Capítulo 1
Matrices y Operaciones básicas
1.1 Descripción general de una matriz
Al operar con matrices estamos utilizando una forma compacta de hacer operaciones con
varios números simultáneamente. Vamos a definir operaciones matriciales análogas a las operaciones con números reales o complejos y probar las propiedades que son válidas para esas
operaciones. Luego, el estudio involucrando operaciones con números reales o complejos puede
simplificarse haciendo operaciones con las matrices y usando las propiedades que fueron demostradas para los números reales. Por ejemplo, veremos que un sistema de varias ecuaciones
lineales se puede escribir en términos de una única ecuación matricial. Una matriz A, de orden
m × n (m por n), es un arreglo de m · n números dispuestos en m filas y n columnas, de la
siguiente forma
a11 a12 · · · a1n
a21 a22 · · · a2n
A = ..
.. ,
.
···
.
am1 am2 · · · amn
donde aij es el elemento de la matriz A, que se encuentra en la i − ésima fila y la j − ésima
columna respectivamente. Así, la i-ésima fila de A es
ai1 ai2 · · · ain , para i = 1, . . . , m
y la j − ésima columna de A es
a1j
a2j
.. , para j = 1, . . . , n.
.
amj
Usamos la notación A = (aij )m×n para representar a la matriz A de m filas y n columnas. Si
m = n, decimos que la matriz A es cuadrada de orden n × n y los elementos a11 , a22 , . . . , ann
forman la diagonal principal de la matriz A. Las matrices las designaremos con las letras
mayúsculas A, B, C, etc.
Ejemplo 1.1 Consideremos las matrices
1 2
1 2
A=
, B = 4 3 , C =
3 4
5 6
2
1 4 −6 7 , D = 4 , E =
6
2
.
La matriz A es de orden 2 × 2, B es de orden 3 × 2, C es de orden 1 × 4, D es de orden
3 × 1 y E es de orden 1 × 1. De acuerdo con la notación, ejemplos de elementos de algunas de
las matrices dadas son a12 = 2, c13 = −6, d21 = 4, [A]22 = 4, [D]21 = 4.
1.2 Tipos de Matrices
Matriz Identidad. Es la matriz cuadrada In = (Iij )n×n definida como
Iij =
es decir
1, i = j
,
0, i =
6 j
1 0 ···
0 1 ···
In = ..
.
···
0 0 ···
0
0
.. .
.
1
Matriz Nula. Es la matriz cuadrada O = (0ij )n×n definida ∀i, ∀j; 1 ≤ i, j ≤ n, es decir
0 0 ···
0 0 ···
O = ..
.
···
0 0 ···
0
0
.. .
.
0
Matriz Triangular inferior. Es la matriz cuadrada A = (aij )n×n definida como aij = 0, si
i < j, es decir
a11 0 · · · 0
a21 a22 · · · 0
A = ..
.. .
.
···
.
an1 an2 · · · ann
Matriz Triangular superior. Es la matriz cuadrada A = (aij )n×n definida como aij = 0, si
i > j, es decir
a11 a12 · · · a1n
0 a22 · · · a2n
A = ..
..
.
···
.
0
0 · · · ann
Matriz Diagonal. Es la matriz cuadrada D = (aij )n×n definida como
es decir
aij 6= 0, si i = j
aij = 0, si i =
6 j
a11 0 · · ·
0 a22 · · ·
D = ..
.
···
0
0 ···
0
0
..
.
.
ann
Las notaciones usuales para esta matriz son
D {a11 , a22 , . . . , ann } = diag {a11 , a22 , . . . , ann }
= D {aii } = diag {aii } , para i = 1, 2, . . . , n.
2
1.3 Operaciones con matrices
Definición 1.2 Dos matrices son iguales si ellas tienen el mismo tamaño y los elementos
correspondientes son iguales, esto es, A = (aij )m×n y B = (bij )p×q son iguales si m = p, n = q
y aij = bij para i = 1, . . . , m y j = 1, . . . , n.
Ejemplo 1.3 Hallar p, q, r y s para que las matrices
0 p+q r
0
6
r
0
−2 .
A = s log5 r −2 y B = 3
−1
2
7
−1 p − q 7
sean iguales.
1.3.1 Suma de matrices
Definición 1.4 La suma de dos matrices del mismo tamaño A = (aij )m×n y B = (bij )m×n se
define como la matriz C = (cij )m×n que se obtiene sumando los elementos correspondientes de
A y B, es decir, cij = aij + bij , para i = 1, . . . , m y j = 1, . . . , n. Entonces
A + B = (aij )m×n + (bij )m×n = (aij + bij )m×n .
Escribimos C = A + B.
Ejemplo 1.5 Consideremos las matrices
1 2
−2
1
A = 4 3 y B = 3 −1 .
5 6
2
3
Si C es la suma de las dos matrices, entonces
1 + (−2)
2+1
−1 3
3 + (−1) = 7 2 .
C =A+B = 4+3
5+2
6+3
7 9
1.3.2 Diferencia de matrices
Definición 1.6 La diferencia entre dos matrices del mismo tamaño A = (aij )m×n y B =
(bij )m×n se define como
A − B = A + (−B) = (aij )m×n − (bij )m×n = (aij )m×n + (−bij )m×n = (aij − bij )m×n .
o sea, es la suma de la matriz A con la simétrica (aditiva) de la matriz B.
Ejemplo 1.7 Consideremos las matrices del ejemplo anterior, es decir,
1 2
−2
1
A = 4 3 y B = 3 −1 .
5 6
2
3
Si C es la diferencia de las dos matrices, entonces
1 − (−2)
2−1
3 1
3 − (−1) = 1 4 .
C =A−B = 4−3
5−2
6−3
3 3
3
1.3.3 Producto de un escalar por una matriz
Definición 1.8 La multiplicación de una matriz A = (aij )m×n por un escalar (número) α
se define por la matriz B = (bij )m×n obtenida multiplicando cada elemento de la matriz por
el escalar, esto es, bij = αaij para i = 1, . . . , m y j = 1, . . . , n. Escribimos B = αA y
[αA]ij = αaij . Se dice que la matriz B es un múltiplo escalar de la matriz A.
Ejemplo 1.9 El producto de la matriz
por el escalar 3 es dado por
3 2
A= 1 8
5 4
9 6
3A = 3 24 .
15 12
1.3.4 Producto de vectores
Dados los vectores, en Rn , xt = (x1 , x2 , . . . , xn ) , y = (y1 , y2 , . . . , yn )t el producto de ellos se
define por
y1
y2
t
x · y = x1 x2 · · · xn .. = x1 y1 + x2 y2 + . . . + xn yn
.
yn
1.3.5
Producto de Matrices
Definición 1.10 El producto de dos matrices, tales que el número de columnas de la primera
matriz es igual al número de filas de la segunda, esto es, si A = (aij )m×p y B = (bij )p×n entonces
el producto es definido por la matriz C = (cij )m×n obtenida como sigue
cij = ai1 b1j + ai2 b2j + · · · + aip bpj =
p
X
(1.1)
aik bkj
k=1
para i = 1, . . . , m y j = 1, . . . , n. Escribimos C = AB y [AB]ij =
p
P
aik bkj .
k=1
La ecuación (1.1) dice que el elemento i, j del producto es igual a la suma de los productos
de los elementos de la i-ésima fila de A por los elementos correspondientes de la j-ésima columna
de B. Notemos que estamos usando la notación de sumatoria para escribir la ecuación (1.1) en
p
P
forma compacta. El símbolo
significa que estamos haciendo una suma en que los índices k
k=1
están variando desde k = 1 hasta k = p.
