Lógica Matemática y Economía: Introducción y Aplicaciones

Facultad de Ciencias Económicas
Álgebra Aplicada a las Ciencias Económicas
Tema 01: Introducción a la Lógica Matemática y sus aplicaciones en el campo Económico.
La Lógica Matemática cumple un rol de mucha relevancia, podría decirse fundamental, en el abordaje de
todos los contenidos de la disciplina matemática.
Es más, puede afirmarse que es de importancia en todos los aspectos de las relaciones humanas que se
desarrollan en la vida cotidiana; por lo tanto, sus leyes son aplicables a todas las disciplinas,
independientemente de la naturaleza de las mismas.
La Lógica es una rama de la filosofía y la Lógica Matemática es una aplicación de la misma al campo
específico de esta ciencia, que provee una forma de unificar el lenguaje y de construir razonamientos acerca
de los cuales pueda tenerse la certeza de que sean válidos y, en consecuencia, aplicables para obtener
conclusiones cuya validez sea de carácter general.
La unidad elemental de trabajo, en base a las cuales pueden construirse todo tipo de razonamientos más o
menos complejos, es lo que se denomina proposición.
Ahora bien, ¿qué es una proposición?
Sean los siguientes enunciados:
-
¿Cuál es el precio de este producto?
-
Venda todo el stock existente de acciones de la empresa.
-
Se incrementó el precio de las computadoras.
-
La fábrica disminuyó su producción en el transcurso de este mes.
-
Se aumentó el nivel de salarios.
-
Mejoró el nivel de rendimiento de los empleados.
-
El aumento de salarios impactó positivamente en el rendimiento de los empleados.
-
La disminución del precio de los televisores hizo que se incrementen las ventas.
Si se analiza la primera puede verse claramente que es una pregunta, una interrogación, mientras que la
segunda es una orden.
En cambio, los casos restantes son bien diferentes, son declarativas, puesto que respecto de cualquiera de
esos enunciados puede hacerse la pregunta acerca de su verdad o falsedad. Por ejemplo, uno podría
preguntarse si es cierto o no que se incrementó el precio de las computadoras; también podría preguntarse
si efectivamente una mejora en los salarios impacta en el rendimiento de los empleados; y lo mismo con
cualquiera de los restantes enunciados.
Introducción a la Lógica Matemática - Pág. 1
Facultad de Ciencias Económicas
Álgebra Aplicada a las Ciencias Económicas
En función de lo precedente, se define a una proposición como toda construcción sintáctica respecto de la
cuál pueda o tenga sentido hacerse la pregunta acerca de si es verdadera o falsa.
Resulta entonces que los dos primeros enunciados no constituyen una proposición, mientras que todos los
demás sí pueden incluirse en la categoría definida de proposiciones.
En general, una proposición se indica en forma simbólica con una letra minúscula, por ejemplo , , , , etc.
Por ejemplo:
: subió el valor de las acciones de la empresa SUR.
: disminuyó el nivel de empleo en el país.
: la industria ARGENT aumentó su nivel de producción el último semestre.
: el aumento del precio de venta de los televisores hizo que disminuya su venta.
: mejoraron las ventas en la fábrica y se incrementaron los salarios de los empleados.
: se aumenta la inversión en maquinaria o se incrementan los salarios.
Los enunciados anteriores son proposiciones, según la definición dada, atento a que es posible y tiene
sentido hacerse la pregunta acerca de si son verdaderos o falsos. También puede observarse claramente
que las proposiciones ,
y
mientras que las proposiciones
enuncian una sola acción, por lo que se denominan proposiciones simples;
y
involucran más de dos acciones o efectos en su enunciado, motivo
por el que se las denomina proposiciones compuestas.
Esta lógica en la cuál a las proposiciones puede asignárseles sólo uno de estos dos valores de verdad se
denomina lógica bivalente. Claramente es una simplificación de la realidad, dado que no siempre puede
afirmarse taxativamente que un evento determinado es V o F, es decir, no todo es blanco o negro. En la
mayoría de los hechos de la vida real, existe un matiz de grises que nos llevarían a complejizar nuestro
análisis, y fundamentalmente en los temas vinculados al campo económico.
A los efectos de fijar ideas, cuando se inicia un emprendimiento, por ejemplo un negocio, no necesariamente
siempre va a funcionar bien o mal, es decir, no siempre a la pregunta ¿cómo funciona el negocio? puede
responderse bien o mal, que sería el equivalente a V o F. En muchos casos el negocio podrá funcionar más o
menos bien, algunos períodos bastante bien, otros períodos bastante mal, etc.
Situaciones como éstas, que ocurren en la mayoría de los acontecimientos de cualquier naturaleza en la vida
diaria, nos llevarían a plantear opciones intermedias entre el V y el F, cuestión que nos llevaría a su vez a
Introducción a la Lógica Matemática - Pág. 2
Facultad de Ciencias Económicas
Álgebra Aplicada a las Ciencias Económicas
considerar opciones intermedias, lo que daría lugar a una lógica polivalente, cuyo estudio obviamente
resulta de mayor complejidad. Precisamente esta lógica polivalente ha dado lugar a una rama bastante
nueva y aún no demasiado desarrollada en el campo de la matemática, denominada matemática borrosa, de
muchísima aplicación en diversos campos de estudio, entre ellos el correspondiente al análisis económico.
En este curso sólo se trabajarán conceptos básicos de la lógica bivalente, es decir, se asignará sólo el valor V
o F a cada una de las proposiciones simples consideradas. A partir de esto, y siguiendo algunas leyes lógicas
que se desarrollarán a continuación, se podrá determinar el valor de proposiciones complejas en las que
éstas proposiciones simples intervengan.
