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Apunte 1
Aproximaciones De
Raíces En IR
Enrique Pérez
INDUSTRIA VIRTUAL 2020
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Introducción
En este apartado, se definirán los conceptos de error y tolerancia de orden épsilon. Esto se realiza con el
objetivo de tener un criterio de detención de un algoritmo numérico que se use para aproximar un
problema de raíces no-lineal.
Inicialmente se explicita el teorema del valor intermedio, que es la base del método de bisección y, a su
vez, permite encajonar la raíz que se quiere aproximar. Como la eficiencia es muy importante, también se
definen los métodos de punto fijo y, en particular, el método de Newton-Raphson.
Asimismo, se comenta un resultado importante respecto de la convergencia de los métodos numéricos que
se generen para aproximar una raíz. Finalmente se explicitan dos métodos de punto fijo que son históricos.
Desarrollo
Definición:
Lim n→∞ x n = x ⇔ ∀ε > 0 ⇒ ∃n0 ∈ IN tal que∀n > n0 ⇒ x − x n < ε
En el curso será muy importante caracterizar un criterio adecuado para detener un algoritmo numérico.
La definición teórica explicita que debemos tener:
x − xn < ε
En palabras, la condición que se exige es error arbitrariamente pequeño.
Definición: si se dispone de una sucesión
i) Error Absoluto
{xn } que converge a un límite x. Entonces se tiene:
E A = x − xn
ER =
ii) Error Relativo, si la solución es no nula
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EA
x
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iii) Error Porcentual, si la solución es no-nula E P = E R * 100%
Se puede observar que, para poder estimar cualquiera de las versiones del error cometido en un proceso
iterativo, se debe conocer el valor del límite x. Este corresponde al objetivo del proceso numérico.
Se debe buscar una estimación del error absoluto cometido en una aproximación numérica, pero que
utilice datos obtenidos en el proceso mismo.
Definición: tolerancia de orden épsilon en la n-ésima iteración
Tol (ε ) : x n −1 − x n < ε
Problema central: aproximar numéricamente el problema f(x)=0
Este problema depende, claramente, de la complejidad de la función f(x). Mencionaremos un resultado
que nos ayudará a encajonar una raíz y posteriormente a aproximar numéricamente.
Teorema del valor intermedio:
Sea f : [a, b]→ IR una función continua con derivada no nula en (a,b). Entonces si f(a)f(b)<0, existe solo
una raíz en el intervalo (a,b).
Aplicación: este resultado permite generar el método de bisección, que es el más simple de todos los
métodos numéricos.
Se elige un intervalo de inicio de pequeña longitud tal, que satisfaga el TVI y se calcula el punto medio. Se
evalúan los signos de la imagen de la función en los bordes y el punto medio. Luego se elimina la mitad
del intervalo en que el producto de las imágenes es positivo. Posteriormente se repite el proceso,
eliminando la mitad en que no está la raíz.
[
Finalmente se genera un intervalo I n = a n .bn
medio entre a n y bn caracterizado por
xn =
] que encierra la única raíz de la función f(x) y el punto
a n + bn
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es la n-ésima aproximación a la raíz.
Se deja de iterar cuando el error o la tolerancia es menor que un número pequeño conocido.
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Algoritmos de punto fijo
Definición: sea g : IR → IR una función continua. Un punto p se dice que es punto fijo de la función g(x)
si p=g(p)
Observación: si se define f(x)=x-g(x) o f(x)=g(x)-x se puede observar que si g(p)=p. Entonces, f(p)=0.
Es decir, un punto fijo de g(x) es una raíz de f(x)
Definición: los algoritmos de punto fijo generados por la función g(x) se definen por:
x n +1 = g ( x n )
Dado un problema de raíces no-lineales, siempre se puede asociar un problema de punto fijo.
Consideremos el sencillo ejemplo e
i) e
−x
−x
−x=0
= x ⇒ x n +1 = e − xn
ii) Sumando 10x a ambos lados, se tiene e
−x
+ 9 x = x ⇒ x n +1 = e − xn + 9 x n
Claramente, existen infinitas formas para generar métodos de punto fijo, la gran mayoría son divergentes.
Algunas preguntas interesantes son ¿cuál método es más eficiente? o ¿cómo generar métodos convergentes?
Teorema: sea g : [a, b]→ IR una función que satisface las siguientes 4 condiciones:
a) g(x) es continua en el intervalo [a, b]
b) Rec g(x) ⊆ [a, b]
c) La función g(x) es derivable en el intervalo abierto (a, b )
d)
∀x ∈ (a, b ) ⇒ g ʹ( x) < 1
Entonces la sucesión
{xn }∞n=0 generada por xn = g ( xn−1 ) es convergente localmente a la única raíz de la
función f ( x) = g ( x) − x
El método numérico más conocido para aproximar raíces es conocido como método de Newton- Raphson:
x n +1 = x n −
f ( xn )
f ʹ( x n )
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Se elige un punto x0 de inicio, idealmente aplicando el TVI para que se encajone la raíz por un intervalo
de pequeña longitud. Por ejemplo, consideremos el problema no-lineal e
−x
−x=0
Aplicando el TVI, se puede asegurar que existe solo una raíz en el intervalo [0,1]
i) f (0) f (1) < 0
ii) f ʹ( x) ≠ 0∀x ∈ (0,1)
¿Por qué?
f ( x) = e
−x
− x ⇒ f ʹ( x) = −e
−x
e − xn − x n
− 1 ⇒ x n +1 = x n + − xn
(e + 1) .
{ } {
}
Eligiendo x0 = 0.3 se obtiene la sucesión: x n = 0.3,0.553225,0.567108,0.567143,0.567143,.......
Es decir, con precisión de 6 decimales en la tercera iteración, se obtiene la aproximación a la raíz.
Observación: dos métodos de punto fijo con un parámetro muy conocidos son:
( ]
( )
a) Sistema dinámico logístico x n +1 = ux n (1 − x n ) u ∈ 0,4 , x0 ∈ 0,1
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b) Sistema de Mandelbrot
x n +1 = x n + µ
µ ∈ (− ∞,0.25]
Conclusión
Es importante tener en cuenta el concepto de error cometido en un proceso iterativo numérico, el que se
encuentra en la definición de convergencia de una sucesión. Sin embargo, el uso es impedido por no estar
a disposición el punto límite de la sucesión. Frente a este problema se relaja la condición de error
cometido por el de tolerancia de orden épsilon, que siempre se puede calcular, puesto que es la distancia
entre los dos últimos valores de la sucesión generada.
Ante un problema de raíces, se debe encajonar usando el teorema del valor medio; lo ideal es que esta
región sea pequeña. Esto se logra haciendo un par de iteraciones con el método de bisección, pero este
método es muy lento.
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Por lo tanto, es conveniente usar un método que sea más eficiente, por ejemplo, el de Newton-Raphson.
De esta forma se consigue generar una sucesión que converja en forma rápida a la raíz buscada del
problema no-lineal.
Este método apoyará en tareas clave a los Ingenieros e Ingenieras Industriales en formación. En consecuencia,
se sugiere desarrollar y analizar este material de manera detallada, además de ponerlo en práctica.
Bibliografía
Capítulo 2.1, pág 32-48 del libro: Nieves, A. & Domínguez, F. (2014). Métodos Numéricos aplicados a la
Ingeniería. (4ª ed.). Editorial Patria.
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