Límites: Introducción y Conceptos Fundamentales

Límites.
Dra. Elizabeth López Meléndez.
1
Límites: un enfoque informal.
Suponga que L denota un número finito. El concepto de f ( x )
que tiende a L a medida que x tiende a un número a puede
definirse informalmente de la siguiente manera.
Si f ( x ) puede hacerse arbitrariamente próximo al número L al
tomar x suficientemente cerca de, pero diferente de un número a,
por la izquierda y por la derecha de a, entonces el límite de f ( x )
cuando x tiende a a es L.
Figura 1. Límite de la función
tiende a L cuando x tiene a a,
por ambos lados.
2
Existencia o no existencia.
Por supuesto, un límite ( por un lado o por dos lados ) no tiene
por qué existir. Pero es importante no olvidar lo siguiente:
La existencia de un límite de una función f cuando x tiende a a
(desde un lado o desde ambos lados) no depende de si f está
definida en a, sino sólo de si está definida para x cerca del número a.
Figura 2. El hecho de que f
esté definida o no en a es
irrelevante con respecto a la
existencia del límite de f
cuando x tiende a a.
3
Límites por tabulación
f ( x ) = − x 2 + 2 x + 2,
x → 4−
f ( x)
x → 4+
f ( x)
3.999
−5.4100 −5.9401 −5.9940
4.01
4.1
4.001
−6.6100 −6.0601 −6.0060
lim f ( x ) = −6
x → 4−
3.99
3.9
y
lim f ( x ) = −6  lim f ( x ) = −6 = L
x → 4+
El límite si existe.
x→4
Figura 3. Gráfica de la función del ejemplo.
4
Límites por tabulación
 x2 ,
x2
f ( x) = 
 − x + 6, x  2
x → 2−
1.9
1.99
1.999
f ( x)
3.6100
3.9601
3.9960
x → 2+
2.1
2.01
2.001
f ( x)
3.9000
3.9900
3.9990
lim f ( x ) = 4
x → 2−
y
lim f ( x ) = 4  lim f ( x ) = 4 = L
x → 2+
El límite si existe.
x→4
Figura 4. Gráfica de la función del ejemplo.
5
Límites por tabulación
 x + 2,
f ( x) = 
− x + 10,
x5
x → 5−
4.9
4.99
4.999
f ( x)
6.9000
6.9900
6.9990
x → 5+
5.1
5.01
5.001
f ( x)
4.9000
4.9900
4.9990
lim f ( x ) = 7
x → 2−
y
x5
l im f ( x ) = 6 
x → 2+
El límite no existe.
Figura 5. Gráfica de la función del ejemplo.
6
Límites por tabulación
f ( x) =
1
,
x
x → 0−
−0.1
−0.01
−0.001
f ( x)
−10
−100
−1000
x → 0+
0.1
0.01
0.001
f ( x)
10
100
1000
lim− f ( x ) = −
x →0
y
lim+ f ( x ) =  
x →0
El límite no existe.
Figura 6. Gráfica de la función del ejemplo.
7
Límites trigonométricos importantes
sen ( − x )
− sen x
= f ( x) 
−x
sen x
f ( x) =
,
x
f (−x) =
x → 0+
0.1
0.01
0.001
0.0001
f ( x)
0.998334416
0.99998333
0.99999983
0.99999999
lim− f ( x ) = 1 y
x →0
1 − cos x
f ( x) =
,
x
x → 0+
f ( x)
lim− f ( x ) = 0
x →0
−x
=
sen x
= 1,
x →0
x
lim+ f ( x ) = 1  lim
x →0
f (−x) =
0.1
1 − cos ( − x )
−x
=
cos x − 1
= − f ( x) 
x
0.01
0.049958347 0.004999958
y
0.001
0.00001
0.00049999
0.00000499
1 − cos x
= 0.
x →0
x
lim+ f ( x ) = 0  lim
x →0
8
Teoremas sobre límites.
lim c = c
x→a
lim x = a
x→a
lim cf ( x ) = c lim f ( x )
x→a
x→a
lim  f ( x )  g ( x )  = lim f ( x )  lim g ( x ) = L1  L2
x→a
x→a
x→a
lim  f ( x ) g ( x )  = lim f ( x ) lim g ( x ) = L1 L2
x→a
x→a
x→a
f ( x) L
 f ( x )  lim
x→a
lim 
=
= 1 , L2  0