Entre las proposiciones, de igual forma que entre los números, pueden definirse mediante las tablas
correspondientes algunas operaciones y también algunas relaciones. Cada una de ellas se indica con un
símbolo denominado conectivo lógico.
OPERACIONES ENTRE PROPOSICIONES
a) Negación
Es la única operación unitaria, es decir que interviene una única proposición, y consiste simplemente en
cambiar el valor de verdad de la proposición. Se indica con el símbolo , que se lee
.
Ejemplo:
Sea : todos los negocios generan ganancias
Entonces:
: no todos los negocios generan ganancias.
También podrían considerarse algunas otras formas de expresión equivalentes a la negación anterior, como
por ejemplo:
: algunos negocios no generan ganancias, aunque la más usual es la primera.
A continuación se presenta la tabla que representa a la operación.
V
F
F
V
b) Conjunción o producto lógico
Es una operación en la que intervienen al menos dos proposiciones y se simboliza con el conectivo Ʌ que se
lee
. Por ejemplo sean las proposiciones simples:
: la empresa incrementa el nivel de utilidades
: aumenta el sueldo de los empleados
Introducción a la Lógica Matemática - Pág. 3
Facultad de Ciencias Económicas
Álgebra Aplicada a las Ciencias Económicas
Entonces resulta:
: La empresa incrementa el nivel de utilidades y aumenta el sueldo de los empleados
Claramente, la anterior, es una proposición compuesta obtenida a partir de dos proposiciones simples. Esta
será verdadera sólo en el caso en que se cumplan las dos en forma simultánea, es decir, que tanto p como q
sean verdaderas. En todos los restantes casos posibles será falsa.
En los casos en que intervengan dos proposiciones en la operación será necesario considerar cuatro
combinaciones posibles, las que se detallan en la tabla siguiente que define a esta operación.
V
V
V
V
F
F
F
V
F
F
F
F
c) Disyunción o suma lógica
Se forma a partir de dos o más proposiciones simples. Se indica con el conectivo que se lee
. Esta
disyunción es incluyente o inclusiva, lo que indica que la proposición compuesta resultante será verdadera
en el caso en que, al menos, una de ellas sea verdadera. Si consideramos el ejemplo utilizado para la
operación anterior resultaría:
: La empresa incrementa el nivel de utilidades o aumenta el sueldo de los empleados.
Claramente puede observarse que esta afirmación compuesta es verdadera con la sola condición de que al
menos una de las acciones se cumpla.
V
V
V
V
F
V
F
V
V
F
F
F
d) Diferencia simétrica
Esta operación se indica con el conectivo que se lee “o excluyente” u “o exclusivo”, lo que significa que si
se cumple una de las proposiciones simples no puede cumplirse en forma simultánea la otra. En
consecuencia una diferencia simétrica será verdadera solamente en el caso en que las proposiciones simples
que la conformen tengan distinto valor de verdad.
Para el ejemplo que se viene trabajando hasta aquí resultaría:
: La empresa incrementa el nivel de utilidades o (excluyente) aumenta el sueldo de los empleados.
El o excluyente significa que sólo puede verificarse una de las dos acciones, es decir, en ningún caso las dos
pueden ser verdaderas ni tampoco falsas en forma simultánea.
Introducción a la Lógica Matemática - Pág. 4
Facultad de Ciencias Económicas
Álgebra Aplicada a las Ciencias Económicas
V
V
F
V
F
V
F
V
V
F
F
F
e) Condicional
El condicional entre dos proposiciones y se indica mediante el conectivo , es decir que p condicional q
se expresa en la forma
, que se lee “si se cumple , entonces se verifica ” o simplemente “si ,
entonces ”. También suele decirse “es condición necesaria para que se cumpla ”. Generalmente se
denomina antecedente y consecuente.
Continuando con el ejemplo que se viene usando, el condicional entre
y
queda:
: Si la empresa incrementa el nivel de utilidades, entonces se aumenta el sueldo de los empleados.
En este punto resulta necesario realizar un análisis puntual de la situación. Claramente, es condición
necesaria que se incremente el nivel de utilidades de la empresa para aumentar los salarios, es decir, para
dar efectivo cumplimiento a la segunda acción. Por lo tanto, el condicional será verdadero si se cumplen
ambas proposiciones. Ahora bien, si se verifica la primera pero no se da efectivo cumplimiento a la segunda,
entonces el condicional resultará falso.
En tanto que si la primera no se cumple, esto significa que la condición necesaria no se cumple; en
consecuencia, no hay ninguna obligación de cumplir la segunda. De esta forma, en estas condiciones, el
condicional resultará verdadero cualquiera sea el valor de verdad de la segunda proposición.
En síntesis, un condicional resultará falso solamente en el caso en que la primera proposición sea verdadera
y la segunda sea falsa. En todos los demás casos será verdadero.
f)
V
V
V
V
F
F
F
V
V
F
F
V
Bicondicional
El bicondicional entre dos proposiciones debe interpretarse como un condicional en ambos sentidos y se
indica con el conectivo . Esto significa que
se lee “ bicondicional ” y debe entenderse de la
siguiente forma: se cumple
y en forma simultánea
, esto es, p es condición necesaria para que
se verifique , pero al mismo tiempo es condición necesaria para que se verifique .
