Topología: Un Curso Introductorio, Volumen I

Topología: un curso introductorio
Volumen I
Héctor Suárez
Pedro Maluendas
Julian Serna
Universidad Pedagógica y Tecnológica de Colombia
2021
iii
Resumen:
El presente libro está pensado para un curso de topología general que
inicia desde una revisión de la teoría de conjuntos, sigue con las nociones básicas de
topología, la construcción de nuevos espacios topológicos a partir de los conocidos,
los espacios métricos, la continuidad, y naliza con los conceptos de ltro, ultraltro,
topología generalizada y estructura minimal. Por supuesto, los temas de separación,
compacidad, conexidad y otros temas clásicos de topología aparecen en un segundo
volumen. El texto expone de manera cuidadosa y detallada los diferentes conceptos
y sus propiedades; además, contiene un buen número de ejemplos que ayudan a
fortalecer la comprensión de los temas. A lo largo del texto hay ejercicios que le
permiten al lector complementar lo aprendido a medida que avanza en la lectura,
y no solo al nal de los capítulos. Además, se plantean preguntas que invitan a los
estudiantes a reexionar sobre el alcance de las deniciones, propiedades y ejemplos.
Palabras clave:
espacios topológicos, espacios métricos, abiertos, funciones
continuas, homeomorsmos, ltros.
Abstract:
The present book is designed for a general topology course that
starts from a review of set theory, continues with the basic notions of topology,
the construction of new topological spaces from known ones, metric spaces,
continuity, convergence, and ends with the concepts of lter, ultralter, generalized
topology and minimal structure. Of course, the topics of separation, compactness,
connectedness, and other classic topological topics appear in a second volume.
The text exposes in a careful and detailed way the dierent concepts and their
properties; Moreover, it contains a good number of examples that help to improve
the learning. Throughout the text, there are exercises that allow the reader to
complement what they have learned as they read, and not just at the end of the
chapters. In addition, it includes some questions that invite students to reect on
the scope of the denitions, properties, and examples.
Keywords:
topological spaces, metric spaces, open sets, continuous functions,
homeomorphisms, lters.
Índice general
Introducción
vii
1. Nociones básicas de teoría de conjuntos
1.1. Axiomas fundamentales
1
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
1.1.1. Existencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
1.1.2. Extensión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
1.1.3. Separación o comprensión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
1.1.4. Pares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.1.5. Familias de conjuntos y uniones . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.1.6. Partes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.1.7. Innito, inducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.2. Relaciones y funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.2.1. Relaciones de orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.2.2. Relaciones de equivalencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
1.2.3. Funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
1.3. Axioma de elección . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2. Espacios topológicos
50
2.1. Ideas intuitivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
2.2. Denición y ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
2.3. Bases para una topología . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
2.4. Más topologías a partir de una base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
2.5. Bases y axiomas de numerabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
2.6. Subbases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
iv
v
ÍNDICE GENERAL
3. Interior, adherencia, puntos límite y frontera
105
3.1. Vecindades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
3.2. Interior y exterior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
3.3. Cerrados, adherencia y espacios de Hausdor . . . . . . . . . . . . . . 116
3.4. Puntos límite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
3.5. Frontera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
4. Creando nuevos espacios topológicos
4.1. Subespacios topológicos
138
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
4.2. Topología producto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
4.2.1. Productos nitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
4.2.2. Productos arbitrarios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
4.3. Topología cociente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
5. Espacios métricos
165
5.1. Denición y ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
5.2. Isometrías . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
5.3. Topología para una métrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176
5.3.1. Sucesiones en un espacio métrico . . . . . . . . . . . . . . . . 183
5.3.2. Comparación entre métricas para un mismo espacio . . . . . . 187
5.4. El espacio C(I, R) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196
6. Funciones continuas y homeomorsmos
208
6.1. Continuidad y sus propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208
6.2. Continuidad en espacios métricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223
6.3. Espacios homeomorfos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230
6.4. Propiedades topológicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242
6.5. Continuidad, espacios cociente y producto . . . . . . . . . . . . . . . 247
6.6. Topologías inicial y nal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255
7. Filtros, topología generalizada y estructura minimal
263
7.1. Filtros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263
7.1.1. Denición y ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264
7.1.2. Bases y subbases para un ltro . . . . . . . . . . . . . . . . . 271
7.1.3. Ultraltros, convergencia y continuidad . . . . . . . . . . . . . 278
vi
ÍNDICE GENERAL
7.2. Topología generalizada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285
7.3. Estructura minimal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292
Referencias
300
Índice de guras
304
Índice de símbolos
306
Índice alfabético
311
Introducción
Ideas topológicas han surgido en diferentes épocas y lugares del mundo, y es difícil
determinar un momento o lugar especícos para marcar el origen de esta importante
rama de las matemáticas. Podría pensarse que la geometría es en sí misma una
forma primitiva de la topología, pero quizá la primera observación hecha de que
había una forma más amplia de estudiar los objetos geométricos fue hecha en
el siglo XVII por G. W. Leibniz(1646-1716) quien la llamó geometria situs o la
geometría dependiendo de la posición de los objetos (no exclusivamente del punto de
vista como la geometría proyectiva), y que hoy es considerada solo una rama de la
topología. Este término cambió en los siglos posteriores al de analysis situs, acuñado
por A. De Morgan (1806-1871) y A. Cayley (1821-1895) entre otros, y alimentado
por una serie de problemas interesantes estudiados (o resueltos) en este periodo,
como el problema de los puentes de Könisberg, la fórmula de Euler para poliedros:
vértices - aristas + caras =2 (estos dos problemas resueltos por L. Euler (1707-1783),
la teoría de nudos (estudiada por C.F. Gauss (1777-1855) o el problema de los
cuatro colores, entre otros. Fue hasta el siglo XIX que J.B. Listing usó el término
topología al publicar su libro Vorstudien zur Topologie. Sin embargo, las ideas de la
topología que se usan en la actualidad son debidas a H. Poincaré (1854-1912), quien
en 1895 publicó el primer artículo signicativo dedicado completamente a esta nueva
rama, titulado Analysis Situs. En todo este tiempo un gran número de matemáticos
se han dedicado a estudiar esta área que no ha dejado de crecer hasta el presente [11].
En algunas instituciones de educación superior, y en particular en la Universidad
Pedagógica y Tecnológica de Colombia, está prevista la enseñanza de los conceptos
topológicos por medio de dos cursos que son vistos obligatoriamente por estudiantes
de Matemáticas y por estudiantes de Licenciatura en Matemáticas, en los primeros
cinco semestres de su formación, y eventualmente por algunos estudiantes de Física.
vii
viii
INTRODUCCIÓN
Muchos de los conceptos, que han sido inspirados al profundizar en el análisis o la
geometría, no han sido conocidos previamente por los estudiantes, muchas veces
ni siquiera de una forma intuitiva, más allá de lo que los cursos de cálculo pueden
ofrecer. En el primer curso de topología se espera que los estudiantes conozcan la
denición y algunos conceptos básicos de la topología y los espacios topológicos,
a través de algunas de las propiedades más simples y usando un gran número de
ejemplos. Ya en el segundo curso se espera que los estudiantes profundicen estos
conceptos y otros nuevos que, aunque básicos, requieren una mayor capacidad de
abstracción, como es el caso de la conexidad o la compacidad, entre otros. Para
sortear las dicultades que se presentan en el aprendizaje, debido posiblemente a los
pocos cursos previos que han visto los estudiantes, los autores tomaron la decisión
de escribir un texto guía basado en diversos textos conocidos, y en las experiencias
de las clases suministradas en los años previos. Para facilitar la exposición de los
temas y esperando que esto permita una mayor comprensión tanto para estudiantes
como para docentes, el libro estará dividido en dos volúmenes, de modo que cada
volumen cubra los temas correspondientes a cada uno de los cursos.
El presente volumen está organizado de manera que pueda ser leído en un orden
lineal, sin embargo, en cada capítulo se hacen las referencias necesarias para
que quien tenga un dominio previo sobre un tema determinado, lo pueda leer en
un orden diferente y pueda ubicar los resultados o deniciones fácilmente para
aclarar el uso de la notación. El desarrollo general del texto se concentra en una
presentación cuidadosa y detallada de las deniciones y de los diferentes resultados,
así como en la presentación de un buen número de ejemplos que ayuden a aanzar la
comprensión de los conceptos dados. A lo largo del texto se han distribuido algunos
ejercicios, con el n de que el lector complemente los temas tratados a medida que
avanza en la lectura, y no solamente al nal. Adicionalmente, se plantean preguntas
que invitan a los lectores a pensar en el alcance de las deniciones, los resultados
o los ejemplos, e incluso en la posibilidad de que las condiciones en las cuales se
presentan sean diferentes, y cuáles serían las consecuencias.
Los temas se han dividido en siete capítulos:
En el primer capítulo se hace un repaso por la teoría de conjuntos, haciendo una
INTRODUCCIÓN
ix
introducción desde el sistema axiomático de Zermelo-Frenkel junto con el axioma
de elección, se presentan las ideas generales de los conjuntos, las operaciones entre
ellos, las propiedades básicas de los conjuntos y las operaciones entre conjuntos.
También se hace una breve mención de las relaciones entre los elementos de dos
conjuntos, las funciones entre conjuntos y la cardinalidad. Finalmente se explora
el axioma de elección y se denen los productos cartesianos arbitrarios, mostrando
como casos especiales las tuplas nitas o las sucesiones. Los textos recomendados
para acompañar este capítulo o profundizarlo son [12, 14, 15, 17, 18, 22, 30, 27, 39].
En el segundo se comienza por una breve introducción intuitiva de la idea de
equivalencia topológica y posteriormente se presenta la denición de topología y
espacio topológico, junto con un número razonable de ejemplos. Se identican los
conjuntos abiertos y la noción de base y subbase; además se mencionan algunos
aspectos relacionados con la numerabilidad de las bases y de las bases locales.
En el tercer capítulo se presenta un análisis del comportamiento local de los espacios
topológicos, es decir, el de sus elementos y su relación con su entorno, se expone
el concepto de vecindad de un punto y a partir de este se identican los diferentes
tipos de punto: los que se encuentran, afuera (exteriores), adentro (interiores),
en el borde (frontera), pegados (adherentes) o amontonados (límite) en relación
con un subconjunto dado del espacio. Se muestran también algunos detalles del
comportamiento de una sucesión en un espacio topológico. Además, se explica en
este contexto la noción de conjunto cerrado y algunas de sus propiedades.
El cuarto capítulo pretende mostrar algunos ejemplos de espacios topológicos
que pueden ser construidos a partir de otros, como los subespacios, los espacios
producto o los espacios cociente.
En el quinto capítulo se estudia un ejemplo concreto de espacios topológicos, los
espacios métricos y sus propiedades fundamentales. Se presentan los ejemplos
clásicos de espacios métricos y se exploran las propiedades topológicas de los
espacios euclidianos a través de las propiedades de la métrica. Al nal de este
capítulo se incluye una sección que muestra un ejemplo asociado al conjunto de las
funciones continuas a valor real denidas en un intervalo. Los textos recomendados
x
INTRODUCCIÓN
para acompañar este capítulo o profundizarlo son [4, 16, 21, 23, 29, 28, 31, 36, 33, 37].
El sexto capítulo se concentra en uno de los conceptos más importantes de la
topología, la continuidad, y permite establecer relaciones entre espacios topológicos,
como la de homeomorsmo (equivalencia topológica). Se estudia la idea de los
invariantes topológicos y sea dan algunos detalles del comportamiento de las
funciones continuas en relación con espacios topológicos especiales, como los
espacios métricos, el espacio producto o el espacio cociente. Al nal del capítulo
se muestran otros ejemplos de nuevos espacios topológicos construidos a partir
de otros, usando funciones continuas (topologías iniciales y nales). Los textos
adicionales recomendados para acompañar o profundizar los capítulos 2, 3, 4 y 6
son [1, 16, 25, 26, 29, 28, 31, 36].
En el séptimo capítulo se exponen los conceptos de ltro y ultraltro y una
generalización de la idea de convergencia. También se muestra la relación entre
las ideas de convergencia de ltros y la continuidad de funciones, que generaliza
las ideas presentadas antes para sucesiones. Finalmente se presentan las topologías
generalizadas y la idea de estructura minimal. Los textos recomendados para
acompañar este capítulo o profundizarlo son [2, 7, 8, 9, 24, 34, 35].
Capítulo 1
Nociones básicas de teoría de
conjuntos
La nalidad de este capítulo es brindar una introducción de las nociones básicas
de la teoría de conjuntos, teniendo en cuenta el desarrollo axiomático de ZermeloFraenkel (ZF) presentado en [15] y [18]. Concretamente, se exponen brevemente
los axiomas ZF, las propiedades de los conjuntos que se desprenden de estos, las
operaciones básicas entre conjuntos (uniones, intersecciones, diferencias), funciones,
relaciones de orden y de equivalencia, producto cartesiano y nalmente el axioma de
elección. Cada sección se complementa con una serie amplia de ejemplos y ejercicios
destinados a facilitar la comprensión de las nociones topológicas introducidas a lo
largo del texto. Se espera que este capítulo pueda ser utilizado como un repaso para
lectores con experiencia previa en teoría de conjuntos o como una introducción
para quien no ha tenido contacto con esta área, y es recomendable, para una mejor
comprensión del texto, recurrir a esta cada vez que el lector lo requiera. Un estudio
más detallado de las propiedades elementales de los conjuntos y las operaciones
entre ellos puede ser encontrado en [30] o en [27], mientras que un estudio cuidadoso
de los axiomas puede ser consultado en [14], [15] o [39]. Si el lector está interesado
en profundizar más en las consecuencias de los axiomas de ZF o algunas variantes
y en los modelos posibles de la teoría de conjuntos, puede consultar textos más
avanzados como [12], [17], [18] o [22].
La teoría de conjuntos es una rama relativamente reciente de las matemáticas,
a pesar de que la idea misma de conjunto es muy antigua. Se considera que
1
2
CAPÍTULO 1.
TEORÍA DE CONJUNTOS
se origina a nales del siglo XIX a través de los trabajos de George Cantor
(1845-1918) y los estudios derivados de estos, que pretendían esclarecer el verdadero
signicado de lo que se debe entender por conjunto. Las ideas previas a Cantor,
e incluso la misma concepción de Cantor, eran insucientes para dar una clara
denición de conjunto, debido principalmente a que de estas ideas, un poco
ingenuas, se desprendían algunas paradojas que no dejaban tranquilos a los
matemáticos que siguieron a Cantor. En particular, se puede citar la paradoja de
Russell (por Bertrand Russell), la cual se deriva al considerar que la colección de
todos los conjuntos que no son elementos de sí mismos es también un conjunto.
En estas condiciones, llamando R a dicha colección, es natural preguntar si
es R un elemento de sí mismo. Esto conduce a la proposición: R es elemento
de sí mismo si y solo si no es elemento de sí mismo, la cual es claramente paradójica.
La solución a los problemas iniciales, en particular a la paradoja de Russell, fue
establecer una adecuada axiomatización de la teoría de conjuntos en lugar de
denirlo como un objeto determinado, y en este sentido surgieron varias propuestas
de axiomatización. Como se mencionó al inicio, en este texto se eligió ZF, y la
razón de esta elección es, entre otras, que en la mayoría de cursos de teoría de
conjuntos se estudia este sistema axiomático y, por tanto, que un lector escogido al
azar conozca ZF es un evento más probable que los otros.
En general se asume que el lector está familiarizado con los símbolos lógicos usuales:
∧, ∨, →, ↔, ∀ y ∃ y la lógica de primer orden. Una proposición que hable de
un objeto será llamada en ocasiones propiedad (del objeto). Adicionalmente, en la
medida de lo posible, se usarán letras especiales para diferentes tipos de conjuntos
siguiendo la tradición; así, por ejemplo, las letras latinas mayúsculas A, B ,. . .
usualmente representarán conjuntos genéricos, las letras latinas minúsculas a, b,. . .
los elementos genéricos de los conjuntos, letras caligrácas mayúsculas A, B ,. . .
familias de conjuntos, entre otras. Algunos conjuntos especiales como los números
naturales, enteros, racionales, reales y complejos se denotarán por N, Z, Q, R y
C respectivamente. Cuando se quiera hablar de conjuntos con alguna estructura
especial, se indicará el signicado de la notación que se usará para describirlos. El
símbolo ∈ será utilizado a lo largo del texto para indicar la relación de pertenencia,
de modo que la expresión x ∈ A signica que x pertenece a A, es decir, que x es un
1.1.
AXIOMAS FUNDAMENTALES
3
elemento del conjunto A. De la misma manera, x 6∈ A signica que x no pertenece
al conjunto A. En muchos casos, los elementos de un conjunto pueden también ser
conjuntos, por ejemplo cuando se habla de familias de conjuntos, así, el uso de uno
u otro tipo de letra tiene más un carácter aclaratorio y no debe entenderse como
una regla de escritura. Por ejemplo, en algunas situaciones se requiere el uso de las
expresiones x ∪ {x} o x ∈ y , entre otras.
1.1. Axiomas fundamentales
Para facilitar la comprensión y el posterior uso de este capítulo de repaso, se
presentan a continuación los enunciados de los axiomas, que son llamados aquí
fundamentales, primero usando un lenguaje informal y luego un lenguaje simbólico.
Después de esto se hará una exploración del signicado de cada uno de estos axiomas
y sus consecuencias prácticas (propiedades y abreviaciones) que ayudan a facilitar
el manejo algebraico-simbólico de los conjuntos.
Axioma 1.1 (Existencia). Existe al menos un conjunto que no tiene
elementos.
∃X∀y(y ∈
/ X).
Axioma 1.2 (Extensión). Dos conjuntos son iguales si y solamente si tienen
los mismos elementos.
∀X∀Y (X = Y ↔ ∀z(z ∈ X ↔ z ∈ Y )).
Axioma 1.3 (Separación o comprensión). Dada una propiedad q, es decir,
una fórmula bien formada q(x) con una variable libre x, y dado un conjunto U ,
existe un conjunto Y cuyos elementos son exactamente los elementos de U que
satisfacen la propiedad q .
∀U ∃Y ∀x(x ∈ Y ↔ (x ∈ U ∧ q(x))).
4
CAPÍTULO 1.
TEORÍA DE CONJUNTOS
Axioma 1.4 (Pares). Dados dos conjuntos, existe un conjunto cuyos
elementos son exactamente los dos conjuntos dados.
∀X∀Y ∃Z∀w(w ∈ Z ↔ (w = X ∨ w = Y )).
Axioma 1.5 (Uniones). Dada una familia de conjuntos, existe un conjunto
cuyos elementos son exactamente los elementos de los elementos de la familia.
∀F∃Y ∀w(w ∈ Y ↔ ∃X(w ∈ X ∧ X ∈ F)).
Axioma 1.6 (Partes o potencias). Dado un conjunto, existe un conjunto
cuyos elementos son exactamente los subconjuntos del conjunto dado.
∀X∃℘∀Z(Z ∈ ℘ ↔ ∀w(w ∈ Z → w ∈ X)).
Axioma 1.7 (Innito). Existe un conjunto inductivo.
∃S(∅ ∈ S ∧ ∀x(x ∈ S → x ∪ {x} ∈ S)).
Algunos axiomas pueden expresarse de forma más simplicada usando las
propiedades que los axiomas que le preceden permiten probar, pero esto se hará
detalladamente en las siguientes secciones. Adviértase que en el axioma del innito
se utilizaron algunas expresiones que no se han mencionado antes (pero con seguridad
el lector conoce) como conjunto inductivo o x ∪ {x}, pero esto será aclarado en la
explicación de los axiomas previos. Por ejemplo, se verá cómo la expresión {x} tiene
sentido como consecuencia de los axiomas de extensión y pares, y así x ∪ {x} está
bien denida empleando adicionalmente el axioma de las uniones.
1.1.1.
Existencia
El objetivo principal del axioma de existencia es garantizar que al menos hay un
conjunto y de tal manera evitar que la teoría sea anodina. En este sentido, no
1.1.
AXIOMAS FUNDAMENTALES
5
es necesario discutir sobre este axioma y solamente se profundizará un poco más
después de analizar el axioma de extensión. Nótese que el axioma garantiza la
existencia de un conjunto que no tiene elementos, pero no indica nada acerca de
cuántos conjuntos pueden existir con esta propiedad.
Sin tener en cuenta ningún axioma adicional, ¾Cuántos conjuntos X pueden
existir con la propiedad que ∀y(y 6∈ X)?
1.1.2.
Extensión
El axioma de extensión tiene como objetivo determinar qué se debe entender como
la igualdad entre conjuntos. Este axioma es de gran utilidad para garantizar cuándo
dos conjuntos son o no iguales. En el primer caso basta con vericar que tienen
exactamente los mismos elementos, es decir, si se quiere ver que X = Y , siendo X e
Y dos conjuntos dados, se debe vericar que para cualquier z , z es un elemento de X
si y solamente si z es un elemento de Y ; mientras que para el segundo caso, basta ver
que un conjunto tenga un elemento que no está en el otro. Como una aplicación del
axioma de extensión, se puede probar que el conjunto X cuya existencia garantiza
el axioma 1.1 es único. Para esto, considérese la propiedad q(W ) = ∀y(y 6∈ W ), en
otras palabras, q es la propiedad de no tener elementos. Nótese que el axioma 1.1
indica que existe un conjunto X tal que q(X).
Teorema 1.1. Dos conjuntos X e Y que no tienen elementos son iguales, es
decir, si q(X) y q(Y ) entonces X = Y .
Demostración. Como q(X) y q(Y ), se tiene que para cualquier y, y 6∈ X e y 6∈ Y .
Como estas dos propiedades son ciertas para cualquier y , también es cierto que
y 6∈ X ↔ y 6∈ Y para cualquier y , o equivalentemente y ∈ X ↔ y ∈ Y para
cualquier y , de modo que por el axioma de extensión X = Y .
La unicidad de este conjunto no es solo un tecnicismo matemático, sino que tiene
implicaciones importantes en la notación. Al ser único, y no depender de nada, es
posible (y necesario) dar un nombre y un símbolo exclusivos para este conjunto,
y este símbolo no ha de depender de nada en particular. En general, y siguiendo
la convención, los conjuntos pueden ser denotados colocando sus elementos dentro
6
CAPÍTULO 1.
TEORÍA DE CONJUNTOS
de llaves, así, el conjunto del axioma 1.1, que en adelante será llamado conjunto
vacío, puede simbolizarse como {}, dando a entender que es el conjunto que no tiene
elementos. En la primera mitad del siglo XX, André Weil introdujo la notación ∅
para el conjunto vacío, de modo que ∅ = {}. Por su practicidad y su uso frecuente
en la literatura, en adelante se usará el símbolo ∅ para referirse al conjunto vacío. La
expresión por extensión será utilizada para simplicar por el axioma de extensión.
1.1.3.
Separación o comprensión
Rigurosamente hablando, este no es un axioma, sino más bien una colección de
axiomas, ya que por cada fórmula q del lenguaje, que se asumirá de primer orden
(veáse [13] para información más detallada de lenguajes de primer orden), hay
un axioma para la teoría de conjuntos, y por esta razón suele denominarse como
esquema axiomático de separación (o de comprensión).
Teorema 1.2. Si q es una propiedad y U es un conjunto, entonces el conjunto
Y que existe, según el esquema axiomático de separación, es único.
Demostración. Si hubiese dos conjuntos, Y y Z , con la propiedad indicada en el
axioma 1.3, dado x, se tendría que, x ∈ Y si y solo si x ∈ U ∧ q(x), y que, x ∈ Z si
y solo si x ∈ U ∧ q(x), de modo que por una tautología elemental, x ∈ Y si y solo
si x ∈ Z . Así, por extensión se tiene que Y = Z .
La primera aproximación a la noción de conjunto que probablemente el lector tuvo
en su vida, es aquella que indica que un conjunto es una colección de objetos
que satisfacen una propiedad, sin embargo, y al considerar la propiedad de no ser
elemento de sí mismo, es decir, q(x) = x 6∈ x, como se vio en la introducción, se
obtiene una paradoja. En este axioma no se trata de determinar los objetos que
cumplen una propiedad dada, sino que dado un conjunto U , es posible separar
de U aquellos objetos que satisfacen la propiedad. En este contexto, el conjunto
U suele ser llamado referencial, conjunto de referencia o universo, y de acuerdo
al teorema, si hay un conjunto de referencia jo U y una propiedad ja q , se
obtiene un único conjunto formado por aquellos elementos de U que satisfacen la
propiedad q . De nuevo, sabiendo que es único, es posible darle un símbolo propio, que
facilitará las futuras referencias, y claramente este conjunto depende de la propiedad
1.1.
AXIOMAS FUNDAMENTALES
7
y el referencial dados. Manteniendo la idea de colocar los elementos dentro de las
llaves, pero teniendo en cuenta que no necesariamente se conocen explícitamente los
elementos, las notaciones usuales para este conjunto son:
{x ∈ U | q(x)} = {x ∈ U : q(x)} = {x ∈ U ; q(x)},
donde x no representa un elemento concreto sino una variable con la cual se
describen las condiciones para estar en el conjunto. En este sentido, da lo mismo
escribir {x ∈ U ; q(x)} o {y ∈ U ; q(y)}, pues lo relevante es la información que se
da, es decir, y es un elemento del conjunto, siempre que sea elemento del conjunto
de referencia y que satisfaga la propiedad q .
Si U es un conjunto, ¾cómo son los elementos del conjunto {x ∈ U | x ∈ ∅}?
Si q es una fórmula, ¾cómo son los elementos del conjunto {x ∈ ∅ | q(x)}?
En principio, la naturaleza de los objetos de un conjunto no es relevante, sin embargo,
en muchos casos es conveniente tener una idea intuitiva de los mismos, por eso uno
de los principales objetivos en este capítulo es desarrollar la intuición de algunos
conjuntos y sus elementos. Los axiomas 1.1 a 1.3 no permiten garantizar la existencia
de conjuntos con uno, dos o más elementos, pero para el siguiente ejemplo se asumirá
que estos conjuntos existen y, en general, que dado cualquier número natural n,
existe un conjunto que tiene exactamente n elementos (véase el ejemplo 1.31), con
el n de presentar en algunos ejemplos el uso del esquema axiomático de separación.
Un conjunto con n elementos será denotado por {a1 , a2 , . . . , an } o, si se conocen
explícitamente los elementos, se escribirán estos elementos entre llaves y separados
por comas.
Ejemplo 1.3. Supóngase que la colección de todos los países (actuales) del
mundo forman un conjunto y se va a denotar por P . Se pueden considerar
algunas propiedades que hablen de países como:
(i) q1 (x) es la propiedad: x es un país de Europa.
(ii) q2 (x) es la propiedad: x es un país de América del Sur.
(iii) q3 (x) es la propiedad: x es un país de habla hispana.
8
CAPÍTULO 1.
TEORÍA DE CONJUNTOS
(iv) q4 (x) es la propiedad: x es un país latinoamericano.
En estas condiciones, el conjunto de países de Europa podría identicarse con
E = {x ∈ P | q1 (x)}, América del Sur con el conjunto A = {x ∈ P |
q2 (x)}, el conjunto de los países hispanohablantes con H = {x ∈ P | q3 (x)}
y Latinoamérica como L = {x ∈ P | q4 (x)}. El conjunto A escrito en forma
explícita es:
A = {Argentina, Bolivia, Brasil, Chile, Colombia, Ecuador,
Guyana, Paraguay, Perú, Suriname, Uruguay, Venezuela}.
Obsérvese que en el ejemplo 1.3 es necesario hacer una lista enorme para escribir
explícitamente todos los elementos del conjunto E (países de Europa), y resulta más
simple y conveniente solo especicar la propiedad que satisfacen. En esta situación,
se ve que un conjunto puede ser representado en más de una forma, cuando se dan
explícitamente todos sus elementos {a1 , a2 , . . . , an }, llamada representación por
extensión, o cuando se describe la propiedad de acuerdo al esquema axiomático de
separación {x ∈ U | q(x)}, llamada representación por comprensión.
Intersección de dos conjuntos
El esquema axiomático de separación permite denir la intersección de dos conjuntos
de forma simple, en efecto, si A y B son dos conjuntos, considerando la fórmula
x ∈ B y tomando el conjunto A como referencial, la intersección de A y B es el
conjunto:
Denición 1.4. A ∩ B = {x ∈ A | x ∈ B}, o equivalentemente
x∈A∩B
si y solamente si x ∈ A ∧ x ∈ B.
¾Qué representa el conjunto {x ∈ B | x ∈ A}?
A continuación se presenta un ejemplo cotidiano.
1.1.
9
AXIOMAS FUNDAMENTALES
Ejemplo 1.5. Con los conjuntos del ejemplo 1.3, sucede que:
A ∩ E = ∅,
A ∩ H = {Argentina, Bolivia, Chile, Colombia, Ecuador,
Paraguay, Perú, Uruguay, Venezuela}.
Ejercicio 1.1. Probar que las siguientes propiedades se cumplen para cualesquiera
conjuntos A, B y C .
(a) A ∩ B = B ∩ A.
(b) ∅ ∩ A = ∅.
(c)
(A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C).
¾Cómo se deniría A ∩ B ∩ C ? ¾Coincide esta denición con las expresiones
del ejercicio 1.1 (c)?
Cuando la intersección entre dos conjuntos no vacíos es justamente el conjunto
vacío, se dice que los conjuntos son disyuntos y signica que no tienen elementos
en común. En el ejemplo 1.5, los conjuntos A y E son disyuntos, y esto en la práctica
signica que no hay países que estén a la vez en América de Sur y en Europa.
Subconjunto
Para denir el concepto de contenencia no es necesario tener en cuenta el esquema
axiomático de separación, sin embargo dicho concepto se ha dejado hasta esta sección
para facilitar la presentación de algunas propiedades y algunos ejemplos. Téngase
en cuenta que en el axioma de extensión se usa la propiedad x ∈ A ↔ x ∈ B para
establecer la relación de igualdad entre los conjuntos A y B . Si se considera una sola
implicación en esta propiedad, se tendría por ejemplo x ∈ A → x ∈ B , y se indica
entonces que si un elemento pertenece al conjunto A, entonces este mismo pertenece
al conjunto B . Esta relación entre A y B es llamada contenencia y se dene como
sigue:
Denición 1.6. Un conjunto A está contenido en un conjunto B si y solamente
si para cualquier elemento x que pertenezca al conjunto A se tiene que x
pertenece al conjunto B . En este caso se dice también que A es subconjunto
10
CAPÍTULO 1.
TEORÍA DE CONJUNTOS
de B o que B es superconjunto de A y se simboliza por A ⊆ B . En símbolos
A⊆B
si y solo si
∀x(x ∈ A → x ∈ B).
La notación B ⊇ A signica lo mismo que A ⊆ B . También se usarán los
símbolos ⊂ y ⊃ para indicar que se da la respectiva contenencia pero no la
igualdad, y en este caso se dirá que la contenencia es propia.
Ejercicio 1.2. Probar que las siguientes propiedades se cumplen para cualesquiera
conjuntos A, B y C .
(a) ∅ ⊆ A.
(c) A ∩ B ⊆ A.
(e) A ⊆ A.
(b) A ⊆ ∅ si y solo si A = ∅.
(d) A = A ∩ B si y solo si A ⊆ B .
(f) Si A ⊆ B y B ⊆ C , entonces A ⊆ C .
¾Cuáles de las anteriores propiedades de la contenencia son válidas para la
contenencia propia?
Un criterio inmediato para la igualdad de conjuntos es dado por la doble contenencia,
más precisamente,
Proposición 1.7. Si A y B son dos conjuntos, A = B si y solo si A ⊆ B y
B ⊆ A.
Demostración. A = B si y solo si para cualquier x, x ∈ A ↔ x ∈ B o
equivalentemente, para cualquier x, x ∈ A → x ∈ B y x ∈ B → x ∈ A, de modo que
por la tautología ∀x(p(x)∧q(x)) ↔ ((∀x(p(x)))∧(∀x(q(x)))), esto resulta equivalente
a que para cualquier x, x ∈ A → x ∈ B , y para cualquier x, x ∈ B → x ∈ A. Como
esto sucede para cualquier x, esto es equivalente a A ⊆ B y B ⊆ A.
Complementos y diferencia entre conjuntos
Otra consecuencia inmediata del esquema axiomático de separación es la posibilidad
de denir la diferencia entre dos conjuntos, es decir, el conjunto formado por los
elementos de uno de los conjuntos que no pertenecen al otro. Si A y B son dos
conjuntos, la diferencia entre A y B , denotada por A \ B , es el conjunto formado
por los elementos que pertenecen a A y que no pertenecen a B .
1.1.
AXIOMAS FUNDAMENTALES
11
Denición 1.8. A \ B = {x ∈ A | x 6∈ B}, o equivalentemente
x∈A\B
si y solamente si x ∈ A ∧ x 6∈ B.
El conjunto A \ B también es llamado complemento relativo de B con respecto
a A. Si el contexto es claro, y hay un referencial U , se dice simplemente que U \ B
es el complemento de B , y se suele denotar por B c .
¾En qué condiciones A \ B = B \ A?
Ejercicio 1.3. Sean A y B conjuntos cualesquiera.
(a) Probar que A \ B ⊆ A pero no se tiene que A \ B ⊆ B .
(b) Probar que A ⊆ A \ B si y solo si A y B son disyuntos.
(c) Probar si B ⊆ A entonces A \ (A \ B) = B , y en particular (B c )c = B para
cualquier conjunto B (con un referencial U ).
Dado un conjunto de referencia U , y A, B ⊆ U , es posible denir la unión de los
conjuntos A y B como el conjunto A ∪ B = {x ∈ U | x ∈ A ∨ x ∈ B}. Esta denición
es útil para comprender algunas propiedades de la unión, sin embargo limita la unión
a conocer un conjunto de referencia (½nótese que esto no sucede con la intersección!).
Proposición 1.9. Sean A, B , C subconjuntos de un conjunto X . Entonces se
satisfacen las siguientes propiedades.
(i) A ∪ B = B ∪ A.
(ii) A ∪ ∅ = ∅ ∪ A = A.
(iii) (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C).
(iv) A \ (B ∩ C) = (A \ B) ∪ (A \ C).
(v) A \ (B ∪ C) = (A \ B) ∩ (A \ C).
(vi) (A ∩ B)c = Ac ∪ B c .
(vii) (A ∪ B)c = Ac ∩ B c .
12
CAPÍTULO 1.
TEORÍA DE CONJUNTOS
(viii) A ∩ X = X ∩ A = A.
(ix) A4B = B4A, donde 4 es la diferencia simétrica denida por A4B =
(A \ B) ∪ (B \ A).
(x) A4B = (Ac ∩ B) ∪ (A ∩ B c ) = (A ∪ B) \ (A ∩ B).
(xi) (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C).
(xii) A ∩ B ⊆ A ∪ B .
(xiii) Si A ⊆ B entonces B c ⊆ Ac .
Las propiedades (vi) y (vii) de la proposición 1.9 se conocen como leyes de De
Morgan.
Ejercicio 1.4. Demostrar cada una de las propiedades de la proposición 1.9.
1.1.4.
Pares
El axioma de pares garantiza que dados dos conjuntos A y B , hay un conjunto
que tiene a A y B como elementos y no tiene más elementos. El axioma de
extensión garantiza que este conjunto es único (½pruébese!), dicho conjunto es
llamado conjunto par y el símbolo para este conjunto es {A, B}. Este es el primer
axioma que garantiza la existencia de conjuntos con elementos, concretamente con
dos, o con uno en el caso A = B , teniendo en cuenta que por el axioma de extensión
{A, A} = {A}. Es importante resaltar en este punto que en general A 6= {A}, pues
por el axioma de extensión, esto solamente sucedería si A fuese elemento de sí mismo
y fuese su único elemento. Más adelante se hará una mención breve del axioma de
fundamentación, que ayuda a evitar la posibilidad de que un conjunto sea elemento
de sí mismo, y así garantiza que A 6= {A} para cualquier conjunto A. Por lo pronto,
se observa que el conjunto P del ejemplo 1.3 no es en sí mismo un país y por esto
P ∈
/ P , de modo que P 6= {P } ya que {P } tiene un elemento que no está en P .
Ejemplo 1.10. Nótese que el conjunto {∅} es obtenido por el axioma de pares
al tomar X = Y = ∅ y ya que por extensión {∅, ∅} = {∅}, y ∅ =
6 {∅}. Usando de
nuevo pares, con X = Y = {∅} es posible obtener el conjunto {{∅}}, y tomando
1.1.
AXIOMAS FUNDAMENTALES
13
X = ∅ e Y = {∅} se obtiene el conjunto {∅, {∅}}. Análogamente se obtiene el
conjunto {∅, {∅, {∅}}} tomando X = ∅ e Y = {∅, {∅}}, etc.
¾Es cierto que ∅ ⊂ {∅}?
¾Es cierto que {∅} ⊂ ∅?
¾Cuántos elementos tiene el conjunto {∅, {∅, {∅}}}?
Si A, B y C son conjuntos, ¾es posible obtener {A, B, C} con los axiomas
1.1-1.4?
Parejas ordenadas
Sean A, B subconjuntos de un conjunto X y considérese a ∈ A y b ∈ B . Se dene
el conjunto (a, b) = {{a}, {a, b}}, este conjunto se llama pareja ordenada con
coordenadas a y b, el elemento a se denomina primera componente y el elemento
b se denomina segunda componente. Una pareja ordenada satisface la siguiente
propiedad fundamental.
Teorema 1.11. Para a, c ∈ A y b, d ∈ B , (a, b) = (c, d) si y solo si a = c y
b = d.
Demostración. Supóngase que (a, b) = (c, d), como {a} ∈ (a, b), por extensión {a} ∈
(c, d), y por tanto {a} = {c} o {a} = {c, d}. El segundo caso no es posible, pues
un conjunto con un elemento no puede ser igual a un conjunto con dos elementos
(por extensión), de modo que necesariamente se satisface la primera condición y,
por tanto, a = c. Además, como {a, b} ∈ (a, b), un argumento similar al anterior
garantiza que {a, b} = {c, d}, y como a = c, por extensión se concluye que b = d.
En el otro sentido, si a = c y b = d, entonces por extensión {a} = {c}, {b} = {d} y
{a, b} = {c, d}, y nuevamente por extensión, {{a}, {a, b}} = {{c}, {c, d}}, es decir,
(a, b) = (c, d).
¾A qué conjunto pertenece una pareja ordenada?
1.1.5.
Familias de conjuntos y uniones
A lo largo del texto, una familia de conjuntos es en esencia una colección de
conjuntos que en sí misma es un conjunto. Por ejemplo, la colección de conjuntos
14
CAPÍTULO 1.
TEORÍA DE CONJUNTOS
que no son elementos de sí mismos no es un conjunto, como se vio antes, y por
tal razón no es una familia de conjuntos. Desde esta perspectiva, si A y B son
conjuntos, el conjunto par {A, B} es una familia de conjuntos. Usualmente se
denota por F a una familia de conjuntos.
Si F es una familia de conjuntos, el conjunto que existe según el axioma de uniones
es único y es llamado la unión de la familia F . La unión de la familia F es
S
denotada por F . Así,
x∈
[
F ↔ existe A ∈ F tal que x ∈ A,
en otras palabras, un elemento está en la unión de la familia si es elemento de algún
elemento de la familia.
Ejemplo 1.12. Sean A y B dos conjuntos y F
correspondiente al par. Así, x ∈
S
= {A, B} la familia
F si y solo si x ∈ A o x ∈ B .
La condición del ejemplo anterior coincide con la que se indicó para la unión de
dos conjuntos, sin embargo no se hace mención de un conjunto referencial. Una de
las ventajas de axiomatizar la unión de conjuntos es poder denir las uniones sin
necesidad de tener un conjunto de referencia. En particular, se puede probar que
S
para la familia F = {A, B}, F = A ∪ B .
Ejemplo 1.13. Si X es un conjunto, entonces el conjunto X ∪ {X} es
denominado el sucesor de X .
¾Cuál es el sucesor del conjunto vacío? ¾cuál es el sucesor del sucesor del
conjunto vacío?
Ejercicio 1.5. Partiendo del conjunto vacío, calcular los sucesores hasta la quinta
iteración.
Ejemplo 1.14. Supóngase que A, B y C son conjuntos. Por pares, es posible
tener las familias {A, B} y {C}, y nuevamente por pares se obtiene la familia
1.1.
AXIOMAS FUNDAMENTALES
15
{{A, B}, {C}}. Finalmente, la unión de esta última familia sería el conjunto
{A, B, C}.
El ejemplo anterior pone en evidencia que el axioma de uniones es la clave para
asegurar la existencia de conjuntos con un número nito de elementos.
Ejercicio 1.6. Siguiendo la idea del ejemplo 1.14, construya un conjunto con cuatro,
cinco y seis elementos.
¾Se puede establecer un criterio para la construcción de un conjunto con n
elementos?
Recordando que un conjunto nito con n elementos puede ser denotado por
{a1 , . . . an }, una familia nita se puede denotar por F = {A1 , . . . , An }. Por
simplicidad, la unión de una familia nita puede representarse por
[
F=
n
[
Ak = A1 ∪ · · · ∪ An .
k=1
Ejemplo 1.15. Sean D1 = {a, b, c}, D2 = {a, b, d}, D3 = {a, c, d} y D4 =
{b, c, d}, y F = {D1 , D2 , D3 , D4 }, entonces
[
F=
4
[
Dk = D1 ∪ D2 ∪ D3 ∪ D4 = {a, b, c, d}.
k=1
Ejercicio 1.7. Dar un ejemplo de una familia de cinco conjuntos de modo que
cada conjunto tenga a lo sumo cuatro elementos. Encontrar la unión de la familia.
¾Cuántos elementos tiene la unión de la familia?
Ejercicio 1.8. Dar un ejemplo de una familia de seis conjuntos de modo que la
unión de la familia tenga tres elementos.
1.1.6.
Partes
El axioma de partes simplemente garantiza que la colección formada por las partes
de un conjunto dado es de nuevo un conjunto. Dado un conjunto X , una parte de
16
CAPÍTULO 1.
TEORÍA DE CONJUNTOS
X es simplemente un subconjunto de X , y el conjunto que existe de acuerdo a este
axioma es único y se llama partes de X . El conjunto de partes de X se denota por
℘(X) o 2X (más adelante se justicará el uso del último símbolo).
Denición 1.16. ℘(X) = 2X = {A | A ⊆ X} o equivalentemente
A ∈ ℘(X) si y solo si A ⊆ X.
¾Qué es 2∅ ?
Ejemplo 1.17. Considérese el conjunto X = {a, b} de dos elementos. Los
subconjuntos de X son ∅, {a}, {b} y X = {a, b}, de modo que
℘(X) = {∅, {a}, {b}, X}.
Nótese que cualquier conjunto con dos elementos tiene el mismo
comportamiento y su conjunto de partes es un conjunto de cuatro elementos.
Por otro lado,
[
℘(X) = ∅ ∪ {a} ∪ {b} ∪ X = {a, b} = X.
Ejercicio 1.9. Considérense los conjuntos con tres elementos X = {a, b, c},
Y = {1, 2, 3} y Z = {, , 4}.
(a)
Hallar ℘(X), ℘(Y ) y ℘(Z).
(b)
Encontrar
S
℘(X).
Ejercicio 1.10. Supóngase que X es un conjunto no vacío y sean A ∈ 2X y
B ∈ 2X . Probar las siguientes armaciones.
(a) A ∩ B ∈ 2X .
(d) B \ A ∈ 2X .
(b) A ∪ B ∈ 2X .
(e) A4B ∈ 2X .
(c) A \ B ∈ 2X .
(f) 2A ⊆ 2X .
Si A ⊆ 2X entonces ¾a qué conjunto pertenece A?
1.1.
17
AXIOMAS FUNDAMENTALES
Producto cartesiano de dos conjuntos
Si X es un conjunto no vacío, una pareja ordenada (a, b) = {{a}, {a, b}} es un
X
elemento de ℘(℘(X)) = 22 (½verifíquese!). Si A, B ⊆ X , entonces el producto
cartesiano de A y B que se denota por A × B es el conjunto formado por todas
las parejas ordenadas con primera componente en A y segunda componente en B .
Denición 1.18. A × B = {(a, b) ∈ 22 | a ∈ A ∧ b ∈ B} o equivalentemente
X
(a, b) ∈ A × B si y solo si a ∈ A ∧ b ∈ B.
Ejercicio 1.11. Si A = {a, b, c}, B = {a, c, e} y C = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, calcular:
A × B , B × A, A × C , C × A, B × C y C × A.
Nótese que en general A × B 6= B × A.
Ejercicio 1.12. Probar que A × B = B × A si y solo si A = B .
Ejercicio 1.13. Supóngase que X y Y son conjuntos y sean A, C ⊆ X y B, D ⊆ Y .
(a) Probar que (A × B) ∩ (C × D) = (A ∩ C) × (B ∩ D).
(b) Probar que (A × B) ∪ (C × D) ⊆ (A ∪ C) × (B ∪ D).
(c) Dar un ejemplo donde no se tenga la igualdad para el ítem anterior y un
ejemplo donde sí se tenga.
Familias indexadas y conjuntos indexados
Como se vio antes, una familia nita se puede escribir usando como subíndices los
números 1, 2, 3, etc., y esta misma idea puede ser usada para expresar una familia
arbitraria de conjuntos. Para esto, si en el ejemplo 1.15 se llama I = {1, 2, 3, 4}, la
familia {D1 , D2 , D3 , D4 } se puede denotar también por {Di }4i=1 , o simplemente por
{Di }i∈I . En general, se tiene la siguiente denición.
Denición 1.19. Sea I un conjunto. Una familia indexada por I es una
familia de conjuntos tal que
(i) Para cada i ∈ I hay un conjunto Ai en la familia.
18
CAPÍTULO 1.
TEORÍA DE CONJUNTOS
(ii) Si i, j ∈ I son distintos, entonces Ai 6= Aj .
En este caso, la familia se denotará por {Ai }i∈I y el conjunto I es llamado
conjunto de índices.
El símbolo (Ai )i∈I se usará para representar una familia de conjuntos donde
solamente se satisface la condición (i), es decir, se permite que Ai = Aj para
i 6= j .
Esta denición será de gran utilidad a lo largo del texto y se recomienda al lector
ejercitarse bien en el dominio de esta notación. La diferencia entre una familia
{Ai }i∈I y una familia (Ai )i∈I es simplemente que en la segunda se permite la
posibilidad de encontrar conjuntos repetidos, lo cual será necesario en algunos
contextos, como en la denición del producto cartesiano.
Ejemplo 1.20. Si X es un conjunto, el conjunto de partes de X es una familia
que puede ser indexada por el mismo conjunto 2X , en cuyo caso
2X = {A}A∈2X = {A}A⊆X .
Ejercicio 1.14. Para cada conjunto I dado, escribir explícitamente en términos de
los subíndices la familia {Ai }i∈I .
(a) I = {1, 2, 3, 4, 5}.
(b) I = {, , 4}.
La notación de índices es útil para probar cuestiones generales acerca de las
operaciones de conjuntos. Para este n, la unión de una familia indexada F =
{Ai }i∈I se escribirá como
[
[
F=
Ai = {x | x ∈ Ai para algún i ∈ I},
i∈I
y se tiene que
x∈
[
Ai si y solo si x ∈ Ak para algún k ∈ I.
i∈I
En este punto, es posible también denir la intersección de una familia F = {Ai }i∈I
como
\
\
[
F=
Ai = {x ∈
F | x ∈ Ai para todo i ∈ I},
i∈I
1.1.
19
AXIOMAS FUNDAMENTALES
es decir,
x∈
\
Ai si y solo si x ∈ Ak para todo k ∈ I.
i∈I
La intersección de una familia arbitraria se puede denir sin necesidad de
axiomatizar, ya que la unión de la familia sirve como conjunto de referencia. El
siguiente ejemplo ayuda como guía para probar propiedades acerca de las operaciones
entre familias que serán de utilidad en los capítulos posteriores.
Ejemplo 1.21. Si X es un conjunto no vacío, un subconjunto de partes de
X es una familia de subconjuntos de X . En efecto, si F ⊆ 2X , entonces para
cualquier A ∈ F , A ⊆ X , así que los elementos de F son subconjuntos de X .
Ejercicio 1.15. Supóngase que F es una familia de subconjuntos de un conjunto
X . Probar que F ⊆ 2X .
Ejemplo 1.22. Sea X un conjunto y F una familia de subconjuntos de X ,
entonces
S
F es también un subconjunto de X .
S
Se debe vericar que si x ∈
F entonces x ∈ X . Para facilitar la prueba,
supóngase que I es un conjunto conveniente de índices (no hay problema en
suponer esto, pues por los ejemplos 1.20, 1.21 y el ejercicio 1.15, siempre se
puede indexar por algún subconjunto de partes del conjunto) de modo que
S
S
F = {Ai }i∈I . Así, si x ∈ F = i∈I Ai , entonces x ∈ Ak para algún k ∈ I y
como Ak ⊂ X , resulta que x ∈ X .
Proposición 1.23. Asúmase que X es un conjunto y F = {Ai }i∈I es una
familia de subconjuntos de X . Entonces se tienen las siguientes propiedades de
las operaciones con familias de conjuntos.
S
S
(i) Ak ⊆ i∈I Ai para cada k ∈ I o equivalentemente A ⊆ F para cada
A ∈ F.
(ii)
i∈I Ai ⊆ Ak para cada k ∈ I
T
A ∈ F.
o equivalentemente
T
F ⊆ A para cada
20
CAPÍTULO 1.
(iii)
(iv)
T
Ai ⊆
S
TEORÍA DE CONJUNTOS
Ai .
i∈I
i∈I
T
Ai ∈ 2X .
i∈I
(v)
Å
S
ãc
Ai
=
i∈I
(vi)
Å
T
Aci .
i∈I
ãc
Ai
=
i∈I
(vii)
T
S
Aci .
i∈I
Ai = ∅.
S
i∈∅
(viii)
Ai = X .
T
i∈∅
Ejercicio 1.16. Demostrar la proposición 1.23.
Nota 1.24. En general, cuando hay una colección de conjuntos, incluso si la
colección en sí misma no es un conjunto (por ejemplo la colección de todos los
conjuntos), las operaciones de intersección y unión de la colección se denen de
forma análoga y satisfacen las mismas propiedades de la proposición 1.23.
1.1.7.
Innito, inducción
Las secciones anteriores dan una idea de cómo construir conjuntos nitos a partir
de conjuntos dados, y como se vio en la subsección 1.1.4, a partir del conjunto vacío
se pueden ir construyendo diversos conjuntos, así que la existencia de conjuntos
nitos no es un problema, aun cuando hasta el momento no se ha probado. Para
facilitar la prueba, se procederá usando el principio de inducción, que se verá en esta
sección. Pero el principal objetivo del axioma del innito es garantizar la existencia
de al menos un conjunto con innitos elementos (posteriormente se hablará de
cardinalidad). Si X es un conjunto, el conjunto {X} representa al conjunto unitario
cuyo único elemento es X , y como se discutió en la subsección 1.1.4, es en general
diferente de X . Así, al considerar el sucesor de X como se menciona en la subsección
1.1.5, se obtiene el conjunto X ∪ {X}; de modo que ya es posible denir un conjunto
inductivo.
1.1.
21
AXIOMAS FUNDAMENTALES
Denición 1.25. Un conjunto S se denomina inductivo si cumple las
siguientes dos condiciones.
(i) ∅ ∈ S .
(ii) Si x ∈ S entonces x ∪ {x} ∈ S .
En palabras, un conjunto es llamado inductivo si el conjunto vacío es un elemento
del conjunto, y cada vez que haya un elemento del conjunto, su sucesor es también
un elemento del conjunto. Al considerar la clase de todos los conjuntos inductivos, la
cual es no vacía en virtud del axioma del innito, se puede probar que la intersección
de esta colección es un conjunto inductivo y es el más pequeño de todos en el siguiente
sentido. Esta intersección tiene sentido teniendo en cuenta la nota 1.24.
Teorema 1.26. Sea I la colección de todos los conjuntos inductivos (nótese
que I que no es un conjunto), entonces
T
cualquier conjunto inductivo, I ⊆ S 0 .
T
I es un conjunto inductivo y si S 0 es
Demostración. Si S ∈ I entonces S es un conjunto inductivo y por tanto ∅ ∈ S ,
T
en otras palabras, ∅ ∈ S para cualquier S ∈ I , de modo que ∅ ∈ I . De forma
T
análoga, si x ∈ I , entonces x ∈ S para todo S ∈ I , y como cada S es inductivo,
T
x ∪ {x} ∈ S para cada S ∈ I , por lo que x ∪ {x} ∈ I . Ahora, si S 0 es inductivo,
T
S 0 ∈ I y por la proposición 1.23 (ii), se tiene que I ⊆ S 0 .
Denición 1.27. El conjunto
T
I es denido como el conjunto de los números
naturales N.
Nota 1.28. Teniendo en cuenta la denición 1.27 y la notación dada en la
denición 1.25, se tiene la siguiente representación para los números naturales,
como en [27], debida a John non Neumann.
22
CAPÍTULO 1.
TEORÍA DE CONJUNTOS
0 = ∅;
1 = ∅ ∪ {∅} = {∅} = {0} (1 es el sucesor del conjunto vacío);
2 = 1 ∪ {1} = {∅} ∪ {{∅}} = {∅, {∅}} = {0, 1} (2 es el sucesor de 1);
(1.1)
..
.
n + 1 = n ∪ {n} = {0, 1, . . . , n} (n + 1 es el sucesor de n).
Con esta construcción, nótese que si m y n son números naturales, la expresión
n ≤ m signica que n ∈ m o n = m, y la expresión n < m signica que
n ∈ m. Como el lector ya está familiarizado con las propiedades básicas de los
números naturales, no se probarán acá, sin embargo se recordará el principio
de inducción debido a su importancia práctica.
Ejercicio 1.17. Probar que:
(a) n ≤ m si y solo si n ∈ m + 1.
(c) si n ≤ m y m ≤ n, entonces m = n.
(b) si n ≤ m y m ≤ k , entonces n ≤ k .
(d) n ≤ n para cualquier n ∈ N.
¾Conoce alguna otra relación en los números naturales con las propiedades (b)(d) del ejercicio 1.17?
Corolario 1.29. Si S es un subconjunto inductivo de N entonces S = N. Esto
es, si S ⊆ N, y
(i) 0 ∈ S ,
(ii) n ∈ S implica n + 1 ∈ S ,
por lo tanto, S = N.
Una forma común de presentar el principio de inducción es la siguiente:
Corolario 1.30 (Principio de inducción). Sea q una propiedad sobre los
naturales y supóngase que
1.2.
RELACIONES Y FUNCIONES
23
(i) q(0),
(ii) para cada k ∈ N, q(k) implica q(k + 1),
entonces q(n) para cada n ∈ N.
Ejemplo 1.31. Sea q(n) la propiedad: existe un conjunto A con n elementos y
A∈
/ A. Es claro que q(0), pues el vacío cumple esta propiedad, y si q(n), siendo
A un conjunto con n elementos tal que A ∈
/ A, se tiene que el sucesor de A,
A ∪ {A} es un conjunto con n + 1 elementos y A ∪ {A} ∈
/ A ∪ {A}, de modo que
q(n + 1). Por el principio de inducción se concluye que q(n) para cada n ∈ N.
En particular, dado n ∈ N, existe un conjunto con n elementos.
Ejercicio 1.18. Sean X un conjunto no vacío y F = {Ai }i∈I una familia de
subconjuntos de X . Demostrar que si la intersección de cualquier par de conjuntos
de F es un conjunto de F , entonces la intersección de cualquier subfamilia nita de
conjuntos de F es un conjunto de F .
Los números enteros se pueden construir también formalmente (véase por ejemplo
[27]), sin embargo no se hará acá y se presentan los enteros informalmente como el
conjunto {· · · , −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, · · · } que son los naturales junto con sus inversos
aditivos. Algunos subconjuntos de Z que serán usados habitualmente se simbolizan
por: Z+ = N \ {0} los enteros positivos, Z− = {−n | n ∈ Z+ } los enteros negativos,
2Z = {2n | n ∈ Z} los enteros pares o 2Z + 1 = {2n + 1 | n ∈ Z} los enteros impares.
1.2. Relaciones y funciones
Un concepto importante asociado a los productos cartesianos es el de relación
(binaria).
Denición 1.32. Una relación R entre los elementos de conjuntos no vacíos X
y Y (o simplemente una relación entre X y Y ) es un subconjunto del producto
cartesiano X × Y .
Es decir, los elementos de una relación R son parejas ordenadas. Por conveniencia
se escribe aRb en lugar de (a, b) ∈ R, y se lee a está relacionado con b; cuando es
24
CAPÍTULO 1.
TEORÍA DE CONJUNTOS
posible se usa el nombre de la relación. En caso de querer indicar que dos elementos
/ R. Si X = Y se
no están relacionados se puede escribir aRb o simplemente (a, b) ∈
dice simplemente que la relación es una relación en X .
Ejemplo 1.33. Los siguientes son ejemplos de relaciones.
(i) Si X es un conjunto no vacío, el producto X 2 = X × X es una relación
en X .
(ii) El conjunto vacío es una relación entre X y Y llamada la relación vacía,
cualesquiera sean los conjuntos X y Y .
(iii) Si X = {1, 2, 3} y Y = {a, b}, entonces R = {(1, a), (2, a), (2, b), (3, b)} es
una relación entre X y Y mientras que R̃ = {(a, 1), (b, 1), (b, 3)} es una
relación entre Y y X .
(iv) Si X es un conjunto no vacío, la pertenencia ∈ es una relación entre X y
2X , es decir,
∈= {(x, A) ∈ X × 2X | x ∈ A}.
(v) Si X = {1, 2, 3, 4, 5}, la relación
R = {(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 3), (2, 5), (3, 4)}
es una relación en X . Es claro en este ejemplo que 1R2 y 2R5 pero 1R5.
(vi) En los naturales, como se vio en el ejercicio 1.17, n ≤ m signica que
n ∈ m + 1. ≤ es una relación en N, donde la expresión la pareja (n, m)
pertenece a la relación, signica que n ≤ m.
(vii) Si X es un conjunto no vacío, la contenencia dene una relación en 2X ,
esto es, R = {(A, B) ∈ 2X × 2X | A ⊆ B}.
A continuación se denen algunas clases genéricas de relaciones, ya que con base en
estas se obtienen tipos especiales de relaciones como la de orden, la de equivalencia
y las funciones.
1.2.
RELACIONES Y FUNCIONES
25
Denición 1.34. Se tienen las siguientes clases de relaciones R en un conjunto
X.
(i) R se llama reexiva si aRa para todo a ∈ X .
(ii) R se llama irreexiva si aRa para todo a ∈ X .
(iii) R se llama simétrica si aRb implica bRa para todo a, b ∈ X .
(iv) R se llama asimétrica si aRb implica que bRa para todo a, b ∈ X .
(v) R se llama antisimétrica si aRb y bRa implica que a = b para todo
a, b ∈ X .
(vi) R se llama transitiva si aRb y bRc implica que aRc para todo a, b, c ∈ X .
(vii) R se llama función si aRb y aRc implica que b = c para todo a, b ∈ X .
Ejemplo 1.35. Considérese el conjunto X = {a, b, c, d, e} y considérese sobre
X la relación R = {(a, b), (a, c), (a, d), (a, e)}. Esta relación es irreexiva,
asimétrica y antisimétrica.
Ejemplo 1.36. La relación ≤ en N es reexiva, antisimétrica y transitiva (véase
el ejercicio 1.17).
Ejercicio 1.19. Sea R una relación transitiva. Probar que R es irreexiva si y solo
si es asimétrica.
1.2.1.
Relaciones de orden
Las propiedades de la relación ≤ en los naturales mostradas en el ejemplo 1.36 no
son exclusivas de esta relación, de hecho, la contenencia entre conjuntos también las
satisface. En efecto, el ejercicio 1.2 (e) garantiza la reexividad, el ejercicio 1.2 (f)
la transitividad y el teorema 1.7 la simetría.
26
CAPÍTULO 1.
TEORÍA DE CONJUNTOS
Denición 1.37. Sea R una relación no vacía en un conjunto no vacío X .
(i) Se dice que R es una relación de orden o un orden si es a la vez
reexiva, antisimétrica y transitiva.
(ii) X dotado de una relación de orden es llamado conjunto parcialmente
ordenado.
Si X es un conjunto no vacío, ¾es X × X una relación de orden?
Una relación de orden para un conjunto no vacío X será denotada por .
Ejercicio 1.20. Denir al menos dos relaciones de orden en el conjunto {a, b, c, d, e}.
Denición 1.38. Una relación no vacía que es a la vez irreexiva y transitiva
es llamada relación de orden estricto.
Ejemplo 1.39. La relación < es una relación de orden estricto en N y ⊂ es
una relación de orden estricto en ℘(X), para un conjunto no vacío X .
Por el ejercicio 1.19 se tiene que toda relación de orden estricto es asimétrica. Las
relaciones de orden estricto se simbolizarán por ≺ salvo aquellas que tengan un
símbolo propio.
Hay un vínculo estrecho entre las relaciones de orden y las relaciones de orden
estricto y este justica el uso de esta notación.
Proposición 1.40. Se presentan las siguientes propiedades entre relaciones de
orden y relaciones de orden estricto.
(i) Si es una relación de orden, entonces la relación ≺ denida por a ≺ b
si y solo si a b y a 6= b, es una relación de orden estricto.
(ii) Si ≺ es una relación de orden estricto, entonces la relación denida por
a b si y solo si a ≺ b o a = b, es una relación de orden.
1.2.
27
RELACIONES Y FUNCIONES
Un conjunto nito parcialmente ordenado por ≺ puede representarse por un
diagrama de Hasse ya sea horizontalmente o verticalmente. En este texto se
considera que en el caso de un diagrama de Hasse dispuesto verticalmente, si a ≺ b
el elemento a está más abajo que b.
Ejemplo 1.41. Considérese la relación en el conjunto X = {1, 2, 3, 4, 5}
dada por
{(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (2, 2), (2, 5), (3, 3), (3, 5), (4, 4), (4, 5), (5, 5)}.
El diagrama de Hasse asociado a este orden es:
5
2
3
4
1
Ejercicio 1.21. Se dene en N la relación | (de divisibilidad) dada por n|m si y
solo si existe un número natural k tal que m = nk . n|m se lee n es un divisor de
m, n divide a m o m es divisible por n. Para cada n ∈ N se dene el conjunto
D(n) de los divisores de n, es decir, D(n) = {x ∈ N | x|n} y se considera la familia
{D(n)}n∈N .
(a) Hallar D(0), D(4) y D(6).
(b) Encontrar D(4) ∩ D(6).
(c) Probar que | es una relación de orden en N.
(d) Encontrar
S
n∈N D(n) y
T
n∈N D(n).
(e) Probar que la intersección de dos elementos de la familia {D(n)}n∈N es de
nuevo un elemento de la familia, es decir, dados n, m ∈ N, existe k ∈ N tal
que D(n) ∩ D(m) = D(k).
(f) ¾Es la unión de dos elementos de la familia {D(n)}n∈N un elemento de la
familia?
28
CAPÍTULO 1.
TEORÍA DE CONJUNTOS
(g) Realizar el diagrama de Hasse del orden | en el conjunto D(24).
La siguiente denición resume algunos conceptos asociados con conjuntos
parcialmente ordenados.
Denición 1.42. Supóngase que X es un conjunto y es una relación de
orden sobre X . Sean A ⊆ X y s ∈ X . Se dice que:
(i) s es una cota superior de A si y solo si a s para todo a ∈ A;
(ii) s es una cota inferior de A si y solo si s a para todo a ∈ A;
(iii) s es un elemento maximal de A si y solo si, s ∈ A y para cualquier
a ∈ A, s a implica a = s;
(iv) s es un elemento minimal de A si y solo si, s ∈ A y para cualquier
a ∈ A, a s implica a = s;
(v) s es el máximo de A (máx(A)) si y solo si, s ∈ A y a s para cualquier
a ∈ A;
(vi) s es el mínimo de A (mı́n(A)) si y solo si s ∈ A y s a para cualquier
a ∈ A;
(vii) s es el supremo de A (sup(A)) si y solo si s es cota superior de A y para
cualquier cota superior b de A, s b;
(viii) s es el ínmo de A (ı́nf(A)) si y solo si s es cota inferior de A y para
cualquier cota inferior b de A, b s.
Un elemento maximal (resp. minimal) es entonces un elemento de un conjunto tal
que no hay ningún otro elemento del conjunto mayor (resp. menor) que él. Nótese
que en la denicíon se habla de un elemento para maximales y minimales, y de
él para máximo, mínimo, supremo e ínmo; y esto se debe a que estos últimos, si
existen son únicos, mientras que los primeros pueden existir en un número mayor.
Además se observa que la diferencia entre el supremo y el máximo es que el supremo
podría no pertenecer al conjunto, sin embargo, si el máximo existe, este coincide
con el supremo (análogamente para el ínmo y el mínimo). Al elemento máximo
1.2.
29
RELACIONES Y FUNCIONES
se le suele llamar también último elemento y al mínimo se le suele llamar primer
elemento.
Denición 1.43. Un subconjunto A de un conjunto parcialmente ordenado
(X, ) se dice acotado superiormente (respec. inferiormente) si A tiene
al menos una cota superior (respec. inferior) en X . Si A es acotado superior e
inferiormente, se dice que A es acotado.
Ejercicio 1.22. Usando la relación | y las notaciones empleadas en el ejercicio 1.21:
(a) vericar que D(12) ⊂ D(24) y encontrar las cotas superiores de D(12) en
D(24);
(b) encontrar los elementos maximales y minimales de D(12);
(c) ¾existen el máximo y el mínimo de D(12)?
(d) encontrar los elementos maximales y minimales de D(12) \ {0, 1, 12};
(e) encontrar los elementos maximales y minimales de {2, 3, 6};
(f) ¾existen el máximo y el mínimo de {2, 3, 6}?
Ejercicio 1.23. Desarrolle cada uno de los ítems del ejercicio 1.22 considerando el
orden dado por ≤.
Ejercicio 1.24. Supóngase que X es un conjunto ordenado por y A ⊆ X es un
conjunto acotado superiormente, tal que sup(A) existe. Si B es el conjunto de cotas
superiores de A, probar que sup(A) = mı́n(B).
Cuando (X, ) es un conjunto parcialmente ordenado, y a, b ∈ X son tales que a ≺ b,
al conjunto formado por los elementos entre a y b se le llama intervalo. La notación
a x b signica que a x y x b (análogamente si alguna de las relaciones es
el correspondiente orden estricto). Se distinguen cuatro tipos de intervalos:
(a, b) = {x ∈ X | a ≺ x ≺ b}
(1.2)
[a, b) = {x ∈ X | a x ≺ b}
(1.3)
(a, b] = {x ∈ X | a ≺ x b}
(1.4)
[a, b] = {x ∈ X | a x b}
(1.5)
30
CAPÍTULO 1.
TEORÍA DE CONJUNTOS
Un ejemplo especial de conjunto ordenado es dado por los números racionales, es
decir, Q = { m
| m, n ∈ Z ∧ n > 0}. Al igual que con los enteros, los racionales
n
son presentados acá informalmente y se asume que el lector conoce su propiedades
2
1
≤ m
si y solo si
algebraicas. El orden entre racionales es el usual, dado por m
n1
n2
m1 n2 ≤ n1 m2 .
Ejercicio 1.25. Probar que ≤ dene una relación de orden en Q.
Téngase en cuenta que en D(24) con el orden usual no existe ningún elemento x de
D(24) que satisfaga 4 < x < 6; lo mismo ocurre con el orden | en D(24). En otras
palabras, es posible encontrar dos elementos del conjunto parcialmente ordenado
que no tienen ningún elemento entre ellos. Con los racionales no sucede esto, ya que
dados dos racionales a < b, es posible encontrar un racional entre los dos, diferente
de ambos; por ejemplo a < a+b
< b. Adicionalmente, dados dos racionales, siempre
2
es posible determinar si uno es menor o igual que el otro. Estas dos propiedades y
otras relevantes se denen en general como sigue.
Denición 1.44. Si (X, ) es un conjunto parcialmente ordenado, entonces se
dice que el orden:
(i) es denso si y solo si dados a, b ∈ X con a ≺ b, se tiene que el intervalo
(a, b) 6= ∅;
(ii) es total o lineal si y solo si dados a, b ∈ X se tiene que a ≺ b, b ≺ a o
a = b, sin poder tener dos de estas al tiempo;
(iii) es sin extremos si y solo si no tiene máximo ni mínimo;
(iv) es un buen orden si y solo si cada subconjunto no vacío de X tiene
mínimo;
(v) tiene la propiedad del supremo si y solo si cada subconjunto no vacío
y acotado superiormente tiene supremo.
En un conjunto de cinco elementos, ¾es posible denir un orden denso?
1.2.
RELACIONES Y FUNCIONES
31
Denición 1.45. Un conjunto X dotado de una relación de orden total (lineal)
es llamado conjunto totalmente ordenado.
Ejemplo 1.46.
(i) La relación ⊆ en ℘(X) es de orden pero no es total, pues
si X tiene por lo menos dos elementos, entonces para a, b ∈ X sucede que
{a} * {b} y {b} * {a}.
(ii) La relación ≤ en N es una relación de orden total.
As, ℘(X) con la relación ⊆ es un conjunto parcialmente ordenado, mientras
que N con la relación ≤ es un conjunto totalmente ordenado.
En un conjunto nito totalmente ordenado, ¾cómo sería el diagrama de Hasse?
Ejercicio 1.26. Probar que un orden sin extremos no es un buen orden.
Ejercicio 1.27. Probar que todo buen orden es un orden total.
Ejercicio 1.28. Considérese la familia de colas abiertas a derecha en N con el orden
usual, esto es, la familia de conjuntos de la forma (n, →) = {x ∈ N | n < x} con
S
n ∈ N. Probar que n∈N (n, →) 6= N.
Ejemplo 1.47. El orden usual en los naturales es un buen orden, pero no es
un orden denso. En los enteros, por su parte, es un orden total sin extremos,
que tampoco es denso, mientras que en los racionales es un orden total, denso
y sin extremos. Algo interesante del orden en los racionales es que no tiene
la propiedad del supremo, ya que el conjunto {x ∈ Q | x2 < 2} es acotado
superiormente (¾por quién?) pero no tiene un supremo en Q.
El conjunto de los números reales es denotado por R como es usual; su existencia no
será discutida acá (véase [27]) y se asumirán conocidas sus propiedades algebraicas.
(R, ≤) es el menor conjunto ordenado con la propiedad del supremo que contiene
a los racionales. Es importante tener en cuenta que la notación de intervalo dada
por las expresiones (1.2)-(1.5) depende del conjunto de referencia, así, (0, 1) puede
denotar los racionales o los reales entre cero y uno, dependiendo de si el orden es
32
CAPÍTULO 1.
TEORÍA DE CONJUNTOS
de los racionales o los reales, si no se advierte lo contrario, se entiende que se está
considerando el orden de los reales. Una propiedad importante de los números reales
asociada al orden es la llamada propiedad arquimediana y se puede enunciar de
la siguiente manera:
Nota 1.48 (Propiedad arquimediana). Si x, y ∈ R+ , existe n ∈ Z+ tal que
y < nx.
Como consecuencia directa hay un resultado fundamental muy usado en los cursos
básicos de cálculo:
Corolario 1.49. Dado un real > 0, existe n ∈ Z+ tal que n1 < .
Demostración. Basta aplicar la propiedad arquimediana a x = e y = 1.
1.2.2.
Relaciones de equivalencia
Denición 1.50. Una relación no vacía en un conjunto X se llama relación
de equivalencia si es reexiva, simétrica y transitiva; en tal caso la relación
se nota por ∼. Sea a ∈ X , el conjunto [a] = {x ∈ X | a ∼ x} se llama clase de
equivalencia de a. La familia formada por todas las clases de equivalencia de
X se nota por X/ ∼, es decir, X/ ∼ := {[a] | a ∈ X}.
Proposición 1.51. Sea ∼ una relación de equivalencia en un conjunto X ,
entonces se cumplen las siguientes propiedades:
(i) a ∈ [a] para cada a ∈ X ;
(ii) si [a] ∩ [b] 6= ∅ entonces [a] = [b];
(iii) si b ∈ [a] entonces [a] = [b];
(iv)
S
[a] = X .
a∈X
Demostración. Sea ∼ una relación de equivalencia en un conjunto X .
1.2.
RELACIONES Y FUNCIONES
33
(i) Sea a ∈ X , como ∼ es reexiva, entonces a ∼ a y por lo tanto a ∈ [a].
(ii) Sea y ∈ [a] ∩ [b], así y ∼ a e y ∼ b. Ahora bien, si x ∈ [a] entonces x ∼ a, y
así por la transitividad, x ∼ y , y nuevamente por la transitividad x ∼ b, es
decir, x ∈ [b]. Esto muestra que [a] ⊆ [b], la otra contenencia es completamente
análoga.
(iii) Por el ítem (i) se tiene que b ∈ [b], de modo que b ∈ [b] ∩ [a], y así por el ítem
(ii), [a] = [b].
S
(iv) Para cada a ∈ X se tiene que [a] ⊆ X , así que por el ejemplo 1.22 a∈X [a] ⊆ X .
Para la otra contenencia, sea x ∈ X , entonces por el ítem (i) se tiene que x ∈
S
S
S
[x], como [x] ⊆ a∈X [a], entonces x ∈ a∈X [a] y por lo tanto X ⊆ a∈X [a].
Del ítem (ii) en la proposición 1.51 se deduce que dos clases de equivalencia distintas
son necesariamente disyuntas, de modo que la familia X/ ∼ = {[a] | a ∈ X} es una
familia de subconjuntos de X disyuntos dos a dos.
Ejemplo 1.52. En un conjunto no vacío cualquiera, la igualdad es la relación de
equivalencia más simple, y las clases de equivalencia son los conjuntos unitarios.
Ejemplo 1.53. En Z, la relación dada por a ∼ b si y solo si a2 − b2 = 0 es
una relación de equivalencia. En efecto, como a2 − a2 = 0 para cualquier a ∈ Z,
entonces a ∼ a para cualquier a ∈ Z, y si a ∼ b, entonces b ∼ a, de modo
que la reexividad y la simetría están garantizadas. Ahora, si a ∼ b y b ∼ c,
entonces a2 − b2 = 0 y b2 − c2 = 0, así que al sumar estas igualdades resulta
que a2 − c2 = 0, y por tanto a ∼ c, concluyendo que la relación es transitiva.
Ejercicio 1.29. ¾Cuáles de las siguientes relaciones son de equivalencia en el
conjunto dado?
(a) En N, a ∼ b si y solo si a + b es múltiplo de 5.
(b) En Z, a ∼ Rb si y solo si a − b es múltiplo de 5.
(c) Si X 6= ∅, en 2X , A ∼ B si y solo si A ∩ B = ∅.
34
CAPÍTULO 1.
TEORÍA DE CONJUNTOS
(d) En X = {a, b, c, d, e},
∼ ={(a, a), (a, b), (b, a), (b, b), (c, c), (c, d), (c, e), (d, c), (d, d),
(d, e), (e, c), (e, d), (e, e)}.
Denición 1.54. Sea X un conjunto no vacío. Una partición en X es una
S
familia P de subconjuntos no vacíos de X tales que P = X y los elementos
de P son disyuntos dos a dos, es decir, si A, B ∈ P entonces A ∩ B = ∅.
Proposición 1.55. Si ∼ es una relación de equivalencia en X , entonces X/ ∼
es una partición en X . Recíprocamente, si P es una partición en X , existe una
relación de equivalencia ∼ tal que X/ ∼ = P .
Demostración. De (ii) y (iv) en la proposición 1.51 resulta que X/ ∼ es una partición
en X . Ahora, si P es una partición en X , se puede denir la relación a ∼ b si y solo
si existe A ∈ P tal que a, b ∈ A. Se deben vericar dos cosas: (i) que ∼ es en efecto
una relación de equivalencia y (ii) que X/ ∼ = P .
S
(i) Si a ∈ X = P , existe un conjunto A ∈ P tal que a ∈ A, y así a ∼ a, lo que
muestra la reexividad. Para ver la simetría, supóngase que a ∼ b, así a, b ∈ A
para algún A ∈ P , y esto garantiza que b ∼ a. Finalmente, si a ∼ b y b ∼ c,
existen A, B ∈ P tales que a, b ∈ A y b, c ∈ B , en particular b ∈ A ∩ B , y como
P es una partición, se concluye que A = B . Así, a y c pertenecen al mismo
conjunto en P , y por tanto a ∼ c, por lo que ∼ es transitiva.
(ii) Sean A ∈ P y x ∈ A, se tiene que [x] = A. En efecto, si y ∈A, claramente x ∼ y
y así y ∈ [x]. Recíprocamente, si y ∈ [x] entonces y ∼ x, y así y, x ∈ B , para
algún B ∈ P . Como x ∈ A y los elementos de P son disyuntos, entonces A = B ,
de modo que y ∈ A. Ahora bien, si A ∈ P , para x ∈ A, A = [x] ∈ X/ ∼ y así
P ⊆ X/ ∼. Finalmente, si x ∈ X , x ∈ A para algún A ∈ P , y así [x] = A ∈ P ,
de donde P ⊆ X/ ∼.
1.2.
35
RELACIONES Y FUNCIONES
1.2.3.
Funciones
Los conceptos descritos anteriormente son útiles para comparar en algún sentido los
elementos de un conjunto. En particular si el conjunto es una familia de conjuntos,
las relaciones estarían comparando conjuntos, sin embargo, una forma especialmente
efectiva de comparar dos conjuntos es a través de las funciones, que son aquellas
relaciones que satisfacen la condición (vii) de la denición 1.34. Para comprender
mejor está noción, se observa que lo que está indicando es que si dos parejas (a, b) y
(a, c) pertenecen a la relación, donde la primera componente es la misma, entonces
la segunda debe coincidir. Esto signica que tan solo puede haber una pareja con
primera componente a, y por tanto se entiende que la segunda componente se
determina a partir de la primera. Formalmente, esto establece una asignación
desde X hasta Y , es decir, a cada elemento x ∈ X se le asigna el único elemento
y ∈ Y tal que (x, y) esté en la relación. El conjunto X se denomina dominio de la
función, mientras que el conjunto Y es llamado codominio. El lector seguramente
ya está familiarizado con algunas funciones del cálculo y recordará que el elemento
y suele denotarse por f (x) donde f es el nombre de la función. De esta manera, la
relación está determinada por las parejas de la forma (x, f (x)). Se usará la notación
f : X → Y para indicar que la función asigna a cada elemento x ∈ X un elemento
f (x) ∈ Y . En el caso que los conjuntos sean nitos, es posible hacer un diagrama
sagital en el cual por medio de una echa se establece la asignación, como se plantea
en el siguiente ejemplo.
Ejemplo 1.56. Sean X = {a, b, c, d, e} e Y = {1, 2, 3} y dena la función
f : X → Y de modo que f (a) = f (c) = 1 y f (b) = f (d) = f (e) = 3. El
diagrama sagital en este caso es:
f
X
a
b
c
d
e
Nótese que esta función corresponde
{(a, 1), (b, 3), (c, 1), (d, 3), (e, 3)}.
Y
1
2
3
a
la
relación
dada
por
36
CAPÍTULO 1.
TEORÍA DE CONJUNTOS
Claramente, los diagramas sagitales pueden ser usados para representar relaciones
entre conjuntos nitos aun cuando estas no sean funciones, y pueden ser una
herramienta útil en los casos en que sea posible gracar, para reconocer cuándo
una relación dada es o no una función; basta ver si de algún elemento del dominio
está saliendo más de una echa o no sale ninguna echa para saber que no es una
función, y en caso de que de cada elemento del dominio salga una única echa, ya
se garantiza que es una función.
Ejercicio 1.30. Sean X = {a, b, c, d, e} e Y = {1, 2, 3}. En cada uno de los
siguientes casos realizar un diagrama sagital de la relación dada y determinar si es
o no una función.
(a) {(a, 1), (a, 2), (b, 1), (c, 2), (d, 3), (e, 3)}.
(c) {(a, 1), (b, 2), (c, 3)}.
(b) {(a, 1), (b, 2), (b, 1), (c, 2), (e, 3)}.
(d) {(a, 1), (b, 1), (c, 1), (d, 1), (e, 1)}.
Dada una función f : X → Y , la imagen de A ⊆ X por f es el conjunto
f (A) = {f (x) | x ∈ A}.
En particular, el conjunto f (X) se denomina rango. Además, la imagen inversa
de B ⊆ Y por f es el conjunto
f −1 (B) = {x ∈ X | f (x) ∈ B}.
Ejemplo 1.57. Del ejemplo 1.56 se tiene que f ({a, b}) = {1, 3}, f ({b, d, e}) =
{3}, f −1 ({1}) = {a, c} y f −1 ({2}) = ∅.
Ejemplo 1.58. Considérese la función f : N → Z dada por
f (n) =

n/2,
si n es par;
−(n + 1)/2,
si n es impar.
En este caso f (N) = Z, f (2N) = N y f (2N + 1) = Z− .
1.2.
RELACIONES Y FUNCIONES
37
Denición 1.59. Si f : X → Y y g : A → Z son funciones y f (X) ⊆ A,
la función g ◦ f : X → Z denida por (g ◦ f )(x) = g(f (x)) es llamada la
composición entre f y g.
Denición 1.60. Una función f : X → Y es llamada inyectiva (o uno a uno)
si cada vez que f (x) = f (y) se tiene que x = y y es llamada sobreyectiva (o
sobre) si f (X) = Y , es decir, si dado y ∈ Y , existe x ∈ X tal que f (x) = y .
Si una función es a la vez inyectiva y sobreyectiva, se dice que la función es
biyectiva o invertible.
Para indicar que una función es inyectiva o uno a uno, generalmente se escribe:
función 1-1.
Denición 1.61. Dos conjuntos X e Y se dicen equipotentes si existe una
función biyectiva f : X → Y , y en este caso se simboliza por |X| = |Y |. Si
dos conjuntos son equipotentes, se dice que tienen la misma cantidad de
elementos.
En el caso de los naturales, por convención se asumirá que |n| = n. Nótese que un
conjunto nito X tiene n elementos si y solo si |X| = n.
Denición 1.62. Sean X e Y dos conjuntos.
(i) Si existe una función inyectiva f : X → Y se dice que X tiene menos o
la misma cantidad elementos que Y .
(ii) Si existe una función sobreyectiva f : X → Y se dice que X tiene más
o la misma cantidad de elementos que Y .
Teorema 1.63. Una función f : X → Y es biyectiva si y solo si existe una
función g : Y → X tal que (f ◦ g)(x) = x para todo x ∈ Y y (g ◦ f )(x) = x
38
CAPÍTULO 1.
TEORÍA DE CONJUNTOS
para todo x ∈ X , es decir, f ◦ g es la función idéntica en Y y g ◦ f es la función
idéntica en X . Además g es única para f y es también biyectiva.
A la función g del teorema 1.63 se le llama la inversa de f y se denota por f −1 .
¾Qué diferencias hay entre la función inversa de f y la imagen inversa de f ?
Proposición 1.64. Sean {Ai }i∈I una familia de subconjuntos de X , {Bj }j∈J
una familia de subconjuntos de Y y f : X → Y una función. Se cumplen las
siguientes propiedades.
(i) f (
T
Ai ) ⊆
i∈I
(ii) f (
S
f (Ai ).
i∈I
Ai ) =
i∈I
(iii) f −1 (
T
S
f (Ai ).
i∈I
T
j∈J
Bj ) =
T
f −1 (Bj ).
j∈J
S
S −1
(iv) f −1 ( Bj ) =
f (Bj ).
j∈J
j∈J
(v) f −1 (Bjc ) = f −1 (Bj )c .
(vi) f (f −1 (Bj )) ⊆ Bj .
(vii) Ai ⊆ f −1 (f (Ai )).
(viii) f es inyectiva si y solo si f (Ai ∩ Ak ) = f (Ai ) ∩ f (Ak ), para todo i, k ∈ I .
(ix) f es sobre si y solo si f −1 (Bj ) 6= ∅ para todo Bj 6= ∅.
(x) Si f es biyectiva entonces f (Aci ) = f (Ai )c .
(xi) f es sobre si y solo si f (f −1 (Bj )) = Bj .
(xii) f es inyectiva si y solo si f −1 (f (Ai )) = Ai .
Ejercicio 1.31. Probar la proposición 1.64.
Ejercicio 1.32. Supóngase que F es una colección (familia o clase) de conjuntos y
considérese la relación en F dada por X ∼ Y si y solo si |X| = |Y |. Probar que ∼
es una relación de equivalencia.
1.3.
AXIOMA DE ELECCIÓN
39
Si X e Y son conjuntos, es posible probar que la colección de todas las funciones de
X → Y es también un conjunto, dicho conjunto es denotado por Y X , es decir,
f ∈ Y X si y solo si f es una función de X en Y.
¾Qué es Y ∅ si Y 6= ∅?
Ejemplo 1.65 (Biyección entre ℘(X) y 2X ). Sea X un conjunto no vacío
y considérese el número natural 2 como en la expresión (1.1) de la nota 1.28,
es decir, 2 = {0, 1}; así 2X = {0, 1}X es el conjunto de todas las funciones
f : X → {0, 1}. Nótese que si A ⊆ X , entonces fA : X → 2 = {0, 1} dada por

