3 TEORÍA DE LÍNIAS DE TRANSMISIÓN
Las líneas de transmisión son el subconjunto de las guías de onda que
permiten la propagación en el modo TEM
No obstante, como guías de onda que son las líneas de transmisión TLs
también permiten la propagación de ondas electromagnéticas en los modos
TE y TM.
Como hemos visto en el Tema 2, el análisis de la propagación TEM se
puede realizar mediante la resolución de problemas de electrostática y
magnetostática. Esto permite modelizar las TLs utilizando elementos de
circuito.
En las líneas de transmisión la propagación de la onda electromagnética se
analiza en términos de una onda de tensión V(x,t) y una onda de
corriente I(x,t); y no en términos del campo eléctrico y magnético.
1
3 TEORÍA DE LÍNIAS DE TRANSMISIÓN
La energía vinculada al campo eléctrico de la onda la modelizaremos
mediante condensadores, la energía vinculada al campo magnético la
modelizaremos mediante inductores y las pérdidas las modelizaremos
mediante resistores.
Vamos a analizar un poco más en detalle estos conceptos. En primer lugar
consideremos un condensador plano:
1 "
𝑈! = 𝐶𝑉
2
𝑙
𝑤
𝑑
𝑤𝑙
𝐶=𝜀
𝑑
𝐸
1 &
𝑈% = 𝑤𝑙𝑑
𝜀𝐸
2
Volumen
2
𝑉 = 𝐸𝑑
Energía eléctrica por
unidad de volumen
3 TEORÍA DE LÍNIAS DE TRANSMISIÓN
Consideremos ahora dos tiras metálicas sobre las que circulan dos
corrientes en sentidos opuestos:
1 "
𝑈# = 𝐿𝐼
2
𝐵 = 𝜇𝐻
Φ = 𝐵 𝑙𝑑 = 𝐿𝐼
𝐼
𝑙
𝐼
𝐻=
𝑤
𝐵
𝑤
𝑑
𝐼
1 &
𝑈( = 𝑤𝑙𝑑
𝜇𝐻
2
Volumen
Energía magnética por
unidad de volumen
3
3 TEORÍA DE LÍNIAS DE TRANSMISIÓN
Consideremos ahora que entre las armaduras del condensador plano tenemos
un dieléctrico con perdidas que identificamos por una conductividad, 𝜎
𝑉 = 𝐸𝑑
𝑃$ = 𝐼𝑉 = 𝐺𝑉 "
𝑙
𝑗 = 𝜎𝐸
𝐼 = 𝑤𝑙 𝑗
𝑤
𝜎
𝐸
𝑑
𝑃* = 𝑤𝑙𝑑 𝜎𝐸 &
Volumen
4
Potencia disipada por
unidad de volumen
3 TEORÍA DE LÍNIAS DE TRANSMISIÓN
Teniendo en cuanta estas relaciones modelizaremos el comportamiento de
la línea utilizando condensadores, inductores y resistores.
R*
L
G
C
∆x
Celda básica de una línea de transmisión
* R modeliza las pérdidas en el conductor. Si hay pérdidas habrá un campo en la dirección
de propagación y E dejara de ser perpendicular. Modos cuasi-TEM
5
3 TEORÍA DE LÍNIAS DE TRANSMISIÓN
3.1 Regímenes de propagación
Régimen DC: Las variaciones de la tensión y de la corriente son muy
lentas. El único efecto importante son las pérdidas, que están modelizadas
con los elementos resistivos
R
G
∆x
Celda básica de una línea de transmisión en régimen DC
6
3 TEORÍA DE LÍNIAS DE TRANSMISIÓN
3.1 Regímenes de propagación
Régimen de elementos discretos AC: Las variaciones de la tensión y
de la corriente son lentas. Además de las pérdidas, que están modelizadas
con los elementos resistivos, tenemos desfases entre la entrada y la
salida de la línea, que se modelizan con los elementos reactivos, L y C.
