Dinámica: Potencia, Impacto y Principio de Impulso

Trabajo de dinámica de potencia,
impacto y principio de impulso.
Elaborado por:
Br. Fredd Antonio
Dávila Osorio
Carnet: 23-20019SU
Tutor:
Br. Mynor José
Cano Ríos
Carnet: 23-20013SU
Fecha de realización: 27 de marzo del 2025
Fecha de entrega: 04 de mayo de 2025
Managua, Nicaragua
Br. Louis Humberto
Calero Quiroz
Carnet: 23-20012SU
Ing. Juan Carlos Lara
Área de conocimiento
Arquitectura y
construcción
I.
Potencia y eficiencia
Potencia: es el trabajo, o transferencia de energía, realizado por unidad de tiempo. El
trabajo es igual a la fuerza aplicada para mover un objeto multiplicada por la distancia a la que el
objeto se desplaza en la dirección de la fuerza. La potencia mide la rapidez con que se realiza ese
trabajo. En términos matemáticos, la potencia es igual al trabajo realizado dividido entre el
intervalo de tiempo a lo largo del cual se efectúa dicho trabajo.
Eficiencia: es la calidad con la que una máquina realiza su trabajo: los sistemas mecánicos
siempre operan con pérdidas debido a la fricción. Es decir, el trabajo útil realizado por una máquina
siempre es menor que el trabajo total realizado por esa máquina.
Fórmulas principales:
➢ Potencia promedio:
𝑝𝑝𝑟𝑜𝑚𝑒𝑑𝑖𝑜 =
𝑊
Δ𝑡
Donde:
𝑃 = 𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎𝑐(𝑊) (ℎ𝑝)(𝑓𝑡 ∗ 𝑙𝑏/𝑠)
𝑊 = 𝑡𝑟𝑎𝑏𝑎𝑗𝑜 (𝐽) (𝑓𝑡 ∗ 𝑙𝑏) (𝑖𝑛 ∗ 𝑙𝑏)
Δ𝑡 = 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑣𝑎𝑙𝑜 𝑑𝑒 𝑡𝑖𝑒𝑚𝑝𝑜 (𝑠)
La potencia es la cantidad de trabajo realizado o energía transferida por unidad de tiempo.
➢ Potencia instantánea:
𝑃 = 𝐹⃗ ∗ 𝑣⃗
Donde:
𝐹⃗ : 𝑓𝑢𝑒𝑟𝑧𝑎 (𝑁)
𝑣⃗: 𝑣𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑 (𝑚/𝑠)
La potencia instantánea es el producto escalar entre fuerza y velocidad.
2
Área de conocimiento
Arquitectura y
construcción
➢ Eficiencia
La eficiencia es una medida de qué tan efectivamente un sistema convierte energía
suministrada en trabajo útil.
𝑇𝑟𝑎𝑏𝑎𝑗𝑜 ú𝑡𝑖𝑙 𝑜 𝑠𝑎𝑙𝑖𝑑𝑎 𝑑𝑒 𝑒𝑛𝑒𝑟𝑔í𝑎
) ∗ 100
𝐸𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 (%) = (
𝐸𝑛𝑒𝑟𝑔í𝑎 𝑑𝑒 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑑𝑎 𝑜 𝑠𝑢𝑚𝑖𝑛𝑖𝑠𝑡𝑟𝑜
Interpretación:
•
Una eficiencia del 100% es ideal (sin pérdidas), pero en el mundo real siempre hay pérdidas
(por fricción, calor, ruido, etc.).
•
Cuanta mayor sea la eficiencia, menos energía se desperdicia.
Unidades:
•
Se expresa en porcentaje (%) o como un valor decimal.
Ejercicios propuestos:
1. El montacargas D y su carga tienen un peso combinado de 600lb,
en tanto que el contrapeso C pesa 800lb. Determine la potencia
entregada por el motor eléctrico M cuando el montacargas. a) Se
mueve a una rapidez constante de 𝟖𝒇𝒕/𝒔. b) Tiene una velocidad
instantánea de 𝟖𝒇𝒕/𝒔 y una aceleración de 𝟐. 𝟓𝒇𝒕/𝒔𝟐 , ambas
dirigidas hacia arriba
a) Movimiento uniforme (velocidad constante de 8𝒇𝒕/𝒔)
Como la velocidad es constante, la aceleración es 0, así que aplicamos equilibrio
estático (segunda ley de Newton con aceleración cero: ∑𝐹 = 0).