−2 5
−3 4
2 −3 1
Ejemplo 1.11 Dadas las matrices A =
yB=
1 2 3
es
−2 5
2 −3 1
C =
−3 4 2×2 1 2 3 2×3
−4 + 5 6 + 10 −2 + 15
=
−6 + 4 9 +8 −3 + 12
1 16 13
=
−2 17 9
4
, entonces C = AB
Observación 1.12 En el ejemplo anterior el produto BA no está definido. En tanto, si BA
está definida , no siempre es igual a AB, o sea, el producto de matrices no es conmutativo,
como muestra el siguiente ejemplo.
1 3
2 −2
Ejemplo 1.13 Si A =
yB=
, entonces
2 −1
0 1
1
3
2 −2
2 + 0 −2 + 3
2
1
AB =
=
=
2 −1
0
1
4 + 0 −4 − 1
4 −5
y
BA =
2 −2
0
1
1
3
2 −1
=
2−4 6+2
0+2 0−1
=
−2
8
2 −1
Ejemplo 1.14 Verificar si para las matrices cuadradas A y B, vale la igualdad (A+B)(A−B) =
A2 − B 2 .
Definición 1.15 Sea A una matriz n × n y p un entero positivo. Definimos la potencia p de
A, por
Ap = Ap−1 · A, p ≥ 1,
para p = 0, definimos A0 = In (matriz identidad de orden n × n).
Definición 1.16 Una matriz cuadrada es idempotente si es igual a su cuadrado, es decir,
A es idempotente ⇔ A2 = A, ∀ A matriz cuadrada.
Ejemplo 1.17 La matriz identidad es idempotente.
1/2 1/2
Ejemplo 1.18 La matriz A =
es idempotente.
1/2 1/2
Ejemplo 1.19 Si A =
1 3
0 1
, hallar Ak , k ∈ Z+ .
Producto de vectores elementales
La matriz identidad de orden n se puede escribir como
In =
n
X
ei eti
i=1
donde ei es la i-ésima columna de la matriz identidad In , es decir es un vector con uno en su
i-ésimo elemento y cero en otra parte; ei es llamado un vector elemental. Así por ejemplo
2
P
ei eti = e1 et1 + e2 et2
i=1
1
0
1 0 +
0 1
=
1 0
1 0
0 0
1 0
=
+
=
.
0 0
0 1
0 1
I2 =
5
Otro producto elemental de un vector elemental con otro, el cual da una
matriz
nula excepto
1
0
0
1
un elemento que es igual a la unidad; por ejemplo si tomamos e1 =
y e2 =
0
0
entonces obtenemos la matriz
0 1 0
1
E12 = e1 et2 = 0 (0, 1, 0) = 0 0 0 .
0
0 0 0
:Obsérvese que en general, Eij = ei etj es la matriz nula, excepto para el elemento (i, j) que es
n
P
igual a uno. También In =
Eii .
i=1
Matrices que tienen todos sus elementos iguales a uno
1 1 1 1 es el vector sumante de orden 4 y para xt = 3 6 9 −3
3
1
1
6
t
1 1 1 1
9 = 3 + 6 + 9 − 3 = 15 = 3 6 9 −3 1 = x 1.
1
−3
El vector 1t =
1t x =
Cuando es necesario para
el orden de un vector sumante puede ser denotado
evitar confusión,
t
en la forma usual 14 = 1 1 1 1 . Por ejemplo
2
−1
1t3 x = 1 1 1 −5 −3 = 1 1 = 1t2 .
4
5
producto interno de un vector sumante con si mismo es un escalar, por ejemplo si tomamos el
vector sumante de orden n entonces
1tn · 1n = n
y otros productos de diferente orden son matrices con todos sus elementos iguales a uno, así
1
1
1
13 · 1t2 = 1 1 1 = 1 1 = J 3×2 .
1
1 1
En general, podemos observar que
1r · 1ts = J r×s ,
es una matriz de orden r × s, teniendo todas sus entradas iguales a uno. Claramente λJ r×s
tiene todos sus elementos iguales a λ.
Teorema 1.20 La matriz 1 y J satisfacen respectivamente
i.) J r×s J s×t = sJ r×t ,
ii.) 1tr J r×s = r1ts ,
iii.) J r×s 1s = s1r .
Corolario 1.21 Se cumple
6
i.) J n = 1n 1tn con J 2n = nJ n , y
2
ii.) J n = n1 J n con J n = J n .
Ejemplo 1.22 Supogamos que un experimentado taxista tiene la certeza que cuando está en
la ciudad 1 tiene una probabilidad de 0.2 que el próximo destino será dentro de la ciudad
1 y una probabilidad de 0.8 que ésta será en la ciudad 2. Pero cuando está en la ciudad 2
sus probabilidades son de 0.4 de ir a la ciudad 1 y 0.6 de quedarse en la ciudad 2. Estas
probabilidades pueden ser juntadas en una matriz
0.2 0.8
P =
0.4 0.6
luego pij es la probabilidad cuando está en la ciudad i y que la próxima parada es la ciudad j.
La matriz P es un ejemplo de una matriz de probabilidad de transición, esto es es un arreglo
de probabilidades de elaboración de transiciones desde lo que es llamado un punto i a un punto
j (los puntos en este ejemplo son las dos ciudades) así pij es una probabilidad de transición
y de allí el nombre de matriz de probabilidad de transiciones. En P la suma de los elementos
de cada fila es 1 esto es así porque en cualquier caso el taxista está en la ciudad i su proxima
parada puede ser la misma ciudad o a la otra ciudad, esta es una característica de todas las
matrices de transición. Luego
0.2 + 0.8
1
=
0.4 + 0.6
1
como hemos observado, la suma de cada una de las filas es igual a uno. También
0.2 0.8
1
1
P· 1 =
=
=1
0.4 0.6
1
1
y P 2 1 = P (P · 1) = P · 1 = 1, y extendiendo
P n 1 = 1,
demostrando que la suma de filas de una potencia de una matriz de probabilidad de transición
son también unitarios. En general, una matriz de probabilidad de transición es de la forma
p11 p12 · · · p1j · · · p1m
p21 p22 · · · p2j · · · p2m
.
..
..
..
...
...
.
.
.
.
.
P =
= (pij )m×m , i, j = 1, 2, · · · , m,
pi1 pi2 · · · pij · · · pim
.
..
..
..
...
...
..
.
.
.
pm1 pm2 · · · pmj · · · pmm
donde
m
X
pij = pi1 + pi2 + · · · + pim = 1,
j=1
correspondiendo a m diferentes estados, la suma de probabilidades de ir de un estado i a
cualquier otro fijo m (incluyendo el estado i) es igual a 1.
Definición 1.23 Definimos la matriz centralizadora Cn como
Cn = I − J n = I −
7
1
J n.
n
Esta matriz es especialmente usada en estadística.
Teorema 1.24 La matriz centralizadora satisface
i.) Cn es una matriz simétrica (a definirse más adelante) e idempotente.
ii.) Cn 1 = 0.
iii.) Cn J = J Cn = 0.
Aplicación. La media y suma de cuadrados alrededor de la media para datos x1 , x2 , · · · , xn pueden ser expresados en terminos de 1- vectores y J - matrices. Definimos xt = x1 x2 · · · xn .
