Libro de Geometría CEPREVI: Temas y Problemas Resueltos

Presentación
El objetivo de este libro de geometría es complementar el proceso de aprendizaje
de esta materia por los alumnos del CEPREVI.
Se ha dividido en 15 unidades que abarcan los temas que las universidades
nacionales regularmente incluyen en sus exámenes de admisión.
Cada unidad consta de una parte teórica (de conceptos, definiciones y propiedades) y otra práctica (con problemas aplicativos, presentados en forma didáctica
y de menor a mayor grado de dificultad). Adicionalmente, se presentan problemas
sobre aplicaciones en otras ciencias.
La parte práctica está concebida no solo para la mejor asimilación de la teoría
aprendida sino también para desarrollar la imaginación y creatividad del alumno.
Aunque no pretendemos que este libro sea un tratado completo de la geometría
moderna, sí esperamos que señale el camino hacia su enseñanza más inspirada.
Agradecemos a todos los alumnos que integran nuestra institución por inspirarnos cada día a presentarles un mejor libro.
LOS PROFESORES
Índice
UNIDAD 1
Segmentos .............................................................................................
3
UNIDAD 2
Ángulos consecutivos y rectas paralelas ...........................................
6
UNIDAD 3
Triángulos I: propiedades básicas ...................................................... 10
UNIDAD 4
Triángulos II: líneas y puntos notables .............................................. 14
UNIDAD 5
Congruencia de triángulos ................................................................. 20
UNIDAD 6
Polígonos y cuadriláteros .................................................................... 23
UNIDAD 7
Circunferencia I: propiedades de tangencia ..................................... 29
UNIDAD 8
Circunferencia II: ángulos en la circunferencia ............................... 33
UNIDAD 9
Proporcionalidad y semejanza de triángulos ................................... 37
UNIDAD 10
Relaciones métricas en la circunferencia y en el triángulo rectángulo . 41
UNIDAD 11
Relaciones métricas en los triángulos oblicuángulos ...................... 45
UNIDAD 12
Áreas I: regiones poligonales .............................................................. 49
UNIDAD 13
Áreas II: áreas de regiones circulares ................................................. 54
UNIDAD 14
Geometría del espacio ......................................................................... 57
UNIDAD 15
Geometría analítica: ecuación de la recta ......................................... 61
Bibliografía
................................................................................................................... 65
3
Geometría
UNIDAD 1
Segmentos
1. GEOMETRÍA
Es una parte de la matemática que tiene
por objeto el estudio de las propiedades
y relaciones de las figuras geométricas.
Euclides, conocido como “el padre
de la geometría”, fue uno de los grandes
matemáticos de la antigüedad.
2. DIVISIÓN
2.1. GEOMETRÍA PLANA O PLANIMETRÍA
Se ocupa de las figuras cuyos puntos
constituyentes se hallan en un mismo
plano. Ejemplos: el ángulo, el triángulo,
la circunferencia, etc.
2.2. GEOMETRÍA DEL ESPACIO
4. LÍNEA RECTA
Concepto matemático no definible. Se
considera como un conjunto de puntos
ubicados en una misma dirección ilimitada en ambos sentidos.
A
B
↔
AB : se lee, recta AB o
↔
L : se lee, recta L
4.1. RAYO
Porción de recta limitada en un extremo
e ilimitada en el otro.
O
A
→
OA : se lee rayo OA.
O ESTEREOMETRÍA
4.2. SEGMENTO
Se ocupa del estudio de las figuras cuyos Porción de línea recta limitada por dos
puntos constituyentes no se hallan en puntos llamados extremos del segmento.
A
B
un mismo plano. Ejemplos: el prisma,
el cono, la esfera, etc.
Extremos
3. FIGURA GEOMÉTRICA
Conjunto delimitado e infinito de
puntos, plano (bidimensional) o sólido
(tridimensional). Ejemplos:
3.1. FIGURAS PLANAS
3.2. FIGURAS SÓLIDAS
AB : se lee, segmento AB
4.3. MEDIDA DEL SEGMENTO
Número de veces de una unidad de
longitud.
A
B
AB : se lee, medida del segmento AB.
Ejemplo:
A
B
8m
AB = 8 m
4
Universidad Nacional Federico Villarreal - CEPREVI
4.4. PUNTO MEDIO DE UN SEGMENTO
2. Sobre una línea recta se tiene los
Punto del segmento que equidista de
puntos consecutivos A, B, C y D,
los extremos.
ubicados de modo que: 2AB = 3BC
A
M
B
= 4CD y AD = 26 m. Halle BD.
a
a
Resolución
Si "M" es punto medio del AB , entonces
6k
4k
3k
AM = MB = a.
A
B
C
D
4.5. OPERACIONES CON LONGITUDES DE
SEGMENTOS
A
B
C
4
6
D
2
Para el gráfico:
Suma:
AB + BC + CD = AD
Resta:
AB = AD – BD
Multiplicación: AC = 5CD
BD
División:
AB = 2
PROBLEMAS APLICATIVOS
Datos:
i) 2AB = 3BC = 4CD = 12k
Determinamos: MCM (2, 3, 4) = 12
Obteniendo:
2AB = 12k ⇒ AB = 6k
3BC = 12k ⇒ BC = 4k
4CD = 12k ⇒ CD = 3k
ii) AD = 26 m
6k + 4k + 3k = 26 ... Prop. adición
⇒ k=2
... Efectuando
Nos piden hallar BD:
∴ BD = 7(2) = 14 m
1. Los puntos A, B, C y D son colinea- 3. Sobre una recta se tienen los puntos
consecutivos P, Q, R y S, ubicados
les y consecutivos, y están alineados
de modo tal que:
de modo que: 3AB = 5CD, BC = 7 m
PQ
QR
RS
y AD = 39 m. Halle CD.
=
=
^ PS + QR = 38 m
2
S
7
Resolución
Halle QR.
5k
7
3k
Resolución
A
Datos:
B
C
D
i) 3 AB = 5 CD ⇒ AB = 5k
CD = 3k
ii) AD
= 39
5k + 7 + 3k = 39 ... Prop. adición
⇒ k = 4
... Efectuando
Nos piden hallar CD:
∴ CD = 3(4) = 12 m
2k
P
5k
7k
Q
R
Datos:
i)
S
PQ
QR
RS
=
=
= k ... igualamos
2
S
7
a un constante.
Despejando:
PQ
2
QR
5
=k
=k
⇒ PQ = 2k
⇒
QR = 5k
5
Geometría
RS
7
=k
⇒
RS = 7k
ii) PS + QR = 38
(2k + 5k + 7k) + 5k = 38 ... Prop. adición
19 = 38
... Efectuando
⇒k=2
Nos piden hallar QR:
∴ QR = 5(2) = 10 m
5. En una recta se encuentran situados
los puntos P, Q, R y S consecutivamente de modo que:
PQ
QR
,
=
PS
RS
luego se ubican los puntos medios
M y N de PR y QS respectivamente.
Si PM = x cm y NS = y cm, halle MN.
4. Sobre una línea recta se toman los Resolución
x
x
puntos consecutivos O, A, B y C.
1
1
1
+
=
; (AB)(AC) = 289 cm2
Si:
OC OB OA
Halle OA.
Resolución
O
M
Q
R
N
y
S
y
m
Por dato del problema:
y
x
m−y x−m+y m−x
P
y−x
A
PQ
QR
=
PS
RS
z−y
z
B
C
Datos:
Sean: OA = x ; OB = y ; OC = z
i) 1 + 1 = 1
OC
OB
OA
1
1
1
+
=
z
y
x
y+z
1
=
yz
x
⇒ (*) yz = y + xz
... Reemplazando
... Efectuando
... Obteniendo
ii) (AB)(AC) = 289
(y − x)(z − x) = 289 ... Reemplazando
yz − yx − xz + x = 289 ... Prop. distributiva
xy + xz − yx − xz + x2 = 289 ... Reemplazando
∴ x = 17 cm
Reemplazando del gráfico:
(m + x) − y
( x − m) + y
=
( x + m) + y
(m − x) + y
Efectuando:
m2 − x2 + y(m + x) − y(m − x) − y2 =
= x2 − m2 + y(x + m) + y(x − m) + y2
Simplificando:
2m2 = 2(x2 + y2)
∴ m = √ x2 + y2
6
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UNIDAD 2
Ángulos consecutivos y rectas paralelas
1. ÁNGULO
1.2.2. Según su característica
1.2.2.1. Ángulos consecutivos
1.1. DEFINICIÓN
Reunión de dos rayos no colineales con • Ángulos adyacentes
A
un mismo origen, denominado vértice;
lado común
los rayos se denominan lados.
lado
B
A
vértice
común
• Ángulos complementarios
a°
O
vértice
lado
a + b = 90°
B
α
m∡AOB = α
Elementos
• Vértice: O
• Lados: OA y OB
∡ recto
0° < α < 90º
α = 90º
a°
a°
β
• Ángulos suplementarios (par lineal)
α
1.2. CLASES
1.2.1. Según su medida
1.2.1.1. Ángulos convexos
∡ agudo
C
O
β
• Perígono
∡ obtuso
90º < α <180º
a°
1.2.1.2. Ángulos no convexos
a°
180º < α < 360º
β
α
a + b = 180°
a + b + f = 360°
φ
1.2.2.2. Ángulos complementarios
Dos ángulos son complementarios si
sus medidas suman 90º.
a°
b°
α + β = 90°
Donde:
Cα : Complemento de α Cα = 90º – α
Cb : Complemento de b Cb = 90º – b
7
Geometría
1.2.2.3. Ángulos suplementarios
2. ÁNGULOS ENTRE DOS
Dos ángulos son suplementarios si sus
RECTAS PARALELAS
medidas suman 180º.