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Área de conocimiento
Arquitectura y
construcción
•
Cuerpo libre del contrapeso C:
La masa C está colgada por una cuerda que
pasa por una polea fija, pero esta cuerda está
conectada a 2 segmentos de cuerda (es decir, el
peso de C está equilibrado por 2 tensiones hacia
arriba).
Entonces:
∑ 𝐹𝑦 = 0
2𝑇 − 𝑊 = 0 → 𝑇 =
𝑊
800𝑙𝑏
→𝑇=
= 400𝑙𝑏
2
2
𝑇 = 400𝑙𝑏
•
Cuerpo libre del contrapeso D:
Este cuerpo está sujeto a una cuerda que genera una
sola tensión hacia arriba (T), y es ayudado por el motor (que
aplica una fuerza F). Su peso es 600 lb.
∑ 𝐹𝑦 = 0
400𝑙𝑏 − 600𝑙𝑏 + 𝐹 = 0 → 𝐹 = 600𝑙𝑏 − 400𝑙𝑏
𝐹 = 200𝑙𝑏
•
Potencia entregada por el motor:
Ya que el motor mueve la cuerda con velocidad constante de 8 ft/s, y ejerce una fuerza de 200 lb:
𝑃 = 𝐹 ∗ 𝑣 = 200𝑙𝑏 ∗ 8𝑓𝑡/𝑠 = 1600 𝑙𝑏 ∗ 𝑓𝑡/𝑠
• Convertimos a caballos de fuerza (hp):
𝑃 = 1600 𝑙𝑏 ∗ 𝑓𝑡/𝑠 (
1ℎ𝑝
) = 2.91ℎ𝑝
550 𝑙𝑏 ∗ 𝑓𝑡/𝑠
4
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Arquitectura y
construcción
b) Movimiento con aceleración de 𝟐. 𝟓𝒇𝒕/𝒔𝟐 hacia arriba.
Ahora hay aceleración, así que aplicamos la segunda ley de Newton dinámica: ∑ 𝐹 = 𝑚𝑎
Nota:
•
El montacarga D, sube con 𝑎𝐷 = 2.5𝑓𝑡/𝑠 2
•
El contrapeso C, por la geometría del sistema de poleas, baja con aceleración:
1
𝑎𝐶 = − 𝑎𝐷 = −1.25𝑓𝑡/𝑠 2
2
Esto se debe a que el bloque D está colgado de una polea móvil: si sube 1 ft, la cuerda en
ambos lados de esa polea debe acortarse 1 ft en total (0.5 ft de cada lado), lo cual obliga a que el
otro extremo (C) se mueva el doble. Es decir:
1
𝑎𝐶 = − 𝑎𝐷
2
•
Aplicamos la segunda ley de newton en el cuerpo C:
↓ ∑ 𝐹 = 𝑚𝑎
Se define el eje positivo hacia abajo porque es la dirección
que toma la aceleración:
800𝑙𝑏 − 2𝑇 =
800𝑙𝑏
∗ 1.25𝑓𝑡/𝑠 2
32.2𝑓𝑡/𝑠 2
−2𝑇 = 31.05𝑙𝑏 − 800𝑙𝑏
𝑇=
−768.95
= 384.5𝑙𝑏
−2
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Área de conocimiento
Arquitectura y
construcción
•
Aplicamos la segunda ley de newton en el cuerpo C:
↑ ∑ 𝑭 = 𝒎𝒂
T + F − 600lb =
600𝑙𝑏
∗ 2.5𝑓𝑡/𝑠 2
32.2𝑓𝑡/𝑠 2
384.5𝑙𝑏 + 𝐹 − 600𝑙𝑏 = 46.6𝑙𝑏
𝐹 = 46.6𝑙𝑏 + 600𝑙𝑏 − 384.5𝑙𝑏
𝐹 = 262.1𝑙𝑏
•
Calculamos la potencia:
𝑃 = 𝐹 ∗ 𝑣 → 𝑃 = 262.1𝑙𝑏 ∗ 8𝑓𝑡/𝑠
𝑃 = 2096.8𝑙𝑏 ∗ 𝑓𝑡/𝑠
Lo pasamos a caballos de fuerza:
1ℎ𝑝
)
𝑃 = 2096.8𝑙𝑏 ∗ 𝑓𝑡/𝑠 (
550𝑙𝑏 ∗ 𝑓𝑡/𝑠
𝑃 = 3.81ℎ𝑝
2. Estime la potencia mínima para levantar una masa de 𝟓𝟎𝒌𝒈
hacia arriba, a una distancia de 𝟏𝟐𝒎 en un tiempo de 𝟓𝒔.
