Cálculo Diferencial e Integral: Thompson & Gardner

Cálculo
diferencial
e integral
Silvanus P. Thompson
Martin Gardner
Revisión técnica
María de la Paz Álvarez Scherer
Facultad de Ciencias, UNAM
MÉXICO • BOGOTÁ • BUENOS AIRES • CARACAS • GUATEMALA • MADRID • NUEVA YORK
SAN JUAN • SANTIAGO • SAO PAULO • AUCKLAND • LONDRES • MILÁN • MONTREAL
NUEVA DELHI • SAN FRANCISCO • SINGAPUR • ST. LOUIS • SIDNEY • TORONTO
Director general: Miguel Ángel Toledo Castellanos
Coordinadora editorial: Alejandra Martínez Ávila
Editor sponsor: Sergio López Hernández
Supervisor de producción: Zeferino García García
Diseño de portada: José Palacios Hernández
Traductora: María del Pilar Carril Villarreal
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL
Prohibida la reproducción total o parcial de esta obra,
por cualquier medio, sin la autorización escrita del editor.
DERECHOS RESERVADOS © 2012, respecto a la primera edición en español por:
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Delegación Álvaro Obregón
C.P. 01376, México, D.F.
Miembro de la Cámara Nacional de la Industria Editorial Mexicana, Reg. Núm. 736
ISBN: 978-607-15-0711-2
Translated from Calculus Made Easy,
Copyright 1998 by Martin Gardner, All rights reserved. For information,
address St. Martin Press, 175 Fifth Avenue,
New York, N.Y. 10010, U.S.A.
ISBN: 0-312-18548-0
1234567890
1345678902
Impreso en México
Printed in Mexico
Contenido
Acerca de los autores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . vii
Prólogo a la edición en español . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ix
Prefacio de la edición de 1998 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL (primera parte) . . . .
9
CAPÍTULO 1
¿Qué es una función? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
CAPÍTULO 2
¿Qué es un límite? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
CAPÍTULO 3
¿Qué es una derivada?. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL (segunda parte) . . . . 33
Nota del editor sobre la tercera edición . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
Prólogo
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
CAPÍTULO 1
Para librarte de los terrores preliminares . . . . . . . . . . 37
CAPÍTULO 2
Sobre los diferentes grados de pequeñez . . . . . . . . . . 38
CAPÍTULO 3
Sobre el crecimiento relativo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
CAPÍTULO 4
Los casos más sencillos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
CAPÍTULO 5
La etapa siguiente: qué hacer con las constantes . . . . 50
CAPÍTULO 6
Sumas, diferencias, productos y cocientes . . . . . . . . . 57
CAPÍTULO 7
Derivación sucesiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
CAPÍTULO 8
Cuando el tiempo varía . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
CAPÍTULO 9
Presentación de un truco útil . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
CAPÍTULO 10
Significado geométrico de la derivada . . . . . . . . . . . . 91
vi
Contenido
CAPÍTULO 11
Máximos y mínimos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
CAPÍTULO 12 Curvatura de las curvas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
CAPÍTULO 13 Fracciones parciales y funciones inversas . . . . . . . . . . 118
CAPÍTULO 14 Sobre el verdadero interés compuesto y la ley
de crecimiento orgánico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
CAPÍTULO 15 Cómo ocuparse de senos y cosenos . . . . . . . . . . . . . . 149
CAPÍTULO 16 Derivación parcial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
CAPÍTULO 17 Integración . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
CAPÍTULO 18 Integración como inverso de la derivación . . . . . . . . 166
CAPÍTULO 19 Búsqueda de áreas mediante la integración . . . . . . . . 176
CAPÍTULO 20 Métodos, escollos y triunfos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188
CAPÍTULO 21 Búsqueda de soluciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195
CAPÍTULO 22 Un poco más sobre la curvatura de las curvas . . . . . . 206
CAPÍTULO 23 Cómo calcular la longitud de un arco
en una curva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217
Epílogo y apología . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227
APÉNDICE A
Algunos problemas recreativos relacionados
con el cálculo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228
APÉNDICE B
Una tabla útil de logaritmos neperianos . . . . . . . . . . 247
APÉNDICE C
Respuestas a ejercicios selectos . . . . . . . . . . . . . . . . . 248
APÉNDICE D
Fórmulas de integración estándares. . . . . . . . . . . . . . 261
ÍNDICE ANALÍTICO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265
Acerca de los autores
Hijo de un profesor, Silvanus Phillips hompson nació en 1851, en York, Inglaterra. Fue presidente de la Institution of Electrical Engineers, elegido miembro
de la Royal Society en 1891, fungió como presidente de varias sociedades científicas y recibió muchas distinciones y grados extranjeros.
Escribió numerosos libros técnicos y manuales sobre electricidad, magnetismo, dinamos y óptica. También fue autor de biografías populares de los científicos Michael Faraday, Philipp Reis y lord Kelvin.
Cuáquero devoto y caballero templario activo, escribió dos libros sobre su fe:
he Quest for Truth (1915) y A Not Impossible Religion (publicado póstumamente
en 1918).
También fue un conferencista popular, lo mismo que un diestro pintor de
paisajes. Murió en 1916.
Martin Gardner nació en 1914 en Tulsa, Oklahoma y fue hijo de un geólogo
petrolero. Obtuvo el grado de licenciatura en filosofía por la Universidad de Chicago en 1936. Sus primeros empleos fueron como reportero del Tulsa Tribune,
redactor de la oficina de relaciones con la prensa de la Universidad de Chicago
y trabajador social de la Administración de Ayuda de la ciudad en la franja sur
de Chicago, conocida como Black Belt por su población negra. Después de pasar
cuatro años en la marina, empezó a trabajar por su cuenta con la venta de obras
de ficción a Esquire. En la ciudad de Nueva York trabajó ocho años como editor
y colaborador de Humpty Dumpty’s Magazine, antes de empezar una racha de
veinticinco años en Scientific American como autor de la columna “Mathematical
Games” de la revista.
Es autor de más de sesenta libros, la mayoría de ellos sobre matemáticas y
ciencia. Entre las condecoraciones que recibió figuran dos doctorados honoríficos
y varios premios por sus textos de matemáticas (fundamentalmente, de matemática recreativa) y ciencia. Murió en 2010.
Prólogo a la edición en español
Prologar un libro como el que tienes ahora en las manos no es tarea fácil. Para
empezar, el que a un siglo de su primera edición (1910) tenga más de un millón
de ejemplares vendidos es su mejor presentación. Para seguir, precisamente por
tener más de 100 años está marcado por la polémica de su época y, más aún, está
teñido de cierta exageración comprensible viniendo de alguien que, con claridad,
estaba vehementemente involucrado en el centro mismo de la discusión sobre la
enseñanza del cálculo. Por último, y no por ello menos importante, este texto ha
tenido ya dos revisores de mucho prestigio: F. G. W. Brown y Martin Gardner.
En la nota introductoria de la edición de 1945 se dice, textualmente, “(…)
en estos 26 años ha habido muchos progresos y los métodos usados en 1919 no
son como los empleados en 1945(…)”. Imagine el lector lo que ha evolucionado
tanto la enseñanza del cálculo como los métodos de esta disciplina en los más
de 100 años que nos separan de la primera edición de la obra. El propio Martin
Gardner agregó en 1998 tres capítulos preliminares para subsanar algunos de
estos problemas.
Aun así, hay varios párrafos en que se antojaba introducir un comentario
o incluir una nota al calce. Sin embargo, pocas veces lo hicimos así en aras de
respetar las revisiones realizadas previamente al libro. Además, de ese modo hacemos un llamado a los estudiantes y profesores que utilicen este texto a que sean
críticos, a que no se conformen con una sola versión, a que busquen en otros
medios.
Al respecto, hemos incluido llamadas de atención (una señal de terreno resbaladizo como la que aparece en el costado) en los conceptos o notas que, a nuestro
juicio, son poco precisas o presentan alguna formulación que puede mejorarse.
Otra tentación que evitamos –con mucho trabajo, habría que decir– fue entrar en polémica con el autor acerca de su concepción de la enseñanza del cálculo.
Sin embargo, no podemos dejar de señalar que el cálculo no es una caja de trucos
que se usan para resolver problemas, como expresa hompson (acaso con ironía).
El cálculo es una de las creaciones más poderosas de la humanidad y cada una de
sus técnicas y resultados forman parte de un sólido cuerpo teórico.
No se trata de que propongamos inundar a los estudiantes de bachillerato
con formalismos. El aprendizaje del cálculo (y, más en general, de las matemáticas) no se basa en la presentación (por más clara que sea esta) de conceptos, de
su significado, de sus aplicaciones; sólo al ponerlos en práctica se logra saber si
realmente se aprendió o si hace falta consultar otros libros, tener asesorías. Lo
fundamental será, siempre, en el trabajo individual o en equipo explorar, conjeturar, proponer nuevas formas de resolver los problemas.
Además de que en una gran cantidad de estudiantes el mundo sigue acudiendo a este texto para entender el cálculo, un aspecto central para realizar esta edición en español fue la opinión que vertieron profesores de cálculo de bachillerato
después de revisar la obra en inglés:
x
Prólogo a la edición en español
Debo mencionar que el enfoque que da el autor es el de los infinitésimos y desarrolla la mayoría de los temas sin utilizar el concepto de límite, lo cual implica
una sencillez importante en algunas de las demostraciones más complejas del
cálculo.
Las demostraciones son claras y consta de aplicaciones variadas; además, entra
en detalle en la interpretación de los resultados.
Este texto trata los temas sin excederse en el rigor que puede resultar agresivo a
un alumno de bachillerato.
Tiene la gran ventaja, sobre otros textos, de ser menos abrumador por el número de páginas y de ser menos denso.
Contiene todos los conceptos básicos del cálculo diferencial e integral presentados de una forma muy clara y muy bien ejemplificada.
No existe, hasta donde recuerdo, un libro tan bien hecho para el buen aprendizaje del cálculo.
Finalmente, serás tú, profesor, estudiante, quien decida si este es el libro que
necesitabas.
Ma. de la Paz Álvarez Scherer
Coyoacán, 2012
Prefacio de la edición de 1998
Los cursos de introducción al cálculo se imparten hoy en día a alumnos de preparatoria y a estudiantes de primer año de ciertas carreras universitarias. Para
quienes aspiran a ser matemáticos o desean dedicarse a profesiones que requieren
conocimientos de cálculo, esos cursos son el obstáculo más difícil que han de
superar. La investigación demuestra que casi la mitad de los estudiantes universitarios de primer año que toman un curso de cálculo no lo aprueban. Los que
reprueban casi siempre abandonan sus planes de especializarse en matemáticas,
física o ingeniería, tres campos en los que el cálculo avanzado es esencial. Incluso
pueden optar por no dedicarse a profesiones como la arquitectura, las ciencias de
la conducta o las ciencias sociales (en especial, economía), en las que el cálculo
resulta útil. Se apartan de un camino que temen será muy difícil para inclinarse
hacia carreras que consideran más accesibles.
Una de las razones de este alto índice de abandono es que la enseñanza introductoria del cálculo es muy deficiente. Las clases tienden a ser tan aburridas que
a veces los estudiantes se quedan dormidos. Por añadidura, cada año los libros de
cálculo son mucho más voluminosos y contienen más y más láminas de todos los
colores, gráficas hechas en computadora y fotografías de matemáticos eminentes
(para empezar, de Newton y Leibniz); no obstante, nunca parecen ser más fáciles
de comprender. Uno los hojea buscando en vano una exposición clara y sencilla y
problemas que despierten verdaderamente el interés. Los ejercicios tienen, como
alguna vez dijo un matemático, “la dignidad de resolver crucigramas”.
Los libros de cálculo modernos a menudo contienen más de mil páginas (son
suficientemente pesados para usarlos como tope de puertas) ¡y más de mil pavorosos ejercicios! Sus precios se acercan a paso veloz a los 100 dólares.
“¿Por qué los libros de cálculo pesan tanto?”, preguntó Lynn Arthur Steen
en un ensayo titulado “Veinte preguntas para reformadores de la enseñanza del
cálculo” que se reproduce en Toward a Lean and Lively Calculus (Mathematical
Association of America, 1986), editado por Ronald Douglas. Porque, responde,
“la economía de la edición obliga a los autores [. . .] a incluir cualquier tema
que alguien pudiera necesitar, de modo que nadie objetará el libro porque omite un tema específico. El resultado es un compendio enciclopédico de técnicas,
ejemplos, ejercicios y problemas que se parece más a un cuaderno de trabajo
excesivamente voluminoso que a una introducción a una maravillosa rama de las
matemáticas que estimule el intelecto”.
“La enseñanza del cálculo es una vergüenza nacional”, afirmó después Steen,
matemático del St. Olaf College. “Es muy común que profesores inexpertos enseñen cálculo a estudiantes mal preparados en un entorno que no cuenta con
suficiente retroalimentación.”
2
Prefacio de la edición de 1998
Leonard Gillman, en un artículo titulado “he College Teaching Scandal”
(Focus, vol. 8, 1988, pág. 5), afirmó: “La enseñanza del cálculo ha sido abominable desde hace muchos años, y dada la inercia de nuestra profesión, puede seguir
así por muchos años más”.
Se dice que el cálculo es el tema que a los matemáticos más les encanta odiar.
Cabe esperar que esto sea verdad sólo en lo que se refiere a los maestros que no
aprecian el enorme poder y la belleza de esta materia. Howard Eves, autor de
Great Moments in Mathematics y un matemático que disfrutaba mucho enseñar
cálculo, escribió lo siguiente:
Sin duda, no existe ningún otro tema en los primeros cursos universitarios de
matemáticas cuya enseñanza sea más emocionante o más divertida que el cálculo. Es como ser el maestro de ceremonia de un gran circo de tres pistas. Se dice
que uno puede reconocer a los estudiantes universitarios que han estudiado
cálculo porque no tienen cejas. Como reacción de absoluto asombro ante la increíble aplicabilidad de la materia, las cejas de esos estudiantes han retrocedido
cada vez más hasta desaparecer finalmente en su nuca.
En los últimos años ha habido un clamor general en los círculos matemáticos
para mejorar la enseñanza del cálculo. Se han celebrado innumerables conferencias, muchas financiadas por el gobierno. Se han puesto en práctica docenas de
programas experimentales por doquier.
Algunos líderes de la reforma de la enseñanza del cálculo afirman que a medida que los libros de texto se hacen cada vez más y más voluminosos la necesidad
del cálculo avanzado va disminuyendo. En su popular Introduction to the History
of Mathemathics, Eves escribe con tristeza: “En la actualidad, una gran parte de
las matemáticas tiene muy poca o ninguna conexión con el cálculo y sus extensiones”.
¿Por qué? Una razón es evidente. ¡Las computadoras! Las computadoras modernas se han vuelto increíblemente rápidas y potentes. Las funciones continuas,
que alguna vez sólo podían manejarse con máquinas analógicas lentas, ahora pueden convertirse en funciones discretas que las computadoras digitales manejan
eficientemente mediante algoritmos.
Las calculadoras de mano llamadas graficadoras trazan al instante la gráfica de
una función demasiado compleja para dibujarla con lápiz en papel milimétrico.
La tendencia es alejarse de las matemáticas continuas para usar lo que solía denominarse matemáticas finitas, pero que hoy se designa más comúnmente como
matemáticas discretas.
Paulatinamente, el cálculo va dejándose de lado para dar cabida a la combinatoria, teoría de gráficas, topología, teoría de nudos, teoría de grupos, teoría
de matrices, teoría de números, lógica, estadística, ciencias de la computación y
muchos otros campos en los que la continuidad desempeña una función relativamente menor.
Las matemáticas discretas están por todas partes, no sólo en la esfera de las
matemáticas, sino también en la ciencia y la tecnología. La teoría cuántica está
plagada de ello. Ahora resulta que hasta el espacio y el tiempo se pueden “cuantizar”. La evolución funciona por saltos mutacionales discretos. En la industria de
Prefacio de la edición de 1998
la televisión se está sustituyendo la transmisión analógica continua por la transmisión digital discreta que mejora en gran medida la calidad de la imagen. La
forma más precisa de conservar una pintura o una sinfonía es convertirla en
números discretos que duran sin deteriorarse toda la eternidad.
Cuando estudiaba preparatoria tuve que dominar el cálculo de raíces cuadradas con papel y lápiz. Por fortuna, no me obligaron a resolver raíces cúbicas ni superiores. Hoy es difícil encontrar matemáticos que recuerden siquiera
cómo calcular una raíz cuadrada. ¿Por qué habrían de hacerlo? Pueden obtener
en menos tiempo la n-ésima raíz de cualquier número con sólo oprimir teclas en
menos tiempo de lo que les llevaría consultar un libro con tablas de raíces. Los
logaritmos, que en alguna época se usaron para multiplicar números enormes, se
han vuelto tan obsoletos como las reglas de cálculo.
Algo semejante está ocurriendo con el cálculo. Los estudiantes no comprenden por qué deben dominar métodos tediosos para derivar e integrar a mano
cuando una computadora puede hacerlo a la misma velocidad con que calcula
raíces o multiplica y divide números grandes.
Por citar un caso, Mathematica, un software que se usa mucho y que desarrolló Stephen Wolfram, obtiene la derivada, integra al instante y traza las gráficas
respectivas de cualquier problema de cálculo que probablemente exista en matemáticas o en ciencias.
En la actualidad, las calculadoras que derivan e integran cuestan menos que
la mayoría de los libros de cálculo. Se estima que más de 90% de los ejercicios
contenidos en esos voluminosos textos pueden resolverse con tales calculadoras.
Los líderes de la reforma de la enseñanza del cálculo no proponen que ya
no se enseñe cálculo; lo que recomiendan es dar menos importancia a la resolución de operaciones, cosa que las computadoras pueden hacer con mucha mayor
rapidez y precisión, y centrarse en comprender lo que hacen las computadoras
cuando responden a preguntas de cálculo. El conocimiento del cálculo es incluso
esencial para saber qué se puede pedir a una computadora.
Ante todo, los cursos de cálculo deben inculcar en los estudiantes la conciencia de la enorme riqueza y elegancia de esa disciplina. Sin embargo, aunque
hay muchísimas sugerencias para mejorar la enseñanza del cálculo, aún no se
ha alcanzado el consenso general. Varios matemáticos han propuesto introducir
el cálculo integral antes que el diferencial. Un ejemplo notable es Differential
and Integral Calculus (1936-1937), obra clásica, publicada en dos volúmenes, de
Richard Courant. Sin embargo, en vista de que derivar es mucho más fácil que
integrar, esta propuesta no se ha llevado a la práctica.
Varios reformadores de la enseñanza del cálculo, sobre todo homas W. Tucker
(véase su “Rethinking Rigor in Calculus”, en American Mathematical Monthly, vol.
104, marzo de 1997, págs. 231–240), han recomendado que en los textos se sustituya el importante teorema del valor medio (tvm) por el teorema de la función
creciente (tfc). (Véase mi nota al final del capítulo 10 de hompson, en la segunda
parte, acerca del teorema del valor medio.) El tfc postula que si la derivada del
intervalo de una función es igual o mayor que cero, la función es creciente en ese
intervalo. Por ejemplo, si el velocímetro de un automóvil siempre muestra un número igual o mayor que cero durante un intervalo de tiempo específico, entonces,
durante ese intervalo, el automóvil no está en movimiento o está avanzando.
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Prefacio de la edición de 1998
En términos geométricos, se dice que si la curva de una función continua,
durante un intervalo determinado, tiene una tangente horizontal o con pendiente ascendente, la función en ese intervalo no cambia o es creciente. Esta propuesta tampoco se ha puesto en práctica.
Muchos reformadores de la enseñanza del cálculo proponen sustituir los problemas artificiosos de los libros de texto tradicionales con problemas sobre aplicaciones del cálculo en probabilidad, estadística y ciencias biológicas y sociales.
Por desgracia, para los principiantes que todavía no han estudiado estas materias,
los problemas “prácticos” pueden resultar tan aburridos y tediosos como los artificiosos.
Los reformadores más radicales consideran que el cálculo ya no debe enseñarse en la preparatoria, ni siquiera en el primer año de las carreras universitarias, a
menos que los estudiantes hayan decidido seguir una en la que se requieran conocimientos de la materia. Además, hay opositores a la reforma que no ven nada
malo en cómo se ha enseñado tradicionalmente el cálculo, suponiendo, desde
luego, que lo enseñen maestros competentes.
En la edición de Science del 28 de febrero de 1992 se presentó una investigación acerca de Project Calc, un curso de cálculo basado en la enseñanza con
computadoras que se ofrece en la Universidad de Duke. Sólo 57% de los estudiantes prosiguió con un segundo curso, en comparación con 68% que continúa
después de tomar un curso más tradicional. A algunos alumnos les gustó el curso
experimental, pero a la mayoría no. Un estudiante lo llamó “la peor clase que he
tenido en mi vida”. Otro lo describió como “un enorme ejercicio de confusión”.
Science cita a otro más que dijo: “Envidio mucho a mis amigos que toman cálculo
normal. Haría cualquier cosa por haber tomado un curso de cálculo regular con
papel y lápiz”.
Se han emprendido esfuerzos para combinar las matemáticas continuas con
las discretas en una sola obra. Un ejemplo sobresaliente es Concrete Mathematics
(1984, revisado en 1989), entretenido libro de Ronald Graham, Donald Knuth
y Oren Patashnik. Los autores acuñaron el término concretas (refiriéndose a las
matemáticas) tomando con del principio de continuas y cretas del final de discretas. Sin embargo, incluso este estimulante texto presupone conocimientos de
cálculo.
William James, filósofo y psicólogo estadounidense, preguntó en una carta
de 1893 dirigida a heódore Flournoy, un psicólogo de Ginebra: “¿Puedes citar
un libro sencillo de cálculo diferencial que ayude a comprender la filosofía de la
materia?”
A pesar de la agitación actual por las nuevas maneras de enseñar cálculo, no
conozco ninguna obra que responda tan bien a la pregunta de James como la que
tienes en las manos. Se han emprendido esfuerzos semejantes, con títulos como
Calculus for the Practical Man, he ABC of Calculus, What Is Calculus About?, Calculus the Easy Way y Simplified Calculus. Todos ellos pecan de muy elementales o
muy avanzados. hompson dio con el justo medio.
Es verdad que este libro es anticuado, intuitivo y su orientación es tradicional. No obstante, ningún autor ha escrito sobre cálculo con mayor claridad y humor. hompson no sólo explica la “filosofía de la materia”, sino también enseña
a sus lectores a derivar e integrar funciones sencillas.
Prefacio de la edición de 1998
Silvanus Phillips hompson nació en 1851, hijo de un maestro de escuela en
York, Inglaterra. Desde 1885 hasta su muerte en 1916 fue profesor de física en el
City and Guilds Technical College, en Finsbury. Fue un prestigiado ingeniero
eléctrico, electo miembro de la Royal Society en 1891 y presidente de varias
sociedades científicas.
hompson escribió numerosos libros técnicos y manuales sobre electricidad,
magnetismo, dinamos y óptica, muchos de los cuales tuvieron varias ediciones.
También fue autor de biografías populares de los científicos Michael Faraday,
Philipp Reis y lord Kelvin. Cuáquero devoto y caballero templario activo, escribió dos obras sobre su fe: he Quest for Truth (1915) y A Not Impossible Religion
(publicado póstumamente en 1918). Fue un conferenciante muy solicitado y se
dice que era un pintor paisajista diestro. También escribió poesía.
En 1920, dos de sus cuatro hijas, Jane Smeal hompson y Helen G. hompson, publicaron un libro sobre su padre, titulado Silvanus Phillips hompson: His
Life and Letters.
La editorial Macmillan publicó Cálculo diferencial e integral por primera vez
en Inglaterra en 1910 bajo el seudónimo de F.R.S., iniciales que significan Fellow
of the Royal Society (miembro de la Real Academia). La identidad del autor se
reveló hasta después de su muerte. El libro se reimprimió tres veces antes de que
finalizara 1910. hompson hizo una revisión muy considerable en 1914 para
corregir errores y añadir material. La obra se revisó después y se amplió póstumamente en 1919, y de nuevo en 1945 por F.G.W. Brown. Algunas de estas adiciones posteriores, como el capítulo sobre fracciones parciales, son más técnicas que
los capítulos de la obra original de hompson.
Es curioso, pero la primera edición de hompson, con su gran sencillez y
claridad, se aproxima más en cierto sentido al tipo de libro introductorio que
recomiendan los reformadores de la enseñanza del cálculo que desean destacar
las ideas básicas de la disciplina y restar importancia a las tediosas técnicas de
resolución de problemas que hoy en día las computadoras resuelven en un abrir
y cerrar de ojos. Los lectores que deseen entender sólo lo esencial del cálculo
pueden omitir los capítulos más técnicos y no es necesario que se empeñen en
resolver todos los ejercicios. El libro nunca se ha descatalogado. St. Martin’s Press
publicó su edición rústica en 1970.
Casi todas las reseñas de la primera edición fueron favorables. Un crítico de
he Athenaeum escribió:
No es común que un crítico de publicaciones matemáticas tenga la fortuna de
leer un libro tan alegre y bullicioso como esta “introducción muy sencilla a los
bellos métodos de hacer cuentas que en general se denominan con los nombres
terroríficos de cálculo diferencial y cálculo integral ”. De hecho, los matemáticos
profesionales recibirán con mucho agrado este libro, tan ortodoxo en su enseñanza y tan vigoroso en su exposición.
El profesor E.G. Coker, un colega, afirmó en una carta a hompson:
Me complace mucho saber que probablemente su pequeño libro de cálculo se
pondrá a la disposición del público en general. Como usted sabe, he enseñado
los elementos de esta materia en cursos iniciales desde hace algunos años y no
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Prefacio de la edición de 1998
conozco ningún otro libro tan bien adaptado que presente las ideas fundamentales. Uno de los grandes méritos de su obra es que descorre el velo de misterio
con el que los matemáticos profesionales envuelven la materia. Estoy seguro de
que su pequeño texto, con su exposición plena de sentido común al tratar las
ideas elementales del cálculo, será un gran éxito.
Muchos matemáticos y científicos preeminentes han aprendido cálculo con
el libro de hompson. Morris Kline, autor de una obra imponente sobre cálculo,
siempre lo recomendó como el mejor texto que podría ofrecerse a un estudiante
de preparatoria que quisiera aprender esa materia. El finado economista y especialista en estadística Julian Simon me envió un ensayo, aún inédito, titulado
“Why Johnnies (and Maybe You) Hate Math and Statistics”. Dedica grandes
elogios al libro de hompson:
La obra de Silvanus hompson ha sido denostada por todo matemático profesional al que he preguntado por ella. Por tanto, hasta donde yo sé, no se usa en
ningún curso de cálculo en lado alguno. No obstante, casi un siglo después de
su primera publicación, sigue vendiéndose como pan caliente en ediciones rústicas hasta en las librerías universitarias. Enseña un sistema de aproximación que
aclara a la perfección la idea central del cálculo; esa idea es extraordinariamente
difícil de comprender usando el elegante método de los límites que siguen los
matemáticos.
Más adelante, Simon señala:
Pregunta: ¿por qué los chicos de preparatoria y universidad no aprenden cálculo
a la manera de hompson? Respuesta: el sistema de hompson tiene un defecto
fatal irremediable: es feo a los ojos de los matemáticos de talla mundial que establecen las normas de cómo debe enseñarse las matemáticas en todos los niveles;
los maestros comunes y corrientes de preparatorias y universidades y, en última
instancia, sus alumnos, están sujetos a esta hegemonía de los gustos estéticos de
los grandes. hompson simplemente evita los mecanismos de deducción que
cautivan a los matemáticos con su belleza y elegancia.
Mencioné antes un libro titulado Toward a Lean and Lively Calculus, que
contiene ensayos de matemáticos que participaron en un congreso en 1986 en la
Universidad de Tulane sobre cómo mejorar la enseñanza del cálculo. La mayoría
de los colaboradores solicitan reducir las técnicas para resolver problemas, destacar la comprensión de las ideas, integrar el cálculo con el uso de calculadoras y
reducir el tamaño de los libros de texto para ofrecer volúmenes más esbeltos y estimulantes. Ahora bien, la introducción más esbelta y estimulante al cálculo que
se haya escrito es Cálculo diferencial e integral, de hompson; sin embargo, Peter
Renz fue el único matemático de la conferencia que tuvo el valor de elogiarlo y
mencionarlo como referencia.
Los dos conceptos más importantes en el cálculo son las funciones y los límites. Debido a que hompson supone más o menos que sus lectores comprenden
ambos, en los dos primeros capítulos de la primera parte he tratado de aclarar
qué significan. Además, agregué un breve capítulo sobre derivadas. Aquí y allá,
a lo largo del libro he insertado notas de pie de página donde me pareció que
Prefacio de la edición de 1998
podía decir algo de interés sobre el texto. Estas notas llevan las iniciales mg para
distinguirlas de las notas originales de hompson.
Donde hompson habla de la moneda británica, cambié los valores a dólares
y centavos. Actualicé la terminología. hompson emplea el término, hoy obsoleto, coeficiente diferencial. Lo cambié por derivada. El término integral indefinida
sigue empleándose, pero rápidamente está cediendo el paso a antiderivada, razón
por la que hice esta sustitución.
hompson siguió la práctica británica de elevar el punto decimal donde se
confunde fácilmente con el punto que representa la multiplicación. He bajado
cada uno de estos puntos para ajustarlo a la costumbre que se sigue en América.
Donde hompson usó un signo (ahora descartado) de factorial, lo cambié al conocido signo de exclamación. Donde hompson empleó la letra griega épsilon,
la cambié a la letra latina e. Donde hompson usó el símbolo loge, lo sustituí por
ln. Por último, en un apéndice extenso, reuní una variedad de problemas relacionados con el cálculo que tienen un aire recreativo.
Espero que mis revisiones y adiciones a esta nueva edición revisada de Cálculo
diferencial e integral faciliten aún más la comprensión de la materia, no sólo a los
estudiantes de preparatoria y universidad, sino también a los legos mayores que,
como William James, se interesan en saber de qué se trata el cálculo.
Casi todos los aspectos matemáticos se refieren a objetos estáticos, como
círculos, triángulos y números. Sin embargo, el gran universo que nos rodea, no
creado por nosotros, se halla en estado de cambio constante, como lo denominó
Newton. En cada microsegundo se convierte, como por arte de magia, en algo
diferente.
El cálculo es la matemática del cambio. Si el lector no es matemático o científico, ni se propone llegar a serlo, no hay necesidad de que domine las técnicas para
resolver a mano problemas de cálculo. Pero si evita adquirir cierta comprensión
de los fundamentos del cálculo, de lo que James llamó su filosofía, se perderá de
una gran aventura intelectual. Se perderá de un atisbo sumamente emocionante
a una de las creaciones más maravillosas y útiles de esas computadoras pequeñas
y misteriosas que tenemos en la cabeza.
Agradezco mucho a Dean Hickerson, Oliver Selfridge y Peter Renz por haber
revisado el manuscrito de este libro y haber hecho una multitud de correcciones
y sugerencias, todas ellas bien recibidas.
Martin Gardner
Enero de 1998
7
Cálculo diferencial e integral
[ Primera parte ]
Martin Gardner
Capítulo 1
¿Qué es una función?
Ningún concepto en matemáticas, en especial en cálculo, es más fundamental
que el de función. El término se usó por primera vez en una carta de 1673 escrita
por Gottfried Wilhelm Leibniz, el matemático y filósofo alemán que inventó el
cálculo independientemente de Isaac Newton. Desde entonces, el significado de
ese término ha pasado por una ampliación gradual.
En el cálculo tradicional una función se define como la relación entre dos
términos denominados variables precisamente porque sus valores varían. Representemos estos términos con x y y. Si cada valor de x se asocia exactamente con un
valor de y, se dice que y es una función de x. Se acostumbra usar x para designar la
variable independiente, y y para lo que se conoce como variable dependiente, pues
su valor depende del valor de x.
Como hompson explica (véase el capítulo 3 de la segunda parte), las últimas
letras del alfabeto se aplican tradicionalmente a las variables y el resto (en general,
las primeras, como a, b, c, . . .) a las constantes. Las constantes son términos de
una ecuación que tienen valor fijo. Por ejemplo, en y = ax + b, las variables son
x y y, mientras que a y b son las constantes. Si y = 2x + 7, las constantes son 2 y
7. Permanecen sin cambio aunque x y y varíen.
Un ejemplo sencillo de una función geométrica es la dependencia que tiene
el área de un cuadrado de la longitud de sus lados. En este caso, la función se
conoce como función inyectiva (o uno a uno), ya que la dependencia es mutua. El
lado de un cuadrado es también una función de su área.
El área de un cuadrado es la longitud de su lado multiplicado por sí mismo.
Para expresar el área como función del lado, representemos con y el área y con x el
lado, y entonces escribimos y = x2. Desde luego, se supone que x y y son valores
positivos.
Un ejemplo un tanto más complicado de una función inyectiva es la relación del
lado de un cuadrado con su diagonal. La diagonal de un cuadrado es la hipotenusa
de un triángulo rectángulo isósceles. Por el teorema de Pitágoras, sabemos que el
cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados
(catetos). En este caso, los lados son iguales. Para expresar la diagonal como función
del lado del cuadrado, sea y la diagonal y x el lado, y escribimos y = 2 x 2 , o de
modo más sencillo, y = 2. Para expresar el lado como función de la diagonal, sea
y el lado y x la diagonal, escribimos y = x 2/2 , o de modo más sencillo, y = x Ⲑ 2 .
La forma más común de denotar una función es sustituir y, la variable dependiente, por f (x) (se usa f porque es la primera letra de la palabra función). Por
12
Cálculo diferencial e integral (primera parte)
tanto, y = f (x) = x2 significa que y, la variable dependiente, es el cuadrado de x.
En lugar de escribir, por ejemplo, y = 2x – 7, escribimos y = f (x) = 2x – 7. Esto
significa que y, una función de x, depende del valor de x en la expresión 2x – 7.
En esta forma la expresión recibe el nombre de función explícita de x. Si la
ecuación tiene la forma equivalente de 2x – y – 7 = 0, se denomina función implícita de x porque la ecuación implica la forma explícita. Se obtiene fácilmente de
la ecuación con sólo reorganizar los términos. A menudo se usan otros símbolos
en lugar de f (x).
Si deseamos dar valores numéricos a x y y en el ejemplo y = f (x) = 2x – 7,
sustituimos x por cualquier valor, digamos 6, y escribimos y = f (6) = (2 · 6) – 7,
lo que da a la variable dependiente y el valor de 5.
Si la variable dependiente es función de una sola variable independiente, la
función se conoce como función de una variable. Son ejemplos conocidos (todos
ellos funciones inyectivas):
• La circunferencia o área de un círculo en relación con su radio.
• La superficie o volumen de una esfera en relación con su radio.
• El logaritmo de un número en relación con el número.
Los senos, cosenos, tangentes y secantes se denominan funciones trigonométricas. Los logaritmos son funciones logarítmicas. Las funciones exponenciales
son funciones en las que x, la variable independiente, es el exponente en una
ecuación, como y = 2x. Por supuesto, existen incontables ejemplos de funciones
más complicadas de una variable a las que se ha dado nombre propio.
Las funciones pueden depender de más de una variable. Una vez más, hay
una infinidad de ejemplos. La hipotenusa de un triángulo rectángulo depende
de sus dos lados, que no necesariamente son iguales. (La función, desde luego,
comprende tres variables, pero se llama función de dos variables porque tiene dos
variables independientes.) Si z es la hipotenusa, el teorema de Pitágoras nos dice
que z = x 2 + y 2 . Ten en cuenta que esta es una función inyectiva. Si conocemos x y y, podemos obtener un valor único de z, pero si conocemos el valor de z,
no podemos obtener valores únicos de x y y.
Otros dos ejemplos conocidos de una función de dos variables, ninguna de
las cuales es inyectiva, son el área de un triángulo como función de su altura y
base, y el área de un cilindro recto circular como función de su radio y altura.
Las funciones de una y dos variables están siempre presentes en toda la física.
El periodo de un péndulo es una función de su longitud. La distancia que recorre
una piedra al caer y su velocidad son, cada una, funciones del tiempo transcurrido desde que se dejó caer la piedra. La presión atmosférica es función de la
altitud. La energía de una bala es una función de dos variables que depende de
la masa y la velocidad. La resistencia eléctrica de un cable depende de la longitud
de éste y del diámetro de su sección transversal circular.
Las funciones pueden tener cualquier cantidad de variables independientes. Un
ejemplo sencillo de una función de tres variables es el volumen de una habitación
rectangular. Depende de los dos lados y de la altura de la habitación. El volumen de
una hiperhabitación de cuatro dimensiones es una función de cuatro variables.
El estudiante que empieza a aprender cálculo debe reconocer cómo las ecuaciones con dos variables pueden modelarse con curvas en un plano cartesiano.
CAPÍTULO 1
¿Qué es una función?
13
(El plano se llama así en honor del matemático y filósofo francés René Descartes,
quien lo inventó.) Los valores de la variable independiente se representan por
medio de puntos a lo largo del eje horizontal x. Los valores de la variable dependiente se representan por medio de puntos a lo largo del eje vertical y. Los puntos
en el plano significan un par ordenado de números x y y. Si una función es lineal,
es decir, si tiene la forma y = ax + b, la curva representa los pares ordenados en
línea recta. Si la función no tiene la forma ax + b, la curva no es una recta.
En la figura 1 se presenta una gráfica cartesiana de y = x2. La curva es una parábola.1 Los puntos a lo largo de cada eje representan números reales (racionales e
irracionales), positivos en el lado derecho del eje x, negativos en el lado izquierdo;
positivos en la parte superior del eje y, negativos en la parte inferior. El punto de
origen de la gráfica, donde los ejes se intersecan, representa el cero.
Si x es el lado de un cuadrado, suponemos que no es cero ni un número
negativo, por lo que la curva pertinente se situaría sólo del lado derecho de la
parábola. Supón que el lado del cuadrado es 3. Muévete en dirección vertical ascendente desde el 3 en el eje x hasta la curva, luego ve a la izquierda hacia el eje y,
donde encontrarás que el cuadrado de 3 es 9. (Ofrezco una disculpa a los lectores
para quienes todo esto no sea ninguna novedad.)
Si una función tiene tres variables independientes, la gráfica cartesiana debe
extenderse a un espacio tridimensional con los ejes x, y y z.
Alguna vez me contaron de un profesor, cuyo nombre no recuerdo, a quien
le gustaba dramatizar este espacio ante sus estudiantes y corría de un lado a otro
mientras exclamaba: “¡Este es el eje x!” En seguida corría de un extremo a otro del
pasillo central gritando: “¡Este es el eje y!” Por último, saltaba y gritaba: “¡Este es
el eje z!” Las funciones de más de tres variables requieren un espacio cartesiano
con más de tres ejes. Por desgracia, un profesor que corre y salta no puede dramatizar más ejes que tres.
Observa las leyendas dominio y rango que aparecen en la figura 1. En décadas
recientes se ha puesto de moda generalizar la definición de función. Los valores
Figura 1
Gráfica de y = x 2 o f (x) = x 2. (Nota: las
escalas son diferentes en los dos ejes.)
1
Para trazar esta figura, lo mismo que para
otras que aparecen a lo largo del libro,
se empleó GeoGebra, software libre para
aprender matemáticas que puede obtenerse
en http://www.geogebra.org. (Nota del
editor.)
14
Cálculo diferencial e integral (primera parte)
Dominio
Rango
1
2
2
3
4
5
5
6
6
7
7
8
Figura 2
Una función arbitraria.
Dominio
Rango
1
1
2
2
3
3
4
5
5
6
Figura 3
Gráfica de otra función discreta de
números enteros arbitrarios.
que puede adoptar la variable independiente se conocen como el dominio de la
variable. Los valores que puede adoptar la variable dependiente se conocen como
el rango. En el plano cartesiano, el dominio consiste en números a lo largo del eje
horizontal (x). El rango está formado por números a lo largo del eje vertical (y).
Los dominios y rangos pueden ser conjuntos infinitos, como el de los números reales o el de los enteros, o cualquiera de ellos puede ser un conjunto finito,
digamos, una parte de los números reales.
Los números de un termómetro, por ejemplo, representan un intervalo finito
de números reales. Si se usan para medir la temperatura del agua, los números representan un intervalo entre las temperaturas a las que se congela y hierve el agua.
En este caso, la altura de la columna de mercurio en relación con la temperatura
del agua es una función inyectiva de una variable.
En la teoría de conjuntos moderna, esta forma de definir una función puede
extenderse a conjuntos de números completamente arbitrarios para una función
que se describe no por medio de una ecuación, sino por un conjunto de reglas. La
forma más sencilla de especificar las reglas es mediante una tabla. Por ejemplo, la
tabla de la figura 2 muestra un conjunto de números arbitrarios que constituye el
dominio a la izquierda. El conjunto correspondiente de números arbitrarios en el
rango aparece a la derecha. Las reglas que rigen esta función se indican por medio
de flechas. Estas flechas señalan que cada número del dominio se correlaciona
sólo con un número a la derecha. Como puedes observar, más de un número de
los de la izquierda puede conducir al mismo número de los de la derecha, pero
no al contrario.
Otro ejemplo de estas funciones se presenta en la figura 3, junto con su gráfica, consistente en 6 puntos aislados en el plano.
Debido a que cada número de la izquierda conduce exactamente a un número de la derecha, se puede decir que los números de la derecha son una función
CAPÍTULO 1
¿Qué es una función?
de los de la izquierda. Algunos escritores llaman a los números de la derecha
imágenes de los números de la izquierda.
Se dice que las flechas proporcionan una asignación de dominio a rango. Algunos llaman regla de correspondencia a las flechas que definen la función.
En la mayoría de las funciones que se usan en cálculo, el dominio consiste
sólo en un intervalo de los números reales. El dominio podría ser todo el eje
x, como ocurre con la función y = x2. O podría ser un intervalo limitado; por
ejemplo, el dominio de y = arcsen x consta de todas las x, tales que –1 ≤ x ≤ 1.
O bien, podría estar limitado por un lado e ilimitado por el otro. Por ejemplo, el
dominio de y = x está formado por todas las x ≥ 0.
Una función así se llama continua si la gráfica puede trazarse sin levantar el
lápiz del papel, y discontinua si ocurre lo contrario. (Esta es una idea intuitiva de
función continua; la definición formal de continuidad, que también es aplicable
a las funciones que tienen dominios más complicados, está más allá del propósito
de este libro.)
Por ejemplo, las tres funciones que acabamos de mencionar son continuas.
En la figura 4 se muestra un ejemplo de una función discontinua. Su dominio se
compone de todos los números reales, pero su gráfica tiene una cantidad infinita
de partes que no están conectadas entre sí. En este libro nos ocuparemos casi
exclusivamente de funciones continuas.
Observa que si la recta vertical que sale del eje x interseca más de un punto en
la curva, entonces ésta no representa una función porque asigna un número x a
más de un número y. En la figura 5 se presenta una gráfica que evidentemente no
es una función, ya que las rectas verticales, como la que aparece punteada, interseca la gráfica en tres puntos. (Cabe señalar que hompson no usó la definición
moderna de función. Por ejemplo, la gráfica que se presenta en la figura 30 del
Figura 4
Esta función se conoce como mayor
entero porque asigna cada número
real (en el eje x) al entero más grande
del eje y que sea igual o menor que el
número real.
15
16
Cálculo diferencial e integral (primera parte)
y
x
x
y
Figura 5
Gráfica que no representa una función.
capítulo 11 no pasa esta prueba de la recta vertical, pero hompson la considera
una función.)
En esta definición generalizada de función, una función de una variable es
cualquier conjunto de pares ordenados de números, de forma tal que cada número de un conjunto corresponda exactamente a un número del otro conjunto.
Dicho en otras palabras, en los pares ordenados, ningún número de x puede
repetirse, aunque un número de y sí.
Desde este amplio punto de vista acerca de las funciones, la combinación
arbitraria de una caja fuerte, o la secuencia de teclas que deben oprimirse para
abrir una puerta son funciones de contar números. Para abrir una caja fuerte es
necesario girar la perilla de un lado a otro en un conjunto aleatorio de enteros.
Si la combinación de la caja fuerte es, digamos, 2-19-3-2-19, esos números son
una función de 1, 2, 3, 4, 5. Estos últimos números representan el orden en que
aquellos otros números deben marcarse para abrir la caja fuerte, o el orden en
que deben oprimirse las teclas para abrir una puerta.
De modo parecido, las alturas de los pequeños “picos” en la llave de una cerradura son una función arbitraria de las posiciones a lo largo de la llave.
En años recientes, los matemáticos han ampliado aún más la noción de función para incluir cosas que no son números. De hecho, pueden ser cualquier cosa
que sea elemento de un conjunto. Así, una función es simplemente la correlación
de cada elemento de un conjunto con exactamente un elemento de otro conjunto. Ello ha desembocado en usos de la palabra función que parecen absurdos. Si
Samuel es pelirrojo, Juan tiene el cabello negro y Roberto es canoso, el color del
cabello es una función de los tres hombres. Las posiciones de las ciudades en un
mapa son una función de sus ubicaciones en la Tierra. El número de dedos de los
pies en una familia normal es una función del número de personas que constituyen la familia. Diferentes personas pueden tener la misma madre, pero ninguna
persona tiene más de una madre. Esto permite decir que las madres son una función de las personas. Las madres elefantes son una función de los elefantes, pero
no así las abuelas, porque un elefante puede tener dos abuelas. Como lo planteó
hace poco un matemático, las funciones se han generalizado “hacia arriba, hasta
el cielo; y hacia abajo, hasta el subsuelo”.
Una forma útil de pensar en las funciones de esta forma generalizada es imaginar una caja negra con orificios de entrada y de salida. Todos los elementos de
un dominio, sean números o no, se meten en la caja. De ella sale un solo elemento del rango. La maquinaria dentro de la caja proporciona por arte de magia las
correlaciones mediante la aplicación de las reglas de correspondencia que rigen
la función. En cálculo, las entradas y salidas casi siempre son números reales, y la
maquinaria de la caja negra funciona con base en las reglas expresadas mediante
ecuaciones.
Debido a que la definición generalizada de una función lleva a extremos
absurdos, muchos educadores contemporáneos, en especial quienes estudiaron
ingeniería, consideran que es confuso e innecesario presentar una definición tan
amplia de las funciones a quienes empiezan a aprender la disciplina.
No obstante, una cantidad cada vez mayor de libros modernos de cálculo
dedican muchas páginas a la definición generalizada. Sus autores consideran que
definir una función como una asignación de los elementos de un conjunto a otro
CAPÍTULO 1
conjunto cualquiera es un concepto unificador que debe enseñarse a todos los
estudiantes de la materia.
Los críticos de esta práctica consideran que el cálculo no debe ocuparse de
dedos de los pies, ciudades, madres y elefantes. Sus dominios y rangos deben
limitarse, como siempre lo han estado, a los números reales cuyas funciones describen el cambio continuo.
Es un hecho afortunado y sorprendente que las leyes fundamentales de nuestro increíblemente inquieto universo se basen en ecuaciones relativamente sencillas. Si no fuera así, de seguro conoceríamos mucho menos de lo que hoy sabemos
acerca de cómo se comporta, y Newton y Leibniz probablemente nunca habrían
inventado (¿o descubierto?) el cálculo.
¿Qué es una función?
17
Capítulo 2
¿Qué es un límite?
Es posible, aunque difícil, entender el cálculo sin comprender plenamente el significado de límite. Una derivada, el concepto fundamental del cálculo diferencial,
es un límite. Una integral, el concepto básico del cálculo integral, es un límite.
Para explicar qué se entiende por límite, en este capítulo sólo nos ocuparemos de los límites de las funciones discretas, pues son más fáciles de entender en
términos discretos. Cuando leas los capítulos de la segunda parte aprenderás a
aplicar el concepto de límite a lo que se conoce como funciones de una variable
continua porque las variables tienen valores en los números reales que varían
continuamente. Las funciones de variables discretas tienen variables cuyos valores
saltan de un valor a otro. También existen funciones de variables complejas en las
que los valores son números complejos (números que se basan en la raíz cuadrada
imaginaria de –1). Las variables complejas están fuera del ámbito del libro.
Una sucesión es un conjunto de números dispuestos en cierto orden. No es
indispensable que los números sean diferentes o enteros. Consideremos la sucesión 1, 2, 3, 4, . . . Se trata sólo de los números enteros positivos. Es una sucesión
infinita porque continúa sin cesar. Si tuviera fin, sería una sucesión finita.
Si los términos de una sucesión finita se suman para obtener una suma finita,
esto se llama serie. Si una serie es infinita, la suma hasta un término específico
cualquiera se llama suma parcial. Si las sumas parciales de una serie infinita se
aproximan cada vez más a un número k, de modo tal que si la serie continúa la
suma puede acercarse a k tanto como se desee, k se conoce como el límite de
las sumas parciales, o el límite de la serie infinita. Se dice que los términos convergen en k. Si no hay convergencia, se dice que la serie diverge.
El límite de una serie infinita se denomina a veces como suma al infinito, pero
desde luego no se trata de una suma en el sentido aritmético habitual donde la
cantidad de términos es finita. No se puede obtener la “suma” de una serie infinita mediante una operación de suma, ya que la cantidad de términos por sumar
es infinita. Cuando se habla de la “suma” de una serie infinita es sólo una forma
abreviada de designar su límite.
Una serie infinita puede converger en su límite de tres formas:
1. Las sumas parciales se acercan cada vez más al límite sin llegar a alcanzarlo en
realidad, pero nunca lo sobrepasan.
2. Las sumas parciales alcanzan el límite.
3. Las sumas parciales sobrepasan el límite antes de converger.
CAPÍTULO 2
Examinemos ejemplos de los tipos 1 y 3.
En el siglo v antes de Cristo (a.C.), el filósofo griego Zenón de Elea inventó
varias paradojas famosas que tenían la finalidad de demostrar que hay algo sumamente misterioso en el movimiento. En una de ellas, imagina a un corredor
que va de A a B. Primero, corre la mitad de la distancia; luego, vuelve a correr la
mitad de la distancia restante; en seguida, corre la mitad de la distancia restante
y así sucesivamente. Las distancias recorridas se van acortando cada vez más en
1
1
1
1
1
la serie de mitades 2 + 4 + 8 + 16 + . . . + 2n . Las distancias desde B se aproximan
a cero como su límite, en tanto que las distancias desde A forman una serie que
converge en 1. El corredor, por supuesto, es el modelo de un punto que se mueve
sobre una recta que va de A a B. ¿Llegará algún día el corredor a la meta?
Depende.
Supón que después de cada paso de la serie, el corredor hace una pausa para
descansar un segundo. Esto puede modelarse con un peón de ajedrez (que representa un punto) que uno empuja por el tablero, de un extremo al otro. Primero,
el peón recorre la mitad de la distancia y hace una pausa de un segundo. Luego
avanza la mitad de la distancia restante y de nuevo hace una pausa de un segundo. Si este procedimiento continúa, el peón (punto) se acercará cada vez más al
límite, pero jamás lo alcanzará.
Hay una vieja broma basada en esto. Un profesor de matemáticas coloca a un
estudiante de un lado de un salón vacío y a una bellísima chica en la pared contraria. Al dar la orden, el muchacho camina la mitad de la distancia hacia la joven,
espera un segundo, avanza la mitad del resto de la distancia y entonces se detiene
otro segundo, y así sucesivamente, siempre haciendo una pausa de un segundo
antes de recorrer la mitad de la distancia que queda. La chica dice: “¡Ja! ¡Jamás me
alcanzarás!” El muchacho responde: “Cierto, pero me puedo acercar lo suficiente”.
Imagina ahora que en vez de esperar un segundo después de avanzar el peón,
lo mueves a velocidad constante. Supón que la velocidad constante es tal que el
peón avanza la mitad de las distancia en un segundo, la mitad de la distancia
restante en medio segundo y así sucesivamente. Sin pausas. Un proceso discreto
se ha transformado en uno continuo. En dos segundos el peón alcanza el extremo opuesto del tablero. El corredor de Zenón, si avanza a velocidad constante,
alcanzará la meta en un periodo finito de tiempo. La serie de mitades, modelada
de este modo, converge exactamente en el límite.
El corredor de Zenón produce una variedad de paradojas divertidas que se
relacionan con lo que se denomina máquinas de infinito. Un ejemplo sencillo
es una lámpara que se apaga al cabo de un minuto, luego se prende al cabo de
medio minuto, se apaga después de un cuarto de minuto y así sucesivamente en
una serie infinita de encendido y apagado. La serie de tiempo converge a los dos
minutos. Al finalizar los dos minutos, ¿la lámpara está prendida o apagada? Por
supuesto, este es un experimento mental. No se puede realizar con una lámpara
propiamente dicha, pero ¿se puede responder en lo abstracto? No, porque no
hay una operación final en una serie infinita de encendido y apagado. Es como
preguntar si el último dígito de π es par o impar.*
Una forma fácil de “ver” que el límite de 12 + 14 + 81+ . . . es 1 consiste en marcar las longitudes fraccionales sobre una recta numérica, como hizo hompson
en la figura 46 (página 163). Una prueba de “vistazo” como ésa, en la que se
¿Qué es un límite?
* Sobre las máquinas de infinito, véase
“Alephs and Supertasks”, capítulo 4 de mi
obra Wheels, Life, and Other Mathematical
Amusements (W. H. Freeman, 1983), y las
referencias citadas en la bibliografía de ese
capítulo. (MG)
19
20
Cálculo diferencial e integral (primera parte)
Figura 6
Demostración de “vistazo”
bidimensional de que
1
1
1
1
+ 4 + 8 + 16 + . . . = 1.
2
advierte que la serie converge en 1 se muestra con el cuadrado dividido de la figura 6. Las sumas parciales de esta serie se generan con la función discreta 1 − 21n ,
donde n adopta los valores enteros 1, 2, 3, 4, 5, . . .
Examinaremos ahora una serie infinita que sobrepasa su límite antes de converger. Se presenta un ejemplo en el que cada segundo signo de la serie de mitades
se cambia a un signo menos: 12 − 14 + 81 − 161 + . . . Las sumas parciales de esta “serie
alternante” se sitúan, alternadamente, por encima y por debajo del límite de 13.
1
La diferencia respecto a 3 puede hacerse tan pequeña como se desee, pero cada
suma parcial será mayor que el límite.
En vista de que una serie infinita se aproxima pero nunca llega al límite, las
diferencias entre una suma parcial y el límite se aproximan cada vez más a cero.
De hecho, se vuelven tan cercanas a cero que se puede suponer que son cero y, por
tanto, como le gusta decir a hompson, pueden “desecharse”.
En los primeros libros de cálculo, los términos que se aproximan infinitamente a cero se denominaron infinitesimales. Como es evidente, hay algo fantasmagórico en los números que radican en una “tierra de nunca jamás” infinitamente
cercana a cero pero que no es cero.
Por ejemplo, en la serie de mitades, las fracciones que se aproximan a cero
nunca son infinitesimales, ya que siempre siguen siendo una parte finita de 1. Los
infinitesimales son una parte infinitamente pequeña de 1. Son más pequeños que
cualquier fracción finita que se pueda mencionar; no obstante, nunca son cero.
¿Son entidades matemáticas legítimas, o deberían erradicarse de las matemáticas?
El opositor más franco de los infinitesimales fue el obispo George Berkeley,
filósofo británico del siglo xviii, que los atacó en un libro de 1734 titulado he
Analyst, Or a Discourse Addressed To an Infidel Mathematician (El analista o discurso dirigido a un matemático infiel). El infiel era el astrónomo Edmond Halley,
cuyo nombre lleva el cometa Halley y que persuadió a Newton de publicar su
famosa obra Principia.
He aquí algunas de las quejas del obispo Berkeley relativas a los infinitesimales (el término que usó Newton para referirse a las derivadas fue fluxión).
¿Y qué son estas fluxiones? Las velocidades de incrementos evanescentes. ¿Y qué
son estos mismos incrementos evanescentes? No son cantidades finitas ni infinitamente pequeñas ni nada. ¿No podríamos llamarlos fantasmas de cantidades
difuntas?
Y de las fluxiones antes mencionadas hay otras fluxiones, dichas fluxiones de
fluxiones se llaman segundas fluxiones. Y las fluxiones de estas segundas fluxiones
se llaman terceras fluxiones, y así sucesivamente, cuartas, quintas, sextas, etcétera,
ad infinitum. Ahora bien, así como nuestros sentidos se ven forzados y desconcertados con la percepción de objetos extremadamente pequeños, así también la
imaginación, cuya facultad deriva del sentido, se ve muy forzada y confundida
para formar ideas claras de las mínimas partículas de tiempo o los incrementos
mínimos engendrados durante ellas, y mucho más aún para comprender los
momentos o aquellos incrementos de las cantidades fluyentes in status nascenti,
en su primer origen o principio de existencia, antes de convertirse en partículas
finitas. Y parece aún más difícil concebir las velocidades abstraídas de tales entidades nacientes imperfectas. Pero las velocidades de las velocidades, la segunda,
tercera, cuarta y quinta velocidades, etcétera, sobrepasan, si no me equivoco,
CAPÍTULO 2
todo entendimiento humano. Cuanto más analiza y persigue la mente estas
ideas fugitivas, tanto más perdida y perpleja queda; los objetos, que en principio
son fugaces y diminutos, pronto desaparecen de la vista. Por cierto, en cualquier
sentido, una segunda o tercera fluxión parece un misterio oscuro. La velocidad
incipiente de una velocidad incipiente, el aumento naciente de un aumento
naciente, esto es, una cosa que no tiene magnitud; tómese eso desde cualquier
perspectiva que se desee tomar, a menos que me engañe, su concepción clara
resultará imposible. Si es así o no, lo dejo al juicio de todo lector pensante. Y si
una segunda fluxión es inconcebible, qué podemos pensar de las terceras, cuartas, quintas fluxiones y así sucesivamente hasta el infinito.
El que pueda digerir una segunda o tercera fluxión no necesita, en mi opinión, andarse con remilgos en cuanto a la Divinidad.
Johann Bernoulli, matemático suizo que realizó trabajo precursor en el desarrollo del cálculo, expresó sucintamente la paradoja de los infinitesimales. Son
tan pequeños, afirmó, que “si una cantidad aumenta o disminuye un infinitesimal, dicha cantidad no aumenta ni se reduce”.
Durante dos siglos, casi todos los matemáticos coincidieron con Berkeley y
se negaron a usar el término. El lector no lo encontrará en la obra de hompson.
Bertrand Russell, en Principles of Mathemathics (1903, capítulos 39 y 40), emprende un vigoroso ataque contra los infinitesimales. Se refiere a ellos como “matemáticamente inútiles”, “innecesarios, erróneos y autocontradictorios”. Incluso
en 1941, el renombrado matemático Richard Courant escribió: “Las cantidades
infinitamente pequeñas ahora se descartan definitiva e ignominiosamente”. Lo
mismo que Russell y otros, creía que el cálculo debía sustituir los infinitesimales
por el concepto de límites.
Charles Peirce (1839-1914), el gran matemático y filósofo estadounidense,
amigo de William James, discrepaba de manera rotunda. Prácticamente se aisló
en su época cuando tomó partido por Leibniz, quien creía que los infinitesimales
eran tan reales y legítimos como los números imaginarios. Los siguientes son
algunos comentarios típicos de Peirce que descubrí cuando busqué infinitesimales
en los índices de los volúmenes que componen Collected Papers y New Elements
of Mathematics de Peirce.
Los infinitesimales pueden existir y ser sumamente importantes para la filosofía;
estoy convencido de que así es.
La doctrina de los infinitesimales es mucho más sencilla que la doctrina de
los límites.
¿Es congruente. . . admitir sin reparo los imaginarios y rechazar los infinitesimales por considerarlos inconcebibles?
Los infinitesimales, en el sentido estricto y literal, son absolutamente inteligibles, a diferencia de la enseñanza del enorme acervo de libros de texto modernos
con que se enseña el cálculo.
No hay nada contradictorio en la idea de tales cantidades. . . Como matemático, prefiero el método de los infinitesimales al de los límites, ya que es
mucho más sencillo y está menos infestado de trampas.
Peirce habría quedado encantado si hubiera vivido para ver el trabajo de
Abraham Robinson de la Universidad de Yale. En 1960, para la enorme sorpresa
¿Qué es un límite?
21
22
Cálculo diferencial e integral (primera parte)
de los matemáticos de todo el mundo, Robinson halló la forma de volver a introducir los infinitesimales de Leibniz como entidades matemáticas legítimas y
definidas con precisión. Su forma de usarlos en cálculo se conoce como análisis
no estándar. (Análisis es un término aplicado al cálculo y a todas las matemáticas
superiores que emplean cálculo.)
El análisis no estándar ha producido soluciones más sencillas que el análisis
estándar para muchos problemas de cálculo y, desde luego, se parece más a una
forma intuitiva de interpretar series de convergencia infinitas. Sería muy difícil
entrar en detalles del logro de Robinson en este espacio, pero el lector interesado
hallará una buena introducción en el artículo “Nonstandard Analysis”, de Martin
Davis y Reuben Hersh, publicado en la edición de junio de 1972 de Scientific
American.
En su libro Infinity and the Mind (1982), Rudy Rucker, matemático y escritor de ciencia ficción, defendió con vigor los infinitesimales:
Es tan grande el miedo al infinito que siente la persona común que hasta la
fecha, en todo el mundo, el cálculo se enseña como el estudio de los procesos de
los límites, en lugar de lo que en realidad es: análisis infinitesimal.
He pasado una buena parte de mi vida adulta impartiendo cursos de cálculo
para ganarme la vida y sé lo cansado que resulta tratar de explicar la compleja y
engañosa teoría de los límites a oleada tras oleada de estudiantes de primer año
que no logran comprenderla. . .
Sin embargo, hay esperanza de un futuro mejor. Las investigaciones de Robinson y los números hiperreales han colocado a los infinitesimales en un pedestal lógico impecable, y aquí y allá han aparecido libros de cálculo basados
en ellos.
¿Qué es preferible? ¿Hablar de cantidades tan infinitamente pequeñas que,
como diría hompson, pueden “descartarse”, o hablar de valores que se acercan al
límite? El debate sobre el uso de infinitesimales o límites no lleva a ningún lado,
pues son dos formas de decir lo mismo. Es como escoger entre designar triángulo
a un polígono de tres lados o a un polígono de tres ángulos.
Los cálculos para derivar o integrar son exactamente los mismos sin importar
cómo prefieras llamar a lo que estás haciendo. Ahora que los infinitesimales han
vuelto a ser respetables gracias al análisis no estándar, no es necesario dudar: si te
gusta, usa la palabra.
Cabría suponer que si los términos de una serie infinita se vuelven cada vez
más pequeños, la serie debe converger en algún momento. Nada más lejos de la
verdad. El más famoso ejemplo es 11 + 12 + 13 + 14 + 15 + . . . Esta serie, denominada
armónica, tiene innumerables aplicaciones en física y matemáticas. Aunque las
fracciones se vuelven progresivamente más pequeñas y convergen en cero, sus sumas parciales crecen sin límite. El crecimiento es exasperadamente lento. Luego
de cien términos, la suma parcial es apenas un poco mayor que 5. Para llegar a la
suma de 100 se requieren ¡más de 1043 términos!
Si eliminamos todos los términos de la serie armónica que tienen denominadores pares, ¿convergerá? Sorprendentemente, no, aunque la velocidad a la que
crece es mucho más lenta. Si se eliminan de la serie todos los términos cuyos de-
CAPÍTULO 2
nominadores contienen un dígito específico una o más veces, la serie convergerá.
En la tabla siguiente se presenta el límite con dos posiciones decimales de cada
dígito omitido:
Dígito omitido
Suma
1
2
3
4
5
6
7
8
9
0
16.18
19.26
20.57
21.33
21.83
22.21
22.49
22.73
22.92
23.10
Los límites de series infinitas pueden expresarse con fracciones decimales in3
3
1
terminables. Por ejemplo, 0.33333. . . es el límite de la serie 103 + 100
+ 1 000 + . . . 3.
A propósito, hay una forma tan sencilla de determinar el límite integral de
cualquier número decimal periódico que raya en lo ridículo. El truco consiste en dividir el número periódico (la sucesión de dígitos que se repiten) entre
un número formado por el mismo número de nueves como tenga el número.
Por tanto, 0.3333. . . se reduce a 93 = 13. Si el decimal recurrente es, por ejemplo,
123
41
0.123123123. . . , el límite es 999, que se reduce a 333.
Los números irracionales como las raíces irracionales, así como los números
trascendentales como π y e, son límites de muchas series infinitas. Por ejemplo,
π es el límite de series que siguen un patrón, como 41 − 43 + 45 − 74 + 94 − . . . El
número e (lo encontrarás en el capítulo 14 de la segunda parte) es el límite de
1
1
1
1
1
1 + 1! + 2 ! + 3 ! + 4 ! + 9! + . . .
Aunque Arquímedes no conocía el cálculo, anticipó la integración al calcular
π como el límite del perímetro de los polígonos regulares a medida que el número de lados aumenta. En el lenguaje de los infinitesimales se puede considerar
que un círculo es el perímetro de un polígono regular con una infinidad de lados,
ya que su perímetro está compuesto por una infinidad de segmentos de recta,
cada uno de longitud infinitesimal.
Se han desarrollado numerosas técnicas ingeniosas para determinar si una
serie infinita converge o diverge, así como maneras, no siempre sencillas, de determinar el límite. Si los términos de una serie disminuyen en progresión geométrica (cada término es la misma fracción de la que le precede) es fácil calcular el
1
1
1
límite. He aquí cómo funciona con la serie de mitades 1 + 2 + 4 + 8 + . . . Sea x
igual a toda la serie. Multiplica cada miembro de la ecuación por 2:
2x = 2 +
2
2
2
2
+ + +
+. . .
4
8
16
2
Reduce los términos:
2x = 2 + 1 +
1
1
1
+ + +...
2
4
8
¿Qué es un límite?
23
24
Cálculo diferencial e integral (primera parte)
Observa que la serie después de 2 es la misma que la serie de mitades original
que tomamos como x. Esto nos permite sustituir la sucesión por x y escribir 2x
= 2 + x. Reordenamos los términos, 2x – x = 2, y se obtiene el valor de x, el
límite de la serie: 2.
El mismo truco demuestra que 12 es el límite de 13 + 91 + 271 +811 + . . . ; funciona con cualquier serie en la que los términos decrecen en progresión geométrica.
Los problemas de rebotes de pelotas son comunes en las publicaciones sobre
límites. En ellos se supone que una pelota idealmente elástica se deja caer desde
una distancia específica a un piso duro. Después de cada rebote se eleva una fracción constante de la altura anterior. He aquí un ejemplo típico.
3
Se deja caer una pelota desde una altura de 4 pies. Cada rebote la lleva a 4 de
la altura anterior. Por supuesto, en la práctica una pelota de goma rebota sólo un
número finito de veces, pero la pelota idealizada rebota una infinidad de veces.