R
L
G
C
∆x
Celda básica de una línea de transmisión en régimen de
elementos discretos, AC
7
3 TEORÍA DE LÍNIAS DE TRANSMISIÓN
3.1 Regímenes de propagación
La celda básica AC permite modelizar un desfase máximo de ± 𝜋/2
(∆x ≈ 𝜆/4)
Vo
Vi
∆x
8
3 TEORÍA DE LÍNIAS DE TRANSMISIÓN
3.1 Regímenes de propagación
Si el desfase es mayor tendremos que añadir más celdas
R/2
L/2
G/2
R/2
C/2
∆x/2
Celda doble desfase máximo ± 𝜋
9
L/2
G/2
∆x/2
(∆x ≈ 𝜆/2)
C/2
3 TEORÍA DE LÍNIAS DE TRANSMISIÓN
3.1 Regímenes de propagación
En general el número de celdas, n, que necesitaremos para
modelizar un cierto desfase, 𝜙, será:
𝜙
𝑛 =1+4
𝜋
𝜙
𝑛=2
𝜋
Que en términos de la longitud de la línea, ∆x, y de la longitud
de onda, 𝜆, podremos expresar como:
∆𝑥
𝑛 =1+8
𝜆
10
3 TEORÍA DE LÍNIAS DE TRANSMISIÓN
3.1 Regímenes de propagación
Si 𝜆→0, (f→∞), entonces n →∞ Tendremos que pasar al continuo
Régimen de elementos distribuidos RF-𝜇W
r dx
l dx
g dx
c dx
dx
Celda básica en el régimen de elementos distribuidos, RF-𝜇W
11
3 TEORÍA DE LÍNIAS DE TRANSMISIÓN
3.2 Ecuación de propagación de ondas en una TL.
I(x)
r dx
l dx
V(x)
I(x+dx)
g dx
c dx
V(x+dx)
dx
𝐼 𝑥 + 𝑑𝑥 − 𝐼 𝑥 = −𝑉 𝑥 + 𝑑𝑥 𝑔 + 𝑗𝑤𝑐 𝑑𝑥
𝑑𝑉 𝑥
𝐼 𝑥 + 𝑑𝑥 − 𝐼 𝑥 = − 𝑉 𝑥 +
𝑑𝑥
𝑑𝑥
𝑔 + 𝑗𝑤𝑐 𝑑𝑥
𝐼 𝑥 + 𝑑𝑥 − 𝐼 𝑥 = −𝑉 𝑥 𝑔 + 𝑗𝑤𝑐 𝑑𝑥
12
3 TEORÍA DE LÍNIAS DE TRANSMISIÓN
3.2 Ecuación de propagación de ondas en una TL.
I(x)
r dx
l dx
V(x)
I(x+dx)
g dx
c dx
dx
𝐼 𝑥 + 𝑑𝑥 − 𝐼 𝑥 = −𝑉 𝑥 𝑔 + 𝑗𝑤𝑐 𝑑𝑥
𝑉 𝑥 + 𝑑𝑥 − 𝑉 𝑥 = −𝐼 𝑥 𝑟 + 𝑗𝑤𝑙 𝑑𝑥
13
V(x+dx)
3 TEORÍA DE LÍNIAS DE TRANSMISIÓN
3.2 Ecuación de propagación de ondas en una TL.
I(x)
r dx
l dx
V(x)
I(x+dx)
g dx
dx
𝑑𝐼(𝑥)
= −𝑉 𝑥 𝑔 + 𝑗𝑤𝑐
𝑑𝑥
𝑑𝑉(𝑥)
= −𝐼 𝑥 𝑟 + 𝑗𝑤𝑙
𝑑𝑥
14
c dx
V(x+dx)
3 TEORÍA DE LÍNIAS DE TRANSMISIÓN
3.2 Ecuación de propagación de ondas en una TL.
𝑑𝐼(𝑥)
= −𝑉 𝑥 𝑔 + 𝑗𝑤𝑐
𝑑𝑥
𝑑&𝐼(𝑥)
&𝐼 𝑥
=
𝛾
𝑑𝑥 &
𝑑𝑉(𝑥)
= −𝐼 𝑥 𝑟 + 𝑗𝑤𝑙
𝑑𝑥
𝑑&𝑉(𝑥)
&𝑉 𝑥
=
𝛾
𝑑𝑥 &
𝛾=
15
𝑟 + 𝑗𝑤𝑙 𝑔 + 𝑗𝑤𝑐 = 𝛼 + 𝑗𝛽
3 TEORÍA DE LÍNIAS DE TRANSMISIÓN
3.2 Ecuación de propagación de ondas en una TL.
Solución de la ecuación de ondas:
𝐼 𝑥 = 𝐼+ 𝑒 ,-. + 𝐼, 𝑒 -.
