Fenómenos de Transporte Ambiental: Química Verde e Ingeniería

Machine Translated by Google
QUÍMICA VERDE E INGENIERÍA QUÍMICA
Ambiental
Transporte
Fenómenos
A. Eduardo Sáez
James C. Baygents
Machine Translated by Google
Machine Translated by Google
Ambiental
Transporte
Fenómenos
Machine Translated by Google
QUÍMICA VERDE E INGENIERÍA QUÍMICA
Editor de la serie: Sunggyu Lee
Universidad de Ohio, Atenas, Ohio, Estados Unidos
Pilas de combustible con membrana de intercambio de protones: estrategias de contaminación y mitigación
Hui Li, Shanna Knights, Zheng Shi, John W. Van Zee y Jiujun Zhang
Pilas de combustible con membrana de intercambio de protones: propiedades y rendimiento de los materiales
David P. Wilkinson, Jiujun Zhang, Rob Hui, Jeffrey Fergus y Xianguo Li
Pilas de combustible de óxido sólido: propiedades de los materiales y rendimiento
Jeffrey Fergus, Rob Hui, Xianguo Li, David P. Wilkinson y Jiujun Zhang
Eficiencia y sostenibilidad en las industrias energética y química: principios científicos y
estudios de casos, segunda edición Krishnan Sankaranarayanan, Jakob
de Swaan Arons y Hedzer van der Kooi
Manual de producción de hidrógeno nuclear Xing L.
Yan y Ryutaro Hino
Deposición química en fase de vapor magnetoluminosa
Hirotsugu Yasuda
Combustibles y portadores de energía neutros en
carbono Nazim Z. Muradov y T. Nejat Veziro ˇglu
Semiconductores de óxido para la conversión de energía solar: dióxido de titanio Janusz
Nowotny
Baterías de iones de litio: tecnologías y materiales avanzados Xianxia Yuan,
Hansan Liu y Jiujun Zhang
Integración de procesos para la conservación de recursos
Dominic CY Foo
Productos químicos a partir de biomasa: integración de bioprocesos en complejos de producción química para el
desarrollo sostenible Debalina
Sengupta y Ralph W. Pike
Seguridad del hidrógeno
Fotis Rigas y Paul Amyotte
Biocombustibles y bioenergía: procesos y tecnologías
Sunggyu Lee y YT Shah
Energía del hidrógeno y sistemas vehiculares
Scott E. Grasman
Biorrefinerías integradas: diseño, análisis y optimización
Paul R. Stuart y Mahmoud M. El­Halwagi
Agua para la producción de energía y combustible
Yatish T. Shah
Manual de tecnologías de combustibles alternativos, segunda edición
Sunggyu Lee, James G. Speight y Sudarshan K. Loyalka
Fenómenos del transporte ambiental
A. Eduardo Sáez y James C. Baygents
Machine Translated by Google
Ambiental
Transporte
Fenómenos
A. Eduardo Sáez
James C. Baygents
Boca Ratón Londres Nueva York
CRC Press es un sello editorial de la
Taylor & Francis Group, una empresa de información
Machine Translated by Google
Prensa CRC
Grupo Taylor & Francis
6000 Broken Sound Parkway NW, Suite 300
Boca Ratón, FL 33487­2742
© 2015 por Taylor & Francis Group, LLC
CRC Press es un sello editorial de Taylor & Francis Group, una empresa de Informa.
No se puede reclamar la propiedad de obras originales del gobierno de los EE.UU.
Fecha de la versión: 20140916
Libro internacional normalizado número 13: 978­1­4665­7624­7 (libro electrónico ­ PDF)
Este libro contiene información obtenida de fuentes auténticas y de gran prestigio. Se han hecho esfuerzos razonables para publicar datos e
información fiables, pero el autor y el editor no pueden asumir la responsabilidad de la validez de todos los materiales ni de las consecuencias
de su uso. Los autores y editores han intentado localizar a los titulares de los derechos de autor de todo el material reproducido en esta
publicación y piden disculpas a los titulares de los derechos de autor si no se ha obtenido el permiso para publicar en este formato. Si no se
ha reconocido algún material protegido por derechos de autor, escríbanos y háganoslo saber para que podamos rectificarlo en cualquier
reimpresión futura.
Salvo lo permitido por la Ley de Derechos de Autor de los Estados Unidos, ninguna parte de este libro puede reimprimirse, reproducirse,
transmitirse o utilizarse en ninguna forma por ningún medio electrónico, mecánico o de otro tipo, conocido ahora o inventado en el futuro,
incluyendo fotocopias, microfilmaciones y grabaciones, o en cualquier sistema de almacenamiento o recuperación de información, sin el
permiso por escrito de los editores.
Para obtener permiso para fotocopiar o utilizar electrónicamente material de esta obra, acceda a www.copyright.
com (http://www.copyright.com/) o póngase en contacto con el Copyright Clearance Center, Inc. (CCC), 222 Rosewood Drive, Danvers, MA
01923, 978­750­8400. El CCC es una organización sin fines de lucro que ofrece licencias y registros para una variedad de usuarios. Para las
organizaciones a las que el CCC les ha concedido una licencia de fotocopia, se ha dispuesto un sistema de pago independiente.
Aviso de marca registrada: Los nombres de productos o empresas pueden ser marcas comerciales o marcas registradas y se utilizan solo
para identificación y explicación sin intención de infringir.
Visite el sitio web de Taylor & Francis en
http://www.taylorandfrancis.com
y el sitio web de CRC Press en
http://www.crcpress.com
Machine Translated by Google
Contenido
Prefacio de la serie................................................................................................................ix
Prefacio..........................................................................................................................xi
Autores................................................................................................................. xiii
Capítulo 1 Introducción ...........................................................................................1
1.1 Alcance y motivación..................................................................1
Capítulo 2 Conservación de masa y balances de masa macroscópicos.......5
2.1 El principio de conservación de la masa y la masa total
Balance de masas.............................................................................5
2.2 Balance de masa macroscópico para una especie química
En una mezcla ................................................. .........................
12
Capítulo 3 Transporte difusivo: conceptos introductorios..........................................23
3.1 Fundamentos de la difusión............................................................23
3.2 La difusión como mecanismo de transferencia de masa....................24
3.2.1 Sistemas binarios............................................................ 32
3.2.2 Sistemas pseudobinarios.............................................. 35
3.2.3 Sistemas multicomponentes............................................36
3.3 Difusión unidimensional constante .......................................37
3.3.1 Difusión a través de una membrana sólida ......................39
3.3.2 Análisis de un proceso de pervaporación.................... 43
3.3.3 Evaporación de un líquido en un gas estancado
Capa: El problema de Stefan............................................... 45
Capítulo 4 Transporte difusivo: aplicaciones de la ecuación de difusión....... 55
4.1 Conservación de la masa de una especie química en una mezcla ...... 55
4.2 Difusión unidimensional y constante ....................................... 59
4.2.1 Difusión constante a través de una membrana anular .....59
4.2.2 Difusión desde una esfera sumergida en un fluido
estancado: disolución de una partícula sólida
esférica ...............................................................64
4.3 Difusión transitoria..................................................................68
4.3.1 Transferencia transitoria de masa en una membrana plana.......68
4.3.2 Transferencia transitoria de masa en cilindros largos
y Esferas .................................................................77
4.3.3 Lixiviación transitoria de un sólido semi­infinito..........83
en
Machine Translated by Google
vi
Contenido
Capítulo 5 Transporte difusivo en sistemas reactivos.............................................95
5.1 Tratamiento de sistemas reactivos ..............................................95
5.2 Transporte y reacción homogénea en una película biológica ...............97
5.3 Difusión con reacción química heterogénea......... 103
5.4 Difusión mejorada (facilitada)............................................ 106
Capítulo 6 Transporte convectivo .............................................................................. 117
6.1 El papel de los balances de momento en la convección
Transporte................................................................................. 117
6.2 Balances de masa y momento.................................................. 117
6.3 Distribuciones de velocidad en flujos unidimensionales ............... 119
6.3.1 Distribución de velocidad entre placas paralelas cuando
el movimiento del fluido es inducido por el movimiento
de una de las placas (flujo de corte simple)......120
6.3.2 Distribución de velocidad en una película líquida que fluye
Hacia abajo sobre una superficie inclinada....................................128
6.3.3 Distribución de velocidad para flujo desarrollado en
una tubería........................................................... 133
6.4 Transferencia de masa convectiva en la región de entrada de un
Tubería en flujo laminar............................................................. 142
6.5 Correlaciones de transferencia de masa por convección....... 152
Capítulo 7 Dispersión hidrodinámica.................................................................. 161
7.1 El concepto de dispersión hidrodinámica y la ley de Taylor.
Teoría de Aris ................................................................................. 161
................................ 168
7.2 Generalización del modelo de dispersión 7.3
Dispersión turbulenta .............................................................. 170
7.4 Soluciones de la ecuación de convección­dispersión ................. 174
Capítulo 8 Transporte en sistemas multifásicos.................................................... 179
8.1 Sistemas multifásicos y medios porosos.................................. 179
8.2 Flujo monofásico en medios porosos: Ley de Darcy ............... 184
8.3 Difusión en medios porosos y sistemas multifásicos....... 187
8.4 Dispersión en medios porosos .................................................. 189
8.4.1 Determinación experimental de la longitud
Dispersividad en flujos 1­D............................................ 191
8.4.2 Determinación experimental de la lateralidad
Dispersividad en flujos 1­D............................................ 192
8.5 Transporte en medios porosos: interacciones fluido/sólido....... 196
8.5.1 Adsorción en equilibrio en medios porosos: equilibrio
lineal.................................................... 198
8.5.2 Adsorción en equilibrio en medios porosos: equilibrio
no lineal.................................................... 201
Machine Translated by Google
viii
Contenido
8.5.3 Transporte en medios porosos con velocidad limitada
Adsorción y/o reacción química....................202
8.5.4 Adsorción y reacción en medios porosos con
Limitaciones de la transferencia de masa ..............................204
Referencias..................................................................................................................209
Apéndice A: Vectores y operaciones con vectores.................................................... 211
Apéndice B: La ecuación de continuidad............................................................. 215
Apéndice C: Ecuaciones del punto de transferencia de masa.................................. 219
Apéndice D: Funciones de Bessel............................................................................223
Índice............................................................................................................................225
Machine Translated by Google
Machine Translated by Google
Prefacio de la serie
Las disciplinas y materias de la química y la ingeniería química han alcanzado un nuevo hito en la
forma de pensar, desarrollar y diseñar productos y procesos químicos. Esta filosofía revolucionaria,
denominada “química verde e ingeniería química”, se centra en el diseño de productos y procesos
que conduzcan a la reducción o eliminación del uso y la generación de sustancias peligrosas. Al tratar
con sustancias peligrosas o potencialmente peligrosas, puede haber algunas superposiciones e
interrelaciones entre la química ambiental y la química verde. Mientras que la química ambiental es la
química del medio ambiente natural y de los contaminantes químicos de la naturaleza, la química
verde apunta de manera proactiva a reducir y prevenir la contaminación en su origen mismo. En
esencia, las filosofías de la química verde y la ingeniería química tienden a centrarse más en la
aplicación y la práctica industriales que en los principios académicos y la ciencia fenomenológica. Sin
embargo, como filosofía de la química y la ingeniería química, la química verde y la ingeniería química
derivan de la química orgánica, la química inorgánica, la química de polímeros, la química de
combustibles, la bioquímica, la química analítica, la química física, la química ambiental, la
termodinámica, la ingeniería de reacciones químicas, los fenómenos de transporte, el diseño de
procesos químicos, la tecnología de separación, el control automático de procesos y más, y se basan
en ellas. En resumen, la química verde y la ingeniería química son el uso riguroso de la química y la
ingeniería química para la prevención de la contaminación y la protección del medio ambiente.
La Ley de Prevención de la Contaminación de 1990 en los Estados Unidos estableció una política
nacional para prevenir o reducir la contaminación en su origen siempre que sea factible. Y, en
consonancia con el espíritu de esta política, la Agencia de Protección Ambiental (EPA) lanzó su
Programa de Química Verde para promover tecnologías químicas innovadoras que reduzcan o
eliminen el uso o la generación de sustancias peligrosas en el diseño, la fabricación y el uso de
productos químicos. Los esfuerzos globales en materia de química verde e ingeniería química han
obtenido recientemente un apoyo sustancial de la comunidad internacional de científicos, ingenieros,
académicos, industriales y gubernamentales en todas las fases y aspectos. Algunos de los ejemplos
exitosos y desarrollos tecnológicos clave incluyen el uso de dióxido de carbono supercrítico como
solvente verde en tecnologías de separación, aplicación de oxidación de agua supercrítica para la
destrucción de sustancias nocivas, integración de procesos con pasos de secuestro de dióxido de
carbono, síntesis libre de solventes de productos químicos y materiales poliméricos, explotación de
materiales biológicamente degradables, uso de peróxido de hidrógeno acuoso para oxidación eficiente,
desarrollo de celdas de combustible de membrana de intercambio de protones (PEM) de hidrógeno
para una variedad de necesidades de generación de energía, producciones avanzadas de
biocombustibles, desvulcanización de caucho de neumáticos usados, evitación del uso de productos
químicos y procesos que causan generación de compuestos orgánicos volátiles (VOC), reemplazo de
procesos petroquímicos tradicionales por procesos de bioingeniería basados en microorganismos,
reemplazo de clorofluorocarbonos (CFC) por alternativas no peligrosas, avances en el diseño de
procesos energéticamente eficientes, uso de fuentes de energía limpias, alternativas y renovables.
ix
Machine Translated by Google
Prefacio de la serie
incógnita
en la fabricación y mucho más. Esta lista, aunque es solo una recopilación parcial, sin duda
crece exponencialmente.
Esta serie de libros sobre química verde e ingeniería química de CRC Press/
Taylor & Francis está diseñada para afrontar los nuevos retos del siglo XXI en las disciplinas
de la química y la ingeniería química mediante la publicación de libros y monografías basados
en investigación y desarrollo de vanguardia con el fin de reducir los impactos adversos sobre
el medio ambiente causados por las empresas químicas. Y para lograrlo, la serie detallará el
desarrollo de tecnologías alternativas sostenibles que minimizarán los riesgos y maximizarán
la eficiencia de cualquier elección química.
La serie tiene como objetivo proporcionar a los lectores del ámbito académico y de la industria
una fuente de información autorizada en el campo de la química verde y la ingeniería química.
La editorial y el editor de la serie son plenamente conscientes de la naturaleza rápidamente
evolutiva del tema y su impacto duradero en la calidad de vida humana tanto en el presente
como en el futuro. Por ello, el equipo se compromete a hacer de esta serie la fuente literaria
más completa y precisa en el campo de la química verde y la ingeniería química.
Sunggyu Lee
Machine Translated by Google
Prefacio
El estudio de los fenómenos de transporte ha sido uno de los temas principales de la ingeniería química
desde la introducción del libro homónimo de Bird, Stewart y Lightfoot en la década de 1960, que fue uno de
los primeros intentos de unificar las disciplinas de mecánica de fluidos, transferencia de calor y transferencia
de masa en un solo tema. Hoy en día, las aplicaciones de los fenómenos de transporte son omnipresentes
en la ciencia y la ingeniería y, en particular, en el estudio de los procesos ambientales, tanto naturales como
ingenieriles.
Nuestro principal objetivo al escribir este libro fue ofrecer una introducción a los fenómenos de transporte
a los ingenieros y científicos ambientales. En concreto, este libro trata en detalle los temas del transporte de
masa y momento, haciendo especial hincapié en las aplicaciones a los procesos ambientales. Nos basamos
en los principios fundamentales de conservación de la masa y el momento para desarrollar un marco
matemático para formular y resolver problemas de fenómenos de transporte. Como tal, este trabajo también
puede servir como una introducción al tema para los ingenieros químicos interesados en las aplicaciones de
los fenómenos de transporte a los sistemas ambientales.
Este libro de texto está destinado a ser utilizado en un curso introductorio de un semestre de pregrado o
posgrado sobre fenómenos de transporte. Uno de nuestros objetivos ha sido presentar el material de una
manera que sea accesible para estudiantes de ingeniería química y ambiental. Se espera que los lectores
hayan estado expuestos a un curso introductorio sobre ecuaciones diferenciales ordinarias. En general,
presentamos derivaciones matemáticas en detalle para proporcionar al lector herramientas que se puedan
utilizar para resolver otros problemas.
También es deseable estar familiarizado con aplicaciones básicas de la mecánica de fluidos.
La idea de escribir este libro surgió de conversaciones entre los autores y el profesor Robert G. Arnold.
Agradecemos a Bob su continuo estímulo y apoyo al proyecto, sin el cual nunca se habría realizado.
Agradecemos al profesor James Farrell por adoptar versiones anteriores de nuestro manuscrito para enseñar
el curso Fenómenos de transporte ambiental en la Universidad de Arizona. Nuestro agradecimiento también
va dirigido a los numerosos estudiantes talentosos y trabajadores que han sido fundamentales para dar forma
a nuestro enfoque para enseñar la materia.
A. Eduardo Sáez
James C. Baygents
Tucson, septiembre de 2014
x
Machine Translated by Google
Machine Translated by Google
Autores
A. Eduardo Sáez es profesor distinguido de la Universidad de Arizona (UA)
Departamento de Ingeniería Química y Ambiental y profesor adjunto en la Facultad de Salud Pública
Mel y Enid Zuckerman de la Universidad de Arizona. Es de Venezuela, donde obtuvo una licenciatura
en ingeniería química en la Universidad Simón Bolívar. Posteriormente, obtuvo una maestría y un
doctorado en ingeniería química en la Universidad de California en Davis.
Fue miembro del cuerpo docente de la Universidad Simón Bolívar y de la Universidad Estatal de
Carolina del Norte antes de incorporarse a la UA en 1998. Ha sido profesor visitante en el Departamento
de Física de la Universidad de Bristol (Reino Unido) y en el Laboratorio Nacional del Pacífico Noroeste
en Richland, Washington. El Dr. Sáez ha ganado numerosos premios por su investigación y docencia.
Forma parte de una legión de ingenieros cada vez más relevantes que se enfrentan a desafíos
medioambientales. Su investigación se ocupa del destino, el transporte y el tratamiento de contaminantes
traza en fuentes de agua, incluido el uso de energía solar para impulsar la oxidación avanzada de
contaminantes en recursos hídricos de reutilización. También está interesado en el transporte de
contaminantes metálicos y metaloides en el polvo arrastrado por el viento de las operaciones mineras
en entornos áridos y semiáridos. Esta investigación incluye el seguimiento, el análisis y el modelado
del transporte de arsénico y plomo en yacimientos mineros de Arizona. Más recientemente, el grupo
de investigación se ha ampliado para unirse a un esfuerzo internacional para estudiar el transporte de
contaminantes en yacimientos mineros de Australia.
James C. Baygents es el decano asociado de asuntos académicos de la Facultad de Ingeniería de la
Universidad de Arizona. Es miembro del Departamento de Ingeniería Química y Ambiental (ChEE) y
del Programa de Matemáticas Aplicadas de la UA.
El Dr. Baygents se incorporó a la facultad de ingeniería de la UA como profesor adjunto en 1991, el
mismo año en que obtuvo un doctorado en ingeniería química en la Universidad de Princeton. También
posee una maestría (Princeton, 1981) y una licenciatura (Rice, 1980) en ingeniería química.
Durante los tres años anteriores a su incorporación a la UA, el Dr. Baygents fue científico visitante y
luego investigador asociado en el Laboratorio de Ciencias Espaciales del Centro Marshall de Vuelos
Espaciales de la NASA en Huntsville, Alabama. En 1995, recibió el premio de la Sociedad Honorífica
Superior de Arizona Mortar Board por su destacado servicio docente. En 1997, la Fundación Nacional
de Ciencias le otorgó una beca de investigación internacional para estudiar en la Universidad de
Melbourne. En 2009, fue reconocido por ChEE y el Colegio de Excelencia en la Interfaz Estudiantil. Es
miembro de las sociedades honoríficas Phi Beta Kappa, Tau Beta Pi y Phi Lambda Upsilon, así como
del Colegio de Becarios del Will Rice College de la Universidad Rice.
Los intereses de investigación del Dr. Baygents incluyen procesos de transporte en sistemas
naturales y artificiales; procesos de separación y tratamiento de agua; difusión­reacción­
precipitación en sistemas electrolíticos acuosos; teoría electrocinética, mediciones y separaciones;
procesos de transporte y movimiento de fluidos impulsados eléctricamente, incluida la microfluídica;
formación de patrones en cuevas asociadas con sistemas de agua kárstica; y tratamiento de agua
industrial para reciclaje y reutilización.
xiii
Machine Translated by Google
Machine Translated by Google
1
Introducción
1.1 ALCANCE Y MOTIVACIÓN
Este libro trata sobre el transporte de masa en sistemas que son relevantes para aplicaciones de
ingeniería ambiental. La frase “transporte de masa” se refiere al movimiento y la distribución espacial
de una especie química en una mezcla multicomponente. En general, la especie química de interés
será un contaminante y el sistema ambiental puede implicar la presencia de más de una fase.
Los ingenieros ambientales y químicos están interesados principalmente en el transporte masivo.
por tres objetivos importantes:
1. El diseño de sistemas de ingeniería. La eliminación y el tratamiento de contaminantes
requieren la cuantificación de las tasas de transporte de masa. Las separaciones y los
procesos reactivos son ejemplos de casos prácticos en los que un contaminante debe
transportarse a través de una mezcla.
2. La comprensión de los sistemas naturales. La distribución y el destino de los contaminantes
en los sistemas naturales suelen estar determinados por el transporte de masas. En este
caso, podemos ocuparnos de procesos que abarcan una amplia variedad de escalas: desde
el transporte de un compuesto a través de una pared celular hasta la distribución de gases
de efecto invernadero en la atmósfera.
3. Modelado del transporte. La capacidad de predecir la distribución espacial y temporal de un
contaminante tanto en sistemas naturales como artificiales es uno de los principales
objetivos del estudio del transporte de masas.
Para llevar a cabo los objetivos mencionados, contamos con las siguientes herramientas:
1. Principios de conservación. Son leyes físicas que, como tales, son independientes de la
escala de observación y se aplican al continuo.
La conservación de la masa, el momento y la energía son los principios básicos empleados
en aplicaciones de transporte.
2. Relaciones termodinámicas. Son propiedades y ecuaciones que describen un sistema en
equilibrio. Entre ellas se encuentran las relaciones P­V­T para una sustancia pura (por
ejemplo, la ecuación del gas ideal), las propiedades térmicas (por ejemplo, la relación entre
la energía interna y la temperatura), la distribución de un componente entre dos fases en
equilibrio (por ejemplo, la ley de Henry para el equilibrio gas­líquido).
3. Ecuaciones constitutivas y comportamiento de los materiales. Representan un vínculo entre
los principios de conservación en el continuo y la escala molecular.
1
Machine Translated by Google
2
Fenómenos del transporte ambiental
Por ejemplo, las ecuaciones de Newton (momento), Fourier (energía) y Fick (masa) representan el
comportamiento de los materiales debido a interacciones a nivel molecular. Otro ejemplo importante son
las ecuaciones de velocidad cinética para reacciones químicas.
4. Técnicas matemáticas. La complejidad matemática de las ecuaciones de transporte requiere a menudo la
capacidad de resolver ecuaciones diferenciales ordinarias y parciales. Normalmente se prefieren los
métodos analíticos, pero normalmente se requieren métodos numéricos.
El libro está organizado de la siguiente manera:
El capítulo 2 presenta los fundamentos de la aplicación del principio de conservación de la masa para realizar
balances de masa en sistemas de un solo componente y en sistemas de múltiples componentes que están bien
mezclados; es decir, sistemas en los que las tasas de transferencia de masa de las especies son tan rápidas que las
concentraciones pueden considerarse espacialmente uniformes. Estos fundamentos pueden utilizarse en el diseño de
reactores químicos bien mezclados y para estimar las variaciones temporales de la concentración en sistemas
naturales.
El capítulo 3 presenta la difusión como mecanismo de transferencia de masa. El objetivo de este capítulo es
proporcionar las herramientas necesarias para cuantificar la difusión como mecanismo de transporte de masa en un
medio continuo, de modo que se puedan formular y resolver problemas prácticos sencillos en los que prevalece la
difusión.
Los fundamentos presentados en los capítulos 2 y 3 se generalizan en el capítulo 4, donde se derivan las
ecuaciones puntuales generales que representan la transferencia de masa en un sistema multicomponente y se
utilizan para resolver problemas de difusión de relevancia práctica. En este capítulo, el alcance se amplía para incluir
problemas relativamente complejos que requieren métodos matemáticos avanzados de solución.
El capítulo 5 trata de la transferencia de masa en presencia de reacciones químicas. Los sistemas reactivos son
omnipresentes tanto en sistemas naturales como artificiales y, a menudo, la transferencia de masa se convierte en
el paso de velocidad limitante que controla la conversión de una sustancia en una reacción química, lo que limita su
productividad. Por ejemplo, la velocidad a la que se destruye un contaminante mediante una técnica que implica
transformaciones químicas podría ser el resultado de la combinación de la cinética de las reacciones que tienen lugar
y la velocidad a la que se transfieren los reactivos a través del espacio.
La mayoría de las aplicaciones de los capítulos 3 a 5 tratan de sistemas estáticos en los que la difusión es el
mecanismo de transporte de masa predominante. El capítulo 6 trata de la transferencia de masa en fluidos en
movimiento, en los que el transporte debido al movimiento en masa de la mezcla, denominado convección o advección,
es un mecanismo importante. En primer lugar, se introduce el uso de los balances de masa y momento como
herramientas que se pueden utilizar para predecir el campo de velocidad en un fluido en movimiento. Más adelante,
estos conceptos se aplican para describir de forma comprensiva
Transporte masivo de manera extensiva en fluidos en movimiento.
La combinación de convección y difusión se explora cuantitativamente en el Capítulo 7, donde se introduce el
concepto de dispersión hidrodinámica y se cuantifica.
Entender la dispersión como resultado de la difusión y convección combinadas es particularmente importante en el
estudio de la distribución de contaminantes en sistemas naturales, así como en la descripción de procesos de
separación como la adsorción, el intercambio iónico y la cromatografía.
Machine Translated by Google
Introducción
3
Los ingenieros y científicos ambientales a menudo tratan con sistemas multifásicos.
El transporte de contaminantes en suelos, acuíferos y sistemas de ingeniería que implican
la separación de una especie de un fluido a un sólido, como la adsorción, puede entenderse
cuando se aplican los fundamentos de la transferencia de masa en el contexto de sistemas
multifásicos, que es el tema del Capítulo 8.
Machine Translated by Google
Machine Translated by Google
2
Conservación masiva y
Masa macroscópica
Saldos
2.1 EL PRINCIPIO DE CONSERVACIÓN DE LA MASA Y LA
BALANCE DE MASA TOTAL
La ley física más importante que se aplica a los procesos de transporte de masa es el principio
de conservación de la masa. Este principio se aplicará a (i) la conservación de la masa total de
un material y (ii) el balance de masa de una especie química específica en una mezcla. En esta
sección, derivaremos y aplicaremos ecuaciones de balance de masa total para volúmenes de
control arbitrarios. Las ecuaciones resultantes se denominan balances de masa macroscópicos
y son útiles para resolver problemas en dominios físicos que están bien mezclados; es decir,
donde las concentraciones de especies son uniformes espacialmente.
La base de aplicación del balance de masa macroscópico es la definición de un volumen de
control. A este volumen de control lo llamaremos volumen arbitrario, Va, que es una región del
espacio definida por el observador (Figura 2.1). El volumen arbitrario se define especificando la
superficie que lo delimita, Aa. En general, el volumen arbitrario puede cambiar con el tiempo y
puede moverse a través del espacio. Los puntos en el volumen arbitrario se mueven con un
campo de velocidad w, que, en general, es una función de la posición y el tiempo.
Usaremos símbolos en negrita para representar vectores. En el Apéndice A se presenta una
breve revisión del álgebra vectorial. Es importante señalar que Va, Aa y w son definidos por el
observador como base para el análisis de un sistema específico.
El principio de conservación de la masa aplicado a un volumen arbitrario se formula aquí
como un balance de masa instantáneo, es decir, el resultado de la conservación de la masa en
un momento dado:
La tasa de cambio temporal de
la masa total en un
volumen arbitrario
(acumulación )
METRO
=
Caudal másico que sale
caudal de entrada del culo
el volumen arbitrario
a través de su superficie
(aporte
)
−
el volumen arbitrario
a través de su superficie
(producción)
(2.1)
Esta ecuación se formulará ahora en términos de su enunciado matemático más general,
utilizando propiedades puntuales o intensivas del material. Primero, considere el lado izquierdo
de la ecuación. La masa total contenida en el volumen arbitrario
5
Machine Translated by Google
6
Fenómenos del transporte ambiental
el
norte
es
Virginia
Automóvil club británico
FIGURA 2.1 Un volumen arbitrario, Va, delimitado por una superficie arbitraria, Aa. En cada punto de la
superficie rodeado por una diferencial de área dA, se muestra el vector unitario normal, n, apuntando
hacia afuera. La velocidad con la que se mueven los puntos de la superficie arbitraria es w, que puede
ser, en general, una función de la posición y el tiempo.
se puede expresar como la integral de volumen de la densidad (masa por unidad de volumen) del
material dentro de Va:
yomasa total en el
{ volumen arbitrario
METRO
(2.2)
Vuelta al futuro
}==∫ρ
Vta( )
donde consideramos explícitamente el caso general en el que Va es una función del tiempo. El lado
izquierdo de la ecuación 2.1 es
La tasa de cambio temporal de
la masa total en el
=
volumen arbitrario
dM
es
=
d
es
∫ρ
Vuelta al futuro
(2.3)
Vta( )
El lado derecho de la ecuación 2.1 será distinto de cero solo cuando el material cruce Aa(t).
Sea vr el vector de velocidad del material con respecto a la superficie. El material que entra o sale
del volumen arbitrario lo hará con una velocidad dada por el componente del vector vr en la
dirección normal a la superficie, (vr )n (Figura 2.2). El componente normal de vr se puede obtener
mediante el producto escalar entre los vectores vr y n:
( ) en
Enfermera
= en
a
en
(2.4)
Nótese que, dado que n apunta hacia afuera,
vn> 0 significa que el material sale del volumen
a
<
0 significa que el material ingresa al arbitraje .
arbitrario a través de dA mientras que vn sale del
a
volumen arbitrario a través de dA. En vista de estas definiciones, tenemos:
Machine Translated by Google
7
Conservación de masa y balances de masa macroscópicos
(vr )n
es
FIGURA 2.2 Material que cruza la superficie arbitraria: (vr )n es el componente normal de la
velocidad relativa del material con respecto a la superficie.
Volumen de material que
{ cruza dA por unidad de tiempo } = vn
a
dA
(2.5)
dA
(2.6)
y, por lo tanto,
Masa de material que
{ cruza dA por unidad de tiempo } = ρv n
a
La integral de la ecuación 2.6 sobre Aa(t) sumará toda la masa que sale del volumen arbitrario
por unidad de tiempo y restará toda la masa que entra en el volumen arbitrario por unidad de
tiempo. Por lo tanto, representará el caudal neto de masa que sale del volumen arbitrario, que es
el negativo del lado derecho de la ecuación 2.1. Por esta razón, podemos afirmar
Caudal másico que entra
METRO
−
el volumen arbitrario
caudal de salida del culo
el volumen arbitrarioa mí
a través de su superficie
a través de su superficie
=−
∫ρv n a
es (2.7)
Ena ( )
Combinando las ecuaciones 2.1, 2.3 y 2.7, encontramos
d
∫ ρdV ∫ = −
es
V en( )
ρv an
es
(2.8)
Aa t( )
Sea v el vector de velocidad del material en cada punto. La velocidad relativa del
material con respecto a la superficie es vr = v − w y la ecuación 2.8 se expresa como
d
es
∫ ρdV ∫ =
V en
()
ρn w( − v ) Un
A en
()
(2.9)
Machine Translated by Google
8
Fenómenos del transporte ambiental
Esta ecuación es el balance de masa macroscópico. Generalmente se escribe en términos de
propiedades macroscópicas (extensivas) de la siguiente manera:
dM
es
yo
=∑∑−
yo
yo
todas las entradas i
(2.10)
yo
todas las salidas i
donde m i representa el caudal másico a través de una sección específica (entrada o salida).
EJEMPLO 2.1 DRENAJE DE UN TANQUE
Como aplicación del balance de masa macroscópico, considere el drenaje de líquido de un tanque
cilíndrico de diámetro D a través de un orificio de diámetro d en su fondo. El líquido en el tanque
alcanza una altura H0 al comienzo del proceso (t = 0) y, a medida que el líquido se drena, su altura
varía con el tiempo, H = H(t). Nuestro objetivo es encontrar esta función.
Para formular el balance de masa instantáneo para este problema, podemos recurrir al uso directo
de la ecuación 2.10, que puede considerarse como una aplicación más intuitiva del principio de
conservación de la masa. Sin embargo, para ilustrar la nomenclatura empleada en la derivación del
balance de masa macroscópico, intentaremos aplicar la ecuación 2.9 a la formulación del problema.
La figura 2.3 muestra cómo v y w varían en diferentes partes de la superficie.
De acuerdo con esto, la integral en el lado derecho de la ecuación 2.9 se simplifica a la integral sobre
la sección de salida, A0,
∫
ρ n w( − v
d) A = −
A en( )
∫
ρn
v
es
(2.11)
Un 0
D
altura(t)
v=w≠0
Tina)
v=w=0
w = 0, v ≠ 0
A0: orificio de drenaje,
diámetro d
m0
FIGURA 2.3 Drenaje de un tanque cilíndrico de diámetro D a través de un orificio de diámetro d.
El volumen arbitrario es el líquido contenido dentro del tanque en un momento dado (volumen encerrado por
líneas discontinuas).
Machine Translated by Google
9
Conservación de masa y balances de masa macroscópicos
Considerando que la densidad es uniforme y definiendo una velocidad normal promedio en la sección
de salida por
1
=
el 0
A0
Nevadaes
(2.12)
∫
A0
La ecuación 2.11 se convierte en
∫
ρnw
(
−v=−ρ00
v Un
)dA
(2.13)
Aa(t)
y el balance de masa macroscópico (Ecuación 2.9) es
dM
= −ρv A0 0
es
(2.14)
Nótese que el caudal másico a través del orificio es mv 2,14, que también
0 = ρ A 0, 0 por lo que la ecuación
es la aplicación directa de la ecuación 2.10.
La ecuación 2.14 se puede reescribir teniendo en cuenta que M = ρVa. Si la densidad del líquido es
constante, se simplifica a partir de la ecuación, lo que lleva a
a
Vuelta al futuro
=−
es
v 0Un
0
(2.15)
Ahora usamos: Va = πD2H/4 y A0 = πd2/4 para obtener
dH
=−
d
D
es
2
en
0
(2.16)
El drenaje del líquido se produce debido a la fuerza gravitacional. Por lo tanto, cuanto mayor sea el nivel
de líquido en el tanque, mayor será el peso del líquido y mayor será la velocidad de salida. Se puede
invocar la conservación del momento para demostrar que, en ausencia de efectos viscosos, la velocidad
de salida se puede calcular a partir de la ecuación de Bernoulli (p. ej., Bird et al., 2007, Capítulo 3) para
encontrar
el 0
=gH 2
(2.17)
donde g es la aceleración de la gravedad. Para un orificio típico, esta ecuación sobreestima la velocidad
de salida debido a la ocurrencia de fricción viscosa. Para tener esto en cuenta, esta ecuación se
modifica introduciendo un coeficiente de pérdida empírico, c < 1, de modo que
en
c0 = 2gH
(2.18)
Machine Translated by Google
10
Fenómenos del transporte ambiental
Para un orificio simple en una superficie plana, c ≈ 0,6 (por ejemplo, White, 1986, Capítulo 6).
Usando la ecuación 2.18, la ecuación 2.16 se convierte en
dH
2
d
=−
(2.19)
c 2gH
D
es
Esta ecuación se puede separar e integrar entre una altura inicial de líquido
H0 (t = 0), y un tiempo genérico, como sigue:
yo
∫
dH
∫
(2.20)
cg de 2peso corporal
D
yo 1/2
a
2
d
=−
yo 0
0
Lo que conduce a
2HH0 1/2 1/2−
(
) =−
2
d
c 2g
a
D
(2.21)
Esta ecuación se puede reorganizar de la siguiente manera:
HH0=
1/2
−
gramo
do
2
d
D
2
2
a
(2.22)
Por ejemplo, para un tanque con D = 4,5 m, d = 2,5 cm, H0 = 10 m, utilizando c = 0,6 y g = 9,81
m/s2, la ecuación 2.22 da como resultado
H 3,162 4,1 10 t ,t en s, H en m − ×
=(
−5
2
)
(2.23)
El tiempo necesario para vaciar completamente el tanque se obtiene haciendo H = 0 en
esta ecuación, lo que da: tf = 77,122 s = 21.4 h. La Figura 2.4 muestra un gráfico de la
Ecuación 2.23, expresando el tiempo en horas. La relación directa entre la altura y el
tiempo se puede utilizar para “marcar” niveles en el tanque que corresponden a tiempos
específicos. Esta es la base de un reloj de agua (clepsidra), que fue uno de los primeros
dispositivos utilizados en la historia para medir el tiempo.
EJEMPLO 2.2 ESCAPE DE HIDRÓGENO DE UN SISTEMA PRESURIZADO
En un experimento en un laboratorio de ingeniería ambiental se utiliza un cilindro de gas
hidrógeno (H2) presurizado (Figura 2.5). El cilindro se ha conectado incorrectamente al
experimento mediante un tubo de plástico corto. El hidrógeno es una molécula tan pequeña
que puede difundirse a través de las paredes del tubo y escapar al medio ambiente. Como el
hidrógeno es inflamable, su fuga es un peligro de incendio. El análisis del proceso de transporte
de hidrógeno a través de las paredes del tubo ha indicado que el caudal másico de la fuga de
hidrógeno (mL ) es directamente proporcional a la diferencia de presión a través de la pared del tubo.
mK = (
yo
PP­
a
a
)
(2.24)
Machine Translated by Google
11
Conservación de masa y balances de masa macroscópicos
10
9
8
7
(metro)
Alto
6
5
4
3
2
1
0
0
5
10
15
20
25
yo (o)
FIGURA 2.4 Altura del líquido en función del tiempo en el vaciado de un tanque.
donde K es una constante conocida y Pr y Pa son las presiones dentro y fuera del tubo, respectivamente.
Aquí, consideraremos que la presión dentro del tubo es aproximadamente uniforme e igual a la presión
después de la válvula reguladora en todo momento.
Nuestro objetivo en este problema es predecir cómo disminuye la presión del tanque con el tiempo
debido a la fuga a través de la pared del tubo, es decir, considerando que el experimento no está
consumiendo hidrógeno. El volumen de control para el análisis es el gas contenido dentro del cilindro. Dado
que el gas que se escapa del tubo será la única salida del cilindro (considerando que no hay acumulación
en el propio tubo), el balance de masa macroscópico es
dM yo
=−
=−
(mKP)
yo
es
a
−
(2.25)
PAG
a )
donde MT es la masa total de hidrógeno en el tanque en un momento dado. Considerando que el hidrógeno
se comporta como un gas ideal, podemos afirmar
METRO
yo
=
Máquina
virtual P
yo
(2.26)
R.O.
Tubo de plástico
Regulador de presión
Cilindro de H2
En
Experimento
Pensilvania
FIGURA 2.5 Se ha conectado un cilindro de hidrógeno presurizado a un experimento mediante un tubo de plástico.
Los alrededores están a presión atmosférica, Pa.
Machine Translated by Google
12
Fenómenos del transporte ambiental
donde V es el volumen interno del cilindro, M es el peso molecular del hidrógeno, R es la constante universal de
los gases y T la temperatura de funcionamiento. Sustituyendo la ecuación 2.26 en la ecuación 2.25 se obtiene
DP yo
KRT
=−
es
−
a
a
( PÁGINAS
)
(2.27)
máquina virtual
Si el regulador de presión funciona correctamente, Pr debe ser constante, independientemente del valor de PT.
Esto implica que el lado derecho de la ecuación 2.27 es constante y la integración de la ecuación 2.27 desde t =
0 (en el que PT = PT0) conduce al resultado simple
yo
PAG
=
T0
PAG
KRT
−
(2.28)
(P a− P ) ta
máquina virtual
Este resultado implica que la presión del cilindro disminuye linealmente con el tiempo. El flujo finalmente se
detendrá cuando PT = Pr .
Ahora, considere que el regulador funciona mal y la presión dentro del tubo se vuelve igual a la presión
dentro del cilindro en todo momento. En términos de nuestra notación, esto implica Pr = PT, y la ecuación 2.27
ahora se convierte en
DP yo
=−
es
KRT
−
yo
(Pág.
)
(2.29)
a
máquina virtual
En este caso, para integrar la ecuación debemos separar las variables de la siguiente manera:
a
PAGyo
∫
DP yo
yo −
a
PÁGINAS
KRT
=−
máquina virtual
∫
es
(2.30)
0
PAGPara 0
lo que conduce, después de la integración y manipulación, a
yo
a
Páginas
(
= + T0
PAG
−
a
P )exp
−
KRT
a
(2.31)
máquina virtual
Nótese que, en este caso, la presión disminuye exponencialmente hasta que finalmente (t → ∞) se iguala con la
presión atmosférica, PT = Pa.
2.2 BALANCE DE MASA MACROSCÓPICO PARA UNA ESPECIE QUÍMICA
EN UNA MEZCLA
En esta sección se estudia el balance de masa macroscópico de una especie química en
una mezcla multicomponente. Se considerará un componente genérico A en una mezcla de
N componentes (A = 1, 2,…, N). Una característica distintiva de este balance de masa con
respecto al balance de masa total considerado en la sección anterior es la posibilidad de
que la especie A sea un reactivo o un producto en una reacción química.
Machine Translated by Google
13
Conservación de masa y balances de masa macroscópicos
La aplicación del principio de conservación de la masa a la especie A en un arbitraje
El volumen atrio (Figura 2.1) es
La tasa de cambio de
la masa de la especie A
en el volumen arbitrario
los ters
= { La velocidad a la que la masa de la especie A se
}
Volumen arbitrario a través de sus límites.
La rata e ¿en qué masa de la especie A abandona la
−
Volumen arbitrario a través de sus límites.
+
La velocidad a la que la masa de las especies Se crea A
}
}
En el volumen arbitrario por reacciones químicas.
La velocidad a la que se consume la masa de la especie A
{{−{
}
en el Volumen arbitrario por reacciones químicas
(2.32)
La cantidad relativa de la especie A en un punto de la mezcla se representa mediante una
medida de su concentración. Para establecer el equivalente matemático de la ecuación 2.32,
utilizaremos la concentración másica de la especie A, ρA (masa de A por unidad de volumen de
la mezcla). La integración de la concentración másica sobre el volumen arbitrario da como
resultado la masa total de A en ella, y por lo tanto:
La tasa de cambio de
la masa de la especie A
en el volumen arbitrario
=
d
es
∫ ρAdV
(2.33)
Vt ( )
a
Los dos primeros términos del lado derecho de la ecuación 2.32 se pueden cuantificar mediante
una ecuación similar a la ecuación 2.7, con dos diferencias principales: se debe utilizar ρA en lugar
de ρ, y la velocidad v se debe reemplazar por una velocidad de especie, vA. Analizaremos con
más detalle el significado de la velocidad de especie en el Capítulo 3. Por el momento, simplemente
afirmaremos que cada especie no se mueve necesariamente con la velocidad total de la mezcla.
Entonces tenemos:
{ La velocidad a la que la masa de la especie A entra en el}
Volumen arbitrario a través de sus límites.
−
{
La velocidad a la que la masa de sLa especie A sale de la
Volumen arbitrario a través de sus límites.
} =
en w(
−
∫ρA
A es
) en
Ena ( )
(2.34)
Nótese que ρA n w
− ( ) vAdA representa la masa de A por unidad de tiempo que entra (cuando el
término es > 0) o sale (cuando el término es < 0) del volumen arbitrario a través del elemento de área
diferencial dA.
Machine Translated by Google
14
Fenómenos del transporte ambiental
Para cuantificar los términos de reacción en la Ecuación 2.32 utilizamos la definición de
velocidad de reacción puntual o volumétrica, rA, definida como la masa neta de A producida en un
punto debido a reacciones químicas por unidad de volumen de material. Se entiende que: (i) si la
especie A se produce por reacciones químicas, rA > 0, mientras que si se consume, rA < 0; (ii) rA
contiene contribuciones aditivas de todas las reacciones químicas en las que participa la especie
A. Los dos últimos términos del lado derecho de la Ecuación 2.32 se cuantifican de la siguiente
manera:
La velocidad a la que se crea la masa de la especie A }
En el volumen arbitrario por reacciones químicas.
−
{{
La velocidad a la que mas Se consumen s de la especie A
} = ∫ rVtdA
V
()
(2.35)
∫ rdV
(2.36)
En el volumen arbitrario por reacciones químicas.
a
Recopilando términos, la ecuación 2.32 se convierte en
d
es
∫ ρAdV = ∫ ρ n w − vA
()
A
V en
()
dA +
A en
A
Vt ( )
a
()
Esta ecuación es aplicable a cualquier componente de la mezcla (A = 1, 2, …, N).
En un punto dado del material, la conservación de la masa implica que la masa total de
especies generadas por una reacción química se compensa con la masa total de especies
consumidas. Esto impone la siguiente restricción a la reacción
tarifas
norte
∑=
0
real academia de bellas artes
(2.37)
A =1
La ecuación 2.36 también se puede expresar en términos de la concentración molar de A, cA
(moles de A por unidad de volumen de mezcla), recordando que
California
=
ρA
METRO
(2.38)
A
donde MA es el peso molecular de la especie A. Dividiendo la ecuación 2.36 por MA se obtiene
d
es
V
∫ c dA V c= ∫
en( )
A
en( )
A n w ( ) − vA +
dA
∫ R dV
A
Vt ( )
a
(2.39)
Machine Translated by Google
15
Conservación de masa y balances de masa macroscópicos
dónde
aA
RA =
METRO
(2.40)
A
es la velocidad de reacción molar de la especie A. Nótese que la restricción impuesta por la Ecuación
2.37 se puede escribir como
norte
0
∑ = M RA A
(2.41)
A =1
La ecuación 2.39 es el balance molar macroscópico de la especie A. La cantidad
norte
A
=∫
do
AdV
(2.42)
Va( t)
representa los moles totales de A en el volumen de control.
Un caso particular útil de la ecuación 2.39 es su aplicación para controlar volúmenes que están
perfectamente mezclados. En este caso, la velocidad de reacción es uniforme en todo el volumen
arbitrario. Las concentraciones de especies son uniformes localmente en las secciones de entrada
y salida. Además, una buena mezcla implica que el movimiento de las especies en las secciones
de entrada y salida se debe generalmente solo al movimiento de la mezcla, de modo que vA ≈ v.
En estas condiciones, la ecuación 2.39 se puede escribir como
es A
es
=∑∑−
Yo ai
Yo ai
+
(2.43)
Control de calidad de realidadUna
virtual
Una
Control de calidad
todas las salidas i
todas las entradas i
dónde
Qi =
dA
−
∫ n w( ) v
(2.44)
Ai
es el caudal volumétrico (siempre positivo) que atraviesa la sección Ai .
EJEMPLO 2.3 REACCIÓN DE PRIMER ORDEN EN UN TANQUE PERFECTAMENTE MEZCLADO
Consideremos el caso de un compuesto A que se descompone según la siguiente reacción
química:
AP → productos
(2,45)
Si esta reacción es elemental, la desaparición de A sigue una cinética de primer orden y la
velocidad de reacción específica es
RA
=−ck
A
(2.46)
Machine Translated by Google
16
Fenómenos del transporte ambiental
Una corriente acuosa que contiene cAin = 0,1 mM de un contaminante que se desintegra a una
velocidad dada por la ecuación 2.46 con k = 1 h−1 se alimenta a un tanque de retención bien
agitado a una velocidad de 350 L/h. El tanque tiene un rebosadero que mantiene el volumen de
líquido constante en todo momento a V = 50.000 L, y se llena inicialmente con agua pura. El tanque
puede conceptualizarse como un reactor químico. Este tipo de sistema suele denominarse reactor
de tanque de agitación continua (CSTR).
Como el volumen de líquido en el tanque es constante, y suponiendo que los cambios en la
concentración no alteran la densidad del fluido, tenemos: QQQL/h. = 350 en
=
afuera
=
Un balance molar en A se da mediante la ecuación 2.43, que se puede expresar como
corriente continua
V
−
−
= ControlAin
de calidad Control
A de calidad Vkc A
A
es
(2.47)
Esta ecuación se puede separar e integrar desde el estado inicial hasta un punto arbitrario en el
tiempo.
do
a
A
∫
V
do
corriente continua
=
A
− calidad
+
Control
(QVk)c A
Ain de
∫
es
(2.48)
0
A0
Lo que conduce a
−
V
− calidad
+
Control
(QVk)c A
Ain de
En
(QV)+
t
− calidad
+
Control
(QVk)c A0 =
Ain de
(2,49)
Reordenando y observando que cA0 = 0 se obtiene
do
=
A
Control de calidad
Ain
+
Q Vk
1[−e
−
((Q+Vk)/
V)t ]
(2,50)
Sustituir valores conocidos conduce a
do
A
= 6. 542 10 ×
−3
− 0,0654 t
[ 1− y
t en h y cA en mM
],
(2.51)
Es común expresar la Ecuación 2.50 en términos del tiempo de residencia del líquido en el tanque,
definido por
V
τ=
(2.52)
Q
(en este caso τ = 142,9 h), que representa el tiempo medio que una partícula de fluido permanece
en el tanque. La ecuación 2.50 puede reescribirse de la siguiente manera:
do
A
do
=
1
Ain
+τk
[1
−
mi
− (+1
kt )τ/ τ
]
(2.53)
Machine Translated by Google
17
Conservación de masa y balances de masa macroscópicos
0,007
0,006
cA(mM)
0,005
0,004
0,003
0,002
0,001
0
0
20
6040 toneladas
80
100
(horas)
FIGURA 2.6 Evolución de la concentración de la especie A en el CSTR con la reacción química (Ecuación 2.51).
Si el sistema funciona de forma continua, se aproximará al estado estacionario de forma asintótica. La
concentración en estado estacionario se puede hallar haciendo t → ∞ en la ecuación 2.53 para obtener
do
Culo
=
do
Ain
1k+τ
= 0,006542 mM
(2,54)
La Figura 2.6 muestra un gráfico de la concentración de especies en función del tiempo (Ecuación 2.51).
La concentración aumenta de manera monótona y tiende al valor de estado estacionario dado por la
Ecuación 2.54 de manera asintótica. Nótese que, si no hubiera reacción, esperaríamos que la concentración
de salida alcanzara la concentración de entrada (0,1 mM) en estado estacionario. Durante la operación
estacionaria, vemos que la concentración de salida es el 0,6 % de la concentración de entrada, en cuyo
caso decimos que el reactor está logrando una conversión de A del 99,4 %.
EJEMPLO 2.4 DESCOMPOSICIÓN DE UN RESIDUO RADIACTIVO
Un residuo radiactivo consistente en una solución acuosa de 92Sr (estroncio 92) a una concentración de 16
mM se bombea a una velocidad de 1,5 L/min a un tanque de retención perfectamente mezclado lleno con
400 L de líquido que inicialmente está libre de 92Sr. La desintegración radiactiva del 92Sr es un proceso
de primer orden con k = 0,257 h−1. El líquido sale del reactor también a una velocidad de 1,5 L/min y la
densidad del líquido es constante.
1. Grafique la concentración molar de 92Sr en función del tiempo. ¿Cuál será la concentración en estado estacionario?
¿concentración?
2. Después de realizar los cálculos en 1, se da cuenta de que la concentración de salida de 92Sr
excede un límite de seguridad para 92Sr, que es de 5 mM. Para evitar exceder este valor, se
sugiere el siguiente protocolo de operación: el reactor se operará con flujos de entrada y salida de
1,5 L/min hasta que la concentración de salida alcance 5 mM, momento en el que se cerrará el
flujo de entrada y el reactor seguirá operando con un flujo de salida de 1,5 L/min hasta que esté
completamente vacío. Para este modo de operación, encuentre y grafique la concentración de
salida vs. tiempo para todo el ciclo de operación.
Machine Translated by Google
18
Fenómenos del transporte ambiental
8
7
6
(mM)
cA
5
4
3
2
1
0
0
100
600 700
200 300 400 500
t (mín.)
FIGURA 2.7 Evolución de la concentración de 92Sr en el tanque para el modo de operación especificado en
la parte 1.
1. La primera parte de este problema es una aplicación directa de la ecuación 2.50 con cAin =
16 mM, cA0 = 0, k = 0,257 h−1 = 4,283 × 10−3 min−1. El resultado es
−3
do A
. 10 − ×
= (7. 47 1 − mi 8 03
a
),
A mM
t en min, c en
(2,55)
La concentración en estado estacionario (t → ∞) es cAss = 7,47 mM. La figura 2.7 muestra
cómo cambia la concentración con el tiempo en el reactor.
2. La concentración alcanza el límite de seguridad cA = 5 mM en ts = 137,8 min, como se calcula
a partir de la ecuación 2.55. Por lo tanto, la ecuación 2.55 sigue siendo válida para t ≤ 137,8 min.
En ese momento, solo hay flujo de salida del reactor. Por lo tanto, a partir de ese momento,
un balance de masa total considerando densidad constante arroja
d
=−
(2,56)
Q
Vdt
Como Q es constante, la integración de esta ecuación conduce a
VV =
0
(2,57)
­ Qt
El balance molar en A es
el( Vc A )
=−−
es
A V
Qc kc
(2,58)
A
Ampliación de los rendimientos derivados
V
corriente continua
A
es
+c A
Vuelta al futuro
es
=
−−
A V
Qc kc
Sustituyendo la ecuación 2.57 y simplificando obtenemos
A
(2,59)
Machine Translated by Google
19
Conservación de masa y balances de masa macroscópicos
6
5
(mM)
cA
4
3
2
1
0
0
100
200
300
400
t (mín.)
FIGURA 2.8 Evolución de la concentración de 92Sr en el tanque para el modo de operación especificado en la
parte 2.
corriente continua
A
kc A
=−
es
(2.60)
Obsérvese que esta es la misma ecuación que gobernaría un reactor discontinuo (sin entradas ni salidas).
La integración a partir de una condición inicial t = ts, cA = cAs, conduce a
− ts
− () kt
cA
=
do
(2.61)
Plaza bursátil norteamericana
que se aplicará para t > ts = 137,8 min con cAs = 5 mM. Nótese que, a 1,5 L/min, el reactor se vaciará en
400/1,5 = 266,7 min después de que se corte el flujo, lo que será 404,5 min después del inicio del proceso.
El proceso completo puede entonces representarse por
−
do A
. 10 −
× 8e 03
= (7. 47 1 −
do A
. 10 ×
= 5 mi 4 283
−3
( a − 137 8
. ),
−3
a
),
≤ 137 8 minutos
.
404 5.minutos 137 8 minutos.> >
(2.62)
(2.63)
(t en min, cA en mM). El gráfico compuesto de esta solución se muestra en la Figura 2.8.
PROBLEMAS
2.1 Se utilizará un reactor de combustión continua para llevar a cabo la descomposición química
del reactivo A, que tiene una expresión de velocidad de primer orden, RA = −kcA. El reactor
de volumen constante (V) tendrá flujo de entrada y flujo de salida a la misma velocidad de
flujo volumétrico, Q. La concentración de reactivo en el flujo de entrada decae
exponencialmente con el tiempo y está dada por
do
Ai
= α e ­β a
donde α y β son constantes. Hallar la concentración en la salida en función del tiempo, cA(t),
si no hay A inicialmente en el reactor.
Machine Translated by Google
20
Fenómenos del transporte ambiental
2.2 Un tanque que tiene un volumen total VT = 100 L y que está inicialmente vacío se
llenará con un líquido que fluye a un caudal constante Q = 0,1 L/s. Este líquido de
alimentación contiene un compuesto A en una concentración cAi = 0,1 mol/L. El
compuesto A se descompone de acuerdo con una reacción de primer orden con una
constante de velocidad .kEncuentra
= 10−3 s−1
la concentración de A en el tanque cuando está
completamente lleno.
Sugerencia: Formule el balance molar del compuesto A utilizando como variable dependiente
los moles totales de A en el tanque, nA(t) = cAV.
2.3 El crecimiento de una colonia de células en un reactor discontinuo se puede simular mediante la velocidad
ecuación
es
es
= α βNcs −N
donde N es la concentración celular (número de células por unidad de volumen), cs es la
concentración de sustrato (nutriente) y α y β son constantes. El primer término del lado derecho
de la ecuación representa la tasa de crecimiento de células reproductivas, mientras que el
segundo término representa una tasa de inhibición del crecimiento debido a la superpoblación.