2.1. ÁNGULOS CORRESPONDIENTES
Uno
interno y el otro externo a un
α + β = 180°
mismo lado.
a°
a° b°
b°
Donde:
Sα: Suplemento de α
Sb: Suplemento de b
b°
b°
α=θ
θ°
Sb = 180º – b
1.2.2.4. Ángulos opuestos por el vértice
a°
a°
Adyacentes
suplementarios
Sα = 180º – α
o par
lineal
2.2. ÁNGULOS ALTERNOS INTERNOS
Ambos internos, uno en cada lado.
a°
α=θ
a°
θ°
Bisectriz
Es el rayo que parte del vértice y
biseca al ángulo.
A
a°
a°
O
X
B
→
OX : Bisectriz del ∡AOB
Observación
1.CSx = x – 90°
SCx = x + 90°
2. Si la cantidad de complementos es
par:
⇒ CCC... Cx = x
n° de veces par
2.3. ÁNGULOS CONJUGADOS INTERNOS
Ambos internos y en un mismo lado
a°
α
+ θ = 180º
θ°
2.4. PROPIEDADES
1.
a
x
θ
2.
3. Si la cantidad de complementos es
impar
⇒ CCC... Cx = Cx
3.
n° de veces impar
Recuerda:
Se cumple también para suplementos.
a
x=α+θ
θ θ
x
x = 90º
a
a
b
θ
c
α+θ=a+b+c
a
8
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4.
f
θ
α + β + θ + φ = 180º
b
a
5.
f
θ
γ
S[Sa – CCa] = C[CCa – Sa]
180° – (180 – a – a) = 90° – [a – (180° – a)]
2a = 270° – 2a
⇒ 2a = 135°
Nos piden: S2a
∴
S2a = S135° = 45°
3. En la figura, si m∡BOC es obtuso,
halle el mayor valor entero de “x”.
b
a
α + β + γ + θ + φ = 180 · Nº segmentos
Observación:
N = Número de segmentos comprenResolución
didos en dichas rectas paralelas.
PROBLEMAS APLICATIVOS
1. El suplemento del complemento de
un ángulo es el séxtuplo de la medida
de este. Calcule la medida de dicho
ángulo.
°
Dato:
i) m∡BOC es obtuso.
⇒ 90° < 180° – 4x < 180°
Nos piden el máximo:
90° < 180° – 4xº
4xº < 90°
x < 22,5
2. El suplemento de la diferencia entre
∴
Xmáx = 22
el suplemento y el complemento del
complemento de un ángulo es igual 4. Se presentan los ángulos consecutial complemento de la diferencia envos AOB, BOC y COD, tal que los
tre el complemento del complemenángulos AOB y COD son completo y suplemento del mismo ángulo.
mentarios. Calcule la medida del
Calcule el suplemento del doble del
ángulo formado por las bisectrices
ángulo.
de los ángulos AOC y BOD.
Resolución
Sea “a” la medida del ángulo.
Del enunciado:
Resolución
Sea “x” la medida del ángulo.
Del enunciado:
SCx = 6x
x + 90° = 6x
∴ x = 18°
9
Geometría
Resolución
M
5. De la figura, a + q < 238°. Calcule el
mínimo valor entero de “x”.
B
C
A
a
L1
N
a+b b q
L2
b+q
O
De la figura:
→
OM : Bisectriz del ∡AOC
→
ON : Bisectriz del ∡BOD
Sea: m∡MOB = a
m∡BOC = b
m∡CON = q
Nos piden:
m∡MON = a + b + q
Dato del problema:
m∡AOB + m∡COD = 90°
2a + b + b + 2q = 90°
2(a + b + q) = 90°
a + b + q = 45°
∴ m∡MON = 45°
D
L3
q
b
a
Resolución
↔ ↔
i) De L1// L2 (Prop. conjugados internos)
q + 3a = 180°
… (I)
↔
ii) De L3:
a + 3b = 180 °
… (II)
Sumando (I) y (II):
q + a + 3(a+b) = 360°
⇒ q + a = 360° – 3(a+b)
↔ ↔
iii) De L1// L3 :
x = a + b
iv) Reemplazando en el dato:
a + q < 238°
360° – 3(a + b) < 238°
122° < 3x
40,6º < x
∴
xmin = 41°
10
Universidad Nacional Federico Villarreal - CEPREVI
UNIDAD 3
Triángulos I: propiedades básicas
4.2. POR LA MEDIDA DE SUS ÁNGULOS
1. DEFINICIÓN
Se llama triángulo rectilíneo a la figura
Oblicuángulos
geométrica que resulta de la reunión de
a2
3 segmentos determinados por 3 puntos
no colineales.
a1
P: punto interior y Q: punto exterior
B
Q
b
c
ê1
A
P
4.2.1. Acutángulo
Es el que tiene sus tres ángulos internos
agudos.
0 < αn < 90º
ê 2
a
f
a
b
2. NOTACIÓN
ê3
C
∆ABC → se lee: triángulo ABC.
3. ELEMENTOS
Del gráfico se observa:
• Vértices:
A, B, y C
• Lados:
AB, BC y AC
• Longitud de sus lados: a, b y c
• m∡ internos: α, β y φ
• m∡ externos: ê1, ê2 y ê3
• Perímetro:
2p = a + b + c
• Semiperímetro: p = a + b + c
2
4. CLASIFICACIÓN
4.1. POR LA MEDIDA DE SUS LADOS
Equilátero
Isósceles
Escaleno
60°
60° 60°
a
a3
a° a°
base
3 lados congruentes 2 lados congruentes 3 lados no congruentes
4.2.2. Obtusángulo
Es el que tiene un ángulo interno obtuso.
90º < α < 180º
4.2.3. Rectángulo
Es el que tiene un ángulo interno recto.
a y b: longitudes de catetos
c: longitud de hipotenusa
b
a
a°
c
90°–a°
5. PROPIEDADES BÁSICAS
1. Existencia del triángulo
b–c<a<b+c
b
a
c
2. Suma de medidas de ángulos internos
b°
a°
a + b + c = 180
c°
11
Geometría
3. Suma de medidas de ángulos externos 10. Si: AB = BC → El triángulo ABC es
equilátero.
y°
A
A
x + y + z = 360
z°
60°
x°
4. Medidas de un ángulo externo
x=b+c
y°
b°
y=a+c
a°
x°
z°
c°
z=a+b
B
11.
5. A mayor ángulo se opone mayor lado
y viceversa.
c
a
b
b
f
a
Si: α > β > φ ⇔ a > b > c
60°
C
x°
60°
60°
b°
2a°
x = 90 – α
x°
6. PROPIEDADES PARTICULARES
13. Si:
6.
x°
x°
a°
a+b=x+y
y°
b°
7.
y°
x°
b°
8.
a°
2a°
a°
2a° 2a°
a°
PROBLEMAS APLICATIVOS
a°
a+b=x+y
1. En la figura, calcule el valor de “x”.
b°
x
x=a+b+c
a°
x°
Resolución
c°
x°
a°
9.
C
x = 180 – (α + β)
a°
12.
B
b°
a+b=x+y
y°
12
Universidad Nacional Federico Villarreal - CEPREVI
1º ∆MNC: Isósceles
⇒ m∡NMC = x
2º m∡MNB = 2x (Prop. básica 4)
3º ∆BMN: Isósceles
⇒ m∡MBN = 2x
4º ∆MBC (Prop. básica 4)
⇒ m∡BMA = 3x
5º ∆ABM: Isósceles
⇒ m∡BAM = 3x
6º ABC (Prop. básica 2)
3x + x = 90°
∴
x = 22,5°
5º AB = AM
7=4+x
∴
3m = x
3. En la figura, halle el valor entero de
“x” en metros.
Resolución
2. En la figura, calcule el valor de “x” 1º Existencia del triángulo (P.B. 1)
3x – 1 – (2x – 1) < 6 – x < 3x – 1 + 2x – 1
en metros.
3x – 1 – 2x + 1 < 6 – x < 3x – 1 + 2x – 1
x < 6 – x < 5x – 2
(I)
(II)
x<6–x
^ 6 – x < 5x – 2
2x < 6
8 < 6x
x < 3
1,3 < x
⇒ 1,3 < x < 3
Resolución
∴
x=2m
B
7
2
A 4
1º
4. En la figura, halle el valor de “x”.
90º -
H
X
90º - 2
M
C
BHC (Prop. básica 2)
m∡BCH = 90 – 2a
2º
ABC (Prop. básica 2)
⇒ m∡BAC = 2a
3º
BHM (Prop. básica 2)
⇒ m∡BMH = 90 – a
4º ∆BAM (Prop. particular 12)
⇒ m∆BAM : Isósceles
m∡ABM = 90° – a
⇒
Resolución
Geometría
1º Prop. particular 8
⇒ m∡BAD = 60°
2º Se traza BD
⇒ ∆ABD: Equilátero
3º m∡ABD = m∡BDA = 60°
4º BD=CD
⇒ 30° – x = x
30° = 2x
∴
x = 15°
5. En la figura, calcule el valor de “x”.
Resolución
B
x 30º
40º 70º
N 40º
60º
70º
60º 130º M
40º
60º
A
40º
C
13
1º Se construye el ∆NBC: Isósceles
(BN=BC)
m∆BNC = 40°
2º ∆BNM: Isósceles (BN = MN)
m∡BMN = m∡MBN = 70°
BN = MN
3º m∡NMA = 60° (traza AN: formando
∆ANM equilátero)
⇒ m∡NMA = m∡NAM =
m∡ANM = 60°
4º ∆ANB: Triángulo isósceles AN = NB
m∡NAB = NBA = 40°
5º m∡NBM = m∡NBA + m∡ABM
70° = 40° + x
∴ x = 30°
14
Universidad Nacional Federico Villarreal - CEPREVI
UNIDAD 4
Triángulos II: líneas y puntos notables
1. ALTURA
2. MEDIANA
Segmento que parte de un vértice y Segmento que une un vértice con el
corta en forma perpendicular al lado punto medio de su lado opuesto.
opuesto o a su prolongación.