Entonces la media de los n datos es
x = (x1 + x2 + · · · + xn ) /n =
n
X
i=1
xi /n =
1 t
1
x .1 = 1t .x
n
n
y usando Cn con sus propiedades, tenemos
1
1
t
t
x Cn = x I − J n = xt − xt 1.1t = xt − x1t = {xi − x} , i = 1, 2, . . . , n
n
n
es el vector dato con cada observación expresada como una desviación de x. Post multiplicando
xt Cn por x se tiene
xt Cn x = xt − x1t x = xt x − x 1t .x = xt x − nx2 .
De aquí, usando un resultado estándar en estadística, conseguimos
n
X
i=1
(xi − x) =
2
n
X
x2i − nx2 = xt x − nx2 = xt Cn x.
i=1
1 t
x .1 es la media, xt Cn es el vector de desviaciones de
n
la media, y xt Cn x es la suma de cuadrados alrededor de la media. La expresión xt Cn x es un
caso especial de la forma xt Ax, conocida como una forma cuadrática que veremos después.
Así tenemos que xt es un vector dato,
1.4 Propiedades del Algebra Matricial
A continuación, mostraremos las propiedades que son válidas para el álgebra matricial.
Varias propiedades son semejantes aquellas que son válidas para los números reales, pero se debe
tener cuidado con las diferencias. Una propiedad importante que es válida para los números
reales, pero que no lo es para las matrices es la conmutatividad del producto, como hemos visto
en un ejemplo anterior.
i.) (Conmutatividad de la suma) A + B = B + A.
ii.) (Asociatividad de la suma) A + (B + C) = (A + B) + C.
iii.) (Elemento neutro de la suma) Existe una única matriz O = (0ij ), m×n, tal que A+O = A,
para toda matriz A , m × n. La matriz O = (aij ) = (0) se llama matriz nula m × n.
iv.) (elemento simétrico) Para cada matriz A, existe una única matriz B, tal que A + B = O.
Representamos B por −A.
8
v.) (Asociatividad) α (βA) = (αβ)A.
vi.) (Distributividad) (α + β)A = αA + βA.
vii.) (Distributividad) α(A + B) = αA + αB.
viii.) (Asociatividad del produto) A(BC) = (AB)C.
ix.) (Distributividad) A(B + C) = AB + AC y (B + C)A = BA + CA.
x.) α(AB) = (αA)B = A(αB).
1.5 Más tipos de matrices
Definición 1.25 Para la matriz cuadrada A = (aij )n×n definimos la traza de A como la suma
n
P
de los elementos de la diagonal (principal) de A, es decir, tr(A) =
aii .
i=1
Teorema 1.26 Dadas las matrices A y B, se tiene
i.) tr(A + B) = tr(A) + tr(B),
ii.) tr(αA) = αtr(A),
iii.) tr(AB) = tr(BA).
Definición 1.27 La transpuesta de la matriz A = (aij )m×n es definida por la matriz B =
(bij )n×m obtenida intercambiando las filas con las columnas, esto es, bij = aji para i = 1, . . . , n
y j = 1, . . . , m. Escribimos B = At y [At ]ij = aji .
Teorema 1.28 Dadas las matrices A y B entonces
i.) (At )t = A.
ii.) (A + B)t = At + B t .
iii.) (AB)t = B t At , si m = n.
iv.) (αA)t = αAt .
v.) tr(At ) = tr(A).
Definición 1.29 Diremos que una matriz A, n × n, es simétrica si At = A y es antisimétrica
si At = −A.
Ejemplo 1.30 La matriz
es simétrica y la matriz
7 −1 3
A = −1 2 5
3
5 9
0
1 −2
3
B = −1 0
2 −3 0
es antisimétrica.
9
Ejemplo 1.31 Dadas las matrices
0 a + b −3
0
a
A= 2
b
c
0
y
1 p
q
r
B= 7 2
5 −3 −1
Si A es una matriz antisimétrica y B es una matriz triangular inferior, calcular B − At .
Ejemplo 1.32 Mostrar que si A es simétrica, entonces aij = aji , para i, j = 1, . . . , n y que si
A es anti-simétrica, entonces aij = −aji , para i; j = 1, . . . , n. Por tanto, los elementos de la
diagonal principal de una matriz anti-simétrica son iguales a cero.
Ejemplo 1.33 Probar que si A y B son simétricas, entonces A + B y αA, para todo escalar
α, son simétricas.
Ejemplo 1.34 Mostrar que si A y B son simétricas, entonces AB es simétrica si y solamente
si, AB = BA.
1.5.1 Inversa de una Matriz
Todo número real a 6= 0 posee un inverso (multiplicativo), es decir, existe un número b, tal
que ab = ba = 1. Este número es único y lo denotamos por a−1 . A pesar que el álgebra matricial
es semejante al álgebra de los números reales, no todas las matrices A no nulas poseen inversa,
o sea, no siempre existe una matriz B tal que AB = BA = In . De esto, para que los productos
AB y BA estén definidos y sean iguales es preciso que las matrices A y B sean cuadradas.
Por tanto, solamente las matrices cuadradas pueden tener inversa, lo que las diferencia con el
caso de los números reales, donde todo número no nulo tiene inverso. Sucede lo mismo entre
matrices cuadradas, muchas no poseen inversa. Antes de ver la siguiente definición, notemos
que la matriz identidad In de orden n × n satisface la siguiente relación
AIn = A = In A, para toda matriz A = (aij )m×n
y
In B = B, para toda matriz B = (bij )n×m .
así, podemos dar la siguiente definición.
Definición 1.35 La matriz A = (aij )n×n es inversible o regular o no singular, si existe una
matriz B tal que
AB = BA = In .
A la inversa de la matriz A, si existe, se le denota por A−1 y es igual a la matriz B.
Teorema 1.36 Dadas las matrices A = (aij )n×n y B = (bij )n×n entonces
1. In−1 = In .
2. (A−1 )
−1
= A.
3. A · A−1 = In .
4. (AB)−1 = B −1 A−1 .
Definición 1.37 Una matriz cuadrada no singular es ortogonal si y sólo si su inversa es igual
a su transpuesta. Esto es
A es ortogonal ⇔ A−1 = At
10
Teorema 1.38 Sean las matrices A = (aij )n×n y B = (bij )n×n entonces
1. A es ortogonal, si y sólo si, AAt = At A = In
2. Si las matrices A y B son ortogonales entonces AB es ortogonal.
1
2 −1
Ejemplo 1.39 La matriz A = √
, es ortogonal.
5 1 2
1.6 Operaciones elementales sobre las filas de una matriz
Una operación elemental sobre las filas de una matriz es una de las siguientes operaciones.
1. Intercambiar la posición de dos filas de la matriz.
2. Multiplicar todos los elementos de una fila de la matriz por un escalar dife-rente de cero.
3. Sumar a una fila de la matriz un múltiplo escalar de otra fila.
Definición 1.40 Una matriz A = (aij )m×n está en la forma escalonada reducida por filas
cuando satisface las siguientes condiciones.
a.) Todas las filas nulas (formadas enteramente por ceros) deben encontrarse debajo de las
filas no nulas;
b.) El primer elemento no nulo de cada fila no nula, llamado pivot, es igual a 1;
c.) El pivot de la fila (i + 1) se encuentra a la derecha del pivot de la fila i, para i =
1, . . . , m − 1;
d.) Si una columna contiene un pivot, entonces todos los otros elementos son iguales a cero.
Si una matriz satisface las propiedades a.) y c.), pero no necesariamente b.) y d.), diremos
que ella está en la forma escalonada.
1 4 −1
1 −3 2 0
Ejemplo 1.41 Las matrices A = 0 1 7 y B = 0 1 1 −8 son matrices
0 0 0
0 0 5 6
escalonadas.