El consumo de sustrato por parte de las células sigue una reacción de descomposición de
primer orden, de modo que
corriente continua
s
es
=−
kc s
donde k es una constante. Inicialmente (t = 0), las concentraciones de células y sustrato son
N0 y cs0.
a. Encuentra cs(t) y N(t).
b. Un gráfico de N vs. t revela que la función tiene un máximo absoluto, que representa la
concentración celular más alta posible que se puede alcanzar en el cultivo. Halla el tiempo
en el que se produce este máximo, tm.
c. Grafique N vs. t para el siguiente conjunto de parámetros y verifique el valor de tm calculado
a partir de su solución de la parte (b):
N0 = 30.000 células/cm3
cs0 = 0,01 mol/cm3
k = 0,05 h−1
α = 1,5 cm3/mol h
β = 0,001 h−1
2.4 Consideremos un tanque perfectamente mezclado que contiene un líquido de densidad
constante en el que tienen lugar isotérmicamente las siguientes reacciones elementales
consecutivas:
AB → → C
RA = −k cAB
1
R = k c1 A − k c2 B ;
Se introduce un caudal volumétrico continuo de líquido (Q) en el reactor que no contiene B ni
C y una concentración molar de A cAi. El mismo caudal
Machine Translated by Google
21
Conservación de masa y balances de masa macroscópicos
se extrae continuamente del reactor para mantener constante el volumen de líquido (V).
Inicialmente, no hay A, B ni C en el reactor. Halle las concentraciones de A, B y C en el
reactor en función del tiempo.
2.5 Un polvo sólido (especie A) se disolverá en un líquido colocando una masa conocida de sólido,
m0, en un volumen de líquido V que inicialmente no contiene A.
La solubilidad del sólido en el líquido es cAs (concentración másica) y se sabe que la
velocidad de disolución está dada por
rk = mc(
Como
) − cA
donde r representa la masa de sólido que se disuelve por unidad de tiempo, y m y cA
representan la masa de sólido restante en un tiempo dado y la concentración de masa de A
en el líquido en ese momento, respectivamente. Supóngase que la solución está lo
suficientemente diluida como para que el volumen de líquido permanezca constante durante
todo el proceso de disolución. Halle m(t).
2.6 El dióxido de nitrógeno (NO2) es un gas altamente tóxico que es un subproducto común de los
procesos de combustión. En particular, se sabe que los calentadores de queroseno que se
utilizan en interiores liberan NO2 al aire, lo que puede suponer un peligro para las personas
que viven en el lugar. Nuestro objetivo es formular un modelo para la concentración de NO2
en una casa provista de un calentador interior. Cuando está encendido, el calentador generará
NO2 a una tasa constante SA (moles por unidad de tiempo). El aire de ventilación que viene
del exterior de la casa a un caudal volumétrico Q no contiene NO2, mientras que la ventilación
de salida (también a una tasa Q ya que el caudal volumétrico asociado con SA es
insignificante) arrastrará NO2 a una concentración igual a la del aire de la casa (ver figura).
Aquí, suponemos que el aire de la casa está perfectamente mezclado. Además, el dióxido de
nitrógeno se descompone espontáneamente en el aire siguiendo una reacción de primer
orden con una constante de velocidad k.
a. Halla la concentración de NO2 en el aire de la casa en función del tiempo, cA(t), si el
calentador se enciende en t = 0 y no hay NO2 en el aire de la casa en ese momento.
¿Cuál será la concentración de NO2 en estado estacionario en la casa si el calentador
se mantiene encendido de forma continua?
b. Ahora, supongamos que el calentador se apaga en el momento t = t0. A partir de ese
momento, la ventilación atenuará la cantidad de NO2 en el aire de la casa.
Determine cA(t) después de apagar el calentador.
Q, cA=0
Ventilación
Aire de la casa
V, cA
Q, cA
Ventilación
Sudamérica
Fuente de NO2 del calentador
Machine Translated by Google
22
Fenómenos del transporte ambiental
2.7 El gas radón radiactivo (Rn222) se infiltra en una casa desde el suelo (ver figura)
a una velocidad SA = 5,8 × 10−18 mol/s. Se puede suponer que la casa está
bien mezclada con un volumen V = 200 m3. La ventilación trae aire del exterior
de la casa a una velocidad Q = 5 m3/h y el aire de la casa se descarga al medio
ambiente a la misma velocidad. El radón se descompone en polonio­218, produciendo α
Partículas según la reacción de primer orden
Enfermera
222
→ + Po
α 218
con k = 2,1 × 10−6 s−1. Si inicialmente no hay radón en la casa, encuentre el
Concentración de radón en la casa en función del tiempo.
Q, cA=0
Q, cA
V, cA
Sudamérica
Infiltración de Rn222
Ventilación
Machine Translated by Google
Transporte difusivo
3 Conceptos introductorios
3.1 FUNDAMENTOS DE LA DIFUSIÓN
La difusión es un mecanismo de transporte de masas que tiene una profunda influencia en nuestra
vida diaria y en el mundo que nos rodea. A menudo nos encontramos con los efectos de la difusión sin
prestar demasiada atención a los detalles técnicos del fenómeno. Por ejemplo, todos estamos
familiarizados con la difusión de los aromas que emanan del mostrador de fragancias de unos grandes
almacenes, la disolución del azúcar en una taza de café o el secado de la pintura en una pared. Todos
estos y muchos otros sucesos cotidianos y comunes están influidos por la difusión. Además, la
ubicuidad del fenómeno se extiende a los ámbitos técnicos de la ciencia, la medicina y la ingeniería. La
difusión contribuye al transporte de oxígeno a través de los tejidos vivos, a la presencia de óxidos de
azufre y nitrosos en la lluvia ácida, al crecimiento de estalactitas y espeleotemas relacionados, a la
corrosión y degradación de las estructuras de soporte de los edificios y puentes, y a la liberación
controlada en el tiempo de fármacos en sofisticados sistemas de administración de fármacos. Una
característica importante que comparten estos diversos ejemplos es la noción de que una especie
química individual puede moverse a través de un material o medio a una velocidad o en una dirección
que difiere de la del medio en su conjunto. Por ejemplo, en ausencia de circulación o ventilación, el
aroma de un frasco de perfume abierto llenará rápidamente una habitación. Incluso si no se revuelve,
el azúcar puede disolverse y mezclarse en una taza de café. Este movimiento o transporte de especies
químicas individuales se conoce genéricamente como difusión y el fenómeno es una consecuencia
observable de eventos invisibles en la escala molecular.
Desde un punto de vista de ingeniería, la difusión encuentra aplicación en procesos de separación,
procesos de mezcla, procesos que implican cambio de fase y procesos en los que se produce una
reacción química. En este capítulo, presentamos una explicación detallada de la difusión como
mecanismo de transferencia de masa, incluida la representación matemática de la difusión y su
relación con las ecuaciones de conservación de masa desarrolladas en el Capítulo 2.
Un ejemplo de un sistema de ingeniería en el que la difusión desempeña un papel crucial es el
proceso de separación conocido como pervaporación. Este proceso se puede utilizar para separar
contaminantes orgánicos volátiles (VOC) del agua. Por ejemplo, el agua subterránea contaminada
con tricloroetileno (TCE) se puede remediar mediante pervaporación (EPA, 1998; Das et al., 2006;
Kim et al., 2007). El proceso se basa en el hecho de que el VOC que se va a separar es relativamente
volátil (al igual que el TCE en condiciones ambientales).
La pervaporación consiste en poner en contacto el líquido contaminado (agua + TCE) con una
membrana hidrófoba (Figura 3.1). La hidrofobicidad de la membrana impide que el agua llene
completamente los poros de la membrana, de modo que existe una interfaz líquido/gas dentro del
espacio poroso. Debido a su volatilidad, el TCE se evapora en el gas y
23
Machine Translated by Google
24
Fenómenos del transporte ambiental
Aire
Aire + TCE
Membrana
selectivo para TCE
ECT
Agua + TCE
Agua tratada
FIGURA 3.1 Proceso de pervaporación de flujo cruzado para separar el TCE del agua: el agua líquida
contaminada con TCE fluye a lo largo de una membrana selectiva para el TCE; es decir, el TCE puede
difundirse a través de la membrana, pero otros compuestos (por ejemplo, compuestos menos volátiles) no
pueden. El TCE se evapora en una interfaz gas/líquido en los poros de la membrana, se difunde a través de la
membrana y es arrastrado por una corriente de aire que entra en contacto con la membrana.
El TCE se transporta al otro extremo de la membrana por difusión a través de la fase gaseosa en los
poros. Los resultados del proceso son agua desprovista de TCE y una corriente de aire con TCE
evaporado, que luego se puede tratar, por ejemplo, mediante adsorción del TCE sobre carbón activado.
El grado de separación que se puede lograr estará determinado por la velocidad a la que el TCE se
difunde a través de la membrana. Este ejemplo específico se analizará más adelante en este capítulo.
La sección 3.2 presenta la difusión desde un punto de vista molecular y presenta un marco para la
cuantificación matemática de los procesos difusivos. En la sección 3.3 aplicamos estos conceptos,
junto con los balances de masa macroscópicos tratados en el capítulo 2, para resolver casos prácticos
que involucran problemas unidimensionales en los que la difusión es el principal mecanismo de
transporte.
3.2 LA DIFUSIÓN COMO MECANISMO DE TRANSFERENCIA DE MASA
Para exponer la base física de la difusión, considere el siguiente experimento: un depósito está
dividido en dos secciones por un tabique que separa dos gases. En una sección hay una mezcla de
gases que contiene moléculas de dos especies químicas diferentes: A y B. En la otra sección, hay B
puro (Figura 3.2). Si se elimina el tabique, el movimiento molecular aleatorio inducirá a las moléculas
de A y B a ocupar todo el espacio disponible. Las moléculas de A comenzarán a aparecer en el lado
derecho del depósito. Después de un tiempo suficiente, se alcanza un nuevo estado de equilibrio
(Figura 3.2b) en el que hay una distribución molecular uniforme (en el sentido promedio) tanto de A
como de B en todo el depósito.
En el ámbito del continuo, no nos interesa describir lo que le sucede a cada molécula, sino que
esperamos analizar los procesos desde un punto de vista macroscópico. Si observamos este proceso
macroscópicamente (es decir, a nivel del continuo), vemos que ha habido un flujo neto de la especie A
de izquierda a derecha. Este transporte macroscópico de A se debe a su movimiento molecular
aleatorio y da como resultado un transporte neto de A desde regiones de concentraciones relativamente
altas a regiones de concentraciones bajas.
Este mecanismo de transporte se denomina difusión.
En el ejemplo ilustrado en la Figura 3.2, se puede utilizar un simple balance de masa o molar de A
para calcular la concentración final de A en el estado de equilibrio final.
Machine Translated by Google
25
Transporte difusivo
Dividir
se levanta
Molécula de A
Molécula de B
B
A+B
(a) Estado inicial
(b) Estado final (de equilibrio)
FIGURA 3.2 Un tabique sólido separa dos secciones de un depósito, cada una de las cuales está llena de gas. (a)
Inicialmente, la sección de la izquierda contiene moléculas de dos especies químicas diferentes, A y B, mientras
que la sección de la derecha contiene sólo moléculas de B. El tabique se levanta lentamente y se permite que el
sistema evolucione hacia un nuevo estado de equilibrio (b), caracterizado por una distribución uniforme de ambas
especies en todo el depósito. La representación pretende ser esquemática; en realidad, habrá muchas más
moléculas y estarán en un estado de movimiento continuo.
A partir del conocimiento de la concentración inicial de A en la sección izquierda, nuestro interés en el
estudio de la transferencia de masa no sería sólo cuantificar la distribución de especies químicas en
estados de equilibrio, sino también determinar la velocidad a la que evoluciona el proceso.
El trabajo pionero sobre la observación macroscópica de la mezcla de gases en procesos similares
al experimento considerado aquí (Figura 3.2) se ha atribuido a Graham (1829, 1833, citado por
Cussler, 1997 y Philibert, 2006).
En concreto, Graham reconoció que los gases en esta situación no se segregarían espontáneamente
por su densidad, sino que se mezclarían hasta lograr una distribución uniforme de especies.
La difusión no se limita a los gases. También existe difusión espontánea de componentes miscibles
en líquidos y sólidos, ya que las moléculas individuales generalmente están en movimiento. En la fase
líquida, las interacciones intermoleculares disminuyen la velocidad a la que se produce la difusión, en
comparación con la fase gaseosa (debido a las interacciones con otras moléculas, una sola molécula
no tiene la libertad de movimiento que tendría en un gas). El proceso es drásticamente más lento en
los sólidos, donde el movimiento molecular generalmente está mucho más restringido. De manera
simplificada, es posible
Machine Translated by Google
26
Fenómenos del transporte ambiental
Comparar los tiempos típicos de transporte difusivo en gases, líquidos y sólidos en función de un orden
de magnitud (Tabla 3.1). Sin exponer los detalles de la comparación, los tiempos de difusión en líquidos
son aproximadamente tres órdenes de magnitud más largos que en gases, mientras que los tiempos
de difusión en sólidos varían ampliamente pero pueden alcanzar varios órdenes de magnitud más que
en líquidos.
Una de las características más importantes del proceso de difusión es que tiende a uniformizar la
concentración de una especie química en una mezcla. Esto implica que el proceso de transporte se
manifiesta a nivel macroscópico (continuo) como un transporte desde regiones de alta concentración a
regiones de baja concentración. En otras palabras, el proceso de difusión puede considerarse como
una manifestación macroscópica (nivel continuo) de un proceso microscópico (nivel molecular), es
decir,
Aspecto microscópico (nivel molecular): la difusión resulta del movimiento espontáneo de una
especie a través de una mezcla debido al movimiento molecular aleatorio.
Aspecto macroscópico (nivel continuo): las especies que se difunden experimentan un
movimiento neto desde regiones de alta concentración a regiones de baja concentración.
Curiosamente, la comprensión del aspecto macroscópico de la difusión precede históricamente a la
interpretación microscópica. Después de las observaciones y mediciones de Graham sobre la difusión
en gases y líquidos, Fick (1855a, b) propuso una descripción matemática del transporte macroscópico.
En esa época, ya se sabía que partículas relativamente pequeñas suspendidas en un fluido seguían
trayectorias aparentemente aleatorias, un fenómeno que llegó a conocerse como movimiento
browniano (Brown, 1828).
El vínculo entre el movimiento molecular aleatorio y el transporte macroscópico por difusión fue
formulado matemáticamente en 1905 por Einstein (citado por Einstein, 1956) y Smoluchowski (1906).
En lo que sigue, exploraremos cómo describir cuantitativamente el proceso de difusión.
Consideremos el movimiento de una especie química (A) en una mezcla. En un volumen arbitrariamente
pequeño de mezcla, ΔV, habrá NmA moléculas de A. Aquí, ΔV se selecciona de tal manera que sea
tan pequeño que parezca un punto en el continuo; es decir, es mucho más pequeño que un volumen
representativo de la escala de observación, pero es lo suficientemente grande como para contener un
número estadísticamente significativo de moléculas de A.
CUADRO 3.1
Orden de magnitud de los tiempos de difusión en distintas fases
Fase
Tiempo de difusión a través de 1 m de material
Observaciones
Gas
5 minutos
Casi ninguna interacción molecular
Líquido
1 día
Las interacciones moleculares son moderadas
Sólida
Días a meses
Las interacciones moleculares son fuertes
Los tiempos de difusión en esta tabla son estimaciones del tiempo necesario para que una cantidad apreciable de una especie química sea
transportada a través de 1 m de la fase indicada.
a Los tiempos de difusión en los sólidos varían en gran medida según su estructura microscópica (por ejemplo, el grado de cristalinidad).
Machine Translated by Google
27
Transporte difusivo
El movimiento de A a través del espacio se cuantifica mediante el vector de velocidad promedio de todas
las moléculas de A,
norte mamá
en
A
=
norte
en
∑1
mamá
yo
(3.1)
Aj
=1
donde vAj es la velocidad de la jésima molécula de A presente en ΔV. La ecuación 3.1 es la definición de
velocidad de especie. Nótese que, para NmA suficientemente grande, vA puede considerarse como una
propiedad continua (macroscópica). Podemos utilizar la velocidad de especie para cuantificar la cantidad
de A que se mueve a través del espacio. Para ello, considere la cantidad de A que cruza una pequeña
superficie ΔA perpendicular al vector vA (Figura 3.3). En un intervalo de tiempo Δt, las moléculas que
cruzan ΔA son las moléculas de A contenidas en un volumen (ΔV) abarcado por ΔA y el vector Δr = vAΔt.
Si pA es la concentración numérica de A en el volumen (número de moléculas de A por unidad de
volumen), podemos afirmar
{
Moléculas de A que atraviesan la
periodo t ∆ ∆ superficie A en el
}=
= ∆ ∆ rp
pág.
A A
A ∆ ∆ AvA t
(3.2)
donde Δr representa la magnitud del vector Δr. Si dividimos esta ecuación por ΔtΔA (observando que Δt,
ΔA → 0), obtenemos las moléculas de A que viajan a través del espacio por unidad de superficie y unidad
de tiempo en un punto del material. Este es el ujo molecular de la especie A,
{ Moléculas de A moviéndose a través
} = pA A
en
espacio por unidad de tiempo y área de superficie
(3.3)
Es más conveniente representar el transporte de especies en términos de concentración molar (moles
de A por unidad de volumen de mezcla),
do
A
=
pag
A
A
(3.4)
en
ΔA
Δr
ΔV
Virginia
FIGURA 3.3 Una pequeña superficie en el espacio (ΔA) perpendicular a la velocidad de la especie vA. El
volumen ΔV es la región del espacio abarcada por el movimiento de las moléculas de A en un tiempo Δt.
Machine Translated by Google
28
Fenómenos del transporte ambiental
donde Av es el número de Avogadro (6,02 × 1023 moléculas/mol). Dividiendo la ecuación 3.3 por Av se
obtiene la definición del flujo molar de A,
norte
A
= cv A
(3.5)
A
donde NA representa los moles de A que se mueven a través del espacio por unidad de tiempo y área
de superficie en un punto.
Si consideramos un área de superficie perpendicular a la dirección de transporte de A (es decir,
perpendicular a NA), podemos cuantificar los moles de A que cruzan la superficie por unidad de tiempo
desde
WNA = ∆A
(3.6)
A
donde WA es el caudal molar de A que atraviesa la superficie ΔA. Nótese que NA es una propiedad
puntual (intensiva), ya que podemos asignarle un valor en cada punto del espacio, mientras que WA es
una propiedad macroscópica (extensiva), ya que su valor depende del tamaño de la superficie ΔA.
Por ahora, trataremos con una mezcla binaria formada por dos especies, A y B, en la que el
movimiento de B estará cuantificado por el ujo molar de B, NB, definido análogamente al ujo molar de
A. El ujo molar total (moles netos de mezcla transportados por unidad de tiempo y por unidad de área)
es la suma de los ujos de las especies que componen la mezcla,
NN = +
A
norte
B
(3.7)
dónde
norte
B
= cv B
B
(3.8)
Se puede definir una velocidad media para la mezcla, v*, utilizando una ecuación similar a las
ecuaciones 3.5 y 3.8,
Nv = *c
(3.9)
Por otra parte, la concentración molar total (o densidad molar) de la mezcla
es la suma de las concentraciones de las dos especies,
cc= + Un antes de Cristo
(3.10)
Combinando las ecuaciones 3.5, 3.7, 3.8 y 3.9 obtenemos:
v *c = + v A A C V B B
(3.11)
Machine Translated by Google
29
Transporte difusivo
Las fracciones molares de las dos especies se dan por
incógnita
A
do
=
A
,
incógnita
do
=
B
do
B
(3.12)
do
Utilizando estas relaciones, la ecuación 3.11 se puede escribir como
v *
= + xvxv
Automóvil club británico
CAMA Y DESAYUNO
(3.13)
de modo que la velocidad de la mezcla definida por su uso en la ecuación 3.9, v*, es la velocidad molar promedio
de la mezcla.
Cuando se utilizan los principios de conservación de la masa y el momento en el estudio de la mecánica de
fluidos (véase el capítulo 6), el movimiento se representa mediante una velocidad que indica el flujo de masa, en
lugar del flujo molar. En este artículo, generalizaremos el concepto a las mezclas.
Sean nA y nB los flujos de masa de las especies (masa de las especies transportadas por unidad de tiempo y
área superficial en un punto del espacio). Podemos obtener estos flujos a partir de
norte
A
= METRO
B
= METRO
norte
A norte A
B norte B
(3.14)
(3.15)
donde MA y MB son los pesos moleculares de las especies. También podemos definir un flujo másico total de la
mezcla mediante
nn = + nA
B
(3.16)
Multiplicando las ecuaciones 3.5 y 3.8 por los pesos moleculares de las especies y utilizando las ecuaciones
3.14 y 3.15, encontramos
norte
en
(3.17)
B = c MB
B B en
(3.18)
= cMAA
Automóvil club británico
norte
El producto entre el peso molecular y la concentración molar es la concentración másica (masa de especies
por unidad de volumen de mezcla),
= cMA ρA A
(3.19)
= cMBρB
B
(3.20)
De modo que las ecuaciones 3.17 y 3.18 se pueden escribir como
Automóvil club británico
= ρA
(3.21)
B = ρBB en
(3.22)
Nevada
norte
Machine Translated by Google
30
Fenómenos del transporte ambiental
Se puede definir una velocidad media para la mezcla, v, utilizando una ecuación similar a
estas dos ecuaciones,
norte
v=ρ
(3.23)
La concentración de masa total (o densidad) es la suma de las concentraciones de masa
De las dos especies,
ρρ = +A
(3.24)
Bρ
La combinación de las ecuaciones 3.16, 3.21, 3.22 y 3.23 conduce a
+
vv ρ=ρ
(3.25)
AA vB B ρ
Las fracciones de masa de las dos especies se dan por
el
A
= ρA ,
ρ
el
B
= ρB
ρ
(3.26)
Usando estas relaciones, la ecuación 3.25 se puede escribir como
+ wv = w
en
(3.27)
en
ABB­Asociación Americana de Abogados
Esta es la velocidad promedio de la mezcla en función de la masa. Nótese que, aunque ambas
velocidades (molar y promedio de la masa) representan el movimiento de la mezcla, en general
v* ≠ v. Hay dos casos notables en los que las dos velocidades son iguales: (i) cuando MA = MB
(por ejemplo, si A y B son isómeros); (ii) cuando uno de los componentes está diluido (por
ejemplo, si xA « 1, la mezcla es casi B puro y las ecuaciones anteriores se pueden usar para
mostrar que v* ≈ v ≈ vB).
En el estudio de la transferencia de masa, generalmente se prefiere la representación molar
de flujos y concentraciones sobre la representación de masa, especialmente cuando están
involucradas reacciones químicas, ya que la información sobre la cinética química y el equilibrio
químico generalmente se expresa en base molar.
Las definiciones y ecuaciones anteriores se generalizan directamente a un multicomputador.
sistema de componentes (mezcla de componentes Nc ) como sigue:
Nvc A=
Automóvil club británico
= 1, 2…,N
A ,
do
(3.28)
Carolina del Norte
NN =
= vc
∑ Un
A =1
*
(3.29)
Carolina del Norte
v *
=
∑xA A
A =1
en
(3.30)
Machine Translated by Google
31
Transporte difusivo
=
Nevada
Automóvil club británico
ρA
Un =
1 2,,N …,
,
(3.31)
do
Carolina del Norte
nn =
∑ Un
A=1
= vρ
(3.32)
en
(3.33)
Carolina del Norte
en =
∑ wA A
A=1
El movimiento de la especie A en la mezcla es consecuencia de dos mecanismos distintos:
difusión y convección. Como se mencionó anteriormente, la difusión es el transporte de la
especie química debido al movimiento molecular aleatorio. La convección se refiere al movimiento
de la especie química debido al movimiento en masa de la mezcla. Si representamos el
movimiento utilizando una base molar, la convección se cuantificará por medio de la velocidad
de la mezcla v* . Dado que los dos mecanismos son independientes, podemos descomponer la
velocidad de la especie de la siguiente manera:
= + vv*
A
Esta ecuación define uA
*
u*
(3.34)
A
como la velocidad de difusión molar de la especie A. Nótese que la
velocidad de difusión es la velocidad de A relativa a la velocidad de la mezcla; es decir, el movimiento
difusivo se superpone al movimiento de la mezcla. El uso de vA de esta ecuación en la ecuación 3.5
conduce a
= + cvc
*
norte
A
tú*
A
Automóvil club británico
(3.35)
El primer término en el lado derecho de esta ecuación es el flujo convectivo molar.
de la especie A, y el segundo término es el ujo difusivo molar, que denotaremos por
* =
*
Una Ac Una
(3.36)
Yo
Usando la Ecuación 3.9, el ujo convectivo en la Ecuación 3.35 se puede expresar en términos del
ujo molar total (N), de modo que la Ecuación 3.35 se convierte en
*
= + xN
norte
Y
Automóvil club británico
(3.37)
En un sistema binario, se puede encontrar una ecuación similar para el componente B:
norte
B
*
J.B.
= + xN
B
(3.38)
dónde
* =
B Bc B
Yo
*
(3.39)
Machine Translated by Google
32
Fenómenos del transporte ambiental
y la velocidad de difusión molar de la especie B es
uv *= −
en *
B
(3.40)
B
Para esta mezcla binaria vemos que, si sumamos las ecuaciones 3.37 y 3.38, la izquierda
El lado derecho se convertirá en el flujo molar total (Ecuación 3.7) y
norte
= +xx
(
) + + Yo*
norte
A
B
De
Yo *
(3.41)
Como las fracciones molares deben sumar 1, concluimos
Yo *
=−
A
Yo *
(3.42)
B
es decir, los flujos difusivos molares de A y B tienen la misma magnitud pero dirección
opuesta. Otra forma de decir esto es que el flujo difusivo molar neto de la mezcla es cero.
Esta conclusión es una consecuencia del hecho de que el movimiento difusivo se superpone
al movimiento de la mezcla. En otras palabras, si utilizáramos un sistema de coordenadas
que se mueve con la mezcla, todo el movimiento se debería a la difusión y la mezcla en su
conjunto estaría estacionaria.
Para un sistema multicomponente, se puede demostrar que la versión equivalente de la ecuación
3.42 es
Carolina del Norte
∑ =Y
*
0
(3.43)
A=1
Los flujos difusivos molares tienen las siguientes características:
1. Son consecuencia de procesos que ocurren a nivel molecular.
(difusión).
2. La dirección del vector de flujo difusivo va de regiones de alta concentración a
regiones de baja concentración.
La primera característica implica que una representación matemática de los flujos
difusivos debe basarse en una ecuación constitutiva que refleje el movimiento molecular
aleatorio. La segunda característica indica que el vector de flujo tendrá la dirección opuesta
al gradiente de concentración de la especie. En el establecimiento de la ecuación constitutiva,
consideraremos tres casos diferentes.
3.2.1 SISTEMAS BINARIOS
Para sistemas con dos componentes (A y B), la ecuación constitutiva del flujo difusivo es la
ley de Fick,
*
Y
= − cd
incógnita
A licenciado en Letras
(3.44)
Machine Translated by Google
33
Transporte difusivo
Según esta ecuación, el flujo difusivo es paralelo y directamente proporcional al
gradiente de fracción molar. El signo menos refleja el hecho de que el transporte se
producirá desde concentraciones altas a concentraciones bajas (véase el análisis de la
Figura 3.4). El coeficiente DAB es la difusividad o coeficiente de difusión binaria de A en
B. Una expresión similar se aplica al componente B,
*
J.B.
= − cd B De
(3.45)
incógnita
donde DBA es la difusividad de B en A. Nótese que, dado que
xxDe + = 1
x A +
=B0
(3.46)
incógnita
La suma de las ecuaciones 3.44 y 3.45 utilizando las ecuaciones 3.42 y 3.46 conduce a
0 = −cD(
−
De
Dx)
licenciado en Letras
(3.47)
A
Dado que esta ecuación debe ser válida para cualquier campo de fracción molar, concluimos que
DDDe =
(3.48)
licenciado en Letras
es decir, un coeficiente de difusión es suficiente para cuantificar la difusión en una mezcla binaria.
Se puede suponer que la concentración molar total o densidad molar, c, es uniforme
para líquidos isotérmicos y para gases con temperatura y presión uniformes (recuerde
que, para un gas ideal, c = P/RT). Si este es el caso, c se puede colocar en el gradiente
de la ecuación 3.44 para obtener
*
Y
= − ReA c
licenciado en Letras
,
uniforme c
(3.49)
California
Yo
Caso 1: cA aumenta con x
A
DCA
Dx
DCA
Dx
Yo
<0
A
Yo
A
Yo
>0
A
<0
>0
Caso 2: cA disminuye con x
incógnita
FIGURA 3.4 El flujo difusivo en relación con el perfil de concentración para el transporte en una
dirección (x). El único componente distinto de cero del gradiente de concentración en la ecuación
* =−
El signo de la
3.49 es, en este caso, dcA/dx, lo que conduce a un flujo en la dirección
x:A JD
A
BA
El flujo refleja la dirección en la que se difunde A: Caso 1, cA aumenta con x de modo que el
gradiente de concentración es positivo y el flujo es negativo (A se difunde en la dirección x
negativa); Caso 2, cA disminuye con x de modo que el gradiente de concentración es negativo y
el flujo es positivo (A se difunde en la dirección x positiva).
corriente continua/corriente continua.
Machine Translated by Google
34
Fenómenos del transporte ambiental
Como se señaló anteriormente, el signo menos indica que la dirección del flujo va de concentraciones
altas a concentraciones bajas. La figura 3.4 ilustra esto para el caso del transporte unidimensional en la
dirección x.
La difusividad, DAB, representa el vínculo entre los movimientos moleculares aleatorios que causan la
difusión y el flujo difusivo, que es su manifestación macroscópica.
En general, la difusividad depende de
1. Las estructuras químicas de las especies A y B
2. El estado termodinámico del sistema (por ejemplo, T y P)
Tenga en cuenta que cuanto mayor sea la difusividad, mayor será el flujo para una concentración determinada.
gradiente. En la Tabla 3.2 se dan ejemplos de difusividades de sistemas binarios.
Una característica importante de la difusividad es que su magnitud depende de la fase en la que se
produce el transporte difusivo. Las difusividades en los gases suelen ser del orden de 0,1 cm2/s, mientras
que en los líquidos son del orden de 10−5 cm2/s. Esta diferencia refleja un nivel más fuerte de interacciones
intermoleculares en la fase líquida, lo que hace que la difusión sea más lenta (recuerde la comparación de
los tiempos de difusión en la Tabla 3.1).
En los gases, la difusividad disminuye a medida que aumenta el tamaño de las moléculas que se difunden.
Por ejemplo, la difusividad binaria del sistema H2/CH4 es significativamente mayor que la del sistema CO2/
N2 . Las mezclas binarias de gases que involucran H2 muestran difusividades relativamente altas porque
la molécula de dihidrógeno es una de las más pequeñas.
Para gases ideales a temperaturas relativamente bajas (por ejemplo, Bird et al. 2007), la cinética
La teoría de los gases permite predecir
D
De
~
yo 2
PMA B
1
+
1
(3,50)
METRO
donde el efecto del tamaño molecular es evidente (como se refleja en los pesos moleculares).
Las temperaturas más altas conducen a un movimiento molecular más rápido y a colisiones más enérgicas.
CUADRO 3.2
Difusividades binarias a 298 K y 1 atm
Componentes (Fase)
DAB (cm2/s)
H2/CH4 (gas)
0,726
CO2/N2 (gas)
0,167
O2/H2O (líquido)a
2,41 × 10−5
KCl/H2O (líquido)a
1,87 × 10−5
KCl/etilenglicol (líquido)a
0,12 × 10−5
CO2/caucho (sólido)a
1,1 × 10−6
Él/Fe (sólido)a
2,6 × 10−9
Al/Cu (sólido)
1,3 × 10−30
a El soluto, que figura como primer componente, está diluido.
Machine Translated by Google
35
Transporte difusivo
y, en consecuencia, una difusión más rápida. Nótese también que un aumento de la presión conduce
a una difusividad menor. Las presiones más altas aumentan la concentración molar total de la
mezcla, lo que disminuye el camino libre medio entre colisiones y aumenta la probabilidad de
colisiones intermoleculares. En consecuencia, para un intervalo de tiempo dado, el desplazamiento
medio de las moléculas individuales disminuye y, en consecuencia, la difusividad disminuye.
Las teorías moleculares de difusión en líquidos suelen considerar las moléculas que se difunden
como partículas que se mueven a través de un líquido continuo. El movimiento molecular se ve
afectado por la fricción de la molécula que se difunde con el líquido, lo que establece un vínculo
entre la difusividad y la viscosidad. Una ecuación empírica para estimar la difusividad de A en B en
una solución en la que A está diluida (xA«1) es la ecuación de Wilke­Chang, es decir,
D De ≈ 7 .4 10 ×
−8
yo
ψ
METRO
CAMA Y DESAYUNO
VµA0 .6
(3.51)
donde μ es la viscosidad de la solución (que sería aproximadamente la viscosidad del líquido B) en
A
mPa s.
Punto de fusión, ψB es un parámetro de asociación para el solvente, MB es el peso molecular del
solvente B en g/mol, T está en K y DAB está en cm2/s. Valores recomendados para ψB
incluyen (Bird et al., 2007): agua, 2,6; metanol, 1,9; y benceno y heptano, 1,0.
La relación inversa entre difusividad y viscosidad se refleja en las dos difusividades en fase
líquida citadas en la Tabla 3.2 para KCl; en estas condiciones, la viscosidad del agua es de 0,9
mPa∙s, mientras que la viscosidad del etilenglicol es de aproximadamente 15 mPa∙s. Reid et al.
(1987) han revisado otros métodos y relaciones para predecir difusividades en gases y líquidos.
Las difusividades en sólidos están fuertemente influenciadas por el orden molecular de la fase
sólida, y su orden de magnitud puede variar ampliamente, como se ve en los ejemplos que se
muestran en la Tabla 3.2. En general, los sólidos amorfos blandos, como los polímeros gomosos,
tienden a comportarse de manera similar a los líquidos, con difusividades cercanas al orden de
magnitud esperado para los líquidos (por ejemplo, CO2/caucho), mientras que la difusión de átomos
relativamente grandes a través de sólidos cristalinos tiene difusividades que pueden ser muchos
órdenes de magnitud menores (como Al/Cu).
3.2.2 SISTEMAS PSEUDOBINARIOS
Como veremos a continuación, las ecuaciones constitutivas de los sistemas multicomponentes son
considerablemente más complejas que la ley de Fick. Sin embargo, el transporte de una especie
en un sistema multicomponente a veces puede aproximarse mediante la ley de Fick. A estos
sistemas los llamaremos sistemas pseudobinarios. Distinguiremos dos casos:
1. Sistemas en los que la especie de interés transportada está diluida (xA « 1).
2. Sistemas en los que el resto de componentes de la mezcla (excepto A) mantienen sus
proporciones relativas. Un ejemplo de ello es el transporte de un gas a través del aire.
Mientras las proporciones relativas de oxígeno y nitrógeno en el aire sean las mismas, se
puede suponer que la mezcla se comporta como un único componente.
Machine Translated by Google
36
Fenómenos del transporte ambiental
En ambos casos se aplica la ley de Fick:
*
, uniforme c
= − ReUncsoy un
Y
(3.52)
y el coeficiente de difusión, DAm, es la difusividad de A en la mezcla.
3.2.3 SISTEMAS MULTICOMPONENTES
Para entender la forma matemática de la ecuación constitutiva para sistemas multicomponentes,
consideremos nuevamente la ley de Fick para un sistema binario. A partir de las ecuaciones 3.36
y 3.44, podemos obtener una expresión para la velocidad de difusión molar de A,
*
uA
1
=−
incógnita
DxA B A
(3.53)
A
De manera similar, para el componente B (recordando la ecuación 3.48)
*
uB
1
=−
incógnita
DxAB B
(3,54)
B
Restando las ecuaciones 3.53 y 3.54 y reordenando obtenemos
xxDe
*
*
uuB − = −A ) +
D De
xxxx
( De
(3,55)
licenciado en Letras
Usando la ecuación 3.46, vemos que
− De xx + xx
= xx
licenciado en Letras
+ ( 1 − xx
Automóvil club británico
A
=A
xA )
(3,56)
de modo que la ecuación 3.54 conduce a
x A=
xxDe
D De
*
( uuB
−
*
A )
(3,57)
Destacamos que esta ecuación es una consecuencia de la ley de Fick para un sistema
binario. Para sistemas multicomponentes, no existen ecuaciones constitutivas que sean
explícitas en el flujo de cada especie. Las ecuaciones constitutivas tienen una estructura
matemática que es consistente con la Ecuación 3.57; a saber,
norte do
=B
x∑xx
licenciado en Letras
A=1
*
D
*
*
( uuDe
−
*
),
= N,
B12,
…,
do
(3,58)
licenciado en Letras
donde los coeficientes DBA no son, en general, difusividades binarias sino
propiedades asociadas a la mezcla específica. El conjunto de ecuaciones 3.58 para todas
Machine Translated by Google
37
Transporte difusivo
Los componentes se denominan ecuaciones de Stefan­Maxwell. Forman un conjunto de
ecuaciones algebraicas lineales cuya solución proporciona las velocidades de difusión de cada
especie, a partir de las cuales se pueden calcular los respectivos flujos difusivos. Las ecuaciones
de Stefan­Maxwell rara vez se utilizan en el modelado de la transferencia de masa en sistemas ambientales.
Como veremos, los casos de estudio y ejemplos prácticos que se tratarán aquí se enmarcan en las
categorías de sistemas binarios o pseudobinarios.
3.3 DIFUSIÓN UNIDIMENSIONAL CONSTANTE
En esta sección, resolvemos una serie de problemas para ilustrar el uso de las relaciones
fundamentales desarrolladas en las secciones anteriores. Restringimos nuestra discusión a
sistemas en los que los procesos difusivos salientes son unidireccionales, es decir, el vector de
flujo difusivo tiene un solo componente distinto de cero. Consideraremos que la difusión ocurre
solo en la dirección x y que el proceso de transferencia de masa está en estado estacionario (es
decir, las propiedades intensivas no cambian con el tiempo).
Comenzamos de una manera bastante general considerando el transporte unidimensional de una
especie química A a través de un volumen de control delgado Va, como se representa en la Figura 3.5.
De acuerdo con la ecuación 2.39, un balance molar de A aplicado al volumen de control indica
d
es
∫ cd V = ∫ c n w ( − v
A
A +dA )
A
A en( )
V en( )
∫ R dV
A
(3,59)
V(t)
a
Ahora estipulamos que Va está fija en el espacio, de modo que w = 0 en todas partes de la
superficie de control, y el sistema está en estado estable, de modo que el lado izquierdo de la ecuación
3.59 se anula. También tenemos
nv
A
= −v
,
A
Txa
(3.60)
en xx+ ∆
(3.61)
incógnita
nv
=
A
en A
∆xx +
,
Control de volumen, Va
NA
x
NA
x+Δx
incógnita
incógnita
x + Δx
FIGURA 3.5 Esquema de definición del balance molar de la especie A para el transporte
unidimensional en la dirección x. El volumen de control Va se extiende una distancia infinitesimal
Δx en la dirección del transporte de masa.
Machine Translated by Google
38
Fenómenos del transporte ambiental
donde utilizamos vA para representar el componente x de la velocidad de la especie, que es el
único componente distinto de cero del vector. La geometría del volumen de control es tal que
Va = SΔx, donde S es el área de la sección transversal, y asumimos que cA y vA
dependen de x, pero no varían en direcciones ortogonales a x. Sujeta a estas consideraciones,
la ecuación 3.59 se reduce a
0=cvAA
−
CVS
Automóvil club británico
incógnita
Unxx∆+
∆
SRSx+
(3.62)
donde se ha supuesto que RA es uniforme en el pequeño volumen de control. Los tres términos
de esta ecuación pueden interpretarse en términos de un balance molar de la especie A:
Moles de A que entran en el
} − { Moles de A que salen de la
0 = { { volumen de control por unidad de tiempo
}
volumen de control por unidad de tiempo
Nerado
+ Número neto de moles de A ge
En el volumen de control por reacción química.
(3.63)
}
Dividiendo la ecuación 3.62 por SΔx y tomando el límite cuando Δx → 0 se obtiene
(vdc
Automóvil club británico
Dx
) =
RA
(3.64)
De manera equivalente, utilizando la ecuación 3.5 y dejando que NA sea el componente x del flujo
molar de A, podemos afirmar
es A
Dx
= RA
(3,65)
Téngase en cuenta que esta ecuación también es aplicable a la especie B en una mezcla binaria,
es B
Dx
= RB
(3.66)
Una implicación importante de las ecuaciones 3.65 y 3.66 es que, en ausencia de reacciones
químicas (es decir, RA = RB = 0), NA y NB son independientes de x; es decir, la conservación de la
masa establece que el flujo (en estado estacionario) de especies no cambiará en la dirección del
movimiento si las especies no se generan o consumen mediante reacciones químicas.
El flujo molar de especies se puede relacionar con la concentración de especies combinando la
ecuación 3.37 con la ley de Fick. Para un sistema binario y transporte solo en la dirección x, el uso
de la ecuación 3.44 en la ecuación 3.37 da como resultado
= cD + ( ) −
N AAA
x NN
Dx A
B
con una ecuación similar aplicable a la especie B.
De
Dx
(3.67)
Machine Translated by Google
39
Transporte difusivo
A continuación, consideramos aplicaciones específicas que tratan la difusión unidimensional y
estable.
3.3.1 DIFUSIÓN A TRAVÉS DE UNA MEMBRANA SÓLIDA
Consideremos el proceso de transferencia de masa que ocurre cuando una especie química A se
difunde a través de una membrana sólida B, como se muestra en la Figura 3.6. La membrana está
interpuesta entre dos gases bien mezclados de diferentes composiciones. Aquí, representamos el
contenido de A en los gases utilizando su presión parcial, PA, y consideramos que PA1 > PA2. En
nuestro análisis, suponemos que la membrana es perfectamente selectiva con respecto a A, de
modo que ninguna otra especie en el gas puede pasar a través de la membrana. También
suponemos que las presiones parciales PA1 y PA2 son ambas constantes y conocidas.
Nuestro objetivo inmediato es desarrollar una descripción cuantitativa del transporte difusivo
de A a través de la membrana. Sin embargo, antes de hacerlo, vale la pena enfatizar que, tal como
está planteado, el problema contiene una característica importante común a un gran número de
aplicaciones de transferencia de masa, a saber, el transporte de una especie química a través de
un límite de fase (en este caso, las interfaces gas/membrana en x = 0 y L). En términos del sistema
de coordenadas establecido en la Figura 3.6, la especie A debe pasar de una fase gaseosa a la
membrana en x = 0; a la inversa, las moléculas de A deben pasar del sólido a un gas en x = L.
Para analizar y comprender los procesos de transporte de masa, uno normalmente desea o
necesita conocer la distribución de concentración de la especie en el flujo. Aquí, querremos calcular
cA(x), el perfil de concentración de A en la membrana.
En un límite de fase, como una interfase gas/sólido, la concentración de una especie química
generalmente no es una función continua de la posición. A lo largo de un eje que pasa
perpendicularmente a una interfase de fase, los perfiles de concentración química generalmente
muestran un salto abrupto o discontinuidad. Las razones de la discontinuidad en las
concentraciones son múltiples y tienen que ver principalmente con las diferencias en la estructura
molecular detallada y las interacciones moleculares que prevalecen en las distintas fases continuas.
Estas diferencias microestructurales dan como resultado, a nivel continuo, una discontinuidad
matemática de la concentración de especies desde un lado de un límite de fase hasta el otro.
Gas
Sólido
Gas
(bien mezclado)
(B)
(bien mezclado)
cA1
PA1
PA2
cA2
N/A
(PA1 > PA2)
incógnita
x=0
x=L
FIGURA 3.6 Una membrana sólida hecha del componente B separa dos gases con diferentes
presiones parciales de la especie A, que es soluble en el material de la membrana. Debido a la
diferencia de presión parcial, la especie A se difundirá a través de la membrana con un flujo molar
NA, como se indica. Otros compuestos podrían estar presentes en los gases a cada lado de la membrana.
Machine Translated by Google
40
Fenómenos del transporte ambiental
otro. De hecho, desde la perspectiva del continuo, un límite o interfaz de fase es una
superficie bidimensional infinitesimalmente delgada en la que varias propiedades del
material (por ejemplo, densidad, difusividad, conductividad eléctrica y térmica) son discontinuas.
Una implicación práctica de estas discontinuidades es evidente en el problema que nos ocupa.
Aunque podemos conocer o ser capaces de medir la concentración de A en las fases
gaseosas de la Figura 3.6, no necesariamente conocemos o tenemos mediciones
experimentales directas de cA1 y cA2, las concentraciones de A en la membrana en x = 0 y L, respectivame
Las moléculas de A están sujetas a interacciones moleculares débiles en la fase gaseosa, mientras que
en la fase sólida deben encajar en una disposición más compacta de moléculas, donde es probable
que se produzcan interacciones directas con las moléculas de B. Se espera que la fase sólida pueda
albergar la especie A, en términos de moles de A por unidad de volumen de material, en general sea
mucho menor que la del gas. La solubilidad de A en el sólido dependerá de la compatibilidad de A y B,
así como de la microestructura de la membrana.
Sabemos por la termodinámica que, si las fases vecinas están en equilibrio, se pueden
relacionar las concentraciones de componentes de un lado del límite de fases con las del
otro. Para tener en cuenta el salto en la concentración de especies en una interfaz,
introducimos entonces la noción de equilibrio local. La lógica subyacente de la idea es que
las primeras capas de moléculas que se encuentran en la interfaz se equilibran rápidamente
en comparación con las tasas de transporte de masa en las fases en bloque. Por lo tanto,
aunque la totalidad de las dos fases no está decididamente en equilibrio, a menudo se
supone que el equilibrio se mantiene localmente en una interfaz de fases.
Volviendo al escenario de la Figura 3.6, invocamos la hipótesis de equilibrio local y
afirmamos que cA1 y cA2 son funciones termodinámicas conocidas de PA1 y PA2,
respectivamente. Específicamente, suponemos que la concentración de A en las caras de
la membrana corresponde a la solubilidad de A en el sólido en las condiciones de fase
gaseosa en cuestión; es decir, cA1 es la solubilidad de A en B cuando el sólido está
expuesto a una presión parcial PA1, y cA2 es la solubilidad de A en B cuando el sólido
está expuesto a PA2. Para simplificar, consideraremos que la relación de equilibrio (solubilidad) es lineal;
CA1K = P
A1
(3.68)
CA2K = P
A2
(3,69)
donde K es una constante que depende de la temperatura y la presión total, y puede
medirse independientemente.
Dadas las ecuaciones 3.68 y 3.69, y sabiendo que PA1 > PA2, inferimos que cA1 > cA2
y el flujo de A a través de la membrana será en la dirección x (positiva). En este caso,
esperamos que A esté presente en concentraciones relativamente bajas en el sólido, de
modo que podemos considerar que la densidad molar, c, es uniforme en el sólido. Esto nos
permite expresar la ecuación 3.67 como
=
N Ax NND
+(
Automóvil club británico
corriente continua
B) −
De
A
Dx
(3,70)
Machine Translated by Google
41
Transporte difusivo
En este caso podemos establecer NB = 0 ya que el sólido es estacionario y reorganizar esto
ecuación a la forma
corriente continua
(1−xN=
) −D
De
Automóvil club británico
A
Dx
(3,71)
La condición de que A esté presente en bajas concentraciones en el sólido (sistema diluido) se puede
expresar matemáticamente afirmando que la fracción molar de A en todas partes es muy pequeña en
comparación con 1; es decir, xA « 1, lo que implica: 1 − xA ≈ 1, lo que a su vez da
corriente continua
− NORTE
DAKOTA =
DEL
A
De
A
Dx
0≤≤xL
,
(3,72)
Comparando las ecuaciones 3.70 y 3.72 vemos que, como resultado de la aproximación diluida, el
término de convección, xA (NA + NB), ha desaparecido de la formulación del problema. La convección
juega un papel insignificante en el transporte de A a través de la membrana porque: (i) el componente B
no está en flujo, y (ii) A solo está presente como un constituyente diluido en el sólido.
Si A no participa en las reacciones químicas dentro de la membrana, podemos establecer
RA = 0 y el balance molar de especies (Ecuación 3.65) se simplifica a
es
A
Dx
=0
N es
A independiente de x para 0 x L ≤ ≤
(3,73)
Como NA es constante, podemos separar las variables e integrar la ecuación 3.72
la membrana, de la siguiente manera:
yo
do
∫
N dx D cc = −
A
De
0
A2
∫
California
(3,74)
A
1
Evaluando las integrales obtenemos
=
DAKOTA DEL NORTE
A
( C.C. 1
−
Automóvil club británico 2
De
)
(3,75)
yo
Esta ecuación se puede expresar en términos de presiones parciales utilizando las ecuaciones 3.68 y
3.69,
=
N.K.D.
A
−
( PÁGINAS
1
Automóvil club británico 2
De
)
yo
(3,76)
Vemos en las ecuaciones 3.75 y 3.76 que el flujo de A a través de la membrana es directamente
proporcional a la diferencia de concentración (cA1 − cA2) o la presión parcial .
Machine Translated by Google
42
Fenómenos del transporte ambiental
diferencia (PA1 − PA2). Cualquiera de estas diferencias es la fuerza impulsora detrás del proceso de
difusión.
Como se conocen las presiones parciales de A en los gases, podemos calcular el ux a partir de la
ecuación 3.76. Ahora podemos volver a la ecuación 3.72 y derivar una expresión para cA(x). Para
ello, integramos la ecuación desde x = 0 hasta un punto genérico dentro de la membrana con la
coordenada x,
c.x.
A ( )
incógnita
∫
=−
N dx
A D cc
∫
De
0
do
A
(3,77)
) − cA1
(3,78)
A1
La evaluación de las integrales produce
N x A = −Dc A (
licenciado en Letras
La sustitución de la ecuación 3.75 y la reorganización conducen a
cc=
Automóvil club británico 1
−
( cc1
−
incógnita
Automóvil club británico2
)
(3,79)
yo
Es decir, la concentración de A varía linealmente a través de la membrana. Un esquema de
Esta ecuación se muestra en la Figura 3.7.
Los resultados obtenidos aquí pueden generalizarse a cualquier proceso de difusión a través de
una película o membrana, siempre que el componente que difunde esté presente en condiciones de
dilución insuficiente. Es decir, las Ecuaciones 3.75 y 3.79 se aplicarán independientemente de qué
fase(s) esté(n) en contacto con los límites en x = 0 y x = L. Los efectos de las fases circundantes
entran en juego cuando las concentraciones cA1 y cA2 se relacionan con las concentraciones externas
mediante relaciones de equilibrio. Para el caso particular en el que la película o membrana está
envuelta por gases y las relaciones de equilibrio son lineales (Ecuaciones 3.68 y 3.69), el ujo molar
de A puede calcularse a partir de la Ecuación 3.76, que suele expresarse como
cA1
cA(x)
PA1
PA2
cA2
incógnita
x=0
x=L
FIGURA 3.7 Perfil de concentración de la especie A en la membrana.
Machine Translated by Google
43
Transporte difusivo
−
( PÁGINAS
1
NKA =
Automóvil club británico 2
PAG
)
yo
(3,80)
dónde
KK = D
PAG
(3.81)
AB
se llama coeficiente de permeabilidad.
3.3.2 ANÁLISIS DE UN PROCESO DE PERVAPORACIÓN
Los procesos de membrana se utilizan ampliamente en sistemas ambientales. Su principal
aplicación es en procesos de separación. En la aplicación anterior, consideramos una
membrana como una fase continua en la que el componente que se difunde podría disolverse.
A menudo, las membranas contienen poros de un tamaño específico, diseñados para
permitir el paso de un líquido o gas, al tiempo que impiden o retardan el paso de partículas
sólidas o estructuras moleculares ensambladas, como coloides, presentes en el fluido. De
este modo, las partículas y los conjuntos moleculares se separan del fluido que atraviesa la
membrana; en efecto, la membrana es un medio poroso que funciona como un tamiz o filtro.
El movimiento del fluido a través de los intersticios de la membrana es en gran medida
hidrodinámico, un flujo impulsado por la imposición de un gradiente de presión a través de la membrana.
Un ejemplo de un proceso de membrana utilizado en sistemas ambientales es el
proceso de pervaporación, descrito brevemente al principio de este capítulo. En la
Figura 3.1 se representa un proceso de pervaporación típico, en el que un líquido
formado por dos componentes, A y D (agua y TCE en el ejemplo, respectivamente),
se pone en contacto con una membrana situada entre el líquido y un gas portador inerte C (aire).
Las especies A y D se evaporan en la interfase gas/líquido formada en los poros de la
membrana y luego se difunden hacia el gas portador (Figura 3.8). Si las velocidades a las
que A y D se transfieren al gas son diferentes, habrá un enriquecimiento de un
componente en relación con el otro en la fase líquida; el líquido se enriquecerá en el
componente cuya velocidad de transferencia sea más lenta. Para analizar el proceso de
pervaporación, supondremos que las especies A y D están presentes en cantidades diluidas en la fase ga
Interfaz gas/líquido
Difusión
Membrana de pervaporación (B)
Poro
Líquido (A+D)
FIGURA 3.8 Detalle de un proceso de pervaporación: A y D se evaporan en la interfase gas/líquido en el poro y
luego se difunden a través del poro hacia el gas portador. El poro se ha dibujado recto solo con fines ilustrativos:
en una membrana porosa, se espera que los poros sean tortuosos.
Machine Translated by Google
44
Fenómenos del transporte ambiental
dentro de los poros de la membrana y, en consecuencia, se difunden a través de la membrana de forma
independiente. Por lo tanto, la ecuación 3.75 describe los flujos de A y D en la membrana, siempre que
se mantengan las concentraciones y difusividades binarias adecuadas, por ejemplo, DAB
versus DDB, se utilizan.
Consideremos la descripción del transporte de A a través de la membrana. Sea cA0 la concentración
de A en el líquido que está en contacto con la membrana. Dentro de los poros de la membrana, el gas
estará en equilibrio con el líquido. Considerando que A está diluido en el líquido, la presión parcial de A
en el gas en la interfase gas/líquido, PA1, viene dada por la ley de Henry, que cuantifica el equilibrio gas/
líquido en sistemas diluidos,
pH
= cA
Un 1
(3,82)
Un 0
donde HA (constante de la ley de Henry) depende de la temperatura. Para un gas ideal, la concentración
molar está relacionada con la presión parcial mediante la ecuación del gas ideal,
do
A
=
A
PAG
(3,83)
R.O.
de modo que la ecuación 3.75 puede escribirse para el transporte de A a través de la membrana como
Sigue:
norte
D AB A (1PP δ −
=
A
Un 2
)
(3,84)
R.O.
donde δ es el espesor de la membrana. Utilizando la ecuación 3.82 podemos afirmar
norte
A
=
−
D AB AA0
(H c
R.O.
PAG
Un 2
)
(3,85)
del
Una ecuación similar se aplica para la especie D,
norte
D
=
−
D Base de (datos
HcP
de destino 0
R.O.
D2 )
(3,86)
del
Si el flujo del gas portador sobre la membrana es lo suficientemente rápido, A y D son arrastrados a
medida que emergen de la membrana, lo que nos permitiría suponer que PA2 ≈ PD2 ≈ 0. La eficacia del
esquema de separación depende de los valores relativos de los dos flujos, NA y ND. Las ecuaciones 3.85
y 3.86 pueden utilizarse para cuantificar esta eficacia y diseñar el proceso. La relación de los flujos es
una indicación cuantitativa de la eficacia de la separación:
norte
A
norte
D
=
DHABc A0
DHBDc D D0
(3,87)
Machine Translated by Google
45
Transporte difusivo
Por ejemplo, para mejorar el flujo de A sobre D, necesitaríamos uno o más de los siguientes:
1. Un valor más alto de la constante de Henry.
2. Una mayor difusividad.
3.3.3 EVAPORACIÓN DE UN LÍQUIDO EN UNA CAPA DE GAS ESTANCADO : LA
PROBLEMA DE STEFAN
Investigamos un problema arquetípico que involucra la difusión en la fase gaseosa.
Consideremos la disposición representada en la Figura 3.9, donde un líquido puro A se evapora en
un tubo abierto. Un gas de purga B fluye a través de la boca del tubo, barriendo las moléculas de A a
medida que emergen por la abertura. Lentamente, con el tiempo, el nivel del líquido disminuye y L,
como se define en la Figura 3.9, aumenta.
