Diagonalización de Transformaciones Lineales

Diagonalización de transformaciones lineales
Eduardo Montenegro
12/01/2025
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Introducción
En este documento se presentarán definiciones y teoremas acerca de la diagonalización de transformacio
nes lineales, con respectivos ejemplos y su importancia en matemática pura y aplicada. Recordemos
que la diagonalización es el proceso por el cual una matriz es transformada en una matriz diagonal, lo
cual facilita trabajar con potencias de la matriz. La diagonalización también se aplica a operadores que
cumplen ciertas condiciones y este proceso ayuda a trabajar de manera más eficiente con el operador,
además de brindar una interpretación geométrica de este.
1.1
Notación
• 𝕂 es un campo.
• 𝑉 es un 𝕂 espacio vectorial
• 𝐿(𝑉 , 𝑉 ) = 𝐿(𝑉 ) denota el espacio vectorial formado por todos los operadores lineales de 𝑉 .
• Si 𝑇 ∈ 𝐿(𝑉 ) y 𝑚 es un número entero no negativo:
1. 𝑇 𝑚 ∈ 𝐿(𝑉 ) ≔ 𝑇 ∘ 𝑇 ∘ … ∘ 𝑇 (𝑚 veces)
2. 𝑇 0 ≔ 𝐼, donde 𝐼 es el operador identidad en 𝑉 .
Las definiciones se presentarán en recuadros grises, por otro lado los teoremas estarán en recuadros
verdes.
2
Fundamentos teóricos
Definición 1. Matriz diagonal
Una matriz diagonal es una matriz cuadrada donde todas sus entradas son 0 excepto quizás en la
diagonal.
Ejemplo 1.
7 0 0
(
)
𝐴=(
( 0 0 0)
)
0
0
4
(
)
En este caso, 𝐴 es una matriz diagonal.
Ejemplo 2.
1 1
𝐵=(
)
0 2
En este caso, B no es una matriz diagonal.
Se presenta la definición formal de operador diagonalizable a continuación.
1
Definición 2. Operador diagonalizable
Un operador en 𝑉 es llamado diagonalizable si tiene una representación matricial que es diagonal
respecto a una base de 𝑉 .
Si un operador tiene una representación matricial diagonal respecto a una base, entonces las entradas de
la diagonal son precisamente los valores propios del operador. [1]
Ejemplo 3. Considere la transformación lineal 𝑇 ∈ 𝐿(ℝ2 ) tal que
𝑇 (𝑥, 𝑦) = (41𝑥 + 7𝑦, −20𝑥 + 74𝑦)
Se tiene que 𝑇 es diagonalizable. En efecto, considerando la base 𝐵 = {(1, 4), (7, 5)} la representación
matricial de 𝑇 respecto a 𝐵 viene dada por
[𝑇 ]𝐵 = (
69 0
)
0 46
Esto sucede ya que 𝑇 (1, 4) = (69, 276) = 69(1, 4) y 𝑇 (7, 5) = (322, 230) = 46(7, 5).
Espacio propio
Suponga que 𝑇 ∈ 𝐿(𝑉 ) y 𝜆 ∈ 𝕂 es un valor propio de 𝑇 . El espacio propio de 𝑇 asociado a 𝜆 es el
conjunto definido por
𝐸(𝜆, 𝑇 ) = {𝑣 ∈ 𝑉 : 𝑇 𝑣 = 𝜆𝑣}
𝐸(𝜆, 𝑇 ) es el conjunto de todos los vectores propios asociados a 𝜆 junto con el 0 vector.
Los teoremas presentados a continuación servirán para una posterior demostración sobre equivalencias
de diagonalización de un operador.
Teorema 1. 𝐸(𝜆, 𝑇 ) es un subespacio de 𝑉 .
Demostración. Note que 𝑣 ∈ 𝐸(𝜆, 𝑇 ) sí y solo sí 𝑇 𝑣 = 𝜆𝑣 lo que ocurre sí y solo sí 𝑣 ∈ ker(𝑇 − 𝜆𝐼).
Entonces se tiene que:
𝐸(𝜆, 𝑇 ) = ker(𝑇 − 𝜆𝐼)
Dado que el núcleo de una operador lineal es un subespacio de 𝑉 , se tiene que 𝐸(𝜆, 𝑇 ) es un subespacio
de 𝑉 .
∎
Teorema 2. La intersección de espacios propios distintos es el 0 vector.