1.6.1 Matrices Equivalentes por Filas
Definición 1.42 Una matriz A = (aij )m×n es equivalente por filas a una matriz B = (bij )m×n ,
si B puede ser obtenida de A aplicando un número finito de operaciones elementales sobre sus
filas, y escribimos A ∼ B.
Nota. La relación es equivalente por filas es de equivalencia si satisface las siguientes propiedades.
1. Toda matriz es equivalente por filas a ella misma (reflexividad).
2. Si A es equivalente por filas a B, entonces B es equivalente por filas a A (simetría).
3. Si A es equivalente por filas a B y B es equivalente por filas a C, entonces A es equivalente
por filas a C (transitividad).
11
En general, cualquier matriz es equivalente por filas a una matriz escalonada reducida. La
forma escalonada reducida de una matriz es única, pues si existiesen dos, por las propiedades
de equivalencia por filas, las dos serían equivalentes por fila; esto es, se puede obtener una de
la otra aplicando operaciones elementales. Pero, si aplicaramos cualquier operación elemental,
que modifique una matriz escalonada reducida, la matriz obtenida no será escalonada reducida.
Por tanto, la forma escalonada reducida es única. El próximo resultado será de utilidad en el
estudio de la inversión de matrices.
Definición 1.43 El rango de la matriz A = (aij )m×n , denotado por ran (A), es el número de
filas no nulas no paralelas.
Ejemplo 1.44 Hallar el rango de las siguientes matrices
2 −3 4
1
0 .
1. A = 0
−4 6 −8
0
a b
2. A = −a 0 c , a, b y c constantes reales no nulas.
−b −c 0
1.7 Determinantes
Definición 1.45 Sea A una matriz cuadrada, entonces
1. Si A = (a) es una matriz cuadrada de orden 1, entonces det(A) = |A| = a
a11 a12
2. Si A =
entonces su determinante, denotado por |A| o det (A), es el número
a21 a22
real definido por
a11 a12
= a11 a22 − a12 a21 .
|A| =
a21 a22
a11 a12 a13
3. Si A = a21 a22 a23 , entonces tenemos que el determinante de A se calcula mea31 a32 a33
diante
|A| =
a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33
= a11 a22 a33 − a11 a23 a32 − a12 a21 a33 + a12 a31 a23 + a21 a13 a32 − a13 a22 a31
Esta definición sólo es aplicable a matrices cuadradas de orden 3.
Tambien, podemos definir el determinante de una matriz usando menores complementarios, para eso damos primero la siguiente
Definición 1.46 Dada una matriz de orden n × n. Se denomina menor complementario del
elemento aij de A para cada i, j = 1, 2, · · · , n al determinante de la matriz Mij de orden
12
(n − 1) × (n − 1) que resulta de A al eliminar la fila i-ésima y la columna j-ésima, es decir,
···
a11
..
.
|Mij | =
ai−11 · · ·
ai+11 · · ·
..
.
···
an1
a1j−1
..
.
a1,j+1
..
.
···
ai−1j−1 ai−1,j+1 · · ·
ai+1j−1 ai+1,j+1 · · ·
..
..
.
.
anj−1
anj+1 · · ·
a1,n
..
.
ai−1n
.
ai+1n
..
.
ann
a11 a12 a13
Definición 1.47 Si A = a21 a22 a23 , entonces el determinante de A es
a31 a32 a33
|A| = (−1)1+1 a11
a22 a23
a32 a33
+ (−1)1+2 a12
a21 a23
a31 a33
+ (−1)1+3 a13
a21 a22
a31 a32
= (−1)1+1 a11 |M11 | + (−1)1+2 a12 |M12 | + (−1)1+3 a13 |M13 | .
donde:
M11 es la matriz obtenida a partir de A eliminando la primera fila y la primera columna.
M12 es la matriz obtenida a partir de A eliminando la primera fila y la segunda columna.
M13 es la matriz obtenida a partir de A eliminando la primera fila y la tercera columna.
análogamente
|A| = (−1)2+1 a21
a12 a13
a32 a33
+ (−1)2+2 a22
a11 a13
a31 a33
+ (−1)2+3 a23
a11 a12
a31 a32
= (−1)2+1 a21 |M21 | + (−1)2+2 a22 |M22 | + (−1)2+3 a23 |M23 | .
donde:
M21 es la matriz obtenida a partir de A eliminando la segunda fila y la primera columna.
M22 es la matriz obtenida a partir de A eliminando la segunda fila y la segunda columna.
M23 es la matriz obtenida a partir de A eliminando la segunda fila y la tercera columna, y
|A| = (−1)3+1 a31
a12 a13
a22 a23
+ (−1)3+2 a32
a11 a13
a21 a23
+ (−1)3+3 a33
a11 a12
a21 a22
= (−1)3+1 a31 |M31 | + (−1)3+2 a32 |M32 | + (−1)3+3 a33 |M33 | .
donde:
M31 es la matriz obtenida a partir de A eliminando la tercera fila y la primera columna.
M32 es la matriz obtenida a partir de A eliminando la tercera fila y la segunda columna.
M33 es la matriz obtenida a partir de A eliminando la tercera fila y la tercera columna.
En general, para A = (aij )n×n
|·| = det (·) :
M (n)
A
→ R
7→ det (A)
donde M (n) es el conjunto de matrices cuadradas de orden n × n, y
|A| =
n
X
(−1)i+j aij |Mij | , para algún i.
j=1
13
Nota: Para calcular el determinante de la matriz A = (aij )n×n , tambien se pueden usar las
columnas de A, de la siguiente manera
|A| =
n
X
(−1)i+j aij |Mij | , para algún j.
i=1
1 3 2
Ejemplo 1.48 Calcular el determinante de la matriz A = 1 2 5 .
0 3 −7
2 1 4
Ejemplo 1.49 Hallar |A|, si A = 3 5 0 .
−2 8 4
Para calcular el determinante de una matriz cuadrada A = (aij )n×n , n > 3 se emplean por
lo general propiedades, las cuales se enuncian a continuación
1.7.1 Propiedades de los determinantes
Sea A = (aij )n×n una matriz cuadrada, entonces tenemos
i) El determinante de la matriz A y de su transpuesta At son iguales, es decir, |A| = |At | .
ii) Si todos los elementos de una fila o columna de A son nulos, entonces |A| = 0.
iii) Si una fila de A es múltiplo de otra, entonces |A| = 0. El mismo resultado se tiene para
las columnas
iv) Si A es triangular superior (o inferior), entonces |A| = a11 · a22 · · · · · ann = producto de
los elementos de su diagonal principal.
v) El determinante de la matriz identidad es igual a 1, es decir, |I| = 1.
vi) |AB| = |A| |B| .
vii) |A−1 | =
1
, si |A| 6= 0, donde A−1 es la inversa de la matriz A, a definir despues.
|A|
viii) Si se multiplica sólo una fila (o columna) de una matriz A por un escalar α, entonces el
valor del determinante es α |A|.
ix) |αA| = (αaij )n×n = αn |A| , α es un escalar real o complejo.
x) Si se multiplica una fila de una matriz por un número real no nulo y este resultado se le
suma a otra fila entonces el determinante de la matriz resultante es igual al de la matriz
original.
xi) Si en un determinante se permutan dos filas cualesquiera el determinante cambia de signo
pero no de valor absoluto.
1 5 −3 1
0 0
0 0
Ejemplo 1.50 Si A =
2 −1 3 6 entonces |A| = 0, por la propiedad ii.).