El problema de L(t) pertenece a una amplia clase de problemas de límites móviles conocidos como
problemas de Stefan (Rubinstein, 1971; Gupta, 2003), y la configuración experimental básica se
conoce como tubo de Stefan. Cuando se combina con la solución del problema de Stefan, el tubo de
Stefan se convierte en un aparato estándar para medir difusividades binarias en fase gaseosa. Debido
a esta conexión entre análisis y experimento, nuestras razones para estudiar el problema de Stefan
se extienden más allá de una investigación de la difusión unidimensional en fase gaseosa; también
esperamos ilustrar que, mediante la aplicación de principios básicos de transporte de masa, podemos
relacionar lo que podemos ver y medir (por ejemplo, el cambio en el nivel del líquido) con procesos que
no podemos percibir (por ejemplo, la migración de la especie A hacia arriba a través del tubo de Stefan).
La formulación matemática que presentamos a continuación incorpora varias aproximaciones
simplificadoras. La más importante de ellas es la noción de estado pseudoestacionario. También
conocido como estado cuasiestacionario, el concepto suele ser útil en problemas que
Puro B
−x = L
A
difundiendo
yo
a través de B
incógnita
Yo, yo
(gas)
− Nivel de líquido, x = 0
Líquido (A)
FIGURA 3.9 Evaporación de un líquido (A) en un gas estancado (B) en un tubo. La especie A
se evapora desde la superficie del líquido y se mueve hacia arriba por difusión. En la parte
superior del tubo, un flujo de gas seco arrastra el líquido evaporado. El proceso se lleva a cabo
a temperatura y presión constantes.
Machine Translated by Google
46
Fenómenos del transporte ambiental
implican una discrepancia significativa en las escalas de tiempo de dos o más procesos de velocidad
salientes. En el problema de Stefan hay una disparidad en la velocidad a la que cae el nivel del líquido frente
a la velocidad a la que la especie A migra a través de la fase gaseosa. Mientras el líquido A no esté en el
punto de ebullición ni cerca del mismo, L aumentará lentamente en comparación con la velocidad de
transporte de masa en fase gaseosa. Por el momento, entonces, simplemente suponemos que los flujos y
las concentraciones de A y B en fase gaseosa son aproximadamente los que surgirían si L fuera de hecho
constante. Más adelante, hacia el final del análisis, evaluaremos la validez de esta aproximación y
demostraremos que nuestro análisis cuasi­estacionario funciona porque las concentraciones molares de las
fases de vapor y líquido difieren en órdenes de magnitud.
Las restricciones adicionales que estipulamos para el análisis son:
1. La temperatura y la presión del sistema son constantes y uniformes.
La evaporación requiere energía térmica y, por lo tanto, el líquido tenderá a enfriarse a medida
que se evapora, pero si la transferencia de calor desde el entorno es suficiente,
suficientemente rápido, la temperatura del líquido permanecerá aproximadamente constante.
2. El gas de purga B que fluye por la parte superior del tubo de Stefan no contiene prácticamente A.
En este caso, se supone que el flujo es lo suficientemente rápido como para eliminar todo el A
que llega a la parte superior del tubo, pero lo suficientemente lento como para que su movimiento
no provoque una mezcla apreciable en el interior del tubo. Por lo tanto, todo el movimiento en el
interior del tubo se produce como consecuencia de la difusión.
3. La especie B es insoluble en el líquido A.
Para desarrollar una expresión para L(t), primero aplicaremos las relaciones derivadas para el transporte
de masa unidimensional y estacionario para calcular los flujos en fase gaseosa de las especies A y B. Luego
escribiremos un balance de masa transitorio en la fase líquida relacionando el cambio en el nivel del líquido
con el flujo en fase gaseosa de la especie A. Resolvemos el balance de masa para L(t) y posteriormente
derivamos una ecuación que expresa DAB en términos de cambios mensurables en L.
Comenzamos nuestro análisis del transporte en el tubo de Stefan observando el flujo de B.
Las especies A y B no reaccionan en fase gaseosa, por lo que la ecuación 3.66 implica
N c =constante, 0 x ≤ ≤ L
B
(3,88)
Nótese que la ecuación 3.66 corresponde a un proceso en estado estacionario, por lo que estamos
invocando la aproximación de estado estacionario pseudo discutida anteriormente. Dado que B es insoluble
en el líquido, no hay transferencia de masa de B a través de la interfaz gas/líquido, lo que implica que NB =
0 en x = 0. La ecuación 3.88 entonces implica
norte
B
= 0 0, ≤ x L ≤
(3,89)
Por lo tanto, la especie A que se evapora se difunde a través de una columna estancada de gas B.
De manera similar, la ecuación 3.65 implica que el flujo molar de A, NA, es una constante.
Consideremos ahora la ecuación 3.67 de ux unidimensional. Utilizando NB = 0 y xA = cA/c,
y al observar que c (=P/RT para un gas ideal) es uniforme, se obtiene
Machine Translated by Google
47
Transporte difusivo
−
N.ºA 1
do
A
=−
do
corriente continua
D De
A
Dx
(3,90)
Esta ecuación se puede separar e integrar de la siguiente manera:
yo
do Alabama
∫
N dx
A cD
=−
De
0
∫
corriente continua
A
−
C.C.
A
(3,91)
do A0
donde cA0 y cAL son las concentraciones de A en el gas en la superficie del líquido (x = 0) y en la parte
superior del tubo (x = L), respectivamente. Al integrar se obtiene
norte
−
C.C.
cd De
=
A
−
yo
( en (cc )
Alabama
)
(3,92)
A0
Esta ecuación también se puede expresar en términos de presiones parciales utilizando la ecuación
del gas ideal.
do
A
=
A
PAG
R.O.
,
do
PAG
=
(3,93)
R.O.
que produce
norte
A
=
DPAB
−
en
Tren ligero
( PÁGINAS
Alabama
)
−
( PÁGINASA 0 )
(3,94)
A su debido tiempo, querremos relacionar el ujo de la especie A con el cambio (lento) en el nivel del
líquido con respecto al tiempo, L(t). Sin embargo, las presiones parciales PAL y PA0, que aparecen en la
ecuación 3.94, no se miden típicamente como parte del experimento del tubo de Stefan. En su lugar, se
introducen dos simplificaciones. Primero, el gas de purga que barre la parte superior del tubo es B puro,
por lo que PAL = 0. Además, debido a que el líquido se evapora lentamente, el equilibrio vapor­líquido
debería prevalecer localmente en la superficie del líquido (x = 0).
El equilibrio entre un líquido puro y un vapor mixto cuando se puede suponer que la fase de vapor es
un gas ideal y el líquido es un líquido ideal se describe mediante la ley de Raoult (p. ej., consulte Felder
y Rousseau, 2005). La ley de Raoult establece que la presión parcial en la fase gaseosa de las especies
que se evaporan es la presión de saturación (vapor) de las especies a la temperatura del sistema. En
este caso, podemos afirmar PA0 = PAsat (T), donde T es la temperatura en el tubo y PAsat es la presión
de vapor de A a esa temperatura. Estas aproximaciones reducen la ecuación 3.94 a
norte
A
=−
PD De
Tren ligero
en 1 −
PAG
Así es
PAG
(3,95)
Machine Translated by Google
48
Fenómenos del transporte ambiental
La presión parcial de la especie A cambia con la posición en el tubo. El perfil, PA(x), se puede
encontrar mediante la integración de la ecuación 3.102 desde la interfaz hasta una posición
arbitraria x. La expresión resultante se lee
A
PAG
incógnita
∫
A
Ndx
=−
∫
PD De
R.O.
0
DPA
(3,96)
−
A
PÁGINAS
PAG
Así es
La evaluación de las integrales produce
PD De
=
NxA
R.O.
En
−
A
PÁGINAS
(3,97)
−
Así es
PÁGINAS
La sustitución de la ecuación 3.95 en la ecuación 3.97 conduce, después de las manipulaciones, a
1 −x L
PAGA
PAGAsí es
=1 1
(3,98)
−−
PAG
PAG
El flujo dado por la ecuación 3.95 y el perfil de presión parcial dado por la ecuación 3.98
corresponden a un valor específico de L. Bajo la aproximación de estado pseudoestacionario, la
ecuación 3.95 proporciona el flujo de evaporación instantáneo que se mediría cuando el nivel del
líquido es igual al valor especificado. Sin embargo, a medida que el líquido se evapora, su nivel
bajará, lo que implica que L aumentará con el tiempo hasta que finalmente todo el líquido se
evapore (L = H en la Figura 3.9). A medida que L aumenta, el flujo de evaporación predicho por la
ecuación 3.95 disminuye.
Para determinar cómo cambia el nivel del líquido con el tiempo, realizamos un balance de
masa macroscópico del líquido contenido en el tubo de Stefan. Sea ρl y Vl , respectivamente, la
densidad y el volumen del líquido, de modo que la masa total del líquido en un momento dado esté
Un balance de masa siguiendo el enfoque
dada por ρl Vl .
expuesto en el Capítulo 2 se lee
d(V)todos
ρdt
=−
MNA
(3,99)
Automóvil club británico
donde A es el área de la sección transversal del tubo de Stefan. El volumen del líquido está
relacionado con la geometría del tubo por
Virginia
= H( ) − L l
(3.100)
de modo que
Vuelta al futuroyo
es
=−
A
El L
es
(3.101)
Machine Translated by Google
49
Transporte difusivo
Sustituyendo en la ecuación 3.99 y reordenando obtenemos
El L
es
=
METRO
N/A
A
(3.102)
ρ
yo
Usando la ecuación 3.95 para el ux se llega a
El L
Un AB
MDP
=−
es
en 1 −
Así es
PAG
(3.103)
ρ Tren ligero
yo
PAG
En el lado derecho de esta ecuación, la única cantidad que cambia con el tiempo
es L. Por lo tanto, podemos separar e integrar la ecuación de la siguiente manera:
yo
a
∫ LDL
yo
Un AB
MDP
=−
en 1
ρ R.O.
−
yo
0
∫ es
Así es
PAG
PAG
(3.104)
0
donde L0 es la distancia inicial (t = 0) desde la superficie del líquido hasta la parte superior del tubo.
La integración produce una expresión para calcular L como función del tiempo:
0
= 2t en
L(t) L 1
1
Un AB
MDP
−
ρ
yo
Así es
PAG
−
(3.105)
02
Derecha­derecha
PAG
Como se mencionó anteriormente, el experimento del tubo de Stefan se puede utilizar en la
práctica para medir difusividades en fase gaseosa. En el experimento, se coloca un líquido de
densidad, peso molecular y presión de vapor conocidos en el tubo y se mide L0 . Después de un
tiempo t1, se mide la nueva longitud del tubo ocupada por el gas, L1. A partir de la ecuación 3.105,
obtenemos la siguiente ecuación para calcular la difusividad a partir de los datos,
2
1 ρ R.O. LL1 −
yo
D De
=−
A
2 Diputado
a1
2
0
− 1
en 1 −
Así es
PAG
(3.106)
PAG
Alternativamente, un enfoque más preciso sería generar un conjunto de datos de L vs. t y luego
aplicar la ecuación 3.105 a los datos usando la difusividad como parámetro ajustable.
Otra aplicación del análisis es el cálculo del tiempo que tarda todo el líquido en evaporarse en
Esto se puede hacer dejando L = H en la
el tubo, tf .
ecuación 3.105 y resolviendo para tf ,
− 1
2
=−
bueno
−
2
0
(HL) Recuperación
ρ
en 1 −
Un AB
2M de
PD
yo
PAGAsí es
(3.107)
PAG
Machine Translated by Google
50
Fenómenos del transporte ambiental
Una vez resuelto el problema, podemos evaluar la validez de la aproximación de estado
pseudoestacionario. Para ello, comparamos vA, la velocidad de la especie a la que A se difunde a través
de la fase gaseosa, con dL/dt, la velocidad a la que cae la interfase gas/líquido. La combinación de las
ecuaciones 3.5 y 3.102 muestra claramente que dL/dt es proporcional a vA, es decir,
El L
es
=
Mc
Automóvil club británico
en
A
ρ
(3.108)
yo
El coeficiente que determina las magnitudes relativas de las dos velocidades es M cA A /ρl , que es
la relación entre la concentración molar de A en la fase gaseosa y la concentración molar del líquido.
Los gases son ordinariamente mucho menos densos que los líquidos, por lo que esperamos M cA A / .
1 claramente que la velocidad a la que la interfaz cae en
Bajo esta condición, la Ecuación 3.108elmuestra
tubo sería mucho más lenta que la velocidad a la que A se difunde en la fase gaseosa, lo que, a su vez,
significa que se alcanzará el estado estable en el proceso de difusión antes de que la interfaz caiga
apreciablemente.
Para obtener una idea cuantitativa de la cantidad M cA A /ρl , consideremos valores típicos para el benceno, un líquido orgánico volátil. La masa molar del benceno es 78,1 g/mol. La densidad
y la presión de vapor del líquido son 0,879 g/cm3 y 14 kPa, respectivamente, a 20 °C. Si A es benceno, entonces ρl A − mol/cm es la densidad molar del líquido. En la fase gaseosa, cA será más
alta en la vecindad de la interfaz gas/líquido, lo que significa que ≤ c P AA sat RT = 5 7. −6 benceno se traduce en P / 0 4 1 ×
/M = 1 1. 0 3 1 ×
2
3
/RT en toda la fase gaseosa en el tubo (0 ≤ x ≤ L). La presión de vapor de
3
mol/cm y obtenemos
Así es
Mc
Automóvil club británico
5 .08 10 ≤ × − 4 1 «
(3.109)
ρl
Claramente, la aproximación pseudo­estable sería aplicable a la evaporación.
de benceno en un tubo Stefan a 20°C.
Otra forma de pensar en la aproximación cuasi­estacionaria es en términos de escalas de tiempo. El
estado pseudo­estacionario surge porque la escala de tiempo en la que cambia el nivel del líquido es
larga en comparación con la escala de tiempo en la que la especie A migra fuera del tubo de Stefan.
Estimar estas escalas de tiempo es un ejercicio sencillo. La altura de la fase de vapor es L, por lo que la
especie A migra fuera del tubo de Stefan en un tiempo que es del orden de L/vA. El nivel del líquido, por
otro lado, cambia en un marco de tiempo dado por L/(dL/dt); esta estimación se basa en la idea de que
el movimiento de la interfaz solo es significativo cuando los cambios en L son comparables a L. La
aproximación cuasi­estacionaria es válida si L/vA « L/(dL/dt), lo que equivale a decir dL/dt « vA.
Para ilustrar una aplicación del análisis anterior, considere la siguiente situación. La gasolina se
derramó accidentalmente sobre el suelo y se filtró a través del suelo no saturado hasta una profundidad
de 3 m, donde formó un charco de líquido con un espesor de 2 cm. Deseamos estimar el tiempo
requerido para que se evapore todo el charco de gasolina. Como escenario del peor caso, considere
que la gasolina evaporada viaja a través del aire en los poros del suelo solo por difusión. Si modelamos
el suelo como un conjunto de poros paralelos, entonces el proceso corresponde al problema de Stefan.
Para el propósito
Machine Translated by Google
51
Transporte difusivo
En esta aplicación, supongamos que T = 25 °C, P = 1 atm y que la gasolina se modela como compuesta de
n­octano puro. Las propiedades físicas relevantes del n­octano en estas condiciones (Felder y Rousseau,
2005; Geankoplis, 1993) son: MA = 114,22 g/mol, ρl = 0,703 g/cm3, PAsat = 0,0184 atm y DAB = 0,08 cm2/
s. La ecuación 3.107 se puede evaluar para obtener tf = 701 días para las longitudes especificadas (H = 3
m, L0 = 2,98 m). Más importante aún, el resultado de este cálculo le da al lector una idea de cuán lenta es la
recuperación de un evento de contaminación, como el que se considera aquí, cuando el proceso de
remediación se controla por difusión.
Las soluciones a los problemas presentados hasta ahora muestran cómo el principio de
conservación de la masa, junto con la versión unidimensional de la ley de Fick, se puede utilizar
para resolver problemas de transporte de masa relativamente simples. Sin embargo, la mayoría
de los problemas prácticos tienen un mayor grado de complejidad, involucrando campos de
concentración de especies que pueden ser tridimensionales en forma y dependientes del tiempo
por naturaleza. Por lo tanto, es necesario tener una descripción más completa del transporte de
masa en continuo. En el próximo capítulo, desarrollaremos ecuaciones que gobiernen los campos
y flujos de concentración en términos que sean más adecuados para la aplicación general. Los
problemas investigados en la sección anterior se pueden resolver con estas ecuaciones generales,
como una alternativa al enfoque que hemos utilizado hasta esta etapa.
PROBLEMAS
3.1 Un recipiente se llena con gas oxígeno puro a 1 atm y 25 °C. El oxígeno se fuga del recipiente al
ambiente (aire atmosférico a 1 atm y 25 °C, 21 mol % O2) debido a la difusión a través de la
pared del recipiente, que está hecha de polietileno (PE) con un espesor δ1 = 0,3 cm. Para reducir
la fuga, se propone aplicar una capa delgada de recubrimiento de látex (LC) al exterior del
recipiente (ver figura). Si el flujo de fuga máximo tolerable es 1,5 × 10−13 mol O2/cm2s en
estado estacionario, determine el espesor mínimo del recubrimiento de látex. Suponga que la
transferencia de masa entre la superficie del recubrimiento de látex y el aire atmosférico es muy
rápida. Información adicional:
2
−7
D O PE 2 ,
1.7 10 = ×
D El LC 2 ,
1.0 10 = ×
centímetro
s
2
−8
centímetro
s
La solubilidad del O2 en cada sólido viene dada por
=
c.P.K.
O2
i
O2
,
con K :
mi
PAG
= ×1 .2 10
−6
Mol
3
cm en la atmósfera
,
K LC
= ×6 .5 10
Supongamos que la relación de equilibrio en la interfaz PE/LC está dada por
do
do
2
Oh, educación física
Oh,
2 LC
=
K
Educación Física
K LC
−7
Mol
3
cm en la atmósfera
Machine Translated by Google
52
Fenómenos del transporte ambiental
delta2
δ1
Aire atmosférico
Contenedor de O2
Pared de polietileno
Recubrimiento de látex
3.2 Se han utilizado experimentos en estado estacionario para medir la relación entre el flujo molar de
oxígeno (NA) y la diferencia de presión parcial de oxígeno (ΔPA) debido a la difusión a través de un
polímero de 2 mm de espesor en lm expuesto a gas (T = 25 °C) que contiene oxígeno en ambos
lados. El resultado es
norte
A
∆ PAG
4 10 = ×− 8
A
Mol
2
ms en la actualidad
En equilibrio, la concentración de oxígeno en el polímero de la película es directamente
proporcional a su presión parcial en el gas.
Un material susceptible a la oxidación se envasa en un recipiente que, para evitar la oxidación,
tiene un volumen de gas de 150 cm3 . se limpia el interior del recipiente con nitrógeno puro de modo
que el gas del interior inicialmente no contenga oxígeno.
El paquete tiene una ventana hecha del polímero descrito anteriormente con un área igual a 5 cm2 y
un espesor de 1 mm, que separa el gas en el interior del aire atmosférico (T = 25 °C, P = 1 atm, PA
= 0,21 atm). Suponiendo que el proceso de difusión a través de la ventana de polímero está en
estado estable en todo momento, encuentre el tiempo necesario para que la presión parcial de
oxígeno aumente a 0,01 atm dentro del paquete. Suponga que la presión total del gas dentro del
paquete es constante a 1 atm y que el gas dentro del paquete está bien mezclado en todo momento.
3.3 Se encuentran mezclas gaseosas de amoniaco (A) y nitrógeno (B) en dos tanques conectados por un
tubo de vidrio de 61 cm de largo con un diámetro interior de 2,44 cm (ver figura) a T = 298 K y P =
101,32 kPa (ambas constantes). Las presiones parciales de amoniaco en los dos tanques son 20,0
y 6,666 kPa. Los tanques son tan grandes que estas presiones parciales pueden considerarse
constantes, aunque el amoniaco se difunda a través del tubo desde el tanque 1 al tanque 2.
Dado que un desequilibrio de la presión entre los dos tanques provocaría un flujo hidrodinámico a
través del tubo, el número total de moles en cada tanque permanecerá constante. Esto significa que
el nitrógeno se difundirá del tanque 2 al tanque 1 a la misma velocidad molar que el amoníaco se
difunde del tanque 1 al tanque 2. Este proceso se denomina contradifusión equimolar. Suponga que
la transferencia de masa a través del tubo se encuentra en estado estacionario. La difusividad para
este sistema es 2,3 × 10−5 m2/s.
Machine Translated by Google
53
Transporte difusivo
a. Calcule los caudales molares de amoníaco y nitrógeno a través del tubo en kmol/s.
b. Calcule las presiones parciales de amoníaco y nitrógeno en el punto medio del tubo
(a 0,305 m de cada cámara). Dibuje la presión parcial pro­
Le de amoniaco en el tubo.
c. Calcule las velocidades de las especies, vA y vB en ambos extremos del tubo.
d. Calcula la velocidad media de masa de la mezcla, v, en ambos extremos del tubo.
Comenta tus resultados.
Largo = 61 cm
P, V, T
P, V, T
Tubo de vidrio
PA1 = 20 kPa
PA2 = 6,666 kPa
el
1
2
3.4 Alguien dejó 10 cm3 de tricloroetileno (TCE) líquido en una probeta graduada en un
laboratorio cerrado y sin ventilación el viernes a las 16 h. La probeta graduada tiene un
diámetro interior de 3 cm y una longitud de 35 cm.
El laboratorio tiene un volumen total de 600 m3 y el aire en su interior estará estancado
durante el fin de semana. La EPA ha establecido un estándar interior para TCE de 100
μg/m3 como la concentración máxima permitida de TCE en el aire para una exposición
típica de 8 horas. Calcule la concentración de TCE en el aire del laboratorio el lunes a
las 8 am y determine si es seguro entrar al laboratorio sin protección. La densidad del
TCE líquido es 0,703 g/cm3 ; su presión de vapor a 25 °C es 0,0184 atm y su peso
molecular es 114,2 g/mol. La difusividad del TCE en el aire es 0,08 cm2/s. Considere
que la presión atmosférica es 0,91 atm.
Sugerencia: Suponga que el aire en el laboratorio está bien mezclado en todo momento,
de modo que el proceso está controlado por la difusión de TCE en el cilindro graduado.
¿Por qué sería bueno utilizar esta suposición para evaluar la seguridad?
Machine Translated by Google
Machine Translated by Google
4 Aplicaciones de la Difusión
Transporte difusivo
Ecuación
4.1 CONSERVACIÓN DE LA MASA DE UNA ESPECIE QUÍMICA
EN UNA MEZCLA
En la Sección 2.2, derivamos la forma matemática del balance de masa macroscópico para una especie
en una mezcla (Ecuación 2.39). En nuestro análisis, no nos interesaron los procesos que ocurren en cada
punto del volumen de control, sino más bien una visión promedio de la transferencia de masa. Ese enfoque
nos permitió formular y resolver problemas en sistemas perfectamente mezclados, como el CSTR. Sin
embargo, en muchas aplicaciones prácticas, es necesario cuantificar la transferencia de masa en cada
punto del continuo. En esta sección derivaremos las ecuaciones puntuales generales que representan la
conservación de la masa de las especies. Comenzamos escribiendo un balance molar instantáneo de
especies en un volumen de control siguiendo los lineamientos de la Ecuación 2.32. Sin embargo,
aplicaremos este balance molar a un volumen de control (Figura 4.1) que es un pequeño paralelepípedo
de tamaño Δx × Δy × Δz con la intención de eventualmente dejar que Δx, Δy, Δz → 0, para encontrar una
ecuación que sea aplicable en un punto en el continuo. El balance molar de especies es
La velocidad
mi netoa la que se acumulan moles de
La tasa de cambio temporal de la
{ moles totales de A en un volumen de control } = { Una entrada el volumen de control
}
La e en
rata los moles
neto
la que
+
de A se crean
En el control
Volumen por rea química
cciones
(4.1)
Como el volumen de control es arbitrariamente pequeño, consideraremos que la concentración molar
de la especie es uniforme y, por lo tanto, está representada por el valor único cA. En vista de esto, los
términos de acumulación en el balance se pueden escribir de la siguiente manera:
La tasa de cambio temporal de la
{ moles totales de A en un volumen de control
} =
∂
( ) cA∆∆∆ xyz ∂t
(4.2)
La entrada y salida de la especie A sólo puede ocurrir a través de los límites del volumen de control,
representado por las seis caras. Los moles por unidad de tiempo que cruzan cada una de las
55
Machine Translated by Google
56
Fenómenos del transporte ambiental
incógnita
el
z + Δz
x + Δx
y
incógnita
el
y
y + Δy
FIGURA 4.1 Volumen de control de tamaño diferencial utilizado en la derivación de ecuaciones puntuales.
Las caras del paralelepípedo son iguales al componente correspondiente del vector de flujo
molar, NA, multiplicado por el área de la superficie. Según la Figura 4.2, podemos escribir
neto
a la que los moles de
{ La velocidad
A entrar en el control de volumen
} = N y Ax ∆ − Nel
Hacha
incógnita
xx+ ∆
∆∆yz∆∆
+
y xz
− norte ∆∆ ∆∆ xz norte
+ xy norte
Ay ∆ yy+
Arizona
Sí,
sí.
−
Arizona
el
zzz
+∆
∆∆x
(4.3)
Tenga en cuenta que los componentes del flujo que ingresa al volumen de control son positivos, mientras que
Los componentes que representan moles de A que salen del volumen son negativos.
NAz
z+Δz ΔxΔy
incógnita
NAx
xΔyΔz
x + Δx
z + Δz
NAy
NAy
ΔxΔz
y+Δy
y ΔxΔz
NAx
x+Δx ΔyΔz
el
y
NAz
z ΔxΔy
y + Δy
FIGURA 4.2 Velocidades de flujo molares de la especie A que cruzan los límites del volumen de control.
Machine Translated by Google
57
Transporte difusivo
Para cuantificar el término de reacción en la Ecuación 4.1, utilizamos la velocidad de reacción RA, que
representa la tasa neta de A creada por unidad de tiempo y volumen,
La red
velocidad a la que los moles
de A se crean
(4.4)
= ∆∆∆
RA xyz
En el control
Volumen por reacciones químicas
Sustituyendo las ecuaciones 4.2 a 4.4 en la ecuación 4.1 obtenemos
∂
∂
−
( ) A∆∆∆ ∆∆ c xyz =
N yz N
Hacha
Hacha
incógnita
+ N A el
el
Sí,
−
∆∆yN
−
∆∆ ∆∆ y z+ N xz N
∆x+x
Sí
sí.
∆∆xz
y+y∆
∆∆ ∆∆∆ ∆y+RA
z+z
xyz
incógnita
Arizona
(4.5)
El siguiente paso es dividir esta ecuación por Δx Δy Δz y tomar el límite como Δx, Δy, Δz → 0. Esto
conduce a
∂ do A
∂ norte
=−
∂
∂
Hacha
−
∂ norte
Sí
−
∂ norte
Arizona
∂ el
∂y
incógnita
R+
A
(4.6)
Los primeros tres términos del lado derecho de esta ecuación son la divergencia de
el vector ux molar, de modo que
∂ do A
+
∂
=
N/A
R
(4.7)
Esta es la ecuación de continuidad de la especie A. En este punto, la ecuación contiene tanto la
concentración como el vector de ujo como variables dependientes. Para completar la formulación,
consideraremos primero el caso especial de un sistema binario con componentes A y B (las ecuaciones
finales también serán directamente aplicables a sistemas pseudobinarios, como se define en la Sección
3.2). Para este caso, el ujo molar de A está dado por (Ecuaciones 3.37 y 3.44)
norte
A
=x
A
N
c − D x AB
A
(4.8)
Multiplicando la ecuación 3.9 por xA, podemos escribir
incógnita
A
N v* = do A
(4.9)
Restringiremos nuestro análisis a sistemas en los que la densidad molar, c, puede considerarse
uniforme. Si utilizamos este supuesto y sustituimos la ecuación 4.9 en la ecuación 4.8, obtenemos
Machine Translated by Google
58
Fenómenos del transporte ambiental
norte
= c D−
A V*AB
A
(4.10)
cA
Sustituyendo esta ecuación en la ecuación de continuidad 4.7 obtenemos
∂ do A
∂
+
( c.v.
A
*
ReA+c
) (=
licenciado en Letras
)
RA
(4.11)
Si asumimos que DAB es uniforme, obtenemos
∂ do A
( do A ) v* =
+
∂a
Re­c­r
+De 2
(4.12)
Automóvil club británico
El segundo término del lado izquierdo de esta ecuación representa el transporte convectivo
, es, en general, diferente de la
de A. La velocidad molar promedio, v*
velocidad media de masa, v, como se argumentó en la Sección 3.2. Sin embargo, la mayoría de
las aplicaciones de la transferencia de masa serán para casos en los que la especie cuyo
transporte se cuantifica (A) está presente en condiciones diluidas (esto sería coherente con los
supuestos hechos antes de c constante y DAB). Si este es el caso, entonces xA « 1 y, en
consecuencia, xB ≈ 1, de modo que
en
* ≈≈
ver
B
(4.13)
y v* puede reemplazarse por v en la ecuación 4.12. Además, para flujos incompresibles (ver
Apéndice B), la divergencia del vector de velocidad es cero,
v(
=0
do
A vv ) =
ccA+
A
vv =
cA
(4.14)
y la ecuación 4.12 se convierte en
∂ do A
∂
+ en
=cDcR
+
A
2
AB AA
(4.15)
Esta es la ecuación de convección­difusión, que se utiliza ampliamente para representar
problemas de transferencia de masa. Tal como se desarrolló, la ecuación es válida para
sistemas binarios; es decir, mezclas de dos especies A y B. Sin embargo, la ecuación también
es aplicable al transporte de A en una mezcla multicomponente en la que A está diluido. En
ese caso, la difusividad binaria, DAB, se reemplaza por la difusividad de A en la mezcla, DA,
∂ do A
∂
+ en
=cDcR
+
A
A
2
Automóvil club británico
(4.16)
Esta ecuación, junto con expresiones del flujo molar de la especie, se presenta en forma
expandida para varios sistemas de coordenadas en el Apéndice C.
Machine Translated by Google
59
Transporte difusivo
Para el caso particular en el que el material no se mueve: v ≡ 0, la ecuación 4.16 se simplifica
eliminando el término convectivo. Ésta es la ecuación de difusión. En este capítulo, consideramos
aplicaciones de la ecuación de difusión.
4.2 DIFUSIÓN UNIDIMENSIONAL CONSTANTE
Los problemas a resolver en este apartado corresponden a sistemas binarios o multicomponentes
en los que la especie cuyo transporte se estudia (A) se encuentra presente en condiciones diluidas
(xA « 1), lo que hace aplicable la ley de Fick. Para sistemas binarios, la aproximación a un problema
concreto dependerá de si la mezcla está diluida en A o no:
1. Para sistemas diluidos, se aplica la ecuación 4.16 con v = 0. Nótese que si se toma v = 0
es realmente una aproximación, ya que A se difundirá y, por lo tanto, habrá movimiento
en el material. Sin embargo, el movimiento en masa será insignificante debido a las bajas
concentraciones de A. En términos de la representación del ujo molar de A, podemos
ver que, como xA«1, podemos afirmar que
≈
Nueva Jersey
*
(4.17)
Automóvil club británico
y los componentes del flujo molar de A se pueden encontrar directamente a partir de la ley de
Fick.
2. Para sistemas binarios concentrados, se debe utilizar la ecuación de continuidad en
términos del flujo molar (Ecuación 4.7), junto con la forma general de la ecuación del flujo
(Ecuación 4.8). Para estos problemas, se necesitará información sobre ambos
componentes (es decir, si se resuelven los perfiles de concentración y el flujo de A,
necesitaremos tener información sobre el flujo de B). Este es el enfoque que se utilizó
en la Sección 3.3.3 para resolver el problema de Stefan.
4.2.1 DIFUSIÓN CONSTANTE A TRAVÉS DE UNA MEMBRANA ANULAR
En esta sección, consideramos la difusión de una especie (A) a través de una membrana sólida
cilíndrica hecha de una especie B que separa dos fluidos con diferentes concentraciones de A
(Figura 4.3). Las condiciones y suposiciones para esta aplicación son
1. Estado estable.
2. No hay reacciones químicas en la membrana, RA = 0.
3. La especie A está diluida en la membrana (xA « 1).
4. La simetría en ambas direcciones z y θ nos permite afirmar que la concentración
dependerá únicamente de la dirección radial: cA = cA(r) en la membrana.
5. Dentro de la membrana, c y DAB son uniformes.
6. El fluido dentro del cilindro es el mismo que fuera del cilindro, y la concentración de A en
el fluido es uniforme (cA1 y cA2 son uniformes en las fases del fluido).
7. En la interfaz fluido/sólido, el equilibrio local implica que la concentración de A en la
membrana está en equilibrio con la concentración de A en la
Machine Translated by Google
60
Fenómenos del transporte ambiental
Concentraciones interfaciales
R1
cA2
cA1
cA1
R2
cA2
cAs1cAs2
Membrana sólida (B)
FIGURA 4.3 Una membrana anular larga separa dos fluidos con diferentes concentraciones de A
(cA1 y cA2). Se supone que existe equilibrio en las interfaces fluido/sólido, de modo que cAsi (i =
1, 2) representa la concentración en el sólido que está en equilibrio con la concentración de fluido
correspondiente, cAi.
líquido. Supondremos que la relación de equilibrio es lineal, por lo que queda representada
por la ecuación
cK = c
(4.18)
A mí
Como
donde cAs es la concentración de A en la membrana que estaría en equilibrio con una
concentración de A en el fluido cAf, y el coeficiente de partición
ciente, K, es una constante.
En las condiciones mencionadas anteriormente, podemos afirmar que cA = cA(r); es decir, la
concentración de A depende únicamente de la posición radial. Además, dado que v = 0 (sin convección)
y RA = 0 (sin reacción química), la ecuación C.12, apéndice C, simplifica
d
dr.
a Un
corriente continua
(4.19)
=0
dr.
Integrando esta ecuación dos veces se llega a la solución
c AA += ln r B
(4.20)
donde A y B son constantes de integración. Para determinar estas dos constantes, utilizaremos las
condiciones de contorno (ver Figura 4.3):
A
= do
A
= do
do
do
Un s1
,r =
(4.21)
1
=
(4.22)
A s2 , rR2
Utilizando estas dos condiciones para encontrar las constantes de integración se obtiene el perfil de
concentración:
do
A
= do
A s1
−
−
( C.C.Un1 s Un s2
en(r/R 1 )
) en( R/R
21
)
(4.23)
Machine Translated by Google
61
Transporte difusivo
Las concentraciones en la membrana se pueden relacionar con las concentraciones de fluido
mediante la relación de equilibrio (4.18), lo que implica
cK = cA
(4.24)
cK = cA
(4.25)
Como1 1
Como2 2
Utilizando estas relaciones, la ecuación 4.23 se puede escribir de la siguiente manera:
(en r/R 1 )
= c)− −
( cKcKc
A
A1
A1
A2
(en R/R
21
)
(4.26)
Como se trata de un sistema diluido, el flujo molar de A en la membrana viene dado por
Ley de Fick,
corriente continua
= − NORTE
DAKOTA DEL
Arkansas
De
A
(4.27)
dr.
La sustitución de la ecuación 4.26 da, después de las manipulaciones,
=
norte
DK
Arkansas
De
( do Un 1 ) −do A 2
a
en(R/R
2
(4.28)
1)
Esta ecuación muestra que el flujo molar de A es inversamente proporcional a r, lo que se
debe al aumento del área superficial de una carcasa cilíndrica con r. En cualquier posición
radial, podemos calcular el caudal molar de A (moles de A transportados por unidad de tiempo)
en la dirección radial mediante
Es
Arkansas
= 2π LNAr
(4.29)
donde L es la longitud del cilindro. Esto da como resultado
= 2
WLD Kπ
Arkansas
( C.C. 1
−
)
Automóvil club británico 2
De
en(R/R
21
)
(4.30)
que es independiente de r. Este es un resultado esperado: la conservación de la masa en estado
estacionario (sin acumulación) implica que los moles de A por unidad de tiempo que se transportan
a través de la membrana deben ser los mismos en cada punto.
La solución encontrada supone que los fluidos en ambos lados de la membrana son
perfectamente mezclados, es decir, la transferencia de masa dentro de los fluidos es lo suficientemente
rápida como para que las concentraciones dentro de ellos sean uniformes (cA1 y cA2). Si este no es el
caso y la transferencia de masa por convección en los fluidos es lo suficientemente lenta como para que
se puedan establecer gradientes de concentración, la concentración de A en la interfaz fluido/membrana será
Machine Translated by Google
62
Fenómenos del transporte ambiental
ser diferente de la concentración en masa en el fluido. El perfil de concentración para el último caso se
ilustra en la Figura 4.4 para cA1 > cA2. Nótese que el hecho de que las concentraciones de A en las
interfaces fluido/membrana (cAi1 y cAi2) estén en equilibrio con aquellas en la membrana conduce a una
discontinuidad de la concentración en la interfaz.
En este caso, la ecuación 4.30 todavía se aplica, pero el flujo molar de A se expresa en
En términos de las concentraciones de fluidos interfaciales representadas en la Figura 4.4,
( do Ay 1
= 2
WLD Kπ
De
Arkansas
−
do
Ai 2
en( R/R
2
)
1)
(4.31)
Las concentraciones interfaciales, cAi1 y cAi2, son generalmente desconocidas en este punto, de modo
que la Ecuación 4.31 no se puede utilizar para evaluar la tasa de transferencia de masa de A a través de la
membrana. Los valores de estas concentraciones dependen de los procesos de transferencia de masa
que ocurren en las fases del fluido. Por lo tanto, el transporte de A a través de la membrana no se puede
cuantificar por separado de su transporte en los fluidos adyacentes. Sin embargo, el flujo de especies de
transporte convectivo en un fluido adyacente a una interfaz de fase se puede representar en la mayoría de
los casos como directamente proporcional a la diferencia de concentración entre la interfaz y la masa del
fluido lejos de la interfaz. La constante de proporcionalidad es el coeficiente de transferencia de masa
convectiva. Aquí, representamos los flujos en las interfaces utilizando los coeficientes de transferencia de
masa convectiva, kc1 y kc2.
norte
Ar r R 1
=
norte
Arkansas
r= R2
= kc1c1(
−
= a
−
do
2
( do Ai 2
do
Ay 1
do
Un 2
)
(4.32)
)
(4.33)
cA1
cAi1
cAi2
KcAi1
cA2
KcAi2
FIGURA 4.4 Forma de los perfiles de concentración cuando hay transporte por convección en los fluidos dentro y
fuera de la membrana.
Machine Translated by Google
63
Transporte difusivo
En el Capítulo 6 se utilizará un tratamiento más general de la convección para mostrar por qué este tipo
de expresión es apropiada para representar flujos de transferencia de masa convectivos.
Por ahora, basta decir que los coeficientes de transferencia de masa dependen del estado de movimiento
del fluido. Por lo tanto, los valores de kc1 y kc2 representan el transporte convectivo en los fluidos y se
pueden encontrar resolviendo el problema de convección en los fluidos en movimiento o utilizando
correlaciones empíricas basadas en el sistema particular en estudio. Nótese que, dado que estamos
representando el componente radial del vector de ujo, la diferencia de concentración se define en la
dirección de aumento
coordenada radial.
A partir de las ecuaciones 4.32 y 4.22, podemos encontrar el caudal molar de A, que es
Lo mismo en todas partes:
Escribiendo
Ar 1 = 2π
1 Lkc (Ac c1
Yo
L (kc22
do )
Arkansas
= 2πR
−
Ay 1
)
(4.34)
− c )Un 2
Ai 2
(4.35)
Las ecuaciones 4.31, 4.34 y 4.35 conforman un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas: WAr,
cAi1 y cAi2. Una forma práctica de resolver estas ecuaciones es reescribirlas dejando sólo las diferencias
de concentración en el lado derecho, de la siguiente manera:
en(R/R)W
21
Arkansas
2πLD KDe
Yo
=
Arkansas
π1
2 R Lk
1
= − do
do
do
Ay 1
−
Un 1
(4.36)
Ai 2
Ay 1
(4.37)
do
(4.38)
do
do
Yo
Arkansas
π2
2 R Lk
2
= − do
Ai 2
Un 2
do
La adición directa de estas tres ecuaciones nos permite eliminar la interacción interfacial.
concentraciones y encuentre una expresión para calcular la tasa de transporte de A,
Yo
=
Arkansas
2π
litros Un 1
(1/Rk1
1c
−
c A) 2
2 1 AB
) + ( ) + ( ln(R
/R )/DK /R k
1
2
c2
)
(4.39)
Cada término en el denominador de esta ecuación puede interpretarse como una resistencia a la
transferencia de masa, ya que un aumento en su valor conduciría a una disminución en la velocidad de
transporte de A. De hecho, la solución original de nuestro problema, la ecuación 4.30, que consideraba que
los fluidos estaban perfectamente mezclados, es un caso especial de este resultado. Si los fluidos están
bien mezclados, el transporte entre la interfase y el volumen es muy rápido y el coeficiente de transferencia
de masa tiene un valor muy alto. Podemos ver en la ecuación 4.39 que si
Machine Translated by Google
64
Fenómenos del transporte ambiental
a 2 >>
DK
De
RR/R
2 en( 2 1
a c1 >>
DK
De
RR
/
1 en( 2 ) R
1
do
(4.40)
)
y
(4.41)
entonces la ecuación 4.39 se reduce a la ecuación 4.30 como aproximación.
4.2.2 DIFUSIÓN DESDE UNA ESFERA SUMERGIDA EN UN FLUIDO ESTANCADO :
DISOLUCIÓN DE UNA PARTÍCULA SÓLIDA ESFÉRICA
En esta sección, consideramos una partícula esférica sólida suspendida en un líquido en
el que el sólido es ligeramente soluble. Lejos de la partícula, el fluido está libre de soluto.
El sólido (A) se disuelve y se difunde lejos de la partícula, ya que el líquido (B) no contiene
A lejos de la partícula. El perfil de concentración esperado de A se muestra en la Figura 4.5.
Un objetivo del análisis será determinar la velocidad de disolución del sólido.
Se utilizarán coordenadas esféricas para formular el problema de difusión en la
región r > R (véase el Apéndice C para la notación). Las condiciones y supuestos bajo
los cuales se resolverá este problema son:
1. Simetría en θ (ángulo polar) y φ (ángulo azimutal).
2. No hay reacciones químicas, RA = 0.
3. C uniforme (densidad molar del líquido) y DAB.
4. La especie A está diluida en el líquido, cAs « c, donde c es la densidad molar del líquido.
y cAs es la solubilidad de A en el líquido.
5. Evidentemente, no se trata de un problema de estado estacionario, ya que, a medida que A
se disuelve, el radio de la partícula disminuirá con el tiempo. Sin embargo, si el sólido es
poco soluble en el líquido, el proceso de difusión en el líquido se acercará al estado estacionario.
cComo
auto)
a
Sólido (A)
R
Estancado
líquido (B)
FIGURA 4.5 Una partícula esférica sólida se disuelve en un gran volumen estancado de líquido.
En condiciones de pseudoestado estacionario (ver texto), la concentración de las especies que se disuelven
en la superficie de la partícula será la solubilidad de A en B (cAs), y se desintegrará uniformemente con la
posición radial como se muestra.
Machine Translated by Google
65
Transporte difusivo
en un tiempo mucho más corto que el requerido para cambios apreciables en el tamaño
de las partículas. En este caso, se puede suponer que el proceso de difusión se
encuentra en estado estable, aunque el proceso es inherentemente inestable. Esto se
denomina aproximación de estado pseudoestable, que se analizó en detalle y se aplicó
al problema de Stefan en el Capítulo 3.
Bajo los supuestos y condiciones enumerados, la ecuación de continuidad en esferas
coordenadas (Apéndice C) simplificadas
d
2 Un
corriente continua
dr.
0
dr. =
(4.42)
Integrar esta ecuación dos veces conduce a
A
do
(4.43)
= + Br
A
donde A y B son constantes de integración. Las condiciones de contorno apropiadas son
do
A
= Cr R,
do
A
= →0 ∞
,r
Como
=
(4.44)
lo que produce el perfil de concentración
do
A
= do A s
R
(4.45)
a
El flujo de A desde la superficie de la partícula se puede obtener a partir de la ley de Fick,
norte
Abajo =
=−
D De
corriente continua
A
dr.
(4.46)
=
es
que produce
norte
Arkansas
a= R
=
cdComo AB
R
(4.47)
Nótese que este flujo de disolución cambia con el tiempo: a medida que la esfera se encoge,
R disminuye y el flujo aumenta. Para determinar cómo cambia el radio de la esfera con el tiempo,
escribimos un balance molar macroscópico usando el sólido como volumen de control, siguiendo
el enfoque detallado en el Capítulo 2.
Machine Translated by Google
66
Fenómenos del transporte ambiental
) =−
(corriente continua
V
s
es
norte
4 πR 2
Abajo =
(4.48)
donde la densidad molar sólida, cs, es una constante. Sustituyendo la ecuación 4.47 en la ecuación
4.48 y utilizando V = 4πR3/3 se obtiene
dr
es
cdComo AB
=−
(4,49)
Rc s
Separando e integrando desde R = R0 en t = 0 obtenemos
R
∫
R
RDR
cdComo AB
=−
do
s
a
∫ es
(4,50)
0
0
Lo que conduce a
RR=
2c Como
D AB
−
2
0
do
a
(4.51)
s
A partir de esta ecuación, podemos calcular el tiempo necesario para disolver la partícula por
completo (tf). Esto se conseguirá cuando R = 0, lo que nos lleva a
a
F
Rc02
=
s
(4.52)
2c Como
D AB
La solución encontrada puede utilizarse para analizar el efecto del tamaño de partícula en la
velocidad de disolución. Un resultado crítico es que el tiempo necesario para disolver la partícula
por completo es proporcional a R0 2. Una pregunta interesante que plantearse en este punto es:
¿cómo cambiaría el tiempo de disolución si queremos disolver la misma cantidad de material pero
lo distribuimos en partículas de diferentes tamaños? Consideremos que queremos disolver una
cantidad dada de sólido, representada por su volumen total, VT. Si formamos una sola esfera con
esta cantidad de sólido, tendríamos
3
R0 =
1/3
(4.53)
Vermont
4π
y el tiempo para disolver las partículas es (Ecuación 4.52)
a
f1
=
do
s
2 cdComo AB
3 V yo
4π
2 /3
(4.54)
Machine Translated by Google
67
Transporte difusivo
Supongamos ahora que distribuimos el mismo volumen en dos partículas iguales.
Los radios son
3
=
R0
1/3
Vermont
(4,55)
8π
y el tiempo para disolver cada uno de ellos es
a F2
do
=
3 V yo
s
2 cdComo AB
2 /3
(4.56)
8π
Dividiendo las ecuaciones 4.54 y 4.56, obtenemos
a F2
− 2/ 3
=
a f1
0 63 = 2.
(4.57)
lo que significa que podemos reducir el tiempo necesario para disolver todo el material en un 37% si
distribuimos el material en dos partículas en lugar de una.
La ecuación 4.47 se obtuvo para el caso en el que el líquido no contiene A lejos de la esfera
(condición de contorno 4.44). Si rehacemos el problema para el caso en el que la concentración de A
en el líquido lejos de la esfera es cA∞, se puede demostrar que el ujo de disolución es
norte
D De
=
Abajo =
( do
R
−
Como
do
A∞
)
(4,58)
Podemos ver que esta ecuación se puede reescribir en términos de un coeficiente de transferencia de masa.
kc ciente como sigue:
norte
= kc c(A
Ar r R=
s
−
do
A∞ )
(4,59)
dónde
a
do
=
D De
R
(4.60)
El coeficiente de transferencia de masa se puede representar en forma adimensional en términos
del número de Sherwood, que adquirirá importancia en el tratamiento de los problemas de convección
en el Capítulo 6. El número de Sherwood se define de la siguiente manera:
Ella =
( k R) 2
do
D De
(4.61)
Machine Translated by Google
68
Fenómenos del transporte ambiental
De la ecuación 4.60, podemos ver que
(4.62)
Sh ≡ 2, difusión desde una esfera
4.3 DIFUSIÓN TRANSITORIA
En esta sección, consideraremos la difusión en estado inestable para casos en los que la
especie que difunde es diluida y c y DAB son uniformes, de modo que la ecuación de difusión
es aplicable. Además, trataremos casos sin reacciones químicas (RA = 0).
4.3.1 TRANSFERENCIA DE MASA TRANSITORIA EN UNA MEMBRANA PLANA
Consideremos una membrana sólida plana de espesor 2L (Figura 4.6) que inicialmente tiene
una concentración uniforme de una especie A y se pone en contacto en t = 0 en ambos lados
con un fluido en movimiento que tiene una concentración en masa de A igual a cA∞. La
transferencia de masa externa entre la superficie de la membrana y el fluido está gobernada por
convección con un coeficiente de transferencia de masa de fluido­fase kc. Nos gustaría encontrar
la concentración de A en la membrana como una función de la posición y el tiempo:
cA = cA(t, x).
La ecuación de difusión en coordenadas rectangulares (Ecuación C.11) en este caso
se simplifica a la siguiente ecuación diferencial parcial (EDP),
∂ do A
∂
= D De
∂ 2 do A
(4.63)
∂ 2x
yo
yo
t=0
cyf
cyf
cA = cA0
cA∞
cA∞
kc
kc
incógnita
Membrana (B)
FIGURA 4.6 Transferencia de masa transitoria en una membrana plana rodeada por un fluido en movimiento.
La membrana es muy grande en las direcciones y y z. La especie A se difunde a través de la membrana
sólida (B) y se transporta desde la superficie de la membrana hasta el fluido a granel por convección.
Machine Translated by Google
69
Transporte difusivo
La condición inicial es
do
= =tcUn 0 0,
A
(4.64)
Una primera condición de contorno se debe a la simetría del perfil de concentración:
∂ do A
∂
==,
0 x
0
(4,65)
incógnita
Debido a la simetría, necesitamos resolver el problema sólo en la mitad de la membrana (0 < x < L).
Esta condición es equivalente a afirmar que el flujo molar de A en el plano x = 0 es cero, ya que
− NORTE
DAKOTA =
DEL
A
∂ do A
De
∂
(4.66)
incógnita
Una segunda condición límite proviene de un balance molar de A en la superficie de la membrana (x =
L): el flujo molar de A que llega a la superficie por difusión debe ser igual al flujo molar de A transferido por
convección a la mayor parte del fluido:
−D
∂ do A
De
∂
incógnita
=
− c
cAfA
(kc­español:kc
∞ )
(4.67)
=
x largo
La concentración de A en el fluido que está en contacto con la superficie de la membrana.
membrana, cAf, está en equilibrio con la concentración en la membrana. Aquí, asumiremos una partición
lineal, de modo que
=
cKcA
A mí
(4.68)
=
x largo
La condición de contorno (4.67) puede entonces expresarse de la siguiente manera:
−D
∂ do A
De
∂
= kkc
C Un
−
incógnita
do
A∞
K
, x=largo
(4,69)
El problema está completamente formulado por la EDP 4.63 y las condiciones adicionales 4.64, 4.65 y
4.66. La solución de este problema daría cA = cA(t, x). Tal como está formulado, el problema contiene
seis parámetros: DAB, cA0, L, kc, K y cA∞. Es decir, un cambio de cualquiera de estas constantes
cambiaría el campo de concentración. Para minimizar el número de parámetros en la formulación del
problema, reformularemos el problema en forma adimensional. Seleccionaremos variables adimensionales
apropiadas para representar las variables independientes (t y x) del problema, así como la variable
dependiente (cA). La formulación adimensional también servirá para establecer tendencias de escalamiento
apropiadas para la solución, como se discutirá más adelante.
Machine Translated by Google
70
Fenómenos del transporte ambiental
Para plantear el problema en forma adimensional, definimos las siguientes variables adimensionales:
do
Θ=
do
− c/K
∞
A
A
(4,70)
− c/K
∞
A Un 0
incógnita
η=
(4,71)
yo
El De
o
τ=
(4,72)
yo2
Nótese que Θ representa una diferencia de concentración adimensional, η es una posición
adimensional y τ es un tiempo adimensional. Sustituyendo estas definiciones en la ecuación diferencial
4.63 y las condiciones iniciales y de contorno (4.64), (4.65) y (4.69) se llega, después de las
manipulaciones, a
∂OO ∂2
=
2
∂τ
∂
η
(4,73)
Θ = 1 0 ,τ =
(4,74)
∂O
∂η
∂Θ
== 0
=−
∂η
0
(4,75)
Bi Θ , 1 η=
(4,76)
,η
donde el número de Biot de transferencia de masa es un parámetro sin unidades definido por
Bi =
k KL
do
D
(4,77)
De
La formulación adimensional (ecuaciones 4.73 a 4.76) tiene solo un parámetro (Bi), a diferencia de
los seis parámetros presentes en la formulación original. Esto significa que el número de Biot es el
único parámetro físico que afecta al campo de concentración adimensional, Θ(τ, η). Como veremos
más adelante, el número de Biot puede interpretarse como una relación comparativa entre el proceso
de transferencia de masa externa (representado por kc en la ecuación 4.77) y la difusión interna
(representada por DAB).
Aunque el problema adimensional puede parecer matemáticamente complejo, tiene una solución
analítica que se puede encontrar utilizando el método de separación de variables. Los fundamentos
matemáticos del método van más allá de nuestro alcance (para más detalles, véase, por ejemplo,
Kreyszig, 1999). Sin embargo, repasaremos el proceso de solución en detalle para ilustrarlo.
Comenzamos postulando una solución de la forma
Θ( ,τ η) ( = fg η τ )()
(4,78)
Machine Translated by Google
71
Transporte difusivo
Después de la sustitución en la ecuación diferencial y la separación, obtenemos
1
dírham
g dfτ
=
1 gl 2
de
2
= −λ
(4,79)
2
El lado izquierdo de esta ecuación depende únicamente de τ mientras que el lado derecho
depende únicamente de η, por lo que ambos lados deben ser iguales a una constante (que hemos
llamado −λ2 ) cuyo signo se ha elegido como negativo para asegurar un decaimiento exponencial
con el tiempo (ver más abajo). La ecuación diferencial para g se puede integrar directamente
escaño
− dg λτ2 =
= Ae−
τ2 λ
(4,80)
gramo
mientras que para f obtenemos
df2
dη 2
+ = 2λf0
(4.81)
cuya solución es
fC =
1 pecado(λη )
+ cC
2 os( ) λη
(4,82)
Las condiciones de contorno (4.75) y (4.76) son separables:
df
=00
dη
df
gramo
dη
df
= = η 0, g
ηd
(4,83)
df
= − grande
=−η=dη
Bif, 1
(4,84)
= 00
(4,85)
La aplicación de la ecuación 4.82 da como resultado
do λη cos( )
1
s −C la C1 en(
yo ) ==
2
η
0
De la ecuación 4.84, encontramos
(4,86)
­C 2 λ λ sen cosλ
C = − Bi
2
Como C2 no puede ser cero (esto llevaría a una solución trivial Θ ≡ 0), concluimos que
(4,87)
λ tanλ = Bi
Esta ecuación tiene infinitas soluciones (ver Figura 4.7). Las raíces infinitas de esta ecuación (λ1
< λ2 < λ3 …) son los valores propios del problema de Sturm­Liouville.
planteadas por las ecuaciones 4.81, 4.83 y 4.84. La ecuación 4.87 es la condición de valor propio.