B
Mediana BM
A
∆ Acutángulo
C
∆ Obtusángulo ∆ Rectángulo
BH: Altura
BC: Altura
1.1. ORTOCENTRO
Es el punto donde se intersectan las
tres alturas de un triángulo.
2.1. BARICENTRO
Es el punto donde se intersectan las
tres medianas de un triángulo.
G: Baricentro
B
H: Ortocentro
S
H
C
M
A
G
M
N
C
BG = 2GM
AG = 2GN
CG = 2GS
Para recordar
• Todo triángulo tiene un solo bariH
centro.
∆ Acutángulo ∆ Obtusángulo ∆ Rectángulo
• El baricentro divide a cada mediana
Para recordar
en relación de 1 es a 2.
Todo triángulo tiene un solo ortocentro. • El baricentro es siempre un punto
• Es un punto interior si el triángulo
interior.
es acutángulo.
• Es llamado también gravicentro
• Es un punto exterior si el triángulo
o centro de gravedad de la región
es obtusángulo.
triangular.
• Está en el vértice del ángulo recto si
el triángulo es rectángulo.
H
15
Geometría
3. BISECTRIZ
3.2. BISECTRIZ EXTERIOR
Segmento que divide a un ángulo interior o exterior en dos ángulos de igual
medida.
3.1. BISECTRIZ INTERIOR
BC: Bisectriz externa
3.2.1. Excentro
Es el punto donde se intersectan dos
bisectrices exteriores con una bisectriz
interior en un triángulo.
BN: Bisectriz interna
B
3.1.1. Incentro
Es el punto donde se intersectan las tres
bisectrices interiores de un triángulo.
I = Incentro
B
b b
I
a
a
A
f
γ
C
Propiedades
1.
b
a°
a
x = 90 +
2
x°
f
C
E: Excentro relativo a BC
γ
Propiedad
a
a
E
a
a
A
I = incentro
b
b
b
b
Para recordar
2.
• Todo triángulo tiene un solo incentro.
• El incentro equidista de los lados
del triángulo.
• El incentro es siempre un punto interior al triángulo.
x = 90 –
b
xº
a
a
a
x°
a°
a
a
2
a
b
b
x=
a
2
16
Universidad Nacional Federico Villarreal - CEPREVI
Para recordar
• Todo triángulo tiene tres excentros.
• Los excentros son siempre puntos
exteriores al triángulo.
4. MEDIATRIZ
Es una recta que pasa por el punto me- Para recordar
dio de un lado cortándolo en forma • Todo triángulo tiene un solo circuncentro.
perpendicular.
• El circuncentro equidista de los
B L
vértices del triángulo.
• Es un punto interior si el triángulo
es acutángulo.
•
Es un punto exterior si el triángulo
C
A
↔
es obtusángulo.
L : Mediatriz de AC
• Si es rectángulo, está en el punto
4.1. CIRCUNCENTRO
medio de la hipotenusa.
Es el punto donde se cortan las tres
5. CEVIANA
mediatrices de un triángulo.
Segmento que une un vértice con un
punto cualquiera del lado opuesto o de
O
su prolongación.
O
O
B
∆ Acutángulo ∆ Obtusángulo
O: Circuncentro
∆ Rectángulo
interior
exterior
Nota:
Cuando resolvemos problemas de circuncentro, aplicamos las propiedades:
A
D
C
E
1. Unir los vértices con el circuncentro
5.1. CEVACENTRO
⇒ AO = BO = CO
B
O
B
O
Es el punto donde se intersectan tres
cevianas de un triángulo.
O
A
C
A
C
2. En los ángulos de las figuras anteriores se cumple:
m∡AOC = 2m∡ABC
m∡AOB = 2m∡ACB
m∡BOC = 2m∡BAC
C: Cevacentro o punto ceviano
Geometría
17
Para recordar
PROBLEMAS APLICATIVOS
Todo triángulo tiene infinitos ceva- 1. En la figura, H es ortocentro del tricentros.
ángulo ABC. Calcule el valor de “x”.
Observaciones generales
1. Para ubicar un punto notable solo
es necesario trazar dos líneas notables de la misma especie.
Resolución
P: Incentro del ∆ABC
2. En todos los triángulos isósceles, si
se traza una de las cuatro primeras
líneas notables hacia la base, dicha
línea cumple las mismas funciones
1º Trazamos : Altura
que las otras.
2º ANH : Notable
⇒ m∡HAN = 37°
3º AMC : Notable
⇒ m∡MCA = 53°
∴ x = 53°
2. En la figura, G: baricentro del
∆ABC. Calcule el valor entero de
“x” en metros.
3. En todo triángulo equilátero el ortocentro, baricentro, incentro y circuncentro coinciden.
BM: altura, mediana, bisectriz y mediatriz
Si H: ortocentro del ∆ABC
⇒H=G=I=O
18
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Resolución
B
2
M
2
3
90º + a
x
A
G
6
a
C
1º Trazamos: : Mediana
⇒ M punto medio de
2º AM = MB = 2
3º CG = 2MG … Prop.del Baricentro
⇒ 3 = MG
4º Existencia del triángulo
3–2<x<3+2
1<x<5
Ojo: ∆AMG: obtusángulo
Si: m∡BCM = a
⇒ m∡AMG = 90° + a
5º Prop. de la correspondencia
m∡AMG > m∡MAG
⇒ x > 3
6º 3 < x < 5
∴ x = 4 m
1º Prop. del incentro
m∡AIC = 90° + (m∡ABC)/2
m∡AIC = 90° + 45°
m∡AIC = 135°
2º ∆IMC: isósceles
m∡MIC = m∡MCI = 45°
3º ∆IMC (Prop. básica 2)
45° + x + 45° = 180°
∴ x = 90°
4. En la figura, calcule el valor de “x”.
Resolución
N
B x
x
x
3. En la figura, I: incentro del ∆ABC.
Calcule el valor de “x”.
a
A
Resolución
a
E
40°
70°
C
70°
M
1º Prolongamos AC y AB y ubicamos
M y N respectivamente.
⇒ m∡ECM=70°
2º AE Bisectriz interior del ∆ABC
3º CE Bisectriz exterior del ∆ABC
⇒ E: excentro del ∆ABC
4º m∡EBN = x
⇒ x + x + x = 180°
∴ x = 60°
Geometría
5. En la figura, O: circuncentro del Resolución
∆ABC. Calcular el valor de “x” en
metros.
1º Se traza AO
2º Prop. del circuncentro
AO = BO = 8
3º Prop. del circuncentro
m∡AOB = 2 m∡ACB
m∡AOB = 90°
4º AOB: notable
∴ x = 8 √2
19
20
Universidad Nacional Federico Villarreal - CEPREVI
UNIDAD 5
Congruencia de triángulos
1. DEFINICIÓN
2.3. LADO-LADO-LADO (L.L.L.)
Dos triángulos son congruentes, si tieB
nen sus tres lados congruentes y sus
tres ángulos congruentes respectivamente.
C
A
P
B
Q
A
C
Q
R
2.4. LADO-LADO-ÁNGULO MAYOR
P
R
⇒ ∆ABC ≅ ∆PQR
B
Q
a
a
C
A
P
R
Nota
a : Opuesto al lado mayor
En un problema dado se podrá afirmar
que dos triángulos son congruentes, si 3. APLICACIONES DE
tienen como mínimo tres elementos
LA CONGRUENCIA
congruentes, de los cuales uno debe
(PROPIEDADES)
ser un lado como mínimo.
3.1. BISECTRIZ
2. CASOS DE CONGRUENCIA
Todo punto situado en la bisectriz,
(POSTULADOS)
siempre equidista de los lados del ángulo.
2.1. LADO-ÁNGULO-LADO (L.A.L.)
B
Q
a
a
C
A
A
P
R
P
2.2. ÁNGULO-LADO-ÁNGULO (A.L.A.)
A
a
B
Q
B
b
C
a
P
a
a
PA = PB
OA = OB
b
R
3.2. MEDIATRIZ
Todo punto situado en la mediatriz de
un segmento, siempre equidista de los
extremos de dicho segmento.
21
Geometría
Resolución
P
PA = PB
A
B
3.3. BASE MEDIA DE UN TRIÁNGULO
El segmento que une los puntos medios de dos lados de un triángulo, es HAB ≅ FBE Caso (A.L.A.)
paralelo al tercer lado y mide la mitad FE = BH = 6 cm ⇒ FB = 2 cm
FB = AH = 2 cm
de lo que mide el tercer lado.
AD = 2 cm + 6 cm
Si: MN//AC Si: M y N son puntos medios
∴ AD = 8 cm
B
B
M
N
M
C
A
BN = NC
A
2. En la figura mostrada, AB = DE y
AE = CD. Calcular m∡BCE.
N
MN =
AC
2
D
C
3.4. MEDIANA RELATIVA A LA
HIPOTENUSA
La mediana relativa a la hipotenusa,
siempre mide la mitad de lo que mide Resolución
la hipotenusa.
B
a° b°
A
a°
x
a x
BM =
M
b°
AC
2
80°
C
PROBLEMAS APLICATIVOS
1. En la figura, AB = BE; BC = 6 cm y EAB ≅ CDE Caso (L.A.L.)
BE = CE
ED = 4 cm. Calcule AD.
m∡ABE = m∡CED = a
⇒ m∡ABE = 80°
⇒ Triángulo isósceles BEC.
∴
x = 50°
22
Universidad Nacional Federico Villarreal - CEPREVI
3. En la figura mostrada, AD = BE. Ha- Rectas paralelas AD//EP
lle el valor de “x”.