3 −4 8 2
14
0 1 2 4
7 6 3 1
Ejemplo 1.51 Si B =
0 2 4 8 entonces |B| = 0, pues la primera fila es proporcional
3 5 8 9
(paralela) a la tercera fila, entonces por la propiedad viii) se sigue el resultado.
a b c
a b c
3d 3e 3f , entonces por la propiedad viii) |A| = 3 d e f .
Ejemplo 1.52 Si A =
p q r
p q r
Ejemplo 1.53 Por la propiedad xi) se cumple
a b c
d e f
p q r
p q r
=− d e f
a b c
=
p q r
a b c
d e f
1
0 −2 4
−1 1
3 −1
Ejemplo 1.54 Si C =
0 −2 −1 −3 , entonces aplicando la propiedad x) tenemos
3
5 −7 8
|C| =
=
1
0 −2 4
−1 1
3 −1
0 −2 −1 −3
3
5 −7 8
1
0
0
0
0 −2 4
1 1
3
0 1
3
0 −6 −19
=
F1 +F2 →F2
−3F1 +F3 →F3
=
6F3 +F4 →F4
1
0
0
0
1 0 −2 4
0 1
1
3
0 −2 −1 −3
0 5 −1 −4
2F2 +F3 →F3
−5F2 +F4 →F4
0 −2 4
1 1
3
0 1
3
0 0 −1
= (1) (1) (1) (−1) = −1.
donde en la última igualdad se usó la propiedad iv).
Ejemplo 1.55 Calcule el determinante de una matriz antisimétrica de orden n impar.
Solución A es antisimétrica, solamente si At = −A, de donde |At | = |−A| equivalentemente, |A| = (−1)n |A|. Se sabe que n es impar, entonces (−1)n = −1. Luego |A| = − |A| si
y sólo si 2 |A| = 0. Por lo tanto |A| = 0.
1 −2 −3 7 9
2 5
3 1 5
0 0 0
Ejemplo 1.56 Si A =
0 0
entonces |A| = 0, por la propiedad ii.).
2 −1 3 6 1
3 −4 8 2 −3
1.8 Matriz Adjunta
Si A es una matriz cuadrada de orden n, se consideran
Definición 1.57 Se llama menor complementario o simplemente menor del elemento aij de
la matriz A o del determinante |A| al determinante Mij de orden n − 1 que resulta al suprimir
en A la fila i y la columna j.
15
Definición 1.58 El cofactor αij del elemento aij es el número real
αij = (−1)i+j Mij .
La matriz cuadrada Ac de orden n formada por todos los cofactores de A se denomina
matriz de los cofactores. Es decir
α11 α12 . . . α1n
α21 α22 . . . α2n
Ac = ..
..
..
.
.
.
αn1 αn2 . αnn
Definición 1.59 (Matriz adjunta) La adjunta de una matriz o matriz de los adjuntos, denotada por Adj (A) es la transpuesta de la matriz de los cofactores. Es decir
α11 α21 . . . αn1
α12 α22 . . . αn2
Adj(A) = ..
..
..
.
.
.
α1n α2n . . . αnn
2 −1 3
4 5 . Encontrar Adj(A).
Ejemplo 1.60 Dada la matriz A = 1
−1 −2 2
Con la matriz adjunta se pueden obtener algunos resultados . Usando la matriz del ejemplo
anterior se obtienen
|A| = 49,
49 0 0
A · Adj(A) = 0 49 0 = Adj(A) · A
0 0 49
Es decir A·Adj(A) = Adj(A) = 49I. En general se pueden establecer los siguientes resultados
Proposición 1.61 A · Adj(A) = Adj(A) · A = |A| I.(procedimiento similar al ejemplo previo)
Proposición 1.62 Si |A| 6= 0, entonces A es inversible y se cumple
A−1 =
Adj(A)
.
|A|
Justificación El resultado anterior se puede escribir en la forma
A·(
Adj(A)
Adj(A)
)=(
)·A=I
|A|
|A|
para lo cual basta dividir entre |A| 6= 0.
De donde se concluye que
A−1 =
Adj(A)
.
|A|
Observación 1.63 Este resultado proporciona un método para hallar la inversa de una matriz,
esto es, haciendo uso de la matriz adjunta, sin embargo como se verá más adelante, para matrices
grandes es conveniente desarrollar otro método
16
0 1 5
Ejemplo 1.64 Usando la matriz adjunta, halle(si existe) A−1 si A = 1 2 4 .
3 6 6
Existe un método para calcular determinantes de orden n, el cual considera algunos elementos de la matriz adjunta.
Propiedad (Desarrollo de un determinante por filas o columnas)
Si A = [aij ] es una matriz cuadrada de orden n y αij son los cofactores correspondientes a
los elementos aij , entonces
(i)|A| = ai1 αi1 + ai2 αi2 + ... + ain αin , para cada i = 1, 2, ..., n (desarrollo por la fila i)
(ii)|A| = a1j α1j + a2j α2j + ... + anj αnj , para cada j = 1, 2, ..., n (desarrollo por la columna
j)
1 4 3
Ejemplo 1.65 Calcule el determinante de la matriz A = 2 0 4 .
4 1 5
En general, el mejor camino para calcular determinantes de matrices grandes consiste en
realizar primeramente todas las operaciones por filas y columnas que se puedan efectuar para
introducir en la matriz elementos iguales a cero. Luego se procede al desarrollo con respecto a
la fila o columna que tenga la mayor cantidad de ceros.
Ejemplo 1.66 Calcule |A| =
4
1
1
8
3
2
2
2
0
3
4 −1
6
1
1 −5
Para el trabajo con matrices adjuntas pueden ser útiles las siguientes propiedades
1. Adj(AB) = Adj(B).Adj(A)
2. Adj(kA) = k n−1 Adj(A), k escalar.
3. (Adj(A))t = Adj(At )
4. (Adj(A))−1 = Adj(A−1 )
5. |Adj(A)| = |A|n−1
1.9 Matrices particionadas
Consideremos la matriz
1 6
8
9 1 −4
2 0 −1 0 4 5
.
4
5
3
2
6
9
A=
9 −2 1 −3 7 2
6 0
7
6 8 1
17
Supongamos que podemos trazar líneas entre ciertas filas y columnas como en
..
1
6
8
9
.
1 −4
..
2
0
−1
0
.
4
5
..
5
3
2
.
6
9
A= 4
··· ··· ··· ··· ··· ··· ···
..
9
−2
1
−3
.
7
2
..
6
0
7
6
.
8
1
Cada uno de los arreglos de números en las 4 secciones de A producidas por el trazo de líneas
es una matriz
1 6
8 9
1 −4
5 ,
A11 = 2 0 −1 0 , A12 = 4
3 2 6
9 4 5
9 −2 1 −3
7 2
A21 =
y A22 =
.
6
0 7
6
8 1
De esta manera, la matriz A puede ser escrita como una matriz de matrices
A11 A12
A=
A21 A22
(1.2)
Esta especificación de A es llamada una partición de A, y las matrices A11 , A12 , A21 y A22 se
dicen que son submatrices de A; además A de (1.2) es llamada una matriz particionada.
Observaciones.
1. A11 y A21 tienen el mismo número de columnas, como A12 y A22 . De igual modo A11 y
A12 tienen el mismo número de filas, como A21 y A22 .
2. La partición no es restringida a dividir una matriz justo en 4 submatrices, puede ser
dividida en numerosas filas y columnas de matrices, por ejemplo
1
2
···
A= 4
···
9
6
6
8
9
0
···
−1 0
··· ···
5
···
3
···
−2
1
0
7
2
···
..
