Sistemas Eléctricos de Potencia: Libro de texto

SISTEMAS ELECTRICOS
DE POTENCIA
SISTEMAS ELECTRICOS
DE POTENCIA
Syed A. Nasar, Ph. D.
Profesor de lngenieria Electrica
Universidad de Kentucky
Traduccion:
Graciela Bribiesca Correa
lngeniera Mecanica Electricista
Facultad de Ingenieria, UNAM
Revision Tecnica:
Roberto Macias Perez
lngeniero Mecanico Electricista
Facultad de Ingenieria, UNAM
Jefe del departamento de Comunicaciones y Electronics
Facultad de Ingenieria, UNAM
McGRAW-HILL
MEXICO
BOGOTA BUENOS AlRES CARACAS GUATEMALA
LISBOA
MADRID NUEVA YORK PANAMA SAN JUAN SANTIAGO SAO PAUL0
AUCKLAND HAMBURGO LONDRES MIL~N MONTREAL NUEVA DELHI
PAR~S SAN FRANCISCO SJNGAPUR ST. LOUIS
SIDNEY TOKIO TORONTO
SYED A. NASAR recibio el grado de Doctor en lngenieria Electrica por la Universidad de California
en Berkeley. Es profesor de lngenieria Electrica en la Universidad de Kentucky en Lexington, ha
estado involucrado en la enseiianza, investigacion y consultoria sobre maquinas electricas por
mAs de 25 alios. EI es autor de 2 libros de Schaum, Mdquinas electricas y electromecdnicas e
lngenieria bhsica elbctrica. Es tambibn autor y coautor de 19 libros y mas de 100 articulos tecnicos, y e s e l editor de la revista mensual MAqrlinas El&ctricas y Sistemas de Potencia. El Doctor Nasar recibio la condecoracion Aurel Vlaicu de la Academia Rumanian de Ciencias en 1978
por sus contribuciones sobre maquinas lineales. Es miembro del IEEE, del IEE en Londres y del
Eta Kappa Nu y S i g m a Xi.
Prohibida la reproduccion total o parcial de esta obra
por cualquier rnedio, sin autorizacion escrita del editor.
DERECHOS RESERVADOS @ 1991, respecto a la primera edicion en espaiiol por
McGRAW-HILL-INTERAMERICANA DE MEXICO, S. A. de C. V.
Atlacomulco 499-501, Fracc. Ind. San Andres Atoto,
53500 Naucalpan de Juarez, Edo. de Mexico
Miembro de la Camara Naclonal de la lndustria Editorial, Reg. NUm, 1890
ISBN 968-422-797-3
Traducido de la primera edicion en ingles de
SCHAUM'S OUTLINE OF ELECTRIC POWER SYSTEMS
Copyright Q MCMXC, by McGraw-Hill, Inc., U. S. A.
ISBN 0-07-045917-7
lmpreso en MBxico
Printed in Mexico
Esta obra se termin6 de
imprimir en noviembre dc 1990
en Programas Educativos S.A. de C.V.
Calz. de Chabacano 65-A
Col. Asturias
Delegacibn Cuauhtemoc
06850 Mexico, D.F.
Se tiraron 4000 ejemplares
Contenido
Capitulo 1
FUNDAMENTOS DE LOS SISTEMAS ELECTRICOS DE POTENCIA
1.1
1.2
1.3
Capitulo 2
Capitulo 3
Energia y potencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Tasasdecrecimiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Las principales fuentes deenergia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
1
2
3
REPRESENTACIC~N
DE LOS SISTEMAS 'DE POTENCIA . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
2.1 Diagramas unifilares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Diagramas de irnpedancia y reactancia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3 Representation por unidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4 Carnbiodebase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5 Resumen de las relaciones de un circuit0 trifBsico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
10
11
11
11
PARAMETROS DE LAS LINEAS DE TRANSMISI~N. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20
3.1
3.2
3.3
Resistencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
lnductancia . . . . . . . . . .
......................................
Capacitancia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20
4.1
4.2
4.3
4.4
Representacion de lineas de transmision . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Linea de transmision de longitud corta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Linea de transrnision de longitud media . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Linea de transrnision de longitud larga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
La llnea de transmlsion como red de dos puertos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Flujo de potencia en lineas de transrnision . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ondas viajeras en lineas de transmision . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
29
30
30
31
32
32
CABLES SUBTERRANEOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
52
Esfuerzo elkctrico en un cable rnonoconductor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Nivelacion de cables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Capacitancia del cable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Inductancia del cable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
PBrdida dielkctrica y calentarniento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
52
52
54
54
54
4.5
4.6
4.7
Capitulo 5
. .
5.1
5.2
5.3
5.4
5.5
21
23
29
Capitulo 6
CALCULOS DE FALLAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
60
Tiposdetallas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Fallas simbtl-icas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Fallas asimetricas y componentes simetricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Potenciadesecuencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
lmpedancias de secuencia y redes de secuencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
60
62
64
64
M~TOOOS
GENERALES PARA CALCULOS DE REDES . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
77
Transformaciones fuente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Matriz de admitancias del conductor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Los elementos de un Y . . . d . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Matriz de irnpedancias del conductor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Elementos de Z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Modificacion de Z. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
77
77
80
80
80
ESTUDIOS DE FLUJO DE POTENCIA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
90
Flujo de potencia en una linea de transmision corta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Un procedimiento iterativo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Las ecuaciones de f lujo de potencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Los metodos de Gauss y Gauss-Seidel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
El metodo de Newton-Raphson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Especificaciones y regulacion del voltaje del conductor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
90
91
92
93
93
94
OPERACI~NY CONTROL DE UN SISTEMA DE POTENCIA . . . . . . . . . . . . . . . .
103
Distribution economica de carga entre generadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Efecto de perdida en una linea de transmision . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Distribucion de carga entre plantas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Control del sistema de potencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
103
104
104
105
ESTABlLlDAD DE LOS SISTEMAS DE POTENCIA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
116
Constante de inercia y ecuacion de aceleracion mecanica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
La constante H e n una base comun MVA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Criterio de areas lguales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
~ n g u l critic0
o
de interrupcibn de la falla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
~n sisterna de dos maquinas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.6 Soluci6npasoporp~so. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
116
117
6.1
6.2
6.3
6.4
6.5
Capitulo 7
7.1
7.2
7.3
7.4
7.5
7.6
Capitulo 8
8.1
8.2
8.3
8.4
8.5
8.6
Capitulo 9
9I
9.2
9.3
9.4
Capitulo 10
10.1
10.2
1U.3
10.4
10.5
Capitulo 11
.
.
60
80
117
118
119
119
PROTECCI~NA LOS SISTEMAS DE POTENCiA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
129
11.1
11.2
11.3
11.4
129
129
130
133
Componentes de un sistema de proteccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Transductores y relevadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Tipos de relevadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Proteccion de lineas, transformadores y generadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
~~~
.
.
.
indice analitico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
139
Prefacio
Esta obra se escribid para servir de suplemento a
10s libros de texto de nivel superior sobre sistemas
dan en forma analitica y se explican con ejemplos numericos detallados.
electric03 de potencia. Sin embargo, tambien se tratan
Un requisito de este libro es que el lector estd fami-
ciertos temas, entre otros las tasas de crecimiento, las
fuentes de energia (Cap. 1) y 10s cables subterraneos
(Cap 5),qrre no se enc~uentrannormalmente en esta clase de obras debido a la naturaleza del libro. Se han omitido el material descriptivo y las deducciones de la
mayoria de las ecuaciones. Los resultados finales se
liarizado con 10s circuitos ca (de corriente alterna) y maquinaria electrica, especiafmente 10s transformadores y
maquinas sincronas.
Agradezco ampliarnente la ayuda editorial de Ed
Millman.
Syed A. Nasar
SEMBLANZA DEL AUTOR
SYED A NASAR obtuvo su doctorado en ingenieria
Es ademds autor y coautor de la revista mensual Nectric
electrica en la Uriiversity of Calilurr~iaen Berkeley. Es profesor de ingenieria electrica en la University of Kentucky,
Lexington. Lleva mAs de 24 a$s dedicado a la enseilan-
Machines and Power Systems. En 1970 el doctor Nasar
za, la investigacidn y consultoria en msquinas electricas
Es autor de dos obras de la serie Schaum: Electric Machines and Electromechanics y Basic Electrical Engineering.
recibi6 el premio Aurel Vlaicu de la Academia Rumada de
Ciencia por sus aportaciones referentes a las maquinas
lineales. Es becario de la IEEE y de la IEE (Londres)y pertenece a la Eta Kappa Nuy y Sigma Xi.
Fundamentos de 10s sistemas
electricos de potencia
El estudio de 10s sistemas electricos de potencia
esta relacionado con la generacidn, distribucidn y utilizacidri de la putellcia aleclrica (Fig. 1-1). La primera de
estas (la generacidn de la potencia electrica) se refiere a
la conversidn de energia de una forma no electrica (como la tbrmica, hidraulica y solar) en energia elbctrica.
Por ello, es apropiado comenzar este texto con un estudio de la energia.
donde N es el Bngulo que F forma con I.El trabajo se mide en joules (J). De (1.1), un joule es el trabajo realizado
por una fuerza de un newton a1 mover un cuerpo a traves
de una distancia de un metro en la direccidn de la fuerza:lJ = 1N.m.
La energia de un cucrpo cs su capacidad para rcalizar un trabajo. La energia tiene la misrna unidad que el
trabajo, aunque se usan algunas otras unidades para
Transformador
Linea de transmision
Linea de distribution
Condensador
Agua
Fig. 1-1.
1.1
ENERG~AY POTENCIA
Supongarnos que una fuerra F se aplica a una masa y que la mueve a lo largo de un desplazamiento lineal
I en la direccidn de F. Por lo tanto, el frabajo U realizado
por la f uerza se define como el producto Fl: esto es,
I/ = Ff
(1.1)
Si el desplazamiento no esta en la direccidn de F, entonces el trabajo realizado es el producto del desplazamiento y la cornponente de la fuerza a lo largo de Bste;
es decir,
u = F! cos
(Y
(1.2)
las diferentes formas de energia. Para la energia electrica la unidad fundamental es el watt por segundo (Wes),
donde
1 w - s =1 J
(1.3)
Sin embargo, es mas comun que la energia electrica se
mida en kilowatthoras (kwh). De (1.3) tenemos
1 kwh = 3.6 X lo6J
(la4)
Las dos formas mas irnportantes de la energia mecanica son la energia cinetica y ta energia potencial. Un
cuerpo posee energia cinCtica (EC) en virtud de su rnovimiento, tal que un objeto de masa M (en kilogramos),
FUNDAMENTOS DE LOS SISTEMAS E ~ C T R I C O SDE POTENCIA
2
que se mueve con una velocidad u (en metros por segundo), posee energia cinetica determinada por:
EC. =
MU^
(en joules)
(en joules)
(1.6)
donde g es la aceleracidn debida a la gravedad, en metros por segundo cuadrado.
La energia termica se mide generalmente en calorias (cat). Par deflnlclon, una caloria es la cantldad de
calor requerida para elevar en un grado Celsius la temperatura de un gramo de agua a 15'C. Una cantidad mas
comun es la kilocaloria (kcal). Expcrimcntalmente, se ha
encontrado que
1 cal = 4.186 J
caciones de la potencia (o salidas) de 10s motores
electricos se expresan en caballos de fuerza (hp), donde
(7.5)
Un cuerpo posee energia potencial (EP) en virtud de su
posicibn. Por ejemplo, la energia potencial gravitacional
resulta de la poslcl6n de un objeto en un campo gravltacional. Un cuerpo de masa M (en kilogramos), situado a
una altura h (en metros), sobre la superficie de la Tierra
ticnc una cncrgia potcncial gravitacional (EP) dada por
EP = Mgh
(1.7)
Otra unidad mas de energia terrnica es la unidad tdrmica britenica (BTU), la cual se relaciona con el joule y la
caloria como sigue:
1 Btu = 1.055 x lo3J = 0.252 x 103cal (1.8)
1.2
TASAS DE CRECIMIENTO
Al planear cdmo satisfacer las necesidades futuras de
la energia electrica, es necesario que estimemos la tasa a la
cual crecerdn las futuras necesidades. La figura 1-2
muestra un requerimiento comun de energia para 10s Estados Unidos.
Supongamos que cierta cantidad M aumenta a una
tasa que es proporcional a la cantidad M actual. Matematicamente, tenemos
donde a es la constante de proporcionalidad, llamada
tasa de crecimiento por unidad. La solucion a (1.13)se
puede escribir como
donde M, es el valor de M cuando t = 0.En cualquiera
de 10s dos valores de tiempo, t , y t,, la razdn inversa de
las cantidades correspondientes M, y M, es
Puesto que el joule y la caloria son unidades relatlvamente pequeiias, la energia termica y la energia electrica se expresan en terminos de la unidad tdrmica britanica
y el kiluwaltliura (u en megawatthora), respectivamente.
Una unidad mas grande de energia es el quad, o sea las
siglas de un cuatrillon en unidades termicas britanicas.
Las relaciones entre estas unidades son:
1 quad = lo1$Btu = 1.055 x 1018J
I
I
I
(1.9)
(algunos autores definen 1 quad como 10lUBtu).
La potencia se define como la razon del tiempo en
que se realiza trabajo. En otras palabras, la potencia es
la ralrdrl del cambio de energia en et tiempo. Asi, la potencia instantanea p se puede calcular como
donde U representa el trabajo y w la energia. La unidad
de potencia del SI es el watt (W); un watt es el equivalente a un joule por segundo:
Aiio
Los multiples de watt usados comunmente en ingenieria potcncial son el kilowatt y el megawatt. Las espccifi
Fig. 1-2.
El
FUNDAMENTOS DE LOS SlSTEMAS E&CTRICOS DE POTENClA
3
De (1.15) podemos obtener el periodo de duplicacidn t,,.
tal que M, = 2M, y t , - t, = t,,. Esto es,
Los planificadores de sistemas electricos de potencia tambien necesitan conocer cuanta potencia se requerira. La demanda mdxirna de potencia en 10s Estados Unidos en algunos aiios se muestra en la curva con
linea llena de la figura 1-3. Podemos aproximar esta curva con la curva cuya ecuaci0r1 es
(representada con linea punteada en la figura 1-3), donde
Poes la potencia maxima en el tiempo f = 0 y b es la tasa de crecimiento por unidad de la potencia maxima. El
area bajo esta curva en un periodo dado es una medida
de la energia Q consumida durante ese periodo.
De (1.16) y (1.17) se deduce que, si la tasa de crecimiento por unidad no ha cambiado, la energla c o r i s u ~ l ~ i da en un periodo de duplicacion es igual a la energia
consumida en el tiempo total anterior a este. En particular, obtenernos
donde Q, es la energia consumida hasta cierto tiempo
t,, Q, es la energia cansurnirla dlrrante el periodo de
duplicacidn t,, y b es la tasa de crecimiento por unidad.
Los combustibles fdsiles (carbdn, petroleo y gas
natural) son las principales fuentes de energia para generar la potencia elbctrica. Otra de las principales fuentes de energia en la Tierra es la radlaCl6n solar, la cual
se puede obtener en forma directa de la radiacidn solar
o indirectamente a partir del viento y la energia hidroelli.cl~ica.Otras formas significativas de energia son la
energia maremotriz, geotermica y nuclear.
Los generadores tipo turbina de energia eolica
transforman la energ ia cinetica del vientn en movimiento de rotacidn y este, a su vez, en energia electrica. La
potencia que se puede obtener del viento esta dada
a~roximadamentepor
P = 2.46 x 10-"2~2
(en watts)
(1.19)
donde D es el diametro del aspa en pies y rr es la veloci-
dad del viento en millas por hora.
En la conversidn hidroelectrica, la energia potencial de
una masa de A C J I I Aen una caida hidrdulica es convertida
en energia cinbtica por una turbina hidraulica que impulsa un generador elkctrico. Segun (1.6),la energia potencia1 de 1000 kg de agua en una caida de 100 m es 9.8 x
105J. Por otra parte, un gasto de 1 m31scon una caida de
100 rn proporciona9.8 x 103 x carga = 9.8 x 101 x 100 =
9.8 x 105 W de potencia hidrtiulica.
La energia maremotriz se obtiene a1 cercar una bahia con un dique, permitiendo que este se Ilene durante
10s periodos de marea alta, y recuperando la energia
cuando se vacia durante 10s periodos de marea baja. Pa-
P = pee ", donde
Po = 380 G W
Alio
Fig. 1-3.
4
FUNDAMENTOS DE LOS SISTEMAS E&CTRICOS DE POTENCIA
ra una mdxima caida maremotrir H (en metros), el promedio de la potencia maremotriz obtenida por unidad de
area de la bahia esta dado aproximadamente por
lo cual conduce a
Cantidad requerida de carbon =
Pa, = 0.219H L (en megawatts por kilometro
cuadrado)
(1.20)
C a r ~ ~ i d arequerida
d
cle gas'
La energia neta requerida en 10s Estados Unidos
durante 1986 fue aproximadamente 2.82 x lo6
6.44 x 10'"
0.036
= 1.79
Problemas resueltos
1.1
=
2.567 x 10"
940
= 2.74 x l @ tons
1.3
GWh. ~ C u aes
l el equivalente de esta energia en
unidades termicas britanicas?
De
1 GWh = 1 0 Y W h = loh kwh
tenemos
x 10" ft3
Cierta cantidad de combustible puede convertirse
quads de energia en una estacidn
en 3 x
electrica. Si el promedio de carga de la estacidn
en un period0 de 24 h es de 50 MW, determine
cuanto tiempo (en dias) durara el combustible. Suponga un 20 por ciento de eficiencia total en la estac16nelectrlca.
De (1.9) y (1.11),la energia disponible del combustible e s
2.52 x 10" GWh = 2.82 x 10" kwh
3 x lo-' quad = 3 x 1 0 - h 1.055 x 10'" W . s
Por lo tanto, de (1.4)
2.82 x 10" k w h = . 3 . 6 x 10" x 2.82 x 1 0 I 2 J
= 8.79 x lo5 MWh
= 10.152 x 10'' J
De (1.8) y (1.9) finalrnente obtenernos
En 24 h, la estacidn produce 50 x 24 = 1200 MWh de
energia. Con 20 por ciento de eficiencia. Esto requiere
una entrada diaria de energia (de combustible) de
120010.2 = 6000 MWh. Por lo tanto, el combustible se
consumird en 8.79 x 10516000= 146.5dias.
10.152
10.152 -x 10" J = -x 10" Btu = 9.623 x loi5 Btu
1.055
= 9.623 quad
1.2
El carbbn tiene un contenido promedio de energia
de 940 W.ailolton y el gas natural tiene un contenido de energia de 0.036W . ano/ft3.Si el 80 porciento de la energia neta requerida del problema
I . 1 fuera obtenldo del carb6n y el 20 por crento ael
gas, ique cantidades de carbdn y gas se requerir ian?
1.4
gue: carbbn, 16.1;petrbleo 32.1;gas natural, 20.2;
hidraulica, 2.9;y nuclear, 2.9.Catcule en gigawatthoras la energia electrica total que pueden producir esas fuentes, suponiendo que la eficiencia
promedio de la planta es de 0.1.
Lo contidod total de cncrgia concum~doe n 1981 fue
Del problema 1.1,
2.82 x 106GWh =
En 10s Estados Unidos, en 1981,el consumo de
energia (en quads) de varias fuentcs f u c como si-
2.82 X 1015
W - aiios
365 x 24
= 21.75 x lo6GWh
Por tanto, tenemos
Con una eficiencia de 0.1,la planta produjo 2.175 x lo6
GWh de energia electrica.
Energia suministrada por carbon = 0.8 X 3.22 X 10"
= 2.576 X 10" W .aiios
Energia suministrada por gas = 0.2 X 3.22 X 10"
1.5
El contenido calorific0 promedio del gas natural
es 1.05 Btulft3, y del carbon bituminoso 14000
BtuJlb. Utilizando 10s datos del problema 1.4, d e -
a
FUNDAMENTOS DE LOS SlSfEMAS EL~CTRICOS DE POTENCIA
asi que
(en megawatthoras) producira ese volumen de
agua? La densidad del agua es 993 kglm3.
El peso del agua es 993 x
al-la~
y ia putencial os
lo6 kg. Seg~jn(1.6),su
De 10s valores nurnericos dados obtenernos
QT = 1.5 x 10' x 940 = 1 41 x 10'' W .aiinc
993 x 10' x 9.81 x 50
- = 135.3 MWh
3600 x lo6
Y
T--
1
0.0338 ln
0.0338 x 1.41 x 10"
425 x 10'
+
1.15
(
= 3.144 aiios
1.11
Exprese la fdrmula (1.19) en unidades del SI
Se estima que las reservas de carbon en el este de
10s Estados Unidos contienen 2250 quads de energia. Si el contenido de energia de este carbon es
de 11 500 Btullb, determine el peso aproximado de
las reservas.
Puesto que 3.28 ft = 1 rn y 1 rnlseg = 2.237 milh,
Peso aproximado =
(1.19)se convierte en
P = 2.46 x 1 0 - ~ ( 3 . 2 8 ~ ) ' ( 2 . 2 3 7 ~ ) ~
= 0.296260'U3
(cn watts)
11 500 x 2000
= 9.78 x 10"' tons
1.16
Una planta de energia consume 3600 tons de carbon
por dia. Si el carbdn tiene un contenido promedio
de energia de 10 000 Btullb, jcual es la potencia
generada por la planta? Suponga una eficiencia
total de 15 por ciento.
donde D esta en metros y U esta en metros por segundo.
1.12
2250 x loi5
Un pequeiio generador de viento esta diseiiado
para producir 50 kW de potencia a una velocidad
de viento de 25 mih. jCual es el diametro del aspa?
La potencia disponible de carbdn es
En megawatts, esto es
Por lo tanto,
A una eficiencia de 15 por ciento,
1.13
Potencia de salida = 0.15 X 879 = 132 MW
La velocidad del viento con que se opera el generador del problema 1.12 fluctua en realidad entre
20 y 50 kmlh. Determine el interval0 de variaci6n
de la potencia disponible.
A 20 kmlh (012.4 milh),
1.17
se estlma que las reservas actuales degas natural en 10s Estados Unidos contienen 452 quads de
energia. La demanda maxima actual de potencia
electrica es de 450 GW. Si la tasa de crecimiento
A 50 krnlh (o 31 milh),
P5,,
= 2.46 x 10-'(36)2(31)' = 94.98 kW
del consurno de la potencia es de 6.5 por ciento al
aiio y el 22 por ciento del consumo total de la
energia SF) va a reempla7ar pnr gas natural, jcuan-
to tiempo duraran aproximadamente las reservas
de gas natural?
Por lo tanto, aproxirnadamente 6 < P < 95 k W
1.14
Un milldn de metros c~ibicosde agua se encuentran almacenados en una presa que alimenta a
una turbina de agua. Si el centro de masa del
agua se encuentra a 50 m arriba de la turbina y
sus perdidas son despreciables, jcuanta energia
En la nomenclatura del problerna 1.10, tenernos
=
452 x 1.055 x 10IR
= 1.512 x 10" W . aiios
365 x 24 x 3600
Una cantidad de combustible es capaz de producir
10 quads de energia. i E n cugntos dias se consumirii totalrnente el combustible, si se utiliza para satisfacer una demanda de 10'' Btuldia en una planta elgctrica con una eficiencia global de 20 por ciento?
Por lo tanto,
Resp.
- 36.8 aiios
1.18
Estirne la salida de la potencia promedio de una
t u ~ b i n ade viento q u e tiene u n aspa de un diametro de 35 ft, si la velocidad del viento flirctua entre
10 y 30 milh.
De (1.19)
Pd,, = 2.46 X lo-->x 352 x 10" = 2.46 x 35'W
200 dias
C a l c ~ ~ la
l e energia total disponible (en kilocalorias) del
combustible del problema 1.22.
Resp.
2.52 X 10" kcal
Un motor electric0 con una eficiencia de 90 por ciento
rnueve un elevador que levanta una carga de 10 ton a una
altura de 60 f t . Calcule la energia que se neresita para r111e
el motor realice lo anterior.
Resp.
1.81 MJ
Y
Pmdx= 2.46 x
x 35' x 303 = 2.46 x 35' x 2 7 w
Por lo ranro,
La carga del problema 1.22 es levantada a una altura de
60 ft en 40 s. Determine la especificacidn minima en caballos de fuerza del motor.
Resp. 55 hp aproxirnadamente
1.19
La caida maxima de la marea disponible para una
estacidn hidroelectrica propuesta es de 6 m.
'Cual debe ser el area de la entrada de la turbina
para generar un promedio de 1000 MW de potencia?
Calcule la energia que requiere un motor de engranaje de
cd para levantar 1 ton de carga a una altura de 50 ft en
10 s, La eficiencia global del motorlengranaje es de 0.51.
De (1.20),tenemos
1000 = 0.219 x 36 x Area
por lo que
Area =
1000
0.219 x 36
Un izador electric0 realiza viajes redondos por hora. En
cada viaje, levanta una carga de 6 toneladas en una jaula
de levantamiento para un peso de 200 ft en 1 rnin, y despues la jaula regresa vacla en 1 mln. La ]aula pesa
0.5 ton y tiene un peso equilibrado de 3 ton. La eficiencia del
= 126.8 m2
izador es de 80 por c ~ e n t o
y la del motor es de 88 por ciento. Calcule la energia eldctrica rcqucrida por viajc rcdondo.
Resp.
Problemas cornplementarios
1.20
Cierta cantidad de combustible contiene 15 x
Btu de
energia. 'Cud1 es la energia correspondiente en kilocalor ias?
Resp.
1.21
Un generador de transmisibn por banda proporciona
875 kW a una eficiencia de 95 por ciento. Si la pdrdida en el
transmisor por banda es de 2.5por ciento, calcule 10s caballos de fuerza que requiere la maquina para mover el generador.
3.78 X 10'Okcal
El combustible del problema 1.20 se convierte en energia
elkctrica en una estacidn electrica con un 12 por ciento de
eficiencia total. La demanda promedio de la estacidn en
un period0 de 24 h es de 5 MW. 'En cuantos dias se
consurnirA totalrnente dicho combustible?
Resp.
1.44 kwh
44 dias
En una estaci6n electrica, se producen 4 x lo4 GWh de
energia en 1 aao; una mitad es de carbdn y la otra de gas
natural. El contenido de energia del carbdn es de 900 W afioslton y de gas natural es de 0.03W . aiiolft3. 'Cuanto
carbdn y cuanto gas natural se requeriran?
~ e s p . 2.537 x lo6tons; 76.1 x lo9ft
3
1.30 Resuelva de nuevo el problema 1.24 per0 ahora suponga
1.35
u n generador de viento con una eficiencia de 0.85 tiene un
aspa de 0.20m de didmetro. Si la velocidad del viento es
de 30 krnlh, jcuAnta potencia se obtiene del generador?
1.36
Se genera potencia hidroelectrica en una presa que produce una caida de 180 ft y una reserva en el depdsito de
3 x lo6 gal de agua. 'CuAnta energia se puede generar
de este depdsito con un sisterna de generador de turbina
que tiene una eficiencia ylubal dt: 20 pur ~ i e r ~ t o ?
que toda la energia es proporcionada por (a) carbdn y ( b )
gas natural.
Kesp.
1.31
( a ) 3.0735 x lo6tons; ( b ) 152.2 x 10' fiJ
Durante un period0 de un alio, cierto sisterna de potencia
consurnid energia (en quads) de varias fuentes como sigue: carbdn, 6; petrbleo, 2;gas, 1; e hidrografico, 0.5.Si la
eficiencia global del sisterna es 0.12, jcuanta energia
electrlca (en glgawartnoras) se pueae proaucrr con el slstema con esas fuentes?
Resp.
1.32
En una regidn la tasa de crecimiento del consumo de
energia es de 6 por ciento i E n cuantos ai'tos se cuadruplicare el consurno de energia?
Resp.
1.37 El depdsito de una estacidn de generacidn hidroelectrica
mide 217.8ft por 200 ft en la superficie. Su caida disminuye en 1 ft cuando la estaci6n genera 100 hp a 70 pnr ciento
de eficiencia. Encuentre la caida original en pies.
23.1 aiios
1.33 Las reservas de gas natural en cierta poblacidn se estiman en 100 x lo9 ft 3, con un contenido de energia de
0.025 W . aliolft3.Si la demanda actual de potencia rnaxlma es de 0.5GW, la tasa de crecirniento de la potencia de-
Resp.
1.38
mandada es de 5 por ciento y toda la energia es abastecida por gas natural, jcuAnt0 durarA aproxirnadamente la reserva?
~ e s p . 4.46 aiios
1.34 Calcule la veloc~dadcon la cual una masa de 200 kg debe
moverse en tal forma que su energia cinettca sea igual a
la energia dlslpada en un reslstor U.2 I), a traves del cual
fluye una corriente de 100 A durante 2 horas.
Resp.
379.5 m/s
1225.3MJ
Una estacidn de generacidn hidroeldctrica se abastece
por rnedio de un depdsito que tiene una capacidad de 2 x
lo8tt 3 con una caida de 500 ft. j C u l l es la energia el6ctrica total disponible en kilowatthoras, si la eficiencia
h~draulicaes 0.8y la eficiencia electrica es 0.9?
Resp.
1.39
104 ft
1690 MWh
En cierto pais el equivalente de las reservas de combustible para generar potencia es de 3 x lo6 MW . anos. La
demanda actual de potencia maxima es de 200 GW y la tasa de crecirniento del consumo de potencia esperada es
de 2.1 por ciento. 'Cuanto durara la reserva de combustible?
Resp.
13 aiios
Representationde 10s
sistemas de potencia
Los cornponentes bAsicos de un sistema de potencia son 10s generadores, transformadores, lineas de
transmislon y cargas. Las in terconexlones entre estos
componentes del sistema de potencia se pueden mostrar en un diagrama llarnado unifilar. Con fines de anAlisls, 10s clrcultos equlvalentes de las componentes se
muestran en un diagrarna de reactancia o un diagrarna
de irnpedancia.
Motor o generador
Transformador de dos devanados
2-
f
F
Linea de transmisibn
Interruptor de circuito liquid0 (aceite)
/7
lnterruptor de circuit0 de aire
La figura 2-1 muestra 10s simbolos utilizados para
representar 10s componentes cornunes de un sisterna
de potencia. La figura 2-2 es un diagrama unifilar de un
sisterna de potencia que consta de dos estaciones generadoras conectadas por una linea de transrnisi6n; observe el uso de 10s simbolos en la figura 2-1. La ventaja
de la representacidn unifilar es su sirnplicidad: Una fase
representa las tres fases del sisterna balanceado; 10s
circuitos equivalentes de las componentes se reemplazan por sus sirnbolos estandar y el resto del circuito se
ornite a traves del neu tro.
n
Conexibn delta
Conexion estrella, no aterrizada
Y
(sin cuncxi6n a tiel la)
Conexion estrella, aterrizada
(con concxion a ticrla)
Fig. 2-1.
8
a
8"b
zi
Carga B
Estacion B
Car
Estacion A
Fig. 2-2.
REPRESENTACI~NDE LOS SISTEMAS DE POTENCIA
Generadores
L
Carga A Transformador
TI
j
Y
Estacion A
Linea de transmirion
Transfor- Carga Generadores
mador T2 B
J
I
T
Estacion B
(a)
I
T
1
Estacion A
Linea de
transmision
Estacion B
(6)
Fig. 2-3.
3.
4.
El diagrama unifilar puede servir como base para la
representacibn de un circuito que inclc~yecirct~itos
equivalentes de 10s componentes del sisterna de potencia. Dicha representaci6n se llama diagrama de impedancia o diagrama de reactancia si las resistencias no
se toman en cuenta. Los diagramas de impedancia y reactancia correspondientes a la figura 2-2 se incluyen en la
f igura 2-3(e) y (b), respectivamcnte. Obs6wese que se
muestra s61o una fase.
Se han incorporado las suposiciones siguientes para la figura 2-3(a).
1.
2.
Un generador se puede representar con una fuente
de voltaje en serie con una reactancia inductiva. La
resistencia interna del generador es despreciable
comparada con la reactancia.
Las cargas son inductivas.
El nucleo del transformador es ideal y el transforrnador puede representarse con una reactancia.
La linea de transmisidn es una linea de longitud
media y se puede representar con un circuito T.
Otra rcpresentaci6n, como un circuito r, es igualmente aplicable.
5. El transformador TI de conexion delta-estrella se
puede reemplazar por un transfurrr~adurequivalente de conexi6n estrella-estrella (mediante una transformaci6n delta a estrella), por lo que el diagrama
de lmpedancla se puede dibujar en una base por fase.
(La naturaleza exacta y 10s valores de las impedancias o
reactancias se determinan por rnt2todos estudiados en
capitulos posteriores.)
El diagrarna de reactancia, figura 2-3(b),se dibuja
despreciando todas las resistencias, las cargas estdticas y la capacitancia de la linea de transmisibn.
REPRESENTACI~NDE LOS SISTEMAS DE mTENCIA
2.3
REPRESENTACI~NPOR UNIDAD
11
en base de 10s kVA trifdsicos y 10s kVA por unidad por
fase y el voltaje en la base de 10s kVA por fase.
Los cAlculos para un sistema de potencia que tiene
dos o mas niveles de voltaje se vuelven muy dificiles
cuando es necesario convertir corrientes en un nivel de
voltaje diferente siempre que fluyan a traves de un
transformador (el cambio en la corriente es inversamente proportional a la raz6n de vueltas del transformador).
En un sistema alternativo y mas simple, para cada voltaje se supone un conjunto de valores base, o cantidades
basicas, y cada paremetro se expresa como una fraccidn
decimal de su respectiva base. Por ejemplo, suponga
que se escoge el voltaje base de 345 kV y en ciertas condiciones de operaci6n. el voltaie real del sistema es de
334 kV; por lo tanto, la raz6n del voltaje real al voltaje base es 0.97. El voltaje real se puede expresar entonces como 0.97 por unidad, Una prdctica igualmente comun es
que las cantidades por unidad se multipliquen por 100
para obtener el por ciento de las cantidades; nuestro
ejemplo de voltaje se expresaria entonces coma 97 por
ciento.
Las cantidades por unidad, el por ciento y sus bases
muestran las mismas relaciones y obedecen las mismas
leyes (como las de Ohm y Kirchhoff) que las cantidades
en otros sistemas de unidades.
Se requiere un minimo de cuatro cantidades para definir totalmente un sistema unitario o por unidad; estas
cantidades son voltaje, corriente, potencia e impedancia
(o admitancia). Si se suponen d o s de ellas en forma arbitraria, las otras dos quedan fijas a partir de ellas. Las siguientes retactones forman una base por fase:
2.4
CAMBIO DE BASE
La impedancia por unidad (pu) de un generador o
transformador suministrada por el fabricante, estA basada generalmente en especificaciones del mismo generador o transformador. Sin embargo, una impedancia
por unidad se puede referir a una nueva base voltampere
con la ecuacidn
(Impedancia por unidadjbasenueva vA)base WeVa (kV)bseVei ,:
(impedancia por ,,-,idad)
base vieia
(VA)baSe vieja (kVYbase nuavd
Si el voltaje de base anterior y el voltaje de base nuevo
son 10s mismos, entonces (2.6) se simplifica y nos da
(Impedancia por unidad),,,,
vA)base nueva
nueva
-
(impedancia por unidad),,,,
vieia
vA)base viela
Las impedancias de las lineas de transmisi6n se expresan en ohms, per0 pueden convertirse facilmente en valores p u (unitarios) en u n voltampere base dado u s a n d o
Voltamperes base
Gorriente base =
(en amperes)
Voltaje base
lrnpedancia base =
Voltaje base
Corriente base
Voltaje real
Voltaje PO^ unidad = Vnltaje
(2.7)
(en ohms)
(2.2)
(por unidad, o pu)
(2.3)
2.5
Corriente real
Corriente por unidad = Corriente base (por unidad, o pu)
(2.4)
lmpedancia por unidad =
(2.1) a (2.5).
lmpedancia real
( por unidad, o pu)
lmpedancia base
(2.5)
RESUMEN DE LAS RELACIONES
DE UN CIRCUIT0 TRIFASICO
Un circuit0 trifasico se puede conectar ya sea en
estrella o en delta En un c i r c ~ ~ i ttrni f a s i c o halanceado
10s valores de la corriente de fase y la linea, potencia y
voltaje se relacionan como sigue (10s subindicesp y I designan Ins valnres d e fase y de linea, respectivamente):
Conexidn estrella:
En un sistema trifdsico, la base kVA se puede escoger
como 10s kVA trifasicos y el voltaje base como el voltaje
de linea a linea; o 10s valores base se pueden tomar como las cantidades de fase. En uno u otro caso, permanecen inalterados 10s kVA trifasicos por unidad y el voltaje
Conexidn delta:
Necesitamos la corriente real en el sistema:
I, = 1,/\/5
Corriente real =
Vp = VI
1380 x lo6
= 4000A
345 x 10'
Por lo tanto, de (2.4),
P = f3~,1, cos sp
4000
3000
Corrienre por unidad = - - 1 . 3 3 ~ ~
Las impedancias delta y estrella se relacionan por
2.4
En ambos tipos de conexiones, las potencias aparente y reactiva son, respectivamente,
Exprese una impedancia de 100 R, una corriente
de 60 A y un voltaje de 220 V como cantidades
por unidad referidos a 10s valores de la base del
problema 2.1.
VA = *&I,
Y
Q = f i & I , sen 8,
100
Impedancia por unidad = 10 - 10pu
De lo anterior, es claro que el Angulo de fase se
puede obtener como
De (2.4),
60
Q
Corriente por unidad = - = 1.5 pu
tan 8, = P
40
220
400
Voltaje por unidad = - = 0.55 pu
Problemas resueltos
2.1
La impedancia y el voltaje base para un sistema
de potencia dado son 10 fl y 400 V, respectivamente. Calcule 10s kVA base y la corriente base.
2.5
De la ley de Ohm.
(100
Corriente base = - = 40A
10
k V A base =
2.2
40x400
loo0
En terrnrnos unrtarros, renemos
= 16 kVA
k V A base = 10 kVA = 1 pu
Por lo tanto, segun (2.1),
10 000
200
Corr~entebase = -= 50 A = 1 pu
El vullaje yenerado que se requiere para producir In
corriente nominal en un cortocircuitoes IZ, = 50 x 2 =
100 V ; o, en cantidades unitarias, 1001200 = 0.5 pu.
300 x 10'
= 100R
3000
345
Voltaje por unidad = - = 1.15 pu
300
2.3
Voltaje base = 200V = 1 pu
Se decide que la corriente y el voltaje base de un
sistema 345 kV tengan un valor de 3000 A y 300
kV, respectivamente. Determine el voltaje por
unidad y la impedancia base para el sistema.