Esto significa que este problema tiene infinitas soluciones de la forma 4.82 (con C1 = 0), una para
cada valor propio:
F ( ) η = cos(η)
C 2
norte
λ
norte
(4,88)
Machine Translated by Google
72
Fenómenos del transporte ambiental
3
2.5
2
tan λ
1.5
λ1
1
Bi/λ
0,5
λ2
λ3
0
­0,5
­1
1
0
π/2
2
4
3
3π/2
5
6
7
la
FIGURA 4.7 Solución gráfica de la ecuación 4.87, interpretada como la intersección entre las funciones tan λ y Bi/λ. Los valores en el gráfico corresponden
al caso Bi = 1, pero la tendencia es similar para cualquier Bi. Se muestran las primeras tres raíces, pero la periodicidad de tan λ muestra que existen
soluciones infinitas < λ π ≤ ≤ λ π32 52 ≤ ≤ λ: 0 ≤ ( 2 ) / / ( ) ( ) / π
1
2
3
De manera similar, habrá infinitas funciones g(τ) de la ecuación 4.80,
λ­ 2τ
gramo
norte
( ) τ = Una e n
(4,89)
Hasta este punto, la única ecuación original en la formulación del problema que no hemos
utilizado es la condición inicial (Ecuación 4.74). Esa condición, al ser no homogénea, es
inseparable; es decir, no admite una solución de la forma dada por la Ecuación 4.78. La
teoría de separación de variables (Kreyszig, 1999) indica que la solución general del problema
hasta este punto es la combinación lineal de todas las soluciones dadas por la Ecuación 4.78:
∞
2
− lambda
Θ( ,τ η) = ∑an n cos( ) λ η y n
=
norte
(4,90)
1
La suma del lado derecho de esta ecuación es una serie de Fourier. En este punto, los
coeficientes de la serie, an, no están identificados. Determinaremos estos coeficientes
aplicando la condición inicial: evaluando la solución en la condición inicial (4.74) obtenemos
∞
1=
∑an
n cos(λ η)
=
norte
(4,91)
1
Para hallar cada coeficiente, utilizaremos la condición de ortogonalidad satisfecha por las
soluciones de un problema de Sturm–Liouville (Kreyszig, 1999), que en este caso establece que,
para cualquier par de valores propios diferentes λn, λm,
Machine Translated by Google
73
Transporte difusivo
1
∫ cos(λ η)cos( ) λ η η , d 0 para= nm
≠
(4,92)
metro
norte
0
Ahora multiplicamos ambos lados de la ecuación 4.91 por cos(λmη) e integramos desde η = 0 hasta
η = 1. La ecuación 4.92 implica que todos los términos en la suma en el lado derecho de la ecuación
resultante serán cero, excepto el término para el cual n = m, de modo que encontramos
1
∫
1
cos(λ ηm )de η
∫=
do
metro
0
2
λ os (
metro
(4,93)
) η ηd
0
La evaluación de las integrales conduce a
2 pecado
=
soy
la
(4,94)
metro
+ cos λ λ sen
la
metro
metro
metro
Si se deja m = n y se sustituye en la ecuación 4.90, se obtiene la solución final:
∞
Θ( , ) τ η =
2 pecado
∑ la
norte
=1
la
cos( )λ η
norte
cos λ+ λ sen
norte
norte
norte
n
2
− λτe
(4,95)
norte
La serie de Fourier en esta ecuación es uniformemente convergente, lo que significa que el valor de
cada término disminuye a medida que se evalúan más términos. El factor que controla su convergencia
es el término exponencial, que rápidamente se vuelve pequeño a medida que n aumenta (recuerde que
λn aumenta con n). Nótese que, cuanto mayor sea el valor de τ, más rápido decae el exponencial a
medida que aumenta n. De hecho, cálculos detallados muestran que, si Bi ≥ 0,01, el primer término de la
serie es suficiente para dar el valor de Θ con una precisión del 0,1% o mejor, siempre que τ ≥ 0,1. En las
condiciones establecidas, la solución aproximada sería
2 pecado
Θ( , ) τ η
la 1
la 1
cos λ
+ 1λ sen
cos( )λη1 e
2
− lambda
1
, Bi ≥ 0 0 1.
,
≥ 0 τ. 1
(4,96)
1
Los valores de λ1 (primera raíz de la condición de valor propio 4.87) se muestran en la Figura 4.8
como una función del número de Biot. Nótese que λ1 → 0 cuando Bi → 0, y que λ1 → π/2 (1.5708)
cuando Bi → ∞.
Para determinar el flujo molar de A en la superficie de la membrana, promediamos la ecuación
diferencial 4.63 sobre el volumen de la membrana de la siguiente manera:
1
yo
yo
∂ do A
∫ ∂
0
Dx =
1
yo
yo
∫D
0
∂ 2 do A
De
∂
2
incógnita
Dx
(4,97)
Machine Translated by Google
74
Fenómenos del transporte ambiental
1.6
1.4
1.2
λ1
1
0,8
0.6
0,4
0,2
0
0,01
1
Bi
0,1
10
100
FIGURA 4.8 Primera raíz de la ecuación 4.87 en función del número de Biot.
Al darse cuenta de que
yo
1
< > A= ∫
(4,98)
Dx ac
do
yo
0
es la concentración molar promedio de A en la membrana, la ecuación 4.97 se convierte, después de integrar
el lado derecho
<>
corriente continua
A
=
D
es
ABA
yo
yo
∂ do
∂
(4,99)
incógnita
0
lo que conduce a, después del uso de la ecuación 4.66,
=−
norte
Hacha
=
x largo
<>
corriente continua
yo
A
(4.100)
es
De la ecuación 4.70, vemos que
<>c
A
= ( do Un 0 ­ c / A ∞ K ) < > Θ + /K
do
A∞
(4.101)
La concentración adimensional promedio se puede encontrar utilizando la versión adimensional de la
ecuación 4.98:
1
< > = ∫ Θ Θdη
0
(4.102)
Machine Translated by Google
75
Transporte difusivo
Sustituyendo la solución (Ecuación 4.95) en esta ecuación e integrando
conduce a
∞
la
2
2
<>=
Θ∑
−
norte
=1
lambda (
norte
2
y n lambda
norte
+ pecado
pecadocos
λ λ λ) nn
(4.103)
norte
Ahora se puede calcular el ux combinando las ecuaciones 4.100, 4.101 y 4.103, lo que da
como resultado
norte
Hacha
=
x largo
∞
D De
=
yo
pecado
lambda 2
( do Un 0 − ∑c/A ∞ K )
2
norte
norte
=1
la
norte
la
norte
pecado
cosuna
+
una
norte
mi
− lambda
2
norte
(4.104)
norte
La solución presentada corresponde a una placa plana expuesta al fluido por ambos lados (Figura
4.6). Sin embargo, hemos aprovechado la simetría de los perfiles de temperatura para encontrar la
solución en la semiplaca 0 < x < L. Nótese que la condición de contorno de simetría en la línea central
(Ecuación 4.65) implica también que NAx = 0 en x = 0. Esto significa que la solución encontrada es
también aplicable a una placa de espesor L expuesta al fluido por un lado (x = L) y en contacto con una
superficie impermeable a A en x = 0.
Un caso límite interesante de la solución presentada anteriormente ocurre cuando la
transferencia de masa por convección hacia el entorno es mucho más rápida que la difusión en el cuerpo.
En este caso, Bi » 1, lo que implica que la concentración de A en el sólido en la superficie es igual
*
a la concentración en equilibrio con la masa del fluido; es decir, La solución está dada por el límite
= A∞ /K.c de las ecuaciones anteriores cuando Bi → ∞. La condición de valor propio
do
A
x=L
(Ecuación 4.87) produce tan λ → ∞, lo que implica que los valores propios son
la
(2n
=
−
1) π
2
norte
= ,1,2 … Bi , ( → ∞
, número
(4.105)
)
La concentración adimensional (Ecuación 4.95) se convierte entonces en
Θ( ,η) τ
=
4
π
∞
−
()1
∑ (21
norte
=1
en
norte
− 1
(−
2en1
porque
−
) πη
2
)
2
mi ((
−−
norte
221)
πτ
4/)
(4.106)
y la concentración media (Ecuación 4.103) es
∞
<>=
Θ ∑8 1 π2
norte
=1
(2n
−
1)
2
−
−
22
nπτ
mi (( 2 1 ) / 4 )
(4.107)
Machine Translated by Google
76
Fenómenos del transporte ambiental
Esta es la misma solución que se obtendría utilizando la separación de variables.
reemplazando la condición de contorno convectivo (4.76) por
Θ = 0 1 ,η =
(4.108)
El perfil de concentración adimensional dado por la ecuación 4.106 se representa gráficamente
en la figura 4.9 para varios valores de tiempo adimensional. Es interesante ver que, para tiempos
cortos (τ ≤ 0,04), el centro de la placa permanece en la concentración inicial (Θ = 1) ya que la
perturbación impuesta por la exposición de la superficie de la placa al fluido no tiene tiempo para
alcanzar el centro. Nótese también que un tiempo adimensional τ = 1 puede considerarse un
tiempo largo en este proceso, ya que la temperatura de la placa está cerca de su valor de estado
estable (Θ = 0).
EJEMPLO 4.1 LIXIVIACIÓN DE UN RETARDANTE DE LLAMA DE UNA ALFOMBRA
Los retardantes de llama son compuestos que se añaden a productos comunes para evitar que se
incendien, lo que los hace seguros para aplicaciones domésticas. Sin embargo, recientemente ha
habido preocupación por los posibles efectos sobre la salud de las personas que entran en contacto
con productos que contienen estos compuestos (p. ej., Whitacre, 2013). Se ha diseñado un
experimento para medir la difusividad de un retardante de llama particular (A) a través del tejido de
una alfombra (B). Se coloca una alfombra plana, que mide 2 m × 2 m con un grosor de 3 cm, en
el suelo y se somete a un flujo muy rápido de aire puro sobre su superficie superior. La alfombra
contiene inicialmente 120 g de retardante de llama.
Las mediciones realizadas muestran que después de 90 días se filtraron 50 g de retardante de
llama de la superficie superior de la alfombra.
1. Determine el DAB con la información proporcionada.
2. En condiciones normales, cuando el aire no fluye rápidamente sobre la alfombra, la
convección en la superficie de la alfombra produce un número Biot de transferencia de
masa de Bi = 0,1. Calcule cuánto tiempo tardará la alfombra original en perder 50 g de
1
0.9
0,04
0,8
0,7
τ = 0,01
0,10
0.6
O 0,5
0,40
0,4
0.3
0,2
1.00
0,1
0
0
0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6
0,7 0,8 0,9 1
η
FIGURA 4.9 Perfil de temperatura adimensional para conducción transitoria en una placa plana con Bi → ∞.
Machine Translated by Google
77
Transporte difusivo
retardante de llama en estas condiciones. Tenga en cuenta que la concentración de retardante
de llama en el aire es siempre insignificantemente baja.
3. La información proporcionada nos permite calcular la concentración media adimensional de
retardante de llama en la alfombra en t = 90 días. Para ello, utilizaremos la ecuación 4.70. En
este caso, cA∞ = 0, por lo que
< do
>A
< >Θ =
do
=
metro
metro
A0
A
0A
70
=
= 0,583
120
Tenga en cuenta que en estos cálculos utilizamos concentraciones de masa en lugar de
concentraciones molares.
La alfombra es una placa plana sin transferencia de masa en la superficie inferior, por lo que
podemos utilizar la solución para una placa con un espesor de 2L que transfiere masa en ambos
lados si dejamos que L = 3 cm. Como el flujo de aire es muy rápido, podemos afirmar que Bi → ∞, y
asumiremos que el tiempo adimensional es lo suficientemente alto como para que el primer término
en la solución de la serie de Fourier sea una buena aproximación a la solución, de modo que la
ecuación 4.96 se aplica con λ1 = π/2, lo que da como resultado
8
<O
>=
π2
− π2 4 τ
mi ( / )
=τ−
4
π2
2π
En
8
<O
>
­
Esto da τ = 0,1336, lo que confirma nuestra suposición de que τ ≥ 0,1.
­
definición de tiempo adimensional, obtenemos
2
yo
−7
D De = τ =55×1 cm /sAB
D 1 0.
­tantoE
2
t
En este caso, para Bi = 0,1, el primer valor propio se calcula a partir de la ecuación 4.87 para
sea λ1 = 0,311. Ahora, como <Θ> = 0,583, podemos calcular τ directamente
τ =−
1
la12
cos1 )
<O> + ( pecado
1
2 pecado 2 la1
una una una una una
En
1
1
5 .61
=
Tostada
unir
•Traducir
Lo que implica
a
=
τyo2
D De
= 3 26 1×0.
8
segundos
4.3.2 TRANSFERENCIA TRANSITORIA DE MASA EN CILINDROS LARGOS Y ESFERAS
La metodología aplicada al problema de la placa plana se puede extender a otras geometrías
simples. El método de separación de variables permite obtener soluciones analíticas de la
ecuación de difusión para cilindros y esferas de longitud infinita.
Para un cilindro infinitamente largo de radio R que contiene la especie A en una
concentración inicial uniforme cA0 que está expuesto a un fluido en una concentración cA∞ mucho
Machine Translated by Google
78
Fenómenos del transporte ambiental
Desde el cilindro, el campo de concentración dentro del cilindro es una función del tiempo y la
posición radial. El problema se formula utilizando la concentración adimensional dada por la
ecuación 4.70 y el tiempo adimensional y la posición radial definidos por
El De
o
τ=
(4.109)
R2
a
ξ=
(4.110)
R
El número de Biot en este caso viene dado por
Bi =
kKR
(4.111)
do
D De
Se puede demostrar que la ecuación de difusión adimensional en coordenadas cilíndricas
se simplifica a
∂O O 1 ∂
=
∂ τξξ
∂
∂
ξ
∂o
(4.112)
y las condiciones iniciales y de contorno son
Θ = 1 0 ,τ =
∂O
∂ξ
∂Θ
=−
∂ξ
(4.113)
= 0, ξ = 0
(4.114)
Bi Θ , 1 o=
(4.115)
En este caso, la solución se expresa en términos de funciones de Bessel (Apéndice D
proporciona una breve revisión de las funciones de Bessel). La condición del valor propio es
la
1( )
= Bi
λλλει
Yo (
)
0
Yo
norte
(4.116)
norte
que, como en el caso del problema de la placa plana, tiene infinitas soluciones. La primera raíz
de esta ecuación se presenta en la Figura 4.10.
Machine Translated by Google
79
Transporte difusivo
Esfera
3
2.5
Cilindro
λ1
2
Placa plana
1.5
1
0,5
0
0,01
1
0,1
100
10
Bi
FIGURA 4.10 Primer valor propio en función del número de Biot para una placa (igual que en la Figura
4.8), un cilindro infinitamente largo (primera raíz de la Ecuación 4.116) y una esfera (primera raíz de la
Ecuación 4.124).
La solución del problema (ecuaciones 4.112 a 4.115) es
∞
Θ=
∑ la2
norte
= 1
norte
Yo 1
2
Yo 0
()la()
norte
( la
)
2
− lambda
norte
2
+ Yo 1 la
Yo 0
( λξ
)
norte
mi
(4.117)
norte
norte
El primer término de la serie es una buena aproximación para Bi ≥ 0,01 y τ ≥ 0,1. El primer
coeficiente de la serie es
a1 =
Yo 1
2
2 1λ Yo 0 ( la
)1
( la 1 )
Yo +
(4.118)
12la( 1)
y se muestra como una función del número de Biot en la Figura 4.11.
1.7
1.6
1.5
1.4
1.3
1.2
1.1
1
0,01
0,1
1
10
100
Bi
FIGURA 4.11 Primer coeficiente de la serie de Fourier para el cilindro, Ecuación 4.117.
Machine Translated by Google
80
Fenómenos del transporte ambiental
La concentración adimensional media en este caso viene dada por
∞
4
<>=
Θ∑
Yo
la2
= 1
2
norte
Yo 0
2
1
( la
)
()la() +
2
− lambda
norte
Yo
norte
mi
la
2
1
(4.119)
norte
norte
Para el caso de una esfera con una concentración inicial uniforme cA0 que se expone a un
fluido con una concentración cA∞ lejos de la esfera, el campo de concentración dentro de la esfera
será una función del tiempo y la posición radial. La formulación de este problema es
∂Θ
1
=
∂τ
∂
2
ξ
oo ∂
2
∂O
(4.120)
∂o
(ecuación de difusión en coordenadas esféricas), con condiciones iniciales y de borde
Θ = 1, τ = 0
∂O
∂ξ
∂Θ
=−
∂ξ
(4.121)
= 0, ξ = 0
(4.122)
Bi Θ , 1 o=
(4.123)
Las variables adimensionales siguen las mismas definiciones que en el caso del cilindro,
utilizando R como el radio de la esfera.
La condición de valor propio para este problema es
cunala= Bi
1−λ
(4.124)
norte
norte
El primer valor propio se representa gráficamente en la Figura 4.10. La solución es
∞
Θ=
4 pecado
λλ−
∑ la­
norte
= 1
norte
−
lambda 2
norte
porque
la
norte
norte
pecado
pecado( lambda
)
ξ
norte
2 la
norte
2
− lambda
mi
norte
o
norte
(4.125)
La concentración adimensional en el centro de la esfera se puede encontrar usando
el límite (que se puede encontrar utilizando la regla de L'Hôpital)
pecado(
) limξ
lambda
norte
ξξ
= la
norte
→
0
(4.126)
Machine Translated by Google
81
Transporte difusivo
y la concentración media viene dada por
∞
norte
2
2
una −una una
porque )
(pecado
<>=
Θ ∑12
la
= 1
3
norte
norte
λ2
norte
−
pecado
norte
− lambda
yn
norte
2 la
(4.127)
norte
EJEMPLO 4.2 CARGA DE ESFERAS DE FERTILIZANTE
Las esferas de polisacárido sólido (B) (radio de 1 cm) cargadas con un fertilizante (A) se utilizarán
en aplicaciones de liberación controlada. Las esferas inicialmente no tienen fertilizante y se cargarán
en un tanque presurizado donde se colocará aire a alta presión que contiene 0,01 mol/cm3
El fertilizante fluirá continuamente sobre las esferas. En equilibrio, la distribución del fertilizante
entre el aire y el sólido está dada por
.
, A = 0 1c
c gas
(4.128)
Un sólido
El coeficiente de transferencia de masa del proceso es kc = 0,01 cm/s. La difusividad del
fertilizante en las esferas de polisacárido es DAB = 1 × 10−4 cm2/s. Queremos responder a las
siguientes preguntas:
1. ¿Cuál es la concentración máxima del fertilizante que se puede lograr en las esferas sólidas
mediante este proceso?
2. ¿Cuánto tiempo tardará en cargarse las esferas con una concentración media de 0,095 mol/
cm3 del fertilizante?
3. Las esferas cargadas se aíslan del entorno en un tanque de almacenamiento durante unos
días. Después, se exponen durante 2 h al aire con 0,02 mol/cm3 del fertilizante. ¿Cuál es la
concentración final del fertilizante en el centro de las esferas?
1. La concentración máxima que puede tener el sólido se da cuando alcanza el equilibrio con el
gas; es decir,
do
Amax, sólido
do
=
A∞
= 0 .1 mol/cm
0 .1
3
(4.129)
2. La concentración adimensional promedio para la esfera se da en la ecuación 4.127. Si
asumimos que τ > 0,1, el primer término es bastante preciso.
2.
<>
Θ≈
2
−una una
12 (pecado una
1
1 porque1 )
3
1
la
lambda 2
1
−
pecado
2 la1
2
mi
− lambda
1
(4.130)
donde se calcula el primer valor propio
1− λ
norte
cuna = Bi
(4.131)
norte
En este caso
Bi =
kKR
do
D De
=
0 .01 0×1 ×
1.
−
10 4
= 10
(4.132)
Machine Translated by Google
82
Fenómenos del transporte ambiental
Encontramos λ1 = 2,84. Al final del proceso, sabemos que
c < A> −
<>
Θ=
do
c/K
A∞
0 .095 0 −10 .
=
−
= 0 .05
(4.133)
= 0.3384
(4.134)
− 0 .10
c/K∞
A Un 0
Por lo tanto,
1
τ =−
3
λ λ1 Θ ( 2 1 −
<>
en
la12
λ (pecado
λ λ 121 −
pecado 2
la1)
1 porque1 )
2
que produce
R2 τ
=
a
= mínimo 3384
= 56 4 .s
D De
(4.135)
3. Las esferas tendrán una concentración media de 0,095 mol/cm3. Esta concentración media se
uniformizará durante el aislamiento. Para el nuevo proceso:
do
A0
do
= 0,095 mol/cm3
(4.136)
= 0 0,2 mol/cm3
(4.137)
A∞
τ=
tD De
= 0 72.
R2
(4.138)
La solución para la concentración adimensional es (Ecuación 4.125) (solo el primer término)
4
Θ=
pecado
la1
−una una
porque
una
1
1
lambda 2
1
−
pecado
lambda
1 pecado(
1 ξ)
2 la1
mi
2
− lambda
(4.139)
1
o
En el centro (ξ = 0), tenemos
pecado Θ = 4
−una porque la
una
1
1
1
2 la1 − pecado 2 la1
mi
2
− lambda
(4.140)
1
1.
Como el valor propio sigue siendo el mismo, encontramos Θ = 0,005874, lo que da como resultado
0 .005874
=
−
cc/K
A
do
−
Un 0
A∞
c/K
A∞
c
=A
0 . 1994 mol/cm3
3
(4.141)
Machine Translated by Google
83
Transporte difusivo
4.3.3 LIXIVIACIÓN TRANSITORIA DE UN SÓLIDO SEMIINFINITO
Consideremos que un sólido que contiene una concentración uniforme de una sal soluble cA0
se pone en contacto en t = 0 con un gran volumen de líquido con una concentración de sal cAl
uniforme, constante y relativamente baja. Aquí, trataremos el caso en el que una superficie plana
de un cuerpo sólido grande se pone en contacto con el líquido, de modo que la interfaz sólido­
líquido puede considerarse de área superficial infinita, y la fase sólida puede considerarse de
espesor semi­infinito, como se muestra en la Figura 4.12.
La simetría de la geometría permite concluir que la concentración en el sólido es
sólo una función de t y x: cA = cA(t, x). La transferencia de masa del soluto en el
sólido está regida por la ecuación de difusión:
∂ do A
= D
A
∂
∂
2
do
A
∂ 2x
(4.142)
En este caso, DA es la difusividad de la sal en el sólido. La condición inicial es
do
=
A
do
Un 0
0, = t
(4.143)
La rápida transferencia de masa convectiva en el líquido (mezcla perfecta)
combinada con el supuesto de partición lineal de la sal entre las fases líquida y sólida conduce a
cA =
Un yo ,
0x =
(4.144)
Aquí, consideraremos que la concentración de A en el líquido es lo suficientemente baja como para
que podamos afirmar que cAl ≈ 0. El hecho de que los sólidos se extiendan indefinidamente en la
dirección x significa que habrá una región alejada de la interfaz que permanecerá en la concentración
inicial:
do
Líquido bien mezclado
cA1
A
=
do
A 0 ,x → ∞
(4.145)
Sólido semi­infinito
cA1 = cA0 en t = 0
El soluto (A) se difunde a través del sólido.
y se disuelve en el líquido
incógnita
FIGURA 4.12 Lixiviación de un sólido semiinfinito: la fase sólida ocupa el espacio 0 < x < ∞, y
contiene inicialmente una concentración de soluto cA0. El líquido que entra en contacto con el sólido
está perfectamente mezclado y su volumen es tan grande, que se puede suponer que la concentración
de sal en el líquido es constante, cAl, durante el proceso de lixiviación.
Machine Translated by Google
84
Fenómenos del transporte ambiental
Para resolver este problema, utilizaremos el método de combinación de variables (transformación
de similitud). Matemáticamente, la transformación de similitud se basa en postular que el campo de
concentración puede expresarse en términos de una única variable independiente, cA = cA(η), que es
una combinación de las variables independientes t y x.
Aquí, postularemos que la variable de similitud tiene la forma
η =
incógnita
(4.146)
δ ( )t
Esto implica que el perfil de concentración será siempre el mismo (es decir, todos los perfiles son
“similares”), con la única diferencia de que se estirará en la magnitud de la escala de longitud δ(t). Para
verificar si el postulado planteado es cierto, la ecuación diferencial, así como las condiciones iniciales y
de borde, deben ser consistentes con él.
La condición de contorno 4.144 con cAl ≈ 0 se aplicará en η = 0:
= 00 ,η cA
=
(4.147)
Dado que η es potencialmente la única variable independiente, esto significa que las condiciones
4.143 y 4.145 deben colapsar a una sola condición en un valor específico de η, ya que ambas son
condiciones idénticas en cA. Al examinar la ecuación 4.146, esto implica, necesariamente, que
δ( ) 0 0 =
(4.148)
En cuyo caso las ecuaciones 4.143 y 4.145 conducen a
do
= do
A
(4.149)
A 0 ,η → ∞
A continuación, transformamos la EDP suponiendo que cA = cA(η). Aplicando la regla de la cadena
y utilizando la ecuación 4.146, obtenemos
∂ do A
∂
=
corriente continua
∂η
A
dη
corriente continua
=−
∂ do A
∂ 2 do A
=
corriente continua
A
d del
incógnita
2
d ηδ
∂
∂
A
∂η
∂
=
∂ 2x
1δ∂
corriente continua
=
corriente continua
1d δ
es
(4.150)
1
A
(4.151)
2
1
A
A
d ηδ
d ηδ
corriente continua
A
2
2
deltadη
dη =
incógnita
η
es
∂dx
η
incógnita
corriente continua
=−
(4.152)
Sustituyendo las ecuaciones 4.150 y 4.152 en la ecuación diferencial, ecuación 4.142, obtenemos
corriente continua
−η
A
dη
1 día
delta dt
del
= D
1
A
2
2
corriente continua
A
2
deltadη
(4.153)
Machine Translated by Google
85
Transporte difusivo
Si cA′ = dc/dη, esta ecuación se puede separar de la siguiente manera:
−
do
"
A
"
cd
ηA
delta delta
d
=
es
A
(4.154)
La única forma en que esta ecuación puede considerarse una EDO para cA(η) es si el lado derecho
es una constante:
−
do
"
d
del del
=
A
"
cd
ηA
es
A
= alfa
(4.155)
donde la constante α puede tener cualquier valor arbitrario. Esto nos permite determinar la función δ(t),
separando e integrando, y utilizando la ecuación 4.148 encontramos
a
del
∫
∫
= dt α
delta
delta
d DA
0
(4.156)
0
Lo que conduce a
δ ( )t D = 2 En
alfa
(4.157)
Dado que la elección de α es arbitraria, seleccionamos α = 1, lo que conduce a la variable de similitud
incógnita
η=
(4.158)
2D tA
y la concentración debe satisfacer la ecuación 4.155:
do
"
"
A = −ηc
A
(4.159)
sujeta a las condiciones de contorno 4.147 y 4.149. Para resolver la EDO 4.159, comenzamos con la
transformación
tú =
corriente continua
A
dη
(4.160)
lo que convierte la ecuación 4.159 en
tú
dη
= −η u
(4.161)
Machine Translated by Google
86
Fenómenos del transporte ambiental
Separación e integración de rendimientos
u B = e−η2 2/
(4.162)
donde B es una constante de integración. Esto conduce a
corriente continua
A
= Ser
−
2 2/ η
(4.163)
dη
Integrando y utilizando la condición 4.147 se llega a
η
c AB
2/2
= ed − ∫ η
0
(4.164)
η
En este punto, hacemos uso de la definición de la función de error.
2
erf y( ) =
y
2
−∫
π0
(4.165)
y dy y
La figura 4.13 muestra un gráfico de la función de error. Utilizando la transformación y / = η 2,
Nosotros conseguimos
η
∫
2
−
η /
2da edición
=
0
2
2
π erf
η
(4.166)
2
Por lo tanto, la ecuación 4.164 se convierte en
1
0.9
0,8
erf(y)
0,7
0.6
0,5
0,4
0.3
0,2
0,1
0
0
0,5
1
1.5
2
2.5
3
y
FIGURA 4.13 Función de error. La línea discontinua representa el valor de y para el cual
erf(y) = 0,99.
Machine Translated by Google
87
Transporte difusivo
c AB =
η
π erf
2
(4.167)
2
Para hallar la constante de integración, aplicamos la condición de contorno 4.149. Sabiendo
que erf(∞) = 1 (Figura 4.13) se llega a la solución
do
= cerdito
A 0
A
incógnita
4 El Ao
(4.168)
Ahora, nos gustaría calcular la velocidad a la que el soluto se lixivia del sólido. La velocidad
de lixiviación estará representada por el flujo de A en la interfase sólido­líquido (Figura 4.12), −
NAx
= . Para evaluar esta experiencia de usuario, utilizamos
x0
∂ do A
= − NORTE
DAKOTA
DEL
Hacha
A
∂
(4.169)
incógnita
Sustituyendo la ecuación 4.168 en la ecuación 4.169 y tomando la derivada de la función de
error obtenemos, después de las manipulaciones,
Nc
DA
=−
Un 0
Hacha
−
yπ
2
η/2
(4.170)
En x = 0 (η = 0), encontramos
− norte
Hacha
incógnita
=0
DA
= do A 0
πt
(4.171)
Un aspecto interesante de la solución para la concentración en el sólido (Ecuación 4.168) es
el hecho de que, en un momento dado, aunque cA0 se alcanza asintóticamente cuando x → ∞,
es posible definir una posición x en la que la concentración de soluto ha alcanzado cA0
aproximadamente. Por ejemplo, si dejamos
x = β, para cA
= 0,99.céntimos Un 0
(4.172)
Podemos afirmar que en la posición β la concentración ha alcanzado el valor asintótico para
todos los efectos prácticos. De la ecuación 4.168, esto significa que
0 .99 = campo
β
4 El Ao
(4.173)
El punto en el que la función de error alcanza un valor de 0,99 se produce cuando el
argumento es 1,80 (Figura 4.13). Por lo tanto, encontramos
β = 3 6. DAt
(4.174)
Machine Translated by Google
88
Fenómenos del transporte ambiental
Esta ecuación nos permite calcular la distancia que el perfil de concentración ha penetrado en la fase
sólida en un tiempo dado. De hecho, esta ecuación puede utilizarse como criterio para determinar cuándo
un sólido puede considerarse semi­infinito. Por ejemplo, si observamos la solución obtenida para una
membrana plana en la Sección 4.3.1, en tiempos lo suficientemente cortos como para que el perfil de
concentración no haya penetrado el espesor de la media placa (L), la membrana puede considerarse un
sólido semi­infinito y la Ecuación 4.168 daría una buena aproximación para el perfil de concentración (nótese
que la coordenada x en esta ecuación se define de manera diferente a la coordenada x utilizada en la
solución en la Sección 4.3.1). En otras palabras, con base en el criterio establecido en la Ecuación 4.172,
la membrana puede considerarse aproximadamente un sólido semi­infinito cuando
3 6. DABtL <
(4.175)
lo que significa
τ=
El o
De
yo2
< 0 077.
(4.176)
Este es precisamente un rango de tiempos para el cual se requieren varios términos en la serie de
Fourier para dar una solución precisa del perfil de concentración para la placa plana.
Vemos que utilizar la serie de Fourier sería innecesario, ya que la solución está bien representada por la
Ecuación 4.168.
PROBLEMAS
4.1 En los sistemas de liberación controlada, las píldoras están diseñadas para liberar una tasa molar
constante de un fármaco específico (A) al paciente. Una píldora de liberación controlada típica
es una esfera hueca llena de una solución saturada del fármaco en agua, que contiene
pequeños cristales del fármaco sólido (ver figura). El propósito de los cristales es mantener la
solución dentro de la píldora saturada en todo momento.
El fármaco se difunde a través de una membrana sólida (B) y es arrastrado por el fluido que
circula alrededor de la pastilla. Para estudiar este proceso en el laboratorio, se suspendió una
pastilla en un flujo constante de agua con el fin de simular el proceso de transferencia de masa
externa que tiene lugar dentro del tracto digestivo del paciente. Se dispone de la siguiente
información: la concentración del fármaco en la membrana que está en equilibrio con una
solución con concentración cA viene dada por cAm = KcA, donde K = 0,2. La difusividad de A
en la membrana es DAB = 1,50 × 10−6 cm2/s. La convección alrededor de la pastilla se
caracteriza por un coeficiente de transferencia de masa kc = 1,9 × 10−3 cm/s. El fármaco
A se diluye en agua y dentro de la membrana. Los radios interno y externo de
Las membranas tienen unas dimensiones de R1 = 3 mm y R2 = 4 mm, respectivamente. La
solubilidad del fármaco en agua es de 2 × 10−5 mol/cm3. Determinar:
a. El perfil de concentración en estado estacionario de A en la membrana.
b. La velocidad de liberación de A desde la píldora al agua fluida (moles de
Una liberación por unidad de tiempo).
Machine Translated by Google
89
Transporte difusivo
Solución saturada
R1
Membrana (B)
R2
Agua pura
Cristales de A pura
4.2 En un proceso de diálisis, la sangre fluye a través del núcleo de una membrana
cilíndrica. Las toxinas (representadas por un único componente A) presentes en la
sangre son transportadas por difusión a través de la membrana (B) hasta una
solución externa (líquido de diálisis) que se mueve muy rápido y se mantiene libre
de toxinas en todo momento (ver figura). Con el tiempo, una capa de proteínas se
deposita en la superficie de la membrana formando una fase de gel. El gel
representa una resistencia a la difusión de la toxina, lo que disminuye la eficiencia del proceso.
Encuentre una expresión para calcular los moles de toxina por unidad de tiempo
(WA) que se transportan a través de la membrana en estado estacionario. Suponga
que la transferencia de masa por convección entre la sangre y la capa de gel se
caracteriza por un coeficiente de transferencia de masa kc. Considere que se
conocen los siguientes parámetros y hechos: difusividad de la toxina en la
membrana, DAB; difusividad de la toxina en la capa de gel, DAG; radio de la
membrana interna, R; longitud de la membrana, L; espesor de la membrana, δ;
espesor de la capa de gel, d; concentración de toxina en la sangre, cAi. En equilibrio,
la relación entre las concentraciones de toxina en la membrana y la capa de gel es
K =
do A,membrana
do
Un gel
Equilibrio
También en equilibrio, el gel de proteína y la sangre tienen la misma concentración de
toxina.
Capa de gel
(espesor d)
Membrana
Sangre
(espesor δ)
cAi
Líquido de diálisis, cA= 0
2R
4.3 Una gota de agua esférica con un diámetro inicial de 2,5 mm está suspendida
en un alambre delgado en un gran volumen de aire estacionario a 30 °C y 1 atm.
Machine Translated by Google
90
Fenómenos del transporte ambiental
El aire tiene una humedad relativa del 5%. Estime el tiempo necesario para la evaporación
completa de la gota de agua suponiendo que su temperatura no cambia durante la
evaporación. La difusividad del vapor de agua en el aire a 30 °C es 0,27 cm2/s. Recuerde
que la humedad relativa se define por
PAG
el
φ(%) =
× 100
PAG
en
donde Pw es la presión parcial del vapor de agua en el aire y Pv es la presión de vapor
(saturación) del vapor de agua en el aire a la temperatura de la mezcla.
4.4 La cantidad de oxígeno transferido a la cámara anterior del ojo a través de la córnea varía
considerablemente dependiendo de si se usa o no una lente de contacto. Considere el ojo
*
como un sistema esférico y suponga que la transferencia de masa entre la córnea y la
cámara anterior, y entre el entorno y el ojo, se produce por convección, caracterizada por
los coeficientes de transferencia de masa ko y ki (véase la figura). El sistema está en estado
estable y la córnea y la lente cubren un tercio de la superficie esférica.
Determinar la tasa de transferencia molar de oxígeno (mol/s) entre el entorno y la cámara
anterior del ojo con y sin la lente de contacto colocada. El coeficiente de partición de
oxígeno entre el aire y la córnea es
do
=
K
PAG
do
aire
= 10 5.
córnea
Supongamos que este es también el coeficiente de partición del oxígeno entre el aire y
la lente de contacto.
Datos:
Dimensiones:
r1 = 10,2 mm, r2 = 12,7 mm, r3 = 16,5 mm
Concentraciones de oxígeno:
c∞I ≈ 0, c∞o = 0,01 mol/L
Coeficientes de transferencia de masa:
ki = 0,3 cm/s, ko = 1 cm/s
Difusividades del oxígeno:
D1 = 1,2 × 10−5 cm2/s (córnea)
D2 = 7,6 × 10−7 cm2/s (lente de contacto)
Anterior
cámara
r1
ki , c∞i
Córnea
Lente de contacto
r2
r3
o, c∞o
Machine Translated by Google
91
Transporte difusivo
4.5 Una capa de suelo (pseudocomponente B) de 1 m de espesor (ver figura) que se encuentra
encima de una barrera de arcilla ha sido contaminada con un gas tóxico (A).
La concentración del gas es inicialmente uniforme en el suelo e igual a 1,0 × 10−5 mol/
cm3. El gas tóxico se eliminará haciendo que el aire puro fluya sobre la superficie del
suelo. La velocidad del aire es tal que el coeficiente de transferencia de masa por
convección para el transporte de A desde la superficie del suelo hasta el flujo de aire en
masa es de 0,001 cm/s. La difusividad del gas tóxico en el suelo es de 0,05 cm2 /s, y su
coeficiente de partición (cociente de la concentración de A en el aire a la concentración
de A en el suelo en equilibrio) es de 2,5. Se podría suponer que A no se difunde en la
barrera de arcilla.
a. Determine el tiempo necesario para eliminar el 99% del gas tóxico del
suelo.
b. Representantes de la empresa encargada del proceso de limpieza afirman que al
aumentar la velocidad del aire, el tiempo de limpieza puede reducirse del valor
calculado en el apartado (a) a 2 días. Evalúe la veracidad de la afirmación.
Suelo
metro
1
Flujo de aire
Barrera de arcilla
4.6 Un proceso para descafeinar el café consiste en poner en contacto los granos de café con
dióxido de carbono supercrítico (SCCO2), libre de cafeína, en un tanque bien mezclado.
Los granos de café pueden considerarse esferas con un radio de 0,4 cm y una
concentración inicial uniforme de cafeína, y el flujo de SCCO2 alrededor del grano es tal
que la convección desde la superficie hasta el fluido en masa puede considerarse muy
rápida. La difusividad de la cafeína (A) en el grano de café (B) es DAB = 1,8 × 10−6
cm2/s. El café se considera “descafeinado” cuando se ha eliminado el 97% de la cafeína
original. El proceso tiene dos etapas: primero, los granos se ponen en contacto con
SCCO2 durante un período de tiempo t1
Al final del cual la concentración de cafeína en el centro del grano ha caído al 50% de su
valor original. Luego, los granos se separan del SCCO2 y se dejan “descansar” durante un
tiempo determinado. Durante este período de reposo, la cafeína restante no sale del grano
y su concentración en el grano finalmente se vuelve uniforme. Luego, los granos se ponen
en contacto nuevamente con el SCCO2 durante un período de tiempo t2, hasta que se
“descafeinan”.
El proceso de dos etapas minimiza la extracción de componentes del grano relacionados
con el sabor y el aroma. Determinar t1 y t2.
4.7 Una corriente de gas que sale de un proceso de reacción catalítica contiene 1 mol% de HCl.
Debido a la naturaleza corrosiva del HCl, se eliminará del gas poniéndolo en contacto
con una solución básica fuerte. El gas se burbujeará en
Machine Translated by Google
92
Fenómenos del transporte ambiental
La solución. El burbujeador utilizado produce burbujas esféricas uniformes con un radio de 4
mm. La reacción de neutralización ácido/base que ocurre cuando la
El HCl se disuelve en el líquido tan rápido que se puede suponer que el líquido que está
inmediatamente en contacto con la burbuja está libre de HCl en todo momento. La difusividad
del HCl en el gas es de 0,12 cm2/s. ¿Cuánto tiempo debe estar cada burbuja en contacto con
el líquido para eliminar el 99,99 % del HCl?
4.8 Las esferas de polímero (diámetro: 1 cm) compuestas por una mezcla de caucho y resina epóxica
se están considerando como dispositivos de liberación controlada para administrar nitrato de
sodio (un nutriente esencial) a microorganismos subterráneos que remedian suelos
contaminados con hidrocarburos. Para cargar las esferas con nitrato de sodio, se ponen en
contacto con una solución de nitrato de sodio en agua.
Después de un largo tiempo (en equilibrio), la concentración de nitrato de sodio en las esferas
alcanza un valor uniforme de 3,02 × 10−4 mol/cm3 mientras que, al mismo tiempo, la
concentración de nitrato de sodio en el líquido es de 10 × 10−4 mol/cm3 .
Después de la carga, las esferas se colocan en el suelo donde quedan completamente
rodeadas de agua que contiene 10−4 mol/cm3 de nitrato de sodio.
Coeficiente de transferencia de masa convectiva para la transferencia de nitrato de sodio
entre el líquido que fluye y las esferas es de 1 × 10−4 cm/s. La difusividad del nitrato de sodio
en el material polimérico es de 1,3 × 10−5 cm2/s.
a. Encuentra el tiempo necesario para que las esferas liberen el 80% del nitrato de sodio que
contienen cuando se colocan inicialmente en el suelo.
b. Calcule el caudal molar (moles/s) de nitrato de sodio desde la esfera hasta el agua corriente
en el momento en que se ha liberado el 80% del nitrato de sodio.
4.9 En el interior de una planta petroquímica se encuentra un depósito abierto y poco profundo de un
líquido viscoso y no volátil. Deseamos evaluar la absorción inestable de H2S por el líquido si
este gas se libera a la atmósfera. El escenario considerado es el aumento repentino de la
concentración de H2S en el aire sobre la superficie del depósito de cero a 0,1 mol%. Si este
nivel de
La contaminación se mantiene durante 30 días,
a. ¿Cuál es la concentración mínima de H2S en el líquido del yacimiento al final de este
período?
b. ¿Cuál es la concentración máxima?
Información adicional:
La transferencia de masa dentro del yacimiento se produce únicamente por difusión.
El yacimiento puede considerarse una placa de 0,1 m de profundidad con una superficie
de 200 m × 200 m. La transferencia de masa por convección en el aire que fluye sobre
el yacimiento puede considerarse rápida.
La difusividad del H2S en el líquido a 298 K y 1 atm (condiciones del yacimiento) es
2 × 10−9 m2/s, y el coeficiente de partición es K = 0,4 (relación entre la concentración
molar de H2S en el aire y la concentración molar en el líquido).
4.10 Las esferas de acero (radio de 5 mm) que tienen una concentración uniforme de carbono igual a
1,0 × 10−3 mol/cm3 se carburizarán aún más al exponerlas a
Machine Translated by Google
93
Transporte difusivo
un gas que contiene monóxido de carbono a 900 °C. La concentración de monóxido de carbono
en el gas es tal que la superficie de la esfera se mantiene continuamente a una concentración
de carbono igual a 4,5 × 10−3 mol/cm3 en el acero. La difusividad del carbono en el acero es
de 2,0 × 10−11 m2/s.
a. Al final del proceso, las esferas se enfriarán repentinamente en un baño de aceite, lo que
esencialmente detiene la difusión al unir el carbono al mineral de hierro en el acero. Si el
proceso está diseñado para finalizar cuando la concentración de carbono en el acero
alcanza 3,5 × 10−3 mol/cm3 a una
A una distancia de 2 mm de la superficie de la esfera, determine el tiempo requerido para
el proceso.
b. ¿Cuál es el contenido total de carbono en una esfera de acero al final del proceso?
¿ceso (lunares)?
c. ¿Cuál es la concentración mínima de carbono en la esfera al final del proceso?
4.11 Un estanque solar es una capa poco profunda de agua expuesta al sol que se utiliza para generar
energía aprovechando el calentamiento solar del agua.
Para un funcionamiento eficiente del estanque es necesario que el agua permanezca estancada.
Para evitar la convección natural debida al calentamiento solar, se establece un gradiente de
concentración de salinidad. Esto se hace colocando en el fondo del agua una capa de sal sólida
pura (ver figura). Se aplican las siguientes condiciones y datos:
Solubilidad de la sal (cloruro de sodio) en agua: 380 kg/m3.
Profundidad del agua en el estanque: 0,25 m.
Difusividad de la sal en el agua: 1,2 × 10−9 m2/s.
La sal no se evapora en el aire.
Inicialmente, el agua no contiene sal.
a. Encuentra el tiempo (en días) necesario para que la concentración de sal alcance el 5% de su
solubilidad en la superficie libre (superior) del agua.
b. Para saber cuánta sal se debe cargar en la capa de sal, determine cuánta sal (kg) se ha
disuelto en el agua en el tiempo calculado en la parte (a) si la superficie del estanque es
de 100 m2.
metros
0,25
Aire
Superficie: 100 m2
Agua
Capa de sal
4.12 Al final de un proceso de fabricación, una placa plana de un material polimérico contiene
agua que debe eliminarse antes de poder utilizar el material. La concentración inicial de
agua en la placa es de 3,2 × 10−4 mol/L y la placa tiene un espesor total de 3 cm. La
placa está expuesta por ambos lados a aire bien mezclado que fluye rápidamente y que
contiene agua con una presión parcial Pw. El aire está a
Machine Translated by Google
94
Fenómenos del transporte ambiental
80°C y 1 atm. En estas condiciones, el equilibrio del agua entre el aire y el polímero viene
dado por
Pela( ) tm = 12 5. ( c mol/L)
nosotros
donde cws es la concentración de agua en el material polimérico. La difusividad del agua
en el material polimérico es 1,5 × 10−5 cm2/s.
a. Determine cuánto tiempo tomaría eliminar el 95% del agua del material si estuviera
expuesto al aire completamente seco (Pw = 0).
b. Se ha comprobado que secar la losa tan rápido produce grietas en el material.
Por este motivo, deseamos aumentar el tiempo de secado calculado en el apartado
(a). Esto se conseguirá aumentando la humedad del aire. Calcula el valor que debe
tener Pw para eliminar el 95% del agua del material en un tiempo que sea el doble
del calculado en el apartado (a).
4.13 El suelo (pseudocomponente B) ha sido contaminado con un gas tóxico (A).
La concentración del gas es inicialmente uniforme en el suelo e igual a 1,0 × 10−5 mol/
cm3. El gas tóxico se eliminará haciendo que el aire puro fluya sobre la superficie del
suelo. La velocidad del aire es tal que la transferencia de masa por convección en el aire
es muy rápida. La difusividad del gas tóxico en el suelo es de 0,05 cm2/s. Considere el
suelo como un medio semiinfinito. Determine el tiempo
necesario reducir los moles de A al 1% de su valor inicial a partir del m superior del suelo.
Machine Translated by Google
Transporte difusivo en 5
Sistemas reactivos
5.1 TRATAMIENTO DE SISTEMAS REACTIVOS
Los sistemas naturales y artificiales suelen contener componentes químicamente reactivos. El
transporte de masa de sustancias reactivas difiere del de compuestos inertes o no reactivos
porque, por su acción, las transformaciones químicas alteran o influyen en la concentración
local de especies que participan en la reacción. Dicho de otro modo, las transformaciones
químicas consumen reactivos y dan lugar a productos, de modo que los procesos reactivos
están acoplados al transporte de especies químicas individuales. Desde la perspectiva de la
conservación de la masa, resulta instructivo distinguir entre dos tipos de reacciones químicas:
1. Reacciones homogéneas. Son reacciones químicas que tienen lugar en cada punto
del continuo. Para una especie A, se cuantifican mediante la velocidad de reacción
RA (moles netos de A producidos en un punto debido a las reacciones químicas, por
unidad de volumen del medio) definida anteriormente. En general, la RA depende de
la temperatura y de las concentraciones de todos los reactivos que participan en las
reacciones que producen o consumen A.
Se debe conocer una expresión cinética constitutiva para RA . Esta expresión
cinética se utiliza en la ecuación de continuidad. Para un proceso que implica
difusión y reacción (sin convección), la ecuación de continuidad para una especie
diluida A en un sistema con densidad molar y difusividad constantes es la ecuación
∂ do A
∂
2
= Re­c­r
+
A
Automóvil club británico
(5.1)
donde utilizamos DA para denotar la difusividad de A en la mezcla. La sustitución de
la expresión cinética de RA en esta ecuación será el primer paso del análisis.
2. Reacciones heterogéneas. Son aquellas que ocurren únicamente en una interfase.
En general, la interfase se considerará como un límite del medio en el que se analiza la
transferencia de masa. Un ejemplo de una reacción heterogénea es una reacción catalítica
que ocurre en la superficie de un sólido con los reactivos disueltos en una fase fluida en
contacto con el sólido (Figura 5.1). Para que esta reacción ocurra, los reactivos deben
transferirse desde el fluido a la superficie, y los productos deben transferirse desde la
superficie a la masa del fluido.
95
Machine Translated by Google
96
Fenómenos del transporte ambiental
La reacción
A+B
do
tiene lugar en el
superficie catalítica
Los reactivos se transfieren
A
a la superficie catalítica
B
do
Los productos se transfieren
norte
lejos de la superficie catalítica
Líquido
FIGURA 5.1 Ejemplo de una reacción heterogénea en una superficie catalítica.
Si el reactivo A está en concentraciones diluidas, la ecuación de difusión se aplica con RA = 0,
∂ do A
∂
2 = ReAc
A,
En el fluido
(5.2)
siempre que A no esté involucrado en reacciones homogéneas. La velocidad de reacción en este
caso se convierte en una condición de contorno para la ecuación 5.2. Dado que la reacción ocurre en
la superficie sólida, es habitual expresar la velocidad de reacción como una velocidad de reacción
superficial, definida como
RˆA =
{ Tasa neta de producción de la especie A en la superficie
por reacción química por unidad de área (moles/tiempo área)
}
(5.3)
Aquí mantenemos la convención de que la velocidad de reacción es positiva cuando se produce A
y negativa cuando se consume A.
La condición de contorno adecuada que se utilizará en la solución de la ecuación 5.2 proviene de
un balance de moles en la superficie: en estado estacionario, los moles de A que se aproximan a la
superficie por unidad de tiempo y por unidad de área superficial deben ser iguales a la velocidad de
reacción de A; es decir,
NnA
= −Rˆ
A,
En la superficie
(5.4)
donde n es un vector unitario normal que apunta en dirección opuesta al fluido. Para el ejemplo que se
muestra en la Figura 5.1, si la reacción en la superficie es elemental, la velocidad de reacción
heterogénea se puede expresar como
ˆ
ˆ
R = AA– kc cB
(5.5)
Machine Translated by Google
97
Transporte difusivo en sistemas reactivos
La reacción en la superficie suele ocurrir entre especies adsorbidas. En ese caso, sería mejor
expresar esta ecuación constitutiva en términos de concentraciones superficiales (es decir, moles
de especies adsorbidas por unidad de área superficial). Sin embargo, si la superficie está en equilibrio
con el fluido y la partición entre el fluido y la superficie es lineal, la ecuación 5.5 sería una expresión
adecuada para la velocidad de reacción heterogénea.
5.2 TRANSPORTE Y REACCIÓN HOMOGÉNEA EN UNA BIOFILM
Algunos microorganismos presentes en el agua se adhieren a las superficies sólidas disponibles y
sobreviven extrayendo nutrientes del agua. Esto sucede tanto en sistemas naturales, como en el
caso de los microorganismos que se adhieren a las partículas del suelo, como en sistemas
artificiales, donde las bacterias adheridas a las partículas sólidas son esenciales en el tratamiento
de aguas residuales en filtros percoladores y otros biorreactores. A medida que aumenta el número
de microorganismos adheridos a la superficie, se acumulan unos sobre otros y acaban formando
una película sólida en la superficie que contiene no solo los microorganismos vivos, sino también
partículas coloidales atrapadas, restos celulares y secreciones de las células adheridas. La película
puede crecer hasta alcanzar tamaños macroscópicos y, en ese caso, se denomina biopelícula. La
figura 5.2 muestra una microfotografía de una biopelícula en la que las células han sido etiquetadas
con compuestos fluorescentes para su visualización. A medida que la biopelícula crece, la única
forma de que los nutrientes presentes en el agua lleguen a las células del interior de la biopelícula
es por difusión. Los nutrientes se consumen en reacciones químicas dentro de las células. Esto crea
un perfil de concentración de nutrientes dentro de la biopelícula. Si los nutrientes se consumen
completamente antes de que lleguen a las células cercanas a la superficie sólida, estas células
pueden morir. En esta sección exploraremos la difusión de nutrientes dentro de una biopelícula.
Supondremos que la biopelícula es muy delgada en comparación con el radio de curvatura de la
superficie en la que se forma, de modo que podemos considerarla como una placa plana (Figura 5.3).
Para analizar el proceso de transporte de nutrientes en la biopelícula, primero necesitamos
conocer la cinética de la reacción de consumo de nutrientes. Esta reacción suele modelarse
mediante la expresión cinética de Michaelis­Menten,
(a)
(b)
Superficie
Superficie
Núcleo GAC
100 micras
20 micras
FIGURA 5.2 Biopelícula que crece en la superficie de una partícula de carbón activado granular (GAC) en un
reactor utilizado para el tratamiento de aguas residuales fenólicas, mostrada en dos ampliaciones diferentes (a y
b). Dos cepas de bacterias (roja y verde) están activas en la biopelícula. (De Chen CL et al. Caracterización de
microbios activos en un reactor de lecho fluidizado anaeróbico a escala real para el tratamiento de aguas residuales
fenólicas, Microbes Environ, 24, 144–153, 2009).
Machine Translated by Google
98
Fenómenos del transporte ambiental
Biopelícula
Superficie sólida
cAδ
(soporte de biopelícula)
graznar
Flujo de nutrientes
En biopelícula
−NAx
NAx = 0
(x = δ)
(x = 0)
incógnita
Agua en movimiento
del
FIGURA 5.3 Esquema de una biopelícula. La superficie de soporte se considera inerte y, por lo tanto,
no habrá flujo de nutrientes hacia el sólido de soporte. El nutriente está presente en el agua a granel en
una concentración cAW. La presencia de nutrientes en el agua conducirá a una concentración de
nutrientes cAδ en la biopelícula en estado estacionario en la interfaz.
RA
Rcmáximo
=−
A
Kc+
MAMÁ
(5.6)
Esta expresión cinética es típica de las reacciones catalizadas por enzimas. Esta expresión
es válida para el consumo de nutrientes para una concentración específica de células en el bio­
Supondremos que el tiempo característico asociado con los cambios de concentración celular (y el
crecimiento de la biopelícula) es mucho más largo que el tiempo requerido para que el perfil de
concentración de nutrientes alcance el estado estable.
La expresión cinética tiene los siguientes límites interesantes: primero, si cA es pequeño
suficiente para que cA«KM, la reacción pase a ser de primer orden en concentración de nutrientes:
RA
=−
kc A , con k
=
R máximo
K
, válido si c KSOY«
(5.7)
METRO
Por otra parte, para concentraciones de nutrientes relativamente grandes, la reacción
se convierte en orden cero:
=−
RRUn máximo
,
válido si c KSOY»
(5.8)
Nuestros objetivos serán encontrar el perfil de concentración de nutrientes en el biofilm en
condiciones de estado estable y encontrar el flujo de nutrientes desde el agua hacia el biofilm. En
nuestra solución, consideraremos que la transferencia de masa por convección en el líquido es lo
suficientemente rápida como para que podamos afirmar que la superficie del biofilm está expuesta
a una concentración cAw en el líquido. En este caso, cAδ es la concentración de nutrientes en el biofilm.
Machine Translated by Google
99
Transporte difusivo en sistemas reactivos
que está en equilibrio con cAw y será un valor conocido si se conoce la partición del nutriente.
El problema se puede formular mediante la versión unidimensional y de estado estable de
la ecuación 5.1,
2
corriente continua
DA
A
R+
Dx 2
=0
A
(5.9)
sujeto a las condiciones límite:
corriente continua
A
Dx
= = 0, 0 (condiciónsin flujo) x
do
(5.10)
= do A δ ,x δ=
A
(5.11)
Consideremos el caso cA « KM, de modo que la velocidad de reacción es de primer orden (Ecuación 5.7).
La ecuación diferencial 5.9 se convierte en
2
A
2
Dx
a
−
corriente continua
do
DA
A
=0
(5.12)
La solución de esta ecuación es
a
= cAx
golpear
A
DA
a
Bxpecado
(5.13)
DA
+
Lo que conduce a
corriente continua
A
Dx
= A
a
DA
a
pecado
incógnita
DA
a
B
a
aporrear
DA
+
incógnita
DA
(5.14)
La aplicación de la condición de contorno 5.10 conduce directamente a B = 0. El uso posterior de
la condición de contorno 5.11 en la ecuación 5.13 produce
A =
do
A del
cosh δ( / k D
A
)
xk D /
A
(5.15)
y la solución es
do
A
= do A
aporrear
del
(
aporrear ( del
)
k /D A )
(5.16)
Machine Translated by Google
100
Fenómenos del transporte ambiental
Observamos a partir de la solución que la relación entre la constante de velocidad de reacción y la
difusividad juega un papel importante en el perfil de concentración. Para estudiar este efecto, definimos un
parámetro adimensional llamado módulo de Thiele mediante
a
φδ=
(5.17)
ES
También definimos coordenadas adimensionales y concentración por
o
Θ=
=
incógnita
(5.18)
del
do
do
A
(5.19)
Aδ
De modo que la ecuación 5.16 se puede expresar de la siguiente manera:
golpear(
)
φξ
Θ=
(5.20)
φ cosh( )
Los perfiles de concentración adimensionales se representan gráficamente en la Figura 5.4 para varios
Valores del módulo de Thiele.
Según su definición (ecuación 5.17), el módulo de Thiele al cuadrado es una relación adimensional
entre la velocidad de reacción y la velocidad de difusión. Un valor alto de
implicaría que la reacción es
rápida en comparación con la difusión en la película. En la figura 5.4 podemos ver que el aumento de
conduce a una caída en el nivel de nutrientes en toda la película. Nótese que para valores altos de
, el
nutriente prácticamente desaparece de la película.
1
= 0,5
0.9
0,8
0,7
=1
0.6
0,5 O
0,4
=2
0.3
=5
0,2
0,1
0
1
0,8
0,4
0.6
0,2
0
o
FIGURA 5.4 Perfiles de concentración adimensionales de un nutriente que experimenta un consumo
de primer orden en una película, para varios valores del módulo de Thiele.
Machine Translated by Google
101
Transporte difusivo en sistemas reactivos
Secciones de la película cercanas a la superficie sólida. En este caso, decimos que la película está
parcialmente penetrada por el nutriente, lo que implicaría la muerte de las células cercanas a la
superficie sólida.