Las elevaciones se aproximan a cero como límite, pero como las veces que cada
rebote también se aproximan a un límite de cero, la pelota (como el corredor de
Zenón) al fin alcanza el límite. Después de una infinidad de rebotes, alcanza el
estado de reposo después de un periodo finito de tiempo. Cuando la pelota deja
de rebotar, ¿qué distancia ha recorrido?
Podemos resolver este problema usando el mismo truco empleado con la
serie de mitades. No tengamos en cuenta por un momento la caída inicial de 4
pies; la pelota se elevará 3 pies, luego caerá 3 pies para recorrer un total de 6 pies.
En seguida, cada rebote (elevación y caída) es de tres cuartas partes del rebote
anterior. Sea x la distancia total que la pelota recorre después de la primera caída
de 4 pies para plantear la ecuación:
486
18
54
162
+
+
+
+...
64
256
4
16
Reducimos las fracciones:
x = 6+
x=6+
9 27 81 243 . . .
+
+
+
+
2
8
32 128
Como cada término es igual a 43 del siguiente, se multiplica cada término por
4
para obtener:
3
4x
9
27
81 . . .
=8+6+ +
+
+
3
2
8
32
Observa que después de 8 la sucesión es igual a x, por lo que se sustituye por
ella:
4x
=8+x
3
4x = 24 + 3x
x = 24
Esta es la distancia que la pelota rebota después de la caída inicial de 4 pies.
La distancia total que recorre la pelota es 24 + 4 = 28 pies.
CAPÍTULO 2
Sam Loyd, el gran creador estadounidense de acertijos, en su Cyclopedia of
Puzzles (página 23), y su homólogo británico Henry Ernest Dudeney, en Puzzles
and Curious Problems (problema 223), presentan cada cual por su cuenta el problema siguiente de una pelota que rebota.
Una pelota se deja caer a 179 pies desde lo alto de la Torre de Pisa. Cada
rebote es una décima parte de la altura del rebote anterior. ¿Qué distancia recorre la pelota después de una infinidad de rebotes para quedar al fin en reposo?
(figura 7).
Este problema puede resolverse con el truco empleado antes, pero como cada
fracción es una décima parte de la anterior, hay un método aún más rápido para
obtener la respuesta.
Después de la caída inicial de 179 pies, la altura del primer rebote es de 17.9.
Los rebotes sucesivos tienen alturas de 1.79, 0.179, 0.0179, y así sucesivamente,
ya que el punto decimal se mueve una posición a la izquierda después de cada
rebote. La suma de estas alturas da un total de 19.8888. . . A continuación duplicamos esta distancia para obtener las distancias de subida y bajada de cada rebote
y así llegamos a 39.7777. . . Por último, sumamos la caída inicial de 179 pies para
obtener la distancia total que la pelota recorre: 218.7777. . . , o exactamente 218
7
y 9 pies.
Las series convergentes que no decrecen en progresión geométrica a menudo
pueden resolverse por otros medios ingeniosos. El siguiente es un ejemplo interesante:
x = 1+
¿Qué es un límite?
LA
ORRE
INCLINADA
T
DE
PISA.
Un problema
clásico
DE
Sam Loyd
7
11 . . .
3
9
5
+ + +
+
+
8 16
32
2
4
Observa que los numeradores son impares en sucesión y que los denominadores son una serie que se va duplicando. He aquí una forma sencilla de determinar
el límite.
Primero, cada término se divide entre 2:
5
7
3
x
1
= + + +
+...
4
8
16
2
2
Restamos esta sucesión de la original:
7
3 5
9 ...
+
+ + +
4
8
2
16
1
3
5
7
x
= + + +
+...
2
4
8 16
2
1
1
x
1
= 1 +[1 + + + + . . .]
4
8
2
2
x =1+
Observa que después del 1 que está dentro de los corchetes, la sucesión que
sigue es una vieja conocida: la sucesión de mitades que, como ahora sabemos,
converge en 1. Sumar 2 al 1 inicial da a la serie un límite de 3. Puesto que 3 es la
mitad de x, x debe de ser 6, el límite de la serie original.
25
Figura 7
El problema de la pelota que rebota
de Sam Loyd.
26
Cálculo diferencial e integral (primera parte)
hompson no dedica mucho tiempo a las series y sus límites. Yo lo he hecho
en este capítulo por dos razones: son la mejor manera de entender el concepto de
límite, y los libros de cálculo modernos incluyen por lo general capítulos sobre
series infinitas y su utilidad en muchos aspectos del cálculo.
Capítulo 3
¿Qué es una derivada?
En el capítulo 3 de la segunda parte, escrita por hompson, se deja perfectamente
claro qué es una derivada y cómo calcularla. Sin embargo, me pareció útil hacer
algunos comentarios introductorios sobre las derivadas que quizá ayuden a entender con mayor facilidad ese capítulo.
Comencemos con el corredor de Zenón. Supón que corre 10 metros por
segundo en una pista que va de cero a 100 metros. La variable independiente es
el tiempo, representado por el eje x de un plano cartesiano. La variable dependiente y es la distancia que se desplaza el corredor desde el punto de partida. Se
representa en el eje y. Puesto que la función es lineal, el movimiento del corredor
se representa gráficamente como una recta inclinada hacia arriba desde cero, el
origen del plano, hasta el punto que representa diez segundos en el eje del tiempo
y 100 metros en el de la distancia (figura 8). Ahora bien, si por distancia se entiende la distancia medida desde la meta, la recta de la gráfica se inclina en sentido
opuesto (figura 9).
En un momento determinado, ¿a qué velocidad se mueve el corredor? Como
se trata de una simple función lineal, no se necesita cálculo para saber que a cada
instante avanza a diez metros por segundo. La ecuación de la función es y = 10x.
Ten en cuenta que la pendiente de la recta en la gráfica, medida en términos de
la altura en metros en cualquier punto dividida entre el tiempo transcurrido en
segundos en ese momento, es 10. A cada instante, el corredor avanza en metros
diez veces el número de segundos transcurridos. La velocidad instantánea a lo
largo de la carrera es de diez metros por segundo.
Considera cualquier momento del tiempo en el eje x, luego ve en dirección
vertical hacia arriba en la gráfica hasta la distancia recorrida en metros. Comprobarás que la distancia siempre es diez veces el tiempo transcurrido. Como aprenderás
cuando leas la segunda parte del libro, la derivada de una función es simplemente
otra función que describe la razón de cambio de la variable dependiente respecto
a la razón de cambio de la variable independiente. En este caso, la velocidad del
corredor nunca cambia, por lo que la derivada de y = 10x es simplemente el
número 10. Esto indica dos cosas: 1) que en cualquier momento la velocidad del
corredor es de diez metros por segundo, y 2) que en cualquier punto de la recta
que representa gráficamente esta función, la pendiente de la recta es 10.
Lo anterior se generaliza a todas las funciones lineales en las que la variable y
cambia respecto a la variable x a una razón constante. Si una función es y = ax,
su derivada es sencillamente la constante a.
28
Cálculo diferencial e integral (primera parte)
Figura 8
Gráfica del corredor de Zenón. El eje
x es el tiempo, el eje y es la distancia
medida desde el punto de partida de
la carrera.
Como ya dije, no se necesita saber cálculo para llegar a esta conclusión, pero
es bueno saber que el cálculo de derivadas da el resultado correcto incluso cuando
las funciones son lineales.
Un caso aún más sencillo de una derivada, demasiado obvio para requerir
reflexión, ya no digamos cálculo, es el caso de un corredor que se queda absolutamente inmóvil. Supón que el corredor está a diez metros de la salida y se queda
ahí, simplemente de pie. La función correspondiente es y = 10. La gráfica se
Figura 9
Gráfica del corredor de Zenón que
muestra la distancia desde la meta. La
ecuación es y = 10(10 – x).
CAPÍTULO 3
¿Qué es una derivada?
Figura 10
Gráfica de un corredor que se queda
inmóvil a una distancia de diez
unidades del punto de partida.
vuelve una recta horizontal como se muestra en la figura 10. La pendiente es cero,
lo que equivale a decir que la velocidad a la que cambia la distancia del corredor
desde el punto de partida, en relación con los cambios de tiempo, es cero. La
derivada de la función es cero.
Incluso en este caso extremo es reconfortante saber que el cálculo sigue teniendo aplicación. En general, la derivada de cualquier función constante es cero.
El cálculo deja de ser trivial cuando las funciones no son lineales. Considera
el caso de la función no lineal y = x2, que hompson usa para empezar su capítulo sobre derivadas. Veamos cómo se aplica al crecimiento de un cuadrado, la
interpretación geométrica más sencilla de esta función.
Imagina un monstruo que vive en Planolandia, un plano bidimensional.
Nace un cuadrado de lado 1 y área 1, luego crece a velocidad constante. Deseamos saber, en un instante determinado, a qué velocidad crece su área respecto al
crecimiento de su lado.
El área del monstruo es, desde luego, el cuadrado de su lado, por lo que la
función que debemos considerar es y = x2, donde y es el área y x el lado. (La gráfica
es la parábola que se muestra en la figura 1 del capítulo 1 de esta primera parte.)
Como aprenderás al leer la segunda parte, la derivada de la función es 2x.
¿Qué indica esto? Que en cualquier momento específico, el área del monstruo
crece a un ritmo que es 2x veces más veloz que el crecimiento del lado.
Supón que el lado del monstruo crece a una velocidad de 3 unidades por segundo. Si empezamos con un lado de una unidad, al cabo de 10 segundos el lado
habrá alcanzado 31 unidades. El valor de x en este punto es de 31. La derivada
indica que cuando el lado del monstruo mide 31, su área se incrementa respecto
al lado a razón de 2x, o 2 ⋅ 31 = 62 unidades. Cuando el cuadrado llega a 100 de
lado, el área aumentará respecto al lado 2 ⋅ 100 = 200 unidades.
29
30
Cálculo diferencial e integral (primera parte)
Estas cifras expresan la velocidad del crecimiento del cuadrado respecto a su
lado. En el caso de la razón de crecimiento del cuadrado respecto al tiempo, es
preciso multiplicar estos valores por 3. Así, cuando el cuadrado tiene un lado de
31 (después de 10 segundos), crece a una velocidad de 3 ⋅ 2 ⋅ 31 = 186 unidades
cuadradas por segundo. Cuando el lado es de 100, la tasa de crecimiento por
segundo es de 3 ⋅ 2 ⋅ 100 = 600.
Imagina que el monstruo es un cubo de lado x que crece a una velocidad
constante de 2 unidades por segundo. El volumen del cubo, y, es x3, es decir,
y = x3. La derivada de la función y = x3 es 3x2. Esto indica que el volumen del
cubo en unidades cúbicas crece 3x2 veces tan rápido como crece el lado. Por
consiguiente, cuando el lado del cubo llega, por ejemplo, a 10, el valor de x, su
volumen, crece 3 ⋅ 102 = 300 unidades cuadradas más veloz que el lado. La razón
de crecimiento por segundo es de 2 ⋅ 3 ⋅ 102 = 600.
Aunque hompson evita definir una derivada como el límite de una sucesión
de razones, es evidente que así es. Supón que el cuadrado creciente tiene límites
que aumentan a una unidad por segundo. El crecimiento del área puede tabularse
en tiempos ligeramente mayores que dos segundos, como se muestra en la tabla
siguiente:
Tiempo
Lado
Área
2
3
9
2.1
3.1
9.61
2.01
3.01
9.0601
2.001
3.001
9.006001
La razón promedio (o razón media) de crecimiento del tiempo 2 al tiempo
2.1 es:
9.61 − 9
= 6.1
2.1 − 2
Y del tiempo 2 al tiempo 2.01:
9.0601 – 9
2.01 – 2
= 6.01
Y del tiempo 2 al tiempo 2.001:
9.006001 – 9
= 6.001
2.001 – 2
Como es evidente, los promedios se acercan al límite de 6. Por tanto, la derivada del área respecto al tiempo es el límite de una sucesión infinita de razones
que convergen en 6.
Dicho en palabras llanas, una derivada es la velocidad a la que crece la variable dependiente de una función respecto a la velocidad instantánea de crecimiento de la variable independiente.
CAPÍTULO 3
En términos geométricos, determina la pendiente exacta de la tangente de la
curva (o gráfica) de una función en cualquier punto específico sobre la curva.
Esta equivalencia de las definiciones algebraica y geométrica de una derivada
es uno de los aspectos más bellos del cálculo.
Espero que este capítulo y los dos anteriores te ayuden a prepararte para entender el resto de la obra.
¿Qué es una derivada?
31
Cálculo diferencial e integral
[ Segunda parte ]
Lo que puede hacer un necio, puede hacerlo otro.
Antiguo proverbio de los simios sabios1
Silvanus P. Thompson
1
El autor atribuye este proverbio falso a los simios o monos del viejo mundo
(primates superiores), a los que, por supuesto, pertenece el hombre. Recuérdese
que en la época en que se publicó la primera edición de la obra, El origen de
las especies…, de Charles Darwin, tenía relativamente poco tiempo de haber
salido a la luz (unos 50 años más o menos) y aún era motivo de burlas y bromas
sarcásticas. Thompson se burla así de los matemáticos tontos (necios, insensatos)
que complican el cálculo cuando en realidad es “muy sencillo”. Así, el proverbio
viene a ser una suerte de comparación de esos monos sabios con los matemáticos
arrogantes, o lo que es lo mismo, “cualquier tonto puede hacerlo”. (N. de la T.)
Nota del editor sobre la tercera edición
Sólo una vez en su larga y útil vida, en 1919, se amplió y revisó este libro. Sin
embargo, en veintiséis años se ha avanzado mucho y, seguramente, los métodos
de 1919 no son los mismos que los de 1945. Por tanto, para que este libro siga
siendo útil, es esencial que se reacondicione de cuando en cuando para ponerlo
al día donde sea posible y que no se quede a la zaga de la marcha inexorable de
los adelantos científicos.
Para esta nueva edición se ha reformado el libro y se han modernizado los
diagramas. El señor F.G.W. Brown ha tenido la amabilidad de revisar el libro
entero, pero puso mucho cuidado de no afectar el plan original. Así, maestros y
alumnos seguirán reconociendo esta guía para internarse en las complejidades del
cálculo. Aunque los cambios realizados no son mayores, su importancia no deja
de ser considerable. No parece haber motivo ahora, aun cuando haya existido
alguna vez, para excluir del ámbito de este texto esas funciones intensamente
prácticas, conocidas como seno, coseno y tangente hiperbólicos, cuyas aplicaciones a los métodos de integración son múltiples y potentes. En consecuencia, se
introdujeron y aplicaron, con el resultado que algunos de los métodos largos y
tediosos de integrar han quedado desplazados, del mismo modo que un rayo de
sol disipa una nube que obstruye su paso.
Asimismo, la introducción de las integrales muy prácticas:
∫e sen kt ⋅ dt y ∫e cos kt ⋅ dt
pt
pt
implicó la eliminación de algunos de los métodos más antiguos de “búsqueda de
soluciones” (capítulo 21). Gracias a su aplicación, han aparecido naturalmente
otros más breves y comprensibles.
En el tratamiento de sustituciones, todo el texto se reorganizó para que resultara metódico y congruente. Además, se añadieron algunos ejemplos donde el
espacio lo permitió y todos los ejercicios y sus respuestas se revisaron, comprobaron y corrigieron con sumo cuidado. Así, se eliminaron problemas duplicados
y muchas de las sugerencias proporcionadas en las respuestas se adaptaron a los
métodos introducidos, más nuevos y modernos.
No obstante, es preciso destacar que el plan del autor original no se modificó
en absoluto; aun en su forma más moderna, el libro sigue siendo un monumento
a la destreza y al valor del finado profesor Silvanus P. hompson. Lo único que
el presente revisor intentó hacer fue revitalizar la utilidad de la obra al adaptar su
distintivo sesgo práctico a las necesidades modernas.
Prólogo
Considerando cuántos necios saben calcular, es sorprendente que se estime una
tarea difícil o tediosa que cualquier otro necio aprenda a dominar los mismos
trucos.
Algunos trucos de cálculo son muy fáciles. Otros son sumamente difíciles.
Los necios que escriben los libros de texto de matemáticas (y en su mayoría son
necios muy listos) rara vez se toman la molestia de demostrar lo sencillos que
son los cálculos fáciles. Por el contrario, parecería que desean impresionar con su
inmensa astucia, acometiendo la materia de la manera más difícil.
Como soy un tipo extraordinariamente tonto, he tenido que desaprender
las dificultades y ahora ruego se me permita presentar a mis compañeros, igual
de necios que yo, las partes que no son difíciles. Si uno las domina bien, el resto
vendrá por añadidura. Lo que puede hacer un necio, puede hacerlo otro.
Letras griegas más comunes que se usan como símbolos
Mayúsculas
Minúsculas
Α
Β
Γ
Δ
α
β
γ
δ
Ε
Η
Θ
Κ
Nombre
Mayúsculas
Minúsculas
Nombre
Alfa
Λ
λ
Lambda
Beta
μ
ξ
Mu
Gamma
Μ
Ξ
Xi
Delta
Π
π
Pi
ε
η
Épsilon
Ρ
Σ
ρ
σ
Ro
Sigma
θ
κ
heta
Φ
Ω
ϕ
Fi
ω
Omega
Eta
Kappa
Capítulo 1
Para librarte de los terrores preliminares
El terror preliminar, que sofoca a la mayoría de los estudiantes de preparatoria y
les impide hacer siquiera el intento de aprender a calcular, puede disiparse de una
vez por todas con sólo explicar qué significan —en términos de sentido común—
los dos principales símbolos que se usan en cálculo.
Estos temibles símbolos son:
1. d, que simplemente significa “un pedacito de”. Así, dx significa un pedacito
de x; du significa un pedacito de u. Los matemáticos comunes y corrientes
creen que es más culto decir “un elemento de”, en lugar de “un pedacito de”.
Como quieran. Sin embargo, descubriremos que estos pedacitos (o elementos) pueden ser infinitamente pequeños.
2. ∫, que simplemente es una S alargada y puede designarse (si te parece) “la
suma de”. Por tanto, ∫dx significa la suma de todos los pedacitos de x; ∫dt
significa la suma todos los pedacitos de t. Los matemáticos comunes llaman
a este símbolo “la integral de”. Ahora bien, cualquier necio puede darse
cuenta de que si x se compone de muchos pedacitos, cada uno de los cuales
se llama dx, y se suman todos ellos, se obtiene la suma de todos los dx (que
es lo mismo que el total de x). La palabra “integral” simplemente significa
“el total”. Piensa en la duración del tiempo durante una hora; si lo deseas,
imagínala como cortada en 3 600 pedacitos llamados segundos. El total de
los 3 600 pedacitos sumados es una hora.
Cuando veas una expresión que empieza con este símbolo aterrador, de
ahora en adelante sabrás que se ha puesto ahí sólo para darte instrucciones
que debes ejecutar en la operación (si es posible) de totalizar todos los pedacitos que se indican mediante los símbolos que siguen.
Eso es todo.
Capítulo 2
Sobre los diferentes grados de pequeñez
2
Minuto, del latín minutus, pequeño.
* Los matemáticos pueden hablar del segundo orden de “magnitud”, es decir, grandeza,
cuando en realidad quieren decir segundo
orden de pequeñez. Esto confunde mucho a
los principiantes.
En nuestros procesos de cálculo habremos de tratar con cantidades pequeñas de
diversos grados de pequeñez.
También habremos de aprender en qué circunstancias podemos considerar
que las cantidades pequeñas son tan menudas que podemos omitirlas. Todo depende de la pequeñez relativa.
Antes de establecer reglas pensemos en algunos casos sumamente conocidos.
Hay 60 minutos en una hora, 24 horas en el día, 7 días en una semana. Por tanto,
hay 1 440 minutos en el día y 10 080 en la semana.
Como es lógico, un minuto es una cantidad de tiempo muy pequeña en comparación con toda una semana. De hecho, nuestros antepasados la consideraron
pequeña en comparación con una hora y la llamaron un minuto,2 con lo que
se referían a una fracción menuda, esto es, una sexagésima parte de una hora.
Cuando necesitaron subdivisiones de tiempo aún más pequeñas, dividieron cada
minuto en 60 partes más pequeñas, las que, en la época de la Reina Isabel I de Inglaterra, se llamaban segundos minutos (es decir, cantidades pequeñas de segundo
orden de pequeñez). En la actualidad denominamos segundos a estas cantidades
pequeñas del segundo orden de pequeñez. Pero pocas personas saben por qué se
les llama así.
Entonces, si un minuto es tan pequeño en comparación con todo el día,
¡cuánto más pequeño en comparación será un segundo!
Una vez más, piensa en cien dólares comparados con un centavo: este sólo
1
vale una 1 000 parte. Un centavo tiene muy poca importancia en comparación con
cien dólares: no hay duda de que puede considerarse una cantidad pequeña. Sin
embargo, compara un centavo con diez mil dólares: en relación con esta suma
mayor, un centavo no tiene más importancia de la que tendría una centésima
parte de un centavo respecto a cien dólares. Incluso cien dólares es una cantidad
relativamente menor en la riqueza de un millonario.
Ahora bien, si pensamos que una fracción numérica cualquiera constituye
la proporción que para todo propósito podemos llamar relativamente pequeña,
podemos expresar con facilidad otras fracciones de un grado mayor de pequeñez.
1
Por consiguiente, si para efectos de tiempo, se puede decir que 60 es una fracción
1
1
pequeña, entonces 60 de 60 (que es una fracción pequeña de una fracción pequeña)
puede considerarse una cantidad pequeña del segundo orden de pequeñez.*
1
O si para todo propósito aceptáramos que 1% (esto es, 100) es una fracción
1
pequeña, entonces 1% de 1% (es decir, 10 000) sería una fracción pequeña del se-
CAPÍTULO 2
Sobre los diferentes grados de pequeñez
1
gundo orden de pequeñez; y 1 000 000 sería una fracción pequeña del tercer orden
de pequeñez, ya que es 1% de 1% de 1%.
Por último, supón que para un propósito muy preciso, consideramos que
1
es “pequeña”. En consecuencia, si un cronómetro de primera clase no debe
1 000 000
retrasarse ni adelantarse más de medio minuto al año, debe marcar el tiempo con
la exactitud de una parte en 1 051 200. Ahora, si para tal propósito, considera1
1
mos que 1 000 000 (o una millonésima) es una cantidad pequeña, entonces 1 000 000
1
de 1 000 000 , es decir, 1000 0001 000 000 será una cantidad pequeña del segundo orden de
pequeñez y puede, en comparación con la primera, descartarse del todo.
Vemos que cuanto más pequeña sea una cantidad diminuta, tanto más insignificante será la correspondiente cantidad pequeña del segundo orden. Por tanto,
sabemos que en todos los casos tenemos una buena justificación para no tener en
cuenta las cantidades pequeñas del segundo orden, o del tercero (u otros superiores),
si sólo aceptamos que la cantidad pequeña del primer orden es suficientemente
pequeña por sí misma.
No obstante, debe recordarse que las cantidades pequeñas, si se presentan
en expresiones matemáticas como factores multiplicados por algún otro factor,
pueden ser importantes si el otro factor es grande. Incluso un centavo cobra importancia si se multiplica por algunos cientos.
En cálculo escribimos dx para representar un pedacito de x. Estas partes,
como dx, du y dy, se llaman diferenciales, el diferencial de x, de u, o de y, según
sea el caso. [Se leen así: de equis, de u, o de ye.] Si dx es una parte pequeña de x, y
es relativamente pequeña en sí misma, de ahí no se deduce que cantidades como
x ⋅ dx, o x2dx, o axdx sean insignificantes. Pero dx ⋅ dx sería desdeñable porque es
una cantidad pequeña del segundo orden.
Un ejemplo muy sencillo servirá para ilustrar lo que estamos explicando.
Considera la función f (x) = x2.
Imagina que x es una cantidad que puede crecer una cantidad pequeña para
llegar a ser x + dx, donde dx es el pequeño incremento añadido por el crecimiento. Su cuadrado es x2 + 2x ⋅ dx + (dx)2. El segundo término no es insignificante
porque es una cantidad de primer orden; en tanto que el tercer término es del
segundo orden de pequeñez porque es un pedacito de un pedacito de x2. Así, si
1
entendemos que dx significa numéricamente, digamos, 60 de x, el segundo tér3
2
mino sería 60 de x2, mientras que el tercer término sería 3 600 de x2. Este último
término es evidentemente menos importante que el segundo. Pero si ahondamos
1
un poco más y entendemos que dx significa sólo 1 000
de x, el segundo término será
1
2
2
de x , mientras que el tercer término será sólo 1 000 000 de x2.
1 000
En términos geométricos, esto puede bosquejarse como sigue: dibuja un cuadrado (figura 1) y representa con x su lado. Ahora supón que el cuadrado crece
porque sumamos un pedacito dx a dos de sus lados. El cuadrado agrandado queda formado por el cuadrado original x2, los dos rectángulos en la parte superior
y a la derecha, cada uno de los cuales es de área x ⋅ dx (o juntos, 2x ⋅ dx), y un
cuadrado pequeño en la esquina superior derecha, que es (dx)2. En la figura 2
1
hemos tomado dx como una fracción muy grande de x: aproximadamente 5. Pero
1
supón que la hubiéramos tomado sólo como 100, más o menos el grosor de una
línea dibujada con un bolígrafo de punta fina (véase la figura 3). Entonces, el
x
x
Figura 1
39
Cálculo diferencial e integral (segunda parte)
40
x
1
dx
dx
dx
x
x
x
dx
Figura 2
x ∙ dx
(dx)2
x2
x ∙ dx
Figura 3
cuadrado pequeño de la esquina tendría un área de sólo 10 000 de x2, y sería prácticamente invisible. Está claro que (dx)2 es desdeñable sólo si consideramos que el
incremento dx es suficientemente pequeño.
Consideremos un símil.
Imagina que un millonario dice a su secretaria: “la próxima semana le daré
una pequeña fracción del dinero que gane.” Supón que la secretaria dice a su hijo:
“Te daré una pequeña fracción de lo que reciba”. Supón que la fracción en cada
1
caso es una centésima parte, 100. Ahora bien, si el millonario recibiera $1 000
durante la semana siguiente, la secretaria recibiría $10 y el hijo 10 centavos. Diez
dólares sería una cantidad pequeña en comparación con los $1 000; pero diez
centavos es una cantidad muy, pero muy pequeña, de un orden muy secundario.
1
Pero, ¿cuál sería la desproporción si la fracción, en lugar de ser 100, se hubiera
1
establecido en 1 000 parte? Entonces, aunque el millonario recibiría sus $1 000, la
secretaria recibiría sólo $1.00 y el niño ¡sólo una décima parte de un centavo!
El ingenioso Dean Swift escribió una vez:
Así, observan los naturalistas, una pulga.
Tenía pulgas más pequeñas que se alimentaban de ella.
Y estas tenían pulgas más pequeñas que las picaban.
Y así continúa la historia ad infinitum.
Un buey podría preocuparse por una pulga de tamaño normal: una criatura
pequeña del primer orden de pequeñez. Pero probablemente no se afligiría por
la pulga de la pulga; como esta es del segundo orden de pequeñez, sería desdeñable. Incluso una gruesa de pulgas de pulgas no sería demasiado problema para
el buey.
Capítulo 3
Sobre el crecimiento relativo
En cálculo se manejan cantidades que crecen y razones de crecimiento. Todas las
cantidades se clasifican en dos tipos: constantes y variables. Las que tienen valor
fijo, a las que llamamos constantes, generalmente se representan en términos
algebraicos con las primeras letras del alfabeto, como a, b y c; por su parte, las
que se considera que pueden crecer o, como dicen los matemáticos, “variar”, se
simbolizan con las últimas letras del alfabeto, como x, y, z, u, v, w, incluso a
veces t.
Además, por lo común se maneja más de una variable a la vez y se trata
de discernir cómo una variable depende de otra. Por ejemplo, reflexionamos
en cómo la altura que alcanza un proyectil depende del tiempo necesario para
llegar a ella; o consideramos un rectángulo de área determinada e indagamos
cómo todo aumento en la longitud de uno de sus lados crea necesariamente
un decremento correspondiente en la anchura; o bien, investigamos cómo
toda variación de la pendiente de una escalera hace que la altura alcanzada
cambie.
Supón que tenemos dos variables que dependen una de otra. El cambio de
una producirá el cambio de la otra a causa de tal dependencia. Sea x una de las
variables y la otra, que depende de la primera, y.
Imagina que hacemos que x varíe, es decir, la modificamos o suponemos que
varía, sumándole un pedacito que llamaremos dx. Por consiguiente, lo que estamos haciendo es que x se convierta en x + dx. Luego, como hemos modificado
x, y también habrá cambiado y se convertirá en y + dy. En este caso, el pedacito
dy puede ser a veces positivo y a veces negativo; además, no tendrá, salvo en contadas ocasiones, el mismo tamaño que dx.
Ejemplo 1
Sean x y y, respectivamente, la base y la altura de un triángulo rectángulo (figura 4), del cual, la pendiente del otro lado es fija en 30°. Si suponemos que
este triángulo se expande, pero conserva los ángulos iguales que al principio,
cuando la base crece a x + dx, la altura cambia a y + dy. Aquí, la x creciente produce un incremento de y. El triángulo pequeño, cuya altura es dy, y
cuya base es dx, es semejante al triángulo original; y es claro que el valor de la
Cálculo diferencial e integral (segunda parte)
42
dy
y
razón dy /dx es el mismo que el de la razón y /x. Como el ángulo es de 30°, se
verá que en este caso:3
y
dy
1
=
dx 1.73. . .
30°
x
dx
Figura 4
Ejemplo 2
B
y
O
x
A
Figura 5
En la figura 5, x representa la distancia horizontal, respecto a la pared, del pie
de una escalera, AB, de longitud fija; y es la altura que alcanza la escalera en la
pared. Está claro que y depende de x. Es fácil darse cuenta de que, si separamos el
extremo inferior A un poco más de la pared, el extremo superior B se situará un
tanto más abajo. Expresemos lo anterior en lenguaje matemático. Si incrementamos x a x + dx, y será y – dy; es decir, cuando x recibe un incremento positivo, el
incremento que produce en y es negativo.
Sí, pero, ¿cuánto? Supón que la escalera es tan larga que cuando el extremo
inferior A se halla a 19 pulgadas de la pared, el extremo superior B alcanza una
altura de sólo 15 pies. Ahora, si tiráramos del extremo inferior una pulgada más,
¿cuánto bajaría el extremo superior? Expresado en pulgadas: x = 19 pulgadas,
y = 180 pulgadas. El incremento de x, que denominamos dx, es de 1 pulgada, o
lo que es lo mismo, x + dx = 20 pulgadas.
¿Cuánto disminuirá y? La nueva altura será y – dy. Si calculamos la altura siguiendo el teorema de Pitágoras podemos averiguar cuánto mide dy. La longitud
de la escalera es:
(180)2 + (19)2 = 181 pulgadas
Como es evidente, la nueva altura, que es y – dy, será tal que:
(y – dy)2 = (181)2 – (20)2 = 32 761 – 400 = 32 361
y − dy = 32 361 = 179.89 pulgadas
Ahora bien, y es igual a 180, por lo que dy será 180 – 179.89 = 0.11 pulgadas.
Vemos que dx, que equivale a un incremento de 1 pulgada, produce un decremento dy de 0.11 pulgadas.
La razón de dy a dx se expresa de esta forma:
dy 0.11
=
dx
1
También es fácil entender que (salvo en una posición particular) el tamaño de dy
será diferente al de dx.
3
La cotangente de 30° es 3 = 1.7320. . .
1
Su recíproco, 1.7320, es 0.5773. . . , la tangente
de 30°. (MG)
Pasando al cálculo diferencial, lo que buscamos, buscamos y buscamos es
algo curioso, una simple razón: la proporción que dy guarda respecto a dx cuando
ambos son infinitamente pequeños.
CAPÍTULO 3
Cabe hacer notar que la razón dy /dx sólo puede calcularse cuando y y x
guardan alguna relación entre sí, de modo que siempre que x varía, y también lo
hace. Por citar un caso, en el ejemplo 1 presentado párrafos antes, si la base x del
triángulo se alargara, la altura y del triángulo también aumentaría; y en el ejemplo
2, si la distancia x del pie de la escalera respecto a la pared aumentara, la altura
y que alcanzaría la escalera disminuiría de manera correspondiente, despacio al
principio, pero cada vez más rápido a medida que x se hiciera más grande.
En estos dos ejemplos, la relación entre x y y está perfectamente definida y
puede expresarse en términos matemáticos como y /x = tan 30° y x2 + y2 = l 2
(donde l es la longitud de la escalera), respectivamente, y dy /dx tiene el significado que se obtuvo en cada ejemplo.
Si, mientras que x es, como antes, la distancia del pie de la escalera respecto
a la pared, y es, en vez de la altura alcanzada, la longitud horizontal de la pared,
o el número de ladrillos que tiene, o el número de años que tiene de construida,
cualquier cambio en x, como es natural, no alteraría nada en y; en este caso, dy /dx
no tiene significado alguno y no es posible hallar una expresión que la denote.
Siempre que se usen diferenciales dx, dy, dz, etcétera, está implícita la existencia
de algún tipo de relación entre x, y, z, etcétera, y esta relación se llama función en
x, y, z, etcétera.
Por ejemplo, las dos expresiones dadas párrafos antes, es decir, y /x = tan 30°
y x2 + y2 = l 2, son funciones de x y y. Tales expresiones contienen implícitamente
(esto es, contienen sin hacerlo evidente) el medio de expresar ya sea x en términos
de y o y en términos de x, y por esta razón se llaman funciones implícitas en x y y;
pueden expresarse, respectivamente, en las formas
y = x tan 30°
o
x=
y
tan 30°
y
y = l 2 − x2 o
x = l2 −y2
Estas últimas expresiones indican explícitamente el valor de x en términos de y,
o de y en términos de x, y por este motivo se llaman funciones explícitas de x o y.
Por ejemplo, x2 + 3 = 2y – 7 es una función implícita de x y y; puede escribirse y = x 2 + 10 / 2 (función explícita de x) o x = 2y − 10 (función explícita
de y).
Se entiende que una función explícita en x, y, z, etcétera, es simplemente algo
cuyo valor cambia cuando x, y, z, etcétera, cambian, ya sea una a la vez o varias
al mismo tiempo. Por ello, el valor de la función explícita se denomina variable
dependiente, pues depende del valor de las cantidades de la otra variable en la función; estas otras variables se denominan independientes porque su valor no queda
determinado por el valor asumido por la función.
Por ejemplo, si u = x2 sen θ, x y θ son las variables independientes y u es la
variable dependiente.
En ocasiones, la relación exacta entre varias cantidades x, y, z se desconoce o
no es conveniente expresarla; sólo se conoce, o es conveniente expresar que existe
algún tipo de relación entre esas variables, para que nadie pueda modificar x, y o
z de manera individual sin afectar las demás cantidades.
Sobre el crecimiento relativo
43
44
Cálculo diferencial e integral (segunda parte)
La existencia de una función en x, y, z se indica entonces por medio de la
notación F (x, y, z) (función implícita), o x = F (y, z), y = F (x, z), o z = F (x, y)
(función explícita). En ocasiones se usan las letras ƒ o ϕ en lugar de F, por lo que
y = F (x), y = f (x) y y = ϕ(x) significan exactamente lo mismo, esto es, que el
valor de y depende del valor de x de algún modo que no se expresa.
La razón dy /dx se conoce como el coeficiente diferencial de y respecto a x. Se
trata de un nombre científico solemne de algo muy sencillo. Pero a nosotros no
nos van a atemorizar los nombres solemnes porque sabemos que las cosas en sí
son muy sencillas. En lugar de asustarnos, simplemente proferiremos una breve
maldición por la necedad de dar nombres largos y difíciles de pronunciar y, habiendo aliviado la mente, seguiremos adelante con la cosa sencilla en sí misma,
es decir, la razón dy /dx.4
En el álgebra ordinaria que aprendiste en la escuela, siempre andabas a la
caza de una cantidad desconocida, llamada x o y; a veces, había dos cantidades
desconocidas que debías buscar al mismo tiempo. Debes aprender a cazar de
una manera nueva: ahora, el zorro no es x ni y. Ahora debes salir a la caza de un
cachorro muy curioso llamado dy /dx.
El proceso de buscar el valor de dy /dx se llama derivar. Sin embargo, recuerda,
lo que se desea obtener es el valor de esta razón cuando dy y dx son infinitamente
pequeños. El verdadero valor de la derivada es aquel al que se aproxima en el caso
límite, cuando cada uno de ellos se considera infinitesimalmente pequeño.
A continuación aprenderemos a ir en busca de dy /dx.
Cómo leer derivadas
4
He conservado aquí la crítica justificada de
Thompson al término coeficiente diferencial,
que estaba en uso cuando escribió el libro.
El término fue sustituido posteriormente por
derivada, una palabra más sencilla. De aquí
en adelante, en vez de coeficiente diferencial
en este libro se le llamará derivada. (MG)
Nunca caigas en el craso error de pensar que dx significa d multiplicado por x,
porque d no es un factor, sino que significa “un elemento de” o “un pedacito de”
lo que sea que siga. Por consiguiente, dx se lee: “de equis”.
En caso de que no tengas a nadie que te guíe en estas cuestiones, aquí simplemente te diremos que uno lee las derivadas de esta manera:
5
Newton llamaba fluyente a una variable y
fluxión a una derivada, ya que su valor fluía
o fluctuaba continuamente. En el capítulo
10 Thompson relata que Newton indicaba
una primera derivada escribiendo un punto
sobre un término, una segunda derivada
escribiendo dos puntos, una tercera derivada
con tres puntos y así sucesivamente.
Morris Kline, en su obra de dos volúmenes
Calculus (1967), es el único matemático
moderno, hasta donde yo sé, que adoptó
la notación de puntos de Newton para las
derivadas. Sin embargo, los físicos usan a
menudo la notación de puntos para denotar
derivación respecto al tiempo. (MG)
• La derivada dy /dx se lee: “de ye de equis”, o “de ye sobre de equis”.
• La derivada du /dt se lee “de u de te”.
Las segundas derivadas se explicarán ulteriormente. Son así: d 2 y /dx 2, que se
lee: “de dos ye sobre de equis cuadrada”, y significa que la operación de derivar y
respecto a x se ha ejecutado (o debe ejecutarse) dos veces.
Otra forma de indicar que una función se ha derivado consiste en poner
un apóstrofo al símbolo de función. Así, si y = f (x), que significa que y es una
función no especificada de x, puede escribirse f ′(x) en lugar de d ( f ( x )) /dx . Del
mismo modo, f ″(x) significa que la función original f (x) se ha derivado dos veces
respecto a x.5
Capítulo 4
Los casos más sencillos
Ahora veremos, sobre principios esenciales, cómo podemos derivar una expresión
algebraica simple.
Caso 1
Empecemos con la expresión simple y = x2.6 Recuerda que la noción fundamental en cálculo es la idea de crecimiento. Los matemáticos lo llaman variación. Como y y x2 son iguales, es evidente que si x crece, x2 también lo hará.
Y si x2 crece, y también crecerá. Lo que debemos hallar es la razón que hay
entre el crecimiento de y y el de x. En otras palabras, nuestra tarea consiste en
averiguar la razón entre dy y dx o, en suma, calcular el valor de dy /dx.
Así, x crecerá un poco y será x + dx. Por su parte, y crecerá un poco y
será y + dy. Entonces, como es lógico, seguirá siendo válido que y agrandada
es igual al cuadrado de x agrandada. Si escribimos lo anterior, tendremos:
y + dy = (x + dx)2
Desarrollamos el miembro que está elevado al cuadrado:
y + dy = x2 + 2x ⋅ dx + (dx)2
¿Qué significa (dx)2? Recuerda que dx significa un pedacito, un poquito de x.
Entonces, (dx)2 significa un poquito de un poquito de x2; es decir, como
se explicó antes, se trata de una cantidad pequeña del segundo orden de
pequeñez. Por tanto, se puede descartar por ser muy insignificante en comparación con los otros términos. Así pues, la omitimos y tenemos:
y + dy = x2 + 2x ⋅ dx
Ahora, y = x2; lo restaremos de la ecuación para quedarnos con:
dy = 2x ⋅ dx
Al dividir entre dx obtenemos:
dy
= 2x
dx
Y claro, esto* es lo que debíamos calcular. La razón del crecimiento de y
respecto al crecimiento de x es, en el caso que nos ocupa, 2x.
6
La gráfica de esta ecuación es una parábola
como la mostrada en la figura 1 de la primera
parte. (MG)
* Esta razón dy /dx es el resultado de
derivar y respecto a x. Derivar significa
encontrar la derivada. Supón que tenemos
otra función de x, por ejemplo, u = 7x 2 + 3.
Entonces, si nos pidieran que la deriváramos
respecto a x, tendríamos que calcular
du /dx, o, lo que es lo mismo, d(7x 2 + 3) / dx .
Por otro lado, podría presentarse el caso en
que el tiempo fuera la variable indepen1
diente, como en y = b + 2 at 2. Luego,
si nos pidieran que la deriváramos, eso
significaría que debemos encontrar su
derivada respecto a t, por lo que nuestra
tarea sería tratar de calcular dy /dt, es decir,
calcular d ( b + 12 at 2 ) / dt .
46
Cálculo diferencial e integral (segunda parte)
Ejemplo numérico
Supón que x = 100 y, por tanto, y = 10 000. Luego, imagina que x crece hasta
101, es decir, sea dx = 1. Entonces la y agrandada será 101 ⋅ 101 = 10 201. Pero
si aceptamos que podemos pasar por alto las cantidades pequeñas del segundo
orden, podemos rechazar 1 en comparación con 10 000; así, para redondear, la
y agrandada será igual a 10 200; y ha crecido de 10 000 a 10 200; el pedacito
añadido es dy, que por consiguiente es 200.
200
dy
=
= 200
1
dx
De acuerdo con los cálculos algebraicos del párrafo anterior, tenemos que
dy /dx = 2x. Y así es, porque x = 100 y 2x = 200.
Pero, exclamarás, ¡hemos descartado toda una unidad!
Bueno, vuelve a intentarlo, pero haz que dx sea una cantidad aún más pequeña. Prueba con dx = 101 . Por tanto, x + dx = 100.1, y
(x + dx)2 = 100.1 ⋅ 100.1 = 10 020.01
El último 1 es sólo una millonésima parte de 10 000, y es absolutamente
insignificante; por ende, podemos aceptar 10 020 sin el pequeño centésimo
del final.7 Y esto hace que dy = 20 y dy /dx = 20 / 0.1 = 200, que es lo mismo
que 2x.
7
Muchos autores de libros académicos de
cálculo prefieren usar la letra griega delta (∆)
en vez de la d para representar un incremento lo suficientemente pequeño para tomarlo
como cero. Una derivada se define como
Caso 2
Tratemos de derivar y = x3 de la misma forma.
Digamos que y crece a y + dy, en tanto que x crece a x + dx. Entonces
tenemos:
f ( x +∆ x ) −f ( x)
dy
lím
dx = ∆ x→ 0
∆x
y + dy = (x + dx)3
Desarrollemos el miembro al cubo para obtener:
Esto expresa el límite cuando ∆x va decreciendo hacia cero. Por ejemplo, si f (x) = 2,
la fórmula queda de este modo:
2 −2
0
∆y
=
=
∆x
∆x
∆x
Puesto que ∆x tiende a cero, la derivada
de 2 es cero, y su gráfica es una recta horizontal.
Si f (x) = 2x, la fórmula resulta en
2 ∆y / ∆x . Como ∆x se aproxima a cero, la
derivada de 2x es 2, y la gráfica correspondiente es una línea recta con pendiente hacia
arriba.
Thompson no usa la notación delta; en
realidad, evita cualquier notación de límites.
Pero ello no causa ningún daño. Resulta fácil
traducir la técnica de Thomson del “agotamiento” o exahución de cada decremento al
punto donde pueden “despreciarse” en la
forma actual de definir las derivadas como
límites. (MG)
y + dy = x3 + 3x2 ⋅ dx + 3x(dx)2 + (dx)3
Sabemos que podemos descartar cantidades pequeñas del segundo y
tercer órdenes; puesto que dy y dx son infinitamente pequeños, (dx)2 y (dx)3
serán infinitamente más pequeños en comparación. Por tanto, si consideramos que estas cantidades son insignificantes, queda:
y + dy = x3 + 3x2 ⋅ dx
Pero y = x3; entonces la restamos y tenemos:
dy = 3x2 ⋅ dx
y
dy
2
= 3x
dx
CAPÍTULO 4
Caso 3
Tratemos de derivar y = x4. Comenzamos como antes, y y x crecen un poco
y tenemos:
y + dy = (x + dx)4
Hacemos las operaciones para elevar a la cuarta potencia y obtenemos:
y + dy = x4 + 4x3 dx + 6x2(dx)2 + 4x(dx)3 + (dx)4
Luego, eliminamos los términos que contienen todas las potencias superiores de dx, por ser insignificantes en comparación, y queda:
y + dy = x4 + 4x3 dx
Restamos la ecuación original y = x4 para obtener:
dy = 4x3 dx y
dy
3
= 4x
dx
Todos estos casos son muy sencillos. Reunamos los resultados para ver si podemos inferir alguna regla general. Los ordenamos en dos columnas y escribimos
los valores de y en una y los valores correspondientes calculados de dy /dx en la
otra:
y
dy
dx
x2
2x
x
3
3x2
x4
4x3
Mira estos resultados: parece que la operación para obtener la derivada tuvo
el efecto de disminuir en 1 la potencia de x (por ejemplo, en el último caso, x4
se redujo a x3) y, al mismo tiempo, de multiplicar por un número (de hecho, el
mismo número que apareció originalmente como la potencia).
Una vez que se ha entendido esto, es fácil conjeturar cómo se desarrollará lo
demás. Cabe esperar que derivar x5 dé por resultado 5x4, o que la derivada de x6
resulte en 6x5. Si tienes dudas, deriva una de estas y comprueba si la conjetura es
acertada.
Comprobémosla con y = x5:
y + dy = (x + dx)5 = x5 + 5x4dx + 10x3 (dx)2 + 10x2 (dx)3 + 5x(dx)4 + (dx)5
Descartamos todos los términos que contienen cantidades pequeñas de órdenes superiores y obtenemos:
y + dy = x5 + 5x4 dx
Los casos más sencillos
47
48
Cálculo diferencial e integral (segunda parte)
restamos y = x5 y queda:
dy = 5x4 dx
de donde se desprende dy / dx = 5x 4, precisamente lo que ya suponíamos.
Haciendo un seguimiento lógico de nuestra observación, podríamos concluir
que si queremos trabajar con cualquier potencia superior (llámese xn), podríamos
resolverla de la misma manera.
Sea y = xn; entonces, cabe esperar que:
dy
n −1
= nx
dx
Por ejemplo, sea n = 8, de modo que y = x8; si derivamos, obtendremos
como resultado dy / dx = 8 x 7.
De hecho, la regla según la cual derivar xn da por resultado nxn –1 es válida
para todos los casos en los que n es un número entero positivo. [Si expandes
(x + dx)n según el teorema del binomio, de inmediato demuestras lo anterior.]
Sin embargo, la cuestión sobre si sigue siendo válida para los casos donde n tiene
valores negativos o fraccionales requiere considerarse más a fondo.
Caso de un exponente negativo
Sea y = x–2. Procederemos como antes:
y + dy = (x +dx )−2
( )
= x−2 1+
dx
x
−2
Expandiendo según el teorema del binomio obtenemos:
−2
= x
[
2
( )
2 dx 2(2 +1) dx
1−
+
1⋅ 2
x
x
]
−...
= x−2 − 2x−3 ⋅ dx + 3x−4(dx)2 − 4x−5(dx)3 + etcétera
Si descartamos las cantidades pequeñas de grandes órdenes de pequeñez tendremos:
y + dy = x–2 – 2x–3 ⋅ dx
Restamos la ecuación original y = x–2 y obtenemos:
dy = −2 x−3dx
dy
= −2 x−3
dx
Como vemos, este resultado sigue estando de acuerdo con la regla antes inferida.
CAPÍTULO 4
Los casos más sencillos
49
Caso de un exponente fraccionario
Sea y = x 1/2. Entonces, como antes,
(
y + dy = (x +dx )1/2 = x 1/2 1+
=
x+
)
(
)
dx 1/2
dx 1/2
= x 1+
x
x
1 dx 1 ( dx )2
−
+ términos con potencias superiores de dx
2 x 8 x x
Restamos la ecuación original y = x 1/2 y descartamos las potencias superiores para quedarnos con:
dy =
1 dx
1
= x –1/2 ⋅ dx
2 x
2
y
1
dy
= x – 1/2
dx 2
Esto concuerda con la regla general.
RESUMEN
Repasemos cuánto hemos avanzado. Hemos llegado a la regla siguiente: para
derivar xn hay que multiplicarla por el exponente y restar uno del exponente, lo
que da por resultado nxn –1.8
[ EJERCICIOS I ]
Obtén la derivada de:
1. y = x13
5. z = 3 u
8. y = 2xa
2. y = x–3/2
6. y = 3 x −5
9. y = x 3
3. y = x2a
7. u = 5
4. u = t2.4
1
x8
q
10. y = n
1
xm
Has aprendido a
derivar potencias de
x. ¡Qué fácil es!
8
Esta regla se conoce en la actualidad como
regla de la potencia. Es la regla que se usa
con mayor frecuencia para derivar funciones
de orden menor. (MG)
Capítulo 5
La etapa siguiente:
qué hacer con las constantes
En nuestras ecuaciones hemos considerado que x crece, y como resultado de esto,
y también cambia su valor y crece. En general, pensamos que x es una cantidad
que puede variar; y considerando la variación de x como una especie de causa,
podríamos pensar que la variación resultante de y es el efecto. En otras palabras,
consideramos que el valor de y depende del de x. Tanto x como y son variables,
pero x es con la que trabajamos y y es la variable dependiente. En los capítulos
anteriores hemos tratado de hallar reglas que se apliquen a la razón en que la
variación dependiente de y se relaciona con la variación independiente de x.
El paso siguiente consiste en averiguar el efecto que produce en el proceso de
derivación la presencia de constantes, esto es, números que no se alteran cuando
x o y cambian de valor.
Constantes sumadas
Empecemos con un caso sencillo de una constante sumada.
Sea y = x3 + 5. Igual que antes, supongamos que x crecerá a x + dx y que y
crecerá a y + dy. Entonces:
y + dy = (x + dx)3 + 5 = x3 + 3x2 dx + 3x(dx)2 + (dx)3 + 5
Descartamos las cantidades pequeñas de órdenes superiores, con lo que queda:
y + dy = x3 + 3x2 ⋅ dx + 5
Restamos la ecuación original y = x3 + 5, con lo que se obtiene:
dy = 3 x 2 dx
dy
2
= 3x
dx
El 5 ha desaparecido. No aportó nada al crecimiento de x y no entra en la derivada. Si hubiéramos escrito 7, 700, o cualquier otro número, en lugar de 5, habría
desaparecido de todos modos. Por tanto, si aceptamos que la letra a, b o c representa una constante cualquiera, simplemente desaparecerá cuando derivemos.
CAPÍTULO 5
La etapa siguiente: qué hacer con las constantes
Si la constante adicional hubiera tenido valor negativo, como –5 o –b, habría
desaparecido igualmente.
Constantes multiplicadas
Tomemos este caso como un simple experimento.
Sea y = 7x2. Procedemos como antes y obtenemos:
y + dy = 7(x + dx)2
= 7{x2 + 2x ⋅ dx + (dx)2}
= 7x2 + 14x ⋅ dx + 7(dx)2
Luego, restamos la ecuación original y = 7x2 y descartamos el último término; obtenemos:
dy = 14 x ⋅ dx
dy
= 14 x
dx
Para ilustrar este ejemplo, trazaremos las gráficas de las ecuaciones y = 7x2 y
dy / dx = 14 x, asignando a x el conjunto de valores sucesivos 0, 1, 2, 3, etcétera, y
calculando los valores correspondientes de y y de dy / dx. Estos valores se tabulan
como sigue:
x
0
1
2
3
4
5
–1
–2
–3
y
0
7
28
63
112
175
7
28
63
dy
dx
0
14
28
42
56
70
–14
–28
–42
Ahora graficaremos estos valores a una escala conveniente para obtener las
dos curvas que se muestran en las figuras 6 y 6a.
Observa detenidamente las dos figuras y comprueba que la altura de la ordenada de la gráfica de la derivada (figura 6a) es proporcional a la pendiente de
la gráfica original (figura 6), en el valor correspondiente de x. A la izquierda del
origen, donde la gráfica original tiene una pendiente negativa (es decir, hacia
abajo de izquierda a derecha), las ordenadas correspondientes de la gráfica de la
derivada son negativas.
Si volvemos a las páginas anteriores, veremos que si derivamos simplemente
x2 obtendremos 2x. De modo que la derivada de 7x2 es siete veces mayor que la
de x2. Si tuviéramos 8x2, la derivada sería ocho veces mayor que x2. Si escribimos
y = ax2, obtendremos:
dy
= a ⋅ 2x
dx
51
52
Cálculo diferencial e integral (segunda parte)
Figura 6
Gráfica de y = 7x 2.
Si hubiéramos empezado con y = axn habríamos obtenido:
dy
n−1
= a ⋅ nx
dx
Por tanto, una simple multiplicación por una constante reaparece como una
simple multiplicación cuando el objeto se deriva. Y lo que es válido respecto a la
Figura 6a
Gráfica de
dy
= 14x .
dx
CAPÍTULO 5
La etapa siguiente: qué hacer con las constantes
multiplicación es igualmente válido en cuanto a la división, ya que, en el ejemplo
1
1
anterior, si hubiéramos tomado como constante 7 en lugar de 7, el mismo 7 habría desaparecido en el resultado después de derivar.
Otros ejemplos
Los ejemplos siguientes, totalmente resueltos, te permitirán dominar por completo el proceso de derivación según se aplica a las expresiones algebraicas ordinarias, y te facilitarán resolver por tu cuenta los ejercicios que se presentan al final
del capítulo.
Ejemplo 1
Obtén la derivada de
y=
x5
3
−
7
5
Solución
Aquí tenemos que –3/5 es una constante sumada y desaparece. Por tanto, podemos escribir de una vez:
dy
1
5−1
= ⋅ 5 ⋅ x
dx
7
dy
5 4
= x
dx
7
Ejemplo 2
Obtén la derivada de
y =a x −
1
a
2
Solución
El término −1/2 a desaparece porque es una constante sumada; y como a x ,
en notación de potencia, se escribe ax 1/2, obtenemos:
dy
a
1
=a ⋅
⋅ x 1/2−1= ⋅ x−1/2
dx
2
2
dy
a
=
dx
2 x
o
Ejemplo 3
El volumen de un cilindro recto circular de radio r y altura h se obtiene con la
fórmula V = πr2h. Calcula la razón de cambio del volumen con el radio cuando
53
54
Cálculo diferencial e integral (segunda parte)
r = 5.5 centímetros (cm) y h = 20 cm. Si r = h, calcula las dimensiones del cilindro para que un cambio de 1 cm en el radio produzca un cambio de 400 cm3
en el volumen.
Solución
La razón de cambio de V respecto a r es:
dV
= 2π rh
dr
Si r = 5.5 cm y h = 20 cm, el resultado es 691.2. Esto significa que un cambio de 1 cm en el radio causa un cambio de 691.2 cm3 en el volumen. Podemos
comprobar esto con facilidad, pues los volúmenes r = 5 y r = 6 son 1 570.8 cm3
y 2 262 cm3, respectivamente, y 2 262 – 1 570.8 = 691.2.
Además, si h = r y h permanece constante,
dV
2
= 2π r = 400
dr
y
r =h=
400
= 7.98 cm
2π
Sin embargo, si h = r y varía con r, entonces:
dV
2
= 3π r = 400
dr
y r =h=
400
= 6.51 cm
3π
Ejemplo 4
La lectura θ de un pirómetro de radiación Féry se relaciona con la temperatura t
en grados Celsius del cuerpo observado por medio de la relación θ /θ 1 = (t / t1)4,
donde θ1 es la lectura correspondiente a una temperatura conocida de t1 del
cuerpo observado.
Compara la sensibilidad del pirómetro a temperaturas de 800 °C, 1 000 °C,
1 200 °C, si se sabe que la lectura fue de 25 cuando la temperatura era de
1 000 °C.
Solución
La sensibilidad es la razón de cambio de la lectura respecto a la temperatura, es
decir, d θ / dt. La fórmula se escribe:
θ=
θ1 4
25t 4
t
=
1 000 4
t14
y tenemos:
dθ
100t 3
t3
=
=
4
dt
10 000 000 000
1 000
CAPÍTULO 5
La etapa siguiente: qué hacer con las constantes
Cuando t = 800, 1 000 y 1 200, obtenemos d θ / dt = 0.0512, 0.1 y 0.1728,
respectivamente.
La sensibilidad se duplica aproximadamente de 800 a 1 000°, y es de tres
cuartas partes más a 1 200°.
[ E J E R C I C I O S I I ] Obtén la derivada de:
az n − 1
c
1. y = ax3 + 6
3. y = 12x 1/2 + c 1/2
5. u =
2. y = 13x 3/2 − c
4. y = c 1/2 x 1/2
6. y = 1.18t2 + 22.4
Crea otros ejemplos y trata de obtener su derivada.
7. Si lt y l0 son las longitudes de una varilla de hierro a las temperaturas de
t °C y 0 °C, respectivamente, entonces lt = l0 (1 + 0.000012t). Calcula
el cambio en la longitud de la varilla por grado Celsius.
8. Se ha calculado que si c es la potencia en candelas (unidad de intensidad luminosa) de una lámpara eléctrica incandescente, y V es el voltaje,
c = aV b, donde a y b son constantes.
Obtén la razón de cambio de la potencia en candelas con el voltaje y
calcula el cambio en la potencia en candelas por volt a 80, 100 y 120 volts
en el caso de una lámpara para la cual a = 0.5 ⋅ 10–10 y b = 6.
9. La frecuencia n de vibración de una cuerda de diámetro D, longitud L y
gravedad específica σ, estirada con una fuerza T, está dada por:
1 gT
DL πσ
n=
Calcula la razón de cambio de la frecuencia cuando D, L, σ y T varían
individualmente.
10. La mayor presión externa P que un tubo puede soportar sin derrumbarse
está dada por:
P=
t3
2E
1 − σ 2 D3
(
)
donde E y σ son constantes, t es el espesor del tubo y D su diámetro. (Esta
fórmula supone que 4t es pequeña en comparación con D.)
Compara la razón a la que P varía con un cambio pequeño de espesor
y con un cambio pequeño de diámetro que tienen lugar por separado.
55
56
Cálculo diferencial e integral (segunda parte)
11. Calcula, con base en los principios esenciales, la razón a la que lo siguiente varía respecto a un cambio en el radio:
(a) la circunferencia de un círculo de radio r
(b) el área de un círculo de radio r
(c) el área lateral de un cono cuya dimensión de inclinación es l
(d) el volumen de un cono de radio r y altura h
(e) el área de una esfera de radio r
(f ) el volumen de una esfera de radio r
Capítulo 6
Sumas, diferencias, productos y cocientes9
Hemos aprendido a derivar funciones algebraicas simples, como x2 + c o ax4, y
ahora debemos considerar cómo trabajar con la suma de dos o más funciones.
Por ejemplo, sea
y = (x2 + c) + (ax4 + b)
¿Cuál será su dy /dx? ¿Cómo vamos a encarar este reto nuevo que nos sale al
paso?
La respuesta es muy sencilla: simplemente hay que obtener sus derivadas, una
después de la otra. Por tanto:
dy
3
= 2 x + 4ax
dx
Si tienes alguna duda acerca de si esto es lo correcto, probaremos con un caso
más general y lo trabajaremos a partir de los principios esenciales. Así se hace.
Sea y = u + v, donde u es cualquier función de x y v cualquier otra función
de x. Así, si x crece a x + dx, y aumentará a y + dy; u aumentará a u + du, y v a
v + dv.
Entonces tendremos:
y + dy = u + du + v + dv
Restamos la ecuación original y = u + v para obtener:
dy = du + dv
y dividimos entre dx para obtener:
dy du dv
= +
dx dx dx
Esto justifica el procedimiento. Cada función se deriva por separado y luego
se suman los resultados. Por consiguiente, si ahora tomamos el ejemplo de párrafos anteriores e insertamos los valores de las dos funciones, tendremos, usando la
notación mostrada:
dy d ( x 2 + c ) d ( ax 4 + b )
=
+
dx
dx
dx
3
= 2x
+4ax
9
Las reglas que se presentan en este
capítulo se conocen en la actualidad como
regla de la suma, regla de la diferencia,
regla del producto y regla del cociente.
(MG)
58
Cálculo diferencial e integral (segunda parte)
que es exactamente lo que teníamos antes.
Si hubiera tres funciones de x, que llamaremos u, v y w, de manera que
y=u+v+w
entonces,
dy du dv dw
= + +
dx dx dx dx
En cuanto a la regla de la sustracción se deduce de inmediato, ya que si la
función v tuviera signo negativo, su derivada también habría sido negativa; por
tanto, derivando
y=u–v
debemos obtener:
dy du dv
= −
dx dx dx
Sin embargo, cuando se trata de productos la cosa no es tan sencilla.
Supón que nos piden obtener la derivada de la expresión:
y = (x2 + c) ⋅ (ax4 + b)
¿Qué vamos a hacer? Desde luego, el resultado no será 2x ⋅ 4ax3, pues es fácil
notar que ni c ⋅ ax4 ni x2 ⋅ b se han considerado en ese producto.
Hay dos formas en las que podemos trabajar.
Primera forma. Hacemos primero la multiplicación y, después de resolverla, obtenemos la derivada.
En consecuencia, multiplicamos x2 + c ⋅ ax4 + b, lo que da por resultado
6
ax + acx4 + bx2 + bc. En seguida derivamos y obtenemos:
dy
5
3
= 6ax + 4acx + 2bx
dx
Segunda forma. Volvamos a los principios esenciales y consideremos la ecuación:
y=u⋅v
donde u es una función de x, y v es cualquier otra función de x. Entonces, si x
aumenta a x + dx; y a y + dy; u a u + du, y v a v + dv, tendremos:
y + dy = (u + du) ⋅ (v + dv)
= u ⋅ v + u ⋅ dv + v ⋅ du + du ⋅ dv
Ahora bien, du ⋅ dv es una cantidad pequeña del segundo orden de pequeñez
y, por tanto, puede descartarse en el límite, con lo que queda:
y + dy = u ⋅ v + u ⋅ dv + v ⋅ du
CAPÍTULO 6
Sumas, diferencias, productos y cocientes
Luego restamos la ecuación original y = u ⋅ v, y nos queda:
dy = u ⋅ dv + v ⋅ du
que dividimos entre dx para obtener el resultado:
dy
dv
du
= u +v
dx
dx
dx
Esto demuestra que las instrucciones que debemos seguir son las siguientes:
para derivar el producto de dos funciones multiplicamos cada función por la derivada
de la otra y sumamos los dos productos así obtenidos.
Observarás que este proceso se reduce a lo siguiente:
1. Trata a u como constante cuando derives v.
2. Luego trata a v como constante cuando derives u.
3. Toda la derivada dy /dx será la suma de los resultados de los dos pasos anteriores.
Bueno, después de haber aprendido esta regla, apliquémosla al ejemplo concreto que consideramos párrafos antes.
Queremos obtener la derivada del producto:
(x2 + c) ⋅ (ax4 + b)
Llamemos (x2 + c) = u y (ax4 + b) = v.
Luego, por la regla general que acabamos de establecer, escribimos:
d (x 2 + c )
d ( ax 4 + b )
dy
2
4
(
)
(
)
ax
b
x
c
= +
+
+
dx
dx
dx
2
3
4
+ ( ax + b )2 x
= ( x +c )4ax
= 4ax 5 + 4acx 3
+ 2ax 5+ 2bx
dy
= 6ax 5 + 4acx 3
+ 2bx
dx
Exactamente como antes.
Por último, tenemos que derivar cocientes.
Reflexiona en este ejemplo:
bx 5 + c
x2 + a
En este caso no tiene sentido tratar de resolver la división de antemano, porque x2 + a no puede dividirse entre bx5 + c, y estas expresiones tampoco tienen
un factor común. No queda más remedio que volver a los principios esenciales y
hallar una regla.
En consecuencia, escribimos:
u
y=
v
donde u y v son dos funciones diferentes de la variable independiente x. Entonces, cuando x aumenta a x + dx, y aumentará a y + dy; u será u + du, y v será
v + dv. Por tanto,
y=
59
60
Cálculo diferencial e integral (segunda parte)
y + dy =
u + du
v + dv
Ahora realizamos la división algebraica como sigue:
u du u ⋅ dv
+ − 2
v
v
v
v + dv u + du
u+
u ⋅ dv
v
u ⋅ dv
v
du ⋅ dv
du +
v
u ⋅ dv du ⋅ dv
−
−
v
v
u ⋅ dv u ⋅ dv ⋅dv
−
−
v
v2
du ⋅ dv u ⋅ dv ⋅dv
−
+
v
v2
du −
Como estos dos residuos son cantidades pequeñas del segundo orden, pueden descartarse, y la división puede detenerse aquí, ya que cualquier otro residuo
sería de magnitud todavía más pequeña.
Entonces tenemos:
y + dy =
u du u ⋅ dv
− 2
+
v
v
v
que puede escribirse:
=
u v ⋅ du − u ⋅ dv
+
v
v2
Ahora restamos la ecuación original y = u /v, y nos quedamos con:
dy =
v ⋅ du − u ⋅ dv
v2
donde
dv
du
−u
dx
dx
=
v2
dx
dy
v
Esto nos da las instrucciones para obtener la derivada de un cociente de dos
funciones. Multiplicamos la función del divisor entre la derivada de la función del
dividendo; luego multiplicamos la función del dividendo por la derivada de la función del divisor, y restamos el segundo producto del primero. Por último, dividimos la
diferencia entre el cuadrado de la función del divisor.
CAPÍTULO 6
Sumas, diferencias, productos y cocientes
Volviendo a nuestro ejemplo:
y=
bx 5 + c
x2 + a
Llamemos bx5 + c = u y x2 + a = v. Entonces
dy
dx
(x 2 + a)
=
=
d (x 2 + a)
d (bx 5 + c )
5
− (bx + c )
dx
dx
2
2
(x + a)
( x 2 + a )(5bx 4 ) − (bx 5 + c )(2 x )
( x 2 + a )2
dy 3bx 6 + 5abx 4 − 2cx
=
dx
( x 2 + a )2
A menudo, la resolución de cocientes resulta tediosa, pero no tiene nada de
difícil.
A continuación se presentan algunos otros ejemplos totalmente resueltos.