1, si x ∈ A;
fA (x) =
0, si x ∈
/A
es una función. Así, se puede denir una función Ψ : ℘(X) → 2X = {0, 1}X de
modo que Ψ(A) = fA . Esta función es 1-1 ya que si Ψ(A) = Ψ(B), entonces
x ∈ A ↔ Ψ(A)(x) = fA (x) = 1 ↔ Ψ(B)(x) = fB (x) = 1 ↔ x ∈ B,
de modo que por extensión A = B . Por otro lado, si f ∈ 2X , tomando A =
{x ∈ X | f (x) = 1} se tiene que Ψ(A) = f , por tanto Ψ es sobreyectiva. Se
tiene entonces una función biyectiva (natural) entre ℘(X) y 2X que justica la
notación del conjunto de partes.
Ejercicio 1.33. Considérese el conjunto X = {a, b, c}. Escribir explícitamente ℘(X)
y luego escribir explícitamente el conjunto 2X (como conjunto de funciones de X →
{0, 1}) mediante la relación de cada función con el respectivo subconjunto de X ,
como en el ejemplo 1.65.
1.3. Axioma de elección
Como se mencionó al inicio del capítulo, en la primera parte se enunciaron los
axiomas fundamentales de la teoría de conjuntos, sin embargo hay otros axiomas
que deben ser tomados en consideración. Estos axiomas permiten hablar de los
conjuntos bien fundamentados y los obtenidos por remplazo, pero no se hará un
40
CAPÍTULO 1.
TEORÍA DE CONJUNTOS
estudio detallado de estos dos axiomas, más allá de enunciarlos. Esto no reduce
la importancia de los axiomas, simplemente se ha decidido no incluir los detalles,
pues no serán necesarios para la comprensión del resto del texto. Adicionalmente
está el axioma de elección que divide la teoría de conjuntos entre intuicionista y
no intuicionista, y es fundamental en el desarrollo de algunos apartes del texto, así
que se estudiará con más cuidado. Se abreviarán como es usual las expresiones con
cuanticadores así:
(i) ∀x(x ∈ X ∧ q(x)) se abrevia por ∀x ∈ X(q(x)),
(ii) ∃x(x ∈ X → q(x)) se abrevia por ∃x ∈ X(q(x)),
(iii) ∃!x ∈ X(q(x)) signica que existe un único elemento de X que satisface la
propiedad q .
Axioma 1.8 (Fundamentación). La relación ∈ es bien fundamentada.
∀X(X 6= ∅ → ∃Y ∈ X(X ∩ Y = ∅)).
El axioma 1.8 garantiza que cada conjunto tiene un elemento de modo que el
conjunto y este elemento son disyuntos. En particular, si existiese un conjunto x
con la propiedad que x ∈ x, al considerar el conjunto A = {y ∈ x | y ∈ y}, se
tiene que para cualquier y ∈ A, y ∩ A, y así A sería un conjunto que no satisface
el axioma de fundamentación, es decir, que el axioma de fundamentación implica
que no existen conjuntos con la propiedad x ∈ x, tales conjuntos son llamados
conjuntos bien fundamentados, de modo que este axioma indica que todos los
conjuntos son bien fundamentados.
Axioma 1.9 (Reemplazo). Dada una fórmula bien formada q en la cual B
no sea una variable libre, se tiene que
(∀x ∈ A∃!y(q(x, y))) → (∃B∀x ∈ A∃y ∈ B(q(x, y))) .
El axioma 1.9, de la misma forma que el axioma de separación, es en realidad una
lista innita de axiomas, o un esquema axiomático, por cada fórmula hay un axioma.
El axioma garantiza que si A es un conjunto, entonces si para cada elemento x ∈ A
1.3.
AXIOMA DE ELECCIÓN
41
existe un único y(x) (este elemento depende de x), tal que q(x, y), por lo tanto, la
colección {y(x) | x ∈ A} es también un conjunto. Este axioma es necesario, ya que
no se puede garantizar a priori un universo de referencia y el axioma de separación
es insuciente. Nótese que la imagen de un conjunto por una función se dene de
esta forma; sin embargo, en este caso había previamente un universo de referencia
y no era necesario este axioma.
Ejemplo 1.66. Si se considera por ejemplo la propiedad q(x, y) ≡ y = {x}, y
X es un conjunto no vacío, entonces para cualquier x en X , solo hay un y que
satisface esta propiedad, y así el axioma garantiza que la colección
{y | y = {x} para algún x ∈ X}
es un conjunto (véase [18]).
Axioma 1.10 (Elección). Toda familia no vacía de conjuntos no vacíos admite
una función de elección.
Ä
ä
[
∀F 6= ∅ ∅ ∈
/ F → ∃f : F →
F (∀X ∈ F(f (X) ∈ X)) .
El axioma de elección es menos intuitivo que los anteriores y es posible ver en la
literatura multitud de proposiciones importantes que son consecuencia (e incluso
equivalentes) de este. En particular, en topología, el teorema de Tychono [29] es
una de tales consecuencias y en realidad resulta equivalente al axioma. En la teoría
de conjuntos hay también varias proposiciones de estas que se mencionarán en los
apartes siguientes como el lema de Zorn, el principio del buen orden o la existencia
de productos cartesianos. La función a la que se hace mención en el axioma se
denomina función de elección. Para conjuntos nitos este axioma no es necesario,
por ejemplo si A = {1, 2, 3} y B = {2, 4}, para la familia F = {{1, 2, 3}, {2, 4}} =
{A, B}, una función con la propiedad descrita en el axioma de elección podría ser
f (A) = 1, f (B) = 2. Nótese que esta función no es la única con esta característica.
Ejercicio 1.34. Describir otras funciones de elección para la misma familia F =
{A, B} de antes.
La fuerza del axioma de elección se percibe al trabajar con conjuntos innitos.
42
CAPÍTULO 1.
TEORÍA DE CONJUNTOS
Denición 1.67. Sea X un conjunto parcialmente ordenado.
(i) Un subconjunto de X totalmente ordenado (por la misma relación de
orden de X ) es llamado cadena de X .
(ii) Una cadena maximal de X es una cadena C de X que es maximal en
la familia de las cadenas de X (ordenadas por la contenencia).
Teorema 1.68. Las siguientes armaciones son equivalentes:
(i) El axioma de elección.
(ii) Para cada conjunto no vacío X , existe una relación de orden de modo
que (X, ) es bien ordenado.
(iii) Si X es un conjunto y ≺ es un orden estricto sobre X , entonces existe
una cadena maximal C ⊆ X .
(iv) Si X es un conjunto parcialmente ordenado tal que cualquier cadena no
vacía de X tiene supremo en X , entonces para cada x ∈ X , existe al
menos un elemento maximal m ∈ X , con x m.
Este teorema no es probado en este libro, una prueba puede ser encontrada en [18].
La armación (iii) se llama principio maximal de Hausdor, mientras que la
armación (iv) se conoce como el lema de Zorn.
Si F = {Xi }i∈I es una familia indexada de conjuntos, el axioma de elección puede
reescribirse de la siguiente manera:
!
[
∀I 6= ∅ ∀i ∈ I(Xi 6= ∅) → ∃f : I →
Xi (f (i) ∈ Xi ) .
i∈I
Producto cartesiano de más de dos conjuntos
En la subsección 1.1.6 se denió el producto cartesiano de dos conjuntos. Si X , Y
y Z son conjuntos, teniendo en cuenta que X × Y e Y × Z también son conjuntos,
tiene sentido denir los conjuntos (X × Y ) × Z y X × (Y × Z) que desde un punto
1.3.
43
AXIOMA DE ELECCIÓN
de vista puramente teórico son conjuntos diferentes, ya que por ejemplo, si x ∈ X ,
y ∈ Y y z ∈ Z , entonces ((x, y), z) ∈ (X × Y ) × Z pero ((x, y), z) ∈
/ X × (Y × Z).
Sin embargo, la función
f : (X × Y ) × Z →X × (Y × Z)
((x, y), z) 7→(x, (y, z))
es biyectiva. Adicionalmente, es posible denir triplas ordenadas (x, y, z) con x ∈ X ,
y ∈ Y y z ∈ Z . Al conjunto formado por estas triplas se denota por X × Y × Z y de
forma análoga es posible establecer una función biyectiva entre (X × Y ) × Z . Por
esta razón, y dado que para los nes de este libro esta distinción entre elementos no
es relevante, se ha de considerar en adelante que
X × Y × Z = (X × Y ) × Z = X × (Y × Z)
(1.6)
identicando los elementos (x, y, z) = ((x, y), z) = (x, (y, z)). Esta idea se puede
generalizar a familias nitas de conjuntos usando inducción. Si (X1 , X2 , . . . , Xn ) es
una familia nita de conjuntos (admitiendo repeticiones), se pueden considerar los
conjuntos obtenidos haciendo el producto cartesiano por parejas hasta completar los
n conjuntos, o el conjunto formado por las n-uplas (x1 , x2 , . . . , xn ) donde xk ∈ Xk
para k = 1, 2, . . . , n, y para los nes del libro no hay problema en identicarlos todos
como el mismo.
Ejemplo 1.69. Si se consideran los conjuntos X1 , X2 , X3 y X4 , se identican
los productos
X1 × X2 × X3 × X4 = (X1 × X2 ) × (X3 × X4 )
= X1 × (X2 × (X3 × X4 ))
= ((X1 × X2 ) × X3 ) × X4
de modo que los elementos se identican en el mismo sentido
(x1 , x2 , x3 , x4 ) = ((x1 , x2 ), (x3 , x4 )) = (x1 , (x2 , (x3 , x4 ))) = (((x1 , x2 ), x3 ), x4 ),
donde x1 ∈ X1 , x2 ∈ X2 , x3 ∈ X3 y x4 ∈ X4 .
44
CAPÍTULO 1.
TEORÍA DE CONJUNTOS
Ejercicio 1.35. Escribir todas las combinaciones de productos posibles que no se
tuvieron en cuenta en el ejemplo 1.69.
Ejercicio 1.36. Escribir todas las combinaciones de productos posibles para una
familia de cinco conjuntos.
Denición 1.70. Si X1 , X2 , . . . , Xn son conjuntos, el producto cartesiano está
dado por
n
Y
Xk = {(x1 , x2 , . . . , xn ) | xk ∈ Xk , k = 1, 2, . . . , n}.
k=1
¾Cómo se deniría el producto para una familia innita siguiendo la misma
idea de la denición 1.70?
En el caso de que todos los factores sean el mismo conjunto, X1 = · · · = Xn = X ,
el producto se denotará simplemente por X n .
¾Qué sucede si la familia es innita?
Denición 1.71. Para una familia F = (Xi )i∈I donde Xi 6= ∅ para cada i ∈ I ,
se dene el conjunto:
(
Y
i∈I
Xi =
f :I→
)
[
Xi | f (i) ∈ Xi
.
i∈I
Q
El axioma de elección dice justamente que i∈I Xi es no vacío. Este conjunto es
Q
llamado el producto cartesiano de la familia (Xi )i∈I . Los elementos de i∈I Xi
son representados por (xi )i∈I donde xi ∈ Xi para cada i ∈ I . Los conjuntos Xi son
llamados factores del producto o conjuntos coordenados.
Ejemplo 1.72. Supóngase que I = {1, 2} y F = (X1 , X2 ). En este caso, si
Q
x ∈ i∈I Xi , entonces x : I → X1 ∪ X2 y es tal que x1 = x(1) ∈ X1 y
x2 = x(2) ∈ X2 . Entonces x se identica con la pareja (x1 , x2 ) y por tanto
1.3.
45
AXIOMA DE ELECCIÓN
Q
el producto i∈I Xi se identica con X1 × X2 . Se usa la notación (X1 , X2 ) en
lugar de {X1 , X2 } para indicar que X1 puede ser igual a X2 (veáse 1.19), no se
debe confundir con la notación de pareja ordenada.
Ejercicio 1.37. Probar que para una familia nita de conjuntos X1 , . . . , Xn , se tiene
la identicación
Q
i∈I
Xi =
n
Q
Xi , tomando I = {1, 2, . . . , n}.
i=1
Cuando el conjunto de índices I es un orden total, los elementos del producto quedan
ordenados de forma natural por el orden de I , y en algunos casos este orden puede
verse explícitamente como en el ejemplo 1.72, donde se obtienen parejas ordenadas
y en general el ejercicio 1.37 donde se obtienen n-uplas ordenadas.
Ejemplo 1.73. Sea ω0 = (N, ≤), el conjunto de los números naturales con el
orden usual. Si (Xn )n∈ω0 es una familia de conjuntos no vacíos, se escribirá
Q
Q∞
simplemente (Xn ) y el producto
n∈ω0 Xn . Los elementos de
n=0 Xn =
Q∞
n=1 Xn se denotan por (xn ) o (x0 , x1 , x2 , . . .) y son llamados secuencias.
Si todos los Xn son iguales, por ejemplo Xn = X para todo n ∈ N, por
consiguiente, el producto se denota por X ω0 y sus elementos son llamados
sucesiones en X . Es usual que a los elementos de X ω , donde ω = (Z+ , ≤),
también se les llame sucesiones y se denoten por (xn ) = (x1 , x2 , . . .).
Ejercicio 1.38. Probar que
Q
(Xi ∩ Yi ) = (
i∈I
Q
i∈I
Xi ) ∩ (
Q
Yi ) .
i∈I
Ejercicio 1.39. Dar al menos diez ejemplos de un elemento de Rω .
Ejercicio 1.40. Probar que [0, 1]ω ⊂ Rω .
Cardinales
Recuérdese que si X e Y son conjuntos, el símbolo |X| = |Y | signica que existe
una función biyectiva f : X → Y , es decir, X y Y son equipotentes. Intuitivamente,
esto indica que X y Y tienen la misma cantidad de elementos, y como se probó en
el ejercicio 1.32, esto dene una relación de equivalencia en la clase de todos los
conjuntos bien fundamentados. Es posible denir el cardinal de un conjunto como
la clase de equivalencia del conjunto por esta relación de equivalencia; sin embargo,
en este libro solamente se hará distinción de algunos cardinales. El símbolo |X|
46
CAPÍTULO 1.
TEORÍA DE CONJUNTOS
denota el cardinal del conjunto X . Recuérdese que un conjunto X es nito, si
|X| = n para algún n ∈ N, y en este caso se dice que el cardinal de X es n. En caso
contrario, se dice que el conjunto es innito. Si X es un conjunto innito, es posible
construir una sucesión de términos diferentes en X de la siguiente forma:
1. Tome un elemento arbitrario de X y llámelo x1 . Esto es posible, ya que X 6= ∅.
2. Como X es innito, X \ {x1 } =
6 ∅, en caso contrario, X solo tendría un
elemento. Así que tome un elemento arbitrario x2 ∈ X \ {x1 }. Nótese que
x1 6= x2 .
3. Como X es innito, X \ {x1 , x2 } =
6 ∅, en caso contrario, X solo tendría dos
elementos. Entonces tome un elemento arbitrario x3 ∈ X \ {x1 , x2 }. Nótese
que x1 6= x3 y x2 6= x3 .
4. Supóngase que siguiendo este proceso ya obtuvo n elementos diferentes de X ,
{x1 , . . . , xn }. Como X es innito, X \ {x1 , . . . , xn } 6= ∅, en caso contrario,
X solo tendría n elementos. Entonces tome un elemento arbitrario xn+1 ∈
X \ {x1 , . . . , xn }. Nótese que x1 6= xn+1 , . . ., xn 6= xn+1 .
5. Continúe este proceso indenidamente.
De esta forma se está obteniendo una función f : N → X de modo que f (n) = xn .
Como todos los xn son diferentes, esta función es 1-1 y por tanto N tiene menos
elementos o, a lo sumo, tantos como X . En este sentido, puede pensarse que N
es el conjunto innito con la menor cantidad de elementos posible. Cualquier otro
conjunto innito solo tiene dos opciones: tiene el mismo cardinal que N o tiene más
elementos que N (en el sentido de la denición 1.62).
Denición 1.74. El cardinal de los números naturales se denota por ℵ0 .
(i) Un conjunto innito X se dice enumerable si |X| = ℵ0 .
(ii) Un conjunto se llama contable si es enumerable o nito.
1.3.
AXIOMA DE ELECCIÓN
47
(iii) Un conjunto que no es contable se llama incontable, es decir, un conjunto
innito que no es enumerable.
Nota 1.75. Nótese que un conjunto X es enumerable si y solo si existe una
función biyectiva entre X y el conjunto de los números naturales N. X es
contable si y solo si existe una función biyectiva entre X y un subconjunto
de N o equivalentemente, existe una función 1-1 entre X y N.
Ejemplo 1.76. El conjunto de los números enteros Z es enumerable y, por
tanto, contable (véase el ejemplo 1.58).
Ejercicio 1.41. Probar que la unión nita de conjuntos nitos es nita.
Ejercicio 1.42. Probar que la unión de una familia enumerable de conjuntos
contables es contable.
Ejercicio 1.43. Probar que la unión de una familia contable de conjuntos
enumerables es enumerable.
De los tres ejercicios anteriores se observa que la unión enumerable de conjuntos
enumerables es enumerable y la unión contable de conjuntos contables es contable.
¾Qué diferencia hay entre los dos ejercicios anteriores? ¾en algún caso puede
obtenerse un conjunto nito?
Ejercicio 1.44. Si |X| = n con n ∈ N, probar que |2X | = 2n , de modo que las
partes de un conjunto nito son también nitas.
Ejercicio 1.45. Probar que si X e Y son enumerables, entonces X × Y es
enumerable.
Ejercicio 1.46. Probar que si X e Y son contables, entonces X × Y es contable.
48
CAPÍTULO 1.
TEORÍA DE CONJUNTOS
Ejemplo 1.77. El conjunto de los números racionales Q es enumerable y, por
tanto, contable. Para ver esto, basta considerar la función f : Z × Z+ → Q
y ver que esta función es sobreyectiva.
denida por f (m, n) = m
n
Ejemplo 1.78. El intervalo I = [0, 1] en R es incontable. Si se supone que no
lo es, entonces es posible hacer una lista de todos los elementos del intervalo,
I = [0, 1] = {a1 , a2 , . . .}. Sea D = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} el conjunto de los
dígitos, así que al escribir los elementos de I en forma decimal, se tiene que
a1 = 0, d11 d12 d13 · · ·
a2 = 0, d21 d22 d23 · · ·
a3 = 0, d31 d32 d33 · · ·
..
.
an = 0, dn1 dn2 dn3 · · ·
..
.
con dij ∈ D para i, j = 1, 2, . . .. Para cada n se escoge un elemento bn ∈
D \ {0, dnn , 9} y dena el número
b = 0, b1 b2 b3 · · · .
Así que b ∈ [0, 1], por la forma en que está representado, sin embargo, para
cada n ∈ N, b 6= an ya que dieren en la enésima posición decimal, pero esto es
absurdo, pues se había supuesto que en la lista estaban todos los elementos de
I . El hecho de escoger bn diferente de 0 y 9, es simplemente para evitar obtener
un número que tenga un periodo de ceros o nueves, ya que estos tienen doble
representación en la forma decimal y no hay problema, puesto que siempre
habrá al menos siete elementos para escoger.
Ejercicio 1.47. Sea F = {A ⊆ N | Ac es nito}.
(a) ¾Cuál es el cardinal de F ?
S
(b) Calcular F .
1.3.
49
AXIOMA DE ELECCIÓN
(c) Exhibir nitos elementos de F cuya unión coincida con la unión de toda la
familia.
Ejercicio 1.48. Para cada uno de los siguientes ítems dar un ejemplo de una familia
de subconjuntos de R que cumpla con las condiciones dadas.
(a) Que la familia sea enumerable, que la unión sea todo R y que no tenga una
subfamilia nita cuya unión sea todo R.
(b) Que la familia sea enumerable, que la unión sea todo R y que tenga una
subfamilia nita cuya unión sea todo R.
(c) Que la familia sea incontable y que la unión sea un subconjunto propio de R.
Ejercicio 1.49. Considérese el intervalo (0, 1) en R y la familia enumerable de
intervalos {In }, donde In = ( n1 , 1) para cada n ∈ N.
(a) Probar que (0, 1) =
∞
S
In .
n=1
(b) ¾Se puede extraer una subfamilia nita de la familia cuya unión sea (0, 1)?
Justicar.
Ejercicio 1.50. En R, con el orden usual, probar que:
(a)
S
a<r<b
[r, b) = (a, b).
(b)
S
a<r
[r, ∞) = (a, ∞).
Capítulo 2
Espacios topológicos
La topología es un área de las matemáticas con mucha actividad investigativa.
Es una de las áreas principales de las matemáticas y se ha convertido en una
componente importante de las matemáticas aplicadas, donde muchos matemáticos
y cientícos emplean conceptos de topología para modelar y entender estructuras y
fenómenos de la vida real. Algunos ejemplos recientes de aplicaciones de topología
son: el análisis topológico de datos [40], la topología de imágenes digitales [20, 19],
la teoría del comportamiento del consumidor en sistemas económicos [10] y los
métodos topológicos en química molecular [6].
Los espacios topológicos y las funciones continuas entre ellos son los primeros objetos
de estudio en el campo de la topología. En este capítulo se introducen los espacios
topológicos y algunos conceptos asociados con ellos, tales como conjuntos abiertos,
bases y subbases.
2.1. Ideas intuitivas
Esta sección es una motivación informal a los espacios topológicos a partir de
algunas ideas intuitivas de lo que en un contexto geométrico son dos espacios (u
objetos) iguales en el sentido topológico. En la noción de igualdad topológica
es importante saber cuándo dos (o más) objetos son lo mismo, sin tener en cuenta
su tamaño ni su forma inicial, es decir, hay un tipo de transformaciones que al
aplicarlas a un objeto no cambian su estructura topológica.
50
2.1.
IDEAS INTUITIVAS
51
En geometría, ¾es lo mismo un triángulo que una circunferencia? ¾Son lo
mismo dos triángulos de igual forma pero con diferentes medidas?
¾Cuáles son las características de las guras que permiten determinar que dos
de ellas son geométricamente iguales?
Groso modo, la topología es el estudio de las formas y los espacios; en particular,
estudia propiedades de las formas que se preservan al aplicar transformaciones
continuas. La idea de transformar continuamente un espacio se aclara en la siguiente
nota, donde se explica informalmente la noción de igualdad topológica, que
usualmente es llamada equivalencia topológica. Para mejor comprensión piense
que los objetos (o espacios) están hechos con un material como goma o plastilina y
que por tanto se pueden deformar manualmente.
Nota 2.1. Dos objetos son topológicamente equivalentes si uno de ellos
puede ser transformado en el otro al girarlo, estirarlo o aplanarlo, pero sin
necesidad de cortarlo, agujerearlo o pegarlo (superponer puntos).
Ejemplo 2.2 (Transformaciones admitidas y no admitidas). Piense en
un balón de playa lleno de aire o una bola hecha de un material sucientemente
elástico.
El balón se puede estirar o doblar.
No se le pueden hacer agujeros al balón, ni cortarlo o juntar puntos distantes
del mismo.
52
CAPÍTULO 2.
ESPACIOS TOPOLÓGICOS
En particular, un objeto como el tetraedro sólido (piense que está hecho en plastilina)
puede deformarse manualmente hasta llegar a un objecto como la luna; recuerde
que en topología ni el tamaño, ni la forma inicial de los objetos se tienen en cuenta
para determinar su igualdad. En consecuencia, se dice que el tetraedro y la luna
son topológicamente equivalentes y por tanto pertenecen a la misma clase de
equivalencia topológica. Sin embargo, el tetraedro no es equivalente a una dona
y esto se debe esencialmente al agujero que tiene la dona, en este caso al deformar
el tetraedro para convertirlo en dona se requiere agujerearlo o al deformar la dona
para volverla tetraedro se necesita el pegado para quitar el agujero.
Ejercicio 2.1. Determinar si cada par de objetos en la gura 2.1 es topológicamente
equivalente o no. Explique brevemente su razonamiento.
cascarón esférico y luna.
cascarón esférico y dona.
pirámide sólida y luna.
bomba inada y desinada.
cascarón esf. y poliedro sólido.
pirámide y dona.
pitillo y dona.
dona doble y pantalón corto.
poliedro sólido y pitillo.
Figura 2.1: Parejas de objetos topológicos.
Ejercicio 2.2. Agrupar los objetos listados en la gura 2.2 en clases de
2.2.
53
DEFINICIÓN Y EJEMPLOS
equivalencia topológica y justicar. Se puede usar un cuadro como el que se muestra
a continuación.
Objetos topológicamente equivalentes
Justicación
(1) circunferencia - (7) entorno estrella
Téngase en cuenta que un objeto debe estar en una única clase de equivalencia.
(1)
circunferencia
(2)
(4)
camiseta
(5)
(7)
contorno
(8)
poliedro
(11)
bola de boliche
mug
luna
(3)
dona
(6)
spinner
(9)
pantalón corto
(12)
cilindro sólido
estrella
(10)
línea
Figura 2.2: Objetos topológicos.
2.2. Denición y ejemplos
Históricamente, la noción de conjunto abierto antecede al concepto de topología,
por ejemplo, un intervalo abierto en la recta real R. En un contexto más general,
se denen los conjuntos abiertos como elementos de una familia de subconjuntos de
54
CAPÍTULO 2.
ESPACIOS TOPOLÓGICOS
un conjunto no vacío X que cumplen tres condiciones.
Denición 2.3. Una topología T para un conjunto no vacío X es una familia
de subconjuntos de X , cada uno de los cuales es llamado conjunto abierto,
tal que las siguientes condiciones se cumplen:
AT1 Los conjuntos ∅ y X son conjuntos abiertos; esto es, ∅ ∈ T y X ∈ T .
AT2 La unión de cualquier familia de conjuntos abiertos es un conjunto abierto;
S
esto es, si {Ui }i∈I ⊆ T entonces i∈I Ui ∈ T .
AT3 La intersección de cualquier par de conjuntos abiertos es un conjunto
abierto; esto es, si U, V ∈ T entonces U ∩ V ∈ T .
El par (X, T ) es llamado espacio topológico y ∅ y X son llamados abiertos
triviales.
Para dar claridad, hay dos cosas que denen un espacio topológico: un conjunto
X 6= ∅ y una familia T de subconjuntos de X que es una topología para X . Cuando
es claro cuál es la topología para X , se puede escribir X en lugar de (X, T ).
¾Cuáles son los elementos de T si en la denición 2.3 se permite que X sea
vacío? ¾T cumple las condiciones de la denición 2.3?
Nota 2.4.
(i) En lo que sigue de este libro, cada vez que se haga referencia
a topología para un conjunto, se entenderá que el conjunto es distinto de
vacío.
(ii) En la mayoría de los textos de topología, la condición AT3 de la denición
2.3 es enunciada así: la intersección de una familia nita de conjuntos
abiertos es un conjunto abierto. En este texto se escribe la condición
AT3 con dos abiertos, ya que si se tiene la propiedad para cualquier par
de abiertos, también se tiene para cualquier familia nita de abiertos
(véase el ejercicio 1.18).
A continuación se presentan algunos ejemplos de topologías.
2.2.
DEFINICIÓN Y EJEMPLOS
55
Ejemplo 2.5 (Topología trivial, Ttriv ). La familia
Ttriv = {∅, X}
es una topología para un conjunto X debido a que satisface las condiciones
AT1, AT2 y AT3 de la denición 2.3. Sin embargo, al remover alguno de los dos
conjuntos, la colección resultante no es una topología. A la pareja (X, Ttriv ) se
le llama espacio topológico trivial.
Nótese que cualquier conjunto X puede dotarse de la topología trivial, la cual tiene
solamente dos conjuntos abiertos.
Si A es un subconjunto de un conjunto X , ¾es la familia T = {∅, X, A} una
topología para X ?
Está también la topología donde todo subconjunto de un conjunto dado X es abierto.
Ejemplo 2.6 (Topología discreta, Tdis ). La topología discreta Tdis para X
es la familia
Tdis = 2X = ℘(X),
esto es, la familia conformada por todos los subconjuntos de X (véase la
sección 1.1.6). Esta familia es una topología, ya que uniones e intersecciones
de subconjuntos de X son subconjuntos de X . El espacio (X, Tdis ) es llamado
espacio topológico discreto.
Por ejemplo, si X = {a, b, c}, Tdis = {∅, X, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}}.
Si X es un conjunto no vacío y A es un subconjunto de X , ¾es la familia
T = ℘(X) \ {A} una topología para X ?
Ejercicio 2.3. Sea T una topología para el conjunto X . Demostrar que T = ℘(X)
si y solo si {x} ∈ T para cada x ∈ X .
56
CAPÍTULO 2.
ESPACIOS TOPOLÓGICOS
Ejemplo 2.7. Las familias
T = {∅, X, {a}} y T 0 = {∅, X, {b}}
de subconjuntos de X = {a, b, c} son topologías para X con tres abiertos,
mientras que la familia
Ω = {∅, X, {a}, {b}}
no es una topología para X , debido a que la propiedad AT2 no se satisface, pues
los subconjuntos {a} y {b} están en la familia Ω pero {a} ∪ {b} = {a, b} ∈
/ Ω.
Nota 2.8. La unión de dos topologías no es necesariamente una topología, pues
al considerar las topologías del ejemplo 2.7 se observa que la familia T ∪ T 0 =
{∅, X, {a}, {b}} no es topología.
Ejercicio 2.4. En caso de que sea posible, encontrar topologías para X = {a, b, c}
con cinco, seis, siete, ocho y nueve abiertos.
Ejercicio 2.5. Determinar todas las topologías para el conjunto X = {a, b}.
Si se ja un conjunto nito X , es posible encontrar todas las familias de subconjuntos
de X que cumplen las condiciones de ser topología para X , aunque a medida
que aumenta el número de elementos del conjunto X , el número de topologías
aumenta de forma sorprendente. Por ejemplo, para un conjunto con un elemento
hay una topología, para un conjunto con dos elementos hay cuatro topologías, para
un conjunto con tres elementos hay 29 topologías y para un conjunto con cuatro
elementos hay 355 topologías (véase [32]).
Dado un conjunto X con n ≥ 1 elementos, ¾es posible saber cuántas topologías
hay para X ?
Nótese que existen topologías para X cuyo número de abiertos es nito, aunque el
conjunto X sea innito. Por ejemplo, la familia T = {∅, N, {2}} es una topología
para N.
Ejercicio 2.6. Decidir si las siguientes familias son topologías para N.
2.2.
DEFINICIÓN Y EJEMPLOS
57
(a) T1 = {∅, R, N}.
(b) T2 = {∅, N, {0, 1, . . . , 10}, {11, 12, . . . }}.
(c) T3 = {∅, N, {0, 1, . . . , 10}, {10, 11, . . . }}.
(d) T4 = {∅, N, {0, 1, . . . , 10}, {12, 13, . . . }}.
(e) T5 = {∅, N, {0, 1, . . . , 10}, {11, 12 . . . , 25}}.
Dado un punto p ∈ X jo, hay una topología para X en términos de los subconjuntos
que contienen al elemento p.
Ejemplo 2.9 (Topología del punto incluido, Tp ). Sea X un conjunto y p
un elemento de X . Asociada al punto p, la familia dada por
Tp = {U ⊆ X | p ∈ U } ∪ {∅}
es una topología para X . Es decir, la topología Tp está conformada por el
conjunto vacío y la colección de todos los subconjuntos de X que contienen el
elemento jo p ∈ X .
Por ejemplo, si X = {a, b, c} entonces Ta = {∅, X, {a}, {a, b}, {a, c}}.
¾Porqué en la familia Tp aparece el conjunto ∅ de manera explícita?
A continuación se prueba que la familia Tp es una topología para X . Para ello, debe
verse que las condiciones AT1, AT2 y AT3 en la denición 2.3 se cumplen:
AT1 Vacío es un conjunto en Tp ya que explícitamente está incluido en esa familia.
Además, como p ∈ X , por denición X ∈ Tp .
AT2 ¾Es la unión de conjuntos en Tp un conjunto en Tp ? Sea {Ui }i∈I una familia de
S
conjuntos en Tp . Si {Ui }i∈I consta de un único elemento U entonces i∈I Ui =
U ∈ Tp . Si la familia {Ui }i∈I tiene dos o más elementos, al menos un Ui es
S
no vacío, por ejemplo, Ui0 6= ∅, por lo tanto p ∈ Ui0 . Como Ui0 ⊆ i∈I Ui
S
S
(proposición 1.23 (i)) entonces p ∈ i∈I Ui y así i∈I Ui ∈ Tp .
AT3 ¾Es la intersección de dos conjuntos en Tp un conjunto en Tp ? Sean U, V
conjuntos en Tp . Si uno de ellos es vacío, entonces U ∩ V = ∅ ∈ Tp . Ahora, si
58
CAPÍTULO 2.
ESPACIOS TOPOLÓGICOS
U 6= ∅ y V 6= ∅ están en Tp , entonces p ∈ U y p ∈ V , esto es, p ∈ U ∩ V . En
consecuencia, U ∩ V es un conjunto en Tp .
√
Ejemplo 2.10. Los conjuntos {3}, { 2, 3}, N, Z, Q, (2, 5), [3, →) son abiertos
en la topología T3 de R, mientra que los mismos conjuntos ya no son abiertos
en la topología T√3 de R.
Ejercicio 2.7. Dar dos ejemplos de conjuntos nitos y dos ejemplos de conjuntos
innitos que sean abiertos en la topología T−1 de Z.
La topología del punto incluido puede generalizarse al jar un conjunto A ⊆ X en
lugar de un punto p ∈ X , como se plantea en el siguiente ejercicio.
Ejercicio 2.8. Sea A un subconjunto de un conjunto X . Probar que la familia
TA = {U ⊆ X | A ⊆ U } ∪ {∅}
es una topología para X . Usualmente, TA es llamada topología del conjunto
incluido.
Ejemplo 2.11. Sean X = {a, b, c, d, e} y A = {b, d}, entonces TA =
{∅, X, A, {a, b, d}, {b, c, d}, {b, d, e}, {a, b, c, d}, {a, b, d, e}, {b, c, d, e}}.
Ejercicio 2.9. Sean X = {a, b, c, d, e} y B = {b, c, d}. Hallar TB .
√
Ejemplo 2.12. Teniendo el espacio topológico (R, TQ ), U = R \ { 2} ∈ TQ ,
pero Z ∈
/ TQ , pues Q ⊆ U y Q 6⊆ Z.
Ejercicio 2.10. Para el espacio topológico (Z, TN ), dar tres ejemplos de conjuntos
abiertos y tres ejemplos de conjuntos que no sean abiertos.
Ejercicio 2.11. Describir las topologías T∅ y TX para un conjunto X no vacío.
En el siguiente ejemplo se presenta una topología para un conjunto X en términos
de los subconjuntos que no contienen un elemento jo p ∈ X .
2.2.
59
DEFINICIÓN Y EJEMPLOS
Ejemplo 2.13 (Topología del punto excluido, T p ). Sea X un conjunto y
p ∈ X un elemento dado. La familia T p conformada por el conjunto X y todos
los subconjuntos de X que no contienen al elemento jo p ∈ X es una topología
para X . En símbolos,
T p = {U ⊆ X | p ∈
/ U } ∪ {X}.
La familia T p es en efecto una topología para X :
/ ∅; X ∈ T p puesto que explícitamente está incluido en
AT1 ∅ ∈ T p ya que p ∈
la familia.
AT2 Sea {Ui }i∈I una familia de conjuntos en T p . Si X ∈ {Ui }i∈I por ende
S
p
/ {Ui }i∈I , entonces para todo i ∈ I , p ∈
/ Ui y
i∈I Ui = X ∈ T . Si X ∈
S
S
p
por lo tanto p ∈
/ i∈I Ui . Así, i∈I Ui ∈ T .
AT3 Sean U, V conjuntos en T p . Si U = X o V = X , entonces U ∩ V = U
o U ∩ V = V y en cualquiera de los dos casos U ∩ V ∈ T p . Ahora, si
U 6= X y V 6= X , entonces p ∈
/U yp∈
/ V , por lo tanto, p ∈
/ U ∩ V y en
p
consecuencia, U ∩ V ∈ T .
Por ejemplo, si X = {a, b, c} entonces T a = {∅, X, {b}, {c}, {b, c}}.
¾Por qué en la familia T p aparece el conjunto X de manera explícita?
Nota 2.14. Nótese que en (X, T p ), el único abierto que contiene al punto p es
X.
√
Ejemplo 2.15. Los conjuntos {1, 3}, { 2, 4}, Z− , (←, 2), (2, 5), [3, →) son
abiertos en la topología T 2 de R, mientras que los conjuntos {1, 2}, N, Z, Q,
(←, 2], [2, 5) no son abiertos en T 2 .
Ejercicio 2.12. Para la topología T −2 de R, dar dos ejemplos de conjuntos innitos
que sean abiertos y dos ejemplos de conjuntos nitos que no sean abiertos.
60
CAPÍTULO 2.
ESPACIOS TOPOLÓGICOS
La topología del punto excluido puede generalizarse al jar un conjunto A ⊆ X en
lugar de un punto p ∈ X .
Ejemplo 2.16 (Topología del conjunto excluido, T A ). Sea X un conjunto
y A ⊆ X un subconjunto dado. La familia
T A = {U ⊂ X | A ⊆ U c } ∪ {X}
es una topología para X . En efecto:
AT1 ∅ ∈ T A , pues A ⊆ X = ∅c ; X ∈ T A ya que explícitamente se incluye en
esta familia.
AT2 Sea {Ui }i∈I una familia de conjuntos en T A . Si X ∈ {Ui }i∈I entonces
S
p
/ {Ui }i∈I , entonces para todo i ∈ I , A ⊆ Uic y
i∈I Ui = X ∈ T . Si X ∈
c
S
S
T
A
por lo tanto A ⊆ i∈I Uic =
i∈I Ui ∈ T .
i∈I Ui . Así,
AT3 Sean U, V conjuntos en T A . Si U = X o V = X , entonces U ∩ V = U o
U ∩ V = V y en cualquiera de los dos casos U ∩ V ∈ T A . Si U 6= X y
V 6= X , entonces A ⊆ U c y A ⊆ V c , por lo tanto, A ⊆ U c ∪V c = (U ∩V )c .
Así, U ∩ V ∈ T A .
Todo subconjunto propio de X que contiene elementos de A no es un abierto en T A ,
ya que si V ⊂ X y V ∩ A 6= ∅, entonces A * V c .
Nota 2.17. Sean A y B subconjuntos de un conjunto no vacío X . Entonces:
(i) TA = TB si y solo si A = B .
(ii) T A = T B si y solo si A = B .
Ejemplo 2.18. Sean X = {a, b, c, d, e} y A = {a, b}. Entonces T A =
{∅, X, {c}, {d}, {e}, {c, d}, {c, e}, {d, e}, {c, d, e}}.
Ejercicio 2.13. Hallar la topología T A para X = {a, b, c, d} y A = {b, c}.
2.2.
DEFINICIÓN Y EJEMPLOS
61
Ejemplo 2.19. Los abiertos en la topología T Q de R son R y todos los
subconjuntos del conjunto de los números irracionales. En efecto, R 6= U ∈ T Q
si y solo si Q ⊆ U c , con lo cual U ⊆ Qc , es decir, U es subconjunto del conjunto
de los números irracionales.
Ejercicio 2.14. En (Z, T N ) hallar:
(a) dos conjuntos nitos y abiertos.
(b) dos conjuntos innitos y abiertos.
(c) un conjunto nito no abierto.
(d) un conjunto innito no abierto.
El siguiente ejemplo de espacio topológico requiere que X sea un conjunto innito.
Ejemplo 2.20 (Topología de complementos nitos, Tcof ). Dado un
conjunto innito X , la familia Tcof de subconjuntos de X formada por ∅ y todos
los subconjuntos de X cuyo complemento en X es nito, es una topología para
X . En símbolos
Tcof = {U ⊆ X | U c es nito } ∪ {∅}.
Supóngase que U es un abierto de (X, Tcof ) tal que U c = {a1 , . . . , an }.
Usando diferencia de conjuntos, ¾cómo expresar U en términos de X y el conjunto
{a1 , . . . , an }?
¾Qué sucede si en el ejemplo 2.20 se permite que X sea un conjunto nito?
A continuación se prueba que la familia Tcof es una topología para X . Para ello,
debe verse que las condiciones AT1, AT2 y AT3 en la denición 2.3 se cumplen:
AT1 El conjunto vacío pertenece a Tcof pues explícitamente está incluido en su
denición. Como el complemento de X es el conjunto ∅, el cual es un conjunto
nito, entonces X está en Tcof .
AT2 ¾Es la unión de conjuntos en Tcof un conjunto en Tcof ? Sea {Ui }i∈I una familia
S
de conjuntos en Tcof . Si {Ui }i∈I tiene un único elemento U entonces i∈I Ui =
U ∈ Tcof . Si la familia {Ui }i∈I tiene dos o más elementos, al menos un Ui es no
62
CAPÍTULO 2.
ESPACIOS TOPOLÓGICOS
vacío, por ejemplo, Ui0 6= ∅, por consiguiente el conjunto Uic0 es nito. Nótese
S
S
que Ui0 ⊆ i∈I Ui (proposición 1.23 (i)), lo cual implica que ( i∈I Ui )c ⊆ Uic0 .
S
S
Así, ( i∈I Ui )c es un conjunto nito. En conclusión, i∈I Ui ∈ Tcof .
AT3 ¾Es la intersección de dos conjuntos en Tcof un conjunto en Tcof ? Sean U, V
conjuntos en Tcof . Si uno de ellos es vacío, entonces U ∩ V = ∅ ∈ Tcof . Ahora,
supóngase que ambos son conjuntos no vacíos en Tcof , esto es, los conjuntos
U c y V c son nitos. Así que (U ∩ V )c = U c ∪ V c es un conjunto nito y en
consecuencia U ∩ V ∈ Tcof .
Nota 2.21. Sea X un conjunto innito y Tcof la topología de complementos
nitos para X .
(i) El único abierto nito de Tcof es ∅, ya que si existiera un abierto nito
U 6= ∅, entonces U c sería nito y por lo tanto U ∪ U c = X sería un
conjunto nito.
(ii) La topología Tcof tiene innitos abiertos, pues para cada x ∈ X , el
conjunto X \ {x} ∈ Tcof ; con estos abiertos ya se tendrían innitos.
Obsérvese que estos no son los únicos abiertos, ya que si A es un
subconjunto nito de X con al menos dos elementos, entonces X \ A
también es abierto.
Ejercicio 2.15. Para el espacio topológico (N, Tcof ), dar tres ejemplos de conjuntos
abiertos y dos ejemplos de conjuntos que no sean abiertos, uno nito y el otro innito.
Ejercicio 2.16. Dado un conjunto incontable X , demostrar o refutar la siguiente
armación: la familia {U ⊆ X | U c es enumerable} ∪ {∅} es una topología para X .
Ejemplo 2.22 (Topología de complementos contables, Tcoc ). Dado un
conjunto incontable X , la familia
Tcoc = {U ⊆ X | U c es contable} ∪ {∅}
2.2.
DEFINICIÓN Y EJEMPLOS
63
es una topología para X , esto es, los abiertos de Tcoc son ∅ y todos los
subconjuntos de X cuyo complemento en X es contable.
Si en el ejemplo 2.22 se permite que X sea contable ¾cuál sería la topología
resultante?
Ejercicio 2.17. Probar que la familia Tcoc es en efecto una topología para un
conjunto incontable X .
Ejemplo 2.23. Todo abierto en la topología Tcof de R es abierto en Tcoc , así
Tcof ⊆ Tcoc (lo mismo ocurre con estas topologías para un conjunto incontable
X ). El conjunto de los números irracionales es un abierto de la topología Tcoc de
R, ya que su complemento es el conjunto contable (enumerable) Q; sin embargo,
Q ∈
/ Tcoc ya que su complemento, que es el conjunto de los irracionales, es
incontable. Los conjuntos R \ N, R \ Z, R \ 3Z son abiertos en Tcoc , donde 3Z
es el conjunto de los múltiplos enteros de 3. Sea A ⊆ R, con A 6= ∅, si A es
contable, entonces A ∈
/ Tcoc .
Dadas tres topologías diferentes para X = R, por ejemplo: la topología trivial Ttriv ,
la topología discreta Tdis y la topología de complementos nitos Tcof , ¾cuáles son las
relaciones de contenencia que ocurren entre dichas topologías? La topología Ttriv , con
menos conjuntos abiertos, está contenida en la topología Tcof , la cual está contenida
en la topología Tdis . En otras palabras, cada conjunto en Ttriv pertenece a Tcof y
cada conjunto en Tcof pertenece a Tdis , pero no viceversa. Se dice que la topología
discreta es más na que la topología de complementos nitos y esta última es más
na que la topología trivial. Formalmente, se tiene la siguiente denición.
Denición 2.24. Sean T y T 0 dos topologías para un conjunto X . Si T ⊆ T 0 ,
se dice que T 0 es más na que T o que T es menos na que T 0 .
Nota 2.25. En general, dos topologías para un conjunto dado X no
necesariamente son comparables; esto es, ninguna es más na o menos na
que la otra. En este caso se dice que las topologías son incomparables o no
64
CAPÍTULO 2.
ESPACIOS TOPOLÓGICOS
comparables. Para vericar que dos topologías T y T 0 son incomparables,
basta dar un elemento de T que no esté en T 0 y un elemento de T 0 que no esté
en T .
Ejemplo 2.26. Sean T
= {∅, X, {a}}, T 0 = {∅, X, {a}, {a, b}} y T 00 =
{∅, X, {a}, {a, c}} tres topologías para X = {a, b, c}. Nótese que T 0 es más
na que T , T 00 es más na que T ; pero T 0 y T 00 son incomparables, ya que
{a, b} es abierto en T 0 pero no es abierto en T 00 y {a, c} es abierto en T 00 pero
no es abierto en T 0 .
Ejemplo 2.27 (Dos topologías incomparables para R). Sea X = R. Las
topologías Tcof y Tp no son comparables ya, que R \ {p} es conjunto en Tcof
pero no pertenece a Tp . Por otro lado, el conjunto {p} pertenece a Tp pero no
a Tcof .
Ejercicio 2.18. Dadas dos topologías T y T 0 para un conjunto X , probar que T ∩T 0
es topología para X y que es menos na que T y T 0 .
El ejercicio 2.18 se puede generalizar con una familia arbitraria de topologías para
un conjunto X .
Proposición 2.28. Sea {Ti }i∈I una familia arbitraria de topologías para un
conjunto X , entonces
T
i∈I Ti es una topología para X .
Demostración. Sea {Ti }i∈I una familia de topologías para X , se verá que las
condiciones AT1, AT2 y AT3 en la denición 2.3 se cumplen para la familia
T
AT1 ∅, X ∈ i∈I Ti , ya que para todo i ∈ I , ∅, X ∈ Ti .
T
i∈I Ti .
T
AT2 Sea {Uj }j∈J una familia de conjuntos en i∈I Ti , esto es, para cada j ∈ J ,
T
Uj ∈ i∈I Ti . Por lo tanto, Uj ∈ Ti , para cada j ∈ J , y como Ti es topología,
S
S
T
entonces j∈J Uj ∈ Ti ; lo mismo ocurre para todo i ∈ I . Así, j∈J Uj ∈ i∈I Ti .
T
AT3 Sean U, V conjuntos en i∈I Ti , entonces U, V ∈ Ti para todo i ∈ I . Ya que
T
cada Ti es topología, U ∩ V ∈ Ti y por lo tanto U ∩ V ∈ i∈I Ti .
2.2.
65
DEFINICIÓN Y EJEMPLOS
Se denota por Top(X) al conjunto de todas las topologías para un conjunto X .
Obsérvese que la relación de contenencia en Top(X) es una relación de orden, el
mínimo de Top(X) con esta relación es Ttriv y el máximo es Tdis .
Un conjunto parcialmente ordenado (X, ) es llamado retículo si se cumple que
cada par de elementos en X posee supremo e ínmo. El conjunto (Top(X), ⊆) es
un retículo. Sin entrar en detalles, nótese que si T y T 0 son dos topologías para X ,
se tiene que T ∩ T 0 es una topología (véase el ejercicio 2.18); de hecho, es la más
grande de las topologías menos nas que T y T 0 , es decir, T ∩ T 0 = ínf{T , T 0 }.
Además, aunque T ∪ T 0 no es una topología para X (véase la nota 2.8), se puede
generar la topología más pequeña W = hT ∪ T 0 i tal que T ⊆ W y T 0 ⊆ W (véase
la sección 2.6). Luego, W = sup{T , T 0 }.
Ejemplo 2.29. Sea X = {a, b}, entonces
Top(X) = {Ttriv , {∅, X, {a}}, {∅, X, {b}}, Tdis }.
El diagrama de Hasse del retículo (Top(X), ⊆) tiene la forma
Tdis
{∅, X, {a}}
{∅, X, {b}}
Ttriv
Ejercicio 2.19. Dibujar el diagrama de Hasse del retículo (Top(X), ⊆) donde X =
{a, b, c}. Téngase en cuenta que Top(X) tiene 29 topologías.
Ejercicio 2.20. Encontrar cuatro topologías para el conjunto X = {a, b, c, d, e},
tales que la primera topología sea más na que la segunda, la segunda sea más na
que la tercera y la cuarta sea incomparable con las primeras tres topologías.
Ejercicio 2.21. Considérense las siguientes seis topologías denidas sobre R: la
topología trivial, la topología discreta, la topología de complementos nitos, la
66
CAPÍTULO 2.
ESPACIOS TOPOLÓGICOS
topología de complementos contables, la topología del punto incluido p = 0 y la
topología del punto excluido p = 0. Mostrar cómo ellas se pueden comparar (más
na, menos na o incomparables) y justicar las armaciones. Realizar el diagrama
de Hasse de estas seis topologías.
Nota 2.30. En [38] Manuel Suárez establece una correspondencia biyectiva
entre Top(X) y la familia de funciones h : ℘(X) → ℘(X) que cumplen las
siguientes condiciones:
(i) h(X) = X .
(ii) h(Ac ) = (h(A))c , para todo A ∈ ℘(X).
(iii) A ∪ B ∪ h(A ∪ B) = A ∪ B ∪ h(A) ∪ h(B), para todo A, B ∈ ℘(X).
(iv) h(h(A)) ⊆ A ∪ h(A), para todo A ∈ ℘(X).
Estas funciones son llamadas Hunza-funciones para X .
Ejercicio 2.22. Probar que si h es una Hunza-función para X entonces la familia
T = {A ⊆ X | A ⊆ h(A)}
es una topología para X .
Ejercicio 2.23. Encontrar el conjunto H(X) de todas las Hunza-funciones para
X = {a, b, c} y exhibir la correspondencia biyectiva entre los conjuntos Top(X) y
H(X).
2.3. Bases para una topología
En todos los ejemplos anteriores de topologías se puede especicar la familia
completa de conjuntos abiertos. En general esto resulta difícil de hacer; en ocasiones
es más fácil denir una subfamilia de conjuntos abiertos y obtener los demás
conjuntos abiertos a partir de esta.
2.3.
BASES PARA UNA TOPOLOGÍA
67
Denición 2.31. Sea (X, T ) un espacio topológico. Una subfamilia B de T es
una base de T si y solo si dado U ∈ T , si x ∈ U entonces existe B ∈ B tal que
x ∈ B ⊆ U . En otras palabras, B es una base de T si y solo si cada elemento
de T se puede obtener como unión de elementos de B . Los elementos de B son
llamados abiertos básicos.
Dado un espacio topológico (X, T ), siempre existe al menos una base para T , pues
B = T es en sí misma una base. Es más, B 0 = T \ {∅} es también una base de T .
Se dice que T y T \ {∅} son bases triviales. Ahora se dan ejemplos no triviales de
bases.
Ejemplo 2.32 (Una base para la topología discreta). Si (X, Tdis ) es el
espacio discreto, la familia
B = {{x} | x ∈ X} ⊆ Tdis
es una base de Tdis . Basta vericar que B satisface la denición 2.31; en efecto, si
U pertenece a Tdis y x ∈ U el conjunto básico {x} ∈ B es tal que x ∈ {x} ⊆ U .
Ejercicio 2.24. Probar que si B es una base para el espacio discreto (X, Tdis )
entonces {x} ∈ B , para cada x ∈ X .
En el siguiente ejemplo se prueba que la familia dada resulta una base siguiendo la
denición 2.31.
Ejemplo 2.33. La familia B = {{a}, {b, c}, {d, e}} resulta ser una base de
la topología T = {∅, X, {a}, {d, e}, {a, d, e}, {b, c}, {a, b, c}, {b, c, d, e}} para el
conjunto X = {a, b, c, d, e}. En efecto, si U pertenece a T y se considera un
punto x ∈ U , se presentan varios casos.
* Caso x = a. Si a ∈ U entonces el conjunto básico {a} cumple que a ∈
{a} ⊆ U .
* Caso x = b. Si b ∈ U entonces U puede ser uno de los siguiente abiertos:
X , {b, c}, {a, b, c} y {b, c, d, e}. En cualquier caso, el abierto básico {b, c}
es tal que b ∈ {b, c} ⊆ U .
68
CAPÍTULO 2.
ESPACIOS TOPOLÓGICOS
* Caso x = c. Si c ∈ U entonces se tienen las mismas opciones y la misma
conclusión que en el caso anterior.
* Caso x = d. Si d ∈ U sucede que U puede ser uno de los siguientes
conjuntos abiertos: X , {d, e}, {a, d, e} y {b, c, d, e}. En cualquier caso, el
abierto básico {d, e} es tal que d ∈ {d, e} ⊆ U .
* Caso x = e. Si e ∈ U entonces existen las mismas opciones y la misma
conclusión que en el caso anterior.
Luego B es una base para la topología T .
Ejemplo 2.34 (Bases para Tp y T p ). Dado p un elemento de X .
(i) La familia B = {{p, x} | x ∈ X} es una base para la topología Tp .
En efecto, sean U ∈ Tp y x ∈ U , entonces p ∈ U y por lo tanto para
B = {p, x} ∈ B, x ∈ B ⊆ U .
(ii) La familia B = {{x} | x ∈ X \ {p}} ∪ {X} es una base para la topología
T p . En efecto, sean U ∈ T p y x ∈ U ; si x = p, entonces U = X (véase la
nota 2.14) y por lo tanto para B = X ∈ B , p ∈ B ⊆ X = U , ahora, si
x 6= p entonces para B = {x} ∈ B , x ∈ {x} ⊆ U .
Ejercicio 2.25. Encontrar todas las bases de la topología
T = {∅, X, {a}, {d, e}, {a, d, e}, {b, c}, {a, b, c}, {b, c, d, e}}
para X = {a, b, c, d, e}.
Se puede determinar cuándo una familia de subconjuntos de X es una base, la cual
genera una topología que en principio se desconocía.
Teorema 2.35. Sea X un conjunto. Una familia B ⊆ 2X es base de una topología para X si y solo si se cumplen las siguientes dos condiciones.
(i) X =
S
B∈B B .
(ii) Dados cualesquiera U, V ∈ B y x ∈ U ∩ V , existe B en B tal que x ∈ B ⊆
2.3.
BASES PARA UNA TOPOLOGÍA
69
U ∩ V . Esto es, U ∩ V es unión de elementos de B para todo par U, V de
B.
Demostración. Se supone que B es base para una topología T de X y se prueban
las condiciones (i) y (ii). En efecto, por denición 2.31, dado x ∈ X , donde X ∈ T
existe Bx ∈ B con x ∈ Bx ⊆ X . Esto es, {x} ⊆ Bx ⊆ X para todo x. Ya que
S
S
la unión preserva contenencias, se tiene que x∈X {x} ⊆ x∈X Bx ⊆ X , esto es,
S
S
X = x∈X Bx . Luego, X ⊆ B∈B B . La otra inclusión se debe a que cada B ∈ B es
S
un subconjunto de X y por lo tanto la unión B∈B B es un nuevo subconjunto de
X . Ahora, para probar la condición (ii) se toman U, V ∈ B y x ∈ U ∩ V . Dado que
B es subfamilia de T sucede que U, V ∈ T , así por AT2, U ∩ V ∈ T . Por ser B una
base y U ∩V ∈ T , la denición 2.31 implica que existe B ∈ B tal que x ∈ B ⊆ U ∩ V .
Ahora se construye una topología T para la cual B es una base. Se dene T de tal
manera que U ∈ T si y solo si U es unión de elementos de B . La propiedad AT1 de
la denición 2.3 se verica diciendo que ∅ ∈ T por ser la unión de la familia vacía
y X ∈ T por la condición (ii). Para probar AT2, la unión de una familia en T es
en esencia unión de elementos de B y así un elemento en T . Ahora, se consideran
dos conjuntos U, V ∈ T y x ∈ U ∩ V . Por la denición de T , existen BU , BV en B
conteniendo a x y contenidos en U y V respectivamente. Por la condición (ii) para
B , existe Bx ∈ B tal que x ∈ Bx ⊆ BU ∩ BV ⊆ U ∩ V . Así, U ∩ V es unión de
elementos en B y entonces U ∩ V ∈ T ; por tanto, T satisface la condición AT3.
Debido a la construcción de T a partir de B , B es base para T .
Denición 2.36. La topología construida en la demostracíon del teorema 2.35
se conoce como la topología generada por la base B y se denota T = hBi.
La demostración del teorema 2.35 provee un importante y útil criterio para
determinar los conjuntos abiertos a partir de los elementos de la base.
Ejemplo 2.37. La familia B = {{b}, {c}, {a, b, c}, {b, c, d}} es base de una
topología para X = {a, b, c, d}, pues B cumple las dos condiciones del teorema
2.35. En efecto:
70
CAPÍTULO 2.
ESPACIOS TOPOLÓGICOS
(i) {b} ∪ {c} ∪ {a, b, c} ∪ {b, c, d} = {a, b, c, d} = X .
(ii) Se analizará cada caso:
? Para b ∈ {b} ∩ {a, b, c}, {b} ∈ B es tal que b ∈ {b} ⊆ {b} ∩ {a, b, c}.
? Para b ∈ {b} ∩ {b, c, d}, {b} ∈ B es tal que b ∈ {b} ⊆ {b} ∩ {b, c, d}.
? Para c ∈ {c} ∩ {a, b, c}, {c} ∈ B es tal que c ∈ {c} ⊆ {c} ∩ {a, b, c}.
? Para c ∈ {c} ∩ {b, c, d}, {c} ∈ B es tal que c ∈ {c} ⊆ {c} ∩ {b, c, d}.
? Para b ∈ {a, b, c} ∩ {b, c, d}, {b} ∈ B es tal que
b ∈ {b} ⊆ {a, b, c} ∩ {b, c, d}.
? Para c ∈ {a, b, c} ∩ {b, c, d}, {c} ∈ B es tal que
c ∈ {c} ⊆ {a, b, c} ∩ {b, c, d}.
La topología generada por B es
T = hBi = {∅, {b}, {c}, {a, b, c}, {b, c, d}, {b, c}, X},
ya que contiene todas las posibles uniones de elementos de B .
Corolario 2.38. Sea X un conjunto no vacío. Una familia B de subconjuntos
de X , que son disyuntos dos a dos y tal que
topología para X .
S
B∈B B
= X , es base de una
Demostración. Nótese que la condición (i) del teorema 2.35 se cumple por hipótesis.
Sean U , V elementos en B . Para probar la condición (ii) basta considerar dos casos,
el primero es cuando U 6= V ; como son conjuntos disyuntos, se tiene que U ∩ V = ∅
y por tanto (ii) se satisface por vacuidad. El segundo caso es cuando U = V ; por
tanto, si x ∈ U ∩ V , basta tomar B = U de modo que x ∈ U ⊆ U ∩ V .
Ejemplo 2.39. Por el corolario 2.38 se cumple que la familia B
=
{{a}, {b}, {c, d}} es base de una topología para X = {a, b, c, d}, pues los
2.3.
BASES PARA UNA TOPOLOGÍA
71
subconjuntos de X que pertenecen a B son disyuntos dos a dos y
{a} ∪ {b} ∪ {c, d} = {a, b, c, d} = X.
La topología generada por B , es decir, la familia de todas las uniones de
elementos de B , es
T = hBi = {∅, {a}, {b}, {c, d}, {a, b}, {a, c, d}, {b, c, d}, X}.
Corolario 2.40. Sea X un conjunto no vacío. Si B es una familia de
S
subconjuntos de X tal que B∈B B = X y para cada par de conjuntos no
disyuntos U, V ∈ B , U ∩ V ∈ B , luego B es base de una topología para X .
Demostración. La condición (i) del teorema 2.35 se cumple por hipótesis. Sean
U, V ∈ B y x ∈ U ∩ V , así que U , V no son disyuntos y por la hipótesis se tiene que
U ∩ V ∈ B . Así x ∈ B = U ∩ V ⊆ U ∩ V y por lo tanto se satisface la condición (ii)
del teorema 2.35.
Ejemplo 2.41. La familia B = {{a}, {b}, {a, c}, {a, d}} es base de una
topología para X = {a, b, c, d}, pues B cumple las hipótesis del corolario 2.40.
En efecto,
{a} ∪ {b} ∪ {a, c} ∪ {a, d} = {a, b, c, d} = X.
Además, la intersección de conjuntos no disyuntos en B es un conjunto en B ,
como se comprueba a continuación:
{a} ∩ {a, c} = {a} ∈ B, {a} ∩ {a, d} = {a} ∈ B y {a, c} ∩ {a, d} = {a} ∈ B.
La topología generada por B es
T = hBi = {∅, {a}, {b}, {a, c}, {a, d}, {a, b}, {a, b, c}, {a, b, d}, {a, c, d}, X},
ya que contiene todas las posibles uniones de elementos de B .
72
CAPÍTULO 2.
ESPACIOS TOPOLÓGICOS
Corolario 2.42. Si B es una base de una topología para X y T es la topología
generada por B , entonces U ∈ T si y solo si dado x ∈ U existe B ∈ B tal que
x ∈ B ⊆ U.
Ejercicio 2.26. Usar el teorema 2.35, el corolario 2.38 o el corolario 2.40 para
determinar cuáles de las siguientes familias de subconjuntos de X = {1, 2, 3, 4, 5}
son bases de alguna topología para X . Si la familia dada es base, hallar la topología
generada por dicha base.
(a) B1 = {{1}, {1, 2, 3}, {1, 4, 5}}.
(c) B3 = {{1, 2, 3}, {4, 5}}.
(b) B2 = {{1, 2, 3}, {3, 4, 5}}.
Ejemplo 2.43. La familia B = {(−x, x) ⊂ R | x ∈ R+ } es base de una
topología para R, ya que satisface las hipótesis del corolario 2.40. En efecto:
(i)
S
= R, ya que x∈R+ (−x, x) ⊆ R y si r ∈ R, entonces
r ∈ (−x, x), con x = |r| + 1, esto es, r ∈ (−|r| − 1, |r| + 1). Así, r ∈
S
S
x∈R+ (−x, x) y por lo tanto R ⊆
x∈R+ (−x, x).
S
x∈R+ (−x, x)
(ii) Nótese que todo par de conjuntos de B son disyuntos. Sean U, V ∈ B
entonces U = (−x, x) y V = (−y, y), para algunos x, y ∈ R+ . Por lo
tanto, para z = mı́n{x, y}, U ∩ V = (−z, z) ∈ B .
Ejemplo 2.44. La familia B = {(n, n + 2) ⊂ R | n ∈ Z} no es base de una
topología para R, ya que U = (1, 3) ∈ B , V = (2, 4) ∈ B , 52 ∈ U ∩ V , pero
no existe n ∈ Z tal que 25 ∈ (n, n + 2) ⊆ U ∩ V = (2, 3). Así, B no cumple la
condición (ii) del teorema 2.35.
Ejemplo 2.45. La familia B = {[a, b] ⊂ R | a < b} no es base de una topología
para R, ya que U = [1, 2] ∈ B , V = [2, 4] ∈ B , 2 ∈ U ∩ V , pero no existe un
2.3.
73
BASES PARA UNA TOPOLOGÍA
intervalo cerrado [a, b] ∈ B tal que 2 ∈ [a, b] ⊆ U ∩ V = {2}. Así, B no cumple
la condición (ii) del teorema 2.35.
Ejercicio 2.27. Demostrar que B = {[a, b] ⊂ R | a ≤ b} es base de una topología
para R y que la topología generada por B es la discreta.
Ejercicio 2.28. Usar el teorema 2.35, el corolario 2.38 o el corolario 2.40 para
determinar cuáles de las siguientes familias de subconjuntos de R son bases de alguna
topología para X .
(a) B1 = {(n, n + 1] ⊂ R | n ∈ Z}.
(c) B3 = {{r, r+1, r+2} ⊂ R | r ∈ R}.
(b) B2 = {(n, n + 1) ⊂ R | n ∈ Z}.
(d) B4 = {(a, b] ∪ {b + 1} ⊂ R | a < b}.
A continuación se presenta un ejemplo usado en ciencias de la computación.
Ejemplo 2.46 (Base de una topología para Z). La familia B = {Bn | n ∈
Z} de subconjuntos de Z, donde
®
{n},
Bn =
{n − 1, n, n + 1},
si
si
n es impar;
n es par.
es base de una topología para Z; para probarlo, se va a garantizar que B
satisface las condiciones (i) y (ii) del teorema 2.35. Para probar (i), obsérvese
S
que Bn ⊆ Z para todo n ∈ Z, por lo cual n∈Z Bn ⊆ Z. Por otra parte, sea
S
n ∈ Z, entonces n puede ser impar o par. En el caso impar n ∈ {n} ⊆ n∈Z Bn
S
y en el caso par n ∈ {n − 1, n, n + 1} ⊆ n∈Z Bn .
Ahora, sean Bn , Bm en B y x ∈ Bn ∩ Bm . Si x es impar, entonces {x}
pertenece a B y se cumple que x ∈ {x} ⊆ Bn ∩ Bm . Si x es par, entonces
n y m necesariamente son enteros pares, en caso contrario, si uno de ellos, por
ejemplo n, es impar, se tendría que x ∈ Bn = {n}, es decir, x sería impar, una
contradicción. Luego Bn = {n − 1, n, n + 1} y Bm = {m − 1, m, m + 1}, lo que
indica que x = m = n; por tanto, x ∈ Bn ⊆ Bn ∩ Bm , es decir, (ii) se cumple. El
espacio topológico (X, T ), donde T es la topología generada por B , se conoce
como la línea digital
74
CAPÍTULO 2.
ESPACIOS TOPOLÓGICOS
Nota 2.47. La línea digital desempeña un rol muy interesante en el
procesamiento de imágenes digitales [19, 20].
El siguiente teorema provee un importante y útil criterio para comparar dos
topologías, a partir de sus bases.
Teorema 2.48. Sean B y B0 bases de las topologías T y T 0 para X ,
respectivamente. Entonces, T 0 es más na que T si y solo si para cada B ∈ B
y cada x ∈ B , existe B 0 ∈ B 0 tal que x ∈ B 0 ⊆ B .
Demostración. En primer lugar, supóngase que T ⊆ T 0 , luego, dado un abierto
básico B ∈ B y un elemento x ∈ B , ocurre que B ∈ T 0 y esto implica que existe
S
B 0 ∈ B 0 tal que x ∈ B 0 ⊆ B . En el otro sentido, dado U ∈ T , sucede que U = i∈I Bi ,
donde Bi ∈ B para cada i ∈ I . Por la hipótesis, cada Bi es unión de abiertos básicos
en B 0 ; en efecto, para cada x ∈ Bi , existe Bi0x en B 0 tal que x ∈ Bi0x ⊆ Bi , en
S
otras palabras, {x} ⊆ Bi0x ⊆ Bi para cada x ∈ Bi . Luego, Bi = x∈Bi {x} ⊆
S
S
0x
0x
x∈Bi Bi ⊆ Bi , es decir, Bi =
x∈Bi Bi . De lo anterior se concluye que U =
S
S
S
S
0x
= (i,x)∈I×Bi Bi0x , es decir, U ∈ T 0 .
i∈I Bi =
i∈I
x∈Bi Bi
Corolario 2.49. Sean B y B0 bases de las topologías T y T 0 para X ,
respectivamente. Entonces, T 0 es más na que T si y solo si cada abierto básico
de T es unión de abiertos básicos de T 0 .
Demostración. Si T 0 es más na que T entonces por el teorema 2.48 ocurre que para
cada B ∈ B y cada x ∈ B , existe B 0 ∈ B 0 tal que x ∈ B 0 ⊆ B , lo cual implica que
cada conjunto de B es unión de conjuntos de B 0 , esto es, cada abierto básico de T es
unión de abiertos básicos de T 0 . En el otro sentido, sea U ∈ T . Como B es base de
T , U es unión de elementos de B , ahora, por hipótesis cada elemento de B es unión
de elementos de B 0 , esto es, cada elemento de B es abierto en T 0 y por lo tanto, U
es unión de abiertos de T 0 . Luego U ∈ T 0 .
2.4. Más topologías a partir de una base
Se va a considerar un buen número de ejemplos de topologías para R y R2
que son generadas por una base particular. Aunque algunos ejemplos pueden ser
2.4.
MÁS TOPOLOGÍAS A PARTIR DE UNA BASE
75
generalizados al caso Rn , se dejará al lector esa labor.
Algunas topologías para R
Hasta aquí, jando el conjunto X = R, están las siguientes topologías: trivial,
discreta, del punto incluido, conjunto incluido, del punto excluido, conjunto excluido,
complementos nitos y complementos contables. Ahora se denen otras topologías
para R estableciendo una base para cada una de ellas.
Ejemplo 2.50 (Topología usual para R, Tu ). La familia Bu de subconjuntos
de R formada por todos los intervalos de la forma (a, b) = {x ∈ R | a < x < b}
con a, b ∈ R, a < b, es base de una topología para R. La topología
Tu = hBu i
es conocida como la topología usual para R.
Para probar que Bu es base, se verá que se cumplen las hipótesis del corolario
2.40.
S
S
S
Bu = R, ya que Bu ⊆ R y dado r ∈ R, r ∈ (r − 1, r + 1) ⊆ Bu . Ahora, si
(a, b) y (c, d) son intervalos no disyuntos, entonces (a, b) ∩ (c, d) = (e, f ) ∈ Bu ,
donde e = máx{a, c} y f = mı́n{b, d}.
Ejemplo 2.51. Los siguientes son algunos ejemplos de abiertos no básicos en
la topología usual de R.
(i) (−3, 2) ∪ (2, 5) ∪ (7, 19
).
2
(ii) R+ = (0, ∞), ya que (0, ∞) =
(−∞, b) ∈ Tu , para a, b ∈ R.
(iii) R \ Z, pues R \ Z =
S
S
n∈Z+ (0, n). En general, (a, ∞) ∈ Tu y
k∈Z (k, k + 1).
76
CAPÍTULO 2.
ESPACIOS TOPOLÓGICOS
(iv) R \ {2, 3, 4}, puesto que
!
R \ {2, 3, 4} =
[
(n, 2)
!
∪ (2, 3) ∪ (3, 4) ∪
n∈Z−
[
(4, 4 + k) .
k∈Z+
Nota 2.52. En general, si A = {r1 , r2 , . . . , rn } es un subconjunto nito de R,
entonces R \ A ∈ Tu . En efecto, sin pérdida de generalidad se puede asumir que
los elementos en A están ordenados en forma ascendente o, de lo contrario, se
ordenan. Así,
R \ A = (−∞, r1 ) ∪ (r1 , r2 ) ∪ · · · ∪ (rn−1 , rn ) ∪ (rn , ∞).
Como R \ A es unión de abiertos de la topología usual, entonces R \ A ∈ Tu .
Ahora, ya que los abiertos no triviales de Tcof para R son de la forma R \ A
con A un subconjunto nito de R, se concluye que Tcof ⊆ Tu , esto es, Tu es más
na que Tcof .
Ejemplo 2.53. Los siguientes son algunos ejemplos de subconjuntos de R que
no son abiertos en la topología usual de R, pues no son de la forma (a, b) ni se
pueden obtener uniendo elementos de Bu .
(i) Los subconjuntos nitos (no vacíos).
(ii) Los subconjuntos enumerables.
(iii) Los intervalos de la forma [a, b], [a, b) y (a, b], con a < b, a, b ∈ R.
(iv) El conjunto de los números irracionales.
(v) Los conjuntos de la forma [a, ∞) y (−∞, b], con a, b ∈ R.
Ejercicio 2.29. Determinar cuáles de los siguientes conjuntos son abiertos en la
topología usual para R. Escribir como unión de básicos aquellos abiertos que no
sean básicos.
2.4.
77
MÁS TOPOLOGÍAS A PARTIR DE UNA BASE
(a) î(2, 4). ä
√
(e) 0, 2 .
(b) (0, ∞).
(f) R \ {1}.
(c) n1 | n ∈ Z+ .
(g) R \ N.
(d) {1, 2, 3}.
(h) R \ Q.
Ejemplo 2.54 (Topologías del límite inferior y superior). Teniendo en
cuenta los intervalos semiabiertos a derecha y a izquierda se presentan dos
topologías:
(i) La familia Binf formada por todos los intervalos de R de la forma [a, b) =
{x ∈ R | a ≤ x < b} con a, b ∈ R, a < b, es base de una topología para R.
La topología
Tinf = hBinf i
es conocida como la topología del límite inferior para R. Para probar
que Binf es base, se verá que se cumplen las hipótesis del corolario 2.40.
S
S
S
Binf = R, ya que Binf ⊆ R y dado r ∈ R, r ∈ [r, r + 1) ⊆ Binf .
Ahora, si [a, b) y [c, d) son intervalos no disyuntos , entonces [a, b)∩[c, d) =
[e, f ) ∈ Binf , donde e = máx{a, c} y f = mín{b, d}.
(ii) La familia Binf formada por todos los intervalos de R de la forma (a, b] =
{x ∈ R | a < x ≤ b} con a, b ∈ R, a < b, es base de una topología para R.
La topología
Tsup = hBsup i
es conocida como la topología del límite superior para R.
Ejercicio 2.30. Mostrar que la familia Bsup = {(a, b] ⊂ R | a, b ∈ R, a < b} es base
de una topología para R.
Ejemplo 2.55. La topología Tsup es más na que la topología Tu , esto es,
Tu ⊆ Tsup . Para probar esto se usará el teorema 2.48, ya que Tu y Tsup son
generadas por las bases Bu y Bsup respectivamente (véase el ejemplo 2.50 y el
ejemplo 2.54 (ii)). Sea B = (a, b) ∈ Bu y x ∈ (a, b), entonces a < x < b y por lo
tanto existe (a, x] ∈ Bsup tal que x ∈ (a, x] ⊆ (a, b). Por el teorema 2.48 se tiene
78
CAPÍTULO 2.
ESPACIOS TOPOLÓGICOS
que Tsup es más na que Tu . Como cada (a, b] ∈ Tsup , pero (a, b] ∈
/ Tu , entonces
la contenencia es estricta.
Ejemplo 2.56. Cada intervalo (a, b) es unión de intervalos de la forma (c, d],
esto es,
(a, b) =
[
(a, r].
a<r<b
Por el corolario 2.49, Tinf es más na que Tu . Así, los intervalos (a, b) son
abiertos no básicos en Tsup .
Ejercicio 2.31. Probar o refutar: Tsup es más na que Tinf .
Ejercicio 2.32. Dar dos ejemplos especícos de abiertos básicos, dos ejemplos de
abiertos no básicos y dos ejemplos de conjuntos no abiertos por cada una de las
topologías Tinf y Tsup .
Ejemplo 2.57 (Topología de los dipolos, Tdip ). La familia Bdip formada
por todos los dipolos de R, es decir, subconjuntos de la forma {−p, p} con
p ∈ R+ ∪ {0} es base de una topología para R. La topología
Tdip = hBdip i
se conoce como la topología de los dipolos. Para ver que Bdip es base de
una topología, se verican las condiciones del corolario 2.38. En efecto, nótese
que si x ∈ R, el conjunto {x, −x} es un elemento de Bdip que contiene a x, lo
S
S
cual implica que R ⊆ p∈R {p, −p}. La contenencia p∈R {p, −p} ⊆ R es válida
debido a que {p, −p} ⊆ R para cada p ∈ R. Finalmente, obsérvese que si p 6= q ,
los conjuntos {p, −p} y {q, −q} son disyuntos.
Nota 2.58. Los abiertos en la topología de los dipolos se obtienen uniendo
dipolos, así, U ∈ Tdip si y solo si, x ∈ U implica que −x ∈ U , para cada x ∈ U .
Ejercicio 2.33. Para (R, Tdip ) dar dos ejemplos de abiertos básicos, un ejemplo de