Impedancia base =
Un generador monofAsico de 10 kVA y 200 V
tiene u n a impedancia interna 7, de 2 R. Utilizando las especificaciones del generador como 10s
valores base, determine el voltaje por unidad generado q u e se requiere para producir la cnrrinnte
de carga total en las condiciones de un cortocircuito.
Si la especificaci6n del sistema del problema 2.2
es de 1380 MVA, calcule la corriente unitaria relerida a la b a s e del problema 2.2.
2.6
Sea un transformador de 5 kVA, 4001200 V que
puede representarse aproximadamente por una
reactancia de 2 fl referida al lado de bajo voltaje.
Tomando en cuenta 10s valores nominales como
cantidades base, exprese la reactancia del transformador como u n a cantidad por ~ r n i d a d .
2.13
Para la prirnera base, tenemos
Voltamperes base = 6250 = 1 pu y
voltaje base = 220 = 1 DU
Una parte de un sistema de potencia consta de
dos generadores en paralelo, conectados a un
transformador elevador que 10s une con una
linea dc t r a n s m i s i 6 n 230 kV. La6 especifica
ciones de estos componentes son
En consecuencia,
6250
Corriente base =
Reactancia base =
fi x 220
Generadnr G; 10 MVA, 12 por ciento de reactancia
= 16.4 = 1 pu
Generador G,: 5 MVA, 8 por ciento de reactancia
Transformador: 15 MVA, 6 por ciento de reactancia
L i n e a de transrnisihn. (4 + jfi0) R, 230 kV
220
- 13.4 = 1 PU
16.4
donde el porcentaje de las reactancias se calcula con base en las especificaciones de 10s componentes individuales. Exprese las reactancias y
la impedancia en por ciento, tomando 15 M V A
como valor base.
asi que
Reactancia por unidad =
8.4
= 0.627 pu
13.4
La ecuacion (2.7) da, para el generador G,,
Para la base de 230 V, base 7.5 kVA obtenemos de la
ecuac16n (2.6),
220 7500
Reactancia por unidad = 0.627 - -(230) 6250 -
(3
Keactanc~aen por ciento = 12 - = 18 por cienro
Para el generador G,,
pu
(3
(3
Reactancia en por ciento = 8 - = 24 por ciento
2.12
Una linea de transmisibn trifasica de 13 kV entrega 8 MVA de carga. La impedancia por fase de
la linea es (0.01 + j0.05) pu, referido a 13 kV, con
8 MVA c o m o base. &uAl es l a c a i d a d e l vnltaje
que cruza la linea?
Las cantidades base dadas proporcionan 10s si.
guientes valores.
Para el transformador,
Reactancia en por ciento = 6 - = 6 por ciento
Y para la linea de transmisibn, segun (2.2) y (2.7).
lmpedoncia en por ciento = (4
15 x 10'
x 100 = (0.113 + j1.7) por ciento
(230 x 103)'
kVA base = 8000 = 1 pu
2.14
kV base = 13 = l p u
Las otras cantidades base son
8000
Corriente base = -= 355.3 = 1 pu
13fi
13 000
355.3
Impedancia base = -- 36.6 = 1 pu
Asi pues, encontramos 10s valores reales
Impedancia = 36.6(0.01
+ j0.05) = (0.366 + j1.83) S2
Dibuje un diagrama de impedancia para el sistema mostrado en la figura 2-4(a), expresando todos l u s valures curnu valores por unidad.
Elegimos arbitrariamente 50 kVA como unidad.
Por lo tanto, a partir de (2.6). para el generador G,,
Para el generador G,,
Z,, = j0.3
(2500)2(50)
= j0.75 pu
(2500)2(20)
Para el transformador T,,
Y
Caida de voltaje = 355.3(0.366
+ j60)
+ j1.83) =
130
+ j650 = 663.1 V
Z,, = j O . l
(2500)2(50)
(2500)'(40)
= j0.125 pu
REPRESENTACI~N
DE LOS SISTEMAS DE POTENCIA
10 kVA
z =;0.2 pu
TI
Linea
Transmision
..
..
.
.-
20 kVA
t500 V
Z = (50 + j200) R
80kVA
25kVA
10.000/5000V 4OOOV
Z = 0.09 pu
40 kVA
2500/8000 V
Z=O.l pu
Z = jO.3pu
Fig. 2-4.
para la linea de transmisibn,
Para el transformador T,,
Z,, = j O . 0 9
IOMVP
(10 000)2(50)
= j0.088 pu
wW2(8O)
Y finalmente para el motor M,
Estos valores dan por resultado el diagrama de reactancia de la figura 2-4(b).
2.15
Dibuje un diagrama de impedancia para el sistema mostrado en la figura 2-5(a), expresando todos 10s valores corno valores en por ciento.
Vamos a elegir arbitrariamente 10 MVA corno base.para que Q s t a qucdc cxprcsada cn M V A .Por lo tanto,
para el generador G,
(3
Fig. 2-5.
lmpedancia en por ciento = 10 - = 10 por ciento
Para el transformador,
Para el generador G,,
(3
lmpedancia en por ciento = 8 - = 16 por ciento
lmpedancia en por ciento = 6
(3
= 4 por ciento
REPRESENTAC~~
DE LOS SISTEMAS DE POTENCIA
Y para la linea de transrnisih,
10 x lo6
Impedancia en por ciento = (4 + j40)
(66 x ld)'
Para T, v T,.
x 100 = (0.918 + j9.18)por .ciento
20
30
X,, = -j0.15 = jO.l pu
~ s t o svalores aan por resultado la figura 2-5(b).
2.16
Para T,,
Dibuie un diagrama de reactancia por unidad para el sistema mostrado en la figura 2-6(a).
Elegimos arbitrariamente 20 MVA y 66 kV corn0 valores base. El diagrama de reactancia por unidad aparece en
la figura 26(b),donde para G,, X , = 10.15 pu porque su porcentaje de reactancia es 15 por ciento con la misma base
kVA. Tambien para ti, y ti,,
Y para la linea,
Xpu= X ~ i n e a
20 000
kVA base (kV ba~e)~1000
- j60 (66)'(1000)
10MVA
10°/o
160 R
20 M V A
15%
10 MVA
30 MVA
30 MVA
11/66k V
66111 kV
10%)
A la carga
1
A la carga
Problemas complernentarios
2.17
Un sistema opera a 220 kVA y 11 kV. Utilizando esas cantidades corno valores base, encuentre su corriente y su
irnpndancia base
Una linea de transrnisidn monofesica alimenta una carga
reactiva con un factor de potencia con retraso. La carga
toma una corriente de 1.2 pu a un voltaje de 0.6 pu y potencia (real) de 0.5 pu. Si el voltaje base es 20 kV y la
corriente base es 160 A, calcule el factor de potencia y el
valor 6hmico de la resistencia de la carga.
Resp. 20 A; 550 Q
Resp:
Usando 220 k V A y 1 1 kV corno valores base, exprese 138
kV, 2 MVA, 60 A y 660 fl corno valores por unidad.
2.18
Resp.
2.21
2.22
12.54 pu; 9.09 pu; 3 pu; 1.2 pu
Si 25 R y 125 A son la irnpedancia base y la corriente base, respectivamente, de un sisterna, encuentre 10s kVA
base y el voltaje base.
2.19
Resp.
2.20
-
390.625 kVA; 3125 V
Los valores en porcentaje del voltaje, corriente, impedancia y voltamperes para un sisterna de potencia son 90,30,
i
80 y 150 por ciento, respectivamente. La corriente y la irnpedancia base son 60 A y 40 R, respectivamente. Calcule
10s valores reales del voltaje, corriente, irnpedancia y voltarnperes.
La impedancia por unidad de un sistema e s 0.7 pu. Los
kVA base son 300 kVA y el voltaje base es 11 kV. (a)iCuAl
es el valor 6hmico de la irnpedancia? (b) ~Carnbiariaeste
valnr hhrnicn si An0 kVA y RR kV fueran elegidos corno valores base? (c) cud es la irnpedancia por unidad referida a 10s valores base de 400 kVA y 38 kV?
Resp.
2.23
2 MVA
11133 kV
Fig. 2-7(b)
Vuelva a dibujar la figura 2-7(a)para mostrar todos 10s valores de las impedancias en ohms.
Resp. Fig. 2-8
Resp. 2160 V; 18 A; 24 52; 5832 kVA
Z - j0.l pu
( a ) 282.33 &; ( b ) no; ( c ) 0.0782 pu
El diagrama de una linea para un sisterna de dos generadores se observa en la f~gura2-7(a).Vuelva a dibujar el
diagrama para rnostrar todos 10s valores corno valores
por unidad relacionados con una base de 7000 kVA.
Resp.
2.24
0.694; 43.375 Q
3 MVA
33111kV
Z=jO.l pu
(b)
Fig. 2-7.
1 1 kV
z=j0,05pu
REPRESENTACI~NDE LOS SISTEMAS DE POTENCIA
136.3 C2
referido a 33 kV
J9.075R
referido a 1 I kV
0
j4.03 R
181.675 R
referido a 33 k V
referido a 1 1 kV
Pig. 2-8.
2.25
por unidad. Suponiendo que 100 MVA y 33 kV se utilizan
como valores DaSe, obtenga todas las reactaricias corrlu
valores por unidad.
Un transformador de 100 kVA, 2015 kV tiene una impedancia equivalente de 10 por ciento. Calcule la impedancia
del transformador relacionado (a) el lado de 20 kV y ( b )el
lado de 5 kV.
Resp. Transformadores. 0.08 pu; linea, 0.496 pu;
motores, 0.551, 0.620, y 0.331 pu
Resp. (a) 400 SZ; (6) 25 SZ
2.26
Los generadores trifesicos G, y G, surninistran carga a
10s rnotores M,, M, y M,, como se lndlca en la tlgura 2-9.
Los transformadores T, y T, son especificados con 100
M V A y 331100 kV y cada uno tiene una reactancia de 0.08
2.27
Con 10s resultados del problema 2.26 dibuje un diagrama
de reactancia para el sistema de la figura 2-9.
Resp.
Fig. 2-10
30 MVA
100 MVA
33 kV
20 MVA
jbU I1
30 kV
15%
Linea
12%
T2
50 MVA
33 kV
10%
50 MVA
20%
Fig. 2-9.
Fig. 2-10.
2.28
Tres impedancias, Z, = '6/200 R, Z, = 8/40a Q, y Z, =
1 0 k R, se conectan en estrella y se alimentan por medio de una fuente trifssica de 480 V. Encuentre las
corrientes de linea. Dibuje diagramas fasoriales que
muestren todos 10s voltajes y corrientes.
Resp.
2.35
I,, = 46.19[ -50' A; 1,
Una carga balanceada de conexi6n delta con una impedancia de 45/700~por rama, un motor trifasicoque exige
un total de 10 kVA a un factor de potencia atrasado de
0.65 y una carga de conexibn estrella con una impedancia de I0 Il (resistencia) por rama se alimentan de una
l u a ~ ~ lI tl :i l d s i ~ aLlililal Ile 208 V y 150H L . Busqueje el circuito y determine la corriente de linea para cada carga
trifasica.
Resp. 8 A; 27.76 A; 12 A
2.29
Una carga trifasica balanceada tiene una resistencia de
10 R en cada una de sus fases. La carga es alimentada
por una fuente trifksica 220 V. Calcule la potencia absorbida por la carga si 6sta se conecta (a) en estrella y (b) en
delta.
2.36
Resp.
Resp. ( a ) 14.52 k W ; (b) 14.52 k W
2.30
Determine las corrientes I,,y I. para el circuito en la figura 2-11,
suponiendo que Z, = 2010°15 Z, = 14145Ow, 2, = 141 - 45OR
y el voltaje trifasico aplicado es de 208 V.
15.781-65.46O A; 2 8 . 7 0 F A
Una fuente trifhsica trifilar de 500 V y 60 Hz alimcnto un
motor trifasico de induccibn, un banco de condensadores conectado en estrella que demanda 2 kvar por fase y
Irn calefactor trifdsico balanceado que consume un total
de 10 kW. El motor de induccibn se encuentra operando a
10s valores especificados de 75 hp y tiene una eficiencia
y un factor de potenci? de 90.5 y 89.5por ciento, respectivamente. Dibuje un diagrama unifilar del sistema y determine ( a ) sus kW, (b) sus kvar y ( c ) sus kVA.
Resp.
(a) 71.82 kW;(6) 24.81 kvar;
(c) 75.98 kVA
2.31
Una fuente trifesica de 440 V alimenta una carga en conexi6n estrella de 10 kVA, a un factor de potencia atrasado de 0.8 y una carga en conexion delta de 10 kVA con
factor de potencia por unidad. Calcule la potencia total
aparente que entra en las dos cargas.
Resp.
Fig. 2-11.
2.37
Encuentre la lectura del wattmetro para el circuito de la
figura 2-1 1.
18.97/18.43O kVA
Resp. 1363.21 W , 5169.83 W
2.32
'Cull es el factor de potencia global de las dos cargas
del problema 2.31? Verifique que sea el mismo factor de
potencia obtenido en 10s cAlculos de potencia real.
2.38
Resp. 0.95
2 33
2.34
Resp. 15.781-114.54O A; 1 8 . 0 9 p A,
Calcule la corriente de la linea para cada una de las cargas del problema 2.31.
Resp.
13.12 A
Determine la corriente de linea demandada para cada
carga del sistema del problema 2.30.
Resp.
79.76 A; 6.93 A; 11.55 A
Calcule I, para el circuito de la figura 2-11.Determine el
fasor suma de las ires corrientes en las ires fases. Explique la importancia de su resultado.
lo cual no es ~guala cero
2.39
Verrfique que la suma de las corrientes de linea en una
carga en conexion delta sea siempre cero.
2.40
Utilice el resultado del problema 2.39para determinar I,,
en la figura 2-11 y verifique que el resultado sea el rnismo
que el obtenido en el problema 2.38.
Parametros de las Iineasde
transmision
Como se vio anteriormente, las lineas de transmisibn son uno de 10s principales componentes de un sistema de potencia. Por eso pueden representarse de una
manera cuantitativa con una combinaci6n de tres caracteristicas o pardmetros: su resistencia, inductancia y
capacitancia.
El efecto mas importante de la resistencia de 10s
conductnres de Ian lineas dn transmisihn as In genera-
cibn de las perdidas en la linea IZR.La resistencia tambien produce una caida de voltaje tipo IR, afectando la
donde p es la resistividad del material en el conductor
en ohm-metros. En la resistencia en cd de un conductor
influye s61o la temperatura de operacibn, y 6ste aumenta Iinealmente con la temperatura. Sin embargo, cuando
un conductor transmite corriente alterna, la distribucibn
de la densidad de la corriente a traves de la seccidn transversal noes uniforme y es una funcidn de la frecuencia de
la corriente en ca. Este fen6meno; conocido como el
efecto piel o efecto superficial, provoca que la resistencia en ca sba mAs grande que la resistencia en cd. A 60
Hz, la resistencia ca de un conductor de una linea de
transrnisidn puede ser de 5 a 10 por ciento mAs alto que
su resistencia en cd.
La temperatura depende de la resistencia, la cual
se cuantifica por la relaci6n
regulacidn de voltaje de la linea.
La resistencia R en cd de un conductor de longitud I
y con un area A de secci6n transversal es
1
R = pA
(3.1)
(en ohms)
donde R, y R, son las resistencias a las temperaturas T,
y T,, respectlvamente, y a se llama coefrcrenre de temperatura de resistencia. Los coeficientes de resistividad y
temperatura de algunos metales se dan en la tabla 3-1.
TABLA 3-1 Resistividades v coeficientes de temperatura de resistencia
Material
Aluminio
Laton
Cobre
Estirado en
frio
Recocido
Hierro
Plata
Acero
Resistividad P a 20°C Coeficiente de ternperatura
bQ.crn
a a 20°C. "C.'
2.83
6.4-8.4
I .77
1.72
10.0
1.59
12-88
PARAMETROSDE LAS ~ N E A SDE TRANSMISI~N
Las lineas de transmisi6n largas pueden relacionarse con resistencias en paralelo (o conductancias), ademas de las resistencias en serie.
21
Linea trifilar trifasica
La inductancia por fase (o de linea a neutro) de una
linea de transmisi6n trifasica con conductores equilateralmente espaciados es
Linea bifilar monofasica
La inductancia por conductor de una linea de transmisi6n monofdsica estd dada por
donde r es el radio del conductor y D es la separaci6n
entre conductores. En la practica, 10s tres conductores
(en henrys por metro)
de una linea t~ifasicararas veces estan igualmente es-
paciados. La separaci6n asimetrica comun da por resultado inductancias diferentes en las tres fases, llevando
donde p, = 471 x lo-' bilm (la permeabilidad del espacio
a caldas de voltaje diferarllas y url desbalarlceo en la
libre), D es la distancia entre 10s centros de 10s conductores y r es el radio de 10s conductores. La inductancia
linea. Para compensar este desequilibrio, las posiciones
de 10s conductores se intercambian a intervalos regulares a lo largo de la Ilnea. Esta prdctica se cvnvce cvrrlo
transposicidn y se indica en la figura 3-1, la cual sdlo
muestra las separaciones entre conductores. La inductancia promedio por fase para una linea transpuesta estB dada todavia por (3.6), except0 que la separaci6n Den
la ecuaci6n estA desplazada por la separaci6n equivalente D.. obtenida de
total o inductancia de lazo es
A partir de In eli* = 114, esta ultima ecuaci6n tambien se
puede escribir como
donde las distancias D,,,, D, y D,,,se muestran en la figura 3-1.
rn-'/', sc conoce como el radio medio geodonde r '
m e t r i c ~(RMG) del conductor.
De 10s dos terminos en (3.3), el primer0 representa
Conductores compuestos
la inductancia interna del conductor s6lido y el segundo
Estas expresiones de la inductancia de las lineas
termino se debe a flujos externos hacia el conductor, En
(3.5), el conductor se reemplaza por un conductor hueco
se deben modificar para aplicarse a lineas de transmisi6n que constan de conductores compuestos. En parti-
equivalente de radio r' y de una pared muy delgada, que
cular, sea una linea monofdsica que consta de dos con-
no tiene un enlace de flujo interno. De aqui que no haya
inductancia interna.
ductores compuestos, como se muestra en la figura 3-2. El
conductor X estA compuesto de n filamentos identicos y
Fig. 3-1
La raiz nZ del product0 de las distancias n2 ocurridas en el denominador de (3.8) se abrevia D, y se llama
bobina de choque DMG del conductor X. De la rnisma
manora, r ' para un filarncnto scparado o conductor se
llama frecuentemente su bobina de choque DMG. A la
bobina de choque DMG se le llama tambjen algunas veccs radio mcdio geomCtrico y se abrevia RMG.
paralelos, cada uno de 10s cuales acarrea la corriente
Iln. El conductor Y , el cual es el circuit0 de retorno de la
corriente en el conductor X, esta compuesto de m filamentos idknticos y paralclos, cada uno de 10s cuales
acarrea la corriente -1lm. Las distancias entre 10s pares de elementos se designan con D con subindices
apropiados. La inductancia L, del conductor X se puede
mostrar entonces como
En tkrminos de D,, y D,, (3.8) se convierte en
,,
= r, = r,e-"' el radlo medlo geometric0 (RMG)
donde D
del conductor kdsimo. El RMG se definid en la ecuacidn (3.5). [Observese que el numerador en (3.8) relaciona la raiz mn4slrna del product0 de rnn termlnos;
esos tgrminos son la distancia de cada uno de los n filamentos del conductor X a uno de 10s m filarnentos del
conductor Y, y existen un total de mn distancias. La raiz
mndsima del producto de mn distancias se llama distancia media geomCtrica. Para dos conductores X y Y,
como en la figura 3-2, esto se llama distancia media geomktrica mutua entre ellos, y se abrevia como D, o DMG.
Dm
Lx = 2 x lo-' In Ds
H/m
(3.9)
Deterrriinarrios la inductancla L , del COnduCtOr Y de una
manera similar, la inductancia total de la linea se convierte en
L = L , + L,
(3.10)
Linea trifasica de circuit0 doble
La inductancia por fase de una linea trifdsica, de
circuito doble, de transrnisi6n transpuesta (Fig. 3-3) estd
dada por
GMD
-a 0
no
L = 2 x 10-~1~-
GMR
'0-0
(3.11)
A partir de 10s simbolos de la figura 33, la cual muestra una
linea trifasica transpuesta, (3.11)se puede escribir corno
Conductor Y
Co~lductorX
H/m
Fig. 3-2.
donde r' es la RMG det conductor.
Ob
Fig. 3-3.
El
PARAMETROS
DE LAS ~ N E A SDE TRANSMISI~N
23
Para la linea de transmisi6n del circuit0 doble de la
figura 3-3, la capacitancia por fase estA dada por
La capacitancia en paralelo por unidad de longitud
de una linea de transmisi6n monofasica bifilar esta dada por
C =
In ( W r )
(en farads por metro)
(3.13)
donde c,' es la permitividad d e ~espacio libre y 10s otros
simbolos, estan definidos por (3.3).Para una linea trifAsica con conductores igualmente espaciados, la capacitancia de la fase (o linea a neutro) es
c=
4n~,
F/m
(3.15)
1. [*
(D/~)(G/F)~~]
La capacitancia de una linea de transmisi6n akrea
es afectada pnr la tierra, la cual distnrsiona SLI campn
electrico. El efecto de la tierra se simula suponiendo la
existencia de conductores imagen de espejo. Con el
rnismo nivel por debajo de la tierra que la linea de transmisi6n tiene arriba de la tierra (Fig. 3-4). Los conductores imagen transportan cargas de polaridades opuestas
a las de 10s conductores reales, como se rnuestra en la
figura. Asi, la capacitancia al neutro estd dada por
Para tomar en cuenta el espaciarniento desigual real entre
10s conductores y la transposici6nde la linea, Den (3.14)se
reemplaza por D, de (3.7),
comn se him en el cAlc~rlode la
inductancia de una linea traspuesta.
-4b
Fig. 3-4.
(a) A 20°C, (3.1) da
donde D,,estd dado por (3.7),
las H estdn definidas en la
figura 3-4 y r es el radio del conductor.
Utilizando el concept0 de la DMG, podernos escribir
la c a p a c i t a n c i a a l neutro de una linea trifbsica asimetrica de circuit0 doble como
(b) A 120°C, (3.2) da
Un cable de linea de transmisi6n consta de 19
alambres de cobre identicos, cada uno de 1.5
mm de didmetro. La longitud del cable es de
2 krn; pero, debido a la torsi6n de 10s cables, la
longitud real de cada conductor se incrementa
un 5 por ciento. 'Cud1 es la resistencia del
cable? Tome en cuenta la resistividad del cobre
que es 1.72 x
Q . rn.
Sustituyendo t, por el valor numeric0 en (3.17),se tiene
Tomando en cuenta la torsi6n, encontramos que
I = (1.05)(2000)
= 2100 rn. El area transversal dn Ins 19
Problemas resueltos
3.1
alambres es 19(r14)(1.5 x
lo tanto, de (3.1),
= 33.576 x
rn2.Por
Determine la resistencia de un conductor cilindrico s6lido de alurninio de 10 km de longitud con
un didrnetro de 250 mils, a (a) 20°C y (b) 120°C.
Para encontrar el Area de la seccidn transversal
del conductor, o b s e ~ a m o sque
3.3
La variaci6n de la resistencia con la temperatura
se expresa por mediodel coeficiente de resistencia en funcidn de l a t e r n p c r a t u r a a. E x p l i c i t a -
asirnismo, de la tabla 51, P = 2.83 pC1 crn y c Y = 0.003g°C
a 20°C.
mente, la resistencia R, a una ternperatura T°C
se relaciona con la resistencia R, a O°C por R, =
R0(1 + q T ) , donde U, es el coeficiente de ternperatura a O°C. Esta relaci6n se describe para el
cobre en la figura 3-5, la cual tambien muestra re-
para
Fig. 3-3.
El
PARAMETROSDE LAS L(NEAS DE TRANSMISI~N
sistencia del cobre a la temperatura de cero absolute. Utilizando la figura 3-5, encontramos la
resistencia del conductor de cobre a -20°C si
su resistencia a O°C es de 20 (1.
Sayci11Id l ~ y u 3.5,
~ d 1e11e111ub
que 1 1 ~= 11234.5. De IUS da-
tos dados,
3.4
Una muestra de un conductor de cobre tiene una
resistencia de 50 Q a 10°C. iCuAl debe ser la temperatura maxima de operaci6n del conductor, si su
resistencia se incrementa un maxim0 de 10 por
ciento? Tome en cuenta el coeficiente de temperatura que a 10°C es de (Y = 0.00409°C-1.
Fig. 3-6
Aqui tenemos R , - 50 R y R Z - 50 + 0.1 x 50 55 0. Tarnbibn, 1, = 10°C y necesitamos conocer T,. De
(3.2)obtenemos
3.5
Contorrne a la ley de Ampere, las intensidades del
campo magnetic0 dentro y fuera del conductor interior
son, respectivamente,
La pkrdida por fase en una linea de transmisi6n
de 40 km de longitud no excede a 10s 60 kW, mientras que ksta conduzca 100 A por fase. Si la resistividad del material del conductor es 1.72 x
10-8 n.m, determine el diametro requerido del
conductor.
2nr
La p6rdida cn la linco cs, ol mdximo,
Asimismo, W.,, =
se convierte,
w, = :pO(b
de la cual encontrarnos R = 6. Sustituyendo ese valor
en (3.1),resolviendo para encontrar el resultado de A y
sustituyendo A = *D214 se obtiene
'I
para r, < r < r2
$ 1 , B - H dv; de donde B = ,$I+,esto
H i i 2 n r dr +
[:
~ ~ 2 ld r ) r
(3)
Dara una unidad de longitud,
W", = De la cual D = 1.208 crn
3.6
Un cable coaxial tiene un conductor interior de
radio r, y un conductor exterior hueco de radio r2
(Fig. 3-6). El conductor exterior tiene un espesor
despreciable. Determine la inductancia por unidad de longitud del cable determinando la energia almacenada en el campo magnetic0 del
cable e igualandola a la energia almacenada en
la inductancia del cable. Suponga que la distribuci6n de la densidad de corriente es uniforme
con respecto a la secci6n transversal del conductor.
Sustituyendojl) y (2) en (3)se obtiene
Pero W , =
3.7
LIZ. osi que
Una linea de transmisi6n btfilar monofasica de
15 km de longitud esta constituida por conductores redondos, cada uno de 0.8 c m de didmetro,
separado uno del otro por 40 cm. Calcule el
diametro equivalente del conductor hueco ficticio, de pared delgada que tiene la misma induc-
PAR~~METROS
DE LAS L/NEAS DE TRANSMISION
tancia que la linea original. iCuB1 es el valor de
esta inductancia?
E l conductor fict~cioesunocvyoradioes r' y cuyo
diametro es entonces
zrl = r e
'I4
= 0.8 x 0.7788 = 0.623 cm
3.10
Si utilizamos (3.5), encontramos que la inductancia del
conductor de 15 krn es
3.8
De (3.74) con t o = 10 9/36+Flm,
De aqui que la reactancia capacitiva por kil6metro de la
linea de transmisi6n sea
UII c i ~ c u i t osimple trifasico, c o n u n a linea de
transrnisibn de 60 Hz, consta de 3 conductores
arreglados como se muestra en la figura 3-7. Si
10s Conductores suri IUS III~SII~US que l o s d e l problema 3-1, encuentre la reactancia inductiva de
la linea por kildmetro por fase.
LCUAI es la reactancia capacitiva por kildmetro de
la linea de transmisidn trifasica del problema 3.8?
3.1 1
Encuentre la inductancia por unidad de longitud
de la linea monofasica mostrada en la figura 38.
Los conductores a, b y c tienen un radio de 0.2 cm,
y 10s conductores d y e tienen un radio de 0.4 cm.
Fig. 3-7.
De (3.7),
D, = (5 x 5 x 8)"'= 5.848m
Del problema 3.1, r -
$- x 0.635 x 10 2 m, por In LIP
y In(DIr) = 7.52. Por consigulente, de (3.6) tenemos, pa.
ra cada k1l6metrode longitud,
L = 2(: + 7.52) x lo-.' x lo3 = 1.554mHlkm
Fig. 3-8.
La reactancia inductiva por kilbmetro es entonces
X, = wL = 377 x 1.554 x lop3 = 0.5858G?
3.9
Calcule la capacitancia y la reactancia capacitiva (a 60 Hz) d e la linea de transrnisi6n del problema 3.7.
Para el aire, ', = 10-9/36~ F l mPor
. eso, de (3.13).
Debido a que la linea noes simbtrica, usamos (3.8) o
(3.9) la DMG entre los lados X y Y es
donde
Dd = Dbr = 6 m
Dee = Dbd= Drr = d
m = 7.21 rn
PARAMETROS
DE LAS ~ N E A S
DE TRANSMISI~N
Fig. 3-9.
3.13
Por lo tanto,
Calcule la capacidad por kilOrnetro por fase de
una linea de conductor de dos haces de un circuito simple, como se muestra en la figura 3-9.
El
diAmetro de cada conductor es de 5 cm.
Tenemos
El RMG para el lado X es, con D,, = r, e-lI4 = 0.7788r,.
y para el lado Y es
Por lo tanto, de (3.18),
Asi. de (3.9),
Problemas cornplementarios
Por lo tanto,
L = L, + L, = 14.4 x 10-'H/m
3.12
3.14
Una linea de transmisr6n monofdsica, de 50 km de longitud, esta hechn dc un conductor de cobre d i d o de 500 mi-
lesimas de pulgada de dldmetro. Usando 10s datos de la
tabla 3-1, encuentre l a resistencia del circuit0 a 20°C.
Verifique el resultado del problerna 3.8 aplicando
el concept0 de RMG y DMG.
Del problema 3.1, el diametrodel conductor es 0.635
cm. En consecuencra.
0.7788 X 0.635
= 0.002473 m
GMR = Ds =
2 x 100
3.15
Determine la reslstencia de la linea del problema 3.14 a
80°C.
Resp.
Y
0.1714 S2
GMD = Dm = .
5
/
m
= 5.848m
Asi, segljn (3.9),la inductancia por kildmetro es
lo cual concuerda con el resultado del problema 3.8.
3.16
Un conductor de una linea de transrnisidn tiene una reslstencia de 7 fl a O°C. Calcule el coeficiente de ternperatura
det metal del conductor a 20°C,si su resistencia aumenta
a 7.8 1) a la temperatura de 20°C.
Resp. 0.00513"C-'
PARAMETROS DE LAS L/NEAS DE TRANSMISI~N
28
La resistencia de una linea de transrnisibn es 25 0 a 15°C y
se incrementa el 10 por ciento cuando la temperatura aumenta a 50°C. LA qu8 ternperatura su resistencia es de
30 (1, si so supnne ~ I I Pel caeficiente de tem~eraturase
mantiene constante?
Resp.
3.24
Resp. 65°C
Los conductores de una linea de transmisi6n trifdsica estdn arreglados formando un tridngulo equ~ldterocon lados
de G m cada uno. Si 10s conductores tienen .!XImil6stmas
(mils) de pulgada de diarnetro y la linea tiene una longitud
de 25 km, jcuhl es la inductancia por fase?
Resp.
Una linea de transrnisi6n rnonofdsrca se encuentra a una
aliuro h mctroc orriba de la tierra y consta de r n n d ~ ~ c t n res de radio r metros separados por una distancia de d
metros. Obtenga una expresidn para la capacitancia por
metro entre 10s conductores, incluyendo el efecto de la
tierra.
Rcsp.
3.25
35.5rnH
0.203 p F
n ~ , , l l [nd l r d l + ( d / 2 h ) ' J F/m
Encuentre la RMG de un haz de dos conductores separados por una distancia d , cada uno de 10s cuales tlene un
RMG de D,.
Sean D .,,. = c, D,..a y D,,. = b en la linea de transmisi6n
tr~fasicatranspuesta rnostrada en la f ~ g u r a3-1.Obtenga
una expresibn para la inductancia de la fase a para una
linea de 1 m de longitud. El radio del conductor es r.
:
3.26
Vuelva a resolver el problema 3.25 para un haz de cuatro
conductores colocados en las cuatro esquinas de un
cuadrado de lado d. El RMG de cada conductor es D .
3.27
Calcule la inductancia por kil6rnetro por fase de la linea
rnostrada en la figura 3-9.
3.28
Una linea transpuesta de transmisit~n,trifdsica y de doble c i r c u ~ t ose
, muestra en la figura 3-11. El r a d ~ o d cada
e
conductor es de 1 25 cm. Calcule la inductancia por kil6metro por fase.
Una linea de transmisibn rnonofds~cade 10 krn tiene
16.65 rnH de inductancla total. SI la d~stanciaentre 10s
conductores es de 1.0 m, jcual es el d~dmetrodel conductor?
Deterrn~neel radio m e d ~ ogeornetrico de 10s conductores
del problema 3.20.
En la flgura 3-10 se muestra una l ~ n e a
de transmlsldn mon n f a s ~ c arip c l r c u ~ t odoble Obtenqa una expres16npara
a metro para cada conductor.
la ~ n d u c t a n c ~por
Fig. 3-11.
Fig. 3-10.
Xesp
(12 + 2 1" d \/-)
x 10 ' H i m
Calcule la capacitancia por fase de la linea de transmls16ndescrita en el problema 3.18.
3.29
Encuentre la capacltancla del r~eutrode la linea del
problema 3.28.
El calculo de lineasde
transmision
Las lineas de transmision integran fisicamente la
salida de las plantas generadoras y las necesidades de
10s clientes proporcionando vias de acceso para el flujo
de energia entre varios circuitos en un sistema de potencia electrico. En este libro considerarnos que una linea
ue transmision tlene un extremo transmtsor y un extremo receptor, una resistencia en serie, una inductancia y
una capacitancia en paralelo, asi corno una conductancia corno parametros primarios. En suma, clasificamos
las lineas de transmision en cortas, rnedianas y largas.
En una l inea corta, 10s efectos en paralelo (conductancia y capacitancia) son despreciables; esta aproximacion se considera valida para lineas hasta de 80 km de
longitud. En una linea media, las capacitancias en paralelo se concentran en unas cuantas direcciones predeterminadas a lo largo de la linea; por lo general las lineas medias tienen un interval0 de longitud entre 80 y
240 km. Las lineas de mas de 240 km se consideran largas y tienen parametros unlformemente distribuidos.
En el capitulo 3 estudiamos 10s tres pararnetros
mas importantes en las lineas de transmision. En este
capitulo cstudiaremos el efecto que esos parametros
tienen en la operacidn y realizacidn de lineas de transmision. En particular, evaluamos las perdidas, eficiencia y re~ulacicinde voltaje en lineas de transmisi6n y
luego determinamos las consecuencias que tales caracteristicas de funcionamiento producen en ia operacidn
de un sistema de potencia.
concentrada. Una linea de longitud media se representa
con capacitores en ~ a r a l e l oconcentrados localizados
en puntos predeterminados a lo largo de un circuit0 en
serie RL. (En la practica, el efecto de la capacitancia total en una linea de longitud media se puede representar
con uno o dos capacitores concentrados.) Finalmente,
una lineb de transmision larga se representa con parametros distribuidos de manera uniforme. Adernas, la lam a en paralelo de una (inea larga consta de capacitancias y conductancias distribuidas uniformemente a lo
largo de la l inea.
4.2
L ~ N E ADE TRANSMISI~N DE LONGlTUD
CORTA
La linea de transmision corta se representa con 10s
parametros concentrados R y L corno se rnuestra en la
figura 4-1. Observese que R es la resistencia (por fase) y
L es la inductancia (por fase) de la linea completa (aun
cuando calcularnos parametros en las lineas de transmlslon por unldad de longltud en el capitulo 3). La linea
mostrada tiene dos extremos: el extrerno transmisor (designado por el subindice 7-) en el generador y el extremo
receptor (designado por R) en la carga. Las canlidades
de importancia aqui son la regulation de voltaje y la eficiencia de transmision. Estas cantidades se definen com n sigue para lineas de todas las longitudes:
Regulaciones del voltaje por ciento =
Para facilitar la realizacidn de 10s calculos relacionados con una linea de transmision, podemos decir quh
la I inea es aproximadamente una interconexion en serieparalelo de 10s parametros mas relevantes. Una linea de
transmision corta, en la cual 10s efectos en paralelo pueden ser despreciables, se representa mediante una resistencia concentrada en serie con una inductancia
Eficiencia de lransmisibn =
potencia en e l extremo receptor
potencia en el extrerno transmlsor
2%- (4.2)
=
P,
donde V, es el voltaje en el extremo receptor.
Z
-
Is
C~enerador: +
Extrcmo V5
~ r ' a n ~ r n ~ ~-o r
I,
A A A
R
L
L
I
Cdlpd.
VR Extrenio
receptor
Fig. 4-1.
4.3
L/NEA DE T R A N S M I S I ~ NDE LONGITUD
4.4
L ~ N E ADE T R A N S M I S I ~ NDE LONGITUD
LARGA
MEDIA
En una lincir dc trensrnision de longitud media el
efecto en paralelo se debe a que la capacitancia de la
linea no es despreciable. Se ofrecen dos representaciones
dti dicha linea en las figuras 4-2 y 4-3; estas representaciones se conocen como circuit0 nominal-ll y circuifo
nominal-T de la linea de transmision, respectivamente.
Las figuras muestran tambien 10s diagramas fasoriales
para condiciones de factor potencia retardado. Estos
diagramas ayudan a entender las relaciones mutuas
entre las corrientes y 10s voltajes a lo largo de la linea.
Se considera que 10s parametros dti tlna linea larga
estan distribuidos sobre la longitud total de la linea. Una
fase (con regreso a traves del neutro) de una linea larga,
de l o n g i t u d z , se incluye en la figura 4-4. El voltaje V en
cualquier punto a lo largo de la linea esta dado por
Z
Fig. 4-2.