Puede interpretarse al bicondicional
como la conjunción entre los dos condicionales
y
Introducción a la Lógica Matemática - Pág. 5
Facultad de Ciencias Económicas
Álgebra Aplicada a las Ciencias Económicas
Entonces:
(
)
(
V
V
V
V
V
V
F
F
V
F
F
V
V
F
F
F
F
V
V
V
)
De esta manera el bicondicional entre dos proposiciones será verdadero sólo cuando las dos proposiciones
tengan el mismo valor de verdad.
V
V
V
V
F
F
F
V
F
F
F
V
Sintetizando las dos últimas operaciones definidas puede interpretarse al condicional como una condición
necesaria que se cumpla p para la verificación de q, mientras que el bicondicional puede asociarse a una
condición necesaria y suficiente, dado que es condición necesaria para el cumplimiento de
pero
también es condición necesaria para que se cumpla .
Estas consideraciones resultan de relevante importancia e interés para el tratamiento de diversos temas
dentro de la disciplina matemática; aunque también son aplicables a otras áreas del conocimiento,
contribuyendo en definitiva a una mejor y más clara comprensión y expresión en nuestro desempeño en la
vida cotidiana, evitando ambigüedades que en algunos casos generan confusiones en la comunicación.
Diferentes resultados que pueden obtenerse al operar con proposiciones.
Cuando se opera con proposiciones pueden obtenerse, según sean los valores de verdad de cada una de las
proposiciones intervinientes y las operaciones definidas según las tablas anteriores, distintos resultados.
Podría darse el caso de que todos los resultados sean verdaderos, de que algunos sean verdaderos y otros
falsos, o bien de que todos sean falsos.
…
V
V
………
………
………
…
V
V
F
………
………
………
…
V
F
V
………
………
………
…
V
F
F
………
………
………
…
V
Introducción a la Lógica Matemática - Pág. 6
Facultad de Ciencias Económicas
Álgebra Aplicada a las Ciencias Económicas
…
V
V
………
………
………
…
F
V
F
………
………
………
…
V
F
V
………
………
………
…
V
F
F
………
………
………
…
F
…
V
V
………
………
………
…
F
V
F
………
………
………
…
F
F
V
………
………
………
…
F
F
F
………
………
………
…
F
Veamos algunos ejemplos concretos que representen a cada una de estas situaciones.
Ejemplo de tautología: (
)
(
)
(
(
)
)
(
V
V
V
F
V
V
V
F
F
F
F
V
F
V
V
V
V
V
F
F
V
V
V
V
Ejemplo de contingencia: (
)
(
)
(
(
)
)
(
V
V
V
F
V
V
V
F
F
V
V
F
F
V
F
F
F
V
F
F
F
V
V
F
Ejemplo de Contradicción:
(
)
)
(
)
)
(
)
(
)
(
)
Introducción a la Lógica Matemática - Pág. 7
Facultad de Ciencias Económicas
Álgebra Aplicada a las Ciencias Económicas
V
V
F
F
V
F
F
V
F
F
V
V
F
F
F
V
V
F
F
V
F
F
F
V
V
V
F
F
Cuando todos los resultados son verdaderos se dice que es una tautología o que el resultado es tautológico,
lo que significa que ese planteo se verifica en todos los casos.
Por ejemplo, si decimos que todo número elevado al cuadrado es positivo, esto se cumple siempre, es decir
que se trata de una tautología o ley lógica.
Si en cambio algunas veces es verdadero y otras es falso se trata de una contingencia; es decir de un planteo
que se verifica o se cumple en determinadas situaciones y en otras no.
Un ejemplo podría ser enunciar que cualquier número entero elevado al cubo es positivo. Esto se cumple
sólo en algunos casos, cuando el número sea un entero positivo.
En tanto que si el resultado es siempre falso se trata de una contradicción, esto significa que el planteo o la
propiedad no se cumple en ningún caso.
Supóngase que se enuncie que los números negativos elevados al cubo dan un resultado positivo. Esto
claramente es una contradicción porque nunca será verdadero.
RELACIONES ENTRE PROPOSICIONES
a) Implicación
Se denota mediante el conectivo
, de modo tal que la expresión
se lee “ implica ”. Esta es una
relación de uso muy habitual en el campo de la matemática, y se la emplea cuando se quiere significar que
algo es consecuencia de un determinado hecho ocurrido previamente. Por ejemplo, puede resultar común
afirmar que “estudiar implica la posibilidad de aprobar un examen”, entre otras muchas posibles
enunciaciones.
Si se consideran dos proposiciones p y q como las siguientes:
: disminuye el precio de un producto
: aumenta su demanda
Entonces la implicación
se enunciaría como sigue:
Si disminuye el precio de un producto implica que aumenta su demanda.
Para determinar la validez de una implicación se traduce operativamente en un condicional. En estas
condiciones puede afirmarse que una proposición implica a otra si el condicional establecido entre ambas,
en ese orden, resulta tautológico.
Introducción a la Lógica Matemática - Pág. 8
Facultad de Ciencias Económicas
Álgebra Aplicada a las Ciencias Económicas
Por ejemplo: (
)
(
)
(
)
V
V
V
V
V
V
F
F
F
V
F
V
V
F
V
F
F
V
F
V
b) Equivalencia
Esta relación se denota a través del conectivo
, de manera tal que la expresión
se lee “ es
equivalente a ”, y debe entenderse como una doble implicación. Es decir, esto es lo mismo que decir que
y al mismo tiempo
.
Retomando las proposiciones del ejemplo anterior, la equivalencia se enunciaría en la forma “la disminución
del precio del producto es equivalente al aumento de la demanda”, o también resulta habitual enunciar
“disminuye el precio de un producto si y solo si aumenta su demanda”.