.
..
.
···
..
.
···
.
−3 ..
..
6
.
1
−4
7
5
···
A01 A02
A03 A04 ,
=
9
A21 A22
···
2
8
1
4
···
6
···
donde A21 y A22 es como en el caso anterior, y
1 6 8 9
1 −4
A01 =
, A02 =
,
2 0 −1 0
4 5
A03 = 4 5 3 2 , A04 = 6 9 .
Luego no existe una forma única de particionar una matriz.
18
3. Una partición de una matriz A no puede ser de la forma
..
. ··· ··· ···
..
.
·
·
·
·
·
·
·
·
·
..
..
A=
.
.
..
. ···
··· ··· ··· ···
..
.
4. Si A = (aij )m×n entonces una partición de A es dada por
Kp×q
Lp×(n−q)
A=
M(m−p)×q N(m−p)×(n−q)
donde K, L, M y N son las submatrices con sus ordenes mostrados como subíndices.Luego
podemos decir que la matriz A = (aij )m×n puede ser particionada en p filas y q columnas
de submatrices como
A11 A12 · · · A1q
A21 A22 · · · A2q
A = ..
..
..
.
.
.
.
.
.
A1p A2p · · · Apq
donde Aij es la submatriz en la i−ésima fila y la j−ésima columna de submatrices. Si
la la i−ésima fila de submatrices tiene mi filas de elementos y la j−ésima columna de
submatrices tiene nj columnas, entonces Aij tiene orden mi × nj , donde
p
X
mi = m y
i=1
p
X
nj = n.
j=1
1.9.1 Transpuesta de una matriz particionada
La traspuesta de una matriz particionada es la matriz transpuesta de la trans-puesta de las
submatrices. Así tenemos que
t t
A11
t
A = A11 A12 =
At12
y
t
t
B11
B21
B11 B12 B13
t
t
B22
.
Bt =
= B12
B21 B22 B23
t
t
B13 B23
3 2
3 7 5
Por ejemplo, si A =
entonces At = 7 0 . Por otro lado, si particionamos la
2 0 6
5 6 3
7 5
.
.
matriz A de la forma A = A11 . A12 , con A11 =
y A12 =
tenemos que
2
0 6
3
2
!
t
.
t At · · · · · ·
3 .. 7 5
.
t
11
.
.
A =
= A11 . A12
=
=
t
..
7
A
0
12
2 . 0 6
5
6
t
19
1.9.2 Suma de matrices particionadas
Sean A, B matrices de orden m × n, si por ejemplo, las particionamos en la forma
A11 A12
B11 B12
A=
y B=
,
A21 A22
B21 B22
de manera que para cada i, j = 1, 2, Aij y Bij tienen el mismo orden. Entonces la matriz suma
C = A + B es
C11 C12
,
C=
C21 C22
con Cij = Aij + Bij para i, j = 1, 2.
1.9.3 Producto de matrices particionadas
Las matrices particionadas pueden ser multiplicadas por la regla usual de multiplicación de
matrices (fila por columna), como si el bloque de entradas fueran escalares, tal que el producto
AB exista.
6
4
..
−2
2 −3
1 .
0 −4
1
.
1
−3
.
A
A
7
11
12
5
−2
.
3
−1
Ejemplo 1.67 Sean A =
· · · · · · · · · · · · · · · · · · = A21 A22 y B = · · · · · · =
−1
..
3
0 −4 −2 .
7 −1
5
2
B1
. Las cinco columnas de A son particionadas en un conjunto de 3 y 2 columnas resB2
pectivamente. Las 5 filas de B son particionadas en la misma forma, en un conjunto de 3 y 2
filas respectivamente. Decimos que las particiones de A y B están conformadas por bloques tal
que exista la multiplicación. Podemos mostrar que el producto ordinario AB puede ser escrito
como
−5
4
−6
A11 A12
B1
A11 B1 + A12 B2
2
AB =
=
=
··· ···
A21 A22
B2
A21 B1 + A22 B2
2
1
es importante que cada producto por bloques Aij Bi , i, j = 1, 2 sea escrito en ese orden, ya que
la multiplicación de matrices no es conmutativa.
En efecto
6 4
2 −3 1
15 12
−2 1
A11 B1 =
=
1 5 −2
2 −5
−3 7
0 −4
−1 3
−20 −8
A12 B2 =
=
3 −1
5 2
−8 7
6 4
0 −4 −2
−2 1 = 14 −18
A21 B1 =
−3 7
−1 3
7 −1
A22 B2 =
= −12 19
5 2
20
y
A11 B1 + A12 B2 =
15 12
2 −5
A21 B1 + A22 B2 =
14 −18
Luego
+
+
−20 −8
−5 4
=
−8 7
−6 2
−12 19 = 2 1
−5
4
−6
2
AB =
··· ···
2
1
Ejemplo 1.68 Dadas las matrices
1
3 2 1 −1
1
1 y B=
A= 4 1 2
0
3 3 3
0
0
4
3
5
5 −1
0
0
2
1
0 −7 −3
particionar adecuadamente A y B, según sea el caso, para calcular por bloques AB.
1.9.4 Inversa de una matriz particionada
Los próximos lemas ilustran el cálculo entre matrices inversas y particionadas.
A11 0
Lema 1.69 Sea A = (aij ) de orden n con ran (A) = n. Si A =
donde A11 y
0 A22
A22 son
cuadradas
tal que n
1 y n2 respectivamente
1 + n2 = n, entonces
−1
de rorden n
matrices
2
0
A
0
0
A
A
11
11
11
, r ∈ N, y A−1 =
, Ar =
.
A2 =
0 Ar22
0 A−1
0 A222
22
A11 A12
Lema 1.70 Si A =
donde A11 y A22 son matrices cuadradas de orden n1 y n2
0 A22
respectivamente tal que n1 + n2 = n, entonces
−1
−1
A11 −A−1
−1
11 A12 A22
A =
.
0
A−1
22
Ejemplo 1.71 Calcule B −1 , particionando adecuadamente la matriz B, si
1 4
3 5
1 5 −1 0
.
B=
0 0
2 1
0 0 −7 3
Ejemplo 1.72 Calcule la inversa de
3
7
0
A=
0
0
0
2
5
0
0
0
0
0
0
1
3
0
0
21
0
0
2
7
0
0
0
0
1
2
1
1
0
0
5
.
1
3
4
A11 012
Lema 1.73 Sea la matriz A = (aij ) de orden n, particionada en la forma A =
A21 A22
donde A11 y A22 son matrices cuadradas de orden n1 y n2 respectivamente tal que n1 + n2 = n.
Entonces
A−1
0
−1
11
A =
.
−1
−A−1
A−1
22 A21 A11
22
Ejemplo 1.74 Calcule la inversa de
3 0 0 0
2 0 0 0
1 1 0 10
0 0 3 6
1 0 0 5
A11 A12
Lema 1.75 Sea A = (aij )n×n =
, con ran (A) = n, donde A11 y A22 son matrices
A21 A22
cuadradas no singulares de orden n1 y n2 respectivamente tal que n1 + n2 = n. Entonces la
inversa de A en forma particionada es
B11 B12
−1
A =
,
B21 B22
5
3
A=
1
1
0
donde
−1
B11 = A11 − A12 A−1
22 A21
−1
−1
B12 = −A−1
A
A
−
A
A
A
12
22
21
12
11
11
−1
−1
−
A
A
A21
B21 = −A−1
A
A
21
11
12
22
22
−1
B22 = A22 − A21 A−1
,
11 A12
cuando esté asegurada la existencia de
A11 − A12 A−1
22 A21
1.9.5
−1
y A22 − A21 A−1
11 A12
−1
.