⇒ FD base media del ∆EBP
DP = 8 cm
⇒ EP base media del ∆CAD
DP = PC = 8 cm
∴ x = 16 cm
Resolución
ADC ≅ BEC Caso (L.L.L.)
⇒ m∡DAC = m∡EBC = 30°
∴ x = 30°
5. En la figura, AB = 12 m y AH = 7 m.
Halle PQ.
Resolución
4. En el gráfico, E y F son puntos medios de AC y BE respectivamente. Si
BD = 8 cm, calcule CD.
Resolución
Propiedad de la bisectriz
⇒ AB = AM = 12 m
Rectángulo HQPM
⇒ QP = HM = 5 m
∴ PQ = 5 m
Geometría
23
UNIDAD 6
Polígonos y cuadriláteros
1. POLÍGONO
1.3.1. Polígono convexo equiángulo
Es el que tiene todos sus ángulos inter1.1. DEFINICIÓN
Es la reunión de tres o más segmen- nos congruentes.
tos consecutivos y coplanares, tal que
120° 120°
108°
el extremo del primero coincida con
108°
108°
120°
120°
el extremo del último; ningún par de
108° 108°
120° 120°
segmentos se intercepten, excepto en
sus extremos, y dos segmentos conse1.3.2. Polígono convexo equilátero
cutivos no son colineales.
Es el que tiene todos sus lados conE
P
F x°
gruentes.
D
f°
C
Q
G
b°
R
B
a°
y°
H
S
A
1.2. ELEMENTOS
Vértices
:
Lados
:
m ∡ internos
:
m ∡ externos
:
Diagonales
:
Diagonales medias :
z°
I
A, B, C, D, ...
AB, BC, CD, DE,...
a, b, q, ...
x, y, z, ...
AC, AD, AE
PQ, PR, PS
1.3.3. Polígono convexo regular
Es el que tiene todos sus ángulos internos congruentes y todos sus lados
congruentes.
108°
108°
108°
108° 108°
120° 120°
120°
120°
120° 120°
1.4. POLÍGONO NO CONVEXO
1.3. POLÍGONO CONVEXO
Es el que tiene uno o más ángulos inEs el que tiene todos sus ángulos in- ternos no convexos, es decir mayores
ternos convexos, es decir mayores que que 180º y menores que 360º.
cero y menores que 180º.
24
Universidad Nacional Federico Villarreal - CEPREVI
1.5. DENOMINACIÓN DE LOS POLÍGONOS
Triángulo ...................................... 3 lados
Cuadrilátero ................................. 4 lados
Pentágono ..................................... 5 lados
Hexágono ...................................... 6 lados
Heptágono .................................... 7 lados
Octógono ...................................... 8 lados
Nonágono o eneágono ................ 9 lados
Decágono ...................................... 10 lados
Endecágono .................................. 11 lados
Dodecágono ................................. 12 lados
Pentadecágono ............................. 15 lados
Icoságono ...................................... 20 lados
Enégono ........................................ n lados
1.6. PROPIEDADES DE TODO POLÍGONO
CONVEXO
5. Número total de diagonales medias:
Dm =
n(n – 1)
2
6. Diagonales trazadas desde “v” vértices consecutivos:
Dv = vn –
(v + 1) (v + 2)
2
1.7. PROPIEDADES DE POLÍGONOS
REGULARES Y EQUIÁNGULOS
7. Medida de un ángulo interno:
m∡i=
180°(n – 2)
n
8. Medida de un ángulo exterior:
360°
• Número de lados
m∡e=
n
• Número de vértices
n • Número de ángulos interiores 9. Medida de un ángulo central:
• Número de ángulos centrales
360°
• Número de ángulos exteriores
m∡c=
n
Si “n” es el número de lados de un polí1.7. HEXÁGONO REGULAR
gono convexo, se cumple que:
1. Suma de las medidas de sus ángulos Al trazar las diagonales AD, BE y CF se
forman 6 triángulos equiláteros.
internos:
Sm∢i = 180º (n – 2)
2. Suma de las medidas de sus ángulos
externos:
Sm∢e = 360º
3. Diagonales trazadas desde un solo
vértice:
D1 = (n – 3)
4. Número total de diagonales:
n(n – 3)
DT =
2
Apotema OM =
L √3
2
Geometría
2. CUADRILÁTERO
25
a
2.1. DEFINICIÓN
Es un polígono de 4 lados.
180°–a
Trapecio rectángulo
2.3.2.1. Propiedades
• Mediana de un trapecio
a
w°
x + y + z + w = a + b + c + d = 360º
2.2. CLASIFICACIÓN GENERAL
Convexo
No convexo
x
x=
a+b
2
b
• Segmento que une los puntos medios de las diagonales.
a
x
x=
b–a
2
b
2.3.3. PARALELOGRAMO
Tiene lados opuestos paralelos y con2.3. CUADRILÁTEROS CONVEXOS
gruentes, ángulos opuestos de igual
2.3.1. Trapezoide
medida y dos ángulos consecutivos
Es el cuadrilátero que no tiene lados
siempre suplementarios. Sus diagonaopuestos paralelos.
les se bisecan.
Simétrico
Asimétrico
2.3.2. Trapecio
Tiene dos lados opuestos paralelos, llamados bases, y los otros dos llamados
lados no paralelos.
a
a
a
b
180°–a
180°–a
180°–a
180°–b
Trapecio isósceles
Trapecio escaleno
Romboide
Rombo
Rectángulo
Cuadrado
26
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2.4. PROPIEDADES GENERALES
1.
C
B
x
f
θ
x=
x
a
A
b
a
q+f
2
3x
b
4x
5x
7. En trapecios
C
b b
x
B
θ
a
a
3.
2x
D
2.
A
6. En triángulos
x=
x=
θ−f
2
q–f
2
P
x+r
x+2r
x+3r
D
Q
S
x
PQ//RS
PQ = RS
8. Segmento que une los puntos medios de las bases de un trapecio.
Si a + b = 90º
a
x=
x
a°
R
4.
a
b°
b
b
x
x=
a+b
2
9. En paralelogramos.
x
a
x=b–a
a°
a°
b
5. En trapecios isósceles
a
x
b
y
b–a
2
x=
b–a
2
y=
b+a
2
10. En paralelogramos.
b
a
d
x
c
x = a+d = b+c = a+b+c+d
2
2
4
Geometría
PROBLEMAS APLICATIVOS
1. Calcule el número de diagonales medias de un polígono, donde el número total de diagonales es el cuádruple
del número de ángulos internos.
Resolución
Nº diagonales = 4 (Nº ∡ internos)
n(n – 3) = 4 • n
2
n–3 =8
n
= 11
Se pide:
Dm = n(n – 1)
2
27
3. En el cuadrado ABCD, calcule el
valor de “x”.
Resolución
Dm = 11(11 – 1)
2
Dm = 55
2. ¿Cuántos lados tiene el polígono
regular, si al disminuir en 3 el número de lados, la medida de su ángulo central aumenta en 6º?
Resolución
Polígono regular
1∡ central + 6° = 1∡ central
“n”
“n – 3”
360º
360º
+ 6º =
n
n–3
1 – 1
6º = 360º
n–3 n
1
n–n+3
=
60
n(n – 3)
n(n–3) = 180
∴
n = 15
EF es mediatriz
⇒ m∡EBF = m∡EDF
45° – 4x = 5x – 45°
90° = 9x
∴ 10° = x
4. En la figura, ABCD es un rombo y
BE = CD. Halle el valor de “x”.
28
Universidad Nacional Federico Villarreal - CEPREVI
Resolución
BC // AD
Del ∆ABE:
12x = 180°
∴
x = 15°
5. En el trapecio ABCD, calcule el segmento formado por los puntos medios de las diagonales. Si: AB = 12 cm.
Resolución
BF//CD
⇒ FBCD es un paralelogramo
Del trapecio ABCD: BC = FD = a
x=
b–a
2
12 + a – a
2
∴ x=6
x=
Geometría
29
UNIDAD 7
Circunferencia I:
propiedades de tangencia
1. CIRCUNFERENCIA
1.1. DEFINICIÓN
Es un conjunto infinito de puntos de
un plano, que equidistan de otro punto
fijo del mismo plano llamado centro.
1.2. CÍRCULO
Es la región interior de una circunferencia.
En el gráfico observamos:
L1
M
T
N
L2
O
A
B
1.3. RADIO
Segmento que une el centro de la circunferencia con cualquiera de sus
puntos.
1.4. CUERDA
Segmento que une dos puntos cualesquiera de la circunferencia.
1.5. DIÁMETRO O CUERDA MÁXIMA
Es una cuerda que pasa por el centro
de la circunferencia.
1.6. PROPIEDADES
1. Si “T” es punto de tangencia, entonces:
P
E
F
O
C
Q
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
Centro
Radio
Diámetro
Cuerda
Arco
Flecha o sagita
Recta tangente
Recta secante
Punto de tangencia
Sector circular
Segmento circular
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
“O”
OA
AB
PQ
BC
EF
↔
L1
↔
L2
“T”
BOC
MN
T
L1
OT ⟘ L1
2. Si A y B son puntos de tangencia,
entonces:
A
P
a
a
O
PA = PB
B
También: si “O” es centro. PO es bisectriz de ∡APB
30
Universidad Nacional Federico Villarreal - CEPREVI
8.
3. Si OM ⟘ AB, entonces:
O
a
a=b
AM = MB
b
A
B
M
9. Si “M” es punto medio de AB.
4. Si AB = CD entonces:
A
a
C
O
A
M
B
x°
x = 90
a=b
b
B
D
5. Tangentes comunes interiores.
A
10. En circunferencias concéntricas:
D
AB = CD
B
C
11. En circunferencias concéntricas:
6. Tangentes comunes exteriores.
B
A
B
A
AB = CD
AB = CD
C
D
C
D
7. Si A, B y C son puntos de tangencia.
C
A
x°
x = 90
B
12. Teorema de Poncelet
b
a
r
c
a + b = c + 2r
Geometría
Resolución
13. Teorema de Pitot
x
b
a
31
a+b=x+y=p
y
Donde:
p: semiperímetro del cuadrilátero.