Se dice que una proposición es equivalente a otra cuando al traducirla operativamente en un bicondicional
éste resulta tautológico.
La equivalencia entre dos proposiciones puede entenderse como la conjunción entre una implicación y su
recíproca, siempre y cuando intervengan las mismas proposiciones.
Por Ejemplo: (
)
(
)
Para asegurarnos de esta equivalencia resolvemos (
cercioramos que la misma sea una tautología.
)
(
) en una tabla de verdad y nos
(
)
(
V
V
V
F
F
V
V
V
F
F
V
F
F
V
F
V
V
F
V
V
V
F
F
V
V
V
V
V
)
PRINCIPALES LEYES LÓGICAS
Las leyes lógicas son proposiciones lógicas compuestas equivalentes entre si y suelen ser de utilidad para
simplificar la estructura de algunos enunciados. A continuación se desarrollarán alguna de las leyes lógicas
más utilizadas y se probará que la estructura de éstos enunciados lógicos son tautologías.
Introducción a la Lógica Matemática - Pág. 9
Facultad de Ciencias Económicas
Álgebra Aplicada a las Ciencias Económicas
1- Involución
a)
(
)
La negación de la negación de una proposición es equivalente a dicha proposición.
También podría leerse como “no, no , equivale a
”
(
)
(
)
V
F
V
V
F
V
F
V
2-Idempotencia
)
a) Idempotencia de la conjunción: (
El enunciado correspondiente es “la conjunción de una proposición consigo misma equivale a dicha
proposición”
(
)
(
)
V
V
V
F
F
V
)
b) Idempotencia de la disyunción o suma lógica: (
El enunciado correspondiente es “la disyunción o suma lógica de una proposición consigo misma
equivale a dicha proposición”.
(
)
(
)
V
V
V
F
F
V
3-Conmutatividad
a) de la conjunción
V
V
V
V
V
V
F
F
F
V
F
V
F
F
V
F
F
F
F
V
b) de la disyunción o suma lógica
Introducción a la Lógica Matemática - Pág. 10
Facultad de Ciencias Económicas
Álgebra Aplicada a las Ciencias Económicas
4-Asociatividad
a) de
la
(
V
V
V
V
V
V
F
V
V
V
F
V
V
V
V
F
F
F
F
V
(
conjunción
)
)
En casos como éste, en el que intervienen tres proposiciones, las posibles combinaciones de sus valores
de verdad está dada por 23, es decir, existen 8 combinaciones posibles. Estas van desde el hecho en que
las tres sean verdaderas hasta la situación en que las tres sean falsas. Para contemplar esto los valores se
disponen como indica la siguiente tabla demostrativa de la propiedad.
(
)
(
)
(
)
(
)
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
F
V
F
F
F
V
V
F
V
F
F
F
F
V
V
F
F
F
F
F
F
V
F
V
V
F
F
V
F
V
F
V
F
F
F
F
F
V
F
F
V
F
F
F
F
V
F
F
F
F
F
F
F
V
disyunción o suma lógica (
)
(
(
)
b)
(
(
)
(
)
)
)
(
)
(
)
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
F
V
V
V
V
V
V
F
V
V
V
V
V
V
V
F
F
V
V
F
V
V
F
V
V
V
V
V
V
V
F
V
F
V
V
V
V
V
F
F
V
F
V
V
V
V
F
F
F
F
F
F
F
V
Introducción a la Lógica Matemática - Pág. 11
Facultad de Ciencias Económicas
Álgebra Aplicada a las Ciencias Económicas
5-Distributividad
a) de la conjunción con respecto a la disyunción (
(
)
)
) (
(
) (
(
)
(
)
)
(
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
F
V
F
F
F
F
V
V
F
V
V
V
V
F
V
V
V
F
F
V
F
F
F
F
V
F
V
V
V
V
F
V
V
V
F
V
F
V
F
F
F
F
V
F
F
V
F
F
F
F
F
V
F
F
F
F
F
F
F
F
V
b) de la disyunción con respecto a la conjunción (
(
)
)
(
(
) (
)
) (
)
(
)
(
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
F
V
V
V
V
V
V
V
F
V
F
V
V
V
V
V
V
F
F
F
F
V
F
F
V
F
V
V
F
V
V
V
V
V
F
V
F
F
F
F
V
F
V
F
F
V
F
V
V
V
V
V
F
F
F
F
F
F
F
F
V
) (
)
) (
)
6 - Leyes de De Morgan
Primera ley: “la negación de la conjunción entre dos proposiciones es equivalente a la disyunción entre las
negaciones de dichas proposiciones”.
(
Simbólicamente:
)
(
V
V
V
)
F
(
F
F
F
)
V
Introducción a la Lógica Matemática - Pág. 12
Facultad de Ciencias Económicas
Álgebra Aplicada a las Ciencias Económicas
V
F
F
V
F
V
V
V
F
V
F
V
V
F
V
V
F
F
F
V
V
V
V
V
Segunda ley: “la negación de la disyunción entre dos proposiciones es equivalente a la conjunción entre las
negaciones de las mismas”.
Simbólicamente:
(
)
(
)
(
)
V
V
V
F
F
F
F
V
V
F
V
F
F
V
F
V
F
V
V
F
V
F
F
V
F
F
F
V
V
V
V
V
IMPLICACIONES ASOCIADAS
Proposiciones recíprocas: dada la expresión
es la contraria de la primera.
Por lo tanto, las proposiciones
y
que se las denomina contrarrecíprocas.