𝐸𝑃 = 𝑚 ∗ 𝑔 ∗ ℎ
𝐸𝑃 = (50𝑘𝑔)(9.81𝑚/𝑠 2 )(12𝑚)
𝐸𝑃 = 6000𝐽
𝑤
𝑃 = 𝑡 , 𝑤 = 𝐸𝑃
𝑃=
𝐸𝑃 6000𝐽
=
= 1200𝑊
𝑡
5𝑠
𝑃 = 1.2𝐾𝑊
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Área de conocimiento
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3. Si el motor enrolla el cable a una rapidez constante de 𝒗 = 𝟑 𝒑𝒊𝒆𝒔/𝒔,
determine la potencia suministrada al motor. La carga pesa 𝟏𝟎𝟎𝒍𝒃 y
la eficiencia del motor es 𝜼 = 𝟎. 𝟖. Ignore la masa de las poleas.
Solución
•
cuerpo libre del contra peso A:
↑ ∑ 𝐹𝑦 = 0
𝑇1 − 100𝑙𝑏 = 0
𝑇1 = 100𝑙𝑏
•
cuerpo libre del contra peso E:
↑ ∑ 𝐹𝑦 = 0
2𝑇1 − 𝑇2 = 0
2(100𝑙𝑏) = 𝑇2
𝑇2 = 200𝑙𝑏
•
Calculamos la potencia de salida:
𝑃𝑠𝑎𝑙 = 𝑇𝐵 ∗ 𝑣𝐵 = (200𝑙𝑏)(3𝑝𝑖𝑒𝑠/𝑠) = 600𝑙𝑏 ∗ 𝑝𝑖𝑒𝑠/𝑠
•
Lo transformamos a caballos de fuerzas
𝑃𝑠𝑎𝑙 = 600𝑙𝑏 ∗ 𝑓𝑡/𝑠 (
•
1ℎ𝑝
) = 1.091ℎ𝑝
550𝑙𝑏 ∗ 𝑓𝑡/𝑠
Utilizando la ecuación de eficiencia calculamos la potencia de entrada
𝜂=
𝑃𝑠𝑎𝑙
𝑃𝑠𝑎𝑙
→ 𝑃𝑒𝑛𝑡 =
𝑷𝒆𝒏𝒕
𝜂
𝑃𝑒𝑛𝑡 =
1.091ℎ𝑝
= 1.38ℎ𝑝
0.8
𝑃𝑒𝑛𝑡 = 1.38ℎ𝑝
7
Área de conocimiento
Arquitectura y
construcción
II.
•
Principio de impulso y cantidad de movimiento
Impulso:
Impulso (I), es el efecto producido por una fuerza que se aplica sobre un cuerpo, durante
un intervalo de tiempo. Este concepto es importante en el estudio del movimiento de cuerpos
sujetos a fuerzas grandes que actúan durante intervalos de tiempo muy cortos. Por ejemplo, en
las explosiones y en las colisiones.
El impulso es una cantidad vectorial y tiene la misma dirección y sentido de la fuerza
aplicada. Para una fuerza constante, el impulso es proporcional al intervalo de tiempo (Δt), en
que actúa dicha fuerza. La expresión matemática o fórmula para el impulso es:
𝐼 = 𝐹 ∗ Δ𝑡
𝐼 = 𝑖𝑚𝑝𝑢𝑙𝑠𝑜 (𝑁 ∗ 𝑆 ó 𝑘𝑔 ∗ 𝑚/𝑠)
𝐹 = 𝐹𝑢𝑒𝑟𝑧𝑎 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 (𝑁)
Δ𝑡 = 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑣𝑎𝑙𝑜 𝑑𝑒 𝑡𝑖𝑒𝑚𝑝𝑜 (𝑠)
La unidad usada para el impulso, en el sistema internacional, es Newton por segundo
(N·s).
•
Cantidad de movimiento:
Este concepto fue descrito por Galileo. La cantidad de movimiento, también se conoce
como ímpetu, momentum o momento lineal. La cantidad de movimiento de un cuerpo de masa
m, es proporcional a su velocidad. La fórmula de la cantidad de movimiento (q) es:
𝑞 =𝑚∗𝑣
𝑞 = 𝑐𝑎𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒 𝑚𝑜𝑣𝑖𝑚𝑖𝑒𝑛𝑡𝑜 (𝑘𝑔 ∗ 𝑚/𝑠)
𝑚 = 𝑚𝑎𝑠𝑎 (𝑘𝑔)
𝑣 = 𝑣𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑 (𝑚/𝑠)
Por lo tanto, sus unidades son Kg·m/s (kilogramo por metro sobre segundo).