abierto no básico y nito, un ejemplo de abierto no básico e innito, un ejemplo de
conjunto no abierto nito y un ejemplo conjunto no abierto innito.
2.4.
MÁS TOPOLOGÍAS A PARTIR DE UNA BASE
Ejemplo 2.59 (Topologías de colas). Teniendo en cuenta las colas abiertas
y cerradas tanto a derecha como a izquierda en R se presentan las siguientes
topologías.
(i) La familia B(?,→) de todas las colas a derecha abiertas de R, esto es,
conjuntos de la forma (a, →) = {x | a < x}, con a ∈ R, es base de una
topología para R. La topología
T(?,→) = hB(?,→) i
es conocida como la topología de colas a derecha abiertas. Para
probar que B(?,→) es base de una topología, se verá que se satisfacen
S
las hipótesis del corolario 2.40. En efecto: a∈R (a, →) = R, puesto que
S
S
a∈R (a, →). Nótese
a∈R (a, →) ⊆ R y si r ∈ R, entonces r ∈ (r−1, →) ⊆
que todo par de conjuntos de B(?,→) son disyuntos. Sean U, V ∈ B(?,→)
entonces U = (a, →) y V = (b, →), para algunos a, b ∈ R. Por lo tanto,
para c = máx{a, b}, U ∩ V = (c, →) ∈ B .
(ii) En R, una cola a derecha cerrada es un conjunto de la forma [a, →) =
{x ∈ R | a ≤ x}, con a ∈ R. La familia B[?,→) de todas las colas a derecha
cerradas es base de una topología para R. A la topología
T[?,→) = hB[?,→) i
se le llama topología de colas a derecha cerradas.
(iii) En R, una cola a izquierda abierta es un conjunto de la forma (←, a) =
{x ∈ R | x < a}, con a ∈ R. La familia B(←,?) de todas las colas a
izquierda abiertas es base de una topología para R. La topología
T(←,?) = hB(←,?) i
es llamada topología de colas a izquierda abiertas.
79
80
CAPÍTULO 2.
ESPACIOS TOPOLÓGICOS
(iv) La familia B(←,?] de todas las colas a izquierda cerradas de R, (←, a] =
{x ∈ R | x ≤ a}, con a ∈ R, es base de una topología para R. La topología
T(←,?] = hB(←,?] i
se llama topología de colas a izquierda cerradas.
Nota 2.60. Las topologías T(?,→) y T(←,?) en el ejemplo 2.59 dieren de
sus respectivas bases únicamente en los abiertos triviales. Es decir, las bases
mencionadas allí satisfacen las condiciones AT2 y AT3 de la denición 2.3; por
tanto, en estos casos basta agregar los abiertos triviales a la base para obtener
la topología generada por la base.
Ejercicio 2.34. Probar que cada una de las siguientes familias es base de una
topología para R.
(a) B[?,→) = {[a, →) | a ∈ R}.
(c) B(←,?] = {(←, a] | a ∈ R}.
(b) B(←,?) = {(←, a) | a ∈ R}.
Nota 2.61. Empleando el teorema 2.48 se relacionan algunas topologías para
R.
(i) T(?,→) ⊆ Tu , esto es, la topología usual es más na que la topología de
colas a derecha abiertas. En efecto: sean (a, →) ∈ B(?,→) y x ∈ (a, →),
entonces a < x, con lo cual x ∈ ( a+x
, x+1). Por lo tanto, ( a+x
, x+1) ∈ Bu
2
2
a+x
con x ∈ ( 2 , x + 1) ⊆ (a, →). Por el teorema 2.48 se concluye que Tu es
más na que T(?,→) .
(ii) T(?,→) ⊆ T[?,→) , esto es, la topología de colas a derecha cerradas es más
na que la topología de colas a derecha abiertas. En efecto: sean (a, →) ∈
B(?,→) y x ∈ (a, →), entonces a < x y por lo tanto [x, →) ⊆ (a, →). Así,
[x, →) ∈ B[?,→) y x ∈ [x, →) ⊆ (a, →). Por el teorema 2.48 se tiene que
T[?,→) es más na que T(?,→) .
(iii) T(←,?) ⊆ Tu , es decir, la topología usual es más na que la topología de
2.4.
81
MÁS TOPOLOGÍAS A PARTIR DE UNA BASE
colas a izquierda abiertas.
(iv) T(←,?) ⊆ T(←,?] , es decir, la topología de colas a izquierda cerradas es más
na que la topología de colas a izquierda abiertas.
Nótese que (a, →) =
S
x>a [x, →) y (←, a) =
S
x<a (←, x).
Ejercicio 2.35. Usando el teorema 2.48, demostrar:
(a) T(←,?) ⊆ Tu , esto es, la topología usual es más na que la topología de colas a
izquierda abiertas.
(b) T(←,?) ⊆ T(←,?] , es decir, la topología de colas a izquierda cerradas es más na
que la topología de colas a izquierda abiertas.
Ejercicio 2.36. Dar dos ejemplos de abiertos básicos, dos ejemplos de abiertos no
básicos y dos ejemplos de conjuntos no abiertos respecto a cada uno de los siguientes
espacios topológicos.
(a) (R, T(?,→) ).
(b) (R, T[?,→) ).
(c) (R, T(←,?) ).
(d) (R, T(←,?] ).
Ejercicio 2.37. Para X = R, demostrar o refutar:
(a) T(?,→) es menos na que T5 .
(d) T(?,→) es menos na que Tsup .
(b) T[?,→) es más na que Tinf .
(e) T(←,?) es más na que Tsup .
(c) T(←,?) es menos na que Tinf .
(f) Tu es más na que Tdip .
Nota 2.62. Por medio del criterio mostrado en la nota 2.25 se pueden encontrar
parejas de topologías incomparables para R. Por ejemplo:
(i) Tp y T p son incomparables, pues {p} ∈ Tp pero {p} ∈
/ T p y para x 6= p,
{x} ∈ T p pero {x} ∈
/ Tp .
(ii) T(←,?) y Tdip son incomparables, pues (2, →) ∈ T(←,?) pero (2, →) ∈
/ Tdip y
{−3, 3} ∈ Tdip pero {−3, 3} ∈
/ T(←,?) .
Ejercicio 2.38. Encontrar tres parejas de topologías incomparables para R.
Justicar la respuesta.
82
CAPÍTULO 2.
ESPACIOS TOPOLÓGICOS
Ejercicio 2.39. Completar la tabla 2.1 escribiendo sí cuando el conjunto pertenezca
a la topología correspondiente y escribir no en caso contrario.
Conjunto/Topología
Tu
Tcof
Tinf
T(?,→)
T[?,→)
Tdip
T5
T5
T(←,?)
Tcoc
(−1, 4)
[0, ∞)
{−1, 0, 1}
R \ {−1, 1}
R \ Z+
[−4, ∞)
(−∞, 7]
[0, 1)
N
[0, 1]
1
+
n |n∈Z
Tabla 2.1: Subconjuntos y topologías para R.
Nota 2.63. A continuación se resume la relación que existe entre algunas de
las topologías para R2 dadas anteriormente.
(i) Tdis es más na que T , para toda topología T de R.
(ii) T es más na que Ttriv , para toda topología T de R.
(iii) Tcoc es más na que Tcof .
(iv) Tsup es más na que Tu .
(v) Tinf es más na que Tu .
(vi) T(←,?] es más na que T(←,?) .
(vii) T[?,→) es más na que T(?,→) .
(viii) Tu es más na que T(?,→) .
2.4.
MÁS TOPOLOGÍAS A PARTIR DE UNA BASE
83
(ix) Tu es más na que T(←,?) .
(x) Tinf y Tsup no son comparables.
(xi) Tu y T(←,?] no son comparables.
(xii) T(?,→) y T(←,?) no son comparables.
(xiii) Tdip no es comparable con ninguna topología distinta de la trivial y la
discreta.
(xiv) Tp no es comparable con ninguna topología distinta de la trivial y la
discreta.
(xv) T p no es comparable con ninguna topología distinta de la trivial y la
discreta.
Ejercicio 2.40. Probar las armaciones de la nota 2.63 que no se han demostrado
en este texto y que no se han dejado en un ejercicio previo.
Algunas topologías para R2
Las topologías: trivial, discreta, del punto incluido, del conjunto incluido, del
punto excluido, del conjunto excluido, de complementos nitos y de complementos
contables se pueden considerar para el conjunto X = R2 . A continuación se presentan
otros ejemplos de topologías para R2 generadas por alguna base particular.
Ejemplo 2.64 (Topología usual, Tu ). Dados un número real > 0 y x =
(x1 , x2 ) ∈ R2 , se dene el conjunto
B (x) = {(y1 , y2 ) ∈ R2 |
»
(x1 − y1 )2 + (x2 − y2 )2 < }
como la bola abierta en R2 con centro en x y radio . Nótese que B (x) es
el conjunto de puntos que se encuentran en la regiíon que está dentro de la
circunferencia con centro x y radio . La familia Bu2 formada por todas las bolas
abiertas en R2 , esto es,
Bu2 = {B (x) | x ∈ R2 , > 0}
84
CAPÍTULO 2.
ESPACIOS TOPOLÓGICOS
es base de una topología para R.
Tu = hBu2 i
es llamada topología usual para R2 .
Para probar que Bu2 es base de una topología para R2 se verican las condiciones
(i) y (ii) del teorema 2.35. En primer lugar, (i) se cumple debido a que se
puede cubrir el espacio R2 con todas las bolas abiertas, es decir, si x ∈ R2 ,
S
la bola abierta B1 (x) ∈ Bu2 contiene a x, luego x ∈ Bu2 , lo que signica que
S
R2 ⊆ Bu2 . Además, ya que cada elemento de la familia Bu2 es un subconjunto
S
S
de R2 , se tiene que Bu2 ⊆ R2 . Luego Bu2 = R2 . Para probar (ii), se toma
un punto x en la intersección de las bolas abiertas B (y) y Bδ (z), se debe
elegir un radio adecuado (sucientemente pequeño) ρ > 0, de tal forma que
Bρ (x) ⊆ B (y) ∩ Bδ (z). Obsérvese en la gura 2.3 que ρ debe ser menor o igual
al mínimo entre − d1 y δ − d2 . En la sección 5.3 se discutirá detalladamente,
en un contexto más general, este mismo hecho.
δ
·
y
ρ
·
d1 x
·
z
d2
Figura 2.3: Elección del radio ρ apropiado.
Ejemplo 2.65. A continuación se presentan algunos ejemplos de conjuntos
abiertos no básicos en la topología usual para R2 .
(i) A = B2 ((1, 1)) ∪ B1/2 ((0, 5)).
2.4.
MÁS TOPOLOGÍAS A PARTIR DE UNA BASE
85
(ii) B = (1, 3) × (2, 5) = {(x, y) ∈ R2 | 1 < x < 3 ∧ 2 < y < 5}.
(iii) C = {(x, y) ∈ R2 | 1 < x < 3}.
(iv) D = {(x, y) ∈ R2 | 1 < y < 3}.
(v) E = {(x, y) ∈ R2 | x < 3}.
(vi) F = {(x, y) ∈ R2 | y > 1}.
En el ejemplo anterior se dan ejemplos especícos, pero esto no indica que todos los
abiertos en la topología usual de R2 tengan esa forma.
Ejercicio 2.41. Dibujar en el plano cartesiano los conjuntos del ejemplo 2.65 e
ilustrar grácamente una idea intuitiva de por qué son abiertos.
Ejemplo 2.66. Los siguientes son algunos conjuntos que no son abiertos en la
topología usual para R2 .
p
(i) A = {(x, y) ∈ R2 | (x − 3)2 + (y − 2)2 ≤ 1}.
(ii) B = [1, 3) × (2, 5] = {(x, y) ∈ R2 | 1 ≤ x < 3 ∧ 2 < y < 5}.
(iii) C = {(x, y) ∈ R2 | 1 < x ≤ 3}.
(iv) D = {(x, y) ∈ R2 | x = 3}.
(v) E = {(x, y) ∈ R2 | y = 2x + 1}.
(vi) F = {(1, 2), (3, −1)}.
(vii) G ⊆ R2 tal que G es contable.
(viii) H = {(x, y) ∈ R2 | x ∈ Z}.
Los conjuntos dados en el ejemplo anterior son solo ejemplos especícos de conjuntos
no abiertos en la topología usual de R2 , pero esto no signica que todos los conjuntos
que no son abiertos tengan esa forma.
Ejercicio 2.42. Dibujar en el plano cartesiano los conjuntos del ejemplo 2.66 y dar
una idea intuitiva de por qué no son abiertos.
86
CAPÍTULO 2.
ESPACIOS TOPOLÓGICOS
La topología usual también se dene para Rn y es una generalización de la topología
usual para R2 (véase el ejemplo 2.64).
Ejemplo 2.67 (Topología usual para Rn ). Dados un número real > 0 y
x = (x1 , x2 , . . . , xn ) ∈ Rn , se dene el conjunto
n
o
»
B (x) = (y1 , . . . , yn ) ∈ Rn | (x1 − y1 )2 + · · · + (xn − yn )2 < como la bola abierta en Rn con centro en x y radio . La familia de todas las
bolas abiertas en Rn , esto es,
Bun = {B (x) | x ∈ Rn , > 0}
es base de una topología para Rn . La topología
Tu = hBun i
es llamada topología usual para Rn .
Ejemplo 2.68 (Topologías de franjas). Teniendo en cuenta las franjas
horizontales y verticales en R2 se denen la topología de franjas horizontales y
la topología de franjas verticales.
(i) Una franja horizontal Fh (a, b) en R2 es el conjunto de puntos que están
dentro de la región delimitada por dos rectas horizontales que pasan por
los puntos (0, a) y (0, b), con a < b, sin incluir los puntos que están en las
rectas (véase la gura 2.4). Esto es,
Fh (a, b) = {(x, y) ∈ R2 | a < y < b}.
La familia Bf h de todas las franjas horizontales es base de una topología
S
para R2 . En efecto: Bf h = R2 , ya que como cada Fh (a, b) es subconjunto
S
de R2 entonces
Bf h ⊆ R2 , por otro lado, dado x = (x1 , x2 ) ∈ R2 ,
S
x ∈ Fh (x2 −1, x2 +1) ⊆ Bf h . Obsérvese que la intersección de dos franjas
horizontales no disyuntas es una franja horizontal, esto es, si Fh (a, b) ∩
2.4.
MÁS TOPOLOGÍAS A PARTIR DE UNA BASE
87
Fh (c, d) 6= ∅, Fh (a, b) ∩ Fh (c, d) = Fh (e, f ), con e = máx{a, c} y f =
mı́n{b, d}. Así, Fh (a, b) ∩ Fh (c, d) ∈ Bf h . Por el corolario 2.40 se tiene que
Bf h es base de una topología para R2 . La topología generada por Bf h se
nota por Tf h y se le llama topología de franjas horizontales.
(ii) Una franja vertical Fv (a, b) en R2 es el conjunto de puntos que están
dentro de la regíon delimitada por dos rectas verticales que pasan por los
puntos (a, 0) y (b, 0), con a < b, sin incluir los puntos que están en las
rectas (véase la gura 2.5). Así,
Fv (a, b) = {(x, y) ∈ R2 | a < x < b}.
La familia Bf v de todas las franjas verticales es base de una topología para
R2 . La topología generada por Bf v se nota por Tf v y se llama topología
de franjas verticales.
Téngase en cuenta que U = {(x, y) ∈ R2 | y > 1} es un abierto no básico en Tf h , ya
que
[
U=
Fh (n, n + 2),
n∈Z
n≥1
mientras que U ∈
/ Tf h .
Fh (2, 5)
Figura 2.4: Un abierto básico en Tf h .
88
CAPÍTULO 2.
ESPACIOS TOPOLÓGICOS
Fv (−1, 2)
Figura 2.5: Un abierto básico en Tf v .
Ejercicio 2.43. Demostrar que Bf v es base de una topología para R2 .
Ejercicio 2.44. Para cada una de las topologías Tf h y Tf v , dibujar en el plano
cartesiano dos ejemplos de abiertos básicos, dos ejemplos de abiertos no básicos y
dos ejemplos de conjuntos no abiertos.
Ejemplo 2.69 (Topologías de rectas). Teniendo en cuenta ciertas rectas en
R2 se denen otras topologías para R2 .
(i) La recta vertical en R2 que pasa por el punto (a, 0) se nota por Rva , esto
es,
Rva = {(x, y) ∈ R2 | x = a}.
La familia BRv = {Rva | a ∈ R} es base de una topología para R2 .
La topología TRv generada por BRv es conocida como la topología de
rectas verticales. La gura 2.6 es un ejemplo de un abierto básico en
esta topología. Que BRv sea base se tiene por corolario 2.38. En efecto:
S
2
* R2 =
a∈R Rva : como para cada a ∈ R, Rva ⊆ R entonces
S
2
2
a∈R Rva ⊆ R . Para la otra contenencia sea (x, y) ∈ R , entonces
S
(x, y) ∈ Rvx ⊆ a∈R Rva .
* Nótese que para cada par de elementos a, b de R con a 6= b, ocurre
que Rva ∩ Rvb = ∅.
2.4.
MÁS TOPOLOGÍAS A PARTIR DE UNA BASE
89
(ii) Sean a, m ∈ R. La recta de pendiente m que pasa por el punto (0, a) en
R2 se nota por Rma , esto es,
Rma = {(x, y) ∈ R2 | y = mx + a}.
Para m jo, la familia de todas las rectas de pendiente m se nota por
BRm , es decir,
BRm = {Rma | a ∈ R}.
Nótese que BRm es base de una topología para R2 . La topología generada
por BRm se nota por TRm y se llama topología de rectas de pendiente
m. En la gura 2.7 se muestra un abierto básico en esta topología.
Obsérvese que Fv (a, b) ∈ TRv , ya que la franja vertical Fv (a, b) es la unión de todas
S
las rectas verticales que están entre Rva y Rvb , esto es, Fv (a, b) = a<x<b Rvx .
Fv (a, b) ∈
/ TRm , para ningún m ∈ R.
Rv8
Figura 2.6: Un abierto básico en TRv .
R12
Figura 2.7: Un abierto básico en TRm .
90
CAPÍTULO 2.
ESPACIOS TOPOLÓGICOS
Ejercicio 2.45. Probar que BRm es base de una topología para R2 .
Ejercicio 2.46. Dibujar en el plano cartesiano dos ejemplos de abiertos básicos, dos
ejemplos de abiertos no básicos y dos ejemplos de conjuntos no abiertos respecto a
la topología TRv para R2 .
Ejercicio 2.47. Dibujar en el plano cartesiano dos ejemplos de abiertos básicos, dos
ejemplos de abiertos no básicos y dos ejemplos de conjuntos no abiertos respecto a
la topología TR2 para R2 , donde TR2 es la topología de rectas de pendiente 2.
Ejercicio 2.48. Determinar si la familia B = {Rma | a, m ∈ R} es base de una
topología para R2 .
Ejemplo 2.70 (Topología del orden lexicográco, Tlex ). En R2 se dene
el orden lexicográco l de la siguiente manera: sean (a, b), (c, d) ∈ R2 ,
(a, b) l (c, d) si y solo si, a < c o si a = c entonces b ≤ d.
Obsérvese que l es un orden total. Así, un intervalo abierto en el orden
lexicográco es de la forma
((a, b), (c, d)) = {(x, y) ∈ R2 | (a, b) ≺l (x, y) ≺l (c, d)}.
La familia de todos los intervalos de R2 respecto al orden lexicográco se nota
por Blex . Nótese que Blex es base de una topología para R2 . A la topología
generada por esta base se le llama topología del orden lexicográco. En la
gura 2.8 se ilustran las dos formas que tienen los abiertos básicos.
Para probar que Blex es base, se verá que se cumplen las hipótesis del
S
S
corolario 2.40. Blex = R2 , ya que Blex ⊆ R2 y dado x = (x1 , x2 ) ∈ R2 ,
S
(x1 , x2 ) ∈ ((x1 , x2 − 1/2), (x1 , x2 + 1/2)) ⊆
Blex . Ahora, si ((a, b), (c, d))
y ((a0 , b0 ), (c0 , d0 )) son intervalos no disyuntos, entonces ((a, b), (c, d)) ∩
((a0 , b0 ), (c0 , d0 )) = ((e, f ), (g, h)) ∈ Blex , donde (e, f ) = máx{(a, b), (a0 , b0 )} y
(g, h) = mı́n{(c, d), (c0 , d0 )}.
El orden lexicográco también se puede denir en Rn comparando componente a
conponente.
2.4.
MÁS TOPOLOGÍAS A PARTIR DE UNA BASE
((a, b), (c, d))
((a0 , b0 ), (a0 , d0 ))
(a0 , d0 )
(c, d)
(a0 , b0 )
(a, b)
Figura 2.8: Abiertos básicos en Tlex .
Ejemplo 2.71. A continuación se presentan algunos ejemplos de abiertos no
básicos en la topología del orden lexicográco para R2 y se expresan como unión
de básicos.
(i) Las rectas verticales. Sea Rva la recta vertical que pasa por el punto
(a, 0) ∈ R2 , esto es, Rva = {(x, y) ∈ R2 | x = a}, entonces Rva =
S
k∈Z ((a, k), (a, k + 2)) (véase la gura 2.9).
(ii) Cada bola abierta del ejemplo 2.64. Sea B (x) la bola abierta con centro en
S
el punto x = (x1 , x2 ) y radio . Entonces B (x) = 0<θ<π ((x1 + cos θ, x2 −
sin θ), (x1 + cos θ, x2 + sin θ)) (véase la gura 2.10).
(iii) Las franjas horizontales. Sea Fh (a, b) una franja horizontal (véase el
ejemplo 2.68 (i)), entonces
Fh (a, b) =
[
((x, a), (x, b)).
x∈R
(iv) Las franjas verticales. Sea Fv (a, b) una franja vertical (véase el ejemplo
2.68 (ii)), entonces esta franja se puede expresar como unión de ciertas
rectas verticales y a la vez, cada una de estas rectas verticales se puede
91
92
CAPÍTULO 2.
ESPACIOS TOPOLÓGICOS
expresar como unión de elementos de Blex . Formalmente,
!
Fv (a, b) =
[
a<x<b
Rvx =
[
[
a<x<b
k∈Z
((x, k), (x, k + 2)) .
(v) Las franjas verticales cerradas. Sea Fv [a, b] = {(x, y) ∈ R2 | a ≤ x ≤ b},
con a < b. Fv [a, b] se llama franja vertical cerrada.
!
[
[
[
Fv [a, b] =
Rvx =
((x, k), (x, k + 2)) .
a≤x≤b
a≤x≤b
k∈Z
No todos los abiertos de la topología del orden lexicográco están descritos en el
ejemplo anterior.
Nota 2.72. Usando el corolario 2.49 y los ítems (i), (ii), (iii) y (iv) del ejemplo
2.71, se concluye que Tlex es más na que TRv , Tu , Tf h y Tf v . En efecto:
(i) Tlex es más na que TRv , ya que cada abierto básico Rva de TRv es unión
de abiertos básicos de Tlex .
(ii) Tlex es más na que Tu , pues cada abierto básico B (x) de Tu es unión de
abiertos básicos de Tlex .
(iii) Tlex es más na que Tf h , debido a que cada abierto básico Fh (a, b) de Tf h
es unión de básicos de Tlex .
(iv) Tlex es más na que Tf v , ya que que cada abierto básico Fv (a, b) de Tf v es
unión de básicos de Tlex .
2.4.
MÁS TOPOLOGÍAS A PARTIR DE UNA BASE
93
(a, 4)
(a, 2)
Figura 2.9: Una recta vertical es un conjunto abierto en Tlex .
x
Figura 2.10: Una bola es un conjunto abierto en Tlex .
Ejercicio 2.49. Teniendo en cuenta el espacio topológico (R2 , Tlex ), dibujar en el
plano cartesiano dos ejemplos de abiertos básicos, dos ejemplos de abiertos no básicos
(distintos a los del ejemplo 2.71) y dos ejemplos de conjuntos no abiertos.
Nota 2.73. A continuación se resume la relación que existe entre algunas de
las topologías para R2 dadas anteriormente.
(i) Tdis es más na que T , para toda topología T de R2 .
(ii) T es más na que Ttriv , para toda topología T de R2 .
(iii) TRv es más na que Tf v .
94
CAPÍTULO 2.
ESPACIOS TOPOLÓGICOS
(iv) Tlex es más na que Tf h .
(v) Tlex es más na que Tf v .
(vi) Tlex es más na que TRv .
(vii) Tlex es más na que Tu
(viii) Tu es más na que Tf v .
(ix) Tu es más na que Tf h .
(x) TR0 (generada por rectas de pendiente 0) es más na que Tf h .
(xi) TRv y Tu no son comparables.
(xii) TRv y Tf h no son comparables.
(xiii) Tf v y Tf h no son comparables.
(xiv) Tp no es comparable con ninguna topología distinta de la trivial y la
discreta.
(xv) T p no es comparable con ninguna topología distinta de la trivial y la
discreta.
(xvi) Para m 6= 0, TRm no es comparable con ninguna topología distinta de la
trivial y la discreta.
Ejercicio 2.50. Probar las armaciones de la nota 2.73 que no se han demostrado
en este texto y que no se han dejado en un ejercicio previo.
Algunas topologías para un conjunto totalmente ordenado
Dado un conjunto (X, ) totalmente ordenado por la relación de orden , se pueden
denir algunas topologías en forma similar a las topologías de colas, topología usual,
topologías del límite superior e inferior denidas para R y la topología del orden
lexicográco denida para R2 .
2.4.
MÁS TOPOLOGÍAS A PARTIR DE UNA BASE
95
Ejemplo 2.74 (Topología del orden, Tord ). Se dene la topología del
orden Tord sobre un conjunto totalmente ordenado (X, ) tomando como base
la familia Bord cuyos elementos son todos los subconjuntos de X de la forma
(x, y) := {t ∈ X | x ≺ t ≺ y},
(x, →) := {t ∈ X | x ≺ t} y
(←, y) := {t ∈ X | t ≺ y},
los cuales son llamados intervalo abierto acotado, cola a derecha abierta
y cola a izquierda abierta, respectivamente.
¾Cuál es la topología Tord para un conjunto nito totalmente ordenado?
¾Qué sucede si el orden no es total?
Ejercicio 2.51. Probar que la familia Bord es base de una topología para un conjunto
totalmente ordenado (X, ).
Ejercicio 2.52. Hallar Tord para X = N con su orden usual.
Cuando X no tiene elemento máximo ni mínimo basta considerar en Bord tan solo
los intervalos abiertos acotados. Por ejemplo, en R con el orden usual la topología
del orden coincide con la topología usual, esto es, Tord = Tu . En R2 con el orden
lexicográco l , se tiene que Tord = Tlex .
En el caso de que X tenga elemento mínimo o elemento máximo, las colas abiertas a
izquierda y a derecha coinciden con intervalos semicerrados (o cerrados) a izquierda y
derecha respectivamente, donde los extremos son justamente el mínimo y el máximo
(o ambos). Estos casos están contemplados en los ejercicios 2.60, 2.61 y 2.62 más
adelante.
Ejemplo 2.75. Considérese Z con su orden usual. Como Z no tiene elemento
máximo ni mínimo,
Bord = {(m, n) | m, n ∈ Z ∧ m < n} .
96
CAPÍTULO 2.
ESPACIOS TOPOLÓGICOS
Nótese que para cada k ∈ Z, (k − 1, k + 1) = {k}, por lo tanto todo subconjunto
unitario de Z es abierto en Tord . Por el ejercicio 2.3 se observa que esta topología
es la discreta, esto es, Tord = Tdis .
Ejemplo 2.76 (Topologías de colas). A continuación se denen otras
topologías para un conjunto totalmente ordenado (X, ).
(i) Supóngase que X no tiene elemento mínimo. Sea B(?,→) la base formada
por todas las colas a derecha abiertas, esto es, subconjuntos de X de la
forma (a, →) como en el ejemplo 2.74, la topología T(?,→) generada por
B(?,→) es conocida como la topología de colas a derecha abiertas.
En esta topología se requiere que X no tenga elemento mínimo, pues de
lo contrario, si x ∈ X es el elemento mínimo entonces x ∈
/ (a, →), para
S
ningún a ∈ X y así B(?,→) no sería base, ya que X * B(?,→) .
(ii) Una colas a derecha cerradas es el conjunto
[a, →) := {t ∈ X | a t}.
La familia B[?,→) de todas las colas a derecha cerradas es base de una
topología para X . La topología T[?,→) generada por B[?,→) es conocida
como la topología de colas a derecha cerradas.
(iii) Supóngase que X no tiene elemento máximo. Entonces la familia B(←,?)
de todas las colas a izquierda abiertas es base de una topología para X .
La topología T(←,?) generada por B(←,?) es conocida como la topología
de colas a izquierda abiertas. Se requiere que X no tenga elemento
máximo, pues de lo contrario, si x ∈ X es el elemento máximo entonces
x∈
/ (←, a), para ningún a ∈ X y así B(←,?) no sería base, ya que X *
S
B(←,?) .
(iv) Una cola a izquierda cerrada de X es el conjunto
(←, a] = {t ∈ X | t a}.
2.4.
MÁS TOPOLOGÍAS A PARTIR DE UNA BASE
97
La familia B(←,?] de todas las colas a izquierda cerradas es base de una
topología para X . La topología T(←,?] generada por B(←,?] es conocida
como la topología de colas a izquierda cerradas.
La prueba de que cada una de las familias dadas en el ejemplo 2.76 es base de una
topología para X , es análoga a la del ejemplo de topologías de colas para R (véase
el ejemplo 2.59).
Ejercicio 2.53. Sea (X, ) un conjunto totalmente ordenado y supóngase que X
no tiene elemento máximo. Demostrar que la familia B(←,?) de todas las colas a
izquierda abiertas es base de una topología para X .
Ejercicio 2.54. Sea (X, ) un conjunto totalmente ordenado. Demostrar que la
familia B[?,→) de todas las colas a derecha cerradas es base de una topología para X .
Ejemplo 2.77. Ya que Z con su orden usual no tiene mínimo, se puede denir la
topología de colas a derecha abiertas. Para k ∈ Z, (k, →) = {k, k +1, k +2, . . . }.
Obsérvese que todo abierto no trivial en T(?,→) es un elemento de B(?,→) , esto
es,
T(?,→) = B(?,→) ∪ {∅, Z}.
Por lo tanto,
T(?,→) = {{k, k + 1, k + 2, . . . } | k ∈ Z} ∪ {∅, Z}.
Nótese también que (k, →) = [k + 1, →), por lo tanto, la topología para Z de
colas a derecha abiertas coincide con la topología de colas a derecha cerradas,
esto es, T(?,→) = T[?,→) . También ocurre que en Z con el orden usual, T(←,?) =
T(←,?] .
Ejercicio 2.55. Para Z con su orden usual, escribir dos ejemplos de abiertos no
triviales de T(←,?] .
Ejemplo 2.78. Ya que N con su orden usual tiene mínimo, se pueden denir
únicamente las topologías T[?,→) , T(←,?) y T(←,?] . En este caso también se cumple
la igualdad entre las topologías T(←,?) y T(←,?] , pues para n ∈ N, con n ≥ 1,
98
CAPÍTULO 2.
ESPACIOS TOPOLÓGICOS
(←, n) = (←, n−1]. Nótese que (←, 0] = {0}, (←, 1] = {0, 1}, (←, 2] = {0, 1, 2}
y en general (←, k] = {0, 1, 2, . . . , k}. Así,
T(←,?] = T(←,?) = {{0, . . . , k} | k ∈ N} ∪ {∅, N}.
Ejercicio 2.56. Para N con su orden usual, escribir dos ejemplos de abiertos no
triviales de T[?,→) .
Ejercicio 2.57. Hallar las topologías T[?,→) y T(←,?] del conjunto X = {1, 2, 3, 4}
ordenado con el orden usual en los números naturales.
Ejercicio 2.58. Describir los abiertos básicos de las topologías T[?,→) y T(←,?] para
los siguientes subconjuntos de R con el orden usual.
(a) X = (0, 1).
(b) X = [0, 1).
(c) X = (0, 1].
(d)X = [0, 1].
Ejercicio 2.59. Sea (X, ) un conjunto totalmente ordenado con elemento mínimo
y sea B(?,→) la familia de colas denida en el ejemplo 2.76 parte (i). Añadir un
conjunto adecuado a la familia B(?,→) con el n de obtener una base de una topología
para X .
Ejercicio 2.60. Sea (X, ) un conjunto totalmente ordenado con elemento mínimo
m = mı́n(X) pero sin elemento máximo. Probar que la familia B , cuyos elementos
son los conjuntos de la forma (x, y) := {t ∈ X | x ≺ t ≺ y} junto con los de la forma
[m, x) := {t ∈ X | m t ≺ x}, es base de una topología para X .
Ejercicio 2.61. Sea (X, ) un conjunto totalmente ordenado con elemento máximo
M = máx(X) pero sin elemento mínimo. Probar que la familia B , cuyos elementos
son los conjuntos de la forma (x, y) := {t ∈ X | x ≺ t ≺ y} junto con los de la forma
(x, M ] := {t ∈ X | x ≺ t M }, es base de una topología para X .
Ejercicio 2.62. Enunciar y probar un resultado análogo al de los ejercicios 2.60 y
2.61 en el caso de que X tenga tanto elemento mínimo como elemento máximo.
En la gura 2.11 (a) se ilustran los abiertos básicos en un orden total con elemento
máximo y sin elemento mínimo, y en la gura 2.11 (b) los abiertos básicos para un
orden total con mínimo pero sin máximo.
2.5.
99
BASES Y AXIOMAS DE NUMERABILIDAD
(a)
(b)
Figura 2.11: Ejemplos de abiertos básicos en un conjunto totalmente ordenado (a)
con elemento máximo y (b) con elemento mínimo.
2.5. Bases y axiomas de numerabilidad
Para la denición de espacios topológicos que satisfacen el primer axioma de
numerabilidad, se necesita el siguiente concepto.
Denición 2.79. Sean (X, T ) un espacio topológico y x ∈ X . Se dice que
Bx ⊆ T es una base local para x si y solo si dado U ∈ T con x ∈ U , existe
B ∈ Bx tal que x ∈ B ⊆ U .
Ejemplo 2.80 (Bases locales).
(i) Sean X = {a, b, c, d} y T = {∅, X, {a}, {a, b}} una topología para X ,
entonces {{a}} es una base local para a.
(ii) Para cada x ∈ X , {{x, p}} es una base local para x en la topología Tp .
(iii) Si X está dotado de la topología discreta, y x ∈ X , la familia Bx = {{x}}
es una base local para x, ya que {x} es abierto y dada una vecindad
abierta U de x, sucede que {x} ⊆ U .
Proposición 2.81. Sea (X, T ) un espacio topológico. La familia B ⊆ T es una
base de T si y solo si para cada x ∈ X , Bx = {B ∈ B | x ∈ B} es una base
local para x.
Demostración. Dado un abierto U ⊆ X con x ∈ U , por la denición 2.31 existe
B ∈ B con x ∈ B ⊆ U , pero B ∈ Bx por denición. La demostración de la condición
S
necesaria resulta de considerar que x∈X Bx = B .
100
CAPÍTULO 2.
ESPACIOS TOPOLÓGICOS
Denición 2.82. Un espacio topológico (X, T ) se dice 1-contable, o que
satisface el primer axioma de numerabilidad, si y solo si cada punto del
espacio posee una base local contable.
¾Es el espacio trivial 1-contable?
¾Es el espacio discreto 1-contable?
Ejemplo 2.83 (Propiedad de ser 1-contable en algunos espacios).
(i) Considérese el espacio (R2 , Tu ) y un punto arbitrario (x, y) ∈ R2 . La
familia de bolas abiertas B(x,y) = {B 1 (x, y) | n ∈ Z+ } es una base local
n
enumerable para (x, y). Por tal razón, este espacio es 1-contable.
(ii) El espacio discreto para R es 1-contable debido a que Bx = {{x}} es una
base local nita para un elemento arbitrario x ∈ R.
(iii) El conjunto R con la topología Tinf generada por los intervalos
semiabiertos a derecha es 1-contable. En efecto, dado x ∈ R el conjunto
Bx = {[x, q) | q ∈ Q, q > x}
es una base local enumerable, ya que Q es enumerable (véase el ejemplo
1.77).
(iv) El conjunto R dotado de la topología de complementos contables Tcoc no
es un espacio 1-contable. En efecto, supóngase que existe una base local
T
contable Bx ⊆ Tcoc para algún x ∈ R. Luego, Bx = {x} debido a que
T
si y 6= x pertenece a Bx , para el abierto U = R \ {y} no existiría un
T
abierto básico B ∈ Bx tal que B ⊆ U . Por tanto {x}c = ( B∈Bx B)c =
S
c
c
B∈Bx B es una unión contable de conjuntos contables, luego {x} es
contable (véase el comentario después del ejercicio 2) y así R es contable,
lo cual es contradictorio.
Por supuesto, el ejemplo 2.83 parte (i) puede extenderse en general a espacios
métricos (véase el capítulo 5).
Ejercicio 2.63. Probar que el espacio de Sierpinski (S, T ), donde S = {0, 1} y
T = {∅, S, {1}}, es 1-contable.
2.5.
BASES Y AXIOMAS DE NUMERABILIDAD
101
Denición 2.84. Un espacio topológico (X, T ) se dice 2-contable, o que
satisface el segundo axioma de numerabilidad, si y solo si entre sus bases
existe alguna con un número contable de elementos.
¾Es el espacio trivial 2-contable?
¾Es el espacio discreto 2-contable?
Ejemplo 2.85 (Propiedad de ser 2-contable en algunos espacios). A
continuación se presentan algunos espacios topológicos que son 2-contables y
un espacio topológico que no lo es.
(i) Si X es un conjunto nito, entonces (X, T ) es 2-contable sin importar
quién sea T , pues B = T es una base nita ya que ℘(X) es un conjunto
nito y B ⊆ ℘(X).
(ii) Si T es una topología contable para un conjunto cualquiera X , entonces
(X, T ) es 2-contable, pues B = T es una base contable.
(iii) El espacio (R, Tu ) es 2-contable ya que
B = {(p, q) | p < q, p, q ∈ Q}
es una base (pruébese) enumerable para la topología usual. B es
enumerable, pues tiene la misma cardinalidad del conjunto Q × Q y por
el ejemplo 1.77 y el ejercicio 1.45 se prueba que el conjunto Q × Q es
enumerable. Adviértase que R es incontable y la topología usual Tu es
incontable, pero (R, Tu ) es 2-contable.
(iv) El espacio (R, Tcof ) no es 2-contable. En efecto, si se supone que existe
una base contable B = {Bi | i ∈ I} de Tcof , entonces para cada abierto
básico Bi se tiene que Bic es nito y por el ejercicio 1.42 ocurre que
S
T
T
c
c
B
=
(
B
)
es
un
conjunto
contable.
Así,
i
i
i∈I
i∈I
i∈I Bi 6= ∅. Sea
T
y ∈ i∈I Bi , entonces R \ {y} ∈ Tcof y por tanto debe existir un j ∈ I
para el cual Bj ⊆ R \ {y} = {y}c , pero esto no es posible, ya que para
todo i ∈ I es cierto que y ∈ Bi .
Ejercicio 2.64. Probar que R2 con la topología usual es un espacio 2-contable.
102
CAPÍTULO 2.
ESPACIOS TOPOLÓGICOS
Ejercicio 2.65. Probar que el espacio discreto (X, Tdis ) es 2-contable si y solo si X
es contable.
Téngase en cuenta que todo espacio 2-contable es 1-contable debido a que de una
base contable se puede extraer bases locales contables para cada punto en particular;
sin embargo, la recíproca no se tiene. Para esto, obsérvese lo siguiente.
Ejemplo 2.86 (Espacios 1-contables que no son 2-contables).
(i) En el ejemplo 2.83 parte (iii) se vio que el espacio (R, Tinf ) es 1-contable,
sin embargo, este espacio no es 2-contable. En efecto, supóngase que B
es una base para Tinf . Por la denición 2.31, para cualquier abierto U y
cualquier punto x ∈ U existe un abierto básico B ∈ B tal que x ∈ B ⊆ U .
Por tanto, si se toma x en el abierto [x, ∞) se puede elegir Bx ∈ B tal
que mı́n(Bx ) = x. En este caso, los conjuntos en {Bx }x∈R son distintos.
Esto muestra que la cardinalidad de B es mayor o igual a la cardinalidad
de R y por tanto B no es un conjunto contable.
(ii) El espacio discreto (R, Tdis ) es 1-contable (véase el ejemplo 2.83 parte (ii))
pero no es 2-contable debido a que una base cualquiera B de este espacio
debe contener los abiertos de la forma {x} con x ∈ R, de lo contrario no
se cumpliría la denición 2.31 (véase el ejercicio 2.24). Lo anterior prueba
que la cardinalidad de B es mayor o igual que la cardinalidad de R y
por tanto el espacio (R, Tdis ) no es 2-contable (compárese con el ejercicio
2.65).
Ejercicio 2.66. Analizar si (X, Tp ) y (X, T p ) son espacios 1-contables o 2-contables.
2.6. Subbases
La idea aquí es construir una topología con la menor cantidad de abiertos posible y
que contenga una familia dada D de subconjuntos de X , pidiendo a D únicamente
que la unión de todos sus elementos sea el conjunto X . Para esto, en primer lugar, se
forma una nueva familia B al agregar a D todos los subconjuntos de X que resultan
de la intersección de nitos elementos en D. La familia resultante B es una base, de
2.6.
103
SUBBASES
modo que la topología se obtiene al agregar a B todos los subconjuntos de X que
resultan de la unión de arbitrarias subfamilias de B .
Teorema 2.87. Dada una familia D de subconjuntos de X tales que X =
D∈D D , existe una única topología T
0
para la cual los elementos de D son
abiertos, y cualquier otra topología T que contenga a D es más na que T ;
esto es, T ⊆ T 0 . La familia D es llamada una subbase de T .
S
Demostración. Se dene la familia B como el conjunto de todas las intersecciones
nitas de elementos de D, es decir, B ∈ B si y solo si existen D1 , . . . Dn ∈ D tales
T
que B = ni=1 Di . La familia B es una base de una topología (½pruébese½) y D ⊆ B .
Ahora, se dene T como la topología generada por B y se denota T = hBi. En
otras palabras, un elemento U de T es aquel que se puede expresar como una unión
de intersecciones nitas de elementos de D. Si T 0 es una topología para X tal que
D ⊆ T 0 , es claro que todo elemento de T también es elemento de T 0 por la denición
de topología.
Nota 2.88. Dada una topología T para X , una subfamilia no vacía D de T es
una subbase de T si y solo si la colección de todas las intersecciones nitas de
elementos de D es una base para T .
Ejemplo 2.89 (Topología generada por una subbase). La topología para
R generada por la subbase D = {(1, 6), (3, ∞), (−∞, 2)} se obtiene así:
Los abiertos que resultan de la intersección nita de elementos en D son: (1, 6),
(3, ∞), (−∞, 2), (3, 6), (1, 2) y ∅ de modo que la base resultante es:
B = {(1, 6), (3, ∞), (−∞, 2), (3, 6), (1, 2), ∅}.
Los nuevos abiertos que aparecen como resultado de unir elementos de B son:
(1, ∞), (−∞, 6), (3, ∞) ∪ (−∞, 2), (3, ∞) ∪ (1, 2), (3, 6) ∪ (−∞, 2), (1, 2) ∪ (3, 6)
y R; por tanto, la topología es:
T = B ∪ {(1, ∞), (−∞, 6), (3, ∞) ∪ (−∞, 2), (3, ∞) ∪ (1, 2), (3, 6) ∪ (−∞, 2), (1, 2) ∪ (3, 6), R}.
104
CAPÍTULO 2.
ESPACIOS TOPOLÓGICOS
Ejercicio 2.67. Vericar que los intervalos de la forma (a, →) y (←, b), con a, b ∈ R,
forman una subbase de la topología usual para R.
Ejercicio 2.68. Encontrar la topología para R generada por la subbase D =
{[−1, 4], (−∞, 0), (4, ∞), {4, −4}}.
Capítulo 3
Interior, adherencia, puntos límite y
frontera
Nociones topológicas como interior, exterior y frontera son conocidas desde
edades tempranas en el contexto escolar. Es común en tal escenario delimitar un
subconjunto A de R2 y hablar del conjunto de los puntos que están por dentro de
A (denotado int(A)), los que están fuera de A (denotado ext(A)) y los que están
en el borde de A (denotado fr(A)). En dicho caso se estaría usando R2 con su
topología usual (véase la gura 3.1). Obsérvese en la gura 3.1 que int(A) y ext(A)
son conjuntos abiertos que se encuentran contenidos en A y Ac respectivamente.
Otra noción importante en este capítulo es la de adherencia, la idea intuitiva en la
gura 3.1 es agregar al conjunto A, aquellos puntos de su borde para obtener la
adherencia de A (denotado A), conjuntos que incluyen su borde se llaman cerrados.
En este capítulo se presentan, en el contexto de espacios topológicos, las nociones
mencionadas y otras como vecindades, puntos límite, convergencia, puntos aislados,
conjuntos densos, espacios de Hausdor, entre otras.
3.1. Vecindades
Un punto de partida es la noción de vecindad, que no es otra cosa que un
superconjunto de un abierto, y es vecindad de cualquiera de los puntos en el abierto.
105
106
CAPÍTULO 3.
INTERIOR, ADHERENCIA, PUNTOS...
A
Ac
(a)
(b)
A
ext(A)
int(A)
(d)
(c)
fr(A)
(e)
Figura 3.1: (a) Puntos en A. (b) Puntos en el complemento de A. (c) Puntos en el
interior de A. (d) Puntos por fuera de A. (e) El borde de A.
Denición 3.1. Sea (X, T ) un espacio topológico. Se dice que Vx ⊆ X es
vecindad de x ∈ X si y solo si existe U ∈ T tal que x ∈ U ⊆ Vx (véase la
gura 3.2). El conjunto de todas las vecindades del punto x se denota V(x).
Vx
·x U
Figura 3.2: V es una vecindad del punto x.
¾∅ podría ser una vecindad de algún punto en X ?
¾Para qué puntos x ∈ X , X es una vecindad de x?
3.1.
VECINDADES
107
¾Un conjunto abierto U ∈ T es una vecindad de algún punto en X ?
Ejemplo 3.2. Para el conjunto X = {a, b, c, d, e} considérese la topología
T = {∅, X, {a, b}, {c, d}, {a, b, c, d}}. Entonces
V(a) = V(b)
= {{a, b}, {a, b, c}, {a, b, d}, {a, b, e}, {a, b, c, d}, {a, b, c, e}, {a, b, d, e}, X}.
Además,
V(c) = V(d)
= {{c, d}, {c, d, a}, {c, d, b}, {c, d, e}, {a, b, c, d}, {a, c, d, e}, {b, c, d, e}, X}.
Finalmente, V(e) = {X}.
Nótese que si U es un abierto en (X, T ) y x ∈ U , U es vecindad de x, en tal caso
se dice que U es una vecindad abierta de x. Lo anterior implica que un abierto es
vecindad de cada uno de sus puntos. En efecto:
Proposición 3.3. Sea (X, T ) un espacio topológico. U ∈ T si y solo si U ∈
V(x) para cada x ∈ U .
Demostración. Sea U ∈ T y x ∈ U . El hecho de que x ∈ U ⊆ U signica que U es
vecindad de x, así U es vecindad de cada uno de sus puntos. En la otra dirección, si
U ∈ V(x) para cada x ∈ U , entonces existe un abierto Ux ∈ T tal que x ∈ Ux ⊂ U .
S
S
S
Luego, {x} ⊆ Ux ⊆ U y por tanto x∈U {x} ⊆ x∈U Ux ⊆ U . Ya que x∈U {x} = U ,
S
resulta que U = x∈U Ux y AT2 implica que U ∈ T .
Sean (X, T ) un espacio topológico y B una base para T . Adviértase que para cada
x ∈ X existe B ∈ B tal que x ∈ B , en tal caso se dice que B es una vecindad
abierta básica de x. Así, todo elemento x ∈ X tiene vecindades abiertas básicas.
En conclusión, toda vecindad de x contiene una vecindad abierta de x, y esta a su
vez contiene una vecindad abierta básica de x.
108
CAPÍTULO 3.
INTERIOR, ADHERENCIA, PUNTOS...
Proposición 3.4. Sean (X , T ) un espacio topológico y x ∈ X . El sistema V(x)
de vecindades de x ∈ X tiene las siguientes propiedades:
(i) Si V ∈ V(x) entonces x ∈ V .
(ii) Si V, W ∈ V(x) entonces V ∩ W ∈ V(x).
(iii) Si V ∈ V(x) y V ⊆ W entonces W ∈ V(x).
(iv) Para cada V ∈ V(x), existe una vecindad U ∈ V(x) tal que V ∈ V(y)
para todo y ∈ U , es decir, una vecindad V de x resulta ser la vecindad de
cada uno de los puntos de una vecindad U de x.
Demostración. Nótese que (i) se sigue inmediatamente de la denición de vecindad.
Para probar (ii), dados V, W ∈ V(x), existen abiertos U, U 0 ∈ T tal que x ∈ U ⊆ V
y x ∈ U 0 ⊆ W . Así, x ∈ U ∩ U 0 ⊆ V ∩ W , por lo que V ∩ W es vecindad de x. Debido
a que V ∈ V(x), existe un abierto U ∈ T tal que x ∈ U ⊆ V . Como V ⊆ W , se tiene
que x ∈ U ⊆ W . Así, W es una vecindad de x, lo cual prueba (iii). Para probar (iv),
si V ∈ V(x), por denición de vecindad existe U ∈ T tal que x ∈ U ⊆ V . Luego,
U ∈ V(x) y V es vecindad de todo punto y ∈ U .
Ejemplo 3.5. Sean X = {a, b, c, d} y T = {∅, X, {a}, {b}, {a, b}, {a, b, c}} una
topología para X . Nótese que {a} es una vecindad abierta de a y {a, d} es una
vecindad de a que no es abierta.
Ejemplo 3.6. En (R, Tu ), {−3}∪(0, ∞) es una vecindad de 1 que no es abierta
básica (ni siquiera es abierta); (0, ∞) es una vecindad abierta de 1, pero no es
básica y (0, 4) es una vecindad abierta básica de 1. Nótese que {−3} ∪ (0, ∞)
no es una vecindad de −3.
Ejercicio 3.1. Completar la tabla 2.1 escribiendo si cuando el conjunto sea una
vecindad de 0 en la topología correspondiente y escribir no en caso contrario.
Ejercicio 3.2. Probar o refutar:
(a) La unión de dos vecindades de x es una vecindad de x.
3.1.
VECINDADES
109
(b) El conjunto X en el espacio (X, T ) es vecindad de cada uno de sus puntos.
(c) Existe una topología sobre X tal que para cierto x ∈ X , el conjunto V(x) es
vacío.
Ejercicio 3.3. Sean X = {a, b, c, d} y T = {∅, X, {b}, {a, b}, {a, b, c}} una topología
para X . Dar dos ejemplos de vecindades de b que sean abiertas y dos que no sean
abiertas. ¾Hay vecindades no abiertas de a?
Ejercicio 3.4. Sean X = {a, b, c, d} y T = {∅, X, {a}, {a, b, c}} una topología para
X . Hallar las familias V(a) y V(b).
Ejercicio 3.5. Para cada uno de los espacios topológicos (R, T(←,?) ),
T(?,→) ,
(R, Tcof ) (R, Tcoc ), (R, T3 ) y (R, T [−1,1] ), dar dos ejemplos de vecindades de −2 que
sean abiertas y dos que no sean abiertas (si las hay).
Ejercicio 3.6. Para cada uno de los espacios topológicos (R, Tu ),
(R, Tdip ),
(R, T(←,?] ), (R, T[?,→) ) y (R, Tinf ) dar un ejemplo de una vecindad de 2 en cada
uno de los casos dados.
(a) Una vecindad abierta básica.
(b) Una vecindad abierta diferente de R que no sea básica.
(c) Una vecindad que no sea abierta.
Ejercicio 3.7. Para cada uno de los espacios topológicos (R2 , Tu ),
(R2 , Tcof ),
(R2 , Tlex ), (R2 , T(1,3) ) y (R2 , TRv ), dar dos ejemplos de vecindades de (1, 2) que sean
abiertas y dos que no sean abiertas (si las hay).
Ejercicio 3.8. Probar que en los espacios topológicos (X, τcof ) y (X, τcoc ) todas las
vecindades de cada x ∈ X son abiertas.
Ejercicio 3.9. Considérese un punto p en el espacio (R, Tu ). Probar que existe una
vecindad abierta de p de la forma (a − r, a + r) donde a y r son racionales y r > 0.
Teorema 3.7. Sea X un conjunto tal que a cada x ∈ X le es asignado un
conjunto V(x) no vacío de subconjuntos de X , que cumplen las condiciones (i),
(ii), (iii) y (iv) de la proposición 3.4; entonces existe una única topología T
110
CAPÍTULO 3.
INTERIOR, ADHERENCIA, PUNTOS...
para X tal que, para cada x ∈ X la familia V(x) es precisamente el sistema de
vecindades de x en el espacio (X, T ).
Demostración. Se dene la familia T de tal manera que U ∈ T si y solo si para
cada x ∈ U se tiene que U ∈ V(x), es decir, U es vecindad de cada uno de sus
puntos. Obsérvese que T es una topología. En efecto, por vacuidad, vacío está en T .
Además, para x ∈ X , de la hipótesis resulta que V(x) 6= ∅; así, dada una vecindad
V ∈ V(x) se tiene que V ⊆ X y la propiedad (iii) implica que X ∈ V(x). Por tanto,
X ∈ T y queda probada la condición AT1 de la denición 2.3. Para probar AT3,
sea x ∈ U ∩ V donde U, V ∈ T . Por denición de T , U y V son vecindades de x;
por tanto, la condición (ii) implica que U ∩ V ∈ V(x), y por tanto, U ∩ V ∈ T .
Finalmente, para probar AT2, se toma una familia de conjuntos {Ui }i∈I en T . Dado
S
x ∈ i∈I Ui , existe i ∈ I tal que x ∈ Ui ; como Ui ∈ V(x), por la propiedad (iii) se
S
obtiene i∈I Ui ∈ V(x).
Para cada x ∈ X , la familia V(x) es el sistema de vecindades de x en (X, T ).
En efecto, si Vx es una vecindad de x, existe U ∈ T tal que x ∈ U ⊆ Vx . Como
U ∈ T , signica que U ∈ V(x) y propiedad (iii) implica que Vx ∈ V(x). Finalmente,
obsérvese que V(x) hace parte de las vecindades de x en T . En efecto, dada
V ∈ V(x) se dene U = {y ∈ V | V ∈ V(y)}; luego propiedad (i) implica que
x ∈ U ⊆ V y solo resta vericar que U ∈ T . Por denición, si y ∈ U entonces
V ∈ V(y) y por (iv) existe W en V(y) tal que V ∈ V(z) para cada z ∈ W , con lo
cual W ⊆ U y por (iii), U está en V(y); pero como esto sucede para cada y ∈ U ,
debido a la denición de T , U ∈ T .
Para probar la unicidad, se supone que hay otra topología T 0 cumpliendo las
condiciones del teorema. Si U es abierto en T 0 , la proposición 3.3 implica que
U ∈ V(x) para cada x ∈ U y por denición de T se tiene que U ∈ T . Si U ∈ T ,
la denición de T implica que U ∈ V(x) para cada x ∈ U . Luego, existe un abierto
Ux0 ∈ T 0 tal que x ∈ Ux0 ⊆ U para cada x ∈ U , esto es, {x} ⊆ Ux0 ⊆ U para
S
S
S
cada x ∈ U . Así, x∈U {x} ⊆ x∈U Ux0 ⊆ U . Ya que x∈U {x} = U , ocurre que
S
U = x∈U Ux0 y AT2 implica que U ∈ T 0 . En conclusión, T = T 0 .
Dado que superconjuntos de vecindades de x son de nuevo vecindades de x, no se
requiere conocer la colección completa de vecindades de un punto x; basta conocer
3.2.
111
INTERIOR Y EXTERIOR
un sistema fundamental. Se dene entonces lo siguiente.
Denición 3.8. En un espacio topológico (X, T ), un sistema fundamental
de vecindades (SFV) para un punto x ∈ X es un conjunto W(x) de vecindades
de x tal que, para cada vecindad V de x existe W ∈ W(x) con W ⊆ V .
Ejemplo 3.9. Sean X = {a, b, c, d} y T = {∅, X, {a}, {b}, {a, b}, {a, b, c}} una
topología para X . Nótese que {{a}} es sistema fundamental de vecindades de
a, {{b}} es sistema fundamental de vecindades de b y {{a, b, c}} es un sistema
fundamental de vecindades de c.
Si se conoce un SFV para x, ¾cómo se calcula el conjunto V(x)?
Ejemplo 3.10 (Ejemplos de SFV).
(i) En (X, Tdis ) la familia W(x) = {{x}} es un SFV. En efecto, dada una
vecindad Vx del punto x ∈ X sucede que x ∈ Vx . Por tanto {x} ⊆ Vx con
{x} ∈ W(x).
(ii) En (R, Tu ), el conjunto W(x) = {(x − n1 , x + n1 ) | n ∈ N} es un SFV de
x ∈ R.
Ejercicio 3.10. Encontrar un SFV de un punto arbitrario x, para los siguientes
espacios:
(a) (R, Tcof ).
(b) (R, Tcoc ).
(c) (R2 , Tu ).
(d) (R2 , Tlex ).
3.2. Interior y exterior
Denición 3.11. Sean (X, T ) un espacio topológico y A ⊆ X . Se dice que
x ∈ X es un punto interior de A si y solo si A es vecindad de x, esto es, existe
U ∈ T tal que x ∈ U ⊆ A.
112
CAPÍTULO 3.
INTERIOR, ADHERENCIA, PUNTOS...
El conjunto de puntos interiores de A es llamado interior de A y se denota por
int(A) o A◦ . En otras palabras,
int(A) = {x ∈ A | x es un punto interior de A}.
¾Cúal es el interior de los abiertos triviales en un espacio topológico (X, T )?
Si A ⊆ X en el espacio discreto (X, Tdis ), ¾cúal es el conjunto int(A)?
Nota 3.12. Tres hechos importantes acerca del interior de un conjunto A son:
int(A) es un abierto en la topología dada.
int(A) es un abierto contenido en A.
int(A) es el abierto más grande contenido en A.
Esto brinda una manera sencilla de calcular el interior de un conjunto en algunos
casos.
Ejemplo 3.13 (Encontrando int(A) en diferentes topologías). Sean X =
R y A = [5, 7).
(i) En la topología Tsup , el mayor abierto contenido en A = [5, 7) es (5, 7) y
por tanto int(A) = (5, 7).
(iii) En T5 , el conjunto A = [5, 7) es abierto, luego, int(A) = [5, 7).
(iii) En Tcof el único abierto contenido en A = [5, 7) es ∅. Luego, int(A) = ∅.
El siguiente teorema arma lo dicho en la nota anterior.
Teorema 3.14. Sean (X, T ) un espacio topológico y A ⊆ X . El conjunto
S
int(A) es tal que int(A) = A, donde A es la familia de conjuntos abiertos
contenidos en A. Esto es, int(A) es el abierto más grande contenido en A.
Demostración. Si x ∈ int(A), existe un abierto Ux tal que x ∈ Ux ⊆ A. Luego,
Ux ∈ A y así x ∈
S
A. Por tanto, int(A) ⊆
S
A. Por otra parte, si x ∈
S
A se tiene
3.2.
INTERIOR Y EXTERIOR
113
S
que x ∈ int(A). En efecto, el conjunto A es abierto por AT2 en la denición 2.3 y,
S
x ∈ A ⊆ A debido a que todos los miembros de A están contenidos en A. Luego,
S
∪A ⊆ int(A). De esta forma queda probado que int(A) = A.
Ejemplo 3.15. Sean X = {a, b, c, d} y T = {∅, X, {a}, {b}, {a, b}, {a, b, c}} una
topología para X . Nótese que int({a, c}) = {a}, int({c, d}) = ∅ e int({a, b, d}) =
{a, b}.
Ejemplo 3.16. En (X, Tp ) se tiene que int(A) = A si p ∈ A y que int(A) = ∅
si p ∈
/ A.
Proposición 3.17 (Propiedades del interior). Si (X, T ) es un espacio
topológico y A, B ⊆ X entonces
(i) int(A) ⊆ A.
(ii) Si A ⊆ B entonces int(A) ⊆ int(B).
(iii) int(A ∩ B) = int(A) ∩ int(B).
(iv) int(A) ∪ int(B) ⊆ int(A ∪ B).
(v) A es abierto si y solo si int(A) = A.
(vi) int(int(A)) = int(A).
Demostración. La propiedad (i) se sigue directamente del teorema 3.14. Para la
prueba de (ii) obsérvese que de (i) se desprenden las contenencias int(A) ⊆ A ⊆ B .
Así, int(A) es un abierto contenido en B , pero el teorema 3.14 arma que int(B) es
el abierto más grande contenido en B y por tanto int(A) ⊆ int(B). Para probar (iii),
se concluye de (i) que int(A) ⊆ A e int(B) ⊆ B . Luego int(A) ∩ int(B) ⊆ A ∩ B . El
teorema 3.14 y la condición AT3 implican que int(A) ∩ int(B) es un abierto. Dado
que int(A) ∩ int(B) está contenido en A ∩ B e int(A ∩ B) es el abierto más grande
contenido en A∩B (teorema 3.14) se tiene que int(A)∩ int(B) ⊆ int(A∩B). Además,
114
CAPÍTULO 3.
INTERIOR, ADHERENCIA, PUNTOS...
dado que A ∩ B ⊆ A y A ∩ B ⊆ B por (ii) se concluye que int(A ∩ B) ⊆ int(A)
e int(A ∩ B) ⊆ int(B). Por tanto int(A ∩ B) ⊆ int(A) ∩ int(B). En consecuencia,
int(A ∩ B) = int(A) ∩ int(B). Para probar (iv), nótese que int(A) ⊆ A y int(B) ⊆ B ,
por lo cual, int(A)∪ int(B) ⊆ A∪B . Luego, int(A)∪ int(B) es un abierto contenido en
A ∪ B ; así, el teorema 3.14 implica que int(A ∪ B) contiene a int(A) ∪ int(B). Ahora,
se prueba la propiedad (v) como sigue. En primer lugar, se supone que int(A) = A,
el teorema 3.14 implica que A es abierto. En seguida, considérese que A es abierto,
entonces A es un abierto contenido en A. Como int(A) es el abierto más grande
contenido en A se tiene que A ⊆ int(A), por ende de (i) se concluye que int(A) = A.
Finalmente, nótese que (vi) es consecuencia de aplicar la propiedad (v) al conjunto
abierto int(A).
Ejercicio 3.11. Dar otra prueba de la proposición 3.17 basada en el uso de la
denición 3.11 y sin usar el teorema 3.14.
Ejercicio 3.12. Encontrar el interior de cada uno de los subconjuntos de R
relacionados en la tabla 2.1 y teniendo en cuenta las diferentes topologías para
R que se indican allí.
A continuación se formaliza la noción de exterior en el contexto topológico como
sigue.
Denición 3.18. Sean (X, T ) un espacio topológico y A ⊆ X . Se dice que
x ∈ X es un punto exterior de A si y solo si Ac es vecindad de x. En otras
palabras, existe U ∈ T tal que x ∈ U ⊆ Ac .
El conjunto de puntos exteriores de A se llama exterior de A y se denota por
ext(A). En otras palabras,
ext(A) = {x ∈ X | x es un punto exterior de A}.
Nota 3.19. Obsérvese que el conjunto ext(A) es igual al conjunto int(Ac ), esto
es, el conjunto de puntos interiores al complemento de A. Así, calcular ext(A)
se reduce a encontrar el mayor abierto contenido en Ac .
Siguiendo la nota anterior, se pueden hacer los siguientes cálculos.
3.2.
INTERIOR Y EXTERIOR
115
Ejemplo 3.20 (Encontrando ext(A) en diferentes topologías). Sean X =
R y A = [5, 7).
(i) En la topología Tu , el mayor abierto contenido en Ac = (−∞, 5) ∪ [7, ∞)
es (−∞, 5) ∪ (7, ∞). Luego, ext(A) = (−∞, 5) ∪ (7, ∞).
(ii) En Tinf , el conjunto Ac = (−∞, 5) ∪ [7, ∞) es abierto, y por tanto el
mayor abierto contenido en Ac . Luego, ext(A) = Ac .
(iii) En T5 , ningún subconjunto de Ac = (−∞, 5) ∪ [7, ∞) contiene el punto 5,
por lo tanto el único abierto contenido en Ac es ∅. Luego, ext(A) = ∅.
Proposición 3.21. Dados (X, T ) un espacio topológico y A ⊆ X . Se tienen
las siguientes propiedades del exterior de A.
(i) ext(A) es el abierto más grande disyunto con A.
(ii) ext(A) es la unión de todos los abiertos disyuntos con A.
Demostración. Por la denición 3.18, el conjunto ext(A) es igual al conjunto int(Ac ).
Luego, el teorema 3.17 implica que ext(A) es el abierto más grande contenido en Ac ,
es decir, el mayor abierto disyunto con A, lo que prueba (i). Para probar (ii), si A
S
es la familia de todos los abiertos disyuntos con A, A es un abierto disyunto con
S
A y cualquier otro abierto disyunto con A está contenido en F ; luego, (i) implica
S
que ext(A) = A.
Ejercicio 3.13. Probar que si A es un subconjunto de un espacio topológico
(X, T ) entonces int(A) ⊆ ext(ext(A)). Además, dar un ejemplo donde se tenga
la contenencia estricta.
Ejercicio 3.14. Encontrar el exterior de cada uno de los conjuntos en los diferentes
espacios topológicos relacionados en la tabla 2.1.
116
CAPÍTULO 3.
INTERIOR, ADHERENCIA, PUNTOS...
3.3. Conjuntos cerrados, espacios de Hausdor y
adherencia
En esta sección se parte del concepto de conjunto cerrado, esto es, un subconjunto
de un espacio X cuyo complemento sea un conjunto abierto en la topología para
X . Luego, se estudia la adherencia de un subconjunto A de X , o sea, el cerrado
más pequeño que contiene al conjunto A; lo cual implica, en el caso de que A no
sea cerrado, agregar al conjunto A unos elementos para convertirlo en un conjunto
cerrado; razón por la cual la noción de adherencia también se conoce como clausura
o cerradura.
Denición 3.22. Sea (X, T ) un espacio topológico. Un subconjunto F de X
se llama cerrado si F c es un conjunto abierto. Siempre que sea claro el espacio
topológico, la familia de cerrados se denota por C .
¾Son ∅ y X cerrados en el espacio (X, T )?
Si A = {0, 1} ∈ T en (N, T ) ¾cúal es el conjunto cerrado que determina A?
Si T es una topología de n abiertos, para un conjunto X de m elementos,
¾cuántos conjuntos cerrados hay en C ?
Ejemplo 3.23. La familia de cerrados de la topología
T = {∅, X, {a}, {d, e}, {a, d, e}, {b, c}, {a, b, c}, {b, c, d, e}}
para X = {a, b, c, d, e} es la siguiente:
C = {∅, X, {b, c, d, e}, {a, b, c}, {b, c}, {a, d, e}, {d, e}, {a}}.
Nótese que, en este caso, la familia de cerrados es igual a la familia de abiertos.
Ejemplo 3.24. En (R, Tdip ) la familia de cerrados coincide con Tdip , es decir, F
es cerrado si y solo si F es abierto. Lo mismo ocurre en los espacios (R2 , TRm )
y (R2 , TRv ).
3.3.
CERRADOS, ADHERENCIA Y ESPACIOS DE HAUSDORFF
117
Ejemplo 3.25. En (X, Tcof ) los cerrados no triviales son todos los subconjuntos
nitos de X , es decir, F es cerrado si y solo si F = X o F es un conjunto nito.
Ejercicio 3.15. Completar la tabla 2.1 escribiendo si cuando el conjunto sea un
cerrado en la topología correspondiente y escribir no en caso contrario.
Ejemplo 3.26. Considérese R con la topología usual. Como el conjunto (a, b)
es abierto, el conjunto (−∞, a]∪[b, ∞) es un cerrado. Además, ya que (−∞, a)∪
(b, ∞) es abierto, el conjunto [a, b] es un cerrado. Obsérvese que (−∞, a)∪(a, ∞)
es abierto de modo que {a} es cerrado.
Nota 3.27.
(i) Un conjunto no tiene por qué ser abierto o cerrado; por ejemplo, el
subconjunto N en (R, Tcof ) no es ni abierto ni cerrado. Entonces, que
un conjunto no sea abierto, no signica que sea cerrado.
(ii) Ser cerrado y abierto no son propiedades excluyentes. Por ejemplo, en un
espacio discreto todo conjunto es simultáneamente abierto y cerrado.
La familia de cerrados en un espacio topológico (X, T ) incluye los conjuntos ∅ y
X , denominados cerrados triviales. Además, las uniones nitas e intersecciones
arbitrarias de conjuntos cerrados son conjuntos cerrados.
Proposición 3.28. Si (X, T ) es un espacio topológico, entonces
(i) ∅ y X son conjuntos cerrados.
(ii) Si {Ai }i∈I es una familia de cerrados, entonces
i∈I Ai es un cerrado.
T
(iii) Si F, G son cerrados, entonces F ∪ G es un cerrado. Por lo tanto, la unión
nita de cerrados es un cerrado.
Demostración. Dado que ∅ y X son abiertos, sus complementos X = ∅c y ∅ = X c
son conjuntos cerrados. Para probar (ii), supóngase que {Ai }i∈I es una familia de
118
CAPÍTULO 3.
INTERIOR, ADHERENCIA, PUNTOS...
S
cerrados. Luego {Aci }i∈I es una familia de abiertos y AT2 implica que i∈I Aci es un
S
T
c c
abierto. Así,
A
= i∈I Ai es un cerrado. Para probar (iii) se supone que F
i
i∈I
y G son cerrados, esto es, F c y Gc son abiertos. Luego, AT3 implica que F c ∩ Gc es
abierto, en otras palabras, (F c ∩ Gc )c = F ∪ G es un cerrado.
Conocer la familia de cerrados permite conocer la familia de abiertos y así determinar
la topología para un conjunto X . Luego, se puede denir un espacio topológico
describiendo la familia de cerrados como en el siguiente ejemplo.
Ejemplo 3.29. La topología de complementos nitos Tcof para un conjunto
innito X se puede denir diciendo que la familia de cerrados está conformada
por X y todos los subconjuntos de X que sean nitos.
Ejercicio 3.16. Decida si el enunciado es falso o verdadero. Para justicar, dar un
contraejemplo en el caso falso y una prueba en el caso verdadero.
(a) Si A es cerrado en (R, Tu ) entonces A es un intervalo cerrado en R.
(b) Si A es un intervalo cerrado en R entonces A es un cerrado en (R, Tu ).
(c) Cualquier conjunto nito es cerrado en (R, Tu ).
Ejercicio 3.17. Sea (X, T ) un espacio topológico. Probar que si U es abierto y F
es cerrado, entonces U \ F es abierto y F \ U es cerrado.
Ejercicio 3.18. Si > 0 y x = (x1 , x2 ) ∈ R2 , se dene el conjunto
n
o
»
B (x) = (y1 , y2 ) ∈ R2 | (x1 − y1 )2 + (x2 − y2 )2 ≤ como la bola cerrada en R2 con centro x y radio . Probar que las bolas cerradas
son conjuntos cerrados en la topología usual para R2 .
Ejercicio 3.19. El peine innito P es el subconjunto del plano y denido por
ßÅ
P = {(x, 0) | 0 ≤ x ≤ 1} ∪
ã
™
1
,y | n ∈ N ∧ 0 ≤ y ≤ 1 .
2n
(a) Probar que P no es cerrado en la topología usual para R2 .
(b) Probar que P es cerrado en la topología Tlex para R2 .
3.3.
CERRADOS, ADHERENCIA Y ESPACIOS DE HAUSDORFF
119
Ejercicio 3.20. Describir los conjuntos cerrados de cada uno de los siguientes
espacios topológicos.
(a) (R, Tcoc ).
(b) (X, Tp ).
(c) (X, T p ).
(d) (R, T(?,→) ).
Ejercicio 3.21. Dar dos ejemplos de conjuntos cerrados no triviales para cada uno
de los siguientes espacios topológicos.
(a) (R2 , Tu ).
(b) (R2 , Tf v ).
(c) (R2 , TRm ).
(d) (R2 , Tlex ).
Ejercicio 3.22. Probar que los intervalos de la forma [a, b) son cerrados en la
topología Tinf para R.
Ejercicio 3.23. Probar que las colas de la forma [a, →) son cerrados en la topología
T(←,?] para R.
Denición 3.30. Un espacio topológico (X, T ) es llamado espacio de
Hausdor si para cada par de puntos x 6= y en X , existen vecindades disyuntas
Vx ∈ V(x) y Vy ∈ V(y). En este caso se dice que T es una topología de
Hausdor para X .
¾La denición anterior cambia si se pide que Vx y Vy sean conjuntos abiertos?
Nota 3.31. En la denición anterior es suciente considerar a Vx y Vy como
abiertos, abiertos básicos o incluso abiertos subbásicos. La propiedad de ser
Hausdor es fácil de recordar: en un espacio de Hausdor, cada punto puede
ser separado de otro por abiertos.
En relación con la nota anterior, se va a probar que es posible reemplazar, en la
denición 3.30, las vecindades por vecindades abiertas.
Proposición 3.32. El espacio topológico (X, T ) es de Hausdor si y solo si
para cada par de puntos x 6= y en X , existen vecindades abiertas Ux ∈ V(x) y
Uy ∈ V(y) tales que Ux ∩ Uy = ∅.
120
CAPÍTULO 3.
INTERIOR, ADHERENCIA, PUNTOS...
Demostración. Para probar la condición necesaria, se supone que X es un espacio
de Hausdor. Por la denición 3.30, si x 6= y en X , existen vecindades Vx ∈ V(x)
y Vy ∈ V(y) tales que Vx ∩ Vy = ∅. Los conjuntos Ux = int(Vx ) y Uy = int(Vy ) son
tales que Ux ∩ Uy ⊆ Vx ∩ Vy = ∅; luego, por el teorema 3.14, Ux y Uy son vecindades
abiertas disyuntas de x e y respectivamente. En la otra dirección, si para cada par de
elementos x 6= y en X , existen vecindades abiertas disyuntas de x e y , la denición
3.30 implica que X es un espacio de Hausdor.
Ejercicio 3.24. Sea B una base de una topología para X . Probar que (X, hBi) es
un espacio de Hausdor si y solo si para cada par de puntos x 6= y en X , existen
vecindades básicas Bx ∈ V(x) y By ∈ V(y) tales que Bx ∩ By = ∅.
Ejemplo 3.33.
(i) Un espacio discreto (X, Tdis ) es de Hausdor, ya que cada par de puntos
x 6= y en X se pueden separar por los abiertos {x} y {y}.
(ii) El conjunto X = {a, b, c, d} con la topología
T = {∅, {a}, {a, b}, {a, c}, {a, b, c}, X}
no es de Hausdor, porque los puntos a y b no se pueden separar por
abiertos.
(iii) El espacio (R, Tu ) es de Hausdor. En efecto, dados x 6= y puntos
arbitrarios en R, se dene = |y−x|
y se concluye que los abiertos básicos
3
Vx = (x − , x + ) y Vy = (y − , y + ) son vecindades disyuntas de x e y
respectivamente.
En el ejemplo anterior parte (ii) ¾hay otro par de puntos que no se puedan
separar por abiertos?
Proposición 3.34. Si (X, T ) es un espacio de Hausdor, entonces para cada
x ∈ X , el conjunto unitario {x} es cerrado.
Demostración. Supóngase que (X, T ) es un espacio de Hausdor y sea x un elemento
en X . Si X = {x} entonces {x} sería un cerrado trivial. De lo contrario, dado y 6= x,
3.3.
CERRADOS, ADHERENCIA Y ESPACIOS DE HAUSDORFF
121
existen vecindades abiertas Vx y Vy de x e y respectivamente, tales que Vx ∩ Vy = ∅.
T
Nótese que x ∈
/ Vy , entonces y ∈ Vy ⊆ X \ {x}, por lo tanto, X \ {x} = {Vy | y ∈
X \ {x}}, lo que signica que X \ {x} es abierto. Así, {x} es cerrado.
¾La recíproca de la proposición anterior es verdadera? Si es falsa, conjeturar
una hipótesis adicional que la haga verdadera.
Ejemplo 3.35 (Topología de Hausdor, no discreta, para N). Supóngase
que T es una topología de Hausdor para N, la proposición 3.34 implica que
cada conjunto unitario {n}, con n ∈ N es cerrado, luego N \ {n} es abierto; así,
la nota 2.4 garantiza que cualquier conjunto de la forma
N \ {n1 , . . . , ns } = (N \ {n1 }) ∩ · · · ∩ (N \ {ns })
es abierto. Luego, Tcof es menos na que T . Por facilidad, se construye una
topología T para N donde todos los puntos distintos de cero se puedan separar
por los conjuntos unitarios; por tanto, todo subconjunto de N\{0} es abierto en
T . Por lo anterior, se toma como una subbase para T a la familia Tcof ∪ 2N\{0}
y se verica que la topología T = hTcof ∪ 2N\{0} i es de Hausdor pero no es la
discreta. Por la construcción, para ver que T es de Hausdor, basta vericar que
