Práctica Ley de Ohm: Análisis Gráfico y Ajuste Experimental

1
EVALUACIÓN EXPERIMENTAL Y
USO DE GRAFICAS
10
Jueves
16:00-18:00 pm
Jhonattan Alexander Diaz
Huata
Ingeniería Civil
Lic. Franklin Carvajal Palenque
OBJETIVOS.
* Analizar un fenómeno Físico (en este caso la Ley de Ohm) a partir de sus diferentes tipos de
funciones que lo representan.
*Realizar el ajuste polinomial de curvas aplicando el método de mínimos cuadrados.
*Graficar los datos ecperimentales y describir la pendiente.
PRINCIPIO
La medición de dos cantidades físicas permite una representación gráfica que permite describir el
fenómeno al igual que su pendiente.
FUNDAMENTO TEORICO
En el estudio de los fenómenos físicos donde intervienen muchas variables, cuyo análisis puede
llegar ser muy complejo. Para facilitarlo se usan solo dos de estas muchas variables para poder
representarlo en un plano cartesiano cuyas gráficas típicas son:
Función lineal.
Diagrama usado para determinar la pendiente de forma directa.
𝑦 = 𝑎 + 𝑏𝑥; 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑏 = 𝑝𝑒𝑛𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒.
Función Exponencial.
Esta tiene por función: 𝑌 = 𝐴𝑒 𝐵𝑥 ;al que se le aplica logaritmos; 𝐿𝑛𝑌 = 𝐿𝑛𝐴 + 𝐵𝑋.
Si se considera 𝑦 = 𝐿𝑛𝑌 ; 𝑎 = 𝐿𝑛𝐴; 𝐵 = 𝑏 ; 𝑋 = 𝑥. 𝑠𝑒 𝑜𝑏𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒 𝑦 = 𝑎 + 𝑏𝑥; 𝑢𝑛𝑎 𝑒𝑐𝑢𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑙𝑖𝑛𝑒𝑎𝑙.
Función Potencial.
Se representa por la función: 𝑌 = 𝐴𝑋𝐵 . Al aplicarse logaritmos se obtiene 𝐿𝑛𝑌 = 𝐿𝑛𝐴 + 𝐵𝐿𝑛𝑋.
del cual se le cambian los valores 𝑦 = 𝐿𝑛𝑌 ; 𝑎 = 𝐿𝑛𝐴; 𝐵 = 𝑏 ; 𝑋 = 𝑥. teniendo la siguiente
ecuación. 𝑦 = 𝑎 + 𝑏𝑥. Una ecuación lineal.
Función en coordenadas polares.
Corresponde una función. 𝑟 = 𝑏𝑠𝑖𝑛2 𝜃; donde se tienen los siguientes límites para:
0 ≥ 𝑟 ≥ ∞ & 0 ≤ 𝜃 ≤ 360°
MONTAJE Y REALIZACIÓN.
MATERIAL Y EQUIPO
 Una fuente de alimentación (DC).
 Un voltímetro.
 Un amperímetro.
 Resistencia eléctrica.
 Cables de conexión.
La práctica se basa principalmente en la Ley de Ohm, que establece una relación lineal entre la
diferencia de potencial (V), la corriente eléctrica (I) y la resistencia eléctrica (R) de un conductor:
V=I*R.
Donde:
V= es el voltaje en voltios (V)
I= es la corriente en amperios (A)
R= es la resistencia en ohmios (Ω).
REALIZACIÓN.
Se conectó el circuito básico de medición usando una fuente de voltaje de corriente continua, una
resistencia metálica, un multímetro digital en modo voltímetro y un amperímetro en serie.
Primero, se verificó que el circuito estuviera correctamente ensamblado. Luego, se ajustó la fuente
para suministrar distintos niveles de voltaje, comenzando desde 0 V hasta un máximo
predeterminado, aumentando en intervalos constantes.
Para cada valor de voltaje aplicado, se midió la corriente correspondiente utilizando el
amperímetro. Cada par de valores V e I fue registrado cuidadosamente en la tabla 1. Finalmente,
se realizó una gráfica V vs. I, con el objetivo de verificar la linealidad del comportamiento del
conductor y comprobar si se trataba de un material óhmico.
OBTENCION Y ORGANIZACION DE DATOS.