V 𝑥 = 𝑉+ 𝑒 ,-. + 𝑉, 𝑒 -.
Substituyendo estas expresiones en */(.) y en
*.
obtenemos:
𝑉+
𝑉,
= − = 𝑍3
𝐼+
𝐼,
16
𝑍3 =
*2(.)
*.
𝑟 + 𝑗𝑤𝑙
𝑔 + 𝑗𝑤𝑐
3 TEORÍA DE LÍNIAS DE TRANSMISIÓN
3.2 Ecuación de propagación de ondas en una TL.
Solución completa de la ecuación de ondas: Superposición
de una onda progresiva en, x, con una onda regresiva
𝑉(𝑥, 𝑡) = 𝑉+ 𝑒 ,4. 𝑒 5(67,8.) + 𝑉, 𝑒 4. 𝑒 5(67+8.)
𝑉+ ,4. 5 67,8.
𝑉, 4. 5(67+8.)
𝐼 𝑥, 𝑡 =
𝑒
𝑒
−
𝑒 𝑒
𝑍3
𝑍3
17
3 TEORÍA DE LÍNIAS DE TRANSMISIÓN
3.2 Ecuación de propagación de ondas en una TL.
Consideremos un rango de frecuencias para las cuales las
pérdidas son despreciables.
𝑟 ≪ 𝑤𝑙 ,
𝑔 ≪ 𝑤𝑐
;
𝛼≈ &
𝑟
:
+𝑔
9
9
:
𝛽 ≈ 𝑤 𝑙𝑐
𝑤
1
𝑣< =
≈
𝛽
𝑙𝑐
𝑣< =
Importante
18
𝑍3 ≈
1
𝜇𝜀
9
:
3 TEORÍA DE LÍNIAS DE TRANSMISIÓN
3.3 Línea de transmisión Coaxial.
Como ejemplo de cálculo vamos a considerar una TL coaxial, en el
supuesto de pérdidas despreciables.
Para calcular la impedancia característica
tenemos que conocer 𝑙 , 𝑐
9
:
𝑍3 ≈
b
a
19
3 TEORÍA DE LÍNIAS DE TRANSMISIÓN
3.3 Línea de transmisión Coaxial.
Cálculo de la capacidad por unidad de longitud:
𝑑𝑄
𝐸= 2𝜋𝑟𝑑𝑥 =
𝜀
Er
b
a
r
𝑑𝑄 = 2𝜋𝑎 𝜎 𝑑𝑥
𝞂
dx
20
𝑐
𝑎𝜎
𝐸= =
𝜀𝑟
3 TEORÍA DE LÍNIAS DE TRANSMISIÓN
3.3 Línea de transmisión Coaxial.
Er
b
a
𝞂
r
dx
?
𝑎 𝜎 ? 𝑑𝑟
𝑎𝜎
𝑏
M
𝑉> − 𝑉? = 𝑉 = M 𝐸= 𝑑𝑟 =
=
ln
𝜀 > 𝑟
𝜀
𝑎
>
21
3 TEORÍA DE LÍNIAS DE TRANSMISIÓN
3.3 Línea de transmisión Coaxial.
𝑎𝜎
𝑏
𝑉=
ln
𝜀
𝑎
𝑑𝑄 = 2𝜋𝑎 𝜎 𝑑𝑥
𝑑&𝑄 1
𝑏
1=
ln
𝑑𝑥 𝑑𝑉 2𝜋 𝜀
𝑎
𝑑&𝑄
𝑐=
𝑑𝑥 𝑑𝑉
22
𝑑𝑄 1
𝑏
𝑉=
ln
𝑑𝑥 2𝜋 𝜀
𝑎
2𝜋 𝜀
𝑐=
𝑏
ln
𝑎
3 TEORÍA DE LÍNIAS DE TRANSMISIÓN
3.3 Línea de transmisión Coaxial.
Cálculo de la inductancia por unidad de longitud:
𝐵@ 2𝜋𝑟 = 𝜇 𝐼
b
a
r
𝐼
S
B𝜙
23
𝑙
dx
𝜇𝐼
𝐵@ =
2𝜋 𝑟
3 TEORÍA DE LÍNIAS DE TRANSMISIÓN
3.3 Línea de transmisión Coaxial.
b
a
r
𝐼
S
B𝜙
?