, se dice que
es la recíproca, mientras que
son contrarias y recíprocas simultáneamente, motivo por el
Esta situación puede esquematizarse como sigue:
Puede demostrarse fácilmente, mediante las tablas correspondientes, que las proposiciones
contrarrecíprocas son equivalentes.
Introducción a la Lógica Matemática - Pág. 13
Facultad de Ciencias Económicas
Álgebra Aplicada a las Ciencias Económicas
A modo de ejemplo se demuestra que (
)
(
)
(
)
(
V
V
V
F
F
V
V
V
F
V
F
V
V
V
F
V
F
V
F
F
V
F
F
V
V
V
V
V
)
A modo ilustrativo, y al solo efecto de mostrar que las implicaciones contrarrecíprocas son equivalentes, tal
como acaba de demostrarse en la tabla anterior, puede enunciarse lo siguiente:
: se incrementan las ventas
: aumentan las utilidades de la empresa
: si se incrementan las ventas implica que aumentan las utilidades de la empresa.
: si no aumentan las utilidades de la empresa implica que no aumentan las ventas.
RAZONAMIENTO LÓGICO
Un razonamiento lógico está constituido por un conjunto de proposiciones denominadas premisas, a partir
de las cuales puede obtenerse una conclusión.
Si se conviene en denotar a las premisas con
y a la conclusión con , entonces una forma
de escribir o presentar este razonamiento sería la siguiente:
Introducción a la Lógica Matemática - Pág. 14
Facultad de Ciencias Económicas
Álgebra Aplicada a las Ciencias Económicas
Ahora bien, debe establecerse algún criterio o condición que permita tener certeza acerca de la validez del
razonamiento, es decir, estar seguro de se haya razonado en forma correcta y que, en consecuencia, la
conclusión sea válida.
Se dice que un razonamiento es válido si la conjunción entre todas sus premisas implica la conclusión.
Esto significa que deberá realizarse una tabla de verdad para verificar que el condicional entre todas las
premisas y la conclusión, en ese orden, resulte tautológico.
Sea por ejemplo el razonamiento cuyas premisas son
y
y cuya conclusión es
Al aplicar la definición de validez de un razonamiento, realizando la tabla correspondiente, puede
demostrarse que el mismo es válido.
(
)
(
)
V
V
F
F
F
V
V
F
V
F
F
V
F
V
V
V
V
V
F
F
F
V
F
V
Como el resultado es una tautología podemos afirmar que
(
se deduce de (
)
y esto se escribe:
)
Existen muchos tipos de razonamientos: directos, indirectos, etc. Uno de los más usuales en matemática es
el denominado silogismo hipotético cuya forma general es del tipo siguiente:
(
) (
(
)
) (
)
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
F
V
F
F
F
V
V
F
V
F
V
F
V
V
V
F
F
F
V
F
F
V
F
V
V
V
V
V
V
V
F
V
F
V
F
F
V
V
(
)
Introducción a la Lógica Matemática - Pág. 15
Facultad de Ciencias Económicas
Álgebra Aplicada a las Ciencias Económicas
F
F
V
V
V
V
V
V
F
F
F
V
V
V
V
V
) (
)
Entonces (
(
)
Un ejemplo clásico y muy sencillo de interpretar puede ser el siguiente:
Es decir, la primera premisa afirma que 10 es mayor que 7, la segunda premisa afirma que 7 es mayor que 4,
y la conclusión es entonces que 10 es mayor que 4.
Esto es un razonamiento que se corresponde con el denominado silogismo, pero que en matemática es
habitual denominarlo propiedad o carácter transitivo.
CUANTIFICADORES PROPOSICIONALES
En matemática son dos los cuantificadores que se usan habitualmente para describir ciertas y determinadas
situaciones y/o propiedades. Uno de ellos se denomina cuantificador existencial y se denota con el símbolo
, mientras que el otro es el cuantificador universal denotado con el símbolo .
El símbolo
significa que el enunciado o la propiedad precedida por el mismo se cumple o se verifica en, al
menos, un caso.
El símbolo
indica que el enunciado o la propiedad precedida por el mismo se cumple o se verifica en todos
los casos.
Se presentan a continuación algunos ejemplos que ilustran lo citado precedentemente.
a)
/
Claramente existe el número natural 2 que verifica esta ecuación.
b)
/
En este caso el número entero que verifica la ecuación es -6.
c)
/
Particularmente, en este caso, tanto 1 como -1 verifican la ecuación. Esto aclara
lo que el cuantificador significa realmente, esto es, que existe al menos un elemento que verifica o cumple la
propiedad, pero pueden ser más de uno, como lo vimos en este ejemplo.
Por el contrario, la negación del cuantificador existencial significa que no existe ningún elemento que
verifique la propiedad o el enunciado, y se indica con el símbolo ∄ que se lee no existe. Esto significa que se
antepone a una expresión que no se verifica en ningún caso, como por ejemplo la siguiente:
Introducción a la Lógica Matemática - Pág. 16
Facultad de Ciencias Económicas
Álgebra Aplicada a las Ciencias Económicas
a) ∄ /
, dado que en este caso el número que verifica esta igualdad es
, que
obviamente no es un número natural, sino que pertenece al conjunto de los números reales.
Por el contrario pueden citarse, a modo de ejemplos, algunas expresiones simbólicas o enunciados que se
verifican en todos los casos, motivo por el cuál resulta adecuado emplear el cuantificador universal.
a)
/
. Esto significa que el enunciado se cumple en todos los casos, lo cual es obvio dado que
cualquier número elevado a un exponente par, en este caso al cuadrado, siempre da resultado positivo o
nulo (en el caso particular en que el número sea 0).
b)
/
y es par; es decir, siempre se cumple que cualquier número natural multiplicado por
dos da como resultado un número natural par.