TABLA N°1
N°
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
V[V]
1,4
1,8
2,1
2,7
2,9
3,3
3,8
4,2
4,5
5
I[A]
0,04
0,05
0,06
0,07
0,08
0,09
0,1
0,11
0,12
0,13
R[Ω]
35,0000
36,0000
35,0000
38,5714
36,2500
36,6667
38,0000
38,1818
37,5000
38,4615
V'[V]
1,3836
1,7806
2,1776
2,5745
2,9715
3,3685
3,7655
4,1624
4,5594
4,9564
TABLA N°2
N°
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
P[W]
0,0560
0,0900
0,1260
0,1890
0,2320
0,2970
0,3800
0,4620
0,5400
0,6500
I[A]
0,04
0,05
0,06
0,07
0,08
0,09
0,10
0,11
0,12
0,13
Ln P[ ]
-2,8824
-2,4079
-2,0715
-1,6660
-1,4610
-1,2140
-0,9676
-0,7722
-0,6162
-0,4308
Ln I[ ]
-3,2189
-2,9957
-2,8134
-2,6593
-2,5257
-2,4079
-2,3026
-2,2073
-2,1203
-2,0402
Ln P*Ln I [
9,2781
7,2136
5,8279
4,4303
3,6901
2,9233
2,2279
1,7044
1,3065
0,8789
]
(Ln I)^2 [ ]
10,3612
8,9744
7,9153
7,0717
6,3793
5,7982
5,3019
4,8721
4,4955
4,1625
P'[ W ]
0,0562
0,0892
0,1302
0,1793
0,2365
0,3019
0,3756
0,4577
0,5482
0,6472
PROCESAMIENTO DE DATOS.
Potencial eléctrico.
𝑉 = 𝐼∗𝑅 → 𝑅 =
𝑉
𝐼
*Los datos de los voltajes e intensidades corresponden a la TABLA N°1
𝑅1 =
𝑉1
1,4 V
=
= 35 Ω
𝐼1 0,04 A
𝑅2 =
𝑉2
1,8 V
=
= 36 Ω
𝐼2 0,05 A
𝑅3 =
𝑉3
2,1 V
=
= 35 Ω
𝐼3 0,06 A
𝑅4 =
𝑉4
2,7 V
=
= 38,5714 Ω
𝐼4 0,07 A
…
…
…
𝑅10 =
𝑉10
2,9 V
=
= 36,25 Ω
𝐼10 0,08 A
Valores ajustados por el ajuste de mínimos cuadrados.
FUNCION LINEAL.
Resultado de la gráfica de voltaje en función de la intensidad.
Su ajuste de mínimos cuadrados resulta en la siguiente ecuación
𝑉′ = a + 𝐼*b
Donde los parámetros A Y B se definen con ayuda de las siguientes fórmulas.
𝑎=
∑ V ∑ I2 - ∑ I ∑ I*V
n ∑ I2 -(∑ I)2
;
𝑏=
n ∑ I*V - ∑ V ∑ I
n ∑ I2 -(∑ I)2
Donde:
∑ V = V1 + V2 + V3 + V4 +. . . +V10 = (1,4 + 1,8 + 2,1 + 2,7 + … + 5)Voltios = 31,7 Volios.
∑ I = I1 + I2 + I3 + I4 +. . . +I10 = (0,04 + 0,05 + 0,06 + 0,07 + … + 0,13) Amperios= 0,85 Amperio
∑ I 2 = I1 2 + I2 2 + I3 2 + I4 2 + ⋯ + I10 2 == (0,04)2 + (0.05)2 + (0,06)2 + (0,07)2 + ⋯ +
(0,13)2 = 0,0805 A2 .
∑ V *I = V1 *I1 + V2 *I2 + V3 *I3 +. . . +V10 *I10 = (1,4 ∗ 0,04 + 1,8 ∗ 0,05 + 2,1 ∗ 0,06 +
… + 5 ∗ 0,13) = 3,022.
VALORES
a=
∑ V ∑ I 2 - ∑ I ∑ I*V
31,7 * 0,0805 - 0,85 *3,022
=
= −0,204242424 .
2
2
∑
∑
n I -( I)
10*0,0805 - (0,85)2
b=
n ∑ I*V - ∑ V ∑ I
10*3,022 - 31,7*0,85
=
= 39,6969697
2
2
n ∑ I -(∑ I)
10*0,0805 - (0,85)2
Ajustando los valores del voltaje de acuerdo a la Ecuación, se tiene.