Demostración. Suponga que 𝑇 ∈ 𝐿(𝑉 ). Sean 𝜆1 , 𝜆2 dos valores propios distintos de 𝑇 y sea 𝑣 ∈ 𝑉 tal
que 𝑣 ∈ 𝐸(𝜆1 , 𝑇 ) ∩ 𝐸(𝜆2 , 𝑇 ), entonces se tiene 𝑇 𝑣 = 𝜆1 𝑣 y 𝑇 𝑣 = 𝜆2 𝑣. Luego:
𝜆1 𝑣 = 𝜆2 𝑣
(𝜆1 − 𝜆2 )𝑣 = 0
𝑣=0
Esto es válido dado que 𝜆1 − 𝜆2 ≠ 0.
∎
2
Teorema 3. La suma de espacios propios distintos es directa.
Suponga que 𝑇 ∈ 𝐿(𝑉 ) y 𝜆1 , …, 𝜆𝑚 ∈ 𝕂 son valores propios de 𝑇 distintos, entonces el espacio 𝑊
definido por
𝑊 = 𝐸(𝜆1 , 𝑇 ) + … + 𝐸(𝜆𝑚 , 𝑇 )
es una suma directa.
Demostración. Para probar que 𝑊 es suma directa de los distintos espacios propios, la intersección de
todos estos espacios debe ser el 0 vector. Usando el teorema 2 recursivamente se obtiene el resultado
deseado.
∎
Teorema 4. Condiciones equivalentes para la diagonalización de un operador.
Suponga que 𝑉 es un espacio vectorial de dimensión finita y 𝑇 ∈ 𝐿(𝑉 ). Sean 𝜆1 , …, 𝜆𝑚 valores propios
distintos de 𝑇 . Entonces las siguientes proposiciones son equivalentes:
(a) 𝑇 es diagonalizable.
(b) 𝑉 tiene una base formada por vectores propios de 𝑇 .
(c) 𝑉 = 𝐸(𝜆1 , 𝑇 ) ⊕ ⋅ ⋅ ⋅ ⊕ 𝐸(𝜆𝑚 , 𝑇 )
(d) dim 𝑉 = dim(𝐸(𝜆1 , 𝑇 )) + ⋅ ⋅ ⋅ + dim(𝐸(𝜆𝑚 , 𝑇 ))
Demostración. Suponga que 𝑇 ∈ 𝐿(𝑉 ) tiene una representación matricial diagonal
𝜆1
0
(
)
(
)
⋱
(
)
0
𝜆
𝑚)
(
respecto a una base 𝐵 = {𝑣1 , …, 𝑣𝑚 }. Esto ocurre sí y solo sí 𝑇 𝑣𝑘 = 𝜆𝑘 𝑣𝑘 para 𝑘 ∈ {1, …, 𝑚}. Por tanto
(a) y (b) son equivalentes. Supongamos que ocurre (b), esto es 𝑉 tiene una base de vectores propios
asociados a 𝑇 , luego todo 𝑣 ∈ 𝑉 puede ser escrito como combinación lineal de esa base, esto es:
𝑉 = 𝐸(𝜆1 , 𝑇 ) + ⋯ + 𝐸(𝜆𝑚 , 𝑇 )
Luego, el teorema 3 implica que 𝑉 es suma directa los distintos espacios propios. Así (b) implica (c).
Suponga (c) cierto, entonces, como la suma es directa se obtiene que
dim 𝑉 = dim(𝐸(𝜆1 , 𝑇 )) + ⋅ ⋅ ⋅ + dim(𝐸(𝜆𝑚 , 𝑇 ))
Ahora, suponga que (d) es cierto. Sea 𝑛 = dim 𝑉 . Para cada 𝐸(𝜆𝑘 , 𝑇 ) donde 𝑘 ∈ {1, …, 𝑚} tome una base
de estos subespacios; luego, al unir estas bases obtenemos el conjunto 𝐶 = {𝑣1 , …, 𝑣𝑛 }, entonces basta
probar que 𝐶 es linealmente independiente. Para esto considere escalares 𝑎1 , …, 𝑎𝑛 ∈ 𝕂 tales que
𝑎1 𝑣1 + ⋯ + 𝑎𝑛 𝑣𝑛 = 0
Para cada 𝑘 ∈ {1, …, 𝑚} sea 𝑢𝑘 la suma de los 𝑎𝑗 𝑣𝑗 donde 𝑣𝑗 ∈ 𝐸(𝜆𝑘 , 𝑇 ) y 𝑗 ∈ {1, …, 𝑛}. Entonces se tiene
que 𝑢𝑘 ∈ 𝐸(𝜆𝑘 , 𝑇 ) y
𝑢1 , +⋯ + 𝑢𝑚 = 0
Como estos vectores propios son correspondientes a valores propios distintos, se obtiene que 𝑢𝑘 = 0 para
𝑘 ∈ {1, …, 𝑚}. Por como habíamos definido a 𝑢𝑘 se tiene que 𝑎𝑗 𝑣𝑗 = 0 y como 𝑣𝑗 forman bases de cada
𝐸(𝜆𝑘 , 𝑇 ) se obtiene que 𝑎𝑗 = 0 para 𝑗 ∈ {1, …, 𝑛}. Así el conjunto 𝐶 es linealmente independiente. Por
tanto (d) implica (b), lo que concluye la prueba.