Dado que comenzamos a trabajar con los conjuntos numéricos y los subconjuntos que cumplen con ciertas
condiciones es necesario que nos pongamos a revisar algunas concepciones importantes de la teoría de
conjuntos y de la forma en la que podemos relacionar los elementos de los mismos.
A partir de aquí vamos a desarrollar ejercicios paso a paso. Te sugerimos que, antes de leerla resolución,
tratá de resolver los ejercicios y luego compará tus resultados con lo aquí escrito.
Ejercicios Resueltos
1. Marque con una X los enunciados que corresponden a proposiciones:









La FCECO tiene más de 15000 estudiantes.
La tolerancia para ingresar al aula de clase en la universidad es de 15 minutos.
¿Cuál es la nota mínima para aprobar un curso en la universidad?
La inflación de Argentina en el año 2019 fue mayor al 40%.
La economía se divide en microeconomía y macroeconomía.
Si el precio del producto es mayor al precio de equilibrio, entonces hay exceso de oferta.
¿Qué es un monopolio?
El PBI crecerá 5,4% durante el periodo 2019-2020.
En un monopolio los precios de los artículos suben.
Resolución:

La FCECO tiene más de 15000 estudiantes.
Este enunciado es una proposición porque es una afirmación de la cual se puede determinar su valor de
verdad. Sólo es necesario acercarse a la oficina de alumnado para corroborar la información. Si la cantidad
total de estudiantes es mayor a 15000 será verdadera y, en caso contraria, falsa.

La tolerancia para ingresar al aula de clase en la universidad es de 15 minutos.
Introducción a la Lógica Matemática - Pág. 17
Facultad de Ciencias Económicas
Álgebra Aplicada a las Ciencias Económicas
Este enunciado es una proposición porque es una afirmación de la cual se puede determinar su valor de
verdad. Dado que basta consultar el reglamento académico para saber si es verdadero o falso.

¿Cuál es la nota mínima para aprobar un curso en la universidad?
Observemos que este enunciado es una pregunta por lo que, al no ser una afirmación, no puede ser una
proposición.

La inflación de Argentina en el año 2019 fue mayor al 40%.
Dado que la inflación en el año 2019 en Argentina fue del 53,55% esto implica que fue mayor al 40% y por
dicho motivo estamos ante una proposición verdadera.1

La economía se divide en microeconomía y macroeconomía.
En este caso estamos ante un enunciado cuyo valor de verdad se lo daremos a partir de algún autor que
establezca y fundamente el porqué de ésta división. Entonces, dado que podemos asignarle un valor de
verdad, este enunciado es una proposición.

Si el precio del producto es mayor al precio de equilibrio, entonces hay exceso de oferta.
En la teoría del Equilibrio General, si el precio del producto es mayor que el precio de equilibrio, entonces
resulta que hay mayor oferta que demanda, eso implica que la producción excede la demanda. Por ende, en
esta teoría este enunciado es verdadero y esto implica que es una proposición.

¿Qué es un monopolio?
Esta oración es una pregunta, dado que no hay afirmación alguna, no se trata de una proposición.

El PBI crecerá 5,4% durante el periodo 2019-2020.
Si bien en este caso tenemos una afirmación, la misma es una proyección a futuro por ende es imposible
saber su valor de verdad en la actualidad, esto implica que la misma no es una proposición.

En un monopolio los precios de los artículos suben.
En este caso afirmamos que estamos ante una proposición dado que en la teoría económica se propone que
cuando existe un monopolio la cantidad que se ofrece disminuye lo que genera un aumento de precio.
2. Complete con proposiciones simples (PS) o compuestas (PC) según corresponda:
a. Alemania es una potencia económica. _________
b. La empresa promueve la competencia, aunque también la solidaridad de todos sus miembros.
_________
c. Brasil y Argentina tienen un tratado de comercio. _________
d. El que tengamos un amplio intercambio comercial con Europa conlleva a que nos afecte
financiera. _________
su crisis
1
FUENTE: https://es.statista.com/estadisticas/1189933/tasa-de-inflacionargentina/#:~:text=En%202019%2C%20la%20tasa%20de,de%20aproximadamente%2025%2C7%25
Introducción a la Lógica Matemática - Pág. 18
Facultad de Ciencias Económicas
Álgebra Aplicada a las Ciencias Económicas
e. Si la importación afecta la inversión interna, entonces afectará al PBI. _________
Resolución:
a. Alemania es una potencia económica. ___PS___
b. La empresa promueve la competencia, aunque también la solidaridad de todos sus miembros.
___PC__
Si : “La empresa promueve la competencia entre empleados” y ”La empresa promueve la
solidaridad de todos sus miembros” entonces esta proposición se puede escribir
c. Brasil y Argentina tienen un tratado de comercio. ___PS__
Dado que la oración tiene como objeto un tratado, para que el mismo exista deben estar mencionadas
las partes que lo componen. Por dicho motivo la “y” en este caso no es una conjunción entre dos
proposiciones. De hecho esta oración puede ser parafraseada por “Brasil tiene un tratado de comercio
con Argentina” que es coloquialmente equivalente a la dada.
d. El que tengamos un amplio intercambio comercial con Europa conlleva a que nos afecte su crisis
financiera. ___PC__
El anterior puede escribirse como un enunciado condicional. Si pensamos “Tenemos un amplio
intercambio comercial con Europa” y
“Nos afecta la crisis financiera de Europa” entonces la
proposición compuesta
resulta equivalente al enunciado ya que se lee:
“Si tenemos un amplio intercambio comercial con Europa entonces nos afecta la crisis financiera de
Europa”
Observemos que la redacción anterior no es coloquialmente aceptable e, incluso, es gramaticalmente
cuestionable por lo que, en realidad deberemos escribir:
“Si tenemos un amplio intercambio comercial con Europa entonces nos afecta su crisis financiera”
e. Si la importación afecta la inversión interna, entonces afectará al PBI. ___PC__
En este último caso es bastante evidente el enunciado condicional compuesto por las proposiciones
simples “La importación afecta la inversión interna” y “La importación afecta al PBI”.