Ejemplo 1
Obtén la derivada de
a 3 a2
a2
y= 2 x − x+ 2
b
b
b
Solución
Como es una constante, a2/b2 desaparece, por lo que queda:
a2
dy
a
3−1
= 2 ⋅ 3 ⋅ x − ⋅ 1 ⋅ x1−1
b
dx b
Pero x1–1 = x0 = 1; por tanto, obtenemos:
dy 3a 2 a 2
= x −
b
dx b 2
Ejemplo 2
Obtén la derivada de
y = 2a bx 3 −
3b 3 a
− 2 ab
x
Solución
Si ponemos x en forma de exponente tenemos:
y = 2 a bx 3/2− 3b 3 ax−1 − 2 ab
61
62
Cálculo diferencial e integral (segunda parte)
Ahora,
dy
3
−1−1
= 2a b ⋅ ⋅ x 3/2−1− 3b 3 a ⋅ (−1) ⋅ x
dx
2
3b 3 a
dy
= 3a bx + 2
dx
x
o
Ejemplo 3
Obtén la derivada de
z = 1.8 3
1 4.4
−
− 27
θ2 5 θ
Solución
Esta expresión puede escribirse como
−2/3
z = 1.8θ
−1/5
− 27
− 4.4θ
Ahora sabemos que al derivar el 27 desaparece y tenemos:
dz
2 −2/3−1
1 −1/5−1
− 4.4 ⋅ (− )θ
= 1.8 ⋅ (− )θ
dθ
3
5
−5/3
−6/5
dz
= −1.2 θ + 0.88θ
dθ
dz 0.88 1.2
= 5 6 −3 5
dθ
θ
θ
o
o
Ejemplo 4
Obtén la derivada de
v = (3t2 – 1.2t + 1)3.
Solución
Más adelante explicaremos una manera directa de hacer esto; por el momento
podemos desenvolvernos sin ninguna dificultad. Si desarrollamos la expresión al
cubo obtenemos:
v = 27t6 – 32.4t5 + 39.96t4 – 23.328t3 + 13.32t2 – 3.6t + 1
por tanto,
dv
5
4
3
2
= 162t − 162t + 159.84t − 69.984t + 26.64t − 3.6
dt
CAPÍTULO 6
Ejemplo 5
Obtén la derivada de
y = (2x – 3)(x + 1)2
Solución
d [( x +1)( x + 1) ]
dy
d (2 x − 3)
+ ( x + 1)2
= (2 x − 3)
dx
dx
dx
d ( x +1)
d ( x +1)
= (2 x −3) ( x +1)
+ ( x + 1)
dx
dx
d (2 x − 3)
+ ( x + 1)2
dx
= 2( x + 1)[(2 x − 3) +( x +1) ] = 2( x +1)(3 x −2)
[
]
o, más sencillamente, multiplica y luego deriva.
Ejemplo 6
Obtén la derivada de
y = 0.5x3(x – 3)
Solución
d (x 3)
dy
3 d ( x − 3)
= 0.5 x
+ ( x − 3)
dx
dx
dx
= 0.5[ x 3 + ( x − 3) ⋅ 3x 2 ] = 2 x3 − 4.5 x 2
[
]
Mismos comentarios que en el ejemplo anterior.
Ejemplo 7
Obtén la derivada de
(
w = θ+
1
θ
1
) ( θ + θ)
Solución
Esto puede escribirse de esta forma:
w = (θ +θ−1) (θ 1/2+ θ−1/2)
d (θ 1/2 + θ−1/2 )
d (θ +θ −1)
dw
1/2
−1/2
−1
= (θ +θ )
+ θ +θ
dθ
dθ
dθ
1 –3/2
1/2
−1/2
−1 1 −1/2
= (θ +θ ) ( θ
+ (θ + θ )(1−θ−2)
− )θ
2
2
(
)
Sumas, diferencias, productos y cocientes
63
64
Cálculo diferencial e integral (segunda parte)
=
1 1/2
θ + θ−3/2− θ−1/2− θ−5/2 + θ 1/2 +θ−1/2− θ−3/2 −θ−5/2
2
=
3
2
) (
(
)
( θ − 1θ ) (+ 12 ) ( 1θ + θ1 )
3
5
De nuevo, este resultado puede obtenerse más sencillamente si multiplicamos primero los dos factores y luego derivamos. Sin embargo, esto no es siempre
posible; véase, como referencia, el ejemplo 8 del capítulo 15 (de esta segunda
parte), en el que es indispensable aplicar la regla para derivar un producto.
Ejemplo 8
Obtén la derivada de
y=
a
1+ a x + a 2x
Solución
(1 + ax 1/2 + a 2x ) ⋅ 0 − a
dy
=
dx
d(1 + ax 1/2 + a 2 x )
dx
(1+ a x + a 2x )2
=−
a ( 12 ax –1/2+ a 2)
(1+ a x 1/2 + a 2x )
2
Ejemplo 9
Obtén la derivada de
y=
x2
x 2 +1
Solución
dy ( x + 1) 2x − x ⋅ 2 x
2x
= 2
=
2
2
dx
( x +1)
( x + 1)2
2
2
Ejemplo 10
Obtén la derivada de
y=
a+ x
a− x
CAPÍTULO 6
Sumas, diferencias, productos y cocientes
Solución
En la forma de exponente
a + x 1/2
a − x1/2
y=
Entonces:
dy (a − x
=
dx
) ( 2 x –1/2) − (a + x 1/2)(−2x –1/2) a − x 1/2+ a + x 1/2
=
2
2
2(a − x 1/2) x 1/2
(a − x –1/2)
1/2
1
1
por tanto,
dy
a
=
dx ( a − x ) 2 x
Ejemplo 11
Obtén la derivada de
θ=
1− a 3 t 2
1+ a 2 t 3
Solución
Ahora,
1− at 2/3
θ=
1 + at 3/2
2
3
1 + at 3/2) − at 1/3 − (1− at 2/3) at 1/2
(
dθ
3
2
=
2
3/2
dt
(1+ at )
(
=
)
(
)
4a
5a 2 6 t 7 − 3 − 9a 2 t
t
(
6 1+ a 2 t 3
)
2
Ejemplo 12
Un embalse de sección transversal cuadrada tiene lados con un ángulo de inclinación de 45° respecto a la vertical. El lado del fondo mide p metros de longitud,
y el agua fluye en el embalse a razón de c metros cúbicos por minuto. Encuentra
una expresión para la velocidad a la que la superficie del agua se eleva en el instante en que su profundidad es de h metros (m). Calcula esta velocidad cuando
p = 17, h = 4 y c = 35.
65
66
Cálculo diferencial e integral (segunda parte)
Solución
El volumen de una pirámide trunca de altura H y bases A y a se calcula con
V = H / 3( A + a + Aa ). Es evidente que, como la pendiente es de 45°, para
una profundidad de h, el largo del lado de la superficie cuadrada superior de agua es
de (p + 2h) metros; por tanto, A = p2, a = (p + 2h)2 y el volumen de agua es de
1
4
h [ p 2 + p( p + 2h ) + ( p + 2h )2 ] = p 2h + 2 ph 2 + h 3 m2
3
3
Si t es el tiempo en minutos que necesita este volumen de agua para fluir,
entonces:
4
ct = p2 h + 2 ph 2 + h 3
3
A partir de esta relación obtenemos la razón a la que h aumenta con t, que es
dh /dt, pero como la expresión anterior está en la forma t = función de h, y no
h = función de t, será más fácil calcular dh /dt y luego invertir el resultado, para:
dt dh
=1
⋅
dh dt
Por tanto, puesto que c y p son constantes, y
4
ct = p 2h + 2 ph 2 + h 3
3
dt
2
c = p + 4 ph + 4h 2 = ( p + 2h )2
dh
2
de modo que dh /dt = c / (p + 2h) , que es la expresión requerida.
Cuando p = 17, h = 4 y c = 35, esto es igual a 0.056 metros por minuto.
Ejemplo 13
La presión absoluta P (en atmósferas) de vapor saturado a la temperatura de t °C
5
es de P = (40 + t /140) , siempre que t sea superior a 80 °. Calcula la razón de
cambio de la presión cuando la temperatura es de 100 °C.
Solución
Puesto que
40 + t
140
de modo que cuando t = 100,
P=
(
5
)
;
dP
5(40 + t )4
=
dt
(140)5
(5)(140)4
dP
5
1
=
=
= 0.036
=
5
dt
(140)
140 28
Por consiguiente, la razón de cambio de la presión cuando t = 100 es de
0.036 atmósferas por cada grado Celsius de cambio en la temperatura.
CAPÍTULO 6
Sumas, diferencias, productos y cocientes
[ EJERCICIOS III ]
1. Obtén la derivada de
x2
x3
+
+...
1⋅2 1⋅ 2 ⋅ 3
(b) y = ax2 + bx + c
(c) y = (x + a)2
(d) y = (x + a)3
dw
2. Sea w = at − 12 bt 2. Calcula
.
dt
3. Calcula la derivada de
(a) u = 1 + x +
y = ( x + −1 )( x − −1)
4. Obtén la derivada de
y = (197x −34 x 2 ) ( 7 + 22x − 83x 3 )
5. Sea x = (y + 3)(y + 5). Calcula dx /dy.
6. Obtén la derivada de y = (1.3709x)(112.6 + 45.202x2).
Calcula las derivadas de
7. y =
2x + 3
3x + 2
8. y =
1+ x + 2 x 2 + 3x 3
1+ x +2 x 2
9. y =
ax + b
cx + d
xn +a
10. y = −n
x +b
11. La temperatura t del filamento de una lámpara eléctrica incandescente se
asocia con la corriente que pasa por la lámpara según la relación dada por
C = a + bt + ct2.
Halla una expresión que indique la variación de la corriente que corresponde a una variación de temperatura.
12. Se han propuesto las fórmulas siguientes para expresar la relación entre la
resistencia eléctrica R de un alambre a la temperatura de t °C y la resistencia R0 de ese mismo alambre a 0 °C, con a y b constantes:
R = R0 (1 + at + bt 2)
R = R 0(1 + at + b t )
−1
R = R 0(1 + at + bt 2)
67
68
Cálculo diferencial e integral (segunda parte)
Calcula la razón de cambio de la resistencia respecto a la temperatura
como se indica en cada una de estas fórmulas.
13. Se ha descubierto que la fuerza electromotriz E de cierto tipo de celda
estándar varía con la temperatura t de acuerdo con la relación
E = 1.4340[1 – 0.000814(t – 15) + 0.000007(t –15)2] volts
Calcula el cambio de la fuerza electromotriz por grado, a 15, 20 y 25°.
14. Se ha determinado que la fuerza electromotriz necesaria para mantener
un arco eléctrico de longitud l con intensidad de corriente i es de
E = a + bl +
c + kl
i
donde a, b, c, k son contantes.
Halla una expresión de la variación de la fuerza electromotriz (a) respecto a la longitud del arco; (b) respecto a la potencia de la corriente.
Capítulo 7
Derivación sucesiva
Probemos el efecto de repetir varias veces la operación de derivar una función.
Empezaremos con un caso concreto.
Sea y = x5:
•
•
•
•
•
•
Primera derivada, 5x4.
Segunda derivada, 5 ⋅ 4x3
Tercera derivada, 5 ⋅ 4 ⋅ 3x2
Cuarta derivada, 5 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2x
Quinta derivada, 5 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1
Sexta derivada,
= 20x3.
= 60x2.
= 120x.
= 120.
= 0.10
Existe cierta notación, con la cual ya estamos familiarizados, que emplean
algunos autores y es muy práctica. Consiste en usar el símbolo general f (x) para
cualquier función de x. En este caso, el símbolo f ( ) se lee como “función de”, sin
decir la función específica. Por tanto, la expresión y = f (x) simplemente indica
que y es una función de x, la cual puede ser x2, axn, cos x o cualquier otra función
complicada de x.
El símbolo correspondiente para la derivada es f ′(x), que es más sencillo de
escribir que dy /dx. Esto se llama función derivada de x.
Supón que volvemos a derivarla; obtendremos la segunda función derivada o
segunda derivada, que se representa con f ″(x); y así sucesivamente. Ahora generalizaremos.
Sea y = f (x) = xn:
• Primera derivada, f ′(x) = nxn –1
• Segunda derivada, f ″(x) = n(n – 1)xn –2
10
Cuando se aplica a un objeto que se mueve a velocidad constante, la primera derivada da su cambio de posición por
segundo. Si el objeto se acelera, la segunda derivada da la velocidad a la que cambia la primera derivada, es decir, su
cambio de posición por segundo por segundo. Si la aceleración cambia, la tercera derivada da la velocidad a la que la
segunda derivada cambia, esto es, el cambio de posición por segundo por segundo por segundo. Los físicos llaman a este
cambio tirón o sacudida, como cuando un automóvil viejo se sacude cuando hay un cambio demasiado brusco en como
se acelera.
Las segundas derivadas, en las que el tiempo es la variable independiente, aparecen por todas partes en la física, pero
son menos frecuentes en otras ciencias. En economía, una segunda derivada puede expresar la razón a la que aumenta (o
disminuye) un incremento anual del salario de un trabajador. Las terceras derivadas también son útiles en muchas ramas
de la física. Más allá de la tercera, las derivadas de orden superior rara vez se necesitan. Esto da testimonio del hecho
afortunado de que el universo parece favorecer la simplicidad en sus leyes fundamentales. (MG)
70
Cálculo diferencial e integral (segunda parte)
• Tercera derivada, f ‴(x) = n(n – 1)(n – 2)xn –3
• Cuarta derivada, f ⁗(x) = n(n – 1)(n – 2)(n – 3)xn –4
etcétera.
Pero esta no es la única manera de indicar derivadas sucesivas. Si la función
original es
y = f (x)
obtener la derivada una vez da, dy /dx = f ′( x ); obtener la derivada dos veces da
d
dy
(dx ) f ″(x),
dx
=
lo que se escribe de forma mucho más práctica como d 2y /(dx)2 o, más general3
mente, d 2y /dx2. Asimismo, podemos escribir d y /dx 3 = f ‴( x ) como el resultado
de obtener la derivada tres veces.
Ejemplos
1
Ahora probemos con y = f ( x ) = 7 x 4 + 3.5 x 3 − x 2 + x − 2:
2
dy
3
2
= f ′( x ) = 28 x +10.5 x − x +1
dx
d 2y
f x
x 2 − 21x −1
2 = ″ ( ) = 84
dx
d 3y
= f ‴( x ) =168 x + 21
dx 3
d 4y
= f ⁗( x ) =168
dx 4
d 5y
= f ⁗′( x ) = 0
dx 5
Del mismo modo, si y = ϕ(x) = 3x(x2 – 4), entonces:
dy
= 3[x ⋅ 2x + (x2− 4) ⋅ 1] = 3(3x2 − 4)
dx
d 2y
ϕ″ ( x) = 2 = 3 ⋅ 6x = 18x
dx
d 3y
ϕ‴ ( x ) = 3 =18
dx
d 4y
ϕ⁗ (x ) = 4 = 0
dx
ϕ′( x ) =
CAPÍTULO 7
[ E J E R C I C I O S I V ] Obtén la derivada de:
Obtén dy /dx y d 2y /dx2 en las expresiones siguientes:
1. y = 17x + 12x2
2. y =
x2 +a
x +a
x
x2
x3
x4
3. y = 1 + +
+
+
1 1⋅2 1⋅ 2 ⋅ 3 1⋅ 2 ⋅ 3⋅ 4
4. Calcula la segunda y tercera derivadas de los ejercicios III, números 1 a 7,
y de los ejemplos presentados en el capítulo 7, números 1 a 7.
Derivación sucesiva
71
Capítulo 8
Cuando el tiempo varía
Algunos de los problemas más importantes de cálculo son aquellos en los que el
tiempo es la variable independiente y hemos de pensar en los valores de alguna
otra cantidad que varía cuando el tiempo cambia. Algunas cosas crecen con el
transcurso del tiempo; otras, se empequeñecen.
La distancia que un tren recorre desde su punto de partida sigue aumentando
a medida que pasa el tiempo. Los árboles se hacen más grandes con el paso de
los años. ¿Qué crece a mayor velocidad: una planta de 12 centímetros de altura
que en un mes alcanza 14 centímetros, o un árbol de 12 metros que en un año
alcanza 14 metros de altura?
En este capítulo usaremos mucho la palabra velocidad (o tasa). No tiene que
ver con la tasa de natalidad o mortalidad, aunque estas palabras indican un determinado número de nacimientos o muertes por millar de habitantes. Cuando un
automóvil pasa volando junto a nosotros, decimos: ¡Vaya velocidad a la que va!
Cuando un derrochador gasta dinero a diestro y siniestro, comentamos que ese
joven vive a una velocidad desaforada.
¿Qué significa velocidad? En estos dos casos estamos haciendo una comparación mental de algo que está sucediendo y el tiempo que tarda en ocurrir. Si el
automóvil va a 10 metros por segundo, un poco de aritmética mental nos demostrará que esto es equivalente, mientras dure, a una velocidad de 600 metros por
minuto, o 36 kilómetros por hora.
¿En qué sentido es cierto que una velocidad de 10 metros por segundo es lo
mismo que 600 metros por minuto? Diez metros no es lo mismo que 600 metros, ni un segundo es lo mismo que un minuto. Lo que queremos decir cuando
expresamos que la velocidad es la misma es que la razón que hay entre la distancia
recorrida y el tiempo necesario para hacerlo es igual en los dos casos.
Ahora tratemos de poner algunas de estas ideas en notación diferencial. En
este caso, sea y el dinero y t el tiempo.
Si uno gasta dinero y la cantidad que gasta en un lapso breve dt se llama dy,
la velocidad de gasto será de dy /dt; o en lo que se refiere a ahorrar, con un signo
de menos, será –dy /dt, porque entonces dy es un decremento, no un incremento.
Pero el dinero no es buen ejemplo en cálculo porque, en general, va y viene en
saltos, no en un flujo continuo: usted puede ganar $20 000 al año, pero el dinero
no fluye continuamente todo el día en un hilo delgado; llega sólo una vez a la
semana, o al mes, o trimestralmente, de bulto; y su gasto también sale en pagos
súbitos.
CAPÍTULO 8
Una ilustración más adecuada de esta idea es la velocidad de un cuerpo en
movimiento. La distancia que separa a Londres de Liverpool es de 200 millas. Si
un tren sale de Londres a las 7 en punto de la mañana y llega a Liverpool a las 11
en punto, sabemos que, como ha recorrido 200 millas en 4 horas, su velocidad
promedio o media debe ser 50 millas por hora, porque 200/4 = 50/1.
Aquí estamos haciendo una verdadera comparación mental entre la distancia
recorrida y el tiempo necesario para hacerlo. Dividimos una entre la otra. Si y es la
distancia total y t el tiempo total, es evidente que la velocidad promedio es de y /t.
Ahora bien, la velocidad en realidad no fue constante todo el tiempo: al principio y al final del viaje, al entrar en el andén, la velocidad fue menor. Probablemente
en algún punto, cuando iba de bajada, la velocidad fue de más de 60 millas por hora.
Si durante algún elemento particular del tiempo dt, el elemento correspondiente de
la distancia recorrida fue dy, en esa parte del trayecto la velocidad fue de dy /dt.
La velocidad a la que una cantidad cualquiera (en el caso presente, la distancia) cambia en relación con otra cantidad (en este caso, el tiempo) se expresa
correctamente si planteamos la derivada de una respecto a la otra.
Una velocidad, expresada en términos científicos, es la razón a la que se recorre una distancia muy pequeña en cualquier dirección y, por tanto, podemos
escribir:
dy
dt
Sin embargo, si la velocidad v no es uniforme, debe aumentar o disminuir.
La razón a la que una velocidad aumenta se llama aceleración. Si, en cualquier
instante determinado, un cuerpo en movimiento adquiere velocidad adicional dv
en un elemento de tiempo dt, la aceleración a en ese instante se escribe así:
v=
a=
Pero como v =
dv
dt
dy
,
dt
a=
dv
d
=
dt dt
( dt )
dy
que en general se escribe a = d 2y /dt 2, o lo que es lo mismo, la aceleración equivale a la segunda derivada de la distancia respecto al tiempo. La aceleración se
expresa como un cambio de velocidad por unidad de tiempo; por ejemplo, se
dice que la velocidad es de tantos pies por segundo por segundo; la notación que
se usa es pies/s2.
Cuando el tren empieza a moverse, su velocidad v es pequeña, pero gana
velocidad con rapidez; se apresura, o acelera, por el esfuerzo del motor. Por tanto, su d 2y /dt 2 es grande. Cuando alcanza su máxima velocidad, ya no puede
acelerarse y entonces d 2y /dt 2 se reduce a cero. Sin embargo, cuando el tren se
aproxima a la estación empieza a disminuir la velocidad; de hecho, esta puede
reducirse muy rápido si el conductor aplica los frenos a fondo, y durante este periodo de desaceleración en que el tren aminora el paso, el valor de dv /dt, es decir,
de d 2y /dt 2, será negativo.
Cuando el tiempo varía
73
74
Cálculo diferencial e integral (segunda parte)
Para acelerar una masa m se requiere la aplicación continua de fuerza. La
fuerza necesaria para acelerar una masa es proporcional a la masa, y también es
proporcional a la aceleración con que se imparte. En consecuencia, podemos
escribir para la fuerza f la expresión
f = ma
o
f =m
dv
dt
o
f =m
d 2y
dt 2
El producto de una masa por la velocidad a la que se mueve se llama momentum o cantidad de movimiento, y se expresa con los símbolos mv. Si derivamos la
cantidad de movimiento respecto al tiempo obtendremos d (mv ) /dt para la razón
de cambio en la cantidad de movimiento. Sin embargo, como m es una cantidad
constante, esto puede escribirse m dv /dt, que como vimos antes es igual que f. Es
decir, la fuerza puede expresarse ya sea como masa por aceleración o como razón
de cambio de la cantidad de movimiento.
De nuevo, si se emplea fuerza para mover algo (contra una fuerza igual en
sentido opuesto) se hace trabajo; y la cantidad de trabajo realizado se mide por el
producto de la fuerza por la distancia (en la misma dirección) que recorre desde
su punto de aplicación. Por tanto, si una fuerza f recorre cierta longitud y, el trabajo realizado (que representaremos con la letra w, del inglés work) será:
w=f ⋅y
donde f es una fuerza constante. Si la fuerza varía en diferentes partes los límites
de y, debemos encontrar una expresión de su valor de un punto al otro. Si f es
la fuerza a lo largo del pequeño elemento de longitud dy, la cantidad de trabajo
realizado será f ⋅ dy. Pero como dy es sólo un elemento de longitud, únicamente
se realizará un elemento de trabajo.
Si representamos trabajo con w, un elemento de trabajo será dw, y tenemos:
dw = f ⋅ dy
que puede escribirse
dw = ma ⋅ dy
o
dw = m
d 2y
⋅ dy
dt 2
o
dw = m
dv
⋅ dy
dt
Además, podemos transponer la expresión y escribir:
dw
=f
dy
CAPÍTULO 8
Esto nos da una tercera definición de fuerza: si se usa para producir un desplazamiento en cualquier dirección, la fuerza (en esa dirección) es igual a la tasa
con que se realiza el trabajo por unidad de longitud en esa dirección. En esta última oración, la palabra tasa no se usa con sentido de tiempo, sino en su acepción
de relación entre dos magnitudes, es decir, como razón o proporción.
Sir Isaac Newton, quien fue, junto con Leibniz, inventor de los métodos del
cálculo, consideraba que todas las cantidades que variaban eran fluyentes; y a la razón que nosotros llamamos derivada en la actualidad, la consideraba como la tasa
de flujo, o la fluxión de la cantidad de que se tratara.
No usó la notación de dy, dx y dt (esta notación se debe a Leibniz), sino que
tenía una notación propia. Si y era una cantidad que variaba, o “fluía”, el símbolo de la tasa de variación (o “fluxión”) era y.. Si x era la variable, su fluxión se
llamaba x..
El punto encima de la letra indicaba que se había derivado. Sin embargo, esta
notación no indica la variable independiente respecto a la que se efectuó la derivada. Cuando vemos dy /dt, sabemos que y debe derivarse respecto a t. Si vemos
dy /dx, sabemos que y debe derivarse respecto a x. Pero si vemos simplemente y.,
no podemos saber, sin examinar el contexto, si quiere decir dy /dx o dy /dt o dy /dz
o cuál es la otra variable.
Por tanto, esta notación de fluxión es menos informativa que la notación
diferencial y, en consecuencia, ha caído en desuso. No obstante, su sencillez le
confiere una ventaja si convenimos en usarla únicamente para los casos en los que
el tiempo es la variable independiente. En ese caso, y. significará dy /dt, u. significará
du /dt, y ẍ significará d 2 x /dt 2.
Si adoptamos esta notación de fluxión, podemos escribir las ecuaciones de
mecánica estudiadas en los párrafos anteriores como sigue:
distancia
velocidad
aceleración
fuerza
trabajo
x
v = x.
..
a = v. = x
..
.
f = mv = mx
..
w = x ⋅ mx
Ejemplo 1
Un cuerpo se mueve de manera tal que la distancia x (en pies), que recorre desde
cierto punto O está dada por la relación
x = 0.2t2 + 10.4
donde t es el tiempo en segundos transcurrido desde un cierto instante. Calculemos la velocidad y la aceleración 5 segundos después de que el cuerpo empezó
a moverse; además, obtengamos los valores correspondientes cuando la distancia
recorrida es de 100 pies. Calculemos también la velocidad promedio durante los
primeros 10 segundos de movimiento. (Supón que las distancias y el movimiento
hacia la derecha son positivos.)
Cuando el tiempo varía
75
76
Cálculo diferencial e integral (segunda parte)
Solución
Ahora, x = 0.2t2 + 10.4; por tanto:
dx
v = x. =
= 0.4t
dt
y
. . d 2x
a = x = 2 = 0.4 = constante
dt
Cuando t = 0, x = 10.4 y v = 0. El cuerpo empezó desde un punto situado
10.4 pies a la derecha del punto O, y el tiempo se calculó desde el instante en que
el cuerpo empezó a desplazarse.
Cuando
t = 5, v = 0.4 ⋅ 5 = 2 pies/s; a = 0.4 pies/s2.
Cuando
x = 100,
100 = 0.2t2 + 10.4,
o t2 = 448
t = 21.17 s; v = 0.4 ⋅ 21.17 = 8.468 pies/s.
y
Cuando
t = 10:
• distancia recorrida = 0.2 ⋅ 102 + 10.4 – 10.4 = 20 pies.
20
• velocidad promedio = = 2 pies/s.
10
(Es la misma velocidad que la velocidad a la mitad del intervalo, t = 5, pues,
como la aceleración es constante, la velocidad ha variado uniformemente desde
cero cuando t = 0 a 4 pies/s cuando t = 10.)
Ejemplo 2
En el problema anterior, supongamos que x = 0.2t2 + 3t + 10.4.
Solución
v = x. = dx = 0.4t + 3;
dt
. . d 2x
a = x = 2 = 0.4 = constante
dt
Cuando t = 0, x = 10.4 y v = 3 pies/s, el tiempo se calcula desde el instante
en el que el cuerpo pasó por un punto a 10.4 pies del punto O y su velocidad era
ya de 3 pies/s en ese momento.
Con el fin de calcular el tiempo transcurrido desde que comenzó a moverse,
sea v = 0; entonces, 0.4t + 3 = 0, t = – 3/0.4 = –7.5 segundos. El cuerpo
empezó a moverse 7.5 segundos antes de que comenzara a observarse el tiempo;
5 segundos después de esto da t = –2.5 y v = 0.4 ⋅ –2.5 + 3 = 2 pies/s.
Cuando x = 100 pies,
100 = 0.2t2 + 3t + 10.4
o t2 + 15t – 448 = 0
por tanto, t = 14.96 s, v = 0.4 ⋅ 14.96 + 3 = 8.98 pies/s.
Para calcular la distancia recorrida durante los primeros 10 segundos de movimiento es necesario saber a qué distancia estaba el cuerpo del punto O cuando
empezó a moverse.
Cuando t = –7.5,
x = 0.2 ⋅ (–7.5)2 – 3 ⋅ 7.5 + 10.4 = –0.85 pies
CAPÍTULO 8
es decir, 0.85 pies a la izquierda del punto O.
Ahora, cuando t = 2.5,
x = 0.2 ⋅ 2.52 + 3 ⋅ 2.5 + 10.4 = 19.15
Por tanto, en 10 segundos, la distancia recorrida fue de 19.15 + 0.85 = 20
pies, y la velocidad promedio 20/10 = 2 pies/s.
Ejemplo 3
Considera un problema parecido al anterior, pero ahora cuando la distancia está
dada por x = 0.2t2 – 3t + 10.4. Entonces, v = 0.4t – 3, a = 0.4 = constante.
Cuando t = 0, x = 10.4 como antes, y v = –3, de forma que el cuerpo se estaba moviendo en dirección contraria al movimiento de los casos anteriores. Sin embargo,
como la aceleración es positiva, veremos que esta velocidad disminuirá con el paso
del tiempo hasta llegar a cero, cuando v = 0 o 0.4t – 3 = 0; o t = +7.5 segundos.
Después de esto, la velocidad se vuelve positiva, y 5 segundos después de que
el cuerpo empezó a moverse, t = 12.5, y v = 0.4 ⋅ 12.5 – 3 = 2 pies/s.
Cuando x = 100,
100 = 0.2t2 – 3t + 10.4
o t2 – 15t – 448 = 0
y
t = 29.96; v = 0.4 ⋅ 29.96 – 3 = 8.98 pies/s
Cuando v es cero, x = 0.2 ⋅ 7.52 – 3 ⋅ 7.5 + 10.4 = –0.85, que nos informa
que el cuerpo se mueve a 0.85 pies más allá del punto O antes de detenerse. Diez
segundos después t = 17.5 y
x = 0.2 ⋅ 17.52 – 3 ⋅ 17.5 + 10.4 = 19.15
La distancia recorrida es 0.85 + 19.15 = 20.0, y la velocidad promedio es
de nuevo 2 pies/s.
Ejemplo 4
Considera otro problema más del mismo tipo con x = 0.2t3 – 3t2 + 10.4;
v = 0.6t2 – 6t; a = 1.2t – 6. La aceleración ya no es constante.
Cuando t = 0, x = 10.4, v = 0, a = –6. El cuerpo está en reposo, pero listo
para moverse con aceleración negativa, es decir, para ganar velocidad hacia el
punto O.
Ejemplo 5
Si tenemos x = 0.2t3 – 3t + 10.4, entonces v = 0.6t2 – 3 y a = 1.2t.
Cuando t = 0, x = 10.4; v = –3; a = 0.
Cuando el tiempo varía
77
78
Cálculo diferencial e integral (segunda parte)
El cuerpo se mueve hacia el punto O a una velocidad de 3 pies/s, y precisamente en ese instante la velocidad es uniforme.
Vemos que las condiciones del movimiento siempre pueden comprobarse
de inmediato con la ecuación de tiempo y distancia y sus derivadas primera y
segunda. En los últimos dos casos, la velocidad media durante los primeros 10
segundos y la velocidad 5 segundos después del inicio ya no serán iguales porque
la velocidad no aumenta uniformemente y la aceleración ya no es constante.
Ejemplo 6
El ángulo θ (en radianes) en que gira una rueda está dado por θ = 3 + 2t – 0.1t3,
donde t es el tiempo en segundos desde cierto instante. Calcula la velocidad angular ω y la aceleración angular α, (a) después de 1 segundo; (b) después de haber
ejecutado una revolución. ¿En qué momento está en reposo y cuántas revoluciones ha dado hasta ese instante?
Solución
En este caso:
. dθ
ω = θ = = 2 − 0.3t 2
dt
.. d 2θ
y α = θ = 2 = −0.6t
dt
Cuando t = 0, θ = 3; ω = 2 rad/s; α = 0.
Cuando t = 1, ω = 2 – 0.3 = 1.7 rad/s; α = –0.6 rad/s2.
Esto es un atraso; la rueda se está desacelerando.
Después de una revolución:
θ = 2π = 3 + 2t – 0.1t3
Si resolvemos esta ecuación numéricamente, obtendremos el valor o los valores de t para los cuales θ = 2π; estos valores son aproximadamente 2.11 y 3.02
(hay un tercer valor negativo).
Cuando
t = 2.11,
θ = 6.28; ω = 2 – 1.34 = 0.66 rad/s
α = –1.27 rad/s2
Cuando
t = 3.02,
θ = 6.28; ω = 2 – 2.74 = –0.74 rad/s
α = –1.81 rad/s2
La velocidad se invierte. Como es claro, la rueda se encuentra en reposo entre
estos dos instantes; está en reposo cuando ω = 0, o sea, cuando 0 = 2 – 0.3t2, o
cuando t = 2.58 segundos, ha dado:
3 + 2 ⋅ 2.58 − 0.1 ⋅ 2.583
θ
= 1.025 revoluciones
=
2π
6.28
CAPÍTULO 8
Cuando el tiempo varía
79
[ EJERCICIOS V ]
1. Sea y = a + bt2 + ct4. Calcula
Respuestas:
dy d 2 y
y 2.
dt
dt
2
dy
3 d y
2
= 2b + 12ct
= 2bt + 4ct ;
dt 2
dt
2. Un cuerpo en caída libre en el espacio describe en t segundos un espacio s,
en pies, expresado por la ecuación s = 16t2. Traza una gráfica que muestre
la relación entre s y t. Además, determina la velocidad del cuerpo en los
tiempos siguientes desde que empieza a caer: t = 2 segundos; t = 4.6
segundos; t = 0.01 segundos.11
..
3. Sea x = at − 12 gt 2. Calcula x. y x .
4. Sea un cuerpo que se mueve de conformidad con la ley
s = 12 – 4.5t + 6.2t2
Calcula su velocidad cuando t = 4 segundos; s = distancia en pies.
5. Calcula la aceleración del cuerpo mencionado en el ejemplo anterior. ¿La
aceleración es igual para todos los valores de t?
6. El ángulo θ (en radianes) de giro de una rueda en rotación está relacionado con el tiempo t (en segundos) que ha transcurrido desde el principio
según la ley
θ = 2.1 – 3.2t + 4.8t2
Obtén la velocidad angular (en radianes por segundo) de la rueda cuando han transcurrido 1 12 segundos. Calcula también la aceleración angular.
7. Un deslizador se mueve de forma tal que durante la primera parte de su
movimiento, su distancia s en pulgadas desde el punto de partida está
dada por la expresión s = 6.8t3 – 10.8t, con t en segundos.
Determina la expresión de la velocidad y la aceleración en cualquier
momento y, después, calcula la velocidad y la aceleración después de 3
segundos.
8. El movimiento de un globo en ascenso es tal que la altura h, en millas,
está dada en cualquier instante por la expresión h = 0.5 + 101 3 t −125 ,
con t en segundos.
Encuentra una expresión de la velocidad y la aceleración en cualquier
momento. Traza gráficas para mostrar la variación de la altura, velocidad
y aceleración durante los primeros 10 minutos del ascenso.
9. Se deja caer una piedra en el agua y su profundidad p en metros en cualquier instante t segundos después de haber tocado la superficie del agua
está dada por la expresión:
11
Es buena idea tener en claro cómo se aplican las derivadas a los cuerpos en caída libre,
el ejemplo más conocido de movimiento
acelerado. Sea t el tiempo en segundos desde
el momento en que se deja caer una piedra,
y s la distancia que recorre en su caída. La
función que relaciona estas dos variables es
s = 16t 2. (Se representa gráficamente como
una parábola perfecta.) Así, después de un
segundo la piedra ha caído 16 pies, después
de dos segundos ha caído 4 ⋅ 16 = 64 pies,
después de tres segundos, 9 ⋅ 16 = 144 pies,
y así sucesivamente. La primera derivada es
32t. Esto da la velocidad instantánea a la que
la piedra cae al cabo de t segundos. Después
del primer segundo, la velocidad es de 32
pies por segundo. Después de dos segundos,
la velocidad es de 64 pies por segundo,
etcétera.
La segunda derivada es simplemente
32. Esta derivada de una derivada de una
función es la aceleración de la piedra (la
razón a la que la velocidad aumenta). Los
físicos la llaman constante de gravitación
universal y la aplican a los cuerpos que caen
a la superficie de la Tierra.
Más adelante, en los capítulos sobre
integración, veremos que la integración de la
primera derivada de la piedra en caída libre
da la distancia recorrida por la piedra entre
dos momentos cualesquiera en su avance
desde el principio de su caída hasta el momento en que el suelo la detiene. (MG)
80
Cálculo diferencial e integral (segunda parte)
p=
4
+ 0.8t −1
4 +t 2
Encuentra una expresión para la velocidad y la aceleración en cualquier
momento. Calcula la velocidad y la aceleración después de 10 segundos.
10. Un cuerpo se mueve de forma tal que el espacio descrito en el tiempo t
después de haber empezado a moverse está dado por s = tn, donde n es
una constante. Calcula el valor de n cuando la velocidad se duplica del
quinto al décimo segundos; además, calcula también su valor cuando la
velocidad es numéricamente igual a la aceleración al final del décimo segundo.
Capítulo 9
Presentación de un truco útil
A veces uno se queda perplejo cuando se da cuenta de que la expresión que debe
derivar es demasiado complicada para emprender la tarea de manera directa.
2
2 3/2
Así, la ecuación y = ( x + a ) resulta muy difícil para un principiante.
El truco para sortear esta dificultad consiste en lo siguiente: escribe algún símbolo, como u, para la expresión x2 + a2; en seguida tendrás la ecuación y = u 3/2
que puede manejarse con facilidad, pues
dy 3 1/2
= u
du 2
A continuación, resuelve la expresión u = x2 + a2 y obtén la derivada respecto a x:
du
= 2x
dx
Entonces, todo lo que queda es pan comido, ya que
dy dy
du
⋅
=
dx du
dx
esto es,
dy 3 1/2
= u ⋅ 2x
dx 2
3 2
2 1/2
= (x + a ) ⋅ 2x
2
2
2 1/2
= 3x ( x + a )
y eso es todo.12
12
El “truco útil” de Thompson se conoce en la actualidad como la regla de la cadena. Es una de las reglas de cálculo más
útiles. La función que presenta para ilustrarla se denomina función compuesta porque contiene “una función de una
función”. La expresión entre paréntesis (x 2 + a2) se llama función interior. La función exterior es el exponente 3/2.
Para tratar de derivar esta expresión, podríamos elevar al cubo (x 2 + a2) y obtener la raíz cuadrada, o expandir
2
( x + a 2 )3/2 por el teorema del binomio, pero ninguno de estos dos métodos funciona muy bien. Como Thompson deja en
claro, una manera mucho más sencilla consiste en derivar la función exterior respecto de la interior y luego multiplicar el
resultado por la derivada de la función interior respecto a x.
Se denomina regla de la cadena porque puede aplicarse a funciones compuestas con más de una función interior.
Simplemente se calcula la cadena de derivadas y luego se multiplican. Los textos de cálculo moderno ofrecen demostraciones del porqué funciona la regla de la cadena.
Para un ejemplo trivial de cómo funciona, considere tres niños A, B y C. A crece dos veces más rápido que B, y B crece tres
veces más rápido que C. ¿Cuánto más rápido crece A que C? Como es evidente, la respuesta es 2 ⋅ 3 = 6 veces más rápido. (MG)
82
Cálculo diferencial e integral (segunda parte)
Con el tiempo, cuando hayas aprendido a tratar con senos, cosenos y exponentes, te darás cuenta de lo útil que es este truco.
Ejemplos
Practiquemos este truco con algunos ejemplos.
Ejemplo 1
Obtén la derivada de y = a + x.
Solución
Sea u = a + x; entonces:
dy 1 –1/2 1
du
= 1; y = u1/2;
= u = (a + x )–1/2
2
du 2
dx
dy dy
du
1
⋅
=
=
dx du
dx 2 a + x
Ejemplo 2
Obtén la derivada de
y=
1
a + x2
Solución
Sea u = a + x2; entonces:
1
dy
du
= 2 x ; y = u–1/2;
= − u–3/2
2
du
dx
dy dy du
x
=
=−
⋅
dx du dx
( a + x 2 )3
Ejemplo 3
Obtén la derivada de
(
y = m − mx 2/3+
Solución
Sea u = m −nx 2/3 + px −4/3
p
a
)
x 4/3
CAPÍTULO 9
2
4
du
= − nx −1/3 − px −7/3
3
3
dx
dy
= au a−1
y = ua;
du
p a−1 2 −1/3 4 −7/3
dy dy du
+ px
nx
⋅
=
= − a m − nx 2/3 4/3
3
3
dx du dx
x
(
) (
)
Ejemplo 4
Obtén la derivada de
1
y=
3
x −a 2
Solución
Sea u = x3 – a2; entonces:
1 3
dy
du
2
–1/2
2 –3/2
= 3x ; y = u ;
= − (x −a )
2
du
dx
2
dy dy du
3x
⋅
=
=−
dx du dx
2 ( x 3 − a 2 )3
Ejemplo 5
Obtén la derivada de
y=
1− x
1+ x
Solución
Escribe esto como
y=
(1− x )1/2
(1 + x )1/2
Entonces:
dy
=
dx
(1 + x )1/2
d (1 + x )1/2
d (1− x )1/2
−(1 − x )1/2
dx
dx
1+ x
(También podemos escribir y = (1 − x )1/2 (1 + x )−1/2 y derivar como un producto.)
Presentación de un truco útil
83
84
Cálculo diferencial e integral (segunda parte)
Procedemos como en el ejemplo 1 y obtenemos:
1
d (1− x )1/2
=−
dx
2 1− x
1
d (1+ x )1/2
=−
dx
2 1+ x
y
Por consiguiente,
1/2
1/2
(1 + x )
(1− x )
dy
−
=−
dx
2(1 + x ) 1 − x 2(1 + x ) 1 + x
=−
1
1− x
−
2 1 + x 1 − x 2 (1 + x )3
o bien,
1
dy
=−
dx
(1 + x ) 1 − x 2
Ejemplo 6
Obtén la derivada de
y=
x3
1+ x 2
Solución
Esto puede escribirse así: y = x 3/2(1+ x 2 )–1/2; por tanto:
2 –1/2
d [ (1 + x )
dy 3 1/2
2 –1/2
3/2
= x (1 +x ) + x ⋅
dx 2
dx
]
Derivando (1 + x 2 )–1/2 como se muestra en el ejemplo 2 obtenemos:
d [(1 + x 2 )–1/2 ]
dx
x
(1 + x 2 )3
=−
de forma que
dy
3 x
x5
x (3 + x 2 )
=
−
=
dx 2 1 + x 2
(1 + x 2 )3 2 (1 + x 2 )3
Ejemplo 7
(
)
3
Obtén la derivada de y = x + x 2 + x + a .
Solución
Sea u = x + x 2 + x + a ; entonces:
CAPÍTULO 9
d [( x 2 + x + a )1/2 ]
du
= 1+
dx
dx
(
)
2
dy
2
2
= 3u = 3 x + x + x + a
du
y = u3 y
Ahora, sea v = ( x 2 + x + a )1/2
w = ( x 2 + x + a ); entonces:
y
1
dw
dv
= 2 x ⫹ 1; v = w 1/2;
= w −1/2
2
dx
dw
dv
dv dw 1 2
−1/2
⋅
=
= ( x ⫹ x ⫹ a ) (2x ⫹1)
2
dx dw dx
Por consiguiente,
2 x +1
du
=1 +
dx
2 x 2 + x +a
dy dy du
⋅
=
dx du dx
(
2
= 3 x + x + x +a
) (1 + 2 x2 x++x1+a )
2
2
Ejemplo 8
Obtén la derivada de
y=
a2 + x2 3 a2 −x2
a 2 − x 2 a 2 +x 2
Solución
Obtenemos
(a 2 + x 2 )1/2(a 2 − x 2 )1/3
= (a 2 + x 2)1/6(a 2 − x 2)–1/6
y=
2
2 1/2 2
2 1/3
(a − x ) (a + x )
d [(
dy
= (a 2 + x 2 )1/6
dx
a 2 − x 2 )–1/6]
dx
+
d [( a 2 + x 2)1/6]
(a 2 − x 2)1/6dx
Sea u = ( a 2 − x 2)−1/6 y v = ( a 2 − x 2) ; entonces:
u = v –1/6;
dv
du
1
= − v–7/6 ;
= − 2x
dx
dv
6
du du dv 1
2
2 –7/6
=
= x(a − x )
⋅
dx dv dx 3
Presentación de un truco útil
85
86
Cálculo diferencial e integral (segunda parte)
Sea w = ( a 2 + x 2)1/6 y z = ( a 2 + x 2); entonces:
dw 1 –5/6 dz
= 2x
= z ;
dx
dz
6
dw dw dz 1
2
2 –5/6
= x(a + x )
⋅
=
dx
dz dx 3
w = z 1/6;
Por consiguiente,
dy
x
x
1/6
= (a 2 + x 2 )
+
2
2 7/6
2
2 1/6 2
dx
3( a − x )
3( a − x ) ( a − x 2 )5/6
o bien,
dy x
=
dx 3
[(
6
a2 + x 2
a −x )
2 7
2
1
+
6
( a 2 − x 2)( a 2 + x 2)
]
5
Ejemplo 9
Obtén la derivada de yn respecto a y5.
Solución
d ( y n)
5 =
d(y )
ny n−1 n n−5
= y
5 y 5−1 5
Ejemplo 10
Obtén la primera y la segunda derivadas de y =
x
(a − x )x .
b
Solución
[
1/2
dy
x d ( a − x)
=
dx b
dx
1/2
Sea u = [( a − x )x]
]
+
(a − x )x
b
y sea w = (a – x)x; entonces, u = w1/2 y
1
1
du 1 –1/2
= w =
1/2 =
2w
dw 2
2 (a − x )x
dw
= a −2 x
dx
du dw du
a −2x
⋅
=
=
dw dx
dx 2 (a − x )x
CAPÍTULO 9
Por consiguiente,
dy
x (a − 2 x )
(a − x )x
x (3a − 4 x )
+
=
=
dx 2b ( a − x )x
b
2b ( a − x )x
Ahora,
d 2y
=
dx 2
3ax − 4 x 2) b (a −2 x )
(
2b ( a − x )x (3a −8 x ) −
(a − x )x
2
4b ( a − x )x
2
=
3a −12ax +8 x 2
4b(a − x ) (a − x )x
(Necesitaremos estas dos últimas derivadas más adelante. Véase el número 11
de los ejercicios X.)
[ EJERCICIOS VI ]
Obtén las derivadas de lo siguiente:
1. y = x 2 + 1
3. y =
2. y = x 2 + a 2
4. y =
7. y =
1
a+x
a
a −x2
6. y =
a2 + x2
( a + x )2
8. Obtén la derivada de y5 respecto a y2.
9. Obtén la derivada de y =
1−θ 2
.
1−θ
El “truco” para tres derivadas
El “truco” puede extenderse a tres o más derivadas, así que
dy dy dz dv
⋅
⋅
=
dx dz dv dx
x 2 −a 2
x2
5. y =
3
x4+ a
2
x3+ a
Presentación de un truco útil
87
88
Cálculo diferencial e integral (segunda parte)
Ejemplo 10
Obtengamos dy /dx de las funciones siguientes:
z = 3x 4 ; v =
7
;
z2
y = 1 +v
Solución
Tenemos
14
dv
=− 3 ;
dz
z
dy
1
;
=
dv 2 1 + v
dz
3
= 12 x
dx
dy
168 x 3
28
=− 5
=−
3
dx
3x 9 x 8 + 7
( 2 1+ v ) z
Ejemplo 11
Obtén dv /d θ de las funciones siguientes:
t=
7x 2
1
t
; x =t3+ ; v = 3
2
5 θ
x −1
Solución
dv 7 x (5 x − 6)
;
=
dx 3 3 ( x −1)4
1 dt
dx
1
2
=−
= 3t + ;
2 dθ
dt
10 θ 3
Por consiguiente,
(
7 x (5 x − 6) 3t 2 +
dv
=−
dθ
30 3 ( x −1)4 θ 3
1
2
)
una expresión en la que es necesario sustituir x por su valor, y t por su valor en
términos de θ.
Ejemplo 12
Calcula d ϕ / dx de las funciones siguientes:
3a 2 x
1−θ 2
1
; ω=
θ=
; ϕ= 3−
3
ω 2
1+θ
x
Solución
Obtenemos
θ = 3a 2 x –1/2; ω =
1−θ
1 −1
; ϕ= 3−
ω
1+θ
2
CAPÍTULO 9
de donde
dθ
3a 2
;
=−
dx
2 x3
dω
1
=−
dθ
(1 + θ) 1 −θ 2
(véase el ejemplo 5 páginas antes); y
dϕ
1
=
2 ⋅ω 2
dω
Así,
dϕ
1
1
3a 2
⋅
⋅
=
dx
2 ⋅ ω 2 (1 + θ) 1 −θ 2 2 x 3
Ahora sustituimos primero ω, luego θ por su valor.
[ EJERCICIOS VII ]
Ahora puedes resolver correctamente lo siguiente.
1. Obtén dw /dx de las funciones siguientes:
u=
1
1 3
x ; v = 3(u + u 2 ); w = 2
2
v
2. Obtén dw /dx de las funciones siguientes:
y = 3 x 2 + 2; z = 1 + y ; v =
1
3 + 4z
3. Obtén du /dx de las funciones siguientes:
y=
x3
1
; z = (1 + y )2 ; u =
1+ z
3
Los ejercicios que siguen se presentan aquí por razones de espacio y porque su solución depende del truco explicado en el capítulo anterior, pero no deben intentarse
sino hasta después de estudiar los capítulos 14 y 15.
1
4. Si y = 2a 3 ln u − u(5a 2 − 2au + u 2 ) y u = a + x, demuestra que
3
dy x 2 (a − x )
.
=
dx
a+x
5. Para la curva x = a(θ – sen θ), y = a(1 – cos θ), calcula dx /d θ y dy / d θ .
Presentación de un truco útil
89
90
Cálculo diferencial e integral (segunda parte)
Deduce de ahí el valor de dy /dx.
6. Obtén dx /dθ y dy /dθ para la curva x = a cos3 θ, y = a sen3 θ. Obtén de ahí
dy /dx.
7. Puesto que y = ln sen (x2 – a2), obtén dy /dx en su forma más sencilla.
8. Si u = x + y y 4x = 2u – ln(2u – 1), demuestra que
dy
x+y
=
dx x + y − 1
Capítulo 10
Significado geométrico de la derivada
Es útil considerar el significado geométrico que tiene una derivada. En primer
lugar, toda función de x, por ejemplo, x2, x o ax + b , puede trazarse como
gráfica o curva; en la actualidad, casi todos los estudiantes están familiarizados
con el procedimiento que deben seguir para trazar gráficas.
Sea PQR, en la figura 7, una parte de una gráfica trazada respecto a los ejes de
coordenadas OX y OY. Considera cualquier punto Q en esta gráfica, cuya abscisa
es x y cuya ordenada es y. Observa cómo cambia y cuando x varía. Si x crece en
un pequeño incremento dx, a la derecha, se advierte que y también (en esta gráfica
en particular) aumenta en un pequeño incremento dy (porque en particular esta
es una gráfica ascendente).
Entonces, la razón de dy a dx es una medida del grado en que la gráfica se
arquea hacia arriba entre los puntos Q y T. De hecho, se puede observar en la
figura que la curva entre Q y T tiene muchas pendientes, por lo que en términos
estrictos no se puede hablar en realidad de la pendiente de la curva entre Q y T.
Sin embargo, si los puntos Q y T se hallan tan cerca uno de otro que la pequeña
parte QT de la curva es prácticamente recta, es correcto decir que la razón dy /dx
es la pendiente de la gráfica en QT.
La recta QT producida por ambos lados toca la gráfica únicamente en la parte
QT, y si esta parte es infinitamente pequeña, la recta tocará la gráfica prácticamente en un solo punto y, por tanto, será tangente a ella.
Esta tangente a la gráfica tiene, como es evidente, la misma pendiente que
QT, así que dy /dx es la pendiente de la tangente a la gráfica en el punto Q para el
cual se calculó el valor de dy /dx.
Hemos visto que la frase “pendiente de
una gráfica” o “pendiente de una curva” no
tiene significado preciso, pues una gráfica tieR
Y
ne muchas pendientes; de hecho, cada pequeT
Q
dy
ña parte de una gráfica tiene una pendiente
dx
distinta. Sin embargo, “la pendiente de una
P
gráfica en un punto” es algo perfectamente
definido; es la pendiente de una parte muy
y
pequeña de la gráfica situada precisamente en
ese punto; y hemos visto que esto es lo mismo
que “la pendiente de la tangente a la gráfica
x
O
X
en ese punto”.
dx
Figura 7
Cálculo diferencial e integral (segunda parte)
92
Observa que dx es un paso corto a la derecha, y dy, el correspondiente paso
corto hacia arriba. Estos pasos deben considerarse lo más cortos que sea posible
(de hecho, infinitamente cortos), aunque en las gráficas debemos representarlos
por pedacitos que no sean infinitesimalmente pequeños o, de lo contrario, no
podrían verse a simple vista.
De aquí en adelante usaremos ampliamente el hecho de que dy /dx representa la
pendiente de la tangente a la gráfica en un punto cualquiera. Así:
Y
dy
dx
O
X
Figura 8
Y
dy
dx
O
X
Figura 9
Y
dx
dy
O
X
Figura 10
Y
Q dx
dy
y
x
O
X
dx
Figura 11
Y
dx
dy
dy
dy
dx
dx
O
X
Figura 12
• Si una gráfica tiene pendiente ascendente de 45° en un punto específico,
como en la figura 8, dy y dx serán iguales y el valor de dy /dx será 1.
• Si la curva tiene una pendiente ascendente de más de 45° (figura 9), dy /dx
será mayor que 1.
• Si la gráfica tiene una ligera pendiente ascendente, como se muestra en la
figura 10, dy /dx será una fracción menor que 1.
• Para una recta horizontal, o un punto horizontal en una gráfica, dy = 0 y, por
consiguiente, dy /dx = 0.
• Si una gráfica tiene pendiente descendente, como se muestra en la figura 11,
dy será una disminución y, en consecuencia, debe calcularse con un valor
negativo; por consiguiente, dy /dx también tendrá signo negativo.
• Si la gráfica es una línea recta, como se muestra en la figura 12, el valor de
dy /dx será igual en todos los puntos a lo largo de la recta. En otras palabras,
la pendiente será constante.
• Si una gráfica se inclina más hacia arriba a medida que se desplaza a la derecha, los valores de dy /dx serán cada vez mayores conforme aumente la pendiente, como se muestra en la figura 13.
• Si la gráfica se vuelve cada vez más y más plana, los valores de dy /dx serán
cada vez más pequeños a medida que alcanzan la parte más plana, como se
muestra en la figura 14.
• Si una gráfica desciende primero y luego vuelve a subir, como se muestra en la
figura 15, y presenta una concavidad ascendente, es claro que la razón dy /dx
primero será negativa, con valores decrecientes a medida que la gráfica se
aplana, luego será igual a cero en el punto donde se alcanza el punto más bajo
de la gráfica, y después, a partir de este punto, dy /dx tendrá valores positivos
que seguirán en aumento. En este caso, se dice que y pasa por un mínimo
local. Este valor no es necesariamente el valor más pequeño de y, sino el valor
que corresponde a la parte inferior de la gráfica; por ejemplo, en la figura 28
(véase la página 105), el valor de y que corresponde a la parte inferior de la
gráfica es 1, en tanto que y adopta valores en otros puntos que son menores
que 1. La característica de un mínimo local es que y debe aumentar por ambos lados. (Nota: en cuanto al valor en particular de x que hace que y sea un
mínimo, el valor de dy /dx = 0.)
• Si una gráfica asciende primero y luego desciende, los valores de dy /dx serán
positivos al principio; luego serán de cero, al alcanzar la cima, y después serán
negativos, cuando la curva empiece a descender, como se muestra en la figura
16. En este caso, se dice que y pasa por un máximo local, pero este valor no es
necesariamente el valor más grande de y. En la figura 28, el máximo local de
y es 2 1/3, pero este valor no es, de ningún modo, el más grande que puede
CAPÍTULO 10
Significado geométrico de la derivada
tener y en algún otro punto de la gráfica. (Nota: en cuanto al valor en particular de x que hace que y sea un máximo, el valor de dy /dx = 0.)
• Si una gráfica tiene la forma particular de la figura 17, los valores de dy /dx
siempre serán positivos; sin embargo, habrá un lugar específico donde la pendiente sea menos pronunciada, donde el valor de dy /dx será un mínimo; es
decir, menos del valor en cualquier otra parte de la gráfica.
• Si una gráfica tiene la forma de la figura 18 (observa que esta gráfica no es
función, pues no pasa la prueba de la recta vertical), el valor de dy /dx será
negativo en la parte superior y positivo en la parte inferior; en la “nariz” de la
gráfica, donde esta se vuelve, de hecho, una perpendicular, el valor de dy /dx
será infinitamente grande.
93
Y
dy
dx
dx
dy
dx
O
dy
X
Figura 13
Y
Ahora que comprendemos que dy /dx mide la pendiente de una curva en un
punto cualquiera, volvamos a algunas de las ecuaciones que ya hemos aprendido
a derivar.
1. Pondremos como caso más sencillo el siguiente:
y=x+b
En la figura 19 se muestra la gráfica de esta ecuación, usando escalas iguales
para x y y. Si suponemos que x = 0, la ordenada correspondiente será y = b; es
decir, la gráfica corta o interseca el eje y a la altura b. De ahí asciende a 45°; para
cualquier valor que demos a x a la derecha, tendremos una parte igual de y que
asciende. La línea tiene un gradiente de 1 en 1.
Ahora derivamos y = x + b según las reglas que hemos aprendido para obtener dy /dx = 1.
La pendiente de la recta es tal que por cada pequeño paso dx a la derecha,
damos un paso igualmente pequeño dy hacia arriba. Esta pendiente es constante,
esto es, siempre es la misma pendiente.
2. Veamos otro ejemplo:
X
O
Figura 14
Y
y mín.
O
X
Figura 15
Y
y = ax + b
Sabemos que la gráfica respectiva, como la anterior, empezará desde la altura
b en el eje y. Pero antes de trazar esa gráfica, calculemos su pendiente obteniendo
la derivada, que resulta en dy /dx = a. La pendiente será constante, en ángulo,
cuya tangente llamaremos aquí a. Asignemos a a un valor numérico; por ejemplo,
1/3. Entonces debemos darle una pendiente que ascienda de 1 en 3; o dx será 3
veces más grande que dy, como se ilustra de manera amplificada en la figura 21.
Por tanto, la recta de la figura 20 está trazada con esta pendiente.
y máx.
O
X
Figura 16
Y
3. Ahora estudiaremos un caso un tanto más difícil. Sea
y = ax2 + b
Una vez más, la gráfica respectiva comienza en el eje y a la altura b arriba del
origen. Ahora, derivamos (si ya se te olvidó cómo hacerlo, regresa al capítulo 5;
mejor aún, no regreses, piensa y obtén la derivada):
dy
= 2ax
dx
O
Figura 17
X
Cálculo diferencial e integral (segunda parte)
94
Esto demuestra que la pendiente no es constante: aumenta conforme x crece.
En el punto de partida P, donde x = 0, la gráfica (figura 22) no tiene pendiente,
es decir, es plana. A la izquierda del origen, donde x tiene valores negativos, dy /dx
también tendrá valores negativos, o descenderá de izquierda a derecha, como se
muestra en la figura.
Para ilustrar esto resolveremos un caso específico. Tomemos la ecuación
dx
Y
dy
Q
dx
y=
dy
Derivamos para obtener:
X
O
Figura 18
Observa que esta gráfica no es función.
Y
1
dy
= x
dx
2
Ahora asignaremos algunos valores sucesivos a x; por ejemplo, de 0 a 5, y
calcularemos los valores correspondientes de y con la primera ecuación, y de
dy /dx con la segunda ecuación. La tabulación de los resultados queda de este
modo:
dy
b
dx
O
1 2
x +3
4
X
Figura 19
Y
x
0
1
2
y
3
3
1
4
4
dy
dx
0
1
2
1
3
4
5
5
1
4
7
9
1
4
1
1
2
2
2
1
2
Luego los trazamos en dos gráficas (figuras 23 y 24); en la figura 23 se grafican los valores de y contra los de x, en tanto que en la figura 24, los de dy /dx
contra los de x. Para cualquier valor asignado de x, la altura de la ordenada en la
segunda gráfica es proporcional a la pendiente de la primera.
b
O
X
Figura 20
Figura 21
Y
R
Q
P
b
O
X
Figura 22
Figura 23
CAPÍTULO 10
Significado geométrico de la derivada
95
Figura 24
Si la gráfica alcanza una cúspide, como se muestra en la figura 25, la pendiente en ese punto cambia de pronto de una pendiente ascendente a una descendente. En ese caso, dy /dx sufrirá, como es evidente, un cambio brusco de un valor
positivo a uno negativo.13
En los ejemplos siguientes se presentan otras aplicaciones de los principios
que acabamos de explicar.
Y
X
O
Ejemplo 1
Calcula la pendiente de la tangente a la curva y = 1/2x + 3 en el punto x = –1.
Halla el ángulo que esta tangente forma con la gráfica de y = 2x2 + 2.
Figura 25
Solución
La pendiente de la tangente es la pendiente de la gráfica en el punto donde se
tocan; es decir, es la dy /dx de la gráfica en ese punto. Aquí, dy /dx = − 1/2x 2 y
para x = –1, dy /dx = − 1/2, que es la pendiente de la tangente y de la gráfica en
ese punto.
En vista de que la tangente es una línea recta, tiene la ecuación y = ax + b,
y su pendiente es dy /dx = a; por consiguiente, a = − 1/2. Además, si x = –1,
y =1/2(−1) + 3 = 2 1/2, y como la tangente pasa por este punto, las coordenadas del punto deben satisfacer la ecuación de la tangente, a saber:
1
y =− x +b
2
de modo que 2 1/2 = − 1/2 ⋅ (−1) +b y b = 2; por tanto, la ecuación de la
tangente es y = − 1/2 x + 2.
Ahora bien, cuando dos gráficas se encuentran, la intersección es un punto
común a ambas y sus coordenadas deben satisfacer la ecuación de cada una de las
dos; es decir, deber ser una solución del sistema de ecuaciones simultáneas forma-
13
Cúspide es el punto preciso de una curva o
gráfica en el que esta cambia abruptamente
de dirección 180°. Si cambia en cualquier
otro ángulo, el punto se llama vértice. Por
supuesto, una cúspide o vértice puede
apuntar al Norte o al Sur, Este u Oeste, o en
cualquier otra dirección. La tangente en la
cúspide que se muestra en la figura 25 es
vertical. La gráfica se acerca a la tangente por
un lado y se aleja por el otro. En el punto
cúspide no hay derivada. Un ejemplo típico
es la gráfica de y = (x – 4)2/3. Su cúspide
apunta al Sur en x = 4.
Los vértices pueden presentarse en gráficas
de funciones continuas que están hechos de
líneas rectas. Por ejemplo, la función valor
absoluto, que se define como x si x ≥ 0 y –x
si x < 0, tiene un vértice en x = 0. (MG)
96
Cálculo diferencial e integral (segunda parte)
do por la unión de las ecuaciones de las gráficas. Aquí las gráficas se encuentran
en puntos dados por la solución de
{
y = 2x 2 +2
1
1
y = − x + 2 o bien, 2x 2 + 2 = − x + 2
2
2
esto es, x(2x + 1/2) = 0.
Esta ecuación tiene las soluciones x = 0 y x = –1/4. La pendiente de la gráfica de y = 2x2 + 2 en cualquier punto es
dy
= 4x
dx
En cuanto al punto donde x = 0, esta pendiente es cero; la gráfica es horizontal. En el punto donde x = –1/4, resulta que dy /dx = –1; por consiguiente, en
ese punto tiene pendiente descendente a la derecha, formando un ángulo θ con
la horizontal tal que tan θ = 1; es decir, a 45° respecto a la horizontal.
La pendiente de la recta es –1/2 es decir, se inclina hacia abajo y a la derecha
y forma con la horizontal un ángulo ϕ tal que tan ϕ = 1/2; esto es, un ángulo
de 26° 34′. Se deduce que en el primer punto la gráfica corta o interseca la recta
en un ángulo de 26° 34′, mientras que en el segundo, la corta en un ángulo de
45° – 26° 34′ = 18° 26′.
Ejemplo 2
Se trazará una línea recta por un punto cuyas coordenadas son x = 2 y y = –1,
como tangente a la gráfica de y = x2 – 5x + 6. Determina las coordenadas del
punto de contacto.
Solución
La pendiente de la tangente debe ser igual que la dy /dx de la gráfica; es decir,
2x – 5.
La ecuación de la línea recta es y = ax + b, y como se satisface con los valores
x = 2, y = –1, entonces –1 = 2a + b; además
dy
= a = 2x −5
dx
La x y la y del punto de contacto también deben satisfacer tanto la ecuación
de la tangente como la de la gráfica.
Entonces, tenemos:
{
y = x 2 − 5 x + 6, ................................... (i)
y = ax + b , ........................................... (ii)
−1 = 2a + b , ........................................... (iii)
a = 2 x − 5, ............................................ (iv)
cuatro ecuaciones en a, b, x, y.
CAPÍTULO 10
Significado geométrico de la derivada
Las ecuaciones (i) y (ii) dan x2 – 5x + 6 = ax + b.
Sustituimos a y b por su valor en esta y obtenemos
x2 – 5x + 6 = (2x – 5)x – 1 – 2(2x – 5)
que se simplifica a x2 – 4x + 3 = 0, cuyas soluciones son x = 3 y x = 1. Sustituyendo en (i) obtenemos y = 0 y y = 2, respectivamente; entonces, los dos puntos
de contacto son x = 1, y = 2, y x = 3, y = 0.
Nota: en todos los ejercicios relacionados con gráficas (es decir, curvas) es
sumamente instructivo para los estudiantes trazar estas para comprobar las deducciones obtenidas.
[ EJERCICIOS VIII ]
1. Traza la gráfica de y = 3/4x2 – 5 usando una escala milimétrica. Mide en
los puntos correspondientes a los diferentes valores de x el ángulo de su
pendiente.
Mediante la derivada de la ecuación, obtén la expresión de la pendiente.
Comprueba con una calculadora si esto concuerda con el ángulo medido.
2. Calcula la pendiente de la gráfica de y = 0.12x³ – 2 en el punto donde
x = 2.
3. Si y = (x – a)(x – b), demuestra que en el punto preciso de la gráfica donde dy /dx = 0, x tendrá el valor de 1/2(a + b).
4. Calcula el valor de dy /dx de la ecuación y = x³ + 3x. Además, obtén
los valores numéricos de dy /dx de los puntos que corresponden a x = 0,
x = 1/2, x = 1 y x = 2.
5. En la gráfica de la ecuación x2 + y² = 4, calcula el valor de x en los puntos
donde la pendiente es 1.
6. Obtén la pendiente, en cualquier punto, de la gráfica cuya ecuación es
x 2/3 2 + x 2/2 2 = 1. Además, indica el valor numérico de la pendiente en
los puntos donde x = 0 y donde x = 1.
7. La ecuación de una tangente a la gráfica de y = 5 – 2x + 0.5x³ tiene
la forma y = mx + n, donde m y n son constantes. Obtén el valor de
m y n si el punto donde la tangente toca la gráfica tiene como abscisa
x = 2.