∎
3
Ejemplo 4. Considere la transformación lineal 𝑇 ∈ 𝐿(ℝ3 ) tal que 𝑇 (𝑎, 𝑏, 𝑐) = (𝑏, 𝑐, 0). Hallando los
valores propios de 𝑇 se tiene que
{𝑏 = 𝜆𝑎
{
𝑐 = 𝜆𝑏
{
{0 = 𝜆𝑐
{
de donde se obtiene que 𝜆 = 0 es el único valor propio de 𝑇 . Además 𝐸(0, 𝑇 ) = {(𝑎, 𝑏, 𝑐) ∈ ℝ3 :
𝑇 (𝑎, 𝑏, 𝑐) = (0, 0, 0)} = {(𝑎, 𝑏, 𝑐) ∈ ℝ3 : (𝑏, 𝑐, 0) = (0, 0, 0)}, así 𝑏 = 𝑐 = 0. Entonces 𝐸(0, 𝑇 ) = {(𝑎, 0, 0) ∈
ℝ3 : 𝑎 ∈ ℝ} = gen{(1, 0, 0)}.
Note que no se cumple la condición (d) del teorema 4, luego 𝑇 no es diagonalizable.
Ejemplo 5. Sea 𝑇 la transformación lineal definida por
𝑇 (𝑥, 𝑦, 𝑧) = (2𝑥 + 𝑦, 5𝑦 + 3𝑧, 8𝑧)
Hallando los valores propios se tiene
{2𝑥 + 𝑦 = 𝜆𝑥
{
{5𝑦 + 3𝑧 = 𝜆𝑦
{8𝑧
= 𝜆𝑧
{
Luego, los valores propios de 𝑇 son 𝜆1 = 2, 𝜆2 = 5, 𝜆3 = 8.
Hallando los espacios propios:
𝐸(2, 𝑇 ) = {(𝑥, 𝑦, 𝑧) ∈ ℝ3 : 𝑇 (𝑥, 𝑦, 𝑧) = 2(𝑥, 𝑦, 𝑧)}
trabajando en la igualdad se tiene
{2𝑥 + 𝑦 = 2𝑥
{
{5𝑦 + 3𝑧 = 2𝑦
{8𝑧
= 2𝑧
{
Igualdades que se verifican si 𝑦 = 𝑧 = 0. Así, si (𝑥, 𝑦, 𝑧) ∈ 𝐸(2, 𝑇 ) entonces:
(𝑥, 𝑦, 𝑧) = (𝑥, 0, 0) = 𝑥(1, 0, 0)
Luego,
𝐸(2, 𝑇 ) = gen{(1, 0, 0)}
Para 𝜆2 = 5 se tiene:
𝐸(5, 𝑇 ) = {(𝑥, 𝑦, 𝑧) ∈ ℝ3 : 𝑇 (𝑥, 𝑦, 𝑧) = 5(𝑥, 𝑦, 𝑧)}
La igualdad genera el sistema de ecuaciones:
{2𝑥 + 𝑦 = 5𝑥
{
5𝑦 + 3𝑧 = 5𝑦
{
{8𝑧
= 5𝑧
{
donde se obtiene que 𝑧 = 0, 𝑦 = 3𝑥. Entonces, si (𝑥, 𝑦, 𝑧) ∈ 𝐸(5, 𝑇 ):
(𝑥, 𝑦, 𝑧) = (𝑥, 3𝑥, 0) = 𝑥(1, 3, 0)
Luego,
𝐸(5, 𝑇 ) = gen{(1, 3, 0)}
Para 𝜆3 = 8 se tiene:
4
𝐸(8, 𝑇 ) = {(𝑥, 𝑦, 𝑧) ∈ ℝ3 : 𝑇 (𝑥, 𝑦, 𝑧) = 8(𝑥, 𝑦, 𝑧)}
Esta igualdad genera el sistema de ecuaciones
{2𝑥 + 𝑦 = 8𝑥
{
5𝑦 + 3𝑧 = 8𝑦
{
{8𝑧
= 8𝑧
{
De donde se obtiene 𝑧 = 𝑦, 𝑦 = 6𝑥. Entonces, si (𝑥, 𝑦, 𝑧) ∈ 𝐸(8, 𝑇 ):
(𝑥, 𝑦, 𝑧) = (𝑥, 6𝑥, 6𝑥) = 𝑥(1, 6, 6)
Por tanto
𝐸(8, 𝑇 ) = gen{(1, 6, 6)}
Sea 𝐿 = {(1, 0, 0), (1, 3, 0), (1, 6, 6)}. 𝐿 es una base de ℝ3 dado que es un conjunto linealmente indepen
diente (formado por vectores propios correspondientes a valores propios distintos) de longitud 3. La
representación matricial de 𝑇 respecto a 𝐿 viene dada por:
2 0 0
(
)
[𝑇 ]𝐿 = (
(0 5 0)
)
0
0
8
(
)
Por lo tanto, 𝑇 es diagonalizable.