el par de puntos n 6= 0 en N se pueden separar por abiertos. En este caso, {n}
y N \ {n} son vecindades abiertas disyuntas de n y 0 respectivamente. Además,
T no es la topología discreta ya que {0} ∈
/ T.
Ejercicio 3.25. Probar que (R2 , Tu ) es un espacio de Hausdor.
Ejercicio 3.26. Mostrar que (R, Tinf ) es un espacio de Hausdor, mientras que
(R, Tcof ) no lo es.
Ahora se dene la noción de adherencia de un conjunto A. En primer lugar se dirá
lo que signica que un punto x en el espacio X sea un punto en la adherencia de A.
Denición 3.36. Sean (X, T ) un espacio topológico y A ⊆ X . Se dice que
x ∈ X es un punto adherente de A si y solo si x no puede ser separado del
122
CAPÍTULO 3.
INTERIOR, ADHERENCIA, PUNTOS...
conjunto A por ninguna de sus vecindades, esto es, para toda Vx ∈ V(x) se
tiene Vx ∩ A 6= ∅.
El conjunto de puntos adherentes de A es llamado adherencia o clausura de A y
se denota por A o adh(A). En otras palabras,
A = {x ∈ X | x es un punto adherente de A}.
Algunas veces se denota la adherencia de un conjunto A por adhT A o adhX A, si se
quiere especicar la topología o el espacio topológico que se está considerando.
¾Cúal es la adherencia de los cerrados triviales en un espacio (X, T )?
¾Es A un subconjunto de A?
Nota 3.37. Obsérvese que en la denición 3.36 basta considerar o las
vecindades abiertas o los abiertos básicos o incluso los abiertos en una subbase.
Ejemplo 3.38. Considérese el conjunto A = [0, 1) como un subconjunto de
R con la topología usual. Obsérvese que todo punto de A es un punto en A
debido a que si se toma x ∈ A y V ∈ V(x) entonces x ∈ A ∩ V . Además, nótese
que 1, aunque no pertenece al conjunto A, es también un elemento en A. En
efecto, dada una vecindad abierta V ∈ V(1), se puede suponer, sin pérdida de
generalidad, que V es un abierto básico de la forma (1 − , 1 + ), con > 0, por
ende V ∩ A 6= ∅. Nótese que en ningún otro punto es adherente, pues se puede
encontrar un intervalo abierto alrededor del punto cuya intersección con A es
vacía. Luego, A = [0, 1].
Nota 3.39. Tres hechos importantes acerca de la adherencia de un conjunto A
son:
A es un cerrado en la topología dada.
A es un cerrado que contiene al conjunto A.
A es el cerrado más pequeño que contiene al conjunto A.
3.3.
CERRADOS, ADHERENCIA Y ESPACIOS DE HAUSDORFF
123
Esto brinda una manera sencilla para calcular la adherencia de un conjunto en
algunas topologías.
Ejemplo 3.40 (Encontrando A en diferentes topologías). Sean X = R y
A = [0, 1).
(i) En la topología Tdis , cualquier subconjunto de R es abierto y cerrado; por
tanto, el menor cerrado que contiene a A es A. Así, A = A.
(ii) En Tcof , debido a que A es un conjunto innito y el único conjunto cerrado
innito es el conjunto R, entonces A = R.
(iii) En la topología Tinf , R \ [0, 1) = (−∞, 0) ∪ [1, ∞) es un abierto, luego
[0, 1) es un cerrado, y por tanto A = [0, 1).
El siguiente teorema arma lo dicho en la nota anterior.
Teorema 3.41. Sean (X, T ) un espacio topológico, A ⊆ X . El conjunto A es
T
tal que A = F , donde F es la familia de cerrados que contienen a A. Esto
es, el cerrado más pequeño que contiene a A.
Demostración. Sea x ∈
F y supóngase que x ∈
/ A. De esta manera hay una
vecindad Vx de x tal que Vx ∩ A = ∅. Así, existe U abierto con x ∈ U ⊆ Vx y por
tanto U ∩ A = ∅, luego A ⊆ U c y como U c es cerrado, se tiene que x ∈ U c lo cual es
T
una contradicción. En el otro sentido, sea x ∈ A. Si x ∈
/ F , existe F cerrado tal
que A ⊆ F y x ∈
/ F . Luego, x ∈ F c con F c abierto y además F c ∩ A = ∅, lo cual es
una contradicción.
T
Proposición 3.42 (Propiedades de la adherencia). Sean (X, T ) un espacio
topológico y A, B ⊆ X . Entonces se cumple lo siguiente.
(i) A ⊆ A, para cada A ⊆ X .
(ii) Si A ⊆ B entonces A ⊆ B .
124
CAPÍTULO 3.
INTERIOR, ADHERENCIA, PUNTOS...
(iii) A ∪ B = A ∪ B .
(iv) A ∩ B ⊆ A ∩ B .
(v) A = A si y solo si A es cerrado.
(vi) A = A.
Demostración. Para probar (i), se toma x ∈ A y Vx ∈ V(x), por consiguiente,
x ∈ Vx ∩ A. Luego Vx ∩ A 6= ∅, es decir, x ∈ A. En la prueba de (ii) se supone
que A ⊆ B , por (i) se tiene que A ⊆ B ⊆ B y del teorema 3.41 B es un cerrado,
así, B es un cerrado que contiene a A. Por el teorema 3.41 A es más pequeño que
cualquier cerrado que contiene a A, luego A ⊆ B . Para probar (iii) considérense las
contenencias A ⊆ A ∪ B y B ⊆ A ∪ B para concluir desde (ii) que A ⊆ A ∪ B y
B ⊆ A ∪ B , así, resulta la contenencia A ∪ B ⊆ A ∪ B . Además, de (i) se pueden
concluir las contenencias A ⊆ A y B ⊆ B y por tanto A ∪ B ⊆ A ∪ B . Además,
ya que A ∪ B es un cerrado que contiene a A ∪ B , el teorema 3.41 implica que
A ∪ B ⊆ A ∪ B . Para probar (iv), se tienen en cuenta las contenencias A ∩ B ⊆ A y
A ∩ B ⊆ B , de la propiedad (ii) se concluye que A ∩ B ⊆ A y A ∩ B ⊆ B , de lo cual
A ∩ B ⊆ A ∩ B . Para probar (v), si A es un cerrado, por el teorema 3.41, A = A.
En el otro sentido, si A = A, el teorema 3.41 implica que A es cerrado. Finalmente,
nótese que (vi) es consecuencia de aplicar (v) al conjunto cerrado A.
Ejercicio 3.27. Dar un ejemplo donde la contenencia de la proposición 3.42 parte
(iv) sea estricta.
Ejercicio 3.28. Sea (X, T ) un espacio topológico. Probar que si A y B son
subconjuntos de X , entonces A ∩ B ⊆ A ∪ B .
Ejercicio 3.29. Encontrar la adherencia de cada uno de los subconjuntos en los
diferentes espacios topológicos relacionados en la tabla 2.1.
Ejercicio 3.30. Sean (X, T ) un espacio topológico y A ⊆ X . Probar que
(a) int(Ac ) = (A)c .
(b) (Ac ) = (int(A))c .
3.3.
125
CERRADOS, ADHERENCIA Y ESPACIOS DE HAUSDORFF
Denición 3.43. Sea (X, T ) un espacio topológico. Un subconjunto A de X
se llama denso en X si y solo si A = X .
¾Son los abiertos triviales conjuntos densos?
Ejemplo 3.44 (Conjuntos densos).
(i) En (R, Tcof ), cada subconjunto innito de R es denso. En efecto, en esta
topología los conjuntos cerrados son o conjuntos nitos o R (véase el
ejemplo 3.25). Por tanto, R es el único cerrado que contiene a un conjunto
innito. En consecuencia, si A es un subconjunto innito de R, entonces
A = R, lo que implica que A es denso en R.
(ii) Q es denso en R con la topología usual. Para vericarlo, recuérdese que
Q ⊆ Q. Además, sean x un número irracional y V ∈ V(x), no se pierde
generalidad si se considera V = (x − , x + ), con > 0. Debido a que V
contiene números racionales, se concluye que x es un punto adherente de
Q. Por tanto Q = R.
Ejercicio 3.31. Dar tres ejemplos (si existen) de conjuntos densos en:
(a) (R, Tdip ).
(b) (R, T[?,→) ).
(c) (R2 , Tu ).
(d) (R2 , Tlex ).
Ejercicio 3.32. Probar que si D y E son subconjuntos densos en un espacio
topológico X y D o E es abierto, entonces D ∩ E es denso en X .
Denición 3.45. Un espacio topológico (X, T ) se dice separable si y solo si
existe un subconjunto A de X contable y denso.
Nótese que todo espacio topológico (X, T ) tal que X es contable, resulta separable
debido a que X en sí mismo es denso y contable.
Ejemplo 3.46 (Separabilidad en espacios).
(i) El espacio (R, Tu ) es separable. En efecto, basta darse cuenta de que Q es
126
CAPÍTULO 3.
INTERIOR, ADHERENCIA, PUNTOS...
un subconjunto enumerable y denso (ver ejemplo 3.44 parte (iii)) de R.
(ii) El espacio discreto (R, Tdis ) no es separable, ya que el único subconjunto
denso en él es R mismo, pero este no es un conjunto contable.
Hay una relación entre la separabilidad y la propiedad de ser 2-contable como sigue.
Proposición 3.47. Si un espacio topológico (X, T ) es 2-contable, entonces es
separable.
Demostración. Sea B = {B1 , B2 , . . .} una base contable de (X, T ). Por cada Bn se
toma un xn ∈ Bn y se forma el conjunto contable D = {x1 , x2 , . . .}. Obsérvese que
D es denso, pues dada cualquier vecindad abierta U de x ∈ X , por ser B una base,
existe Bi con xi ∈ Bi ⊆ U y en consecuencia xi ∈ U ∩ D. Luego, x ∈ D.
En general, el recíproco de la proposición 3.47 no es cierto, como se muestra en el
siguiente ejemplo; pero en el caso de los espacios métricos, sí se tiene la equivalencia
entre estos dos conceptos (véase el capítulo 5).
Ejemplo 3.48 (Espacio separable que no es 2-contable). (R, Tcof ) es un
espacio separable, ya que N = R; pero se sabe del ejemplo 2.85 (ii) que (R, Tcof )
no es 2-contable.
Nota 3.49. La separabilidad es un concepto importante en análisis numérico
y en matemática constructiva debido a que muchos teoremas que pueden
ser probados para espacios no separables tienen pruebas constructivas que
funcionan para espacios separables y estas se pueden convertir en algoritmos de
uso en análisis numérico. Un ejemplo famoso de teoremas de este tipo es el de
Hahn-Banach [4].
3.4. Puntos límite
En la topología usual para R, un punto límite de un subconjunto es una noción que
aparece en cálculo y signica que existe una sucesión de puntos en el subconjunto
3.4.
PUNTOS LÍMITE
127
aproximándose al punto límite dado. En el contexto topológico se hace la denición
precisa de punto límite vía vecindades en lugar de sucesiones. En algunos espacios
aparecen casos que van en contravía con la intuición heredada del cálculo; por
ejemplo, sucesiones que convergen a más de un punto, incluso que convergen a todos
los puntos del espacio.
Denición 3.50. Sean (X, T ) un espacio topológico y A ⊆ X . Se dice que
x ∈ X es un punto límite o punto de acumulación de A si y solo si cada
vecindad de x tiene puntos de A distintos de x, es decir, para toda Vx ∈ V(x),
(Vx \ {x}) ∩ A 6= ∅.
En la denición 3.50, ¾se puede reemplazar la expresión (Vx \ {x}) ∩ A 6= ∅ por
Vx ∩ (A \ {x}) 6= ∅?
Denición 3.51. Sea A un subconjunto de un espacio topológico (X, T ). El
conjunto de puntos límite de A se denota por D(A) o A0 y se llama el derivado
de A, esto es,
D(A) = {x ∈ X | x es un punto de límite de A}.
Hay una relación de contenencia entre el derivado y la adherencia, la cual se
desprende de la denición 3.50.
Corolario 3.52. Si A es un subconjunto de un espacio topológico X , entonces
D(A) ⊆ A.
Demostración. Por la denición 3.50 se tiene que: x ∈ D(A) implica que toda
vecindad de x tiene puntos de A, esto es, x ∈ A.
Ejemplo 3.53 (Puntos límite).
(i) Un punto límite x de un conjunto A podría ser un elemento que no está
en A. Por ejemplo, considérese el conjunto A = { n1 | n ∈ Z+ } como
128
CAPÍTULO 3.
INTERIOR, ADHERENCIA, PUNTOS...
un subconjunto de R con la topología usual. El punto 0 es un punto
límite de A. En efecto, si V es una vecindad de cero, existe > 0 tal
que 0 ∈ (−, ) ⊆ V . Nótese que la propiedad arquimediana de los reales
implica que (−, ) ∩ A 6= ∅; luego, V ∩ A 6= ∅. Así, cada vecindad de cero
tiene puntos de A, y como cero no es un elemento de A, la intersección
contiene puntos diferentes de cero. Esto implica que cero es un punto
límite de A. De hecho, 0 es el único punto límite de A, pues si x ∈ R \ {0},
se puede encontrar un intervalo abierto que contiene a x tal que, o es
disyunto con A (si x ∈
/ A) o su intersección con A es {x} (si x ∈ A), por
lo cual x no es punto límite de A.
(ii) Un punto x ∈ A no es necesariamente un punto límite de A, como sucede
en la parte (i) de este ejemplo. Para dar otro ejemplo, nótese que para
cualquier espacio topológico (X, T ) el punto x no es un punto límite del
conjunto {x}.
Si a un conjunto A se le agregan aquellos puntos límites que no estaban en él, se
obtiene la adherencia de A. En efecto:
Teorema 3.54. Si (X, T ) es un espacio topológico y A ⊆ X entonces
A = A ∪ D(A).
Demostración. Las contenencias D(A) ⊆ A y A ⊆ A implican que A ∪ D(A) ⊆ A.
Para la otra contenencia, sea x ∈
/ A ∪ D(A); luego existe Vx con (Vx \ {x}) ∩ A = ∅
y como x ∈
/ A se puede concluir que Vx ∩ A = ∅, con lo cual x ∈
/ A.
Corolario 3.55. Sean (X, T ) un espacio topológico y A ⊆ X . A es cerrado si
y solo si A contiene sus puntos límite.
Demostración. Si se supone que A es cerrado, A = A y, el corolario 3.52 implica que
D(A) ⊆ A. En la otra dirección, se supone que D(A) ⊆ A, luego del teorema 3.54
resulta que A = A ∪ D(A) = A, lo que implica que A es cerrado.
3.4.
PUNTOS LÍMITE
129
Ejemplo 3.56. En general, D(A) no es un conjunto cerrado; por ejemplo, para
X = {a, b, c}, T = {∅, X, {a, b}, {c}} y A = {a} ocurre que D(A) = {b} no es
un cerrado.
Cabe preguntarse cuándo D(A) resulta cerrado.
Proposición 3.57. Si (X, T ) es un espacio de Hausdor, entonces D(A) es
cerrado para todo A subconjunto de X .
Demostración. De acuerdo al corolario 3.55, se debe probar que D(D(A)) ⊆ D(A).
Sean x ∈ D(D(A)) y Vx una vecindad de x. No hay pérdida de generalidad si Vx es
una vecindad abierta, ya que si no lo es, existe Ux abierto con Ux ⊆ Vx y se trabaja
con Ux . Sea y ∈ (Vx \ {x}) ∩ D(A), luego y 6= x con y ∈ D(A). Por tanto, Vx que es
vecindad tanto de x como de y , satisface (Vx \ {y}) ∩ A 6= ∅ ya que y ∈ D(A). Por
otra parte, por proposición 3.34, {x} es un cerrado y Uy = (Vx \ {x}) = Vx ∩ {x}c es
un abierto que contiene a y . Luego (Uy \ {y}) ∩ A 6= ∅ y por tanto se puede tomar
z ∈ (Uy \ {y}) ∩ A; luego z ∈ (Vx \ {x}) ∩ A con lo que x ∈ D(A).
Es claro que D(A) ⊆ A; pero, ¾qué se puede decir acerca de los puntos en A \ D(A)?
Estos son puntos x de A para los cuales existe una Vx de x que no contiene puntos
de A diferentes de x mismo.
Denición 3.58. Sean (X, T ) un espacio topológico y A ⊆ X . Se dice que
x ∈ X es un punto aislado de A si y solo si existe una vecindad Vx para la
cual Vx ∩ A = {x}. Es decir, existe una vecindad del punto x que no contiene
puntos de A diferentes de x mismo.
El conjunto de los puntos aislados de A se denota por ais(A), es decir,
ais(A) = {x | x es un punto aislado de A}.
Ejemplo 3.59.
(i) Si en un espacio cada uno de sus puntos es aislado, la topología del espacio
debe ser la discreta.
130
CAPÍTULO 3.
INTERIOR, ADHERENCIA, PUNTOS...
(ii) En (R, Tu ) considérese el par de subconjuntos A = n1 | n ∈ Z+ y B =
A ∪ {0}. Cada punto en A es aislado; sin embargo, 0 no es punto aislado
de B , así, ais(A) = A = ais(B).
Ejercicio 3.33. Probar que cualquier conjunto nito en (R, Tu ) coincide con sus
puntos aislados.
Ejercicio 3.34. Calcular el conjunto de puntos aislados de cada uno de los
subconjuntos de los espacios topológicos que se relacionan en la tabla 2.1.
Denición 3.60. En un espacio topológico (X, T ), una sucesión (xn ) =
(x1 , x2 , . . . ) converge a x si para cada vecindad Vx de x, existe un entero
positivo N tal que xn ∈ Vx para todo n ≥ N . En este caso, se dice que x es un
punto límite de la sucesión (xn ). Una sucesión (xn ) se dice convergente si
existe x ∈ X tal que (xn ) converge a x.
Nota 3.61. Recuérdese: una sucesión converge a x si dada cualquier vecindad
Vx ∈ V(x), la sucesión nalmente entra y se queda en Vx , es decir, a lo sumo
un número nito de términos de la sucesión queda fuera de la vecindad.
Ejemplo 3.62 (Convergencia de una sucesión). Considérese la sucesión
n
dada por xn = (−1)
en R.
n
(i) En la topología usual para R, la sucesión converge a 0 debido a que para
cada vecindad V ∈ V(0) existe > 0 tal que la (−, ) ⊆ V y por la
propiedad arquimediana de los reales se concluye que la sucesión entra y
se queda en (−, ).
(ii) En la topología del límite inferior para R, esta sucesión no converge a
0. Por ejemplo, en la vecindad abierta [0, 1) de 0, la sucesión entra pero
nunca permanece allí, sino que salta desde un término que está dentro de
3.4.
PUNTOS LÍMITE
131
la vecindad a otro por fuera de esta. De hecho, esta sucesión no converge
a ningún punto de este espacio.
Ejercicio 3.35. Sea (xn ) = (10, 100, 1000, 10000, . . . ). Justicando su respuesta
escribir si xn converge a −2 en (R, T(←,?) ).
La intuición puede sugerir que si una sucesión converge a un punto, entonces ese
punto debería ser único. Aunque ese es el caso de la topología usual sobre Rn , en
otras topologías esto no es necesariamente cierto.
Ejemplo 3.63 (Sucesión que converge a todo punto del espacio). En la
topología de complementos nitos para R, la sucesión (1, 2, . . . ) en R converge a
cada punto x ∈ R. En efecto, cualquier vecindad abierta Vx de un punto x ∈ R
tiene la forma R \ {a1 , . . . , an } donde ai 6= x para todo i = 1, . . . , n. Así, se elige
un natural N ≥ máx{a1 , . . . , an } y se cumple que para todo n > N , xn ∈ Vx .
Ejercicio 3.36. Demostrar que si X tiene la topología trivial, cualquier sucesión
converge a todos los puntos de X .
Ejemplo 3.64 (Sucesiones no convergentes en (R, Tcof )). Se va a probar
que las sucesiones no convergentes en (R, Tcof ) son las sucesiones en las cuales
existe más de un punto que se repite de manera innita. Un ejemplo de esto
es la sucesión ((−1)n )n∈N = (1, −1, 1, −1, . . . ) donde el valor 1 aparece en los
términos pares, mientras que el valor −1 se le asigna a los impares.
Para la prueba, sean (xn ) una sucesión en R y x un punto en R. Si se supone
que (xn ) no converge a x, debe existir una vecindad abierta U de x tal que
para todo m ∈ N, existe n > m tal que xn ∈
/ U . Luego hay innitos términos
de la sucesión que no pertenecen a U , pero como U = R \ F donde F es un
conjunto nito, entonces hay innitos términos en la sucesión que son iguales a
algunos puntos en F . Si hay un único punto y en F tal que xn = y para todo
n ∈ K , donde K es un subconjunto innito de N, entonces la sucesión (xn ) es
convergente. En efecto, dada una vecindad abierta V del punto y , el número de
puntos de la sucesión que no pertenecen a V es nito, por lo cual, la sucesión
a partir de un valor N > máx{n ∈ N | xn ∈
/ V } entra y se queda en V . Se
132
CAPÍTULO 3.
INTERIOR, ADHERENCIA, PUNTOS...
concluye que debe haber dos o más valores en la sucesión que se repiten de
manera innita. Ahora, si hay al menos dos puntos y 6= z en F tal que xn = y
para todo n ∈ Ky y xn = z para todo n ∈ Kz , con Ky y Kz subconjuntos
innitos de N, entonces la sucesión (xn ) no es convergente. En efecto, dado un
valor x 6= z en R, la vecindad R \ {z} de x deja por fuera los términos de la
sucesión correspondientes al conjunto de indices Kz , que son innitos, entonces
(xn ) no converge a x. Si x = z la vecindad abierta R \ {y} de x deja por fuera
los términos de la sucesión correspondientes al conjunto de índices Ky , el cual
es innito, y por tanto (xn ) no converge a z .
Ejemplo 3.65. Sean X un conjunto innito dotado de la topología Tcof y (xn )
una sucesión de puntos de X . Se presentan los siguientes casos respecto a la
convergencia de (xn ):
(i) Si (xn ) no tiene ningún punto que se repita de forma innita, entonces (xn )
converge a x para todo x ∈ X . En efecto, sean x ∈ X y Vx una vecindad
de x, entonces Vx = X \ F con F ⊆ X nito. Sea Y = {xn | n ∈ Z+ } el
rango de la sucesión, si Y ∩ F = ∅ entonces xn ∈ Vx para todo n ≥ 1.
Por otro lado, si Y ∩ F 6= ∅, se elige N = máx{n ∈ Z+ | xn ∈ F }, en tal
caso xn ∈ Vx para todo n ≥ N + 1. En ambos casos se concluye que (xn )
converge a x.
(ii) Si en (xn ) hay un único punto que se repite de forma innita, esto es,
existe un único x ∈ X tal que xn = x para innitos valores de n, entonces
(xn ) converge únicamente a x. Sea Vx = X \ F con x ∈
/ F ⊆ X nito. Sea
Y = {xn | n ∈ Z+ } el rango de la sucesión, si Y ∩ F = ∅ entonces xn ∈ Vx
para todo n ≥ 1. Si y 6= x, entonces X \ {x} es una vecindad de y que no
contiene a los innitos términos xn = x, por tanto (xn ) no converge a y .
(iii) Si en (xn ) hay más de un punto que se repite de manera innita, la sucesión
no es convergente. El razonamiento es análogo al del ejemplo 3.64.
Ejercicio 3.37. En (R, Tcof ) la sucesión que no converge a 10 es:
3.4.
133
PUNTOS LÍMITE
(a) (1, 10, 1, 10, . . . ).
(c) (1, 3, 5, 7, 9, . . . ).
(b) (1, 2, 10, 10, 10, . . . ).
(d) (2, 4, 6, 8, 10, . . . ).
Ejercicio 3.38. Dar un ejemplo de una sucesión en (R, Tcof ) de rango innito que
no converja.
Ejercicio 3.39. Demostrar que si X tiene la topología discreta, una sucesión es
convergente si y solo si a partir de un índice es constante. Es decir, existe un entero
positivo N tal que xn = xN para todo n ≥ N . Estas sucesiones son llamadas a la
larga constantes.
Ejercicio 3.40. Analizar la convergencia de la sucesiones ((−1)n )n∈N y ( n1 )n∈Z en
+
R respecto a las siguientes topologías.
(a) Tu .
(b) Tdip .
(c) T[?,→) .
(d) T(←,?] .
Ejercicio
ÄÄ
ä ä3.41. Analizar la convergencia de la sucesiones
(−1)n
,n
n
(a) Tu .
)
(e) T 0 .
1 1
,
n n
n∈Z+
y
en R respecto a las siguientes topologías.
2
n∈Z+
(b) Tlex .
(c) Tf v .
(d) TRm .
(e) TRv .
Los espacios de Hausdor son ejemplos de espacios donde las sucesiones convergentes
lo hacen a un único punto.
Teorema 3.66. Una sucesión convergente en un espacio de Hausdor converge
a un único punto.
Demostración. Sea (X, T ) un espacio de Hausdor. Supóngase que una sucesión
(xn ) converge a dos puntos x 6= y en X . Debido a que (X, T ) es de Hausdor, x
e y tienen vecindades disyuntas Vx y Vy respectivamente. Como (xn ) converge a x,
existe N ∈ Z+ tal que xn ∈ Vx para todo n ≥ N . Similarmente, existe M ∈ Z+ tal
que xn ∈ Vy para todo n ≥ M . Luego, si m es mayor que N y M simultáneamente,
se tiene que xm ∈ Vx ∩ Vy , contradiciendo el hecho de que Vx y Vy son disyuntas.
Cuando una sucesión (xn ) converge a un único punto x se denota por xn → x.
Una manera de relacionar los puntos en la adherencia con la convergencia de
sucesiones es dada en la siguiente proposición.
134
CAPÍTULO 3.
INTERIOR, ADHERENCIA, PUNTOS...
Proposición 3.67. Sean (X, T ) un espacio 1-contable y A ⊆ X . Un punto
x ∈ A si y solo si existe una sucesión (xn ) en A tal que xn converge a x.
Demostración. Sean x ∈ A y {B1 , B2 , . . .} una base local contable de x. No se
pierde generalidad si se supone que B1 ⊇ B2 ⊇ . . . . En efecto, de la base local
{B1 , B2 , . . .} se puede construir otra base {B10 , B20 , . . .} que tenga esta condición,
T
para esto, basta considerar Bk0 = ki=1 Bi para cada k ∈ Z+ . Luego, para cada
n ∈ N se toma xn ∈ Bn ∩ A. Obsérvese que en una vecindad V de x, hay un abierto
BN de la base local tal que x ∈ BN ⊆ V , luego xn ∈ V para todo n ≥ N , esto es,
xn converge a x.
En la otra dirección no se requiere la condición de ser 1-contable, de hecho, si existe
una sucesión (xn ) en A que converge a x, entonces dada cualquier vecindad V de x
se tiene V ∩ A 6= ∅, pues por la convergencia existen innitos términos de la sucesión
que están en V .
Ejercicio 3.42. Probar que si una sucesión (xn ) converge a x en un espacio
topológico (X, T ), entonces x es un punto adherente del conjunto {xn | n ∈ N}.
Nota 3.68. En la topología usual de Rn , los puntos límite son puntos límite de
sucesiones; en otras palabras, dado A un subconjunto de Rn con la topología
usual, x ∈ D(A) si y solo si existe una sucesión de puntos diferentes en A que
converge a x. Sin embargo, este resultado se tratará en un contexto más general
en la sección 5.3.
3.5. Frontera
Desde la introducción de este capítulo se tiene una idea intuitiva de lo que signica
frontera de un conjunto, de tal manera que los puntos de frontera de A no son
necesariamente elementos del conjunto A, sino que son aquellos elementos cercanos
al interior y al exterior de A en el sentido de la gura 3.1.
3.5.
135
FRONTERA
Denición 3.69. Sean (X, T ) un espacio topológico y A ⊆ X . Se dice que x
es un punto frontera de A si y solo si para toda vecindad Vx de x se tiene que
Vx ∩ A 6= ∅ y Vx ∩ Ac 6= ∅.
El conjunto de los puntos frontera de A se denota por fr(A), esto es,
fr(A) = {x ∈ X | x
es un punto frontera de A}.
Nota 3.70. La denición de frontera y de adherencia implica que fr(A) =
A ∩ Ac . Es decir, un punto está en la frontera de A si y solo si es adherente
tanto de A como de Ac .
Los conjuntos no vacíos de la familia {int(A), ext(A), fr(A)} forman una partición
de X (véase la gura 3.3).
Proposición 3.71. Sean (X, T ) un espacio topológico y A ⊆ X . X es la unión
disyunta
X = int(A) ∪ fr(A) ∪ ext(A).
Demostración. Dado un punto x ∈ X , el punto puede estar en el interior de A o en
el exterior de A, pero no en ambos. Si se supone que x no está en ninguno de los
conjuntos anteriores, dada una vecindad abierta V ∈ V(x), V no está contenida en
A ni en Ac . Luego, A ∩ V y Ac ∩ V son distintos de vacío, por tanto, x ∈ fr(A).
La proposición 3.71 es una herramienta para hallar la frontera de un conjunto
cuando se conocen su interior y exterior, o más generalmente, hallar uno de estos
conociendo los otros dos, pues fr(A) = (int(A) ∪ .ext(A))c .
136
CAPÍTULO 3.
INTERIOR, ADHERENCIA, PUNTOS...
X
A
·y
·
x
·
z
Figura 3.3: Partición de X .
En la gura 3.3, X representa un subespacio de (R2 , Tu ) y A ⊆ X , los puntos x
(azul), y (rojo) y z (verde) son puntos en int(A), ext(A) y fr(A) respectivamente.
Así, la región gris es el interior de A, la región blanca es el exterior de A y el conjunto
de puntos en los dos entornos cerrados de color rojo (se incluyen los puntos en la
parte discontinua) es la frontera de A.
Ejemplo 3.72 (Frontera de conjuntos).
(i) Considérese A = Q en el espacio (R, Tu ). En este caso, int(Q) = ∅
y ext(Q) = ∅ por tanto fr(Q) = R, lo cual sigue el resultado de la
proposición 3.71.
(ii) Sea A = [a, b) un intervalo en R con la topología usual, se tiene que
int(A) = (a, b), ext(A) = (−∞, a) ∪ (b, ∞) y fr(A) = {a, b}, y esto
determina una partición de R.
(iii) Sea T = {∅, X, {a}, {b}, {a, b}} una topología para X = {a, b, c}. El
conjunto A = {a} induce una partición de X cuyas partes son: int(A) =
{a}, ext(A) = {b} y fr(A) = {c}.
(iv) Para el intervalo A = [−2, 3] en (R, Tdip ) se tiene que int(A) = [−2, 2] y
ext(A) = (−∞, −3) ∪ (3, ∞). Por la proposición 3.71 se sigue que fr(A) =
[−3, 2) ∪ (2, 3].
Ejercicio 3.43. Para A = [−3, 2) en el espacio topológico (R, Tdip ), hallar int(A),
ext(A) y fr(A).
3.5.
137
FRONTERA
Ejercicio 3.44. Hallar la frontera de los conjuntos A = [−2, 5] y B = R+ en cada
uno de los siguientes espacios:
(a)
(R, Tu ).
(b)
(R, Tdip ).
(c)
(R, T2 ).
(d) (R, T 2 ).
(e)
(R, T[?,→) .
Ejercicio 3.45. Sean (X, T ) A un espacio topológico y A ⊆ X . Probar que
(a) fr(A) = A \ int(A).
(b) fr(A) ∩ int(A) = ∅.
(c) fr(A) ∪ int(A) = A.
(d) fr(A) ⊆ A si y solo si A es cerrado.
(e) fr(A) ∩ A = ∅ si y solo si A ∈ T .
(f) fr(A) = ∅ si y solo si A es abierto y cerrado.
Capítulo 4
Creando nuevos espacios topológicos
En este capítulo se estudian algunos métodos para crear nuevos espacios topológicos
a partir de los conocidos. En la sección 4.1 se muestra cómo un subconjunto de un
espacio topológico hereda una topología. En la sección 4.2 se construye el espacio
producto de una colección de espacios topológicos. Finalmente, en la sección 4.3
se indica cómo pegar porciones de un espacio topológico para obtener un nuevo
espacio, el espacio cociente.
4.1. Subespacios topológicos
Dado cualquier subconjunto A de un espacio topológico (X, T ), hay un camino para
denir una topología para A usando la topología T .
Denición 4.1. Sean (X, T ) un espacio topológico y A ⊆ X . La familia
T [A] := {U ∩ A | U ∈ T }
es conocida como la topología de subespacio para A y se dice que (A, T [A])
es un subespacio topológico de (X, T ).
¾X es un elemento de T [A]?
¾A es un elemento de T [A]?
¾Los elementos de T [A] son necesariamente elementos en T ?
138
4.1.
SUBESPACIOS TOPOLÓGICOS
139
Nota 4.2. Recuérdese que cada elemento en T [A] es la intersección de A con
un abierto en T .
Por supuesto, se debe vericar que T [A] es efectivamente una topología.
Proposición 4.3. Sean (X, T ) un espacio topológico y A ⊆ X . La familia
T [A] := {U ∩ A | U ∈ T }
es una topología para A.
Demostración. De la denición 4.1 se tiene que ∅ = ∅∩A y A = X ∩A son elementos
de T [A]. Si M, N ∈ T [A] entonces M = U ∩ A y N = V ∩ A para U, V ∈ T , con lo
cual M ∩ N = (U ∩ A) ∩ (V ∩ A) = (U ∩ V ) ∩ A. Como U ∩ V ∈ T se obtiene que
M ∩ N ∈ T [A]. Si {Mi }i∈I es una familia de elementos de T [A], cada Mi = Vi ∩ A
S
S
S
para un Vi ∈ T . Así que, M = i∈I Mi = i∈I (Vi ∩ A) = A ∩ ( i∈I Vi ) y como
S
i∈I Vi ∈ T se concluye que M ∈ T [A].
Ejemplo 4.4 (Ejemplos de subespacios topológicos).
(i) La familia Ta = {∅, X, {a}, {a, b}, {a, c}} es la topología del punto incluido
a para X = {a, b, c}. Si se toma A = {a, b}, la topología del subespacio
está dada por Ta [A] = {∅, A, {a}}. Además, si se considera B = {b, c},
la topología del subespacio para B es Ta [B] = {∅, B, {b}, {c}}. Nótese
que, en general, no se obtiene la topología del punto incluido. Además,
obsérvese que los conjuntos en Ta [B] no son necesariamente elementos de
Ta , mientras que, Ta [A] ⊆ Ta .
(ii) Considérese A = [0, 1] como un subconjunto de R dotado de la topología
usual Tu . En la topología del subespacio Tu [A] para A, cada abierto es
la intersección de A con un elemento de Tu . Por ejemplo, conjuntos de
la forma (a, b), con 0 < a < b < 1, son abiertos en Tu [A] y también en
Tu . Además, para 0 < a < 1, los conjuntos de la forma [0, a) y (a, 1] son
abiertos en Tu [A] pero no son abiertos en Tu (véase gura 4.1).
140
CAPÍTULO 4.
CREANDO NUEVOS ESPACIOS TOPOLÓGICOS
(iii) Considérese el subconjunto A = {(x, 0) | x ∈ R} de R2 con la topología
usual. Identicando A con R, la intersección de A con una bola abierta en
R2 es un intervalo abierto en A; por tanto, la topología Tu [A] se identica
con la topología usual para R.
(
[
0
)
(
)
(
)
(
)
( ]
1
)
Figura 4.1: Abiertos en Tu [A] con A = [0, 1].
Ejercicio 4.1. Sea T
= {∅, X, {a}, {a, b}, {a, c, d}, {a, b, e}, {a, b, c, d}} una
topología para X = {a, b, c, d, e}. Encontrar las topologías de subespacio T [A] y
T [B] para A = {a, c, e} y B = {b, c, d, e} respectivamente.
Ejercicio 4.2. Encontrar las topologías Tu [A] y Tu [B], donde A = [1, 2), B = Q y
Tu es la topología usual para R.
Ejercicio 4.3. Comparar las topologías obtenidas en el ejercicio 4.2 con las
topologías del orden de cada uno de los conjuntos dados.
Se debe tener cuidado de no cometer el error de pensar que los abiertos en el
subespacio son necesariamente abiertos en el espacio inicial. Sin embargo, hay casos
donde esto ocurre, como lo arma la siguiente proposición.
Proposición 4.5. Sean (X, T ) un espacio topológico y A ⊆ X . T [A] ⊆ T si y
solo si A ∈ T .
Demostración. Supóngase que T [A] ⊆ T . Debido a que A = A ∩ X ∈ T [A], se tiene
que A ∈ T . En el otro sentido, sea M ∈ T [A], es decir, M = U ∩ A donde U ∈ T .
Como A ∈ T , AT3 implica que M ∈ T , lo cual prueba que T [A] ⊆ T .
Ejercicio 4.4. Considérese A = [−1, 1] como subconjunto de R con la topología
usual. ¾Cuáles de los siguientes conjuntos pertenecen a Tu [A]?
4.1.
141
SUBESPACIOS TOPOLÓGICOS
(a) (−1, −1/2) ∪ (1/2, 1).
(d) [−1, −1/2] ∪ [1/2, 1].
(b) (−1, −1/2] ∪ [1/2, 1).
S∞
1
1
(e)
n=1 ( n+1 , n ).
(c)
[−1, −1/2) ∪ (1/2, 1].
Ejercicio 4.5. Sea (R, Tu ).
(a) Si A = { n1 | n ∈ Z+ }, probar que la topología Tu [A] es la discreta.
(b) Si B = { n1 | n ∈ Z+ } ∪ {0}, probar que la topología Tu [B] no es la discreta.
(c) Si C = Q, probar que la topología Tu [C] no es la discreta.
Ahora se describen los conjuntos cerrados en un subespacio topológico.
Proposición 4.6. Sean (X, T ) un espacio topológico y A ⊆ X . Los cerrados
del subespacio (A, T [A]) son las intersecciones de los cerrados de (X, T ) con A,
es decir, C es cerrado en (A, T [A]) si y solo si C = F ∩ A, donde F un cerrado
en (X, T ).
Demostración. Asúmase que C es un conjunto cerrado en (A, T [A]), luego A \ C ∈
T [A], esto es, A \ C = A ∩ U , donde U ∈ T . Por tanto, aplicando complemento
(respecto a A) a ambos lados de la igualdad, se tiene que C = A \ (A ∩ U ), esto es,
C = A ∩ (X \ U ) obteniendo lo deseado. En la otra dirección, si C = A ∩ F , con F
un cerrado en (X, T ), se tiene que X \ F ∈ T ; luego, (X \ F ) ∩ A ∈ T [A], pero ya
que (X \ F ) ∩ A = A \ C se concluye que C es cerrado en (A, T [A]).
Ejercicio 4.6. Sea A = (0, 5] ¾Cuáles de los siguientes conjuntos son abiertos y
cuáles son cerrados, en (A, Tinf [A])?
(a) (0, 1).
(b) (0, 1].
(c) (0, 3].
(d) [1, 2].
(e) [4, 5).
Es útil poder producir una base para la topología del subespacio a partir de una
base del espacio original.
Proposición 4.7. Sean B una base para el espacio (X, T ) y A ⊆ X . La familia
BA = {B ∩ A | B ∈ B}
es una base para la topología T [A].
142
CAPÍTULO 4.
CREANDO NUEVOS ESPACIOS TOPOLÓGICOS
Demostración. Se usa la denición 2.31 para ver que BA es base de T [A]. En
primer lugar, nótese que BA es una familia de conjuntos abiertos en la topología
del subespacio T [A]. Supóngase que M ∈ T [A] y que x ∈ M , entonces M = U ∩ A,
donde U ∈ T . Existe un abierto básico B en B tal que x ∈ B ⊆ U . Por tanto,
x ∈ B ∩ A ⊆ U ∩ A = M.
Un ejemplo clásico de subespacio topológico en R2 es el siguiente.
Ejemplo 4.8 (Topología usual para la circunferencia S 1 ). Considérese la
circunferencia S 1 = {(x, y) ∈ R2 | x2 + y 2 = 1} con la topología usual. Debido
a que las bolas abiertas en R2 forman una base de la topología usual para R2
(véase el ejemplo 2.64), las intersecciones de tales bolas con el circunferencia
S 1 forman una base de la topología usual para S 1 . Los abiertos básicos son
segmentos circulares sin extremos como se muestra en la gura 4.2.
S1
S1
(
)
(
(
)
)
Figura 4.2: Abiertos en la circunferencia con la topología usual
Nótese que las bolas cerradas en R2 son conjuntos cerrados en (R2 , Tu ), en
consecuencia los segmentos circulares en la circunferencia son ejemplos de conjuntos
cerrados en S 1 .
La bola abierta en R3 con radio > 0 y centro en (a, b, c) ∈ R3 se dene por
»
B (a, b, c) = {(x, y, z) ∈ R3 | (x − a)2 + (y − b)2 + (z − c)2 < }.
La familia de todas las bolas abiertas en R3 es base de una topología para R3 llamada
topología usual y denotada por Tu . De esta manera se tiene un ejemplo análogo al
4.1.
SUBESPACIOS TOPOLÓGICOS
143
ejemplo 4.8 tomando la esfera S 2 = {(x, y, z) ∈ R3 | x2 + y 2 + z 2 = 1}. Otro ejemplo
de subespacio interesante se presenta a continuación.
Ejemplo 4.9 (Topología usual para el toro). En el espacio (R3 , Tu ), sea
S 1 la circunferencia de radio 1 en el plano xz con centro en el punto (2, 0, 0).
El conjunto T ⊆ R3 obtenido al rotar C alrededor del eje z es llamado toro
(véase la gura 4.3). Los abiertos básicos de la topología para T inducida por
la usual de R3 son las intersecciones de T con las bolas abiertas en R3 .
Figura 4.3: El toro.
Cuando una propiedad del espacio (X, T ) se cumple en todos sus subespacios
topológicos, se dice que la propiedad es hereditaria.
Ejemplo 4.10 (Algunas propiedades hereditarias).
(i) La propiedad de ser espacio discreto es hereditaria. Es decir, si (X, Tdis )
es un espacio discreto y A ⊆ X , el subespacio (A, Tdis [A]) es discreto.
Basta observar que dado a ∈ A el conjunto {a} = A ∩ {a} es un abierto
en Tdis [A].
En el otro sentido, si el subespacio es un espacio discreto, no signica
que el espacio original lo sea. Por ejemplo, en (R, Tu ) la topología de
subespacio para A = Z es la topología discreta. En efecto, si se considera
x ∈ Z y = 21 , el conjunto (x − , x + ) ∩ Z = {x}, luego {x} ∈ Tu [Z]
para cada x ∈ Z. Por tanto, Tu [Z] es la topología discreta para Z (véase
2.3).
144
CAPÍTULO 4.
CREANDO NUEVOS ESPACIOS TOPOLÓGICOS
(ii) La propiedad de Hausdor es hereditaria. En efecto, supóngase que (X, T )
es un espacio de Hausdor y A ⊆ X . Debido a que (X, T ) es de Hausdor,
cualquier par de elementos x 6= y en A, se pueden separar por abiertos,
es decir, existen U, V ∈ T , tales que x ∈ U , y ∈ V y U ∩ V = ∅. Luego,
x ∈ U ∩ A, y ∈ V ∩ A y (U ∩ A) ∩ (V ∩ A) = ∅. Por tanto, (A, T [A]) es
de Hausdor.
(iii) La propiedad de ser 1-contable es hereditaria. En efecto, supóngase que
(X, T ) es un espacio 1-contable y sea x un elemento de A ⊆ X . Debido
a que X es 1-contable, existe una base local B(x) = {Bi | i ∈ I} contable
para x. Se dene la familia contable BA (x) = {Bi ∩ A | i ∈ I}. Nótese
que, para cada i ∈ I , Bi ∩ A es una vecindad abierta de x en la topología
inducida T [A]. Se verá entonces que BA (x) es una base local de x con
respecto al subespacio (A, T [A]). En efecto, dado U 0 ∈ T [A] con x ∈ U 0 ,
se tiene que U 0 = U ∩ A, donde U ∈ T . Por la denición 2.79, existe
B ∈ B(x) tal que x ∈ B ⊆ U , por lo cual, x ∈ B ∩ A ⊆ U ∩ A. Por tanto,
BA (x) es una base local contable de x en (A, T [A]).
(iv) La propiedad de ser 2-contable es hereditaria. En efecto, supóngase que
(X, T ) es un espacio 2-contable y sea A ⊆ X . Se va a probar que (A, T [A])
es 2-contable. Debido a que X es 2-contable, existe una base B = {Bi |
i ∈ I} contable de (X, T ). Se dene la familia contable BA = {Bi ∩ A |
i ∈ I}. Nótese que BA es una subfamilia de T [A]. Se verá entonces que
BA es una base del subespacio (A, T [A]). En efecto, dado U 0 ∈ T [A] y
un punto cualesquiera x ∈ U 0 , se tiene que U 0 = U ∩ A, donde U ∈ T .
Por la denición 2.31, existe B ∈ B tal que x ∈ B ⊆ U , por lo cual,
x ∈ B ∩ A ⊆ U ∩ A, donde B ∩ A ∈ BA . Por tanto, BA es una base
contable de (A, T [A]).
Ejemplo 4.11 (Ejemplo de propiedad no hereditaria). En R2 se dene
la base
B = {[a, b) × [c, d) | a < b, c < d, a, b, c, d ∈ R}.
4.1.
145
SUBESPACIOS TOPOLÓGICOS
La topología generada por B , conocida como la topología de los cuadrados
semiabiertos, es separable pues Q × Q = R × R. Considérese la recta diagonal
M = {(x, −x) | x ∈ R}; la topología de subespacio es la discreta, pues
{(x, −x)} = M ∩ ([x, x + 1) × [−x, −x + 1)); así, M no es separable.
Pese al ejemplo anterior, hay casos donde el subespacio topológico resulta separable.
Proposición 4.12. Si (X, T ) es un espacio separable y A ∈ T , entonces
(A, T [A]) es separable.
Demostración. Téngase en cuenta que si D es denso y contable en (X, T ) entonces
D ∩ A lo es en (A, T [A]). En efecto, debido a que D ∩ A ⊆ D y D es contable,
D ∩ A es contable. Además, como A ∈ T , los elementos de T [A] son los abiertos
U ∈ T tales que U ⊆ A. Sean x ∈ A y U una vecindad abierta de x con respecto
al espacio (A, T [A]), luego U ∈ T y U ⊆ A. Como x es punto adherente de D en
(X, T ), U ∩ D 6= ∅ y como U ∩ D = (U ∩ A) ∩ D = U ∩ (D ∩ A), se tiene que x es
punto adherente de D ∩ A en (A, T [A]).
Ejercicio 4.7. Considérese A = (0, 1], B = N, C = {1, 2, 3} y D = (0, ∞) como
subconjuntos de R. Escribir dos ejemplos de abiertos no triviales y dos ejemplos de
cerrados no triviales en la topología de subespacio para A, B , C y D inducida por
cada una de las siguientes topologías para R.
(a) Topología usual.
(c) Topología del límite superior.
(b)
(d)
Topología de dipolos.
Topología de complementos nitos.
Ejercicio 4.8. Considérese A = [0, 1] × [0, 1], B = N × {0, 1} y C = {1, 2, 3} × {0}
como subconjuntos de R2 . Escribir dos ejemplos de abiertos no triviales y dos
ejemplos de cerrados no triviales en la topología de subespacio para A, B y C
inducida por cada una de las siguientes topologías para R2 .
(a) Topología usual.
(c) Topología de franjas horizontales.
(b) Topología del orden lexicográco.
(d) Topología de rectas de pendiente 2.
Ejercicio 4.9. Sean (A, T [A]) un subespacio de (X, T ) y E ⊆ A. Por intA (E)
e intX (E) se entiende el interior de E en la topología del subespacio para A y
el interior de E en la topología para X , respectivamente. Similarmente se usa la
146
CAPÍTULO 4.
CREANDO NUEVOS ESPACIOS TOPOLÓGICOS
notación adhA (E) y adhX (E) para la adherencia y la notación frA (E) y frX (E) para
la frontera.
(a) Probar que intA (E) ⊆ A ∩ intX (E). Además, dar un ejemplo donde la
contenencia sea estricta.
(b) Probar o refutar cada una de las contenencias adhA (E) ⊆ A ∩ adhX (E) y
adhA (E) ⊇ A ∩ adhX (E).
(c) Probar o refutar cada una de las contenencias frA (E) ⊆ A ∩ frX (E) y frA (E) ⊇
A ∩ frX (E).
Ejercicio 4.10. Sean (X, T ) un espacio topológico y A ⊆ B ⊆ X . Probar que si
T [B][A] es la topología de subespacio para A inducida por la topología de subespacio
T [B] para B , entonces T [B][A] = T [A]
Ejercicio 4.11. Probar o refutar: A = (0, 1) como subespacio de (R, Tu ) es
separable.
Ejercicio 4.12. Probar que A = R \ Q con la topología de subespacio es un
subespacio separable de (R, Tu ). Nótese que A no es abierto.
4.2. Topología producto
En esta sección se presenta la construcción de un espacio topológico a partir de una
familia de espacios topológicos ((Xi , Ti ))i∈I (pueden haber espacios repetidos, véase
la denición 1.19), deniendo la topología producto para el producto cartesiano
Q
i∈I Xi . Para mayor claridad en la exposición, se inicia con el producto de un
número nito de espacios topológicos.
4.2.1.
Productos nitos
Dados los espacios topológicos (X1 , T1 ), . . . , (Xn , Tn ), se desea generar una topología
Q
natural T para el producto cartesiano X = X1 × · · · × Xn = ni=1 Xi . La intuición
conduce a pensar en la familia de subconjuntos de la forma U1 × · · · × Un , donde
Ui ∈ Ti para cada i = 1, . . . n. Desafortunadamente, esta familia no es una topología;
por ejemplo, si n = 2 y (X1 , T1 ) = (X2 , T2 ) = (R, Tu ), los conjuntos (0, 1) × (0, 1) y
4.2.
147
TOPOLOGÍA PRODUCTO
(2, 3) × (2, 3) serían elementos de T pero no su unión (véase la gura 4.4). A pesar
Q
de lo anterior, dicha familia es una base de una topología para ni=1 Xi .
3
2
1
1
2
3
Figura 4.4: ((0, 1) × (0, 1)) ∪ ((2, 3) × (2, 3)) no es producto cartesiano de
subconjuntos de R.
Denición 4.13. Sean (X1 , T1 ), . . . , (Xn , Tn ) espacios topológicos. La topología
TΠ =
Qn
i=1 Ti generada por la base
BΠ = {U1 × · · · × Un | Ui ∈ Ti , ∀i = 1, . . . , n}
Q
se conoce como la topología producto para X = ni=1 Xi , y el espacio (X, TΠ )
se llama el espacio producto de (X1 , T1 ), . . . , (Xn , Tn ).
Por supuesto, se debe vericar que efectivamente la anterior familia es base de una
Q
topología para X = ni=1 Xi .
Proposición 4.14. Sean (X1 , T1 ), . . . , (Xn , Tn ) espacios topológicos. La familia
BΠ = {U1 × · · · × Un | Ui ∈ Ti , ∀i = 1, . . . , n}
es base de una topología para X =
Qn
i=1 Xi .
Demostración. Se va a probar el cumplimiento de las condiciones (i) y (ii) del
Qn
teorema 2.35. En primer lugar, nótese que X =
i=1 Xi ∈ BΠ , garantizando
que la condición (i) se cumple. Para probar (ii), sean B y B 0 en BΠ con B =
U1 × · · · × Un , B 0 = V1 × · · · × Vn y sea x = (x1 , . . . , xn ) ∈ B ∩ B 0 , el conjunto
B 00 = (U1 ∩ V1 ) × · · · × (Un ∩ Vn ) es un elemento en BΠ tal que x ∈ B 00 ⊆ B ∩ B 0
(véase el ejercicio 1.38).
148
CAPÍTULO 4.
CREANDO NUEVOS ESPACIOS TOPOLÓGICOS
Nota 4.15. Los abiertos que conforman la topología producto no son solamente
aquellos que son productos de conjuntos abiertos, sino también todas las
posibles uniones entre ellos.
Ejemplo 4.16 (Espacios producto).
(i) Sea TX = {∅, X, {a, b}} una topología para X = {a, b, c} y sea (Y, TY ) el
espacio de Sierpinski, es decir, Y = {0, 1} y TY = {∅, Y, {1}}. Una base
de la topología producto para X × Y está dada por
B = {∅, X × Y, X × {1}, {a, b} × Y, {a, b} × {1}},
entonces la topología producto es la familia
{∅, X×Y, X×{1}, {a, b}×Y, {a, b}×{1}, {(a, 1), (b, 1), (c, 1), (a, 0), (b, 0)}}.
(ii) Sea (N, Tdis ) el espacio discreto. En la topología producto Tdis × Tdis
para N × N los abiertos básicos tienen la forma U × V donde U y V
son subconjuntos de N, recuérdese que en un espacio discreto cualquier
subconjunto es abierto. Sea (m, n) ∈ N×N, luego, el conjunto {n}×{m} =
{(m, n)} está en Tdis × Tdis ; por el ejercicio 2.3 se puede concluir que
Tdis × Tdis es la topología discreta para N × N.
Ejercicio 4.13. Encontrar la topología producto de (X, TX ) y (Y, TY ), donde
TX = {∅, X, {a}, {a, b}, {a, c}} es una topología para X = {a, b, c} y
TY = {∅, Y, {1}, {1, 2}, {1, 3, 4}, {1, 2, 3, 4}, {1, 2, 5}} es una topología para Y =
{1, 2, 3, 4, 5}.
Ejercicio 4.14. Probar que si (X1 , T1 ), . . . , (Xn , Tn ) son espacios discretos, entonces
su producto es un espacio discreto.
A continuación, una base para la topología producto a partir de las bases de los
espacios factores.
4.2.
149
TOPOLOGÍA PRODUCTO
Proposición 4.17. Sean B1 , . . . , Bn bases de los espacios topológicos
(X1 , T1 ), . . . , (Xn , Tn ) respectivamente. La familia de conjuntos
B=
n
Y
Bi = {B1 × · · · × Bn | Bi ∈ Bi , ∀i = 1, . . . , n}
i=1
es una base de la topología producto para X =
Qn
i=1 Xi .
Demostración. Se sigue la denición 2.31 para la prueba. Sean U un abierto en la
topología producto y x = (x1 , . . . , xn ) ∈ U . Debido a que BΠ es base para la topología
producto, existe un elemento U1 × · · · × Un ∈ BΠ tal que x ∈ U1 × · · · × Un ⊆ U .
Por denición del producto cartesiano, xi ∈ Ui para cada i = 1, . . . , n; además, dado
que Bi es base de (Xi , Ti ), la denición 2.31 implica que para cada i = 1, . . . , n,
existe Bi ∈ Bi tal que xi ∈ Bi ⊆ Ui . Por tanto, x = (x1 , . . . , xn ) ∈ B1 × · · · × Bn ⊆
U1 × · · · × Un ⊆ U , donde B1 × · · · × Bn ∈ B .
Ejemplo 4.18 (Una base de un espacio producto). Sean Tu , Tdip y Tdis las
topologías usual, dipolos y discreta para R respectivamente. Se va a describir
una base de la topología producto Tu ×Tdip ×Tdis para R×R×R con respecto a las
bases dadas en los ejemplos 2.50, 2.57 y 2.32. De acuerdo con la proposición 4.17
basta considerar como base los productos de abiertos básicos en cada topología,
esto es, elementos de la forma B × B 0 × B 00 donde B es un intervalo abierto,
B 0 es un conjunto de la forma {p, −p} con p ∈ R+ ∪ {0} y B 00 es un conjunto
unitario.
Ejercicio 4.15. Describir dos ejemplos de abiertos básicos, dos ejemplos de abiertos
no triviales que no sean básicos y dos ejemplos de subconjuntos que no sean abiertos
en la topología producto de los espacios (R, Tinf ) y (R2 , Tlex ).
Proposición 4.19. Sean F1 , . . . , Fn subconjuntos cerrados de los espacios
topológicos (X1 , T1 ), . . . , (Xn , Tn ) respectivamente. El conjunto F = F1 × · · · ×
Q
Fn es un conjunto cerrado en la topología producto para X = ni=1 Xi .
Demostración. Basta observar que el conjunto F c = X \ F es la unión de los
siguientes abiertos (X1 \ F1 ) × X2 × · · · × Xn , X1 × (X2 \ F2 ) × X3 × · · · × Xn ,
150
CAPÍTULO 4.
CREANDO NUEVOS ESPACIOS TOPOLÓGICOS
. . . , X1 × X2 × · · · × (Xn \ Fn ). Luego, la condición AT2 de la denición 2.3 implica
que F c es abierto, es decir, F es cerrado.
En general, no todo cerrado en la topología producto se puede expresar como
producto de cerrados. Por ejemplo, el conjunto {(a, 0), (b, 0), (c, 0), (c, 1)} es cerrado
en la topología producto del ejemplo 4.16, sin embargo, este no es producto
cartesiano de conjuntos cerrados.
El siguiente resultado se enuncia para el caso del producto de dos espacios; sin
embargo, puede extenderse inductivamente al caso de un número nito de espacios.
Proposición 4.20. Sean (X, TX ), (Y, TY ) espacios topológicos, A ⊆ X y
B ⊆ Y . La topología de subespacio TX × TY [A × B] para A × B en el espacio
producto (X × Y, TX × TY ) coincide con la topología producto TX [A] × TY [B]
para A × B , donde TX [A] y TX [B] son las topologías de subespacio para A y B
respectivamente.
Demostración. De acuerdo con la proposición 4.7 y la denición 4.13, la familia
B = {(A × B) ∩ V | V ∈ TX × TY } es base para TX × TY [A × B] y la familia
B 0 = {(A ∩ U ) × (B ∩ V ) | U ∈ TX ∧ U ∈ TX } es base de TX [A] × TY [B]. Siguiendo
el corolario 2.42 se va a probar que B 0 también es base para TX × TY [A × B]. Sean
U ∈ TX × TY [A × B] y x ∈ U , esto es, U = (A × B) ∩ V , donde V ∈ TX × TY ,
así, V es unión arbitraria de una familia {Vi × Vi0 }i∈I con Vi ∈ TX y Vi0 ∈ TY ,
S
para cada i ∈ I . Así pues, de las igualdades U = (A × B) ∩ ( i∈I (Vi × Vi0 )) =
S
S
0
0
i∈I ((A × B) ∩ (Vi × Vi )) =
i∈I ((A ∩ Vi ) × (B ∩ Vi )) se concluye que existe un
i0 ∈ I tal que x ∈ (A ∩ Vi0 ) × (B ∩ Vi00 ). Como (A ∩ Vi0 ) × (B ∩ Vi00 ) es un básico en
B 0 que está contenido en U , B 0 es base para TX × TY [A × B]. Luego B 0 y B generan
la misma topología.
Ejemplo 4.21 (Cuadrado unitario). Sea I = [0, 1] el subespacio de R con
la topología usual. El espacio producto I × I
4.2.
151
TOPOLOGÍA PRODUCTO
1
I ×I
1
se conoce como cuadrado unitario. De acuerdo a la proposición 4.20, la
topología producto para I × I coincide con la topología de subespacio para
I × I en (R2 , Tu ). Luego, los abiertos básicos en I × I son aquellos conjuntos
que se obtienen de hacer la intersección de una bola abierta en R2 con I × I .
En particular, algunos básicos son bolas abiertas en R2 que quedan contenidas
en I × I y otros son partes de una bola abierta en R2 .
Nota 4.22. Intuitivamente, el espacio producto se puede pensar como una
copia del segundo factor en cada punto del primero o viceversa.
Ejemplo 4.23 (La arandela). Sean S 1 la circunferencia e I = [0, 1] con
sus respectivas topologías usuales de subespacio en R2 y R respectivamente.
El conjunto S 1 × I puede pensarse como una circunferencia con segmentos
perpendiculares en cada punto de la circunferencia (véase la gura 4.5
parte izquierda), donde cada segmento se está identicando con el intervalo
[0, 1]. Visto de esa manera, es una circunferencia con intervalos de igual
longitud saliendo de cada punto. También puede ser pensado como un
segmento (identicado con el intervalo I ) con circunferencias concéntricas,
perpendiculares al segmento en cada punto (véase la gura 4.5 parte derecha).
El espacio topológico resultante es conocido como la arandela El espacio
producto S 1 × (0, 1) se conoce como la arandela abierta.
Ejercicio 4.16. Explicar por qué el espacio producto S1 × I también puede ser
pensado como un cilindro de altura 1 y base la circunferencia unitaria.
152
CAPÍTULO 4.
CREANDO NUEVOS ESPACIOS TOPOLÓGICOS
Figura 4.5: Representación de S 1 × [0, 1].
Ejemplo 4.24 (El toro como espacio producto). Considérese el espacio
producto S 1 × S 1 , donde S 1 es la circunferencia. Para cada punto de la primera
circunferencia S 1 hay una circunferencia perpendicular correspondiente a la
segunda circunferencia, lo cual coincide con la supercie conocida como el
toro (véase la gura 4.3). De la proposición 4.20 se concluye que la topología
producto para el toro es tal que los abiertos básicos son parches rectangulares
abiertos en el toro y que esta topología coincide con la topología de subespacio
descrita en el ejemplo 4.9.
Ejercicio 4.17. Probar que si (X1 , T1 ), . . . , (Xn , Tn ) son espacios triviales, entonces
su producto es un espacio trivial.
Ejercicio 4.18. Probar que si (X1 , T1 ), . . . , (Xn , Tn ) son espacios discretos, entonces
su producto es un espacio discreto.
Ejercicio 4.19. Probar que si (X1 , T1 ), . . . , (Xn , Tn ) son espacios de Hausdor,
entonces su producto es un espacio de Hausdor.
Ejercicio 4.20. Sean (X, T ) un espacio topológico y D = {(x, x) | x ∈ X} la
diagonal en el espacio producto (X × X, T × T ). Probar que (X, T ) es de Hausdor
si y solo si D es cerrado en (X × X, T × T ).
4.2.2.
Productos arbitrarios
Para denir el producto arbitrario de espacios topológicos se debe recordar que
el producto cartesiano de una familia arbitraria de conjuntos está denido en la
4.2.
153
TOPOLOGÍA PRODUCTO
sección 1.3. Se desea extender la noción de espacio producto dada en la denición
4.13, al caso de una familia arbitraria (posiblemente innita) ((Xi , Ti ))i∈I de espacios
topológicos; la intuición puede conducir al lector a denir la base Bc constituida por
Q
los conjuntos de la forma i∈I Ui , donde Ui ∈ Ti , de hecho, para probar que Bc es
base, basta seguir el mismo razonamiento usado en la prueba de la proposición 4.14.
Q
La topología generada por Bc es llamada topología por cajas para X = i∈I Xi
y si la familia ((Xi , Ti ))i∈I es nita, la topología de cajas coincide con la topología
producto dada en la denición 4.13. Una topología alternativa a la topología por
cajas fue propuesta por Tychono (1906-1993) y es más conveniente, pues permite
que se preserven ciertas propiedades importantes de los factores.
Denición 4.25. Sea ((Xi , Ti ))i∈I una familia de espacios topológicos. La
Q
Q
topología producto TΠ = i∈I Ti para X = i∈I Xi es la generada por la
Q
familia BΠ conformada por conjuntos de la forma B = i∈I Ui tal que Ui ∈ Ti
para cada i ∈ I y Ui = Xi para todos los índices i ∈ I salvo un número nito
de ellos, es decir, existe F ⊆ I nito tal que Ui = Xi para todo i ∈ I \ F . El
espacio (X, TΠ ) se conoce como el espacio producto de la familia ((Xi , Ti ))i∈I .
De hecho, la denición anterior puede ser aplicada si la familia de espacios
((Xi , Ti ))i∈I es nita y en este caso la topología producto de la denición 4.25 es la
misma de la denición 4.13.
¾Los ejemplos 4.16, 4.18, 4.21, 4.23 y 4.24 son ejemplos de productos arbitrarios?
Nota 4.26. A los conjuntos de la forma B =
Q
i∈I Ui se les pide que todos
los Ui , excepto un número nito de ellos, sean los abiertos Xi respectivamente.
Nótese que si se omite esta condición, la familia resultante es la base Bc , cuya
Q
topología generada es la topología por cajas para X = i∈I Xi . Aunque las
topologías producto y por cajas coinciden en el caso de nitos factores, la
topología producto para X es en general menos na que la topología por cajas;
de hecho, muchos de los resultados que hay para productos nitos también se
cumplen para productos arbitrarios si se utiliza la topología producto, pero no
se cumplen, si se usa la topología por cajas. Para un ejemplo de este hecho,
154
CAPÍTULO 4.
CREANDO NUEVOS ESPACIOS TOPOLÓGICOS
veáse [29]. Por tal razón, la topología producto es de gran importancia en
matemáticas, mientras que la topología por cajas es menos interesante.
Por supuesto, se debe probar que BΠ es base de una topología para X =
Q
i∈I Xi .
Proposición 4.27. Sea ((Xi , Ti ))i∈I una familia de espacios topológicos. La
familia BΠ dada en la denición 4.25 es base de una topología para X =
Q
i∈I Xi .
Demostración. Se va a probar que BΠ cumple las condiciones (i) y (ii) del teorema
2.35. En primer lugar, obsérvese que el conjunto X es un elemento de BΠ , con lo
cual la condición (i) se cumple. Además, dados dos elementos B , B 0 en BΠ , esto
Q
Q
es, B = i∈I Ui , B 0 = i∈I Ui0 , donde Ui , Ui0 ∈ Ti , Ui = Xi para todo i ∈ I \ F
y Ui0 = Xi para todo i ∈ I \ F 0 , con F y F 0 subconjuntos nitos de I . Entonces
Q
Q
Q
0
0
B ∩ B0 =
i∈I Ui ∩
i∈I Ui =
i∈I (Ui ∩ Ui ) (véase el ejercicio 1.38), donde
Ui ∩ Ui0 ∈ Ti y Ui ∩ Ui0 = Xi para todo i ∈ I \ (F ∪ F 0 ). Por tanto, B ∩ B 0 ∈ BΠ y
esto implica la condición (ii).
Las aplicaciones de la forma pi : X → Xi tal que (xi )i∈I 7→ xi son llamadas
proyecciones.
Nota 4.28. Sea ((Xi , Ti ))i∈I una familia de espacios topológicos. Los conjuntos
de la forma p−1
(U ), donde U ∈ Ti , forman una subbase de la topología producto
Qi
para X = i∈I Xi . Basta notar que la intersección nita de conjuntos de esa
forma da lugar a la base descrita en la denición 4.25.
Algunos de los resultados para el caso de un producto nito de espacios topológicos
también se cumplem para el caso general. Por ejemplo, la proposición 4.17 se extiende
al caso de productos arbitrarios como sigue.
Proposición 4.29. Sea ((Xi , Ti ))i∈I una familia de espacios topológicos, y sea
Bi una base del espacio topológico (Xi , Ti ), para cada i ∈ I . La familia B =
Q
Q
i∈I Bi de conjuntos de la forma B =
i∈I Bi tal que Bi ∈ Bi para un conjunto
nito de índices en I y Bi = Xi para todos los índices restantes, es una base de
Q
la topología producto para X = i∈I Xi .
4.2.
TOPOLOGÍA PRODUCTO
155
Demostración. Para la prueba se vericará lo contemplado en la denición 2.31.
Sean U un abierto en la topología producto y x = (xi )i∈I ∈ U . Debido a que BΠ
es base para la topología producto (véase la proposición 4.27), existe un elemento
Q
B = i∈I Ui ∈ BΠ tal que x ∈ B ⊆ U . Como B ∈ BΠ , se tiene que Ui = Xi
para cada i ∈ I \ F , con F un subconjunto nito de I . Por denición del producto
cartesiano, xi ∈ Ui para cada i ∈ I ; además, dado que Bi es base de (Xi , Ti ), por la
denición 2.31 existe Bi ∈ Bi tal que xi ∈ Bi ⊆ Ui para cada i ∈ F . Para los índices
Q
Q
en I \ F se toma Bi = Xi . De esa forma, x ∈ i∈I Bi ⊆ B ⊆ U , con i∈I Bi en
B.
Ejercicio 4.21. Enunciar una proposición análoga a la proposición 4.29 para la
topología por cajas y demostrarla.
Como ya se han dado ejemplos de espacios producto de nitos espacios topológicos,
en seguida se van a dar ejemplos de productos innitos.
Ejemplo 4.30 (Topología producto de innitos espacios).
(i) Sea Rω el producto cartesiano de copias de R con la topología usual,
una por cada elemento en ω = (Z+ , ≤) (véase el ejemplo 1.73). Por la
proposición 4.29 se tiene una base de la topología producto para Rω está
Q
compuesta por conjuntos B = n∈ω Un donde existe N ∈ Z+ tal que Un =
R para n ≥ N y Un es R o un intervalo abierto para n = 1, 2, . . . , N − 1,
teniendo en cuenta que la familia de intervalos es una base de Tu en R.
Un ejemplo típico de abierto básico en este producto es:
B = R×(0, 1)×R×(−1, 2)×Rω\{1,2,3,4} = R×(0, 1)×R×(−1, 2)×R×R×· · · .
(ii) Considérese el mismo Rω del ejemplo anterior con R dotado de la topología
discreta. Dado un elemento x = (xn )n∈N en Rω , esto es, una sucesión de
los reales, el conjunto unitario {x} no es abierto en la topología producto,
pero sí es abierto en la topología por cajas para Rω . En efecto, {x} es el
Q
conjunto n∈N {xn }, como {xn } es abierto en la topología discreta para
Q
R, n∈N {xn } es abierto en la topología por cajas para Rω . Sin embargo,
156
CAPÍTULO 4.
CREANDO NUEVOS ESPACIOS TOPOLÓGICOS
el conjunto {x} no se puede obtener como unión de conjuntos innitos de
Q
la forma B = n∈N Bn , donde Bn = R para todo n ∈ N \ I , donde I ⊂ N
es nito y Bi es un subconjunto no vacío de R para cada i ∈ I .
Proposición 4.31. El producto de una familia arbitraria de espacios de
Hausdor es un espacio de Hausdor.
Demostración. Sea ((Xi , Ti ))i∈I una familia de espacios de Hausdor y sea (X, TΠ )
Q
su espacio producto, donde X = i∈I Xi . Dados dos elementos distintos x = (xi )i∈I
y x0 = (x0i )i∈I en X . Luego, eligiendo dos coordenadas no iguales xk 6= x0k y
teniendo en cuenta que por hipótesis Xk es de Hausdor, existen vecindades abiertas
−1
disyuntas Uk y Vk de xk y x0k , respectivamente. Entonces, p−1
k (Uk ) y pk (Vk ) son
vecindades abiertas disyuntas de x y x0 , respectivamente. Por tanto, X es un espacio
de Hausdor.
Ejercicio 4.22. Probar que el producto arbitrario de espacios triviales es un espacio
trivial.
La proposición 4.20 se extiende a productos arbitrarios de la siguiente manera.
Proposición 4.32. Sean ((Xi , Ti ))i∈I una familia de espacios topológicos y
(Ai , Ti [Ai ]) un subespacio de (Xi , Ti ) para cada i ∈ I y sea TΠ la topología
Q
Q
producto para X =
i∈I Xi . La topología producto
i∈I Ti [Ai ] y la de
Q
subespacio TΠ [A] para A = i∈I Ai coinciden.
Demostración. De acuerdo con la proposición 4.7 y la denición 4.25, la familia
B = {A ∩ V | V ∈ TΠ } es base para TΠ [A] y la familia B 0 conformada por conjuntos
Q
de la forma i∈I (Ai ∩ Vi ) tal que Vi ∈ Ti para cada i ∈ I y Ai ⊆ Ui para todo
i ∈ I excepto para un subconjunto nito F de I , es base de la topología producto
Q
0
i∈I Ti [Ai ] para A. Para poder aplicar el corolario 2.42 se va a probar que B también
es base para TΠ [A]. Sean U ∈ TΠ [A] y x = (xi )i∈I ∈ U , esto es, U = A ∩ V , donde
Q
V ∈ TΠ , o sea, V es unión arbitraria de una familia { i∈I Viα }α∈J con Viα ∈ Ti para
cada i ∈ I y tal que para cada α ∈ J existe un conjunto nito Fα ⊆ I tal que Viα = Xi
Q
S
Q
α
para cada i ∈ I \Fα . Así pues, de las igualdades U = ( i∈I Ai )∩( α∈J
i∈I Vi ) =
S
Q
Q
S
Q
α
α
α∈J ( i∈I Ai ) ∩ ( i∈I Vi ) =
α∈J
i∈I (Ai ∩ Vi ) se concluye que existe un
4.3.
TOPOLOGÍA COCIENTE
157
Q
Q
0
0
α0 ∈ J tal que x ∈ i∈I (Ai ∩ Viα ) ⊆ U . Falta ver que i∈I (Ai ∩ Viα ) es un básico
0
en B 0 . En efecto, esto se concluye del hecho de que Viα = Xi para todo i ∈ I \ Fα0 ,
0
esto es, que Ai ⊆ Viα para todo los i ∈ I salvo un número nito de ellos. Luego B 0
y B generan la misma topología.
Ejercicio 4.23. Extender la proposición 4.19 al caso de productos arbitrarios y
realizar su respectiva demostración.
Ejercicio 4.24. Sea (xn ) una sucesión de puntos en un espacio producto X =
Q
i∈I Xi . Probar que (xn ) converge a x si y solo si la sucesión (pi (xn )) converge a
pi (x) para cada i ∈ I .
4.3. Topología cociente
La noción de topología cociente permite construir nuevos espacios topológicos
a partir de los que se han introducido previamente. En pocas palabras, esta
construcción es un modelo topológico que imita el proceso de pegado de partes
de uno o más objetos.
Denición 4.33. Sean (X, T ) un espacio topológico, Y un conjunto cualquiera
y f : X → Y una función sobreyectiva. La topología cociente Tf para Y , que
es inducida por f , es la familia
Tf = {U ⊆ Y | f −1 (U ) ∈ T }.
La función f es llamada función cociente y el espacio topológico (Y, Tf ) es
llamado espacio cociente.
¾Por qué se necesita que la función cociente sea sobreyectiva?
A continuación, se verica que Tf es efectivamente una topología para Y .
Proposición 4.34. Sean (X, T ) un espacio topológico y f : X → Y una
función cociente. La familia Tf = {U ⊆ Y | f −1 (U ) ∈ T } es una topología para
Y.
158
CAPÍTULO 4.
CREANDO NUEVOS ESPACIOS TOPOLÓGICOS
Demostración. Se debe probar que Tf satisface las condiciones AT1, AT2 y AT3 de la
denición 2.3. Para probar AT1, nótese que f −1 (∅) = ∅ ∈ T y que f −1 (Y ) = X ∈ T .
Luego, Y y ∅ pertenecen a Tf . Para AT2, se toma una subfamilia {Ui }i∈I de Tf y
S
S
S
se prueba que i∈I Ui ∈ Tf . En efecto, f −1 ( i∈I Ui ) = i∈I f −1 (Ui ) es unión de
S
abiertos en T , así f −1 ( i∈I Ui ) ∈ T debido a que T satisface AT2. De la denición
S
de Tf se concluye que i∈I Ui ∈ Tf . Finalmente, se prueba AT3 tomando U, V ∈ Tf ,
lo cual signica que f −1 (U ) y f −1 (V ) son abiertos en T , ya que f −1 (U ) ∩ f −1 (V ) =
f −1 (U ∩ V ) ∈ T , se concluye que U ∩ V ∈ Tf .
Ejemplo 4.35 (Espacios cociente).
(i) Considérese el espacio topológico (R, Tu ), el conjunto Y = {a, b} y la
función sobreyectiva f : R → Y denida por
®
f (x) =
a, si x ≤ 2;
b, si x > 2.
La topología cociente inducida por f es Tf = {∅, Y, {b}}. Téngase en
cuenta que {a} no pertenece a la topología cociente porque f −1 (a) =
(−∞, 2] no pertenece a la topología usual para R.
(ii) Sean R con la topología usual Tu y sea f : R → Z la función sobreyectiva
dada por

