Trabajo Práctico N° 3. Cónicas
1. Elegir 3 puntos del plano: uno en el primer cuadrante, otro en el segundo
y otro en el tercero. Cada uno de ellos es considerarlo centro de una
circunferencia. La del primer cuadrante tiene radio 2, la del segundo radio
3 y la del tercero radio 5. Graficar y escribir las ecuaciones
correspondientes a cada circunferencia.
2. Graficar la circunferencia que responde a la siguiente fórmula general:
𝑥 2 + 𝑦 2 − 8𝑥 + 6𝑦 + 16 = 0
3. Encontrar la ecuación de la elipse con vértices 𝑉 = (±4; 0) focos 𝐹 =
(±2: 0)
4. Encontrar los vértices y focos de las siguientes elipses y graficar.
a.
𝑥2
9
+
𝑦2
4
=1
b. 4𝑥 2 + 𝑦 2 = 16
c.
(𝑥−3)2
16
+
(𝑦+4)2
4
=1
𝒅. 4𝑥 2 + 9𝑦 2 − 32𝑥 − 36𝑦 + 64 = 0
5. Encontrar la ecuación de las elipses que tienen centro en el origen y
satisfacen las condiciones dadas:
a) Vértices 𝑉 = (0; ±5) y eje menor de longitud 3
b) Focos 𝐹 = (±3,0) y eje menor de longitud 2
c) Vértices 𝑉 = (0; ±6) y pasa por el
d) Excentricidad
3
4
y vértices 𝑉 = (0; ±4)
e) Eje mayor horizontal de longitud 8, eje menor de longitud 5
La elipse posee una propiedad reflexiva semejante a la de la parábola: si
un rayo de luz sonoro emana desde uno de sus focos, se refleja en el otro.
Esta propiedad se utiliza en el diseño de instrumental óptico.
Si la elipse con centro
y focos
se hace girar alrededor el eje
,
obtenemos una superficie tridimensional denominada elipsoide. La mitad
superior o inferior, así como las mitades derecha e izquierda del elipsoide se
llaman semielipsoide. Las ondas sonoras u otros impulsos emitidos desde
el foco
se reflejan fuera del elipsoide hacia el foco . Esta propiedad se
aplica en el diseño de galerías susurrantes: estructuras con techos
elipsoidales, donde dos personas que se sitúan en los focos, pueden susurrar
y escucharse claramente, siendo inaudibles los sonidos para aquellas
personas se ubiquen en cualquier otro lugar de la misma.
6. En una galería de los susurros, una persona parada en uno de los focos
está ubicada a 4 metros de la pared más cercana. Una amiga, parada en
el otro lado, está situada a 12 metros de ella. Calcular la longitud de la
galería y la altura del techo en el centro de la galería.
7. Encontrar los vértices, los focos y las ecuaciones de las asíntotas de las
siguientes hipérbolas. Graficar, mostrando las asíntotas y los focos:
a)
b)
=1
c)
=1
d)
e)
f)
8. Encontrar una ecuación para la hipérbola que tiene su centro en el
origen y satisface las condiciones dadas. Graficar:
a) Focos
y vértices
b) Focos
y vértices
c) Vértices
y asíntotas
d) Focos
y asíntotas
9. Encontrar el foco y la directriz de la parábola
y trazar su
gráfica.
10. Encontrar la ecuación de una parábola que tenga vértice en el origen, abra
a la derecha y pase por el punto
. Encontrar el foco de la parábola.
11. Encontrar la ecuación de la parábola que tiene:
a) Vértice
y directriz
b) Vértice
y directriz
c) Foco
y directriz
d) Foco
y directriz
e) Vértice
y foco
f) Vértice en el origen, simétrica respecto del eje
y que pasa por el
punto
g) Vértice en
, eje paralelo al eje
y que pasa por el punto
Una de las propiedades más utilizada de las parábolas es la de reflexión.
Por ejemplo, la forma del espejo de un reflector se obtiene al hacer girar una
parábola alrededor de su eje. Se dice que la superficie tridimensional
resultante es generada por una parábola y se denomina paraboloide. El
foco del paraboloide es el mismo que el foco de la parábola generadora. Si
una fuente luminosa se coloca en él, entonces, por una ley de la física (el
ángulo de reflexión es igual al ángulo de incidencia) un haz de luz se refleja
a lo largo de una recta paralela al eje.
El mismo principio se aplica a la construcción de espejos para telescopios u
hornos solares. Un haz de luz que incide en el espejo parabólico en forma
paralela al eje se reflejará hacia el foco. Antenas para sistemas de radar,
radiotelescopios y micrófonos de campo utilizados en los partidos de fútbol
también hacen uso de esta propiedad.
12. El interior de la antena de TV por satélite es un disco con forma de
paraboloide de diámetro 12 pies y profundidad de 2 pies, como se muestra
en la figura. Encontrar la distancia desde el centro del disco hasta el foco.
13. Un disco receptor de sonido usado en eventos deportivos al aire libre se
construye en forma de paraboloide, con su foco a 5 pulgadas del vértice.
Determinar el ancho del disco si la profundidad mide 2 pies.
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