Dato: AB = 2OH
⇒ OH = a ^ AB = 2a
PROBLEMAS APLICATIVOS
Vemos que: OH ⟘ AB
1. En el gráfico, si: a + b = 28 m, halle
⇒ Por propiedad: AH = HB = a
el valor de “x”.
AOH notable
∴ x = 45°
a
O
Resolución
b
3
3. En la figura, si A es punto de tangencia, halle el valor de “x”.
x
O
Resolución
Dato: a + b = 28 m
Aplicamos: Teorema de Poncelet
⇒ a + b = x + 2(3)
Reemplazando: 28 = x + 6
∴ x = 22 m
A
R
R
D
O
R
C R
x
B
2. En el gráfico, si: AB = 2OH, halle el
valor de “x”.
Vemos que OD = BC = R
A
⇒ OC = R ; por ser radio
x
Luego: Por propiedad de tangencia
H
OA ⟘ AB
B
O
OAB notable
∴ x = 30°
32
Universidad Nacional Federico Villarreal - CEPREVI
4. En el gráfico, calcular BE.
E
B
C
5. En el gráfico, T es punto de tangencia. Si: c = a + b, halle el valor de “x”.
1 O
3
O1
c
D
A
Resolución
a
x
b
a
O
Resolución
O
Vemos que ABED es trapecio rectángulo.
⇒ AB = 2(3) = 6
Luego: CE = a ∧ DE = b
⇒ AD = x + a
En ABED: Teorema de Pitot (1)
x+x+a=6+b
⇒ b = 2x + a – 6
…(1)
En DCE: Teorema de Poncelet (2)
a + 6 = b + 2
…(2)
Reemplazando (1) en (2):
a + 6 = 2x + a – 6 + 2
2x = 10
∴ x=5m
Dato: c = a + b
Por propiedad de tangencia: OT ⟘ PT
AOT es isósceles:
⇒ m = m T = q
Vemos que: mPTA = Cq = a = mATH
Aplicación de la bisectriz:
AS = AH = a ∧ ST = HT = b
⇒ PS = a
⇒
PSA notable
∴ x = 45°
Geometría
33
UNIDAD 8
Circunferencia II:
ángulos en la circunferencia
1. ÁNGULO CENTRAL
5. ÁNGULO INTERIOR
A
O
xº
x°
x = mAB
m°
n°
x°
x=
m+n
2
A
B
D
2. ÁNGULO INSCRITO
6. ÁNGULO EXTERIOR
a)
A
C
C
B
2xº
x°
x=
mAB
2
A
P
B
x°
m°
x=
m–n
2
m°
x=
m–n
2
x=
m–n
2
n°
B
3. ÁNGULO SEMIINSCRITO
b)
A
x°
2xº
mAB
x=
2
P
A
x°
n°
C
B
4. ÁNGULO EXINSCRITO
mABC
x=
2
B
c)
B
A
P
x°
n°
D
m°
C
34
Universidad Nacional Federico Villarreal - CEPREVI
7. PROPIEDADES
1. De un ángulo exterior
6. En las circunferencias secantes congruentes,
A
M
y°
x°
N
x + y = 180
2. Si AB ≅ CD, entonces: AB ≅ CD
B
m AMB = mANB
7. En toda semicircunferencia,
x°
x = 90
O
8. En todo cuadrilátero inscrito:
3. Si: AB//CD, entonces AC ≅ CD o si a. Los ángulos opuestos son suplemenPQ//AB, entonces AT ≅ TB
tarios.
P
T
Q
A
y°
B
x°
D
C
x + y = 180
b. Un ángulo interior es congruente al
opuesto exterior.
4. En la figura, se cumple que
mAB = mBC.
C
y°
x=y
B
x°
A
c. Las diagonales con los lados opuestos forman ángulos congruentes.
5. Si “T” es punto de tangencia,
T
y°
x=y
A
x°
B
x°
x=y
y°
Geometría
35
PROBLEMAS APLICATIVOS
PCDQ es inscriptible
⇒ 100° + x = 180°
1. En el cuadrante, halle el valor de “x”.
∴ x = 80°
20°
3. En la circunferencia, calcular el valor de “x”.
x
Resolución
α
x
O
2α
2x
C
Resolución
Por ∡ central:
m∡AOC = 20° ⇒ mBOC = 70°
∆BOC es isósceles:
⇒ 2x + 70° = 180°
∴ x = 55°
2. En la figura, calcule el valor de “x”.
100°
x
Resolución
Por ∡ inscrito: mBQC = x
∆ABQ: Por ∡ externo: mABQ = x – a
Por ∡ inscrito: mPQ = 2x – 2a
Luego: 2x + x + 2a + 2x – 2a = 360°
⇒ 5x = 360°
∴ x = 72°
4. En el sistema gráfico, si “O” es circuncentro. P, Q y T son puntos de
tangencia. Halle el valor de “x”.
B
70º
P
O
Q
x
A
ABPQ es inscriptible
⇒ mABP = mPQD = 100°
T
C
36
Universidad Nacional Federico Villarreal - CEPREVI
Resolución
5. En la circunferencia de centro “O”,
calcule el valor de “x”.
O
Si “O” es circuncentro.
⇒ m∡AOC = 2(70°) = 140°
Propiedad:
mPQ + 140° = 180°
mPQ = 40°
∴ Por ∡inscrito: x = 20°
Resolución
Vemos que AOBC es inscriptible
Porque mAÔC = mABC (rebote)
⇒ mABO = mAĈO = x
AOC es isósceles:
⇒ mĈ = m = x
∴ x + x + q = 180°
2x = 180° – q
⇒ x = 90°– q
2
37
Geometría
UNIDAD 9
Proporcionalidad y semejanza
de triángulos
1. PROPORCIONALIDAD
1.1. TEOREMA DE THALES
↔
↔
↔
Si: L1 // L2 // L3
a
m
b
n
a
m
=
b
n
L1
1.1.3. En circunferencias tangentes
exteriores
a
m
=
b
n
L2
L3
1.2. TEOREMA DE LA BISECTRIZ INTERIOR
↔ ↔ ↔
Si: L1 // L2 // L3
a
m
=
a° a°
x2 = a • b – m • n
b
n
b
L1
a
a
m
x
a
m
L
n
b
2
L3
m
b
n
=
n
1.3. TEOREMA DE LA BISECTRIZ EXTERIOR
a°
x2 = m • n – a • b
a°
x
a
b
a
m
m
=
a
a
m
b
n
=
n
b
n
M
N
m
CONSECUENCIAS
1.1.1. En un triángulo
B
Si: MN // AC
n
b
A
1.4. TEOREMA DEL INCENTRO
Si “I” es incentro del ∆ABC,
C
1.1.2. En circunferencias tangentes
interiores
a
b
a
m
=
b
n
m
n
A
B
c
a a
I
D
b
BI c + a
=
ID
b
a
C
38
Universidad Nacional Federico Villarreal - CEPREVI
1.5. PROPIEDAD
2.3. ALGUNAS FIGURAS DONDE SE
P
a
a
A
B
PRESENTAN TRIÁNGULOS SEMEJANTES
b
b
AB AD
=
BC CD
C
1. Si MN//AC ⇒ el ∆ABC ~ ∆MBN
B
M a
D
b
C
2. Si MN//AC ⇒ el ∆ABC ~ ∆MBN
M
a
a
B
x
b
f
N
f
b
A
c
z
N
A
a•b•c = x•y•z
b
b
a
1.6. TEOREMA DE CEVA
y
f
a
C
3. Cuadrado inscrito en un triángulo
2. SEMEJANZA
2.1. DEFINICIÓN
x
bh
h
x=
Dos triángulos son semejantes, si tieb+h
x
x
nen sus tres ángulos internos conx
b
gruentes y las longitudes de sus lados
homólogos son directamente propor- 4. Cuadrado inscrito en un rombo
cionales.
Q
B
ck
a
f
c
b
a
D
f
ak
b
a
dD
d+D
x
d y D son diagonales
⇒ El ∆ABC ~ ∆PQR
5.
2.2. RAZÓN DE SEMEJANZA (r)
Es aquel número real y positivo que se obtiene al dividir dos longitudes hob
ab
x=
a
mólogas de dos triángulos semejantes.
a
+b
x
Ejemplo:
A
b
C
4
b
3
h2
a
5
bk
P
b
8
h1
a
6
10
6
8
10
h1
Razón =
=
=
= ... = 2
3
4
5
h
R
x=
d
x
6.
a°
a°
m
x
n
x2 = m • n
Geometría
PROBLEMAS APLICATIVOS
1. La recta tangente en B a la circunferencia circunscrita al triángulo
ABC, es paralela a la bisectriz interior CD (D en AB). Si AD = 5 m y
BD = 4 m, calcule AC
Resolución
39
m∡AMN = 45° (∡ inscrito)
m∡AMP = 45° (complementos)
m∡QMB = 45° (∡ exinscrito)
∆QMP: Bisectrices: Se cumple la cuaterna armónica y se cumple además
(Descartes).
2
1
1
=
+
AB AP AQ
En el dato:
2
1
=
2R
4
Propiedad bisectriz
AC
5k
=
BC
4k
3
2
... (II)
3. En la figura, calcular AC. B y T son
puntos de tangencia. BC = 9 m y
CD = 4 m.