8. Indica en qué ángulo las gráficas de las ecuaciones
y = 3.5x2 + 2
se cortan o intersecan.
y y = x2 – 5x + 9.5
97
98
Cálculo diferencial e integral (segunda parte)
9. Las tangentes a la gráfica de y = ± 25 − x 2 se trazan en puntos donde
x = 3 y x = 4, y el valor de y es positivo. Obtén las coordenadas del punto
de intersección de las tangentes y su inclinación mutua.
10. Una recta y = 2x – b toca la gráfica de y = 3x2 + 2 en un punto. ¿Cuáles
son las coordenadas del punto de contacto y cuál es el valor de b?
Posdata
Martin Gardner
c
a
b
Figura 25a
Teorema del valor medio de Lagrange.
Si la gráfica de una función continua corta el eje x en dos puntos a y b, y es derivable
en el intervalo cerrado entre a y b, debe haber por lo menos un punto en la curva
entre a y b donde la tangente sea horizontal y la derivada cero. Esto se conoce como
teorema de Rolle, en honor del matemático francés Michel Rolle (1652-1719).
El teorema de Rolle es un caso especial de lo que se denomina teorema del
valor medio de Lagrange, en honor del matemático francés Joseph Louis Lagrange
(1736-1813), que postula que una línea recta entre los puntos a y b en la gráfica
de una función continua derivable es paralela a la tangente de por lo menos un
punto c en el intervalo cerrado entre a y b (véase la figura 25a).
Si aplicamos esto a la velocidad de un automóvil que va de A a B a una velocidad promedio de, por ejemplo, 45 kilómetros por hora, no importa cuántas
veces modifique la velocidad a lo largo del camino (incluso si se detiene), habrá
por lo menos un momento en que su velocidad instantánea será exactamente de
45 kilómetros por hora.
Intuitivamente, los dos teoremas son evidentes; sin embargo, en ellos se basan muchos teoremas importantes del cálculo más complicados. Por ejemplo, el
teorema del valor medio es la base para calcular antiderivadas.
El teorema del valor medio de Lagrange se generaliza además a lo que se
conoce como teorema del valor medio de Cauchy, en honor de Augustin Louis
Cauchy (1789-1857), un matemático francés. Se refiere a dos funciones continuas que son derivables en un intervalo cerrado. Aprenderás al respecto en libros
de cálculo más avanzados.
Capítulo 11
Máximos y mínimos
Se dice que una cantidad que varía continuamente pasa por (o a través de) un
valor máximo o mínimo local cuando, en el curso de su variación, los valores
inmediatamente precedente y subsiguiente ambos son menores o mayores, respectivamente, que el valor al que hacen referencia. Un valor infinitamente grande
no es, por tanto, un valor máximo.
Uno de los principales usos del proceso de derivación consiste en averiguar
en qué condiciones el valor de la cosa derivada se convierte en un máximo o en
un mínimo. Esto suele ser sumamente importante en cuestiones de ingeniería y
economía, donde es muy deseable conocer las condiciones que harán que el costo
de un trabajo sea mínimo o que la eficiencia sea máxima.
Para empezar con un caso concreto, tomemos la ecuación
y = x2 – 4x + 7
Si asignamos un número de valores sucesivos a x y calculamos los valores correspondientes de y nos daremos cuenta de inmediato que la ecuación representa
una gráfica con un mínimo
x
0
1
2
3
4
5
y
7
4
3
4
7
12
Estos valores se representan gráficamente en la figura 26, donde se muestra
que, al parecer, y tiene un valor mínimo de 3 cuando x es igual a 2. Pero, ¿estamos
seguros de que el mínimo se presenta en 2 y no en 2 1/4 o en 1 3/4?
Por supuesto, con cualquier expresión algebraica sería posible calcular muchos valores, y así llegar paulatinamente al valor específico que podría ser un
máximo o un mínimo.
He aquí otro ejemplo. Sea
y = 3x – x2
Calculamos algunos valores así:
x
–1
0
1
2
3
4
5
y
–4
0
2
2
0
–4
–10
100
Cálculo diferencial e integral (segunda parte)
Figura 26
La gráfica de estos valores (y de la ecuación ) es como se muestra en la figura 27.
Será evidente que habrá un máximo en algún punto entre x = 1 y x = 2;
parece que el valor máximo de y debería ser aproximadamente de 2 1/4. Probemos con algunos valores intermedios. Si x = 1 1/4, y = 2.1875; si x = 1 1/2,
y = 2.25; si x = 1.6, y = 2.24. ¿Cómo podemos estar seguros de que 2.25 es el
verdadero máximo, o que se presenta exactamente cuando x = 1 1/2?
Podría parecer que hay que hacer malabares para asegurarse de que hay una
forma en la que podemos llegar directamente a un valor máximo (o mínimo) sin
hacer demasiadas pruebas preliminares o conjeturas. Y esa forma depende de la
derivación. Repasa los comentarios sobre las figuras 15 y 16 del capítulo 10 y te
Figura 27
CAPÍTULO 11
darás cuenta de que siempre que una gráfica alcanza su altura máxima o mínima,
en ese punto su valor es de dy /dx = 0. Esto nos da una pista para llegar al truco
hacia el que nos dirigimos.
Cuando se te presente una ecuación y desees calcular el valor de x que hará
de y su valor mínimo (o máximo), primero obtén la derivada; después de haberlo
hecho escribe su dy /dx como igual a cero y luego obtén el valor de x. Inserta este
valor de x en la ecuación original y entonces obtendrás el valor requerido de y.
Este proceso recibe comúnmente el nombre de igualar a cero.
Para entender la sencillez con que funciona, tomemos el ejemplo con el que
abrimos el capítulo:
y = x2 – 4x + 7
Derivamos y obtenemos:
dy
= 2x − 4
dx
Ahora igualamos esto a cero y, por tanto:
2x – 4 = 0
Resolvemos la ecuación para obtener el valor de x y tenemos:
2x = 4
x=2
Ahora sabemos que el máximo (o mínimo) se presentará exactamente cuando x = 2. Insertamos el valor x = 2 en la ecuación original para obtener:
y = 2² – [(4)(2)] + 7
=4–8+7=3
Vuelve a examinar la figura 26 y advertirás que el mínimo ocurre cuando
x = 2, y que este mínimo es de y = 3.
Prueba con el segundo ejemplo (figura 27), que es
y = 3x – x2
Obtenemos la derivada,
dy
= 3 −2 x
dx
Igualamos a cero,
3 – 2x = 0
de donde
1
2
Insertamos este valor de x en la ecuación original para obtener:
x =1
1
1
1
y =4 − 1 ⋅ 1
2
2
2
1
y =2
4
(
)
Máximos y mínimos
101
102
Cálculo diferencial e integral (segunda parte)
Esto nos da exactamente la información que buscamos, a diferencia del método de probar muchos valores (el de tabulación) que nos dejó con la duda.
Antes de proseguir con otros casos debemos hacer dos precisiones. Cuando
se te pida igualar dy /dx a cero, al principio sentirás un poco de resentimiento
porque sabes que dy /dx tiene todo tipo de valores diferentes en distintas partes
de la gráfica, según la pendiente sea ascendente o descendente. Entonces, cuando
de pronto se te pide que escribas
dy
=0
dx
lo resentirás y te sentirás inclinado a decir que eso no puede ser verdad.
Debes entender la diferencia esencial entre “una ecuación” y “una ecuación
de condición”. Normalmente trabajas con ecuaciones que son verdaderas por sí
mismas; pero, en ocasiones, de las cuales son ejemplo las presentes, has de escribir
ecuaciones que no necesariamente son verdaderas, sino que sólo pueden serlo si
se cumplen ciertas condiciones; y escribes esas ecuaciones en orden, resolviéndolas, para determinar las condiciones que las hacen verdaderas.
Queremos calcular el valor particular que tiene x cuando la gráfica no tiene pendiente ascendente ni descendente, es decir, en el punto concreto donde
dy /dx = 0. Así, escribir dy /dx = 0 no significa que siempre sea dy /dx = 0, sino
que la escribimos como una condición para comprobar cuánto se obtendrá para x
si dy /dx es igual a cero.
La segunda precisión es una que ya habrás notado: que este proceso tan cacareado de igualar a cero no indica de ningún modo si la x que calculamos nos dará
un valor máximo o uno mínimo de y. ¡Exactamente! No discrimina por sí solo;
calcula el valor correcto de x, pero nos queda averiguar si la y correspondiente es
un máximo o un mínimo.
Desde luego, si trazaste la gráfica, ya sabrás cuál será. Por ejemplo, tomemos
la ecuación:
y = 4x +
1
x
Sin detenernos a pensar a qué gráfica corresponde, obtenemos la derivada e
igualamos a cero:
dy
1
−2
= 4 −x = 4 − 2 = 0
dx
x
donde x = 1/2 o x = –1/2. Sustituyendo estos valores en la ecuación original
tenemos que:
y=4
o
y = –4
Cada uno será un valor máximo o mínimo. Pero, ¿cuál es cuál? Más adelante aprenderás un método que depende de una segunda derivada (véase el capítulo 12).
Sin embargo, por el momento basta que probemos otros dos valores de x que
difieran un poco del que obtuvimos: uno más grande y otro más pequeño, para
CAPÍTULO 11
comprobar si con alguno de los valores modificados los valores correspondientes
de y son menores o mayores que los ya calculados.
Intentemos otro problema sencillo de máximos y mínimos. Imagina que te
piden dividir un número cualquiera en dos partes, de tal modo que el producto
sea un máximo. ¿Cómo lo harías si no conocieras el truco de igualar a cero? Supongo que lo resolverías por el método de probar una y otra vez.
Sea 60 el número. Podemos dividirlo en dos partes y multiplicarlas. Por
ejemplo, 50 por 10 es igual a 500; 52 por 8 es 416; 40 por 20 es 800; 45 por
15 es 675; 30 por 30 es 900. Parece ser que este valor es un máximo; probemos
a variarlo: 31 por 29 es 899, que no está muy bien que digamos, y 32 por 28 es
896, que es aún peor. Por tanto, parece que obtenemos el mayor producto cuando dividimos el número en dos mitades.
Ahora ve lo que indica el cálculo. Sea n el número que dividiremos en dos
partes. Entonces, si x es una parte, la otra será n – x, y el producto será x(n – x) o
nx – x2. Por tanto, escribimos
y = nx – x2
En seguida obtenemos la derivada e igualamos a cero:
dy
= n −2 x = 0
dx
Resolvemos para (o sea, despejamos) x y obtenemos
n
=x
2
Ahora sabemos que sea cual fuere el número n, debemos dividirlo en dos
partes iguales para que el producto de las partes sea un máximo; y el valor de ese
producto máximo siempre será igual a 1/4n2.
Esta regla resulta muy útil y se aplica a numerosos factores, de tal manera
que si m + n + p = un número constante, m ⋅ n ⋅ p es un valor máximo cuando
m = n = p.
Caso de prueba
Apliquemos de inmediato nuestro conocimiento a un caso que podemos probar.
Sea y = x2 – x y calculemos si esta función tiene un máximo o mínimo; y de ser
así, comprobemos si es un máximo o un mínimo.
Derivamos y obtenemos:
dy
= 2 x −1
dx
Igualamos a cero y queda:
2x – 1 = 0
de donde
2x = 1
1
x=
2
Máximos y mínimos
103
104
Cálculo diferencial e integral (segunda parte)
Es decir, cuando x se iguala a 1/2, el valor correspondiente de y será un máximo o un mínimo. En consecuencia, sustituimos x = 1/2 en la ecuación original
y obtenemos:
y=
1 2 1
1
( 2) −2 o bien, y = − 4
¿Se trata de un máximo o de un mínimo? Para comprobarlo, tratemos de que
x sea un poco mayor que 1/2, por ejemplo, x = 0.6. Entonces,
y = (0.6)² – 0.6 = 0.36 – 0.6 = –0.24
Además, probaremos con un valor de x un poco menor que 1/2, por ejemplo,
x = 0.4. Entonces,
y = (0.4)² – 0.4 = 0.16 – 0.4 = –0.24
Ambos valores son mayores que –0.25, lo que demuestra que y = –0.25 es
un mínimo. Traza la gráfica y comprueba el cálculo.
Otros casos
14
El punto máximo de la gráfica de la figura
28 se llama máximo local porque la gráfica,
como resulta evidente, tiene puntos más altos en otras partes más adelante. Del mismo
modo, su punto mínimo es un mínimo local
porque hay otros puntos más bajos en partes
anteriores de la gráfica. Si los puntos máximo
y mínimo son los puntos más alto y más
bajo de una gráfica, como se observa en las
figuras 26 y 27, se llaman máximos y mínimos
absolutos. En la figura 28, la gráfica no tiene
puntos máximo y mínimo absolutos porque
se extiende al infinito en ambos extremos.
En la figura 28, el punto de la curva en
x = 2 se conoce como punto de inflexión.
Se trata del punto en el que la gráfica es
cóncava hacia arriba por un lado y cóncava
hacia abajo por el otro. Dicho de otra forma,
es el punto en el que la tangente a la curva,
yendo de izquierda a derecha, deja de girar
en una dirección y empieza a girar en sentido
contrario. Cuando la segunda derivada de
una gráfica es positiva, la gráfica es cóncava
hacia arriba (como una sonrisa), y cuando
la segunda derivada es negativa, la gráfica
es cóncava hacia abajo (como un ceño
fruncido). Algunos textos de cálculo suelen
distinguir las dos gráfica diciendo que una
“puede contener agua” y la otra no.
En ocasiones, una curva tiene un punto
de inflexión en un punto donde dy /dx = 0.
En este caso, el punto no es un máximo ni
un mínimo. Por ejemplo, esto se aplica a
y = x ³ en x = 0. Por tanto, después de igualar la derivada a cero debemos comprobar los
puntos en ambos lados de x para determinar
si hemos calculado un máximo, un mínimo o
ninguno de los dos. (MG)
Un caso muy interesante es el que presenta una gráfica que tiene tanto un máximo como un mínimo. Su ecuación es:
1
y = x 3 −2 x 2 + 3x + 1
3
Ahora bien,
dy
2
= x − 4x +3
dx
Igualamos a cero y obtenemos la ecuación cuadrática:
x2 – 4x + 3 = 0
Resolviendo la ecuación cuadrática obtenemos dos raíces:
x=3
y x=1
Ahora, cuando x = 3, y = 1; y cuando x = 1, y = 2 1/3. Lo primero es un
mínimo y lo segundo un máximo.14
Podemos trazar la gráfica (como en la figura 28) con los valores calculados,
como se muestra a continuación, a partir de la ecuación original
x
–1
y
−4
1
3
0
1
1
2
1
3
2
1
2
3
3
4
1
2
1
3
5
7
2
3
6
19
El caso siguiente es otro ejemplo de máximos y mínimos. La ecuación de
un círculo de radio r, que tiene su centro en C en el punto cuyas coordenadas
son x = a, y = b, como se ilustra en la figura 29, es:
(y – b)² + (x – a)² = r²
CAPÍTULO 11
Máximos y mínimos
Figura 28
Esta ecuación puede transformarse en:
y = r 2− ( x − a )2 + b
donde la raíz cuadrada puede ser positiva o negativa.
Sabemos de antemano, por simple inspección de la figura, que cuando x = a,
y estará ya sea en su valor máximo, b + r, o bien, en su valor mínimo, b – r. Pero
no nos aprovechemos de este conocimiento; calculemos mejor el valor de x que
hace de y un máximo o un mínimo, por medio del proceso de derivar e igualar
a cero:
1
dy 1
⋅ (2a −2 x )
=
2
dx 2 r −( x −a )2
Figura 29
105
106
Cálculo diferencial e integral (segunda parte)
que se reduce a
dy
a −x
= 2
dx
r −( x −a )2
Entonces, la condición para que y sea un máximo o un mínimo es:
a −x
=0
r −( x −a )2
2
Puesto que no existe ningún valor de x que haga el denominador infinito, la
única condición para dar cero es:
x=a
Sustituimos este valor en la ecuación original del círculo y obtenemos:
y = r2+ b
y puesto que la raíz de r ² es +r o –r, tenemos dos valores resultantes de y:
y=b+r
o bien, y = b – r
La primera ecuación es el máximo, en la parte superior; la segunda, el mínimo, en la parte inferior.
Si la gráfica es tal que no existe ningún punto que sea máximo o mínimo, el
proceso de igualar a cero producirá un resultado imposible. Por ejemplo, sea
y = ax³ + bx + c
Luego,
dy
2
= 3ax + b
dx
Igualamos a cero y obtenemos 3ax2 + b = 0, x 2 = −b /3a, y x = −b /3a, que
es imposible en los números reales, suponiendo que a y b tienen el mismo signo.
Por tanto, y no tiene máximo ni mínimo.
Algunos otros ejemplos resueltos te permitirán dominar por completo esta
aplicación muy interesante y útil del cálculo.15
Ejemplo 1
¿Cuánto miden los lados del rectángulo de área máxima inscrita en un círculo de
radio R?
Solución
15
Esto es quedarse corto. La búsqueda de valores extremos (máximos y mínimos) de una
función es uno de los aspectos más bellos y
útiles del cálculo diferencial. ¡Sólo hay que
igualar la derivada a cero y despejar x! ¡Como
por arte de magia! (MG)
Si uno de los lados es x, entonces el otro lado = (diagonal)2 − x 2 ; y como la
diagonal del rectángulo es necesariamente el diámetro del círculo que lo circunscribe, el otro lado es igual a 4 R 2 − x 2 .
Entonces, el área del rectángulo es
S = x 4R 2 − x 2
CAPÍTULO 11
Derivamos:
dS
d ( 4R 2 − x 2 )
d (x )
+ 4R 2 − x 2 ⋅
=x ⋅
dx
dx
dx
(Si ya se te olvidó cómo derivar 4 R 2 − x 2 , aquí tienes una pista: escribe
w = 4R 2 – x2 y y = w , y luego obtén dy /dw y dw /dx; esfuérzate por resolver
este problema, y sólo si no puedes proseguir, repasa el capítulo 9.) Obtendrás:
4R 2 − 2 x 2
dS
x
2
2
+
−
=
4
R
x
=x ⋅ −
dx
4R 2 − x 2
4R 2 − x 2
Para el máximo o el mínimo, debemos tener:
4R 2 − 2 x 2
=0
4R 2 − x 2
es decir, 4R 2 – 2x2 = 0 y x = R 2.
El otro lado = 4 R 2 − 2 R 2 = R 2; los dos lados son iguales. La figura es
un cuadrado cuyo lado es igual a la diagonal del cuadrado construido sobre el
radio. En este caso, se trata, por supuesto, de un máximo.
Ejemplo 2
¿Qué radio tiene la abertura de un recipiente cónico cuyo lado inclinado tiene
una longitud de l cuando la capacidad del recipiente se usa al máximo?
Solución
Si R es el radio y H la altura correspondiente,
H = l 2 −R 2
Volumen:
V = πR 2 ⋅
l 2 −R 2
3
H
=πR 2 ⋅
3
Procedemos como en el ejemplo anterior y obtenemos:
dV
R
2πR
2
= πR ⋅ −
2
2 +
dR
3
3 l −R
=
2πR (l 2 − R 2 ) − πR 3
3 l 2 −R 2
l 2 −R 2
=0
para el máximo o el mínimo. O bien,
2πR(l 2 – R 2) – πR 3 = 0
para un máximo, como es obvio.
y R =l
2
3
Máximos y mínimos
107
108
Cálculo diferencial e integral (segunda parte)
Ejemplo 3
Calcula los máximos y mínimos de la función
y=
x
4−x
+
4−x
x
Solución
Al derivar obtenemos:
dy (4 − x ) −(−x ) −x −(4 − x )
=
+
=0
dx
(4 − x )2
x2
para el máximo o mínimo; o bien,
4
4
2 − 2 =0 y x =2
(4 − x )
x
Hay un solo valor, por tanto, hay sólo un máximo o mínimo:
para x = 2,
para x = 1.5,
para x = 2.5,
y=2
y = 2.27
y = 2.27
es, por tanto, un mínimo. (Resulta muy aleccionador trazar la gráfica de la función.)
Ejemplo 4
Calcula los máximos y mínimos de la función
y = 1 + x + 1 −x
Será muy instructivo trazar la gráfica respectiva.
Solución
Derivando obtenemos el resultado de inmediato (véase el ejemplo 1 del capítulo 9):
dy
1
1
=0
=
−
dx 2 1 + x 2 1 – x
para el máximo o mínimo. Por tanto, 1 + x = 1− x y x = 0, la única solución
para x = 0,
para x = ±0.5,
por lo que este es un máximo.
y = 2.
y = 1.932
CAPÍTULO 11
Máximos y mínimos
109
Ejemplo 5
Calcula los máximos y mínimos de la función
y=
x 2 −5
2x −4
Solución
Tenemos que
dy (2 x − 4) ⋅ 2x −( x 2− 5)2
=
=0
dx
(2 x − 4)2
para máximo o mínimo; o bien,
2 x 2 −8 x +10
=0
(2 x − 4)2
o x2 – 4x + 5 = 0, que tiene las soluciones siguientes:
x = 2 ± −1
Como son imaginarias, no hay ningún valor real de x para el cual dy /dx = 0;
por tanto, tampoco hay máximo ni mínimo.
Ejemplo 6
Calcula los máximos y mínimos de la función
(y – x2)2 = x5
Solución
Esa función puede escribirse así: y = x 2 ± x 5/2. Entonces,
dy
5
= 2 x ± x 3 /2 = 0
dx
2
para máximo o mínimo; es decir,
5
x ( 2 ± x 1 /2) = 0,
2
0.3
que se satisface para x = 0 y para x ( 2 ± 5/2 x 1 /2) = 0, esto es, para x = 16/25. En
consecuencia, hay dos soluciones. Tomemos primero x = 0:
0.2
y
5
si x = –0.5,
y = 0.25 ± 2 −(0.5) ,
si x = +0.5,
y = 0.25 ± 2 (0.5)5 .
Por un lado, y es imaginario; es decir, no existe ningún valor de y que pueda
representarse en una gráfica; el segundo se sitúa, por tanto, por completo del lado
derecho del eje y (figura 30).
0.1
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
Figura 30
x
110
Cálculo diferencial e integral (segunda parte)
Al trazar la gráfica se verá que va hacia el origen como si hubiera un mínimo
ahí; pero en vez de seguir más allá, como debería ocurrir con un mínimo, da
marcha atrás sobre sus pasos (formando una cúspide). Por tanto, no hay mínimo,
aunque la condición de un mínimo se satisfaga, es decir, dy /dx = 0.
En consecuencia, es necesario comprobar siempre tomando un valor de cualquiera de los lados.16
Si tomamos x = 16/25 = 0.64. Si x = 0.64, entonces y = 0.7373 y y =
0.0819; si x = 0.6, y = 0.6389 y 0.0811; y si x = 0.7, y = 0.9000 y 0.0800.
Esto muestra que hay dos ramas de la gráfica; la superior no pasa por un
máximo, pero la inferior sí.17
Ejemplo 7
Un cilindro cuya altura es el doble del radio de la base está incrementando su
volumen de modo tal que todas sus partes siempre guardan la misma proporción
entre sí; es decir, en cualquier instante el cilindro es semejante al cilindro original.
Cuando el radio de la base es de r pulgadas, el área aumenta a la razón de 20 pulgadas cuadradas por segundo. ¿A qué razón por segundo se incrementa entonces
el volumen?
Solución
Área = S = 2(πr2) + 2πr ⋅ 2r = 6πr²
Volumen = V = πr2 ⋅ 2r = 2πr³
Derivamos:
dr
dS
= 12πr = 20;
dt
dt
dV
2 dr
;
= 6πr
dt
dt
16
La terminología actual amplía el significado
de valores extremos y permite extremos
locales en cúspides, vértices y puntos finales
de intervalos en el dominio de una función.
(MG)
17
En este punto, Thompson introduce un
problema que no tiene nada que ver con
extremos, pero lo he dejado tal cual. Tenga
en cuenta también que el problema 10 de los
ejercicios está asimismo fuera de lugar por el
mismo motivo. (MG)
20
dr
=
dt 12πr
y
dV
20
2
= 10r
= 6πr ⋅
dt
12πr
El volumen cambia a la razón de 10r pulgadas cúbicas por segundo.
Prepara otros ejemplos. Hay algunos temas que ofrecen gran abundancia de
casos interesantes.
CAPÍTULO 11
[ EJERCICIOS IX ]
1. Indica qué valores de x hacen de y un máximo y un mínimo si se tiene la
ecuación siguiente:
x2
y=
x +1
2. Indica qué valor de x hace de y un máximo en la ecuación
y=
x
a + x2
2
3. Una recta de longitud p se cortará en cuatro partes con las que se formará
un rectángulo. Demuestra que el área del rectángulo será un máximo si
cada uno de sus lados es igual a 1/4p.
4. Un trozo de cordel de 30 pulgadas de largo tiene los dos extremos unidos
y se estira con tres tachuelas para formar un triángulo. ¿Cuál es el área
triangular más grande que puede delimitar el cordel?
5. Traza la gráfica correspondiente a la ecuación:
y=
10
10
+
x 8−x
Además, calcula dy /dx y deduce el valor de x para el cual y es un mínimo;
calcula ese valor mínimo de y.
6. Sea y = x5 – 5x, y calcula los valores de x que harán de y un máximo o un
mínimo.
7. ¿Cuál es el cuadrado más pequeño que puede colocarse dentro un cuadrado determinado para que cada esquina del cuadrado pequeño toque un
lado del cuadrado mayor?
8. Inscribe en un cono, cuya altura es igual al radio de la base, un cilindro
(a) cuyo volumen es un máximo; (b) cuya área lateral es un máximo;
(c) cuya área total es un máximo.
9. Inscribe en una esfera, un cilindro (a) cuyo volumen es un máximo;
(b) cuya área lateral es un máximo; (c) cuya área total es un máximo.
10. Un globo esférico aumenta de volumen. Si cuando su radio mide r pies,
su volumen aumenta a razón de 4 pies cúbicos por segundo, ¿a qué razón
aumenta entonces su superficie?
11. Inscribe en una esfera un cono cuyo volumen sea un máximo.
Máximos y mínimos
111
Capítulo 12
Curvatura de las curvas
Volviendo al proceso de derivación sucesiva, cabe preguntar: ¿por qué querría
alguien derivar dos veces? Sabemos que cuando las cantidades variables son espacio y tiempo, derivamos dos veces para obtener la aceleración de un cuerpo en
movimiento, y que en la interpretación geométrica, según se aplica a las curvas,
dy /dx representa la pendiente de la curva. Pero ¿qué puede significar d 2y /dx2 en
este caso?
Es claro que significa la razón (por unidad de longitud de x) a la que cambia
la pendiente; en pocas palabras, es una indicación de cómo varía la pendiente de la
parte de la gráfica considerada; es decir, es una señal de si la pendiente de la gráfica
aumenta o disminuye cuando x aumenta. Dicho con otras palabras, es una indicación de si la gráfica se arquea hacia arriba o hacia abajo a la derecha.
Supón una pendiente constante, como se muestra en la figura 31. Aquí,
dy /dx es un valor constante.
Imagina, sin embargo, un caso en el que, como se muestra en la figura 32, la
pendiente misma aumenta en sentido ascendente; entonces
d
(dxdy )
dx
,
es decir, d 2y /dx2 será positiva.
Si la pendiente se va haciendo menos pronunciada hacia la derecha (como
se muestra en la figura 14), o como en la figura 33, entonces, a pesar de que la
gráfica puede ser ascendente, como el cambio es tal que disminuye su pendiente,
su d 2y /dx2 será negativa.
Y
O
Figura 31
Y
X
O
Figura 32
X
CAPÍTULO 12
Llegó el momento de iniciarte en otro secreto: cómo distinguir si el resultado
obtenido “igualando a cero” es un máximo o un mínimo. El truco es el siguiente:
después de haber derivado (para obtener la expresión que se iguala a cero), hay
que derivar una segunda vez y comprobar si el resultado de la segunda derivada
es positivo o negativo.
Si d 2y /dx2 resulta positiva, entonces sabrás que el valor de y obtenido es un
mínimo; pero si d 2y /dx2 sale negativa, entonces el valor de y que se obtuvo debe
ser un máximo. Esa es la regla.
El porqué debe parecerte muy evidente. Piensa en cualquier gráfica que tenga
un punto mínimo, como la de la figura 15 o como la de la figura 34, donde el
punto mínimo y está señalado por M, y la gráfica es cóncava hacia arriba. A la
izquierda de M la pendiente es descendente, es decir, negativa, y se está volviendo
menos negativa. A la derecha de M la pendiente es ascendente y se dirige cada
vez más hacia arriba. Evidentemente, el cambio de pendiente cuando la gráfica
atraviesa M es tal que d 2y /dx2 es positiva, porque su operación, a medida que x
aumenta hacia la derecha, es convertir una pendiente descendente en otra ascendente.
Asimismo, considera una gráfica cualquiera que tenga un punto máximo,
como la de la figura 16 o la de la figura 35, donde la gráfica es cóncava hacia
arriba, y el punto máximo está señalado por M. En este caso, a medida que la
gráfica pasa por M de izquierda a derecha, su pendiente ascendente se convierte
en una pendiente descendente o negativa, por lo que en este caso, la “pendiente
de la pendiente” d 2y /dx2 es negativa.
Vuelve ahora a los ejemplos del capítulo anterior y comprueba de esta forma
las conclusiones a las que llegamos en cuanto a si hay un máximo o un mínimo
en algún caso en particular. A continuación se presentan algunos ejemplos resueltos.
Curvatura de las curvas
113
Y
O
X
Figura 33
Y
M
y mín.
O
X
x
Figura 34
Y
M
Ejemplo 1
Obtén el máximo o mínimo de (a) y = 4x2 – 9x – 6; (b) y = 6 + 9x – 4x2, y
comprueba si se trata de un máximo o un mínimo en cada caso.
Solución
y máx.
O
(a) La derivada es:
1
dy
= 8 x − 9 = 0; x = 1
8
dx
Figura 35
y
y = –11.0625
La segunda derivada es:
d 2y
=8
dx 2
Se observa que el resultado es positivo; por tanto, es un mínimo.
(b) La derivada es:
1
dy
= 9 − 8 x = 0; x = 1
8
dx
x
y
y = +11.0625
X
114
Cálculo diferencial e integral (segunda parte)
La segunda derivada es:
d 2y
= −8
dx 2
Como el resultado es negativo, se trata de un máximo.
Ejemplo 2
Calcula los máximos y mínimos de la función:
y = x3 – 3x + 16
Solución
Derivamos:
dy
= 3 x 2 − 3 = 0;
dx
x 2 = 1,
y
x = ±1
La segunda derivada es:
d 2y
= 6x
dx 2
para x = 1, el resultado es positivo; por tanto, x = 1 corresponde a un mínimo,
y = 14. Para x = –1, el resultado es negativo; por consiguiente, x = –1 corresponde a un máximo, y = 18.
Ejemplo 3
Calcula los máximos y mínimos de
y=
x −1
x2 +2
Solución
La derivada es:
dy ( x 2 + 2) ⋅ 1−( x −1) ⋅ 2 x 2 x − x 2 + 2
=0
=
=
dx
( x 2 + 2)2
( x 2 + 2)2
o x2 – 2x – 2 = 0, cuyas soluciones son x = 2.73 y x = –0.73.
La segunda derivada es:
d 2y
( x 2 + 2)2 ( 2 −2 x ) −(2 x − x 2 + 2)(4 x 3 +8 x )
=
−
dx 2
( x 2 + 2)4
=
2 x 5 − 6 x 4 −8 x 3 −8 x 2 −24 x + 8
( x 2 + 2)4
CAPÍTULO 12
El denominador siempre es positivo, por lo que basta confirmar el signo del
numerador.
Si escribimos x = 2.73, el numerador es negativo; el máximo, y = 0.183.
Si escribimos x = –0.73, el numerador es positivo; el mínimo, y = –0.683.
Ejemplo 4
El gasto C de manejar los productos de cierta fábrica varía con la producción
semanal P de acuerdo con la relación C = aP + b /(c + P ) + d , donde a, b, c, d
son constantes positivas. ¿Para qué producción será menor el gasto?
Solución
Aquí tenemos que la derivada es:
b
dC
=a −
=0
(c + P )2
dP
para máximo o mínimo; por tanto, a = b /(c +P)2 y P = ± b /a −c .
Como la producción no puede ser negativa, P = + b /a −c. Ahora bien,
d 2C
b(2c + 2 P )
2 =+
dP
( c + P )4
que es positiva para todos los valores de P; por tanto, P = + b /a −c corresponde a un mínimo.
Ejemplo 5
El costo total por hora C de iluminar un edificio con N lámparas de un cierto
tipo es
C =N
Cl
EPC e
( t + 1 000 )
donde E es la eficiencia comercial (watts por candela)
P es la intensidad luminosa (en candelas) de cada lámpara
t es la vida promedio de cada lámpara en horas
Cl es el costo de renovación en centavos por hora de uso
Ce es el costo de energía por 1 000 watts por hora.
Además, la relación que conecta la vida promedio de una lámpara con la
eficiencia comercial a la que opera es de aproximadamente t = mE n, donde m y
n son constantes que dependen del tipo de lámpara.
Calcula la eficiencia comercial con la que el costo total de iluminación será
el más bajo posible.
Curvatura de las curvas
115
116
Cálculo diferencial e integral (segunda parte)
Solución
Tenemos:
Cl
PC e
( m E +1 000 E)
dC
PC
nC
E
=N(
−
)=0
1 000 m
dE
C =N
−n
e
l
−(n+1)
para máximo o mínimo.
E n+1 =
1 000 ⋅ nC l
mPC e
y E = n+1
1 000 ⋅ nC l
mPC e
Como es evidente, esto es para un mínimo, puesto que
d 2C
nC
N (n +1) l E −(n+2)
2 =
dE
m
]
[
que es positiva para un valor positivo de E.
Para un tipo en particular de lámparas de 16 candelas, Cl = 17 centavos,
Ce = 5 centavos; y se calculó que m = 10 y n = 3.6:
E = 4.6
1 000 ⋅ 3.6 ⋅ 17
= 2.6 watts por candela
10 ⋅ 16 ⋅ 5
[ EJERCICIOS X ]
Es recomendable que traces la gráfica de los ejercicios numéricos.
1. Calcula los máximos y mínimos de
y = x3 + x2 – 10x + 8
2. Dada y = (b /a)x – cx 2 , obtén las expresiones de dy /dx, y para d 2y /dx2;
además, calcula el valor de x para el cual y es un máximo o un mínimo, y
demuestra si es máximo o mínimo. Supón que c > 0.
3. Calcula cuántos máximos y cuántos mínimos hay en la gráfica cuya ecuación es:
y =1−
x2 x4
+
2 24
y cuántos hay en la gráfica cuya ecuación es:
y = 1−
x2 x4
x6
+ −
2 24 720
CAPÍTULO 12
4. Calcula los máximos y mínimos de
y = 2 x +1+
5
x2
5. Calcula los máximos y mínimos de
y=
3
x + x +1
2
6. Calcula los máximos y mínimos de
y=
5x
2+ x2
7. Calcula los máximos y mínimos de
y=
3x
x
+ +5
x −3 2
2
8. Divide un número N en dos partes de modo tal que tres veces el cuadrado
de una parte más dos veces el cuadrado de la otra sea un mínimo.
9. La eficiencia u de un generador eléctrico a diferentes valores de producción x se expresa con la ecuación general:
u=
x
a + bx +cx 2
donde a es una constante que depende principalmente de las pérdidas
de energía del hierro y c una constante que depende principalmente de
la resistencia de las partes de cobre. Halla una expresión para el valor de
producción en que la eficiencia sea máxima.
10. Supón que se sabe que el consumo de carbón de cierto buque de vapor
puede representarse con la fórmula
y = 0.3 + 0.001v³
donde y es el número de toneladas de carbón quemadas por hora y v es la
velocidad expresada en millas náuticas por hora. El costo de los salarios,
interés sobre el capital y depreciación del barco son en conjunto iguales,
por hora, al costo de 1 tonelada de carbón. ¿A qué velocidad el costo
total de un viaje de 1 000 millas náuticas será un mínimo? Si el carbón
cuesta 10 dólares por tonelada, ¿a cuánto ascenderá ese costo mínimo del
viaje?
11. Calcula los máximos y mínimos de
y =±
x
x (10 − x)
6
12. Calcula los máximos y mínimos de
y = 4x3 – x2 – 2x + 1
Curvatura de las curvas
117
Capítulo 13
Fracciones parciales
y funciones inversas
Hemos visto que cuando derivamos una fracción debemos realizar una operación
muy complicada; y si la fracción no es simple, el resultado será, de seguro, una
expresión complicada. Si pudiéramos dividir la fracción en dos o más fracciones
más sencillas, de forma que su suma fuera equivalente a la fracción original, podríamos proceder entonces a derivar cada una de estas expresiones. Además, el
resultado de derivar sería la suma de dos (o más) derivadas, cada una de las cuales
es relativamente sencilla; por añadidura, la expresión final, que desde luego será
igual a la que se obtendría sin recurrir a este subterfugio, se obtiene con mucho
menos esfuerzo y aparece en forma simplificada.
Veamos cómo se llega a este resultado. Primero nos daremos a la tarea de sumar dos fracciones para formar una fracción resultante. Tomemos, por ejemplo,
las dos fracciones
1
2
.
y
x +1
x –1
Podemos sumar estas fracciones y hallar que el resultado es (3x + 1) /(x2 −1).
De la misma manera se pueden sumar tres o más fracciones.
Desde luego, este proceso puede revertirse: si nos dan esta última expresión,
no hay duda de que, de un modo u otro, podemos volver a dividirla para obtener
sus componentes originales o fracciones parciales.
El problema es que no sabemos en todos los casos que se nos presenten cómo
podemos dividirla. A fin de averiguarlo, para empezar consideremos un caso sencillo. Sin embargo, es importante recordar que todo lo que sigue se aplica sólo
a lo que se denomina fracciones algebraicas propias, que son las fracciones como
la que se presentó antes, que tienen numerador de menor grado que el denominador; es decir, aquellas en las que el exponente más alto de x es menor en el
numerador que en el denominador.
Si tenemos que trabajar con una expresión como (x2 + 2) /(x2 – 1), podemos
simplificarla por división, puesto que es equivalente a (1 + 3)/(x 2−1); y 3/(x 2−1)
es una fracción algebraica propia a la que podemos aplicar la operación de dividirla en fracciones parciales, como acabamos de explicar.
CAPÍTULO 13
Fracciones parciales y funciones inversas
Caso i
Si hacemos muchas sumas de dos o más fracciones cuyos denominadores
contengan sólo términos en x y ningún término en x2, x³ o cualquier otra
potencia de x, siempre obtendremos que el denominador de la fracción final
resultante será el producto de los denominadores de las fracciones que se sumaron para formar el resultado.
De lo anterior se desprende que si factorizamos el denominador de esta fracción final, encontraremos todos y cada uno de los denominadores de las fracciones parciales que estamos buscando.
Supón que deseamos volver de (3x + 1)/(x 2 −1) a los componentes que ya
sabemos, que son 1/(x + 1) y 2/(x – 1). Si no conocemos esos componentes, de
todos modos podemos preparar el terreno; para ello, escribimos:
3 x +1
3 x +1
=
+
=
2
x −1 ( x +1)( x −1) x +1 x −1
dejando en blanco los lugares de los numeradores hasta que averigüemos qué
hemos de escribir ahí. Podemos suponer que el signo entre las fracciones parciales
siempre es más, puesto que si fuera un signo menos, simplemente comprobaríamos que el numerador correspondiente es negativo.
Ahora bien, puesto que las fracciones parciales son propias, los numeradores
son solo dígitos sin ninguna x, y podemos llamarlos A, B, C. . . o como más nos
guste. Así, en este caso, tenemos:
3 x +1
A
B
=
+
2
x −1 x +1 x −1
Si sumamos estas dos fracciones parciales obtenemos
A( x −1) + B ( x +1)
( x +1)( x −1)
y este resultado debe ser igual a (3x + 1)/( x +1)( x −1). Además, como los denominadores de estas dos expresiones son iguales, los numeradores también deben
ser iguales, lo que nos da:
3x + 1 = A(x – 1) + B(x + 1)
Ésta es una ecuación con dos cantidades desconocidas, y parece que necesitamos otra ecuación para resolverla y obtener A y B.
Pero hay otra forma de salir airosos de esta dificultad. La ecuación debe ser
verdadera para todos los valores de x; por tanto, debe serlo para valores de x que
den lugar a que x – 1 y x + 1 sean iguales a cero; esto es, para x = 1 y para x = –1,
respectivamente.
Si x = 1, obtenemos 4 = (A ⋅ 0) + (B ⋅ 2), por lo que B = 2. Y si x = –1,
obtenemos –2 = (A ⋅ –2) + (B ⋅ 0), por lo que A = 1. Sustituyendo A y
B de las fracciones parciales por estos nuevos valores obtenemos 1/(x + 1) y
2/(x – 1). . . ¡y listo!
119
120
Cálculo diferencial e integral (segunda parte)
Como otro ejemplo, tomemos la fracción
4 x 2 + 2 x −14
x 3 + 3x 2 − x −3
El denominador es cero cuando el valor de x es 1; por tanto, x – 1 es un factor
del denominador y, obviamente, el otro factor es x2 + 4x + 3. Esta expresión
puede descomponerse una vez más en (x + 1)(x + 3). Por tanto, podemos escribir la fracción así:
4 x 2 + 2 x −14
A
B
C
=
+
+
3
2
x + 3 x − x − 3 x +1 x −1 x + 3
que son tres factores parciales. Procedemos como antes y obtenemos:
4x2 + 2x – 14 = A(x – 1)(x + 3) + B(x + 1)(x + 3) + C(x + 1)(x – 1)
Si x = 1 obtenemos:
–8 = (A ⋅ 0) + B(2 ⋅ 4) + (C ⋅ 0)
esto es, B = –1.
Si x = –1, obtenemos:
–12 = A(–2 ⋅ 2) + (B ⋅ 0) + (C ⋅ 0)
de donde A = 3.
Si x = –3, obtenemos:
16 = (A ⋅ 0) + (B ⋅ 0) + C(–2 ⋅ –4)
de donde C = 2.
Entonces, las fracciones parciales son:
3
1
2
–
+
x +1 x −1 x + 3
que son mucho más fáciles de derivar respecto a x que la expresión complicada
de la que las obtuvimos.
Caso 2
Si algunos de los factores del denominador contienen términos en x2 y no
están convenientemente puestos en factores, el numerador correspondiente
puede contener un término en x, así como un número sencillo y, por tanto,
se hace necesario representar este numerador desconocido no por el símbolo A, sino por Ax + B; el resto de los cálculos es igual que como acabamos
de explicar.
Probemos, por ejemplo, con
−x 2 −3
( x 2 + 1)( x +1)
CAPÍTULO 13
Fracciones parciales y funciones inversas
En principio, tenemos que
−x 2 −3
Ax + B
C
= 2
+
2
( x + 1)( x +1)
x +1 x +1
–x2 – 3 = (Ax + B)(x + 1) + C(x2 + 1)
Si x = –1, obtenemos –4 = C ⋅ 2 y C = –2, de donde
–x2 – 3 = (Ax + B)(x + 1) – 2x2 – 2
y
x2 – 1 = Ax(x + 1) + B(x + 1)
Si x = 0, obtenemos –1 = B; por tanto,
x2 – 1 = Ax(x + 1) – x – 1
o bien, x2 + x = Ax(x + 1)
y
x + 1 = A(x + 1)
de modo que A = 1, y las fracciones parciales son:
x −1
2
–
2
x +1 x +1
Citemos como otro ejemplo la fracción
x 3 −2
( x 2 + 1)( x 2 + 2)
Obtenemos
x 3 −2
Ax + B Cx + D
+ 2
= 2
2
2
x +1
x +2
( x +1)( x + 2)
=
( Ax + B )( x 2 + 2) + (Cx + D )( x 2 +1)
( x 2 +1)( x 2 + 2)
En este caso, la determinación de A, B, C, D no es tan fácil. Será más sencillo
proceder como sigue: puesto que la fracción dada y la fracción obtenida mediante
la suma de las fracciones parciales son iguales y tienen denominadores idénticos,
los numeradores también deben serlo. En ese caso, y con expresiones algebraicas
como las que ahora nos ocupan, los coeficientes de la misma potencia de x son iguales y del mismo signo.
Por tanto, como
x3 – 2 = (Ax + B)(x2 + 2) + (Cx + D)(x2 + 1)
= (A + C )x3 + (B + D)x2 + (2A + C )x + 2B + D
tenemos 1 = A + C; 0 = B + D (el coeficiente de x2 en la expresión de la izquierda es cero); 0 = 2A + C, y –2 = 2B + D. Aquí tenemos cuatro ecuaciones, de las
121
122
Cálculo diferencial e integral (segunda parte)
cuales obtenemos fácilmente A = –1; B = –2; C = 2; D = 2; por consiguiente,
las fracciones parciales son
2( x +1) x + 2
−
x 2 + 2 x 2 +1
Este método puede usarse siempre; pero el método mostrado primero es el
más rápido en el caso de factores en x.
Caso 3
Cuando entre los factores del denominador hay algunos elevados a una potencia, hay que tener en cuenta la posible existencia de fracciones parciales
que tengan por denominador las diferentes potencias de ese factor hasta el
más alto. Por ejemplo, al dividir la fracción
3x 2 – 2 x + 1
( x +1)2 ( x – 2)
debemos considerar la posible existencia de un denominador x + 1, así
como (x + 1)2 y x – 2.
Sin embargo, se puede pensar que, como el numerador de la fracción cuyo
denominador es (x + 1)2 puede contener términos en x, debemos tenerlo en
cuenta y escribir Ax + B como numerador, de forma que
3 x 2 − 2 x +1
Ax + B
C
D
+
=
2
2 +
( x +1) ( x −2) ( x +1)
x +1 x − 2
No obstante, si tratamos de obtener A, B, C y D en este caso fracasaremos, ya
que tenemos cuatro incógnitas y sólo tres relaciones que las conectan:
3 x 2 − 2 x +1
x −1
1
1
+
=
2
2 +
( x +1) ( x −2) ( x +1)
x +1 x − 2
Pero si escribimos
3 x 2 − 2 x +1
A
B
C
=
+
2
2 +
( x +1) ( x −2) ( x +1)
x +1 x − 2
obtenemos
3 x 2 − 2 x +1 = A( x −2) + B ( x +1)( x − 2) +C ( x +1)2 .
Para x = –1; 6 = –3A, o A = –2
x = 2; 9 = 9C,
oC=1
x = 0; 1 = –2A – 2B + C
Sustituyendo los valores de A y C:
1 = 4 – 2B + 1
CAPÍTULO 13
Fracciones parciales y funciones inversas
de donde B = 2. Por tanto, las fracciones parciales son:
2
2
1
−
2 +
x +1 ( x +1)
x −2
en lugar de
1
x −1
1
+
2 +
x +1 ( x +1)
x −2
que se plantearon antes como las fracciones de las que se obtuvo (3x 2 − 2x +1)/
( x +1)2 ( x −2). El misterio se aclara si observamos que (x −1)/( x +1)2 se puede
dividir a su vez en dos fracciones, 1 / (x +1) − 2 / ( x +1)2, de modo que las tres
fracciones dadas son, en realidad, equivalentes a:
1
1
2
1
2
2
1
−
+
−
=
2+
2 +
x +1 x +1 ( x +1)
x − 2 x +1 ( x +1)
x −2
que son las fracciones parciales obtenidas.
Observamos que basta tener en cuenta un término numérico para cada numerador y que siempre obtenemos las últimas fracciones parciales.
Sin embargo, cuando hay una potencia de un factor de x2 en el denominador,
los numeradores correspondientes deben ser de la forma Ax + B; por ejemplo:
3 x −1
Ax + B
Cx + D
E
+
=
2
2
2+
2
(2 x −1) ( x +1) (2 x −1)
2 x −1 x +1
2
que da
3x – 1 = (Ax + B)(x + 1) + (Cx + D)(x + 1)(2x2 – 1) + E(2x2 – 1)2.
Para x = –1, esto da E = –4. Sustituyendo, trasponiendo, reuniendo términos semejantes y dividiendo entre x + 1 obtenemos:
16x3 – 16x2 + 3 = 2Cx3 + 2Dx2 + x(A – C) + (B – D)
En consecuencia, 2C = 16 y C = 8; 2D = –16 y D = –8; A – C = 0, o
A – 8 = 0 y A = 8; y finalmente, B – D = 3 o B = –5. Así, obtenemos como
fracciones parciales:
8x −5
8( x −1)
4
−
2
2 +
2
(2 x −1)
2 x −1 x +1
Es útil comprobar el resultado. La manera más sencilla es sustituir x por un
solo valor, por ejemplo, +1, tanto en la expresión dada como en las fracciones
parciales obtenidas.
Si el denominador contiene sólo una potencia de un solo factor, un método
muy rápido es el siguiente. Tomando, por ejemplo,
4 x +1
( x +1)3
sea x + 1 = z; entonces, x = z – 1. Sustituimos y obtenemos:
4( z −1) +1 4 z − 3
4
3
=
= 2− 3
3
3
z
z
z
z
123
124
Cálculo diferencial e integral (segunda parte)
Por tanto, las fracciones parciales son:
4
3
2−
( x +1)
( x +1)3
Si aplicamos esto a la derivación, imagina que debemos derivar
y=
5 −4x
6 x + 7 x −3
2
Se obtiene:
(6 x 2 + 7 x −3) ⋅ 4 + (5 − 4 x )(12 x + 7)
dy
=−
dx
(6 x 2 + 7 x −3)2
=
24 x 2 − 60 x −23
(6 x 2 + 7 x −3)2
Si dividimos la expresión dada en
1
2
−
3 x −1 2 x + 3
obtenemos, sin embargo,
dy
3
4
=−
2 +
dx
(3 x −1)
(2 x + 3)2
que es en realidad el mismo resultado que obtuvimos antes, sólo que dividido
en fracciones parciales. No obstante, esta división es más complicada si se realiza
después de derivar, como puede advertirse con facilidad. Cuando estudiemos la
integración de tales expresiones comprenderemos que dividir en fracciones parciales es un auxiliar muy valioso.
[ EJERCICIOS XI ]
Divida en fracciones parciales:
1.
3x + 5
( x − 3)( x + 4)
5.
x −8
(2 x + 3)(3 x −2)
2.
3x − 4
( x −1)( x −2)
6.
x 2 −13 x + 26
( x − 2)( x −3)( x − 4)
3.
3x + 5
x + x −12
7.
x 2 − 3 x +1
( x −1)( x + 2)( x − 3)
4.
x +1
x − 7 x +12
8.
5 x 2 + 7 x +1
(2 x +1)(3 x −2)(3 x +1)
2
2
CAPÍTULO 13
9.
x2
x 3 −1
14.
x +3
( x + 2)2 ( x −1)
10.
x 4 +1
x 3 +1
15.
3 x 2 + 2 x +1
( x + 2)( x 2 + x +1)2
11.
5x 2 + 6 x + 4
( x +1)( x 2 + x +1)
16.
5 x 2 + 8 x −12
( x + 4)3
12.
x
( x −1)( x −2)2
17.
7 x 2 + 9 x −1
(3 x − 2)4
13.
x
2
( x −1)( x +1)
18.
x2
( x 3 −8)( x −2)
Fracciones parciales y funciones inversas
Derivada de una función inversa
Considera la función y = 3x. Puede expresarse en la forma x = y /3; esta segunda
forma se denomina función inversa de la original.
dy
y dy 1
Si y = 3x,
= 3; si x = ,
= , y vemos que
dx
3 dx 3
dy dx
dy
1
o bien,
⋅
=1
=
dx dy
dx
dx
dy
Considera y = 4x2, dx /dy = 8x; la función inversa es x = y 1 /2 /2 y
dx
1
1
1
=
=
=
dy 4 y
4 ⋅ 2x
8x
Aquí, de nuevo,
dy dx
⋅ =1
dx dy
Se puede demostrar que para todas las funciones que pueden expresarse en
forma inversa siempre es posible escribir
dy dx
⋅ = 1 o bien,
dx dy
dy
1
=
dx
dx
dy
Se deduce entonces que, cuando se nos da una función, si es más fácil derivar
la función inversa, debes hacerlo primero, y el recíproco de la derivada de la función inversa produce la derivada de la función original.
125
126
Cálculo diferencial e integral (segunda parte)
Ejemplo 1
Supón que deseamos obtener la derivada de
3
−1
x
y=
Hemos visto que una forma de hacer esto consiste en escribir u = ( 3 /x) − 1
y obtener dy /du y du /dx. Esto nos da
dy
=−
dx
3
3
2x 2
−1
x
Si se nos olvidara cómo proceder según este método, o deseáramos comprobar el resultado por alguna otra forma de obtener la derivada, o si por cualquier
otro motivo no pudiéramos usar el método común y corriente, podríamos proceder como sigue: la función inversa es x = 3 /(1 + y 2), y su derivada
3 ⋅ 2y
dx
6y
=−
2 2 =−
dy
(1 + y )
(1 + y 2 )2
Por consiguiente,
2
3
1 + −1
2 2
(1
dy
3
+y )
1
x
=
=−
=−
=−
dy
dx
6y
3
3
2x 2
6⋅
−1
−1
dx
x
x
(
)
Ejemplo 2
Obtengamos la derivada de
y= 3
1
θ +5
Solución
La función inversa θ = (1 /y 3 ) − 5 o θ = y–3 – 5, y
dθ
= −3 y −4 = −3 3 (θ + 5)4
dy
Se deduce que
dy
1
=− 3
dθ
3 (θ + 5)4
como podríamos haber obtenido por otros medios.
Más adelante este pequeño subterfugio nos será de suma utilidad; mientras
tanto, conviene que te vayas familiarizando con él y que compruebes por este
CAPÍTULO 13
Fracciones parciales y funciones inversas
medio los resultados obtenidos en los ejercicios I (capítulo 4), números 5, 6, 7;
ejemplos (capítulo 9), números 1, 2, 4, y ejercicios VI (capítulo 9), números 1,
2, 3 y 4.
Por este capítulo y el anterior sin duda habrás notado que, en muchos aspectos, el cálculo es un arte, más que una ciencia: un arte que sólo puede adquirirse,
como todas las demás artes, con la práctica. Por consiguiente, debes trabajar muchos ejemplos y ponerte otros para ver si puedes resolverlos por tu cuenta, hasta
que el uso te familiarice con las diferentes estratagemas.
127
Capítulo 14
Sobre el verdadero interés compuesto
y la ley de crecimiento orgánico
Sea una cantidad que crece de forma tal que el incremento de su crecimiento,
durante un periodo determinado, siempre será proporcional a su propia magnitud. Esto se parece al proceso de calcular interés sobre dinero a una tasa fija, pues
cuanto mayor sea el capital, tanto más grande será el monto del interés que se
pague sobre él en un periodo determinado.
Ahora bien, debemos distinguir con claridad dos casos en nuestro cálculo, según se relacionen con lo que los libros de matemáticas llaman interés simple o interés
compuesto. En el primer caso, el capital es fijo, en tanto que en el segundo, el interés
se suma al capital, que aumenta, en consecuencia, por las sucesivas adiciones.
Interés simple
Consideremos un caso específico. Sea el capital inicial $100 y la tasa de interés 10%
anual. Entonces, el incremento para el dueño del capital será de $10 cada año. Supón que el dueño retira su interés cada año y lo guarda, ya sea en un calcetín o en
una caja fuerte. Luego, si continúa haciendo esto durante 10 años, al final de ese
plazo habrá recibido 10 incrementos de $10 cada uno, o $100, lo que sumado a los
$100 originales, da un total de $200. El dinero se habrá duplicado en 10 años.
Si la tasa de interés hubiera sido de 5%, el dueño habría tenido que guardar
el interés durante 20 años para duplicar su dinero. Si sólo hubiera sido de 2%,
habría tenido que guardarlo 50 años. Es fácil entender que si el valor del interés
anual es de 1/n del capital, el dueño debe acumularlo durante n años para duplicar su riqueza.
O si y es el capital original y el interés anual es y /n, al cabo de n años su fortuna ascenderá a
y +n
y
2y
n=
Interés compuesto
Retomemos el caso anterior y ahora supón que el dueño comienza con un capital
de $100 que devenga interés a la tasa de 10% anual; pero en lugar de retirar y
CAPÍTULO 14
Sobre el verdadero interés compuesto y la ley de crecimiento orgánico
guardar el interés, prefiere que se sume al capital cada año y, por tanto, el capital
crece de un año a otro. Entonces, al cabo de un año, el capital habrá aumentado
a $110; y en el segundo año (todavía a 10%), esta cantidad ganará $11 de interés.
Empezará el tercer año con $121, y el interés sobre ese monto será de $12.10;
luego, empieza el cuarto año con $133.10, y así sucesivamente.
Es muy sencillo desarrollar este problema y llegar al resultado: al final de los
diez años, el capital total habrá aumentado a más de $259. De hecho, observamos
que al final de cada año, cada dólar habrá ganado 1/10 de un dólar y, por tanto, si
esta cantidad siempre se suma al monto inicial, cada año multiplica el capital por
11/10; y si esto continúa a lo largo de diez años (lo cual multiplica por este factor
diez veces más), el capital original se habrá multiplicado por 2.59374.
Expresemos esto en símbolos. Sea y0 el capital original; 1/n, la fracción que
se suma en cada una de las n operaciones, y yn, el valor del capital al final de la
n-ésima operación. Entonces,
1n
n
( )
yn = y0 1 +
Pero este modo de calcular el interés compuesto una vez al año no es muy justo
en realidad, pues incluso durante el primer año, los $100 deberían haber crecido.
Al cabo de seis meses, la cantidad debería haber sido por lo menos de $105, y sin
duda, habría sido más justo que el interés de la segunda mitad del año se hubiera
calculado sobre $105. Esto sería equivalente a tener una tasa de 5% semestral; por
consiguiente, habrá 20 operaciones y en cada una de ellas el capital se multiplicará
por 21/20. Si se calcula de esta forma, al final de diez años el capital habrá aumentado a más de $265, ya que
(
1+
1 20
= 2.653
20
)
No obstante, aun así, el proceso sigue siendo un tanto injusto, pues al final
del primer mes habrá cierto interés ganado, y un cálculo semestral supone que el
capital se queda inmóvil seis meses a la vez.
Supón que dividimos el año en 10 partes y calculamos 1% de interés para
cada décima parte del año. Ahora tenemos 100 operaciones que abarcan los diez
años, o
(
yn = $100 1 +
1 100
100
)
que da por resultado $270.48.
Incluso entonces esta cantidad no es definitiva. Dividamos los diez años en
1 000 periodos, cada uno de 1/100 de un año; el interés será de 1/10% para cada
uno de estos periodos; así,
(
yn = $100 1 +
1 1000
1000
)
que da por resultado un poco más de $271.69.
Siendo mucho más minuciosos, dividamos los diez años en 10 000 partes,
cada una de1/1 000 de un año, con interés a 1/100 de 1%. Entonces,
129
130
Cálculo diferencial e integral (segunda parte)
(
yn = $100 1 +
P
1 10 000
10 000
)
U
que asciende aproximadamente a $271.81.
Por último, se verá que lo que estamos tratando de encontrar en realidad es
el valor último de la expresión
2
( )
1
O 1 2 3 4 5 6 7 8 9 T
Figura 36
1+
1n
n
el cual, como vemos, es mayor que 2; y que, conforme n se hace cada vez más
grande, se aproxima cada vez más a un valor límite específico. Por más grande que
se haga n, el valor de esta expresión se acerca cada vez más al límite
2.71828. . . ,
un número que nunca debe olvidar.18
Veamos ilustraciones geométricas de estas cosas. En la figura 36, OP representa el valor original. OT es todo el tiempo durante el cual crece el valor. Se di2∙7182 vide en 10 periodos, cada uno de ellos representado por un peldaño de la misma
P
altura que los demás. En este caso, dy /dx es una constante; y si cada peldaño es
1
1/10 del OP original, entonces, con 10 de estos peldaños, la altura se duplica.
Si hubiéramos colocado 20 peldaños, cada uno de la mitad de la altura mosO 1 2 3 4 5 6 7 8 9 T
trada, al final la altura se habría duplicado igualmente.
Figura 37
O n peldaños iguales, cada uno de 1/n de la altura original OP, bastaría para
duplicar la altura. Es lo que sucede con el interés simple. Aquí, 1 va creciendo
hasta que se convierte en 2.
En la figura 37 tenemos la ilustración correspondiente a una progresión
18
Este número es trascendente: se trata de un
geométrica.19 Cada una de las ordenadas sucesivas es de 1 + 1/n, es decir,
número irracional que no es la raíz de ninn + 1/n veces la altura de su predecesora. Los peldaños que suben no son iguaguna ecuación polinomial con coeficientes
les porque cada uno es ahora 1/n de la ordenada en esa parte de la gráfica.
enteros. Se le dio el nombre de e en honor
de Euler (1707-1783), un famoso matemático
Si tuviéramos, en realidad, 10 escalones, con (1 + 1/10) como factor de
suizo. Él fue el primero en probar que e es
x
multiplicación,
el total final sería de (1 + 1/10)10 o 2.594 veces el 1 original.
el límite de (1 + 1/x) conforme x se acerca
al infinito.
Pero si hacemos que n sea suficientemente grande (y el correspondiente 1/n suIgual que todos los números
fi
cientemente pequeño), el valor final (1 + 1/n) al que crecerá la unidad será de
irracionales, la expansión decimal de
2.71828. . .
e (2.71828 18284 59 045. . .) nunca se repite.
U
(La repetición curiosa de 1828 es mera coincidencia.) Su mejor aproximación fraccional
con enteros menores que 1 000 es 878/323 =
2.71826. . .
El número e es tan ubicuo como π;
aparece por todas partes, en especial, en
la teoría de la probabilidad. Si seleccionas
aleatoriamente números reales entre 0 y 1 y
continúas hasta que la suma de éstos sea superior a 1, el número esperado de selecciones
es e. Consulta el capítulo sobre e en mi obra
Unexpected Hanging and Other Mathematical Diversions (1969). (MG)
19
Recuerda, una progresión geométrica
es una sucesión en la que el valor de un
elemento se obtiene de multiplicar el anterior
por un factor. (N. del E.)
e
A este misterioso número 2.7182818. . . los matemáticos le han asignado la letra
latina e. Todos los estudiantes saben que la letra griega π representa 3.141592. . . ,
pero cuántos de ellos saben que e representa 2.71828. . . No obstante, ¡es un número aún más importante que π! Pero ¿qué es e?
Supón que dejáramos crecer 1 a interés simple hasta que se convirtiera
en 2; entonces, si a la misma tasa de interés nominal, y por el mismo tiempo,
dejáramos crecer 1 al verdadero interés compuesto, en vez de simple, crecería
al valor e.
Algunas personas llaman razón exponencial de crecimiento a este proceso de
crecer de manera proporcionada, a cada instante, a la magnitud en ese instante.
CAPÍTULO 14
Sobre el verdadero interés compuesto y la ley de crecimiento orgánico
La razón exponencial de crecimiento unitaria es aquella que en una unidad de
tiempo hará que 1 crezca a 2.718281. . .
También podría llamarse razón orgánica de crecimiento, ya que es característica del crecimiento orgánico (en ciertas circunstancias) que el crecimiento del
organismo en un tiempo determinado sea proporcional a la magnitud del propio
organismo.
Si tomamos 100% como la unidad de la razón, y cualquier periodo fijo
como la unidad de tiempo, el resultado de que 1 crezca aritméticamente a la
tasa unitaria, por unidad de tiempo, será 2, en tanto que el resultado de que
1 crezca exponencialmente a la tasa unitaria, durante el mismo tiempo, será
2.71828. . .
Un poco más sobre e
Hemos visto que necesitamos indagar qué valor se alcanza con la expresión
(1 + 1/n)n cuando n llega a ser infinitamente grande. En términos aritméticos, a
continuación se presentan muchos valores tabulados obtenidos bajo el supuesto que
n = 2, n = 5, n = 10 y así sucesivamente, hasta n = 10 000.
1 2
= 2.25
2
1 5
= 2.489
1+
5
1 10
1+
= 2.594
10
1 20
= 2.653
1+
20
1 100
= 2.705
1+
100
1 1 000
= 2.7169
1+
1 000
1 10 000
1+
= 2.7181
10 000
1+
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
(
)
)
Sin embargo, vale la pena encontrar otra forma de calcular este número tan
importante.
En consecuencia, nos valdremos del teorema del binomio y ampliaremos la
expresión (1 + 1/n)n de esa bien conocida manera.
El teorema del binomio postula la regla según la cual:
a n−1b
a n−3b 3 . . .
a n−2b 2
(a + b ) = a + n
+ n(n −1)(n − 2)
+
+ n(n −1)
1!
2!
3!
n
n
Si a = 1 y b = 1/n, obtenemos:
1 n −1
1n
1 (n −1)(n −2) + 1 (n −1)(n −2)(n − 3) + . . .
= 1 +1 +
+
n3
4!
n2
2! n
3!
n
( )
1+
(
)
131
132
Cálculo diferencial e integral (segunda parte)
Ahora, si suponemos que n llega a ser infinitamente grande, por ejemplo, mil
millones o un millón de millones, entonces n – 1, n –2 y n –3, etcétera, todos
serán prácticamente iguales a n; y la serie será:
e = 1 +1+
1 1 1 ...
+ + +
2! 3! 4!
Si llevamos esta serie rápidamente convergente a la cantidad de términos que
más nos plazca, obtendremos una suma que tenga el grado de precisión deseada.
Aquí está el trabajo de diez términos:
dividiendo entre 1!
dividiendo entre 2!
dividiendo entre 3!
dividiendo entre 4!
dividiendo entre 5!
dividiendo entre 6!
dividiendo entre 7!
dividiendo entre 8!
dividiendo entre 9!
1.000000
1.000000
0.500000
0.166667
0.041667
0.008333
0.001389
0.000198
0.000025
0.000003
Total
2.718282
e es inconmensurable con 1 y se parece a π porque es un decimal infinito no
periódico.
La serie exponencial
Necesitaremos otra serie más. Usando de nuevo el teorema del binomio, desarrollemos la expresión (1 + 1/n)nx, que es lo mismo que ex cuando n es indefinidamente grande
nx−1
e x = 1nx +nx
= 1+ x +
1
1
n
()
1!
nx−2
1
+ nx (nx −1)
1 2
n
()
2!
nx−3
1
+ nx (nx −1)(nx − 2)
1 3
n
()
3!
+. . .
1 n2x 2 – nx 1 n3x 3 – 3n 2x 2 + 2nx . . .
+
+ ⋅
⋅
2!
3!
n2
n3
3x 2 2x
+ 2
n
n
+
+. . .
=1 + x +
2!
3!
Sin embargo, cuando n es infinitamente grande, esto se simplifica a lo siguiente:
x2–
x
n
x3–
e x =1+ x +
x2 x3 x4 . . .
+ + +
2! 3! 4!
Esta serie se llama serie exponencial.