dx
𝜇 𝐼 𝑑𝑥 ? 𝑑𝑟
𝜇𝐼
𝑏
M
𝑑Φ = M 𝐵@ 𝑑𝑠 =
=
ln
𝑑𝑥
2𝜋
2𝜋
𝑎
>
> 𝑟
24
3 TEORÍA DE LÍNIAS DE TRANSMISIÓN
3.3 Línea de transmisión Coaxial.
𝜇𝐼
𝑏
𝑑Φ =
ln
𝑑𝑥
2𝜋
𝑎
𝜇
𝑏
𝑙=
ln
2𝜋
𝑎
𝑑Φ = 𝐼 𝑙𝑑𝑥
Impedancia característica:
Velocidad de propagación:
25
9
:
𝑍3 ≈
𝑣< ≈
1
𝑙𝑐
𝜂
𝑏
𝑍3 =
ln
2𝜋
𝑎
𝑣< =
1
𝜇𝜀
3 TEORÍA DE LÍNIAS DE TRANSMISIÓN
3.4 Coeficiente de Reflexión.
Línea
Generador
𝐼+
𝑍A
𝐼,
𝑉+
𝑥
𝑍9
𝑉,
𝑙
𝑑
𝑑=0
𝑥=0
𝑑 =𝑙−𝑥
26
Carga
3 TEORÍA DE LÍNIAS DE TRANSMISIÓN
3.4 Coeficiente de Reflexión.
𝑉(𝑥) = 𝑉+ 𝑒 ,-. + 𝑉, 𝑒 -.
Se define el coeficiente de reflexión, Γ, como el cociente entre la onda
de tensión regresiva y la progresiva en una determinada posición, x (d).
𝑉, 𝑒 -.
𝑉, &-.
Γ 𝑥 =
=
𝑒
,-.
𝑉+ 𝑒
𝑉+
27
3 TEORÍA DE LÍNIAS DE TRANSMISIÓN
3.4 Coeficiente de Reflexión.
𝑉(𝑥) = 𝑉+
𝑒 ,-. 1 + Γ(𝑥)
𝑉+ ,-.
𝐼(𝑥) =
𝑒
1 − Γ(𝑥)
𝑍3
Veamos que ocurre en la posición,
𝑥 = 𝑙 (𝑑 = 0)
𝑉(𝑥 = 𝑙) = 𝑉9
𝑉9
1 + Γ9
= 𝑍3
= 𝑍9
𝐼9
1 − Γ9
𝐼(𝑥 = 𝑙) = 𝐼9
Γ(𝑥 = 𝑙) = Γ9
28
𝑍! − 𝑍"
Γ! =
𝑍! + 𝑍"
3 TEORÍA DE LÍNIAS DE TRANSMISIÓN
3.4 Coeficiente de Reflexión.
Importante
𝑍9 − 𝑍3
Γ9 =
𝑍9 + 𝑍3
Si
𝑍9 = 𝑍3
Γ9 = 0
Si 𝑍9 = 𝑍3 no hay onda regresiva. La onda progresiva que se propaga
por la línea se disipa en la carga y no hay reflexiones.
29
𝑍9 → ∞
Γ9 = 1
𝑍9 = 0
Γ9 = −1
3 TEORÍA DE LÍNIAS DE TRANSMISIÓN
3.4 Coeficiente de Reflexión.
En general:
Γ9 = Γ= + 𝑗ΓB
𝑍9 = 𝑅 + 𝑗𝑋
Imag
Γ"
Γ9 = Γ9 𝑒 5C!
Γ!
𝜃!
Γ#
Real
0 ≤ 𝜃9 ≤ 2𝜋
Γ9 ≤ 1
Círculo de
radio unidad
30
3 TEORÍA DE LÍNIAS DE TRANSMISIÓN
3.4 Coeficiente de Reflexión.
Veamos que sucede si nos desplazamos por la línea. Tomaremos
como referencia la posición de la carga (d=0), (x=l).
𝑉, &-.