Uno de los aspectos prácticos más importantes de la solución es la cuantificación de la cantidad
total de nutrientes consumidos en la película. Los moles de nutrientes transferidos
del líquido a la película por unidad de tiempo y por unidad de área superficial de la película están
dadas por el flujo de nutrientes hacia la biopelícula (Figura 5.3):
− norte Hacha
x=
del
= DA
corriente continua
A
= DA
Dx
incógnita
= del
cdA
del
O
(5.21)
deltad ξ o = 1
que, después de utilizar la ecuación 5.20, se puede escribir como
− norte Hacha
x=
del
= DA
do A del
φ
del
(5.22)
tanh( )
El factor de efectividad está definido por
{ Tasa de consumo de A (moles)
}
por unidad de tiempo) en la biopelícula
η=
(5.23)
Tasa de consumo de A que se obtendría
si La concentración en la biopelícula fue uniforme en cAδ
Sea A la superficie de la película; un balance molar de nutrientes en estado estacionario.
Estados
{ Tasa de consumo de A (moles)
} =− N / A
por unidad de tiempo) en la biopelícula
(5.24)
Ax x δ =
Además, tenemos
Tasa de consumo de A que se obtendría
= kc AA (5,25)
del
Si la concentración en la biopelícula fuera uniforme en cAδ
delta
(ya que Aδ es el volumen total de la biomasa).
La ecuación 5.23 se puede escribir como
η =
− norte Hacha
incógnita
= del
kc A del
del
(5.26)
Machine Translated by Google
102
Fenómenos del transporte ambiental
Sustituyendo la ecuación 5.22 en la ecuación 5.26 y utilizando la definición del módulo de Thiele se
obtiene
tanh( )φ
φ
η =
(5.27)
Esta ecuación se representa en la Figura 5.5. En la Figura 5.5 se pueden observar dos límites
extremos de comportamiento interesantes. Primero, cuando
demostrar que tanh
→
cuando
→ 0 vemos que η → 1 (se puede
→ 0). A medida que el módulo de Thiele disminuye, el perfil de
concentración en la biopelícula se vuelve más uniforme (Figura 5.4), lo que significa que la reacción de
consumo ocurre en concentraciones más cercanas a la concentración superficial en toda la película. En
este caso, la tasa de consumo de nutrientes por unidad de área superficial de la biopelícula está dada
por (Ecuación 5.26 con η = 1)
− norte Ax
≈ kc Aδδ ,
x δ=
para 20
δ <
Por otra parte, para valores altos del módulo de Thiele (
→ 1 y, por lo tanto, η → 1/
.
(5.28)
→ ∞), es posible demostrar que tanh
. Podemos ver en la Figura 5.4 que este comportamiento se obtiene para
≥ 2. En términos de la Ecuación 5.22, este límite significa que
− norte Hacha
x=
del
≈ DA
do A del
del
φ,
≥2
(5.29)
≥
para 2 φ
(5.30)
para φ
Sustituyendo la ecuación 5.17 en esta ecuación, encontramos
− norte Ax
x δ=
≈
do Un delta
kD A ,
Los valores altos del módulo de Thiele implican que la velocidad de reacción es rápida en
comparación con la velocidad de difusión. En estas circunstancias, se esperaría que la difusión
1
η = 1/φ
0,1
0,1
1
10
φ
FIGURA 5.5 Factor de efectividad para el consumo de primer orden de nutrientes en una biopelícula.
Machine Translated by Google
103
Transporte difusivo en sistemas reactivos
dominará, ya que será el paso lento. Sin embargo, la difusión en este caso está motivada por la
existencia de una reacción química (si k = 0, no habría gradientes de concentración dentro de la
película), por lo que el papel de la difusión pasa a ser el de proporcionar el reactivo a la película
biológica, y tanto k como DA juegan un papel en la determinación de la tasa de consumo.
5.3 DIFUSIÓN CON REACCIÓN QUÍMICA HETEROGÉNEA
Aquí, consideramos una reacción química que ocurre en la superficie de un sólido que está en contacto
con una fase fluida. El ejemplo más común es el caso en el que los reactivos están en la fase fluida y
la superficie sólida contiene un catalizador que es insoluble en el fluido, de modo que los reactivos
deben adsorberse sobre la superficie antes de que pueda tener lugar la reacción. Otro ejemplo común
de esta situación ocurre cuando al menos uno de los reactivos es parte de la fase sólida y es insoluble
en el fluido. En este caso, la reacción se llevará a cabo cuando las moléculas de los reactivos en la fase
fluida se acerquen a la superficie sólida y entren en contacto con el reactivo sólido. Un ejemplo de tal
reacción es la oxidación del carbono sólido a monóxido de carbono en presencia de oxígeno:
2 CO+ ( )s2( )
gramo
2 )g
→ CO(
(5.31)
Sea A = O2 y B = CO. Si esta reacción es elemental e irreversible, y la
El sólido es carbono puro, esperaríamos una tasa cinética dada por
ˆ
ˆ
R A = − ca
A s
(5.32)
donde cAs es la concentración de oxígeno en el fluido que está en contacto con la superficie sólida
donde el carbono es puro. Esta expresión de velocidad cinética se aplicaría a cualquier tipo de reacción
de consumo de primer orden en la superficie. Un ejemplo adicional podría ser una reacción como
Un
()g
→2
B
gramo
()
(5.33)
que ocurre en la superficie sólida debido a la presencia de un catalizador. La expresión de velocidad
para esta ecuación bien podría ser la Ecuación 5.32, y la estequiometría de los reactantes en fase
gaseosa sería la misma que la de la reacción 5.31. Consideremos la reacción 5.33 como modelo para
el análisis. El caso en cuestión será la ocurrencia de esta reacción en una superficie sólida expuesta a
un gas en movimiento. Supondremos que el gas está formado únicamente por A y B (por lo tanto, no
podemos suponer que algún componente esté presente en condiciones diluidas), y que hay
transferencia de masa convectiva en la fase gaseosa. El proceso de transferencia de masa más crítico
ocurrirá en la proximidad de la superficie, donde plantearemos la hipótesis de que existe una película
delgada (espesor δ) en la que el transporte ocurre únicamente por difusión desde la masa del fluido
hasta la superficie (Figura 5.6). Se conoce la fracción molar de A en la mayor parte del fluido, xAδ, y la
fracción molar de B será xBδ = 1 − xAδ.
El consumo de A en la superficie sólida reducirá la concentración de A con
Machine Translated by Google
104
Fenómenos del transporte ambiental
Un 2B
Película difusora
En la superficie
A se difunde en
xA = xAδ
Fluido a granel
xB = xBδ
B se difunde
incógnita
x=δ
FIGURA 5.6 Una película de difusión en la proximidad de una superficie sólida en la que ocurre una reacción
química.
respecto al fluido en masa, creando así un gradiente de concentración que inducirá la
difusión de A desde la masa hacia la superficie. De manera similar, la creación de B en la
superficie aumentará su concentración en la vecindad del sólido, creando un gradiente
de concentración que inducirá la difusión de B desde la superficie hacia el fluido en masa.
En el análisis que sigue, supondremos que el proceso ha alcanzado el estado estable.
Dentro de la película de difusión no habrá reacción química homogénea (RA = 0). Si
solo hay transporte en la dirección x, la ecuación de continuidad para el componente A se
simplifica a
es
Hacha
Dx
=0
(5.34)
=0
(5.35)
De manera similar, para el componente B tenemos
es Bx
Dx
Las ecuaciones 5.34 y 5.35 implican que los flujos de ambos componentes son constantes en la
película de difusión. Los dos flujos están relacionados por la estequiometría de la reacción: en estado
estacionario, la estequiometría de la reacción 5.33 implica que por cada mol de A que se acerca a la
superficie y, por lo tanto, se consume en la reacción, se deben producir dos moles de B. Esto conduce
al siguiente equilibrio estequiométrico en la superficie:
norte
=−
Bx
x=
0
2
norte
Hacha
=x 0
(5.36)
Machine Translated by Google
105
Transporte difusivo en sistemas reactivos
Nótese que, en este caso, no es necesario especificar x = 0, ya que los flujos son los mismos en
todas partes. El signo menos en la ecuación 5.36 refleja el hecho de que los flujos deben tener
direcciones opuestas.
Ahora, escribimos la ecuación de ux para el componente A en la dirección x:
=
N x NN
+
(
Un hacha
Hacha
Dx A
) − CD
Bx
De
Dx
(5.37)
Utilizando la ecuación 5.36 y reordenando obtenemos
norte Hacha
Dx A
cd De
) =−
A
(1+x
Dx
(5.38)
Separar e integrar conduce a
del
−
norte Hacha
incógnita
Dx
=∫
cd De
Aδ
Dx A
∫+(1
incógnita
incógnita
incógnita
)
A
(5.39)
A
Lo que implica
norte Hacha
−
cd De
1+
En
−=
) delta
(
incógnita
incógnita
1+
A del
incógnita
A
(5.40)
Esta ecuación da como resultado la fracción molar del flujo, xA(x), una vez que se conoce NAx .
Para hallar el flujo, utilizamos la velocidad de reacción. Un balance molar de A en la superficie
establece que los moles de A por unidad de tiempo y área superficial que llegan a la superficie deben
ser iguales a los moles de A por unidad de tiempo y área superficial consumidos en la reacción.
Utilizando la expresión de velocidad 5.32 y dejando cAs = cxAs, el balance es
ˆ
−N k Hacha
= cx
(5.41)
Como
Sustituyendo la ecuación 5.41 en la ecuación 5.40 obtenemos
ˆ
a
D De
incógnita
Como delta (
−=
incógnita
1+
) en
1+
incógnita
A del
incógnita
(5.42)
A
Evaluando esta ecuación en x = 0 resulta en
ˆ
a del
D De
incógnita
Como
= En
1+
1+
incógnita
A del
incógnita
Como
(5.43)
Machine Translated by Google
106
Fenómenos del transporte ambiental
A partir de esta ecuación, se puede calcular xAs (nótese que se necesitaría una solución numérica ya
que la ecuación 5.43 no se puede resolver explícitamente para xAs). Una vez que se conoce xAs , se
puede obtener el perfil de fracción molar a partir de la ecuación 5.42:
incógnita
A
1=+(
incógnita
−
α δ x )]) δ− 1
A exp[− x Como(
(5.44)
dónde
ˆ
delta k
alfa =
(5.45)
LENGUADO
Este parámetro adimensional es similar al módulo de Thiele utilizado en la sección anterior en el
sentido de que representa una relación entre las velocidades de reacción y difusión.
Es interesante explorar los efectos de los valores extremos de α en la solución encontrada.
En primer lugar, considere α « 1 (matemáticamente exploramos el límite cuando α → 0). De la ecuación
5.44, podemos ver que este límite produce el prole
(5.46)
« α 1 ≡ xx
AA δ ,
es decir, la fracción molar prole es en. La tasa de consumo de A se puede determinar a partir de la
ecuación 5.41 como
ˆ
−N kEje« δα, 1 = cxA
(5.47)
lo que indica que la tasa de consumo de A es independiente de la difusividad.
Físicamente, este límite implica que la velocidad de reacción es tan lenta en comparación con la difusión
que la película se mezcla perfectamente mediante el proceso de difusión y, por lo tanto, la difusión deja
de desempeñar un papel. En otras palabras, la reacción en la superficie es el paso lento que controla el
proceso y decimos que el proceso está controlado por la reacción.
Por otra parte, cuando α » 1 (matemáticamente, exploramos el límite cuando α → ∞), la ecuación 5.43
implica que xAs → 0 (la reacción es tan rápida que todo el A que llega a la superficie se consume). En este
caso, la tasa de consumo se puede obtener haciendo x = 0 en la ecuación 5.42, lo que da
norte
Hacha
=−
cd De
en(1 + x
del
Un delta
)
(5.48)
En este caso, el consumo ux es independiente de la velocidad de reacción y decimos
que el proceso está controlado por difusión.
5.4 DIFUSIÓN MEJORADA (FACILITADA)
La difusión mejorada o facilitada se refiere a un caso particular de transporte que da como resultado tasas
de transferencia de masa para un soluto que son apreciablemente más altas que las que serían
Machine Translated by Google
107
Transporte difusivo en sistemas reactivos
esperado. El transporte facilitado no se limita a la difusión y, por lo general (aunque no siempre),
va acompañado de reacciones químicas. Algunos ejemplos de transporte facilitado son
1. Transporte de oxígeno desde los pulmones hasta los tejidos. Debido a la relativamente
baja solubilidad del oxígeno en la sangre (o en cualquier líquido acuoso), su transporte
desde los pulmones hasta los tejidos del cuerpo no sería adecuado si se produjera por
disolución directa. Lo que se produce es una reacción de formación de complejos en
la que el oxígeno forma un complejo con la hemoglobina (oxihemoglobina). El
complejo se transporta por convección (flujo sanguíneo en las arterias) hasta los
tejidos, donde se libera oxígeno molecular del complejo.
2. Transporte de contaminantes de baja solubilidad en aguas subterráneas por materia coloidal.
Los coloides naturales (partículas de escala submicrónica o nanométrica) son omnipresentes
en las aguas subterráneas. Los contaminantes insolubles adsorbidos o depositados en el
suelo pueden adsorberse en las partículas coloidales y, por lo tanto, ser transportados con el
flujo principal de aguas subterráneas. Ejemplos de esto son los compuestos orgánicos
insolubles transportados por coloides húmicos y los contaminantes radiactivos transportados
por partículas coloidales del suelo.
3. Transporte a través de la membrana celular. La selectividad de las membranas celulares para
permitir el transporte de especies químicas hacia el interior o el exterior de la célula está
relacionada con su capacidad para facilitar el transporte de solutos específicos. Este control
lo ejercen agentes aglutinantes que forman complejos con determinados solutos.
4. Sistemas de administración de fármacos. El concepto de sistema de administración de
fármacos y de sistemas de liberación controlada está estrechamente relacionado con el
transporte facilitado. La idea es diseñar un medio que pueda transportar el fármaco al tejido
específico donde se lo requiere, con velocidades de liberación controlables.
Algunos de los ejemplos anteriores se basan en reacciones químicas (1, 3 y algunas
aplicaciones de 4), mientras que otros se basan en otros mecanismos, como la adsorción (2) o
la absorción (algunas aplicaciones de 4).
En esta sección, consideramos un ejemplo de difusión mejorada a través de una membrana
plana. La situación a considerar es el transporte de una especie (A) entre dos fluidos separados
por una membrana sólida, en la que A es completamente insoluble. Para lograr el transporte de
A, la membrana contiene una especie C que reacciona con A para formar un complejo B que es
soluble en la membrana. La reacción es reversible y ocurre en la interfase membrana­fluido
(Figura 5.7).
A+C
ˆ
a1
ˆ k
← →
B
2
(5,49)
Supondremos que esta reacción es elemental y que siempre hay un exceso de C presente en
la membrana. La velocidad de la reacción heterogénea se puede expresar como
ˆ
RA
ˆ
R cA
= − = −k
B + kc 2
ˆ
ˆ
1
B , en la interfaz membrana/fluido
(5,50)
Machine Translated by Google
108
Fenómenos del transporte ambiental
Fluido 1
Membrana
cA1
A reacciona a
Fluido 2
Exceso de C
cA2
B reacciona a
B se difunde
Formulario A
forma compleja B
cA1 > cA2
incógnita
yo
FIGURA 5.7 Difusión facilitada a través de una membrana: A es insoluble en la membrana
pero reacciona con C (x = 0) para producir un complejo soluble B que se difunde a través de
la membrana y libera A en el otro lado (x = L). El efecto neto es el transporte de A de una fase
fluida (1) a la otra (2).
donde cA es la concentración de A en el fluido y cB es la concentración del complejo en la
membrana. Consideraremos que el proceso está en estado estacionario, y que B es insoluble
en los fluidos que rodean la membrana y está presente en condiciones diluidas en la
membrana (cB « c).
Dado que la reacción química ocurre solo en las interfases (x = 0, L), la especie B solo
está sujeta a transporte difusivo en la membrana. Por lo tanto, la ecuación de continuidad en
estado estacionario para B se reduce a (suponiendo que la difusión ocurre solo en la dirección
x)
es Bx
Dx
=0N
Bx
es uniforme
(5.51)
Sean cB0 y cBL las concentraciones de B en x = 0 y L, respectivamente (estos valores
son desconocidos). La simple difusión de B a través de la membrana conduce a un perfil de
concentración lineal con un flujo difusivo dado por
−
do
=−
DAKOTA
Bx DEL NORTE B
licenciado en Derecho
yo
do B
0
(5.52)
donde DB es la difusividad de B en la membrana. Por otra parte, el ujo de B está controlado
por la ocurrencia de la reacción química heterogénea 5.49 en los planos x = 0 y L. Los
balances molares de B en esos planos conducen a
NRBx =
ˆ
B
, x0=
(5.53)
Machine Translated by Google
109
Transporte difusivo en sistemas reactivos
(moles de B produjeron moles iguales de B transportados por difusión), y
norte
ˆ
=
R B , x largo
=−
Bx
(5.54)
(moles de B transportados iguales a moles de B consumidos). El uso de las ecuaciones 5.50 y 5.52
en las ecuaciones 5.53 y 5.54 conduce a
DB
do
−
B0
ˆ
ˆ
= 1 cccUn 1 − 2 0 B
do
licenciado en Derecho
yo
(5,55)
y
DB
do
−
B0
ˆ
do
licenciado en Derecho
ˆ
kckc
Un 1+2 2
=−
yo
(5,56)
licenciado en Derecho
Reordenando estas dos ecuaciones obtenemos:
ˆ
DB
kc+ 2
yo
DB
yo
do
B0
−
DB
B−
0
do
yo
licenciado en Derecho
ˆ
= kc1 A 1
(5.57)
ˆ
kc1 2 Un
(5,58)
ˆ
DB
kc+ 2
yo
=−
licenciado en Derecho
Este es un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas (cB0 y cBL). La solución para
cB0 es
do
B0
=
ˆ
kc1 DL
kkc
/ )
( BDL
Un 1
( ( DL (/ ) ( )
B
ˆ
ˆ
) + +2
ˆ 2
)+
2
/ )
1 De2 (
−
2
B/
(5,59)
En definitiva, nuestro objetivo en este problema es calcular el flujo de A que se transfiere
del fluido 1 al fluido 2. Llamaremos a este flujo NAt. Este flujo se puede calcular mediante
un balance estequiométrico en cualquiera de las dos interfaces. Por ejemplo, en x = 0,
podemos afirmar que la cantidad de A que entra en la membrana es igual a la cantidad de
complejo (B) generado, ya que la estequiometría es 1:1; es decir,
ˆ
ˆ
=
= k 1cA 1 ­ kc B20
Enero
En 2016Bx
(5.60)
Sustituyendo la ecuación 5.59 en la ecuación 5.60 obtenemos (después de las manipulaciones)
norte
ˆ
a1
=
ˆ
En
kDL­es
2 + (2/ B
)
DB
c1A
−
yo
do
A2
(5.61)
Machine Translated by Google
110
Fenómenos del transporte ambiental
Esto representa la tasa de difusión facilitada de A a través de la membrana.
Tenga en cuenta que, como se esperaba, esta velocidad depende de la cinética de la reacción, la
difusividad de B a través de la membrana y el espesor de la membrana.
La ecuación 5.61 puede analizarse para casos extremos relevantes de la siguiente manera. En
primer lugar, considere la definición de constante de equilibrio para la reacción 5.49:
ecuación k
ˆ
a
= ˆ 1
a2
(5.62)
La ecuación 5.61 se puede reescribir como
norte
En
K
=
DB
ecualizador
( 1+ 2 / D­k­l
B
do
−
Un 1
)
2
do
Un 2
yo
(5.63)
Ahora, consideremos los siguientes casos extremos:
1. Reacción rápida, difusión lenta, ( 2 D / 2 L )B1 kecuación
La 5.63. se reduce a
C.C.
=
NKD
En
1
−
Automóvil club británico 2
yo
la ecuación B
(5.64)
El flujo se parece a un flujo difusivo para A, pero la difusividad es la del complejo (DB). Nótese
que el transporte mejorado de A se acelera cuanto mayor es la constante de equilibrio.
2. Reacción lenta, difusión rápida, ( 2 D / 2 L ) B1 kecuación
La 5.63. se reduce a
norte
En
=
ˆ
a1
2
( cc1
−
Automóvil club británico 2
)
(5,65)
En este caso, la difusión es tan rápida que se vuelve irrelevante (la ecuación 5.65 también se
obtiene dejando cB0 = cBL en el análisis de la velocidad de reacción).
PROBLEMAS
5.1 Una partícula esférica sólida (A pura) de radio R se disuelve en un gran charco de líquido
estancado (B). La difusividad de A disuelta en el líquido es DAB.
Para mejorar el proceso de disolución, el líquido contiene un agente quelante que
reaccionará con el A disuelto para eliminarlo de la solución. La reacción sigue una cinética
de primer orden RA = −kcA. El proceso de disolución puede considerarse casi estable, de
modo que en el líquido cA = cA(r). La solubilidad del A en el líquido es cAs.
Machine Translated by Google
111
Transporte difusivo en sistemas reactivos
a. Escriba la ecuación diferencial y las condiciones de contorno cuya solución produce
el perfil de concentración cA(r).
b. Utilice el cambio de variables cA = u/r para demostrar que la ecuación diferencial se
convierte en
tú2
dr.2
a
−
D
tú = 0
De
c. Resuelva el problema y encuentre cA(r).
d. A partir de la solución encontrada, determine el flujo molar de A en la superficie de la
esfera (flujo de disolución).
e. Para cuantificar la mejora en el flujo de disolución proporcionada por la presencia del
agente quelante, encuentre la relación entre el flujo de disolución encontrado en
(d) y el flujo de disolución en ausencia de un agente quelante.
5.2 Uno de los pasos limitantes en el transporte de oxígeno desde la sangre a los tejidos es
la difusión de oxígeno a través del tejido. Considere el modelo idealizado que se
muestra en la figura en el que un capilar transporta sangre a un tejido cilíndrico. Se
puede suponer que la concentración de oxígeno (A) en la sangre (cAb = 4,05 × 10−8
mol/cm3 ) es uniforme en el capilar tanto radial como axialmente. En el tejido (Rc < r <
R) el oxígeno se difunde radialmente en estado estacionario y es consumido por el
metabolismo aeróbico en las células del tejido a una tasa uniforme RA = −1 × 10−8 mol/
cm3s. La superficie externa del tejido (r = R) es impermeable al oxígeno. Los radios de
los capilares y cilindros tisulares son: Rc = 1,5 × 10−4 cm y R = 50 × 10−4
cm. La difusividad del oxígeno en el tejido es de 2,0 × 10−5 cm2/s. El coeficiente de
reparto del oxígeno entre la sangre y el tejido es 1.
a
2Rc2R
Capilar
Tejido
a. Determine la concentración de oxígeno en la superficie externa del
tejido.
b. Calcular el flujo molar de oxígeno que fluye desde el capilar a
El tejido.
5.3 Un microorganismo esférico transportado por el aire consume oxígeno mediante la respiración.
El consumo de oxígeno se produce de manera uniforme a través del microorganismo
y se puede suponer que sigue una tasa cinética de orden cero.
Machine Translated by Google
112
Fenómenos del transporte ambiental
expresión: RA = −k (A = O2). Estudios de laboratorio han determinado que un
microorganismo específico con radio R = 0,01 cm consume 1 × 10−8
mol de O2/h en el aire atmosférico a 20°C en condiciones de estado estacionario.
La difusividad del oxígeno en el microorganismo es DAB = 1 × 10−5
cm2/s. La solubilidad del oxígeno en el microorganismo es cAs = 1,4 × 10−6
mol/cm3, cuando se expone al aire atmosférico. Si la transferencia de masa desde el aire
circundante a la superficie del microorganismo es muy rápida, determine:
a. La constante de velocidad cinética, k.
b. La concentración de oxígeno en el centro del microorganismo, cAc.
5.4. Se cree que el aumento acelerado de los niveles de dióxido de carbono en la atmósfera es
consecuencia de las emisiones antropogénicas de CO2 y se lo ha vinculado al
calentamiento global. Otra consecuencia perjudicial de las mayores concentraciones de
CO2 en la atmósfera inferior es la acidificación de los océanos. Si el pH de los océanos
se reduce lo suficiente, se pondrá en peligro una gran cantidad de especies que dependen
de la deposición de carbonato de calcio para su supervivencia (como los corales). La
absorción de CO2 en el océano se ve potenciada por su reacción homogénea con los
iones hidroxilo en el líquido para formar especies de carbonato solubles:
−
CO2 +OHHC → O
−
3
, RA
=−
kccb
A
donde A = CO2 y B = OH−, y k es conocido. Como primer paso para modelar la absorción
de CO2 por parte del océano, considere la absorción de CO2 en un estanque profundo
estático de líquido. El líquido será una solución acuosa de pH relativamente alto, de
modo que la concentración de OH− (cB) es conocida y, al estar en exceso, uniforme. El
líquido está expuesto a una atmósfera con una presión parcial conocida de CO2 (PA). La
difusividad del CO2 en el líquido es DA, y el equilibrio entre el gas y el líquido está dado
por la ley de Henry, PA = HcA, donde H es conocida. En las profundidades del líquido, se
puede suponer que cA ≈ 0. En cualquier punto del líquido, el CO2 estará diluido.
a. Encuentre el perfil de concentración en estado estacionario de CO2 en el líquido, cA(z).
b. Derive una expresión para el flujo de CO2 que ingresa al líquido en el
superficie.
5.5 El radón (en concreto, el isótopo 222Rn) es un elemento radiactivo que se encuentra de
forma natural en ciertos tipos de suelo. Se produce a partir de la desintegración radiactiva
del uranio, por lo que está presente en niveles relativamente altos en los suelos de las
minas de uranio. Se ha demostrado que incluso concentraciones bajas de radón en el aire
causan cáncer de pulmón. Para mitigar la exposición de los mineros al radón en una zona
con una liberación de radón relativamente alta, alguien ha propuesto inundar la zona con
un estanque de agua de profundidad L (véase la figura).
Debido a la difusión relativamente lenta del radón a través del agua y su descomposición
relativamente rápida debido a la desintegración radiactiva, se espera que la acumulación
de agua reduzca sustancialmente la tasa de liberación de radón al aire.
Machine Translated by Google
113
Transporte difusivo en sistemas reactivos
Aire
Agua
yo
incógnita
Suelo
Liberación de radón
Sean NAx0 y NAxL los flujos molares de radón del suelo al agua y del agua al aire,
respectivamente. Halle la profundidad del depósito de agua (L) que daría como resultado
una atenuación del flujo del 99 %; es decir: NAxL = 0,01NAx0. La difusividad del radón
en el agua es DAw = 1,2 × 10−9 m2/s. La tasa de descomposición radiactiva del radón
en el agua es de primer orden en la concentración de radón con una constante de
velocidad k = 2,1 × 10−6 s−1.
. Se puede suponer que la concentración de radón en el aire
sobre la superficie del agua es insignificante y que el proceso se encuentra en estado
estable.
5.6 La reacción de isomerización elemental A → C se llevará a cabo en un gel blando que
está unido a una superficie sólida plana. El reactivo A está disponible como parte de
un gas que también contiene oxígeno. La reacción sólo puede proceder en presencia
de un catalizador que es soluble en el gel pero que se oxidará y desactivará si se
expone al oxígeno. Para evitar la oxidación del catalizador, proponemos impregnar
con un catalizador sólo la mitad de la capa de gel (0 < x < δ, ver figura) mientras se
mantiene una capa superior libre de catalizador (δ < x < 2δ) que aislará el catalizador
del gas. En esta disposición, A se difundirá desde el gas hacia el gel y reaccionará
para producir C en la capa reactiva.
El producto de reacción C se difundirá entonces hacia el gas, ya que la superficie
sólida (x = 0) es impermeable tanto a A como a C. Tanto A como C están presentes
en concentraciones diluidas en todo el gel. La partición de A entre el gas y el gel
está dada por la ley de Henry: PA = HcA, con H conocido.
La difusividad de A en el gel es DA. La difusión del catalizador hacia la capa no
reactiva puede despreciarse.
C.N.x = ?
Gas que contiene A
del
del
Capa de gel no reactiva
Capa de gel reactiva
CA, RA = −kcA
incógnita
Sólido
a. Encuentre el perfil de concentración en estado estacionario de A en la capa de
gel reactivo, en términos de H, DA, k, δ y la presión parcial de A en el gas, PA.
b. Encuentre una expresión para calcular el flujo molar de C que se transferirá al
gas en estado estable (es decir, NCx en x = 2δ).
Machine Translated by Google
114
Fenómenos del transporte ambiental
5.7 Un biorreactor está cargado con partículas esféricas de soporte de radio R, cada una de las
cuales contiene una distribución uniforme de células aeróbicas. La concentración de
oxígeno en la superficie de las partículas es cA0. El perfil de concentración de oxígeno
en estado estacionario en las partículas es necesario en el diseño de este reactor para
garantizar que las células cercanas al centro tengan suficiente oxígeno para vivir.
Las mediciones experimentales muestran que la tasa de respiración de las células es de
primer orden en la concentración de oxígeno, RA = −kcA. La difusividad del oxígeno en la
partícula es DA.
a. Encuentre el perfil de concentración de oxígeno en estado estacionario en la partícula
esférica, cA(r).
b. Encuentre una expresión para calcular los moles de oxígeno consumidos por unidad de
tiempo en la partícula, WA.
c. Determine una restricción que debe satisfacerse para garantizar que
do
Un r=0
> 0 1 c A0 .
.
5.8 Los semiconductores compuestos son materiales que se utilizan en células solares, láseres
y transistores. Estos dispositivos se producen mediante el crecimiento de películas muy
delgadas de pureza controlada sobre grandes áreas (las películas a veces tienen un
espesor de unas pocas moléculas). Un método para depositar una película con estas
características es la deposición química en fase de vapor, en la que un gas portador,
como el H2, transporta vapores reactivos, como la arsina (AsH3), y una especie
organometálica, como el trimetilgalio ((CH3)3Ga, TMG) a una superficie calentada. La
descomposición térmica se produce en la superficie, lo que conduce a la deposición de
una película de arseniuro de galio (GaAs):
AsH3 ( )g
a ( )+
+ ( doH G3
3 aAs ) →
gramo
G
4()
3 Hdo
( )s
gramo
Esta reacción es tan rápida y la arsina suele estar en tal exceso que el proceso está
controlado por la difusión de TMG entre la mayor parte de la fase gaseosa y la superficie.
Se deposita una película de GaAs sobre una placa cuadrada de 20 cm de lado. La presión
y la temperatura del proceso son 1 atm y 600 K, respectivamente. En estas condiciones,
la difusividad de TMG en el gas (que es principalmente H2) es 1 cm2/s. TMG está presente
en el gas a una presión parcial de 7 × 10−5 atm a una distancia de 0,1 cm de la superficie.
Se puede suponer que la difusión en el gas es pseudoestacionaria (es decir, ignorar el
aumento del espesor de la película de GaAs en formación).
a. Determine la velocidad a la que se forma la película en moles de GaAs.
depositado/s.
b. Determine el flujo molar de CH4 que se difunde desde la superficie. La difusividad del
CH4 en el gas es de 2 cm2/s.
5.9 Una reacción bimolecular
AB+ → AB
Machine Translated by Google
115
Transporte difusivo en sistemas reactivos
se lleva a cabo en una membrana sólida fijando la concentración de A en un
extremo de la membrana (x = 0) en c0 y la concentración de B en el otro
extremo (x = δ) en el mismo valor c0. Tanto A como B están diluidos en la
membrana y sus difusividades son conocidas (DA y DB). La reacción es tan
rápida que A y B se consumen completamente cuando se aproximan, como se
muestra en la figura. Encuentre una expresión para calcular la ubicación del
frente de reacción, δR.
Membrana
cA = co
cB = co
do
Hacha)
cB (x)
0
x = δR
x=0
x=δ
5.10 Un suelo contaminado con un compuesto volátil (A) lo libera a la atmósfera a un
flujo molar constante conocido NA0. En la atmósfera quiescente, el
contaminante se destruye por fotólisis solar siguiendo un proceso de primer
orden, RA = −kcA. La difusividad del compuesto en el aire es DA
y se sabe que está presente en el aire en concentraciones relativamente bajas
y sólo debido a su liberación desde el suelo. Halle el perfil de concentración
en estado estacionario en la atmósfera, cA(z).
Si el compuesto se vuelve tóxico en concentraciones cA > cAm, encuentre una
expresión para calcular la altura (z = H) por encima de la cual sería seguro
respirar el aire. Si el flujo de liberación se incrementa 10 veces: NA0,2 = 10
NA0,1, calcule la diferencia en las alturas límite tóxicas, H2 − H1.
5.11 Una película sólida formada por la especie química S se forma por la reacción
entre un sólido (A) y un compuesto (B) disuelto en una fase líquida (ver figura).
A medida que la película crece, A se disuelve en ella y se difunde al sólido/
interfase líquida (x = δ) donde reacciona con B. La especie B es insoluble en el
sólido formado por el compuesto S producido, y tanto A como S son insolubles
en el líquido que transporta B. El líquido está bien mezclado de modo que la
concentración de B en la interfase sólido/líquido (cB) es conocida y constante.
La velocidad de reacción está dada por
ˆ
ˆ
R A = − ck cAδ
B
Machine Translated by Google
116
Fenómenos del transporte ambiental
donde Rˆ está en moles de A por unidad de tiempo y área de superficie de la
A
interfaz, y cAδ es la concentración de A en el sólido en la interfaz.
Otros parámetros conocidos son: la solubilidad de A en la película sólida (cAe),
la difusividad de A en S (DAs), la densidad molar del sólido (cs ) —considere
que cAe « cs. Aunque la película crece continuamente, el proceso de difusión de
A en la película puede considerarse en estado estacionario en todo momento.
Encuentre expresiones para calcular:
a. La concentración interfacial de A, cAδ, en términos de la información
dado.
b. El flujo molar de A que se disuelve de la superficie sólida (A puro).
c. El espesor de la película en función del tiempo, δ(t), si δ(0) = 0.
cAe
Pura A
S+A
Puro B
(Sólido)
(Sólido)
(Líquido)
incógnita
A+B
δ(t)
S
Machine Translated by Google
6
Transporte convectivo
6.1 EL PAPEL DE LOS EQUILIBRIOS DE MOMENTO EN LA CONVECCIÓN
TRANSPORTE
La ecuación de convección­difusión derivada en el Capítulo 3 describe el transporte de masa en
sistemas cuando tanto la convección como la difusión tienen papeles importantes en el transporte
de una especie química A,
∂ do A
∂
D+en
=do A +
A
2 c Automóvil clubR
británico
(6.1)
Es importante recordar que esta ecuación es válida para sistemas binarios o sistemas
multicomponentes en los que la difusión de A puede modelarse mediante la ley de Fick (por ejemplo,
sistemas en los que A está diluido), con difusividad uniforme. El uso de la ecuación 6.1 en la formulación
de un problema de transferencia de masa requiere el conocimiento del vector de velocidad, v. La predicción
del campo de velocidad requiere el uso de la conservación del momento para derivar las ecuaciones
puntuales que describen el movimiento del fluido. En la mayoría de las aplicaciones prácticas, el equilibrio
del momento se puede resolver para encontrar el campo de velocidad independientemente del proceso
de transferencia de masa. Es decir, la mecánica de fluidos y los procesos de transferencia de masa están desacoplados.
En la siguiente sección, ofreceremos una introducción al uso de los balances de momento para
determinar los campos de velocidad. En Bird et al. (2007) se puede encontrar un tratamiento más
extenso de los balances de momento.
6.2 BALANCES DE MASA Y MOMENTO
El estudio del transporte de momento se basa en la aplicación de la conservación de la masa y del
momento lineal. En el capítulo 2, mostramos cómo realizar balances de masa total en volúmenes
de control arbitrarios. Aquí, trataremos los balances de momento lineal.
El principio general de conservación del momento lineal aplicado a un volumen de control arbitrario,
Va(t) (Figura 2.1), establece
La tasa de cambio temporal de
el momento lineal total
Velocidad a la que se mueve el momento lineal
=
entra en el arbitriovolumen raro
en un volumen arbitrario
−
}
Velocidad a la que se mueve el momento lineal
sale de la v arbitraria
volumen
Fuerza total ejercida por el entorno
{ { +{
sobre la v arbitraria volumen
(6.2)
}
}
117
Machine Translated by Google
118
Fenómenos del transporte ambiental
El momento lineal de una partícula fluida es el producto entre la masa y la velocidad de la
partícula. Por lo tanto, para un elemento de fluido dV, el momento lineal es ρv dV, y el momento
lineal total en el volumen arbitrario se obtiene integrando esta cantidad sobre Va(t), de modo
que el lado izquierdo de la ecuación 6.2 se puede expresar como
La tasa de cambio temporal de
el momento lineal total
en un volumen arbitrario
d
(6.3)
= ∫ es
ρvdV
Vt ( )
a
Las tasas de transporte de momento lineal que entran y salen del volumen arbitrario
(primeros dos términos del lado derecho de la ecuación 6.2) se pueden expresar en términos de
las tasas de flujo de masa que se mueven a través de la superficie arbitraria. En el Capítulo 2,
establecimos que la tasa de flujo de masa de fluido a través de un elemento dA de la superficie
arbitraria está dada por (Ecuación 2.6)
{
Masa de material que
∙ dA
a
cruza dA por unidad de tiempo } = ρv n
(6.4)
donde vr es la velocidad del fluido relativa a la superficie arbitraria, vr = v − w, con v
y w son las velocidades del fluido y de la superficie arbitraria, respectivamente. Para hallar el
momento lineal que cruza la superficie, multiplicamos la ecuación 6.4 por la velocidad.
{
Dado que vr
Momento lineal que
cruza dA por unidad de tiempo } = ρvv n
a
∙ dA
(6.5)
n > 0 significa que el material sale del volumen arbitrario, entonces la red
La velocidad a la que el momento lineal entra en el volumen es
Momento lineal neto que
entra en el volumen arbitrario
= −ρv v( ) −
wn dA
(6.6)
a través de dA por unidad de tiempo
Por lo tanto, los flujos de momento total en la ecuación 6.2 se pueden expresar como
Velocidad a la que se mueve el momento lineal
entra en el volumen arbitrario
Califica at que momento lineal
−
{{
sale del volumen arbitrario
}
}=
∫ v w( − vn ) ρ dA
(6.7)
En ( )
a
Para cuantificar las fuerzas en el equilibrio de momento (6.2), primero establecemos que
Las fuerzas que actúan sobre una porción de fluido pueden ser de dos tipos:
Machine Translated by Google
119
Transporte convectivo
1. Fuerzas de cuerpo o volumen: son fuerzas que actúan sobre cada punto del fluido y se
deben a campos de fuerza externos. El ejemplo más común es la fuerza gravitacional.
2. Fuerzas superficiales o de contacto: son fuerzas ejercidas sobre el fluido por su entorno
inmediato. Actúan sobre la superficie del volumen de control considerado.
Como las fuerzas son aditivas, podemos afirmar:
{
Fuerza total ejercida por el
entorno en un volumen de control
}={{
+
Fuerzascorporales ejercidas por el
entorno en el control de volumen
}
Surfa fuerzas ejercidas por el
}
entorno en el control de volumen
(6.8)
Aquí, consideraremos la fuerza gravitacional como la única fuerza del cuerpo. La fuerza es
entonces el peso del fluido: masa × aceleración de la gravedad. Para un elemento de fluido dV, la
fuerza del cuerpo es ρgdV. Por lo tanto,
{
} = ρgdV
∫
Fuerzas corporales ejercidas por el
entorno en el control de volumen
(6.9)
V(t)
a
Las fuerzas superficiales se cuantifican mediante el vector de tensión, t, definido como la fuerza
superficial por unidad de área ejercida por el entorno sobre el volumen arbitrario en cada punto de
la superficie arbitraria. La fuerza superficial total está dada por
{
Fuerzas superficiales ejercidas por el
entorno en el control de volumen
(6.10)
} = ∫ tdA
En ( )
a
El equilibrio del momento lineal 6.2 se convierte en
d
es
∫ρ
en
Vt ( )
a
Vuelta al futuro
=
( −)
∫ ρvwvn
En ( )
a
dA+
∫
Vt ( )
a
gρ +dV
∫ es
a
(6.11)
En ( )
a
En el siguiente apartado mostraremos cómo utilizar este tipo de balanza, en combinación
con balances de masa, para determinar distribuciones de velocidades en flujos unidimensionales.
6.3 DISTRIBUCIONES DE VELOCIDAD EN FLUJOS UNIDIMENSIONALES
Para ilustrar la aplicación de los balances de momento, consideraremos en esta sección tres estudios
de caso de flujos unidimensionales.
Machine Translated by Google
120
Fenómenos del transporte ambiental
6.3.1 DISTRIBUCIÓN DE VELOCIDAD ENTRE PLACAS PARALELAS CUANDO EL FLUIDO
EL MOVIMIENTO ES INDUCIDO POR EL MOVIMIENTO DE UNA DE LAS PLACAS (SIMPLE
FLUJO DE CORTE )
Este flujo es una simplificación de un problema clásico en mecánica de fluidos: el flujo de Couette.
Una de las técnicas más utilizadas para medir la viscosidad de fluidos (principalmente líquidos) es el
viscosímetro Couette, que consiste en dos cilindros concéntricos con el fluido ocupando el espacio
anular entre ellos (Figura 6.1). Uno de los cilindros se hace girar a una velocidad angular constante
(ω) mientras que el otro se mantiene estacionario. Para el caso representado en la Figura 6.1, el cilindro
exterior se hace girar. Debido a las fuerzas de fricción, el fluido intentará hacer que el cilindro interior
gire en la misma dirección que el cilindro exterior. Por lo tanto, se debe aplicar un par al cilindro interior
para evitar que gire. Aquí, simplificaremos el análisis de este problema considerando que el espacio
entre cilindros es mucho menor que el radio del cilindro interior, es decir, h « R.
En estas condiciones, el campo de flujo local en el espacio anular se puede aproximar al flujo entre
dos placas paralelas separadas por una distancia h, con una placa estacionaria y la otra moviéndose
a una velocidad lineal v0 = ω(R + h) ≈ ωR (Figura 6.2). Nótese que el movimiento del fluido entre las
placas es impulsado por el movimiento de la placa superior; es decir, si v0 = 0, el fluido está
completamente estacionario.
En primer lugar, debemos establecer las condiciones en las que se buscará una solución para el
problema especificado. Las primeras condiciones son (se especificarán más a continuación):
1. Supondremos que se trata de un flujo en estado estacionario, es decir, los parámetros que
intervienen en la descripción del movimiento del fluido no cambian con el tiempo. Esto
implica que no habrá términos de acumulación en los balances de masa y momento.
2. Utilizando el sistema de coordenadas especificado en la Figura 6.2, supondremos que el
campo de velocidad es independiente de y. Esto es coherente con el hecho de que
Esfuerzo de torsión
R
Estacionario
Líquido
cilindro
yo
R
yo
ω
ω
Vista lateral
Vista superior
FIGURA 6.1 El viscosímetro Couette. Un fluido ocupa el espacio anular entre dos cilindros concéntricos.
El cilindro exterior gira a una velocidad angular constante (ω) mientras que el cilindro interior se ve
obligado a permanecer estacionario mediante la aplicación de un par de torsión. La medición del par de
torsión aplicado se utiliza para determinar la viscosidad del fluido.
Machine Translated by Google
121
Transporte convectivo
el
v0
(Superficie exterior del cilindro)
Δz
incógnita
yo
incógnita
CV Δx
x + Δx
el
z + Δz
(Superficie interior del cilindro)
FIGURA 6.2 Movimiento del fluido entre placas paralelas inducido por el movimiento de la placa superior.
El volumen de control (CV) tiene dimensiones Δx × Δz y se extiende una longitud W en la dirección y.
La causa del movimiento (el movimiento de la pared) es la misma para todos los
valores de y. Si nos remitimos a la geometría de Couette (Figura 6.1), esto implica
que nuestra solución no funcionará en las proximidades de los extremos superior e
inferior del aparato.
3. Supondremos que el fluido solo se mueve en la dirección z. Debido a la simetría
y del flujo supuesta anteriormente, no esperaríamos ningún movimiento en y.
Además, no hay causas físicas aparentes que generen un movimiento en la
dirección x, además, la presencia de las dos placas impide el movimiento en la
dirección x en sus proximidades.
En vista de estas condiciones, esperamos que el campo de velocidad del fluido entre
placas para obedecer lo siguiente:
vx = 0
(6.12)
Vy = 0
(6.13)
ver
el = ( ,el xz)
(6.14)
Se obtendrá más información sobre vz realizando un balance de masa. Para ello, considere el
volumen de control que se muestra en la Figura 6.2. Como se estudió en el Capítulo 2, el principio de
conservación de la masa aplicado a un volumen de control se puede enunciar de la siguiente manera:
Tasa de cambio en el tiempo
de la masa total en
el volumen de control
Tasa a la que
Tasa a la que
=
La masa entra en la
controlar el volumen
−
La masa sale de la
(6.15)
controlar el volumen
En este caso, dado que el sistema está en estado estable, el lado izquierdo de esta
ecuación es cero. Además, dado que el fluido se mueve en la dirección z positiva, la masa
ingresa al CV en la superficie z y sale en la superficie z + Δz (Figura 6.2). La masa por unidad de tiempo
Machine Translated by Google
122
Fenómenos del transporte ambiental
El flujo de masa que atraviesa cada superficie se puede cuantificar como el producto de la
densidad del fluido (ρ), su velocidad normal a la superficie (vz) y el área de la superficie. Por
lo tanto, el enunciado matemático de la expresión (6.15) es
v elW ρ ∆
incógnita
el
= ρ
vz∆ +el
el
∆x
Ancho
(6.16)
Ahora imponemos una condición adicional:
4. La densidad del fluido es uniforme. Los flujos que satisfacen esta condición son
llamados flujos incompresibles.
Usando esta condición, la ecuación 6.16 se simplifica a
= Vz
Vz
el
(6.17)
zzz
+∆
Dado que la ubicación y la longitud del volumen de control son arbitrarias (es decir, Δz
puede tener cualquier longitud en la dirección z), esta ecuación implica que vz no cambia
con z; es decir,
Vvz
= ( )elx
(6.18)
Nuestro objetivo es encontrar esta función, que se denomina perfil de velocidad. Para
ello, utilizaremos el principio de conservación del momento lineal. Escribiremos un balance
de momento lineal para el volumen de control, pero primero, como el momento lineal es un
vector, debemos especificar la dirección del balance como la dirección del movimiento (z).
El principio de conservación del momento lineal en la dirección z aplicado al volumen de
control se puede expresar como (Ecuación 6.2)
Tasa de cambio temporal de
el momento lineal total
Velocidad a la que lineal
=
mesmentón (dirección z)
(dirección z) en
el volumen de control
entra en el volumen de control
(6.19)
R comió en que lineal
−
momento (dirección z)
deja el volumen de control
gs
+ { Fuerza total ejercida por el entorno
}
en el volumen de control en la dirección z
En este caso, el lado izquierdo de esta ecuación se anula (estado estacionario). Para cuantificar
los dos primeros términos del lado derecho, aplicaremos la ecuación 6.7 a las secciones
transversales de entrada y salida,
Velocidad a la que lineal
momento (dirección z)
entra en el volumen de control
=ρ∆
(6.20)
2
Ancho x profundidad
el
Machine Translated by Google
123
Transporte convectivo
Velocidad a la que lineal
momento (dirección z)
deja el volumen de control
2
= ρAncho
x alto
∆
z + z∆
(6.21)
Dado que la velocidad es independiente de z, estos dos términos son iguales y serán
se cancela al sustituir en la ecuación 6.19, que luego se simplifica a
Fuerza total ejercida por el entorno
{ en
el volumen de control en la dirección z
} =0
(6.22)
En otras palabras, dado que no hay acumulación de momento ni flujo neto de momento
hacia dentro y hacia fuera del volumen de control, el principio de conservación del momento
lineal se reduce a un equilibrio de fuerzas. Ahora identificamos las fuerzas que actúan sobre el
volumen de control, comenzando con la fuerza del cuerpo,
corporales ejercidas sobre
{ elFuerzas
CV en la dirección z
(6.23)
} = ρ∆ ∆x zWgz
donde gz es el componente z del vector aceleración de la gravedad. Consideraremos que la
dirección vertical es la dirección y (Figuras 6.1 y 6.2), lo que implica que gz = 0.
Por lo tanto, las fuerzas del cuerpo no aparecerán en nuestro equilibrio. Por lo tanto, la ecuación 6.22 se simplifica a
Fuerzas superficiales totales ejercidas por el entorno
{ en
el volumen de control en la dirección z
} =0
(6.24)
El volumen de control seleccionado está delimitado por seis superficies. Las dos superficies
paralelas al plano x–z no se tendrán en cuenta, ya que allí no habrá ninguna fuerza superficial en
la dirección z. En este caso, solo tenemos que cuantificar las fuerzas superficiales sobre las cuatro
superficies que se muestran en la Figura 6.3. Cuando consideramos las fuerzas en la dirección z, vemos
incógnita
CV
Normal
efectivo
x + Δx
z + Δz
el
Tangente
(cortar)
efectivo
FIGURA 6.3 Fuerzas superficiales que actúan sobre el volumen de control que se muestra en la Figura 6.2.
Machine Translated by Google
124
Fenómenos del transporte ambiental
que dos de las fuerzas serán normales a la superficie y dos fuerzas serán tangentes a la
superficie. Las fuerzas tangentes se denominarán fuerzas de corte.
Las fuerzas superficiales que actúan sobre las cuatro superficies de la Figura 6.3 son ejercidas
sobre el VC por el fluido que lo rodea. Estas fuerzas superficiales se cuantificarán en términos de la
tensión, definida como la fuerza por unidad de área que actúa sobre una superficie. Las tensiones
normales (es decir, las tensiones asociadas con las fuerzas normales) son generalmente iguales a la
presión del fluido (P), que es una fuerza de compresión (es decir, siempre actúa hacia el volumen de
control). Por otro lado, la tensión de corte se definirá de la siguiente manera:
τxz: fuerza superficial por unidad de área ejercida por el fluido en el CV sobre su entorno en la dirección z
sobre una superficie perpendicular al eje x, con el eje x apuntando hacia afuera del CV.
Obsérvese que esta definición se basa en la convención de que las cantidades de tensión son
fuerzas ejercidas por el fluido en el CV (en contraposición a las fuerzas ejercidas sobre el fluido). Si
se utilizara la convención opuesta, el signo de la tensión debería cambiarse, de acuerdo con el principio
de acción y reacción. El primer índice en el símbolo de la tensión de corte siempre se referirá a la
dirección normal a la superficie, mientras que el segundo índice se referirá a la dirección de la fuerza.
En referencia a la Figura 6.3, en la superficie en x, la fuerza que necesitamos es la
fuerza ejercida sobre el fluido, por lo que tendríamos que usar el negativo de la tensión
cortante, pero, como el eje x apunta hacia adentro del CV, la acción y la reacción requieren
un segundo cambio de signo y la fuerza será τxzWΔz. Por otro lado, en la superficie en x
+ Δx, el eje x apunta hacia afuera, pero la fuerza requerida es la que actúa sobre el fluido,
que sería −τxzWΔz. La Figura 6.4 muestra la cuantificación de las fuerzas.
Ahora, podemos expresar la ecuación 6.24 en forma matemática de la siguiente manera:
∆ x−Wz + τ
PW x PW
el
∆
∆
xz
el + ∆ el
− τ
xz
incógnita
τxz
xx+ ∆
En ∆
= 0
(6.25)
xW∆z
incógnita
P
CV
z W∆x
−P
z+∆z W∆x
x + ∆x
z + ∆z
el
−τxz
x+∆x W∆z
FIGURA 6.4 Cuantificación de las fuerzas superficiales en la Figura 6.3. La fuerza de presión de la derecha apunta
hacia la CV (fuerza de compresión), que es equivalente a una fuerza negativa que apunta en la dirección z.
Machine Translated by Google
125
Transporte convectivo
Dado que el movimiento del fluido solo es inducido por el movimiento de la placa superior, no
esperaríamos variaciones de presión a lo largo de la dirección del flujo (una caída de presión con z
“empujará” directamente el fluido en la dirección del movimiento). Por lo tanto, tenemos
=
PÁGINAS
el
+∆zz
(6.26)
y los términos de presión desaparecen de la ecuación 6.25, simplificándola a
= τ
τxz
incógnita
xz xx+∆
(6.27)
El equilibrio de momento lleva directamente a la consecuencia de que la tensión cortante es
independiente de x. Dividiendo la ecuación 6.27 por Δx y tomando el límite como Δx → 0
conduce a
d τxz
dx
=0
(6.28)
O, dicho de forma sencilla, la tensión de corte es una constante en el campo magnético. La tensión
de corte está directamente relacionada con el movimiento del fluido. Nótese que, en x = 0 (pared
superior), la tensión de corte es una consecuencia de que la pared ejerce una fuerza de corte sobre el
fluido. El hecho de que τxz sea independiente de x significa que la tensión ejercida por la pared sobre
el fluido se propaga por todo el campo magnético. Estas fuerzas se propagan por la interacción entre
moléculas de fluido de diferentes capas de fluido en x. En x = 0, la interacción es entre la pared y las
moléculas de fluido. La interacción a nivel molecular
puede verse como una tendencia de las moléculas del fluido a “pegarse” entre sí (o a las moléculas de
la pared en x = 0), por lo que el esfuerzo cortante es lo que se conoce como fuerza de fricción.
No existiría fricción entre dos capas de fluido adyacentes a menos que se movieran a diferentes
velocidades. Por lo tanto, la existencia de una tensión cortante está relacionada con los cambios en vz
con x. En otras palabras, no esperaríamos que τxz dependiera directamente de la velocidad del fluido
sino del gradiente de velocidad, dvz/dx. Es bien sabido que la tensión cortante es directamente
proporcional al gradiente de velocidad para un gran número de casos prácticos. Los fluidos que
obedecen a este tipo de relación se denominan fluidos newtonianos.
Por lo tanto, para un fluido newtoniano,
Dvz­Z
τxz
Dx
(6.29)
Como se muestra en la Figura 1.4, y de acuerdo con la convención establecida en la definición de
τxz, se esperaría que τxz > 0, ya que la placa en movimiento ejerce una fuerza de fricción sobre el
fluido en la dirección z positiva. Por otro lado, la velocidad del fluido debería disminuir con x, ya que va
desde la velocidad de la placa,
vv 0 z
=
en x 0=
(6.30)
Machine Translated by Google
126
Fenómenos del transporte ambiental
a
Vz
= = 0a txh
(6.31)
En este caso, se supone que el fluido se adhiere a las paredes sólidas, lo que ocurre en la mayoría de
las aplicaciones. Por este motivo, las ecuaciones 6.30 y 6.31 se denominan condiciones de no deslizamiento.
El hecho de que la velocidad disminuya con x significa que dvz/dx < 0 y, por lo tanto, la relación de
proporcionalidad 6.28 debe incluir un signo menos. Formalmente, la relación entre la tensión de corte
y el gradiente de velocidad en este flujo se escribe como (p. ej., Bird et al. 2007)
τxz
=−
µ
Dvz­Z
Dx
, para un fluido newtoniano
(6.32)
donde la constante de proporcionalidad μ es la viscosidad del fluido. Está claro que la ecuación 6.32
es una consecuencia macroscópica de los efectos moleculares y que la viscosidad
Refleja el efecto que las interacciones moleculares tienen sobre las fuerzas de fricción.
La Tabla 6.1 muestra los valores de densidad y viscosidad de algunos gases y líquidos comunes.
A partir de estos valores, es evidente que ambas propiedades (aunque ambas son consecuencia de
efectos a nivel molecular) son independientes entre sí. Además, el orden de magnitud de las
viscosidades de los líquidos varía ampliamente. Todos los fluidos enumerados en la Tabla 6.1 son
newtonianos. La viscosidad depende de la estructura molecular de la sustancia.
CUADRO 6.1
Densidades y viscosidades de algunos fluidos
Sustancia
μ (mPa∙s)
ρ (g/cm3)
Gases
Hidrógeno
0,083 × 10−3
0,0086
Metano
0,666 × 10−3
0,0109
Oxígeno
1,33 × 10−3
0,0204
Aire
1,2 × 10−3
0,018
Líquidos
Agua
1.00
1.003
Agua (30°C)
1.00
0,798
Etanol
0,77
1.216
Glicerina
1.26
~1000
Aceite de motor SAE 30
0,89
350
Mercurio
13.6
1,55
Miel
1.2–1.6
2000–10 000
Vidrio de soda (570°C)a
2.4
~108
Heb superenfriado
−
0
Nota: Las propiedades se enumeran a 1 atm, 20 °C a menos que se indique lo contrario.
a Punto de ablandamiento del vidrio: temperatura a la cual el vidrio se comba
apreciablemente en un período de horas.
b
Temperaturas inferiores a 2K.
Machine Translated by Google
127
Transporte convectivo
y también de su estado termodinámico. En el caso de una sustancia pura, la viscosidad es más sensible a
la temperatura que a la presión. Observe lo drástico que es el cambio de viscosidad con la temperatura en el
caso del agua líquida.