La razón fundamental por la que e se considera muy importante es que ex
posee una propiedad, que no tiene ninguna otra función de x, y es que cuando se
CAPÍTULO 14
Sobre el verdadero interés compuesto y la ley de crecimiento orgánico
deriva, su valor permanece intacto; en otras palabras, su derivada es igual a sí misma. Para demostrar esto al instante, la derivamos respecto a x, por tanto:
d (e x )
2x
3x 2
4x 3
5x 4
= 0 +1 +
+
+
+
+. . .
dx
1⋅ 2 1⋅ 2 ⋅ 3 1⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 4 1⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 4 ⋅ 5
=1 +x +
o
x2
x3
x4
+
+
+. . .
1⋅ 2 1⋅ 2 ⋅ 3 1⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 4
que es exactamente igual que la serie original.
Podríamos haber trabajado de otra manera y decir: vamos, encontremos una
función de x tal que su derivada sea igual a sí misma. ¿O existe alguna expresión,
en la que sólo intervengan potencias de x, que no varíe con la derivación? En
consecuencia, supondremos como expresión general que
y = A + Bx + Cx2 + Dx3 + Ex4 + . . .
(en la que los coeficientes A, B, C, . . . tendrán que determinarse), y obtenemos
su derivada:
dy
= B + 2Cx + 3Dx 2 + 4 Ex 3 + . . .
dx
Ahora, si esta nueva expresión va a ser realmente igual a aquella de la cual
se derivó, es evidente que A debe ser = B; que C = B / 2 = A / (1 ⋅ 2); que
D = C / 3 = A / (1 ⋅ 2 ⋅ 3); que E = D / 4 = A / (1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 4). . .
Por tanto, la ley de cambio es que:
x
x2
x3
x4
y = A 1+ +
+
+
+. . .
1 1⋅ 2 1⋅ 2 ⋅3 1⋅ 2 ⋅3 ⋅ 4
(
)
Si aceptamos que A = 1 para simplificar un poco más, tenemos:
x
x2
x3
x4
y =1 + +
+
+
+. . .
1 1⋅2 1⋅2 ⋅3 1⋅2⋅ 3⋅ 4
Si derivamos cualquier cantidad de veces, siempre obtendremos la misma
serie una y otra vez.
Si tomamos el caso particular de A = 1 y evaluamos la serie obtendremos
simplemente:
cuando x = 1,
y = 2.718281. . . ,
es decir, y = e
cuando x = 2,
y = (2.718281. . .)2,
es decir, y = e2
cuando x = 3,
y = (2.718281. . .)3,
es decir, y = e3
y = (2.718281. . .)x,
es decir, y = ex,
y, por tanto,
cuando x = x,
con lo que finalmente se demuestra que
x
x2
x3
x4
e x =1 + +
+
+
+. . .
1 1⋅ 2 1⋅ 2 ⋅ 3 1⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 4
133
134
Cálculo diferencial e integral (segunda parte)
Logaritmos naturales o neperianos
Otra razón por la que e es importante es porque John Napier, el inventor de los
logaritmos, convirtió este número en la base del sistema. Si y es el valor de ex,
entonces x es el logaritmo de y en base e. O bien, si
y = ex entonces x = loge y
Las dos gráficas trazadas en las figuras 38 y 39 representan estas ecuaciones.
Los puntos calculados para la gráfica de la figura 38 son los siguientes:
x
0
0.5
1
1.5
2
y
1
1.65
2.72
4.48
7.39
En tanto que los puntos calculados para la gráfica 39 son los siguientes:
x
0
0.69
1.10
1.39
2.08
y
1
2
3
4
8
Se observará que, si bien los cálculos producen diferentes puntos para trazar la gráfica, el resultado es idéntico. Las dos ecuaciones significan en realidad
lo mismo.
En vista de que muchas personas que usan los logaritmos comunes, que
se calculan en base 10 en lugar de base e, no están familiarizadas con los logaritmos naturales, vale la pena decir algo sobre ellos.20 La regla habitual según
la cual la suma de logaritmos produce el logaritmo del producto sigue siendo
válida:
ln a + ln b = ln ab
También es válida la regla de potencias:
n ⋅ ln a = ln an
Figura 38
20
En la actualidad se acostumbra escribir ln
en lugar de loge para simbolizar los logaritmos naturales. A partir de este punto sustituí
el loge de Thompson por el ln actual. (MG)
CAPÍTULO 14
Sobre el verdadero interés compuesto y la ley de crecimiento orgánico
Figura 39
Pero como 10 ya no es la base, no podemos multiplicar por 100 o 1 000
simplemente añadiendo 2 o 3 al índice. Un logaritmo natural está conectado al
logaritmo común del mismo número por las relaciones:
log10 x = log10 e ⋅ ln x
y
ln x = ln 10 ⋅ log10 x
pero
log10 e = log10 2.718 = 0.4343
y
ln 10 = 2.3026
log10 x = 0.4343 ⋅ ln x
ln x = 2.3026 ⋅ log10x
En el apéndice B se presenta una tabla de logaritmos neperianos.
Ecuaciones exponenciales y logarítmicas
Ahora trataremos de obtener derivadas de ciertas expresiones que contienen logaritmos o exponentes. Citemos por caso la ecuación:
y = ln x
Primero la transformamos en:
ey = x
de donde, puesto que la derivada de e y respecto a y es la función original inalterada, se obtiene:
dx
y
=e
dy
y, volviendo de la inversa de la función original,
1
1 1
dy
=
= y=
e
x
dy
dx
dy
135
136
Cálculo diferencial e integral (segunda parte)
Este resultado es muy curioso. Puede escribirse así:
d (ln x )
−1
=x
dx
Ten en cuenta que x–1 es un resultado que nunca habríamos podido obtener
por la regla de derivación de potencias. Esa regla consiste en multiplicar por la
potencia y restar 1 a la potencia; por ejemplo, derivar x³ resulta en 3x2; y derivar
x2, en 2x1.
Pero derivar x0 nos resulta en 0 ⋅ x–1 = 0, ya que x0 es por sí mismo 1, y es una
constante. Tendremos que volver a este hecho curioso de que derivar ln x resulta
1/x cuando lleguemos al capítulo sobre integración.
Ahora tratemos de derivar
y = ln (x + a)
es decir,
ey = x + a
Tenemos
d (x + a)
y
=e
dy
y
puesto que la derivada de e es precisamente e y. Esto resulta en
dx
y
=e = x +a
dy
de ahí que, volviendo a la función original, obtenemos:
dy
1
1
=
=
dx
dx
x +a
dy
A continuación, probemos derivar
y = log10 x
En primer lugar, para cambiar a logaritmos naturales, multiplicamos por el
módulo 0.4343, con lo que se obtiene
y = 0.4343 ln x
por consiguiente,
dy 0.4343
=
dx
x
Lo que sigue no es tan sencillo. Probemos con esta función:
y = ax
Tomamos el logaritmo de ambos lados para obtener:
ln y = x ln a
CAPÍTULO 14
Sobre el verdadero interés compuesto y la ley de crecimiento orgánico
o
ln y
1
⋅ ln y
=
ln a ln a
Puesto que 1/ln a es una constante, tenemos que
x=
dx
1
1
1
=
⋅ = x
dy ln a y a ⋅ ln a
Por tanto, volviendo a la función original,
1
dy
x
=
= a ⋅ ln a
dx
dx
dy
Se advierte que en virtud de que
dx dy
⋅
=1
dy dx
y
1
dx 1
,
= ⋅
dy
y ln a
1 dy
⋅
= ln a
y dx
Comprobaremos que siempre que tengamos una expresión como ln y = una
función de x, invariablemente tendremos que 1 / y ⋅ dy /dx es la derivada de
la función de x, por lo que podríamos haber escrito de inmediato, a partir de
ln y = x ln a
1 dy
= ln a y
⋅
y dx
dy
x
= y ln a = a ln a
dx
Intentemos ahora con otros ejemplos.
Ejemplo 1
Derivemos y = e–ax.
Solución
Sea z = –ax; entonces, y = ez
dy
z
=e ;
dz
dz
dy
z
−ax
= −a ; por tanto,
= −ae = −ae
dx
dx
Así:
1n y = −ax ;
1 dy
= −a ;
⋅
y dx
dy
−ax
= −ay = −ae
dx
Ejemplo 2
Derivemos y = ex /3.
2
Solución
Sea z = x2/3; entonces, y = ez
dy
= ez;
dz
dz 2 x
= ;
dx
3
dy 2 x x / 3
= e
3
dx
2
137
138
Cálculo diferencial e integral (segunda parte)
Así:
ln y =
x2
;
3
1 dy 2 x
= ;
⋅
y dx
3
dy 2 x x /3
= e
dx
3
2
Ejemplo 3
2 x x +1
Derivemos y = e /
.
Solución
ln y =
2x
;
x +1
1 dy 2( x +1) −2 x
=
( x +1)2
y dx
por tanto,
dy
2y
2
e 2 / x+1
=
2 =
dx ( x +1)
( x +1)2
x
Para comprobar, escribimos
z=
2x
x +1
Ejemplo 4
2
Derivemos y = e x +a .
Solución
Empecemos por escribir
ln y = (x2 + a)1/2
Luego,
1 dy
x
⋅ = 2
y dx ( x + a )1/2
2
x ⋅ e x +a
dy
y
= 2
dx ( x + a )1/2
Pues si u = (x2 + a)1/2 y v = x2 + a, u = v1/2,
1
du
x
dv
du
= 1/2 ;
= 2x ;
= 2
dx ( x + a )1/2
dx
dv 2v
Para comprobar, escribimos z = x 2 + a .
Ejemplo 5
Derivemos y = ln(a + x³).
CAPÍTULO 14
Sobre el verdadero interés compuesto y la ley de crecimiento orgánico
Solución
Sea z = (a + x³); entonces, y = ln z
dy 1
= ;
dz z
dz
2
= 3x
dx
por tanto,
dy
3x 2
=
dx a + x 3
Ejemplo 6
(
)
Derivemos y = ln 3 x 2 + a + x 2 .
Solución
Sea z = 3 x 2 + a + x 2 ; entonces, y = ln z
dy 1
= ;
dz z
6x +
dz
x
= 6x + 2
dx
x +a
x
(
)
x 1+ 6 x 2 +a
dy
x +a
=
=
dx 3 x 2 + a + x 2
3x 2 + x 2 + a x 2 + a
2
(
)
Ejemplo 7
Derivemos y = ( x + 3)2 x − 2.
Solución
1
ln( x − 2)
2
1 dy
2
1
+
⋅ =
y dx ( x + 3) 2( x − 2)
ln y = 2 ln( x +3) +
2
1
5( x + 3)( x −1)
dy
2
= ( x +3) x − 2
+
=
dx
x + 3 2( x − 2)
2 x −2
(
Ejemplo 8
Derivemos y = (x2 + 3)3 ( x 3 − 2)2/3.
)
139
140
Cálculo diferencial e integral (segunda parte)
Solución
2
ln y = 3 ln( x 2 +3) + ln ( x 3 − 2)
3
1 dy
2x
2 3x 2
6x
2x 2
=3 2
+ 3
= 2
+ 3
y dx
x + 3 3 x −2 x + 3 x −2
Entonces, si u = ln (x2 + 3), z = x2 + 3 y u = ln z,
du 1
= ;
dz z
du 2 x
2x
=
= 2
dx
z
x +3
dz
= 2x ;
dx
Asimismo, si v = ln (x3 – 2),
dy
6x
2x 2
dv
3x 2
2
3 3
2/3
y
(
x
3)
(
x
−
2)
+
=
+
=
x 2 + 3 x 3 −2
dx x 3 − 2 dx
(
Ejemplo 9
Derivemos
2
y= 3
x2 +a
x 3 −a
Solución
Escribimos
1
1
ln y = ln( x 2 + a ) − ln( x 3 −a )
3
2
1 dy 1 2 x
1 3x 2
x
x2
=
−
=
−
y dx 2 x 2 + a 3 x 3 − a x 2 + a x 3 − a
y
2 2
dy
x +a
x
x2
−
=3 3
2
3
dx
x −a x + a x −a
(
)
Ejemplo 10
Derivemos
y=
1
1n x
Solución
dy
=
dx
1
1n x ⋅ 0 −1 ⋅ x
2
ln x
=−
1
x ln2 x
)
CAPÍTULO 14
Sobre el verdadero interés compuesto y la ley de crecimiento orgánico
Ejemplo 11
Derivemos y = 3 ln x..
Solución
Empecemos por escribir
y = 3 ln x = (ln x )1/3
Entonces, sea z = ln x y ␷ = ␨1/3 ; derivamos
dy 1 −2/3
= z ;
dz 3
dz 1
= ;
dx x
1
dy
= 3 2
dx 3 x ln x
Ejemplo 12
Derivemos
y=
ax
( )
1
ax
Solución
ln y = –ax ln ax = –ax2 ⋅ ln a
1 dy
= −2ax ⋅ 1n a
y dx
y
1
dy
= −2ax x
dx
a
ax
( ) ⋅ ln a = −2x a
1−ax 2
⋅ ln a
[ EJERCICIOS XII ]
1. Obtén la derivada de y = b(eax – e–ax).
2. Calcula la derivada respecto a t de la expresión u = at2 + 2 ln t.
d (ln y )
3. Sea y = nt; obtén
dt
dy
1 a bx
4. Demuestra que si y = ⋅
, entonces = a bx.
dx
b ln a
dw
.
5. Si w = pvn, obtén
dv
6. Obtén la derivada de y = ln xn.
7. Obtén la derivada de y = 3e −x/(x−1).
8. Obtén la derivada de y = (3 x 2 +1)e−5x.
9. Obtén la derivada de y = ln (xa + a).
141
Cálculo diferencial e integral (segunda parte)
142
10. Obtén la derivada de y = (3 x 2 −1)( x +1).
ln( x + 3)
.
x +3
12. Obtén la derivada de y = ax ⋅ xa.
13. Lord Kelvin demostró que la velocidad de una señal enviada a través de
un cable submarino depende del valor de la razón del diámetro externo
del núcleo al diámetro del alambre de cobre recubierto. Si esta razón se
llama y, el número de señales s que pueden enviarse por minuto se expresa
con la fórmula
11. Obtén la derivada de y =
s = ay 2 ln
1
y
donde a es una constante que depende de la longitud y la calidad de los
materiales. Demuestra que dados estos valores, s será un máximo si 1/e1/2.
14. Determina el máximo o mínimo de y = x3 – ln x.
15. Obtén la derivada de y = ln (axex).
16. Obtén la derivada de y = (ln ax)3.
La curva logarítmica
Volvamos a la gráfica que tiene ordenadas sucesivas en progresión geométrica,
como la que representa la ecuación y = bpx. Podemos observar, si establecemos
x = 0, que b es la altura inicial de y. Entonces, cuando
x = 1, y = bp;
Y
b
1
O
2
3
4
5
6 X
Figura 40
x = 2, y = bp2;
x = 3, y = bp3, etcétera.
Además, vemos que p es el valor numérico de la razón entre la altura de cualquier ordenada y la inmediatamente anterior. En la figura 40 hemos tomado p
como 6/5, por lo que cada ordenada es 6/5 más alta que la precedente.
Si dos ordenadas sucesivas se relacionan así en una razón constante, sus logaritmos tendrán una diferencia constante; por tanto, si trazamos una nueva gráfica (figura 41), con valores de ln y como ordenadas, sería una línea recta cuya
pendiente asciende por peldaños iguales. De hecho, de la ecuación se desprende
que
ln y = ln b + x ⋅ ln p
de donde
Y
log y
ln y – ln b = x ⋅ ln p
Puesto que ln p es un simple número y puede escribirse como ln p = a, se
deduce que
log b
O
Figura 41
X
ln
y
= ax
b
CAPÍTULO 14
Sobre el verdadero interés compuesto y la ley de crecimiento orgánico
y la ecuación adopta la nueva forma
143
Y
y = beax
b
La curva que se desvanece
Si tomáramos p como una fracción propia (menor que la unidad), la gráfica tendería, como es lógico, a inclinarse hacia abajo, como se muestra en la figura 42,
donde cada ordenada sucesiva es 3/4 de la altura de la que le precede.
La ecuación sigue siendo
y = bpx
pero como p es menor que 1, ln p será una cantidad negativa y puede escribirse
como –a; por consiguiente, p = e–a, y ahora la ecuación de la gráfica adopta la
forma
y = be–ax
La importancia de esta expresión radica en que, en el caso en que la variable
independiente sea el tiempo, la ecuación representa el curso de muchos procesos
físicos en los que algo se desvanece paulatinamente. Así, el enfriamiento de un
cuerpo caliente se representa (en la célebre ley del enfriamiento de Newton) por
medio de la ecuación
θ t = θ 0e −at
donde θ0 es el excedente de temperatura original de un cuerpo caliente respecto
a su medio, θt es el excedente de temperatura al final del tiempo t, y a es una
constante, la de decremento, que depende de la cantidad de superficie expuesta
del cuerpo y de sus coeficientes de conductividad y emisividad, etcétera.
Una fórmula parecida,
Q t = Q0e–at
se usa para expresar la carga de un cuerpo electrificado que originalmente tenía
una carga de Q0 que se disipa con una constante de decremento a. Esta constante
depende en este caso de la capacidad del cuerpo y de la resistencia de la trayectoria de disipación.
Las oscilaciones de un resorte flexible disminuyen hasta desaparecer después
de cierto tiempo, y la disminución paulatina de la amplitud del movimiento
puede expresarse de manera similar.
De hecho, e–at sirve como factor de desvanecimiento o decaimiento de todos
estos fenómenos en los que la razón de decremento es proporcional a la magnitud
de lo que está disminuyendo; o donde, en nuestros símbolos habituales, dy /dt es
proporcional en cada momento al valor que y tiene en ese momento. Sólo debemos examinar la gráfica (figura 42) para darnos cuenta de que en cada parte de
ella, la pendiente dy /dt es proporcional a la altura y; la gráfica se vuelve más plana
a medida que y se hace más pequeña. Expresado con símbolos,
y = be–ax
O
1
Figura 42
2
3
4
5
6 X
144
Cálculo diferencial e integral (segunda parte)
o bien,
ln y = ln b – ax ln e = ln b – ax
y, derivando,
1 dy
= −a
y dx
por tanto,
dy
−ax
= be ⋅ (−a ) = −ay
dx
o, expresado en palabras, la pendiente de la gráfica es descendente y proporcional
a y y a la constante a.
Habríamos obtenido el mismo resultado si hubiéramos tomado la ecuación
en la forma
y = bpx
porque entonces,
dy
x
= bp ⋅ ln p
dx
Pero ln p = –a, lo que nos da
dy
= y (−a ) = −ay
dx
como antes.
La constante de tiempo
En la expresión del factor de desvanecimiento e–at, la cantidad a es el recíproco
de otra cantidad conocida como la constante de tiempo, que se representa con el
−t/T
símbolo T. En consecuencia, el factor de desvanecimiento se escribirá e , y entonces se verá, al establecer que t = T, que el significado de T (o de 1 / a) es que
este es el intervalo de tiempo necesario para que la cantidad original (llamada θ0
o Q0 en los ejemplos anteriores) se reduzca a la 1/e-ésima parte, esto es, a 0.3679
de su valor original.
Los valores de ex y e–x se requieren continuamente en diferentes ramas de la
física y como se presentan en muy pocos conjuntos de tablas matemáticas, algunos de ellos se presentan en la tabla 1 para tu comodidad.
Como ejemplo del uso de esta tabla, supón que hay un cuerpo caliente que
se está enfriando y que al principio del experimento (es decir, cuando t = 0) está
72° más caliente que los objetos que lo rodean, y si la constante de tiempo de su
enfriamiento es de 20 minutos (esto es, si se necesitan 20 minutos para que el exceso de temperatura se reduzca a la 1 / e parte de 72°), entonces podemos calcular
a cuánto habrá disminuido en cualquier momento dado t.
CAPÍTULO 14
Sobre el verdadero interés compuesto y la ley de crecimiento orgánico
TABLA 1. V  ex y e–x.
e–x
1 – e–x
1.0000
1.0000
0.0000
1.1052
0.9048
0.0952
0.20
1.2214
0.8187
0.1813
0.50
1.6487
0.6065
0.3935
0.75
2.1170
0.4724
0.5276
0.90
2.4596
0.4066
0.5934
1.00
2.7183
0.3679
0.6321
1.10
3.0042
0.3329
0.6671
1.20
3.3201
0.3012
0.6988
1.25
3.4903
0.2865
0.7135
1.50
4.4817
0.2231
0.7769
1.75
5.755
0.1738
0.8262
2.00
7.389
0.1353
0.8647
2.50
12.182
0.0821
0.9179
3.00
20.086
0.0498
0.9502
3.50
33.115
0.0302
0.9698
4.00
54.598
0.0183
0.9817
4.50
90.017
0.0111
0.9889
5.00
148.41
0.0067
0.9933
5.50
244.69
0.0041
0.9959
6.00
403.43
0.00248
0.99752
7.50
1 808.04
0.00055
0.99945
10.00
22 026.5
0.000045
0.999955
x
ex
0.00
0.10
Por ejemplo, sea t 60 minutos. Entonces,
t
= 60 ÷ 20 = 3
T
y tendremos que hallar el valor de e–3 y luego multiplicar los 72° originales por ese
valor. En la tabla se muestra que e–3 es 0.0498. Por tanto, al cabo de 60 minutos
el exceso de temperatura habrá disminuido a 72°(0.0498) = 3.586°. Veamos
otros ejemplos.
Ejemplo 13
La potencia de una corriente eléctrica en un conductor en el tiempo t segundos
después de la aplicación de la fuerza electromotriz que la produce está dada por
la expresión
C=
La constante de tiempo es L / R.
E
(1−e −Rt /L )
R
145
146
Cálculo diferencial e integral (segunda parte)
Solución
Si E = 10, R = 1, L = 0.01, entonces, cuando t es muy grande, el término
1−e −Rt/L es igual a 1 y C = E/R = 10; además,
L
=T = 0.01
R
Su valor en cualquier tiempo puede escribirse así:
C = 10 −10e− t/ 0.01
y la constante de tiempo es 0.01. Esto significa que se necesitan 0.01 segundos para que el término variable disminuya a 1/e = 0.3679 de su valor inicial
10e−0/0.01 = 10.
Para obtener el valor de la corriente cuando t = 0.001 segundos, por ejemplo, t /T = 0.1, e −0.1 = 0.9048 (según la tabla 1).
Se deduce que, después de 0.001 segundos, el término variables es
0.9048 ⋅ 10 = 9.048
y la corriente real es de 10 – 9.048 = 0.952.
Del mismo modo, al cabo de 0.1 segundo,
t
= 10 y e −10 = 0.000045
T
el término variable es 10 ⋅ 0.000045 = 0.00045, y la corriente es de 9.9995.
Ejemplo 14
La intensidad I de un haz de luz que pasa por un medio transparente de l cm de
espesor es de I = I0e–Kl, donde I0 es la intensidad inicial del haz y K es una constante de absorción.
Esta constante se usa a menudo en experimentos. Si se determina que, por
ejemplo, la intensidad de un haz de luz disminuye 18% al pasar por 10 cm de
cierto medio transparente, esto significa que 82 = 100 ⋅ e–K ⋅10 o e–10K = 0.82, y
en la tabla 1 vemos que 10 K = 0.20 aproximadamente; por tanto, K = 0.02.
Solución
Para obtener el espesor que reducirá la intensidad a la mitad de su valor es necesario hallar el valor de l que satisface la igualdad
50 = 100 ⋅ e–0.02l o bien, 0.5 = e–0.02l
Para calcularlo hay que plantear la ecuación en su forma de logaritmo natural:
l=
ln 0.5
= 34.7 cm, aproximadamente
−0.02
CAPÍTULO 14
Sobre el verdadero interés compuesto y la ley de crecimiento orgánico
Ejemplo 15
Se sabe que la cantidad Q de una sustancia radiactiva que aún no ha empezado
a desintegrarse se relaciona con la cantidad inicial Q0 de la sustancia por medio
de la expresión Q = Q0e–λt, donde λ es una constante y t el tiempo en segundos
transcurrido desde que comienza la desintegración.
En el caso del radio A, si el tiempo se expresa en segundos, el experimento
demuestra que λ = 3.85 ⋅ 10–3. Calcula el tiempo requerido para desintegrar la
mitad de la sustancia. Este tiempo se conoce como vida media de la sustancia.
Solución
En este caso tenemos que 0.5 = e–0.00385t, log10 0.5 = –0.00385t ⋅ log10 e y
t = 3 minutos, aproximadamente.
[ EJERCICIOS XIII ]
1. Traza la gráfica de y = be–t/T, donde b = 12, T = 8 y t tiene varios valores
de 0 a 20.
2. Si un cuerpo se enfría de modo tal que en 24 minutos su exceso de temperatura se ha reducido a la mitad de la cantidad inicial, deduce la constante de
tiempo y calcula cuánto tardará en enfriarse a 1% del excedente original.
3. Traza la gráfica de y = 100(1 – e–2t).
4. Las ecuaciones siguientes producen gráficas muy similares:
(i) y =
ax
x +b
(ii) y = a (1 −e−x /b)
(iii) y =
a
x
arctan
°
90
b
()
Traza las tres gráficas considerando que a = 100 milímetros y b = 30
milímetros.
5. Calcula la derivada de y respecto a x cuando
(a) y = xx
(b) y =(ex)x
x
(c) y = ex
6. Para el elemento torio A, el valor de λ es 5. Determina la vida media, es
decir, el tiempo que tarda en desintegrarse una cantidad Q de torio A para
llegar a ser igual a la mitad de la cantidad inicial Q0 en la expresión
Q = Q0e–λt
t se expresa en segundos.
147
148
Cálculo diferencial e integral (segunda parte)
7. Un condensador de capacidad K = 4 ⋅ 10–6, cargado a un potencial V0
= 20, se descarga por medio de una resistencia de 10 000 ohmios. Determina el potencial V después de (a) 0.1 segundo; (b) 0.01 segundo. Supón
que la caída del potencial sigue la regla V = V0e–t/KR.
8. La carga Q de una esfera metálica aislada electrificada se reduce de 20 a 16
unidades en 10 minutos. Halla el coeficiente μ de fuga, si Q = Q0 ⋅ e–μt,
donde Q0 es la carga inicial y t se expresa en segundos. Calcula el tiempo
que tarda en fugarse la mitad de la carga.
9. El amortiguamiento de onda de una línea telefónica puede determinarse
a partir de la expresión i = i0e–βl, donde i es la potencia, después de t
segundos, de una corriente telefónica de potencia inicial i0; l es la longitud de la línea en kilómetros, y β es una constante. En el caso del cable
submarino franco-inglés que se tendió en 1910, β = 0.0114. Calcula el
amortiguamiento al final del cable (40 kilómetros) y el tramo en el que i
sigue siendo 8% de la corriente original (valor límite del nivel de audición
muy bueno).
10. La presión p de la atmósfera a una altitud de h kilómetros es de aproximadamente p = p0e–kh para cierta constante k; p0 es la presión en el nivel del
mar (760 milímetros).
Las presiones a 10, 20 y 50 kilómetros son de 199.2, 42.4 y 0.32 milímetros, respectivamente. Calcula k en cada caso. Usando el promedio de
estos tres valores de k, halla el error porcentual en el valor calculado de la
presión a las tres altitudes.
11. Calcula el mínimo o máximo de y = xx.
12. Calcula el mínimo o máximo de y = x1/x.
13. Calcula el mínimo o máximo de y = xa1/x, con a > 1.
Capítulo 15
Cómo ocuparse de senos y cosenos
En virtud de que es común usar letras griegas para representar ángulos, tomaremos como letra habitual para cualquier ángulo variable la letra θ (theta).
Consideremos ahora la función
y = sen θ
Debemos investigar el valor de d (sen θ ) /dθ ; dicho en otras palabras, si el
ángulo θ varía, hemos de hallar la relación entre el incremento del seno y el incremento del ángulo; ambos incrementos son infinitamente pequeños.
Observa la figura 43, donde, si el radio del círculo es la unidad, la altura de
y es el seno y θ es el ángulo. Si suponemos que θ aumenta por la adición del pequeño ángulo dθ (un elemento del ángulo), la altura de y, el seno, aumentará en
la medida del pequeño elemento dy. La nueva altura y + dy será el seno del nuevo
ángulo θ + dθ o, si lo planteamos como ecuación:
y + dy = sen (θ + dθ)
Restamos la primera ecuación de esta y obtenemos:
dy = sen (θ + dθ) – sen θ
La cantidad del miembro derecho es la diferencia entre los dos senos, y los
libros de trigonometría explican cómo resolverla; nos advierten que si M y N son
dos ángulos diferentes,
sen M − sen N = 2 cos
M +N
M −N
⋅ sen
2
2
dθ
θ
y
O
Figura 43
Cálculo diferencial e integral (segunda parte)
150
Si establecemos la igualdad M = θ + dθ para un ángulo y N = θ para el
otro, podemos escribir:
1
1
θ +dθ+θ
θ +dθ – θ
o dy = 2 cos θ + dθ ⋅ sen dθ
⋅ sen
2
2
2
2
Pero si consideramos que dθ es infinitamente pequeño, entonces, en el límite, podemos descartar 1/2 dθ en comparación con θ, y también podemos tomar
sen 1/2 dθ como igual que 1/2 dθ. Así, la ecuación queda:
(
dy = 2 cos
dy = 2 cos θ ⋅
)
1
dθ
2
dy = cos θ ⋅ dθ
dy
= cos θ
dθ
En las gráficas correspondientes (figuras 44 y 45) se muestran, trazados a escala,
los valores de y = sen θ y de dy /dθ = cos θ para los valores correspondiente de θ.
A continuación obtendremos el coseno.
Sea y = cos θ. Ahora,
y, finalmente,
π
cos θ = sen
( 2 −θ)
π
π
Por tanto,
( ( 2 −θ)) = cos ( 2 −θ) ⋅ d (−θ )
dy = d sen
= cos
π
( 2 −θ) ⋅ (−dθ )
dy
π
= − cos −θ
dθ
2
(
)
De ahí se desprende que
dy
= −sen θ
dθ
y
y
1
1
0.5
0.5
θ
O
30° 60° 90° 120°150° 180°
270°
360°
O
30° 60° 90°
–0.5
–0.5
–1
–1
Figura 44
Figura 45
180°
270°
θ
360°
CAPÍTULO 15
Cómo ocuparse de senos y cosenos
Por último, obtengamos la tangente. Sea y = tan θ, de donde
y=
sen θ
cos θ
Aplicamos la regla que establecimos en el capítulo 6 para derivar un cociente
de dos funciones y obtenemos:
dy
=
dθ
cos θ
d (sen θ )
d (cos θ )
− sen θ
dθ
dθ
cos 2 θ
cos 2 θ + sen2 θ
cos 2 θ
1
= 2
cos θ
=
O simplemente
dy
2
= sec θ
dθ
En la tabla 2 se presentan en conjunto estos resultados.
En ocasiones, en preguntas de mecánica y física, por ejemplo, en el movimiento armónico simple y los movimientos de onda debemos tratar con ángulos
que aumentan en proporción al tiempo. Por ende, si T es el tiempo de un periodo
completo, o movimiento alrededor de una circunferencia, entonces, puesto que
el ángulo que describe toda la circunferencia es igual a 2π radianes, o 360°, la
cantidad de ángulo que se describe en el tiempo t será de:
t
t
en radianes o θ = 360 en grados
T
T
Si la frecuencia, o número de periodos por segundo, se simboliza con n, entonces, n = 1 /T , y podemos escribir:
θ = 2π
θ = 2πnt
Entonces tendremos y = sen 2πnt. Si queremos conocer cómo varía el seno
respecto al tiempo, debemos derivar no respecto a θ, sino a t. Para ello, hemos de
recurrir al subterfugio explicado en el capítulo 9 y escribir:
dy dy dθ
=
⋅
dt d θ dt
TABLA 2. D  

y
dy
dθ
sen θ
cos θ
cos θ
–sen θ
tan θ
sec2 θ
151
152
Cálculo diferencial e integral (segunda parte)
Es evidente que dθ /dt será 2πn; por tanto
dy
= cos θ ⋅ 2π n
dt
= 2π n ⋅ cos 2πnt
Del mismo modo, se deduce que
d ( cos 2π nt)
= −2π n ⋅ sen 2π nt
dt
Segunda derivada de seno o coseno
Hemos visto que cuando se obtiene la derivada de sen θ respecto a θ, se convierte
en cos θ, y que cuando cos θ se deriva respecto a θ, se convierte en –sen θ; expresado en símbolos,
d 2 (sen θ )
= −sen θ
dθ 2
Así, tenemos el curioso resultado de haber calculado una función tal que si la
derivamos dos veces obtenemos lo mismo que cuando comenzamos, pero con un
cambio de signo de positivo (+) a negativo (–).
Lo mismo es válido para el coseno, pues al derivar cos θ obtenemos –sen θ, y
si derivamos –sen θ, obtenemos –cos θ; o así:
d 2 (cos θ )
= − cos θ .
dθ 2
Los senos y cosenos constituyen la base de las únicas funciones cuya segunda derivada es igual y de signo contrario a la función original.
Con lo que hemos aprendido hasta ahora podemos derivar expresiones de
carácter más complejo, como se verá en los ejemplos siguientes.
Ejemplo 1
Derivemos y = arcsen x.
Solución
Si y es el ángulo cuyo seno es x, entonces x = sen y
dx
= cos y
dy
Pasando ahora de la función inversa a la original, obtenemos:
dy
1
1
=
=
dx
dx
cos y
dy
Ahora
cos y = 1 −sen 2 y = 1 − x 2
CAPÍTULO 15
Cómo ocuparse de senos y cosenos
por tanto,
1
dy
=
dx
1− x 2
un resultado más bien inesperado. Puesto que, por definición, −π /2 ≤ arcsen
y ≤ π /2, sabemos que cos y es positivo, por lo que usamos la raíz cuadrada positiva en este caso.
Ejemplo 2
Derivemos y = cos3 θ.
Solución
Esto es lo mismo que y = (cos θ)3. Sea v = cos θ; entonces, y = v³, por lo que
dy
2
= 3v
dv
dv
= −sen θ
dθ
dy
dy dv
2
⋅
=
= −3 cos θ sen θ
dθ dv dθ
Ejemplo 3
Derivemos y = sen (x + a).
Solución
Sea v = x + a; entonces, y = sen v; entonces
dv
= 1;
dx
dy
= cos v
dx
y
dy
= cos( x + a )
dx
Ejemplo 4
Derivemos y = log sen θ
Solución
Sea v = sen θ; y = ln v; entonces
dv
dy 1
= cos θ ;
= ;
dθ
dv v
1
dy
=
⋅ cos θ = cot θ.
d θ sen θ
153
154
Cálculo diferencial e integral (segunda parte)
Ejemplo 5
Derivemos
y = cot θ =
cos θ
sen θ
Solución
dy −sen 2 θ −cos 2 θ
=
dθ
sen 2 θ
2
2
= −(1 + cot θ ) =−csc θ
Ejemplo 6
Derivemos y = tan 3θ.
Solución
Sea v =3θ; y = tan v; por tanto
dv
= 3;
dθ
dy
2
= sec v
dv
dy
2
= 3sec 3θ
dθ
y
Ejemplo 7
1/2
Derivemos y = 1 +3tan 2 θ = (1 +3 tan2 θ ) .
Solución
Sea v = 3 tan2 θ, entonces, y = (1 +v )1/2
dv
2
= 6 tan θ sec θ ;
dθ
1
dy
=
dv 2 1 + v
6 tan θ sec 2 θ
dy 6 tan θ sec 2 θ
y
=
=
dθ
2 1+ v
2 1 + 3 tan 2θ
pues si u = tan θ, v = 3u2, entonces
du
2
= sec θ ;
dθ
dv
= 6u
du
por tanto,
dv
2
= 6 tan θ sec θ
dθ
de ahí que
6 tan θ sec 2 θ
dy
=
dθ 2 1 + 3 tan2 θ
CAPÍTULO 15
Cómo ocuparse de senos y cosenos
Ejemplo 8
Derivemos y = sen x cos x.
Solución
dy
= sen x (−sen x ) + cos x ⋅ cos x
dx
2
2
= cos x − sen x
Los senos, cosenos y tangentes tienen una relación estrecha con otras tres funciones muy útiles: el seno, el coseno y la tangente hiperbólicos, que se abrevian
senh, cosh y tanh, respectivamente. Estas funciones se definen como sigue:
1
senh x = (e x – e −x )
2
1
cosh x = (e x + e −x )
2
senh x e x − e −x
tanh x =
=
cosh x e x + e−x
Entre senh x y cosh x hay una importante relación, pues
1
1
cosh2 x − senh 2 x = (e x + e −x )2 − (e x − e −x )2
4
4
1
= (e 2x + 2 + e−2x −e 2x + 2 −e −2x ) = 1
4
Ahora,
d
1
(senh x) = (e x + e−x ) = cosh x.
2
dx
d
1
(cosh x) = (e x − e −x ) = senh x.
2
dx
d
d
(senh x) − senh x (cosh x)
dx
dx
cosh 2 x
cosh 2 x − senh 2 x
1
=
=
2
cosh x
cosh 2 x
d
(tanh x) =
dx
cosh x
por la relación que acabamos de demostrar.
155
156
Cálculo diferencial e integral (segunda parte)
[ EJERCICIOS XIV ]
1. Obtén la derivada de:
π
(i) y = A sen θ −
2
(ii) y = sen2 θ y y = sen 2θ
(iii) y = sen3θ y y = sen 3θ
2. Encuentra el valor de θ (0 ≤ θ ≤ 2π) para el cual sen θ ⋅ cos θ es un
máximo.
1
3. Obtén la derivada de y =
cos 2π nt .
2π
4. Sea y = sen ax. Calcula dy / dx.
5. Deriva y = ln cos x.
6. Obtén la derivada de y = 18.2 sen (x + 26°).
7. Grafica y = 100 sen (θ – 15°) y demuestra que la pendiente de la gráfica
en θ = 75° es la mitad de la pendiente máxima.
8. Si y = sen θ ⋅ sen 2θ, encuentra dy /dθ.
9. Sea y = a ⋅ tanm(θn). Calcula la derivada de y respecto a θ.
10. Obtén la derivada de y = ex sen2x.
11. Deriva las tres ecuaciones de los ejercicios XIII, número 4, y compara
sus derivadas en cuanto a si son iguales, o casi iguales, para valores muy
pequeños de x, para valores muy grandes de x, o para valores de x en las
cercanías de x = 30.
12. Obtén la derivada de:
(
)
(i) y = sec x.
(iii) y = arctan x.
(v) y = tan x ⋅ 3 sec x.
(ii) y = arccos x.
(iv) y = arcsec x.
13. Deriva y = sen (2θ + 3)2.3.
14. Obtén la derivada de y = θ3 + 3 sen (θ + 3) – 3senθ – 3θ.
π
π
15. Determina el máximo o mínimo de y = θ cos θ, para − ≤ θ ≤ .
2
2
Capítulo 16
Derivación parcial
A veces debemos enfrentarnos a cantidades que son funciones de más de una
variable independiente. Así, quizá encontremos un caso en el que y depende de
otras dos cantidades variables; llamaremos u a una de ellas y v a la otra. Escrito
en símbolos,
y = f (u, v)
Examinemos el caso concreto más sencillo. Sea y = u ⋅ v. ¿Qué podemos hacer? Si tratamos a v como una constante y derivamos respecto a u, obtenemos:
dyv = v du
o si tratamos a u como una constante y derivamos respecto a v, tendremos:
dyu = u dv
Las letras pequeñas escritas aquí como subíndices indican la cantidad que se
ha tomado como constante en la operación.
Otra forma de indicar que la derivada se ha obtenido solo parcialmente, es
decir, que se ha realizado solo respecto a una de las variables independientes consiste en escribir las derivadas con un símbolo basado en la letra griega minúscula
delta, en lugar de una d minúscula.21 Así:
∂y
=v
∂u
y
∂y
=u
∂u
Si insertamos estos valores en lugar de v y u, respectivamente, tendremos:
∂y
du,
∂u
que son derivadas parciales.
∂y
dyu =
dv,
∂v
dyv =
}
Pero, pensándolo bien, observa que la variación total de y depende de ambas
cosas al mismo tiempo. Es como decir, si las dos varían, el verdadero dy debe
escribirse
∂y
∂y
dy = du + dv
∂u
∂v
y esto se conoce como derivada total. En algunos libros lo hallarás escrito de esta
forma:
21
Robert Ainsley, en su ameno folleto Bluff
Your Way in Mathematics (1988), define las
derivadas parciales como “derivadas sesgadas
hacia x, y o z en lugar de dar trato por igual a
las tres; el símbolo de esto es una especie de
seis escrito al revés. . .”.
El adjetivo parcial indica que la derivada es parcial respecto a una variable
independiente, y la otra u otras variables
se tratan como constantes. Una derivada
se llama derivada parcial mixta si es una
derivada parcial del orden 2 o superior que
se relaciona con más de una de las variables
independientes. Las derivadas parciales superiores son derivadas parciales de derivadas
parciales. (MG)
158
Cálculo diferencial e integral (segunda parte)
dy =
dy
dy
( du ) du + ( dv )dv
Ejemplo 1
Halla las derivadas parciales de la expresión w = 2ax2 + 3bxy + 4cy3.
Solución
Las respuestas son:
∂w
= 4ax + 3by
∂x
∂w
2
= 3bx +12cy
∂y
}
La primera se obtiene suponiendo que y es constante; la segunda se obtiene
suponiendo que x es constante; entonces, la derivada total es:
dw = (4ax + 3by)dx + (3bx + 12cy2)dy
Ejemplo 2
Sea z = x y.
Solución
Si tratamos primero y y luego x como constantes, procedemos de la manera acostumbrada:
∂z
= yx y−1
∂x
∂z
= x y ln x
∂y
}
para que dz = yx y –1 dx + x y ln xdy.
Ejemplo 3
El volumen de un cono, que tiene altura h y radio de base r es V = 1/3πr2 h. Si
la altura permanece constante pero r cambia, la razón de cambio del volumen respecto al radio es diferente de la razón de cambio del volumen respecto a la altura
que ocurriría si la altura variara y el radio se mantuviera constante, pues
∂V 2π
rh
=
3
∂r
∂V π 2
= r
∂h 3
}
La variación cuando tanto el radio como la altura cambian está dada por
CAPÍTULO 16
dV =
2π
π
rh dr + r 2 dh
3
3
Ejemplo 4
En este ejemplo, F y f denotan dos funciones arbitrarias de la forma que sea.
Por ejemplo, pueden ser funciones seno, o exponenciales, o simples funciones
algebraicas de dos variables independientes, t y x. Una vez entendido lo anterior,
pongamos por caso la expresión
y = F(x + at) + f (x – at)
o
y = F(w) + f (v)
donde
w = x + at y
v = x – at
Entonces,
∂ y ∂F (w ) ∂w ∂ f (v ) ∂v
=
+
⋅
⋅
∂v
∂x
∂w
∂x
∂x
= F ′(w) ⋅ 1 + f ′(v) ⋅ 1
(donde el número 1 es simplemente el coeficiente de x en w y v); y
∂2 y
= F ″ (w ) + f ″ (v )
∂x 2
También,
∂ y ∂F (w ) ∂w ∂ f (v ) ∂v
=
+
⋅
⋅
∂v
∂t
∂w
∂t
∂t
= F ′(w) ⋅ a – f ′(v)a
y
∂2 y
2
2
= F ″ (w )a + f ″ (v )a
∂t 2
de donde
2
∂2 y
2∂ y
a
=
∂x 2
∂t 2
Esta ecuación diferencial es de suma importancia en la física matemática.
Máximos y mínimos de funciones de
dos variables independientes
Ejemplo 5
Volvamos a examinar los ejercicios IX, número 4. Sean x y y las longitudes de
dos de las partes de la cuerda. La tercera es 30 – (x + y), y el área del triángulo es
Derivación parcial
159
160
Cálculo diferencial e integral (segunda parte)
A = s(s − x )(s − y )(s −30 + x + y ) , donde s es la mitad del perímetro, por
lo que s = 15 y A = 15P , donde
P = (15 – x)(15 – y)(x + y – 15)
= xy2 + x2y – 15x2 – 15y2 – 45xy + 450x + 450y – 3 375
Como es evidente, A es un máximo cuando P es un máximo
dP =
∂P
∂P
dx + dy
∂x
∂y
Para un máximo (queda claro que no será un mínimo en este caso), es necesario tener simultáneamente
∂P
=0 y
∂x
∂P
=0
∂y
esto es,
2xy −30x + y 2 −45 y + 450 = 0
2xy −30 y + x 2 −45x + 450 = 0
}
Restamos la segunda ecuación de la primera y factorizamos para obtener
(y – x)(x + y – 15) = 0
por tanto, ya sea x = y o x + y – 15 = 0. En el segundo caso, P = 0, que no es
un máximo; por consiguiente, x = y.
Si ahora introducimos esta condición en el valor de P, queda
P = (15 – x)2(2x – 15) = 2x3 – 75x2 + 900x – 3 375
Para máximo o mínimo, dp /dx = 6x 2 −150x + 900 = 0, que resulta en
x = 15 o x = 10.
Es evidente que x = 15 produce un área de cero; x = 10 produce el máximo,
pues (d 2P )/(dx2) = 12x – 150, que es +30 para x = 15 y –30 para x = 10.
Ejemplo 6
Calcula las dimensiones de un vagón de ferrocarril común que transporta carbón
y tiene extremos rectangulares, de modo que, para un volumen V, el área de los
lados y el piso sea lo más pequeña posible.
Solución
El vagón es una caja rectangular abierta por la parte superior. Sea x el largo y y el
ancho; entonces, la profundidad es V /xy. El área es S = xy + (2V )/x + (2V )/y;
por ende
dS =
2V
∂S
2V
∂S
dx +
dy = y − 2 dx +
dy
x
∂x
y2
∂y
(
)
( )
CAPÍTULO 16
Para un mínimo (sin duda, no habrá un máximo en este caso),
y−
2V
=0
x2
y
x−
2V
=0
y2
Multiplicando la primera ecuación por x, la segunda por y y restándolas resulta x = y. Por tanto, x3 = 2V y x = y = 3 2V .
[ EJERCICIOS XV ]
1. Obtén la derivada de la expresión
x3
y
3
2
− 2x y − 2 y x +
x
3
respecto solo a x y respecto solo a y.
2. Halla las derivadas parciales respecto a x, y y z de la expresión
x2yz + xy2z + xyz2 + x2y2z2.
3. Sea r2 = (x – a)2 + ( y – b)2 + (z – c)2. Calcula el valor de
∂r
∂r ∂r
+
+ .
∂z
∂x ∂y
Además, calcula el valor de
∂2r ∂2r ∂2r
.
+
+
∂x 2 ∂y 2 ∂z 2
4. Obtén la derivada total de y = uv.
5. Obtén la derivada total de y = u3 sen v; de y = (sen x)u; y de y = (ln u)/v.
6. Comprueba si la suma de las tres cantidades x, y y z, cuyo producto es la
constante k, es un mínimo cuando estas tres cantidades son iguales.
7. ¿La función u = x + 2xy + y tiene un máximo o un mínimo?
8. Una norma del servicio de correos estableció alguna vez que ningún paquete podía ser de tamaño tal que la suma de su longitud y su circunferencia
fuera superior a 6 pies. ¿Cuál es el mayor volumen que se podía enviar por
correo (a) en el caso de un paquete cuya sección transversal es rectangular;
(b) en el caso de un paquete cuya sección transversal es circular?
9. Divide π en tres partes de manera tal que el producto de los senos de
dichas partes sea un máximo o un mínimo.
10. Halla el máximo o el mínimo de u = ex + y/(xy).
11. Halla el máximo y el mínimo de u = y + 2x – 2 ln y – ln x.
12. Una cubeta de cierta capacidad tiene la forma de un prisma triangular
isósceles horizontal con el ápice hacia abajo, y la cara opuesta abierta. Calcula sus dimensiones para que pueda usarse la menor cantidad de lámina
de hierro en su construcción.
Derivación parcial
161
Capítulo 17
Integración
Se ha revelado el gran secreto que encierra este misterioso símbolo ∫, que a fin
de cuentas no es más que una S alargada: simplemente significa “la suma de” o
“la suma de todas las cantidades tales que. . .”. Por tanto, se parece a este otro
símbolo: ∑, la letra griega sigma, que es el signo de sumatoria. Sin embargo, hay
una diferencia práctica en cuanto al uso de uno y otro: en general, ∑ se usa para
indicar la suma de varias cantidades finitas, en tanto que el signo de integral ∫
se emplea para indicar la suma de un gran número de cantidades pequeñas, de
magnitud infinitamente diminuta, meros elementos, de hecho, que contribuyen
a formar el total requerido. Así, ∫dy = y y ∫dx = x.
Cualquiera entiende que el todo de cualquier cosa puede concebirse como
constituido por muchas partes pequeñísimas; y que cuanto más pequeñas sean
estas partes, tantas más habrá. Por consiguiente, podemos pensar que una línea de
un centímetro de largo está formada por 10 partes, cada una de 101 del largo
1
de un centímetro; o de 100 partes, cada una de 100
del largo de un centímetro; o de
1 000 000 de partes, cada una de las cuales mide 1 0001 000 del largo de un centímetro; o, si llevamos esta idea a los límites de lo imaginable, podemos pensar
que se compone de un número infinito de elementos, cada uno de los cuales es
infinitamente pequeño.
Sí, claro, pero ¿de qué sirve concebir así cualquier cosa? ¿Por qué no pensar
en ella tal como es, como un todo? La razón es muy sencilla: hay muchos casos en
los que no es posible obtener la magnitud de la cosa como un todo sin calcular
la suma de muchas partes pequeñas. El proceso de integrar nos permite calcular totales que de otro modo no podríamos estimar de forma directa.
Estudiemos primero uno o dos casos sencillos para familiarizarnos con esta
idea de sumar una gran cantidad de partes. Considera la serie
1 1 1
1
1
1
1+ + + +
+ +
+. . .
2 4 8 16 32 64
En este caso, cada elemento de la serie se forma dividiendo a la mitad el valor
precedente. ¿Qué valor tiene el total si podemos seguir contando hasta un número infinito de términos? Evidentemente, la respuesta es 2. Piénsalo, si lo deseas,
en términos de una línea. Empieza con un centímetro; suma medio centímetro;
suma un cuarto; suma un octavo y así de manera sucesiva. Si te detienes en cualquier momento de la operación, siempre faltará un elemento para llegar al total
de 2 centímetros; y el elemento faltante siempre será del mismo tamaño que el
último elemento añadido. Por consiguiente, si después de sumar 1, 1/2 y 1/4 nos
detenemos, faltará 1/4 para llegar a 2. Si continuamos hasta haber sumado 1/64,
todavía faltará 1/64 para llegar a 2. El remanente necesario siempre será igual al
último término sumado (figura 46).
Solo con un número infinito de operaciones podríamos llegar en realidad
a los 2 centímetros. Prácticamente alcanzaríamos esa magnitud cuando llegáramos a partes tan pequeñas que no podríamos dibujarlas; eso ocurriría después
1
de sumar unos 10 términos, porque el undécimo término es 1 024. Si queremos
llegar al extremo que ninguna máquina de medir podría detectar, debemos sumar
aproximadamente 20 términos. No podríamos ver el término decimoctavo ¡quizá
ni siquiera con un microscopio!
Así, el número infinito de operaciones no resulta tan enorme, después de
todo. La integral es simplemente el todo. Sin embargo, como veremos, hay casos en los que el cálculo integral permite llegar al total exacto que obtendríamos
como resultado de un número infinito de operaciones. En esos casos, el cálculo
integral brinda un medio rápido y fácil de llegar a un resultado que, de otro
modo, requeriría un interminable desarrollo sumamente elaborado. Por tanto,
será mejor que no perdamos más tiempo para aprender a integrar.
CAPÍTULO 17
Integración
1
1
2
163
1 1
4 8
Figura 46
Pendiente de una gráfica y la gráfica en sí
Hagamos una breve investigación preliminar sobre la pendiente de una gráfica.
Hemos visto que derivar una gráfica significa hallar una expresión de su pendiente (o de sus pendientes en diferentes puntos de ella). ¿Podemos realizar el proceso
inverso de reconstruir toda la gráfica si nos dan la o las pendientes?
Vuelve al capítulo 10, al caso 2 (figura 47). En ese caso tenemos la gráfica más
sencilla de todas: una recta inclinada que corresponde a la ecuación
y = ax + b
Sabemos que b representa aquí la altura inicial de y cuando x = 0, y que a,
que es lo mismo que dy /dx, es la “pendiente” de la recta. La recta tiene una pendiente constante. A todo lo largo de ella, los triángulos rectángulos
y
b
x
O
Figura 47
dy
dx
tienen la misma proporción entre altura y base. Supón que tomamos las dx y dy
de una magnitud finita, para que 10 dx formen un centímetro; entonces, tendríamos 10 triángulos pequeños como estos:
Ahora supón que nos piden reconstruir la gráfica, empezando simplemente
con la información que dy /dx = a. ¿Qué podemos hacer? Tomando en consideración que las pequeñas d son de tamaño finito, podemos dibujar 10 de ellas,
todas con la misma pendiente, y después unirlas, una tras otra, como se muestra
en la figura 48.
y
C
O
x
Figura 48
164
Cálculo diferencial e integral (segunda parte)
Además, como la pendiente es igual en todas las partes, se unirían para
formar, como en la figura 48, una recta inclinada con la pendiente correcta que
dy /dx = a. E independientemente de que tomemos las dy y las dx como cantidades finitas o infinitamente pequeñas, como todas son iguales, es claro que
y /x = a, si consideramos y como el total de todas las dy y x como el total de todas las dx. Pero ¿dónde vamos a poner esta recta inclinada? ¿Debemos empezar
por el origen O, o más arriba?
Como la única información que tenemos se refiere a la pendiente, carecemos
de instrucciones respecto a la altura específica por arriba de O; de hecho, la altura
inicial es indeterminada. La pendiente será la misma, sea cual fuere la altura inicial. Por tanto, hagamos nuestro mejor intento y comencemos la recta inclinada
en la altura C por arriba de O. Es decir, tenemos la ecuación
y = ax + C
Ahora es evidente que, en este caso, la constante añadida significa el valor
específico de y cuando x = 0.
En seguida resolveremos un caso más difícil: el de una gráfica cuya pendiente
no es constante, sino que cada vez es más pronunciada. Supongamos que la pendiente ascendente se vuelve cada vez mayor, proporcionalmente, a medida que x
aumenta. En símbolos, esto es:
dy
= ax
dx
Para citar un caso concreto, consideremos a = 1/5, de forma que
dy 1
= x
dx 5
A continuación, para empezar, lo mejor es calcular algunos de los valores
de la pendiente en diferentes valores de x y dibujar diagramas pequeños de esos
valores. Cuando:
x = 0,
dy
=0
dx
x = 1,
dy
=0⋅2
dx
x = 2,
dy
=0⋅4
dx
x = 3,
dy
=0⋅6
dx
x = 4,
dy
= 0 ⋅8
dx
x = 5,
dy
=1⋅ 0
dx
CAPÍTULO 17
Tratemos ahora de reunir todas las piezas, colocándolas de modo que la mitad de la base quede a la distancia exacta a la derecha y que todas encajen en los
extremos, como se ilustra en la figura 49. El resultado, por supuesto, no es una
gráfica bien delineada, sino una aproximación. Si hubiéramos tomado el doble
de partes, pero cada una de ellas de la mitad de largo, como en la figura 50, tendríamos una mejor aproximación.22
Para obtener una gráfica perfecta tendríamos que tomar una cantidad infinita
de cada dx y su correspondiente dy, ambas infinitamente pequeñas.
Entonces, ¿cuánto debe ser el valor de cualquier y? Por supuesto, en cualquier
punto P de la gráfica, el valor de y será la suma de todas las pequeñas dy que van
de 0 a ese nivel, es decir, ∫dy = y. Y como cada dy es, en el ejemplo que estamos
siguiendo, igual a (1/5)x ⋅ dx, se desprende que el total de y será igual a la suma de
todas las partes pequeñas (1/5)x ⋅ dx, o, como debemos escribirlo, ∫(1/5)x ⋅ dx.
Ahora bien, si x fuera constante, ∫(1/5)x ⋅ dx sería igual a (1/5)x∫dx, o
(1/5)x2. Pero x empezó siendo 0 y aumentó hasta alcanzar el valor específico de x
en el punto P, por lo que su valor promedio, de 0 a ese punto es (1/2)x. Por ende,
∫(1/5)x dx = (1/10)x2; o y = (1/10)x2.
Sin embargo, como en el caso anterior, esto requiere la adición de una constante indeterminada C, ya que no nos han dicho a qué altura por arriba del origen de la gráfica debemos comenzar cuando x = 0. Por tanto, escribimos como
ecuación de la gráfica trazada en la figura 51
y=
Integración
P
y
1
O
2
3
4
5
x
Figura 49
y
P
O
1
2
Figura 50
3
4
5
x
y
1 2
x +C
10
[ EJERCICIOS XVI ]
165
y
C
x
Figura 51
1. Calcula la suma final de
1
2 1 1
1
+ + + + +. . .
3 3 6 12 24
1 1 1 1 1 1 ...
es convergen+ − + − +
2 3 4 5 6 7
te, y calcula su suma hasta 8 términos.
3. Si
2. Demuestra que la serie 1 −
x2 x3 x4 . . .
ln (1+ x ) = x − + − +
3
4
2
determina ln 1.3.
4. Siguiendo un razonamiento similar al explicado en este capítulo, calcula
y cuando
dy 1
= x
dx 4
5. Si dy /dx = 2x + 3, calcula y.
22
La aproximación de una gráfica continua mediante triángulos rectángulos cada
vez más pequeños debajo de la gráfica se
conoce hoy día como la regla del trapecio,
pues los triángulos pequeños, unidos a los
rectángulos estrechos debajo de ellos forman
trapezoides, como se ilustra en la figura 47.
Una aproximación más precisa, aunque
mucho más difícil de aplicar, consiste en
dibujar parábolas pequeñas debajo (o arriba)
de los segmentos de una curva. Entonces, la
suma se aproxima por medio de la regla de
la parábola, también conocida como regla
de Simpson en honor del matemático inglés
Thomas Simpson (1710-1761). Thompson no
entra en detalles, pero el estudiante puede leer sobre la regla
de Simpson en libros de cálculo
modernos. (MG)
Capítulo 18
Integración como inverso de la derivación
Derivar es el proceso mediante el cual, cuando y se presenta como una función
de x, podemos obtener dy /dx.
Como casi toda operación matemática, el proceso de derivación puede invertirse.23 Por tanto, si derivar y = x4 resulta en dy /dx = 4x3, entonces, si empezamos con dy /dx = 4x3, es lógico suponer que si invertimos el proceso obtendremos
y = x4.
Sin embargo, aquí se presenta algo curioso. Obtendríamos dy /dx = 4x3 si
hubiéramos empezado con cualquiera de lo siguiente: x4 o x4 + a o x4 + c o x4 con
cualquier otra constante que se le sume. Es evidente que al trabajar hacia atrás,
de dy /dx a y, debemos tener en cuenta la posibilidad de que exista una constante
añadida, cuyo valor será indeterminado hasta que lo confirmemos por algún otro
medio. Por consiguiente, si derivar xn produce nxn–1, ir hacia atrás partiendo de
dy /dx = nxn–1 producirá y = xn + C, donde C representa la posible constante
aún sin determinar.
Como es evidente, cuando se trate de potencias de x, la regla para trabajar
hacia atrás será la siguiente: aumentar la potencia en 1 y luego dividir entre esa
potencia aumentada y sumar la constante indeterminada.
Así, en el caso donde
dy
n
=x
dx
trabajando hacia atrás obtendremos
y=
23
1 n+1
x +C
n +1
En aritmética, son ejemplos conocidos de operaciones inversas la resta o sustracción como el inverso de la suma o
adición; la división como el inverso de la multiplicación, y la extracción de raíz como el inverso de elevar a potencias
superiores.
En aritmética, para comprobar una resta A – B = C se suman B y C para ver si se obtiene A. Del mismo modo, para comprobar una integración o una derivación se puede invertir el proceso para ver si se llega a la expresión original.
En su modelo geométrico, la derivación de una función da una fórmula que determina la pendiente de la gráfica de
una función en cualquier punto dado. La integración ofrece un método con el que, a partir de la fórmula de la pendiente,
es posible determinar la gráfica y su función. Esto, a su vez, constituye una forma rápida de calcular el área entre intervalos en una gráfica y el eje x de esta. (MG)
CAPÍTULO 18
Integración como inverso de la derivación
167
Si derivar la ecuación y = axn nos da
dy
n−1
= anx
dx
es cuestión de sentido común que comenzando con
dy
n−1
= anx
dx
e invirtiendo el proceso, obtendremos
y = axn
De este modo, cuando tratamos con una constante multiplicadora, simplemente debemos poner esta como un multiplicador (factor) del resultado de la
integración.
En consecuencia, si dy /dx = 4x2, el proceso inverso resulta en y = (4/3)x3.
Pero esta expresión está incompleta, pues debemos recordar que si hubiéramos
empezado con
y = axn + C
donde C es cualquier cantidad constante, igualmente habríamos obtenido
dy
n−1
= anx
dx
Por tanto, cuando invertimos el proceso siempre debemos recordar sumar
esta constante indeterminada, incluso si aún no sabemos cuál será su valor.24
Este proceso, el inverso de derivar, se llama integrar, pues consiste en hallar el
valor de la cantidad entera y cuando solo nos dan una expresión de dy o de dy /dx.
Hasta el momento, hemos mantenido juntas tanto como fuera posible a dy
y dx como una derivada; en adelante, lo más frecuente será que debamos separarlas.
Si empezamos con un caso sencillo,
dy
2
=x
dx
podemos escribir esta expresión, si lo deseamos, como
dy =x2 dx
Esta es una ecuación diferencial, que nos informa que un elemento de y es
igual al elemento correspondiente de x multiplicado por x2. Ahora bien, lo que
necesitamos es la integral; por tanto, escribiremos con el símbolo correcto las
instrucciones para integrar ambos miembros, así:
∫ dy = ∫ x2 dx
Expresión que se lee así: “La integral de de-ye es igual a la integral de equis
cuadrada de-equis”.
Todavía no hemos integrado nada: solo hemos escrito las instrucciones para
integrar, si podemos. Hagamos la prueba. Muchas personas pueden integrar, ¿por
24
Hasta hace poco circulaba un chiste entre
estudiantes y maestros de matemáticas.
Dos estudiantes de un instituto técnico
superior, Bill y Joe, están comiendo en una
cafetería de la escuela. Bill se queja de que
la enseñanza de las matemáticas es tan mala
en Estados Unidos que la mayoría de los
estudiantes universitarios no saben ni jota
de cálculo.
Joe discrepa. Mientras Bill va al baño, Joe
llama a una mesera rubia muy bonita. Le
da cinco dólares para que gaste una broma
a Bill. Cuando les lleve el postre, Joe le
hará una pregunta. No le dice cuál será la
pregunta, pero le indica que debe responder:
“un tercio de x cúbica”. La mesera sonríe, se
guarda el billete y acepta.
Cuando Bill regresa a la mesa, Joe le propone la siguiente apuesta de veinte dólares.
Preguntará a la mesera sobre una integral.
Si ella responde correctamente, él ganará la
apuesta. Joe sabe que no puede perder. Los
dos amigos cierran el trato con un apretón
de manos.
Cuando la mesera se acerca a la mesa,
Joe le pregunta: “¿Cuál es la integral de x al
cuadrado?”
“Un tercio de x cúbica”, responde ella.
Luego, mientras se aleja, dice por encima del
hombro: “más una constante”. (MG)
168
Cálculo diferencial e integral (segunda parte)
qué nosotros no? El miembro izquierdo es la simplicidad misma. La suma de todas las partes pequeñitas de y es igual que la propia y. Por ello podemos escribir:
y = ∫ x2 dx
Sin embargo, cuando llegamos al miembro derecho de la ecuación, debemos
recordar que lo que debemos sumar no son todas las dx, sino todos los términos
x2 dx; y esto no será lo mismo que x2 ∫ dx, ya que x2 no es una constante. Algunas
de las dx se multiplicarán por grandes valores de x2 y otras por valores pequeños
de x2, según lo que resulte ser x.
Por lo anterior, debemos sopesar lo que sabemos de este proceso, esto es, que
la integración es el inverso de la derivación. Nuestra regla para este proceso a la
inversa cuando se trata de xn es “incrementar la potencia en uno y dividir entre
el número de esta potencia aumentada”. Es decir, cambiaremos x2 dx a (1/3) x3.*
Insertamos esta ecuación, pero no hay que olvidar que debemos sumar la “constante de integración” C al final. Por tanto, obtenemos
1
y = x 3 +C
3
Ahora sí hemos realizado la integración. ¡Qué fácil! Hagamos la prueba con
otro caso sencillo. Sea
dy
12
= ax
dx
donde a es cualquier multiplicador constante. Bueno, cuando derivamos (véase
el capítulo 5) comprobamos que todo factor constante en el valor de y reaparecía
inalterado en el valor de dy /dx. En el proceso inverso, es decir, en la integración,
ese factor reaparecerá, por tanto, en el valor de y. Así que podemos trabajar como
antes:
dy = ax 12 ⋅ dx
∫ dy = ∫ ax 12 ⋅ dx
∫ dy = a ∫ x 12 dx
y =a ⋅
* Tal vez te preguntes: ¿y qué pasó con la
pequeña dx al final? Bueno, recuerda que en
realidad era parte de la derivada, y cuando
cambiamos al miembro derecho, como en el
caso de x2 dx, sirve como recordatorio de que
x es la variable independiente respecto a la
cual se efectuará la operación; y, en razón
de que el producto se suma, la potencia de
x aumenta en uno. Pronto te familiarizarás
con todo esto.
1 13
x +C
13
¡Listo! ¡Qué sencillo!
Ahora empezamos a comprender que integrar es el proceso de encontrar el
camino de regreso respecto a derivar. Si alguna vez, durante la derivación, encontramos una expresión específica (en este ejemplo, ax12), podemos hallar el camino
de regreso a la y de donde se derivó. El contraste entre los dos procesos puede
ilustrarse con el ejemplo siguiente de un reconocido maestro. Si dejamos en Times Square a una persona que no conoce Manhattan y le decimos que halle por
su cuenta el camino para llegar a Grand Central Station, es probable que la tarea
le resulte prácticamente imposible. Pero si antes lo llevamos en persona de Grand
Central Station a Times Square, sería relativamente sencillo para él orientarse
para volver a Grand Central Station.
CAPÍTULO 18
Integración como inverso de la derivación
Integración de la suma o la diferencia de dos funciones
Sea
dy
= x2 + x3
dx
entonces
dy = x2 dx + x3 dx
No hay ningún motivo por el que no debamos integrar cada término por
separado, ya que, como vimos en el capítulo 6, comprobamos que cuando derivamos la suma de dos funciones, la derivada era simplemente la suma de las
dos derivaciones separadas. Por tanto, cuando trabajamos hacia atrás, es decir,
cuando integramos, la integración será simplemente la suma de las dos integraciones.
