TÓPICOS
MATEMÁTICOS
Aproximaciones de Raíces en IR
TÓPICOS MATEMÁTICOS
Se tratarán estas aptitudes:
Teorema del valor intermedio
Algoritmos de punto fijo
TEOREMA DEL VALOR INTERMEDIO
Sea una función continua con derivada no nula en (a,b). Entonces si f(a)f(b)<0 existe solo una
raíz en el intervalo (a,b)
Aplicación: Este resultado permite generar el método de bisección que es el más simple de
todos los métodos numéricos.
PROBLEMA NO LINEAL: x^3+4x^2+2x-1=0
Encuentre un intervalo de Longitud 0,5 en que este problema tiene solo 1 sol. Aplique el
método de bisección y obtenga raíz con error έ≤0,001.
PROBLEMA NO LINEAL: x^3+4x^2+2x-1=0
Elegimos un intervalo que cumpla con la condición de f(a)*f(b)<0 y que tenga la longitud
solicitada, por lo que se elige [-1,4; -0,9] y se procede a operar.
PROBLEMA NO LINEAL: x^3+4x^2+2x-1=0
Factorizando se puede obtener 1 de las 3 raíces (-1, 0,30278, -3,3028) por lo que se elige un
intervalo del largo indicado en torno a este [-1,4; -0,9] y se procede a operar.
Se puede apreciar como el método converge a la solución exacta del problema.
ALGORTIMOS DE PUNTO FIJO
Los algoritmos de punto fijo generados por la función g(x) se definen por: Xn+1=g(Xn)
Existen varios métodos como el método de Halley, SDL, Sistema de Mandelbrot.
El método numérico más conocido para aproximar raíces es conocido como método de NewtonRaphson.
PROBLEMA NO LINEAL: x^3+4x^2+2x-1=0
Calcule una aproximación con el método de N-R iniciando con X0=0.1 hasta que la
tolerancia sea έ≤0.00006.
1) Se calcula la derivada de la función.
2) Se plantea el sistema del método N-R .
3) Se genera la recursividad hasta cumplir la condición. (Eabs<Tolerancia)
Se aprecia como el método converge a la solución.
EJERCICIOS PROPUESTOS
Ejercicio 1
Aplicando el método de la bisección hallar la mejor solución de f(x)=x^3+4x^2-10
en:
a) [0,1.5]
b)[1.5,3]
Pista: función graficada
EJERCICIOS PROPUESTOS
Ejercicio 2
Obtener una raíz de la función f(x)=e^(−3x)−0.2
en el intervalo [0,1] por el método de NewtonRaphson, tomando como aproximación inicial X0
= 0. El error debe ser menor a 0.000005
Pista: método aplicado
TÓPICOS
MATEMÁTICOS
Ecuaciones no-lineales en IR
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