Γ 𝑥 =
𝑒
𝑉+
Γ 𝑥=𝑙
𝑥 =𝑙−𝑑
Γ(𝑑)
Γ9
𝑉, &-9
= Γ9 =
𝑒
𝑉+
𝑉, &-(9,*)
Γ 𝑑 =
𝑒
𝑉+
𝑍9
Γ 𝑑 = Γ! 𝑒 #$%&
𝑑
31
𝑑=0
3 TEORÍA DE LÍNIAS DE TRANSMISIÓN
3.4 Coeficiente de Reflexión.
Γ 𝑑 = Γ9 𝑒 ,&-*
𝛾 = 𝛼 + 𝑗𝛽
Γ 𝑑 = Γ8 𝑒 9:;< 𝑒 = >"9:?<
Imag
Imag
Γ!
Γ!
𝜃!
𝜃!
Real
Real
Línea con pérdidas
32
Línea sin pérdidas
3 TEORÍA DE LÍNIAS DE TRANSMISIÓN
3.5 Superposición de ondas en TLs: relación de ondas estacionarias.
𝑡I
33
𝑡;
𝑡&
𝑡J
𝑡K
3 TEORÍA DE LÍNIAS DE TRANSMISIÓN
3.5 Superposición de ondas en TLs: relación de ondas estacionarias.
2𝐴$%&
2𝐴$"'
Envolvente
34
3 TEORÍA DE LÍNIAS DE TRANSMISIÓN
3.5 Superposición de ondas en TLs: relación de ondas estacionarias.
Se define la relación de ondas estacionarias (ROE) como: *
𝐴(>.
𝜌=
𝐴(BN
𝜌≥1
𝜌=1
No hay interferencias
(No hay onda regresiva)
La relación de ondas estacionarias es un parámetro en cierto modo
obsoleto. Se utilizó sobre todo antes de disponer de analizadores
de redes vectoriales de altas prestaciones (VNA).
Existe una relación directa entre 𝜌 y
continuación
* (SWR) Stationary Wave Ratio.
35
Γ8
que vamos a ver a
3 TEORÍA DE LÍNIAS DE TRANSMISIÓN
3.5 Superposición de ondas en TLs: relación de ondas estacionarias.
Como punto de partida vamos a considerar la tensión y la corriente
en una posición cualquiera de una línea.
𝑉(𝑥) = 𝑉%𝑒 &'( 𝑒 &)*( 1 + Γ(𝑥)
𝐼(𝑥) =
𝑉% &'( &)*(
𝑒
𝑒
1 − Γ(𝑥)
𝑍+
Que podemos reescribir como:
𝑉(𝑥) = 𝑉%𝑒 &'( 1 + Γ(𝑥) 𝑒 &)*(
𝑉%𝑒 &'(
𝐼(𝑥) =
1 − Γ(𝑥)
𝑍+
En ambos casos el término que acompaña al fasor es la amplitud de
superposición de las ondas progresiva y regresiva.
36
𝑒 &)*(
3 TEORÍA DE LÍNIAS DE TRANSMISIÓN
3.5 Superposición de ondas en TLs: relación de ondas estacionarias.
Corriente
Tensión
Imag
Imag
Γ
𝜃(𝑥)
𝐴(
1
Real
𝐴"
𝜃(𝑥)
1
Real
Γ
𝐴, = 𝑉%
37
𝑒 &'(
1 + 2 Γ 𝑐𝑜𝑠 𝜃 +
Γ"
𝑉% 𝑒 &'(
𝐴- =
𝑍+
1 − 2 Γ 𝑐𝑜𝑠 𝜃 + Γ "
3 TEORÍA DE LÍNIAS DE TRANSMISIÓN
3.5 Superposición de ondas en TLs: relación de ondas estacionarias.
La amplitud de la superposición de la onda progresiva con la regresiva será
máxima cuando haya interferencia constructiva. Si consideramos las ondas
de tensión esto ocurre en las posiciones para las cuales 𝜃 𝑥 = 2𝑛 𝜋, 𝑛 𝜖 ℤ
La amplitud de la superposición de la onda progresiva con la regresiva será
mínima cuando haya interferencia destructiva. Si consideramos las ondas
de tensión esto ocurre en las posiciones para las cuales 𝜃 𝑥 = 2𝑛 + 1 𝜋
Si consideramos las ondas de corriente las posiciones de superposición
máxima y mínima se intercambian.