O
Resolución
Reemplazando II en I
∴ AC = 5k ⇒ AC = 7,5 m
O
1
1
1
+
=
AQ
AP
4
b
w
2. En la semicircunferencia calcule el
radio, si:
Resolución
R = 4m
... (I)
∡alternos internos
LBC = DCB = a
Propiedad de la bisectriz
52 = 5k • 4k – 5 • 4
k=
⇒
CO es bisectriz
∆ABC: a = q + b
∆DAC: a = q + w
I = II
b=w
∆ABC ∆ ∼DAC
∴
x
9
=
4
x
x=6m
q
q
…(I)
…(II)
40
Universidad Nacional Federico Villarreal - CEPREVI
4. En el triángulo rectángulo ABC, 5. En el gráfico, EA = 4 m; TE = 5m,
BH = 3 m y HN = 1 m. Calcule AC.
TC //AB. Hallar AB.
Resolución
H y M son puntos medios
BH = HC = 3 ⇒ NC = 2
BM = AC = x ... (I)
2
2
∆NMB ∼ ∆ABC
x
2
4
=
6
x
∴ x=4√3 m
Resolución
m∡BTA = m∡TCE = q
m∡TCE = m∡EBA = q
∆TBA ∼ ∆BEA
x
9
=
4
x
∴
x=6m
Geometría
41
UNIDAD 10
Relaciones métricas en la
circunferencia y en el triángulo
rectángulo
1. RELACIONES MÉTRICAS EN LA
CIRCUNFERENCIA
1.1. TEOREMA DE LAS CUERDAS
a•b = x•y
6)
1
1
1
= 2 + 2
2
h
a
b
3. PROPIEDADES
1.
h2 = m • n
1.2. TEOREMA DE LA TANGENTE
x
b
x2 = a • b
a
2.
x2 = c • m
1.3. TEOREMA DE LAS SECANTES
b
y
a
a•b = x•y
x
x
r
R
2. RELACIONES MÉTRICAS EN EL
TRIÁNGULO RECTÁNGULO
a
m
3.
b
h
c
n
1) a2 = c • m
2) b2 = c • n
3) a2 + b2 = c2
4) a • b = c • h
5) h2 = m • n
x = 2√ Rr
4.
x
R
x=
R
R
3
42
Universidad Nacional Federico Villarreal - CEPREVI
5.
12. Teorema de Faure
y
a
a b
a2 + b2 = x2 + y2
x
b
c
R
d
6.
a2 + b2 + c2 + d2 = 4R2
x
a
b
7.
a2 – b2 = x2 – y2
13. Teorema de Arquímedes
y
x
b
a
b
a2 + b2 = x2 + y2
y
a
a2 + b2 + c2 + d2 = 8R2
x
14.
x2 = a2 + b2
x
8.
R
x =
R
4
L
x
L
3L
x =
8
L
x =
L
L
L
x
x
11.
3L
5
L
3k
b
a
10.
15.
h
R
9.
L
b
a
x
4k
r
5k
r=k
h3 = abc
c
PROBLEMAS APLICATIVOS
1. En el gráfico, A y B son puntos de
tangencia, O es centro de la circunferencia de radio r. Si OE = 2 m y
EL = 6 m, calcule el valor de r.
Geometría
Resolución
43
Se traza la diagonal BD
AC = BD = 4√ 2
∴ BO = 2√ 2
POB:
22 + (2√ 2 )2 = PB2
∴ 2√ 3 = PB
3. En las circunferencias de centro O y
O’, si AP = 4 m y PQ = 5 m, calcule AB.
Datos: OE = 2 ; EL = 6 ⇒ OL = 8 …(I)
PAO:
r2 = OM • OP … (II)
O
Teorema de la secante.
Resolución
OL • OE = OP • OM … (II)
De I, II y III
∴r=4
2. En el cuadrado ABCD circunscrito a la circunferencia de radio 2 m,
calcule BP.
C
B
P
A
Resolución
D
Del gráfico:
R.M.
: AB2 = AC • AH … (I)
T. Secante: AC • AH = 9(4)
… (II)
(I) = (II)
AB2 = 36 ⇒ AB = 6 m
4. En la circunferencia de centro “O”,
OA = 2 m y CM = MD, E punto de
tangencia. Halle DE.
44
Universidad Nacional Federico Villarreal - CEPREVI
Resolución
5. En la semicircunferencia, AN = 4 y
NC = 6. Calcule el valor de x.
Se traza OM mediana relativa a la hi- Resolución
potenusa.
CD = 4
T. Secante:
4 • 2 = DQ • DP … (I)
T. Tangente:
x2 = DQ • DP
… (II)
(I) = (II)
∴ x = 2√ 2
Se traza la ⟘ BH:
h2 = 8(2)
h=4
∆NBH: x = 45°
Geometría
45
UNIDAD 11
Relaciones métricas
en los triángulos oblicuángulos
1. NATURALEZA DE UN TRIÁNGULO
Aprenderemos a reconocer si un triángulo es acutángulo, obtusángulo o rectángulo, conociendo las medidas de sus lados.
1º
2º
3º
a
a
c
c
c
b
Si: a2 < b2 + c2
⇒ El ∆ es acutángulo
b
a
b
Si: a2 > b2 + c2
Si: a2 = b2 + c2
⇒ El ∆ es obtusángulo ⇒ El ∆ es rectángulo
Ejemplos:
1. Si los lados de un triángulo miden 4, 5 y 6, ¿qué clase de triángulo es?
Resolución
6
2
4
Como:6
? 42 + 52
36 < 41
5
El
triángulo es acutángulo.
2. Si los lados de un triángulo miden 2, 3 y 4, ¿qué clase de triángulo es?
Resolución
2
4
Como:4
? 22 + 32
2
16 > 13
3
El
triángulo es obtusángulo.
3. Si los lados de un triángulo miden 8, 15 y 17, ¿qué clase de triángulo es?
Resolución
Como:172 ? 82 + 152
17
8
289
= 289
El triángulo es rectángulo.
15
46
Universidad Nacional Federico Villarreal - CEPREVI
2. TEOREMAS EN TRIÁNGULOS
OBLICUÁNGULOS
2.1. PRIMER TEOREMA DE EUCLIDES
m
c
n
a2 + b2 + c2 + d2 = m2 + n2 + 4x2
c
2.2. SEGUNDO TEOREMA DE EUCLIDES
a2 = b2 + c2 + 2cm
a
b
3. PROPIEDADES GENERALES
3.1.
R
m
c
a
h
2
c √ p(p – a)(p – b)(p – c)
Donde: p =
c
n
3.2.
2.3. TEOREMA DE HERÓN
h=
a+b+c
2
b
a
x
2
a2 + b2 = 2x2 + c2
x
c
mc
ma
x
m
c
mc
ma
x2c = a2m+b2n–c·m·n
n
ma2 + mb2 = 5mc2
mb
3.4. TEOREMA DE BOOHT
2.5. TEOREMA DE STEWART
b
b2 – a2
2c
3.3.
a
a
x=
c
2.4. TEOREMA DE LA MEDIANA
a
x2 = R2 – m • n
R
x
a°
m
b
x
d
a°
m
b
b
a2 = b2 + c2 – 2cm
a
b
2.6. TEOREMA DE EULER
3.5.
b
b
mb
c
ma2+mb2+mc2 = 3 (a2+b2+c2)
4
b2 = a2 + c2 – 2cx
a
x
c
Geometría
47
Resolución
1. En el gráfico, AB = AM = 6 m y Se traza: CP//BD
BD = CP = 13
BC = 8 m; calcule BM.
PROBLEMAS APLICATIVOS
x
Resolución
Teorema de Euclides:
132 = 82 + 152 − 2 • 15 • m
4 = m …(I)
AHC Notable: ∴ x = 60°
3. En la siguiente figura, BC = 8 m,
AC = 7 m y AB = BP. Calcule AB.
ABC:
AC = 10 m
MC = 4 m
Teorema de Stewart
x2 • 10 = 62 • 4 + 82 • 6 – 10 • 6 • 4
12
∴ x=
5 m
5 √
2. En un trapecio ABCD cuyas bases Resolución
son BC = 2 m y AD = 13 m, sus diagonales AC = 8 m y BD = 13 m. Calcule la m∡CAD.
x
m
=
8 7−m
x2 = 8x – m(7 – m)
I en II:
∴
x=6m
… (I)
… (II)
48
Universidad Nacional Federico Villarreal - CEPREVI
4. En el trapecio, AB = 5 m; BC = 6m; 5. En un cuadrilátero ABCD, AB = 13
CD = 7 m y AD = 14 m. Calcule el
m, BC = 20 m, CD = 10 m, AD = 17
segmento que une los puntos mem; m∡BCD = 90°. Halle la proyecdios de las bases BC y AD.
ción de AD sobre la recta que contiene AB.