Ahora que tenemos una representación del esfuerzo cortante en términos del campo de velocidad,
podemos sustituirlo en el balance de momento (Ecuación 6.28) para obtener
d
Vuelta al futuro
µ
Dx
el
Dx 0
(6.33)
=
Ahora imponemos una condición adicional al flujo:
5. La viscosidad es uniforme (esto será estrictamente cierto si la presión, la temperatura y la
composición del fluido son uniformes, pero cambios moderados harían que esta sea una buena
aproximación en algunos casos).
La ecuación 6.33 se convierte entonces en
2
Vuelta al futuro
el
Dx 2
=0
(6.34)
Esta ecuación se puede integrar dos veces para encontrar
= 12
vCxC+
el
(6.35)
donde C1 y C2 son constantes de integración, que pueden evaluarse a partir de las condiciones de contorno
6.30 y 6.31 para obtener
Vz
=
el 0
1−
incógnita
(6.36)
yo
Esta ecuación es el perfil de velocidad del fluido entre las placas.
La tensión se puede evaluar ahora directamente a partir de la ecuación 6.32 para obtener
τxz
en
= µ0
(6.37)
h
Los perfiles de velocidad y esfuerzo cortante se muestran en la Figura 6.5.
el
yo
incógnita
τxz
(x) por
supuesto
FIGURA 6.5 Perfiles de velocidad y esfuerzo cortante para flujo entre placas paralelas. El esfuerzo
cortante es uniforme y la velocidad varía linealmente con la posición.
Machine Translated by Google
128
Fenómenos del transporte ambiental
Fz
v0
μv0A
yo
FIGURA 6.6 Equilibrio de fuerzas en la placa superior.
Si A es el área de la superficie de la placa superior, la fuerza ejercida por la placa superior sobre
El fluido es el producto del esfuerzo cortante por A,
τxzA
v Un
= µ0
h
(6.38)
Por acción y reacción, el fluido ejerce la misma fuerza pero en dirección opuesta sobre la placa. Como la
placa se mueve a velocidad constante, la suma de todas las fuerzas que actúan sobre ella debe ser cero. Si
Fz es la fuerza que debe aplicarse a la placa, entonces (Figura 6.6)
F el =
µ v0 Un
h
(6.39)
Es evidente que la fuerza impulsora del movimiento en este problema es el movimiento de la placa
superior, que es una consecuencia de esta fuerza. Este tipo de flujo se denomina flujo de corte simple en
función del tipo de deformación que experimenta el fluido.
6.3.2 DISTRIBUCIÓN DE VELOCIDAD EN UNA PELÍCULA LÍQUIDA QUE FLUYE HACIA ABAJO
SOBRE UNA SUPERFICIE INCLINADA
Consideremos una película delgada de líquido que fluye sobre una superficie grande, plana e inclinada bajo
el efecto de la gravedad. La geometría del sistema se muestra en la Figura 6.7.
Los supuestos y condiciones para este caso son:
1. Estado estacionario (incluye la ausencia de ondas o inestabilidades en la superficie libre)
superficie).
2. Flujo incompresible (densidad constante).
3. El flujo es unidimensional: vx ≠ 0, vy = vz = 0. Esto implica que el espesor de la película es
uniforme. Esto restringe el análisis a regiones que están alejadas de la formación de la película.
4. Los parámetros de flujo son independientes de z.
5. El líquido es newtoniano y tiene una viscosidad uniforme.
El análisis será similar al problema anterior con dos diferencias principales: primero, en este caso la
fuerza impulsora del flujo es la gravedad, y segundo, hay una superficie libre a través de la cual el líquido
entra en contacto con otra fase fluida (aire). Nuestro objetivo es encontrar el campo de velocidad, que,
suponiendo simetría en la dirección z, tiene la forma vx(x,y).
Machine Translated by Google
129
Transporte convectivo
Líquido
y
Aire atmosférico
incógnita
P0
θ
del
Superficie libre
gramo
Superficie sólida
FIGURA 6.7 Una película líquida de espesor uniforme δ fluye por una superficie inclinada. La superficie
libre es la interfaz líquido/aire. El movimiento del líquido se debe exclusivamente a la atracción
gravitatoria.
Para analizar este problema, seleccionamos el volumen de control que se muestra en la Figura 6.8.
Comenzamos aplicando el balance de masa, Ecuación 6.15. Como el proceso está en estado estacionario,
solo necesitamos considerar los términos de entrada y salida:
v W ∆ ∆ y v W=y ρ ρ xx + ∆
incógnita
incógnita
incógnita
(6.40)
Como la densidad es constante, esta ecuación da como resultado
en
=
incógnita
incógnita
en
incógnita
+∆xx
(6.41)
y
y + Δy
incógnita
CV
x + Δx yx
Vx
FIGURA 6.8 Volumen de control (CV) para el análisis de flujos de película por una superficie inclinada.
El CV tiene dimensiones Δx × Δy y se extiende una longitud W en la dirección z.
Machine Translated by Google
130
Fenómenos del transporte ambiental
Una vez más, la conservación de la masa implica que la velocidad no cambia en la dirección
del movimiento, lo que significa que vx = vx(y).
Ahora, aplicamos la conservación del momento lineal en la dirección x. Como fue el caso en
la sección anterior, el hecho de que la velocidad no cambie con la dirección del movimiento
implica que los flujos de momento que entran y salen del CV son los mismos y el equilibrio del
momento se reduce a un equilibrio de fuerzas (similar a la ecuación 6.22). La figura 6.9 muestra
las fuerzas ejercidas sobre el CV que actúan en la dirección x. En este caso, la proyección de la
fuerza gravitacional en la dirección x debe considerarse en el equilibrio. Esta fuerza es igual al
peso del fluido en el CV, M = ρΔV, multiplicado por la aceleración de la gravedad en la dirección
x, gx = g cos θ (figura 6.9). El equilibrio de fuerzas en la dirección x es
∆∆
cosθ
+ τx yg ρ
PW y W
xW
yx
+
= PW y
∆∆
y
incógnita
∆
+τ
∆ x
Ancho
yx
xx+ ∆
aa+ ∆
(6.42)
La superficie libre del líquido está expuesta a la presión atmosférica en todos los valores de x.
Por lo tanto, esperamos que
=
PÁGINAS
(6.43)
+∆xx
incógnita
lo que elimina los términos de presión en la ecuación 6.42. Dividir la ecuación resultante por
WΔxΔy y reorganizarla conduce a
τ
−
yx ∆
τ
yx
yy+∆ y
y
= ρg porque θ
(6.44)
Tomando el límite cuando Δy → 0 se obtiene
d
τyx θ cos = ρ g
(6,45)
morir
y + ∆y
PAG
τ
yx
incógnita
y+∆y
¿Qué?
W∆x
gramo
incógnita
CV
yx
θ
= gcosθ
gramo
τ
PAG
incógnita
yxy
x+∆x
W∆x
x + ∆x
W∆y ρW∆x∆y g
incógnita
FIGURA 6.9 Fuerzas que actúan sobre el CV en la Figura 6.8.
Machine Translated by Google
131
Transporte convectivo
Dado que el lado derecho de esta ecuación es una constante, se puede integrar para obtener
τ
= y gcosθ C1 ρ+
yx
(6.46)
donde C1 es una constante de integración. En la superficie libre, el líquido está en contacto con el aire
atmosférico. Cualquier fuerza de corte aplicada sobre esta superficie sobre el líquido tendría que ser
aplicada por el aire. Sin embargo, el aire tiene una viscosidad relativamente baja (a 20 °C y 1 atm, μair/
μwater = 0,02, Tabla 6.1) y, por esta razón, no es probable que ejerza una fuerza de corte apreciable
sobre el líquido; es decir,
τyx ≈ 0, en y = δ(
superficie libre )
(6.47)
Usando esta ecuación como condición de contorno en la Ecuación 6.46, podemos encontrar C1, y
La sustitución posterior en la ecuación 6.46 produce el perfil de esfuerzo cortante.
τ
δ θ gcosy = −( ) −
ρ
yx
(6,48)
Nótese que τyx ≤ 0. La ecuación constitutiva para un fluido newtoniano en este caso es
Dvx
=−
τyx µ
(6,49)
morir
La sustitución en la ecuación 6.48 conduce a
Vuelta al futuro
ρ g cos δ
incógnita
( ) − y=
θ
(6,50)
µ
morir
Integrando con respecto a y obtenemos
2
vx
=
θ
yg cos ρ
−
δ
y
2
µ
+ 2C
(6.51)
La constante de integración C2 se puede encontrar utilizando la condición sin deslizamiento
vx
= = ,0 y
0
(6.52)
lo que da como resultado C2 = 0, y el perfil de velocidad es
en
incógnita
= y
δ
− ρ yg cos
2µ
θ
(6.53)
Machine Translated by Google
132
Fenómenos del transporte ambiental
Los perfiles de velocidad y esfuerzo cortante se muestran en la Figura 6.10.
le es parabólica con un máximo absoluto en la superficie libre (nótese que la ecuación 6.50 implica
que la derivada de la velocidad en la superficie libre es cero). La velocidad máxima es vx en y = δ,
v
θδ
= ρ g cos
2µ
x,máx
2
(6.54)
De esta ecuación se desprende claramente que la fuerza gravitatoria es la responsable del
movimiento del líquido. Para un plano horizontal (θ = π/2), tendríamos: vx ≡ 0. Por otra parte, el esfuerzo
cortante máximo (en magnitud) se produce en la superficie del plano (y = 0) para lo cual (Ecuación 6.48)
τ
yx
=−
y=0
δ θ cos ρ g
(6,55)
Esta tensión cortante refleja la fuerza que el fluido ejerce sobre la superficie (Fx).
Según nuestra convención, dado que el eje –y apunta lejos del CV en y = 0, tenemos
FA τ= −
incógnita
yx
y =0
= Un g
Oh
porque
θ
(6.56)
donde A es el área de la superficie del plano cubierto por la película líquida.
El caudal volumétrico del líquido en la película (Q) se obtiene integrando el perfil de velocidad sobre
el área de la sección transversal (Ac),
Q vx dA
=∫
(6,57)
do
C.A
y
vx(y)
incógnita
–τyx(y)
FIGURA 6.10 Perfiles de velocidad y esfuerzo cortante para el flujo de una película líquida por una placa inclinada.
Machine Translated by Google
133
Transporte convectivo
En este caso, la sección transversal es un rectángulo en el plano y–z de dimensiones δ × W, de
modo que
Yo
Q =
del
del
vxdydz En=v dy
∫∫
0
∫
0
(6,58)
incógnita
0
Sustituyendo el perfil de velocidad (Ecuación 6.53) e integrando se obtiene, después de las
manipulaciones,
Peso
ρ g porque θδ
Q =
3
(6,59)
3µ
Obsérvese la sensibilidad del caudal al espesor de la película: para duplicar el espesor de la película,
el caudal debería multiplicarse por ocho. La velocidad media es la relación entre el caudal y el área de la
sección transversal.
<>v=
incógnita
Q
A
=
do
θδ
= ρ g cos
Yo del
3µ
Q
2
(6.60)
Nótese que (ver ecuación 6.54)
<>v
=
2
x,máximo
incógnita
(6.61)
versión 3
Una de las suposiciones más importantes en la solución encontrada es el hecho de que el flujo es
unidimensional y, en consecuencia, la película tiene un espesor uniforme. En situaciones prácticas,
esto solo se cumplirá para películas relativamente delgadas, lo que se logrará con caudales relativamente
bajos. Si se aumenta el caudal en una película estable y uniforme, eventualmente aparecen
inestabilidades en el flujo que conducen a ondas superficiales y, finalmente, incluso a la ruptura de la
película. Como ejemplo, considere agua que fluye por una pendiente de 45°.
Solo para tener una idea del orden de magnitud de los espesores de película estables que se pueden
lograr en este caso, considere que la superficie de la película se mueve relativamente Para agua a 20 °C,
= Vx
=
s, podemos
el espesor de μ = 10−3 Pa s, ρ = 1000 kg/m3. Usando rápido: v 1 m/s. g = 9.81 m/
x = calcular ,máximo
incógnita
del
la película a partir de la Ecuación 6.54: δ = 0.54 mm.
6.3.3 DISTRIBUCIÓN DE VELOCIDAD PARA FLUJO DESARROLLADO EN UNA TUBERÍA
Como ejemplo final de la aplicación de la conservación de masa y momento a problemas de flujo,
considere el flujo vertical en una tubería con sección transversal circular (Figura 6.11).
La tubería tiene un radio R y a lo largo de la longitud de la tubería L, la presión del fluido cambia de P0 a
PL. El problema se analizará utilizando coordenadas cilíndricas.
Los supuestos y condiciones para este problema son:
1. Estado estable.
2. Flujo incompresible.
Machine Translated by Google
134
Fenómenos del transporte ambiental
P = P0
a
θ
el
yo
2R
P = PL
Fluir
FIGURA 6.11 Flujo de un líquido dentro de un tubo cilíndrico.
3. El flujo es unidimensional en la dirección z. Esta condición implica que el flujo es desarrollado
(lejos de entradas y salidas o cambios en la geometría).
4. Simetría angular (los parámetros de flujo son independientes de las coordenadas angulares).
nate θ).
5. El líquido es newtoniano y tiene una viscosidad uniforme.
En consecuencia, los componentes del vector velocidad son: vr = 0, vθ = 0, vz = vz(r,z).
Para analizar este problema, utilizaremos el volumen de control que se muestra en la Figura 6.12,
que está abarcado por cambios pequeños pero finitos en las tres coordenadas. Las dimensiones del
volumen de control son Δr × rΔθ × Δz.
a
θ
el
CV
rΔθ
Δr
Δz
(r + Δr)Δθ
Δz
Δθ
Δr
FIGURA 6.12 Volumen de control elemental tridimensional en coordenadas cilíndricas (izquierda)
y longitudes de cada lado (derecha).
Machine Translated by Google
135
Transporte convectivo
El volumen de control está delimitado por seis superficies, pero observamos que la masa del fluido
solo cruza las superficies superior e inferior, ya que el único componente distinto de cero del vector
de velocidad es vz. La figura 6.13 muestra los caudales de masa que entran y salen del volumen de
control. De acuerdo con la conservación de la masa, estos caudales son los mismos:
∆ θ∆ r vρ=
ρrealidad
virtual
el
+zz∆
θ∆
r∆
a
(6.62)
Lo que implica que
= Vz
Vz
el
(6.63)
zzz
+∆
es decir, vz es independiente de z y, por lo tanto, vz = vz(r).
Para aplicar la conservación del momento en la dirección z, reconocemos nuevamente que las
tasas de flujo del momento lineal que entra y sale del volumen de control son las mismas, y el equilibrio
del momento se reduce a un equilibrio de fuerzas. En este caso, tenemos que considerar tanto las
fuerzas superficiales como las del cuerpo. Las fuerzas superficiales en la dirección z sobre las
superficies superior e inferior se deberán a tensiones normales, consideradas iguales a la presión del
fluido.
En las otras cuatro superficies, las fuerzas superficiales en z se deben a tensiones de corte. En las
superficies en θ y θ + Δθ, no esperamos tener tensiones de corte debido a la simetría (nótese que vz no
cambia con θ). La Figura 6.14 muestra las fuerzas en la dirección z que actúan sobre el volumen de
control. Nótese que las áreas de las superficies laterales no son las mismas debido a los cambios en la
posición radial (ver Figura 6.12).
ρvz rΔθΔr
el
r + Δr
a
el
CV
z + Δz
pvz
rΔθΔr
z+Δz
FIGURA 6.13 Vista lateral del volumen de control de la Figura 6.12, que muestra las tasas de flujo de masa
que cruzan sus superficies.
Machine Translated by Google
136
Fenómenos del transporte ambiental
P rΔθΔr
el
r + Δr
a
el
a
CV
el
τrz (r + Δr)ΔθΔz
τrz rΔθΔz
Mgz
a
r+Δr
z + Δz
P rΔθΔr
z+Δz
FIGURA 6.14 Fuerzas en la dirección z que actúan sobre el volumen de control.
La masa del fluido en el volumen de control es
M r = ρ∆ ∆rz θ∆
(6,64)
El equilibrio de fuerzas en la dirección z es
P r ∆∆ θ
el
a τ+
Rz
aP r=∆∆
θ ∆∆
∆z
θ + τa
a
+zz
Rz
r+ ∆a
∆∆
a)∆ +θ −r ρelθ ∆z ∆ ∆ gr
(
Rz
(6,65)
El término de esfuerzo cortante en r + Δr se puede expresar como
τRz
rr+ ∆
( r + θ ) a∆ ∆ ∆
zr =
( τ Rz )
∆∆
θ
el
(6,66)
r+ ∆a
Sustituyendo esta ecuación en la ecuación 6.65 y dividiendo por ΔrΔθΔz se obtiene, después de reorganizar,
−
PAG
−a
PAG
∆zz
+
el
∆z
+ ρ gramo −
el
()a() Rz
τ
−
r+ ∆a
∆r
aτ
Rz
a
= 0
(6,67)
Ahora dejamos Δr, Δz → 0 para obtener
−a
∂
PAG
∂ el
+ ρ gr
el
−
∂ ( a) τ
Rz ∂
a
= 0
(6,68)
Machine Translated by Google
137
Transporte convectivo
Como no hay movimiento en la dirección r, se puede utilizar un balance de momento en r para
demostrar que P es independiente de r. Como P también es independiente de θ debido a la simetría,
concluimos que P = P(z). Por otra parte, la tensión cortante para un fluido newtoniano en este caso está
dada por la ecuación constitutiva
Dvz­Z
=−
τrz µ
(6,69)
dr.
Esta ecuación implica que la tensión cortante es solo una función de r, τrz = τrz(r).
Las derivadas parciales en la ecuación 6.68 se convierten entonces en derivadas totales,
DP
− + dz
dr.
= 1 (τ) Rz
a
dr.
ρg el
(6,70)
Esta ecuación parece ser, a primera vista, una contradicción: el lado izquierdo es sólo una función
de z, mientras que el lado derecho es sólo una función de r. Puesto que r y z son ambas variables
independientes, no pueden estar relacionadas entre sí, como parece indicar la ecuación 6.70. La única
forma de evitar la contradicción es reconocer que dos funciones de dos variables mutuamente
independientes pueden ser iguales sólo si las funciones son la función constante. Por lo tanto, afirmamos
DP
dr.
1 (τ)
− + = g dz ρ
el
Rz
dr.
a
= do
(6,71)
donde C es una constante (no definida en este punto). Esto conduce a dos ecuaciones diferenciales
ordinarias independientes,
DP
− + dz
1 ( dr ) τ
Rz
a
=
(6,72)
= do
(6,73)
ρg elC
dr.
Dado que la densidad y la aceleración de la gravedad son constantes, la ecuación 6.72 puede ser
integrado para obtener
PAG
g=()
− Cz + C1 ρz
(6,74)
donde C1 es una constante de integración. Esta ecuación implica que la presión varía linealmente con
z. Las dos constantes se pueden hallar aplicando las condiciones (ver Figura 6.11)
PP = 0
=
en 0,
(6,75)
Machine Translated by Google
138
Fenómenos del transporte ambiental
PP =
en =L
Yo ,
(6,76)
La ecuación 6.75 implica C1 = P0, y C se obtiene a partir de la ecuación 6.76,
∆
do =
PAG
(6,77)
ρ + gz
yo
donde ΔP = P0 − PL es la caída de presión que se produce en una longitud L de tubería. El perfil de presión
se convierte en
∆
P=−zP+
PAG
(6,78)
0
yo
Es común combinar la presión y los efectos gravitacionales mediante el uso de la ley modificada
presión, que en este caso está definida por
P = P g − ρ zz
(6,79)
=P 0
(6,80)
de modo que
P0
ES
(6,81)
= P gyo − ρ zL
La caída de presión modificada es ∆PP =
0
− P ;yode las ecuaciones 6.77, 6.80 y 6.81,
obtenemos
∆∆P
PAG
=
+ ρg Cel
yo
yo
=
(6,82)
La ecuación 6.73 se puede expresar como
1 dr.( ) τRz
a
=
dr.
∆P
(6,83)
yo
Sustituyendo la ecuación constitutiva 6.69 en esta ecuación, obtenemos una ecuación ordinaria
ecuación diferencial para el campo de velocidad,
d
dr.
a
Vuelta al futuro
a ∆P
el
dr.
=
−
µ
yo
(6,84)
donde hemos utilizado la condición de que la viscosidad sea uniforme. Esta ecuación se puede integrar una
vez para obtener
Machine Translated by Google
139
Transporte convectivo
Vuelta al futuro
el
1 ∆P+
=−
2µ
dr.
do 2
a
yo
(6,85)
a
Una segunda integración conduce a
en el
=−
1
2
∆PrC+
4µ
en +r C
2
yo
3
(6,86)
Para encontrar las constantes de integración, necesitamos dos condiciones de contorno. Una será
la condición antideslizante en la pared de la tubería,
= = 0,aR
en el
(6,87)
El perfil en la ecuación 6.86 tiene un término que diverge cuando r → 0. Sin embargo, un físico
La condición de calibración para este problema sería
v eles finito r = ,0
(6,88)
lo que requiere que C2 = 0. Con esto en mente y aplicando la ecuación 6.87 en 6.86, podemos encontrar
C3, lo que conduce a
en el
1 ∆P
=
4µ
yo
2
( Rr
−
2
)
(6,89)
Es interesante notar que la condición física 6.87 tiene exactamente la misma matemática.
consecuencia matemática como cualquiera de las dos condiciones siguientes:
1. Simetría del perfil de velocidad alrededor del eje del cilindro:
Vuelta al futuro
el
dr.
(6,90)
= = 0 ,0 r
2. No hay tensión cortante en el eje del cilindro:
= ,0 0 τrz =
r
(6,91)
(La ecuación 6.91 conduce a la ecuación 6.90 después de utilizar la ecuación constitutiva 6.69).
El perfil de esfuerzo cortante se puede obtener directamente sustituyendo la ecuación 6.89 en la
ecuación 6.69. El resultado es
trébol
=
∆P a
yo
2
(6,92)
Machine Translated by Google
140
Fenómenos del transporte ambiental
Los perfiles de velocidad y esfuerzo cortante se muestran en la Figura 6.15. Como en el caso
del ejemplo anterior, el perfil de esfuerzo cortante es lineal con la posición, mientras que el perfil
de velocidad es parabólico.
La velocidad máxima se produce en el eje del cilindro (línea central), r = 0:
en
=
z,máx
R 2 ∆P
4µ
(6,93)
yo
Mientras que la tensión cortante es máxima en la pared (r = R):
τrz,máx
=
∆P R
yo
(6,94)
2
Tenga en cuenta que el perfil de velocidad se puede expresar en términos de la velocidad máxima
(utilizando la Ecuación 6.93 en la Ecuación 6.89) de la siguiente manera:
= en
Vz
z,máximo
1−
a
2
(6,95)
R2
El caudal volumétrico se puede encontrar mediante la integración del perfil de velocidad a lo largo de
La sección transversal:
Q contra dA
=∫
(6,96)
do
C.A
En coordenadas cilíndricas (ver Figura 6.16), dAc = r dr dθ. La integral en esta
La ecuación se puede expresar de la siguiente manera:
2π R
Q =
∫∫
R
vrdrd
2 θπ=
el
00
∫ v rdr
el
0
a
el
vz(r)
τrz(r)
FIGURA 6.15 Perfiles de velocidad y esfuerzo cortante para un flujo constante y desarrollado en una tubería.
(6,97)
Machine Translated by Google
141
Transporte convectivo
rdθ
dAc = rdrdθ
dr.
FIGURA 6.16 Elemento diferencial del área en el plano r–θ en coordenadas cilíndricas.
Sustituyendo la ecuación 6.88 en la ecuación 6.97 e integrando obtenemos
Q =
πR 4 ∆P
8µ
(6,98)
yo
Esta ecuación se conoce como ecuación de Hagen­Poiseuille y es una de las ecuaciones más
conocidas en mecánica de fluidos. Nótese que la fuerza impulsora del movimiento del fluido es la
caída de presión modificada, que contiene dos contribuciones: la caída de presión y un efecto
gravitacional (Ecuación 6.82). Para un fluido estático (Q = 0), la Ecuación 6.97 implica ∆P = 0 que,
según la Ecuación 6.82, conduce a
∆P
yo
(6,99)
= −ρgz
lo cual es consistente con una distribución de presión hidrostática. Además, si ΔP = 0 (por ejemplo, si
ambos extremos de la tubería están abiertos a la atmósfera), entonces ∆P = ρg Lz (Ecuación 6.82), lo
que significa que el movimiento del fluido sería solo resultado de la fuerza gravitacional.
La velocidad media viene dada por
< > elv =
Q
R 2 ∆P
=
πR 2
8µ
yo
(6.100)
La comparación de las ecuaciones 6.93 y 6.100 arroja
v
< > elv =
z,máx.
(6.101)
2
y el perfil de velocidad (Ecuación 6.95) se puede expresar de la siguiente manera:
en
el
= <2> − v
el
1
a2
R2
(6.102)
Machine Translated by Google
142
Fenómenos del transporte ambiental
P = P0
a
el
β
P = PL
FIGURA 6.17 Sistema de coordenadas y geometría para una tubería inclinada.
La solución obtenida en esta sección es aplicable a flujos estacionarios en tuberías. Para una
configuración dada, es bien sabido que existe una velocidad por encima de la cual no se pueden
obtener flujos estacionarios en una tubería. El flujo se vuelve inestable con variaciones rápidas de la
velocidad con el tiempo. Este régimen de flujo se llama flujo turbulento. La solución encontrada solo es
válida cuando el número de Reynolds definido por
Re =
v R ) ρ( 2< >
el
µ
(6.103)
es suficientemente pequeño (normalmente Re < 2100 garantiza un flujo estable).
En el análisis anterior, hemos mantenido la componente de aceleración de la gravedad como gz.
En el flujo descendente, es evidente que gz = g (Figura 6.11). Sin embargo, se puede demostrar que
los resultados presentados en esta sección son válidos incluso para tuberías inclinadas. Para una
tubería que forma un ángulo β con la dirección vertical (Figura 6.17), la velocidad y la tensión de corte pro­
les y la ecuación de Hagen­Poiseuille siguen siendo válidas, utilizando gz = g cos β, que es la
proyección del vector de aceleración de la gravedad en la dirección a lo largo de la tubería (z en la
Figura 6.17). Para una tubería horizontal, gz = 0 y la caída de presión modificada es igual a la caída de
presión (Ecuación 6.82), lo que significa que la caída de presión en la tubería es la única fuerza
impulsora del movimiento.
6.4 TRANSFERENCIA DE MASA CONVECTIVA EN LA REGIÓN DE ENTRADA
DE UNA TUBERÍA EN FLUJO LAMINAR
Como caso de estudio para el tratamiento de problemas de transporte de masa por convección
utilizando la ecuación de convección­difusión, considere una sección de una tubería que tiene un
depósito sólido soluble (especie A) en la pared. El depósito será eliminado por el flujo de un solvente
(especie B) a través de la tubería en flujo laminar desarrollado (Figura 6.18). Esto podría corresponder,
por ejemplo, a la limpieza de tuberías utilizadas para transportar leche en la industria láctea. Las
proteínas, bacterias y sales de calcio precipitadas tienden a depositarse en las superficies de las
tuberías. En particular, las bacterias pueden crecer y representar un riesgo para la salud humana. Por
esta razón, las tuberías se limpian con frecuencia, incluido el uso de solventes que solubilizan los depósitos.
Machine Translated by Google
143
Transporte convectivo
Película delgada de depósito sólido (A) (z > 0)
z<0
Velocidad
el
Disolvente puro (B)
perfil
Convección debido al movimiento del fluido
cA < cAs
Difusión por gradiente de concentración
cA = cAs
FIGURA 6.18 Una película delgada de un depósito sólido soluble (A) se limpiará de la superficie interna de
una tubería (radio R) por el flujo de un solvente (B). Aquí, el solvente puro (B) ingresa (z = 0) a una sección
de tubería con un depósito delgado de sólido (A) que es soluble en B. En la superficie de la tubería (r = R),
el líquido se equilibra rápidamente con el depósito sólido, adquiriendo una concentración igual a la
solubilidad de A en B (cAs). Esto crea un gradiente de concentración radial de modo que A se difunde
desde la superficie de la tubería hasta el fluido a granel.
El líquido que sale de la sección de la tubería bajo análisis será una mezcla de A y B. La especie A
entra al líquido por disolución de la película (es decir, A se difunde en la dirección radial) mientras que
B se mueve en la dirección z, arrastrando a A. Considere lo que sucede en la proximidad de la
superficie de la película (Figura 6.18). Como la velocidad del líquido es cero en la superficie de la
película, habrá una región delgada adyacente a la superficie en la que el líquido se mueve lentamente.
En esta región, el líquido alcanzará el equilibrio con el sólido (equilibrio local), de modo que la
concentración de A en el líquido será igual a la solubilidad de A en B en las condiciones del proceso
(cAs), que es la concentración máxima de A que puede tener el líquido B. Lejos de la superficie, la
concentración de A caerá a un valor bajo, ya que A será arrastrado por el flujo de líquido. Se establecerá
un ujo difusivo neto de A desde la superficie de la película hasta el líquido. Las moléculas de A que
migran hacia el líquido que fluye pasarán a formar parte del flujo principal y viajarán río abajo con el
fluido.
Supondremos que el flujo de fluido se desarrolla, de modo que el perfil de velocidad viene dado por
la ecuación 6.102. Además, consideraremos que el proceso está en estado estacionario. La
concentración de soluto para z > 0 será una función tanto de las posiciones radiales como axiales: cA
= cA(r,z). En estas condiciones, la ecuación de convección­difusión en coordenadas cilíndricas
(ecuación C.12) se simplifica a
en el
∂ do A
= D De
∂ el
∂
rr ∂
1
a
∂ do A
∂a
∂ 2 do A
+
∂ 2z
(6.104)
Machine Translated by Google
144
Fenómenos del transporte ambiental
Las condiciones de contorno son
1. Se supondrá que el fluido llega a la sección de limpieza (z > 0) libre de
sustancia disoluta:
= = 0, 0el
do A
(6.105)
2. Para z > 0 (dominio de la solución), la concentración de soluto en contacto con la
El depósito sólido es la solubilidad,
do A
=
do
Como ,
es=
(6.106)
3. La concentración es simétrica alrededor del eje de la tubería:
∂ do A
∂a
==,
0
r
0
(6.107)
En este punto, se necesitaría una condición de contorno adicional en la dirección z para resolver el
problema, ya que la ecuación diferencial 6.104 es de segundo orden en z.
Sin embargo, haremos una simplificación adicional que conducirá a una formulación en la que esa condición de
contorno adicional no es necesaria.
Cada término de la ecuación diferencial resultante 6.104 se puede identificar como una masa
mecanismo de transporte:
∂ do A
en el
∂ el
representa el transporte axial ( ) z de especies por convección
D De
∂
a
∂a
a
∂ do A
representa la difusión en dirección radial
∂a
Nótese que este mecanismo será directamente responsable del cambio de concentración en el fluido, ya que
explicará la transferencia de masa de las especies a través de la pared (Figura 6.18).
D De
∂
2
do A
∂ 2z
representa la difusión axial
La magnitud relativa de los dos mecanismos de transporte en la dirección axial se puede comparar
realizando un análisis de orden de magnitud. Sea L una longitud característica en la dirección z sobre la cual
ocurren cambios significativos de concentración.
Podemos afirmar
∂ do A
en el
∂ el
> O v = < el
do Como
yo
(6.108)
Machine Translated by Google
145
Transporte convectivo
D
∂ 2 do A
De
= sobredosis
∂ 2z
do
(6.109)
Como
De
yo2
Exploraremos las condiciones en las que la convección domina sobre la conducción en la
dirección axial. Según las estimaciones de orden de magnitud anteriores, esto sucederá siempre
que
< >elv
do
"D
Como
yo
do
(6.110)
Como
De
yo2
Reordenamiento de rendimientos
yo
Pe » 1
2R
(6.111)
donde el número de Péclet se define por
<V
>R
2
Pe =
el
D
(6.112)
De
En estas condiciones, la ecuación 6.104 se simplifica a
21<>−v
el
a2
R2
∂ do A
∂ el
= D
1 ∂
De
rr ∂
a
∂ do A
∂a
(6.113)
donde hemos sustituido el campo de velocidad de la ecuación 6.102. Esta ecuación se puede
resolver sujeta a las condiciones de contorno 6.105 a 6.107.
Nótese que esperaríamos que L » 2R y, por lo tanto, valores moderados de Pe podrían ser
suficientes para satisfacer la restricción (6.110). Por ejemplo, si el solvente es agua a 20°C que
fluye a través de una tubería con R = 1 cm a <vz> = 1 cm/s, tomando DAB = 10−5 cm2/s (ver la
Tabla 3.2 para difusividades de líquidos) tendríamos Pe = 2 × 105, que satisface la restricción
(6.111). Bajo estas condiciones, Re = 200, de modo que el flujo es laminar.
A continuación, hacemos que el problema sea adimensional definiendo las siguientes variables
adimensionales:
Θ=
do
A
do
(6.114)
Como
η=
a
R
el
ξ=
Por
(6.115)
(6.116)
Machine Translated by Google
146
Fenómenos del transporte ambiental
El uso de estas definiciones en la ecuación 6.113 conduce a
(1
−
η
2
∂Θ 1 ∂
=
∂∂
ξηη
)
η
∂Θ
(6.117)
∂ η
y las condiciones de contorno son
Θ=0,ξ=
∂O
∂η
== 0
,η
0
(6.118)
0
(6.119)
Θ=11,η=
(6.120)
Este problema no tiene una solución analítica conocida. Por lo tanto, se debe encontrar una
solución numérica. Aquí, encontraremos una solución analítica a una versión simplificada del
problema.
En primer lugar, considere la forma esperada para los perfiles de concentración radial a lo
largo de la tubería para el caso (consulte la Figura 6.19). El perfil comienza uniforme en z = 0 (1),
pero la concentración en r = R aumenta repentinamente a cAs. A distancias cortas desde la
entrada (2), el fluido en el núcleo todavía estará en cA = 0, pero se producen gradientes de
concentración pronunciados cerca de la pared. Más abajo (3), la concentración comienza a
aumentar incluso en el centro de la tubería. A distancias largas desde la entrada (4), la
concentración tenderá a acercarse a la solubilidad en todas partes.
Desde el punto de vista de la tasa de transferencia de masa, la región z corta (región 2 en la Figura
6.19, también llamada región de entrada) es la más importante, ya que la concentración pronunciada
Las partículas implican una velocidad de transferencia de masa más rápida. A continuación,
encontraremos una solución del problema en esta región. Consideraremos que la concentración
alcanza cA = 0 a una distancia relativamente corta de la pared. Más adelante, estableceremos
cuantitativamente cuándo es aplicable esta solución.
Dado que nuestro análisis se limitará a una región cercana a la pared, utilizaremos una nueva
coordenada adimensional que representa las distancias medidas desde la pared hasta la tubería.
Sea
cComo
cA = 0
z=0
cA = 0
(1)
cComo
cComo
cA = 0
(2)
(3)
(4)
FIGURA 6.19 Evolución de los perfiles de concentración radial a lo largo de una tubería (ver texto
para explicación).
Machine Translated by Google
147
Transporte convectivo
σ η=1−
(6.121)
Nuestra solución estará restringida a una región cercana a la pared: σ « 1. Con esto en
mente, considere las aproximaciones
1
σ = 1−η≈
1−η
2
(6.122)
σ 22) = σσ − ≈ σ
− −1( 1 =
2
2
(6.123)
Utilizando el cambio de variables (6.121) y estas aproximaciones, la EDP (6.117)
se puede escribir como
2σ
∂O O ∂2
=
2
∂ ξσ
∂
(6.124)
Las condiciones de contorno (6.118) y (6.120) se reescriben como
Θ=00 ,ξ=
(6.125)
Θ = 1, σ = 0
(6.126)
La condición de contorno (6.119) estará fuera del nuevo dominio. Sin embargo, sabemos
que, a medida que aumentamos σ desde la pared, la concentración será eventualmente igual a
cA = 0 (lo que implica Θ = 0). Por lo tanto, podemos reemplazar la condición de contorno (6.119) por
Θ = 0, σ → ∞
(6.127)
Este problema se puede resolver analíticamente utilizando el método de combinación de
variables, también llamado transformación de similitud. La técnica se basa en el postulado de que
existe una variable independiente s (llamada variable de similitud) que es una combinación de ξ y
σ tal que Θ = Θ(s). La forma matemática propuesta para la variable de similitud es
s = σξ
(6.128)
norte
Para probar si esto funcionará, transformamos la ecuación diferencial, para lo cual necesitamos
las siguientes derivadas, obtenidas utilizando la regla de la cadena,
∂Θ Θ ∂ d
=
ξ ξ ∂ ∂ ds
∂Θ Θ ∂ d
=
∂ ∂ σ σ ds
s
=
s
norte
Sí
= o
−
dO
número 1
ds
dO
norte
ds
(6.129)
(6.130)
Machine Translated by Google
148
Fenómenos del transporte ambiental
∂ 2O
∂σ
2
= o
norte
dO
∂
norte
ds
∂σ
d2Θ ∂ s
ξ
ds
=
2
∂σ
= o2
norte
d2O
(6.131)
ds 2
Sustituyendo las ecuaciones 6.129 y 6.131 en la ecuación 6.124 obtenemos
2
2 n σξ− −
norte
1
dO O d2
=
ds
ds 2
(6.132)
Ahora observamos que, para que Θ sea una función exclusiva de s, las variables σ y ξ
debe desaparecer de la ecuación diferencial. Sustituimos σ en términos de s de la ecuación 6.128
para obtener
3
2 2 ns n ξ− −
1
dO
ds
=
d2O
(6.133)
ds 2
Ahora, dejamos n = −1/3 para eliminar ξ y obtenemos
−
2
3
s
2
dO
ds
=
d2O
(6.134)
ds 2
Todavía tenemos que comprobar si nuestra variable de similitud
σ
a=
(6.135)
ξ1 3/
conducirá a una formulación consistente de las condiciones de contorno. En primer lugar, observamos
que las condiciones 6.125 y 6.127 conducen a
Θ = 0,s → ∞
(6.136)
Θ = 1 s, 0 =
(6.137)
mientras que la condición 6.126 conduce a
Este problema satisface el postulado Θ = Θ(s), ya que hemos eliminado toda referencia a las
variables independientes originales. Ahora, necesitamos resolver la EDO 6.134 sujeta a las condiciones
de contorno 6.136 y 6.137. Para integrar la EDO, sea
tú =
d Oh tú
= − su
ds
ds3
2
2
(6.138)
Machine Translated by Google
149
Transporte convectivo
Separar e integrar conduce a
En ti = −
2
dΘ
3 2s
−
=9
s3A+u Cexp
(6.139)
ds
9 =
Separando e integrando nuevamente, utilizando la condición de contorno 6.137 para hacer
la integral definida, se llega a
O
∫
s
∫
elOC =
1
exp
−
2 s3
ds
9
(6.140)
0
s
=Θ+1
C
∫
exp
−
2 s3
ds
9
(6.141)
0
Aplicando la condición de contorno 6.136 se obtiene
∞
0 1= +
C
∫
exp
−
2 s3
1
ds C = −
9
−
0
∞0
∫
exp ( 2 s93 /
) ds
(6.142)
y la solución se convierte en
s
∫ exp ( ) 2−es9 / d
3
Θ = −1
0
∫ ∞0
exp ( ) 2−s93 /
(6.143)
ds
Las integrales en la solución no tienen una forma analítica conocida, pero pueden ser
Evaluado numéricamente. Evaluar la integral en el denominador conduce a
s
.
Θ = − 01 6783
∫
exp
3
− 2s
9
ds
(6.144)
0
Esta solución se representa gráficamente en la Figura 6.20. Nótese que esta solución es válida
sólo para σ « 1. En vista de la forma funcional de la variable de similitud (Ecuación 6.135), y
observando que el dominio relevante en s se extiende hasta s ≈ 3 (Figura 6.20), concluimos que ξ
también debe ser pequeño. Sin embargo, recordemos que ξ es inversamente proporcional a Pe, y
que estamos buscando una solución válida para Pe grande. Esto significa que la solución dada por
la Ecuación 6.144 debería extenderse al menos hasta una distancia axial igual a varios diámetros
de tubería si Pe es lo suficientemente grande. Exploraremos esto con más detalle a continuación.
Machine Translated by Google
150
Fenómenos del transporte ambiental
1
0.9
0,8
0,7
0.6
O
0,5
0,4
0.3
0,2
0,1
0
0
1
0,5
2
1.5
s
2.5
3
FIGURA 6.20 Solución de similitud para el perfil de temperatura adimensional en la región de entrada de
una tubería con un cambio repentino en la temperatura de la pared.
El flujo de disolución viene dado por
− norte
Ar r=R
= D
∂ do
De
A
∂a
(6.145)
r=R
Utilizando la solución 6.144 obtenemos, después de manipulaciones,
− norte
Arkansas
r=R
= 0 .6783
D
1/ 3
De
R
RPE (reacción repetida)
(6.146)
do
el
Como
Recordando que cA = 0 en el núcleo de la tubería, definimos ahora una corriente convectiva.
coeficiente de transferencia de masa como
­Norte
Ar r=R
= c ck Como
(6.147)
que expresa el flujo molar de la especie como proporcional a la fuerza impulsora de la transferencia de masa
por convección, que es la diferencia de concentración entre la región de la pared y la región del volumen
(núcleo de la tubería). De las dos últimas ecuaciones encontramos:
Ella =
(2kR)
do
D
De
) =
1 .357
1/ 3
RPE (reacción repetida)
el
(6.148)
Machine Translated by Google
151
Transporte convectivo
El lado izquierdo de esta ecuación es el número de Sherwood. El número de Péclet es
Generalmente se expresa en términos del número de Reynolds.
< > 2 elv R ρ
Re=
(6.149)
µ
y el número de Schmidt, definido como
Carolina del Sur
µ
=
(6.150)
ρ
LENGUADO
Tenga en cuenta que
Pe = ReSc
(6.151)
De modo que la ecuación 6.148 se escribe usualmente como
2R
Ella = 1 .077
1/ 3
( Resc )
el
/13
(6.152)
A continuación, evaluamos las condiciones bajo las cuales el análisis anterior es válido. Para este
propósito, nos gustaría definir la región adyacente a la pared en la cual la concentración cambia
apreciablemente. En términos de nuestra solución, Figura 6.20, esta región es 0 < s < ∞, ya que Θ llega
a cero solo asintóticamente (Figura 6.20). Sin embargo, podemos establecer un límite práctico para
definir la región de cambio. Por ejemplo, podemos afirmar que, cuando Θ = 0,01, el líquido está libre de
soluto para todos los propósitos prácticos. Para la Ecuación 5.144, podemos calcular numéricamente
que Θ = 0,01 en s = 2,31. Combinando las Ecuaciones 6.116 y 6.135, vemos que esto corresponde a un
valor de σ dado por
σ=
2 .31
el
1/ 3
Por
(6.153)
Dado que la región de entrada requiere que σ « 1, esto significa que la solución será válida si
2 .31
el
1/ 3
« 1, región de entrada
(6.154)
« . 0 0811 Pe e, región de entrada
(6.155)
Por
O
el
R
Machine Translated by Google
152
Fenómenos del transporte ambiental
Nótese que, dado que nuestra solución es aplicable para valores relativamente grandes del número de
Peclet (Ecuación 6.111), esto daría una región de entrada que es varias veces el radio de la tubería. Por
ejemplo, si el solvente es agua a 20°C que fluye a través de una tubería con R = 1 cm, calculamos antes
que Pe = 2 × 105, entonces z « 1.62 × 104 R define la región de entrada. Esto asegura que la solución es
válida en este caso para valores z que pueden ser hasta quizás cien veces el radio.
6.5 CORRELACIONES DE TRANSFERENCIA DE MASA CONVECTIVA
El ejemplo anterior mostró cómo la solución de la ecuación de convección­difusión puede utilizarse para
predecir el coeficiente de transferencia de masa por convección. Para flujos complejos, la solución de la
ecuación de convección­difusión debe realizarse numéricamente y las tasas de transferencia de masa no se
calculan utilizando una relación explícita. En estos casos, los cálculos de las tasas de transferencia de masa
se basan en el uso de relaciones empíricas o ajustadas para calcular el coeficiente de transferencia de
masa. Estas correlaciones deben considerarse válidas solo dentro del rango de parámetros experimentales
para los que se desarrollaron. A continuación se presentan ejemplos de correlaciones para casos específicos.
Flujo turbulento en una tubería (correlación de Gilliland y Sherwood):
.
0 83 0 44
. Re .
Sh = 0,023
(6.156)
Carolina del Sur
Rango de aplicabilidad: 2000 < Re < 35 000, 0,6 < Sc < 2,5.
Fluir alrededor de una esfera
1. Correlación de Frössling:
.
05 033
Sh = + 2 0 552. Re .
(6.157)
Carolina del Sur
Rango de aplicabilidad: Re < 1, 0,6 < Sc < 3200.
2. Correlación de Treybal:
.
/
Sh = + 2 0 347 Sc1 2 0 62 . (Re
)
(6.158)
Rango de aplicabilidad: Re < 3 × 104, 0,6 < Sc < 3200. Nótese que, como Re → 0, esta ecuación
satisface lo que se espera en el límite difusivo (Ecuación 4.63).
3. Flujo inercial:
.
0 62 0 31
. Re .
Sh = 0 347
(6.159)
Carolina del Sur
Rango de aplicabilidad: 2000 < Re < 3 × 104, 0,6 < Sc < 3200.
Flujo transversal alrededor de un cilindro
Sh = / 1 2 006 ( . 04 Re Re )Sc +
Rango de aplicabilidad: Re < 105.
.
/23
0 .4
(6.160)
Machine Translated by Google
153
Transporte convectivo
EJEMPLO 6.1 DISOLUCIÓN DE UNA ESFÉRICA
PARTÍCULA EN UN FLUIDO EN MOVIMIENTO
En la Sección 4.2.2 modelamos la disolución de una esfera sólida en un líquido estancado.
En ese caso, la transferencia de masa en la fase líquida se produjo únicamente por difusión.
Aquí, ampliaremos el análisis a un fluido que fluye con números de Reynolds y Schmidt dentro
del rango de aplicabilidad de la correlación de Treybal (Ecuación 6.158). El flujo de disolución
desde la superficie de la esfera está representado por el coeficiente de transferencia de masa
por convección,
norte
Abajo=
(6.161)
do
k = (c Como
) −do A∞
donde cAs es la solubilidad del sólido (A) en el líquido (B) y cA∞ es la concentración del soluto
lejos de la esfera. En este caso tomaremos cA∞ = 0.
El coeficiente de transferencia de masa se predecirá a partir de la correlación de Treybal
(Ecuación 6.158) que puede escribirse de la siguiente manera, después de la sustitución de las
definiciones de los grupos adimensionales,
2 Rk
do
D De
2 0 347. = +
µ
D
el
ρ AB
yo
yo
µ
.
0 31
.
0 62
2 Rv
ρ
(6.162)
yo
yo
donde vl es la velocidad del líquido lejos de la esfera, ρl y μl son la densidad y la viscosidad del
líquido, respectivamente (nótese que estas son propiedades de la fase líquida, ya que es en el
líquido donde se produce la transferencia de masa convectiva), y DAB es la difusividad del
soluto en la fase líquida. La sustitución de la ecuación 6.162 en la ecuación 6.161 conduce,
después de las manipulaciones, a
a
do
=
D De
R
.
0 31
+ 0 .267
ρ
. 0 69 0 .38 l
0 62
contra De
DR
yo
µ
−
.
(6.163)
yo
y el flujo de disolución molar (Ecuación 6.162) es
norte
Arkansas
=
es
=
D De
R
.
0 31
+ 0 .267
−
. 0 69 0 .38 v DR
0 62
De
ρl
µ
.
cComo
(6.164)
yo
Esta ecuación se puede utilizar para predecir cómo disminuye el radio de la esfera con el
tiempo. Para ello, utilizamos una balanza molar tomando la esfera sólida como volumen de
control.
d(cV)
s
=−
es
norte
2 4πR
Arkansas
(6.165)
=
es
donde cs es la densidad molar del sólido. Si se utiliza V = 4πR3/3, esta ecuación se puede escribir
como
dr
es
=−
1
norte
C.S.
(6.166)
Arkansas
=
es
Machine Translated by Google
154
Fenómenos del transporte ambiental
El flujo de disolución molar se sustituye de la ecuación 6.164, lo que conduce a
dr
alfa
=−−R
R
es
−β
0 38.
(6.167)
donde las constantes α y β están dadas por
ReABcComo
α=
(6.168)
do s
.
0 31
ρ
β = 0 .267
do Como
. 0 69 .
0 62
De
vDl
yo
µl
(6.169)
C.S.
La ecuación 6.167 se puede separar e integrar desde t = 0, R = R0 hasta un tiempo arbitrario t
R
∫
R0
dr
.
­0 38
( ) RR
/+β
=−
a
(6.170)
alfa
lo que da R(t). La integral en esta ecuación debe hallarse numéricamente.
Por ejemplo, considere la disolución de una esfera de ácido benzoico en agua pura a 20 °C. La
esfera tiene inicialmente un radio R0 = 0,5 cm. Calcularemos cómo cambia el radio con el tiempo
cuando la disolución ocurre en un líquido estancado y en un líquido que se mueve con una velocidad
vl = 5 cm/s. A 20 °C, la solubilidad del ácido benzoico en agua es cAs = 2,7 mol/m3. Otras propiedades
relevantes son: ρl = 1000 kg/m3, μl = 1,0 mPa s, DAB = 0,9 × 10−9 m2/s, ρs = 1270 kg/m3 (densidad
del ácido benzoico sólido), MA = 122,12 g/mol. La densidad molar del sólido es
do s
=
= 10 4.
ρs
METRO
A
kmol
3
(6.171)
metros
El número de Schmidt y el número de Reynolds en el radio inicial se pueden calcular a partir de
las ecuaciones 6.149 y 6.150 para obtener: Sc = 1111, Re = 500, lo que garantiza que estamos dentro
del rango aplicable de la correlación de Treybal. Ahora se pueden calcular los parámetros α y β y se
puede utilizar la ecuación 6.170 para encontrar R(t).
La figura 6.21 muestra los resultados del cálculo. Se necesitan aproximadamente 300 h para
disolver la esfera por completo. En esta escala de tiempo, el radio de la esfera no disminuiría
apreciablemente con respecto al valor inicial si el líquido estuviera estancado (como predice la
ecuación 4.52).
PROBLEMAS
6.1 Un gran bloque sólido (ver figura) se desliza por una pendiente en la superficie
de un líquido (densidad ρ y viscosidad μ) a una velocidad constante v0. Debido
a que aguas arriba y aguas abajo del bloque la película de líquido está
expuesta a la atmósfera, se puede suponer que la presión en el líquido entre el bloque y
Machine Translated by Google
155
Transporte convectivo
0,005
(metro)
R
0,004
0,003
0,002
0,001
0
0
100
300
200
yo (o)
FIGURA 6.21 Disolución de una esfera de ácido benzoico en agua en movimiento.
La superficie sólida no cambia con x. También se puede suponer que la película
líquida tiene un espesor uniforme δ.
Aire en P0
Líquido
y
incógnita
Bloque sólido
θ
v0
del
gramo
Aire en P0
Superficie sólida
a. Determine el perfil de velocidad vx(y) en el líquido contenido entre el bloque y la
superficie sólida. Suponga que el flujo es constante e incompresible. Dibuje el
perfil.
b. Si el área de superficie del bloque que está en contacto con el líquido es A0,
encuentre la fuerza que el líquido ejerce sobre el bloque en la dirección x.
c. Si la masa del bloque es M, encuentre una expresión para calcular v0.
6.2 Una placa sólida se desliza por un plano inclinado a una velocidad constante v0
sobre una película líquida uniforme de espesor δ (ver figura). El movimiento
descendente del líquido se debe a las fuerzas gravitacionales y al movimiento de
la placa; es decir, no hay variación de presión en la dirección del movimiento (x).
La densidad y la viscosidad del líquido son ρ y μ, respectivamente.
Machine Translated by Google
156
Fenómenos del transporte ambiental
a. Halla el campo de velocidad en la película de líquido y el caudal volumétrico.
(Considere una profundidad W en la dirección z).
b. Halla el valor de v0 que haría que el caudal volumétrico en la película sea igual al de una
película con una superficie libre (es decir, cuando la superficie del fluido en y = δ está
abierta a la atmósfera). ¿Cuál es la fuerza por unidad de área que el fluido ejerce sobre
la placa móvil en la dirección x bajo esta condición?
Líquido
y
incógnita
θ
del
gramo
Placa sólida móvil
Superficie sólida
v0
6.3 Se forma una película delgada de agua (espesor δ1) sobre la superficie de un techo plano,
como se muestra en la figura. A medida que el líquido se acerca al borde del techo, cae y
forma una película delgada sobre la pared lateral. Si el espesor de la película sobre el techo
es δ1 = 3 mm y θ = 60°, determine δ2.
Líquido
δ1
θ
Aire
Techo
Pared lateral
delta2
6.4 Un líquido (densidad ρ y viscosidad μ) se coloca entre dos placas verticales grandes como se
muestra en la figura. La placa de la izquierda está estacionaria y la
Machine Translated by Google
157
Transporte convectivo
La placa de la derecha se mueve hacia arriba con una velocidad constante v0. El dispositivo
está abierto a la atmósfera, de modo que la presión en el líquido puede considerarse igual
a la presión atmosférica (P0) en todas partes. Tome la profundidad del sistema (dirección
z) como W.
a. Encuentra el perfil de velocidad, vx(y).
b. Encuentre una expresión para calcular el caudal volumétrico en la dirección x, Q.
Determine el valor de v0 que haría que Q = 0. Dibuje el perfil de velocidad entre las
placas para este caso.
c. Halla una expresión para calcular la fuerza vertical por unidad de área necesaria para
mantener la placa móvil (y = h) a velocidad constante v0 (desprecia el peso de la
placa). Halla también la fuerza por unidad de área que el fluido ejerce sobre la placa
estacionaria (y = 0).
y
incógnita
v0
gramo
yo
6.5 Se utiliza una tubería cilíndrica (R = 1 cm) para transportar una solución que está
sobresaturada con un sólido. Los pequeños cristales (de tamaño micrométrico) del sólido
finalmente se depositan en la superficie interna de la tubería. Experimentos independientes
han demostrado que una tensión de corte de 0,02 Pa es lo suficientemente fuerte como
para desprender los cristales de la superficie del sólido. Para limpiar la tubería, se propone
hacer fluir agua a 20 °C (μ = 10−3 Pa s) a través de ella a una velocidad de flujo lo
suficientemente alta como para desprender los cristales de la pared de la tubería y
arrastrarlos. Determine la velocidad de flujo volumétrico de agua necesaria para limpiar la tubería.
6.6 Un pequeño tubo cilíndrico con radio R = 1 cm y longitud L = 10 cm está completamente
lleno con un líquido viscoso (ρ = 890 kg/m3, μ = 0,08 Pa s) y cerrado en ambos extremos.
El tubo se mantiene verticalmente y ambos extremos (z = 0 y z = L) se abren repentinamente
a la presión atmosférica de modo que el líquido comienza a fluir fuera del tubo a través del
extremo inferior. Suponiendo que el flujo en el tubo es incompresible y se estabiliza
instantáneamente, estime el tiempo necesario para drenar todo el líquido del tubo.
6.7 Una columna de pared mojada es un absorbedor común que se utiliza en aplicaciones a
pequeña escala. Consiste en un tubo cilíndrico en cuya superficie interior el líquido forma
una película uniforme con un espesor R2 − R1 (ver figura). La película de líquido fluye
hacia abajo debido a la gravedad y el gas se hace fluir en contracorriente con el líquido.
En condiciones normales de funcionamiento, la velocidad del gas es tan pequeña que su
presión es uniforme e igual a la presión atmosférica, Pa.
Machine Translated by Google
158
Fenómenos del transporte ambiental
y el gas no ejerce una tensión cortante apreciable sobre la superficie del líquido. Para un
líquido de densidad y viscosidad conocidas (ρ, μ), encuentre el perfil de velocidad, vz(r).
Líquido
a
el
R1
R2
Gas
6.8 La pasta se puede comprar fresca o seca. La pasta fresca tiene un alto contenido de
humedad, lo que la hace susceptible al crecimiento de microorganismos. Debido a su larga
vida útil, la pasta seca está ampliamente disponible. Las hebras de espagueti que salen de
un proceso de extrusión se secan exponiéndolas a un flujo continuo de aire relativamente
seco. El secado sería más rápido a altas temperaturas, pero se sabe que las temperaturas
superiores a 60 °C modifican los almidones de la pasta hasta un punto en que se
comprometen el sabor y la textura.