x→a g ( x )
g ( x ) L2

 lim
x→a
n
lim  f ( x )  = lim f ( x )  = Ln → lim x n = a n
x→a
x→a
 x→a

n
1
n
lim  n f ( x )  = n lim f ( x )  = L → lim x = a
x→a 

x→a
 x→a

n
1
n
9
lim 5 x = 5 lim x = 5 ( 8 ) = 40,
x →8
x →8
lim (10 x + 7 ) = 10 lim x + lim 7 = 10 ( 5 ) + 7 = 57,
x →5
x →5
x →5
3
−2
 3 5 
 1  626
3
−2




lim  x + 2  = lim x + 5 lim x = lim x + 5 lim x = 125 + 5   =
= 125.2,
x →5
x
→
5
x
→
5
x
→
5




x
→
5
5
x 

 25 
(
)
2
lim x − 5 x + 6 = lim x  − 5 lim x + lim 6 = 9 − 5 ( 3) + 6 = 0,
x →3
x →3
 x →3 
x →3
2
lim ( 3 x − 1)
10
x →1
10
10




= 3 lim x − lim 1 = 3 (1) − 1 = 210 = 1024,
x →3 
 x →1
10
lim 3 x − 4
3 lim x − lim 4
3 ( −1) − 4
3x − 4
7
x →−1
x →−1
x →−1
lim 2
=
=
=
=
−
,
2
2
2
x →−1 8 x + 2 x − 2
4
lim 8 x + 2 x − 2 8  lim x  + 2 lim x − lim 2 8 ( −1) + 2 ( −1) − 2
x →−1
x →−1
x →−1
 x →−1 
lim x − lim 1
x −1
1−1
0
x →1
x →1
lim 2
=
=
=
 Indefinido, 
2
x →1 x + x − 2
lim x  + lim x − lim 2 1 + 1 − 2 0
x →1
x →1
 x →1 
lim 1
x −1
x −1
1
1
1
x →1
lim 2
= lim
= lim
=
=
= ,
x →1 x + x − 2
x →1 ( x + 2 )( x − 1)
x →1 x + 2
lim x + lim 2 1 + 2 3
x →1
x →1
2
x − lim 5 5 − 5 0
( x − 5)
x 2 − 10 x + 25
x − 5 lim
x →5
x →5
lim 2
= lim
= lim
=
=
= = 0,
x →5 x − 4 x − 5
x → 5 ( x − 5 )( x + 1)
x →5 x + 1
lim x + lim 1 5 + 1 6
x →5
x →5
11
1
 lim x  3
lim
x
−
x − x x →−8
−8 − 3 −8
−6
x →−8 

lim
=
=
=
= 1,
x → −8 2 x + 10
2 lim x + lim 10
2 ( −8 ) + 10 −6
3
x → −8
x → −8
1


 x2 + 4 − 2   x2 + 4 + 2 
x2 + 4 − 2
x2 + 4 − 4

lim
= lim 
= lim
 = lim
2
2
2
x →0
x
→
0
x
→
0
x →0 2


2
2
x
x
x
x +4+2
x

  x + 4 + 2 


lim 1
1
1
1
x →0
= lim
=
=
= ,
x →0
x2 + 4 + 2
lim x 2 + 4 + lim 2 2 + 2 4
(
x →0
)
x2
(
x2 + 4 + 2
)
x →0
 t −1   t +1 
t −1
t −1
1
lim
= lim 
= lim
= lim
=