Resolución
Resolución
Se traza paralelas:
MQ//CD
MP//AB
Teorema de la mediana:
2
52+72 = 2x2+ 8
2
∴
x = √ 21 m
Según datos: BCD Pitágoras
102 + 202 = BD2
10 √ 5 = BD …(I)
Teorema de Euclides:
(10 √ 5 )2 = 172 + 132 + 2 • 13(x)
21 m
∴ x=
23
49
Geometría
UNIDAD 12
Áreas I: regiones poligonales
REGIÓN PLANA
TEOREMA
Es una porción de plano, limitada por
b
una línea (o más), llamada frontera o
S = a•b
borde de la región. Una región puede
a
ser abierta o cerrada; estudiaremos las
Demostración
regiones que incluyen la frontera.
a
b
Sx
b
4Sx+(a–b)2 = (a+b)2
a
S
a–b x
4Sx = 4ab
a–b
S
a x
Sx = a • b
b
S
Convexo
No convexo
x
a
b
POSTULADO DEL ÁREA
A cada región le corresponde exacta- ÁREA DE UNA REGIÓN
mente un número real positivo llama- TRIANGULAR
do área.
b•h
S2 = 2
UNIDAD CUADRADA
h
S
1u
b
S = 1 u2
b
DOS LADOS Y EL ÁNGULO
ENTRE ELLOS
1u
POSTULADO DE LA UNIDAD
S = L2
L
S
L
L
1
L
bc • Sena
2
α°
b
TEOREMA DE HERÓN
c
Sx =
Sx
n(1) = L ⇒ S = n2 = L2
a
c
Sx
POSTULADO DE CONGRUENCIA S
S
S
S
S
h
b
a+b+c
2
Sx = √ p(p – a(p – b)(p – c)
p=
S
50
Universidad Nacional Federico Villarreal - CEPREVI
EN FUNCIÓN DEL INRADIO
c
a+b+c
2
S = p•r
p=
a
r
RELACIÓN DE ÁREAS DE
REGIONES TRIANGULARES
c
a
S
α° 1
b
b
d
S1
a•b
=
c•d
S2
EN FUNCIÓN DEL CIRCUNRADIO
B
R
a
c
O
A
C
b
a•b•c
SABC =
4R
EN TRIÁNGULOS SEMEJANTES
c
ra
a
A
SABC = ra (p–a)
SABC = rb (p–b)
SABC = rc (p–c)
B
B
EN FUNCIÓN DEL EXRADIO
B
S2
α°
a°
A
SABC
SA'B'C'
a
h
b°
b
=
~
c’
a’
h’
a°
C A
b’
b°
C
a2
b2
c2
h2
=
=
=
= ... = k2
(a')2 (b')2 (c')2 (h')2
k : Razón de semejanza
C
PROPIEDADES
EN UN TRIÁNGULO RECTÁNGULO 1.
a
c
h
S1
b
S
=
a•c
2
S
=
S = m•n
n
2.
c
TEOREMA DE BURLET
m
S2
m
b•h
2
a
α° α°
S1
S2
S
S
3.
n
EN UN TRIÁNGULO EQUILÁTERO
a 60° a
Sx
60° 60°
a
a2 √ 3
Sx =
4
4.
S
S
S1
m
=
S2
n
S
S
S
S
S1
c
=
S2
a
Geometría
5.
Sx
x
S1
a°
SABCD =
S2
S1 + S2 = ST
2
3
EN PARALELOGRAMOS
AC • BD • Sena
2
b
D
Sx
B
Sx = b • h
Sx = B • H
h
H
Nota: Si a = 90º.
B
A
Sx =
Sx
C
A
Sx = √ S1 – S2
y
ÁREA DE REGIONES
CUADRANGULARES
CUADRILÁTERO CUALQUIERA
B
Sx
S2
x
y
S1
S
S
AC • BD
SABCD =
2
C
S
S
S
S
Punto cualquiera
S1
Sx
D
S2
Sx = S1 + S2 =
ST
2
Sx =
ST
5
PROPIEDADES DE TODO CUADRILÁTERO
S1
S3
S S2 = S S4
1•
S2
ROMBO
S2
S1 + S2 = S3 + S4 =
Sx
Sx
2
=
4
A
EN TRAPECIOS
m
h
Sx
C
D
S = m•h
S1
S2
B
ST
S4
S1
x
x
3•
S4
S3
51
S1 + S2 = Sx =
ST
2
SABCD =
AC • BD
2
52
Universidad Nacional Federico Villarreal - CEPREVI
PROBLEMAS APLICATIVOS
Resolución
1. En la figura, AB = 13 m, BC = 15 m y
AC = 14 m. Halle el área de la región
sombreada.
BD2 = 4 × 16 (R.M. )
BD2 = 64
A = BD2 ∴ A = 64 m2
Resolución
3. En la figura, ABCD es un romboide
y BM = MC. Si el área de la región
del romboide es 120 m2, halle el área
de la región sombreada.
Resolución
BH = 12 (teorema de Herón)
HC = 9 (teorema de Pitágoras)
ABHQ = 12 × 9 ∴ ABHQ = 54 m2
2
2. En la figura, BDEF es cuadrado. Si
AD = 4 m y CD = 16 m, halle el área
de la región cuadrada.
MC × h
2
A
120
3S =
=
4
4
∴ S = 10 m2
3S =
Geometría
53
4. En la figura, AC = 4 m y CQ = 6 m. 5. En la figura, PC = 2m; PQ = 3m;
Halle el área de la región sombreada.
QD = 4 m; BC = 9 m y AD = 11 m.
Halle el área de la región sombreada.
Resolución
Resolución
ASomb = A
APQ
–A
ACB
8×6
4×3
–
2
2
2
∴ ASomb = 18 m
ASomb =
ASomb = AABCD – 31
…(I)
A ABCD = 10 × 9 = 90 …(II)
II en I:
∴ ASomb = 59 m2
54
Universidad Nacional Federico Villarreal - CEPREVI
UNIDAD 13
Áreas II: regiones circulares
1. DEL CÍRCULO
O R
A
1.4. PROPIEDADES
S = πR2
B
S=
p(AB)
4
2
R
S1
S2
R
S1
p(AB)2
S=
4
S
R
α°
pR2a
360
S=
R
S=
S
A B
O
–
A B
O
pR a R Sena
–
360
2
2
p–2 2
L
2
S=
3√3 + p
12
S1 =
12 – 3√3 – 2p 2
L
12
S2 =
4p – 3√3
12
S=
p + 3 – 3√3 2
L
3
pR2
6
1.3. SEGMENTO CIRCULAR
S=
S
L
R
S=
S1
S2
60°
R
S=
L
R
O
L
L
S
pR2
4
p–2 2
R
2
R
1.2. SECTOR CIRCULAR
S=
S1 = S2 =
R
S = π(R2 – r2)
R
ST
2
S2
1.1. CORONA CIRCULAR
O
S1 = S2 =
2
L
L
L2
L2
Geometría
2. DE REGIONES SEMEJANTES
55
Resolución
Sx = S1 + S2
S2
S1
S2
S1
Sx
Sx
(R+1)2 = R2 + 13
2R + 1 = 13
⇒ R=6
∴ A = pR2 = 36p m2
S2
S1
2. En la figura, ABCD es un cuadrilátero circunscrito y E es punto de
tangencia. Si BE = 2 m, BC = 4 m,
CD = 12 m y AD = 16 m, halle el
área de la región sombreada.
Sx
2.1. LÚNULAS DE HIPÓCRATES
S2
S1
Sx = S1 + S2
Sx
R
R
O
S
S = R2
Resolución
PROBLEMAS APLICATIVOS
1. En la figura, O es centro y A es punto de tangencia. Si AB = √13 m y
BC = 1 m, halle el área de la región
circular.
R + 2 + 12 = 20
⇒ R=6
∴ A = p • 62 = 36p m2
56
Universidad Nacional Federico Villarreal - CEPREVI
3. En la figura, ABC es un sector circu- Resolución
lar cuyo radio es congruente al radio
de la circunferencia y mide 6 m. Halle el área de la región sombreada.
Resolución
ASomb = A – A
A = p × 62 = 36p
A = 1 p × 62 = 6p
6
∴ ASomb = 30p m2
4. En la figura, AOB es un cuadrante
cuyo radio mide 6 m y AC es el lado
de un hexágono regular. Halle el
área de la región sombreada.
A
= A – A∆AOC
A = 1 p × 62 = 6
6
62√3
A∆AOC =
4 = 9√3
∴
A = 6p – 9√3
→ 3(2p – 3√3 ) m2
5. En la figura, M es punto de tangencia y AM = 2 m. Halle al área de la
corona circular.
Resolución
∴
A = p × 22 = 4p m2
Geometría
57
UNIDAD 14
Geometría del espacio
1. GEOMETRÍA DEL ESPACIO
2.3. POLIEDROS REGULARES
(CUERPOS PLATÓNICOS)
También se denomina estereometría,
Nombre Caras Vértices Aristas
estudia todas las propiedades en geoTetraedro
4
4
6
metría plana y aplicadas en planos diExaedro
6
8
12
ferentes.
Octaedro
8
6
2. ESPACIO
Dodecaedro 12
20
El espacio geométrico euclidiano es el
Icosaedro
20
12
conjunto de infinitos puntos continuos,
uniforme, capaz de representar todo 2.4. TEOREMA DE EULER
cara
objeto que nos rodea.
vértice
2.1. RECTA PERPENDICULAR A UN PLANO
L
arista
↔
↔
A = a2 √ 3
P
↔
V+C = A+2
Donde:
V : Vértices
C : Caras
A : Aristas
2.5. TETRAEDRO REGULAR
L2
L1
12
30
30
↔
Si: L ⊾ L1 y L ⊾ L2 ⇒
2.2. TEOREMA DE LAS TRES
PERPENDICULARES
↔
↔
L⊾P
L1
V=
a3
√2
12
2.6. EXAEDRO REGULAR
A = 6a2
L3
x°
L
V = a3
P
2.7. OCTAEDRO REGULAR
L2
A = 2a2 √ 3
↔
↔
↔
↔
Si: L1 ⊾ P y L2 ⊾ L ⇒
∴ x = 90º
↔
↔
L3 ⊾ L
V=
a3 √ 2
3
58
Universidad Nacional Federico Villarreal - CEPREVI
3.4. PIRÁMIDE REGULAR
2.8. DODECAEDRO REGULAR
A = 15a
2
V = 5a
2
3
√
Apotema de
la pirámide (Ap)
5 + 2 √5
5
H
√ 47 +1021 √ 5
Apotema de
la base (ap)
2.9. ICOSAEDRO REGULAR
ALAT = PBASE × Ap
ATOT = ALAT + ABASE
A = 5a2 √ 3
V = 5a
6
3
√ 7 + 32 √ 5
3. SÓLIDOS GEOMÉTRICOS
3.1. PRISMA RECTO
Vol =
RECTOEDRO U ORTOEDRO
b
a
d
c
ATOT = 2(ab+bc+ac)
Vol = abc
d2 = a2+b2+c2
a
r
3.6. CONO CIRCULAR RECTO O DE
REVOLUCIÓN
g
ALAT = 4a2
d
ATOT = 6a2
Vol = a3 = d √ 3
9
3
d = a√3
g
h
ALAT = 2πrg
ATOT = 2πrg + 2πr2
ATOT = 2πr(g+r)
Vol = πr2g
Vértice
vértice
3.3. EXAEDRO REGULAR O CUBO
a
3
REVOLUCIÓN
Vol = ABASE × H
3.2. PARALELEPÍPEDO RECTANGULAR,
ABASE × H
3.5. CILINDRO CIRCULAR RECTO O DE
ALAT = 2PBASE × H
ATOT = ALAT + 2 ABASE
H
a
Arista lateral
r
h
ALAT = πrg
ATOT = πrg + πr2
Vol =
pr2h
3
Geometría
3.7. ESFERA
r
ASE = 4pr2
4
Vol =
pr3
3
pD3
Vol =
6
Donde:
D = diámetro
AL = Área lateral
AT = Área total
V = Volumen
a = Arista
H = Altura
g = Generatriz
59
2. En la figura, halle el área total de la
semiesfera, donde “O” es su centro.