3.
Dadas las proposiciones:
: “El dólar libre se mantiene invariable”,
familiar se mantiene estable”
: “El gobierno aumenta los sueldos” y
“La canasta
Escribe en lenguaje coloquial:
a) (
)
(
c)
b)
)
d) (
)
Resolución:
a) (
)
Introducción a la Lógica Matemática - Pág. 19
Facultad de Ciencias Económicas
Álgebra Aplicada a las Ciencias Económicas
“El dólar libre se mantiene invariable y el gobierno aumenta los sueldos o la canasta familiar no se
mantiene estable.”
b)
“Si el dólar libre se mantiene invariable, entonces el gobierno no aumenta los sueldos.”
(
)
c)
“La canasta familiar se mantiene estable si y sólo si el gobierno no aumenta los sueldos y el dólar libre
se mantiene invariable.”
)
d) (
“Si la canasta familiar no se mantiene estable o el dólar libre no se mantiene invariable, entonces el
gobierno aumenta los sueldos.”
4. Sean las proposiciones siguientes:
a)
“Se incrementan los controles de cumplimiento horario de los empleados de determinado sector
de cierta organización.”
“Se mejora en forma considerable el nivel de producción en la misma.”
Determine la validez de la proposición compuesta “Si se incrementan los controles de cumplimiento
horario de los empleados de determinado sector de cierta organización, entonces se mejora en forma
considerable el nivel de producción de la misma.”
b)
“Se capacita a los empleados de la organización SUR”
“La organización SUR forma parte de la organización ANTÁRTIDA”
Determine la validez de la siguiente afirmación: “Se capacita a algunos empleados de la organización
ANTÁRTIDA”. Justifique mediante una tabla de verdad o empleando la validez de un modo de
razonamiento.
Resolución:
a) Determine la validez de la proposición compuesta “Si se incrementan los controles de cumplimiento
horario de los empleados de determinado sector de cierta organización, entonces se mejora en forma
considerable el nivel de producción de la misma”
Este enunciado simbólicamente se escribe
Si recordamos que el condicional es falso sólo si el antecedente es verdadero y el consecuente es falso
entonces estamos ante una contingencia que, en el único caso en el que será falso, es si se
incrementan los controles de cumplimiento de horario PERO NO se mejora en forma considerable el
nivel de producción de la misma.
Ahora bien, es sumamente importante observar que si ambas proposiciones se cumplen en la realidad
son ambas verdaderas y, por ende el condicional es verdadero.
Introducción a la Lógica Matemática - Pág. 20
Facultad de Ciencias Económicas
Álgebra Aplicada a las Ciencias Económicas
b) Determine la validez de la siguiente afirmación: “Se capacita a algunos empleados de la organización
ANTÁRTIDA”. Justifique mediante una tabla de verdad o empleando la validez de un modo de
razonamiento.
Dado que
“Se capacita a los empleados de la organización SUR” y “La organización SUR forma parte de la
organización ANTÁRTIDA” vemos que hay una relación entre ambas proposiciones en el enunciado
inicial. Observemos que por la proposición podemos ver que los empleados de la organización SUR son
empleados también de la organización ANTÁRTIDA, no podemos afirmar que sean los únicos empleados,
pero si que son una parte. Y, por lo que sabemos de la proposición estos empleados están siendo
capacitados. Por lo que podemos concluir que el enunciado inicial es verdadero. En la lógica
proposicional esta forma de razonamiento se denomina Silogismo hipotético cuya forma es:
5. Dadas las siguientes proposiciones simples:
“El personal jerárquico de una determinada organización demuestra buen trato con los empleados
de la misma.”
“Los empleados manifiestan una mejor disposición para el trabajo.”
Analice y justifique de la forma que considere más adecuada
proposiciones compuestas que se enuncian a continuación:
)
)
)
)
las siguientes relaciones entre las
)
) (
)
Resolución:
Como no conocemos el valor de verdad de las proposiciones, para deducir el valor de verdad de las
proposiciones compuestas, construimos tablas de verdad y concluimos en qué casos es verdadera o falsa
cada una de ellas.
)
V
V
V
V
F
F
F
V
F
F
F
F
La conjunción de las proposiciones es VERDADERA
sólo si ambas son verdaderas.
Introducción a la Lógica Matemática - Pág. 21
Facultad de Ciencias Económicas
Álgebra Aplicada a las Ciencias Económicas
)
V
V
V
V
F
V
F
V
V
F
F
F
V
V
V
V
F
F
F
V
V
F
F
V
V
V
V
V
F
V
F
V
F
F
F
V
La disyunción de las proposiciones es
FALSA
sólo si ambas son falsas.
)
El condicional de las proposiciones es
FALSA
sólo si el antecedente es verdadero y el
consecuente falso.
)
El condicional de las proposiciones es
FALSA
sólo si el antecedente es verdadero y el
consecuente falso.
