de intensos esfuerzos, Wiles creía que el final estaba a la vista. Semana tras semana iba logrando progresos, probando que nuevas y más grandes familias de curvas elípticas debían ser modulares. Parecía ser sólo cuestión de tiempo despachar las ecuaciones elípticas pendientes. Durante esta última etapa de la demostración, Wiles comenzó a darse cuenta de que toda su demostración se basaba en el uso de una técnica que había descubierto apenas unos pocos meses antes. Comenzó a preguntarse si estaba usando el método de Kolyvagin-Flach de una manera completamente rigurosa. “Durante ese año trabajé muy duro tratando de que el método de Kolyvagin-Flach funcionara pero este compren- día una maquinaria sofisticada con la cual yo no estaba familiarizado. Había bastante álgebra dura, y esto requería que yo aprendiera mucha matemática nueva. Luego, a comienzos de enero de 1993, decidí que necesitaba consultar a alguien que fuera experto en la clase de técnicas geométricas que estaba aplicando. Quería escoger muy bien a quién decirle, porque esa persona tendría que mantenerlo confidencial. Decidí decirle a Nick Katz”. El cálculo secreto SD Nick Katz EL DE ÚLTIMO FERMAT TEOREMA 356 El profesor Nick Katz también trabajaba en el departamento de matemáticas de la Universidad de Princeton y conocía a Wiles desde hacía varios años. Á pesar de su cerca- nía, Katz ignoraba por completo lo que estaba sucediendo en el mismo corredor. Recuerda cada detalle del momento en que Wiles le reveló su secreto: “Un día Andrew se acercó a mía la hora del té y me pidió que fuera con él a su oficina; había algo de lo que quería hablar conmigo. No tenía idea de qué podría ser. Fui a su oficina y Wiles cerró la puerta. Dijo que pensaba que podía demostrar la conjetura de Tani- yama-Shimura. Quedé asombrado, estupefacto; esto era fantástico. “Me explicó que una parte grande de la demostración se basaba en su ampliación del trabajo de Flach y Kolyvagin, pero que era bastante técnica. Se sentía inseguro en esta parte tan técnica de la demostración y quería repasarla con alguien porque deseaba estar seguro de que era correcta. Él pensaba que yo era la persona apropiada para ayudarlo a verificarla, pero creo que hubo otra razón por la cual me buscó a mí en particular. Estaba seguro de que yo mantendría la boca cerrada y no le hablaría a nadie de la demostración”. Después de seis años de aislamiento Wiles había revelado su secreto. Ahora era tarea de Katz desenredar la maraña de espectaculares cálculos basados en el método de Kolyvagin-Flach. Prácticamente todo lo que había hecho Wiles era revolucionario, y Katz pensó muy bien cuál sería la mejor manera de examinarlo a fondo. “Lo que Andrew tenía que explicar era tan amplio y extenso que no habría El cálculo secreto IN servido que intentara hacerlo en su oficina durante conversaciones informales. Para algo tan grande como esto realmente necesitábamos la estructura formal de unas conferencias semanales programadas; de lo contrario el asunto simplemente se degeneraba. Por eso fue que decidimos organizar el curso de conferencias”. Decidieron que la mejor estrategia era anunciar una serie de conferencias abiertas a todos los estudiantes de posgrado. Wiles daría el curso y Katz estaría entre la audiencia. El curso efectivamente cubriría la parte de la demostración que necesitaba verificación, pero los estudiantes no sabrían esto. La gracia de disimular de esta manera la verificación de la demostración estaba en que forzaría a Wiles a explicar todo paso por paso, y sin embargo no suscitaría ninguna sospecha en el departamento. Para todos los demás, este no era más que otro curso de posgrado. “Así que Andrew anunció este curso de conferencias llamado “Cálculos acerca de ecuaciones elípticas” ”, recuerda Katz con una sonrisa pícara, “que es un título completamente inofensivo, podía significar cualquier cosa. No mencionó a Fermat, no mencionó a Taniyama-Shimura, simplemente comenzó lanzándose de lleno a hacer unos cálculos técnicos. No había manera de que alguien hubiera podido adivinar de qué se trataba realmente. Fue hecho de tal forma que si uno no sabía para qué era esto, los cálculos simplemente parecerían terriblemente técnicos y tediosos. Es bastante difícil seguir el hilo de las matemáticas en este típo de cálculos, e imposible seguirlo cuando uno ni siquiera sabe para qué son EL DE ÚLTIMO FERMAT TEOREMA 358 los cálculos. En todo caso, uno por uno los estudiantes de posgrado fueron abandonando el curso, y después de unas pocas semanas yo era la única persona en la audiencia”. Katz se sentaba en la sala de conferencias y escuchaba con cuidado cada paso de los cálculos de Wiles. Al final de ellos su dictamen era que el método de Kolyvagin-Flach parecía funcionar perfectamente. Nadie más en el departamento se dio cuenta de lo que había sucedido. Nadie sospechaba que Wiles estaba a punto de reclamar el más importante premio de las matemáticas. El plan había sido un éxito. Una vez terminó la serie de conferencias, Wiles dedicó todos sus esfuerzos a completar la demostración. Había aplicado con éxito el método de Kolyvagin-Flach a una familia tras otra de ecuaciones elípticas, y a estas alturas, sólo una se resistía a someterse a esta técnica. Wiles cuenta cómo intentó completar el último elemento de la demostración: “Una mañana a finales de mayo, Nada estaba afuera con los niños y yo estaba sentado en mi escritorio pensando en la familia restante de ecuaciones elípticas. Estaba mirando casual mente un trabajo de Barry Mazur y había allí una oración que me llamó la atención. Mencionaba una construcción del siglo XIX, y de repente me di cuenta de que podría utilizarla para hacer que el método de Kolyvagin-Flach funcionara en la última familia de ecuaciones elípticas. Seguí trabajando entrada la tarde y olvidé bajar a almorzar, y alrededor de las tres o cuatro estaba realmente convencido de que esto resolvía el último problema que quedaba. Llegó la hora del té y El cálculo secreto 359 bajé; Nada estaba sorprendida de que hubiera llegado tan tarde. Entonces le dije: “He resuelto el último teorema de Fermat' ” LA CONFERENCIA DEL SIGLO Después de siete años de esfuerzo concentrado, Wiles había completado una demostración de la conjetura de Taniyama-Shimura. Como consecuencia, y después de treinta años de soñar con ello, había demostrado también el último teorema de Fermat. Ya era hora de contarle al resto del mundo. “Así que para mayo de 1993 estaba convencido de que tenía la totalidad del último teorema de Fermat en mis manos”, recuerda Wiles. “Todavía quería verificar la demostra- ción un poco más pero había un congreso a finales de junio en Cambridge, y pensé que ese sería un lugar maravilloso para anunciar la demostración: es mi ciudad natal, y allá había sido estudiante de posgrado”. El congreso se llevaría a cabo en el Instituto Isaac Newton. Esta vez el instituto había planeado un taller de teoría de números con el oscuro título de “Funciones L y Aritmética”. Uno de los organizadores era el supervisor de doctorado de Wiles, John Coates: “Trajimos personas de todo el mundo que estuvieran trabajando en este círculo general de problemas y, claro, Andrew fue uno de los invitados. Pla- neamos una semana de conferencias concentradas y Originalmente, ya que había mucha demanda para turnos de conferencias, sólo le asigné a Andrew dos. Pero luego com- EL ÚLTIMO DE FERMAT TEOREMA 360 prendí que necesitaba un tercer turno, así que decidí cederle el mío propio para su tercera conferencia. Sabía que iba a anunciar un gran resultado, pero no tenía idea cuál”. Cuando Wiles llegó a Cambridge tenía dos semanas y media antes de sus conferencias, y quería sacarles el mayor provecho: “Decidí que verificaría la demostración con una o dos personas, en particular la parte de Kolyvagin-Flach. La primera persona a la que se lo entregué fue a Barry Mazur. Creo que le dije: “Tengo aquí un manuscrito con la demostración de cierto teorema”. Por un rato pareció muy confundido, y luego dije: “Bueno, échale una mirada'. Creo que entonces le tomó algún tiempo registrarlo. Parecía aturdi- do. En todo caso le dije que esperaba hablar sobre la demostración durante el congreso y que quería de verdad que él tratara de verificarla”. Una por una fueron llegando al Instituto Newton las más eminentes figuras de la teoría de números, incluyendo a Ken Ribet, cuyos cálculos de 1986 habían inspirado a Wiles su ordalía de siete años. “Llegué a esta conferencia acerca de funciones L y curvas elípticas y no parecía nada fuera de lo corriente hasta que la gente comenzó a contarme que se escuchaban extraños rumores acerca de la serie de conferencias que Andrew Wiles había propuesto. El rumor era que había demostrado el último teorema de Fermat, y simplemente pensé que era una locura. No pensé que pudiera ser posible. Hay muchos casos en las matemáticas en que empiezan a circular los rumores, especialmente a través del correo electrónico, y la experiencia demuestra que uno no debe darles El cálculo secreto 361 mucho crédito. Pero los rumores eran muy persistentes y Andrew se rehusaba a contestar cualquier pregunta y se comportaba de una forma muy, muy extraña. John Coates le dijo: “Andrew, ¿qué has demostrado? ¿Llamamos a la prensa?” Andrew simplemente negó con la cabeza y mantuvo la boca cerrada. Estaba esperando el momento más propicio y espectacular. “Luego, una tarde, Ándrew se acercó a mí y comenzó a preguntarme qué era lo que había hecho en 1986 y algo acerca de la historia de las ideas de Frey. Pensé para mí mismo, esto es increíble, tuvo que haber demostrado la conjetura de Taniyama-Shimura y el último teorema de Fermat, pues de lo contrario no me estaría preguntando esto. No le pregunté directamente si era verdad, porque vi que estaba comportándose con mucha reserva y sabía que no iba a recibir una respuesta concreta. Así que le dije: “Bueno, Andrew, si tienes ocasión de hablar acerca de este trabajo, esto fue lo que sucedió. Lo miré como si yo supiera algo, pero apenas podía superarlo”. La reacción de Wiles a los rumores y la presión creciente era sencilla: “La gente me preguntaba antes de las conferencias qué era exactamente lo que iba a decir. Así que yo les decía, vengan a mis conferencias y verán”. En 1920 David Hilbert, que entonces tenía 58 años, dio una conferencia pública en Gotinga sobre el último teorema de Fermat. Cuando se le preguntó si el problema sería alguna vez resuelto, respondió que él no viviría para verlo pero que quizás miembros más jóvenes de la audiencia se- EB.ÚLTEMO DE EERMAT TEORBMA 362 rían testigos de la solución. El estimativo de Hilbert sobre la fecha de la solución resultó ser bastante cercano. La conferencia de Wiles también estaba programada a buen tiempo en relación con el premio Wolfskehl. En su testamento, Paul Wolfskehl había colocado como fecha límite el 13 de septiembre de 2007. El título de la serie de conferencias de Wiles era “Formas modulares, ecuaciones elípticas y representaciones de Galois”. Una vez más, como con las conferencias de posgrado que había dado un poco antes ese mismo año para beneficio de Nick Katz, el título era tan vago que no daba ninguna pista acerca de su propósito último. La primera de las conferencias de Wiles fue aparentemente simple: sentó las bases para su ataque a la conjetura de Taniyama-Shimura, que se daría en la segunda y tercera conferencias. La mayoría de la audiencia no estaba al tanto de los rumores, no entendía el propósito de las conferencias y puso muy poca atención a los detalles. Quiénes sabían estaban buscando la más mínima pista que pudiera darle credibilidad a los rumores. Inmediatamente después de la conferencia los rumores comenzaron de nuevo con vigor renovado, y el correo elec- trónico voló alrededor del mundo. El profesor Karl Rubin, una antiguo alumno de Wiles, informó a sus colegas en Es- tados Unidos: Fecha: Lunes, 21 de junio de 1993 13:33:06 Asunto: Wiles Hola. Andrew dio hoy su primera charla. No anunció El cálculo secreto 363 una demostración de Taniyama-Shimura, pero va en esa dirección y tiene dos conferencias más. Sigue muy misterioso acerca del resultado final. Mi sospecha es que va a demostrar que si E es una curva elíptica sobre Q y la representación de Galois de los puntos de orden 3 sobre E satisface ciertas hipótesis, entonces E es modular. Por lo que ha dicho no parece que vaya a demostrar la conjetura completa. Lo que no sé es si esto se aplicará a la curva de Frey, y por lo tanto diga algo acerca de Fermat. Los mantendré informados. Karl Rubin Universidad del Estado de Ohio A la mañana siguiente más gente había escuchado los rumores, así que el número de asistentes a la segunda conferencia era significativamente mayor. Wiles les tomó el pelo con un cálculo intermedio que mostraba claramente que estaba tratando de abordar la conjetura de Taniyama-Shimura, pero la audiencia quedó preguntándose si él había hecho suficiente para demostrarla y, como consecuencia, conquistar el último teorema de Fermat. Una nueva oleada de mensajes de correo electrónico rebotó de los satélites. Fecha: Martes, 22 de junio de 1993 13:10:39 Asunto: Wiles No hubo verdaderas noticias en la conferencia de hoy. Andrew enunció un teorema general acerca de levantar representaciones de Galois más o menos de la manera que EL DE ÚLTIMO FERMAT TEOREMA 364 sugerí ayer. No parece aplicar a todas las curvas elípticas pero el remate vendrá mañana. Realmente no sé por qué lo está haciendo de esta manera. Es claro que sabe lo que va a decir mañana. Es un trabajo enorme, en el que viene profundizando hace años, y parece confiado en él. Les haré saber lo que suceda mañana. Karl Rubin Universidad del Estado de Ohio. “El 23 de junio Andrew comenzó su tercera y última conferencia”, recuerda John Coates. “Lo sorprendente era que prácticamente todos los que habían contribuido a las ideas detrás de la demostración estaban en el salón: Mazur, Ribet, Kolyvagin y muchos, muchos otros”. A estas alturas el rumor era tan persistente que toda la comunidad matemática de Cambridge acudió a la última conferencia. Los afortunados estaban embutidos en el auditorio, mientras que los demás tuvieron que esperar en el corredor, de puntillas y asomados por una ventana. Ken Ribet se aseguró de no perderse el anuncio matemático más importante del siglo: “Llegué relativamente temprano y me senté en la primera fila junto con Barry Mazur. Tenía una cámara sólo para registrar el evento. La atmósfera estaba muy cargada y la gente muy emocionada. Teníamos la certeza de estar participando en un momento histórico. La gente tenía sonrisas en la cara antes y durante la conferencia. La tensión se había acumulado en el curso de los días. Luego llegó este momento maravilloso en que nos acercábamos a una demostración del último teorema de Fermat”. El cálculo secreto 365 Barry Mazur ya había recibido una copia de la demostración de Wiles, pero incluso él estaba estupefacto con el espectáculo. “Nunca había asistido a una conferencia tan gloriosa, tan llena de ideas maravillosas, con tan dramática tensión y semejante anticipación. Había sólo un posible desenlace”. Después de varios años de intenso esfuerzo, Wiles estaba a punto de anunciar su demostración al mundo. Curiosamente, él no puede recordar en detalle los momentos finales de la conferencia, pero sí recuerda la atmósfera: “Aunque la prensa ya se había enterado de la conferencia, afortunadamente no estaba presente en ella. Pero había una cantidad de gente en la audiencia que estaba tomando fotos hacia el final y el director del Instituto vino bien preparado, con una botella de champaña. Hubo un silencio solemne mientras leía la demostración, y luego simplemente escribí el enunciado del último teorema de Fermat. Entonces dije, 'Creo que me detendré aquí”, y hubo un aplauso sostenido. POFOQUE ISTGUTÓO Paradójicamente, Wiles quedó con una opinión ambivalente respecto de la conferencia: “Obviamente fue una gran ocasión, pero tenía sentimientos encontrados. Esto ha- bía sido parte de mí durante siete años: había sido toda mi vida laboral. Me había envuelto tanto en el problema que realmente sentía que lo tenía todo para mí, pero ahora lo estaba dejando ir. Tenía la sensación de estar renunciando a una parte de mí”. EL ÚLTIMO DE FERMAT TEOREMA 366 El colega de Wiles, Ken Ribet, no tenía tales reparos: “Fue un evento totalmente extraordinario. Quiero decir, uno va a un congreso y hay algunas conferencias rutinarias, unas conferencias buenas y unas conferencias muy especiales, pero sólo una vez en la vida uno va a una conferencia en la que alguien afirma haber resuelto un problema que ha perdurado 350 años. La gente se miraba entre sí y decía: “Por Dios, hemos sido testigos de un evento histórico”. Luego hicieron algunas preguntas sobre aspectos técnicos de la demostra- ción y posibles aplicaciones a otras ecuaciones, hubo más silencio y de repente una segunda ronda de aplausos. La siguiente charla la dio un tal Ken Ribet, es decir, yo mismo. Di la conferencia, la gente tomó notas y ninguno de los presentes, incluyéndome a mí, supo qué fue lo que dije en esa conferencia”. Mientras que los matemáticos divulgaban la buena noticia a través del correo electrónico, el resto del mundo tuvo que esperar hasta las noticias de la noche o los periódicos del día siguiente. Equipos de televisión y reporteros científicos llegaron al Instituto Newton, todos exigiendo entrevistas con “el matemático más grande del siglo”. El Guardian proclamó: “Le llegó la hora al último enigma de las matemáticas”, y la primera página de Le Monde decía, “Le théorem de Fermat enfin résolu”. Periodistas de todo el mundo pidieron la opinión experta de los matemáticos acerca del trabajo de Wiles y se esperaba que los profesores, to- davía recuperándose de la sorpresa, explicaran brevemente la demostración más complicada de todos los tiempos, o que El cálculo secreto