x, si x ∈ Z;
f (x) =
n, si x ∈ (n − 1, n + 1) y n es entero impar.
Es decir, la restricción de f a Z es la identidad sobre Z y la imagen por f
de un valor x no entero es el entero impar más cercano a x. En la topología
cociente para Z inducida por f , si n es un entero impar, entonces {n} es
un abierto, ya que f −1 ({n}) = (n − 1, n + 1) ∈ Tu . Si n es un entero par,
{n} no es abierto, debido a que f −1 ({n}) = {n} ∈
/ Tu y el abierto más
pequeño que contiene a n es {n − 1, n, n + 1}. Luego, una base para esta
4.3.
159
TOPOLOGÍA COCIENTE
topología es B = {Bn | n ∈ Z}, donde

{n, }
Bn =
{n − 1, n, n + 1},
si n es impar;
si n es par.
Recuérdese que este espacio es la línea digital denida en el ejemplo 2.46.
Nota 4.36. El producto de dos copias de la línea digital, denominado el plano
digital, modela una imagen, vista como un arreglo rectangular de pixeles, hecho
que ha dado muchos frutos en procesamiento de imágenes digitales [19, 20].
Ejercicio 4.25. Considérese la función f : R → {a, b, c, d, e} dada por


a





 b
f (x) =
c



d



 e
si
x > 2,
si
x = 2,
si 0 ≤ x < 2,
si −1 < x < 0,
si
x ≤ −1.
Hallar los abiertos en la topología cociente para {a, b, c, d, e} en cada uno de los
siguientes casos:
(a) R está dotado de la topología del límite inferior.
(b) R está dotado de la topología usual.
(c) R está dotado de la topología de colas abiertas a derecha.
El pegado en el espacio cociente
Para explicar el pegado mencionado al inicio de esta sección considérese un espacio
topológico X ; en realidad, cada topología cociente, la cual es inducida por una
función cociente de dominio X , se puede ver como una topología para una partición
(véase la denición 1.54) de X en el sentido de la siguiente proposición.
Proposición 4.37. Sea (X, T ) un espacio topológico. Hay una topología
cociente para cada partición del conjunto X y cada espacio cociente (Y, Tf )
160
CAPÍTULO 4.
CREANDO NUEVOS ESPACIOS TOPOLÓGICOS
da lugar a una partición F de X tal que Y y F son equipotentes (véase la
denición 1.61).
Demostración. Sea F una partición de X , la función ρ : X → F que asigna x 7→ Fx
tal que Fx ∈ F y x ∈ Fx , es sobreyectiva. Entonces ρ induce una topología cociente
T(ρ) para F . Por otra parte, sea (Y, Tf ) un espacio cociente, entonces la función
cociente f : X → Y da lugar a la relación R ⊆ X × X dada por
xRy si y solo si f (x) = f (y).
Nótese que R es una relación de equivalencia. En efecto, para probar la propiedad
reexiva, considérese la igualdad f (x) = f (x), es decir, xRx para todo x ∈ X .
Para probar la propiedad simétrica supóngase que xRy , esto es, f (x) = f (y),
reescribiendo se obtiene f (y) = f (x), esto es, yRx. En la prueba de la propiedad
transitiva, supóngase que xRy y yRz , esto signica que f (x) = f (y) y f (y) = f (z);
usando la transitividad de la igualdad, se tiene que f (x) = f (z), esto es, xRz .
Ahora, se dene la partición F = X/R dada por la relación R (veáse la proposición
1.55), la función φ : Y → F tal que φ(a) = f −1 (a) es biyectiva, lo cual indica que
los conjuntos Y y F son equipotentes.
Obsérvese que el proceso de ir desde la topología para X a la topología cociente
para una partición F de X es como tomar cada subconjunto F ∈ F e identicar
(o pegar) todos los puntos de F entre sí, transformando F en un solo punto en el
espacio cociente. En ese orden de ideas, un subconjunto U de F es abierto en la
topología cociente para F cuando la unión de los elementos de U sea abierto en X .
Ejemplo 4.38 (Desde un rectángulo al cilindro). Dado un rectángulo
I × I 0 , donde I = [0, 2] e I 0 = [0, 1], se dene una partición de I × I 0 tomando
subconjuntos de la siguiente forma:
(i) Axy = {(x, y)} para cada 0 < x < 2 y 0 ≤ y ≤ 1.
(ii) By = {(0, y), (2, y)} para cada 0 ≤ y ≤ 1.
El pegado de cada par de puntos en un conjunto By , que sucede en el espacio
cociente, se puede ver en la gura 4.6. Obsérvese que los subconjuntos By
4.3.
TOPOLOGÍA COCIENTE
161
corresponden a las aristas verticales del rectángulo (color rojo) que van a ser
pegadas.
Figura 4.6: Construcción del cilindro a partir de un rectángulo.
Ejemplo 4.39 (Desde un rectángulo a la banda de Möbius). Dado un
rectángulo I × I 0 , donde I = [0, 2] e I 0 = [0, 1], se dene una partición de I × I 0
tomando subconjuntos de la siguiente forma:
(i) Axy = {(x, y)} para cada 0 < x < 2 y 0 ≤ y ≤ 1.
(ii) By = {(0, y), (2, 1 − y)} para cada 0 ≤ y ≤ 1.
Nótese que los subconjuntos By corresponden a las aristas verticales del
rectángulo (color rojo) que van a ser pegadas. El pegado de cada par de
puntos en un conjunto By , que sucede en el espacio cociente, se puede ver en la
gura 4.7, para esto se hace un giro a una de las aristas de tal manera que la
dirección de las echas coincida.
Figura 4.7: Construcción de la banda de Möbius a partir de un rectángulo.
162
CAPÍTULO 4.
CREANDO NUEVOS ESPACIOS TOPOLÓGICOS
Ejemplo 4.40 (Desde un rectángulo al toro). Dado un rectángulo I × I 0 ,
donde I = [0, 2] e I 0 = [0, 1], se dene una partición de I × I 0 tomando
subconjuntos de la siguiente forma:
(i) Axy = {(x, y)} para cada 0 < x < 2 y 0 < y < 1.
(ii) By = {(0, y), (2, y)} para cada 0 < y < 1.
(iii) Cx = {(x, 0), (x, 1)} para cada 0 < x < 2.
(iv) D = {(0, 0), (0, 1), (2, 0), (2, 1)}.
Los subconjuntos By corresponden a las aristas verticales del rectángulo (color
rojo) I × I 0 , mientras que los subconjuntos Cx corresponden a las aristas
horizontales (color azul); además, los puntos en D son los puntos de las cuatro
esquinas del rectángulo. El pegado de los puntos en cada conjunto de la
partición, que sucede en el espacio cociente, se puede ver en la gura 4.8, para
esto se pegan las aristas rojas y se obtiene un cilindro como en el ejemplo 4.38,
luego se pegan las aristas azules y resulta el toro (véase la gura 4.3).
Figura 4.8: Construcción del toro a partir de un rectángulo.
Ejercicio 4.26. Construir una partición para un rectángulo de tal manera
que se obtenga la arandela como espacio cociente y represente grácamente las
instrucciones de pegado.
Ejercicio 4.27. Considérese el espacio topológico ilustrado abajo, donde las cuatro
aristas del cuadrado son identicadas.
4.3.
TOPOLOGÍA COCIENTE
163
(i) ¾A qué espacio corresponde esta gura?
(ii) Construir una partición F del cuadrado [0, 1] × [0, 1] de tal forma que en el
espacio cociente se identiquen las cuatro aristas del cuadrado.
Ejercicio 4.28. Recuérdese el juego del triqui: el objetivo es hacer tres X u O en
una la, columna o diagonal. Coloca el movimiento ganador para el jugador X en el
siguiente juego:
Ahora, considérese jugar el triqui sobre la supercie del toro, usando el modelo
cuadrado desde el cual se puede obtener el toro al pegar aristas opuestas. Las reglas
son las mismas que antes, pero ahora hay nuevas formas de ganar. Aquí hay una
nueva forma:
Ilustrar las cuatro nuevas maneras de ganar al jugar triqui en el toro.
Ejercicio 4.29. Sean R con la topología usual y la partición F = {(n, n + 1]}n∈Z
de R. Describir los conjuntos abiertos en la respectiva topología cociente para F .
Ejercicio 4.30. Dar un ejemplo para mostrar que el espacio cociente de un espacio
de Hausdor no es necesariamente de Hausdor.
Ejercicio 4.31. Sea R la relación de equivalencia sobre R denida por
xRy si y solo si x − y ∈ Z. Describir el espacio cociente que resulta de la partición
inducida por la relación R.
164
CAPÍTULO 4.
CREANDO NUEVOS ESPACIOS TOPOLÓGICOS
Ejercicio 4.32. Sea R la relación de equivalencia sobre R2 denida por
(x, y)R(w, z) si y solo si x2 + y 2 = w2 + z 2 . Describir el espacio cociente que resulta
de la partición inducida por la relación R.
Ejercicio 4.33. Probar que la línea digital (ejemplo 2.46) puede ser vista como un
espacio cociente que resulta de una partición de R con la topología usual.
Capítulo 5
Espacios métricos
Los espacios métricos son una clase especial de espacios topológicos en los cuales
las distancias entre los objetos que viven en el espacio son importantes. Como se
verá en este capítulo, no existe una única forma de entender qué es una distancia,
sino que por el contrario, aún en los casos más simples, es posible considerar más
de una forma de medirlas. Un ejemplo sencillo se puede percibir desde nuestra
cotidianidad, teniendo en cuenta que la distancia de un punto a otro, como se mide
usualmente en una ciudad, es una medida en línea recta, esta forma de medir sin
embargo no es conveniente en todas las situaciones. Por ejemplo, si un vehículo
debe moverse de un punto a otro en una ciudad no puede hacerlo en línea recta,
sino que debe desplazarse en tramos cortos y en diferentes direcciones, ya que debe
hacerlo por las calles y no puede atravesar las edicaciones. En este caso, tener
una medición apropiada de la distancia recorrida entre un punto y otro puede ser
de utilidad para calcular la cantidad de combustible que consume el vehículo, o en
el caso de un taxi, el valor del servicio, pues medir esa distancia como la longitud
del segmento rectilíneo que conecta los dos puntos carece de sentido. Los textos de
topología incluyen en alguna medida una parte dedicada a los espacios métricos,
por ejemplo [29], [36], [26] o [31], e incluso algunos textos de análisis incluyen estos
conceptos debido a la importancia práctica, como en [33]. Existen también algunos
textos que desarrollan los temas de topología exclusivamente en espacios métricos,
por ejemplo [16]. En este capítulo se hace una exposición detallada de los espacios
métricos, su denición y propiedades más relevantes, y algunos ejemplos concretos
que son de gran utilidad en el estudio del análisis real, el análisis complejo, las
ecuaciones diferenciales, el análisis funcional y ciencias de la computación, entre
165
166
CAPÍTULO 5.
ESPACIOS MÉTRICOS
otros.
¾La distancia que recorre una persona desde la puerta de la casa hasta la
puerta de la universidad coincide con la distancia en línea recta entre la casa y la
universidad?
Es importante recordar que el valor absoluto de un número real está dado por la
función | · | : < → <,

x,
si x ≥ 0;
|x| =
−x, en otro caso,
la cual cumple las siguientes propiedades:
(i) |x| ≥ 0 para todo x ∈ R y |x| = 0 si y solo si x = 0.
(ii) x ≤ |x| para todo x ∈ R.
(iii) | − x| = |x| para todo x ∈ R.
(iv) |x + y| ≤ |x| + |y| para todo x, y ∈ R.
(v) |x| ≤ a si y solo si −a ≤ x ≤ a.
5.1. Denición y ejemplos
Para comenzar se dene la distancia o métrica para un conjunto cualquiera, teniendo
en cuenta las propiedades intuitivamente más elementales que se espera tenga una
distancia.
Denición 5.1. Sean X un conjunto no vacío y d una función denida en
X × X que toma valores en los números reales no negativos, es decir,
d : X × X → R+ ∪ {0}.
Se dice que d es una métrica o distancia sobre X si y solo si para cualesquiera
x, y, z ∈ X se satisfacen las siguientes propiedades:
5.1.
167
DEFINICIÓN Y EJEMPLOS
AM1 d(x, y) = 0 si y solo si x = y
AM2 d(x, y) = d(y, x)
(positividad).
(simetría).
AM3 d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y) (desigualdad triangular).
El par (X, d) se llama un espacio métrico.
Cuando el contexto sea claro se dirá simplemente que X es un espacio métrico. El
símbolo d(x, y) se lee la distancia entre x e y .
Nota 5.2. La condición de que la función d tome valores en R+ ∪ {0}
simplemente indica que una distancia no puede ser negativa, y la propiedad
AM1 quiere decir que la única forma en que la distancia entre dos puntos sea
cero, es que los dos puntos sean en realidad el mismo. La propiedad AM2 está
garantizando que la distancia entre dos puntos es independiente del sentido en
que se miren.
Intuitivamente, la desigualdad triangular AM3 establece que la distancia más
corta entre dos puntos es aquella que se toma directamente entre ellos (véase
la gura 5.1). Esta idea es justamente la que motiva este nombre, aun cuando
en muchos casos la representación de la situación no pueda verse como un
triángulo.
x
d(x, z)
z
d(x, y)
d(y, z)
y
Figura 5.1: Representación intuitiva de la desigualdad triangular.
Una consecuencia inmediata de la denición 5.1 es,
168
CAPÍTULO 5.
ESPACIOS MÉTRICOS
|d(x, y) − d(z, y)| ≤ d(x, z),
(5.1)
cualesquiera sean x, y , z ∈ X , puesto que, d(x, y) ≤ d(x, z)+d(z, y) implica d(x, y)−
d(z, y) ≤ d(x, z) e intercambiando el papel de x por el de z , se obtiene d(z, y) −
d(x, y) ≤ d(z, x) = d(x, z) con lo cual,
−d(x, z) ≤ d(x, y) − d(z, y) ≤ d(x, z).
(5.2)
De la propiedad (v) del valor absoluto resulta (5.1).
Ejemplo 5.3. Sea X el conjunto de pueblos en un mapa escogido; si se dene
d(x, y) como la longitud del camino más corto entre todas las rutas (asumiendo
que hay nitas) que comunican al pueblo x con el pueblo y , se tiene que d es
una métrica en X .
Si en lugar de considerar la ruta más corta en el ejemplo 5.3 se considera la
ruta más larga ¾se obtiene una métrica?
Ejercicio 5.1. Sea X un conjunto no vacío y d : X × X → R+ ∪ {0} una función.
Probar que d es una métrica para X si y solo si satisface:
(I) d(x, y) = 0 si y solo si x = y .
(II) d(x, y) ≤ d(x, z) + d(y, z) cualesquiera sean x, y, z ∈ X .
El ejercicio 5.1 muestra que la condición de simetría se puede omitir si se enuncia
la desigualdad triangular en la forma (II), sin embargo, la mayoría de los textos
preeren denir una métrica usando las propiedades AM1-AM3; en este texto
también se hace de esta manera con el n de resaltar la importancia de la simetría.
Ejemplo 5.4 (Métrica discreta). Sea X un conjunto cualquiera no vacío.
Para x, y ∈ X se dene
®
d(x, y) :=
1,
0,
si x 6= y ;
si x = y.
El (X, d) es un espacio métrico. En efecto, de la denición de d surgen las
5.1.
169
DEFINICIÓN Y EJEMPLOS
propiedades AM1 y AM2. La desigualdad triangular se prueba analizando las
diferentes combinaciones posibles para x, y y z .
* Caso x = y = z : d(x, y) = 0 ≤ 0 + 0 = d(x, z) + d(y, z).
* Caso x = y , x 6= z : d(x, y) = 0 ≤ 1 + 1 = d(x, z) + d(y, z).
* Caso x = z , x 6= y : d(x, y) = 1 ≤ 0 + 1 = d(x, z) + d(y, z).
* x 6= y , x 6= z , y 6= z : d(x, y) = 1 ≤ 1 + 1 = d(x, z) + d(y, z).
Esta métrica se llama métrica discreta y (X, d) es el espacio métrico
discreto.
Ejemplo 5.5 (Distancia de Hamming). Sea B = {a, b, c, d} y para k ∈ Z+ ,
sea Xk el conjunto de todas las palabras formadas con los elementos de B
de longitud k , es decir, todas las cadenas con k símbolos concatenados que
se pueden armar con los símbolos de B . Por ejemplo, aabbaad y acabada son
elementos de X7 . La posición de cada letra en una palabra es llamada bit, y
en Xk se dene la función dk (x, y) = número de bits con símbolos diferentes
entre la palabra x y la palabra y , por ejemplo d7 (aabbaad, acabada) = 4 pues
los símbolos en los bits 2, 3, 6 y 7 son diferentes. Para cada k ∈ Z+ , dk es
una métrica para Xk llamada distancia de Hamming. Este ejemplo es muy
importante en la teoría de la información (véase [23]) y su nombre es dado en
honor al matemático estadounidense Richard Hamming (1915-1998).
Ejercicio 5.2. Probar que (X2 , d2 ) del ejemplo 5.5 es un espacio métrico.
Ejemplo 5.6 (Distancia euclidiana). Dados x = (x1 , x2 , . . . , xn ), y =
(y1 , y2 , . . . , yn ) dos puntos en X = Rn , la función
2
2
2 1/2
d2 (x, y) = (x1 − y1 ) + (x2 − y2 ) + · · · + (xn − yn )
=
n
X
(xi − yi )2
i=1
dene la distancia euclidiana o métrica usual en Rn .
!1/2
170
CAPÍTULO 5.
ESPACIOS MÉTRICOS
Obsérvese que esta función d2 corresponde a la forma usual de medir distancias
entre puntos de Rn .
Si n = 1, la métrica d2 está determinada por el valor absoluto, más precisamente,
si x, y ∈ R, d2 (x, y) = |x − y|, y vericar que satisface las propiedades para
ser una métrica se reduce a recordar las propiedades del valor absoluto. Así,
estas propiedades implican las propiedades de la denición 5.1: (i) implica que
d2 : R × R → R+ ∪ {0} y AM1; (iii) implica AM2 ya que y − x = −(x − y), y (iv)
implica AM3.
Cuando n = 2, esta función coincide con la función que dene las bolas abiertas
en la topología usual de R2 (véase el ejemplo 2.64) y, como se verá más adelante,
existe una relación estrecha entre la topología usual de R2 y la métrica usual en R2 .
La vericación del cumplimiento de la desigualdad triangular para la métrica usual
d2 sobre Rn requiere conocer las siguientes propiedades de los números reales.
Lema 5.7. Sean a = (a1 , . . . , an ) y b = (b1 , . . . , bn ) dos puntos en Rn . Entonces
n
X
|ai bi | ≤
i=1
! 21
(ai + bi )2
i=1
!1/2
a2i
n
X
i=1
y
n
X
n
X
≤
!1/2
(5.3)
b2i
i=1
n
X
i=1
! 21
ai 2
+
n
X
! 21
bi 2
.
(5.4)
i=1
La desigualdad (5.3) se llama desigualdad de Cauchy-Bunjakovski-Schwartz y la
desigualdad (5.4) se llama desigualdad de Minkowski.
Sean x = (x1 , . . . , xn ), y = (y1 , . . . , yn ) y z = (z1 , . . . , zn ) puntos en Rn . La propiedad
(i) de la denición 5.1 se tiene, pues
0 ≤ |xk − yk | ≤
»
(x1 − y1 )2 + · · · + (xn − yn )2 = d2 (x, y),
(5.5)
para cada k = 1, . . . , n y por tanto d2 (x, y) ≥ 0. Además, si d2 (x, y) = 0, la
desigualdad (5.5) implica que |xk − yk | = 0, para cada k = 1, . . . , n, de modo
5.1.
171
DEFINICIÓN Y EJEMPLOS
que x = y .
Recuerde que para cada número real x se tiene que x2 = (−x)2 . Por lo tanto
»
»
d2 (x, y) = (x1 − y1 )2 + · · · + (xn − yn )2 = (y1 − x1 )2 + · · · + (yn − xn )2 = d2 (y, x),
cumpliéndose la propiedad (ii) de la denición 5.1.
Para probar la propiedad (iii) de la denición 5.1 (desigualdad triangular), se tiene
que por la desigualdad de Minkowski,
!1/2
n
X
d2 (x, y) =
(xi − yi )2
i=1
=
n
X
!1/2
2
((xi − zi ) + (zi − yi ) )
i=1
≤
n
X
!1/2
(xi − zi )2
i=1
+
n
X
!1/2
(zi − yi )2
i=1
= d2 (x, z) + d2 (z, y).
Ejemplo 5.8 (La métrica del taxista). En R2 se dene la métrica del taxista
así: sean p = (p1 , p2 ) y q = (q1 , q2 ) en R2 , entonces
d1 (p, q) := |p1 − q1 | + |p2 − q2 |.
Ejercicio 5.3. Probar que la función d1 del ejemplo 5.8 es una métrica.
Ejemplo 5.9 (La métrica del mensajero). En R2 se dene la métrica del
mensajero así: sean p, q ∈ R2 , entonces

d (0, p) + d (0, q),
2
2
m(p, q) :=
0,
si p 6= q;
si p = q,
donde 0 es el origen y d2 es la distancia euclidiana (usual) en R2 .
Ejercicio 5.4. Probar que la función m (métrica del mensajero) del ejemplo 5.9 es
en efecto una métrica.
172
CAPÍTULO 5.
ESPACIOS MÉTRICOS
Ejemplo 5.10 (La métrica producto). Sean (X, d), (Y, m) espacios métricos.
Para p = (x1 , y1 ), q = (x2 , y2 ) con p, q ∈ X × Y se dene la métrica producto
en el espacio producto X × Y como
1
dΠ (p, q) := (d(x1 , x2 )2 + m(y1 , y2 )2 ) 2 .
Ejercicio 5.5. Probar que la función dΠ es una métrica para el producto X × Y .
Nótese que la métrica usual en R2 es justamente la métrica producto considerando
sobre cada factor la métrica usual de R.
Ejemplo 5.11 (La métrica del máximo). Si (X, d), (Y, m) son espacios
métricos, para p = (x1 , y1 ), q = (x2 , y2 ) con p, q ∈ X × Y , la función
d∞ (p, q) := máx{d(x1 , x2 ), m(y1 , y2 )}
dene una métrica para X × Y .
En efecto, ya que d y m son métricas sobre X e Y respectivamente, se tiene que
d∞ (p, q) ≥ 0 para todo p, q ∈ X × Y . Además, si p = q , entonces d∞ (p, q) = 0; y
recíprocamente, si d∞ (p, q) = 0, entonces 0 ≤ d(x1 , x2 ) ≤ d∞ (p, q) = 0 de modo
que d(x1 , x2 ) = 0 y por tanto x1 = x2 , análogamente se concluye que y1 = y2 ,
con lo que se concluye p = q . Para probar AM2, basta notar que tanto d como m
son simétricas, de modo que el máximo en la denición de d∞ es calculado sobre
el mismo conjunto. Finalmente, si p, q, r ∈ X × Y , con p = (x1 , y1 ), q = (x2 , y2 )
y r = (x3 , y3 ), entonces
d∞ (p, q) = máx{d(x1 , x2 ), m(y1 , y2 )}
≤ máx{d(x1 , x3 ) + d(x3 , x2 ), m(y1 , y3 ) + m(y3 , y2 )}
≤ máx{d(x1 , x3 ), m(y1 , y3 )} + máx{d(x3 , x2 ), m(y3 , y2 )}
≤ d∞ (p, r) + d∞ (r, q),
garantizando que d∞ satisface la desigualdad triangular.
El ejemplo 5.11 puede extenderse a cualquier producto nito de espacios métricos.
Si (Xi , di ) es un espacio métrico, para cada i = 1, . . . , n, se dene la aplicación
d∞ (x, y) = máx di (xi , yi ) = máx{d(xi , yi ) | i = 1, . . . , n},
1≤i≤n
5.1.
173
DEFINICIÓN Y EJEMPLOS
Q
donde x = (x1 , . . . , xn ) e y = (y1 , . . . , yn ) están en ni=1 Xi . Nótese que d∞ es una
Q
métrica para ni=1 Xi . Un caso especial se tiene cuando se considera Rn , es decir,
Xi = R para cada i = 1, . . . , n, y cada factor está dotado de la métrica usual en R;
en este caso se denota el espacio métrico producto por `n∞ .
Ejercicio 5.6. Probar que d∞ es una métrica para
n
Q
Xi .
i=1
Ejemplo 5.12. En Rn es posible denir otras métricas análogas a la mostrada
en el ejemplo 5.6. Para p ∈ [1, ∞) la función
dp (x, y) :=
n
X
! p1
|xi − yi |p
, x, y ∈ Rn
i=1
dene una métrica para Rn . El espacio métrico resultante es notado usualmente
como `np , de suerte que para el caso p = 2, la manera usual de medir en Rn ,
se denota por `n2 . Cuando p = 1 esta métrica es llamada la métrica del taxista
para Rn , y en el ejemplo 5.8 está dada para el caso n = 2.
Ejercicio 5.7. Supóngase que p > 1 y q ∈ R es tal que p1 + 1q = 1.
(a) Probar la desigualdad de Young, esto es, dados dos números reales positivos
a y b, se tiene que
ap aq
ab ≤
+ .
p
q
(b) Probar que si x1 , . . . , xn son números reales, entonces
n
X
|xi yi | ≤
i=1
n
X
!1/p
|xi |p
i=1
n
X
!1/q
|yi |q
(5.6)
.
i=1
(c) Use (5.6) para probar que si x1 , . . . , xn son números reales, entonces
n
X
i=1
!1/p
|xi + yi |p
≤
n
X
i=1
!1/p
|xi |p
+
n
X
!1/p
|yi |p
.
(5.7)
i=1
(d) Probar que dp es una métrica para Rn . Utilice (5.7) para probar la desigualdad
triangular.
174
CAPÍTULO 5.
ESPACIOS MÉTRICOS
La expresión (5.6) recibe el nombre de desigualdad de Hölder, mientras que (5.7)
es llamada desigualdad de Minkowski. Para p = 2, (5.7) es justamente (5.4) y
la desigualdad de Hölder es exactamente la desigualdad de Cauchy-BunjakovskiSchwartz.
Por cada real p ≥ 1 se tiene una métrica diferente para Rn y junto con d∞ forman
una familia de métricas que se relacionan de la siguiente manera.
Proposición 5.13. Sean p ∈ [1, ∞), entonces para cualesquiera x, y ∈ Rn :
d∞ (x, y) ≤ dp (x, y) ≤ n1/p d∞ (x, y).
(5.8)
Demostración. En primer lugar se observa que para cada i = 1, . . . , n se tiene que
|xi − yi | ≤ dp (x, y), de modo que dp (x, y) es una cota superior del conjunto A :=
{|xi − yi | | i = 1, . . . , n} y así
d∞ (x, y) = máx A ≤ dp (x, y).
Por otro lado, como |xi − yi | ≤ d∞ (x, y) para cada i = 1, . . . , n, elevando a la p y
sumando sobre todos los posibles valores de i se obtiene
n
X
|xi − yi |p ≤ n (d∞ (x, y))p ,
i=1
y la desigualdad requerida se obtiene al elevar a la p1 los dos miembros de la última
desigualdad.
Ejercicio 5.8. Calcular la distancia entre los puntos dados en las métricas discreta,
del taxista, usual, d3 , la del máximo y la del mensajero.
(a) (−1, 1) y (2, 5).
(b) (0, 0) y (3, −5).
5.2.
175
ISOMETRÍAS
Corolario 5.14. Si p1 , p2 ≥ 1 son números reales, entonces existen constantes
positivas C1 y C2 (dependiendo de p1 y p2 ) tales que para cualesquier x, y ∈ Rn :
C1 dp1 (x, y) ≤ dp2 (x, y) ≤ C2 dp1 (x, y).
(5.9)
Ejercicio 5.9. Probar el corolario 5.14 (usar la proposición 5.13 para p1 y p2 ).
Proposición 5.15. Sean (X, d) un espacio métrico y A un subconjunto no
vacío de X . Se dene la función
dA : A × A −→ R
como dA (x, y) = d(x, y) para todo x, y ∈ A, es decir, dA es la restricción de d a
A × A. Entonces dA es una métrica para el conjunto A.
Ejercicio 5.10. Probar la proposición 5.15.
Denición 5.16. A la métrica dA de la proposición anterior se le llama métrica
inducida en A por d y se denota también por d sin lugar a confusión. Al espacio
métrico (A, d) se le llama subespacio métrico de (X, d).
Ejemplo 5.17. Cualquier subconjunto de R con la restricción de la métrica
usual es un espacio métrico, en particular, N, Z, Q o un intervalo [a, b] son
subespacios métricos de R.
5.2. Isometrías
Denición 5.18. Sean (X, d) e (Y, m) espacios métricos y sea f : X −→
Y una función. Se dice que f es una isometría si d(x, y) = m(f (x), f (y))
para cualesquiera x, y ∈ X . Los espacios métricos (X, d) e (Y, m) se dicen
isométricos si existe una isometría biyectiva de X en Y .
176
CAPÍTULO 5.
ESPACIOS MÉTRICOS
Proposición 5.19. Ser isométricos dene una relación de equivalencia en la
clase de los espacios métricos.
Demostración. Reexividad: (X, d) es isométrico consigo mismo, ya que la identidad
es una isometría biyectiva.
Simetría: supóngase que (X, dX ) es isométrico con (Y, dY ) sea f : X −→ Y una
isometría biyectiva, entonces f −1 : Y −→ X es una biyección y dados x0 , y 0 ∈ Y :
dX (f −1 (x0 ), f −1 (y 0 )) = dY (f (f −1 (x0 )), f (f −1 (y 0 ))) = dY (x0 , y 0 ),
lo cual implica que (Y, dY ) es isométrico a (X, dX ).
Transitividad: sean (X, dX ) isométrico al espacio métrico (Y, dY ) y (Y, dY ) isométrico
al espacio métrico (Z, dZ ). Sean f : X −→ Y y g : Y −→ Z isometrías biyectivas.
Entonces g ◦ f : X −→ Z es una biyección tal que para cualesquiera x, y ∈ X :
dX (x, y) = dY (f (x), f (y)) = dZ (g(f (x)), g(f (y))) = dZ (g ◦ f (x), g ◦ f (y)).
Así g ◦ f es una isometría y por lo tanto (X, dX ) es isométrico a (Z, dZ ).
Ejemplo 5.20. (C, d) es un espacio métrico, con
»
d(z, w) := |z − w| = (a − c)2 + (b − d)2 ,
para todo z = a + bi y w = c + di en C. Considérese por otra parte a R2 con la
métrica euclídea (usual).
Se puede vericar que la función f : R2 −→ C tal que ∀((a, b)) ∈ R2 , f (a, b) =
a + bi, es una biyección que establece una isometría entre los espacios R2 y C.
5.3. Topología para una métrica
Los espacios métricos son casos particulares de espacios topológicos como se verá
en esta sección. En el ejemplo 2.64 se presenta una base para la topología usual
del plano, y como se verá, este corresponde a la base determinada por la métrica
euclidiana. Para esto es necesario introducir la noción de bola. Es importante a
partir de aquí separarse del uso habitual de esta palabra, ya que el sentido que se
dará es mucho más amplio, pues lo que se considera comúnmente como bola apenas
es un caso particular, el de la topología usual.
5.3.
TOPOLOGÍA PARA UNA MÉTRICA
177
Denición 5.21. Sean (X, d) un espacio métrico, x ∈ X y > 0 en R.
(i) La bola abierta con centro en x y radio es el conjunto:
B (x) = {y | d(x, y) < }.
(ii) La bola cerrada con centro en x y radio es el conjunto:
B̄ (x) = {y | d(x, y) ≤ }.
(iii) La esfera con centro en x y radio es el conjunto:
S (x) = {y | d(x, y) = }.
Cuando sea necesario se puede usar la notación Bd (x), B̄d (x) y Sd (x) para
resaltar con respecto a qué métrica se están considerando las bolas o las esferas.
Es importante resaltar que en la denición 5.21, el radio debe ser un número
estrictamente positivo, condición que será relevante en algunas demostraciones.
¾Que serían una bola abierta, una bola cerrada y una esfera si se aceptara como
radio = 0?
Sea (a, b) ⊆ R, y para α ∈
/ A dena = ı́nf{|α − x| | x ∈ A} ¾Para qué valores
de α se puede denir la bola B (α)?
Proposición 5.22 (Propiedades de las bolas abiertas). Si (X, d) es un
espacio métrico y un número real positivo, entonces:
(i) x ∈ B (x) para cualquier x ∈ X .
(ii) Si < 1 , para cualquier x ∈ X se tiene que B (x) ⊆ B1 (x). En general,
la contenencia no es propia.
(iii) Si y ∈ B (x), entonces x ∈ B (y).
(iv) Si y ∈ B (x), entonces existe δ > 0 tal que Bδ (y) ⊆ B (x).
Demostración.
(i) Se tiene inmediatamente ya que d(x, x) = 0.
178
CAPÍTULO 5.
ESPACIOS MÉTRICOS
(ii) Si y ∈ B (x), entonces d(x, y) < < 1 , de modo que y ∈ B1 (x). Se puede
obtener la igualdad tomando por ejemplo la métrica discreta.
(iii) Se sigue de la simetría (AM2) de la métrica.
(iv) Basta tomar δ = mı́n{ − d(x, y), d(x, y)}. En efecto, si q ∈ Bδ (y), entonces
d(x, q) = d(q, x) ≤ d(q, y) + d(y, x)
< δ + d(x, y)
≤ ( − d(x, y)) + d(x, y)
= .
Ejercicio 5.11. Sea (X, d) un espacio métrico. Probar que para cualquier x ∈ X y
> 0 se tiene que B̄ (x) = B (x) ∪ S (x) y que esta unión es disyunta. En particular,
la bola abierta y la esfera están contenidas en la bola cerrada y forman una partición
de esta.
Ejercicio 5.12. Probar que las bolas cerradas satisfacen las propiedades (i), (ii) y
(iii) de la proposición 5.22, pero no la (iv).
Ejercicio 5.13. Probar que las esferas satisfacen la propiedad (iii) de la proposición
5.22, pero no las otras.
Ejemplo 5.23. En `22 una bola tiene efectivamente la forma de un círculo,
que es lo que usualmente es llamado bola, sin embargo esto está bien lejos de
suceder cuando se utilizan en R2 otras métricas diferentes a la usual como en
`21 y `2∞ , según se puede ver en la gura 5.2, donde se ilustran ejemplos de bolas
abiertas en R2 para las métricas: (a) métrica euclidiana, (b) métrica del taxista
y (c) métrica del máximo. Nótese que las bolas abiertas en `22 son exactamente
las bolas abiertas denidas en el ejemplo 2.64, y eso mismo se puede armar
para Rn .
5.3.
179
TOPOLOGÍA PARA UNA MÉTRICA
Bd2 (x)
Bd1 (x)
·
Bd∞ (x)
x
·
x
·
(a)
(b)
(c)
x
Figura 5.2: Ejemplos de bolas abiertas en R2 para diferentes métricas.
Ejemplo 5.24. Para claricar qué forma tienen las bolas con centro en p =
(p1 , p2 ) ∈ R2 y radio > 0 en la métrica del mensajero (ejemplo 5.9), se
p
consideran tres casos que dependen de r = d2 (p, 0) = p21 + p22 (véase la gura
5.3):
(i) ≤ r: Si q 6= p y q ∈ B (p), entonces
≤ r = d2 (p, 0) ≤ m(p, q) < ,
lo cual es absurdo, de modo que si q ∈ B (p), entonces q = p y así
B (p) = {p}.
(ii) r < ≤ 2r: Primero obsérvese que 0 < − r ≤ r. Si q ∈ Bm (p) y q 6= p,
entonces
> m(p, q) = d2 (p, 0) + d2 (q, 0) = r + d2 (q, 0),
d2
d2
de modo que d2 (q, 0) < − r, y así q ∈ B−r
(0). Nótese que p ∈
/ B−r
(0),
m
m
sin embargo por la proposición 5.22 (i), p ∈ B (p), así que B (p) =
d2
B−r
(0) ∪ {p} y esta unión es disyunta.
(iii) > 2r: este caso es completamente análogo al anterior, excepto que p ∈
d2
d2
B−r
(0) puesto que − r > r, en consecuencia Bm (p) = B−r
(0).
Ejercicio 5.14. Dibujar la bola abierta con centro en el punto dado y radio 2 en
las métricas discreta, del taxista, usual, d3 , la del máximo y la del mensajero.
180
CAPÍTULO 5.
·
ESPACIOS MÉTRICOS
·
p
p
−r
0
r≥
·
p
−r
0
0
r < ≤ 2r
> 2r
Figura 5.3: Las bolas abiertas en la métrica del mensajero con centro en p ∈ R2 y
radio .
(a) (0, 0).
(b)
(4, 7).
La colección de todas las bolas abiertas en un espacio métrico es una base para una
topología en el sentido de la denición 2.31.
Teorema 5.25. Si (X, d) es un espacio métrico, entonces
B = {B (x) | x ∈ X, > 0}
(5.10)
es base de una topología para X .
Demostración. Se deben vericar las condiciones del teorema 2.35. Por denición
S
cada bola es un subconjunto de X , luego B ⊆ X . Recíprocamente, dado x ∈ X ,
S
S
como x ∈ B1 (x) se tiene que x ∈ B y por tanto B = X . Además, sean B1 (x),
B2 (y) dos bolas abiertas y sea el punto p de X en la intersección de las bolas.
Tomando r > 0 tal que r < m = mı́n{2 − d(p, y), 1 − d(p, x)} se tiene que la
bola Br (p) está contenida en la intersección de las dos bolas dadas. En efecto, si
q ∈ Br (p), usando la desigualdad triangular resulta
d(q, x) ≤ d(q, p) + d(p, x)
< r + d(p, x)
≤ (1 − d(p, x)) + d(p, x)
= ,
de modo que q ∈ B1 (x). Análogamente se prueba que q ∈ B2 (y).
5.3.
TOPOLOGÍA PARA UNA MÉTRICA
181
Denición 5.26. La topología T generada por la base formada por todas las
bolas abiertas (teorema 5.25) se llama la topología inducida o generada por
la métrica d y se denota por T = hdi.
Ejemplo 5.27. En Rn la topología generada por la métrica usual d2 (véase el
ejemplo 5.6) es precisamente la topología usual para Rn (véase el ejemplo 2.67),
es decir, hd2 i = Tu .
En particular las bolas abiertas son conjuntos abiertos en esta topología, y cualquier
abierto puede ser identicado a partir de las bolas abiertas mediante el corolario
2.42. Esto signica que un subconjunto U de X es abierto si y solo si, en cada punto
x ∈ U es posible encontrar una bola B = Br (y), de modo que x ∈ B ⊆ U . La
siguiente proposición muestra que es suciente encontrar una bola cuyo centro sea
el mismo punto x, simplicando la vericación a determinar solamente el radio de
la bola.
Proposición 5.28. Si (X, d) es un espacio métrico, entonces U ⊆ X es abierto
si y solo si para cada x ∈ U existe δ > 0 tal que Bδ (x) ⊆ U .
Demostración. Para probar la condición suciente, basta tomar B = Bδ (x), ya que
x ∈ B . Recíprocamente, supóngase que U es abierto y x ∈ U . Entonces existen
y ∈ X y > 0 tal que x ∈ B (y) ⊆ U . Por la propiedad (iv) de la proposición 5.22,
existe δ > 0 tal que Bδ (x) ⊆ B (y), de manera que Bδ (x) ⊆ U como se quería.
En adelante, cuando se hable de un espacio métrico (X, d) como espacio topológico,
se debe entender que se reere al espacio con la topología generada por la métrica d.
Queda entonces claro que cada espacio métrico es en particular un espacio topológico;
sin embargo, el recíproco no es cierto, como se verá en el ejemplo 5.32.
Ejercicio 5.15. Probar que una bola cerrada en un espacio métrico es un conjunto
cerrado.
Ejercicio 5.16. Probar o refutar: B̄ (x) = B (x).
182
CAPÍTULO 5.
ESPACIOS MÉTRICOS
Ejemplo 5.29. Las desigualdades en la proposición 5.13 y el corolario 5.14
establecen contenencias directas entre las bolas correspondientes a las métricas.
Por ejemplo, la desigualdad d∞ (x, y) ≤ d2 (x, y) implica que Bd2 (x) ⊆ Bd∞ (x),
mientras que la desigualdad d2 (x, y) ≤ d1 (x, y) implica que Bd1 (x) ⊆ Bd2 (x),
como se ilustra en la gura 5.4.
·
x
Figura 5.4: Relación entre las bolas en las métricas del taxista, euclidiana y del
máximo.
Proposición 5.30. Todo espacio métrico es un espacio de Hausdor.
Demostración. Sean (X, d) un espacio métrico, x, y ∈ X con y 6= x y r = d(x, y).
Entonces para = 3r , las bolas abiertas B (x) y B (y) son vecindades disyuntas, de
x e y respectivamente. Por lo tanto, (X, d) como espacio topológico es un espacio
de Hausdor.
Denición 5.31. Se dice que un espacio topológico (X, T ) es metrizable o
que su topología proviene de una métrica si y solo si existe una métrica d para
X , tal que T = hdi.
Ejemplo 5.32. El conjunto de los números reales con la topología de los
complementos nitos no es metrizable. En efecto, si fuera metrizable tendría
que ser de Hausdor, pero ya se sabe que no lo es (véase el ejercicio 3.26).
5.3.
TOPOLOGÍA PARA UNA MÉTRICA
183
Ejercicio 5.17. Probar que en Rn la topología usual (véase el ejemplo 5.27) y la
topología producto son iguales, donde la topología producto es dada por la denición
4.13, considerando en cada factor la topología usual de R.
Como Rn con la topología usual es metrizable (ejemplo 5.27), entonces por el
ejercicio 5.17 se tiene que Rn con la topología producto es metrizable.
Nótese que la proposición 5.30 provee un criterio para decidir cuando un espacio
no es metrizable. El recíproco no es válido, sin embargo, hasta el momento no hay
herramientas sucientes para garantizar este hecho.
Proposición 5.33. Si (X, T ) es un espacio metrizable, entonces para cada
subconjunto A de X , la topología de subespacio es de nuevo metrizable.
Demostración. Sean d una métrica para X que genera la topología T y dA la
correspondiente métrica para A dada por la proposición 5.15. Para ver que la
topología generada por dA coincide con la topología de subespacio T [A], basta notar
que un abierto V de T [A] es de la forma V = U ∩ A donde U es un abierto de
T ; en otras palabras, U = ∪i∈I Bi , donde cada Bi es una bola para la métrica d,
luego: U ∩ A = (∪i∈I Bi ) ∩ A =∪i∈I (Bi ∩ A), pero dado x ∈ B (y) ∩ A, tomando
δ = mı́n{d(x, y) y − d(x, y)} se tiene que BδdA (x) ⊆ B (y) ∩ A; luego la familia de
bolas abiertas en dA es una base para la topología de subespacio T [A].
5.3.1.
Sucesiones en un espacio métrico
Teniendo en cuenta que los espacios métricos son espacios de Hausdor (proposición
5.30), y por tanto si una sucesión es convergente, su límite es único (véase 3.66), es
posible caracterizar algunas propiedades en términos de sucesiones. Para comenzar,
se puede establecer un criterio que permite reducir la idea de convergencia al estudio
de convergencia de sucesiones de números reales. Obsérvese primero que si (xn ) es
una sucesión convergente a un punto x en un espacio métrico X , se determina
automáticamente la sucesión de números reales dada por sus distancias, esto es,
(d(xn , x)).
184
CAPÍTULO 5.
ESPACIOS MÉTRICOS
Proposición 5.34. Sean (X, d) un espacio métrico y (xn ) una sucesión de
elementos de X . Entonces xn → x si y solo si d(xn , x) → 0.
Nota 5.35. Una forma útil de reescribir el resultado de la proposición anterior
es la siguiente: xn → x si y solo si existe una sucesión (rn ) de números reales
tales que rn → 0 y d(xn , x) ≤ rn .
Ejercicio 5.18. Probar la proposición 5.34.
Ejercicio 5.19. Probar que la armación hecha en la nota 5.35 es verdadera
(considérese la proposición 5.34).
Proposición 5.36. En un espacio métrico (X, d), si el rango de una sucesión
convergente es nito, entonces la sucesión es a la larga constante.
Demostración. Supóngase que (xn ) es una sucesión de puntos de X que es
convergente y cuyo rango A = {xn1 , . . . , xnt } es nito. Sea
r = mı́n{d(p, xns ) | xns 6= p}1≤s≤t
y = 2r . Como xn → p, existe un entero positivo N tal que xn ∈ B (p), para todo
n ≥ N . Por la elección de , el único punto que está en B (p) es p, por lo tanto
xn = p, para todo n ≥ N . Entonces (xn ) es a la larga constante.
En particular, las sucesiones permiten caracterizar la adherencia y el derivado de un
subconjunto de un espacio métrico como en el teorema 3.68.
Proposición 5.37. Sean (X, d) un espacio métrico, x ∈ X y A ⊆ X .
(i) x ∈ D(A) si y solo si existe una sucesión (xn ) de puntos distintos en A
tal que xn → x.
(ii) x ∈ A si y solo si existe una sucesión (xn ) de puntos en A tal que xn → x.
5.3.
TOPOLOGÍA PARA UNA MÉTRICA
185
Demostración.
(i) Supóngase que x ∈ D(A), luego, cualquier bola abierta B (x)
en Rn tiene puntos de A distintos de x. Fije 1 = y sea x1 6= x un
punto en dicha intersección. Se considera la bola abierta B2 (x) con 2 =
mı́n{ 12 , d(x, x1 )} y se toma x2 6= x en B2 (x) ∩ A. Ahora, en la bola abierta
B3 (x) con 3 = mı́n{ 31 , d(x, x2 )} se toma x3 6= x en B3 (x) ∩ A. Si se continua
así, la sucesión {x1 , x2 , . . . } converge a x ya que d(x, xn ) < n ≤ n1 y la nota
5.35 puede ser aplicada.
(ii) Teniendo en cuenta que Ā = A ∪ D(A), si x ∈ D(A) se puede usar el resultado
del ítem anterior, y si x 6∈ D(A) basta usar la sucesión constante xn = x para
todo n ∈ Z+ .
Corolario 5.38. x ∈ A si y solo si existe una sucesión (xn ) de elementos de A
tal que d(xn , x) → 0.
Teorema 5.39. En un espacio métrico, si el rango de una sucesión convergente
es innito, entonces el límite de la sucesión es punto límite del rango de la
sucesión.
Demostración. Sean (X, d) un espacio métrico y (xn ) una sucesión de puntos de X
con rango innito A, tal que xn → x. Sea Vx una vecindad abierta de x, entonces
por la proposición 5.28 existe δ > 0 tal que Bδ (x) ⊆ Vx . Como xn → x, entonces
para la bola Bδ (x) existe un entero positivo N tal que xn ∈ Bδ (x) para todo n ≥ N .
Por lo tanto, Bδ (x) ⊆ Vx contiene innitos puntos de A y así (Vx \ {x}) ∩ A 6= ∅. En
consecuencia, x ∈ D(A).
Denición 5.40. Sea (X, d) un espacio métrico. Una sucesión (xn ) en X se
llama de Cauchy si y solo si dado > 0 existe un entero positivo N tal que si
m, s ≥ N entonces d(xm , xs ) < .
186
CAPÍTULO 5.
ESPACIOS MÉTRICOS
Teorema 5.41. Toda sucesión convergente es de Cauchy.
Demostración. Sea (xn ) una sucesión convergente a un punto x de X y sea > 0.
Para /2 existe un entero positivo N tal que para todo m, s ≥ N , d(x, xm ) < /2
y d(x, xs ) < /2. Así que d(xm , xs ) ≤ d(x, xm ) + d(x, xs ) < /2 + /2 = , es decir,
para > 0 existe N tal que para todo m, s ≥ N , d(xm , xs ) ≤ . Por lo tanto (xn ) es
de Cauchy.
Denición 5.42. Un espacio métrico (X, d) es completo si y solo si cada
sucesión de Cauchy en X es convergente a algún punto de X .
Ejemplo 5.43. Hay espacios métricos completos que tienen subespacios que
no son completos, es decir, la propiedad ser completo no es hereditaria. En Q
como subespacio de (R, Tu ), la sucesión (1, 1.4, 1.41, 1.414, 1.4142, . . .) es de
Cauchy pero no converge en Q.
Proposición 5.44. Sea (X, d) un espacio métrico y A ⊆ X tal que D(A) = ∅.
Entonces, las únicas sucesiones de Cauchy en el subespacio A son las sucesiones
a la larga constantes, y así (A, d) es un espacio métrico completo.
Ejercicio 5.20. Probar la proposición 5.44.
Teorema 5.45. Sean (X, d) un espacio métrico completo y A ⊆ X . Entonces
A es un subespacio completo si y solo si A es cerrado en X .
Demostración. Sean (X, d) un espacio métrico completo y A un subespacio
completo de X . Si D(A) = ∅, entonces A = A (véase el teorema 3.54) y así A
es cerrado (véase la proposición 3.42 (v)). Si D(A) 6= ∅, sea a ∈ D(A). Por la
proposición 5.37 (i), existe una sucesión (an ) de puntos distintos en A tal que
an → a en X ; por el teorema 5.41 se tiene que (an ) es de Cauchy en X y por lo
tanto también es de Cauchy en A. Como A es un subespacio métrico completo,
5.3.
TOPOLOGÍA PARA UNA MÉTRICA
187
entonces an → a en A, es decir, a ∈ A y por ende D(A) ⊆ A. Por el teorema
3.54 se tiene que A = A∪D(A) = A y así A es cerrado (véase la proposición 3.42 (v)).
En el otro sentido, sean A un subconjunto cerrado de X y (an ) una sucesión de
puntos de A que es de Cauchy en A, por lo tanto (an ) también es de Cauchy en X .
Como (X, d) es un espacio métrico completo, an → x en X . Por la proposición 5.37
(ii) se tiene que x ∈ A.
5.3.2.
Comparación entre métricas para un mismo espacio
No hay restricciones para denir métricas sobre un conjunto X jo, y se pueden
denir diferentes métricas como en el ejemplo 5.12 y las bolas en cada métrica
pueden tener diferentes formas como se ve en la gura 5.2. Es natural preguntarse
entonces, ¾bajo qué condiciones son comparables las topologías generadas por
métricas diferentes? Para poder dar respuesta a esta pregunta, se comenzará por
denir una noción de equivalencia entre métricas.
Denición 5.46. Dos métricas d y m para un conjunto X se dicen
equivalentes topológicamente si y solo si generan la misma topología; esto
es, hdi = hmi. En este caso se escribe d ≡ m.
Ejemplo 5.47. Al considerar las métricas d1 y d2 para R2 como en el ejemplo
5.12 y el corolario 5.14 con p1 = 2 y p2 = 1, se obtiene que para C1 = 1 y
√
C2 = 2/2, B d√22 (x) ⊆ Bd1 (x) ⊆ Bd2 (x). Este hecho se ilustra en la gura 5.5.
2
√
2
2
·
x
Figura 5.5: Contenencia de bolas abiertas de las métricas usual y del taxista.
188
CAPÍTULO 5.
ESPACIOS MÉTRICOS
Si las métricas d y m son equivalentes, la contenencia hdi ⊆ hmi implica que cada
bola en d se puede expresar como unión de bolas en m. En términos más explícitos,
dada Bd (x) una bola abierta en la métrica d y un punto y ∈ Bd (x), existe una
bola abierta Bδm (y) de la métrica m tal que Bδm (y) ⊆ Bd (x); teniendo en cuenta la
proposición 5.28 es suciente considerar y = x.
Proposición 5.48. Sean d y m dos métricas sobre un conjunto no vacío X . La
topología hdi es más na que hmi si y solo si para cada x ∈ X y > 0, existe
δ > 0 tal que Bδd (x) ⊆ Bm (x).
Demostración. Sean x ∈ X y > 0. Ya que Bm (x) ∈ hmi ⊆ hdi, por la proposición
5.28, existe δ > 0 tal que Bδd (x) ⊆ Bm (x). Recíprocamente, si U ∈ hmi, y x ∈ U ,
entonces por la proposición 5.28, existe > 0 tal que Bm ⊆ U . Por hipótesis, existe
δ > 0 tal que Bδd (x) ⊆ Bm (x) y así Bδd (x) ⊆ U . Usando nuevamente la proposición
5.28, se concluye que U ∈ hdi.
U
Bδd (x) m
B (x)
x
Figura 5.6: Un abierto en hmi es abierto en hdi.
Otra propiedad relevante que está presente en cualquier espacio métrico es que en
cada punto x del espacio, la familia de bolas centradas en este punto forma una base
local, que es posible reducirla a una base local contable.
5.3.
TOPOLOGÍA PARA UNA MÉTRICA
189
Ejemplo 5.49. Dado x ∈ X , la familia de bolas abiertas
Bx = {B 1 (x) | n ∈ Z+ },
n
es una base local en el punto x, por lo tanto un espacio métrico cualquiera es
1-contable.
Ejercicio 5.21. Probar que la falmilia de bolas Bx del ejemplo 5.49 es una base
local contable.
Como se mencionó antes, muchas propiedades topológicas en un espacio métrico
dependen de las propiedades topológicas de los números reales, puesto que las
distancias entre puntos son números reales. Por ejemplo, de los cursos de cálculo
se debe recordar que un subconjunto A de R es acotado si existe un número real M
tal que |x| ≤ M para todo x ∈ A. Esta noción puede ser generalizada fácilmente a
espacios métricos, a pesar de que no necesariamente exista un orden en el espacio
asociado a la topología generada por la métrica.
Denición 5.50. Dado A ⊆ (X, d) se dene el diámetro de A como
diam(A) := sup{d(x, y) | x, y ∈ A}.
Se dice que A es acotado, si existe un número real k > 0 tal que
d(x, y) ≤ k, ∀x, y ∈ A,
es decir, diam(A) < ∞.
Teorema 5.51. Sea A un subconjunto no vacío de un espacio métrico (X, d).
A es acotado si y solo si está contenido en una bola abierta cuyo centro puede
ser cualquier punto del espacio.
Demostración. Si A es acotado, sean k como en la denición 5.50 y x0 ∈ A un
elemento cualquiera (pero jo); es claro que A ⊆ Bk+1 (x0 ). Recíprocamente, sea
x0 ∈ X y supóngase que A ⊆ Br (x0 ) para algún r > 0. Si x, y ∈ A, entonces
d(x, y) ≤ d(x, x0 ) + d(x0 , y) < 2r mostrando que A es acotado, en este caso basta
tomar cualquier k ≥ 2r.
190
CAPÍTULO 5.
ESPACIOS MÉTRICOS
Ejemplo 5.52. R y R2 con la distancia euclidiana no son acotados en la
métrica usual, pero sí son acotados con la métrica discreta, pues B2 (0) = R y
B2 ((0, 0)) = R2 .
El conjunto A = {(x, y) ∈ R2 | x2 + y 2 = 4} es un subconjunto acotado de R2
con la métrica usual, pues A ⊆ B3 ((0, 0)); mientras que
B = {(x, y) ∈ R2 | x + y = 4}
no es un subconjunto acotado de R2 con la métrica usual.
Ejercicio 5.22. Analizar cuáles de los subconjuntos de R que aparecen en la tabla
2.1 son acotados en la métrica usual.
Ejercicio 5.23. Sea A ⊆ R. Probar que A es acotado con la métrica usual si y solo
si es acotado en el orden usual de R.
Ejercicio 5.24. Dar tres ejemplos de subconjuntos de R2 con la métrica usual que
sean acotados y tres que no lo sean.
Denición 5.53. Sean X un conjunto cualquiera y (Y, d) un espacio métrico.
Una función f : X → Y se dice acotada si el conjunto f (X) es acotado en
(Y, d).
Ejemplo 5.54. Sobre el conjunto B(X, Y ) = {f : X → (Y, d) | f es acotada},
se dene la siguiente métrica (conocida como la métrica del supremo o sup).
d∞ (f, g) := sup{d(f (x), g(x)) | x ∈ X}.
En el caso en que X sea un espacio topológico, la topología generada por esta
métrica es conocida como la topología de la convergencia uniforme y posee
propiedades interesantes que dependen de las propiedades que tenga el espacio
(X, T ). En la sección 5.4 se hará un estudio detallado del caso en que X = [a, b]
e Y = R.
5.3.
191
TOPOLOGÍA PARA UNA MÉTRICA
Lema 5.55. Si A es un conjunto acotado en un espacio métrico (X, d), entonces
diam(A) = diam(A)
Demostración. Si U ⊆ V ⊆ R entonces sup U ≤ sup V , de modo que si A ⊂
B ⊂ X , como {d(x, y) | x, y ∈ A} ⊆ {d(x, y) | x, y ∈ A} ⊂ R, se tiene que
diam(A) ≤ diam(B). Así, como A ⊆ A, entonces diam(A) ≤ diam(A). Para probar
la desigualdad recíproca, sean x, y ∈ A, por el corolario 5.38 se tiene que existen
sucesiones (xn ) y (yn ) de elementos de A tal que xn → x e yn → y , es decir,
d(x, y) ≤ d(xn , x) + d(xn , yn ) + d(yn , y) ≤ d(xn , x) + diam(A) + d(yn , y) → diam(A).
Denición 5.56. Dado A un subconjunto no vacío de un espacio métrico (X, d)
y x0 ∈ X se dene la distancia de x0 al conjunto A como
d(x0 , A) := ı́nf{d(x0 , a) | a ∈ A}.
Esta denición tiene sentido, ya que el conjunto de distancias es acotado
inferiormente por 0, sin embargo, no debe confundirse esta distancia con una
métrica, pues está denida en X × 2X .
Ejercicio 5.25. Calcular d(0, [1, 2]) en R usando (a) la métrica usual y (b) la métrica
discreta.
Ejercicio 5.26. Considérese el plano R2 con la métrica euclidiana y sea x = (0, 0).
Calcular d(x, A) cuando A es el conjunto
(a) (0, ∞) × (0, ∞).
(d) {(x, y) | y = 1 − x}.
(b) {(x, x1 ) | x ∈ R \ {0}}.
(e) {(x, x1 ) | x ∈ R+ }.
(c) [1, 2] × [2, 4].
(f) R × {0}.
Ejercicio 5.27. Repetir el ejercicio 5.26 usando la métrica del taxista, la métrica
del mensajero y la métrica del máximo.
En los espacios métricos el concepto de punto adherente se puede caracterizar en
términos de la distancia entre el punto y el conjunto.
192
CAPÍTULO 5.
ESPACIOS MÉTRICOS
Proposición 5.57. Sean (X, d) un espacio métrico, A ⊆ X y x ∈ X . Entonces,
x ∈ A si y solo si d(x, A) = 0.
Demostración. Dado x ∈ A, para cada n ∈ Z+ la bola B1/n (x) ∩ A 6= ∅, luego
d(x, A) < 1/n y como esto sucede para cada n, entonces d(x, A) = 0. Ahora, si
x ∈
/ A, existe Vx con Vx ∩ A = ∅, entonces existe n ∈ Z+ tal que B1/n (x) ⊆ Vx ,
estas bolas forman una base local para x, y así B1/n (x) ∩ A = ∅. Por lo tanto
d(x, A) 6= 0.
Denición 5.58. Si A y B son subconjuntos no vacíos de un espacio métrico
(X, d), se dene la distancia entre los conjuntos A B como
d(A, B) := ı́nf{d(a, b) | a ∈ A y b ∈ B}.
¾La distancia entre conjuntos (dada en la denición 5.58) es una métrica en
2 ?
X
Ejercicio 5.28. Hallar la distancia entre cada par de subconjuntos dados de R con
la métrica usual.
(a) A = (0, 1) y B = N.
(c) A = {1, 2} y B = R− .
(b) A = [−3, −2) y B = [1, ∞).
(d) A = Q y B = R \ Q.
Ejercicio 5.29. Hallar la distancia entre cada par de subconjuntos dados de R2 ,
primero con la métrica usual y luego con la métrica del máximo.
(a) B1d2 ((0, 0)) y B1d2 ((2, 1)).
(c) (1, 1) y (−2, 5).
(e) R × {0} y {(n, n1 ) | n ∈ Z+ }.
(b)
(d)
[1, 2] × [1, 2] y (3, 4) × (3, 4).
R × {0} y {0} × R.
Ejemplo 5.59. La propiedad de ser acotado en los espacios métricos no es una
propiedad que dependa de la topología del espacio (véase 6.67 más adelante),
sino que depende exclusivamente de la métrica. A continuación se da una idea
de este hecho. Sea (X, d) un espacio métrico y considérense las funciones dˆ y d˜
denidas como
5.3.
TOPOLOGÍA PARA UNA MÉTRICA
193
ˆ y) := mı́n{1, d(x, y)}.
(i) d(x,
˜ y) :=
(ii) d(x,
d(x, y)
.
1 + d(x, y)
Esta funciones son métricas acotadas y lo que es más interesante d ≡ dˆ y d ≡ d˜.
Ejercicio 5.30. Sea (X, d) un espacio métrico y las funciones dˆ y d˜ denidas en el
ejemplo 5.59. Probar que:
(a) dˆ y d˜ son métricas para X .
(b) dˆ y d˜ son métricas acotadas.
(c) dˆ y d˜ son equivalentes topológicamente a d (y por tanto entre sí).
(d) Concluir que toda métrica es equivalente topológicamente a una métrica
acotada.
El ejercicio 5.59 muestra que el espacio topológico asociado a X por medio de las
métricas d y dˆ es el mismo; sin embargo, puede pasar que el espacio no sea acotado
con la métrica d, y siempre es acotado con la métrica dˆ.
Denición 5.60. Se dice que dos métricas d, m para un mismo conjunto X , son
equivalentes métricamente si y solo si existen dos números reales positivos
C1 , C2 tales que para cada par de puntos x, y ∈ X se satisface
C1 d(x, y) ≤ m(x, y) ≤ C2 d(x, y).
Teorema 5.61. Ser equivalentes métricamente implica ser equivalentes topológicamente.
Demostración. Sean d, m dos métricas que son equivalentes métricamente; por tanto,
existen dos números C1 , C2 que satisfacen la denición 5.60. Dada una bola abierta
Bd (x) entonces BCm1 (x) ⊆ Bd (x), con lo cual se demuestra hdi ⊆ hmi. Similarmente
d
B/C
(x) ⊆ Bm (x) y por tanto hmi ⊆ hdi.
2
194
CAPÍTULO 5.
ESPACIOS MÉTRICOS
Ejemplo 5.62. La proposición 5.13 muestra que las métricas dp y d∞ en Rn
son equivalentes métricamente, cualquiera sea p ≥ 1. Además, junto con el
corolario 5.14 se garantiza que para cualesquiera 1 ≤ p1 ≤ ∞ y 1 ≤ p2 ≤ ∞,
las métricas dp1 y dp2 son equivalentes métricamente. Estas propiedades tienen
una importancia especial, ya que los espacios Rn son indispensables en una gran
cantidad de aplicaciones. En la gura 5.4 se ilustra parte de la relación entre las
bolas para p = 1, 2, ∞. Pero la expresión (5.8) de la proposición 5.13 permite
ver una propiedad muy interesante que se ve reejada en la gura 5.7. Nótese
que tomando el límite cuando p → ∞ en (5.8) se sigue que
lı́m dp (x, y) = d∞ (x, y)
p→∞
para todo x, y ∈ X .
y
1
−1
0
1
x
−1
Figura 5.7: La secuencia de bolas en las métricas dn convirtiéndose en la bola de
la métrica d∞ .
Ejemplo 5.63. El recíproco del teorema 5.61 no es cierto. Se sabe que toda
métrica d es equivalente topológicamente a la métrica dˆ = mı́n{1, d} (véase
5.59); pero claramente no tienen por qué serlo métricamente. Por ejemplo, en el
caso de que X = (Rn , Tu ) no es posible encontrar C > 0 que satisfaga d(x, y) ≤
ˆ y) para todo par de puntos x, y ∈ X . Sin embargo, la métrica dˆ es
C d(x,
5.3.
195
TOPOLOGÍA PARA UNA MÉTRICA
equivalente métricamente a la métrica d˜ =
d˜ ≤ dˆ ≤ 2d˜.
d
pues se obtiene la desigualdad
1+d
Ejemplo 5.64. Sea (X, d) un espacio métrico. Hay una forma de construir
métricas equivalentes topológicamente a partir de la métrica d y una función
f : R+ ∪ {0} → R+ ∪ {0} que es continua en 0, estrictamente creciente y tal
que f (0) = 0 y f (r + s) ≤ f (r) + f (s). Pues bajo estas condiciones ocurre que
f ◦ d : X × X → R+ ∪ {0} es una métrica en X y las métricas d y f ◦ d son
equivalentes topológicamente. En efecto:
Primero se verá que f ◦ d es una métrica (en este caso no se necesita la
continuidad de f ). Nótese que f es inyectiva, ya que es estrictamente creciente.
Entonces x = y si y solo si d(x, y) = 0, si y solo si (f ◦ d)(x, y) = f (d(x, y)) =
f (0) = 0. Ahora (f ◦ d)(x, y) = f (d(x, y)) = f (d(y, x)) = (f ◦ d)(y, x) y por lo
tanto se tiene la simetría. Para demostrar la desigualdad triangular de (f ◦d), se
usa la desigualdad triangular de d, el hecho de que f sea estrictamente creciente
y que f (r + s) ≤ f (r) + f (s), así,
d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z) implica que
f (d(x, z)) ≤ f (d(x, y) + d(y, z)) ≤ f (d(x, y)) + f (d(y, z)).
Se verá ahora que hdi = hf ◦ di, para tal n se usará la proposición 5.48. Sea
> 0, como f es continua en 0, entonces existe δ > 0 tal que |z − 0| = z < δ
implica |f (z) − f (0)| = |f (z)| = f (z) < , por lo tanto para z = d(x, y) se
tiene que d(x, y) < δ implica f (d(x, y)) = (f ◦ d)(x, y) < , con lo cual Bδd (x) ⊆
Bf ◦d (x). Por la proposición 5.48, hf ◦ di ⊆ hdi. Para la otra contenencia, sea
> 0, entonces (f ◦ d)(x, y) = f (d(x, y)) < f () implica que d(x, y) < (por ser
f creciente), es decir, dado > 0, existe δ = f () > 0 tal que Bδf ◦d (x) ⊆ Bd (x).
Por la proposición 5.48, hdi ⊆ hf ◦ di.
Ejercicio 5.31. Dar ejemplos especícos de espacios métricos (X, d) y funciones f
que cumplan las condiciones del ejemplo 5.64 y escribir explícitamente las métricas
f ◦ d.
196
CAPÍTULO 5.
ESPACIOS MÉTRICOS
En la proposición 3.47 se demostró que si un espacio topológico (X, T ) es 2-contable,
entonces es separable. En espacios métricos se tiene el recíproco de esta proposición.
Proposición 5.65. Un espacio métrico (X, d) es 2-contable si y solo si es
separable.
Demostración. Por la proposición 3.47 solo hace falta probar la condición necesaria.
Sea D = {x1 , x2 , . . .} un subconjunto denso en X . La colección
B = {B 1 (xk ) | k, n ∈ Z+ },
n
es una base contable para la topología generada por d. En efecto, dados U ∈ hdi
y x ∈ U , existe > 0 tal que B (x) ⊆ U . Sea xm ∈ D con xm ∈ B 4 (x). La bola
B 2 (xm ) satisface
x ∈ B 2 (xm ) ⊆ B (x) ⊆ U,
pues si t ∈ B 2 (xm ) entonces
d(t, x) ≤ d(t, xm ) + d(xm , x) ≤
+ < .
2 4
Ejemplo 5.66. (R, Tinf ) no es metrizable, pues es separable, ya que Q es denso,
pero no es 2-contable (véase el ejemplo 2.86).
5.4. El espacio C(I, R)
En esta sección se presenta un escenario diferente a los mostrados hasta ahora, pues
se dotará de topología a una cierta familia de funciones. Es necesario que el lector
tenga alguna experiencia previa con el cálculo de una variable real, y especialmente
conozca y comprenda el concepto de continuidad para funciones denidas en un
intervalo real y que toman valores en R. Intuitivamente, si I = [a, b] (a < b) es un
intervalo real, y f : I → R una función, se entiende que f es continua si su gráca
(en el plano) es una curva que no presenta cortes o saltos. En el capítulo 6 se hará
5.4.
EL ESPACIO
C(I, R)
197
un estudio detallado de las funciones continuas en general, sin embargo, este caso
ofrece un ejemplo de espacio métrico que vale la pena estudiar. Nótese que una
función continua de I en R es un elemento de RI = R[a,b] y por tanto, la familia de
funciones continuas de I en R es un subconjunto especial de RI que se denotará en
adelante mediante C(I, R).
Nota 5.67. Una función f ∈ C(I, R) signica que para cada t ∈ I y dado
> 0, existe δ > 0 tal que si s ∈ I y |t − s| < δ , entonces |f (t) − f (s)| < .
Ejemplo 5.68. Las siguientes familias de funciones están contenidas en
C(I, R):
(i) Las funciones constantes, f (t) = c para todo t ∈ I , donde c ∈ R es jo.
(ii) Los polinomios, a0 + a1 t + · · · + an tn , con ak ∈ R jos para k = 1, 2, . . . , n,
donde n ∈ N está jo.
(iii) Las funciones trigonométricas, sen t, cos t, senh t y cosh t.
(iv) Las funciones exponenciales, at con a ∈ R+ jo.
(v) El valor absoluto |t|.
(vi) Múltiplos reales de funciones continuas son funciones continuas.
(vii) Sumas, productos y composiciones de funciones continuas son funciones
continuas.
(viii) Si f y g son continuas, y g 6= 0 en I , entonces el cociente f /g es continuo
en I .
Ejercicio 5.32. Probar los tres últimos ítems del ejemplo 5.68.
Ejercicio 5.33. Probar que la función tan t es continua en cualquier intervalo
cerrado I contenido en (− π2 , π2 ).
Un hecho conocido en los cursos de cálculo es que las funciones continuas denidas
en un intervalo cerrado, y con valor real, alcanzan su máximo (y su mínimo) en el
198
CAPÍTULO 5.
ESPACIOS MÉTRICOS
intervalo (véase [37]), por esta razón se puede denir en C(I, R) la aplicación
d∞ (f, g) = máx |f (t) − g(t)| := máx{|f (t) − g(t)| | t ∈ I}.
t∈I
(5.11)
Proposición 5.69. d∞ es una métrica para C(I, R).
Demostración. Primero se observa que para cualquier s ∈ I se tiene que
0 ≤ |f (s) − g(s)| ≤ máx |f (t) − g(t)| = d∞ (f, g).
t∈I
(5.12)
De la desigualdad (5.12) se deduce que d∞ (f, g) ≥ 0 para toda f, g ∈ C(I, R). Es
claro que si f = g , se tiene que d∞ (f, g) = 0, y recíprocamente, si d∞ (f, g) = 0, por
(5.12) se tiene que |f (s) − g(s)| = 0 para todo s ∈ I , es decir, f = g . La simetría
es inmediata por las propiedades del valor absoluto, y para probar la desigualdad
triangular sean f, g, h ∈ C(I, R); se tendrán en cuenta los siguientes subconjuntos
de R:
A = {|f (t) − g(t)| | t ∈ I},
B = {|f (t) − h(t)| | t ∈ I},
C = {|h(t) − g(t)| | t ∈ I},
D = {|f (t) − h(t)| + |h(t) − g(t)| | t ∈ I}.
Nótese que d∞ (f, g) = máx A = sup A, d∞ (f, h) = máx B = sup B y d∞ (h, g) =
máx C = sup C . Además, teniendo en cuenta que B + C = {x + y | x ∈ B ∧ y ∈ C},
se tiene que D ⊆ B + C , de modo que sup D ≤ sup(B + C) = sup B + sup C , y por
tanto d∞ (f, g) = sup A ≤ sup D ≤ sup B + sup C = d∞ (f, h) + d∞ (h, g).
Ejemplo 5.70. En el espacio (C(I, R), d∞ ) las bolas abiertas toman una forma
muy especial, pues realmente son franjas abiertas llenas de todos los segmentos
continuos imaginables, no se alza la mano del papel al trazarlos, esto es, dados
> 0 y f ∈ C(I, R), la bola B (f ) consiste en todas las funciones que
permanecen estrictamente dentro del área acotada por las funciones f −, f +,
ver gura 5.8.
5.4.
EL ESPACIO
199
C(I, R)
f +
f
f −
a
b
Figura 5.8: Bola de radio y centro en f .
Ejercicio 5.34. Gracar las bolas abiertas B (f ) y B (g) para f (t) = t y g(t) = 1−t
en [0, 1]. ¾Las bolas son disyuntas para algún valor de ? Contraste su respuesta con
la proposición 5.30.
Las funciones continuas en un intervalo cerrado tienen una propiedad especial y es
que la continuidad no depende del punto donde se esté estudiando. Al analizar con
detalle la denición de continuidad plasmada en la nota 5.67, se observa que el valor
de δ dependerá tanto del punto t como de la elección de . En general, la dependencia
de t no se puede suprimir, sin embargo, cuando el dominio es un intervalo cerrado,
es posible probar que existe un δ dependiendo únicamente de , de modo que para
cualquier elección de t y s en el intervalo [a, b] que satisfaga |t − s| < δ , se tiene que
|f (t) − f (s)| < , en este caso se dice que la función f es uniformemente continua
en [a, b]. Esta diferencia, aunque parece sutil, tiene serias implicaciones en diversas
ramas de la matemática, pero no es necesario por ahora discutirlas; en el capítulo 6 se
hace un análisis más general de este concepto, véase la denición 6.29. En resumen,
se puede armar que toda función continua en [a, b] es uniformemente continua en
[a, b] (véase [37]).
Ejercicio 5.35. Sea f (t) = t2 − 2t + 2 denida para 0 ≤ t ≤ 1. Encontrar un valor
de δ > 0 tal que si t, s ∈ [0, 1] son tales que |t − s| < δ , entonces |f (t) − f (s)| < 1013 .
Ahora, se quiere garantizar que C(I, <) es separable y para probar esto es necesario
introducir algunos conceptos adicionales. En primer lugar, la idea de sucesiones en
este espacio tiene una particular relevancia, ya que cada sucesión de funciones en
C(I, R) tiene asociada una familia de sucesiones de números reales, es decir, si (fn )
200
CAPÍTULO 5.
ESPACIOS MÉTRICOS
es una sucesión en C(I, R), por cada t ∈ [a, b] se va a tener la sucesión de números
reales (fn (t)). La convergencia en el espacio C(I, R) es caracterizada por la siguiente
propiedad de la familia de sucesiones de números reales:
Proposición 5.71. Sea (fn ) una sucesión en C(I, R), y f ∈ C(I, R), entonces
fn → f en C(I, R) si y solo si dado > 0, existe un entero positivo N tal que
para todo t ∈ I , y todo n ≥ N , |f (t) − fn (t)| < .
Demostración. Sea > 0. Para cada t ∈ I se tiene que |f (t) − fn (t)| ≤ d∞ (f, fn ).
Así, si f → fn , existe N tal que |f (t) − fn (t)| ≤ d∞ (f, fn ) < para todo t ∈ I y
n ≥ 1. Para probar la recíproca, lo primero que se debe vericar es que f ∈ C(I, R).
En efecto, si > 0, entonces:
1. Para cada n ∈ Z+ existe δn > 0, tal que
|fn (t) − fn (s)| < para cada t, s ∈ I con |t − s| < δn ,
3
(5.13)
en virtud de la continuidad uniforme de cada fn .
2. existe N ∈ Z+ tal que
|f (t) − fn (t)| < para todo n ≥ N y cada t ∈ I ,
3
(5.14)
por hipótesis.
Así, si t, s ∈ I son tales que |t − s| < δN , entonces
|f (t) − f (s)| ≤ |f (t) − fn (t)| + |fn (t) − fn (s)| + |fn (s) − f (s)|
< + + =
3 3 3
donde las estimativas en el último renglón se obtienen de (5.13) para el primer y
tercer sumando y de (5.14) para el segundo sumando.
Finalmente, se prueba la convergencia en C(I, R). Sea N tal que para todo t ∈ I y
n ≥ N , como en el ítem 2 arriba, de modo que se tiene (5.14). Entonces, al calcular
el supremo sobre todos los t se obtiene que d∞ (f, fn ) = sup |f (t) − fn (t)| ≤ 3 < para todo n ≥ N , de modo que fn → f en C(I, R).
t∈I
5.4.
EL ESPACIO
201
C(I, R)
La convergencia determinada por la expresión a la derecha del si y solo si se
conoce como convergencia uniforme, sin embargo se seguirá usando la expresión
convergencia en C(I, R) en esta sección, para evitar confusiones con la continuidad
uniforme que se dene en la sección 6.2. Es importante resaltar en este punto
que no se ha garantizado que el límite de una sucesión de funciones continuas sea
siempre una función continua en el sentido de que si para cada t ∈ I , fn (t) → f (t)
y fn ∈ C(I, R), no necesariamente f ∈ C(I, R), como se puede evidenciar en
el ejercicio 5.36. De esta forma, la convergencia en C(I, R) es diferente de la
convergencia punto por punto.
Ejercicio 5.36. Considérese la sucesión de funciones (fn ) denida por fn (t) = tn .
Probar que para cada t ∈ [0, 1], la sucesión (fn (t)) converge al número real f (t)
donde f (t) = 0 para t 6= 1 y f (1) = 1. Nótese que f no es continua.
Ejemplo 5.72. Sea f ∈ C([0, 1], R). Se dene la sucesión de polinomios de
Bernstein de la siguiente manera: para cada n ∈ Z+ y cada k = 0, 1, 2, . . . , n
se dene el polinomio
Ç å
n k
rk (t) =
t (1 − t)n−k .
k
El enésimo polinomio de Bernstein asociado a la función f es
Bn (f )(t) =
n
X
f (k/n)rk (t).
k=1
¾Cuál es el grado del enésimo polinomio de Bernstein de una función f ∈
C[0, 1]?
Ejercicio 5.37. Sean f (t) = 1, g(t) = t y h(t) = t2 .
(a) Probar que Bn (f )(t) = 1 para todo n ∈ Z+ , y todo t ∈ I y que Bn (f ) → f en
C([0, 1], R).
(b) Probar que Bn (g)(t) = t para todo n ∈ Z+ , y todo t ∈ I y que Bn (g) → g en
C([0, 1], R).
t2 + n1 t para todo n ∈ Z+ , y todo t ∈ I y que
(c) Probar que Bn (h)(t) = n−1
n
Bn (h) → h en C([0, 1], R).
202
CAPÍTULO 5.
ESPACIOS MÉTRICOS
Bernstein en 1912 probó que, en general, la sucesión de polinomios de Bernstein
converge a la función que está asociada.
Proposición 5.73. Dada f ∈ C([0, 1], R), la sucesión de polinomios de
Bernstein asociada a f es una sucesión en C([0, 1], R) y Bn (f ) → f en
(C[0, 1], R) (véase [3]).
Como consecuencia directa de la proposición 5.73 resulta el célebre teorema de
aproximación de Weierstrass.
Teorema 5.74 (Teorema de aproximación de Weierstrass). La familia
de todos los polinomios denidos en el intervalo [a, b] es densa en C(I, R).
Demostración. Denótese por P (I) la familia de todos los polinomios con
dominio I = [a, b], y se denota por d∞ la métrica tanto en C(I, R) como en
C([0, 1], R). Se probará el teorema inicialmente para el intervalo [0, 1], es decir,
que P ([0, 1]) = C([0, 1], R). Sea f ∈ C([0, 1], R), y > 0, y sea U = B (f ). Por la
proposición 5.73, existe N ∈ Z+ tal que BN (f ) ∈ U , y ya que p = BN (f ) ∈ P ([0, 1]),
f es un punto adherente de P ([0, 1]).
Ahora, si I = [a, b] es un intervalo arbitrario, dena α : [0, 1] → [a, b] por α(t) =
a
1
(b − a)t + a, de modo que α−1 (t) = b−a
t + b−a
. Nótese que tanto α como α−1 son
polinomios, tan solo dieren en el dominio que se está considerando. Sea f ∈ C(I, R)
y > 0. La función g = f ◦ α ∈ C([0, 1], R) de modo que por lo probado antes, existe
un polinomio p ∈ P ([0, 1]), tal que p ∈ B (g), es decir d∞ (p, g) < . Así, para
cualquier s ∈ [0, 1], |p(s) − g(s)| ≤ d∞ (p, g) < . Para cada t ∈ [a, b], como s =
α(t) ∈ [0, 1], se tiene que |p(α−1 ) − g(α−1 )| < , y por tanto d∞ (p ◦ α−1 , g ◦ α−1 ) < ,
concluyendo que p ◦ α−1 ∈ B (g ◦ α−1 ) = B (f ). Esto prueba el teorema, ya que la
composición de polinomios es de nuevo un polinomio.
Ahora se aprovecha la densidad de Q en R para probar el siguiente teorema.
Teorema 5.75. El espacio (C(I, R), d∞ ) es separable.
Demostración. Considérese la familia PQ (I) = PQ ([a, b]) conformada por los
polinomios con coecientes racionales.
5.4.
EL ESPACIO
203
C(I, R)
(i) PQ (I) es contable. En efecto, si se denota por PQn (I) a la colección de todos los
polinomios en [a, b] con grado menor o igual a n, la aplicación Qn+1 → PQn (I)
que a cada tupla (a0 , . . . , an ) de números racionales le asocia el polinomio con
grado menor o igual que n, a0 + a1 t + · · · + an tn , es una biyección, de modo
∞
S
PQn (I) es una unión enumerable de
que PQn (I) es contable. Como PQ (I) =
n=0
conjuntos contables, se tiene que es contable.
(ii) PQ (I) es denso en C(I, R). Sean f ∈ C(I, R) y > 0. Se verá que f es un punto
adherente de PQ (I). El objetivo es encontrar un polinomio q con coecientes
racionales de modo que q ∈ B (f ), es decir, d∞ (f, q) < . Primero nótese que si
t ∈ [a, b], deniendo M = máx{|a|, |b|, 1}, se tiene que |t| ≤ M . Por el teorema
5.74, existe un polinomio p ∈ P (I), tal que
d∞ (f, p) <
2
(5.15)
Sea n = deg(p) el grado del polinomio p, y supóngase que p(t) = β0 + β1 t +
· · · + βn tn con βn 6= 0. Como Q es denso en R, entonces para cada k =
0, . . . , n, existe un racional rk tal que |βk − rk | < 2M (n+1)
, y así, tomando
n
q(t) = r0 + r1 t + · · · + rn t , para t ∈ [a, b]
|p(t) − q(t)| ≤ |β0 − r0 | + |β1 − r1 ||t| + · · · + |βn − rn ||t|n
≤ M (|β0 − r0 | + |β1 − r1 | + · · · + ||βn − rn |)
< M ((n + 1)
)= .
2M (n + 1)
2
Tomando el supremo sobre todos los t ∈ [a, b] se obtiene que
d∞ (p, q) < .
2
(5.16)
Así, combinando la desigualdad triangular de d∞ con (5.15) y (5.16), se tiene
que
d∞ (f, q) ≤ d∞ (f, p) + d∞ (p, q) < ,
como se quería.
Para terminar esta sección, se probará un teorema que muestra otra de las
propiedades de este espacio métrico que lo hace importante.
204
CAPÍTULO 5.
ESPACIOS MÉTRICOS
Teorema 5.76. (C(I, R), d∞ ) es un espacio métrico completo.
Demostración. Se usará el hecho de que R sea completo. Sea (fn ) una sucesión de
Cauchy en C(I, R), y sea > 0. Existe N ∈ Z+ , tal que para cualesquier n, m ≥ N ,
d∞ (fn , fm ) < , de modo que,
|fn (t) − fm (t)| ≤ d∞ (fn , fm ) < , para cada t ∈ I,
(5.17)
y así la sucesión (fn (t)) es una sucesión de Cauchy en R. La completitud de R
implica que existe un número real que depende de t, que es el límite de la sucesión
y se denota por f (t), esto es,
f (t) = lı́m fn (t).
n→∞
De (5.17) y por la proposición 5.71, resulta que f ∈ C(I, R) y fn → f en C(I, R).
Otras métricas en C(I, R)
El conjunto C(I, R) puede ser dotado de otras métricas, sin embargo, con algunas
no se consigue un espacio completo. Una métrica alternativa está determinada por el
área entre las grácas de las funciones, concretamente, si f, g ∈ C(I, R), la aplicación
Z 1
|f (t) − g(t)|dt
d1 (f, g) =
(5.18)
0
es una métrica.
Ejercicio 5.38. Probar que d1 en (5.18) es una métrica para C(I, R).
Para ver que efectivamente el espacio (C(I, R), d1 ) no es completo, basta considerar
la sucesión de funciones (fn ) denida en I = [0, 1] por