Consideremos una hebra cilíndrica larga de espagueti (D = 2,4 mm). El espagueti sale
de la extrusora con un contenido de humedad cA0 = 0,55 g de agua/cm3. Se establece un
flujo de aire a 55 °C y una humedad relativa del 5 % perpendicular al espagueti. La
velocidad del aire lejos del espagueti es de 10 cm/s. Para un fluido que fluye
perpendicularmente a un cilindro en flujo laminar, el coeficiente de transferencia de masa
se puede estimar a partir de la correlación empírica.
/1
2 Sh = ( . 04 Re
006 Re )Sc +
.
/23
0 .4
donde la velocidad en el número de Reynolds es la velocidad lejos del cilindro, y la
longitud característica utilizada en la definición de los números de Reynolds y Sherwood
es el diámetro del cilindro.
Estima el tiempo que deben pasar los espaguetis en el flujo de aire para retirarlos.
80% de su contenido inicial de agua.
Machine Translated by Google
Transporte convectivo
Propiedades físicas:
Presión atmosférica: 1 atm
Difusividad del vapor de agua en el aire a 55 °C: 0,30 cm2/s
Densidad del aire a 55°C: 1,0 kg/m3
Viscosidad del aire a 55 °C: 2,0 × 10−5 Pa s
Difusividad del agua líquida en espaguetis: 2,5 × 10−7 cm2/s
Presión de vapor del agua a 55°C: 0,155 atm
La presión parcial del agua en el aire que está en equilibrio con espaguetis que
contienen una concentración de agua cA está dada por PA = HcA, con H = 0,3 atm cm3/
g a 55 °C.
159
Machine Translated by Google
Machine Translated by Google
7 Hidrodinámica
Dispersión
7.1 EL CONCEPTO DE DISPERSIÓN HIDRODINÁMICA
Y LA TEORÍA DE TAYLOR­ARIS
En esta sección, consideramos los efectos combinados de la difusión y la convección en el
transporte de un soluto en un flujo no uniforme. Se supone que el soluto (A) está en
condiciones diluidas, de modo que la ecuación de convección­difusión describe el campo de
concentración. Como se esperaba, la distribución del soluto se verá afectada por el campo de velocidad.
Si el flujo es unidimensional y uniforme (Figura 7.1a), una gota de soluto se moverá
uniformemente con el fluido y, finalmente, la difusión hará que se disperse. Si el flujo es
unidimensional, pero no uniforme (Figura 7.1b), una gota de soluto se dispersará y cambiará
su forma debido a la existencia de gradientes de velocidad.
Nos interesa el transporte de un soluto en una tubería en condiciones inestables. Si el
flujo en la tubería es laminar y desarrollado, el perfil de velocidad parabólico afectará la
distribución del soluto en el sistema, de manera análoga al ejemplo que se muestra en la
Figura 7.1b. Nótese que, incluso si la concentración de soluto es uniforme sobre la sección
transversal en una posición axial específica en la tubería, debemos considerar que cA =
cA(t,r,z) en general, debido a los efectos del campo de velocidad en el transporte (se puede
suponer simetría angular si no se rompe por las condiciones de contorno). Para flujo
desarrollado, la ecuación de convección­difusión en coordenadas cilíndricas se simplifica a
∂ do A
∂
+ enel
∂ do A
∂ el
= DA
1 ∂
rr ∂
a
∂ 2 do A
∂ do A
+
∂a
∂ 2z
+
RA
(7.1)
dónde
en el
2 = < > en
− el
1
a
2
R
(7.2)
La ecuación 7.1 debería resolverse con condiciones de contorno apropiadas para encontrar el
campo de concentración. Consideremos ahora que estamos interesados en aplicaciones que
involucran el transporte de soluto a lo largo de tramos largos de tubería (es decir, a lo largo de
tuberías que son mucho más grandes que el diámetro de la tubería). Variaciones de cA con la posición radial
161
Machine Translated by Google
162
Fenómenos del transporte ambiental
(a) Flujo de tapón
Medición
punto
cm(t)
t=0
a
yo
v = v0
(b) Flujo no uniforme
0
L/v 0
a
0
L/v0
a
cm(t)
t=0
a
yo
FIGURA 7.1 Se libera una gran cantidad de soluto en t = 0 en un punto de un fluido en movimiento. A
una distancia L aguas abajo del punto de liberación, la concentración promedio de soluto sobre la
sección transversal del flujo se mide como una función del tiempo, cm(t). Si la velocidad es uniforme
sobre la sección transversal, la concentración medida sería una función cuadrada perfecta (a). Si el
campo de velocidad no es uniforme (como en b), habrá una dispersión del soluto en la dirección del
movimiento. La concentración medida en el último caso tendrá la forma que se muestra. Aquí, estamos
despreciando la dispersión del soluto debido a la difusión.
En ese caso, no será de interés. El uso de una concentración media transversal sería más
apropiado.
< >Ac
=
1
A
∫ Ac dA
(7.3)
A
donde A es el área de la sección transversal de la tubería. Debido a la simetría angular, podemos utilizar
dA = 2πr dr, con A = πr2, de modo que la ecuación 7.3 puede escribirse como
<c>A
=
2
R2
R
∫ c­rdr
(7.4)
A
0
Nótese que <cA> = <cA> (t,z). Para hallar una ecuación que rija para <cA>, tomamos el
promedio transversal de la ecuación 7.1:
2
R2
R
∫ ∂
∂ do A
0
+ enel
2
∂ do A
∂ el
RDR­RDR
=2
R
R
∫
0
DA
1
∂
rr ∂
a
∂ do A
∂a
2
∂2c A
+
∂ el2
RDR­RDR
+2
R
R
∫ R rdr
A
0
(7.5)
Machine Translated by Google
163
Dispersión hidrodinámica
Término por término, tenemos
R
2
∂ do A
∫∂
R2
RDR­RDR
R
2
∂
=
∫ c­rdr
0
R
2
R2
∫
en
(7.6)
∂
0
∂ do A
el
∂ < >do A
=
A
∂ El R 2
∂ el
RDR­RDR
R
2
∂
=
∫ vc­rdr
∂ en R 2
=
yA
0
∂ < >vcy A
(7.7)
∂ el
0
(nótese que en esta ecuación hemos utilizado el hecho de que vz es independiente de z). Además,
si DA es uniforme, tenemos
2
R2
R
∫
DA
1
∂
rr ∂
a
∂ do A
∂a
2D A
=
RDR­RDR
Rr2
0
R
∂
∫∂
∂ do A
a
∂a
0
=
2D A
R2
Dr
a
∂ do A
∂a
r=R
(7.8)
r=0
Debido a la simetría angular, podemos afirmar que
∂ do A
==,
∂a
0 r
0
(7.9)
Además, si el soluto no se transporta a la pared de la tubería, su flujo molar en r = R es
cero, lo que implica
∂ do A
∂a
==
0, es
(7.10)
Por eso,
2
R2
R
∫
1
DA
∂
rr ∂
a
∂ do A
∂a
rdr = 0
(7.11)
0
También,
2
R2
R
∫
DA
∂ 2 do A
∂ el2
RDR=D
∂2
A
2 R
∂ en
2
2
R
∫
c Ardr D =
∂ 2 <c>A
A
∂ 2z
(7.12)
0
0
Finalmente, el último término en las ecuaciones 7.5 es
2
R2
R
∫ Rrdr <R=>
A
0
A
(7.13)
Machine Translated by Google
164
Fenómenos del transporte ambiental
Recopilando términos, la ecuación de difusión convectiva promedio es
∂ < >do A
∂
+
∂ < >vcy A
= D
∂ el
c>
∂ 2<
A
A
∂ 2z
+< R>
(7.14)
A
En este punto, esta ecuación no se puede utilizar para hallar la concentración media, debido a la
presencia del término <vzcA>. Reescribiremos esta ecuación utilizando las desviaciones de concentración
y velocidad, definidas por
do
A
Vz
= −do<cA>
A
(7.15)
= −Vz<vz>
(7.16)
De estas dos ecuaciones, podemos ver que
v es A
= <c><vz>
c+
A
+
(7.17)
Una<v
z > <c >A z + vv z Ac
Tomando el promedio de esta ecuación y notando que las concentraciones promedio son constantes
en el proceso de promediado y que el promedio de una variable de desviación es cero (lo que se puede
demostrar promediando las ecuaciones 7.15 y 7.16), obtenemos
<vz Ac > = <cA z +z ><v
Ac >> <v
(7.18)
Sustituyendo esta ecuación en la ecuación 7.14 obtenemos
∂ < >do A
∂
+ < >en
∂ < >do A
el
∂ el
= D
∂ 2 <c >A
A
∂ 2z
R+< >−
A
∂ < >vcy A
∂ el
(7.19)
El último término de esta ecuación nos impide ahora intentar una solución que tenga <cA> y una
variable dependiente. Además, el término de reacción será un problema si la expresión de la velocidad
cinética no es lineal. Para una reacción de consumo de primer orden, esto no será un problema ya que
<RA>k = − <c>
A
(7.20)
En lo que sigue, para simplificar, consideraremos el caso de dispersión pasiva, en
en el cual el soluto no sufre transformaciones químicas y RA = 0.
Consideremos el análisis del transporte de soluto a lo largo de una tubería de escala de longitud L tal que
De izquierda a derecha
(7.21)
utilizando la concentración promedio como medida del contenido de soluto. Una comparación matemática
entre la ecuación 7.19 y la ecuación de convección­difusión original difiere en el último término del lado
derecho. Dado que la ecuación 7.19 representa un mol
Machine Translated by Google
165
Dispersión hidrodinámica
equilibrio de especies A, dicho término puede conceptualizarse como un mecanismo de transporte de
masa aparente que se debe a la existencia de desviaciones de velocidad y concentración.
Este mecanismo se llama dispersión. Cuando se aplica al flujo en tuberías, se suele denominar
dispersión de Taylor. Para resolver este problema, buscaremos una representación de la desviación
de la concentración. Esto será posible sólo si se hacen ciertas suposiciones simplificadoras. Para
comenzar el análisis, restamos la ecuación 7.19 del punto de la ecuación 7.1. Usando la ecuación 7.15,
esto nos lleva a, después de simplificaciones (recordemos que ahora estamos considerando el caso en
el que no hay reacción),
∂ do A
∂
+ enel
∂ do A
∂ el
∂ < >do A
− < >enel
1
= DA
∂ el
∂
a
rr ∂
∂ do A
∂ < >vcy A
∂2cA
+
∂a
∂ el
2
+
∂ el
(7.22)
Usando las ecuaciones 7.15 y 7.16, tenemos
∂ do A
en el
∂ < >do A
= <v>el
∂ el
+ enel
∂ el
∂ < c A>
+ enel
∂ el
∂ do A
(7.23)
∂ el
y la ecuación 7.22 se convierte en
∂ do A
∂
+ enel
∂ < >do A
∂ el
+ enel
∂ do A
∂ < >vcy A
−
∂ el
1
= DA
∂ el
∂
rr ∂
a
∂ do A
∂a
∂2cA
+
∂ el
2
(7.24)
Para simplificar esta ecuación, realizamos un análisis de orden de magnitud. Primero, consideremos
los dos términos de difusión en esta ecuación,
DA
∂
a
∂a
DA
a
∂ do A
∂2cA
∂ el
2
Re c
Automóvil club británico
Oh
∂a =
=
R
(7.25)
2
Re c
Automóvil club británico
Oh
(7.26)
2
yo
Claramente, si se satisface la restricción 7.21, el término de difusión axial es despreciable y
La ecuación 7.24 se simplifica a
∂ do A
∂
+ enel
∂ < >do A
∂ el
+ enel
∂ do A
−
∂ < >vcy A
∂ el
∂ el
= DA
1 ∂
rr ∂
a
∂ do A
∂a
(7.27)
Consideremos ahora el término transitorio; su orden de magnitud es
∂ do A
∂
=
Oh
do A
as
(7.28)
Machine Translated by Google
166
Fenómenos del transporte ambiental
donde ts es un tiempo característico durante el cual ocurren cambios significativos en la
concentración. La comparación de las ecuaciones 7.25 y 7.28 indica que el término transitorio
sería despreciable si
El o
»1
Como
R2
(7.29)
Tomando esta restricción como válida, la ecuación 7.27 se simplifica a
en
∂ < >do A
el
+ en
∂ el
∂ do A
el
∂ < >vcy A
−
∂ el
∂ el
= D
1 ∂
A
rr ∂
a
∂ do A
∂a
(7.30)
La velocidad de desviación se puede encontrar a partir de las ecuaciones 7.2 y 7.16, lo que da como resultado
Vz
= < >Vz −
2
a
12
(7.31)
R
Debe quedar claro que tanto la velocidad puntual como la de desviación son del orden de
la velocidad media,
v, zz
v O= <( ) vz>
(7.32)
de modo que el segundo y tercer término del lado izquierdo de la ecuación 7.30 son del orden
∂ < >vcy A
∂ el
, el
∂ do A
en
∂ el
= Oh
<v>c
yA
yo
(7.33)
Comparando las ecuaciones 7.25 y 7.33, podemos ver que estos términos son despreciables en
la ecuación 7.30 siempre que
DESCARGAR
A
1»
R 2<v >el
(7.34)
Esta restricción se expresa generalmente en términos del número de Peclet, definido por
Pe =
<v>R
el
D
(7.35)
A
de modo que la restricción (7.34) es
Pe
R
yo
«1
(7.36)
Machine Translated by Google
167
Dispersión hidrodinámica
Tenga en cuenta que esta restricción se cumplirá incluso para números de Peclet moderados.
virtud de la restricción 5.193. La ecuación 5.202 ahora se convierte en
en el
∂ < >do A
1 ∂
= DA
∂ el
a
rr ∂
∂ do A
(7.37)
∂a
Dado que la derivada de la concentración media con respecto a z es independiente
de r, la ecuación 7.37 sugiere una solución para la concentración de desviación dada por
do
=
A
∂ < >do A
∂ el
(7.38)
para(r)
La sustitución de las ecuaciones 7.31 y 7.38 en la ecuación 7.37 da, después de la
simplificación,
1 d
a
R. Dr.
df
<v>el
dr. =
DA
2
a
1 −2
(7.39)
R
Integrar esta ecuación dos veces conduce a
a+
f = + αβln
< en>el
2
a −
4D A
a
4
(7,40)
2R 2
donde α y β son constantes de integración. Dado que la concentración debe ser finita en r = 0,
esto implica necesariamente que β = 0. Se puede encontrar una segunda condición para f
reconociendo que el promedio de la ecuación 7.15 implica que z y, por lo tanto,
<f>= 0
(7.41)
Al encontrar α aplicando esta condición a la ecuación 7.40 se obtiene
F =
<v>R
el
2
a
4D A
2
R−
1
a
2
R−
4
1
(7.42)
3
de modo que, de la ecuación 7.38, encontramos
do
A
=
<v>R
el
4D A
2
a
R−
2
1
a
2
R−
4
1 ∂ < >do A
3
∂ el
(7.43)
Machine Translated by Google
168
Fenómenos del transporte ambiental
Ahora podemos evaluar el término de dispersión en la ecuación 7.19. Utilizando las ecuaciones 7.31
y 7.43 encontramos, después de manipulaciones,
−
∂ < >vcy A
<V
> elR
=
2
48 D
∂ el
22
∂ < > do A
(7,44)
∂ 2z
A
La sustitución en la ecuación 7.19 conduce a
∂ < >do A
∂
+ < >enel
∂ < >do A
=
∂ el
22vR
< > el
D+A
48 D A
2
∂ < > do A
∂ 2z
(7,45)
Esta ecuación se expresa generalmente en términos de una difusividad efectiva definida por
DD = +
<V
>2elR2
A
mi
(7,46)
48 D A
de modo que
∂ < >do A
∂
2
∂ < >do A
+ < >enel
= D
∂ el
∂ < > do A
mi
∂ el
2
(7,47)
Es interesante notar que la ecuación que gobierna la concentración promedio se parece a la
ecuación de convección­difusión pero reemplazando la difusividad por la difusividad efectiva.
7.2 GENERALIZACIÓN DEL MODELO DE DISPERSIÓN
Un aspecto interesante de la ecuación 7.47 es que es matemáticamente idéntica a la ecuación de
convección­difusión, pero tiene dos diferencias fundamentales: en primer lugar, la concentración
representada por la ecuación no es un valor puntual sino un promedio; y en segundo lugar, la difusividad
ha sido reemplazada por una difusividad efectiva que es la suma de la difusividad más una contribución
del efecto de las no uniformidades del flujo local en el campo de concentración promedio. Esta
contribución a veces se denomina coeficiente de dispersión o dispersividad.
D* =
<V
>2elR2
(7,48)
48 D A
Tenga en cuenta que podemos reescribir esta ecuación de la siguiente manera:
D*
DA
=
2
2 <V>elR
2
48 D A
=
Pe
2
48
(7,49)
Machine Translated by Google
169
Dispersión hidrodinámica
En la mayoría de las aplicaciones de interés, Pe es lo suficientemente alto como para que el coeficiente de
dispersión se convierta en el término dominante en la ecuación 7.47.
El análisis de dispersión de Taylor se puede generalizar a otras situaciones en las que la variable
dependiente de interés es una concentración promedio. Las aplicaciones incluyen:
1. Flujo a través de medios porosos (ver Capítulo 8). En este caso, la concentración que se va
a modelar representa una concentración promedio espacial definida a escala de poro,
donde las fluctuaciones de velocidad ocurren en distancias más cortas que el tamaño de un
poro. La ecuación de continuidad promedio es similar a la ecuación de convección.
ecuación de difusión,
∂ < >do A
∂
+ < >Vz
< > = do A
D
(
<do>
A )
mi
(7,50)
con la excepción de que la difusividad efectiva es un tensor (ya que las no uniformidades
de velocidad pueden depender de la dirección).
2. Flujos turbulentos. La concentración media en este caso es una concentración promediada
en el tiempo (cA) y la ecuación de continuidad se convierte en
∂ doA
∂
+ vz A = do
D
(
do
mi
(7,51)
A )
Aquí, el tensor De es la dispersividad turbulenta.
La teoría de Taylor­Aris presentada anteriormente para describir el transporte de soluto en una
tubería en condiciones de flujo laminar ilustra aspectos del mecanismo general de transporte llamado
dispersión. En general, la dispersión se caracteriza por
1. Es un mecanismo de pseudotransporte que rige el transporte cuando el flujo se representa
como un flujo medio (en términos de una velocidad promedio) y la concentración de
especies transportadas se representa mediante un promedio. En la dispersión de Taylor­
Aris, el proceso de promediado implica promedios transversales de la velocidad y la
concentración.
2. La causa del transporte dispersivo es una fluctuación del campo de velocidad. En la
dispersión de Taylor­Aris, la variación radial de la velocidad puntual causa la dispersión en
la distribución de las especies transportadas, que se representa matemáticamente
mediante el término de dispersión.
3. La dispersión es “fickiana”. Esto significa que el transporte dispersivo puede interpretarse
como un flujo que tiene la misma forma matemática que la ley de Fick (más sobre esto a
continuación). Como se vio antes, la teoría de Taylor­Aris conduce a la siguiente ecuación
de transporte promedio para el flujo laminar en una tubería
∂ do
∂
+ enel
∂ do
∂ el
= D
*
∂
2
do
∂ 2z
(7,52)
Machine Translated by Google
170
Fenómenos del transporte ambiental
donde la dispersividad (o coeficiente de dispersión) viene dada por
DD* = +
Rv2 2
(7,53)
el
48 D
El término fickiano que contiene el coeficiente dado por el segundo término de la derecha.
El lado izquierdo de esta ecuación representa la contribución de la dispersión al transporte.
Cualquier otro sistema en el que el transporte se cuantifique por la velocidad media y la
concentración, y en el que la velocidad presente fluctuaciones con respecto a su media, puede
representarse mediante el modelo de dispersión, sustituyendo las variables puntuales por variables
promediadas y la difusividad por la dispersividad.
7.3 DISPERSIÓN TURBULENTA
Las fluctuaciones espaciales de la velocidad no son la única causa de la dispersión hidrodinámica.
Las fluctuaciones temporales también dan lugar a un mecanismo de transporte dispersivo. Se sabe
que los flujos turbulentos, que se dan ampliamente en la práctica, representan un tipo de flujo
inestable cuya estructura se caracteriza por
1. El vector de velocidad es completamente tridimensional.
2. Los componentes de la velocidad fluctúan continuamente con el tiempo, con períodos de
fluctuación del orden de 1 ms.
3. Las fluctuaciones de velocidad parecen aleatorias.
Por ejemplo, la Figura 7.2 ilustra cómo cambia la magnitud de la velocidad del fluido con el
tiempo en un flujo turbulento. Las fluctuaciones son tan rápidas que a veces ni siquiera el dispositivo
de medición puede seguirlas y registrará un valor suavizado en el tiempo.
12
10
segundo)
vpor
8
—
en
en
6
4
2
0
0
0,02
0,04
0,06
0,08
0,1
yo (yo)
FIGURA 7.2 Fluctuaciones típicas de velocidad en flujo turbulento. En este ejemplo, aunque la
velocidad cambia con el tiempo, hay un valor promedio de la velocidad que permanece constante.
Machine Translated by Google
171
Dispersión hidrodinámica
El análisis de flujos turbulentos se realiza en términos de variables promediadas en el tiempo. El
vector de velocidad promediada en el tiempo se define por
+t ∆
1
v=
2∆ t
∫
enes
(7,54)
a− ∆ a
donde Δt es un período de tiempo tal que Δt » Δtf , donde Δtf es un período de tiempo característico para
las fluctuaciones, Δtf = O(1 ms). La restricción especificada garantiza que la velocidad promedio será una
función suave del tiempo. En el ejemplo de la Figura 7.2, esta función es la función constante.
De manera similar, definimos una concentración promediada en el tiempo como
1
=
do
2∆ t
El+ o∆
∫
cdt
(7,55)
El− o∆
(en el resto de este análisis, la barra superior representará promedios de tiempo).
En base a las definiciones anteriores, podemos definir la velocidad de fluctuación y la concentración
mediante
′
vv = − v
′
(7,56)
c=−c
c
(7,57)
Nótese que v′ y c′ representan las fluctuaciones de velocidad y concentración alrededor de sus
promedios.
El análisis de flujos turbulentos comienza con la ecuación de continuidad puntual que, para sistemas
diluidos con difusividad constante, es, en ausencia de reacciones químicas,
∂ do
∂
+ c2
=
vcD
(7,58)
Esta ecuación está promediada en el tiempo:
1
2∆ t
+
a
yo ∆
∫
∂ do
∂
+ en
c dt
a− ∆ a
1
=2∆t
tt +∆
∫
Re c2dt
(7,59)
El− o∆
Después de las manipulaciones (véase, por ejemplo, Clark, 1996), esta ecuación se convierte en
∂ do
∂
2 + en
=
−do
cD(
""vc
)
Tenga en cuenta que la única diferencia matemática entre esta ecuación y la original
La ecuación de continuidad es el último término, que representará el transporte dispersivo.
(7,60)
Machine Translated by Google
172
Fenómenos del transporte ambiental
La representación del proceso en términos de variables promediadas conduce a una pérdida de
información con respecto a lo que sucede en tiempos y distancias muy cortos. Por esta razón, una
representación para el término dispersivo en la Ecuación 7.60 podría buscarse empíricamente; es decir,
la representación para el término de transporte dispersivo será una especie de ecuación constitutiva,
que se asemeja a la formulación del ujo difusivo en términos de gradientes de concentración utilizando
la ley de Fick. De hecho, la cantidad v′ ′ c se llama “ujo dispersivo”, y generalmente se cuantifica
empíricamente. Para el caso del ujo en una tubería, la evidencia experimental muestra que el ujo
dispersivo puede representarse de la siguiente manera:
v′ ′c D = − t
(7,61)
c
donde el coeficiente Dt se denomina dispersividad turbulenta o dispersividad de remolino. No es
sorprendente que el flujo dispersivo tenga esta forma (que se asemeja mucho a la ley de Fick), ya que
el proceso de promediación temporal y el transporte debido a fluctuaciones locales es muy similar al
movimiento aleatorio de las moléculas y al mecanismo de transporte que esto induce (difusión). Para
flujos de tuberías desarrollados, el único componente distinto de cero de la velocidad promedio es el
componente z y, considerando que Dt es uniforme, la ecuación 7.9 se simplifica a
∂ do
∂
∂ do
+ enel
( DD = + a
∂ el
∂
2
do
) ∂ 2z
(7,62)
donde hemos supuesto que la concentración media no cambia con la posición radial. Un aspecto
interesante de esta ecuación es que es matemáticamente idéntica a la ecuación obtenida en la teoría
de Taylor­Aris. De hecho, casi sin excepciones, sucederá que Dt » D, y la difusividad suele omitirse de
la ecuación 7.62.
La dispersividad turbulenta se correlaciona empíricamente con datos experimentales. Una de esas
correlaciones para el flujo turbulento en una tubería es
Da
v(2R)
el
=
3 10 ×
Re
7
2 .1
+
1 .35
Re
/18 ,
Re 21 00 >
(7,63)
donde el número de Reynolds se define por
Re=
ρ 2 elv R
µ
(7,64)
donde ρ y μ son la densidad y la viscosidad del fluido, respectivamente.
Teniendo en cuenta que las ecuaciones 7.47 y 7.62 son matemáticamente similares, podemos
pensar en una representación continua para la dispersividad de flujo laminar a turbulento. Para
encontrar esta representación, utilizaremos como variable independiente el número de Peclet, definido
por
Pe =
2 r
contra
el
D
(7,65)
Machine Translated by Google
173
Dispersión hidrodinámica
Reescribiendo la ecuación 7.53 en términos del número de Peclet obtenemos
D*
D
=+1
Pe 2
(7,66)
192
El número de Peclet también se puede representar como
Pe = ReSc
(7,67)
µ
ρD
(7,68)
donde el número de Schmidt se define por
Carolina del Sur
=
La ecuación 7.63 ahora puede reescribirse de la siguiente manera:
D
D
a
=
×
3 10
7 Sc
Re 1.1
+ 1 .35 Re / 7 8
(7,69)
Carolina del Sur
La figura 7.3 muestra una comparación de las dispersividades adimensionales entre flujos laminares y
turbulentos. La caída del valor de la dispersividad a medida que cambia el régimen de flujo se debe al
perfil de velocidad relativamente bajo obtenido en el flujo turbulento, que produce un grado de dispersión
algo menor que el del caso de flujo laminar al mismo número de Reynolds.
1,00,000
10.000
Ecuación (18)
Sc = 1
1000
—*
D
D
o
Dt
100
Teoría de Taylor­Aris
D
ecuación (15)
10
1
Laminar turbulento
0,1
1
10
100
1000
Pe
FIGURA 7.3 Coeficientes de dispersión del flujo en una tubería.
10.000
1,00,000
Machine Translated by Google
174
Fenómenos del transporte ambiental
En un flujo general tridimensional, el flujo dispersivo requiere una representación
que es más general que la ecuación 7.61:
""vc
=− D
(7,70)
do
donde D es el tensor de dispersión, que en coordenadas cartesianas se puede representar de la
siguiente manera:
D xx
0
0
0
D yy
0
D=
(7,71)
D zzz
00
La forma diagonal del tensor es válida cuando el sistema de coordenadas está alineado con los
ejes principales de dispersión. La sustitución de la ecuación 7.70 en la ecuación 7.60 conduce a
∂ do
+ en
∂
∂
=cD
xx
∂
2
do
2
∂
D+
yy
2
do
∂
D+
zzz
∂ 2y
incógnita
2
do
(7,72)
∂ 2z
donde hemos considerado que las dispersividades son constantes y hemos eliminado las barras
superiores para simplificar la notación. A continuación se presentan algunas soluciones analíticas para
esta ecuación.
7.4 SOLUCIONES DE LA ECUACIÓN DE CONVECCIÓN­DISPERSIÓN
Movimiento en la dirección x sólo con velocidad u, dispersividades constantes:
∂ do
∂
+ tú
∂ do
∂
= D xx
incógnita
∂2c
∂ 2x
D+
∂
yy
2
do
∂
D+
zzz
∂ 2y
2
do
∂ el
2
1. Fuente puntual instantánea (N moles) en x = y = z = 0 y t = 0, ilimitada
medio
do
=
norte
/32
PPP
2 (π
) (xx yy zz
)
/ 1 2 exp
xut−
− (
2
)
xx
PAG
2
2
−
PAG
dónde
Pxx= 2D t, xx
P = 2Dyyt, P = 2D
yy t
zzz
2
el
y
−
2 yy
2 Pzz
zzz
Machine Translated by Google
175
Dispersión hidrodinámica
2. Fuente puntual continua (N moles por unidad de tiempo) en x = y = z = 0, medio
ilimitado (solución en estado estacionario)
do
norte
=
2
2
4 π( DD
x DD y +
DD zxxzz
yy zz
2 D xx
/12
D xx
incógnita
D xx
)
yy xx
1/ 2
2
2
tú
−
exp
2 1 2/
+
2z
y
+
D yy
D zzz
+
−
incógnita
3. Fuente lineal continua (n moles por unidad de tiempo y longitud) en el eje y,
medio ilimitado (solución en estado estacionario)
do =
1/2
ux
1/ 2 exp
2
D xx
)
norte
2π( DD
xxzz
K0
tú
2x
2
D 2xx
2z
+
D Dxx zz
donde K0 es la función de Bessel modificada de segunda especie y orden cero.
Para el caso ux » Dxx y x » z, esta solución se simplifica
do
=
norte
2 ( πD zzz
ux
)
/12
exp
−
Oz
2
4 D zzz
incógnita
4. Fuente puntual continua (N moles por unidad de tiempo) en x = 0, y = 0, z = h, con
condición de no flujo en el plano z = 0 y Dxx = 0 (solución de estado estable)
do
norte
=
4π( xDDyy zz
)
/12
exp
−
2
−
− (escuchar
2 uy
4xD yy
exp
) 4xDzz
+ exp
− uz( 4
+ ) en2
xDzz
5. Fuente lineal continua (n moles por unidad de tiempo y longitud) en x = 0, z = h,
con condición de no flujo en el plano z = 0 y Dxx = 0 (solución de estado estable)
do
=
norte
2 ( πuxD zzz )
/12
exp
2
−
− (escuchar
) 4xD zzz
exp
+
+
)
− (escuchar
2
4xDzz
Como ejemplo de aplicación de las ecuaciones anteriores, considere una fuente puntual
continua en un medio ilimitado. En el cálculo se utilizan los siguientes valores: N = 1, u = 1,
Dxx = Dyy = Dzz = 1. El perfil de concentración se generó mediante la ecuación adecuada
(elemento 2 de la lista anterior). Las figuras 7.4 y 7.5 muestran gráficos de los perfiles de
concentración alrededor de la fuente. El sistema de coordenadas de estas figuras se ha
trasladado de modo que la fuente puntual esté ubicada en el centro del plano x–y
representado en las figuras.
Machine Translated by Google
176
Fenómenos del transporte ambiental
0,30
0,25
0,20
c 0,15
0,10
0,05
0.00
incógnita
y
FIGURA 7.4 Distribución de concentración en estado estacionario alrededor de una fuente puntual continua.
Aunque este ejemplo es una solución abstracta para valores numéricos específicos de los
parámetros utilizados sólo para mostrar las tendencias representadas por las ecuaciones,
podemos hacer una analogía con la descarga de un contaminante en la atmósfera desde una
chimenea. La escala de observación en las Figuras 7.4 y 7.5 es entonces lo suficientemente
grande como para que la chimenea pueda representarse como un punto, y los gráficos
corresponderían a la distribución del contaminante sobre el plano en el que se produce la
descarga (es decir, a la altura de la chimenea).
Los resultados muestran claramente los efectos de la dispersión hidrodinámica: si no
hubiera dispersión y solo convección en la dirección x, el contaminante simplemente seguiría
una línea recta en la dirección x y cualquier propagación lateral se debería a la difusión.
0.080
incógnita
0,020
0,0050
0,040
0,010
y
FIGURA 7.5 Contornos de concentración alrededor de una fuente puntual continua.
Machine Translated by Google
177
Dispersión hidrodinámica
(que sería muchos órdenes de magnitud más lento que la dispersión). Las figuras 7.4 y 7.5
muestran que, aunque el contaminante se transporta preferentemente a lo largo de la dirección x
(como lo evidencian las concentraciones más altas directamente aguas abajo de la fuente), hay
una dispersión apreciable alrededor de la fuente, incluso aguas arriba de la fuente.
fuente.
PROBLEMAS
7.1 Nos gustaría evaluar la importancia de la dispersión en el flujo laminar en tuberías.
Consideremos la dispersión en estado estacionario de un soluto (A) que se
descompone de acuerdo con una reacción química de primer orden. La ecuación de
dispersión convectiva es
< en>el
2
corriente
continua < >
A
= D
el
mi
<>
dC Una
el 2
kc­<> A
Las condiciones de contorno adecuadas son
< >Ac
= do Un en 0,
=
0
< >Ac = 0, →el ∞
con la difusividad efectiva, De, dada por la Ecuación 7.46.
a. Escribe el problema en forma adimensional utilizando lo siguiente
Deniciones:
tu =
<c>A
do
A0
el
ξ=
Pe =
φ=
R
<v>R
el
DA
kR 2
ES
Encuentra u = u(ξ).
b. Grafique u vs. ξ para el caso
= 100, Pe = 500. En el mismo gráfico, grafique u
vs. ξ para las mismas condiciones, pero asumiendo que De = DA (este sería el
caso hipotético en el que no hay dispersión).
7.2 El efluente de una planta de tratamiento de aguas residuales se vierte a un río.
La planta no elimina un contaminante orgánico traza preocupante (A) que originalmente
no se encuentra en el río, y la tasa de descarga es tal que, en el punto de descarga
(z = 0, donde z es la distancia longitudinal a lo largo del río)
Machine Translated by Google
178
Fenómenos del transporte ambiental
río en la dirección del movimiento), la concentración transversal media del contaminante es
<cA>0. El contaminante se absorbe en los sedimentos del fondo del río mediante un proceso
de primer orden y posteriormente se biodegrada. La ecuación de convección­dispersión es
∂ < >do A
∂
+ < >enel
∂ < >do A
∂ el
2
= D
∂ < > do A
mi
∂ el
2
kc­<>
yA
donde se conocen la difusividad efectiva, De, la constante de velocidad efectiva de primer
orden, ke, y la velocidad promedio del agua, <vz> .
a. Encuentre <cA> (z) en estado estable tanto aguas arriba (z < 0) como aguas
abajo (z > 0) del punto de descarga.
b. No se permiten niveles de contaminantes superiores a 0,001 <cA>0 en el agua potable.
Encuentre una expresión para calcular las distancias aguas abajo (Ld) y aguas arriba
(Lu) desde el punto de descarga más allá de las cuales es seguro utilizar el río como
fuente de agua potable.
Machine Translated by Google
Transporte en Multifase 8
Sistemas
8.1 SISTEMAS MULTIFÁSICOS Y MEDIOS POROSOS
Los sistemas multifásicos y los medios porosos son omnipresentes en las aplicaciones de
ingeniería ambiental. Aquí, utilizaremos el término medios porosos para describir los
sistemas multifásicos que consisten en una fase sólida estacionaria y una o más fases
fluidas, estacionarias o móviles, que ocupan el espacio intersticial dejado vacío por la fase
sólida. Ejemplos de medios porosos relevantes son los acuíferos subterráneos, los suelos
en general, las membranas porosas utilizadas en separaciones y todo tipo de lechos llenos
de partículas, como los utilizados en adsorción e intercambio iónico, reactores catalíticos,
filtros percoladores y cromatografía.
Uno de los aspectos más importantes de los medios porosos, que influye en la descripción
de los procesos de transporte, es la descripción de su estructura geométrica.
En general, no nos interesa producir un mapeo de la distribución de las fases punto por
punto, sino que buscamos una descripción basada en propiedades definidas en una escala
mayor que el tamaño de poro típico (más sobre esto a continuación).
Una propiedad estructural importante de los medios porosos es la porosidad. Para
definirla, considere una sección transversal típica de un medio poroso (Figura 8.1).
Definiremos volúmenes de control que serán esferas de volumen V cuyo centro es un punto
específico en el medio tal que ese punto cae en el espacio intersticial (fluido). Para cada
volumen, calcularemos la relación entre el volumen del fluido (Vf) y el volumen total:
ξ=
VF
V
(8.1)
Para valores pequeños de V, la razón será 1, ya que el volumen dentro de la esfera está
ocupado únicamente por fluido. A medida que el volumen creciente toca la primera partícula
sólida, entonces V = Vf + Vs, donde Vs es el volumen ocupado por la fase sólida, y la razón
será menor que 1. A medida que aumenta la escala de V, se miden oscilaciones en el valor
de ξ, pero, a escalas suficientemente grandes, estas oscilaciones se amortiguan hasta que
el valor medido de ξ se vuelve independiente de V. Este valor constante es la porosidad del
medio (π).
Cuando V es lo suficientemente grande como para que la relación de volumen se vuelva uniforme,
operamos en una escala que es grande en comparación con el tamaño de las partículas sólidas (o, en
general, el tamaño de los poros), y el medio poroso puede considerarse un medio continuo.
Supondremos que esta escala es aún mucho menor que la escala en la que nos gustaría describir
179
Machine Translated by Google
180
Fenómenos del transporte ambiental
o
1
φ
V
realidad virtual
V
FIGURA 8.1 Relación entre el volumen de fluido (vacío) en un medio poroso y el volumen total, a medida que se
amplía la escala de observación a partir de un punto.
Los procesos de transporte de partículas son muy complejos, por lo que se puede pensar que un “punto” en
nuestra escala de descripción incluye una cantidad relativamente grande de partículas (o poros). El volumen
para el cual el medio poroso se convierte en un continuo (VR) se denomina “volumen representativo” y, en
lechos empacados, generalmente contiene entre 10 y 50 partículas. Una definición adecuada de porosidad será
π ξ = , Para V>VR
(8.2)
Representaremos el transporte a escalas V > VR, utilizando variables que representan
promedios sobre el volumen representativo del medio poroso. Por lo tanto, nuestra
descripción no distinguirá entre fases fluidas y sólidas desde un punto de vista estructural,
sino que considerará el medio poroso como un continuo. La definición de cantidades
promedio se basará en promedios espaciales. Para una propiedad ψ definida en cada
punto del medio poroso, definimos el promedio espacial mediante
1
<ψ
>=
VR
∫ dVψ
(8.3)
realidad virtual
Por ejemplo, considere la función que es uno en la fase fluida y cero en la fase sólida:
1 en VF
ψ=
(8.4)
0 en Vs
Entonces,
<ψ
>=
1
VR
∫
Vuelta al futuro
==
Vf
es decir, el promedio de la función es la porosidad.
VF
VR
φ
(8.5)
Machine Translated by Google
181
Transporte en sistemas multifásicos
Podemos utilizar la ecuación 8.3 para definir una velocidad promedio:
1
en
<>=∫
en
Vuelta al futuro
VR
(8.6)
realidad virtual
Dado que el sólido está estacionario, v = 0 en Vs y la velocidad promedio contiene solo una integral
de la velocidad del fluido,
1
en
<>=∫
VR
en
Vuelta al futuro
(8.7)
Vf
Esta velocidad media se denomina velocidad superficial. Para flujos unidimensionales, la velocidad
superficial representa el caudal volumétrico de fluido por unidad de área de sección transversal del
medio poroso: Q = <v>A, donde A es el área de sección transversal del medio normal a la dirección del
movimiento.
Una característica de la velocidad superficial es que no representa un promedio de la velocidad del
fluido en el espacio poroso. Una definición adecuada para la velocidad media del fluido sería
tú
<>=∫
1
VF
en
Vuelta al futuro
(8.8)
Vf
Esto se denomina velocidad intersticial o velocidad intrínseca media. Comparando
De las ecuaciones 8.7 y 8.8 podemos ver que
< en
>
< > = tu
φ
(8.9)
Se utilizan velocidades superficiales e intersticiales para representar el flujo a través de medios porosos.
Otras variables físicamente relevantes también se representan en términos de promedios. Por ejemplo,
en el estudio del transporte de una especie química en la fase fluida de un medio poroso cuando la especie
es insoluble en la fase sólida, se prefiere un promedio intersticial de la concentración.
1
do
<>=∫
VF
virus de la corona
(8.10)
Vf
El promedio intersticial tiene la propiedad de que si c es uniforme en la fase del fluido, entonces
<c> = c.
Machine Translated by Google
182
Fenómenos del transporte ambiental
En lo que sigue, para evitar el uso de notación compleja, eliminaremos los corchetes
angulares para representar promedios y utilizaremos las siguientes equivalencias (ver
Figuras 8.2 y 8.3 y Tabla 8.1):
<v>
v (velocidad superficial)
<u>
u (velocidad intersticial)
<c> = c (concentración media intersticial)
FIGURA 8.2 Ejemplos de microestructura de medios porosos: (i) arena, (ii) arenisca, (iii)
caliza, (iv) caliza dolomitizada y (v) tiza. (De Adler PM, Porous Media. Geometry and
Transports, Butterworth­Heinemann, Boston, 1992.)
Machine Translated by Google
Transporte en sistemas multifásicos
183
FIGURA 8.2 (continuación) Ejemplos de microestructura de medios porosos: (i) secciones
transversales, (ii) secciones transversales longitudinales de capilares en el pecíolo de una flor de
girasol, y (iii) arterias (1) y venas (2) en el hígado humano. (De Adler PM, Porous Media. Geometry
and Transports, Butterworth­Heinemann, Boston, 1992.)
FIGURA 8.3 Empaquetamientos esféricos periódicos espaciales. Las características de cada conjunto se proporcionan en
la Tabla 8.1.
Machine Translated by Google
184
Fenómenos del transporte ambiental
CUADRO 8.1
Características de los empaquetamientos esféricos regulares
Nombre del embalaje de la caja Espaciado entre capasa Número de coordinaciónb
1
Cúbico
2
Ortorrómbico
3
Hexagonal
4
Ortorrómbico
2R
π
6
0,476
3R
8
0,395
2R
12
0,259
8
0,395
0,302
0,259
2R
5
Tetragonal
3R
10
6
Hexagonal
8/3R
12
una distancia vertical entre centros de esferas.
b Número de esferas que tocan cualquier esfera dada.
8.2 FLUJO MONOFÁSICO EN MEDIOS POROSOS: LEY DE DARCY
El movimiento de fluidos newtonianos en flujo incompresible a través de medios porosos ha sido
ampliamente investigado en la literatura tanto desde puntos de vista teóricos como experimentales.
Las representaciones matemáticas de los principios de conservación de masa y momento en términos
de variables promediadas espacialmente son bien conocidas para el caso de flujo relativamente lento
en los poros. Un criterio para la aplicación de las ecuaciones presentadas a continuación se basa en
un número de Reynolds característico a escala de poros, definido por
ρ v dp p
Re=
µ
(8.11)
donde vp y dp son una velocidad de poro característica y una longitud de poro característica,
respectivamente. Para Re < 1, que es el caso más típico encontrado en aplicaciones prácticas, el
movimiento del fluido se describe mediante la ley de Darcy. Para un flujo unidimensional en la dirección
z, la ley de Darcy es
en
K­dP
=−
el
µ
ρ ­ g el
el
(8.12)
En esta ecuación, P es la media intrínseca de la presión en el espacio poroso y dP/dz es, por tanto,
el gradiente de la presión media en la dirección de ow, gz es la componente del vector aceleración de
la gravedad en la dirección de ow y K es la permeabilidad del medio poroso, parámetro que es función
exclusiva de la microestructura del medio.
A veces, la ecuación 8.12 se escribe de la siguiente manera:
en
el
= −α
es
dz
(8.13)
Machine Translated by Google
185
Transporte en sistemas multifásicos
donde h se llama carga hidráulica, y se define por
PAG
yo = −
gramo
ρg
el
(8.14)
el
gramo
y α es la conductividad hidráulica,
= kg ρ
µ
alfa
(8.15)
La ley de Darcy indica que las fuerzas impulsoras del movimiento son la caída de presión
(−dP/dz) y las fuerzas gravitacionales. La característica más importante de la ecuación 8.12 es
el hecho de que todos los efectos sobre el movimiento de la estructura a escala de poros están
contenidos en un solo coeficiente, la permeabilidad. Estudios experimentales y teóricos han
determinado que la permeabilidad se ve afectada por dos características estructurales: la
porosidad y una medida del tamaño característico de poro. Por ejemplo, para medios porosos
compuestos de empaquetamientos desordenados de partículas esféricas monodispersas, la
longitud característica relevante a escala de poros es el diámetro de la partícula. Sin embargo,
en lugar de utilizar el diámetro de la partícula, se utiliza un diámetro hidráulico. El diámetro hidráulico se define
VF
~
el
(8.16)
As
donde Vf es el volumen del fluido en un volumen representativo de medio poroso, y As
es el área mojada de la fase sólida en el volumen representativo. La ecuación 8.16 se puede escribir
como
~
el
Vs VF
A s Vs
Vs
=
VF
−
A s VV
R
(8.17)
F
Para esferas monodispersas (radio R, diámetro d = 2R), tenemos
Vs
As
4
πR 3
= 3
4 πR 2
==
Rd
(8.18)
36
También,
VF
VV −
R
=
F
V/V
para
1−
V/V
para
=
φ
1− φ
(8.19)
de modo que
el
~
d
φ
6 1 φ−
(8.20)
Machine Translated by Google
186
Fenómenos del transporte ambiental
Dejando de lado el coeficiente, podemos definir el diámetro hidráulico como
φ
=
el
(8.21)
−
d1φ
Para determinar una correlación para la permeabilidad en empaquetamientos esféricos, la ecuación
8.12 se escribe en términos de la velocidad intersticial,
tú
1 K­dP
=−
el
Se postula que el parámetro estructural K/
experimentales muestran que K/
ρ − g el
dz
µπ
(8.22)
depende únicamente de dh. De hecho, los datos
es directamente proporcional a dh 2. Por lo tanto, una ecuación
empírica para la permeabilidad de los empaquetamientos esféricos es
K =
3
d2φ
A(1 − )
2
(8.23)
donde A es una constante adimensional cuyo valor oscila entre 130 y 200, siendo A = 180 el valor
más representativo. La ecuación 8.23 se denomina ecuación de Carman­
Ecuación de Kozeny.
Para flujos tridimensionales, la expresión general de la ley de Darcy está relacionada con el
concepto de isotropía con respecto al proceso de flujo. La isotropía es un concepto relacionado con
la dependencia de un fenómeno o parámetro específico con respecto a la dirección en la que ocurre.
Se dice que un medio poroso es isotrópico con respecto al proceso de flujo si la imposición de un
gradiente de presión (o carga hidráulica) en diferentes direcciones conduce a la misma velocidad
superficial. En estas circunstancias, la versión tridimensional de la ley de Darcy es
en
=−
K
−(
) ρ , medio isotrópico µ
PAG
gramo
(8.24)
Los empaquetamientos esféricos son ejemplos de medios porosos isotrópicos. En algunos casos,
la estructura del medio tiene características que implican una orientación de la geometría local.
Se dice que este tipo de medio es anisotrópico con respecto al proceso de flujo, y la ley de Darcy es
v=−
1
K(
P−ρ µ ) g
(8.25)
donde la permeabilidad, K, es ahora un tensor de segundo orden. Si el sistema de coordenadas está
alineado con las direcciones de orientación de la microestructura, K es un
Machine Translated by Google
187
Transporte en sistemas multifásicos
tensor diagonal y la forma expandida de la ecuación 8.26 se convierte, en coordenadas
cartesianas,
vx
V
y
Vz
1
=−
Kμxx
1
=−
1
∂
∂
K
=−
∂
yy µ
Kμzzz
PAG
−
PAG
−
∂y
∂
ρg
incógnita
(8.26)
incógnita
PAG
∂ el
−
ρg y
(8.27)
ρg el
(8.28)
Ejemplos de medios porosos que son anisotrópicos con respecto al proceso de flujo son:
madera (debido a la alineación de las fibras), empaquetamientos de partículas alargadas en los
que las partículas están todas alineadas en la misma dirección y medios consolidados en los que
los poros corren en una dirección particular.
8.3 DIFUSIÓN EN MEDIOS POROSOS Y SISTEMAS MULTIFÁSICOS
Consideraremos el caso más común de difusión en medios porosos, es decir, que una especie
química presente en baja concentración se difunde a través de la fase fluida siendo insoluble en
el sólido. En estas condiciones, la presencia de la fase sólida será simplemente un obstáculo
para las vías de difusión. La ecuación que gobierna el proceso en un punto del fluido es la
ecuación de difusión. Se puede obtener una ecuación macroscópica promediando la ecuación
puntual sobre el espacio intersticial.
Si el medio poroso es isótropo con respecto al proceso de difusión y su microestructura es
uniforme (es decir, la porosidad no cambia con la posición en el medio), la ecuación promedio es
∂ do
∂
= D c eff
2
(8.29)
donde Deff es la difusividad efectiva. Esta ecuación es matemáticamente idéntica a la ecuación
de difusión puntual, con las diferencias de que c ahora representa la concentración media
intrínseca y el coeficiente de difusión se reemplaza por la difusividad efectiva.
La difusividad efectiva es menor que la difusividad molecular (Deff < D), principalmente debido
a la tortuosidad de los caminos de difusión que deben seguir las moléculas (Figura 8.4), para lo
cual la fase sólida actúa como un obstáculo físico.
Las difusividades efectivas se deben medir para un medio poroso particular en función de la
microestructura. Se sabe que el principal parámetro microestructural que afecta la difusividad
efectiva es la porosidad del medio. Por ejemplo, la Figura 8.5 muestra datos experimentales y
algunas predicciones teóricas de difusividades efectivas en empaquetamientos de partículas
isotrópicas.
Machine Translated by Google
188
Fenómenos del transporte ambiental
Líquido
Alto
concentración
Bajo
concentración
Medio poroso
FIGURA 8.4 Trayectorias de difusión en un fluido homogéneo y un medio poroso.
Para el caso de medios anisotrópicos con respecto al proceso de difusión (medios con
anisotropía geométrica) como los que conducen a la versión anisotrópica de la ley de Darcy, la
ecuación de difusión generalizada es
∂ do
∂
=
( Definitivamente
do
(8.30)
)
1.0
Kim y otros.
Esferas
Currie
Mezcla de esferas
Arena
Carborundo
Cloruro de sodio
0,8
Cabalgata
Mezcla de esferas
Carborundo
0.6
φDeff
D
Weissberg
SP­3D
0,4
SP­2D
Maxwell
0,2
Wakao y Smith
0
0
0,2
0,4
0.6
0,8
1.0
φ
FIGURA 8.5 Difusividades efectivas para lechos empacados. Los símbolos representan datos
experimentales; Maxwell y Weissberg representan límites superiores teóricos; SP­2D y SP­3D
representan resultados teóricos para matrices cúbicas de cilindros y esferas, respectivamente.
(De Whitaker S, The Method of Volume Averaging, Kluwer Academic Publishers, Dordrecht,
Países Bajos, 1999, y referencias allí incluidas).
Machine Translated by Google
189
Transporte en sistemas multifásicos
donde Deff es el tensor de difusividad efectiva. Si, nuevamente, los ejes de coordenadas están
orientados con las direcciones principales de anisotropía, el tensor de difusividad efectiva se
convierte en un tensor diagonal y la ecuación 8.30 puede escribirse como (considerando también
difusividades efectivas uniformes)
∂ do
∂
∂ 2 do
= D
xx
∂
incógnita
D+
2
∂ 2 do
D+
yy ∂ 2
y
∂ 2 do
zzz
(8.31)
∂ 2z
8.4 DISPERSIÓN EN MEDIOS POROSOS
El análisis del transporte de masa por convección en medios porosos se basa en la aplicación de
la ecuación de convección­difusión en la fase fluida a nivel de poro. En ausencia de reacciones
químicas y considerando que la fase sólida es inerte (es decir, las especies analizadas no se
adsorben ni se disuelven en las partículas sólidas), el promedio de esta ecuación sobre un volumen
representativo de medio poroso conduce a la siguiente ecuación macroscópica:
∂ do
+ tú
∂
=do
(
D*
do
(8.32)
)
Esta ecuación se conoce como ecuación de convección­dispersión (o de advección­dispersión).
El proceso de transporte considerado está regido exclusivamente por la difusión y la convección,
, refleja
y se denomina dispersión pasiva. El tensor de dispersividad, D*
Las variaciones de velocidad local que ocurren a nivel de poro, de la misma manera que la
dispersividad de Taylor­Aris reflejó las variaciones de velocidad axial con la posición radial en una
tubería. En este caso, sin embargo, el mecanismo es más complicado ya que el vector de
velocidad a nivel de poro es tridimensional. La consecuencia principal de esto es el hecho de que
la dispersividad es un tensor, independientemente de la estructura local del medio poroso. Por
ejemplo, consideremos el caso de flujo promedio en la dirección x: u = uex. La ecuación 8.32
puede escribirse como
∂ do
∂
+ tú
∂ do
∂
*
(8.33)
( c
)D
=
incógnita
o, en forma expandida,
∂ do
∂
+ tú
∂ do
∂
incógnita
=
∂
∂
incógnita
D *xx
∂ do
∂
∂
+
incógnita
∂y
D yy
*
∂ do
∂y
+
∂ *
D
∂ el
∂ do
zzz
∂ el
(8.34)
El transporte dispersivo en la dirección x (dispersión longitudinal) en este caso se debe
principalmente a los perfiles de velocidad a nivel de poro: la velocidad debe caer desde un cierto valor
máximo hasta cero en la superficie del sólido. Este es un mecanismo similar
a la dispersión de Taylor­Aris. Por otra parte, el transporte en direcciones perpendiculares
Machine Translated by Google
190
Fenómenos del transporte ambiental
La dispersión lateral del flujo, y y z, es principalmente una consecuencia de la naturaleza tridimensional
de la velocidad local debido al hecho de que el fluido debe moverse lateralmente para fluir alrededor
de las partículas sólidas. Esto induce la mezcla en las direcciones perpendiculares al flujo. Para un
medio poroso isotrópico, se esperaría que las dispersividades en las direcciones laterales fueran las
mismas debido a la simetría y también que tuvieran un valor menor que la dispersividad en la dirección
del flujo; es decir,
*
*
==
DD yy
*
(8.35)
Densidad
zzz
=
DD*
xx
*yo
≥ D*
(8.36)
*
es la dispersividad lateral. Para un flujo
yo
donde DL * es la dispersividad longitudinal y DT
uniforme y unidimensional, la ecuación 8.34 se expresa de la siguiente manera:
∂ do
∂a
+ tú
∂ do
∂
= D*
yo
incógnita
∂ 2 do
∂
incógnita
D+
*
2
yo
∂ 2 do
∂y 2
D+
*
yo
∂ 2 do
∂ 2z
(8.37)
Un análisis dimensional de las ecuaciones puntuales muestra que, para un material poroso isótropo
medio con estructura uniforme, las dispersividades dependen de
1. La difusividad molecular
2. Estructura local del medio poroso (principalmente en la porosidad)
3. Un número de Peclet local, definido en términos del diámetro hidráulico
Pe
tú
=
Dp
yo
(8.38)
Para empaquetamientos de esferas monodispersas, el uso de la ecuación 8.20 conduce a
Pe
tú φ
=
D p ( 1 φ )−
(8.39)
Para los lechos empacados, se han desarrollado correlaciones en la forma (ver a continuación)
D*
yo
D
D*
yo
D
=
=
D*
yo
D
( Pe p )
(8.40)
( Pe p )
(8.41)
D*
yo
D
A continuación analizamos los métodos experimentales utilizados para determinar la longitud
Dispersiones dinárias y laterales como ejemplos de procesos de dispersión pasiva.
Machine Translated by Google
191
Transporte en sistemas multifásicos
8.4.1 DETERMINACIÓN EXPERIMENTAL DE LA DISPERSIVIDAD LONGITUDINAL
EN FLUJOS 1­D
En este experimento, se llena un lecho empacado con un líquido que inicialmente contiene una
concentración cero del componente que se utilizará en el estudio de la dispersión pasiva. En t
= 0, el flujo de líquido entrante tendrá una concentración constante c0.
Las concentraciones de las especies dispersantes se medirán en función del tiempo en varias
posiciones axiales a lo largo del lecho (Figura 8.6). Por ejemplo, las especies dispersantes
podrían ser un electrolito (por ejemplo, cloruro de sodio), cuya concentración es directamente
proporcional a la conductividad eléctrica del líquido. En este caso, las sondas de medición son
sondas de conductividad eléctrica. Alternativamente, las sondas de muestreo podrían ser tubos
a través de los cuales se extraen muestras de líquido para su análisis. Si el caudal volumétrico
del fluido que entra al lecho es Q y A es el área de la sección transversal, la velocidad
intersticial es
vQ
tú = =
(8.42)
Unφ
φ
En este experimento no hay nada que pueda inducir un gradiente de concentración lateral.
dient, de modo que c = c(t,x). La ecuación 8.37 se simplifica a
∂ do
∂
+ tú
∂ do
∂
= D
incógnita
*
2
∂ do
yo
∂ 2x
(8.43)
Las condiciones iniciales y de contorno son
c = = 0, 0 t
cc = 0
x0, =
(8.44)
(8,45)
Sondas de muestreo
Q, c0
(t > 0)
c = 0 en t = 0
incógnita
FIGURA 8.6 Experimento para determinar la dispersividad longitudinal en un lecho empacado: un
caudal volumétrico Q de líquido con una concentración c0 fluye continuamente hacia el lecho durante t > 0.