suministraran 367 una frase que clarificara la conjetura de Taniyama-Shimura. La primera vez que el profesor Shimura oyó de la demostración de su propia conjetura fue cuando leyó la primera página del New York Times: “Finalmente, el grito de “¡Eureka!” sobre un antiguo misterio matemático”. Treinta y cinco años después de que su amigo Yutaka Taniyama se suicidara, la conjetura que habían creado juntos había sido confirmada. Para muchos matemáticos profesionales la demostración de Taniyama-Shimura era un logro mucho más importante que la solución del último teorema de Fermat porque tenía inmensas consecuencias para muchos otros teoremas matemáticos. Los periodistas que cubrieron la historia se concentraron en Fermat, mencionando a Taniyama- Shimura sólo de paso, si es que lo hacían. A Shimura, un hombre modesto y discreto, no le molestaba especialmente la falta de atención que se le daba a su papel en la demostración del último teorema de Fermat, pero le preocupaba que él y Taniyama hubieran pasado de ser sustantivos a ser adjetivos. “Es muy curioso que la gente escriba acerca de la conjetura de Taniyama-Shimura pero nadie escriba de Taniyama y Shimura”. Esta era la primera vez que las matemáticas alcanzaban los titulares desde que Yoichi Miyaoka anunciara su llamada demostración en 1988: la única diferencia fue que esta vez hubo el doble del cubrimiento de los medios de comunicación y que nadie expresó ninguna duda acerca del cálcu- lo. De un día para otro Wiles se convirtió en el matemático EL DE ÚLTIMO FERMAT TEOREMA 368 vew 1ork Times === MESE vd Vicar At Last, Shout of Eureka! In Age-Old Math Mystery o ma pesao di a e a A a JUVE A ms E LENTA GO ANI ST cci ns o e e PA as a o e A A e e ¡ a q | e ALTEA RUSIA A linl!" lpu1 il | 1 q ps ll pil ¡Hi Cutback in U.S. Funds to R Summer Jobs for New York Youtha. ui ai all Al mati ERIZE il 5. L Woes Impinge on Privileged Haven | |Ms wlilA | lr , | j a o ri micas PA ' plan pi o tt4” |1 iJ Aa Merasa Prestan Vitis e Caozlo18 Derio e 1 Bs as Mi, o A a a lr A A A e A E RA A a =3E E 5E]E == = 22 Después de la conferencia de Wiles, los periódicos de todo el mundo informaron sobre su demostración del último teorema de Fermat. El cálculo secreto 369 más famoso del mundo, de hecho el único, y la revista People lo incluyó en la lista de las veinticinco personas más fascinantes del año, junto con la Princesa Diana y Oprah Winfrey. El máximo reconocimiento provino de una cadena internacional de ropa que le pidió al genio de modales suaves que promocionara su última colección masculina. Mientras el circo de los medios de comunicación continuaba y los matemáticos le sacaban el mayor provecho a ser el centro de atención, comenzó el trabajo serio de verificar la demostración. Como en todas las disciplinas científicas, toda contribución nueva tiene que ser examinada exhaustivamente antes de poder ser aceptada como precisa y correcta. La demostración de Wiles tenía que someterse al tormento de un juicio. Aunque las conferencias de Wiles en el Instituto Isaac Newton le habían dado al mundo un bosquejo de sus cálculos, esto no tenía validez frente a sus colegas mate- máticos. El protocolo académico exige que todos los matemáticos presenten un manuscrito completo a una publicación prestigiosa, cuyo editor lo envía a un equipo de expertos que debe examinar línea por línea la demostración. Wiles tuvo que pasar el verano esperando ansiosamente el informe de los jueces con la esperanza de que finalmente le dieran su bendición. mn cnc ' 0 dar? ES 5 A OR E rn do od an : leg OPA 5 Í AA TA LIV 1 y Mai E SP A AN A " Pr y ño 3) La Tal a P 2 á - AS ' O E h y ; hos a o 3 ? ' Ñ a y 7 ae 4 AS MA IT MAA Ñ APIS TAS NAA TEA ¿ mI " | Aia UN > e, ' 6 V Ñ he y Í ; ' 3 UN EN ii 5) ME Y LA poa 4 po ú CIRIA Ñ y e e e 110117 p Ñ al: FEMIAY * Mi AAA y y ¡obE ' 2! TES e O AO EN e » e El y Nr va SN MEP a coo . A O - ¿DN abi > AS OR adALSO o A A A 2 AA A o E 2 cy bi Ml pe UA ye E rd: 7 | ] Er ano SO a ú iia y ! DUI A Da Ñ A A 7 MAN DRA PECAA Tt i VA = diia : PIDA 1019 A $e AA e Li? Ñ a ¡IAN $ dl A 110 LAW di A ” aldo nrER) Wa 10 e Mn vel de y ADOOS e er arnet v de RIA MAA É SW Eo a a E RIA Y AS 4 Ñ o | dicaAR epa | y 1 a "70 «Elo, desd AS , vo en 1 j ATAN AT iS A AS Un problema que valga la pena atacar demuestra su valor no dejándose amansar. PURAS TAS > Un pequeño problema Andrew Wiles y Ken Ribet inmediatamente después de la histórica conferencia en el Instituto Isaac Newton. Tan pronto como terminó la conferencia en Cambridge, el comité Wolfskehl fue informado de la demostración de Wiles. No podían hacer entrega del premio inmediatamente porque las reglas del concurso claramente exigen la verificación por parte de otros matemáticos y la publicación oficial de la demostración: La Konigliche Gesellschaft der Wissenschaften de Gotinga [...] sólo tomará en consideración aquellas memorias matemáti- cas que hayan aparecido en forma de monografía en alguna publicación periódica o que estén a la venta en las librerías [...] La entrega del premio por parte de la Sociedad no se llevará a cabo antes de cumplirse dos años de la publicación de la memoria ganadora. El intervalo de tiempo es para permitir a los matemáticos alemanes y extranjeros dar su opinión acerca de la validez de la solución publicada. Wiles presentó su manuscrito a la revista Inventiones Mathe- maticae después de lo cual su editor, Barry Mazur, comenzó el proceso de selección de los jueces. El trabajo de Wiles comprendía tal variedad de técnicas, tanto antiguas como modernas, que Mazur tomó la decisión excepcional de nombrar no dos o tres jueces, como es usual, sino seis. Cada año se publican treinta mil artículos en revistas de todo el mundo, pero el solo tamaño y la importancia del manuscrito de Wiles significaban que sería sometido a un nivel único de escrutinio. Para simplificar el asunto, la demostración de doscientas páginas fue dividida en seis secciones, y cada uno de los jueces se hizo responsable de uno de esos capítulos. EL ÚLTIMO DE TELEPREMIASTE TEOREMA 374 El capítulo 3 quedó bajo la responsabilidad de Nick Katz, quien ya había examinado esa parte de la demostración ese mismo año: “Me encontraba en París ese verano trabajando en el Institut des Hautes Études Scientifique, y me llevé el manuscrito completo de doscientas páginas; el capítulo que me correspondía tenía setenta páginas. Estando allá decidí que necesitaba ayuda técnica, así que insistí en que Luc Illusie, que también estaba en París, fuera nombrado juez adjunto de este capítulo. Nos reunimos varias veces cada semana durante todo el verano, básicamente para tratar de entender entre ambos el trabajo de Wiles. Literalmente, no hicimos otra cosa que revisar el manuscrito línea por línea para asegurarnos de que no hubiera ningún error. Algunas veces algo nos confundía así que todos los días, a veces dos veces al día, le enviaba una pregunta a Andrew por correo electrónico: no entiendo lo que dices en esta página, o me parece que hay algo mal en esta línea. Casi siempre recibía ese mismo día o al día siguiente una respuesta que aclaraba el asunto, y entonces pasábamos al siguiente problema”. La demostración era un argumento gigantesco, intrincadamente construida con cientos de cálculos mate- máticos unidos entre sí por miles de eslabones lógicos. Si uno solo de los cálculos estaba equivocado, o si uno solo de los eslabones se rompía, la demostración completa podía carecer de valor. Wiles, ya de vuelta en Princeton, aguardaba ansiosamente a que los jueces terminaran su trabajo. “No me gusta cantar victoria hasta no finiquitar por completo el Un pequeño problema 570 artículo. Entre tanto, tenía bien definido mi trabajo, pues debía responder las preguntas de los jueces que recibía a través del correo electrónico. Estaba todavía bastante seguro de que ninguna de estas preguntas me iba a causar gran problema”. Había revisado y vuelto a revisar la demostración antes de entregarla a los jueces, así que no esperaba más que el equivalente matemático de los errores gramaticales o tipográficos, equivocaciones triviales que podría arreglar inmediatamente. “Estas preguntas continuaron sin mayores incidentes a lo largo de agosto”, recuerda Katz, “hasta que llegué a lo que parecía un pequeño problema más. Alrededor del 23 de agosto le envié un mensaje por correo electrónico a Andrew, pero es un poco complicado, así que él me contestó por fax. Como su respuesta no parece responder la pregunta, le envié otro mensaje. Sin embargo, no quedé satisfecho con esta última respuesta”. Wiles había asumido que este error era tan superficial como todos los demás, pero la persistencia de Katz lo obligó a tomarlo en serio: “No pude resolver de inmediato esta pregunta inocente en apariencia. Al comienzo me pareció un problema del mismo orden que los demás problemas pero luego en algún momento, en septiembre, comencé a darme cuenta de que no era simplemente una dificultad menor sino una falla fundamental. Era un error en una parte crucial del argumento que involucraba el método de Kolyvagin-Flach, pero tan sutil que no lo había visto antes. El error es tan abstracto que realmente no se puede describir en términos EL ÚLTIMO DE EJER MAT TEOREMA 376 sencillos. Incluso para explicárselo a un matemático se necesitaría que este pasara dos o tres meses estudiando esa parte del manuscrito con mucho detalle”. En esencia, el problema era que no había ninguna garantía de que el método de Kolyvagin-Flach funcionara como Wiles esperaba. Se suponía que tenía que ampliar la demostración desde el primer elemento de todas las ecuaciones elípticas y formas modulares hasta cubrir todos los elementos y así suministrar el mecanismo que permite que un dominó tumbe al siguiente. Originalmente, el método de Kolyvagin- Flach sólo funcionaba bajo circunstancias bastante restrin- gidas, pero Wiles creía que lo había adaptado y fortalecido lo suficiente como para que funcionara según sus necesidades. De acuerdo con Katz, esto podía no ser cierto, y el efec- to era dramático y devastador. El error no significaba necesariamente que el trabajo de Wiles no pudiera salvarse, pero sí quería decir que ten- dría que reforzar su demostración. El absolutismo de las matemáticas exigía que Wiles demostrara sin lugar a ninguna duda que su método funcionaba para todo elemento de toda serie E y toda serie M. EL INSTALADOR DE TAPETES Cuando Katz se dio cuenta de la importancia del error que había detectado comenzó a preguntarse cómo no lo había visto en la primavera, cuando Wiles le había explicado la demostración con el solo propósito de identificar cual- Un pequeño problema Ep quier error. “Creo que la respuesta es que cuando uno está escuchando una explicación hay un verdadero conflicto entre tratar de entender todo y dejar que el expositor avance. Si uno interrumpe cada segundo —no entiendo esto o no entiendo aquello— la persona nunca llega a explicar nada y no se llega a ninguna parte. Por otro lado, si uno no interrumpe entonces simplemente se pierde y no hace sino asentir con la cabeza cortésmente, pero realmente no está verificando nada. Se da un conflicto real entre hacer demasiadas preguntas y hacer muy pocas, y obviamente me equivoqué al final de esas sesiones, por no hacer suficientes preguntas, y fue cuando el error se coló”. Apenas pocas semanas antes, los periódicos del mundo entero habían llamado a Wiles el matemático más brillante del mundo, y después de 350 años de frustraciones los teóri- cos de los números creían que finalmente habían derrotado a Pierre de Fermat. Ahora Wiles se veía enfrentado a la humillación de admitir que había cometido un error. Ántes de confesar la equivocación decidió hacer un esfuerzo concertado para llenar el vacío. “No podía rendirme. Estaba obsesionado con este problema y todavía creía que el método de Kolyvagin-Flach solamente necesitaba un pequeño ajuste. Sólo tendría que modificarlo levemente y así funcionaría bien. Decidí regresar a mi antigua rutina y aislarme por completo del mundo exterior. Tenía que concentrarme nuevamente, pero esta vez bajo circunstancias mucho más difíciles. Durante mucho tiempo pensé que el arreglo estaba a la vuelta de la esquina, que se me escapaba algo muy sencillo y que EL ÚLTIMO DIE- TELE RIMAT TEOREMA 378 todo cuadraría al día siguiente. Por supuesto que pudo haber sucedido así, pero a medida que pasaba el tiempo parecía que el problema simplemente se volvía más intransigente”. La esperanza que tenía era poder enmendar el error antes de que la comunidad matemática se enterara de que este había existido. La esposa de Wiles, que ya había sido testigo de los siete años de esfuerzos invertidos en la demostración original, tuvo ahora que ver la lucha agotadora de su marido contra un error que podría destruirlo todo. Wiles recuerda su optimismo: “En septiembre Nada me dijo que lo único que quería para su cumpleaños era una demostración correcta. Su cumpleaños es el 6 de octubre. Tenía sólo dos semanas para completar la demostración, y fallé”. Para Nick Katz este también fue un período tenso: “En octubre las únicas personas que sabíamos del error éramos Illusie, los otros jueces de los otros capítulos, Andrew y yo; en teoría, nadie más. Mi actitud era que, como juez tenía que actuar en forma totalmente confidencial. No sentía la obligación de discutir esto con alguien que no fuera Andrew, así que no dije una palabra. Su apariencia exterior era normal pero a estas alturas le escondía al mundo un secreto, y creo que tenía que sentirse muy incómodo con eso. La actitud de Andrew era que en un día más lo resolvería, pero a medida que avanzaba el otoño y no había un manuscrito disponible comenzaron a circular los rumores de que había algún problema”. Ken Ribet, otro de los jueces, comenzó a sentir la obligación de guardar el secreto: “Por alguna razón completa- Un pequeño problema 379 mente accidental llegué a convertirme en el “Servicio de información acerca de Fermat”. Hubo un primer artículo en el New York Times para el que Andrew me pidió que hablara con el reportero en su lugar, y el artículo decía: 'Ribet, quien actúa como vocero de Andrew Wiles...”, o algo así. Después me convertí en una especie de imán para todo lo que se refiriera al último teorema de Fermat, tanto fuera como dentro de la comunidad matemática. La prensa de todo el mundo me contactaba y di un gran número de conferencias en el lapso de dos o tres meses. En ellas señalaba que se trataba de un logro magnífico, hacía un bosquejo de la demostración y hablaba de las partes que conocía mejor, pero después de un tiempo la gente comenzó a impacientarse y a hacer preguntas incómodas. “Wiles había defendido su descubrimiento pero nadie fuera del muy pequeño grupo de jueces había visto una copia del manuscrito. Así que los matemáticos estaban esperando el manuscrito que Andrew había prometido unas pocas semanas después del anuncio inicial en junio. La gente decía, “Está bien, se anunció este teorema; queremos ver lo que está pasando. ¿Qué es lo que Wiles está haciendo? ¿Por qué no se sabe nada?” La gente estaba un poco molesta porque se le mantenía desinformada, y simplemente quería saber lo que sucedía. Después las cosas se complicaron aún más porque surgió una nube sobre la demostración. Me llegó un rumor según el cual había un error en el capítulo 3. Me preguntaban qué sabía yo del asunto y yo no sabía qué decir”. Como Wiles y los jueces negaban tener algún conoci- EL ÚLTIMO DIFE RERSEFRREMIA SS TEOREMA 380 miento de un error, o al menos se rehusaban a comentar acerca de ello, las especulaciones comenzaron a desbordarse. En su desesperación, los matemáticos empezaron a enviarse mensajes por correo electrónico con la esperanza de llegar al fondo del misterio. Asunto: ¿Un agujero en la demostración de Wiles? Fecha: 18 de noviembre de 1993 21:04:49 GMT Hay muchos rumores flotando en el ambiente acerca de uno o más agujeros en la demostración de Wiles. ¿Agujero quiere decir grieta, fisura, rajadura, precipicio o abismo? ¿Alguien tiene información confiable? Joseph Lipman Universidad de Purdue En las salas de reunión de todos los departamentos de matemáticas los chismes acerca de la demostración de Wiles aumentaban día por día. En respuesta a los rumores y los mensajes especulativos por correo electrónico, algunos matemáticos trataron de restaurar la calma dentro de la comunidad. Asunto: Respuesta: ¿Un agujero en la demostración de Wiles? Fecha: 19 de noviembre de 1993 15:42:20 GMT No tengo información de primera mano y no me siento en libertad de discutir información de segunda mano. Creo Un pequeño problema 381 que el mejor consejo para todo el mundo es mantener la calma y dejar que los muy competentes jueces que están examinando con cuidado el artículo de Wiles hagan su trabajo. Cualquiera que haya escrito o evaluado un artículo sabe que con frecuencia surgen preguntas en el proceso de verificación de las demostraciones. Sería sorprendente que esto no sucediera con un resultado tan importante y una demostración tan difícil. Leonard Evens North Western University A pesar de los llamados a la cordura, los mensajes por correo electrónico continuaron sin cesar. Además de discutir el supuesto error, los matemáticos debatían sobre las implicaciones éticas de anticiparse al anuncio de los jueces. Asunto: Más chismes acerca de Fermat. Fecha: 24 de noviembre de 1993 12:00:34 GMT Supongo que está claro que no estoy de acuerdo con aquellos que dicen que no debemos chismorrear acerca de si la demostración de Wiles del último teorema de Fermat es correcta o no. Estoy totalmente a favor de esta clase de chismes siempre y cuando no se les tome muy en serio. No lo considero malicioso. En particular porque, ya sea que la demostración de Wiles sea correcta o no, estoy seguro de que ha hecho unas matemáticas de primera clase. Así pues, aquí está lo que recibí hoy de enésima mano... Bob Silverman EL