t →1 t − 1
t →1  t − 1  
t →1
t →1
t +1
( t − 1) t + 1

 t +1
(
)
lim 1
t →1
lim t + lim 1
t →1
t →1
=
1
1
= ,
1+1 2
12
1
1
10 x − 3 sen x
x
sen x
sen x
= 10 lim − 3 lim
= 10 lim 1 − 3 lim
= 10 − 3 (1) = 7,
x →0
x
→
0
x
→
0
x
→
0
x
→
0
x
x
x
x
lim
1


sen 2 x
2 cos x sen x
cos x sen x
sen x 

lim
= lim
= 2 lim
= 2 lim cos x  lim
= 2 (1)(1) = 2,

x →0
x
→
0
x
→
0
x
→
0
x
→
0
x
x
x
x 



(
)
1


tan x
sen x cos x 
1 
sen x 
lim
= lim
=  lim
lim
= (1)(1) = 1,



x →0
x
→
0
x
→
0
x
→
0
x
x
cos x  
x 



1


sen kx
sen t
k
sen t 


lim
= lim
= lim  sen t  = k  lim
 = k,
x →0
t →0 t k
t →0
t →0
x
t
t






13
1



lim 1
sen ( x − 1)
sen ( x − 1)
 1  
sen t  
1
1
1
x →1
lim 2
= lim
= lim 
lim
=
lim
=
=
=
,




x →1 x + 2 x − 3
x →1 ( x − 1)( x + 3 )
x →1
t
→
0
x
→
1
t 
x + 3 lim x + lim 3 1 + 3 4
 x + 3  
x →1
x →1



 1 − cos x   1 + cos x  
1 − cos x
1 − cos 2 x
sen 2 x
lim
= lim 
= lim
= lim




x →0
x
→
0
x
→
0
x
x
x (1 + cos x ) x → 0 x (1 + cos x )
  1 + cos x  

1


lim sen x
sen x  
sen x 
0

x →0
=  lim
lim
=
=
= 0,



x →0
x
→
0
x 
1 + cos x  lim 1 + cos x 2

x →0


2 sen 4 x + 1 − cos x
sen 4 x
1 − cos x
= 2 lim
+ lim
= 2 ( 4 ) + 0 = 8,
x →0
x
→
0
x
→
0
x
x
x
lim
( cos x − sen x )( cos x + sen x ) 1 1
cos 2 x
cos 2 x − sen 2 x
lim
= lim
= lim
=
+
= 2,
 cos x − sen x
 cos x − sen x

cos x − sen x
x→
x→
x→
2
2
4
4
4
14
Límites infinitos.
El límite de una función f no existe cuando x tiende a un número a siempre que los valores de la función
crecen o decrecen sin límite. El hecho de que los valores de la función f crecen sin límite cuando x
tiende a a se expresa simbólicamente por,
f ( x ) →  cuando x → a o bien , lim f ( x ) = 
x→a
Si los valores de la función decrecen sin límite cuando x tiende a a, se escribe
f ( x ) → − cuando x → a o bien , lim f ( x ) = −
x→a
Figura 7. Cinco tipos de límites infinitos.
15
lim+
x →−2
x
x+2

x → −2+
−1.9
−1.99
−1.999
−1.9999
f ( x)
−6.01
−19.90
−63.21
−199.90
→ lim+
x →−2
x
x+2
= −,
Figura 8. Gráfica de la función del ejemplo.
16
4
lim−

2− x
x →−
x → − −
0
−20
−2000
−2000000
f ( x)
2.8284
0.8528
0.0894
0.0089
→ lim−
x →−
lim−
x→2
4
2− x
4
2− x
= 0,

x → 2−
1.9
1.99
1.999
1.9999
f ( x)
12.6491
40
126.49111
400
→ lim−
x→2
4
2− x
= ,

x → a , , − 
L


,L0
L
L
,L0
0
el límite es:
0


forma límite:
Figura 9. Gráfica de la función del ejemplo.
17
 −6 x 4 + x 2 + 1   x −4 
− 6x4 + x2 + 1
−6 + x −2 + x −4 −6 + 0 + 0
lim
= lim 
=
= −3,
  −4  = lim
4
4
−3
x →
x
→
x
→
2+0
2x − x
2− x
 2x − x   x 
 1 − x 3   x −1 
1 − x3
x −1 − x 2 0 − 
lim
= lim 
=
= −,
  −1  = lim
x → 3x + 2
x → 3 x + 2
x → 3 + 2 x −1
3
+
0
x