Fig. 4-3.
v5z,
donde i =
y e s la admitancia en paralelo por unidad de longitud de la linea, z es la impedancia en serie
por unidad de longitud y .ise conoce como constante de
propagacidn. Una solucidn de (4.3) es
donde Z. = L6/y se llama impedancia caracteristica
4.5
de la linea. La c u r r i e ~ ~/ell
( e cualquier purito a lo largo de
LA LINEA DE T R A N S M I S I ~ NCOMO RED
DE DOS PUERTOS
la linea esta dada por
En secciones anteriores vimos que, cuando una linea de transmision se representa con su circuito equivalente, podemos representar el voltaje y la corriente en el
extremo transmisnr en terminns de 10s voltajes y corrientes del extremo receptor y 10s parametros de la Jinea. En general, una linea de transmision se puede ver
como una red de cuatro terminales, segljn se advierte en
la figura 4-5, en tal forma que 10s voltajes y las corrientes terminales se relacionan mediante
I as ec~racinnes(4 4 ) y (4.5)se pueden expresar en
terrninos de funciones hiperbolicas como
V = VRcosh yx + IRZcsenh yx
(4.6)
senh yx
r = vR----+ IR C O S ~YX
z c
=z,
Puesto que V = V,e I = I,en x
en el extremo transrnisor (4.6) y (4.7) se convierten en
Vs = VRcosh y2' + IRZcsenh y 3
senh y2'
ls = VR
(4.8)
+ IR C O S ~y 2
z c
Las siguientes relaciones son utiles en calculos numericos que emplean de 14.6)a (4.9):
Una linea de transmlston de cualquler longitud se puede
representar con la red de cuatro terminales de la figura
4-5 con constantes A BCD como se dan en la tabla 4-1.
y=cu+jP
+ jpP)
cnsh y Y = cnsh (a9
= cosh a 2 cos /I2
senh y 2 = senh ( a 2+ j B 2 )
= senh a 2 cos /32'
cosh y 2 = 1 +
2!
donde las constantes A , B, C y D se llarnan constantes
del circuito generalizado o constantes ABCD y son, en
general, complejas. Por reciprocidad, estas se relacionan unas con otras como sigue
+ j senh a 2 s e n /32
+ j cash a 2 sen p 2
4!
Fig. 4-5.
Lonpirt~dincretnental
de rra~lsrni\in~l
lineal
r= 0
Fig. 4-4.
TABLA 4-1 Las constantes ABCD para lineas de transmision @or fase)
1.ongitud dc
Circuito equivalente
A
B
C
D
Corta
lmpedancia en serie
Fig.
- 4-1
1
Z
0
1
Media
Nominal 11. Fig. 4-2
1+$YZ
2
Y(l
Nominal T, Fig. 4-3
l+;Yz
Z(l+fYZ)
Y
1 + $Yz
Parametros d~stribuidas
Fig. 4-4
coshyp
2,senhyZ
(senh y X )/ Z ,
cosh y 2 !
In lineo
Larga
4.8
4.7
FLUJO DE POTENCIA EN LINEAS DE
El flujo de potencia en cualquier punto cn una linea
de transrnision puede calcularse facilmente en terrninos de
las constantes ABCD. Puesto que estas constantes son
en general complejas, se tiene
Y
ONDAS VIAJERAS EN L ~ N E A SDE
TRANSMISI~N
TRANSMISI~N
A=IAl&
+ ~ Y Z ) 1 + ;Yz
B = lBl@
(4.14)
En una linea rie transrnision larga corno la de la figura 4-4, el voltaje V y la corriente I satisfacen en cualquier lugar a lo largo de la linea una relacion llamada
ecuacion de onda. Para una Iinea de transmision sin perdidas, tal que z y y e n la figura 4-4 Sean purarnente reactivas, la ecuacion de onda se puede escribir corno
Si escogemos V, corno el fasor de referencia, suponemos que
VR=IVRIF
Y
Vs= lVs1/6
(4.15)
Por lo tanto, de (4.17) obtenemos
Las soluciones a (4.20) y (4.21)presentan las forrnas
La potencia cornpleja V,I,*del
da por
extremo receptor esta da-
(4.17)
Asi que
donde
l v ~cos
1 ~( p - CY)
(4.18)
1
4 IVRI*sen (P - N )
(4.19)
- [A1
Is1
-
IBl
y los subindices + y - significan, respectivamente, ondas viajeras en las direcciones + x y - x a lo largo de la
linea de transmision. El hecho de que las soluciones
(4.22)y (4.23) representan efectivamente ondas viajeras
lo indican sus argumentos, en 10s cuales u tiene la dimension en metros por segundo. Una onda tal que V * ( t X / U ) este desplazandose en la direcci6n positiva x se
llama onda viajera de avance y una que se este movjerl-
do en sentido negativo de x se llama onda viajera de retorno.
Esto se puede verificar de (4.20) a (4.24).
La figura 4-6 muestra una linea de transmision con
una longitud total 9que termina en una resistencia R, y
es excitada por una fuente de voltaje que proporciona
una onda de voltaje de circuit0 abierto V , ( t )en forma de
pulsos como se muestra en la figura y tiene una resistencla lnterna H,. Para determinar 10svoltajes termlnales V(0, t) y V ( 3 , 1 ) y las corrientes terminales I(0, t ) y
l(2,
t )como funciones del tiempo, consideramos la part e de la linea en la carga (Fig. 4-7). En x = 2 ,dcbcmos
tener
La razon JLIC tiene su dimension en ohms y recibe el
nombre de impedancia caracteristica Z, de la linea. En la
seccion 4.4 se dijo que L, = &/y para una linea con perdidas; en cambio, aqui la linea esta sin perdidas, por lo
que la irnpedancia caracteristica es puramente resistiva. Podemos entonces llamar R, a la resistencia y cscribir
La ecuacion (4.29)requiere la existencia de ondas viajeras de avance y retorno en x = 3.
Si solo existen las ondas viajeras de avance en la carga, entonces
y si solo existen \as ondas viajeras de regreso a la carga,
entonces
para una linea sin perdidas. En terminos de R,, (4.23)se
convierte en
Ni (4.30) ni (4.31) satisfacen (4.29), per0 una combinacion de ambas s i puede hacerlo. Sin embargo, (4.29)
tambien se satisface por (4.30) si R, = R , ; en tal caso,
Rs I(0.t )
I - ( t - x )
-1
+
Fig. 4-6.
(tt ulu)
Fig. 4-7.
Fig. 4-8.
no existe una onda viajera de retorno y se dice que la I inea esta acoplada perfectamente con la carga. Per0 la
discontinuidad en la linea producida por el resistor de
carga hace que exista una onda que se refleja en forma
de onda viaiera de retorno.
El coeficiente de reflexion de corriente es, pues, el negatwo del coeficiente de reflexion del voltaje. Si resolvemos de (4.29) a (4.32)para R , y l ' , , obtenemos
R~ = R, 1
+ r,
1 - r,
(4.36)
Coeficientes de reflexion
Ahora podemos definir el coeficiente de reflexion
del voltaje en una carga como la razon de las amplitudes
de las ondas viajeras de voltaje de retorno y avance en
x = 2 ;esto es,
v-(t +
rLv= = rL
V + ( t- Y l u )
9/11)
Esta reflexion de ondas se muestra en la figura 4-8. El
rnecanismo de reflexion se puede considerar la imagen
que produce un espejo, corno l a nnda reflejada en V (punteada), una replica de V' que es un "vuelo redondo",
de modo que todos 10s puntos de la onda V son 10s puntos correspondientes a la forma de onda V' multiplicada
por l',. Las partes de la figura de ( b ) a (e)muestran las
ondas en diferentes instantes. En cualquier tiempo t , el
voltaje total de la carga, ~ ( 2t),, es la suma de las ondas
individuales presentes en la carga en ese momento. Esto se indica en la figura 4-8(b)y (c) para una onda viajera
de avance de amplitud A.
Ahora vamos a considerar la parte de la linea correspondiente a la fuente, x = 0, como se indica en la figura 4-9(a). Cuando la fuente se conecta inicialmente a
l a linea, se propaga una onda viajera de avance a lo largo de ella. No aparece una onda viajera de retorno en la
iinea hasta que la onda viajera de avance haya alcanza-
(4.32)
En terminos de I', y R,, (4.22) y (4.28) nos dan, en la carga,
Por eso, un coeficiente de reflexion de corriente en la
carga puede definirse como
(h)
Fig. 4-9.
do la carga, lo cual requiere un tiempo T = Z l u , puesto
que la carga no tiene una fuente que produzca una onda
viajera de retorno. La parte de la onda inc~dente,que se
refleia en la carga, requerira un t i e m ~ oadicional para
regresar de la carga a la fuente en x = 0. Por lo tanto,
durante el intervalo 0 5 t < 2d;Plu, no aparecera una onda viajera de retorno en x = 0, y el voltaje y la corriente
se deberan solo a las ondas viajeras de avance V* y I*;
por lo tanto,
nara 0 5 t <
-
Ya que la razdn de voltaje total a la corrlente total en la
linea es R, para 0 It < 2%u, la linea parece tener una
resistencia de entrada R, en este intervalo de tiempo,
como se advierte en la figura 4 9(b).Asi, durantc cstc in
tervalo la onda viajera de retorno que fue lanzada inicialmente esta relacionada con V , ( t )mediante
La onda lanzada in~cialmentetiene la misma forma que
V,(t), pero sus puntos se reducen en magnitud a 10s puntos correspondientes a V,(t) por las relaciones del divisor de voltaje R,I(R. + R,),como se muestra en la curva
de la figura 4-9(b).Si M es la amplitud maxima de V , ( t ) ,
entonces A = R,MI(R, R,) es el maximo de V(0, t).
Estas ondas viajeras de avance, lanzadas inicialrrlerlte tlar;ia la carya, requieren un tierrlpo T = 2 l u para
pasar de la fuente a la carga. Cuando el frente de la onda alcanza la carga, se inicia el reflejo como se muestra
en la figura 4 8. Esta onda reflejada requiere un tiempo
T = 3 lu para que su frente alcance la fuente. Tanto en la
fuente como en la carga se refleja esta onda, y en paralelo con (4.37)Dodemos definir un coeflciente de reflexion de la fuente de voltaje
+
como la razon de amplitud de la onda de entrada (la cual
en realidad fue reflejada en la carga) con la amplitud de
la onda reflejada (la cual es retornada a la carga). Por
tanto, se inicia una onda viajera de avance en la fuente,
de la misma manera que la onda viajera de retorno fue
iniciada en la carga. Esta onda tiene la misma forma
que la onda viajera de retorno, pero con 10s puntos cgrrespondientes reducidos por I'..
Este proceso de reflexion repetida continlia como reflexion en la fuente y en
la carga. En cualquier momento, el voltaje total (o corriente) en cualquier punto de la linea es la suma de ca-
da uno de 10s valores de todas las ondas de voltaje individuales (u ondas de corriente) que existen en la I inea en
ese punto y en ese momento.
Diagrama reticular
Una forma conveniente de hacer un segu~mientode
estas reflexiones es el diagrama reticular (Fig. 4-10). En
61, el eje x horizontal estd marcado como la distancia abajo de la linea y el eje x vertical estd marcado corno tlempo
en incrementos del tiempo total requerido para cruzar la
linea en una direccion: z l u . Supongase que el pulso de
la figura 4-10(b) es lanzado inicialmente e n el Lierr~pu
t = 0. Examinernos un punto en este pulso, con magnitud
K e n el tiempo t '. El punto se desplaza a traves de la carga y se refleja, originando un punto correspondiente en
la forma de onda reflejada de magnitud Kr,. ~ s t ese
vuelve a reflejar en la fuente, luego en la carga y asi sucesivamente. El dianrama reticular muestra este proceso de una manera conveniente y nos permite obtener el
valor del voltajetotal de la linea V(x, t) en cualquier punto y en cualquier tiempo en la l inea. Por ejemplo, cuando
t = t ' + T / u , el voltaje total en x = %' es K + K I', =
K ( l + r,).Cuando x = 2 1 2 , punto medio de la linea, en
t = t' + $ Z / u el voltaje total de la linea es K r , .
Siguiendo el movirniento de varios puntos en la onda lanzada inicialmente [los cuales difieren de 10s de
V , ( t )solo por R,I(R,
R.)];podemos determinar el voltaje total do la linea en cualquier punto en la linea. Esto
puede lograrse tambien para la corriente de la linea, pero entonces la onda lanzada inicialmente es
+
y debemos reemplazar I', y I', en el diagrama reticular
con 10s coeficientes de reflexion de la corriente -I', y
- r,.Sin embargo, el metodo mas senclllo para determlnar el voltaje y la corriente en la Iinea es visualizar y bosquejar las ondas viajeras de avance y retorno en un instantc para producir cl voltaje y la corriente totales en la
l inea en ese instante.
Problemas resueltos
4.1
Dibuje un diagrama fasorial que muestre las relaclones voltajecorriente de una linea de transmision corta representada en la figura 4-1.
Escogiendo V, como el fasor de referencia y eligien.
do arbitrariamente un factor de potencia de 0.9, dibujamos l o corricntc I rctardoda c o n rcspccto o V, como sc vc
(4
Fig. 4-10.
en la figura 4.11. Para una linea corta, I = I , = I, como se
muestra en la figura. Asimisrno.
Vs = V , + I(R + jX)
donde X = oL
. 4.2
(1)
Fig. 4-11.
Una Iinea de transmision corta de 60 Hz, que tiene
una resistencia R = 0.62 ohms por fase y L =
93.24 milihenrys por fase, alimenta una carga trifasica conectada en estrella de 100 MW, con un
factor de potencia de 0.9 en retraso, y con un voltaje de linea a linea de 215 kV. Calcule el voltaje
en el extremo transmisor por fase.
I n rnrrlente en In linea I( = 1 . = I..)
0.5/60" I2lkm. La linea alimenta una carga de 316.8
kW de carga, con un factor de potencia de 0.8 en retraso. ~ C u aes
l la regulaci6n del voltaje, si el voltaje
del extremo receptor es 3.3 kV?
es
Si queremos deterrninar la regulacion del voltaje,
debernos deterrninar V, = VR,sl, cargal, para el cual utillzarnos ( 1 ) del problema 4.1 :
y el voltaje por fase en el extrerno receptor es
Entonces
El diagrarna fasorlal muestra las condiciones de operacion en la tlgura 4-11, con H = O.b2 !I y x = UL = 377 x
93.24 x l o - ] = 35.15 11. Por tanto,
Ahora b ~ e n
K = (3300 + j0) + (551.77 + j235.69)
= (3851.77
+ j235.69)V
Por lo cual
4.3
IVY/= 3858.97 V
Determine la regulacidn del voltaje y la eficiencia
de la transmision de la linea de transmision del
problema 4.2.
Puesto que VR(Sln
carga, = V , aqui, (4. t ) nos cia
Por tanto, segun (4.1),
3858.97 - 3300
3300
x 100 = 16.94 por cienru
Regulacibn del voltaje por cien~o= -
4.5
la linea del problerna 4.4 utilizando (a) un cilculo
de perdida y (b)el voltaje del extremo transmisor y
= 3.955 por cienlo
el factor de p o t e n c i a
Para calcular la efic~encla,primero determlnamos
la perdida en la linea, la cual es
( a ) La parte real de Z es la resistencia. De esta rnanera,
tenemos
La pntencia recihirla en la carga esta dada por 100 MW.
por lo cual la potencia enviada as 100 + 0.166 = 100.166
M W . Por lo tanto, segun (4.2),
100
100.166
El'iciencia = -- 99.83 por ciento
4.4
Una linea de transmisidn monofzisica corta de
10 km de l o n ~ i t u dtiene una impedancia de
Calcule l a potencia del extremo transrnisor para
Perdida en la linea = I'R = 120' X 2.5 = 36 kW
Y
Regulacibn de voltaje = 316.8
+ 36 = 352.8 k W
(b) Del problerna 4.4, V, = 3858.97/350 V. Corno se
muestra en la figura 4-11, el angulo entre V, e I,es la
surna de este angulo y el angulo entre V , e I,,o 3.5' +
36.87' = 40.37' Por lo tanto,
Polencia en el exrremo =
tralisrnisor
3858.97 X 120 cos 40.37"
1000
= 352.8 kW
4.6
de aqui deterrnlnamos que V,, = 1805 V.
(b) De (2), tenemos
La impedancia por fase de una linea de transmision corta es (0.3 + 10.4) 12. El voltaje linea a linea
d e l e x t r e r n o t r a n s m i s o r es 3300 V y l a c a r g a en el
extrerno receptor es 300 kilowatts por fase, con
un factor de potencia de 0.8en retraso. Calcule ( a )
el voltaje del extremo receptor y (b)la corriente de
l inea.
4.7
(a) En una base por fase,
Para la Iinea del problema 4.6, ( a )calcule el factor
de potencia del extremo transmisor; (6)calcule la
perdida de potencia por fase determinando la potencia del extremo transrnisor; y (c) verifique su
resultado en la parte (b) calculando directarnente
la perdida de la potencia.
(a) De l a figura 4-12 y el problema 4.6
Con base en la f ~ g u r a4-11, que se volvio a dibujar
con I como fasor de referencia en la figura 4-12, determinernos que
V: = (VRcos $, + R1)2+ (VRsen
+, + XI)2
COS
(3)
Se sustituye ( I ) , (2)y otros valores conocidos en (3).
lo cual conduce a
Fig. 4-12.
1506.33
1905.25
cps = -- 0.79
y el extremo transmisor tiene 0.79de factor de potencia retrasado.
( b ) La potenc~adel extremo transmisor es
P, = V,I cos h = 1905.25 X 207.75
4.9
x 0.79 = 312.94 kW
La perdida de la potencia por fase es entonces
9, - P, = 312.94 - 300 = 12.94 kW
~Cual
maxima potencia que se puede transmitir en una linea de transrnision corta trifasica
que tiene una impedancia por fase de(0.3 + 10.4)R
si el voltaje en el extremo receptor es de 6351
volts por tase y la reguiaclon de voltaje no exceae
el 5 por ciento?
(c) Por calculo directo, la perdida de la potencia por fase
EII U I I ~
L~aseF)VI fase.
en la linea es
Para una linea de transmision corta de impedancia (R + j X ) ohms por fase, se establecen 10s voltajes en 10s extrernos transmisor y receptor V, y
V,, respectivamente. Encuentre la potencia maxima que se puede transmitir en la linea.
4.8
E n t o n c e s , de ( 4 ) del problema 4.8,
De (3) del problema 4.6, tenemos
C.': = V i f 2fVR(RCOS fpR t XSCn+R) + IZ(R2+ X2)
y la potencia total maxima que puede t r a n s m ~ t i r s ees 3 x
36.3 = 108.9 MW.
(1)
4.10
Ahora bien, de
P = V,I cos (bR
y
Q = VRIsen @,
podemos volver a escribir (1) como
Calcule (a) el factor de potencia en el extremo receptor y ( b )la perdida total en la linea para la linea
de transrnislon del problerna 4.9 rnientras se suministra la potencia maxima.
(a) De (3) del problema 4.8, la potencia reactiva recibida
por fase es
Q = -
63512 x 0.4
= -64.53 Mvar
0. 52
Asi.
64.53
tan @, = -= 1.78
En (2)solo P y Q varian. Asi pues, la potenc~amaxima que
tendremos dPldQ = 0. Diferenciando (2) y reacomodando
se obtiene
d P2X + 2QK
-do
2R
+ 2PK
donde K =
36.3
y cos o, = 0.49. De aqui que el factor de potenc~adel
extremo receptor sea 0.49 en retraso.
R2 + X2
v',
(b) Del problema 4.9, a una potencia maxima.
de lo cual encontramos que, para dP1dQ = 0,
Sustituyendo (3) en (2) se obtiene, despues de alguna
simplificacidn algebra~ca,
PPrdida total en la linea = 31LR = 3(11,664)'(0.3)
= 122.46 MW
4.1 1
donde
Z =
v m .
Los parametros por fase para una l inea de transmisi6n larga de 200 km de longitud a 60 HZ son
R = 2.07R, L = 310.8 mH y C = 1,4774pF. La linea
suministra 100 MW a la carga conectada en estrella
con un voltaje de 215 kV (linea a linea) y un factor
de potencia en retraso de 0.9.Calcule el voltaje
del extrerno transmisor, utilizando la representacion del circuito nominal-ll.
Para usar el circuito nominal-ll, primero expresarnos V, e I, por fase como sigue:
4.13
Utilizando la nomenclatura de la figura 4-2, tenemos
Los parametros de longitud por unidad de una
linea de transmision trifhsica larga de 215 KV,
400 km, 60 Hz, son y = j3.2 x
Slkm y z = (0.1
+ 10.5)Qlkm. La linea alirnenta una carga de 150
MW con un factor de potencia unitario. Determine
(a) la regulacion de voltaje, (b) la potencia del
extremo transmisor y (c)la eficiencia de transmision.
Necesitaremos V, y I,. Porque Bsta es una linea larga, con parametros que se supone estQndistrihuidos a lo
largo de la linea, determinamos el voltaje y la corriente
del extremo transrnisor como sigue: tenemos
por lo cual,
En consecuencia,
Adernas,
4.12
Repita el problema 4.1 1 , utilizando la representacion del circuito nominal-T para la linea de transmision.
Utilizando la nomenclatura de la figura 4-3, tenemos, con V , e IR como se calculo en el problema 4.11,
Por lo tanto,
Ahora bien, de (4.l o ) ,tenemos
cosh y 2 = cosh 0.05cos 0.5
+ j senh 0.05sen0.5
= 0.877 + j0.024
= 0.877/1.57'
senh y 2 = senh 0.05 cos 0.5 + j cosh 0.05 sen0.5
= 0.044 + j0.479
Finalmente. de (4.8) y (4.9)obtenemos respectivarnente
Irnaginario
4
IPait ~ O R I
Real
(a) Para utlllzar (4.1) n e c e s i t a r ~ ~ vels vullaje del extremo
receptor sin carga, con lo cual obtenemos de (4.8)con
I" = 0:
" ~ ( s l n cargab
-
Vars
- 146.4 - 166.93 kV
lcosh y 2 l 0.877
IVY
Luego
Regulation del voltaje por ciento =
166.93 - 124.13
124.13
x 100 = 34.48 por ciento
( b ) La potencia del extremo tranamisor e s
Potencia enviada = 3Vsls COS 0
= 3 x
146.4 x lo3
Fig. 4-13.
x 386.5 cos(32.55" - 24.28")
(c) De (4.2),la eficiencia de la transmision es
Eficicncia de transmision
de dos de esos circulos 3e indican en la figura 4 14; 10s
circulos se llaman a veces circulos de extremo receptor.
Potencia recibida
Potencia enviada
= -
t
150
167.98
x 100 = -= 89.3 por ciento
4.14
La figura 4-13(a) es el diagrama fasorial que corresponde a (4-17). Pasando el origen de 0' a 0,
cambiamos la figura 4-13(a) a un diagrama de potencia, como se muestra en detalle en la figura
4-13(b).Para un valor dado el valor fijo de ( V, / y un
conjunto de valores de ( V , I , dibuje 10s lugares
geom6trico.s del punto A .
Debido a que O ' A = 1 V], I V,JIJ B ) para una carga
y un valor dados de V,I, 10s lugares geometricos del
punto A seran un conjunto de circulos (de radio O ' A ) para
cada uno de 10s conjuntos dc valorcs de 1 V, 1 . Las partes
Dados .
V,, y VQ(lVs21< lvsll)
VR = constante
Vars
-
Lineade
A
\!I
OT
Watts
Fig. 4-14
4.15
A partir del resultado del problema 4-14 (Fig. 4-14),
para una carga dada con un angulo de factor de
potencia retrasado Ox, determine la cantidad de potencia reactiva que debe suministrarse al extremo
receptor para mantener constante el voltaje del
extremo receptor, S I el voltaje del extremo transrnisor disminuye de I V,, a I V, [ .
La Iinea OA en la figura 4-14es la Iinea de carga cu-
ya interseccidn con el circulo de potencia deterrnina el
punto de operacion. Asi, para una carga que tiene un an-
Finalmente, de (4.11) y el problema 4.11, el voltaje del
extremo transmisor es
gulo 0 , de factor de potencia retrasado, A y C son, respec-
tivamente, 10s puntos de operacidn para voltajes del
extrerno transmisor V, y V-1. Estos puntos de operacion deterrninan la potencia real y reactiva de dos voltajes del extrerno transrnisor.
La potencia reactiva que debe suministrarse en el
extremo receptor para mantener constante V , cuando
el voltaje del extremo transmisor disrninuye de / V,,/ a
; V,,I, esta dada por la longitud A B que es paralela al eje x
de la potencia reactiva. ( ~ s t a
puede suministrarse por
111e~liu
de l;dpa~;ilu~eb
t . 1 1 paralelu G V I I la carga.)
4.16
Determine las constantes ABCD para el circuit0
nominal-T de una linea de transmision para la
cual R = 10 R, X = 20 R, y Y = 400 pS para cada
fase.
Vs = AVR + BIR = ( 0 . 9 6 7 / 0 0 3 4 " ) ( 1 2 4 . 1 3 ~ )
+ 10-3(117.19[88.980)(298.37/-25.80)
= 120.03/0.034° + 34.96f63.18O = 139.32 kV/ fase
4.18
En el tiernpo t = 0, una bateria de 30 Vcon una resistencia interna igual a cero ohms se conecta a
la linea de transmision mostrada en la figura
4-15(a). Trace la distribucidn del voltaje a lo largo
de la linea para varios instantes en el tiempo.
Los coeficientes de reflexion del voltaje fuente y la carga
son
Seg~jnla tabla 4-1,
y el tiempo requerido para recorrer la linea en una direccidn e s z l u = 2 p. En t = 0, un pulso de 30 V estA dirigido por l a linea; en 10s puntos a lo largo de la linea de
4.17
Determine las constantes ABCD para la linea del
problerna 4.11. Vuelva a resolver el problerna, tratando la l inea como una red de dos puertos.
Del problema 4.11
Por lo tanto, de la tabla 4-1,
transrnision, el voltaje es cero antes de la Ilegadadel pulso y 30 V despubs de que el pulso ha pasado. La figura
4-15(h) r n ~ ~ e s t rel
a vnltaje en t = 1 ,,s Cnn 1 = 7 5 ,,s, el
pulso ya llego a la carga y un pulso viajero de rnagnitud
3 0 r , = 10 V retorna hacia la fuente. La figura 4-15(c)
describe la situacion en ese momento.
Cuando este pulso reflejado de 10 V llega a la fuente, en t = 4 ps, un pulso de magnitud F , x 10 V = - 10 V
es devuelto hacia la carga. La figura 4-15(d)rnuestra la situacion 0.5 p mas tarde, en t = 4.5 @.
El pulso de - 1 0 V se dirige hacia la carga, alcanzandola en t = 6 p, mornento en que se refleja el pulso
de rnagnitud r L x - 10 = r L x rr x r r x 30 = -3.33V
y es enviado otra vez hacia la fuente. La figura 4-15(e)
muestra esta situacion que ocurre 6.5 ps mas tarde. En
cada punto de la linea, en cualquier tiempo, el total del
voltaje de linea es la suma de las ondas del voltaje presentes en cada punto y en cada mornento.
Se cierra en 1 = 0
- son
u = 200 mlp
RI.= 100 R
I-L = +
(b) t = 1 p.5
Total = 40 V
(c) t = 2.5 ps
Total = 30 V
- - - -- - --
Total = 40 V
1
----------
Total = 30 V
--Ad----
--------
10 v
30V
'
(e) t = 6 . 5 l s
Fig. 4-15.
30 V
----------
Total = 26.67 V
----------
-VoItaje total
--- Pulses incidentes y reflejados
(4
Fig. 4-16.
4.19
del tiernpo para 10s primeros 16 ps. La figura
4-17(a) contiene el circuit0 y la forrna de onda del
voltaje fuente.
Un cable que mide 400 rn de largo en la figura
4-16(a) termina en un cortocircuito (R, = 0) y es
excitado por una fuente de pulsos que tiene una
r e s i s t e n c i a i n t e r n a d e 150 R (R, = 1 5 0 R) 1 a f w n te produce un pulso de magnitud 100 V y tiene una
duracion de 6 p s , corno se advierte en la figura
4-16(b). Trace el voltaje V(0, t) en la entrada de la
linea para 10s prirneros 18 /IS. Los pararnetros del
cable son C = 100 pFlm y L = 0.25 pHlm.
Rc =
$
=
100 x
=
En t = 0 , se envia un pulso de 30 V fuera de la fuente. El borde delantero de este pulso llega a la carga en
t = 2 ps. En este momento, u n pulso de magnitud T, x
30 = 10 V es enviado de regreso a la fuente. Este pulso de
10 V llega a la fuente en t = 4 ps, tiernpo en el cual un pulso de rnagnitud I',I', x 30 = - 10 V se refleja hacia la
carga. ESte p u ~ s oIlega a la carga en r = 6 ps, tlernpo en
el cual un pulso de magnitud r, r, I', x 30 = -3.33 V se
envia de regreso a la fuente. Las contribuciones de esas
se muestran en la figura 1-17(b)con
ondns en x =
lineas punteadas, y el voltaje total se muestra con linea
Ilena. Observe que el voltaje de la carga oscila cerca de
10s 30 V. per0 se acerca asintoticamente a 30 V.
Para d~bujarla corriente de entrada I(0,t ) , trazamos
directarnente las ondas viajeras de avance y retorno y las
sumamos para obtener la corriente total de entrada, corno en la figura 4-17(c).Seria absurd0 trazar el v ~ l t a j ede
entrada V(0,t ) y luego dividirlo entre R, para obtener I(0,
t ) , ya que la razon del voltaje total a la corriente en la linea no es R, except0 para t < 2 Z l u . Por eso pudimos trazar I(0, t ) de una grdfica de V(0, t ) , comprendiendo que
son
9
y la velocidad de propagacidn es
el tiempn r e q ~ ~ e r i dpara
n qtle el p1.1lsn
Fn cnnsec~~encia,
pase de un extrerno a otro del cable es 2 p.
El coeficiente de reflexion del voltaje en la carga es
y el de la fuente es
Asi, podriarnos restar V(0, t ) de V,(t) punto por punto y dividir el resuitado entre R , para obtener I ( 0 ,t ) . Pero R. = 0
en este ejernplo, por lo cual no queda mas remedio que
trazar I(0, 1 ) corno en la figura 4-17(c). Observe que aqui
I ( U , t ) Osclla cerca del valor del estado estaclonarlo de
30 V I R , = 0.3 A.
lnicialmente en la fuente se ve la resistencia de entrada a
la linea de R, = 50 R. Asi pues, el voltaje de la onda enviada al inicio es un pulso que tiene una duracion de 6 ~1s
y una rnagnitud de
Este pulso alcanza la carqa en 2 p ,tiempo y lugar en que
se refleja un pulso con magnitud I', x 25 = - 25 V; este
pulso se vuelve a reflejar 2 ps mas tarde en la fuente. produciendo un pulso de magnitud I', x - 25 = - 12.5 V que
vuelve hacia la carga y asi sucesivamente. Las lineas
punteadas de la figura 4.16(c) seRalan las contribuciones
de varios pulsos a V(0, t ) en funcion det tiempo. Las
flechas lndlcan la dlrecc16n:-+lndlca el pulso de onda
viajera de avance y --indica el pulso de una onda viajera
de retorno. El voltaje total en el extremo de la fuente, dibujado corno una linea Ilena, es la suma de todos 10s voltajes presentes en x = 0 en cualquier tiempo.
4.20
Para la Iinea de transmision y el voltaje de la fuente del problema 4.18, trace el voltaje V ( 3 , t ) en la
c a r g a y l a c o r r i e n t e d e e n t r a d a I(0, t ) e n f u n c i o n
Problemas complernentarios
4.21
Una linea de transmision trifasica corta de 138 kV tiene
una ~ m p e d a r c l apor tase de (2 + 14)11. SI la I lnea sumlnlstra una carga de 25 MW con un factor de potencia de 0.8
en retraso, calcule (a) la eficiencia de transmision y ( b )el
voltaje del extremo transmiaor y el factor dc potcncia.
Resp.
4.22
( a ) 98.78 por ciento; ( b ) 139.5 kV,0.99
Una linea de transrnision trifasica corta, con una impedancia por fase de (2 + i 4 ) R tiene iguales voltajes eri el
extremo transmisor y receptor linea a linea de 115 kVmientras surninistra una carga con un factor de potencia
de 0.8. Calcule la potencia que suministra.
Resp.
839.2 MW
Se cierra en I = 0
Total = 40 V
+
m
t
f
30 V
---+- - - - - - - - - - -
Pulso viajero de avance
Pulso viajero de retorno
'lotal = 31.11 V
- - - - ---
- - - - --
Total = 29.63 V
L
Total = 26.67 V
Fig. 4-17.
4.23
Una carga trifdsica de 20 MW y con un factor de potencia
de 0.866 en retraso, conectada en estrella, va a alimentarse rnediante una linea de transrnisidn de 138 kV. Se re-
Resp. A = 0 . 7 1 4 7 p , B = 270.88/90", C
quiere que l a p6rdida on la linea no evceda el 5 pnr cientn
de la carga. Si la resistencia por fase de la linea es 0.7 It,
jcudl es la longitud rndxima en la linea?
4.29
Resp. 51 km
4.24
Las constantes por fase de 345 kV de una linea de transmisi6n trifAsica dc 150 km de longitud son: la resistencia =
0.1 Olkm, inductancia = 1.1 rnHlkm y la capacitancia =
0.02 aFlkm. La linea alimenta una carga de 180 MW con un
factor de potencia de 0.9 en retraso. Utilizando el circuito nominal-ll, determine el voltaje del extremo transrnisor.
Kesp. 26.57 MW
4.30
Resp. 350.8 kV
4.25
4.26
Los pardmetros por fase de una Iinea de transmisidn trifasica de 345 kV, 500 krn, 60 Hz son y = 14 x
Slkrn y z =
(0.08 + i0.6)Rlkm. Si la linea alimenta una carga de 200
MW con un factor de potencia airasado de 0.866, calcule
el voltaje y la potencia del extrerno transrnisor.
4.31
~ C u i i n t apotencia se transrnite en la linea del problema
4.30?
Resp. 137.5 M W
4.32
Resp. 372 kV; 240.8 MW
4.27
Para una linea de transmision trifasica larga, Z, = 406.4
1-5.48' R, V, = 2 1 5 K k V y 1, = 3 3 5 . 7 r A , para todos
10s vatores por fase. Calcule el voltaje del extremo transrnisor de la linea.
Resp. 238.8 kV
Repita el problema 4.24 usando el circuito nominal-T.
Re.~p. 359.3 kV
Los voltajes receptor y transmisor de una Iinea de transmision trifas~cacorta son V, = 33 kV y V, = 31.2 kV, respectivamente. Los parametros por fase rle In linen snn R = 10 R
y X, = 20 0. Calcule la potencia maxima que pueda transmitirse por la linea.
Eval~ie
las constantes ABCD de la Iinea de transmision del
problema 4.30 y verifique que AD - BC = 1.
Resp. A = D = 0.89/11340, B
= 186.8/79.46O, C = 0.00113/90.42°
Determine las constantes ABCD de la linea del problcma
4.24.
Resp. A = D = 0 . 9 6 5 E ; B = 64176.4OS2; C
4.28
Enllsre las constantes ABCD y deterrriir~eel vollajt?del e x tremo transmisor para la linea de transmision del problema
4.26, considerando la linea como una red de dos puertos.
4.33
Una 1inea de transmision sin Nrdidas tisne una resistencia
caracteristica de 30 It y terrnina en una resistencia de 90 R.
Una fuente de cd de 120 V se aplica a r = 0. Grafique V, en
funcion del tiempo para esta I inea, de t = 0 a t = 5T. donde T es el tiernpo que tarda la onda del voltaje en recorrer
la I inea.
Resp. Fig. 4-18
Fig. 4-18.
4.34
terna de 60 0. Utilice esto para graficar V ( y 1 3 , t) en
funcion de t = 0 a t = 41.
Resuelva de nuevo el problema 4.33 y dibuje un diagrama
reticular.
Hesp.
Resp. Fig. 4-20
Fig. 4-19
Voltajc
4.36
Una llnea de transmlsl6n sln pbrdldas, de 400 n ae largo,
tlene una resistencia caracteristica de 100 it y termina en
una resistencia de 60 12. Una fuente de 400 V que tiene una
resistencia interna de 300 R se conecta en la linea en t =
0. Calcule los coeficientes del voltaje de reflexion de 10s
extremos transmisor y receptor de esta linea.
Resp.
Fig. 4-19.
4.35
Dibuje el diagrama reticular par$ la linea del problema
4.33, suponiendo que la Iinea termina ahora en una resis-
tencia de 10 R y si la fuente de cd tiene una resistencia in-
Fig. 4-20.
$; ~i
4.37
4.38
Si 10s parametros de la linea del problerna 4.36 son tales
que la velocidad de la propagacidn de onda a lo largo de la
linea es 400 mlps, trace V , ( t ) para 0 5 t 5 10 pi.
4.39
l i e ~ p .Fig. 4-21
4.40
De 10s datos de 10s problemas 4.36 y 4.37, trace V,(t) para
0 5 t I 1OLLs.
Resp. Fig. 4-22
Determine 10s coeficientes de reflexion de 10s extremos
receptor y transmisor de la Iinea del problema 4.36 y calcule la corriente inicial en la linea a partir de 10s datos del
problema 4.37.
Fig. 4-21
Fig. 4-22.
Calcule la corriente del estado estacionario y el voltaje de
la linea en el extrerno receptor de 10s problernas 4.36 y
4.37. Verifique que 10s resultados Sean consistentes con
la greflca obrenlda en el probler~~a
4.39.
4.41
Suponga que las lineas de 10s problemas 4.36 y 4.37 estan
en cortocircuito en el extremo receptor. Calcule el voltaje
y 10s coeficientes de la corriente de reflexion y el estado
estacionario del voltaje y la corriente en el extremo receptor.
t,
Roep. Coeficientes de reflexion del voltaje - 1;
coeficientes de reflexion de la corriente = - f , 1; estado
estacionario V, = 0 ; estado estacionario I, = 1.333 A.
4.42
Suponga que la Iinea de 10s problemas 4.36 y 4.37 esta en
un circuit0 abierto en el extremo receptor. Determine 10s
coeficientes de reflexion del voltaje, a s i como el voltaje y
la corriente del estado estacionario en el extremo receptor.
