Ecuaciones Diferenciales Homogéneas: Método del Operador

SOLUCIÓN DE UNA ECUACIÓN DIFERENCIAL HOMOGÉNEA-MÉTODO DEL
OPERADOR
Una ecuación diferencial homogénea de orden ene con coeficientes constantes de
la forma:
dny
d n 1 y
A1 n  A2 n 1 
dx
dx
 A0 y  0
Tiene como solución general a:
yG  a1 f1  x   a2 f 2  x  
 an f n  x  donde las f i  x  i  1, 2,
, n son soluciones de
la ecuación diferencial y el conjunto formado por estas soluciones f i  x  ,
i  1, 2,
, n son linealmente independientes.
Ejemplo
1. Resolver la ecuación diferencial y ' 2 y  0
Solución
y ' 2 y  0  Dy  2 y  0   D  2  y  0  e 2 x De 2 x y  0  De 2 x y  0 
d 2 x
e y   0
dx
 e2 x y  C  yG  Ce 2 x
2. Resolver la ecuación diferencial y ' y  0
Solución
y ' y  0  Dy  y  0   D  1 y  0  e x De  x y  0  De  x y  0 
d x
e y   0  e x y  C

dx
 yG  Ce x
3. Resolver la ecuación diferencial y ' 4 y  0
Solución
y ' 4 y  0  Dy  4 y  0   D  4  y  0  e 4 x De 4 x y  0  De 4 x y  0 
d 4 x
 e y   0  e 4 x y  A
dx
 yG  Ae4 x
4. Resolver la ecuación diferencial y ' 7 y  0
Solución
y ' 7 y  0  Dy  7 y  0   D  7  y  0  e 7 x De 7 x y  0  De 7 x y  0 
d 7x
e y   0  e7 x y  A
dx
 yG  Ae7 x
5. Resolver la ecuación diferencial y '' 2 y ' y  0
Solución
y '' 2 y ' y  0   D 2  2 D  1 y  0   D  1 y  0  e x D 2e  x y  0  D 2e  x y  0
2

d  d x 
d x
e y   0 
e y   A  e  x y  Ax  B  y   Ax  B  e x  y  Axe x  Be x



dx  dx
dx

Luego la solución general de la ecuación diferencial es: yG  Axe x  Be x
6. Resolver la ecuación diferencial  D  2  y  0
2
Solución
 D  2  y  0  e2 x D 2e2 x y  0  D 2e2 x y  0
2

d  d 2 x 
d 2 x
e y   0 
e y   A  e 2 x y  Ax  B  y   Ax  B  e 2 x  y  Axe 2 x  Be 2 x



dx  dx
dx

Luego la solución general de la ecuación diferencial es: yG  Axe2 x  Be2 x
7.  D  5  y  0  yG  Ae5 x  Bxe5 x
2
8.  D  4  y  0  yG  Ae 4 x  Bxe 4 x
2
9. Resolver la ecuación diferencial y ''' 3 y '' 3 y ' y  0
Solución
y ''' 3 y '' 3 y ' y  0   D 3  3 D 2  3 D  1 y  0   D  1 y  0  e x D 3e  x y  0  D 3e  x y  0
3