Ejemplo 6. Sea 𝑇 ∈ 𝐿(ℝ2 ) tal que
𝑇 (𝑥, 𝑦) = 𝑇 (𝑥, 𝑦) = (𝑥 + 2𝑦, 3𝑦)
Hallamos los valores propios de 𝑇 . Esto es 𝑇 (𝑥, 𝑦) = 𝜆(𝑥, 𝑦) lo cual genera el sistema de ecuaciones
𝑥 + 2𝑦 = 𝜆𝑥
3𝑦
= 𝜆𝑦
{
De aquí se obtiene 𝜆1 = 3, 𝜆2 = 1.
Hallamos los espacios propios. Para 𝜆1 = 3 tenemos
𝐸(3, 𝑇 ) = {(𝑥, 𝑦) ∈ ℝ2 : 𝑇 (𝑥, 𝑦) = 3(𝑥, 𝑦)}
Igualdad que genera el siguiente sistema de ecuaciones
𝑥 + 2𝑦 = 3𝑥
3𝑦
= 3𝑦
{
De donde se obtiene 𝑥 = 𝑦. Así, si (𝑥, 𝑦) ∈ 𝐸(3, 𝑇 ):
(𝑥, 𝑦) = (𝑥, 𝑥) = 𝑥(1, 1)
Luego,
𝐸(3, 𝑇 ) = gen{(1, 1)}
Para 𝜆2 = 1 se tiene
𝐸(1, 𝑇 ) = {(𝑥, 𝑦) ∈ ℝ2 : 𝑇 (𝑥, 𝑦) = 1(𝑥, 𝑦)}
Esta igualdad genera el sistema de ecuaciones
𝑥 + 2𝑦 = 𝑥
3𝑦
=𝑦
{
5
Esto implica que 𝑦 = 0. Así, si (𝑥, 𝑦) ∈ 𝐸(1, 𝑇 ), entonces
(𝑥, 𝑦) = (𝑥, 0) = 𝑥(1, 0)
Luego,
𝐸(1, 𝑇 ) = gen{(1, 0)}
Sea 𝐵 = {(1, 1), (1, 0)}. 𝐵 constituye una base para ℝ2 , dado que es un conjunto linealmente indepen
diente (formado por vectores propios correspondientes a valores propios distintos) de longitud 2. Además,
la representación matricial de 𝑇 respecto a la base 𝐵 es:
3 0
)
0 1
(
Por lo tanto, 𝑇 es diagonalizable.
3
Uso de la diagonalización
Antes de presentar un ejemplo donde se usa la diagonalización, presentamos el siguiente teorema que se
usara en dicho ejemplo.
Teorema 5. Valores propios de 𝑇 𝑘
Suponga que 𝑇 ∈ 𝐿(𝑉 ) y 𝜆 es un valor propio de 𝑇 y 𝑣 es un vector propio de 𝜆, entonces
𝑇 𝑘 𝑣 = 𝜆𝑘 𝑣
para todo 𝑘 entero positivo. Además si 𝜆 ≠ 0, 𝑘 es cualquier entero no negativo.
Demostración. Se procede sobre inducción sobre 𝑘.
Si 𝑘 = 1, la igualdad se cumple, dado que 𝜆 es un valor propio de 𝑇 .