Resp. Coeficientes de reflexion del voltaje = f 1; nstado estacionario V, = 400 V; estado estacionario I , = 0.
Cables subterraneos
A diferencia de las lineas de transmision aereas,
10s cables subterraneos deben tener un aislamiento electrico adecuado para proteger el conductor del contact0
con la tierra o del blindaje externo del cable. Ademas, se
debe asegurar la proteccion contra efectos mecanicos,
quimicos y otros efectos peligrosos para garantizar una
operacidn confiable. Los componentes basicos de un
cable subterraneo son (1)elconductor, el cual se fabrica
de cobre trenzado o aluminio; (2) el aislamiento alrededor del conductor, que puede ser de varias formas de
caucho como vulcanizado o caucho butilico, o sintetico
especializado como cloruro de polivinilo (PVC), o papel
impregnado en aceite; y (3) la cubierta de proteccidn externa, la cual es a menudo una funda de aleacion de plomo sobre el cable aislado.
Un cable subterraneo trifasico tiene tres conductores dentro de la funda. Como 10s conductores de un cable de tres conductores estan mas cerca unos de otros
que los de una linea aerea, y como 10s conductores son
sumergidos en dielectricos, la reactancia capacitiva de
un cable es mas pequena que l a d e una Iinea de transmision comparable. Asi pues, la representacion de un circuito T o II para un cable de longitud corta uniforme puede ser necesaria para su analisis.
5.1
ESFUERZO E L ~ C T R I C OEN UN CABLE
MONOCONDUCTOR
El material de aislamiento en un cable constituye
un dielectrico y tiene cierta intensidad dielectrica. Si esta intensidad se excede durante la operacidn del cable,
el aislamiento se rompera. De aqui que el cable deba estar diseiiado en tal forma que la intensidad del campo
electrico, o el esfuerzo electrico maximo, en la superficie de un conductor no se exceda para que el aislamiento no se rompa. Sin embargo, si el cable esta diseitado
para un gradiente de voltaje relativamente bajo de la linea a tierra, el tamat70 global del cable se vuelve demasiado grande; por otro lado, si el gradiente del voltaje se
vuelve tan grande que permite la reduccion del diametro
del cable, entonces la perdida del dielectrico puede hacerse demasiado grande y puede provocar un calentamiento excesivo del cable.
Se ha encontrado que la razdn dptima del radio del
cable al radio del conductor est6 dada por
donde R, y R, estan definidos en la figura 5-1. Los radios
mas pequehos daran por resultado una operacidn inestable en el cable pues este dielectrico tendera a romperse.
Cualquier razon que exceda de 2.718 dara como resultado una operacidn satisfactoria en el cable. No obstante,
por razones economicas es mejor mantener R,IR, cerca
de 2.718.
5.2
N I V E L A C I ~ NDE CABLES
El cable de la figura 5-1 esta cubierto con una capa
sencilla de un dielectrico simple, per0 muchos cables
contienen varias capas de dielectrico. Los materiales
dielectricos en dichos cables se escogen y distribuyen
para minimizar la diferencia entre las intensidades maximas y minimas del campo electrico en el cable. Este
proceso se conoce como nivelacion y existen dos tipos
que se usan comunmente, la nivelacion de la capacitancia y la nivelacion de la malla interna.
En la nivelacion de la capacitancia, se utilitan dos
o mas capas de dielectricos para aislar un cable. Dos
de esas capas se muestran en la figura 5-2,a manera de
CABLES SUBTERRANEOS
54
Si la malla interna mantiene el voltaje V,, entonces en la
superficie del conductor tenemos
En la superficie de la rnalla interna, el campo electric0
maximo es
FLmax
=
Vl
-- v1
R , In a
R , In ( R ,I R,)
(51.6)
Para que 10s campos electricos maximos Sean 10s mismos en esas dos superflcles, debemos tener
Fig. 5-5.
Ahora (5.5) y (5.7) dan
Sin la malla interna, del problema 5-1 y (5.4) tenemos
las capacltanclas conectadas en delta C,a su forma de
estrella equivalente como se ve en la figura 5-6(a),obteniendo las combinaciones de la capacitancia indicada
en la figura 5-6(b)y (c). La figura 5-6(c)rnuestra que la capacitancia neta por fase es C,, = C,
3C,.
+
5.4
INDUCTANCIA DEL CABLE
La inductancia por unidad de longitud de un cable
monofilar corno el que se presenta en la figura 5-1 esta
dada por
Comparando (5.8) y (5.9),encontramos que
E3,,,ax(con malla interna) 2
E,,,(sin malla interna)
1 + a
Po
R1
~ J G
R2
L = - In (5.10)'
(en henrys por metro)
(5.12)
Las expresiones anal iticas que conducen a la obtencion
de la inductancia pnr fase d ~ lln
! cable trifilar son extre-
madamente complejas y no se consideran aqui.
5.3
CAPACITANCIA DEL CABLE
La capacitancia por unidad de longitud de un cable
monofilar corno el que se observa en la figura 5-1 esta
dada por
C = -Q=
V
RE
5.5
P ~ R D I D ADIEL~CTRICA
Y CALENTAMIENTO
En un cable de tres conductores, las capacitancias entre pares de conductores y entre 10s conductores y la
funda se representan en la figura 5-5, donde suponemos
que 10s conductores estan espaciados equilateralmen-
En un cable subterraneo, el calor se genera debido
a las perdidas en el conductor y en su funda dadas por
I2R,y la perdida dielectrica en el aislamiento. La perdida
dielectrica en el aislamiento del cable se debe a las
corrientes de fuga. En otras palabras, se puede considerar que la capacitancia del cable es disipativa, con una
resistencia R, como se observa en la figura 5-7(a).La per-
te. Para encontrar la capacitancia por fase, camhiamns
dida en R, e s
In(RlIR2)
(en farads por metro )
(5.11)
(b)
Fig. 5-7.
Las ecuaciones (5.13) y (5.14) dan ahora
P = wCV 2 tan 6 .= wCv26
(5.15)
si 6 es peque Aa.
(4
Fig. 5-6.
Problemas resueltos
5.1
Por lo que se refiere al angulo de perdida 6 que se ve en
la figura 5-7(b),tenemos
Encuentre las intensidades maxima Y minima del
campo elkctrico en el cable que se presenta en la
figura 5-1.
Sea 0. la densidad de carga superficial en la superficie del conductor. Por lo tanto, para una longitud unitaria
del cable, dentro del dielectric0 y a una distancia r (Fig.
5-8) del centro, obtenernos de la ley de Gauss
denominador debe ser un maxirno. Para eso, debernos tener
De (1 ) se deduce que In(R,IR,) = 1 y que
5.3
Un cable monofasico de 13.2 kV tiene un diametro
exterior d e 10.0 cm. Determine el radio del c o n -
ductor y la intensidad del campo electrico que debe resistir el material de aislamiento en la confi-
Fig. 5-8.
y u r a c i d n mas econornica (razon optima).
De (5.7) o (2)del problema 5.2, obtenemos
donde D es la densidad del flujo etectrico, E es la intensidad del campo electrico y t es la permitividad del
d~electrico.Podemos volver a escr~bir( 1 ) corno
donde Q = 2+R, p. es la carga total por longitud unitaria
en la superficie del conductor. En (2) tenernos, para el voltaje V entre el conductor y la malla,
Del cual R, = 1.84 cm. Por lo tanto. de (5) del problema
5.1 obtenemos
5.4
Para el cable que Se muestra en la figura 5-2, obtenga la condicidn en la cual 10s valores maximos
de 10s campos electricos e n dns regiones s o n
RIQdr
Q
v=- -Inc E d r = 1 2 -2- n- ~
r
2ne
R,
R2
(3)
iguales.
Los campos electricos en 10s dos dielectricos son
En consecuencla, de (2) y (3)el campo electrico (el cual es
totalmente radial) es
Los valores rnaximo y minimo de E son entonces
Los valores maximos de esos campos electricos estan en
r = R, para El y en r = R, para E,. Para que 10s valores
maximos de 10s campos electricos en las dos rcgioncs
Sean ~guales,debemos tener
v
Y
5.2
E,,,,,= R I In (RiIR2)
(6)
Deduzca la formula (5.7).
Para encontrar la razon optima R,IR2, fijarnos R1 y
rn~nim~zamos
kg,corno esta dado en (5) del problema
Asirnismo, corno R, < R, (7) implica que c 2 > F,; esto es,
el dielectric0 mas cercano al conductor debe tener la per-
5.1, en una funcidn de R,. Para que (5) sea un minimo, su
mitividad m6s alta.
5.5
Trace la distribucidn del campo electric0 en el
cable de la figura 5-2, si ( I )del problema 5.4 es implementado.
operarse con nivelacion apropiada de la malla interna.
Del problema 5.7, a = 1.648, R, = 1.516cm y R, =
0.92 cm. Por lo tanto, de (5.8)el campo electric0 maximo
con la nivelacion de la malla interna es
La distribucidn corresponde a la de la figura 5-3.
5.6
Para el cable que se observa en la figura 5-2,
sean R, = 2.5cn-1,R, = 0.92cn-1y R, = 1.75cm.
Enctrentre el campo e l e c t r i c 0 maximo para urj
voltaje de operation de 13.2 kV, (a) con nivelacion de la capacitancia y (6)sin nivelacion de
E
ella.
13.2
1
R , In a 1 + a
0.92 In 1.648 1
1
+ 1.648
+ 1.7510- 1.75
Por tanto, Em,, = 1085.8 kvim.
(b) Sin nivelaciorf de la capocitancia, de (5) del problema 5.1 obtenemos (con R, reemplazado por R, = 0.92
cm)
13.2 X lo00
= 1435.3 kV/m
0.92 ln (2.5/0.92) x lop2
Em = -
R,
h - + K, In
= E,,,(R3 + R,) ln o
R3
= 16.09(0.92+ 1.516) in 1.648 = 19.58 kV
V = E,,,(R,
1.75
13.2 x 10, = Ems%0.92 In 0.92
5.7
=--=V
EI voltaje max~rnode operaclon este dado entonces por
(5.3), que es tambien valido en este caso:
(a) De (5.3) obtenemos
(
,
3 max
5.9
Las corrientes de fuga que fluyen radialmente
(flechas punteadas en la figura 5-9) se presentan
a rnenudo en 10s cables subterraneos. La G O rriente de fuga estA limitada esencialmente por
la resistencia del aislamiento del cable. Deduzca
una expresion para la resistencia del aislamiento de un cable de longitud I metros y con una resistividad dielectrica de 0 , ohm-metros.
Un cable tiene una nivelacion de la malla interna
que satisface (5.4). Los radios del cable (Fig. 5-4)
son R, = 0.92 cm y R, = 2.5 em. Determine la localizacion de la capa conductora y calcule la
razon de las intensidades maximas del campo
electrico con malla y sin ella.
I
-*I
I
\
/
Corriente
de fuga
La nivelac~onde la malla (radio R, en la figura 5-4)
estA dada por (5 4 ) , que se reescrtbe como
R; = R,R, = (2.5)(0.92)
De la cual R, = 1.516 crn.
De 10s aatos conoc~dos,tenemos
E,,,,,(con ~nallainterna)
E,,,(sin malla interna)
2
-
5.8
Fig. 5-9.
=1 +a
2
= 0.755
1 + 1.648
Si el cable del problema 5.7 esta disefiado para
operar nominalmente a 13.2 kV sin nivelacion,
determine el voltaje maximo en el cual puede
Para un cilindro anular de espesor dr, como se
muestra en la figura 5-9,
la tesistencia de aislamiento
elemental dR, a la corriente de fuga es
De (5.17 ) con t = t o t . , tenemos
donde I e s la longitud del cable y P, es la resistividad del
material de aislamiento. La reslstencia total de aislamiento es entonces
Y
5.10
En una prueba de un cable trifilar, primero se
agrupan juntos, 10s tres conductores y la capacitancia entre 10s conductores agrupados y la maIla se calculan con C,. Luego dos de 10s conductores se agrupan con la malla, y la capacitancia
e n t r e bstos y el tercer conductor se encuentra
con C,,. Determine C, y C, a partir de la figura 5-5.
Corrienre de carga = wCV = (377)(3.03 x 10 -")
(13.2 x lo3) = 15.08 A
5.13
Para el cable del problema 5.12, determine la resistencia de aislamiento y la perdida dielectrica.
De la prirnera prueba obtenemos la ecuacion
De la figura 5-7(b)y 10s datos dados, @ = cos-' 0.08
= 65.4". Ahora bier^, ~ V I I I V la110 = wCR, tenemos
c* = 3C,
La segunda prueba da la ecuacion
Co = CI + 2C2
Resolviendo las dos ecuaciones simultaneamente,
R=
Y
tan 85.4" -= 10.88 kQ
377 x 3.03 x 1W6
V 2 13.2' x lo6
Perdida dielectrics = - =
= 16.01 kW
R
10.88 x lo3
c, = kc,
c -- 1 - $CAI
2
5.11
2(CB
Las capacitancias por kilometro de un cable trifitar son 0.90 {cFentre l o s trns c n n d ~ ~ c t o r e
agrupas
dos y la funda, y 0.40 [IF entre un conductor y 10s
otros dos conectados a la funda. Determine la cap o c i t a n c i a de l a l i n e a a t i e r r a de clna l o n g i t t l d de
20 km de este cable.
Problemas cornplementarios
5.14
Tenemos, en la terminologia del problema 5.10,
C, = 0.90 ~ F l k r ny C,, = 0.40 pFlkm. Por consiguiente,
Un cable monoconductor subterraneo t ~ e n eun conductor
de cobre de 1.2 cm de diametro y resistwidad de 1.72 x
I l . m , una funda de d~ametrointerno de 2.0 cm y un
mater~aldielectric0 (aislamiento) de res~stlvldad5.8 x
10121 1 . m y permitividad relativa de 4. Calcule (a) la resistencla del conductor y (b) la resistencia del aislamiento
de urla l u ~ ~ y i l u
dd
e 5 k m para este cable.
Rcq).
5.15
Ahora bien, de la figura 5-6(c),
C, = C, + 3C, = 0.3 + 3 x 0.05 = 0.45pFIkm
= 20 x 0.45 = 9.0pF para 20 krn
5.12
Un cable monoconductor, que consta de un cable
de 1 cm de diametro dentro de una funda de 2.5
cm de diametro, tiene 10 km de longitud y opera a
13.2 k V y 60 Hz. La perrnitividad relativa del dielectrico es de 5 y el factor de potencia a circuit0
abierto del cable es 0.08. Calcule la capacitancia
del cable y 1.3. corriente de carga a traves de la capacitanc~a.
(a) 0.76 52; (b) 94.3 MQ
Determine la capacitancia entre el conductor y la funaa
del cable del problema 5.14, si la permltividad del dielectrico es 27 x
Flm.
Resp.
0.332 /IF
5.16
Un cable de un solo conductor opera a 33 kV. Si el gradiente potencial maximo permitido es 4000 kVlm, determine el radio del conductor y el ~nteriordel radio de la
funda de un cable diseRado optimamente.
5.17
Para el cable que se muestra en la figura 5-1, R, = 6 cm,
R, = 2 cm y permitividad relativa t . = 5. Si el cable opera
a 33 kV, determine 10s valores maximo y minimo de la Int e n s ~ r l n ddeI campo electrlco dentro del cable.
5.18
Para el cable que se observa en la figura 5-2, R , = 6 cm,
R, = 2 cm, y ( . , = 5 y r . , = 4 son las permitiv~dadesrelaL I V L ~J I
~~ ~ CJUS
S capas dlelecrrlcas. Calcule el espesor de
cada capa del dielectrico, si arnbas deben soportar la
mlsma intensidad del campo electrico.
5.23
Calcule el voltaje rms entre las dos fundas del cable del
problema 5.22.
5.24
La capacitancia entre dos conductores cualesquiera de
un cable trifilar trifasico es 2 ,IF. El cable opera con un
voltaje de linea de 11 k V y 50 H7 iC.11alP S l a corriente de
carga a traves de la capacitancja del cable?
Ke5p. 2.8 crn; 1.2 crn
5.19
5.20
En cierta prueba de un cable trifilar. se m ~ r l ellna capacit a n c ~ aC, entre dos conductores, con el tercero conectado a la funda. Determine C., de la f ~ g u r a5-6(c).
5.22
5.25
La capacitancia entre cualqu~erade 10s dos conductores
de un cable trifilar, con el tercer conductor conectado a
tierra, es 0.6 /(Flkm. Calcule la capacitancia de la linea a
tierra de 25 km de longitud del cable.
Resp.
5.21
Resp. 7.98 A
Un cable tr~fasicotr~filar,que opera con un voltaje de
linea de 10 kV v 25 Hz, tiene una capacitancia de 3 UF
entre cualesquiera de dos conductores. El cable suministra una carga inductiva, que toma 30 A de corriente, a
un factor d e potencia de 0.9 en retraso. Determine la
corriente y el factor de potencia del extremo transmisor.
Resp.
28.1 A; 0.96 en retraso
30 pF
5.26
~ C u aes
l el diametro del conductor de un cable de un solo
hilo diseiiado optimamente que opera a 85 kV, con un esfuerzo dielectrico permisible de 6000 kVlm?
5.27
Para un cable como el que se muestra en la figura 5-2,
H, = 0.5 cm, R , = 2.5 crn, e, = 2.56, y F, = 46,. Los esfuerzos elbctricos en 10s diel6ctricos interior y exterior noexceden de 60 kVlcm y 50 kVlcm, respectivamente. ~ C u aes
l el
rnsximo voltojc dc opcracidn perrnisible para el cable?
Un cable de un solo conductor de radio R, tiene dos
mallas internas de radios R, y R, tales que el esfuerzo
electrico varia entre el mismo maxirno y minimo en cada
una de las tres capas del dielectrico. El radio de la funda
es R,. Obtenga una relacion entre 10s cuatro radios.
El cable del problema 5.21 opera a 66 kV en un sistema trifasico y tiene R, = 1 crn y R, = 2.565 cm. Determine sus
esruerzos electrlcos maxlmos y mlnlmos.
Resp. 65 kV
Calculos de fallas
La operacidn dc un sistema de potencia se aparta
de su operacidn normal despuds de ocurrir una falla.
Las fallas lo llevan a condiciones anormales de operacidn con corrientes y voltajes cxccsivos en ciertos puntos del sisterna, las cuales se evitan usando diversos
tipos de equipos protectores.
6.1
TlPOS DE FALLAS
Varios tipos de fallas de cortocircuito que pueden
ocurrlr en una linea Ue transrnlsldn se representart erl
la figura 6-1;la frecuencia de ocurrencia disminuye de la
parte (a)a la (f). Aunque el cortocircuito trifdsico balanceado en la figura 6-l(d)es relatlvarnente poco comlin,
esta es la falla mds grave y, por lo tanto, determina la especificacion del disyuntor de la linea de proteccion del
circuito. Un estudio de fallas lncluye lo slgulente:
1.
Determinacion de las corrientes maxima y minima
de un cortocircuito trifasico.
2.
Determinacidn de las corrientes en las fallas asimetricas, corno son: una simple linea a tierra, doble linea a tierra, linea a linea y fallas de circuito abierto.
3.
Deterrninacion de las especificaciones de 10s disyuntores de circuito requeridos.
4.
lnvestigacion de 10s sistemas de proteccidn con relevador.
5. Deterrninacidn de niveles de voltaje en puntos estratdgicos durante una falla.
Las fallas en cortocircuito representadas en la figura 6-1 se llaman fallas en paralelo;10s circuitos abiertos,
que pueden ser causados por conductores rotos, se clasifican corno fallas en serie.
6.2
(el
Fig. 6-1
FALLAS SIM~TRICAS
Un ~cortocircuitotrifasico equilibrado [Fig. 6-l(d)]
es un ejemplo de una falla simetrica. Los calculos de las
fallas de un circuito trifasico equilibrado se pucdcn realizar en un modelo por fase, en tal forma que solo 10s circuitos monofasicos equivalentes se requieren para el
andllsls. Invariablerr~arrle,las constantes del circuito se
expresan en terminos por unidad y todos 10s calculos
se hacen en una base unitaria. En 10s calculos de un cortocircuito, evaluamos a rnenudo 10s MVA (rnegavoltlamperes) del cortocircuito, que son iguales a f i ~ , l , , donde
V , es el voltaje nominal de la linea en kilovolts y I, es la
corriente de falla en kiloamperes.
Un ejemplo de una falla simetrica trifasica es un
corto repentino en las terminales de un generador sincrono. La representacidn sirnetrica ue la onda de co-
Corriente de cortocircuito
ti--
Period? del
Periodo transitorio------+(*
- ------h
estado estacionario
Periodo
subtransitorio
-
C
i
Envolvente
real
estaclonario
extrapolado
Envolvente
Fig. 6-2.
Corriente
Envolvente
transitoria
extrapolada
Envolvente de
Amplitud de la
lacorriente
corriente en estado
estacionario
hi'
Fig. 6-3.
rriente del estator en cortocircuito se muestra en la figura 6-2. La onda, cuya envolvente se aprecia en la figura
6-3, puede dividirse en tres periodos o regirnenes de
tiempo; el periodo subtransitorio, que dura solo en 10s
primeros ciclos, durante 10s cuales l a corriente disminuye muy rapido; el periodo transitorio, que abarca un
tiempo relativamente largo durante el cual la corriente
disminuye en forma mas moderada, y finalmente el periodo del estado estacionario. El incremento A i ' (en la
figura 63) entre la envolvente del transitorio y la amplitud
del estado estacionario se traza a una escala logaritmica
como una funcion del tiempo en la figura 6-4, junto con
el incremento Ailrentre la envolvente subtransitoria y
una extrapolation de la envolvente transitoria. Ambas
graficas se aproximan a lineas rectas, ejemplificando la
naturaleza esencialmente exponencial del decremento.
Las corrientes durante esos tres regimenes las limitan sobre todo varias reactancias de la maquina sincro-
subtransitoria del eje directo, respectivamente. Las corrientes I, i ' e i se llaman corrientes en estado estacionario, transitorio y subtransitorio. De (6.1) a (6.3) se
"
-Tiern~o(cscala lineal)
Fig. 6-4.
na (ignorarnos la resistencia de la armadura, la cual es
relativarr~eritepequefia). Estas corrientes y reactancias
se definen por las ecuaciones siguientes, a condicidn
de que el alternador estuviere operando sin carga antes de
la existencia de una falla trifasica en sus terminales:
deduce que las corrientes dc falla cn un generador sin-
crono pueden calcularse cuando se conocen las reactancias de la maquina.
Supci~~gase
ahora que un generador ticnc carga
cuando ocurre una falla. La figura 6-5(a)muestra el circuito equivalente correspondiente y la falla ocurrida en
el purilv P . La c u ~ ~ ~ i eque
n t e circula antes de que ocurra
la falla es I,,el voltaje en la falla es V, y el voltaje de la
terminal del generador es V , .Cuando ocurre la falla trifasica en P, el circuilu que se rnuestra en la figura 6-5(b)
se convierte en el circuit0 equivalente apropiado (con el
interruptor S cerrado). Aqui un voltaje E " e n serie con X;',
sumlnlstra la corriente I , de estado eslar;iur~ariucuando
el interruptor S esta abierto, y suministra la corriente al
cortocircuito a traves de X;' y Z,,,cuando el interruptor S
esta cerrado. SI logramos deterrninar E ' ; pude~nusencontrar esta corriente a traves de X;: la cual sera i " . Con el
el interruptor S abierto, tenemos
la cual define E " , el voltaje subtransitorio interno. De
igual manera, para el voltaje transitorio interno tenemos
Esta claro que E ' y E " s o n dependientes del valor de la
carga antes de que ocurra la falla.
donde E es el voltaje sin carga del ~enerador,las
corrientes son corrlentes rms y O, a, D y c se muestran
en la figura 6-2. Las reactancias de la maquina X,, X , ; y
X " S conocen
~
como reactancia sincronica del eje directo, reactancia transitoria del eje dlrecto y reacrancia
6.3 FALLAS ASIMETRICAS Y
COMPON ENTES SIMETRICOS
t a s fallas asimetricas como fallas de Iinea a I inea y
de liriea a tiel Ira (que ocurren mas a rncnudo que 10s cor-
Pig. 6-5.
tocircuitos trifasicos) se pueden analizar usando una
base por fase. Con ellas se utiliza el metodo de componentes simetricas. Este metodo se basa en el hecho de
que un conjunto de fasores desequilibrados trifasicos
se p ~ ~ e r l e
separar
n
en tres conj~rntnsde cnrnpnnentes si-
metricos, los cuales se denominan componentes de secuencia positiva, secuencia negativa y secuencia cero.
Los fasnres del conjunto de componentes de secuencia
positiva tienen una rotacidn de la fase en sentido
contrario al movimiento de las manecillas del reloj (o secuencia de fase) abc; y 10s componentes de secuencia
negativa, tienen la secuencia de fase inversa, esto es
acb; y 10s componentes de secuencia cero estan todos
en fase unos con otros. Estos componentes en secuen-
cia se representan geornetricamente en la figura 6-6.
t o s cornponentes de secuencia positiva se designan
con cl subindicc I , y 10s subindiccs 2 y 0 sc utilizan para
indicar 10s cornponentes de secuencia negativa y de secuencia cero, respectivamente.
L'h, l
Fig. 6-7.
lntroducimos ahora un operador a que provoca una
rotacidn contraria al sentido de las manecillas del reloj
de 120" (del mismo modo que el operador j produce una
rotacidn de 90°), tal que
a 3 = 1/360° = 1
p
l+u+a2=0
Utlllzando esas propiedades, podemos escribir 10s corn
ponentes de una secuencia dada en term~nosde cual
quier componente escogida. De la figura 6-6, tenemos
Vh:
Fig. 6-6.
Asi, el sistema desequilibrado de la figura 6-7 se puede dividir en cornponentes sirnetricas como se muestra
en la figura 6-6. En particular, tenemos
vb = VhO + v h l + v62
y.= v.,,+ y1+ vC2
w77)
(6-8)
Vcl = uVu1
En consecuencia, (6.6) a (6.8) se convierten, en terminos
de componentes de fase a,
1; = vao+ Val -t va2
Vb = VaO+ a2Va1 + aV,,
(6-9 )
(6.10)
& = VOo+ aVal + u2va2
(6.11)
Al despejar las componentes en secuencia de (6.9) a
(6.11) se obtiene
KO= 3(Kl + vb + K)
2
Y
c
(6.13)
ql -
(6.18)
11 = A*I'*
(6.19)
En consecuencia, (6.17) a (6.19) dan
s=~~AA*IJ*
(6.12)
+aV)
V,, = +(v, + a2vb+ aVc)
Val = f(Va + aVb
donde 3 es la transpuesta de V e I' es el conjugadocomplejo de I. De (6.15) y (6.16) tenemos
(6.20)
Ahora bien. como
(6.14)
Las ecuaciones iguales a (6.9)hasta (6.14) tambien se
aplican a corrientes.
Una cantidad (corriente, voltaje, impedancia, potencia) que esta dada en terminos de sus componentes simetricas se llama cantidad de secuencia, como en
"corriente de secuencia".
AA* =
1
a
1 a2 a
(6.20) llega a ser
6.4
s = Val: + vbz: +
POTENCIA DE SECUENCIA
Asi, la potencia de secuencia es un tercio de la potencia
en terminns de cantidades por fase.
(6.15)
6.5
donde
De igual manera, para las corrientes tenemos
I = AI'
+'/va,l:,
+ v,2l,*,> (6.22)
Para obtener la potencia en un sistema trifasico en terminos de componentes simetricas, reescribimos de (6.9)
a (6.14) en la notaci6n de matrices como sigue:
V = AV'
= 3(va01:0
(6.16)
donde
La potencia compleja promedio S se puede escribir
como
IMPEDANCIAS DE SECUENCIA Y
REDES DE SECUENCIA
Relacionando las corrientes de secuencia, podemos
definir las impedancias de secuencia. Una impedancia a
travPs de la cual sdlo flcryen corrientes de secuencia positiva, se llama impedancia de secuencia positiva. De manera
semejante, cuando solo fluyen corrientes de secuencia
negativa, la impedancia se connce cnmn impedancia de
secuencia negativa; y cuando solo se presentan corrientes de secuencia cero se le llama impedancia de secuencia cero.
Los calculos de las fallas asimetricas (o desequilibradas) se facilitan para utilizar 10s conceptos de
voltajes de secuencia, corrientes e impedancias. Debido
a que un voltaje de una secuencia especifica solamente
produce una corriente de la misma secuencia, las diferentes representaciones de las redes de secuencia que
representan una condicion desequilibrada no tienen mutuo acoplamiento. Esta caracteristica de las redes de
secuencia simplifica considerablcmcnte 10s calculos.
Problemas resueltos
6.1
La figura 6-8 rnuestra el diagrarna unifilar para
una fase de un sistema en el cual el generador alirnenta una c a r g a a t r a v 6 ~de u n transformador
elevador, una linea de transrnision y un transformador disminuidor. Calcule la corriente por unidad. Los transformadores son ideales.
Iba\e. linea
20 000
= -- 20.83 = l pu
Zbase, linea
960
- -- 46.08 Q = 1 pu
Zhase, carga
Fig. 6-8.
Debido a que 10s niveles de vottaje (y corriente) cambian a traves de 10s transformadores, se tienen diferentes
bases de voltaje en diversas partes del sistema. En el generador
Z,,,,, = Z l i n , a + Z,,,,,= (0.022 + j0.065)
Zbnrc, generador
= 4.362 + j10.915 = 11.75/68"pu
= 20 kVA = 1 pu
asi que
20
= -= 41.67 A = 1 pu
480
- 480
= 11.5251 = i P u
-
41.67
A lo largo de la linea de transmision,
Vbabe, llnea
+ (4.34
+ j10.85)
800
generador
96
- 0.460851 = 1pu
208.3
c--
La irnpedancia total resulta entonces
V h a w , generac~or = 480 V = 1 pu
'base,
20.83
En la carga,
-I..
k V A b a s e . generador
960
6.2
t o r s e m u e s t r a e n l a figura 6-9(a) 1 ns valores b a s e
= -480
- -
%Ov = l p u
10 MVA,
20 MVA,
10%
15%
0.5
Un sistema interconectado de un generador reacpara las reactancias dadas en porcentaje son las
especificaciones de las piezas individuales de un
equipo. Un c o r t o c i r c u i t o t r i f a s i c o ocurre en el
20 MVA,
15%
XI
x
2
IOMVA,
8MVA,
Neutral
4 'In
Fig. 6-9.
(4
Neutral
punto F. Determine la corriente de la falla y 10s
kVA de la falla si el voltaje Iinea a I inea de la barra
conductora es de 11 kV.
Pr~meroescogemos arbitrariarnente 50 MVA como
la base MVA y determinarnos 10s valores pot unidad para
las reactancias del sistema, referidos a esta base. Obtenernos
Estos valores por unldad se muestran en la f ~ g u r a6-10(b),
10s cuales se pueden reducir en la figura 6-10(c).En ese
diagrarna cncontrclrnos que la ~ m p e d a n c i atotal del neu-
tro del generador a la falla es
50
Por i ~ n i d a dZ ,,,,,,= 0.0826 f j0.5918
X,;,= - 0.10 = 0.5 pu
10
Luego
Cortocil-cuiro kVA =
30 x 10"
= 50.21 M V A
0.5975
Corriente dc cortocircuito =
50.21 X lo6
x 33 x lo3
= 878.5 A
Las corrientes de fase en una conexicjn estrella,
con una carga desequilibrada son I,.= (44 -j33),
I , = - ( 3 2 + 124) e 1. = ( - 4 0 + j25) A . Determine
las corrientes de secuencia.
6.4
Estas reactancias producen el dlagrarna de reactancla
por fase de la figura 6-9(b),el cual se simplifica y se
muestra en la figura 6-9(c). La reactancia total del neutro
a la falla en F es, seglin ese d~agrama,
De (6.12)a (6.14),adaptado para corrientes, obtenernos
O.S(O.2344 + 0.25)
Reactancia por urlidad = j
0.5 + (0.2344+ 0.25)
l,,,,= 3(44 - 133) - (32
+ j24) + (-40 + j25)]
= -9.33 - 110.67 = 14.17/-131.2°A
II
= ![(44 - 133) - (-0.5 + j0.866)(32 + j24)
Por lo tanto,
M V A de fallrr =
6.3
- (0.5 - jO.866)(-40 + j25)]
50 x 103
= 203.25 MVA
0.246
Una falla de un cortocircuito trifasico ocurre en el
punto F en el sistema que se aprecia en la figura
6-10(a). Calcule la corriente de la falla.
(3+j15)Q
33 kV
10 MVA, 10%
n
-
Sea la base MVA de 30 MVA y sea 33 kV el voltaje
oase. Enronces reflrlenclo a esus v a l u ~ e s L, ~ I K I I I Ul a~ siguiente reactancia e irnpedancia:
30
20
X,;, = - 0.15 = 0.225 pu
X,,
30
= - 0.10 = 0.3 PU
10
(4
-
"
n
0.0826
~0.4632
Fig. 6-10.
W
De manera simllar, para 10s componentes de la secuencra negatrva, se tiene
6.5
Una carga trlfaslca en conexlon estrella esta conectada a un sistema trifasico equilibrado. Obtenga un conjunto de ecuaciones relacionadas con
10s componentes simetrlcos de 10s voltajes de
linea y fase.
,
En ( 1 ) y (2). V y V , son respectlvamente los componentes de secuencla posltlva y negat~vadel voltaje de fa.
se v
Procedlendo como en la deducclon de ( 1 ) y (Z), per0
ahora escoglendo V, como el fasor de referenc~a,pode-
El sistema es sirnetrico, las supuestas localizaciones del voltaje y su nomenclatura se muestran en la f i gura 6-11, de la cual tenemos
rnos demostrar que
Ya que V
+ V + V
= 0, obtenemos
6.6
Escogemos V.,,,como el fasor de referencia. Para 10s componentes de la secuencia positlva, tenemos
Los voltajes de Iinea a traves de una carga trifasica conectada en estrella que consta de una resistencia de 10 11 en cada fase, estgn desequilibrados de manera que V.,, = 220/131.7° V, V,,, =
252/00 V, y V.., = 1 9 5 / 1 2 2 . 6 ° V. Determine 10s
voltajes de secuencia por fase. Luego encuentre
10s v o l t a j e s a t r a v e s dc l a s r c s i s t c n c i a s d c 10 $2 y
calcule las corrientes de cada linea.
Con 10s voltajes de la linea dados, determinamos
prlmero 10scomponentes ae secuencla de 10s voltajes de
I inea. Utllizando (6.13)y (6.14)para 10s voltajes de Iinea se
obtiene,
De (6.12)tenenlos
V,,,,= \(Vhd.+ Vru+ Vo,,)= i ( 2 5 2 P
+ 195/- 122.6"+ 220/131.7O)
Fig. 6-11.
= ov
Los componentes de secuencia de 10s voltajes de fase
son V", = 0,de (3) y (4) del problema 6.5, se tiene
Por tanto, de (6.9) y (6.10), despu6s de la simplificacidn
nos queda
I as corrientes de linea I. e I, estan dadas pot
Conductor
de referencia
(b)
Puesto que I . + I, + 1. = 0 tambien obtenemos
6.7
Un generador sincrono triftlsico, conectado a
tierra a traves de una impedancia Z, se muestra
erl la figura 6-12(a). El generador no e s t a surninistrando carga, per0 debido a una falla en lasterminales del generador, las corrientes I.,I, eI,fluyen a travesde l a s lases a, b y c , respectivamente.
Desarrolle y dibuje las redes de secuencia para el
generador en esta condicion.
Conductor
de referencia
(4
Fig. 6-12.
Conductor de
referencia
(4
puesto que no hay cornponente de secuencia negativa en
el voltaje generado. Las corrientes de secuencia cero del
generador fluyen por Z,y tambien a traves de L,, o sea la
impedancia de secuencia cero del generador. La corriente total de secuencia cero a trav6s de Z. es I
, +I
, + I, =
31.,, per0 la corriente a traves de 2
, ea I.,. En consecuencia,
Sean 10s voltajes inducidos por el generador en las
tres fases E,,E, y E,. Los voltajes inducidos en el generador estBn equilibrados. AdemBs, esos voltajes son s61o
de secuencia positiva. Para el voltaje de secuenciapositi.
va (de fase), tenemos
donde Z, = Z, + 32.. Las ecuaciones (I), (2) y (3) estdn
representadas, respectivamente, por la figura 6-12(b), (c)
Y (dl.
donde L,,Z, es la caida del voltaje de secuencia positiva
en la impedancia Z, de secuencia positiva del generador.
Si Z, es la impedancia de secuencia negativa del generador, el voltaje de secuencia negativa en la terminal de la
fase a es sirnplernente
6.8
Una falla de linea a tierra ocurre en la fase a del
generador de la figura 6-12(a),el cual estaba operando sin carga. Derive una representacidn de la
red de secuencia de esta condicidn y determine la
c o r r i e n t e en la fase a .
Las restricciones correspondientes a la falla son
I, = I, = 0 (el resto de las lineas permanece en circuit0
abierto) y V, = 0 (cortocircuito de la linea a tierra). En
consecuencia, las componentes simetricas de la corrien.
te en la fase a son
+ I,, + I=) = $Ia
I,,, = $(Ia
I,, = ;(Ia + a t , + a21c)= ;I,
Ia2= :(la + a2Z, + aZ,) = $1,
de manera que
Ian = I,, = I,2 = flu
De aqui que las redes de secuencia se deban conectar en
serie, como se muestra en la figura 6-13. El voltaje de secuencia aparece marcado en la figura.
Para aeterminar la corrlente I,,,
escribirr~os,a partir
de la figura 6-13,
Pero corno
v, = V," + v,, + va2= 0
6.9
Un cortocircuito ocurre entre las fases b y c de un
generador conectado rigidamente a tierra, el cual
opera sin carga, como se muestra en la figura
6-14(a). Obtenga una red de secuencia para esta
condicidn de operacidn.
Segun la figura 6-14(a),las restricciones de voltaje y
corriente son
I,, = 0
Ih + I, = 0
linea abierta
(1)
cortocircuito de linea a linea
(2)
vh= v,
(3)
Sustituyendo (1) y (2) de (6.12) a (6.14) expresadas corno
corrlentes, ODtenemOS
I,,) = i(0 + 0) = 0
(4)
I,,, = +(O + ath - a21h)= f ( a - a2)I,
(5)
I,,, = t(0 + a21h - aIh) = {(a' - a)Ih
(6)
tenemos
I
1
(b)
Fig. 6-13.