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Arquitectura y
construcción
• Relación entre impulso y cantidad de movimiento
El impulso se puede definir, también, como la variación en la cantidad de movimiento de
un cuerpo.
𝐼 = Δ𝑞
Para llegar a esta expresión, se tienen en cuenta los siguientes aspectos:
Primero, la fórmula de fuerza (de acuerdo con la segunda ley de Newton)
𝐹 =𝑚∗𝑎
Se puede escribir como:
𝐹=𝑚
Δ𝑣
Δ𝑡
Porque la aceleración es la variación de la velocidad con respecto al tiempo.
En consecuencia, el impulso:
𝐼 = 𝐹 ∗ Δ𝑡
Se puede representar como:
𝐼=𝑚
Δ𝑣
∗ 𝑡
Δ𝑡
Además, al cancelar Δt, se obtiene que
𝐼 = 𝑚 ∗ Δ𝑉
Pero, Δv es la diferencia entre la velocidad final e inicial (v2-v1). Por lo tanto, la
expresión anterior se puede reescribir de la siguiente manera:
𝐼 = 𝑚(𝑣2 − 𝑣1 )
Sin embargo, como la cantidad de movimiento es (𝑞 = 𝑚𝑣), entonces, (𝑞1 = 𝑚𝑣1) y
(𝑞2 = 𝑚𝑣2). Además, (𝛥𝑞 = 𝑞2 − 𝑞1). En conclusión, la fórmula de impulso puede escribirse
de otras dos formas:
𝐼 = 𝑞2 − 𝑞1
O bien:
𝐼 = Δ𝑞
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Ejercicios:
1) Un objeto de 𝟓𝟎𝒌𝒈 le aplica yna fuerza de 𝟐𝟎𝑵 durante 𝟓𝒔 a otro objeto de
𝟑𝟐𝒌𝒈.¿Cuál es la velocidad del primer objeto y el segundo luego de aplicar la fuerza?
Datos:
𝑚1 = 50𝑘𝑔
𝑚2 = 32𝑘𝑔
𝐹 = 20𝑁
𝑡 = 5𝑠
Solución:
Impulso:
𝐼 = 𝐹 ∗ Δ𝑡
𝐼 = (20𝑁)(5𝑠) = 100𝑘𝑔 ∗ 𝑚/𝑠
Encontramos la velocidad para 𝑣1 :
𝐼 = 𝑚1 ∗ 𝑣1 → 𝑣1 =
𝑣1 =
𝐼
𝑚1
100𝑘𝑔 ∗ 𝑚/𝑠
= 2𝑚/𝑠
50𝑘𝑔
𝑣1 = 2𝑚/𝑠
Encontramos la velocidad para 𝑣2 :
𝑣2 =
𝐼
100𝑘𝑔 ∗ 𝑚/𝑠
=
= 3.125𝑚/𝑠
𝑚2
32𝑘𝑔
𝑣2 = 3.125𝑚/𝑠
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Arquitectura y
construcción
2) En el embalaje de 𝟓𝟎𝒍𝒃 de peso actúa una fuerza de magnitud variable 𝑷 = 𝟐𝟎𝒕,
donde 𝒕 está en segundos. Determine la velocidad del embalaje 𝟐𝒔 después de que se
aplica 𝒑. La velocidad inicial es de 𝑽𝟎 = 𝟑 𝒑𝒊𝒆𝒔/𝒔, hacia abajo del plano y el
coeficiente de fricción cinética entre el embalaje y el plano es𝝁𝒌 = 𝟎. 𝟑
Solución:
Primero aplicamos el principio de impulso en el eje x e y:
𝑡2
𝑚(𝑉𝑥 )1 + ∑ ∫ 𝐹𝑥 𝑑𝑡 = 𝑚(𝑉𝑥 )2
𝑡1
𝑡2
𝑚(𝑉𝑦 )1 + ∑ ∫ 𝐹𝑦 𝑑𝑡 = 𝑚(𝑉𝑦 )2
𝑡1
Resolviendo la integral en el eje “y” queda:
𝑡
𝑚(𝑉𝑦 )1 + ∑ 𝐹𝑦 𝑡|𝑡21 = 𝑚(𝑉𝑦 )2
𝑚(𝑉𝑦 )1 + ∑ 𝐹𝑦 Δ𝑡 = 𝑚(𝑉𝑦 )2
Como la velocidad en el eje “y” del embalaje no se mueve queda:
∑ 𝐹𝑦 Δ𝑡 = 0
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Arquitectura y
construcción
𝑁 − (50 cos(30°) 𝑙𝑏)(2𝑠) = 0
Despejamos para obtener la normal:
(𝑁 − 43.30𝑙𝑏)(2𝑠) = 0
𝑁 = 43.30𝑙𝑏
Ahora analizamos el eje “x”:
𝑓𝑟 = 𝜇𝑘 ∗ 𝑁 = 0.3 ∗ 43.30𝑙𝑏 = 12.99𝑙𝑏
Ahora con esta información comenzamos a desarrollar el principio de impulso y
cantidad de movimiento para el eje “x”
Ye tenemos la masa y la velocidad, sustituimos:
𝑡2
𝑚(𝑉𝑥 )1 + ∑ ∫ 𝐹𝑥 𝑑𝑡 = 𝑚(𝑉𝑥 )2
𝑡1
Se toma positivo todas las fuerzas que vayan en el sentido de la velocidad.