d  d 2 x 
d 2 x
d  d x 
d x
e
y

0

e y  K 
e y   K 


 e y   Kx  L
 2

2 

dx  dx
dx
dx  dx
dx


 e x y 
1 2
Kx  Lx  M  e  x y  Ax 2  Bx  C  y   Ax 2  Bx  C  e x  y  Ax 2e x  Bxe x  Ce x
2
Luego la solución general de la ecuación diferencial es: yG  Ax 2e x  Bxe x  Ce x
Generalizando se tiene:
 D  1 y  0
2
yG  Ae x  Bxe x
 D  2 y  0
yG  Ae 2 x  Bxe 2 x  Cx 2e 2 x
 D  3 y  0
yG  Ae3 x  Bxe3 x  Cx 2e3 x  Dx 3e3 x  Ex 4e3 x
 D  5 y  0
yG  Ae 5 x  Bxe 5 x  Cx 2e 5 x
3
5
3
Ejercicios
Resolver cada una de las siguientes ecuaciones diferenciales.
1.  D  2  y  0
4
2. y '' y  0
Solución
Sol: yG  Ae2 x  Bxe2 x  Cx 2e2 x  Dx3e2 x
y '' y  0   D 2  1 y  0   D  1 D  1 y  0   D  1 z  0  e x De  x z  0  D  e  x z   0
 e  x z  A  z  Ae x   D  1 y  Ae x  e  x De x y  Ae x  De x y  Ae 2 x  e x y 
A 2x
e K
2
 y  Ce x  Ke  x
3.  D  1 D  2  D  3  y  0
Sol: yG  Ae x  Be2 x  Ce3 x
4.  D  2   D  3 D  5  y  0
Sol: yG  Ae2 x  Bxe2 x  Ce3 x  De5 x
2
Ejercicios
Resolver cada una de las siguientes ecuaciones diferenciales.
1. y ''' 6 y '' 11 y ' 6 y  0
Solución
y ''' 6 y '' 11y ' 6 y  0   D 3  6 D 2  11D  6  y  0   D  1 D  2  D  3  y  0
  D  1 z  0  e x De  x z  0  De  x z  0  e  x z  K  z  Ke x   D  2  D  3  y  Ke x
  D  2  h  Ke x  e 2 x De 2 x h  Ke x  De 2 x h  Ke  x  e 2 x h   Ke  x  L  h   Ke x  Le 2 x
 h   Ke x  Le 2 x   D  3  y   Ke x  Le 2 x  e 3 x De 3 x y   Ke x  Le 2 x  De 3 x y   Ke 2 x  Le  x
 e 3 x y 
K 2 x
K

e  Le  x  M  y   e 2 x  Le  x  M  e 3 x  y   Ae 2 x  Be  x  C  e 3 x
2
2

 y  Ae x  Be 2 x  Ce3 x
Luego la solución general de la ecuación diferencial es: yG  x   Ae x  Be 2 x  Ce 3 x
EJERCICIOS
Sol: yG  Ae 5 x 2  Be3 2 x
1. 8 y '' 8 y ' 30 y  0
Sol: yG  Ae x 2  Be 5 x 2  Ce3 x 2
2. 8 y ''' 4 y '' 34 y ' 15 y  0
3. y 5  2 y  4  16 y ''' 38 y '' 15 y ' 36 y  0
Sol:
yG  Ae x  Be x  Ce4 x  De3 x  Exe3 x
4. y '' y  0
Sol: yG  Keix  Beix
yG  A cos x  Bsenx
5. y '' 4 y  0
Sol: yG  e2ix  Be2ix
yG  A cos 2 x  Bsen 2 x
6.
d2y
dy
 2a   a 2  b 2  y  0
2
dx
dx
Sol: yG  Ae
a  ib  x
 Be 
a  ib  x
yG  Aeax cos bx  Beax senbx
7.  D   5  3i    D   5  3i   y  0
Sol: yG  Ae5 x cos3x  Be5 x sen3x
8.  D 2  36  y  0
Sol: yG  A cos 6 x  Bsen6 x
9. y '' 10 y ' 41 y  0
Sol: yG  Ae5 x cos 4 x  Be5 x sen4 x
10.  D 4  61D 2  900  y  0
Sol:
yG  A cos5 x  Bsen5 x  C cos 6 x  Dsen6 x
11.  D 2  1 y  0
2
Sol:
yG  A cos x  Bsenx  Cx cos x  Dxsenx
12. y  4  13 y '' 36 y  0
Sol:
yG  A cos 2 x  Bsen 2 x  C cos3x  Dsen3x
13. 4 y '' 16 y  0
Sol: yG  A cos 2 x  Bsen 2 x
14. y '' y  0
Sol: yG  A cos x  Bsenx
15.  D 2  1 y  0
3
Sol:
yG  A cos x  Bsenx  Cx cos x  Dxsenx  Ex 2 cos x  Fx 2 senx
16. y 5  4 y  4  6 y ''' 56 y '' 147 y ' 180 y  0
Sol: yG  Ae x cos 2 x  Be x sen2 x  Ce4 x  De3 x  Exe3 x
17. y  4  16 y  0
Sol:
yG  Ae 2 x cos 2 x  Be 2 x sen 2 x  Ce  2 x cos 2 x  De  2 x sen 2 x
D 4  16  0  D 4  16  16  cos   isen 
 D 4  16 cos   2k   isen   2k  
 D  16e
4
1 2 k  i
1 2 k  i
 D  2e
4
k  0,1, 2,3
i



Si k  0  D  2e 4  2  cos  isen   2  i 2
4
4

3 i
3
3 

 isen
Si k  1  D  2e 4  2  cos
  2 i 2
4
4 

5 i
5
5 

 isen
Si k  2  D  2e 4  2  cos
   2 i 2
4
4 

Si k  3  D  2e
7 i
4
7
7 

 2  cos
 isen
 2 i 2
4
4 