ÚLTIMO DE EERMAT TEOREMA 382 Asunto: Re: Hueco en Fermat Fecha: Lunes 22 de noviembre de 1993 20:16 GMT Coates dijo en una conferencia en el Instituto Newton la semana pasada que en su opinión hay un vacío en la parte de la demostración de los “sistemas geométricos de Euler” cuya superación “puede tomar una semana o dos años”. He hablado con él varias veces pero todavía no sé con qué bases sostiene esto: él no tiene una copia del manuscrito. Hasta donde yo sé, la única copia que hay en Cambridge la tiene Richard Taylor en su calidad de juez del artículo para Inventiones, y él se niega a hacer ningún comentario hasta que todos los jueces lleguen a una conclusión común. La situación es confusa. Yo mismo no veo cómo la opinión de Coates pueda tomarse como fidedigna a estas alturas: voy a esperar a que Richard Taylor diga algo. Richard Pinch Mientras que el furor acerca de su esquiva demostración aumentaba, Wiles hizo lo que pudo para ignorar la controversia y la especulación. “Me encerré de verdad porque no quería saber qué estaba diciendo la gente acerca de mí. Me recluí pero cada tanto mi colega Peter Sarnak me decía, “¿Sabes que hay una tormenta allá afuera?" Yo lo escuchaba pero de veras quería aislarme por completo para concentrarme del todo en el problema”. Peter Sarnak se había integrado al departamento de matemáticas de Princeton al mismo tiempo que Wiles, y en Un pequeño problema 383 el curso de los años se habían vuelto buenos amigos. Duran- te este intenso período de agitación, Sarnak fue una de las pocas persona en las que Wiles confiaba. “Bueno, nunca supe los detalles exactos pero era claro que estaba tratando de superar un asunto muy serio. Pero cada vez que arreglaba esta parte del cálculo surgía una dificultad en otra parte de la demostración. Era como si estuviera tratando de instalar en una habitación un tapete más grande que esta. Así que Andrew lograba ajustar el tapete en una esquina solamente para descubrir que se había desajustado en otra. No podía decidir si se podía instalar el tapete en la habitación. De todos modos, aun con el error, Andrew había hecho un avance gigantesco. Ántes de él nadie tenía ningún método para aproximarse a la conjetura de Taniyama-Shimura, pero ahora todo el mundo estaba entusiasmado por que nos había mostrado muchas ideas nuevas. Eran fundamentales, cosas nuevas que nadie había considerado antes. Así que, aun si no podía arreglarse, este era un avance muy importante. Pero claro, Fermat seguiría sin resolver”. Finalmente Wiles se dio cuenta de que no podía mantener el silencio para siempre. La solución al error no estaba a la vuelta de la esquina y era hora de poner fin a las especulaciones. Después de un otoño funesto lleno de fracasos, Wiles entró el siguiente mensaje de correo electrónico en la cartelera de matemáticas: Asunto: Situación de Fermat Fecha: 4 de diciembre de 1993 01:36:50 GMT EL ÚLTIMO D'E “FER TEOREMA 384 MAT En vista de la especulación acerca del estado de mi trabajo sobre la conjetura de Taniyama-Shimura y el último teorema de Fermat, daré un breve recuento de la situación. Durante el proceso de evaluación surgieron una serie de problemas, la mayoría de los cuales han sido resueltos, pero hay uno en particular que no he podido despachar. La reducción clave de la mayoría de los casos de la conjetura de Taniyama-Shimura al cálculo del grupo de Selmer es correcta. Sin embargo, el cálculo final de una cota superior precisa para el grupo Selmer en el caso semiestable (de la representación simétrica cuadrada asociada a una forma modular) no está completo. Creo que podré terminar esto en el futuro cercano utilizando las ideas explicadas en mis conferencias de Cambridge. El hecho de que todavía le falte al manuscrito una cantidad enorme de trabajo hace que él no sea todavía apto para ser presentado como documento de trabajo. Durante el curso que voy a dictar en Princeton a partir de febrero daré un recuento completo de este trabajo. Andrew Wiles A muy pocos los convenció el optimismo de Wiles. Casi seis meses habían transcurrido sin que el error se corrigiera, y no había ninguna razón para pensar que algo podría cambiar en los próximos seis. En cualquier caso, si realmente podía “terminar esto en el futuro cercano”, ¿por qué molestarse en enviar un mensaje por correo electrónico? ¿Por qué no permanecer en silencio unas pocas semanas más y luego presentar el manuscrito completo? En el curso de febrero, del que habló en su mensaje no dio ninguno de los detalles prometi- Un pequeño problema 385 dos, y la comunidad matemática comenzó a sospechar que Wiles simplemente estaba tratando de ganar tiempo. Los periódicos tomaron la historia de nuevo y los ma- temáticos recordaron la fallida demostración de Miyaoka de 1988. La historia se repetía. Los teóricos de los números ahora esperaban el siguiente mensaje por correo electrónico que explicaría por qué la demostración estaba irreparablemente equivocada. Unos pocos matemáticos habían expresado el verano anterior sus dudas acerca de la demostración, y ahora su pesimismo parecía justificado. Una anécdota dice que el profesor Alan Baker, de la Universidad de Cambridge, ofreció apostar cien botellas de vino contra una sola a que antes de un año se comprobaría que la demostración era inválida. Baker niega la anécdota, pero admite con orgullo que expresó un “saludable escepticismo”. Menos de seis meses después de su conferencia en el Instituto Newton, la demostración de Wiles estaba hecha pedazos. El placer, la pasión y la esperanza que lo animaron durante los años de cálculos secretos fueron reemplazados por la vergiienza y la desesperación. Él recuerda cómo su sueño de la niñez se convirtió en una pesadilla: “Los primeros siete años en que trabajé en este problema disfruté del combate privado. Sin importar lo difícil que haya sido, ni lo inalcanzable que pareciera, yo estaba ocupado en mi problema favorito. Era la pasión de mi niñez, no podía abandonarlo, no quería dejarlo un solo momento. Luego hablé del problema en público y al hacerlo sentí como si hubiera sido una pérdida. Fue una emoción muy confusa. Era maravillo- EL ÚLTIMO DE TEMESRAMEACE TEOREMA 386 so ver a otra gente reaccionar a la demostración, ver cómo los argumentos podían cambiar toda la dirección de las matemáticas, pero a la vez yo perdía esa búsqueda personal. Estaba ahora abierto al mundo, y yo ya no tenía este sueño privado que se estaba cumpliendo. Y luego, cuando surgió un problema con él, había docenas, cientos, miles de personas que querían distraerme. Hacer matemáticas de esa manera tan expuesta ciertamente no es mi estilo, y no disfruté para nada trabajar de esta forma tan pública”. Teóricos de los números de todo el mundo se solidarizaron con la posición de Wiles. El mismo Ken Ribet había pasado por una pesadilla similar ocho años antes, cuando trató de demostrar el vínculo entre la conjetura de Taniyama- Shimura y el último teorema de Fermat. “Estaba dictando una conferencia acerca de la demostración en el Instituto de Investigaciones Matemáticas en Berkeley y alguien de la audiencia dijo: “Bueno, un minuto, ¿cómo sabe que tal y tal cosa es verdadera?”. Respondí inmediatamente dando mi razón y entonces dijeron: “Bueno, eso no se aplica en esta situación”. Me entró el terror inmediatamente. Comencé a sudar y quedé muy disgustado con el asunto. Luego me di cuenta de que sólo había una posibilidad para justificar esto, que era regresar al trabajo fundamental sobre el tema y ver exactamente cómo se resolvía una situación similar. Examiné el artículo pertinente y vi que el método en efecto sí se aplicaba en este caso, y en uno o dos días había arreglado el asunto. En mi siguiente conferencia pude dar la justificación. Un pequeño problema 287 Pero uno vive siempre con el temor de que si anuncia algo importante se pueda descubrir algún error fundamental. “Cuando uno encuentra un error en un manuscrito pueden suceder dos cosas. Algunas veces uno recupera inmediatamente la confianza y la demostración puede resucitarse sin mucha dificultad. Y algunas veces ocurre lo contrario. Es muy inquietante, se siente una gran desespe- ranza cuando uno se da cuenta de que ha cometido un error fundamental y no hay forma de repararlo. Es posible que cuando aparece un error el teorema se derrumbe por completo y entre más intenta uno arreglarlo más problemas surgen. Pero en el caso de Wiles cada capítulo de la demostración era un artículo significativo por derecho propio. El manuscrito era el trabajo de siete años y eran varios artículos importantes reunidos en uno; cada artículo era de gran interés interés. El error ocurrió en uno de los artículos, en el capítulo 3, pero aun si uno suprime el capítulo 3, lo que queda es absolutamente maravilloso”. No obstante, sin el capítulo 3 no había demostración de la conjetura de Taniyama-Shimura, y por lo tanto tampoco del último teorema de Fermat. Flotaba una sensación de frustración en la comunidad matemática, pues la demostración detrás de dos grandes problemas estaba en peligro. Más aún, después de seis meses de espera todavía nadie, excepto Wiles y los jueces, tenía acceso al manuscrito. Había un clamor creciente por una mayor apertura para que todos pudieran apreciar por sí mismos los detalles del error. La esperanza EL ÚLTIMO DESEE TEOREMA 388 NRAMAAST era que alguien pudiera ver algo que Wiles hubiera pasado por alto e ideara un cálculo para subsanar el vacío en la demostración. Algunos matemáticos sostenían que la demostración era demasiado valiosa como para dejarla en manos de una sola persona. Los teóricos de los números se habían convertido en el blanco de las burlas de otros matemáticos, que sarcásticamente se preguntaban si aquellos entendían o no el concepto de demostración. Lo que debió haber sido el momento más majestuoso en la historia de las matemáticas se estaba convirtiendo en un chiste. A pesar de la presión, Wiles se rehusó a presentar el manuscrito. Después de siete años de esfuerzos abnegados no estaba dispuesto a recostarse y ver que otro completaba la demostración y se robaba la gloria. La persona que demuestra el último teorema de Fermat no es la que hace la mayor parte del trabajo sino la que entrega la demostración completa y final. Wiles sabía que una vez se publicara el manuscrito con el error inmediatamente sería inundado de preguntas y peticiones de aclaración por parte de posibles reparadores de la demostración, y estas distracciones destruirían sus esperanzas de corregirla, a la vez que darían pistas vitales. Wiles intentó regresar al mismo estado de aislamiento que le había permitido crear la demostración original, y retomó su hábito de estudiar intensamente en su ático. De vez en cuando salía a caminar alrededor del lago de Princeton, como lo había hecho en el pasado. Los atletas, ciclistas y remeros que anteriormente apenas lo saludaban ahora para- ban a preguntarle si había habido algún progreso con el error. Un pequeño problema 389 Wiles había aparecido en las primera planas de todo el mundo, había figurado en la revista People e incluso lo habían entrevistado por la CNN. El verano anterior Wiles se había convertido en la primera celebridad matemática del mundo, y ya su imagen se había empañado. Mientras tanto, en el departamento de matemáticas los chismes continuaban. El matemático de Princeton, profesor John H. Conway, recuerda el ambiente en la sala de reuniones del departamento: “Nos reuníamos a tomar el té a las tres de la tarde y corríamos a coger las galletas. Á veces discutíamos problemas matemáticos, a veces discutíamos el juicio de O. J. Simpson y a veces el progreso de Andrew. Ya que nadie quería salir de frente a preguntarle cómo le iba con la demostración, nos comportábamos un poco como kremlinólogos. Así que alguien podría decir: “Vi a Andrew esta mañana". “¿Estaba sonriendo?”. “Bueno, sí, pero no parecía feliz”. Sólo por su cara podíamos juzgar lo que sentía”. UN MENSAJE ELECTRÓNICO DE PESADILLA A medida que el invierno avanzaba las esperanzas de un adelanto se desvanecían, y más matemáticos sostenían que era deber de Wiles hacer público el manuscrito. Los rumores continuaron y un artículo de periódico afirmó que Wiles se había rendido y que la demostración se había derrumbado irrevocablemente. Aunque esto era una exageración, era cierto que Wiles había agotado docenas de métodos EL ÚLTIMO DIENTES E RAMAS TEOREMA 390 para sortear el error y que no veía otras rutas potenciales a la solución. Wiles le admitió a Peter Sarnak que la situación se estaba volviendo desesperada y que estaba a punto de aceptar la derrota. Sarnak sugirió que parte de la dificultad era que Wiles no tenía a nadie en quien confiar en forma permanente, alguien con quien discutir ideas o.que lo inspirara a explorar métodos laterales. Le sugirió que confiara en alguien e intentara una vez más enmendar el error. Wiles necesitaba a alguien que fuera un experto en el método de Kolyvagin- Flach y que también pudiera mantener los detalles del problema en secreto. Después de pensar mucho en el asunto, decidió invitar a Princeton a Richard Taylor, un profesor de Cambridge, a que trabajara con él. Taylor era uno de los jueces responsables de verificar la demostración y había sido alumno de Wiles, y como tal era doblemente confiable. El año anterior había estado entre los asistentes al Instituto Isaac Newton observando a su antiguo supervisor presentar la demostración del siglo. Ahora era su deber ayudar a rescatar la fallida demostración. En enero Wiles, con la ayuda de Taylor, estaba otra vez explorando incansablemente el método de Kolyvagin-Flach tratando de encontrar una salida al problema. Ocasionalmente, después de varios días de esfuerzos, entraban a territorio nuevo, pero inevitablemente acababan en el mismo lugar donde habían empezado. Después de haberse atrevido a explorar más lejos que nunca antes y de fracasar una y otra vez, ambos se dieron cuenta de que estaban en el centro de Un pequeño problema Ml Richard Taylor 391 EL ÚLTIMO DIES TESESREMASE TEOREMA 392 un enorme laberinto. Su temor más profundo era que el laberinto fuera infinito y no tuviera salida, y que ellos estuvieran condenados a deambular para siempre sin rumbo fijo. Luego, en la primavera de 1994, cuando parecía que las cosas no podían empeorar, el siguiente mensaje de correo electrónico apareció en las pantallas de muchos computadores de todo el mundo: Fecha: 3 de abril de 1994 Asunto: ¡Otra vez Fermat! Hoy ha habido un sorprendente desarrollo en el último teorema de Fermat. Noam Elkies ha anunciado un contraejemplo, así que, después de todo, el último teorema de Fermat no es cierto. Elkies habló de esto hoy en el Instituto. La solución a Fermat que él construye involucra un exponente primo increíblemente grande (mayor que 10120) pero es constructiva. La idea principal parece ser una especie de construcción de punto de Heegner, combinada con un descenso realmente imgenioso para pasar de las curvas modulares a la curva de Fermat. La parte realmente difícil del argumento es demostrar que el campo de definición de la solución (que, a priori, es algún campo de clase de anillos de un campo cuadrático imaginario) realmente desciende a Q. No pude conseguir todos los detalles, que son bastante intrincados ... Así que parece que después de todo la conjetura de Taniyama-Shimura no es verdad. Los expertos piensan que todavía puede salvarse extendiendo el concepto de repre- Un pequeño problema 393 sentación automórfica e introduciendo la noción de “curvas anómalas”, que daría todavía lugar a una “representación cuasi-automórfica”. Henri Darmon Universidad de Princeton Noam Elkies era el profesor de Harvard que en 1988 había encontrado un contraejemplo de la conjetura de Euler, demostrando así que es falsa: 2,682, 440* +15,365,639* +187,960* =20,615,673*. Ahora, aparentemente había descubierto un contraejemplo del último teorema de Fermat, demostrando que también es falso. Este fue un golpe trágico para Wiles: la razón por la cual no podía arreglar la demostración era que el llamado error era el resultado directo de la falsedad del último teorema. Era un golpe aún mayor para la comunidad matemática en general, porque si el último teorema de Fermat era falso, Frey ya había demostrado que esto daba lugar a una ecuación elíptica que no es modular, lo que contradice directamente la conjetura de Taniyama-Shimura. Elkies no sólo había encontrado un contraejemplo de Fermat, sino que indirectamente había encontrado un contraejemplo de Taniyama-Shimura. La muerte de la conjetura de Taniyama-Shimura tendría repercusiones devastadoras en toda la teoría de los nú- meros, pues durante dos décadas los matemáticos tácitamente la habían dado por verdadera. Ya mencionamos en el quinto EL ÚLTIMO DIES TEPESRAMPAST: TEOREMA 394 capítulo que muchos matemáticos habían escrito docenas de demostraciones comenzando con la frase “suponiendo la conjetura de Taniyama-Shimura es verdadera”, pero ahora Elkies había demostrado que esta suposición era equivocada y todas esas demostraciones se derrumbaron simultáneamente. Los matemáticos comenzaron a exigir inmediatamente más información y bombardearon a Elkies con preguntas, pero no hubo ninguna respuesta ni explicación de por qué permanecía en silencio. Nadie podía ni siquiera encontrar los detalles exactos del contraejemplo. Después de uno o dos días de agitación algunos matemáticos le echaron una segunda mirada al mensaje electrónico y comenzaron a darse cuenta de que aunque tenía fecha del 2 0 3 de abril, esto se debía a que había sido recibido de segunda o tercera mano. El mensaje original estaba fechado el 19 de abril, día de los inocentes en el mundo anglosajón; era una travesura maliciosa perpetrada por el teórico de los números canadiense Henri Darmon. El pícaro mensaje sir- vió como una lección justo para aquellos dedicados a sembrar rumores sobre Fermat. Dejaron en paz