0,
si 0 ≤ t < 21 ;


fn (t) = nt − n2 , si 12 ≤ t ≤ 21 + n1 ;



1,
si 1 + 1 < t ≤ 1.
2
n
La gura 5.9 esboza el gráco de las funciones fn y fm suponiendo que m > n. En
este caso es evidente que la distancia está dada por el área del triángulo de la gura
5.9:
5.4.
EL ESPACIO
205
C(I, R)
1
d1 (fn , fm ) =
2
Å
1
1
−
n m
ã
<
1
.
2n
De modo que escogiendo n y m sucientemente grandes, la distancia d1 entre
las correspondientes funciones será tan pequeña como se quiera. Esto signica
que la sucesión (fn ) es de Cauchy en (C([0, 1], R). Sin embargo, esta sucesión
no es convergente en este espacio. En efecto, supóngase que existe una función
f ∈ C([0, 1], R) tal que fn → f en C([0, 1], R), de modo que, junto con la continuidad
uniforme de f , se tiene que escogiendo 0 < < 21 :
(i) existe δ > 0, tal que |f (t) − f (s)| < 2 siempre que |t − s| < δ , y
(ii) existe N ∈ Z+ , tal que N1 < δ y d1 (f, fn ) < para todo n ≥ N .
En consecuencia, para cada 0 ≤ s < 21 se tiene que fn (s) = 0, así, para n ≥ N
Z 1/2
Z 1/2
|f (s) − fn (s)|ds ≤ d1 (f, fn ) < .
|f (s)|ds =
(5.19)
0
0
R 1/2
Esto signica que 0 |f (s)|ds < para cualquier positivo. Ya que el lado
R 1/2
izquierdo no depende de , se tiene que 0 |f (s)| = 0 y como f es continua,
f (t) = 0 para todo t ∈ [0, 21 ].
Por otro lado, si 21 < t < 12 + δ , por la propiedad arquimediana es posible elegir
n0 ≥ N tal que 21 + n10 < t < 21 + δ , de modo que fn (t) = 1 para todo n ≥ n0 , y así,
para n ≥ n0 y cualquier 21 + n1 < s < 12 + δ se sigue que
|f (t) − 1| ≤ |f (t) − f (s)| + |f (s) − 1| <
e integrando en el intervalo
1
+ n1 , 21 + δ
2
+ |f (s) − fn (s)|,
2
con respecto a s, se obtiene
1
R 1/2+δ
(δ− n
)
+ 1/2+ 1 |f (s) − fn (s)|ds
2
R1 n
(δ− 1 )
≤ 2n + 0 |f (s) − fn (s)|ds
(δ− 1 )
= 2n + d1 (f, fn ),
(δ − n1 )|f (t) − 1| <
de modo que al hacer n → ∞,
|f (t) − 1| <
1
<< .
2
2
(5.20)
206
CAPÍTULO 5.
ESPACIOS MÉTRICOS
1 − 1
n
m
1
fm
fn
1
2
1
2
1
Figura 5.9: La distancia entre dos funciones fn y fm corresponde al área de la región
sombreada.
Además, por la continuidad uniforme de f y ya que t − 12 < δ , se deduce que
Å ã
1
< ,
f (t) = f (t) − f
2
2
y por (5.20), − 12 < − < f (t) − 1, de modo que 21 < f (t). Combinando todas estas
desigualdades, se concluye que
1
1
< f (t) < < ,
2
2
4
lo cual es absurdo.
Intuitivamente, se puede entender que el límite de fn es una función que no es
continua, pero esto requiere herramientas más sosticadas que escapan a lo que se
pretende en este texto. Formalmente, cada espacio métrico está contenido en cierto
sentido, en algún espacio métrico completo, una prueba rigurosa de este hecho
puede ser consultada en [21].
Otras métricas similares pueden ser establecidas. Sea p > 1 un número real y
considérese la aplicación dp denida para una pareja de funciones f, g en C(I, R)
por medio de
5.4.
EL ESPACIO
207
C(I, R)
ÇZ b
dp (f, g) =
å1/p
|f (s) − g(s)|p ds
.
(5.21)
a
Ejercicio 5.39. Probar que dp como en (5.21) dene una métrica para C(I, R).
Ejercicio 5.40. Considérense las funciones f (t) = t, g(t) = 1 − t y h(t) = t2 para
t ∈ [0, 1].
d∞
(h) y dar un ejemplo de al menos una función en esta bola,
(a) Gracar B1/3
diferente de h.
(b) Calcular d1 (f, g), d1 (f, h) y d1 (h, g).
(c) Calcular d2 (f, g), d2 (f, h) y d2 (h, g).
(d) Calcular d∞ (f, g), d∞ (f, h) y d∞ (h, g).
Ejercicio 5.41. Probar que (C(I, R), d2 ) no es un espacio métrico completo.
Capítulo 6
Funciones continuas y
homeomorsmos
Las funciones continuas entre espacios topológicos son uno de los objetos de estudio
en el campo de la topología. En la sección 2.1 se dio una idea intuitiva de objetos
topológicamente equivalentes. En este capítulo se hará un estudio formal de las
funciones continuas y de los espacios que son topológicamente equivalentes, para
esto último se requiere de la existencia de un homeomorsmo, es decir, una función
biyectiva, continua y cuya inversa también sea continua.
6.1. Continuidad y sus propiedades
En los cursos de cálculo se estudia la continuidad de una función f : R → R en un
punto p ∈ R. La función f : R → R se dice continua en el punto p ∈ R si y solo
si dado un número real > 0, existe un número real δ > 0 tal que, si |x − p| < δ
entonces |f (x)−f (p)| < , es decir, si −δ < x−p < δ entonces − < f (x)−f (p) < ,
en otras palabras, si p − δ < x < p + δ , f (p) − < f (x) < f (p) + . Así, f : R → R
se dice continua en el punto p ∈ R si y solo si dado > 0, existe δ > 0 tal que
si x ∈ (p − δ, p + δ), f (x) ∈ (f (p) − , f (p) + ), o en términos de vecindades,
f ((p − δ, p + δ)) ⊆ (f (p) − , f (p) + ).
En (R, Tu ) los conjuntos Vp = (p − δ, p + δ) y Vf (p) = (f (p) − , f (p) + ) son
vecindades abiertas de p y f (p) respectivamente. Entonces se puede decir que
208
6.1.
209
CONTINUIDAD Y SUS PROPIEDADES
f : R → R es continua en el punto p ∈ R si y solo si dada una vecindad de f (p),
Vf (p) , existe una vecindad de p, Vp , tal que f (Vp ) ⊆ Vf (p) . Así, en el estudio de
funciones continuas de R en R está implícita la topología usual de R.
En esta sección se presenta la denición de continuidad de una función entre dos
espacios topológicos (X, T ) y (Y, U), esto es, una función f : X → Y en la cual se
tienen en cuenta las topologías T de X y U de Y . Para tal n se usa la notación
o,
f : (X, T ) → (Y, U),
f
(X, T ) →
− (Y, U).
Denición 6.1. Sean f : (X, T ) → (Y, U) una función entre espacios
topológicos y x ∈ X . Se dice que f es continua en un punto x si y solo
si dada una vecindad de f (x), Vf (x) , existe una vecindad de x, Vx , tal que
f (Vx ) ⊆ Vf (x) . Si f es continua en cada punto de X se dice que f es una
función continua (véase la gura 6.1).
f
X
Y
Vf (x)
Ux
f (Ux )
x
f (x)
Figura 6.1: Función continua en un punto.
¾Qué es una función no continua en un punto x?
¾Qué pasa si en la denición anterior se consideran solo vecindades abiertas?
210
CAPÍTULO 6.
FUNCIONES CONTINUAS Y HOMEOMORFISMOS
Nota 6.2. La denición 6.1 dice que para saber si una función f : (X, T ) →
(Y, U) es continua en un punto x ∈ X , se debe cumplir que para cualquier
vecindad Vf (x) , existe una vecindad Vx de tal forma que f (Vx ) ⊆ Vf (x) . Para
analizar la continuidad de una función en un punto x basta examinar las
vecindades abiertas de x y f (x) y más especícamente, las vecindades abiertas
básicas de f (x) (abiertos básicos que contienen a f (x)), como se muestra a
continuación:
(i) Si para cada vecindad de f (x), Vf (x) , existe una vecindad de x, Vx , tal
que f (Vx ) ⊆ Vf (x) entonces existe una vecindad abierta de x, V , tal que
f (V ) ⊆ Vf (x) , pues como Vx es vecindad de x, entonces por la denición
3.1 existe V ∈ T tal que x ∈ V ⊆ Vx y por lo tanto f (x) ∈ f (V ) ⊆
f (Vx ) ⊆ Vf (x) .
(ii) Si dada una vecindad abierta de f (x), U ∈ U, existe una vecindad abierta
de x, Vx , tal que f (Vx ) ⊆ U entonces f es continua en x. En efecto, dada
una vecindad de f (x), Vf (x) , existe U ∈ U tal que f (x) ∈ U ⊆ Vf (x)
(denición 3.1). Por hipótesis se tiene que para la vecindad abierta de
f (x), U , existe una vecindad abierta de x, Vx , tal que f (Vx ) ⊆ U entonces
f (Vx ) ⊆ Vf (x) . Por la denición 6.1 se tiene que f es continua en x.
(iii) Sea B una base para U, si para cada vecindad abierta básica de f (x),
B ∈ B , existe una vecindad abierta de x, Vx , tal que f (Vx ) ⊆ B , entonces
f es continua en x (véase la gura 6.2). En efecto, dada una vecindad
abierta de f (x), Vf (x) , existe B ∈ B tal que f (x) ∈ B ⊆ Vf (x) , o sea, B es
una vecindad abierta básica de f (x). Por la hipótesis se tiene que existe es
una vecindad abierta de x, Vx , tal que f (Vx ) ⊆ B , entonces f (Vx ) ⊆ Vf (x)
y por lo tanto f es continua en x.
6.1.
211
CONTINUIDAD Y SUS PROPIEDADES
Vf (x)
Vf (x)
Vx
(a)
Vx
(b)
Figura 6.2: Ilustración de (a) una función continua en x y (b) una función discontinua
en x.
Ejemplo 6.3. La denición de continuidad del cálculo coincide con la denición
6.1, cuando los números reales están dotados de la topología usual, así como se
ilustró en la parte introductoria de esta sección.
Ejemplo 6.4. Para los conjuntos X = {a, b, c, d} e Y = {1, 2, 3} se consideran
las topologías T = {∅, X, {a}, {b}, {a, b}, {a, b, c}} y U = {∅, Y, {1}, {3}, {1, 3}},
respectivamente. La función f : X → Y dada por f (a) = 1, f (b) = 2, f (c) = 3
y f (d) = 3 es continua en a, pues las vecindades abiertas de f (a) = 1 son Y ,
{1} y {1, 3}; además, para Y , la vecindad abierta X de a es tal que f (X) = Y ;
para {1}, {a} es vecindad abierta de a que satisface f ({a}) = {1}; y nalmente,
para {1, 3}, la vecindad {a} de a cumple que f ({a}) = {1} ⊆ {1, 3} (véase la
gura 6.3).
Por otra parte, la función f no es continua en el punto c, pues las vecindades
abiertas de f (c) = 3 son Y , {3}, {1, 3} y para {3} no existe una vecindad de c
cuya imagen esté contenida en {3} (véase la gura 6.4).
212
CAPÍTULO 6.
FUNCIONES CONTINUAS Y HOMEOMORFISMOS
f −1 ({1})
f −1 (Y )
a
a
1
1
b
c
2
b
c
2
d
3
d
3
Y
X
Y
X
f −1 ({1, 3})
a
1
b
c
2
d
3
X
Y
Figura 6.3: Análisis de la continuidad en a de la función del ejemplo 6.4.
a
1
b
f −1 ({1, 3}) c
2
d
3
X
Y
Figura 6.4: Análisis de la discontinuidad en c de la función del ejemplo 6.4.
Teorema 6.5. Una función f : (X, T ) → (Y, U) es continua en un punto x ∈ X
si y solo si f −1 (Vf (x) ) ∈ V(x) para cada Vf (x) ∈ V(f (x)), es decir, la imagen
inversa de cada vecindad de f (x) es una vecindad de x.
6.1.
CONTINUIDAD Y SUS PROPIEDADES
213
Demostración. Supóngase que f es continua en x ∈ X y sea Vf (x) una vecindad
de f (x), entonces por la denición 6.1 existe Vx ∈ V(x) tal que f (Vx ) ⊆ Vf (x) ; por
lo tanto, Vx ⊆ f −1 (f (Vx )) ⊆ f −1 (Vf (x) ). Por la proposición 3.4 (iii) se tiene que
f −1 (Vf (x) ) ∈ V(x). En el otro sentido, sea Vf (x) una vecindad de f (x), luego por
hipótesis, f −1 (Vf (x) ) ∈ V(x) y como f (f −1 (Vf (x) )) ⊆ Vf (x) entonces f −1 (Vf (x) ) es
una vecindad de x tal que f (f −1 (Vf (x) )) ⊆ Vf (x) ; así, f es continua en x.
¾Es válido el teorema 6.5 si solo se consideran vecindades abiertas de x?
Ejercicio 6.1. Considérense los espacios topológicos y la función f del ejemplo 6.4.
(a) Analizar la continuidad de la función f en el punto b y en el punto d.
(b) Dar un ejemplo de una función g : (X, T ) → (Y, U) que sea continua.
(c) Dar una topología T 0 para X de tal forma que f : (X, T 0 ) → (Y, U) sea
continua.
Para analizar la continuidad de una función no se necesita mirar la continuidad en
cada punto, basta examinar si la imagen inversa de los elementos de la topología del
conjunto de llegada es un elemento de la topología del dominio de la función.
Teorema 6.6. Sea f : (X, T ) → (Y, U) una función entre espacios topológicos.
f es continua si y solo si para cada V ∈ U se tiene que f −1 (V ) ∈ T .
Demostración. Supóngase que f es continua y sea V ∈ U. Si f −1 (V ) = ∅ entonces
f −1 (V ) ∈ T . Sean f −1 (V ) 6= ∅ y p ∈ f −1 (V ), así f (p) ∈ V ; por ser f continua en p,
para la vecindad de f (p), V , existe una vecindad abierta de p, Vp , tal que f (Vp ) ⊆ V ,
luego Vp ⊆ f −1 (f (Vp )) ⊆ f −1 (V ). Como para cada p ∈ f −1 (V ) existe Vp ∈ T tal
que Vp ⊆ f −1 (V ), entonces
[
{Vp | p ∈ f −1 (V )} ⊆ f −1 (V ).
S
S
Nótese que f −1 (V ) ⊆ {Vp | p ∈ f −1 (V )}. Por lo tanto, f −1 (V ) = {Vp | p ∈
f −1 (V )}, es decir, f −1 (V ) es unión de abiertos y así f −1 (V ) ∈ T .
En el otro sentido, supóngase que f −1 (V ) ∈ T para cada V en U. Sea x ∈ X , entonces
existe V ∈ U tal que f (x) ∈ V . Como x ∈ f −1 (V ) ∈ T , entonces Vx = f −1 (V ) es
una vecindad de x tal que f (f −1 (V )) ⊆ V . Así, f es continua en x, y como x es
arbitrario entonces f es continua.
214
CAPÍTULO 6.
FUNCIONES CONTINUAS Y HOMEOMORFISMOS
Ejemplo 6.7. Para los conjuntos X = {a, b, c, d} e Y = {1, 2, 3} considérense
las topologías T = {∅, X, {b}, {c}, {b, c}, {a, b, c}} y U = {∅, Y, {1}, {3}, {1, 3}}
respectivamente. Sea f : X → Y la función dada por f (a) = 2, f (b) = 1, f (c) =
3 y f (d) = 2. La función f es continua, pues f −1 (∅) = ∅ ∈ T , f −1 (Y ) = X ∈ T ,
f −1 ({1}) = {b} ∈ T , f −1 ({3}) = {c} ∈ T y f −1 ({1, 3}) = {b, c} ∈ T .
Sin embargo, la función g : X → Y dada por g(a) = 1, g(b) = 2, g(c) = 3 y
g(d) = 2 no es continua, pues g −1 ({1}) = {a} ∈
/ T.
Ejercicio
6.2. Sean
X
=
{0, 1, 2, 3} un conjunto y T
=
{∅, X, {0}, {1}, {0, 1}, {0, 1, 2}}, U = {∅, X, {0}, {0, 1}, {0, 1, 2}} dos topologías
para X .
(a) Analizar si la función idéntica de (X, T ) en (X, U) es continua.
(b) Analizar si la función idéntica de (X, U) en (X, T ) es continua.
La continuidad de una función también se puede caracterizar en términos del interior
de conjuntos.
Corolario 6.8. Una función f : (X, T ) → (Y, U) es continua si y solo si para
cada A ⊆ Y se tiene que f −1 (int(A)) ⊆ int(f −1 (A)).
Demostración. Se supone que f es continua y sea x ∈ f −1 (int(A)), entonces
f (x) ∈ int(A) y por lo tanto existe U ∈ U tal que f (x) ∈ U ⊆ A (denición
3.11), así x ∈ f −1 (U ) ⊆ f −1 (A) y como f es continua, por el teorema 6.6 se tiene
que f −1 (U ) ∈ T ; por la denición 3.11 de interior se tiene que x ∈ int(f −1 (A)) y
por lo tanto f −1 (int(A)) ⊆ int(f −1 (A)). En el otro sentido, sea V ∈ U, por hipótesis
se tiene que f −1 (int(V )) ⊆ int(f −1 (V )). Como V es abierto, por la proposición
3.17 (v) se tiene que int(V ) = V . Por lo tanto, f −1 (V ) ⊆ int(f −1 (V )), ahora
como int(f −1 (V )) ⊆ f −1 (V ) (véase la proposición 3.17 (i)) entonces f −1 (V ) =
int(f −1 (V )), así nuevamente por la proposición 3.17 (v) se tiene que f −1 (V ) ∈ T y
por el teorema 6.6 se concluye que f es continua.
La continuidad de una función también se puede caracterizar con abiertos básicos.
6.1.
CONTINUIDAD Y SUS PROPIEDADES
215
Corolario 6.9. Sea f : (X, T ) → (Y, U) una función y sea B = {Bi }i∈I una base
para U. f es continua si y solo si para cada Bi ∈ B se tiene que f −1 (Bi ) ∈ T .
Demostración. Sea B = {Bi }i∈I una base para U. Si f es continua, por el teorema
6.6 se tiene que para todo i ∈ I , f −1 (Bi ) ∈ T , pues si Bi ∈ B entonces Bi ∈ U. En
S
el otro sentido, sea V ∈ U, entonces V = j∈J Bj con J ⊆ I . Como por la hipótesis
se tiene que f −1 (Bj ) ∈ T para cada j ∈ J , y además la unión arbitraria de abiertos
es un abierto y la imagen inversa de la unión de conjuntos es igual a la unión de las
imágenes inversas de los conjuntos (véase la proposición 1.64 (iv)), entonces
[
[ f −1 (Bj ) = f −1
Bj = f −1 (V ) ∈ T .
j∈J
j∈J
Así, por el teorema 6.6, f es continua.
Ejemplo 6.10. La función f : (R, Tdip ) → (R, Tu ) dada por f (x) = x2
es continua. En efecto, como la colección de todos los intervalos abiertos de
la forma (a, b) son una base para la topología usual, entonces para (a, b) se
presentan los siguientes casos: a ≥ 0; a < 0 y b > 0; b ≤ 0.
√
√
√ √
* Si a ≥ 0 entonces f −1 ((a, b)) = (− b, − a) ∪ ( a, b) ∈ Tdip .
√ √
* Si a < 0 y b > 0 entonces f −1 ((a, b)) = (− b, b) ∈ Tdip .
* Si b ≤ 0 entonces f −1 ((a, b)) = ∅ ∈ Tdip .
Por el corolario 6.9 se tiene que f es continua.
El corolario 6.9 arma que una función es continua si y solo si la imagen inversa de
cada básico es un abierto, mas no se pide que sea de nuevo un básico. Nótese que
√
√
√ √
en el segundo ítem del ejemplo anterior, f −1 ((a, b)) = (− b, − a) ∪ ( a, b) es un
abierto, pero no es un básico.
Ejercicio 6.3. Analizar la continuidad de cada una de las siguientes funciones.
(a) f : (R, Tu ) → (R, Tdip ) dada por f (x) = x2 .
(b) f : (R, Tdip ) → (R, Tdip ) dada por f (x) = x2 .
(c) f : (R, Tdip ) → (R, Tdip ) dada por f (x) = x2 + 2x + 1.
216
CAPÍTULO 6.
FUNCIONES CONTINUAS Y HOMEOMORFISMOS
Corolario 6.11. Sea f : (X, T ) → (Y, U) una función y sea S = {Si }i∈I una
subbase para U. f es continua si y solo si para cada Si ∈ S se cumple que
f −1 (Si ) ∈ T .
Demostración. Sea S = {Si }i∈I una subbase para U. Si f es continua, entonces por
el teorema 6.6 se sigue que para todo i ∈ I , f −1 (Si ) ∈ T , ya que si Si ∈ S entonces
Si ∈ U. En el otro sentido, para demostrar que f es continua se usará el corolario
6.9, ya que la familia de todas las intersecciones nitas de elementos de S es una
base para U. Dado un básico B de dicha base, este tiene la forma B = (Si1 ∩· · ·∩Sin )
con n ≥ 1. Como por la hipótesis se tiene que f −1 (Sik ) ∈ T para cada 1 ≤ k ≤ n;
además, se tiene que la intersección nita de abiertos es un abierto y que la imagen
inversa de la intersección de conjuntos es igual a la intersección de las imágenes
inversas de los conjuntos (véase la proposición 1.64 (iii)), entonces
f −1 (B) = f −1 (Si1 ∩ · · · ∩ Sin ) = f −1 (Si1 ) ∩ · · · ∩ f −1 (Sin ) ∈ T .
Por el corolario 6.9 se sigue que f es continua.
Ejemplo 6.12. Recuerde que la colección S = {(←, a), (b, →) | a, b ∈ R} es
una subbase para la topología usual de R. Sea f : (R, Tu ) → (R, Tu ) dada
por f (x) = x2 . Para analizar la continuidad de f usando el corolario 6.11 se
presentan los siguientes casos para a y b: a > 0; a ≤ 0; b ≥ 0; b < 0.
√ √
* Si a > 0 entonces f −1 ((←, a)) = (− a, a) ∈ Tu .
* Si a ≤ 0 entonces f −1 ((←, a)) = ∅ ∈ Tu .
√
√
* Si b ≥ 0 entonces f −1 ((b, →)) = (←, − b) ∪ ( b, →) ∈ Tu .
* Si b < 0 entonces f −1 ((b, →)) = R ∈ Tu .
Por el corolario 6.11 se concluye que f es continua.
Ejercicio 6.4. Teniendo en cuenta que la colección Bu = {(a, b) | a, b ∈ R} es una
base para la topología usual de R, utilizar el corolario 6.9 para analizar la continuidad
de la función f del ejemplo 6.12.
La función inclusión es una función continua.
6.1.
CONTINUIDAD Y SUS PROPIEDADES
217
Proposición 6.13. Sean (X, T ) un espacio topológico, A ⊆ X , T [A] la
topología de subespacio para A y j : (A, T [A]) → (X, T ) la función inclusión,
es decir, j(a) = a para todo a ∈ A. Entonces j : (A, T [A]) → (X, T ) es una
función continua.
Demostración. Sea V ∈ T , entonces j −1 (V ) es el conjunto de elementos de V que
también están en A, esto es, j −1 (V ) = V ∩ A. Nótese que V ∩ A ∈ T [A], por lo tanto
j −1 (V ) ∈ T [A]. Por el teorema 6.6 se concluye que j es continua.
La restricción de una función continua a un subespacio también es continua.
Proposición 6.14. Sean f : (X, T ) → (Y, U) una función entre espacios
topológicos, A ⊆ X , T [A] la topología de subespacio para A y f |A : A → Y la
función restringida a A, es decir, f |A (a) = f (a) para cada a ∈ A. Si f es
continua, entonces f |A : (A, T [A]) → (Y, U) también es continua.
Demostración. Sea V ∈ U, entonces f |A −1 (V ) = f −1 (V ) ∩ A. Si f es continua,
f −1 (V ) ∈ T y por lo tanto f −1 (V ) ∩ A ∈ T [A], es decir, f |A −1 (V ) ∈ T [A]. Así, f |A
es continua.
La composición de funciones continuas es una función continua.
Teorema 6.15. Si f : (W, W) → (X, T ) y g : (X, T ) → (Y, U) son funciones
continuas, entonces g ◦ f : (W, W) → (Y, U) es continua.
Demostración. Si V ∈ U entonces por la continuidad de g y el teorema 6.6 se sigue
que g −1 (V ) ∈ T , ahora por la continuidad de f y el teorema 6.6, f −1 (g −1 (V )) ∈ W
(véase la gura 6.5). Como f −1 (g −1 (V )) = (g ◦ f )−1 (V ), entonces de nuevo por el
teorema 6.6 se sigue que g ◦ f es continua.
218
CAPÍTULO 6.
FUNCIONES CONTINUAS Y HOMEOMORFISMOS
g◦f
W
f
X
g
Y
V
Ä
ä
f −1 g −1 (V )
g −1 (V )
Figura 6.5: Ilustración de la demostración del teorema 6.15
Las funciones continuas se pueden caracterizar en términos de los conjuntos cerrados.
Teorema 6.16. Una función f : (X, T ) → (Y, U) es continua si y solo si
la imagen inversa por f de un subconjunto cerrado de Y es un subconjunto
cerrado de X .
Demostración. Supóngase que f es continua y que C es un cerrado en U, entonces
C c ∈ U y por el teorema 6.6 se tiene que f −1 (C c ) = (f −1 (C))c ∈ T ; así, f −1 (C)
es un cerrado en T . Para el recíproco, sea V ∈ U entonces V c es un cerrado en U;
por hipótesis se tiene que f −1 (V c ) = (f −1 (V ))c es un cerrado en T , por lo tanto
f −1 (V ) ∈ T . Se sigue del teorema 6.6 que f es continua.
Ejemplo 6.17. La función f : (R, Tu ) → (R, Tcof ) dada por f (x) = ex es
continua. En efecto, los cerrados no triviales en Tcof son los conjuntos nitos. Si
F es un subconjunto nito de R, f −1 (F ) es nito y por lo tanto cerrado (puede
ser vacío), ya que f es inyectiva y todo subconjunto nito de R es un cerrado
en la topología usual. Por el teorema 6.16 se tiene que f es continua.
6.1.
CONTINUIDAD Y SUS PROPIEDADES
219
Ejemplo 6.18. La función f : (R, Tdip ) → (R, Tu ) dada por
f (x) = x2 + 2x + 1
no es continua, pues {1} es un cerrado en la topología usual de R, pero
f −1 ({1}) = {−2, 0} no es un cerrado en la topología de los dipolos.
Ejercicio 6.5. Analizar la continuidad de la función f : (R, Tdip ) → (R, Tcof ) dada
por f (x) = x2 + 2x + 1.
Proposición 6.19. Cada función constante f : (X, T ) → (Y, U) denida
por f (x) = c, para todo x ∈ X y para algún c ∈ Y es continua.
Demostración. Sea V ∈ U, entonces c ∈ V o c ∈/ V . Si c ∈ V entonces f −1 (V ) =
X ∈ T ; si c ∈
/ V entonces f −1 (V ) = ∅ ∈ T . De todas formas f −1 (V ) ∈ T , por el
teorema 6.6 se tiene que f es continua.
En el siguiente ejemplo se muestra que la continuidad no depende exclusivamente
de la función, también depende de la topología, es decir, si se cambia de topología,
puede cambiar la continuidad.
Ejemplo 6.20. Sea i : R → R la función idéntica.
(i) La función i : (R, Tu ) → (R, Tcof ) es una función continua. En efecto:
sea C un subconjunto cerrado no trivial de (R, Tcof ), entonces C es un
conjunto nito y por lo tanto i−1 (C) = C es un cerrado en (R, Tu ); por el
teorema 6.16 se tiene que i : (R, Tu ) → (R, Tcof ) es continua.
(ii) La función i : (R, Tcof ) → (R, Tu ) no es continua. En efecto: [0, →) es
un cerrado en (R, f Tu ) pero i−1 ([0, →)) = [0, →) no es un cerrado en
(R, Tcof ) ya que no es un conjunto nito. Por el teorema 6.16 se sigue que
i : (R, Tcof ) → (R, Tu ) no es continua.
Este ejemplo pone de maniesto que en general al invertir los espacios
topológicos, la función idéntica puede ya no ser continua.
220
CAPÍTULO 6.
FUNCIONES CONTINUAS Y HOMEOMORFISMOS
Ejemplo 6.21. Cualquier función f : (X, Tdis ) → (Y, U) es continua sin
importar cual sea la topología U para Y . En efecto: sea V ∈ U, entonces
f −1 (V ) ⊆ X y por lo tanto f −1 (V ) ∈ Tdis .
Proposición 6.22. La función idéntica de (X, T ) en (X, U) es una función
continua si y solo si T es más na que U.
Demostración. Sea i : (X, T ) → (X, U) la función idéntica. Sea V ∈ U, entonces
i−1 (V ) = V y como i es continua, por el teorema 6.6 se sigue que i−1 (V ) = V ∈ T , así
U ⊆ T . En el otro sentido, sea V ∈ U; ya que U ⊆ T , se sigue que i−1 (V ) = V ∈ T ,
de modo que por el teorema 6.6, i es continua.
Ejercicio 6.6. Analizar la continuidad de la función idéntica de (R, Tp ) en (R, T p ).
Ejercicio 6.7. Repetir el ejercicio 6.6 combinando distintas topologías para R (por
lo menos tres ejemplos).
Ejercicio 6.8. Repetir el ejercicio 6.6 con otras funciones distintas de la idéntica
(por lo menos tres ejemplos).
Ejercicio 6.9. Analizar la continuidad de la función idéntica de (R2 , Tf h ) en
(R2 , Tu ).
Ejercicio 6.10. Demostrar que la función f : (R2 , Tu ) → (R2 , Tu ) denida por
f ((x, y)) = (x − y, y 2 ) es continua.
Ejercicio 6.11. Repetir el ejercicio 6.9 combinando distintas topologías para R2
(por lo menos tres ejemplos).
Ejercicio 6.12. Sean (X, T ), (Y, U) dos espacios topológicos y TΠ la topología
producto de X × Y . Demostrar que las funciones proyecciones p1 : X × Y → X y
p2 : X × Y → Y dadas por p1 ((x, y)) = x y p2 ((x, y)) = y son continuas.
Teorema 6.23 (Lema del pegado). Sean (X, T ), (Y, U) dos espacios
topológicos y A, B subconjuntos cerrados de X tales que X = A ∪ B . Sean
f : A → Y y g : B → Y funciones continuas. Si f (x) = g(x) para todo
6.1.
CONTINUIDAD Y SUS PROPIEDADES
221
x ∈ A ∩ B , entonces h : X → Y dada por
®
f (x), si x ∈ A;
h(x) =
g(x), si x ∈ B
es una función continua.
Demostración. Sea C un subconjunto cerrado de Y , entonces h−1 (C) = f −1 (C) ∪
g −1 (C). Como f es continua, por el teorema 6.16 se tiene que f −1 (C) es un cerrado
en A; así, f −1 (C) = A∩F para F un cerrado en X ; como A es cerrado en X , entonces
f −1 (C) = A ∩ F es un cerrado en X . Con un razonamiento análogo al anterior se
sigue que g −1 (C) también es un cerrado en X . Entonces h−1 (C) = f −1 (C) ∪ g −1 (C)
es un cerrado en X . Por el teorema 6.16, h es continua.
Ejercicio 6.13. Vericar la igualdad h−1 (C) = f −1 (C) ∪ g−1 (C) de la demostración
del teorema 6.23.
Ejercicio 6.14. Reescribir el teorema 6.23 cambiando la palabra cerrado por abierto
y demostrar que el resultado también es verdadero.
Ejercicio 6.15. Usando el teorema 6.23, demostrar que la función h : R → R dada
por
®
h(x) =
x,
x
,
2
si x ≤ 0;
si x ≥ 0
es continua.
Ejercicio 6.16. Sea Y un conjunto totalmente ordenado, dotado de la topología
del orden Tord (véase el ejemplo 2.74) y sean f, g : (X, T ) → (Y, Tord ) dos funciones
continuas.
(a) Demostrar que el conjunto A = {x | f (x) ≤ g(x)} es cerrado en X .
(b) Sea h : (X, T ) → (Y, Tord ) la función dada por h(x) = mı́n{f (x), g(x)}. Usar
el teorema 6.23 para demostrar que h es continua.
La continuidad de una función entre espacios topológicos también se puede
caracterizar en términos de la adherencia o clausura.
222
CAPÍTULO 6.
FUNCIONES CONTINUAS Y HOMEOMORFISMOS
Teorema 6.24. Una función f : (X, T ) → (Y, U) es continua si y solo si para
cada A ⊆ X se tiene que f (A) ⊆ f (A).
Demostración. Supóngase que f es continua y que A ⊆ X . Si A = ∅ entonces
f (∅) = f (∅) = ∅ ⊆ f (∅). Si A 6= ∅, A 6= ∅ y por lo tanto f (A) 6= ∅. Sea y ∈ f (A),
luego existe x ∈ A tal que f (x) = y . Sea Vy una vecindad de y , como f es continua
en x, existe una vecindad de x, Vx , tal que f (Vx ) ⊆ Vy . Como x ∈ A, Vx ∩ A 6= ∅.
Sea p ∈ Vx ∩ A, entonces f (p) ∈ f (Vx ∩ A) ⊆ f (Vx ) ∩ f (A) ⊆ Vy ∩ f (A). Así,
Vy ∩ f (A) 6= ∅ y por lo tanto y ∈ f (A).
En el otro sentido, para ver que f es continua se utiliza el teorema 6.16, es decir,
si C es un cerrado de Y , f −1 (C) es un cerrado de X . Ahora, para demostrar que
f −1 (C) es un cerrado, se verá que f −1 (C) = f −1 (C) (proposición 3.42 (v)). Sea
C un cerrado de Y , como f (f −1 (C)) ⊆ C se sigue que f (f −1 (C)) ⊆ C = C .
Por hipótesis f f −1 (C) ⊆ f (f −1 (C)), entonces f f −1 (C) ⊆ C , aplicando f −1 se
obtiene que f −1 (C) ⊆ f −1 (f f −1 (C))) ⊆ f −1 (C). Por la proposición 3.42 (i) se tiene
que f −1 (C) ⊆ f −1 (C), luego f −1 (C) = f −1 (C), con lo cual f −1 (C) es un cerrado y
por lo tanto f es continua.
Las funciones continuas e inyectivas preservan los puntos límite.
Proposición 6.25. Sea f : (X, T ) → (Y, U) una función continua e inyectiva.
Si A ⊆ X y x ∈ D(A), entonces f (x) ∈ D(f (A)), es decir, f (D(A)) ⊆ D(f (A)).
Demostración. Sean x ∈ D(A) y Vf (x) una vecindad de f (x). Como f es continua en
x, entonces para Vf (x) existe Ux tal que f (Ux ) ⊆ Vf (x) . Por ser f inyectiva se sigue
que f (Ux \ {x}) ⊆ Vf (x) \ {f (x)}; así, f ((Ux \ {x}) ∩ A) = f (Ux \ {x}) ∩ f (A) ⊆
(Vf (x) \ {f (x)}) ∩ f (A). Como (Ux \ {x}) ∩ A 6= ∅, entonces f ((Ux \ {x}) ∩ A) 6= ∅ y
en consecuencia (Vf (x) \ {f (x)}) ∩ f (A) 6= ∅. Por lo tanto f (x) ∈ D(f (A)).
Teorema 6.26. Sean (W, W), (X, T ), (Y, U) espacios topológicos y TΠ la
topología producto de X × Y . Sean f1 : W → X , f2 : W → Y funciones y
6.2.
CONTINUIDAD EN ESPACIOS MÉTRICOS
223
f : W → X × Y la función dada por f (w) = (f1 (w), f2 (w)). Entonces f es
continua si y solo si f1 y f2 son continuas.
Demostración. Por el ejercicio 6.12 se tiene que las proyecciones p1 : X × Y → X
y p2 : X × Y → Y son continuas, si además f es continua, entonces por el teorema
6.15 se tiene que f1 = p1 ◦ f y f2 = p2 ◦ f son continuas. En el otro sentido, se
supone que f1 y f2 son continuas y que U × V es un básico de TΠ , es decir, U ∈ T
y V ∈ U. Nótese que las equivalencias:
w ∈ f −1 (U × V ) ⇔ f (w) ∈ U × V
⇔ f1 (w) ∈ U ∧ f2 (w) ∈ V
⇔ w ∈ f1−1 (U ) ∧ w ∈ f2−1 (V )
⇔ w ∈ f1−1 (U ) ∩ f2−1 (V )
implican la igualdad
f −1 (U × V ) = f1−1 (U ) ∩ f2−1 (V ).
Como f1 , f2 son continuas y U ∈ T , V ∈ U entonces por el teorema 6.6 se tiene que
f1−1 (U ), f2−1 (V ) ∈ W. Por lo tanto f −1 (U × V ) ∈ W. Por el corolario 6.9 se concluye
que f es continua.
Ejercicio 6.17. Sean f : (W, W) → (X, T ) y g : (Y, U) → (Z, ξ) funciones
continuas. Demostrar que la función f × g : W × Y → X × Z dada por
(f × g)((w, y)) = (f (w), g(y)) es continua.
6.2. Continuidad en espacios métricos
Como se vio en el teorema 5.25, la familia de bolas abiertas en un espacio métrico
(X, d) es base de una topología para X , es decir, todo espacio métrico es también
un espacio topológico; por lo tanto, la denición y las propiedades de continuidad
estudiadas para espacios topológicos son válidas para espacios métricos. En
esta sección se presentan algunos aspectos importantes de continuidad que son
particulares para espacios métricos.
Si se considera la denición 6.1 para el caso especíco de espacios métricos, se pueden
cambiar las vecindades por bolas abiertas, y dado que las bolas abiertas se denen
224
CAPÍTULO 6.
FUNCIONES CONTINUAS Y HOMEOMORFISMOS
en términos de la distancia entre puntos y un determiado radio, entonces se puede
reescribir la denición de continuidad de la siguiente forma.
Denición 6.27. Una función entre espacios métricos f : (X, d) → (Y, m) es
continua en un punto p de X si y solo si dada Bm (f (p)), existe Bδd (p) tal
que f (Bδd (p)) ⊆ Bm (f (p)). En otras palabras, si x ∈ Bδd (p) entonces f (x) ∈
Bm (f (p)), o más exactamente, dado un número real > 0 existe un número
real δ > 0 tal que si x ∈ X satisface d(p, x) < δ entonces m(f (p), f (x)) < .
Ejemplo 6.28. En cálculo se dan nociones de continuidad para ciertas clases
especiales de funciones y se estudian sus propiedades, por ejemplo:
(i) f : R → R.
(ii) f : R → R2 (curvas en el plano).
(iii) f : R → R3 (curvas en el espacio).
(iv) f : R2 → R.
(v) f : R3 → R.
(vi) f : R2 → R2 (campos vectoriales en el plano).
La denición y las propiedades de las funciones continuas entre espacios
topológicos, espacios métricos y espacios producto incluyen los casos especiales
de funciones de Rn → Rm (n ≥ 1, m ≥ 1), estudiadas en cálculo. En la gura
6.6 se muestran algunos de los diferentes tipos de funciones presentados en este
ejemplo.
En espacios métricos se dene un tipo de continuidad más particular que la usual.
Denición 6.29. Una función f : (X, d) → (Y, m) entre espacios métricos es
llamada uniformemente continua si y solo si para cada > 0, existe δ > 0
tal que si d(x, y) < δ , entonces m(f (x), f (y)) < .
6.2.
225
CONTINUIDAD EN ESPACIOS MÉTRICOS
R → R2
R→R
y
f (x)
α(t)
x
α(1)
α(0)
x
R → R3
α(1)
R2 → R
f (x, y)
α(t)
y
α(0)
x
R2 → R2
Figura 6.6: Algunos ejemplos de grácas de funciones entre espacios euclidianos.
Nota 6.30. Según la denición anterior, dado > 0, existe δ > 0 tal que, para
cualquier x ∈ X , f (Bδ (x)) ⊆ B (f (x)). Nótese que δ depende únicamente de
, muy distinto a lo que ocurre en la continuidad usual en espacios métricos
(denición 6.27) donde δ también depende del punto x dado. Por lo tanto,
toda función uniformemente continua es continua.
No toda función continua es uniformemente continua. En el ejemplo 6.12 se
vio que f : R → R denida por f (x) = x2 es continua. Esta función no es
uniformemente continua, en efecto: para = 1 no existe δ > 0 tal que |x−y| < δ
226
CAPÍTULO 6.
FUNCIONES CONTINUAS Y HOMEOMORFISMOS
implique |x2 − y 2 | < 1 para todo x, y ∈ R; por ejemplo, si x = 1δ + 2δ e y = 1δ
2
se tiene que |x − y| = | 1δ + 2δ − 1δ | = | 2δ | = 2δ < δ y |x2 − y 2 | = |( 2+δ
)2 − δ12 | =
2δ
2
4
2
2
4
+δ
− 4δ42 | = | 4δ4δ+δ
| = 1 + δ4 < 1, con lo cual δ 2 < 0.
| 4+4δ
2
4δ 2
Ejercicio 6.18. Demostrar que las siguientes funciones son uniformemente
continuas.
(a) La función f : R → R denida por f (x) = x2 , restringida a un intervalo
cerrado y acotado [−r, r]. Sugerencia: para > 0 tome δ = 2r+1
. Compare
con el comentario que está después del ejercicio 5.34.
(b) f : R → R denida por f (x) = x + 1.
x
.
(c) g : R → R denida por g(x) =
1 + x2
Ejemplo 6.31. Sean (X, d) un espacio métrico, A ⊆ X , x ∈ X y d(x, A) :=
ı́nf{d(x, a) | a ∈ A} la distancia de x a A. La función f : X → R denida por
f (x) = d(x, A) es uniformemente continua. Basta demostrar que para x, y ∈ X ,
|d(x, A)−d(y, A)| ≤ d(x, y); así, dado > 0, para δ = se sigue que si d(x, y) < δ
entonces |d(x, A) − d(y, A)| < . Nótese que
d(x, A) = ı́nf{d(x, a) | a ∈ A} ≤ ı́nf{d(x, y) + d(y, a) | a ∈ A}
= d(x, y) + ı́nf{d(y, a) | a ∈ A} = d(x, y) + d(y, A),
intercambiando x e y se obtiene que d(y, A) ≤ d(x, y) + d(x, A), con lo cual
d(x, A) − d(y, A) ≤ d(x, y) y d(y, A) − d(x, A) ≤ d(x, y),
lo que implica que |d(x, A) − d(y, A)| ≤ d(x, y).
Ejemplo 6.32. Sea (X, d) un espacio métrico, si se dota a X ×X con la métrica
del máximo d∞ = máx{d(x1 , y1 ), d(x2 , y2 )}, para x = (x1 , x2 ), y = (y1 , y2 )
(véase el ejemplo 5.11) entonces la función d : X × X → R es uniformemente
continua. Efectivamente, dado > 0 y tomando δ = /2 se sigue que si
d∞ (x, y) < δ entonces d(x1 , y1 ) < δ y d(x2 , y2 ) < δ. Como d(x1 , x2 ) ≤ d(x1 , y1 )+
6.2.
227
CONTINUIDAD EN ESPACIOS MÉTRICOS
d(y1 , y2 )+d(y2 , x2 ) entonces d(x1 , x2 )−d(y1 , y2 ) ≤ d(x1 , y1 )+d(x2 , y2 ) < 2δ = .
De forma análoga se concluye que d(y1 , y2 ) − d(x1 , x2 ) < , con lo cual
|d(x1 , x2 ) − d(y1 , y2 )| < .
Ejemplo 6.33. En (C(I, R), d∞ ) con I =R[0, 1] (véase la sección 5.4), la función
1
FI : C(I, R) → R denida por FI (f ) = 0 f (t)dt es uniformemente continua.
Basta vericar la siguiente desigualdad:
Z 1
Z 1
|FI (f ) − FI (g)| =
f (t)dt −
g(t)dt
0
0
Z 1
Z 1
d∞ (f, g)dt
|f (t) − g(t)| ≤
≤
0
0
= d∞ (f, g).
Así, si ε > 0 es suciente escoger δ = , de modo que, si d∞ (f, g) < δ se obtiene
que |FI (f ) − FI (g)| < ε.
Denición 6.34. Sean f : (X, d) → (Y, m) una función entre espacios métricos
y k > 0 un número real. Se dice que f es lipschitziana con constante de
Lipschitz k, si para cada par de puntos x, y ∈ X se cumple que m(f (x), f (y)) ≤
kd(x, y).
Nótese que toda isometría es una función lipschitziana con constante Lipschitz
k = 1. Además, las funciones lipschitzianas son casos particulares de las funciones
uniformemente continuas, hecho que se prueba a continuación.
Proposición 6.35. Toda función lipschitziana es uniformemente continua.
Demostración. Sean f : (X, d) → (Y, m) una función lipschitziana con constante
de Lipschitz k y > 0. Si se toma δ = k , d(x, y) < δ implica que m(f (x), f (y))
≤ kd(x, y) < kδ = .
228
CAPÍTULO 6.
FUNCIONES CONTINUAS Y HOMEOMORFISMOS
Ejemplo 6.36. Sean X un conjunto, (Y, m) un espacio métrico y f : X → Y
una función inyectiva. Se dene una métrica d∗ en X así:
d∗ (x, y) := m(f (x), f (y)).
La métrica d∗ es llamada métrica inducida por la función f . Para el caso
X = Y = R y m la métrica usual (distancia euclidiana) se obtienen distintas
métricas para R, según se considere a f . Por ejemplo:
(i) d∗ (x, y) = | arctan(x) − arctan(y)|,
(ii) d∗ (x, y) = |ex − ey |.
(iii) d∗ (x, y) = | x1 − y1 |, para R+ .
Nótese que f : (X, d∗ ) → (Y, m) es una isometría. Si además f es sobreyectiva,
entonces tanto f como f −1 resultan ser continuas.
Como una sucesión (xn ) de puntos de X es una función s : Z+ → X , entonces dada
una función f : X → Y , la función compuesta
s
f
Z+ →
− X→
− Y
es una sucesión de puntos de Y , es decir, f ◦ s : Z+ → Y está dada por
(f ◦ s)(n) = f (s(n)) = f (xn ); en otras palabras, f induce una sucesión (f (xn )) en
Y.
Una noción más general de continuidad entre espacios topológicos es la continuidad
secuencial o continuidad para sucesiones.
Denición 6.37. Sean f : (X, T ) → (Y, U) una función entre espacios
topológicos, (xn ) una sucesión de puntos de X y (f (xn )) la sucesión de puntos
de Y inducida por f . Se dice que f es secuencialmente continua o continua
para sucesiones si y solo si xn converge a x en el espacio (X, T ) implica que
f (xn ) converge a f (x) en (Y, U).
Las funciones continuas son secuencialmente continuas.
6.2.
CONTINUIDAD EN ESPACIOS MÉTRICOS
229
Proposición 6.38. Si f : (X, T ) → (Y, U) es una función continua entonces es
secuencialmente continua, es decir, xn converge a x en el espacio (X, T ) implica
que f (xn ) → f (x) en (Y, U).
Demostración. Sea Vf (x) una vecindad de f (x). Por la continuidad de f en el punto
x, existe Ux tal que f (Ux ) ⊆ Vf (x) . Como xn converge a x, para Ux existe N ∈ Z+
tal que xn ∈ Ux , para todo n ≥ N . De modo que f (xn ) ∈ f (Ux ) ⊆ Vf (x) , para todo
n ≥ N . Por lo tanto f (xn ) converge a f (x).
En el siguiente ejemplo se muestra una función que es secuencialmente continua pero
no continua, por lo tanto el recíproco de la proposición 6.38 no se cumple.
Ejemplo 6.39. Sean X un conjunto incontable, f : (X, Tcoc ) → (X, Tdis ) la
función idéntica, (xn ) una sucesión de puntos tal que xn converge a x en (X, Tcoc )
y {x1 , x2 , . . . } = {xn | n ∈ Z+ } el conjunto de puntos de la sucesión. Como xn
converge a x, entonces para la vecindad de x, Vx = X \ {xn | n ∈ Z+ y xn 6= x},
existe un entero positivo N tal que xn ∈ Vx , para todo n ≥ N , es decir, xn = x
para todo n ≥ N ; en otras palabras, (xn ) es una sucesión a la larga constante.
Nótese que xn converge a x en (X, Tdis ), pues dada una vecindad de x, Ux , se
considera el mismo entero N (por ser (xn ) a la larga constante y debido a que
x ∈ Ux ), de modo que xn ∈ Ux para todo n ≥ N . Ahora, como f (xn ) = xn
y f (x) = x entonces f (xn ) converge a f (x) en (X, Tdis ). Por lo tanto, f es
secuencialmente continua. Obsérvese que f no es continua, pues {x} ∈ Tdis
pero f −1 ({x}) = {x} ∈
/ Tcoc .
Para los espacios métricos se cumple el recíproco de la proposición 6.38, es decir, ser
continua es equivalente a ser secuencialmente continua.
Teorema 6.40. Una función f : (X, d) → (Y, m) entre espacios métricos es
continua si y solo si es secuencialmente continua.
Demostración. Por la proposición 6.38 se tiene que si f es continua, es
secuencialmente continua. En el otro sentido, se supone que f no es continua
en un punto x y se halla una sucesión (xn ) tal que xn converge a x pero f (xn ) no
230
CAPÍTULO 6.
FUNCIONES CONTINUAS Y HOMEOMORFISMOS
converge a f (x).
Si f no es continua en un punto x ∈ X , existe una bola abierta B (f (x)) para la cual
la imagen mediante f de ninguna bola con centro en x está contenida en B (f (x)).
En particular, para la sucesión de bolas
B1 (x), B 1 (x), B 1 (x), . . . , B 1 (x), . . . ,
2
3
n
se tiene que
f (B1 (x)) * B (f (x)), B 1 (x) * B (f (x)), . . . , B 1 (x) * B (f (x)), . . . .
2
n
Luego para cada n ∈ Z+ existe un elemento xn de X tal que xn ∈ B1/n (x) y
f (xn ) ∈
/ B (f (x)), con dichos elementos se construyen las sucesiones (xn ) y (f (xn )).
De lo anterior se sigue que:
(i) · · · ⊆ B 1 (x) ⊆ B 1 (x) ⊆ · · · ⊆ B 1 (x) ⊆ B1 (x).
n+1
n
2
(ii) xn converge a x; en efecto, dado δ > 0, existe N ∈ Z+ tal que N1 < δ (véase el
corolario 1.49), es decir, · · · ⊆ B 1 (x) ⊆ B 1 (x) ⊆ B 1 (x) ⊆ Bδ (x) y por lo
N +2
N +1
N
tanto xn ∈ Bδ (x) para todo n ≥ N .
(iii) f (xn ) 9 f (x), pues existe la bola abierta B (f (x)) tal que f (xn ) ∈
/ B (f (x))
+
para todo n ∈ Z .
Por lo tanto, (xn ) converge a x, pero f (xn ) no converge a f (x).
6.3. Espacios homeomorfos
En esta sección se hace la formalización de los objetos topológicamente equivalentes
mencionados en la sección 2.1. Estos objetos son llamados espacios homeomorfos.
Denición 6.41. Una función f : (X, T ) → (Y, U) entre espacios topológicos
se llama homeomorsmo si y solo si f es biyectiva y tanto f como f −1
son continuas. Se dice que (X, T ) es homeomorfo a (Y, U) si existe un
homeomorsmo f : (X, T ) → (Y, U).
6.3.
ESPACIOS HOMEOMORFOS
231
Ejemplo 6.42. Sean X
= {a, b, c, d} e Y = {1, 2, 3, 4}, dotados
de las topologías: T
=
{∅, X, {a}, {b}, {a, b}, {a, b, c}} y U
=
{∅, Y, {1}, {3}, {1, 3}, {1, 3, 4}} respectivamente. La función f : X → Y
dada por f (a) = 1, f (b) = 3, f (c) = 4 y f (d) = 2 es un homeomorsmo, ya
que f es biyectiva y tanto f como f −1 son continuas. Efectivamente,
f −1 (∅) = ∅ ∈ T ,
f −1 (Y ) = X ∈ T ,
f −1 ({1}) = {a} ∈ T ,
f −1 ({3}) = {b} ∈ T ,
f −1 ({1, 3}) = {a, b} ∈ T ,
f −1 ({1, 3, 4}) = {a, b, c} ∈ T ,
por lo tanto, f es continua; ahora,
f (∅) = ∅ ∈ U,
f (X) = Y ∈ U,
f ({a}) = {1} ∈ U,
f ({b}) = {3} ∈ U,
f ({a, b}) = {1, 3} ∈ U,
f ({a, b, c}) = {1, 3, 4} ∈ U,
en consecuencia, f −1 es continua.
Ejercicio 6.19. Analizar si la función idéntica i : (X, T ) → (X, U) es un
homeomorsmo, para X = {a, b, c, d}, T = {∅, X, {a}, {a, b}, {a, b, c}, {b}} y U =
{∅, X, {a}, {a, b}, {a, b, c}}.
Ejercicio 6.20. Analizar si la función idéntica i: (R, Tu ) → (R, Tcof ) es un
homeomorsmo.
Ejercicio 6.21. Repetir el ejercicio 6.20 combinando distintas topologías para R
(por lo menos tres ejemplos).
Ejercicio 6.22. Repetir el ejercicio 6.20 con otras funciones distintas de la idéntica
(por lo menos tres ejemplos).
232
CAPÍTULO 6.
FUNCIONES CONTINUAS Y HOMEOMORFISMOS
Ejercicio 6.23. Considérese la función exponencial f : R → R+ , es decir, f (x) = ex .
Demostrar que si R y R+ están dotados de la topología usual, entonces f es un
homeomorsmo.
Ejercicio 6.24. Analizar si la función idéntica i: (R2 , Tu ) → (R2 , Tlex ) es un
homeomorsmo.
Ejercicio 6.25. Repetir el ejercicio 6.24 combinando distintas topologías para R2
(por lo menos tres ejemplos).
Proposición 6.43. La función idéntica i
: (X, T ) → (X, U) es un
homeomorsmo si y solo si T = U.
Demostración. Supóngase que i : (X, T ) → (X, U) es un homeomorsmo y véase
que T = U. Sea V ∈ T , como i−1 es continua, entonces i(V ) = V ∈ U; así, T ⊆ U;
para la otra contenencia, sea U ∈ U, como i es continua, i−1 (U ) = U ∈ T . Así,
T = U. Para el otro sentido, supóngase que T = U y véase que i : (X, T ) → (X, U)
es un homeomorsmo, es decir, i es biyectiva y tanto i como i−1 son continuas. Ya
se sabe que i es biyectiva y si U ∈ U, U ∈ T ; así, U = i−1 (U ) ∈ T y por lo tanto i
es continua; si V ∈ T = U entonces i(V ) = V ∈ U; por lo tanto, i−1 es continua.
Cuando se haga referencia a la cardinalidad de un espacio topológico se debe
entender que es el cardinal del conjunto para el cual está denida la topología y
no el cardinal de la topología. Espacios discretos que sean homeomorfos tienen la
misma cantidad de elementos.
Proposición 6.44. Dos espacios discretos son homeomorfos si y solo si tienen
la misma cardinalidad.
Demostración. Supóngase que los espacios topológicos discretos (X, Tdis ) y (Y, Udis )
son homeomorfos, así que existe una función biyectiva entre X e Y , por lo tanto X
e Y tienen la misma cardinalidad (véase la denición 1.61 y la parte introductoria
de la subsección 1.3).
En el otro sentido, supóngase que X e Y tienen la misma cardinalidad y véase
que existe un homeomorsmo entre (X, Tdis ) y (Y, Udis ). Si X e Y tienen la misma
6.3.
233
ESPACIOS HOMEOMORFOS
cardinalidad, existe una función biyectiva f : X → Y (véase la denición 1.61 y
la parte introductoria de la subsección 1.3); sea V ∈ Udis , entonces f −1 (V ) ⊆ Y
y por lo tanto f −1 (V ) ∈ Tdis ; así, f es continua; si U ∈ Tdis entonces f (U ) ⊆
Y y por consiguiente f (U ) ∈ Udis ; así, f −1 es continua. En conclusión, f es un
homeomorsmo y por lo tanto (X, Tdis ) y (Y, Udis ) son homeomorfos.
Denición 6.45. Se dice que una función f : (X, T ) → (Y, U) es abierta, si
para todo U ∈ T , f (U ) ∈ U. Se dice que f es cerrada, si para todo cerrado C
en (X, T ), f (C) es un cerrado en U.
Nota 6.46. Sea f : (X, T ) → (Y, U) una función biyectiva entre espacios
topológicos.
(i) Por el teorema 6.6 se sigue que f es abierta si y solo si f −1 es continua,
además f es continua si y solo si f −1 es abierta.
(ii) Por el teorema 6.16, f es cerrada si y solo si f −1 es continua, además f
es continua si y solo si f −1 es cerrada.
(iii) De los dos ítems anteriores se concluye que f es un homeomorsmo si y
solo si f es abierta (o cerrada) y f −1 es abierta (o cerrada).
Ejemplo 6.47.
(i) f : R → R denida por f (x) := 1 − x2 es cerrada pero no abierta, pues
R ∈ Tu pero f (R) = (←, 1] ∈
/ Tu .
(ii) f : R → R denida por f (x) := ex es abierta pero no cerrada, pues R es
un cerrado pero f (R) = R+ no es un cerrado en la topología usual.
Ejercicio 6.26. Sea f : R → R la función denida por f (x) := x1 , con x ∈ R \ {0}.
2
Analizar si f es abierta y/o cerrada.
234
CAPÍTULO 6.
FUNCIONES CONTINUAS Y HOMEOMORFISMOS
Proposición 6.48. La inversa de un homoemorsmo es un homeomorsmo,
es decir, si f : (X, T ) → (Y, U) es un homeomorsmo, entonces f −1 : (Y, U) →
(X, T ) es un homeomorsmo.
Demostración. Si f : (X, T ) → (Y, U) es un homeomorsmo, entonces f es biyectiva
y continua, y f −1 es continua. Por lo tanto, f −1 es biyectiva y continua, y (f −1 )−1 = f
es continua. Así, f −1 : (Y, U) → (X, T ) es un homeomorsmo.
Proposición 6.49. La
composición de dos homeomorsmos es un
homeomorsmo, es decir, si f : (W, W) → (X, T ) y g : (X, T ) → (Y, U) son
homeomorsmos, entonces g ◦ f : (W, W) → (Y, U) es un homeomorsmo.
Demostración. Sean f : (W, W) → (X, T ) y g : (X, T ) → (Y, U) dos
homeomorsmos. Hay que demostrar que g ◦ f : (W, W) → (Y, U) es un
homeomorsmo. Sean w1 , w1 ∈ W , entonces (g ◦ f )(w1 ) = (g ◦ f )(w2 ) implica
(g(f (w1 )) = (g(f (w2 )), de donde (por la inyectividad de g ) f (w1 ) = f (w2 ), y por
tanto (por la inyectividad de f ) w1 = w2 ; así, g ◦ f es inyectiva. (g ◦ f )(W ) =
g(f (W )) = g(X) = Y , es decir, g ◦f es sobreyectiva. Por el teorema 6.15 se sigue que
g ◦ f es continua. Ahora, sea V ∈ W entonces por la continuidad de f −1 y el teorema
6.6, f (V ) ∈ T ; por la continuidad de g −1 y el teorema 6.6, (g ◦f )(V ) = g(f (V )) ∈ U,
así, por el teorema 6.6, (g ◦ f )−1 es continua.
Aunque en este texto se denió la relación de equivalencia sobre un conjunto X
(véase la denición 1.50), dicha denición es la misma si se hace sobre una colección
arbitraria. En la siguiente proposición se asume que la relación de equivalencia es
sobre la colección de los espacios topológicos.
Proposición 6.50. La relación ser homeomorfo denida en la colección de
todos los espacios topológicos es de equivalencia.
Demostración. La relación es reexiva, simétrica y transitiva:
(i) Reexiva: (X, T ) es homeomorfo a (X, T ), ya que la función idéntica de (X, T )
en (X, T ) es un homeomorsmo.
6.3.
ESPACIOS HOMEOMORFOS
235
(ii) Simétrica: si (X, T ) es homeomorfo a (Y, U), entonces existe un homeomorsmo
f : (X, T ) → (Y, U). Por la proposición 6.48 se obtiene que f −1 : (Y, U) →
(X, T ) es un homeomorsmo. Por consiguiente, (Y, U) es homeomorfo a (X, T ).
(iii) Transitiva: si (W, W) es homeomorfo a (X, T ) y (X, T ) es homeomorfo a
(Y, U), entonces existen homeomorsmos f : (W, W) → (X, T ) y g : (X, T ) →
(Y, U). Por la proposición 6.49 se tiene que g ◦ f : (W, W) → (Y, U) es un
homeomorsmo. Por lo tanto, (W, W) es homeomorfo a (Y, U).
De acuerdo con la proposición 6.50, se dice que dos espacios topológicos son
homeomorfos (equivalentes topológicamente, como se mencionó intuitivamente en
el capítulo 2), si existe un homeomorsmo entre estos. Por tal razón se dice que los
espacios topológicos que son homeomorfos entre si, pertenecen a la misma clase de
equivalencia topológica, como se había expresado de forma intuitiva en la sección 2.1.
A continuación se presentan algunos ejemplos de espacios o subespacios de (Rn , T )
que son topológicamente equivalentes con espacios o subespacios de (Rm , T ), donde
n, m ≥ 1. Esto es, homoemorsmos entre estos espacios o subespacios. Recuerde
que (Rn , T ) puede ser visto como el espacio métrico (Rn , d2 ), donde d2 es la métrica
usual (distancia euclidiana) en Rn .
Ejemplo 6.51. La función f : (R, Tu ) → (R, Tu ) dada por f (x) = 2x + 1 es un
homeomorsmo, su inversa es f −1 (y) = 12 (y − 1). Como las funciones f y f −1
son lineales y la topología para R es la usual, estas funciones son biyectivas y
continuas.
Ejemplo 6.52. Los subespacios [0, 1] y [a, b], de R con la topología usual
son homeomorfos, mediante el homeomorsmo f : [0, 1] → [a, b] denido por
f (x) := (b − a)x + a, con 1 ≤ x ≤ 0. Nótese que f tiene como inversa a
f −1 : [a, b] → [0, 1], denida por f −1 (y) := y−a
, con a ≤ y ≤ b y a < b. Como la
b−a
función f es lineal y la topología para R es la usual, f es biyectiva y continua;
f −1 también es continua, pues b − a > 0.
236
CAPÍTULO 6.
FUNCIONES CONTINUAS Y HOMEOMORFISMOS
Ejercicio 6.27. Desarrolle los siguientes ítems teniendo en cuenta el ejemplo 6.52.
(a) Escribir explícitamente un homeomorsmo entre los subespacios [0, 1] y [−2, 3].
(b) Demostrar que los subespacios [a, b] y [c, d] son homeomorfos.
(c) Establecer un homeomorsmo entre los subespacios [a, b] y [c, d].
(d) Escribir explícitamente un homeomorsmo entre los subespacios [−1, 1] y
[−2, 3].
(e) Justicando la respuesta, decidir si los subespacios (0, 1) y (a, b) son
homeomorfos.
(f) Justicando la respuesta, decidir si los subespacios (a, b) y (c, d) son
homeomorfos.
Ejemplo 6.53. El intervalo (−1, 1) y R son homeomorfos. Si se considera a R
con la topología usual y a (−1, 1) como subespacio de R con la topología usual,
la funcíon f : R → (−1, 1) denida por
f (x) :=
x
, con , x ∈ R
1 + |x|
es un homeomorsmo con inversa f −1 : (−1, 1) → R, denida por
f −1 (y) :=
y
, −1 < y < 1.
1 − |y|
Usando los criterios de continuidad de cálculo se sigue que f es continua,
ya que 0 ≤ |x| y por lo tanto 1 + |x| =
6 0; f −1 también es continua, ya que
0 ≤ |y| < 1 y por lo tanto 1 − |y| =
6 0. Para probar que f es biyectiva se utiliza
el teorema 1.63, es decir, se demuestra que f ◦ f −1 es la función idéntica en
(−1, 1) y que f −1 ◦ f es la función idéntica en R; así, también se verica que
f −1 es efectivamente la inversa de f .
Para ver f ◦ f −1 es la función idéntica en (−1, 1) se usa el hecho de que |y| < 1
y por lo tanto 1 − |y| > 0; así, |1 − |y|| = 1 − |y|.
y
(f ◦f
−1
)(y) = f (f
−1
y
y
y 1−|y|
1−|y|
1−|y|
=
(y)) = f
=
= 1−|y|+|y| = y.
y
|y|
1 − |y|
1 + 1−|y|
1 + 1−|y|
1−|y|
6.3.
237
ESPACIOS HOMEOMORFOS
Para ver que g ◦ f es la función idéntica en R se usa el hecho de que 1 + |x| > 0
y por lo tanto, |1 + |x|| = 1 + |x|.
(f −1 ◦ f )(x) = f −1 (f (x)) = f −1
x
1+|x|
=
x
1 − 1+|x|
x 1 + |x|
x
1+|x|
=
|x|
1 − |1+|x||
x
1+|x|
=
|x|
1 − 1+|x|
=
x
1+|x|
1+|x|−|x|
1+|x|
= x.
En consecuencia, el intervalo (−1, 1) y la recta real R son lo mismo en el sentido
topológico.
En general se tiene que cada intervalo abierto (a, b) es homeomorfo a R.
Ejemplo 6.54. Sean a, b ∈ R con a < b. El subespacio (a, b) es homeomorfo a
R con la topología usual, pues f : (a, b) → R denida por
f (x) :=
1
1
−
, a < x < b,
b−x x−a
es un homeomorsmo.
Ejercicio 6.28. Demostrar que la función f : (a, b) → R del ejemplo 6.54 es un
homeomorsmo.
Ejemplo 6.55. Otro homeomorsmo entre (−1, 1) y R es f : (−1, 1) → R
denido por
f (x) :=
x
, −1 < x < 1.
1 − x2
f tiene como inversa a f −1 : R → (−1, 1) con
f −1 (y) :=
2y
p
, y ∈ R.
1 + 1 + 4y 2
Ejercicio 6.29. Demostrar que la función f : (−1, 1) → R del ejemplo 6.55 es un
homeomorsmo.
238
CAPÍTULO 6.
FUNCIONES CONTINUAS Y HOMEOMORFISMOS
Ejemplo 6.56 (La proyección estereográca). Sea
S 2 := {(x, y, z) ∈ R3 | x2 + y 2 + z 2 = 1}.
La función f : S 2 \ {(0, 0, 1)} → R2 , dada por
ã
Å
x
y
f ((x, y, z)) :=
,
, (x, y, z) ∈ S 2 \ {(0, 0, 1)}
1−z 1−z
es un homeomorsmo, cuya inversa es
ã
Å
2v
u2 + v 2 − 1
2u
, (u, v) ∈ R2 .
g((u, v)) =
,
,
u2 + v 2 + 1 u2 + v 2 + 1 u2 + v 2 + 1
Teniendo en cuenta que la topología para R2 es la usual y la de S 2 es la topología
de subespacio de R3 con la topología usual, f es continua debido a que z 6= 1,
es decir, z − 1 6= 0; además, como u2 + v 2 + 1 ≥ 1 6= 0, se concluye que g es
continua. Para probar que f es biyectiva y que g es la inversa de f , considerando
el teorema 1.63, basta vericar que f ◦ g es la función idéntica en R2 y que g ◦ f
es la función idéntica en S 2 . En efecto,
ÅÅ
(f ◦ g)((u, v)) = f (g((u, v))) = f
!
=
2u
2v
u2 + v 2 − 1
,
,
u2 + v 2 + 1 u2 + v 2 + 1 u2 + v 2 + 1
2u
2v
2u
2v
u2 +v 2 +1
u2 +v 2 +1
u2 +v 2 +1
u2 +v 2 +1
2
2
−1
1 − uu2 +v
+v 2 +1
,
2
=
2
+v −1
1 − uu2 +v
2 +1
=
,
ãã
!
(u2 +v 2 +1)−(u2 +v 2 −1)
(u2 +v 2 +1)−(u2 +v 2 −1)
u2 +v 2 +1
u2 +v 2 +1
! Å
ã
2u
2v
2u 2v
u2 +v 2 +1
u2 +v 2 +1
,
=
,
= (u, v).
2
2
2 2
u2 +v 2 +1
u2 +v 2 +1
Ahora, para ver que g ◦ f es la función idéntica en S 2 se tiene en cuenta que
x2 + y 2 + z 2 = 1 y por lo tanto x2 + y 2 = 1 − z 2 .
6.3.
239
ESPACIOS HOMEOMORFOS
ÅÅ
x
y
,
1−z 1−z
ãã
(g ◦ f )((x, y, z)) = g(f ((x, y, z))) = g
2 2
!
y
y
x
x
2 1−z
2 1−z
+ 1−z
−1
1−z
= 2 2
, 2 2
, 2 2
y
y
y
x
x
x
+ 1−z + 1
+ 1−z + 1
+ 1−z
+1
1−z
1−z
1−z
!
2
2
2
x +y −(1−z)
2y
=
=
=
2x
1−z
,
x2 +y 2 +(1−z)2
2
(1−z)
(1−z)2
1−z
x2 +y 2 +(1−z)2
(1−z)2
, x2 +y2 +(1−z)2
(1−z)2
!
1 − z 2 − (1 − 2z + z 2 )
, 1−z2 +1−2z+z2 ,
1−z 2 +1−2z+z 2
1 − z 2 + 1 − 2z + z 2
1−z
1−z
!
!
2x
2y 2z − 2z 2
2x
2y
2z(1 − z)
= 2(1−z) , 2(1−z) ,
2−2z , 2−2z ,
2 − 2z
2(1 − z)
1−z
1−z
2x
2y
1−z
1−z
= (x, y, z).
Se concluye que la esfera en R3 con centro en el origen y radio 1, sin el punto
{(0, 0, 1)}, es lo mismo (desde el punto de vista topológico) que el plano R2 . En
la gura 6.7 se ilustra este ejemplo identicando R2 con el plano xy .
(x, y, z)
f ((x0 , y 0 , z 0 ))
f ((x, y, z))
(x0 , y 0 , z 0 )
Figura 6.7: La proyección estereográca del ejemplo 6.56
La proyección estereográca puede hacerse desde la esfera independientemente de su
posición relativa con respecto al plano. En la gura 6.8 se muestra una alternativa
que facilita la intuición de la proyección, ya que se ve que cada punto de la esfera
es proyectado sobre un punto del plano, ubicando la esfera sobre el plano de modo
que el plano sea tangente a la esfera en el polo sur.
240
CAPÍTULO 6.
FUNCIONES CONTINUAS Y HOMEOMORFISMOS
N
(x, y, z)
(x0 , y 0 , z 0 )
f ((x, y, z))
f ((x0 , y 0 , z 0 ))
Figura 6.8: La proyección estereográca sobre un plano bajo la esfera
Ejercicio 6.30. Deducir las fórmulas que describen el homeomorsmo entre la esfera
sin el polo norte y el plano, planteado por la proyección estereográca de la gura
6.8, considerando que el polo sur coincide con el origen del plano.
Ejemplo 6.57. Sean S 1 = {(x, y) ∈ R2 | x2 + y2 = 1} la circunferencia con
centro en el origen y radio 1 y R = {(x, y) ∈ R2 | |x| + |y| = 1} el rombo con
centro en el origen y radio 1. La función f : S 1 → R denida por
Å
ã
x
y
f ((x, y)) =
, (x, y) ∈ S 1
,
|x| + |y| |x| + |y|
es un homeomorsmo, con inversa
Å
ã
x
y
−1
f ((x, y)) =
,
, (x, y) ∈ R.
(x2 + y 2 )1/2 (x2 + y 2 )1/2
Por lo tanto, una circunferencia y un rombo son el mismo objeto, desde el punto
de vista topológico.
Ejercicio 6.31. Demostrar que la función f : S 1 → R del ejemplo 6.57 es un
homeomorsmo.
Ejemplo 6.58. Sean X = R2 \ {(0, 0)} y Y = {(x, y, z) ∈ R3 | x2 + y2 = 1}.
6.3.
ESPACIOS HOMEOMORFOS
241
La función f : X → Y denida por
ã
Å
x
y
1
2
2
f ((x, y)) =
,
, ln(x + y )
(x2 + y 2 )1/2 (x2 + y 2 )1/2 2
es un homeomorsmo, con inversa
f −1 ((u, v, w)) = (uew , vew ) .
Nótese que X es el plano sin el origen (plano punteado) e Y es una especie
de cilindro innito; así, el plano sin el origen es topológicamente igual a un
cilindro innito en el espacio.
Ejercicio 6.32. Demostrar que la función f del ejemplo 6.58 es un homeomorsmo.
Dados dos conjuntos totalmente ordenados X, Y , se dice que una función f : X → Y
es un isomorsmo de orden si es biyectiva y preserva el orden, es decir, a b si
y solo si f (a) f (b), para todo a, b ∈ X .
Ejemplo 6.59. Sean X, Y dos conjuntos totalmente ordenados, dotados de
las topologías del orden Tord y Uord , respectivamente. Cualquier isomorsmo de
orden f : X → Y es un homeomorsmo. En efecto:
* Por el hecho de ser isomorsmo de orden, f es biyectiva.
* Por el ejemplo 2.74, la topología del orden Uord tiene como una de sus bases
a la familia Bord cuyos elementos son todos los subconjuntos de Y de la
forma (y1 , y2 ), (y, →) y (←, y); como f es biyectiva y preserva el orden,
entonces f −1 también es biyectiva y preserva el orden; de esta manera
f −1 ((y1 , y2 )) = (f −1 (y1 ), f −1 (y2 )) ∈ Tord , f −1 ((y, →)) = (f −1 (y), →) ∈
Tord y f −1 ((←, y)) = (←, f −1 (y)) ∈ Tord . Por el corolario 6.9 se concluye
que f es continua.
* Por el ejemplo 2.74, Tord tiene como una de sus bases a la familia Bord
cuyos elementos son todos los subconjuntos de X de la forma (x1 , x2 ),
(x, →) y (←, x); como f es biyectiva y preserva el orden, f ((x1 , x2 )) =
242
CAPÍTULO 6.
FUNCIONES CONTINUAS Y HOMEOMORFISMOS
(f (x1 ), f (x2 )) ∈ Uord , f ((x, →)) = (f (x), →) ∈ Uord y f ((←, x)) = (←
, f (x)) ∈ Uord . Por el corolario 6.9 se sigue que f −1 es continua.
Ejercicio 6.33. Sean f : (X, T ) → (Y, U) un homeomorsmo y A un subconjunto
de X . Demostrar que la restricción f |A : (A, T [A]) → (f (A), U[f (A)]) es un
homeomorsmo.
Ejercicio 6.34. Demostrar que los espacios métricos isométricos son homeomorfos,
es decir, si f : (X, d) → (Y, m) es una isometría biyectiva entonces f es un
homeomorsmo, entendiendo que X está dotado de la topología generada por la
métrica d e Y está dotado de la topología generada por la métrica m.
Ejercicio 6.35. Demostrar que la función f : [0, 1) → S 1 denida por f (x) =
(cos 2πx, sin 2πx) es biyectiva y continua, pero no es un homeomorsmo, o sea, f −1
no es continua.
Ejercicio 6.36. Sean (X, T ), (Y, U) dos espacios topológicos, TΠ la topología
producto de X × Y , x0 ∈ X y y0 ∈ Y . Demostrar que las funciones, llamadas
inclusiones, e1 : X → X × Y y e2 : Y → X × Y dadas por e1 (x) = (x, y0 ) y
e2 (y) = (x0 , y) son continuas. Probar además que (X, T ) es homeomorfo a X × {y0 }
y (Y, U) es homeomorfo a {x0 } × Y .
6.4. Propiedades topológicas
Gran parte de la topología hace referencia al estudio de las propiedades topológicas
o invariantes topológicos. Una propiedad topológica o invariante topológico es una
propiedad que se preserva por homeomorsmos.
Denición 6.60. Una propiedad P de un espacio topológico (X, T ) se llama
propiedad topológica o invariante topológico, si todo espacio topológico
homeomorfo a (X, T ) tiene la propiedad P .
En base a la sección 2.1, un invariante topológico es una propiedad que se preserva
a pesar de que el espacio sea estirado, aplanado y/o girado.
6.4.
PROPIEDADES TOPOLÓGICAS
243
Teorema 6.61. La propiedad de ser 2-contable (denición 2.84) es un
invariante topológico.
Demostración. Para vericar esto, se supone que (X, T ) es 2-contable y que f :
(X, T ) → (Y, U) es un homeomorsmo y se demuestra que (Y, U) es 2-contable. Sea
f : (X, T ) → (Y, U) un homeomorsmo y B = {B1 , B2 , . . .} una base contable de
(X, T ). Nótese que f (B) = {f (B1 ), f (B2 ), . . .} es una base para la topología U, en
efecto:
(i) como f −1 es continua, entonces por el corolario 6.9 se tiene que f (Bi ) ∈ U
para cada i = 1, 2, . . . ;
(ii) sean V ∈ U e y ∈ V , debido a que f es sobreyectiva, existe x ∈ X tal que
f (x) = y ; como f es continua en x entonces para la vecindad V de y existe
una vecindad abierta Ux de x tal que f (Ux ) ⊆ V (véase la denición 6.1 y
la nota 6.2); por ser B una base para T , para x ∈ Ux existe Bi ∈ B tal que
x ∈ Bi ⊆ Ux , luego f (x) = y ∈ f (Bi ) ⊆ f (Ux ) ⊆ V .
De los ítems (i) y (ii) se sigue que f (B) = {f (B1 ), f (B2 ), . . .} es una base para U
(véase la denición 2.31). Como f (B) = {f (B1 ), f (B2 ), . . .} es una base contable
para U, se concluye que (Y, U) es 2-contable.
Teorema 6.62. La propiedad ser de Hausdor (denición 3.30) es un invariante
topológico.
Demostración. Sean (X, T ) un espacio de Hausdor y f : (X, T ) → (Y, U) un
homeomorsmo, hay que demostrar que (Y, U) es de Hausdor. Sean y1 , y2 ∈ Y con
y1 6= y2 , por ser f biyectiva existen x1 , x2 ∈ X con x1 6= x2 tales que f (x1 ) = y1 y
f (x2 ) = y2 ; por ser (X, T ) un espacio de Hausdor, para x1 y x2 existen vecindades
abiertas y disyuntas Vx1 , Vx2 . Como f −1 es continua, entonces por el teorema 6.6
se tiene que f (Vx1 ), f (Vx2 ) ∈ U; ahora teniendo en cuenta que Vx1 ∩ Vx2 = ∅ y
como f es inyectiva, entonces por la proposición 1.64 (viii), f (Vx1 ∩ Vx2 ) = f (Vx1 ) ∩
f (Vx2 ) = ∅. Así, f (Vx1 ) y f (Vx2 ) son vecindades disyuntas de f (x1 ) = y1 y f (x2 ) = y2
respectivamente. Por lo tanto, (Y, U) es de Hausdor.
244
CAPÍTULO 6.
FUNCIONES CONTINUAS Y HOMEOMORFISMOS
Denición 6.63. Se dice que un espacio topológico (X, T ) tiene la propiedad
del punto jo (PPF) si y solo si cada función continua g : (X, T ) → (X, T )
deja al menos un punto jo; esto es, existe x ∈ X tal que g(x) = x.
En el siguiente ejemplo se usa el teorema de Bolzano: sea f una función real
continua en un intervalo cerrado [a, b] con f (a) y f (b) de signos contrarios. Así que
existe al menos un punto c del intervalo abierto (a, b) con f (c) = 0.
Ejemplo 6.64. El intervalo [0, 1] como subespacio de (R, Tu ) tiene la PPF. En
efecto, sean g : [0, 1] → [0, 1] una función continua, hay que ver que g(x) = x,
para algún número real x ∈ [0, 1]; para tal n se dene una función f : [0, 1] → R
dada por f (x) = g(x) − x y se demuestra que f (x) = 0 para algún x ∈ [0, 1];
* Si g(0) = 0 entonces [0, 1] tiene la PPF.
* Si g(1) = 1 entonces [0, 1] tiene la PPF.
* Si g(0) > 0 y g(1) < 1 entonces se tiene que f (0) = g(0) − 0 > 0 y
f (1) = g(1) − 1 < 0. Como f es continua, entonces por el teorema de
Bolzano, existe un punto x tal que f (x) = 0. Así, 0 = g(x) − x y por lo
tanto g(x) = 0, con lo cual [0, 1] tiene la PPF.
Ejemplo 6.65. El intervalo (0, 1) como subespacio de (R, Tu ) no tiene la PPF.
Ciertamente, f : (0, 1) → (0, 1) denida por f (x) = x2 es una función continua
para la cual f (x) 6= x para todo x ∈ (0, 1), pues si f (x) = x entonces x2 = x y
así x(x − 1) = 0, con lo cual x = 0 ∈
/ (0, 1) o x = 1 ∈
/ (0, 1).
Teorema 6.66. La propiedad del punto jo es un invariante topológico.
Demostración. Sean (X, T ) un espacio topológico que tiene la PPF y f : (X, T ) →
(Y, U) un homeomorsmo; hay que demostrar que (Y, U) tiene la PPF. Sea g :
(Y, U) → (Y, U) una función continua, se debe encontrar y ∈ Y tal que f (y) = y .
Como las funciones f : X → Y , g : Y → Y y f −1 : Y → X son continuas,
6.4.
245
PROPIEDADES TOPOLÓGICAS
entonces por la propiedad asociativa de la composición de funciones y debido a que
la composición de funciones continuas es continua (teorema 6.15), se sigue que
f
g
f −1
X −−→ Y −−→ Y −−→ X
es continua, es decir, f −1 ◦ g ◦ f : X → X es continua. Debido a que (X, T ) tiene
la PPF, existe x ∈ X tal que (f −1 ◦ g ◦ f )(x) = x, evaluando a ambos lados por la
función f se cumple que
(f ◦ f −1 ◦ g ◦ f )(x) = (g ◦ f )(x) = g(f (x)) = f (x).
Como existe f (x) ∈ Y tal que g(f (x)) = f (x), entonces (Y, U) tiene la PPF.
Ejemplo 6.67. Ser acotado no es un invariante topológico, pues (-1,1) y R son
homeomorfos (véase el ejemplo 6.53), el intervalo (-1,1) es acotado, pero R no
es acotado.
Nota 6.68. De la denición de invariante topológico (denición 6.60) y
sabiendo que la relación ser homeomorfo es simétrica (véase la proposición 6.50),
se concluye:
(i) Si P es un invariante topológico y (X, T ), (Y, U) son dos espacios
topológicos homeomorfos, entonces (X, T ) tiene la propiedad P si y solo
si (Y, U) tiene la propiedad P .
(ii) Si P es una propiedad que se dene en términos de los elementos de un
conjunto X y de los elementos de una topología T para X , entonces P es
un invariante topológico.
(iii) Del ítem (i) se inere que si P es un invariante topológico, (X, T ) tiene
la propiedad P y (Y, U) no tiene la propiedad P , entonces (X, T ) y (Y, U)
no son homeomorfos.
¾Si P es un invariante topológico y (X, T ), (Y, U) tienen la propiedad P , se
puede armar que (X, T ) y (Y, U) son homeomorfos?
246
CAPÍTULO 6.
FUNCIONES CONTINUAS Y HOMEOMORFISMOS
Ejemplo 6.69. De la nota 6.68 (iii) se deduce que los subespacios [0, 1] y (0, 1)
no son homeomorfos, ya que la PPF es un invariante topológico (teorema 6.66)
y el subespacio [0, 1] tiene la PPF (ejemplo 6.64), pero el subespacio (0, 1) no
tiene la PPF (ejemplo 6.65).
Teorema 6.70. Si (X, T ) y (Y, U) son espacios topológicos homeomorfos,
entonces (X, T ) es metrizable si y solo si (Y, U) es metrizable.
Demostración. Sea f : (X, T ) → (Y, U) un homeomorsmo y supóngase que (X, T )
es metrizable; por consiguiente existe una métrica d sobre X que genera la topología
T , es decir, T = hdi = hB d i, donde B d = {Bd (x) | x ∈ X, > 0}. Con la
métrica d se dene la métrica inducida por la función f −1 (véase el ejemplo 6.36),
d∗ : Y × Y → R+ ∪ {0}, dada por
(6.1)
d∗ ((y1 , y2 )) := d(f −1 (y1 ), f −1 (y2 )).
∗
∗
∗
Sea B d = {Bd (y) | y ∈ Y, > 0}, se verá que hd∗ i = hB d i = U.
∗
∗
∗
∗
Sean U ∈ hB d i y z ∈ U , entonces existe Bd (y) ∈ B d tal que z ∈ Bd (y) ⊆ U .
∗
Como f −1 (z) ∈ Bd (f −1 (y)) se sigue que z ∈ f Bd (f −1 (y)) = Bd (y). Por
hipótesis se tiene que Bd (f −1 (y)) ∈ T , entonces por la continuidad de f −1 ,
∗
∗
Bd (y) = f (Bd (f −1 (y))) ∈ U. Conclusión: para cada z ∈ U existe Bd (y) ∈ U tal
∗
que z ∈ Bd (y) ⊆ U , es decir, U es unión de elementos de U (U es vecindad de
todos sus puntos) y por lo tanto U ∈ U.
Para la otra contenencia, sean V ∈ U e y ∈ V ; como f es biyectiva, existe un
único x ∈ X tal que f (x) = y , es decir, x = f −1 (y). Por la continuidad de f se
tiene que f −1 (V ) ∈ T , además como x ∈ f −1 (V ) y B d es una base para T , existe
Bd (f −1 (y)) ∈ B d tal que Bd (f −1 (y)) ⊆ f −1 (V ); por la denición de d∗ se tiene que
∗
∗
f (Bd (f −1 (y))) = Bd (y), entonces Bd (y) = f (Bd (f −1 (y)) ⊆ f (f −1 (V )) = V . Por
∗
∗
∗
lo tanto, para cada y ∈ V existe Bd (y) ∈ B d tal que Bd (y) ⊆ V , es decir, V es
∗
∗
unión de elementos de B d ; así, V ∈ hB d i = hd∗ i.
Se ha demostrado que ser metrizable es un invariante topológico, así que si (Y, U) es
metrizable, (X, T ) también es metrizable.
6.5.
CONTINUIDAD, ESPACIOS COCIENTE Y PRODUCTO
247
Ejercicio 6.37. Sea d∗ : Y × Y → R+ ∪ {0} la función denida por (6.1) en la
demostración del teorema 6.70.
(a) Demostrar que d∗ es una métrica para Y .
∗
(b) Demostrar que dado > 0 e y ∈ Y , f (Bd (f −1 (y))) = Bd (y).
6.5. Continuidad, espacios cociente y producto
En las secciones 4.2 y 4.3 se denieron y estudiaron algunas propiedades de los
espacios producto y cociente respectivamente. En esta sección se estudian algunas
propiedades de la continuidad en estos espacios topológicos.
Continuidad en el espacio cociente
Dados (X, T ) un espacio topológico y P una partición de X , por la proposición
4.37 y su demostración se obtiene el espacio cociente (P, Tρ ), donde ρ : X → P la
función cociente que asigna a cada punto x ∈ X el elemento Px de la partición que
lo contiene. Nótese que Tρ es la topología más na para P para la cual ρ es continua.
En general se tiene la siguiente propiedad.
Proposición 6.71. Sean (X, T ) un espacio topológico, f : X → Y una función
sobreyectiva y Tf la topología cociente para Y . Entonces Tf es la topología más
na para Y para la cual f : (X, T ) → (Y, Tf ) es continua.
Demostración. La topología cociente Tf se dene precisamente para que sea la
topología más na para Y , de tal forma que f : (X, T ) → (Y, Tf ) sea continua
(véase la denición 4.33).
Teorema 6.72. Sean (X, T ), (Z, W) dos espacios topológicos, P una partición
de X y (P, Tρ ) el espacio cociente. Una función f : (P, Tρ ) → (Z, W) es continua
si y solo si f ◦ ρ es continua, para ρ : (X, T ) → (Y, Tρ ).
Demostración. Por la proposición 6.71 se obtiene que ρ : (X, T ) → (Y, Tρ ) es
continua; así, si f es continua, entonces por el teorema 6.15 se tiene que f ◦ ρ
248
CAPÍTULO 6.
FUNCIONES CONTINUAS Y HOMEOMORFISMOS
es continua. En el otro sentido, para demostrar que f es continua se debe ver que
dado V ∈ W, f −1 (V ) ∈ Tρ . Sea V ∈ W, como f ◦ ρ es continua, (f ◦ ρ)−1 (V ) ∈ T ,
es decir, ρ−1 (f −1 (V )) ∈ T . Por la denición de la topología cociente Tρ se tiene que
f −1 (V ) ∈ Tρ .
Sean f : (X, T ) → (Y, U) una función continua y sobreyectiva entre espacios
topológicos, entonces P = {f −1 (y)}y∈Y es una partición de X . Sea Rf la relación de
equivalencia que se obtiene de P (véase la proposición 1.55), es decir, P = X/Rf .
Para cada x ∈ X , sean Px ∈ P tal que x ∈ Px y ρ : X → X/Rf denida por
ρ(x) = Px , así, la función hf : X/Rf → Y denida como hf (Px ) := f (x) está bien
denida y es biyectiva. Nótese que hf (Px ) = hf (ρ(x)) = f (x) implica que
f = hf ◦ ρ.
(6.2)
Teorema 6.73. Sea f : (X, T ) → (Y, U) una función continua y sobreyectiva.
Entonces la función hf : (X/Rf , Tρ ) → (Y, U denida por hf (Px ) = f (x) es
continua.
Demostración. Para demostrar que hf es continua, se verá que fh −1 (V ) ∈ Tρ , para
todo V ∈ U. Sea V ∈ U, como f es continua, f −1 (V ) ∈ T . Por la ecuación (6.2)
se sigue que f −1 = ρ−1 ◦ fh −1 , entonces f −1 (V ) = ρ−1 (fh −1 (V )) ∈ T . Por la
denición de topología cociente (véase la denición 4.33) se tiene que fh −1 (V ) ∈ Tρ .
En conclusión, fh es continua.
Corolario 6.74. Sea f : (X, T ) → (Y, U) una función continua y sobreyectiva.
Si f es abierta, entonces hf : (X/Rf , Tρ ) → (Y, U es un homeomorsmo.
Demostración. Sea f una función abierta, nótese que hf también es abierta. En
efecto: sea V ∈ Tρ , entonces ρ−1 (V ) ∈ T y como f es abierta, f (ρ−1 (V )) ∈ U; de
la ecuación (6.2) se inere que hf = f ◦ ρ−1 , por lo tanto hf (V ) ∈ U. Como hf
es biyectiva (véase el comentario antes del teorema 6.73) y abierta, entonces por la
nota 6.46 (i) se sigue que hf −1 es continua. Por el teorema 6.73 se concluye que fh
es continua. Por lo tanto, fh es un homeomorsmo.
Ejercicio 6.38. Demostrar que el corolario 6.74 también se cumple si f es una
función cerrada.
6.5.
CONTINUIDAD, ESPACIOS COCIENTE Y PRODUCTO
249
Si f : (X, T ) → (Y, U) es una función sobreyectiva y U = Tf = {V ⊆
Y | f −1 (V ) ∈ T }, se suele decir que Y tiene la mejor topología para la
cual f es continua. Obsérvese que (Y, U) es un espacio cociente llamado también
espacio identicación y que a la función cociente f se le llama también función
identicación.
Teorema 6.75. Sea f : (X, T ) → (Y, Tf ) una función identicación. Entonces
g : (Y, Tf ) → (Z, W) es continua si y solo si g ◦ f es continua.
Demostración. Como f es continua, y si g es continua, entonces g ◦ f es continua.
Para el otro sentido, sea V ∈ W; como g ◦ f es continua, ocurre que (g ◦ f )−1 (V ) =
f −1 (g −1 (V ) ∈ Tf y por la denición de Tf se tiene que g −1 (V ) ∈ Tf , lo que indica g
es continua.
Teorema 6.76. Si f : (X, T ) → (Y, Tf ) es una función identicación, entonces
(Y, Tf ) y (X/Rf , T(ρ) ) son homeomorfos.
Demostración. Como f : (X, T ) → (Y, Tf ) es una función continua y sobreyectiva,
entonces por el teorema 6.73 se tiene que la función biyectiva hf : (X/Rf , Tρ ) →
(Y, Tf ) denida por hf (Px ) = f (x) es continua. Falta demostrar que h−1
f es continua,
−1
sea V ∈ X/Rf , entonces ρ (V ) ∈ τ . Por la ecuación (6.2) se tiene que ρ−1 =
f −1 ◦ hf , así que ρ−1 (V ) = f −1 (hf (V )) ∈ τ y por la denición de Tf se concluye que
hf (V ) ∈ Tf . Por lo tanto, hf −1 es continua.
Ejemplo 6.77. Sean X = [0, 2π], Y = S 1 . f : X → Y denida como
f (x) := (cos(x), sen(x)) es una identicación, con lo cual S 1 ≈ [0, 2π]/R donde
R identica al punto 0 con 2π . Intuitivamente, se están pegando los extremos
del segmento para formar la circunferencia.
Ejemplo 6.78. Sean X = [0, 2π]×[0, 2π], Y = S 1 ×[0, 2π]. Entonces f : X → Y
denida como f (x, y) := (cos(x), sen(x), y) muestra que el cilindro S 1 × [0, 2π]
250
CAPÍTULO 6.
FUNCIONES CONTINUAS Y HOMEOMORFISMOS
es homeomorfo al cociente [0, 2π] × [0, 2π]/R, donde R es la relación denida