Fig. 6-14.
De (5) y (6) obseivarnos que
en tsntn flue ( A ) muestra qcle la cnrr~entedo secuencra ce-
ro esta ausente
Ahora blen. de (3) (6 10) y (6 17).obterlemos
Asi piles.
En termlnos de las ~mpedanclasde secuencla. (8) se
o u e d e e s ~I l~ I ~I u r r l u
,
Comblnando (7) y (9) y despejando I se obtlene
Las ecuaclones (7) a (10)se pueden representar por la red
de secuencia de la flgura 6-14(b).
6.10
Desarrolle la red de secuencia para un generador
sin carga, con una falla de doble l inea a tierra como se muestra en la figura 6-15(a).
Para este caso, las restricciones de la corriente y el
voltaje son
Ia = 0
(1)
v,,= v, = 0
(2)
(b)
Fig. 6-15.
Procedlendo como en el problema 6.9, usamos (6.12) a
de la cual
(6.14) con objeto de encontrar las componentes para la
sccucncia do 10s voltsjec,
Por consiguiente, las ecuaciones de la red de la secuencla se vuelven
El denominador de (7) muestra que Z, y Z, estan conectadas en paralelo y esta combinacidn esta conectada en se.
rie con 2,.Por consiguiente, la representacidn de la red
de la secuencia (7) es la que se observa en la figura
6-15(b).
Despejando I., e I.,de ( 4 ) ,obtenemos
6.11
De (6.9) ( I ) , y (5) obtenemos
Las reactancias de secuencia positiva, negativa y
de secuencia cero de un generador sincrono de 20
MVA y 13.2 kV son 0.3 pu 0.2 pu, y 0.1 pu, respectivamente. El generador esta solidamente conectado a tierra y no esta cargado. Ocurre una falla de
la I inea a tierra en la fase a. Desconectando todas
las resistencias, determine la corriente de falla.
La red de secuenc~acorrespond~entea esta falla se
muestraen la flgura 6-13. Sea E,. = 1100 pu. Puesto que la
reactancla total e s 10.3 + i0.2 + j O . l = ~ 0 . 0de
, ( I ) del
problema 6.8 :enemos
101 =
1/0"
10.3 + (.]0.2)(]0.1)
10.2 + jo.1
= -j2.73 pu
Tambien, en la f ~ g u r a6-15,
v,, = E, - I,,z,
= IF
-
(-]2.73)(j0.3) = 0.181 pu
y , cle (3)clel p ~ u b l e 6.10,
~ ~ ~ Vd, , Z = V
siguiente.
Si escogemos 10s valores especificados corno canttdades base, tenernos
C'orr~entebase
=
20,000
fl x 13.2
I('0 =
= 0 181 pu POI CUII-
v,,,-0.181 - j1.81 pu
Z,, j0.l
De la f ~ g u r a6-15(a),l a corrrente de la falla es I,.+ 1..
= 874.8A = 1pu
Exprcsnndo estn sumn cn tcrminos de cornponentes de
secuencla de I , tenemos
6.12
Si ocurre una falla de linea a linea en las terminales del generador sin carga del problema 6.11. Calcule la corriente de la falla.
De I , = 0 de ( 1 ) del problema 6.10, podemos escribir
Para esta condicidn de l a falla la red de secuencla
es la que se muestra en la figura 6.14tb). Dado E , = 1100
pu. Por lo tanto, de ( 4 ) , (7) y (10) del problema 6.9 oblenernos
Ahora bien. ( 1 ) v (2)dan
Para calcular 10s voltajes de la linea, ut~lizamos(2) y (3)
del problerna 6.10. Nos dan
De aqui, la corriente de falla esta dada por
+
I
,= I,,,
I,,
-t I,,, = 0 + a21,,, + al,,
= (-0.5 - jO.866)(-j2.0)
+ (-0.5 + j0.866)(j2.0)
= ( j l . 0 - 1.732 - 11.0 - 1.732) = - 3 . 4 6 4 p pu
Como se calculd en el problerna 6.1 1, la base de corriente
Por lo tanto,
es 874.8 A . Entonces,
Corrientede falla = I h = 874.8 X 3.464 = 3030 A
6.13
El generador del problema 6.11 inicialrnente esta
sin carga. Ocurre una falla doble de una linea a
tierra en las terminales del generador. Calcule la
corriente de la falla y 10s voltajes de linea.
La red de secuencia para este caso se rnuestra en la
f ~ g u r a6-15. Darnos E, = 1 u pu. Por lo tanto, de (7) del
problema 6.10 obtenernos
6.14
Calcule 10s voltajes I inea a I inea para el generador
del problema 6.12 (el cual tiene una falla en la conexion l inea a l inea).
Para encontrar V , y V,, determinamos sus componentes de secuencia. Asi, tenemos
Para calcular 10s voltajes de Iinea debemos primer0
determinar sus componentes de secuencia. De la figura
6-14(b)y el problema 6.12,
En consecuencia,
Los voltales de llnea son entonces
De manera similar, encontramos
6.15
Determine 10s voltajes V., V , y V, para el generador del problema 6.11.
Segun la figura 6-13, tenemos 10s voltajes de secuencia por unidad
V,, = 1 - (-j1.67)(jO.3) = 0.5pu
V., = -(-j1.67)(jO.2) = -0.333/0"pu
Va, = -(-j1.67)(j0.1) = -0.167p pu
Entonces,
V , = 0.5 - 0.333 - 0.167 = OPU
Puesto que V . = 0,10s voltajes de linea a linea son
V, = V, - Vh = -Vb = -0.25 - j0.721
= 0.6731- 109.12" pu
6.16
El sistema que se aprecia en la figura 6-16(a)esta
inicialmente sin car'ga. Calcule la corriente sub-
50 MVA
13.8 kV
XJ" = 0.25 pu
Z-1-w
G?
25 MVA
13.8 kV
Vb, = V, - V , = -j1.442 = 1.4421-90°pu
L = V , - V, = V , = -0.25 + j0.721
= 0.6731109.12"pu
Puesto que la base del voltaje es 13.21J3, finalmente tenemos
Neutral
(b)
Fig. 6-16.
asi corno (6.4) y (6.5),
obtenemos
transitoria de falla que resulta cuando ocurre una
falla trifasica en F. Suponiendo que el voltaje del
transformador en el lado del alto voltaje es 66 kV.
Sea la base de voltaje (en el iado alto) 69 kV y la base kVA sea 75 M V A . Pur lu Larllu, all tdrrrfir~usunitarlos te-
E, =(1
+ j0)+ jl.O(O.8- j0.6)= 1 . 7 9 ~ ~
E; = (1
+ jO) + j0.35(0.8 - 10.6) = 1.24 pu
nernos, para el generador G,,
E;I = (1 + jO) + j0.25(0.8- j0.6) = 1.17pu
Problemas cornplementarios
Para el generador G,,
6.18
Una parte de un sistema de potencia se muestra en la figura 6.17, la cual presenta tambidn las eapecificaciones
de 10s generadores y el transformador y sus respectivos
porcentajes de reactancia. Un cortocircuito simetrico
aparece en un alirnentador en el punto F. Encuentre el valor de la reactancia X (en por ciento) tal que 10s MVA de
cortocircuito no excedan 300 MVA.
Para el transformador, X = 0 10 pu.
La figura 6-16(b)muestra el diagrarna de reactancia
para el s~stemaantes de que ocurra la falla; esta se slmula cerrando el interruptor S Las dos reactancias paraleIds s u b l ~ a r i s i l u ~ ~SUII
a s equ~vale~rtes
a ulna l e a c l d l l ~ r d
tF
Por lo tanto, teniendo corno referencia el fasor E,,, l a
corriente subtransitoria en el cortocircuito es
Fig. 6-17.
Resp. 30 por ciento
6.17 Las reactancias por unidad de un generador
sincrono son X,, = 1.0, X,; = 0.35 y X : = 0.25. El
generador suministra una carga por unidad de 1.0
a un factor de potencia retrasado de 0.8. Calcule
10s voltajes del sincrono, transitorio y subtransitorio atras de las reactancias.
Con V. = 1
+ jO corno base y usando
6.19
Tres generadores, cada uno con una capacidad de 10
MVA y con una react ancia dei 10 por ciento, se conectan
a una barra conductora cornun y surninistran una carga a
traves de dos transformadores de elevacidn de 15 kVA.
Cada transforrnador tiene una reactancia de 7 por ciento.
Determine 10s MVA rndxirnos de la falla (a) en el lado del
alto voltaje y (b) en el lado del bajo voltaje.
Resp.
(a) 68.18 MVA;( b ) 100 MVA
74
&CULOS
6.20
Para el sistema que se observa en la figura 6-18, calcule
10s M V A de cortocircuito en A y en B.
Resp.
DE FAUAS
0.218 MVA: 0.218 MVA (aproximadamente)
Fig. 6-18.
6.21
El diagrama de reactancia de una parte de un sistema de
potencia se muestra en la figura 6-19. El voltaje de la
fuente entre linea y tierra es 1.0 pu y ocurre una falla de
linea a tlerra en el punto P. Dale111~1ine
bas currientes por
unidad en las dos partes de la linea de transrnision B.
6.23
Las corr~entesae Ilnea en un s i s t e ~ ~t~ifdsico
~a
de cuatro
conductores son I.,= (300 + 1400) A, I,,= (200 + j200)A e
I, = (-400 - j200) A. Determine 10s componentes de secucncio positiva, negativa y cero.
Resp.
276.0625.6" A ; 307/86.7' A ; 1 3 7 . 4 E A
3.077pu;0.769pu
Resp.
0.1 pu
Corriente de carga =.O
v, = 1 o p u
-
0.2 pu
Linea B
Fig. 6-19.
6-22
En el sistema de la figura 6-20ocurre un cortocircuito trifasico en el punto F. Calcule 10s M V A de la falla. tas
6.24
reactar~ciasestdn todaa en porcentajc.
176 MVA
Resp.
Las corrientes de I inea en una carga conectada en delta
son I, = 5 p , 1, = 7/200", e I. = 51900 A. Calcule 10s
cnrnponentes de secuencia ~ositiva,negativa y cero de la
corriente en la fase a. Tambien determine 10s componentes de secuencia positiva, negativa y cero de la corriente
I ,,,,, y de aqui calcule I.,,.
Resp.
5.576- 15" A; 7 . 9 4 E A; 0;
3.21/15"A: 4.591-166" A; 1.38 A
10%
10%
10 MVA
5%
5 MVA
5%
I
6.25
Una carga desbalanceada conectada en estrella que
consta de las resistengias de fase R,, = 60 Cl, R, = 40 f l y
R. = 80 fl se conecta a una fuenteequilibrada trifasica de
440 V. Calcule las corrientes de Iinea por el rnetodo de las
componentes sirnetricas.
Resp.
Fig. 6-20.
4.473/100.67° A; 5.1381-34.71" A;
3.696/156.63" A
6.26
Una carga trifasica delta desequilibrada obtiene 100 A de
corriente de linea de una fuente trifasica equilibrada.
Ocurre un cortocircuito en una de las lineas. Determine
los componentes de secuencia de las corrientes en las I ineas sin falla.
Resp.
6.27
6.30
.
Fig. 6-23; 44691123.8O A
0; 50 T 128.86
35 MVA
11 kV
XI = 0.6 pu
Las reactanclas de secuencia positiva, negativa y cero de
un generador trifasico de 15 MVA, 11 kV, conectado en
estrella, son 11 por ciento, 8 por ciento y 3 por ciento, respectivamente. CI neutro del geneladu~esld tiorlectado a
tierra y el generador esta excitado con el voltaje especificad0 de circuito abierto. Ocurre una falla de linea a tierra
en la fase a deI generarlor Calcule las corrientes y voltajes de fase.
Xz= 0.4 pu
-
F
Line
I l k V : llOkV
XI = Xz' x,J = 0.05pu
0 V; 4.922/254.74O kV; 4.9221-74.74' kV;
Resp.
Una falla doble de una linea a tierra ocurre en F en el sistema que se aprecia en la figura 6-22. Dibuje las redes de
secuencia para el sistema y calcule la corriente de linea
1,.
Fig. 6-22
10 7461-18"A; OA; OA
6.28
Una falla en la conexion de linea a linea oclrrrn entre las
fases b y c del generador del problema 6.27, mientras que
la fase a permanece en circuito abierto. Determine 10s
voltajes y corrientes en la fase.
5.35 kV; 2.67 kV;2.67 kV; 0 A;
Resp.
7169.6 A; -7169.6 A
6.29
Red de secuencia
positiva
l a s reactancias de secuencia de un alternador trifasico
son X, = X, = 0.15 pu y X, = 0.05 pu, basado erl la especificacion de la maquina de 30 MVA y 13.2 kV. El alternador se conecta a una linea de transrnision que tiene X, =
X , = 0 1 pu y X, = 0.4 pu. Una falla en la conexidn de
linea a linea ocurre en el extremo receptor. Trace las redes de la secuencia para el sistema con la falla y calcule
las corrientes en la linea.
RCS~.
Red de secuencia
negativa
Fig. 621; 0 A; 3788/180° A; 3 7 8 8 g A
Red de secuencia
cero
Fig. 6-23.
6.31
Determine las corrientes subtransitorias (en amperes)en
10s dos generadores del Droblerna 6.16.
6.32
Un generador sincrono y un motor tienen una capacidad
de 30 000 k V A y 13.2 kV y ambos tienen reactancias subtransitorias de 20 por ciento. La linea que 10s conecta
tiene una reactancia de 10 por ciento referida a las especificaciones de la mdquina. El motor extrae 20 000 kW
j0.15pu
jo. 15 pu
Red de secuencia
positiva
Fig. 6-21.
Red de secuencia
negativa
6.33
con un factor de potencia adelantado de 0.8 y un voltaje
terminal de 12.8 kV cuando ocurre una falla trifasica simetrica en las terminales del motor. Determine la corrien.
'CuAl es'la rnagnitud de la corriente subtransitoria de
falla en el problerna 6.32?
Resp.
te subtransitoria on el generador. Oihcrje crn c i r c ~ ~ i t n
10.6kA
equ~valentepara sirnular esta condicidn.
Resp.
6.34
36011-75.7'A;Fig.6-24
Para el sisterna del problerna 6.32, escoja 30 M V A y 13.2
k V como valores base. Calcule la corriente de falla por
unidad aplicando el teorema de Thevenin.
Resp.
6.35
'
Antes de la falla
'
Despues de la falla
Fig. 6-24.
Un cortocircuito trifasico ocurre en F en el sistema de la
figura 6-25. El generador estd cargado at 80 por ciento de
su capacidad en el momento de la falla y el factor de potencia del extrerno receptor es unitario. Determine la
corriente rrns en una fase en F justo despues de que
ocurrio la falla.
Resp.
6.36
6.37
- j8.08 pu
6.02 p U
Las reactancias por unidad de un generador sincrono son
X,, = 1.1, X,; = 0.24 y X S = 0.15. El generador opera sin
carga a un valor 5 por ciento arriba del voltaje especificado cuando ocurre un cortocircuito del trifdsico en sus terrninales. 'Cual es la corriente de falla subtransitoria por
unidad? Si el generador esta especificado a 500 M V A y 20
kV, determine la corriente subtransitoria en kiloamperes.
Un gensrador rinrrono sue tiene una reartancia subtran-
sitoria de 0.15 pu y opera a un valor 5 por ciento arriba de
su voltaje especificado, surninistra energia a un motor
sincrono con una reactancia subtransitoria de 0.20 pu. El
motor se conecta al generador por una linea de transmision y un transforrnador de reactancia total de 0.305 pu.
Un repentino cortocircuito trifasico ocurre en las terminales del generador. Determine la corriente de la falla
subtransitoria en valores por unidad.
Barra conductora
infinita
1.0 pu
&= 0 . 8 ~ ~
Fig. 6-25.
Metodos generales para
calculos de redes
En este capitulo desarrollaremos metodos generales en que puede aplicarse la solucidn por computadora
de problemas de redes de sistemas de potencia. Comenzaremos por 10s teorernas basicos de redes.
7.1
de nodo V,, V,, V, y V, y de las adrnitancias dadas, la ley de las corrientes de Kirchhoff conduce a
TRANSFORMACIONES FUENTE
La fuente de voltaje de la figura 7-l(a) se puede
transformar en la fuente de corriente de la figura 7-l(b)y
viceversa, con tal que
Reacomodando estas ecuaciones y reescribiendolas en
forma de matriz, obtenemos
-Y12
Ym + Y12 + Y23 + Y24
-Y23
7.2
0
MATRIZ DE ADMITANCIA DEL CONDUCTOR
-Y24
t l s~stemade cuatro conductores que corresponde al
diagrarna unifilar de la figura 7-2(a)se puede representar
por la red de la figura 7-2(b).En terrninos de 10s voltajes
La ecuacion (7.3) se puede escribir corno
donde
&1
Fig. 7-1.
= Y10 + y12 + y13
(0)
Fig. 7-2.
(admitancia de transferencia) entre 10s nodos i y k, y es
&3
= Y30 + Y13 + Y23 + Y34
igual al negativo de la suma de todas las admitancias
y44
= Y40 + Y24 + Y34
conectadas directamente entre esos nodos. MAS a h ,
y12 = y
21 = -Y12
y13
= y31 = -Y13
= Y41= -y14 = 0
x4
Y'k = Y k l .
Asi pues, para una red general con N nodos la ley
de corrientes de Kirchhoff se puede escribir en terminos
de 10s voltajes del nodo como
'
Yu = Y3,= -yu
y24
= y42 = -Y24
Y34= Y43= -y34
Cada admitancia Y,, (i = 1, 2, 3, 4 ) se llama autoadmitancia (o admitancia de punto de excitacidn) del nodo i y
es igual a la suma algebraica de todas las admitancias
conectadas en el nodo. Cada uno de 10s terminos diago-
nales Yik(i, k = 1 , 2, 3, 4 ) se llama admitancia mutua
= Yconductor
v
(7.5)
donde
'conductor
-
y
2
1
y22
...
s....................
YNl Ym
'
1
. "
y~~
"
( 7-61
El
M ~ O D O SGENERALES PARA CALCULOS DE REDES
se llama matriz de admitancia del conductor, y V e I forman la rnatriz de N elernentos de voltajes de nodo y la
rnatriz de las corrientes de nodo, respectivarnente.
En (7.6),el primer subindice de cada Y indica el nodo en el cual la corriente e3t6 expresada y cl scgundo
subindice indica el nodo cuyo voltaje es responsable de
una componente particular de la corriente. Adernas, las
admitancias a lo largo de la diagonal son las admitancias propias, y las admitancias fuera de la diagonal son
las adrnitancias rnutuas. De (7.5) y (7.6) se deduce que la
r;urritrr~teque er~lraell UII nodo k esta dada por
79
donde
H=
[:I
J = b,,
(Observe la correspondencia entre la particidn vertical
de A y la particion horizontal de 0 . )El producto se escribe entonces
D
[F
GI[,]
E
H
(7.13)
Las subrnatrices se tratan corno elementos de la rnatriz
en la rnultipllcaclon, por lo cual obtenemos
En un sistema grande, las matrices de (7.3) a (7.6)
pueden ser de un nrden ~ n r r t ? ~ p ~ n d i A n t A mgrande.
~nt~!
En tal caso, las operaciones matriciales se pueden realizar mas convenientemente si estas han sido divididas
en partes o (aproximatlamente) subdivididas. Pnr ejemplo, la matriz
puede divldirse a lo largo de las llneas punteadas en
cuatro submatrices tales corno
donde las submatrices estan definidas por
Para dernostrar la rnultiplicacion de matrices en terminos de subrnatrices, suponemos que A de (7.8) va a
ser multiplicada despues por una rnatriz
La matriz producto C se obtiene finalmente efectuando
las rnultiplicaciones y surnas indicadas. Por ejernplo, el
renglon inferior de C resulta ser
el cual es exactarnente igual al que fue encon~radoal
rnultiplicar las matrices origlnales A y 6.
Al resolver (7.5) 10s nodos en 10s cuales no entra ni
sale corriente pueden ser elirninados. Con este proposito, las matrlces I y v se deben reordenar en tal forma
que 10s elernentos que pertenecen a 10s nodos que vayan a ser elirninados estdn en 10s renglones inferiows
para poder dividirlos luego. Por lo tanto (7.5) puede vqlverse a escribir corno
donde I, y V wson las subrnatrices de corrientes y voltajes, respectivarnente, en 10s nodos que van a ser eliminados. La submatriz K consta de admitancias relacionadas con 10s nodos que se van a conservar; la submatriz
M consta de adrnitancias en 10s nodos que se van a elirninar, y la subrnatriz L y su transpuesta LTconstade adrnitancias rnutuas relacionadas con ambos tipos de nodos. Resolviendo para I, de (7.16), obtenernos
IA = [K - LM-'LT]VA
M ~ O D O SGENERALES PARA C ~ C U L O S
DE REDES
80
donde tenemos ahora la matriz de admitancia del conductor
~conauctor
-K- LM-~L~
-
Ykn Ynj
-ye,
(7.19)
Cuando el ndsimo nodo sea eliminado.
7.3
ZIZ
(7.18)
La inversidn de M en (7.18) puede resultar dif icil, en
especial si M es ~ r a n d eEn
. tal caso, pueden eliminarse
10s nodos uno a la vez, se comienza con el nodo numerado mds alto, y luego se elimina cada vez. La elimination
de ese nodo transforma una matriz n x n en una matriz
(n - 1) x (n - 1). Ademas, 10s elementos resultantes Ye
de la matriz original se deben modificar mediante la
transformacidn indicada en (7.1 7)
Yk/nuevo - Ykjorrgrnol
donde
Zconductor
7.5
- ..
- .....................
ELEMENTOS DE ZCod
El procedimiento para determinar 10s elementos de
(7.25) es similar al que se estudio en la seccidn 7.4. Asi,
la segunda de las ecuaciones representadas por (7.24)
se puede escribir como
V2 = Z2*I1'+ 22212+
+ . + ZZNIN
' '
LOS ELEMENTOS DE UN-Ycond
Para encontrar un elernento de (7.6), digamos Y,,,
escribimos en la forma siguiente la segunda de las
ecuaciones representadas por (7.5)
de la cual obtenemos
l2 = Y21vI + Y22V2 + Yuv3 + . ' . + Y&VN.
( 7.20)
de la cual obtenemos
Asi pues, la autoadmitancia de. un nodo dado se mide
poniendo en cortocircuito 10s otros nodos y determinando el coeficiente de la corriente inyectada al nodo entre
el voltaje en ese nodo. De igual manera, podemos determinar una admitancia mutua, digamos Y,,, como
t a s matrices de impedancia y de admitancla del conductor se utilizan en el estudio del flujo de potencia (estudiado en el siguiente capitulo) y en 10s calculos de
fallas con ayuda de la computadora.
La adici6n de una rama con una impedancia Z, a un
sistema que tiene una matriz de irnpedancias de un conductor original Z,,,, puede realizarse en una de las formas siguientes
7.4
MATRIZ DE IMPEDANCIAS
DEL CONDUCTOR
La matriz de impedancias del conductor se define
Par
Zconductor
- Yc~nductor
( 7.23)
Por lo tanto, (7.5) se puede escribir como
= 'conductor I -.I
Inserci6n de Z, del conductor de referencia r a un
nuevo conductor p (Fig. 7-3)
2. lnsercion de Z, de un conductor viejo k a un nuevo
conductor p (Fig. 7-4)
3. lnsercidn de Z, del conductor de referencia r a un
conductor viejo k (Fig. 7-5)
4. Inserci6n de 2, entre dos conductores viejos k y rn
1.
(7.24)
(Fig. 7.6)
Fig. 7-3.
0
...
i
.
- /.\
/
A
-
0 0
Zkk
\
r
0
&
0
z*
Fig. 7-4.
Fig. 7-5.
Fig. 7-6.
7
4..
1
0
M~ODOS
GENERALES PARA CALCULOS DE REDES
82
Las nuevas matrices del conductor de impedancia
que resultan de la conexi6n de 2, son, respectivamente,
1.
2.
Para la figura 7-4:
i
Para la figura 7-3:
[ 1
'
'conductor
-
(nucvo) -
-
0
-
'conductor
'conductor
'conductor
(nuevo)
---------------------------IIIIIIIIIIIII.
.I]
(7.29)
ZNk
0
...
I
0 ; Zh
3.
'conductor
i Zkk + Z b
( 7.30)
. - - - - - - - - - - - - - - - - - - L - _ - - - - -
0
Z l k
1
(nucvo) = Zconduclor Zkk+ Zb
Para la figura 7-5:
Z:k
ZlkZ2k
Z2kZlk
Z$k
ZNkZlk
Z~kZ2k
' ' '
ZlkZNk
... Z 2 k Z ~ k
..............................
4.
zkk
1
Para la figura 7-6:
Problemas resueltos
7.1
El diagrarna de reactancia para un sisterna se
muestra en la figura 7-7(a).Utilice una transformacidn de la fuente a fin de obtener el diagrama
(ldos
10s valores
de admitancia del sistema. o
son unitarios.)
El resultado de la transformacidn directa de la
fuente se aprecia en la figura 7-7(b).
7.2
Obtenga la matriz de admitancia del conductor
para la red que se observa en la figura 7-7(b).
M~TODOSGENERALES PARA CALCULOS DE REDES
Las admitancias esten tornadas de la figura:
Y,,= -j0.5 - j5 - j5 = -j10.5
Y2, = -j0.5 - j2.5 - j5 = -18.0
Y33 - -jU.3 - 15 - 110- 12.5 = -jl8.0
Y44 - -15 - j10 - j5 = -j20.0
Y,, = Y,, = 0
y3 = y3, = j5.0
Y,,= Y,, = 15.0
K3 = Y3Z= 12.5
YZ4= Ya2= j5.0
(a)
Yz3=
= j10.0
Por eso la matriz de admitancia del conductor es
'conductor
4
-
7.3
-j10.5
0
0
-jS.O
j5.0
j2.5
j5.0
15.0
15.0
j5.0
j2.5
j5.0
-jl8.0
jlO.0
j10.0
-j20.0
[
I
Dibuje un diagrama de impedancias para la red
que se muestra en la figura 7-8(a).
El diagrama de impedancias se representa en la figura 7-8(b),
donde
t b)
Fig. 7-7.
(4
Fig. 7-8.
M~~OOO
GENERALES
S
PARA CALCULOS DE REDES
84
7.4
Obtenga la matriz de admitancias del conductor
para la red de la figura 7-8(a).(Todos 10s valores
son unitarios.)
Del problema 7.2 y (7.16) tenemos
Los elementos de Ycond son, segun la figura,
Y,,= -j1.0 - j2.0 = -j3.0
Y,, = -j2.0 - j2.0 = -j4.0
Y,, = Y,, = 2.0
Por tanto, la matriz de adrnitancia del conductor es
de la cual
Invirtiendo' la rnatriz de admitancia del conduc-
7.5
Por lo tanto,
tor p a r a l a r e d de l a f i g u r a 7-8(a),obtenga 10s v n l -
tajes del conductor V, y V,.
De (7.5) tenemos
Asi pues, de (7.18),
Por lo cual,
I;[
-j3.0
=
j2.0
[
j2.0 -' 2E
-j4.01 [zFI
conductor
]
0
- [-15.575
-j8.0
-j4.135
-j4.135]
-j3.173
=
j0."][2p]
j0.25 j0.375 2 E
[jO.S
Entonces
7.7
A partir del resultado del problema 7.6, determine la impedancia por unidad entre 10s conductores (nodos) 1 y 2 del circuit0 con los nodos 3 y 4
eliminados. Tambikn determine la admitancia
entre 10s conductores 1 y 2 del conductor de referencia.
De (1) del problerna 7.6, la admitancia entre 10s
conductores 1 y 2 es -14.135. En consecuencia
7.6
Elimine 10s nodos 3 y 4 de la red de la figura 7-7,
usando el procedimiento dado por (7.16) a (7.18)
para encontrar la nueva Ycon,.
'El proced~mientopara invertir matrices puede enconlrarse en cualquler
textu de irltStotJus rriatriciales.
1
-14.135
Impedancia por unidad = 7
= j0.2418 pu
De (7.4), la admitancia entre el conductor 1 y el conductor de referencia es -14.925 - ( - 14.135) = -10.79 pu.
De igual manera, la admitancia entre el conductor 2 y el
conductor de referencia es -14.827 - (-i4.135) =
-10.692 pu.
-
El
7.8
M~ODOS
GENERALES PARA CALCULOS DE REDES
Dibuje un circuit0 equivalente, con fuentes de
voltaje y con 10s nodos 3 y 4 eliminados, Para la
red del problema 7.6.
El circuito que se requiere, con 10s valores obteniuos en el problems 7.7 per0 con ruentes de corrlente, se
muestra en la figura 7-9(a). El circuito equivalente con
fuentes de voltaje se incluye en la figura 7-9(b).
7.9
En la figura 7-7(a),suponga que E,, = 1.0,&, E,, =
1.211-30°, y E, = 1.4/300 por unidad. Encuentre,
en forma compleja, 10s valores unitarios de las
fuentes de corriente que se observan en la figura
7-7(b).
Por lo tanto,
Potencia de ralida del nodo I = (1.0p)(0.2036p) =
(0.2032 + j0) pu
Y
Potencia de entrada del nodo 2 = (1.21-30°)(0.2036E)
=
(0.2116 - j0.122) pu
7.11
Determine 10s voltajes dei n o d o e n el circuito de
la figura 7-9.
Utilizando el valor de 13 corriente obtcnido cn cl
problerna 7.10, tenemos, en el nodo 1,
Las fuentes de corriente son
De modo semejante, en el nodo 2,
7.10
SiE,, = 1.0100, y E, = 1.21-30°, por unidad en el
7.12
c i r c u i t o d e l a figura 7-9,'determine l a p o t e n c i a
Elimine 10s nodos 3 y 4 de la red de la figura 7-7, utilizando (7.79)para encontrar la nueva
.,,,,Y
,
compleja dentro (o fuera) de 10s nodos 1 y 2.
Empezamos con la matriz de admitancias del conductor del problema 7.2:
De la figura 7-9(b), la irnpedancia en serie Z es
J(1.266
0.2418
1.445) = j2.9528 pu. De aqui
+
+
(h)
(a)
Fig. 7-9.
M~TODOSGENERALES PARA CALCULOS DE REDES
Debernos suprirnir el nodo numerado mas alto (aqui es
el nodo 4) en cada etapa de elirninacion. Hacernos esto
modificando cada uno de 10s elernentos que qusdan, segun (7.19). Con n = 4, para Y,, tenemos
De (7.23) tenernos
Zconduclor
-
1
[YconJuc~orl-
-j10.5
0
j5.0
0
-j8.0
j2.5
j5.0
j2.5
-j18.0
j5.0
j5.0
j10.0
j5.0
15.0
jlO.0
-j20.0
I
1
De manera similar,
7.14
Para las fern especificadas en el problema 7.9,
cncuentre el voltaje en el nodo 4 de l a red de l a f i -
gura 7-7.
Con las fuentes de corriente como se calculd en el
problenia 7.9, la a c u a ~ i 6 1Je
1 nodus e n forrna de rnatriz
es, de (7.5)
Por cso, lo primera elirninacion da por resultadn
Usando el resultado del problema 7.13, donde se encontr6 Y;Lnd se tiene
El nodo con el numero mas alto es ahora el nodo 3, con
n = 3, (7.19) nos da
Y de igual manera con 10s elementos que quedan. Finalmente, con 10s nodos 3 y 4 elirninados, obtenemos
Observe que este resultado concuerda con el del problema 7.6.
7.13
Encuentre la rnatriz de impedancias del conductor de la red de la figura 7-7(a).
de lo cual encontramos que
7.15
Una corriente de -0.5/600pu se aplica a1 nodo 4
de la red de la figura 7-7. Encuentre el voltaje resultante en el nodo 4, dadas las fern especificadas en el problema 7.9.
Resolvemos este problema por superposicion.
Quitando las fem originales y con Z, como se determino en el problema 7.13, el voltaje en el nodo 4 debido a
la corriente introducida es
Por consiguiente, el voltaje requerido es la suma
v4 =
V;+
v; = -a2514
+
j0.2570 +
- j0.435
= 0.8336 - 10.178 = 0.8511-12.0"
7-16
u n capacitor que tiene una reactancia de 4.0 pu
se conecta del nodo 4 del sistema de la figura 7-7
a tierra. Con 10s valores num6ricos especificados en la flgura / - / y el problema 7.9, calcule la
corriente por unidad a traves del capacitor.
Sealin el problema 7.14. el voltaje de Thevenin en
el nodo 4 es V, = 1.169 /-21.80 pu. Y del problema 7.13,
la impedancia de Thevenin es Z, = j0.719. Por ello la
corriente a traves del capacitor es
Segun el problema 7.14, el voltaje en el nodo 4 debido a
las fem es
Problemas complernentarios
7.17
Determine ZCond para la red que se presenta en la figura
7.19
SeanI, = 1.0100 pu eI, = 1.2/30" pu en la red de la figura 7-10, y obtenga una red equivalente que s61o tenga
fuentes de voltaje.
Resp.
Fig. 7-11
Fig. 7-10.
Fig. 7-11.
Lj0.629 j0.677 j0.714 _]
7.18
7.20
Encuentre Yco,d para la red del problema 7.17.
-19.15
j4.98
13.33
14.98
-111.6
j6.57
j3.33
16.57
-110.6
1
Encuentre la potencia compleja que entra (o sale) del nodo 1 de la red de la figura 7-10.
Resp.
= Zcond
7.21
Fig. 7-12.
(0.472 - j0.051) pu
Utilice una transformaci4n de la tuente para obtener el
diagrama de impedancias para la red que se muestra en
la figura 7-12.
M&ODOS GENERALES PARA CALCULOS DE REDES
Fig. 7-13
Resp.
Fig. 7-13
7.22
Obtenga
Resp.
7.23
-j20
0
-jlO
0
0 , -j10
-j30
0
0
-j34
-jlO -120
-j10
-j20
-138
o
1
7.27
-j15.74
[ -j2.24
7.28
Rcsp.
(n + 1 ) X (n
+ l ) ; ( n + 1)
Un sistema de dus conductu~est i e ~ ~ e
Si una impedancia 2, = i0.4 pu se conecta entre 10s conductores 1 y 2, jcual es el nuevo Z,and ?
-j2.24]
-j26.19
Uibuje un clrculto equlvalente con tuentes de voltale para la red de la figura 7-12, con 10s nodos 3 y 4 eliminados.
Si Zcond es una matriz de n x n, jcuAl es el orden de
LCond(nuevo, en (7.29) a (7.32)'!
Resp.
Elimine 10s nodos 3 y 4 de la red de la figura 7-12, utilizando el procedimiento de (7.16) a (7.18) para obtener la
YCondresultante.
Resp.
7.24
para la red de la figura 7-12.
Resp.
7.29
1
jO.10698 j0.05735
j0.05735 10.12352 PU
Encuentre Zcond para el sisterrla que se rnuestra en fa figura 7-15. Todas las impedancias se dan en valores por
unidad.
Fig. 7-14
Fig. 7-14.
7.25
Repita el problema 7.23, usando (7.19) para encontrar la
nueva Y cond.
j1.2
10.2
7.26
problema
Encuentre 7.15.
el voltaje
.
en el nodo 3 bajo las condiciones del
4
0
. j0.3
Resp.
1.25/ -23.84" pu
Fig. 7-15.
p.15
j1.5
Resp.
7.30
I
j1.2
j1.2
'1.2
j1.2
j1.4
j1.2
I
7.33
j1.2
j1.2 pu
j1.5
Un diagrama unifilar para un sistema de cuatro conductores se rnuestra en la figura 7-16. Las irnpedanciasde la
linea se dan en la tabla 7.1. Determine YCond.
Si una impcdancia dc 11.5 pu 3c conccta cntrc cl conduc-
tor r y el conductor 3 de la figura 7-15, jcuAl es la nueva
Zcond?
7.31
Fig. 7-16.
Si una irnpedancia de 10.15pu se agrega entre el conductot 2 y el 3 de la figura 7-15, ~ c u aes
l la nueva matriz de im~edanciasdel conductor?
TABLA 7-1
Linea (conductor a conductor) R, pu
7.32
X, pu
La impedancia Z,, es la impedancia que se rnide entre el
conductor 1 y el conductor r del sisterna que se observa
en la figura 7-15 cuando I, = I, = 0.Evalue Z,,. Verifique
que su resultado sea compatible con el del problema
7.31.
Resp.
+
3 - j9
- 2 + j6
-1+j3
- 2 j6
3.666- jll
-0.666+j2
- 1 + j3
- 0 . 6 6 6 + j2
3.666-111
-1 + j 3
-2+j6
0
- 1 + j3
-2 + j6
3 - j9
Estudios de flujo de potencia
Los estudios de flujo de potencia, mas comunmente conocidos como estudios de flujo de carga, son muy
importantes al evaluar la operacion de sistemas de potencia, al controlarlos y planearlos para futuras expansiones. Un estudio de flujo de potencia proporciona
principalmente la potencia real y reactiva y un fasor de
voltaje en cada conductor del sistema, aunque mucha
inforrnacion adicional se encuentra disponible en impresiones por computadora de 10s estudios mas representativos de flujo de potencia.
Los principios requeridos en 10s estudios de flujo
de potencia son claros, per0 un estudio relacionado con un
sistema de potencia real solo se puede obtener con una
computadora digital. Por lo tanto, 10s calculos numericos
requeridos se realizan sistematicamente por medio de un
procedimiento iterativo: dos de 10s procedimientos numericos iterativos mrls utilizados son el metodo de GaussSeidel y Newton-Raphson. Antes de considerarlos explicaremos el concept0 de fluio de potencia el cual se obtiene
con expresiones explicitas para el flujo de potencia de una
linea de transmision corta sin perdidas.
(b)
Fig. 8-1.
8.1 FLUJO DE POTENCIA EN UNA LfNEA
DE TRANSMISIdN CORTA
Suponemos que la linea de transmision corta que
se muestra en la figura 8 . l ( a ) tiene una resistencia
despreciable y una reactancia en serie de j X ohms por
fase. El extremo transmisor por fase y 10s voltajes del
extremo receptor son V , y V,, respectivamente. Deseamos determinar la potencia real y reactiva en el extremo
transmisor y en el receptor, dado que V, adelanta a V,
por el dngulo 6.