 x 2   x −2 
x2
1
1
lim
=
lim
=
lim
=
= −1,

  −2  x → −2
x → 1 − x 2
x → 1 − x 2
x −1 0 −1

 x 
−1


−2 

x




(
)
5x
5x
x
5x
5
5

 = lim


lim
= lim 
=
lim
=
= 5,



  −2  x →  2

2
2
−2 
−2
x →
x →
x →
1+ 0
x +4
1 + 4x
 x + 4  x 
 x + 4  x 
lim
x →−

= lim 
x 2 + 4 x → 
5x
−1

−2 

x
 5x  ( ) 
5x  x
−5
−5




=
li
m
=
lim
=
= −5,
  −2  x →  2

2
−
2
−
2
x
→
1+ 0
x + 4  x 
1 + 4x
 x + 4   x 
18
 x2 + x4 + 7 x2 + 1 
x4 − x4 − 7 x2 − 1
 = lim
lim x − x + 7 x + 1 = lim x − x + 7 x + 1 
x →
x →
 x 2 + x 4 + 7 x 2 + 1  x → x 2 + x 4 + 7 x 2 + 1


(
2
4
2
)
(
2
4
2
)

  x −2 
7 x2 + 1
7 + x −2
7+0
7
= − lim 
=
−
l
im
=
−
=
−
,



  −4 
2
4
2
−2
−4
x →
x →
2
1+ 1+ 0 + 0
1+ 1+ 7x + x
 x + x + 7x +1  x 
lim 6
6
6
x →
lim
=
=
= 6,
−x
x → 1 + e − x
1+ 0
lim 1 + lim e
x →
x →
lim 6
6
6
x →−
lim
=
=
= 0,
−x
x → − 1 + e − x
1+ 
lim 1 + lim e
x →−
x →−
Figura 10. Gráficas de las funciones del ejemplo y de la función exponencial.
19
Límites un enfoque formal.
Suponga que una función f está definida en todas partes sobre un intervalo abierto, excepto quizás
en un número a en el intervalo. Entonces
lim f ( x ) = L
x→a
Significa que para todo   0, existe un número   0 tal que
f ( x ) − L   siempre que 0  x - a  
Figura 11. 𝑓 está en 𝐿 − 𝜀, 𝐿 + 𝜀 siempre que 𝑥 esté en 𝑎 − 𝛿, 𝑎 + 𝛿 , 𝑥 ≠ 𝑎 .
20
Demuestre que lim 5 x + 2 = 17
x →3
5 x + 2 − 17
siempre que 0< x − 3 < entonces
5 x − 15 = 5 ( x − 3) = 5 x − 3 → 5 x + 2 − 17 = 5 x − 3    0< x − 3 <

5
 =

5
,
16 − x 2
Demuestre que lim
=8
x →−4 4 + x
16 − x 2
− 8 siempre que 0< x + 4 < entonces
4+ x
( 4 + x )( 4 − x )
4+ x
− 8 = 4 − x − 8 = − x − 4 = x + 4 → x + 4    0< x + 4 <   =  ,
(
)
Demuestre que lim − x 2 + 2 x + 2 = −6
x→4
− x2 + 2x + 2 + 6
siempre que 0< x − 4 < entonces
− x 2 + 2 x + 8 = x 2 − 2 x − 8 = ( x + 2 )( x − 4 ) = x + 2 x − 4 → x + 2 x + 4  
Se propone algún valor cercano de x alrededor de 4, entonces x + 4  1 → 3  x  5 →
5 x+27 
x+2 7  7 x+4  → x+4 

7
  =

7
,
21
“Estudia el pasado si quieres intuir el futuro”
Confucio
(551 a.C – 479 a.C, Lu), Filósofo, profesor y escritor
22