por un tiempo al último teorema, a Wiles, a Taylor y a la demostración defectuosa. Ese verano Wiles y Taylor no lograron hacer ningún progreso. Después de ocho años de esfuerzo ininterrumpido y una obsesión de toda la vida, Wiles estaba preparado para admitir la derrota. Le dijo a Taylor que no veía el objeto de continuar con los intentos de arreglar la demostración. Taylor ya había planeado pasar el mes de septiembre en Princeton Un pequeño problema 395 antes de regresar a Cambridge, así que, a pesar del desaliento de Wiles, le sugirió que perseveraran por un mes más. Si no había alguna señal de arreglo para finales de septiembre entonces se rendirían, reconocerían públicamente su fracaso y publicarían la demostración fallida para que otros tuvieran la oportunidad de examinarla. EL REGALO DE CUMPLEAÑOS Aunque su batalla contra el problema matemático más difícil del mundo parecía condenada al fracaso, Wiles podía mirar hacia los últimos siete años y consolarse con la certidumbre de que el grueso de su trabajo todavía era válido. Para comenzar, el uso que había hecho de los grupos de Galois les había dado a todos una manera nueva de ver el problema. Había mostrado que el primer elemento de cada ecuación elíptica podía hacerse corresponder con el primer elemento de una forma modular. Así, el reto era demostrar que si un elemento de la ecuación elíptica era modular, entonces también tenía que serlo la siguiente pieza, y por lo tanto todas las demás. Wiles luchó contra el concepto de extender la demostración. Estaba tratando de completar un enfoque inductivo y había forcejeado con la teoría de Iwasawa con la esperanza de que esta demostrara que si un dominó cae entonces todos los demás caerán también. Al principio la teoría de Iwasawa parecía suficientemente fuerte como para producir el efectodominó requerido, pero al final no daría los frutos espera- EL ÚLTIMO DEXTER TEOREMA 396 MEASE dos. Wiles había dedicado dos años de esfuerzos a un callejón matemático sin salida. En el verano de 1991, después de un año de estancamiento, Wiles se encontró con el método de Kolyvagin y Flach y abandonó la teoría de Iwasawa para adoptar esta nueva técnica. Al año siguiente la demostración fue anunciada en Cambridge, y él fue declarado héroe. Antes de dos meses se había demostrado que el método de Kolyvagin-Flach fallaba, y desde entonces la situación no había sino empeorado. Todos los intentos por reparar el Kolyvagin-Flach habían fallado. Todo el trabajo de Wiles, excepto la etapa final que involucraba el método de Kolyvagin-Flach, todavía valía la pena. Si bien ni la conjetura de Taniyama-Shimura ni el último teorema de Fermat habían sido resueltos, Wiles había suministrado a los matemáticos toda una serie de nuevas técnicas y estrategias que podían explotar para demostrar otros teoremas. Wiles no tenía por qué sentir vergúenza de su fracaso, y estaba comenzando a aceptar la posibilidad de ser derrotado. Como premio de consolación quería por lo menos entender por qué había fracasado. Mientras Taylor volvía a explorar y a examinar métodos alternativos, Wiles decidió pasar el mes de septiembre mirando una vez más la estructura del método de Kolyvagin-Flach para tratar de precisar exactamente por qué no funcionaba. Él recuerda vívidamente esos aciagos días finales: “Estaba sentado en mi escritorio un lunes por la mañana, el 19 de septiembre, examinando el mé- Un pequeño problema 397 todo de Kolyvagin-Flach. No era que creyera que lo podía hacer funcionar, pero pensé que por lo menos podía explicar por qué no funcionaba. Pensé que estaba aferrado a una última esperanza pero quería quedar tranquilo. De repente, de una manera totalmente inesperada, tuve una revelación in- creíble. Me di cuenta de que, a pesar de que el método de Kolyvagin-Flach no estaba funcionando, era lo único que necesitaba para hacer funcionar mi teoría Iwasawa original. Me di cuenta de que lo que tenía del método de KolyvaginFlach era suficiente para hacer que mi enfoque original al problema, de hacía tres años, funcionara. Así que de las cenizas de Kolyvagin-Flach parecía surgir la verdadera respuesta al problema”. Por sí sola, la teoría de Iwasawa había sido inadecuada. El método de Kolyvagin-Flach por sí solo también era inadecuado. Juntos se complementaban el uno al otro perfectamente. Fue un momento de inspiración que Wiles nunca olvidará. Mientras narraba estos momentos sus recuerdos eran tan poderosos que se conmovió hasta las lágrimas. “Era tan indescriptiblemente bello, era tan sencillo y elegante. No podía entender cómo lo había pasado por alto y simplemente lo miré, incrédulo, durante veinte minutos. Á lo largo del día caminé por el departamento, regresando cada rato a mi escritorio a mirar si todavía estaba ahí. Todavía estaba ahí. No podía contenerme, estaba muy entusiasmado. Fue el momento más importante de mi vida laboral. Nada de lo que haga en el futuro significará tanto”. Esto no sólo representaba el cumplimiento de un sue- EL ÚLTIMO DESTE TBEREMSAE TEOREMA 398 ño de infancia y la culminación de ocho años de esfuerzo concertado, sino que después de haber estado al borde de la rendición, Wiles había luchado de nuevo para demostrarle su genialidad al mundo. Los últimos catorce meses habían sido el período más doloroso, humillante y deprimente de su carrera matemática. Ahora una idea brillante le había puesto fin a su sufrimiento. “Así que la primera noche regresé a casa y me dormí pensando en ello. Lo verifique de nuevo a la mañana siguiente y alrededor de las once quedé satisfecho, bajé y le dije a mi esposa, “¡Lo logré! ¡Creo que la encontré!” Fue tan inesperado que ella pensó que yo hablaba de algún juguete de los niños o algo así y dijo: “¿Lograste qué?” Yo le dije: “Arreglé mi demostración. Lo logré" ” Al mes siguiente Wiles pudo cumplir la promesa que había incumplido el año anterior. “Se aproximaba el cumpleaños de Nada otra vez, y recordé que la última vez no le había podido dar el regalo que ella quería. Esta vez, un minuto tarde para nuestra cena en la noche de su cumpleaños, pude darle el manuscrito completo. Creo que este regalo le gustó más que cualquier otro que le hubiera dado antes”. Asunto: Actualización acerca del último teorema de Fermat Fecha: 25 de octubre de 1994 11:04:11 Hasta esta mañana se habían presentado dos manuscritos: Curvas modulares elípticas y el último teorema de Fermat por Andrew Wiles. Un pequeño problema 399 Propiedades teóricas de anillo de ciertas álgebras de Hecke por Richard Taylor y Andrew Wiles. El primero (largo) anuncia una demostración de, entre otras cosas, el último teorema de Fermat, basándose en el segundo (corto) para un paso crucial. Como la mayoría de ustedes saben, el argumento descrito por Wiles en sus conferencias de Cambridge resultó tener un grave error en la construcción de un sistema de Euler. Después de tratar sin éxito de reparar esa construcción, Wiles regresó a un enfoque anterior, que había intentado antes pero que había abandonado en favor de la idea del sistema de Euler. Pudo completar su demostración bajo la hipótesis de que ciertas álgebras de Hecke son intersecciones locales completas. Esto y las demás ideas expuestas en las conferencias de Wiles en Cambridge están consignadas en el primer manuscrito. Conjuntamente, Taylor y Wiles estable- cen la propiedad necesaria de las álgebras de Hecke en el segundo artículo. El bosquejo general del argumento es similar al que Wiles describió en Cambridge. El nuevo enfoque resulta ser significativamente más simple y corto que el original debido a la eliminación del sistema de Euler. (De hecho, des- pués de ver estos manuscritos, Faltings parece que desarro- lló otra simplificación importante de esa parte del argumento.) Algunas versiones de estos manuscritos han estado en manos de un pequeño número de personas durante varias semanas (en algunos casos). Aunque conviene ser cautelosos por un tiempo más, ciertamente hay razones para ser optimistas. Karl Rubin Universidad del Estado de Ohio EL ÚLTIMO DES TE-ESREMACE MODULAR TEOREMA ELLIPOO CURNES AND Chapter 400 FERMATOS LAST THEOREM 455 1 This chapter is devoted to the stady of certain Galois representations. ln the first section we introduce aud study Mazur's dekrmation theory and discuss varibus refinements al it. These refinements will be needed later ta make precise the correspondence between the universal deformatión ruge and the Hecke rings in Chapter 2. The main results needed are Proposition 1.2 which is used to interpret various generalizad cotangent spaces as Selmer groups and (1,7) which later will be used ta study therni At the end of the section we relate these Selmer groups to ones used in the Bloch-Kato conjecture, but this connection is not needed far the proaís of our main results. ln tbe secand section we extract from the results of Poitou id Tate ón Galois cohemalogy certain general relations betwoen Selmer groups as E varios, as well as between Selner gronps and their duals. The most important abservation of the third section ís Lermma 1.106) which guaranteos the existenoe of the special primes used in Chapter 3 and (TW. 1, Deformations of Galois representations Lear p be an cdd prime. Let E be a finite set of primes including p and let Qí be the maximal extension of Q unramiñex outside this set nud as Throughout we Aix an embedding of Q, and so also of Qe. ín €. We wáll also fix chvice of decompositón group 0D, for all primes q in Z. Suppose that k is a finito licid ol characteristie p and that (1.1) ps: GalíQe/Q) — GLe(k; is an irreducible representation. la contrast to £he introduction we lll assume in 1bhe ress of the paper that pg comes with its field of definition k*. Suppose further that det ¿y ds oda. la particular this implies that the snsallest field of definition for pais givea by the field ko generated ly Che traces but we will not assume that k = ko. 11 also implies that po is absolutely irreducíhle. We cunsícler the deformatíons [p; to GL2(4) of py in the sense of Mazur [Mad]. Thus WEA) ds he rimg of Witt vectors of £, As to bea complete Noetherian local W¿4)-algebra witloresidoe ñeld k and maximal ideal mu. arl a deformaticn [pi is just a strict equivalence elass af homomoarphisms p: CalQy/Q) — GLaa) such that pruod 1 = po, tea such homomorplisms bemg called strictly equiv- alent if one can be brought to the other by conjuratioo by an element af ker : GLaíA) — Glaík), We often simply write p instesd of Jal for the uquivalence class, La primera página de la demostración de Wiles tal como se publicó, la cual se extiende por más de cien páginas. Un joven imprudente de Burma encontró una demostración de Fermat y vivió siempre con el terror de descubrir un error. La demostración de Wiles, sospechaba, era más firme. FERNANDO GOUVEA 3 Matemáticas unificadas Andrew Wiles Esta vez no había ninguna duda acerca de la demostración. Los dos artículos, de un total de 130 páginas, han sido los manuscritos matemáticos más exhaustivamente examinados en la historia, y finalmente fueron publicados en Annals of Mathematics (mayo de 1995). Una vez más Wiles apareció en la primera página del New York Times, pero esta vez el titular, “Matemático declara resuelto un enigma clásico”, fue eclipsado por otra historia científica: “Descubrimientos acerca de la edad del universo plantean un nuevo interrogante cósmico”. Aunque los periodistas estuvieron un poco menos entusiastas acerca del último teorema de Fermat esta vez, los matemáticos no ha- bían perdido de vista la verdadera importancia de la demostración. “En términos matemáticos la demostración final es equivalente a la fisión del átomo o al hallazgo de la estructura del ADN”, anunció John Coates. “Una demostración de Fermat es un gran triunfo intelectual y no debe perder de vista el hecho de que ha revolucionado la teoría de los nú- meros de un solo golpe. Para mí, el encanto y la belleza del trabajo de Andrew radica en que es un paso enorme para la teoría algebraica de números”. Durante los ocho años de lucha, Wiles reunió prácticamente todos los adelantos de la teoría de números del siglo XX y los incorporó en una demostración todo poderosa. Creó técnicas matemáticas completamente nuevas y las combinó con las tradicionales antes impensables. Al hacerlo, abrió nuevas líneas de investigación para una multitud de problemas. De acuerdo con Ken Ribet, la demostración es una sín- EL DE ÚLTIMO FERMAT TEOREMA 404 tesis perfecta de las matemáticas modernas, y una ImsSpiración para el futuro: “Creo que si uno estuviera perdido en una isla desierta y sólo tuviera este manuscrito tendría mucho en qué pensar. Uno vería todas las ideas actuales de la teoría de números. Abre una página y encuentra una breve aparición de algún teorema fundamental de Deligne; luego pasa a otra página y, de manera imprevista hay allí un teorema de Hellegouarch; teoremas que se convocan y utilizan por un momento antes de pasar a la siguiente idea”. Si bien los periodistas científicos elogiaron la demostración de Wiles del último teorema de Fermat, muy pocos comentaron la demostración de la conjetura de TaniyamaShimura, que estaba inextricablemente vinculada a él. Muy pocos se molestaron en mencionar la contribución de Yutaka Taniyama y Goro Shimura, los dos matemáticos japoneses que en la década de los cincuenta sembraron las semillas del trabajo de Wiles. Aunque Taniyama se había suicidado hacía más de treinta años, su colega Shimura pudo ser testigo de la demostración de la conjetura que ambos propusieron. Cuando se le preguntó por su reacción a la demostración, Shimura sonrió suavemente y de una manera contenida y digna respondió simplemente: “Yo se los dije”. Como muchos de sus colegas, Ken Ribet siente que la demostración de la conjetura de Taniyama-Shimura transformó a las matemáticas: “Hay una repercusión psicológica importante, y es que la gente puede ahora seguir adelante con otros problemas que antes no se atrevía a tocar. El pano- rama ahora es diferente en cuanto que uno sabe que todas las Matemáticas unificadas 405 ecuaciones elípticas son modulares, y por lo tanto cuando se demuestra un teorema para las ecuaciones elípticas se está hablando también de las formas modulares, y viceversa. Uno tiene una perspectiva diferente de lo que está sucediendo y se siente menos intimidado por la idea de trabajar con formas modulares porque básicamente está trabajando con ecuaciones elípticas. Y claro, cuando uno escribe un artículo acerca de ecuaciones elípticas, en vez de decir que no sabemos nada, por lo que vamos a tener que asumir la conjetura de Taniyama-Shimura y mirar qué se puede hacer con ella, ahora simplemente podemos decir que sabemos que la conjetura de Taniyama-Shimura es verdadera, así que tal cosa tiene que ser verdadera. Es una experiencia mucho más agradable”. A través de la conjetura de Taniyama-Shimura, Wiles había unificado los mundos elíptico y modular, y al hacerlo le dio a las matemáticas un atajo hacia muchas otras demostraciones: problemas en un campo podrían ser resueltos por analogía con problemas en un campo paralelo. Problemas elípticos clásicos sin resolver desde la época de los antiguos griegos podían ahora examinarse de nuevo utilizando todas las herramientas y técnicas modulares. Más importante aún, Wiles dio el primer paso hacia el espléndido proyecto de unificación de Robert Langlands: el programa Langlands. Hay ahora un esfuerzo renovado para demostrar otras conjeturas unificadoras entre diversas áreas de las matemáticas. En marzo de 1996, Wiles compartió con Langlands el premio Wolf (que no debe confundirse con el premio Wolfskehl) de cien mil dólares. El comité Wolf EL DE ÚLTIMO FERMAT TEOREMA 406 reconocía así que, si bien la demostración de Wiles era un logro sorprendente por derecho propio, le había dado un nuevo impulso al ambicioso proyecto de Langlands. Éste era un avance que podía conducir a las matemáticas hacia la siguiente edad dorada de la solución de problemas. Después de un año de vergiienza e incertidumbre la comunidad matemática podía finalmente regocijarse. Todos los simposios, coloquios y congresos tenían una sesión dedicada a la demostración de Wiles, y en Boston los matemáticos lanzaron una competencia de versos humorísticos para conmemorar el significativo evento. Este fue uno de los concursantes: “¡Hay algo escrito en mi mantequilla, gargon!”, se dice que alegó un comensal. “Tuve que escribir allí, señor”, exclamó Pierre, el servidor, “pues en la margarina no quedaba lugar”. E. Lowe, H. Lenstra, D. Moulton GRANDES SIN PROBLEMAS RESOLVER Wiles es consciente de que con el fin de darles a las matemáticas una de sus más importantes demostraciones fue necesario privarla de su enigma más grande: “La gente me ha dicho que le quité su problema y me han preguntado si puedo darle alguna otra cosa. Hay un sentimiento de me- Matemáticas unificadas 407 lancolía. Hemos perdido algo que ha estado con nosotros por mucho tiempo, algo que nos atrajo a muchos hacia las matemáticas. Quizás eso es lo que sucede siempre con los problemas matemáticos. Simplemente tenemos que encontrar otros nuevos que atraigan nuestra atención”. A pesar de que Wiles dio buena cuenta del más famoso de los problemas matemáticos, los aficionados a resolver acertijos de todo el mundo no deben desanimarse, pues hay todavía una multitud de enigmas matemáticos sin resolver. Muchos de estos problemas profundos, como el último teorema de Fermat, tienen su raíz en las matemáticas de la antigua Grecia, y pueden ser entendidos por un estudiante de colegio. Todavía hay, por ejemplo, misterios relacionados con los números perfectos. Como se dijo en el primer capítulo, los números perfectos son aquellos cuyos divisores suman el mismo número. Por ejemplo, 6 y 28 son números perfectos porque 1,2,3 dividena6 y 6=1+2+3, 112,4, 7,14 dividen a'28y28=1+2+4+7+14- René Descartes dijo que “los números perfectos, como