𝑡2
50𝑙𝑏
50𝑙𝑏
(3𝑝𝑖𝑒/𝑠)
(
)
) (𝑣𝑥 )2
+
∫
(𝑝 + 50𝑠𝑒𝑛(30)𝑙𝑏 − 𝐹𝑟 ) 𝑑𝑡 = (
2
32.2𝑝𝑖𝑒/𝑠
32.2𝑝𝑖𝑒/𝑠 2
𝑡1
2𝑠
50𝑙𝑏
50𝑙𝑏
(20𝑡 + 50𝑠𝑒𝑛(30°)𝑙𝑏 − 12.99𝑙𝑏) 𝑑𝑡 = (
(
)
) (𝑣𝑥 )2
(3𝑝𝑖𝑒𝑠/𝑠)
+
∫
2
32.2𝑝𝑖𝑒/𝑠
32.2𝑝𝑖𝑒/𝑠 2
0
2𝑠
2𝑠
𝑙𝑏
4.658 + ∫ 20𝑡 ∗ 𝑑𝑡 + ∫ 12.01𝑙𝑏 ∗ 𝑑𝑡 = 1.553𝑙𝑏 ∗ 𝑝𝑖𝑒/𝑠 2 (𝑣𝑥 )2
𝑠
0
0
4.658
𝑙𝑏
2𝑠
2
+ 10𝑡 2 |2𝑠
0 + 12.1𝑙𝑏 𝑡|0 = 1.533 𝑙𝑏 ∗ 𝑝𝑖𝑒/𝑠 (𝑣𝑥 )2
𝑠
4.658𝑙𝑏/𝑠 + 10((2𝑠)2 − (0𝑠)2 ) + 12.01𝑙𝑏(2𝑠 − 0𝑠) = 1.533𝑙𝑏 ∗ 𝑝𝑖𝑒/𝑠 2 (𝑣𝑥 )2
(𝑣𝑥 )2 = 44.23𝑝𝑖𝑒/𝑠
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Arquitectura y
construcción
3) Un camión de 𝟐𝟓𝟎𝟎𝒌𝒈 que viaja a 𝟒𝟎𝒌𝒎/𝒉 golpea una pared de ladrillo y se
detiene en 𝟎. 𝟐𝒔. a) ¿Cuál es el cambio en su cantidad de movimiento? b) ¿Cuál
es la fuerza media sobre la pared durante el choque?
a)
⃗⃗)
Δ𝑃⃗⃗ = 𝑚(Δ𝑉
Δ𝑃⃗⃗ = 2500𝑘𝑔(𝑣 − 𝑣0 )
Δ𝑃⃗⃗ = 2500𝑘𝑔(−40𝑘𝑚/ℎ)
𝑘𝑚
𝑚
Pasamos lo ℎ a 𝑠
40𝑘
𝑚
𝑚
= 11.112
ℎ
𝑠
Δ𝑃⃗⃗ = 2500𝑘𝑔(−11.112𝑚/𝑠)
Δ𝑃⃗⃗ = −27,777.778 𝑘𝑔
𝑚
𝑠
b) 𝐼(impulso)= Δ𝑃⃗⃗(𝑐𝑎𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒 𝑚𝑜𝑣𝑖𝑚𝑖𝑒𝑛𝑡𝑜)
𝐼 = −27,777.778𝑘𝑔
𝐹𝑚𝑒𝑑𝑖𝑎 Δ𝑡 = −
𝑚
𝑠
27,777.778𝑘𝑔 ∗ 𝑚/𝑠
0.2𝑠
𝑚
𝐹 = −13,888.89𝑘𝑔 2
𝑠
𝐹 = −138.9𝑘𝑁
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Arquitectura y
construcción
III.