La concentración de especies dispersantes se mide en función de x y t en los puntos de muestreo.
Machine Translated by Google
192
Fenómenos del transporte ambiental
do
x = 0, → ∞
(8.46)
Se ha asumido que el lecho es lo suficientemente largo aguas abajo del muestreo.
sondas en las que se aplica la condición 8.47.
La solución del problema planteado por las ecuaciones 8.43 a 8.46 es (el problema
se puede resolver analíticamente utilizando la transformada de Laplace)
do
=
1
do 0
− xut
erfc2
*
2 Elyoo 2
1
ux
+ exp
*
D yo
erfc
+ xut
*
2 Elyoo
(8.47)
Esta ecuación se puede ajustar a datos experimentales en c(t,x), utilizando la dispersividad
longitudinal como el único parámetro ajustable.
La ecuación 8.47 se puede expresar en forma adimensional de la siguiente manera:
do
=
do 0
1
erfc2
XT
−
2 yo +
1
Xerfc
2 exp( )
XT
+
2 yo
(8,48)
dónde
incógnita
=
ux
(8,49)
*
DESCARGAR
y
yo =
2
Utah
*
(8,50)
DESCARGAR
En la Figura 8.7 se muestra un gráfico de la ecuación 8.48.
La figura 8.8 muestra las dispersividades longitudinales determinadas experimentalmente
para capas de esferas. Los resultados experimentales se comparan con la teoría de Taylor­Aris
y los resultados teóricos para conjuntos de cilindros. Con un Pep bajo, la dispersividad
longitudinal se aproxima a la difusividad efectiva. Para un Pep > 1, la tendencia es
aproximadamente lineal en la escala logarítmica y sigue la proporcionalidad.
*
D yo
~ Pe1. 2
D
pag
(8.51)
8.4.2 DETERMINACIÓN EXPERIMENTAL DE LA DISPERSIVIDAD LATERAL
EN FLUJOS 1­D
Para este experimento, se crea un perfil de concentración lateral en el lecho empacado
dividiendo el flujo en la entrada en dos secciones: una con una concentración cero,
Machine Translated by Google
193
Transporte en sistemas multifásicos
1
0.9
X = 0,5
0,8
X = 1.0
0,7
0.6
X = 2,0
c/c0
0,5
0,4
0.3
0,2
0,1
0
0
1
0,5
2
1.5
yo
FIGURA 8.7 Curvas de ruptura adimensionales: concentración adimensional vs. tiempos
adimensionales en varias posiciones axiales adimensionales.
106
Pfannkuch
Ebach y White
Carberry y Bretton
Edwards y Richardson
Blackwell y otros.
104
Rifai y otros.
D*xx
D
Cilindros aleatorios
102
Teoría de Taylor­Aris
Cilindros en línea
100
10–4
10–2
100
102
104
106
Energía
FIGURA 8.8 Dispersiones longitudinales experimentales (puntos) y teóricas (líneas) para
lechos empacados. La mayoría de los experimentos se realizan con lechos empacados con
esferas monodispersas. (De Whitaker S, The Method of Volume Averaging, Kluwer Academic
Publishers, Dordrecht, Países Bajos, 1999, y referencias allí citadas).
Machine Translated by Google
194
Fenómenos del transporte ambiental
y uno con una concentración específica (c0), como se muestra en la Figura 8.9. En este caso, se induce un
perfil de concentración en la dirección y al introducir líquido en dos concentraciones diferentes en dos
secciones de la entrada. El perfil de concentración en la dirección y se mide en varias posiciones x y en
estado estable.
En este caso, hay simetría en la dirección z y la ecuación 8.37 simplemente se traduce como
tú
∂ do
∂
∂ 2 do
= D *yo
∂
incógnita
incógnita
D+*
2
yo
∂ 2 do
∂
2
(8.52)
años
Además, si las sondas de medición están lo suficientemente cerca de la entrada, podemos invocar un tipo
de aproximación de capa límite y descuidar el transporte dispersivo longitudinal:
D *yo
∂ 2 do
∂
incógnita
2
∂ 2 do
"D *
∂
yo
2
(8.53)
años
De modo que la ecuación 8.52 se simplifica a
tú
∂ do
∂
= D*
yo
incógnita
∂ 2 do
∂
(8.54)
2
años
Las condiciones de contorno adecuadas son
do
,
día
0 0
=
≥
0, y 0 <
cc=
do
,
incógnita
= 0
0,y→ ∞
y = 0, → −∞
(8,55)
(8.56)
(8,57)
donde se ha asumido que el lecho es suficientemente ancho en la dirección y en los puntos de muestreo
para que se apliquen las condiciones 8.57 y 8.58.
Sondas de muestreo
u, c = c0
y
incógnita
tu, c = 0
FIGURA 8.9 Experimento para determinar la dispersividad lateral en un lecho empacado: se
induce un gradiente de concentración lateral en la entrada. La concentración de especies
dispersantes se mide en función de x e y en los puntos de muestreo.
Machine Translated by Google
195
Transporte en sistemas multifásicos
La solución del problema es
do
do
=−
1
1
yu
*
2 DxT
erfc2
0
(8,58)
Para ponerlo en forma adimensional, definir
incógnita
=
ux
(8,59)
*
Densidad
Y =
Hola
(8,60)
*
Densidad
La ecuación 8.58 se convierte en
do
do
=−
1
1
erfc2
0
Y
2
(8.61)
incógnita
La figura 8.10 muestra un gráfico de estos proles.
La figura 8.11 muestra las dispersividades laterales determinadas experimentalmente para
capas de esferas. Nótese que los valores son apreciablemente inferiores a las dispersividades
longitudinales (figura 8.8) en el mismo Pep.
1
X = 0,05
X = 0,2
0.9
X = 0,5
0,8
0,7
0.6
c/c0
0,5
0,4
0.3
0,2
0,1
0
–2
–1,5
–1
–0,5
0
0,5
1
1.5
2
Y
FIGURA 8.10 Perfiles de concentración lateral adimensionales en varias posiciones axiales
adimensionales.
Machine Translated by Google
196
Fenómenos del transporte ambiental
103
Harleman y Rumer
Gunn y Price
Hassinger y von Rosenberg
Han y otros.
102
Cilindros aleatorios
D*
yy
D
10
1
Cilindros escalonados
Ro/R1 = 2
Cilindros en línea
10–1
10–1
1
10
102
103
104
Energía
FIGURA 8.11 Dispersiones laterales experimentales (puntos) y teóricas (líneas) para lechos
empacados. La mayoría de los experimentos se realizan con lechos empacados con esferas
monodispersas. (De Whitaker S, The Method of Volume Averaging, Kluwer Academic Publishers,
Dordrecht, Países Bajos, 1999, y referencias allí citadas).
8.5 TRANSPORTE EN MEDIOS POROSOS: INTERACCIONES
FLUIDO/SÓLIDO
En la sección anterior tratamos el caso de la dispersión pasiva, definida por el hecho de
que la especie cuyo transporte se describe no participa en reacciones químicas ni
interactúa con la fase sólida. En la mayoría de las aplicaciones, las interacciones con la
fase sólida son importantes y la razón por la que se utiliza un medio poroso en sistemas de
ingeniería. En esta sección estudiamos el transporte de una especie que interactúa con la
fase sólida. Las principales interacciones de interés ocurren cuando la especie se une a la
superficie del sólido a través de interacciones físicas (p. ej., electrostáticas) o químicas (p.
ej., enlaces covalentes) o cuando la especie experimenta una reacción química en la
superficie del sólido. En este último caso, el sólido puede ser un reactivo o un catalizador.
Ejemplos de aplicaciones en procesos ambientales son:
1. Adsorción/desorción en lechos empacados. La adsorción es uno de los métodos
más utilizados para el tratamiento de agua y aire: el fluido pasa a través de un
lecho empacado lleno de partículas sólidas sobre las que se puede adsorber un
contaminante para separarlo del fluido. La desorción es el proceso opuesto: una
especie adsorbida en la superficie sólida se transfiere al fluido. A veces se utiliza
para regenerar lechos en los que se absorbe un contaminante. Los procesos
de adsorción/desorción ocurren de forma natural en los suelos. Ejemplo
Machine Translated by Google
197
Transporte en sistemas multifásicos
Los procesos de adsorción más utilizados son: la separación de contaminantes
orgánicos volátiles (COV) del agua o el aire utilizando lechos de carbón activado, y la
separación de arsénico del agua potable utilizando lechos de hidróxido de hierro.
2. Intercambio iónico. Es un proceso similar a la adsorción, pero en este caso la especie
a adsorber es un ion que sustituye a otro ion en la fase sólida. Este ion intercambiado
se transfiere al líquido.
3. Cromatografía. Básicamente, se trata de un proceso de adsorción/desorción en el que
dos o más especies se adsorben en la fase sólida en un proceso transitorio diseñado
para separar las distintas especies aprovechando sus diferentes afinidades por la fase
sólida: las especies que se adsorben con mayor fuerza se mantendrán durante más
tiempo en el lecho.
4. Reactores catalíticos de lecho empacado. Muchas reacciones químicas necesitan un
catalizador para llegar a conversiones aceptables. Es común encontrar catalizadores
depositados sobre superficies sólidas que pueden acelerar reacciones químicas cuyos
reactivos están en la fase fluida. En este tipo de proceso, los reactivos normalmente
se adsorben primero en la superficie, luego reaccionan y finalmente los productos se
desorben en la fase fluida. Un ejemplo de esta aplicación es la conversión de
hidrocarburos halogenados en alcanos utilizando platino como catalizador en presencia
de gas hidrógeno (deshalogenación reductora).
Para estudiar el tipo de problemas que se han analizado anteriormente, necesitamos poder
formular la ecuación de transporte para una especie química que interactúa con el sólido.
Consideremos la ecuación de transporte para el caso de dispersión pasiva con flujo unidimensional
(Ecuación 8.37). Tomemos el caso especial en el que c = c(t,x) (es decir, c es independiente de
y y z). La ecuación de transporte se reduce a
∂ do
∂
+ tú
∂ do
∂
= D*
yo
incógnita
∂ 2 do
(8.62)
∂ 2x
Esta ecuación se puede derivar realizando un balance de capas molar sobre las especies
transportadas para una sección de medio poroso (Figura 8.12), de la siguiente manera: sea N* el
flujo de especies en la dirección x, expresado como moles de especies por unidad de tiempo y
por unidad de área de medio poroso. Nótese que hemos optado por definir este flujo utilizando
toda el área del medio como base, lo que incluye tanto las fases fluidas como las sólidas.
incógnita
UN*
x + ∆x
UN*
incógnita
incógnita
FIGURA 8.12 Balance de capas molares en un medio poroso.
x + ∆x
Machine Translated by Google
198
Fenómenos del transporte ambiental
Para el caso de dispersión pasiva, podemos escribir un balance molar de especies en el volumen de
control que se muestra en la Figura 8.12 de la siguiente manera:
∂ (cv F )
∂
*
*
= UN UN −
(8.63)
x ∆x +
incógnita
(acumulación) = (entrada) − (salida)
El ujo molar se interpreta como la superposición de las contribuciones convectivas y
dispersivas. Si las caracterizamos mediante la velocidad intersticial y la dispersividad utilizadas
anteriormente, el ujo obtenido sería por unidad de área de fluido. Por lo tanto, multiplicamos
cada contribución por la porosidad para obtener el ujo,
*
*
=−
Desnudo
φφ
yo
∂ do
∂
(8,64)
incógnita
Además, tenemos
VV f = = φ φA x∆
Sustituyendo las ecuaciones 8.64 y 8.65 en la ecuación 8.63, dividiendo por
(8,65)
AΔx, y
tomando el límite cuando Δx → 0 se recupera la ecuación 8.62.
Esta forma de formular la ecuación rectora es útil para obtener la ecuación de continuidad
promediada para los casos en que hay transporte fluido/sólido de las especies consideradas. En
los siguientes apartados trataremos este tipo de problemas.
8.5.1 ADSORCIÓN DE EQUILIBRIO EN MEDIOS POROSOS : EQUILIBRIO LINEAL
En este apartado consideraremos que las especies analizadas pueden adsorberse en la
superficie de la fase sólida. Además, consideraremos válidas las siguientes hipótesis:
condiciones:
1. La adsorción es reversible e instantánea, por lo que podemos suponer que el fluido en
las inmediaciones de la superficie sólida está en equilibrio con la superficie sólida.
Cualquier porosidad interna dentro de las partículas que sea accesible al fluido no
produce limitaciones de difusión.
2. La isoterma de adsorción es lineal.
3. No existen limitaciones de transferencia de masa en la fase fluida; es decir, la
concentración del fluido en la vecindad inmediata de la fase sólida es la concentración
del fluido a granel, c.
Estas condiciones implican que, para un punto en el continuo del medio poroso, la
La concentración en la superficie de la fase sólida se puede expresar como
c K =ˆs
control de calidad
mi
(8,66)
Machine Translated by Google
199
Transporte en sistemas multifásicos
donde cˆs son moles de especies adsorbidas por unidad de área superficial de la fase sólida. Si las
concentraciones se expresan en masa en lugar de moles (c sería la concentración promedio de masa
intrínseca en el fluido: masa de especies por unidad de volumen de fluido), entonces cˆs es la masa de
especies adsorbidas por unidad de área superficial de la fase sólida. Es habitual representar la
concentración de especies adsorbidas en la fase sólida como masa de especies por unidad de masa de
sólido (q). Nótese que
ˆ
q
=
c como s
(8,67)
ρs
donde as es el área superficial específica de la fase sólida, expresada como área superficial del sólido
por unidad de volumen de sólido, y ρs es la densidad de la fase sólida. Las ecuaciones 8.66 y 8.68
implican que q también está relacionada linealmente con c.
El mol (o balance de masa) para las especies transportadas en la fase fluida del volumen de control
representado en la Figura 8.12 es, en este caso,
∂ (cv F )
∂a
*
= UN UN −
*
xx+ ∆
incógnita
− Y
s
s
(8,68)
donde Js es el ujo de adsorción (moles o masa de especies adsorbidas por unidad de tiempo y unidad de
área superficial de la fase sólida), y As es el área superficial de la fase sólida en el volumen de control.
Nótese que Js es positivo siempre que la especie tratada se transfiera del fluido al sólido y negativo en el
caso opuesto.
La ecuación 8.68 se complementa con un balance de moles (o masa) en la fase sólida.
dentro del volumen de control:
∂ (c Un
s
s)
∂a
= Ys
(8,69)
s
(tenga en cuenta que no estamos permitiendo el transporte directo de especies de partícula sólida a
partícula sólida).
Ahora, sustituimos las ecuaciones 8.64 y 8.65 en la ecuación 8.68, dividimos por φAΔx,
y tomamos el límite cuando Δx → 0 para obtener
∂ do
∂a
∂ do
+ tú
∂
*
= D yo
incógnita
2
∂
do
−
A s
Una x
φ∆
∂ 2x
Yo
(8,70)
s
Tenga en cuenta que
=
Unssss
un
= V a ( ) 1 −∆A
φx
(8,71)
de modo que la ecuación 8.71 se puede expresar como
∂
c + tú
∂a
∂ do
∂
incógnita
*
= D yo
∂
∂
2
do
2
incógnita
−
a
− ( 1 φ ) s Yo
s
(8,72)
Machine Translated by Google
200
Fenómenos del transporte ambiental
Dejar
a
en
as
= ( 1 − φ)
(8,73)
Tenga en cuenta que av representa el área de superficie del sólido por unidad de volumen de fase fluida.
La ecuación 8.72 se puede expresar como
∂ do
∂
+ tú
∂ do
∂
= D
2
∂ do −
*
yo
∂ 2x
incógnita
(8,74)
una empresa conjunta
Por otra parte, la ecuación 8.69 se puede escribir como
∂ do s
∂
=
(8,75)
Yo s
Las ecuaciones 8.74 y 8.75 son las ecuaciones que rigen el transporte con adsorción en
medios porosos. En el caso particular de interés, se considera que la adsorción es tan rápida que
el equilibrio se establece instantáneamente entre las fases líquida y sólida y se aplica la ecuación
8.66. Sustituyendo la ecuación 8.66 en la ecuación 8.75 se obtiene
∂ do
ecuación k
=
∂
(8,76)
Yo s
Esta expresión para el flujo de adsorción se puede sustituir en la ecuación 8.74.
Después de las manipulaciones, la ecuación resultante se puede escribir como
∂ do
∂
+
tú
∂ do
R ∂
=
D
incógnita
*
yo
R
2
∂ do
(8,77)
∂ 2x
dónde
RK = + 1 eqav
(8,78)
Obsérvese que la ecuación 8.77 es matemáticamente idéntica a la ecuación que rige la
dispersión *pasiva (ecuación 8.43). La única diferencia es que los coeficientes (u y DL
) aparecen divididos por el parámetro R > 1. Por tanto, el transporte de especies en
este caso se asemeja a la dispersión pasiva, pero con menor velocidad y dispersividad.
Por esta razón, el parámetro R se denomina factor de retardo. La similitud matemática nos
permite aplicar soluciones de la ecuación 8.43 a este proceso. Por ejemplo, para el caso de un
lecho largo que inicialmente no contiene ningún contaminante al que se alimenta una concentración
c0 después de t = 0, se aplican las condiciones dadas por las ecuaciones 8.44 a 8.46, y la solución
se obtiene modificando la ecuación 8.47; es decir,
do
do 0
=
1
2
erfc
− xut/R
*
2 Dt/R
yo
1
ux
+2* exp
D yo
erfc
+
xut/R
2 D
*
Izquierda/Derecha
(8,79)
Machine Translated by Google
201
Transporte en sistemas multifásicos
1
0.9
0,8
0,7
R=1
R=2
0.6
c/c0
0,5
0,4
0.3
0,2
0,1
0
200 300 400 500 600 700 800 900 1000 1100 1200 1300 1400 1500
yo (yo)
FIGURA 8.13 Curvas de ruptura para el ejemplo indicado en el texto para dispersión pasiva (R = 1) y adsorción
(R = 2). Las flechas representan los tiempos de residencia de las especies en el lecho.
A modo de ejemplo, considérese un lecho lleno de esferas de tamaño monodisperso
con d = 0,1 cm y una porosidad π = 0,4, a través del cual fluye un líquido a u = 0,1 cm/s.
La difusividad del contaminante en el líquido es D = 1 × 10−5 cm2/s y nos gustaría
determinar la concentración en función del tiempo en x = 50 cm para: (a) dispersión
pasiva, (b) adsorción lineal en equilibrio con R = 2. Primero, estimamos la
dispersividad longitudinal. Para ello, calculamos el número de Peclet mediante la ecuación 8.32:
tú π
Pe =
Dp (1 )
−
=
)π
× 04
×
01...01
10− 5 × 0 .6
= 6667
(8,80)
De la Figura 8.8 encontramos
D *yo
D
≈
4
10
2
D *yo = 0 1 cm/s
(8,81)
Ahora, evaluamos la concentración en función del tiempo en x = 50 cm desde
Ecuación 8.79. Los resultados se presentan en la Figura 8.13.
8.5.2 ADSORCIÓN DE EQUILIBRIO EN MEDIOS POROSOS : EQUILIBRIO NO LINEAL
El análisis presentado anteriormente se puede generalizar a cualquier isoterma de adsorción de la
siguiente manera. Primero, se reemplaza la ecuación 8.66 por la expresión más general
c F ˆs = ( ) c
(8,82)
Machine Translated by Google
202
Fenómenos del transporte ambiental
donde F representa la isoterma de adsorción. Ahora, tomamos la derivada temporal de esta ecuación y
empleamos la regla de la cadena para obtener
ˆ
∂ do s
=
∂
dF ∂ do
corriente continua
a
∂
∂ do
= Fc" ( )
∂ a
(8,83)
Sustituyendo esta ecuación en la ecuación 8.75 obtenemos
F ′(c ) ∂
∂ do
=
t
(8,84)
Js
Ahora, sustituimos esta ecuación en la ecuación 8.62 y la reorganizamos para obtener
*
∂ do
∂
∂ do
tú
+
[ 1 +( a Fen c
"
)]
∂
D yo
=
[ 1+
a F cen
incógnita
∂
"
( )]
2
do
∂ 2x
(8,85)
lo cual puede interpretarse como un proceso con un factor de retardo que depende de la concentración. La
naturaleza no lineal de la ecuación diferencial 8.85 implica que se requiere un método numérico para su
solución.
8.5.3 TRANSPORTE EN MEDIOS POROSOS CON ADSORCIÓN DE VELOCIDAD LIMITADA
Y/O REACCIÓN QUÍMICA
Consideremos un proceso en el que las especies transportadas se adsorben en la fase sólida, pero ahora la
adsorción es lenta, por lo que su velocidad debe considerarse en el análisis.
Físicamente, esto significa que las fases líquida y sólida no alcanzan el equilibrio.
En este caso, los balances representados por las ecuaciones 8.74 y 8.75 aún se aplican, y se necesita una
ecuación constitutiva para representar el flujo de adsorción, Js; es decir, se necesita la cinética del proceso
de adsorción. Seguimos asumiendo que no hay limitaciones de transferencia de masa en la fase fluida.
Consideremos el caso en el que la adsorción es reversible y la expresión cinética es de primer orden tanto
para las tasas de adsorción como de desorción:
J sk =ds
ck − a
(8,86)
do
donde ka y ks son las constantes de velocidad de adsorción y desorción, respectivamente. Las ecuaciones
8.74 y 8.75 se convierten en
∂ do
∂
+ tú
∂ do
∂
incógnita
*
= D yo
∂
2
do
∂ 2x
−
−
Virginia
( ak
c kd cs )
(8,87)
Machine Translated by Google
203
Transporte en sistemas multifásicos
ˆ
∂ do
s
∂
ˆ
= kckc ds−
(8,88)
a
Estas dos ecuaciones diferenciales
tendrían que resolverse numéricamente para encontrar
ˆ
.
simultáneamente c(t,x) y c ( t,x)
s
Un caso particular ocurre cuando la tasa de adsorción es mucho más rápida que la tasa
de desorción. Esto podría ser una consecuencia de: (i) la partición de las especies
transferidas favorece al sólido, (ii) el proceso de adsorción está lejos del equilibrio (el
problema se está analizando en una escala de tiempo para la cual cˆs es tan pequeño que
la tasa de desorción es despreciable), o (iii) la adsorción es irreversible. En este caso
podemos despreciar la tasa de desorción en la Ecuación 8.87 y la ecuación gobernante
para la concentración del fluido se desacopla de la ecuación para la concentración del sólido.
ción; es decir,
∂ do
∂
+ tú
∂ do
∂
= D*
yo
incógnita
∂ 2 do −
∂ 2x
(8,89)
un kv un do
Obsérvese que esta es la misma ecuación que se obtendría para el caso en que se
produjera una reacción química de primer orden que implicara la desaparición de las
especies transportadas en la superficie de la fase sólida (reacción catalítica). Asimismo, si
las especies transportadas se sometieran a una reacción química homogénea de primer
orden en la fase líquida, se obtendría una ecuación similar, reemplazando avka por la
constante de velocidad cinética de la reacción homogénea.
Ecuación 8.89 sujeta a las condiciones iniciales y de contorno dadas por las ecuaciones
8.44 a 8.46 tienen la siguiente solución analítica:
do
do
0
=
1
(
xu−
alfa )
*
2
D
exp 2
− xt
erfc
αx
alfa
+ exp
*
2 El o
yo
D*
erfc
yo
yo
xt + α
2 El*o
(8,90)
yo
dónde
2α = u
*
4 a + kDL ­es
Virginia
(8,91)
Nótese que cuando t → ∞ se obtiene el siguiente perfil de concentración en estado estacionario
(recuerde que erfc(∞) = 0, erfc(−∞) = 2)
=
C.C.
0 (
xu−
2
exp
alfa )
*
, estado estable
(8,92)
DESCARGAR
La concentración en estado estacionario es una función monótonamente decreciente de x
(nótese que α > u).
Machine Translated by Google
204
Fenómenos del transporte ambiental
1
0.9
avka = 0
0,8
avka = 5,03 × 10–4 s–1
0,7
0.6
c/c0
0,5
0,4
avka = 2,56 × 10–3 s–1
0.3
0,2
0,1
0
200
300
400
500
600
700
800
900
1000
yo (yo)
FIGURA 8.14 Curvas de ruptura para el ejemplo considerado en la Figura 8.13 con y sin
adsorción/reacción irreversible a las velocidades indicadas.
La figura 8.14 muestra gráficos de concentración adimensional en x = 50 cm para el ejemplo
tratado anteriormente (figura 8.13) y varios valores del parámetro de reacción/adsorción. La
concentración en estado estacionario disminuye a medida que aumenta la velocidad de reacción,
como se esperaba.
8.5.4 ADSORCIÓN Y REACCIÓN EN MEDIOS POROSOS CON MASA
LIMITACIONES DE TRANSFERENCIA
Todos los casos analizados hasta ahora sobre interacciones fluido/sólido han supuesto que la
superficie del sólido está expuesta al líquido en su concentración másica (intersticial). Si los procesos
que ocurren en la interfaz fluido/sólido son lo suficientemente rápidos, se puede generar un gradiente
de concentración en la fase del fluido a nivel de los poros. Esencialmente, esto significaría que la
mezcla en el fluido a nivel de los poros no es perfecta y que las limitaciones locales de transferencia
de masa desempeñarán un papel en la descripción del transporte.
Existen dos tipos importantes de limitaciones de transferencia de masa: la transferencia de masa
por convección en el espacio intersticial, que transporta especies desde el fluido a granel hasta la
superficie del sólido, y, en el caso de partículas con porosidad interna, la difusión de especies desde
la superficie de las partículas hasta el espacio poroso interno. Consideraremos ambos casos por separado.
8.5.4.1 Limitaciones de la transferencia de masa: convección a nivel de poro
El balance general de moles (masa) para la fase fluida todavía se representa mediante la ecuación
8.74 para el flujo unidimensional en un medio poroso. Las limitaciones de transferencia de masa se
reflejarán en la elección de la ecuación para representar el flujo . Aquí, utilizaremos un coeficiente de
transferencia de masa convectivo para representar el flujo. Sea cs la concentración de
Machine Translated by Google
205
Transporte en sistemas multifásicos
especies transferidas en el fluido en la proximidad inmediata de la fase sólida. Podemos expresar el
flujo como
(
J k = cc − s
pequeño
)
(8,93)
donde km es el coeficiente de transferencia de masa por convección. La ecuación 8.74 se puede escribir como
∂ do
∂
+ tú
∂ do
∂
∂ 2 do
= D*
yo
−
−
un kv m ( ) c cs
∂ 2x
incógnita
(8,94)
Además, necesitamos una ecuación que rija el cs. Aquí, supondremos que el fluido adyacente a la
fase sólida alcanza un equilibrio instantáneo con la superficie sólida. Consideraremos el caso de una
isoterma de adsorción lineal, de modo que
c K =ˆs
(8,95)
c
ecualizaciones
Un balance de especies en la fase sólida se da mediante la Ecuación 8.75, que, después de
combinarla con la Ecuación 8.95, se convierte en
ˆ
∂ do s
=
∂
−
(8,96)
(kcc­español:kccs )
metro
Utilizando la ecuación 8.95, la ecuación 8.96 se puede escribir de la siguiente manera:
∂ do s
=
∂
a
metro
K
−
( ccs
)
(8,97)
ecualizador
Las ecuaciones 8.94 y 8.95, junto con las condiciones iniciales y de contorno adecuadas, representan
la formulación del problema, que debería resolverse numéricamente. Nótese que esta formulación es
matemáticamente similar al problema de adsorción reversible en condiciones de no equilibrio tratado
anteriormente (ecuaciones 8.87 y 8.88).
Si la adsorción es irreversible y rápida (en comparación con la tasa de transferencia de masa), o si
la especie transferida es consumida por una reacción química que ocurre en la superficie del sólido, y
la reacción es rápida, tendremos cs = 0 y la ecuación 8.94 simplemente se resume en
∂ do
∂
+ tú
∂ do
∂
= D*
yo
incógnita
∂ 2 do
∂ 2x
−
un kv mc
(8,98)
Esta ecuación es matemáticamente idéntica a la ecuación 8.89, por lo que se aplica la solución
dada por la ecuación 8.90, reemplazando ka por km. La analogía matemática plantea una cuestión
importante. Supongamos que la reacción química que ocurre en la superficie del sólido es de primer
orden. Si la cinética de la reacción y el coeficiente de transferencia de masa son
desconocido, ¿cómo podemos decidir si el proceso está limitado por transferencia de masa o por
reacción? Respuesta: La ecuación 8.90 se puede ajustar a los datos independientemente de qué proceso
Machine Translated by Google
206
Fenómenos del transporte ambiental
ocurre. Si el proceso está limitado por la reacción, la constante de ajuste (ka en la ecuación 8.89) sería
la constante de velocidad cinética de primer orden, y si el proceso está controlado por transferencia de
masa, entonces la constante de ajuste sería el coeficiente de transferencia de masa. El valor de km debe
depender de la velocidad del fluido; de hecho, uno esperaría que las limitaciones de transferencia de
masa desaparezcan eventualmente (es decir, km → ∞) si la velocidad del fluido es lo suficientemente
alta. Uno podría llevar a cabo una serie de experimentos para varias velocidades del fluido y encontrar
la constante de ajuste. Si su valor no cambia con la velocidad del fluido, entonces la constante de ajuste
representaría una velocidad cinética. De lo contrario, representaría un coeficiente de transferencia de masa.
8.5.4.2 Limitaciones de la transferencia de masa: difusión intrapartícula
Un gran número de procesos de transporte en medios porosos que tratan con reacciones catalíticas o
de adsorción se llevan a cabo utilizando partículas sólidas porosas, ya que la porosidad interna aumenta
sustancialmente el área superficial de la fase sólida. En estos casos, el transporte dentro de la partícula
se produce únicamente por difusión y este es típicamente un paso limitante de la velocidad en el proceso.
Una forma conveniente de tratar la difusión intrapartícula es mediante el uso del factor de efectividad. En
general, la definición de factor de efectividad para una partícula sólida rodeada por un fluido es
{ Tasa de consumo de especies
η=
(moles por unidad de tiempo) en la partícula
}
Tasa de consumo de especies que serían
obtenido si el co
Concentración de especies en la partícula.
(8,99)
eran uniformes e iguales a la concentración superficial
Para una reacción irreversible de primer orden sin limitaciones de transferencia de masa externa,
Esta definición implica que
Yo
s
= ηc k
(8.100)
donde k es la constante de velocidad cinética heterogénea. La ecuación 8.74 se convierte entonces en
∂ do
∂
+ tú
∂ do
∂
*
= D yo
incógnita
∂
2
do
∂ 2x
− akc
en η
(8.101)
Una vez más, esta ecuación es matemáticamente idéntica a la ecuación 8.89, siempre que el factor
de efectividad sea independiente de la concentración. Para las reacciones de primer orden se puede
demostrar que (véase el análisis del transporte en una película biológica en el Capítulo 6)
η η = (geometría de partículas, ) πT
(8.102)
donde πT es el módulo de Thiele, definido como
ℓπT=
a
D eff
(8.103)
Machine Translated by Google
207
Transporte en sistemas multifásicos
Aquí, ℓ es una longitud característica de la partícula del catalizador y Deff es la difusividad efectiva de
las especies transportadas en la partícula del catalizador.
La ecuación 8.101 que rige el proceso es idéntica a las ecuaciones 8.89 y 8.98, pero el significado físico
de la constante en el término de sumidero es diferente. Una prueba experimental para corroborar si las
limitaciones de difusión interna controlan el proceso implicaría llevar a cabo experimentos en los que se
cambie el factor de efectividad. Por ejemplo, esto podría lograrse modificando el tamaño de partícula (ℓ).
PROBLEMAS
8.1 Los investigadores han desarrollado un nuevo sorbente a base de hidróxido de hierro para
eliminar el arsénico del agua potable. Para demostrar la tecnología, realizaron un experimento
de adsorción en lecho empacado. El sorbente consiste en partículas sólidas esféricas no
porosas con un diámetro promedio de 2 mm. La porosidad del lecho es de 0,4. La longitud del
lecho es de 50 cm. La especie a adsorber es el ion arseniato, que tiene una difusividad en agua
aproximadamente igual a 10−5 cm2/s. La velocidad superficial utilizada en el experimento es
de 1 cm/s. El experimento consiste en alimentar continuamente el lecho con una muestra de
agua con un contenido de arsénico particularmente alto: 100 μg/L (el estándar de la EPA para
el arsénico en el agua potable es de 10 μg/L). Cuando finalice el experimento, los desarrolladores
del sorbente harán las siguientes afirmaciones, basadas en observaciones experimentales y
datos obtenidos:
Afirmación 1: No hubo limitaciones de transferencia de masa en el experimento y la
adsorción está gobernada por el equilibrio lineal.
Afirmación 2: La fuga de arsénico del lecho se produjo a un volumen de 17.000 lechos.
Reivindicación 3: El experimento finalizó en 23.000 volúmenes de lecho, momento en el
que la concentración de salida fue de 10 μg/L.
El número de volúmenes del lecho (B) se define como la relación entre el volumen total de
solución que ha pasado a través del lecho desde t = 0 hasta un tiempo dado y el volumen total
del lecho; es decir,
B =
Qt
V
donde Q es el caudal volumétrico.
El punto de ruptura se define como el tiempo durante el cual la concentración de salida
La concentración alcanza el 1% de la concentración del alimento.
Utilice la Figura 8.8 para estimar la difusividad longitudinal efectiva.
a. A partir de los supuestos basados en la reivindicación 1 y la información de la
reivindicación 2, estime el coeficiente de partición del arseniato entre el agua y el
sólido (Keq).
b. ¿Puede usted corroborar la afirmación 3?
8.2 Nuestro objetivo es simular la separación de dos solutos A y B en una columna de cromatografía
líquida. La columna es un lecho (π = 0,5) lleno de
Machine Translated by Google
208
Fenómenos del transporte ambiental
esferas (d = 1 mm) y una longitud total L = 2 m. Un líquido portador fluye
continuamente a través de la columna. En t = 0, se inyecta un chorro de líquido
que contiene el mismo número de moles de A y B (n = 1 mol de cada uno) en el
fluido portador a la entrada de la columna (x = 0). El fluido portador fluye a
través de la columna a una velocidad media de fase intrínseca u = 1 cm/s. La
difusividad de ambos solutos es la misma: DA = DB = 10−5 cm2/s. El área de la
sección transversal de la columna abierta al fluido es Af = 0,1 cm2.
Ambos solutos experimentan una adsorción de equilibrio en la superficie sólida. La
solución de la ecuación de convección­dispersión para la condición de entrada
considerada aquí es
do
=
nxR
2uADt/R
π L* 3
F
exp
−
2
R
*
4D en
yo
incógnita
−
Utah
R
Los factores de retardo son: RA = 3, RB = 8.
a. Grafique cA y cB vs. t (en el mismo gráfico) en la salida de la columna.
b. El tiempo de elución pico (te) es el tiempo en el que la concentración de soluto a la
salida alcanza un máximo en función del tiempo. Encuentre una expresión para calcular
el tiempo de elución pico de un soluto (verifique su resultado con los gráficos de la parte
1).
Machine Translated by Google
Referencias
Adler PM, Medios porosos. Geometría y transportes, Butterworth­Heinemann, Boston, 1992.
Bird RB, Stewart WE, Lightfoot EN, Fenómenos de transporte, John Wiley & Sons, Nueva York,
2da edición, 2007.
Brown R, Una breve descripción de las observaciones microscópicas realizadas sobre las partículas contenidas en el
polen de plantas, Philos Mag, 4, 161–173, 1828.
Chen CL, JH Wu, IC Tseng, TM Liang, WT Liu, Caracterización de microbios activos en un reactor de lecho
fluidizado anaeróbico a gran escala que trata aguas residuales fenólicas, Microbes Environ, 24, 144–153,
2009.
Clark MM, Modelado de transporte para ingenieros y científicos ambientales, John Wiley & Sons, Nueva York, 1996.
Cussler EL, Difusión. Transferencia de masa en sistemas de fluidos, Cambridge University Press,
Cambridge, 2ª ed., 1997.
Das S, Bhantia AK, Adhikari B, Eliminación de contaminantes orgánicos volátiles clorados del agua mediante
pervaporación utilizando una nueva membrana de red interpenetrante de poliuretano urea­poli
(metilmetacrilato), Chem Eng Sci, 61, 6454–6467, 2006.
Einstein A, Investigaciones sobre la teoría del movimiento browniano, editado con notas de
R. Fürth, Publicaciones de Dover, Nueva York, 1956.
EPA, Tecnología de pervaporación de flujo cruzado, EPA/540/R­95/511, 1998.
Felder RN, Rousseau RW, Principios elementales de los procesos químicos, John Wiley & Sons, Nueva York, 2005.
Fick A, Sobre la difusión líquida, Poggendorff's Annalen, 94, 59–86, 1855a, reimpreso en J Membr Sci, 100, 33–38,
1995.
Fick A, Sobre la difusión de líquidos, Philos Mag, 10, 30–39, 1855b, reimpreso en J Membr Sci, 100,
33–38, 1995.
Geankoplis CJ, Procesos de transporte y principios del proceso de separación, Prentice Hall, Englewood Cliffs,
Nueva Jersey, 1993.
Gupta SC, El problema clásico de Stefan, Elsevier, Ámsterdam, 2003.
Kim KS, Kwon TS, Yang JS, Eliminación simultánea de contaminantes clorados por pervaporación para la
reutilización de un surfactante, Desalination, 205, 87–96, 2007.
Kreyszig E, Matemáticas de ingeniería avanzada, John Wiley & Sons, Nueva York, 1999.
Philibert J, Un siglo y medio de difusión: Fick, Einstein, antes y más allá, Difusión
Fundam, 4, 6.1–6.19, 2006.
Reid RC, Pransuitz JM y Poling BE, Las propiedades de los gases y los líquidos, McGraw­Hill, Nueva York, 1987.
Rubinstein LI, El problema de Stefan, Traducciones de monografías matemáticas 27, American
Sociedad Matemática, Providence, RI, 1971.
Smoluchowski MM, Essai d'une théorie cinétique du muovement Brownien et des milieux problems, Bull Int Acad Sci
Cracovie, 577–602, 1906.
Whitacre DM, Reseñas de contaminación ambiental y toxicología, Springer, Nueva York,
2013.
Whitaker S, El método de promediado de volumen, Kluwer, Dordrecht, Países Bajos, 1999.
White FM, Mecánica de fluidos, McGraw­Hill, Nueva York, 2.a ed., 1986.
209
Machine Translated by Google
Machine Translated by Google
Apéndice A: Vectores y
Operaciones vectoriales
Aquí nos ocupamos principalmente de cantidades físicas intensivas o puntuales que
representan una propiedad física de un material y que pueden definirse en cada punto del espacio.
Las magnitudes físicas que se caracterizan por números se denominan escalares. Por ejemplo, la
temperatura de un material se conoce completamente especificando su valor en una escala de
temperatura específica. Las magnitudes físicas que requieren un valor y una dirección en el espacio
se denominan vectores. Denotaremos vectores mediante símbolos en negrita. Por ejemplo, la
velocidad de un material en un punto se especifica mediante el vector de velocidad, v. Los vectores
se pueden representar en términos de sus componentes con respecto a un sistema de coordenadas.
Por ejemplo, un vector (Figura A.1) se puede expresar de la siguiente manera.
+ aaa ae = e xx yy
mi +zzz
(A.1)
donde ax, ay y az son los componentes del vector, y ex, ey y ez son vectores unitarios que
representan las tres direcciones independientes en el espacio x, y y z, según lo definido por
el conjunto particular de coordenadas.
Alternativamente, un vector se puede especificar dando su magnitud,
222 + +
a = = a aaa y
incógnita
el
(A.2)
y su dirección en el espacio. Los vectores con magnitud unitaria se denominan vectores unitarios.
Las operaciones vectoriales importantes son las siguientes.
A.1 PRODUCTO ESCALAR (PUNTO) ENTRE DOS VECTORES
El producto escalar entre dos vectores se puede representar matemáticamente de dos
maneras equivalentes. En primer lugar, es igual a la suma de los productos de los
componentes de los vectores:
ab
= ab
xx yy
+ + una bz z
(A.3)
El producto escalar también se puede expresar como
a
b = ab cos θ
(A.4)
211
Machine Translated by Google
212
Apéndice A
el
a
es
y
Hola
ex
incógnita
FIGURA A.1 Un vector (a) en un sistema de coordenadas rectangulares.
a
θ
b
FIGURA A.2 Dos vectores en el espacio forman un ángulo θ entre ellos.
donde θ es el ángulo entre los dos vectores (Figura A.2). Nótese que el producto
escalar entre un vector y él mismo (θ = 0) es el cuadrado de su magnitud. Nótese
también que el producto escalar entre dos vectores perpendiculares es cero.
Por construcción, debe entenderse que el producto escalar representa la
proyección de un vector sobre la dirección especificada por el otro.
A.2 PRODUCTO VECTORIAL (CRUZADO) ENTRE DOS VECTORES
En términos de componentes, el producto vectorial entre dos vectores se puede expresar en
términos de un determinante,
eee
y
el
aaa
y
el
bbbb y
el
incógnita
×=
desde
incógnita
incógnita
(A.5)
En forma desarrollada, el determinante es
ab ×= e
yo
( a) por
+ ezz(baay
bxz a bx
y z ( )
−− −
incógnita
b eje z
y
− b ejey )
(A.6)
Nótese que el producto vectorial entre dos vectores es otro vector. Alternativamente,
La magnitud del producto vectorial es
Machine Translated by Google
213
Apéndice A
ab × = absinaθ
(A.7)
y la dirección de a × b es perpendicular tanto a a como a b (es decir, perpendicular al plano formado por los
vectores a y b) con dirección dada por la regla de la mano derecha.
Tenga en cuenta que el producto vectorial entre un vector y él mismo es cero.
A.3 OPERACIONES DIFERENCIALES
Las magnitudes físicas (escalares o vectoriales) pueden ser una función de la posición y el tiempo. Por
ejemplo, una magnitud escalar f puede expresarse como f = f(t,x,y,z) en un sistema de coordenadas
rectangulares. Las variaciones espaciales de f pueden cuantificarse mediante el gradiente de f, definido por
∂F
∂= f
ex
∂F
+
incógnita
+
y
∂yy
∂F
∂z
(A.8)
es
El gradiente de la cantidad escalar se puede utilizar para determinar la tasa de cambio de la
cantidad en una dirección dada en el espacio. Para especificar una dirección, podemos utilizar un
vector unitario n que apunte en la dirección en cuestión. La tasa de cambio de la cantidad se denomina
derivada direccional y se calcula a partir de
∂F
∂
=
∂F
= fn
norte
incógnita
norte
∂
∂F
+
norte
y
+
∂y
incógnita
∂F
norte
el
(A.9)
∂ el
Para un campo vectorial que es función de la posición y el tiempo, v(t,x,y,z), la divergencia
del campo vectorial se define por
en= ∂
∂ en
incógnita
∂ en y
+
∂y
incógnita
+
∂ en el
(A.10)
∂ el
Tenga en cuenta que la divergencia es una función escalar de la posición y el tiempo.
El rizo de un campo vectorial se define mediante
mi
yo
incógnita
es
y
× v = ∂ ∂ ∂∂///∂ xyz
∂
en
(A.11)
V
incógnita
y
por cierto
En forma expandida esta ecuación es
× =ex
v
∂ enel
∂y
−
∂ en y
∂ el
∂ en el
yo
−
y
∂
incógnita
−
∂ en
∂ en y
incógnita
∂ el
+
mi el
∂
incógnita
−
∂ en
incógnita
∂y
(A.12)
Machine Translated by Google
Machine Translated by Google
Apéndice B: La Continuidad
Ecuación
En el Capítulo 2, utilizamos el principio de conservación de la masa para derivar el balance de masa
macroscópico. Aquí, buscaremos la consecuencia de la conservación de la masa en cada punto de un
fluido. El resultado final será una ecuación que se aplica en cada punto, denominada ecuación de
continuidad. Comenzamos definiendo el volumen de control que se muestra en la Figura B.1: un
paralelepípedo de lados Δx × Δy × Δz. Ahora, escribimos un balance de masa instantáneo:
Cambio de la masa total en el
}−{
= { Caudal másico de entrada Caudal másico de salida
volumen de control por unidad de tiempo
}
(acumulación)
(B.1)
La tasa de cambio temporal de la masa total se puede expresar en términos de la densidad del fluido
de la siguiente manera:
{ La tasa de cambio temporal de la} = dM = d ρ (ρ) ∆∆∆
xyz xyz
∆∆∆dt=∂ t
masa total en un volumen de control
∂
(B.2)
es
donde el uso de la derivada parcial para la densidad refleja el hecho de que puede depender
de la posición y el tiempo. Para evaluar los caudales de masa que entran y salen del volumen
de control, tenemos que considerar los caudales de masa que cruzan cada una de las seis
superficies que delimitan el volumen de control: el caudal de masa a través de cada superficie
es ρv ΔA, donde v es el componente de la velocidad del fluido perpendicular a la
superficie (que representa el fluido que cruza la superficie) y ΔA el área de la superficie. Cada
caudal de masa se representa en la Figura B.2. En consecuencia, el lado derecho de la
Ecuación B.1 se puede expresar como
neto
a la que la masa
{ La velocidad
entra
el volumen de control
}=
∆∆xzvxy
∆∆ + ρ el el
∆∆ρ
vyz + ρ v yy
incógnita
incógnita
−
vx
xx+ ∆
−
∆∆yzv∆∆
ρρρ
y ∆ yy
+
xzvz
−
zzz
+ ∆
∆∆xy
(B.3)
Sustituyendo las ecuaciones B.2 y B.3 en la ecuación B.1 y dividiendo por ΔxΔyΔz se
obtiene
215
Machine Translated by Google
216
Apéndice B
incógnita
el
x + ∆x
x + ∆z
y
incógnita
el
y
y+∆y
FIGURA B.1 Volumen de control de tamaño diferencial utilizado en la aplicación de la conservación de masa.
pvz| z+∆x∆y
∆z
incógnita
es
∆ y∆ z
incógnita
z + ∆z
ver | y
x + ∆x
∆x∆z
ver | y+∆ y
∆x∆z
es x+∆∆xy∆ z
el
y
pvz| el∆x∆y
y+∆y
FIGURA B.2 Caudales de masa que atraviesan cada superficie del volumen de control.
∂ρ
∂t
+
ρen
−
incógnita
xx + ∆
ρen
incógnita
incógnita
∆x
+
ρvy∆
−
+ yy
ρv yy
+
∆y
ρenel z + ∆ el
∆z
−
ρenel el
= 0 (B.4)
Ahora, tomamos el límite como Δx, Δy, Δz → 0 para obtener
∂
∂
ρ+
∂
en
incógnita
(ρ∂
incógnita
)
+
∂(ρv y )
∂y
+
∂ ( ρenel )
∂ el
= 0
(B.5)
En notación vectorial, esta ecuación se puede escribir utilizando el operador de divergencia (ver
Apéndice A) como sigue:
Machine Translated by Google
217
Apéndice B
∂
=
ρ+
(B.6)
()v0ρ∂t
Esta es la ecuación de continuidad, que es el principio de conservación de la masa.
aplicado a un punto en el continuo del fluido.
En muchas aplicaciones, la densidad del fluido puede considerarse constante y uniforme. La
mayoría de los flujos isotérmicos de líquidos y algunos flujos de gases con cambios moderados
de presión seguirán este comportamiento. Estos flujos, en los que un volumen dado de fluido
siempre contiene la misma masa, se denominan flujos incompresibles. En este caso, la
ecuación de continuidad se simplifica de la siguiente manera:
∂
ρ=
0, =
= ( v ) 0en
ρρ∂t
en
, flujos incompresibles
(B.7)
En coordenadas rectangulares (cartesianas), esta ecuación se lee
∂ en
incógnita
∂
incógnita
+
∂ en
y
∂y
+
∂ enel
∂ el
= 0
(B.8)
Machine Translated by Google
Machine Translated by Google
Apéndice C: Transferencia de masa
Ecuaciones de puntos
C.1 SISTEMAS BINARIOS
Ecuación de continuidad de la especie A:
∂ do A
+
∂
R
=
N/A
(C.1)
Ecuación de flujo molar:
norte
A
= yA
(
norte
*
A + + Nueva
B )Jersey A
(C.2)
Ley de Fick:
*
= − cd A
Y
(C.3)
incógnita
licenciado en Letras
C.1.1 ESPECIE A ECUACIÓN DE CONTINUIDAD EN DIFERENTES SISTEMAS DE COORDENADAS
Rectangular:
∂ do A
∂ norte
Hacha +
∂
∂
∂ norte Sí
+
+
∂y
incógnita
∂ norte
Arizona
∂ el
= RA
(C.4)
Cilíndrico:
∂ do A
+
∂
1 (∂rN
a
Ar ) 1
∂a
+
∂ Enero 2016
∂
+
∂θ
∂ el
Una θ
a
Arizona
= RA
(C.5)
Esférico:
∂ do A
∂
+
1 ∂ 2(rN
a
2
∂a
Arkansas
)
+
1
θ )
∂ ( norte Una pecado
a pecado θ
θ∂θ
+
1
∂ norte A φ
a pecado θ
∂φ
= RA
(C.6)
219
Machine Translated by Google
220
Apéndice C
C.1.2 COMPONENTES DEL VECTOR DE FLUJO DIFUSO EN DISTINTAS COORDENADAS
SISTEMAS (LEY DE FICK )
Rectangular:
Yo
*** A = −
∂
cd De
Hacha
incógnita
∂
A
Yo
=−
Sí
∂
cd De
incógnita
A
Yo
∂y
incógnita
∂
cd De
=−
Arizona
incógnita
(C.7)
∂ el
Cilíndrico:
*
∂
cd De
=−
Yo
Arkansas
incógnita
A
Yo
∂a
*
Aθ
=−
=−
cd De
1∂
cd De
incógnita
*
A
Yo
a ∂θ
∂
cd De
=−
Arizona
incógnita
A
(C.8)
∂ el
Esférico:
*
=−
Yo
Arkansas
∂
cd De
incógnita
A
Yo
∂a
*
Aθ
1∂
incógnita
*
A
Yo
a ∂θ
=−
Arizona
cd AB
1
∂
a θ
sen
incógnita
A
(C.9)
∂ el
C.1.3 ESPECIE A ECUACIÓN DE CONTINUIDAD PARA C Y DA CONSTANTES EN UNA SOLUCIÓN DILUIDA
SISTEMA (ECUACIÓN DE CONVECCIÓN­DIFUSIÓN )
∂ do A
=cDcR
A +
+ en
∂
2
A
(C.10)
Automóvil club británico
Rectangular:
∂ do A
∂
∂ do A
+ en
incógnita
∂
+ en
∂ do A
y
incógnita
+ enel
∂y
∂ do A
∂ 2 do AAA + ∂ 2 do
= D
A
∂ el
∂
2
∂y
incógnita
+
2
∂ 2 do
∂ el2
+ RA (C.11)
Cilíndrico:
∂ do A
∂
+ ena
∂ do A
∂a
+
en
θ
a
∂ do A
∂θ
+ enel
∂ do A
∂ el
= D
De
1
∂
rr ∂
a
∂ do A
∂a
∂2cA
+
12
a
∂ θ2
+
∂ 2 do A
∂ el2
+
RA
(C.12)
Esférico:
∂ do A
∂
+ ena
= D
De
∂ do A
∂a
+
1 ∂
rr2 ∂
θ
∂ do A
a
∂θ
en
2r
∂ do A
∂a
+
+
en
∂ do A
a θ sen
∂
1
∂
pecado
2 ∂pecado θθr
θ
1
∂ do A
∂θ
+
a2 2pecado θ
∂ 2 do A
∂
2
+
RA
(C.13)
Machine Translated by Google
221
Apéndice C
C.1.4 COMPONENTES DE LAS CONSTANTES VECTORALES DE FLUJO DIFUSIVO C Y DA
EN UN SISTEMA DILUIDO
Rectangular:
= − NORTE
DAKOTA
DEL
Hacha
A
∂ do A
∂
norte
Sí
=−
∂ do A
DA
∂y
incógnita
= − NORTE
DAKOTA
DEL
Arizona
A
∂ do A
(C.14)
∂ el
Cilíndrico:
= − NORTE
DAKOTA DEL
A
Arkansas
∂ do A
∂a
norte
Aθ
=−
DA
1 ∂ do A
a ∂θ
= − NORTE
DAKOTA
DEL
Arizona
A
∂ do A
(C.15)
∂ el
Esférico:
= − NORTE
DAKOTA DEL
A
Arkansas
∂ do A
∂a
=−
DAKOTA
A θ DEL NORTE A
1 ∂ do A
a ∂θ
norte
Un
=−
DA
1
∂ do A
a sen θ
∂
(C.16)
Machine Translated by Google
Machine Translated by Google
Apéndice D: Funciones de Bessel
La ecuación diferencial ordinaria
2
"
''() () + + ( tyt ty t
2
toneladas
2
) − ν ( ) = 0 yt
(D.1)
donde ν es una constante conocida. Esta se denomina ecuación de Bessel. Se han encontrado
soluciones de esta ecuación en términos de series de potencias y su uso se ha generalizado y se
ha vuelto estándar. La solución general de la ecuación de Bessel es
yt() = + AJ ()t POR t( )
no
no
(D.2)
donde Jν e Yν son las funciones de Bessel de orden ν del primer y segundo tipo, respectivamente.
Las funciones de Bessel tienen las siguientes propiedades:
1. Son funciones oscilantes.
2. En t = 0 satisfacen
J0(0) = 1
(D.3)
Jν(0) = 0, ν > 0
(D.4)
Yν ( ) 0 = −∞
(D.5)
3. Todos tienden asintóticamente a cero en valores grandes del argumento:
lim
( J) no=t 0
a →∞
lim
(Y
) =not 0
a →∞
(D.6)
(D.7)
Las figuras D.1 y D.2 muestran el comportamiento de algunas funciones de Bessel.
223
Machine Translated by Google
224
Apéndice D
1
v=0
0,8
1
0.6
2
3
Yv(t)
0,4
0,2
0
–0,2
–0,4
–0,6
1234
0
567
a
FIGURA D.1 Funciones de Bessel de primer tipo y orden entero.
0.6
1
v=0
0,4
2
0,2
0
Yv(t)
–0,2
–0,4
–0,6
–0,8
–1
–1.2
–1,4
0
5
1234
6
a
FIGURA D.2 Funciones de Bessel de segundo tipo y orden entero.
7
Machine Translated by Google
INGENIERÍA QUÍMICA/INGENIERÍA AMBIENTAL
Fenómenos del transporte ambiental
“Este libro de texto, escrito por profesores destacados, es un recurso muy completo para modelar y
analizar el destino ambiental de sustancias químicas y contaminantes en el ecosistema utilizando
principios fundamentales de los fenómenos de transporte”.
—Sunggyu Lee, Universidad de Ohio, Atenas, EE. UU.
Fenómenos de transporte ambiental ofrece una introducción detallada y accesible a los fenómenos de
transporte. Comienza explicando los principios y mecanismos subyacentes que rigen el transporte
masivo y continúa abordando problemas prácticos que abarcan todas las subdisciplinas de la ciencia
ambiental y la ingeniería química.
Suponiendo algunos conocimientos de ecuaciones diferenciales ordinarias y una familiaridad con las
aplicaciones básicas de la mecánica de fluidos, este texto probado en el aula:
∙ Aborda la conservación de masa y los balances de masa macroscópicos,
Poniendo especial énfasis en las aplicaciones a los procesos ambientales
∙ Cubre los fundamentos del transporte difusivo, las aplicaciones de la ecuación de difusión
y el transporte difusivo en sistemas reactivos.
∙ Analiza el transporte convectivo, la dispersión hidrodinámica y el transporte en
sistemas multifásicos.
∙ Presenta un marco matemático para formular y resolver
Problemas de los fenómenos del transporte
Fenómenos de transporte ambiental es un libro de texto ideal para un curso introductorio avanzado
de un semestre de pregrado o posgrado sobre fenómenos de transporte. Proporciona una comprensión
fundamental de cómo cuantificar la propagación y distribución de contaminantes en el medio ambiente,
así como la base para diseñar procesos relacionados con la purificación del agua, el tratamiento de
aguas residuales y la eliminación de residuos sólidos, entre otros.
Fotografía de portada cortesía de Janae Csavina
K16730
6000 Broken Sound Parkway, noroeste
Suite 300, Boca Ratón, FL 33487
711 Tercera Avenida
un negocio de información
www.crcpress.com
Nueva York, NY 10017
2 Plaza del Parque, Milton Park
Abingdon, Oxon OX14 4RN, Reino Unido
www.crcpress.com