los hombres perfectos, son muy raros” y en efecto, en los últimos mil años sólo se han descubierto unos treinta. El más reciente y grande de ellos está definido por la fórmula paaeo x ee: 2 1). Una cosa que todos los números perfectos conocidos tienen en común es que son pares, lo que podría sugerir que todos EL DE ÚLTIMO FERMAT TEOREMA 408 los números perfectos son pares. Un reto obvio, pero bastante frustrante, sería demostrar que esto es verdad: ¿Son pares todos los números perfectos? La otra gran incógnita acerca de los números perfectos es si hay una cantidad ilimitada de ellos. A través de los siglos, miles de teóricos de los números han fracasado en el intento de demostrar que hay, o no, un número infinito de números perfectos. Quien quiera que lo logre se ganará automáticamente un puesto en la historia. Otra área de las matemáticas rica en problemas antiguos sin resolver es la teoría de los números primos. La secuencia de los números primos no sigue un patrón discernible, y estos parecen no cumplir ninguna regla. Se ha dicho que crecen al azar, como maleza, entre los números para contar. Al explorar entre los números naturales es posible encontrar regiones ricas en primos, pero, por alguna razón desconocida, otras regiones carecen totalmente de ellos. Durante siglos los matemáticos han fracasado en el intento de explicar el patrón subyacente que rige a los primos. Puede ser que tal patrón no exista y que los primos estén inherentemente distribuidos al azar, en cuyo caso sería aconsejable que los matemáticos se dedicaran a atacar otros problemas menos ambiciosos acerca de los números primos. Por ejemplo, hace dos mil años Euclides demostró que hay una cantidad ilimitada de números primos (véase el segundo capítulo); y durante los últimos dos siglos los matemáticos han tratado de demostrar que también hay una cantidad ilimitada de primos gemelos. Los primos gemelos Matemáticas unificadas 409 son parejas de primos cuya diferencia es sólo 2, que es lo más cercano que dos primos pueden estar el uno del otro: su diferencia no puede ser 1 porque entonces uno de ellos sería par y por lo tanto divisible por 2, es decir no primo. Ejemplos de números primos gemelos pequeños son (5, 7) y (17, 19), y parejas más grandes de ellos incluyen (22.271, 22.273) y (1.000.000.000.061, 1.000.000.000.063). Los primos gemelos parecen estar dispersos a todo lo largo de la secuencia de los números enteros, y mientras más los buscan los matemáticos, más encuentran. Hay fuertes indicios de que existe una infinidad de ellos, pero nadie ha podido demostrarlo. El más reciente avance hacia la demostración de la llamada conjetura de los primos gemelos ocurrió en 1966, cuando el matemático chino Chen Jing-run pudo demostrar que hay una infinidad de parejas de números diferenciados por 2, uno de los cuales es primo y el otro casí primo. Los primos verdaderos no tienen factores distintos de 1 y ellos mismos; los números casi primos son lo mejor que se consigue des- pués de eso, pues sólo tienen dos factores primos. Así que 17 es un número primo pero 21 (3x7) es casi primo. Un número como 120 (2x3x4x5) no es ni primo ni casi primo porque es el producto de más de dos primos. Chen demostró que hay un número infinito de casos en que un primo está emparejado con otro primo o con un casi primo. Quien quiera que pueda dar un paso más y quitar el “casi” habrá logrado el avance más grande en la teoría de los números primos desde Euclides. EL ÚLTIMO DE CEE RO MAA TE TEOREMA 410 Otro enigma acerca de los números primos se remonta a 1742 cuando Christian Goldbach, tutor del adolescente zar Pedro 11, le escribió una carta al gran matemático suizo Leonhard Euler. Goldbach había examinado docenas de números pares y había observado que podía descomponerlos a todos en la suma de dos primos: =ZEZ 6-=3:+43, 8=3+5, (MS S0=19+31, 100 = 53 + 47, 21,000=17 +20, 983 Goldbach le preguntó a Euler si podía demostrar que todo número par podía expresarse como la suma de dos primos. A pesar de años de esfuerzos, el hombre conocido como “análisis encarnado” fue derrotado por el reto de Goldbach. En la actual era de los computadores, la llamada conjetura de Goldbach ha sido comprobada para todos los números pares hasta cien millones pero todavía nadie ha podido demostrar que es verdadera para todos los números pares hasta infinito. Los matemáticos han probado que todo número par es la suma de no más de ochocientos mil primos, pero esto está muy lejos de demostrar la conjetura original. Tales demostraciones, aunque débiles, han suministrado ideas importantes acerca de la naturaleza de los primos, y en 1941 Stalin Matemáticas unificadas 411 le entregó un premio de cien mil rublos al matemático ruso Ivan Matveyevich Vinogradov, quien había hecho algún avance en la demostración de la conjetura de Goldbach. Entre todos los problemas que podrían reemplazar al último teorema de Fermat como el más grande problema sin resolver de las matemáticas, el mejor candidato es el problema de Kepler del empaque de esferas. En 1609 el científico alemán Johannes Kepler mostró que los planetas se mueven en órbitas elípticas y no circulares, descubrimiento que revolucionó la astronomía y que luego habría de inspirar a Isaac Newton para deducir la ley de la gravitación universal. El legado matemático de Kepler es algo menos grandioso pero igualmente profundo. En esencia, tiene que ver con el curioso problema de organizar pilas de naranjas de la manera más eficiente. El problema nació en 1611, cuando Kepler escribió un artículo titulado “Acerca del copo de nieve de seis esquinas”, como regalo de año nuevo para su mecenas, John Wacker de Wackenfels. Kepler demostró exitosamente por qué todos los copos de nieve tienen una estructura única, pero siempre hexagonal, al sugerir que todo copo de nieve comienza con una semilla hexagonal simétrica que crece a medida que cae a través de la atmósfera. Las condiciones continuamente cambiantes de viento, temperatura y hume- dad hacen que cada copo de nieve sea único. Sin embargo, la semilla es tan pequeña que las condiciones que determinan el patrón de crecimiento son idénticas en los seis lados, asegurando así que la simetría se mantenga. En este artículo EL DE ÚLTIMO FERMAT TEOREMA 412 Figura 24. En una disposición cúbica de cara central cada capa consiste de esferas organizadas de tal manera que cada una de ellas está rodeada de otras seis. Luego se coloca horizontalmente una capa sobre la otra de tal manera que una esfera repose sobre una hondonada y no directamente sobre otra esfera. Una orientación especial de esta disposición da lugar a la conocida pirámide de naranjas de los vendedores de frutas. aparentemente ligero Kepler, que tenía un asombroso talento para deducir ideas profundas a partir de las más simples observaciones, sentó las bases de la cristalografía. El interés de Kepler acerca de cómo las partículas de materia se ordenan y organizan lo llevó a discutir otro asun- Matemáticas unificadas 413 Figura 25. En la disposición cúbica simple cada capa consiste de esferas organizadas en cuadrícula. Una capa se coloca en forma horizontal encima de otra de tal manera que cada esfera repose directamente encima de otra. to, a saber, ¿cuál es la manera más eficiente de amontonar partículas de tal forma que ocupen el menor volumen posible? Si se asume que las partículas son esferas es claro que, no importa cómo se organicen, inevitablemente habrá vacíos entre ellas; el reto era identificar el ordenamiento que minimizara esos vacíos. Con el fin de resolver el problema, Kepler ideó varias disposiciones, y luego calculó la eficiencia de cada uno de ellos. Uno de los primeros arreglos que Kepler examinó es conocido hoy como retícula cúbica de cara central. Este puede construirse creando primero una capa de esferas tal que cada esfera esté rodeada por otras seis. La segunda capa se genera colocando las esferas en las hondonadas de la primera capa, como se muestra en la figura 24. La segunda capa es efectivamente un duplicado de la primera, excepto que fue desplazada un poco para quede bien acomodada sobre la an- EL DE ÚLTIMO FERMAT TEOREMA 414 terior. Este arreglo es idéntico al que utilizan los vendedores de frutas para amontonar naranjas en forma de pirámide, y tiene una eficiencia del 74%. Esto quiere decir que si una caja grande de cartón se llena de naranjas utilizando la estrategia de la cara central, las naranjas ocuparían un 74% del volumen de la caja. Esta disposición puede compararse con otras tales como la disposición cúbica simple. En este caso cada capa consiste de esferas colocadas en forma de cuadrícula, y las capas se colocan directamente una encima de la otra, como se muestra en la figura 25. La retícula cúbica simple tiene una eficiencia de empaque de sólo 53%. Otra disposición, la retícula hexagonal, es similar a la cúbica de cara central en cuanto que cada esfera está rodeada de otras seis, pero en vez de desplazar un poco cada capa para que ocupe las hondonadas debajo de ella, las capas se colocan directamente una encima de otra, como se muestra en la figura 26. La retícula hexagonal tiene una eficiencia de empaque de sólo 60%. Kepler estudió una gran variedad de configuraciones y llegó a una conclusión que sintió merecía ser incluida en su artículo “Sobre el copo de nieve de seis esquinas”, a saber, que la retícula cúbica de cara central es la “manera de empacar más apretada posible”. La afirmación de Kepler era perfectamente sensata porque la eficiencia de la retícula cúbica de cara central fue la mejor que encontró, pero esto no des- cartaba la posibilidad de que hubiera una disposición con una eficiencia de empaque mayor, que él hubiera pasado por Matemáticas unificadas TS Figura 26. En la disposición de retícula hexagonal cada capa consiste de esferas organizadas de tal manera que cada una está rodeada por otras seis. Luego se coloca horizontalmente una capa sobre otra de tal manera que cada esfera quede directamente encima de otra. alto. Este pequeño elemento de duda está en el núcleo del problema del empaque de esferas, un enigma que antecedió a Fermat en medio siglo y que ahora ha resultado ser más obstinado que el último teorema. El problema requiere que los matemáticos demuestren que la retícula cúbica de cara central es sin ninguna duda la manera más eficiente de empacar esferas. Como el último teorema, el problema de Kepler requiere que los matemáticos desarrollen una demostración que abarque una infinidad de posibilidades. Fermat sostenía que entre la infinidad de números enteros no hay soluciones a su ecuación, y Kepler que entre la infinidad de maneras de organizar las esferas ninguna tendría una eficiencia de empaque mayor que la retícula cúbica de cara central. Además EL DE ÚLTIMO FERMAT TEOREMA 4ró de comprobar que no hay otras retículas, es decir, disposiciones regulares, con una eficiencia de empaque mayor, los matemáticos tendrían que incluir también en su demostración todos los posibles arreglos que ocurren al azar. En los últimos 380 años nadie ha podido demostrar que la disposición cúbica de cara central es en efecto la estrategia Óptima de empaque; por otro lado, nadie ha descubierto una manera más eficiente de empacar esferas. La falta de un contraejemplo significa que para todo propósito práctico la afirmación de Kepler es efectivamente verdadera, pero en el mundo absoluto de las matemáticas todavía se requiere una demostración rigurosa. Esto llevó al experto británico en la teoría de empacar esferas, C. A. Rogers, a decir que la teoría de Kepler es algo “que todos los matemáticos creen pero todos los físicos saben”. A pesar de la falta de una demostración completa, a lo largo de los siglos han ocurrido algunos avances en ese sentido. En 1892 el matemático escandinavo Axel Thue suministró una demostración del equivalente en dos dimensiones del problema de Kepler, es decir, cuál es la manera más eficiente de colocar unas esferas en una sola capa o, en otras palabras, de organizar unas naranjas en una bandeja en vez de una caja. La solución es el arreglo hexagonal. Después Tóth, Segre y Mahler llegaron a la misma conclusión, pero ninguno de sus métodos pudo ser aplicado al problema original de Kepler en tres dimensiones. En la época moderna algunos matemáticos han intentado una táctica algo diferente, que consiste en fijar un lí- Matemáticas unificadas AA mite superior a la posible eficiencia de empaque. En 1958, C. A. Rogers calculó un límite superior de 77,97%. Esto quiere decir que es imposible que exista una disposición con una eficiencia de empaque superior al 77,97%. Este porcentaje no es mucho mayor que la eficiencia de empaque de la disposición cúbica de cara central, que es del 74,04%. Por lo tanto, si alguna otra disposición llegara a tener una eficiencia superior a la de la cúbica de cara central, apenas le ganaría por un pequeño porcentaje. Quedaba sólo una pequeña ventana del 3,93% a través de la cual algún arreglo Ingenioso podría meterse y mostrar que Kepler estaba equivocado. Después de Rogers, otros matemáticos han tratado de cerrar completamente la ventana reduciendo el límite superior a 74,04%, lo cual no dejaría espacio para que algún otro arreglo supere en eficiencia a la disposición cúbica de cara central, de paso mostraría que Kepler estaba en lo correcto. Infortunadamente, reducir el límite superior ha resultado un proceso lento y difícil; en 1988 estaba en 77,84%, porcentaje apenas mejor que el resultado de Rogers. A pesar de años de lento progreso, el problema del empaque de esferas apareció repentinamente en los titulares en el verano de 1990, cuando Wu-Yi Hsiang, de la Univer- sidad de California, en Berkeley publicó un resultado que, según él, demostraba la conjetura de Kepler. En un principio la comunidad matemática respondió con optimismo, pero al igual que con la demostración de Wiles, el artículo tenía que someterse a un proceso de revisión por parte de otros matemáticos antes de ser aceptado como válido. A medida EL DE ÚLTIMO FERMAT TEOREMA 418 que pasaron las semanas Hsiang se vio enfrentado a una serie de errores y su demostración quedó despedazada. Como sucedió con la historia de Wiles, Hsiang respondió un año más tarde con una demostración revisada que él sostenía sorteaba los problemas que se habían encontrado en el manuscrito original. No obstante, los críticos de Hsiang todavía creían que había vacíos en su lógica. En una carta a Hsiang, el matemático Thomas Hales trató de explicar sus dudas: Una suposición hecha en su segundo artículo me parece más fundamental y sin embargo más difícil de demostrar que las otras [...] Usted afirma que “la mejor manera (de minimizar el volumen) es agregar una segunda capa de esferas de tal manera que se cubra el mayor número de huecos posible....” Su argumento depende fuerte y esencialmente de esta suposición, y sin embargo en ninguna parte hay siquiera un atisbo de una demostración. Desde que apareció el artículo revisado de Hsiang ha habido una batalla ininterrumpida entre él y sus críticos, con afirmaciones y refutaciones de que los problemas han sido resueltos. En el mejor de los casos la demostración continúa en la controversia; en peores circunstancias simplemente, ha sido desacreditada. De cualquier forma, la puerta sigue abierta para quien quiera demostrar la conjetura de Kepler. En 1996 Doug Muder presentó un resumen personal de la situación, que también reveló algunas de las intrigas que ro- dearon la demostración de Hsiang: Matemáticas unificadas 419 Acabo de regresar del congreso de investigación de verano sobre geometría discreta y computacional organizado por las asociaciones matemáticas de los Estados Unidos en Mount Holyoke. Este es un congreso que se lleva a cabo una vez cada diez años, así que se puso énfasis en evaluar el progreso de la última década. Fue hace ya seis años que Hsiang afirmó haber demostrado la conjetura de Kepler, y me encontré con que la comunidad llegó a un acuerdo acerca de ella: nadie la acepta. Durante las conferencias plenarias y las discusiones informales en la cafetería los siguientes puntos nunca fueron objeto de discusión: 1. El artículo de Hsiang (publicado en el International Journal of Mathematics en 1993) no es una demostración de la conjetura de Kepler. Si mucho es un bosquejo (¡un bosquejo de cien páginas!) de cómo podría ser tal demostra- ción. 2. Incluso como bosquejo, el artículo es inadecuado, pues se han encontrado contraejemplos a varios de sus pasos. 3. La afirmación de Hsiang según la cual él demostró también la conjetura del dodecaedro (y varios otros problemas sin resolver acerca del empaque de esferas) carece igualmente de fundamento. 