Suponga la igualdad cierta para algún 𝑘 > 1, esto es
𝑇 𝑘 𝑣 = 𝜆𝑘 𝑣
entonces,
𝑇 𝑘+1 𝑣 = 𝑇 𝑘 (𝑇 𝑣)
= 𝑇 𝑘 (𝜆𝑣)
= 𝜆(𝑇 𝑘 𝑣)
= 𝜆(𝜆𝑘 𝑣)
= 𝜆𝑘+1 𝑣
Esto es 𝑇 𝑘 𝑣 = 𝜆𝑘 𝑣 para todo 𝑘 entero positivo. Si 𝜆 ≠ 0, entonces
𝑇 0 𝑣 = 𝐼𝑣 = 𝑣 = 1𝑣 = 𝜆0 𝑣
Por tanto, se cumple la igualdad.
∎
A continuación se presenta un ejemplo práctico donde se usa la diagonalización de un operador lineal.
Ejemplo 7. Considere el operador definido en el ejemplo 5, junto con la representación matricial
diagonal respecto a la base 𝐿 definida ahí. Supongamos que queremos calcular 𝑇 50 (−2, −27, −30). Para
esto basta expresar al vector (−2, −27, −30) como combinación lineal de elementos de la base 𝐿 y aplicar
el teorema 5. Considere 𝑎1 , 𝑎2 , 𝑎3 ∈ ℝ tales que
𝑎1 (1, 0, 0) + 𝑎2 (1, 3, 0) + 𝑎3 (1, 6, 6) = (−2, −27, −30)
6
Entonces se forma el sistema de ecuaciones
{𝑎1 + 𝑎2 + 𝑎3 = −2
{
= −27
{3𝑎2 + 6𝑎3
{6𝑎3
= −30
{
De aquí se obtiene 𝑎3 = −5, 𝑎2 = 1, 𝑎1 = 2 Luego
(−2, −27, −30) = 2(1, 0, 0) + (1, 3, 0) − 5(1, 6, 6)
𝑇 50 (−2, −27, −30) = 𝑇 50 2(1, 0, 0) + (1, 3, 0) − 5(1, 6, 6)
𝑇 50 (−2, −27, −30) = 2𝑇 50 (1, 0, 0) + 𝑇 50 (1, 3, 0) − 5𝑇 50 (1, 6, 6)
𝑇 50 (−2, −27, −30) = 2(250 (1, 0, 0)) + 550 (1, 3, 0) − 5(850 (1, 6, 62))
𝑇 50 (−2, −27, −30) = (251 + 550 − (5)(850 ), 550 (3) − (5)(850 )(6), (5)(850 )(62))
4
Ciertas aplicaciones
• Un enfoque importante en la diagonalización es su aplicación en la resolución de problemas relacio
nados con sistemas cuánticos de muchos cuerpos, como se detalla en [2]. Este trabajo aborda los
problemas de minus-sign en métodos Monte Carlo convencionales y presenta un algoritmo de muestreo
por importancia para calcular el menor autovalor y el correspondiente autovector de matrices de
gran tamaño. Entre sus aplicaciones destaca el modelo de Hubbard bidimensional, donde el algoritmo
demuestra su eficiencia al explotar la dispersión de las soluciones.
• La diagonalización exacta es una herramienta esencial en el estudio de sistemas de espín cuántico.
En [3] se desarrolló una técnica que optimiza el método de Lanczös, permitiendo el análisis de redes
de mayor tamaño que las previamente estudiadas. Esta metodología facilita el cálculo de propiedades
fundamentales, como la energía del estado base y las correlaciones de espín, en sistemas con diversos
valores de espín (𝑆 = 12 , 1, 32 , 2). Además, su capacidad de generalización a otros modelos la convierte
en una herramienta versátil para la investigación en física cuántica.
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Conclusiones
La diagonalización de operadores lineales representa una herramienta valiosa en la matemática pura y
aplicada, pues permite simplificar problemas complejos al transformar operadores en representaciones
matriciales diagonales.
A lo largo del documento, se mostró las condiciones para la diagonalizabilidad de ciertos operadores
lineales y un teorema importante que simplifica el saber si un operador es diagonalizable o no. Se expuso
un ejemplo para calcular una potencia de un operador que es diagonalizable y de igual manera, la
aplicación de la diagonalización en ramas como la mecánica cuántica [2],[3].
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Referencias
[1] S. J. Axler, Linear Algebra Done Right. Springer, 2024.
[2] H. De Raedt und M. Frick, „Stochastic diagonalizxation“, Physics reports, Bd. 231, Nr. 3, S. 107–
149, 1993.
[3] H. Q. Lin, „Exact diagonalization of quantum spin models“, Phys. Rev. B, Bd. 42, Nr. 10, S. 6561–
6567, Okt. 1990, doi: 10.1103/PhysRevB.42.6561.
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