Impacto
El impacto ocurre cuando dos cuerpos chocan entre
sí durante un periodo corto, lo que hace que se ejerzan
fuerzas (impulsadoras) relativamente grandes entre dos
cuerpos. Existen dos tipos de impacto, el central que ocurre
cuando la dirección del movimiento de los centros de masa
de las dos partículas va a lo largo de una línea que pasa a
través de los centros de masa de las partículas. Esta línea se
llama línea de impacto y es perpendicular al plano de
contacto: y el impacto oblicuo se da cuando el movimiento
de una o de las dos partículas forma un ángulo con la línea
de impacto.
Las partículas tienen los momentos iniciales que
se muestran en la figura. Siempre que (𝑉𝐴 )1 > (𝑉𝐵 )1,
eventualmente ocurrirá la colisión
Durante la colisión de las partículas deben considerarse
como deformables. Las partículas experimentaran un periodo
de deformación de modo que ejercen un impulso de
deformación igual o opuesto, ∫ 𝑃𝑑𝑡 entre sí.
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Área de conocimiento
Arquitectura y
construcción
Solo en el instante de deformación máxima ambas partículas
se desplazarán con una velocidad constante “V”, puesto que su
movimiento relativo es cero.
Después de un periodo de restitución, las
partículas recuperarán su forma original o permanecerán
permanentemente deformadas. El impulso de restitución
∫ 𝑅𝑑𝑡 igual pero opuesta separa las partículas.
Las propiedades físicas de cualquira de los dos cuerpos son tales que el impulso de
deformación siempre será mayor que el de restitución, es decir ∫ 𝑃𝑑𝑡 > ∫ 𝑅𝑑𝑡.
Justo después de la separación las partículas tendran las
cantidades de movimiento mostradas en la figura, donde (𝑉𝐵 )2 >
(𝑉𝐴 )2.
En la mayoria de los problemas las velocidades iniciales de las particulas seran
conocidadas, y será necesario determinar sus velocidades finales (𝑉𝐴 )2 𝑦 (𝑉𝐵 )2. A este respecto,
la cantidad de movimiento del sistema de particulas se conserva puesto que durante la colisión los
impulsos internos de deformacion y restitución se cancelan.
Ecuaciones:
Conservación de la cantidad de movimiento (momentum)
𝑚𝐴 (𝑉𝐴 )1 + 𝑚𝐵 (𝑉𝐵 )1 = 𝑚𝐴 (𝑉𝐴 )2 + 𝑚𝐵 (𝑉𝐵 )2
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Área de conocimiento
Arquitectura y
construcción
Donde:
𝑚𝐴 , 𝑚𝐵 : 𝑚𝑎𝑠𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑎𝑠 𝑝𝑎𝑟𝑡𝑖𝑐𝑢𝑙𝑎𝑠.
(𝑉𝐴 )1 , (𝑉𝐵 )1 : 𝑉𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠 𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙𝑒𝑠.
(𝑉𝐴 )2 , (𝑉𝐵 )2 : 𝑉𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠 𝑑𝑒𝑠𝑝𝑢𝑒𝑠 𝑑𝑒𝑙 𝑖𝑚𝑝𝑎𝑐𝑡𝑜.
Coeficiente de restitución e:
𝒆=
(𝑽𝑩 )𝟐 − (𝑽𝑨 )𝟐
(𝑽𝑨 )𝟏 − (𝑽𝑩 )𝟏
𝑒 = 1: 𝑖𝑚𝑝𝑎𝑐𝑡𝑜 𝑝𝑒𝑟𝑓𝑒𝑐𝑡𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑒𝑙𝑎𝑠𝑡𝑖𝑐𝑜 (sin pérdida de energía cinética).
0 < 𝑒 < 1: impacto inelástico (hay perdida de energía).
𝑒 = 0 𝑖𝑚𝑝𝑎𝑐𝑡𝑜 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑙𝑒𝑡𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑖𝑛𝑒𝑙á𝑠𝑡𝑖𝑐𝑜 (𝑙𝑎𝑠 𝑝𝑎𝑟𝑡𝑖𝑐𝑢𝑙𝑎𝑠 𝑞𝑢𝑒𝑑𝑎𝑛 𝑗𝑢𝑛𝑡𝑎𝑠)
Ejercicios:
1) La bola choca contra la pared lisa a una velocidad de (𝒗𝒃 )𝟏 = 𝟐𝟎𝒎/𝒔. Si el coeficiente
de restitución entre la bola y la pared es 𝒆 = 𝟎. 𝟕𝟓, determine la velocidad de la bola
justo después del impacto.