La potencia compleja S, en voltamperes, esta dada
en general por
donde I* es el conjugado complejo de I.Asi, en una base
por fase, en el extremo transmisor tenemos
Segun la figura 8-l(a),I esta dada por
por lo cual
1
Sustituimos (8.3)en (8.2)y obtenemos
vs
ss = -(v$
-]X
- v:)
(8.4)
-
Finalmente, de (8.6) y (8.8),
es claro que la potencia reactiva fiuira en la direccion de! voltaje mas bajo. Si el sistema opera con 6 0,entonces el flujo promedio de poten..
cia reactiva en la linea esta dado por
A ~ U I -b
a i e ~d~ e, ~
diayrarria fasorlal de la flgura 8-1(b),
Qp,,,,
VR=IVRIE
osea
VR=VE
Por consiguiente (8.4) se convierte en
- lvs1 lvR1 send f j-1 ((Vs12 - (Vsl IVRJcos d )
X
X
(La segunda ecuaci6n requiere alglin manejo.) Finalmente, de s., = P, + jQ,, podemos escribir
1
2
(8.10)
Esta ecuacion muestra una fuerte dependencia del flujo
de potencia reactivo en la diferencia de v o l t a j ~
En este punto hemos despreciado la perdida I2R en
la linea. Si ahora suponemos que R es la resistencia en la
linea pnr fase, entonces la perdida en la linea esta dada
Par
A partir de (8.2) tenemos
J
1
Q s = E ( l V s 1 2 - I V s l I V R l ~ ~ ~ d ) var
1
= - (Qs + Q,) = 2x(lvs12 - IVRI~) var
I = P - iQ
V*
(8.6)
Asi pues,
De igual manera, en el extremo receptor tenemos
SR
-
11* = Ill2=
PR + jQR = VRI*
p2 +
e2
I v I"
Procediendo como antes, obtenemos finalmente
1
pR =
QR =
( 1 ~ lvRl
~ 1 sen 6 )
,
1
y ( 8 . 7 7 ) se convierte en
w
(Iv,~ lVRlcos 6 - lvR12)
var (8.8)
De este ejemplo sencillo se pueden derivar varias
conclusiur~esinlportantes. Prlmero, la transferencia de
la potencia real depende s61o del Angulo 6, el cual se conote como Bngulo de potencia, y no de las magnitudes
relativas del voltale del extremo transmisor y receptor (a
diferencia del caso de un sistema de cd). Por otra parte,
la potencia transmitida varia aproxirnadarnente el cuadrado del nivel de voltaje. La potencia maxima transferida ocurre cuando 6 = 90' y
lo cual indica que ambos, la potencia real y la reactiva,
contribuyen a las perdidas en la linea. Por ello, es importante reducir el flujo de potencia reactiva para disminuir
las perdidas en la linea.
Pudimos obtener una expresion analitica para el
flujo de potencia en nuestro caso idealizado; sin ernbargo, en un sisterna de potencia real las soluciones
analiticas explicitas no son del todo exactas debido a
las fluctuaciones de carga en 10s conductores y a que el
voltaje del extremo receptor puede no ser conocido. Por
lo tanto, se deben utilizar metodos nurnericos para cal-
cular las cantidades desconocidas, generalmente por
medio de un procedimiento iterativo.
La figura 8-2 muestra un sistema de dos conductores, curl la putellcia real representada por flechas continuas y la potencia reactiva por flechas punteadas. Las
ecuaciones dominantes para el sistema son (en una base por fase)
s, = v,r*
v, = v, + z,r
2.
Un conductor del generador es un conductor en el
que se conocen la ~nagnituddel voltaje generado
/ V y la potencia correspondiente generada P, y Q y
6 van a obtenerse.
3. Un conductor de respaldo (o conductor inactivo) es
un conductor generador en el cual V y Gson especificadas, y P y Q van a ser determinados. En conveniencia, escogemos V E = 1/00 por unidad. De (7.5),
podemos escribir la corriente del nodo k-8simo
(de N) como
Con 10s simbolos definidos como en la figura 8-2. Despejando V, y eliminandnI de estas ecuaciones, obtenemos
lo cual tambien se puede escribir como
Para resolver (8.13) iterativamente, suponemos un valor para V, y lo llamamos VjO'.Podemos sustituirlo en el lado
dereCh0 de (8.13) y despsjar V2, llarnando Vil' al nuevo
valor de V, obtenido de esta primera iteracibn. Podemos
luego sustituir (Vilt)* en el lado derecho de (8.13) y obtener un nuevo valor Vj2'. Este procedimiento se repetire
hasta que nos dB la precisidn deseada. Este proceso iterativo que usaremos est8, pues, dado por la ecuacion
general o algoritmica.
Despejando 10s V, dados
Ahora bien, como
tenernos
8.3
LAS ECUACIONES DE FLUJO DE POTENCIA
Como se vio en el capitulo anterior, la matriz de admitancias es util en un enfoque sistematicn de la soluciOn de problernas de flujo de potencia Antes de estudiar este enfoque necesitamos definir 10s siguientes
conductores especiales:
1.
Un conductor de carga es aquel conductor para el
cual las potencias activa P y reactiva Q son conocidas, y I V / y 6 van a ser encontradas.
Finalmente, (8.17) Y (8.19) dan, Para N nodos,
-J Q ~
vk = I
(Pkv:
Ykk
n=l
nfk
para k = 1, 2, . . . , N
(8.20)
Este conjunto de N ecuaciones constituye las ecuaciones de flulo de potencia
Fig. 8-2.
ELI
8.4
€STUDIOS DE FLUX) DE POTENCIA
LOS M ~ T O D O SDE GAUSS Y GAUSS-SEIDEL
Los metodos de Gauss y Gauss-Seidel son procedimientos iterativos para la solucidn de ecuaciones simultaneas (no lineales) Ewplicamos e l m e t o d o de Gauss
con el ejemplo siguiente.
EJEMPLO:
Despeje x y y del sisterna de ocuacioncs
nfk
para k = 2, 3, . .
.,N
(8.21)
Observe que se especifica V, en (8.21) asi que empezamos 10s calculos en el conductor 2.
y - 3x + 1.9 = 0
y
x 2 - 1.8 = 0
+
Para resolver con el metodo de Gauss, reescribirnos las
ecuaciones dadas como
Considerense dos funciones de dus variables x, y
x,, tales que
Ahora asignamos un valor inicial supuesto de x, = 1 y yo = 1, actualizamos x con ( 1 ) y actualizamns y con (2) Estn es, calculamos
donde C, y C, son constantes. Sean xio1y xio' estimaciones iniciales de soluciones para (8.22) y (8.23) y sean
y a x z l O ) 10s valores por 10s cuales las estimaciones
iniciales difieren de las soluciones correctas. Esto es,
En las iteraciones que siguen calculamos, de rnodo mas general,
Expandiendo el lado izquierdo de cada una de las cuatro
ecuaciones en una serie de Taylor, obtenemos
Despues de varias iteraciones, obtenernos x = 0.938 y y =
0.917. Unas pocos mas itcraciones nos acercarian mas a 10s re-
sultados exactos: x = 0.93926 y y = 0.9178. Sin embargo, se debe puntualizar que una simple conjetura de 10s valores iniciales
(tales como x , = yo = 100) hace que la sol~rcihnrliverja
Si hubierarnos usado el rnetodo de Gauss-Seidel en el
ejemplo anterior, podriamos utilizar todavia (5)para calcular x,.,;
per0 usariamos entonces el calculo exacto x.., para encontrar
y..,,. En lugar de (5) y (6),el algoritrno para el metodo de GaussSeidel seria
Despreciando las derivadas de orden mayor y escribiend o e l r e s u l t a d o en forma de matriz, se obtiene
Extrapolando 10s resultados anteriores, determinamos que el algoritmo de Gauss-Seidel para las
ecuaciones de flujo de potencia (8.20)es
Dl
ESTUDIOS DE FLUJO DE POTENCIA
94
donde las derivadas se evaluan en x i o 1y xjO).La ecuacion (8.28) se puede abreviar corno
donde la rnatriz J(O1se llama jacobiano (de 10s valores
estimados inicialrnente) y ACIol y ACJoBson las diferencias especificadas cn el lado izquierdo de (8.28).
Al resolver la ecuaci6n rnatricial (8.29) se obtienen
Axjoby Axio).Entonces una rnejor estirnacion de la solu-
donde 10s subindices s y c significan, respectivamente,
valores especificados y calculadns i s t o s corres~onden
a 10s valores del lado izquierdo de (8.29).
En correspondencia con las ecuaciones (8.28) y
(8.29),
la ecuacion rnatricial para un sisterna trifilar (con
el conductor 1 corno conductor de respaldo y por lo tanto ornitido) es
ci6n es
x(l) =
1
( 0 ) + &(O)
XI
I
(8.30)
Repitiendo el proceso con estos valores da una rnejor
estirnacibn. Las iteraciones se contin~janhasta que Ax,
y ax, se hacen mas pequeiias que un valor predetermi.
nado.
Para aplicar el rnetodo de Newton-Raphson a un
problema de flujo de potencia para el k-8sirno conductor, tenemos
2 ad; 3-E
aQ3
3Q3
Por lo tanto, de (8.15) y (8.19),
asi que
N
Pk =
2 IVkVnYknlcos (0,. + 6. - 6 , ) (8.33)
n=l
Si se tienen especificadas P y Q para cualquier conductor (excepto un conductor de respaldo), esto corresponde a que conozcamos C,y C, en (8.28). Primero estirnarnos V y 13para cada conductor excepto en el conductor de respaldo, para el cual se conocen estos valores.
Despu6s sustituirnos estos valores estirnados que corresponden a 10s valores estimados para x, y x,, en (8.33)
y (8.34),para calcular las P's y Q's que corresponden a f,
(xio1,
x i o 1 ) y l ( x i o ' ,xio.). Luego, calculamos
La ecuacion (8.3t) se resuelve por inversion del jacobiano. Los valores deterrninados para ~6:" y AV~O'se
agregan a las estirnaciones previas de V y 6 para obtener
nuevas estimaciones con las cuales empezamos la siguiente iteracion. El proceso se repite hasta que los valores en cada rnatriz colurnna son tan pequefios corno
se desee.
8.6
ESPEClFlCAClONES Y REGULAC16N DEL
VOLTAJE DEL CONDUCTOR
En las secciones 8.2 y 8.3 indicamos que 10s volta-
jes del conductor se especifican en algunos estudios de
ESTUDDS DE FLUJO DE POTENCIA
W
asi
Q~inca = Q
- Q2 = 2Q1 = 5.36 PU
De esta manera, tenemos
J ~ CX
T
h
Carga en el conductor 1 = (6
IcRn
7
1
+ j10) + (10 + jS.36) = 16 +
~ 1 5 . 3 6PU
Factor de potencia en el conductor 1 = 0.72 retrasado
Vl
Carga en el conductor 2 = (14 + J8) - (10 - j5.16) = 24 +
Fig. 8-6.
j13.36 p u
Factor de potencia en el conductor 2 = 0.87 retrasado
Problemas resueltos
8.1
Para e l s i s t e m a que s e ve en la f i g u r a 8-7' se de-
sea que / V, 1 = 1 V, 1 = 1 pu. Las cargas como se
muestran son S, = 6 + 110 pu y S, = 14 + j8 pu.
La i m p e d a n c i a de l a linea es j0.05 pu. Si l a entra-
da de potencia real en cada conductor es 10 pu,
calcule la potencia y los factores de potencia en
10s dos extremos.
dado
=
y.
8.2
2,.= 0.05 + i0.02, Y
E n la figura 8-2, Sean V, = 1
P, + jQ, = 1.0 + 10.6 (todo por unidad). Determine V, y PI + iQ,.
Basandonos en 10s valores num6ricos dados, suponernos el valor inicial V, = 1/00 y utilizarnos (8.14) iterativarnente para obtener 10s valores siguientes:
v, = 1p.Entonces
IVII-IV2I
wn
P, = P, = X
1x 1
10 = 0.05 Send
del c u a l 6 = 300 y V , =
1 1 1 0 0 La potencia reactiva esta
Iteracion
b, P U
0
1
2
3
4
1.0 + j0
0.962 - j0.05
U.963U - j0.054
0.9635 - j0.054
0.9635 - j0.054
dada por
1' Iv21 cos 6 -- ---
Q, = I v 2
x
x
1
1
-cos 30°
0.05
= 2.68 pu = -Q2
0.05
En las figuras 8-7 a 8-12, 10s numeros cornplejos se representan corno potencia aparente por unidad.
Fig. 8-7
(Observe que la convergencia alcanza justo las cuatro
iteraciones. Datos diferentes, tales como una carga
mas grande, podrian requerir mas iteraciones para concordar con la solucrbn. 0 blen la convergencia puede no
ser alcanzada del todo, si la solucibn no existe o si el
punto de entrada del proceso iterativo no es el apro.
piado.
ESTUDIOS DE F L U DE POTENCIA
Ahora bien, con V , = 0.9635- 10.054pu, tenemos
Por lo tanto V , = 0.9 - j0.108 pu y
asi que I *
- 1 . 1 0 0 m . t o t o noo do
S1 = P, + jQ, = V l l t = (1~)(1.188/28.6O)
= 1.188/28.ti0 = 1.047 + j0.569
8.3
En consecuencia, P, = 1.043 pu y Q, = 0.569 pu.
Para el sistema del problerna 8.2, se desea que
1 V , / = I V,1 = 1 fl ~ I surninistrando
I
potencia
reactiva en el conductor 2. Determine la potencia reactiva que se debe surninistrar.
8.5
Los voltajes en 10s dos conductores del problema 8.4 dehen i g ~ r a l a r sus magnitudes sumi-
De (8.1) obtenernos
nistrando potencia reactiva al segundo conductor. ~ C u a n t apotencia reactiva se debe sumin i s t rar?
100
Tenemos 1 V, = 1 , V, = 1
(deseado),ZY = 0.03 +
j0.12y S; = (1 - j0.4). Entonces (1) del problema 8.3 da
la cual, cuando se sustituyo en (8.13),condujo a
1 = 11 + (0.03 + jO.12)[1 + j(Q2 - 0.4)]1
Por tanto, Or = 0.259 pu
Donde Q; representa la potencia de reactancia agregada al conductor 2.Ahora sustituirnos en (1)
8.6
y obtenernos, como el valor absoluto del lado derecho,
1 = 11 + (0.05 + j0.02)[1 + j(Qi - 0.06)]1
Por tanto,
Q;= 4.02 pu
La impedancla por unidad de una I inea de transmision corta es 10.06. La carga por unidad en la
linea es (1 + j0.6) pu y el voltaje en el extremo receptor es de I /
pu. Calcule el promedio del flujo de la p o t e n c i a reactiva e n l a linca.
El voltaje en el extremo transrnisor es
& = V, + 1 2 = IF+( 1 + j n . h ) ( j O . M )
= 0.965813.56' pu
6.4
00s conductores se i n t e r c o n e c t a n por u n a linea
de transmisidn de impedancia (0.3 + j1.2) pu. El
voltaje en un conductor es 1 F y la carga en el
otro c u n d u ~ t u res (1 + j0.4) pu. Determine el v o l taje por unidad en este segundo conductor. Tarnbien calcule la potencia real unitaria y reactiva
en el primer conductor.
La ecuacidn (8.14) da 10s siguientes valores para V,:
Asi, dc (8.10),
8.7
Resuelva la siguiente ecuacibn por el metodo de
Gauss-Seidel: x 2 - 6x + 2 = 0.
Resolvernos la ecuacion dada para x. obteniendo
y utilizamos la estimation inicial X I "
= 1. Por lo tanto,
en las iteraciones subsiguientes obtenemos
Iteration 3: X" = F(0.375) =: ;(0.375)*
+ f = 0.3568
La siguiente iteracidn da
Podemos ahora deternos puesto que
- Ixiu)l i
r = 0.0023, el cual parece ser suflcientemente pequeiio. La formula cuadratica da esta raiz como x =
0.35425 con cinco cifras.
No es necesaria otra iteracidn mAs
8.9
8.8
Para el sistema de dos conductores de la figura
8-8, con 10s datos como se muestran y con Y,, =
Y,, = 1.61-800 p t ~y Y,, = Y , , = 1.9/100°pu,
determine el voltaje por unidad en el conductor 2
por el rnetodo de Gauss-Seidel.
v,= '.I(!
Del problema 8.8 tenernos 10s valores por un~dad.
V, = 1.6
y Y,? = 1.9 /1000. Sustituyendo esos valores en (8.32), con k = 1, se obtie
ne la potencia compleja para el conductor 1:
V, = 1.1
PI - I & ,
v2
0"
Calcule la p o t e n c i a d e l c o n d u c t o r de r e s p a l d o de
la red de la figura 8-8.
PI + ~ Q I
8.10
1,
= ( 1 . 1 X 1.7 X 1.6)/-80"
-
0.
&
+ (1.1 X 1.047 X 1.9)/100° - 8.6"
0.3209 + j0.2816 pu
Para el sisterna que se aprecia en la figura 8-9, la
rnatriz de admitancias del conductor es
+ I l+jO4
r 3- j9
-2 + j6
Fig. 8-8.
-1
+ j3
- 2 + j6
3.666 - jll
-0 666
+ j2
-1 + j 3
-1
j3
0 1
-0.666 + j2 - 1 + -j3
3.666 - j l l
- 2 j6
- 2 j6
3 - j9
PU
+
La potencia en 10s dos conductores es
S, = (P, - 1.1) + j(Q1 - 0 . 4 ) ~ ~
S2 = -0.5 - jO.3pu
+
De (8.21),tenemos el algoritmo de Gauss-Seidel
-
v ~ +=
I )
y22
[p$lF2
- Y~~v,]
(1)
Con 10s valores nurnericos dados, (1)se convierte en
Para empezar las iteraciones, sea Viol = 1.0
Por lo tanto, (2)da
1
Con la potencia compleja en 10s conductores 2,
3 y 4 como se rnuestra en la figura, determine el
valor de V, que se obtiene de la primera iteracidn
del procedimiento de Gauss-Seidel.
Sea
Via' = V;'' = Via' = 1.0/00 pu. Por lo tanto, de (8.21),
- (-0.666 + j2) - (-1 + j3)J
/ pu.
4.246 - j11.04
= 1.019 + j0.046
3.666 - jll
=-
V Y )= ( 0 . 6 2 5 F ) [ ( O a 5 8 3 E ) - ( 2 . 0 9 K ) l
+
8.11
Sean xio' = 1 y x i 0 1 = 1 el punto inicial para la prirnera iteraci6n. Entonces
Determine el valor para V, del problema 8.10
que se obtuvo por la segunda iteracidn del procedimiento de Gauss-Seidel.
y las derivadas parciales evaluadas en x ( O ) y xi0) son
Ahoro (8.28)da las ecuaciones
y sustituyendo se obtiene
Fig. 8-9.
La solucidn simultanea nos da Ax:'' = - 0.5 y Ax:''
0. Asi, las rnejores estimaciones de x , y x , son
=
Procediendo como antes con estos nuevos valores estirnados, encontramos que la segunda y tercera iteracion conducen a
Sustituyendo 10s valores nurnericos dados y V;" y v:"
(10s cuales se pueden deterrninar en la misrna forrna
qcle vl1'nn el problema 8.10). obtenernos
rl2' = 0.5757
y
xi2' = -0.9286
xy' = 0.5359
y
xy' = - 0.9282
Es obvio que dichos problernas se resuelven rnucho
mas fac~lmentecon una computadora digital.
8.13
8.12
Resuelva las siguientes ecuaciones por el metodo de Newton-Raphson.
Para el sistema que se aprecia en la figura 8-IU,
El
ESTUDIOS DE FLUX) DE POTENCiA
100
Dados 10s voltajes y potencia por unidad que se rnuestran, determine V, por el metodo de Newton-Raphson.
- I Vp'l I Vy'lsen (e,, + a$")- d?))
= -(1)(1.04)(12.31) sen 104.04"
- (ll(24.23) sen (-75.95')
- (1)(1.04)(12.31) sen 104.04"
= -1.33 pu
Ahora bien. de (8.35)
APY) = 0.5 - (-0.33) = 0.83 pu
APT' = -1.5 - 0.026 = - 1 . 5 2 6 ~ ~
De rnodo semejante, de (8.36)
AQY' = 1 - (-1.33) = 2.33 pu
Para el sisterna trifilar dado (con V, conocido), (8.37) se
convierte en
1V3l = 1.04
Fig. 8-10.
Sean v;" = 1
/O" pu y 6:"
= 0.Entonces de (8.33),
P!())= I V $ "IV(:')(
'I
IY2,1rn<(Qzl+ Af') - hi0))
Diferenciando (8.33) y (8.34) y sustituyendo los valores
numericos dados por el sistema (1) anterior,
+ I v$")12I YZZIcos 02,
+ I V!("I IV!("I IY7,l cos (02, + sy' - SY')
= (1)(1.04)(12.31) cos 104.04"
+ (1)(24.23)cos (-75.95")
+ (1)(1.04)(.12.31) cos 104.04"
= -0.33 pu
De igual rnanera,
ps0) = IV:O)~~v'p)~
~r,,l
cos (e,, + sl0)- s p )
+ IVY'l IVY'l 1x21
x COS (e32+ dyl - dY))
+ I vy)12) Y331COS 633
= (1.04)(1.04)(12.31) cos 104.04"
005179
0.02666
0.01043
002653
0.05309
-0.00001
[ ]
- 0 . 0 0 ~ ~ ~ l:l3:
1
0.00051
-1.526
0.04176
(2)
Despejando A via) 1 en (2)da
+ (1.04)(12.31) c o s 104.04"
+ (1.04)2(24.23)cos (-75.95')
= 0.026 pu
TarnbiBn, de (8.34),
QY) = -IV$"l lVY'( I&,! sen(02, + S:O' - a?')
- 1 yC0l
2
2 I l Y22l Sen 022
Este procedim~entose replte hasta que es alcanzada la converyallcrd ~ n d x i m d ublar~er~rus
,
V 2 = 1.081
/- 1,37" pu.
ESTUDlOS DE FLWO DE POTENCIA
Problemas cornplementarios
8.14
Para un sistema del tipo que se ve en la figura 8-7, V, =
1.0 pu y 1 V, = 1.1 pu. La potencia compleja de salida
en 10s dos conductores es igual; esto es, S, = S, = 3
j4 pu y la potencia real suministrada por cada generador
es 5.0 pu. Si la reactanciade la linea es 0.08 pu. calcule la
carga en cada conductor.
+
8.15
8.16
10"
En el sisterna de la figura 8-2, V, = 1
pu, L,. = (0.10 +
jO.lO)pu,y P, + jQ, = (0.1 + j0.1)pu.Calcule V,.
Determine la potencia real y reactiva en el conductor del
problema 8.15.
Resp.
8.17
8.18
Rap.
100
v2.
Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones por el meto.
do de Gauss-Seidel, comenzando con x(0) = y(0) = 0:
Kesp.
1.371/- 19.46" pu
tvalue x en la ecuaclon x + sen x = 2 por el metodo de
Gauss-Se~del.Comience con x(0) = 0.
Vuelva a resolver el problema 8.23 utilizando el metodo
de Newton-Raphson y compare el numero de iteraciones
requeridas para alcanzar la convergencia por 10s dos metodos.
Resp.
Interacion tres contra interacion diez
Determine 10s valores de V, y V, en el sistema de la figura
8-9 y el problerna 8.10, corno se obtuvo en la primera iteration con el procedimiento de Gauss-Seidel.
V$')= 1,028 - j0.087 pu; VY)
Determine la potencia compleja en el conductor 1 del
problema 8.18.
R P T ~ (0.65
8.20
x = 0.4875; y = 0.2250 despues de
seis iteraciones
Resp.
8.19
(0.776 + j0.346) pu; 1.55129.7"pu
10.93 pu
Para el sistema que se obsewa en la figura 8-2, Z, = (0.2 +
10.6) pu, V, = 1.1
y P, + jQ, = (1 + i0.4) pu. Calcule
Resp.
Repita el problema 8.20, si ) V . I = 1.0 pu y si la potencia
real entregada por el generador permanece inalterada.
Suponga que E,,,permanece constante.
PI = Q,= 0.10208 pu
iCoBnfa p o t ~ n c reactiva
~a
se debe sumln~straren el conductor 2 en el problerna 8.15 s~ V , = 1.1 pu?
Resp.
101
+ j0.57) pu
= 1.025
- j0.0093pu
Dado el siguiente conjunto dc ccuacioncs,
Un generador se conecta a un sistema corno se rnuestra
en el circuit0 equivalente de la figura 8-11. Si V, =
0 . 9 7 / 0 0 ~ u ,calcule la potencia cornpleja proporcionada
por el generador. Tambien determine E,.
comience con 1:') = I!') = 1:') = 1 y encuentre I!'),
ti3) por el metodo de Gauss-Seidel.
Resp.
/i6)e
I:" = 1.2711; 1y' = 1.1847; I?' = 1.2125
En un sistema de cinco conductores Y,, = Y, = 0, Y,, =
7.146 1-84.60 pu, Y,, = 2.490/9510 PU y Y,, =
4 . ~ 8 o / Y Spu. Uetermlne Vi2r por el metodo de GaussSeidel si P, - jQ, = - 2 + 10.7. Comiencecon v;" = v:"
= via' = viol = ViO' = 1 / 0 0 pu.
Resp.
Fig. 8-11.
0 . 8 7 5 e .-7 "pU
Para el sistema que se rnuestra en la figura 8-12, con el
conductor 3 corno conductor de referencia, la matriz de
impedanc~asdel conductor es
ESTUDIOS DE FLUJO DE POTENCIA
102
Comience con ViU1= V r ' = 1.05100, y resuelva para V, y
V, por el metodo de Gauss-Seidel.
-+ j0.2
Dl
8.29
Vuelva a resolver el problerna 8.28 utilizando el rnetodo
de Newton-Raphson.
8.30
Para un slsterna trlfllar slrrillar al de la flgura 8-12,
v,
-0.4
Asimismo, V, = 1OO-/
y P, - jQ, = -0.8 + j0.6. Determine V;'' por el procedimiento de Gauss-Seidel.
v2
Conductor
de corriente
- 0.3 + j0.3
-
Fig. 8-12.
Operacion y control de un
sistema de potencia
De 10s numerosos aspectos de la operacidn y control ae un sistema de potencia, vamos a considerar solo
la uperacibrn ecu~~drnica
de tj.sLos y el ~ u r ~ l rda
u l la Irecuencia de la carga, el voltaje del generador y el regulador de turbina. *
9.1
D ~ S T R ~ B U C ~ ECONOM~CA
ON
DE CARGA
ENTRE GENERADORES
Dentro de una planta de energia, varios generadores de ac generalmente operan en paralelo. Para la operacidn econdmica de la planta, el totat de carga debe ser
dividido en forma apropiada entre las unidades generadoras. Debido al costo del combustible que es el factor
principal en la determinacidn de la operacidn econdmica, curvas como las de la figura 9-1 son importantes en
la operacidn de una planta de energia. Observe en la figura que el inverso de la pendiente de la curva en cualquier punto es la eficiencia de combustible de la operation de las unidades generadoras en ese punto. La
eficiencia maxima de combustible ocurre en el punto en
el cual la linea del origen es tangente a la curva. El punto A en la figura 9-1 es el punto para una unidad que
tiene la caracteristica entradalsalida de la figura 9-1;
ahi, una salida de 250 MW requiere una entrada de aproximadamente 2.1 x lo9 Btulh. 0 podemos decir que el
requerimiento de combusfible es 8.4 x lo6 BtulMWh.
Para obtener la distribucidn mas econdmica de la
carga entre dos unidades, debemos determinar el costo
incremental correspondiente a una reparticion parcial
de carga entre las unidades. Primero convertimos 10s re-
* Discusiones en el capitulo, tornado de W. D. Stevenson, Jr.,
Elements of Power SyQern Analysis, 4th ed., McGraw-Hill,1982.
Salida de potencia P, MW
(Fig. 9- 1,
querimientos de combustible en un costo de megawatthora por un ddlar. Despues el costo incremental se
determina de las pendientes de las curvas entradalsalida (Fig. 9-1)para las dos unidades. Seglin la figura 9-1,
para cada unidad,
dF
Costo incremental de combustible = -
dP
(en dblares por megawatthora)
(9.1)
donde F = entrada en dolares por hora y P = salida en
megawatts. En una salida dada, este costo incremental
de con~bustiblees el costo adicional del aumento de la
salida por 1 MW. (Veanse 10s problemas 9.2 y 9.3.)
En una planta que tiene dos unidades en operacidn,
generalmente el costo incremental del combustible de
una unidad sera mas alto que el de la otra. Para lograr la
operacidn mas econcimica, la carga se debe transferir
de la unidad con el costo incremental mas alto a la unidad con el costo incremental mas bajo, hasta que 10s
costos incrementales de las dos sean iguales. En una
planta con varias unidades, el criterio de la division de la
carga es que todas las unidades deben operar al mismo
costo incremental de combustible. (Esta c o n c l ~ ~ s i ose
n
puede derivar matematicarnente corno se muestra en el
problerna 9.5.) Si una grafica de dF,/dP, con respecto a
P
Planta 2
Llnea 2
I1
I '
r;,
P, para cada unidad es lineal, entonces se puede tra7ar
Carga
(Fig- 9-2
una curva de A en funcion de P, para determinar el valor
optirno de A, donde F , es la entrada de la unidad k en ddlares por hora, y h = dF,ldP, es el costo diterencial de
combustible de la unidad k en dolares por rnegawatthora. (A se conoce tarnbien corno el multiplicador de La-
Las ecuaciones (9.2) a (9.5) se pueden cornbinar para obtener
yrarlye, vease el problema 9.6.)
9.2
EFECTO DE PERDIDA EN UNA L~NEA
DE TRANSMISI~N
donde B,,, BI2 y B,, se llaman coeficientes de perdida o
coeficientes 8 y estan dados por
Para incluir el efecto de las perdidas en una linea
de transrnision en la operacidn econdmica de un sistema, debernos expresar esas perdidas en funcion de la
potencla cle salida de urla planta. La figura 9-2 muestra
dos plantas conectadas a una carga trifasica. La perdida de transmision total (para las tres fases) esta dada
Par
donde las R's son las resistencias por fase de las lineas
y donde
SI SupOnemOS que II e I, estiir~erl fase. Estas corrientes
se pueden expresar en terminos de P, y P,, o sea las salidas respectivas de la planta, corno
para un sisterna d e n plantas, (9.6) se puede generalizar a
donde B,,,, = 8,,.
9.3
D ~ S T R I B U C ~DE
~ NCARGA
ENTRE PLANTAS
p2
= \/j I KI cos 412
donde cos $, y cos $I
son
, 10s factores de potencia en 10s
cnndr~ctoras1 y 2, respectivamente.
En esta seccidn combinarnos el rnetodo de la seccion 9.1 con 10s resultados de la seccidn 9.2 para obtener
una d i s t r i b u c i d ~econdmica de la carga entre un nlimero
de plantas de energia. Para un sistema de n plantas, el
costo total de combustible por hora es
ha,
=
2F,
k=l
dirlares/h
(9.11 )
OPERACI~NY CONTROL DE UN SISTEMA DE POTENCIA
y el total de potencia de salida es
la condicidn (9.18) se puede escribir como
parak = 1,2, . . . , n
Considerando las perdidas de transmision, debemos tener
donde P, y Pp,,,,,, son, respectivamente, la potencia total recibida por la carga y l a verrlida eri la transmisidn.
Para una P, (constante) dada, P,, dP, = 0. De esta manera, (9.12) y (9.13) dan
donde L,, llamada factor de castigo de la k4sima planta,
esta dada por
La condicidn (9.20) supone que el costo de combustible
del sistema se minimiza cuando el costo incremental del
combustible para cada planta, multiplicado por su factor de castigo, es el mismo en todo el sistema, esto es,
cuando
Ademas, cuando la carga se distribuye entre las n plantas para el costo miiiimo de combustible, dFtotal = 0.
Por lo que
Para determinar las L , tenemos, de (9.10),
Asimismo,
dPperdida
=
C -df'k
?I
aPpcr~lda
k=l
3Pk
(9.16)
Sustituimos dPPerdi,,de (9.16) en la (9.14), multiplicando
el resultado por A, y restando ese resultado al miembro
derecho de la ecuacion (Q.75),
se obtiene
Las ecuaciones simultaneas representadas con (9.20)se
pueden resolver si se supone un valor para X.
9.4
CONTROL DEL SISTEMA DE POTENCIA
Un gran nljmero de controles automaticos se utilizan
Esta ecuacion se cumple si
3Ftota1
apk
+ A- (~f',,erd,c~;l - A = 0
3Pk
Ahora bien, puesto que
en sisternas de potencia hoy en dia. Son dispositivos que
para todo
controlan el voltaje del generador, regulador de turbina y
la frecuencia de la carga; existen tambien computadoras que aseguran el control del flujv de poterlcia ecundmico y la potencia reactiva, entre otras variables de 10s
sistemas de potencia.
El conlrul del ye~~eradvr
de voltaje se realiza mediante el control del voltaje excitador. La representacion, mediante diagramas de bloque, de un sistema de
regulacidn autornatica de voltaje de lazo cerrado se
muestra en una forma simplificada en la figura 9-3.
(Tambien exlsten otras formas numerosas de control del
generador de voltaje.) En la figura 9-3, la funcion de
transferencia de lazo abierto G(s) esta dada por
O P E R A C ~ ~YNCONTROL DE UN SISTEMA DE POTENCIA
106
G ( s )=
k
(1
+ T,s)(l + T,s)(l + Tfs)
rencia (determinada esta ultima por el valor prefijado en
el regulador) y R se conoce como constante de regulacidn.
(9.24)
I a f i g ~ ~ 9-4
r a mtlestra el diagrama de bloaues para
donue T,,, T,. y T, son, resyeclivar~re~~te,
las constantes
del tiempo asociadas con el amplificador, el excitador y
el camp0 del generador, y la ganancia de malls abierta k
del circuit0 es
Un sistema de control formado par un regulador y la tur-
bins; SUPOnemos que el sistema es lineal y que el regulador y el grcrpo tlrrhina-generador son dispositivos de
primer orden.
En la explicacidn anterior, hemos supuesto que las
aceleraciones y desaceleraciones del rotor del generador
son controladas por el regulador de la turbina. Sin embargo, la desviacion de frecuencia Af todavia perrnanece S l JP,,, = 0.Esta desviatiiir~de Iretiuerrcia se puede
reducir a cero por un proceso llarnado control de frecuencia de carga (o CFC). El proceso CFC tambien
controla el flujo de potencia en la rlnea de arnarre. Asi,
por medio del CFC, cada area interconectada de un sistema de potencia mantiene la salida del flujo de potencia de esa area en su valor programado, absorblendo
sus propias variaciones de carga.
Para establecer la estrategia adecuada de control para CFC, definimos el error de area de control (EAC)como
Repentinos cambios en la carga provocan cambios en la
velocidad de la turbina y, en consecuencia, tambien hacen que cambie la frecuencia del generador. El carnbio
de velocidad de la turbina ocurre cuando el par electroma~neticodel generador no puede igualar el par mecanico de la turbina (o de otro irnpulsor primario). Asi pues,
el carnbio AI en la frecuencia del generador se puede
usar corno seAal de control para manipular la potencia
mecanica de la salida de la turbina. El carnbio de la potencia de salida de la turbina en funcion de un carnbio
en la frecuencia del generador esta dado por
donde AP,,,,,, es la desviacion de la salida del flujo de
potencia en la linea de amarre del flcrjo de pntencia
donde AP, y AP,,, son, respectivamente, 10s cambios en
la potencia de salida de la turbina y la potencia dc rcfc-
Ae
-
-
k,
-- 1 t T,s
Amplificador
AVR
-
kc
~
--
1 + T,s
Excitador
Fig. 9-3.
Fig. 9-4.
Av1
--
A vr
kt
1
+ Tfi
F
A
Ca111pu
gerlcrador
w
El
OPERACI~NY CONTROL DE UN SISTEMA DE POTENCIA
programado, af es el error de frecuencia y B, se conoce
como la frecuencia de polarization constante.
El cambio AP,,, en el valor prefijado de la potencia
de referencia del regulador de turbina de carga de frecuencia controlada es proportional a la integral de EAC.
As i,
A P,,, = - K
l
ACE dt
donde k es una constante. El signo rnenos en (9.28)
lrnpllca que, si la salida del flujo de potencia neta del
area o si la frecuencia son bajas, entonces EAC es negativo y el area debe incrernentar su generacidn.
Si un area contiene n unidades generadoras, podemos escribir (9.26)como
Requerirniento de
combustible
107
--lo' - 10 x lo6BtulMWh
100
(b) De igual maneta, con una salida de 400 MW, laentrada
fie c n m h ~ ~ n t i hel es aproximadamente 3.6 x lo9 Btulh. En-
tonces
Requerimiento de - 3'6 lo' = 9.0 X 106Btu/MWh
combustible
400
Esta claro que ambos valores son mas grandes que
aquellos para el punto A.
9.2
Cierta cantidad de carbon cuesta $1.20 y produce
lo6 Btu de energia como combustible para una
unidad de generacidn. Si la caracteristica entradalsalida de la unidad es como l a d e la figura 9-1,
determine el costo incremental del combustible
en el punto A.
Pendiente en A =
donde $ se conoce como el area caracteristica de respuesfa a la frecuencia y esta dada por
(2.2 - 2.o)1oy
= 7.7 BtuIMWh
(260 - 234)106
Asi,
Costo incremental = 7.7 x 1.20 = $9.24/MWh
9.3
C o n v i e r t a l a c u r v a de l a f i g u r a 9-1 a u n a g r a f i c a d e
costo incremental de combustible en relacion con
la potencia de salida, con un costo de combust i b l e de $1.50 p o r 106 B t u .
Trazamos el costo incremental de combustible en.
y Af permanece igual para cada unidad.
Para resurnir, (9.27) a (9.29) riien
al CFC del sistema. Los problernas 9.19 y 9.20 muestran el procedirniento con ejemplos nurnericos.
Problemas resueltos
9.1
Use la figura 9-1 para deterrninar 10s requerimientos de combustible para salidas de (a) 100 MW y
( b ) 400 MW. Asi pues, verifique que el punto A es
probablernente el punto de eficiencia de cornbustible m8ximo.