Nuestras instrucciones serán:
2
3
∫ dy = ∫ (x + x )dx
2
3
= ∫ x dx + ∫ x dx
1
1
y = x 3 + x 4 +C
4
3
Si cualquiera de los términos fuera una cantidad negativa, el término correspondiente en la integral también tendría que ser negativo. Así, las diferencias se
tratan fácilmente como sumas.
Cómo tratar con términos constantes
Imagina que la expresión que vamos a integrar contiene un término constante,
como esta:
dy
n
=x +b
dx
Esto es muy sencillo. Solo hay que recordar que cuando derivamos la expresión y = ax, el resultado fue dy /dx = a. Por tanto, cuando trabajamos al contrario
e integramos, la constante reaparece multiplicada por x. Así, tenemos
dy = x n dx + b ⋅ dx
∫ dy = ∫ x n dx + ∫ b dx
y=
1 n+1
x + bx +C
n +1
A continuación se presentan muchos ejemplos con los que puedes poner a
prueba tus conocimientos recién adquiridos.
169
170
Cálculo diferencial e integral (segunda parte)
Ejemplo 1
Dada dy /dx = 24x11, calcula y.
Solución
y = 2x12 + C
Ejemplo 2
Obtén ∫(a +b)(x +1)dx .
Solución
Es
(a +b) ∫ (x +1)dx
o bien,
(a +b) [ ∫ x dx +∫ dx]
o bien,
(
(a +b )
x2
+ x +C
2
)
Ejemplo 3
Dada du/dt = gt1/2, calcula u.
Solución
u=
2 3/2
gt + C
3
Ejemplo 4
Se tiene dy /dx = x 3 −x 2 + x . Calcula y.
Solución
dy = (x3 – x2 + x) dx
o bien
dy = x 3dx − x 2dx + x dx; y = ∫ x b dx − ∫ x 2dx + ∫ x dx
CAPÍTULO 18
Integración como inverso de la derivación
y
1
1
1
y = x 4 − x 3 + x 2 +C
4
3
2
Ejemplo 5
Integra 9.75x2.25dx.
Solución
y = 3x3.25 + C
Todos estos ejemplos son muy fáciles. Probemos con otro caso. Sea
dy
−1
= ax
dx
Procediendo como antes, escribimos
dy = ax–1 ⋅ dx, ∫ dy = a ∫ x −1 dx
Bueno, pero, ¿cuál es la integral de x–1 dx?
Si examinas de nuevo los resultados de derivar x2, x³ y xn, etcétera, comprobarás que nunca obtuvimos x–1 de ninguno de ellos como valor de dy /dx. Obtuvimos 3x2 de x³; obtuvimos 2x de x2; obtuvimos 1 de x1 (es decir, de la propia x);
pero no obtuvimos x–1 de x0 por una muy buena razón. Su derivada (obtenida de
seguir como esclavos la regla habitual) es 0 ⋅ x–1, y esa multiplicación por cero da
por resultado ¡cero! Por tanto, cuando ahora tratamos de integrar x–1 dx, vemos
que no encaja en ninguna parte de las potencias de x dadas por la regla:
1
x
∫x dx = n +1
n
n+1
Se trata de un caso excepcional.
Muy bien, intentémoslo de nuevo. Busquemos entre todas las distintas derivadas que obtuvimos de varias funciones de x para ver si encontramos entre ellas
x–1. Una búsqueda exhaustiva mostrará finalmente que obtuvimos dy /dx = x–1
como resultado de derivar la función y = ln x.
Por supuesto, como sabemos que derivar ln x da x–1, también sabemos que
si invertimos el proceso, la integración de dy = x–1 dx nos dará y = ln x. Sin
embargo, no debemos olvidar el factor constante a que está dado, ni debemos
dejar de sumar la constante indeterminada de integración. Así, como solución del
presente problema resulta lo siguiente:
171
172
Cálculo diferencial e integral (segunda parte)
y = a ln x + C
Pero esto solo es válido para x > 0. Para x < 0, debes comprobar que la
solución es
y = a ln (– x) + C
Por lo general, estos dos casos se combinan al escribir:
y = a ln x + C
donde x es el valor absoluto de x: x si x ≥ 0 y –x si x < 0.
Nota: Observa muy bien el hecho extraordinario de que no podríamos haber
integrado en el caso anterior si por casualidad no hubiéramos tenido conocimiento de la derivación correspondiente. Si nadie hubiera descubierto que derivar ln x daba por resultado x–1, nos habríamos quedado totalmente sin saber qué
hacer para resolver el problema de cómo integrar x–1 dx. Incluso, hay que admitir
con franqueza que esta es una de las características curiosas del cálculo integral:
que no se puede integrar nada antes de que el proceso inverso de derivar otra cosa
haya producido la expresión que se desea integrar.
Veamos otro caso sencillo. Calcula
∫(x + 1)(x + 2) dx
Al examinar la función que integraremos, nos damos cuenta de que es el producto de dos diferentes funciones de x. Podríamos pensar que se puede integrar
(x + 1) dx, por un lado, y (x + 2) dx, por el otro.
Por supuesto que se puede. Pero ¿qué haríamos con el producto? Ninguna
de las formas de derivar que hemos aprendido hasta ahora ha producido como
derivada un producto así. En ausencia de esto, lo más sencillo es multiplicar las
dos funciones y luego integrar. Esto nos da:
∫(x2 + 3x + 2) dx
que es lo mismo que
∫x2dx + ∫ 3xdx + ∫ 2dx
Realizando las integraciones obtenemos
1 3
3
x + x 2 + 2x + C
3
2
Algunas otras integrales
Ahora que sabemos que la integración es el inverso de la derivación, podemos
buscar de inmediato las derivadas que ya conocemos y ver de cuáles funciones se
derivaron. Esto nos da las integrales siguientes, listas para usarlas:
CAPÍTULO 18
Integración como inverso de la derivación
∫ x dx = ln x +C
x −1:
−1
1
:
x +a
1
dx = ln x +a +C
∫ x +a
ex:
∫ e dx
e–x:
∫e
x
−x
= e x +C
dx
=−e −x + C
pues si
−1 dy
e x ⋅ 0−1 ⋅ e x
−x
,
=−
=e
e 2x
e x dx
y=
sen x:
∫ sen x dx = – cos x + C
cos x:
∫ cos x dx = sen x + C
Además, podemos deducir lo siguiente:
∫ ln x dx = x(ln x – 1) + C
ln x:
pues si y = x ln x – x,
dy x
= +ln x −1 = ln x
dx x
log10 x ∫ log10 ⋅ dx = 0.4343x(ln x −1) +C
∫a dx = lna a + C
∫cos ax dx = 1a sen ax + C
x
ax:
cos ax:
x
pues si y = sen ax,
dy
= a cos ax;
dx
por tanto, para obtener cos ax debemos derivar y = 1/a sen ax
sen ax:
∫sen ax dx =−1a cos ax + C
Hagamos la prueba con cos2 θ; una pequeña estratagema simplificará las
cosas:
cos 2θ = cos2 θ – sen2 θ = 2 cos2 θ – 1
173
174
Cálculo diferencial e integral (segunda parte)
por tanto,
1
cos 2 θ = (cos 2θ + 1)
2
y
∫cos θ dθ = 12 ∫ (cos 2θ + 1)dθ
1
1
= ∫ cos 2θ dθ + ∫ d θ
2
2
2
=
sen 2θ θ
+ +C
4
2
Consulta también la tabla de formas estándares al final del último capítulo.
Es recomendable que prepares una tabla de este tipo para tu uso personal y que
incluyas solo las funciones generales que has logrado derivar e integrar. ¡Verás qué
rápido crece!
[ EJERCICIOS XVII ]
1. Calcula ∫ y dx cuando y² = 4ax.
∫ x3 dx.
1
3. Calcula ∫ x dx.
a
2. Calcula
4
3
4. Calcula ∫(x2 + a) dx.
5. Integra 5x −7/2
6. Resuelve ∫(4x3 + 3x2 + 2x + 1) dx.
dy ax bx 2 cx 3
obtén y.
= +
+
3
4
2
dx
x2 + a
8. Resuelve
dx.
x +a
9. Resuelve ∫(x + 3)3 dx.
7. Si
∫(
)
10. Calcula ∫(x + 2)(x – a)dx.
11. Resuelve ∫ ( x + 3 x )3a 2 dx.
12. Resuelve
∫ (sen θ − 12 ) d3θ .
13. Resuelve ∫ cos² aθ dθ.
CAPÍTULO 18
14. Resuelve ∫sen² θ dθ.
15. Resuelve ∫sen² aθ dθ.
16. Resuelve ∫e3x dx.
∫ 1+dxx .
dx
18. Resuelve ∫
.
1−x
17. Resuelve
Integración como inverso de la derivación
175
Capítulo 19
Búsqueda de áreas
mediante la integración
25
Thompson explica la integral como la suma
de un número finito de franjas delgadas
debajo de la curva, cuya anchura se aproxima al límite de cero. Cuando estas franjas
se sitúan en su totalidad por debajo de una
curva, actualmente la suma se llama suma
inferior de Riemann en honor del matemático alemán George Friedrich Bernhard Riemann (1826-1866). La misma suma se puede
obtener cuando las franjas se extienden por
encima de la curva, como se muestra en la
figura 52, en cuyo caso la suma se denomina
suma superior de Riemann. Si las franjas
se dibujan de modo que la parte superior
corte la curva, la suma se llama simplemente
suma de Riemann. Independientemente de
cómo se dibujen las franjas, siempre tendrán
la misma integral de Riemann en el límite,
cuando su número llega a ser infinito y su
anchura se vuelve infinitamente pequeña.
(MG)
Uno de los usos del cálculo integral es permitirnos comprobar los valores de las
áreas delimitadas por curvas. Tratemos de abordar el tema paso por paso.
Sea AB una curva, cuya ecuación se conoce. Es decir, y en esta curva es alguna
función conocida de x (figura 52). Piensa en un tramo de la curva del punto P
al punto Q.
Sea PM una perpendicular que parte de P; sea QN otra perpendicular, esta
que parte del punto Q. Entonces hagamos OM = x1 y ON = x2, y las ordenadas
PM = y1 y QN = y2. Así, hemos marcado el área PQNM que está situada debajo
del tramo PQ. ¿Cómo podemos calcular el valor de esta área?
El secreto para resolver este problema es concebir el área como si estuviera
dividida en muchas franjas angostas, cada una de las cuales es de anchura dx.25
Cuanto más pequeño sea el elemento dx, tantos más habrá entre x1 y x2. Es evidente que el área total es igual a la suma de las áreas de todas estas franjas. Nuestra
tarea consistirá entonces en descubrir una expresión para obtener el área de cualquiera de las franjas angostas, e integrarla para sumar todas las franjas.
Piensa en cualquiera de las franjas. Será algo así: está delimitada por dos
lados verticales, con una base plana dx, y una parte superior con una ligera
inclinación hacia arriba (figura de página 177). Supón que calculamos la altura
promedio y obtenemos y; entonces, como la anchura es dx, su área será y dx. Y
como podemos hacer la franja tan delgada como nos plazca, si solo la estrechamos lo suficiente, su altura promedio
será la misma que su altura en el centro.
B
Q
Llamemos al valor desconocido de toda
y
el área S, que significa superficie. El área
de una franja será simplemente una parte
P
de toda el área y, por tanto, podemos llaA
y2
marla dS. En consecuencia, escribimos:
y1
área de una franja = dS = y dx
N
M
O
x1
x
x2
Figura 52
Entonces, si sumamos todas las franjas, obtenemos:
superficie total S = ∫ dS = ∫ y dx
CAPÍTULO 19
Búsqueda de áreas mediante la integración
De esta forma, nuestro cálculo de S depende de si podemos integrar y dx para
el caso concreto, cuando sabemos que el valor de y es una función de x.
Por ejemplo, si te dijeran que para la curva en cuestión y = b + ax², sin
duda insertarías ese valor en la expresión y dirías: ahora debo hallar ∫(b +
ax²) dx.
Todo eso está muy bien, pero un poco de reflexión te indicará que hay algo
más que debes hacer. Como el área que tratamos de determinar no es la que se
halla debajo de todo el tramo de la curva, sino solo la limitada a la izquierda por
PM y a la derecha por QN, se desprende que hemos de hacer algo para definir
nuestra área entre estos límites.
Ello nos introduce a un nuevo concepto, el de integrar entre límites.26 Suponemos que x varía y, para nuestro propósito, no necesitamos ningún valor de x
por debajo de x1 (es decir, OM), ni ningún valor de x por encima de x2 (es decir,
ON).
Cuando una integral se define así entre dos límites, decimos que el menor de
los dos valores es el límite inferior y el valor mayor es el límite superior. Llamamos
integral definida a toda integral limitada de este modo para distinguirla de una
integral general a la que no se asigna ningún límite.27
En los símbolos que dan las instrucciones para integrar, los límites se marcan
escribiéndolos en la parte superior e inferior, respectivamente, del signo de integración. Así, la instrucción
∫ y ⋅ dx
x=x 2
x=x 1
se lee: calcular la integral de y · dx entre el límite inferior x1 y el límite superior
x 2.
En ocasiones esto se escribe más sencillamente:
∫ y ⋅dx
x2
x1
Pero ¿cómo se calcula una integral entre límites cuando nos dan estas instrucciones?
Examina de nuevo la figura 52. Supón que podemos calcular el área debajo
de un tramo más grande de la curva de A a Q, es decir, de x = 0 a x = x2, cuya
área se designará AQNO. Ahora imagina que podemos calcular el área debajo de
un tramo más pequeño de A a P, es decir, de x = 0 a x = x1, o sea, el área APMO.
Si en seguida restamos el área menor de la mayor, nos quedará como residuo el
área PQNM, que es precisamente la que necesitamos.
Aquí tenemos la pista de lo que debemos hacer: la integral definida entre los
dos límites es la diferencia entre la antiderivada obtenida para el límite superior y
la antiderivada obtenida para el límite inferior.
Prosigamos entonces. Primero, calculamos la antiderivada:
∫y dx
y, como y = b + ax2 es la ecuación de la curva (figura 52),
177
26
La palabra límite es confusa en este caso
porque no es un límite en el sentido de la
suma de una serie infinita. La palabra acotamiento o cota son mucho más claras. Lo que
Thompson llama límites inferior y superior de
un intervalo cerrado a lo largo de una curva
continua son las cotas inferior y superior,
aunque en la actualidad muchos libros
siguen llamándolos límites inferior y superior
de la integración o extremos izquierdo y
derecho de la integración. (MG)
27
El término de Thompson integral general ya
no se usa. En el pasado también se conocía
como integral primitiva y después como
integral indefinida. En la actualidad, generalmente se le denomina antiderivada. La
razón es evidente. Es el inverso de una derivada. Los autores difieren en cuanto a cómo
simbolizarla. Thompson simplemente la
pone entre corchetes. Hoy en día, un símbolo
común de antiderivada es F (x), en el que se
usa F mayúscula en lugar de f minúscula. En
todo lo que sigue, sustituí el término integral
general de Thompson por antiderivada.
Como el propio Thompson aclara, una
derivada no tiene una sola antiderivada, ya
que una antiderivada puede tener cualquiera
de un número infinito de constantes añadidas. Estas constantes corresponden a las
diferentes alturas que puede tener una curva
arriba del eje x. Por ejemplo, la derivada de
x2 es 2x. Pero 2x también es la derivada de
x 2 + 1; x 2 + 666; x 2 + π, y así sucesivamente. Puede ser x 2 más o menos cualquier
número real. Como existe una infinidad de
números reales, si una derivada tiene una
antiderivada, tendrá un número infinito de
ellas. Solo difieren en lo que se conoce como
sus constantes de integración. La antiderivada es indefinida porque no es única.
En esta obra, y en todos los libros de
cálculo, cuando el sustantivo integral se usa
sin adjetivo, se refiere a la integral definida.
Es el concepto fundamental de la integración. (MG)
178
Cálculo diferencial e integral (segunda parte)
∫(b +ax 2 )dx
28
En vista de que la técnica que Thomson describe es la parte medular del cálculo integral,
permítanme aclararla un poco más.
Para transformar una antiderivada en una
integral definida es necesario especificar las
cotas en la curva continua. Cada cota tiene un
valor en la antiderivada de la curva. La integral
definida es la diferencia entre esos dos valores.
Simplemente hay que restar el valor de la
antiderivada en la cota izquierda, donde x es
menor, del valor de la antiderivada en la cota
derecha, donde x es mayor. El resultado es la
integral definida.
La integral definida no es una función. Es
un número que es la suma límite de todos los
rectángulos angostos debajo de la curva, entre
las cotas superior e inferior, a medida que su
anchura se aproxima a cero y su número se
vuelve infinito. La situación es análoga a cortar
un trozo de cuerda. Supón que esta mide un
pie de largo y deseas obtener una parte de 9
pulgadas que abarca de la marca de 3 pulgadas
hasta el extremo de 12 pulgadas. ¿Qué debes
hacer? Pues cortar las 3 primeras pulgadas.
El hecho de que la integral definida sea la
diferencia entre dos valores de la antiderivada
se conoce como el teorema fundamental de
cálculo. El teorema se puede expresar de otras
formas, pero es la más sencilla y la más útil. Es
un teorema asombroso, que une la derivación
con la integración. Funciona como por arte de
magia, ¡casi demasiado bueno para ser verdad!
Jerry P. King, en su Art of Mathematics
(1992) asemeja el teorema a la piedra angular
de un arco que une los dos lados del cálculo.
Como existe un cálculo unificado, muchos
matemáticos han recomendado abandonar los
términos cálculo diferencial y cálculo integral y
sustituirlos con cálculo de derivadas y cálculo
de integrales.
Es imposible, escribe King, exagerar la
importancia de este arco. “Sobre el gran arco
y sustentado por él descansa todo el análisis
matemático y las partes más importantes de la
física y las otras ciencias que el cálculo fundamenta y explica. Las matemáticas y la ciencia se
basan en el cálculo…”
Newton fue el primero en construir el arco.
Eric Temple Bell, en su capítulo sobre Newton
en Men of Mathematics (1937), llama a este
arco “sin duda uno de los descubrimientos
más extraordinarios que hayan hecho los
matemáticos”.
El teorema del valor medio (véase la posdata
del capítulo 10) define un punto p en una
curva de función continua entre los límites a y
b. El valor y del punto es el valor medio de la
función. Si uno traza una línea horizontal que
pase por este punto, y dibuja líneas verticales
a través de a y b hasta el eje x, formará lo que
se conoce como rectángulo del valor medio de
la función” (figura 53a). El área de este rectángulo, que aparece sombreado, es exactamente
igual al área debajo del intervalo de la curva
de a a b. (MG)
es la antiderivada que debemos hallar.
Una vez realizada esa integración, tenemos
a
bx + x 3 + C
3
y esta será toda el área desde 0 hasta cualquier valor de x que asignemos. Cuando
x es 0, esta área es 0, por lo que C = 0.
Por consiguiente, el área más grande hasta el límite superior x2 será
a
bx 2 + x 32
3
y el área más pequeña hasta el límite inferior x1 será
a
bx1 + x 31
3
Ahora, restamos el valor menor del mayor y obtenemos para el área S el
valor,
a
área S = b(x 2 −x 1 )+ (x 23 −x13 )
3
Esta es la respuesta que buscábamos. Asignémosle algunos valores numéricos. Supón que b = 10, a = 0.06, y x2 = 8 y x1 = 6. Entonces, el área S será
igual a:
0.06 3
10(8 − 6) +
(8 − 63 )
3
= 20 +0.02(512−216)
= 20 +0.02 ⋅ 296
= 20 +5.92
= 25.92
Establezcamos ahora una forma simbólica de expresar lo que hemos averiguado sobre los límites:
∫ y dx =y − y
x=x2
x=x1
2
1
donde y2 es el valor integrado de y dx correspondiente a x2, y y1 el correspondiente
a x1.
Toda integración entre límites requiere la diferencia entre los dos valores así
obtenidos. Además, ten en cuenta que al hacer la resta, la constante C que se
había sumado desaparece.28
Ejemplo 1
Para familiarizarnos con el proceso, citemos un ejemplo cuya respuesta conocemos de antemano. Vamos a calcular el área del triángulo (figura 53) cuya base es
x = 12 y altura y = 4.
CAPÍTULO 19
Búsqueda de áreas mediante la integración
Solución
179
y
Sabemos de antemano, por medición lógica, que la respuesta es 24.
Ahora bien, aquí tenemos como “curva” una recta inclinada cuya ecuación es
y = x /3. El área buscada será
∫ y ⋅dx =∫
x=12
x=12
x=0
x=0
4
O
x
12
Figura 53
x
⋅ dx
3
Integramos x /3 dx y escribimos el valor de la antiderivada entre corchetes
con los límites marcados arriba y abajo y obtenemos:
[13 ⋅ 12 x + C]
x
= [ + C]
6
12
0
+C] − [ +C]
área = [
6
6
P
x=12
2
área =
x=0
2
x=12
x=0
2
=
144
= 24
6
No olvides que cuando trabajamos con integrales definidas, la constante C
siempre desaparece por sustracción.
Para sentirnos satisfechos con este procedimiento sorprendente de cálculo,
lo comprobaremos con un ejemplo sencillo. Consigue papel milimétrico, de preferencia una hoja que esté dividida en cuadrados pequeños de un octavo o un
décimo de pulgada de cada lado. En este papel traza la gráfica de esta ecuación:
y=
a
2
x
3
b
Figura 53a
El rectángulo del valor medio.
y
5
4
3
2
1
3
O
6
9
12 x
Figura 54
Los valores que se graficarán son los de esta tabla:
x
0
3
6
9
12
y
0
1
2
3
4
La gráfica se presenta en la figura 54.
Ahora, para calcular el área debajo de la curva, cuenta los cuadrados pequeños
que quedan debajo de la línea, desde x = 0 hasta x = 12 a la derecha. Hay 18
cuadrados enteros y cuatro triángulos, cada uno de los cuales tiene un área igual
a 1 1/2 cuadrados; o, en total, 24 cuadrados. Por consiguiente, 24 es el valor
numérico de la integral de x /3 dx entre el límite inferior de x = 0 y el límite
superior de x = 12.
Como otro ejercicio, demuestra que el valor de la misma integral entre los
límites de x = 3 y x = 15 es 36.
y
b
a
a
O
Figura 55
x
x
180
Cálculo diferencial e integral (segunda parte)
Ejemplo 2
Calcula el área entre los límites x = x1 y x = 0 de la curva y = b /(x + a).
Solución
b
dx
∫ y ⋅ dx = ∫ x +a
= b [ ln(x +a) +C]
Área =
x=x1
x=x1
x=0
x=0
x1
0
= b [ ln( x 1 +a)+ C −ln(0 +a) − C ]
= b ln
x 1 +a
a
Cabe hacer notar que este proceso de restar una parte de otra mayor para obtener la diferencia es en realidad una práctica común. ¿Cómo se calcula el área de
un anillo plano (figura 56), cuyo radio externo es r2 y cuyo radio interno es r1? De
seguro recuerdas que el área del círculo exterior es igual a πr22; luego calculas el
área del círculo interior πr12; en seguida restas la segunda cantidad de la primera y
obtienes el área del anillo, que será igual a π(r22 – r12). Podemos escribir esto así:
r2
r1
Figura 56
π(r2 + r1)(r2 – r1)
que es igual a la circunferencia media del anillo por el ancho del mismo anillo.
Ejemplo 3
y
Aquí tenemos otro caso: el de la curva que se desvanece. Calcula el área entre x = 0
y x = a de la curva (figura 57) cuya ecuación es y = be–x.
Solución
b
Área = b
O
a
x
Figura 57
∫ e ⋅ dx
x=a
−x
x=0
La integración da
[ ]
= b −e −x
= b [−e
−a
a
0
−(−e −0 )]
= b(1−e −a )
CAPÍTULO 19
Búsqueda de áreas mediante la integración
Ejemplo 4
181
P
Tenemos otro ejemplo sencillo con la curva adiabática de un gas ideal, cuya ecuación es pvn = c, donde p representa la presión; v, el volumen y n tiene el valor
1.42 (figura 58).
Calcula el área debajo de la curva (que es proporcional al trabajo realizado al
comprimir repentinamente el gas), del volumen v2 al volumen v1.
Solución
p1
O
Aquí tenemos
∫ cv ⋅ dv
1
v ]
= c[
1−n
1
=c
(v −v )
1−n
1
1
−c
=
)
(
v
0.42 v
área =
v=v2
v1
p2
V
v2
Figura 58
−n
v=v1
v2
1−n
v1
1−n
2
0.42
2
1−n
1
−
0.42
1
Ejercicio 1
Comprueba la fórmula geométrica común que el área A de un círculo cuyo radio
R es igual a πr².
Solución
Considera una zona elemental o anillo de la superficie (figura 59), de anchura dr,
situada a una distancia r del centro. Podemos imaginar que toda la superficie está
formada por zonas igualmente estrechas y que toda el área A simplemente será la
integral de todas estas zonas elementales del centro a la orilla, esto es, integradas
de r = 0 a r = R.
Por consiguiente, debemos hallar una expresión para el área elemental dA de
la zona estrecha. Imagina una franja de anchura dr, y de una longitud igual a la
periferia del círculo del radio r, es decir, la longitud de 2πr. Entonces tenemos
como área de la zona estrecha:
dA = 2πr dr
De ahí que el área de todo el círculo será:
∫ ∫ 2πr ⋅ dr = 2π ∫ r ⋅dr
A = dA =
r=R
r=R
r=0
r=0
Ahora bien, la antiderivada de r · dr es (1/2)r2. Por tanto,
A = 2π
[ ]
1 2 r=R
r
2 r=0
r
R
Figura 59
dr
Cálculo diferencial e integral (segunda parte)
182
o bien
A = 2π
[ 12 R − 12 (0) ]
2
2
de donde A = πR2.
Ejercicio 2
M
y
1/4
N
1
O
Figura 60
Calculemos el valor medio de la parte positiva de la curva y = x – x2, que se muestra en la figura 60. Para hallar la ordenada media, tendremos que calcular el área
de la parte OMN y luego dividirla entre la longitud de la base ON. Pero antes de
calcular el área, debemos comprobar la longitud de la base para saber hasta qué
límite vamos a integrar.
Solución
En la ordenada N, y tiene valor de cero; por tanto, debemos examinar la ecuación
y ver qué valor de x hace que y = 0. Como es evidente, si x es 0, y también será
0 y la curva que pasa por el origen O; pero también, si x = 1, y = 0, por lo que
x = 1 nos da la posición del punto N.
El área que buscamos es
∫ (x −x )dx = [ 12 x − 13 x ] = [12 − 13] − [0−0] = 61
x=1
2
2
3
x=0
1
0
Pero la longitud de la base es 1. Por tanto, la ordenada promedio de la curva
es 1/6.
[Nota: Es un bonito ejercicio muy sencillo de máximos y mínimos calcular
por derivación qué altura tiene la ordenada máxima. Tiene que ser mayor que el
promedio.]
La ordenada media de toda curva, en un intervalo de x = 0 a x = x1, está
dada por la expresión:
media de y =
∫
1 x=x1
y ⋅ dx
x 1 x=0
Si la ordenada media se requiere sobre una distancia que no empieza en el
origen, sino que comienza en un punto distante x1 del origen y termina en un
punto distante x2 del origen, el valor será:
media de y =
Áreas en coordenadas polares
A
dθ
B
r
θ
O
∫
x=x2
1
y dx
x 2 −x 1 x =x1
x
Figura 61
Cuando la ecuación de la frontera de un área está dada como una función de
la distancia r de un punto de esta a un punto fijo O (figura 61) llamado polo, y
del ángulo que r forma con la dirección horizontal positiva OX, el proceso que
acabamos de explicar puede aplicarse con la misma facilidad, solo que con una
pequeña modificación. En lugar de una franja del área, consideramos un pequeño triángulo OAB, donde el ángulo en O es dθ, y calculamos la suma de todos los
ángulos pequeños que componen el área requerida.
CAPÍTULO 19
Búsqueda de áreas mediante la integración
El área de ese pequeño triángulo es de aproximadamente (rdθ /2) ⋅ r; por tanto,
la parte del área incluida entre la curva y dos posiciones de r correspondientes a
los ángulos θ1 y θ2 está dada por
∫
1 θ =θ2 2
r dθ
2 θ =θ1
Ejemplo 5
Calcula el área del sector de 1 radián en una circunferencia de radio de a pulgadas.
Solución
La ecuación polar de la circunferencia es, como salta a la vista, r = a. El área es
∫
1 θ =1 2
a2
a dθ =
2 θ =0
2
∫
θ =1
θ =0
dθ =
a2
2
Ejemplo 6
Calcula el área del primer cuadrante de la curva (conocida como cardioide), cuya
ecuación polar es
r = a(1 + cos θ)
Solución
∫
a
(1+2cos θ +cos θ )dθ
= ∫
2
a
θ sen 2θ
= [θ +2 sen θ + +
]
2
2
4
π
Área =
1 θ= 2 2
a (1+cos θ )2 dθ
2 θ =0
2
θ=
π
2
θ =0
2
2
π
2
0
2
=
a (3π + 8)
8
Volúmenes por integración
Lo que hicimos con el área de una franja pequeña de superficie lo podemos hacer
con la misma facilidad, desde luego, con el volumen de una pequeña franja de un
sólido. Sumamos todas las franjas pequeñas que forman el sólido total para calcular su volumen, de la misma forma que sumamos todos los pequeños fragmentos
que componen un área para calcular el área total de una figura.
183
184
Cálculo diferencial e integral (segunda parte)
Ejemplo 7
Calcula el volumen de una esfera de radio r.
Solución
Una parte esférica delgada tiene por volumen 4πx2 dx (figura 59). Sumando todas las partes concéntricas que componen la esfera tenemos
volumen de la esfera =
∫
x=r
x =0
4π x 2 dx = 4π
r
x3
4
= πr 3
3 0 3
[ ]
También podemos proceder como sigue: una rodaja de la esfera, de espesor
dx, tiene por volumen πy2 dx (figura 62). Además, x y y están relacionadas por
la expresión
y² = r ² – x2
Por tanto,
y
dx
∫ π (r −x )dx
= 2π [ ∫ r dx − ∫ x dx]
x
4π
= 2π [r x − ] = r
3
3
volumen de la esfera = 2
y
x
O
x
x=r
2
2
x=0
x=r
x=r
2
x=0
2
2
x=0
3 r
3
0
Figura 62
Ejemplo 8
Calcula el volumen del sólido generado por la revolución de la curva y² = 6x
alrededor del eje x, entre x = 0 y x = 4.
El volumen de una rodaja del sólido es πy2 dx. Por tanto,
∫
volumen =
x=4
x =0
= 6π
π y 2 dx = 6π
∫ x dx
x=4
x=0
[ x2 ] = 48π = 150.8.
2 4
0
Sobre medias cuadráticas
En ciertas ramas de la física, en particular en el estudio de las corrientes eléctricas
alternas, es necesario calcular la media cuadrática de una cantidad variable. Por
media cuadrática se entiende la raíz cuadrada de la media de los cuadrados de
todos los valores entre los límites considerados. Otros nombres con los que se
conoce la media cuadrática de cualquier cantidad son valor virtual, o valor RMS
(que significa raíz media cuadrada). El término en francés es valeur efficace.
CAPÍTULO 19
Búsqueda de áreas mediante la integración
185
Si y es la función en consideración y la media cuadrática se tomará entre los
límites de x = 0 y x = k, la media cuadrática se expresa como
2
∫
1 k 2
y dx
k 0
Ejemplo 9
Calcula la media cuadrática de la función y = ax (figura 63).
Solución
Aquí, la integral es ∫0k a 2 x 2 dx que es (1/3)a 2k 3. Dividiendo entre k y obteniendo
la raíz cuadrada queda:
media cuadrática =
1
ak
3
Aquí, la media aritmética es 1/2 ak; y la razón de la media cuadrática a la media aritmética (razón llamada factor de forma) es 2 / 3 = 2 3 / 3 = 1.1547. . .
Ejemplo 10
Calcula la media cuadrática de la función y = xa.
Solución
La integral es
∫ x dx
x=k
2a
x=0
es decir,
k 2a+1
2a +1
Por tanto,
media cuadrática =
k 2a
2a +1
Ejemplo 11
Calcula la media cuadrática de la función y = ax/2.
Solución
La integral es
∫ ( a ) dx
x=k
x=0
x/2 2
y
y
O
k
Figura 63
x
186
Cálculo diferencial e integral (segunda parte)
es decir
∫ a dx
x=k
x
x=0
o bien
a x x =k
ln a x=0
[ ]
que es
a k −1
ln a
Por tanto, la media cuadrática es
a k −1
k ln a
[ EJERCICIOS XVIII ]
1. Calcula el área de la curva y = x2 + x + 5 entre x = 0 y x = 6, y la ordenada media entre estos límites.
2. Calcula el área de la parábola y = 2a x entre x = 0 y x = a. Demuestra
que es igual a dos terceras partes del rectángulo de la ordenada limitante
y de su abscisa.
3. Calcula el área de la parte de una curva senoidal entre x = 0 y x = π, así
como la ordenada media.
4. Calcula el área de la parte de la curva y = sen2 x de 0 a 180°; calcula también la ordenada media.
5. Calcula el área comprendida entre las dos ramas de la curva y = x2 ± x 5/2,
de x = 0 a x = 1; calcula también el área de la parte positiva de la rama
inferior de la curva (figura 30).
6. Calcula el volumen de un cono de radio de base r y altura h.
7. Calcula el área de la curva y = x3 – ln x entre x = 0 y x = 1.
8. Calcula el volumen generado por la curva y = 1+ x 2 , que gira en torno
del eje de x, entre x = 0 y x = 4.
9. Calcula el volumen generado por una curva senoidal entre x = 0 y x = π,
que gira alrededor del eje de x.
10. Calcula el área de la parte de la curva xy = a comprendida entre x = 1 y
x = a, donde a > 1. Calcula la ordenada media entre estos límites.
CAPÍTULO 19
Búsqueda de áreas mediante la integración
11. Demuestra que la media cuadrática de la función y = sen x, entre los
límites de 0 y π radianes, es 2 /2. Calcula también la media aritmética
de la misma función entre los mismos límites; por último, demuestra que
el factor de forma es igual a 1.11.
12. Calcula las medias aritmética y cuadrática de la función x2 + 3x + 2, de
x = 0 a x = 3.
13. Calcula la media cuadrática como aritmética de la función
y = A1 sen x + A3 sen 3x, entre x = 0 y x = 2π.
14. Cierta curva tiene la ecuación y = 3.42e0.21x. Calcula el área incluida entre
la curva y el eje de x, de la ordenada en x = 2 a la ordenada en x = 8.
Calcula, además, la altura de la ordenada media de la curva entre estos
puntos.
15. La curva cuya ecuación polar es r = a(1 – cos θ) se conoce como cardioide. Demuestra que el área acotada por el eje y la curva entre θ = 0 y
θ = 2π radianes es igual a 1.5 veces la de un círculo cuyo radio es a.
16. Calcula el volumen generado por la curva
x
y =±
x(10−x)
6
que gira alrededor del eje de x.
187
Capítulo 20
Métodos, escollos y triunfos
Una gran parte de la labor de integrar elementos consiste en unirlos y darles alguna
forma que pueda integrarse. Los libros (y cuando hablo de libros me refiero a los
que son serios) sobre cálculo integral están repletos de planes, métodos, trucos y
estratagemas para realizar este tipo de trabajo. Los siguientes son algunos de ellos.
Integración por partes
Este nombre se da a un método cuya fórmula es:
∫ u dx = ux – ∫ x du + C
Es útil en algunos casos en los que no es posible acometer la tarea directamente, pues muestra que si se puede calcular ∫x du en un caso, también se puede
calcular ∫u dx. La fórmula se deduce como sigue:
d(ux) = u dx + x du
que también puede escribirse así:
u dx = d(ux) – x du
la cual, por integración directa, da la primera expresión.
Ejemplo 1
Calcula ∫ w ⋅ sen w ⋅ dw.
Solución
Escribe u = w, y dx para sen w · dw. Entonces tendremos que du = dw, mientras
que
x = ∫ sen w ⋅ dw = –cos w
Insertamos esto en la fórmula y obtenemos:
∫w ⋅ sen w dw = w(–cos w) – ∫ – cos w dw
= –w cos w + sen w + C
CAPÍTULO 20
Ejemplo 2
Calcula ∫ xex dx.
Solución
Escribe u = x y dv = exdx; entonces, du = dx, v = ex y
∫ xex dx = xex – ∫ ex dx (por la fórmula)
= xex – ex + C = ex(x – 1) + C
Ejemplo 3
Haz la prueba con ∫ cos2 θ dθ.
Solución
Escribe u = cos θ y dx = cos θ dθ. Por tanto, du = –sen θ dθ y x = sen θ; entonces
∫cos2θ dθ = cos θ sen θ +∫sen2 θ dθ
∫
sen 2θ
+ ∫dθ −∫cos θ dθ
=
2
=
2 cos θ sen θ
2
+ (1−cos θ )dθ
2
2
Por tanto,
2
∫ cos θ dθ = sen2 2θ +θ + 2C
2
y
∫ cos θ dθ = sen4 2θ + θ2 + C
2
Ejemplo 4
Calcula ∫ x2 sen x dx.
Solución
Escribe u = x2 y dv = sen x dx; entonces, du = 2x dx y v = –cos x; por tanto:
∫ x2 sen x dx = –x2 cos x + 2 ∫ x cos x dx
Métodos, escollos y triunfos
189
190
Cálculo diferencial e integral (segunda parte)
Ahora calcula ∫ x cos x dx, integrando por partes (como en el ejemplo 1):
∫ x cos x dx = x sen x + cos x + C
Por consiguiente,
∫ x2 sen x dx = –x2 cos x + 2x sen x + 2 cos x + C'
= (2 – x2) cos x + 2x sen x + C'
Ejemplo 5
Calcula
∫ 1−x dx .
2
Solución
Escribe u = 1−x 2 , dx = dv; entonces
du =−
x dx
1−x 2
( véase el capítulo 9 )
y x = v; de modo que
∫
∫
1−x 2 dx = x 1−x 2 +
x 2dx
1−x 2
Aquí podemos usar un pequeño truco y escribir:
∫
∫
1− x 2 dx =
(1−x 2 )dx
1−x 2
∫
=
dx
1−x 2
–
∫
x 2dx
1−x 2
Si sumamos estas dos últimas ecuaciones, nos deshacemos de
∫
x 2 dx
1− x 2
y tenemos
2
∫
1−x 2 dx = x 1−x 2 +
∫
dx
1−x 2
¿Recuerdas que ya habíamos visto la expresión dx / 1− x 2 ? Se obtiene derivando y = arc sen x; por consiguiente, su integral es arc sen x y, por tanto,
∫
1− x 2 dx =
x 1−x 2 1
+ arc sen x + C
2
2
Ahora haz la prueba tú solo con algunos ejercicios; encontrarás varios al final
de este capítulo.
CAPÍTULO 20
Sustitución
Se trata del mismo método explicado en el capítulo 9. Ilustremos su aplicación a
la integración por medio de algunos ejemplos.
Ejemplo 6
Resuelve
∫ 3 + x dx
Solución
Sea u = 3 + x y du = dx. Sustituimos:
∫ u du = 23 u +C = 23 (3 + x) + C
3/2
1/2
3/2
Ejemplo 7
Resuelve
∫ e +dxe
x
−x
Solución
Sea u = ex, du/dx = ex y dx = du /ex, de modo que
∫ e +edx =∫ e (e du+e ) = ∫ u udu= 1 = ∫ u du+1
x
−x
x
−x
x
(
u
2
)
du /(1 + u2) es el resultado de derivar arc tan u. De ahí que la integral sea arc tan
ex + C.
Ejemplo 8
Resuelve
∫ x +2xdx +3 = ∫ x +2xdx+1+2 = ∫ (x +1) dx+ ( 2 )
2
2
2
Solución
Sea u = x + 1 y du = dx; por tanto, la integral es
∫ u +(du 2 )
2
2
2
Métodos, escollos y triunfos
191
192
Cálculo diferencial e integral (segunda parte)
pero du /(u2 + a2) es el resultado de derivar (1/a) arc tan (u /a). Así, finalmente
obtenemos como valor de la integral dada:
1
x +1
arc tan
+C
2
2
Las fracciones parciales y la factorización del denominador son trucos aplicables
en casos especiales, pero no admiten ninguna explicación breve o general. Se necesita mucha práctica para familiarizarse con estos procesos preparatorios.
En el ejemplo que sigue se muestra cómo puede usarse el proceso de dividir
en fracciones parciales (que aprendimos en el capítulo 13) para integrar.
Pongamos por caso
dx
∫ x +2x
−3
2
si dividimos 1/(x2 + 2x – 3) en fracciones parciales tendremos
1
4
[∫ xdx−1 −∫ x dx+3 ] = 14 [ ln(x −1)−ln(x +3)] + C
=
1 x −1
ln
+C
4 x +3
Observa que la misma integral puede expresarse a veces en más de una forma,
y que todas ellas son equivalentes.
Métodos. Es muy probable que un principiante pase por alto algunos aspectos
que un experto evitaría, como el uso de factores que son equivalentes a cero o a
infinito, y la ocurrencia de cantidades indeterminadas, como 0/0. No hay una
regla de oro que satisfaga todo caso posible. Nada sustituye a la práctica y el cuidado inteligente. Un ejemplo de un escollo que tuvimos que salvar surgió en el
capítulo 18, cuando encaramos el problema de integrar x–1 dx.
* Esto significa que el resultado de la acción
de resolver se llama solución. Aunque
muchos matemáticos dirían, como el profesor
A.R. Forsyth, que “toda ecuación se considera resuelta cuando el valor de la variable
dependiente se expresa como una función de
la variable independiente por medio ya sea
de funciones conocidas, o de integrales, independientemente de que las integraciones
en la letra puedan o no expresarse al final en
términos de funciones ya conocidas”.
Triunfos. Por triunfos deben entenderse los éxitos con los que el cálculo se ha aplicado a la resolución de problemas que de otro modo serían irresolubles. A menudo, en la consideración de las relaciones físicas es posible crear una expresión
de la ley que rige la interacción de las partes o de las fuerzas que las gobiernan;
esa expresión se da naturalmente en la forma de una ecuación diferencial, que es
una ecuación que contiene derivadas con o sin otras cantidades algebraicas. Y
cuando se ha obtenido una ecuación diferencial semejante no es posible avanzar sino hasta que se integra. Por lo general, es mucho más sencillo plantear la
ecuación diferencial apropiada que resolverla: el verdadero problema comienza
cuando queremos integrar, a menos que la ecuación tenga, en efecto, una forma
estándar cuya integral sea conocida, y entonces el triunfo es fácil. La ecuación
que resulta de integrar una ecuación diferencial se conoce como su solución;* y es
verdaderamente asombroso cómo, en muchos casos, la solución da la impresión
de no guardar relación alguna con la ecuación diferencial de la cual es la forma
CAPÍTULO 20
integrada. La solución a menudo difiere tanto de la expresión original como una
mariposa de la oruga que algún día fue. Quién habría imaginado que algo tan
inocente como
dy
1
= 2
dx a −x 2
pudiera transformarse en
y=
1
a+x
ln
+C
2a
a −x
Y, sin embargo, la segunda es la solución de la primera.
Como último ejemplo, resolvamos juntos la expresión anterior. Por fracciones parciales,
1
1
1
+
2 =
a −x
2a(a + x) 2a(a −x)
dx
dx
dy =
+
2a(a + x) 2a(a −x)
dx
dx
1
y=
+
a+x
a −x
2a
1
= [ln(a + x)−ln(a −x)] +C
2a
1 a+x
+C
= ln
2 a −x
2
(∫
∫
)
¡Una metamorfosis nada difícil!
Existen tratados enteros, como Differential Equations, de George Boole, dedicados al tema de hallar las soluciones de diferentes formas originales.
[ EJERCICIOS XIX ]
1. Calcula
∫ a − x dx.
2
2
2. Calcula ∫ x ln x dx.
3. Calcula ∫ xa ln x dx.
4. Calcula ∫ ex cos ex dx.
5. Calcula
∫ 1x cos (ln x) dx.
6. Calcula ∫ x2 ex dx.
∫ (lnxx) dx.
dx
.
8. Calcula ∫
x ln x
a
7. Calcula
Métodos, escollos y triunfos
193
194
Cálculo diferencial e integral (segunda parte)
dx.
∫ x 5x++1
x −2
(x −3) dx
.
10. Calcula ∫
x −7x +6
b dx
.
11. Calcula ∫
x −a
4x dx
.
12. Calcula ∫
x −1
dx
.
13. Calcula ∫
1− x
9. Calcula
2
2
3
2
2
4
4
14. Calcula
∫
x dx
2
a −b 2 x 2
.
15. Usa la sustitución 1/x = (b /a) cosh u para demostrar que
∫
1 a − a 2 −b 2 x 2
ln
=
+C
x
a
x a 2 −b 2 x 2
dx
Capítulo 21
Búsqueda de soluciones
En este capítulo vamos a trabajar en la búsqueda de soluciones de varias ecuaciones diferenciales importantes y, con este fin, usaremos los procesos demostrados
en los capítulos precedentes.
El principiante, quien ahora sabe qué fáciles pueden ser casi todos estos procesos, empezará a darse cuenta aquí de que la integración es un arte. Como todas
las artes, y esta no es la excepción, la maestría sólo puede adquirirse por medio
de la práctica diligente y constante. Quienes deseen obtener esta maestría deben
resolver ejercicios y más ejercicios, y aún más ejercicios, como los que se hallan en
abundancia en todos los tratados regulares de cálculo. Nuestra finalidad en este
libro es ofrecer una brevísima introducción al trabajo serio.
Ejemplo 1
Encuentra la solución de la ecuación diferencial
ay + b
dy
=0
dx
Solución
Transponiendo, tenemos
b
dy
=−ay
dx
La mera inspección de esta relación nos indica que tenemos entre manos un
caso en el que dy /dx es proporcional a y. Si imaginamos la gráfica que representará a
y como función de x, deberá ser tal que su pendiente en cualquier punto sea proporcional a la ordenada en ese punto, y será una pendiente negativa si y es positiva.
Como es evidente, la gráfica será una que se desvanezca y la solución contendrá e–x como factor. Pero mejor no nos la demos de sagaces y pongámonos a
trabajar.
Como y y dy están presentes en la ecuación pero en miembros opuestos no podemos hacer nada hasta que tanto y como dy estén en el mismo miembro y dx en el
otro. Para conseguirlo debemos separar a los casi inseparables compañeros dy y dx
dy
a
=− dx
y
b
196
Cálculo diferencial e integral (segunda parte)
Después de hacerlo, caemos en la cuenta de que ahora los dos miembros
tienen forma integrable, porque reconocemos dy /y o bien, (1/y)dy como una diferencial que conocimos cuando derivamos logaritmos. Por tanto, de inmediato
podemos escribir las instrucciones para integrar:
∫ ∫
a
dy
= − dx
b
y
y luego de hacer las dos integraciones, tenemos:
a
ln y =− x +ln C
b
donde ln C es la constante de integración* aún indeterminada. Luego, quitando
los logaritmos, obtenemos:
y =Ce −(a/b) x
que es la solución requerida. Claro, esta solución se ve muy diferente de la ecuación diferencial original a partir de la cual se construyó; no obstante, para un
matemático experto, ambas transmiten la misma información sobre cómo y depende de x.
En cuanto a C, su significado depende del valor inicial de y. Si escribimos x = 0
para ver qué valor tiene y, entonces comprobamos que este es y = Ce–0; y como
e–0 = 1, reparamos en que C no es nada más que el valor** particular de y al inicio. Podemos llamar a esto y0 y, por tanto, escribimos la solución como:
y = y0 e −a/b x
Ejemplo 2
Tomemos como ejemplo para resolver
ay +b
dy
=g
dx
donde g es una constante. Una vez más, la inspección de la ecuación indicará:
1) que de un modo u otro ex aparecerá en la solución, y 2) que si en cualquier
parte de la curva y se vuelve un máximo o un mínimo, de manera que dy /dx =
0, y tendrá entonces el valor g /a. Pero vamos a trabajar como antes, separando las
diferenciales y tratando de dar a la expresión una forma integrable
* Podemos escribir cualquier forma de
constante como la constante de integración;
la forma ln C se adopta aquí por preferencia,
ya que los otros términos en esta línea de
ecuación son o se tratan como logaritmos;
además, ahorra complicaciones posteriores si
la constante que se suma es del mismo tipo.
** Compara con lo que se dijo sobre la
“constante de integración”, con referencia a
las figuras 48 y 51.
dy
= g − ay
dx
dy a g
=
− y)
dx b ( a
dy
a
dx
g =– b
y−
a
b
CAPÍTULO 21
Ya hicimos nuestro mejor esfuerzo para obtener nada más que y y dy en un
miembro y nada más que dx en el otro. Aunque ¿el resultado del miembro izquierdo es integrable?
Es de la misma forma que el resultado del capítulo 14, por tanto, escribimos
las instrucciones para integrar y tenemos:
∫
dy
y−
g =−
∫
a
dx
b
a
En seguida, hacemos la integración y sumamos la constante apropiada:
ln ( y −
a
g
x + ln C
=
−
b
a)
de donde
y–
g
−(a/b) x
=Ce
a
y, finalmente,
g
y = + Ce −(a/b) x
a
que es la solución.
Si se establece la condición y = 0 cuando x = 0, podremos obtener C, ya que
en ese caso el exponente es 1; y tenemos
g
g
0 = + C o bien C = –
a
a
Insertamos este valor y obtenemos la solución
g
y = (1−e −(a/b) x )
a
Además, si x crece infinitamente, y aumentará a un máximo, pues cuando
x = ∞, el exponente es 0, lo que da ymáx = g/a. Haciendo la sustitución respectiva
finalmente obtenemos
y = ymáx (1−e −(a/b) x )
Este resultado también es importante en las ciencias físicas.
Antes de continuar con otro ejemplo es preciso hablar de dos integrales muy
importantes en física e ingeniería. Ambas parecen ser muy escurridizas, ya que
cuando una se trabaja, se convierte en parte en la otra. Sin embargo, ese mismo
hecho nos ayuda a determinar sus valores. Representemos estas integrales con S
y C, donde
S = ∫ e pt sen kt dt
donde p y k son constantes.
y
C = ∫ ept cos kt dt
Búsqueda de soluciones
197
198
Cálculo diferencial e integral (segunda parte)
Para hacer frente a estas integrales de aspecto imponente recurrimos al artificio de integrar por partes, cuya fórmula general, como hemos visto, es:
∫ u dv = uv – ∫ v du
Para este propósito, escribimos en S: u = ept y dv = sen kt dt; por tanto
du = pept dt y v = ∫ sen kt dt = –(1/k) cos kt, pero omitimos temporalmente la
constante.
Insertamos estos valores para que la integral S quede
S=
∫
∫
1
1
e pt sen kt dt = − e pt cos kt − − cos kt pe pt dt
k
k
p
1 pt
e pt cos kt dt
= − e cos kt +
k
k
1
p
= − e pt cos kt + C
k
k
∫
(i)
Así, el método de integrar por partes convierte parcialmente a S en C. Pero
examinemos C. Al escribir u = ept, como antes, dv = cos kt dt y v = (1/k) sen kt;
por tanto, la regla para integrar por partes nos da
C=
∫ e cos kt dt = k1 e sen kt − kp ∫ e sen kt dt
pt
pt
pt
1 pt
p
= e sen kt − S
k
k
(ii)
El hecho de que S se transforme parcialmente en C, y C parcialmente en S
podría llevarte a creer que las integrales son intratables, pero por las relaciones (i)
y (ii), que pueden considerarse dos ecuaciones en S y C, es muy fácil deducir las
integrales.
Así, sustituimos en (i) el valor de C que aparece en (ii) y queda:
p 1 pt
1
p
S =− e pt cos kt +
e sen kt − S
k k
k
k
(
)
o bien
S
(
1
p2
+1 = 2 e pt ( p sen kt −k cos kt )
2
k
k
)
de donde
S=
e pt
( p sen kt − k cos kt )
p 2 +k 2
La integral C puede obtenerse de igual manera: insertamos en (ii) el equivalente de S dado por (i); el resultado final es:
C=
e pt
( p cos kt + k sen kt )
p 2 +k 2
Por consiguiente, debemos agregar a nuestra lista las integrales siguientes,
ambas muy importantes:
CAPÍTULO 21
∫ e senkt dt = p e+k ( p sen kt − k cos kt ) + E
∫ e coskt dt = p e+k ( p cos kt + k sen kt ) + F
pt
pt
2
2
pt
pt
2
2
donde E y F son las constantes de integración.
Ejemplo 3
Resuelve
ay + b
dy
= g sen 2π nt
dt
Solución
Primero dividimos toda la ecuación entre b:
dy a
g
+ y = sen 2π nt
dt b
b
Tal como está, el miembro izquierdo no es integrable. Sin embargo, podemos
hacerlo integrable gracias a un artificio, y aquí es donde la habilidad y la práctica
dejan entrever un plan: multiplicar todos los términos por e(a /b)t, lo que resulta:
dy (a /b)t a (a /b)t g (a /b)t
e
sen 2π nt
+ ye
= e
dt
b
b
Pues si u = ye(a /b)t,
du dy (a /b)t
a (a /b)t
e
=
+ ye
dt
dt
b
Así, la ecuación se vuelve
du g (a /b)t
sen 2π nt
= e
dt b
Por tanto, integrando obtenemos u o bien,
ye (a /b)t =
g
b
∫e
(a /b)t
sen 2π nt dt + K
Sin embargo, la integral del miembro derecho es de la misma forma que S
que acabamos de evaluar; por tanto, escribiendo p = a /b y k = 2πn,
ye (a /b)t =
ge (a /b)t
(a sen 2π nt −2π nb cos 2π nt ) + K
a 2 +4π 2n 2b 2
o bien
y=g
π nb cos 2π nt
(a sen 2aπ nt+ −2
)+ Ke
4π n b
2
2 2 2
−(a/b) t
Búsqueda de soluciones
199
200
Cálculo diferencial e integral (segunda parte)
Para simplificar aún más, imaginemos un ángulo ϕ tal que tan ϕ = 2πnb/a.
Entonces,
a
2π nb
sen ϕ =
y cos ϕ =
2
2 2 2
2
a +4π n b
a +4π 2n 2b 2
Hacemos las sustituciones correspondientes y obtenemos:
y=g
cos ϕ sen 2π nt − sen ϕ cos 2π nt
a 2 +4π 2n 2b 2
o bien
y=g
sen (2πnt − ϕ)
a 2 +4π 2n 2b 2
que es la solución deseada, omitiendo la constante que desaparece.
Esta no es otra cosa que la ecuación de una corriente eléctrica alterna, donde
g representa la amplitud de la fuerza electromotriz, n la frecuencia, a la resistencia, b el coeficiente de inducción del circuito y ϕ es el retraso de un ángulo de
fase.
Ejemplo 4
Integra M dx + N dy = 0.
Solución
Podríamos integrar esta expresión directamente si M fuera una función sólo de x,
y N una función sólo de y; pero si tanto M como N son funciones que dependen
tanto de x como de y, ¿cómo vamos a integrarla? ¿Es en sí misma una diferencial
exacta? Es decir, ¿M y N se formaron cada una por derivaciones parciales de una
función común U o no? En caso de que así haya sido, entonces
∂U
=M
∂x
y
∂U
=N
∂y
Y si dicha función común existe, entonces
∂U
∂U
dx +
dy
∂x
∂y
es una diferencial exacta. La prueba de fuego de esta cuestión es la siguiente. Si la
expresión es una diferencial exacta debe ser cierto que
δM δN
=
δy
δx
para que entonces
δ (δ U ) δ (δ U )
=
δx δy
δy δx
CAPÍTULO 21
que es necesariamente verdad. Tomemos como ilustrativa la ecuación
(1 + 3xy) dx + x2 dy = 0
¿Es esta una diferencial exacta o no? Apliquemos la prueba
δ (1+3xy)
= 3x
δy
y
δ (x 2 )
= 2x
δx
la cual no concuerda. Por tanto, no es una diferencial exacta, y las dos funciones
1 + 3xy y x2 no provienen de una función original común.
Sin embargo, es posible descubrir en estos casos un factor de integración, es
decir, un factor tal que si ambas se multiplican por ese factor la expresión se convertirá en una diferencial exacta. No hay una regla para descubrir dicho factor de
integración, pero la experiencia por lo general indicará uno. En el presente caso,
2x actuará como tal. Multiplicando por 2x obtenemos
(2x + 6x2y) dx + 2x³dy = 0
Ahora, apliquemos la prueba a esa expresión
δ (2 x 3 )
δ (2 x +6x 2 y)
2
2
= 6x
= 6x y
δx
δy
que sí concuerda. Por tanto, esta es una derivada exacta y puede integrarse. Ahora, si w = 2x³y,
dw = 6x2y dx + 2x³dy
Por tanto,
∫ 6x 2 y dx + ∫ 2x 3 dy = w = 2x 3y
para obtener U = x2 + 2x³y + C.
Ejemplo 5
Resuelve
d2y
n2 y = 0
2 +
dt
Solución
En este caso tenemos una ecuación diferencial de segundo grado, en la que y
aparece tanto en la forma de una segunda derivada como en sí misma. Transponiendo, tenemos:
d2y
2
=− n y
dt 2
Según esto, parece que nos hallamos frente a una función tal que su segunda
derivada es proporcional a sí misma, pero con signo contrario. En el capítulo 15
Búsqueda de soluciones
201
202
Cálculo diferencial e integral (segunda parte)
establecimos que sí existía tal función: el seno (o también el coseno), que posee
esta propiedad. Así, sin más dilación, podemos conjeturar que la solución tendrá
la forma
y = A sen (pt + q)
Sin embargo, pongamos manos a la obra. Multiplicamos los dos miembros
de la ecuación original por 2(dy /dt) e integramos, lo que resulta
2
y como
d 2 y dy
2 dy
+ 2n y
=0
2
dt dt
dt
dy
)
(
d y dy
2
= dt
2
d
2
dt 2 dt
dt
entonces
( dydt ) + n ( y −C ) = 0
2
2
2
2
donde C es una constante. Luego, obtenemos la raíz cuadrada:
dy
2
2
=n C − y
dt
dy
y
2
C − y2
= n ⋅ dt
Pero se puede demostrar que
1
C 2 − y2
(
=
d arc sen
de donde, pasando de ángulos a senos,
y
arc sen = nt +C1 y
C
y
C
)
dy
y = C sen(nt + C1)
donde C1 es un ángulo constante que entra por integración. De preferencia, esto
puede escribirse
y = A sen nt + B cos nt
que es la solución.
Ejemplo 6
Integra
d2y
2
−n y = 0
dx 2
Solución
Obviamente, aquí hemos de tratar con una función y que es tal que su segunda
derivada es proporcional a sí misma. La única función que sabemos que tiene esta
CAPÍTULO 21
propiedad es la exponencial y, en consecuencia, podemos estar seguros de que la
solución de la ecuación será de esa forma.
Procedemos como antes y multiplicamos todo por 2(dy /dx); en seguida integramos y obtenemos
2
d 2 y dy
2 dy
− 2n y
=0
2
dx dx
dx
y como
dy
(
) dy
d y dy
2
= dx , ( ) − n ( y + c ) = 0
2
d
2
dx 2 dx
2
dx
2
2
2
dx
entonces
dy
2
2
− n y +c = 0
dx
donde c es una constante, y
dy
2
y +c 2
= n dx
Para integrar esta ecuación es más sencillo usar funciones hiperbólicas. Sea
y = c senh u, entonces
dy = c cosh u du y
Entonces
∫
y² + c² = c² (senh²u + 1) = c² cosh²u
dy
2
y +c
2
=
∫
∫
c cosh u du
= du = u
c cosh u
Por tanto, la integral de la ecuación
∫ ∫
n dx =
dy
2
y +c 2
es nx + K = u, donde K es la constante de integración y c senh u = y
y
senh (nx + K) = senh u =
c
o bien
y = c senh (nx + K )
=
1
c ( e nx+K −e −nx−K )
2
= Ae nx +Be −nx
donde A = (1/2)ceK y B = –(1/2)ce–K.
Esta solución, que a primera vista no parece que tuviera nada que ver con la
ecuación original, muestra que y consta de dos términos, uno de los cuales crece
exponencialmente conforme x aumenta, en tanto que el otro desaparece conforme x aumenta.
Búsqueda de soluciones
203
204
Cálculo diferencial e integral (segunda parte)
Ejemplo 7
Integra
b
d2y
dy
a + gy = 0
2 +
dt
dt
Solución
El examen de esta expresión demostrará que si b = 0, tiene la forma del ejemplo 1, cuya solución fue una exponencial negativa. Por otra parte, si a = 0, su
forma es la misma que la del ejemplo 6, cuya solución es la suma de una exponencial positiva y una negativa. Por tanto, no sorprende demasiado descubrir que
la solución del presente ejemplo sea
y = (e–mt)(Aent + Be–nt)
donde
a
m=
2b
y n=
a 2 −4bg
2b
Los pasos que conducen a esta solución no se presentan aquí; se pueden encontrar en tratados avanzados.
Ejemplo 8
Integra
2
δ 2y
2δ y
=a
δt 2
δx2
Solución
Ya antes vimos que esta ecuación se derivó de la original
y = F(x + at) + f (x – at)
donde F y f eran funciones arbitrarias de t.
Otra forma de trabajar es transformarla por medio de un cambio de variables
en
δ2y
=0
δ u ⋅ δv
donde u = x + at y v = x – at, que produce la misma solución general. Si consideramos un caso en que F desaparece, entonces tendremos simplemente
y = f (x – at)
y eso sólo indica que, en el tiempo t = 0, y es una función particular de x y expresa que la curva de la relación de y a x tiene una forma específica. Entonces, todo
cambio en el valor de t será equivalente a una modificación en el origen a partir
del cual se calcula x. Es decir, indica que, si se conserva la forma de la función,
CAPÍTULO 21
esta se propaga en dirección de x a velocidad uniforme a; por lo que cualquiera
que sea el valor de la ordenada y en cualquier tiempo determinado t0 y en cualquier punto particular x0, el mismo valor de y aparecerá en el tiempo subsiguiente
t1 en un punto más adelante, cuya abscisa es x0 + a(t1 – t0). En este caso, la ecuación simplificada representa la propagación de una onda (de cualquier forma) a
una velocidad uniforme en la dirección de x.
Si hubiéramos escrito la ecuación diferencial
m
d 2y
d 2y
k
=
dt 2
dx 2
la solución habría sido la misma, pero la velocidad de la propagación habría tenido el valor de
a=
k
m
[ EJERCICIOS XX ]
Trata de resolver las ecuaciones siguientes.
1.
dT
= μT , donde μ es constante, y cuando θ = 0 y T = T0.
dθ
2.
d 2s
= a, donde a es constante. Cuando t = 0, s = 0 y ds /dt = u.
dt 2
3.
di
+ 2i = sen 3t , donde se sabe que i = 0 cuando t = 0. (Sugerencia:
dt
Multiplica por e2t.)
Búsqueda de soluciones
205
Capítulo 22
Un poco más sobre la curvatura
de las curvas
En el capítulo 12 aprendimos a determinar en qué dirección se curva una gráfica,
es decir, si se curva hacia arriba o hacia abajo a la derecha. Esto no nos da ninguna
indicación de cuánto se curva la gráfica o, en otras palabras, cuál es su curvatura.
Por curvatura de una gráfica entendemos el grado de flexión o doblamiento
que tiene lugar en cierto tramo de la gráfica, por ejemplo, a lo largo de una parte
de ella cuya longitud mide una unidad de longitud (la misma unidad que se usa
para medir el radio, sea ésta un centímetro, un metro o cualquier otra unidad).
Por ejemplo, considera dos trayectorias circulares de centro O y O′ de igual longitud, AB y A′B′ (figura 64).
Al pasar de A a B por el arco AB de la primera, una cambia de dirección de AP
a BQ, puesto que en A una va en dirección AP y en B una va en dirección BQ. En
otras palabras, al caminar de A a B, uno inconscientemente cambia de dirección
en el ángulo PCQ, que es igual al ángulo AOB. Asimismo, al pasar de A′ a B′, a
lo largo del arco A′B′, de igual longitud que AB, en la segunda trayectoria, uno
varía la dirección en el ángulo P ′C ′Q ′, que es igual al ángulo A′O′B′, evidentemente mayor que el correspondiente ángulo AOB. La segunda trayectoria se
dobla, por consiguiente, más que la primera en una longitud igual.
Para expresar este hecho, decimos que la curvatura de la segunda trayectoria
es mayor que la de la primera. Cuanto mayor sea el círculo, menor será la flexión,
es decir, menor será la curvatura. Si el radio del primer círculo es 2, 3, 4. . . veces
mayor que el radio del segundo, el ángulo de flexión o doblamiento en un arco
B
θ
O
Figura 64
P′
P
Q
θ′
Q′
θ
C′
C
A
B′
O′
θ′
A′
CAPÍTULO 22
Un poco más sobre la curvatura de las curvas
207
de una unidad de longitud será 2, 3, 4. . . veces menor en el primer círculo que
en el segundo, es decir, será 1/2, 1/3, 1/4, . . . la flexión o doblamiento en el arco
de igual longitud en el segundo círculo.
En otras palabras, la curvatura del primer círculo será 1/2, 1/3, 1/4, . . . la
del segundo. Veremos que a medida que el radio se vuelve 2, 3, 4. . . veces mayor,
la curvatura se vuelve 2, 3, 4. . . veces menor, y esto se expresa diciendo que la
curvatura de un círculo es inversamente proporcional al radio del círculo, o
curvatura = k ⋅
1
radio
donde k es una constante. Comúnmente se acepta que k = 1, por lo que siempre
curvatura =
1
radio
Si el radio se vuelve infinitamente grande, la curvatura será 1/infinito = 0, ya
que cuando el denominador de una fracción es infinitamente grande, el valor de
la fracción es infinitamente pequeño. Por ello, los matemáticos consideran a veces
que una recta es el arco de un círculo de radio infinito, o de curvatura cero.
En el caso de un círculo, que es perfectamente simétrico y uniforme, de tal
forma que la curvatura es la misma en cada punto de su circunferencia, el método anterior de expresar la curvatura está perfectamente definido. Sin embargo,
en el caso de cualquier otra gráfica, la curvatura no es igual en diferentes puntos
y puede diferir considerablemente incluso si dos puntos están situados relativamente cerca uno de otro. En ese caso no sería acertado tomar el grado de flexión
o doblamiento entre dos puntos como medida de la curvatura del arco entre estos
dos puntos, a menos que ese arco sea muy pequeño, de hecho, a menos que sea
infinitamente pequeño.