4. El trabajo sobre la conjetura de Kepler y la del dodecaedro debe continuar como si el artículo de Hsiang nunca hubiera existido. En una conferencia Gabor Fejes Tóth, de la Academia Húngara de Ciencias, dijo del artículo de Hsiang: “Esto no puede considerarse una demostración. El problema sigue abierto”. Thomas Hales, de la Universidad de Michigan, estuvo de acuerdo: “Este problema permanece sin resolver. EL DIESE ÚLTIMO TEOREMA 420 TE REMITAE Yo no lo he resuelto. Hsiang no lo ha resuelto. Hasta donde yo sé nadie lo ha resuelto”. (Hales predijo que sus propias técnicas resolverían el problema en uno o dos años.) Lo que hace de esta una historia interesante es que hay una persona que todavía no se une al consenso, el propio Hsiang. (Tampoco asistió al congreso.) Él está bien enterado de los contraejemplos y del hecho de que los expertos en el tema no creen sus afirmaciones, y sin embargo continúa dando conferencias en todo el mundo y repitiendo tales afirmaciones. Las personas que han tratado personalmente con él (como Hales y Bezdek) creen que nunca admitirá que su artículo está equivocado. Es por esta razón por la cual la tormenta no ha pasado. Hsiang afirmó por primera vez haber encontrado una demostración de la conjetura de Kepler en 1990, hace ocho años. Sus conferencias han sido lo suficientemente vagas como para ser verosímiles. Muchos meses después de las primeras afirmaciones, cuando apareció el primer documento de trabajo, fueron detectados casi de inmediato vacíos, y los contraejemplos surgieron rápidamente. Pero el hecho de que Hsiang continuara haciendo sus afirmaciones en público creó la impresión de que tenía que haber resuelto todas las objeciones que hubieran surgido hasta la fecha. La ex- tensión del artículo y el hecho de que hubo varias versiones anteriores a la publicación contribuyeron a la confusión. El caso de Hsiang demuestra hasta qué punto las mate- máticas dependen de un sistema de honor. La comunidad supone que los profesores permanentes de las universidades de más alto nivel no harán afirmaciones espurias, y que se retractarán de afirmaciones incorrectas cuando se demuestre el primer error. Alguien que desacata este sistema pue- Matemáticas unificadas 421 de crear confusión por largo tiempo, pues nadie tiene el tiempo ni la motivación para ir detrás de él y contradecir sus afirmaciones cada vez que las hace. (Cuando se considera la cantidad de trabajo que en 1993 tuvo que invertir Hales en el artículo de refutación en la revista Mathematical Intelligencer, y el hecho de que este artículo no contribuye en nada a promover su carrera profesional de investigador, uno comienza a ver el problema. La réplica de Hsiang a ese artículo fue totalmente inadecuada, pero Hales concluyó que refutarla daría comienzo a un ciclo sin fin para el que sencillamente no tenía tiempo.) Es posible que Hsiang nunca admita sus errores, pero, ¿qué ocurre con el International Journal? Es claro que es en parte responsable de un proceso que no funcionó como debería. El artículo de Hsiang no fue evaluado adecuadamen- te, si es que lo fue. El hecho de que el Journal sea editado por los colegas de Hsiang en Berkeley le da un carácter sospechoso a la historia. El Jornal no tenía ningún interés en el empaque de esferas antes de este artículo. Parece evidente que Hsiang escogió el International Jornal porque es editado por sus amigos y no porque fuera la salida apropiada para su artículo. Karoly Bezdek, quien pasó más de un año trabajando con Hsiang para tratar de llenar los vacíos del artículo, ha presentado al Journal un artículo que contiene un contraejemplo a uno de los lemas de Hsiang. Lo tienen guardado desde diciembre; no es un tiempo inusual para que un artículo sea evaluado, pero sí bastante largo para un contraejemplo del artículo del Jomrnal que más publicidad ha recibido en los últimos años. DOUG MUDER EL DE ÚLTIMO FERMAT TEOREMA DEMOSTRACIONES 422 DE SILICIO En su batalla contra el último teorema de Fermat, las únicas armas que utilizó Wiles fueron lápiz, papel y lógica pura. Aunque su demostración emplea las técnicas más modernas de la teoría de números, su estilo corresponde a la mejor tradición de Pitágoras y Euclides. Sin embargo, por unas últimas señales, existen indicios de que la solución de Wiles puede ser uno de los últimos ejemplos de demostra- ción heroica, y de que los resultados futuros dependerán de la fuerza bruta más que de un argumento elegante. La primera indicación de lo que algunos llaman la de- cadencia de las matemáticas tiene que ver con un problema creado en Inglaterra en octubre de 1852 por el matemático Francis Guthrie. Una tarde, mientras coloreaba ociosamente un mapa de los condados de Gran Bretaña, Guthrie se tropezó con un acertijo que parecía trivial pero que no pudo resolver. Simplemente quería saber cuál era el mínimo nú- mero de colores que se necesitan para colorear cualquier mapa imaginable de tal manera que las regiones con una frontera común no tengan el mismo color. Por ejemplo, tres colores no son suficientes para el di- seño de la figura 27. Es claro, por lo tanto, que algunos mapas necesitan cuatro colores, pero Guthrie quería saber si estos serían suficientes para todos los mapas, o si quizás algunos necesitaran cinco, seis o más colores. Erustrado pero intrigado, Guthrie le mencionó el problema a su hermano menor, Frederick, quien era estudiante del University College en Londres. A su turno, Frederick le Matemáticas unificadas 423 Francis Guthrie se dio cuenta de que podía colorear un mapa de los condados de Gran Bretaña con sólo cuatro colores y, al mismo tiempo, evitar que condados vecinos compartieran el mismo color. Luego se preguntó si podía existir algún mapa que necesitara más de cuatro colores. EL. DE ÚLTIMO FERMAT TEOREMA 424 Figura 27. Este diseño simple muestra que algunos mapas requieren al menos de cuatro colores. Pero, ¿son cuatro colores suficientes para todos los mapas? planteó el problema a su profesor, el eminente Augustus De Morgan, quien el 23 de octubre le escribió al gran matemático y físico irlandés William Rowan Hamilton: Un estudiante mío me pidió hoy que le diera una expli- cación de un hecho que yo no sabía que fuera un hecho; todavía no lo sé. Dice él que si una figura se divide de alguna manera y los compartimientos se colorean de tal forma que las figuras con alguna porción de línea fronteriza común tengan colores diferentes, entonces se necesitarán cuatro colores, pero no más. Tengo un caso en el que se necesitan cuatro colores. Pregunta: ¿no se podrá inventar la necesidad de cinco o más colores...? Si usted responde con un caso muy simple, que me haga aparecer como un animal estúpido, creo que tendré que hacer lo que la Esfinge hizo... Hamilton no pudo inventar un mapa que necesitara cinco colores, pero tampoco pudo demostrar que tal mapa no existe. La noticia del problema se difundió rápidamente por toda Matemáticas unificadas 425 Europa pero este resistió con tenacidad el ataque de todos los frentes, probando ser engañosamente difícil. En un ataque de orgullo, Hermann Minkowski dijo que la razón por la cual no había sido resuelto era que sólo matemáticos de tercera clase lo habían intentado. Sin embargo, sus propios esfuerzos también fueron un fracaso. “El cielo está enojado con mi arrogancia”, anunció. “Mi demostración también es defectuosa”. A pesar de haber inventado uno de los problemas más difíciles de las matemáticas, hoy conocido como el problema de los cuatro colores, Francis Guthrie abandonó Inglaterra y ejerció como abogado en Suráfrica. Finalmente regresó a las matemáticas como profesor en la Universidad de Ciudad del Cabo, donde solía pasar más tiempo en el departamento de botánica que con sus colegas matemáticos. Su fama, aparte del problema de los cuatro colores, reposa exclusivamente en que una especie brezo, el Erica guthriez, lleva su nombre. Como el enigma había sobrevivido sin resolver por un cuarto de siglo, hubo una cantidad enorme de optimismo cuando en 1879 el matemático británico Alfred Bray Kempe publicó un artículo en el American Journal of Mathematics en que sostenía haber encontrado una solución. Kempe parecía haber demostrado que todo mapa requiere si mucho cuatro colores, y el procedimiento de evaluación por parte de los colegas parecía confirmarlo. Inmediatamente fue elegido miembro de la Real Sociedad, y más tarde le fue concedido el título de s2r por sus contribuciones a las matemáticas. Luego, en 1890, Percy John Heawood, un profesor de EL DE ÚLTIMO FERMAT TEOREMA 426 la Universidad de Durham, publicó un trabajo que sacudió a la institución matemática. Una década después de que Kempe en apariencia resolviera el problema, Heawood mostró que la llamada demostración estaba equivocada en sus fundamentos. La única buena noticia era que, como parte de su demolición del trabajo de Kempe, Heawood pudo mostrar que el número máximo de colores que se requería era cuatro O Cinco, y no más. Aunque Kempe, Heawood y otros no pudieron resolver el problema de los cuatro colores, sus fallidos esfuerzos contribuyeron enormemente al nuevo y floreciente tópico de la topología. A diferencia de la geometría, que estudia el tamaño y la forma exacta de los objetos, la topología se interesa apenas en la esencia de los mismos, sus aspectos más básicos. Por ejemplo, cuando un geómetra examina un cuadrado, las propiedades que le interesan son la igual longitud de sus lados y el ángulo recto en cada esquina. Cuando un topólogo examina el mismo objeto, la única propiedad que le interesa es que el cuadrado es una línea continua que en efecto forma una curva cerrada. Por lo tanto un topólogo no distingue entre un círculo y un cuadrado, pues ambos son curvas cerradas. El matemático John Kelley afirmó, no sin gracia, que "un topólogo es el que no conoce la diferencia entre una rosquilla y un pocillo”. Otra manera de ver la equivalencia topológica entre un cuadrado y un círculo es imaginándose una de las dos figuras cortada sobre un pliego de caucho. Si comenzamos con un cuadrado, el pliego de caucho puede ser estirado, jalado, Matemáticas unificadas 427 doblado y retorcido (pero nunca roto) hasta que la figura original se transforma en un círculo. Por otro lado, el cuadrado nunca podrá ser transformado en una cruz, no importa qué tanto se deforme el pliego de caucho. Por lo tanto, el cuadrado y la cruz no son topológicamente equivalentes. Debido a esta forma de razonar, a la topología con frecuencia se le llama “geometría de pliegos de caucho”. Una vez abandonados conceptos tales como longitud y ángulo, los topólogos sólo pueden distinguir objetos acudiendo a aspectos como el número de intersecciones que tienen. De esta manera la figura que representa al número 8 es fundamentalmente diferente de un círculo porque contiene un punto donde se encuentran cuatro líneas, y en un círculo no hay tal intersección. Los topólogos también están interesados en objetos de tres (o más) dimensiones donde los huecos, las curvas y los nudos son los aspectos de interés fundamental. Los matemáticos tenían la esperanza de que examinando los mapas a través del lente simplificador de la topología podrían entender la esencia del problema de los cuatro colores. El primer avance ocurrió en 1922, cuando Philip Franklin ¡gnoró el problema general y se contentó con una demostración que probaba que cualquier mapa que tuviera veinticinco o menos regiones sólo necesitaba cuatro colores. Otros matemáticos trataron de mejorar los métodos de Franklin, y en 1926 Reynolds amplió la demostración a mapas con veintisiete regiones; en 1940 Winn la amplió a 35 regiones y en 1970 Ore y Stample habían llegado a 39 regiones. El pro- EL DE ÚLTIMO FERMAT TEOREMA 428 blema parecía reflejar la historia del último teorema de Fermat: lentamente se avanzaba hacia el infinito. La conjetura original parecía casi con seguridad ser verdadera, pero hasta que no se encontrara una demostración general siempre cabía la posibilidad de que se pudiera dibujar un mapa que mostrara que Guthrie se había equivocado. De hecho, en 1975 el escritor y periodista matemático Martin Gardner publicó en la revista Scientific American un mapa que según él necesitaba cinco colores. La fecha de la publicación fue el 19 de abril, el día de los inocentes en el mundo anglosajón, y Gardner sabía muy bien que a pesar de que era difícil llenar el mapa con cuatro colores, no era imposible hacerlo. El lector quizás quiera demostrar que eso es cierto. El mapa de Gardner se muestra en la figura 28. El paso lento con el que se había progresado dejó en claro que los métodos convencionales nunca servirían para pasar de la demostración de Ore y Stemple, para mapas de 39 regiones o menos, a cualquier mapa imaginable, que podría tener un número infinito de regiones. Luego, en 1976, dos matemáticos de la Universidad de Illinois, Wolfgang Haken y Kenneth Appel, introdujeron una nueva técnica que habría de revolucionar el concepto de demostración matemática. Haken y Appel habían estado estudiando el trabajo de Heinrich Heesch, quien había dicho que la infinidad de mapas infinitamente variables podían ser construidos a partir de un número finito de mapas finitos, y que estudiando estos componentes básicos sería posible tratar el problema Matemáticas unificadas | 429 had DAA Ad Figura 28. El 1% de abril de 1975, día de los inocentes, Martin Gardner presentó este mapa en su columna de Scientific American. Gardner sostenía que necesitaba cinco colores pero, por supuesto, todo era una broma. EL DE ÚLTIMO FERMAT TEOREMA 430 general. Los mapas básicos eran el equivalente del electrón, el protón y el neutrón, los objetos fundamentales con los cuales todo lo demás está hecho. No obstante, la situación no era tan simple como la santísima trinidad de partículas atómicas, pues Haken y Appel sólo pudieron reducir el problema de los cuatro colores a 1.482 configuraciones de bloques fundamentales. Si Haken y Appel lograban demostrar que estos mapas se podían llenar con cuatro colores, esto implicaría que todos los mapas se pueden llenar con cuatro colores. Verificar los 1.482 mapas y todas las posibles formas de colorear cada uno de ellos sería un tarea inmensa, ciertamente más allá de la capacidad de cualquier equipo de ma- temáticos. Incluso empleando un computador para descartar todas las permutaciones, podría tomar un siglo. Impertérritos, Haken y Appel comenzaron a buscar atajos y estrategias que un computador pudiera emplear para acelerar el procedimiento de verificación de mapas. En 1975, cinco años des- pués de haber comenzado a trabajar en el problema, los dos matemáticos fueron testigos de cómo el computador estaba haciendo más que calcular: estaba contribuyendo a sus ideas. Los dos hombres recuerdan el momento crucial de su investigación: En este punto el programa comenzó a sorprendernos. Al principio, verificábamos sus argumentos a mano, de tal manera que siempre pudiéramos predecir el camino que iba a tomar en cualquier situación, pero, entonces, de re- Matemáticas unificadas 431 pente, comenzó a actuar como una máquina de jugar ajedrez. Funcionaba con estrategias compuestas basadas en todos los trucos que se le habían “enseñado” y con frecuencia estos métodos eran bastante más ingeniosos que los que nosotros hubiéramos intentado. De esa forma comenzó a enseñarnos cosas acerca de la manera de proceder que nunca esperamos. De cierta manera había superado a sus creadores en algunos aspectos de la parte “intelectual” de la tarea, así como de su parte mecánica. En junio de 1976, gracias a 1.200 horas de computador, Haken y Appel pudieron anunciar que los 1.482 mapas habían sido analizados y que ninguno de ellos requería más de cuatro colores. El problema de los cuatro colores de Guthrie había sido resuelto finalmente. Lo sorprendente era que esta era la primera demostración matemática en la que un computador había hecho más que acelerar los cálculos: había contribuido tanto al resultado que la demostración habría sido imposible sin él. Fue un logro enorme pero al mismo tiempo hubo una sensación de inquietud dentro de la comunidad, porque no había manera de verificar la demostra- ción en la forma convencional. Antes de que los detalles de la demostración pudieran ser publicados en el 1//ino3s Jonrnal of Mathematics, los editores tenía que someterla a algún nivel de revisión por parte de los colegas. Una evaluación convencional era imposible, así que el programa de Haken y Appel fue cargado en un computador independiente para mostrar que aquel arrojaría el mismo resultado. EL DE ÚLTIMO FERMAT TEOREMA 432 Este proceso de evaluación poco ortodoxo enfureció a algunos matemáticos, que sostenían que era una verificación inadecuada y que no existía ninguna garantía de que no hubiera algún problema técnico en el computador que generara un error lógico. H. P. E. Swinnerton-Dyer señaló lo siguiente acerca de las demostraciones por computador: Cuando un teorema ha sido demostrado con la ayuda de un computador es imposible dar una presentación de la demostración que satisfaga la prueba tradicional: que un lector suficientemente paciente pueda recorrer la demostración y verificar que es correcta. Incluso si uno pudiera imprimir todos los programasy conjuntos de datos utilizados no hay ninguna seguridad de que una cinta de datos no haya sido escrita o leída incorrectamente. Además, todos los computadores modernos tienen fallas oscuras en su soft- ware y hardware, que pasan desapercibidas durante años pues muy rara vez son la causa de errores. Los computadores, además, están sujetos a fallas pasajeras. Hasta cierto punto esta reacción paranoica correspondía a una comunidad que prefiere evitar los computadores a explotarlos. Joseph Keller alguna vez observó que en su universidad, Stanford, el departamento de matemáticas tiene menos computadores que cualquier otro, incluyendo el de literatura francesa. Los matemáticos que rechazaron el trabajo de Haken y Appel no podían negar que todos los matemáticos aceptan demostraciones aun si no las han verificado personalmente. En el caso de la demostración de Wiles del último teorema de Fermat, menos del 10% de los teóricos Matemáticas unificadas 433 de los números entiende completamente la lógica, pero el 100% acepta que es verdadera. Aquellos que no pueden comprender la demostración están satisfechos porque otros que sí entienden sus conceptos los han examinado y verificado. Un caso incluso más extremo es el de la llamada demostración de la clasificación de los grupos finitos simples, que consiste de quinientos artículos distintos escritos por más de cien matemáticos. Se dice que sólo un matemático, Daniel Gorenstein, entendía la demostración completa de quince mil páginas, y él murió en 1992. Sin embargo, la comunidad en general puede estar segura de que cada sec- ción de la demostración ha sido examinada por un equipo de especialistas y que cada renglón de las quince mil páginas ha sido verificado y vuelto a verificar docenas de veces. Lo que hace que el teorema de los cuatro colores sea diferente es que nunca ha sido verificado completamente por