Determinante de una matriz particionada
Lema 1.76 Dadas las matrices cuadradas P , Q y R del mismo orden n. Probar que
P 0
Q R
= |P | |R| .
Ejemplo 1.77 Calcule el determinante de la matriz
3 8 7 0 0
1 2 4 0 0
−1 3 2 0 0
A=
a b c 1 2
m n l 4 5
p q r 3 2
(1.3)
0
0
0
.
3
4
1
Lema 1.78 Para las matrices cuadradas R y S, y del mismo orden. Se tiene que
0 R
−I S
= |R| ,
donde I es la matriz identidad. Análogamente
A11 A12
−I
0
22
= |A12 | .
(1.4)
Ejemplo 1.79 Calcule el determinante de la matriz
12 11 −9 1
−17
5
4 1
6
8
1 1
A=
−1
0
0 0
0 −1
0 0
0
0 −1 0
1
0
1
0
0
0
1
2
0
0
0
0
1.10 Descomposición de una matriz en matrices triangulares
1.10.1 La factorización LU
Una matriz A = (aij )m×n admite una ”factorización LU ” si ella puede ser escrita en la forma
A = LU , donde L es una matriz triangular inferior de orden m × m con unos en la diagonal, y
U es triangular superior. Así por ejemplo, una factorización de A se puede escribir de la forma
1 0 0 0
∗ ∗ ∗ ∗
∗ 1 0 0 0 ∗ ∗ ∗
A=
∗ ∗ 1 0 0 0 ∗ ∗ = LU.
∗ ∗ ∗ 1
0 0 0 ∗
Proposición 1.80 Si A es una matriz cuadrada de orden n tal que sus menores principales 1
Di , i = 1, 2, . . . , n − 1 son diferentes de cero, entonces se verifica que
A = LU
donde L es una matriz triangular inferior cuyos elementos de la diagonal principal son todos
igual a 1 y U es una matriz triangular superior.
Corolario 1.81 Si A es una matriz cuadrada de orden n con todos sus menores principales
Di , i = 1, 2, . . . , n − 1 diferentes de cero, entonces la factorización LU de la matriz A es única.
1 2 0
Ejemplo 1.82 Obtener la factorización de la matriz A = −1 3 1 .
0 5 1
1
1
1
2
Ejemplo 1.83 Obtener la factorización de la matriz A =
1
0
3 −1
1
3
0 −1
.
1
1
1
5
Observaciones.
1
Se denomina menor principal Di , i = 1, 2, · · · , n − 1 de una matriz A = (aij ), i, j = 1, 2, · · · , n − 1, a
Di =
a11
a21
..
.
a12
a22
..
.
ai1
ai2
23
···
···
..
.
···
a1i
a2i
..
.
aii
.
• Nótese que L es una matriz triangular inferior con unos en la diagonal. Esto es posible
gracias a que no se realizan permutaciones de filas ni multiplicación de filas por constantes.
• La factorización LU no siempre es posible, por ejemplo la matriz
0 2 3
A= 2 1 4
3 1 1
no es factorizable, ya que D1 = 0.
• La factorización del ejemplo 1.36 (del mismo modo el ejemplo 1.37) se puede resolver
planteando y resolviendo la siguiente igualdad
1 2 0
1 0 0
1 2 0
A = LU ⇔ −1 3 1 = a 1 0 0 x y .
0 5 1
b c 1
0 0 z
• Cuando la matriz A no es cuadrada, entonces para encontrar L hallamos el rango columna
de A y para determinar U , calculamos el rango fila de A.
Ejemplo 1.84 Obtener la factorización LU de la matriz
2 −1
3
1
3
2
2
0
.
A=
−1
2
1
1
4
2 −2 −1
Ejemplo 1.85 Encontrar una factorización de
2
4 −1
5 −2
−4 −5
3 −8
1
.
A=
2 −5 −4
1
8
−6
0
7 −3
1
La razón para considerar una factorización A = LU , es que podemos resolver de manera rápida
el sistema de ecuaciones lineales Ax = B, siempre que L y U son conocidas. Si escribimos
Ax = B como LU x = B y si denotamos U x por y, entonces podemos escribir x resolviendo el
par de ecuaciones
Ly = B
.
Ux = y
Primero resolvemos Ly = B para y, y entonces resolvemos U x = y para x. Cada ecuación es
fácil de resolver porque L y U son matrices triangulares.
Ejemplo 1.86 Podemos verificar que
3 −7 −2
2
1
0 0
−3
−1
5
1
0
1 0
=
A=
6 −4
0 −5
2 −5 1
−9
5 −5 12
−3
8 3
0
3 −7 −2
2
0
2
0 −2 −1
= LU
0 0
0 −1
1
1
0
0
0 −1
Use esta factorización LU de A para resolver Ax = B, con B =
24
−9 5 7 11
t
.
Un algoritmo de factorización LU
Supongamos que A puede ser escalonada U usando sólo operaciones fila, en la cual un
múltiplo de una fila es adicionada a otra fila debajo de ella. En este caso existen matrices
elementales triangulares inferiores E1 , E2 , . . . , Ep tal que
Ep · · · E2 E1 A = U
entonces podemos escribir
donde
(1.5)
A = (Ep · · · E2 E1 )−1 U = LU
L = (Ep · · · E2 E1 )−1 .
(1.6)
Podemos mostrar que productos e inversas de matrices triangulares inferiores es también triangular inferior. De esta manera L es triangular inferior. De ahí, U es triangular superior porque
ella está en la forma escalonada. Observe que las operaciones fila en (1.5), el cual reduce a A
en U , también reduce L en (1.6) a I porque
Ep · · · E2 E1 L = (Ep · · · E2 E1 ) (Ep · · · E2 E1 )−1 = I.
Esta observación es la clave para encontrar L.
Estrategia para una factorización LU
1. Reducir A a una forma escalonada U por una sucesión de operaciones elementales fila, si
es posible.
2. Ubicar las entradas en L tal que la misma sucesión de operaciones fila reduce L a I. El paso
1 no siempre es posible, pero si ella existe, el argumento de arriba muestra la existencia
de una factorización LU . En el ejemplo siguiente mostraremos como implementar el paso
2, por construcción, L satisfará
Ep · · · E2 E1 L = I
usando las mismas E1 , E2 , · · · , Ep . Así L es debe ser inversible, por el teorema de la matriz
inversible, con (Ep · · · E2 E1 ) = L−1 . De A = LU , L−1 A = U . Así el paso 2 produce una
L aceptable.
1 2
3
1 .
Ejemplo 1.87 Obtener la factorización LU de la matriz A = 4 2
3 1 −1
1.11
Inversas Generalizadas
1.11.1 La inversa de Moore-Penrose
Dada una matriz A, entonces existe una única matriz M tal que satisface las siguientes
condiciones
1. AM A = A
2. M AM = M
3. AM es simétrica
25
4. M A es simétrica. Una forma de escribir M es basada en la factorización de A = (aij )p×q
como LU , donde L y U tienen rango columna y fila completa respectivamente, igual al
rango de A. Entonces
−1 t
M = U t Lt AU t
L.
Es fácil verificar que A y M satisface las cuatro ecuaciones. La matriz M es conocida
como la inversa de Moore-Penrose de A.
1 0 −1 1
2 2 .
