valor atual
valor à vista
k = -1: Antecipada
k = 0: Postecipada
k > 0: Diferida
k+1
carência
P
1
0
k
k+1
R
k+n
R
R
prestação,
termos da anuidade
S
valor futuro
saldo
valor acumulado
Apostila do Aluno
Professores:
Manuela Longoni de Castro
Samuel Volkweiss Leite
O que é?
Introdução:
Anuidades e sua
Representação
Gráfica
O termo Anuidades refere-se a uma
sucessão de pagamentos ou
recebimentos, destinados a acumular
capital ou quitar uma dívida. Representar
esse planejamento graficamente ajuda a
organizar o raciocínio de forma visual.
Planejamento de pagamento: n importa se vai pagar todo mês ou se o valor varia ou não.
Se tem um planejamento para pagar ou receber algo, tem-se uma anuidade
Esses são os termos da anuidade.
No caso mais geral, podem ter valores diferentes.
São infinitas formas de organizar essa
sucessão de pagamentos ou recebimentos.
Nesta seção vamos estudar em detalhe as
anuidades que são periódicas e de termos
constantes, que se classificam em
Anuidades
Postecipadas,
Postecipada
Antecipada
Antecipadas,
e Diferidas
Diferidas.
Exercício: Desenhe um diagrama para:
a) uma anuidade postecipada de prestação R, valor atual P e
6 prestações anuais
b) uma anuidade antecipada de termo R, valor à vista P e 6
parcelas mensais.
c) uma anuidade diferida, com a primeira parcela vencendo
120 dias após a compra e saldo em 3 vezes mensais.
Confira suas respostas através do fórum de Anuidades.
Postecipada: Não paga nada de entrada. Pagamentos são todos iguias e iniciam no final do 1 período
Antecipada: Paga entrada. Pagamentos iguais começando no prazo 0
Diferida: Demora mais para começar a pagar. Não dá entrada e nem paga no prazo 1. Mesmos valores
A dedução da fórmula de anuidades parte do valor
atual Pj de cada uma das parcelas Rj. Somam-se os
valores Pj para encontrar o valor atual da anuidade,
utilizando a fórmula para a soma de uma PG.
Dedução
fórmula de
anuidades
postecipadas
termos da PG
Uso da Calculadora
R = valor da prestação
i = taxa de juros da anuidade
P= valor do produto /
serviço / empréstimo na data
0
PMT = "Payment" = Prestação R
7 = "BEGIN" = modo antecipado
8 = "END" = modo postecipado
P = R [(i+1)^n -1] / [i(i+1)^n]
P = PV
R = PMT
i=i
n=n
Um aparelho de TV no valor de R$ 12.500,00 pode
ser parcelado em 12x mensais à taxa de juros 2%
ao mês. Calcule o valor das prestações.
Exemplo 1:
Tente resolver e depois corrija e verifique seus
Anuidades
passos no vídeo com a solução detalhada pela
Postecipadas calculadora financeira.
P = PV = 12500
R = PMT
i=i=2
n = n = 12
R = 1184,99
Ache o valor atual de uma anuidade de R$ 270,00;
no fim de cada mês, durante 4 anos para a taxa de
2% ao mês.
Exemplo 2:
Tente resolver e depois corrija e verifique seus
Anuidades
passos no vídeo com a solução detalhada pela
Postecipadas calculadora financeira.
P = PV
R = PMT = 270,00
i=i=2
n=n=4
P = 1028,09
Um console de videogame custa 12 prestações
mensais de R$ 489,00; podendo ser pago à vista,
no PIX, por R$4.890,00. Calcule a taxa de juros do
parcelamento.
Exemplo 3:
Anuidades
Postecipadas
Tente resolver e depois corrija e verifique seus
passos no vídeo com a solução detalhada pela
calculadora financeira.
i = 2,92% ao mês
Dedução
fórmula de
anuidades
antecipadas
Quando a série de pagamentos inicia na data zero ou seja, quando temos uma prestação de entrada,
temos uma anuidade antecipada. A fórmula para
essas anuidades é deduzida a partir da seguinte
relação:
Na calculadora:
Precisa o BEGIN no visor.
Use
Exemplo 4:
Anuidades
Com entrada
vs sem entrada
P = 24000
n = 10
i = 4,5%
Um carro está a venda por R$ 24.000,00 e um
comprador deseja pagar por ele 10 prestações
mensais. Se forem cobrados juros de 4,5% a.m.,
calcule:
a) o valor de prestação, sendo a primeira na
entrada (1+9x)
b) o valor da prestação, sendo a primeira 30 dias
após a compra (sem entrada).