nadie, y nunca lo será. En los veinte años que han pasado desde que se anunció la demostración del teorema de los cuatro colores, los computadores han sido utilizados para resolver otros problemas menos famosos pero igualmente importantes. En una materia que permanecía sin contaminar por la tecnología, cada vez más matemáticos se muestran conformes —aunque a regañadientes con el uso creciente de la lógica del silicio, y empiezan a aceptar el argumento de Wolfgang Haken: Cualquiera, en cualquier momento, puede completar los detalles y verificarlos. El hecho de que un computador pue- EL DE ÚLTIMO FERMAT TEOREMA 434 da procesar más detalles en unas pocas horas de los que un humano podría en toda su vida no cambia el concepto básico de demostración matemática. Lo que ha cambiado no es la teoría sino la práctica de las matemáticas. Últimamente, algunos matemáticos han entregado más poder al computador mediante el uso de los llamados algoritmos genéticos. Éstos son programas de computador con una estructura básica diseñada por un matemático pero cuyos detalles más sutiles se resuelven por medio del computador mismo. Á ciertas líneas dentro del programa se les permite mutar y evolucionar a la manera de los genes del ADN orgá- nico. Á partir del programa madre original el computador genera cientos de programas hijos, ligeramente diferentes a la matriz a causa de las mutaciones hechas al azar por el computador. Los programas descendientes se usan luego para tratar de resolver algún problema en particular. La mayoría de los programas están destinados a fallar, pero al que se acerque más a un resultado le será permitido reproducirse y crear una nueva generación de programas mutantes. La supervivencia del más fuerte se interpreta en términos de qué programa se acerca más a la solución de un problema. Por medio de la repetición del proceso, los matemáticos esperan que un programa evolucione sin ninguna intervención hasta resolver el problema. Por fortuna, en algunos casos este método está alcanzando éxitos significativos. El científico de los computadores Edward Frenkin afirmó que algún día un computador va a llegar a descubrir una Matemáticas unificadas 435 demostración importante sin ayuda de matemáticos. Hace una década instituyó el premio Leibniz, de cien mil dólares, para el primer programa de computador que desarrolle un teorema que tenga un “profundo efecto en las matemáticas”. Que el premio se reclame o no está todavía en cuestión, pero lo que es seguro es que a una demostración por computador siempre le faltará la claridad de las demostraciones tradicionales, y parecerá hueca en comparación con estas. Una demostración matemática no sólo debe responder a una pregunta, sino que también debe dar alguna idea de por qué la respuesta es lo que es. Enviar una pregunta a una caja negra y recibir una respuesta del otro lado contribuye al conocimiento pero no a la comprensión. En la demostración de Wiles del último teorema de Fermat sabemos que no hay soluciones a la ecuación de Fermat porque tal solución en- traría en contradicción con la conjetura de TaniyamaShimura. Wiles no sólo ha resuelto el teorema de Fermat; ha justificado además su respuesta diciendo que debe ser así con el fin de mantener una relación fundamental entre las ecuaciones elípticas y las formas modulares. El matemático Ronald Graham describió la poca profundidad de las demostraciones por computador en el contexto de una de las grandes conjeturas sin resolver de la actualidad, la hipótesis de Riemann: “Sería muy descorazonador si en algún momento uno pudiera preguntarle a un computador si la hipótesis de Riemann es correcta y este respondiera, “Sí, es verdadera, pero usted no podrá entender EL DE ÚLTIMO FERMAT TEOREMA 4306 la demostración” ”. El matemático Philip Davis, en un escrito conjunto con Reuben Hersh, reaccionó de manera similar a la demostración del problema de los cuatro colores: Mi primera reacción fue “¡Maravilloso! ¿Cómo lo hicieron?” Esperaba alguna perspectiva brillante y nueva, una demostración que tenía en el fondo alguna idea cuya belleza transformaría mi día. Pero cuando recibí la respuesta, “Lo hicieron descomponiéndola en miles de casos y luego pasándolos por el computador uno por uno”, me sentí desalentado. Mi reacción fue, “Finalmente quedó demostrado que después de todo no era un buen problema”. EL PREMIO La demostración de Wiles del último teorema de Fermat depende de la verificación de una conjetura que nació en los años cincuenta. El argumento explota una serie de técnicas matemáticas desarrolladas en la última década, algunas de ellas inventadas por el propio Wiles. La demostración es una obra maestra de las matemáticas modernas, lo que lleva a la conclusión inevitable de que la demostración de Wiles del último teorema no es la misma de Fermat. Fermat escribió que su demostración no cabría en el margen de su copia de la Arithmetica de Diofanto y las cien páginas de densas matemáticas de Wiles ciertamente cumplen este criterio, pero con toda seguridad el francés no inventó las formas modulares, ni la conjetura de Taniyama-Shimura, ni los grupos de Galois ni el método de Kolyvagin-Flach siglos antes que todos los demás. Matemáticas unificadas 437 Si Fermat no tenía la demostración de Wiles, ¿entonces qué tenía? Los matemáticos están divididos en dos ban- dos? Los escépticos testarudos creen que el último teorema de Fermat fue el resultado de un raro momento de debilidad del genio del siglo XvI1. Sostienen que, a pesar de que Fermat escribió: “He descubierto una demostración maravillosa”, en realidad sólo había encontrado una demostración equivocada. La naturaleza exacta de tal demostración es cuestión de debate pero es muy probable que haya sido semejante al trabajo de Cauchy o Lamé. Otros matemáticos, los optimistas románticos, creen que Fermat pudo haber tenido una demostración genuina. Cualquiera que haya sido esta demostración, tuvo que estar basada en las técnicas del siglo xvH1, y habría involucrado un argumento tan astuto que ha eludido a todos, desde Euler hasta Wiles. A pesar de la publicación de la solución de Wiles, todavía hay muchos matemáticos que piensan que pueden lograr la fama y la gloria descubriendo la demostración original de Fermat. Aunque Wiles tuvo que acudir a métodos del siglo XX para demostrar un acertijo del siglo XvI1, de todos modos ha resuelto el problema de Fermat de acuerdo con las reglas del comité Wolfskehl. El 27 de junio de 1997 Andrew Wiles recibió el premio Wolfskehl valorado en cincuenta mil dólares. Una vez más Fermat y Wiles ocuparon los titulares de la prensa de todo el mundo. El último teorema de Fermat había quedado resuelto oficialmente. ¿Pero qué será lo próximo que cautive la atención de EL DE ÚLTIMO FERMAT TEOREMA 438 Wiles? No es sorprendente que una persona que trabajó en absoluto secreto durante siete años se rehúse ahora a comentar sus investigaciones actuales, pero sea lo que sea nunca reemplazará la fascinación que tuvo por el último teorema de Fermat. “Ningún otro problema va a significar lo mismo para mí. Este fue la pasión de mi infancia. No hay nada que lo reemplace. Lo he resuelto. Intentaré otros problemas, estoy seguro. Algunos de ellos serán muy difíciles y sentiré otra vez la satisfacción de resolverlos, pero ningún otro problema en las matemáticas me podría atrapar como lo hizo Fermat. “Tuve este raro privilegio de poder dedicar mi vida adulta a lo que había sido el sueño de mi niñez, y si uno puede enfrentarse en la vida adulta a algo que signifique mucho para uno, ello es más gratificante que cualquier cosa imaginable. Una vez resuelto este problema, hay ciertamente una sensación de pérdida, pero a la vez una enorme sensación de libertad. Estaba tan obsesionado con este problema que por ocho años estuve pensando en él todo el tiempo, desde que me despertaba por la mañana hasta que me dormía por la noche. Es mucho tiempo para pensar en una sola cosa. Esa odisea en particular ya ha terminado. Mi mente puede reposar”. o Apéndices ES "GE AS ee ' pas dy 2 pr "PEN 0 07 Ye A De E a / ha MÍ vo O ñ a A ar Mi rt MR G AA qí Jl ”W : Un o, De y a C ÍA EA «Pr > dd .- ' e e Ñ em > . $ le ys PD mr » um el a, E ¿O de «d Ye ”'o A y Ma . Ne rta Ci er A LULA car pro 'sutrabo a : dei a a $ Y ) CAD VAN AE EN lr => É E fa, Saa jo che A e yy 0 +0 la Eb he o ' > ds rs Cl jr > E : $ Ñ ES O o S o de dic > e E E APÉNDICE LA E DEMOSTRACIÓN DELTEOREMA DE PITÁGORAS A Y y z %S El propósito de la demostración es probar que el teorema de Pitágoras es verdadero para todo triángulo rectángu- lo. El triángulo que se muestra arriba podría ser cualquier triángulo rectángulo porque las longitudes de sus lados no han sido especificadas, y se representan por las letras x, y y z. También en la figura, cuatro triángulos rectángulos se han combinado con un cuadrado inclinado para formar un cuadrado grande. El área de este cuadrado grande es la clave de la demostración. El área del cuadrado grande se puede calcular de dos maneras. Método 1: Se mide el área del cuadrado grande como una unidad. La longitud de cada lado es x + y. Por lo tanto el área del cuadrado grande es (x+ y)”. Método 2: Se mide el área de cada elemento del cuadrado grande. El área de cada triángulo es 4 xy, es decir, $x base x altura. El área del cuadrado inclinado es 27. Por EL DE ÚLTIMO FERMAT TEOREMA 442 área del cuadrado grande = 4 x (área de cada triángulo) + área del cuadrado inclinado Los métodos 1 y 2 dan dos expresiones diferentes. Sin embargo, estas dos expresiones tienen que ser equivalentes porque representan la misma área. Por lo tanto, área del método 1= área del método 2 (x+ y) = 4(hxy)+2 Los paréntesis se pueden expandir y simplificar. Por lo tanto: 2 Ey 2 +2xy= 20 2 2 El término 2xy puede cancelarse a ambos lados. Tenemos así 2 el 2) 2 ds es decir, ¡el teorema de Pitágoras! El argumento se basa en el hecho de que el área del cuadrado grande tiene que ser la misma sin importar el método que se utilice para calcularla. Luego derivamos en forma lógica dos expresiones para la misma área y las igualamos, y finalmente la conclusión inevitable es que x” + y” =z", es decir, el cuadrado de la hipotenusa, z”, es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados, x” + y”. Este argumento es válido para todos los triángulos rectángulos. En nuestro argumento los lados del triángulo están representados por x , y y z, y pueden por lo tanto representar los lados de un triángulo rectángulo cualquiera. Apéndices 443 APÉNDICE 25 LA DEMOSTRACIÓN DE EUCLIDES DE QUE 2 ES IRRACIONAL El propósito de Euclides era demostrar que /2 no podía escribirse como fracción. Debido a que estaba utilizando la demostración por contradicción, el primer paso era asumir que lo contrario era verdadero, es decir, que Y2 puede expresarse como una fracción desconocida. Esta fracción hipotética se representa por Y, donde p y g son dos números enteros. Antes de embarcarnos en la demostración, todo lo que se requiere es un conocimiento básico de algunas propiedades de las fracciones y los números pares. (1) Si uno toma un número y lo multiplica por 2, el número nuevo tiene que ser par. Esta es prácticamente la definición de número par. (2) Si uno sabe que el cuadrado de un número es par, entonces el número mismo también tiene que serlo. (3) Finalmente, las fracciones pueden ser simplificadas: % es lo mismo que +; simplemente divida arriba y abajo de £ por el factor común 2. Es más, 3, es lo mismo que +, y asu vez ¿ es lo mismo que %. Sin embargo, 3 no puede simplificarse más porque 2 y 3 no tienen factores comunes. Es imposible seguir simplificando una fracción para siempre. Ahora, recuérdese que Euclides cree que /2 no puede ser escrita como una fracción. Sin embargo, dado que adopta el método de la demostración por contradicción, él supone EL DE ÚLTIMO FERMAT TEOREMA 444 que la fracción Y, sí existe, y luego explora las consecuencias de su existencia: A7) Si elevamos al cuadrado ambos lados, entonces a ea Esta ecuación puede reordenarse fácilmente para dar 24 = p” Ahora, por el punto (1), sabemos que p” tiene que ser par. Lo que es más, por el punto (2) sabemos que el mismo p también tiene que ser par. Pero si p es par entonces puede ser escrito como 2m, donde » es algún otro número entero. Esto se deduce del punto (1). Insertando esto en la ecuación obtenemos 24 =(2m) =4m" Dividiendo ambos lados por 2 obtenemos de =2m Pero, por el mismo argumento que utilizamos antes, sabemos que q” tiene que ser par, luego q mismo también tiene que serlo. Si esto es cierto, entonces y puede ser escrito como 21, donde » es algún otro número entero. Si regresamos al comienzo, 2 = p/q=2m/2n La fracción 2m/2n puede simplificarse dividiendo arriba y abajo por 2, con lo que obtenemos /2 = m/n Apéndices 445 Tenemos ahora una fracción m/n, que es más simple que p/g. Sin embargo, nos encontramos ahora en una posición en la que podemos repetir exactamente el mismo proceso sobre m/n, y al final del mismo generaremos una fracción aún más simple, digamos g/h. Esta fracción puede entonces pasarse por el molino de nuevo, con lo que obtenemos una nueva fracción, digamos e/f, aún más simple. Podemos pasarla por la tijera otra vez y repetir el proceso intermina- blemente. Pero sabemos por el punto (3) que las fracciones no se pueden simplificar por siempre. Tiene que haber una fracción más simple que todas, pero nuestra fracción hipotética p/g no parece obedecer esta regla. Por tanto, podemos decir, con justificada razón que hemos llegado a una contra- dicción. Si /2 se pudiera escribir como fracción las consecuencias serían absurdas; luego, es cierto que /2 no se puede escribir como fracción. Por lo tanto /2 es un número irracional. APÉNDICE 3. EL ENIGMA DEFLATEDAD DE DIOFANTO Llamemos L al número de años que vivió Diofanto. El acertijo nos da un recuento completo de su vida, que es como sigue: 1/6 de su vida, L/6, la pasó como niño, L/12 la pasó como joven, L/7 la pasó antes de casarse, cinco años más tarde le nació un hijo, EL DE ÚLTIMO FERMAT TEOREMA 446 L/2 fue lo que vivió el hijo, cuatro años los pasó en duelo antes de morir. La longitud de la vida de Diofanto es la suma de lo anterior: A 01 12 L E 7 2 Podemos entonces simplificar la ecuación de la siguiente maneta: L=XL+9, 35L=9, L=%x9=84 Diofanto murió a los 84 años. APÉNDICE 4. EL PROBLEMA DE LAS PESAS DE BACHET Con el fin de pesar un número entero cualquiera de kilogramos de uno a cuarenta, la mayoría de la gente sugeriría que seis pesas son necesarias: 1, 2, 4,8, 16 y 32 kg. De esta manera, todos los pesos se pueden lograr poniendo las siguientes combinaciones en un platillo: lolo DIEZ 392141; 4 kg = 4, 5kg=4+1, 40 kg = 32 + 8 Apéndices 447 Sin embargo, colocando pesas en ambos platillos de tal manera que se les permita ubicarse junto al objeto que se está pesando, Bachet pudo completar la tarea con sólo cuatro pesas: 1,3, 9 y 27 kg. Una pesa colocada en el mismo platillo con el objeto que se va a pesar asume efectivamente un valor negativo. Así pues, los pesos se pueden lograr de la siguiente manera: liga = ÍL, 2kg=3=1; ala = Se 4kg=3+1, kg =Tess 1 APÉNDICE 5. DEMOSTRACIÓN DELE DGNDES DECO U ESA Y UNA INFINIDAD DE TRIPLETAS DE PITAGÓRICAS Una tripleta pitagórica es un conjunto de tres números enteros tales que uno de ellos elevado al cuadrado, sumado a otro también elevado al cuadrado, es igual al tercero de ellos elevado al cuadrado. Euclides pudo demostrar que hay un número infinito de tales tripletas pitagóricas. La demostración de Euclides comienza con la observación de que la diferencia entre números cuadrados consecutivos es siempre un número impar: EL DE ÚLTIMO FERMAT PARTE o A TEOREMA EAS nd AS 448 PUES 2 O LO OO AO AGA O 1d as Estoril ea a Cada uno de los infinitos números impares puede ser sumado a un número cuadrado en particular para producir otro número cuadrado. Una fracción de esos números impares son a su vez cuadrados, pero una fracción del infinito es también infinito. Por lo tanto, hay también una infinidad de números cuadrados impares que se pueden sumar a un cuadrado para formar otro número cuadrado. En otras palabras, tiene que haber una infinidad de tripletas pitagóricas. APÉNDICE 6. DEMOSTRACIÓN LA FEO NTE TOR DE AMD TOS PUN OS La conjetura de los puntos afirma que es imposible hacer un diagrama de puntos en el que cada línea tenga por lo menos tres puntos sobre ella. Aunque esta demostración requiere una cantidad mí- nima de matemáticas, sí depende de algunas maniobras geométricas, así que le recomiendo al lector que examine con cuidado cada paso. Primero, considérese un arreglo arbitrario de puntos y líneas que conecten cada punto con todos los demás. Luego, para cada punto, calcúlese la distancia a la línea más cercana, sin incluir ninguna de las líneas que pasen por él. Apéndices 449 De esta manera se identifica cuál de todos los puntos es el más cercano a una línea. En la figura aparece un primer plano de un punto semejante D que es el más cercano a la línea L. La distancia entre el punto y la línea se muestra como una línea de guiones, y es menor que la distancia entre cualquier otra línea y un punto. D Ahora es posible mostrar que la línea L siempre tendrá sólo dos puntos sobre ella y que por lo tanto la conjetura es verdadera, es decir, es imposible dibujar un diagrama en el que cada línea tenga tres puntos. Para mostrar que la línea L tiene que tener dos puntos, consideremos lo que pasaría si tuviera un tercero. Si el tercer punto, D,, existiera al exterior de los dos que se mostraron originalmente, entonces la distancia que se muestra como una línea punteada sería más corta que la línea de guiones, que se suponía era la más corta entre un punto y una línea. Por lo tanto D, no puede existir. EL ÚLTIMO DESIRE TEOREMA 450 CREMPAST lis Da 0) De forma similar, si el tercer punto, D,, estuviera entre los dos puntos que se mostraron originalmente, una vez más la distancia que se muestra como una línea punteada sería más corta que la línea de guiones, que se suponía era la línea más corta entre un punto y una línea. Por lo tanto el punto D, tampoco puede existir. lE DB D En resumen, cualquier configuración de puntos tiene que tener una distancia mínima entre algún punto y alguna línea, y esta línea tiene que tener sólo dos puntos. Por lo tanto, para cada configuración siempre habrá por lo menos una línea con sólo dos puntos: la conjetura es verdadera. Apéndices 451 APÉNDICE 7. EXINRA VIA DOS EN. ED ABSURDO La siguiente es una demostración clásica de lo fácil que es comenzar con una afirmación muy simple y luego, en UNOS pocos pasos aparentemente sencillos y lógicos, demostrar que 2=1. Primero, comencemos con la siguiente inofensiva deMOSstración: a=b Luego se multiplican ambos lados por a y resulta 2 DO ! Si ahora se suma a” a 2 ; — ab a ambos lados se tiene 2.3 +a —-2ab=ab+a” 2 —2ab Esto puede simplificarse así: a 2 - ab) =a 2 —-ab Finalmente se dividen ambos lados entre a” —ab y obtenemos 2=1 en alguno de los pasos de la manipulación de la ecuación hubo un sutil pero desastroso error que llevó a la contradic- ción en la afirmación final. De hecho, el error fatal aparece en el último paso, cuando ambos lados fueron divididos entre a” — ab. Sabemos, por la afirmación original, que a=b, luego dividir entre a? — ab es equivalente a dividir entre cero. Dividir cualquier cosa entre cero es un paso arriesga- ERIÚTDIMO DE FERMAT TEOREMA 452 do porque cero cabe un número infinito de veces en cualquier cantidad finita. Al crear cantidades infinitas en ambos lados efectivamente hemos despedazado las dos mitades de la ecuación y permitido que una contradicción se colara en el argumento. Este error sutil es ejemplo de la clase de equivocaciones en que cayeron muchos de los participantes por el premio Wolfskeh!l. APÉNDICE LOS 8. AXIOMAS DE LA ARITMÉTICA Los siguientes axiomas son todo lo que se necesita para sentar las bases de la intrincada estructura de la aritmética: 1. Para cualesquiera números 72, 22 m+n=n+m y mn=nm. 2. Para cualesquiera números m2, 2, k (m+n)+k=m+(n+k) y (mn)jk=m(nk). 