Si consideramos un arco muy pequeño, como AB (figura 65), y si dibujamos
un círculo tal que un arco AB de ese círculo coincida con el arco AB de la curva
más exactamente de lo que sería el caso con cualquier otro círculo, podemos
tomar la curvatura de este círculo como la del arco AB de la gráfica. Cuanto más
pequeño sea el arco AB, más fácil será encontrar un círculo cuyo arco coincida
más exactamente con el arco AB de la curva. Cuando A y B están muy cerca
uno de otro, de modo que AB es tan pequeño que la longitud ds del arco AB sea
prácticamente insignificante, podemos considerar que la coincidencia de los dos
arcos, el del círculo y el de la curva, es prácticamente perfecta, y la curvatura de
la gráfica en el punto A (o B), que es la misma que la curvatura del círculo, se
expresará por el recíproco del radio de este círculo, es decir, por 1/OA, de acuerdo
con nuestro método para medir la curvatura expuesto en párrafos previos.
Ahora bien, al principio podríamos creer que si AB es muy pequeño, el círculo también debe ser muy pequeño. Sin embargo, con un poco más de reflexión
percibiríamos que de ningún modo es necesariamente así, y que el círculo puede
tener cualquier tamaño, de acuerdo con el grado de inflexión de la gráfica a lo
largo de este arco AB muy pequeño.
De hecho, si la curva es casi plana en ese punto, el círculo será sumamente
grande. Este círculo se llama círculo de la curvatura, o círculo osculador en el punto
considerado. Su radio es el radio de curvatura de la gráfica en ese punto específico.
y
O
r dθ A
ds dy
B
θ
dx C
θ
O′
x
Figura 65
208
Cálculo diferencial e integral (segunda parte)
Si el arco AB se representa con ds y el ángulo AOB con dθ, entonces, si r es
el radio de curvatura,
ds = r dθ o
dθ 1
=
ds
r
La secante AB forma con el eje OX el ángulo θ, y se deduce del pequeño
triángulo ABC que dy /dx = tan θ. Cuando AB es infinitamente pequeño, de
forma que B prácticamente coincide con A, la línea AB es tangente a la curva en
el punto A (o B).
Ahora bien, tan θ depende de la posición del punto A (o B, que se supone
que prácticamente coincide con él), es decir, depende de x, o, en otras palabras,
tan θ es “una función” de x.
Derivamos respecto a x para obtener la pendiente y obtenemos
d
(dxdy ) = d (tan θ ) o bien d y = sec θ dθ = 1 dθ
2
dx
dx
2
dx 2
dx
cos2 θ dx
en consecuencia,
2
dθ
2 d y
= cos θ 2
dx
dx
Pero dx /ds = cos θ, y para dθ /ds podemos escribir dθ /dx ⋅ dx /ds; por tanto,
d2y
2
1 dθ dθ d x
3 d y
= =
⋅
= cos θ 2 = dx3
sec θ
r ds dx ds
dx
2
pero sec θ = 1+tan 2 θ ; por consiguiente,
d2y
d2y
2
1
dx 2
dx
=
=
dy 2 3 /2
r ( 1+tan 2 θ )3
1+
dx
{ ( )}
y finalmente,
dy 2 3 /2
1+ ( ) }
{
dx
r=
d2y
dx 2
29
Thompson no es siempre claro en lo que
se refiere a cuándo hay que tomar una raíz
cuadrada como un valor positivo. En los
libros modernos x (o en este caso, x 3/2)
representa el valor positivo. Si queremos
permitir un valor ya sea positivo o negativo,
escribimos ± x . La fórmula del radio de
curvatura por lo general se escribe con
d 2y /dx 2 en el denominador; como el
numerador es positivo, esto hace que r sea
positivo. (MG)
El numerador, como es una raíz cuadrada, puede tener el signo + o el signo –.
Es necesario seleccionar el mismo signo para el numerador que el del denominador
para que r sea siempre positivo, ya que un radio negativo no tendría sentido.29
Ya demostramos (en el capítulo 12) que si d 2y /dx2 es positivo, la curva es
cóncava hacia arriba, en tanto que si d 2y /dx2 es negativo, la curva es cóncava
hacia abajo. Si d 2y /dx2 = 0, el radio de curvatura es infinitamente grande, es
decir, la parte correspondiente de la curva es un segmento pequeño de una línea
recta. Esto ocurre necesariamente siempre que una curva cambia gradualmente
CAPÍTULO 22
Un poco más sobre la curvatura de las curvas
de convexa a cóncava en el eje de x o viceversa. El punto donde esto ocurre se
llama punto de inflexión.
El centro del círculo de curvatura se llama centro de curvatura. Si sus coordenadas son x1, y1, entonces, la ecuación del círculo es:
(x – x1)² + (y – y1)² = r²
de ahí que
2(x – x1)dx + 2(y – y1)dy = 0
y
x – x1 + (y – y1)
dy
=0
dx
(1)
¿Por qué derivamos? Para deshacernos de la constante r. Esto deja sólo dos
constantes desconocidas x1 y y1; derivemos de nuevo para deshacernos de una
de ellas. Esta última derivación no es tan sencilla como parece; vamos a hacerlo
juntos. Tenemos:
[
]
dy
d ( y − y1 )
d (x)
dx = 0
+
dx
dx
el numerador del segundo término es un producto; por tanto, al derivar obtenemos:
dy
( )
( y y ) dx
d
− 1
d2y
dy d ( y − y1 )
dy 2
)
(
y
y
+
= − 1
2 +
dx
dx
dx
dx
dx
( )
de modo que el resultado de derivar (1) es:
1+
dy 2
d2y
)
(
y
y
+ − 1
=0
dx 2
dx
( )
a partir de esto, de inmediato obtenemos:
y1 = y +
1+
dy 2
(dx )
d2y
dx 2
Sustituimos en (1) y queda:
{
(x − x1 ) + y − y−
dy 2
dy
dx
=0
2
d y
dx
dx 2
1+
( )
}
y finalmente,
dy
dy 2
1+
dx
x1 = x − dx
d 2y
dx 2
{ ( )}
209
210
Cálculo diferencial e integral (segunda parte)
x1 y y1 dan la posición del centro de curvatura. Comprenderás mejor el uso de
estas fórmulas si examinamos cuidadosamente algunos ejemplos resueltos.
Ejemplo 1
Calcula el radio de curvatura y las coordenadas del centro de curvatura de la gráfica de y = 2x2 – x + 3 en el punto x = 0.
Solución
Tenemos
dy
= 4x −1
dx
por lo que
d 2y
=4
dx 2
Entonces
r=
dy 2 3 /2
{ (dx) }
± 1+
d 2y
dx 2
=
{ 1+(4x −1)2 }3 /2
4
cuando x = 0; esto se convierte en
{1+(−1)2 }3/2
8
=
= 0.707
4
4
Si x1, y1 son las coordenadas del centro de curvatura, entonces
dy
dy 2
1+
2
dx = x − (4x −1){1+(4x −1) }
x 1 = x − dx
d 2y
4
2
dx
{ ( )}
= 0−
(−1){1+(−1)2 } 1
=
4
2
cuando x = 0, y = 3, por lo que
y1 = y +
1+
dy 2
(dx) = y + 1+(4x −1) = 3+ 1+(−1) = 3 1
2
2
d2y
4
4
2
2
dx
Traza la gráfica y dibuja el círculo; es tan interesante como aleccionador.
Los valores se pueden comprobar fácilmente, ya que cuando x = 0, y = 3, y
tenemos
x12 + ( y1 – 3)2 = r2 o
0.52 + 0.52 = 0.5 = 0.7072
CAPÍTULO 22
Un poco más sobre la curvatura de las curvas
Ejemplo 2
Calcula el radio de curvatura y la posición del centro de curvatura de la gráfica de
y2 = mx en el punto en que y = 0.
Solución
Aquí, y = m1/2x1/2, por lo que
dy 1 1/2 −1/2 m1/2
= m x
= 1/2
2x
dx 2
Entonces
d 2y
m1/2
1 m1/2 −3 /2
x
=−
=−
⋅
4x 3 /2
2
dx 2
2
por tanto,
dy 2 3/2
{ ( dx ) }
± 1+
d 2y
dx 2
m 3/2
(4x +m)3/2
4x
=
m1/2
2m1/2
– 3/2
4x
{
=
}
± 1+
tomamos el signo – en el numerador para que r sea positivo.
Puesto que cuando y = 0, x = 0, obtenemos
r=
m 3/2
m
=
1/2
2m
2
Además, si x1, y1 son las coordenadas del centro,
m1/2
dy
dy 2
m
1+
1/2 1+
dx = x − 2m
4x
x1 = x – dx
m1/2
d2y
− 3/2
dx 2
4x
{ ( )}
=x+
{
}
4x + m
m
= 3x +
2
2
cuando x = 0, entonces x1 = m/2. Asimismo,
y1 = y +
1+
dy 2
(dx)
d2y
dx 2
1/2 1/2
=m x
m
3 /2
4x =− 4x
− 1/2
m
m1/2
1/2
4x
1+
cuando x = 0, y1 = 0.
Ejemplo 3
Demuestra que el círculo es una curva de curvatura constante.
211
212
Cálculo diferencial e integral (segunda parte)
Solución
Si x1, y1 son las coordenadas del centro y R es el radio, la ecuación del círculo en
coordenadas rectangulares es
(x – x1)2 + (y – y1)2 = R 2
Sea x – x1 = R cos θ, entonces
(y – y1)2 = R 2 – R 2 cos2 θ = R 2(1 – cos2 θ) = R 2 sen2 θ
y – y1 = R sen θ
R y θ son, por tanto, las coordenadas polares de cualquier punto del círculo en
referencia con su centro como polo.
Puesto que x – x1 = R cos θ y y – y1 = R sen θ,
dx
dθ
= −R sen θ, y
dy
= R cos θ
dθ
dy dx dθ
= ⋅ =−cot θ
dx dθ dx
Además,
d 2y
dθ
csc θ
( csc 2θ ) = csc 2 θ ⋅ −
2 =− −
dx
R
dx
(
=−
)
csc 3 θ
.
R
(Véase el ejemplo 5 del capítulo 15.) De ahí que
r=
±(1+cot 2θ )3 /2 R csc 3 θ
=
=R
csc 3θ
csc 3 θ
−
R
Así, el radio de curvatura es constante e igual al radio del círculo.
Ejemplo 4
Calcula el radio de curvatura de la gráfica de x = 2 cos3t, y = 2 sen3t en cualquier
punto (x, y).
Solución
Aquí, dx = –6 cos2t sen t dt (véase el ejemplo 2 del capítulo 15) y dy = 6 sen2 t
cos t dt. Entonces
dy
6 sen2 t cos tdt
sent
=−tant
=−
=−
2
6 sent cos t dt
dx
cos t
Por tanto,
d2y d
dt
−sec 2 t
sec 4 t
=
(−tant
)
=
=
dx 2 dt
dx −6cos 2 t sent 6 sent
CAPÍTULO 22
Un poco más sobre la curvatura de las curvas
±(1+tan 2 t )3 /2 ⋅ 6 sen t 6sec 3 t sen t
=
sec 4 t
sec 4 t
= 6 sen t cos t = 3 sen 2t, para 2 sen t cos t = sen 2t
r=
Ejemplo 5
Calcula el radio y el centro de curvatura de la gráfica de y = x3 – 2x2 + x – 1 en
los puntos donde x = 0, x = 0.5 y x = 1. Calcula también la posición del punto
de inflexión de la curva.
Solución
Aquí,
dy
d 2y
= 3x 2 −4x +1, 2 = 6x −4
dx
dx
r=
{1+(3x 2 −4x +1) 2} 3 /2
6x −4
x1 = x −
(3x 2 −4x +1){1+(3x 2 −4x +1)2 }
6x −4
1+(3x 2 −4x +1)2
6x −4
Cuando x = 0, y = –1,
y1 = y +
8
1
1
= 0.707, x1 = 0 + = 0.5, y1 =−1− =−1.5
4
2
2
Cuando x = 0.5, y = –0.875:
r=
r=
−{1+(−0.25)2 }3 /2
= 1.09
−1
x 1 = 0.5 −
−0.25 ⋅ 1.0625
= 0.23
−1
y1 =−0.875+
1.0625
=−1.94
−1
Cuando x = 1, y = –1
r=
(1+0)3 /2
= 0.5
2
x1 = 1−
0 ⋅ (1+0)
=1
2
y1 =−1+
1+02
=−0.5
2
213
214
Cálculo diferencial e integral (segunda parte)
En el punto de inflexión d 2y /dx2 = 0, 6x – 4 = 0, y x = 2/3; por consiguiente, y = –0.926.
Ejemplo 6
Calcula el radio y centro de curvatura de la gráfica de y = a /2 {e x/a + e −x/a }, en
el punto en el que x = 0. (Esta curva se llama catenaria porque una cadena suspendida adquiere la misma forma exactamente.)
Solución
La ecuación de la curva se escribe así:
a
a
y = e x/a + e −x/a
2
2
entonces,
dy a 1 x /a a 1 −x /a 1 x /a
−x /a
)
= (e − e
= ⋅ e − ⋅ e
dx 2 a
2 a
2
Del mismo modo,
d 2y
1 x/a
1 2y
y
=
e + e −x/a =
⋅
= 2
2
dx
2a
2a a
a
{
}
1
1+ (e
{
4
r=
x/a
– e −x/a )2
y
a2
3 /2
} =a
2
8y
( 2 +e 2x/a +e −2x/a )3
puesto que ex/a – x/a = e0 = 1 o bien
r=
a2
a2
y2
( 2e x /a−x /a + e 2x /a + e −2x /a )3 =
( e x/a + e −x /a )6 =
8y
8y
a
cuando x = 0,
a
y = (e 0 +e 0 ) = a
2
por consiguiente,
r=
a2
=a
a
El radio de curvatura en el vértice es igual a la constante a. Además, cuando
x = 0,
x1 = 0 −
0(1+0)
0
1 =
a
CAPÍTULO 22
Un poco más sobre la curvatura de las curvas
y
y1 = y +
(1+0)
a a 2a
1 = + =
a
Como se definió antes,
1 x /a
x
(e + e −x /a ) = cosh
2
a
por tanto, la ecuación de la catenaria puede escribirse en la forma
y = a cosh
x
a
En consecuencia, será un ejercicio útil que compruebes los anteriores resultados con esta forma de la ecuación.
Ahora ya estás suficientemente familiarizado con este tipo de problema para
resolver los ejercicios siguientes por tu cuenta. Te recomiendo que compruebes
las respuestas; para ello, traza con cuidado la curva y el círculo de curvatura,
como se explicó en el ejemplo 4.
[ EJERCICIOS XXI ]
1. Calcula el radio de curvatura y la posición del centro de curvatura de la
gráfica de y = ex en el punto en el que x = 0.
2. Calcula el radio y el centro de curvatura de la gráfica de y = x(x /2 – 1) en
el punto en el que x = 2.
3. Calcula el punto o los puntos donde la curvatura vale 1 en la gráfica de
y = x2.
4. Calcula el radio y el centro de curvatura de la gráfica de xy = m en el
punto en el que x = m.
5. Calcula el radio y el centro de curvatura de la gráfica de y2 = 4ax en el
punto en el que x = 0.
6. Calcula el radio y el centro de curvatura de la gráfica de y = x3 en los
puntos en que x = ±0.9 y también x = 0.
7. Calcula el radio de curvatura y las coordenadas del centro de curvatura
de la gráfica de y = x2 – x + 2, en los dos puntos en los que x = 0 y
x = 1, respectivamente. Calcula, además, el valor máximo o mínimo de y.
Comprueba gráficamente todos los resultados.
8. Calcula el radio de curvatura y las coordenadas del centro de curvatura de
la gráfica de y = x³ – x – 1 en los puntos en que x = –2, x = 0 y x = 1.
215
216
Cálculo diferencial e integral (segunda parte)
9. Calcula las coordenadas del punto o puntos de inflexión de la gráfica de
y = x3 + x2 + 1.
10. Calcula el radio de curvatura y las coordenadas del centro de curvatura de
la gráfica de y = (4x – x2 – 3)1/2, en los puntos en los que x = 1.2, x = 2
y x = 2.5. ¿Cuál es esta curva?
11. Calcula el radio y el centro de curvatura de la gráfica que corresponde a
la expresión y = x3 – 3x2 + 2x + 1 en los puntos en x = 0, x = +1.5.
Calcula, además, la posición del punto de inflexión.
12. Calcula el radio y el centro de curvatura de la gráfica de y = sen θ en los
puntos en que θ = π /4 y θ = π /2. Calcula la posición de los puntos de
inflexión.
13. Dibuja un círculo de radio 3, cuyo centro tiene por coordenadas x = 1,
y = 0. Deduce la ecuación de ese círculo a partir de los principios fundamentales. Halla, mediante cálculos, el radio de curvatura y las coordenadas del centro de curvatura de varios puntos convenientes, con la mayor
exactitud posible, y comprueba si obtuviste los valores conocidos.
14. Calcula el radio y el centro de curvatura de la gráfica de y = cos θ en los
puntos en los que θ = 0, θ = π /4 y θ = π /2.
15. Calcula el radio de curvatura y el centro de curvatura de la elipse dada por
x2/a2 + y2/b2 = 1 en los puntos en los que x = 0 y en los que y = 0.
16. Cuando una curva se define por ecuaciones de la forma
x = F(θ )
y
y = f (θ )
el radio r de curvatura está dado por
r=
dx 2 3 /2 dx d 2x dy d 2x
dx 2
⋅
− ⋅
+
dθ
dθ dθ 2 dθ dθ 2
dθ
{( ) ( ) } #(
Aplica la fórmula para calcular r en la gráfica de
x = a(θ – sen θ ), y = a(1 – cos θ )
)
Capítulo 23
Cómo calcular la longitud de
un arco en una curva
En vista de que un arco en cualquier curva está compuesto por muchos segmentos pequeñísimos de líneas rectas unidas extremo con extremo, si pudiéramos
sumar todos estos segmentos pequeños obtendríamos la longitud del arco. Sin
embargo, hemos visto que sumar muchos segmentos pequeños es precisamente
lo que conocemos como integración, por lo que es probable que, en virtud de que
sabemos integrar, también podamos calcular la longitud de un arco en cualquier
curva, siempre que la ecuación de dicha curva sea tal que se preste a integración.
Si MN es un arco en cualquier curva, cuya longitud s se requiere (véase la
figura 66a), y llamamos a cada “partecita” del arco ds, caemos de inmediato en la
cuenta de que
(ds)2 = (dx)2 + (dy)2
o bien,
ds = 1 +
dx 2
dx 2
dy o ds = 1 +
dx
dy
dy
( )
( )
Ahora, el arco MN está compuesto de la suma de todas las partecitas ds entre
M y N, es decir, entre x1 y x2, o entre y1 y y2, por lo que obtenemos
y
y
N
y2
ds
y1
M
S
N
y2
dy
dx
Q
P
y1
M
T
O
x1
x2
a)
Figura 66
x
O
x1
x2
b)
x
218
Cálculo diferencial e integral (segunda parte)
s=
N
P
r+
dθ
θ
O
ds
R
dr
M
r
T
∫ 1 + ( dxdy ) dx o s = ∫ 1 + ( dxdy ) dy
2
x2
2
y2
x1
y1
¡Eso es todo!
La segunda integral es útil cuando hay varios puntos de la curva que corresponden a los valores dados de x (como en la figura 66b). En este caso, la integral
entre x1 y x2 deja cierta duda respecto a la parte exacta de la curva cuya longitud se
requiere. Puede ser ST, en lugar de MN, o SQ; cuando integramos entre y1 y y2 la
incertidumbre desaparece, y en este caso debemos usar la segunda integral.
Si en lugar de coordenadas x y y (o coordenadas cartesianas, como se les llama
en honor del matemático francés René Descartes, quien las inventó) tenemos
coordenadas r y θ (o coordenadas polares), entonces, si MN es un arco pequeño de
longitud ds en cualquier curva cuya longitud s se requiere (véase la figura 67), con
O el polo, la distancia ON por lo general diferirá de OM por una pequeña cantidad dr. Si el pequeño ángulo MON se llama dθ, entonces las coordenadas polares
del punto M son θ y r; las de N son (θ + dθ) y (r + dr). Sea MP perpendicular a
ON, y sea OR = OM; entonces, RN = dr, y esto es casi lo mismo que PN, siempre
que dθ sea un ángulo muy pequeño. Además, RM = r dθ, y RM es casi igual a PM,
y el arco MN es casi igual a la cuerda MN. De hecho, podemos escribir PN = dr,
PM = r dθ y arco MN = cuerda MN sin error notable, por lo que tenemos:
Figura 67
2
2
(ds)2 = (cuerda MN )2 = PN + PM = dr 2 + r 2dθ 2
Dividimos entre dθ 2 para obtener
ds 2
dr 2
2
=r +
dθ
dθ
( )
( )
por tanto,
dr 2
dr 2
ds
2
2
y
dθ
ds = r +
= r +
dθ
dθ
dθ
( )
( )
De ahí que, como la longitud s está compuesta por la suma de todos los segmentos pequeños ds, entre los valores θ = θ1 y θ = θ2 tenemos
s=
∫ ds = ∫ r + ( drdθ ) dθ
θ2
θ2
θ1
θ1
2
2
De inmediato procederemos a resolver algunos ejemplos.
Ejemplo 1
La ecuación de un círculo, cuyo centro está en el origen (o sea, en la intersección
del eje de x con el eje de y) es x2 + y² = r². Calcula la longitud del arco de un
cuadrante.
Solución
En este caso, y2 = r2 – x2 y 2y dy = –2x dx, por lo que
x
dy
=−
y
dx
CAPÍTULO 23
Cómo calcular la longitud de un arco en una curva
en consecuencia,
s=
∫ [1+ ( dxdy ) ] dx = ∫ (1+ xy ) dx
2
2
2
y puesto que y2 = r2 – x2,
s=
∫(
1+
x2
dx =
r 2 −x 2
)
dx
∫ rr −x
2
2
La longitud que necesitamos, un cuadrante, se extiende desde un punto donde x = 0 a otro punto donde x = r, lo que se escribe
s=
∫
x =r
r dx
x=0
r 2 −x 2
o, más sencillamente,
dx
∫ r r −x
r
s=
0
2
2
el 0 y la r a la derecha del signo de integración simplemente significan que la
integración se realizará sólo en una parte de la curva: entre x = 0 y x = r, como
hemos visto.
¡Aquí tienes una nueva integral! ¿Puedes trabajar con ella?
En el capítulo 15 derivamos y = arcsen x y obtuvimos dy /dx = 1 / 1−x 2 .
Si has hecho la prueba con todos los tipos de variaciones de los ejemplos presentados (como hubieras debido hacer), quizás intentaste derivar algo así como
y = a arcsen x /a que resulta
a
dy
= 2
dx
a −x 2
o dy =
a dx
a 2 −x 2
es decir, exactamente la misma expresión que tenemos que integrar aquí.
Por tanto,
s=
∫
r dx
2
r −x
2
= r arcsen
x
+C
r
donde C es una constante. Como la integración sólo se hará entre x = 0 y x = r,
escribimos
s=
dx
x
= [r arcsen + C )]
∫ r r −x
r
r
r
0
2
2
0
Procedemos entonces como se explicó en el ejemplo 1 del capítulo 19, con
lo que obtenemos
π
0
r
+ C − r arcsen − C , o s = r ⋅
2
r
r
puesto que arcsen 1 es 90° o π/2 y arcsen 0 es cero, y la constante C desaparece,
como se ha mostrado.
s = r arcsen
219
220
Cálculo diferencial e integral (segunda parte)
La longitud del cuadrante es, por tanto, πr/2, y la longitud de la circunferencia, como es cuatro veces este valor, es 4 ⋅ πr /2 = 2πr.
y
Ejemplo 2
A
Calcula la longitud del arco AB entre x1 = 2 y x2 = 5 en la circunferencia dada
por x2 + y2 = 62 (figura 68).
B
O
2
5
x
Solución
En este caso, procedemos como en el ejemplo anterior,
[
s = r arcsen
] [
[
Figura 68
]
5
x2
x
x
+ C = 6 arcsen + C
2
x1
r
6
]
2
5
= 6(0.9851− 0.3398)
= 6 arcsen − arcsen
6
6
= 3.8716 (los arcos se expresan en radianes).
Siempre es recomendable comprobar los resultados obtenidos con un método nuevo y aún poco familiar. Esto es sencillo, pues
cos AOX =
2 1
5
y cos BOX =
=
6 3
6
por tanto, AOB = AOX – BOX = arccos 1/3 = arccos 5/6 = 0.6453 radianes, y
la longitud es 6 ⋅ 0.6453 = 3.8716.
Ejemplo 3
Calcula la longitud de un arco de la curva
a
y = { e x /a + e −x /a }
2
entre x = 0 y x = a. Esta curva es la catenaria.
Solución
a
a
dy 1 x/a −x/a
y = e x/a + e −x/a ,
= { e −e
}
2
2
dx 2
s=
∫ 1+ 14 {e −e } dx
=
1
2
x /a
−x /a 2
∫ 4+ e + e
2x /a
−2x /a
− 2e x /a−x /a dx
CAPÍTULO 23
Cómo calcular la longitud de un arco en una curva
221
Ahora bien, ex/a – x/a = e0 = 1 por lo que
s=
∫ 2 +e − e
1
2
2x/a
−2x/a
dx
Sustituimos 2 por 2(e0) = 2 ⋅ ex/a – x/a; entonces,
s=
1
2
∫ e + 2e
=
1
2
∫ (e +e ) dx = 12 ∫(e + e )dx
=
1
2
∫ e dx + 12 ∫e
2x/a
x/a − x/a
+e
− 2x/a
−x/a 2
x/a
x/a
dx
x/a
−x/a
−x/a
a
dx = [ e x/a − e −x/a ]
2
Aquí
s=
]
[
a x/a −x/a a a 1 −1
e −e
= (e −e −1+1)
2
2
0
y
s=
a
1
e − = 1.1752a
2
e
(
)
y
Ejemplo 4
D
Una curva es tal que la longitud de la tangente en cualquier punto P (figura 69),
de P a la intersección T de la tangente con una recta fija AB, es una longitud
constante a. Halla una expresión para el arco de esta curva, que se llama tractriz,30
y calcula la longitud cuando a = 3, entre las ordenadas y = a y y = 1.
dx
A O
Figura 69
Solución
Tomaremos la recta fija como el eje x. El punto D, con DO = a, es un punto de la
curva que debe ser tangente a OD en D. Tomamos OD como el eje de y. Además,
PT = a, PN = y y ON = x.
Si consideramos una parte pequeña ds de la curva, en P, entonces
sen θ =
dy
y
=−
ds
a
(menos porque la pendiente de la curva es descendente hacia la derecha). Por
tanto,
a
ds
dy
y s =−a
=− , ds =−a
y
dy
y
∫ dyy ,
es decir, s = –a ln y + C. Cuando x = 0, s = 0, y = a, de modo que 0 = –a ln
a + C y C = a ln a.
Se desprende que s = a ln a – a ln y = a ln (a /y).
P ds
dy
30
θ
N
T
x
B
La tractriz es la involuta de la catenaria. La
evoluta de una curva es la curva que traza un
hilo tirante a medida que se desenrolla de
una curva dada.
El origen del nombre tractriz es interesante. Se puede demostrar con el experimento
siguiente. Ata un pedazo de cuerda a un
objeto pequeño. Coloca el objeto en el centro
de una mesa rectangular grande, luego
extiende la cuerda en sentido horizontal
hasta que sobresalga, por ejemplo, del borde
derecho de la mesa. Toma la cuerda donde
toca la orilla de la mesa y muévela a lo largo
del borde. La trayectoria descrita
por el objeto a medida que lo
arrastra a lo largo de la mesa es
una tractriz. (MG)
222
Cálculo diferencial e integral (segunda parte)
Cuando a = 3, s entre y = a y y = 1 es, por tanto,
3 3
= 3(ln1− ln3) = 3 ⋅ (0 − 1.0986)
y 1
[ ]
s = 3 ln
= −3.296 o 3.296
ya que el signo – se refiere simplemente a la dirección en que se midió la longitud,
de D a P, o de P a D.
Observa que este resultado se obtuvo sin conocer la ecuación de la curva.
Esto es posible en ocasiones. Sin embargo, para obtener la longitud de un arco
entre dos puntos dados por sus abscisas es necesario conocer la ecuación de la
curva; esto se obtiene fácilmente como sigue:
dy
y
,
=−tan θ =− 2
dx
a − y2
puesto que PT = a; por tanto,
d x =−
a 2 − y 2 dy
y
∫ a −y y dy
2
y x =−
2
La integración nos dará una relación entre x y y, que es la ecuación de la curva.
Para efectuar la integración, sea u2 = a2 – y2, entonces
2u du = –2y dy o
x=
∫
=a
u 2du
=
y2
2
∫
u 2du
=
a 2 −u 2
u du = –y dy
∫
a 2 −(a 2 −u 2 )
⋅ du
a 2 −u 2
∫ a du−u − ∫ du
2
2
= a2 ⋅
1
a +u
ln
− u +C
2a
a −u
(a +u)(a +u)
1
−u + C
= a ln
2
(a −u)(a +u)
= a ln
a +u
a 2 −u 2
− u +C
Entonces, tenemos finalmente,
x = a ln
a + a 2 −y 2
2
2
− a −y + C
y
Cuando x = 0, y = a, por lo que 0 = a ln 1 – 0 + C, y C = 0; por consiguiente, la ecuación de la tractriz es:
x = a ln
a + a 2 −y 2
2
2
− a −y
y
CAPÍTULO 23
Cómo calcular la longitud de un arco en una curva
Ejemplo 5
Calcula la longitud de un arco de la espiral logarítmica r = eθ entre θ = 0 y θ = 1
radián.
Solución
¿Recuerdas que derivamos y = ex? Es muy fácil recordarla porque siempre es igual
pase lo que pase: dy /dx = ex.
Aquí, puesto que r = eθ,
dy
= eθ = r
dθ
Si invertimos el proceso e integramos ∫eθ dθ volvemos a r + C (recuerda que
este proceso siempre introduce la constante C, como vimos en el capítulo 17).
Se desprende que
∫ [r + ( ddrθ) ] dθ = ∫ (r + r ) dθ
= 2 ∫r dθ = 2 ∫ e dθ = 2 (e + C )
2
2
s=
2
2
θ
θ
Integramos entre los dos valores dados θ = 0 y θ = 1 para obtener
s=
∫ [r + ( ddrθ) ] dθ = [ 2(e + C )]
1
2
2
1
θ
0
0
= 2e 1 − 2e 0 = 2(e −1)
=1.41 ⋅ 1.718 = 2.43
Ejemplo 6
Calcula la longitud de un arco de la espiral logarítmica r = eθ entre θ = 0 y
θ = θ1.
Solución
Como hemos visto,
s= 2
∫ e dθ = 2 {e − e } = 2(e − 1)
θ1
θ
θ1
0
θ1
0
Ejemplo 7
Como último ejemplo, trabajemos por completo en un caso que produce una
integración típica que será muy útil en varios de los ejercicios que se presentan
al final de este capítulo. Encontremos la expresión de la longitud de un arco de
la curva
223
224
Cálculo diferencial e integral (segunda parte)
a
y = x 2 +3
2
Solución
Aquí
dy
= ax
dx
por lo que
s=
∫ 1+a x dx
2 2
A fin de resolver esta integral, sea ax = senh z, entonces a dx = cosh z dz y
1 + a2x2 = 1 + senh2z = cosh2z; entonces:
∫ cosh z dz = 4a1 ∫ ( e +2 + e ) dz
s=
1
a
=
1 1 2z
1
1
e +2z − e −2z = { (e z ) 2 − (e −2 ) 2 +4z }
4a 2
2
8a
=
z
1 z
(e − e −z ) (e z + e −z ) +
2a
8a
=
1
1
senh z cosh z + z =
ax 1+a 2x 2 + z
2a
2a
2
−2z
2z
{
}
(
)
(
)
Para transformar z en términos de x, tenemos
1
ax = senh z = (e z − e −z )
2
Multiplicamos por 2ez,
2axez = e2z – 1 o (ez)2 – 2ax(ez) – 1 = 0
Ésta es una ecuación cuadrática en ez; entonces, sacamos la raíz positiva:
1
e z = (2ax + 4a 2 x 2 +4) = ax + 1+a 2 x 2
2
Y obtenemos los logaritmos naturales:
z = ln (ax + 1 + a 2 x 2 )
Por tanto, la integral se vuelve finalmente:
s=
∫ 1+a x dx = 2x 1+a x + 2a1 ln(ax + 1+a x )
2 2
2 2
2 2
En varios de los ejemplos anteriores obtuvimos algunas integrales y relaciones
muy importantes. Como son de gran utilidad para resolver muchos otros problemas, será una ventaja recopilarlas aquí para futura consulta.
CAPÍTULO 23
Cómo calcular la longitud de un arco en una curva
Funciones hiperbólicas inversas
Si x = senh z, z se escribe a la inversa como senh–1x y
z = senh−1 x = ln(x + x 2 + 1 )
Del mismo modo, si x = cosh z,
z = cosh−1 x = ln(x + x 2 − 1)
Integrales cuadráticas irracionales
∫ a x−x dx = a −x −a ln a + ax −x + C
1
1
2. ∫ a + x dx = x a + x + a ln ( x + a + x ) + C
2
2
2
2
2
2
2
1.
2
2
2
2
2
2
2
2
A estas podemos agregar:
3.
∫ a dx+ x = ln(x + a + x ) +C
2
2
2
2
Porque si x = a senh u, dx = a cosh u du, y
∫ a dx+x = ∫du = u +C ′ = senh ax + C ′
−1
2
2
= ln
x + a 2 +x 2
+ C′
a
= ln (x + a 2 +x 2 ) + C
Ahora debes ser capaz de resolver con éxito los ejercicios siguientes. Será interesante, además de instructivo, que traces las gráficas y compruebes los resultados
por medición siempre que sea posible.
[ EJERCICIOS XXII ]
1. Calcula la longitud de la recta y = 3x + 2 entre los dos puntos donde
x = 1 y x = 4.
2. Calcula la longitud de la recta y = ax + b entre los dos puntos donde
x = –1 y x = a2.
3. Calcula la longitud de la curva y = 2/3x3/2entre los dos puntos donde
x = 0 y x = 1.
225
226
Cálculo diferencial e integral (segunda parte)
31
Véase el párrafo sobre la cicloide en el
apéndice C del libro. (MG)
4. Calcula la longitud de la curva y = x2 entre los dos puntos donde x = 0
y x = 2.
5. Calcula la longitud de la curva y = mx2 entre los dos puntos donde x = 0
y x = 1/2m.
6. Calcula la longitud de la curva x = a cos θ y y = a sen θ entre θ = θ1 y
θ = θ2.
7. Calcula la longitud del arco de la gráfica de r = a sec θ desde θ = 0 hasta
un punto arbitrario en la gráfica.
8. Calcula la longitud del arco de la gráfica de y2 = 4ax entre x = 0 y x = a.
9. Calcula la longitud del arco de la gráfica de y = x(x /2 – 1) entre x = 0 y
x = 4.
10. Calcula la longitud del arco de la gráfica de y = ex entre x = 0 y x = 1.
(Nota: Esta gráfica está en coordenadas rectangulares, y no es la misma que
la espiral logarítmica r = eθ, que está en coordenadas polares. Las dos ecuaciones son parecidas, pero las gráficas respectivas son muy diferentes.)
11. Un gráfica es tal que las coordenadas de un punto en ella son x = a(θ –
sen θ) y y = a(1 – cos θ), con θ un cierto ángulo que varía entre 0 y 2π.
Calcula la longitud de la curva. (Esa gráfica o, mejor dicho esa curva se
llama cicloide.)31
12. Calcula la longitud de un arco de la curva y = ln sec x entre x = 0 y x =
π/4 radianes.
13. Calcula la expresión de la longitud de un arco de la curva y2 = x3 /a.
14. Calcula la longitud de la gráfica de y2 = 8x3 entre los dos puntos donde
x = 1 y x = 2.
15. Calcula la longitud de la curva y2/3 + x2/3 = a2/3 entre x = 0 y x = a.
16. Calcula la longitud de la gráfica de r = a(1 – cos θ) entre θ = 0 y θ = π.
Epílogo y apología
Se puede pensar sin temor a equivocarse que cuando este libro caiga en manos de
matemáticos profesionales, se levantarán (si no son demasiado perezosos) como
un solo hombre y lo condenarán diciendo que es un libro totalmente malo. De
eso, no puede haber, desde su punto de vista, ningún tipo posible de duda, pues
incurre en los errores más lastimosos y deplorables.
En primer lugar, demuestra lo ridículamente fáciles que son en realidad la
mayoría de las operaciones del cálculo.
En segundo término, revela muchos secretos del oficio. Como demuestra que
lo que puede hacer un necio, otro también puede hacerlo, te permite darte cuenta de
que estos pomposos matemáticos, quienes se enorgullecen de haber dominado
una materia tan difícil como el cálculo, en realidad no tienen grandes motivos
para pavonearse, sino que les gusta que uno crea que el cálculo es increíblemente
difícil y no quieren que la superstición se disipe de pronto.
Tercero, entre las cosas más espantosas que dirán acerca de “lo fácil” que es
esto figura: que el autor fracasó de manera rotunda en demostrar con integridad
rígida y satisfactoria la validez de diversos métodos que presentó de manera sencilla y que incluso se atrevió a usar para resolver problemas. Pero, ¿por qué no
iba a hacerlo? No se prohíbe a nadie que use un reloj sólo porque no sabe cómo
fabricarlo, ¿cierto? No se ponen objeciones a que un músico toque un violín que
no construyó él mismo. No se enseñan las reglas de la sintaxis a los niños hasta
que pueden hablar con fluidez. Sería igualmente absurdo exigir que se expusieran
demostraciones generales rígidas a los que se inician en el cálculo.
Otra cosa que los matemáticos declarados dirán de este libro pésimo y totalmente malicioso es que el motivo por el que resulta tan fácil es porque el autor ha
omitido todo lo que en realidad es difícil. Y lo más terrible de esta acusación es que
¡es cierta! Es decir, es verdad en cuanto al porqué se escribió el libro: se escribió para
la legión de inocentes a los que la forma nefasta en que la enseñanza del cálculo se
presenta casi siempre los había disuadido hasta ahora de adquirir los conocimientos elementales del cálculo. Toda materia puede resultar repulsiva si se presenta
plagada de dificultades. El propósito de este libro es permitir a los principiantes
aprender su lenguaje, adquirir familiaridad con sus fascinantes simplicidades y
comprender sus métodos eficaces para resolver problemas, sin verse obligados a
avanzar con dificultad por la gimnasia matemática intrincada y fuera de lugar
(y casi siempre irrelevante) que le es tan preciada al matemático impráctico.
Existen entre los ingenieros varios jóvenes a cuyos oídos puede resultarles familiar el adagio de lo que puede hacer un necio, otro también puede hacerlo. A ellos
se les pide encarecidamente que no delaten al autor ni le digan a los matemáticos
qué bobo es en realidad.
Apéndice A
Algunos problemas recreativos
relacionados con el cálculo
Martin Gardner
El problema de cálculo del viejo roble
Qué gran valor sentimental tienen para mí las cuñas cilíndricas,
cuando los tiernos recuerdos me las presentan una vez más,
y las cajas formadas por láminas de estaño con bordes vueltos hacia arriba,
y los barcos que llevan a los pasajeros hasta el puerto.
La escalera que se deslizó en su proyección inclinada,
la viga en el corredor que conecta con el anexo,
pero lo más raro de todo en esa colección de antigüedades
es el viejo cubo chorreante que colgaba en el pozo. . .
el viejo cubo chorreante, el viejo cubo chirriante,
el viejo cubo chorreante que colgaba en el pozo.
Katherine O’Brien en
American Mathematical Monthly
(vol. 73, 1966, pág. 881)
Los problemas que sólo pueden resolverse con cálculo son sumamente raros en
los libros de acertijos populares. Una excepción es un acertijo que por lo general
se relaciona con un animal A ubicado a cierta distancia de un hombre u otro
animal B. Supón que el animal es un gato que se halla directamente al norte de
un perro. Ambos corren a velocidad constante, pero B va más rápido que A. Si
los dos animales corren rumbo al norte, el perro, como es lógico, alcanzará al
gato finalmente. En esta forma esto equivale a la famosa paradoja del filósofo
Zenón sobre Aquiles y la tortuga. Es el ejemplo más sencillo de lo que se conoce
como trayectorias de persecución. El cálculo de la distancia recorrida por el perseguidor y el perseguido, en esta forma lineal, es una tarea fácil que sólo requiere
aritmética.
Las trayectorias de persecución en un plano son más interesantes. Supón que
el gato se mueve en línea recta con dirección este y que el perro siempre corre
directamente hacia el gato. Ambos avanzan a velocidad constante. Si el perro es
APÉNDICE A
Algunos problemas recreativos relacionados con el cálculo
más veloz que el gato, siempre lo alcanzará. Dada su distancia inicial al sur del
gato, y la razón de sus velocidades, ¿hasta dónde llegará el gato antes de que lo
atrapen? ¿Qué distancia debe recorrer el perro, a lo largo de su trayectoria curva,
antes de atrapar al gato?
Las versiones de este problema de persecución bidimensional no son tan fáciles de resolver. Estos acertijos eran populares en el siglo xviii, cuando por lo
general trataban de un barco que perseguía a otro. Las versiones posteriores adoptaron la forma de animales y personas en una carrera. Mencionaré dos ejemplos
tomados de colecciones clásicas de acertijos del siglo xx.
Henry Dudeney, en Puzzles and Curious Problems (1931, problema 210), describe la situación de esta forma: Pat se encuentra a 100 yardas al sur de un cerdo.
El cerdo corre en dirección oeste. Pat avanza dos veces más rápido que el cerdo.
Si siempre corre directamente hacia el cerdo, ¿hasta dónde llega cada uno antes
de que Pat atrape al cerdo?
Sam Loyd, en su Cyclopedia of Puzzles (1914, pág. 217), también habla de
un cerdo perseguido, pero esta vez el perseguidor es Tom, el hijo del gaitero.
(Robó un cerdo, como se menciona en la vieja rima de la Mamá Ganso.) Tom
se encuentra 250 yardas al sur del cerdo que corre en dirección este. Ambos
avanzan a velocidad uniforme: Tom corre 4/3 más veloz que el cerdo y siempre
directamente hacia él. Una vez más, ¿qué distancia recorre cada uno antes de que
Tom atrape al cerdo?
La manera más difícil de resolver estos problemas es por medio de integración. Dudeney resuelve este acertijo sin explicación de cómo resolverlo. Añade:
“La curva de la línea de Pat es una de esas curvas cuya longitud puede medirse
exactamente; sin embargo, no tenemos espacio para entrar en detalles del método.”
Como muchos problemas de cálculo, resulta que los problemas de persecución de este tipo a menudo pueden manejarse con fórmulas sencillas, aunque se
necesita el cálculo para comprobarlos. L.A. Graham presenta uno de estos métodos en su Ingenious Mathematical Problems and Methods (1959, problema 74).
Su versión del acertijo trata de un perro que persigue a un gato. El perro, que se
encuentra 60 yardas al sur del gato, corre a 5/4 la velocidad del gato, que corre
rumbo al este. Primero, Graham resuelve el problema por integración y luego
presenta la siguiente fórmula sorprendente. La distancia recorrida por el gato es
igual a la distancia inicial entre el perro y el gato multiplicada por la fracción que
expresa la razón de sus velocidades, dividida entre un número que es uno menos
que el cuadrado de la razón.
Usando los parámetros del problema de Graham, la distancia recorrida por
el gato es:
60 ⋅ 5
52
÷ 2 −1
4
4
(
)
que resulta ser 133 y 1/3 yardas. Como el perro avanza a 5/4 la velocidad del
gato, recorre 5/4 veces 133 y 1/3, o 166 y 2/3 yardas.
La aplicación de la fórmula a la versión de Dudeney muestra que el cerdo
corre 66 y 2/3 yardas, y Pat, que avanza al doble de velocidad, corre 133 y 1/3
229
230
APÉNDICE A
Algunos problemas recreativos relacionados con el cálculo
A
B
r
X
O
Figura 1
Cómo calcular la trayectoria de persecución de una chinche en un hexágono
regular.
yardas. En la versión de Loyd, el cerdo recorre 428 y 4/7 yardas. Tom recorre 4/3
veces esa distancia, o 571 y 3/7 yardas.
Otro problema famoso de trayectoria de persecución, que aparece en muchos
libros de matemáticas recreativas, trata de n chinches en las esquinas de un polígono regular de n lados que miden una unidad por lado. Las chinches empiezan
a avanzar directamente hacia su vecino más cercano, digamos, a la izquierda. (No
importa si avanzan en el sentido en que giran las agujas del reloj o al contrario.)
Todas las chinches se mueven a la misma razón constante. Intuitivamente es
obvio que recorrerán trayectorias espirales que se unen en el centro del polígono.
Cuando todas se reúnen, ¿qué distancia ha recorrido cada chinche?
Aunque el problema puede plantearse con cualquier polígono regular, por lo
general se basa en un cuadrado. En cualquier momento las cuatro chinches estarán en las esquinas de un cuadrado que constantemente disminuye de tamaño
y gira hasta que las cuatro chinches se reúnen en el centro. Sus trayectorias son
espirales logarítmicas. Aunque la longitud de cada trayectoria se puede determinar por medio del cálculo, el problema se resuelve de inmediato sin necesidad de
recurrir a este, si uno reflexiona en lo siguiente.
En todo momento, la trayectoria que sigue cada chinche es perpendicular a la
de la chinche que persigue. De ahí se desprende que no hay componente alguno
del movimiento de la chinche perseguida que la lleve hacia su perseguidor o la
aleje de él. En consecuencia, el perseguidor alcanzará al perseguido en el mismo
tiempo que tardaría si la chinche perseguida se quedara estacionaria y su perseguidor avanzara directamente hacia ella. Por tanto, cada trayectoria espiral tendrá
la misma longitud que el lado del cuadrado unitario.
En la figura 1 se muestra una forma geométrica de medir la distancia recorrida por cada chinche comenzando en la esquina de un polígono regular, aquí
se aplica a un hexágono regular. La línea AO se dibuja desde una esquina hasta el
centro del polígono, luego se extiende OX en ángulos rectos hacia AO hasta que
se toca el lado AB o su extensión, como se muestra. AX, que es r veces la secante
del ángulo θ, es pues la longitud de la trayectoria recorrida por cada chinche. En
el caso del cuadrado, AX es el lado del cuadrado. En el caso de un triángulo, OX
se une con AB en un punto que se encuentra a dos tercios de la distancia de A, lo
que indica que la chinche recorre dos terceras partes de la longitud del lado del
triángulo. Para el hexágono, θ mide 60° y la chinche recorre dos veces la distancia
de un lado.
Los problemas de trayectoria mínima que requieren derivación aparecen
de vez en cuando en libros de acertijos, así como en libros de cálculo. Por lo
general, adoptan la forma de un nadador que está en un lago a una distancia x
en línea recta de la orilla. Quiere llegar hasta cierto punto p a lo largo de la costa. Dada la velocidad constante a la que nada, y la velocidad constante a la que
camina en tierra, ¿a qué punto de la costa debe nadar para reducir al mínimo el
tiempo total que tarda en nadar a la orilla y luego caminar al punto p a lo largo
de la costa?
En su Cyclopedia of Puzzles (pág. 165), Sam Loyd ofrece una versión de un
problema así. Su texto y la ilustración que lo acompaña se muestran en la figura
2. Las constantes de Loyd vuelven tedioso el cálculo del problema, pero la solución mediante igualar una derivada a cero es muy sencilla.
APÉNDICE A
Algunos problemas recreativos relacionados con el cálculo
En el diagrama de la figura 3 se muestra el rectángulo del acertijo de la carrera. Sea x la distancia entre el punto de salto y la esquina B del rectángulo, y (1 – x)
la distancia desde donde los caballos arrancan hasta donde deben saltar la valla.
El camino que siguen los caballos en terreno accidentado es la hipotenusa de un
triángulo rectángulo de longitud igual a la raíz cuadrada de (x2 + 0.752). Los
caballos corren en terreno uniforme a una velocidad de 1.75/3 = 0.58333 millas
por minuto. La velocidad en terreno accidentado es una cuarta parte menor, o
0.4375 millas por minuto.
Para resolver el problema debemos escribir ante todo una expresión del tiempo total como función de x. El tiempo que tardan los caballos en correr en terreno accidentado de P a C es:
x 2 +.752
.4375
231
Figura 2
Acertijo de la carrera de obstáculos,
tomado de Cyclopedia of Puzzles, de
Sam Loyd.
He aquí un problemita de una carrera
de obstáculos a campo traviesa presentado en una reunión reciente y que será
de interés para los aficionados tanto a
las carreras de caballos como a los acertijos. Al parecer, hacia el final de una
carrera muy reñida, cuando faltaba sólo
una milla y tres cuartos por recorrer, los
líderes iban tan cerca unos de otros que
la victoria dependía de la selección del
mejor camino o el más corto. El boceto
muestra el puesto de los jueces en el
extremo opuesto de un campo rectangular, delimitado por un camino de una
milla de largo en uno de los lados y por
tres cuartas partes de milla en el otro.
Por tanto, el camino abarca una milla
y tres cuartos que todos los caballos
pueden recorrer en tres minutos. Sin
embargo, los jinetes están en libertad
de tomar atajos en cualquier punto que
lo deseen, pero en terreno accidentado
no podrían avanzar igual de rápido. Así
que, si bien disminuirían la distancia,
perderían 25% en velocidad. Si cortan
al sesgo para atravesar el campo en
diagonal, o a lo largo de la línea de la
hipotenusa como dirían los matemáticos, la distancia sería de una milla y un
cuarto exactamente. ¿Qué tiempo puede
hacer el ganador que seleccione la ruta
más prudente?
El tiempo que tardan en recorrer la distancia 1 – x, en terreno uniforme,
hasta el punto donde saltan la valla es:
1− x
.5833
El tiempo total es la suma de estas dos expresiones:
A continuación, derivamos según la regla de la suma (véase el capítulo 6):
dt
x
1
=
−
2
2
dx .4375 x +.75
.5833
Igualamos la derivada a cero y resolvemos para x. Esto da a x un valor de
0.8504 millas. Restamos esta cantidad de 1 para obtener la distancia en terreno
uniforme, desde el principio hasta el punto de salto, que es de 0.15 millas. Los
2 +
.75 milla
C
x 2 +.752 1−x
t=
+
.4375
.5833
2
5
.7
x
(1 – x)
A
x
P
1 milla
Figura 3
Diagrama del acertijo de la carrera de
obstáculo de Sam Loyd.
B
232
APÉNDICE A
Algunos problemas recreativos relacionados con el cálculo
tiempos se obtienen con facilidad, al sustituir x por 0.8504 en las dos expresiones
de tiempo. El tiempo total es de 2.85 minutos, o aproximadamente 2 minutos y
51 segundos.
Debido a que la razón de las dos velocidades es de 2.25/3 o 3/4, podemos
simplificar en gran medida el cálculo si sustituimos las velocidades respectivas
por 3 y 4:
x 2 +.752 1−x
+
3
4
La derivada de esta función es:
x
2
3 x +.75
2
−
1
4
Igualamos a cero:
1
−
=0
3 x 2 +.752 4
x
x
2
3 x +.75
2
=
1
4
Elevamos al cuadrado ambos miembros:
1
x2
2
2 =
9(x +.75 ) 16
16x2 = 9(x2 + .75²) = 9x2 + 5.0625
16x2 – 9x2 = 5.0625
7x2 = 5.0625
x 2 = 5.0625
= .72321428. . .
7
x = 0.85042. . .
De cuando en cuando, lo que parece un problema de trayectoria muy difícil,
que implica la suma de una serie convergente infinita, puede resolverse en un
abrir y cerrar de ojos si uno reflexiona un poco. Un ejemplo clásico es el problema
sobre dos locomotoras que avanzan en sentido contrario sobre la misma vía a
100 millas de distancia una de otra. Cada locomotora avanza a una velocidad de
50 millas por hora. Al frente de una máquina va una mosca que vuela de un lado
a otro entre las dos máquinas siguiendo una trayectoria en zigzag que termina
cuando las locomotoras se estrellan. Si la velocidad de la mosca es de 80 millas
por hora, ¿qué distancia recorrerá antes de que los trenes choquen?
No es sencillo sumar la serie infinita de zigzags, pero esto no es necesario. Los
trenes chocan en una hora, por lo que, si la velocidad de la mosca es de 80 millas
por hora, habrá recorrido 80 millas.
Hay una anécdota acerca de cómo el gran matemático John von Neumann resolvió este problema. Aseguró que lo pensó un momento antes de dar la respuesta
APÉNDICE A
Algunos problemas recreativos relacionados con el cálculo
correcta. “Correcto”, respondió el proponente, “pero la mayoría de la gente cree
que se debe sumar una serie infinita”. Von Neumann puso cara de sorprendido y
dijo que ¡así era como lo había resuelto!
Una versión en broma de este problema da a la mosca una velocidad normal
de 40 millas por hora en lugar de 80. ¿Qué distancia recorre? ¡La respuesta no es
40 millas!
En el capítulo 8 de mi obra Wheels, Life, and Other Mathematical Amusements
publiqué un peculiar problema de trayectoria inventado por A.K. Austin, un
matemático británico. Así lo planteó:
Un niño, una niña y un perro se encuentran en el mismo punto en un camino
recto. El niño y la niña caminan derecho: el niño a cuatro millas por hora; la
niña, a tres millas por hora. Durante el camino, el perro corre de un lado a otro
entre ellos a 10 millas por hora. Supón que cada inversión de dirección es instantánea. Al cabo de una hora, ¿dónde está el perro y en qué dirección corre?
Respuesta: El perro puede hallarse en cualquier punto entre el niño y la niña
y viendo en cualquier dirección. Comprobación: Al cabo de una hora, coloque
al perro en cualquier lugar entre el niño y la niña, corriendo en cualquier dirección. Invierta en el tiempo todos los movimientos y los tres volverán al mismo
instante en el punto de partida.
El problema generó controversia considerable que se centró en la pregunta de
si el niño, la niña y el perro podían ponerse en marcha alguna vez. El filósofo de
la ciencia Wesley Salmon escribió un artículo en Scientific American sobre el tema
que encontrarás reproducido en el libro previamente citado. El problema es un
caso extraño de un acontecimiento que puede definirse con precisión en tiempo
futuro, pero se vuelve ambiguo cuando el tiempo retrocede.
Otro ejemplo de este tipo de paradoja se relaciona con una curva espiral en
una esfera. Imagina un punto que comienza en el ecuador de la Tierra y se mueve
hacia el noreste a velocidad constante. Describe una trayectoria espiral llamada
loxodromo. El punto circunvalará el Polo Norte un número infinito de veces antes
de cerrarse finalmente sobre este, al cabo de un tiempo finito, como límite de su
trayectoria. El punto comienza en un lugar preciso en el ecuador. Sin embargo,
si el tiempo se invierte, el punto puede terminar en cualquier lugar del ecuador.
¿Son contradictorias las versiones de tiempo invertido del loxodromo y el perro
de Austin porque requieren una serie infinita en su límite? ¿Pueden resolverse
las dos situaciones mediante la aplicación de análisis no estándar (una forma de
cálculo mencionada en mi capítulo sobre los límites)? Encontrarás más detalles
en el artículo del profesor Salmon.
Los límites pueden conducir a una amplia variedad de falacias y paradojas desconcertantes. Considera la serie de duplicación x = 1 + 2 + 4 + 8. . . Aplícala al
truco que expliqué en el capítulo sobre límites. Multiplica cada miembro por 2:
2x = 2 + 4 + 8 + 16 + . . .
Es evidente que el miembro derecho es la serie original menos 1; por tanto,
2x = x – 1. Al parecer, hemos comprobado que la serie tiene una suma final
de –1.
233
234
APÉNDICE A
Algunos problemas recreativos relacionados con el cálculo
Una falacia menos evidente ocurre cuando consideramos las dos series siguientes, cada una con términos que se hacen progresivamente más pequeños,
por lo que parecería como si cada uno convergiera:
1 1 1 1
x = + + + +. . .
1 3 5 7
1 1 1 1
y = + + + +. . .
2 4 6 8
La primera serie es la serie armónica sin las fracciones con denominador par.
La segunda es la serie armónica sin las fracciones con denominador impar.
Ambos miembros de la segunda serie se multiplican por 2:
1 1 1 1
2y = + + + + . . .
1 2 3 4
Esta es la serie armónica. Como salta a la vista, es la suma de x y y. Si x + y
= 2y, entonces x = y, y con esto demostramos que x – y = 0.
Ahora agrupamos los términos de la serie armónica para restar cada fracción
con denominador par de una fracción con denominador impar:
(
x − y = 1−
1 1
1 1
1
+ − + − +. . .
5 6
2
3 4
) (
) (
)
Cada término entre paréntesis es mayor que cero. En otras palabras, x – y es
mayor que cero, por lo que parece que hemos demostrado que 0 es mayor que 0.
Es común toparse con falacias similares cuando los términos de una serie no
convergente se agrupan de diversas maneras.
Una falacia aún más descabellada, que desconcertó a muchos matemáticos en
los primeros días del cálculo, se refiere a la serie oscilante:
1–1+1–1+1–1+...
Si los términos se agrupan así:
x = (1 – 1) + (1 – 1) + (1 – 1) + . . .
la serie se vuelve
0+0+0+...
y x = 0. Pero si los agrupamos así:
x = 1 – (1 – 1) – (1 – 1) – (1 – 1) – . . .
x=1–0–0–0–...
x=1
Por cierto, Leonhard Euler sostuvo que la suma era 1/2.
Los matemáticos distinguen entre series infinitas que son absolutamente convergentes y las que son condicionalmente convergentes. Si reagrupar o reordenar los
términos no tiene ningún efecto sobre el límite de la serie, esta es absolutamente
convergente. Así ocurre siempre si en una serie con una combinación de signos
de más y menos, los términos positivos tomados por separado convergen, lo mis-
APÉNDICE A
Algunos problemas recreativos relacionados con el cálculo
mo que los términos con signo de menos tomados por separado. Por ejemplo:
1
1
1
1− 2 + 4 − 8 + . . . es absolutamente convergente, con un límite de 2/3.
La serie 1− 12 + 13 − 14 + . . . es condicionalmente convergente porque los
términos que tienen signos de más y menos, tomados por separado, no convergen. Sin embargo, si reordenamos los términos, la serie puede tener cualquier
límite que se desee. Si los términos no se reordenan, las sumas parciales saltan
de atrás adelante y viceversa hasta que finalmente convergen en 0.693147. . ., el
logaritmo natural de 2.
Una antigua paradoja geométrica relacionada con una serie de segmentos
de línea que dan la impresión de llegar a un límite, pero que no lo hacen, es la
“prueba” falsa de que la diagonal de un cuadrado es igual a la suma de sus dos
lados. En la figura 4 se muestra una serie de escalones a lo largo de la diagonal de
un cuadrado. Debido a que cada nueva serie de escalones es más pequeña que la
serie anterior, parece como si los escalones finalmente llegaran a ser tan pequeños
que se convertirían en la diagonal. Como cada escalera tiene una longitud igual a
la suma de dos lados del cuadrado, ¿acaso no hemos demostrado que la diagonal
es la suma de los dos lados?
Por supuesto que no. Es verdad que los escalones, a medida que se hacen más
pequeños, convergen en la diagonal como límite; pero se trata de un caso en que
nunca se llega en realidad al límite. Sin importar hasta qué extremo llevemos el
procedimiento, la longitud de los escalones seguirá siendo el doble del lado del
cuadrado.
Del mismo modo podemos “probar” que la mitad de la circunferencia de un
círculo es igual al diámetro del círculo. La “prueba” se basa en el símbolo del yinyang del Oriente, como se ilustra en la figura 5. A medida que los semicírculos se
vuelven cada vez más pequeños, dan la impresión de convertirse en el diámetro
del círculo. Sin embargo, como en la falacia anterior, nunca llegan en realidad a
este límite. La construcción a lo largo del diámetro del círculo y la construcción
a lo largo de la diagonal del cuadrado son fractales. Si se amplía cualquier parte
de cualquier “curva”, esta siempre tendrá el mismo aspecto.
Un bello ejemplo de un fractal de longitud infinita a pesar de que rodea un
área finita es la curva del copo de nieve. Para producirla, se coloca un pequeño
triángulo equilátero en el tercio intermedio de cada lado de un triángulo equilátero y así se continúa añadiendo triángulos cada vez más pequeños a los nuevos
lados. Imagina este proceso llevado al infinito. Cuando el copo de nieve alcanza
su límite, su perímetro se vuelve infinitamente largo. En el límite, no tiene tangente en ningún punto, por tanto, es una curva sin derivada. En la figura 6 se
muestra el aspecto de la curva después de un pequeño número de pasos.
Cuando escribí sobre el copo de nieve en mi columna de Scientific American
mencioné que tenía analogía con un sólido de propiedades muy similares. Imagina un tetraedro regular con un tetraedro regular más pequeño insertado en el
cuarto central de cada cara. Supón que este procedimiento se repite con tetraedros cada vez más pequeños, hasta el infinito. La superficie resultante, escribí, es
una superficie fractal, encrespada como el copo de nieve, cuya área es infinita a
pesar de que rodea un volumen finito de espacio.
Mi intuición estaba equivocada. Mis observaciones despertaron suspicacias en
William Gosper, un científico informático afamado por su descubrimiento del dis-
235
Figura 4
"Prueba” de que la diagonal de un
cuadrado es igual a la suma de sus dos
lados.
Figura 5
“Prueba” yin-yang de que la mitad de
la circunferencia de un círculo es igual a
su diámetro.
Figura 6
Cómo crece la curva del copo de nieve.
236
APÉNDICE A
Algunos problemas recreativos relacionados con el cálculo
1
1
1
2
1
3
1
4
1
5
1
6
parador de gliders en el legendario juego de la vida de John Conway. Gosper escribió un programa de cómputo para dar seguimiento al progreso del copo de nieve
sólido. Descubrió que, en el límite, el poliedro convergía ¡en la superficie de un
cubo! Aunque el cubo está entrecruzado por una infinidad de líneas, en el límite las
líneas no tienen espesor, por lo que la superficie del cubo es perfectamente tersa.
Otro asombroso ejemplo de un sólido con volumen finito, pero área superficial infinita, es la secuencia de cubos conectados que se muestra en la figura 7. El
lado del cubo superior mide 1. Los lados disminuyen en la serie:
1+
La serie diverge, lo cual significa que el poliedro crece a una longitud infinita.
La suma de las áreas de las caras también diverge. Considera sólo las caras que
aparecen sombreadas. Sus áreas están en la serie:
1 1 1
1
1+ + + + . . . + . . .
2 3 4
n
¿La reconoces? Es la serie armónica que ya sabemos que diverge. Se requeriría
un suministro infinito de pintura solo para pintar un lado de cada cubo. Por otra
parte, los volúmenes de los cubos se sitúan dentro de la serie:
1+
Figura 7
Un sólido de volumen finito, pero área
superficial infinita.
1 ... 1 ...
1
1
+ +
+
+
+
4
n
2
3
1
2 2
+
1
3 3
+
1
4 4
+ . . .+
1
n n
+. . .
Esta serie converge. El volumen total de los cubos es un número infinito,
pero la suma de sus áreas superficiales ¡es infinita!
Problemas extremos
Los ejemplos de extremos (valores máximos y mínimos) abundan en la física. Las
películas de jabón forman áreas superficiales mínimas. La luz refractaria reduce
el tiempo que se necesita para ir de A a B. En la relatividad general, los cuerpos
que se mueven libremente en el espacio-tiempo siguen las geodésicas (las trayectorias más cortas), y los planetas y estrellas intentan reducir al mínimo su área
superficial, aunque las montañas y las protuberancias giratorias actúan en sentido
contrario. Los ejemplos son interminables. El hecho de que en puntos extremos
de las funciones sus derivadas sean igual a cero es un tributo sorprendente a la
simplicidad que la naturaleza parece favorecer en sus leyes fundamentales.
Un valor máximo de una variable en una función a menudo reduce al mínimo otra variable y viceversa. La circunferencia de un círculo, por ejemplo, es la
longitud mínima que rodea un área determinada.
Por el contrario, el círculo es la curva cerrada de una longitud determinada
que maximiza el área que rodea. Una minifalda está diseñada tanto para reducir
al mínimo el largo de la falda como para maximizar el área expuesta de las piernas. Una maxifalda maximiza su largo y minimiza el área que queda al descubierto de las piernas.
En el capítulo 11 hompson pregunta cómo debe dividirse en dos partes un
número n para que el producto de las partes sea un máximo. hompson demues-
APÉNDICE A
Algunos problemas recreativos relacionados con el cálculo
tra lo fácil que es encontrar la respuesta cuando la derivada se iguala a cero. Este
número debe dividirse a la mitad, lo que da un producto igual a n2/4.
Un padre lanza un puñado de monedas sobre una mesa y le dice al hijo:
“Separa estas monedas en dos partes, y el dinero que te daré cada semana será el
producto de la cantidad de monedas que haya en cada parte.” Para maximizar el
dinero que recibirá para sus gastos, el hijo divide las monedas de tal forma que las
dos partes sean tan parecidas como sea posible.
El problema de dividir n en dos partes para obtener un producto máximo es
equivalente al siguiente problema geométrico. Dado el perímetro de un rectángulo, ¿qué lados maximizarán su área? La respuesta es, desde luego, un cuadrado.
Por ejemplo, supón que el perímetro es 14. La suma de los dos lados adyacentes
es 7. Para maximizar el área del rectángulo, cada mitad debe ser de la mitad de 7,
o 3.5, para formar un cuadrado de área 12.25.
Paul Halmos, en su libro Problems for Mathematicians Young and Old (1991),
pide, en el problema 51, obtener la curva más corta que biseca el área de un triángulo equilátero. Uno podría pensar que es una línea recta paralela a uno de los lados,
una línea de longitud 0.707. . . La respuesta correcta es un arco circular de longitud
0.673. . . Esto se puede probar con cálculo, pero hay una manera más sencilla.
Considera el hexágono regular que se ilustra en la figura 8. La figura de perímetro
más pequeño que biseca el área del hexágono es el círculo mostrado. Por tanto, su
arco dentro de cada uno de los seis triángulos equiláteros debe bisecar cada triángulo. El área del hexágono, suponiendo que su lado mide 1, es 3 3 / 2. El círculo de
la mitad de esa área es 3 3 / 4 =1.299 . . . Ahora no es difícil calcular que el radio
mide 0.643. . . , y la longitud del arco que biseca cada triángulo es de:
π
3
3 3
= .673. . .
4π
Por supuesto, la prueba parte del hecho de que un círculo es la curva cerrada
de longitud determinada que maximiza su área interior.
hompson extiende la prueba de que un número dividido en dos partes
iguales da un producto máximo a la prueba de que si un número se divide en
n partes, el producto máximo de las partes se obtendrá cuando todas las partes
n son iguales. Por ejemplo, si el número es 15, la división en tres partes con un
producto máximo es de 5 ⋅ 5 ⋅ 5 = 125.