)
) (
V
V
V
V
F
F
F
V
F
F
F
V
El bicondicional de las proposiciones es
FALSA
sólo si el valor de verdad de las
proposiciones son diferentes.
)
(
(
)
)
V
V
V
F
F
V
V
F
F
V
V
V
F
V
F
V
V
V
F
F
V
V
V
V
Estamos ante una
TAUTOLOGÍA, esto implica que
NO importa el valor de verdad
de las proposiciones, la
proposición compuesta es
VERDADERA
Introducción a la Lógica Matemática - Pág. 22
Facultad de Ciencias Económicas
Álgebra Aplicada a las Ciencias Económicas
Ejercicios y Problemas de la unidad:
1. Dados los siguientes enunciados decida cuales son proposiciones y justifique su decisión. Si es una
proposición clasifíquela como compuesta o simple según corresponda.
a) Las utilidades de una empresa resultan de restar los costos totales a los ingresos.
b) Si los costos de producción aumentan y los ingresos se mantienen constantes entonces las utilidades
disminuyen.
c) El valor adquisitivo del peso Argentino ha disminuido año a año.
d) Cómo calcular correctamente el PBI.
e) ¡Cómo aumentaron los precios!
f) Cuando los ingresos aumentan también aumentan las ventas.
g) Calcular la cantidad de producción que da equilibrio en la empresa se consigue igualando el ingreso y
el costo o calculando cuándo da cero la utilidad.
h) ¿Sería posible que la demanda y la oferta de un producto sean iguales?
2. Dadas las proposiciones:
“El dólar libre se mantiene invariable
: “El gobierno aumenta los sueldos”
: “La canasta familiar se mantiene estable”
Escribe en lenguaje coloquial:
1. (
)
(
3.
2.
4. (
)
)
3. Dadas las siguientes proposiciones simples:
“El personal jerárquico de una determinada organización demuestra buen trato con los empleados de la
misma.”
: “Los empleados manifiestan una mejor disposición para el trabajo.”
Analice y justifique de la forma que considere más adecuada las siguientes relaciones entre las proposiciones
compuestas que se enuncian a continuación:
)
)
)
)
)
)
(
)
(
)
4. Utilizando las tablas de verdad, determine cuáles de las siguientes proposiciones son tautologías,
contradicciones o contingencias.
a)
c)
(
)
)
d)
e)
g) (
b) (
f)
)
(
)
h) (
)
(
)
Introducción a la Lógica Matemática - Pág. 23
Facultad de Ciencias Económicas
Álgebra Aplicada a las Ciencias Económicas
i) (
)
(
)
j) (
)
(
)
5. Sean las proposiciones
“el precio unitario es menor que el precio de equilibrio” y ”existe un excedente
en la oferta” Enuncie
, luego enuncie su recíproco, su contrario y su contrarrecíproco. Explique cuál
de los tres enunciados es equivalente al inicial.
6. A partir de las proposiciones simples:
“La demanda es decreciente”
”La demanda de este mercado se representa con una recta”
“La pendiente de una recta decreciente es negativa”
Enuncie coloquialmente
¿Qué puede deducir de
y sobre la pendiente de la demanda?
Respuestas de los Ejercicios Propuestos:
Ejercicio 1:
a) Proposición simple, b) Proposición compuesta, c) Proposición simple, d)No es proposición, e)No es
proposición, f)Proposición compuesta, g)Proposición compuesta, h)No es proposición.
Ejercicio 2:
a) El dólar libre se mantiene invariable y el gobierno aumenta los sueldos, o no se mantiene estable la
canasta familiar.
b) Si el dólar libre se mantiene invariable entones el gobierno no aumenta los sueldos.
c) La canasta familiar se mantiene estable siempre y cuando el gobierno no aumente los sueldos y el
dólar libre se mantenga invariable.
d) Si la canasta familiar no se mantiene estable o el dólar libre no se mantiene invariable, entonces el
gobierno aumenta los sueldos.
Ejercicio 3:
Suponiendo que todas las premisas son verdaderas tenemos que a) Falso b) Falso
c) Falso
d) Falso
e) Falso
f) Verdadero. Observar que en el único caso dónde el valor de verdad de la proposición no está
dado por el valor de verdad de las proposiciones simples que la componen es en el f).
Ejercicio 4:
a) Contingencia b) Tautología c) Contradicción d) Contradicción e) Tautología f) Tautología g)
Contingencia h) Contradicción i) Tautología j) Tautología
Ejercicio 5:
Sean las proposiciones “el precio unitario es menor que el precio de equilibrio” y ”existe un excedente en
la oferta” Enuncie
, luego enuncie su recíproco, su contrario y su contrarrecíproco. Explique cuál de los
tres enunciados es equivalente al inicial.
El precio unitario es menor que el precio de equilibrio entonces existe un excedente en la oferta.
Introducción a la Lógica Matemática - Pág. 24
Facultad de Ciencias Económicas
Álgebra Aplicada a las Ciencias Económicas
Si existe un excedente en la oferta entonces el precio unitario es menor que el precio de equilibrio.
El precio unitario no es menor que el precio de equilibrio entonces no existe excedentes en la oferta.
Si no existe excedentes en la oferta entonces el precio unitario no es menor que el precio de equilibrio.
El enunciado equivalente al condicional inicial es el último.
Ejercicio 6:
“La demanda de este mercado es decreciente y se representa con una recta”
Se puede deducir que la pendiente de la recta que representa la demanda de este mercado es negativa.
Introducción a la Lógica Matemática - Pág. 25