Ejemplo 1.88 Halle la inversa de Moore-Penrose de A = 0 2
−1 4
5 3
Ejemplo 1.89 Halle la inversa de Moore-Penrose, de la matriz
1 2
5
2
4 .
A = 3 7 12
0 1 −3 −2
1
2 4
3
Ejemplo 1.90 Dada la matriz A = 3 −1 2 −2 .
5 −4 0 −7
1. Obtener la factorización de la matriz A, es decir, A = LU .
2. Halle la inversa de Moore-Penrose de A.
26
1.12 Ejercicios
1. Determinar el valor de verdad de las siguientes afirmaciones, justificando debidamente su
respuesta.
(a) ¿Es det (αA) = α det (A) para toda matriz A = (aij )n×n ?
(b) Sean A = (aij )n×n y B = (bij )n×n . Entonces det (A · B) = det (A) · det (B).
2. Determinar la matriz A, triangular superior que satisface
1/4 3/2
t
A BA =
Bt
3/2 13
siendo B una matriz simétrica, inversible tal que AB = BA.
1
3
3
3. Dada la matriz A = −2 −5 −3 . Halle |A|, Adj (A) y A−1 .
0 −2
5
4. Determinar el valor de verdad de las siguientes afirmaciones, justificando debidamente su
respuesta
(a) Si AB = I = CA entonces B = C
(b) Sean A = (aij )n×n y B = (bij )n×n . Entonces det (A + B) = det (A) + det (B).
5. Si A = (aij ) donde aij =
4 − (i + j) , i < j
j − i − 1, i ≥ j
i, j = 1, 2, 3 . Hallar tr (A − I).
a p q
r a s , es una matriz diagonal, calcular Ak , para k ∈ Z+ .
6. Si A =
u v a
1 1 −1
3 .
7. Consudere la matriz A = 2 1
3 3
1
(a) Halle la inversa de A, usando la matriz adjunta.
(b) Usando el punto anterior, resuelva el sistema
x+y−z =0
2x + y + 3z = 9
3x + 3y + z = 6
8. Probar que si A y B son anti-simétricas, entonces A + B y αA son antisimétricas, para
todo escalar α.
9. Probar que para toda matriz A, n × n, A + At es simétrica y A − At es antisimétrica.
10. Probar que toda matriz cuadrada A puede ser escrita como la suma de uma matriz
simétrica y uma anti-simétrica. (Sugerencia. Observe el resultado de la suma de A + At
con A − At .)
27
11. Ya vimos que el producto de matrices no es conmutativo. Sin embargo, ciertos conjuntos
de matrices son conmutativos. Probar que
(a) Si D1 y D2 son matrices diagonales n × n, entonces D1 D2 = D2 D1 .
(b) Si A es una matriz n × n y B = a0 In + a1 A + a2 A2 + · · · + ak Ak ; donde a0 , . . . , ak
son escalares, entonces AB = BA.
(a) Probar que si A es una matriz m × n tal que AX = 0, para toda matriz X, n × 1,
entonces A = 0.
(b) Sean B y C matrices m × n, tales que BX = CX, para todo X, n × 1. Probar que
B = C. (Sugerencia: Use el item anterior.)
12. Probar que la matriz identidad In es la única matriz tal que AIn = In A = A para cualquier
matriz A, n × n. (Sugerencia: Sea Jn una matriz tal que AJn = Jn A = A. Mostrar que
Jn = In .)
13. Si AB = BA y p es un entero positivo, probar que (AB)p = Ap B p .
14. Sean A, B y C matrices n × n.
(a) ¿(A + B)2 = A2 + 2AB + B 2 se cumple si AB = BA? Justifique.
(b) (AB)C = C(AB) si AC = CA y BC = CB. Justifique.
15. Si A y B son dos matrices tales que AB = 0, entonces A = 0 o B = 0 . Justifique.
16. Si AB = 0, entonces BA = 0. Justifique.
17. Si A es una matriz tal que A2 = 0, entonces A = 0. Justifique.
18. Para I y J de orden n, y para p, q, r, s ∈ R con p 6= 0 y p + qn 6= 0 :
(a) Escribir pI + qJ de orden 4.
(b) |aI2 + bJ2 | = a (a + 2b) .
(c) Mostrar que (pI + qJ) (rI + sJ) = prI + (ps + qr + nqs) J.
1
q
1−
J .
(d) Simplificar (pI + qJ)
p
p + qn
(e) Explicar porqué JXJ = x.. J.
(f) Probar que I − J n es idempotente, pero I − J no.
(g) Para at de orden n mostrar que |λI + 1at | = λn−1 (λ + at 1).
(h) Probar |aIn + bJn | = an−1 (a + bn) .
19. Probar que P 2 es una matriz de probabilidad de transición, si P es una matriz de probabilidad de transición.
20. Probar las siguientes proposiciones.
(a) |J n | = 0.
(b) J 2n = nJ n .
(c) La matriz centralizante Cn satisface X t Cn X =
n
P
i=1
28
(xi − x)2 .
21. Resolver por el método de Gaus Jordan, los siguientes sistemas
x + y + 2z + 3w = 1
3y + 3z + 3w = 0
−2x − y − 4z − 2w = 0
x+y−z−w =2
a.)
b.)
3x
+
3y
+
7z
+
10w
=
6
2x + 3y + z + w = 5
x + 2y + 3z + 8w = 6
3x − 5y − z − w = −1
−x + y − z = 5
x + y + 2z + 3w = 1
y − z + 3w = 10
−2x − y − 4z − 2w = 0
c.)
d.)
x−z−w =5
3x + 3y + 7z + 10w = 6
x + 3w = 5
x + 2y + 3z + 8w = 6
3y + 3z + 3w = 0
−x + y − z = 5
x+y−z−w =2
y − z + 3w = 10
e.)
f.)
2x
+
3y
+
z
+
w
=
5
x−z−w =5
3x − 5y − z − w = −1
x + 3w = 5
22. Demuestre que el sistema de ecuaciones lineales
3x1 + 2x2 − 4x3 = a
−4x1 + x2 − x3 = b
7x1 + 12x2 − 22x3 = c
tiene infinitas soluciones si c = 5a + 2b.
23. Halle la relación entre las constantes a, b, c y d para que el siguiente sistema de ecuaciones
lineales sea compatible
x+z =a
y+z =b
.
x
+w =c
y+w =d
24. Dadas las matrices
1 2
0 0
1
−1 3
4
1
−2
A=
3 1
6 4
1
−1
0
−10
2
3
1 1 1
1
2 1 0 −1
C=
3 1 0
1
0 0 1
2
2
5
,
0
3
0
1
B=
2
0
0
1
3
0
1 −2 4
9
5 −1 0 −5
7
3 0
4
4 −3 1
6
(a) Particionar A y B en cuatro bloques y calcular A + B.
(b) Particionar A y B en seis bloques y calcular A − 2B.
(c) Particionar de forma adecuada A y C para calcular CA.
(d) Efectuar una partición diferente de la realizada en c) para calcular CB.
25. Hallar el valor de A−1 y |A|, si existe, particionando las siguientes matrices.
1
2 0
0
3 −2 0
0
.
(a) A =
0
0 1 −5
0
0 7
2
29
3
−1
0
(b) A =
0
0
0
1
0 0
5
0 0
0
1 2
0
4 3
0 −2 1
0
3 2
0
0
0
0
0
0
.
0
0
1
3
1 −2
26. Resolver el sistema de ecuaciones
x + 2y + 3z = 20
4x + 2y + z = −15 ,
3x + y − z = 5
usando la factorización LU.
30
0
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