Solución:
•
Descomponer la velocidad inicial:
(𝑉𝑏 )1 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑒𝑗𝑒 𝑥 = 20𝑚/𝑠 ∗ cos(30°) = 17.32𝑚/𝑠
(𝑉𝑏 )1 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑒𝑗𝑒 𝑦 = 20𝑚/𝑠 ∗ sen(30°) = 10m/s
•
Aplicar coeficiente de restitución:
𝒆=
(𝑽𝑩 )𝟐 − (𝑽𝑨 )𝟐
(𝑽𝑨 )𝟏 − (𝑽𝑩 )𝟏
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Área de conocimiento
Arquitectura y
construcción
Como solo nos interesa la velocidad de la pelota nos queda
𝒆=
(𝑽𝑩 )𝟐
−(𝑽𝑩 )𝟏
Sustituimos datos para el eje x:
0.75 =
(𝑽𝑩 )𝟐
−17.32𝑚/𝑠
(𝑉𝐵 )2 𝑒𝑗𝑒 𝑥 = (0.75)(−17.32𝑚/𝑠) = −12.99𝑚/𝑠
Para el eje “y” nos queda:
(𝑉𝐵 )2 𝑒𝑗𝑒 𝑦 = (𝑉𝑏 )1 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑒𝑗𝑒 𝑦 = 10m/s
Ahora calculamos la magnitud de la velocidad:
(𝑽𝑩 )𝟐 = √(−𝟏𝟐. 𝟗𝟗𝒎/𝒔)𝟐 + (𝟏𝟎𝒎/𝒔)𝟐 = 𝟏𝟔. 𝟑𝟗𝒎/𝒔
Obtenemos el ángulo:
𝟏𝟎𝒎/𝒔
𝜽 = 𝒕𝒂𝒏−𝟏 |
| = 𝟑𝟕. 𝟓𝟗°
−𝟏𝟐. 𝟗𝟗𝒎/𝒔
2) Un vagón de ferrocarril de 15 Mg que se mueve a una rapidez de 0.5 m/s hacia la
derecha choca con un vagón de 55 Mg que se encuentra en reposo. Si después del
choque se observa que el vagón de 55 Mg se mueve hacia la derecha a una rapidez de
0.3 m/s, determine el coeficiente de restitución entre los dos vagones.
Datos:
𝑚𝐴 = 15𝑀𝑔 = 15,000𝑘𝑔
17
Área de conocimiento
Arquitectura y
construcción
𝑀𝐵 = 55𝑀𝑔 = 55,000𝑘𝑔
(𝑉𝐴 )1 = 0.5𝑚/𝑠
(𝑉𝐴 )2 = −0.6𝑚/𝑠
(𝑉𝐵 )1 = 0𝑚/𝑠
(𝑉𝐵 )2 = 0.3𝑚/𝑠
Solución:
•
Primero, usamos la conservación de la cantidad de movimiento:
𝑚𝐴 (𝑉𝐴 )1 + 𝑚𝐵 (𝑉𝐵 )1 = 𝑚𝐴 (𝑉𝐴 )2 + 𝑚𝐵 (𝑉𝐵 )2
•
Sustituimos:
15,000𝑘𝑔(0.5𝑚/𝑠) + 55,000𝑘𝑔(0) = 15,000𝑘𝑔(𝑉𝐴 )2 + 55,000𝑘𝑔(0.3𝑚/𝑠)
•
Despejamos (𝑽𝑨 )𝟐:
(𝑉𝐴 )2 =
•
15,000𝑘𝑔(0.5𝑚/𝑠) − 55,000𝑘𝑔(0.3𝑚/𝑠)
15,000𝑘𝑔
= −0.6𝑚/𝑠
Ahora usamos esta velocidad para calcular el coeficiente de restitución:
𝒆=
0.3𝑚/𝑠 + 0.6𝑚/𝑠
= 1.8
0.5𝑚/𝑠 − 0𝑚/𝑠
3) Se observa que en 𝒕 = 𝟎 un vehículo espacial de 𝟐𝟎𝟎 𝒌𝒈 pasa por el origen de un
sistema de referencia newtoniano 𝑶𝒙𝒚𝒛 con velocidad 𝒗𝟎 = (𝟏𝟐𝟎 𝒎/𝒔) 𝒊̂ relativa al
sistema de referencia. Luego de la detonación de cargas explosivas, el vehículo se
separa en tres partes A, B y C, de masas respectivas iguales a 100 kg, 70 kg y 30 kg.