Resolución
AT = ASemiesfera + Adel círculo
AT = 2p r2 + pr2
AT = 3p r2
AT = 3p(√6 )2
∴ AT = 18p u2
3. Halle el volumen de un paralelepípedo rectangular si su diagonal
mide 10 u y forma un ángulo que
1. En la figura, halle el área lateral del
mide 45° con la base y un ángulo
cilindro recto de altura 4 u.
que mide 30° con una cara lateral.
Resolución
PROBLEMAS APLICATIVOS
Resolución
Volumen = 5 × 5 × 5 √2
∴ Vol = 125 √2 u3
r =2 √3 AL = 2p • r • g
(I) en (II):
AL = 2p (2 √3 )(4)
∴ AL = 16 √3 p u2
… (I)
… (II)
60
Universidad Nacional Federico Villarreal - CEPREVI
4. Calcule el volumen del cono recto 5. En la figura, V es vértice del cono
circular mostrado, si CD = 5 cm y
de revolución. Si AB es diámetro,
DO = 4 cm. Siendo O el centro de la
L es mediatriz de VB, MB = 3 cm y
base.
AE = 5 cm, halle el área lateral del
cono.
Resolución
Resolución
Semejanza: COB ∼ BOD
Semejanza: EMB ≅ VOB
r
6
=
... (I)
⇒r=2
3
5 + 2r
... (II)
AL = p • r • g
r
9
=
⇒ r=6
4
r
pr2H
Vol =
3
… (I)
… (II)
(I) en (II):
∴ Vol =
p(6)29
= 108p cm3
3
(I) en (II):
AL = p • (2) • (6)
∴
AL = 12p cm2
Geometría
UNIDAD 15
Geometría analítica:
ecuación de la recta
1. GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA 2.2. DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS
y
René Descartes, matemático francés,
B=(x2; y2)
en 1637 define una ecuación algebraica para cada figura geométrica; es decir, un conjunto de pares ordenados de
A=(x1; y1)
números reales (x; y) tal que a cada par
x
0
se le asocia un punto del plano llamado plano cartesiano.
AB = √(x2 – x1)2 + (y2 – y1)2
Los pares ordenados se obtienen
por el producto cartesiano.
2.3. PUNTO MEDIO DE UN SEGMENTO
El producto cartesiano es el proy A=(x ; y )
1 1
ducto de dos conjuntos.
M
El producto cartesiano R×R representa todo el plano cartesiano.
R2 = R×R ={(x; y)/ x ∈ R ∧ y ∈ R}
2. SISTEMA DE COORDENADAS
RECTANGULARES
2.1. DE UN PUNTO
y
x1
A=(x1; y1)
B=(x2; y2)
x
0
x1 + x2
M=
2
n
y1
x1
x
x1 : Abscisa
y1 : Ordenada
O : Origen de coordenadas
2
SEGMENTO
m
0
y1 + y2
2.4. PUNTO CUALQUIERA DE UN
y
y1
;
(x2; y2)
P
(x1; y1)
x
0
P=
x1 • n + x2 • m
m+n
;
y1 • n + y2 • m
m+n
61
62
Universidad Nacional Federico Villarreal - CEPREVI
2.5. PENDIENTE DE UNA RECTA (m)
y
Recta horizontal
Si: m = 0
(x2; y2)
Recta vertical
m=∃
y
y
(y2–y1)
(x1; y1)
b
θ
x=a
y
m1
m1 • m2 = –1
2.6. ECUACIÓN DE LA RECTA
y
Ecuación
pendiente intersecto
x
Ax + By + C = 0
0
x
m=– A
B
y = mx + b
Punto-pendiente
Dos puntos
y
y
(x1; y1)
(x2; y2)
(x1; y1)
θ
x
x
0
y–y
m = x – x1
1
y – y1 y2 – y1
x – x1 = x2 – x1
Ecuación
simétrica
Si: b = 0, la recta
pasa por el origen
y
m2
y
a°
Tga =
x
x
y
=1
+
a
b
m2 – m1
1 + m1 m2
x
0
2.9. RECTAS SECANTES
Las coordenadas del punto de intersección se obtienen resolviendo el sistema
de ecuaciones con dos incógnitas.
y
Punto de intersección
x
0
y
a
m1
2.10. RECTAS PARALELAS
Las pendientes son iguales.
y
b
0
x
0
2.8. MEDIDA DEL ÁNGULO QUE FORMAN
Si una de ellas no es vertical.
b
0
m2
y
0
x
2.7. RECTAS PERPENDICULARES
Si una de ellas no es vertical.
y –y
m = x2 – x1
2
1
m : Pendiente
Ecuación
general
a
0
y=b
x
0
m = Tgq
x
0
(x2–x1)
x
0
y = mx
0
Ax + By + C1 = 0
Ax + By + C2 = 0
x
Geometría
63
11. DISTANCIA ENTRE RECTAS PARALELAS 15. BARICENTRO DE UNA REGIÓN
TRIANGULAR
Ax + By + C1 = 0
y
Ax + By + C2 = 0
d
x
0
d=
Las coordenadas del baricentro de un
n–gono es el promedio de las coordenadas de sus n vértices.
y
C2 – C1
√ A2 + B2
G
12. DISTANCIA DE UN PUNTO A UNA RECTA
y
d
(x1;y2)
G=
Ax + By + C = 0
x
0
d=
x1 + x2 + x3
y1 + y2 + y3
;
3
3
PROBLEMAS APLICATIVOS
Ax1 + By1 + C
√A + B
2
x
0
2
13. ÁREA DE UNA REGIÓN TRIANGULAR
(x2;y2)
1. Los vértices de un triángulo son los
puntos A(3;6), B(–1;3) y C(2;–1).
Halle el área de la región triangular
ABC.
Resolución
(x3;y3)
(x1;y1)
A= 1
2
x1 y1
x2 y2
x3 y3
x1 y1
A= 1 |(x1y2+x2y3+x3y1) – (x2y1+x3y2+x1y3)|
2
14. ÁREA DE UNA REGIÓN POLIGONAL
y
S=
0
x
1
2
x1 y1
x2 y2
x3 y3
x4 y4
x1 y1
A= 1
2
3 6
2 –1
–1 3
3 6
A = 1 |(–3 + 6 – 6) – (12 + 1 + 9)|
2
∴ A = 12,5 u2
64
Universidad Nacional Federico Villarreal - CEPREVI
2. En la figura, halle la ecuación de la
recta L.
2x – 4 = –3y + 9
∴ 2x + 3y – 13 = 0
4. En la figura, halle el valor de “a”.
Resolución
Resolución
y
y
3
=
⇒
x–3
4
x–3
3x – 9 = 4y
∴ 3x – 4y – 9 = 0
m = Tg37° =
3. En la figura, halle la ecuación de la
recta L.
AOB ≅
BFC (Caso ALA)
∴ a=4
5. El triángulo ABC tiene por vértices
A = (–1;3), B = (5;5) y C = (3;3). Halle las coordenadas del baricentro.
Resolución
Resolución
mOA =
–
3
2
2
y–3
=
3
x–2
mL = –
2
3
7 11
∴ G= 3 ; 3
Geometría
65
Bibliografía
Alva Gallegos, Fernando. Geometría plana y del espacio - teoría y práctica. Colección Uniciencia, Editorial San Marcos.
Baldor, Aurelio. Geometría plana y del espacio.
Colección Racso Editores. Geometría plana y del espacio - problemas. Cómo resolverlos.
Ediciones César Vallejo. (1986). Geometría - curso completo.
Figueroa G., R. Geometría analítica - problemas desarrollados.
Goñi Galarza, Juan. Geometría. Teoría y practica.
Huiza de la Cruz, José. Geometría plana y del espacio.
Huisa de la Cruz, José. Geometría plana y del espacio - teoría y práctica.
Instituto de Ciencias y Humanidades. Geometría plana - una visión de la planimetría.
Lehmann, Charles H. Geometría analítica.
Olivera Díaz, Carlos. Geometría plana.
Quispe Rodríguez, Ernesto. (1990 ). Geometría plana 1.
Quispe, Ernesto y Luis Ubaldo. Geometría plana y del espacio.
Santiváñez Marín, José. Geometría plana y del espacio.
Ubaldo Caballero, Luís. Geometría del espacio - I parte.
Ubaldo Caballero, Luis. Geometría plana y del espacio - teoría y práctica. Colección Curso Básico, Editorial San Marcos.