x = z ∧ y = y, si 0 < x < 2π, 0 ≤ y ≤ 2π;
(x, y)R(z, w) si y solo si
y = w
en otro caso.
Ejemplo 6.79 (Conos). Dado un espacio topológico (X, T ) sobre el espacio
producto X × [0, 1] considérese la relación de equivalencia R que identica el
segmento X × {1} a un solo punto. Al conjunto C(X) = X × [0, 1]/R con la
topología cociente respecto a la función q : X × [0, 1] → C(X) se le denomina
el cono de X . Si X = S 1 entonces S 1 × I es un cilindro ordinario y C(S 1 )
es obtenido al contraer la parte superior a un único punto; esto es, C(S 1 ) es
realmente homeomorfo a un cono y este, a su vez, a un disco cerrado.
Teorema 6.80. Sea f : (X, T ) → (Y, U) una función continua y sobreyectiva.
Si además f es abierta o cerrada, entonces f es una identicación, es decir,
U = Tf .
Demostración. Sea V ∈ U, como f es continua entonces f −1 (V ) ∈ T y por la
denición de Tf se sigue que V ∈ Tf , por lo tanto U ⊆ Tf . Para la otra contenencia,
sea U ∈ Tf , entonces f −1 (U ) ∈ T y como f es abierta se tiene que f (f −1 (U )) ∈ U;
pero f también es sobreyectiva, luego f (f −1 (U )) = U ∈ U. Si f es cerrada, el
razonamiento es análogo cambiando abierto por cerrado.
Continuidad en el espacio producto
En la topología producto para una familia {(Xi , Ti )}i∈I de espacios topológicos se
tiene que las proyecciones son funciones continuas.
Proposición 6.81. Sean {(Xi , Ti )}i∈I una familia de espacios topológicos, X =
Q
i∈I Xi el producto cartesiano de la familia, TΠ la topología producto para X y
6.5.
CONTINUIDAD, ESPACIOS COCIENTE Y PRODUCTO
251
pi : X → Xi tal que (xi )i∈I 7→ xi (la i-ésima proyección). Entonces para cada
i ∈ I , pi : (X, TΠ ) → (Xi , Ti ) es una función abierta, continua y sobreyectiva.
Demostración. Primero se demostrará que para cada i ∈ I , pi es abierta. Sea V ∈ TΠ ,
entonces por la dención de la topología producto TΠ (véase la denición 4.25),
S
Q
V = j∈J Bj , donde cada Bj es un abierto básico de la forma Bj = i∈I Ui tal que
Ui ∈ Ti para cada i ∈ I y Ui = Xi para todos los índices i ∈ I , salvo un número
nito de ellos. Así, pi (Bj ) = Ui ∈ Ti , para cada i ∈ I . Debido a que la unión de
abiertos es un abierto y además por la proposición 1.64 (ii) se tiene que para toda
función, la imagen de la unión de una familia de subconjuntos es igual a la unión de
la familia de las imágenes, se concluye que
pi (V ) = pi
[
j∈J
[
pi (Bj ) ∈ Ti .
Bj =
j∈J
Por lo tanto, pi es una función abierta, para cada i ∈ I .
Q
Se verá ahora que cada pi es continua. Sea Vj ∈ Tj , entonces p−1
j (Vj ) =
i∈I Vi , con
−1
Vi = Xi para todo i ∈ I \ {j}. Así, pj (Vj ) ∈ TΠ (denición 4.25). Por el teorema
6.6 se tiene que pi es continua.
Por la denición de producto cartesiano se sigue que para cada i ∈ I , pi es
sobreyectiva.
El siguiente teorema se conoce como la propiedad universal del espacio producto.
Teorema 6.82 (Propiedad universal). Sean {(Xi , Ti )}i∈I una familia de
Q
espacios topológicos, X = i∈I Xi el producto cartesiano, (X, TΠ ) el espacio
producto y {pi : (X, TΠ ) → (Xi , Ti )}i∈I la familia de proyecciones. Para cada
espacio topológico (Z, U) y cada familia de funciones continuas {fi : (Z, U) →
(Xi , Ti )}i∈I , existe una única función continua f : (Z, U) → (X, TΠ ) tal que
fi = pi ◦ f , para cada i ∈ I .
252
CAPÍTULO 6.
FUNCIONES CONTINUAS Y HOMEOMORFISMOS
Demostración. El siguiente diagrama ilustra las funciones del teorema:
f
pp
pp
+
Y
i∈I
Xi , TΠ
pp
pi
p
pp
p
(Z, U)
fi
?
- (Xi , Ti )
Dado z ∈ Z se tiene que fi (z) ∈ Xi , para cada i ∈ I , entonces se dene f : Z →
Q
X = i∈I Xi por f (z) := (fi (z))i∈I . Nótese que f está bien denida y (pi ◦ f )(z) =
pi (f (z)) = pi ((fi (z))) = fi (z), por lo tanto pi ◦ f = fi . Se demostrará ahora que
f es continua, para tal n se usará el corolario 6.9. Sea B un abierto básico de la
topología TΠ , así que por la nota 4.28,
−1
−1
B = p−1
i1 (Ui1 ) ∩ pi2 (Ui2 ) ∩ · · · ∩ pin (Uin ),
con i1 , i2 , . . . , in nitos índices de I . Por lo tanto,
−1
−1
−1
−1
−1
f (B) = f
pi1 (Ui1 ) ∩ pi2 (Ui2 ) ∩ · · · ∩ pin (Uin )
−1 −1
= f −1 (p−1
(pi2 (Ui2 )) ∩ · · · ∩ f −1 (p−1
i1 (Ui1 )) ∩ f
in (Uin ))
= (pi1 ◦ f )−1 (Ui1 ) ∩ (pi2 ◦ f )−1 (Ui2 ) ∩ · · · ∩ (pin ◦ f )−1 (Uin )
= fi−1
(Ui1 ) ∩ fi−1
(Ui2 ) ∩ · · · ∩ fi−1
(Uin ).
n
1
2
Como por hipótesis, fi1 , fi2 , . . . , fin son funciones continuas, entonces por el teorema
6.6 se sigue que para 1 ≤ k ≤ n, fi−1
(Uik ) es un abierto en la topología U de Z . Ya
k
que la intersección nita de abiertos es un abierto,
f −1 (B) = fi−1
(Ui1 ) ∩ fi−1
(Ui2 ) ∩ · · · ∩ fi−1
(Uin ) ∈ U.
n
1
2
Así, f es continua.
Para demostrar la unicidad de f , si existe g : (Z, U) → (X, TΠ ) tal que pi ◦ g = fi ,
para cada i ∈ I , entonces dado z ∈ Z , g(z) = (zi )i∈I con zi = (pi ◦ g)(z) = fi (z),
luego por hipótesis g(z) = (fi (z))i∈I = f (z), por lo tanto g = f .
Nótese que en el teorema 6.82 se aplica la propiedad universal del espacio producto
Q
( i∈I Xi , TΠ ) y la familia de proyecciones {pi : (X, TΠ ) → (Xi , Ti )}i∈I al espacio
6.5.
CONTINUIDAD, ESPACIOS COCIENTE Y PRODUCTO
253
topológico (Z, U) y la familia de funciones continuas {fi : (Z, U) → (Xi , Ti )}i∈I .
Dada una familia de espacios topológicos {(Xi , Ti )}i∈I su espacio producto
Q
( i∈I Xi , TΠ ) está caracterizado unívocamente, salvo homeomorsmos, en el sentido
del siguiente teorema.
Teorema 6.83. Sean (P, W) un espacio topológico y {fi : (P, W) →
(Xi , Ti )}i∈I una familia de funciones continuas con la propiedad universal
(teorema 6.82), es decir, para cada familia de funciones continuas {gi : (Z, U) →
(Xi , Ti )}i∈I , existe una única función continua g : (Z, U) → (P, W) tal que para
Q
cada i ∈ I , fi ◦ g = gi . Entonces (P, W) es homeomorfo a ( i∈I Xi , TΠ ).
Demostración. Usando el teorema 6.82, si se aplica la propiedad universal del espacio
Q
producto ( i∈I Xi , TΠ ) y la familia de proyecciones {pi : (X, TΠ ) → (Xi , Ti )}i∈I
al espacio topológico (P, W) y la familia de funciones continuas {fi : (P, W) →
Q
(Xi , Ti )}i∈I , existe una única función continua f : (P, W) → ( Xi , TΠ ) tal que
pi ◦ f = fi , lo cual se ilustra en el siguiente diagrama:
(P, W)
f
pp
pp
+
Y
Xi , TΠ
pp
pi
i∈I
p
p
pp
fi
?
- (Xi , Ti )
Ahora, aplicando la propiedad universal del espacio topológico (P, W) y la familia de
Q
funciones continuas {fi : (P, W) → (Xi , Ti )}i∈I al espacio topológico ( i∈I Xi , TΠ )
Q
y la familia de funciones continuas {pi : ( i∈I Xi , TΠ ) → (Xi , Ti )}i∈I se tiene que
Q
existe una única función continua g : ( i∈I Xi , TΠ ) → (P, W) tal que fi ◦ g = pi ,
como se ilustra en el siguiente diagrama:
Y
Xi , T Π
i∈I
p
pp
g
p
pp
(P, W)
pp
fi
p
pp
pi
?
- (Xi , Ti )
254
CAPÍTULO 6.
FUNCIONES CONTINUAS Y HOMEOMORFISMOS
Luego para cada i ∈ I , fi ◦(g ◦f ) = (fi ◦g)◦f = pi ◦f = fi ; similarmente pi ◦(f ◦g) =
pi . Aplicando la propiedad universal del espacio topológico (P, W) y la familia de
funciones continuas {fi : (P, W) → (Xi , Ti )}i∈I al espacio topológico (P, W) y la
familia de funciones continuas {fi : (P, W) → (Xi , Ti )}i∈I , por la unicidad de las
funciones, se sigue que f ◦ g = i : P → P (la función idéntica en P ), este hecho se
ilustra en el siguiente diagrama:
(P, W)
i
p
pp
(P, W)
p
pp
fi
pp
p
pp
pp
fi
?
- (Xi , Ti )
Q
Con un razonamiento análogo al anterior se prueba que g ◦ f : ( i∈I Xi , TΠ ) →
Q
Q
Xi . Por el teorema 1.63 se sigue que f
( i∈I Xi , TΠ ) es la función idéntica en
−1
es biyectiva con inversa g . Como f y f
= g son continuas, entonces f es un
Q
homeomorsmo y por lo tanto (P, W) es homeomorfo a ( i∈I Xi , TΠ ).
Q
Sea f : X → i∈I Yi una función, a la función compuesta
f
X→
−
Y
pi
→ Yi
Yi −
i∈I
se le llama función coordenada y se denota por fi , es decir, fi = pi ◦ f : X → Yi .
Usualmente se nota la función f = (fi )i∈I , empleando las funciones coordenadas fi .
En la siguiente proposición se muestra la relación entre la continuidad de f y la de
sus funciones coordenadas fi .
Proposición 6.84. Sean {(Yi , Ti )}i∈I una familia de espacios topológicos y
Q
(X, T ) un espacio topológico. La función f : (X, T ) → ( i∈I Yi , TΠ ) es continua
en el punto x si y solo si fi : (X, T ) → (Yi , Ti ) es continua, para cada i ∈ I , en
otros términos, cada una de las funciones coordenadas es continua.
Demostración. Por la proposición 6.81 se tiene que pi es una función continua; así, si
f es continua en x, entonces la función compuesta fi = pi ◦ f es continua en el punto
Q
x. En el otro sentido, supóngase que cada fi es continua en x y sea B = i∈I Vi
6.6.
255
TOPOLOGÍAS INICIAL Y FINAL
un abierto básico de TΠ que contiene a f (x). Nótese que Vi 6= Yi solo para un
número nito de subíndices, además fi (x) ∈ Vi y Vi ∈ Ti , para cada i ∈ I . Por la
continuidad de fi en x se deduce que fi−1 (Vi ) ∈ T (véase el teorema 6.5). Luego,
T
x ∈ f −1 (B) = i∈I fi−1 (Vi ) ∈ T , pues fi−1 (Vi ) = X para casi todo i ∈ I , excepto
para nitos índices i. Así que para la vecindad abierta básica B de f (x) existe
una vecindad abierta de x, f −1 (B) tal que f (f −1 (B)) ⊆ B . Si para una vecindad
abierta básica B de f (x) se cumple que existe una vecindad abierta de x, f −1 (B)
tal que f (f −1 (B)) ⊆ B , con mayor razón se cumple para vecindades abiertas y más
generalmente para cualquier vecindad de f (x). Por lo tanto, f es continua en el
punto x.
6.6. Topologías inicial y nal
Sean X un conjunto no vacío, {(Yi , Ti )}i∈I una familia de espacios topológico y
{ϕi }i∈I una familia de funciones, de modo que para cada i ∈ I , ϕi : X → Yi . La
idea es denir una topología sobre X de suerte que todas las funciones ϕi sean
continuas. Este problema así enunciado resulta trivial, ya que la topología discreta
sobre X tiene esta propiedad, sin embargo, el problema es interesante y resulta de
gran utilidad si se busca la topología menos na sobre X para la cual todas las
funciones de esta familia sean continuas.
Denición 6.85. Sean X un conjunto no vacío, {(Yi , Ti )}i∈I una familia de
espacios topológicos y ϕ = {ϕi : X → Yi }i∈I una familia de funciones. A la
mínima topología en X que hace que cada una las funciones de ϕ sean continuas
se le llama topología inicial asociada a ϕ y se nota por Tϕ .
Teorema 6.86. Sean X un conjunto no vacío, {(Yi , Ti )}i∈I una familia de
espacios topológicos, ϕ = {ϕi : X → Yi }i∈I una familia de funciones y ϕ−1
i (Ti ) =
−1
{ϕi (V )}V ∈Ti . Entonces
[
D=
ϕ−1
i (Ti )
i∈I
es una subbase para una topología sobre X .
Demostración. Como X ∈ ϕ−1 (Ti ) cualquiera sea i ∈ I , entonces
S
D = X.
256
CAPÍTULO 6.
FUNCIONES CONTINUAS Y HOMEOMORFISMOS
Teorema 6.87. Sean X un conjunto no vacío, {(Yi , Ti )}i∈I una familia de
espacios topológicos, ϕ = {ϕi : X → Yi }i∈I una familia de funciones y Tϕ la
topología generada por la subbase D del teorema 6.86.
(i) Para cada i ∈ I , la función ϕi : (X, Tϕ ) → (Yi , Ti ) es continua.
(ii) Si T es una topología para X donde cada ϕi es continua, entonces Tϕ ⊆ T .
Demostración. Sea Tϕ la topología generada por la subbase D.
−1
(i) Si V ∈ Ti entonces por la construcción de Tϕ , ϕ−1
i (V ) ∈ ϕi (Ti ) ⊆ D ⊆ Tϕ ,
por lo tanto ϕi es continua.
(ii) Supóngase que ϕi : (X, T ) → (Yi , Ti ) es continua y sea D ∈ D, entonces
−1
D ∈ ϕ−1
i (Ti ), para algún ∈ I ; por lo tanto D = ϕi (V ) para algún V ∈ Ti .
Como ϕi es continua, entonces D = ϕ−1
i (V ) ∈ T y así D ⊆ T ; por el teorema
2.87 se concluye que Tϕ ⊆ T .
Por el teorema 2.87 se tiene que para la subbase D del teorema 6.86 existe una
única topología T para la cual los elementos de D son abiertos, y cualquier otra
topología T 0 que contenga a D es más na que T . Del teorema 6.87 se concluye que
la topología generada por la subbase D es la topología inicial Tϕ asociada a la familia
de funciones ϕ, es decir, V ∈ Tϕ si y solo si V se puede expresar como una unión de
intersecciones nitas de elementos de D (véase la demostración del teorema 2.87).
Ejemplo 6.88. La continuidad de las proyecciones es una condición que se
debe tener en la topología producto, ya que generalmente se dene la topología
producto como la topología generada por la subbase D = {p−1
i (Vi ) | i ∈ I, Vi ∈
Ti } de la nota 4.28. En tal caso, los elementos de la base generada por D son
de la forma
−1
−1
B = p−1
i1 (Ui1 ) ∩ pi2 (Ui2 ) ∩ · · · ∩ pin (Uin ),
con i1 , i2 , . . . , in nitos índices de I . La base generada por D coincide con la
base de la denición 4.25 de topología producto. Por lo tanto, si {(Xi , Ti )}i∈I
Q
es una familia de espacios topológicos, X = i∈I Xi el producto cartesiano y
6.6.
TOPOLOGÍAS INICIAL Y FINAL
257
Π = {pi : X → (Xi , Ti )}i∈I es la familia de proyecciones, entonces la topología
Q
producto TΠ es la topología inicial para i∈I Xi .
Ejemplo 6.89. Sean los conjuntos X = {a, b, c, d}, Y
= {1, 2, 3} y la
topología para Y , U = {∅, Y, {1}, {3}, {1, 3}}. Sea f : X → Y la función
dada por f (a) = 1, f (b) = 2, f (c) = 3 y f (d) = 3. La topología
inicial para X asociada a la familia ϕ = {f } es la topología generada
por la subbase D = {f −1 (∅), f −1 (Y ), f −1 ({1}), f −1 ({3}), f −1 ({1, 3})} =
{∅, X, {a}, {c, d}, {a, c, d}}. Entonces D = Tϕ = {∅, X, {a}, {c, d}, {a, c, d}}.
Ejemplo 6.90. Dados un espacio topológico (X, T ) y A ⊆ X , la topología
inicial para A asociada a la familia unitaria {j : A → X} con j la función
inclusión es la topología de subespacio T [A].
¾Si la familia ϕ consta de una sola función f : X → (Y, U), ¾qué relación hay
entre la subbase D = {f −1 (V ) | V ∈ U} y la topología inicial Tϕ ?
Ejemplo 6.91. Sea X = {a, b, c, d}, Y1 = {1, 2, 3, 4}, Y2 = {m, n}, T1 =
{∅, Y1 , {1}, {1, 3}, {1, 2, 4}} una topología para Y1 y T2 = {∅, Y2 , {n}} una
topología para Y2 . Se consideran las funciones
ϕ1 : X → Y1 denida por ϕ1 (a) = 2, ϕ1 (b) = 2, ϕ1 (c) = 3, ϕ1 (d) = 3,
ϕ2 : X → Y2 denida por ϕ2 (a) = m, ϕ2 (b) = n, ϕ2 (c) = n, ϕ2 (d) = m.
−1
Entonces ϕ−1
1 (T1 ) = {∅, X, {a, b}, {c, d}} y ϕ1 (T2 ) = {∅, X, {b, c}}. Por lo
tanto,
−1
D = ϕ−1
1 (T1 ) ∪ ϕ1 (T2 ) = {∅, X, {a, b}, {c, d}, {b, c}}
es una subbase para la topología inicial Tϕ de X , asociada a familia de funciones
ϕ = {ϕ1 , ϕ2 }. La base generada por D es
B = {∅, X, {a, b}, {c, d}, {b, c}, {b}, {c}}
258
CAPÍTULO 6.
FUNCIONES CONTINUAS Y HOMEOMORFISMOS
y la topología generada por B es la topología inicial para X , es decir,
Tϕ = hBi = {∅, X, {a, b}, {c, d}, {b, c}, {b}, {c}, {a, b, c}, {b, c, d}}.
Ejercicio 6.39. Sean X = {a, b, c, d}, Y1 = {1, 2, 3, 4}, Y2 = {m, n}, T1 =
{∅, Y1 , {3}} una topología para Y1 , T2 = {∅, Y2 , {m}} una topología para Y2 ,
ϕ1 : X → Y1 la función denida por ϕ1 (a) = 2, ϕ1 (b) = 2, ϕ1 (c) = 3, ϕ1 (d) = 3 y
ϕ2 : X → Y2 la función denida por ϕ2 (a) = m, ϕ2 (b) = n, ϕ2 (c) = n, ϕ2 (d) = m.
Hallar la topología inicial Tϕ de X , asociada a familia de funciones ϕ = {ϕ1 , ϕ2 }.
La convergencia de sucesiones en la topología inicial asociada a la familia de
funciones ϕ queda completamente determinada a partir de la acción de cada una de
las funciones de ϕ.
Teorema 6.92. Sean X un conjunto no vacío, {(Yi , Ti )}i∈I una familia de
espacios topológicos, ϕ = {ϕi : X → Yi }i∈I una familia de funciones y Tϕ la
topología inicial asociada a ϕ. Si (xn ) es una sucesión en X y x ∈ X , entonces,
xn converge a x en (X, Tϕ ) si y solo si ϕi (xn ) converge a ϕi (x) en (Yi , Ti ), para
cada i ∈ I .
Demostración. Sea (xn ) una sucesión en X y x ∈ X . Como cada función ϕi es
continua, entonces por la proposición 6.38 se tiene que si xn converge a x en (X, Tϕ )
entonces ϕi (xn ) converge a ϕi (x). Para el recíproco, basta demostrar que dada una
vecindad abierta básica B de x existe un entero positivo N tal que xn ∈ B para
todo n ≥ N , pues cualquier vecindad de x contiene una vecindad abierta básica de
x. Por el teorema 6.86 se sigue que
[
D = {ϕ−1
i (V ) | V ∈ τi }
i∈I
es una subbase para Tϕ y por lo tanto todas las intersecciones nitas de elementos de
D constituyen una base para Tϕ . Sea B una vecindad abierta básica de x, entonces
−1
x ∈ B = ϕ−1
i1 (Vi1 ) ∩ · · · ∩ ϕim (Vim ), con i1 , . . . , im ∈ I y Vik ∈ Tik , para 1 ≤ k ≤ m.
Así, ϕik (x) ∈ Vik y como por hipótesis se tiene que ϕik (xn ) → ϕik (x) para 1 ≤ k ≤ m,
entonces para cada 1 ≤ k ≤ m existe un entero positivo Nk tal que ϕik (xn ) ∈ Vik
para todo n ≥ Nk . Sea N = máx{N1 , N2 , . . . , Nm }, entonces ϕik (xn ) ∈ Vik para todo
−1
n ≥ N y por lo tanto xn ∈ ϕ−1
i1 (Vi1 ) ∩ · · · ∩ ϕim (Vim ) = B , para todo n ≥ N . Por
consiguiente, xn converge a x.
6.6.
259
TOPOLOGÍAS INICIAL Y FINAL
Si (Z, W) es un espacio topológico y f : Z → X es una función, la continuidad de f
también puede ser caracterizada por la acción de las funciones ϕi . Es decir, con la
topología inicial se pueden caracterizar las funciones continuas con codominio X .
Teorema 6.93. Sea f
: (X, Tϕ ) → (Z, U) una función entre espacios
topológicos, donde Tϕ es la topología inicial asociada a la familia de funciones
ϕ = {ϕi : X → Yi }i∈I . Entonces f es continua si y solo si ϕi ◦ f es continua
para cada i ∈ I .
Demostración. Se tiene el siguiente diagrama conmutativo:
(Z, U)
f
(X, Tϕ )
ϕi ◦f
ϕi
?
- (Yi , ϕi )
Si f es continua, las funciones compuestas ϕi ◦ f son continuas, pues cada ϕi es
continua. En el otro sentido, para demostrar que f es continua se usa el corolario 6.11
teniendo en cuenta que D es una subbase para Tϕ . Sea D ∈ D, entonces D = ϕ−1
i (V )
para algún i ∈ I con V ∈ Ti . Por hipótesis se tiene que ϕi ◦ f es continua, para cada
i ∈ I ; entonces para V ∈ Ti , (ϕi ◦ f )−1 (V ) ∈ U, es decir, f −1 (ϕ−1
i (V )) ∈ U y como
−1
−1
D = ϕi (V ), f (D) ∈ U. Por el corolario 6.11 se sigue que f es continua.
Análogo al razonamiento que se hace en la construcción de topología inicial, es el
siguiente razonamiento para la construcción de la topología nal.
Sean Y un conjunto no vacío, {(Xi , Ti )}i∈I una familia de espacios topológico y
∆ = {δi }i∈I una familia de funciones, de modo que para cada i ∈ I , δi : Xi → Y . La
idea es denir la mejor topología sobre Y de modo que todas las funciones δi sean
continuas. La topología inicial es la topología menos na para X que hace a una
familia de funciones continuas, para el caso de una familia de funciones δi : Xi → Y
se busca la topología más na para Y tal que todas las funciones δi sean continuas,
pues si Y tiene la topología trivial, entonces cada δi es continua, ya que δi−1 (∅) =
∅ ∈ Ti y δi−1 (Y ) = Xi ∈ Ti . La pregunta es si existe una topología para Y más na
que la topología trivial de tal forma que cada δi : Xi → Y sea continua.
260
CAPÍTULO 6.
FUNCIONES CONTINUAS Y HOMEOMORFISMOS
Teorema 6.94. Sean Y un conjunto no vacío, {(Xi , Ti )}i∈I una familia de
espacios topológico y ∆ = {δi : Xi → Y }i∈I una familia de funciones. Entonces
T4 = {V ⊆ Y | δi−1 (V ) ∈ Ti , para todo i ∈ I}
es la topología más na para Y tal que cada δi es continua.
Demostración. Se demuestra primero que T4 es una topología para Y . Como para
cada i ∈ I , δi−1 (∅) = ∅ ∈ Ti entonces ∅ ∈ T4 . También ocurre que si para cada i ∈ I ,
δi−1 (Y ) = Xi ∈ Ti , entonces Y ∈ T4 . Sea ahora {Vj }j∈J ⊆ T4 , como para cada i se
S
tiene que δi−1 (Vj ) ∈ Ti , entonces j∈J δi−1 (Vj ) ∈ Ti ; como la unión de las imágenes
inversases la imagen
inversa de la unión (véase la proposición 1.64 (iv)), se tiene
S
S
−1
que δi
j∈J Vj ∈ Ti , por lo tanto
j∈J Vj ∈ T4 . Sean ahora U, V ∈ T4 , entonces
δi−1 (U ), δi−1 (V ) ∈ Ti para todo i ∈ I , por lo tanto δi−1 (U )∩δi−1 (V ) = δi−1 (U ∩V ) ∈ Ti
para todo i ∈ I ; así, U ∩ V ∈ T4 .
Si T es otra topología para Y estrictamente más na que T4 entonces existe U ∈ T
tal que U ∈
/ T4 ; así, existe i ∈ I tal que δi−1 (U ) ∈
/ Ti y en consecuencia Ti no es
continua, lo cual es contradictorio.
Denición 6.95. Sean Y un conjunto no vacío, {(Xi , Ti )}i∈I una familia de
espacios topológico y ∆ = {δi : Xi → Y }i∈I una familia de funciones. La
topología T4 del teorema 6.94 se llama topología nal para Y asociada a la
familia ∆.
Ejemplo 6.96. Sean Y un conjunto, (X, T ) un espacio topológico y f :
(X, T ) → Y una función. Entonces la topología nal para Y asociada a la
familia de funciones 4 = {f } es
T4 = {V ⊆ Y | f −1 (V ) ∈ T }.
En particular, si X = {a, b, c, d} está dotado de la topología T =
{∅, X, {b}, {c}, {b, c}, {a, b, c}} y la función f : X → Y , donde Y = {1, 2, 3},
6.6.
261
TOPOLOGÍAS INICIAL Y FINAL
está dada por f (a) = 2, f (b) = 1, f (c) = 3 y f (d) = 2. Entonces
T4 = {∅, Y, {1}, {3}, {1, 3}}.
Nótese que aunque {a, b, c} ∈ T , no hay un subconjunto de Y cuya imagen
inversa por f sea {a, b, c}.
Ejemplo 6.97. Sean X1 = {1, 2, 3, 4}, X2 = {m, n, o, p}, Y = {x, y, x, w},
T1 = {∅, X1 , {1}, {1, 3}, {1, 3, 4}} una topología para X1 y T2 = {∅, X2 , {n}}
una topología para X2 . Se consideran las funciones δ1 : X1 → Y denida por
δ1 (1) = x, δ1 (2) = y , δ1 (3) = z , δ1 (4) = z y δ2 : X2 → Y denida por
δ2 (m) = y , δ2 (n) = w, δ2 (o) = y , δ2 (p) = y .
Para hallar la topología nal T∆ para Y se buscan los subconjuntos V de Y
tales que δ1−1 (V ) ∈ T1 y δ2−1 (V ) ∈ T2 .
δ1−1 (∅) = ∅ ∈ T1
y
δ1−1 (Y ) = X1 ∈ T1
δ2−1 (∅) = ∅ ∈ T2 ,
y
y
δ1−1 ({x}) = {1} ∈ T1
δ1−1 ({w}) = ∅ ∈ T1
δ2−1 (Y ) = X2 ∈ T2 ,
y
δ1−1 ({x, w}) = {1} ∈ T1
δ2−1 ({x}) = ∅ ∈ T2 ,
δ2−1 ({w}) = {n} ∈ T2 ,
y
δ1−1 ({x, z}) = {1, 3, 4} ∈ T1
δ1−1 ({x, z, w}) = {1, 3, 4} ∈ T1
δ2−1 ({x, w}) = {n} ∈ T2 ,
y
δ2−1 ({x, z}) = ∅ ∈ T2 ,
y
δ2−1 ({x, z, w}) = {n} ∈ T2 .
Por el teorema 6.94 se tiene que la topología nal para Y asociada a la familia
de funciones ∆ = {δ1 , δ2 } es
T4 = {∅, Y, {x}, {w}, {x, w}, {x, z}, {x, z, w}}.
Nótese que por ejemplo δ1−1 ({x, y, z}) = X1 ∈ T1 pero δ2−1 ({x, y, z}) =
{m, o, p} ∈
/ T2 , o δ2−1 ({y, z, w}) = X2 ∈ T2 pero δ1−1 ({y, z, w}) = {2, 3, 4} ∈
/ T1 .
Por lo tanto, {x, y, z} ∈
/ T4 y {x, z, w} ∈
/ T4 .
Ejercicio 6.40. Considérense los conjuntos X1 , X2 y Y del ejemplo 6.97 y las
topologías T1 = {∅, X1 , {1}, {1, 2}} y T2 = {∅, X2 , {m}, {m, n}} para X1 y X2
262
CAPÍTULO 6.
FUNCIONES CONTINUAS Y HOMEOMORFISMOS
respectivamente. Sean δ1 : X1 → Y y δ2 : X2 → Y las funciones denidas en el
ejemplo 6.97. Hallar la topología nal T∆ para Y asociada a la familia de funciones
∆ = {δ1 , δ2 }.
Ejemplo 6.98. Sean (X, T ) un espacio topológico, Y un conjunto cualquiera
y f : X → Y una función sobreyectiva. Entonces la topología nal para Y
asociada a la única función f es precisamente la topología cociente Tf para Y ,
que es inducida por f (véase la denición 4.33), es decir, la topología cociente
es una topología nal.
La topología nal para Y sirve para caracterizar la continuidad de las funciones que
tienen como dominio a Y .
Teorema 6.99. Sean Y un conjunto no vacío, {(Xi , Ti )}i∈I una familia de
espacios topológico, ∆ = {δi : Xi → Y }i∈I una familia de funciones y T4 la
topología nal para Y asociada a la familia ∆. Entonces f : (Y, T4 ) → (Z, U)
es continua si y solo si f ◦ δi es continua, para todo i ∈ I .
Demostración. Se tiene el siguiente diagrama:
(Xi , Ti )
δi
(Y, T4 )
f ◦δi
f
?
- (Z, U)
Como cada δi es continua, entonces si f es continua, cada función compuesta f ◦ δi
es continua. En el otro sentido, sea V ∈ U, como por hipótesis se tiene que f ◦ δi es
continua para todo i ∈ I , entonces (f ◦δi )−1 (V ) = δi−1 (f −1 )(V ) ∈ Ti para todo i ∈ I .
Por la forma como se denió T4 se obtiene que f −1 )(V ) ∈ T4 y en consecuencia f
es continua.
Capítulo 7
Filtros, topología generalizada y
estructura minimal
En este capítulo se denen y estudian algunas propiedades de otras estructuras para
un conjunto X distintas a una topología: ltro, topología generalizada y estructura
minimal. Similar a la denición de topología, un ltro, una topología generalizada
y una estructura minimal son familias de subconjuntos de X que cumplen ciertas
propiedades. Un ltro para X es una familia no vacía de subconjuntos no vacíos
de X que es cerrada para superconjuntos y cerrada para intersecciones nitas. Una
topología generalizada es una familia no vacía de subconjuntos X que contiene a
vacío y es cerrada para uniones arbitrarias. Una estructura minimal es una familia
de subconjuntos de X que contiene a ∅ y a X como elementos. Téngase en cuenta
que una topología para X es tanto topología generalizada como estructura minimal.
Como vacío es un elemento de una topología, de una topología generalizada y de
una estructura minimal, entonces ningunas de estas familias es un ltro.
7.1. Filtros
Los ltros aparecen por primera vez en 1908 en un trabajo de Riez (véase [5]), su
importancia en topología se debe a que la convergencia de sucesiones puede ser
presentada en términos de ltros y, a su vez, porque son utilizados para probar de
forma más simple algunos resultados en topología.
263
264
CAPÍTULO 7.
7.1.1.
FILTROS, TOP. GENERALIZADA Y ESTR. MINIMAL
Denición y ejemplos
Denición 7.1. Dado un conjunto X , se dice que una subfamilia F de ℘(X)
es un ltro para X , si se cumplen las siguientes propiedades:
[F1] F 6= ∅ y ∅ ∈
/ F.
[F2] Todo subconjunto de X que contiene a un elemento de F pertenece a F,
es decir, si F ∈ F y F ⊆ G entonces G ∈ F.
[F3] La intersección de cualquier par de elementos de F pertenece a F, es decir,
si F1 , F2 ∈ F entonces F1 ∩ F2 ∈ F.
Ejemplo 7.2 (Un ltro para un conjunto nito). Sea X = {a, b, c}, luego
F = {{a}, {a, b}, {a, c}, X} es un ltro para X . Nótese que G = {{b}, {a, b}, X}
no es un ltro para X , pues {b} ∈ G y {b} ⊆ {b, c} pero {b, c} ∈
/ G.
Ejemplo 7.3 (El menor ltro para X ). Sea X un conjunto no vacío. La
familia F = {X} es un ltro para X .
Nota 7.4. Ya que todos los elementos de un ltro para X son subconjuntos de
X , por la propiedad [F2] de la denición 7.1 se cumple que X ∈ F, para todo
ltro F de X . Por lo tanto, no existen ltros para el conjunto ∅, así, cada vez
que se haga referencia a ltro para X se entiende que X 6= ∅. Nótese también
que en un ltro no hay conjuntos disyuntos.
Ejercicio 7.1. Dar un ejemplo de un ltro para X = {a, b, c} que tenga 2 elementos
y un ejemplo de un ltro que tenga 4 elementos.
¾Existe un ltro para X = {a, b, c} que tenga 3 elementos?
Ejercicio 7.2. Encontrar todos los ltros para X = {a, b}.
Ejercicio 7.3. Encontrar todos los ltros para X = {a, b, c}.
7.1.
265
FILTROS
Ejercicio 7.4. Justicando la respuesta, determinar si la familia de subconjuntos
de R es un ltro para R.
(a) {R, R \ {0}}.
(d) {R, R \ {2, 3}}
(b) {R, R \ {0}, R \ {1}}.
(e) {R, R \ {0}, R \ {1}, R \ {0, 1}}.
(c)
{R, Q, N}.
¾Existe un ltro para R con tres elementos?
Sean X un conjunto innito, F un ltro para X y un conjunto nito F ∈ F. Entonces
F tiene innitos elementos. En efecto: X \ F es un conjunto innito y para cada
x ∈ X \ F , F ⊆ F ∪ {x}. Así, por lo menos F ∪ {x} ∈ F para cada x ∈ X \ F .
Ejemplo 7.5 (Filtro de vecindades). En un espacio topológico (X, T ), el
conjunto V(x) de todas las vecindades de x ∈ X es un ltro para X . En efecto:
[F1] V(x) 6= ∅ pues X ∈ V(x) y ∅ ∈
/ V(x).
[F2] se tiene por la proposición 3.4 ítem (i).
[F3] se tiene por la proposición 3.4 ítem (ii).
Ejemplo 7.6 (Filtro elemental asociado a una sucesión, Fa ). Sea (an )
n
una sucesión de elementos de un conjunto X . Se dene la familia Fan de
subconjuntos de X así: F ∈ Fan si y solo si existe un entero positivo m tal que
an ∈ F , para todo n ≥ m, es decir, Fan está formada por todos los subconjuntos
de X que contienen a casi todos los términos de la sucesión. Nótese que Fan es
un ltro para X . A continuación se verican las condiciones.
[F1] Como para m = 1, an ∈ X , para todo n ≥ m, entonces X ∈ Fan y por
lo tanto Fan 6= ∅. Ya que los términos de una sucesión son innitos, la
denición de Fan implica que ∅ ∈
/ Fan .
[F2] Sean F ∈ Fan y G ⊆ X tal que F ⊆ G. Para F existe un entero positivo
m tal que an ∈ F , para todo n ≥ m, por lo tanto para G se tiene el mismo
entero m tal que an ∈ F ⊆ G, para todo n ≥ m. Entonces G ∈ Fan .
266
CAPÍTULO 7.
FILTROS, TOP. GENERALIZADA Y ESTR. MINIMAL
[F3] Sean F, G conjuntos en Fan . Existen enteros positivos m, p tales que an ∈
F , para todo n ≥ m y an ∈ G, para todo n ≥ p. Sea q = máx{m, p},
luego an ∈ F ∩ G, para todo n ≥ q . Por lo tanto, F ∩ G ∈ Fan .
El ltro Fan se puede expresar en símbolos así: sean k un entero positivo y
Xk = {ak , ak+1 , . . .}, entonces
Fan = {F ⊆ X | Xk ⊆ F para algún entero positivo k}.
El ltro Fan se llama ltro elemental asociado a una sucesión (an ).
Ejemplo 7.7. Sean (X, T ) un espacio topológico, A ⊆ X y x ∈ A. La familia
F = {Vx ∩ A | Vx ∈ V(x)} es un ltro para A. A continuación se verican las
condiciones.
[F1] Como X es una vecindad de x, entonces X ∩ A = A ∈ F, por lo tanto
F =
6 ∅. Ya que x ∈ A, por la denición 3.36 se cumple que Vx ∩ A 6= ∅,
para toda Vx ∈ V(x). Así, ∅ ∈
/ F.
[F2] Sean Vx ∩A ∈ F y sea B ⊆ A tal que Vx ∩A ⊆ B , luego B = B ∪(Vx ∩A) =
(B ∪ Vx ) ∩ (B ∪ A) = (B ∪ Vx ) ∩ A. Como B ∪ Vx es una vecindad de x
resulta que B = (B ∪ Vx ) ∩ A ∈ F.
[F3] Supóngase que V ∩ A ∈ F y U ∩ A ∈ F , entonces (V ∩ A) ∩ (U ∩ A) =
(V ∩ U ) ∩ A ∈ F , pues U, V ∈ V(x) implica que V ∩ U ∈ V(x) (véase la
proposición 3.4 parte (ii)).
Ejemplo 7.8 (Filtro de complementos nitos, Fcof ). Dado un conjunto
innito X , la familia
Fcof = {A ⊆ X | Ac es nito}
es un ltro.
[F1] Como el complemento de X es ∅ y este es un conjunto nito, se cumple
7.1.
267
FILTROS
que X ∈ Fcof , por lo tanto Fcof 6= ∅. Como el complemento de ∅ es X , el
cual es innito, entonces ∅ ∈
/ Fcof .
[F2] Sean A ∈ Fcof y A ⊆ B . Como B c ⊆ Ac (véase la proposición 1.9 (xiii))
y Ac es nito, entonces B c es nito, así B ∈ Fcof .
[F3] Sean A, B conjuntos en Fcof . Nótese que A ∩ B 6= ∅, pues si A ∩ B = ∅
entonces (A ∩ B)c = Ac ∪ B c = X sería un conjunto nito (teniendo en
cuenta que Ac y B c son nitos), lo cual es contradictorio. Ahora, como
Ac y B c son nitos, el conjunto (A ∩ B)c = Ac ∪ B c es un conjunto nito
y en consecuencia A ∩ B ∈ Fcof .
Ejemplo 7.9 (Filtro de complementos contables, Fcoc ). Dado un conjunto
incontable X , la familia
Fcoc = {F ⊆ X | F c es contable}
es un ltro para X .
Ejercicio 7.5. Demostrar que Fcoc es un ltro para un conjunto incontable X .
¾Cuál es la diferencia entre los elementos del conjunto Tcof del ejemplo 2.20 y
los elementos de Fcof del ejemplo 7.8?
¾Cuál es la diferencia entre los elementos del conjunto Tcoc del ejemplo 2.22 y
los elementos de Fcoc del ejemplo 7.9?
La siguiente proposición indica que a cada ltro para un conjunto X le corresponde
una topología.
Proposición 7.10. Sea F un ltro para un conjunto X . Entonces T = F ∪ {∅}
es una topología para X y (X, T ) no es de Hausdor.
Demostración. Sea F un ltro para un conjunto X y sea T = F ∪ {∅}.
AT1 Por la denición de T , ∅ ∈ T . Por la nota 7.4 se tiene que X ∈ F y por lo
tanto X ∈ T .
268
CAPÍTULO 7.
FILTROS, TOP. GENERALIZADA Y ESTR. MINIMAL
S
AT2 Sea {Ui }i∈I ⊆ T . Si I es vacío, entonces i∈I Ui = ∅ ∈ T . Si I es un conjunto
S
unitario, entonces i∈I Ui = Ui ∈ F ∪ {∅} = T . Si I tiene más de un elemento,
S
para algún j ∈ I se tiene que Uj ∈ F, y como Uj ⊆ i∈I Ui entonces por la
S
propiedad [F2] de la denición de ltro se concluye que i∈I Ui ∈ F ⊆ T .
AT3 Sean U, V ∈ T . Si U o V es vacío, U ∩ V = ∅ ∈ T . Si U 6= ∅ y V 6= ∅ entonces
U, V ∈ F y por la propiedad [F3], U ∩ V ∈ F ⊆ T .
Así, T es una topología para X . Por otra parte, si se supone que (X, T ) es de
Hausdor, dados x, y ∈ X con x 6= y , existen vecindades abiertas Vx y Vy de x e y
respectivamente tales que Vx ∩ Vy = ∅. Como Vx 6= ∅ y Vy 6= ∅ entonces Vx , Vy ∈ F y
por lo tanto Vx ∩ Vy = ∅ ∈ F, lo cual es contradictorio. En consecuencia (X, T ) no
es de Hausdor.
Denición 7.11. Sea F un ltro para un conjunto X . La topología T = F ∪
{∅} se llama topología ltrosa. En otras palabras, una topología T se llama
ltrosa si T \ {∅} es un ltro para X .
Ejemplo 7.12. Sea X un conjunto innito, entonces Tcof es una topología
ltrosa, pues Tcof = Fcof ∪ {∅}. Si X es un conjunto incontable, entonces Tcoc
es una topología ltrosa, pues Tcoc = Fcoc ∪ {∅}.
Ejercicio 7.6. Determinar cuáles de las siguientes topologías para R son ltrosas.
(a) Tu .
(b) Tp .
(c)
Ttriv .
(d) Tdip .
(e)
T(?,→) .
Ejercicio 7.7. Se consideran los conjuntos D(n) de los divisores de n para cada
n ∈ N (como en el ejercicio 1.21), es decir, D(n) = {x ∈ N | x|n}. Justicando la
respuesta, decidir si la familia {D(n) | n ∈ N} es un ltro para N.
Denición 7.13. Dados dos ltros F, G sobre el mismo conjunto X , se dice
que F es más no que G (o que G es menos no que F) si G ⊆ F.
7.1.
269
FILTROS
Ejemplo 7.14.
(i) Si T y T 0 son dos topologías sobre el mismo conjunto X tales que T es
más na que T 0 , entonces para cada x ∈ X , el ltro V1 (x) de vecindades
de x en la topología T es más no que el ltro V2 (x) de vecindades de x
en la topología T 0 .
(ii) Sea (an ) una sucesión de elementos de un conjunto X y sea (bn ) una
subsucesión de (an ). Sean Fan el ltro asociado a la sucesión (an ) (como
en el ejemplo 7.6) y Gbn el ltro asociado a la subsucesión (bn ). El ltro
Gbn es más no que el ltro Fan .
Análogo al caso de topologías, la intersección de ltros de un mismo conjunto X es
un ltro para X .
Proposición 7.15. Sea {Fi }i∈I una familia de ltros para un conjunto X .
Entonces F =
T
i∈I Fi es un ltro para X .
Demostración. Sea {Fi }i∈I una familia de ltros para un conjunto X .
[F1] Como X ∈ Fi para todo i ∈ I , entonces X ∈ F, es decir, F 6= ∅. Nótese que
∅∈
/ F ya que ∅ ∈
/ Fi para todo i ∈ I .
[F2] Sean F ∈ F y G ⊆ X tal que F ⊆ G. Como F ∈ Fi para todo i ∈ I , entonces
G ∈ Fi para todo i ∈ I ; así, G ∈ F.
[F3] Sean F, G ∈ F, entonces F, G ∈ Fi para todo i ∈ I y por lo tanto F ∩ G ∈ Fi
para todo i ∈ I . Así, F ∩ G ∈ F.
El ltro F de la proposición anterior es menos no que cada uno de los ltros Fi .
Teorema 7.16. Una familia F no vacía de subconjuntos no vacíos de X es un
ltro para X si y solo si se cumple A ∩ B ∈ F ⇔ A ∈ F y B ∈ F.
Demostración. Sea F un ltro y supóngase que A ∩ B ∈ F. Como A ∩ B ⊆ A y
A ∩ B ⊆ B , la condición [F2] de la denición de ltro implica que A ∈ F y B ∈ F.
Además, si A ∈ F y B ∈ F entonces por ser F un ltro, A ∩ B ∈ F.
270
CAPÍTULO 7.
FILTROS, TOP. GENERALIZADA Y ESTR. MINIMAL
En el otro sentido, como F es una familia no vacía de subconjuntos no vacíos, la
condición [F1] se satisface. Para vericar la condición [F2], sea F ∈ F y G ⊆ X
tal que F ⊆ G, entonces F = F ∩ G ∈ F; por la hipótesis se tiene que G ∈ F. La
condición [F3] es consecuencia directa de la hipótesis.
Ejemplo 7.17. Sea n ∈ N y D(n) el conjunto de divisores de n, es decir,
D(n) = {x ∈ N | x|n}. El teorema 7.16 garantiza que D = {D(n) | n ∈ N} no
es un ltro para N, pues D(4) = {1, 2, 4} = {1, 2, 3, 4} ∩ {1, 2, 4, 5} ∈ D, pero
{1, 2, 4, 5} ∈
/ D.
Proposición 7.18. No existen ltros con tres elementos.
Demostración. Si X tiene un único elemento, el único ltro para X tiene un único
elemento. Si X tiene exactamente dos elementos, cada ltro para X tiene a lo sumo
dos elementos. Sea X un conjunto con más de dos elementos y supóngase que hay
un ltro F = {X, A, B} para X . Sin pérdida de generalidad se puede asumir que
A ( B y B ( X . Sea x ∈ X \ B , entonces se debe tener que A ∪ {x} ∈ F, lo cual
no es posible.
Ejercicio 7.8. Para el conjunto N, dar ejemplos de ltros con dos, cuatro y ocho
elementos.
¾Hay un ltro para N con cinco elementos?
¾Hay un ltro para N con seis elementos?
Proposición 7.19. Cada ltro nito para un conjunto X tiene 2n elementos,
para algún n ∈ N.
Demostración. Sea F = {F1 , . . . , Fm } un ltro para X con m elementos. Nótese que
en general cada Fk es de la forma X\Ak con Ak un subconjunto nito de X ; en efecto:
si X es nito, entonces Ak es nito, si X es innito y si para algún k = 1, . . . , m, Ak
fuese innito, entonces F tendría innitos elementos, ya que por la condición [F2]
ocurriría que Fk ∪ {x} ∈ F para cada x ∈ Ak . Por la condición [F3] se tiene que
F1 ∩· · ·∩Fm ∈ F, es decir, F1 ∩· · ·∩Fm = Ac1 ∩· · ·∩Acm = (A1 ∪· · ·∪Am )c = Fs , para
7.1.
FILTROS
271
algún s entre 1 y m. Entonces As = A1 ∪ · · · ∪ Am = máx{A1 , . . . , Am } (respecto
a la contenencia), con |As | = n para algún n ∈ N. La condición [F2] implica que
F = {X \ B | B ⊆ As }; así, F tiene m = 2n elementos.
Ejercicio 7.9. Sean X un conjunto innito, X + = X ∪ {ω} con ω un elemento que
no pertenece a X y F un ltro para X .
S
(a) Demostrar que G(F) = ℘(X)
F ∪ {ω} | F ∈ F es una topología para X + .
(b) Sea x ∈ X ¾Quién es V(x)?
(c) ¾Quién es V(ω)?
(d) Demostrar que si F1 , F2 son ltros para X y F1 ⊆ F2 entonces G(F1 ) ⊆ G(F2 ).
7.1.2.
Bases y subbases para un ltro
Denición 7.20. Dado un ltro F se dice que B ⊆ F es una base para F si y
solo si dado F ∈ F existe B ∈ B tal que B ⊆ F .
Nótese que todo ltro F es base para F.
Ejemplo 7.21. Sea (an ) una sucesión de elementos de un conjunto X y sea
Ap = {an | n ≥ p}. Entonces B = {Ap | p ∈ Z+ } es una base para el ltro Fan
del ejemplo 7.6. En efecto: sea F ∈ Fan , entonces existe m ∈ Z+ tal que an ∈ F
para todo n ≥ m, por lo tanto Am ⊆ F .
Ejercicio 7.10. Sea V(x) el ltro del ejemplo 7.5.
(a) Demostrar que el conjunto de las vecindades abiertas del punto x ∈ X es una
base para el ltro V(x).
(b) Demostrar que cada sistema fundamental de vecindades de x es una base para
el ltro V(x).
Ejercicio 7.11. El ltro Fcof para N es llamado el ltro de Fréchet.
(a) Se denen en N las colas a derecha cerradas Sn := {n, n + 1, . . .}. Demostrar
que B := {Sn | n ∈ N} es base para Fcof .
(b) Demostrar que el ltro de Fréchet es el ltro elemental asociado a una sucesión.
272
CAPÍTULO 7.
FILTROS, TOP. GENERALIZADA Y ESTR. MINIMAL
Teorema 7.22. Una familia B ⊆ ℘(X) es base para un único ltro F de X si
y solo si se cumplen las siguientes propiedades
(i) B 6= ∅ y ∅ ∈
/ B,
(ii) Dados B1 , B2 ∈ B , existe B3 ∈ B tal que B3 ⊆ B1 ∩ B2 , es decir, la
intersección de dos elementos de B contiene un elemento de B .
Demostración. Se dene el ltro F como el conjunto de todos los superconjuntos de
los elementos de B y se denota por F = h B i, es decir,
F := {F ⊆ X | B ⊆ F para algún B ∈ B} = h B i.
Obsérvese que F = h B i se denió de tal forma que sea un ltro. F = h B i es único,
pues si G también tiene como base a B entonces G ⊆ F. Para la otra contenencia,
como B ⊆ G, entonces dado F ∈ F existe B ∈ B ⊆ G tal que B ∈ F con lo cual
F ∈ G, ya que G es un ltro.
Denición 7.23. Una familia de subconjuntos B que satisface las condiciones
(i) y (ii) del teorema 7.22 se llama base de ltro en X y el ltro F = hBi de
la demostración del teorema 7.22 se denomina el ltro generado por B .
Ejemplo 7.24. Sean X un conjunto y A un subconjunto no vacío de X . La
familia B = {A} es base de ltro. El ltro FA = h{A} i se llama ltro principal
asociado a A.
Ejemplo 7.25. La familia B = {{0}, {0, 1}, {0, 2}} es base de ltro para el
conjunto X = {0, 1, 2, 3}. El ltro generado por B está dado por F = hBi =
{{0}, {0, 1}, {0, 2}, {0, 3}, {0, 1, 2}, {0, 1, 3}, {0, 2, 3}, X}.
Ejercicio 7.12. ¾Es B = {{0, 1}, {2, 3}} base de ltro en X = {0, 1, 2, 3}? Justicar
la respuesta.
7.1.
FILTROS
273
Ejemplo 7.26. Sean n ∈ N y D(n) el conjunto de divisores de n (como en el
ejercicio 1.21). Nótese que la familia D = {D(n) | n ∈ N} es base de ltro en
N, pues D cumple las dos condiciones del teorema 7.22. En efecto:
(i) D 6= ∅ ya que por ejemplo D(2) = {1, 2} ∈ D. Además, ∅ ∈
/ D, ya que 1
es divisor de todo número natural (incluyendo al cero, 1|0 ya que 10̇ = 0),
es decir, 1 ∈ D(n) para todo n ∈ N.
(ii) Sean D(n), D(m) ∈ D y sea k el máximo común divisor de n y m.
Entonces D(k) ⊆ D(n) ∩ D(m), es más D(k) = D(n) ∩ D(m). Adviértase
que el máximo común divisor de 0 y n es n, pues D(0) = N.
¾Existe alguna relación entre el tro generado por la base D del ejemplo 7.26
y el ltro principal asociado al conjunto {1}?
Sea X un conjunto, A un subconjunto no vacío de X y p ∈ X . Considérese la
topología del punto incluido Tp del ejemplo 2.9, la topología del conjunto incluido
TA del ejercicio 2.8 y el ltro principal asociado a A del ejemplo 7.24. Nótese que
F{p} = Tp \ ∅ y FA = TA \ ∅.
Teorema 7.27. Sean F un ltro para un conjunto X y A ⊆ X . Si F ∩ A 6= ∅
para todo F ∈ F, entonces B = {F ∩ A | F ∈ F} es una base de ltro en X .
Además, A ∈ hBi y F ⊆ hBi.
Demostración. Se verá que B cumpe las condiciones (i) y (ii) del teorema 7.22.
(i) Ya que F 6= ∅, B 6= ∅. Ahora, como para todo F ∈ F, F ∩ A 6= ∅, se sigue que
∅∈
/ B.
(ii) Sean B1 , B2 ∈ B , entonces B1 = F1 ∩A y B2 = F2 ∩A, para algunos F1 , F2 ∈ B .
Teniendo en cuenta que F1 ∩ F2 ∈ F, B1 ∩ B2 = (F1 ∩ A) ∩ (F2 ∩ A) =
(F1 ∩ F2 ) ∩ A ∈ B , con B3 = B1 ∩ B2 ⊆ B1 ∩ B2 .
Se verá ahora que A ∈ hBi y F ⊆ hBi. Sea F ∈ F, entonces F ∩ A ∈ B ; ya que
F ∩ A ⊆ A y F ∩ A ⊆ F , por lo tanto, A, F ∈ hBi. Así, A ∈ hBi y F ⊆ hBi.
Ejercicio 7.13. Sean a ∈ R, (a, →) = {x ∈ R | a < x} la cola a derecha abierta y
B(?,→) = {(a, →) | a ∈ R} el conjunto de todas las colas a derecha abiertas de R.
274
CAPÍTULO 7.
FILTROS, TOP. GENERALIZADA Y ESTR. MINIMAL
(a) Demostrar que B(?,→) es base de ltro en R.
(b) ¾Coincide el ltro generado por B(?,→) con T(?,→) \ {∅}? Justicar la respuesta.
Ejercicio 7.14. Sea (X, ) un conjunto totalmente ordenado y Bx = [x, →) = {y ∈
X | x y}. Demostrar que B = {Bx | x ∈ X} es una base de ltro en X .
Ejercicio 7.15. Sean X un conjunto, A ⊆ X y F un ltro para X . Demostrar que
F ∩ A = {F ∩ A | F ∈ F} es una base de ltro en A si y solo si F ∩ A 6= ∅ para cada
F ∈ F. La familia F ∩ A se llama la traza de X sobre A.
Análogamente al caso de bases para topologías, se denen bases equivalentes para
ltros.
Denición 7.28. Sean X un conjunto no vacío y B1 , B2 dos bases de ltro en
X . Se dice que B1 y B2 son equivalentes si y solo si hB1 i = hB2 i. Dos bases
equivalentes se denotan por B1 ≡ B2 .
Ejemplo 7.29. {{a}, {a, b}} y {a} son bases equivalentes en X = {a, b, c}.
En ltros también existe la noción de subbase.
Denición 7.30. Un subconjunto S de un ltro F para un conjunto X se llama
subbase para F si el conjunto de todas las intersecciones nitas de elementos
de S (incluyendo la intersección vacía la cual es X ) es una base para F.
Ejemplo 7.31.
(i) La familia S de subconjuntos de N que tienen como complemento un
conjunto unitario es una subbase para el ltro de Fréchet (ejercicio 7.11),
es decir,
S = {N \ {n} | n ∈ N}.
La intersección nita de elementos de S es N (en el caso de la intersección
7.1.
275
FILTROS
vacía) o es N \ A, donde A es un subconjunto nito de N. Nótese que
B = {N \ A | A es un subconjunto nito de N}
es una base para el ltro de Fréchet.
(ii) Sean (an ) una sucesión de elementos de X y Sp = {an | n 6= p}. La familia
S de subconjuntos de X formada por
S = {Sp | p ∈ Z+ }
es una subbase para el ltro Fan (ejemplo 7.6).
Todo ltro F es en sí mismo una subbase y toda base de F es también una subbase.
Sea F un ltro y S una subbase de F. Como las intersecciones nitas de elementos
de S son una base B para F, entonces ∅ ∈
/ B . Por lo tanto, cualquier intersección
nita de elementos de S es no vacía.
Teorema 7.32. Sea X un conjunto no vacío. La familia S de subconjuntos de
X es una subbase de un ltro sobre X si y solo si toda intersección nita de
elementos de S es no vacía.
Demostración. Sea S una familia de subconjuntos de X . Si S es una subbase,
entonces por la denición 7.30, el conjunto de todas las intersecciones nitas de
elementos de S es una base para F. Como las bases no contienen a vacío, se sigue
que toda intersección nita de elementos de S es no vacía. En el otro sentido, sea
B la familia formada por todas las intersecciones nitas de elementos de S . Nótese
que B =
6 ∅, pues la intersección de la familia vacía que es X pertenece a B . Ahora,
por hipótesis ∅ ∈
/ B, así que B es una base de ltro, ya que cumple las condiciones
(i) y (ii) de teorema 7.22. Por lo tanto, S es una subbase.
Denición 7.33. Si S es una subbase de un ltro sobre el conjunto X (como
en el teorema 7.32), el ltro constituido por todos los subconjuntos de X
276
CAPÍTULO 7.
FILTROS, TOP. GENERALIZADA Y ESTR. MINIMAL
que contienen a alguna intersección nita de elemento de S se llama el ltro
generado por una subbase S .
¾∅ es una subbase de un ltro sobre X ?
¾{X} es una subbase de un ltro sobre X ?
Ejemplo 7.34.
(i) S = {{a, b}, {a, c}} es una subbase de un ltro sobre el conjunto
X = {a, b, c, d}, ya que {a, b} ∩ {a, c} = {a} 6= ∅. El conjunto de las
intersecciones nitas de elementos de S es B = {X, {a, b}, {a, c}, {a}}
y así, el ltro generado por S es la familia de subconjuntos de X que
contienen elementos de B (incluyendo los elementos de B ), es decir,
F = {{a}, {a, b}, {a, c}, {a, d}, {a, b, c}, {a, b, d}, {a, c, d}, X}.
(ii) S = {N \ {0, 1}, N \ {2}} es una subbase de un ltro sobre N. El conjunto
de las intersecciones nitas de elementos de S es B = {N, N \ {0, 1}, N \
{2}, N \ {0, 1, 2}} y así, el ltro generado por S es F = {N, N \ {0, 1}, N \
{2}, N \ {0, 1, 2}, N \ {0, 2}, N \ {1, 2}, N \ {0}, N \ {1}}. Nótese que este
ltro es menos no que el ltro de Fréchet.
Teorema 7.35. Sean X , Y dos conjuntos no vacíos, f : X → Y una función y
B una base de ltro en X . La familia de subconjuntos de Y ,
f (B) = {f (B) | B ∈ B}
es una base de ltro en Y .
Demostración. Usando el hecho de que B cumple las condiciones (i) y (ii) del teorema
7.22, se mostrará que f (B) también cumple dichas condiciones. Para probar (i),
como B =
6 ∅ y ∅ ∈
/ B , existe ∅ =
6 B ∈ B y por lo tanto ∅ =
6 f (B) ∈ f (B); así,
f (B) 6= ∅. También se tiene que ∅ ∈
/ f (B), ya que f (B) 6= ∅ para todo B ∈ B .
Además, para probar (ii), sean f (B1 ), f (B2 ) ∈ f (B), como existe B3 ∈ B tal que
B3 ⊆ B1 ∩ B2 , entonces f (B3 ) ⊆ f (B1 ∩ B2 ) ⊆ f (B1 ) ∩ f (B2 ).
7.1.
277
FILTROS
Ejemplo 7.36. Sea f : X → Y una función constante, es decir, f (x) = c para
todo x ∈ X y para algún c ∈ Y . Entonces f (B) = {{c}}, para toda base de
ltro B en X . Es decir, el ltro generado por f (B) es el ltro principal asociado
a {c}.
Corolario 7.37. Sea f : X −→ Y una función entre conjuntos. Dado un ltro
F para X , la familia de subconjuntos de Y ,
f (F) := {f (F ) | F ∈ F},
es una base para un ltro en Y . Si f es sobreyectiva, f (F) es un ltro.
Demostración. Como F es en particular una base de ltro en X , por el teorema 7.35
se tiene que f (F) es una base de ltro en Y . Como f (F) es base de ltro, se sigue
que f (F) 6= ∅ y ∅ ∈
/ f (F). Para ver que f (F) es un ltro (bajo la hipótesis de que f
es sobreyectiva) falta demostrar las condiciones [F2] y [F3] de la denición 7.1.
[F2] Sea G ∈ f (F) y H ⊆ Y tal que G ⊆ H . Existe F ∈ F tal que f (F ) = G y
como F ⊆ f −1 (G) = f −1 (f (H)) entonces f −1 (G) ∈ F. G ⊆ H implica que
f −1 (G) ⊆ f −1 (H) y así F ⊆ f −1 (H), entonces f −1 (H) ∈ F y en consecuencia
f (f −1 (H)) ∈ f (F). Como f es sobreyectiva, f (f −1 (H)) = H ∈ f (F).
[F3] Dados F1 , F2 ∈ f (F), existen G1 , G2 ∈ F tales que f (G1 ) = F1 y f (G2 ) = F2 .
Como f (G1 ∩ G2 ) ⊆ f (G1 ) ∩ f (G2 ) = F1 ∩ F2 , se sigue que G1 ∩ G2 ⊆
f −1 (f (G1 ∩G2 )) ⊆ f −1 (F1 ∩F2 ). Ya que G1 ∩G2 ∈ F entonces f −1 (F1 ∩F2 ) ∈ F
y por lo tanto f (f −1 (F1 ∩ F2 )) ∈ f (F). Como f es sobreyectiva, se concluye
que f (f −1 (F1 ∩ F2 )) = F1 ∩ F2 ∈ f (F).
Ejercicio 7.16. Sean X , Y dos conjuntos no vacíos, f : X → Y una función y B
una base de ltro en Y tal que para cada B ∈ B , B ∩ f (X) 6= ∅. Demostrar que la
familia de subconjuntos de X ,
f −1 (B) = {f −1 (B) | B ∈ B}
es una base de ltro en X .
278
CAPÍTULO 7.
7.1.3.
FILTROS, TOP. GENERALIZADA Y ESTR. MINIMAL
Ultraltros, convergencia y continuidad
Sea X un conjunto con más de un elemento. Nótese que ℘(X) no es un ltro para
X , pues ∅ ∈ ℘(X). Además, G = ℘(X) \ {∅} tampoco es un ltro para X , puesto
que dados dos elementos x, y de X , {x} ∩ {y} = ∅ ∈
/ G.
Se denota por F il(X) a la familia formada por todos los subconjuntos de ℘(X) que
son ltros para un conjunto X . Nótese que F il(X) es un conjunto parcialmente
ordenado con la relación de orden dada por la contenencia.
Denición 7.38. Un ultraltro para X es un ltro maximal en F il(X); esto
es, no existe un ltro en X estrictamente más no que él.
Ejemplo 7.39 (Ejemplos de ultraltros).
(i) Sea X un conjunto y a ∈ X . El ltro principal generado por {a} es un
ultraltro.
(ii) El ltro generado por la base D del ejemplo 7.26 es un ultraltro para N,
pues hDi = FA , para A = {1}.
El siguiente teorema provee una forma de saber si un ltro es ultraltro.
Teorema 7.40. Sean F un ultraltro en X y A, B ⊆ X . Si A ∪ B ∈ F entonces
A ∈ F o B ∈ F.