Si en t = 2.5 s se observa que las posiciones de las partes A y B son 𝑨(𝟓𝟓𝟓, − 𝟏𝟖𝟎, 𝟐𝟒𝟎)
y 𝑩(𝟐𝟓𝟓, 𝟎, − 𝟏𝟐𝟎), donde las coordenadas se expresan en metros, determine la
posición de la parte C en ese tiempo.
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Área de conocimiento
Arquitectura y
construcción
Datos:
𝒎𝑻 = 𝟐𝟎𝟎𝒌𝒈
𝒗𝟎 = (𝟏𝟐𝟎, 𝟎, 𝟎)𝒎/𝒔
Posición inicial del centro de masa en 𝒕 = 𝟎𝒔
𝑟⃗𝐶𝑀,0 = (0,0,0)
Posición inicial del centro de masa en 𝒕 = 𝟐. 𝟓𝒔
𝑟⃗𝐶𝑀 = 𝑟⃗𝐶𝑀,0 + 𝑣⃗0 𝑡 = (0,0,0) + (120)(2.5)𝑖̂ = (300,0,0)
Masas:
𝑚𝐴 = 100𝑘𝑔
𝑚𝐵 = 70𝑘𝑔
𝑚𝐶 = 30𝑘𝑔
Posiciones en 𝒕 = 𝟐. 𝟓𝒔
⃗⃗𝑨 = (𝟓𝟓𝟓, . 𝟏𝟖𝟎, 𝟐𝟒𝟎)𝒎
𝒓
⃗⃗𝑩 = (𝟐𝟓𝟓, 𝟎, −𝟏𝟐𝟎)𝒎
𝒓
⃗⃗𝑪 =?
𝒓
Solución:
•
Aplicar la fórmula del centro de masa
⃗⃗𝑪𝑴 =
𝒓
•
Sabemos que el centro de masa está en (300,0,0), entonces:
(𝟑𝟎𝟎, 𝟎, 𝟎) =
•
⃗⃗𝑨 + 𝒎𝑩 𝒓
⃗⃗𝑩 + 𝒎𝑪 𝒓
⃗⃗𝑪
𝒎𝑨 𝒓
𝒎𝑨 + 𝒎 𝑩 + 𝒎𝑪
⃗⃗𝑪
𝟏𝟎𝟎(𝟓𝟓𝟓, −𝟏𝟖𝟎, 𝟐𝟒𝟎) + 𝟕𝟎(𝟐𝟓𝟓, 𝟎, −𝟏𝟐𝟎) + 𝟑𝟎𝒓
𝟐𝟎𝟎
Multiplicamos ambos lados por 200:
19
Área de conocimiento
Arquitectura y
construcción
(𝟔𝟎𝟎𝟎𝟎, 𝟎, 𝟎) = 100𝒓
⃗⃗𝑨 + 70𝒓
⃗⃗𝑩 + 30𝒓
⃗⃗𝑪
•
Calculamos cada producto:
𝟏𝟎𝟎𝒓⃗⃗𝑨 = (55500, −18000,24000)
𝟕𝟎𝒓⃗⃗𝑩 = (17850,0, −8400)
⃗⃗𝑪 = (30𝑥, 30𝑦, 30𝑧)
30𝒓
•
Entonces:
(60000,0,0) = (55500𝑖̂, −18000𝑗̂, 24000𝑘̂) + (17850𝑖̂, 0𝑗̂, −8400𝑘̂) + (30𝑥, 30𝑦, 30𝑧)
(60000,0,0) = (73350 + 30𝑥, −18000 + 30𝑦, 15600 + 30𝑧)
•
Despejamos para cada componente;
Para componente x:
73,350 + 30𝑥 = 60,000
x=
60,000 − 73,350
= −445
30
para componente y:
−18,000 + 30𝑦 = 0
𝑦=
18,000
= 600
30
Para componente z:
15,600 + 30𝑧 = 0
𝑧=−
15,600
= −520
30
La posición en C es:
⃗⃗𝑪 = (−𝟒𝟒𝟓, 𝟔𝟎𝟎, −𝟓𝟐𝟎)𝒎
𝒓
20