𝑉 ′ i = a + 𝐼i *b.
𝑉′1 = a + 𝐼1 *b = −0,204242424 + 0,04 *39,6969697=1,3836
𝑉′2 = a + 𝐼2 *b = −0,204242424 + 0,05 *39,6969697=1,7806
𝑉′3 = a + 𝐼3 *b = −0,204242424 + 0,06*39,6969697=2,1776
𝑉′4 = a + 𝐼4 *b = −0,204242424 + 0,07*39,6969697=2,5745
…
…
…
𝑉′10 = a + 𝐼10 *b = −0,204242424 + 0,13*39,6969697=4,9564
FUNCION POTENCIAL.
Potencia eléctrica
𝑷 = 𝑽 ∗ 𝑰 = 𝑹 ∗ 𝑰𝟐
𝑃1 = 𝑉1 ∗ 𝐼1 = 1,4 ∗ 0,04= 0,0560 W
𝑃5 = 𝑉5 ∗ 𝐼5 = 2,9 * 0,08=0,2320 W
𝑃2 = 𝑉2 ∗ 𝐼2 = 1,8 ∗ 0,05=0,0900 W
…
…
…
𝑃3 = 𝑉3 ∗ 𝐼3 = 2,1 ∗ 0,06=0,1260 W
𝑃4 = 𝑉4 ∗ 𝐼4 = 2,7 * 0,07 =0,1890 W
𝑃10 = 𝑉10 ∗ 𝐼10= 5 ∗ 0,13 = 0,6500 W
Ajuste polinomial de curva.
P = A*I B
LnP = LnA + B*LnI.
Se requiere encontrar los valores de a y b
𝑎=
∑ LnP ∑ LnI2 - ∑ LnI ∑ LnI*LnP
n ∑ LnI2 -(∑ LnI)2
;
𝑏=
n ∑ LnI*LnP - ∑ LnP ∑ LnI
.
n ∑ LnI2 -(∑ LnI)2
Donde:
∑ LnP = Ln(P1 ) + Ln(P2 ) + Ln(P3 )+ . . . +Ln(P10 )
∑ LnP = Ln(0,0560) + Ln(0,0900) + Ln(0,1260)+. . . +Ln(0,6500) = −14,4896
∑ LnI = Ln(I1 ) + Ln(I2 ) + Ln(I3 )+. . . +Ln(I10 )
∑ LnI = Ln(0,04) + Ln(0,05) + Ln(0,06)+. . . +Ln(0,13) = −25,2913
∑ Ln(I 2 ) = Ln(I1 2 ) + Ln(I2 2 ) + Ln(I3 2 ) + ⋯ + Ln(I10 2 )
∑ Ln(I 2 ) = Ln(0,04)2 + Ln(0.05)2 + Ln(0,06)2 + ⋯ + Ln(0,13)2 = 65,3320.
∑ LnP *LnI = LnP1 *LnI1 + LnP2 *LnI2 + LnP3 *LnI3 +. . . +LnP10 *LnI10
∑ LnP *LnI = Ln(1,4) ∗ Ln(0,04) + Ln(1,8) ∗ Ln(0,05) + Ln(2,1) ∗ Ln(0,06) + ⋯ + Ln(5) ∗
Ln(0,13) = 39,4811.
Para el parámetro a.
𝑎=
𝑎=
∑ LnP ∑ LnI 2 - ∑ LnI ∑ LnI*LnP
n ∑ LnI2 -(∑ LnI)2
(−14,4896)*65,3320 - (−25,2913)*39,4811
= 3,796
10*65,3320 - (−25,2913)2
Del cual.
A = 𝑒 𝑎 = 𝑒 3,796 = 44,5233
Para el parámetro b.
𝑏=
𝑏=
n ∑ LnI*LnP - ∑ LnP ∑ LnI
n ∑ LnI 2 -(∑ LnI)2
10 ∗ 39,4811 − (−14,4896) ∗ (−25,2913)
= 2,0738
10*65,3320 - (−25,2913)2
Del cual: b=B
Corrección de Datos de las Potencias
𝑃′ = 𝐴 ∗ 𝐼 𝐵 .