Demostración. Sean F un ultraltro en X y A, B ⊆ X tales que A∪B ∈ F. Si A ∈/ F
yB∈
/ F entonces el ltro G = {C ⊆ X | A ∪ C ∈ F} es un ltro para X . En efecto:
[F1] Como A ∪ B ∈ F entonces B ∈ G y por lo tanto G 6= ∅. ∅ ∈
/ G, ya que
A∪∅=A∈
/ F.
[F2] Sea C ∈ G y sea D ⊆ X tal que C ⊆ D, entonces A ∪ C ∈ F y por lo tanto
A ∪ D ∈ F; así, D ∈ G.
[F3] Sean C, D ∈ G entonces A ∪ C y A ∪ D están en F y por lo tanto (A ∪ C) ∩
(A ∪ D) ∈ F, es decir, A ∪ (C ∩ D) ∈ F. Así, C ∩ D ∈ G.
7.1.
FILTROS
279
Nótese que G es más no que F. En efecto: dado E ∈ F, se sigue que A ∪ C ∈ F (ya
que C ⊆ A ∪ C ) y por lo tanto C ∈ G. Además, como A ∪ B ∈ F entonces B ∈ G.
Luego B es un elemento de G que no está en F, esto implica que G es estrictamente
más no que F, lo cual contradice la hipótesis de que F es un ultraltro.
Ejemplo 7.41 (Filtro que no es ultraltro). Sean A = {2n | n ∈ N} y
B = {2n + 1 | n ∈ N}. Como A ∪ B = N es un elemento del ltro de Fréchet en
N y ni A ni B son elementos del ltro, el teorema 7.40 garantiza que el ltro
de Fréchet no es un ultraltro.
La siguiente proposición muestra una forma para construir nuevos ltros.
Proposición 7.42. Sea F un ltro para un conjunto X y A, B ⊆ X tales que
A∈
/ F, B ∈
/ F y A ∪ B ∈ F. Entonces G = {C ⊆ X | A ∪ C ∈ F} es un ltro
para X , estrictamente más no que F.
Demostración. Esta prueba es parte de la demostración del teorema 7.40.
Usando el lema de Zorn se puede demostrar que dado un ltro para X , existe
un ultraltro en X que lo contiene y que un ltro es la intersección de todos los
ultraltros que lo contienen.
Teorema 7.43. Dado un ltro F para un conjunto X , existe un ultraltro U
para X tal que F ⊆ U.
Demostración. Considérese la familia X = FIL(X) de todos los ltros para X
S
ordenada con la contenencia. Sea C una cadena no vacía en (X, ⊆) y sea G = C .
Se verá que G es el supremo de C en (X, ⊆); así, el resultado queda probado por el
lema de Zorn y observando que un ultratro es exactamente un elemento maximal
de (X, ⊆).
(i) G es un ltro para X , es decir, es un elemento de X. En efecto:
[F1] Como C 6= ∅, se sigue que G 6= ∅. Además, ya que cada elemento de C es
un ltro, el conjunto vacío no pertenece a ninguno de los elemento de C
y por tanto ∅ ∈
/ G.
280
CAPÍTULO 7.
FILTROS, TOP. GENERALIZADA Y ESTR. MINIMAL
[F2] Si F ∈ G y F ⊆ G, entonces F ∈ H para algún ltro H ∈ C , y justamente
por ser un ltro, se sigue que G ∈ H, por tanto G ∈ G.
[F3] Dados F, G ∈ G, existen ltros H1 y H2 en la cadena C tales que F ∈ H1
y G ∈ H2 . Como C es una cadena, se debe tener que H1 ⊆ H2 o H2 ⊆ H1 .
Cualquiera de los dos casos es similar, por lo que es posible suponer que
H1 ⊆ H2 , de modo que F, G ∈ H2 , que al ser un ltro permite concluir
que F ∩ G ∈ H2 , y por tanto F ∩ G ∈ G.
(ii) G = sup C . Por la denición de G se tiene que H ⊂ G para cada H ∈ C , de
modo que G es una cota superior de C . Finalmente, si D es una cota superior
de C , entonces H ⊂ D para todo H ∈ C , y así G ⊆ D, mostrando que G es la
mínima cota superior C .
Así, una cadena arbitraria en (X, ⊆) tiene supremo, luego, el lema de Zorn (véase el
teorema 1.68 (iv)) garantiza que para cualquier F ∈ X existe un elemento maximal
U ∈ X tal que F ⊆ U.
Teorema 7.44. Dado un ltro F para un conjunto X , F es la intersección de
todos los ultraltros que lo contienen.
Demostración. Sea {Fi }i∈I la familia de ultraltros que contienen a F. El teorema
7.43 implica que {Fi }i∈I es una familia no vacía y por la proposición 7.15 se sigue
T
T
que i∈I Fi es un ltro. Se verá ahora que F = i∈I Fi . Como para cada i ∈ I ,
T
T
F ⊆ Fi , entonces F ⊆ i∈I Fi . Para la otra contenencia, supóngase que i∈I Fi * F,
T
entonces existe G ∈ i∈I Fi tal que G ∈
/ F y por lo tanto F * G, para todo F ∈ F,
c
así F ∩ G 6= ∅. Por el teorema 7.27 se sigue que B = {F ∩ Gc | F ∈ F} es una
base de ltro en X y además Gc ∈ hBi y F ⊆ hBi. Por el teorema 7.43 se tiene que
para el ltro hBi existe un ultraltro U tal que hBi ⊆ U. Así, F ⊆ U y Gc ∈ U y
T
T
por lo tanto U ∈ {Fi }i∈I ; con lo cual i∈I Fi ⊆ U. Como G ∈ i∈I Fi , G ∈ U y ya
que U es ltro, se concluye que Gc ∩ G = ∅ ∈ U, lo cual es una contradicción. En
T
consecuencia, i∈I Fi ⊆ F.
7.1.
FILTROS
281
Corolario 7.45. Si un ltro F para un conjunto X está contenido en un único
ultraltro U, entonces F = U.
Demostración. Por el teorema 7.44 se deduce que F es la intersección de los
elementos de la familia {U}, esto es, F = U.
Ejercicio 7.17. Sean X un conjunto y F un ultraltro para X . Demostrar que si
en F hay un conjunto innito, F es generado por un conjunto unitario.
En la convergencia de ltros se requiere también de una topología.
Denición 7.46. Sean (X, T ) un espacio topológico y F un ltro para X .
(i) Se dice que el ltro F converge al punto x ∈ X (o que x es un punto
límite de F) si y solo si F es más no que el ltro V(x) de vecindades de
x, esto es, V(x) ⊆ F.
(ii) Se dice que el ltro F es convergente o que F converge si F converge
a algún punto x ∈ X .
(iii) Se dice que una base de ltro B converge al punto x, si el ltro hBi
converge a x.
Ejemplo 7.47. Si (X, T ) es un espacio topológico, el ltro V(x) converge a x,
para cada x ∈ X , pues V(x) ⊆ V(x).
Ejercicio 7.18. Demostrar que en (R, Tcoc ) todo ultraltro es convergente.
Proposición 7.48. Un espacio topológico (X, T ) es de Hausdor si y solo si
dado un ltro F que converge, lo hace a un único punto.
Demostración. Sea (X, T ) un espacio topológico de Hausdor y supóngase que F
converge a x e y , con x 6= y . Para x 6= y existen Vx ∈ V(x) y Vy ∈ V(y) tales que
Vx ∩ Vy = ∅. Como F converge a x e y entonces V(x) ⊆ F y V(y) ⊆ F, por lo tanto,
Vx , Vy ∈ F y así Vx ∩ Vy = ∅ ∈ F, lo cual es contradictorio. En el otro sentido,
282
CAPÍTULO 7.
FILTROS, TOP. GENERALIZADA Y ESTR. MINIMAL
si (X, T ) no es de Hausdor, existen x, y ∈ X con x 6= y tales que Vx ∩ Vy 6= ∅,
para toda Vx ∈ V(x) y para toda Vy ∈ V(y). Nótese que W = {Vx ∩ Vy | Vx ∈
V(x) y Vy ∈ V(y)} es un ltro para X . En efecto: como X es vecindad de x e
y entonces X ∩ X = X ∈ W ; así, W =
6 ∅; ∅ ∈
/ W ya que Vx ∩ Vy 6= ∅ para
toda Vx ∈ V(x) y para toda Vy ∈ V(y); sean Vx ∩ Vy ∈ W y G ⊆ X tales que
Vx ∩ Vy ⊆ G, entonces Vx ∪ G y Vy ∪ G son vecindades de x y y respectivamente,
tales que (Vx ∪G)∩(Vy ∪G) = (Vx ∩Vy )∪G = G, es decir, G ∈ W ; si Vx1 ∩Vy1 y Vx2 ∩Vy2
son elementos de W entonces (Vx1 ∩ Vy1 ) ∩ (Vx2 ∩ Vy2 ) = (Vx1 ∩ Vx2 ) ∩ (Vy1 ∩ Vy2 ) ∈ W .
Nótese además que V(x) ⊆ W . En efecto: sea Vx ∈ V(x) entonces Vx = Vx ∩ X ∈ W .
Análogamente se tiene que V(x) ⊆ W . Por lo tanto, W es un ltro para X que
converge a dos puntos x 6= y .
La convergencia de una sucesión en un espacio topológico es equivalente a la
convergencia del ltro elemental asociado a la sucesión (ejemplo 7.6).
Teorema 7.49. Sean (X, T ) un espacio topológico y (an ) una sucesión de
puntos de X . Entonces (an ) converge a x si y solo si Fan converge a x.
Demostración. Sean Fan el ltro elemental asociado a la sucesión (an ) y V(x) el
ltro de vecindades de x. Para ver que Fan converge a x se necesita demostrar que
V(x) ⊆ Fan . Sea Vx ∈ V(x), si (an ) converge a x entonces para la vecindad Vx existe
N ∈ Z+ tal que an ∈ Vx para todo n ≥ N (véase la denición 3.60). Por lo tanto,
Vx ∈ Fan y en consecuencia V(x) ⊆ Fan , es decir, Fan converge a x. En el otro
sentido, sea Vx una vecindad de x. Si Fan converge a x entonces V(x) ⊆ Fan ; así,
Vx ∈ Fan . Por la forma como se denió Fan (ejemplo 7.6), existe m ∈ Z+ tal que
an ∈ Vx , para todo n ≥ m. Así, (an ) converge a x (véase la denición 3.60).
Tanto la convergencia de una sucesión como la convergencia de un ltro dependen de
una topología. Teniendo en cuenta que ya se estudió la convergencia de sucesiones
en espacios topológicos, en el siguiente ejemplo se aplica el teorema 7.49 a una
sucesión de puntos de R y al ltro elemental asociado a la sucesión, pero con distintas
topologías para R.
Ejemplo 7.50. Sean (an ) la sucesión de puntos de R dada por an = n1 para
n ∈ Z+ y Fan el ltro elemental asociado a la sucesión (an ). Usando el teorema
7.1.
FILTROS
283
7.49 se deduce lo siguiente.
(i) Como en (R, Tu ), (an ) converge a 0 entonces Fan converge a 0, es decir, el
único punto límite del ltro Fan es 0.
(ii) En (R, Tcof ) se cumple que la sucesión (an ) converge a r para todo r ∈ R,
entonces Fan converge a r para todo r ∈ R, es decir, todo elemento de R
es punto límite de Fan .
(iii) En (R, T(?,→) ) se tiene que (an ) converge a r para todo r ≤ 0, luego Fan
converge a r para todo r ≤ 0, es decir, (←, 0] es el conjunto de puntos
límite de Fan .
(iv) Análogo al ítem anterior se puede concluir que en el espacio (R, T(←,?) ), el
conjunto [0, →) es el conjunto de puntos límite o puntos de convergencia
del ltro Fan .
(v) En (R, Tdip ) la sucesión (an ) no converge a ningún punto de R, por lo
tanto el ltro Fan no tiene puntos de convergencia.
La convergencia de un ltro se puede caracterizar en términos de bases de ltro y
de sistemas fundamentales de vecindades.
Teorema 7.51. En un espacio topológico (X, T ) una base de ltro B converge
a un punto x si y solo si toda vecindad fundamental de x contiene a un elemento
de B .
Demostración. Sean hBi el ltro generado por la base de ltro B, V(x) el ltro de
vecindades de x y W(x) un sistema fundamental de vecindades de x. Sea Wx ∈ W(x),
si B converge a x entonces V(x) ⊆ hBi y como Wx ∈ V(x), se sigue que Wx ∈ hBi.
Como B es base para hBi, existe B ∈ B tal que B ⊆ Wx . En el otro sentido, para
ver que B converge a x se necesita demostrar que V(x) ⊆ hBi. Dada una vecindad
Vx ∈ V(x), existe Wx ∈ W(x) tal que Wx ⊆ Vx . Por hipótesis existe B ∈ B tal que
B ⊆ Wx , entonces Vx ∈ hBi. Por lo tanto, B converge a x.
La continuidad en un punto de una función entre espacios topológicos (denición
6.1) se puede caracterizar en términos de la convergencia de ltros (denición 7.46).
284
CAPÍTULO 7.
FILTROS, TOP. GENERALIZADA Y ESTR. MINIMAL
Teorema 7.52. f : (X, T ) → (Y, U) es continua en un punto x ∈ X si y solo
si para cada ltro F de X tal que F converge a x, el ltro hf (F)i converge a
f (x).
Demostración. Sean f : (X, T ) → (Y, U) una función continua en un punto x ∈ X ,
F un ltro de X tal que F converge a x. Para demostrar que hf (F)i converge a f (x)
se verá que V(f (x)) ⊆ hf (F)i. Sea Vf (x) una vecindad de f (x), como f es continua
en x entonces para la vecindad Vf (x) existe una vecindad de x tal que f (Vx ) ⊆ Vf (x)
(denición 6.1). Ahora, como F converge a x, ocurre que V(x) ⊆ F y por lo tanto
Vx ∈ F; así, f (Vx ) ∈ f (F) ⊆ hf (F)i. Ya que f (Vx ) ⊆ Vf (x) entonces Vf (x) ∈ hf (F)i.
En el otro sentido, si f no es continua en el punto x entonces existe Vf (x) tal que
f (Vx ) * Vf (x) para toda Vx ∈ V(x). Como f (Vx ) ∈ hf (V(x)i y f (Vx ) * Vf (x) para
toda Vx ∈ V(x), se sigue que Vf (x) ∈
/ hf (V(x))i y por lo tanto V(f (x)) * hf (V(x))i,
es decir, hf (V(x))i no converge a f (x). Así, el ltro V(x) converge a x (ejemplo 7.47)
pero el ltro hf (V(x))i no converge a f (x).
Denición 7.53. Sean B una base de ltro en un conjunto X , (Y, U) un espacio
topológico y f : X → Y una función. Se dice que y ∈ Y es un punto límite de
f con respecto a la base de ltro B si y solo si y es un punto límite de la base
de ltro f (B). En este caso se escribe lı́mB f = y .
Teorema 7.54. Un punto y ∈ Y es un punto límite de f con respecto a la base
de ltro B si y solo si para cada vecindad Vy de y en (Y, U), existe B ∈ B tal
que f (B) ⊆ Vy , esto es, f −1 (Vy ) ∈ hBi, para cada Vy ∈ V(y).
Demostración. Sea Vy ∈ V(y). Si y ∈ Y es un punto límite de f con respecto a la
base de ltro B entonces V(y) ⊆ hf (B)i, por lo tanto Vy ∈ hf (B)i y en consecuencia
existe B ∈ B tal que f (B) ⊆ Vy .
En el otro sentido, para demostrar que lı́mB f = y hay que ver que V(y) ⊆ hf (B)i.
Dada la vecindad Vy ∈ V(y), la hipótesis garantiza que existe B ∈ B tal que f (B) ⊆
Vy , por lo tanto Vy ∈ hf (B)i.
7.2.
TOPOLOGÍA GENERALIZADA
285
Nota 7.55.
(i) En cuanto al teorema 7.54, si existe B ∈ B tal que f (B) ⊆ Vy
entonces B ⊆ f −1 (f (B)) ⊆ f −1 (Vy ), lo cual implica que f −1 (Vy ) ∈ hBi.
Por lo tanto, se puede reescribir el teorema así: un punto y ∈ Y es un punto
límite de f con respecto a la base de ltro B si y solo si f −1 (Vy ) ∈ hBi,
para cada Vy ∈ V(y).
(ii) Sean f : (X, T ) → (Y, U) una función entre espacios topológicos, c ∈ X
y y ∈ Y . Si y es límite de f con respecto al ltro V(c), se dice que y es
límite de f en el punto c, o bien que f (x) tiende a y cuando x tiende a
c y se escribe
lı́m f (x) = y.
x→c
Si {c} no es un elemento de T , es decir, si c no es un punto aislado de X ,
la familia B = {Vc \ {c} | Vc ∈ V(c)} es una base de ltro de X . Si y es
límite de f con respecto a B , se escribe en este caso
lı́m f (x) = y.
x→c,x6=c
Ejercicio 7.19. Sean (X, T ) un espacio topológico y c ∈ X . Demostrar que si
{c} no es un elemento de T , o sea, si c no es un punto aislado de X , entonces
B = {Vc \ {c} | Vc ∈ V(c)} es una base de ltro de X .
Teorema 7.56. La función f : (X, T ) → (Y, U) entre espacios topológicos es
continua en a ∈ X si y solo si lı́mx→a f (x) = f (a).
Demostración. Por el teorema 7.54 y su reescritura en la nota 7.55 (i) se tiene que
lı́mx→a f (x) = f (a) si y solo si f −1 (Vf (a) ) ∈ V(a) para cada Vf (a) ∈ V(f (a)), si y solo
si, f es continua en a (véase el teorema 6.5).
7.2. Topología generalizada
Császár en [7] dene la topología generalizada como una familia de subconjuntos de
X en la cual está ∅ y además es cerrada para uniones arbitrarias.
286
CAPÍTULO 7.
FILTROS, TOP. GENERALIZADA Y ESTR. MINIMAL
Denición 7.57 ([7], página 351). Sea X un conjunto no vacío. Una topología
generalizada para X es una familia G = {Ui }i∈I de subconjuntos de X , tal
que:
(i) ∅ ∈ G .
(ii)
S
i∈J Ui ∈ G para cada J ⊆ I .
En otras palabras, ∅ es un elemento de G y la unión arbitraria de elementos
de G es un elemento de G . Los elementos de G se llaman G-abiertos y el par
(X, G) se llama un espacio topológico generalizado.
Ejemplo 7.58.
(i) Cada topología para un conjunto X es una topología generalizada para X .
Así, todos los ejemplos de topologías dados anteriormente son topologías
generalizadas.
(ii) Sean X un conjunto con más de un elemento y p un punto elegido en X .
La familia formada por todos los subconjuntos de X que no contienen al
punto p es una topología generalizada para X . Se denota esta topología
generalizada como G p y se llama topología generalizada del punto
excluido. Nótese que G p = T p \ {X}, donde T p es la topología del punto
excluido del ejemplo 2.13.
Ejercicio 7.20. Para X = {a, b, c, d} hallar G a .
Ejemplo 7.59. En X = {0, 1} se construyen todas las topologías generalizadas
posibles. Las que son topologías:
G1 = {∅, X}, G2 = {∅, X, {0}}, G3 = {∅, X, {1}}, G4 = {∅, X, {0}, {1}}.
7.2.
TOPOLOGÍA GENERALIZADA
287
Las que son topologías generalizadas, pero no son topologías:
G5 = {∅}, G6 = {∅, {0}}, G7 = {∅, {1}}.
Ejercicio 7.21. Sea X un conjunto totalmente ordenado por la relación .
(a) Si X tiene elemento mínimo, analizar si la familia de todos los subconjuntos
de X de la forma (←, x), con x ∈ X , es una topología generalizada para X .
(b) Si X tiene elemento máximo, analizar si la familia de todos los subconjuntos
de X de la forma (x, →), con x ∈ X , es una topología generalizada para X .
(c) Si X tiene elemento mínimo y elemento máximo, analizar si la familia de
todos los subconjuntos de X de la forma (x, →), con x ∈ X , es una topología
generalizada para X .
(d) Si X tiene elemento mínimo y elemento máximo, analizar si la familia de todos
los subconjuntos de X de la forma (x, →) y (←, x), con x ∈ X , es una topología
generalizada para X .
(e) Si X tiene elemento mínimo y elemento máximo, analizar si la familia de
todos los subconjuntos de X de la forma (x, y), con x, y ∈ X , es una topología
generalizada para X .
(f) Si X tiene elemento mínimo y elemento máximo, analizar si la familia de
todos los subconjuntos de X de la forma [x, y], con x, y ∈ X , es una topología
generalizada para X .
Similar a la noción de base para espacios topológicos, se presenta el concepto de
G-base.
Denición 7.60. Si (X, G) es un espacio topológico generalizado, una G-base
para G es una subfamilia BG ⊆ G tal que cada G-abierto de G es unión de
elementos de BG . Los elementos de BG son llamados G-abiertos básicos.
Nota 7.61. Para que BG ⊆ G sea una G-base no es necesario que ∅ ∈ BG , pues
la unión de la familia vacía es ∅. Por lo tanto, la denición 7.60 de G-base es
288
CAPÍTULO 7.
FILTROS, TOP. GENERALIZADA Y ESTR. MINIMAL
equivalente con la denición de ν -base dada por Császár en [8].
Ejemplo 7.62. BG := {{x} | x ∈ X, x 6= p} es una G-base para la topología
generalizada G p del ejemplo 7.58 (ii).
Sean G y H dos topologías generalizadas para un conjunto X . Si G ⊆ H se dice que
H es más na que G o que G es menos na que H.
Teorema 7.63. Dada una familia B de subconjuntos de X , existe una única
topología generalizada G para la cual los elementos de B son G-abiertos y G es
menos na que cualquier otra topología generalizada H que contenga a B .
Demostración. Sea B = {Bi }i∈I una familia de subconjuntos de X . Se dene G :=
{Vj }j∈J armando que para todo j ∈ J , Vj es un G-abierto en G si y solo si Vj es
S
unión de elementos de B . Nótese que ∅ ∈ G , pues ∅ = k∈∅ Bk (la unión de la familia
vacía). Sea {Vk }k∈K⊆J una familia de elementos de G , entonces
!
[
[
[
Bs
Vk =
k∈K
k∈K
s∈S⊆I
(la unión de una familia en G , es unión de elementos de B ). Además, si H es
otra topología generalizada para X tal que B ⊆ H, por la denición de topología
generalizada se sigue que todo elemento de G también es elemento de H.
Nota 7.64. La familia B del teorema 7.63 es una G-base de G . La topología
generalizada obtenida se llama topología generalizada generada por la Gbase B y se denota por G = hBi.
Ejemplo 7.65.
(i) Sea X = {a, b, c, d} y BG = {{a, b}, {a, c}}, entonces
G = hBG i = {∅, {a, b}, {a, c}, {a, b, c}}.
7.2.
289
TOPOLOGÍA GENERALIZADA
(ii) Para R se considera la topología generalizada
G = {∅} ∪ {[a, →), (b, →) | a, b ∈ R, a > 0, b ≥ 0}.
Entonces BG = {[a, →) | a ∈ R} es una G-base para G .
Ejercicio 7.22. Sean G y BG como en el ejemplo 7.65 (ii). Demostrar que BG es
una G-base para G .
De forma análoga a los espacios topológicos, dados un espacio topológico
generalizado (X, G) y A ⊂ X , A hereda una estructura de topología generalizada
con respecto a la de X .
Proposición 7.66. Sean (X, G) un espacio topológico generalizado y A un
subconjunto no vacío de X . La familia
G[A] := {U ∩ A | U ∈ G}
es una topología generalizada para A.
Demostración. ∅ = ∅ ∩ A ∈ G[A]. Si {Wi }i∈I es una familia de elementos de G[A],
entonces cada Wi = Vi ∩ A, para algún Vi ∈ G . Así que,
!
[
Wi =
i∈I
y como
i∈I Vi ∈ G , se tiene que
S
[
(Vi ∩ A) = A
\ [
i∈I
S
Vi
i∈I
i∈I Wi ∈ G[A].
Denición 7.67. La topología generalizada G[A] de la proposición 7.66 se
llama subespacio topológico generalizado de A (véase [35, Denición
3.1]). Al espacio topológico generalizado (A, G[A]) se le llama G-subespacio
topológico generalizado.
En subespacios topológicos se cumple la propiedad: T [A] ⊆ T si y solo si
A ∈ T (véase la proposición 4.5). Sin embargo, esta propiedad no es cierta en el
caso de los espacios topológicos generalizados. Por ejemplo, si X = {a, b, c, d},
G = {∅, {a}, {b}, {a, b}} y A = {a, b, c}, se sigue que G[A] = {∅, {a}, {b}, {a, b}} = G ,
290
CAPÍTULO 7.
FILTROS, TOP. GENERALIZADA Y ESTR. MINIMAL
pero A ∈
/ G.
Análogamente a la denición de los cerrados en una topología, se denen los
conjuntos G-cerrados.
Denición 7.68. Sean (X, G) un espacio topológico generalizado y F un
subconjunto de X . F se llama G-cerrado si el conjunto F c := X \ F es Gabierto.
Teorema 7.69. Dado (X, G) un espacio topológico generalizado, se cumplen
las siguientes propiedades para los conjuntos G-cerrados.
(i) X es G-cerrado.
(ii) Intersecciones arbitrarias de conjuntos G-cerrados son conjuntos Gcerrados.
Demostración. Obsérvese que X es G-cerrado, pues X c = ∅ ∈ G . Por otra parte,
dada una familia de conjuntos G-cerrados {Fi }i∈I , se cumple que Fic ∈ G para todo
S
S
i ∈ I , entonces i∈I Fic ∈ G y por lo tanto ( i∈I Fic )c es un G-cerrado. Así,
[
i∈I
Fic
c
=
\
i∈I
Fi
c c
=
\
Fi
i∈I
es un G-cerrado.
Contrario a lo que ocurre con los cerrados en un espacio topológico, ∅ y la unión
nita de G-cerrados no son en general conjuntos G-cerrados.
Ejemplo 7.70. Una topología generalizada para X = {a, b, c, d} es G =
{∅, {b, d}, {c, d}, {b, c, d}}. ∅c = X ∈
/ G . La familia de G-cerrados de G es
{X, {a, c}, {a, b}, {a}}. Pero {a, c} ∪ {a, b} = {a, b, c} no es un G-cerrado.
Ejercicio 7.23. Probar que la familia formada por ∅ y los G-cerrados de la topología
generalizada G p del ejemplo 7.58 (ii) es una topología generalizada para X .
7.2.
TOPOLOGÍA GENERALIZADA
291
Una noción de continuidad para funciones entre espacios topológicos generalizados
fue dada por algunos autores (véase por ejemplo [7, 34]), dicha noción es análoga a
la noción de continuidad entre espacios topológicos.
Denición 7.71. Una función f : (X, G), (Y, H) entre espacios topológicos
generalizados se dice que es continua generalizada o G-continua si la imagen
inversa de cada G-abierto en H es un G-abierto en G .
Ejemplo 7.72. Para los conjuntos X = {a, b, c, d} e Y
= {1, 2, 3} se
consideran las topologías generalizadas G = {∅, {a, b}, {a, c}, {a, b, c}} y H =
{∅, {3}, {1, 3}}, respectivamente. La función f : X → Y dada por f (a) = 3,
f (b) = 1, f (c) = 3 y f (d) = 2 es G-continua, pues f −1 (∅) = ∅ ∈ G ;
f −1 ({3}) = {a, c} ∈ G y f −1 ({1, 3}) = {a, b, c} ∈ G .
Ejercicio 7.24. Sean X , Y , G y H como en el ejemplo 7.72. Determinar si g : X → Y
dada por g(a) = 1, g(b) = 2, g(c) = 2 y g(d) = 3 es G-continua. Encontrar una
función h : X → Y (distinta a la función f del ejemplo 7.72) que sea G-continua.
Ejercicio 7.25. Demostrar que la función idéntica i : (X, G) → (X, H) es Gcontinua si y solo si G es más na que H.
La G-continuidad se puede caracterizar por G-cerrados.
Teorema 7.73. Una función f : (X, G), (Y, H) es G-continua si y solo si la
imagen inversa de cada G-cerrado en H es un G-cerrado en G .
Demostración. Sea F un conjunto G-cerrado en H, entonces F c ∈ H. Como f es
G-continua, f −1 (F c ) = (f −1 (F ))c ∈ G . Por lo tanto f −1 (F ) es un G-cerrado en
G . Recíprocamente, sea V ∈ H, entonces V c es un G-cerrado en H. Por hipótesis
f −1 (V c ) = (f −1 (V ))c es un G-cerrado en G , luego f −1 (V ) ∈ G . Así, f es G-continua.
La G-continuidad también se puede caracterizar mediante G-abiertos básicos.
292
CAPÍTULO 7.
FILTROS, TOP. GENERALIZADA Y ESTR. MINIMAL
Teorema 7.74. Sean f : (X, G) → (Y, H) una función entre espacios
topológicos generalizados y BG una G-base para H. Entonces f es G-continua
si y solo si la imagen inversa de cada elemento B de BG es un elemento de G .
Demostración. Sea BG una G-base para H. Si B ∈ BG , entonces B ∈ H. Como f
S
es G-continua, f −1 (B) ∈ G . Recíprocamente, sea V ∈ H, entonces V = j∈J Bj ,
donde Bj ∈ BG para todo j ∈ J . Por hipótesis f −1 (Bj ) ∈ G , para cada j ∈ J . Por
tanto,
!
[
[
f −1 (Bj ) = f −1
Bj = f −1 (V ) ∈ G.
j∈J
j∈J
Así, f es G-continua.
Nota 7.75. Cualquier función constante f : (X, G) → (Y, H) entre espacios
topológicos generalizados no es continua. Por ejemplo, si X = {a, b, c}, Y =
{1, 2, 3}, G = {∅, {a}}, H = {∅, {1, 2}} y f (a) = f (b) = f (c) = 1, entonces
f −1 ({1, 2}) = X ∈
/ G . En comparación, se recuerda que las funciones constantes
entre espacios topológicos sí son continuas (véase la proposición 6.19).
Toda función continua entre espacios topológicos es G-continua.
7.3. Estructura minimal
Maki, Umehara y Noiri en [24] introducen otra estructura más general que una
topología. Dicha estructura es una familia de subconjuntos de X que contiene a ∅ y
a X como elementos y la llaman estructura minimal. En esta sección se extienden
algunas nociones topológicas a estructuras minimales y se demuestran algunas
propiedades en estructuras minimales, que son análogas a ciertas propiedades de
espacios topológicos y espacios topológicos generalizados.
Denición 7.76 ([24]). Sea X un conjunto no vacío y sea M una familia de
subconjuntos de X . Se dice que M es una estructura minimal para X si se
cumplen las siguientes dos condiciones:
7.3.
ESTRUCTURA MINIMAL
293
i) ∅ ∈ M.
ii) X ∈ M.
Los elementos de M se llaman M -abiertos y el par (X, M) se llama un espacio
minimal o M -espacio.
Ejemplo 7.77. Toda topología para un conjunto X es una estructura minimal
para X . Así, todos los ejemplos de topologías dadas anteriormente son
estructuras minimales.
Nota 7.78. Dado un conjunto no vacío X , no existe una relación directa
entre una topología generalizada y una estructura minimal. En otros términos,
hay estructuras minimales que no son topologías generalizadas y topologías
generalizadas que no son estructuras minimales.
Ejemplo 7.79.
(i) M = {∅, {a}, {b}, X} es una estructura minimal para X = {a, b, c}, pero
no es una topología generalizada, ya que {a} ∪ {b} = {a, b} ∈
/ TM . Ahora,
G = {∅, {a}, {b}, {a, b}} es una topología generalizada para X pero no es
una estructura minimal, pues X ∈
/ G.
(ii) En X = {0, 1} se construyen todas las estructuras minimales posibles:
M1 = {∅, X}, M2 = {∅, X, {0}}, M3 = {∅, X, {1}}, M4 = {∅, X, {0}, {1}}.
Nótese que estas son además topologías para X . Es decir, en X = {0, 1}
las estructuras minimales y las topologías coinciden.
Así como ocurre para espacios topológicos y espacios topológicos generalizados,
dados un espacio minimal (X, M) y A ⊂ X , A hereda una estructura minimal
de la estructura minimal M.
294
CAPÍTULO 7.
FILTROS, TOP. GENERALIZADA Y ESTR. MINIMAL
Proposición 7.80. Sean (X, M) un espacio minimal y A un subconjunto no
vacío de X . La familia
M[A] := {U ∩ A | U ∈ M}
es una estructura minimal para A.
Demostración. Si M es una estructura minimal de X , se sigue que ∅, X ∈ M. Por
lo tanto, ∅ = ∅ ∩ A ∈ M[A] y A = X ∩ A ∈ M[A].
Denición 7.81. La estructura minimal M[A] de la proposición 7.80 se
llama subestructura minimal de A. Al M -espacio (A, M[A]) se le llama
M -subespacio.
El análogo de la proposición 4.5 para M -espacios no se cumple. Si M[A] ⊆ M
entonces A ∈ M, pero el recíproco no se tiene.
Ejemplo 7.82. Sean X = {a, b, c, d}, M = {∅, {a, c}, {b, c}, X} y A = {b, c}.
Nótese que M[A] = {∅, {c}, A} * M.
Los conjuntos M -cerrados se denen de forma análoga a como se denen los
conjuntos cerrados en una topología T y en una topología generalizada G .
Denición 7.83. Sean (X, M) un M -espacio y F un subconjunto de X . F se
llama M -cerrado si el conjunto F c := X \ F es M -abierto.
Nota 7.84. En un M -espacio (X, M) se satisface que ∅ y X son M -cerrados.
Sin embargo, la unión nita y la intersección arbitraria de M -cerrados no es en
general un M -cerrado, como se ilustra en el siguiente ejemplo.
7.3.
ESTRUCTURA MINIMAL
295
Ejemplo 7.85. Sean Z− el conjunto de los enteros negativos, Z+ el conjunto de
los enteros positivos, N = {0, 1, 2, . . . } el conjunto de los números naturales, Q
el conjunto de los números racionales e I el conjunto de los números irracionales.
Nótese que M = ∅, R, Q, Z− , R \ { n1 | n ∈ Z+ } es una estructura minimal
para R. La familia de M -cerrados es CM = ∅, R, I, N, { n1 | n ∈ Z+ } . Téngase
en cuenta que I ∪ N ∈
/ CM y N ∩ { n1 | n ∈ Z+ } = {1} ∈
/ CM .
La noción de continuidad para funciones entre espacios minimales se da de forma
análoga a la denición de continuidad en espacios topológicos y en espacios
topológicos generalizados.
Denición 7.86. Se dice que la función f : (X, M) → (Y, N ) entre espacios
minimales es continua minimal o M -continua si la imagen inversa de cada
M -abierto en N es un M -abierto en M.
Ejercicio 7.26. Sean X un conjunto no vacío y f : (X, M) → (X, N ) la función
idéntica. Demostrar que f es M -continua si y solo si M es más na que N .
En el siguiente teorema se caracteriza la M -continuidad usando M -cerrados.
Teorema 7.87. Una función f : (X, M) → (Y, N ) entre M -espacios es M continua si y solo si la imagen inversa de cada M -cerrado en N es un M -cerrado
en M.
Demostración. Dado F un conjunto M -cerrado en N , se sigue que F c ∈ N . Como f
es M -continua, f −1 (F c ) = (f −1 (F ))c ∈ M. Por lo tanto, f −1 (F ) es un M -cerrado en
M. Recíprocamente, sea V ∈ N , entonces V c es un M -cerrado en N . Por hipótesis
f −1 (V c ) = (f −1 (V ))c es un M -cerrado en M, luego f −1 (V ) ∈ M. Así, f es M continua.
Ejemplo 7.88. Sean (X, M), (Y, N ) espacios minimales y f : X → Y una
función constante. Nótese que f es M -continua. En efecto: se supone que f (x) =
296
CAPÍTULO 7.
FILTROS, TOP. GENERALIZADA Y ESTR. MINIMAL
c ∈ Y , para todo x ∈ X y sea V un M -abierto en N , entonces
®
X ∈ M, si c ∈ V ;
−1
f (V ) =
∅ ∈ M,
si c ∈
/ V.
Por lo tanto, f es M -continua.
Adicional a las dos propiedades que debe cumplir una estructura minimal,
Alimohammady y Roohi en [2] introducen una propiedad llamada propiedad I .
Denición 7.89 ([2], denición 6). Un espacio minimal (X, M) cumple la
propiedad I si la intersección nita de conjuntos M -abiertos es un conjunto
M -abierto.
Ejemplo 7.90.
(i) Toda topología para un conjunto X es una estructura minimal para X
que tiene la propiedad I .
(ii) Todas las estructuras minimales sobre el conjunto X = {0, 1} (ejemplo
7.79 (ii)) tienen la propiedad I .
A continuación se presenta la denición, algunas propiedades y ejemplos de bases
para una estructura minimal con la propiedad I .
Denición 7.91. Sea (X, M) un M -espacio con la propiedad I . Una M -base
para M es una familia BM de subconjuntos M -abiertos de X con la siguiente
propiedad: cada M -abierto de M es la intersección nita de elementos de BM .
Los elementos de BM son llamados M -abiertos básicos.
Ejemplo 7.92. Sean X un conjunto totalmente ordenado y Tord la topología
del orden del ejemplo 2.74. Nótese que BM = {(x, →), (←, y) | x, y ∈ X} es una
M -base para Tord . En efecto:
(i) ∅ = (←, x) ∩ (x, →).
7.3.
297
ESTRUCTURA MINIMAL
(ii) X se obtiene de la intersección de la familia vacía.
(iii) (x, y) = (←, y) ∩ (x, →).
En el siguiente teorema se demuestra que dada una familia de subconjuntos de X ,
es posible obtener una única estructura minimal con la propiedad I .
Teorema 7.93. Dada una familia B de subconjuntos de X con ∅ ∈ B, existe
una única estructura minimal M con la propiedad I para la cual los elementos
de B son M -abiertos, y cualquier otra estructura minimal con la propiedad I ,
N que contenga a B es más na que M; esto es, M ⊆ N .
Demostración. Sea B := {∅} ∪ {Bi }i∈I una familia de subconjuntos de X . Se dene
M := {Vj }j∈J armando que para todo j ∈ J , Vj es un M -abierto en M si y solo si
Vj es intersección nita de elementos de B . Se verá que M es una estructura minimal
con la propiedad I .
(i) ∅ ∩ Bj = ∅ ∈ M.
(ii) X ∈ M, pues X = ∩k∈∅ Bk (la intersección de la familia vacía).
(iii) Sea {Vk }k∈F ⊆J una familia nita de elementos de M, entonces
!
\
\
\
Vk =
Bs ,
k∈F
k∈F
s∈S⊆I
con S un conjunto nito (la intersección nita de una familia en M, es la
intersección nita de elementos de B ).
Si N es otra estructura minimal para X tal que B ⊆ N , por la forma como se denió
M, se deduce que todo elemento de M también es elemento de N .
Nota 7.94. La familia B del teorema 7.93 es una M -base de M. Se dice que
la estructura minimal M con la propiedad I es generada por la M -base B
y se denota M = hBi.
298
CAPÍTULO 7.
FILTROS, TOP. GENERALIZADA Y ESTR. MINIMAL
Ejemplo 7.95. Sea X = {a, b, c, d} y B = {∅, {a, b}, {a, c}}, entonces
M = hBi = {∅, X, {a}, {a, b}, {a, c}}.
En estructuras minimales con la propiedad I se cumple el análogo de la proposición
4.5.
Proposición 7.96. Sean (X, M) un M -espacio con la propiedad I y A ⊆ X .
M[A] ⊆ M si y solo si A ∈ M.
Demostración. Si M[A] ⊆ M entonces A ∈ M, pues A ∈ M[A]. Recíprocamente,
dado un conjunto W ∈ M[A] se sigue que W = U ∩ A, con U ∈ M. Como A ∈ M,
la propiedad I implica que W = U ∩ A ∈ M.
La siguiente propiedad también es análoga a una propiedad que se cumple para
conjuntos cerrados en espacios topológicos.
Proposición 7.97. Si (X, M) es un M -espacio con la propiedad I , entonces
la unión nita de conjuntos M -cerrados es un conjunto M -cerrado.
Demostración. Sea {F1 , F2 , . . . , Fn } una familia nita de conjuntos M -cerrados. Se
sigue que Fic ∈ M para 1 ≤ i ≤ n, luego
F1c ∩ F2c ∩ · · · ∩ Fnc = (F1 ∪ F2 ∪ · · · ∪ Fn )c ∈ M.
Por lo tanto, F1 ∪ F2 ∪ · · · ∪ Fn es un M -cerrado.
En el siguiente teorema se demuestra que la M -continuidad entre espacios minimales
con la propiedad I , se puede caracterizar usando M -bases.
Teorema 7.98. Sean (X, M), (Y, N ) M -espacios con la propiedad I , f : X →
Y una función y BM una M -base para N . La función f es M -continua si y solo
si f −1 (B) ∈ M, para todo B ∈ BM .
Demostración. Sea BM una M -base para N . Si B ∈ BM , entonces B ∈ N . Como f
es M -continua, f −1 (B) ∈ M. Recíprocamente, sea V ∈ N , entonces V = ∩j∈F Bj ,
7.3.
299
ESTRUCTURA MINIMAL
donde Bj ∈ BM para todo j en un conjunto nito F . Por hipótesis f −1 (Bj ) ∈ M,
para cada j ∈ F . Entonces por la propiedad I ,
!
\
\
Bj = f −1 (V ) ∈ M.
f −1 (Bj ) = f −1
j∈F
j∈F
Así f es M -continua.
Ejercicio 7.27. Sean X un conjunto no vacío y ℘(X) el conjunto parcialmente
ordenado por la contenencia. Justicando la respuesta, decidir si cada armación,
respecto a las cadenas de ℘(X) (véase la denición 1.67), es falsa o verdadera. Se
entiende que la topología, el ltro, la topología generalizada y la estructura minimal
son para el conjunto X .
(a) Toda cadena es topología.
(b) Toda cadena es ltro.
(c) Toda cadena es topología generalizada.
(d) Toda cadena es estructura minimal.
(e) Toda cadena es estructura minimal con la propiedad I .
(f) Algunas cadenas son una topología.
(g) Algunas cadenas son un ltro.
(h) Algunas cadenas son una topología generalizada.
(i) Algunas cadenas son una estructura minimal.
(j) Algunas cadenas son una estructura minimal con la propiedad I .
(k) Ninguna cadena es topología o ltro.
(l) Ninguna cadena es topología generalizada.
(m) Ninguna cadena es estructura minimal o
(n) Ninguna cadena es estructura minimal con la propiedad I .
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Índice de guras
2.1. Parejas de objetos topológicos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
2.2. Objetos topológicos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
2.3. Elección del radio ρ apropiado.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
2.4. Un abierto básico en Tf h . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
2.5. Un abierto básico en Tf v . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
2.6. Un abierto básico en TRv . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
2.7. Un abierto básico en TRm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
2.8. Abiertos básicos en Tlex . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
2.9. Una recta vertical es un conjunto abierto en Tlex . . . . . . . . . . . . 93
2.10. Una bola es un conjunto abierto en Tlex . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
2.11. Ejemplos de abiertos básicos en un conjunto totalmente ordenado (a)
con elemento máximo y (b) con elemento mínimo. . . . . . . . . . . . 99
3.1. (a) Puntos en A. (b) Puntos en el complemento de A. (c) Puntos en
el interior de A. (d) Puntos por fuera de A. (e) El borde de A. . . . 106
3.2. V es una vecindad del punto x. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
3.3. Partición de X . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
4.1. Abiertos en Tu [A] con A = [0, 1]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
4.2. Abiertos en la circunferencia con la topología usual . . . . . . . . . . 142
4.3. El toro. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
4.4. ((0, 1) × (0, 1)) ∪ ((2, 3) × (2, 3)) no es producto cartesiano de
subconjuntos de R. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
4.5. Representación de S 1 × [0, 1]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
4.6. Construcción del cilindro a partir de un rectángulo. . . . . . . . . . . 161
4.7. Construcción de la banda de Möbius a partir de un rectángulo. . . . . 161
304
ÍNDICE DE FIGURAS
305
4.8. Construcción del toro a partir de un rectángulo. . . . . . . . . . . . . 162
5.1. Representación intuitiva de la desigualdad triangular. . . . . . . . . . 167
5.2. Ejemplos de bolas abiertas en R2 para diferentes métricas. . . . . . . 179
5.3. Las bolas abiertas en la métrica del mensajero con centro en p ∈ R2
y radio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180
5.4. Relación entre las bolas en las métricas del taxista, euclidiana y del
máximo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182
5.5. Contenencia de bolas abiertas de las métricas usual y del taxista. . . 187
5.6. Un abierto en hmi es abierto en hdi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188
5.7. La secuencia de bolas en las métricas dn convirtiéndose en la bola
de la métrica d∞ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194
5.8. Bola de radio y centro en f . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199
5.9. La distancia entre dos funciones fn y fm corresponde al área de la
región sombreada. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206
6.1. Función continua en un punto. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209
6.2. Ilustración de (a) una función continua en x y (b) una función
discontinua en x. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211
6.3. Análisis de la continuidad en a de la función del ejemplo 6.4. . . . . . 212
6.4. Análisis de la discontinuidad en c de la función del ejemplo 6.4. . . . 212
6.5. Ilustración de la demostración del teorema 6.15 . . . . . . . . . . . . 218
6.6. Algunos ejemplos de grácas de funciones entre espacios euclidianos. . 225
6.7. La proyección estereográca del ejemplo 6.56 . . . . . . . . . . . . . . 239
6.8. La proyección estereográca sobre un plano bajo la esfera . . . . . . . 240
Índice de símbolos
(Ai )i∈I Familia de conjuntos no necesariamente diferentes indexada por I .
(xn ) 9 x Sucesión que no converge a x.
(xn ) → x Sucesión que converge a x (convergencia única).
T
T
F o
A Intersección de una familia de conjuntos F .
A∈F
n
T
Ai Intersección de la familia nita de conjuntos {A1 , . . . , An }.
i=1
Ai Intersección de una familia {Ai }i∈I .
T
i∈I
∞
T
Ak Intersección de una familia de conjuntos indexada por Z+ .
k=1
S
F
o
S
A Unión de una familia de conjuntos F .
A∈F
n
S
Ai Unión de la familia nita de conjuntos {A1 , . . . , An }.
i=1
S
Ai Unión de una familia {Ai }i∈I .
i∈I
∞
S
Ak Unión de una familia de conjuntos indexada por Z+ .
k=1
`np
Espacio métrico (Rn , dp ).
hdi
Topología generada por la métrica d.
C
Conjunto de los números complejos.
R
Conjunto de los números reales.
306
ÍNDICE DE SÍMBOLOS
V(x) Conjunto de vecindades de x.
F = hBi Filtro generado por la base B .
Fan
Filtro elemental asociado a una sucesión (an ).
Fcoc
Filtro de complementos contables.
Fcof
Filtro de complementos nitos.
C
Familia de conjuntos cerrados.
N
Conjunto de los números naturales.
A o Adh(A) Adherencia o clausura de A.
d
B (x) (B (x)) Bola cerrada de radio r y centro en x (en la métrica d).
Orden lexicográco.
l
n
Q
Ai Producto cartesiano de la familia nita de conjuntos {A1 , . . . , An }.
i=1
Q
Ai Producto cartesiano de una familia (Ai )i∈I .
i∈I
∞
Q
Ak Producto cartesiano de una familia (Ak )k∈Z+ .
k=1
Q
Conjunto de los números racionales.
R \ Q Conjunto de los números irracionales.
⊂
Relación de contenencia propia o estricta entre conjuntos.
⊆
Relación de contenencia entre conjuntos.
Tu
Topología usual.
T = hBi Topología generada por la base B .
T [A] Topología de subespacio para A.
TA
Topología del conjunto excluido A.
307
308
ÍNDICE DE SÍMBOLOS
Tp
Topología del punto excluido p.
Tf
Topología cociente inducida por la función f .
T(←,?) Topología de colas a izquierda abiertas.
T(←,?] Topología de colas a izquierda cerradas.
T(?,→) Topología de colas a derecha abiertas.
T[?,→) Topología de colas a derecha cerradas.
Topología producto.
TΠ =
Q
T4
Topología nal asociada a una familia de funciones 4.
Tϕ
Topología inicial asociada a una familia de funciones ϕ.
TA
Topología del conjunto incluido A.
Tcoc
Topología de complementos contables.
Tcof
Topología de complementos nitos.
Tdip
Topología de los dipolos.
Tdis
Topología discreta.
Tf h
Topología de franjas horizontales.
Tf v
Topología de franjas verticales.
Tinf
Topología del límite inferior.
Tlex
Topología del orden lexicográco.
Tord
Topología del orden.
Tp
Topología del punto incluido p.
TRm
Topología de rectas de pendiente m.
TRv
Topología de rectas verticales.
i∈I Ti
ÍNDICE DE SÍMBOLOS
Tsup
Topología del límite superior.
Ttriv
Topología trivial.
ais(A) Conjunto de puntos aislados de A.
ext(A) Exterior del conjunto A.
fr(A) Frontera de A.
int(A) Interior del conjunto A.
Top(X) Conjunto de topologías para X .
℘(X) o
Z
2X Conjunto de partes de un conjunto X .
Conjunto de los números enteros.
Z+ , Q+ y R+ Enteros, racionales y reales positivos respectivamente.
Z− , Q− y R− Enteros, racionales y reales negativos respectivamente.
{Ai }i∈I Familia de conjuntos indexada por un conjunto I .
B (x) (Bd (x)) Bola abierta de radio r y centro en x (en la métrica d).
C(I, R) Espacio de funciones continuas del conjunto I ⊆ R en R.
D(A) o A0 Derivado de A.
Fh (a, b) Franja horizontal determinada por los reales a < b.
Fv (a, b) Franja vertical determinada por los reales a < b.
Rma Recta de pendiente m que pasa por (0, a).
Rva
Recta vertical x = a.
S1
Circunferencia de radio 1.
S (x) (Sd (x)) Esfera de radio r y centro en x (en la métrica d).
Xω
Conjunto de sucesiones de elementos de X .
309
310
ÍNDICE DE SÍMBOLOS
Xn
Conjunto de eneuplas de elementos de X .
XY
Conjunto de funciones de X en Y .
FA
Filtro principal asociado a A.
Índice alfabético
abierto, 54
trivial, 54
abiertos
básicos, 67
adherencia, 122
arandela, 151
arandela abierta, 151
arquimediana
propiedad, 31
axioma
de elección, 41
base, 67
para un ltro, 271
de ltro, 272
local, 99
bases
equivalentes de ltro, 274
triviales, 67
bola
abierta, 142, 176
abierta en R2 , 84
abierta en Rn , 86
cerrada, 118, 176
buen orden, 30
cadena, 41
maximal, 42
cerrado, 116
trivial, 117
cilindro innito, 240
clase
de equivalencia, 32
de equivalencia
topológica, 52
clausura, 122
codominio, 35
cola
a derecha abierta, 95
a derecha cerrada, 96
a izquierda abierta, 95
a izquierda cerrada, 97
complemento, 11
relativo, 11
composición, 36
conjunto
acotado, 188
acotado en un orden, 29
acotado inferiormente, 29
acotado superiormente, 29
coordenado, 44
inductivo, 21
par, 12
parcialmente ordenado, 26
totalmente ordenado, 30
vacío, 6
constante de Lipschitz, 226
311
312
contenencia, 9
propia, 10
converge
base de ltro, 281
ltro, 281
convergencia
uniforme, 200
cota
inferior, 28
superior, 28
covergencia, 130
cuadrado unitario, 151
ÍNDICE ALFABÉTICO
dominio
de una función, 35
elemento
maximal, 28
minimal, 28
equipotentes, 37
equivalencia topológica, 51
esfera, 176
espacio
1-contable, 100
2-contable, 101
topológico generalizado, 286
denso, 125
cociente, 157
derivado, 127
de Hausdor, 119
desigualdad
de Sierpinski, 101
de
Cauchy-Bunjakovski-Schwartz,
identicación, 248
169
métrico, 166
de Minkowski, 169
métrico discreto, 168
de Young, 172
minimal, 293
triangular, 166
producto, 147, 153
diámetro
separable, 125
de un coonjunto, 188
topológico, 54
diagrama
topológico discreto, 55
sagital, 35
topológico metrizable, 182
de Hasse, 26
topológico trivial, 55
diferencia
espacios
simétrica, 12
isométricos, 175
de conjuntos, 10
topológicos homeomorfos, 234
dipolos, 78
estructura minimal, 293
distancia, 165
extensión, 8
de Hamming, 168
exterior, 114
de un punto a un conjunto, 190
familia
entre conjuntos, 191
de conjuntos, 13, 17
euclidiana, 168
313
ÍNDICE ALFABÉTICO
indexada, 17
ltro, 264
convergente, 281
de complementos contables, 267
de complementos nitos, 266
de Fréchet, 272
de vecindades, 265
elemental asociado a una sucesión,
265
generado, 272
generado por una subbase, 276
más no, 269
menos no, 269
principal, 272
franja
horizontal, 86
vertical, 87
vertical cerrada, 92
función, 25
acotada, 189
abierta, 232
biyectiva, 37
cerrada, 232
cociente, 157
constante, 218
continua, 208
continua en espacios métricos, 223
continua en un punto, 208
continua generalizada, 291
continua minimal, 295
coordenada, 253
de elección, 41
G-continua, 291
identicación, 248
inclusión, 216
inversa, 37
invertible, 37
inyectiva, 37
lipschitziana, 226
M-continua, 295
restringida, 216
secuencialmente continua, 227
sobreyectiva, 37
uniformemente continua, 223
uno a uno, 37
G-abiertos, 286
básicos, 288
G-base, 288
G-cerrado, 290
Hölder
desigualdad de, 173
homeomorsmo, 229
homeomorfo, 229
imagen, 36
inversa, 36
inclusiones, 241
ínmo, 28
interior, 112
intervalo
abierto acotado, 95
invariante topológico, 242
isometría, 174
isomorsmo de orden, 240
límite de una función, 285
línea digital, 74
lema de Zorn, 41, 42
314
lema del pegado, 219
leyes de De Morgan, 12
M-abiertos, 293
básicos, 297
M-base, 296
M-cerrado, 295
M-espacio, 293
M-subespacio, 294
máximo, 28
mejor topología, 248
métrica, 165
inducida, 227
del máximo, 171
del mensajero, 170
del supremo, 190
del taxista, 170
discreta, 168
usual en Rn , 168
métricas
equivalentes métricamente, 192
equivalentes topológicamente, 186
mínimo, 28
Minkowski
desigualdad de, 173
no comparables, 64
orden
denso, 30
sin extremos, 30
total, 30
lexicográco, 91
pareja ordenada, 13
partes
ÍNDICE ALFABÉTICO
conjunto de, 16
partición, 33
peine innito, 118
plano punteado, 240
polinomios
de Bernstein, 200
PPF, 243
primer axioma de numerabilidad, 100
principio
del buen orden, 41
maximal de Hausdor, 42
producto
cartesiano, 17, 44
producto cartesiano,
factor del, 44
propiedad
del punto jo, 243
hereditaria, 143
topológica, 242
propiedad I , 296
proyección
i-ésima, 250
proyección estereográca, 237
proyecciones, 154, 219
punto
adherente, 122
aislado, 129
de acumulación, 127
exterior, 114
frontera, 135
interior, 111
límite, 127
límite de un ltro, 281
límite de una función, 284
315
ÍNDICE ALFABÉTICO
rango de una función, 36
relación, 23, 24
antisimétrica, 25
asimétrica, 25
de equivalencia, 32
de orden, 25, 26
estricto, 26
irreexiva, 25
reexiva, 25
simétrica, 25
transitiva, 25
vacía, 24
retículo, 65
ropiedad
universal, 250
secuencia, 45
segundo axioma de numerabilidad, 101
separación
esquema axiomático de, 6
sistema fundamental de vecindades, 111
subbase, 103
para un ltro, 274
de una topología, 104
subconjunto, 9
subespacio
topológico, 138
topológico generalizado, 290
subestructura minimal, 294
sucesión, 45
a la larga constante, 133
covergente, 130
de Cauchy, 185
sucesor, 14
superconjunto, 10
supremo, 28
propiedad del, 30
teorema de Bolzano, 243
topología, 54
cociente, 157
de colas a derecha abiertas para
(X, ), 96
de colas a derecha abiertas para R,
79
de colas a derecha cerradas para
(X, ), 96
de colas a derecha cerradas para R,
79
de colas a izquierda abiertas para
(X, ), 97
de colas a izquierda abiertas para R,
80
de colas a izquierda cerradas para
(X, ), 97
de colas a izquierda cerradas para R,
80
de complementos contables, 62
de complementos nitos, 61
de franjas horizontales, 87
de franjas verticales, 87
de Hausdor, 119
de la convergencia uniforme, 190
de los cuadrados semiabiertos, 145
de los dipolos, 78
de rectas de pendiente m, 89
de rectas verticales, 89
del conjunto excluido, 60
del conjunto incluido, 58
del límite inferior, 77
316
del límite superior, 77
del orden, 95
del orden lexicográco, 91
del punto excluido, 59
del punto incluido, 57
del subespacio, 138
discreta, 55
ltrosa, 268
nal, 260
generada por la G-base, 289
generada por una base, 69
generada por una métrica, 180
generalizada, 286
generalizada del punto excluido, 287
inicial, 254
más na que, 63
menos na que, 63
por cajas, 152
producto, 147, 153
trivial, 55
usual, 142
usual para R2 , 84
usual para Rn , 86
usual para R, 75
topologías incomparables, 63
toro, 143
traza, 274
ultraltro, 278
unión, 14
valor absoluto, 165
vecindad, 106
abierta, 107
abierta básica, 107
ÍNDICE ALFABÉTICO