( a ) De la figura 9-1, con una salida de 100 MW, la entrada
de combustible es aproximadamente 1 x lo9 Btulh. Por
tanto,
oontrando la pendiente de la curva de ent~adalsalida(Fiy.
9-1) para varios valores de poter~ciade salida y graficamos la pendiente costo por Btu en funcion de la potencia
de salida. (VBase el prnhlpma 9 2.) Por consiguiente, obtenemos la curva que se aprecia en la figura 9-5.
9.4
A p r o x i m e la c u r v a o b t e n i d a e n el p r u b l e r l ~ a9.3
con una l inea recta y obtenga una ecuacion para
dicha linea. Utilice esto para determinar el costo
i n c r e m e n t a l a 250 MW.
La aproximacion se rnuestra en la frgura 9-5. La
linea tiene un corte de $6.25/MWh y una pendiente de
0.0226. Asi, la ecuacion requerida es
dF
Costo incremental = - = 0.0226 x 250 + 6.25
dP
Puesto que Ptolal es ~ u f i s t a ~ i dFtotal
te,
- 0. Cntoncco (2)
da
= $11.9/MWh
z dPk
n
9.5
Demuestre que, para lograr una operacidn mas
econdmica de una planta de energia que tiene varias unidades generadoras, la carga debe estar dividida entre las unidades de mod0 que todas operen con el mismo costo incremental X.
dP,,,,, =
= O
(4)
&=I
Multiplicando ( 4 ) por A y restando el resultado de (3),se
obtiene
La suma en (5)sera cero si cada terrnino entre parentesis
es cero. Ademas, para cada unidad, aFtOtalldP, = aF,ldP,,
debido a que un cambio en la salida de una unidad de potencia afecta solo el costo de combustible de esa unidad.
Por tanto,
--
ap,
Costo incremental real
I
0
I
100
200
I
1
300
400
Potencia de scilida P , M W
I
d ~ ,
y la condicion requerida es
9.8
I
-- -
+
500
L a s g- r a f i c a s d e 10s c o s t o s incrcmentales d e c o m -
bustible (en dolares por megawatthora) de dos
unidades generadoras en una planta de energia
se ~ n u e s t r a nen la figura 9-6. Esas grjficcts son li-
neales. Los intervalos de production de la planta
van de 240 MW a 1000 MW en un periodo de 24 h.
Fig. 9-5.
Durar~teeste periodo l a c a r g a e n cada u n i d a d
Si existen n unidades en la planta, el costo Ftotaldel
combustible de entrada, en dolares por hora, esta dado
POr
varia de 120 MW a 600 MW. Trace una curva del
costo incremental de combustible X en relacion con
la salida de la p l a r ~ l ap a l a u n a operacidn c o n costo minimo de combustible.
n
Ftotal
- C Fk
(1)
k=l
La potencia total de salida P,o,,l,
puede escribir como
De la figura 9-6obtenemos
en megawatts, se
Para una PtOtaldada, Ftotales un min~rnocuando dFtolal =
0,eSt0 es, cuando
Con 120 MW, dF,ldP, = 8.96 y dF,ldP, = 7.08. Por tanto,
haste quc dFZldP,alcance el valor de 8.96, la unidad 2 t o -
OPERACI~NY CONTROL D€ UN SlSTEMA DE POTENCIA
Fig. 9-6.
mare todas las cargas adicionales arriba de 120 MW. Usando (2).
determinamos que dF,ldP, es igual a 8.96 cuando
P, = 328.9 MW, en este valor
por laS dos unidades generadoras para el cost0
minim0 de combustible.
La carga maxima es
P,',,., = loo0 = P, + P,
Estos valores nos dan el segundo rengldn de la tabla 9-1.
CAlculos similares dan 10s renglones de la tabla; estos
valores se trazan en la figura 9-6 (Iineas punteadas)
(1)
Para el costo minirno de combustible, (1) y (2) del
problema 9.6 dan
0.008P,+ 8 = 0.09P2+ 6
12)
Resotviendo (1) y (2) para P, y P, se obtiene
TABLA 9-1
I: = 411.76MW
X, dolares/MWh
PI, MW
P,, M W
P,,,,,,MW
7.17
8-96
9.6
10
10.4
11.2
120
120
200
250
130
328.9
400
444.4
488.9
250
448.9
600
694.4
788.9
977.7
9.7
300
400
577.77
Para la demanda maxima de la planta del problema 9.6, determine cdmo debe repartirse la carga
9.8
y
Y2= 5W.24MW
Determlne el costo incremental de r;or~~buslible
para cada unidad con las condiciones del problema 9.7.
El costo incremental de combustible A es el rnismo
en ambas unidades. Con P, = 411.76 MW, (1)del problema 9.6 da
lo cual esta de acuerdo con el tiltimo rengldn de la tabla 9-1 (Problema 9.6).
9.9
Sustituyendo estos valores y 10s coeficientes
problema 9.10 en (9.6) se obtiene
Para la salida de potencia maxima de la planta del
problema 9.6, calcule el ahorro por hora en costo
de combustible con la operacidn econdmica (optima), si se compara con la operacidn de la carga
dividida igualrnente entre las dos unidades.
En una operacion econdrnicatenernos, del problema 9.7,
P, = 411.76MW y P, = 588.24MW. SI P, = P, = 500 MW,el
increment0 en costo por hora de operacidn de la unidad 1 es
9.12
Para la unidad 2 tenernos una dism~nucionen el costo:
B del
En un sistema de dos plantas, la carga total se localiza en la planta 2, la cual esta conectada a la
p l a n t a 1 por una linea de transmision. La planta 1
suministra 100 MW de potencia con una perdida
de transmision correspondiente a 5 MW. Calcule
10s f a c t o r e s de c a s t i g o para las dos plantas.
Corno toda la carga esta en la planta 2,la variacidn
d . Asi , de
de P, no afecta la perdida de transmisirin P
(9.6),
por lo que B,, = 5 x lo-' MW-I. AdemBs, esta expresidn
El increment0 neto en el costo de operacidn es, por lo
tanto, 1027.73 - 961.56 = $66.17/h
9.10
para Ppdrdida
da
Encuentre 10s coeficientes de perdida para el sistema que se observa en la figura 9-2 con 10s datos
siguientes, en 10s cuales todas las cantidades numericas son valores por unidad: I, = 0.8/00,1, =
0.9/00, V , = l.l/OD,Z1 = LZ = 0.06 + j 0 . 2 0 y Z ,
Por lo tanto, de (9.21),
L1=-- 1
- 1.111
1 - 0.1
= 0.04 + 10.06.
De la figura 9-2 y lus clalus dadus,
De igual rnanera, ya que 8PpBrdldaldP,= 0,tenemos que
L, = 1.
9.13
Para el sistema del problema 9.12, A = $15/MWn y
10s costos incrementales del combustible para
las dos plantas estan dados por
Porlotanto, V , c o s @ , = 1.148~l V 2 c o s & = 1.156.
Ahora do (0.7) a (9.9)
da
en dolares por megawatthora. ~ C u a n t apotencia
se debe generar en cada planta para minimizar el
costo total de combustible'!
De (9.22) y el problema 9.12,
0.06+004
"' = (I. 156)2 = 0.0748pu
9.11
Calcule la perdida de transmisidn para el sistema
del problema 9.10.
del cual P , = 350 MW. De manera parecida,
Tenemos
P, = Re[(0.8/0")(1.148 + jO.16)]= 0.9184pu
P2= Re [(0.9F)(1.156 + jO.18)] = 1.0404~~
de donde P, = 150 MW.
OPERACI~NY CONTROL DE UN SISTEMA DE POTENCIA
9.14
111
Para las condiciones de operacidn obtenidas en
el problema 9.13, determine el ahorro en dolares
que se lograria coordinando la perdida de transmision en vez de despreciar su efecto.
La condicidn del problema implica que el lado derechode
(2) no es menor que 100. En consecuencia,
Con la transmis~onno coordinada, tendriamos (basandonos en la seccidn 9.1) dF,ldP, = dF,ldP, para la
operacion econdmica Fn c n n s ~ c ~ ~ ~ ntendriamos
cia,
Del problema 9.13, sabemos que la carga requiere
9.16
Obtenga la forma de la respuesta dinamica del
sistema de la figura 9-3a un cambio de escalon en
el voltaje de referencia de entrada.
De la figura 9-3,
Por esto, con la perdida de transmision n o coordinada,
tendriamos
Donde G(s) esta dado en (9.24). La respuesta del sisterna
dependera de las raices de la ecuacion caracteristica.
Resolviendo ( 1 ) y (2) simultaneamente se obtiene P, =
417 MW y P, = 108.5 MW.
Si comparamos estos resultados con 10s del problema 9.13, notamos que la carga en la planta 1 se incrernent a de 350 MW a 417 MW; de aqui que su aumento en el
costo del combustible sea
Si las raices s,, s, y s, son reales y diferentes, entonces la
respuesta incluira 10s componentes transitorios A , ~ ~ I ' ,
A,eS2' y A,eS3'.Sin embargo, si (2) tiene un par de raices
,
la resconjugadas cornplejas s,, s, = o + j ~ entonces
puesta dlnamica sera de la forma Ae"' sen(wt + 4).
9.17
La carga en la planta 2disminuye de 150 MW a 108.5 MW;
de manera que su costo disminuye en
417
1,
(0.01P1+ 10)dP, = $926.945/h
Et ahorro logrado con la coordinacidn de la perdida es,
por lo tanto, 926.945 - 605.277 = $321.671h.
9.15
En (9.26),observamos que, con AP,,,
= 0,R es la
dibirpendiente negativa de la curva de f e n funcidn de P-.,
jada en valores por unidad. Por tanto, de la figura 9-7,
En el slstema que se OBServa en la flgura 9-3, jcudl
es la ganancia minima de circuit0 abierto tal que
el error del estado estacionario Ae,, no exceda
del 1 por clento?
En la figura 9-3,
9.18
Sustituyendo (9.24) en ( 1 ) y estableciendo s = 0 (para el
estado estacionario) da
Suponga que aqui no ocurran cambios en la potencia prefijada del sistema de potencia de un sistema con regulador de turbina (esto es, el sistema
esta operando en el estado estacionario) y que la
relacidn de potencia y frecuencia del regulador de
la turbina sea la representada graficamente en la
figura 9-7. Determine la constante de regulacidn R.
Para un conjunto de turbina y generador, R = 0.04
pu, basado en la especificacion del generador de
100 MVA y 60 Hz. La frecuencia del generador disminuye en 0.02 Hz y el sistema se ajusta a la operation del estado estacionario. ~Cuantoaumenta
la potencia de salida de la turbina?
OPERACI~NY CONTROL DE UN SISTEMA DE POTENCIA
112
Ahora bien, de (9.30).
(b)El incremento pnr ~ ~ n i d aen
d la carga es 25011000 =
0.25 pu. De (9.29),con APref(lotal, = 0 en condiciones de
estado estacionario,
I
I
I
I
0.2
0.4
0.6
0.8
pm, PU
Tambien,
Fig. 9-7.
Af = -9.091 X lo-'
9.20
El cambio de frecuencia por unidad es
Af
-0.02
Por unidad Af = -= -= -3.33 x
fbaec
60
pu
X 60 = -0.545Hz
Para las areas 1 y 2 en un sistema de potencia de
60 Hz, 0, = 400 MWlHz y B, = 250 MWIHz. La potencia total generada en cada una de estas areas
es, respectivamente, 1000 y 750 MW. Mientras cada area esta generando potencia en estado estacionario con APamarrel = APZmlrre7= 0, la carga
en el area 1 aumenta de repente en 50 MW. Determine la ~f resultante, (a)sin CFC y (b)con CFC.
Desprecie todas las perdidas.
(a) De (9.29),puesto que APref(total)= 0 sin CFC,
El incremento real en la potencia de salida es, por lo tanto,
50 = -(400
+ 250) Af
de donde At = - 0.0769 H z .
(b)Con CFC, en el estado estacionario, (9.27)implica que
EAC, = EAC, = 0 ; en caso contrario, el CFC dado por
(9.27)
cambiaria 10s valnrns prefijados de la potencia de
referencia de 10s reguladores en CFC. Asirnismo, la suma
de 10s flujos de linea neta de arnarre, APa,,,,el
+
APamarreZ
es cero (despreciando las perdidas). Asi pues,
9.19 Un 6rea incluye dos unidades generador-turbina,
especificadas en 500 y 750 M V A y 60 Hz, para las
cuales R , = 0.04 pu y R, = 0.05 pu, basada en sus
respectivas especificaciones. Cada unidad proporciona una carga de 300 M V A de estado estacionario. La carga del sistema se incrementa de
repente en 250 MVA. (a) Calcule 0en una base de
1000 MVA. (b) Determine hf en una base de 60 Hz y
en hertz.
ACE,
+ ACE, = 0 = (B, + B,) Af
y at = 0 donde B,
(a) Podernos cambiar las bases de los valores R con
la fdrmula
+ 8, # 0.
Problemas cornplementarios
9.21
Una grkfica de entrada de combustible en funcion de la
salida de potencia para una planta esta dada en la figura
9-8. Determine 10s requerimientos de combustible a (a)
120 MW y (b) 560 MW de salida de potencia.
Polencia de salida P, M W
Fig. Y-Y.
c
200
400
600
Salida de potencia P, M W
9.25
Fig. 9-8.
Aproxime la curva obtenida en el problema 9.23 con una
linea recta y obtenga una ecuacion para esta linea.
Resp. d F / d P = 0 . 0 0 9 3 ~+ 6.75
Resp.
(0) 16.67 X
Inh Rta/MWh;
9.26
( b ) 10.71 x lo6 Btu/MWh
El costo incremental de combustible, en dolares por megawatthora, para dos unidades en una planta esta dado
por
9.22
( a ) Para l a planta del problema 9.21, determ~ne10s requer~rnientosdel combustible en el punto de operacion
de e l i ~ ~ e maxima.
r ~ ~ ~ a(b) ~ C u aes
l la salida de potencia
Durante un perlodo de 24 h la carga en cada unidad varia
entre 100 y 500 MW, mientras que la salida de la planta
varia de 200 a 700 MW. ( a ) 'En que nivel de potencia debe
empezar la unidad 2 a tomar toda la carga adicional para
la operacion mas economics de la planta? (b) iCual es la
salida de potencia de la planta en este punto?Desprecie
las ~ e r d i d a s .
en ese punto?
Resp. ( a ) 10 x 1 0 ' ~ t u / M ~ h(;b ) 400 MW
9.23
SuDonga un costo de ~ a s o l i n a
de $1.60 por millon de Btu
para la planta del problema 9.21, grafique el costo incremental del combustible en funcion de la Dotencia de salida.
Resp. Fig. 9-9
9.24
9.27
En relacion con el resultado del problema 9-5, trace una
curva de costo incremental de combustible en funcion de
la produccion de la planta para costo de combustible
rninimo de la planta del problema 9.26.
9.28
Cuando la planta del problerna 9.26 esta proporcionando
su salida maxima de potencia, jcdmo se debe distribuir
Del resultado del problerna 9.23, calcule el costo incremental de combustible en el punto en que la planta opera
a la eficiencia maxima de combustible.
OPERACI~NY CONTROL DE UN SISTEMA DE POTENCIA
114
esta carga entre las dos un~dadespara que el costo del
combustible sea minimo?
Hesp. 331.25 MW; 368.75 MW
El sistema opera a A = $11.6IMWh para el costo rninirno
de combustible. Determine la potencia generada en cada
planta.
'A que valor de salida total las unidades en el problema
9.26deben compartir la carga en forma equitativa?
Resp. 160 MW; 80 MW
9.37
Calcule el costo incremental de combustible para la condicion de operacidn obtenida en el problema 9 7R
Resp. $9.319/MWh
Calcule la eficiencia de la planta del problema 9.32
Resp. 71.72 por ciento
9.38
Los costos incrementales de combustible para dos unidades en una planta son
En la salida de potencia maxima de la planta del problema 9.26,determine el ahorro por hora en costo de combustible para la operacion economica comparada con la
situacidn en que la unidad 1 entrega 400 MW.
Las cargas minima y maxima de cada unidad son 20 MW
Resp. $37.81/h
y 125 MW, en tanto que las de la planta son 40 MW y 250
Para el sistema que se aprecia en la figura 9-2,sea I, =
l . O m ,1, = U.8,&O, V, = 1.05/100,yV 2 = 1.071150,todas
en valores por unidad. Las impedancias en la linea, por
unidad, son 2, = 0.05 + jO.20,2, = 0.06 + j0.30 y 2, =
0.06 + 10.40.Determine 10s coeficientes de perdida del
sistema.
MW. ~ C u aes
l la salida en que la prirnera unidad debe empezar a cornpartir la carga para la operacidn mas economica de la planta?
Resp. 40 M W
9.39
Determine el costo incremental de combustible para la
uperaciOri de la planta dacla en el problema 9.38.
Resp. 0.1029, 0.0561, y 0.1123 pu
Resp. $8.0/MWh
Calcule las perdidas de transmision para el sistema del
problema 9.32con la formula de perdidas (9.6).Verifique
el resultado con un calculo direct0 de las ~ e r d i d a s1%.
9.40
Para el sistema de la figura 9-3,calcule el porcentaje de
error de estado estacionario con una ana an cia de circuit0
abierto de 90.
Resp. 0.2828 pu
Resp. 1 . 1 por ciento
Exprese en forma de matriz el resultado dado por (9.10).
R ~ ~ , L JlC;,,,d,,,;t
.
= ~ B Pdonde
,
k = P l~a~rbyurbta
9.41
Calcule 10s factores de castigo para las dos plantas que
operan como las del problema 9.32.
Un generador de 500 MW y de 60 Hz tiene una costante de
regulation de 0.05.Calcute el increment0 en la potencia
de entrada resultante de una caida de 0.2 Hz en la frecuencia. sin cambio en la entrada de referencia del sistema.
Resp. 20MW
Resp.
1.35; 1.32
9.42
Para el sistema del problema 9.32,el costo incremental
de combustible de las dos plantas esta dado par
Para el sistema del problema 9.19,determine el incremento por unldad en la entrada de cada generador que resulta
del increment0 de carga.
Resp. 0.18125 pu; 0.21642 pu
9.43
9.44
Determine el costo minirno de operacidn por hora para el
sisterna del problerna 9.43, con una carga de 600 MW en
el s~stema.
9.45
Calcule el costo incremental de operacidn que minimiza
el costo total de operacidn para el sistema del problerna
9.43, cuando su carga total es 1300 MW.
Los costos de operacidn de dos unidades que suministran potencia a un sistema son, en dolares por hora,
donde P, y P, estan en kilowatts. Para una salida total de
800 MW, calcule la salida de cada unidad de mod0 que el
costo total de operacidn sea minirno.
Resp. 365 MW; 435 MW
Estabilidad de 10s sistemas de
potencia
Por estabilidad de un sistema de potencia entendemos su capacidad de permanecer en equilibrio de operacion o sincronismo, aun cuando ocurran perturbaciones
en el. Aqui se estudiaran tres tipos de estabilidad: estabilidad del estado estacionario, del estado dinamico y
del estado transitorio.
La estabrlidad del estado estacionario relaciona la
respuesta de una maquina sincrona con una carga incrementada gradualmente.
La estabilidad dinamica relaciona la respuesta a
pequeAas perturbaciones que ocurren en el sistema,
produciendo oscilaciones. Si estas son de amplitudes
s~~cesivarnente
mas peq~reiias,el sistema SF! considera
dinamicamente estable. Si ias oscilaciones crecen en
amplitud, el sistema es dinamicamente inestable. La
fuente de este tipo de inestabilidad suele ser una interaction entre 10s sistemas de control. La respuesta del
sistema a la perturbacion puede no manifestarse durante unos 10 a 30 s .
La estabilidad transitoria implica la respuesta a
grandes perturbaciones, las cuales pueden causar mas
bien grandes cambios en la velocidad del rotor, en 10s
angulos de potencia y, en la transferencia de potencia.
La respuesta del sistema ante dichas perturbaciones se
manifiesta normalrnente en menos de 1 s.
10.1
CONSTANTE DE IN ERClA Y E C U A C I ~ N
DE ACELERACI~NMECANICA
El momento angular y la constante de inercia juegan un papel importante en la deterrninacion de la estabilidad de una maquina sincrona. La consfante de inercia por unidad H esta definida como la energia cinetica
almacenada en las partes en rotacidn de la maquina a
velocidad sincrona en megavoltampere (MVA) por uni-
dad segun la especificacion de la maquina. Asi, si G es
la especificacion en MVA de la maquina, entonces
GH = ?Jw:
(10.1)
donde J es el momento polar de inercia de todas las partes en rotacidn en kilogramos (metros cuadrados) y w, es
la velocidad angular sincrona en radianes electricos por
segundo. Si M es el momento angular correspondiente,
entonces
donde w. = 360f grados electricos por segundo, (10.7)y
(10.2)dan
GH
l80f
M=-
.
MJ s/grados electricos (10.3)
donde f cs la frccucncia dc rotacidn.
Considere un generador sincrono que desarrolla un
par electromagnetico T. (y una potencia electromagnetica correspondiente F , ) mientras opera a una velocidad
sincrona w.. Si el par de entrada proporcionado por el primer movimiento al eje del generador es T,, entonces en
condiciones del estado estacionario (sin perturbacion)
tenemos
El
117
ESTABIUDAD DE LOS SISTEMAS DE POTENCIA
Si ocurre una desviacion del estado estacionario, como
un cambio en la carga o una falla, la "potencia de entrada" P, ya noes igual que la "potencia de salida" p,,, y el
lado izquierdo de (70.4)no es cero. Por el contrario, interviene un par de aceleracion. Si P,,es la potencia de aceleracion correspondlente (o desaceleraclbn), entonces
donde M ha sido definida en (10.3), P,, esta en megawatts
y fl es la posicion angular del rotor. Mas aun, en el estado estacionario.
Un valor base conveniente en un sistema es 100 MVA.
El momento do inercia de una maquina sincrona esta dado por WR2132.2 slug ( p ~ ecuadrado), donde W es el
peso de la parte rotatoria de la maquina en libras y Res
s u rarlin de girn en pies I ns fabricantes de maq~~inaria
generalmente proporcionan como dato el valor de WR2
de sus maqu~nas.
10.3
donde la constante de integracidn 6 se llama angulo de
potencia de la maquina sincrona. Sustituyendo (10.6)en
(10.5) se obtiene
CRlTERlO DE AREA S IGUALES
Considere den la ecuacion de aceleracion mecanica (lO.7), la cual describe el movimiento o aceleracion
del rotor. Como se muestra en la figura 10.1, en un sistema inestable d se incrementa indefinidamente con el
tiempo y la maquina pierde su sincronismo. En un sistema estable, 6 experimenta oscilaciones las cuales con
el tiempo desaparecen. En la figura es claro que, para
6h
Estable
la cual se conoce como la ecuacion de aceleracion mecanica. Si combinamos (10.3) y (70.7) y dividimos entre
G, obtenemos la ecuacion de la aceleracion mecanica
por unidad como
H d 26 180f dt 2
-- -
- P, = Pa
por unidad
(10.8)
La ecuacion de aceleracion mecanica contiene informacion referente a las maquinas dinarnicas y su estabilidad. Sin cmbargo, cs importantc seAalar que hicimos
dos suposiciones basicas al deducir esto: (1) En (10.2)
supusimos que M es constante, aunque, en rigor, esto
no es cierto; (2) se ha despreciado el termino de amortiguacion proporcional ddldt.
10.2
LA CONSTANTE H EN UNA BASE
COMUN MVA
Una constante de inercia H,,
basada en su propia especificacion en MVA se puede convertir a un valor H,,,
relacionado a la base del sistema S , , , con la formula
Fig. 10-1
que un sistema sea estable, debe ser dhldt = 0 en algun
instante. Este criterio (que ddldt sea cero) se puede obtener simplemente de (10.7). Ademas, si suponemos que H
es constante y que la amortiguacion es despreciable e
ignoramos el sistema de control, entonces tenemos
que, despues de la integracion, da
Iro]
ESTABIUDAD DE LOS SISTEMAS DE POTENCM
118
o despues de que se realizan las integraciones,
asi que
e ( 6 , - 6,) + P,,,, ( C O S 6 , - cos 60) = P,(6,
-
donde 6, es el angulo de potencia inicial antes de que el
h2) + P,,,,, (LO>
- cub 62)
(10.11)
Pero puesto que
rotor cnrnicncc a acclcrarsc dcbido a la perturbacidn. El
criterio de estabilidad ddldt = 0 (en algun momento)
implica que
= P,,,
send,
(10.17)se convierte en
( b Z- 6")sen6,
+ cos b2 - cos
=0
(10.12)
SI conocernos b, y b,, pOdernOS resolver (10.72)
para 6,.
Esta condicion implica que, para condiciones de estabiltdad, el area bajo la curva de la potencia de aceleracion
P,, en funcion de 6 (Fig. 10-2) debe ser cero para algun v a lor de 6; esto es, el area positiva (o aceleracion) bajo la
curva debe ser igual al area negativa (o desaceleracion).
Esle c r i l e ~ i u
es, pol lu Lanlu, cunucidu c u m u c~iteriude
areas iguales para lograr la estabilidad.
10.4
ANGULO CRITICO DE INTERRUPCI~N
DE LA FALLA
Si una perturbacidn (o falla) ocurre en un sisterna, 6
comienza a incrementarse bajo la influencia de una potencia de aceleracion positiva y el sistema se volvera
inestable si 6 aumenta mucho. Existe un angulo critico
dentro del cual la falla debe ser removida, si se quiere
que el sistema permanezca estable y se curnpla el criterio de areas iguales. Este Angulo se conoce como angulo critico de interrupcidn de la falla 6,.. Por ejemplo, considere un sistema que opera norrnalrnente a lo largo de
una cllrva A en la figura 10-3. Si ocurre un cortocircuito
trifasico a traves de la linea, su curva de potencia en
funcion del angulo de potencia correspondera al eje horizontal. Para lograr la estabilidad, el angulo critico de
interrupcidn de la falla debe ser tal que el area A, =
area A,.
Fig. 10-2.
El criterio de areas iguales implica que, para estabilidad,
~ r eA
a l = area A,
=
(P,,, send -- P.) 46
Fig. 10-3.
ESTABIUDAD DE LOS SISTEMAS DE POTENCIA
En la figura 10-4 mostramos una curva con un angulo de potencia A antes de una falla, B durante la falla y C
despues de la falla tal que A = P,,, sen 6, B = k,A, y
C = k,A, con k , < k,, Para alcanzar la estabilidad debe-
10.5
119
UN SISTEMA DE DOS MAQUINAS
La ecuacion de aceleracion mecanica (,lo.7)se puede escribir para dos maquinas como
donde 10s subindices 1 y 2 corresponden a las maquinas
1 y 2, respectivamente. Si indicamos el angulo relativo
entre 10s dos ejes del rotor por b, tales que 6 = 6, - &,
entonccs (10.17) y (10.18) se pueden cnmhinar y simplificar como
donde
M=
Fig. 10-4.
M , M2
M , + M2
P; =
- M1Pi2
MI
+ M2
mos tener un area A, = area A,. Basandonos en la figura 10-4, esta condicidn da
Sustituyendo para B y C en (10.13),con P, = Pmi, sen
finalmente se obtiene
cos 6, =
I
k2 - kl
[(am
a,
- 60)sen 60
- k , cos So
+ k2 cos b,]
( 10 . 1 4 )
De la figura 10-4, tencrnos
Despues, la ecuac~onde aceleracidn mecdnica se puede
escri bir como
P, = Pmsen 6, = k,Pm sen 6,
= k,Pm sen (n - dm)
(10.15)
Por tanto, de (10.15),
sen 6, = k2sen (n - 6,)
La ecuacion dc acclcracion mecanica se puede resolver iterativamente con el procedimiento paso por
paso que se muestra en la figura 10-5.En la solution, se
supone que la potencia de acclcracion P., y la velocidad
angular relativa del rotor &\, son constantes dentro de cada una de las sucesiones de 10s intervalos (parte superior y media, figura 10-5); sus valores se utilizan para determinar el cambio en 6 durante cada intervalo.
Para empezar las iteraciones necesitamos P.,(O+),
la cual evaluar~~us
cumu
y el carnbio en i~1, esta dado (Fig. 10-5) por
(10.16)
Con k,, k , y 6, especificadas, el angulo critic0 de interrupcion de falla se puede obtener de (7G.14) y (10.16).
A o , = a ( 0 . f ) At
(10.22)
por lo tanto,
w, = w ,
+ Aw, = o,,+ a(O+)At
(10.23)
I 3
ESTABIUDAD DE LOS SISTEMAS DE POTENCIA
120
Evaluacidn de P.
p4
Valorrs rcalrs
Si no hay discontinuidad en la curva de aceleracion
mecanica durante un interval0 de iteracion, entonces
P,,(O+) es igual a la mitad de P,, inrnediatarnente despues de la falla. (Una curva de aceleracion rnecanica es
tlna ccjrva de potencia en funcion de 6.)Si extste una discontinuidad al principio del i-dsimo intervalo, entonces
Pa(i-1)
= ?(Pa(i-l,- + Paci-l)+)
(70.26)
donde P ,,,,.,,. y P ,,,,.,, + son, respectivarnente, la potencia
de aceleracion inrnediatamente antes y despues de que
se repare la falla.
Si ocurre la discontinuidad en la rnitad de un intervalo, entonces para ese intervalo
Pu = & - salida durante la falla
Uh(n - li?) - mr(n - 312)
(10.27)
En este caso, al principio del intervalo inmediato siguiente a la interrupcion de la falla, p,, esta dado por
I
Pa = P, - salida desput-s de que la falla
I
I
fue interrumpida
I
I
I
I
I
n-3
1
n - I
*
t
Finalmente, si no ocurre la discontinuidad ni al principio
ni a la mitad del intervalo, P., todavia puede evaluarse de
(10.2G) a (10.28).
+Afttar+
6 ,[
Algoritrno para las iteraciones
A&,",
Si regresarnos ahora a (10.25),vemos que 6, nos da
un puritu en la curva de aceleracilir~r l ~ e ~ i i r ~ iEl
c aalyuril.
mo para el proceso iterativo es como sigue:
AS," - I,
Pa(n-I)
= E - f'e(n-1)
( 10.29)
pe(n-I)
lEl l Vl
--
( 10.30)
q m - 1 )
- Pu(n-1)
--
L
n- 2
n-1
n
X
sen6,n-,,
1
Fig. 10-5.
De la misrna rnanera, el cambio en el angulo de potencia
para el primer interval0 es
y asi
(10.28)
M
%(,I)
(10.31)
= a(W-1) At
(10.32)
= @r(n--l) + a("I) At
(10.33)
1101
ESTABIUDAD DE LOS SISTEMAS DE POTENCIA
El uso de este algoritmo junto con el criterio de areas
iguales proporciona el angulo critico de interrupcion de
la falla y el tiempo critico correspondiente de interrupcion.
Problemas resueltos
10.1
La constante de inercia H para un generador hidroelectrico de 100 MVA y 60 Hz es 4.0 MJIMVA.
~ C u a n t aenergia cinetica se almacena en el rotor
a la velocidad sincrona? Si la entrada al generador se incrementa de repente en 20 MVA, jcual es
la aceleracion impartida al rotor?
La energia alrnacenada en el rotor a una velocidad
sincrona esta dada por (10.1) y es
La aceleraci6n del rotor 661dt2 esta dada por (10.7), con
P., = 20 MVA de potencia de aceleraci6n y con M como se
determino en (10.3). Asi, (10.3) da
y (10.7) se convierte en
10.3
Un generador sincrono de 1500 MVA y 1800
revlmin tiene W R Z = 6 x lo6 Ib.ft2.Encuentre la
constante de inercia H de la maquina relacionada
a una base ae 100 MVA.
De (1)del problema 10.2,
Relacionada con una base de 100 MVA, por lo tanto,
10.4 Una maquina sincrona de 500 MVA tiene H, = 4.6
MJIMVA, y otra maquina de 1500 MVA tiene H, =
3.0 MJIMVA. Las dos operan en paralelo en una
estacion de potencia. 'Cud1 es la constante H
equivalente para las dos, en relacion con una base de 100 MVA?
La energia cinetica total de las dos maquinas es
Asi pues, el equivalente H relativo a una base de 100 MVAes
o sea
2
2
d 6/dt = 20 X 27 = 540°/s2.
10.2 En la seccion 10.2 notarnos que 10s fabricantes de
maqulnarla generalrnente proporclonan el valor
de WR 2 . Deduzca una relacion entre H y WR 2 para
una maquina cuya especificacion es &, MVA.
La energia cinetica de rotacidn del rotor en velocidad sincrona es
z
(-)
1 W R 2nn
2 32.2 60
KE = --
(en pies librar)
donde n es la velocidad del rotor en revoluciones por minuto. Puesto que 550 ft .Ib/s = 746 W, l i t .lb = 7461550 J.
Convirtiendo libras pie a megajoules y dividiendo la ultima ecuacion por la especificacion de la maquina en megavoltamperes, obtenemos
10.5 Para cierta carga con un factor de potencia retardado, 10s voltajes del extremo transmisor y el
extremo receptor de una linea de transmision corta de impedancia R
j X son iguales. Determine
la razon XIR para que la potencia maxima se
transrnita sobre la Iinea en las condiciones del estad0 estacionario.
+
Segirn el diagrama del fasorial de la figura 10-6,po.
demos escribir
V, = V, + I(cos @ - j sen $ ) ( R + jX)
= (V, + IR cos $
lXsen @)
+ j(IX cos @ - IR sen $)
+
ESTABIUDAD DE LOS SlSTEMAS DE POTENCIA
10.6
Los voltajes del extremo transmisor y el extremo
receptor de una linea de transmision a una carga
de 100 MW son iguales a 115 kV. La irnpedancia
d e la l i n e a p o r f a s e es ( I + j7) 0. C a l c u l e la p o t e n cia maxima en estado estacionario que se puede
transmitir en la linea.
De V, = V, = 115 0001J3 = 66 400, tenemos, de (2)
del problerna 10.5,
Fig. 10-6.
= 826,5 MW total
R(Vv cos 6) = (VR + IR cos t$I + IX sen @)R
X(V,sen 6) = (IX cos 4 - IR sen 4)X
Si combinamos estas ecuaciones y si hacemos ZZ = R2
X 2 , obtenemos
V5(R cos 6 + X sen 6) = RVR + 1Z2cos @
0
10.7
Un generador sincrono, capaz de desarrollar 500
MW de potencia, opera a un angulo de potencia
d e aO.i C u d n t o p u c d e incrernentarse de repente l a
potencia del eje sin perdida de estabilidad?
Inicialmente, en 6 = 8 O , la potencia electromagnetica que se esta desarrollando es de
P,,, = P,,, sen S , = 500 sen 8" = 69.6 MW
Sea b, (Fig. 10-7) el angulo de potencia al cual el rotor
puede acelerarse antes de perder sincronismo. Por el criterio de areas iguales se requiere que (10.12)se satisfaga
(con 6, reemplazado a 6,). De la figura 10-7, 6,, = T - b,,
asi (10.12) da
En consecuencia, tenernos
(n - 6 , - 6,)senS, + cos(n - 6 , ) - cos6, = 0
0
(n- 6, - 6,)sen 6 , - cos 6, - cos 6,, = 0
(1)
Ahora sea tan fi = XIR; entonces ( 1 ) se convlerte
Para una potencia maxima B = 6, por lo C U ~ I
Por consiguiente,
y c o m o V, - V,, tenemos XIR = 4 3
Fig. 10-7
ESTABIUDAD DE LOS SJSTEMAS DE POTENCIA
Sustituyendo 4 = 8" = 0.13885 rad en (1) da
123
cia maxima que se puede entregar despues de
que la falla se interrumpe es 70% del valor maximo original. Determine el angulo critico de inr
terrupcion de la falla.
(3 - G,)sen6, - cos 6, - 0.99 = 0
~ s t da
a 6, = 50°,para lo cual la potencia electromagnetic a correspondiente desp116srie la falla es
Dado
Pg = PmBx
sen S1 = 500 sen 50" = 383.02 MW
XI
La potenc~alnlcial desarrollada pol la maquina fue dc
69.6 MW. De aqui, sin perdida de estabilidad, el sistema
puede suministrar un subito increment0 de
x2 =
PC, - P,, = 383.02 - 69.6 = 313.42 MW
10.8
=
PmgX
(durantela falla
P,,,
antcs dc la falla
P,, despues de la falla
P,,, antes de la falla
6 , = angulo de potencia en el momento de la falla
Determine la carga maxima adicional que puede
tomar de repente la linea de transmlsion del
problema 10.6 sin perdida de estabilidad.
6, = angulo de potencia cuando se interrumpe la falla
6, = angulo maxirno de aceleracion
Si despreciarnns la resistencia, f?ntOflCeS la poten.cia inicial (maxima) Po es
EI crlterlo de areas Iguales, A,
Po = V Y V R scn 6, = PR(max,
scn a0
a,
X
(
x,Pmhx
sen 6 db
b- 6 ) -
De (1) del problerna 10.7,
(~
-t 6 , -
= A, en la flgura 10.8, nos
da
'60
go)send, - cosb, - cos 6, = 0
=
(1)
[
x2PmBx
sen 6 d 6 - pl(6, - aC)
Tenernos
De aqui,
1
e
cos & = -[_(6,,,
-6
33 33
b,, = sen-'-- - 3" = 0.052 rad
629.76
Luego, ( 1 ) se convierte en
(n - 6, - 0.052)sen6, - cos 6, - cos 3" = 0
lo cual da 6, = 47.8'. De aqui el sistema permanecera estable para [In incrernentn en la c a r p de hasta
PR
Durante la falla
sen6, - Po = 629.76sen47.8" - 33.33
Despues de la falla
= 433.2 MW/fase
= 1299.6 MW total
10.9 Un generador sincrono opera en un conductor infinito y suministra 0.45 pu de su capacidad de potencia maxima. Ocurre una falla y la reactancia
entre el generador y la linea se convierten en
cuatro veces su valor antes de la fal'la. La poten-
6,
6,
Fig. 10-8.
b!Ll
ESTABIUDAD DE LOS SISTEMAS DE POTENCIA
Inicialmente, el generador surninistra 0.45 pu de
P,,,,,
. Asi,
10.11 La entrada del generador del problema 10.10 se
incrementa de repente por 25 MW. Determine la
aceleracion del rotor.