𝑃′ 1 = 𝐴 ∗ 𝐼1𝐵 = 44,5233 ∗ (0.04)2,0738 =0,0562.
𝑃′ 2 = 𝐴 ∗ 𝐼2𝐵 = 44,5233 ∗ (0.05)2,0738 =0,0892.
𝑃′ 3 = 𝐴 ∗ 𝐼3𝐵 = 44,5233 ∗ (0.06)2,0738 =0,1302.
…
…
…
𝑃′ 1 = 𝐴 ∗ 𝐼1𝐵 = 44,5233 ∗ (0.13)2,0738 =0,6472.
*Los datos calculados se encuentran en la tabla N°2
CUESTIONARIO
1. Explique las características de la intensidad de corriente, diferencia de potencial y
resistencia eléctrica.
Las características de la intensidad de corriente, diferencia de potencial y resistencia eléctrica son:
Diferencia de potencial: Es la energía que impulsa a los electrones a moverse por un conductor,
cuya unidad en el Sistema Internacional es el voltio (V).
Intensidad de corriente: Es la cantidad de carga eléctrica que pasa por un punto de un conductor
en un segundo., cuya unidad en el Sistema Internacional es el amperio (A).
Resistencia eléctrica: Es la oposición que presenta un material al paso de la corriente eléctrica,
cuya unidad en el Sistema Internacional es el ohmio (Ω).
2. ¿Explique qué importancia tiene linealizar las funciones no lineales?
linealizar permite trabajar con modelos complejos de forma práctica y eficiente, especialmente
cuando se analizan pequeñas variaciones alrededor de un punto de equilibrio.
3. ¿Indicar qué función no es posible linealizar?
En teoría, casi cualquier función "suave" (continua y derivable) puede linealizarse localmente
usando una aproximación como la serie de Taylor. Sin embargo, hay funciones que no se pueden
linealizar y estas son sus condiciones.
* No está definida en ese punto.
* No es continua.
* No tiene derivada (no es suave o presenta una esquina o salto).
4. ¿Mostrar tres ejemplos de fenómenos físicos, que tengan comportamiento: lineal, exponencial
y potencial?
1) Comportamiento lineal.
2) comportamiento exponencial.
3) Comportamiento potencial.
CONCLUSIONES.
El conductor presenta un comportamiento óhmico, con una resistencia promedio de
aproximadamente 24.58 Ω dentro del rango de voltaje utilizado, la resistencia se mantiene
constante, lo que se evidencia en la pendiente constante de la gráfica V vs. I. Esto indica que el
conductor no cambia sus propiedades eléctricas dentro de ese rango.
La gráfica V vs. I es prácticamente una línea recta, verificando la Ley de Ohm, lo que indica que la
relación entre el voltaje y la corriente es directamente proporcional. Esto es característico de
materiales óhmicos que cumplen con la Ley de Ohm.
La pequeña variación en los valores de resistencia puede atribuirse a errores de medición o
fluctuaciones térmicas.
El montaje experimental es sencillo y efectivo para ilustrar conceptos clave de la electricidad como
la relación entre corriente, voltaje y resistencia.
BIBLIOGRAFIA.
[1] Serway R., J.W. Jewett. Física para ciencias e ingeniería con física moderna. Volumen II. Séptima
edición. Ed. Cengage Learning. México, 2009.
[2] Resnick R., D. Halliday, et al. Física. Vol. 2. Quinta edición. Ed. Patria, México, 2011.
[3] Tipler, P. A., G. Mosca. Física para la ciencia y la tecnología. Vol. 2. Quinta edición.Ed. Reverté,
Barcelona, 2010.
[4] Anónimo: Guías de Laboratorio de Física Básica III. Carrera de Física, UATF.
[5]https://www.electronics-tutorials.ws/ohm/ohms-law.html
[6]https://www.khanacademy.org/science/physics/circuits-topic
[7]https://www.allaboutcircuits.com/textbook/direct-current/chpt-2/ohms-law/
[8]https://www.fisica.net/electrostatica – Fundamentos de la electrostática
[9]https://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu – Conceptos de carga y ley de Coulomb
[10]https://www.khanacademy.org/science/physics/electric-charge-electric-force – Videos
explicativos sobre carga e inducción
[11]https://www.lenntech.com/elements-and-electrical-conductivity.htm – Conductividad eléctrica
de materiales