3. Para cualesquiera números 72, 2, k mín +k)=mn+mk. 4. Hay un número O que tiene la propiedad de que, para cualquier número 7, n+0=n. 5. Hay un número 1 que tiene la propiedad de que, para cualquier número 7, nxl=n. 6. Para cualquier número 2, hay otro número 4 tal que n+k=0. 7. Para cualesquiera números 1, n, k, Apéndices 1 45 3 405y km = km; entonces m=n. A partir de estos axiomas otras reglas se pueden demostrar. Por ejemplo, aplicándolos rigurosamente y sin suponer mada más, podemos demostrar rigurosamente la siguiente regla en apariencia obvia: Si m+k=n+%, entonces m=2 Para comenzar, afirmamos que m+k=n+k Luego, por el axioma 6, sea / un número tal que k+/=0, de tal manera que (m+k)+l=(n+k)+1 Luego, por el axioma 2, m+(k+1)=n+(k+1) Teniendo en cuenta que k+1=0, sabemos que m+0=n>+0. Aplicando el axioma 4, podemos finalmente enunciar lo que nos propusimos demostrar: M=RA APÉNDICE 9. LA TEORÍA DE Y EL TRUELO JUEGOS Examinemos las opciones del señor Negret. Primero, el señor Negret podría apuntarle al señor Gris. S1 tiene éxito, el siguiente en disparar será el señor Blanco. Al señor Blanco sólo le queda un oponente, el señor Negret, y como el señor Blanco tiene una puntería perfecta, el señor Negret es hombre muerto. EL DE ÚLTIMO FERMAT TEOREMA 454 Una mejor opción es que el señor Negret le apunte al señor Blanco. Si tiene éxito, entonces el siguiente en disparar será el señor Gris. El señor Gris da en el blanco sólo dos de tres veces, así que hay una posibilidad de que el señor Negret sobreviva para dispararle al señor Gris, y quizás ganar el truelo. Parecería que la segunda opción es la estrategia que el señor Negret debe adoptar. Sin embargo, hay una tercera opción, aún mejor. El señor Negret puede disparar al aire. El señor Gris tiene el siguiente disparo y le apuntará al señor Blanco porque es el más peligroso de los oponentes. Si el señor Blanco sobrevive le apuntará al señor Gris porque es el oponente más peligroso. Disparando al aire, el señor Negret está permitiendo que el señor Gris elimine al señor Blanco, O VICEVersa. Esta es la mejor estrategia para el señor Negret. Finalmente el señor Gris o el señor Blanco morirán, y entonces el señor Negret le apuntará al sobreviviente. El señor Negret ha manipulado la situación de tal manera que, en vez de ser el que primero dispara en un truelo, es el que primero dispara en un duelo. APÉNDICE TO. UN EJEMPLO DE POR FNDUCECIÓN DEMOSTRACIÓN Es útil para los matemáticos contar con fórmulas claras que den como resultado la suma de ciertas listas de núme- Apéndices 455 ros. En este caso el reto es encontrar una fórmula que dé la suma de los primeros » números para contar. Por ejemplo, la suma del primer número es 1, la suma de los dos primeros números es 3 (esto es, 1+2), la suma de los primeros tres números es 6 (esto es, 1+2+3), la suma de los primeros cuatro números es 10 (1+2+3+4), y así sucesivamente. Una fórmula que parece describir este comportamiento es: Suma (1) =>3n(n +1) En otras palabras, si queremos encontrar la suma de los primeros 7 números, simplemente colocamos el número en la fórmula anterior y calculamos la respuesta. La demostración por inducción sirve para comprobar que esta fórmula funciona para todos los números hasta infinito. El primer paso es mostrar que la fórmula funciona para el primer caso, 2 = 1. Esto es bastante sencillo porque sabemos que la suma del primer número es 1, y si colocamos n=1 en la fórmula propuesta obtenemos el resultado correcto: Suma (n)=3n(n+1) Suma 1)=3x1x(1+1) Suma (1) =3x1x2 Suma (1) =1 Ha caído así el primer dominó. El siguiente paso en la demostración por inducción es EL ÚLTIMO DE FERMAT TEOREMA 456 probar que si la fórmula es verdadera para cualquier valor de 1, entonces tiene que serlo para 2 + 1. Si Suma (n)=>3n(n +1) entonces, Suma (n+1)= Suma (n)+(n+1) Suma (n+1)=3n(n+1)+(n+1) Después de reordenar y reagrupar los términos de la derecha, obtenemos Suma (n+1)=(n+ Dn +D+1) Lo que es importante observar aquí es que la forma de esta nueva ecuación es exactamente la misma que la de la ecuación original, excepto que toda vez que aparecía / se reemplazó por (2 + 1). En otras palabras, si la fórmula es verdadera para 7, entonces también tiene que ser verdadera para 2 + 1. Si un dominó cae, siempre tumbará al siguiente. La demostración por inducción ha quedado completa. Apéndices 457 Lecturas complementarias sugeridas En el proceso de investigación para escribir este libro acudí a numerosos libros y artículos. Además de mis fuentes principales para cada capítulo, presento una lista de material adicional que puede ser de interés tanto para el lector común como para los expertos en el tema. Cuando el título de la fuente no indica su relevancia, he agregado una o dos frases que describen su contenido. Capítulo 1 The Last Problem, por E. T. Bell, 1990, Mathematical Association of America. Un recuento muy accesible de los orígenes del último teorema de Fermat. Pythagoras—A Short Account of His Life and Philosophy, por Leslie Ralph, 1961, Krikos. Pythagoras—A Life, por Peter Gorman, 1979, Routledge and Kegan Paul. A History of Greek -Mathematics, Vols. 1 y 2, por Sir Thomas Heath, 1981, Dover. Mathematical Magic Show, por Martin Gardner, 1977, Knopf. Colección de acertijos y enigmas matemáticos. “River Meandering as a Self-organization Process” por Hans-Henrik Stóllum, Science 271 (1996), 1710-1713. Capítulo 2 The Mathematical Career ofPierre de Fermat, por Michael EL DE ÚLTIMO FERMAT TEOREMA 458 Mahoney, 1994, Princeton University Press. Una investiga- ción detallada de la vida y obra de Pierre de Fermat. Archimedes' Revenge, por Paul Hoffman, 1988, Penguin. Historias fascinantes que describen los placeres y peligros de las matemáticas. Capítulo 3 Men ofMathematics, por E. T. Bell, Simon and Schuster, 1937. Biografías de los matemáticos más grandes de la historia entre ellos Euler, Fermat, Gauss, Cauchy y Kummer. Los números, por Bernardo Recamán Santos, Grupo Editorial Norma, 1999. Una breve y entretenida introducción a la historia de los números y a sus propiedades más fascinantes. “The Periodical Cicada Problem”, por Monte Lloyd y Henry S. Dybas, Evolution 20 (1966), 466-505. Women in Mathematics, por Lynn M. Osen, 1994, MIT Press. Un texto en su mayor parte no matemático que contiene las biografías de muchas de las más importantes matemáticas de la historia, Sophie Germain entre ellas. Math Equals: Biographies of Women Mathematicians + Related Activities, por Teri Perl, 1978, Addison-Wesley. Women in Science, por H. J. Mozans, 1913, D. Appleton and Co. “Sophie Germain”, por Amy Dahan Dalmédico, Scientific American, diciembre de 1991. Un artículo breve que describe la vida y obra de Sophie Germain. Fermat's Last Theorem—A Genetic Introduction to Algebraic Apéndices 459 Number Theory, por Harold M. Edwards, 1977, Springer. Una discusión matemática del último teorema de Fermat que incluye bosquejos detallados de algunos de los primeros intentos por demostrarlo. Elementary Number Theory, por David Burton, 1980, Allyn Bacon. “Varias comunicaciones”, por A. Cauchy, C. R. Acad. Sci. Paris 24 (1847), 407-416, 469-483. “Note au sujet de la démonstration du théoreme de Fermat”, por G. Lamé, C. R. Acad. Scz. Paris 24 (1847), 352. “Extrait d'une lettre de M. Kummer a M. Liouville”, por E. E. Kummer, J.Math. Pures er Appl. 12 (1847), 136. Reproducido en Collected Papers, Vol. 1, editado por A. Weil, 1975 9Springer. A Number for Your Thoughts, por Malcolm E. Lines, 1986, Adam Hilger. Hechos y especulaciones acerca de los números, desde Euclides hasta los últimos computadores, con una descripción un poco más detallada de la conjetura de los puntos. Capítulo 4 3.1416 and All That, por P. J. Davis y W. G. Chinn, 1985, Birkháuser. Una serie de historias acerca de las mate- máticas y los matemáticos, con un capítulo sobre Paul Wolfskehl. The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Numbers, por David Wells, 1997, Penguin. EL ÚLTIMO DE FERMAT TEOREMA 460 The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Puzzles, por David Wells, 1992, Penguin. Sam Loyd and his Puzzles, por Sam Loyd (1D), 1928, Barse and Co. Mathematical Puzzles ofSam Loyd, por Sam Loyd, editado por Martin Gardner, 1959, Dover. Juegos y acertijos para la enseñanza de las matemáticas, por Bernardo Recamán Santos, Grupo Editorial Norma, 1997. Riddles in Mathematics, por Eugene P. Northropp, 1944, Van Nostrand. The Picturegoers, by David Lodge, 1993, Penguin. 13 Lectures on Fermat's Last Theorem, por Paulo Ribenboim, 1980, Springer. Un recuento del último teorema de Fermat, anterior al trabajo de Andrew Wiles y escrito para estudiantes de posgrado. Mathematics: The Science of Patterns, por Keith Devlin, 1994, Scientific American Library. Un libro bellamente ilustrado que transmite los conceptos de las matemáticas a tra- vés de llamativas imágenes. Mathematics: The New Golden Age, por Keith Devlin, 1990, Penguin. Una perspectiva detallada, para el público general, de las matemáticas modernas, con una discusión de los axiomas de las matemáticas. The Concepts of Modern Mathematics, por lan Stewart, 19957 Penguin Principia Mathematica, por Bertrand Russell y Alfred North Whitehead, 3 vols, 1910, 1912, 1913, Cambridge University Press. Apéndices 461 Kurt Gódel, por G. Kreisel, Biographical Memoirs of the Fellows of the Royal Society, 1980. Apología de un matemático, por G. H. Hardy, traducción de Doménec Bergada, Ariel, 1981. Una de las grandes figuras de las matemáticas del siglo xX. Es un recuento personal de lo que motiva a él y a otros matemáticos. Alan Turing: The Enigma of Intelligence, por Andrew Hodges, 1983, Unwin Paperbacks. Un recuento de la vida de Alan Turing, que incluye su contribución al desciframiento del código Enigma. Capítulo 5 “Yutaka Taniyama and his Time”, por Goro Shimura, Bulletin of the London Mathematical Society 21 (1989), 186- 196. Un recuento muy personal de la vida y obra de Yutaka Taniyama. “Links Between Stable Elliptic Curves and Certain Diophantine Equations”, por Gerhard Frey, Ann. Unz. Saras. Math. Ser. 1 (1986), 1-40. El trabajo crucial que sugirió un vínculo entre la conjetura de Taniyama-Shimura y el último teorema de Fermat. Capítulo 6 “Genius and Biographers: the Fictionalization of Evariste Galois”, por T. Rothman, American Mathematical Monthly 89 (1982), 84-106. Contiene una lista detallada de las fuentes históricas que hay detrás de las biografías de Galois y discute la validez de las diversas interpretaciones. EL DE ÚLTIMO FERMAT TEOREMA 462 “La vie d'Evariste Galois”, por Paul Depuy, Annales Scientifiques de 'Ecole Normale Supérieure 13 (1896), 197-266. Mes Mémoires, por Alejandro Dumas, 1967, Editions Gallimard. Notes on Fermat's Last Theorem, por Alf van der Poorten, 1996, Wiley. Una descripción técnica de la demostración de Wiles, dirigida a estudiantes universitarios y de posgrado de matemáticas. Capítulo 7 “An Elementary Introduction to the Langlands Programme”, por Stephan Gelbart, Bulletin of the American Mathematical Society 10 (1984), 177-219. Una explicación técnica del programa de Langlands escrita para investigadores matemáticos. “Modular Elliptic Curves and Fermat's Last Theorem”, por Andrew Wiles, Annals of Mathematics 142 (1995), 443- 551. Este trabajo incluye la mayor parte de la demostración de Wiles de la conjetura de Taniyama-Shimura y el último teorema de Fermat. “Ring-theoretic Properties of Certain Hecke Algebras”, por Richard Taylor y Andrew Wiles, Annals of Mathematics 142 (1995), 553-572. Este artículo describe las matemáti- cas que se usaron para corregir los errores de la demostración de Wiles de 1993. Apéndices 463 Capítulo 8 “How to Succeed in Stacking”, por lan Stewart, New Scientist, 13 de julio de 1991, 29-32. “The Death of Proof”, por John Horgan, Scientific American, octubre de 1993, 74-82. “The Solution of the Four-color-map problem”, por Kenneth Appel y Wolfgang Haken, Scientific American, Octubre de 1977, 108-21. The Four-Color Problem: Assaults and Conquest, por T. L. Saaty y P. C. Kainen, McGraw-Hill, 1977. The Mathematical Experience, por P. J. Davis y R. Hersh, 1990, Penguin. EL DE ÚLTIMO FERMAT TEOREMA 464 Créditos fotográficos Ilustraciones por Jed Mugford. p. 28. Andrew Wiles. p. 48. Charles Taylor. p. 70. Science Photo Library. p. 74. Con autorización del presidente y el consejo de la Real Sociedad. p. 99, 114, 115. Cortesía de la Biblioteca John Carter Brown de la Universidad de Brown. p. 124. Con autorización del presidente y el consejo de la Real Sociedad. p. 163. Archives de l'Académie des Sciences. p. 178. Archives de l'Académie des Sciences. p. 179. Con au- torización del presidente y el consejo de la Real Sociedad. p.182. Die Mathematik und ¡bre Dozenten (Akademie-Verlag, Berlin). p. 192. Dr. Klaus Barner, Universidad de Kassel. p. 200. Sam Loyd and his Puzzles (Barse and Co., Nueva York). p. 215. Mathematisches Forschungsinstitut Oberwolfach. p. 218. Godfrey Argent. p. 224. Source: Royal Society Library. p. 237. Godfrey Argent. p. 254. Andrew Wiles. p. 255. Ken Ribet. p. 266. Goro Shimura. p. 268. Universidad de Princeton, Orren Jack Turner. p. 276. 01997 Cordon Art, Baarn, Holanda. p. 280. Goro Shimura. p. 283. BBC. p. 301. Catherine Karnow. p. 308. Universidad de Princeton, Denise Applewhite. p. 320, 333, 335. R. Bourgne yJ. P. Azra, Des écrits et des mémoires mathématiques l'Evariste Galois (2a. edición, Gauthier-Villars, 1976, 1976; reimpresión por Editions Jacques Gabay, París, 1997). p. 344. A. J. Hanson y S. Dixon, Wolfram Research Inc. p. 355. BBC. p. 368. O 1993 por The New York Times Co. Reproducido con permiso. p. 372. Ken Ribet. p. 391. Richard Taylor. p. 400. Andrew Wiles, Modular elliptic curves and Fermat's Last Theorem. Annals of Mathematics, 141, 443 (1995). The Johns Hopkins University Press. p. 402. Universidad de Princeton. p. 429. 01975 por Scientific American, inc. Todos los derechos reservados. Polvo vital Christian de Duve Fuego en el dragón Y otros ensayos psicoanalíticos sobre folclor Géza Róheim XY, la identidad masculina Elisabeth Badinter Un antropólogo en Marte La isla de los ciegos al color Oliver Sacks La hormiga y el pavo real. El altruismo y la selección sexual desde Darwin hasta hoy Helena Cronin Un psicoanalista comprometido André Green El matemático francés Pierre de Fermat, nacido en 1601, mantuvo intrigados durante 360 años a los matemáticos de todo el mundo a raíz de una nota que dejó en el margen de su copia de la Arithmetica de Diofanto, un clásico de la matemática griega. En ella, Fermat afirmaba que la ecuación x" + y"=2" no tenía soluciones en números enteros salvo en el caso en que n sea igual a 2. “He encontrado una demostración maravillosa para este problema, pero el margen es muy pequeño para escribirla”, anotó. Finalmente, casi cuatrocientos años después, el matemático inglés Andrew Wiles demostró, tras varios intentos fallidos, el célebre teorema de Fermat. Lleno de tensión, historia, tragedias e intrigas Simon Singh narra cómo la obsesión por las matemáticas surmegió a un hombre durante 30 años en la formulación de la demostración del célebre teorema de Fermat. Sin recurrir a enredados tecnicismos pero sin evitar la explicación en forma clara y precisa de la naturaleza del problema de Fermat, Singh ha escrito una historia apasionante que interesará a quien alguna vez se haya preguntado qué es lo que hace que las matemáticas hayan seducido a tantos y diversos personajes de la historia. La pasión por el conocimiento y la ciencia, y la fascinación que produce el saber, han hecho de este libro un best seller internacional, O 9 AL 448655 cc 22206

El Último Teorema de Fermat: Simon Singh

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