P. = 0.45 Pmi,= Pmi,sen 6,
v e 10sproblemas 1 u . 1y~ 111.1,
de lo cual 6, = sen-' 0.45 = 26.74O. Ahora Pmax= EVIX.
Cuando ocurre la falla, X se convierte en 4X, asi que
EV
4X
a
x , Pmax
sen 6, = -sen 6, = P,,,,, sen 6,
asi que x, = 0.25.
Despues de la falla, con x, = 0.70, tenemos
PJ = xzP,,,,, sen 6;
Asi,
10.12 Si suponemos que la aceleracion calculada en el
problema 10.11 permanece constante por doce
ciclos, calcule el cambio en el angulo de potencia
y la velocidad que transcurre durante esos doce
ciclos.
de lo cual
P,
6'm - sen-' --- sen-'
*2Pmax
0.45 pmax
= 40"
Doce ciclos son equivalentes a 12160 = 0.2 s. Durante ese tiempo, b cambia por
(471.25)(0.2)2 = 9.425 gradon ~ I A c t r i c o s Ahnra
0.70 P,,,
Despues b,, = 90° + b:, = 130' (vease la figura 10.8), y
6, - 6, = 130" - 26.74" = 103.26"
o
1.8019 rad
asi la velocidad del rotor al final de 10s doce ciclos es
3600 + 78.5 = 3678.5 revlmin.
De aqui, de (1)
cos 6, =
1
0.70 - 0.25
[0.45(1.8019) + 0.70 cos 130"
- 0.25 cos 26.74"] = 0.3059
asi que
a, = COS-'0.3059 = 72.2".
10.10 U n g e n e r a d o r de d o s p o l o s , 100 MVA, 60 Hz tiene
un momento de inercia de 50 x lo3 kg.mZ.'Cual
es la energia almacenada en el rotor a la velocid a d e s p e c i f i c a d a ? ~ C u a el s e l m o m e n t o a n g u l a r
correspondiente? Determine la constante de inercia H.
10.13 Un generador de 60 Hz, conectado directamente a
un conductor infinito que opera a un voltaje de
1/00 pu, tiene una reactancia sincrona de 1.35 pu.
El voltaje sin cal'ga del generador es 1.1 pu y su
constante de inercia H es 4MJIMVA. El generador
se carga de repente a 60% de su limite de potencia maxima; determine la frecuencia de las oscilaciones naturales resultantes del rotor del generador.
Encontramos 5, usando sen b, = P.IP. = 0.6, lo cual
.
lo tanto,
da 6, = B C ~ . B / " vor
1.1 x 1
cos 36.87 = 0.6518 pu/rad
La energia alrnacenada es
Asimlsmo, tenemos
Por lo tanto,
Frecuencia de oscilacion =
3553
100
H = EC(almacenada) - -= 35.53 MJ/M"*
MVA
~@yGw
m
ESTABIUDAD DE LOS SISTEMAS DE POTENCIA
125
Del problema 10-15, b = 2.356. La integraci6n con
respecto a t da
10.14 Deduzca (70.19).
8 = at - a2
Puesto que d = 0 en t = 0. C, = 0. Una seaunda intearacion ahora da
6 = 1. 178t2 + C,
De (I), (10.17) y (10.18), tenemos
En t = 0, sea 6 = b,, (el Angulo de potencia inicial). Por lo
tanto
Mult~plicandoambos lados de (2) por M,M,I(M,
obtiene
+ M,) se
& = 1.178t2
+ 6,
A 60 Hz, el tiempo requerido para diez ciclos es t =
Para este valor de t,
ts.
a = I . 178(:)' + 6, = (0.0327 + 6,) rad
10.17 El generador del p r o b l c m a 10.15 t i e n e u n voltaje
internode 1.2 pu y se conecta a un conductor infinit0 que opera a un voltaje de 1.0 pu a travds de
u n o r e a c t o n c i a de 0.3 pu. Un cortocircuito trifasi-
lo cual es lo mismo que (10.19).
10.15 La energia cinetica almacenada en el rotor de una
maquina sincrona de 50 MVA, de seis polos y de
60 Hzes 200MJ. Laentradaalamaquinaesde 25
MW cuando entrega 22.5 MW. Calcule la potencia
de la aceleracion y la aceleracion.
co ocurre en la linea. Despues, operan 10s interruptores del circuit0 y la reactancia entre el generador y el conductor se convierte en 0.4 pu. Calcule el angulo critic0 de interrupcidn de la falla.
Antes de la falia,
Durante. la falla,
La potencia de la aceleracion es
PmAxz = 0
y k , = 0 para utilizarse en (10.14). Despu6s de que se interrumpe la falla,
Ahora bien, tambien,
H
=
EC(a1macenada)
especificacion de la rniiquina en
= -200 = 4
50
y k , = 3.014.0 = 0.75 para utilizarse en (10.14).
50 x 4
= 0.0185 MJ - s/ grados
180f - 180 x 60
M = -GH
-
Finalmente, de (10.7),
El Angulo de potencia inicial b, esta dado por 4 sen &
= 1.0, de lo cual 6, = 0.2527 rad. Defina 6.: = a- - 6,
(Fig. 10-4). El Bngulo A- en (10 14) se nhtiene de
sen 6; = I
3.0
Y
6, = a - 6;
de 10s cuales 6, = 2.8 tad. Sustituyendo k , , k,, 6, y 6, en
(10.14) da
10.16 Si la aceleracion de la maquina del problema
10.15 permanece constante durante diez ciclos,
jcual es el angulo de potencia al final de 10s diez
ciclos?
cos 6, =
1
[(2.8 - 0.2527)0.25 - 0
0.75
+ 0.75 cos 2.81 = -0.093
de lo cual 6, = 95.34'.
126
ESTABIUDAD DE LOS SISTEMAS DE POTENCIA
10.18 Utilizando el algoritmo paso por paso, grafique la
curva de aceleracion para la maquina del problema 10.17.
6, grados
t, s
El valor por un~daddel rnornento angular, basado en
la especificacion de la maquina, es
De 110.26),tenernos
De (10.22) con At = 0.05 S,
AU,(,)
- 1351 0.05 67.55"js
x
=
De (10.23).
04,)
=0
+ 67.55 = 67.55"/~
De (10.24),
Ad,,) = 67.55 x 0.05 = 3.3775"
Finalmente, de (10.25), con & = 14.4775O corno se determind en el problern'a 10.17,
I
. . . A ! ' L -
0
Para el segundo intervalo, (10.29) v de (10.31) a
(10.35) nos dan
0.05
0.10
0.15
0.20
0.25
*
r,
Fig. 10-9.
10.19 Con base erl l u s resultados de 10s p r o b l e m a s
10.1 7 y 10.18, encuentre el tiempo de interrupcion
critico en ciclos para un circuit0 interruptor (disyuntor) apropiado.
Del problema 10.17, 6, = 95.34'. Para este angulo
critico de interrupcion de la falla. la figura 10.9 da t =
0.245 s. De aquique la falla se deba interrumpir dentro de
10s 60 x 0.245 = 14.7 ciclos.
Debido a que a y A@,, no cambian durante intervalos sucesivos, tenernos
w,~=
~ , o , ~+
) Amd3) = 337.75"/s
Ad,,, = w,,,At = 337.75 x 0.05 = 16.8875"
=
+ Ad(,) = 44.875"
y asi sucesivarnente. En esta forrna obtenernos la tabla
de valores, a 1.1artir rle la cual sa yrafica la figura 10-9:
Problemas complernentarios
10.20 La constante de inercia H de una rnaquina sincrona de
150 MVA, seis polos, y de 60 Hz es 4.2 MJIMVA. Deterrnine el valor de WRZen Ib.ft2.
El
ESTABIUDAD DE LOS SlSTEMAS DE POTENCIA
10.21 El generador del problema 10.20 esta operando a su velocidad sincrona de estado estacionario. ( a ) iCual es la
energia cinetica almacenada en el rotor? (b)Si la potencia de aceleracion debida al cambio transitorio es de 28
M W . calcule la aceleracion del rotor.
Kesp.
127
10.27 Un generador sincrono suministra su potencia especifi.
cada a un conductor infinito a un voltaje de 1.0 pu. La
reactancia entre el generador y la linea, norrnalmente de
0.825 pu, se incrementa a 0.95pu debido a una falla. Encuentre el angulo critico de interrupcidn de la falla.
Resp. 58.73O
( a ) 630 MJ; ( b ) 480"/s2
10.28 Para el generador del problema 10.15,determine la veloci10 22
Llna rnaquina sincrona III? 300 M V A y rip 13130 rpm tiene
W R 2 = 3.6 x 10"b.ft2. Calcule H para la maquina ( a )en
su propia base y (b)en una base de 100 M V A .
dad del rotor en revoluciones por rninuto al final de 10s
diez ciclos.
Resp.
Resp.
(a) 3.99 MJ/MVA; ( b ) 11.97 MJ/MVA
1203.75revtmin
10.29 Un motor entrega 0.25 pu de su potencia especificada
mientras esta operando un conductor infinito. Si la carga
e n e l motor se duplica de repente, determine 6, basandoseen el criterio dg areas iguales. Desprecie todas las perdidas.
10.23 Un generador de 100 M V A tiene una H = 4.2 MJlMVA y
una rnaquina de 250 M V A , que opera en paralelo con el
primero, tiene una H = 3.6 MJIMVA. Calcule la constante
de inercia equivalente H para las dos rnaquinas en una
base 50 M V A .
Resp.
4s0
10.30 La constante de inercia M de una maquina sincrona es
4.45 x lo-' pu. La rnaquina opera a un Angulo de potencia
Resp. 26.4 MJ/MVA
en el estadu estaciunario de 24.7^. Debido a una falla, el
angulo de potencia cambia a un valor dado por la
ecuaci6n de aceleracibn mechnica
= 0.314 pu. Utilizando el algoritrno paso por paso, trace la curva de aceleracidn mecanica y utilicela para determinar el valor m8xim o del angulo de potencia.
10.24 El rnornento de inercia de un generador de 50 M V A de
seis polos x 60 Hz'es 20 x lo3 kg.rnZ.Determine H y M
para la maquina.
Resp.
67O
10.25 Un motor sincrono desarrolla 30% de su potencia especificada para una cierta carga. La carga en el motor se
~ncrementade repente en 150 por ciento del valor original. Desprecie todas las perdidas, calcule el angulo de
potencia maxima en la curva de aceleracion.
10.31 Las constantes ABCD para la representacidn del circuito
nominal II de una linea de transrnision son A = D =
0 . 9 1 0 ,B = 82.5/7690 y C = 0.0005/900 S.'CuAl es la
potencla maxima que se puede transrnitir en la linea sin
que el s~stemase haga inestable, SI V , I = V,J = 110 kV?
Kesp. 4U"
Resp.
10.26 Un generador sincrono de 100 M V A surninistra 62.5 M V A
de polencia, con un factor de potencia retardado de 0.0.
La reactancia entre la carga y el generador es normalmente de 1.0pu, per0 se incrernenta a 3.0pu debido a un
repentino cortocircuitn trifasico La falla I ? intprr~lrnpe
subsecuentemente y el generador entonces suministra
43.75 M V A a un factor de potencia retrasado de 0.8.Determine el angulo critico de interrupcidn de la falla.
114.09 MW
10.32 Trace el diagra,pa del angulo de potencia para la Iinea del
problema 10.31 cuando esa linea se represent8 por ( 8 )un
circuito serie aproximado y (b)solamente una reactancia
en serie. Determine la potencia maxima transmitida en
cada casn
Resp.
(a) 111.18MW; ( b ) 151.16MW
10.33 Las reactancias Dor unidad para un sistema dado se
muestran en la figura 10-10.La potencia unitaria esta
siendo entregada al extrerno receptor del sistema con un
1.OV
1.0 MVA
1.0 ractor de potencia
Fig. 10-10.
ESTAWUDAD DE LOS SISTEMAS DE POTENCIA
128
factor de potencia por unidad y un voltaje unitario. Un cortocircuito trifdsico ocurre en F, el extrerno receptor de
una de las lineas, Encuentre el dngulo critico de interrupcion de la falla.
Resp.
10.34
59O
Un generador slncrurlo trildsi~ode 50 M V A , 33 kV, de
cuatro polos, entrega 40 MW de potencia a un conductor
infinito a travds de una reactancia total de 0.55 pu. Debido a una falla repentina, la reactancia de ta linea de transmisidn cambia a 0.5 pu. La constante de inercia en la maquina es de 4.806 MJIMVA. Trace la curva de aceleracidn
mecdnica durante la falla, suponiendo que el voltaje en el
conductor infinito es 1.0 pu y que la reactancia despues
del transitorio es 1.05 pu. La reactancia transitoria de la
mAquina es 0.4 pu.
Resp.
Ell
10.35 En una planta, dos maquinas sincronas operan juntas.
Sus constantes de inercia son H, y H,, sus especificaciones de MVA son S,y S,, la potencia mecanica por unidad que entra a las dos unidades es P,, y P,, y P,, y P..,
son, respectivamente, las potencias electricas desarrolladas por las rnaquinas. Obtenga una ecuacion
equivalente de aceleracion para el sistema de las dos maqulnas en tdrrnlnos de las conslar~tesde i ~ ~ e r t i~i ae ( e l i d a s
a una base cornun, la frecuencia sincrona por unidad OJ.,
en radianes por segundo, la frecuencia electrica por unidad en radianes por segundo y 10s valores dados de pntencia por unidad.
Fig. 10-11
10.36 Ourante una falla que tarda 0.05s, laecuacion de aceletacion mecanica para una maquina de 60 Hz fue, en valores
por unidad.
Et angulo de la potencia inicial fue 0.418 rad. Cuando interrumpio la falla la potencia electrica desarrollada fue
de 2.46 sen 6 por unidad. Determine (a)el angulo de potencia maxima y ( b )si se mantiene o no estable la maquina.
Resp.
(a) 156O; (6) permanece estable
10.37 Calcule el tiempo de interrupcion critico en ciclos para la
maquina del problema 10.37.
Resp.
11.5 ciclos
10.38 Vuelva a resolver 10s problemas 10.36 y 10.37 utilizando
un rnetodo numerico.
Fig. 10-11.
Protecciona 10s sistemas de
potencia
Hemos visto en capitulos anteriores que una falla
en un sistema de potencia puede originar corrientes y
voltajes anorrnales. Por ejernplo, durante un cortoclrcuito trifasico las corrientes pueden volverse excesivamente grandes y 10s voltajes pueden reducirse a cero. El
sistema debe protegerse contra tales corrientes y se deben tomar medidas para eliminar una falla tan rapido
corno sea posible. En este capitulo examinarnos algunas de las maneras para hacerlo:
11.1
COMPONENTES DE UN SISTEMA
DE PROTECCI~N
Un sistema de proteccidn de potencia generalmente esta constitu~dopor tres componentes: Interruptores
de circuito, transductores, y relevadores. En esencla,
cuando ocurre una falla en el sistema, una seiial de voltaje o corriente es transmitida a un relevador por un
transductor. El relevador, a su vez, opera un interruptor
de circuito y con eso se interrumpe la falla. La falla produce vottajes y corrientes anormales, que pueden estar
comprendldas en voltajes de kilovolts y klloamperes. El
transductor las reduce a niveles mucho mas bajos antes
de que se transmita la setial al relevador. La secuencia
completa de deteccidn e interrupcidn de la falla debe
ser raplda y segura.
La figura 11.1 muestra un diagrama unifilar de una
parte de un sistema de potencia, con 10s componentes
de su slstema de protecclon Indlcados.
Por razones de confiabilidad, el concept0 de zonas
deproteccion se implanta en sistemas de proteccidn. La
figura 11-2 muestra ronas de proteccidn traslapadas,
las cuales se indican por lineas punteadas cerradas, para un sistema de potencia clasico. Cada zona contiene
dos interruptores de circuito y uno o mas componentes
del sistema de potencia. Cuando ocurre una falla dentro
de una zona, el sistema de proteccidn de esa zona actlia
para aislarla del resto del sistema. El traslape de zonas
asegura que ninguna parte del sistema de potencia
quede desprotegida a la izquierda. Sin embargo, las regiones de traslape se deben hacer tan pequetias corno
sea posible.
11.2
TRANSDUCTORES Y RELEVADORES
Como se menciono anteriormente, 10s transductores se usan para reducir 10s niveles de corriente y voltaje
CB = Circuito interruptor
T = Transductor
R = Relevador
Fig. 11-1.
* Tornado de W . D. Stevenson, Jr., Elemenrs of Power S y s r m ~Analysis, 4a. ed., McGraw-Hill, 1982
PROTECCI~N A LOS SlSTEMAS DE POTENCIA
,- -
.
- .-
,---&------4---,
c----------\
_----------_I__~_
Zona
-
I
I
Zona 5
/
Zona 2
Lona 4
,
.
Zona 6
I
- - .- - -
Fig. 11-2.
anorrnales y transmitir sefiales de entrada a 10s retevadores de un sistema de proteccidn. Estos transductores
tornan la forma de transformadores de corriente y transformadores de voltaje (o de potential); tambien se les
conoce como transformadores de instrumentation. En
contraste con 10s transformadores de potencia, sus especificaciones de potencia son mas Sien bajas, tal vez
de 25 a 500 VA, segljn la carga o svbrecarya ell el Lr a r ~ s formador.
Un transformador de corriente (TC) se representa
simbolicamente como en la figura 11-3. El primario
consta generalrnente de transmision (ab en la figura 11-3);
el devanado secundario consiste de una bobina de varias espiras. Los puntos en el simbolo indican que la
corriente del secundario que sale por la terminal a' esta
en fase (para el caso ideal) con la corriente del prirnario
que entra por la terminal a. LOS transformadores de Instrumentacion reales (no ideales) presentan errores en la
relacidn de transformacidn y en desfasamiento, corno
se llustra en la tigura 11.4. Las razones de transformacion estandar de TC fluctlian entre 5 0 5 y 12005.
Los transformadores de voltaje (TV)para aplicacion
a 12 k V (voltaje prlmarlo) o por debajo de este voltaje generalrnente tienen un devanado secundario de 67 V. En
aplicac~onesde alto voltaje se usa una configuracidn
corno la de la tlgura 11 -5. En dicho transformador de voltaje, se utiliza un capacitor de acoplamiento de transformador de voltaje (TVC), con 10s valores apropiados de L
y C (sintonizado para resonancia), se elimina el error en
el angulo de fase. Por otra parte, C, y C, se escogen para
que solo unos pocos kilovolts aparezcan a traves de C,
cuando A es el voltaje del conductor (infinito) y el voltaje
de las derivaciones se reduce al voltaje de operacidn del
relevador.
I
I
a'
h'
Fig. 11-3.
% 30aJ
Fig. 11-4.
La mayoria de 10s relevadores utilizados para prote-
vadores de magn~tud,relevadores direccionales, relevadores de razon, relevadores diferenciales y relevadores
piloto.
Los relevadores de magnitud, tarnbien conocidos
ger los sistemas son de 10s siguientes cinco tipos: rele-
como relevadores de sobrecorriente, responden a las
11.3
TlPOS DE RELEVADORES
racidn del relevador, es una funcidn de I, e I,,.
Esto es, el
tiempo requerido para que el relevador opere una vez
que I, excede a I,, se puede escribir corno la funcidn
y representarse con un circulo, corno T, o T, en la figura
11.6.
Las caracteristicas de tiempo de 10s relevadores de
sobrecorriente generalmente se representan en forma
de curvas corno las de la figura 11-7. La corriente de serial se ajusta escogiendo la regulacidn de derivacidn primaria apropiada. (Demostramos la utilidad de estas curvas cn cl problcma 11.2.)
Un relevador direccional responde a fallas tanto del
lado izquierdo corno del derecho de su localizacidn. Su
operacidn dcpcndc dc la dircccion (adclanto o atraso)
de la corriente de falla con respecto a un voltajede referencia. Si el voltaje de referencia es V,,,, las fallas que
producen corrientes reterdadas en la region sombrcada
del diagrama fasorial de la figura 11-8 haran que el relevador se active (y obstruira todas las otras fallas). El
voltaje de referencia se conoce corno vo1:aje de polarizacion. Las limitantes en la operacidn de un relevador
direccional estan dadas tambien por
Fig. 11-5.
entradas de corriente. Su accidn consiste en desconectar un Interruptor de un circuit0 cuanao la corrlentede la
falla excede un valor predeterminado. La corriente (en el
lado secundario de un TC) requerida para activar el relevador se denornlna corriente Ue senal 1 I,, 1 . SI I, es la
corriente de la falla referida al secundario, entonces el
relevador opera de acuerdo con las siguientes limitantes:
Disparo para
\IF[> 1lP1
Obstruccion o bloqueo para I1,I
< 11,1
(11.1)
9isparo para 0 ,,,,
Estas restricciones se rnuestran graficamente en la figura 11-6. Pero, existe otra limitante; El tiernpo T de ope-
> e,,p> Omax
ObstrucciSn 0 bloqueo para On,ln ( go,
I
Fig. 11-6.
0 max
( 11.3)
PROTECCI~NA LOS SlSTEMAS DE POTENCIA
Pvlultiplo dc ajustc dc sefial
Radio i I f ~ / ~ I o ~
Fig. 11-7
0 may
Bloqueo
impedancia de la longitud de una linea de transmisibn
igual a esa distancia es /Z,I e indique la razon del voltaje a la corriente en la direccion del relevador por Z (Fig.
I1 -9).
Un relevador con las limitantes de operacidn
121 < lZrl
Bloqueo para (21> lZrI
Disparo para
Disparo
Fig. 11-8.
donde O,, es el angulo de fase de la cantidad de operacion (Ien la Fig. 11-8), en relacion con el de la cantidad
de referencia (ye,en la figura), y hi"y kiXdefinen 10s
limites del interval0 de operacion.
Un relevador de razon responde a fallas solo dentro
de cierta distancia de su Incalizaci6n. Suponga que la
se llama relevador de impedancia o de distancia y en el
plano de impedancia compleja, tiene las caracteristicas
de operacidn mostradas en la flgura 11-Y(b). Ubservese
que este relevador es bidireccional. Por otro lado, al
trasladar el circulo de la figura 11-9(b)por Z' obtenemos
las limitantes del relevador.
Disparo para 12 - 2'1 < )ZrI
Obstruccion para
12 - 2'1 > IZ,I
(11.5)
Si se selecciona que Z ' 1 sea igual a IZ,j, la caracteristica del relevador se puede hacer que pase a traves del
PROTECCI~NA LOS SlSTEMAS DE POTENCIA
R
I Dlsparo dentro de la
j
.
Bloqueo
I zona de protcccion I
\-
-
-
-
(6)
Fig. 11-9.
origen, corno se ilustra en la figura 11-9(c).Dicho releva-
11.4
dor es obviamente directional y se llama relevador mho.
La operacidn de un relevador diferencial se puede
entender consultando la figura 11-10. En condiciones
normales tenemos I, - I, - 0.En condiciones de falla, I, I, = I,, donde I, es la corriente de la falla que se ref iere al secundario de 10s TC. Si una corriente I,,< I, 1
se escoge para producir la operacidn del relevador, entonces las limitantes de operacidn del relevador son
PROTECCI~NDE LINEAS,
TRANSFORMADORES Y GENERADORES
mitir setiales de fallas del limite de una zona remota a
relevadores situados en las terrninales de una linea de
Una linea de transmision radial corno la de la figura
11 -1 1 puede protegerse con relevadores de tiernpo de
sobrecorriente temporizados. Estos relevadores pueden
establecerse para proporcionar proteccidn primaria a
una linea y proteccidn de respaldo remoto a otra linea
vecina. Por ejemplo, el relevador en el conductor 1 protegera la linea del conductor 1 al 2 y actuara corno respaldo
entre 10s conductores 2 y 3. Sin embargo, debe ajustarse
para que proporcione un retraso de tiempo adecuado,
de modo que el relevador del conductor 2 opere primer0
para una falla en la linea 2.
Para proteger las I ineas alimentadas por ambos extremos (Fig. 11-12) 0 10s sistemas de lazo cerrado (Fig.
11-13), se utilizan 10s relevadores direccionales con
tiernpos de operacidn coordinados. (En las figuras las
transmision larga.
flechas rnuestran la direccidn protegida por cada releva-
Ilisparo para
Bloqueo para
111- 1.1 > ]Ip[
)II- 121 < 11,1
(11.6)
Observe q ~ la
~ 7nna
e
rle prnteccicin de Iln rnlnvarlnr rlifn-
rencial es pequeila; esto es, 10s puntos limite de la zona son cercanos unos con otros.
I-In relevadorpilotn prnpnrcinna una forma de trans-
i
fhse del generador
I
I
Disparo dentro de la
rona de protection
I
I
L
I
I
I
I
I
I
I
Fig. 11-10.
PROTECCI~NA LOS SISTEMAS DE POTENCIA
Fig. 11-11.
Fig. 11-12.
impedancia entre su propia localization y la localizacion de una falla.
Los transformadores y generadores se protegen
contra ciertos tipos de fallas por medio de relevadores
diferenciales. Las figuras 11-14 y 11-10, respectivamente, muestran la conexion de 10s relevadores diferen-
ciales para proteccidn contra fallas en un transformador y un generador.
dor.) Los relevadores asociados con 10s interruptores 1,
3 y 5 deben estar coordinados, lo mismo que 10s asociados con 10s disyuntores 2, 4 y 6. Los relevadores de
sobrecorriente se utilizan y se hacen direccionales
aumentando un relevador direccional en cada localizacion y reacomodando despues las salidas del relevador
direccional y el relevador de sobrecorriente de manera
que sus interruptores no operen a menos que ambos relevadores proporcionen una serial de activacidn.
Las lineas de transmision que pertenecen a un sistema complejo interconectado se protegen por medio
de relevadores de irnpedancia, 10s cuales responden a la
Fig. 11-14.
Problemas resueltos
11.1
Un transformador trifasico conectado en delta
estrella, de 30 MVA y 33111 kV, esta protegido por
PROTECCI~NA LOS SISTEMAS DE POTENCIA
un relevador diferencial. Calcule la corriente de
activacidn del relevador para fallas que consumen hasta el 200 por ciento de la corriente especificada. La razon de corriente del TC en el lado prim a r i n e s Fifln.5 y e n e l s e c ~ r n d a r i nes d e 7000.5.
Ajustes del relevador R2: optamos por suministrar
un factor de seguridad de 3 , de mod0 que R2 debe operar
cuando la corriente en la linea sea f (165) = 55 A. Escogiendo la razon del TC estandar mas cercana, la cual es
50:5,obtenemos una corriente del relevador de 55(5150) =
5.5 A. De esta manera, escogemos un ajuste de derivacion de 5.0 A. Seleccionamos un relevador con calibrador
de tiempo de 112 para la operacion mas rapida posible.
Ajuslss del relevadur R i . Debe haber un relevador
R3 (que no aparece en la figura) que proporcione un respaldo para R2. El relevador R1 debe entonces seleccionar
con seguridad la corriente mas pequeria vista pnr R2 En
consecuencia, utilizamos nuevamente una razon TC de
50:5 y un ajuste de derivacion de 5 A. La primera etapa al
selescionar la calibration del selector de tiempo, consiste en operar por lo menos 0.3 s despues que R2. Observamos que la corriente de la falla maxima vista por R2 es de
300 A. La corriente del relevador para ambos R1 y R2 es
pues 300(5/50) = 30 A. En un ajuste de la derivacidn del
relevador de 5A, la razon de la corriente del relevador al
ajuste del relevador para ambos relevadores es 3015 =
6.0. En la figura 11-7encuritrarrlus que, para esta razbn, el
tiempo de operacidn de R2 (el cual tiene un selector de
ajustes de tiempo de 112) es 0.135 s. Por tanto, si R2 falla,
R1 debe operar en 0.135 + 0.3 = 0.435 s. La figura 11-7
muestra que el ajuste del selector de tiempo requerido
para R1 es 2.0.
La corriente en la linea del primario es
y la corriente en la linea del secundario es
I, = 31, = 1574.64 A
La corriente del TI? en el Indn r l ~ nrimarin
l
es
y la del lado secundario es
La corriente del relevador a 200 por c ~ e n t ode la corriente
especificada es entonces
2(12 - I , ) = 2(6.818 - 5.249) = 3.3138 A
11.3
11.2
135
Una parte de un sistema radial se muestra en la figura 11-15. Para las fallas en el conductor 3, las
corrientes de falla maxima y minima son 200 A y
165 A, respectivamente, y para la falla en el conductor 2 el interval0 de corrientes esta comprendido entre 300 A y 238 A. Utilizando 10s relevadores
de sobrecorriente que tienen las caracterist icas
mostradas en la figura 11-7, con derivaciones de
ajuste disponibles en 3.0 A, 4.0 A, 5.0 A,6.0 A y 7.0 A,
selecci~nelas razones de TC, las derivaciones
de ajuste de 10s relevadores y el ajuste de tiempo de
10s relevadores temporizados para proteccidn del
subsistema de la figura 11-15. El interruptor de cada conductor opera en las tres fases cuando se
activa alguno de 10s dos relevadores asociados.
Un transformador trifasico, con conexion deltaestrella, de 15 MVA y de 33/11 kV, esta protegido
por TC. Determine las razones del TC para proteccion diferencial de mod0 que la corriente que circula (a traves del transformador delta) no exceda
de 5 A.
Las corrientes en la linea son
Si 10s TC cn cl lado d e alto voltoje estdn conectadoa en
estrella, entonces la razon de TC en el lado de alto voltaje
es 787.3015 = 157.46.
De manera similar, la razon del TC en el lado de baio
voltaje es de 262.44(5/&) = 757.6.
Problemas complernentarios
11.4
Fig. 11-15.
Un transformador trifdsico conectado en deltaestrella
de 345134.5 kV, tiene una especificacion de ernergencia de
PROTECCI~NA LOS SlSTEMAS DE POTENCIA
Fig. 11-16.
60 MVA. Determine las razones y conexiones TC requeridas para la prnteccirjn del trnnsfnrmador
11.6
1000:5, conectada en estrella del lado de bajo volResp.
caie; 200:5, conectado en delta del lado de alto voltaje
Para las fallas en 10s conductores 2 y 3 del sisterna radial
de la figura 118, determine la razon del TC y el ajuste del
relevador Para proteger con relevadores que tienen derivaciones para ajuste de 5.0, 6.0, 7.0, 8.0, 10.0 y 12.0 A, suponiendo un factor de seguridad de 1.3.
Resp. 1200: 5; 12.0 A
11.5
~ C u a l e sson las corrientes secundar~asen 10s TC del
problerna 11.4?
Resp. 5.0 A ; 2.51 A
11.7
El sisterna rle la figura 11-17 esta protegido por relevadores que tienen la caracteristica rnostrada en la figura 11-7.
Las corrientes de las fallas maximas y minimas son como sigue:
ralla dc u n c o n d u c t o r
--
-
Maxima corriente de falla A
Minima corriente de falla A
3187.2
1380.0
658.5
472.6
430.7
328.6
300.7
237.9
202.7
165.1
Procediendo como en el problema 11-2, con derivac~ones
dc ajustc dcl rclcvador do 3.0, 4.0, 5.0,6.0y 7.0, determine
las razones del TC, las derivaciones de ajuste del releva.
dor y 10s ajustes de selector de tiempo del relevador para
la oroteccion del sistema.
Fig. 11-17.
El
PROTECCI~NA LOS SISTEMAS DE POTENCIA
Razon TC
Aiuste de senal, A
Ajuste del selector de tiempo
100:5
5
2.9
100:5
4
2.6
50 : 5
5
2.0
50:5
5
1 /2
indice analitico
Admitancia
Cantidad de base, 11
corriente en el nodo, 79
de entrada, 79
de transferencia, 79
del conductor, matriz, 77, 79
impedancia del conductor, 80
mutua, 79
punto de entrada, 79
voltaje en el nodo, 79
Analizador de redes, 77
Angulo
critic0 de interrupcibn en la falla, 118, 121
de potencia, 91, 117
Area de respuesta a la frecuencia, 106
Autoadmitancia, 79
Carga, 130
Circuito
interruptor, 129
trifhsico, 12
Coeficiente
de pbrdida, 105
de reflexi6n, 34
corriente, 34
voltaje, 34
de temperatura de la resistencia, 20, 25
Componentes
de secuencia positiva, 63
en secuencia cero, 63
negativos de secuencia, 63
sirnbtricos, 63
Base:
carnhio de, 11
Cabalas de fuerza, 2
Cables subterrineos, 52-59
aislamiento, 52
Qngulo de pbrdida, 55
blindaje, 52
capacitancia, 54
con pArdida, 55
esfuerzo electric0 en, 52
evaluaci6n, 58
grado de capacitancia, 52
inductancia, 54
monoconductor, 52
nivelacibn de, 52
resistividad dielbctrica, 58
tamaiio de la caja conductors del aislante, 52,
54
Cdlculos de fallas, 60-76
Calorias, 2
Conductor
aceleraci6n mecdnica, 92
carga, 92
de aceleraci6n mectinica, 92
disminuci6n, 92
especificacibn de voltaje. 95
generador, 92
lento, 92
regulacibn de voltaje, 95
Y, 79
Z, 80
Conexidn
en delta, 12
en estrella, 12
Constante
de ajuste, 105
de inercia, 116, 117
de polarizacibn de frecuencias, 106
H, 116,117
Constantes generalizadas de circuito, 31
Control
de frecuencia de carga (CFE), 106
del generador de voltaje, 105
Cortocircuito
del generador slncrono, 61
MVA, 60
periodo subtransitorio, 61
periodo transitorio, 61
Costo incremental de combustible, 103
Critetio de Breas iguales, 117
Curva de aceleraci6n mecAnica, 120
Diagrama
de impedancia, 9,10
de reactancia, 9, 10
de una Iinea, 9
reticular, 36
Distancia media geombtrica (DMG), 22
bobina de impedancia, 22
reciproco, 22
Distribucibn de carga:
criterio para, 104, 105
Ecuaci6n de aceleraci6n mechnica, 116, 117, 127
de flujo de potencia, 92
de onda, 33
soluci6n paso por paso, 119
Efecto superficial, 20
Eliminacibn de nodo, 79
Energia,1
cin6tica, 1
de las mareas, 4
e6lica, 4, 5, 6
potential, 2
Error
de desfase, 130
en el area de control (EAC), 120
en frecuencia, 106
Estabilidad, 116
criterio, 118
dinarnica, 116
estado estacionario, 116
transitorio, 116
Factor de desventaja, 105
Fallas, 60
acopladas, 60
asimetrica, 60, 63
linea a tierra, 60, 69, 71
en serie, 60
lhea con linea, 69,71,71
linea doble a tierra, 70, 71
por cortocircuito, 60
por derivacibn, 60
red de cuatro terminales, 31
sim6triqa, 60, 61
!pas de, 60
trifisica, 60, 68
Flujo
de carga (vea flujo de potencia)
de potencia, 90-102
Fuentes de energia, 4
Funciones hiperb6licasI 31
Jacobiano, 94
Joule, 1
Ley de las corrientes de Kirchhoff, 77, 79
Linea colectiva de carga, 92
Lineas de transmisi6n, 20, 51
acopladas, 34
capacitancia, 23
circuito doble, 22
circuito nominal TI 30, 32
circulo del extrerno de recepci6nI 42
con dos puertos, 31
conductores compuestos, 22
constante de propagacibn, 30
constantes ABCD, 31,32
corto, 29, 32, 36, 90
diagrama del fasor de corriente, 30, 37, 39, 42
diagrama reticular, 36
dos conductores, 21
eficiencia, 20
espacio equivalente, 22, 23
extremo de receptor, 29
extremo transmisor, 29
flujo de potencia, 32
impedancia caracteristica, 31, 33
inductancia, 21
inductancia interna, 21
longitud, 29, 30, 32, 33
media, 29, 30, 32
ondas viajeras, 33
parametros, 20
regulaci6n de voltaje, 29
representacibn, 29
resistencia, 20
sin pbrdidas, 33
tierra, 23
transferencia maxima de potencia, 40
transposici6nI 21
tres conductores, 21
Matriz
de admitancias del conductor, 77, 79
de corriente por nodo, 79
de impedancias del conductor, 80
de voltaje por nodo, 79
Mejoramiento del factor de potencia, 95
MOtodo
de Gauss, 92
de Gauss-Seidel, 90, 92
de Newton-Raphson, 90,93
Multiplicador de Lagrange, 104
Ondas viajeras, 33
avance, 33
retorno, 33
Operador
A, 64
J, 64
Par
de aceleracibn, 116
electromecfinico, 116
POrdida de transmisi6n en la linea, 104
Periodo de duplicacibn, 3
Permitividad, 23
Potencia, 1, 2
Potencia
aceleratriz, 116, 119, 120
completa, 64, 90
mhxima transmitida, 121, 122
Procedimientos iterativos, 92, 92
Quad, 2
Radio medio geom6trico (RMG), 21, 22
Razbn de error, 130
Reactancia
slncrona, 62
subtransitoria, 62
transitoria, 62
Relevador, 129, 130
conductor auxiliar, 131, 133
detectores de corriente, 131
diferencial, 131, 133
directional, 131, 132
impedancia, 133, 134
magnitud, 131
mho, 133
raz6n, 131, 133
sobrecarga de corriente, 131, 132
tiempo de operacibn, 131
tiempo de sobrecarga de corriente, 133
tips, 131
voltaje de polarizaci6n, 132
Representaci6n por unidad, 11
Resistencia, 20
Resistencia caracteristica, 33
Resistividad, 20
Secuencia
de tase, 63
de impedancia, 64
de potencia, 64
de redes, 64, 68-70
Series de Taylor, 93
Sistema
de dos mAquinas, 119,127
de potencia:
cornponentes, 9
control, 103,105
distribuci6n de carga econbmica, 103
estabilidad,116,128
operaclbn, 103
operacibn econbmica, 103
protecci6n,129-136
requerirniento de combustible, 103
estable, 117
inestable, 117
Sisternas de protecci6n, 129, 133
componentes, 129
zonas, 129
Tasas de crecimiento, 2, 5
Tiempo crhico de interrupcibn, 121
Trabajo, 1
Transducciones, 129, 130
Transformaciones de la fuente, 77
Transformadores de corriente (TC), 130
errores en, 130
instrurnento, 130
potencial (PT), 130
voltaje (VT), 130
Unidad tbrmica brithnica (BTU), 2
subtransitorio, 63
transitorio, 63
Valor de la base, 11
Voltaje
de nodo, 77
interno, 62
Watt, 3
Zonas de proteccibn, 129