Cálculo de Derivadas: Propiedades y Reglas de Derivación

Cálculo de derivadas
Propiedades de la función derivada
Reglas de derivación de funciones
Introducción
En este momento vamos a concentrar los esfuerzos en
aprender a calcular derivadas de funciones, más
adelante estudiaremos su significado y aplicaciones.
Nuestro objetivo es, entonces, dada una función
cualquiera f(x), obtener una nueva función, que es la
función derivada, f’(x) (se lee “efe prima”).
Para ello habrá que aprender de memoria las reglas
de derivación y las propiedades de la derivada.
Reglas de derivación (I)
La derivada de:
f(x) = x
es:
f’(x) =1
La derivada de:
f(x) = x7
es:
f’(x) = 7x6
La derivada de una
constante es cero:
f(x) = 6
es:
f’(x) = 0
La derivada de:
f(x) = 1/x
es:
f’(x) = 1/x2
Dos ejemplos
Más adelante se darán todas las fórmulas, pero
vamos a empezar con las propiedades de las
derivadas. Entonces, supongamos que conocemos la
derivada de dos funciones, por ejemplo:
La derivada de f(x) = x2 es f ’(x) = 2x
La derivada de g(x) = sen x es g’(x) = cos x
Propiedades de la derivada (I)
La derivada de la suma/resta es la suma/resta de
derivadas, así:
La derivada de:
f(x) + g(x) = x2 + sen x
es:
f’(x) + g’(x) = 2x + cos x La derivada de:
f(x)  g(x) = x2  sen x
es:
f’(x)  g’(x) = 2x  cos x
Propiedades de la derivada (II)
La derivada de una función multiplicada por un
número es la derivada de la función, multiplicada
por el número (se dice que los números “no se
derivan, se quedan en la derivada”).
La derivada de:
7f(x) + 3g(x) = 7x2 + 3sen x
es:
7f’(x) + 3g’(x) = 7·2x + 3cos x = 14x + 3cos x
Propiedades de la derivada (III)
La derivada del producto de funciones se empieza a
complicar, pues no es el producto de derivadas, sino
“la derivada del primero por el segundo sin derivar
más el primero sin derivar por la derivada del
segundo”
La derivada de:
f(x) · g(x) = x2 · sen x
es:
f ’(x) g(x) + f(x) g’(x) = 2x sen x + x2 cos x
Propiedades de la derivada (IV)
La derivada del cociente de funciones se complica
un poco más, pues no es el cociente de derivadas,
sino “la derivada del numerador por el denominador
sin derivar menos el numerador sin derivar por la
derivada del denominador, todo dividido por el
denominador elevado al cuadrado”
La derivada de:
f ( x)
x2

g ( x ) sen x
es:
f ' ( x) g ( x)  f ( x) g ' ( x)
g ( x ) 
2

2 xsen x  x 2 cos x
sen x 2
Reglas de derivación (II)
La derivada de cualquier potencia, n, de x:
f(x) = xn
es:
Esta regla es válida también para n
f ’(x) = nxn –1
negativa (de hecho, lo es para
cualquier n), es decir, la derivada de:
f(x) = 1/xn = x–n
es:
f’(x) = –nx –n –1 = –n/xn +1
Mejor mirarse ya la tabla de derivadas…
Reglas de derivación (III)
La derivada de la función exponencial contiene el
logaritmo neperiano de la base (a cualquier número
positivo):
f(x) = ax  f ’(x) = ax · ln a
La derivada de la función logaritmo también contiene
el logarimo neperano de la base: (a cualquier número
positivo):
f(x) = loga x  f ’(x) = 1/(x · ln a)
Mejor mirarse ya la tabla de derivadas…
Ejemplos (I)
f(x) = 5+ 2x – 4x6  f ’(x) = 0 + 2 – 24x5
f(x) = x·sen x  f ’(x) = 1·senx + x·cosx
f(x) = x5 +5x  f ’(x) = 5x4 + 5x · ln 5
ln 5 1,6094
2  x2
f ( x) 

1  3x
 2 x 1  3 x   2  x 2 3  2 x  6 x 2  6  3 x 2  3 x 2  2 x  6
f ' ( x) 


2
2
1  3 x 
1  3 x 
1  3 x 2


Ejemplos (II)
5
5 4
5
 20 5  20
 4 1


f ( x) 
 x  f ' ( x)   4 x

x 
4
7
7
7
7x
7x5
f ( x) 
f ( x) 
5
x x
6
5
5
x
3
 5x
6/5
3 / 5
6 6 / 51 6 1 / 5 6 5
 f ' ( x)  x
 x 
x
5
5
5
3 3 / 51
 15 8 / 5  3
 f ' ( x)   x
·5 
x

5
5
5
x8