Esto constituye una prueba indiscutible de que dado el perímetro de un
triángulo, el área más grande se obtiene cuando el triángulo es equilátero. La
prueba se basa en una fórmula elegante para determinar el área de cualquier
triángulo, dados sus tres lados. Se trata de la fórmula de Herón, en honor de Herón de Alejandría, un matemático de la antigua Grecia. (La fórmula tiene varias
comprobaciones algebraicas, pero son complicadas.) Sean a, b y c, que representan los lados de un triángulo, y s, su semiperímetro (la mitad del perímetro). La
famosa fórmula de Herón es:
Área = s(s −a)(s −b)(s −c)
Es fácil darse cuenta de que el área se maximiza cuando los tres valores entre
paréntesis son iguales. Esto es válido sólo si a = b = c, con lo que tenemos un
triángulo equilátero. Si cada lado mide 1, el área del triángulo será 3 /4.
237
Figura 8
La curva más corta que biseca un triángulo equilátero.
APÉNDICE A
238
Algunos problemas recreativos relacionados con el cálculo
c
a
b
Figura 9
Una cuerda prueba un problema de
máximos.
c
b
b
b
θ
a
Figura 10
Una prueba sencilla de un problema
con un triángulo isósceles.
Espejo
(a)
90°
(b)
Figura 11
Demostración prueba con una imagen
de espejo.
Supón que nos dan el perímetro y la base de un triángulo. ¿Qué lados maximizarán su área? El cálculo te dará la respuesta. He aquí otra forma de obtenerla.
Imagina dos alfileres separados por la distancia de la base del triángulo. Una cuerda de longitud igual al perímetro rodea los alfileres como se muestran en la figura
9. La punta de un lápiz en c mantiene la cuerda en tensión. Al mover la punta
del lápiz de un lado a otro, es evidente que la altura mayor del triángulo formado por la cuerda se obtiene cuando los lados son iguales, con lo que tenemos
un triángulo isósceles. (Si seguimos moviendo el lápiz alrededor de los alfileres,
dibujaremos una elipse.)
Supón que los lados de un triángulo isósceles permanecen constantes, pero
que el ángulo que forman entre ellos varía. Esto, por supuesto, también modifica
la longitud del tercer lado del triángulo. ¿Qué ángulo maximiza el área del triángulo? Sabiendo que para un perímetro dado el triángulo equilátero tiene el área
mayor, podríamos sentirnos tentados a decir que el ángulo será de 60°. Aunque
parezca sorprendente, no es así. El ángulo que maximiza el área es de 90°, con lo
que tenemos un triángulo rectángulo isósceles.
Con cálculo podemos comprobar lo anterior, pero la siguiente es una prueba
más sencilla. Considera el triángulo rectángulo isósceles que se ilustra en la figura
10. Los lados iguales a y b son fijos. Si movemos el vértice superior (c) a la izquierda o a la derecha, sin que b cambie de longitud, podremos variar el ángulo θ. Ten
en cuenta que sin importar en qué dirección se mueva el vértice, la altura del triángulo se hace más corta. Debido a que el área del triángulo es la mitad del producto
de la base por la altura, la mayor área se produce cuando la altura es máxima. Esto
ocurre cuando el ángulo θ no es agudo ni obtuso, sino un ángulo recto.
Para obtener otra comprobación sencilla de que el ángulo es de 90°, imaginemos que el lado variable del triángulo es un espejo. Como se muestra en la
figura 11, el reflejo produce un rombo. Como hemos aprendido (y hompson lo
demuestra por medio del cálculo en el capítulo 11), el rectángulo de perímetro
dado que tiene la mayor área es un cuadrado. En la figura 11(b) se muestra que
cuando el reflejo forma un cuadrado, el área del triángulo isósceles se maximiza
porque tiene un ángulo recto entre sus dos lados iguales.
Un agricultor desea construir una valla de tres lados para cercar un terreno
rectangular y erigir un muro fijo como cuarto lado. ¿Cuáles tres longitudes de la
cerca maximizarán el área del terreno? Este problema es uno de los favoritos de
los libros de texto de cálculo, pero si sabemos que un cuadrado maximiza el área
de un rectángulo, dado el perímetro, podremos resolver el problema rápidamente. Imagina que el muro es un espejo. El terreno más su imagen de espejo es un
rectángulo más grande. El área mayor de este rectángulo se obtiene cuando se
trata de un cuadrado. El terreno es la mitad de ese cuadrado. Su lado más largo
será del doble de longitud que cada uno de los otros dos lados.
Un problema relacionado se puede resolver usando el supuesto correcto que
un polígono regular de n lados encierra el área más grande para ese perímetro. Si
la cerca del agricultor tiene n lados, el truco del espejo demuestra que el área del
terreno se maximiza cuando los lados son de la mitad de un polígono regular de
2n lados. A medida que los lados del polígono regular aumentan, se aproximan al
círculo como su límite. (Así fue como Arquímedes encontró una buena aproximación del valor de π.) Por tanto, si el agricultor desea cercar el terreno con una
Algunos problemas recreativos relacionados con el cálculo
valla curva del lado de la pared, el truco del espejo demuestra que maximizará el
área del terreno si construye la cerca como el arco de un semicírculo.
En ocasiones, más de una imagen de espejo resuelve el problema de forma
más fácil que si usáramos cálculo. Supón que tienes una mampara compuesta por
dos mitades idénticas que están unidas por medio de una bisagra para que pueda
variar el ángulo entre ellas. Deseas colocarla en el rincón de una habitación para
maximizar el área cercada. La figura 12 indica cómo con dos espejos se resuelve
el problema. Un polígono de ocho lados iguales tiene el área mayor cuando es
regular. La mampara debe colocarse de modo que cada una de sus mitades forme
un cuadrante del octágono regular que tiene ángulos de 135°.
Un problema de máximos que se presenta en muchos libros de cálculo (me
sorprende que hompson no lo haya incluido) se refiere a un cuadrado que puede cortarse y doblarse para formar una caja cuadrada sin tapa. Para lograrlo, se
recortan cuadrados pequeños de las cuatro esquinas del cuadrado grande y luego
se doblan los lados rectangulares. La pregunta es: ¿de qué tamaño deben ser los
cuadrados recortados para producir una caja abierta de volumen máximo?
Supón que el cuadrado es de 12 pulgadas de lado. Sea x el lado de cada cuadrado de las esquinas que se van a recortar. La base cuadrada de la caja tendrá de
lado 12 – 2x, o 2(6 – x). El área de la base cuadrada es [2(6 – x)]² = 4(6 – x)². El
volumen de la caja es x veces el área de la base, o 4x(6 – x)².
La derivada se simplifica a 12(6 – x)(2 – x). Cuando esto se iguala a cero,
descubrimos que x tiene un valor ya sea de 6 o de 2. No puede ser 6, puesto que si
recortáramos cuadrados de seis pulgadas no quedaría nada para doblar; por tanto,
x = 2. La caja de máximo volumen tiene una base cuadrada de 8 pulgadas por
lado, profundidad de 2 pulgadas y volumen de 2 ⋅ 64 = 128 pulgadas cúbicas.
Ten en cuenta que el área de la base es de 64 pulgadas y que el área total de los
lados también es de 64 pulgadas. Esta igualdad se sostiene sin importar el tamaño
del cuadrado original.
S. King, en “Maximizing a Polygonal Box” (he Mathematical Gazette, volumen 81, marzo de 1997, págs. 96-99) muestra que esto es válido para cualquier
polígono convexo cuyas esquinas se recortan y cuyos lados rectangulares se doblan para formar una caja abierta. Si el polígono es un triángulo o un polígono
regular, el volumen se maximizará cuando la razón del área combinada de los
lados al área de las esquinas recortadas es de 4 a 1.
La tarea de determinar el cuadrado más grande que entra en un cubo está
relacionado con el famoso y conocido problema del príncipe Rupert, en honor de
un sobrino del rey Charles de Inglaterra. (El príncipe vivió de 1619 a 1682.)
Rupert preguntó: ¿es posible abrir un agujero a través de un cubo que sea suficientemente grande para que un cubo ligeramente mayor pueda pasar a través
del túnel?
Si sostienes un cubo de modo que una esquina apunte directamente hacia ti,
verás el hexágono regular que se muestra en la figura 13, a la izquierda. Es posible
inscribir dentro de este hexágono un cuadrado de lados ligeramente más grandes
que la cara del cubo. En la figura 14, a la derecha, se muestra el cuadrado desde
una perspectiva diferente. Observa que dos de los lados del cuadrado son visibles
en las caras externas del cubo, mientras que los otros dos lados están dentro del
cubo y son invisibles si el cubo es opaco.
Espejo
135°
Espejo
APÉNDICE A
Mampara
Figura 12
Comprobación con una imagen de
espejo.
Figura 13
1
4
1
4
1
1
4
4
Figura 14
Dos vistas del agujero del príncipe
Rupert a través de un cubo.
239
240
APÉNDICE A
Algunos problemas recreativos relacionados con el cálculo
Este es el cuadrado más grande posible que cabe dentro de un cubo. Cada
esquina, como se indicó, mide una cuarta parte de la distancia a lo largo del borde desde la esquina. Si la orilla del cubo mide 1, el lado del cuadrado inscrito es
3/ 8 =1.060660. . . Esto equivale a tres cuartas partes de la diagonal de la cara
del cubo, un poquito más largo que la orilla del cubo. Esto permite abrir un túnel
a través de un cubo sólido; un túnel con el cuadrado inscrito como sección transversal. A través de ese túnel podría pasar un cubo cuyo borde fuera ligeramente
menor que 1.060660. . . El área del cuadrado es de exactamente 9/8 = 1.125.
No sé cómo comprobar por medio de derivación que este cuadrado es el más
grande que cabe en un cubo y me gustaría recibir noticias de algún lector que
pudiera decírmelo. El problema se generaliza a los cubos de mayor dimensión.
No es fácil determinar el cubo mayor que tendrá cabida dentro de un hipercubo
de cuatro dimensiones. Para dimensiones superiores, el problema general sigue
sin poder resolverse. Consulta el problema B4 en Unsolved Problems in Geometry
(1991), de Hallard Croft, Kenneth Falconer y Richard Guy.
A propósito, el rectángulo más grande que cabe dentro de un cubo es la sección transversal que pasa por las diagonales de dos caras opuestas. En el cubo
unitario es el rectángulo de lados 1 × 2, con un área de 2.
Cilindros
Los problemas sobre cilindros circulares rectos abundan en los libros de texto.
A continuación presento un encantador acertijo poco conocido que descubrí en
Problems for Puzzlebusters (1992, págs. 25-26), de David L. Book.
Una lata cilíndrica circular recta se abre por la parte superior. El diámetro es
de 4 pulgadas y la altura mide 6 pulgadas. Se deja caer una esfera en la lata. La tarea consiste en obtener el tamaño de la bola que maximiza la cantidad de líquido
que debe verterse en la lata para cubrir exactamente la bola.
Podrías pensar que la bola más grande posible, de cuatro pulgadas de diámetro, funcionaría. Sin más reflexión, comprendemos que una bola más pequeña
podría requerir más líquido porque habría más espacio a su alrededor por llenar.
Sea x el diámetro de la bola. La bola, más el líquido que apenas la cubre, forma un cilindro circular recto de una altura igual al diámetro de la bola. La altura
de este cilindro (bola más líquido) también es x. El volumen del cilindro es 4πx.
El volumen de la bola es
x3
4π
π x3 .
2
=
6
3
()
La cantidad de líquido requerido para cubrir la bola es la diferencia entre el
volumen de la bola y el volumen del cilindro, por lo que escribimos:
π x3
v = 4π x −
6
24π x π x 3
=
−
6
6
π
3
= (24x −x )
6
APÉNDICE A
Algunos problemas recreativos relacionados con el cálculo
La expresión anterior da la cantidad de líquido necesaria para cubrir la bola
como una función de x, el diámetro de la bola. Para calcular el tamaño más grande de la bola, π /6 es una constante, por lo que puede eliminarse. Sólo tenemos
que derivar 24x – x3 e igualar a cero. La derivada es 24 – 3x2. Igualamos a cero y
resolvemos para x para obtener el diámetro de la bola: 8 = 2.828+.
En el capítulo 5, hompson considera la razón a la que el volumen de un cilindro circular recto varía como función de su radio. Susan Jane Colley, al escribir
“Calculus in the Brewery” en he College Mathematics Journal (mayo de 1994),
explica cómo los fabricantes de productos que vienen en latas cilíndricas pueden
usar esta función para engañar a los consumidores. Observó que las latas de cerveza que contienen exactamente la misma cantidad a menudo tienen diferentes
alturas, pero parecen tener el mismo radio. Uno esperaría que la lata más alta
contuviera más cerveza cuando en realidad no es así.
Colley demuestra, por derivación de la fórmula del volumen de un cilindro
(el área de la base multiplicada por la altura), que si el radio de una lata cilíndrica
de cerveza tiene un leve decremento, una reducción imperceptible a simple vista,
la lata se vuelve diez veces más alta que el decremento del radio sin que el volumen varíe en absoluto. Las latas más altas son ilusiones ópticas. Dan la impresión
de contener más cerveza que las latas más bajas, pero en realidad no es así. “Qué
listos esos personajes de marketing”, concluye Colley.
En “What is the Lowest Position of the Center of Mass of a Soda Can?”, en
Primus (volumen 7, marzo de 1997, págs. 35-42), Aparna W. Higgins resolvió
otro problema encantador sobre cilindros que merece estar en los libros de cálculo. El centro de masa de una lata llena está cerca del centro geométrico de la lata,
y lo mismo se puede decir de una lata vacía. A medida que la bebida se consume,
el centro de masa disminuye constantemente. Cuando la lata está vacía, vuelve
al centro geométrico. Evidentemente, no puede ir al fondo y saltar de pronto al
centro; por tanto, debe haber un punto en el que el centro de masa alcanza su
nivel más bajo antes de empezar a subir de nuevo.
El problema consiste en hallar ese mínimo. Aquí intervienen tres cilindros:
el líquido, la lata y el aire por encima del líquido, suponiendo, desde luego, que
la lata es vertical.
El doctor Higgins, matemático de la Universidad de Dayton en Ohio, demuestra cómo resolver el problema correctamente por medio de derivar e igualar
a cero. ¡Sorpresa! El centro de masa de la lata alcanza su punto más bajo cuando
llega exactamente al nivel del líquido.
En el capítulo 16 de mi libro Wheels, Life, and Other Mathematical Amusements,
presento este problema junto con una forma ingeniosa para que el lector lo resuelva
sin cálculo. Sin embargo, como señala el doctor Higgins, usar cálculo diferencial
para obtener la respuesta es un excelente ejercicio para los estudiantes de cálculo.
Añadiría que a diferencia de muchos problemas que se presentan en los libros de
texto, este se relaciona directamente con la experiencia de un estudiante.
Los problemas de integración que rutinariamente aparecen en los libros de
cálculo a menudo se pueden resolver por métodos más sencillos. Un ejemplo
clásico se relaciona con dos cilindros circulares, cada uno de ellos con una unidad
de radio que se cortan en ángulos rectos como se muestra en la figura 15. ¿Cuál
es el volumen de la parte sombreada que es común a ambos cilindros?
241
Figura 15
Problema de Arquímedes de los cilindros entrecruzados.
242
APÉNDICE A
Algunos problemas recreativos relacionados con el cálculo
Figura 16
Sección transversal de los cilindros.
Para responder esta pregunta sólo necesitas saber que el área de un círculo es
igual a πr2, y el volumen de una esfera es 4πr 3/3.
Imagina una esfera de una unidad de radio dentro del volumen común a
los dos cilindros, que tiene como centro el punto donde los ejes de los cilindros
se intersecan. Supón que un plano corta los cilindros y la esfera a la mitad; este
plano pasa por el centro de la esfera y por ambos ejes de los cilindros (véase la
figura 16, arriba). La sección transversal del volumen común a los cilindros será
un cuadrado. La sección transversal de la esfera será el círculo inscrito dentro del
cuadrado.
Ahora supón que un plano paralelo al anterior corta los cilindros y la esfera,
sólo que ahora recorta una pequeña parte de cada cilindro (figura 16, abajo). Esto
producirá surcos paralelos en cada cilindro, que se entrecruzan como antes para
formar una sección transversal cuadrada del volumen común a los dos cilindros.
También como antes, la sección transversal de la esfera será un círculo dentro
del cuadrado. No es difícil darse cuenta (con un poco de imaginación y algunos
trazos con el lápiz) de que cualquier sección del plano que atraviesa los cilindros,
paralela a los ejes de estos, siempre tendrá el mismo resultado: una sección transversal cuadrada del volumen común a los dos cilindros, que encierra una sección
transversal circular de la esfera.
Imagina que cosiéramos todas estas secciones de planos como si fueran las
páginas de un libro. Es claro que el volumen de la esfera será la suma de todas
las secciones transversales circulares, y el volumen del sólido común a ambos
cilindros será la suma de todas las secciones transversales cuadradas. Por tanto,
concluimos que la razón del volumen de la esfera al volumen del sólido común a
los cilindros es igual a la razón del área de un círculo al área de un cuadrado circunscrito. Unos cuantos cálculos demuestran que la segunda razón es π /4. Esto
permite plantear la ecuación siguiente, en la que x es el volumen que buscamos:
4π r 3 / 3 π
=
x
4
Al cancelar π, obtenemos un valor de x de 16r3/3. El radio en este caso es 1,
por lo que el volumen común a ambos cilindros es 16/3. Como señaló Arquímedes, es exactamente 2/3 del volumen de un cubo que encierra la esfera; es decir,
un cubo con un borde igual al diámetro de cada cilindro.
Esta solución es una famosa aplicación de lo que se conoce como principio de
Cavalieri, en honor de Francesco Bonaventura Cavalieri (1598-1647), un físico
matemático italiano, alumno de Galileo. En esencia, el principio señala que los
sólidos, como los prismas, conos, cilindros y pirámides que tienen la misma altura
y secciones transversales correspondientes de la misma área, tienen el mismo volumen. Para probar este principio, Cavalieri se adelantó al cálculo integral y acumuló
un volumen sumando hasta un límite un grupo infinito de secciones transversales
infinitesimales. Arquímedes ya conocía este principio. En un libro perdido titulado
El método, que no se descubrió sino hasta 1906 (es el libro en el que Arquímedes
responde al problema de los cilindros entrecruzados), atribuye el principio a Demócrito, quien lo usó para calcular el volumen de una pirámide y un cono.
El problema se puede generalizar de varias maneras, sobre todo a n cilindros
mutuamente perpendiculares, del mismo radio, que se entrecruzan en espacios
APÉNDICE A
Algunos problemas recreativos relacionados con el cálculo
243
de tres o más dimensiones. Incluso el caso de tres cilindros que se entrecruzan en
ángulos rectos está fuera del alcance del principio de Cavalieri y requiere el uso
del cálculo integral. El volumen común a los tres cilindros es 8r 3(2 − 2).
El caso de los dos cilindros tiene aplicaciones en arquitectura en lo que se
conoce como bóveda de cañón que forman los techos. Cuando dos de estos arcos
se entrecruzan crean una bóveda de arista: la parte de la superficie del sólido que
comparten dos cilindros entrecruzados. También existen aplicaciones importantes en cristalografía e ingeniería.
Otra aplicación del principio de Cavalieri la encontramos en un viejo acertijo
sobre un tapón de corcho que cabe a la perfección en tres agujeros: un círculo, un
cuadrado y un triángulo casi equilátero (véase la figura 17, arriba). Dicho de otra
forma, ¿qué manera puede, si se la gira correctamente, proyectar sombras que son
círculos, cuadrados y triángulos isósceles?
El tapón que resuelve el problema se muestra a la derecha. Supón que la
base circular tiene radio de 1, su altura mide 2 y el borde superior, directamente
encima del diámetro de la base, también es 2. Además, podemos imaginar que la
superficie se genera a partir de una línea recta que se une al borde definido de la
circunferencia de la base y se mueve de manera que en todo momento es paralela
a un plano perpendicular al borde definido. El cálculo te ayudará a obtener el
volumen del tapón, pero el método de Cavalieri, una vez más, lo resuelve de manera más sencilla. Lo único que necesitas saber es que el volumen de un cilindro
circular recto es el área de su base multiplicada por su altura.
A continuación explico cómo presenté la solución en mi Second Scientific
American Book of Mathematical Puzzles and Diversions (1961):
Toda sección transversal vertical del tapón de corcho en ángulo recto al borde
superior y perpendicular a la base será un triángulo. Si el corcho fuera un cilindro de la misma altura, las secciones transversales correspondientes serían
rectángulos. Cada sección triangular es, evidentemente, 1/2 del área de la correspondiente sección transversal rectangular. En vista de que todas las secciones
triangulares se combinan para formar el círculo, el tapón debe ser de 1/2 del
volumen del cilindro. El volumen del cilindro es 2π, por lo que nuestra respuesta es simplemente π.
Figura 17
El problema del tapón de corcho.
En realidad, el corcho puede tener un número infinito de formas y aun así
caber en los tres agujeros. La forma descrita tiene el volumen más pequeño de
cualquier sólido convexo que quepa en los agujeros. El volumen más grande
se obtiene por el sencillo procedimiento de cortar el cilindro en dos planos
como se muestra en la figura 18. Esta es la forma que dan la mayoría de los
libros de acertijos que incluyen el problema del tapón. Su volumen es igual a
2π – 8/3.
El principio de Cavalieri también se aplica a las figuras planas. Si las formas
entre las líneas paralelas A y B, como en la figura 19, tienen secciones transversales de la misma área cuando las corta cada línea paralela a A y B, entonces
también tienen la misma área. Como en el caso del sólido, esto se generaliza al
teorema según el cual si las secciones transversales correspondientes están siempre
en la misma proporción, sus áreas tendrán la misma razón.
Figura 18
Otra forma de cortar el tapón de corcho.
APÉNDICE A
244
Algunos problemas recreativos relacionados con el cálculo
Cicloides e hipocicloides
A
B
Figura 19
Principio de Cavalieri aplicado a figuras
planas.
A
B
Figura 20
Generación de una cicloide un punto en
una circunferencia rodante.
Deltoide
Astroide
Figura 21
Hipocicloide de
“dos cúspides”
Figura 22
La curva generada por un punto en una circunferencia que rueda a lo largo de
una línea recta (figura 20) se llama cicloide. La longitud del segmento de recta
que va de A a B es, por supuesto, π. Como π es irracional, muchos matemáticos de las épocas anteriores al cálculo sospecharon que la longitud del arco, de
cúspide a cúspide, era también irracional. En la actualidad casi todos los libros
de cálculo muestran lo fácil que es determinar que la longitud del arco es exactamente cuatro veces el diámetro de la circunferencia. También es fácil determinar
por integración que el área debajo del arco es exactamente tres veces el área de la
circunferencia. (Para información sobre algunas de las extraordinarias propiedades de la cicloide, consulta el capítulo 13 de mi libro Sixth Book of Mathematical
Games, 1971.)
Las hipocicloides son curvas cerradas que describen la trayectoria de un punto sobre una circunferencia que rueda dentro de otra circunferencia mayor. Se
explican en muchos libros de matemáticas recreativas, así como en libros de texto. En la figura 21 se muestran dos hipocicloides que tienen nombre. La curva
deltoide es una hipocicloide de tres cúspides que describe la trayectoria de un
punto sobre una circunferencia rodante, con radio de uno o dos tercios del de la
circunferencia mayor. El astroide de cuatro cúspides lo produce un punto sobre
una circunferencia rodante, con radio de un cuarto o tres cuartos del radio de la
circunferencia que la contiene.
Un círculo no es una gráfica de una función porque una recta vertical puede
cortarlo en dos puntos, con lo que se obtendrían dos valores para y por un valor
dado de x. Sin embargo, se pueden integrar sectores de este para obtener áreas
mediante el uso de lo que se conoce como ecuaciones paramétricas porque comprenden una tercera variable conocida como parámetro. En el caso del círculo, el
parámetro es el ángulo θ ilustrado en la figura 23 de hompson y que comúnmente se designa con t o la letra griega θ.
Si r es el radio de una circunferencia con centro en el origen, sus ecuaciones
paramétricas son las funciones trigonométricas x = r cos θ y y = r sen θ. Cada
valor de θ, de 0 a 360°, determina un punto en la circunferencia.
Igual que la circunferencia, las curvas deltoide y astroide no son gráficas de
funciones. Sus áreas se obtienen de las ecuaciones paramétricas basadas en el ángulo θ. hompson no menciona las ecuaciones paramétricas, pero las encontrarás
en los libros de texto modernos. La integración de estas ecuaciones da el área de la
deltoide de 2/9 del área de la circunferencia mayor, o 2πa2, donde a es el radio de
una circunferencia rodante que es 1/3 del de la circunferencia mayor. Si ese radio
es 1, el área de la deltoide es 2π. El área del astroide es 3/8 de la circunferencia
exterior y seis veces el área de la circunferencia rodante. La circunferencia rodante
tiene un radio igual a 1/4 del radio del círculo mayor, o 2/3 veces el área de la
circunferencia rodante si esta tiene 3/4 el radio de la mayor.
Menciono todo esto por las dos relaciones con la geometría recreativa. ¿Cuál
es el área de la hipocicloide de dos cúspides que describe un punto sobre una
circunferencia rodante que tiene un radio igual a la mitad del radio de la circunferencia mayor? (figura 22). La respuesta sorprendente es ¡cero! La hipocicloide
es una línea recta igual al diámetro de la circunferencia mayor.
APÉNDICE A
Algunos problemas recreativos relacionados con el cálculo
La figura convexa de menor tamaño en el que una aguja (un segmento de
recta) de longitud 1 puede girar 180° es el triángulo equilátero, de altura unitaria
y área de 3 / 3. ¿Cuál es la figura no convexa mínima en la que una aguja de una
unidad puede girarse?
Por muchas décadas se creyó que era la deltoide. Para sorpresa de todo el
mundo, se comprobó que el área podía ser tan pequeña como se deseara. Relato
la historia de lo que se conoce como el problema de la aguja de Kakeya en el capítulo 18 de mi Unexpected Hanging and Other Mathematical Diversions (1969).
Las hipocicloides y sus hermanas, las epicicloides (generadas por un punto sobre
una circunferencia que rueda fuera de otra circunferencia) se analizan en el primer capítulo de mi Wheels, Life, and Other Mathematical Amusements (1983).
Desde luego, he abarcado sólo una pequeñísima fracción de los problemas
relacionados con el cálculo que pueden encontrarse en las obras de matemáticas
recreativas. Como habrás visto, muchos problemas de cálculo pueden resolverse
con mayor facilidad si no se usa el cálculo. En efecto, existe la tendencia entre ciertos matemáticos a menospreciar las soluciones no basadas en el cálculo
que se ofrecen a los problemas de cálculo, como si fueran trucos baratos. Por el
contrario, son tan útiles y tan elegantes como las soluciones de cálculo. Las dos
referencias clásicas sobre estos son: “No Calculus, Please”, un ensayo ameno de
J.H. Butchart y Leo Moser en Scripta Mathematica (volumen 18, septiembrediciembre de 1952, págs. 221-226) y Maxima and Minima without Calculus, de
Ivan Niven (1981).
“La postura que adopta este libro”, escribe Niven (pág. 242), “es que, aunque
el cálculo ofrece una técnica eficaz para resolver problemas extremos, hay otros
métodos sumamente eficaces que no deben pasarse por alto. [. . .] Muchos estudiantes [. . .] tratan de resolver preguntas extremas [. . .] mediante la búsqueda
de alguna función para derivar, a pesar de que muchos de estos problemas se
manejan mejor con otros métodos. Además, los estudiantes a menudo se empeñan en realizar el proceso de derivación pase lo que pase, pese a las funciones
irremediablemente complejas que tienen a la mano”.
Permítanme cerrar esta selección fortuita de problemas con una broma que
el físico Richard Feynman una vez le jugó a sus alumnos del MIT. Cito de su
autobiografía Surely You’re Joking, Mr. Feynman (1985):
Me gustaba jugar bromas a los chicos cuando estaba en el MIT. Una vez, durante la clase de dibujo mecánico, un bromista tomó una plantilla de curvas
Burmester (una hoja de plástico para trazar curvas; una herramienta con formas
curvas muy graciosas y de aspecto curioso) y dijo: “Me pregunto si las curvas de
esta plantilla tendrán una fórmula especial.”
Reflexioné un momento y repuse: “Claro que sí. Las curvas son muy especiales. Déjenme mostrarles”, y tomé mi plantilla de curvas Burmester y empecé
a girarla despacio.
“La plantilla está hecha para que en el punto más bajo de cada curva, sin
importar cómo la giren, la tangente sea horizontal.”
Todos los chicos de la clase levantaron su plantilla de curvas y empezaron a
examinarla en diferentes ángulos, levantaron el lápiz hacia ella y lo colocaron
a lo largo de ésta. Descubrieron, cómo no, que la tangente era horizontal. Es-
245
246
APÉNDICE A
Algunos problemas recreativos relacionados con el cálculo
taban muy emocionados por este “descubrimiento”, aunque ya habían pasado
por cierto número de lecciones de cálculo y habían “aprendido” que la derivada
(tangente) del mínimo (punto más bajo) de cualquier curva es cero (horizontal).
No ataron cabos. Ni siquiera sabían qué “sabían”.
Apéndice B
Una tabla útil de logaritmos neperianos1
Número
Loge
Número
Loge
1
0.0000
6
1.7918
1.1
0.0953
7
1.9459
1.2
0.1823
8
2.0794
1.5
0.4055
9
2.1972
1.7
0.5306
10
2.3026
2.0
0.6931
20
2.9957
2.2
0.7885
50
3.9120
2.5
0.9163
100
4.6052
2.7
0.9933
200
5.2983
2.8
1.0296
500
6.2146
3.0
1.0986
1 000
6.9078
3.5
1.2528
2 000
7.6009
4.0
1.3863
5 000
8.5172
4.5
1.5041
10 000
9.2103
5.0
1.6094
20 000
9.9035
1
También llamados logaritmos naturales o
logaritmos hiperbólicos.
Apéndice C
Respuestas a ejercicios selectos
Ejercicios I
1.
dy
12
= 13x
dx
2.
dy
3 –5/2
=− x
dx
2
3.
dy
2a−1
= 2ax
dx
4.
du
1.4
= 2.4t
dt
5.
dz 1 −2/3
= u
du 3
6.
dy
5 −8/3
=− x
dx
3
7.
du
8 −13/5
=− x
dx
5
8.
dy
a−1
= 2ax
dx
9.
dy 3 3−q/q
= x
dx q
10.
dy
m m+n/n
=− x
dx
n
Ejercicios II
1.
dy
2
= 3ax
dx
2.
3 1/2
dy
= 13 ⋅ x
2
dx
3.
dy
−1/2
= 6x
dx
4.
dy 1 1/2 −1/2
= c x
dx 2
5.
du an n−1
= z
dz
c
6.
dy
= 2.36t
dt
7.
dl t
= 0.000012 × l 0
dt
8.
9.
dc
b−1
= abV , 0.98, 3.00 y 7.46 candelas (intensidad luminosa) por voltio,
dV
respectivamente.
dn
gT dn
gT
1
1
, =− 2
=− 2
dD
LD πσ dL
DL πσ
dn
gT dn
g
1
1
,
=−
=
3
dσ
2DL πσ dT 2DL πσ T
Apéndice C
10.
D
Razón de cambio de P cuando t varía
=−
t
Razón de cambio de P cuando D varía
11. 2π, 2π r, π l,
2
πrb, 8π r, 4π r 2.
3
Ejercicios III
1. (a) 1 + x +
x2 x3 x4 . . .
+ + +
6 24
2
(b) 2ax + b
(d ) 3x2 + 6ax + 3a2
(c) 2x + 2a
2.
dw
= a − bt
dt
3.
dy
= 2x
dx
4. 14 110x4 – 65 404 x3 – 2 244x2 + 8 192x + 1 379
5.
dx
= 2y +8
dy
6. 185.9022654x2 + 154.36334
6x 4 +6x 3 +9x 2
8.
(1+ x +2x 2 )2
−5
7.
(3x + 2)2
9.
ad −bc
(cx +d )2
10.
anx −n−1 + bnx n−1 +2nx −1
(x −n + b)2
11. b + 2ct
(
12. R 0 (a + 2bt ), R 0 a +
b
2 t
)
,−
R 0 (a +2bt )
R 2 (a +2bt )
o
−
(1+at +bt 2 )2
R 02
13. 1.4340(0.000014t – 0.001024), –0.00117, –0.00107, –0.00097
14. (a)
k
dE
=b+ ,
dl
i
(b)
dE
c +kl
=− 2
di
i
Ejercicios IV
x 2 +2ax − a 2a(a +1)
;
2.
(x +a)2
(x +a)3
1. 17 + 24x; 24
3. 1+ x +
x3
x2
x2
; 1+ x +
+
1⋅ 2 1⋅ 2 ⋅ 3
1⋅2
4. (Ejercicios III):
1. (a)
d 3u
1 2 1 3 ...
d 2u
x + x +
1 x
=
3 = + +
2
2
6
dx
dx
(b) 2a, 0
2. –b, 0
3. 2, 0
(c) 2, 0
(d) 6x + 6a, 6
Respuestas a ejercicios selectos
249
250
Apéndice C
Respuestas a ejercicios selectos
4. 56 440x3 – 196 212x2 – 4 488x + 8 192.
169 320x2 – 392 424x – 4 488
5. 2, 0
270
30
7.
,
3 −
(3x +2)4
(3x +2)
6. 371.80453x, 371.80453
(Ejemplos):
6a 6a
x,
b2 b2
1.
2.
1.056
− 5 11 ,
θ
θ
2.3232
2
3.
3
5
8
4
θ
16
3a b 6b 3 a 18b 3 a 3a b
− 3 ,
−
x
x4
2 x
4 x3
16
− 3 11
3 θ
3
4. 810t – 648t + 479.52t2 – 139.968t + 26.64
3 240t 3 – 1 944t 2 + 959.04t – 139.968
6. 6x2 – 9x, 12x – 9
5. 12x + 2, 12
1
1
3 1
+ 5 +
4
4 θ
θ
(θ −θ)
3
8
15
(
7.
⋅
)
1
1
1
15
7
3
1
7
( θ − θ )− 8 ( θ + θ )
5
3
9
7
Ejercicios V
2. 64; 147.2, y 0.32 pies por segundo.
3. x⋅ = a – gt; x⋅⋅ = –g
4. 45.1 pies por segundo.
5. 12.4 pies por segundo por segundo. Sí.
6. Velocidad angular = 11.2 radianes por segundo;
aceleración angular = 9.6 radianes por segundo por segundo.
7. v = 20.4t2 – 10.8, a = 40.8t 172.8 pulg/s, 122.4 pulg/s²
1
1
8. v =
, a =−
2
30 3 (t −125)
45 3 ( t −125)5
9. v = 0.8 −
8t
24t 2 −32
,
a
, 0.7926 y 0.00211
=
(4 +t 2 )3
(4 +t 2 )2
10. n = 2, n = 11
Ejercicios VI
1.
x
2
x +1
2.
x
2
x + a2
Apéndice C
3. –
1
2 (a + x)
2
5.
7.
9.
4.
3
2a −x
ax
(a −x 2 )3
3 2 8
x
x(x 3 +a)−(x 4 +a)
2
9
6.
(x 4 +a)2/3 (x 3 +a)3/2
{
2
x 3 x 2 −a 2
2a(x −a)
(x +a)3
8.
5 3
y
2
1
(1−θ ) 1− θ 2
Ejercicios VII
3x 2 (3 + 3x 3 )
=−
1.
3
1
1
dx
27 x 3 + x 6
2
4
dw
(
2.
dv
12x
=−
2
dx
1+ 2 +3x 2 ( 3 +4 1+ 2 +3x 2 )
du
=−
3.
dx
5.
6.
)
x 2( 3 + x 3 )
3 2 3
[1+ (1+ x 3 ) ]
dx
2 1
= a(1 − cos θ ) = 2a sen θ
2
dθ
dy
1
1 dy
1
= a sen θ = 2a sen θ cos θ , = cot θ
dθ
2
2 dx
2
dx
dx
=−3a cos 2 θ sen θ ,
= 3a sen2 θ cos θ ;
dθ
dθ
dy
=−tan θ
dx
7.
dy
2
2
= 2x cot(x − a )
dx
8. Escribe y = u – x; calcula dx /du, dy /du y después dy /dx.
Ejercicios VIII
2. 1.44
4. dy /dx = 3x2 + 3; y los valores numéricos son: 3, 3 3/4, 6 y 15.
5. ± 2
}
Respuestas a ejercicios selectos
251
252
Apéndice C
Respuestas a ejercicios selectos
1
4x
dy
. La pendiente es cero donde x = 0; y es ±
donde x = 1.
=−
3 2
9y
dx
7. m = 4, n = –3
8. Intersecciones en x = 1, x = –3. Ángulos 153°26′, 2°28′
6.
9. Intersección en x = y =
25
. Ángulo 16°16′
7
1
1
5
10. x = , y = 2 , b =−
3
3
3
Ejercicios IX
1. Mínimo: x = 0, y = 0; máximo: x = –2, y = –4
2. x = a
4. 25 3 pulgadas cuadradas.
5.
dy
10
10
; x = 4; y = 5
=− 2 +
dx
x
(8−x)2
6. Máximo para x = –1; mínimo para x = 1.
7. Une los puntos medios de los cuatro lados.
2
R
8. r = R, r = , no hay máximo.
3
2
9. r = R
2
R
,r=
, r = 0.8507R
3
2
10. A razón de 8 π pies cuadrados por segundo.
11. r =
R 8
3
Ejercicios X
1. Máximo: x = –2.19, y = 24.19; mínimo: x = 1.52, y = –1.38
dy b
b
d2y
2.
(un máximo)
2c; x =
= − 2cx;
2 =−
dx a
dx
2ac
3. (a) Un máximo y dos mínimos.
(b) Un máximo.
(x = 0; otros puntos irreales.)
4. Mínimo: x = 1.71, y = 6.13
5. Máximo: x = –.5, y = 4
6. Máximo: x = 1.414, y = 1.7678. Mínimo: x = –1.414, y = –1.7678
7. Máximo: x = –3.565, y = 2.12. Mínimo: x = +3.565, y = 7.88
8. 0.4N, 0.6N
Apéndice C
9. x =
Respuestas a ejercicios selectos
a
c
10. Velocidad: 8.66 millas náuticas por hora. Tiempo transcurrido 115.44 horas;
el costo total es $2 251.11
11. Máximo y mínimo para x = 7.5, y = ±5.413
1
1
12. Mínimo: x = , y = 0.25; máximo: x = – , y = 1.407
3
2
Ejercicios XI
1.
2
1
+
x −3 x +4
2.
1
2
+
x −1 x −2
3.
2
1
+
x −3 x +4
4.
5
4
–
x −4 x −3
5.
19
22
−
13(2x +3) 13(3x −2)
6.
2
4
5
+
−
x −2 x −3 x −4
7.
1
11
1
+
+
6(x −1) 15(x +2) 10(x −3)
8.
7
71
5
+
−
9(3x +1) 63(3x −2) 7(2 x +1)
9.
1
2x +1
+
3(x −1) 3(x 2 + x +1)
10. x +
11.
3
2x +1
+ 2
x +1 x + x +1
12.
1
1
2
−
+
x −1 x −2 (x −2)2
13.
1
1
1
−
+
4(x −1) 4(x +1) 2(x +1)2
14.
4
4
1
−
−
9(x −1) 9(x +2) 3(x +2)2
15.
1
5
x −1
1
32
36
− 2
− 2
−
2 16.
2 +
x +2 x + x +1 (x + x +1)
(x +4) (x +4)
(x +4)3
17.
7
55
73
3 +
2 +
9(3 x −2)
9( 3 x −2)
9( 3 x −2)4
18.
1
1
x
+
2 −
2
6(x −2) 3(x −2)
6(x +2x +4)
2
1−2x
+
3(x +1) 3(x 2 −x +1)
Ejercicios XII
1. ab(e ax + e −ax )
2. 2at +
3. ln n
5. npvn–1
6.
n
x
7.
2
t
3e −x/x−1
(x −1)2
253
254
Apéndice C
Respuestas a ejercicios selectos
8. 6 xe −5x − 5 (3 x 2 + 1) e −5x
9.
ax a−1
xa + a
15x 2 +12x x −1
2 x
11.
1−ln(x +3)
(x +3)2
10.
12. a x (ax a−1 + x a ln a)
15.
14. Mínimo: y = 0.7 para x = 0.693
1+ x
x
16.
3
(ln ax)2
x
Ejercicios XIII
2. T = 34.625; 159.45 minutos
5. (a) xx(1 + ln x);
(b) 2x(ex)x;
x
(c) e x × x x (1 + ln x)
6. 0.14 segundos
7. (a) 1.642;
(b) 15.58
8. μ = 0.00037, 31.06 minutos
9. i es 63.4% de i0, 221.56 kilómetros
10. k = 0.1339, 0.1445, 0.1555, media = 0.1446; errores porcentuales:
–10.2%, 0.18% prácticamente nulo, +71.8%
11. Mínimo para x =
1
e
12. Máximo para x = e
13. Mínimo para x = ln a
Ejercicios XIV
1.
(i)
dy
π
= A cos θ −
2
dθ
(ii)
dy
dy
= 2 sen θ cos θ = sen 2θ y
= 2 cos 2θ
dθ
dθ
(
)
dy
dy
= 3 sen2 θ cos θ y
= 3 cos 3θ
dθ
dθ
π
dy
2. θ = 45° o
3.
radianes
=−n sen 2π nt
4
dt
sen x
4. a x 1n a cos a x
5. −
=−tan x
cos x
(iii)
6. 18.2 cos (x +26°)
7. La pendiente es dy / dθ =100 cos (θ − 15°), que es un máximo cuando
(θ – 15°) = 0, o θ = 15°; el valor de la pendiente es pues = 100. Cuando θ =
75°, la pendiente es 100 cos (75° − 15°) = 100 cos 60° = 100 ⋅ 1/2 = 50
Apéndice C
8. cos θ sen 2θ + 2 cos 2θ sen θ = 2 sen θ (cos²θ + cos 2θ )
= 2 sen θ (3 cos2 θ – 1)
9. amnθ n−1 tanm−1 (θ n) sec² (θ n)
10. ex (sen² x + sen 2x)
(i)
dy
ab
=
dx (x +b)2
(ii)
a −x /b
e
b
(iii)
ab
1
× 2
90° (b + x 2 )
12. (i)
dy
= sec x tan x
dx
(ii)
1
dy
=−
dx
1−x 2
(iii)
dy
1
=
dx 1+ x 2
(iv)
1
dy
=
dx x x 2 −1
(v)
dy
3sec x (3sec 2 x −1)
=
dx
2
11.
13. dy / dθ = 4.6( 2θ +3)1.3 cos (2θ +3)2.3
14. dy / dθ = 3θ 2 + 3 cos (θ + 3) − ln 3(cos θ × 3senθ + 3θ )
15. θ = cot θ ; θ = ±0.86; y = ±0.56; es máx. para +θ , mín. para −θ
Ejercicios XV
1. x 2 − 6x 2 y − 2 y 2 ;
1
− 2x 3 − 4xy
3
2. 2xyz + y 2 z + z 2 y + 2x y 2z 2
2x yz + x 2 z + xz 2 + 2x 2 yz 2
2xy z + x 2 y + xy 2 + 2x 2 y 2z
3.
1
(x + y + z )−(a +b +c) 2
(x −a)+( y −b)+(z −c) =
;
r
r
r
4. dy = v u v–1 du + u v ln u dv
5. dy = 3 sen v u 2 du +u 3 cos v dv
dy = u (sen x )
dy =
u−1
cos x dx + (sen x )u ln sen x du
1 1
1
du − ln u 2 dv
v u
v
7. No hay mínimo ni máximo.
8. (a) Longitud 2 pies, ancho = profundidad = 1 pie, volumen = 2 pies cúbicos.
2
(b) Radio = pies = 7.64 pulg, longitud = 2 pies, volumen = 2.55
π
9. Las tres partes son iguales; el producto es un máximo.
10. Mínimo = e² para x = y = 1
Respuestas a ejercicios selectos
255
256
Apéndice C
Respuestas a ejercicios selectos
11. Mínimo = 2.307 para x = 1/2, y = 2
12. Ángulo en ápice = 90°; lados iguales = longitud = 3 2V
Ejercicios XVI
1. 1
1
3
3. 0.2624
2. 0.6345
1
4. y = x 2 + C
8
5. y = x2 + 3x + C
Ejercicios XVII
1.
4 a x 3/2
+C
3
2. –
3.
x4
+C
4a
4.
5. −2x −5/2 +C
7.
8.
1
+C
x3
1 3
x +ax +C
3
6. x 4 + x 3 + x 2 + x +C
ax 2 bx 3 cx 4
+
+
+C
9
16
4
x 2 +a
a 2 +a
x
a
por división. Por tanto, la respuesta es
= − +
x +a
x +a
1 2
x4
27 2
3
x −ax + a(a +1) ln (x +a) +C 9.
+ 3x + x +27x +C
2
4
2
x 3 2−a 2
x −2ax +C
10.
+
3
2
9 4/3
2
3/2
11. a 2x + x
+C
4
1
1
12. − cos θ − θ +C
3
6
13.
1
sen 2a θ
+C
θ+
2
4a
14.
1
1
θ − sen 2θ +C
2
4
15.
1
sen 2a θ
+C
θ−
2
4a
16.
1 3x
e +C
3
17. ln 1+ x +C
(
18. −ln 1−x +C
Ejercicios XVIII
4
1. Área = 120; ordenada media = 20 2. Área = a 5/2
3
3. Área = 2; ordenada media = 2/π = 0.637
4. Área = 1.57; ordenada media = 0.5
)
Apéndice C
5. 0.571, 0.0476
1
6. Volumen = π r 2h
3
7. 1.25
8. 79.6
9. Volumen = 4.935, de 0 a π
10. a ln a,
a
ln a
a −1
12. Media aritmética = 9.5; media cuadrática = 10.85
1
2
relaciona con la integral
13. Media cuadrática =
A12 + A32 ; media aritmética = 0. La primera se
∫ ( A12 sen 2 x +2A1 A3 sen x sen 3x + A32 sen2 3x)dx
que puede evaluarse así: sen2 x = 1/2 (1−cos 2x), sen2 3x = 1/2 (1−cos 6x), y
2 sen x sen 3x = cos 2x – cos 4x
14. El área es de 62.6 unidades cuadradas. La ordenada media es 10.43.
16. 436.3 (Este sólido tiene forma de pera.)
Ejercicios XIX
1.
x a 2 −x 2 a 2
x
+
arcsen +C
2
2
a
2.
3.
x a+1
1
ln x −
+C
a +1
a +1
4. sen e x +C
(
)
5. sen ( ln x ) +C
7.
1
(ln x)a+1 +C
a +1
x2
1
ln x − +C
2
2
(
)
6. e x (x 2 − 2x +2)+ C
8. ln ln x +C
9. 2 ln x −1 +3 ln x +2 +C
10.
1
1
3
ln x −1 + ln x −2 + ln x +3 +C
2
5
10
11.
b
x −a
ln
+C
2a
x +a
12. ln
x 2 −1
+C
x 2 +1
13.
1 1+ x
1
ln
+ arctan x +C
4 1−x
2
14. −
a 2 −b 2 x 2
+C
b2
Ejercicios XX
1. T = T0eμθ
1
2. s = ut + at 2
2
Respuestas a ejercicios selectos
257
258
Apéndice C
Respuestas a ejercicios selectos
3. Multiplicar por e2t da
∫
d 2t
(ie ) = e 2t sen 3t , por lo que
dt
ie 2t = e 2t sen 3t dt =
1 2t
e (2 sen 3t − 3 cos 3t ) + E .
13
Puesto que i = 0 cuando t = 0, E = 3/13; por tanto, la solución es i = 1/13
(2 sen 3t −3 cos 3t + 3e−2t ).
Ejercicios XXI
1. r = 2 2, x 1 =−2, y1 = 3
2. r = 2.83, x1 = 0, y1 = 2
3. x = ±0.383, y = 0.147
4. r = 2 m , x1 = y1 = 2 m
5. r = 2a, x1 = 2a, y1 = 0
6. Cuando x = 0, r = y1 = infinito, x1 = 0
Cuando x = +0.9, r = 3.36, x1 = –2.21, y1 = +2.01
Cuando x = –0.9, r = 3.36, x1 = +2.21, y1 = –2.01
7. Cuando x = 0, r = 1.41, x1 = 1, y1 = 3
Cuando x = 1, r = 1.41, x1 = 0, y1 = 3
Mínimo = 1.75
8. Para x = –2, r = 112.3, x1 = 109.8, y1 = –17.2
Para x = 0, r = x1 = y1 = infinito
Para x = 1, r = 1.86, x1 = –0.67, y1 = –0.17
9. x = –0.33, y = +1.07
10. r = 1, x = 2, y = 0 para todos los puntos. Un círculo.
11. Cuando x = 0, r = 1.86, x1 = 1.67, y1 = 0.17
Cuando x = 1.5, r = 0.365, x1 = 1.59, y1 = 0.98
x = 1, y = 1 para curvatura cero.
π
π
12. Cuando θ = , r = 1, x 1 = , y1 = 0
2
2
π
Cuando θ = , r = 2.598, x 1 = 2.285, y1 =−1.414
4
14. Cuando θ = 0, r = 1, x1 = 0, y1 = 0
π
Cuando θ = , r = 2.598, x1 =−0.715, y1 =−1.414
4
π
Cuando θ = , r = x1 = y1 = infinito
2
15. r =
(a 4 y 2 +b 4 x 2 )3/2
a2
,
cuando
x
=
0,
y
=
±b,
r
,
=
a 4b 4
b
Apéndice C
x1 = 0, y1 = ±
x1 = ±
b2
b 2 −a 2
; cuando y = 0, x = ±a, r = ,
b
a
a 2 −b 2
, y1 = 0
a
16. r = 4a sen
1
θ
2
Ejercicios XXII
2. s = (1 + a 2 )3/2
1. s = 9.487
3. s = 1.22
4. s =
=
5. s =
∫ 1+4x dx
2
2
0
[
x
1
1+4x 2 + ln 2x + 1+4x 2
2
4
(
0.57
m
)] = 4.65
2
0
6. s = a(θ 2 −θ 1 )
7. s = r 2 −a 2
8. s =
∫ 1+ ax dx y s = a 2 +a ln(1+ 2 ) = 2.30a
9. s =
x −1
1
(x −1)2 +1 + ln ( x −1)+ ( x −1)2 +1 y s = 6.80
2
2
10. s =
∫ 1+y y dy. Escribe u² = 1 + y²; esto produce
a
0
2
e
1
s = 1+ y 2 + ln
y
1+ 1+ y 2
y s = 2.00
∫ sen θ2 dθ y s = 8a
π
11. s = 4a
12. s =
0
∫ sec x dx. Escribe u = sen x; esto produce
1/4π
0
s = ln (1+ 2 ) = 0.8814
13. s =
8a
27
{(
1+
9x 3/2
−1
4a
)
}
∫ 1+18x dx. Sea 1 + 18x = z, expresa s en términos de z e integra
2
14. s =
1
entre los valores de z correspondientes a x = 1 y x = 2. s = 5.27
15. s =
3a
2
16. 4a
Respuestas a ejercicios selectos
259
260
Apéndice C
Respuestas a ejercicios selectos
Se exhorta a todos los estudiantes empeñosos a confeccionar más ejemplos
para resolver en cada etapa, con el fin de poner a prueba sus habilidades. Después
de integrar, siempre pueden comprobar su respuesta derivándola, y ver si obtienen de nuevo la expresión con la que empezaron.
Apéndice D
Fórmulas de integración estándares
Te he guiado hasta la frontera y de aquí en adelante tendrás que adentrarte por tu
cuenta en la tierra encantada. Y para que tengas a la mano una tabla de consulta
de los principales resultados, el autor, al despedirse de ti, te entrega un pasaporte
en la forma de una recopilación práctica de las formas estándares. En la columna
central se asientan varias funciones muy comunes. Los resultados de su derivación se presentan a la izquierda; los resultados de su integración se presentan a la
derecha. ¡Deseo que te sean de utilidad!
Silvanus P. Thompson
262
APÉNDICE D
Fórmulas de integración estándares
Tabla de formas estándares
dy
dx
∫ y dx
y
Algebraicas
1 2
x +C
2
ax + C
1
x
0
a
1
x±a
a
ax
2x
x2
1 3
x +C
3
nxn–1
xn
1
x n +1 + C
n+1
–x–2
x–1
ln x + C
dv du dw
±
±
dx dx dx
u±v±w
∫ u dx ± ∫ v dx ± ∫ w dx
dv
du
+v
dx
dx
uv
dv
du
−u
dx
dx
v2
u
v
No se conoce forma
general
du
dx
u
∫ u dx = ux − ∫ x du + C
u
v
1 2
x ± ax + C
2
1 2
ax + C
2
dy
e integra
dx
por partes
Escribe v =
Exponenciales y logarítmicas
ex
ex
ex + C
x–1
ln x
x(ln x – 1) + C
0.4343x
log10x
0.4343x(ln x – 1) + C
x
x
ax
+C
ln a
–1
a ln a
a
Trigonométricas
cos x
sen x
–cos x + C
–sen x
cos x
sen x + C
APÉNDICE D
sec2 x
tan x
Fórmulas de integración estándares
–ln cos x + C
Circulares (inversas)
1
1−x 2
1
−
1− x 2
1
1+x 2
arcsen x
x arcsen x + 1− x 2 + C
arccos x
x arccos x − 1−x 2 + C
arctan x
1
x arctan x − ln(1+ x 2 ) +C
2
Hiperbólicas
cosh x
senh x
cosh x + C
senh x
cosh x
senh x + C
sech2 x
tanh x
ln cosh x + C
Diversas
−
1
(x +a)2
1
x +a
1
ln x +a + C
2
x
(a + x 2 )3/2
a +x
b
(a ±bx)2
1
a ±bx
−3a 2 x
(a 2 + x 2 )5/2
a2
(a 2 + x 2 )3/2
a cos ax
sen ax
1
− cos ax +C
a
–a sen ax
cos ax
1
sen ax +C
a
a sec2 ax
tan ax
1
− ln cos ax +C
a
sen 2x
sen2 x
x sen 2x
+C
−
2
4
−
±
2
2
ln (x + a 2 + x 2 ) + C
1
± ln a ±bx +C
b
x
a2 + x2
+C
263
264
APÉNDICE D
Fórmulas de integración estándares
–sen 2x
x sen 2x
−
+C
4
2
cos2 x
Diversas
n ⋅ senn − 1x ⋅ cos x
senn x
−
cos x
senn−1 x
n
n −1
senn−2 x dx +C
+
n
∫
cos x
sen 2 x
1
sen x
ln tan
sen 2x
sen 4 x
1
sen 2 x
–cot x + C
sen 2 x − cos 2 x
sen 2 x ⋅ cos 2 x
1
−
−
sen x ⋅ cos x
x
+C
2
ln tan x + C
sen(m − n)x
−
2(m − n)
n ⋅ sen mx ⋅ cos nx +
m ⋅ sen nx ⋅ cos mx
sen mx ⋅ sen nx
a sen 2ax
sen2 ax
x sen 2ax
−
+C
2
4a
–a sen 2ax
cos2 ax
x sen 2ax
+C
+
2
4a
sen (m +n)x
+C
2(m + n)
Índice analítico
A
absolutamente convergente, 305
aceleración, 85, 88
Ainsley, Robert, 185
American Mathematical Monthly, 296
análisis no estándar, 23-24
Analyst, Or a Discourse Addressed to an
Infidel Mathematician, he, 21
anillo, 218, 220
antiderivada, 212
Aquiles y la tortuga, 297
área
en coordenadas polares, 221-222
por integración, 210-225
Arquímedes, 26, 313, 318-319
Art of Mathematics, 215
asignación, 14
astroide, 322-323
Athenaeum, he, 7
Austin, A.K., 303-304
B
Barcellos, Anthony, 9
Bell, Eric Temple, 215
Berkeley, George, obispo, 21-22
Bernoulli, Johann, 22
Bluff Your Way in Mathematics, 185
Book, David I., 315
Boole, George, 233
Brown, F.G.W., 6, 36
Burchart, J.H., 324
C
calculadoras, 3
cálculo
costo de libros y, 1
en bachillerato, 5
enseñanza del, 2
libros sencillos sobre, 5-6
principales símbolos de, 39-40
reforma del, 1-5, 8
rigor en, 4
tamaño de los libros de, 1-2
tasa de fracaso, 1
teorema fundamental del, 215
Cálculo diferencial e integral, 6-8, 36-37
catenaria, 259-260
Cauchy, Augustin Louis, 115
Cavalieri, Francesco Bonaventura,
319
centro de curvatura, 253
Charles, rey de Inglaterra, 314
cicloide, 275, 321-322
círculo
de curvatura, 252
osculador, 252
coeficiente diferencial, 49
Coker, E.G., 7
College Mathematics Journal, he,
316-317
Colley, Susan Jane, 316
computadoras, 3
Concrete Mathematics, 5
condicionalmente convergente, 305
constante, 45, 59-62
de absorción, 172
de gravitación universal, 92
de integración, 202, 212, 236-237
de tiempo, 170
indeterminada, 194, 196, 199-200,
202
continuidad, 15
convergir, 19
absolutamente, 305
condicionalmente, 305
coordenadas
cartesianas, 264
polares, 221-222, 264-265
área en, 221-222
corredor de Zenón, 19-20, 26, 30-32
Courant, Richard, 4, 23
crecimiento(s)
aritmético, 154
exponencial, 154
relativos, 45-50
Croft, Halland, 315
cuerpo en caída libre, 92
266
Índice analítico
curva
adiabática, 219
copo de nieve, 306-307
desvanecimiento de, 168-173, 218-219
evoluta de, 269
logarítmica, 167-168
pendiente de la, 104, 132, 193
curvatura, 132-137, 249-260
centro de, 253
círculo de, 252
de un círculo, 249-251
radio de, 252
cúspide, 111
Cyclopedia of Puzzles, 27, 297
D
Davis, Martin, 24
dx, 39, 42-43
deltoide, 322-323
Demócrito, 319
derivación, 49, 51, 57, 66-76
coseno, 176-177, 179-180
de cocientes, 69-70
de diferencias, 67
de potencias, 57
de productos, 67-69
de sumas, 66-67
exponencial, 157
función inversa, 147-149
inversión, 198-209
logaritmo, 161-162
parcial, 184-189
regla de la cadena, 94-101
seno, 175-176, 179-180
significado geométrico, 103-113
sucesiva, 79-81
tangente, 177-178
derivada, 18, 30-34, 49, 50, 79
exponente fraccional, 57
exponente negativo, 56
notación prima para, 80-81
parcial, 185
potencias positivas, 55-56
segunda, 50, 79-81, 132, 179-180
tercera, 50, 79-81
desaceleración, 85, 88
Descartes, René, 12
desintegración radiactiva, 172-173
dy/dx, 47, 50, 104, 132
diferencial, 42
exacta, 242-243
total, 185
Differential and Integral Calculus, 4
Differential Equations, 233
discretas, matemáticas, 3
disparador de gliders, 307
divergir, 19
dominio, 14-15
Douglas, Ronald, 2
Dudeney, Henry Ernest, 27, 297
Duke University, 5
E
e, número, 152-156
ecuación(es)
de condición, 119-120
diferencial, 201, 235-247
exponencial, 160-166
logarítmica, 160-166
paramétricas, 322-323
f ′(x), 80
f ′(x), significado, 80
ejes
x, 12, 13
y, 12, 13
z, 13
elemento, 39
entrada, 17
Euler, Leonhard, 152, 305
Eves, Howard, 2-3
evolución, 3
extremos, 125, 129
problemas, 308-317
F
factor de
desvanecimiento, 169
integración, 243
Falconer, Kenneth, 315
Faraday, Michael, 6
Feynman, Richard P., 324-325
Flournoy, heódore, 5
fluxión, 21-22, 50, 87
fluyente, 50
Forsyth, A.R., 232
fracciones parciales, 139-147
fractal, 306-307
frecuencia, 178
frontera, 212
fuerza, 85-87, 88
función(es), 10-17, 48
como caja negra, 17
continua, 15
derivada, 80
dominio de, 14
Índice analítico
dos variables, 187
explícita, 11, 48-49
hiperbólicas, 182, 260
inversas, 273
implícita, 11, 48-49
inversa, 147-149
lineal, 12
lineal, derivada de, 32
mayor entero, 15-16
notación, 11
prueba de la recta vertical, 15
rango de una, 14
trigonométrica, 175-182
variable en una, 15-16
G
Galilei, Galileo, 319
Gillman, Leonard, 2
Gosper, William, 307
gráfica cartesiana, 12-16
Graham, L.A., 297
Graham, Ronald, 5
Great Moments in Mathematics, 2
Guy, Richard, 315
H
entre límites, 212
escollos, 232
formas estándares, 276-278
para calcular áreas, 210-225
por partes, 227-230
por sustitución, 230-231
subterfugios, 227
volumen por, 222-224
∫, 39, 191
integral, 39, 192
cuadrática irracional, 273-274
definida, 212
notación, 53
de Riemann, 210
general, 212
indefinida, 212
lista de, 207-208
integrales cuadráticas irracionales,
273-274
integrar, 200
interés compuesto, 150-152
Introduction to the History of Mathematics, 3
involuta, 269
J
James, William, 5, 9, 23
Halley, cometa, 21
Halley, Edmond, 21
Halmos, Paul, 309
Herón de Alejandría, 310
fórmula de, 310
Hersh, Reuben, 24
Hickerson, Dean, 9
Higgins, Aparna W., 317
hipocicloide, 321-324
K
I
Lagrange, Joseph Louis, 115
Leibniz, Gottfried Wilhem, 1, 10, 17,
23, 87
letras griegas, 38
límite (de integración)
inferior, 212
superior, 212
límite (de una función), 18-29
línea, pendiente de la, 30
Llanolandia, 32
logaritmo, 3, 158-160
napieriano, 158-160
natural, 158-160, 205-206
imagen, 14
ímpetu, 86
infinitesimales, 21-24
Infinity and the Mind, 24
Ingenious Mathematical Problems and
Methods, 297
integración, 191-196, 198-208
con términos constantes, 203-204
constante de, 202, 212, 236-237
de suma o diferencia, 203
de una potencia, 199
Kelvin, lord, 6, 166
King, Jerry P., 215
King, S., 314
Kline, Morris, 7, 50
Knuth, Donald, 5
L
267
268
Índice analítico
longitud de arco, 263-273
loxodromo, 304
Loyd, Sam, 27, 297, 300
M
magnitud, orden de, 42
matemáticas discretas, 3
Mathematica, 4
Mathematical Gazette, he, 314
Maxima and Minima Without Calculus,
324
máximo, local, 106-107, 123
máximos y mínimos, 116-129, 133,
187-189
funciones de dos variables independientes, 187-189
segunda derivada y, 133
media cuadrática, 224-225
Men of Mathematics, 215
método, El, 319
mínimo, local, 106, 123
minuto, 41
Moser, Leo, 324
movimiento, 84-87
N
Napier, John, 158
New Elements of Mathematics, 23
Newton, Isaac, 1, 10, 17, 21, 50, 87,
215
Niven, Ivan, 324
Not Impossible Religion, A, 6
notación
de puntos, 50, 87-88
prima, 80-81
número(s)
irracionales, 25
trascendental, 25, 152
O
O’Brien, Katherine, 296
origen, 13
P
parábola, gráfica de una, 12-13, 51
paradojas de Zenón, 19-20, 297
partes, integración por, 227-230
Patashnik, Oren, 5
Peirce, Charles, 23
pelota que rebota, integración y, 26-27
pendiente, 30, 104
pequeñez
grados de, 41-44
orden de, 42
periodo, 178
pi, 20, 26, 154, 321
pirómetro de radiación de Féry, 63
plano cartesiano, 12, 14
plantilla de curvas Burmester, 324-325
Primus, 317
Principia, 21
principio de Cavalieri, 319-322
Principles of Mathematics, 23
problema
de la aguja de Kakeya, 323
de la carrera de obstáculos, 300-302
del cilindro de Arquímedes, 318
del príncipe Rupert, 314
problema de cálculo del viejo roble, El, 296
Problems for Mathematicians Young and
Old, 309
Problems for Puzzlebusters, 315
Project Calc, 5
prueba de la recta vertical, 15
punto de inflexión, 123, 253
Puzzles and Curious Problems, 27, 297
Q
Quest for Truth, he, 6
R
radio de curvatura, 252
raíces cuadradas, 3
rango, 14
recta vertical, prueba de la, 15
regla
de cálculo, 3
de cocientes, 66, 69-70
de correspondencia, 14
de la cadena, 94-101
de potencia, 57
de productos, 66, 67-69
de Simpson, 195
parabólica, 195
trapezoidal, 195
Reis, Philipp, 6
Índice analítico
Renz, Peter, 8, 9
Riemann, George Friedrich Bernhard, 210
Robinson, Abraham, 23-24
Rolle, Michel, 115
Rucker, Rudy, 24
Russell, Bertrand, 23
S
salida de una función, 17
Salmon, Wesley, 303
Science, 5
Scientific American, 24, 303, 307
Scripta Mathematica, 324
Second Scientific American Book of
Mathematical Puzzles and
Diversions, 321
secuencia, 18
segundos minutos, 41
Selfridge, Oliver, 9
senos y cosenos, 175-182
serie(s)
alternantes, 21
armónica, 24-25, 305
exponencial, 156-158
geométrica, 26
infinita, 18, 24
Silvannus Phillips hompson: His Life and
Letters, 6
Simon, Julian, 7-8
Simpson, homas, 195
Sixth Book of Mathematical Games, 322
Steen, Lynn Arthur, 1-2
subterfugio útil. Véase regla de la cadena
suma
al infinito, 19
de Riemann, 210
parcial, 18
Surely You’re Joking, Mr. Feynman!, 324
sustitución, integración por, 230-231
Swift, Dean Jonathan, 44
T
tabla de derivación, formas estándares
en, 276-278
tangente, 104
tasa, 83-88
orgánica de crecimiento, 154
teorema
binomial, 56
de la función creciente, 4
de Pitágoras, 11, 12
de Rolle, 114-115
del valor medio, 4, 115
del valor medio de Cauchy, 115
fundamental del cálculo, 215
teoría cuántica, 3
hompson, Helen G., 6
hompson, Jane Smeal, 6
hompson, Silvanus Phillips, 6-9, 37
tiempo, como variable independiente,
83-91
Torre de Pisa, 27-29
Toward a Lean and Lively Calculus, 2, 8
trabajo, 86, 88
tractriz, 269
trayectoria de persecución, 296-299
Tucker, homas W., 4
Tulane University, 8
U
Unexpected Hanging and Other
Mathematical Diversions, 153, 324
Unsolved Problems in Geometry, 315
V
variable, 10, 45
compleja, 18
dependiente, 10, 12, 45, 48
independiente, 10, 12, 13, 48, 184
tiempo como, 83-91
velocidad, 84-85, 88, 115
velocidad instantánea, 30
vida, juego de la, 307
vida media, 172
volumen, 222-224
Von Neumann, John, 303
W
Wheels, Life, and Other Mathematical Amusements, 303, 317, 324
Wolfram, Stephen, 4
Y
yin-yang, 306
Z
Zenón de Elea, 9
paradojas de, 19-20, 297
269