𝐴, M
= 𝑉%
𝐴, M
= 𝑉% 𝑒 &'( 1 − Γ
#.(
#-/
38
𝑒 &'(
1+ Γ
1+ Γ
𝜌=
1− Γ
Línea sin pérdidas
3 TEORÍA DE LÍNIAS DE TRANSMISIÓN
3.5 Superposición de ondas en TLs: relación de ondas estacionarias.
Condiciones de máximo de la onda de tensión:
Γ 𝑥 = Γ(𝑥) 𝑒 5C(.)
𝜃 𝑥 = 2𝑛 𝜋,
𝑛𝜖ℤ
Γ 𝑥 = Γ 𝑒 5C(.)
Línea sin pérdidas
En lugar de referir las coordenadas relativas a la posición del generador,
x, las referiremos a la posición de la carga, d
Γ 𝑑 = Γ(𝑑) 𝑒 5C(*)
Γ 𝑑 = Γ9 𝑒 5 C! ,&8*
Línea sin pérdidas
39
3 TEORÍA DE LÍNIAS DE TRANSMISIÓN
3.5 Superposición de ondas en TLs: relación de ondas estacionarias.
Condiciones de máximo de la onda de tensión: 𝜃 𝑑 = 2𝑛 𝜋,
𝑛𝜖ℤ
𝜃 𝑑 = 𝜃! − 2𝛽𝑑 = 2𝑛 𝜋
𝑑,&
𝑑,;
𝑑I
𝑍9
40
3 TEORÍA DE LÍNIAS DE TRANSMISIÓN
3.5 Superposición de ondas en TLs: relación de ondas estacionarias.
Condiciones de máximo de la onda de tensión: 𝜃 𝑑 = 2𝑛 𝜋,
Imag
𝜃 𝑑 = 𝜃! − 2𝛽𝑑 = 2𝑛 𝜋
Distancia entre máximos consecutivos
Γ!
𝜃!
𝜃! − 2𝛽𝑑)' = −2𝑛 𝜋
1er máximo
𝜃! − 2𝛽𝑑) '*+ = −2(𝑛 + 1) 𝜋
𝜋
𝑑) '*+ − 𝑑)' =
𝛽
2𝜋
𝛽=
𝜆
41
𝑛𝜖ℤ
Δ𝑑X
$%&
=
𝜆
2
Real
3 TEORÍA DE LÍNIAS DE TRANSMISIÓN
3.5 Superposición de ondas en TLs: relación de ondas estacionarias.
Condiciones de mínimo de la onda de tensión: 𝜃 𝑑 = (2𝑛 + 1) 𝜋,
𝑛𝜖ℤ
𝜃 𝑑 = 𝜃! − 2𝛽𝑑 = (2𝑛 + 1) 𝜋
𝑑,J
𝑑,&
𝑑,;
𝑍9
42
3 TEORÍA DE LÍNIAS DE TRANSMISIÓN
3.5 Superposición de ondas en TLs: relación de ondas estacionarias.
Condiciones de mínimo de la onda de tensión: 𝜃 𝑑 = (2𝑛 + 1) 𝜋,
𝜃 𝑑 = 𝜃! − 2𝛽𝑑 = (2𝑛 + 1) 𝜋
Imag
Distancia entre mínimos consecutivos
𝜆
Δ𝑑X
=
2
$"'
Distancia entre máximos y mínimos
consecutivos
𝜆
Δ𝑑X
=
4
$"'/$%&
43
𝑛𝜖ℤ
Γ!
1er mínimo
𝜃!
Real
3 TEORÍA DE LÍNIAS DE TRANSMISIÓN
3.5 Superposición de ondas en TLs: relación de ondas estacionarias.
Caso particular circuito abierto:
𝐴! "
"#$
𝑍9 → ∞
𝜌→∞
Γ9 = 1
𝐴! "
"&'
44
= 2 𝑉%
=0
3 TEORÍA DE LÍNIAS DE TRANSMISIÓN
3.5 Superposición de ondas en TLs: relación de ondas estacionarias.
Caso particular corto circuito:
𝐴! "
"#$
𝑍9 = 0
𝜌→∞
Γ9 = −1
𝐴! "
"&'
45
= 2 𝑉%
=0
0
