Olimpiada Nacional de Ciencias
Fase final, parte escrita
ECFM-USAC
Fecha: 3/09/24
prueba de matemática, diversificado
Instrucciones: Resuelva los problemas dejando constancia de todas las operaciones y procedimientos que justifiquen las respuestas.
Se evaluarán los razonamientos, su validez y claridad. Tiempo: 2h 20m. Nota máxima: 50.
Tema 1 (12 puntos).
A un número real x mayor que 0 y menor que 1, se le llama resonante si tiene infinitos decimales, digamos:
x = 0.a1 a2 a3 ... y cumple que los decimales de 1− x incluyen, después de una cantidad finita de decimales iniciales,
precisamente a los mismos decimales de x, es decir: 1− x = 0.b1 b2 b3 ...a1 a2 a3 ...
1A] Encuentre un número resonante x = 0.a1 a2 a3 ... tal que 1− x = 0.2024 a1 a2 a3 ...
1B] Explique por qué todos los números resonantes tienen que ser racionales.
1C] Encuentre un número resonante tal que sus primeros 10 decimales sean los mismos que los de 𝜋𝜋. Se sabe
que 𝜋𝜋 = 3.14159265358979... ¿Se pueden usar las ideas de este inciso para contradecir al anterior?
Tema 2 (12 puntos).
Considere la hipérbola x2 – 3y2 = 1, y los puntos A = (2,0) y B = (–2, 0). A partir del punto P1 = (–2, 1), se
genera la lista de puntos P1, P2, P3, P4, ... según el siguiente procedimiento: para generar a P2, se elige de entre A y
B el punto más lejano de P1. Se traza el círculo con centro en el punto elegido que pasa por P1. Se busca el
punto de intersección del círculo y la hipérbola, que sea el más alejado de P1, y se le llama P2. Para generar a
P3, se le aplica el mismo procedimiento a P2, y así sucesivamente.
2A] Hallar las coordenadas de P2.
2B] Muestre que todos los puntos de la lista son tales que su primera coordenada es un número entero. Para
ello, suponga que cierto punto de la lista lo cumple y demuestre que el siguiente también.
Tema 3 (12 puntos).
Un dado de 8 caras triangulares se construye uniendo dos pirámides de base cuadrada. Cada
cara con número impar es vecina sólo de caras pares. A una secuencia de N+1 caras tales que
cada cara posterior comparte un lado con la cara anterior en la secuencia se le llama camino de
longitud N. Los caminos pueden repetir caras. Ejemplo: 1,2,7,8 es un camino de longitud 3.
3A] ¿Cuántos caminos de longitud menor o igual a 6 comienzan en la cara 1 y terminan en una cara impar?
3B] ¿Cuántos caminos de longitud menor o igual a 6 comienzan y terminan en la cara 1?
Tema 4 (12 puntos).
4A] Si 𝑎𝑎, 𝑏𝑏 y 90° son los ángulos de un triángulo, encuentre cuánto valen 𝑎𝑎 y 𝑏𝑏 para que la siguiente expresión
tome el mínimo valor posible: 𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡(𝑎𝑎) + 𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡(𝑏𝑏).
4B] Si 𝑎𝑎, 𝑏𝑏 y 𝑐𝑐 son los ángulos de un triángulo, encuentre cuánto vale cada uno para que la siguiente expresión
tome el mínimo valor posible:
𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠2 (2𝑎𝑎) 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠2 (2𝑏𝑏) 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠2 (2𝑐𝑐)
+
+
− 4𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐(𝑎𝑎) − 4𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐(𝑏𝑏) − 4𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐(𝑐𝑐)
𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠2 (𝑎𝑎)
𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠2 (𝑏𝑏)
𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠2 (𝑐𝑐)
0