R = 2902,48
Valor Futuro de uma anuidade
O valor futuro seria o saldo acumulado, caso
todas as parcelas fossem depositadas e
juros fossem creditados conforme o fluxo de
depósitos. Pode ser calculado diretamente
na calculadora financeira usando a tecla
Planejando o
Futuro.
Postecipada:
o valor futuro na calculadora está programado para
coincidir como pagamento da última prestação.
P
1
0
R
n
2
R
R
s = [R(1+i)^n -1]/i
S
Antecipada:
o valor futuro na calculadora está programado na data n,
um período após o o pagamento da última prestação.
P
0
R
1
R
n
n-1
2
R
s = [R(1+i)^n -1 * (1+i)]/i
S
Sobre o valor
futuro de
anuidades
antecipadas
Um carro está a venda por R$ 24.000,00. Ao
invés de pagar comprar o carro imediatamente,
calcule quanto deverá ser depositado ao fim de
cada mês, para que ao fim de 10 meses seja
Exemplo 5: possível comprar o carro à vista com o saldo
Financiar ou acumulado, supondo que:
poupar
a) a taxa de remuneração de juros é de 4,5% a.m.
I sola o R na
fórmula e dá pra
resolver
manualmente, mas
também podemos
resolver na
calculadora
FV = S = 24000
R=?
n = 10
i = 4,5%
R = 1953,09
b) a taxa de remuneração de juros é de 2,25% a.m.
R = 2166,90
c) compare com os valores de prestação obtidos no item
anterior.
oS DE AGORA
SÃO BEM
MENORES
d) DESAFIO: se fossem depositados mensalmente a
partir da data 0; o valor obtido para o financiamento
com entrada, quanto se acumularia ao final de 10
meses? Obtenha uma resposta aproximada para
quantos meses seriam necessários para comprar o carro
à vista ? Utilize a taxa de 2,25% a.m para este cálculo.
Confira sua resposta no fórum de Anuidades.
Fórmula geral de Anuidades
valor atual
valor à vista
k = -1: Antecipada
k = 0: Postecipada
k > 0: Diferida
k+1
carência
P
1
0
k
k+1
R
k+n
R
R
prestação,
termos da anuidade
S
valor futuro
saldo
valor acumulado
Anuidades
Diferidas:
Conceito e
dedução da
fórmula.
Exercício.
A fórmula acima parece diferente da
apresentada no vídeo. Explique porque se
trata da mesma fórmula.
Confira sua resposta no fórum de Anuidades.
Rdif = Rpost (1+i)^k
Anuidades
Diferidas na
hp12c
Exemplo 6:
Anuidades
Diferidas
Calcule o valor da prestação de um televisor de R$
8000 à vista; pago em 8 parcelas, a primeira
vencendo 5 meses após a compra, com a taxa de
juros de 3% a.m.
a) usando a fórmula geral de anuidades
b) Assista o vídeo explicativo e refaça usando a
hp12c.
Na hp12c não há função pré-programada para as diferidas...
Descobre Rpost e usa a fórmula Rdif = Rpost (1+i)^k usando a
lógica de juros compostos da calculadora. Para isso, após obter
PMT armazena ele em PV usando STO e zera o PMT (COLOCA 0
PMT), informa o prazo k =n e não precisa mudar i. Clica em FV e
esse é o resultado
5 = k+1 !!!!!
1° Calcula
Rpost onde
nesse caso P =
PV = 8000
PMT = R =
1139,65
P = 8000
i = 3%
n=8
k=4
2° Faz STO PV
no resultado de
PMT, zera PMT
e ajusta n = k =
4 e calcula FV
FV = 1282,69
Coeficientes para o cálculo de
prestações.
O que são?
São tabelas utilizadas no comércio para simplificar o
cálculo de prestações, usando uma calculadora qualquer
(não precisa nem sequer ser uma calculadora científica).
Condição de pagamento n,k:
n parcelas com k+1 períodos de carência
para o pagamento da primeira prestação
Exemplos:
6x sem entrada
n=6; k=0
1+5x
n=6; k=-1
4x com 120 dias pra
pagar a primeira parcela
n=4; k=3
Coeficientes
para o cálculo
de prestações
DESAFIO
Complete a tabela de coeficientes abaixo.
Confira sua resposta no fórum de Anuidades.
0
